Задачи геометрическая прогрессия – Урок по теме «Решение экономических задач с помощью арифметической и геометрической прогрессии» — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 29.01.202015.01.2020 by alexxlab

Содержание

Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессии

Геометрическая прогрессия

Определение геометрической прогрессии

Последовательность , первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q — знаменатель прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством , где .

Отношение любого члена геометрической прогрессии и ему предшествующего члена, равно одному и тому же числу

Если , то — монотонна
Если , то — постоянна

Последовательность

является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть

Произведение членов геометрической прогрессии, равностоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

, где

Формулы суммы n членов геометрической прогрессии:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна

Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессии

Цель урока: уточнить, обобщить и систематизировать знания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и закрепить умения и навыки в решении задач на прогрессии.

Задачи:

Вспомнить необходимые правила, научить учащихся применять их при решении различных примеров.
Развивать математические способности.
Воспитывать математическую грамотность и прилежность.

Оборудование:

индивидуальные пластиковые доски у каждого ученика;
стенд, кодоскоп, экран, конверты с заданиями.

План урока:

Проверка домашнего задания.
Повторение теории.
Устные упражнения.
Диагностический замер.
Решение упражнений.
Домашнее задание.
Тест.
Итог урока.
Дополнительное задание.

Ход урока.

Введение в урок: сообщение целей и задач урока, знакомство с планом.

Проверка домашнего задания.

Учащиеся по образцу проверяют и оценивают свою домашнюю работу (через кодоскоп).

№ 1.

а₅ = -3,7; d = -0,6; а_n = -9,7; n – ?
а₅ = а

1 + 4d; a₁ = a₅ – 4d; a₁ = -3,7 + 4 * 0,6 = -1,3
a_n= a₁ + d(n – 1)
-9,7 = -1,3 – 0,6(n – 1)
0,6n = 9
n = 15
Ответ: n = 15.

№ 2.

S₁₀ – ?
d = ;

Ответ: .

№ 3.

; ; -?

Ответ: .

Учитель просит сначала поднять руку тех учеников, которые справились со всей работой, затем у кого работа вызвала затруднения.

Повторение теории.

Ученики в парах повторяют теоретический материал.

План ответа:

Определение.
Формула n-го члена.
Формула суммы n-первых членов.

1 вариант отвечает по теме «Арифметическая прогрессия», 2 вариант по теме «Геометрическая прогрессия».

Устные упражнения.

(а_n): 4; 9; 16; 25; …
(в_n): 32; -16; 8; -4; …

(с_n): -6; -3; 0; 3; …
(х_n): 1; 8; 27; 64; …

Какая из данных числовых последовательностей является арифметической прогрессией? (с_n)
Укажите её разность. (3)
Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии. (-6)
Если поменять порядок членов этой прогрессии на обратный, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией? (Да.)
Укажите её разность. (-3)
Какая из данных числовых последовательностей является геометрической прогрессией? (в_n)
Укажите знаменатель этой прогрессии. (-)
Найдите шестой член данной прогрессии. (-1)
Сравните в₄ и в₅. (в₄ < в₅)
Если поменять порядок членов этой прогрессии на обратный, то будет ли полученная последовательность геометрической прогрессией? (Да.)

Укажите знаменатель полученной прогрессии. (-2)
Найдите сумму четырёх первых членов полученной прогрессии? (20)

Учащиеся записывают ответы на индивидуальных пластиковых досках и показывают учителю.

Диагностический замер.

(a_n) – арифметическая прогрессия.

а₁= 17; d = -3; а₂ – ?
а₂= -1; d = 2; а₁ – ?
а₃= 3,2; а₄ = 5,6; d – ?
а₁= -1; d = 2; а₅ – ?
а₁= 19; а₅ = -3; S₅ – ?

(b_n) – геометрическая прогрессия.

b₁= -7; q = 3; b₂ – ?
b₁= -12; q = ; b₃ – ?
b₅ = 6; b₆= 2; q – ?
2; b₂; 8; 16 … b₂ – ?
b₁= 1; q = -2; S₅ – ?

На выполнение этого задания 5 минут. Ученики записывают только ответы. Затем стоя проверяют ответы (учитель показывает через кодоскоп), оценивают свою работу и садятся на свои места. Учитель просит поднять руку, кто выполнил на «5», «4» и т.д.

Ответы: 14; -3; 2,4; 7; 40; -21; -3; 1/3; 4; 11.

10 пр. – «5»; 9, 8, 7 пр. – «4»; 6, 5 пр. – «3»; менее 5 пр. – «2».

Решение упражнений.

Ученики выполняют упражнения, которые оцениваются на экзамене 2 балла и 3 балла (3 ученика у доски, остальные в тетрадях). Группа учеников выполняет индивидуальное задание, которое оценивается 4 балла (после выполнения учащиеся получают лист самоконтроля). Ученики, успешно справившиеся с выполнением задания, приступают к выполнению дополнительного задания.

№ 1. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а ее разность равна 4. Начиная с какого номера члены этой прогрессии больше 260?

а_n= 6; d = 4; а_n260; n – ?
а_n= а₁ + d(n – 1)
а_n= 6 + 4(n – 1)
6 + 4(n – 1) 260
n 64,5
Т.к. n N, n = 65.
Ответ: начиная с номера 65.

№ 2. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с тридцатого по сороковой включительно, если а_n= 3n + 5.

а_n= 3n + 5; S_30-40 – ?

Ответ: 1210.

№ 3. Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Ответ:

Индивидуальное задание. Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069?

Ответ: 10.

Домашнее задание:

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель прогрессии равен -4. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии.

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6.
Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвертый равен 24.

*В геометрической прогрессии (b_n), знаменатель которой – число отрицательное,
b1 * b2 = -, b3 * b4 = -8. Найдите эти четыре члена прогрессии.

Тест (на выполнение этого задания 15 минут)(см. Приложение).

Итог урока.

Дополнительное задание*. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются числами натуральными (a₁ = 11, d = 2; a₁ = 2, d = 4).

Прогрессия в геометрических задачах

Задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в большинстве своем являются достаточно простыми. Для их решения используется всего лишь четыре формулы – это формулы нахождения n-ого члена прогрессии и формулы вычисления суммы n первых членов прогрессии. Однако сложность состоит в том, как и где увидеть в задаче прогрессию и правильно определить и записать необходимые формулы. Достаточно часто задачи на прогрессию встречаются и в геометрии, но суть их решения остается той же – записать нужную формулу и решить ее. Приведенные ниже примеры продемонстрируют вам это.

Пример 1.

Длины сторон AB, BC, AC треугольника ABC образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти во сколько раз высота треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC, больше радиуса, вписанной в этот треугольник окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник ABC и проведем в нем высоту AH = h (рис. 1).

Зная, что стороны AB, BC, AC треугольника ABC образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, введем следующие обозначения. Пусть AB = a, тогда BC = a + d, а AC = a + 2d. Здесь d – это разность арифметической прогрессии. Теперь запишем формулы для вычисления площади треугольника.

Итак, во-первых, S_ABC можно вычислить с помощью высоты, проведенной из вершины A к стороне BC. Имеем:

S_ABC = 1/2 AH · BC = 1/2 · h · (a + d).

Во-вторых, площадь треугольника можно вычислить с помощью полупериметра и радиуса вписанной в этот треугольник окружности:

S_ABC = p · r = (AB + BC + CA)/2 · r = (a + a + d + a + 2d)/2 · r = (3a + 3d) · r = = 3(a + d)/2 · r.

Полученные для площади треугольника ABC выражения можно приравнять. Будем иметь:

½ · h · (a + d) = 3(a + d)/2 · r.

Левую и правую части полученного уравнения можно сократить на (a + d) ≠ 0.

1/2 h = 3/2 r. Выразим h:

h = 3 r.

Таким образом, мы получили, что высота треугольника в три раза больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

Ответ: 3.

Пример 2.

В окружность радиусом √3 вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в окружность снова вписан правильный треугольник и т.д. Найти сумму периметров всех треугольников.

Решение.

