Теорема косинусов: формулировка, доказательство, следствия и примеры

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

• a² = b² + c² – 2b.c.cosα
• b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
• c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

b = 12 см

c = 8 см

cos α = cos 120º = — 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

a² = 144 + 64 – (–96)

a² = 304

a = √304

a ≈ 17,436

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Доказательство теоремы косинусов

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

DA = b − a.cosC

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки «a²»: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Q.E.D.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Формула:

Либо

Либо

Например:

сторона c = 6

сторона b = 7

сторона a = 8

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

= (36 + 64 − 49) / 96

= 51 / 96

= 0,53125

= cos¯¹(0,53125)

≈ 57,9°

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

• b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
• b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
• b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

• две его стороны равны;
• углы при основании равны.

Рассмотрим пример:

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b.c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

x² ≈ √226,048

x ≈ 15,035.

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.

Теорема косинусов. Пример решения задачи

Теорема косинусов формулируется следующим образом: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Задача

Одна из сторон треугольника больше другой на 8 сантиметров, а угол между ними равен 120 градусам. Найдите периметр треугольника, если длин третьей стороны равна 28 см.

Решение.

Обозначим одну из сторон треугольника как x, тогда величина другой равна x+8 см.

Исходя из теоремы косинусов, получим:
28² = x² + (x+8)²-2x(x+8)cos120^o
784 = x² + x² +16x + 64 — 2x(x+8)(-0,5)
784 = 2x²+16x + 64 + x(x+8)
720 = 3x² + 16x + 8x
3x² + 24x +720 = 0
D=9216
x₁=((-24)+96)/6=12 (второй корень является отрицательным числом и не имеет смысла в рамках решения задачи)

Таким образом, периметр треугольника P=12+(12+8)+28 = 60 см.

Ответ:

60 см

Задача   

В треугольнике АВС сторона АС равна 7√3 см, сторона ВС равна 1 см. Угол С равен 150 градусам. Найти длину стороны АВ.

Решение.
Применим теорему косинусов и соответствующую формулу (см.выше)
AB²  = (7√3)² + 1²  — 2 (7√3) cos 150º

Значение косинуса 150 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций.
AB² = 147 + 1 — 14√3 (-√3/2) 
AB² = 148 + 21 = 169
AB = 13

Ответ: 13 см

 Теорема косинусов и ее доказательство. | Описание курса | Тангенс и его свойства 

   

Теорема синусов и теорема косинусов — теория в ЕГЭ по математике онлайн

Теорема синусов

В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла не зависит от выбора стороны и равно диаметру описанной окружности.

 

Доказательство

 

Пусть \(R\) – радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Проведём диаметр \(BA_1\) и рассмотрим треугольник \(A_1BC\) (случай, когда точки \(A_1\) и \(C\) совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол \(C\) этого треугольника прямой, поэтому \(BC = BA_1\cdot \sin\angle A_1\), но \(\sin\angle A = \sin\angle A_1\) так как углы \(A\) и \(A_1\) либо отличаются на угол, равный \(180^\circ\), либо совпадают.

 

Следовательно, \(BC = BA_1\cdot\sin\angle A\), то есть \(\dfrac{BC}{\sin\angle A} = 2R\). Так как в доказательстве мы не ограничивали общности, то равенства \(\dfrac{AC}{\sin\angle B} = 2R = \dfrac{AB}{\sin\angle C}\) показываются аналогично.

 

Теорема косинусов

В любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

Доказательство

Пусть в треугольнике \(ABC\) \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\), \(\angle C=\alpha\). Докажем, что \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\alpha\).

 

Проведем высоту \(BH=h\). Пусть она разбила сторону \(AC\) на отрезки длиной \(x\) и \(y\):

 

По теореме Пифагора из \(\triangle AHB: \ c^2=h^2+y^2\);
из \(\triangle CHB: \ a^2=x^2+h^2\).

Вычтем из первого равенства второе: \(c^2-a^2=y^2-x^2 \Rightarrow c^2=a^2+(y-x)(y+x)=a^2+b(y-x)\).

Заметим, что \(\cos\alpha=\dfrac xa \Rightarrow x=a\cos\alpha\). Тогда:

\[c^2=a^2+b(y+x-2x)=a^2+b(b-2x)=a^2+b(b-2a\cos\alpha)=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\]

Замечание

С помощью данных теорем можно легко найти все элементы треугольника, если известны, например, две стороны и угол, угол и две стороны, три стороны и т.д.

 

Пример

Найти стороны и углы треугольника, если медиана \(BM\), проведенная к стороне \(AC=4\), равна \(2\sqrt3\), а угол треугольника \(\angle A=60^\circ\).

