Скорости сближения и удаления двух объектов

Эта статья предназначена для 5-6 классников, которым нужно «набить руку» на решении задач на движение. Здесь предложены задачи как на движение вдогонку, так и на встречное движение и движение в разные стороны. Также статья будет полезна семи- и восьмиклассникам, которые хорошо подзабыли все за лето))

 

Задача 1.  Расстояние между велосипедистом и пешеходом – 30 км. Оба начинают одновременно двигаться в разные стороны. а) Через какое время расстояние между ними будет равно 80 км? б) Какое расстояние будет разделять их через четыре часа?

К задаче 1

Решение. Показать

Найдем скорость удаления. Пешеход преодолевает 5 км за каждый час, велосипедист – 20. Тогда вместе они проходят км за час, это и есть скорость удаления.  Если расстояние между пешеходом и велосипедистом стало равно 80 км, то они увеличили его на км. Тогда они были в пути

   

Тогда через четыре часа они преодолеют

   

Ответ: а) через два часа; б) 130 км.

Задача 2.  Расстояние между мотоциклистом и пешеходом – 100 км. Оба начинают одновременно двигаться  навстречу друг другу. а) Через какое время расстояние между ними будет равно 40 км? б) Какое расстояние будет разделять их через три часа? в) Через какое время они встретятся? г) На каком расстоянии от места старта пешехода произойдет встреча?

К задаче 2

Решение. Показать

Найдем скорость сближения. Пешеход преодолевает 5 км за каждый час, мотоциклист – 25. Тогда вместе они проходят км за час, это и есть скорость сближения.  Если расстояние между пешеходом и велосипедистом стало равно 40 км, то они уменьшили его на км. Тогда они были в пути

   

Или 2 часа.

Но! Они могли проехать мимо друг друга, разъехаться в разные стороны и снова увеличить расстояние до 40 км! Тогда они вместе проехали км. Следовательно, им потребовалось на это время

   

То есть 4 часа 40 минут.

Тогда через три часа они преодолеют

   

И их будет разделять

   

Определим время встречи.

   

Или 3 часа 20 минут.

Следовательно, от места старта пешеход ушел на расстояние .

Ответ: а) 2 часа или 4 часа 40 минут; б) 10 км; в) 3 часа 20 минут; г) 16 км 660 м (приблизительно).

Задача 3. Расстояние между двумя деревнями 120 км. Из этих деревень одновременно в одну сторону выезжают два автомобиля.  а) Через какое время расстояние между автомобилями будет равно 40 км? б) Когда второй автомобиль догонит первый? в) На каком расстоянии от места старта более быстрого автомобиля произойдет встреча?

К задаче 3

Решение. Показать

Найдем скорость сближения. Один за час проезжает 40 км, а другой – 80. То есть расстояние между автомобилями сокращается на км за час. Тогда, чтобы между автомобилями осталось 40 км, начальное расстояние должно сократиться на км, тогда до этого момента пройдет часа. Но может быть и так, что второй автомобиль обогнал первый и уехал на 40 км вперед, тогда расстояние между автомобилями изменилось на км, и на преодоление такого расстояния потребуется часа.

До встречи автомобилей пройдет время

   

За эти три часа второй автомобиль (более быстрый) преодолеет

   

Ответ: а) 2 часа или 4 часа; б) через 3 часа; в) на расстоянии 240  км.

Задача 4. Расстояние между велосипедистом и автомобилем –  20 м. Они  выезжают  одновременно в одну сторону.  а) Через какое время расстояние между автомобилями будет равно 100 м? б) Через какое время расстояние между автомобилями будет равно 1 км?

К задаче 4

Решение. Показать

Найдем скорость удаления. Велосипедист преодолевает 5 м за каждую секунду, автомобилист – 25 м. Тогда расстояние сокращается на   м за секунду, это и есть скорость удаления.  Если расстояние между пешеходом и велосипедистом стало равно 100 м, то они увеличили его на м, на это потребуется время

   

Неправильно думать, что, если расстояние между велосипедистом и автомобилистом увеличилось вдесятеро, то и произошло это за большее в 10 раз время. Нет. Давайте посчитаем.

   

Ответ: а) через 4 с; б) через 49 секунд.

Задача 5. Два НЛО заметили друг друга, когда расстояние между ними было равно 100 м. От неожиданности оба ринулись наутек. Один – со скоростью 50 м/с. Через три секунды расстояние между объектами равнялось 850 м. а) С какой скоростью удирал второй? б) Какое расстояние разделяет объекты через 8 с?

К задаче 5

Решение. Показать

Первый объект отлетел на 150 м за три секунды, следовательно, второй – на расстояние, м

   

Тогда скорость второго объекта равна, м/с

   

Найдем скорость удаления объектов, м/с:

   

Следовательно, с такой скоростью наши объекты разбегутся за восемь секунд на расстояние

   

Ответ: а) 200 м/с; б) 2100 м.

Задача 6. Два автомобиля выехали одновременно из соседних городов, расположенных на расстоянии 220 км, навстречу друг другу. Скорость одного из них равна 60 км/ч. Известно, что встреча произошла через два часа. Какова скорость второго автомобиля?

К задаче 6

Решение. Показать

За два часа первый автомобиль проехал км. Значит, второй проехал км за то же время, а значит, проезжал по 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

Задача 7. Два автомобиля выехали одновременно из соседних населенных пунктов, расположенных на расстоянии 8000 м, в одном направлении. Скорость одного из них равна 36 км/ч. Известно, что второй автомобиль догнал первый через 13 мин 20 с. Какова скорость второго автомобиля?

К задаче 7

Решение. Показать

Найдем, через сколько секунд произошел обгон.   мин с с. Тогда расстояние 8000 м было покрыто вторым автомобилем за 800 с, следовательно, скорость сближения равна

   

Скорость сближения при обгоне – это разность скоростей двух объектов, причем у того, кто обгоняет, скорость больше. Скорость первого равна

м/с, а скорость второго на 10 м/с больше, то есть равна 20 м/c, или 72 км/ч.

Ответ: 72 км/ч.

Задача 8. Самолет и автомобиль одновременно стартовали из двух населенных пунктов, которые разделены расстоянием в 800 км. Скорость самолета 600 км/ч, автомобиля – 100 км/ч. Через какое время расстояние между самолетом и автомобилем достигнет 2300 км?

К задаче 8

Решение. Показать

Расстояние увеличилось на 1500 км. Определим скорость удаления. Самолет пролетает 600 км за час, а автомобиль сокращает это расстояние на 100 км. Таким образом, за каждый час расстояние между самолетом и автомобилем увеличивается на 500 км – это и есть скорость удаления, она равна 500 км/ч. Тогда расстояние между самолетом и автомобилем увеличится на 1500 км за три часа.

Ответ: 3  часа.

 

Решение задач на встречное движение. Видеоурок. Математика 4 Класс

На этом уроке мы рассмотрим решение задач на встречное движение. Вначале вспомним понятие средней скорости, то, как связаны скорость, время и расстояние. Далее решим три задачи на нахождение каждой из величин, по условиям которых объекты будут двигаться навстречу друг другу. Познакомимся с понятием «скорость сближения».

Вы уже знакомы с понятием «средняя скорость» и знаете, как связаны величины скорость, время и расстояние. Решим более сложные задачи.

Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 3 часа. Первый лыжник шел со средней скоростью 12 км/ч, второй – 14 км/ч. Найдите расстояние между поселками. Смотрите иллюстрацию на рисунке 1.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1 способ

Чтобы найти расстояние между поселками, нам нужно знать, какое расстояние прошел каждый лыжник. Чтобы найти расстояние, которое прошел лыжник, надо знать его среднюю скорость движения и время, которое он был в пути.

Мы знаем, что лыжники вышли навстречу друг другу одновременно и были в пути 3 часа. Значит, каждый лыжник был в пути три часа.

Средняя скорость одного лыжника 12 км/ч, время в пути 3 часа. Если скорость множить на время, то узнаем, какое расстояние прошел первый лыжник:

1.       (км)

Средняя скорость движения второго лыжника – 14 км/ч, время в пути такое же, как и у первого лыжника – три часа. Чтобы узнать, какое расстояние прошел второй лыжник, умножим его среднюю скорость на его время в пути:

2.       (км)

Теперь можем найти расстояние между поселками.

3.       (км)

Ответ: расстояние между поселками – 78 км.

За первый час один лыжник прошел 12 км, за этот же час второй лыжник прошел навстречу первому лыжнику 14 км. Можем найти скорость сближения:

1.       (км/ч)

Мы знаем, что за каждый час лыжники приближались друг к другу на 26 км. Тогда можем найти, на какое расстояние они приблизились за 3 часа.

2.       (км)

Умножив скорость сближения на время, мы узнали, какое расстояние прошли два лыжника, то есть узнали расстояние между поселками.

Ответ: расстояние между поселками 78 км.

Из двух поселков, расстояние между которыми – 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый лыжник шел со средней скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. Через сколько часов они встретились? (Смотри рисунок 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Чтобы найти время, через которое встретятся лыжники, надо знать расстояние, которое прошли лыжники, и скорость обоих лыжников.

Мы знаем, что каждый час первый лыжник приближался к месту встречи на 12 км, а второй лыжник приближался к месту встречи на 14 км. То есть вместе они приближались за каждый час на:

1.  (км/ч)

Мы нашли скорость сближения лыжников.

Мы знаем все расстояние, которое прошли лыжники, и знаем скорость сближения. Если расстояние разделить на скорость, то мы получим время, через которое встретились лыжники.

2.  (ч)

Ответ: лыжники встретились через 3 часа.

Из двух поселков, расстояние между которыми – 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника и встретились через 3 часа. Первый лыжник шел со средней скоростью 12 км/ч. С какой средней скоростью шел второй лыжник? (Смотри рисунок 3.)

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Чтобы узнать среднюю скорость движения второго лыжника, надо узнать, какое расстояние прошел лыжник до места встречи и какое время он был в пути. Чтобы узнать, какое расстояние до места встречи прошел второй лыжник, надо знать, какое расстояние прошел первый лыжник, и общее расстояние. Общее расстояние, которое прошли оба лыжника, мы знаем – 78 км. Чтобы найти расстояние, которое прошел первый лыжник, надо знать его среднюю скорость движения и время, которое он был в пути. Средняя скорость движения первого лыжника – 12 км/ч, в пути он был три часа. Если скорость умножить на время, мы получим расстояние, которое прошел первый лыжник.

1.   (км)

Мы знаем общее расстояние, 78 км, и расстояние, которое прошел первый лыжник – 36 км. Можем найти какое расстояние прошел второй лыжник.

2.    (км)

Мы теперь знаем, какое расстояние прошел второй лыжник, и знаем, какое время он был в пути – 3 часа. Если расстояние, которое прошел второй лыжник, разделить на время, которое он был в пути, получим его среднюю скорость.

3.   (км/ч)

Ответ: средняя скорость движения второго лыжника – 14 км/ч.

Мы сегодня учились решать задачи на встречное движение. 

 

Список литературы

1. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова. – М.: Просвещение, 2010. 
2. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. 2-е изд., испр. – М.: 2013.; Ч. 1 – 96 с., Ч. 2 – 96 с., Ч. 3 – 96 с. 
3. Математика: учеб. для 4-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 2 / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр; пер. с бел. яз. Л.А. Бондаревой. – 3-е изд., перераб. – Минск: Нар. асвета, 2008. – 135 с.: ил. 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет 

1. Uchit.rastu.ru (Источник).
2. For6cl.uznateshe.ru (Источник).
3. Volna.org (Источник).

 

Домашнее задание 

1. Попробуйте решить задачу № 3 другим способом. 
2. Расстояние между двумя велосипедистами – 240 м. Они выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 30 сек. Какова скорость первого велосипедиста, если скорость второго равна 3 м/с? 
3. Навстречу друг другу из двух сел, расстояние между которыми – 30 км, одновременно вышли два пешехода. Один шел со скоростью 4 км/ч, а другой – со скоростью 5 км/ч. На сколько километров они сблизятся за 1 час пути? А за три часа?

Урок 35. задачи на движение — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 35

Задачи на движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Понятия скорости, времени, расстояния.
2. Формулы нахождения скорости, времени, расстояния.
3. Понятия скорости сближения, скорости удаления.

Глоссарий по теме

Расстояние – это длина от одного пункта до другого.

Большие расстояния, в основном, измеряются в метрах и километрах.

Расстояние обозначается латинской буквой S.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения:

S = v ∙ t

Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Скорость обозначается латинской буквой v.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения:

v = S : t

Время – это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения:

t = S : v

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К., Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

2. Потапов М. К., Шевкин А. В. Математика. Книга для учителя. 5 – 6 классы — М.: Просвещение, 2010

Дополнительная литература

1. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5 кл. – М.: Академика учебник, 2014

2. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5–6 классы // Составитель Бурмистрова Т. А.

3. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 кл. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2010

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто нам встречаются задачи на нахождение скорости, времени и расстояния. Что же всё это такое? Сейчас нам предстоит в этом разобраться.

Расстояние – это длина от одного пункта до другого. (Например, расстояние от дома до школы 2 километра). В основном большие расстояния измеряются в метрах и километрах. Общепринятое обозначение расстояния – заглавная латинская буква S.

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Скорость обозначается маленькой латинской буквой v.

Рассмотрим задачу:

Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 200 метров. Первый школьник добежал за 50 секунд. Второй за 100 секунд. Кто из ребят бежал быстрее?

Решение:

Быстрее бежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.

Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 200 метров на время движения первого школьника, то есть на 50 секунд:

200 м : 50 с = 4

Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, скорость измеряется в метрах в секунду:

200 м : 50 с = 4 (м/с)

Скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду.

Теперь найдём скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника:

200 м : 100 c = 2 (м/с)

Скорость движения первого школьника – 4 (м/с).

Скорость движения второго школьника – 2 (м/с).

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он бежал до спортплощадки быстрее.

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 1200 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 600 метров в минуту. За какое время мы доедем до спортивной секции?

Решение:

Если за одну минуту мы будем проезжать 600 метров, то сколько таких минут нам понадобится для преодоления тысячи двухсот метров? Очевидно, что надо разделить 1200 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 600 метров. Тогда мы получим время, за которое мы доедем до спортивной секции:

1200 : 600 = 2 (мин)

Ответ: мы доедем до спортивной секции за 2 минуты.

Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

S = v ∙ t

Рассмотрим задачу:

Мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 15 минут. Наша скорость была 60 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Решение:

Если за одну минуту мы прошли 60 метров, то сколько таких отрезков по шестьдесят метров мы пройдём за 15 минут? Очевидно, что умножив 60 метров на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 60 (м/мин)

t = 15 (минут)

S = v ∙ t = 60 ∙ 15 = 900 (метров)

Ответ: мы прошли 900 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = S : t

Рассмотрим задачу:

Расстояние от дома до школы 800 метров. Школьник дошёл до этой школы за 8 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника – это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 800 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

S = 800 метров

t = 8 минут

v = S : t = 800 : 8 = 100 (м/мин)

Ответ: скорость школьника была 100 м/мин.

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = S : v

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 600 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 120 метров в минуту (120 м/мин). За какое время мы дойдём до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 120 метров, то сколько таких минут со ста двадцатью метрами будет в шестистах метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 600 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 120. Тогда мы получим время, за которое мы дойдём до спортивной секции:

S = 600 метров

v = 120 (м/мин)

t = S : v = 600 : 120 = 5 (минут).

Ответ: мы дойдём до спортивной секции за 5 минут.

Итак, все рассмотренные нами формулы мы можем представить в виде треугольника для лучшего запоминания:

Теперь рассмотрим типы задач на движение.

Задачи на сближение.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 метров в минуту, а второго – 105 метров в минуту, то скорость сближения будет составлять 100 плюс 105, то есть 205 метров в минуту. Значит, каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Задача.

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через 3 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

Решение:

1. Найдём скорость сближения велосипедистов:

13 км/ч + 15 км/ч = 28 км/ч

1. Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

28 ∙ 3 = 84 км

Ответ: расстояние между населёнными пунктами 84 км.

Задачи на скорость удаления.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причём скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4 плюс 6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиваться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Рассмотрим задачу:

С причала одновременно в противоположных направлениях отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляла 60 км/ч, скорость катера 130 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Определим скорость удаления. Для этого сложим их скорости:

60 + 130 = 190 км/ч.

Получили скорость удаления равную 190 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между теплоходом и катером будет увеличиваться на 190 километров.

1. Чтобы узнать какое расстояние будет между ними через два часа, нужно 190 умножить на 2:

190 ∙ 2 = 380 км.

Ответ: через 2 часа расстояние между теплоходом и катером будет составлять 380 километров.

Задачи на движение объектов в одном направлении.

В предыдущих пунктах мы рассматривали задачи, в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу друг другу, либо в противоположных направлениях. В первом случае мы находили скорость сближения – в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. Во втором случае мы находили скорость удаления – в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Рассмотрим задачу:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 130 км/ч, а скорость автобуса 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Через 3 часа?

Решение:

1. Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую:

130 км/ч − 90 км/ч = 40 км/ч

1. Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 3 часа в три раза больше:

40 ∙ 3 = 120 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через три часа – 120 км.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Задача.

Пусть на одной улице имеется дом, школа и аттракцион. Дом находится на одном конце улицы, аттракцион на другом, школа между ними. От дома до школы 900 метров. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 90 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 85 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 3 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Решение:

1. Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 90 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 270 метров:

90 ∙ 3 = 270 метров

1. Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 85 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 255 метров:

85 ∙ 3 = 255 метров

1. Теперь найдём расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (900м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255м), и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270м):

900 + 255 = 1155 м

1155 – 270 = 885 м

Либо из расстояния от дома до школы (900 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255 м):

900 – 270 = 630 м

630 + 255 = 885 м

Таким образом, через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров.

1. Теперь давайте ответим на вопрос: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

В самом начале пути между пешеходами было расстояние 900 м. Через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 895 метров, поскольку первый пешеход двигается на 5 метров в минуту быстрее второго:

90 ∙ 1 = 90 м

85 ∙ 1 = 85 м

900 + 85 – 90 = 985 – 90 = 895 м

Через три минуты после начала движения расстояние уменьшится на 15 метров и будет составлять 885 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

90 ∙ 3 = 270 м

85 ∙ 3 = 255 м

900 + 255 – 270 = 1155 – 270 = 885 м

Можно сделать вывод, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 5 метров.

А раз изначальные 900 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 5 метров, то мы можем узнать сколько раз 900 метров содержат по 5 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго:

900 : 5 = 180 минут.

Ответ: через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров, первый пешеход догонит второго через 180 минут = 3 часа.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	____ ч
2.	____ м	12 м/с	4 с
3.	132 м	____ м/мин	11 мин

Для заполнения пропусков воспользуемся формулами нахождения скорости, времени, расстояния:

1. Надо найти время: t = S : v

135 : 9 = 15 часов.

1. Надо найти расстояние: S = v ∙ t

12 ∙ 4 = 48 м.

1. Надо найти скорость: v = S : t

132 : 11 = 12 м/мин.

Верный ответ:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	15 часов
2.	48 м	12 м/с	4 с
3.	132 м	12 м/мин	11 мин

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор

Выберите верный ответ к задаче:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, отправились одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Варианты ответов:

1. 70
2. 30
3. 270
4. 240

Эта задача относится к типу задач на сближение, т.е. нам надо:

1. сложить скорости мотоциклиста и автомобилиста:

60 + 30 = 90 км/ч – скорость сближения;

1. узнать, сколько километров они пройдут за 3 часа вместе. Для этого:

90 ∙ 3 = 270 км;

1. из общего расстояния нам осталось вычесть пройденное:

300 – 270 = 30 км

Верный ответ: 2. 30 км.

Скорость сближения и скорость удаления

Для решения задач на движение стоит прояснить объекты сближаются или удаляются, ответ зависит от вида движения.  Когда объекты двигаются навстречу друг другу из разных пунтков, то они сближаются:

\(v_1+v_2=20+30=50\) км/час скорость сближения

---

Когда объекты двигаются в противоположных направлениях  из одного пункта, то они удаляются:

 

\(v_1+v_2=20+30=50\) км/час скорость удаления

 

Когда объекты двигаются в одном направление одновременно:

• Если они выезжают одновременно, то два объекта удаляются друг от друга, так как скорость у них разная, для того чтобы найти скорость их удаления надо из большей скорости вычесть меньшую.

\(v_y=v_2-v_1\)

• Если они выезжают с интервалом, то два объекта могут удаляться или сближаться в зависимости от их скоростей:

1) если скорость объекта, который впереди больше, то они удаляются.  \(v_2>v_1\) 

                                                        2) если скорость объекта, который впереди меньше, то они сближаются .  \(v_1>v_2\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Задачи на движение в противоположных направлениях + Видеоурок

Если два тела одновременно движутся в противоположных направлениях, то расстояние между ними постепенно увеличивается.

Скорость удаления – это расстояние, которое проходят тела за 1 ч при движении в противоположных направлениях.

 

Пример 1. Два лыжника одновременно вышли из пункта А в противоположных направлениях. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?

Схема к задаче:

 

Решение:

1 способ

1)12 • 3 = 36 (км) – расстояние, которое прошёл первый лыжник за 3 ч

2)14 • 3 = 42 (км) – расстояние, которое прошёл второй лыжник за 3 ч

3)36 + 42 = 78 (км) 

2 способ

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость удаления

2)26 • 3 = 78 (км)

Ответ: 78 км.

 

Пример 2. Из города в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через сколько часов расстояние между машинами будет 280 км?

Схема к задаче:

 

Решение:

1)80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость удаления

2)280 : 140 = 2 (ч) – время движения машин

Ответ: через 2 часа.

 

Пример 3. Из города одновременно в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если через 2 часа расстояние между ними было 340 км?

Схема к задаче:

  

Решение:

1)340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость удаления машин

2)170 – 80 = 90 (км/ч) – скорость второй машины

Ответ: 90 км/ч.

 

Задачи на движение в противоположных направлениях: примеры и решение

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении в противоположных направлениях. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. Задачи на движение в противоположных направлениях можно решать двумя способами.

Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?

Решение: Из условия задачи известны скорость каждого автомобиля и время, которое автомобили были в пути. Значит, можно найти расстояние, которое проехал каждый автомобиль, для этого нужно скорость умножить на время:

1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль

2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль

Найдя сумму полученных результатов, узнаем расстояние между автомобилями через 4 часа:

400 + 280 = 680 (км)

Данную задачу можно решить и другим способом. Каждый час расстояние между автомобилями увеличивалось на 170 километров (100 + 70), 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей. За 4 часа они проедут расстояние:

170 · 4 = 680 (км)

Таким образом, задачу на движение в противоположных направлениях можно решить двумя способами:

1-й способ:	2-й способ:
1) 100 · 4 = 400 (км)	1) 100 + 70 = 170 (км/ч)
2) 70 · 4 = 280 (км)	2) 170 · 4 = 680 (км)
3) 400 + 280 = 680 (км)

Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 2. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два пешехода. Первый пешеход шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между пешеходами будет через 5 часов?

Решение: Сначала можно определить сколько километров прошёл каждый из пешеходов за 5 часов, для этого скорость пешеходов умножим на 5:

1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый пешеход

2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй пешеход

Затем можно найти общий путь, пройденный двумя пешеходами за 5 часов:

20 + 25 = 45 (км)

Теперь можно найти расстояние между пешеходами, прибавив к пути, пройденному пешеходами, расстояние между населёнными пунктами:

45 + 40 = 85 (км)

У данной задачи есть и второй вариант решения. Можно сначала найти скорость удаления пешеходов:

4 + 5 = 9 (км/ч)

Затем найти пройденное расстояние, умножив скорость удаления (9 км/ч) на время движения пешеходов (5 ч):

9 · 5 = 45 (км)

А теперь, для нахождения расстояния между пешеходами, сложить пройденное расстояние (45 км) с расстоянием между населёнными пунктами:

45 + 40 = 85 (км)

Таким образом, данная задача имеет два варианта решения:

1-й способ:	2-й способ:
1) 4 · 5 = 20 (км)	1) 4 + 5 = 9 (км/ч)
2) 5 · 5 = 25 (км)	2) 9 · 5 = 45 (км)
3) 20 + 25 = 45 (км)	3) 45 + 40 = 85 (км)
3) 45 + 40 = 85 (км)

Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Скорость сближения. 4-й класс

Тип урока: урок введения нового знания

Цели:

• учиться читать и записывать информацию, представленную в виде различных математических моделей;
• закрепить  умение решать задачи на движение с опорой на формулы;
• совершенствовать навыки устного счета, развивать слуховое и зрительное внимание, память, логическое мышление, математическую речь;
  закрепить знания соотношений между изученными единицами измерения;
• познакомиться с новым понятием «скорость  сближения»;
• продолжать учиться проверять исправлять и оценивать результаты своей работы.

Оборудование: презентация, карточки.

ХОД УРОКА

1. Психологический настрой учащихся

2. Актуализация знаний учащихся

3. Работа с карточками

У всех обучающихся – карточки.

– Начнем с разминки:

СКОРОСТЬ	ВРЕМЯ	РАССТОЯНИЕ
100 м/мин	3 мин	?
?	20 мин	800 м
5 км/час	?	25 км
?
		?

• Велосипедист двигался со скоростью 100м/мин, какое расстояние он преодолел за 3 минуты?
• За 20 минут на скейте мальчик преодолел 800метров. С какой скоростью он двигался?
• Туристы в походе двигаются со скоростью 5 км/час, За какое время они преодолеют 25 км?
• Составь  задачу  для одноклассника.

Самостоятельное  составление условия задачи, одноклассник сообщает ответ. Проверка

– Ребята, как вы думаете какая тема нашего сегодняшнего урока? (Решение задач)

(Слайд 1)

– С какими величинами  мы будем работать  на сегодняшнем уроке? (Скорость, время, расстояние)
– Какая же цель стоит перед нами на данном этапе урока? (Закрепить навыки решения задач, вспомнить взаимосвязь величин)

(Слайд 2)

– Давайте посмотрим на нашу лестницу успеха, и каждый для себя определит, на какой ступеньке  вы стоите в усвоении данной темы. (Приложение 1) Нарисуйте своего человечка на соответствующей ступеньке.

4. Групповая работа

Каждая группа получает листок А3 и задание (музыкальная заставка) (Приложение 1)

а) – Расскажите о данных величинах  по плану

(Слайд 3)

1. Определение
2. Формула
3. Единицы измерения

(Один представитель выходит к доске)

(Слайды 4, 5)

б) Составьте задачу по картинке

– Послушайте условие задачи: два судна одновременно отправились на встречу друг другу. Скорость одного 70 км/ч, скорость другого – 80 км/ч. Через 10 часов они встретились. Чему равно расстояние между  портами?
– Что значит «одновременно»?
– Давайте смоделируем задачу. (У доски наглядный показ)
– На сколько км за час приблизилось  к месту встречи первое судно? Второе? 

Дети решают задачу,  ученик за доской. Сверяем решение.

70* 10 = 700 км  расстояние, пройденное 1 судном;
80 * 10 =  800 км  расстояние, пройденное 1 судном;
700 + 800 = 1500 км  расстояние между двумя портами.

– Если  кто-то решил вторым способом, приглашаем к доске, просим объяснить.

70 + 80 = 150

– Что узнали в первом действии?

150 * 10 = 1500

Если никто не решил:

– Давайте вернемся к нашему моделированию. На сколько км в час  уменьшалось расстояние  между судами? (Суда вышли одновременно, значит, каждый час расстояние между ними уменьшается на  сумму двух скоростей.)

– Эта  сумма скоростей называется скорость сближения

70 + 80 =150 (км/ч)

– Зная скорость и время, что мы можем найти? (Расстояние)

150 * 10 = 1500

– Какую цель поставим перед собой на следующий этап урока ? (Познакомиться с новым понятием, используя новое понятие, вывести формулу. Понять, что при совместном, одновременном движении двух объектов навстречу друг другу, за каждую единицу времени расстояние сокращается на сумму скоростей движущихся объектов)

– Давайте попробуем вывести формулы скорости сближения. Вспомним,  какими буквами обозначается скорость, как происходит сближение.

(Слайд 6)

V = V₁ + V₂

(Слайд 7)

в) Разноуровневое задание

– Составьте задачи по схемам, выберите и решите.

Дети решают задачи.

– Кто выбрал  1 задачу? Почему  Как решили 1 задачу, использовали  новые знания?
– Кто выбрал  2 задачу?

Проверка решения  (объединение групп)

(Слайд 8)

6. Подведем итоги

– Возьмите карточку, выполните задания.

Дети работают на карточках.

– Все карточки, на которых работали сегодня, положите в тетрадь, тетради на перемене сдайте.

(Слайд 9)

– Вернемся к нашей лестнице успеха, продвинулись ли вы на ступеньках знаний?
– Как нарисовали второго человечка? Почему?
– Что узнали нового на уроке?
– Кому необходимо потренироваться в решении задач нового типа?

7. Домашнее задание: стр 91 №5  прочитайте задачи, выберите  для домашней работы, ту, которая вам интересней.

Оценки за урок.