Трапеция прямоугольная равнобедренная: Прямоугольная трапеция. Формулы, признаки и свойства прямоугольной трапеции — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 04.07.197023.07.2021 by alexxlab

Содержание

Все формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

d — боковая сторона

α — угол при нижнем основании

h — высота трапеции

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

Формулы длины боковой стороны (с) :

2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали и угол между ними

a — нижнее основание

b — верхнее основание

d₁ , d₂— диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

Формулы длины боковой стороны (с):

3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

Формула длины боковой стороны (с) :

4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

— боковая сторона под прямым углом к основаниям

α — угол при нижнем основании

h — высота трапеции

d — боковая сторона

Формулы длины боковой стороны (d) :

5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия трапеции

α — угол при нижнем основании

d — боковая сторона

Формула длины боковой стороны (d) :

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Определение, признаки и свойства произвольной, равнобедренной и прямоугольной трапеции

В курсе геометрии за 8-й класс подразумевается изучение свойств и признаков выпуклых четырёхугольников. К ним относятся параллелограммы, частными случаями которых являются квадраты, прямоугольники и ромбы, и трапеции. И если решение задач на различные вариации параллелограмма чаще всего не вызывает сильных затруднений, то разобраться, какой четырёхугольник называется трапецией, несколько сложнее.

Определение и виды

В отличие от других четырёхугольников, изучаемых в школьной программе, трапецией принято называть такую фигуру, две противоположные стороны которой параллельны друг другу, а две другие — нет. Существует и другое определение: это четырёхугольник с парой сторон, которые не равны между собой и параллельны.

Различные виды указаны на рисунке ниже.

На изображении под номером 1 изображена произвольная трапеция. Номером 2 обозначен частный случай — прямоугольная трапеция, одна из сторон которой перпендикулярна её основаниям. Последняя фигура — тоже особый случай: это равнобедренная (равнобокая) трапеция, т. е. четырёхугольник с равными боковыми сторонами.

Важнейшие свойства и формулы

Для описания свойств четырёхугольника принято выделять определённые элементы. В качестве примера можно рассмотреть произвольную трапецию ABCD.

В её состав входят:

основания BC и AD — две стороны, параллельные по отношению друг к другу,
боковые стороны AB и CD — два непараллельных элемента,
диагонали AC и BD — отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры,
высота трапеции CH — перпендикулярный основаниям отрезок,
средняя линия EF — линия, соединяющая середины боковых сторон.

Основные свойства элементов

Чтобы решить задачи по геометрии или доказать какие-либо утверждения, наиболее часто используют свойства, которые связывают различные элементы четырёхугольника. Они формулируются следующим образом:

Средняя линия всегда проходит параллельно обоим основаниям фигуры и численно равна их полусумме: EF = (BC + AD)/2.
Точка пересечения диагоналей фигуры разделяет их с таким же соотношением длины, с каким относятся основания трапеции: AD : BC = AO : CO = DO : BO.
Основание можно вычислить, зная длину второго основания и средней линии: BC = 2 · EF — AD, AD = 2 · EF — BC.
Боковые стороны вычисляются, если известна высота фигуры и синус угла при основании: AB = CH / sinA, CD = CH / sinD.
Для расчёта высоты необходимо знать, чему равна боковая сторона и прилегающий угол: CH = AB · sinA = CD · sinD.

Кроме того, часто полезно знать и применять следующие утверждения:

Биссектриса, проведённая из произвольного угла, отделяет на основании отрезок, длина которого равна боковой стороне фигуры.
При проведении диагоналей образуются 4 треугольника, из них 2 треугольника, образованных основаниями и отрезками диагоналей, обладают подобием, а оставшаяся пара имеет одинаковую площадь.
Через точку пересечения диагоналей O, середины оснований, а также точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон, можно провести прямую.

Вычисление периметра и площади

Периметр рассчитывается как сумма длин всех четырёх сторон (аналогично любой другой геометрической фигуре):

P = AD + BC + AB + CD.

Есть несколько способов, как можно рассчитать площадь трапеции по формуле. Следует выбрать из них наиболее подходящий вариант, опираясь на то, какие данные известны по условию задачи.

Вписанная и описанная окружность

Окружность возможно описать около трапеции только в том случае, когда боковые стороны четырёхугольника равны.

Чтобы вычислить радиус описанной окружности, необходимо знать длины диагонали, боковой стороны и большего основания. Величина p, используемая в формуле, рассчитывается как полусумма всех вышеперечисленных элементов: p = (a + c + d)/2.

Для вписанной окружности условие будет следующим: сумма оснований должна совпадать с суммой боковых сторон фигуры. Радиус её можно найти через высоту, и он будет равен r = h/2.

Частные случаи

Рассмотрим часто встречаемый случай — равнобокую (равностороннюю) трапецию. Её признаки — равенство боковых сторон или равенство противолежащих углов. К ней применимы все утверждения, которые характерны для произвольной трапеции. Другие свойства равнобедренной трапеции:

Прямая, которая проходит через середины оснований фигуры, пересекает их под углом 90 градусов.
Углы, лежащие при любых основаниях, попарно равны.
Длины диагоналей совпадают.
Высота будет равна средней линии, если диагонали проходят перпендикулярно друг к другу.
Высота, опущенная из вершины к основанию, делит его на 2 отрезка, длина большего вычисляется как половина суммы оснований, а длина меньшего — как половина разности.

Прямоугольная трапеция встречается в задачах не так часто. Её признаки — наличие двух смежных углов, равных 90 градусов, и наличие боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Высота в таком четырёхугольнике одновременно является одной из его сторон.

Все рассмотренные свойства и формулы обычно используются для решения планиметрических задач. Однако также их приходится применять в некоторых задачах из курса стереометрии, например, при определении площади поверхности усечённой пирамиды, внешне напоминающей объёмную трапецию.

Трапеция — свойства и признаки: площадь, средняя линия прямоугольной, равнобедренной, как найти высоту

С такой формой как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. К примеру, любой мост который выполнен из бетонных блоков, является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и прочее. О свойствах фигуры было известно еще в Древней Греции, которую более детально описал Аристотель в своем научном труде «Начала». И знания, выведенные тысячи лет назад актуальны и по сегодня. Поэтому ознакомимся с ними более детально. …

Основные понятия

Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые параллельны друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).

Если сложить все градусные меры внутренних углов, то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей. Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.

Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).

Как найти площадь

Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD пользуются следующей формулой:

Рисунок 2. Решение задачи на поиск площади

Для более наглядного примера решим легкую задачу. К примеру, пускай верхнее и нижнее основания равны по 16 и 44 см соответственно, а боковые стороны – 17 и 25 см. Построим перпендикулярный отрезок из вершины D таким образом, чтобы DE II BC (как это изображено на рисунке 2). Отсюда получаем, что

Пускай DF – будет высотой. Из ΔADE (который будет равнобоким), получим следующее:

Т.е., выражаясь простым языком, мы вначале нашли высоту ΔADE, которая по совместительству является и высотой трапеции. Отсюда вычислим по уже известной формуле площадь четырехугольника ABCD, с уже известным значением высоты DF.

Отсюда, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы вычислить площадь трапеции потребуется только сумма оснований и длина высоты.

Важно! При решении задача не обязательно найти значение длин по отдельности, вполне допускается, если будут применены и другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.

Виды трапеций

В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.

Разнобокая

Существует две формы: остроугольная и тупоугольная. ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.

Если боковины по длине равны

Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции

Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:

Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
Вокруг любой правильной трапеции можно построить окружность.
Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.

Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции:

Если диагонали пересекаются под углом, то половина суммы оснований будет равна длине высоты.
В случае, когда в правильную трапецию построена, или может быть построена, окружность, то квадрат высоты равен произведению величин оснований.
Ось симметрии и средняя линия трапеции являются одним и тем же ГМТ.
Когда диагонали пересекаются под прямым углом, тогда для вычисления площади потребуется формула:
Окружность вписанная в трапецию, делает величину средней линии равной боковой.

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность боковой стороны основания емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может, потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Отрезок между серединами боковин

Если соединить середины боковых сторон, и полученный отрезок будет параллельный основаниям, и равен по длине половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния вычисляется по формуле:

Для более наглядного примера рассмотрим задачу с применением средней линии.

Задача. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис.4). Найти длины оснований.

Рисунок 4. Решение задачи на поиск длин оснований

Решение. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равняться соответственно (x+4) см. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции получим:

Получается, что меньшее основание DC равно 5 см, а большее равняется 9 см.

Важно! Понятие средней линии является ключевым при решении многих задач по геометрии. На основании её определения, строятся многие доказательства для других фигур. Используя понятие на практике, возможно более рациональное решение и поиск необходимой величины.

Определение высоты, и способы как её найти

Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции, следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.

Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции

Решение:

Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис.5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .

Тогда получим следующее уравнение:

Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:

Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников. Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

Важно! В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур. Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.

Как быстро вычислить длину основания

Перед тем, как найти основание трапеции необходимо определить какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практическим подходом является извлечение длины неизвестного основания из формулы средней линии. Для более ясного восприятия картинки покажем на примере задачи, как это можно сделать. Пускай известно, что средняя линия трапеции составляет 7 см, а одно из оснований 10 см. Найти длину второй основы.

Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы основ, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи, мы знаем, что одно из равно 10 см, отсюда меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 – 10).

Более того, для более комфортного решения задач подобного плана, рекомендуем хорошо выучить такие формулы из области трапеции как:

средняя линия,
площадь,
высота,
диагонали.

Зная суть (именно суть) этих вычислений можно без особого труда узнать искомое значение.