 

Решение. Рассмотрим данный треугольник:

 

1) По теореме косинусов из \(\triangle ABM\):
\((2\sqrt3)^2=2^2+AB^2-2\cdot 2\cdot AB\cdot \cos60^\circ \Rightarrow AB^2-2AB-8=0 \Rightarrow AB=4\)

 

2) \(\triangle ABC\) – равнобедренный (\(AB=AC=4\)), следовательно, \(\angle B=\angle C=\frac12\left(180^\circ-\angle A\right)=60^\circ\).

 

Значит, \(\triangle ABC\) – правильный, значит, \(BC=4\).

Теорема косинусов: формулы | Треугольники

Теорема косинусов может быть применена к любой из сторон треугольника.

Запишем формулы для каждой из сторон и выясним, как применять теорему косинусов в зависимости от условия задачи.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

Для треугольника ABC

теорема косинусов

может быть записана

в одной из трех вариаций:

   

   

   

Обозначив

   

   

получим следующие три формулы теоремы косинусов:

   

   

   

К какой стороне треугольника применить теорему косинусов?

Теорему косинусов применяют к той стороне, напротив которой определен угол (то есть, он либо известен, либо как раз его надо найти).

Далее рассмотрим применение теоремы косинусов при решении задач.

Теорема косинусов

Сферические теоремы косинусов — Википедия с видео // WIKI 2

Сферический треугольник.

Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника.

Энциклопедичный YouTube

• 1/5

  Просмотров:

  5 705

  432

  851

  416

  344

• ✪ Теорема косинусов с доказательством

• ✪ Общая теория относительности | сферическая геометрия | 3 | теорема косинусов

• ✪ Лекторий ЗФТШ. Математика 10 класс.Теоремы косинусов и синусов. Метод площадей

• ✪ Общая теория относительности | гиперболическая геометрия | 2 | теорема косинусов

• ✪ Общая теория относительности | сферическая геометрия | 4 | теорема синусов

Содержание

Формулировка

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

cos ⁡ c = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ C , {\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,}

cos ⁡ A = − cos ⁡ B cos ⁡ C + sin ⁡ B sin ⁡ C cos ⁡ a . {\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.}

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них.

Доказательство

Рисунок к доказательству теоремы косинусов с помощью проекций.

Доказательство проведём с помощью проекций^[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π — C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

pr  O N = pr  O M + pr  M P + pr  P N {\displaystyle {\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN} ,

P N ⊥ O A ⇒ pr  P N = 0 {\displaystyle PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0} ,

pr  O M = O M cos ⁡ b = R cos ⁡ a cos ⁡ b {\displaystyle {\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b} ,

pr  M P = P M cos ⁡ ( π − ( π 2 − ∠ M P N ) ) = P M ( − sin ⁡ ∠ M P N ) {\displaystyle {\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)}

= B M cos ⁡ ∠ P M B ( − sin ⁡ b ) = B M cos ⁡ ( π − C ) ( − sin ⁡ b ) = R sin ⁡ b sin ⁡ a cos ⁡ C {\displaystyle =BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C} .

Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем:

cos ⁡ c = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ C {\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C} .

Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв:

a → b → c → a , A → B → C → A {\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A}

Сферический треугольник для определения кратчайшего расстояния между точками на Земле.

Следствия и применение

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

cos ⁡ c = cos ⁡ a cos ⁡ b . {\displaystyle \cos c=\cos a\cos b.}

Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек φ A {\displaystyle \varphi _{A}} и φ B {\displaystyle \varphi _{B}} , разность долгот — Δ λ A B {\displaystyle \Delta \lambda _{AB}} , кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии^[2]:

cos ⁡ ( d a ) = sin ⁡ φ A ⋅ sin ⁡ φ B + cos ⁡ φ A ⋅ cos ⁡ φ B ⋅ cos ⁡ Δ λ A B {\displaystyle \cos \left({\frac {d}{a}}\right)=\sin \varphi _{A}\cdot \sin \varphi _{B}+\cos \varphi _{A}\cdot \cos \varphi _{B}\cdot \cos \Delta \lambda _{AB}}

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника P_nAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам^[3].

