ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Раскрыть скобки Перенести слагаемые с переменной в одну часть, без переменной — в другую часть, меняя при переносе знак на противоположный и привести подобные слагаемые. Найти корень уравнения.

Вида ax2+bx = 0 Вынести за скобки x; Приравнять каждый из множителей к нулю; Решить получившиеся уравнения; Записать ответ Вида ax2+c = 0 Перенести число в правую часть уравнения, сменив перед ним знак; Выразить x2, разделив обе части уравнения на коэффициент при a; Найти х, извлекая корень из правой части уравнения. Не забудь поставить пред х знаки !

Привести квадратное уравнение к стандартному виду: ax2+bx+c = 0 Найти дискриминант по формуле D = b2-4ac Если D < 0, то корней нет Если D = 0, то один корень Если D > 0, то два корня

Имеет вид: ax4+bx2+c = 0 Заменить x2какой-нибудь новой переменной. Решить получившееся уравнение, найдя при этом значение новой переменной. Сделать обратную замену. Решить получившиеся уравнения.

Способы:

Перенести все слагаемые в левую часть. Выполнить действия в левой части уравнения, получив при этом алгебраическую дробь. Приравнять числитель этой дроби к нулю. Решить получившееся уравнение. Сделать проверку, подставив эти корни в знаменатель. Если знаменатель при подстановке найденного корня обращается в нуль, то этот корень посторонний, в ответе его не указываем. Если знаменатель в нуль не обращается, то этот корень является решением данного уравнения.

Имеет вид: Возведём обе части этого уравнения в квадрат. Решить получившееся уравнение. Обязательно сделать проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Виды уравнений и способы их решения

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Обучающие:

• Обобщить знания по всем видам уравнений, подчеркнуть значимость всех способов, применяемых при решении уравнений.
• Активизирование работы учащихся за счет, разнообразных приемов на уроке.
• Проверить теоретические и практические навыки при решении уравнений.
• Заострить внимание на том, что, одно уравнение можно решить несколькими способами

Развивающие:

• Повысить интерес учащихся к предмету, через использование ИКТ.
• Ознакомление учащихся с историческим материалом по теме.
• Развитие мыслительной деятельности при определении вида уравнения и способов его решения.

Воспитательные:

• Воспитать дисциплину на уроке.
• Развитие способности к восприятию прекрасного, в себе самом, в другом человеке и в окружающем мире.

Тип урока:

• Урок обобщения и систематизации знаний.

Вид урока:

• Комбинированный.

Материально-техническое оснащение:

• Компьютер
• Экран
• Проектор
• Диск с презентацией темы

Методы и приемы:

• Использование презентации
• Фронтальная беседа
• Устная работа
• Игровые моменты
• Работа в парах
• Работа у доски
• Работа в тетрадях

План урока:

1. Организационный момент (1минуты)
2. Расшифровка темы урока (3минуты)
3. Сообщение темы и цели урока (1минута)
4. Теоретическая разминка (3минут)
5. Исторический экскурс (3минуты)
6. Игра “Убери лишнее” (2минуты)
7. Творческая работа (2минуты)
8. Задание “Найди ошибку” (2минуты)
9. Решение одного уравнения несколькими способами (на слайде) (3минуты)
10. Решение одного уравнения несколькими способами (у доски) (24 минут)
11. Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением (5минут)
12. Индивидуальное домашнее задание(1минуты)
13. Итог урока рефлексия (1минута)

Эпиграф урока:

“Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”.
А.Франс

Конспект урока

Организационная часть

Проверяю готовность учащихся к уроку, отмечаю отсутствующих на уроке. Ребята, Французский писатель 19 века А.Франс однажды заметил “ Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”. Так давайте на нашем уроке следовать совету, писателя и переваривать знания с большим аппетитом, ведь они пригодятся в нашей жизни.

Расшифровка темы урока

Для того, чтобы перейти к более сложном заданием, давайте разомнем свои мозги простыми заданиями. Тема нашего урока зашифрована, решив устные задания и найдя к ним ответ, зная, что каждый ответ имеет свою букву, мы раскроем тему урока. Презентация слайд 3

Сообщение темы и цели урока

Вы, сегодня сами назвали тему урока

“Виды уравнений и способы их решения”. Презентация слайд 4

Цель: Вспомнить и обобщить все виды уравнений и способы их решения. Решить одно уравнение всеми способами. Презентация слайд 5 Прочитать высказывание Эйнштейна Презентация слайд 5

Теоретическая разминка

Вопросы Презентация слайд 7

Ответы

1. Равенство, содержащее переменную величину, обозначенную какой-то буквой.
2. Это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
4. После этого определения прочесть стихотворение об уравнении Презентация слайд 12,13,14

Ответы на 2 последних вопроса Презентация слайд 9,10,11

Исторический экскурс

Историческая справка, о том “Кто и когда придумал уравнение” Презентация слайд 15

Представим себе, что первобытная мама по имени… впрочем, у неё, наверно, и имени то не было, сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать каждому из своих 4 детей. Вероятно, она не умела считать не только до 12, но и до четырёх, и уж несомненно не умела делить 12 на 4.А яблоки она поделила, наверно, так: сначала дала каждому ребёнку по яблоку, потом ещё по яблоку, потом ещё по одному и тут увидела, что яблок больше нет и дети довольны. Если записать эти действия на современном математическом языке, то получается х4=12, то есть мама решила задачу на составление уравнение. По-видимому, ответить на поставленный выше вопрос невозможно. Задачи, приводящие к решению уравнений, люди решили на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. Ещё за 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых и приёмы решения были не похожи на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитие учения об уравнениях достиг греческий учёный Диофант(III век), о котором писали:

Он уйму всяких разрешил проблем.
И запахи предсказывал, и ливни.
Поистине, его познанья дивны.

Большой вклад в решение уравнений внёс среднеазиатский математик Мухаммед ал Хорезми (IХ век). Его знаменитая книга ал-Хорезми посвящена решению уравнений. Она называется “Китаб ал-джебр вал-мукабала”, т. е. “Книга о восполнении и противопоставлении”. Эта книга стала известна европейцам, а от слова “ал-джебр” из ее заглавия произошло слово “алгебра” – название одной из главных частей математики. В дальнейшем многие математики занимались проблемами уравнений. Общее правило решений квадратных уравнений приведённых к виду х2+вх=0 было сформулировано немецким математиком Штифелем, проживавшим в ХV веке. После трудов нидерландского математика Жирара (ХVI век), а также Декарта и Ньютона, способ решения принял современный вид. Формулы, выражающие зависимости корней уравнения от его коэффициентов была введена Виетом. Франсуа Виет жил в ХVI веке. Он внёс большой вклад в изучение различных проблем в математике и астрономии; в частности, он ввёл буквенные обозначения коэффициентов уравнения. А сейчас познакомимся с интересным эпизодом из его жизни. Громкую славу Виет получил при короле Генрихе III, вовремя франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись, благодаря которой испанцы вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции.

Напрасно французы пытались найти ключ к шифру, и тогда король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет нашёл за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего, неожиданно для Испании, Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Будучи уверенным, что шифр разгадать не возможно, испанцы обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиции и вошёл в историю как великий математик.

Игра “Убери лишнее”

Цель  игры ориентирование в видах уравнений.

У нас даны три столбика уравнений ,в каждом из них, уравнения определены по какому-то признаку ,но одно из них лишнее ваша задача его найти и охарактеризовать. Презентация слайд 16

Творческая работа

Цель этого задания: Восприятие на слух математической речи ориентировании детей в видах уравнений .

На экране вы видите 9 уравнений. Каждое уравнение имеет свой номер, я буду называть вид этого уравнения, а вы должны найти уравнение этого вида, и поставить только номер, под которым оно стоит, в результате вы получите 9-значное число Презентация слайд 17

1. Приведенное квадратное уравнение.
2. Дробно-рациональное уравнение
3. Кубическое уравнение
4. Логарифмическое уравнение
5. Линейное уравнение
6. Неполное квадратное уравнение
7. Показательное уравнение
8. Иррациональное уравнение
9. Тригонометрическое уравнение

Задание “Найди ошибку”

Один ученик решал уравнения, но весь класс смеялся, в каждом уравнении он допустил ошибку, ваша задача найти ее и исправить. Презентация слайд 18

Решение одного уравнения несколькими способами

А теперь решим одно уравнение всеми возможными способами, для экономии времени на уроке одно уравнение на экране. Сейчас вы назовете вид этого уравнения, и объясните какой способ используется , при решении этого уравнения Презентация слайды 19-27

Решение одного уравнения несколькими способами (у доски)

Мы посмотрели пример, а теперь давайте решим уравнение у доски всевозможными способами.

=x-2 - иррациональное уравнение

Возведем в квадрат обе части уравнения.

2x-1=(x-2)²

2x-1=x²-4x+4

-x²+2x+4x-1-4=0

x²-6x+5=0

Решаем это уравнение у доски 9 способами.

Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением у доски

А сейчас вы поработаете в парах, на парту я даю уравнение, ваша задача определить вид уравнения, перечислить все способы решения этого уравнения, решить 1-2 наиболее рациональными для вас способами. (2 минуты)

Задания для работы в парах

Решите уравнение

2. =x-2
3. =6
5. 3^6-x=3^3x-2
6. 9^x-83^x-9=0
7. 23^x+1-3^x=15
10. = 4

После самостоятельной работы в парах один представитель выходит к доске представляет свое уравнение, решает одним способом

Индивидуальное домашнее задание (дифференцируемо)

Решите уравнение

4. =x-2
5. =6
7. 3^6-x=3^3x-2
8. 9^x-83^x-9=0
9. 23^x+1-3^x=15
12. =4
18. 3x⁵=96
19. |x+2|=

(определить вид уравнения, решить всеми способами на отдельном листе)

Итог урока рефлексия.

Подвожу итог урока, заостряю внимание на том, что одно уравнение можно решить многими способами, выставляю оценки, делаю вывод, кто был активным кому надо быть поактивнее. Зачитываю высказывание Калинина Презентация слайд 28

Посмотрите внимательно на те цели которые мы с вами поставили для сегодняшнего урока:

• Что на ваш взгляд нам удалось сделать?
• Что получилось не очень хорошо?
• Что вам особенно понравилось и запомнилось?
• Сегодня я узнал новое…
• На уроке мне пригодились знания…
• Для меня было сложно…
• На уроке мне понравилось…

Литература.

1. Дорофеев Г.В. “Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы” — М.: Дрофа, 2006.
2. Гарнер Мартин. Математические головоломки и развлечения.
3. Ивлев Б.М., Саакян С.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл., 11 кл. М.: Просвещение. 2002.

Методическая разработка (8 класс) по теме: Проектная работа «Виды уравнений и способы их решения»

Линейные уравнения

Определение:

Уравнение вида ax + b = 0, где a , b – некоторые числа x – переменная, называется линейным уравнением.

Алгоритм решения линейного уравнения

Если a ≠ 0, то линейное уравнение имеет единственный корень x = —

Пример: 2x – 3 + 4(x -1) = 5

               2x – 3 + 4x – 4 = 5

               6x = 5 + 4 + 3

               6x = 12

               x = 12 : 6

               x = 2

               Ответ: 2

Если a = 0; b ≠ 0, то линейное уравнение не имеет решений.

Пример: 2x – 8 – 2( x – 2 ) = 0

               2x – 8 – 2x + 4  = 0

-4 = 0

Ответ: решений нет!

Если a = 0; b =0, то x – любое число.

Пример: 3x + 6 – 3( x + 2 ) = 0

               3x + 6 – 3x – 6 = 0

               0 = 0

               Ответ: x – любое число.

Примеры и решения линейных уравнений.

1. 6х – 12 = 5х + 4                                        2. -9а + 8 = -10а – 2

6х – 5х = 12 + 4                                             -9а + 10а = -8 — 2

1х = 16                                                            1а = -10

х = 16 : 1                                                         а = -10 : 1

х = 16                                                              а = -10

Ответ: 16                                                        Ответ: -10

3. 7m + 1 = 8m + 9                                         4. 4 + 25y = 6 + 24y

     7m – 8m = 9 – 1                                              25y – 24y = 6 — 4                                            

-1m = 8                                                            1y = 2

m = 8 : (-1)                                                       y = 2 : 1

m = -8                                                               y = 2

Ответ: -8                                                          Ответ: 2

5. 11 – 5z = 12 – 6z                                        6. 4k + 7 = -3 + 5k

     -5z + 6z = 12 – 11                                           4k – 5k = -3 — 7

     1z = 1                                                               -1k = -10

      z = 1: 1                                                             k = -10 : (-1)

      z = 1                                                                 k = 10

      Ответ: 1                                                           Ответ: 10

7. -40 * ( -7x + 5 ) = -1600                             8. ( -20x – 50 ) * 2 = 100

280x – 200 = -1600                                         -40 – 100 = 100

280x = -1600 + 200                                         -40 = 100 + 100

280x = -1400                                                    40x = 200

x = -1400 : 280                                                  x = 200 : 40

x = -5                                                                 x = 5                                                            

Ответ: -5                                                            Ответ: 5

9. 2.1 * ( 4 – 6y ) = -42                                    10. -3 * ( 2 – 15x ) = -6

8.4 – 12.6y = -42                                                -6 + 45x = -6

-12.6 = -42 – 8.4                                                 45x = -6 + 6

-12.6 = -50.4                                                       45x = 0

y = -50.4 : ( -12.6 )                                              x = 0 : 45

y = 4                                                                     x = 0

Ответ: 4                                                               Ответ: 0

11. 13 – 5x = 8 – 2x                                           12. 5x + ( 3x – 7 ) = 9

-5x + 2x = 8 – 13                                                 5x + 3x – 7 = 9

-3x = -5                                                                8x = 16

x = -5 : ( -3 )                                                         x = 16 : 8

x = 1, 2/3                                                               x = 2

Ответ: 1, 2/3                                                         Ответ: 2

13. 4y + 15 = 6y + 17                                         14. 3y – (5 – y) = 11

4y – 6y = 17 – 15                                                3y – 5 + y  = 11

-2y = 2                                                                 4y = 16

y = 2 : ( -2 )                                                          y = 16 : 4

y = -1                                                                    y = 4

Ответ: -1                                                              Ответ: 4

15. -27x + 220 = 5x                                              16. -2x + 16 = 5x — 19

 -27x + 5x = — 220                                                  -2x – 5x = -19 — 16

 -22x = -220                                                            -7x = -35

 x = -220 : ( -22 )                                                     x = -35 : ( -7 )

 x = -10                                                                    x = 5

 Ответ: -10                                                              Ответ: 5

17. 25 – 3b = 9 – 5b       -3b + 5b = 9 – 25        2b = 16         b = -16 : 2         b = -8         Ответ: -8	18. 3 * (4x – 8 ) = 3x – 6       12x – 24 = 3x – 6       9x = 18       x = 18 : 9       x = 2      Ответ: 2
19. -4 * ( -z + 7) = z + 17       -4z – 28 = z + 17       -5z = 45        z = 45 : ( -5 )        z = -9        Ответ: -9	20. c -32 = ( c + 8 ) * ( -7 )        c – 32 = -7c – 56        8c = 24        c = 24 : 8        c = -3        Ответ: -3
21. 12 – 2 * ( k + 3 ) = 26       12 – 2k – 6 = 26       -2k = 20       k = 20 : ( -2 )       k = -10       Ответ: -10	22. -5 * ( 3a + 1 ) – 11 = -16       -15a – 5 – 11 = -16       -15a = 0       a = 0 : ( -15 )       a = 0       Ответ: 0
23. -5 * ( 0.8z – 1.2 ) = -z + 7.2       -4z + 6 = -z + 7.2       -3z = 1.2        z = 1.2 : ( -3 )        z = -3.6        Ответ: -3.6	24. -20 * ( x – 13 ) = -220       -20x + 260 = -220       -20x = -480       x = -480 : ( -20 )       x = 24       Ответ: 24
25. ( 30 – 7x ) * 8 = 352       240 – 56x = 352       -56x = 112        x = 112 : ( -56 )        x = -2        Ответ: -2	26. ( 2.8 – 0.1x ) * 3.7 = 7.4       10.36 – 0.37x = 7.4       -0.37x = -2.96       x = -2.96 : ( -0.37)       x = 8       Ответ: 8
27. ( 3x – 1.2 ) * 7 = 10.5       21x – 8.4 = 10.5       21x = 18.9       x = 18.9 : 21       x = 0.9      Ответ: 0.9	28. 6x + 12 – 42x = 0       6x – 42x = -12       -36x = -12       x = — 36 : ( -2 )       x = -3       Ответ: -3

29. 3( y – 5 ) – 2( y – 4 ) = 8       3y – 15 – 2y – 8 = 8       3y – 2y = 8 + 8 + 15       1y = 31       y  = 31 : 1       y  = 31       Ответ: 31

30. -5( 5 – x ) – 4x = 18       -25 + 5x – 4x = 18       5x – 4x = 18 + 25       1x = 43       x = 43 : 1       x = 1      Ответ: 1

Виды алгебраических уравнений и способы их решения.

