Геометрия. Опорный конспект 1. Окружности

Опорный конспект 1. Окружности

Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 1. Окружности

---

---

На плоскости прямая может не иметь с окружностью общих точек, может иметь с ней одну общую точку — в этом случае она называется касательной, и может пересекать окружность в двух точках — такая прямая называется секущей. Других вариантов взаимного расположения прямой и окружности нет. Вариантов взаимного расположения двух окружностей больше — 5, поскольку одна из окружностей может располагаться как снаружи, так и внутри другой окружности.

Углы, связанные с окружностью, имеют определенные названия. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Оказывается, что вписанный угол равен 1/2 соответствующего центрального угла.

В этом конспекте мы узнаем, что дуга окружности может измеряться в градусах. Мы научимся вычислять угол между пересекающимися хордами, между секущими, между касательной и хордой, имеющими общую точку. Еще мы выясним, как связаны отрезки пересекающихся хорд, а также отрезок касательной и отрезки секущей, проведенных из одной точки к окружности.

ТАБЛИЦА «Окружности»

 

1. Касательная. Свойство касательной.

Касательной называется прямая, которая имеет единственную общую точку с окружностью.

Теорема (свойство касательной). Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство. Дана касательная. Она имеет единственную общую точку с окружностью. Другие точки прямой лежат вне окружности и поэтому дальше от центра (расстояние до них больше радиуса). Значит, длина радиуса, проведенного в точку касания, — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до касательной. А кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра.

2. Признак касательной.

Теорема (признак касательной)

. Прямая, перпендикулярная радиусу в конечной его точке на окружности, является касательной.

Доказательство. (Все рассуждения проводятся как в предыдущей теореме, только в обратном порядке.)

Радиус перпендикулярен к прямой (она еще не касательная!). Длина перпендикуляра — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до прямой. Значит, другие точки прямой лежат дальше от центра. Так как расстояние до них больше радиуса, то все они лежат вне окружности и прямая имеет единственную общую точку с окружностью. А такая прямая является касательной.

3. Построение касательной циркулем и линейкой.

Построение касательной циркулем и линейкой. Соединяем данную точку с центром окружности. На полученном отрезке как на диаметре строим окружность, которая пересекает данную. Через данную точку и точку пересечения окружностей проводим прямую, которая и будет касательной.

Доказательство. Так как угол с вершиной на окружности, опирающийся на диаметр, — прямой (доказано нами в 7 классе), то построенная прямая проходит через точку на окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку. Она является касательной по признаку касательной.

Исследование. Из данной точки вне окружности можно провести две касательных. Задача имеет два решения.

4. Свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности.

Теорема. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

Доказательство. Соединим данную точку с центром окружности. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Прямоугольные треугольники равны по катету и общей гипотенузе. Отсюда следует равенство отрезков касательных.

5. Свойство окружностей, вписанных в угол.

Теорема. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Доказательство. Опустив радиусы в точки касания, получим, что центр окружности равноудален от сторон угла. А биссектриса — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (доказано нами в 7 классе).

6. Взаимное расположение двух окружностей.

R и r — радиусы окружностей, d — расстояние между ними. 1) d > R + r — окружности не пересекаются и расположены внешним образом; 2) d = R + r — касаются внешним образом — одна общая точка; 3) R – r < d < R + r — пересекаются; 4) d = R – r — касаются внутренним образом; 5) d < R – r — не пересекаются и одна расположена внутри другой (концентрические — если центры совпадают).

7. Длина отрезка общей внешней касательной.

Задача. Окружности с радиусами R и r касаются внешним образом. Найти отрезок общей внешней касательной, заключенный между точками касания.

Решение. Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательной. Из центра меньшей окружности проведем прямую, параллельную касательной. Получим прямоугольник (три угла четырехугольника — прямые). Две его стороны равны радиусу меньшей окружности, две другие — искомому отрезку касательной. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна R + r, а катет равен R – r. Ho теореме Пифагора находим второй катет. Искомый отрезок

8. Центральный угол. Градусная мера дуги. Вписанный угол.

Центральным называется угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. (Иногда говорят просто: центральный угол равен дуге, на которую он опирается, имея в виду их градусные меры.) Полуокружность содержит 180°, окружность — 360°.

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Центральный и вписанный углы соответствующие, если они опираются на одну и ту же дугу окружности, которая заключена внутри угла.

9. Свойство вписанного угла.

Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Случай 1. Сторона вписанного угла проходит через диаметр. Угол АОС равен сумме углов 1 и 2 как внешний. Но ΔАОВ — равнобедренный (ОА = ОВ как радиусы). Поэтому углы 1 и 2 равны. Вписанный угол 1 равен половине центрального угла АОС, а значит, и половине дуги АС.

Случай 2. Стороны угла лежат по разные стороны от центра. Проведем диаметр ВК. Углы АВК и СВК равны половине дуг АК и СК. Угол АВС равен полусумме этих дуг, т. е. половине дуги АС.

Случай 3. Стороны угла лежат по одну сторону от центра. Проведем диаметр ВК. Углы АВК и СВК равны половине дуг АК и СК. Угол АВС равен полуразности этих дуг, т. е. половине дуги АС.

10. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Доказательство. Каждый из этих углов равен половине их общей дуги.

11. Вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, и, наоборот, если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр.

Доказательство. Если вписанный угол опирается на диаметр, то соответствующий центральный угол — развернутый, а вписанный угол равен его половине, т. е. 90°.

Если вписанный угол — прямой, то соответствующий центральный угол равен 180°, т. е. он — развернутый. Поэтому прямой вписанный угол опирается на диаметр.

12. Угол между касательной и хордой.

Теорема. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри угла.

Доказательство. ∠1 и ∠2 дополняют ∠3 до 90°. Поэтому ∠1 = ∠2, a ∠2 равен половине центрального угла, т. е. половине дуги а.

13. Угол между двумя пересекающимися хордами.

Теорема. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных внутри данного и внутри вертикального ему угла.

Доказательство. Соединим концы хорд. ∠1 — внешний. Тогда

14. Угол: а) между двумя секущими, б) между касательной и секущей,
в) между двумя касательными.

Теорема. Угол между двумя секущими, проходящими через одну точку вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

Доказательство. Соединим первую точку пересечения первой секущей и окружности со второй точкой пересечения второй секущей и окружности. ∠3 = ∠1 + ∠2 как внешний. Тогда

Доказательство не изменится, если секущая займет крайнее положение касательной. Поэтому

• угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри угла,
• угол между касательными равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

15. Свойство отрезков пересекающихся хорд.

Теорема. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой.

Доказательство. Соединим концы хорд. Из подобия треугольников по двум углам (равны вертикальные углы и равны вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу) следует: a/

n = m/b, ab = mn.

16. Свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности.

Теорема. Квадрат отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Доказательство. Треугольники со сторонами а, x и а, у подобны по двум углам (один угол общий и закрашенные углы измеряются половиной своей дуги). Из подобия следует, что a/y = x/a, а² = ху.

Следствие. Для всех секущих, проведенных из одной точки, произведения всего отрезка секущей на его внешнюю часть равны между собой. (Все произведения равны квадрату отрезка общей касательной, проведенной из той же точки.)

ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

---

Это конспект по геометрии в 9 классе «Опорный конспект 1. Окружности». Выберите дальнейшие действия:

Диаметр — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Диа́метр в изначальном значении термина — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам.

Радиус (r) и диаметр (d) окружности

Диаметр — это хорда (отрезок, соединяющий две точки) на окружности (сфере, поверхности шара), проходящая через центр этой окружности (сферы, шара). Также диаметром называют длину этого отрезка. Диаметр окружности является хордой, проходящей через её центр; такая хорда имеет наибольшую длину. По величине диаметр равен двум радиусам.

Символы со сходным начертанием: Ø · ø · ∅

Символ диаметра «⌀» (может не отображаться в некоторых браузерах) схож начертанием со строчной перечёркнутой буквой «o». В Юникоде он находится под десятичным номером 8960 или шестнадцатеричным номером 2300 (может быть введён в HTML-код как ⌀ или ⌀). Этот символ не присутствует в стандартных раскладках, поэтому для его ввода при компьютерном наборе необходимо использовать вспомогательные средства — например, приложение «Таблица символов» в Windows, программу «Таблица символов» (ранее gucharmap) в GNOME, команду «Вставка» → «Символ…» в программах Microsoft Office и т. д. В Word работает ALT+8960. Специализированные программы могут предоставлять пользователю свои способы ввода этого символа: к примеру, в САПР AutoCAD для ввода символа диаметра используется сочетание символов %%c (буква c — латинская) или \U+2205 в текстовой строке.

Во многих случаях символ диаметра может не отображаться, так как он редко включается в шрифты — например, он присутствует в Arial Unicode MS (поставляется с Microsoft Office, при установке именуется «Универсальный шрифт»), DejaVu (свободный), Code2000 (условно-бесплатный) и некоторых других.

Сопряжённые диаметры эллипса и гиперболы[править | править код]

Сопряжённые диаметры эллипса[править | править код]

Пара сопряжённых диаметров эллипса. Если в точках касания диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм

• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.

На рисунке представлена пара сопряжённых диаметров (красный и синий). Если в точках пересечения диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу, и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм (зелёные линии на рисунке).

• Расстояния r1{\displaystyle r_{1}} и r2{\displaystyle r_{2}} от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле r=abb2cos2⁡φ+a2sin2⁡φ=b1−e2cos2⁡φ{\displaystyle r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}}, где φ{\displaystyle \varphi } — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.

Сопряжённые диаметры гиперболы[править | править код]

Диаметры гиперболы

• Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряжённый диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.
• Угловой коэффициент k{\displaystyle k} параллельных хорд и угловой коэффициент k1{\displaystyle k_{1}} соответствующего диаметра связан соотношением

k⋅k1=ε2−1=b2a2{\displaystyle k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}

Для произвольного угла φ показаны диаметры и сопряжённые им диаметры для окружностей и равнобочных гипербол.

• Если диаметр гипербол a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряжёнными.
• Главными диаметрами гипербол называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.
• В случае гипербол с асимптотами, образующими прямой угол, её сопряжённые гиперболы получатся при её зеркальном отражении относительно одной из асимптот. При таком зеркальном отражении её диаметр перейдет в сопряжённый диаметр, который будет просто диаметром сопряжённой гиперболы (см. рис.). Также. как наблюдается перпендикулярность сопряжённых диаметров на окружности (на рис. слева), аналогичная ортогональность наблюдается для сопряжённых диаметров гиперболы со взаимно перпендикулярными асимптотами (на рис. справа).

Понятие диаметра допускает естественные обобщения на некоторые другие геометрические и математические объекты. Если во множестве некоторых объектов определена метрика пространства, то для подмножества этих объектов может быть введено понятие диаметра множества.

Диаметром множества M{\displaystyle M}, лежащего в метрическом пространстве с метрикой ρ{\displaystyle \rho }, называется величина (supx,y∈Mρ(x,y)){\displaystyle (\sup _{x,y\in M}\rho (x,y))}.

Под диаметром метрического пространства понимается точная верхняя грань расстояний между парой любых его точек.

• В частности:
  • Под диаметром конического сечения понимается прямая проходящая через середины двух параллельных хорд.
  • Диаметр графа — это максимальное из расстояний между парами его вершин. Расстояние между вершинами определяется как наименьшее число рёбер, которые необходимо пройти, чтобы добраться из одной вершины в другую. Иначе говоря, это расстояние измеренное в количестве рёбер между двумя вершинами графа, максимально удалёнными друг от друга.
  • Максимальное расстояние Хэмминга между двумя словами равной в символах длины n{\displaystyle n} равно n{\displaystyle n}, другими словами диаметр множества слов в метрике Хэмминга равен n{\displaystyle n}.
  • Диаметр геометрической фигуры — максимальное расстояние между точками этой фигуры.

Например, диаметр n-размерного гиперкуба со стороной s равен

d=s⋅n{\displaystyle d=s\cdot {\sqrt {n}}}.

Некоторые окружности, построенные в треугольнике на одном отрезке, как на диаметре[править | править код]

Радиус — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Радиус окружности обозначен красным цветом

Ра́диус (лат. radius — спица колеса, луч) — отрезок, соединяющий центр окружности (или сферы) с любой точкой, лежащей на окружности (или сфере), а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Слово «радиус» впервые встречается в 1569 г. у французского учёного П. Ромуса, несколько позже у Ф. Виета. Становится общепринятым лишь в конце XVII века. Происходит от лат. radius, означающего «луч, спица колеса».

Радиусом множества M{\displaystyle M}, лежащего в метрическом пространстве с метрикой ρ{\displaystyle \rho }, называется величина (supx,y∈Mρ(x,y))/2{\displaystyle (\sup _{x,y\in M}\rho (x,y))/2}. Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

r=s2n.{\displaystyle r={\frac {s}{2}}{\sqrt {n}}.}

Ответе плиз. Что такое определение? Дайте определение окружности, что такое центр , радиус , хорда и диаметр окружности

ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности) Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Кругом называется геометрическое место точек удаленных от данной точки (центра круга) неболее чем на заданное расстояние (радиус круга) Секущая — это прямая, имеющая с окружностью две общие точки (на рисунке 1 показана секущая l ). Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой (на рисунке 1 показана хорда АВ). Итак, Хордой называется отрезок соединяющий две произвольные (несовпадающие) точки окружности. Части, на которые хорда разбивает круг , называются сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги. Диаметром называют хорду, проходящую через центр окружности. Сектором круга называют часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов

ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

Определение — объяснение понятия, опирающееся на начальные понятия (например, понятие «точка») или на определенные ранее. Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки плоскости. Центр окружности — точка плоскости, равноудаленная от всех точек окружности. Радиус окружности — равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности. Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности — хорда, проходящая через центр.

ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.