Пример 1: определение углового расстояния между двумя светилами на небесной сфере

Определим угловое расстояние (x) между звездой δ Цефея (экваториальные координаты: α₁=22ч 29м, δ₁=+58° 25′) и галактикой Туманность Андромеды (α₂=0ч 43м, δ₂=+41° 16′) на небесной сфере. Выражаем α₁ в градусах и долях градуса:

α 1 = ( 22 + 29 60 ) ⋅ 360 24 = 337 ∘ , 25 {\displaystyle \alpha _{1}=\left(22+{\frac {29}{60}}\right)\cdot {\frac {360}{24}}=337^{\circ },25}

Аналогично получаем, что α₂=10°,75. Выражаем δ₁ в градусах и долях градуса:

δ 1 = 58 + 25 60 = 58 ∘ , 42 {\displaystyle \delta _{1}=58+{\frac {25}{60}}=58^{\circ },42}

Аналогично δ₂=41°,27. Применяем теорему косинусов^[4]:

cos ⁡ x = cos ⁡ ( 90 ∘ − δ 1 ) ⋅ cos ⁡ ( 90 ∘ − δ 2 ) + sin ⁡ ( 90 ∘ − δ 1 ) ⋅ sin ⁡ ( 90 ∘ − δ 2 ) ⋅ cos ⁡ ( α 1 − α 2 ) = sin ⁡ 58 ∘ , 42 ⋅ sin ⁡ 41 ∘ , 27 + cos ⁡ 58 ∘ , 42 ⋅ cos ⁡ 41 ∘ , 27 ⋅ cos ⁡ ( 337 ∘ , 25 − 10 ∘ , 75 ) = 0 , 89 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\cos(90^{\circ }-\delta _{1})\cdot \cos(90^{\circ }-\delta _{2})+\sin(90^{\circ }-\delta _{1})\cdot \sin(90^{\circ }-\delta _{2})\cdot \cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})\\&=\sin 58^{\circ },42\cdot \sin 41^{\circ },27+\cos 58^{\circ },42\cdot \cos 41^{\circ },27\cdot \cos(337^{\circ },25-10^{\circ },75)\\&=0,89\end{aligned}}}

Отсюда x=27°,11.

Теорема косинусов в её втором виде (соотношение между тремя углами и стороной) может быть применена для вычисления взаимного наклонения двух орбит при известном наклонении каждой орбиты к какой-то другой плоскости. Например, по этой формуле можно вычислить наклонение орбиты Плутона к орбите Нептуна, используя наклонения их орбит к эклиптике и долготы их восходящих узлов.

Пример 2: определение взаимного наклонения орбит небесных тел

Определим взаимное наклонение (x) орбит Плутона (наклонение орбиты к эклиптике — 17°,14, долгота восходящего узла — 110°,30) и Нептуна (наклонение орбиты к эклиптике — 1°,77, долгота восходящего узла — 131°,79). В соответствующем сферическом треугольнике известны два угла: один равен наклонению орбиты Плутона к эклиптике, другой — дополнению наклонения орбиты Нептуна к эклиптике до 180 градусов. Известна также прилегающая к этим углам сторона, равная разности долгот восходящих узлов Плутона и Нептуна. Осталось применить второй вариант теоремы косинусов — для углов:

cos ⁡ x = − cos ⁡ ( 17 ∘ , 14 ) ⋅ cos ⁡ ( 180 ∘ − 1 ∘ , 77 ) + sin ⁡ ( 17 ∘ , 14 ) ⋅ sin ⁡ ( 180 ∘ − 1 ∘ , 77 ) ⋅ cos ⁡ ( 131 ∘ , 79 − 110 ∘ , 30 ) ≈ 0 , 9636 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=-\cos(17^{\circ },14)\cdot \cos(180^{\circ }-1^{\circ },77)+\sin(17^{\circ },14)\cdot \sin(180^{\circ }-1^{\circ },77)\cdot \cos(131^{\circ },79-110^{\circ },30)\\&\approx 0,9636\\\end{aligned}}}

Отсюда x≈15°,51.

История

Математики средневекового Востока использовали утверждение, равносильное сферической теореме косинусов, при решении конкретных астрономических задач. Эти соотношения, используемые при определении высоты Солнца, встречаются в сочинениях Сабита ибн Корры, ал-Махани, ал-Баттани, Ибн Юниса, ал-Бируни.

Первая явная формулировка теоремы дана в XV веке Региомонтаном, который назвал её «теоремой Альбатегния» (по латинизированному имени ал-Баттани).

См. также

Примечания

1. ↑ Приводится по изданию: Степанов Н.Н. Формулы косинуса стороны // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 24—28. — 154 с.
2. ↑ Михайлов В.С., Кудрявцев В.Г., Давыдов В.С. 26.2. Основные формулы ортодромии. Способы её задания // Навигация и лоция. — Киев, 2009.
3. ↑ Меёс Ж. 9. Угловое расстояние между объектами // Астрономические формулы для калькуляторов. — Мир, 1988. — С. 44—46. — 168 с. — ISBN 5030009361.
4. ↑ Lee Kai Ming. PHYS 2021 — The Physical Universe. — 2010. — С. 6. Архивировано 3 декабря 2008 года.

