2.1.4 Тригонометрические уравнения

Видеоурок: Тригонометрические уравнения

Лекция: Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнения, что содержат тригонометрические функции.

Какое бы уравнение Вы бы не имели, его необходимо привести к самому простому виду:

cos(x) = a, sin(x) = a, tg(x) = a, ctg(x) = a.

Все уравнения приводятся к наипростейшим с помощью формул, описанных в предыдущих вопросах. Итак, давайте для начала рассмотрим, как решить наипростейшие тригонометрические уравнения.

Уравнения, приводящиеся к виду sin(x) = a

Если Вы получили, что синус некоторого аргументы равен некоторому числу, то данное уравнение имеет следующее решение:

x = (-1)^k

arcsin (a) + πk, k ϵ Z, |a| ≤ 1.

Существует несколько базовых ситуаций, к которым могут быть сведены подобные уравнения:

• sin(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
• sin(x) = 1, => x = π/2 + 2πk, k ϵ Z.
• sin(x) = -1, => x = -π/2 + 2πk, k ϵ Z.
• sin²(x) = a => x = ±arcsin + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду cos(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида cos(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = ±arccos (a) + 2πk, k ϵ Z, |a| ≤ 1.

Базовые примеры:

• cos(x) = 0, => x = π/2 + πk, k ϵ Z.
• cos(x) = 1, => x = 2πk, k ϵ Z.
• cos(x) = -1, => x = π + 2πk, k ϵ Z.
• cos²(x) = a => x = ±arccos + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду tg(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида tg(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = arctg (a) + πk, k ϵ Z, a ϵ R.

Базовые примеры:

• tg(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
• tg(x) = 1, => x = π/4 + πk, k ϵ Z.
• tg(x) = -1, => x = — π/4 +  2πk, k ϵ Z.
• tg ²(x) = a => x = ±arctg + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду ctg(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида ctg(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:

x = arcctg (a) + πk, k ϵ Z, a ϵ R.

Базовые примеры:

• ctg(x) = 0, => x = π/2 + πk, k ϵ Z.
• ctg(x) = 1, => x = π/4 + πk, k ϵ Z.
• ctg(x) = -1, => x = 3π/4 +  2πk, k ϵ Z.
• ctg ²(x) = a => x = ±arcctg + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

cknow.ru

§3 Решение простейших тригонометрических уравнений

1.	Тригонометрическое уравнение вида cosx=a	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Решение уравнения cosx=a.
2.	Решение уравнения cos x=a	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Решение уравнения cos x=a
3.	Тригонометрическое уравнение вида sinx=a	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Решение уравнения sinx=a.
4.	Уравнение (cos)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Сколько решений имеет уравнение. Проверяется знание теории.
5.	Уравнение (sin)	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Сколько решений имеет уравнение. Проверяется знание теории.
6.	Уравнения и выражения	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Проверяются знания определений: уравнение и выражение.
7.	Тригонометрическое уравнение вида ctgx=a	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Решение уравнения ctgx=a.
8.	Решение уравнения sin x=a	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Решение уравнения sin x=a
9.	Тригонометрическое уравнение вида tgx=a	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Решение уравнения tgx=a.
10.	Решение уравнения tg x=a.	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Решение уравнения tg x=a.
11.	Решение уравнения вида sin x=a	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения вида sin x=a, и запись ответа при конкретном значение k.
12.	Решение уравнения вида cos x/a=b	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения вида cos x/a=b
13.	Решение уравнения вида sin bx=a	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения вида sin bx=a
14.	Тригонометрическое уравнение вида sin5x=a	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Решение уравнения с sin5x.
15.	Нахождение корней уравнения tg x =а, используя график	3 вид — анализ	сложное	10 Б.	Для нахождения числа корней и самих корней уравнения сначала надо преобразовать левую часть уравнения, решить его, проанализировать график функции y = tg x. Можно предложить для домашнего задания.
16.	Решение уравнения ctg x=a	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Решение уравнения ctg x=a при заданном k.

www.yaklass.ru

Тригонометрия — Википедия

Тригономе́трия (от др.-греч. τρίγωνον «треугольник» и μετρέω «измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии^[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли).

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Например, большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.

Древняя Греция[править | править код]

Первые тригонометрические таблицы видимо были составлены Гиппархом, который сейчас известен как «отец тригонометрии»^[2].

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме. Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sinα/sinβ < α/β < tgα/tgβ, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93-е предложение «Данных» Евклида.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха.

Средневековая Индия[править | править код]

Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

sin2⁡α+cos2⁡α=1,{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,}

sin⁡α=cos⁡(90∘−α),{\displaystyle \sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha ),}

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β.{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta .}

Индийцы также знали формулы для кратных углов sin⁡nα,cos⁡nα,{\displaystyle \sin n\alpha ,\qquad \cos n\alpha ,} где n=2,3,4,5.{\displaystyle n=2,3,4,5.}

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в XVI веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати^[en]» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

С VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию своих предшественников. В середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Определение тригонометрических функций[править | править код]

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
• Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до π2{\displaystyle \pi \over 2} радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол θ{\displaystyle \theta } (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

Свойства функции синус[править | править код]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R{\displaystyle D(y)=R}.
2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: E(y){\displaystyle E(y)} = [−1;1].
3. Функция y=sin⁡(α){\displaystyle y=\sin \left(\alpha \right)} является нечётной: sin⁡(−α)=−sin⁡α{\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha }.
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2π{\displaystyle 2\pi }: sin⁡(α+2π)=sin⁡(α){\displaystyle \sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \left(\alpha \right)}.
5. График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z{\displaystyle \alpha =\pi n\,,n\in \mathbb {Z} }.
6. Промежутки знакопостоянства: y>0{\displaystyle y>0} при (2πn+0;π+2πn),n∈Z{\displaystyle \left(2\pi n+0;\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} } и y<0{\displaystyle y<0} при (π+2πn;2π+2πn),n∈Z{\displaystyle \left(\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} }.
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: (sin⁡α)′=cos⁡α{\displaystyle (\sin \alpha )’=\cos \alpha }
8. Функция y=sin⁡α{\displaystyle y=\sin \alpha } возрастает при α∈(−π2+2πn;π2+2πn),n∈Z{\displaystyle \alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} }, и убывает при α∈(π2+2πn;3π2+2πn),n∈Z{\displaystyle \alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} }.
9. Функция имеет минимум при α=−π2+2πn,n∈Z{\displaystyle \alpha =-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in \mathbb {Z} } и максимум при α=π2+2πn,n∈Z{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in \mathbb {Z} }.

Свойства функции косинус[править | править код]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R{\displaystyle D(y)=R}.
2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: E(y){\displaystyle E(y)} = [−1;1].
3. Функция y=cos⁡(α){\displaystyle y=\cos \left(\alpha \right)} является чётной: cos⁡(−α)=cos⁡α{\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha }.
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2π{\displaystyle 2\pi }: cos⁡(α+2π)=cos⁡(α){\displaystyle \cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \left(\alpha \right)}.
5. График функции пересекает ось Ох при α=π2+πn,n∈Z{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in \mathbb {Z} }.
6. Промежутки знакопостоянства: y>0{\displaystyle y>0} при (−π2+2πn;π2+2πn),n∈Z{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} } и y<0{\displaystyle y<0} при (π2+2πn;3π2+2πn),n∈Z.{\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} .}
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: (cos⁡α)′=−sin⁡α{\displaystyle (\cos \alpha )’=-\sin \alpha }
8. Функция y=cos⁡α{\displaystyle y=\cos \alpha } возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈Z,{\displaystyle \alpha \in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} ,} и убывает при α∈(2πn;π+2πn),n∈Z.{\displaystyle \alpha \in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} .}
9. Функция имеет минимум при α=π+2πn,n∈Z{\displaystyle \alpha =\pi +2\pi n\,,n\in \mathbb {Z} } и максимум при α=2πn,n∈Z.{\displaystyle \alpha =2\pi n\,,n\in \mathbb {Z} .}

Свойства функции тангенс[править | править код]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R{\displaystyle D(y)=R}, кроме чисел α=π2+πn,n∈Z.{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} \,.}
2. Множество значений — множество всех действительных чисел: E(y)=R.{\displaystyle E(y)=R.}
3. Функция y=tg(α){\displaystyle y=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)} является нечётной: tg(−α)=−tg α{\displaystyle \mathrm {tg} \left(-\alpha \right)=-\mathrm {tg} \ \alpha }.
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен π{\displaystyle \pi }: tg(α+π)=tg(α){\displaystyle \mathrm {tg} \left(\alpha +\pi \right)=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)}.
5. График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z{\displaystyle \alpha =\pi n\,,n\in \mathbb {Z} }.
6. Промежутки знакопостоянства: y>0{\displaystyle y>0} при (πn;π2+πn),n∈Z{\displaystyle \left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} } и y<0{\displaystyle y<0} при (−π2+πn;πn),n∈Z{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} }.
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: (tgx)′=1cos2⁡x.{\displaystyle (\mathop {\operatorname {tg} } \,x)’={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.}
8. Функция y=tg α{\displaystyle y=\mathrm {tg} \ \alpha } возрастает при α∈(−π2+πn;π2+πn),n∈Z{\displaystyle \alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} }.

