Теорема Наполеона | Математика, которая мне нравится

Наполеон Бонапарт

Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией. Бонапарт считается также автором задачи о делении на четыре равные части окружности с помощью одного лишь циркуля.

Тем не менее, впервые опубликовал эту теорему У. Резерфорд в публикации в “The Ladies’ Diary” в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона, так что возможно, что ее автором является и не полководец.

В различных источниках приводятся разные доказательства теоремы Наполеона. Чаще всего можно встретить доказательства, основанные на свойствах поворота или использующие комплексные числа. Привожу здесь доказательство, которое кажется мне наиболее простым и доступным для школьников. Все, что нужно для понимания его — знание теоремы косинусов.

Теорема Наполеона. На сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Центры этих треугольников являются вершинами еще одного равностороннего треугольника.

Доказательство. Обозначим длины сторон треугольника следующим образом:

   

Центры построенных равносторонних треугольников обозначим через и (см. рис.).

Найдем из треугольника . Имеем

   

(здесь пользуемся тем, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, кроме того, в равностороннем треугольнике медиана является и высотой)

и

   

Кроме того,

   

   

По теореме косинусов для

   

Из формулы для площади треугольника

   

Находим :

   

   

Поскольку выражение для симметрично относительно и (а можно еще два раза проделать выкладки), получаем

   

то все стороны треугольника равны, что и требовалось доказать.

Нужно отметить, что теорема Наполеона остается справедливой, если строить равносторонние треугольники не вовне, а вовнутрь (см. рис.). Доказывается она аналогично. Для стороны треугольника получается выражение

   

Источники: http://en.wikipedia.org/wiki/Napoleon’s_theorem

http://botanikliferu.504.com1.ru:8025/WWW/cie/vestnik/pdf/2006/n6p3/Lakoba-n6p3.pdf

hijos.ru

Теорема Наполеона — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies’ Diary.[1]

Доказательства

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.

Центр Наполеона

См. также Точки Наполеона.

Рисунок к параграфу расположен по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Пусть дан треугольник ABC и пусть D, E, F — точки на рисунке, для которых треугольники DBC, CAE, ABF равносторонние. Далее пусть: G — центр треугольника DBC, H — центр треугольника CAE, I — центр треугольника ABF. Тогда отрезки AG, BH, CI

пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой N. Это и есть так называемая первая точка Наполеона (the first Napoleon point). Трилинейные координаты для точки N есть: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Если равносторонние треугольники DBC, CAE, ABF строятся не наружу а внутрь данного треугольника ABC, тогда три линии AG, BH, CI пересекаются во второй точке Наполеона (the second Napoleon point). Её трилинейные координаты есть: csc(A — π/6): csc(B — π/6): csc(C — π/6).

Замечание

Первая и вторая точки Наполеона в Энциклопедии точек треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/) известны как точки X(17) и X(18).

Ссылки

NAPOLEON POINTS. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/napoleon.html Dao Thanh Oai. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectors in Complex Numbers, Forum Geometricorum 15 (2015) 105-114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html Dao Thanh Oai. A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration, The Mathematical Gazette 99 (March 2015) 151-153. http://journals.cambridge.org/action/displayIssue?jid=MAG&volumeId=99&seriesId=0&issueId=544 John Rigby. «Napoleon revisited,» Journal of Geometry 33 (1988) 129-146. Encyclopedia of Triangle Centers. X(17) and X(18). http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Связь с другими утверждениями

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.

См. также

Ссылки

wikipedia.bio

Теорема Наполеона — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies’ Diary.[1]

Доказательства

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.

Центр Наполеона

См. также Точки Наполеона.

Рисунок к параграфу расположен по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Пусть дан треугольник ABC и пусть D, E, F — точки на рисунке, для которых треугольники DBC, CAE, ABF равносторонние. Далее пусть: G — центр треугольника DBC, H — центр треугольника CAE, I — центр треугольника ABF. Тогда отрезки AG, BH, CI пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой N. Это и есть так называемая первая точка Наполеона (the first Napoleon point). Трилинейные координаты для точки N есть: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Если равносторонние треугольники DBC, CAE, ABF строятся не наружу а внутрь данного треугольника ABC, тогда три линии

AG, BH, CI пересекаются во второй точке Наполеона (the second Napoleon point). Её трилинейные координаты есть: csc(A — π/6): csc(B — π/6): csc(C — π/6).

Замечание

Первая и вторая точки Наполеона в Энциклопедии точек треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/) известны как точки X(17) и X(18).

Ссылки

NAPOLEON POINTS. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/napoleon.html Dao Thanh Oai. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectors in Complex Numbers, Forum Geometricorum 15 (2015) 105-114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html Dao Thanh Oai. A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration, The Mathematical Gazette 99 (March 2015) 151-153. http://journals.cambridge.org/action/displayIssue?jid=MAG&volumeId=99&seriesId=0&issueId=544 John Rigby. «Napoleon revisited,» Journal of Geometry 33 (1988) 129-146. Encyclopedia of Triangle Centers. X(17) and X(18). http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Связь с другими утверждениями

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.

См. также

Ссылки

wikipedia.green

Теорема Наполеона: imit_omsu — LiveJournal

Как уже мы не раз читали в лекциях Александра Савельевича, математика давным-давно была не профессией, а скорее хобби. Математикой увлекались философы, юристы, инженеры… и даже императоры!

Император Наполеон Бонапарт увлекался математикой. Сказать точнее — планиметрией. Решал задачи и даже доказывал теоремы. Одна из теорем так и вошла в историю с его именем.

Теорема Наполеона

На сторонах треугольника построим три правильных треугольника во внешнюю сторону. Центры этих правильных треугольников тоже образуют правильный треугольник.

Доказательство теоремы Наполеона
На рисунке красный треугольник исходный, синие — правильные, построенные на его сторонах во внешнюю сторону. Про незакрашенный треугольник в центре надо доказывать, что он правильный.

Для того, чтобы доказать, что этот треугольник правильный, достаточно доказать, что все его углы по 60 градусов. И даже более того, поскольку все углы совершенно равноправны (нам не дана никакая информация по поводу длин сторон и т.д.) — достаточно доказать, что один угол 60 градусов, а то, что остальные углы по 60 градусов докажется абсолютно симметрично.

Повернем всю картинку на 120 градусов относительно центра одного из синих треугольников. (На моей картинке я поворачиваю относительно центра меньшего из синих треугольников). При этом этот синий треугольник перейдет сам в себя, очевидно. Сделаем так 2 раза, получим:

Какая подозрительная форма дырки между синими треугольниками! И впрямь, угол между ними в точности равен углу исходного красного треугольника. Если всю картинку теперь повернуть относительно друго центра, получим:

И вобще, нашей исходной картинкой запросто можно замостить всю плоскость )) Но нам для доказательства теоремы это не требуется.
Мы лучше заметим, что зеленые треугольники равны, потому что получены друг из друга поворотом на 120 градусов.

А что треугольник между зелеными? Так ведь он же равен зеленому по трем сторонам! На картинке отметила равные углы, про которые мы доказали, что они равные.

Что теперь получается в самом первом центре вращения? А получается, что там сходится 6 одинаковых углов. А значит, эти углы по 60 градусов.

И мы доказали теорему Наполеона.

Теорема Наполеона не очень сложная. В сети можно встретить много других доказательств. Все они начинаются словами: «классическое доказательство использует идею поворота, но мы сделаем по-другому…» А дальше следует действительно другое (возможно, не менее интересное) доказательство.
Хотелось поделиться с читателями блога замечательной теоремой и именно одним из классических вариантов ее доказательства.

Я часто говорю на лекциях студентам, что математики когда-нибудь захватят мир. Ведь Наполеон был всего один и это ему почти удалось!

Специально для жж матфака kukina_kat.

imit-omsu.livejournal.com

Теорема Наполеона — Википедия. Что такое Теорема Наполеона

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies’ Diary.[1]

Доказательства

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.

Центр Наполеона

См. также Точки Наполеона.

