Порядок выполнения математических операций очень важен для получения верного значения числового выражения.

В математике порядок выполнения действий в выражении определяют сами арифметические операции и скобки, содержащиеся в данном выражении.

Таким образом, если в числовом выражении стоят скобки, то математическая операция, стоящая в них, выполняется в первую очередь.

Следующими выполняются последовательно слева направо операции умножения и деления, если такие присутствуют в выражении.

Последними выполняются действия сложения и вычитания так же в порядке их следования друг за другом слева направо.

Более подробно порядок выполнения арифметических операций будет рассмотрен несколькими уроками позже.

Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.

Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.

Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».

Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».

Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».

Например, выражение (10 — 3) + (6 — 4) читается так: «Сумма разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».

Выражение (10 — 3)∙(6 — 4) читается так: «Произведение разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».

Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.

Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.

Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.

Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.

Чаще всего используют такие формы записи решения задач:

1. По действиям с пояснениями.

2. Выражением.

При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.

Задача 1.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Решение:

Запишем кратко условие задачи:

В I день — 12 кг клубники.

Во II день — на 2 кг больше, чем в I день.

Общее количество клубники в I и во II день- ?

Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.

Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.

Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.

Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.

Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.

Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).

1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.

Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.

Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.

2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.

Составим числовое выражение для решения нашей задачи.

Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:

12 кг — клубники собрали в первый день.

12 + 2 кг — клубники собрали во второй день.

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:

12 + (12 + 2).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Попробуем решить вторую задачу.

Задача 2.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.

Остальные условия задачи остались прежние.

Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.

Таким образом, имеем следующие данные:

12 кг — клубники собрали в первый день.

12 + 5 кг — клубники собрали во второй день.

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:

12 + (12 + 5).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 29 кг.

Математика — цитаты и афоризмы

Все, что познается, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него.
Пифагор

Все искусства тяготеют к музыке; все науки – к математике.
Джордж Сантаяна

Я ничего не понимала в математике, поэтому мне пришлось думать.
Джоан Робинсон

Он стал поэтом – для математика у него не хватало фантазии.
Немецкий математик Давид Гильберт

Поэт должен видеть то, чего не видят другие. И это же должен и математик.
Софья Ковалевская

Геометрией Лакид занялся поздно; кто то спросил: «Разве теперь время для этого?» – «Неужели еще не время?» – переспросил Лакид.
По Диогену Лаэртскому

Да не войдет сюда ни один из тех, кто не овладел геометрией!
Надпись при входе в Платоновскую академию в Афинах

Между духом и материей посредничает математика.
Хуго Штейнхаус

Математика – это чудо ребенок.
Хуго Штейнхаус

Механика есть рай математических наук.
Леонардо да Винчи

Математика и техника живут в полнейшем согласии и будут жить так и впредь, потому что между ними нет ничего общего.
Приписывается Давиду Гильберту

Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая; она может быть лишь более удобной. И наиболее удобной по прежнему остается эвклидова геометрия.
Анри Пуанкаре

Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие находят дорогу назад.
Хуго Штейнхаус

Математики как французы: все, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это тотчас же становится чем то совершенно иным.
Иоганн Вольфганг Гёте

В математике нет символов для неясных мыслей.
Анри Пуанкаре

Книга высшей математики начинается словами: «Мы знаем».
Илья Ильф

Ум сугубо математический будет правильно работать, только если ему заранее известны все определения и начала, в противном случае он сбивается с толку и становится невыносимым, ибо правильно работает лишь на основе четко сформулированных начал.
Блез Паскаль

Мы не можем понять эту формулу, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее и поэтому знаем, что она должна быть достоверной.
Некий профессор математики об одной из теорем Л. Эйлера

Математика заключает в себе не только истину, но и высочайшую красоту – красоту холодную и строгую, подобную красоте скульптуры.
Бертран Рассел

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.
Славомир Врублевский

Отпечаток перста божия должен выглядеть как знак бесконечности ∞.
Карел Чапек

Арифметику невозможно понять, в нее приходится верить.
Мария Кунцевич

Твердо стойте на своем нежелании вникать в формулы алгебры. В реальной жизни, уверяю вас, никакой алгебры нет.
Фран Лебовиц

«Если… то…» – если это не математика, то это шантаж.
Хенрик Ягодзиньский

Четность составляет сущность штанов.
Корнель Макушиньский

Математика — царица наук.
Карл Фридрих Гаусс

Математика — это доказательство самых очевидных вещей наименее очевидным способом.
Джордж Пойа

Математика — это та часть физики, в которой эксперименты очень дешевы.
Владимир Арнольд

Математика есть гимнастика ума и приготовление к философии.
Исократ

Книга природы написана на языке математики.
Галилео Галилей

Господь сотворил целые числа; остальное — дело рук человека.
Леопольд Кронекер

Чем дольше живет математика, тем более абстрактной — и, возможно, как раз поэтому тем более практичной — она становится.
Эрик Темпл Белл

Математика никогда не имела, не имеет и не будет иметь никаких приложений.
Приписывается Давиду Гильберту

Выпьем за то, чтобы чистая математика всегда оставалась совершенно бесполезной!
Приписывается Генри Джону Смиту

Бог существует — ибо математика непротиворечива; но существует и дьявол — ибо мы не можем доказать ее непротиворечивость.
Андре Вейль

Господь не заботится о наших математических трудностях. Он вычисляет интегралы эмпирически.
Агьберт Эйнштейн

Красота — первый критерий: в мире нет постоянного места для уродливой математики.
Годфри Харолд Харди

Математик — это машина, перерабатывающая кофе в теоремы.
Пауль Эрдёс

Гениальные математики предлагают теорему, талантливые ее доказывают.
Жак Адамар

Математик — это человек, который не только сразу же схватывает чужую мысль, но также видит, из какой логической ошибки она вытекает.
Хельмут Нар

Сегодня не только наши правители не знают математику, но и наши философы — и, более того, наши математики не знают математику.
Роберт Оппенгеймер

В бинарной системе счет ведут не по пальцам, а по кулакам.

При всем своем математическом невежестве я очень рано понял: кто может считать до десяти, может считать до бесконечности, если, конечно, у него хватит на это дурости.
Робертсон Дейвис

Люди делятся на три категории: умеюшие считать и не умеющие считать.
Закон Уинкорна

Добрый христианин должен опасаться математиков и всех ложно пророчествующих. Есть опасность, что математики вступили в сговор с дьяволом, чтобы очернить Бога и ввергнуть человека в ад.
Блаженный Августин

Устройство нашего мира нeпостижимо без знания математики.
Роджер Бэкон

Математику можно описать как дисциплину, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим.
Бертран Рассел

Эта жизнь хороша лишь для двух вещей: узнать о математике и изучать математику.
Симон Пуассон

В каждую эпоху есть несколько великих математиков, а прочих с тем же успехом могло бы и не быть. Прочие полезны как учителя, их ночные труды никому не вредят, но для математики не имеют ни малейшего значения. В математике ты или гений, или никто.
Альфред Адлер

Мы думали: если знаем, что такое «один», то знаем и что такое «два», ведь два — это: один и один. Теперь мы понимаем, что предстоит еще очень много узнать о том, что такое два
сэр Артур Эддингтон
Знаменитый тем, что объяснил теории Эйнштейна англоговорящему миру, Эддингтон также актуализировал в новое время теорему о «бесконечных обезьянах», которые, бесконечно печатая на пишущих машинках, в какой-то момент воссоздадут все тексты книг, хранящихся в британской библиотеке.

