Задачи на четность и нечетность: Решение задач на четность и нечетность. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 25.02.197016.07.2021 by alexxlab

Содержание

Четность и нечетность функции — алгоритм исследования, условие и примеры

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

Область определения — D (f).
Виды.
Правила.
Свойства для четных и нечетных.
Классификация.

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
Составные или сложные.

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

Разложить при необходимости на простые элементы.
Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
Сделать соответствующий вывод.

Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.

Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут.

Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).

Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
Радикал положительной нечетной степени.
Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
Интегральный синус: Si (x).
Матье: se (x).

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. 2) / 2c²].

Кардинальный синус: sinc (x).

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y² — y — 2) / (y² — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

Состоит из двух элементов: g (y) = y² — y — 2 и h (y) = y² — 1. 2 — 1 = y² — 1.
В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y² отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Вывести нечетное число

Описание переменных:

a, b — данные числа

Алгоритм решения задачи:

Пользователь вводит четное и нечетное число. Последовательность их ввода может быть любой. Таким образом, неизвестно какая из двух переменных (a или b) содержит нечетное число. Чтобы выяснить это, используется конструкция условного ветвления (if-else), а также операция нахождения остатка от целочисленного деления (mod).

Если результат нахождения остатка от деления значения переменной a на 2 равен нулю, значит, эта переменная содержит четное число. Тогда нечетное число находится в переменной b и его следует вывести на экран. Если же результат нахождения остатка не равен нулю, значит, a содержит нечетное число. Оно выводится в ветке else.

Программа на языке Паскаль:

var a, b: integer;
begin
	writeln('Введите одно четное и одно нечетное числа');
	readln(a, b);
	if a mod 2 = 0 then
		writeln(b,' - нечетное число')
	else
		writeln(a,' - нечетное число');
end.

Примеры работы программы:

Введите одно четное и одно нечетное числа
4 5
5 - нечетное число

Введите одно четное и одно нечетное числа
5 4
5 - нечетное число

Примечания:

В данном случае предполагается, что пользователь осуществляет ввод правильно, т. е. всегда вводит одно четное и одно нечетное число. Если же ввод был некорректный (два четных или два нечетных числа), то программа будет работать неправильно. В случае двух четных чисел программа выведет второе. В случае двух нечетных — первое введенное. Чтобы избежать подобных недоразумений, программу можно усовершенствовать следующим образом:

var a, b: integer;
begin
	writeln('Введите одно четное и одно нечетное числа');
	readln(a, b);
	if (a mod 2 = 0) and (b mod 2 <> 0) then
		writeln(b,' - нечетное число')
	else
		if (a mod 2 <> 0) and (b mod 2 = 0) then
			writeln(a,' - нечетное число')
		else
			writeln('Некорректный ввод');
end.

В данном случае в заголовках условного оператора проверяются оба числа: одно — на четность, другое — на нечетность. Если оба будут четные, или оба будут нечетные, то сработает тело вложенного оператора else.

Введите одно четное и одно нечетное числа
3 5
Некорректный ввод

Введите одно четное и одно нечетное числа
4 10
Некорректный ввод

9 класс. Алгебра. Четные и нечетные функции. — Четность и нечетность функций.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы дадим строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрим их свойства и решим некоторые задачи. Важным свойством четной функции является симметричность графика функции относительно оси у, важным свойством нечетной функции является симметричность графика относительно точки начала координат. Также на уроке мы выработаем методику исследования функции на четность и нечетность и решим ряд задач.

Тема: Числовые функции

Урок: Определения и свойства четных и нечетных функций

В этом уроке будут даны строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрены их свойства, решены некоторые задачи.

Определение 1: Функция называется четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:

Определение 2: Функция называется нечетной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:

Примеры:

1. четная, т.к.

2. нечетная, т.к.

3. четная,

4. нечетная, .

Дадим развернутое определение четной функции.

Определение 3: Функцию называют четной, если выполнены два условия для всех

1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е.

Из определения вытекает важное свойство четной функции:

График четной функции симметричен относительно оси y (Рис. 1).

Дадим развернутое определение нечетной функции.

Определение 4: Функцию называют нечетной, если выполнены два условия для всех

1. Область определения симметрична относительно нуля, т. е.

Из определения нечетной функции вытекает свойство: График нечетной функции симметричен относительно т. (0; 0) (Рис. 2).

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

Примеры:

Пример 1. Определите вид функции

четная функция, ее график симметричен относительно оси y.

Пример 2. Определите вид функции

В точке функция не существует, а в точке существует. Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция общего вида.

Пример 3.Определите вид функции

Обе точки выколотые, график и область определения симметричны относительно начала координат, функция четная.

Пример 4. Определите вид функции

рафик и область определения симметричны относительно начала координат, функция нечетная.

Пример 5. Определите вид функции

В точке с абсциссой 2 функция не существует, в точке с абсциссой -2 существует. Область определения несимметрична относительно нуля, это функция общего вида.

Пример 6. Определите вид функции

Область определения симметрична относительно нуля, функция нечетная.

Рассмотрим примеры на свойства четных и нечетных функций.

Пример 7: Исследовать на четность функцию

Решение:

Первый способ:

,функция четная.

Второй способ:

Возведем в квадрат обе части равенства. Тогда вместо уравнения получим систему:

Второе уравнение полученной системы – уравнение окружности с центром в т.(0; 0) радиусом 4. Но т.к. , графиком уравнения является верхняя полуокружность (Рис. 9).

График симметричен относительно оси y, поэтому функция четная.

Ответ: Функция четная.

Пример 8. Известно, что функция четная и убывает при Определите характер монотонности функции при

Решение:

Нам известно, что функция убывает на луче . Раз она определена на луче и является четной, то она определена и на луче

График четной функции симметричен относительно оси y, т.е. функция возрастает на луче

В качестве примера изобразим график функции (Рис. 10).

Ответ: Функция возрастает при

Пример 9. Дана функция , где

Задайте так, чтобы функция являлась

а. четной

б. нечетной.

Решение:

Если функция четная, ее график симметричен относительно оси y, т.е. (Рис. 11).

