Пример решения иррационального уравнения с двумя корнями

Решить уравнение

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). В его записи присутствуют два корня и еще одно слагаемое помимо них. Такие иррациональные уравнения очень характерны, для их решения обычно используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Причем, для избавления от обоих радикалов к возведению обеих частей уравнения в степень придется прибегать два раза.

Напомним последовательность действий для решения иррациональных уравнений по методу возведения обеих частей в одну и ту же степень:

• Во-первых, переходим к более простому уравнению, для чего циклически выполняем следующие три действия:
  • Уединяем радикал.
  • Возводим обе части полученного уравнения в одну и ту же натуральную степень.
  • Упрощаем вид уравнения, полученного после возведения в степень.
• Во-вторых, решаем полученное уравнение.
• В-третьих, отсеиваем посторонние корни, если выше проводилось возведение в четную степень.

Начнем. Выполним тройку действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида – в первый раз.

Уединение радикала приводит нас к уравнению .

Так как степень уединенного корня равна двум, то возведем обе части уравнения во вторую степень: , что дальше позволит избавиться от уединенного радикала.

Теперь упростим вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. В первую очередь, базируясь на определении корня, заменим выражение в левой части тождественно равным выражением x−6, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части тождественно равными ему выражением .

Имеем . Продолжим упрощать вид уравнения. Вновь оттолкнемся от определения корня для замены выражения тождественно равным ему выражением x+2, а числовое выражение 2² заменим его значением четыре: . Дальнейшие преобразования не нуждаются в комментариях:

Очевидно, после первого прохода цикла мы освободились от одного корня, но остался еще один корень. Поэтому второй раз выполним указанную тройку действий – уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень, упрощение выражения.

В уравнении уединять радикал не нужно, так как это уже сделано.

Для избавления от квадратного корня выполним возведение обеих частей уравнения в квадрат: .

Упрощаем вид полученного уравнения:
x+2=9,
x=7.

Так мы получили тривиальное уравнение. На этом первый этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершен. Переходим ко второму этапу.

Второй этап – решение полученного уравнения – также можно считать завершенным, так как корень уравнения x=7 очевиден. Это число 7.

Остается третий этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае отсеивание обязательно, так как некоторые из проводимых выше преобразований могли привести к появлению посторонних корней. Действительно, мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, такое преобразование может привести к появлению посторонних корней. Также в цепочке преобразований был переход от уравнения к уравнению x+2=9, при котором расширилась ОДЗ, что тоже могло привести к появлению посторонних корней. Так что проведем отсеивание посторонних корней. Сделаем это через

проверку подстановкой. Подставим найденный корень в иррациональное уравнение , имеем

Подстановка дала верное числовое равенство, значит, x=7 является искомым корнем.

На этом решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершено, оно потребовало двух возведений в степень для избавления от двух корней.

Приведем краткий вариант решения:

Иррациональное уравнение с тремя корнями. Решение примера.

Решить иррациональное уравнение

Подобные иррациональные уравнения (см. что такое иррациональные уравнения) с тремя квадратными корнями с переменной под каждым из них можно решать методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Напомним, какие действия составляют указанный метод решения:

• Во-первых, от исходного уравнения переходят к более простому уравнению. Это достигается циклическим выполнением трех следующих действий:
  • уединение радикала;
  • возведение обеих частей уравнения в степень;
  • упрощение вида уравнения.
• Дальше решается полученное уравнение.
• Наконец, если ранее проводилось возведение в четную степень, то выполняется проверка для отсеивания посторонних корней.

Проделаем описанные манипуляции.

В нашем примере участвуют три радикала. Избавиться от них в подобных случаях позволяет двукратное выполнение тройки действий – уединение радикала, возведение обеих частей в степень, упрощение вида уравнения.

Выполним первый проход.

Уединение радикала не требуется, так как в правой части уравнения мы уже имеем уединенный радикал.

Мы имеем дело с квадратными корнями, поэтому возведем обе части уравнения в квадрат: .

Упростим вид полученного уравнения, последовательно осуществляя ряд преобразований уравнения. Формула сокращенного умножения «квадрат суммы» и определение корня позволяют нам провести несколько замен выражений тождественно равными им выражениями:

Дальше видна возможность подготовиться ко второму проходу цикла из трех действий, а именно, уединить произведение радикалов:

Очевидно, после первого прохода мы избавились от трех изначально присутствующих радикалов, но обрели произведение радикалов.

Поэтому, для избавления от него выполним тройку указанных выше действий еще раз.

Вновь в уединении радикала нет надобности, так как мы прозорливо уже уединили произведение радикалов на предыдущем шаге.

Переходим к возведению обеих частей уравнения в квадрат: .