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: 368213

Похожие материалы

Оставьте свой комментарий

Методическое пособие по математике «Руководство к решению уравнений школьного курса»

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Краснодарского края

«Армавирский машиностроительный техникум»

Методическое пособие

по учебной дисциплине

«Математика: алгебра и начала анализа; геометрия»

РУКОВОДСТВО

К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ

ШКОЛЬНОГО КУРСА

для обучающихся 1-х и 2-х курсов

всех специальностей и профессий

Содержание

Введение

4

1.

Основные понятия

5

2.

Классификация уравнений

6

3.

Целые уравнения с одной переменной и их решение

6

3.1.

Решение линейных уравнений

6

3.2.

Решение квадратных уравнений

7

3.2.1.

Неполные квадратные уравнения

7

3.2.1.1.

Уравнения вида х² = m и приводимые к ним

7

3.2.1.2.

Уравнения вида ах² + bx = 0 и приводимые к ним

8

3.2.2.

Полные квадратные уравнения ах² + bх + с = 0 и приводимые к ним

8

3.2.3.

Приведенные квадратные уравнения x² + px+ q = 0

9

3.3.

Решение простейших уравнений высших степеней

10

3.3.1.

Уравнения вида axⁿ + b = 0

10

3.3.2.

Биквадратные уравнения

10

3.3.3.

Решение целых уравнений высших степеней методом разложения на множители

11

4.

Дробно-рациональные уравнения, алгоритм их решения

11

5.

Иррациональные уравнения и их решение

12

5.1.

Решение уравнений путем возведения обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня

12

5.2.

Решение уравнений путем введения новой переменной

13

6.

Показательные уравнения

14

6.1.

Решение простейших показательных уравнений

15

6.2.

Приведение обеих частей показательного уравнения к степеням с одинаковыми основаниями

15

6.3.

Вынесение за скобки общего множителя при решении показательных уравнений

16

6.4.

Замена переменной в показательных уравнениях

16

6.5.

Решение однородных показательных уравнений

17

7.

Логарифмические уравнения, способы их решения

18

7.1.

Решение простейших логарифмических уравнений

18

7.1.1.

Уравнения вида, где a > 0, a 1

18

7.1.2.

Уравнения вида , где c > 0

18

7.2.

Решение уравнений вида

19

7.3.

Решение уравнений вида и приводимых к ним

19

7.4.

Решение логарифмических уравнений введением новой переменной

21

8.

Тригонометрические уравнения

22

8.1.

Решение простейших тригонометрических уравнений

24

8.2.

Применение формул тождественных преобразований при решении тригонометрических уравнений

26

8.2.1.

Применение формул приведения

26

8.2.2.

Применение формул сложения аргументов

27

8.2.3.

Применение формул двойного аргумента

28

8.2.4.

Применение формул понижения степени (половинного аргумента)

29

8.2.5.

Применение формул преобразования алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение

29

8.3.

Замена переменной в тригонометрических уравнениях

31

8.4.

Решение однородных тригонометрических уравнений

32

8.4.1.

Однородные тригонометрические уравнения 1-го порядка

32

8.4.2.

Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка

33

Заключение

34

Список литературы

34

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают одно из ведущих мест: они имеют не только важное теоретическое значение, но и служат для практических целей. На их изучение отводится больше времени, чем на любую другую тему. Решение уравнений является одним из наиболее трудных вопросов, так как чтобы правильно решить уравнение нужно:

знать:

— большое количество формул;

— какие способы решения уравнений в каких случаях целесообразно применить;

уметь:

— проводить тождественные преобразования входящих в него выражений;

— безошибочно вычислять.

Цель настоящего пособия состоит в том, чтобы систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме «Уравнения в школьном курсе математики», а также помочь им вспомнить, самостоятельно изучить основные методы решения различных видов уравнений и преодолеть трудности, встречающиеся при изучении уравнений.

Разработка данного пособия была вызвана, с одной стороны, отсутствием в техникуме единого учебника, в котором содержались бы все необходимые сведения по данному разделу, с другой, крайне низкими результатами входного контроля и необходимостью помочь слабоуспевающим обучающимся научиться решать уравнения. Именно поэтому в пособии нет уравнений повышенного уровня сложности. Основной упор дан на отработку стандартных методов решения уравнений. Не рассматривается в пособии и функционально-графический метод решения уравнений.

Содержательные части всех тем, включенных в данное пособие, построены одинаково, а именно, сначала дается краткий систематизированный материал по теории, затем на примерах, в процессе решения типовых уравнений, иллюстрируются различные методы их решения. В конце каждой темы для отработки понятий и методов имеются уравнения для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям даются ответы, чтобы обучающиеся могли контролировать правильность своего решения.

1. Основные понятия

Опр. Уравнение – это равенство с одной или несколькими переменными (неизвестными).

Опр. Значения неизвестных, при которых данное уравнение обращается в тождество, называются корнями уравнения.

Опр. Процедура нахождения всех корней уравнения называется решением уравнения. 

