«Способы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Дивовская средняя общеобразовательная школа»

Мглинского района Брянской области

Рассмотрено на заседании МО

протокол № __ от «____»______2019г.

Руководитель МО

___________ / Афанасенко Т.П./

«Согласовано»

Зам. директора по УВР МБОУ «Дивовская СОШ»

________/Белоножко Т.Н/

«____» _______2019 год

«Утверждаю»

Директор МБОУ

«Дивовская СОШ»

__________ / Пузанов Е.Б/

«____» ________2019 год

Рабочая программа

элективного курса по математике

для учащихся 11 класса «Способы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Разработал: учитель математики

Афанасенко Татьяна Павловна

2019-2020 учебный

Пояснительная записка

Элективный курс «Способы решения уравнений и неравенств с параметрами» предназначен для тех учащихся, которые хотят научиться способам решения задач повышенного уровня сложности по алгебре и началам анализа. Данный элективный курс поможет учащимся обогатить свой опыт новыми приемами в классификации различных задач курса математики, в том числе и задач повышенного уровня сложности; научит рационализации поиска их решения, подбору наиболее удачных способов в их решения, выстраиванию алгоритмов. Курс поможет учителю показать красоту и совершенство, сложность и изощренность математических методов в решении задач. В курсе учителем и учащимися решается большое количество сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к олимпиадам, математическим конкурсам, различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Курс несомненно имеет прикладное и практическое значение и поможет при решении прикладных и исследовательских задач.

Цели курса для учащихся состоят в том, чтобы:

1. Освоить рациональные способы организации своей деятельности для наиболее эффективного решения задач повышенного уровня сложности.

2. Способствовать приобщению к творческой и исследовательской деятельности по математике.

Задачи курса раскрывают диапазон способов достижения двух основных целей, для того, чтобы:

Предоставить учащимся возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету и индивидуальные возможности его освоения.

1. Способствовать усвоению фактических знаний и умений, установленных программой курса.

2. Показать практическую значимость задач данного типа в сфере прикладного исследования.

3. Научить способам решения стандартных и нестандартных задач по математике.

4. Организовать исследовательскую и проектную деятельность учащихся, способствующую развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств.

Оптимальная продолжительность курса – 35 часов, с недельной нагрузкой 1 час. В силу того, что программа предполагает выполнение учащимися домашних заданий значительного объема, потребуются дополнительные часы для проведения групповых и индивидуальных консультаций. Программа элективного курса имеет модульный характер, то есть порядок прохождения отдельных тем и разделов курса может быть изменен.

Содержание программы курса включает в себя три части – теоретическую, практическую и проектную.

В теоретическом разделе курса рассматриваются уравнения и неравенства с параметрами и способы их решения: «изменение степени», «изменение области допустимых значений»; «изменение свойств функции»; «переход к следствию»; графический способ. Учащиеся получают сведения о классификации задач в математике и рациональных путях поиска их решения.

Практическая часть программы включает в себя задачи различного уровня сложности для закрепления и контроля усвоенного материала. Эти задачи предназначены для индивидуальной, парной, групповой и коллективной форм работы. Большое внимание в курсе уделяется формированию учащихся умения конструировать задания. Несмотря на достаточно сложный материал курса, в его практической части предусматривается использование игровой технологии. На некоторых занятиях учащиеся выступают в роли учителя при изучении нового материала или консультанта при проверке правильности выполнения заданий.

При выполнении проектных заданий учащиеся должны показать свои умения в составлении и представлении сообщений, рефератов, самостоятельно составленных заданий.

Динамика усвоения обучающимися теоретического материала и практических навыков будет отслеживаться по ходу прохождения обучающимися курса. Возможна как рейтинговая, так и пятибалльная оценка результатов обучения.

Отчетность по выполнению заданий предусматривает такие виды работ, как: а) проверку и оценивание домашних заданий, что может проходить в форме самопроверки, взаимопроверки, проверки консультантами, проверки учителем; б) проверку и оценивание заданий в ходе промежуточного и итогового контроля. Возможны также нестандартные формы контроля усвоения учебного материала.

Контрольные работы предлагается проводить в форме, которая снимет стрессовое состояние у учащихся. Учащимся предлагается «банк» задач, имеющих в зависимости от степени сложности разную «цену», и ученик может выбрать любые задачи на свое усмотрение. В результате решения каждый набирает определенное количество баллов, которое затем переводится в общую оценку. Оценка за рефераты или сообщения может выставляться как учителем, так и самими учащимися.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся станут более компетентными при решении некоторых прикладных и исследовательских задач. Они научатся анализировать, классифицировать и выстраивать алгоритм своих действий, аргументировать полученные результаты и отстаивать свою точку зрения, работать в команде.

Тематический план элективного курса

«Способы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Название тем

Всего часов

Теоретические

Практические

Прорект

1

Понятие об уравнениях и неравенствах с параметрами

4

1

3

2

Изменение степени уравнения или неравенства

4

1

3

3

Изменение области допустимых значений уравнений и неравенств с параметрами

4

1

3

4

Изменение свойств функций, входящих в уравнение или неравенство

4

1

3

5

Решение уравнений и неравенств способом «перехода к следствию»

4

1

3

6

Графический способ решения уравнений и неравенств с параметрами

4

1

3

7

Способы решения задач с условием

6

2

4

8

Решение задач на сочетание различных способов

4

2

2

Всего:

35

14

18

3

Содержание занятий по программе элективного курса

Тема 1. Понятие об уравнениях и неравенствах с параметрами

(4часа)

Назначение, структура и краткое содержание учебного курса. Понятие о простейших задачах с параметрами. Возможности практического применения (задачи прикладного содержания, исследовательские задачи и т. д.). Понятие о классификации задач в математике, рассмотрение общих схем и закономерностей в поиске решения.

Практическое упражнение по определению типа задачи и выстраиванию схемы поиска ее решения, составление алгоритма решения.

Домашнее задание (индивидуальное): подобрать задачу определенного типа, выстроить схему поиска решения и алгоритм решения. Составить 23 примера простейших задач с параметрами для парной работы на следующем занятии (представить решение).

Тема 2. Изменение степени уравнения или неравенства

( 4 часа)

Лекционное изложение теоретического материала с рассмотрением примеров уравнений и неравенств, в которых с изменением параметра меняется степень.

Выполнение работы в паре по приготовленным дома примерам (взаимопроверка). Представление задач из домашнего задания. Групповая самостоятельная работа с примерами по теме. Игра «Умники и умницы».

Домашнее задание (индивидуальное): решить примеры изученного типа.

Тема 3.(4ч) Изменение области допустимых значений

Изложение учителем теоретического материала с рассмотрением примеров уравнений и неравенства с изменяющейся областью допустимых значений, решаемых в режиме усложнения (в диалоге с учениками).

Самопроверка или взаимопроверка домашнего задания (с использованием «ключа» ответов). Выполнение работы в паре по приготовленным дома примерам (взаимопроверка). Групповая самостоятельная работа по решению примеров по теме. Решение заданий из «банка задач».

Домашнее задание (индивидуальное): решение примеров изученного типа.

Тема 4. (4ч) Изменение свойств функций, входящих в уравнение или неравенство.

Изложение учителем теоретического материала в диалоге с учащимся. Рассмотрение примеров уравнений и неравенств в которых с изменением параметра меняются существенные свойства функций, входящих в них.

Парная работа с примерами. Коллективное решение примеров. Игра «Умники и умницы». Решение задач из «банка задач». Контрольная работа по изученным темам 14.

Домашние задание (индивидуальное): решить примеры по изученным темам.

Домашнее задание (групповое): подготовить сообщения на темы (не более 34 минут): «Как активизировать свою мыслительную деятельность», «Как снять стресс», «Умение расслабляться», «Как избежать перегрузок».

Тема 5. (4ч) Решение уравнений и неравенств способом «перехода к следствию»

Изложение нового материала группой учащихся (ученики в роли учителя). Рассмотрение примеров на способ «перехода к следствию».

Проверка индивидуальных домашних заданий. Закрепление изученного материала в ходе парной и групповой работы с примерами. Составление примеров по теме.

Домашние задание (индивидуальное): решить примеры по изученной теме; составить примеры (с решением).

Тема 6. (4ч) Решение уравнений и неравенств способом «изменения свойств функции»

Изложение нового материала учителем в диалоге с учащимися. Решение ранее рассматриваемых примеров графическим способом. Рассмотрение уравнений и неравенств, содержащих различные функции.

Групповая работа по решению составленных дома примеров. Самопроверка или взаимопроверка. Работа в парах с примерами по изученной теме.

Домашние задание (индивидуальное): решить примеры по изученной теме; составить примеры по изученной теме (с решением).

Тема 7 (6ч) Способы решения задач с условиями.

Изложение части нового материала группой учащихся (ученики в роли учителя). Классификация задач по типу имеющихся в них условий. Выполнимость на некотором множестве. Свойства корней квадратного трехчлена. Уравнения и неравенства со сложными функциями.

Индивидуальная, парная или групповая работа с примерами по теме.

Домашнее задание (индивидуальное): решить примеры по изученной теме; составить примеры по изученной теме; составить примеры (с решением).

Тема 8.(4ч) Решение задач различных типов.

Выступление с рефератами по заинтересовавшим вопросам темы, практическому применению задач с параметрами, проблемам организации эффективной деятельности при решении различных типов математических задач .

Коллективное решение примеров на применение различных способов. Решение нестандартных задач. Контрольная работа по темам 4-7.

Защита проектных заданий по конструированию примеров. Подведение итогов курса.

Список литературы

Основная литература:

1. Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А. и др . Единый государственный экзамен. Математика: Контроль.измерит. Матер. М.: Просвещение, 2013. 191 с.

2. Назаров М., Барвенов С., Федосенко. Методы решения задач с параметрами. М.: Аверсэв, 2013. 272 с.

3. Натяганов В.М., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами. М.: МГУ, 2003. 367 с.

4. Потапов М.К. и др. Математика. Методы решения задач: Для поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1995. 336 с.

5. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн. 1. М.: Издательский дом «Оникс 21 век», 2012. 616 с.

Дополнительная литература:

1. Замыслова А.И. Репетитор по математике. РостовнаДону: Феникс, 2004. 416 с.

2. Корешкова Т.А., Глазков Ю.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. Математика: Типовые тестовые задания. М.: Экзамен, 2005. 80 с.

3. Лаппо Л.Д., Морозов А.В., Попов М.А. ЕЭГ. Репетитор. Математика. Эффективная методика. М.: Издательство «Экзамен», 2005. 384 с.

4. Липоватый Б.Н., Тырымов А.А., Шушков В.И., Кормилицын С.И. Математика: Учеб. пособие для поступающих в ВолгТУ. Волгоград: ВолгТУ , 2015. 70с.

Элективный курс на тему «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ»

1. 1. Пояснительная записка.

Представленный элективный курс имеет предметно-ориентированный характер и предполагает собой реализацию, как в общеобразовательных, так и в профильных 11 классах.

Актуальность данного курса очевидна, исходя из ежегодного использования задач с параметрами в материалах ЕГЭ. Хотя должного внимания данному виду задач в школьной математике до сих пор не уделяется. Тем более при решении задач с параметром, так или иначе, приходиться прибегнуть к решению путем рассуждения, что развивает логическое мышление, а это всегда актуально. Задачи с параметром обычно включают в себя сведенья из разных тем школьной математики, при решении этих задач используются знания, полученные на протяжении всего обучения. Тем самым можно считать, что задачи с параметром являются средством для развития математической логики, которая пригодиться при решении любых других задач, а умение рассуждать понадобиться при изучении высшей математике в Вузе.

Элективный курс рассчитан на преподавание в объеме 34 часов, то есть 1 час в неделю. Изучение элективного курса поможет учащимся выпускного класса не только разобраться в этапах решения одной из самых сложных задач ЕГЭ, но и разовьют навыки исследовательской деятельности, что, несомненно, пригодиться в дальнейшем обучении в Вузе.

Целью данного элективного курса является изучение методов и приемов решения уравнений и неравенств с параметром, а также приобретение исследовательских навыков.

Данный курс призван способствовать решению следующих задач:

• овладение системой знаний по решению задач с параметром;

• расширение представлений об уравнениях и неравенствах с параметрами;

• развитие математических способностей и математической культуры;

• развитие логического мышления;

• привлечение выпускников к выбору профессии, имеющей математический уклон.

Преобладающими формами обучения являются индивидуальная, фронтальная, реже групповая, а также используются элементы исследовательской деятельности. Используются такие методы обучения как объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, метод проектов. В качестве средств обучения используются печатные и наглядные пособия и электронные образовательные ресурсы. Для контроля знаний используются самостоятельные работы и презентация групповых учебных проектов.

1. 2. Содержание программы элективного курса.

Введение. Что такое параметр?(1ч)

Определение параметр. Понятие равносильности уравнений. Понятие уравнения с параметром, неравенств с параметром. Виды уравнений и неравенств с параметром. Решение простейших задач с параметром.

Линейные уравнения и неравенства с параметром. (5ч)

Линейные уравнения с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейно-кусочных уравнений. Решение уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Линейные неравенства с параметром. Решение линейных неравенств с параметром.

Квадратные уравнения и неравенства с параметром. (10ч)

Квадратные уравнения с параметром. Решение квадратные уравнения с параметром. Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Необходимые и достаточные условия для решения конкретных случаев квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Квадратные неравенства с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром. Метод интервалов при решении квадратных неравенств с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго типа. Нахождение заданного количества решений.

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром. (4ч)

Графическое решение уравнений и неравенств. Сечение семейством прямых . Сечение семейством прямых Сечение семейством прямых . Использование графического метода.

Различные виды уравнений и неравенств с параметром. (10ч)

Решение уравнений и неравенств с параметром, содержащих модуль. Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметром. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Метод решения относительно параметра.

Задачи с параметром в едином государственном экзамене. (3ч)

Нетрадиционные задачи с параметром. Задачи с параметром, входящие в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Олимпиадные задачи с параметром.

Заключение. Итоговое занятие (1ч)

Защита групповых учебных проектов.

Темы проектов:

1. 3. Учебно-тематическое планирование.

Линейные уравнения и неравенства с параметром.

2

Линейные уравнения с параметрами

1

3

Линейные уравнения с параметрами и сводимые к ним.

1

4

Линейные неравенства с параметрами

1

5

Линейные неравенства с параметрами и сводимые к ним

1

6

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

1

Квадратные уравнения и неравенства с параметром.

7

Квадратные уравнения с параметром

1

8

Использование теоремы Виета для решения уравнений с параметром

1

9

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

10

Квадратные уравнения с параметром первого вида

1

11

Квадратные уравнения с параметром второго вида

1

12

Квадратные неравенства с параметром

1

13

Метод интервалов при решении неравенств с параметром

1

14

Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго вида

1

15

Нахождение заданного количества решений уравнений и неравенств с параметром

1

16

Самостоятельная работа по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

1

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром.

17

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

18

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

19

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

20

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

1

Различные виды уравнений и неравенств с параметром.

21

Уравнения с параметром, содержащие модуль

1

22

Неравенства с параметром, содержащие модуль

1

23

Тригонометрические уравнения с параметром

1

24

Тригонометрические неравенства с параметром

1

25

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

1

26

Показательные и логарифмические неравенства с параметром

1

27

Иррациональные уравнения с параметром

1

28

Иррациональные неравенства с параметром

1

29

Метод решения относительно параметра

1

30

Самостоятельная работа по теме «Различные уравнения и неравенства с параметром»

1

Задачи с параметром в едином государственном экзамене.

31

Задачи ЕГЭ

1

32

Практикум по решению задач ЕГЭ

1

33

Решение задач ЕГЭ

1

Заключение.

34

Итоговый урок. Защита проектов

1

Задачи с параметром актуальны для изучения в школе, так как они помогают в формировании логического мышления. В ходе решения уравнений и неравенств с параметром фактически проводиться исследование, поэтому можно с уверенностью сказать, что такого рода работа развивает у учащихся навыки исследовательской деятельности. Поиска способа решения того или иного уравнения с параметром требует от учащегося обладания высоким уровнем математического мышления и посильно не каждому рядовому ученику общеобразовательной школы. Поэтому изучение задач с параметром, как и любых других трудных, нестандартных задач всегда будет вопросом актуальным для учащихся профильных школ, а также для выпускников, у которых приоритетным предметом является математика и возможность получить максимальный балл при его сдаче.

В первой главе рассмотрены основные понятия, входящие в цикл понятий о параметре, а также разобраны основные методы решения уравнений и неравенств с параметром.

Вторая глава посвящена решению различных задач с параметром, которые могут встречаться на ЕГЭ, а также в составе олимпиадных заданий. При решении этих представленных уравнений и неравенств с параметром используются различные методы: аналитический, графический, метод решения относительно параметра; применяются знания по решению уравнений и неравенств различного вида, а также дополнительные знания, такие как схема Горнера, равносильные преобразования, переход от уравнения к системе простых неравенств и т.д. Задачи с параметрами являются сложными потому, что не имеют единого алгоритма решения. Из представленных в работе примеров видно, что каждый вид уравнения с параметром требует индивидуальный подход к своему решению. Любые из данных примеров, которые представлены от простого к сложному, требуют тщательного обдумывания, большого внимания и навыков исследования. Каким бы методом не решалась задача, она требует анализа.

Третья глава представляет собой программу элективного курса «Уравнения и неравенства с параметром» рассчитанного на преподавание в объеме 34 часов в 11 классе. В данную программу входят:

• пояснительная записка, содержащая актуальность, цель и задачи курса, а также методы, формы и средства обучения;

• содержание программы, в которой представлена краткая аннотация каждого раздела;

• учебно-тематическое планирование.

Правильно подобранная система задач и практически отработанный навык решения – гарантия успешного изучения темы, а возможность соблюдения этих критериев дает элективный курс. Расширенное и более подробное изучение нетрадиционных задач таких, как задачи с параметром, с помощью элективного курса оправданно, так как данный курс развивает математическую логику и логику мышления, что поможет и в решении других задач.

Задачи, содержащие в своем условие параметр, относят к наиболее сложному виду задач представленных в ЕГЭ. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3% [10]. Представленные элективный курс «Уравнения и неравенства с параметром» и разобранные задачи, при использовании в старших классах, помогут не только решить данный вид задач на ЕГЭ, но и научат рассуждать и анализировать любое задание, а не просто бездумно следовать заученному алгоритму. Уверенное решение задач с параметром – это достаточный уровень математической подготовки для школьника, большой шаг к дальнейшему поступлению в Вуз, подспорье в подготовке к математической олимпиаде, конкурсам, ЕГЭ.

1. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 1. – М.: Дрофа, 2009 – 480 с.

2. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 2. – М.: Дрофа, 2009 – 444 с.

3. Высотский В. С., Задачи с параметром при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.

4. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

5. Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром — М.: МЦНМО, 2011.- 144 с.

6. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.

7. Мирошин В. В., Решение задач с параметрами. Теория и Практика. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 282 с.

8. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208 с.

9. Шабунин М. И., Прокофьев А. А., Олейник Т. А., Соколова Т. В. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие для 11 класса. – М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010. – 360 с.

10. http://открытыйурок.рф/статьи/631690/

11. Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – М.: МЦНМО, 2007. – 296 с.

12. Сергеев И. Н., Панферов В. С. ЕГЭ: Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Все задания части 2. – М. Издательство «Экзамен», 2018. – 334 с.

13. Ерина Т. М. ЕГЭ 2018. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Практическое руководство. – М.: УЧПЕДГИЗ, 2018. – 350 с.

14. Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения. – М.: ООО «Издательство Оникс»; ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. – 416 с.

§7 Уравнения и неравенства с параметрами

1.	Линейное уравнение с параметром	2 вид — интерпретация	лёгкое	4 Б.	Определить при каких значениях параметра корень линейного уравнения равен 0 или уравнение не имеет корней.
2.	Уравнение с модулем и параметром	2 вид — интерпретация	лёгкое	7 Б.	Решение уравнения с модулем и параметром.
3.	Показательное уравнение с параметром	2 вид — интерпретация	лёгкое	2 Б.	Нахождение параметра.
4.	Неравенство с модулем и параметром	2 вид — интерпретация	лёгкое	7 Б.	Решение неравентво с модулем и параметром.
5.	Линейное уравнение с параметром (бесконечного множества решений нет)	1 вид — рецептивный	лёгкое	5 Б.	Решается линейное уравнение с параметром, в ходе решения которого определяется значение параметра, при котором есть единственное решение или нет решений. Бесконечного множества решений нет.
6.	Квадратичная функция с параметром	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Нахождение параметра.
7.	Линейное неравенство с параметром	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Решение линейного неравенства с параметром.
8.	Квадратичное неравенство с параметром	2 вид — интерпретация	среднее	7 Б.	Решение квадратичного неравенства с параметром.
9.	Неравенство n-ой степени с параметром	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Неравенство с параметром. Четная степень.
10.	Система линейных уравнений с параметром, вычисление параметра, если система не имеет решения	2 вид — интерпретация	среднее	1 Б.	Вычисление параметра, при котором система линейных уравнений не имеет решения.
11.	Система линейных уравнений с параметром, вычисление параметра, бесконечное множество решений	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Вычисление параметра, при котором система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.
12.	Линейное уравнение с параметром (с разложением на множители)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Предлагается решить линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) или выражения при неизвестном в левой части, или выражения в правой части.
13.	Линейное уравнение с двумя параметрами	2 вид — интерпретация	среднее	8 Б.	Решение линейного уравнения с двумя параметрами.
14.	Расположение графика линейного уравнения в плоскости	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Анализируется расположение графика линейного уравнения в плоскости в зависимости от значения коэффициентов a, b и c.
15.	Определи значение параметра m	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	В ходе решения уравнения определяется значение параметра m, при котором решением уравнения является заданная пара чисел.
16.	Наименьшее целочисленное значение параметра	3 вид — анализ	сложное	1 Б.	Определяется наименьшее целочисленное значение параметра, при котором уравнение имеет два корня.
17.	Линейное уравнение с параметром (с разложением квадратного трёхчлена)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Предлагается решить линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) или выражения при неизвестном в левой части, или выражения в правой части. Получается разложение на множители квадратного трёхчлена.

Реферат по теме Исследование уравнений и неравенств с параметром

Оглавление

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые общеобразовательные учреждения используют экзаменационные билеты и в них есть уравнения, неравенства с параметрами, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Цель: более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

Задачи:

1. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

2. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

3. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

4. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

I. Уравнения с параметрами

Основные определения

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, , x)=(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …, , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, x = x₀,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …,  и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а  (-;-1](1;+), то ;

Если а  , то , ;

Если а  , то решений нет.

II. Неравенства с параметрами.

Основные определения

Неравенство

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …,  – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, при некоторой функции

(a, b, c, …, , x) и

(a, b, c, …, , x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

(a, b, c, …, , x) и

(a, b, c, …, , x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство

(a, b, c, …, , x₀)>(a, b, c, …, , x₀)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Заключение

Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Исследование уравнений и неравенств с параметрами» и в какой-то мере получили новые.

По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

Литература

1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 2016 г.

1. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 2015 г.

2. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 2016 г.

3. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 2016 г.

4. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 2015 г.

Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.

Уроки математики в 11 классе

(социально-экономический профиль)

Задачи с параметрами

по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Цель:

• Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.

• Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.

• Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.

• Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.

• Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

Пояснительная записка.

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Иррациональные уравнения и неравенства.

При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, , тогда:

1). , f ≥ 0; q ≥ 0.

2). , f ≥ 0; q > 0.

3). , q ≥ 0.

4). , , q ≠ 0.

5). , fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение вида, равносильно системе:

Пример 1.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

=> =>

Находим значения а, при которых

Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

=>

,

х₁, х₂ являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) ≥ ½

≥ а

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство справедливо при всех допустимых а.

б).

а ≥ ½ (а ≤ 9/16)

Следовательно, х₂ является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ:, если а < ½;, если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а

х₁ = 1, х₂ = а

Если а = 1, то х₁ = х₁ = 1.

Если а < 1, то х₁ = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х₁ = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а < 1; то х₁ = 1; х₂ = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

Пример 4.

