Задачи на подобные треугольники – Урок обобщения и систематизация учебного материала по теме «Подобие треугольников. Решение практических задач». 8-й класс

Методическая разработка урока по теме "Решение задач на подобие треугольников"

Тест по теме: «Подобие треугольников» (8 класс)

1 вариант

1). Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то треугольники:

а) равны

б) подобны

в) нет ответа

2). Если треугольники подобны, то……

а) стороны равны

б) углы пропорциональны

в) углы равны

3).У треугольников АВС и DEK равны углы А и D. Какого условия не достает для того, чтобы утверждать, что эти треугольники подобны по первому признаку:

а)hello_html_m6ab66edc.gif; в) hello_html_64c5253c.gif;

б)hello_html_m4e4ba207.gif; г)hello_html_2f61baec.gif

.

4). Углы треугольника равны 20°, 40°, А°. Угол, соответствующий углу А подобного треугольника, равен….

а) 40° б) 120° в) 60° г) 20°

5). Стороны одного треугольника равны 15см, 21см, 30см. Две стороны подобного ему треугольника – 10см и 5см. Длина третьей стороны…

а)7см б)3см в)12см г)10см

6).Установите, верно ли данное утверждение: hello_html_m42804f8f.gif~hello_html_3d8677f5.gif,если угол А равен углу О, АВ=10, АС=6, ОЕ=5, ОР=3.

а)ДА; б)НЕТ; в)Не возможно установить.

7).hello_html_m42804f8f.gif~hello_html_m375b36b3.gif, АВ=4, ВС=6, АС=7,

MH=8. Сторона HK равна:

а)3;

б)12;

в)14.

Тест по теме: «Подобие треугольников» (8 класс)

2 вариант

1). Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника, то треугольники…

а) подобны

б) нет ответа

в) равны

2). Если треугольники подобны, то…

а) стороны пропорциональны

б) стороны равны

в) углы пропорциональны

3).У треугольников АВС и DEК равны углы А и D. Какого условия не достает для того, чтобы утверждать, что эти треугольники подобны по второму признаку:

а)hello_html_m6ab66edc.gif; в) hello_html_64c5253c.gif;

б)hello_html_m4e4ba207.gif

; г)hello_html_2f61baec.gif.

4).В подобных треугольниках АВС и MNK hello_html_m2e08e386.gif. Чему равен угол N?

а) 350; б) 750; в) 800.

5).Установите, верно ли данное утверждение: hello_html_m42804f8f.gif~hello_html_3d8677f5.gif,если АВ=9,АС=12,ВС=6.ОЕ=3,ЕР=2,ОР=4.

а)ДА; б)НЕТ; в)Не возможно установить.

6).hello_html_m42804f8f.gif~hello_html_m559703d1.gif

, АВ=2, ВС=3, АС=1, МЕ=8. Сторона ЕК равна:

а) 12; б) 4; в) 6.

7).В треугольниках ABC и hello_html_m7135a3fe.gifhello_html_m66db25c5.gif. Если ВС=12, то ЕК равна:

а) 6;

б)18;

в) 3.

Комплекс задач по теме "Подобие треугольников"

Комплекс задач по теме "Подобие треугольников»

Какие задачи из элементарной математики считаются самыми трудными? Геометрические. ЕГЭ по математике предъявляет требования определенного уровня к «геометрической» культуре и подготовке выпускников, к умению логически мыслить, к знаниям методов решения задачи. В алгебре, началах математического анализа разработана целая серия алгоритмов решения типовых задач. В геометрии, как правило, алгоритмов нет. Тем не менее можно использовать некоторые общие положения и рекомендации, которые полезно соблюдать любому решающему геометрическую задачу (тем более при подготовке к ЕГЭ). К таким положениям можно отнести следующие:

1. Обучать учащихся технологии решения задачи, т.е. самостоятельному выполнению каждого из этапов процесса решения задачи.

2. Обучать решению геометрических задач через выделение ключевых задач.

3. Устанавливать связи между задачами, разрабатывать (составлять) комплекс задач.

Комплекс задач — это набор задач, который:

— имеет одинаковую основу;

— имеет последовательность, при которой каждая следующая задача обогащала бы опыт предыдущей;

— сформулирован таким образом, чтобы осуществлялся переход от одной задачи к другой.

Основой комплекса может быть:

— единая геометрическая конструкция;

— метод решения;

— единая тематика;

— теорема;

— ключевая задача;

— дополнительное построение и др.

Большую трудность у учащихся всегда вызывают задачи на применение подобия, поэтому предлагаю комплекс задач по теме «Подобие треугольников» (по материалам спецкурса для 10—11 классов).

Ключевые задачи.

1.

hello_html_m542dc3a5.pngDCFhello_html_3cce11e3.gif∆BCA

DF || АВ

2.

1hello_html_46b582c5.png) ∆ADChello_html_3cce11e3.gif∆ACB, hello_html_m2351d802.gif

(hello_html_m4049b127.gif)

2) ∆BDChello_html_3cce11e3.gif∆BCA, hello_html_573d0166.gif (hello_html_47f1d060.gif)

3) ∆ADChello_html_3cce11e3.gif∆CDB, hello_html_49c1571c.gif (hello_html_m6e3646b.gif)

Следствия

AC2=AB∙BD

BC2=AB∙BD

CD2=AD∙BD

3hello_html_m71124d2e.png.

∆BAOhello_html_3cce11e3.gif∆COD

4.

∆BOChello_html_3cce11e3.gif∆DOA

hello_html_me630c72.gifhello_html_m117a1c5b.png

Нhello_html_m2cf1ca22.pngаиболее подробно представлю задачу №5 и комплекс задач, основой которого является данная задача (данная задача была представлена в 2004 г. на пробном ЕГЭ).

В остроугольном треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот, отсекает треугольник, подобный данному.

Доказательство:

  1. ∆BA1Ahello_html_3cce11e3.gif∆BC1C по двум углам (hello_html_139353e0.gifhello_html_558c1551.gif)

Значит, hello_html_m3e0863d0.gif; hello_html_m3f3a65a5.gif; по свойству пропорции

  1. Рассмотрим: ∆A1ВС1 и ∆ABC

hello_html_m8fd66a8.gif

- общий, стороны, заключающие общий угол, пропорциональны.

Вывод: ∆BA1Ahello_html_3cce11e3.gif∆BC1C по || признаку подобия.

Следствие:

Из подобия треугольников следует: hello_html_m5a7a1347.gif; hello_html_m36ebd6ce.gif

В комплекс входят задачи:

I уровень:

1. На отработку определения подобия в данной конструкции.

2. На отработку hello_html_m2351d802.gif, hello_html_5414ba0.gif - общий угол треугольников

3. hello_html_m8787d9c.gif, hello_html_m7937a831.gif (взаимосвязь)

II уровень:

тот же тип задач, но конструкция завуалирована.

III уровень:

привлечение других фактов или теорий к заданной конструкции.

VI уровень:

контрпример (конструкция сходна, но теорема «не работает»)

Ihello_html_m1438b804.png уровень:

1. В остроугольном — ∆АВС AA1 и CC1 высоты. АВ=15 см, ВС=12 см, АС=18 см, Л,С,=0,6 дм.

a) Найти ВА, и ВС,

b) Найти угол В.

2. В остроугольном ∆АВС AA1 и CC1 - высоты, hello_html_7f912185.gif.

а) Найти периметр ∆А1В1С1, если периметр равен 52 см

b) Найти площадь ∆АВС, если площадь ∆А1В1С1 17 см2.

II уровень:

1hello_html_mba21d5c.png. В ∆MNK на стороне МК как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны MN и NK в точках Е и F соответственно, hello_html_m3bd284e.gif.

Найти угол FEN.

Анализ ситуации и поиск решения.

1. Как связаны элементы фигур, данных в условии?

* сторона треугольника МК - диаметр окружности

* Е и F - общие точки сторон треугольника и окружности

* угол MKN треугольника - вписанный в окружность.

2. Какие дополнительные построения обычно выполняют для получения дополнительной информации?

* соединяем центр окружности с точками окружности или соединяем точки окружности (возможные предложения ОЕ и OF; MF, КЕ)

* какие при этом образовались фигуры, что о них известно? Как связаны элементы фигур с данными в условии?

3. Остановимся (в результате обсуждения) на ∆MFK

* hello_html_642d50d5.gif — вписанный в окружность

* hello_html_135abcca.gif— вписанный в окружность, опирается на диаметр, значит, hello_html_m4640db81.gif тогда в ∆MFK MF - высота.

4. Аналогично КЕ - высота ∆MFK.

Вывод: получили известную конструкцию: в остроугольном ∆MFK проведены две высоты, значит, по ключевой задаче, FE отсекает треугольник, подобный данному, т.е. ∆MFKhello_html_3cce11e3.gif∆FNE.

значит соответственные углы равны, т.е. hello_html_m3f2ed516.gif Искомый угол 40°.

Ответ: 40°.

Задача 5.

Отрезок АВ - диаметр круга, а точка Р - вне его так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и В соответственно hello_html_m2f8bf551.gif

1) Найти расстояние между С и В, если радиус окружности hello_html_542db2ca.gif.

2) Найти площадь ∆ABP, если площадь ∆CDP равна hello_html_13d835a5.gif

Решение:

1. Ситуация аналогична предыдущей задаче; в результате анализа приходим к выводу, что ∆ABPhello_html_3cce11e3.gif∆DPC. hello_html_m2b105092.gif.

Пары сходственных элементов подобных треугольников неизвестны, но известен общий угол, поэтому

hello_html_m6f51a06d.gif; hello_html_m786beea6.gif; hello_html_m5f1a299e.gif; hello_html_15a2440e.gif.

hello_html_m791ee541.gif; hello_html_55b5e0b5.gif; hello_html_b349e59.gif; hello_html_594854ec.gif.

Ответ: hello_html_m701bbb19.gif

Зhello_html_68e32875.pngадача 6.

АВ - диаметр круга, а точка Р вне его выбрана так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и D соответственно, причем CD делит ∆ABP на части, площади которых относятся как 1:3. Найти угол между АР и ВР (или угол, под которым виден диаметр круга из точки Р).

Решение:

Ситуация аналогична.

В результате анализа приходим к выводу, что ∆APBhello_html_3cce11e3.gif∆DPC. Т.к. отношение площадей и четырехугольника ACDB равно hello_html_m137b52a5.gif, то отношение площадей подобных треугольников равно hello_html_m51a1c247.gif. Задача сводится к нахождению общего угла подобных треугольников, значит hello_html_m38282973.gif; hello_html_m38b68fef.gif; hello_html_m2351d802.gif, где hello_html_5414ba0.gif — величина общего угла — АРВ. hello_html_m4f37d2a8.gif, искомый угол 60°.

Ответ: 60°.

III уровень.

Задача 7.

Вhello_html_m430da82.png остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. АС=1. Угол ACF равен hello_html_m31b6d081.gif. Найти площадь круга, описанного около ∆FBD.

Решение:

1. По ключевой задаче ∆ABDhello_html_3cce11e3.gif∆DBF. (из прямоугольного ∆FBC)

2. По следствию из теоремы синусов hello_html_m208fa2b8.gif, где R - радиус окружности, описанной около ∆ABC.

hello_html_6ff836a2.gif; hello_html_16d2d593.gif.

3. hello_html_7965be41.gif, где r - радиус окружности, описанной около ∆FBD

hello_html_m7b8e8248.gif; hello_html_m70468142.gif; hello_html_m11f07d36.gif.

4. hello_html_60edeb01.gif.

Ответ: hello_html_45128126.gif

Задача 8.

В остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. Периметры треугольников ABC и FBD соответственно равны 15 см и 9 см. Радиус окружности, описанной около AFBD, равен 1,8 см. Найти АС.

Задача 9.

В равнобедренном ∆ABС с основанием АС высота AF делит высоту BD на отрезки 40 см и 5 см. Найти площадь треугольника АОВ, где О — точка пересечения высот.

Конструкция сходна с ключевой задачей — в треугольнике проведены две высоты, однако в этой задаче данный «ключ» не работает.

Практические приложения подобия треугольников

Сегодня мы будем говорить о том, где и как можно применять знания о подобии треугольников.

Для начала повторим всё, что мы знаем о подобии.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Выделяют три признака подобия треугольников: подобие по двум углам, подобие по двум сторонам и углу между ними, подобие по трём сторонам.

На уроках вы много раз сталкивались с задачами, где необходимо применить подобие треугольников. Сейчас мы с вами рассмотрим примеры решения задач на построение треугольников с применения подобия, то есть методом подобия.

Решение задач на построение треугольников методом подобия:

1.    Построение треугольника подобного искомому

2.    Построение искомого треугольника

Решим задачу на построение треугольника.

Задача. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а биссектриса третьего угла равна данному отрезку

Построение.

1.

2.

3. биссектриса

4.

5.

Доказательство.

1.

2.

Получаем, что треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Стоит обратить внимание на то, что сумма двух данных углов должна быть меньше 180º.

Аналогичным образом выполняются задачи на построение треугольника по двум углам и медиане, а также по двум углам и высоте.

Задача 1. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а медиана проведённая, из третьего угла, равна данному отрезку.

Задача 2. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а высота, проведённая из третьего угла, равна данному отрезку.

Сначала выбираем произвольный отрезок. На его концах строим углы равные данным. Получаем треугольник подобный искомому.

Проводим медиану или высоту из третьего угла.

От вершины C откладываем на них отрезки равные данному.

Проводим прямые, параллельные отрезку A1B1. Отмечаем точки пересечения полученной прямой со сторонами треугольника.

Искомые треугольники построены.

Сейчас мы рассмотрели примеры решения задач на построение треугольников методом подобия.

Также свойства подобных треугольников применяют при измерительных работах на местности. А именно: при определении высоты предмета и при определении расстояния до недоступной точки.

Рассмотрим примеры решения задач на определение высоты предмета.

Представим, что необходимо измерить высоту дерева, обозначим её B1C1. Понятно, что ни линейкой, ни верёвкой это сделать не возможно, так как до верхушки дерева никак нельзя дотянуться.

Поступим следующим образом. Возьмём шест высотой BC с вращающейся планкой на одном из концов, и направим планку на верхушку дерева.

Отметим точкой А точку пересечения прямой BB1 с поверхностью земли.

Полученные треугольники ABC и AB1C1 подобны по двум углам, ведь угол А у них общий, а углы ACB и AC1B1 прямые:

 

Из подобия треугольников следует равенство отношений:

 

Допустим, . Тогда искомая высота дерева: .

Решим ещё одну задачу на определение высоты предмета.

Задача. Дерево отбрасывает тень длиной  м. А человек ростом  см отбрасывает тень длиной  см. Найдите высоту дерева.

Решение.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные объектами и их тенями.

Так как объекты находятся на одной географической широте, то угол падения солнечных лучей в обоих случая будет одинаковым. Углы C и C1 прямые.

Отсюда можем сделать вывод, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны по двум углам. Значит, их соответствующие стороны пропорциональны и имеет место такое равенство:

Перед тем как подставлять известные величины переведём их в метры.

Перейдём к следующей группе задач. Определение расстояния до недоступной точки.

Предположим, нам нужно найти расстояние от некоторого пункта А до недоступной точки B.

Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его длину. Далее измеряем углы А и C в треугольнике ABC. В этом нам поможет астролябия.

Астролябия — это угломерный прибор, служивший до 18 века для определения широт и долгот в астрономии, а также горизонтальных углов при землемерных работах.

Например, для определения угла, под которым наблюдатель видит звезду, направляющую этого прибора нужно расположить так, чтобы она одним своим концом указывала на глаз наблюдателя, а другим — на звезду. При этом горизонтальная ось должна быть параллельна линии горизонта.

Итак, измерив углы А и C, изобразим треугольник A1B1C1 так, чтобы угол А1 был равен углу А и угол C1 был равен углу C.

Измеряем длины сторон A1B1 и А1C1.

    

Если, зная длину отрезка AC, изобразить A1C1, например, с масштабом 1:1000, то можно значительно упростить вычисления.

Допустим AC=130 метрам, тогда A1C1 изобразим длиной в 130 миллиметров. Измерив A1B1 в миллиметрах, мы сразу получим длину АБ, но уже в метрах.

Задача. Для определения расстояния от точки А до недоступной точки B на местности выбрали точку C и измерили отрезок AC, углы BAC и ACB. Затем построили на бумаге треугольник A1B1C1 подобный треугольнику ABC. Найдите AB, если AC равно семи метрам, A1C12,8 сантиметра, A1B13,4 сантиметра.

Из подобия треугольников следует равенство отношений. Отсюда выразим AB.

Подставим известные значения, переведя их предварительно в метры.

 , , .

Ответ:  

Подведём итоги урока.

Сегодня мы с вами знакомились с практическими приложениями подобия треугольников.

А именно рассмотрели примеры решения задач на построение треугольников методом подобия. Он состоит из двух этапов: построение треугольника подобного искомому и построение искомого треугольника.

А также познакомились с такими измерительными работами на местности как «определение высоты предмета» и «определение расстояния до недоступной точки».

Подобные треугольники. Геометрия, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Вход ЯКласс лого Вход Регистрация Начало Начало Поиск по сайту Поиск по сайту ТОПы ТОПы Учебные заведения Учебные заведения Предметы Предметы Проверочные работы Проверочные работы Обновления Обновления Новости Новости Переменка Переменка Отправить отзывОтправить отзыв ЯКласс лого
  • Предметы
  • Геометрия
  • 8 класс
  1. Определение подобных треугольников

  2. Признаки подобия треугольников

  3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

  4. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2020 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск