Линейные уравнения — Энциклопедия по экономике

Задачи линейного программирования направлены на нахождение способа эффективного использования или распределения ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей. Условия задачи записывают в виде системы линейных уравнений или неравенств (системы ограничений), а результат в виде целевой функции, являющейся суммой произведений найденных значений переменных на присваиваемые им показатели эффективности. Искомыми неизвестными величинами могут быть, например, различные виды оборудования. Коэффициенты при неизвестных в системе ограничений являются заданными постоянными числами и выражают удельные затраты. Коэффициенты при неизвестных в целевой функции — также постоянные величины. Они могут представлять собой себестоимость, цену оборудования, материалов, степень загрузки оборудования и т. п. Свободные члены в ограничениях — это величины тех или иных ресурсов, которые нужно распределить оптимальным образом (запасы материалов, фонды времени работы оборудования).  [c.153]

Получим систему линейных уравнений  [c.160]

Для удовлетворения целевой функции необходимо ввести ограничения, учитывающие реальные условия снабжения. Ограничения задаются системой линейных уравнений.  [c.104]

Производство осуществляется при определенных ограничениях. На завод будет поставляться некоторое количество сырья со стороны, мощность завода для модели является величиной, заданной извне. Также заданными являются объем ассортимент и качество вырабатываемой продукции. Все ограничения, вводимые в Модель, формулируются IB виде системы линейных уравнений.  [c.157]

При решении задач симплексным методом линейного программирования моделирование заключается в составлении системы линейных уравнений и неравенств, каждое из которых выражает одно из заданных в условии задачи ограничений в виде функций определяемых переменных.  [c.34]

Система линейных уравнений для определения коэффициентов регрессии решается методом Гаусса. Для каждого полинома заданной степени определяется остаточная дисперсия  [c. 23]

Это эквивалентно определению коэффициентов линейного уравнения регрессии для новых переменных  [c.28]

Расчет себестоимости на основе корреляционных зависимостей между себестоимостью и какими-либо параметрами изделия можно выразить либо в виде линейного уравнения  [c.68]

Все эти ограничения при линейном программировании вводятся в задачу в виде линейных уравнений и составляют систему линейных  [c.87]

Начнем с задачи выбора оптимального рациона продуктов, предназначенных для откорма скота. В единице каждого вида кормовых культур содержится определенное количество питательных веществ (белков, жиров, углеводов, витаминов, кальция, фосфора и т. д.) эти величины известны при планировании рациона. Обозначим удельное содержание /-го питательного вещества в корме /-го вида через о/у. Пусть всего имеется п видов питательных веществ и т видов кормов, т. е. = 1,. .., пи/ =1,. .., т. Имеются зоотехнические нормы на потребление питательных веществ каждого вида, которые мы обозначим через bt. Тогда условие того, что набор кормов х — (хъ xz,. .., х ) удовлетворяет зоотехническим нормам по всем видам питательных веществ, выписывается в виде системы линейных уравнений  [c.176]

Линейный регрессионный анализ — это математический метод, используемый для вывода линейного уравнения совокупных затрат у = а + Ьх, где у — совокупные затраты а — постоянные затраты Ъ — удельные переменные затраты х — объем деятельности. Значения а и Ъ рассчитываются по следующим формулам  [c.142]

Эти соотношения являются двумя линейными уравнениями относительно двух переменных аа и а,. Введем обозначения  [c.111]

Задачу линейного программирования, описываемую системой линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными, трудно решить с помощью карандаша, бумаги и калькулятора.  [c.220]

Решая это линейное уравнение, находим t — 124,43 дня. Таким образом, 125 дней будет вполне достаточно для достижения требуемой суммы.  [c.105]

Метод распределения услуг вспомогательных производств с помощью системы линейных уравнений  [c. 285]

В. Метод линейных уравнений  [c.288]

Расчет по методу распределения встречных услуг с помощью системы линейных уравнений  [c.289]

Минимум функционала А. находят обычными математическими средствами в результате решения системы линейных уравнений вида  [c.227]

Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.  [c.161]

Задачи (15), (16) сводятся к решению системы ( + т+1) линейных уравнений  [c.71]

Аналогично можно записать систему (ms+p+1) линейных уравнений при рассмотрении системы векторов  [c.71]

Для всех измерений расхода газа на ГДП можно записать систему линейных уравнений  [c.71]

Решение данной системы линейных уравнений дает возмож-  [c.72]

Приводится к стандартному виду и решается система линейных уравнений (17). В результате получаем уточненные зна-  [c.72]

Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.  [c.51]

Линейное программирование (ЛП)2 объединяет методы решения задач, которые описываются линейными уравнениями. Например, к ним относятся  [c.72]

Для определения взаимосвязи между прибылью и факторами, ее определяющими, построим линейное уравнение множественной регрессии  [c.330]

ПРИМЕНЕНИЕ ПАРНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ  [c.250]

Рассмотрим соотношение между парным и условно-чистым коэффициентом регрессии на примере фактора лг,. Парное линейное уравнение связи у с xt имеет вид  [c.274]

Линейное уравнение регрессии будет иметь вид  [c.298]

Свободный член линейного уравнения регрессии  [c.364]

Уравнения регрессии легко строятся с помощью персонального компьютера или специализированного финансового калькулятора. При отсутствии технических средств коэффициенты регрессии для простейшего случая — однофакторного линейного уравнения регрессии вида у = а + Ьх — можно найти по формулам  [c.123]

Третий этап моделирования связан с развитием кибернетики и теории систем. Так, системы линейных уравнений учета затрат, параллельное построение плановых и отчетных матриц и т. д. предопределили новый уровень в развитии методологии учета.  [c.367]

В многофакторных моделях используют линейное уравнение вида  [c.322]

Многие методы, описанные в этом пособии, в том числе методы корреляции и регрессии в главе 3 и линейного программирования в главе 8, требуют решения простых линейных уравнений, которые мы рассмотрим на последующих примерах.  [c.404]

В основе математической модели МОБ — система линейных уравнений, отражающих количественное выражение экономичес-  [c.558]

Первым этапом построения тренда является выбор типа аналитической функции. В нашем примере основанием для применения линейного уравнения в качестве трендовой модели является существующая тенденция снижения уровня процентных ставок без наличия каких-либо осциллятивных колебаний.  [c.612]

Корреляционная связь — это вероятностная зависимость, которая Проявляется только в общем виде и при большом количестве наблюдений. Данная связь выражается уравнениями регрессии различного вида. Например, однофак-торные модели могут базироваться на линейном уравнении  [c.321]

Линейные уравнения, формулы и примеры

Линейные уравнения с одним неизвестным

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида

   

где называется неизвестным, числа и — коэффициентами уравнения (1).

Случай 1. Если коэффициент , тогда уравнение (1) имеет единственное решение, задающееся формулой

   

Случай 2. Если , а , то уравнение (1) корней не имеет: .

Случай 3. Если , , то уравнение (1) имеет бесконечно много решений: .

ПРИМЕР 1

Задание	Решить уравнение .
Решение	Преобразуем левую часть заданного уравнения, а именно раскроем скобки и сведем подобные:     В результате получили линейное уравнение с одним неизвестным, для которого коэффициенты , а тогда (случай 1)
Ответ

Линейные уравнения с двумя переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, в состав которых входят переменные.

Линейным уравнением двух переменных называется уравнение вида

   

Линейное уравнение двух переменных можно представить

1. в общей форме

      

2. в канонической форме

      

3. в линейной форме

      

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Решением или корнями уравнения (2) называется такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. ПРИМЕР 2

Задание	Проверить, является ли пара чисел решением уравнения .
Решение	Подставим в уравнение вместо переменной заданное значение , а вместо — значение 0:     Получили неверное равенство, значит, делаем вывод, что не является решением рассматриваемого уравнения.
Ответ	Пара не является решением уравнения .

Таких решений линейное уравнение с двумя переменными (2) имеет бесконечное множество.

Геометрическим местом такого уравнения являются все точки прямой (рис. 1).

Уравнения и виды уравнений — Примеры линейных уравнений

Решение примера No1:  найти x, если   2x + 4 =  10 линейное уравнение шаги решения математическая запись 2x + 4 =  10 Первый шаг состоит в том, чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения путем вычитания 4 из обеих частей уравнения: 2x + 4 — 4 = 10 — 4 2x = 6   Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 2: 2x  / 2 = 6 / 2 x = 3   Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение:  2x + 4 = 10 (2 * 3) + 4 = 10 6 + 4 = 10 Решение примера No2:  найти x, если  3x — 4 = —10  линейное уравнение шаги решения математическая запись 3x — 4 = -10 Первый шаг состоит в том, чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения путем прибавления 4 к обеим частям уравнения: 3x — 4 + 4 = -10 + 4 3x = -6   Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 3: 3x: 3 = -6 : 3 x = -2   Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: 3 * (-2) — 4 = -10 -6 — 4 = -10 Решение примера No3:  найти x, если  x + 32 = 12 линейное уравнение шаги решения математическая запись x + 32 = 12 (Замечание: поскольку здесь степень числа, а не переменной, то это выражение является линейным. Первый шаг состоит в возведении числа в квадрат: x + 32 = 12 x + 9  = 12   Второй шаг состоит в том, чтобы вычесть из обеих частей уравнения 9: x + 9 — 9  = 12 — 9 x  = 3   Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: 3 + 32 = 12 3 + 9  = 12 12  = 12

Решение линейных уравнений с параметрами

Урок обобщающего повторения при подготовке к ЕГЭ

Цели урока: обобщение ранее изученного материала, систематизация знаний об основных приёмах решения уравнений с параметрами.

если a = 0, b = 0 – бесконечное множество.

Ответ: корней нет.

Ответ: х – любое число.

Пользуясь этими знаниями, составим алгоритм решения линейного уравнения вида ax = b

при n = 1 – нет корней.

то х = = – единственное решение;

2. если c (c – 2) = 0, с = 0 или с = 2:

а) если с = 0, то 0х = – 6 – корней нет;

б) если с – 2 = 0, с = 2, то 0х = 0, х – любое число.

Ответ: при с  0 и с  2 — единственное решение, при с = 0 – корней нет, при с = 2 х – любое число.

3. b²x – 2b² – 6 = 4x – 7b

b²x – 4x = 2b² – 7b + 6

x (b² – 4) = 2b² – 7b + 6

2b² – 7b + 6 = 0

D = 49 – 4 * 2 * 6 = 1

b₁ = b₂ =

b₁ = 1,5 b₂ = 2

x (b – 2) (b + 2) = 2 (b – 3) (b – 2)

x (b – 2) (b + 2) = (2b – 3) (b – 2)

1. если b  2, b  – 2, то х = ;

2. если b = – 2 0х = 28 нет корней;

3. если b = 2 0х = 0 x – любое число.

Ответ: при b  – 2, b  2 единственное решение , при b = – 2 нет корней, при b = 2 любое число.

4. =

1. x – a  0

2. x 

В этих ограничениях связаны значения неизвестного параметра. Мы же должны исследование данного уравнения довести до получения ограничений только на параметр. Для этого подставим х = в ограничения (1) и (2).

1. x  a  a

 0

 0

 0

2. x  

 0

a  0

Таким образом, получаем х = при  0.

Ответ: при  0 х = .

5. =

1. x  a

2. a – 2x  0

2x  a

x 

= 0

,

– 8x – ax + 5a + a² = 0

8x + ax = 5a + a²

x (8 + a) = 5a + a²

x =

Значит, кроме ограничений (1) и (2) получаем ещё одно

а + 8  0, т.е. а  – 8

1. х  а

 0

x 

,

Ответ: при , , x =

Примеры для самостоятельной работы

1. 3 (a – 2x) = 2 (x – a)

2. =

3. а²х – 2а² + 3 = х + а

4. =

Домашнее задание:

1. При каких значениях параметра а уравнение = будет иметь решение?

2. При каком значении параметра а уравнение не имеет решений?

3. ах + в – =

4. =

Формы линейных уравнений – объяснение и примеры

Существуют три основные формы линейных уравнений. Это три наиболее распространенных способа записи уравнения линии, чтобы информацию о линии было легко найти.

В частности, существуют три основные формы линейных уравнений: наклон-пересечение, точка-наклон и стандартная форма. Каждая из них подчеркивает различные качества линии, но преобразовать одну из этих форм в другую несложно.

В этой статье мы обсудим эти три формы линейных уравнений. Однако перед чтением обязательно просмотрите статьи о наклоне линии и уравнении линии.

Эта тема включает следующие подтемы:

• Какие существуют формы линейных уравнений?
• Наклон точки
• Наклон Точка пересечения
• Стандартная форма

Какие существуют формы линейных уравнений?

Напомним, что линейное уравнение — это математическое уравнение, определяющее линию.Хотя каждое линейное уравнение соответствует ровно одной строке, каждая строка соответствует бесконечному количеству уравнений. Эти уравнения будут иметь переменную, наибольшая степень которой равна 1.

Три основные формы уравнения: форма точки пересечения, форма точка-наклон и стандартная форма. Эти уравнения дают достаточно информации о линии, чтобы мы могли легко их изобразить.

Что нам нужно для определения линии?

Нам нужны две точки, чтобы однозначно определить линию. Однако если у нас есть наклон и точка, мы можем легко использовать наклон, чтобы найти вторую точку и построить линию.

Форма точка-наклон (или точка наклона) и форма пересечения наклона (или точка пересечения) говорят нам об одной точке и наклоне линии. Стандартная форма дает нам две определенные точки, а именно точки пересечения x и y, хотя по предоставленной информации нетрудно найти наклон.