Видео: трапеция и ее свойства

amp,amp,amp,lt,span data-mce-type=bookmark style=display: inline-block, width: 0px, overflow: hidden, line-height: 0, class=mce_SELRES_startamp,amp,amp,gt,amp,amp,amp,lt,/spanamp,amp,amp,gt,

Видео: особенности трапеции

amp,amp,amp,lt,span data-mce-type=bookmark style=display: inline-block, width: 0px, overflow: hidden, line-height: 0, class=mce_SELRES_startamp,amp,amp,gt,amp,amp,amp,lt,/spanamp,amp,amp,gt,

Вывод

Из рассмотренных примеров задач можно сделать нехитрый вывод, что трапеция, в плане вычисления задач, является одной из простейших фигур геометрии. Для успешного решения задач прежде всего не стоит определиться с тем, какая информация известна об описываем объекте, в каких формулах их можно применить, и определиться с тем, что требуется найти. Выполняя этот простой алгоритм, ни одна задача с применением этой геометрической фигуры не составит усилий.

Что такое трапеция: определение, виды, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, виды и свойства (касательно диагоналей, углов, средней линии, точки пересечения боковых сторон и т.д.) одной из основных геометрических фигур – трапеции.

Определение трапеции

Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а остальные две – нет.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (AD и BC), две другие стороны – боковыми (AB и CD).

Угол при основании трапеции – внутренний угол трапеции, образованный ее основанием и боковой стороной, например, α и β.

Трапеция записывается путем перечисления его вершин, чаще всего, это ABCD. А основаниям обозначаются маленькими латинскими буквами, например, a и b.

Средняя линия трапеции (MN) – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Высота трапеции (

h или BK) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобокой).

AB = CD

Прямоугольная трапеция

Трапеция, у которой оба угла при одной из ее боковых сторон прямые, называется прямоугольной.

∠BAD = ∠ABC = 90°

Разносторонняя трапеция

Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым.

Свойства трапеции

Перечисленные ниже свойства применимы к любым видам трапеций. Свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.

Свойство 1

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной и той же боковой стороне, равна 180°.

α + β = 180°

Свойство 2

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется половине их суммы.

Свойство 3

Отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, лежит на ее средней линии и равняется половине разности оснований.

KL – отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD
KL лежит на средней линии трапеции MN

Свойство 4

Точки пересечения диагоналей трапеции, продолжений ее боковых сторон и середин оснований лежат на одной прямой.

DK – продолжение боковой стороны CD
AK – продолжение боковой стороны AB
E – середина основания BC, т.е. BE = EC
F – середина основания AD, т.е. AF = FD

Если сумма углов при одном основании равняется 90° (т.е. ∠DAB + ∠ADC = 90°), значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом, а отрезок, который соединяет середины оснований (ML) равняется половине их разности.

Свойство 5

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (при основаниях) подобны, а два других (при боковых сторонах) равны по площади.

ΔAED ~ ΔBEC
S_ΔABE = S_ΔCED

Свойство 6

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, можно выразить через длины оснований:

Свойство 7

Биссектрисы углов трапеции при одинаковой боковой стороне взаимно перпендикулярны.

AP – биссектриса ∠BAD
BR – биссектриса ∠ABC
AP перпендикулярна BR

Свойство 8

В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон.

Т.е. AD + BC = AB + CD

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: R = h/2.

Методическая разработка. Конспект урока геометрии по теме «Трапеция». 8-й класс

Цели и задачи урока:

Основные цели:

Личностные: создание подходящих условий для формирования у учащихся положительной мотивацию к учению
преодолевать посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести
диалог, аккуратности.
Метапредметные: формирование навыка ставить цели и задачи, изучать поставленную проблему, оценивать результат своей работы
объекты, создавать, применять и преобразовывать модели, повышать алгоритмическую культуру обучающихся,
развивать логическое мышление, познавательную активность и навыки научной речи.
Предметные: повторить виды четырехугольников, сформулировать понятия «трапеция», «равнобедренная трапеция», «прямоугольная трапеция»; рассмотреть признаки и свойства трапеции.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: компьютер, проектор, плакат с элементами геометрических фигур, карточки с заданиями (распечатки чертежей и заданий из конспекта урок).

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся и подведение учащихся к новой теме.

3.Изучение нового материала.

4. Закрепление умений и получение навыков работы при решении простейших задач на трапецию.

5. Рефлексия. Подведение итогов. Выставление оценок.

6. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветственное слово учителя, проверка домашнего задания.

Эпиграф нашего сегодняшнего урока:

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»
(Д.Пойа )

II. Актуализация знаний

Устная работа по готовым чертежам.

На рисунке вы видите пять фигур, назовите и охарактеризуйте те, которые вы уже изучали ранее. Чем различаются данные фигуры и что их объединяет. Теперь давайте рассмотрим последнюю фигуру и так же определим, какими общими признаками с предыдущими она обладает. Чем она отличается от остальных?

Такая фигура, у которой две стороны параллельны, а две другие — не параллельны, называется трапеция.

III. Изучение нового материала

Попробуем сформулировать цели и задачи урока, запишем в тетрадях тему урока и определение.

Трапеция – название происходит от греческого trapezion (столик).

Давайте рассмотрим виды трапеций. Подумаем, где мы встречались с этой фигурой в повседневной жизни? (учащиеся приводят примеры)

Трапецияя–> – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельные.

Виды трапеции.

Равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная – трапеция, один из углов которой прямой.

Работа в группах.

Предложить детям разбиться на группы по 4-6 человек. За круглым столом разбейтесь в группах пополам и обсудите свойства равнобедренной трапеции. Одна часть группы исследует диагонали, а другая углы трапеции.

После обсуждения предложить учащимся сформулировать свойства и выписать их, сверить ответы различных групп. Продемонстрировать учащимся верную формулировку и попросить записать в тетрадях.

Свойства равнобедренной трапеции.

Свойство 1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Свойство 2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Попробуйте сформулировать утверждения, обратные свойствам, и выясните справедливы они или нет. После этого попробуйте сформулировать Признаки равнобедренной трапеции и выписать их в тетрадь.

Признак 1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Признак 2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Физкультминутка

На стенах кабинета расположены яркие фигуры четырехугольников. Попросить учащихся зафиксировать голову в одном положении и перемещая только взгляд, определить, сколько среди этих фигур трапеций и сколько из трапеций являются равнобедренными.

IV. Закрепление умений и навыков

Решение задач по готовым чертежам.

I уровень

1. Найдите неизвестные углы трапеции:

II уровень

2. Найдите периметр трапеции АВСD:

III уровень

1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции АВСD проведен перпендикуляр СE к прямой AD, содержащий большее основание. Докажите, что AE=(AD+BC)/2.

2. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в 600. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

V. Рефлексия

Ответить на вопросы:

Какую фигуру мы сегодня изучили?
Какие виды бывают у трапеции?
Какими свойствами обладает равнобедренная, прямоугольная трапеция?

Оценить урок и свою работу на уроке.

VI. Домашнее задание

1) задачи по готовым чертежам из второго комплекта карточек.

2) п. 59, составить 2 собственные задачи по теме. Повторить определения, свойства и признаки.

Трапеция. Свойства и элементы трапеции

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b),

m, n — боковые стороны трапеции,

d₁, d₂ — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

Через полусумму оснований a, b и высоту h: S = \frac{a + b}{2}\cdot h
Через среднюю линию MN и высоту h: S = MN\cdot h
Через диагонали d₁, d₂ и угол (\sin \varphi) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ}:

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими, то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.{2}.

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Описанная около трапеции окружность

Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.

Вписанная в трапецию окружность

Треугольники AOB и DOC являются прямоугольными, если трапеция ABCD описана около окружности. Центром же вписанной окружности будет являться точка O.

Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.

Запоминаем и применяем свойства трапеции

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k².
Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180⁰: α + β = 180⁰ и γ + δ = 180⁰.
Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90⁰, длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180⁰ – обязательное условие для этого.
Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S_АМЕ.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180⁰— МЕТ = 180⁰— КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150⁰ с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180⁰. Поэтому КАН = 30⁰ (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30⁰. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S_АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см².

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

Как найти длину диагонали трапеции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

9.7: Использование свойств прямоугольников, треугольников и трапеций (часть 2)

Использование свойств треугольников

Теперь мы знаем, как найти площадь прямоугольника.Мы можем использовать этот факт, чтобы визуализировать формулу площади треугольника. В прямоугольнике на рисунке \ (\ PageIndex {9} \) мы обозначили длину b и ширину h, так что это площадь bh.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \) — Площадь прямоугольника равна основанию b, умноженному на высоту h.

Мы можем разделить этот прямоугольник на два конгруэнтных треугольников (рисунок \ (\ PageIndex {10} \)). Конгруэнтные треугольники имеют одинаковую длину сторон и углы, поэтому их площади равны.Площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника или \ (\ dfrac {1} {2} \) bh. Этот пример помогает нам понять, почему формула для вычисления площади треугольника имеет вид A = \ (\ dfrac {1} {2} \) bh.

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \) — прямоугольник можно разделить на два треугольника равной площади. Площадь каждого треугольника составляет половину площади прямоугольника.

Формула площади треугольника: A = \ (\ dfrac {1} {2} \) bh, где b — основание, а h — высота. Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту.Основание — это длина одной стороны треугольника, обычно стороны внизу. Высота — это длина линии, которая соединяет основание с противоположной вершиной и составляет с основанием угол 90 °. На рисунке \ (\ PageIndex {11} \) показаны три треугольника с отмеченными основанием и высотой каждого.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) — Высота h треугольника — это длина отрезка линии, соединяющего основание с противоположной вершиной и образующего угол 90 ° с основанием.

Определение: Свойства треугольника

Для любого треугольника ΔABC сумма углов равна 180 °.$$ m \ angle A + m \ angle B + m \ angle C = 180 ° $$ Периметр треугольника равен сумме длин сторон. $$ P = a + b + c $$ Площадь треугольник равен половине основания b, умноженной на высоту h. $$ A = \ dfrac {1} {2} bh \]

Пример \ (\ PageIndex {9} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 11 дюймов и высотой 8 дюймов.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	площадь треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	пусть A = площадь треугольника
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	A = 44 квадратных дюйма
Шаг 6. Проверить .	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} bh \\ 44 & \ stackrel {?} {=} \ Dfrac {1} {1} {2} (11) 8 \\ 44 & = 44 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь составляет 44 квадратных дюйма.

