Частные случаи линейных неравенств | Алгебра
Рассмотрим частные случаи линейных неравенств — неравенства, в которых перед иксом стоит нуль.
В общем случае при решении линейных неравенств вида ax>b обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Если перед иксом стоит нуль, этот способ применить не можем, так как на нуль делить нельзя.
Такие неравенства либо не имеют решений, либо их решением является любое число.
Решение всех частных случаев линейных неравенств можно записать в виде таблицы (a>0):
Запоминать эту таблицу не нужно. Каким бы ни был x, произведение ox=0, то есть при любом значении x в левой части неравенства стоить нуль. Остается сравнить с нулём правую часть. Если получаем верное неравенство, значит, решением является любое число. Если неравенство неверное, решений нет.
Примеры.
Какое бы число мы ни подставили вместо икса, в левой части получится нуль. Неравенство «нуль меньше пяти» верное.
Ответ:
(часто в ответе пишут: x — любое число).
При любом значении x в левой части получаем нуль. 0 меньше либо равно -10 — неверно. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.
другой вариант ответа: x ∈ Ø
(читают: «икс принадлежит пустому множеству»).
При любом x левая часть неравенства равна нулю. Нуль больше либо равен нулю — верно. Следовательно, x — любое число.
Слева — нуль, справа — отрицательное число -23. Нуль больше отрицательного числа — верно. Решением неравенства является любое число.
Слева — нуль, справа — нуль. Нуль меньше нуля — неверно. Решений нет.
Слева — нуль, справа — положительное число 17. Нуль меньше положительного числа — верно. Решение неравенства — любое число.
Слева — нуль, справа — положительное число 11. Нуль больше либо равен положительного числа 11 — неверно. Неравенство не имеет решений.
Неравенства с нулём перед переменной в алгебре появляются при решении более сложных линейных неравенств (после упрощения).
Линейные неравенства, решение и примеры
Основные понятия
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
- ax + b < 0,
- ax + b > 0,
- ax + b ≥ 0,
- ax + b ≤ 0,
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
- Строгие — используют только больше (>) или меньше (<):
- a < b — это значит, что a меньше, чем b.
- a > b — это значит, что a больше, чем b.
- a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.
- Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):
- a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
- a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
- знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.
- Другие типы:
- a ≠ b — означает, что a не равно b.
- a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
- a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
- знаки >> и << противоположны.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
- Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.
- Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.
- Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.
- Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
Если а < b и c < d, то а + c < b + d.
Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
- Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
Если а < b и c > d, то а – c < b – d.
Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.
- Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
- Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.
Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.
- Если а > b, где а, b > 0, то
Если а < b , то
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Важно знать
Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
|
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
- ax + b < 0,
- ax + b > 0,
- ax + b ≤ 0,
- ax + b ≥ 0,
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.
Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0
- перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
- получим равносильное: ax < −b;
- произведем деление обеих частей на число не равное нулю.
Когда a положительное, то знак неравенства остается без изменений, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.
Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.
Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.
- Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
- Произведем деление обеих частей на 4. Не меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4.
- Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.
Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].
При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.
Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение.
Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
- Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
- Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.
Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
- вводим функцию y = ax + b;
- ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
- отмечаем полученные корни на координатной прямой;
- определяем знаки и отмечаем их на интервалах.
Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:
- найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
- начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
- определим знаки функции y = ax + b на промежутках.
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
- если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ — над отрицательным промежутком.
Рассмотрим пример: −6x + 12 > 0.
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
−6x = −12,
x = 2.
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным.
Штриховку сделаем над положительным промежутком.
По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 2) или x < 2.
Ответ: (−∞, 2) или x < 2.
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Алгоритм решения y = ax + b графическим способом
- во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
- во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
- во время решения ax + b > 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
- во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как решаем
- Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
- Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
- Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
- Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.
Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!
Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?
Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), где \(a\),\(b\) и \(с\) — любые числа (причем \(a≠0\)), \(x\) – неизвестная переменная, а \(⋁\) – любой из знаков сравнения (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).
\(x_1=\frac{6-10}{2}=-2\) \(x_1=\frac{-1+17}{-18}=\frac{16}{-18}=-\frac{8}{9}\) \(x_2=\frac{6+10}{2}=8\) \(x_2=\frac{-1-17}{-18}=\frac{-18}{-18}=1\)
\((x-8)(x+2)<0\) \(-9(x+\frac{8}{9})(x-1)≤0\)
Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком \(<\) или \(>\)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком \(≤\) или \(≥\)), то точки должны быть закрашены.
Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
В первом справа интервале поставьте:
\(-\) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
\(-\) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.
Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:
\(-\) со знаком «\(+\)», если в неравенстве стояло «\(>0\)» или «\(≥0\)»
\(-\) со знаком «\(-\)», если в неравенстве стояло «\(<0\)» или «\(≤0\)»
Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
Внимание! При строгих знаках неравенства (\(<\) или \(>\)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде \((x_1;x_2)\) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (\(≤\) или \(≥\)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде \([x_1;x_2]\), с квадратными скобками на точках.
Ответ: \((-2;8)\) Ответ: \((-∞;\frac{8}{9}]∪[1;∞)\)
Пример. 2\)
\(x_1=\frac{-10-14}{6}=-4\) \(x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}\)
Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.
\(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\)
Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.
Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).
Ответ: \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)\)
Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом
Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет \(2\) корня. 2-64<0\)
\(D=-4 \cdot 64<0\)
Когда выражение слева меньше нуля?
Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\).
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)
Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства
Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком
Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств.
Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: a=b, a<b, a>b.
Пример 1. Сравним обыкновенные дроби 58 и 47.
Для этого приведем их к общему знаменателю: 58=3556; 47=3256.
Так как 35>32, то 58>47.
Пример 2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675.
Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби стоит цифра 4, а во второй – цифра 5. Так как 4<5, то 3,6748<3,675.
Пример 3. Сравним обыкновенную дробь 920 и десятичную дробь 0,45. Обратив дробь 920 в десятичную, получим, что 920=0,45.
Пример 4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, -15>-23.
В зависимости от вида числа мы использовали тот или иной способ сравнения. Но есть универсальный способ сравнения, который охватывает все случаи.
Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число а меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число. Если разность а-b = 0, то числа а и b равны.
На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.
Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.
Если a>b, то b<a, если a<b, то b>a.
Действительно, если разность a-b – положительное число, то разность b-a – отрицательное число, и наоборот.
Если a<b и b<c, то а<c.
Докажем, что разность а-с – отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и –b и сгруппируем слагаемые:
а-с = а-с+b-b = (а-b)+(b+c).
По условию а<b и b<c. Поэтому слагаемые а-b и b-c – отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а<c.
Если a<b и c – любое число, то а+с<b+c.
Преобразуем разность (а+с)-(b+c) = а-b
По условию а<b, поэтому a-b – отрицательное число. Значит, и разность (а+с)-(b+c) отрицательна. Следовательно, a+c<b+c.
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Если a<b и c – положительное число, то aс<bс. Если a<b и c – отрицательное число, то aс>bc.
Представим разность ас-bc в виде произведения: ас-bc = с(а-b).
Так как a<b, то a-b – отрицательное число. Если с>0, то произведение с(а-b) отрицательно, и, следовательно, ас<bc. Если с<0, то произведение с(а-b) положительно, и, следовательно, ас>bc.
Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Если а и b – положительные числа и а<b, то 1a>1b.
Разделим обе части неравенства a<b на положительное число ab: aab<bab. Сократив дроби, получим, что 1b<1a, т.е. 1а>1b.
Приведем пример использования рассмотренных свойств неравенств.
Пример 5. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2<a и a<54,3, и запишем результат в виде двойного неравенства.
54,2·3 < 3a < 54,3·3,
162,6 < 3a < 162,9.
Значит, периметр Р данного треугольника больше 162,6 мм, но меньше 162,9 мм.
Рассмотрим теперь, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.
Если a<b и c<d, то a+c<b+d.
Прибавив к обеим частям неравенства a<b число с, получим а+с<b+с. Прибавив к обеим частям неравенства с<d число b, получим b+c<b+d.
То есть а+с<b+с<b+d. Из этого следует, что a+c<b+d.
Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Если a<b и c<d, где а,b,c,d – положительные числа, то ac<bd.
Умножим обе части неравенства a<b на положительное число с, получим ac<bс. Умножив обе части неравенства c<d на положительное число b, получим bc<bd. Получим ac<bс<bd. Следовательно ac<bd.
Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.
Из этой теоремы следует, что
Если числа а и b положительны и a<b, то an<bn, где n – натуральное число.
Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.
Пример 6. Известно, что 15<x<16 и 2<y<3. Требуется оценить сумму х+у, разность х-у, произведение ху и частное х/у.
Сложим почленно неравенства 15<x<16 и 2<y<3, получим 17<x+y<19.
Оценим разность. Для этого умножим 2<y<3 почленно на (-1). Получим -3<-y<-2.
Теперь сложим почленно неравенства 15<x<16 и -3<-y<-2. Получим 12<x-y<14.
Оценим произведение ху. Перемножим почленно неравенства 15<x<16 и 2<y<3. Получим 30<xy<48.
Оценим частное. Для этого сначала запишем неравенство для 1у. Получится 13<1y<12. Теперь перемножим почленно 15<x<16 и 13<1y<12. Получим 5<xy<8.
Рациональные неравенства — теория и формулы, подготовка к ЕГЭ по математике
Рациональное неравенство — это неравенство, которое можно свести к виду \[\Large{\dfrac{P(x)}{Q(x)}\lor 0}\]где \(P(x),\
Q(x)\) — многочлены. 2+x-2\leqslant 0\]
\[{\Large{\text{Линейные неравенства}}}\] Линейные неравенства – это неравенства вида \[ax+b \lor 0, \qquad
\lor — \text{ один из знаков } \geqslant, \ \leqslant, \ >, \
<;\quad a,b — \text{ числа,}\]или сводящиеся к такому виду.
Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа (\(x\in \mathbb{R}\)).
Общее правило решения линейных неравенств:
1) Для того, чтобы решить данное неравенство, необходимо привести его к виду \(ax\lor -b\), то есть перенести число \(b\) в правую часть.
2) Если коэффициент \(a\) перед \(x\) – положительный, то неравенство равносильно \(x\lor -\dfrac ba\), то есть после деления обеих частей неравенства на \(a\) знак неравенства не меняется.
3) Если коэффициент \(a\) перед \(x\) – отрицательный, то неравенство равносильно \(x\land -\dfrac ba\), то есть после деления обеих частей неравенства на \(a\) знак неравенства меняется на противоположный.
4) Если \(a=0\), то неравенство равносильно \(0\lor -b\), что либо верно при всех значениях переменной \(x\) (например, если это \(0>-1\)), либо неверно ни при каких значениях \(x\) (например, если это \(0\leqslant -3\)).
То есть ответом будут либо \(x\in\mathbb{R}\), либо \(x\in
\varnothing\).
Замечание
Заметим, что знаку \(\leqslant\) противоположен знак \(\geqslant\), а знаку \(<\) – знак \(>\). И наоборот.
Пример 1
Решить неравенство \(5-3x>-1\).
Решение. I способ
Сделаем цепочку преобразований:
\[5-3x>-1 \ \Rightarrow \ -3x>-1-5 \ \Rightarrow \ -3x>-6 \
\Rightarrow \ x<\dfrac 63 \ \Rightarrow \ x<2\] Таким образом, ответом будет \(x\in(-\infty;2)\).
Заметим, что т.к. мы делили неравенство на \(-3\), то знак неравенства поменялся.
Решение. II способ
Можно перенести слагаемое \(-3x\) в правую часть, а \(-1\) – в левую:
\[5-3x>-1 \ \Rightarrow \ 5+1>3x \ \Rightarrow \ 3x<6 \ \Rightarrow \ x<2\]
Пример 2
Решить неравенство \((1-\sqrt2)x+2\leqslant 0\).
Решение
Заметим, что перед \(x\) находится отрицательный коэффициент. Поэтому:
\[(1-\sqrt2)x\leqslant -2 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac 2{1-\sqrt2}\] Преобразуем число \(-\dfrac 2{1-\sqrt2}\): домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к \(1-\sqrt2\), то есть на \(1+\sqrt2\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\[-\dfrac 2{1-\sqrt2}=-\dfrac{2(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}=
-\dfrac{2(1+\sqrt2)}{1-2}=2(1+\sqrt2)\]
Таким образом, ответ \(x\in [2+2\sqrt2;+\infty)\).
Перейдем к квадратичным неравенствам, которые являются очень важным инструментом в решении задач.
\[{\Large{\text{Метод интервалов}}}\]
Приступим к рассмотрению общего метода для решения любого рационального неравенства, то есть неравенства вида
\[(**)\qquad \dfrac{P(x)}{Q(x)}\geqslant 0 \qquad (\text{на месте }\geqslant \text{может стоять любой из} \leqslant, \ <, \ >)\]
Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа, кроме нулей знаменателя.
Существует два способа решения таких неравенств:
1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} P(x)\geqslant 0\\ Q(x)>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} P(x)\leqslant 0\\ Q(x)<0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]
Такой способ подойдет для решения любого неравенства, где слева стоит дробь, а справа — \(0\).
Но, как правило, для решения большинства рациональных неравенств он неудобен. Почему? Вы сможете убедиться в этом после того, как мы рассмотрим метод интервалов.
2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере конкретного неравенства, чтобы было понятней).
Заметим, что первые три шага созданы для того, чтобы преобразовать неравенство к более простому виду, что поможет вам не допустить ошибку в решении подобных задач. Метод интервалов – это всего лишь удобный инструмент для решения рациональных неравенств, и если вы будете всегда пользоваться одним и тем же алгоритмом, то вероятность допустить ошибку при решении таких неравенств будет минимальной.
Данный алгоритм специально расписан подробно, чтобы у вас не возникло вопросов; всего после нескольких использований этого алгоритма вы будете решать рациональные неравенства очень быстро и без ошибок!
1 ШАГ. Необходимо перенести все слагаемые в одну часть (пусть это будет левая часть) неравенства так, чтобы в другой части неравенства остался \(0\), и привести эти слагаемые к общему знаменателю так, чтобы в левой части неравенства получилась дробь. Затем нужно разложить числитель и знаменатель полученной дроби, то есть многочлены \(P(x), \ Q(x)\), на множители.
Например, неравенство \(\dfrac1{x+1}<1\) нужно переписать в виде \(\dfrac1{x+1}-1<0\), затем привести к общему
знаменателю \(\dfrac1{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1}<0\), затем записать в виде одной дроби левую часть: \(\dfrac{1-(x+1)}{x+1}<0\) и
привести подобные слагаемые: \(\dfrac{-x}{x+1}<0\). 2\), или, что то же самое, \((x-0)(x-0)\) – произведение двух одинаковых линейных скобок.
4 ШАГ. Теперь, когда левая часть неравенства состоит из произведения только хороших линейных скобок (в каких-то степенях), можно приступить к самому методу интервалов.
Его суть состоит в том, что левая часть неравенства — всюду непрерывная функция, кроме тех точек, где знаменатель дроби равен нулю. Поэтому точки, в которых эта функция равна нулю (то есть ее числитель равен нулю) и точки, в которых эта функция не существует (то есть ее знаменатель равен нулю), разбивают область определения этой функции на промежутки, причем на каждом промежутке функция принимает значения строго одного знака.
А нам как раз нужно найти те значения \(x\), при которых функция \(\geqslant 0\). Причем, т.к. наша функция — рациональная, то ее область определения — это все действительные числа (\(\mathbb{R}\)), кроме нулей знаменателя. Поэтому отметим нули каждой скобки на вещественной прямой (а ноль каждой скобки – это как раз ноль числителя или знаменателя), причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как в примере, то есть \(\geqslant \) или \(\leqslant \)) или выколотые (если знак неравенства строгий, то есть \(>\) или \(<\)).
Заметим, что если мы отметили \(n\) точек, то числовая прямая разобьется на \(n+1\) промежутков.
Расставим знак на каждом промежутке \(\color{red}{{\Large{\text{справа налево}}}}\). Будем ставить “\(+\)”, если функция на этом промежутке принимает положительные значения, и “\(-\)” — если отрицательные. Нулю функция равна в закрашенных точках.
Первые три шага мы делали для того, чтобы не подставлять точки из каждого промежутка и не вычислять, какого знака будет левая часть неравенства (что бывает неудобно, если числа, которые нужно отмечать на прямой, “некрасивые”). Знаки мы будем расставлять, выявив некоторую закономерность. 2\) не сменит свой знак на отрицательный, поэтому вся левая часть останется по знаку такой же, как и была на \((\frac23;1)\) (т.е. положительной). Аналогично при переходе через точки \(0, -1\).
5 ШАГ. Неравенство практически решено и нам остается только записать ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((***)\) неравенства \(\geqslant 0\) (нестрогий), то в ответ пойдут промежутки со знаком “\(+\,\)” (где значение функции больше нуля) и закрашенные точки (где значение функции равно нулю): \[x\in \Big(-\infty;-1\Big)\cup \left(-1;\dfrac23\right)\cup \left(\dfrac23;1\right]\cup\Big(3;+\infty\Big)\]Напоминаем, что если точка не входит в ответ, то она пишется в круглой скобке “\((\)” или “\()\)”, если входит в ответ – то в квадратной скобке “\([\)” или “\(]\)”. Бесконечности всегда пишутся в круглых скобках.
\[{\Large{\text{Квадратичные неравенства}}}\]
Квадратичным неравенством называется любое неравенство вида \[ax^2+bx+c \lor 0, \quad a\ne 0,\]
или сводящееся к такому виду. 2\) всегда больше или равно \(0\).
Ноль
НольГЛАВНАЯ МАТЕМАТИКА ГЕОМЕТРИЯ
сложение с нулём, вычитание нуля, умножение на ноль, деление на ноль, степень и ноль, факториал нуля, правописание слова ноль.
Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.
Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Поскольку понятие «натуральные числа» — это искусственное отделение некоторых чисел от всех остальных чисел по определённым признакам, то математического доказательства натуральности или не натуральности нуля быть не может. Ноль считается нейтральным элементом по отношению операций сложения и вычитания.
Ноль считается целым, беззнаковым числом. Также ноль считается чётным числом, поскольку при делении нуля на 2 получается целое число ноль.
Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. В позиционных системах счисления, к которым принадлежит привычная нам десятичная система счисления, цифрой ноль обозначают отсутствие значения данного разряда при записи числа. Индейцы майя использовали ноль в принятой у них двенадцатиричной системе счисления за тысячу лет до индийских математиков. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики.
Слово «ноль» в арабском языке звучит как «сыфр». От арабского слова ноль (сыфр) произошло слово «цифра».
Как правильно пишется — ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Как правило, ноль употребляется в обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль — в терминологии, в научной речи. Правильными будут оба варианта написания этого слова. Например: Деление на ноль. Ноль целых. Ноль внимания. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых.
В грамматике производные слова от слов ноль и нуль пишутся так: нолевой или нулевой, нолик или нулик, ноля или нуля, нулевой или реже встречающееся нолевой, ноль-ноль. Например: Ниже нуля. Равно нулю. Свести к нулю. Нулевой мередиан. Нулевой пробег. В двенадцать ноль-ноль.
В математических действиях с нулем на сегодняшний день определены следующие результаты:
сложение — если к любому числу прибавить ноль, число останется неизменным; если к нулю прибавить любое число результатом сложения будет то же самое любое число:
a + 0 = a
0 + a = a
вычитание — если из любого числа вычесть ноль, число останется неизменным; если из нуля вычесть любое число в результате получится то же самое любое число с противоположным знаком:
a — 0 = a
0 — a = -a
умножение — если любое число умножить на ноль, результатом будет ноль; если ноль умножить на любое число в результате получится ноль:
a х 0 = 0
0 х a = 0
деление — деление на ноль запрещено, поскольку результат не существует; общепринятый взгляд на проблему деления на ноль изложен в работе Александра Сергеева «Почему нельзя делить на ноль?»; для любознательных написана другая статья, в которой рассматривается возможность деления на ноль:
a : 0 = делить на ноль запрещено, при этом а не равно нулю
ноль разделить на ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено:
0 : 0 = выражение не имеет смысла
ноль разделить на число — если ноль разделить на число в результате всегда будет ноль, не зависимо от того, какое число находится в знаменателе (исключением из этого правила является число ноль, смотри выше):
0 : a = 0, при этом а не равно нулю
ноль в степени — ноль в любой степени равен нулю:
0a = 0, при этом а не равно нулю
возведение в степень — любое число в степени ноль равняется единице (число в степени 0):
a0 = 1, при этом а не равно нулю
ноль в степени ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено (ноль в нулевой степени, 0 в степени 0):
00 = выражение не имеет смысла
извлечение корня — корень любой степени из нуля равен нулю:
01/a = 0, при этом а не равно нулю
факториал — факториал нуля, или ноль факториал, равняется единице:
0! = 1
распределение цифр — при подсчете распределения цифр ноль считается незначащей цифрой. Изменение подхода в правилах подсчета распределения цифр, когда ноль считается ЗНАЧАЩЕЙ цифрой позволит получать более точные результаты распределения цифр во всех стандартных системах счисления, в том числе в двоичной системе счисления.
Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.
Теперь маленький кусочек рекламы.Главная фильтры для воды помогут очистить воду и сделать её более безопасной для питья. Качество водопроводной воды сегодня не отвечает требованиям безопасности для здоровья человека. Применение фильтров для воды становится потребностью в каждом доме.
30 августа 2010 года — 02 января 2021 года.
© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.
Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры (4 урока)
Цели урока: формировать умение решать системы линейных уравнений, содержащих параметры; осуществить оперативный контроль и самоконтроль учащихся; развивать исследовательскую и познавательную деятельность школьников.
Тип урока: введение нового материала.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
2. Введение нового материала.
Говорят, что дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y, если требуется найти пары чисел (x0; y0), являющиеся решениями одновременно и первого, и второго уравнения.
Если
то система имеет единственное решение.
Если
то система не имеет решений.
Если
то система имеет бесконечно много решений.
Пример 1. При каких значениях параметра a система
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение?
Решение.
Ответ: а) если a=4, то система имеет бесконечное множество решений; б) если то решение единственное.
Пример 2. Решите систему уравнений
Решение. система имеет единственное решение.
1–ym–y=n–2y , –ym+y=n–1;
исходная система решений не имеет.
система имеет бесконечно много решений.
Ответ: если m=1 и n1, то решений нет; если m = 1 и n = 1, то решений бесконечное множество, если m 1 и n – любое, то
Пример 3. (Предложите ученикам выполнить это задание самостоятельно с последующей проверкой.) Решите систему уравнений
Решение.
Пример 4. Определите, при каком условии уравнение
а) имеет единственное решение;
б) имеет бесконечно много корней;
в) не имеет корней.
Решение.
– при этом условии уравнение корней не имеет.
– при этом условии решение исходного уравнения есть любое число из R.
Ответ:
б) если a = 0 или b = 0, то x – любое число;
в) если 2b = a, a 0, b 0, то корней нет.
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. При каком значении k система имеет бесконечное множество решений?
2. Решите систему уравнений
Вариант 2
1. При каком значении d система не имеет решений?
2. Решите систему уравнений
Ответы
В-1. 1. k = 2,5. 2. Если b = 0, c = 0, то решений нет; если b = c, d 0, a – любое число, то решений нет; если a = 0, b, c, d – любые числа, то решений нет; если c 0, b 0, a 0, b c, d – любое число, то если b = c, d = 0, то
В-2. 1. d = – 20. 2. Если b = 0, c = 0, то решений нет; если c = – b, то решений нет; если b 0 и c 0, c – b, то
если c = – b и dbc = ac, то
Задание на дом
1. При каких значениях параметра b система уравнений
а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений?
2. Графики функций y = ax + 3 и y = (2 – a)x + a пересекаются в точке с абсциссой – 1. Найдите ординату точки пересечения графиков.
3. Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.
а) Найдите b и k.
б) найдите координаты точки пересечения этих графиков.
4. Решите систему уравнений
Ответы: 1. а) b = 10; б) b 10. 2.
3. а) b = 6, k = – 4; б) (0; 6). 4. Если mn = – 1 и m 1, n – 1, то решений нет; если m = 1 и n = – 1, то x – любое число, y = 1 + mx; если mn 1 и n – 1, m 1, то
Базовая математика в JavaScript — числа и операторы — Изучите веб-разработку
На этом этапе курса мы обсуждаем математику в JavaScript — как мы можем использовать операторы и другие функции для успешного манипулирования числами, чтобы выполнять наши приказы.
Предпосылки: | Базовая компьютерная грамотность, базовое понимание HTML и CSS, понимание того, что такое JavaScript. |
---|---|
Цель: | Чтобы познакомиться с основами математики в JavaScript. |
Ладно, может и нет. Некоторым из нас нравится математика, некоторые из нас ненавидят математику с тех пор, как нам пришлось учить таблицу умножения и деление в столбик в школе, а некоторые из нас находятся где-то посередине между ними. Но никто из нас не может отрицать, что математика является фундаментальной частью жизни, без которой мы не можем далеко продвинуться. Это особенно верно, когда мы учимся программировать на JavaScript (или на любом другом языке в этом отношении) — многое из того, что мы делаем, зависит от обработки числовых данных, вычисления новых значений и т. д., что вы не удивитесь, узнав что JavaScript имеет полнофункциональный набор доступных математических функций.
В этой статье обсуждаются только основные части, которые вам необходимо знать сейчас.
Типы чисел
В программировании даже скромная десятичная система счисления, которую мы все так хорошо знаем, сложнее, чем вы думаете. Мы используем разные термины для описания разных типов десятичных чисел, например:
.- Целые числа — это числа с плавающей запятой без дробей. Они могут быть как положительными, так и отрицательными, т.е. 10, 400 или -5.
- Числа с плавающей запятой (с плавающей запятой) имеют десятичные точки и десятичные разряды, например 12.
5 и 56,7786543.
- Двойники — это особый тип чисел с плавающей запятой, которые имеют большую точность, чем стандартные числа с плавающей запятой (это означает, что они точны до большего числа знаков после запятой).
У нас даже системы счисления разные! Десятичное число основано на 10 (это означает, что в каждом столбце используются числа от 0 до 9), но у нас также есть такие вещи, как:
.- Двоичный — Самый низкий уровень языка компьютеров; 0 с и 1 с.
- Восьмеричный — Основание 8, использует 0–7 в каждом столбце.
- Шестнадцатеричный — Основание 16, использует 0–9, а затем a–f в каждом столбце. Возможно, вы сталкивались с этими числами раньше при настройке цветов в CSS.
Прежде чем вы начнете беспокоиться о плавлении мозга, остановитесь! Для начала, в этом курсе мы будем придерживаться десятичных чисел; вы редко столкнетесь с необходимостью начать думать о других типах, если вообще когда-либо.
Вторая хорошая новость заключается в том, что в отличие от некоторых других языков программирования, в JavaScript есть только один тип данных для чисел, как целых, так и десятичных — как вы уже догадались, Number
.Это означает, что независимо от типа чисел, с которыми вы имеете дело в JavaScript, вы обрабатываете их точно так же.
Примечание: На самом деле в JavaScript есть второй числовой тип, BigInt, используемый для очень-очень больших целых чисел. Но для целей этого курса мы будем беспокоиться только о значениях Number
.
Для меня это все числа
Давайте быстро поиграем с некоторыми числами, чтобы заново ознакомиться с основным синтаксисом, который нам нужен. Введите перечисленные ниже команды в консоль JavaScript инструментов разработчика.
- Прежде всего, давайте объявим пару переменных и инициализируем их целым числом и числом с плавающей запятой соответственно, а затем снова введем имена переменных, чтобы убедиться, что все в порядке:
const myInt = 5; const myFloat = 6,667; мойИнт; мойПоплавок;
- Числовые значения вводятся без кавычек — попробуйте объявить и инициализировать еще пару переменных, содержащих числа, прежде чем двигаться дальше.
- Теперь давайте проверим, что обе наши исходные переменные имеют один и тот же тип данных.В JavaScript есть оператор под названием
typeof
, который делает это. Введите следующие две строки, как показано на рисунке:typeof myInt; тип myFloat;
"число"
в обоих случаях — это значительно упрощает нам задачу, чем если бы разные числа имели разные типы данных, и нам приходилось бы обрабатывать их по-разному. Фу!
Полезные методы чисел
Объект Number
, экземпляр которого представляет все стандартные числа, которые вы будете использовать в своем JavaScript, имеет ряд полезных методов, доступных для вас, чтобы манипулировать числами.Мы не рассматриваем их подробно в этой статье, потому что хотели сохранить ее как простое введение и пока осветить только основные основы; однако после того, как вы прочитали этот модуль пару раз, стоит перейти к страницам справочника по объектам и узнать больше о том, что доступно.
Например, чтобы округлить число до фиксированного числа знаков после запятой, используйте метод toFixed()
. Введите следующие строки в консоль браузера:
const lotsOfDecimal = 1.766584958675746364;
многодесятичных;
const twoDecimalPlaces = lotOfDecimal.toFixed(2);
два десятичных знака;
Преобразование в числовые типы данных
Иногда число может храниться как строковый тип, что затрудняет выполнение с ним вычислений. Чаще всего это происходит, когда данные вводятся в поле ввода формы, а тип ввода — текст. Есть способ решить эту проблему — передать строковое значение в конструктор Number()
, чтобы вернуть числовую версию того же значения.
Например, попробуйте ввести в консоль следующие строки:
пусть мой номер = '74';
мой номер += 3;
Вы получите результат 743, а не 77, потому что myNumber
на самом деле определяется как строка. Вы можете проверить это, введя следующее:
Чтобы исправить расчет, вы можете сделать это:
Арифметические операторы — это основные операторы, которые мы используем для вычисления сумм в JavaScript:
Оператор | Имя | Назначение | Пример |
---|---|---|---|
+ | Дополнение | Складывает два числа вместе.![]() | 6 + 9 |
- | Вычитание | Вычитает правое число из левого. | 20 - 15 |
* | Умножение | Умножает два числа. | 3 * 7 |
/ | Отдел | Делит левое число на правое. | 10 / 5 |
% | Остаток (иногда называемый по модулю) | Возвращает остаток, оставшийся после того, как вы разделили левое число на несколько целых частей, равных нужному числу. | |
** | Экспонента | Возводит число с основанием в степень степени ,
то есть число по основанию , умноженное само на себя, показатель степени раз.![]() | 5 ** 2 (возвращает 25 , то же самое, что и 5*5 ). |
Примечание: Иногда числа, используемые в арифметике, называются операндами.
Примечание: Иногда вы можете видеть показатели степени, выраженные с использованием более старого метода Math.pow() , который работает очень похожим образом. Например, в Math.pow(7, 3)
, 7
— основание, а 3
— показатель степени, поэтому результат выражения равен 343
. Math.pow(7, 3)
эквивалентно 7**3
.
Возможно, нам не нужно учить вас основам математики, но мы хотели бы проверить ваше понимание используемого синтаксиса. Попробуйте ввести приведенные ниже примеры в консоль JavaScript инструментов разработчика, чтобы ознакомиться с синтаксисом.
- Сначала попробуйте ввести несколько собственных простых примеров, таких как
- Вы также можете попробовать объявить и инициализировать некоторые числа внутри переменных и попробовать использовать их в суммах — переменные будут вести себя точно так же, как значения, которые они содержат для целей суммы.Например:
const num1 = 10; константа число2 = 50; 9 * число1; число1 ** 3; число2/число1;
- В конце этого раздела попробуйте ввести более сложные выражения, например:
5+10*3; число2 % 9 * число1; число2 + число1 / 8 + 2;
Части этого последнего набора вычислений могут не дать ожидаемого результата; раздел ниже вполне может дать ответ на вопрос, почему.
Приоритет оператора
Давайте посмотрим на последний пример сверху, предполагая, что num2
содержит значение 50, а num1
содержит значение 10 (как изначально указано выше):
Как человек, вы можете прочитать это как «50 плюс 10 равно 60» , затем «8 плюс 2 равно 10» , и, наконец, «60 разделить на 10 равно 6» .
Но браузер делает «10 разделить на 8 равно 1,25» , затем «50 плюс 1,25 плюс 2 равно 53,25» .
Это происходит из-за приоритета оператора — некоторые операторы применяются перед другими при вычислении результата вычисления (в программировании это называется выражением ). Приоритет операций в JavaScript такой же, как учат на уроках математики в школе — умножение и деление всегда выполняются первыми, затем сложение и вычитание (вычисления всегда выполняются слева направо).
Если вы хотите переопределить приоритет оператора, вы можете заключить в круглые скобки те части, с которыми вы хотите работать в первую очередь. Итак, чтобы получить результат 6, мы могли бы сделать это:
Попробуйте и убедитесь.
Иногда вам может понадобиться многократно прибавлять или вычитать единицу из числового значения переменной. Это удобно сделать с помощью операторов инкремента (++
) и декремента ( --
). Мы использовали
++
в нашей игре «Угадай число» еще в нашей первой статье о JavaScript, когда мы добавили 1 к нашей переменной GuesCount
, чтобы отслеживать, сколько догадок оставил пользователь после каждого хода.
Давайте попробуем поиграть с ними на вашей консоли. Для начала обратите внимание, что вы не можете применить их непосредственно к числу, что может показаться странным, но мы присваиваем переменной новое обновленное значение, а не работаем с самим значением. Следующее вернет ошибку:
Таким образом, вы можете увеличивать только существующую переменную. Попробуйте это:
Ладно, странность номер 2! Когда вы это сделаете, вы увидите возвращаемое значение 4 — это потому, что браузер возвращает текущее значение, , а затем увеличивает переменную.Вы можете увидеть, что оно было увеличено, если вы снова вернете значение переменной:
То же самое относится и к --
: попробуйте следующее
пусть число2 = 6;
число2--;
число2;
Примечание: Вы можете заставить браузер делать наоборот — увеличивать/уменьшать переменную , затем возвращать значение — поставив оператор в начало переменной, а не в конец. Повторите приведенные выше примеры еще раз, но на этот раз используйте
++num1
и --num2
.
Операторы присваивания — это операторы, которые присваивают значение переменной. Мы уже использовали самый простой, =
, множество раз — он присваивает переменной слева значение, указанное справа:
пусть х = 3;
пусть у = 4;
х = у;
Но есть и более сложные типы, которые предоставляют полезные сокращения, чтобы ваш код был более аккуратным и эффективным. Наиболее распространенные перечислены ниже:
Оператор | Имя | Назначение | Пример | Ярлык для |
---|---|---|---|---|
+= | Дополнительное назначение | Добавляет значение справа к значению переменной слева, затем возвращает новое значение переменной | х += 4; | х = х + 4; |
-= | Назначение вычитания | Вычитает значение справа от значения переменной слева, и возвращает новое значение переменной | х -= 3; | х = х - 3; |
*= | Назначение умножения | Умножает значение переменной слева на значение справа и возвращает новое значение переменной | х *= 3; | х = х * 3; |
/= | Назначение отдела | Делит значение переменной слева на значение справа, и возвращает новое значение переменной | х /= 5; | х = х/5; |
Попробуйте ввести некоторые из приведенных выше примеров в консоль, чтобы понять, как они работают. В каждом случае посмотрите, сможете ли вы угадать значение, прежде чем вводить вторую строку.
Обратите внимание, что вы вполне можете использовать другие переменные в правой части каждого выражения, например:
пусть х = 3;
пусть у = 4;
х *= у;
В этом упражнении вы будете манипулировать некоторыми числами и операторами, чтобы изменить размер прямоугольника. Коробка рисуется с помощью API браузера, который называется Canvas API. Не нужно беспокоиться о том, как это работает — просто сосредоточьтесь на математике.Ширина и высота блока (в пикселях) определяются переменными x
и y
, которым изначально присваивается значение 50.
Открыть в новом окне
В редактируемом поле кода выше есть две строки, отмеченные комментарием, которые мы хотели бы, чтобы вы обновили, чтобы поле увеличивалось/уменьшалось до определенных размеров, используя определенные операторы и/или значения в каждом случае. Попробуем следующее:
- Измените строку, вычисляющую x, так, чтобы ширина прямоугольника оставалась равной 50 пикселям, но 50 вычислялось с использованием чисел 43 и 7 и арифметического оператора.
- Измените строку, вычисляющую y, так, чтобы прямоугольник был высотой 75 пикселей, но 75 вычислялось с использованием чисел 25 и 3 и арифметического оператора.
- Измените строку, вычисляющую x, так, чтобы поле имело ширину 250 пикселей, но 250 вычислялось с использованием двух чисел и оператора остатка (по модулю).
- Измените строку, в которой вычисляется y, чтобы прямоугольник был высотой 150 пикселей, но 150 вычислялось с использованием трех чисел и операторов вычитания и деления.
- Измените строку, в которой вычисляется x, чтобы поле имело ширину 200 пикселей, но 200 вычислялось с использованием числа 4 и оператора присваивания.
- Измените строку, вычисляющую y, так, чтобы прямоугольник был высотой 200 пикселей, но 200 вычислялось с использованием чисел 50 и 3, оператора умножения и оператора присваивания сложения.
Не беспокойтесь, если вы полностью испортите код. Вы всегда можете нажать кнопку «Сброс», чтобы все снова заработало. После того, как вы правильно ответили на все приведенные выше вопросы, не стесняйтесь еще поиграть с кодом или создать свои собственные задачи.
Иногда нам нужно запустить тесты на истинность/ложь, а затем действовать соответственно в зависимости от результата этого теста — для этого мы используем операторов сравнения .
Оператор | Имя | Назначение | Пример |
---|---|---|---|
=== | Строгое равенство | Проверяет, идентичны ли левое и правое значения друг другу | 5 === 2 + 4 |
!== | Строгое не равенство | Проверяет, являются ли левое и правое значения не идентичными друг другу | 5 !== 2 + 3 |
< | Менее | Проверяет, меньше ли левое значение, чем правое.![]() | 10 < 6 |
> | Больше | Проверяет, больше ли левое значение, чем правое. | 10 > 20 |
<= | Меньше или равно | Проверяет, меньше ли левое значение, чем правое, или равно ему. | 3 <= 2 |
>= | Больше или равно | Проверяет, больше ли левое значение, чем правое, или равно ему. | 5 >= 4 |
Примечание: Некоторые люди могут использовать ==
и !=
в своих тестах на равенство и неравноправие. Это допустимые операторы в JavaScript, но они отличаются от ===
/ !==
. Прежние версии проверяют, совпадают ли значения, но не совпадают ли типы данных значений. Последние, строгие версии, проверяют равенство как значений, так и их типов данных.Строгие версии, как правило, приводят к меньшему количеству ошибок, поэтому мы рекомендуем вам использовать их.
Если вы попытаетесь ввести некоторые из этих значений в консоли, вы увидите, что все они возвращают истинные
/ ложные
значения — те логические значения, о которых мы упоминали в прошлой статье. Они очень полезны, так как позволяют нам принимать решения в нашем коде, и они используются каждый раз, когда мы хотим сделать какой-то выбор. Например, логические значения можно использовать для:
- Отображение правильной текстовой метки на кнопке в зависимости от того, включена функция или нет
- Показать сообщение об окончании игры, если игра окончена, или сообщение о победе, если игра была выиграна
- Отображение правильного сезонного приветствия в зависимости от сезона праздников
- Увеличение или уменьшение масштаба карты в зависимости от выбранного уровня масштабирования
Мы рассмотрим, как кодировать такую логику, когда будем рассматривать условные операторы в следующей статье. А пока давайте рассмотрим быстрый пример:
Машина остановлена.
const btn = document.querySelector('button');
const txt = document.querySelector('p');
btn.addEventListener('щелчок', updateBtn);
функция updateBtn() {
if (btn.textContent === 'Запустить машину') {
btn.textContent = 'Остановить машину';
txt.textContent = 'Машина запущена!';
} еще {
btn.textContent = 'Запустить машину';
текст.textContent = 'Машина остановлена.';
}
}
Открыть в новом окне
Вы можете видеть, что оператор равенства используется только внутри функции updateBtn()
. В этом случае мы не проверяем, имеют ли два математических выражения одно и то же значение — мы проверяем, содержит ли текстовое содержимое кнопки определенную строку — но принцип работы тот же. Если кнопка в настоящее время говорит «Запустить машину», когда она нажата, мы меняем ее метку на «Остановить машину» и соответствующим образом обновляем метку. Если кнопка в настоящее время говорит «Остановить машину», когда она нажата, мы снова меняем дисплей.
Примечание: Такой элемент управления, который переключается между двумя состояниями, обычно называется переключателем . Он переключается между одним состоянием и другим — свет включен, свет выключен и т. д.
Вы дошли до конца этой статьи, но можете ли вы вспомнить самую важную информацию? Вы можете найти дополнительные тесты, чтобы убедиться, что вы сохранили эту информацию, прежде чем двигаться дальше — см. Проверка своих навыков: математика.
В этой статье мы рассмотрели основную информацию, которую вам нужно знать о числах в JavaScript на данный момент. Вы будете видеть числа, используемые снова и снова, на протяжении всего вашего изучения JavaScript, так что это хорошая идея, чтобы избавиться от этого прямо сейчас. Если вы относитесь к тем людям, которым математика не нравится, вас может утешить тот факт, что эта глава была довольно короткой.
В следующей статье мы рассмотрим текст и то, как JavaScript позволяет нам манипулировать им.
Примечание: Если вам нравится математика и вы хотите узнать больше о том, как она реализована в JavaScript, вы можете найти гораздо больше подробностей в основном разделе MDN о JavaScript.Отличными местами для начала являются наши числа и даты, а также статьи о выражениях и операторах.
Введение в алгебру: умножение
Сначала прочтите Введение в алгебру
Головоломка
Какой пропущенный номер?
Ответ 2, верно? Потому что 2 × 4 = 8 .
Ну, в алгебре мы не используем пустые клетки, мы используем письмо . Так что мы могли бы написать:
Но "x" выглядит как "×" ... это может сбивать с толку... поэтому в алгебре мы не используем символ умножения ( × ) между числами и буквы:
Ставим цифру рядом с буквой, что означает умножение:
В английском языке мы говорим «четыре x равно восьми» , что означает, что 4 x составляют 8.
И ответ написан:
Как решить
Вместо того, чтобы говорить ", очевидно, x=2", используйте этот аккуратный пошаговый подход:
- Решите , что нужно удалить , чтобы получить "x = ..."
- Удалите его, сделав наоборот
- Сделайте это с с обеих сторон
А что противоположно умножению? Разделение!
Взгляните на этот пример:
Мы хотим, чтобы
удалить
"4"
Чтобы его убрать, сделать
наоборот , в
в этом случае разделить на 4
Сделайте это с
с обеих сторон
Что такое ...
Решено!
Почему мы разделили на 4 с обеих сторон?
Из-за необходимости баланса...
Баланс |
Разделить слева на 4 |
Не баланс! |
Разделить вправо на 4 Также |
Снова баланс |
Просто запомни.

Чтобы сохранить баланс, то, что мы делаем с одной стороной "=" , мы должны также сделать с другой стороной ! |
Еще одна головоломка
Решите это:Нам нужен ответ вроде "x = ...", но деление на 3 мешает этому!
Если мы умножим на 3 , мы сможем сократить деление на 3 (потому что 3/3=1)
Итак, давайте попробуем умножить на 3 с обеих сторон : x 3 × 3 = 5 × 3
Немного арифметики ( 1 3 × 3 = 1 и 5 × 3 = 15) получается: 1x = 15
Что просто: х = 15
Решено!
(Быстрая проверка: 15/3 = 5)
Более сложный пример
Как решить эту проблему?
Это может показаться трудным, но только если мы решим его поэтапно .
Сначала избавимся от "+2":
Начните с:x/3 + 2 = 5
Чтобы удалить плюс 2 , используйте минус 2 (поскольку 2−2=0) x/3 + 2 −2 = 5 −2
Немного арифметики (2−2 = 0 и 5−2 = 3) получается: x/3 + 0 = 3
Это просто:x/3 = 3
Теперь избавьтесь от "/3":
Начните с:x/3 = 3
умножить на 3 чтобы исключить разделить на 3: x/3 ×3 = 3 ×3
Немного арифметики (3/3 = 1 и 3 × 3 = 9) получается: 1x = 9
Что просто: х = 9
Решено!
(Быстрая проверка: 9/3 + 2 = 3+2 = 5)
Когда вы станете более опытным:
Когда вы станете более опытным, вы сможете решить это так:
Начните с:x/3 + 2 = 5
Вычесть 2 с обеих сторон: x/3 + 2 −2 = 5 −2
Упростить:x/3 = 3
Умножить на 3 с обеих сторон: x/3 ×3 = 3 ×3
Упростить: х = 9
Или быстрее вот так:Начните с:x/3 + 2 = 5
Вычесть 2 с обеих сторон:x/3 = 3
Умножить на 3: х = 9
Пример реального мира
Пример: Сэм купил в Интернете 3 коробки шоколадных конфет.

Почтовые расходы составили 9 долларов, а общая стоимость — 45 долларов.
Сколько стоила каждая коробка?
Давайте использовать x для цены каждой коробки.
3 раза x плюс 9 долларов равно 45 долларов:
3x + 9 = 45
Решаем!
Начните с: 3x + 9 = 45
Вычесть 9 с обеих сторон: 3x + 9 − 9 = 45 − 9
Упростить: 3x = 36
Разделить на 3:3x /3 = 36 /3
Упростить: х = 12
Итак, в каждой коробке было 12 долларов
Дополнительно: мы также можем сначала выполнить "деление на 3" (но мы должны сделать это для всех членов):
Начните с: 3x + 9 = 45
Разделить на 3:3x /3 + 9 /3 = 45 /3
Упростить: х + 3 = 15
Вычесть 3 с обеих сторон: x + 3 − 3 = 15 − 3
Упростить: х = 12
Тот же ответ!
Попробуй себя
Теперь потренируйтесь на этом рабочем листе по алгебре (два шага к решению), а затем проверьте свои ответы на следующей странице. Попробуйте использовать шаги, которые мы показали вам здесь, а не просто гадать!
1729, 1730, 1731, 1732, 1733, 1734, 3139, 3140, 3141, 3142
4.3.2 Универсальные числовые значения
4.3.2 Универсальные числовые значения
Большинство числовых операций Racket работают с любыми числами.
4.3.2.1 Арифметика
Возвращает сумму zs, добавляя попарно слева направо правильно. Если аргументы не указаны, результатом будет 0.
Примеры:
Когда нет WS, возвращается (- 0 z).
> (+ 1 2) 3
> (+ 1 2)0 2 + 3i 5) 1 8.0 + 3.0i
> (+) 0
0

Примеры:
1
> (- 5 3.0) 2.0
2.0
> (- 1) -1
> (- 2 + 7i 1 3 ) -2+7i
Возвращает произведение zs, умножая попарно слева направо.Если аргументы не указаны, результатом будет 1. Умножение любого числа на точный 0 дает точное 0.
Примеры:
Если ws не указано, возвращается (/ 1 z). В противном случае возвращает деление z на рабочее значение ws. попарно слева направо.
> (* 2 3) 6
6
> (* 8.0 9) 72,0
> (* 1+ 2i 3+4i) -5+10i

Если z точно 0 и ни один w не является точным 0, то результат точно равен 0. Если любой w точно 0, возникает исключение exn:fail:contract:divide-by-zero.
Примеры:
> (/ 3 4) 3/4
> (/ 81 3 3) 9
> (/ 10,0 ) 0,1
> (/ 1 + 2i 3 + 4i) 11/25 + 2 / 25i
Примеры:
> (Civent 10 3) 3
> (частное -10.0 3) -3.0
-3.0
> (Qualient + Inf.0 3) Цирят: Договорное нарушение
Ожидается: целое число?
данные: +inf.
0
Возвращает q с тем же знаком, что и n, таким образом, что
(исключая m) и (исключая m) находится между (abs0 q) , и
(+ q (* m (частное нм))) равно n.
Если m точно равно 0, возникает исключение exn:fail:contract:delive-by-zero.
Примеры:
Пример:
Возвращает q с тем же знаком, что и m, где
(абс. q) находится между 0 (включительно) и (абс. q и (- n (* m (частное nm))) кратно m.
Если m точно равно 0, возникает исключение exn:fail:contract:delive-by-zero.
Примеры:
> (по модулю 10 3) 1
> (по модулю -10)0 3) 2.0
> (Модуло 10.0 -3) -2.0
> (Modulo -10 -3) -1
> (по модулю +инф. 0 3)
по модулю: нарушение контракта
ожидаемое: целое число?
дано: +инф.0
Возвращает абсолютное значение Икс.
Примеры:
Возвращает наибольшее значение xs или +nan.0, если есть х равно +нан.0. Если какой-либо x неточен, результат приводится к неточному. См. также argmax.Примеры:
Возвращает наименьший из XS или +nan.0, если есть х равно +нан.0. Если какой-либо x неточен, результат приводится к неточному.См. также аргмин.
> (Макс 1 3 2) 3
> (Макс 1 3 2.0) 3.0
Примеры:
1Возвращает величайший общий делитель ( неотрицательный количество) нс; для нецелых ns результат это общий делитель числителей lcm знаменателей.
> (мин 1 3 2) 1
> (мин 1 3 2.0) 1.0
Если аргументы не указаны, результат равен 0. Если все аргументы равны нулю, результат равен нулю.
Примеры:
Возвращает наименьшее общее кратное (неотрицательное число) из нс; нецелые ns, результат абсолютное значение продукта, деленное на НОД. Если аргументы не указаны, результатом будет 1.Если какой-либо аргумент равен нулю, результат равен нулю; более того, Если какой-либо аргумент точен 0, результат точно 0 0.
> (GCD 10) 10
10
> (GCD 12 81.0) 3.0
> (GCD 1/2 1/3 ) 1/6
Примеры:
> (LCM 10) 10
> (LCM 3 4.0) 12,0
> (lcm 1/2 2/3) 2
Возвращает целое число, ближайшее к x, разрешая ничьи в пользу четное число, но +инф.
0, -инф.0 и +нан.0 вокруг себя.
Примеры:
Возвращает наибольшее целое число, не превышающее x, но +inf.0, -inf.0 и +nan.0 от пола до самих себя.
Примеры:
Возвращает наименьшее целое число, которое не меньше x, но +inf.0, -inf.0 и +nan.0 потолок до самих себя.
Примеры:
Возвращает целое число, наиболее удаленное от 0, которое не более 0, чем x, но +inf.0, -inf.0 и +nan.0 обрезать до себя.
Примеры:
Приводит q к точному числу, находит числитель число, выраженное в его простейшей дробной форме, и возвращает это число, приведенное к точности q.
Примеры:
Приводит q к точному числу, находит знаменатель число, выраженное в его простейшей дробной форме, и возвращает это число, приведенное к точности q.
Примеры:
Среди действительных чисел в пределах (абс. допуск) x, возвращает тот, который соответствует точному числу, чье знаменатель наименьший.Если несколько целых чисел находятся внутри допуск x, ближайший к 0 равен использовал.Примеры:
4.3.2.2 Сравнение чисел
Возвращает #t, если все аргументы численно равны, #f иначе. Неточное число численно равно точное число, когда точное приведение неточного числа является точное число. Кроме того, 0,0 и -0,0 численно равны, но +nan.0 численно не равен самому себе.
Примеры:
> (= 1 1.0) #T
> (= 1 2) #F
> (= 2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i) #t
> (= 1) #t
Изменено в версии 7.0.0.13 в дополнение к разрешению одного аргумента для базы пакетов.
Возвращает #t, если аргументы в данном порядке строго возрастают, #f иначе.
Примеры:
> (<1 1) #F
> (<1 2 3) #T
> (<1 ) #T
> (<1 + Inf.0) #T
#T
> (<1 + NAN.0) #f
Изменено в версии 7.0.0.13 базы пакетов: разрешить один аргумент в дополнение к разрешению двух или более.
Возвращает #t если аргументы в данном порядке неубывающие, #f иначе.
примеров:
> (<= 1) #T
#T
> (<= 1 2 1) #F
в версии 7.0.0.13 базы пакетов: разрешить один аргумент в дополнение к разрешению двух или более.
Возвращает #t, если аргументы в данном порядке строго убывают, #f иначе.
Примеры:
> (> 1 1) #F
> (> 3 2 1) #T
> (> + INF.0 1) #T
#T
> (> + NAN.0 1) #F
Изменено в версии 7.0.0.13 базы пакетов: разрешить один аргумент в дополнение к разрешению двух или более.
Возвращает #t если аргументы в данном порядке не возрастают, #f иначе.
примеров:
> (> = 1 1) #T
#T
> (> = 1 2 1) #F
в версии 7.0.0.13 базы пакетов: разрешить один аргумент в дополнение к разрешению двух или более.
4.
3.2.3 Степени и корни Возвращает главный квадратный корень из z. То результат является точным, если z является точным и квадратный корень z является рациональным. См. также целочисленный квадрат.
Примеры:
Возвращает (этаж (кв. n)) для положительного n.То результат точен, если n точно. За отрицательное n, результатом будет (* (integer-sqrt (- n)) 0+1i).
> (SQRT 4/9) 2/3
> (SQRT 2) > (SQRT 2) 1.4142135623730951
> (SQRT -1) 0+1i
Примеры:
Примеры:
Возвращает z, возведенное в степень w.
Если w точный 0, результат точный 1. Если w равно 0,0 или -0,0, а z - действительное число кроме точного 1 или 0, результат равен 1,0 (даже если z равно +nan.0).
Если z точно равно 1, результат будет точно равен 1.
Если z равно 1,0, а w — действительное число, результат равен 1,0 (даже если w равно +nan.0).
Если z точно равно 0, результат будет следующим:
Если w точно равно 1/2, результат будет таким же, как (sqrt z), что может быть точным.Другие дробные степени не рассматриваются специально таким образом: Дополнительные частные случаи, когда w — действительное число: Эти особые случаи соответствуют pow в C99 [C99], за исключением случаев, когда z отрицательно, а w не является целое число.
w отрицательно:
w положительный:
- (expt z -inf.0) для положительного z:
- (expt z +inf.0) для положительного z:
- (expt -inf.0 w) для целого числа w:
w отрицательно:
w положительный:
Примеры:
Возвращает число Эйлера, возведенное в степень z.Результат обычно неточен, но он точно равен 1, когда z является точно 0. См.также расш.
Примеры:
Возвращает натуральный логарифм z. Результат в норме неточно, но это точно 0, когда z является точным 1.Когда z точно равно 0, возникает исключение exn:fail:contract:delive-by-zero.
> (exp 1) 2.718281828459045
> (exp 2 + 3i) -73315110094
3 + 1.0427436562359045i
> (exp 0 ) 1
Если указано b, оно служит альтернативой база. Это эквивалентно (/ (log z) (log b)), но потенциально может работать быстрее. Если б точно 1, возникает исключение exn:fail:contract:delive-by-zero.
Рассмотрите возможность использования fllogb, когда точность важный.
Примеры:
247323723247329i
> (журнал (Exp 1)) 1.0
1,0
> (журнал 2 + 3i) 1.
2824746787307684 + 0.9827
> (журнал 1) 0
> (журнал 100 10) 2.0
> (журнал 8 2) 3.0
> (log 5 5) 1.0
1.0
Изменено в версии 6.9.0.1 базы упаковки: добавлен второй аргумент для произвольных баз.
4.3.2.4 Тригонометрические функции
Возвращает синус z, где z в радианах. То результат обычно неточен, но он точно равен 0, если z То есть точны 0.
примеры:
73E-67779984i
> (SIN 3.14159) 2.6535897
> (SIN 1. 0 + 5.0i)
62.44551846769654 + 40.0
Возвращает косинус z, где z в радианах.
Примеры:
-0,9999999999964793 40.09580630629883-62.43984868079963i
> (COS) 3,14159 > (COS 1.0 + 5.0i)
Возврат тангенс z, где z в радианах. То результат обычно неточен, но он точно равен 0, если z точно 0,
Примеры:
9597э-5 + 1.0000377833796008i
> (тангенс 0,7854) 1.0000036732118496732118496
> (Tan 1.0 + 5.0i) 8.2567198
Возвращает arcsine в радианах z. Результат в норме неточно, но точно 0 если z точно 0 0.
примеры:
> (Asin 0.![]() | |
0.25268025514207865 | |
> (Asin 1.0 + 5.0i) | |
0.1937 | 5549322+2.33097465304i |
Возвращает арккосинус z в радианах.
Примеры:
1,318116071652818 1.37700319644-2.33097465304iВ одном -argument case, возвращает арктангенс неточного приближение z, за исключением того, что результат является точным 0 для z как 0, и возникает исключение exn:fail:contract:divide-by-zero для z как точное 0+1i или точное 0-1i.
> (ACOS 0.25) > (экоса 1.0 + 5.0i)
В случае с двумя аргументами результат примерно такой же, как (atan (/ (точно->неточно y)) (точно->неточно x)), но знаки y
и x определяют квадрант результата. Более того,
подходящий угол возвращается, когда y делится на x
дает +nan. 0 в том случае, если ни y, ни
х равно +нан.0. Наконец, если y точно
0 и x положительное число, результат
точно 0. Если и x, и y точны
0 возникает исключение exn:fail:contract:divide-by-zero.
Примеры:
0,46364760061 1,1071487177940904 -2,03444357027345
> (атан 0.5) > (Atan 2 1) > (Atan -2 -1) > (ATAN 1.0 + 5.0i) 1.530881333938778 + 0.194438778 + 0.19442614214700213i
> (Atan + Inf.0 -inf.0) 2.3561944
Изменено в версии 7 .2.0.2 базы пакетов: изменено на повышение exn:fail:contract:divide-by-zero для 0+1i и 0-1i и получить точный 0 для любого положительного x (не только точных значений), когда y равно 0.
scrbl")" x-source-pkg="racket-doc" x-part-tag=""Complex_Numbers""> 4.3.2.5 Комплексные числа
Создает комплексное число с x в качестве действительной части
и y как мнимая часть. То есть возвращает (+ x (* y 0+1i)).Пример:
Создает комплексное число, которое, если рассматривать его как точку, является величиной от начала координат и вращается угол в радианах против часовой стрелки от положительной оси x.То есть возвращает (+ (* величина (угол cos)) (* величина (угол sin) 0+1i)).Примеры:
Возвращает действительную часть комплексного числа z в прямоугольнике. координаты.
Примеры:
Возвращает мнимую часть комплексного числа z в координаты прямоугольника.
Примеры:
Возвращает модуль комплексного числа z в полярных координатах. координаты. Комплексное число с +inf.0 или -inf.0 как компонент имеет величину +inf.0, даже если другой компонент +нан.0.
Примеры:
Изменено в версии 7.2.0.2 базы пакетов: теперь всегда возвращается +inf. 0
для комплексного числа с +inf.0
или компонент -inf.0.
Возвращает угол комплексное число z в полярных координатах.
Результат гарантированно находится между (-pi) и пи, возможно равно пи (но никогда не равно к (-пи)).
Примеры:
> (угол -3) 3,1415
589793
3 (угол -3)0) 0
> (Угол 3 + 4i) 0.52180016122
> (Угол + инф.0 + Inf.0i) 0.7853981633974483
> (угол -1) 3.1415
589793
4.3.2.6 9004 Возвраты 9004 9004 Побитовые операции побитовое «включающее или» ns в их (полубесконечном) представление дополнения до двух.

Примеры:
Возвращает побитовое «и» нс в их (полубесконечных) двойках дополнить представление. Если аргументы не указаны, результат равно -1.
Примеры:
Возврат побитовое «исключающее или» ns в их (полубесконечном) представление дополнения до двух. Если аргументы не указаны, результат равен 0.
Примеры:
Возвращает побитовое «не» n в его (полубесконечном) дополнении до двух представление.
Примеры:
Возвращает #t, когда m-й бит n установлен в n (полубесконечное) представление дополнения до двух.
Эта операция эквивалентна (не(ноль?(поразрядно-и n(арифметический-сдвиг 1 м)))), но он быстрее и выполняется за постоянное время, когда n положительно.
Примеры:
Извлекает биты между позицией start и (- end 1) (включительно) от n и сдвигает их вниз к наименее значащей части числа.Эта операция эквивалентна вычислению
, но выполняется за постоянное время, когда n положительно, начинается и end являются фиксированными номерами, а (- end start) не более чем максимальная ширина fixnum.
В каждой паре приведенных ниже примеров используются одни и те же числа, показывающие результат как в двоичном виде, так и в виде целых чисел.
Примеры:
Возвращает побитовый «сдвиг» числа n в его (полубесконечное) представление дополнения до двух. Если м неотрицательный, целое число n сдвигается влево на m бит; т. е. m новых нулей вводятся как крайние правые цифры. Если m отрицательно, n сдвигается вправо на (- m) биты; т. е. самые правые m цифр отбрасываются.Примеры:
Возврат количество битов в (полубесконечном) дополнении до двух представление n после удаления всех лидирующих нулей (для неотрицательное n) или единицы (для отрицательного n).
Примеры:
4.3.2.7 Случайные числа
Если важна безопасность, используйте крипто-случайные байты вместо случайных.
При вызове с целочисленным аргументом k возвращает случайный точное целое число в диапазоне от 0 до k-1.
При вызове с двумя целочисленными аргументами min и max возвращает случайное точное целое число в диапазоне от min до max-1.
При вызове без аргументов возвращает случайное неточное число между 0 и 1, исключая.
В каждом случае номер предоставляется заданным псевдослучайным числом генератор (который по умолчанию является текущим, созданным текущий-псевдослучайный-генератор). Генератор поддерживает внутреннее состояние для генерации чисел. Генератор случайных чисел использует алгоритм L'Ecuyer MRG32k3a [L'Ecuyer02], который имеет пространство состояний практически 192 бита.
Изменено в версии 6.4 базы пакетов: Добавлена поддержка диапазонов.
Заполняет текущий генератор псевдослучайных чисел к.Заполнение генератора устанавливает его внутреннее состояние детерминистически; то есть заполнение генератора определенным число заставляет его производить последовательность псевдослучайных чисел, которые одинакова для всех прогонов и для разных платформ.
Функция случайного начального числа удобна для некоторых целей, но обратите внимание, что пространство состояний для генератора псевдослучайных чисел равно намного больше, чем пространство допустимых значений для k. Использовать вектор-> псевдослучайный генератор! установить псевдослучайный генератор чисел в любое из его возможных состояний.
Возвращает новый генератор псевдослучайных чисел. Новый генератор засеян числом, полученным из (текущие миллисекунды).Возвращает #t, если v является генератором псевдослучайных чисел, #f иначе.
Параметр, определяющий генератор псевдослучайных чисел используется random. Создает вектор, который представляет полное внутреннее состояние рэнд-ген. Вектор подходит в качестве аргумента vector->pseudo-random-generator для воссоздания генератора в его текущее состояние (между запусками и платформами).Создает генератор псевдослучайных чисел, внутреннее состояние которого соответствует век.
Возвращает #t, если v является вектором из шести точных целых чисел, где первые три целых числа находятся в диапазоне от 0 до 4294967086 включительно; последние три числа находятся в диапазон от 0 до 4294944442 включительно; по крайней мере один из первые три целых числа отличны от нуля; и как минимум один из последних три целых числа отличны от нуля.
В противном случае результатом будет #f.
4.3.2.8 Другие утилиты случайного выбора
Предоставляет интерфейс для случайного выбора из базовой операционной системы.Использовать крипто-случайные байты вместо случайных везде, где безопасность является беспокойство.Возвращает n случайных байтов. В системах Unix байты полученный из "/dev/urandom", в то время как Windows использует системная функция RtlGenRand.
Пример:
Добавлено в версии 6.3 базы пакетов.
Возвращает случайный элемент последовательности. Как и длина последовательности, не заканчиваться на бесконечных последовательностях, а оценивает всю последовательность.Добавлено в версии 6.4 базы пакетов.
Возвращает список из n элементов последовательности, выбранных случайным образом, перечисленных в любом порядке.Если замена? не является ложным, элементы рисуются с заменой, что позволяет дублировать.
Как и длина последовательности, не заканчивается на бесконечных последовательностях и оценивает всю последовательность.
Добавлено в версии 6.4 базы пакетов.
4.3.2.9 Преобразование числа в строку
Возвращает строку, которая является печатной формой z (см. Печать чисел) в основании, указанном основанием. Если z неточное, Основание должно быть 10, иначе exn:fail:возбуждено исключение контракта.Примеры:
S [ Radix Однорежимные]) → (или / c номер? #F String? Extflonum?) s : строка? Radix: (Integer-In 2 16) = 10
: (или / C 'Номер или false' Read) = 'Number-Or False Читает и возвращает номер номера от с (см.
: (или / C' десятичные -As-неточные десятичные, как-точные) =
Однорежим : ( Или / C 'Single' Double) = Чтение чисел).Необязательный аргумент системы счисления указывает базу по умолчанию для числа, которая может быть переопределена #b, #o, #d или #x в нить.
Если режим преобразования имеет значение «число или ложь», результатом будет #f если s не анализируется точно как числовое значение (без пробелов). Если convert-mode установлен на «чтение», результатом может быть extflonum, а может быть строка, содержит сообщение об ошибке, если чтение s сообщит исключение читателя (но результат все еще может быть #f, если read сообщит о символе).
Аргумент десятичного режима управляет числовым разбором одного и того же способ, которым параметр read-decimal-as-inexact влияет читать.
Однорежимный аргумент точно так же управляет синтаксическим анализом чисел. что параметр read-single-flonum влияет на чтение.
Примеры:
Изменено в версии 6.8.0.2 базы пакетов: Добавлен режим преобразования и аргументы десятичного режима.
Изменено в версии 7.3.0.5: Добавлен аргумент одномодового режима.Выводит n в строку и возвращает строку. Печатный форма n показывает ровно десятичные цифры после запятой десятичная точка. В печатной форме используется знак минус, если n отрицательно, и не использует знак плюс, если n положительно.
Перед печатью n преобразуется в точное число, умножается на (expt 10 десятичных цифр), округляется, а затем снова разделить на (expt 10 десятичных цифр). Результат этого процесс — это точное число, десятичная запись которого не имеет более чем десятичные цифры цифры после запятой (и это при необходимости дополняется конечными нулями).
Если n — действительное число без десятичного представления (например, +nan.0, +inf.0), то возникает исключение exn:fail:contract. (Любое действительное число, которое можно преобразовать в десятичную запись, является рациональным, так что n должно быть рациональным?, несмотря на название функция.)
Примеры:
Преобразует число машинного формата, закодированное в bstr, в точное целое число.Начальный и конечный аргументы указывают подстрока для декодирования, где (- end start) должно быть 1, 2, 4 или 8. Если подписано? правда, то байты декодируются как числа с дополнением до двух, иначе декодируется как беззнаковое целое. Если с обратным порядком байтов? правда, то значение первого байта обеспечивает наиболее значимый восемь битов числа, в противном случае первый байт обеспечивает наименее значащие восемь бит и т.д.
Изменено в версии 6.10.0.1 базы пакетов: Добавлена поддержка декодирования 1-байтовой строки.
Преобразует точное целое число n в число в машинном формате. закодировано в байтовой строке длины size-n, которая должна быть равна 1, 2, 4 или 8. Если подписано? правда, то число кодируется как дополнение до двух, в противном случае оно кодируется как битовый поток без знака. Если с обратным порядком байтов? правда, то старшие восемь битов числа кодируются в первый байт результирующей строки байтов, иначе младшие биты кодируются в первом байте и так далее.
Аргумент dest-bstr должен быть изменяемой строкой байтов длина размер-н. Кодировка n записывается в dest-bstr, начиная с начала смещения, и dest-bstr возвращается как результат.
Если n не может быть закодировано в байтовой строке запрошенного размера и формате возникает исключение exn:fail:contract. Если dest-bstr не длины size-n возникает исключение exn:fail:contract.
Изменено в версии 6.10.0.1 базы пакетов: Добавлена поддержка кодирования 1-байтового значения.
Преобразует число с плавающей запятой IEEE, закодированное в bstr, из позиция от начала (включительно) до конца (исключительно) до неточное действительное число. Разница между запуском end должен быть либо 4, либо 8 байт. Если с обратным порядком байтов? является true, то значение ASCII первого байта обеспечивает наиболее значимый восемь бит представления IEEE, иначе первый байт предоставляет младшие восемь битов и так далее.
Преобразует действительное число x в его представление IEEE в строка байтов длины size-n, которая должна быть 4 или 8.
Если с обратным порядком байтов? верно, то самое существенное восемь битов числа закодированы в первом байте результирующая строка байтов, в противном случае младшие биты закодировано в первом символе и так далее.
Аргумент dest-bstr должен быть изменяемой строкой байтов длина размер-н. Кодировка n записывается в dest-bstr, начинающийся с начала байта, и dest-bstr возвращается как результат.
Если указан dest-bstr и он меньше start плюс size-n байт возникает исключение exn:fail:contract.
Возвращает #t, если исходная кодировка чисел имеет обратный порядок байтов. для машины, на которой работает Racket, #f, если родная кодировка имеет обратный порядок байтов.
4.3.2.10 Дополнительные константы и функции
Аппроксимация числа π, отношения длины окружности к ее диаметр.
Примеры:
Одинаковое значение Как PI, но как точность число с плавающей запятой, если текущая платформа поддерживает его.
> PI 1 3.
1415
589793
> (COS PI) -1,0
Изменено в версии 7.3.0.5 базы пакетов: Разрешить значение быть flonum с двойной точностью.
Преобразует угол x градусов в радианы.
Преобразует x радиан в градусы.
Возвращает знак x как -1, 0 (или вариант с нулевым знаком, когда неточно), 1 или не-число.
Примеры:
> (SGN 10) 1
1
> (SGN -10.0) -1.0
> (SGN 0) 0
> (SGN -0,0) -0,0
> (SGN 0,0) 0.0
> (SGN + NAN.0) + NAN.
0
> (SGN + INF.0) 1.0
> (SGN -инф.0) -1.0
Возвращает комплексное сопряжение z.
Примеры:
Возвращает гиперболический синус z.
Возвращает гиперболический косинус z.
Возвращает гиперболический тангенс z.
Вычисляет наибольшее точное целое число m такое, что:
Отсюда также:
Примеры:
Возвращает #t, если x равно eqv? до +нан.0 или +нан.f; иначе #f.Возвращает #t, если x равно +inf.0, -inf.0, +inf.f, -inf.f; иначе #f.
Добавлено в версии 6.8.0.2 базы пакетов.
Добавлено в версии 6.8.0.2 базы пакетов.
Добавлено в версии 6.8.0.2 базы пакетов.
Добавлено в версии 6.8.0.2 базы пакетов.
Добавлено в версии 6.8.0.2 базы пакетов.
Больше или равно
Символ больше или равно используется для обозначения неравенства в математике.
Он говорит нам, что данная переменная больше или равна определенному значению. Например, если x ≥ 3, это означает, что x больше или равно 3.Он определяет диапазон значений, которые может принимать x, начиная с 3 и заканчивая бесконечностью.
Что больше или равно?
«Больше или равно», как следует из названия, означает, что переменная либо больше, либо равна определенному значению. Слово «больше чем» используется для выражения того, что одна величина больше другой величины. Слово «равно» используется для выражения того, что две величины равны. Когда эти термины объединяются друг с другом, они образуют новый термин, который больше или равен , и этот термин используется, чтобы показать, что предел количества или суммы может быть равен или больше заданного предела.
Например, чтобы человек был избран президентом, ему должно быть не менее 35 лет. Это означает, что возраст человека должен быть больше или равен 35 годам.
Больше или равно символу
Символ «Больше или равно» используется в линейных неравенствах, когда мы не знаем, больше или равно значение переменной определенному значению.
Это выражается символом " ≥" .Этот символ представляет собой не что иное, как символ «больше чем» (>) со спальной чертой под ним. Спящая линия под большим знаком означает «равно».
Вот пример, чтобы вы лучше поняли эту концепцию. Чтобы школа могла участвовать в олимпиадном экзамене, количество учащихся в каждом классе должно быть не менее 10. Это означает, что если в любом из классов участвует менее 10 учащихся, ни один из учащихся этого класса не может сдать олимпиадный экзамен. Если х представляет количество учащихся, участвующих в классе, то х должен быть больше или равен 10.Это представлено: x ≥ 10Вот несколько других примеров для «Больше или равно»
- x ≥ 100 означает, что значение x должно быть больше или равно 100.
- a ≥ - 2 означает, что значение a должно быть больше или равно -2.
Больше или равно приложению
В таблице ниже показано, где и как используется символ больше или равно, а также примеры и значения.
Символ Пример Значение Больше или равно, ≥ х ≥ 2
2 ≥ х ≥ −1
Значение x больше или равно 2.
Значение x должно находиться в диапазоне от −1 до 2, включая оба значения.
☛Статьи по теме
Ознакомьтесь с важными темами, упомянутыми ниже, чтобы узнать больше о большем или равном и связанных с ним темах.
Часто задаваемые вопросы о больше или равно
Что больше или равно в математике?
Больше или равно, как следует из названия, означает, что что-то либо больше, либо равно некоторому количеству. Больше или равно представлено символом «≥». Например, x ≥ −2 означает, что значение x должно быть больше или равно −2.
Что такое символ больше или равно?
Символ «больше или равно» выглядит как «≥».
Открытая сторона символа должна находиться перед большим значением. Подчеркивание в символе показывает, что значение может быть больше или равно пределу. Например, х ≥ 5,
Здесь значение x должно быть равно или больше 5.Как объяснить больше или равно?
Больше или равно - это нечто большее или равное заданной величине. Это также может быть выражено как минимум или минимум. Например, базовая заработная плата должна составлять 5 долларов или более 5 долларов, или мы можем сказать, что она должна быть больше или равна 5 долларам.
В чем разница между больше и больше или равно?
Больше чем представлено символом >, тогда как больше или равно представлено как ≥. Больше чем означает, что некоторая переменная или число может иметь любое значение, которое больше заданного предела, не меньше или равно этому пределу, но больше или равно указывает, что число или переменная может быть больше или равно заданный лимит.
В чем разница между больше или равно и меньше или равно?
Больше или равно говорит о том, что сумма должна быть больше или равна минимальному пределу, тогда как меньше или равно прямо противоположно больше и равно.
Меньше или равно средствам, сумма должна быть равна или меньше максимального предела.
В чем разница между больше или равно и равно?
Больше или равно количеству должно быть больше или равно заданному пределу и равно (=) означает, что количество фиксировано. Оно не должно быть меньше или больше.
4 больше или равно 3?
Нет, мы не можем сказать, что 4 больше или равно 3. Потому что 4 больше 3, а не равно 3.Следовательно, правильным предложением будет 4 больше 3.
Какая польза от больше или равно?
Больше или равно используется, чтобы показать, что одна переменная больше или равна заданной величине. Например, у компании есть политика запуска продукта либо по той же цене, либо по более высокой, чем старая цена. Таким образом, мы можем сказать, что цена нового продукта больше или равна старой цене.
Глоссарий по математике N-Z
Срок Определение Н Натуральные числа Н {1,2,3,. ..}
Отрицание ~ Отрицание утверждения ложно, если утверждение истинно, и истинно, когда утверждение ложно. Значение здесь НЕ или ТО НАПРОТИВ. Метод Ньютона Метод Ньютона для оценки корней полиномиальных функций:
Неколлинеарные точек, не все из которых лежат на одной прямой. Нулевой набор {} Набор без содержимого. (См. Пустой Комплект) О Один на один Функция А или отношение взаимно-однозначное, если нет двух точек в функция имеет разные x-координаты и те же y-координаты. (Эта функция затем проходит тест горизонтальной линии.
Открытый интервал Интервал который не включает ни одну из конечных точек. По-другому чтобы записать этот интервал выше: ( a , b 0. «Округленный» круглые скобки указывают, что a и b не должны включаться. Открытое предложение Предложений (уравнений), в которых есть заменяемые переменные. Открытые предложения не могут быть помечены как истинные или ложные, их статус «открыт». Заказная пара (а, б) Набор из двух чисел с координатой x (независимый переменная) указана первой, а координата y (зависимая переменная) указана второй. Заказ операций Порядок, в котором должны выполняться математические операции. В случае ничьей работайте слева направо.
Сокр. Память Представляет собой Ранг п Пожалуйста Скобки 1 Е Извинение Экспоненты 2 М Мой Умножение 3 Д дорогой Разделение 3 А Тетя Добавление 5 С Салли вычитание 5 П Парадокс Предложение, которое противоречит самому себе. (Пример: это утверждение ложно.) Параллельный Две или более линий, которые никогда не пересекаются.Их наклоны абсолютно равны. Параметр Третья переменная, которая x и y описываются в терминах. ( t — часто используемый параметр представляющий время. Параметрический Кривая Декартов график или кривая, представленная двумя параметрическими уравнениями. Параметрический Уравнения Два уравнения, каждое из которых представляет координаты x и y декартова графа, выраженного через третью переменную или параметр. Идеально Квадратные трехчлены Перпендикулярный Две линии, образующие прямой угол (90 градусов).Их склоны являются отрицательными обратными друг другу. (Произведение их наклонов это -1) Многочлен Алгебраический выражение с более чем одним термином (мономиальное) Мощность Функция Функция А где независимая переменная является базой и константой является показателем. , где x — независимая переменная, а c — константа, и является положительным целым числом.
Правило продукта
(для производных)Производная произведения есть первая функция, умноженная на производная второй функции плюс вторая функция, умноженная по производной первой функции.В символах это показано ниже: Правильное подмножество подмножество, но не равное другому набору. Недвижимость Принципы или правила, которым всегда следует математика. Чистый Воображаемые числа Для любого положительного действительного числа b , где i — мнимое единица, а bi называется чисто мнимым числом. К Квадратное уравнение Квадратное уравнение – это уравнение вида: , где a , b и c — действительные числа, где a 0.(Степень уравнения равна 2) (Старший показатель степени переменной 2) Квадратичная формула Дано квадратное уравнение в форма: , и что , то решения уравнения всегда будут: . Квадрант Ось X и ось Y разделить плоскость на четыре области, называемые квадрантами.Они пронумерованы римскими цифрами, начиная с правого верхнего квадранта и продолжая при вращении против часовой стрелки. Коэффициент Правило Производная частного равна знаменателю, умноженному на производную числителя минус числитель, умноженный на производную от знаменателя, все разделить на квадрат знаменателя.Символами это показано ниже: Р Рационал Функция Отношение двух полиномиальных функций, , где . Рационал Номера Вопрос
Десятичная форма: повторитель или терминаторДиапазон Набор всех координат y в отношении. Реальные числа р Взаимный Число, которое при умножении на заданное число дает Мультипликативное Личность (1).
(См. Мультипликативное Обратный)Отражающий Трансформация Модификация функции, которая приводит к отражению функции относительно оси x или оси y. отражает график относительно оси x. отражает график относительно оси Y. Рефлексивный Имущество (равенства) Для любого действительного числа и , и = Связь Любой комплект под заказ пары. Относительный максимум Максимальное значение функции рядом с указанным значением в домене. (См. Местный Максимум) Относительный минимум Минимальное значение функции рядом с указанным значением в домене. (См. местный Минимум) Съемный Разрыв Разрыв в точке, который можно устранить, задав работать только в этой точке.Это часто отображается в виде графика с дырка в нем. Вот пример: Загадка I (факторинг) Загадка II (факторинг) Правый ограничитель Функция А непрерывен справа, если (Это называется правым предел. Основная функция Экспоненциальная функция, где где n является целым числом. Это также может быть указано как. Матрица строк Матрица только с 1 рядом. С Скаляр В контексте матрицы проблема, скаляр - это нематричное, "нормальное" число. Скаляр Умножение скаляр умножается на каждый элемент матрицы. Точечная диаграмма График научных данных с двумя переменными. Научный Обозначение Число с десятичной точкой после умножения первой ненулевой цифры на 10 в соответствующей степени. Секущая Линия, пересекающая кривую в двух точках. Комплект Коллекция предметов (элементов) или объекты Простой Заявление Один оператор. Наклон Крутизна линии. Отношение вертикального изменения к горизонтальному изменять. Средняя скорость изменения за интервал.
Решение А замена (подмена) для переменной, которая составит уравнение истинный. Квадратная матрица Матрица с тем же номером или строками, что и столбцы. Заявление Повествовательное предложение, которое можно классифицировать как истинное или ложное, но не то и другое одновременно.(Это эксклюзив ИЛИ ) Растяжка Трансформация Модификация функции что заставляет функцию «растягиваться» по вертикали или горизонтали. В функции и могут «растягивать» (или сжимать) синусоидальную функцию. Если , то отрицательное, это также приводит к инвертированию функции.
Подмножество Набор, все элементы которого также являются элементами другого набора Замена Свойство если то любой может быть заменен на любой в любое время Вычитание функций .домен для этой комбинированной функции является , где A — область определения функции f , а B — область область действия g . Пример, если: и , затем Сумма Два кубика Симметричное свойство
(равенства)Для всех действительных чисел a и b , если a = b , то b = a Т Касательная Линия А или отрезок, который пересекает кривую только в одной точке. В обоих примерах ниже линия l касается кривой. Несмотря на то, что второй на рисунке показана линия, пересекающая кривую более чем в 1 точке, «локально» вокруг точки P существует только одна точка пересечения. Этот это особое отношение, потому что линия может легко пересечь кривую в ноль или две точки. Касание является особенным с касанием только в один пункт.
Срок Выражение это число, переменная или произведение числа и одной или нескольких переменных.Также называется мономом. Терминал Точка Конечная точка параметрической кривой это точка, которая представляет значения x и y , когда параметр принимает наибольшее значение в его домен. Переходный Имущество (равенства) Для всех действительных чисел a , b , и c , если a = b и b = c ,
тогда a = c .Трихотомия Свойство Для любых действительных чисел a и b либо
1)abТригонометрический Функция Функция, которая включает в себя алгебраические операции и любую из шести тригонометрические определения.(синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс, котангенс). Пример: Трансцендентный Функция Функция, которая не является алгебраической. Сюда входят тригонометрические, обратные тригонометрические, экспоненциальные и логарифмические функции. Пример:
Перевод Модификация функции, которая приводит к тому, что вся функция перемещается или «переводится» по горизонтали от своего исходного положения.В зависимости на значение h в следующей функции, f(x) будет быть переведены влево или вправо. Если ч = 2, то f(x) будет перевел на 2 единицы вправо. Если ч = (-1), то f(x) будет смещено на 1 единицу вправо. Таблица истинности Таблица всех возможных результатов символического оператора. У Союз Объединение наборов в основной набор. Объединение не даст кратных одному и тому же элементу
Универсальный Набор U Комплект всех элементов под обсуждением. В Переменная Символ, представляющий неизвестную величину. Вершина (геометрия) Конечные точки сегмента линии.(множественное число: вершины) Vertex (сети) Концы дуг. Вертикальный Линейный тест Тест, который проводит вертикальную линию в любом горизонтальном положении. Если в любой позиции есть пересечение более чем в одной точке, то отношение не проходит тест вертикальной линии, и отношение не является функцией.
Вт Целые числа Вт {0,1,2,...} Х Ось X Горизонтальная опорная линия в системе координат Самолет. Координата X Первая координата в упорядоченной паре. Это представляет собой независимый Переменная. Х-перехват Точка пересечения графика ось х. Д Ось Y Вертикальная опорная линия в системе координат Самолет. Координата Y Вторая координата в упорядоченной паре.Это представляет собой зависимое Переменная. Y-пересечение Точка пересечения графика с осью Y. З Ноль Свойство продукта Когда у вас есть произведение, равное нулю, тогда каждый и любой фактор может привести к тому, что произведение будет равно нулю. (или любая их комбинация)
реальный номер | математика | Британика
действительное число , в математике количество, которое может быть выражено как бесконечное десятичное расширение. Действительные числа используются для измерения постоянно меняющихся величин, таких как размер и время, в отличие от натуральных чисел 1, 2, 3, …, возникающих при счете. Слово реальное отличает их от комплексных чисел, содержащих символ i или квадратный корень из √−1, используемый для упрощения математической интерпретации эффектов, таких как те, которые происходят в электрических явлениях.Действительные числа включают положительные и отрицательные целые числа и дроби (или рациональные числа), а также иррациональные числа. Иррациональные числа имеют десятичные разложения, которые не повторяются, в отличие от рациональных чисел, разложения которых всегда содержат повторяющуюся цифру или группу цифр, например 1/6 = 0,16666… или 2/7 = 0,285714285714….
Десятичное число, сформированное как 0,42442444244442…, не имеет регулярно повторяющейся группы и поэтому иррационально.
Наиболее известные иррациональные числа — это алгебраические числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.Например, решение уравнения x 2 − 2 = 0 – это алгебраическое иррациональное число, обозначаемое квадратным корнем из √2. Некоторые числа, такие как π и e , не являются решениями любого такого алгебраического уравнения и поэтому называются трансцендентными иррациональными числами. Эти числа часто могут быть представлены как бесконечная сумма дробей, определенных каким-либо регулярным образом, действительно, десятичное разложение является одной из таких сумм.
Британская викторина
Забавные факты об измерениях и математике
Что измеряет барометр? В какой год люди растут быстрее всего? Соберитесь с мыслями и измерьте свои знания, пройдя этот тест.
Действительные числа можно охарактеризовать важным математическим свойством полноты, означающим, что каждое непустое множество, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую такую границу, свойство, которым не обладают рациональные числа. Например, множество всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, не имеет наименьшей верхней границы, потому что квадратный корень из √2 не является рациональным числом. И иррациональные, и рациональные числа бесконечно многочисленны, но бесконечность иррациональных чисел «больше», чем бесконечность рациональных чисел, в том смысле, что рациональные числа могут быть объединены в пары с подмножеством иррациональных чисел, тогда как обратное соединение невозможно.
Почему мы используем букву X для обозначения неизвестного?
В алгебре нас часто просят решить для x , а в английском языке буква x часто используется для обозначения неизвестного — X обозначает пятно, рентгеновские лучи, а Мистер Х — для обозначения неизвестного.
пример. Но как это конкретное письмо стало ассоциироваться с такой тайной?
В приведенном выше TED Talk 2012 года Терри Мур прослеживает использование буквы x в алгебре до арабского слова al-shalan, что означает «неизвестное», утверждая, что в переводах произведений арабских математиков это слово было связано с греческой буквой хи, а затем дошло до нас через латынь и, в конце концов, через испанский язык.Это интересная история — похожее объяснение есть даже в словаре Ноя Вебстера, — но правда ли это?
Фактически, использование x (а также y и z ) стало обычным явлением благодаря использованию Рене Декартом последних трех букв алфавита для обозначения неизвестных величин в его трактате La Géométrie . В своем классическом исследовании A History of Mathematical Notations Флориан Каджори говорит, что нет никаких исторических свидетельств арабской связи с использованием Декартом числа x , и фактически перечисляет ряд других историй, связанных с буквой: Некоторые писатели утверждали, что принтер Декарта хотел использовать x в качестве неизвестной величины, потому что эта буква относительно редко появляется во французском и латинском языках, что делает ее удобной для набора.
(Однако Декарт использовал x как неизвестное задолго до того, как книга была набрана, хотя некоторые авторы задавались вопросом, объясняет ли это возможное преобладание x над y и z .) Другие отмечают сходство между букву x и общепринятый немецкий математический символ для неизвестного, и предложили Декарту передать этот немецкий символ как x . (Декарт на самом деле использует этот символ вместе с x ). Еще одна гипотеза предполагала, что x было скрещенной цифрой 1, основанной на обозначении Катальди первой степени неизвестного.
G/O Media может получить комиссию
Возможно, это не такое сексуальное объяснение, но Декарт, возможно, просто рассматривал буквы в конце алфавита как удобные обозначения для неизвестного — напротив, у него было a , b и c представляют известные. Другие математики той эпохи играли со своими собственными обозначениями, например Дж. Х. Ран, который использовал строчные буквы для обозначения неизвестных величин и заглавные буквы для обозначения известных величин.