Литература

• Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. 2-е изд., ИГКЛ, 1948, 115с.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.-М., 1948.

Эта страница в последний раз была отредактирована 25 июля 2020 в 07:53.

косинусов теорема — это… Что такое косинусов теорема?



косинусов теорема

ко́синусов теоре́ма

теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами а, b, с произвольного треугольника и косинусом угла C между сторонами а и b: с² = a² + b² – 2ab cos C.

* * *

КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА

КО́СИНУСОВ ТЕОРЕ́МА, теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла С между сторонами a и b: c² = a² + b² — 2abcosC.

Энциклопедический словарь. 2009.

• косинус
• космос

Смотреть что такое «косинусов теорема» в других словарях:

• КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла С между сторонами a и b: c2 = a2 + b2 2abcosC …   Большой Энциклопедический словарь

• Косинусов теорема — Теорема косинусов обобщение теоремы Пифагора. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α… …   Википедия

• Косинусов теорема —         теорема тригонометрии, утверждающая, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними;          c2 =а2 + b2 2ab cos α,         где а, b, с… …   Большая советская энциклопедия

• КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами а, b, с произвольного треугольника и косинусом угла С между сторонами а и b: с2 = а2 + b2 2ab cos С …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т. е. где а, 6, с стороны треугольника, а С угол между сторонами аи b. Ю …   Математическая энциклопедия

• Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия) — Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен. Формулировка …   Википедия

• Теорема косинусов — Теорема косинусов  теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора: Для плоского тре …   Википедия

• Теорема Пифагора — Теорема Пифагора  одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 …   Википедия

• Теорема тангенсов — Рис. 1. Треугольник В тригонометрии, теорема тангенсов[1]  это теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треуг …   Википедия

• Теорема синусов (сферическая геометрия) — Сферическая теорема синусов устанавливает пропорциональность между синусами сторон a, b, c и синусами противолежащих этим сторонам углов A, B, C сферического треугольника: Сферическая теорема синусов является аналогом плоской теоремы синусов и… …   Википедия

Сферические теоремы косинусов — Википедия. Что такое Сферические теоремы косинусов

Пример 2: определение взаимного наклонения орбит небесных тел

Определим взаимное наклонение (x) орбит Плутона (наклонение орбиты к эклиптике — 17°,14, долгота восходящего узла — 110°,30) и Нептуна (наклонение орбиты к эклиптике — 1°,77, долгота восходящего узла — 131°,79). В соответствующем сферическом треугольнике известны два угла: один равен наклонению орбиты Плутона к эклиптике, другой — дополнению наклонения орбиты Нептуна к эклиптике до 180 градусов. Известна также прилегающая к этим углам сторона, равная разности долгот восходящих узлов Плутона и Нептуна. Осталось применить второй вариант теоремы косинусов — для углов:

cos ⁡ x = − cos ⁡ ( 17 ∘ , 14 ) ⋅ cos ⁡ ( 180 ∘ − 1 ∘ , 77 ) + sin ⁡ ( 17 ∘ , 14 ) ⋅ sin ⁡ ( 180 ∘ − 1 ∘ , 77 ) ⋅ cos ⁡ ( 131 ∘ , 79 − 110 ∘ , 30 ) ≈ 0 , 9636 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=-\cos(17^{\circ },14)\cdot \cos(180^{\circ }-1^{\circ },77)+\sin(17^{\circ },14)\cdot \sin(180^{\circ }-1^{\circ },77)\cdot \cos(131^{\circ },79-110^{\circ },30)\\&\approx 0,9636\\\end{aligned}}}

Отсюда x≈15°,51.

Закон косинусов

Для любого треугольника:

a , b и c — боковые стороны. C — угол противоположной стороны c

Закон косинусов (также называемый правилом косинусов ) говорит:

c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Это помогает нам решать некоторые треугольники.Посмотрим, как им пользоваться.

Пример: Какова длина стороны «c» …?

Мы знаем угол C = 37º, а стороны a = 8 и b = 11

Закон косинусов говорит: c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Введите известные нам значения: c ² = 8 ² + 11 ² — 2 × 8 × 11 × cos (37º)

Выполните некоторые вычисления: c ² = 64 + 121 — 176 × 0,798…

Дополнительные вычисления: c ² = 44.44 …

Извлеките квадратный корень: c = √44,44 = 6,67 с точностью до 2 знаков после запятой

Ответ: c = 6,67

Как помнить

Как можно запомнить формулу?

Что ж, полезно знать, что это теорема Пифагора с кое-чем дополнительным, чтобы она работала для всех треугольников:

Теорема Пифагора:
(только для прямоугольных треугольников) a ² + b ² = c ²

Закон косинусов:
(для всех треугольников) a ² + b ² — 2ab cos (C) = c ²

Итак, чтобы запомнить:

• думайте « abc »: a ² + b ² = c ² ,
• , затем 2 nd « abc «: 2ab cos ( C ),
• и сложите их вместе: a ² + b ² — 2ab cos (C) = c ²

Когда использовать

Закон косинусов полезно найти:

• третья сторона треугольника, когда мы знаем две стороны и угол между ними (как в примере выше)
• углы треугольника, когда мы знаем все три стороны (как в следующем примере)

Пример: что такое угол «C»…?

Сторона длины «8» противоположна углу C , поэтому это сторона c . Две другие стороны — это a и b .

Теперь давайте поместим то, что мы знаем, в Закон косинусов :

Начнем с: c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Вставьте a, b и c: 8 ² = 9 ² + 5 ² — 2 × 9 × 5 × cos (C)

Вычислить: 64 = 81 + 25 — 90 × cos (C)

Теперь мы используем наши навыки алгебры, чтобы переставить и решить:

Вычтем 25 с обеих сторон: 39 = 81 -90 × cos (C)

Вычтем 81 из обеих частей: −42 = −90 × cos (C)

Поменять местами стороны: −90 × cos (C) = −42

Разделим обе части на −90: cos (C) = 42/90

Обратный косинус: C = cos ⁻¹ (42/90)

Калькулятор: C = 62.2 ° (с точностью до 1 знака после запятой)

В другой форме

Более простая версия для углов

Мы только что видели, как найти угол, когда мы знаем три стороны. Для этого потребовалось несколько шагов, поэтому проще использовать «прямую» формулу (которая представляет собой просто перестановку формулы c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)). Может быть в любой из этих форм:

cos (Кл) = а ² + б ² — с ² 2ab

cos (А) = б ² + с ² — а ² 2bc

cos (B) = c ² + a ² — b ² 2ca

Пример: найти угол «C» по закону косинусов (угловая версия)

В этом треугольнике мы знаем три стороны:

Используйте Закон косинусов (угловая версия), чтобы найти угол C :

cos C = (a ² + b ² — c ² ) / 2ab

= (8 ² + 6 ² — 7 ² ) / 2 × 8 × 6

= (64 + 36 — 49) / 96

= 51/96

= 0.53125

C = cos ^-1 (0,53125)

= 57,9 ° с точностью до одного десятичного знака

Версии для a, b и c

Кроме того, мы можем переписать формулу c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C) в форму ² = и b ² =.

Вот все три:

a ² = b ² + c ² — 2bc cos (A)

b ² = a ² + c ² — 2ac cos (B)

c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Но проще запомнить форму « c ² =» и менять буквы по мере необходимости!

Как в этом примере:

Пример: найти расстояние «z»

Буквы разные! Но это не имеет значения.Мы можем легко заменить x на a, y на b и z на c

Начнем с: c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

x для a, y для b и z для cz ² = x ² + y ² — 2xy cos (Z)

Введите известные нам значения: z ² = 9,4 ² + 6,5 ² — 2 × 9,4 × 6,5 × cos (131º)

Вычислить: z ² = 88,36 + 42,25 — 122,2 × (-0,656 …)

z ² = 130,61 + 80.17 …

z ² = 210,78 …

z = √210,78 … = 14,5 с точностью до 1 десятичного знака.

Ответ: z = 14,5

Вы заметили, что cos (131º) отрицателен, и это меняет последний знак в вычислении на + (плюс)? Косинус тупого угла всегда отрицателен (см. Единичный круг).

.

Закон косинусов (правило косинусов)

Закон косинусов (также известный как правило косинусов или закон косинусов) является обобщением теоремы Пифагора в том смысле, что формулировку последней можно получить из формулировки закона косинусов как частного случая. Однако все доказательства первого, похоже, неявно зависят от пифагорейского подхода или явно учитывают его. Теорема. Например, чтобы быть исчерпывающим, т. Е. Охватить случай µ = 0, приведенное ниже доказательство должно рассматривать этот случай отдельно, так как оно не следует из двух других (µ <90 и µ> 90).Таким образом, в ходе доказательства правила косинусов непосредственно доказывается теорема Пифагора. По этой причине мне трудно утверждать, что правило косинуса влечет теорему Пифагора. Мне было бы чрезвычайно любопытно узнать о любом доказательстве правила косинусов, полностью независимом от теоремы Пифагора.

Примечание

Джулиан Гилби не согласился с последним предложением: На странице закона косинусов вы говорите: «Мне было бы чрезвычайно любопытно узнать о любом доказательстве правила косинуса, полностью независимом от теоремы Пифагора.»Ответ состоит в том, что такого не может быть: закон косинусов верен только в евклидовой геометрии, но не в сферической или гиперболической геометрии, поэтому он должен зависеть от метрики плоскости. А метрика евклидовой плоскости в точности равна ds² = dx² + dy², что эквивалентно утверждению, что Пифагор верен. С любой другой метрикой Пифагор не выполняется, и, следовательно, закон косинусов также не может выполняться.

Однако Джон Молокач представил доказательство, которое, похоже, не использует теорему Пифагора.Как объяснить парадокс?

Закон косинусов

Для треугольника со сторонами a , b и c и углом µ, противоположным стороне c, получаем

c ² = a ² + b ² — 2ab · cos (µ)

Ниже приводится доказательство правила косинуса, присланное мне доктором Скоттом Броди из Медицинской школы Маунт-Синай, штат Нью-Йорк. В начале, говоря о прямоугольных треугольниках, доктор Бродди ссылается на свое доказательство теоремы Пифагора.

Проба

Если исходный треугольник неправильный, можно по-прежнему задавать вопросы о связи между длины сторон. Чтобы быть конкретным, возьмем как заданные a и b длины сторон BC и AC, соответственно, и рассмотрим длину c стороны AB как функцию µ, величины угла при C. Нам понадобятся две дополнительные формы теоремы о «степени точки»: если два таких секущих линии разрезают один и тот же круг, произведение расстояний вдоль каждой до ближнего и дальнего точки пересечения одинаковы для каждой секущей; Если две хорды круга пересекаются в внутренней части круга, то произведение расстояний от точки пересечения до окружность в каждом направлении по одной хорде совпадает с аналогичным произведением расстояний к окружности по другому хорде.

Есть три случая:

Если треугольник острый, постройте три высоты и, как и раньше, круги с диаметры BC и AC. Как и прежде, подножие высоты от C до AB и два круга совпадают в точке, скажем P, которая разрезает AB на сегменты BP и PA длиной

x и и соответственно. Если Q обозначает основание высоты от A, угол AQC правый, а Q лежит на окружности диаметром AC. Проверка подтверждает, что QC имеет длину b cos (µ).Аналогично, пусть R обозначает основание высоты от B; то R лежит на окружности BC, а RC — длины a cos (µ). Тогда степенная теорема для случая двух секущих состояний при степень точки B относительно окружности AC, что a ( a — b cos (µ)) & nbsp = xc ; для степени точки A относительно окружности BC имеем b ( b — a cos (µ)) & nbsp = yc . Сложение двух уравнений сразу дает a ² + b ² — 2 ab cos (µ) = ( x + y ) c = c ² , что является законом косинусов.

Если исходный треугольник тупой, у нас есть еще два случая:

Если угол C тупой, то высота от C сокращает сторону AB, скажем, в точке P, но высоты из A и B лежат вне треугольника. Ноги этих высот находятся на пересечение образованных сторон BC и AC с окружностями диаметров AC и BC, соответственно; назовем их Q и R. Как и раньше, пусть x и y обозначают длины BP и PA. Поскольку угол C тупой, cos (µ) меньше нуля, а длины RC и QC равны и — a cos (µ) и — b cos (µ) соответственно.Тогда для степени B относительно окружности AC a ( a — b cos (µ)) & nbsp = xc , а для степень A относительно окружности BC b ( b — a cos (µ)) & nbsp = yc . Как и раньше, сложение двух уравнений дает Закон косинусов.

Наконец, если угол C острый, но, скажем, угол B тупой, то высота от B сокращает сторона AC, скажем, в точке R, но высоты от точек A и C лежат вне треугольника и пересекаются со сторонами CB и AB, произведенные соответственно, скажем, в Q и P.Как и раньше, Q и P лежат на окружностях с диаметры AC и BC соответственно. Обозначим расстояние BP как

z . Поскольку длина RC составляет a cos (µ), а длина QC составляет b cos (µ), мы имеем для мощности из A относительно окружности BC b ( b — a cos (µ)) & nbsp = ( c + z ) c , а, используя теорему о мощности для внутренней точки, мы имеем для мощности B относительно круг AC a ( b cos (µ) — a ) & nbsp = zc .В этом В случае вычитание второго уравнения из первого дает закон косинусов. QED.

Доктор Бродди также предоставил красивую «динамическую» фигуру в виде файла для эскиза Geometer. где движущаяся вершина «C» автоматически переключается между различными случаями доказательства.

Другие доказательства можно найти в другом месте. Одно доказательство без слов является прямым обобщением доказательства Табита ибн Курры предложения Пифагора. Есть и «развернутый» вариант.«Кроме того, закон косинусов допускает несколько иную форму, открытую Ларри Хёном, которая обобщает теорему Пифагора несколько иначе.

Тригонометрия

| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Геометрия | | Вверх |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный .{2} (A) = 1, $

, где $ A $ — один из внутренних углов прямоугольного треугольника. Если гипотенуза треугольника имеет длину $ 1, $, то $ \ sin (A) $ — длина стороны, противоположной углу $ A, $ $ \ cos (A) $ — длина смежной стороны.

Теорема Птолемея также предоставляет элегантный способ доказательства других тригонометрических тождеств. Через некоторое время я докажу формулы сложения и вычитания для синуса :

.

(1)

$ \ sin (A + B) = \ sin (A) \ cos (B) + \ cos (A) \ sin (B) $

(2)

$ \ sin (A — B) = \ sin (A) \ cos (B) — \ cos (A) \ sin (B).$

Но сначала давайте рассмотрим простое доказательство закона синуса .

Предложение III.20 из Элементов Евклида говорит:

В круге угол в центре вдвое больше угла на окружности, когда углы имеют ту же длину окружности, что и основание.

Более распространенная формулировка утверждает, что угол, описанный в окружности, равен половине центрального угла, который образует ту же хорду.(Как следствие, отсюда следует, что все описанные углы, образующие одну и ту же дугу, равны независимо от их положения на окружности. Это предложение III.21) На диаграмме $ \ angle BOC = 2 \ angle BAC (= 2A .) $

Опустите перпендикуляр из $ O $ на сторону $ BC. $ Предполагая, что радиус окружности равен $ R, $ $ OB = OC = R. $ Кроме того, $ \ angle BOP = \ angle POC. $ In $ \ Delta BOP, $ $ \ sin (\ angle BOP) = BP / OB = BC / 2R. $ Следовательно, $ BC / \ sin (\ angle BOP) = 2R.$ Когда угол $ A $ тупой, центр $ O $ находится вне $ \ Delta ABC $, и диаграмма выглядит иначе. Однако в результате идентичность остается прежней. Повторяя эти шаги с двумя другими углами $ B $ и $ C $ в $ \ Delta ABC $, мы получаем закон синусов , который в стандартных обозначениях отображается как

(3)

$ \ displaystyle \ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ cos (B)} = \ frac {c} {\ sin (A)} = 2R. $

В случае, когда диаметр описанной окружности равен 1, мы имеем $ a = \ sin (A), $ $ b = \ sin (B), $ и $ c = \ sin (C).$ Это все, что нам нужно для применения теоремы Птолемея. Это, конечно, полезно для запоминания определения функций синуса и косинуса. В прямоугольном треугольнике синус острого угла — это отношение противоположного катета к гипотенузе; его косинус — это отношение соседнего катета к гипотенузе.

Рассмотрим четырехугольник $ ABDC $, вписанный в окружность диаметра $ 1 $, так что диагональ $ BC $ служит диаметром.

Из определения синуса и косинуса мы определяем стороны четырехугольника.Закон синуса определяет длину оставшейся диагонали. Формула сложения для синуса — это просто переформулировка теоремы Птолемея.

Для доказательства формулы вычитания пусть сторона $ BC $ служит диаметром.

Как следствие, мы получаем формулы для синуса (за один шаг) и косинуса (за два шага) дополнительных углов:

$ \ begin {align} \ sin (\ frac {\ pi} {2} — \ alpha) & = \ cos \ alpha, \\ \ cos (\ frac {\ pi} {2} — \ alpha) & = \ sin \ alpha.\ end {align} $

Из этих формул и формул сложения для синуса нетрудно вывести формулы сложения для косинуса:

$ \ begin {align} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta), \\ \ cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta). \ end {align} $

(Есть дополнительные простые доказательства этих формул.)

Ссылки

1. E.Maor, Trigonometric Delights , Princeton University Press, 1998

Тригонометрия

| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Геометрия | | Вверх |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

.

Синус, косинус, тангенс

Три функции, но та же идея.

Прямой треугольник

Синус, косинус и тангенс — основные функции, используемые в тригонометрии, они основаны на прямоугольном треугольнике.