Если функция нечетная, ее график симметричен относительно т. (0; 0), т.е. (Рис. 12).

Источник конспекта:http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/opredeleniya-i-svoystva-chetnyh-i-nechetnyh-funktsiy?konspekt&chapter_id=34

Источник видео: http://www. youtube.com/watch?v=miS95DyEdwk

Использование четности функции при решении задач с параметром

Определенный класс задач с параметрами легко решаются с помощью использования четности функции. Как правило, задачи этого класса можно распознать по вопросу задачи: «При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?»

Прежде чем мы рассмотрим алгоритм решения этих задач, вспомним определение четной функции:

Функция называется четной, если выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат.

2. Для любых из области определения функции выполняется равенство

То есть если число является корнем уравнения , то число также будет корнем этого уравнения.

Следовательно, если уравнение имеет хотя бы один отличный от нуля корень, то число, ему противоположное также будет корнем уравнения.

Поэтому если в задаче стоит стоит вопрос «При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?», то этим единственным решением будет число .

Отсюда следует алгоритм решения задач этого класса задач.

1. Проверяем, является ли функция четной.

2. Если это так, находим, при каких значениях параметра является корнем уравнения . Для этого подставляем в уравнение и решаем его относительно параметра. Находим соответствующие значения параметра.

3. Подставляем в исходное уравнение последовательно найденные значения параметра и отбираем те, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решим задачу:

Найдите все значения , при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение:

1. Перенесем все слагаемые влево:

Проверим, является ли функция четной.

Для этого найдем значение функции в точке :

так как и

Да, функция является четной, следовательно, единственным решением уравнения будет число .

2. Подставим в уравнение и решим полученное уравнение относительно параметра :

Обозначим , получим уравнение:

, отсюда

Итак, мы получили три значения параметра, при которых один из коней исходного уравнения равен нулю. Найдем, при каком значении параметра этот корень единственный.

3. Для этого рассмотрим три случая.

Получаем уравнение:

, отсюда

или — больше одного корня.

Получаем уравнение:

Раскроем модули:

а) приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:

б) нанесем числа -2 и 2 на числовую ось и расставим знаки подмодульных выражений:

Рассмотрим наше уравнение на каждом из трех промежутков:

— нет решений.

Итак, если , то , других корней нет, уравнение имеет единственное решение. Годится.

Получаем уравнение:

Получили такое же уравнение, как и в случае 2. Поэтому нас также устраивает.

Ответ: {3;7}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Чётные и нечётные функции.

Определение чётности и нечётности. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Симметричное и несимметричное множества Сложность: лёгкое	1
2.	Функция задана на определённом интервале Сложность: лёгкое	1
3.	Исследование функции на чётность, область определения функции Сложность: лёгкое	2
4.	Чётность функции Сложность: среднее	1
5.	Чётность нескольких функций Сложность: среднее	1
6.	Свойства функции по графику Сложность: среднее	1
7.	Сумма чётной и нечётной функций Сложность: сложное	3
8.	Координатная плоскость Сложность: сложное	3
9.	Построение графика нечётной функции Сложность: сложное	3
10.	Исследование функции Сложность: сложное	13

Перестановки.

9-й класс. Задача на четность / Хабр

Май выдался холодным, отопление отключили, а вычислительные (и обогревательные) мощности какие-никакие, а простаивают. Так почему бы не загрузить их чем-нибудь ~~бесполезным~~, что и согреет, и развлечёт.

Но начну издалека. На днях попалась на глаза задачка для средней школы со следующей формулировкой: «Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится нацело на самое левое число этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки нечётно?»

При таком ограничении нетрудно доказать, что в каждой тройке нечётных чисел будет больше, чем чётных. И поскольку разница между ними не может быть больше единицы, максимальная длина последовательности ограничена пятью числами. А в качестве примера можно привести последовательность 4 5 3 2 1.

Подробное доказательство можно найти здесь.

Но что если убрать указанное ограничение на нечётность последнего числа? Тогда справа можно добавить числа 7 6 8, расширив последовательность до восьми чисел. Можно ещё и десятку добавить, а недостающую девятку присоединить слева. Ну и, наверное, это будет не единственная и не самая длинная перестановка.

Собственно, стараясь рассуждать логически, я не нашёл доказательства ограниченности таких последовательностей и решил привлечь к анализу домашний ~~обогреватель~~ вычислитель. Грубый полный перебор всех N! вариантов быстро показал несостоятельность метода, а вот направленный перебор позволил значительно продвинуться, и результат оказался и ожидаемым и неожиданным одновременно.

Выяснилось, что для всех N до 29 включительно такие перестановки чисел от 1 до N действительно находятся, правда, для длин 27 и 29 в единственном варианте. А вот дальше появляются пробелы. Для перестановок с размерами 30, 31, 32 и 33 решений нет, для числа 34 есть одно.

такое

33 23 10 13 7 6 1 29 27 2 25 21 4 17 15 19 11 8 3 5 31 9 22 14 30 26 34 18 16 20 12 28 32 24

Далее снова два пробела. Для значений 37 и 38 подобные последовательности есть и не единичные, а затем провал. Я даже было отчаялся, следующий десяток оказался полностью пустым, но удача улыбнулась, для

=51 таки находится нужная перестановка.

вот она

46 45 1 44 49 39 10 29 21 37 5 32 23 41 51 31 20 11 9 2 43 35 8 27 13 14 25 3 47 40 7 33 16 17 15 19 26 50 28 22 6 38 34 4 30 18 42 48 36 12 24

Их даже две, но они пересекаются по большей части.

Дальше снова намечается пустота, по крайней мере, для чисел 52 и 53 решений нет, а дальше не искал. Всё же с каждым шагом время ожидания растет по экспоненте, да и в доме уже заметно потеплело, решил пока на этом остановиться.

Если свести найденные количества возможных вариантов в одну таблицу, можно построить следующий график

Ну да, есть над чем помедитировать.