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 13 дюймов и высотой 2 дюйма.

Ответ: 13 кв. Дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 14 дюймов и высотой 7 дюймов.

Ответ: 49 кв. Дюймов

Пример \ (\ PageIndex {10} \):

Периметр треугольного сада составляет 24 фута. Длина двух сторон составляет 4 фута и 9 футов. Какова длина третьей стороны?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	длина третьей стороны треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть c = третья сторона
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу.Подставьте в данную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 24 & = 13 + c \\ 11 & = c \ end {split} $$
Шаг 6. Проверить .	$$ \ begin {split} P & = a + b + c \\ 24 & \ stackrel {?} {=} 4 + 9 + 11 \\ 24 & = 24 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Третья сторона имеет длину 11 футов.

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \):

Периметр треугольного сада составляет 48 футов. Длина двух сторон 18 футов и 22 фута. Какова длина третьей стороны?

Ответ: 8 футов

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \):

Длина двух сторон треугольного окна составляет 7 футов 5 футов. По периметру 18 футов.Какова длина третьей стороны?

Ответ: 6 футов

Пример \ (\ PageIndex {11} \):

Площадь треугольного церковного окна — 90 квадратных метров. База окна 15 метров. Какая высота окна?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете.	высота треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть h = высота
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Подставьте в данную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 90 & = \ dfrac {15} {2} h \\ 12 & = h \ end {split} $$
Шаг 6. Чек .	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} bh \\ 90 & \ stackrel {?} {=} \ Dfrac {1} {2} \ cdot 15 \ cdot 12 \\ 90 & = 90 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Высота треугольника 12 метров.

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \):

Площадь треугольной картины составляет 126 квадратных дюймов. База 18 дюймов.Какая высота?

Ответ: 14 дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \):

Треугольная дверь палатки имеет площадь 15 квадратных футов. Высота 5 футов. Что такое база?

Ответ: 6 футов

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Помимо прямоугольного треугольника, некоторые другие треугольники имеют особые имена. Треугольник с двумя сторонами равной длины называется равнобедренным треугольником .Треугольник, у которого три стороны равной длины, называется равносторонним треугольником . На рисунке \ (\ PageIndex {12} \) показаны оба типа треугольников.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \) — В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, а третья сторона является основанием. В равностороннем треугольнике все три стороны имеют одинаковую длину.

Определение: равнобедренные и равносторонние треугольники

У равнобедренного треугольника две стороны одинаковой длины.

Равносторонний треугольник имеет три стороны равной длины.

Пример \ (\ PageIndex {12} \):

Периметр равностороннего треугольника составляет 93 дюйма. Найдите длину каждой стороны.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.	Периметр = 93 дюйма
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	длина сторон равностороннего треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть s = длина каждой стороны
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 93 & = 3s \\ 31 & = s \ end {split} $$
Шаг 6. Чек .	$$ \ begin {split} 93 & = 31 + 31 + 31 \\ 93 & = 93 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Каждая сторона 31 дюйм.

Упражнение \ (\ PageIndex {23} \):

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 39 дюймов.

Ответ: 13 дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {24} \):

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 51 сантиметр.

Ответ: 17 см

Пример \ (\ PageIndex {13} \):

У Арианны есть 156 дюймов бисера, которые можно использовать для обрезки шарфа. Платок будет представлять собой равнобедренный треугольник с основанием 60 дюймов. Как долго она сможет сделать две равные стороны?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.	P = 156 дюймов
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	длины двух равных сторон
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть s = длина каждой стороны
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Подставьте в данную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 156 & = 2s + 60 \\ 96 & = 2s \\ 48 & = s \ end {split} $$
Шаг 6. Проверить .	$$ \ begin {split} p & = a + b + c \\ 156 & \ stackrel {?} {=} 48 + 60 + 48 \\ 156 & = 156 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Арианна может сделать каждую из двух равных сторон по 48 дюймов в длину.

Упражнение \ (\ PageIndex {25} \):

Палуба заднего двора имеет форму равнобедренного треугольника с основанием 20 футов. Периметр палубы 48 футов. Какова длина каждой из равных сторон колоды?

Ответ: 14 футов

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \):

Парус лодки представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 8 метров. Периметр — 22 метра. Какова длина каждой из равных сторон паруса?

Ответ: 7 м

Использование свойств трапеций

Трапеция — это четырехсторонняя фигура, четырехугольник с двумя сторонами, которые параллельны, и двумя сторонами, которые не параллельны.Параллельные стороны называются основаниями. Мы называем длину меньшего основания b и длину большего основания B. Высота h трапеции — это расстояние между двумя основаниями, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \) — Трапеция имеет большее основание, B, и меньшее основание, b. Высота h — это расстояние между основаниями.

Формула площади трапеции:

\ [Area_ {trapezoid} = \ dfrac {1} {2} h (b + B) \]

Разделение трапеции на два треугольника может помочь нам понять формулу.Площадь трапеции — это сумма площадей двух треугольников. См. Рисунок \ (\ PageIndex {14} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \) — Разделение трапеции на два треугольника может помочь вам понять формулу для ее площади.

Высота трапеции — это также высота каждого из двух треугольников. См. Рисунок \ (\ PageIndex {15} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

Формула площади трапеции

\ [Area_ {trapezoid} = \ dfrac {1} {2} h (\ textcolor {blue} {b} + \ textcolor {red} {B}) \]

Если раздадим, то получим,

Определение: Свойства трапеций

Трапеция имеет четыре стороны.См. Рисунок 9.25.
Две его стороны параллельны, а две — нет.
Площадь A трапеции равна A = \ (\ dfrac {1} {2} \) h (b + B).

Пример \ (\ PageIndex {14} \):

Найдите площадь трапеции, высота которой 6 дюймов, а основания 14 и 11 дюймов.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете.	площадь трапеции
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть A = площадь
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} \ cdot 6 (25) \\ A & = 3 (25) \\ A & = 75 \; квадрат\; дюймы \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка : Разумен ли этот ответ?

Если мы нарисуем прямоугольник вокруг трапеции с таким же большим основанием B и высотой h, его площадь должна быть больше, чем у трапеции.

Если мы нарисуем внутри трапеции прямоугольник с таким же основанием b и высотой h, его площадь должна быть меньше, чем у трапеции.

Площадь большего прямоугольника составляет 84 квадратных дюйма, а площадь меньшего прямоугольника — 66 квадратных дюймов.Таким образом, имеет смысл, что площадь трапеции составляет от 84 до 66 квадратных дюймов

Шаг 7. Ответьте на вопрос.

Площадь трапеции составляет 75 квадратных дюймов.

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \):

Высота трапеции 14 ярдов, а оснований 7 и 16 ярдов. Какой район?

Ответ: 161 кв. Ярд

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \):

Высота трапеции 18 сантиметров, основания 17 и 8 сантиметров.Какой район?

Ответ: 255 кв. См

Пример \ (\ PageIndex {15} \):

Найдите площадь трапеции высотой 5 футов и основаниями 10,3 и 13,7 футов.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете.	площадь трапеции
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть A = площадь
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} \ cdot 5 (24) \\ A & = 12 \ cdot 5 \\ A & = 60 \; квадрат\; футов \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка : Разумен ли этот ответ? Площадь трапеции должна быть меньше площади прямоугольника с основанием 13,7 и высотой 5, но больше площади прямоугольника с основанием 10,3 и высотой 5.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь трапеции составляет 60 квадратных футов.

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \):

Высота трапеции 7 сантиметров, оснований 4.6 и 7,4 сантиметра. Какой район?

Ответ: 42 кв. См

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \):

Высота трапеции 9 метров, оснований 6,2 и 7,8 метра. Какой район?

Ответ: 63 кв.м

Пример \ (\ PageIndex {16} \):

У Винни есть сад в форме трапеции. Трапеция имеет высоту 3.4 ярда, а основания — 8,2 и 5,6 ярда. Сколько квадратных ярдов будет доступно для посадки?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	площадь трапеции
Шаг 3. Имя .Выберите переменную для ее представления.	Пусть A = площадь
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} \ cdot (3.4) (13.8) \\ A & = 23.46 \; квадрат\; ярдов \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка : Разумен ли этот ответ? да.Площадь трапеции меньше площади прямоугольника с основанием 8,2 ярда и высотой 3,4 ярда, но больше площади прямоугольника с основанием 5,6 ярда и высотой 3,4 ярда.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Винни имеет 23,46 квадратных ярда, на которых он может сажать растения.

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \):

Линь хочет подстричь лужайку, имеющую форму трапеции.Основания составляют 10,8 ярда и 6,7 ярда, а высота — 4,6 ярда. Сколько квадратных ярдов дерна ему нужно?

Ответ: 40,25 кв. Ярда

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \):

Кира хочет покрыть свой внутренний двор бетонной брусчаткой. Если внутренний дворик имеет форму трапеции с основанием 18 футов 14 футов и высотой 15 футов, сколько квадратных футов брусчатки ему понадобится?

Ответ: 240 кв.фут

Практика ведет к совершенству

Использование свойств прямоугольников

В следующих упражнениях найдите (а) периметр и (б) площадь каждого прямоугольника.

Длина прямоугольника составляет 85 футов, а ширина — 45 футов.
Длина прямоугольника составляет 26 дюймов, а ширина — 58 дюймов.
Прямоугольная комната 15 футов шириной и 14 футов длиной.
Подъездная дорога имеет форму прямоугольника 20 футов шириной и 35 футов длиной.