1) Так как радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, то радиус окружности, описанной коло треугольника A₁A₂A₃ (R₁ = √3) в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника B₁B₂B₃ (R₂ = R₁/2). Он же, в свою очередь, в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника C₁C₂C₃ (R₃ = R₂/2 = R₁/4) и т. д. (R_n = R₁/2ⁿ^{— 1}) (рис. 2).

2) Выразим стороны правильных треугольников через радиусы описанных около них окружностей по формуле a₃ = R√3. Тогда имеем:

A₁A₂ = R₁√3;

B₁B₂ = R₂√3 = R₁√3/2;

C₁C₂ = R₃√3 = R₁√3/4 и т. д.

Периметры соответствующих треугольников равны:

P_A1A2A3 = 3R₁√3;

P_B1B2B3 = 3R₁√3/2;

P_C₁_C2_C3 = 3R₁√3/4 и т. д.

Сумма периметров треугольников (3R₁√3 + 3R₁√3/2 + 3R₁√3/4 + …) представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/2 и первым членом a₁ = 3R₁√3 = 3 · √3 · √3 = 9.

С помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = a₁/(1 – q) находим, что

P_A₁_A2_A3 + P_B₁_B2_B3 + P_C₁_C2_C3 + … = 9/(1 – 1/2) = 18.

Ответ: 18.

К большинству задач по геометрии, а уж тем более к тем из них, в которых необходимо побороться с прогрессией, многие ученики – пользователи нашего сайта – относятся в лучшем случае настороженно. Но когда с помощью наших онлайн репетиторов ученики вдруг начинают понимать ход решения задачи и видеть, какие правила и формулы можно и нужно применять в той или иной ситуации, их чувство самооценки растет и заставляет стремиться к новым свершениям.

Самое главное в решении задач – это научиться не просто, отрешенно вчитываться в текст, а быть настроенным на получение конечного результата. Только тогда решение любой задачи станет приятным и легким делом, не будет ставить в тупик, а будет давать пищу для воображения и ума.

Решение задач – это по-настоящему творческий процесс, и Вы почувствуете это, занимаясь с нами.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи по геометрии?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

Прогрессии: задачи для продвинутых

Прогрессия – благодатная тема. Придумать задач можно великое множество, причем разной сложности, смешать в задаче и арифметическую, и геометрическую прогрессии. Представляю вашему вниманию задачи, которые, по мнению авторов, относятся к уровню В. Но на мой взгляд, задачи довольно сложные – для сильного ученика.

Задача 1. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

Запишем условия:

$\frac{a_9}{a_2}=7$

$a_{10}=2a_5+5$

Теперь распишем члены прогрессии через первый член и разность прогрессии:

$a_9=a_1+8d$

$a_2=a_1+d$

$a_{10}=a_1+9d$

$a_5=a_1+4d$

И подставим в наши уравнения:

$a_9=7a_7$

$a_1+8d=7(a_1+d)$

$6a_1=d$

И второе:

$a_1+9d=2(a_1+4d)+5$

$d-5=a_1$

Откуда

$6a_1-5=a_1$

$a_1=1$

$d=6$

Ответ: a_1=1 , d=6 .

Задача 2. Даны две арифметические прогрессии (11; 15; 19; …), (154; 147; 140; …). Найдите все общие члены этих прогрессий.

Разность первой прогрессии равна 4, второй – 7. Запишем n-ный член для каждой прогрессии:

$a_{n1}=7+4n$

$a_{n2}=161-7m$

Мы ищем одинаковые члены прогрессий, поэтому приравняем выражения:

$7+4n=161-7m$

$m=22-\frac{4}{7}n$

Таким образом, подберем значения , кратные 7, чтобы число было целым: при n=7 – m=18 , при n=14 – m=14 , при n=21 – m=10 , при n=28 – m=6 , при n=35 – m=2 .

Следовательно, общие члены прогрессий

$161-7m=161-7\cdot18=35$

$161-7m=161-7\cdot14=63$

$161-7m=161-7\cdot10=91$

$161-7m=161-7\cdot6=119$

$161-7m=161-7\cdot2=147$

Ответ: 35, 63, 91, 119, 147.

Задача 3. a_n – арифметическая прогрессия. , $a_1\cdot a_3\cdot a_5=80$ . Найдите a_1 .

Сумму можно представить как

$a_1+a_3+a_5=a_1+a_1+2d+a_1+4d=3a_1+6d=-12$

Разделим на 3:

$a_1+2d=-4$

То есть

$a_3=-4$

Тогда

$a_1+a_5=-8$

$a_1\cdot a_5=-20$

Тогда

$a_1(-8-a_1)+20=0$

$a_1^2+8a_1-20=0$

$a_1=-10$

Или

$a_1=2$

Ответ: a_1=-10 или a_1=2 .

Задача 4. Найдите сумму всех чётных трёхзначных чисел, делящихся на 3.

Такие числа обязательно делятся на 6, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью d=6 . Первый член нашей прогрессии, очевидно, 102 – числа 100 и 101 не делятся на 6. Последний член – 996. Определим его номер:

$a_n=a_1+d(n-1)$

$996=102+6(n-1)$

$n=150$

Теперь можно найти сумму таких чисел:

$S_{150}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{204+6(150-1)}{2}\cdot150=82350$

Ответ: 82350.

Задача 5. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $\mid q \mid<1$ равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

По условию

$S_n=\frac{b_1}{1-q}=4~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Также

$b_1^3+b_2^3+b_3^3+ \ldots =192$

Запишем последнее так:

$b_1^3+b_1^3q^3+b_1^3q^6+\ldots=192$

$b_1^3 (1+q^3+q^6+\ldots)=192$

В скобках можно заметить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q^3 , тогда

$b_1^3\cdot\frac{1}{1-q^3}=192~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

А из самого первого уравнения этой задачи следует, что

$b_1=4(1-q)$

Тогда

$b_1^3=64(1-q)^3$

Подставим это в (2)

$64(1-q)^3\frac{1}{1-q^3}=192$

Откуда, сокращая, получаем

$(1-q)^2=3(1+q+q^2)$

Получаем квадратное уравнение

$2q^2+5q+2=0$

$q=-2, q=-\frac{1}{2}$

Первый корень не подходит по условию, тогда

$b_1=4(1-q)=4(1+\frac{1}{2})=6$

Ответ: $b_1=6, q=-\frac{1}{2}$ .

Задача 6. Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21; а сума средних равна 18.

Дано:

$a+f=21$

$b+c=18$

Также известно, что

$b=aq$

$c=aq^2$

$c=b+d$

$f=b+2d$

Тогда разность арифметической прогрессии может быть найдена как

$d=c-b=aq^2-aq=aq(q-1)$

Сумма средних равна

$aq+aq^2=aq(1+q)=18~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Сумма крайних (с учетом, что )

$a+ aq^2+d=21$

Подставим разность :

$a+ aq^2+ aq^2-aq =21$

Имеем:

$a(1+2q^2-q)=21~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Разделим теперь (2) на (1):

$\frac{1+2q^2-q }{ q(1+q)}=\frac{7}{6}$

Получили квадратное уравнение:

$12q^2-13q+6=0$

Корни: q=2 или q=0,6 .

Если q=2 , то $a=\frac{18}{q(1+q)}=3$

Тогда b=6 , c=12 , а $d=21-aq^2-a=21-3\cdot4-3=6$ . Следовательно, .

Если q=0,6 , то $a=\frac{18}{q(1+q)}=18,75$

Тогда b=11,25 , c=6,75 , а . Следовательно, .

Ответ: 3, 6, 12, 18 или 18,75, 11,25, 6,75, 2,25.

Задача 7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите эти числа.

Итак, a, b, c – образуют геометрическую прогрессию, по ее свойствам

$b=aq_1$

$c=aq_1^2$

Числа – образуют арифметическую прогрессию. То есть

$a+d=b+2$

$a+2d=c$

Числа снова образуют геометрическую прогрессию, но знаменатель у нее может быть другим:

$aq_2=b+2$

$aq_2^2=c+9$

Знаменатель первой геометрической прогрессии

$q_1=\frac{c}{b}$

А второй геометрической

$q_2=\frac{c+9}{b+2}$

По свойству геометрической прогрессии можно записать:

$b^2=ac$

$a=\frac{b^2}{c}$

Но вторая геометрическая обладает тем же свойством:

$(b+2)^2=a(c+9)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

$a=\frac{(b+2)^2}{c+9}$

Приравниваем , полученные таким образом из обоих прогрессий:

$\frac{b^2}{c}=\frac{(b+2)^2}{c+9}$

Упрощая это, имеем:

$b^2(c+9)=(b+2)^2c$

$9b^2-4bc-4c=0$

$c=\frac{9b^2}{4(b+1)}$

Тогда

$a=\frac{b^2}{c}=\frac{b^2}{\frac{9b^2}{4(b+1)}}=\frac{4(b+1)}{9}$

Разность арифметической прогрессии

$d=b+2-a=b+2-\frac{4(b+1)}{9}=\frac{5b+14}{9}$

Тогда

$a+2d=c$

$\frac{4(b+1)}{9}+\frac{2(5b+14)}{9}=\frac{9b^2}{4(b+1)}$

Откуда

$4(b+1)+2(5b+14)= \frac{81b^2}{4(b+1)}$

$4(14b+32)(b+1)=81b^2$

$25b^2-184b-128=0$

$\frac{D}{4}=92^2+128\cdot25=11664=108^2$

$b=\frac{92+108}{25}=8$

$b=\frac{92-108}{25}=-0,64$

В случае, если b=8 , то $a=\frac{4(b+1)}{9}=4$ , $c=\frac{9b^2}{4(b+1)}=16$ .

В случае, если b=-0,64 , то $a=\frac{4(b+1)}{9}=0,16$ , $c=\frac{9b^2}{4(b+1)}=2,56$ .

Ответ: 4, 8, 16 или 0,16, -0,64, 2,56.

Задача 8. Найдите три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно $\frac{14}{3}$ .

$a\cdot b \cdot c=64$

$\frac{a+b+c}{3}=\frac{14}{3}$

Или .

По свойству прогрессии

$b^2=ac$

$b^2=\frac{64}{b}$

Откуда b=4 .

Тогда

$a \cdot c=16$

$a+c=10$

Либо a=2 , c=8 , либо наоборот, c=2 , a=8 .

Ответ: 2, 4, 8 или 8, 4, 2.

Задача 9. Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии равны соответственно 7 и (-5). У второй прогрессии первый член равен 0, а последний равен 3,5. Найдите сумму членов второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих прогрессий равны между собой.

Так как первый и пятый на одинаковом «расстоянии» от третьего, то выполняется свойство прогрессии:

$a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=1$

Таким образом, у второй прогрессии первый член – 0, а третий – 1, значит, второй – 0,5 и разность тоже 0,5. Следовательно, 3,5 – это восьмой член прогрессии. Осталось сосчитать сумму:

$S_8=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{0+0,5(8-1)}{2}8=14$

Ответ: 14.

Задача 10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 7.

Такие числа обязательно делятся на 7, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью d=7 . Первый член нашей прогрессии, очевидно, 105 – числа 100, 101, 102, 103 и 104 не делятся на 7. Последний член – 994. Определим его номер:

$a_n=a_1+d(n-1)$

$994=105+7(n-1)$

$n=128$

Теперь можно найти сумму таких чисел:

$S_{128}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{210+7(128-1)}{2}\cdot128=70336$

Ответ: 70336.

Задача 11. Найдите сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $\mid q \mid<1$ , если её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов членов к сумме членов равна $\frac{16}{3}$ .

$b_2=b_1q=4$

$\frac{b_1^2+b_2^2+b_3^2+\ldots}{b_1+b_2+b_3+\ldots}=\frac{16}{3}$

Преобразуем:

$\frac{b_1^2+b_1^2q^2+b_1^2q^4+\ldots}{b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots}=\frac{16}{3}$

$\frac{b_1^2(1+q^2+q^4+\ldots)}{b_1(1+q+q^2+\ldots)}=\frac{16}{3}$

В скобках имеем в числителе – сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q^2 , а в знаменателе – сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем . Тогда