Задачи с кругами эйлера для 6 класса: Задачи на тему Круги Эйлера 6 класс

Posted on by alexxlab

Презентация к уроку по математике (6 класс): 6 класс Математика. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Конспект урока

6 класс

Предмет: Математика

Тема: Решение задач с помощью кругов Эйлера

Здравствуйте, ребята! Сегодня на занятии мы с вами познакомимся с новым для вас методом решения логических задач — кругами Эйлера. Мы научимся решать некоторые из тех задач, которые входят в группу конкурсных и олимпиадных. Целью нашего урока: является познакомиться с решением простейших логических задач методом кругов.

Разминка

 Устно:

  1. Кирпич весит 3кги ещё полкирпича. Сколько весит кирпич?
  2. Два спортсмена на соревновании пробежали по стадиону 8 кругов. Сколько кругов пробежал каждый?
  3. Назовите два числа, разность которых равна их сумме.
  4. Сколько будет: два плюс пять умножить на три?

Изучение нового материала

В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук.

Для наглядной геометрической иллюстрации понятий и соотношений между ними используется диаграммы Эйлера-Венна (круги Эйлера). Если имеются какие-либо понятия А, В, С и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объектами (множествами) — в виде пересекающихся кругов.

Перед решением задачи ответьте сначала на следующие вопросы:

  1. О скольких множествах идет речь в данной задаче?
  2. Какие из перечисленных в задаче данных относятся к разным множествам одновременно?

Задачи разобрать и записать в тетрадь с правильным оформлением: дано, рисунок (круги Эйлера), решение, ответ.

Задача 1. Домашние любимцы. У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро — собак. И только у двоих есть и те и другие. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев. В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом — собак. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих. В оставшейся части «кошачьего» круга ставим цифру 4 (6 — 2 = 4). В свободной части «собачьего» круга ставим цифру 3 (5 — 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ. 9 подруг.

Задача 2. Библиотеки. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

Решение: Пусть круг Ш изображает читателей только школьной библиотеки, круг Р — только районной. Тогда ШР — изображение читателей и районной, и школьной библиотек одновременно. Из рисунка следует, что число учеников, не являющихся читателями школьной библиотеки, равно:

(не Шк.биб) = Р — ШР.

Всего 30 учеников,

Ш = 20 человек,

Р = 15 человек.

Тогда значение ШР может быть найдено так (см. рисунок): ШР = (Ш + Р) — 30 = (20 + 15) — 30 =  5, т.е. 5 учеников являются читателями школьной и районной библиотек одновременно.

Тогда (не Шк.биб) = Р — ШР= 15 — 5= 10.

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.

Задача 3. Любимые мультфильмы. Среди школьников пятого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Винни Пух», «Микки Маус». Всего в классе 28 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 16 учеников, среди которых трое назвали еще «Микки Маус», шестеро — «Винни Пух», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Микки Маус» назвали 9 ребят, среди которых пятеро выбрали по два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Винни Пух»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только «Белоснежку» выбрали 16-6-3-1=6 человек. Только «Микки-Маус» выбрали 9-3-2-1=3 человека.

Только «Винни-Пух» выбрали 28-(6+3+3+2+6+1)=7 человек. Тогда, учитывая, что некоторые выбрали по несколько мультфильмов, получаем, что «Винни-Пух» выбрали 7+6+1+2=16 человек.

Задачи на оценку:

Задача 1. Спортивный класс. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?

Задача 2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

Задача 3. 12 моих одноклассников любят читать детективы , 18 – фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

Домашнее задание:

Задача 1. Хобби. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу — 8 человек, спортивную школу — 12 человек, музыкальную и художественную школу- 3, художественную и спортивную школу — 2, музыкальную и спортивную школу — 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

 

Профессор Знаев — Урок математики в 6 классе «Круги Эйлера»

Цель: привитие интереса учащихся к математике, развитие их логического мышления, расширение математического кругозора, знакомство с теорией множеств.

Вводная часть (беседа): Ребята, вы хорошо знаете, что в математике самое главное – научиться решать задачи. Решение задач — сложный процесс, он напоминает спортивные состязания, в которых за отведённое достаточно короткое время нужно показать хороший результат. В спорте к любому соревнованию нужно готовиться, так и мы с вами должны научиться решать различные нестандартные задачи, чтобы в дальнейшем достойно участвовать на олимпиадах по математике различного уровня. Решая нестандартные задачи, вы будете испытывать радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощутите красоту и величие математики. Постепенно вы поймёте ошибочность вывода о том, что математика является чем-то унылым и застывшим и почему математики, говоря о своей науке, нередко прибегают к эстетическим категориям (“изящный результат”, “красивое доказательство”). Занимательные задачи помогут вам постичь дух истинной математики, пробудить наблюдательность, умение логически мыслить; научат верить в свои силы и добиваться успехов в решении поставленных задач.

Основная часть: Ребята, сегодня мы с вами на занятии совершим путешествие в “Царство смекалки” вместе с математическими героями Степой Смекалкиным и Витей Верхоглядкиным. узнаем много нового, научимся решать задачи с помощью кругов Эйлера, познакомимся с некоторыми учёными-математиками.

Задача 1. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Обсуждение. Изобразим большой круг, а в нём два поменьше. В один круг. обозначенный буквой М поместим всех математиков, в другой круг, обозначенный буквой Б, всех биологов. Очевидно. в общей части кругов, обозначенной буквами МБ, окажутся те самые биологи – математики, которые нас интересуют. Остальных ребят, а их 10, попросим не выходить из внешнего круга, самого большого. Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35 – 10 = 25 ребят. Внутри “математического” круга М находятся 20 ребят, значит, в той части “биологического” круга, которая расположена вне круга М, находятся 25 – 20 = 5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11 – 5 = 6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

Рисунки, подобные приведенному в решении, обычно называют “кругами Эйлера”. Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. Эйлер писал тогда, что “они очень подходят для того. чтобы облегчить наши размышления”. Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

Закрепление: Реши сам:

Задача 2: В лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задача 3. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 – в хоккей, 18 – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем – четверо, баскетболом и волейболом – трое, волейболом и хоккеем – пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни волейболом.

а) Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

б) Сколько ребят увлекаются лишь одним из этих видов спорта?

Задача 4: В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют “тройки” 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Только по одному предмету имеют “тройки”: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека и по физике – 11 человек. Семь человек имеют “тройки” и по математике, и по физике, из них пятеро имеют “тройки” и по русскому языку.

а) Сколько человек учатся без “троек”?

б) Сколько человек имеют “тройки” по двум из трёх предметов?

Замечание: Задачи расположены в данном занятии по принципу “от простого к сложному”. В первой задаче, самой простой, круги Эйлера появляются естественным образом, как реальные круги на школьном дворе, где располагаем учеников. Здесь уже полезно ввести теоретико-множественную символику. Для упрощения записи пересечение множеств обозначается у нас без помощи знака: вместо А В мы пишем просто АВ.

Итог урока: Хорошо мы сегодня порешали задачи на станции “Пересчитай-ка”. Пора возвращаться домой.

Домашнее задание.

Задача: (“Удивительный класс”). В этом классе учатся 35 человек, и все они либо играют на скрипке, либо разводят хомяков, либо плавают в бассейне “Москва”. Многие успевают заниматься и тем, и другим. Больше всего пловцов-хомяководов – 25, пятеро из них ещё и на скрипке играют. Чемпион класса по плаванию на скрипке не играет и хомяков не разводит, а два его друга-хомяковода плавать не умеют. зато скрипачи превосходные. Среди скрипачей есть семеро, которые не плавают и хомяков не разводят.

а) Сколько в классе скрипачей?

б) Сколько человек посещают бассейн “Москва”?

в) Сколько хомяководов не увлекаются ни плаванием, ни музыкой?

Олимпиадная работа по математике (круги Эйлера) для 6-го класса от школы №1514 в 2016 году

Ответы

Ответы к заданиям
(при их наличии) доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!

Статистика и загрузка

Скачать

Если загрузка не началась автоматически, повторите попытку или нажмите сюда!
Просмотров540107Загрузок
ДобавилГость18.04.2018Дата
ДеньСреда23:52Время

Статья 1274: Свободное использование произведения в информационных, научных, учебных или культурных целях.

Все материалы сайта представлены исключительно в ознакомительных целях.

Источник/автор материала: Центр педагогического мастерства

Если вы скопируете данный файл, Вы должны незамедлительно удалить его сразу после ознакомления с содержанием. Копируя и сохраняя его, Вы принимаете на себя всю ответственность, согласно действующему международному законодательству. Все авторские права на данный файл сохраняются за правообладателем.

Любое коммерческое и иное использование, кроме предварительного ознакомления запрещено. Публикация данного документа не преследует никакой коммерческой выгоды. Но такие документы способствуют быстрейшему профессиональному и духовному росту читателей и являются рекламой бумажных и других различных видов изданий таких документов.

Если данный материал нарушает чьи-либо авторские права, то обратитесь на почту [email protected]

Справочные материалы

Загрузка формул…

Загрузка тестирования…

Обсуждения

Комментарии к заданиям доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!

Тест. Решение задач с помощью кругов Эйлера