Уравнение с дробью как решать: Решение уравнений с дробями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 17.07.201803.02.2021 by alexxlab

Содержание

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

b/x + c = d

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом.

Следует только учесть следующие моменты:

значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

1 + 2x = 5х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

4 = х + 2

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Урок 53. обобщение и систематизация знаний по теме «смешанные дроби. уравнения» — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 53

Обобщение и систематизация знаний по теме «Смешанные дроби. Уравнения»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– сложение, вычитание, умножение и деление смешанных дробей с разными знаками;

– уравнения, корни уравнения;

– уравнение как перевод условия задачи на математический язык;

– решение задач с помощью уравнений.

Тезаурус

Натуральные числа – это числа, которые используются при подсчёте предметов.

Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Положительная смешанная дробь есть сумма натурального числа и правильной дроби.

Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получают верное числовое равенство.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Учение – путь к умению!» –гласит известная поговорка. Сегодня мы будем учиться решать уравнения со смешанными дробями. Для этого сегодня мы повторим действия сложения, умножения, вычитания и деления смешанных дробей.

Для начала вспомним правило сложения (вычитания) смешанных дробей.

Чтобы сложить (вычесть) смешанные дроби, надо:

1) отдельно сложить (вычесть) их целые части;

2) отдельно сложить (вычесть) дробные части.

Если дроби с разными знаменателями, то нужно их привести к общему знаменателю.

При этом необходимо помнить, что дроби складываются, если они с одинаковыми знаками, при этом знак дробей сохраняется. Если дроби с разными знаками, то они вычитаются. Из большего модуля вычтем меньший и перед разностью поставим знак слагаемого с большим модулем. При необходимости из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят её в дробную часть.

А теперь вспомним правило умножения смешанных дробей.

Сначала переводим смешанные дроби в неправильные. Затем выполняем вычисления с дробями: определяем знак результата и выполняем действия с модулями (с положительными дробями), находим произведение отдельно числителей и отдельно знаменателей. Произведение числителей пишем числителем новой дроби, а произведение знаменателей, знаменателем новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака произведения используем следующее правило. Если количество отрицательных множителей чётное, то произведение будет положительным, если количество отрицательных множителей нечётное, то знак произведения будет отрицательным.

Чётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «+»

Нечётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «–»

Вспомним общий алгоритм деления смешанных дробей.

Сначала переводим смешанную дробь в неправильную.

Затем переводим деление в умножение, переворачивая вторую дробь, т.е. умножаем делимое на число обратное делителю. И находим произведение числителей и знаменателей. Это будут соответственно числитель и знаменатель новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака частного используем такое же правило, как и при умножении. Если количество отрицательных дробей чётное, то частное будет положительным, если количество отрицательных дробей нечётное, то знак частного будет отрицательным.

Все арифметические действия можно использовать при решении уравнений и задач, которые сводятся к уравнениям. Напомним алгоритм решения задач с помощью уравнений.

Во-первых, неизвестную величину нужно обозначить буквой.

Во-вторых, используя условие задачи, составить уравнение.

Затем решить это уравнение.

И ответить на вопрос задачи.

Решая уравнение, мы можем использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя знак числа на противоположный;

– делить или умножать обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Задача на движение

Путь от пункта А до пункта В у мотоциклиста занимает 30 мин, а у велосипедиста – 2 часа. Скорость мотоциклиста на 42 км/ч больше скорости велосипедиста.

С какой скоростью движется велосипедист?

Решение

Обозначим через х км/ч скорость велосипедиста и сведём известные и неизвестные величины в таблицу.

Тогда скорость мотоциклиста (х + 42) км/ч.

Путь велосипедиста 2х км.

Расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом – одинаковое.

Составим уравнение:

Решаем уравнение.

Умножим левую и правую часть уравнения на 2:

х + 42 = 4х.

Перенесём х в правую часть с противоположным знаком:

42 = 4х – x,

42 = 3x.

Разделим обе части уравнения на 3:

x = 14 (км/ч).