Наклон точки

Как следует из названия, форма точка-наклон дает одну точку на линии и ее наклон. Эта форма обычно не используется для построения графика. Однако чаще он используется для перехода от словесного описания или графического изображения линии к линии с пересечением наклона или к стандартной форме.

Если заданная точка (x ₁ , y ₁ ), a наклон равен m, уравнение прямой в форме точка-наклон:

yy ₁ = m(xx ₁ ).

Поскольку на каждой линии бесконечно много точек, существует бесконечно много способов записать форму точка-наклон.

Обратите внимание, что эту форму также можно использовать, если заданы две точки, и ни одна из них не является точкой пересечения с осью y. (Напомним, что точка пересечения с осью y имеет вид (0, y ₁ ).) Это потому, что мы можем использовать две точки для нахождения наклона.Однако, если у нас есть точка пересечения по оси y, мы можем пропустить форму точки-наклона и вместо этого использовать форму точки-наклона.

Пересечение наклона

Форма пересечения наклона передает наклон и пересечение оси Y линии. На самом деле технически это частный случай формы точка-наклон.

Если линия имеет наклон m и пересечение с осью y (0, b), то форма наклона и пересечения имеет вид:

y=mx+b.

Если бы эта точка была записана в форме точка-наклон, мы бы имели:

y-b=m(x-0).

Упрощение выходов:

y=mx-0+b

y=mx+b.

Если дан график линии, нам все равно придется вычислять наклон. Если линия пересекает ось Y в четкой точке, лучше всего использовать ее в качестве одной из точек, используемых для расчета наклона. Затем мы можем просто подставить значения прямо в уравнение пересечения наклона. Однако, если точка пересечения с осью Y неясна, то форма точки пересечения может быть получена из уравнения точка-наклон.

Стандартная форма

Стандартная форма уравнения:

Ax+By=C

Где A, B и C — целые числа, а A не является отрицательным.

Эта форма полезна двумя способами. А именно, это помогает нам решить систему уравнений и помогает нам найти точки пересечения уравнения.

Решение уравнений

Во-первых, стандартная форма позволяет нам легко решать системы уравнений. Поскольку он имеет только целые числовые коэффициенты, можно просто выстроить переменные, а затем сложить и вычесть уравнения.

Есть определенные стратегии, которые мы можем использовать, чтобы найти, где эти уравнения пересекаются.В частности, мы можем перемножить уравнения так, чтобы, например, коэффициенты x были одинаковыми. Затем, если мы вычтем уравнения, у нас останется уравнение с одной переменной с y. Решение для y дает значение y для точки, где пересекаются два уравнения.

Поскольку не имеет значения, найдем ли мы сначала значение x или y точки пересечения, обычно люди решают, для какой из переменных проще выполнять вычисления.

Поиск пересечений

Стандартная форма также позволяет легко находить пересечения линии по осям x и y.Помните, что точка пересечения y — это значение y, когда x = 0, а точка пересечения x — это значение x, когда y = 0. По сути, это точки, в которых линия пересекает две оси.

Чтобы найти точку пересечения с осью y, установите x=0. Тогда имеем:

A(0)+By=C

By=C

y=C/B.

Аналогично, чтобы найти точку пересечения по оси x, установите y=0. Тогда имеем:

Ax+B(0)=C

Ax=C

x=C/A.

Примеры

В этом разделе будут рассмотрены распространенные примеры, включающие формы линейных уравнений.

Пример 1

Каковы наклон и точка пересечения по оси Y прямой, проходящей через точки (1, 2) и (3, 5)?

Пример 1 Решение

Мы знаем, что можем найти наклон линии, разделив разницу между значениями y двух точек на разницу между значениями x тех же двух точек. В этом случае уклон равен:

м = ^(2-5) ⁄ _(1-3) = ^-3 / _-2 = ³ / _2.

0 поскольку у нас есть точка и наклон, мы можем использовать формулу точка-наклон.Любая точка будет работать, но мы можем использовать меньшие значения и пусть (1, 2) будет (x

₁ , y ₁ ).

Y-2 = ³ / ₂ (X-1)

Y-2 = ³ / ₂ x- ^{3 / ₂}

y = ³ / ₂ x+ ¹ / ₂

Следовательно, наклон равен ³ / ₂ , а точка пересечения с координатой Y равна ¹ / ₂ .

Пример 2

Каковы наклон и точка пересечения линии, показанной ниже?

Пример 2 Решение

Точку пересечения линии с осью Y легко увидеть.Это (0, 1). Нам также нужно найти вторую точку, чтобы мы могли найти наклон. Хотя есть много вариантов, мы можем выбрать (3, 3) для иллюстрации.

Таким образом, наклон равен:

м = ^(1-3) / _(0-3) = ^-2 / _-3 = ² / _{3. 2 Мы уже зная точку пересечения, мы можем просто подставить значения в уравнение наклона и точки пересечения, чтобы получить:}

y= ² / ₃ x+1.

Пример 3

Каковы точки пересечения по осям x и y линии 4x+2y=-7?

Пример 3 Решение

Поскольку это уравнение уже имеет стандартную форму, мы можем легко найти точки пересечения.В этом случае A=4, B=2 и C=-7.

Напомним, что точка пересечения с осью y равна:

y= ^C / _B .

Следовательно, точка пересечения с осью y:

y= ^-7 / ₂ .

Также напомним, что точка пересечения по оси x равна:

x= ^C / _A.

Следовательно, точка пересечения с x равна:

x= ^-7

/

51 4.

Пример 4

Линия k имеет y=7/2x-4 в форме пересечения наклона.Найдите стандартную форму k.

Пример 4 Решение

Преобразование из формы пересечения наклона в стандартную форму требует некоторых алгебраических операций.

Сначала поместите переменные x и y на одну сторону:

y= ⁷ / ₂ x-4

^-7 / ₂ x+y=-4

27 Теперь, нам нужно умножить обе части уравнения на одно и то же число, чтобы коэффициенты x и y были целыми числами. Так как коэффициент при x делится на 2, то надо все умножить на 2:

-7x+2y=-4.

Поскольку A должно быть положительным, мы также должны умножить все уравнение на -1:

7x-2y=4.

Следовательно, A=7, B=-2 и C=4.

Пример 5

Напишите уравнение линии, показанной ниже, во всех трех формах. Затем перечислите наклон и оба пересечения.

Пример 5 Решение

Поскольку у нас есть график, нам нужно будет найти две точки, чтобы найти наклон. К сожалению, точка пересечения с осью Y находится не на линиях сетки, поэтому нам придется выбрать две другие точки.Точки (1, 2) и (-1, -3). Следовательно, уклон равен:

м = ⁽²⁺³⁾ / ₍₁₊₁₎ = ⁵ / ₂ = ⁵ / _2.

7, 9000 Теперь используем точку — форма наклона, чтобы найти форму пересечения наклона. Пусть (1, 2) будет точкой (x ₁ , y ₁ ). Тогда имеем:

y-2= ⁵ / ₂ (x-1).

y-2= ⁵ / ₂ x- ⁵ / ₂

y= ⁵ / ₂ 2 14 /

Теперь нам нужно преобразовать это в стандартную форму. Как и раньше, мы поместим переменные с одной стороны:

^-5 / ₂ x+y= ^-1 / _2.

Теперь нам нужно алгебраически манипулировать уравнением так, чтобы не являются дробями. Мы можем сделать это, умножив обе части на 2, чтобы получить:

-5x+2y=-1.

Наконец, мы можем умножить обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при x был положительным:

5x-2y=1.

Следовательно, три формы уравнения таковы:

Точка-наклон: y-2= ⁵ / ₂ (x-1).

Наклон-пересечение: y= ⁵ / ₂ x- ¹ / _2.

Стандарт: 5x-2y=1.

Мы можем использовать эти уравнения для получения точек пересечения. Форма точки пересечения наклона дает понять, что точка пересечения по оси y равна ^-1 / ₂ . Для точки пересечения по оси x мы можем использовать стандартную форму, поскольку ^C / _A является точкой пересечения по оси x. Таким образом, точка пересечения по оси x равна ¹ / ₅ для этого уравнения.

Slope: ⁵ / ₂

Y-Интерпрерт: ^-1

4/ ₂
/ ₂

x-intercept: ¹ / ₅

Проблемы практики

1. Преобразовать уравнение 6х- 5y=7 в форме пересечения наклона.
2. Найдите форму пересечения наклона уравнения для прямой, проходящей через точки (9, 4) и (11, -4).
3. Каковы наклон, точки пересечения по оси Y и точки пересечения по оси X линии, представленной уравнением 2x+5y=1.
4. Найдите все три формы уравнения для линии, представленной ниже:
   
5. Можно ли записать уравнение y= ^π / ₂ x+π в стандартной форме, как определено здесь? Почему или почему нет?

 

Линейные уравнения (типы и примеры решения)

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором старший показатель переменной равен единице. Линейное уравнение имеет одну, две или три переменные, но не каждая линейная система с 03 уравнениями.Обычно система линейных уравнений имеет только единственного решения , но иногда не имеет решения или бесконечное количество решений .

Линейное уравнение с двумя переменными описывает отношения, в которых значение одной переменной, скажем, «x», зависит от значение другой переменной скажем «y». При наличии двух переменных график линейного уравнения будет прямой линией.

Стандартная форма линейного уравнения




Линейные уравнения имеют стандартную форму, например:

Топор + В = С

Здесь A, B и C — коэффициенты, тогда как x и у — переменные.

Общая форма линейного уравнения с двумя переменными:

y = mx + c, m ≠  0

Формула линейного уравнения

Некоторые общие формулы:

1. Форма пересечения наклона:    
2. Точечная форма:                    
3. Двухточечная форма:            

Примеры линейных уравнений

В приведенных выше примерах старший показатель степени переменной равен 1.

• Уравнение с одной переменной:  Уравнение с одной переменной, например
• 12x – 10 = 0
• 12x = 10
• Уравнение с двумя переменными:  Уравнение с двумя переменными, например
• 12x +10y – 10 = 0
• 12x +23y = 20
• Уравнение с тремя Переменные:  An уравнение с тремя переменными, например
• 12x +10y -3z – 10 = 0
• 12x +23y – 12z = 20

Решенные примеры линейных уравнений:

Пример Нет.1:

Решение:

Пример №2:

Решение:

Пример №3:

Решение:

В линейном уравнении знак равенства (=) делит уравнение на две стороны, такие как L.H.S. и Р.Х.С.

В данном уравнении значение переменной, которое делает Л. H.S = R.H.S называется решением линейного уравнения.


Примеры №1

х + 6 = 8 — линейное уравнение.

Здесь, L.H.S. равно x + 6 и R.H.S. равно 8

Если мы положим x = 2, то левая часть будет 2 + 6, что равно правой части сторона

Таким образом, решением данного линейного уравнения будет x = 2

Пример №2

3x – 2 = 2x – 3 является линейным уравнением

Если мы положим x = -1, то левая часть будет 3(-1) – 2 и правая часть будет 2(-1) – 3

Мы получено,

-3 – 2= -2 – 3

-5 = -5

Следовательно, Л.Х.С. = R.H.S.

Итак, x = -1 является решением данного линейного уравнения.

Типы линейных уравнений: 

Существует три типа линейных уравнений

1. Условно Уравнение
2. Идентичность Уравнение
3. Противоречие Уравнение

1. Условное уравнение:

Условное уравнение имеет только одно решение. Например,

2. Уравнение тождества:

Уравнение тождества всегда истинно, и каждое действительное число является ее решение, следовательно, она имеет бесконечные решения.Решение линейной уравнение, которое имеет тождество, обычно выражается как

Иногда левая часть равна в правую часть (вероятно, получим 0=0), поэтому легко находим из того, что это уравнение является тождеством. Например,

3. Уравнение противоречия:

А Уравнение противоречия всегда ложно и не имеет решения. Противоречие уравнение в основном выражается как:

Например,

Линейные уравнения представляют линии

Уравнение представляет собой линию на графике, и мы имеем требуется две точки, чтобы провести линию через эти точки.На графике переменные «x» и «y» показывают координаты «x» и «y». графика. Если мы поместим значение для «x», то мы можем легко вычислить соответствующее значение «y», и эти два значения покажут точку на графике. Точно так же, если мы продолжим помещать значения «x» и «y» в заданную линейную уравнения, мы можем получить прямую линию на графике.

Графическое представление линейного уравнения

Мы можем подставить значения «x» и «y» в уравнение, чтобы построить график линейного уравнения.Мы можем использовать точки «перехвата». Необходимо соблюдать несколько нижеуказанных пунктов:

• Подставьте x = 0 в уравнение и найдите y и нанесите точку (0,y) на ось y
• Подставьте y = 0 в уравнение и найдите x и нанесите точку (x,0) на оси y ось X
• Наконец, проведите прямую линию между двумя точками

Проверить ваши навыки, чтобы найти решения этих линейных уравнений:

См. также: Типы математических уравнений

форм линейного уравнения: просмотр и преобразование форм

Хотите понять три формы линейных уравнений? В этом посте мы узнаем о трех формах линейных уравнений и о том, как преобразовать одну форму в другую.

Овладение новыми математическими навыками очень похоже на добавление нового инструмента в свой набор инструментов. Да, может потребоваться время, чтобы понять, как работает новый инструмент, но новые инструменты позволяют выполнять более сложные и захватывающие проекты!

Изучение того, как использовать все три формы линейных уравнений, похоже на изучение того, как пользоваться швейцарским армейским ножом. Есть разные функции, и каждая из них имеет свое предназначение. Важно использовать правильный инструмент в нужное время.

Давайте погрузимся!

Какие три формы линейных уравнений?

Линейные уравнения можно записать в трех основных формах:

1. Форма пересечения наклона
2. Форма точки наклона
3. Стандартная форма

Форма пересечения наклона легко определяет наклон и пересечение линии по оси Y.Для получения дополнительной информации прочитайте наш полный обзор формы наклона и пересечения.

Форма наклона-пересечения y=mx+b

Форма точка-наклон определяется одной точкой и наклоном линии. Для получения дополнительной информации прочитайте наш полный обзор формы точка-наклон.

Форма «точка-наклон» y-y_1=m(x-x_1)

Стандартная форма полезна для решения систем уравнений и определения точек пересечения x и y.Для получения дополнительной информации прочитайте наш полный обзор стандартной формы.

Несколько замечаний по стандартной форме:

• Термин a должен быть целым положительным числом
• a, b и c не могут быть десятичными или дробными числами

Вернуться к оглавлению

Пример: формы линейных уравнений из графика

Все три формы линейных уравнений могут описывать график линии. Определим линейное уравнение следующего графика:

Форма пересечения наклона

Чтобы определить форму пересечения наклона, y=mx+b, мы должны ввести наклон и пересечение по оси y.

• Наклон линии равен 3, потому что график поднимается на 3 единицы вверх на каждую единицу, которую он перемещает вправо.
• Точка пересечения с осью y равна -1, поскольку линия пересекает ось y, когда y=-1.

Таким образом, уравнение прямой в форме точки пересечения имеет вид:

у=3х-1

Точечно-наклонная форма

Чтобы найти форму точка-наклон, y-y_1=m(x-x_1), мы должны ввести наклон и одну точку на графике.

• Мы уже знаем, что наклон линии равен 3 (см. выше).
• Мы видим, что прямая проходит через точку (1,2). Мы заменим 2 на y_1 и 1 на x_1.

Таким образом, уравнение прямой в форме точка-наклон:

у-2=3(х-1)

Стандартная форма

Чтобы рассчитать стандартную форму, ax+by=c, мы просто преобразуем ее из формы пересечения наклона в стандартную форму.

у=3х-1

у-3х=-1

Следовательно, уравнение прямой в стандартной форме:

у-3х=-1

Вернуться к оглавлению

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это уравнение, описывающее прямую линию.

Линия может быть определена точкой на линии и наклоном или любыми двумя точками на линии. Линейное уравнение нельзя использовать для описания линии с изменяющимся наклоном или любого искривленного графика.

Подробнее о том, что делает уравнение «линейным», читайте в этой полезной статье.

Преобразование точки-наклона в наклон-пересечение

Для того, чтобы преобразовать в форму наклон-пересечение из формы точка-наклон, нам нужно реорганизовать уравнение. Мы можем начать с уравнения y+4=2(x-13), которое имеет форму точки-наклона.

Сначала раздадим. Затем мы изолируем переменную y.

у+4=2(х-13)

у+4=2х-26

у=2х-30

Уравнение y+4=2(x-13) является формой уравнения y+4=2(x-13).

Для более визуальных учеников вот небольшой пример видео:

Вернуться к оглавлению

Преобразование точки-уклона в стандартную форму

Продолжим изучение форм линейных уравнений на другом примере!

Теперь мы собираемся преобразовать уравнение y+4=\frac{1}{2}(x-13), которое находится в форме точка-наклон , в стандартную форму .

Мы снова начнем с распределения и изоляции переменной y. Затем мы переместим член с переменной x на другую сторону. Наконец, мы исключим любые рациональные числа, умножив их на знаменатель.

y+4=\dfrac{1}{2}(x-13)

y+4=\dfrac{x}{2}-\dfrac{13}{2}

у=\dfrac{x}{2}-\dfrac{13}{2}-4

у=\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}

y-\dfrac{x}{2}=-\dfrac{5}{2}

2у-х=-5

Уравнение 2y-x=-5 является стандартной формой уравнения y+4=\frac{1}{2}(x-13).

Вернуться к оглавлению

Преобразование точки пересечения в точку-наклон

Давайте теперь начнем с наклон-пересечение формы , используя уравнение y=14x-5. Чтобы преобразовать в точки-наклон формы , нам нужно вынести константу перед x.

у=14х-5

y=14(x-\frac{5}{14})

Теперь он представлен в форме точка-наклон с использованием точки (\frac{5}{14},0). Чтобы увидеть это более ясно, вы можете записать это как y-0=14(x-\frac{5}{14}).Таким образом, y-0=14(x-\frac{5}{14}) является точечно-наклонной формой уравнения y=14x-5.

Имейте в виду, что существует более одного правильного решения при преобразовании в точечную форму наклона, поскольку линия имеет бесконечное количество точек.

Вернуться к оглавлению

Преобразование точки пересечения наклона в стандартную форму

Преобразование из наклон-пересечение в стандартную форму требует очень мало шагов. Преобразуем уравнение пересечения наклона y=-\frac{2}{3}x+14 в стандартную форму.

Мы просто переместим член с x в сторону с y и умножим на знаменатель, чтобы исключить рациональные числа.

y=-\dfrac{2}{3}x+14 

y+\dfrac{2}{3}x=14

3у+2х=42

Уравнение 3y+2x=42 является стандартной формой уравнения y=-\frac{2}{3}x+14.

Вот краткий видео-пример преобразования наклона-пересечения в стандартную форму:

Вернуться к оглавлению

Преобразование стандартной формы в точку-уклон

Затем мы можем преобразовать стандартную форму в форму точка-наклон . Преобразуем уравнение 6x+2y=11 в форму точка-наклон.

Мы начнем с переноса члена с x на другую часть уравнения. Затем мы вынесем коэффициент перед x и, наконец, разделим на коэффициент перед y.

6х+2у=11

2у=-6х+11

2y=-6(x-\frac{11}{6})

y=-3(x-\frac{11}{6})

Как было показано ранее, мы также можем записать это уравнение как y-0=-3(x-\frac{11}{6}), чтобы более четко увидеть используемую точку (\frac{11}{6},0 ).Напоминаем, что существует более одного правильного решения при преобразовании в форму точка-наклон, поскольку линия имеет бесконечное количество точек.

Уравнение y-0=-3(x-\frac{11}{6}) представляет собой версию уравнения 6x+2y=11 в форме точка-наклон.

Вернуться к оглавлению

Преобразовать стандартную форму в наклонную точку пересечения

Далее, мы также можем изменить стандартную форму на форму наклон-пересечение . Преобразуем уравнение 2x+5y=10 в форму пересечения наклона.

Для этого мы должны решить уравнение для y. Чтобы найти у, мы переместим член с х на другую сторону и разделим на коэффициент перед у.

2x+5y=10

5y=-2x+10

y=-\dfrac{2}{5}x+2 

Уравнение y=-\frac{2}{5}x+2 представляет собой форму пересечения наклона уравнения 2x+5y=10.

Вернуться к оглавлению

Резюме: Формы линейных уравнений

• Существуют три распространенные формы линейных уравнений
• Один и тот же график линии можно записать по-разному, используя разные формы уравнений
• Мы можем использовать алгебраические навыки для преобразования между различными формами уравнений

Нажмите здесь чтобы изучить более полезные руководства по обзору Albert Algebra 1.

форм линейных уравнений — Урок

(0 оценок)

Быстрый просмотр

Уровень: 8 (7-9)

Необходимое время: 45 минут

Урок Зависимость:

предметных областей: Алгебра

Поделиться:

Резюме

Учащиеся узнают о четырех формах уравнений: прямая вариация, форма пересечения наклона, стандартная форма и форма точка-наклон. Они строят графики и заполняют наборы задач для каждого, преобразуя одну форму уравнения в другую и изучая преимущества и использование каждого из них.

Инженерное подключение

Представление о наклоне как о скорости изменения важно для понимания того, как строятся линии. Инженеры должны уметь создавать, а также понимать графики, объясняющие наборы данных. Инженеры-механики читают и понимают графики, показывающие смещение, скорость и ускорение, чтобы затем анализировать данные с испытательных площадок, чтобы узнать, как проектировать свои продукты (например, автомобили и самолеты), чтобы они были более эффективными и безопасными.В вопросах журнала 5-6 сводной оценки учащиеся думают как инженеры, рассматривая значение ключевых точек данных и цель использования линий для моделирования данных.

Цели обучения

После этого урока учащиеся должны уметь:

• Различать различные формы уравнений, включая прямую вариацию, форму наклона-пересечения, стандартную форму и форму точки-наклона.
• Объясните, что означает термин эквивалентные уравнения.
• Преобразование одной формы уравнения в другую.
• Сообщите, когда каждая форма полезна и как построить график с использованием каждой формы.
• Используйте наклон параллельной или перпендикулярной линии вместе с точкой на линии, чтобы написать уравнение линии в любой из трех основных форм.

Образовательные стандарты

Каждый урок или занятие TeachEngineering соотносится с одной или несколькими науками K-12, технологические, инженерные или математические (STEM) образовательные стандарты.

Все более 100 000 стандартов K-12 STEM, включенных в TeachEngineering , собираются, поддерживаются и упаковываются сетью стандартов достижений (ASN) , проект D2L (www.achievementstandards.org).

В ASN стандарты структурированы иерархически: сначала по источнику; напр. по штатам; внутри источника по типу; напр. , естествознание или математика; внутри типа по подтипу, затем по классам, и т.д. .

Общие базовые государственные стандарты — математика
• Определите, находятся ли две величины в пропорциональном соотношении, например, проверив эквивалентные отношения в таблице или нарисовав график на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат. (Оценка 7) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Используйте подобные треугольники, чтобы объяснить, почему наклон m одинаков между любыми двумя различными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение y = mx для прямой, проходящей через начало координат, и уравнение y = mx + b для прямой, пересекающей вертикальную ось в точке b. (Оценка 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Создайте функцию, чтобы смоделировать линейную связь между двумя величинами.Определить скорость изменения и начальное значение функции по описанию зависимости или по двум значениям (x, y), в том числе прочитать их из таблицы или из графика. Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции с точки зрения ситуации, которую она моделирует, и с точки зрения ее графика или таблицы значений. (Оценка 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Качественно описать функциональную связь между двумя величинами, проанализировав график (например,г. , где функция возрастающая или убывающая, линейная или нелинейная). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, описанной словесно. (Оценка 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Решите линейные уравнения с одной переменной. (Оценка 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Анализируйте и решайте пары одновременных линейных уравнений.(Оценка 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы выявить и объяснить свойства величины, представленной выражением. (Оценки 9 — 12) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Создавайте уравнения с двумя или более переменными для представления взаимосвязей между величинами; графические уравнения на осях координат с метками и шкалами.(Оценки 9 — 12) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Графические функции выражаются символически и показывают ключевые особенности графика вручную в простых случаях и с использованием технологий в более сложных случаях. (Оценки 9 — 12) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Создавайте уравнения и неравенства с одной переменной и используйте их для решения задач.Включите уравнения, возникающие из линейных и квадратичных функций, а также простых рациональных и экспоненциальных функций. (Оценки 9 — 12) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Решайте линейные уравнения и неравенства с одной переменной, в том числе уравнения с коэффициентами, обозначенными буквами. (Оценки 9 — 12) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии – Технология
• Используйте компьютеры и калькуляторы в различных приложениях.(Оценки 6 — 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Объясните, как знания, полученные из других областей содержания, влияют на разработку технологических продуктов и систем. (Оценки 6 — 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

ГОСТ Предложите выравнивание, не указанное выше

Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента?

Предыстория урока и концепции для учителей

Начните с возвращения линии из последнего класса, которая проходила между точками (0,3) и (6,5). Напомните учащимся, что они определили этот наклон равным 1/3. Однако было бы неплохо узнать эту линию не только по ее наклону. Что было бы действительно здорово, так это создать связь между двумя переменными x и y. Напомните учащимся, что для любой заданной линейной функции каждому значению x соответствует ровно одно значение y. Для другой линейной функции это значение x может иметь другое соответствующее значение y. Таким образом, часть того, что нам нужно сделать, — это охарактеризовать линию таким образом, чтобы мы дали отношение между x и y, независимо от того, каковы числовые значения для этой функции.

Один «частный случай», с которого интересно начать, — это отношение переменных, которые имеют прямую вариацию друг с другом. То есть они следуют соотношению y = k x , где k — «постоянная вариации». Это проявляется в отношениях между расстоянием, скоростью и временем, где скорость поддерживается постоянной, поскольку y и x напрямую зависят друг от друга. Поскольку учащиеся хорошо знакомы с взаимосвязью между скоростью, расстоянием и временем, попросите их выполнить практическое задание, чтобы продемонстрировать эту взаимосвязь (см. ниже упражнение «Сопоставление движения»).Эти отношения, найденные в действии, важны для инженеров при анализе данных. Например, инженеры-механики должны понимать различные взаимосвязи между скоростью, расстоянием и временем, чтобы наилучшим образом и безопасно проектировать такие продукты, как автомобили и самолеты. На данный момент учащиеся должны знать, как определить константу вариации (которую представляет собой наклон линии) по паре значений (x, y). Им также необходимо знать, как определить одно значение, зная другое значение и постоянную вариации.Например, «y изменяется прямо как x. y=4, когда x=0,5. Чему равно k? Напишите уравнение. Чему равно x, когда y=2?» Образец работы представлен ниже.

Соотношение прямой вариации на самом деле является частным случаем следующей формы уравнений, на которую будут смотреть учащиеся, формы наклона и пересечения. Единственное отличие состоит в том, что он всегда имеет точку пересечения по оси y, равную 0 (пересекается в начале координат).

Первая широко принятая форма уравнения — это форма пересечения наклона. Для этой формы нам нужно знать — как вы уже догадались — наклон линии и ее точку пересечения по оси Y.(Отрезок по оси y — это место, где линия пересекает ось y.) Уравнения пересечения для наклона имеют следующий вид: y = m x + b , где m — это наклон, а b — это пересечение по оси y. Итак, если вы знаете наклон линии, как обсуждалось в нашем предыдущем уроке, и знаете, где она пересекает ось y (точка пересечения y), то вы можете написать уравнение линии. Например, y=2x+3 имеет наклон 2 и пересекает ось y при положительном значении 3. Учащиеся должны быть в состоянии взять уравнение в любой другой форме и преобразовать его в форму пересечения наклона, перестроив уравнение, используя свойства равенства.Пример показан ниже.

Учащиеся также должны уметь легко переключаться между алгебраическими и графическими представлениями линейных отношений.

Второй важной формой уравнений является стандартная форма , которая записывается как Ax + By = C. Учащиеся должны знать, что, в отличие от формы с пересечением наклона, эту форму сложнее получить непосредственно из графика, поскольку A, B и C не являются наклоном, точками пересечения или любой другой характеристикой линии.Лучший способ написать уравнение такого типа из линии графика — найти линию в другой форме, например, в форме пересечения наклона, а затем перестроить уравнение так, чтобы оно имело стандартную форму. Прелесть стандартной формы уравнения в том, что из него можно легко определить точки пересечения x и y и использовать эти точки для построения графика. Для этого предложите учащимся составить таблицу xy, как показано ниже. Подставьте 0 вместо x и посмотрите, что такое y. Затем подставьте 0 вместо y и посмотрите, что такое x. С этими двумя точками учащиеся могут легко построить график линейной функции.Студенты также должны быть в состоянии преобразовать уравнение в стандартную форму.

Уравнение третьей формы, о котором должны знать учащиеся, это точка-наклон формы линии, где m — наклон, а (x1,y1) — точка на линии. Эта форма уравнения полезна, потому что, если кто-то знает точку на графике и наклон, он / она может легко построить линию. Учащиеся должны уметь смотреть на график и определять форму уравнения точки и наклона линии, а также брать уравнение в форме точки и наклона и рисовать график.Кроме того, они должны иметь возможность преобразовывать эту форму в другие формы уравнений. Интересно отметить сходство этой формулы с формулой наклона линии.

Завершите уроки, связав их с контрольным вопросом. Попросите учащихся достать свои листы бумаги или журналы, в которых они записывали идеи. Попросите их записать, как эта информация о формах уравнений может помочь им решить контрольный вопрос.

В качестве домашнего задания каждый вечер предложите учащимся заполнить прилагаемые рабочие листы.Предоставьте им раздаточный материал Forms of Lines для изучения.

Множество форм линейных уравнений

Линейные уравнения — это любые уравнения, которые образуют прямую линию на графике. Это одна из первых тем, рассматриваемых в алгебре, потому что они лежат в основе почти всех построений графиков. Они также являются одними из самых простых уравнений и поэтому являются хорошим введением в преобразование уравнений в различные формы. На самом деле существует несколько различных типов широко используемых линейных уравнений.В этом посте мы рассмотрим различные виды, а также способы переключения между ними. Прежде чем мы начнем, необходимо прояснить одну важную вещь: уравнение любой линии может быть записано в любой из этих форм, и это все равно будет одна и та же линия. Изменение формы никак не влияет на линию. Это просто разные способы описать это.

    Первая форма, которую мы рассмотрим, называется стандартной формой. В этой форме обе переменные x и y находятся по одну сторону от знака равенства, а постоянное число — по другую сторону ax+by=cside.Это выглядит так:

 

Для конкретного примера воспользуемся уравнением:

2x-3y=6

На графике это уравнение будет выглядеть так:

Вы можете проверить, что эта линия представляет собой уравнение, введя значение x и убедившись, что линия будет иметь правильное значение y. Как и у всего, у этой формы есть плюсы и минусы. Основное преимущество этой формы в том, что она лучше всего подходит для решения систем линейных уравнений. Это не то, с чем вашему ученику придется иметь дело, пока он не углубится в алгебру, хотя, если он работает с этими системами, см. Наш пост от 20 января для получения более подробной информации о том, как с ними работать.Основным недостатком этой формы является то, что простой взгляд на нее мало что говорит вам о линии. Следующие две формы будут намного лучше в этом отношении.

    Следующая форма, и, вероятно, наиболее часто используемая, называется формой пересечения наклона. Он называется так потому, что наклон (крутизна линии) и y-пересечение (где линия пересекает ось y) очень легко увидеть из него. Выглядит так:

у=мх+б

В этом уравнении m — это наклон линии, а b — точка пересечения с осью y.Если мы хотим преобразовать приведенное выше уравнение в пример в такой форме, нам просто нужно получить только y на одной стороне уравнения.

2x-3y=6

2х=3у+6

2х-6=3г

23х-2=у

Просто взглянув на наше уравнение, мы можем увидеть, что наша линия имеет наклон ⅔ и точку пересечения по оси Y, равную -2. Оглядываясь назад на график, мы видим, что линия идет вверх на 2 на каждые 3 вперед (именно это и означает наклон ⅔) и пересекает ось Y в точке -2. Вся информация о линии, которая легко считывается из уравнения, является причиной такой популярности этой формы.

    Последняя форма называется формой точка-наклон, так как она создается с использованием наклона и точки на линии. Его общий вид выглядит так:

у-у1=м(х-х1)

В этом уравнении m по-прежнему является наклоном, а (x1,y1) — любой точкой на прямой. Если мы выберем точку (3,0), уравнение нашей линии может выглядеть так:

у-0=23(х-3)

Эта форма, как и форма пересечения наклона, содержит много информации о линии, видимой в уравнении. Однако, в отличие от предыдущей формы, на эту сложнее переключиться из другой формы. Обычно эту форму следует использовать, если линия уже нанесена на график, так как по графику будет легко найти одну точку и наклон. И последнее, что следует отметить в отношении этой формы, это то, что она не уникальна. Можно выбрать любую точку на линии, поэтому существует множество способов записи формы точка-наклон. Сравните это с формой пересечения наклона. Поскольку линия имеет только один наклон и одну точку пересечения с осью Y, есть только один способ записать уравнение в такой форме.

    Эти три формы являются одинаково правильными способами записи уравнения прямой, но это не значит, что они одинаково полезны в любой ситуации. Знание того, какая форма наиболее полезна в конкретной задаче, и способность переходить к этой форме из любой предоставленной информации — это фундаментальные навыки, которые хорошо послужат вашему ребенку в остальной части его алгебраического образования и в дальнейшем.

Звоните и давайте поговорим (720) 730-2695

Формы линейных уравнений — Как обсудить

Формы линейных уравнений

Какова стандартная форма уравнений? Стандартная форма линейного уравнения: Ax + By = C.А, В и С — действительные числа. Любое уравнение можно преобразовать в эту форму, добавляя или вычитая одни и те же члены с обеих сторон уравнения.

Как писать линейные уравнения?

• Уравнение прямой в виде отрезка наклона: y = mx + b y = m x + b
• Определите уклон.
• Найдите точку пересечения y и y. Это можно сделать, заменив наклон и координаты точки (x, y) на (x, y) прямой линией.

Каковы правила линейных уравнений?

Три основных правила.Линейное уравнение состоит из двух равных выражений (например, «3x + 2» или «54») при условии, что ни одна из переменных в уравнении не возведена в степень больше единицы.

Что такое характеристики линейных уравнений?

Свойства линейных и квадратных уравнений. При построении графика линейное уравнение создает прямую линию. Каждое значение x дает одно и только одно значение y, поэтому связь между ними будет один к одному.

Как написать линейное уравнение?

В математике линейное уравнение — это тип уравнения.В линейном уравнении два члена должны быть постоянными. Линейное уравнение – это уравнение прямой линии. Этот тип уравнения записывается как: y = mx + b. o (y y1) = m (x x1), где: m = скорость изменения или наклон. Наклон — это скорость, с которой линия идет вверх или вниз.

Какие три типа линейных уравнений существуют?

Три основные формы линейных уравнений: форма сегмента наклона, форма точечного наклона и стандартная форма.

Какая формула для линейного уравнения?

Линейное уравнение создает на графике прямую линию. Общая формула для линейного уравнения: y = mx + b, где m — наклон линии (который может быть положительным или отрицательным), а b — точка пересечения прямой с осью y (пересечение с осью y). а также).

Какова формула стандартной формы?

Стандартная форма (или общая форма) линейного уравнения: Ax + By = C, где A, B и C — постоянные (неизменные) числа. Это простейшая форма линейного уравнения для нахождения точек пересечения x и y.

Как записывать линейные уравнения в калькуляторе стандартной формы

«Стандартный способ» записи линейного уравнения: Ax + By = CA A не должно быть отрицательным, A и B не должны быть равны нулю одновременно, и A , B и C должны быть целыми числами.Пример: Рассмотрим это в стандартной форме: y = 3x + 2 Переместить 3x влево: -3x + y = 2.

Как преобразовать линейные уравнения в стандартную форму?

Стандартная форма линейного уравнения: Ax + By = C. Чтобы преобразовать уравнение, записанное в виде кривой наклона (y = mx + b), в стандартную форму, x и y должны быть по одну сторону от равенства подписать. а другая сторона получала постоянно. Используйте обратные операции для замены терминов.

Какая формула используется в линейных уравнениях?

Формулы и определения линейных уравнений Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором каждый член имеет показатель степени, равный единице, а график уравнения представляет собой прямую линию.Стандартная форма линейного уравнения: y = mx + b. Где x — переменная, а y, m и b — константы.

Какова стандартная форма линейных уравнений?

Стандартная форма линейного уравнения: Ax + By = C, где A, B и C могут быть любыми числами.

Существуют ли распечатанные рабочие листы для решения линейных уравнений?

Здесь вы найдете неограниченное количество печатных листов для решения линейных уравнений, доступных в виде файлов PDF и HTML.Вы можете настроить рабочие листы, чтобы включить одно-, двух- или многоуровневые уравнения, переменные с обеих сторон, круглые скобки и многое другое.

Сколько проблем возникает при построении графика линейного уравнения?

Каждый рабочий лист содержит шесть задач. Найдите соответствующий график, представляющий линейное уравнение на этом листе. Каждый лист содержит пять ЭМИ. Каждый рабочий лист PDF содержит девять задач, представляющих линейное уравнение. Затем выберите подходящее линейное уравнение, которое лучше всего его представляет.

Как построить график линейного уравнения в Excel?

Чтобы создать линейное уравнение, сначала создайте ряд значений. Для каждого из представленных здесь листов возьмите свои значения х. Подставьте значения x в уравнение, чтобы найти значения y.

Чем полезны линейные уравнения с двумя переменными?

Линейные уравнения в 2D-рабочих листах дают учащимся возможность решать широкий спектр задач, которые помогают им построить прочную математическую основу.

Как записывать линейные уравнения в рабочей таблице стандартной формы

Стандартная форма линейного уравнения: Ax + By = C A x + B y = C. Перепишите уравнение. Переместите все переменные члены влево от уравнения.

Как переписать уравнения в стандартной форме?

Если вы хотите переписать уравнение из стандартной формы (Ax + By = C) в пересечение наклона (y = mx + b), вы можете сделать это, изменив члены в обратном порядке.
Шаг 1 : Вы хотите, чтобы ваше уравнение было y =, поэтому вы хотите получить все члены, кроме y, с одной стороны уравнения.2 = 1#.

Каковы шаги для решения линейных уравнений?

Решение линейных уравнений.
Шаг 1 . Исключите дроби или десятичные числа.
Шаг 2 . Упростите любую часть уравнения, удалив скобки и объединив одинаковые члены.
Шаг 3 . Выделите переменный член на одной стороне уравнения.
Шаг 4 . Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
Шаг 5 . Проверьте свое решение.

Как определить линейные уравнения?

В математике линейное уравнение — это тип уравнения. В линейном уравнении два члена должны быть постоянными. Линейное уравнение – это уравнение прямой линии. Уравнение этого типа записывается в виде: y = mx + b ИЛИ (y y1) = m (x x1) ИЛИ m = скорость изменения или наклон.

Каковы функции линейных уравнений?

Линейные уравнения и функции. Линейные функции — это функции, у которых x является входной переменной, а x имеет только показатель степени, равный 1.Эти функции выглядят так, как показано на схеме слева. Обратите внимание, что x имеет показатель степени 1 в каждом уравнении. Эти функции создают графики, которые представляют собой прямые линии и поэтому называются линейными.

Пример записи линейных уравнений в стандартной форме

Стандартной формой двумерных линейных уравнений является Ax + By = C. Например, 2x + 3y = 5 — линейное уравнение в стандартной форме. Учитывая уравнение в такой форме, довольно легко найти два пересечения (x и y).Эта форма также очень полезна при решении систем из двух линейных уравнений.

Какие этапы решения линейных уравнений?

Решение линейного уравнения: пять шагов к успеху.
Шаг 1 : Найдите распределение для ().
Шаг 2 : Объедините одинаковые термины с каждой стороны знака =.
Шаг 3 : Добавьте или вычтите члены из переменных так, чтобы все переменные находились по одну сторону от знака =.

Как вы определяете линейные уравнения?

Любой линейный график есть не что иное, как прямая линия.Так что, если есть кривые, это не линейно. Другой способ сказать это, глядя на ваше уравнение. Если уравнение может иметь вид Y = MX + B, где M и B — числа, то это линейное уравнение.

Что означает «решить линейное уравнение»?

Решения линейного уравнения образуют прямую на евклидовой плоскости и, наоборот, любую прямую можно рассматривать как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными. Отсюда термин «линейный» для описания этого типа уравнения.

Как записать линейные уравнения в стандартной форме прямой

Линейное уравнение в стандартной форме называется Ax + By = C, что не означает, что A всегда должно быть положительным. Но по соглашению уравнение записывается так, что A > = 0,

Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными?

Решением двух переменных линейных уравнений, ax + by = c, является определенная точка на графике, поэтому, если координата x умножается на a, а координата y умножается на b, то сумма этих двух значений это С.В принципе, решений линейных уравнений с двумя переменными бесконечно много. Пример. Чтобы найти решение линейного уравнения с двумя переменными, им нужно знать два уравнения. Например: 5x + 3y = 30,

Как построить график уравнений с двумя переменными?

Линейные двумерные уравнения можно рассматривать как Ax + By = C, и результирующий график всегда представляет собой прямую линию. Обычно уравнение выглядит так: y = mx + b, где m — наклон линии на соответствующем графике, а b — точка пересечения линии с осью y.

Как построить график линейной функции?

Шаги Убедитесь, что линейное уравнение имеет вид y = mx + b. Она известна как форма пересечения и, вероятно, является самым простым способом рисования линейных уравнений. Нарисуйте число b на оси Y. Ваше b всегда будет рациональным числом. Преобразуйте м в дроби.

Как написать уравнение графика?

Чтобы использовать график для написания уравнения, вы должны сначала иметь точки на графике. Выберите 2 точки на линии, если их еще нет на графике.После того, как вы найдете две точки, ищите уклон. (Формула: y = mx + b) После определения наклона попытайтесь найти точку пересечения с осью y.

Каковы реальные примеры линейных функций?

В реальной жизни есть много примеров линейных функций. Их легче обнаружить в техногенных ситуациях, чем в природных условиях. Например, вы идете на рынок. Коробка конфет стоит 20 долларов. Теперь существует линейная зависимость между деньгами, которые вы тратите, и количеством упаковок, которые вы покупаете.

Какое уравнение для двух точек?

Запись линейного уравнения при заданных двух точках означает запись уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. mx + y = b, но на графиках уравнения обычно записывают в виде отрезка наклона, который равен y = mx + b, где m = наклон линии, а b = y — точка, в которой линия de l’ ось y пересекается.

Как написать линейное уравнение из таблицы


Шаг 1 : Обратите внимание, что изменение значения одинаково для каждых 100 минут увеличения.Так что зависимость линейная.
Шаг 2 : Выберите любые две точки на фигуре (x, y) в таблице, чтобы найти уклон: Например, давайте выберем (100, 14) и (200, 20). Воспользуйтесь формулой уклона. m = (y2 y1) / (x2 x1) замена:.

Как построить график линейного уравнения с помощью таблицы значений?

Чтобы создать линейное уравнение, сначала создайте ряд значений. Для каждого из представленных здесь листов возьмите свои значения х. Подставьте значения x в уравнение, чтобы найти значения y.Заполняйте таблицы, рисуйте точки и чертите линии.

Как написать линейное уравнение по двум точкам?

Чтобы написать линейное уравнение с двумя точками, сначала вычтите координату x одной точки из координаты x второй точки (порядок вычитания не имеет значения). Затем вычтите координату y первой точки из координаты y второй точки.

Что такое запись линейных уравнений по двум точкам?

Давайте кратко рассмотрим шаги по написанию уравнения для двух точек: Найдите наклон, используя формулу наклона.Найдите точку пересечения y, заменив наклон и координаты 1 точки формулой пересечения наклона y = mx + b. Напишите уравнение с наклоном и точкой пересечения с осью y.

Как найти уравнение таблицы?

См. значения в таблице. Числа в матрице обычно представляют собой значения x и y, примененные к линии, что означает, что значения x и y соответствуют координатам точек на линии. Поскольку линейное уравнение y = mx + b, значения x и y являются числами, которые можно использовать для получения неизвестных, таких как наклон и пересечение y.

Какие есть примеры линейных уравнений из реальной жизни?

Пример: y = 2x + 1 — это линейное уравнение: при увеличении x y растет в два раза быстрее, поэтому вам нужно 2x. Если x равен 0, а ya равен 1. Тогда +1 тоже нужен. Тогда: у = 2х + 1,

Как написать линейное уравнение?

Уравнение ряда может быть записано в стандартной форме (Ax + By = C) или в форме SlopeIntercept (y = mx + b). В обеих формах вам нужны две части информации, чтобы написать уравнение линии: 1) наклон и 2) точка пересечения по оси y.

Как написать линейное уравнение по двум точкам

Этапы написания уравнения для двух точек Используйте формулу наклона, чтобы найти наклон. Используйте наклон (найденный на предыдущем шаге) и одну из точек, чтобы найти точку пересечения по оси Y. (Используя y = mx + b, заполните x, y, наклон (m) и решите уравнение для b. ) Запишите уравнение как пересечение наклона и пересечение наклона и y.

Как найти уравнение прямой, проходящей через две точки?

• Найдите наклон с m = (y2y1) / (x2x1).
• Замените m в формуле сегмента уклона найденным уклоном.
• Замените x и y любой точкой пересечения y, которую вы можете найти.
• Решите уравнение б.
• Подставьте наклон и точку пересечения по оси Y в формулу пересечения наклона, чтобы завершить уравнение.

Как найти уравнение с двумя точками?

Найдите уравнение с двумя точками. Найдите наклон с m = (y 2y 1) / (x 2x 1). Упорядоченные пары координат, которые у вас есть, показаны как (x, y).Замените m в формуле сегмента уклона на найденный вами уклон.

Как найти уравнение, которое проходит через точки?

Найдите уравнение прямой линии, зная две точки, через которые она проходит. Уравнение ряда обычно записывается как y = mx + b, где m — наклон, а b — пересечение. Если вы знаете две точки, через которые проходит прямая линия, эта страница покажет вам, как найти уравнение прямой линии.

Как записать линейную функцию

Знать стандартную форму линейной функции.Линейные функции обычно записываются как f(x) = ax + b. A представляет собой наклон линии, показывающий скорость изменения зависимой переменной. Это также известно как наклон.

Как построить линейную функцию?

В общем, линейная функция — это функция, которую можно записать в виде линейной функции f(x) = mx + b, где наклоны m и b — действительные числа. Поскольку y = f(x), вы можете использовать y и f(x) взаимозаменяемо, а парные упорядоченные решения в графе (x, y) можно записать как (x, f(x)).

Как вычислить линейную функцию?

Как рассчитать линейную степенную функцию Запишите базовую линейную функцию. В простейшей форме функция линейного предложения выглядит так: y = mx + b. Найдите цену и количество двух заказанных пар. Чтобы рассчитать линейную функцию предложения, вам нужно знать объемы поставок по крайней мере по двум разным ценам. Найдите наклон функции предложения.

Как определить, является ли функция линейной?

Самый простой способ найти линейную функцию — посмотреть, как она изображена.Если это прямая линия, то это линейная функция.

Как определить, является ли функция линейной?

• Знать стандартную форму линейной функции. Линейные функции обычно записываются как f(x) = ax + b.
• Найдите хотя бы две точки. Вы знаете, что ваш график будет прямой линией, потому что у вас есть линейная функция, поэтому вам действительно нужны только две точки.
• Очки розыгрыша.
• Соедини точки.

Как рассчитать наклон линейного уравнения?

Уклон также можно рассчитать по формуле уклона, если на линии есть две точки: b = пересечение и.Это точка, где линия пересекает ось Y. Линейное уравнение — это уравнение, описывающее прямую линию. Одной из форм линейного уравнения является форма пересечения наклона, которая записывается как y = mx + b.

Как рассчитать форму пересечения наклона?

Форма сегмента наклона — самый простой способ представления линейных уравнений. Немедленно отображает наклон линии и точку пересечения по оси Y. Формула для линии как сегмента наклона: y = mx + b, где x и y — координаты на графике, m — наклон, а b — пересечение y.

Как написать линейное уравнение по графику

Чтобы записать уравнение в виде сегмента наклона, выберите две точки на линии на графике этого уравнения и используйте их, чтобы найти наклон. Это значение m в уравнении. Затем найдите координаты пересечения y, должно получиться так (0, b). Координата y — это значение b в уравнении.

Что такое решение линейных уравнений с помощью графиков?

Решение уравнений с помощью графиков Система линейных уравнений содержит два или более уравнений y = + 2 и y = x2. Решением такой системы является упорядоченная пара, являющаяся решением обоих уравнений. Чтобы решить систему линейных уравнений графически, начертите оба уравнения в одной и той же системе координат.

Как бы вы построили график этого линейного уравнения?

Способ 1 из 6. Составление линейных уравнений Используйте формулу y = mx + b. Чтобы представить линейное уравнение, все, что вам нужно сделать, это заполнить переменные в этой формуле. Нарисуйте свою схему. Линейное уравнение написать проще всего, потому что нет необходимости вычислять числа перед рисованием.Найдите точку пересечения оси Y (b) на вашем графике. Найдите наклон. Нарисуй свою линию.

Можно ли разделить линейное уравнение?

Часто для решения линейного уравнения необходимо использовать и умножение, и деление. Если линейное уравнение использует и умножение, и деление, решите противоположную операцию для каждого из них.

Как умножать и делить уравнения?

Это означает, что вы можете умножать уравнение на любое число, если вы делаете это с обеих сторон. Чтобы переместить число, которое умножается или делится на переменную, вы должны сделать противоположное с обеих сторон.То есть, если вы умножаете число, вы должны разделить его на обе части.

Как решить уравнения умножения и деления?

Используйте эти шаги, чтобы решить уравнение умножения и деления, когда вы пытаетесь его решить. Определите значение, которое отделяет переменную. Умножьте значения по обе стороны от знака равенства. Уменьшить и упростить. Определите, почему переменная умножается. Разделите значения по обе стороны от знака равенства. Уменьшить и упростить.

Каковы четыре шага решения уравнения?

У вас есть 4 способа решения уравнений за один шаг: сложение, вычитание, умножение и деление. Если вы прибавите одно и то же число к обеим частям уравнения, обе стороны останутся прежними. Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, обе стороны останутся теми же.

Какие правила линейных уравнений в математике

Правила линейных отношений. Линейные правила или функции — это математические алгебраические уравнения, которые говорят им, как получить выходные значения Y для заданного набора входных значений X.Правило сообщает им «отношения» между всеми значениями x и y. Нанесение любого из этих входных и выходных значений (x, y) дает прямую линию.

Каковы правила решения уравнений?

Решайте уравнения и упрощайте выражения. На первом уроке алгебры они узнали, что есть два правила решения уравнений: правило сложения и правило умножения/деления. Правило сложения для уравнений говорит им, что одно и то же количество можно добавить к обеим частям уравнения без изменения набора решений уравнения.

Для чего используются линейные уравнения?

Линейные уравнения используются для расчета измерений твердых и жидких тел. Например, инженер-электрик использует линейные уравнения для решения задач напряжения, тока и сопротивления.

Каковы правила линейных уравнений в алгебре

Линейные правила или функции — это уравнения в математической алгебре, которые говорят им, как получить выходные значения Y для заданного набора входных значений X. Правило сообщает им «отношения» между всеми значениями x и y. Нанесение любого из этих входных и выходных значений (x, y) дает прямую линию.

Как определить, что уравнение является линейным?

Определите, является ли уравнение полиномом первой степени. Найдите показатель с наибольшей степенью среди членов. Этот показатель является степенью многочлена. Если да, то это линейное уравнение. Поскольку наивысшая степень x при y = 7/5 (6/5) x 1, это линейная функция.

Какая форма линейного уравнения является правильной?

Стандартная форма линейного уравнения: Ax + By = C. A, B и C — действительные числа. Любое уравнение можно преобразовать в эту форму, добавляя или вычитая одни и те же члены с обеих сторон уравнения. Пример: Уравнение: 9 + 9x = 11y. Вычтите 9 с обеих сторон: 9 — 9 + 9x = 11y — 9.

Каковы характеристики рабочих листов линейных уравнений

Он включает следующие характеристики: диапазон/диапазон, увеличение/уменьшение, оси абсцисс x и y и конечное поведение. Это складной документ, который учащиеся могут использовать в качестве учебного пособия для изучения свойств линейной функции. Используйте двустороннюю печать.

Каковы характеристики линейных уравнений в математике

Линейные уравнения — это уравнения первого порядка. Линейные уравнения определяются для линий в системе координат. Если уравнение имеет однородную переменную степени 1 (единственную переменную), оно называется линейным уравнением одной переменной. Линейное уравнение может иметь несколько переменных.

Каковы характеристики линейных уравнений в геометрии

Линейные уравнения определяются для линий в системе координат. Если уравнение имеет однородную переменную степени 1 (одну переменную), оно называется линейным уравнением одной переменной. Линейное уравнение может иметь несколько переменных.