Прежде чем углубляться в функции, полезно присвоить имя каждой стороне прямоугольного треугольника:

• «Противоположно» противоположно углу θ
• «Соседний» примыкает (рядом) к углу θ
• «Гипотенуза» — длинная

Соседний всегда находится рядом с углом

И Напротив находится напротив угла

Синус, косинус и тангенс

Синус , Косинус и Касательная (часто сокращается до sin , cos и tan ), каждый является отношением сторон прямоугольного треугольника :

Для заданного угла θ каждое отношение остается неизменным
независимо от того, насколько велик или мал треугольник

Для их расчета:

Разделите длину одной стороны на другую

Пример: Что такое синус 35 °?

Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

sin (35 °)	= Напротив Гипотенуза
	= 2.8 4,9
	= 0,57 …
cos (35 °)	= Соседний Гипотенуза
	= 4,0 4,9
	= 0,82 …
загар (35 °)	= Напротив Соседний
	= 2,8 4,0
	= 0,70 …

Размер не имеет значения

Треугольник может быть большим или маленьким, и соотношение сторон остается неизменным .

Только угол меняет соотношение.

Попробуйте перетащить точку «A», чтобы изменить угол, и точку «B», чтобы изменить размер:

На хороших калькуляторах есть sin, cos и tan, чтобы вам было проще. Просто вставьте угол и нажмите кнопку.

Но все же нужно помнить , что они означают !

В форме изображения:

Практика здесь:

Sohcahtoa

Как запомнить? Подумайте о «Sohcahtoa» !

Работает так:

Soh…	S ine = O pposite / H ypotenuse
… ка …	C osine = A djacent / H ypotenuse
… toa	T angent = O pposite / A djacent

Вы можете узнать больше о Sohcahtoa… запомните, это может помочь на экзамене!

Углы от 0 ° до 360 °

Перемещайте мышь, чтобы увидеть, как разные углы (в радианах или градусах) влияют на синус, косинус и тангенс.

В этой анимации гипотенуза равна 1, образуя единичную окружность.

Обратите внимание, что соседняя сторона и противоположная сторона могут быть положительными или отрицательными, что также приводит к изменению синуса, косинуса и тангенса между положительными и отрицательными значениями.

«Почему sin и tan не пошли на вечеринку?» «… только cos ! »

Примеры

Пример: каковы синус, косинус и тангенс 30 °?

Классический треугольник 30 ° имеет гипотенузу длины 2, противоположную сторону длины 1 и смежную сторону √3:

Теперь мы знаем длины, можем вычислить функции:

Синус		sin (30 °) = 1/2 = 0.5
Косинус		cos (30 °) = 1,732 / 2 = 0,866 …
Касательная		тангенс угла (30 °) = 1 / 1,732 = 0,577 …

(возьмите калькулятор и проверьте его!)

Пример: каковы синус, косинус и тангенс угла 45 °?

Классический треугольник 45 ° имеет две стороны 1 и гипотенузу √2:

Синус		sin (45 °) = 1/1.414 = 0,707 …
Косинус		cos (45 °) = 1 / 1,414 = 0,707 …
Касательная		тангенс угла (45 °) = 1/1 = 1

Почему?

Почему эти функции важны?

• Потому что они позволяют нам вычислять углы, когда мы знаем стороны
• И они позволяют нам определять стороны, когда мы знаем углы

Пример: используйте синусоидальную функцию , чтобы найти «d»

Мы знаем:

• Кабель образует угол 39 ° с дном
• Кабель длиной 30 метров .

И мы хотим знать «d» (расстояние вниз).

Начать с: sin 39 ° = противоположно / гипотенуза

sin 39 ° = d / 30

Поменять местами стороны: d / 30 = sin 39 °

С помощью калькулятора найдите sin 39 °: d / 30 = 0,6293 …

Умножить обе стороны на 30: d = 0,6293… x 30

d = 18,88 с точностью до 2 знаков после запятой.

Глубина «d» 18,88 м

Упражнение

Попробуйте это бумажное упражнение, в котором вы можете вычислить синусоидальную функцию. для всех углов от 0 ° до 360 °, а затем нарисуйте результат.Это поможет вам понять эти относительно простые функции.

Вы также можете увидеть графики синуса, косинуса и тангенса.

И поиграйте с пружиной, создающей синусоидальную волну.

Менее распространенные функции

Чтобы завершить картину, есть еще 3 функции, в которых мы разделяем одну сторону на другую, но они не так часто используются.

Они равны 1, деленному на cos , 1, деленному на sin , и 1, деленному на tan :

Секущая функция:		сек ( θ ) = Гипотенуза Соседний		(= 1 / cos)
Косеканс, функция:		csc ( θ ) = Гипотенуза Напротив		(= 1 / sin)
Функция котангенса:		детская кроватка ( θ ) = Соседний Напротив		(= 1 / tan)

.