Ответ: скорость велосипедиста составляет 14 км/ч.

Разбор заданий тренировочного модуля

Решение

Чтобы сравнить данное выражение с нулём, нужно вспомнить, что значит число в третьей степени. Это значит, что число умножается само на себя три раза, В условии задачи – отрицательное число, при умножении знак «минус» будет повторяться три раза, значит, в результате получится отрицательное число, а любое отрицательное число меньше нуля.

Тип 2. Девочке задали на лето прочитать книгу, в которой х страниц. Она читала её три дня. В первый день девочка прочитала 21 страницу книги. Во второй день она прочитала 1/5 книги. В третий день она прочитала 1/2 от прочитанного во второй день. Сколько страниц она прочитала в третий день?

Решение

Перенесём 21 в правую часть уравнения и выполним арифметические действия с х в левой части уравнения:

Ответ: 3 страницы было прочитано в третий день.

Калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов и пр.

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам, а также решать уравнения, неравенства, системы уравнений/неравенств и выражения с логарифмами, вычислять пределы функций, определенные/неопределенные интегралы и производные любого порядка (дифференцирование), производить действия с комплексными числами, калькулятор дробей и пр.

Пояснения к калькулятору

Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
C — очистить поле ввода.
При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a^b и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. 2}(решить неравенство)

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

$$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

Вычисление пределов функций

Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
^b_a∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Вычисление производных

Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
f'(x) — производная первого порядка;
f»(x) — производная второго порядка;
f»'(x) — производная третьего порядка.
fⁿ(x) — производная любого n-о порядка.

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр. ). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

Как решать уравнения с дробями онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В 5 классе школьники по математике изучают довольно много новых тем, одной из которых будет дробные уравнения. Для многих это довольно сложная тема, в которой родители должны помочь разобраться своим детям, а если родители забыли математику, то они всегда могут воспользоваться онлайн программами, решающими уравнения. Так на примере вы сможете быстро понять алгоритм решения уравнений с дробями и помочь своему ребенку.

Так же читайте нашу статью «Решить дробное уравнение онлайн решателем»

Ниже для наглядности мы решим несложное дробное линейное уравнение следующего вида:

\[\frac{x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Чтобы решить данного рода уравнения необходимо определить НОЗ и умножить на него левую и правую часть уравнения:

НОЗ = 6

\[\frac {x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Благодаря этому мы получим простое линейное уравнение, поскольку общий знаменатель, а также знаменатель каждого дробного члена сократится:

\[2(2-x)-9x=30\]

Далее нам необходимо открыть скобки:

\[2x-4-9x=30\]

Сделаем перенос членов с неизвестной в левую сторону:

\[-7x=30+4\]

Выполним деление левой и правой части на -7:

\[x=-\frac{34}{7}\]

Из полученного результата можно выделить целую часть, что и будет конечным результатом решения данного дробного уравнения:

\[x=-4\frac {6}{7}\]

Где можно решить уравнение с дробями онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher. ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Решение уравнений умножением

Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac{x}{a} = b$.

Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения. Но если оба члена уравнения умножить на a, уравнение примет вид
$x = ab.$

То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.

Так, $x = \frac{ax}{a} = \frac{3x}{3} = \frac{(a + b)x}{a + b} = \frac{dx + 5x}{d + 5}$. Для каждого из этих примеров, x умножается и делится на одну и ту же величину, и такое действие не изменяет значения величин. Поэтому,

Когда неизвестная величина разделена на известную величину, уравнение решается путем умножения каждой стороны на эту известную величину.

Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.

Пример 1. Решите уравнение      $\frac{x}{c} + a = b + d$
Умножаем обе стороны на      $c$
Произведение будет        $x + ac = bc + cd$
И         $x = bc + cd — ac$.

Пример 1. Решите уравнение      $\frac{x}{a+b} + d = h$
Умножаем на $a + b$      $x + ad + bd = ah + bh$.
И         $x = ag + bh — ad — bd.$

Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.

Пример 3. Решите уравнение      $\frac{6}{10-x} + 7 = 8$
Умножая на $10 — x$       $6 + 70 — 7x = 80 — 8x$
Тогда          $x = 4$.

Хотя это и не обязательно, но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.

Возьмем для примера      $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем на a      $x = \frac{ad}{b} + \frac{ah}{c}$
Умножаем на b      $bx = ad + \frac{abh}{c}$
Умножаем на c      $bcx = acd + abh$.

Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.

В этом же самом уравнении $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем члены на abc $\frac{abcx}{a} = \frac{abcd}{b} + \frac{abch}{c}$

После сокращения каждого одинакового значения в одной дроби, получим $bcx = acd + abh$, как и в предыдущем варианте. Отсюда,

В уравнении можно избавиться от дробей, умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели.

При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок

Уравнение $\frac{a — d}{x} = c — \frac{3b — 2hm — 6n}{r}$ является
равным этому уравнению $ar — dr = crx -3bx + 2hmx + 6nx$.

Решение уравнений — калькулятор от Intemodino

Могу ли я решить неполные квадратные уравнения, например без линейного или свободного члена?

Да, калькулятор позволяет решать полные и неполные квадратные уравнения. В зависимости от того, в каком виде записано уравнение, Вы можете выбрать Advanced формат или использовать встроенные форматы, которые позволяют вводить только коэффициенты уравнения.

Как вводить уравнения со скобками?

Для того чтобы ввести уравнение, содержащее скобки, надо выбрать Advanced формат.

Как вводить уравнения с дробями?

В зависимости от того какой ввод уравнения Вы выбрали, существует два способа ввода дробных коэффициентов:
— если Вы собираетесь вводить уравнение, используя встроенные форматы, то Вам надо переключится в режим ввода дробей, выбрав «Дроби» в верхнем меню калькулятора.

— если Вы выбрали ввод уравнения в формате Advanced, для того чтобы отделить целую часть от дробной при вводе смешанных чисел, используйте знак подчеркивания. Между числителем и знаменателем дроби ставится наклонная черта. Пример: 3_1/2, 5/8 и т.д.

Где я могу посмотреть подробное решение уравнения?

При решении линейних и квадратных уравнений наш математический калькулятор показывает пошаговое решение с пояснениями, что может быть полезно не только школьникам, но и их родителям при проверке домашних заданий.

Как распечатать решение уравнения?

Вы можете отправить решение конкретного уравнения или историю всех проведенных вычислений по электронной почте и затем распечатать решение из почты.

Где найти ранее решённые уравнения?

Чтобы просмотреть или отредактировать ранее решённые уравнения, используйте стрелки «вперед» и «назад» в верхнем меню калькулятора.

Какой алгоритм используется для решения кубических уравнений?

Калькулятор решает кубические уравнения, используя формулу Кардано.

Каким способом решаются уравнения четвертой степени?

Для решения уравнений четвертой степени используется метод Феррари.

Конспект урока по теме «Решение уравнений » 5 класс

Технологическая карта урока

Конспект урока по математике.

Класс 5 Учебник: Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс, Е.А. Бунимович, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.

Учитель: Булавина Е.Н.

Тема урока: Решение уравнений.

Цели урока: 1) образовательная: учить решать уравнения, содержащие обыкновенные дроби;

2) развивающая: развитие математической речи у учащихся и логического мышления

3) воспитательная: учить сотрудничать, осуществляя взаимопомощь и взаимоконтроль.

Задачи урока: выделять и структурировать информацию, существенную для решения проблемы, под руководством учителя, осуществлять рефлексию своего отношения к содержанию темы по заданному алгоритму.

Тип урока: урок изучения нового материала

Образовательная технология: развивающее обучение

Основной метод обучения: решение задач под руководством учителя.

Средства обучения: доска, проектор, компьютер.

Цели урока как планируемые результаты обучения:

Структура урока

формулировать информационный запрос

Регулятивные УУД:

определять цели учебной деятельности

Поисково-исследователь-ский этап

• организовать осмысленное восприятие новой информации

Фронтальная, индивидуальная

1. Сообщает 1 часть информации по теме урока

2. Предлагает ответить на вопросы, которые получены из 1 части рассказа.

3. Сообщает 2 часть информации. Предлагает записать выводы и решить уравнения.

4. Предлагает найти ответы на вопросы в ходе практической работы.

1. Слушают новый материал.

2. Делают пометки, называют вопросы и дают на них ответы.

3. Слушают, записывают и решают.

4. Формулируют новые вопросы по изучаемой теме.

Познавательные УУД:

извлекать необходимую информацию из прослушанных текстов;

структурировать знания;

Коммуникативные УУД:

вступать в диалог, с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Предметные УУД:

давать определения новым понятиям темы;

называть способы решения уравнения.

Практический этап

• обеспечить осмысленное усвоение и закрепление знаний

Индивидуальная, фронтальная

1. Дает задание для учащихся , организует обсуждение результатов ее выполнения.

2. Помогает впомнить понятия «уравнение», «равенство»; «корень уравнения».

3. Дает задание для учащихся, организует обсуждение ее результатов.

1. Выполняют задания, сообщают о результатах.

2. Слушают объяснение учителя.

3. Выполняют задания, сообщают о результатах.

Предметные УУД:

Различать способы решения уравнений, правильно формулировать ход решения уравнений, находить неизвестные компоненты, применять на практике полученные выводы

Познавательные УУД:

анализировать и сравнивать объекты, подводить под понятие;

Рефлексивно-оценочный этап

• осмысление процесса и результата деятельности

Индивидуальная, фронтальная

1. Предлагает оценить факт достижения цели урока: на все ли вопросы найдены ответы.

2. Предлагает каждому учащемуся высказать свое мнение в виде фразы: телеграммы

1. Оценивают степень достижения цели, определяют круг новых вопросов.

2. Выборочно высказываются, делятся друг с другом мнением

Регулятивные УУД:

констатировать необходимость продолжения действий

Познавательные УУД:

решать различные виды уравнений

Коммуникативные УУД:

адекватно отображать свои чувства, мысли в речевом высказывании

Ход урока

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

Учащиеся готовы к началу работы.

Этап актуализация знаний.

Этап изучение нового материала

Учитель: Открываем тетради, записываем число, классная работа.

1 слайд:

— Внимательно их изучите, и найдите числа, которые должны быть записаны в пустых клетках.

— Какие компоненты неизвестны в первой таблице, во второй?

— Какие эти числа, как они обозначаются?

— Давайте запишем, какие равенства у нас получаются.

Как называются эти равенства?

– Кто догадался, какая тема сегодняшнего урока?

1.Самостоятельно обдумывают.

2. Дают ответы на вопросы.

— 2,1 слагаемое, формулируют правила нахождения неизвестного слагаемого.

— вычитаемое, уменьшаемое, формулируют правила нахождения неизвестного компонента.

3. Неизвестные, они обозначаются буквой х.

4. Делают записи в тетради.

5. Учащиеся внимательно смотрят на записи, отвечают на вопросы. Уравнения.

4. Ребята объявляют тему урока и записывают в тетради: « Решение уравнений».

5. Формулируют цель: учиться решать уравнения, содержащие обыкновенные дроби.

6. Формулируют задачи:

вспомнить основные понятия, свойства, которые можно отнести к уравнениям;
изучить материал учебника по этой теме;
внимательно слушать учителя;

делать необходимые записи в тетрадях.

1. Отвечают на вопросы:

1) решить уравнение: найти все его корни или доказать, что их нет. Записывают определение.

2) корнем уравнения является число, при подстановке которого в уравнение, уравнение становится верным равенством.

3) Решают уравнения по алгоритму.

1) х=0,

Записывают в тетрадях вывод.

2) у уравнения нет решения, следовательно, нет корней, записывают вывод.

3) Записывают уравнения в тетрадях, предлагают возможные варианты их решения:

1 способ решения 3 уравнения: выполнить действие в правой части, а потом найти неизвестный компонент.

2 способ: найти неизвестный компонент, а за тем выполнить действие. Выполняют проверку.

Уметь правильно определять неизвестный компонент и формулировать правило его нахождения.

Уметь самостоятельно формулировать тему урока, определять цели учебной деятельности.

Уметь правильно и точно излагать свои мысли, отвечая на вопросы учителя, давать определения новым понятиям; решать уравнения по правилу нахождения неизвестного компонента.

— Исходя из названия темы, давайте сформулируем цель нашего урока.

— Для того чтобы достичь цели урока, какие задачи нам надо поставить?

1.Учитель задает вопросы.

– А что значит «решить уравнение»?

— Что такое корень уравнения?

— Давайте вернемся к началу нашего урока. В тетрадях решим получившиеся уравнения по правилу отыскания неизвестных компонентов.

на доске

самостоятельно

на доске

самостоятельно

слайд 2.

— чему равен корень первого уравнения?

— чему равен корень второго уравнения?

Учитель предлагает решить 3 уравнение на доске и сделать проверку.

Предлагает решить 4 уравнение.

Уметь различать способы решения уравнений, правильно формулировать ход решения уравнения, делать проверку решения уравнения, применять на практике полученные выводы.

Физпауза

А сейчас вам предстоит очень сложное задание, поэтому предлагаю вам отдохнуть и собраться с силами.

Учитель говорит строчку стихотворения и делает паузу, а в это время дети про себя повторяют строчки с закрытыми глазами.

Глазки прикрыли, ручки сложили,

Головки опустили, ротик закрыли.

И затихли на минутку,

Чтоб не слышать даже шутку, чтоб не видеть никого, а себя лишь одного!

Открыли глазки, все внимание на экран.

Выполняют упражнение.

Отдых и концентрация внимания перед решением сложной задачи

Этап первичное осмысление и закрепление знаний

Учитель детям предлагает внимательно посмотреть на решение уравнения и найти ошибки. Играют в игру «День, ночь».

Слайд 3.

Чему равен корень уравнения?

Учитель предлагает ребятам сравнить свое решение с эталоном.

Играют в игру «День, ночь»: когда наступает «ночь» — дети с закрытыми глазами на пальцах показывают количество ошибок, которое они нашли в решении. Когда наступает «день» — дети открывают глаза и вместе с учителем обсуждают найденные ошибки.
2. Записывают правильное решение уравнения самостоятельно в тетрадях.

х = ¼

4. Выполняют проверку своего решения с эталоном на экране.

Уметь анализировать решение уравнения и исправлять найденные ошибки.

Этап закрепление изученного материала

1. Решить №343 по вариантам с последующей проверкой решения, способом обмена тетрадей по парте.

2. №348 (а,б).

1. Делают записи в тетрадь. После выполнения задания меняются тетрадями с соседом по парте и выполняют проверку решения. Один из учеников делает проверку с комментарием.

2. Решают самостоятельно, сверяют с доской, один из учеников решает у доски.

Уметь решать уравнения, содержащие обыкновенные дроби.

Этап подведение итогов. Домашнее задание.

-Наш урок подходит к концу, с начала запишем домашнее задание, затем подведем итоги.

— На экране:

— Ваши вопросы по домашнему заданию.

— А теперь подведем итоги: Что мы сегодня делали на уроке? Что мы узнали? На все ли вопросы мы получили ответы? Что вам понравилось больше всего?

— Давайте еще раз вспомним определение уравнения, корня уравнения.

— Итог урока каждый из вас подведет с помощью телеграммы; то есть в виде одного краткого предложения, которое выразит ваше отношение к уроку.

Ребята записывают домашнее задание в дневниках.

Просматривают домашнее задание, задают вопросы

Проводят самоанализ, отвечают на вопросы; вспоминают правила; определение уравнения, корня уравнения.

В конце своей работы каждый ученик пишет телеграмму. По желанию зачитывают на весь класс.