В следующих упражнениях решите.

Найдите длину прямоугольника с периметром 124 дюйма и шириной 38 дюймов.
Найдите длину прямоугольника с периметром 20,2 ярда и шириной 7,8 ярда.
Найдите ширину прямоугольника с периметром 92 метра и длиной 19 метров.
Найдите ширину прямоугольника с периметром 16,2 метра и длиной 3,2 метра.
Площадь прямоугольника 414 квадратных метров.Длина 18 метров. Какая ширина?
Площадь прямоугольника 782 квадратных сантиметра. Ширина 17 сантиметров. Какая длина?
Длина прямоугольника на 9 дюймов больше ширины. По периметру 46 дюймов. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольника на 8 дюймов больше его длины. По периметру 52 дюйма. Найдите длину и ширину.
Периметр прямоугольника 58 метров. Ширина прямоугольника на 5 метров меньше длины.Найдите длину и ширину прямоугольника.
Периметр прямоугольника 62 фута. Ширина на 7 футов меньше длины. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольника на 0,7 метра меньше длины. Периметр прямоугольника 52,6 метра. Найдите размеры прямоугольника.
Длина прямоугольника на 1,1 метра меньше ширины. Периметр прямоугольника 49,4 метра. Найдите размеры прямоугольника.
Периметр прямоугольника 150 футов. Длина прямоугольника в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Длина прямоугольника в три раза больше ширины. Периметр 72 фута. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Длина прямоугольника на 3 метра меньше двойной ширины. Периметр — 36 метров. Найдите длину и ширину.
Длина прямоугольника на 5 дюймов больше, чем в два раза ширины.По периметру 34 дюйма. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольного окна 24 дюйма. Площадь — 624 квадратных дюйма. Какая длина?
Длина прямоугольного плаката составляет 28 дюймов. Площадь составляет 1316 квадратных дюймов. Какая ширина?
Площадь прямоугольной крыши — 2310 квадратных метров. Длина 42 метра. Какая ширина?
Площадь прямоугольного брезента составляет 132 квадратных фута. Ширина 12 футов. Какая длина?
Периметр прямоугольного двора составляет 160 футов.Длина на 10 футов больше ширины. Найдите длину и ширину.
Периметр прямоугольной картины 306 сантиметров. Длина на 17 сантиметров больше ширины. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольного окна на 40 дюймов меньше высоты. Периметр дверного проема — 224 дюйма. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольной площадки на 7 метров меньше длины. Периметр детской площадки 46 метров.Найдите длину и ширину.

Используйте свойства треугольников

В следующих упражнениях решите, используя свойства треугольников.

Найдите площадь треугольника с основанием 12 дюймов и высотой 5 дюймов.
Найдите площадь треугольника с основанием 45 см и высотой 30 см.
Найдите площадь треугольника с основанием 8,3 метра и высотой 6,1 метра.
Найдите площадь треугольника с основанием 24.2 фута и высотой 20,5 футов.
Треугольный флаг имеет основание 1 фут и высоту 1,5 фута. Какая у него площадь?
Треугольное окно имеет основание 8 футов и высоту 6 футов. Какая у него площадь?
Если треугольник имеет стороны 6 футов и 9 футов, а периметр равен 23 футам, какова длина третьей стороны?
Если треугольник имеет стороны 14 и 18 см, а периметр равен 49 см, какова длина третьей стороны?
Что такое основание треугольника площадью 207 квадратных дюймов и высотой 18 дюймов?
Какова высота треугольника площадью 893 квадратных дюйма и основанием 38 дюймов?
Периметр треугольного отражающего бассейна составляет 36 ярдов.Длина двух сторон составляет 10 ярдов и 15 ярдов. Какова длина третьей стороны?
Треугольный двор имеет периметр 120 метров. Длина двух сторон 30 метров и 50 метров. Какова длина третьей стороны?
Равнобедренный треугольник имеет основание 20 сантиметров. Если периметр равен 76 сантиметрам, найдите длину каждой из других сторон.
Равнобедренный треугольник имеет основание 25 дюймов. Если периметр составляет 95 дюймов, найдите длину каждой из других сторон.
Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 51 ярд.
Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 54 метра.
Периметр равностороннего треугольника 18 метров. Найдите длину каждой стороны.
Периметр равностороннего треугольника составляет 42 мили. Найдите длину каждой стороны.
Периметр равнобедренного треугольника составляет 42 фута. Длина самой короткой стороны 12 футов.Найдите длину двух других сторон.
Периметр равнобедренного треугольника составляет 83 дюйма. Длина самой короткой стороны — 24 дюйма. Найдите длину двух других сторон.
Блюдо имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона 8 дюймов в длину. Найдите периметр.
Плитка для пола имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона 1,5 фута в длину. Найдите периметр.
Дорожный знак в форме равнобедренного треугольника имеет основание 36 дюймов.Если периметр составляет 91 дюйм, найдите длину каждой из других сторон.
Платок в форме равнобедренного треугольника имеет основу 0,75 метра. Если периметр составляет 2 метра, найдите длину каждой из других сторон.
Периметр треугольника составляет 39 футов. Одна сторона треугольника на 1 фут длиннее второй. Третья сторона на 2 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
Периметр треугольника составляет 35 футов.Одна сторона треугольника на 5 футов длиннее второй. Третья сторона на 3 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
Одна сторона треугольника в два раза меньше наименьшей стороны. Третья сторона на 5 футов больше самой короткой. Периметр — 17 футов. Найдите длины всех трех сторон.
Одна сторона треугольника в три раза больше наименьшей стороны. Третья сторона на 3 фута больше самой короткой. Периметр — 13 футов. Найдите длины всех трех сторон.

Используйте свойства трапеций

В следующих упражнениях решайте, используя свойства трапеций.

Высота трапеции составляет 12 футов, а основания — 9 и 15 футов. Какой район?
Высота трапеции составляет 24 ярда, а основания — 18 и 30 ярдов. Какой район?
Найдите площадь трапеции высотой 51 метр и основаниями 43 и 67 метров.
Найдите площадь трапеции высотой 62 дюйма и основаниями 58 и 75 дюймов.
Высота трапеции составляет 15 сантиметров, а основания — 12,5 и 18,3 сантиметра. Какой район?
Высота трапеции составляет 48 футов, а основания — 38,6 и 60,2 футов. Какой район?
Найдите площадь трапеции высотой 4,2 метра и основанием 8,1 и 5,5 метра.
Найдите площадь трапеции высотой 32,5 см и основаниями 54,6 и 41,4 см.
Лорел делает знамя в форме трапеции.Высота баннера составляет 3 фута, а основания — 4 и 5 футов. Какая площадь у баннера?
Нико хочет выложить плиткой пол в ванной. Пол имеет форму трапеции шириной 5 футов и длиной 5 и 8 футов. Какая площадь этажа?
Терезе нужна новая столешница для кухонной стойки. Счетчик имеет форму трапеции шириной 18,5 дюйма и длиной 62 и 50 дюймов. Какая площадь прилавка?
Елена вяжет шарф.Шарф будет иметь форму трапеции шириной 8 дюймов и длиной 48,2 дюйма и 56,2 дюйма. Какая площадь у шарфа?

Как найти угол в трапеции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Использование свойств прямоугольников, треугольников и трапеций — предварительная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Что такое линейные, квадратные и кубические меры
Использовать свойства прямоугольников
Использовать свойства треугольников
Использовать свойства трапеций

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Длина прямоугольника меньше ширины. Позвольте представить ширину. Напишите выражение для длины прямоугольника.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Simplify:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Simplify:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

В этом разделе мы продолжим работу с геометрическими приложениями. Мы добавим еще несколько свойств треугольников и узнаем о свойствах прямоугольников и трапеций.

Общие сведения о линейных, квадратных и кубических мерах

Когда вы измеряете свой рост или длину садового шланга, вы используете линейку или рулетку ((Рисунок)). Рулетка может напоминать вам линию — вы используете ее для линейной меры, которая измеряет длину. Дюйм, фут, ярд, миля, сантиметр и метр — единицы линейного измерения.

Эта рулетка измеряет дюймы сверху и сантиметры снизу.

Если вы хотите узнать, сколько плитки нужно для покрытия пола или размер стены, которую нужно покрасить, вам нужно знать площадь, меру области, необходимой для покрытия поверхности.Площадь измеряется в квадратных единицах. Мы часто используем квадратные дюймы, квадратные футы, квадратные сантиметры или квадратные мили для измерения площади. Квадратный сантиметр — это квадрат, каждая сторона которого равна одному сантиметру (см). Квадратный дюйм — это квадрат, каждая сторона которого составляет один дюйм ((Рисунок)).

Каждая квадратная мера имеет длину, равную единице длины.

(рисунок) показывает прямоугольный коврик длиной в фут и шириной в фут. Каждый квадрат имеет ширину фута на фут в длину или квадратный фут. Коврик состоит из квадратов.Площадь коврика — квадратные футы.

Коврик состоит из шести квадратов по 1 квадратный фут каждый, поэтому общая площадь ковра составляет 6 квадратных футов.

Когда вы измеряете, сколько требуется для заполнения контейнера, например количество бензина, которое может поместиться в бак, или количество лекарства в шприце, вы измеряете объем. Объем измеряется в кубических единицах, таких как кубические дюймы или кубические сантиметры. При измерении объема прямоугольного твердого тела вы измеряете, сколько кубиков заполняет контейнер.Мы часто используем кубические сантиметры, кубические дюймы и кубические футы. Кубический сантиметр — это куб, имеющий размер по одному сантиметру с каждой стороны, а кубический дюйм — это куб, который имеет размер по одному дюйму с каждой стороны ((Рисунок)).

Кубические меры имеют стороны, равные 1 единице длины.

Предположим, куб на (Рисунок) имеет дюймы с каждой стороны и разрезан по показанным линиям. Сколько в нем маленьких кубиков? Если бы мы разобрали большой куб, мы бы нашли маленькие кубики, каждый размером в один дюйм со всех сторон.Итак, каждый маленький куб имеет объем в кубический дюйм, а объем большого куба — в кубические дюймы.

Куб размером 3 дюйма с каждой стороны состоит из 27 однодюймовых кубов или 27 кубических дюймов.

Выполнение математического задания «Визуализация площади и периметра» поможет вам лучше понять разницу между площадью фигуры и ее периметром.

Для каждого элемента укажите, будете ли вы использовать линейную, квадратную или кубическую меру:

ⓐ необходимое количество коврового покрытия в комнате

ⓑ длина удлинителя

ⓓ длина карниза

ⓔ количество муки в канистре

ⓕ размер крыши конуры.

Решение

ⓐ Вы измеряете площадь покрытия ковра, то есть площадь.	квадрат
ⓑ Вы измеряете длину удлинителя, то есть длину.	линейная мера
ⓒ Вы измеряете объем песка.	кубическая мера
ⓓ Вы измеряете длину карниза.	линейная мера
ⓔ Вы измеряете объем муки.	кубическая мера
ⓕ Вы измеряете площадь крыши.	квадрат

Определите, будете ли вы использовать линейную, квадратную или кубическую меру для каждого элемента.

ⓐ количество краски в банке ⓑ высота дерева ⓒ пол вашей спальни ⓓ диаметр велосипедного колеса ⓔ размер куска дерна ⓕ количество воды в бассейне

ⓐ куб.
ⓑ линейный
ⓒ квадрат
ⓓ линейный
ⓔ квадрат
ⓕ куб.

Определите, будете ли вы использовать линейную, квадратную или кубическую меру для каждого элемента.

ⓐ объем упаковочного ящика ⓑ размер дворика ⓒ количество лекарства в шприце piece длина отрезка пряжи housing размер участка корпуса ⓕ высота флагштока

ⓐ куб.
ⓑ квадрат
ⓒ куб.
ⓓ линейный
ⓔ квадрат
ⓕ линейный

Многие геометрические приложения включают определение периметра или площади фигуры. В повседневной жизни также существует множество применений периметра и площади, поэтому важно убедиться, что вы понимаете, что каждое из них означает.

Представьте себе комнату, которой нужна новая напольная плитка. Плитки состоят из квадратов, каждая сторона которых составляет один фут — один квадратный фут. Сколько таких квадратов нужно, чтобы покрыть пол? Это площадь пола.

Затем подумайте о том, чтобы положить в комнату новый плинтус после того, как выложили плитку. Чтобы выяснить, сколько полосок потребуется, необходимо знать расстояние по комнате. Вы можете использовать рулетку, чтобы измерить количество футов в комнате. Это расстояние — периметр.

Периметр и площадь

Периметр — это мера расстояния вокруг фигуры.

Площадь — это мера поверхности, покрытой фигурой.

(рисунок) показывает квадратную плитку, каждая сторона которой составляет дюйм. Если муравей обойдет край плитки, он пройдет несколько дюймов. Это расстояние — периметр плитки.

Поскольку плитка представляет собой квадрат со стороной в дюйм, ее площадь составляет один квадратный дюйм. Площадь фигуры измеряется путем определения количества квадратных единиц, покрывающих фигуру.

Когда муравей полностью обходит плитку по ее краю, он отслеживает периметр плитки. Площадь плитки — 1 квадратный дюйм.

Выполнение математического задания «Измерение площади и периметра» поможет вам лучше понять, как измерять площадь и периметр фигуры.

Каждая из двух квадратных плиток имеет квадратный дюйм. Две плитки показаны вместе.

ⓐ Каков периметр фигуры?

ⓑ Какой район?

Решение

ⓐ Периметр — это расстояние вокруг фигуры.Периметр в дюймах.

ⓑ Площадь — это поверхность, покрытая фигурой. Есть плитки квадратного дюйма, поэтому площадь равна квадратным дюймам.

Найдите периметр ⓐ и площадь ⓑ фигуры:

ⓐ 8 дюймов
ⓑ 3 кв. Дюйма

Найдите периметр ⓐ и площадь ⓑ фигуры:

ⓐ 8 сантиметров
ⓑ 4 кв. Сантиметра

Используйте свойства прямоугольников

Прямоугольник имеет четыре стороны и четыре прямых угла.Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину. Мы называем одну сторону прямоугольника длиной, а соседнюю сторону — шириной, см. (Рисунок).

Прямоугольник имеет четыре стороны и четыре прямых угла. Стороны помечены буквой L для длины и W.

Периметр прямоугольника — это расстояние вокруг прямоугольника. Если вы начнете с одного угла и обойдете прямоугольник, вы пройдете единицы, или две длины и две ширины. Тогда периметр

А как насчет площади прямоугольника? Вспомните прямоугольный коврик из начала этого раздела.Его длина составляла фут, ширина — фут, а площадь составляла квадратный фут. См. (Рисунок). Поскольку мы видим, что площадь равна длине, умноженной на ширину, поэтому площадь прямоугольника равна

. Площадь этого прямоугольного коврика равна квадратным футам, его длина умножена на ширину.

Для удобства работы с примерами в этом разделе мы переформулируем здесь стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Используйте стратегию решения проблем для геометрических приложений

Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи.Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Определите то, что вы ищете.
Имя то, что вы ищете. Выберите переменную, чтобы представить это количество.
Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
Отметьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
Ответьте на вопрос полным предложением.

Длина прямоугольника измеряется в метрах, а ширина в метрах. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь.

Длина прямоугольника — ярды, ширина — ярды. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь.

ⓐ 340 ярдов
ⓑ 6000 кв. Ярд

Длина прямоугольника равна футам, а ширина — футам. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь.

ⓐ 220 футов
ⓑ 2976 кв. Фут

Найдите длину прямоугольника с периметром в дюймах и шириной в дюймах.

Найдите длину прямоугольника с периметром в ярдах и шириной в ярдах.

В следующем примере ширина определяется через длину. Мы будем ждать, чтобы нарисовать фигуру, пока не напишем выражение для ширины, чтобы мы могли пометить одну сторону этим выражением.

Ширина прямоугольника на два дюйма меньше его длины.Периметр в дюймах. Найдите длину и ширину.

Ширина прямоугольника на семь метров меньше его длины. Периметр — метры. Найдите длину и ширину.

Длина прямоугольника на восемь футов больше ширины. По периметру футы. Найдите длину и ширину.

Длина прямоугольника в восемь раз больше ширины в два раза. По периметру футы. Найдите длину и ширину.

Ширина прямоугольника в шесть раз меньше его длины в два раза.Периметр в сантиметрах. Найдите длину и ширину.

Площадь прямоугольника равна квадратным футам. Длина — фут. Какая ширина?

Ширина прямоугольника в метрах. Площадь квадратные метры. Какая длина?

Периметр прямоугольного бассейна — фут. Длина на фут больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольного бассейна — фут. Длина на фут больше ширины.Найдите длину и ширину.

Длина прямоугольного сада в ярдах больше ширины. Периметр — ярды. Найдите длину и ширину.

Используйте свойства треугольников

Теперь мы знаем, как найти площадь прямоугольника. Мы можем использовать этот факт, чтобы визуализировать формулу площади треугольника. В прямоугольнике (рисунок) мы обозначили длину и ширину, так что его площадь равна

. Площадь прямоугольника равна основанию, умноженному на высоту,

Мы можем разделить этот прямоугольник на два равных треугольника ((Рисунок)).Конгруэнтные треугольники имеют одинаковую длину сторон и углы, поэтому их площади равны. Площадь каждого треугольника составляет половину площади прямоугольника. Этот пример помогает нам понять, почему формула для площади треугольника равна

Прямоугольник можно разделить на два треугольника равной площади. Площадь каждого треугольника составляет половину площади прямоугольника.

Формула площади треугольника: где основание, а высота.

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту.Основание — это длина одной стороны треугольника, обычно стороны внизу. Высота — это длина линии, которая соединяет основание с противоположной вершиной и составляет угол с основанием. (Рисунок) показывает три треугольника с отмеченными основанием и высотой каждого.

Высота треугольника — это длина отрезка линии, который соединяет основание с противоположной вершиной и составляет угол с основанием.

Найдите площадь треугольника с основанием в дюймах и высотой в дюймах.

Периметр треугольного сада — фут. Длина двух сторон — футы и футы. Какова длина третьей стороны?

Длина двух сторон треугольного окна равна футам и футам. По периметру футы. Какова длина третьей стороны?

Площадь треугольной картины — квадратные дюймы. База в дюймах. Какая высота?

Треугольная дверь палатки имеет площадь квадратных футов.Высота в футах. Что такое база?

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Помимо прямоугольного треугольника, некоторые другие треугольники имеют особые имена. Треугольник с двумя сторонами равной длины называется равнобедренным треугольником. Треугольник с тремя сторонами равной длины называется равносторонним треугольником. (Рисунок) показывает оба типа треугольников.

В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, а третья сторона является основанием. В равностороннем треугольнике все три стороны имеют одинаковую длину.

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины.

Равносторонний треугольник имеет три стороны равной длины.

Периметр равностороннего треугольника составляет дюймы. Найдите длину каждой стороны.

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с дюймами периметра.

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром в сантиметрах.

Палуба заднего двора имеет форму равнобедренного треугольника с основанием из ножек. Периметр колоды — футы. Какова длина каждой из равных сторон колоды?

Парус лодки представляет собой равнобедренный треугольник с основанием в метрах. Периметр — метры. Какова длина каждой из равных сторон паруса?

Используйте свойства трапеций

Трапеция — это четырехугольник , четырехугольник , две стороны которого параллельны, а две — нет.Параллельные стороны называются основаниями. Мы называем длину меньшего основания и длину большего основания. Высота трапеции — это расстояние между двумя основаниями, как показано на (Рисунок).