И упрощаем вид полученного уравнения. Одно из свойств степеней, а именно, свойство степени произведения, позволяет заменить квадрат произведения в левой части уравнения произведением квадратов, имеем . На базе определения корня и формулы «квадрат разности» переходим к следующему уравнению . Дальнейшее упрощение вида уравнения не нуждается в комментариях:

Так после второго прохода цикла мы полностью освободились от радикалов и получили квадратное уравнение. Квадратные уравнения мы решать умеем, поэтому первый этап можно считать завершенным, и можно переходить ко второму этапу – к решению полученного уравнения.

Решим полученное квадратное уравнение x²−3·x−10=0 через дискриминант:

Остался третий этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень – отсеивание посторонних корней. В нашем случае этот этап пропустить нельзя, так как выше мы осуществляли возведение в четную степень, причем дважды, а это могло привести к возникновению посторонних корней. Более того, при некоторых преобразованиях уравнений расширялась область допустимых значений переменной x, что также могло породить посторонние корни. Так что отсеем посторонние корни. Сделаем это через подстановку найденных корней x₁=−2 и x₂=5 в исходное иррациональное уравнение:

Уравнение. Корень уравнения | Математика

Уравнение — это равенство, которое справедливо не при любых значениях входящих в него букв, а только при некоторых. Так же можно сказать, что уравнение является равенством, содержащим неизвестные числа, обозначенные буквами.

Например, равенство  10 — x = 2  является уравнением, так как оно справедливо только при  x = 8.  Равенство  x² = 49  — это уравнение, справедливое при двух значениях  x,  а именно, при

x = +7   и   x = -7,

так как

(+7)² = 49   и   (-7)² = 49.

Если вместо  x  подставить его значение, то уравнение превратится в тождество. Такие переменные, как  x,  которые только при определённых значениях обращают уравнение в тождество, называются

неизвестными уравнения. Они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита  x,  y  и  z.

Любое уравнение имеет левую и правую части. Выражение, стоящее слева от знака  =,  называется левой частью уравнения, а стоящее справа — правой частью уравнения. Числа и алгебраические выражения, из которых состоит уравнение, называются членами уравнения:

Корни уравнения

Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Уравнение может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.

Например, корнем уравнения

10 — x = 2

является число  8,  а у уравнения

x² = 49

два корня —  +7  и  -7.

Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Виды уравнений

Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которые кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.

Примеры:

x — a = b + c;

3x + c = 2a + 5.

По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с 1-м неизвестным, с 2-мя неизвестными, с 3-мя и более неизвестными.

Примеры:

7x + 2 = 35 — 2x  — уравнение с одним неизвестным,

3x + y = 8x — 2y  — уравнение с двумя неизвестными.

Методы решения иррациональных уравнений

Я бы почувствовал настоящее
удовлетворение лишь в том случае,
если бы смог передать ученику гибкость ума,
которая дала бы ему в дальнейшем
возможность самостоятельно решать задачи.

У.У.Сойер.

Определение. Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать. . Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в натуральную степень , то уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ:

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого и Решая уравнение , получаем и

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример1.

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т.е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

5. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула

Пример 1.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

6. Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 2.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

7. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1

Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если то

В последнем равенстве заменяют на и получают

Далее легко избавиться от кубической иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2.

Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или

Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами.

Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или

корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения ( в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

Квадратное уравнение

Предварительные навыки

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x² − 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак,  в уравнении x² − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x² = 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x² = 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b² = a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x² = 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x² − 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2)² = 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2)² = 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2)² = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (x + 2)² = 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x₁, а корень −7 через x₂

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x² − 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x₁ = 2 и x₂ = −2.  

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2)² = 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax² + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x² + 2x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax² + bx + c = 0. Для этого в уравнении 3x² + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x² + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x² + 2x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.

В квадратном уравнении вида ax² + bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x² + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x² + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x² + x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax²+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x² + x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x² содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x² + 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x² + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x² + 6x − 8 = 0. В этом уравнении a = 2, b = 6, c = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x² − 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x² = 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x² = 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x² = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Значит корнями уравнения 2x² − 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax² + bx + c = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax² + c = 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x² + 6x − 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x² − 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x² − 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax² + c = 0, то есть неполным. В нем a = 1, b = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x² + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x² + 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x² + 6x = 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x² + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x² = 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0. Действительно, 2 × 0² = 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax² + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x² − 32 = 0, то мы говорим, что b = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением ax² + bx + c = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x² − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x² − 2x + 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1)².

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0, можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1)² = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0. Отсюда x = 1.

Значит корнем уравнения x² − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x² + 2x − 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)² = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x² + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:

---

Пример 3. Решить уравнение x² − 6x + 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x² − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

---

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x² + 28x − 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

---

Пример 5. Решить уравнение 2x² + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x². Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)² = 2²x² = 4x². Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x². Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x² + 3x − 27 = 0 первый член это 2x². Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x² что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Решим их:

Значит корнями уравнения 2x² + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x² + 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x² + 3x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x² равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax² + bx + c = 0 нужно разделить на a

---

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x² + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x² + x + 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

---

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax² + bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax² + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax² + bx + c = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b² − 4ac.

Выражение b² − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b² − 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x² + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x² + x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b²−4ac

D = b² − 4ac = 1² − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b² − 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x² + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b² − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b² − 4ac. Подставим в уравнении вместо выражения b² − 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x₁ и x₂. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x² + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b² − 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x² + 2x − 8 = 0

D = b² − 4ac = 2²− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x² + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x² − 6x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b² − 4ac = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x² − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

---

Пример 3. Решить уравнение 5x² − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x² − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .

---

Пример 4. Решить уравнение x² + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x² + 4x + 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.

---

Пример 5. Решить уравнение 3x² + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

---

Пример 6. Решить уравнение (x + 4)² = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения (x + 4)² = 3x + 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.

---

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.

---

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.

---

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x² = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9.

---

Пример 2. Решить уравнение x² − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

---

Пример 3. Решить уравнение x² − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9.

---

Пример 4. Решить уравнение x² + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b² − 4ac = 4² − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5.

---

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5, .

---

Пример 6. Решить уравнение x² = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

---

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)² + (x − 2)² = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0, −1,6.

---

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

---

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м². При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м². Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x² = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x² = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м²

4 × 2 = 8 м²

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

---

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м²

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м². Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м²

40 × 30 = 1200 м²

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 2; −2.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 3; −3.

Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 3; −13.

Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 12; 4.

Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 7; 5.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; 1.

Задание 8. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; −3.

Задание 9. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; −7.

Задание 10. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 11. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −5.

Задание 12. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; 2

Задание 13. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 14. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 15. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −5.

Задание 16. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −9.

Задание 17. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −3; −4.

Задание 18. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: .

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений 7 класс онлайн-подготовка на

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением.

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решим уравнение

(х-10)(х+5)(х-7) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем к нулю каждый множитель и найдем корни уравнения

Х-10 = 0               х+5 = 0               х-7 = 0

Х1 = 10               х2 = -5               х3 = 7

Это уравнение имеет три корня.

А вот уравнение

0*х = 10 корней не имеет, поскольку для того, чтобы найти х нужно 10:0, а на ноль, как вы о делить нельзя.

Уравнения, имеющие одинаковые корни, называют равносильными уравнениями. Также равносильными считаются уравнения, не имеющие корней.

Например, уравнения 3*х = 9 и х-3 = 0

Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Выразим неизвестный множитель х.

х = ab

Если а≠0 и b≠0, то уравнение имеет единственный корень.

Если а≠0 и b = 0, то уравнение не имеет корней, ведь на ноль делить нельзя.

Если а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. Действительно, равенство

0*х = 0 верно при любых значениях х.

Часто мы используем уравнения для решения задач. При этом, как показывает практика, самое сложное – это правильно составить уравнение.

Пожалуй, основное, от чего надо отталкиваться при составлении уравнения – это небольшое правило: обозначь за х то, что нужно найти в задаче. Если надо найти несколько величин, то обозначь за х меньшую из них.

Рассмотрим задачу:

За 9 часов теплоход проходит тот же путь по течению реки, что и за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Итак, обозначим за х км/ч собственную скорость теплохода.

Тогда скорость теплохода, когда он плывет по течению реки, будет (х+2) км/ч, а скорость теплохода, когда он плывет против течения реки – (х-2) км/ч.

По течению реки теплоход шел 9 часов, значит за 9 часов он пройдет (х+2)*9 км.

Против течения реки теплоход шел 11 часов. За 11 часов он пройдет (х-2)*11 км.

В задаче сказано, что эти расстояния одинаковы, давай приравняем выражение для пути по течению к выражению для пути против течения. Получим такое уравнение:

(х+2)*9 = (х-2)*11

9х+18 = 11х-22

11х-9х = 18+22

2х = 40

х = 20

За х мы обозначали собственную скорость теплохода. Значит, собственная скорость теплохода – 20 км/ч. Это и есть ответ на вопрос задачи.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

ax³ + bx² + cx +d = 0 , (1)

где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b³d + b²c² — 4ac³ + 18abcd — 27a²d².

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• Δ < 0 — уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано.

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y³ + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

x= y — b/3a (3)

p= — b²/3a² + c/a

q= 2b³/27a³ — bc/3a² + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Q=(p/3)³ + (q/2)²

α = (-q/2 + Q^1/2)^1/3

β = (-q/2 — Q^1/2)^1/3

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = — 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

y₁= α + β

y₂= — (α + β)/2 + (3^1/2(α — β)/2)i

y₃ =- (α + β)/2 — (3^1/2(α — β)/2)i

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y₁, y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

α = β, и

y₁=2α,

y₂= y₃ = — α. Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Тригонометрическая формула Виета.

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

x³ + ax² + bx +c = 0 (4)

 

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

1. Вычисляем

Q=(a²— 3b)/9

R=(2a³ — 9ab + 27c)/54

2. Вычисляем

S = Q³ — R²

3. a) Если S>0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q^3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

x₁= — 2(Q)^1/2cos(φ) — a/3

x₂= — 2(Q)^1/2cos(φ+2π/3) — a/3

x₃= — 2(Q)^1/2cos(φ-2π/3) — a/3

б) Если S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

φ=(Arch( |R|/|Q|^3/2)/3

Тогда

единственный корень (вещественный): x₁= -2sgn(R)*|Q|^1/2*ch(φ) — a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

x₂= sgn(R)*|Q|^1/2*ch(φ) — a/3 +(3|Q|)^1/2 sh(φ)i

x₃= sgn(R)*|Q|^1/2*ch(φ) — a/3 -(3|Q|)^1/2sh(φ)i

 

ГДЕ:

ch(x)=(e^x+e^-x)/2

Arch(x) = ln(x + (x²-1)^1/2)

sh(x)=(e^x-e^-x)/2

sgn(x) — знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

x₁= -2*R^1/3 — a/3

x₂=x₃=R^1/3 — a/3

Решайте уравнения с квадратными корнями — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите радикальные уравнения
• Использование квадратного корня в приложениях

Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

1. Упростить: ⓐ ⓑ.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (Рисунок) и (Рисунок).
2. Решить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Решить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите радикальные уравнения

В этом разделе мы будем решать уравнения, в которых переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня. Уравнения этого типа называются радикальными уравнениями.

Радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением.

Как обычно, при решении этих уравнений, то, что мы делаем с одной стороной уравнения, мы должны делать и с другой стороной.Поскольку возведение величины в квадрат и извлечение квадратного корня являются «противоположными» операциями, мы возведем обе стороны в квадрат, чтобы удалить знак корня и найти переменную внутри.

Но помните, что когда мы пишем, мы имеем в виду главный квадратный корень. Так всегда. Когда мы решаем радикальные уравнения, возводя обе части в квадрат, мы можем получить алгебраическое решение, которое будет отрицательным. Это алгебраическое решение не было бы решением исходного радикального уравнения; это постороннее решение. Мы видели посторонние решения и при решении рациональных уравнений.

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Теперь посмотрим, как решить радикальное уравнение. Наша стратегия основана на соотношении извлечения квадратного корня и возведения в квадрат.

Как решать радикальные уравнения

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решите радикальное уравнение.

1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
2. Возведите обе части уравнения в квадрат.
3. Решите новое уравнение.
4. Проверьте ответ.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Когда мы используем знак корня, мы имеем в виду главный или положительный корень. Если в уравнении квадратный корень равен отрицательному числу, это уравнение не будет иметь решения.

Решить:.

Решение

The figure then says, “Since the square root is equal to a negative number, the equation has no solution.”» data-label=»»>

Чтобы изолировать радикал, вычтите 1 с обеих сторон.
Упростить.
Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения.

Решить:.

Решить:.

Если одна сторона уравнения является биномом, мы используем формулу биномиальных квадратов, когда возводим ее в квадрат.

Биномиальные квадраты

Не забывайте про средний семестр!

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Когда перед радикалом стоит коэффициент, мы должны возвести его в квадрат.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Иногда после возведения в квадрат обеих частей уравнения внутри радикала остается переменная.Когда это произойдет, мы повторяем шаги 1 и 2 нашей процедуры. Выделяем радикал и снова возводим обе части уравнения в квадрат.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Использование квадратного корня в приложениях

По мере прохождения курсов в колледже вы будете сталкиваться с формулами, включающими квадратные корни во многих дисциплинах.Мы уже использовали формулы для решения геометрических приложений.

Мы будем использовать нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений с небольшими изменениями, чтобы дать нам план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

Решайте приложения с помощью формул.

1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
2. Определите то, что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Мы использовали формулу, чтобы найти площадь прямоугольника длиной L и шириной W . Квадрат — это прямоугольник, у которого длина и ширина равны. Если мы допустим s как длину стороны квадрата, площадь квадрата равна.

Формула дает нам площадь квадрата, если мы знаем длину стороны. Что, если мы хотим найти длину стороны для данной области? Затем нам нужно решить уравнение для s .

Мы можем использовать формулу, чтобы найти длину стороны квадрата для заданной площади.

Площадь квадрата

Мы покажем это в следующем примере.

Кэти хочет посадить квадратный газон перед своим двором. У нее достаточно дерна, чтобы покрыть площадь в 370 квадратных футов. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны ее газона. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Серджио хочет сделать квадратную мозаику в качестве инкрустации для стола, который он строит. У него достаточно плитки, чтобы покрыть площадь в 2704 квадратных сантиметра. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны его мозаики. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Еще одно применение квадратных корней связано с гравитацией.

Падающие предметы

На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле

Например, если объект падает с высоты 64 фута, мы можем вычислить время, необходимое для достижения земли, подставив его в формулу.

Извлеките квадратный корень из 64.
Упростим дробь.

Чтобы объект, упавший с высоты 64 фута, достиг земли, потребуется 2 секунды.

Кристи уронила свои солнцезащитные очки с моста на высоте 400 футов над рекой. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы добраться до реки.

Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты 1296 футов. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось, чтобы пакет достиг земли.

Мойщик окон сбросил ракель с платформы на высоте 196 футов над тротуаром. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд прошло, чтобы ракель достиг тротуара.

Сотрудники полиции, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре. Затем они используют квадратные корни, чтобы определить скорость в милях в час, с которой машина ехала до того, как затормозила.

Следы заноса и скорость автомобиля

Если длина пятен заноса составляет d футов, то скорость автомобиля с до того, как были применены тормоза, можно определить по формуле

.

После автомобильной аварии следы заноса одной машины достигли 190 футов.Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла 76 футов. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были длиной 122 фута. Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза.Округлите ответ до ближайшей десятой.

Ключевые концепции

• Для решения радикального уравнения:
  1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
  2. Возведите обе части уравнения в квадрат.
  3. Решите новое уравнение.
  4. Проверьте ответ. Некоторые полученные решения могут не работать в исходном уравнении.
• Решение приложений с помощью формул
  1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны.При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
  2. Определите то, что мы ищем.
  3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
  4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
  5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
  6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.
• Площадь квадрата
  
• Падающие предметы
  • На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле.
• Следы заноса и скорость автомобиля
  • Если длина пятен заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были применены тормоза, можно определить по формуле.

Письменные упражнения

Объясните, почему уравнение вида не имеет решения.

1. ⓐ Решите уравнение.
2. ⓑ Объясните, почему одно из найденных «решений» на самом деле не было решением уравнения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы достичь уверенности в достижении всех целей?

Глоссарий

радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в корневом выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением

Решение радикальных уравнений

Как решать уравнения с квадратными корнями, кубическими корнями и т. Д.

Радикальные уравнения

Решение радикальных уравнений

Мы можем избавиться от квадратного корня возведением в квадрат. (Или кубические корни кубиками и т. Д.)

Но предупреждение: иногда это может создавать «решения», которые на самом деле не работают, когда мы помещаем их в исходное уравнение. Итак, нам нужно проверить!

Выполните следующие действия:

• выделите квадратный корень с одной стороны уравнения
• возвести в квадрат обе части уравнения

Тогда продолжайте наше решение!

Пример: решить √ (2x + 9) — 5 = 0

вычлените квадратный корень: √ (2x + 9) = 5

квадрат с обеих сторон: 2x + 9 = 25

Теперь решать должно быть проще!

Переместите 9 вправо: 2x = 25 — 9 = 16

Разделить на 2: x = 16/2 = 8

Ответ: x = 8

Проверка: √ (2 · 8 + 9) — 5 = √ (25) — 5 = 5 — 5 = 0

Тот работал отлично.

Более одного квадратного корня

Что делать, если есть два или более квадратных корня? Легкий! Просто повторите процесс для каждого.

Это займет больше времени (намного больше шагов) … но ничего особенного.

Пример: решить √ (2x − 5) — √ (x − 1) = 1

выделить один из квадратных корней: √ (2x − 5) = 1 + √ (x − 1)

квадрат с обеих сторон: 2x − 5 = (1 + √ (x − 1)) ²

Мы удалили один квадратный корень.

развернуть правую часть: 2x − 5 = 1 + 2√ (x − 1) + (x − 1)

упростить: 2x − 5 = 2√ (x − 1) + x

вычтем x из обеих частей: x − 5 = 2√ (x − 1)

Теперь снова вычислим квадратный корень:

выделите квадратный корень: √ (x − 1) = (x − 5) / 2

квадрат с обеих сторон: x − 1 = ((x − 5) / 2) ²

Мы успешно удалили оба квадратных корня.

Давайте продолжим решение.

Разверните правую часть: x − 1 = (x ² — 10x + 25) / 4

Это квадратное уравнение! Так что давайте представим это в стандартной форме.

Умножьте на 4, чтобы удалить деление: 4x − 4 = x ² — 10x + 25

Переместите все налево: 4x — 4 — x ² + 10x — 25 = 0

Объедините похожие термины: −x ² + 14x — 29 = 0

Поменять местами все знаки: x ² — 14x + 29 = 0

Использование квадратичной формулы (a = 1, b = −14, c = 29) дает решения:

2.53 и 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)

Проверим решения:

2,53: √ (2 × 2,53−5) — √ (2,53−1) ≈ −1 Ой! Должно быть плюс 1.

11,47: √ (2 × 11,47−5) — √ (11,47−1) ≈ 1 Да, это работает.

Есть реально только одно решение :

Ответ: 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)

Видите? Этот метод может иногда давать решения, которые на самом деле не работают!

Корень, который казался работоспособным, но был неправильным, когда мы его проверили, называется «Посторонний корень»

Итак: Проверка важна. 2} \]

с \ (a = y \) и \ (b = \ sqrt {y — 4} \). Вам нужно будет уметь это делать, потому что, хотя здесь это могло и не сработать, нам потребуется такая работа в следующем наборе задач.

Итак, в чем проблема? Напомним, что возведение обеих сторон в квадрат в первой задаче заключалось в устранении квадратного корня. Мы этого не сделали. В проблеме все еще есть квадратный корень, и мы также усложнили оставшуюся часть проблемы.

Итак, что нам нужно сделать здесь, это убедиться, что мы получили квадратный корень сам по себе на одной стороне уравнения перед возведением в квадрат. Как только это будет сделано, мы возведем обе стороны в квадрат, и квадратный корень действительно исчезнет.

Вот правильный способ решить эту проблему.

\ [\ begin {align *} \ sqrt {y — 4} & = 4 — y \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {теперь квадрат с обеих сторон}} \\ {\ left ({\ sqrt {y — 4}} \ right) ^ 2} & = {\ left ({4 — y} \ right) ^ 2} \\ y — 4 & = 16 — 8y + {y ^ 2} \\ 0 & = {y ^ 2} — 9y + 20 \\ 0 & = \ left ({y — 5} \ right) \ left ({y — 4} \ right) \ hspace {0. 2} — z — 2 \\ & 0 = \ left ({z — 2 } \ right) \ left ({z + 1} \ right) \ hspace {0.? 2 \\ 4 — 2 & = 2 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OK}} \ end {align *} \]

Это тоже решение.

Итак, в этом случае мы увидели пример, в котором оба возможных решения фактически также являются решениями исходного уравнения.

4.2: Решение уравнений с корнями

Результаты обучения

• Решите уравнения, содержащие квадратные корни.

Квадратные корни часто встречаются в курсе статистики, особенно когда речь идет о стандартных отклонениях и размерах выборки.В этом разделе мы узнаем, как найти переменную, если эта переменная находится под знаком квадратного корня. Главное помнить, что квадрат квадратного корня — это то, что находится внутри. Другими словами, возведение квадратного корня в квадрат отменяет квадратный корень.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Решите следующее уравнение относительно \ (x \).

\ [2+ \ sqrt {x-3} \: = \: 6 \ nonumber \]

Решение

Что делает эту задачу сложной, так это квадратный корень.2 \ nonumber \]

Так как квадрат и квадратный корень сокращаются, получаем:

\ [x-3 = 16 \ nonumber \]

Наконец, прибавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить:

\ [x = 19 \ nonumber \]

Всегда полезно проверить свою работу. Мы делаем это, вставляя ответ обратно и проверяя, работает ли он. Подключаем \ (x = 19 \), получаем

\ [\ begin {align *} 2+ \ sqrt {19-3} & = 2 + \ sqrt {16} \\ [4pt] & = 2 + 4 \\ [4pt] & = 6 \ end {align * } \]

Да, решение верное.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Стандартное отклонение \ (\ sigma_ \ hat p \) выборочного распределения для пропорции следует формуле:

\ [\ sigma_ \ hat p = \ sqrt {\ frac {p \ left (1-p \ right)} {n}} \ nonumber \]

Где \ (p \) — доля населения, а \ (n \) — размер выборки. Если доля генеральной совокупности составляет 0,24, и вам нужно, чтобы стандартное отклонение распределения выборки составляло 0,03, какой размер выборки вам нужен?

Решение

Нам дано, что \ (p = 0.24 \) и \ (\ sigma _ {\ hat p} = 0,03 \)

Подключите, чтобы получить:

\ [0,03 = \ sqrt {\ frac {0,24 \ left (1-0,24 \ right)} {n}} \ nonumber \]

Мы хотим найти \ (n \), поэтому нам нужно \ (n \) в левой части уравнения. Просто переключитесь, чтобы получить:

\ [\ sqrt {\ frac {0,24 \ влево (1-0,24 \ вправо)} {n}} \: = \: 0,03 \ nonumber \]

Далее вычитаем:

\ [1-0,24 \: = \: 0,76 \ nonumber \]

И их умножить:

\ [0,24 \ влево (0,76 \ вправо) = 0,1824 \ nonumber \]

Это дает нам

\ [\ sqrt {\ frac {0.2 \ nonumber \]

Квадрат отменяет квадратный корень, а возведение в квадрат правой части дает:

\ [\ frac {0.1824} {n} \: = \: 0.0009 \ nonumber \]

Можно написать:

\ [\ frac {0. 1824} {n} \: = \ frac {\: 0.0009} {1} \ nonumber \]

Умножаем крестиком, чтобы получить:

\ [0,0009 \: n \: = \: 0,1824 \ nonumber \]

Наконец, разделите обе стороны на 0,0009:

\ [n \: = \ frac {\: 0.1824} {0.0009} = 202.66667 \ nonumber \]

Округлите вверх, и мы можем сделать вывод, что нам нужен размер выборки 203, чтобы получить стандартную ошибку, равную 0.03. Мы можем проверить, разумно ли это, вставив \ (n = 203 \) обратно в уравнение. Воспользуемся калькулятором, чтобы получить:

\ [\ sqrt {\ frac {0,24 \ влево (1-0,24 \ вправо)} {203}} \: = \: 0,029975 \ nonumber \]

Поскольку это очень близко к 0,03, ответ разумный.

Упражнение

Стандартное отклонение \ (\ sigma_ \ bar x \) выборочного распределения для среднего значения следует по формуле:

\ [\ sigma_ \ bar x = \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} \ nonumber \]

Где \ (\ sigma \) — стандартное отклонение генеральной совокупности, а \ (n \) — размер выборки. 2} с левой стороны, добавив обе стороны на +1.Затем решите значения x, извлекая квадратные корни из обеих частей уравнения. Как я упоминал ранее, нам нужно прикрепить символ плюс или минус к квадратному корню из константы.

Итак, у меня x = 5 и x = — \, 5 как окончательных ответов , поскольку оба этих значения удовлетворяют исходному квадратному уравнению. Я оставлю это на ваше усмотрение.

---

Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Эта проблема очень похожа на предыдущий пример.2}, по одному с каждой стороны уравнения. Мой подход состоит в том, чтобы собрать все квадраты x с левой стороны и объединить все константы с правой стороны. Затем решите относительно x как обычно, как в примерах 1 и 2.

Решения этой квадратной формулы: x = 3 и x = — \, 3.

---

Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Две круглые скобки не должны вас беспокоить. Факт остается фактом: все переменные имеют квадратную форму, чего мы и хотим.2} термины слева и константы справа. Наконец, примените операцию извлечения квадратного корня с обеих сторон, и все готово!

Неплохо, правда?

---

Пример 5 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Поскольку член x дважды возводится во вторую степень, это означает, что мне нужно выполнить две операции извлечения квадратного корня, чтобы найти x.

Первый шаг — получить что-то вроде этого: () ² = константа .2} = \ pm \, 6 + 10 на два случая из-за «плюс» или «минус» в 6.

• Решите первый случай, когда 6 — это положительное значение .

• Решите второй случай, когда 6 равно отрицательным .

Решения этого квадратного уравнения: x = 4, x = — \, 4, x = 2 и x = — \, 2. Да, у нас есть четыре значения x, которые могут удовлетворять исходному квадратному уравнению.

---

Пример 6 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Решение :

---

Пример 7 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Раствор:

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Решение задач, содержащих два квадратных корня

Решение задач, содержащих два квадратных корня Вот шаги, необходимые для решения задач, содержащих два квадратных корня:

Шаг 1 :	Выделите один из двух квадратных корней на одной стороне уравнения, переместив все остальные члены в противоположную сторону уравнения.
Шаг 2 :	Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что один из квадратных корней исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня.
Шаг 3 :	Упростите уравнение, найденное на шаге 2, распределяя (или FOILing), чтобы удалить круглые скобки, а затем объединив похожие термины.
Шаг 4 :	На данный момент в задаче должен остаться только один квадратный корень.Итак, выделите квадратный корень, переместив все остальные члены в противоположную часть уравнения.
Шаг 5 :	Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что квадратный корень исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня.
Шаг 6 :	Решите уравнение, найденное на шаге 5. На этом шаге может потребоваться распределение (или FOIL), объединение одинаковых членов, выделение переменной или решение путем разложения на множители в зависимости от оставшихся членов.
Шаг 7 :	Проверьте свой ответ. При решении задач извлечения квадратного корня иногда вы получаете неправильные ответы, поэтому убедитесь, что вы вставили свой ответ в исходный вопрос, чтобы убедиться, что он правильный.

Пример 1 — Решить:

Пример 2 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Уравнений с радикалами и рациональными показателями

Цели обучения

• Решите радикальное уравнение, найдите постороннее решение
• Решите уравнение с рациональными показателями

Радикальные уравнения — это уравнения, которые содержат переменные в подкоренном значении (выражение под радикальным символом), например

.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ sqrt {3x + 18} \ hfill & = x \ hfill \\ \ sqrt {x + 3} \ hfill & = x — 3 \ hfill \\ \ sqrt {x + 5 } — \ sqrt {x — 3} \ hfill & = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Радикальные уравнения могут иметь один или несколько радикальных членов и решаются путем исключения каждого радикала по одному.Мы должны быть осторожны при решении радикальных уравнений, поскольку довольно часто можно найти посторонних решений , корни, которые на самом деле не являются решениями уравнения. Эти решения возникают не из-за ошибки в методе решения, а в результате возведения обеих частей уравнения в степень. Однако проверка каждого ответа в исходном уравнении подтвердит истинные решения.

Общее примечание: радикальные уравнения

Уравнение, содержащее члены с переменной в подкоренном выражении, называется радикальным уравнением .

Как: решить радикальное уравнение.

1. Выделите радикальное выражение по одну сторону от знака равенства. Все оставшиеся термины перенесите на другую сторону.
2. Если радикал представляет собой квадратный корень, возведите обе части уравнения в квадрат. Если это кубический корень, возведите обе части уравнения в третью степень. Другими словами, для корневого радикала n возвести обе стороны в степень n . Это устраняет радикальный символ.
3. Решите оставшееся уравнение.{2} + 2x — 15 \ hfill \\ \ hfill & = \ left (x + 5 \ right) \ left (x — 3 \ right) \ hfill \\ x \ hfill & = — 5 \ hfill \\ x \ hfill & = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Предлагаемые решения: [латекс] x = -5 [/ латекс] и [латекс] x = 3 [/ латекс]. Давайте проверим каждое решение в исходном уравнении. Сначала проверьте [латекс] x = -5 [/ latex].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {15 — 2x} \ hfill & = x \ hfill \\ \ sqrt {15 — 2 \ left (-5 \ right)} \ hfill & = — 5 \ hfill \ \ \ sqrt {25} \ hfill & = — 5 \ hfill \\ 5 \ hfill & \ ne -5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Это постороннее решение. Хотя при решении уравнения не было сделано никаких ошибок, мы нашли решение, которое не удовлетворяет исходному уравнению.

   Проверить [латекс] x = 3 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {15 — 2x} \ hfill & = x \ hfill \\ \ sqrt {15 — 2 \ left (3 \ right)} \ hfill & = 3 \ hfill \\ \ sqrt {9} \ hfill & = 3 \ hfill \\ 3 \ hfill & = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Решение [латекс] x = 3 [/ латекс].

   Попробуйте

   Решите радикальное уравнение: [латекс] \ sqrt {x + 3} = 3x — 1 [/ latex]

   Решение

   [латекс] х = 1 [/ латекс]; посторонний раствор [латекс] x = — \ frac {2} {9} [/ latex]

   Пример: решение радикального уравнения, содержащего два радикала

   Решите [латекс] \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} = 4 [/ latex].{2} -86x + 249 = 0 \ hfill & \ hfill \\ \ left (x — 3 \ right) \ left (x — 83 \ right) = 0 \ hfill & \ text {Разложить на множители и решить}. \ Hfill \ \ x = 3 \ hfill & \ hfill \\ x = 83 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Предлагаемые решения: [латекс] x = 3 [/ латекс] и [латекс] x = 83 [/ латекс]. Проверьте каждое решение в исходном уравнении.

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} \ hfill & = 4 \ hfill \\ \ sqrt {2x + 3} \ hfill & = 4- \ sqrt { x — 2} \ hfill \\ \ sqrt {2 \ left (3 \ right) +3} \ hfill & = 4- \ sqrt {\ left (3 \ right) -2} \ hfill \\ \ sqrt {9} \ hfill & = 4- \ sqrt {1} \ hfill \\ 3 \ hfill & = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Одно из решений — [латекс] x = 3 [/ латекс].

   Проверить [латекс] x = 83 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} \ hfill & = 4 \ hfill \\ \ sqrt {2x + 3} \ hfill & = 4- \ sqrt { x — 2} \ hfill \\ \ sqrt {2 \ left (83 \ right) +3} \ hfill & = 4- \ sqrt {\ left (83-2 \ right)} \ hfill \\ \ sqrt {169} \ hfill & = 4- \ sqrt {81} \ hfill \\ 13 \ hfill & \ ne -5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Единственное решение — [латекс] x = 3 [/ латекс]. Мы видим, что [latex] x = 83 [/ latex] — посторонний раствор.

   Попробуйте

   Решите уравнение с двумя радикалами: [латекс] \ sqrt {3x + 7} + \ sqrt {x + 2} = 1 [/ latex].