Уметь проводить самоанализ своих знаний, определять круг новых вопросов, адекватно отображать свои чувства, мысли в речевом высказывании.

11.4 — Дробные уравнения

Перед чтением этого раздела вы можете изучить следующие темы:
Дробное уравнение — это уравнение, содержащее дробные члены. В разделе 4.2 мы видели как решить линейное уравнение , которое содержит дроби. Шаги для решения любого дробного уравнения точно такие же:

Посмотрите на знаменатели всех членов дроби и найдите их наименьшее общее кратное (НОК) (это также называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей).
Умножьте обе части уравнения на НОК.
Распределите НОК по обеим сторонам уравнения.
Уравнение больше не содержит дробных членов, и вы можете продолжить его решение. с помощью основных процедур решения уравнений.
Проверить решение. Это особенно важно для дробных уравнений. Там возможны две проблемы:
- Если знаменатель любого члена дроби содержит x , то НОК будет также содержат x , и умножение обеих частей уравнения на НОК даст увеличьте степень x в уравнении.Это часто приводит к посторонним решениям.
- При подстановке решений обратно в исходное уравнение для их проверки, любое решение, которое приводит к нулевому знаменателю любого члена дроби, должно быть отброшено потому что деление на ноль запрещено в математике.

Пример 1: Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Знаменатели дробей равны 3, 2 и 6.

НОК этих чисел равняется 6. Умножьте обе части уравнения на 6. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)

Распределите по обеим сторонам уравнения:

4 x — 3 = 6 x + 7.

Теперь дроби очищены, поэтому уравнение больше не является дробным. Завершите решение уравнения, собрав линейные члены в левой части и постоянные члены в правой части.Это дает:

−2 x = 10.

Разделим обе части на −2. Это дает решение:

х = −5.

Проверьте это, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -23 / 6 = -23 / 6, поэтому решение подтверждается.

Пример 2: Решите это дробное уравнение для x :

Решение: У дробей знаменатели x ² + x — 2, x + 2 и x — 1.Может показаться, что LCM — всего лишь продукт всех трех, но поскольку x ² + x — 2 можно разложить на множители как ( x + 2) ( x — 1), LCM на самом деле просто ( x + 2) ( x — 1).

Умножьте на него обе части уравнения. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)

Распределите по обеим сторонам уравнения:

9 = 3 ( x — 1) + 7 ( x + 2).

Теперь дроби очищены, так что это больше не дробное уравнение; это линейное уравнение. Решите его обычными методами. Еще раз распределите в правой части:

9 = 10 x + 11.

Соберите постоянные термины в левой части:

−2 = 10 х .

Разделите обе части на 10. Это дает решение:

х = -1/5.

Проверьте это, подставив обратно в исходное уравнение.Это дает -25 / 6 = -25 / 6, поэтому решение подтверждается.

Пример 3: Цель этого примера — проиллюстрировать решение, которое должно будет отклонено, потому что это приводит к делению на ноль . Уравнение идентично уравнению один в предыдущем примере, за исключением того, что он отличается знаком одного члена.

Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Сравните каждый шаг здесь с соответствующим шагом в примере выше.Умножьте обе части уравнения на НОК, который снова равен ( x + 2) ( x — 1):

Распределите по обеим сторонам уравнения:

9 = −3 ( x — 1) + 7 ( x + 2).

Еще раз распределите в правой части:

9 = 4 x + 17.

На этот раз решение x = −2. Если мы попытаемся подставить его обратно в исходное уравнение, мы получим деления на ноль в двух дробях.Поэтому мы должны отказаться от этого решения и заявить, что уравнение не имеет решения .

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Решение уравнений путем очистки дробей

Результаты обучения

Используйте наименьший общий знаменатель для исключения дробей из линейного уравнения перед его решением
Решите уравнения с дробями, которые требуют нескольких шагов

Вы можете чувствовать себя ошеломленным, когда видите дроби в уравнении, поэтому мы собираемся показать метод решения уравнений с дробями, в котором вы используете общий знаменатель, чтобы исключить дроби из уравнения. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей.