заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: reshu.rf@gmail.com). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Квадратичная функция, как построить Параболу

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax² + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x²:

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x², нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x

График функции y = –x² выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a < 0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax² + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b² — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1.  Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
   

2. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
3. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:



Если a > 0, то график выглядит как-то так:

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x² + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x² + 3x — 5.

D = b² — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

√D = 7

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x² + 3x — 5 = 0

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
5. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
   

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x² + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)² + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить y = x²,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

2. Построить график параболы для каждого случая.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) * (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x — 2) * (x + 1).

Как строим:

1. Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x — 2) * (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = -1.

2. Определим координаты вершины параболы:

3. Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab =(-2) * (1)= -2 и ей симметричная.

4. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Чтобы не запутаться во всех графиках, приходите вместе с ребенком на бесплатный урок математики в современную школу Skysmart: порисуем параболы на интерактивной онлайн-доске, разберемся в самых коварных формулах и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием.

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

• способ перебора вариантов;

• применение алгоритма Евклида;

• представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

• разложения на множители;

• решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

• метод остатков;

• метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x² – xy – 2y² = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x₀ = 1, y₀ = 2.

Тогда

5x₀ + 7y₀ = 19,

откуда

5(х – x₀) + 7(у – y₀) = 0,

5(х – x₀) = –7(у – y₀).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x₀ = 7k, у – y₀ = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x³ + y³ = 3333333;

б) x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1).

а) Так как x³ и y³ при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x³ + y³ может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

4. Решить

а) в простых числах уравнение х² – 7х – 144 = у² – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x² – (y + 1)x + y² – y = 0. 

Дискриминант этого уравнения равен –3y² + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y³ и z³ будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

x² + 2y² = x³

или, иначе,

x²(x–1) = 2y².

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n²+1. Подставляя в x²(x–1) = 2y² такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n²+1) = 2n³+n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n²+1; 2n³+n; –2n³– n).

Ответ: существует.

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x² + y² + z² + u² = 2xyzu.

Число x² + y² + z² + u² чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x₁, y = 2y₁, z = 2z₁, u = 2u₁,

и исходное уравнение примет вид

x₁² + y₁² + z₁² + u₁² = 8x₁y₁z₁u₁.

Теперь заметим, что (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁² + y₁² + z₁² + u₁² не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁² + y₁² + z₁² + u₁² не делится даже на 4. Значит,

x₁ = 2x₂, y₁ = 2y₂, z₁ = 2z₂, u₁ = 2u₂,

и мы получаем уравнение

x₂² + y₂² + z₂² + u₂² = 32x₂y₂z₂u₂.

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2ⁿ при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

7. Докажите, что уравнение

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у².

Очевидно, что

если х = 1, то у² = 1,

если х = 3, то у² = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х₁ = 1, у₁ = 1;

х₂ = 1, у₂ = –1;

х₃ = 3, у₃ = 3;

х₄ = 3, у₄ = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a³ – b³ – c³ = 3abc,  a² = 2(b + c).

Так как

3abc > 0, то a³ > b³ + c³;

таким образом имеем

b

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a²

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х² + х = у⁴ + у³ + у² + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у² + 1),

или

х(х + 1) = (у² + у)(у² + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х₁ = 0, у₁ = 0;

х₂ = 0, у₂ = –1;

х₃ = –1, у₃ = 0;

х₄ = –1, у₄ = –1.

Произведение (у² + у)(у² + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

х₅ = 5, у₅ = 2;

х₆ = –6, у₆ = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

а) ху = х + у + 3;

б) х² + у² = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х³ + 21у² + 5 = 0;

б) 15х² – 7у² = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

а) 2^х + 1 = у²;

б) 3·2^х + 1 = у².

4. Доказать, что уравнение х³ + 3у³ + 9z³ = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

x = y = z = 0.

5. Доказать, что уравнение х² + 5 = у³ в целых числах не имеет решений.

Copyright  Балтасинская гимназия © 2009 Ефимов Максим  11 Б класс

Построение графиков уравнений, содержащих модули

Тип урока: Урок формирования новых знаний.

Цели урока:

1. Формировать умение строить графики уравнений содержащих модули.
2. Развитие логического мышления, познавательного интереса.
3. Развитие общеучебных навыков и умений – организационных, интеллектуальных и коммуникативных.

Оборудование: мультимедиа проектор, доска.

1. Вычислите. (слайд 1)
   

2. Решите уравнение. (слайд 2)
   

III.

1. Построить график уравнения  (слайд 3)

Решение. (слайд 4)

По определению модуля имеем:

Построим график уравнения: (слайд 5)

1. х=2у, если у≥0
2. х=0, если у<0
3. Получили график уравнения

2. Построить график уравнения .(слайд 6)

Решение. (слайд 7)

По определению модуля имеем:

Если у=0, то х – любое.

Выполним построение. (слайд 8)

1. х = 1, если у>0;
2. x = — 1, если у<0;

3. Построить график уравнения (слайд 9)

Решение. (слайд 10)

По определению модуля имеем:

1. При х≥0, у≥0, уравнение х+у=4;
2. При х≥0, у<0, уравнение х-у=4;
3. При х<0, у≥0, уравнение –х+у=4;
4. При х<0, у<0, уравнение –х-у=4.

(слайд 11)

Построить график уравнения (слайд 12)

Решение. (слайд 13)

По определению модуля имеем:

1. При х≥0, у≥0, уравнение х-у=4;
2. При х≥0, у<0, уравнение х+у=4;
3. При х<0, у≥0, уравнение –х-у=4;
4. При х<0, у<0, уравнение –х+у=4.

(слайд 14)

IV. Закрепление. Решение задач.

Построить график уравнения. (слайд 15)

а) |x|+|y|=2;

б)|x|-|y|=3.

Проверка (слайд ) (слайд 16)

(слайд 17)

V. Итог урока.

Домашнее задание. (слайд 18)

Построить графики уравнений: а) |y|=1-|x|; б)|y|=|x|+3.

Функции и линейные уравнения (Алгебра 2, Как построить график функций и линейных уравнений) — Mathplanet

Если мы в следующем уравнении y = x + 7 присвоим значение x, уравнение даст нам значение для y.

Пример

$$ y = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$$ y = 2 + 7 = 9 $$

Если бы мы присвоили другое значение x, уравнение дало бы нам другое значение y. Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.

В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной. В нашем примере выше x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.

Функция — это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.

Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y.f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.

Пример

$$ f (x) = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$

Функция линейна, если ее можно определить с помощью

$$ f (x) = mx + b $$

f (x) — значение функции.
м — уклон линии.
b — значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, где линия пересекает ось y в координатной плоскости.
x — значение координаты x.

Эта форма называется формой пересечения наклона. Если наклон m отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.

Уравнение, такое как y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Наклон m здесь равен 1, а наш b (точка пересечения с y) равен 7.
Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен

$$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$

$$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$

Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными.

Если x равен -1, какое значение имеет f (x), когда f (x) = 3x + 5?

Однородные дифференциальные уравнения

Здесь мы рассмотрим специальный метод решения «Однородных дифференциальных уравнений»

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка — это Однородное , когда оно может иметь следующую форму:

dy dx = F ( y x )

Мы можем решить эту проблему, используя разделение переменных, но сначала мы создаем новую переменную v = y x

v = y x , что также равно y = vx

Что можно упростить до dy dx = v + x dv dx

Используя y = vx и dy dx = v + x dv dx , мы можем решить дифференциальное уравнение.

Пример покажет, как это все делается:

Пример: Решить

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x ² + y ² xy

Отдельные термины: x ² xy + y ² xy

Упростить: x y + y x

, величина, обратная первому члену 🙁 y x ) ^-1 + y x

Да, у нас есть функция y x .

Итак, вперед:

Начать с: dy dx = ( y x ) ^-1 + y x

y = vx и dy dx = v + x dv dx : v + x dv dx = v ^-1 + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = v ^-1

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: v dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫v dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: v ² 2 = ln (x) + C

Затем мы делаем C = ln (k) : v ² 2 = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: v ² 2 = ln (kx)

Упростить: v = ± √ (2 ln (kx))

Теперь заменим обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = ± √ (2 ln (kx))

Упростить: y = ± x √ (2 ln (kx))

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

Другой пример:

Пример: Решить

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: y (x − y) x ²

Отдельные термины: xy x ² — y ² x ²

Упростить: y x — ( y x ) ²

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = y x — ( y x ) ²

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = v — v ²

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = −v ²

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: — 1 v ² dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫− 1 v ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: 1 v = ln (x) + C

Затем делаем C = ln (k) : 1 v = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: 1 v = ln (kx)

Упростить: v = 1 ln (kx)

Теперь заменим обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = 1 ln (kx)

Упростить: y = x ln (kx)

И у нас есть решение.

Вот несколько примеров значений k:

И последний пример:

Пример: Решить

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x − y x + y

Разделить на x: x / x − y / x x / x + y / x

Упростить: 1 − y / x 1 + y / x

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = 1 − y / x 1 + y / x

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = 1 − v 1 + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = 1 − v 1 + v — v

Тогда: x dv dx = 1 − v 1 + v — v + v ² 1 + v

Упростить: x dv dx = 1−2v − v ² 1 + v

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: 1 + v 1−2v − v ² dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫ 1 + v 1−2v − v ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: — 1 2 ln (1−2v − v ² ) = ln (x) + C

Тогда получаем C = ln (k) : — 1 2 ln (1−2v − v ² ) = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: (1−2v − v ² ) ^-½ = kx

Квадратное и обратное: 1−2v − v ² = 1 k ² x ²

Теперь заменим обратно v = y x

Заменитель v = y x : 1-2 ( y x ) — ( y x ) ² = 1 k ² x ²

Умножить на x ² : x ² −2xy − y ² = 1 k ²

Мы почти у цели… хотя приятно выделить y!
Мы можем попытаться разложить на множители x ² −2xy − y ² , но сначала мы должны немного изменить порядок:

Изменить знаки: y ² + 2xy − x ² = — 1 k ²

Заменить — 1 k ² на c: y ² + 2xy − x ² = c

Добавьте 2x ² к обеим сторонам: y ² + 2xy + x ² = 2x ² + c

Фактор: (y + x) ² = 2x ² + c

Квадратный корень: y + x = ± √ (2x ² + c)

Вычтем x из обеих частей: y = ± √ (2x ² + c) — x

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

алгебра колледжа — симметрия

Нас интересуют четыре типа симметрии:

(1) симметрия относительно оси y
(2) симметрия относительно оси x
(3) симметрия относительно начала координат
(4) симметрия относительно прямой y = x

Почему кого-то волнует симметрия?

Одна из причин заключается в том, что знание того, что график симметричен относительно линии, сокращает объем работы, которую нужно выполнить, чтобы описать кривую.Если вы пытаетесь описать, где на графике есть пик, впадина или разрыв, вам нужно будет исследовать только одну половину графика — другая половина графика (ее зеркальное отображение) будет просто дубликатом. Это может быть особенно полезно, если вы работаете в трехмерном пространстве, как это делается в многомерном исчислении.

Есть несколько уровней понимания симметрии, которые мы собираемся развивать в этом классе:

(1) общее понимание концепции, чтобы вы могли взглянуть на двумерный график и составить мнение относительно его возможной симметрии (относительно оси y, оси x, начала координат или y = x)

(2) пространственная перспектива, чтобы вы могли нарисовать эскиз графика, который был бы симметричен данному графику

(3) способность проверить уравнение графика на симметрию, прежде чем вы когда-либо увидите график.Последний особенно полезен, когда мы переходим к трехмерным графам, и симметрию сложнее определить, глядя на фигуру.

Это чтение предназначено, чтобы помочь вам развить интуитивное понимание симметрии в основу тестов на симметрию, которые мы используем для уравнений.

Графическое представление симметрии

Взгляните на этот график из пяти точек.Черная точка представляет исходную точку, а цветные точки демонстрируют четыре типа симметрии.

Черная и красная точки симметричны относительно оси y.
Черная и синяя точки симметричны относительно оси x.
Черная и зеленая точки симметричны относительно начала координат
Черная и розовая точки симметричны относительно y = x

Симметрия относительно оси Y

Посмотрите еще раз на черную и красную точки.Обратите внимание, что x-координаты являются аддитивно обратными друг другу. То есть, если b — координата x одной точки, то — b — координата x другой точки. Таким же образом мы проверяем уравнение кривой, чтобы убедиться, что кривая симметрична относительно оси y.

Проверка симметрии относительно оси Y: замените x на (-x). Упростите уравнение. Если полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению, тогда график симметричен относительно оси y.

Пример: Используйте тест на симметрию относительно оси y, чтобы определить, симметричен ли график y — 5x ² = 4 относительно оси y.

исходное уравнение: y — 5x ² = 4

тест: y — 5 (-x) ² = 4

упростить: y — 5x ² = 4

Заключение: Поскольку результирующее уравнение эквивалентно исходному уравнению, график симметричен относительно оси Y

Симметрия относительно оси x

Проверка на симметрию относительно оси x аналогична предыдущей проверке.Посмотрите еще раз на черные и синие точки. Обратите внимание, что теперь y-координаты аддитивно инвертируют друг друга. То есть, если c — координата y одной точки, то — c — координата y другой точки. Таким же образом мы проверяем уравнение кривой, чтобы убедиться, что кривая симметрична относительно оси x.

Проверка симметрии относительно оси x: замените y на (-y). Упростите уравнение. Если полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению, тогда график симметричен относительно оси x.

Пример: Используйте тест на симметрию относительно оси x, чтобы определить, симметричен ли график y — 5x ² = 4 относительно оси x.

исходное уравнение: y — 5x ² = 4

тест: (-y) — 5x ² = 4

упростить: — y — 5x ² = 4

Заключение: Поскольку результирующее уравнение НЕ эквивалентно исходному уравнению, график НЕ является симметричным относительно оси x

Вот набросок кривой.Тот факт, что кривая симметрична z относительно оси y и НЕ симметрична относительно оси y, довольно очевиден.

Симметрия относительно начала координат

Тест на симметрию относительно начала координат также имеет сходство с предыдущими тестами. Посмотрите на черные и зеленые точки. Обе координаты x и y являются аддитивно обратными. То есть (b, c) и (-b, -c) симметричны относительно начала координат.Вы можете думать о симметрии относительно начала координат как о отражении относительно оси y, а также оси x. Тест на симметрию относительно начала координат объединяет элементы из первых двух тестов.

Проверка симметрии относительно начала координат: замените y на (-y) И x на (-x). Упростите уравнение. Если полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению, то график симметричен относительно начала координат.

Пример: Используйте тест на симметрию относительно начала координат, чтобы определить, симметричен ли график xy — 5x ² = 4 относительно начала координат.

исходное уравнение: xy — 5x ² = 4

тест: (-x) (- y) — 5 (-x) ² = 4

упростить: xy — 5x ² = 4

Заключение: Поскольку результирующее уравнение эквивалентно исходному уравнению, график симметричен относительно начала координат.

Вот набросок кривой. Мы должны сначала решить для y (в терминах x), чтобы использовать графический калькулятор.

На этот раз симметрию не так легко увидеть на эскизе.

Симметрия относительно прямой y = x

Для последней симметрии вернемся к черной и розовой точкам. В этом случае координаты x и y поменялись местами на . То есть (b, c) и (c, b) симметричны относительно прямой y = x. Большая часть нашей более поздней работы с этим типом симметрии будет связана с функциями.В этом случае нас будет интересовать создание уравнения, график которого симметричен (относительно y = x) с заданным графиком. Мы делаем это, меняя местами

Пример: Создайте уравнение графика, которое будет симметричным

(о y = x) с графиком y = x ³ ,

для x> или = 0.

исходное уравнение: y = x ³

новое уравнение: x = y ³

решить относительно y: y = x ^1/3 , x> or = 0

Вот два графика.Обратите внимание, что они являются зеркальным отображением линии y = x.

Вы увидите гораздо больше этой симметрии, когда мы перейдем к обсуждению функций и их обратных.

© 1999 Джо Стейг

, какая из следующих упорядоченных пар является решением уравнения y-x = 18

 
 Уравнение прямой 
 
 1.1 Решите y-x-4 = 0 
 
 Тигр понимает, что здесь есть уравнение прямой. Такое уравнение обычно записывается y = mx + b («y = mx + c» в Великобритании). 
 
 «y = mx + b» — это формула прямой линии, проведенной в декартовой системе координат, в которой «y» — вертикальная ось, а «x» — горизонтальная ось. 
 
 В этой формуле: 
 
 y сообщает нам, как далеко идет линия. 
 x сообщает нам, как далеко вдоль 
 м находится наклон или градиент, т.е. насколько крутой является линия. 
 b является пересечением по оси Y i.е. где линия пересекает ось Y 
 
 Пересечения X и Y и наклон называются свойствами линии. Теперь мы построим график линии yx-4 = 0 и вычислим ее свойства 
 
 График прямой линии: 
 
 
 Вычислите точку пересечения Y: 
 Обратите внимание, что когда x = 0, значение y равно 4/1, поэтому эта линия «разрезает» ось y на y = 4,00000
 y-intercept = 4/1 = 4,00000 
 Вычислить точку пересечения X: 
 Когда y = 0, значение x равно 4 / -1 Следовательно, наша линия » обрезает «ось x при x = -4.00000
 x-intercept = 4 / -1 = -4.00000 
 Расчет наклона: 
 Наклон определяется как изменение y, деленное на изменение x. Отметим, что для x = 0 значение y равно 4.000, а для x = 2.000 значение y равно 6.000. Таким образом, при изменении x на 2.000 (изменение x иногда называют «RUN») мы получаем изменение на 6.000 — 4.000 = 2.000 по y. (Изменение y иногда называют «ПОДЪЕМ», а наклон равен m = RISE / RUN)
 Наклон = 2.000 / 2.000 = 1.000 
 Геометрическая фигура: прямая 
 Наклон = 2.000 / 2.000 = 1.000
 пересечение по оси x = 4 / -1 = -4,00000
 пересечение по оси y = 4/1 = 4,00000
 Прямое изменение — Бесплатная справка по математике 
 Когда две переменные связаны таким образом, что соотношение   их значений всегда остается неизменным, говорят, что эти две переменные находятся в прямом изменении.
 Проще говоря, это означает, что если A всегда вдвое больше, чем B, то они  напрямую изменяют .Если галлон молока стоит 3 доллара, а я покупаю 1 галлон, общая стоимость составляет 3 доллара. Если я куплю 10 галлонов, цена составит 30 долларов. В этом примере общая стоимость молока и количество купленных галлонов могут быть напрямую изменены — отношение стоимости к количеству галлонов всегда равно 3.
 Чтобы быть более «геометрическим», если y изменяется прямо как x, то график всех точек, описывающих эту взаимосвязь, представляет собой линию, проходящую через начало координат (0, 0), наклон которой называется постоянной вариации.Это потому, что каждая из переменных является постоянным кратным другой, как на графике, показанном ниже:
 Ключевые понятия прямого изменения: 
 Как распознать прямую вариацию в уравнении? 
 Уравнение \ (\ frac {y} {x} = 6 \) утверждает, что y изменяется прямо как x, поскольку отношение y к x (также обозначаемое как y: x) никогда не меняется. Число 6 в уравнении \ (\ frac {y} {x} = 6 \) называется постоянной вариации. Уравнение \ (\ frac {y} {x} = 6 \) также может быть записано в эквивалентной форме \ (y = 6x \).Эта форма показывает, что y всегда в 6 раз больше x.
 Аналогично, для уравнения \ (y = \ frac {x} {3} \) постоянная вариации равна \ (\ frac {1} {3} \). Уравнение говорит нам, что для любого значения x y всегда будет 1/3 от этого значения.
 Алгебраическая интерпретация прямой вариации 
 Для уравнения вида \ (y = kx \), умножение x на некоторую фиксированную величину также умножает y на ТАКУЮ ФИКСИРОВАННУЮ СУММУ. Если мы удвоим x, мы также удвоим соответствующее значение y. Что это значит? Например, поскольку периметр P квадрата напрямую зависит от длины одной стороны квадрата, мы можем сказать, что P = 4s, где число 4 представляет четыре стороны квадрата, а s представляет длину одной стороны.Это уравнение говорит нам, что периметр всегда в четыре раза больше длины одной стороны (имеет смысл, не так ли?), Но  также  говорит нам, что удвоение длины сторон удваивает периметр (который все равно будет в четыре раза больше. в итоге).
 Геометрическая интерпретация прямого изменения 
 Уравнение \ (y = kx \) является частным случаем линейного уравнения (\ (y = mx + b \)), где точка пересечения y равна 0. (Примечание: уравнение \ (y = mx + b \) — форма пересечения наклона, где m — наклон, а b — точка пересечения по оси Y).В любом случае прямая линия через начало координат (0,0) всегда представляет прямую вариацию между y и x. Наклон этой линии — постоянная вариации. Другими словами, в уравнении \ (y = mx \) m — постоянная вариации.
 Пример A: 
 Если y изменяется прямо как x и \ (y = 8 \), когда \ (x = 12 \), найдите k и напишите уравнение, которое выражает это изменение.
 План атаки: 
 Подставьте указанные значения в уравнение \ (y = kx \).
 Решите относительно k.
 Затем замените k его значением в уравнении \ (y = kx \).
 Пошаговая инструкция: 
 Начнем с нашего стандартного уравнения: \ (y = kx \)
 Вставьте наши известные значения: \ (8 = k * 12 \)
 Разделите обе части на 12, чтобы найти k: \ (\ frac {8} {12} = k \)
 \ (\ frac {2} {3} = k \)
 Далее: вернитесь к \ (y = kx \) и замените k на \ (\ frac {2} {3} \).
 Результат: 
 $$ y = \ frac {2} {3} * x $$
 Пример B: 
 Если y изменяется прямо как x и \ (y = 24 \), когда \ (x = 16 \), найдите y, когда \ (x = 12 \).
 План атаки: 
 Когда две величины изменяются напрямую, их соотношение всегда одинаково. Мы создадим два отношения, установим их равными друг другу, а затем найдем недостающее количество.
 Пошаговая инструкция: 
 Указанные числа образуют одно соотношение, которое мы можем записать как \ (\ frac {y} {x} \): \ (\ frac {24} {16} \)
 Чтобы найти y при \ (x = 12 \), мы устанавливаем другое соотношение: \ (\ frac {y} {12} \)
 Решить: 
 По определению, оба отношения равны:
 $$ \ frac {24} {16} = \ frac {y} {12} $$
 Умножьте каждую сторону на 12, чтобы найти y:
 $$ \ frac {24} {16} * 12 = y $$ $$ y = \ frac {3} {2} * 12 $$
 Результат: 
 Теперь у вас есть базовые представления о прямой вариации? Если вам все еще нужна дополнительная помощь, попробуйте поискать на нашем веб-сайте (вверху страницы) более конкретный вопрос или просмотрите другие наши уроки алгебры.Иногда помогает объяснение предмета кем-то другим (свежий взгляд!), Поэтому вас также может заинтересовать другой урок, посвященный прямым вариациям, например, эта страница, на которой приведены примеры решения прямых вариаций.