Значение числового, буквенного выражения и выражения с переменными
В процессе разбора тем о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными следует обратить внимание на понятие значение выражения. Ниже дадим определение этому термину, рассмотрим примеры.
Что такое значение числового выражения
Мы знакомимся с числовыми выражениями с самого начала школьного обучения. Да и почти сразу начинает использоваться понятие «значение числового выражения». Так обозначают выражения, составляющие которого – числа, соединяемые знаками арифметических действий: плюс, минус, умножить, разделить.
Определение 1Значение числового выражения – это конечное число, получаемое в результате выполнения заданных действий в исходном числовом выражении.
Например, простейшее числовое выражение 2+3. Оно задает необходимость выполнить сложение натуральных чисел, в результате чего получается число 5, которое и будет служить значением числового выражения 2+3.
Зачастую в словосочетании «значение числового выражения» слово «числовое» не употребляют, поскольку в любом случае понятно, значение какого выражения рассматривается.
Определение, которое мы дали выше, верно для числовых выражений и более сложной структуры, изучаемых в старших классах. Также нужно сказать о том, что возможно встретить такие числовые выражения, значение которых указать нет возможности: в некоторых выражениях задаются действия, которые нельзя выполнить. К примеру, деление на нуль не определено, а значит указать значение выражения, к примеру, 5:(9-9) невозможно. Такие числовые выражения называют выражениями, не имеющими смысла.
В основном интерес вызывает не само числовое выражение, а его значение. Практически всегда существует задача по нахождению значения заданного выражения, которая так и обозначается: «найти значение выражения». В соответствующей статье можно детально изучить сам процесс нахождения значения числовых выражения разного рода с примерами.
Значение буквенного выражения и выражения с переменными
Кроме числовых, интерес представляют и буквенные выражения – те выражения, составляющими которого являются, в том числе, одна или несколько букв. Буквы в буквенном выражении обозначают разные числа, и при замене букв на числа получается числовое выражение.
zaochnik.com
Числовые выражения
Числовые выражения.
Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».
Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5 : + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 — уже настоящее числовое выражение.
Значение числового выражения.
Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения.
Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение числового выражения 5 + 8 ∙ 9.
Числовое равенство.
Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством. При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют
верным. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство, так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.
Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение числового выражения (5 + 8 ) ∙ 9.
Как прочитать числовое выражение?
Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма — «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».
Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».
Примеры числовых выражений.
Приведем пример более сложного числового выражения:
\[\left( \frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]
В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.
В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$. Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.
$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$
Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$
Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.
В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$
Получаем $\left( \frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$
Когда числовые выражения не имеют смысла?
Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».
Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже алгебраическое выражение.
Дата публикации:
Теги: числовые выражения :: 7 класс
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
Предыдущие статьи:
- Уроки математики, Пособие для учителей, 2 класс, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., 2009
- Математика, 6 класс, Методические рекомендации, Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., 2013
- Математика, 6 класс, Методические рекомендации, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2013
- Математика, 5 класс, Методические рекомендации, Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., 2013
nashol.com
Элементы алгебры в начальной школе
1.Роль алгебраического материала в курсе математики начальных классов
2. Математическое выражение и его значение.
3. Решение задач на основе составления уравнения.
Алгебра заменяет численные значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. В общем виде алгебра также заменяет знаки конкретных действий (сложения, умножения и т. п.) обобщенными символами алгебраических операций и рассматривает не конкретные результаты этих операции (ответы), а их свойства.
Методически считается, что основная роль элементов алгебры в курсе начальных классов состоит математики в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий.
На сегодня наблюдаются две кардинально противоположные тенденции в определении объема содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов, с насыщением его алгебраическим материалом уже с первого класса; другая тенденция связана с введением алгебраического материала в курс математики для начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса. Представителями первой тенденции можно считать авторов альтернативных учебников системы Л.В. Занкова (И.И. Аргинская), системы В.В. Давыдова (Э.Н. Александрова, Г.Г. Микулина и др.), системы «Школа 2100» (Л.Г. Петерсон), системы «Школа XXI века» (В.Н. Рудницкая). Представителем второй тенденции можно считать автора альтернативного учебника системы «Гармония» Н.Б. Истомину.