Рисунок к параграфу расположен по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Пусть дан треугольник ABC и пусть D, E, F — точки на рисунке, для которых треугольники

DBC, CAE, ABF равносторонние. Далее пусть: G — центр треугольника DBC, H — центр треугольника CAE, I — центр треугольника ABF. Тогда отрезки AG, BH, CI пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой N. Это и есть так называемая первая точка Наполеона (the first Napoleon point). Трилинейные координаты для точки N есть: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Если равносторонние треугольники DBC, CAE, ABF строятся не наружу а внутрь данного треугольника ABC, тогда три линии AG, BH, CI пересекаются во второй точке Наполеона (the second Napoleon point). Её трилинейные координаты есть: csc(A — π/6): csc(B — π/6): csc(C — π/6).

Замечание

Первая и вторая точки Наполеона в Энциклопедии точек треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/) известны как точки X(17) и X(18).

Ссылки

NAPOLEON POINTS. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/napoleon.html Dao Thanh Oai. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectors in Complex Numbers, Forum Geometricorum 15 (2015) 105-114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html Dao Thanh Oai. A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration, The Mathematical Gazette 99 (March 2015) 151-153. http://journals.cambridge.org/action/displayIssue?jid=MAG&volumeId=99&seriesId=0&issueId=544 John Rigby. «Napoleon revisited,» Journal of Geometry 33 (1988) 129-146. Encyclopedia of Triangle Centers. X(17) and X(18). http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Связь с другими утверждениями

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.

См. также

Ссылки

wiki.sc

Теорема Наполеона Википедия

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies’ Diary.[1]

Доказательства[ | ]

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.

Центр Наполеона[ | ]

См. также Точки Наполеона.

Рисунок к параграфу расположен по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Пусть дан треугольник ABC и пусть D, E, F — точки на рисунке, для которых треугольники DBC, CAE, ABF равносторонние. Далее пусть: G — центр треугольника DBC, H — центр треугольника CAE, I — центр треугольника ABF. Тогда отрезки AG, BH, CI пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой N. Это и есть так называемая первая точка Наполеона (the first Napoleon point). Трилинейные координаты для точки N есть: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Если равносторонние треугольники DBC, CAE, ABF строятся не наружу а внутрь данного треугольника ABC, тогда три линии AG, BH, CI пересекаются во второй точке Наполеона (the second Napoleon point). Её трилинейные координаты есть: csc(A — π/6): csc(B — π/6): csc(C — π/6).

Замечание[ | ]

Первая и вторая точки Наполеона в Энциклопедии точек треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/) известны как точки X(17) и X(18).

Ссылки[ | ]

NAPOLEON POINTS. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/napoleon.html Dao Thanh Oai. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectors in Complex Numbers, Forum Geometricorum 15 (2015) 105-114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html Dao Thanh Oai. A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration, The Mathematical Gazette 99 (March 2015) 151-153. http://journals.cambridge.org/action/displayIssue?jid=MAG&volumeId=99&seriesId=0&issueId=544 John Rigby. «Napoleon revisited,» Journal of Geometry 33 (1988) 129-146. Encyclopedia of Triangle Centers. X(17) and X(18). http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Связь с другими утверждениями[ | ]

ru-wiki.ru

Треугольники Наполеона | Современные педагогические технологии

Мне часто приходится слышать на уроках математики от своих одноклассников, что знания, которые мы получаем на этих уроках, не пригодятся в дальнейшей жизни. Но когда мои одноклассники и мои ровесники из других школ говорят, что хотят связать свою жизнь с компьютером,  возникает вопрос, а  пригодится ли математика в мире компьютеров? Я постараюсь в своей работе ответить на это вопрос. Ответ на этот вопрос определяет актуальность выбранной мною темы. Изучая малоизвестные факты из геометрии, я однажды встретила теорему с очень необычным названием «Треугольник Наполеона».  Выбранная мною тема исследования не включена в школьную программу, поэтому мало изучена. Мало литературы, посвященной ей. Основная опора была сделана на книгу Г.Кокстера и С. Грейтцера «Новые встречи с геометрией». Данная работа весьма актуальна, так как она расширяет и углубляет знания о произвольном треугольнике, полученные учениками на уроках математики. Так же представленная здесь исследовательская  работа способствует тому, что, познакомившись с ней на   научно — практической конференции, учащиеся школы могут применять полученные знания при решении задач. Кроме того, результаты работы могут использоваться на уроках геометрии,  и информатики.