Трапеция имеет большее основание и меньшее основание. Высота — это расстояние между основаниями.
Формула площади трапеции:
Разделение трапеции на два треугольника может помочь нам понять формулу. Площадь трапеции — это сумма площадей двух треугольников.См. (Рисунок).
Разделение трапеции на два треугольника может помочь вам понять формулу ее площади.
Высота трапеции — это также высота каждого из двух треугольников. См. (Рисунок).
Формула площади трапеции
Если раздадим, то получим,
Свойства трапеций
Трапеция имеет четыре стороны. См. (Рисунок).
Две его стороны параллельны, а две — нет.
Площадь трапеции.
Найдите площадь трапеции высотой 6 дюймов и основаниями и дюймами.
Высота трапеции — ярды, а оснований — ярды. Какой район?
Высота трапеции в сантиметрах, оснований и сантиметров. Какой район?
Высота трапеции в сантиметрах, оснований и сантиметров. Какой район?
Высота трапеции метры, а оснований и метры.Какой район?
Линь хочет подстричь лужайку, имеющую форму трапеции. Основания — ярды и ярды, а высота — ярды. Сколько квадратных ярдов дерна ему нужно?
Кира хочет покрыть свой внутренний двор бетонной брусчаткой. Если внутренний дворик имеет форму трапеции, основания которой равны футам, а высота — футы, сколько квадратных футов брусчатки ему понадобится?
Действия по повышению грамотности Спагетти и фрикадельки для всех предоставит вам еще один обзор тем, затронутых в этом разделе.”
Практика ведет к совершенству
Общие сведения о линейных, квадратных и кубических мерах
В следующих упражнениях определите, будете ли вы измерять каждый элемент в линейных, квадратных или кубических единицах.
количество воды в аквариуме
жилая площадь квартиры
жилая площадь ванной плитка
вместимость автоприцепа
В следующих упражнениях найдите ⓐ периметра и ⓑ площади каждой фигуры.Предположим, что каждая сторона квадрата равна сантиметрам.
Использовать свойства прямоугольников
В следующих упражнениях найдите периметр и площадь ⓑ каждого прямоугольника.
Длина прямоугольника равна футам, а ширина — футам.
ⓐ 260 футов
ⓑ 3825 кв. Фут
Длина прямоугольника составляет дюймы, а ширина — дюймы.
Прямоугольная комната шириной в фут и длиной в фут.
Подъездная дорога имеет форму прямоугольника шириной в фут и длиной в фут.
В следующих упражнениях решите.
Найдите длину прямоугольника в дюймах по периметру и ширине в дюймах.
Найдите длину прямоугольника в ярдах по периметру и ширину в ярдах.
Найдите ширину прямоугольника по периметру в метрах и длине в метрах.
Найдите ширину прямоугольника по периметру в метрах и длине в метрах.
Площадь прямоугольника — квадратные метры. Длина метров. Какая ширина?
Площадь прямоугольника — квадратные сантиметры. Ширина в сантиметрах. Какая длина?
Длина прямоугольника в дюймах больше ширины. Периметр в дюймах. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольника на дюймы больше его длины. Периметр в дюймах. Найдите длину и ширину.
Периметр прямоугольника — метры.Ширина прямоугольника на несколько метров меньше длины. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен футам. Ширина на фут меньше длины. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольника на несколько метров меньше длины. Периметр прямоугольника — метры. Найдите размеры прямоугольника.
Длина прямоугольника на несколько метров меньше ширины. Периметр прямоугольника — метры.Найдите размеры прямоугольника.
Периметр прямоугольника ступней. Длина прямоугольника в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Длина прямоугольника в три раза больше ширины. По периметру футы. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Длина прямоугольника в метрах меньше двойной ширины. Периметр — метры. Найдите длину и ширину.
Длина прямоугольника вдвое превышает его ширину в дюймах.Периметр в дюймах. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольного окна — дюймы. Площадь составляет квадратные дюймы. Какая длина?
Длина прямоугольного плаката — дюймы. Площадь составляет квадратные дюймы. Какая ширина?
Площадь прямоугольной крыши квадратных метров. Длина метров. Какая ширина?
Площадь прямоугольного брезента составляет квадратный фут. Ширина — фут. Какая длина?
Периметр прямоугольного двора — фут.Длина на фут больше ширины. Найдите длину и ширину.
Периметр прямоугольной картины в сантиметрах. Длина на сантиметры больше ширины. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольного окна в дюймах меньше его высоты. Периметр дверного проема составляет сантиметры. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольной площадки на несколько метров меньше длины. Периметр детской площадки — метры.Найдите длину и ширину.
Используйте свойства треугольников
В следующих упражнениях решите, используя свойства треугольников.
Найдите площадь треугольника с основанием в дюймах и высотой в дюймах.
Найдите площадь треугольника с основанием в сантиметрах и высотой в сантиметрах.
Найдите площадь треугольника с базовыми метрами и высотными метрами.
Найдите площадь треугольника с основанием и высотой.
Треугольный флаг имеет основание и высоту ступней. Какая у него площадь?
Треугольное окно имеет основание ступней и высоту ступней. Какая у него площадь?
Если у треугольника стороны ступни и ступни, а периметр — футы, какова длина третьей стороны?
Если у треугольника стороны сантиметра и сантиметра, а периметр равен сантиметрам, какова длина третьей стороны?
Что такое основание треугольника с площадью квадратных дюймов и высотой в дюймах?
Какова высота треугольника с площадью в квадратных дюймах и основанием в дюймах?
Периметр треугольного отражающего бассейна — ярд.Длина двух сторон — ярды и ярды. Какова длина третьей стороны?
Треугольный двор имеет периметр метровый периметр. Длина двух сторон — метры и метры. Какова длина третьей стороны?
Равнобедренный треугольник имеет основание в сантиметрах. Если периметр равен сантиметрам, найдите длину каждой из других сторон.
Равнобедренный треугольник имеет основание в дюймах. Если периметр составляет дюймы, найдите длину каждой из других сторон.
Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром в ярдах.
Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром в метры.
Периметр равностороннего треугольника — метры. Найдите длину каждой стороны.
Периметр равностороннего треугольника составляет мили. Найдите длину каждой стороны.
Периметр равнобедренного треугольника равен футам. Длина самой короткой стороны — стопы.Найдите длину двух других сторон.
Периметр равнобедренного треугольника составляет дюймы. Длина самой короткой стороны — дюймы. Найдите длину двух других сторон.
Блюдо в форме равностороннего треугольника. Каждая сторона имеет длину в дюймах. Найдите периметр.
Напольная плитка имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона футов длиной. Найдите периметр.
Дорожный знак в форме равнобедренного треугольника имеет основание в дюймах.Если периметр составляет дюймы, найдите длину каждой из других сторон.
Платок в форме равнобедренного треугольника имеет основу в метры. Если периметр составляет метры, найдите длину каждой из других сторон.
Периметр треугольника равен футам. Одна сторона треугольника на фут длиннее второй. Третья сторона на ноги длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
Периметр треугольника равен футам. Одна сторона треугольника на фут длиннее второй.Третья сторона на ноги длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
Одна сторона треугольника — это двойная наименьшая сторона. Третья сторона на фут больше самой короткой. По периметру футы. Найдите длины всех трех сторон.
Одна сторона треугольника в три раза больше наименьшей стороны. Третья сторона на фут больше самой короткой. По периметру футы. Найдите длины всех трех сторон.
Используйте свойства трапеций
В следующих упражнениях решайте, используя свойства трапеций.
Высота трапеции — футы, а основание — и футы. Какой район?
Высота трапеции — ярды, а оснований — ярды. Какой район?
Найдите площадь трапеции высотой в метры и основаниями и метрами.
Найдите площадь трапеции высотой в дюймах и основанием в дюймах.
Высота трапеции в сантиметрах, оснований и сантиметров. Какой район?
Высота трапеции — футы, а основание — и футы.Какой район?
Найдите площадь трапеции высотой в метры и основаниями и метрами.
Найдите площадь трапеции высотой в сантиметры и основаниями и сантиметрами.
Лорел делает знамя в форме трапеции. Высота знамени — ступни, а основания — ступни. Какая площадь у баннера?
Нико хочет выложить плиткой пол в ванной. Пол имеет форму трапеции с шириной ступней и длиной ступней и ступней.Какая площадь этажа?
Терезе нужна новая столешница для кухонной стойки. Прилавок имеет форму трапеции с дюймами ширины и длины и дюйма. Какая площадь прилавка?
Елена вяжет шарф. Шарф будет иметь форму трапеции с шириной в дюймах и длиной в дюймах и дюймах. Какая площадь у шарфа?
Письменные упражнения
Если вам нужно положить плитку на пол на кухне, вам нужно знать периметр или площадь кухни? Объясните свои рассуждения.
Если вам нужно поставить забор вокруг вашего заднего двора, вам нужно знать периметр или площадь заднего двора? Объясните свои рассуждения.
Посмотрите на две цифры.
ⓐ Какая фигура имеет большую площадь? Похоже, что у него больший периметр?
ⓑ Теперь вычислите площадь и периметр каждой фигуры. У кого большая площадь? У кого периметр больше?
Длина прямоугольника на фут больше ширины.Площадь квадратного метра. Найдите длину и ширину.
ⓐ Напишите уравнение, которое вы использовали бы для решения проблемы.
ⓑ Почему вы не можете решить это уравнение методами, которые вы изучили в предыдущей главе?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ По шкале от 1 до 10, как бы вы оценили свое мастерство в этом разделе в свете ваших ответов в контрольном списке? Как это можно улучшить?
Глоссарий
площадь
Площадь — это мера поверхности, покрытой фигурой.
равносторонний треугольник
Треугольник со всеми тремя сторонами равной длины называется равносторонним треугольником.
равнобедренный треугольник
Треугольник с двумя сторонами равной длины называется равнобедренным треугольником.
периметр
Периметр — это мера расстояния вокруг фигуры.
прямоугольник
Прямоугольник — это геометрическая фигура, имеющая четыре стороны и четыре прямых угла.
трапеция
Трапеция — это четырехсторонняя фигура, четырехугольник с двумя сторонами, которые параллельны, и двумя сторонами, которые не параллельны.
Что такое трапеция? (Определение, свойства и видео) // Tutors.com
Содержание
Что такое трапеция?
Определения трапеций
Уголки трапеции
Свойства трапеции
Трапеции
Виды трапеций
Что такое трапеция?
Трапеция — четырехугольник с одной парой параллельных сторон.Трапеция — это:
Плоская фигура (плоская)
Замкнутая фигура (имеет внутреннюю и внешнюю)
Многоугольник (прямые стороны)
Четырехугольник (четыре прямые стороны)
Чтобы сделать трапецию, вам понадобится треугольник. Подойдет любой треугольник: прямой, тупой, равнобедренный, разносторонний. Отрежьте верхнюю часть треугольника так, чтобы разрез был параллелен основанию треугольника. Теперь у вас есть более крошечный треугольник и трапеция.
Поскольку для определения требуется только одна пара параллельных сторон, две другие стороны можно расположить разными способами, создавая четыре внутренних угла, которые в сумме всегда составляют 360 °.
Определения трапеций
Мы уже знаем, что трапеция похожа на нижнюю часть треугольника, если от нее отрезать меньший треугольник. Вы также можете сделать трапецию из четырех отрезков или четырех прямых объектов.
Используйте все, что вам нравится: сырые спагетти, карандаши, палочки от леденцов; все, что у вас есть под рукой. Четыре прямых (линейных) объекта могут быть четырех разных длин или трех разных длин (два из них могут быть одинаковыми).
Положите два объекта вниз или нарисуйте два отрезка линии, чтобы они были параллельны (равноудалены).Сделайте их горизонтально по отношению к вам. Поместите два других объекта слева и справа от этих двух или нарисуйте их так, чтобы все восемь конечных точек соприкасались.
Вот она, трапеция! Горизонтальные части — основания . Последние две части, которые вы нарисовали или положили (на левом и правом концах), называются ножками трапеции .
Уголки трапеции
Обратите внимание, что мы не беспокоились ни о каком из внутренних углов, поскольку сохранение двух сторон параллельными заставляет остальную часть трапеции встать на место.Углы сортируются и складываются в 360 °.
Высота трапеции — это ее высота. Пусть вас не обманывают покатые ножки — если они наклонены, то длиннее высоты. Высота всегда измеряется от основания (любой параллельной стороны) до другой стороны под прямым углом к основанию.
Вы можете провести перпендикулярную линию где угодно вдоль основания трапеции, и когда она касается противоположной, параллельной стороны, ее длина равна высоте.
Свойства трапеции
Трапеция — это параллелограмм?
Вы можете определить любую трапецию, если это четырехугольник с одной парой параллельных сторон.Многие математики включают параллелограммы как типы трапеций, потому что, конечно, у параллелограмма есть как минимум одна пара параллельных сторон. Другие математики исключают параллелограммы, говоря, что трапеция должна иметь ровно одной пары параллельных сторон.
Еще одним отличительным свойством всех трапеций является то, что любые два смежных внутренних угла будут дополнительными (добавить к 180 °).
Трапеции
Обычно для максимальной ясности на изображениях и рисунках трапеций показаны две параллельные стороны, идущие горизонтально, причем более длинная сторона обращена вниз в качестве основания.Однако будьте готовы увидеть трапеции в любой ориентации . Трапецию можно нарисовать или изобразить либо с ногой внизу, либо с более короткой параллельной стороной внизу.
Поскольку параллельные стороны — единственные, которые могут быть основаниями, даже если трапеция нарисована с опорой внизу и горизонтально, это , а не основание. Это все еще нога.
Основанием обычно является более длинная параллельная сторона, но если трапеция рисуется с более короткой параллельной стороной внизу, то это основание.
Виды трапеций
Так как трапеции могут возникать в виде треугольников, они имеют общие названия, образованные от разных типов треугольников:
Scalene trapezoid — Начинается как разносторонний треугольник
Равнобедренная трапеция — начиналась как равнобедренный треугольник
Правая трапеция — Когда-то был прямоугольный треугольник
Тупая трапеция — Как тупой треугольник
Острая трапеция — как острый треугольник
Скаленовая трапеция
Разносторонняя трапеция имеет четыре стороны неравной длины.Основания параллельны, но разной длины. Две ножки разной длины.
Равнобедренная трапеция
Равнобедренная трапеция имеет ножки одинаковой длины. Основания параллельны, но разной длины.
Трапеция правая
Правая трапеция имеет один прямой угол (90 °) между основанием и ножкой .
Тупая трапеция
Тупая трапеция имеет один внутренний угол (создаваемый либо основанием , либо ножкой) больше 90 °.
Острая трапеция
Острая трапеция имеет оба внутренних угла (образованные более длинным основанием и ножками ) размером менее 90 °.
Краткое содержание урока
Используя всего четыре линии и четыре внутренних угла, мы построили трапецию , узнали, что делает трапецию уникальной (пара параллельных сторон), каковы различные части трапеции и названия пяти специальных трапеций.
Следующий урок:
Как найти площадь трапеции
Калькулятор трапеций
: найдите A и P
Добро пожаловать в калькулятор трапеций Omni , где мы узнаем все об этих четырехсторонних формах. Мы покажем вам , как вычислить площадь трапеции, , как найти высоту трапеции, или как выглядит формула периметра трапеции . Также мы уделим время описанию некоторых особых типов четырехугольника: равнобедренной трапеции и правой трапеции.И не волнуйтесь; мы не оставляем камня на камне — мы даже упоминаем в калькуляторе срединный и трапециевидный углы.
Похоже, есть несколько вещей, которые нужно обсудить, так что приступим, ладно?
Что такое трапеция?
Трапеция — это четырехугольник (форма, имеющая четыре стороны), у которого есть по крайней мере одна пара противоположных сторон, параллельных друг другу. Обратите внимание, что мы сказали « по крайней мере, одна пара сторон» — если фигура имеет две такие пары, это просто прямоугольник.И не заблуждайтесь — каждый прямоугольник представляет собой трапецию . Обратное, конечно, неверно.
Две параллельные стороны обычно называются основаниями . Обычно мы рисуем трапеции так, как делали выше, что может подсказывать, почему мы часто различаем их, говоря: нижний и верхний нижний . Две другие непараллельные стороны называются ножками (аналогично двум сторонам прямоугольного треугольника).
Есть несколько особых случаев трапеций, которые мы хотели бы здесь упомянуть.
Прямоугольник
Мы уже упоминали об этом в начале этого раздела — это трапеция, имеющая две пары противоположных сторон, параллельных друг другу .
Равнобедренная трапеция
Трапеция, ног которой имеют одинаковую длину (аналогично тому, как мы определяем равнобедренные треугольники).
Правая трапеция
Трапеция, одна ножка которой перпендикулярна основанию .Во-первых, обратите внимание, что здесь нам требуется только одна из ветвей, чтобы удовлетворить этому условию — другая может или не может. Во-вторых, обратите внимание на то, что если нога перпендикулярна одному из оснований, то она автоматически перпендикулярна и другой, так как обе ноги параллельны.
Имея в виду эти особые случаи, внимательный глаз может заметить, что прямоугольников удовлетворяют условиям 2 и 3 . Действительно, если бы кто-то не знал, что такое прямоугольник, мы могли бы просто сказать, что это равнобедренная трапеция, которая также является правой трапецией.Довольно причудливое определение по сравнению с обычным, но оно определенно заставляет нас звучать утонченно, не так ли?
Прежде чем мы перейдем к следующему разделу, позвольте нам упомянуть еще два линейных сегмента, которые есть у всех трапеций.
Высота трапеции — это расстояние между основаниями, то есть — длина линии, соединяющей два , которая перпендикулярна обоим. Фактически, это значение имеет решающее значение, когда мы обсуждаем, как вычислить площадь трапеции, и поэтому получает отдельный отдельный раздел.
Середина трапеции — это линия, соединяющая середины ног. Другими словами, имея в виду изображение выше, это линия, разрезающая трапецию по горизонтали пополам . Он всегда параллелен основаниям и с обозначениями, как на рисунке, имеем median = (a + b) / 2 . Если вам интересно название, обязательно ознакомьтесь с калькулятором медианы Omni (примечание: он не касается трапеций).
Хорошо, мы достаточно хорошо узнали нашу форму ; мы даже видели одну формулу трапеции! Давайте сделаем еще один шаг и попробуем еще лучше разобраться в теме.Мы начнем этот углубленный анализ с , формулы периметра трапеции и ее внутренних углов .
Формула периметра трапеции и углы трапеции
Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон . Для героя сегодняшней статьи история ничем не отличается. С обозначениями, как на рисунке в первом разделе (и в калькуляторе трапеций), мы выводим формулу периметра трапеции как:
P = a + b + c + d .
Довольно просто, не правда ли?
Далее, поговорим об углах .Как и в любом другом четырехугольнике, сумма углов трапеции составляет 360 градус (или 2π радиан). Однако условие того, чтобы быть трапецией (т.е. иметь пару параллельных сторон), накладывает дополнительных свойств на отдельные из них. Если быть точным, пара углов вдоль одной из ножек — это дополнительные углы. Это означает, что их сумма должна равняться 180 градусам (или π радиан), что в обозначениях из рисунка в первом разделе означает:
α + 𝛾 = β + δ = 180 ° .
Обратите внимание, что наш инструмент также упоминает углы в нижнем наборе переменных полей. Таким образом, он также может служить калькулятором угла трапеции, когда это числа, которые мы ищем. И действительно, они часто пригодятся — они играют важную роль , когда мы узнаем, как найти высоту трапеции, и это, в свою очередь, появляется при изучении того, как вычислить площадь трапеции. Однако начнем с последнего вопроса.
Как рассчитать площадь трапеции
Давайте снова возьмем картинку из первого раздела, чтобы вам не приходилось пролистывать всю статью всякий раз, когда вы хотите вспомнить обозначения.
Площадь трапеции формулы имеет следующий вид:
A = (a + b) * h / 2 .
Обратите внимание, что действительно, как мы уже упоминали пару раз, очень важно знать, как найти высоту трапеции для вычисления ее площади. Кроме того, ноги никогда не фигурируют в уравнении. Конечно, они определяют форму нашего четырехугольника, но их длина используется только в формуле периметра трапеции, которую мы обсуждали в предыдущем разделе.
Наконец, давайте проясним, что по порядку операций не имеет значения, в какой момент мы делим на 2 в указанной выше области формулы трапеции.Мы можем либо сначала вычислить (a + b) * h , а затем разделить все это на 2 , либо сначала найти h / 2 , и только затем умножить его на (a + b) . Фактически, зоркий глаз заметит, что (a + b) / 2 — это медианы , о которой мы говорили в первом разделе. Другими словами, в качестве альтернативы мы можем использовать формулу A = median * h , чтобы найти A .
Хорошо, мы научились вычислять площадь трапеции, и все это кажется простым, если мы предоставим нам все данные на пластине. Но что, если они этого не сделают? Базы достаточно простые, но как насчет х ? Что ж, пора увидеть , как найти высоту трапеции.
Как найти высоту трапеции
Решающий факт, который мы используем для определения высоты трапеции, заключается в том, что — это отрезок прямой, перпендикулярный основанию . Это дает нам прямой угол в обеих конечных точках, что позволяет нам использовать прямоугольные треугольники. И первое, что приходит в голову, когда мы слышим фразу прямоугольный треугольник , это, конечно же, теорема Пифагора.
Давайте проведем линию от одной из верхних вершин , которая падает на нижнее основание a под углом 90 градус. (Обратите внимание, как для тупых трапеций, подобных изображенной на правом рисунке выше, высота h выходит за пределы формы, то есть на линии, содержащей a , а не a как таковой. Тем не менее, то, что мы описываем ниже, все еще остается в силе. для таких четырехугольников.) Длина этой линии равна высоте нашей трапеции, поэтому именно то, что мы ищем. Обратите внимание на то, как мы нарисовали линию , она образует прямоугольный треугольник с одной из ног c или d (в зависимости от того, какую верхнюю вершину мы выбрали).
Если у нас есть длина ноги трапеции и мы можем вычислить другую сторону прямоугольного треугольника (например, e или f на картинке выше), то мы знаем, как найти высоту трапеции — воспользуемся теоремой Пифагора .Однако есть еще один способ его вычисления.
Если вы немного разбираетесь в тригонометрии, вы сможете найти высоту , используя внутренний угол трапеции . Чтобы быть точным, глядя на углы трапеции в нашем калькуляторе (то есть на обозначения на рисунке), мы можем использовать определение тригонометрических функций, чтобы написать:
h = c * sin (α) = d * sin (δ) ,
, где sin — синусоидальная функция. На самом деле может случиться так, что угол будет равен 30 , 45 или 60 градусу, и в этом случае мы можем просто использовать свойства специальных прямоугольных треугольников с такими внутренними углами.
Наконец, отметим, что весь этот поиск h очень прост в особом случае — когда у нас есть , это правая трапеция . Тогда высота нашей трапеции — это просто нога, лежащая рядом с прямым углом. Обратите внимание, что в этом случае приведенная выше тригонометрическая формула все еще работает, так как sin (90 °) = 1 .
Уф, это было много теории . Пришло время воспользоваться этими формулами трапеций и посмотреть, как вычислить площадь и периметр трапеции на практике .
Пример: использование калькулятора трапеций
Давайте посмотрим, как найти площадь и периметр трапеции со сторонами и углами, обозначенными как в калькуляторе трапеций, и следующими данными:
a = 8 дюймов , b = 5 дюймов , d = 3 дюймов , α = 90 ° , δ = 45 ° .
На вид не так много, но давайте посмотрим, что мы можем здесь сделать . Однако во-первых, давайте заметим, что наш калькулятор трапеций может легко справиться с нашей проблемой даже с таким небольшим количеством информации.Действительно, если мы введем вышеуказанные числа в наш инструмент (обратите внимание, как мы можем переключиться на другие единицы, щелкнув по ним и выбрав подходящий из списка), он заполнит все остальные поля . Например, в качестве калькулятора трапециевидного угла он будет использовать идентификаторы, упомянутые во втором разделе, для вычисления β и 𝛾 . Также обратите внимание, что мы можем дополнительно перейти в расширенный режим и увидеть длину медианы.
Если инструмент может это сделать, то сможем и мы! Давайте посмотрим, как вычислить площадь и периметр трапеции вручную.
Прежде всего, заметьте, что мы имеем дело с правой трапецией , так как α = 90 ° (фактически, у нас также β = 90 ° ). Это означает, что сторона c перпендикулярна основаниям и, следовательно, равна высоте c = h . Однако мы не знаем c , поэтому нам еще нужно будет найти .
Для этого нарисуйте высоту нашей трапеции , которая идет от вершины между b и d .Вместе с d и частью a , он образует прямоугольный треугольник . Более того, нам известен один из его углов — δ = 45 ° . Значит, это один из частных случаев — это половина квадрата. Следовательно, h равно нижней стороне треугольника, а d фактически является диагональю квадрата, что означает, что:
h = d / √2 = 3 дюйма / √2 = 1,5√2 дюйма ≈ 2,1213 дюйма
(последнее равенство получаем, рационализируя знаменатель).
Теперь у нас есть все необходимое , чтобы найти A . Вспомните из специального раздела, как рассчитать площадь трапеции, и используйте эту информацию для получения
.
A = (a + b) * h / 2 = (8 дюймов + 5 дюймов) * 1,5√2 дюйма / 2 = 9,75√2 дюйма² ≈ 13,789 дюйма² .
Мы также собрали все данные, чтобы найти P с c = h = 1,5√2 в . По формуле периметра трапеции из второго сечения получаем
P = a + b + c + d = 8 дюймов + 5 дюймов + 1.5√2 дюйма + 3 дюйма = 16 + 1,5√2 дюйма ≈ 18,12 дюйма .
Не так уж плохо, правда? Стороны и углы, которые мы получили вначале, казались довольно случайными, но нам удалось найти им хорошее применение. Если вы чувствуете, что жаждет большего количества геометрии и формул , обязательно ознакомьтесь с другими калькуляторами 2D-форм на веб-сайте Omni — у нас есть все!
равнобедренная трапеция в предложении
SentencesMobile
На второстепенных и местных или уездных дорогах в качестве маркеров используется равнобедренная трапеция.
Двухцветный квадрат можно преобразовать в равнобедренные трапеции.
Квадраты можно превратить в равнобедренные трапеции.
Все правильные простые многоугольники, все равнобедренные трапеции, все треугольники и все прямоугольники являются циклическими.
Некоторые популярные вставки на грифе включают ромбы, параллелограммы, равнобедренные трапеции, акульи плавники и прямоугольники.
Четырехугольники с симметрией отражения — это воздушные змеи, (вогнутые) дельтоиды, ромбы и равнобедренные трапеции.
Призматические лопасти часто имеют трапециевидное поперечное сечение, но по внешнему виду очень близки к равнобедренной трапеции.
Треугольники с симметрией отражения — равнобедренные, четырехугольники с этой симметрией — воздушные змеи и равнобедренные трапеции.
Кажется, что передняя и задняя части каждой опорной конструкции представляют собой равнобедренную трапецию, а верх и основание каждой опорной конструкции представляют собой прямоугольник.
Каждый антипараллелограмм имеет равнобедренную трапецию в качестве выпуклой оболочки и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон равнобедренной трапеции.
Трудно увидеть в предложении равнобедренную трапецию.
Каждый антипараллелограмм имеет равнобедренную трапецию в качестве выпуклой оболочки и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон равнобедренной трапеции.
Схематическое изображение мультиплексора представляет собой равнобедренную трапецию с длинной параллельной стороной, содержащей входные контакты, и короткой параллельной стороной, содержащей выходной контакт.
Я не знаю, как найти угол MNC. Я знаю, что это равнобедренная трапеция, и я знаю, что угол B равен 88 градусам.
«Подъездная дорога к парку 201» (указатели на подъездной дороге к парку представляют собой бело-коричневую обратную равнобедренную трапецию) проходит вдоль восточной стороны Медины.
Базовые углы равнобедренной трапеции равны в меру (фактически есть две пары равных базовых углов, где один базовый угол является дополнительным углом базового угла у другого базового угла).
Его можно отличить от разъема Plug and Display по корпусу, который имеет форму равнобедренной трапеции, похожей на корпус D-сверхминиатюрного устройства, а не по форме D-образного корпуса разъема DVI.
Фактическое основание каждого креста имеет прямоугольную вершину (стороны s1 и s2) и прямоугольное основание (стороны s3 и s5), равнобедренную трапецию спереди и сзади и трапецию на каждой стороне, которая не является равнобедренной.
«Примечание 1: у наиболее распространенных трапеций и равнобедренных трапеций нет перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (непохожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названий четырехугольников.»
» Примечание 1: у наиболее распространенных трапеций и равнобедренных трапеций нет перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (непохожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названий четырехугольников. «
Если правильный восьмиугольник разделен на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1: и 4 стороны трапеций имеют соотношение 1: 1: 1:.
Другие предложения ： 1 2
.