Свойства функции котангенс[править | править код]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R,{\displaystyle D(y)=R,} кроме чисел α=πn,n∈Z.{\displaystyle \alpha =\pi n,n\in \mathbb {Z} \,.}
2. Множество значений — множество всех действительных чисел: E(y)=R.{\displaystyle E(y)=R.}
3. Функция y=ctg⁡(α){\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right)} является нечётной: ctg⁡(−α)=−ctg⁡ α.{\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(-\alpha \right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha \,.}
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен π{\displaystyle \pi }: ctg⁡(α+π)=ctg⁡(α).{\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha +\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right).}
5. График функции пересекает ось Ох при α=π2+πn,n∈Z.{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in \mathbb {Z} \,.}
6. Промежутки знакопостоянства: y>0{\displaystyle y>0} при (πn;π2+πn),n∈Z{\displaystyle \left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} } и y<0{\displaystyle y<0} при (π2+πn;π(n+1)),n∈Z.{\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in \mathbb {Z} .}
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1sin2⁡x.{\displaystyle (\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)’=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.}
8. Функция y=ctg⁡ α{\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha } убывает при α∈(πn;π(n+1)),n∈Z.{\displaystyle \alpha \in \left(\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in \mathbb {Z} .}

Секстант — навигационный измерительный инструмент, используемый для измерения высоты светила над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение.

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Тождества — это равенства, справедливые при любых значениях входящих в них переменных.

sin2⁡A+cos2⁡A=1 .{\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ .}

sec2⁡A−tg2A=1 .{\displaystyle \sec ^{2}A-{\mathop {\operatorname {tg} } }^{2}A=1\ .}

csc2⁡A−ctg2A=1 .{\displaystyle \csc ^{2}A-{\mathop {\operatorname {ctg} } }^{2}A=1\ .}

sin⁡(A±B)=sin⁡A cos⁡B±cos⁡A sin⁡B.{\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B.}

cos⁡(A±B)=cos⁡A cos⁡B∓sin⁡A sin⁡B.{\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B.}

tg⁡(A±B)=tg⁡A±tg⁡B1∓tg⁡A tg⁡B.{\displaystyle \mathop {\operatorname {tg} } (A\pm B)={\frac {\mathop {\operatorname {tg} } A\pm \mathop {\operatorname {tg} } B}{1\mp \mathop {\operatorname {tg} } A\ \mathop {\operatorname {tg} } B}}.}

ctg⁡(A±B)=ctg⁡A ctg⁡B∓1ctg⁡B±ctg⁡A.{\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } (A\pm B)={\frac {\mathop {\operatorname {ctg} } A\ \mathop {\operatorname {ctg} } B\mp 1}{\mathop {\operatorname {ctg} } B\pm \mathop {\operatorname {ctg} } A}}.}

Треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противоположными углами A, B, C

В следующих тождествах, A, B и C являются углами треугольника; a, b, c — длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов.

Теорема синусов[править | править код]

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R,{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}

где R{\displaystyle R} — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

R=abc(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a).{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}

Теорема косинусов[править | править код]

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c2=a2+b2−2abcos⁡

ru.wikipedia.org

§3 Решение простейших тригонометрических уравнений. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Тригонометрическое уравнение вида cosx=a Сложность: лёгкое	2
2.	Решение уравнения cos x=a Сложность: лёгкое	1
3.	Тригонометрическое уравнение вида sinx=a Сложность: лёгкое	2
4.	Уравнение (cos) Сложность: лёгкое	1
5.	Уравнение (sin) Сложность: лёгкое	1
6.	Уравнения и выражения Сложность: лёгкое	1
7.	Тригонометрическое уравнение вида ctgx=a Сложность: лёгкое	2
8.	Решение уравнения sin x=a Сложность: лёгкое	1
9.	Тригонометрическое уравнение вида tgx=a Сложность: лёгкое	2
10.	Решение уравнения tg x=a. Сложность: лёгкое	1
11.	Решение уравнения вида sin x=a Сложность: среднее	2
12.	Решение уравнения вида cos x/a=b Сложность: среднее	2
13.	Решение уравнения вида sin bx=a Сложность: среднее	2
14.	Тригонометрическое уравнение вида sin5x=a Сложность: среднее	3
15.	Нахождение корней уравнения tg x =а, используя график Сложность: сложное	10
16.	Решение уравнения ctg x=a Сложность: сложное	3

www.yaklass.ru