Цель работы:  исследовать треугольник Наполеона, выяснить какие знания из курса  геометрии требуются для  решения задач на построение геометрических фигур на плоскости и на компьютере.  

Методы исследования: описательный метод; поисковый метод с использованием научной и учебной литературы; исследовательский метод при выборе алгоритма решения задачи, и построении математической модели на компьютере.

Используя источники Интернет,  хотела выяснить, что означает геометрическая фигура – треугольник, помимо того определения, которое изучали на уроке геометрии. Изучая информацию о  треугольниках, я встретила теорему с   необычным названием «Треугольник Наполеона».  У меня возникло много вопросов:

Что представляет собой «Треугольник Наполеона»?;

Как сделать построения с помощью циркуля и линейки?;

Можно ли сделать геометрические построения  на компьютере?;

Гипотеза: если разобраться с теоретическим материалом «Треугольник Наполеона», то полученные знания можно применить на уроках математики при решении задач, а также повышать интерес математики у учеников школы.

Объект исследования: треугольник, как геометрическая фигура; геометрические построения  треугольников на компьютере.

Предмет исследования: построение треугольников с помощью циркуля и линейки; доказательство теорем; построение треугольников с использованием компьютерной среды «Живая математика». При выполнении работы, я решила следующие задачи:

• изучила имеющуюся литературу по данной теме;

• рассмотрела любимую головоломку Наполеона;

• изучила определение треугольника Наполеона;

• доказала  теоремы  о пересечении трех окружностей, о внутреннем треугольнике Наполеона, а также рассмотрела следствия из теорем и задачу на применение этой теории;

• построила треугольники Наполеона с помощью циркуля и линейки;

• использовала компьютерную среду «Живая математика» при построении треугольников.

 

                                                                                                    Математика

                                                                                                     учит преодолевать трудности

                                                                                                    и  исправлять собственные ошибки.

                                                                                                                                              Декарт.

Треугольник – первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах.  В Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность и душу. В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, символизирует огонь и отвечает идее вознесения, духовности, красному цвету. Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету. Перевернутый треугольник означает чашу, готовность принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зелёный цвет. Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету. Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла, треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу-Отца, Сына и Святого Духа. Высокий треугольник (с углом 36^о на вершине и двумя углами в 72^о  у основания) образует один из лучей пятиугольника; при увеличении этого угла в 10 раз получается окружность в 360^о. Десять прилегающих друг к другу треугольников образуют десятиугольник. Светящаяся Дельта  —  это равнобедренный треугольник  (с углом 108^о на вершине и двумя углами по 36^о у основания),  в середине которого расположены Божественный Глаз (видимое Солнце, дающее Свет и Жизнь, Логос, Творческое начало) или священная Тетраграмма IEVE , имя  Бога, которое иудейский первосвященник произносил лишь один-единственный раз в году. Его три стороны являют собой выражение формулы: правильно думать, правильно говорить, правильно делать, или лозунг: Свобода, Равенство, Братство. Оказывается, существует еще   «Треугольник Наполеона». Известно, что  Наполеон  Бонапарт  был  немного  математиком, причем он  интересовался  в основном геометрией.  Рассказывают, что  однажды Наполеон, тогда еще не  ставший  правителем  Франции, вел дискуссию с великими математиками Лагранжем  и Лапласом, во время  которой  Лаплас  его резко прервал: «Менее  всего мы хотим  от вас, генерал, урока геометрии». В  дальнейшем  Лаплас стал  его  главным  военным инженером. Это  определение  приписали  Наполеону, хотя являются   сомнительными  его  знания  геометрии для такого  подвига, равно как и его  знания  английского языка для  составления  знаменитого  палиндрома. «ABLE  WAS  I  ARE  J  SAW  ELBA».   (» Я был силен, пока  не увидел  Эльбу»). Малоизвестным фактом для многих учеников является то, что французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики и внес определенный вклад в ее развитие. Французский император  находил время заниматься математикой  для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому – несколько, составленных им геометрических задач. Некоторые задачи Наполеона отличаются простотой постановки и допускают изящные решения. Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам свою любимую головоломку: «какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей (семь треугольников и двух четырехугольников)»? Это игра-головоломка, направленная на воссоздание из геометрических фигур образных изображений. Наборы фигур представляют собой части разрезанной фигуры. Суть игры заключается в том, чтобы на плоскости из девяти частей создавать самые разнообразные фигуры, более сложные. Головоломка используются для улучшения зрительной памяти. Но прежде чем браться за решение головоломки, нужно обратитьвнимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18°, 36°, 90°, 108°, 126°, 144°. Они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка? Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат — и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию… Да и есть ли решение вообще?  Рассмотрим определение:

Если  на  сторонах  произвольного  треугольника  во  внешнюю  сторону  построены  равносторонние  треугольники, то их центры  образуют  равносторонний  треугольник.

Во  всяком  случае, удобно  называть   треугольник  из  центров  О₁О₂О₃  (в  случае, когда  треугольники PCB ,CQA  и  BAR — равносторонние) внешним  треугольникам  Наполеона  для ∆ABC.   По аналогии, если  равносторонние  треугольники  построены  внутрь на  сторонах    ∆ABC, как  на  рис. № 4 , то  их  центры  являются  вершинами  внутреннего  треугольника  Наполеона  N₁N₂ N₃.  Таким  образом,  определение  может быть  кратко  сформулировано  следующим  образом:

Внешний треугольник  Наполеона  является  равносторонним.

Теорема №1

Пусть  на сторонах произвольного треугольника построены во внешнюю сторону некоторые треугольники, обладающие тем свойством, что сумма их» отдаленных» углов равна 180^о. Тогда окружности, описанные вокруг этих трех треугольников, имеют общую точку.

 

Доказательство:

Треугольники: CBP, ACQ, BAR, построены  на сторонах данного  ∆ABC

Углы  P, Q ,R удовлетворяют соотношению  ∠P + ∠Q +∠ R=180^о

Окружности, описанные вокруг ∆CBP  и ∆ACQ ,  пересекаются в точке C, а другая точка пересечения F.

Соединяя точку F с точками A,B,C, мы видим, что

∠BFC=180^о-∠P

∠CFA=180⁰-∠Q

∠AFB=360^о-(∠BFC+∠CFA)=360⁰-(180^о-∠P+180^о-∠Q)=∠P+∠Q=180^о-∠R =>

точка F лежит не только на окружностях, описанных вокруг ∆CBP и ∆ACQ ,но и на  окружности описанной вокруг ∆BAR.

Особый случай представляют.

Следствие №1

Если вершины  A,B,C, ∆ABC  лежат  соответственно  на сторонах  QR, RP, PQ  треугольника  ∆PQR, то три окружности  CBP,ACQ , BAR  имеют общую точку.

 

Доказательство:

Меняя  обозначения PQRABC  на  ABCA₁B₁C₁, если  ABC — треугольник  и  A₁B₁C₁ — любые три  точки  на прямых BC; CA; AB₁ то три окружности AB₁C₁;  A₁BC₁;  A₁B₁C  имеют  общую  точку P.

Отрезки AP; BP; CP  является их  диаметрами ,  ∆A₁B₁C₁  является педальным  треугольником, ∆ABC  относительно точки  P.

Закрепив  ∆ABC и точку P,мы можем  вращать три прямые  PA₁, PB₁, и PC₁ как единое целое  вокруг  »центра  вращения»  P  на любой угол;  при   этом  получается  » косой  педальный  треугольник»  A₁B₁C₁ .Ясно, что  окружности  AB₁C₁; A₁BC₁; A₁B₁C   продолжают  проходить  через  точку P.

  Следствие №2 .

Если  подобные  треугольники  PCB,CQA ,BAR  построены  извне на  сторонах ∆ABC, то окружности, описанные  вокруг  этих  трех  треугольников, имеют  общую точку.

Из  рис. 1 видно, что стороны  O₂O₃, O₃O₁, O₁O₂   ∆О₁О₂О₃  перпендикулярны  общим  хордам  пар  окружностей  его  ∠О₁  должен быть  дополнительным  к ∠BFC,  а  это  означает, что   ∠О₁=∠P.

 Аналогично, ∠O₁=∠Q и  ∠O₃=∠R. Они являются  тремя  различными  углами  наших  трех  подобных  треугольников.