Невозможно избавиться от чувства, что математические формулы живут собственной жизнью и обладают собственным разумом, что они умнее нас, умнее даже тех, кто их открыл, что мы получаем из этих формул больше, чем в них было изначально заложено.
Генрих Герц

Математика — это искусство давать одно и то же имя разным предметам.
Анри Пуанкаре

В арифметике этого мира один плюс один равняется всему, а два минус один — ничему.
Миньон Маклафлин

В реальной жизни, поверьте мне, не существует никакой алгебры.
Фран Лейбовиц

Для меня уравнение не имеет никакого смысла, если не выражает мысль Бога.
Шриниваса Рамануджан

Удовольствие, которое мы получаем от музыки, коренится в счете, но в счете неосознанном. Музыка — это неосознанная арифметика, и больше ничего.
Готфрид Лейбниц

Среди крупных математиков могут быть и такие, что не умеют считать.
Новалис

Всякий, кто не может разобраться в математике, — не вполне человек. В лучшем случае — безвредный недочеловек, научившийся носить обувь, мыться и не мусорить в доме.
Роберт Хайнлайн

«Очевидно» — самое опасное слово в математике.
Эрик Темпл Белл

Если математика не кажется людям простой, это лишь потому, что люди не понимают, насколько сложна жизнь.
Джон фон Нейман
Выдающийся математик; участвовал в разработке водородной бомбы и значительно развил те орию сразу нескольких научных дисциплин. Он также был весьма общительным человеком и обожал плотские удовольствияI Его жена однажды сказала, что Нейман умеет считать все, кроме калорий

Труднее всего освоить ту арифметику, которая позволяет нам считать наши счастливые дары.
Эрик Хоффер

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Насколько законы математики приложимы к реальности, они не точны; насколько точны — неприложимы к реальности.
Альберт Эйнштейн

Законы природы — это просто математические выкладки Бога.
Евклид

Если есть Бог, то он — великий математик.
Пол Дирак

Сегодня популярно:

Комментарии:

Шаг 3. Выражения | Репетитор по Математике

Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.

Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.

Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:

Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы. Например, следующие выражения являются буквенными:

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.

Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы  и способность понимать, что там написано. А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи какие-то решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.

Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой. Например, запишем следующее выражение:

a + 5

Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5

a = 5

Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.

Значение переменной a подставляется в исходное выражение.

В результате имеем: 5 + 5 = 10

Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.

В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5. Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.

Значение переменной x подставляется в выражение x + 10

Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.

Вспомните второй урок «Основные операции». Чтобы понять, что такое сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7, и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но мы могли бы понять эту тему и без примера, если бы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с. Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и мы бы сказали, что a и b — это слагаемые, c — сумма.

И вот, имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того, какие числа мы подставим вместо a и b

В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.

Решение:

a + b = c

10 + 6 = 16

Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.

Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия. В учебниках младших классов часто можно встретить задания следующего содержания: выполнить действия, и далее перечисляются примеры, которые нужно решить. Когда перед вами подобное задание, вы сразу должны понимать, что от вас требуют решить пример. В народе это звучит как «решить пример«, но если быть более  грамотным, то надо говорить «найти значение выражения». Решить пример и найти значение выражения это фактически одно и то же.

Например, дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения. Это означает, что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:

10 + 6 = 16

Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.

Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.

Рассмотрим еще примеры:

• 16 это значение выражения 4 × 4, поскольку 4 × 4 = 16
• 20 это значение выражения 10 + 10, поскольку 10 + 10 = 20
• 5 это значение выражения 10 ÷ 2, поскольку 10 ÷ 2 = 5

Философия математики — Высказывания великих людей о математике

1. Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком. (К. Вейерштрасс)

2. Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. (К. Вейерштрасс)

3. Математика — это язык, на котором написана книга природы. (Г. Галилей)

4. Великая книга природы написана математическими символами. (Галилей)

5. Математика – царица наук, арифметика – царица математики. (К.Ф. Гаусс)

6. Математики похожи на французов: что бы вы ни сказали, они все переведут на собственный язык. Получится нечто противоположное. (Иоганн Вольфганг Гете)

7. Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. (И. Гете)

8. Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И. Герцен)

9. Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания. (Давид Гильберт)

10. «Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын)

11. Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.

(Евклид)

12. В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский)

13. Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков. (Моррис Клайн)

14. Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесконечных исключениях. (Феликс Клейн)

15. Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)

16. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

17. В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. (И. Кант)

18. …Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

19. Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни (Л. Карно).

20. Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым. (А.П. Конфорович)

21. Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно, науками сверхъестественными, естественными и неестественными. (Лев Давидович Ландау)

22. Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием. (Готфрид Вильгельм Лейбниц)

23. Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым.(Г. Лейбниц)

24. Химия – правая рука физики, математика – ее глаз. (М.В. Ломоносов)

25. Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)

26. Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оп­тика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов)

27. Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике. (М.В. Ломоносов)

28. Слеп физик без математики. (М.В. Ломоносов)

29. Математика — это язык, на котором говорят все точные науки. (Н.И. Лобачевский)

30. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. (Н.И. Лобачевский)

31. Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое. (И.Л. Лобачевский)

32. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич)

33. Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика. (Огастес де Морган)

34. Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математике дисциплинировать ум. (М.В. Остроградский)

35. Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? (Платон)

36. Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само госу­дарство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться. (Платон)

37. Математическая истина, независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же.

(Блез Паскаль)

38. В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками. (Б. Паскаль)

39. Величие человека — в его способности мыслить. (Б. Паскаль)

40. Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

41. В математике нет символов для неясных мыслей.(Анри Пуанкаре)

42. Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

(А. Пуанкаре)

43. Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы. (Д.И. Писарев)

44. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер)

45. Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому. (Д. Пойа)

46. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! (Д. Пойа)

47. Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. (Д. Пойа)

48. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. (Д.Пойа)

49. Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. (А.С. Пушкин)

50. Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)

51. Счет и вычисления — основа порядка в голове. (Песталоцци)

52. Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. (Бертран Рассел)

53. Если бы я только имел теоремы! Тогда я бы мог бы достаточно легко найти доказательства. (Бернхард Риман)

54. Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна)

55. Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе. (Гертруда Стайн)

56. Умственный труд на уроках математики — пробный камень мышления. (В.А. Сухомлинский)

57. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом. (А. Франц)

58. Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». (Ж. Фурье)

59. Математики похожи на влюбленных — достаточно согласиться с простейшим утверждением математика, как он выведет следствие, с которым вновь придется согласиться, а из этого следствия — еще одно. (Бернар Ле Бовье де Фонтенель)

60. …Математика — это цепь понятий: выпадет одно звенышко — и не понятно будет дальнейшее. (Г. Цейтен)

61. Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они полу­чили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность. (П.Л. Чебышев)

62. Полет – это математика. (В. Чкалов)

63. Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. (В. Шрадер)

64. Математика — самая надежная форма пророчества. (В. Швебель)

65. Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно. (Хуго Штейнгаус)

66. Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, — на невозможности иного изложения. (Хуго Штейнгаус)

67. Между духом и материей посредничает математика. (Хуго Штейнгаус)

68. В математике ум исключительно занят собственными формами познавания — временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом. (А. Шопенгауэр)

69. Доказательство — это рассуждение, которое убеждает. (Ю.А. Шиханович)

70. Как и другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и их механики. (Ф. Энгельс)

71. Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни од­ной. (А. Эйнштейн)

72. Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру. (Альберт Эйнштейн)

73. Математик уже кое-что может, но, разумеется, не то, что от него хотят получить в данный момент. (Альберт Эйнштейн)

74. Математика — это единственный совершенный метод водить самого себя за нос. (Альберт Эйнштейн)

75. С тех пор как за теорию относительности принялись математики, я ее уже сам больше не понимаю. (Альберт Эйнштейн)

76. Существует поразительная возможность овладеть предметом математически, не поняв существа дела. (Альберт Эйнштейн)

77. Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер)

Высказывания о математике — Крылатые фразы

Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.

*****

Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

*****

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.

*****

Математика — это язык, на котором написана книга природы.

*****

Математика — единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос.

*****

Математика – гимнастика ума.

*****

Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного.

*****

Математика — царица и служанка наук.

*****

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

*****

Математика для учёного – то же самое, что скальпель для анатома.

*****

Математика полезна тем, что она трудна.

*****

Поэт должен видеть то, чего не видят другие. И это же должен и математик.

*****

Математика – это больше чем наука, это язык науки.

*****

Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом.

*****

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.

*****

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней математики.

*****

Математика – это вид умственной деятельности, а не свод точных знаний.

*****

Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам.

*****

Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным.

*****

Все искусства тяготеют к музыке; все науки – к математике.

*****

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

*****

Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости.

*****

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.

*****

Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.

*****

Математика заключает в себе не только истину, но и высочайшую красоту – красоту холодную и строгую, подобную красоте скульптуры.

*****

У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.

*****

Математика — самая надежная форма пророчества.

*****

Устройство нашего мира непостижимо без знания математики.

*****

Между духом и материей посредничает математика.

*****

Математик — это машина, перерабатывающая кофе в теоремы.

Разница между выражением и уравнением

Однако, если он не содержит знак равенства (=), то это просто выражение . Он несет числа, переменные и операторы, которые используются, чтобы показать ценность чего-либо. Прочтите эту статью, чтобы понять основные различия между выражением и уравнением.

Сравнительная таблица

Основа для сравнения	выражение	Уравнение
Имея в виду	Выражение — это математическая фраза, которая объединяет числа, переменные и операторы, чтобы показать ценность чего-либо.	Уравнение — это математическое утверждение, в котором два выражения заданы равными друг другу.
Что это?	Фрагмент предложения, обозначающий одно числовое значение.	Предложение, которое показывает равенство между двумя выражениями.
Результат	упрощение	Решение
Символ отношения	нет	Да, знак равенства (=)
Стороны	Односторонний	Двусторонний, левый и правый
Ответ	Численная величина	Утверждение, то есть истина или ложь.
пример	7x — 2 (3x + 14)	7x — 5 = 19

Определение выражения

В математике выражение определяется как фраза, которая группирует числа (константы), буквы (переменные) или их комбинации, объединенные операторами (+, -, *, /), для представления значения чего-либо. Выражение может быть арифметическим, алгебраическим, полиномиальным и аналитическим.

Поскольку он не содержит знака равенства (=), он не показывает никаких отношений. Следовательно, он не имеет ничего общего с левой или правой стороной. Выражение можно упростить, комбинируя подобные термины, или его можно оценить, вставив значения вместо переменных, чтобы получить числовое значение. Примеры : 9x + 2, x — 9, 3p + 5, 4m + 10

Определение уравнения

В математике термин уравнение означает утверждение равенства. Это предложение, в котором два выражения помещены равными друг другу. Чтобы удовлетворить уравнение, важно определить значение соответствующей переменной; это известно как решение или корень уравнения.

Уравнение может быть условным или тождественным. Если уравнение является условным, то равенство двух выражений верно для определенного значения участвующей переменной. Однако, если уравнение является тождественным, то равенство истинно для всех значений, содержащихся в переменной. Существует четыре типа уравнений, которые обсуждаются ниже:

• Простое или линейное уравнение : уравнение называется линейным и представляет собой наибольшую степень рассматриваемой переменной в 1.
  Пример : 3x + 13 = 8x — 2
• Одновременное линейное уравнение : при наличии двух или более линейных уравнений, содержащих две или более переменных.
  Пример : 3x + 2y = 5, 5x + 3y = 7
• Квадратичное уравнение . Когда в уравнении наибольшая степень равна 2, оно называется квадратным уравнением.
  Пример : 2×2 + 7x + 13 = 0
• Кубическое уравнение . Как следует из названия, кубическое уравнение — это уравнение степени 3.
  Пример : 9×3 + 2×2 + 4x -3 = 13

Ключевые различия между выражением и уравнением

Точки, приведенные ниже, суммируют важные различия между выражением и уравнением:

1. Математическая фраза, которая группирует числа, переменные и операторы, чтобы показать значение чего-либо, называется выражением. Уравнение описывается как математическое утверждение с двумя выражениями, равными друг другу.
2. Выражение — это фрагмент предложения, который обозначает одно числовое значение. Напротив, уравнение — это предложение, показывающее равенство между двумя выражениями.
3. Выражение упрощается посредством оценки, где мы подставляем значения вместо переменных. И наоборот, уравнение решено.
4. Уравнение обозначается знаком равенства (=). С другой стороны, в выражении нет символа отношения.
5. Уравнение двустороннее, где знак равенства разделяет левую и правую стороны. В отличие от выражения является односторонним, не существует разграничения, как левой или правой стороны.
6. Ответом выражения является либо выражение, либо числовое значение. В отличие от уравнения, которое может быть только истинным или ложным.

Заключение

Следовательно, из приведенного выше объяснения ясно, что существует большая разница между этими двумя математическими понятиями. Выражение не показывает никакой связи, в то время как уравнение делает Уравнение содержит «знак равенства», поэтому оно показывает решение или в конечном итоге представляет значение переменной. Однако в случае выражения знак равенства отсутствует, поэтому нет определенного решения и в конечном итоге не может быть отображено значение соответствующей переменной.

Упрощение выражений — уловки и примеры

Умение упрощать выражения — самый важный шаг в понимании и овладении алгеброй. Упрощение выражений — удобный математический навык, потому что он позволяет нам преобразовывать сложные или неудобные выражения в более простые и компактные формы. Но перед этим мы должны знать, что такое алгебраическое выражение.

Алгебраическое выражение — это математическая фраза, в которой переменные и константы объединяются с помощью рабочих символов (+, -, × & ÷).Например, 10x + 63 и 5x — 3 являются примерами алгебраических выражений.

В этой статье мы узнаем несколько уловок на , как упростить любое алгебраическое выражение.

Как упростить выражения?

Упрощение алгебраического выражения можно определить как процесс записи выражения в наиболее эффективной и компактной форме без изменения значения исходного выражения.

Процесс влечет за собой сбор одинаковых терминов, что подразумевает добавление или вычитание терминов в выражении.

Напомним некоторые важные термины, используемые при упрощении выражения:

• Переменная — это буква, значение которой неизвестно в алгебраическом выражении.
• Коэффициент — это числовое значение, используемое вместе с переменной.
• Константа — это член, имеющий определенное значение.
• Подобные термины — это переменные с одинаковой буквой и мощностью. Подобные термины могут иногда содержать разные коэффициенты. Например, 6x ² и 5x ² похожи на термины, потому что у них есть переменная с аналогичным показателем степени.Точно так же термины 7yx и 5xz отличаются, потому что каждый член имеет разные переменные.

Чтобы упростить любое алгебраическое выражение, следующие основные правила и шаги:

• Удалите любой символ группировки, такой как квадратные скобки, путем умножения множителей.
• Используйте правило экспоненты, чтобы удалить группировку, если термины содержат экспоненты.
• Объедините одинаковые члены путем сложения или вычитания
• Объедините константы

Пример 1

Упростите 3 x ² + 5 x ²

Решение

Так как оба члена в выражении имеют одинаковые показатели степени, мы их объединяем;

3 x ² + 5 x ² = (3 + 5) x ² = 8 x ²

Пример 2

Упростить выражение : 2 + 2x [2 (3x + 2) +2)]

Решение

Сначала вычислите любые термины в скобках, умножив их;

= 2 + 2x [6x + 4 +2] = 2 + 2x [6x + 6]

Теперь удалите круглые скобки, умножив любое число вне его;

2 + 2x [6x + 6] = 2 + 12x ² + 12x

Это выражение можно упростить, разделив каждый член на 2 как;

12x ² /2 + 12x / 2 + 2/2 = 6 x ² + 6x + 1

Пример 3

Упростить 3 x + 2 ( x — 4)

Решение

В этом случае невозможно объединить термины, если они все еще заключены в круглые скобки или какой-либо знак группировки. Поэтому удалите скобку, умножив любой множитель вне группы на все члены внутри нее.

Следовательно, 3 x + 2 ( x — 4) = 3 x + 2 x — 8

= 5 x — 8

Если перед группой стоит знак минус , это обычно влияет на все операторы в круглых скобках. Это означает, что знак минус перед группой изменит операцию сложения на вычитание и наоборот.

Пример 4

Упростить 3 x — (2 — x )

Решение

3 x — (2 — x ) = 3 x + (- 1) [2 + (- x )]

= 3 x + (–1) (2) + (–1) (- x )

= 3 x — 2 + x

= 4 x — 2

Однако, если перед группировкой стоит только знак «плюс», скобки просто стираются.

Например, , чтобы упростить 3 x + (2 — x ), скобки удаляются, как показано ниже:

3x + (2 — x) = 3x + 2 — x

Пример 5

Упростить 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 — 3x

Решение

15x — 5 + x (x) + 8 — 3x

15x — 5 + x ² + 8 — 3x.

Теперь объедините одинаковые термины, добавляя и вычитая их;

x ² + (15x — 3x) + (8-5)

x ² + 12x + 3

Пример 6

Упростить x (4 — x) — x (3 — x)

Решение

x (4 — x) — x (3 — x)

4x — x ² — x (3 — x)

4x — x ² — (3x — x ² )

4x — x ² — 3x + x ² = x

Математика для 7-го класса — Раздел 3: Числовые и алгебраические выражения

Краткое описание агрегата

В Модуле 3 ученики седьмого класса объединяют несколько предшествующих навыков, чтобы преобразовать выражения в различные эквивалентные формы.В предыдущем разделе студенты оперировали и рассуждали с помощью положительных и отрицательных рациональных чисел. В этом модуле они используют эти новые навыки для расширения, разложения, сложения и вычитания числовых и алгебраических выражений. Студенты обращают особое внимание на структуру выражений, чтобы лучше понять, что означает выражение и как им можно управлять (Стандарт для математической практики 7). Студенты также сталкиваются с подлинными многоступенчатыми задачами из реального мира, которые требуют стратегического использования рациональных чисел и оценок, где это необходимо.

В шестом классе ученики узнали, как правила арифметики применимы и к алгебраическим выражениям. Они научились расширять и множить выражения, используя свойство распределения, и они объединили термины, в которых переменные совпадают. Обладая новыми знаниями о системе счисления, учащиеся переходят от работы с выражениями типа $$ {5 (6x + 3y)} $$ в шестом классе к работе с рациональными числами, например $$ {- (a + b) — \ frac { 3} {2} (ab)} $$ в седьмом классе.

Следующий блок для седьмого класса, блок 4, «Уравнения и неравенства», будет продолжать привлекать учащихся к работе с выражениями с рациональными числами.В восьмом классе ученики будут работать с выражениями и уравнениями как с одной переменной, так и с двумя переменными, решая отдельные линейные уравнения и системы линейных уравнений. На протяжении всей будущей работы с выражениями способность студентов искать и использовать структуру в выражениях будет так же важна, как и их способность работать с ними процедурно.

Темп: 15 учебных дней (11 уроков, 3 гибких дня, 1 контрольный день)

Чтобы узнать, как изменить темп на 2021–2022 учебный год, см. Наши рекомендации по корректировке объема и очередности занятий в 7-м классе.п \] \ конец {документ}

Открыть этот пример на обороте

Как видите, способ отображения уравнений зависит от разделителя, в данном случае \ [... \] и \ (... \) .

LaTeX допускает два режима записи математических выражений: встроенный математический режим и математический режим display :

• встроенный математический режим используется для записи формул, которые являются частью абзаца
• дисплей математический режим используется для записи выражений, которые не являются частью абзаца и поэтому помещаются в отдельные строки

Встроенный математический режим

Вы можете использовать любой из этих «разделителей» для набора математических формул в встроенном режиме:

• \ (. 2 \ end {math}, открытый в 1905 году Альбертом Эйнштейном. \ end {quote} \ конец {документ}

  Открыть этот пример на обороте

  
  

  Отображение математического режима

  Используйте одну из этих конструкций для набора математических вычислений в режиме отображения:

  • \ [... \]
  • \ begin {displaymath} ... \ end {displaymath}
  • \ begin {уравнение} ... \ end {уравнение}

  Математический режим отображения имеет две версии, которые создают нумерованные или ненумерованные уравнения.2 \] открытый в 1905 году Альбертом Эйнштейном. В натуральных единицах ($ c $ = 1) формула выражает тождество \ begin {уравнение} E = m \ end {уравнение} \ конец {документ}

  Открыть этот пример на обороте

  
  

  В следующем примере используется среда формула * , которая предоставляется пакетом amsmath - дополнительную информацию см. 2 + 1} \) внутри текста.2 + 1} \ end {уравнение *} \ конец {документ}

  Открыть этот пример на обороте

  Ниже представлена ​​таблица с некоторыми общими математическими символами. Для более полного списка см. Список греческих букв и математических символов:

  Различные классы математических символов характеризуются разным форматированием (например, переменные выделены курсивом, а операторы - нет) и разным интервалом.

  Математический режим в LaTeX очень гибкий и мощный, с его помощью можно сделать гораздо больше:

  упрощающих выражений | Блестящая вики по математике и науке

  «Подобные термины» относятся к терминам, переменные которых одинаковы, но могут иметь разные коэффициенты.Например, термины 2xy 2xy2xy и 5xy5xy5xy похожи, поскольку имеют одинаковую переменную xyxyxy. Термины 2xy 2xy2xy и 2x2x2x не похожи.

  Объединение одинаковых терминов означает сложение (или вычитание) одинаковых терминов вместе, чтобы получился только один термин.

  Что такое 2xy + 5xy 2xy + 5 xy 2xy + 5xy?

  ---

  Поскольку 2xy2xy2xy и 5xy5xy5xy похожи на термы (с переменной xyxyxy), мы можем сложить их коэффициенты вместе, чтобы получить 2xy + 5xy = (2 + 5) xy = 7xy 2xy + 5xy = (2 + 5) xy = 7 xy. 2xy + 5xy = (2 + 5) xy = 7xy.2 -а -7. \ _ \ квадрат (2a3 + a3) −4a2 + (a − 2a) - (5 + 2) = 3a3−4a2 − a − 7. □

  При сложении и вычитании многочленов в дробной форме сначала найдите общий знаменатель каждого члена.

  Упростим 3a − 12 − a + 24. \ frac {3a - 1} {2} - \ frac {a + 2} {4}. 23a − 1 −4a + 2.

  ---

  У нас

  3a − 12 − a + 24 = (3a − 12 × 22) −a + 24 = (6a − 2) - (a + 2) 4 = 5a − 44. □ \ begin {align} \ frac {3a - 1} {2} - \ frac {a + 2} {4} & = \ left (\ frac {3a - 1} {2} \ times \ frac {2} {2} \ right) - \ frac {a + 2} {4} \\ & = \ frac {(6a - 2) - (a + 2)} {4} \\ & = \ frac {5a - 4} {4}.\ _\квадратный \ end {выровнен} 23a − 1 −4a + 2 = (23a − 1 × 22) −4a + 2 = 4 (6a − 2) - (a + 2) = 45a − 4. □

  рабочих примеров алгебраических выражений - ChiliMath

  Не существует единой стратегии для перевода математических фраз в алгебраические выражения. Если вы помните основы, вы сможете решать более сложные задачи. Просто убедитесь, что вы можете обосновать, как вы придумали собственное алгебраическое выражение, и, что более важно, чтобы оно было для вас осмысленным.При необходимости всегда обращайтесь за помощью к учителям или сотрудничайте с одноклассниками, чтобы вы могли проверить свои ответы.

  Чтобы развить ваши навыки написания алгебраических выражений, мы рассмотрим различные способы того, как каждая операция может отображаться в задаче как слово или фраза. Четыре задействованные арифметические операции - это сложение, вычитание, умножение и деление.

  Ключевые слова для дополнения

  Ключевые слова для вычитания

  Ключевые слова для умножения

  Ключевые слова для раздела

  ---

  Пришло время рассмотреть несколько примеров, чтобы попрактиковаться в написании алгебраических выражений. Разделяю примеры на два:

  • Основные примеры алгебраических выражений
  • Примеры алгебраических выражений, состоящих из нескольких частей

  ---

  Примеры основных алгебраических выражений

  Пример 1: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «сумма числа и четырех».

  Решение: Слово «сумма» сразу дает нам подсказку, которую мы собираемся здесь добавить. Обратите внимание, что мы хотим сложить две величины: одно неизвестное число и число 4.Поскольку мы не знаем, какое значение имеет число, мы можем использовать переменную для его представления. Вы можете использовать любые буквы алфавита. В этом случае давайте договоримся использовать y в качестве переменной.

  Когда мы складываем переменные y и 4, получаем y + 4. Также можно записать свой ответ как 4 + y, потому что сложение коммутативно, то есть изменение порядка сложения не меняет его сумму.

  Окончательный ответ - y + 4.

  ---

  Пример 2: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «10, умноженные на число».

  Решение: Ключевые слова «увеличено на» подразумевают добавление. Это означает, что неизвестное число было добавлено к 10. Используя букву k в качестве переменной, мы можем перевести приведенное выше утверждение как 10 + k. Поскольку сложение коммутативно, мы можем переписать его как k + 10. Любой из двух вышеупомянутых является правильным ответом.

  Окончательный ответ: k + 10.

  ---

  Пример 3: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «разность единицы и числа».

  Решение: Слово «разница» предполагает, что мы собираемся вычесть.Кроме того, когда вы встретите это математическое слово (разница), обязательно обратите внимание на порядок. Сначала идет число 1, затем идет неизвестное число. Это означает, что число 1 - это уменьшаемое, а неизвестное число - это вычитаемое. Если мы решим использовать букву x в качестве переменной, ответ будет 1 - x.

  Окончательный ответ - 1 - х.

  ---

  Пример 4 : Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «число меньше 8».

  Решение: Будьте очень осторожны с ключевыми словами «меньше чем».Первая величина, которая стоит перед ключевыми словами «меньше», то есть «число», - это вычитаемое. В то время как количество, которое идет после него, становится уменьшаемым.

  Другими словами, мы собираемся вычесть неизвестное число из числа 8. Если мы выберем в качестве нашей переменной букву a, мы получим 8 - a.

  Окончательный ответ 8 - а.

  ---

  Пример 5: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «произведение 5 и числа».

  Решение : Чтобы найти произведение двух величин или значений, это означает, что мы умножим их вместе.Выбрав букву m в качестве нашей переменной, алгебраическое выражение для этой математической фразы будет просто 5 m . Это означает 5 раз больше неизвестного числа m .

  Окончательный ответ 5м.

  ---

  Пример 6: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «дважды число».

  Решение: Слово «дважды» означает, что мы собираемся что-то удвоить. В этом случае мы хотим удвоить неизвестное значение или количество.Пусть буква d будет неизвестным числом, удвоив ее, мы получим алгебраическое выражение 2d.

  Окончательный ответ - 2d.

  ---

  Пример 7: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «частное числа и 7».

  Решение: Ключевое слово «частное» означает, что мы выполняем операцию деления. Мы разделим неизвестное число на 7. Выбрав букву w в качестве переменной, математическая фраза выше может быть выражена как алгебраическое выражение ниже.

  \ LARGE {w \ over 7}

  ---

  Пример 8: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «отношение 10 к числу».

  Решение: Точно так же слово «соотношение» означает деление. Порядок здесь очень важен. Первая величина - это число 10, а вторая величина - неизвестное число. Это означает, что 10 делится на неизвестное число. Пусть c будет неизвестным числом, алгебраическое выражение для математической фразы выше может быть записано как

  \ LARGE {10 \ over c}

  ---

  Примеры составных алгебраических выражений

  На этот раз мы будем иметь дело с более сложными математическими фразами.Алгебраические выражения здесь могут содержать две или более операций. Основные ключевые слова, которые мы выучили ранее, будут служить в качестве основы при работе над более сложными математическими фразами, которые можно интерпретировать в алгебраические выражения.

  Пример 1 : Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «3 более чем в два раза больше».

  Решение: Чтобы упростить понимание, мы разделим эту фразу на две части. Во-первых, узнайте, что у нас есть неизвестный номер.Мы можем изобразить его любыми буквами алфавита. Пусть неизвестным числом будет переменная x. Приведенная ниже диаграмма должна помочь нам понять, что происходит на самом деле.

  Если задуматься, существует неизвестное число, представленное переменной x, которое удваивается или умножается на 2. Каким бы ни был продукт, мы добавим к нему 3. Итак, наш окончательный ответ должен выглядеть так, как показано ниже.

  Окончательный ответ - 2x + 3.

  ---

  Пример 2: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «разница между половиной числа и 10 ″.

  Решение: Предположим, что переменная y - неизвестное число. Ключевое слово «разница» подсказывает нам, что мы собираемся выполнить вычитание. Здесь очень важно обратить внимание на порядок вычитания. После слова «разница» следует ожидать две величины. Первый будет уменьшенным, а второй - вычитаемым. Взгляните на схему ниже.

  Ссылаясь на диаграмму выше, мы вычтем первое количество на второе.Другими словами, второе количество вычитается из первого количества. Окончательный ответ на математическую фразу должен выглядеть примерно так:

  ---

  Пример 3: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «на 7 меньше произведения числа и 6».

  Решение: Мы знаем, что «меньше чем» предполагает операцию вычитания. Но здесь нам нужно быть немного осторожными, потому что порядок вычитания важен. Предположим, что неизвестное число представлено переменной k.Давайте поместим это на диаграмму, чтобы разобраться в этом.

  Собственно, эту математическую фразу можно переписать как

  "произведение числа и 6 минус 7"

  «7 меньше чем» означает «минус 7» от описываемого количества, которое в данном случае «произведение числа на 6». Вот окончательная интерпретация математической фразы в алгебраическом выражении:

  6к-7

  ---

  Пример 4: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «среднее значение числа и 4».

  Решение: Чтобы начать работу с этой конкретной математической фразой, нам нужно проверить, что означает слово «средний». Чтобы вычислить среднее или среднее двух или более чисел, нам нужно будет сложить все числа, чтобы получить сумму, а затем разделить ее на количество записей или количество чисел. Если мы позволим m быть переменной для представления неизвестного числа, математическая фраза выше может быть выражена в алгебраических выражениях как,

  \ LARGE {{m + 4} \ over 2}

  ---

  Пример 5: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «частное 1 и 1, уменьшенное на число».

  Решение: ключевое слово «частное» означает, что мы будем делить. В этом случае мы хотим разделить число 1 на количество 1, уменьшенное на число. Ниже приведено алгебраическое выражение, которое может представлять математическую фразу выше. Пусть a будет неизвестным числом.

  ---

  Пример 6: Напишите алгебраическое выражение для математической фразы «треть квадрата числа, увеличенная на 2 ″.

  Решение: Здесь происходит несколько вещей. Во-первых, часть фразы, в которой говорится «треть квадрата числа», можно интерпретировать как «квадрат числа, деленный на 3».Нам нужно будет увеличить неизвестное число на 2, а затем разделить на 3. Предположим, что неизвестное число равно t, получаем

  .

  Мы еще не закончили. Последний шаг, который нужно сделать, - это добавить количество, указанное выше, на 2, чтобы включить оставшуюся часть фразы «увеличено на 2». Итак, вот окончательное представление данной математической фразы.

  ---

  Возможно, вас заинтересует:

  Алгебраические выражения

  Задачи с алгебраическими предложениями

  Темы по алгебре: Написание алгебраических выражений

  Урок 6: Написание алгебраических выражений

  / ru / algebra-themes / чтение-алгебраические-выражения / содержание /

  Введение

  Если вы изучаете алгебру в школе или готовитесь к тесту, вы, вероятно, заметили, что многие задачи просят вас перевести письменных слов в алгебраических выражений . Другими словами, есть словарных задач .

  В некоторых задачах со словами есть детали из реальной жизни - почти как в рассказе. Другие простые, вроде описания математической задачи. Мы начнем с простых задач со словами, а затем перейдем к чуть более сложным.

  Написание простых выражений

  Прежде чем вы сможете решать сложные задачи со словами, вам нужно знать, как переводить простые задачи в алгебру. Обычно это делается путем замены слов операторами , которые означают то же самое.Так, например, четыре, разделенные на x , могут быть 4 ÷ x . ÷ и / - это всего лишь два способа записать , разделенные на .

  Слова, обычно используемые в задачах алгебры

  Вот некоторые из наиболее часто встречающихся математических слов:

  Многие из них, вероятно, знакомы вам в повседневном разговоре. Например:

  • 3 больше 2 равно 3 + 2 .
  • В два раза больше может быть записано как 2 ⋅ x или 2 x .
  • Вы когда-нибудь делили чек между тремя людьми? Вы можете представить сумму чека с помощью переменной c и записать эту ситуацию как c / 3 .

  Написание составных алгебраических выражений

  Некоторые выражения немного сложнее тех, которые мы рассмотрели на предыдущей странице. Например, некоторые выражения включают более одной математической операции. Возьмем, к примеру, это:

  Пять умноженных на четыре и два

  Если бы вы переводили это слово в слово, вы бы заменили слово time s на символ умножения (⋅) и поставили бы знак плюс (+) между четырьмя и двумя.Ваше выражение лица будет выглядеть так:

  5 ⋅ 4 + 2

  Однако это не даст нам правильного ответа. Это связано с тем, что порядок операций требует, чтобы вы сначала умножили 5 на 4, а затем прибавили 2. Однако наше письменное выражение просит нас умножить 5 на сумму из 4 и 2. Другими словами, нам нужно сложить Сначала 4 и 2, затем умножьте это число на 5.

  Если вы знакомы с алгебраической нотацией, то знаете, что скобок полезны в подобных случаях - они позволяют группировать часть выражения и решать ее отдельно от остальных.Здесь мы можем использовать их для группировки 4 и 2 - добавляемых чисел.

  5 ⋅ (4 + 2)

  Это правильный способ написать выражение. Исходя из порядка операций , всегда сначала решайте операции в круглых скобках. Здесь вы должны сложить 4 + 2, а затем умножить эту сумму на 5 - другими словами, это именно то, что было написано в исходном выражении.

  / ru / algebra-themes / упрощающие-выражения / content /

  12 способов попрактиковаться в написании математических выражений

  Если вы учитель, то, вероятно, слышали, как ученик поднимал руку и спрашивал вас: «Когда мы когда-нибудь будем использовать это в реальной жизни?» Я не собираюсь врать, мне уже задавали этот вопрос по математике, и у меня не было четкого, конкретного ответа. Но позвольте мне сказать вам, что если студент задаст вам этот вопрос, когда учится писать выражения, вы будете готовы ответить!

  Запись выражений с переменными - это когда вы пишете уравнение с буквой, обозначающей неизвестное число (CCSS 6.EE.B.6). Сложная часть и реальное приложение - это написать уравнение из слов. Раньше я сталкивался с проблемами, когда мне приходилось серьезно думать, чтобы убедиться, что мой ответ правильный.

  Этот навык применим в повседневной жизни, потому что многие НАСТОЯЩИЕ проблемы решаются путем написания выражений с переменными.Студенты должны понимать математический словарь, чтобы добиться успеха, а также понимать, как конкретные слова влияют на отношения между числами.

  Самое важное, что вы можете дать своим ученикам, - это практика, и я здесь, чтобы дать вам список, которым вы можете воспользоваться. Вы сильный учитель и знаете, как использовать учебную программу для обучения своих учеников. Эти различные видео и задания предназначены для вас, чтобы каждый ученик в вашем классе мог стать опытным писателем выражений !!

  Деятельность :

  Когда я нахожу отличный ресурс, я стараюсь хранить его в надежном месте, чтобы я мог использовать его в течение многих лет, а это тот, который вы захотите сохранить! Квест «Написание выражений» предназначен для учащихся, которые могут весело и творчески практиковать навыки, которым вы их научили.

  Одна из причин, по которой мне так нравится эта квестовая комната, заключается в том, что по мере решения каждой головоломки проблемы становятся немного сложнее. Например, если у меня есть 15 из 20 студентов, которые поднимают руки в поисках помощи по первому декодеру, я знаю, что мне нужно дать моему классу более прямые инструкции.

  С другой стороны, если трое студентов борются, я могу собрать их в группу и поработать с ними. Я обнаружил, что это задание дает мне точные данные, если ученики работают над ним самостоятельно.Три кода доступа показывают мне, кому нужно больше практики и кто готов принять вызов.

  Вы уже пробовали квест с цифровой математикой? Учителя и студенты в восторге от них! Чтобы узнать, о чем идет речь, нажмите на ссылку ниже, напишите письмо, и мы отправим вам БЕСПЛАТНУЮ комнату для побега по цифровой математике!

  Эта квест-комната построена в Google Slides и содержит 3 головоломки: одну для объединения одинаковых терминов, одну для распределительных свойств и последнюю для решения двухэтапных уравнений. Возьмите свой сегодня!

  Требуется большая концентрация, чтобы понять, что кто-то имеет в виду в словесном описании, особенно когда дело касается математики. Игра «Написание выражений на основе словесных описаний» - это увлекательный способ для учащихся показать вам, что они понимают.

  Я встречал очень мало шестиклассников, которым не нравится играть в игры в классе. Мне нравится смешивать вещи, когда я играю со своими учениками в игры всего класса, например, игры на выбывание. Иногда я объясню призы для трех лучших победителей перед тем, как мы начнем, иногда я сохраняю это в тайне.Я делаю свои призы простыми: наклейка, карандаш, корзина для призов, дополнительные баллы за оценивание, домашнее задание и т. Д. Цель состоит в том, чтобы мотивировать ваших учеников, не перегружая свою тарелку дополнительной работой.

  Поскольку эти стандарты могут быть трудными, я стараюсь предоставить своим ученикам как можно больше возможностей для разговоров по математике. Лабиринт с письменными выражениями - отличный способ включить разговоры по математике в моем классе.

  Обычно я люблю использовать лабиринты для самостоятельного задания, но мне нравится использовать этот для партнерской работы.Поскольку лабиринт дает вам задачу, а затем два варианта, я хочу, чтобы мои ученики обсудили, какой вариант правильный и почему.

  Вы можете установить границы как хотите, но вот две идеи. Раздайте каждой паре рабочий лист и белые доски. Начиная с первого квадрата, каждый ученик должен будет обосновать, какой ответ он считает правильным и почему. Мне нравится, когда студенты записывают свои объяснения, потому что я могу физически видеть, о чем они думают, и никто не может ответить: «Я согласен с вами.”

  Другой вариант - попросить учащихся пройти лабиринт вместе, но по очереди, кто выбирает ответ. Это позволяет учащимся действительно использовать математическую беседу для обоснования своего выбора, и это не займет столько же времени, сколько записывать свои мысли. Если вы можете придумать другой способ использовать лабиринт с партнерами, попробуйте его и сообщите нам!

  Math-aids.com часто помогает мне в последнюю минуту, потому что вы можете настроить то, что находится на листе, И он дает вам ключ для ответа.Единственное, что могло бы улучшить его, было, если бы оно было бесплатным, подождите, это так! Я создал три разных листа, которые вы можете распечатать для своих учеников.

  В легком варианте есть 10 задач с простыми словесными описаниями выражений. Это был бы отличный ресурс для предварительного тестирования или для студентов, которым нужна дифференциация. На рабочем листе среднего размера есть 10 задач, которые становятся немного более сложными. В описании есть два рабочих слова, поэтому студентам действительно необходимо понимать словарный запас.Трудный рабочий лист содержит 10 сложных задач для учащихся, которых нужно подтолкнуть.

  Хотя написание математических выражений из описаний может показаться простым делом, учащимся нужно много шансов попрактиковаться в этом навыке. Лабиринты письменных выражений, приведенные выше, предназначены для того, чтобы помочь студентам переводить математическую речь в математические выражения. Но когда студентам нужно больше практики в переводе реальных ситуаций в выражения, эти 3 лабиринта дают им необходимую практику.

  Эти лабиринты просты в использовании на уроках - просто распечатайте и вперед.Или, если вам нужен цифровой вариант, в Google Slides есть интерактивные лабиринты, в которых учащиеся просто перетаскивают стрелки, чтобы отмечать свой путь. Мне больше всего нравится использовать эти лабиринты в качестве разминки, но они также отлично подходят для партнерских тренировок и математических станций.

  Этот рабочий лист по математике с меню из четырех частей доступен бесплатно на сайте Teachers Pay Teachers из Snippets from Sixth. Учащиеся пишут выражение с переменными на основе утверждений о людях, заказывающих фаст-фуд.На следующей странице содержатся те же инструкции, но учащимся также необходимо упростить выражение. Третья страница добавляет дополнительный шаг: найти общую сумму заказа. На последней странице учащимся дается выражение, и они придумывают собственное описание.

  Вы можете использовать эти страницы по-разному и в вашем подразделении. Мне нравится идея использовать эти страницы для обзора Target Game. Если вы никогда раньше не играли, посмотрите предыдущий пост о том, как легко использовать его в классе.Просто задайте несколько вопросов, которые вам нравятся, из этого задания, и у вас будет веселая и новая игра для ваших учеников!

  Я нашел еще один БЕСПЛАТНЫЙ ресурс по Учителям, которые платят учителям, которые можно легко объединить с Меню Математики. Этот набор карточек с заданиями по написанию алгебраических выражений от Raise the Rigor содержит 12 реальных жизненных ситуаций. Есть множество способов использовать карточки с заданиями в классе, поэтому я просто дам вам несколько идей!

  Эти карточки задач - еще один фантастический ресурс, который можно использовать для обзора Target Game. Покажите карты на себе, чтобы все увидели, и добавьте еще один раунд к соревнованию. Или вы можете использовать эти карты для игры «Выбери карту». Эту игру можно использовать для обзора, не занимая много времени в классе, и вам нужно очень немного подготовиться.

  Если вам посчастливилось иметь в комнате помощника или другого учителя, вы можете разделить класс пополам и сыграть в обе игры. Я обнаружил, что когда ученики работают индивидуально в небольших группах, я могу помочь им уловить и исправить свои ошибки, которые они продолжают делать.Как бы вы ни решили использовать эти карточки с заданиями, я знаю, что ваши ученики станут более уверенными в своих силах.

  Mashup Math содержит 3-минутное видео, в котором учащиеся решают задачу написания алгебраических выражений. Как всегда, вопросы, на которые нужно ответить с помощью видео, помогут вашим ученикам обратить внимание и получить из клипа то, что им нужно.

  • Что нас просит сделать этот вопрос?
  • Какая первая часть написанного им выражения? Что ему подсказало написать это?
  • Что он сделал, чтобы ответить на вторую часть вопроса?

  После просмотра видео и обсуждения вопросов я люблю писать на доске шаги, чтобы мои ученики могли ссылаться на них во время практики. Вот несколько вопросов, которые вы можете использовать для ведения этого разговора:

  • Что он первым сделал на видео?
  • Как он узнал, что писать в первой части уравнения?
  • Откуда он знал, что писать во второй части уравнения?
  • Что вы заметили в том, как он подошел к этой проблеме?
  В

  Mashup Math также есть еще два видео, которые я храню в своем наборе инструментов, поэтому, конечно же, я хотел бы поделиться ими с вами! Ролик «Сложение и вычитание» длится 3 минуты и начинается с объяснения взаимосвязи этих операций.Затем он перебирает слова и фразы, связанные со сложением и вычитанием. Вот несколько вопросов для ваших учеников:

  • Опишите взаимосвязь между сложением и вычитанием.
  • Какие слова или фразы означают «добавить»?
  • Вы можете придумать еще 3?
  • Какие слова или фразы означают «вычесть»?
  • Вы можете придумать еще 3?

  Когда дело доходит до текстовых задач, я стараюсь дать своим ученикам как можно больше ресурсов, чтобы помочь им добиться успеха. Мне нравится, что есть видео, в котором конкретно рассказывается о словах и фразах, связанных с сложением и вычитанием. После просмотра этого ролика рекомендую составлять якорную таблицу слов и словосочетаний для каждой операции. Оставьте их в классе на следующие несколько недель, пока ваши ученики продолжают заниматься.

  Видео об умножении и делении очень похоже, но у меня есть несколько других вопросов для вас:

  • Опишите взаимосвязь между умножением и делением без , используя слово «противоположное».
  • Какие слова или фразы означают «умножение»?
  • Вы можете придумать еще 3?
  • Какие слова или фразы означают «разделение»?
  • Вы можете придумать еще 3?

  После обсуждения этого набора вопросов повторите тот же процесс, чтобы создать еще две диаграммы привязки для слов и фраз. Если у вас нет места на стене, сделайте копию, которую можно будет скопировать и раздать каждому учащемуся.

  Мое последнее задание для вас - это головоломка «Написание алгебраических выражений» от «Учителя платят учителям». У Лизы Давенпорт есть БЕСПЛАТНЫЙ ресурс в своем магазине, и это была отличная находка. Эта головоломка из 21 элемента дает учащимся возможность мыслить по-другому, сопоставляя алгебраические выражения с фразами. В этом занятии есть две страницы для печати и вырезания, лист записи и клавиша ответа.

  После того, как треугольники вырезаны, учащиеся должны сопоставить выражение с письменным описанием. Выражение должно быть записано на листе ответов с соответствующим номером вопроса. Это помогает учащимся оставаться организованными и подотчетными, а также помогает вам легко проверять их работу.Последняя головоломка создает большой алмаз.

  Думаю, это будет забавная головоломка для станций или студентов, которые рано заканчивают свои задания. Чтобы ограничить время резки и печатные документы, эту игру также можно использовать в эстафете. Разделите класс на несколько групп, от двух до пяти, и раздайте каждой команде все необходимые материалы. По одному ученику от каждой команды подходит, чтобы решить любую задачу, записывает ее в лист для ответов, а затем складывает две части вместе. Затем подходит следующий ученик и повторяет те же шаги.Вы не ошибетесь, проведя эстафету с шестиклассниками!

  Мы пишем математикой ?!

  Надеюсь, вы придумали несколько отличных идей, которые можно реализовать в своем классе в следующий раз, когда вы будете учить писать выражения с переменными. Чтобы помочь детям учиться и расти, нужна деревня, а вы - большая часть этой команды. Наша цель - поддержать вас, пока вы продолжаете преподавать и делиться своей любовью к учебе со своими учениками. Мы хотели бы услышать, какие ресурсы вдохновили вас и как они использовались в вашем классе!

  Связанные
  .