Каковы характеристики линейных уравнений, примеры

Линейное уравнение может иметь несколько переменных. Если линейное уравнение имеет две переменные, оно называется линейным уравнением с двумя переменными и так далее.Некоторые примеры линейных уравнений: 2x — 3 = 0, 2y = 8, m + 1 = 0, x/2 = 3, x + y = 2,3x — y + z = 3.

Каковы характеристики линейных уравнений в статистике

Линейные уравнения являются уравнениями первого порядка. Эти уравнения определены для линий системы координат. Линейные уравнения также являются уравнениями первой степени, потому что они имеют старший показатель степени переменной, равный 1.

Какова стандартная форма линейных уравнений?

Стандартная форма линейного уравнения: Ax + By = C.А, В и С — действительные числа.

Как найти уравнение прямой?

Ответ сообщества. Линейное уравнение обычно имеет вид y = mx + c. Чтобы найти уравнения прямой, нужно найти m и c. м — уклон. Например, если ваша линия идет вверх на две единицы по оси y и на три единицы по оси x, тогда m = 2/3.

Что такое математика линейных уравнений?

Линейное уравнение. В математике, а точнее в алгебре, линейное уравнение — это уравнение, которое можно записать так, что каждый член является константой или произведением константы и переменной.

Какова стандартная форма линейных функций?

Существуют три стандартные формы для линейных функций y = f(x): Ax + By = C (общая форма), которая неявно определяет y относительно x как B 0. График. Если функция f(x) линейна, то график y = f(x) представляет собой прямую линию. Параметр m в первых двух формулах представляет собой наклон этой прямой.

Преобразование между формами линейных уравнений

Итак, чтобы преобразовать в общую линейную форму, сначала выберите x и y с одной стороны и постоянный член с другой.Если множитель представляет собой дробь, умножьте все уравнение на наименьший общий делитель всех дробей.

Как преобразовать уравнение в стандартную форму?

Стандартная форма линейного уравнения: Ax + By = C. Чтобы преобразовать уравнение, записанное в виде кривой наклона (y = mx + b), в стандартную форму, x и y должны быть по одну сторону от равенства подписать. а другая сторона получала постоянно.

Каковы примеры линейных уравнений?

Определение линейного уравнения – это алгебраическое уравнение, в котором каждый член имеет показатель степени, равный единице, а график уравнения представляет собой прямую линию.Примером линейного уравнения является y = mx + b.

Что такое график линейных уравнений?

Графическое представление линейных уравнений. График линейного уравнения с двумя переменными представляет собой прямую (поэтому он и называется линейным). Как только вы узнаете, что уравнение является линейным, вы можете построить его график, найдя два решения. (x 1, y 1) и (x 2, y 2), нарисовав эти две точки и соединительную линию.

Что такое двухшаговое линейное уравнение?

Двухшаговое линейное уравнение — это уравнение, в котором необходимо решить два действия (операции). В основном есть 2 типа уравнений этого типа: Выше обычно 2 типа линейных уравнений. Сложение/вычитание, умножение/деление можно выполнять в любом порядке.

Как найти наклон формулы?

Формула / уравнение наклона. Формула для определения уклона для заданного радиуса: Уклон = (y2y1) / (x2x1), где x1, y1 и x2, y2 — две заданные точки.

Какая формула для уклона?

Выберите, какая точка является первой, а какая второй, затем отметьте компоненты.Подставьте известные значения в формулу наклона и при необходимости упростите. Выберите один из двух пунктов. Сложите их вместе в виде y = m x + b y = mx + b y = mx + b, так как m = 3 m = 3.

Как рассчитать наклон кривой?

Найдите уклон. Для определения наклона m кривой в данной точке дифференцируют уравнение кривой. Если данная кривая y = f(x), найдите dxdy для (x) и введите значение x, чтобы найти наклон.

Как рассчитать линию наклона?

Наклон часто называют «наклоном в зависимости от хода», поскольку он рассчитывается как вертикальное изменение (подъем), деленное на горизонтальное изменение (ход). Вычисленное значение наклона может показать вам наклон линии или ее общее направление. Например, высокое значение означает очень крутой участок.

Балансовая модель для обучения линейным уравнениям: систематический обзор литературы | Международный журнал STEM Education

Почему использовалась балансовая модель?

Обоснование использования балансовой модели представлено в 26 статьях. Можно выделить три основных класса обоснований, все из которых связаны со специфическими особенностями контекста модели баланса.Статьи, составляющие класс обоснований равенства, все напрямую ссылаются на использование баланса для улучшения понимания учащимися концепции равенства. Прямые ссылки на равенство непосредственно сосредоточены на математическом равенстве, подчеркивая аналогию между моделью баланса и равенством в уравнении. Статьи в оставшихся двух классах обоснований содержали более 91 706 косвенных 91 707 ссылок на использование модели баланса для улучшения понимания учащимися равенства. Косвенные ссылки на равенство, например, предлагают учащимся физический опыт при манипулировании моделью баланса и, таким образом, ощутить через опыт балансирования концепцию равенства. Такие статьи, которые ссылались на предыдущий или одновременный физический опыт, связанный с моделью баланса, относились к классу обоснований физического опыта. Статьи, которые попали в класс обоснований «Модели и представления», касались использования моделей и представлений для улучшения концептуального понимания учащихся при решении линейных уравнений.Наконец, также были выявлены ограничения использования балансовой модели для обучения решению линейных уравнений.

Обоснование, связанное с концепцией равенства

В большинстве из 15 статей (три из одного и того же исследовательского проекта) упоминались обоснования использования балансовой модели, связанной с концепцией равенства. Часто утверждалось, что понимание концепции равенства можно улучшить, используя модель баланса (например, Gavin & Sheffield, 2015; Leavy et al. , 2013; Mann, 2004; Taylor-Cox, 2003; Warren et al. др., 2009). Поскольку обе стороны модели баланса имеют равную ценность и, таким образом, взаимозаменяемы, модель была описана как очень подходящая для демонстрации идеи равенства или равновесия (Figueira-Sampaio et al., 2009) и количественного сходства (например, Warren & Cooper). , 2005). В соответствии с этим несколько авторов ссылались на использование модели баланса для улучшения понимания знака равенства как символа, представляющего равенство (например, Vlassis, 2002; Warren & Cooper, 2009). Соответственно, модель баланса часто описывается как подходящая для демонстрации стратегии выполнения одних и тех же действий с обеих сторон уравнения, в которой решающее значение имеет акцент на концепции баланса (т.г., Эндрюс и Сэйерс, 2012; Фигейра-Сампайо и др., 2009 г.; Marschall & Andrews, 2015), тем самым помогая учащимся сформировать, согласно Влассису (2002), ментальную картину операций, которые они должны применять. Другим упомянутым преимуществом балансовой модели является возможность отслеживать «всю числовую зависимость, выраженную уравнением, в то время как оно подвергается преобразованиям» (Linchevski & Herscovics, 1996, стр. 52), что делает ее пригодной для демонстрации сокращение одинаковых членов в обеих частях уравнения (см. также Filloy & Rojano, 1989).

Обоснования, связанные с физическим опытом

Второй класс обоснований, которые были выявлены и упомянуты в 11 статьях (все из разных исследовательских проектов), был связан с обучением посредством физического опыта. В нескольких статьях делались ссылки на предыдущий физический опыт, связанный с поддержанием равновесия. Арая и др. (2010) утверждали, что процесс поддержания равновесия имеет первичную биологическую основу и, следовательно, является общим физическим знанием для всех людей.Используя модель баланса, это биологически первичное знание может быть связано с абстрактной идеей сохранения равенства в уравнении. Другие подчеркивали сходство между моделью и качелями (или качелями) и ссылались на детский (игровой) опыт с этим объектом (Alibali, 1999; Kaplan & Alon, 2013).

В других статьях вклад одновременных физических опытов с моделью баланса был отмечен как полезный для изучения линейных уравнений. Уоррен и Купер (2009) подчеркнули важность движения (например, путем отыгрывания баланса) и жестов во время траектории обучения для разработки ментальных моделей математических идей. Они утверждали, что обращение к этому опыту на более поздних этапах процесса обучения может быть полезным. Кроме того, в нескольких статьях упоминалась важность физического опыта с конкретными объектами для развития понимания линейных уравнений. Предложение молодым учащимся опыта манипулирования весами, поскольку с помощью этого манипулирования можно распознать, определить, создать и поддерживать равенство, может улучшить понимание учащимися этой концепции (Taylor-Cox, 2003).Сух и Мойер (2007) упомянули, что использование конкретных объектов, которыми можно манипулировать, имеет смыслообразующую функцию за счет соединения процедурных знаний (манипуляций с объектами) и концептуальных знаний об алгебраических уравнениях. Однако в то же время эти авторы указывали на необходимость осторожности при использовании таких манипуляторов для обучения решению формальных уравнений, поскольку не все учащиеся автоматически связывают свои действия на манипуляторах с манипуляциями с абстрактными символами. Также Орлов (1971) заметил, что модель баланса как физический инструмент может помочь в формировании абстрактного математического мышления, поскольку представляет собой промежуточную степень между непосредственными сенсорными данными и математической абстракцией.В этом же направлении Fyfe et al. (2015) рекомендовали последовательность, основанную на исчезающей конкретности, где обучение начинается с конкретного материала и плавно переходит в абстрактные математические символы. Также была сочтена важной обратная связь в режиме реального времени, которую некоторые модели обеспечивают для того, чтобы быть в равновесии, что позволяет учащимся проверять результаты своих манипуляций и процессов рассуждения и, таким образом, строить знания (Austin & Vollrath, 1989). Утверждалось, что в сочетании с социальным опытом физический опыт способствует формированию знаний (Figueira-Sampaio et al., 2009), например, потому что это создает общий смысл между учителем и учениками (Perry et al., 1995).

Обоснования, связанные с обучением с помощью моделей и представлений

Третий класс обоснований, упомянутых в восьми статьях (четыре из одного и того же исследовательского проекта), включает более общую аргументацию и относится к обучению с помощью моделей и представлений. Согласно Филлою и Рохано (1989), такие модели, как модель баланса, могут дать возможность семантически и синтаксически заложить основу для решения линейных уравнений.Здесь значение равенства и алгебраических операций может быть сначала извлечено из контекста, а после того, как учащиеся прошли процесс абстракции, значение на синтаксическом уровне связано с этим значением контекста. Исследователи, участвовавшие в Австралийском проекте раннего алгебраического мышления (Cooper & Warren, 2008; Warren & Cooper, 2009), утверждали, что посредством моделей математические идеи представляются извне в виде конкретного материала с помощью иконических представлений, языка или символов, в то время как понимание этих идеи возникают внутренне, в ментальных моделях или внутренних когнитивных представлениях математических идей, лежащих в основе внешних представлений.С этой точки зрения математическое понимание определяется количеством и силой связей во внутренней сети представлений учащегося. Также рекомендовалось использование множественных представлений при обучении абстрактным математическим понятиям или стратегиям (например, Berks & Vlasnik, 2014), потому что использование различных способов представления и установление связей между этими различными способами представления и внутри них может улучшить глубокое математическое понимание (Suh & Мойер, 2007). Осмысленная функция представлений была разработана Каглаяном и Олив (2010), которые пришли к выводу, что учащиеся могут понять смысл абстрактных символических уравнений, связав это символическое уравнение с уравнением, выраженным его представлением.

Были предложены и другие причины использования представлений балансовой модели. Например, он может создать общую языковую базу, которую учащиеся могут использовать при объяснении своих решений (Berks & Vlasnik, 2014; Warren et al., 2009; Warren & Cooper, 2005) или что предполагается снижение когнитивной нагрузки учащихся в процессе решения уравнений (см. Araya et al., 2010). Последнее контрастирует с Boulton-Lewis et al. (1997), которые выдвинули гипотезу об увеличении вычислительной нагрузки, вызванной использованием конкретных представлений. Это может зависеть от опыта студентов и типа задач с уравнениями, которые им приходится решать: если учащимся больше не нужна помощь в конкретном представлении модели баланса, и они все еще должны ее использовать, это действительно может увеличить вычислительную нагрузку. .

Ограничения балансовой модели

Ограничения балансовой модели описаны в восьми статьях (все из разных исследовательских проектов). В своей известной статье Влассис (2002) описала, как восьмиклассников учили решать формальные линейные уравнения с использованием модели баланса, и пришла к выводу, что, хотя модель баланса способна дать учащимся «действующий ментальный образ» (стр. 355) применяемых стратегий решения уравнений, эта модель также имела некоторые недостатки.Например, модель бесполезна для уравнений, содержащих отрицательные числа, или для других уравнений, которые «не связаны с моделью» (стр. 354) и больше не относятся к конкретной модели. Кроме того, в нескольких других статьях упоминались ограниченные возможности модели для представления уравнений с отрицательными величинами или вычитаниями (например, Filloy & Rojano, 1989; Linchevski & Herscovics, 1996). Как только возникают отрицательные значения, как в случае уравнения x  + 5 = 3, или уравнения с вычитанием, например 2 x  − 3 = 5, решение трудно выразить в терминах физических веса, что затрудняет построение смысла этих уравнений (Caglayan & Olive, 2010).

Обсуждение выводов о том, почему была использована модель

Хотя все три класса обоснований имеют уникальные характеристики, на основании которых их можно дифференцировать, они также взаимосвязаны. Наиболее часто упоминаемое обоснование было связано с равенством; понимание равенства считается одним из основных концептуальных требований, связанных с решением линейных уравнений (например, Kieran et al., 2016). Неотъемлемые свойства баланса были связаны с концепцией равенства и стратегиями, которые можно применять при поддержании баланса.Два оставшихся обоснования упоминались реже. Эти обоснования содержали косвенные ссылки на использование модели баланса для улучшения понимания учащимися равенства в уравнении посредством обращения к обучению через физический опыт или к обучению через модели и представления.

Статьи из класса обоснований, связанных с физическими переживаниями, относятся либо к биологической основе поддержания равновесия, либо к другим физическим переживаниям с равновесием (например, с качелями), которые с помощью модели баланса могут быть связаны с идея поддержания баланса в уравнении. Этот предыдущий физический опыт с балансом может способствовать пониманию учащимися равенства в уравнении. Это можно объяснить с точки зрения теории воплощенного познания, утверждающей, что связь перцептивного и физического опыта, который мы получаем, когда взаимодействуем с миром, имеет фундаментальное значение для развития концептуальных знаний и когнитивных процессов обучения (например, Barsalou, 2008; Wilson, 2002). ). Перцептуомоторные переживания считаются важными для развития математических понятий (например,г., Алибали и Натан, 2012 г.; Нуньес, Эдвардс и Матос, 1999), а математические рассуждения рассматриваются как неразрывно связанные с воплощенными действиями (Абрахамсон, 2017; Алибали и Натан, 2012). При применении теории воплощенного познания к обучению и обучению решению линейных уравнений предполагается, что перцептуо-моторные знания о действии балансировки являются необходимой основой для развития понимания математической концепции равенства (например, Antle, Corness, & Bevans, 2013). ).Это перцептуо-моторное знание основано на очень распространенном физическом опыте балансирования, который мы получаем с раннего возраста (Gibbs Jr, 2006), при ходьбе без падений, вставании и сидении или удерживании предметов разного веса (Alessandroni, 2018). Кроме того, в других статьях этого класса обоснований подчеркивался вклад одновременных физических опытов с моделью баланса в изучение линейных уравнений. Манипулируя моделью, учащиеся узнают, как сохранить ее равновесие; эти стратегии поддержания баланса модели позже могут быть связаны со стратегиями сохранения равенства в уравнении.Это также согласуется с теорией воплощенного познания: предоставление учащимся возможности оживить базовые перцептуо-моторные знания посредством использования модели баланса, с помощью которой они могут представить (или пережить заново) ситуацию балансирования, может быть полезным для поддержки. понимание учащимися равенства в уравнении и, следовательно, для обучения решению линейных уравнений.

Статьи в классе обоснований, связанных с обучением с помощью моделей и представлений, включали более общие аргументы для улучшения понимания учащимися равенства в уравнении. Однако эти обоснования в некоторой степени совпадают с обоснованиями, связанными с физическим опытом. Оба класса связаны с перцептуо-моторными переживаниями равновесия. В случае с классом «Модели и представления» этот опыт больше связан с тем, как выглядит баланс. Баланс как устройство с двумя плечами и точкой опоры посередине можно использовать для представления уравнения, в котором по обе стороны от знака равенства есть выражение равного значения. Обучение с помощью моделей и представлений может быть связано с идеями реалистичного математического образования (RME).Одним из основных учебных принципов RME является использование дидактических моделей с целью преодоления разрыва между неформальными, связанными с контекстом методами решения и более формальными и, таким образом, стимулировать учащихся к переходу на более высокие уровни понимания. например, Van den Heuvel-Panhuizen, 2003).

Какие модели весов использовались?

В рецензируемых статьях были представлены три типа внешнего вида балансовых моделей: физические, виртуальные и рисованные балансовые модели. Модели физического баланса представляют собой конкретные весы баланса. На этих шкалах учащиеся могут представлять уравнения, помещая реальные объекты, обозначающие известные и неизвестные, по обеим сторонам модели. Для этих моделей характерно то, что они динамичны, что означает, что учащиеся могут работать с ними и получать обратную связь в реальном времени о своих действиях. В моделях виртуального баланса баланс реализуется в цифровой среде. Эти модели в основном являются динамическими в том смысле, что баланс меняется в ответ на (цифровые) манипуляции учащихся и, таким образом, дает обратную связь в реальном времени.В рисованных моделях весов схематический вариант весов представлен на бумаге или на доске. Представления этих моделей баланса статичны: учащиеся не могут ими манипулировать и не могут получать обратную связь в реальном времени. В то время как в большинстве статей использовался только один тип внешнего вида балансовой модели, в других статьях появлялись другие типы (например, Figueira-Sampaio et al. , 2009) или представлялась последовательность различных внешних видов, начиная с использования физического модель, за которой следует нарисованная балансовая модель (т.г., Файф и др., 2015).

Модели физического баланса

Модели физического баланса появились в 14 статьях (три из одного исследовательского проекта). Мы нарисовали схематические версии нескольких из этих моделей физического баланса. Эти рисунки показаны на рис. 2. Весы, показанные на рис. 2а, использовались Fyfe et al. (2015) для представления, например, 3 + 2 = 1 + 1 + __. Здесь учащиеся могли поставить трех красных и двух желтых медведей слева и одного красного и одного желтого справа, а затем добавить недостающее число, чтобы сбалансировать весы (похожие модели см.г., Уоррен и др., 2009). В модели баланса Остина и Фоллрата (1989; рис. 2b) уравнение 3 x  + 5 = 11 изображается с левой стороны тремя контейнерами с неизвестным содержимым и пятью шайбами ​​и 11 шайбами ​​с правой стороны (для аналогичные модели см. также, например, Andrews, 2003). Орлов (1971; рис. 2с) использовал более сложный пример весов. Его модель содержит четыре шкалы, по две с каждой стороны. Например, если положить гирю на левый лоток левой части весов, левое плечо весов поднимется.Таким образом, эта модель также может обрабатывать отрицательные числа и неизвестные. Последний тип описанной модели физического баланса — это модель баланса, в которой расстояние от объектов до точки опоры может быть адаптировано для представления линейных уравнений, таких как 8 + 4 + 2 = 4 + 4 + __ (Perry et al., 1995; Рис. 2d; аналогичную модель см. также в Smith, 1985). Здесь все объекты имеют одинаковый вес, но, помещая их в определенное положение на балке, они представляют определенную ценность.

Рис. 2

Модели физического баланса, примеры из четырех статей ( a — d )

Модели виртуального баланса

Модели виртуального баланса появились в трех статьях (из разных исследовательских проектов). Чертежи используемых виртуальных моделей баланса показаны на рис. 3. Большинство этих моделей отображают шкалу баланса, очень похожую на модели физического баланса. Однако цифровая среда дает больше возможностей в представлениях и функциях модели.

Рис. 3

Виртуальные модели баланса, примеры из двух статей ( a — b )  + 50 = 3 x  + 290 представлен банками с буквой X , изображающей неизвестные, и небольшими гирьками (например,г., 50 г, 100 г) с изображением чисел (подобную модель см. также в Suh & Moyer, 2007). Здесь, пока студенты манипулируют виртуальными весами весов, соответствующее уравнение показано формальными алгебраическими символами, что делает явной связь между этими манипуляциями и изменениями в соответствующем символьном уравнении. Еще один тип модели виртуального баланса был обнаружен в статье Каплана и Алона (2013; рис. 3b). В этой модели учащиеся могут исследовать отношения между различными формами неизвестных и находить новые уравнения на основе заданных. Например, на основе уравнений ▲▲ = ●●● и ▲▲ = ●●■■ можно составить третье уравнение.

Нарисованные балансовые модели

Нарисованные балансовые модели появились в 26 статьях (четыре и три из тех же исследовательских проектов). Чертежи использованных рисованных моделей баланса показаны на рис. 4. Здесь заметно, что одни рисованные модели баланса изображены более реалистично (рис. 4а–в), а другие более схематично (рис. 4г–е), с изображениями объекты или символические выражения для представления известных и неизвестных.

Рис. 4

Нарисованные модели баланса, примеры из шести статей ( a — f )

Хотя модели баланса нарисованы во многих статьях (например, Brodie & Shalem, 2011; 2002), способы представления уравнений в этих моделях сильно различались. В нарисованной модели баланса, найденной в статье Влассиса (2002; рис. 4а), уравнение 7 x  + 38 = 3 x  + 74 представлено квадратами для каждого x и кружками, в которых числа указано. Неизвестные в этой модели изображены в развернутом виде (т. е. 7 x и 3 x представлены как семь отдельных x и три отдельных x ). В то время как в большинстве моделей все неизвестные изображаются отдельно, в модели Линчевски и Херсковича (1996) неизвестные и известные в уравнении таким образом, что приводит к уравнениюТаким образом, учащиеся могут видеть, что слагаемые 5 n и 11 появляются в обеих частях уравнения, которые могут компенсировать друг друга. В балансах Маршалла и Эндрюса (2015 г., рис. 4b) и Уоррена и Купера (2009 г., рис. 4c) также могут быть представлены уравнения с отрицательными значениями и вычитаниями. На рис. 4b вычитание в уравнении 4 x  − 3 = 2 x  + 5 представлено стрелкой, идущей вниз от одной из шкал, так что действие «отнимания» становится видимым.В качестве альтернативы, на рис. 4c включен знак минус.

Еще один способ, которым нарисованные модели баланса появлялись в статьях, — это абстрактный рисунок. Здесь баланс функционирует как метафора, чтобы привлечь внимание учащихся к концепции равенства. В Ристедте и его коллегах (2016, рис. 4d) уравнение 4 x  + 4 = 2 x  + 8 представлено прямоугольниками для неизвестных и точками для чисел. В статьях, в которых присутствовало подобное метафорическое использование модели баланса (напр.g., Caglayan & Olive, 2010), это использование часто сопровождалось указанием на то, что остаток в уравнении должен быть поддерживаться при решении уравнения (Boulton-Lewis et al., 1997), или жестами представляет собой балансовую шкалу (Rystedt et al., 2016). Использование нарисованной модели баланса, особенно для моделей с абстрактным рисунком, часто сочеталось с использованием манипулятивных средств. Например, в модели Бултона-Льюиса и его коллег (1997; рис. 4e) схематически записанное уравнение 2 x  + 3 = 7 представлено двумя белыми чашками и тремя зелеными счетчиками в левой части (обозначены слева) и семь зеленых фишек с правой стороны (обозначены справа), в то время как другие цветные чашки и фишки используются для представления вычитаний или отрицательных неизвестных и чисел (похожий подход см.г., Сух и Мойер, 2007). Другим примером является модель нарисованного баланса, использованная Каглаяном и Олив (2010; рис. 4f), где в уравнении 4 x  − 3 =  x  + 6 «− 3» представлено серыми плитками вместо черных. . Более того, в этой модели непосредственно представлен знак равенства.

Обсуждение выводов о типах используемых балансовых моделей

Чаще всего появлялись нарисованные модели, а реже всего — виртуальные, при этом за физической моделью часто следовала модель с нарисованной моделью.При рассмотрении взаимосвязи между обоснованиями и внешним видом моделей кажется, что использование модели физического баланса чаще всего сочетается с обоснованиями, связанными с обучением через физический опыт и аспектом равенства. Для виртуальных моделей все обоснования появляются более или менее одинаково часто, а нарисованные модели баланса чаще всего идут вместе с обоснованием аспекта равенства и обоснованиями, связанными с обучением с помощью моделей и представлений. За исключением обоснований, связанных с обучением через физический опыт, оставшиеся два класса обоснований чаще всего сочетаются с использованием модели нарисованного баланса.Нарисованная модель представляется наиболее гибкой моделью, что означает, что она использовалась со всеми классами обоснований.

Хотя все три вида модели основаны на балансе в качестве базовой концепции, они различаются по своей природе. В то время как модель физического баланса и отчасти виртуальный баланс имеют динамическую природу и, как таковые, могут предоставлять учащимся обратную связь в реальном времени об их действиях, нарисованная модель баланса является статической. Нарисованные модели, представленные на бумаге или на доске, тем не менее могут быть дополнены динамическими аспектами с помощью манипуляций.Для всех трех типов внешнего вида модели применимо, что большинство моделей состоит как минимум из точки опоры, горизонтальной балансировочной балки и шкалы с обеих сторон. В дополнение к этой конфигурации балансовой модели в других моделях добавляются дополнительные функции. Благодаря добавлению этих функций сфера применения модели баланса расширяется для представления более широкого круга задач. Например, дополнительные весы в физической модели Орлова (1971; рис. 2в), стрелка, идущая вниз от весов нарисованной балансовой модели в статье Маршалла и Эндрюса (2015; рис.4b), а разноцветные манипуляторы, добавленные к нарисованной модели Боултона-Льюиса и его коллег (1997; рис. 4e), — все это примеры вариаций модели баланса, позволяющих представлять отрицательные числа и неизвестные. Такие дополнительные функции обеспечивают решение ограниченных возможностей, которыми обладает эта модель (например, Vlassis, 2002), например, позволяя представлять уравнения с отрицательными величинами или вычитаниями. На самом деле именно эта гибкость модели баланса и должна работать.При использовании в качестве дидактических моделей (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) модели должны быть гибкими и подходить не только для решения одного типа уравнений. Один из способов обеспечения такой гибкости — возможность адаптации без потери своей основной функции. Однако, принимая во внимание концепцию модели для … — модели для … (Streefland, 2003), дидактические модели не предназначены для использования в качестве инструмента, который постоянно должен использоваться для решения проблем на конкретном, контекстно-связанном уровне. Вместо этого идея состоит в том, что на более позднем этапе процесса обучения, когда закладывается основа для решения линейных уравнений и учащиеся должны решать более сложные уравнения, мышление учащегося все еще может поддерживаться моделью и быть связанной с ней без конкретное представление уравнения в физической модели.

Когда использовалась балансовая модель?

Ситуации, в которых модель баланса использовалась в статьях при описании обучения решению линейных уравнений, значительно различались в зависимости от уровня обучения вовлеченных учащихся, продолжительности использования модели, типа задач уравнения над которыми работали учащиеся, и тип обучения, которое было предоставлено учащимся.

Уровни обучения и продолжительность вмешательства

Балансовая модель использовалась для обучения решению линейных уравнений учащихся от детского сада до 9 класса.Учащиеся до 6 класса, не имевшие предыдущего опыта работы с алгеброй, впервые столкнулись с линейными уравнениями через модель баланса, которая использовалась в различных исследованиях (например, Warren & Cooper, 2005). В исследованиях с учащимися 7–9-х классов, уже имеющими некоторый базовый опыт решения линейных уравнений (за исключением учащихся 7-х классов в исследовании Araya et al., 2010), в качестве инструмента была представлена ​​балансовая модель. для решения уравнений (Влассис, 2002) или для иллюстрации балансового метода (т.е., проделайте одинаковые операции с обеими частями уравнения; Нгу и Фан, 2016). Продолжительность вмешательств, в которых использовалась балансовая модель, также была весьма разнообразной. Самые короткие вмешательства включали одно занятие или один урок (например, Figueira-Sampaio et al., 2009; Rystedt et al., 2016), в то время как в других исследованиях модель баланса была интегрирована в многолетнюю траекторию обучения (например, Orlov, 1971; Уоррен и Купер, 2009).

Тип задач с уравнениями

С очень младшими учащимися (т.g., Kindergarten, Class 1–2), балансовая модель в основном использовалась для исследования первых идей равенства и знака равенства (например, Taylor-Cox, 2003; Warren et al., 2009). Задача учащихся заключалась, например, в том, чтобы взвесить разные предметы, чтобы определить, какие из них одинаковые, а какие разные. Например, для учащихся более старшего возраста (например, 3–6 классы) балансовая модель использовалась для помощи в решении простых задач на сложение, таких как 8 = __ + 3 (например, Ливи и др., 2013). Здесь восемь предметов были помещены на левую сторону весов и три предмета на правую сторону, и задача учащихся состояла в том, чтобы выяснить, что они могут сделать, чтобы обе стороны были равными.Модель также использовалась для ознакомления с алгебраическими символами студентов без предшествующего опыта алгебры, чтобы они могли связать модель с абстрактными символами. Затем задача студентов заключалась, например, в том, чтобы манипулировать предметами на весах таким образом, чтобы они могли определить вес неизвестного предмета, в то время как в цифровой среде показывалось соответствующее символическое уравнение (например, Фигейра-Сампайо и др.). al., 2009, см. рис. 3a; Suh & Moyer, 2007). В исследованиях со студентами с некоторым опытом алгебры (т.э., начиная с 7 класса), задача учащихся заключалась, например, в том, чтобы представлять символьные уравнения с использованием модели баланса и использовать это представление для преобразования и решения уравнений (Caglayan & Olive, 2010; см. рис. 4f). Или задание студентов состояло в том, чтобы решить уравнение, используя модель физического баланса, а затем представить уравнение и этапы решения символически (Эндрюс, 2003). Были также статьи, в которых две модели баланса с разными неизвестными были представлены одновременно, чтобы создать систему уравнений и вызвать алгебраическую стратегию замещения (например,г., Остин и Воллрат, 1989; Беркс и Власник, 2014). Здесь задача студентов состояла в том, чтобы объединить информацию уравнений, чтобы найти значения неизвестных.

В большинстве исследований задача студентов состояла в том, чтобы определить значение неизвестного(ых). Однако были и статьи, в которых главной целью было обнаружить различные возможности для сохранения баланса модели, не сосредотачиваясь на поиске значений неизвестных. Например, в исследовании Каплана и Алона (2013) целью было создание нескольких сбалансированных шкал и анализ отношений между неизвестными (см.3б). Также в других статьях модель баланса использовалась для обнаружения различных возможностей сохранения равенства (Орлов, 1971) или для определения того, какие «законные ходы» (Раймонд и Лейненбах, стр. 288) можно было бы сделать, не нарушая баланса.

Наконец, между исследованиями, касающимися сохранения модели баланса при обучении уравнениям, были большие различия. Например, в Warren and Cooper (2005) сначала использовалась модель физического баланса, а затем нарисованная модель баланса для моделирования уравнений, содержащих положительные значения и аддитивные операции (т.грамм.,? + 7 = 11). После нескольких уроков эти студенты также решали уравнения, содержащие вычитание (например, ? – 4 = 13), но эти уравнения не были представлены с помощью балансовой модели. В других исследованиях использование модели баланса сохранялось дольше в процессе обучения. Например, один из учителей в исследовании Маршалла и Эндрюса (2015) не только использовал модель для обучения уравнениям, содержащим положительные значения и сложение, но и расширил использование модели для представления таких уравнений, как 4 x  – 3. = 2 x  + 5 (см.4б; об использовании модели для других типов уравнений см. также, например, Boulton-Lewis et al., 1997, см. рис. 4e; Орлов, 1971, см. рис. 2в).

Тип обучения

При работе с балансовой моделью учащиеся либо получали инструкции в классе от учителя (например, Warren & Cooper, 2009), либо с помощью обучающего фильма (Araya et al., 2010), либо они получали индивидуальные инструкции учителем (например, Perry et al., 1995), с помощью инструкций (Ngu, Chung, & Yeung, 2015) или путем индивидуальной или парной работы с весами (например,г., студенты, работающие с виртуальными весами в Figueira-Sampaio et al., 2009). Обучение в классе часто предполагало, что учитель манипулирует моделью баланса перед классом (например, учащиеся, работающие с моделью физического баланса в Figueira-Sampaio et al., 2009), в то время как во время индивидуального обучения учащиеся чаще получали возможность активно работать с моделью. сами модели баланса (например, Suh & Moyer, 2007).

Обсуждение результатов относительно того, когда использовалась модель баланса

В каких ситуациях использовалась модель баланса, было очень разным в разных исследованиях.Для решения задач с уравнениями модель баланса, по-видимому, была связана с опытом студентов в решении линейных уравнений. Для учащихся до 6 класса, не имевших предыдущего опыта работы с алгеброй, большинство заданий было сосредоточено на изучении основных идей баланса и решении простых уравнений (например, 8 = __ + 3), что шло рука об руку с обоснованием того, что такие действия могут быть полезно для развития понимания равенства и относительного понимания знака равенства. Физические и виртуальные модели баланса относительно часто использовались для обучения решению линейных уравнений студентов, не имевших опыта алгебры.В большинстве этих исследований уравнения содержали только положительные значения и аддитивные операции. Исследования, проведенные со студентами без предварительного опыта, в целом обосновали использование модели баланса для обучения решению линейных уравнений более тщательно, чем исследования со студентами с некоторым опытом алгебры. Обоснование, которое относительно часто упоминалось в отношении обучения студентов без предшествующего опыта алгебры, — это обоснование, связанное с физическим опытом, который подходит для использования модели физического баланса для обучения этих студентов.Это также согласуется с общей тенденцией использования конкретных материалов для обучения младших школьников, а не для обучения старшеклассников, и с исследованиями, показывающими, что использование конкретных материалов в математическом образовании особенно полезно для детей в возрасте 7–11 лет в математических областях. дроби и алгебра (Carbonneau, Marley, & Selig, 2013).

Что касается занятий, проводимых со студентами с предшествующим алгебраическим опытом (в основном учащимся 7 классов и выше), то задачи студентов при работе с балансовой моделью чаще всего сводились к моделированию, преобразованию и решению уравнений с помощью балансовой модели.Также в этих исследованиях наиболее заметным было обоснование, связанное с аспектом равенства. Напротив, большинство исследований, в которых не приводилось обоснование использования модели, также проводились со студентами, уже имевшими опыт алгебры. Большинство исследований, в которых упоминалось ограничение использования балансовой модели, касались этих студентов. Нарисованные модели баланса в основном использовались для обучения студентов с предшествующим опытом алгебры, и более чем в половине этих исследований студентов также учили уравнениям, содержащим отрицательные значения, и вычитанию.

Результаты обучения

В девятнадцати статьях оценивались результаты обучения учащихся, связанные с использованием балансовой модели. Дизайн этих исследований и наиболее важные результаты обучения обобщены в Таблице 1. Большинство исследований носили описательный характер, и менее чем в одной трети исследований использовался дизайн до и после тестирования в сочетании с группой сравнения. Как описано в разделе «Когда использовалась балансовая модель?» раздел, исследования показали большие различия в отношении возраста и алгебраического опыта учащихся в их выборке, продолжительности вмешательства, задач, над которыми работали учащиеся, и типа обучения, которое учащиеся получали.Подобные вариации были обнаружены при изучении результатов обучения в разных исследованиях. Например, Арая и др. (2010) обнаружили очень положительные результаты использования обучающего фильма с нарисованной моделью баланса в 7 классе с учащимися, не имевшими опыта алгебры. Эти студенты превзошли студентов в группе сравнения, которые получили инструкции по решению символических линейных уравнений. Кроме того, Suh и Moyer (2007) сообщили о положительных эффектах использования моделей баланса для обучения учащихся третьего класса решению линейных уравнений.Напротив, Boulton-Lewis et al. (1997) обнаружили, что учащиеся восьмого класса испытывали трудности с моделированием и решением линейных уравнений при использовании модели баланса. Эти студенты предпочли не использовать модель. Исследования Нгу и его коллег (2015), 2016, 2018) последовательно демонстрировали аналогичные или более низкие результаты для учащихся 7–9 классов, которые использовали метод выполнения одних и тех же операций с обеих сторон уравнения, который преподавался с использованием лист инструкций с моделью баланса — по сравнению со студентами, которые использовали обратный метод — который учили, как обращение к правилу изменения стороны, изменению знака — для решения уравнений.В этом последнем подходе, в котором, например, x  − 4 = 6 становится x  = 6 + 4, учащиеся могут осмыслить обратную операцию превращения − 4 в + 4 как средство сохранения равенства уравнений. Поэтому понимание этого обратного принципа на структурном уровне считается очень актуальным для обучения студентов алгебраическому мышлению (см., например, Ding, 2016). Здесь интересно отметить, что, несмотря на поверхностное рассмотрение, балансовый метод отличается от обратного метода, этот последний метод очень похож на «выполнение одного и того же с обеих сторон».Если взять пример x  − 4 = 6, то это правило означает, что с обеих сторон нужно добавить 4. Это дает x  − 4 + 4 = 6 + 4, что после упрощения приводит к x  = 6 + 4. знак» предполагает, что к результату сразу приходят, пропуская промежуточный шаг добавления 4 с обеих сторон. Однако, несмотря на тесную связь между этими двумя подходами и связанными с ними основополагающими принципами, лишь в нескольких статьях нашего обзорного исследования, когда авторы ссылаются на использование балансовой модели, они также ссылаются на обратный метод.Это указывает на то, что было немного исследований, в которых оба подхода сопоставлялись или противопоставлялись.

Большой разброс между исследованиями, в которых использовалась модель баланса, и отсутствие исследований с экспериментальным дизайном очень затрудняют однозначные выводы о влиянии модели баланса на результаты обучения учащихся. Тем не менее, некоторые тенденции можно выделить. В целом, самые неоднозначные и отрицательные результаты получены при исследованиях с учащимися несколько старшего возраста (7–9 классы), которые уже имели некоторый (базовый) опыт решения линейных уравнений (например,г., Нгу, Фан, Юнг и Чанг, 2018 г.; Влассис, 2002). Основными причинами этого вывода могло быть то, что модели баланса в этих исследованиях, которые все были нарисованы, использовались для обучения широкому кругу уравнений, включая более сложные уравнения, такие как уравнения, содержащие отрицательные числа и неизвестные (например, Боултон-Льюис и др.). и др., 1997; Caglayan & Olive, 2010; Vlassis, 2002). В целом, более положительные результаты были получены в исследованиях, проведенных с младшими учащимися (например, Suh & Moyer, 2007; Warren & Cooper, 2005) или со студентами, не имевшими предварительных знаний о решении уравнений (например,г., Арая и др., 2010). В этих исследованиях чаще использовалась физическая модель (например, Perry et al., 1995; см. рис. 2d) или виртуальная модель (например, Figueira-Sampaio et al., 2009; см. рис. 3a), которая в в некоторых случаях на более поздних стадиях использовалась рисованная модель (например, Warren & Cooper, 2005). В большинстве этих исследований модель баланса использовалась для обучения линейным уравнениям, содержащим только положительные значения и сложение. Однако были некоторые исключения. Например, Орлов (1971) обнаружил положительные результаты при обучении восьмиклассников различным типам линейных уравнений (включая отрицательные значения и вычитание) с использованием модели физического баланса (см.2с).

Обсуждение результатов обучения

В целом, балансовая модель оказывает более положительное влияние на результаты обучения, связанные с решением линейных уравнений, для (младших) учащихся без предварительных знаний о решении линейных уравнений. Возможным объяснением может быть то, что для младших школьников модель баланса используется для закладки концептуальной основы решения линейных уравнений, а для старших школьников, у которых уже есть такая база в решении линейных уравнений, модель чаще используется для оживления этой основа.