Следовательно, справедливо:

 Если на сторонах  произвольного ∆ABC  во внешнюю  сторону построены подобные треугольники PCB, CQA, BAR, то центры  описанных  вокруг них  окружностей  образуют  треугольник, подобный   этим трем  треугольникам. (см.рис. №3)

 

Теорема № 2.

 Внутренний  треугольник  Наполеона  является  равносторонним.

Другой подход, который  тоже дает  интересный  промежуточный  результат состоит в  применении  теоремы  косинусов к ∆AO₃O₂  (рис. №3), т.к.  AO₂— радиус  окружности, описанной  вокруг  равностороннего треугольника со стороной ICAI=b , то  его длина равна b/√3. Аналогично, AO₃= с/√3. Кроме того,

 O₃AO₂=∠A+60° => IO₂O₃I²=1/3*b²+1*c²-2/3b*c*cos(∠A+60°), т.к. вершины  N₂ и  N₃ внутреннего  треугольника  Наполеона  могут  быть  получены  из  точек  О₂  и  О₃  симметрией  относительно  прямых  CA и AB  соответственно , а  N₃AN₂=∠A-60^o ,  то мы  также  имеем

IN₂N₃I²=1/3*b²+1*c²-2/3b*c*cos(∠A-60°)

Путем  вычитания  получаем:

IO₂O₃I²-IN₂N₃I²=2/3*b*c*[cos(∠A-60°)-cos(∠A+60°)]=4*/3b*c*sinA*cos60°=2/√3*b*c*sinA/√3=4S_ABC

Аналогическим образом,

IO₁O₂I²-IN₁N₂I²=IO₃O₁I²-IN₃N₁I²=4/√3S_ABC и т.к. IO₂O₃I=IO₃O₁I=IO₁O₂I , то выводим,что IN₂N₃I=IN₃N₁I=IN₁N₂I

Вспоминая, что площадь равностороннего треугольника равна √3/4,умноженному на квадрат длины его стороны, то сформулируем «интересный промежуточный результат».

«Разность площадей внешнего и внутреннего треугольника Наполеона произвольного ∆ABC равна площади ∆ABC».

В действительности внутренний треугольник Наполеона и ∆ABC имеют противоположные направления обхода, так что площадь треугольника N₁N₂N₃ является отрицательным числом и точной будет не S_O1O2O3-S_N1N2N3=S_ABC , a

S_O1O2O3-S_N1N2N3=S_ABC  или  S_O1O2O3+S_N1N2N3=S_ABC

 

Задача:

1. Прямые PO₁ , QO₂ , RO₃  все проходят через точку O — центр окружности описанной вокруг треугольника.

2. Отрезки AP₁ , BQ₁ , CR₁ имеют равные длины, проходят через общую точку F трёх описанных окружностей и пересекают друг друга под углом 60^о .

Решение:

1. PO₁ , QO₂ , RO₃ — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC

2. △PCA≈△BCQ =>

IPAI=IBQI;

IBQI=ICRI, а также ∠PFC=∠PBC=60^o

∠CFQ=60^o,∠OFA=60^o

Складывая  ∠PFC+∠CFQ+∠OFA=60^o+60^o+60^o=180^o=∠PFA => что точка А лежит на прямой АР.

Подобным же образом можно показать, на прямой ВQ , на прямой CR и эти три прямые образуют шесть углов по 60^о в точке F.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа была посвящена построению треугольников с помощью циркуля и линейки, а также практическое применение по построению треугольников с использованием компьютерной среды «Живая математика». Исследовательская  работа позволила  познакомиться с достижениями Наполеона Бонапарта в области математики. Я изучила теоремы Наполеона и ее доказательства, рассмотрела геометрическую задачу и головоломку Наполеона. Данные знания позволили  мне расширить мои возможности при решении различных геометрических задач, пополнили  багаж  знаний малоизвестными фактами. В работе представлен оригинальный нетрадиционный подход к доказательству теоремы Наполеона, что, безусловно, вызывает интерес. На мой взгляд, мне удалось  проявить при этом смекалку и эрудицию. Работа носит исследовательский характер, открывает возможности решения известных задач новыми нешкольными методами. Гипотеза, выдвинутая перед началом работы, подтверждена. Поставленная цель достигнута, задачи решены.

pedtehno.ru