В исходной задаче не было требования начинать натуральный ряд с единицы. Главное чтобы в последовательности встречались все числа от a до b. Но я пробовал, становится только хуже, вариантов находится еще меньше. Что, собственно, объяснимо. Чем большее число стоит на левой позиции тройки, тем меньшую кратность можно получить суммой двух других, т.е. тем меньше доступных вариантов. Ну а вопрос верхнего предела длин таких последовательностей остается открытым. С ростом размерности вероятность успеха явно снижается, но вот обнуляется ли? Или дальше так и будут, пусть и редко, встречаться такие вот (не)интересные перестановки.

Напоследок, пожалуй, можно привести код программы-грелки,

правда, он на Хаскеле

вариант с учётом комментариев про наибольший общий делитель

import Data.IntSet (IntSet, notMember, insert, fromList)
import Control.Parallel.Strategies
import System.Environment

pvc :: Int -> Int -> Int -> Int -> IntSet -> [[Int]]
pvc _ 1 a b _  = [[a,b]]
pvc n k a b xs = 
    let c = a - mod b a
    in  [a:ys | 
        x <- [c, c+a .. n], 
        notMember x xs, 
        k * gcd b x <= n,
        ys <- pvc n (k-1) b x (insert x xs)]

gen :: Int -> [[[Int]]]
gen n = 
    let ab = [(a, b) | 
             a <- [1..n], b <- [1..n], 
             gcd a b == 1, a /= b]
    in  map hlp ab `using` parList rseq
    where
    hlp (a,b) = pvc n (n-1) a b $ fromList [a, b]

main = do
    [n] <- getArgs
    print $ concat $ gen $ read n

Как определить четность и нечетность функции примеры

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то найти и сравнить с

Если то функция — четная.
Если , то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

1. Определить, является ли четной функция: .2>>=0>>><>”/>2>

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.
Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

3. Определить, является ли четной функция: .

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

0><<1-x><>0>>><>” title=”delim<1><<</<1-x>>>0><<1-x><>0>>><>”/>2>

Таким образом, область определения симметрична, и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

– исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

4. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

6. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

7. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Сумма двух нечётных функций – нечётна.

Сумма двух чётных функций – чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

– функция нечетная.

8. Исследуем теперь такую функцию:

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

9. Наконец, последняя:

– имеем произведение двух функций.

Произведение или частное двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

– функция четная.

Общие сведения

Область определения — D (f).
Виды.
Правила.
Свойства для четных и нечетных.
Классификация.

Область определения

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Основные виды

Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
Составные или сложные.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Правила для выявления

Разложить при необходимости на простые элементы.
Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
Сделать соответствующий вывод.

Следствия из утверждений

Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
Радикал положительной нечетной степени.
Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
Интегральный синус: Si (x).
Матье: se (x).

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции.2) / 2c 2 ].

Кардинальный синус: sinc (x).

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

Состоит из двух элементов: g (y) = y 2 — y — 2 и h (y) = y 2 — 1.
Область значений: D (y 2 — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y 2 — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность).2 — 1 = y 2 — 1.
В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Тема урока, введение

Основные определения

Определение 1: Функция Определение 2: Функция 1. 2. 3. 4. Определение 3: Функцию

Из определения вытекает важное свойство четной функции:

График четной функции симметричен относительно оси y (Рис. 1).

Дадим развернутое определение нечетной функции.

Определение 4: Функцию 1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е.

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

Примеры

Пример 1. Определите вид функции

четная функция, ее график симметричен относительно оси y.

Пример 2. Определите вид функции

В точке Пример 3.Определите вид функции

Пример 4. Определите вид функции

рафик и область определения симметричны относительно начала координат, функция нечетная.

Пример 5. Определите вид функции

Пример 6. Определите вид функции

Область определения симметрична относительно нуля, функция нечетная.

Примеры на исследование функции

Рассмотрим примеры на свойства четных и нечетных функций.

Пример 7: Исследовать на четность функцию

,функция четная.

Возведем в квадрат обе части равенства. Тогда вместо уравнения получим систему:

Второе уравнение полученной системы – уравнение окружности с центром в т.(0; 0) радиусом 4. Но т.к.

График симметричен относительно оси y, поэтому функция четная.

Ответ: Функция четная.

Пример 8. Известно, что функция Нам известно, что функция убывает на луче График четной функции симметричен относительно оси y, т.е. функция возрастает на луче

В качестве примера изобразим график функции (Рис. 10).

Ответ: Функция возрастает при

Пример 9. Дана функция Задайте Если функция четная, ее график симметричен относительно оси y, т.е. (Рис. 11).

Если функция нечетная, ее график симметричен относительно т. (0; 0), т.е. (Рис. 12).

Заключение, вывод

Мы рассмотрели определения и свойства четных и нечетных функций, решили некоторые типовые задачи На следующем уроке мы продолжим изучение свойств четных и нечетных функций.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 275 – 278.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

“>

Использование логики для решения четной / нечетной целочисленной арифметики

Некоторые из самых сложных количественных вопросов на GMAT — это те, в которых используется наименьшее количество формул. Одна из таких категорий проблем связана с арифметикой четных / нечетных целых чисел. Хотя они требуют небольшого количества вычислений, они могут потребовать удивительного количества логических рассуждений. Возьмем, например, эту задачу: Если a и b — целые числа, а m — четное целое число, является ли ab / 4 целым числом? (1) a + b четно. (2) m / (ab) — целое нечетное число. Ключ к решению этой проблемы заключается в том, чтобы вспомнить несколько фактов о четных / нечетных целых числах:

Четное число может быть образовано только суммой либо двух нечетных чисел (нечетные + нечетные = четные), либо двух четных чисел ( четный + четный = четный).
Нечетное число может быть образовано только суммой нечетного и четного числа (нечетное + четное = нечетное или четное + нечетное = нечетное).
Четное число может быть образовано умножением только тремя способами: четное · нечетное, нечетное · четное и четное · четное.
Нечетное число может быть образовано умножением только одним способом: нечетное · нечетное = нечетное.

Предполагая, что только утверждение (1) истинно, мы знаем, что a + b должно быть четным, поэтому согласно правилу № 1, a и b должны либо быть четными, либо нечетными.Давайте рассмотрим два возможных сценария: предположим, что a и b оба нечетные. Мы могли бы подставить a = 3 и b = 1, чтобы получить ab / 4 = 3 · 1/4 = 3/4. Если бы и a, и b были четными, мы могли бы подставить a = 24 и b = 2, так что ab / 4 = 24 · 2/4 = 12, что на самом деле является целым числом. Поскольку разные плагины дают разные ответы, мы не можем ответить однозначно «да» или «нет». Одного утверждения (1) недостаточно, поэтому мы можем исключить варианты A и D. Рассматривая только утверждение (2), мы можем предположить, что m / ab = odd.Если мы умножим обе части на ab, получим m = ab · нечетное. Теперь нам говорят, что m — четное целое число, что означает, что even = ab · odd. Согласно правилу №3, невозможно получить четное число, умножив два нечетных числа; хотя бы одно число должно быть четным. Следовательно, поскольку m четно, мы должны заключить, что ab также четно. Не существует общего правила, согласно которому четное число (ab), деленное на другое четное число, всегда будет целым числом. Как четное целое число, ab будет делиться на 2 без остатка, но нет ничего, что подразумевает, что оно должно делиться на 4.Например, предположим, что a = 2, b = 1 и m = 6. В этом случае ab = 2 и ab / 4 = 2/4 = 1/2, что приведет к ответу № на вопрос. корень. Иногда утверждение (2) дает нам Да , а иногда Нет , поэтому одного утверждения (2) недостаточно; мы можем перейти к исключению варианта Б. Это изменится, если мы посмотрим на оба утверждения вместе взятые. Из утверждения (1) мы знаем, что оба a и b должны быть либо четными, либо нечетными, но утверждение (2) также сообщает нам, что ab четное.Единственный способ согласовать оба утверждения — это если и a, и b четны, а если оба четны, то оба они должны содержать множители 2. Следовательно, их произведение, ab, будет содержать два множителя 2, и поэтому ab будет содержать множитель 2 · 2 = 4 и, следовательно, будет делиться на 4. Это означает, что ab / 4 определенно должно быть целым числом. Поскольку у нас есть определенный ответ Да, , обоих утверждений, вместе взятых, достаточно.

_{Это был образец подробных инструкций, которые Economist GMAT Tutor предлагает по решению вопросов в разделе GMAT Quant.Чтобы получить полные и интерактивные уроки, практические тесты и поддержку онлайн-преподавателей, подпишитесь на один из самых популярных планов подготовки к GMAT от Economist GMAT Tutor. Пробные версии без обязательств доступны в течение семи дней.}

Четные / нечетные числа — SAT Math

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Рабочие листы с четными и нечетными числами

Не готовы приобрести подписку? Нажмите, чтобы загрузить бесплатный образец. Загрузить образец

Загрузить этот образец

Этот образец предназначен исключительно для участников KidsKonnect!
Чтобы загрузить этот рабочий лист, нажмите кнопку ниже, чтобы зарегистрироваться бесплатно (это займет всего минуту), и вы вернетесь на эту страницу, чтобы начать загрузку!

Зарегистрируйтесь

Уже зарегистрировались? Авторизуйтесь, чтобы скачать.

Изучение четных и нечетных чисел помогает нам понять систему счисления и является очень важным навыком. В одной базовой системе группирования мы делим числа на две части: четные и нечетные. Четные числа — это числа, которые можно разделить на две равные группы. А нечетные числа — это числа, которые нельзя разделить на две равные группы.

См. Файл фактов ниже для получения дополнительной информации о четных и нечетных числах или, альтернативно, вы можете загрузить наш 28-страничный пакет рабочих листов по нечетным и четным числам для использования в классе или дома.Этот рабочий лист разбит на начальный, средний и продвинутый, что означает, что вы можете выбрать уровень сложности для своего ученика.

Основные факты и информация

Резюме:

Четные числа: числа, которые можно разделить на две равные части.
Нечетные числа: числа, которые нельзя разделить на две равные части.
Важная концепция для изучения и понимания системы счисления.

Что такое четные и нечетные числа?

До сих пор мы изучили номера в целом.Эти числа можно разделить на множество групп. В одной базовой системе группирования мы делим числа на две части: четные и нечетные.
Четные числа — это числа, которые можно разделить на две равные группы.
Тогда как нечетные числа — это числа, которые нельзя разделить на две равные группы.
Знание четных и нечетных чисел помогает нам понять систему счисления и является очень важным навыком. Дети могут более эффективно изучать предварительные операции, когда они знают о четных и нечетных числах.
Четные числа:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,….

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,….

Как отличить четные числа от нечетных?

Предположим, у нас есть 6 красных яблок, как показано на изображении ниже:

Если мы попытаемся разделить их на две равные части, то мы можем получить две группы по 3 яблока в каждой, как показано ниже:

Так как в обеих группах одинаковое количество красных яблок, мы можем сказать, что у нас четное количество красных яблок.

Теперь предположим, что у нас есть 5 спелых апельсинов, как показано ниже:

Когда мы пытаемся разделить эти апельсины на две части, в одной части всегда будет больше апельсинов, чем в другой. Следовательно, мы не можем разделить эти апельсины на две равные части, поэтому у нас будет нечетное количество апельсинов.

Пример № 1:

В приведенной ниже группе из четырех чисел найдите четные:

2, 7, 4, 3

Мы используем шары, чтобы визуально понять, являются ли числа четные или нет, а затем разделите их на две группы:

2 можно разделить на две равные части, следовательно, он четный.

7 нельзя разделить на две равные части. В одной части всегда будет больше шаров, чем в другой, поэтому это странно.

4 можно разделить на две равные части, следовательно, он четный.

3 нельзя разделить на две равные части. В одной части всегда будет больше шаров, чем в другой, поэтому она нечетная.

Пример № 2:

Посмотрите на цветочный горшок и скажите, в каком горшке есть нечетное или четное количество цветов.

Когда мы осматриваем горшок, мы видим, что в нем четыре цветка. Четыре цветка можно разделить на две равные группы. В каждой группе будет по два цветка. Так что можно сказать, что в цветочном горшке четное количество цветов.

Пример № 3:

У Эммы 8 кукол. Она хочет отдать половину кукол своей подруге Анне. У нее четное количество кукол?

Мы знаем, что Эмма хочет разделить свои куклы на две равные части, чтобы поделиться ими со своей подругой Анной.Когда мы пытаемся разделить куклы на две равные группы, мы получаем по четыре куклы в каждой группе. Теперь у обеих групп по 4 куклы. Поэтому кукол у Эммы четное количество.
Как только мы сможем понять логику различения четных и нечетных чисел, мы сможем идентифицировать даже более крупные числа. Это очень важный навык, который поможет учащимся понимать разные группы чисел.
Студент будет легче выучить деление, квадрат и простые числа, если у него будет понятие четных и нечетных чисел.Позже, когда ученики научатся умножению, они могут определить число как четное, если оно делится на два. Если оно не делится на два, значит, это нечетное число.

Важность изучения четных и нечетных чисел

Дети разовьют лучшее понимание системы счисления.
Объединение объектов или чисел в пары — это очень базовая концепция, которая будет использоваться снова и снова в математике, а также в задачах реального мира.
Изучение четных и нечетных чисел поможет с делением, квадратами и т. Д.

Рабочие листы по нечетным и четным числам

Это фантастический набор, который включает все, что вам нужно знать о нечетных и четных числах на 28 страницах с подробным описанием. Это готовых к использованию рабочих листов по нечетным и четным числам, которые идеально подходят для обучения студентов четным и нечетным числам, которые помогают нам понять систему счисления и являются очень важным навыком. В одной базовой системе группирования мы делим числа на две части: четные и нечетные. Четные числа — это числа, которые можно разделить на две равные группы.А нечетные числа — это числа, которые нельзя разделить на две равные группы.

Полный список включенных рабочих листов

Рабочий лист 1 (новичок)
Рабочий лист 2 (новичок)
Рабочий лист 3 (новичок)
Рабочий лист 4 (начинающий
Рабочий лист 5 (промежуточный)
Рабочий лист )
Рабочий лист 7 (средний уровень)
Рабочий лист 8 (средний уровень)
Рабочий лист 9 (предварительный)
Рабочий лист 10 (предварительный)
Рабочий лист 11 (предварительный)
Рабочий лист 12 (предварительный)

Ссылки:

http: // клипарт-библиотека.com / cartoon-apples.html
http://clipart-library.com/cartoon-orange.html
http://www.clker.com/clipart-pink-volleyball.html
https://requestreduce.org/ image / flower-pot-cartoon-clipart / 363458.html # gal_post_17841_flower-pot-cartoon-clipart-6.png
http://worldartsme.com/doll-clipart.html#gal_post_3006_doll-clipart-1.jpg

Ссылка / cite this page

Если вы ссылаетесь на какой-либо контент на этой странице на своем собственном веб-сайте, используйте приведенный ниже код, чтобы указать эту страницу как первоисточник.

Рабочие листы для нечетных и четных чисел: https://kidskonnect.com — KidsKonnect, 29 марта , 2019 Ссылка

будет отображаться как рабочие листы с четными и нечетными числами: https://kidskonnect.com — KidsKonnect, 29 марта 2019 г.

Использование с любой учебной программой

Эти рабочие листы были специально разработаны для использования с любой международной учебной программой. Вы можете использовать эти рабочие листы как есть или редактировать их с помощью Google Slides, чтобы сделать их более конкретными в соответствии с вашими уровнями способностей учащихся и стандартами учебной программы.

рабочих листов по нечетным и четным числам и онлайн-упражнения

Расширенный поиск

Содержание:

Язык: AfarAbkhazAvestanAfrikaansAkanAmharicAragoneseArabicAssameseAsturianuAvaricAymaraAzerbaijaniBashkirBelarusianBulgarianBihariBislamaBambaraBengali, BanglaTibetan стандарт, тибетский, CentralBretonBosnianCatalanChechenChamorroCorsicanCreeCzechOld церковнославянский, церковнославянский, Старый BulgarianChuvashWelshDanishGermanDivehi, Мальдивский, MaldivianDzongkhaEweGreek (современный) EnglishEsperantoSpanishEstonianBasquePersian (фарси) Фуле, фулах, пулар, PularFinnishFijianFaroeseFrenchWestern FrisianIrishScottish гэльский, GaelicGalicianGuaraníGujaratiManxHausaHebrew (современный) HindiHiri MotuCroatianHaitian, гаитянский CreoleHungarianArmenianHereroInterlinguaIndonesianInterlingueIgboNuosuInupiaqIdoIcelandicItalianInuktitutJapaneseJavaneseGeorgianKongoKikuyu, GikuyuKwanyama, KuanyamaKazakhKalaallisut , Гренландский, кхмерский, каннада, корейский, канури, кашмирский, курдский, коми, корнийский, киргизский, латинский, люксембургский, летцебургский, ганда, лимбургский, лимбургский, лимбургский, лингала, литовский, люба-катанга, латышский, малагасийский, маршалльский, маори, македонский, mMongolianMarathi (маратхи) MalayMalteseBurmeseNauruanNorwegian BokmålNorthern NdebeleNepaliNdongaDutchNorwegian NynorskNorwegianSouthern NdebeleNavajo, NavahoChichewa, Chewa, NyanjaOccitanOjibwe, OjibwaOromoOriyaOssetian, OsseticEastern пенджаби, Восточная PanjabiPāliPolishPashto, PushtoPortugueseQuechuaRomanshKirundiRomanianRussianKinyarwandaSanskrit (санскрит) SardinianSindhiNorthern SamiSangoSinhalese, SinhalaSlovakSloveneSamoanShonaSomaliAlbanianSerbianSwatiSouthern SothoSundaneseSwedishSwahiliTamilTeluguTajikThaiTigrinyaTurkmenTagalogTswanaTonga (Остров Тонга) TurkishTsongaTatarTwiTahitianUyghurUkrainianUrduUzbekValencianVendaVietnameseVolapükWalloonWolofXhosaYiddishYorubaZhuang, ChuangChineseZulu Предмет:

Оценка / уровень: Возраст: 345678

12131415161718+

Поиск: Все рабочие листы Только мои подписанные пользователи Только мои любимые рабочие листы Только мои собственные рабочие листы

Четный или нечетный обзор — 3-й класс по математике

Узнайте о четных и нечетных числах

Чтобы сыграть в баскетбол или футбол, вам нужно и даже игроков.

Что такое четные числа?

Четные числа можно разделить на две равные группы , например 2, 4, 6, 8 и 10.

6 игроков могут разделиться на две равные группы. Вот почему 6 — это число даже !

Что такое нечетные числа?

Каждое число, которое не является четным , называется нечетным .

Нечетные числа нельзя разделить на две равные группы.1, 3, 5 все нечетные.

Это четное или нечетное?

🤔 Как узнать, четное или нечетное число из 10 ?

👉 Посмотри на место Единственных.

Числа, заканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8, всегда равны даже .

Числа, оканчивающиеся на 1, 3, 5, 7 и 9, всегда равны нечетным .

Подумайте о числе 13. Оно четное или нечетное?

Так как 3 — нечетное число, число 13 будет нечетным , тоже.

Правила сложения четных и нечетных чисел

Все числа соответствуют этим 4 образцам.

Четный + Четный = Четный
Пример: 2 + 2 = 4

Нечетный + Нечетный = Четный
1 + 3 = 4

Четный + Нечетный = Нечетный
2 + 3 = 5

Нечетный + Четный = Нечетный
1 + 2 = 3

Действительно ли эти правила верны для всех чисел? 🤔

Давайте попробуем на примере посмотреть.

Правила гласят, что сложение нечетного и четного числа должно дать нам сумму нечетных .

Проверим:

Да, сумма нечетная!

Правила вычитания

Как и в случае с сложением, существует 4 правила вычитания. Взглянуть.

Четный — Четный = Четный
4-2 = 2

Нечетный — Нечетный = Четный
3 — 1 = 2

Четный — Нечетный = Нечетный
2-1 = 1

Нечетный — Четный = Нечетный
3 — 2 = 1

Давайте посмотрим на примере, чтобы убедиться, что эти правила верны.

Согласно правилам, вычитание двух нечетных чисел должно дать нам разницу в четных и .

Проверим:

Да, у нас есть разница в и даже на !

Отличная работа!

Смотри и учись

🎉 Теперь вы можете отличить четные числа от нечетных. Начните свою практику ниже.

GMAT Quant | 3 ошибки в четно-нечетных вопросах | Количество Недвижимость

Когда дело доходит до «Четный — Нечетный», это проблема не только на дорогах Дели, но и в вашем разделе GMAT Quant.Считается, что четно-нечетные числа являются одними из самых простых понятий на GMAT Quant, и тем не менее, исходя из более чем 700 вопросов уровня из этой концепции, многие студенты ошибаются. Наши эксперты в предметной области внимательно изучили ошибки, которые студенты делают в четно-нечетных вопросах — от сомнений, которые они задают в четно-нечетных вопросах на наших внутренних форумах, и от ошибок, допущенных более чем 2000 студентами в нашем интерактивном классе Number Properties.

Для лучшего понимания в этой статье мы выделили:

3 основных подводных камня GMAT Quant Четно-нечетные вопросы
Как избежать этих ловушек
Примеры свойств чисел GMAT (чет-нечет), вопросы
На вынос
GMAT Number properties (Even-Odd) практические вопросы

3 основных подводных камня GMAT Quant Четно-нечетные вопросы

Мы заметили, что есть три основных подводных камня, в которые попадают учащиеся, задавая вопросы «Четный-Нечетный» :.

Запугивание сложными выражениями лица
Трата времени на неважных условиях
Попадание в тупик в отделении

1. Запугивание сложными выражениями лица

Что мы имеем в виду

Некоторые вопросы «Четно-Нечетные» могут иметь устрашающие выражения. Например, рассмотрим этот вопрос

P1.1 Если j является положительным целым числом, будет (j ³-27) ² (j ³ +1) ³ нечетным?

Вы немного нервничали, читая этот вопрос? Что ж, это первая ловушка, от которой вам нужно остерегаться.Потому что, если вы позволите себе нервничать, вы:

Либо оставьте вопрос без ответа
Или запаникуете; паника затуманивает нашу способность мыслить рационально и, таким образом, увеличивает наши шансы на ошибку.

- Например, в панике вы можете попытаться вспомнить и применить формулу для ³ + b ³ в терминах этого выражения, а затем, к большому разочарованию, осознать, что вы усложнили вопрос еще дальше L

Итак, как видите, «запугивание сложных выражений» — действительно опасная ловушка.

Что можно сделать, чтобы избежать этой ловушки?

В следующий раз, когда вы столкнетесь с таким вопросом в разделе GMAT Quant и заметите учащение сердцебиения, сделайте глубокий вдох и скажите себе:

«Поскольку это вопрос GMAT Quant, его можно элегантно упростить».

Это правда! Прелесть официальных вопросов GMAT в том, что какими бы сложными они ни казались, их всегда можно упростить до пары случаев.

Иллюстративный пример

Итак, давайте подумаем над поставленным выше вопросом и посмотрим, как его можно упростить.

1 ^st Упрощение

Данное выражение имеет вид (j ³-27) ² (j ³ +1) ³

Вы, вероятно, знакомы с тем свойством, что степень числа не влияет на четно-нечетный характер числа.

(четный) ⁿ, где n — целое положительное число = четное
Аналогично (Нечетный) ⁿ = Нечетный

Итак, (j ³ — 27) ² будет иметь такую же четно-нечетную природу, что и (j ³ — 27).Точно так же (j ³ + 1) ³ будет иметь ту же четно-нечетную природу, что и (j ³ +1)

j ³ будет иметь ту же четно-нечетную природу, что и сам j.

Итак, используя это свойство, мы сделали первый уровень упрощения: теперь нам нужно только определить четно-нечетный характер этого более простого выражения: (j-27) (j + 1)

2 ^nd Упрощение

Более простое выражение представляет собой произведение двух членов: (j — 27) и (j + 1)

Когда произведение двух членов будет нечетным? Только если каждое из двух терминов нечетное.Если хотя бы одно из этих условий четное, товар будет четным.

Итак, чтобы ответить на вопрос, нам нужно знать: являются ли каждое из двух терминов нечетным ?

Итак, из более ранней ситуации с продуктом в целом, теперь мы имеем дело только с отдельными терминами: (j — 27) и (j + 1)

Как найти ответ

Теперь j может быть четным или нечетным.

Случай 1: j нечетно

В данном случае j + 1 = Нечетный + Нечетный = Четный

И j — 27 = Нечетный — Нечетный = Четный

Поскольку оба члена являются четными, ответом в этом случае будет НЕТ, данное выражение не является нечетным.

Случай 2: j равно

В данном случае j + 1 = Четный + Нечетный = Нечетный

And, j — 27 = Четное — Нечетное = Нечетное

Поскольку оба члена нечетные, ответ в этом случае будет ДА, данное выражение нечетное

Итак, как видите, используя этот пошаговый подход, мы смогли упростить вопрос до следующего:

Является ли j четным?

Еда на вынос

Используйте свойства комбинаций «чет-нечет», чтобы упростить устрашающие выражения. Будьте уверены, что все вопросы GMAT можно легко упростить. Не пугайтесь сложных выражений в вопросах четности-нечетности и избегайте импульса к поиску алгебраических формул, которые можно применить к таким выражениям.

Проверьте себя

Вы поймете, что хорошо усвоили этот урок, если ваше сердце не замирает при первом же взгляде на следующий вопрос:

P1.2 Если X = P * N ^K + P, где N и K — положительные целые числа, делится ли X на 2?

(1) N + KN = 915

(2) P ³⁵ + 35 ^P четный

Решение вопроса о нечетно-четных свойствах числа GMAT

2.Тратить время на неважные условия

Что мы имеем в виду

Под «неважными терминами» мы понимаем «термины, не влияющие на четно-нечетный характер выражения. Например, рассмотрите следующий вопрос:

P2.1 Если a и b целые числа, четно ли a + 8b?

В этом выражении член 8b будет четным, независимо от того, является ли b четным или нечетным (потому что, Четное * Нечетное = Четное и Четное * Четное = Четное). Итак, вам следует сосредоточить все свое внимание на анализе того, является ли a четным или нечетным, потому что это то, что приведет вас к ответу.

Если вы попадете в ловушку анализа данной информации, чтобы определить четно-нечетную природу b , то вы потратите свой самый ценный ресурс на GMAT — время. Таким образом, потраченные впустую минуты могут вызвать сжатие времени к концу теста, а затем, подпадая под давление отсчитываемых секунд, вы можете лихорадочно отвечать даже на вопросы, которые вы знаете, неверно. Поэтому очень важно быть начеку и не тратить даже время на ненужный анализ.И в вопросах четности-нечетности слишком легко попасть в эту ловушку.

Что можно сделать, чтобы избежать этой ловушки?

Чтобы не терять ни секунды на несущественные термины, вот несколько указателей, которые вы должны использовать, чтобы отсеять неважные термины в выражении:

Член формы (Четное число) * (X) всегда будет четным
В члене формы (Четное число) + X (Четное число) не играет роли в четно-нечетной природе термина
В термине формы (Нечетное число) * (X) (Нечетное число) не играет роли в четно-нечетном характере термина

Пример

Вы уже видели пример первого указателя в вопросе P2.1

Вот пример, который покажет все три указателя в действии

P2.2 Если a, b, c и n — целые числа, будет ли a + 8b + (2n + 1) c четным?

1 ^st Указатель

Член 8b всегда будет четным, независимо от значения b

2 ^nd Указатель

В данном выражении четный член 8b не влияет на четно-нечетный характер этого выражения.Таким образом, выражение будет иметь ту же четно-нечетную природу, что и сумма a + (2n + 1) c

3 ^rd Указатель

В члене (2n + 1) c (2n + 1) является нечетным числом, поэтому не играет роли в четно-нечетной природе этого члена. Таким образом, член (2n + 1) c будет иметь ту же четно-нечетную природу, что и c.

Итак, выражение a + (2n + 1) c будет иметь ту же четно-нечетную природу, что и выражение a + c

Некоторым ученикам «ловушка 2» может показаться похожей на «ловушку 2», поскольку предложенная стратегия, позволяющая избежать ловушки 2 (три указателя), также приводит к упрощению данного выражения.Однако даже если эффект стратегий, предложенных в ловушках 1 и 2, может быть одинаковым, проблемы , которые решают эти стратегии, различаются. В «Ловушке 1» проблема заключается в том, что ученик может испугаться непонятного выражения лица. С другой стороны, в «Ловушке 2» проблема состоит в том, что ученик может тратить время на анализ терминов, которые не влияют на четно-нечетный характер выражения. Это две разные проблемы, так что ловушки 1 и 2 тоже разные.

Еда на вынос

Когда вы видите выражение, сначала используйте три указателя, чтобы определить неважные термины. Не тратьте драгоценное время на обработку несущественных сроков.

Проверьте себя

Посмотрите, сколько времени вы уделите этому вопросу, и если вы тратите время на любой термин, который его не заслуживает:

P2.3 Если a, b и n — натуральные числа такие, что n = 3a — b ³, делится ли n ² + 3 на 2?

(1) a ² — 4b ³ — 5 = 0

(2) 3b ³ — a ² + 6 = 0

(Подробное обсуждение этого вопроса доступно здесь)

3.Попадание в тупик в отделе

Что мы имеем в виду

Если A и B заданы как целые числа, где A> B и A / B — целое число, можете ли вы плавно установить связь между четно-нечетной природой A, B и целым числом A / B?

Например, рассмотрите следующий вопрос:

P3.1 Если A, B и X — целые числа, X / B — четное целое число, а XB / (4A + 1) — целое число, является ли XB / (4A + 1) нечетным?

Если у вас нет твердого подхода к решению этого и подобных вопросов, вы непременно почувствуете замешательство, и тогда вы напишете:

Либо откажитесь от этого вопроса как слишком сложного
Или осторожно попробует подстановку чисел, чтобы увидеть, какие значения X и B дают четное значение X / B, а затем с этими значениями X попытайтесь увидеть, является ли XB / (4A + 1) нечетным.Этот подход требует много времени и подвержен ошибкам, потому что вы можете упустить некоторые возможные случаи.

Оба возможных действия являются дорогостоящими — с точки зрения потерянных очков и потерянного времени. Так что важно не стать жертвой таких вопросов.

Что можно сделать, чтобы избежать этой ловушки?

Эту ловушку легко избежать, следуя представленному здесь стандартному подходу —

Преобразуйте уравнение деления в уравнение умножения.

Иллюстративный пример

Проиллюстрируем этот подход на вопросе P3.1

Уравнение деления, которое мы можем написать для членов X / B:

Мы можем преобразовать это уравнение в уравнение умножения, умножив обе части на B. Получим:

X = (Четное число) * B

-> X является четным (см. Указатель (i) в ловушке 2)

Теперь давайте запишем уравнение деления для члена (XB / 4A + 1):

XB / (4A + 1) = целое число Z (скажем)

Преобразуя это уравнение в уравнение умножения, получаем:

-> XB = (4A + 1) * (Z)

-> XB имеет ту же природу, что и Z (поскольку 4A + 1 нечетно — см. Указатели (ii) и (iii) в ловушке 2)

Поскольку X — четное, XB — четное

-> Z равно

Итак, мы видим, что данное выражение будет четным.

Еда на вынос

В вопросах «Четно-Нечетные», связанных с делением, преобразуйте уравнение деления в уравнение умножения.

Проверьте себя

P3.2 Если x, y и z — положительные целые числа, такие что x ⁴ y ³ = z ², будет ли x ⁹ — y ⁶ нечетным?

(1) ( x ⁴ y ³) / ( x ² + y ² ) можно записать в виде 4k + 3, где k — это положительное число.

(2) г = х + у

(Подробное обсуждение этого вопроса доступно здесь)

Даже зная концепцию, вы, возможно, не сможете ответить на вопросы, проверяющие продвинутое применение этой концепции. В этой статье мы увидели три ловушки, в которые попадают многие учащиеся, задавая вопросы о четности и нечетности. Если вы приложите сознательные усилия, чтобы избежать этих ловушек, вы обнаружите, что ваша способность отвечать на вопросы более чем 700 уровней четно-нечетных значительно улучшится.В качестве счастливой сопутствующей выгоды также сократится время, которое вы потратите на решение вопросов.

Если вы хотите продолжить работу над тремя ловушками, попробуйте ответить на 3 вопроса, приведенные ниже.

Желаю вам приятного прохождения GMAT Prep и высоких результатов на GMAT!

Свойства чисел GMAT (четно-нечетные) Практические вопросы

Вопрос 1

Является ли произведение двух целых чисел A и B нечетным?

(1) A — количество множителей N, где N — полный квадрат, а B = A ³-1

(2) A является произведением двух последовательных простых чисел, и когда добавляется к A, сумма является нечетным числом.

(Подробное решение этого вопроса доступно здесь)

Вопрос 2

Если P и Q — целые положительные числа, делится ли произведение 3P ^Q на 2?

(1) 6Q ³ + 2 — четное число

(2) P + 8Q ² — простое число

(Подробное решение этого вопроса доступно здесь)

Вопрос 3

Является ли 3a + 2b + 5c, даже если 0

(1) 9a + 7c даже не

(2) a ³ * (c-1) ² нечетное

(Подробное решение этого вопроса доступно здесь)

Четных и нечетных листов

Четные целые числа — это целые числа, которые можно разбить на две равные части.В результате все четные целые числа делятся на два. Когда число является четным, цифра числа должна быть нулем, двумя, четырьмя, шестью или восемью. Нечетные целые числа нельзя разбить на две равные части. Нечетные числа всегда имеют одну, три, пять, семь или девять в качестве конечной цифры. Нечетные числа последовательно разбрасываются между четными числами.

Четность и нечетность функции — алгоритм исследования, условие и примеры

Общие сведения

Область определения

Основные виды

Правила для выявления

Следствия из утверждений

Классификация по четности

Пример решения

Вывести нечетное число

9 класс. Алгебра. Четные и нечетные функции. — Четность и нечетность функций.

Использование четности функции при решении задач с параметром

Чётные и нечётные функции.

Перестановки.

Как определить четность и нечетность функции примеры

Общие сведения

Область определения

Основные виды

Правила для выявления

Следствия из утверждений

Классификация по четности

Пример решения

Этот видеоурок доступен по абонементу

Основные определения

Примеры

Примеры на исследование функции

Заключение, вывод

Использование логики для решения четной / нечетной целочисленной арифметики

Четные / нечетные числа — SAT Math

Рабочие листы с четными и нечетными числами

Загрузить этот образец

Основные факты и информация

Резюме:

Что такое четные и нечетные числа?

Как отличить четные числа от нечетных?

Пример № 1:

Пример № 2:

Пример № 3:

Важность изучения четных и нечетных чисел

Полный список включенных рабочих листов

Ссылка / cite this page

рабочих листов по нечетным и четным числам и онлайн-упражнения

Четный или нечетный обзор — 3-й класс по математике

Узнайте о четных и нечетных числах

Что такое четные числа?

Что такое нечетные числа?

Это четное или нечетное?

Правила сложения четных и нечетных чисел

Правила вычитания

Смотри и учись

GMAT Quant | 3 ошибки в четно-нечетных вопросах | Количество Недвижимость

3 основных подводных камня GMAT Quant Четно-нечетные вопросы

1. Запугивание сложными выражениями лица

Что можно сделать, чтобы избежать этой ловушки?

Иллюстративный пример

Еда на вынос

Проверьте себя

2.Тратить время на неважные условия

Что можно сделать, чтобы избежать этой ловушки?

Пример

Еда на вынос

Проверьте себя

3.Попадание в тупик в отделе

Что можно сделать, чтобы избежать этой ловушки?

Иллюстративный пример

Еда на вынос

Проверьте себя

Свойства чисел GMAT (четно-нечетные) Практические вопросы

Вопрос 1

Вопрос 2

Вопрос 3

Четных и нечетных листов

Добавить комментарий Отменить ответ