(!!) Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Подстановка любого корня вместо неизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство.

Опр. Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. 

При решении уравнений используются следующие основные тождественные преобразования:

1) Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. 

Например: уравнение (3x + 2)² = 15x + 10 можно заменить следующим равносильным: 9x² + 12x + 4 = 15x + 10.

2) Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. 

Так, в предыдущем уравнении можно перенести все его члены из правой части в левую со знаком «–»: 9x² + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим: 9x² – 3x – 6 = 0.

3) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. 

Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р.  Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.

Умножив обе его части на x – 3, получим уравнение (x – 1)(x – 3) = 0,  у которого два корня:  x = 1 и  x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0.  Это так называемый посторонний корень.

И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, в нашем случае, если (x – 1)(x – 3) = 0 является исходным уравнением, то корень  x = 3  будет потерян при делении обеих частей уравнения на  x – 3. 

В последнем уравнении (п.2) можно разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим: 3x² –  x – 2 = 0.

Это уравнение равносильно исходному: (3x+ 2)² = 15x + 10.

4) Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень или извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени. 

Необходимо помнить, что:

а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней;

б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней.

2. Классификация уравнений

3. Целые уравнения с одной переменной и их решение

Опр. Уравнения вида P(x) = 0, где P(x) – многочлен в стандартном виде, называются целыми. Степень этого многочлена является степенью уравнения.

3.1. Решение линейных уравнений

Опр. Уравнения вида ах + b = 0, где a и b – некоторые числа, а также приводимые к ним называются уравнениями 1-й степени.

а) Если а 0, то уравнение называется линейным.

(!!) Линейное уравнение всегда имеет 1 корень: x =

б) Если  a = 0, то возможны два случая:

1.  b = 0, тогда  0 · x + 0 = 0. Здесь  x  может быть любым числом.

2.  b ≠ 0, тогда  0 · x + b = 0. Здесь нет решений.

П р и м е р. Решим уравнения:

5x – 40 = 0

5х = 40

х = 8

Ответ: 8

2) 18х – 24 = 15х + 3

18х – 15х = 3 + 24

3х = 27

х = 9

Ответ: 9

3) 2/3 х – 4 = 1/5 х + 3 / · 15

10х – 60 = 3х + 45

10х – 3х = 45 + 60

7х = 105

х = 15

Ответ: 15

Решите уравнения:

1) 5х – 3 = 12

Ответ: 3

2) – 4х + 1 = 13

Ответ: — 3

3) 6х – 14 = 1 + 3х

Ответ: 5

4) – 8х + 3 = – х + 24

Ответ: — 3

5) 5(х – 2) – 4 = 6х + 7

Ответ: — 21

6)

Ответ: 36

7)

Ответ: 9

8) 5,1 – 8х = 3,3 – 10х

Ответ: — 0,9

9) 0,7(2 – 3у) = – 7

Ответ: 4

3.2. Решение квадратных уравнений

Опр. Уравнения вида ах² + bх + с = 0, где a, b и с – некоторые числа, причем а 0, а также приводимые к ним называются квадратными.

Если  a = 0, то уравнение становится линейным.

Если b или c (или оба) равны нулю, то это уравнение называется неполным.

3.2.1. Неполные квадратные уравнения

3.2.1.1. Уравнения вида х² = m и приводимые к ним

1) Если т 0, то уравнение имеет два корня:

2) Если т 0, то уравнение имеет один корень: 0.

3) Если т 0, то уравнение не имеет действительных корней.

П р и м е р. Решим уравнения:

1) х² = 49

х =

х =

Ответ: 7

2) 2х² = 8

х² = 4

Нет корней

Ответ: Ø

3) 4x ²  – 12 = 0

4x ²  = 12

x ²  = 3

х =

Ответ:

4) (х – 8)² = 64

х – 8 = 8 или х – 8 = – 8

х = 16 х = 0

Ответ: 0; 16

Решите уравнения:

1) х² =

Ответ:

2) х² = – 0,36

Ответ: Ø

3) 16 – х² = 0

Ответ: 4

4) х² – 0,06 = 0,03

Ответ: 0,3

5) – 0,2х² = – 1,8

Ответ: 3

6) у² – 16 = – (12 + 3у²)

Ответ: 1

7) 48 – 3х² – (3 – х) = 2х² + х

Ответ: 3

8) (х + 5)² = 36

Ответ: — 11; 1

9) х² – 6х + 9 = 0

Ответ: 3

3.2.1.2. Уравнения вида ах² + bx = 0 и приводимые к ним

В левой части этого уравнения есть общий множитель х. Вынесем общий множитель за скобки, получим: х(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем два уравнения: х = 0, ax + b = 0. Таким образом, данное уравнение имеет два корня:

х₁ = 0 и х₂ = .

П р и м е р. Решим уравнения:

2x ² + 5x = 0

х(2х + 5) = 0

х = 0 или 2х + 5 = 0

2х = – 5

х = – 2,5

Ответ: – 2,5; 0

2. (2х – 1)² – 1 = х(х + 2)

4х² – 4х + 1 – 1 = х² + 2х

3х² – 6х = 0 / : 3

х² – 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 или х – 2 = 0

х = 2

Ответ: 0; 2

Решите уравнения:

1) 2х² + 5х = 3х²

Ответ: 0; 5

2) 5х² – 3х = 2х + х²

Ответ: 0; 1,25

3) (х – 3)(х + 3) – 2х = 2х² – 9

Ответ: – 2; 0

3.2.2. Полные квадратные уравнения ах² + bх + с = 0

и приводимые к ним

Корни такого уравнения находятся по формуле: x =

При этом возможны три случая:

1)  b ² – 4 a c > 0, тогда имеются два различных корня;

2)  b ² – 4 a c = 0, тогда имеются два равных корня;

3)  b ² – 4 a c < 0, тогда уравнение не имеет действительных корней.

 Выражение b ² – 4ac, от значения которого зависит, какой случай имеет место, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.

П р и м е р. Решим уравнения:

1. х² – 5х + 4 = 0

D = b ² – 4ac = ( 5)² 4 = 25 – 16 = 9 0

x_1,2 = =

x₁ = 4, x₂ = 1

Ответ: 1; 4

2) 2x² + 3x – 2 = 0

D = 3² 4 = 9 + 16 = 25,

x₁ = = 2

x₂ = =

Ответ: 2; 0,5

3) – 3x² + x – 2 = 0 / · ( 1)

3x² – x + 2 = 0

D = 1 – 4 = 1 – 24 = – 23 нет корней

Ответ:

Решите уравнения:

1) х² + 4х – 12 = 0

Ответ: — 6; 2

2) х² – 4х – 21 = 0

Ответ: — 3; 7

3) 2x² + 7x – 4 = 0

Ответ: — 4; 0,5

4) 9x² + 6x + 1 = 0

Ответ: — 1/3

5) 5x² – 6x + 2 = 0

Ответ: Ø

6) х(х + 2) = 6 + х – х²

Ответ: — 2; 1,5

7) 2х – х² – = 0

Ответ: 1/3; 2

8)

Ответ: 1; 2,5

3.2.3. Приведенные квадратные уравнения x² + px+ q = 0

Если a = 1, т.е. уравнение называется приведенным.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при первой степени неизвестного, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену, т.е.:

 П р и м е р. Составим приведенное квадратное уравнение, корни которого х₁ = 5, х₂ = – 3

p = – (5 + (– 3)) = – 2

q = 5

x² – 2x – 15 = 0

П р и м е р. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдем подбором корни приведенного уравнения:

х² + 5х + 6 = 0

х₁ = – 2

х₂ = – 3

2. х² 7х + 10 = 0

х₁ = 2

х₂ = 5

3. х² + х 6 = 0

х₁ = 3

х₂ = 2

4. х² 3х 10 = 0

х₁ = 5

х₂ = 2

Подбором найдите корни уравнения:

х² 20х + 19 = 0

Ответ: 1 и 19

2. х² + 38х + 37 = 0

Ответ: — 37 и — 1

3. х² + 5х 14 = 0

Ответ: — 7 и 2

4. х² 4х 21 = 0

Ответ: — 3 и 7

3.3. Решение простейших уравнений высших степеней

3.3.1. Уравнения вида axⁿ + b = 0

Такие уравнения приводятся к виду хⁿ = .

1. Если п – нечетное число, то х = , где с =

2. Если п – четное число, то при положительном с уравнение имеет два корня , а при отрицательном с – не имеет действительных корней

П р и м е р.  Решим уравнения:

1) 2х³ + 16 = 0

2х³ = 16

х³ = 8

х =

х = 2

Ответ: 2

2) 81 – х⁴ = 0

х⁴ = 81

х =

х = 3

Ответ: 3

Решите уравнения:

2x⁵ – = 0

Ответ: 0,5

2. 6x⁶ –6 = 0

Ответ: — 1; 1

3.3.2. Биквадратные уравнения

Опр. Биквадратным уравнением называется уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0.

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению  при помощи подстановки у = х². Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay² + by + c = 0. Решая это уравнение, получаем корни квадратного уравнения у₁ и у₂. Таким образом, решение исходного уравнения сводится к двум уравнениям относительно переменной х: х² = у₁ и х² = у₂.

П р и м е р. Решим уравнение 4х⁴ – 5х² + 1= 0

Пусть у = х², тогда х⁴ = у². 

Значит, имеем уравнение: 4у² – 5у + 1 = 0

D = 25 4 = 25 16 = 9,

у₁ = =

у₂ = =

Т.о., 1) х² = , х = , х =

2) х² = 1, х =

Ответ:  1;1

Решите уравнения:

х⁴ – 29х² + 100 = 0

Ответ: — 5; — 2; 2; 5

4. х⁴ – 15х² – 16 = 0

Ответ: — 4; 4

5. 9х⁴ – 28х² + 3 = 0

Ответ: 1/3;

6. (х + 2)⁴ – (х + 2)² – 12 = 0

Ответ: — 4 и 0

3.3.3. Решение целых уравнений высших степеней

методом разложения на множители

В основе метода лежит тот факт, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысл.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители:

— вынесение за скобку общего множителя;

— использование формул сокращенного умножения;

— группировка.

П р и м е р. Решим уравнения:

1) х³ – 8х² + 3х – 24 = 0

х²(х – 8) + 3(х – 8) = 0

(х – 8)(х² + 3) = 0

х – 8 = 0 или х² + 3 = 0

х = 8 х² = – 3

нет корней

Ответ: 8

2) (у² – 5у)² = 30у – 6у²

(у² – 5у)² – 30у + 6у² = 0

(у² – 5у)² + 6(у² – 5у) = 0

(у² – 5у)(у² – 5у + 6) = 0

у² – 5у = 0 или у² – 5у + 6 = 0

у(у – 5) = 0 D = 25 – 24 = 1

у₁ = 0 у₃ = = 2

у₂ = 5 у₄ = = 3

Ответ: 0; 2; 3; 5

Решите уравнения:

(2х – 5)(х² — 4) = 7х² — 28

Ответ: — 2; 2; 6

2. х³ + 3х² = 4х + 12

Ответ: — 3; — 2; 2

3. х⁴ – 3х³ – х + 3 = 0

Ответ: 1; 3

4. х⁵ – х⁴ = 0

Ответ: 0; 1

4. Дробно-рациональные уравнения, алгоритм их решения

Опр. Уравнения, в которых левая и/или правая часть являются дробно-рациональными выражениями, называются дробными рациональными уравнениями.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1) найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, при необходимости прежде разложить знаменатели дробей на множители;

2) умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

П р и м е р. Решим уравнение

/ · х(х – 2)(х + 2) 0

2х – (х + 2) = (4 – х)(х – 2)

х² – 5х + 6 = 0

х₁ = 2 – не удовлетворяет

х₂ = 3

Ответ: 3

Решите уравнения:

2)	Ответ: — 3; 6
3)	Ответ: 0

5. Иррациональные уравнения и их решение

Опр. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком радикала (корня), называются иррациональными.

Чаще всего для решения иррациональных уравнений используются следующие приемы:

1) возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень;

2) введение новой переменной.

5.1. Решение уравнений путем возведения обеих частей уравнения

в степень, равную показателю степени корня

При решении иррациональных уравнений этим методом следует руководствоваться следующими рекомендациями:

1) Перед возведением в степень необходимо изолировать корень.

2) Если корней несколько одного возведения недостаточно.

3) Если показатель степени четный, то могут появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка найденных корней.

П р и м е р. Решим уравнения:

1) = х

х + 2 =

х₁ = 2

х₂ = 1

Проверка: 1) верно

2) неверно

Ответ: 2

2) + 1 = 2х

/ : 3

х(х – 3) = 0

х₁ = 0

х₂ = 3

Проверка: 1) неверно

2) верно

Ответ: 3

Учебное исследование Классификация уравнений и способы их решений

Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›Учебное исследование Классификация уравнений и способы их решений

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: 533878

Похожие материалы

Оставьте свой комментарий

Методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему: Виды уравнений

Вариант1	Вариант2	Вариант3	Вариант4
1. Найдите корень уравнения .	1. Найдите корень уравнения .	1. Найдите корень уравнения	1. Найдите корень уравнения .
2. Найдите корень уравнения .	2. Найдите корень уравнения	2. Найдите корень уравнения	2. Найдите корень уравнения .
3. Найдите корень уравнения .	3. Найдите корень уравнения .	3. Найдите корень уравнения	3. Найдите корень уравнения
4. Найдите корень уравнения	4. Найдите корень уравнения .	4. Найдите корень уравнения	4. Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
5. Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.	5. Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.	5. Найдите корень уравнения	5. Найдите корень уравнения
6. Найдите корень уравнения В ответе запишите наибольший отрицательный корень.	6. Найдите корень уравнения .	6. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.	6. Найдите корень уравнения .
7. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.	7. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.	7. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.	7 Найдите корень уравнения . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
8. Найдите корень уравнения .	8. Найдите корень уравнения . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.	8. Найдите корень уравнения . В ответе напишите наименьший положительный корень.	8 Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
9. Найдите корень уравнения .	9. Найдите корень уравнения .	9. Найдите корень уравнения .	9. Найдите корень уравнения .

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

---

Введите уравнение вместе с переменной, для которой вы хотите его решить, и нажмите кнопку «Решить».

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x представляют число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными.Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, равен ли левый член правому члену.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв. 3 — решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

являются эквивалентными уравнениями, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если одинаковое количество прибавляется или вычитается из обоих элементов уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получим

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 — эквивалентные уравнения, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем генерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала добавим -1 (или вычтем 1 из) каждого члена, мы получим

2x + 1- 1 = x — 2-1

2х = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре мы можем видеть, что решением является 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ DIVISION

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое) количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3x = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Сначала умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждого члена на 3,

Пример 3 Решить .

Решение

Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги по решению уравнений первой степени:

1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
2. Используя свойство сложения или вычитания, запишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
5. Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение

Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы выполняем упрощение над полосой дроби перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами.Мы можем найти любую одну из переменных в формуле, если известны значения других переменных. Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых есть более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c решите относительно x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

,

Стратегии алгебры и практические задачи

Если вы уже занимались уравнениями с одной переменной, то приготовьтесь к системам уравнений. Несколько переменных! Множественные уравнения! (Ух!) Более того, у вопросов по системам уравнений всегда будет несколько методов их решения, в зависимости от того, как вам нравится работать лучше всего.

Итак, давайте посмотрим не только на то, как работают системы уравнений, но и на все возможные варианты их решения.

Это будет ваш полный справочник по вопросам системы уравнений — что это такое, какие существуют различные способы их решения и как вы увидите их на ACT.

Прежде чем продолжить

Вы никогда не увидите более одного вопроса по системе уравнений в каждом тесте, если вы действительно видите один вопрос . Помните, что количество ответов на вопросы (с максимально возможной точностью) является наиболее важным аспектом для получения хороших баллов по ACT, потому что каждый вопрос приносит одинаковое количество баллов.

Это означает, что вы должны уделять первоочередное внимание пониманию более фундаментальных математических тем на ACT, таких как целые числа, треугольники и наклоны. Если вы можете ответить на два или три целочисленных вопроса с такими же усилиями, как на один вопрос о системах уравнений, это будет более эффективным использованием вашего времени и энергии.

Имея это в виду, те же принципы, лежащие в основе работы систем уравнений, одинаковы для других вопросов по алгебре в тесте, так что вам все равно будет полезно потратить свое время, чтобы понять, как они работают.

.

Соотношения и пропорции и способы их решения (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Давайте поговорим о соотношениях и пропорциях. Когда мы говорим о скорости автомобиля или самолета, мы измеряем ее в милях в час. Это называется ставкой и представляет собой тип соотношения. Отношение — это способ сравнения двух величин с использованием деления в милях в час, где мы сравниваем мили и часы.

Отношение можно записать тремя разными способами, и все они читаются как «отношение x к y»

$$ x \: to \: y $$

$$ x: y $$

$$ \ frac {x} {y} $$

С другой стороны, пропорция — это уравнение, которое говорит, что два отношения эквивалентны.Например, если один пакет смеси файлов cookie приводит к созданию 20 файлов cookie, это будет равносильно тому, что два пакета приведут к созданию 40 файлов cookie.

$$ \ frac {20} {1} = \ frac {40} {2} $$

Пропорция читается как «x относится к y, как z относится к w»

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

Если одно число в пропорции неизвестно, вы можете найти это число, решив пропорцию.

---

Пример

Вы знаете, что для приготовления 20 блинов нужно использовать 2 яйца.Сколько яиц нужно, чтобы приготовить 100 блинов?

	Яйца	блины
Небольшое количество	2	20
Крупная сумма	х	100

$$ \ frac {яйца} {блины} = \ frac {яйца} {блины} \: \: или \: \: \ frac {блины} {яйца} = \ frac {блины} {яйца} $$

Если мы напишем неизвестное число в номинаторе, мы сможем решить это, как любое другое уравнение

$$ \ frac {x} {100} = \ frac {2} {20} $$

Умножаем обе стороны на 100

$$ {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {x} {100} = {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {2} { 20} $$

$$ x = \ frac {200} {20} $$

$$ x = 10 $$

Если в знаменателе стоит неизвестное число, мы можем использовать другой метод, включающий перекрестное произведение.Перекрестное произведение — это произведение числителя одного из соотношений и знаменателя второго отношения. Произведения доли всегда равны

.

Если мы снова воспользуемся примером с смесью печенья, использованной выше

$$ \ frac {{\ color {green} {20}}} {{\ color {blue} {1}}} = \ frac {{\ color {blue} {40}}} {{\ color {зеленый } {2}}} $$

$$ {\ color {blue} {1}} \ cdot {\ color {blue} {40}} = {\ color {green} {2}} \ cdot {\ color {green} {20}} = 40

$

Говорят, что в пропорции, если

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

$$ xw = yz $$

Если вы посмотрите на карту, она всегда говорит вам в одном из углов, что 1 дюйм карты соответствует гораздо большему расстоянию в реальности.Это называется масштабированием. Мы часто используем масштабирование для изображения различных объектов. Масштабирование подразумевает воссоздание модели объекта и разделение его пропорций, но с разным размером. Можно увеличить (увеличить) или уменьшить (уменьшить). Например, масштаб 1: 4 представляет четвертую часть. Таким образом, любое измерение, которое мы видим в модели, будет составлять 1/4 от реального измерения. Если мы хотим вычислить обратное, где у нас есть стена высотой 20 футов и мы хотим воспроизвести ее в масштабе 1: 4, мы просто вычисляем:

$$ 20 \ cdot 1: 4 = 20 \ cdot \ frac {1} {4} = 5 $$

В масштабной модели 1: X, где X — постоянная величина, все измерения становятся 1 / X — от реального измерения.Та же математика применима, когда мы хотим увеличить. При изображении чего-либо в масштабе 2: 1 все измерения становятся в два раза больше, чем на самом деле. Мы делим на 2, когда хотим найти фактическое измерение.

---

Видеоурок

Найти x

$$ \ frac {x} {x + 20} = \ frac {24} {54} $$

,

Систем уравнений в SAT Math: Подготовка к алгебре и практика

Конечно, вы хорошо разбирались в уравнениях с одной переменной, и теперь они не проблема, но что вы делаете, когда вам предлагают несколько уравнений и несколько переменных одновременно? Это то, что мы называем «системами уравнений», и, к счастью для нас, это чрезвычайно предсказуемые типы проблем с множеством методов их решения. В зависимости от того, как вам больше всего нравится работать, вы можете выбрать свое собственное приключение, когда дело касается задач системы уравнений.

Но прежде чем выбрать метод, который лучше всего подходит вам (или конкретной проблеме), давайте рассмотрим все доступные варианты, а также типы вопросов, которые вы увидите в день тестирования. Эти вопросы всегда будут появляться один или два раза в любом заданном тесте, поэтому лучше понять все стратегии, которые есть в вашем распоряжении.

Это будет ваш полный справочник по вопросам системы уравнений — что это такое, какие существуют различные способы их решения и как вы увидите их на SAT.

Что такое системы уравнений?

Системы уравнений — это набор из двух (или более) уравнений, которые имеют две (или более) переменные. Уравнения полагаются друг на друга и могут быть решены только с информацией, которую каждое предоставляет.

Большую часть времени на тесте SAT вы будете видеть систему уравнений, которая включает два уравнения и две переменные, но, конечно же, нет ничего необычного в том, что вы увидите три уравнения и / или три переменные в любом количестве комбинаций. ,

Системы уравнений также можно решать множеством способов. Как всегда с SAT, то, как вы решите свои проблемы, в основном зависит от того, как вы предпочитаете работать, а также от того, сколько времени у вас есть, чтобы посвятить проблеме.

Три метода решения задачи системы уравнений:

# 1 : график
# 2 : замена
# 3 : вычитание

Давайте рассмотрим каждый метод и увидим их в действии, используя ту же систему уравнений, что и в примере

.