Учебник традиционной школы можно считать представителем «серединных» взглядов — он содержит достаточно много алгебраического материала, поскольку ориентирован на использование учебника математики Н.Я. Виленкина в 5—6 классах средней школы, но знакомит детей с алгебраическими понятиями начиная со 2 класса, распределяя материал на три года, и за последние 20 лет практически не расширяет список алгебраических понятий.
Обязательный минимум содержания образования по математике для начальных классов (последняя редакция 2001 г.) не содержит алгебраического материала. Не упоминают умений выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки по завершении обучения в начальных классах.
Математическое выражение и его значение
Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.
Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.
Например:
3 + 2 — математическое выражение;
7 — 5; 5 • 6 — 20; 64 : 8 + 2 — математические выражения;
а + b; 7 — с; 23 — а • 4 — математические выражения.
Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.
Запись вида 5 < 6 или 3 + а > 7 — не являются математическими выражениями, это неравенства. [5,с.242]
Числовые выражения
Математические выражения, содержащие только числа и знаки действий называют числовыми выражениями.
В 1 классе рассматриваемый учебник не использует данные понятия. С числовым выражением в явном виде (с названием) дети знакомятся во 2 классе.
Простейшие числовые выражения содержат только знаки сложения и вычитания, например: 30 — 5 + 7; 45 + 3; 8 — 2 — 1 и т. п. Выполнив указанные действия, получим значение выражения. Например: 30 — 5 + 7 = 32, где 32 — значение выражения.
Некоторые выражения, с которыми дети знакомятся в курсе математики начальных классов, имеют собственные названия: 4 + 5 — сумма;
6 — 5 — разность;
7 • 6 — произведение; 63 : 7 — частное.
Эти выражения имеют названия для каждого компонента: компоненты суммы — слагаемые; компоненты разности — уменьшаемое и вычитаемое; компоненты произведения — множители; компоненты деления — делимое и делитель. Названия значений этих выражений совпадают с названием выражения, например: значение суммы называют «сумма»; значение частного называют «частное» и т. п.
Следующий вид числовых выражений — выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки. С ними дети знакомятся в 1 классе. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.
Далее следуют числовые выражения, содержащие действия двух ступеней без скобок (сложение, вычитание, умножение и деление). С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия без скобок: действия умножения и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание. [5,с.246]
Последний вид числовых выражений — выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия и скобки: действия в скобках выполняются первыми, затем выполняются действия умножения и деления, затем действия сложения и вычитания.
studfile.net
«Значение выражений» — Яндекс.Знатоки
Изучая какой-нибудь вопрос, математики крутят его так и этак, экспериментируют, выдвигают гипотезы по результатам экспериментов. Тут включается элемент творчества — надо придумать что-то новое, чего раньше не было. Ученому нужно раскрепостить свою мысль, чтобы она в свободном полете добывала новые идеи. А потом проверить гипотезу доказательством — и тут мысль должна ходить по струночке, подчиняясь строгим законам логики.
Эта одна из причин, почему математика так трудна: мысль должна быть то раскованной, то жестко связанной.
Школьники думают как математики чаще на уроках геометрии, а не алгебры. В геометрии надо рассмотреть чертеж, повертеть его так и этак, провести дополнительные построения, догадаться о каких-нибудь свойствах (какие-то углы равны или линии параллельны), а потом проверить их доказательством. В сравнении с алгеброй в школьной геометрии сильнее и творческий элемент и доказательный.
Не советую по этой теме читать книгу Барбары Оакли «Думай, как математик».
Автору математика с детства не давалась, но удавалось как-то без нее обходиться. Однако с возрастом и с развитием карьеры математика стала нужна. Барабара начала изучать ее довольно поздно: только в 26 лет приступила к облегченному курсу тригонометрии. Теперь она сама преподает математику. Это редкий жизненный опыт; Барбара смогла посмотреть на процесс обучения со стороны и проанализировать, какие приемы в учебе работают, а какие нет. Она училась в сознательном возрасте и наблюдала за собой; она учила других; опросила много людей и много читала на эту тему.
Результат есть: книга несомненна будет полезна студентам, которым нужно усвоить много знаний (скажем, чтобы сдавать экзамены по математике, хотя акцента на экзаменах в книге нет). Старшеклассникам, которые осознают, что и зачем они учат, тоже подойдет.
Математике учатся биологи, социологи, химики, физики, инженеры… — все они должны усвоить определенную сумму знаний и уверенно ими владеть. Такому специалисту нужно войти на чужую территорию и стать в ней своим. Для них Оакли написала свою книгу. Математики же на своей территории открывают новые земли, прокладывают дороги и наводят мосты между уже освоенными. Вот об этом Барбара Оакли не пишет, так что название «Думай как математик» — не для этой книги, а для какой-то другой, еще не повстречавшей своего автора. А так-то полезная книга, да, — но не для творцов математики, а для пользователей.
yandex.ru
Числовые и алгебраические выражения — урок. Алгебра, 7 класс.
Числовым выражением называют всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом.
Например:3+5⋅7−4 — числовое выражение;
3+:−5 — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов.
Очень часто вместо конкретных чисел употребляются буквы, тогда получается алгебраическое выражение.
Алгебраическим выражением называется запись из букв, знаков арифметических действий, чисел и скобок, составленная со смыслом.
Например:a2−3b — алгебраическое выражение.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т. е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными.
Алгебраические выражения могут быть очень громоздкими, и алгебра учит их упрощать, используя правила, законы, свойства, формулы.
При упрощении вычислений часто используются законы сложения и умножения.
Законы сложения
1) От перемены мест слагаемых сумма не изменяется, т. е.
a+b=b+a — переместительный закон сложения.
2) Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых, т. е.
a+b+c=a+b+c — сочетательный закон сложения.
Законы умножения1) От перемены мест множителей произведение не меняется, т. е.
a⋅b=b⋅a — переместительный закон умножения.
2) Произведение не зависит от группировки его сомножителей, т. е.
a⋅b⋅c=a⋅b⋅c — сочетательный закон умножения.
3) Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число, т. е.
a+b⋅c=ac+bc — распределительный закон умножения относительно сложения.
В результате упрощений числового выражения получается число, которое называют значением числового выражения.
Выполнив указанные действия в первом примере, получим
3+5⋅7−4=18.
Число \(18\) в ответе есть значение данного числового выражения.
О значении алгебраического выражения можно говорить только при конкретных значениях входящих в него букв.
Например, алгебраическое выражение a2−3b при \(a=-16\) и \(b=-14\) имеет значение \(298\), т. к.
a2−3b=−162−3⋅−14=256+42=298,
а вот алгебраическое выражение a2−3a+2 при \(a=-4\) имеет значение \(-6,5\),
т. к. −42−3−4+2=16−3−2=13−2=−6,5.
И это же алгебраическое выражение a2−3a+2 при \(a=-2\) не имеет смысла, т. к. a+2=−2+2=0, т. е. будет деление на ноль.
Обрати внимание!
А на ноль делить нельзя!
Вывод:если при конкретных значениях букв алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми;
если же при конкретных значениях букв алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми.
Так, в примере a2−3a+2 значение \(a=-4\) — допустимое, азначение \(a=-2\) — недопустимое, т. к. при нём будет деление на ноль, а делить на ноль нельзя!
www.yaklass.ru
Выражение (математика) — Циклопедия
Выражения с переменными и уравнения // KhanAcademyRussian [5:51]В математике, (математическое) выражение — конечная комбинация символов, которая правильно построена согласно правилам, зависящим от контекста.
Математические символы могут обозначать числа (константы), переменные, операции, функции, пунктуацию, группирование и другие аспекты логического синтаксиса.
Синтаксис выражений варьируется от простого:
- [math]0+0[/math]
- [math]8x-5[/math] (линейный полином)
- [math]7{{x}^{2}}+4x-10[/math] (квадратный полином)
- [math]\frac{x-1}{{{x}^{2}}+12}[/math] (рациональное выражение)
до сложного составного:
- [math]f(a)+\sum_{k=1}^n\left.\frac{1}{k!}\frac{d^k}{dt^k}\right|_{t=0}f(u(t)) + \int_0^1 \frac{(1-t)^n }{n!} \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}} f(u(t))\, dt.[/math]
Математические выражения включают арифметические, полиномиальные, алгебраические выражения, замкнутые формы, аналитические выражения. Таблица ниже показывает некоторые сходства и различия между ними.
| Арифметические выражения | Полиномиальные выражения | Алгебраические выражения | Замкнутые формы | Аналитические выражения | |
|---|---|---|---|---|---|
| Константа | Да | Да | Да | Да | Да |
| Переменная | Да | Да | Да | Да | Да |
| Арифметическая операция | Да | Да | Да | Да | Да |
| Факториал | Да | Да | Да | Да | Да |
| Целая экспонента | Нет | Да | Да | Да | Да |
| Корень N-ой степени | Нет | Нет | Да | Да | Да |
| Рациональная экспонента | Нет | Нет | Да | Да | Да |
| Иррациональная экспонента | Нет | Нет | Нет | Да | Да |
| Логарифм | Нет | Нет | Нет | Да | Да |
| Тригонометрич. функция | Нет | Нет | Нет | Да | Да |
| Обратная тригонометрич. функция | Нет | Нет | Нет | Да | Да |
| Гиперболическая функция | Нет | Нет | Нет | Да | Да |
| Обратная гиперболическая функция | Нет | Нет | Нет | Да | Да |
| Гамма функция | Нет | Нет | Нет | Нет | Да |
| Функция Бесселя</A> | Нет | Нет | Нет | Нет | Да |
| Специальная функция | Нет | Нет | Нет | Нет | Да |
| Непрерывная функция</A> | Нет | Нет | Нет | Нет | Да |
| Бесконечная последовательность | Нет | Нет | Нет | Нет | Да |
| Формальная степенная последовательность</A> | Нет | Нет | Нет | Нет | Нет |
| Дифференциал | Нет | Нет | Нет | Нет | Нет |
| Предел | Нет | Нет | Нет | Нет | Нет |
| Интеграл | Нет | Нет | Нет | Нет | Нет |
[править] Синтаксис и семантика
[править] Синтаксис
→ Синтаксис
Быть выражением является синтаксическим понятием.
Выражение должно быть правильно построенным: операторы должны иметь нужное количество входов в подходящих позициях, символы, подаваемые на эти входы, должны быть значимыми, и т. д. Цепочки символов, нарушающие правила синтаксиса, построены некорректно и не образуют приемлемого математического выражения.
Например, в обычной арифметической нотации выражение 2 + 3 построено правильно, но следующее выражение непригодно:
- [math]\times4)x+,/y[/math].
[править] Семантика
→ Семантика
Семантика изучает значения. Формальная семантика занимается приложением значений к выражениям.
В алгебре выражение может использоваться для обозначения величины,, которая зависит от величин переменных, входящих в выражении. Определение этой величины зависит от семантики, присвоенной символам выражения. Эти семантические правила могут объявить, что некоторые выражения не определяют никакой величины (например, когда они включают деление на 0). Говорят, что такие выражения имеют неопределенное значение, но тем не менее. они — правильно построенные выражения. Вообще говоря, значение выражений не сводится только к обозначению величин; например, выражение может обозначать условие, или уравнение, которое должно быть решено, или может трактоваться как некоторый объект в своем собственном контексте, который управляется согласно определенным правилам. Определенные выражения, которые обозначают величину, одновременно фиксируют необходимое условие, которое считается принятым.
[править] Формальные языки и лямбда-исчисление
→ Формальный язык
Формальные языки позволяют уточнить (формализовать) понятие правильно построенных выражений.
В 1930-х годах новый вид выражений, названных лямбда-выражениями, был введен А. Черчом и С. Клини для определения функций и их вычислений. Эти выражения формируют основание формальной системы лямбда-исчисление, используемой в математической логике и теории языков программирования.
Эквивалентность двух лямбда-выражений неразрешима. Неразрешимость также имеет место для выражений, представляющих действительные числа, построенные из целых чисел с использованием арифметических операций, логарифмов и экспоненциалов (теорема Ричардсона).
Многие математические выражения содержат переменные. Некоторая переменная может рассматриваться как свободная или связанная. Для данной комбинации величин свободных переменных выражение может быть вычислено, однако для некоторых других комбинаций значение выражения может остаться неопределенным. Например, выражение
- [math] x/y [/math],
вычисляемое для x = 10, y = 5, дает 2; но оно не определено для y = 0.
Таким образом выражение представляет функцию, входы (аргументы) которой составляют величины, присвоенные свободным переменным, и чей результат — вычисленная величина выражения. Результат вычисление выражения зависит от определения математических операторов и от системы величин, которая является её контекстом.
Говорят, что два выражения эквивалентны, если для каждой комбинации величин свободных переменных, оба выражения дают тот же самый результат, то есть они представляют одну и ту же функцию. Например, выражение
- [math]\sum_{n=1}^{3} (2nx)[/math]
имеет свободную переменную x, связанную переменную n, константы 1, 2, и 3, два вхождения неявного (имплицитного) оператора умножения, и оператор суммирования. Выражение эквивалентно более простому выражению 12x. Значение для x = 3 и n=3 равно 36.
- Выгодский М. Я., Справочник по элементарной математике, Москва Изд-во 1982.
- Яремчук Ф. П. и др., Алгебра и элементарные функции, Киев Наукова Думка 1987.
- Бронштейн И. Н. и др., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, Изд-во Наука 1986.
- Корн Г. и др., Справочник по математикее для научных работников и инженеров, Изд-во Наука 1968.
cyclowiki.org
Математическое выражение и его значение — МегаЛекции
Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.
Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.
Например:
3 + 2 — математическое выражение;
7 — 5; 5 • 6 — 20; 64 : 8 + 2 — математические выражения; а + b; 1 — с; 23 — а •4 — математические выражения.
Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.
Запись вида 5 < 6 или 3 + а > 7 — не являются математическими выражениями, это неравенства.
Числовые выражения
Математические выражения, содержащие только числа и знаки действий называют числовыми выражениями.
8 1 классе рассматриваемый учебник не использует данные понятия. С числовым выражением в явном виде (с названием) дети знакомятся во 2 классе.
Простейшие числовые выражения содержат только знаки сложения и вычитания, например: 30 — 5 + 7; 45 + 3; 8 — 2 — 1 и т. п. Выполнив указанные действия, получим значение выражения. Например: 30 — 5 + 7 = 32, где 32 — значение выражения.
Некоторые выражения, с которыми дети знакомятся в курсе математики начальных классов, имеют собственные названия: 4 + 5 — сумма; 6-5— разность; 7 • 6 — произведение; 63 : 7 — частное.
Эти выражения имеют названия для каждого компонента: компоненты суммы — слагаемые; компоненты разности — уменьшаемое и вычитаемое; компоненты произведения — множители; компоненты деления — делимое и делитель. Названия значений этих выражений совпадают с названием выражения, например: значение суммы называют «сумма»; значение частного называют «частное» и т. п.
Следующий вид числовых выражений — выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки. С ними дети знакомятся в 1 классе. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.
Далее следуют числовые выражения, содержащие действия двух ступеней без скобок (сложение, вычитание, умножение и деление). С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих; все арифметические действия без скобок: действия умножения и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание.
Последний вид числовых выражений — выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия и скобки: действия в скобках выполняются первыми, затем выполняются действия умножения и деления, затем действия сложения и вычитания.
Тождественные преобразования числовых выражений
Тождественные преобразования выражений — это замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения. Иными словами, тождественные преобразования не меняют значение выражения. В начальной школе все преобразования, выполняемые над выражениями, тождественные. Преобразования, которые могут нарушать тождественность, дети встречают только в математике старших классов — это возведение правой и левой части выражения в квадрат, потенциирование, логарифмирование и т. п.
В начальных классах тождественные преобразования опираются на свойства арифметических действий (прибавление суммы к числу, вычитания суммы из числа и т. п.). С учетом этих свойств можно изменять порядок действий в выражениях по отношению к общему правилу и при этом значение выражения не изменяется. Например:
(54 + 30) — 14 — (54 — 14) + 30 = 40 + 30 — 70. Тождественные преобразования могут выполняться на основе конкретного смысла действий. Например:
Сравни выражения:
35-6 + 35*35.7.
35> 6 + 35 = 35 • 7, значит, эти выражения имеют равные значения.
Буквенные выражения
Буквенные выражения наряду с числами содержат переменные, обозначенные буквами.
Выражения могут содержать одну букву. Например:
Найди значение выражения а + 3 при а= 7, а = 12, а= 65.
Каждое значение переменной а дает другое значение суммы. Анализ получаемых значений суммы подводит ребенка к выводу: чем больше значение одного из слагаемых при постоянном значении другого, тем больше значение суммы.
Например:
Найди значения выражений: 24 : с и с • 7, если с= 1, с= 3, с= 6, с= 8.
Анализ получаемых частных (24,8,4,3) подводит ребенка к выводу: увеличение значения делителя при постоянном делимом уменьшает значение частного.
Анализ получаемых произведений (7, 21, 42, 56) подводит ребенка к выводу: увеличение одного множителя при неизменном другом множителе, увеличивает значение произведения.
Выражения могут содержать две (и более) буквы.
Например:
Вычисли значения выражений a + b и b — а, если a = 23, b= 100; а =100, b= 450.
Для вычисления значений выражений заданные значения переменных поочередно подставляются в выражения. Задание имеет целью подвести ребенка к пониманию возможности переменных значений компонентов действий.
Буквы могут принимать любые значения, но следует обращать внимание на область допустимых значений неизвестных, заданную неявно тем, что все вычисления дети в начальных классах выполняют на области натуральных чисел. Так, в выражении b — a, переменная b может принимать любые значения, а переменная а может принимать значения только меньшие или равные b.
Для выражений, содержащих действия умножения и сложения, ограничений для значений неизвестных нет. А для выражений, содержащих действие деления, обычно предлагаются значения делимого и делителя, дающие значение частного без остатка.
Анализ приведенных примеров показывает, что буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий.
Использование буквенной символики представляет собой абстрагирование от конкретных количественных характеристик, которые ребенок достаточно легко может представить себе мысленно.
Например:
В клетке 2 зайчика белых и 3 зайчика серых. Сколько зайчиков всего?
Конкретное количество зайчиков можно представить на модели (палочки, кружки) и получить конкретный ответ в результате выполнения действия: 5 зайчиков всего.
Та же ситуация в буквенном виде:
В клетке а зайчиков белых и зайчиков серых. Сколько зайчиков всего?
В этом случае ответ записывается буквенным выражением a+6, смысл которого не должен соотноситься с конкретным числом. Выражение является описанием смысла ситуации (объединение двух множеств в одно посредством действия сложения), и в этом его главная роль.
Такая обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием. Именно в связи с этим раннее и активное приобщение к алгебраическим понятиям является важной составляющей курсов математики для начальных классов в системах Л.В. Занкова и В.В. Давыдова, поскольку одной из ведущих идей этих курсов является идея формирования и развития теоретического стиля мышления у ребенка.
Равенство и неравенство
Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.
Например: 3 + 7 = 10 — равенство.
Равенство может быть верным и неверным.
Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти такое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.
Например:
Вставь в окошки подходящие числа:
5-1=□ □ + □ = 4 □ -□ = □ 5-□ = 4.
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.
Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.
Например: 5 < 7; 6 > 4 — числовые неравенства
Неравенства также могут быть верными и неверными.
Например:
Подбери числа так, чтобы записи были верными:
□ >□;□<□.
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.
Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.
Например: _
Поставь знаки <=>:
5+1* 7; 6-3*3; 7 + 3* 9; 10-2*7.
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:
10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3
Возможен другой способ выбора знака сравнения — без ссылки на вычисления значения выражения.
Например:
Поставь знаки <=>: 7 + 2*7; 10-3* 10.
Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:
Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2>7.
Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 — 3 < 10.
Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.
Сравнить два выражения — значит сравнить их значения. Например:
Поставь знаки <=>: 35 • 1 * 35 • 0 + 35 48 : 4 * 52 : 4
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:
35•1*35•0 + 35 48:4<52:4
\/ \/ / \/ \/
35 0 12 13
Возможен другой способ выбора знака сравнения — без ссылки на вычисления значения выражения. Например:
Поставь знаки <=>:
6 + 4*6 + 3 7-5*7-3 90: 5 * 90: 10
Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:
Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.
Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 — 5 < 7 — 3.
Частное чисел 90 й 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90 : 5 > 90 : 10.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:
Проверь, верны ли неравенства:
45 — 18 < 42; 50 — 8 < 58 — 10; 27 + 15 > 32; 64 — 7 > 64 — 9
Выпиши верные равенства и неравенства:
9 дес. 9 ед. > 100; 5 см 6 мм = 65 мм; 69 + 8 = 77; 90 — 7 < 89
Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.
Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:
□ + 7 < 10; 5 — □ > 2; □ > 0; □ > □
После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:
а + 7> 10; 12-d<7.
Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).
Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5,<я = 6ит. д. — количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подходит любое число а > 3; 12 — d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 — количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.
В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.
Уравнение
Равенство с неизвестным числом называют уравнением. Например: х + 23 = 45; 65-х= 13; 12 х = 48; 45:х=3. Решить уравнение — значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Это число называют корнем уравнения. Например: 1
х + 23 — 45; х = 22, так как 22 + 23 = 45.
Таким образом, данное определение задает также способ проверки уравнения: подстановка найденного значения неизвестного числа в выражение, вычисление его значения и сравнение полученного результата с заданным числом (ответом).
Если значение неизвестного числа найдено верно, то получается верное равенство.
В начальной школе рассматриваются два способа решения уравнения.
Способ подбора
Подбирается подходящее значение неизвестного числа либо из заданных значений, либо из произвольного множества чисел.
Выбранное число должно при подстановке в выражение превращать его в верное равенство. Например:
Из чисел 7, 10, 5, 4, 1, 3 подбери для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство: 9 + х= 14 7-х=2 х-1 = 9 х+5 = 6
Каждое из предложенных чисел проверяется подстановкой в выражение и сравнением полученного значения с ответом.
| 9+7=14 | 7-7=2 | 7-1=9 | 7+5=6 |
| 9+10=14 | 7-2=2 | 10-1=9 | 10+5=6 |
| 9+5=14 | 7-4=2 | 5-1=9 | 5+5=6 |
| 9+4=14 | 7-1=2 | 4-1=9 | 4+5=6 |
| 9+1=14 | 7-3=2 | 1-1=9 | 1+5=6 |
| 9+3=14 | 3-1=9 | 3+5=6 |
При большом количестве предложенных значений этот способ отнимает много времени и сил. При самостоятельном подборе значений выражений ребенок может не найти самостоятельно возможное значение неизвестного.
Способ использования взаимосвязи компонентов действий
Используются правила взаимосвязи компонентов действий.
Например:
Реши уравнение:
9 + х= 14
Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Значит, х = 14 — 9; х = 5.
Реши уравнение:
7-х=2
Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно из уменьшаемого вычесть разность. Значит, х = 7 — 2; х = 5.
Реши уравнение:
х-1 = 9
Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Значит, х = 9 + 1; х = 10.
Для решения уравнений с действиями умножения и деления используются правила зависимости компонентов умножения и деления.
Например:
Реши уравнение:
96:х=24
Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. Значит, х = 96 : 24; х = 4. Проверим решение: 24 • 4 = 96.
Реши уравнение:
х:23 = 4
Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное. Значит, х = 23 • 4; х = 92. Проверим решение: 92 : 23 = 4.
Реши уравнение:
х- 14 = 84
Неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Значит, х = 84 : 14; х = 6. Проверим решение: 6 • 14 = 84.
Использование данных правил дает более быстрый способ решения уравнений. Трудность заключается в том, что многие дети путают правила взаимосвязи компонентов действий и названия компонентов (необходимо хорошо знать 6 правил и названия 10 компонентов).
Для более трудных уравнений используется метод подбора, например:
35 + х + х + х = 35 — очевидно, что неизвестное может принимать только нулевое значение;
78 — х — х = 76 — очевидно, что х = 1, поскольку 78 — 1 — 1 = 76.
Для уравнений со скобками вида (6 + х) — 5 = 38 используется правило взаимосвязи компонентов действий. Левую часть уравнения рассматривают сначала как разность, считая выражение в скобках единым неизвестным компонентом. Этот единый неизвестный компонент — уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
(6 + *)-38+5;
6 + *-43.
Таким образом уравнение приобретает привычный вид. В этом уравнении требуется найти неизвестное слагаемое: х = 43 — 6; х = 37.
Проверим решение (подставим найденное значение неизвестного в первоначальное выражение): (6 + 37) — 5 = (6 — 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Ряд альтернативных учебников математики для начальных классов практикует знакомство детей с более сложными уравнениями (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон), для решения которых правила взаимосвязи компонентов действий рекомендуется применять многократно.
Например:
Реши уравнение:
(y-3)·5- 875 = 210
Решение:
Рассмотрим левую часть уравнения и определим порядок действий.
(у-3)-5-875-210
Вид выражения в левой части определяем по последнему действию: последнее действие — вычитание, значит, начинаем рассматривать выражение как разность.
Уменьшаемое (у — 3) • 5, вычитаемое 875, значение разности 210.
Неизвестное содержится в уменьшаемом. Найдем уменьшаемое (рассматриваем все это выражение как единое уменьшаемое): чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
(y-3) •5 = 210 + 875;
(y — 3) •5 — 1085
Снова определим порядок действий: (у — 3) •5 = 1085.
По последнему действию считаем выражение в левой части произведением. Первый множитель (y — 3), второй множитель 5, значение произведения 1085. Неизвестное содержится в первом множителе. Найдем его (считаем все выражение у — 3 неизвестным). Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
у — 3 — 1085 : 5;
у- 3 = 215.
Получили уравнение, в котором неизвестно уменьшаемое. Найдем его:
y — 215 + 3; у-218,
Проверим решение, подставив найденное значение неизвестного в первоначальное уравнение: (218-3) -5-875 = 210.
Вычислив значение левой части, убеждаемся в том, что получено верное равенство. Значит, уравнение решено верно.
Анализ приведенного способа решения показывает, что это длительный трудоемкий процесс, требующий от ребенка четкого знания всех правил, высокого уровня анализа и умения воспринимать комплексную структуру переменного, получаемую при пошаговом решении, как единое целое (высокий уровень синтеза и абстрагирования).
Взрослый, знакомый с универсальным методом решения подобных уравнений, применяемым в старших классах (раскрытие скобок, перенос компонентов уравнения слева направо) хорошо видит несовершенство и излишнюю трудоемкость этого метода. В связи с этим рядом методистов справедливо высказываются сомнения в целесообразности активного внедрения уравнений такой сложной структуры в курс математики начальной школы. Этот способ решения является нерациональным с математической точки зрения и будет забыт и отброшен, как только учитель математики в 5—7 классах познакомит ребенка с общими приемами решения уравнений подобного вида.
Рекомендуемые страницы:
Воспользуйтесь поиском по сайту:
megalektsii.ru