При каких а уравнение имеет один корень?

Решение.

х₁ = 4, х₂ = а

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.

Ответ: а = 4 или а < 0.

Пример 5.

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

D =

а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)

, . А = 17 – минимальное целое число.

Ответ: 17.

Пример 6.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияпринадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Пусть

, t ≥ 0, х — 1 = t²

,

,

|t — 2| + |t — 3| = а

1) => => =>

2) => =>

3) => => =>

Ответ: .

Пример 7.

Решить уравнение.

Решение.

х ≥ 2

(х + 1)(х — 2) = а; х² – х – 2 = а, х² – х – 2 – а = 0.

, .

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х₂.

Ответ: при а ≥ 0 .

Пример 8.

Решить уравнение.

Решение.

. Так как , то m > 0. Пусть у = , тогда х = у² + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

т.е. <=> <=> ,

, , .

Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при .

Пример 9.

Решить уравнение.

Решение.

Пусть , тогда ,

, , а т.к. t > 0, то ,

, , . ( а > ¼)

х = .

Ответ: х = при а > ¼.

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.

Решение.

Если изобразить графики функций и , то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при .

1

у

х

-а а 1 -а 10=-а

3

Пример 11.

При каких значениях а решением неравенства является промежуток [2;18)?

Решение.

ОДЗ: 3 — а > 0, а < 3.

х – 2 < (3 — а)²,

х < (3 — а)² +2,

х < 11 – 6а +а², т.к. , то

а = -1.

а = 7 – не подходит в ОДЗ.

Ответ: а = -1.

Пример 12.

Решить неравенство , где а – параметр.

Решение.

При любом значении а, если правая часть х + а – 1 < 0, т.е. х < 1 – а, заданное неравенство справедливо.

При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :

=> (*)

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если а > 1, то 1 – а ≤ х < . Объединяя с множеством х < 1 – а, получим х < .

2. Если а = 1, то х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством х< а – 1 (а = 1), находим: х – любое число.

3. Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 – а. Присовокупив х < 1 – а, имеем: х – любое число.

Ответ: , если а > 1; , если а ≤ 1.

Пример 13.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

Из данного уравнения следует:

1 – х² = х² + 2ах + а²,

2х² + 2ах + а² — 1 = 0.

D/4 = 2 – а². D > 0 при |a| <.

Затем если изобразить графики функций и , то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.

у

х

-1

1

-1

у = а + х

Ответ: при нет решений; прии одно решение; при два решения.

Задание на дом:

1). Решить уравнение .

Ответ: .

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

, х > 0, а ≥ 0.

7х – а = ах²,

ах² – 7х + а = 0,

D = 49 – 4a² > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

Ответ: 0 и 3,5.

3). Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:

=>

При а = 2 второе уравнение имеет вид , т.е. .

При а ≠ 2 .

Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

.

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: .

5). При всех а решить неравенство .

Решение.

ОДЗ:

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

=> .

Ответ: при; при.

§7 Уравнения и неравенства с параметрами. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Линейное уравнение с параметром Сложность: лёгкое	4
2.	Уравнение с модулем и параметром Сложность: лёгкое	7
3.	Показательное уравнение с параметром Сложность: лёгкое	2
4.	Неравенство с модулем и параметром Сложность: лёгкое	7
5.	Линейное уравнение с параметром (бесконечного множества решений нет) Сложность: лёгкое	5
6.	Квадратичная функция с параметром Сложность: среднее	2
7.	Линейное неравенство с параметром Сложность: среднее	6
8.	Квадратичное неравенство с параметром Сложность: среднее	7
9.	Неравенство n-ой степени с параметром Сложность: среднее	3
10.	Система линейных уравнений с параметром, вычисление параметра, если система не имеет решения Сложность: среднее	1
11.	Система линейных уравнений с параметром, вычисление параметра, бесконечное множество решений Сложность: среднее	3
12.	Линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) Сложность: среднее	6
13.	Линейное уравнение с двумя параметрами Сложность: среднее	8
14.	Расположение графика линейного уравнения в плоскости Сложность: сложное	3
15.	Определи значение параметра m Сложность: сложное	3
16.	Наименьшее целочисленное значение параметра Сложность: сложное	1
17.	Линейное уравнение с параметром (с разложением квадратного трёхчлена) Сложность: среднее	6

Тема урока УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ

Тема: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Уравнение, корень уравнения, посторонний корень, равносильные уравнения, неравенство, решение неравенства, равносильные, неравенства, область допустимых значений переменной.

Если в уравнении (неравенств) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то эти коэффициенты называются параметрами, а уравнение (неравенство) – уравнением с параметрами (неравенством с параметрами).

При решении уравнения или неравенства с параметрами необходимо:

1. определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2. найти множество решений, соответствующее каждой допустимой системе значений параметров.

Основной принцип решения уравнений с параметрами можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении параметра на каждом из них получающиеся уравнения решались одним и тем же методом. Отдельно для каждого промежутка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые при этом приёмы такие же, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решим уравнение для каждого значения параметра а.

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Пусть , тогда данное уравнение имеет вид:. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное значение х.

2. Пусть , тогда данное уравнение является линейным уравнением и его единственным решение: .

Ответ:х – любое число при при

Пример 2. При каких значениях, а уравнение имеет один корень?

Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное уравнение относительно , устанавливаем, что оно равносильно совокупности уравнений и . Уравнение при имеет одно решение, а при не имеет решения.

Уравнение при любом значении, а имеет единственное решение.

Пример 3. Решим уравнение:

Решение. Замечаем, что значения 0 и не являются допустимыми значениями для х. Параметры а и bтоже неравны нулю. Освобождаем уравнение от знаменателей. Получаем:

Если , то уравнению (1) удовлетворяют все значения х, кроме х = 0. Исходное уравнение в этом случае принимает вид: .

Если то, разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение: . Корни его: ,

Ответ: любое действительное число, кроме х = 0 при; и при

Пример 4. Решим уравнение

Решение.Допустимые значения переменной х и параметра, а в данном уравнении определяются системой неравенств:

или .

Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки , то и решением уравнения может быть только положительное значение переменной, а это значит, что и Если а и х имеют разные знаки то и решением уравнения может быть только отрицательное значение переменной, но при этом также и . Таким образом, уравнение имеет отличные от нуля решения, если при а = 0.

Перепишем уравнение в виде и возведём обе его части в квадрат. После преобразований получим: , откуда:

1) при произвольных значениях а;

2) , или .

Последнее уравнение имеет решения, еслиВозведём обе части этого уравнения в квадрат и после упрощения получим: , откуда при находим:

Найденные значения будут корнями данного уравнения, если:

или

Отсюда получим:

или

Третье неравенство последней системы неравенств выполняется при любом значении а. Поэтому решением последней системы неравенств является общее решение неравенств и т.е.

Ответ:

Пример 5. Решим неравенство

Решение.Дискриминант уравнения будет .

Рассмотрим три случая:

1. При или получаем: . Следовательно, для каждого данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

2. При D = 0 или получается: и . Следовательно, здесь также для каждого и данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

3. Приили получится: и . Следовательно, на каждом из промежутков и данное неравенство имеет решение и его решение имеет вид: и где:

Ответ: х – любое действительное число при

при

Пример 6. Решим неравенство: .

Решение. 1) При правая часть неравенства отрицательна, тогда при любом значении х левая часть неравенства больше правой.

3. Приа = 0 исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме

х = — 3.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Решите уравнение

Ответ: принет решений, при ,

2. Решите уравнение

Ответ: при, , при, , нет решений

3. Решите уравнение

Ответ: при,, при , нет решений

4. Решите уравнение

Ответ: при,, при , нет решений

5. Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения

.

Ответ: значений, а нет

6. Найдите все значения а, при которых число х = — 3 является решением неравенства

Ответ:

7. Найдите все значения а, при которых число х = — 2 является корнем уравнения

Ответ:

8. Может ли при каком-нибудь значении, а уравнение имеет три корня?

Ответ: нет

9. Найдите все значения а, при которых число х = 2является корнем уравнения

Ответ:

10. Найдите все значения параметра а, такие, чтобы уравнение имело 2 различных корня.

Ответ: