1. Актуализация опорных знаний (устная работа).

В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса.

Задание 1 (устно)

1. С помощью тригонометрической окружности найти все точки на числовой окружности из промежутка [-2 которые соответствуют числам

, , , , arcsin 0, arcsin

2. С какой из отмеченных на числовой окружности точек совпадает точка:

Задание 2

Вы умеете решать простейшие тригонометрические уравнения. Решите предложенные уравнения ( записать ответ на карточке). (Приложение 1)

Проверить ответы с помощью таблицы.

2. Изучение нового материала “Комбинированные тригонометрические уравнения”

— Какие уравнения вы научились решать в этом году? (иррациональные, показательные, логарифмические).

Добавим в эти уравнения элементы тригонометрии.

Задание 3. Решить уравнение:

2) , найдем ОДЗ уравнения : при любом х.

3) , найдем ОДЗ уравнения : при любом х.

;

4)

, , ,

, ,

Ответ:

Задание 4.

Рассмотрим комбинированные уравнения, которые предлагаются на ЕГЭ ( задание 13).

1. Решить уравнение и найти корни, принадлежащие промежутку

а) (

(

—sinx = 2sinx* cosx

sinx +2sinx* cosx =0

sinx ( 1 +2cosx ) =0

sinx = 0 или 1 +2cosx =0

, ,

б) сделаем выборку корней с помощью тригонометрической окружности

х = 0, x = ,

Ответ: а) ; б) 0, , .

2. Решить уравнение

1) ОДЗ уравнения:

cosx = -5 решения нет

Так как , то и

Ответ: ; .

Самостоятельная работа ( с самопроверкой)

6. Итог урока

Продолжите фразу

• Сегодня на уроке я повторил …
• Сегодня на уроке я узнал …
• Сегодня на уроке я научился …

7. Домашняя работа: карточки (по вариантам). (Приложение 2)

Спасибо за урок!

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры. Простейшие тригонометрические уравнения урок решить уравнение синус 2х 1 2

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найти корни уравнения

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

Ответ:

3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:

3. Однородные уравнения

1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ:

2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х — угол, который нужно найти,
а — любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенса:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенса:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло…) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания «С» будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала… Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли…)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

В ответе получились две серии корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ. ) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:

х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) — одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:

х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блистаете вы уже, это… того… из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, — 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. — ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

то ответ в виде:

х πn, n ∈ Z

есть редкая ахинея, да…) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово — два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там — два.

Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Когда-то я стал свидетелем разговора двух абитуриентов:

– Когда надо прибавить 2πn, а когда – πn? Никак не могу запомнить!

– И у меня такая же проблема.

Так и хотелось им сказать: «Не запоминать надо, а понимать!»

Данная статья адресована прежде всего старшеклассникам и, надеюсь, поможет им с «пониманием» решать простейшие тригонометрические уравнения:

Числовая окружность

Наряду с понятием числовой прямой есть еще и понятие числовой окружности. Как мы знаем, в прямоугольной системе координат окружность,с центром в точке (0;0) и радиусом 1, называется единичной. Вообразим числовую прямую тонкой нитью и намотаем ее на эту окружность: начало отсчета (точку 0), приставим к «правой» точке единичной окружности, положительную полуось обмотаем против движения часовой стрелки, а отрицательную – по направлению (рис. 1). Такую единичную окружность называют числовой.

Свойства числовой окружности

• Каждое действительное число находится на одной точке числовой окружности.
• На каждой точке числовой окружности находятся бесконечно много действительных чисел. Так как длина единичной окружности равна 2π, то разность между любыми двумя числами на одной точке окружности равна одному из чисел ±2π ; ±4π ; ±6π ; …

Сделаем вывод: зная одно из чисел точки A, мы можем найти все числа точки A . k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки D).

Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или D горизонтальной хорды AD, мы можем найти все числа на этих точках.

Шестнадцать основных точек числовой окружности

На практике решение большинства простейших тригонометрических уравнений связано с шестнадцатью точками окружности (рис. 3). Что это за точки? Красные, синие и зеленые точки делят окружность на 12 равных частей. Так как длина полуокружности равна π, то длина дуги A1A2 равна π/2, длина дуги A1B1 равна π/6, а длина дуги A1C1 равна π/3.

Теперь можем указать по одному числу на точках:

π/3 на С1 и

Вершины оранжевого квадрата – середины дуг каждой четверти, следовательно, длина дуги A1D1 равна π/4 и, значит, π/4 – одно из чисел точки D1. Воспользовавшись свойствами числовой окружности, мы можем записать с помощью формул все числа на всех отмеченных точках нашей окружности. На рисунке отмечены также и координаты этих точек (опустим описание их получения).

Усвоив выше сказанное, мы имеем теперь достаточную подготовку для решения частных случаев (для девяти значений числа a) простейших уравнений.

Решить уравнения

1) sinx=1⁄(2) .

– Что от нас требуется?

– Найти все те числа x, синус которых равен 1/2 .

Вспомним определение синуса: sinx – ордината точки числовой окружности, на которой находится число x . На окружности имеем две точки, ордината которых равна 1/2 . Это концы горизонтальной хорды B1B2 . Значит, требование «решить уравнение sinx=1⁄2 » равнозначно требованию «найти все числа на точке B1 и все числа на точке B2».

2) sinx=-√3⁄2 .

Нам надо найти все числа на точках C4 и C3.

3) sinx=1 . На окружности имеем только одну точку с ординатой 1 – точка A2 и, значит, нам надо найти только все числа этой точки.

Ответ: x=π/2+2πk , k∈Z .

4) sinx=-1 .

Только точка A_4 имеет ординату -1. Все числа этой точки и будут конями уравнения.

Ответ: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

На окружности имеем две точки с ординатой 0 – точки A1 и A3 . Можно указать числа на каждой из точек по отдельности, но, учитывая, что эти точки диаметрально противоположные, лучше объединить их в одну формулу: x=πk ,k∈Z .

Ответ: x=πk ,k∈Z .

6) cosx=√2⁄2 .

Вспомним определение косинуса: cosx — абсцисса точки числовой окружности на которой находится число x. На окружности имеем две точки с абсциссой √2⁄2 – концы горизонтальной хорды D1D4 . Нам нужно найти все числа на этих точках. Запишем их, объединив в одну формулу.

Ответ: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Надо найти числа на точках C_2 и C_3 .

Ответ: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Только точки A2 и A4 имеют абсциссу 0, значит, все числа на каждой из этих точках и будут решениями уравнения.
.

Решениями уравнения системы являются числа на точках B_3 и B_4 .Неравенству cosxОтвет: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Заметим,что при любом допустимом значении x второй множитель положителен и, следовательно,уравнение равносильно системе

Решениями уравнения системы являются чила точек D_2 и D_3 . Числа точки D_2 не удовлетворяют неравенству sinx≤0,5 ,а числа точки D_3-удовлетворяют.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

тригонометрические уравнения урок 3

Цель урока:

 Обобщение знаний по темам: «Тригонометрическая окружность»; Градусы и радианы; Свойства тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений базового и повышенного уровня сложности используя дифференцированный подход при организации повторения.

             Организационный момент( 1 минута). Сообщается тема урока, цель разъясняется порядок использования раздаточного материала.

Повторение теоретического материала с использованием мультимедийного проектора.

Тригонометрическая окружность.

Градусы и радианы.

Косинус синус тангенс котангенс.

Свойства тригонометрических функций.

При этом прежде чем появилось изображение на экране учитель задает вопросы:

1.Какая окружность называется тригонометрической?

2.Как перевести радианы в градусы и наоборот?

3.Дать определение синуса, косинуса, тангенса.

4.Какие основные свойства функций y=sinx, y=cosx, y=tgx.

3.Устная работа (5 МИНУТ). Решение простейших тригонометрических уравнений (использование мультимедийного проектора).

а)Уравнение cosx=a,частные случаи.

б)Уравнение sinx=a, частные случаи.

в)Решить уравнения cosx=1/2, sinx=1/2.

4. Решение тригонометрических уравнений.(15мин.)

а)Использование тригонометрических формул.

На экране появляются поочередно незаконченные формулы.После правильного ответа учащихся формулы на экране появляются полностью.

сos²x-sin²x= cos2x

ыin2x= 2sinxcosx

ыin(x-y)= sinxcosy-cosxsiny

сos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ

1+tg²x =

sin(α + β)= sin α cos β+cos α sin β

б) Самостоятельная работа №1.Используются карточки №1 трех уровней сложности.

Например:

Базовый уровень

Sin3x=1/2    2sinxcosx=1      cosпx=0

Средний уровень

Cos²2x-sin²2x=-1/2           sin(п+x).sinП/6=1/2        2tgy/1-tg²y=0

Cложный уровень

Sina.cosП/3+cosa.sinП/3=3^1/2/2     sin²x=3/4        1/cos²x-1=1.

в).Уравнения, приводимые к квадратным. К доске выходят три ученика:слабый,средний и сильный и решают предложенные им уравнения. Класс, разделенный соответственно на три группы, также решает эти уравнения. 2 + n-72) = 1 / (n + 9)

Единичный круг: функции синуса и косинуса

Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начнем с рисования единичного круга, круга с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2.Угол (в радианах), который пересекает [latex] t [/ latex], образует дугу длиной [latex] s [/ latex]. Используя формулу [latex] s = rt [/ latex] и зная, что [latex] r = 1 [/ latex], мы видим, что для единичной окружности , [latex] s = t [/ latex].

Напомним, что оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемых квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление движения положительного угла. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [латекс] t [/ латекс] мы можем пометить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходными данными тригонометрических функций [latex] f \ left (t \ right) = \ cos t [/ latex] и [latex] f \ left (t \ right) = \ sin t [/ latex] соответственно. Это означает [латекс] x = \ cos t [/ latex] и [латекс] y = \ sin t [/ latex].

Рис. 2. Единичная окружность с центральным углом [латекс] t [/ латекс] радиан

A Общее примечание: Unit Circle

Единичная окружность имеет центр [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс] и радиус [латекс] 1 [/ латекс].В единичном круге длина перехваченной дуги равна радианам центрального угла [латекс] 1 [/ латекс].

Пусть [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] будет конечной точкой на единичной окружности дуги длины дуги [latex] s [/ latex]. Координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] этой точки могут быть описаны как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса

Теперь, когда у нас есть помеченная единичная окружность, мы можем узнать, как координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] связаны с длиной дуги и углом . Синусоидальная функция связывает действительное число [латекс] t [/ латекс] с координатой y точки, где соответствующий угол пересекает единичную окружность. Точнее, синус угла [латекс] t [/ латекс] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 2 синус равен [latex] y [/ latex]. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход — мера угла; его выход — координата y соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла [латекс] t [/ latex] равна значению x конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 3 косинус равен [латекс] х [/ латекс].

Рисунок 3

Поскольку понятно, что синус и косинус являются функциями, нам не всегда нужно записывать их в скобках: [latex] \ sin t [/ latex] то же самое, что [latex] \ sin \ left (t \ right) [ / latex] и [latex] \ cos t [/ latex] такие же, как [latex] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].{2} [/ латекс]. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. В случае сомнений используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Общее примечание: функции синуса и косинуса

Если [latex] t [/ latex] является действительным числом, а точка [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичном круге соответствует углу [latex] t [/ latex] , затем

[латекс] \ cos t = x [/ латекс]

[латекс] \ sin t = y [/ латекс]

Как сделать: по точке

1. Синус [latex] t [/ latex] равен y -координате точки [latex] P: \ sin t = y [/ latex]. {2} t = 1 [/ латекс]

   Как сделать: учитывая синус некоторого угла [латекс] t [/ латекс] и его положение в квадранте, найдите косинус [латекс] t [/ латекс].

   1. Подставьте известное значение [латекс] \ sin \ left (t \ right) [/ latex] в пифагорейскую идентичность.
   2. Решите относительно [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].
   3. Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится [latex] t [/ latex].

   Пример 3: Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

   Если [латекс] \ sin \ left (t \ right) = \ frac {3} {7} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится во втором квадранте, найдите [latex] \ cos \ left (t \ right) \\ [/ латекс].{2} \ left (t \ right) = \ frac {40} {49} \ hfill \\ \ text {cos} \ left (t \ right) = \ pm \ sqrt {\ frac {40} {49}} = \ pm \ frac {\ sqrt {40}} {7} = \ pm \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

   Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицателен. Итак,
   [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = — \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \\ [/ latex]

   Попробуй 3

   Если [латекс] \ cos \ left (t \ right) = \ frac {24} {25} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в четвертом квадранте, найдите [latex] \ text {грех} \ влево (т \ вправо) \\ [/ латекс].Треугольник \ circ [/ latex] — это равнобедренный треугольник, поэтому координаты x- и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.
   

   Рисунок 9

   При [latex] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex], что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам угол первого квадранта . \ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ [/ latex].\ circ [/ latex], как показано на рисунке 12.
   

   Рисунок 11

   Рисунок 12

   Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину [латекс] 2y [/ latex], и, поскольку все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что [latex] r = 2y [/ latex] или [latex] y = \ frac {1} {2 } г [/ латекс]. Поскольку [латекс] \ sin t = y [/ latex],

   [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} r \\ [/ latex]

   А так как [latex] r = 1 [/ latex] в нашем единичном круге ,

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1 \ right) \ hfill \\ \ текст {} = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

   Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.\ circ [/ латекс]. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника [латекс] ABC [/ латекс] имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

   
   

   Рисунок 13

   Угол наклона [латекс] ABD [/ латекс] составляет 30 °. Так, если двойной, угол [латекс] ABC [/ латекс] равен 60 °. [latex] BD [/ latex] — это серединный перпендикуляр к [latex] AC [/ latex], поэтому он разрезает [latex] AC [/ latex] пополам. Это означает, что [latex] AD [/ latex] — это [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] радиус или [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].\ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \\ [/ latex], поэтому мы можем найти синус и косинус.

   [латекс] \ begin {array} {l} \ left (x, y \ right) = \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ hfill \\ x = \ frac {1} {2}, y = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ cos t = \ frac {1} {2}, \ sin t = \ гидроразрыв {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

   Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице ниже приведены эти значения.

   Угол	0	[латекс] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex], или 30	[латекс] \ frac {\ pi} {4} \\ [/ latex], или 45 °	[латекс] \ frac {\ pi} {3} \\ [/ latex], или 60 °	[латекс] \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], или 90 °
   Косинус	1	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	0
   Синус	0	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]	1

   На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.
   

   Рисунок 14

   Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса

   Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов , мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Будьте внимательны. : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы измерения входного значения. Когда мы вычисляем [латекс] \ cos \ left (30 \ right) [/ latex] на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в радианном режиме.

   Как: заданный угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.

   
   
   1. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
   2. Нажмите кнопку COS.
   3. Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
   4. Нажмите ENTER.

   Пример 4: Использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса

   Вычислить [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) \\ [/ latex] с помощью графического калькулятора или компьютера.\ circ [/ latex], например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть входных данных:

   SIN (20 × π ÷ 180) ВВОД

   Попробуй 4

   Вычислить [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \\ [/ latex].

   Решение

   Определение области и диапазона функций синуса и косинуса

   Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области и диапазоны. Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, какие наименьшие и наибольшие числа могут входить в функции? Поскольку углы меньше 0 и углы больше [латекс] 2 \ pi [/ latex] все еще могут быть нанесены на единичный круг и имеют реальные значения [latex] x, y [/ latex] и [latex] r [/ latex], не существует нижнего или верхнего предела углов, которые могут входить в функции синуса и косинуса.Входными данными для функций синуса и косинуса является поворот от положительной оси x , и это может быть любое действительное число.

   Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшие и наибольшие возможные значения их производительности? Мы можем увидеть ответы, исследуя единичную окружность , как показано на рисунке 15. Границы координаты x составляют [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex]. Границы координаты y ​​ также равны [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса равен [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].

   Рисунок 15

   Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса. Поскольку значение синуса является координатой y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но будет иметь противоположное значение x .Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

   Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с таким же косинусом будет иметь одинаковое значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

   Как показано на рисунке 16, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны.Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

   [латекс] \ begin {array} {lll} \ sin \ left (t \ right) = \ sin \ left (\ alpha \ right) \ hfill & \ text {and} \ hfill & \ cos \ left (t \ right ) = — \ cos \ left (\ alpha \ right) \ hfill \\ \ sin \ left (t \ right) = — \ sin \ left (\ beta \ right) \ hfill & \ text {и} \ hfill & \ cos \ left (t \ right) = \ cos \ left (\ beta \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]
   

   Рисунок 16

   Напомним, что опорный угол угла — это острый угол [латекс] t [/ латекс], образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью. \ circ \ mathrm {-t} | [/ latex].\ circ [/ latex]

   Попробуй 5

   Найдите опорный угол [латекса] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].

   Решение

   Использование опорных углов

   А теперь давайте еще раз рассмотрим колесо обозрения, представленное в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Что такое новый рост райдера? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах, превышающих 90 градусов, или при отрицательном угле .Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.

   Использование опорных углов для вычисления тригонометрических функций

   Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если мы знаем, косинус или синус его опорного угла.Абсолютные значения косинуса и синус угла являются такими же, как опорным углом. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений y в этом квадранте.

   Общее примечание: Использование опорных углов для определения косинуса и синуса

   Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы.Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

   Как: для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

   
   
   1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
   2. Определение значений косинуса и синуса заданного угла.
   3. Придайте косинусу тот же знак, что и значения x в квадранте исходного угла.\ circ \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex]

   4. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ latex] находится в третьем квадранте. Его опорный угол составляет [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} — \ pi = \ frac {\ pi} {4} [/ latex]. Косинус и синус [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] оба равны [latex] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. В третьем квадранте значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, поэтому:

      [латекс] \ cos \ frac {5 \ pi} {4} = — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ text {and} \ sin \ frac {5 \ pi} {4} = — \ гидроразрыв {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]

   Попробуй 6

   а.\ circ \ right) [/ латекс].

   г. Используйте опорный угол [латекс] — \ frac {\ pi} {6} [/ latex], чтобы найти [латекс] \ cos \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex] и [латекс] \ sin \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex].

   Использование опорных углов для поиска координат

   Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности.Они показаны на рисунке 19. Найдите время, чтобы узнать координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] всех основных углов в первом квадранте.

   В дополнение к изучению значений специальных углов, мы можем использовать опорные углы, чтобы найти координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] любой точки единичной окружности, используя то, что мы знаем об опорных углах. вместе с идентификаторами

   [латекс] \ begin {array} {l} x = \ cos t \ hfill \\ y = \ sin t \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу. Тогда мы возьмем синус и косинус значения опорного угла , и дать им знаки, соответствующие у — и х -значения квадранта.

   Практическое руководство. Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] точки.

   1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к оси x .
   2. Найти косинус и синус заданного угла.
   3. Определите соответствующие знаки для [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]
      в данном квадранте.

   Пример 6: Использование единичной окружности для поиска координат

   Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].

   Решение

   Мы знаем, что угол [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex] находится в третьем квадранте.

   Сначала давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x .Чтобы найти опорный угол для угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс] \ pi [/ латекс].

   [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} — \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

   Далее мы найдем косинус и синус заданного угла:

   [латекс] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right ) = \ frac {1} {2} [/ latex]

   Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте.Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, косинус и синус отрицательны.

   [латекс] \ begin {array} {l} \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Теперь мы можем вычислить координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], используя тождества [latex] x = \ cos \ theta [/ latex] и [latex] y = \ sin \ theta [ /латекс].

   Координаты точки: [latex] \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex] на единичной окружности.{2} t = 1 [/ латекс]

   Ключевые понятия

   • Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
   • Используя единичную окружность, синус угла [латекс] t [/ latex] равен значению y конечной точки единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс], тогда как косинус угол [latex] t [/ latex] равен x -значению конечной точки.
   • Значения синуса и косинуса наиболее точно определяются, когда соответствующая точка единичной окружности попадает на ось.
   • Когда синус или косинус известен, мы можем использовать пифагорову тождество, чтобы найти другое. Пифагорейская идентичность также полезна для определения синусов и косинусов особых углов.
   • Калькуляторы и программное обеспечение для построения графиков полезны для поиска синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
   • Все функции синуса и косинуса являются действительными числами.
   • Диапазон функций синуса и косинуса: [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
   • синус и косинус угла имеют одинаковое абсолютное значение как синус и косинус его опорного угла.
   • Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
   • Базовый угол угла — это размерный угол, [латекс] t [/ латекс],
     , образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью.
   • Опорные углы можно использовать для определения синуса и косинуса исходного угла.
   • Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.

   Глоссарий

   функция косинуса

   значение x точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу

   Пифагорейская идентичность

   следствие теоремы Пифагора, утверждающее, что квадрат косинуса заданного угла плюс квадрат синуса этого угла равняется 1

   синусоидальная функция

   значение y точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу

   единичный круг

   круг с центром в [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс]
   и радиусом

   Упражнения по разделам

   1. Опишите единичный круг.

   2. Что обозначают координаты x- и y- точек на единичной окружности?

   3. Обсудите разницу между котерминальным углом и опорным углом.

   4. Объясните, как косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его опорного угла в единичной окружности.

   5. Объясните, как синус угла во втором квадранте отличается от синуса угла его опорного в единичной окружности.

   В следующих упражнениях используйте заданный знак функций синуса и косинуса, чтобы найти квадрант, в котором находится конечная точка, определяемая [latex] t [/ latex].

   6. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [latex] \ text {cos} \ left (t \ right) <0 [/ latex]

   7. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right)> 0 [/ latex] и [latex] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]

   8. [латекс] \ sin \ left (t \ right)> 0 [/ latex] и [latex] \ cos \ left (t \ right) <0 [/ latex]

   9.[латекс] \ sin \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [латекс] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]

   Для следующих упражнений найдите точное значение каждой тригонометрической функции.

   10. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

   11. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

   12. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

   13. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

   14. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]

   15. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]

   16.\ circ [/ latex]

   28. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]

   29. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

   30. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

   31. [латекс] \ frac {-11 \ pi} {3} [/ латекс]

   32. [латекс] \ frac {-7 \ pi} {4} [/ латекс]

   33. [латекс] \ frac {- \ pi} {8} [/ латекс]

   Для следующих упражнений найдите опорный угол, квадрант конечной стороны, а также синус и косинус каждого угла. Если угол не является одним из углов единичной окружности, воспользуйтесь калькулятором и округлите до трех десятичных знаков. \ circ [/ latex]

   42. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]

   43. [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ латекс]

   44. [латекс] \ frac {5 \ pi} {3} [/ латекс]

   45. [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс]

   46. [латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

   47. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

   48. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

   49. [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ латекс]

   Найдите требуемое значение для следующих упражнений.

   50. Если [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {1} {7} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 4 ^-го , найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

   51. Если [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {2} {9} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 1 ^st , найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

   52. Если [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) = \ frac {3} {8} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 2 ^и , найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].

   53. Если [latex] \ text {sin} \ left (t \ right) = — \ frac {1} {4} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 3 ^rd найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].\ circ [/ латекс].

   56. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 8, соответствующей углу [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ latex].

   57. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 16, соответствующей углу [латекс] \ frac {5 \ pi} {9} [/ latex].

   58. Укажите область определения функций синуса и косинуса.

   59. Укажите диапазон функций синуса и косинуса.

   Для следующих упражнений используйте заданную точку на единичном круге, чтобы найти значение синуса и косинуса [latex] t [/ latex].

   60.
   

   61.
   

   62.
   

   63.
   

   64.
   

   65.
   

   66.
   

   67.
   

   68.
   

   69.
   

   70.
   

   71.
   

   72.
   

   73.
   

   74.
   

   75.
   

   76.
   

   77.
   

   78.
   

   79.
   
   Для следующих упражнений используйте графический калькулятор для оценки.\ circ [/ latex]

   90. [латекс] \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {-5 \ pi} {6} \ right) [/ latex]

   91. [латекс] \ sin \ left (\ frac {3 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

   92. [латекс] \ sin \ left (- \ frac {4 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

   93. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-9 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {6} \ right) [/ latex]

   94. [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) [/ latex]

   95.[латекс] \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {-2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

   96. [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

   97. [латекс] \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

   98. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-5 \ pi} {4} \ right) \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {6} \ right) [/ latex]

   99. [латекс] \ sin \ left (\ pi \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex]

   Для следующих упражнений используйте этот сценарий. Ребенок входит в карусель, которая совершает один оборот за одну минуту.Ребенок входит в точку [latex] \ left (0,1 \ right) [/ latex], то есть на правильном северном положении. Предположим, карусель вращается против часовой стрелки.

   100. Какие координаты ребенка через 45 секунд?

   101. Какие координаты ребенка через 90 секунд?

   102. Какие координаты ребенка через 125 секунд?

   103. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (0.707, -0.707 \ right) [/ latex], если поездка длится 6 минут? (Есть несколько ответов.)

   104. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (-0,866, -0,5 \ right) [/ latex], если поездка продлится 6 минут?

   % PDF-1.3 % 8 0 объект > эндобдж xref 8 79 0000000016 00000 н. 0000001924 00000 н. 0000002076 00000 н. 0000002105 00000 н. 0000002183 00000 п. 0000002582 00000 н. 0000002819 00000 н. 0000002848 00000 н. 0000003034 00000 н. 0000003196 00000 н. 0000003285 00000 н. 0000003937 00000 н. 0000004133 00000 п. 0000004542 00000 н. 0000004722 00000 н. 0000004744 00000 н. 0000010847 00000 п. 0000010869 00000 п. 0000016796 00000 п. 0000016818 00000 п. 0000022809 00000 п. 0000022831 00000 п. 0000028850 00000 п. 0000028872 00000 п. 0000035280 00000 п. 0000035302 00000 п. 0000035499 00000 п. 0000035802 00000 п. 0000035993 00000 п. 0000036103 00000 п. 0000036211 00000 п. 0000036532 00000 п. 0000036939 00000 п. 0000037379 00000 п. 0000037569 00000 п. 0000037960 00000 п. 0000038160 00000 п. 0000039418 00000 п. 0000039624 00000 п. 0000039779 00000 п. 0000045905 00000 п. 0000045927 00000 п. 0000052042 00000 п. 0000052065 00000 п. 0000062851 00000 п. 0000166043 00000 н. 0000166184 00000 н. 0000166325 00000 н. 0000166472 00000 н. 0000166619 00000 н. 0000166763 00000 н. 0000166907 00000 н. 0000167054 00000 н. 0000167201 00000 н. 0000167345 00000 н. 0000167489 00000 н. 0000167632 00000 н. 0000167775 00000 н. 0000168491 00000 н. 0000168638 00000 н. 0000168778 00000 н. 0000168918 00000 н. 0000169059 00000 н. 0000169202 00000 н. 0000169349 00000 н. 0000169491 00000 п. 0000169633 00000 н. 0000169775 00000 н. 0000169915 00000 н. 0000170056 00000 н. 0000170198 00000 н. 0000170345 00000 п. 0000170488 00000 н. 0000170630 00000 н. 0000170777 00000 н. 0000170923 00000 п. 0000171069 00000 н. XX0 \ aaPt 4o_Kd & / 0_` | A _} / oʀ ** 0>

   Квадратичная формула с тригонометрией — тригонометрия

   Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

   Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

   Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

   Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

   Вы должны включить следующее:

   Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

   Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

   Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
   101 S. Hanley Rd, Suite 300
   St. Louis, MO 63105
   

   Или заполните форму ниже:

   5.2: Единичная окружность — функции синуса и косинуса

   Мы уже узнали некоторые свойства специальных углов, такие как преобразование радианов в градусы. Мы также можем вычислить синусы и косинусы особых углов, используя тождество Пифагора и наши знания о треугольниках.

   Нахождение синусов и косинусов углов 45 °

   Сначала мы посмотрим на углы \ (45 ° \) или \ (\ dfrac {π} {4} \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {9} \). Треугольник \ (45 ° –45 ° –90 ° \) является равнобедренным треугольником, поэтому координаты \ (x \) и \ (y \) соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- и \ (y \) одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.

   Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

   В \ (t = \ frac {π} {4} \), что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам первый квадратный угол .2 & = \ dfrac {1} {2} \\ x & = ± \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ end {align *} \]

   В квадранте I, \ (x = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \).

   При \ (t = \ dfrac {π} {4} \) или 45 градусов,

   \ [\ begin {align *} (x, y) & = (x, x) = (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}}, \ dfrac {1} {\ sqrt {2}}) \ » \ x & = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}}, \; y = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \\ \ cos t & = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}}, \; \ sin t = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ end {align *} \]

   Если мы затем рационализируем знаменатели, мы получим

   \ [\ begin {align *} \ cos t & = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ dfrac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} \\ & = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \\ \ sin t & = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ dfrac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} \\ & = \ dfrac { \ sqrt {2}} {2} \ end {align *} \]

   Следовательно, координаты \ ((x, y) \) точки на окружности радиуса \ (1 \) под углом \ (45 ° \) равны \ (\ left (\ dfrac {\ sqrt {2 }} {2}, \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \).

   Нахождение синусов и косинусов углов 30 ° и 60 °

   Затем мы найдем косинус и синус под углом \ (30 °, \) или \ (\ tfrac {π} {6} \). Сначала мы нарисуем треугольник внутри круга, одна сторона которого расположена под углом \ (30 °, \), а другая — под углом \ (- 30 °, \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {11} \ ). Если полученные два прямоугольных треугольника объединить в один большой треугольник, обратите внимание, что все три угла этого большего треугольника будут равны \ (60 °, \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {12} \).

   Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) Рисунок \ (\ PageIndex {12} \)

   Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину \ (2y \), и поскольку все стороны равны, мы также можем заключить, что \ (r = 2y \) или \ (y = \ frac {1} {2} r \). Поскольку \ (\ sin t = y \),

   \ [\ sin \ left (\ frac {π} {6} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ nonumber \]

   А поскольку \ (r = 1 \) в нашем единичном круге ,

   \ [\ begin {align *} \ sin \ left (\ frac {π} {6} \ right) & = \ dfrac {1} {2} (1) \\ & = \ dfrac {1} {2} \ end {align *} \]

   Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.2 \ left (\ frac {π} {6} \ right) & = \ dfrac {3} {4} && \ text {Используйте свойство квадратного корня.} \\
   \ cos \ left (\ frac {π} { 6} \ right) & = \ pm \ sqrt {\ dfrac {3} {4}} = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} && \ text {Поскольку \ (y \) положительное значение, выберите положительный корень. } \\
   \ конец {выровнено} \)

   Координаты \ ((x, y) \) точки на окружности радиуса \ (1 \) под углом \ (30 ° \): \ (\ left (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}, \ dfrac {1} {2} \ right) \). В точке \ (t = \ dfrac {π} {3} \) (60 °) радиус единичной окружности, 1, служит гипотенузой прямоугольного треугольника 30-60-90 градусов, \ (BAD, \) как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).Угол \ (A \) имеет меру 60 °. 60 °. В точке \ (B, \) проведем угол \ (ABC \) с мерой \ (60 ° \). Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна \ (180 ° \), поэтому мера угла \ (C \) также равна \ (60 ° \). Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника \ (ABC \) имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

   Рисунок \ (\ PageIndex {13} \)

   Угол \ (ABD \) равен 30 °. Итак, если двойной, угол \ (ABC \) равен 60 °.2 & = \ dfrac {3} {4} \\ y & = ± \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align *} \]

   Поскольку \ (t = \ dfrac {π} {3} \) имеет конечную сторону в квадранте I, где \ (y \) — координата положительна, мы выбираем \ (y = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \) положительное значение.

   В \ (t = \ dfrac {π} {3} \) (60 °) координаты \ ((x, y) \) точки на окружности радиуса \ (1 \) под углом \ (60 ° \) равны \ (\ left (\ dfrac {1} {2}, \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \), поэтому мы можем найти синус и косинус.

   \ ((x, y) = \ left (\ dfrac {1} {2}, \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \)

   \ (x = \ dfrac {1} {2}, \; y = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \)

   \ (\ cos t = \ dfrac {1} {2}, \; \ sin t = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \)

   Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности.Таблица \ (\ PageIndex {1} \) суммирует эти значения.

   Таблица \ (\ PageIndex {1} \)

   Угол	0	\ (\ dfrac {π} {6} \) или 30	\ (\ dfrac {π} {4} \), или 45 °	\ (\ dfrac {π} {3} \), или 60 °	\ (\ dfrac {π} {2} \) или 90 °
   Косинус	1	\ (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \)	\ (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \)	\ (\ dfrac {1} {2} \)	0
   Синус	0	\ (\ dfrac {1} {2} \)	\ (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \)	\ (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \)	1

   На рисунке \ (\ PageIndex {14} \) показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.

   Рисунок \ (\ PageIndex {14} \)

   Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса

   Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов , мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Будьте внимательны. : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы измерения входного значения. Когда мы вычисляем \ (\ cos (30) \) на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в режиме радиан.

   Как: заданный угол в радианах, с помощью графического калькулятора найдите косинус

   .
   1. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
   2. Нажмите кнопку COS.
   3. Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
   4. Нажмите ENTER.

   Пример \ (\ PageIndex {4} \): использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса

   Оцените \ (\ cos \ left (\ dfrac {5π} {3} \ right) \) с помощью графического калькулятора или компьютера.

   Решение

   Введите следующие нажатия клавиш:

   \ (\ mathrm {COS (5 × π ÷ 3) \; ENTER} \)

   \ [\ cos \ left (\ dfrac {5π} {3} \ right) = 0,5 \ nonumber \]

   Анализ

   Косинус или синус угла в градусах можно найти прямо на калькуляторе в градусном режиме. Для калькуляторов или программного обеспечения, которые используют только режим радиан, мы можем найти знак \ (20 ° \), например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть входных данных:

   \ [\ mathrm {SIN (20 × π ÷ 180) \; ENTER} \ nonumber \]

   Попробовать \ (\ PageIndex {4} \)

   Вычислить \ (\ sin \ left (\ dfrac {π} {3} \ right) \).

   Ответ

   приблизительно 0,866025403

   различные виды тригонометрической идентичности

   Введение
   Треугольники
   Единичная окружность
   Среднеквадратичный
   Матрица вращения
   Определитель
   Ортонормированный базис
   Комбинаторные тождества
   Экспоненциальная функция
   Алгебра
   Факторизация
   Производные параметризованной кривой
   Интегральный аналог
   Гиперболическая обратная связь
   Сохранение энергии
   

   Мы рассмотрим различные интерпретации указанного выше тождества. Более поздние части это эссе не часто зависит от более ранних частей, поэтому не стесняйтесь бегать бегло пропустите непонятный текст, пока не найдете то, что вам удобно.

   Обычно идентичность понимается через Пифагора. теорема. В прямоугольном треугольнике со сторонами a , b , c и угол t на вершине где a и c пересекаются, cos (t) по определению a / c , sin (t) по определению b / c , и поэтому cos ² (t) + sin ² (t) есть (a / c) ² + (b / c) ² , что простым алгебраические манипуляции (a ² + b ² ) / c ² .Пифагор’ Теорема утверждает, что a ² + b ² является c ² , так что это упрощается до 1.

   Традиционно (то есть, как я это усвоил) следующим шагом является поймите, что единичный круг с центром (0,0) в (x, y) плоскость определяется x ² + y ² = 1 . Вышеуказанная личность может быть интерпретируется как утверждение, что точка (cos (t), sin (t)) находится на единичный круг.Кроме того, этот подход приводит к определению cos (t) и sin (t) для всех действительных t .

   Другой способ понять это тождество — использовать тригонометрические тождества.

   	cos 2 (x)	=	1/2	+	(1/2)	cos (2x)
   	sin 2 (x)	=	1/2	—	(1/2)	cos (2x)

   Между прочим, эти личности в значительной степени выпрыгивают на вас из глядя на графики y ​​= cos ² (x) и y ​​= грех ² (х) .

   Другой способ взглянуть на это — вспомнить, что среднеквадратичное значение cos равно 1 / √2 , как и среднеквадратичное значение грех . Это означает, что cos ² равно 1/2 + вариация, и sin ² равно 1/2 + вариация , и удивительно вариация cos ² — это как раз отрицательное значение вариации грех ² . Собственно, это согласуется с тем, что что sin и cos — это просто версии со сдвигом фазы друг друга, так что sin ² и cos ² являются сдвинутыми по фазе версиями друг друга, поэтому их вариации должны быть как-то связаны.
   Так или иначе, теперь у нас есть это cos ² (t) + sin ² (t) имеет вид (1/2 + отклонение) + (1/2 — отклонение) , так что это 1 .

   Еще один способ понять идентичность — использовать матрицы 2 на 2. В линейная матрица, представляющая поворот против часовой стрелки на угол т это

   cos (t)	-син (т)
   sin (т)	cos (т)

   Матрица имеет определитель ad-bc , поэтому матрица вращения имеет определитель cos (t) cos (t) — (- sin (t)) sin (t) , что является cos (t) cos (t) + sin (t) sin (t) , т.е. cos ² (t) + sin ² (t) .Определитель квадратная матрица имеет простую геометрическую интерпретацию. Это область коэффициент масштабирования. Для вращения площадь не изменяется, поэтому определитель должно быть 1 . Итак, личность cos ² (t) + sin ² (t) = 1 можно интерпретировать как выражение довольно очевидного факта, что вращение объекта в Плоскость (x, y) не меняет своей площади.

   Матрица вращения отправляет точку (1,0) в (cos (x), sin (x)) и точка (0,1) от до (-sin (x), соз (х)) .Стандартный базис e ₁ = (1,0) , e ₂ = (0,1) является ортонормированным базисом, что означает, что
   e ₁ .e ₁ = 1 (проверка: 1,1 + 0,0 = 1 )
   e ₁ .e ₂ = 0 (проверка: 0,1 + 1,0 = 0 )
   e ₂ .e ₂ = 1 (проверка: 0,0 + 1,1 = 1 )

   Поскольку вращение является «жестким движением», оно преобразует ортонормированный базис в другой ортонормированный базис.Это означает, что указанные выше три уравнения будут истина, когда e ₁ равно (cos (t), sin (t)) и e ₂ это (-sin (t), cos (t)) . Два уравнения e ₁ .e ₁ = 1 и e ₂ .e ₂ = 1 являются пересчетом cos ² (t) + sin ² (t) = 1 , а e ₁ .e ₂ = 0 является заявлением о личности cos (t) (- sin (t)) + sin (t) cos (t) = 0 .Как ни странно, даже оператор e ₁ .e ₂ является проявление личности, как показано ниже.

   Другой способ взглянуть на идентичность — через расширение степенного ряда cos (x) и sin (x).
   

   cos (x)

   =

   1

   —

   x 2 /2!

   +

   x 4 /4!

   —

   x 6 /6!

   +

   x 8 /8!

   —

   …

   sin (x)

   =

   x

   —

   x 3 /3!

   +

   x 5 /5!

   —

   x 7 /7!

   +

   …

   
   Это значит, что
   

   cos 2 (x)	=	1	—	(1/2! + 1/2!)	x 2	+	(1/4! + 1/2! 2! + 1/4!)	x 4 /4!	—	…
   sin 2 (x)	=				x 2	—	(1/3! + 1/3!)	x 4 /4!	+	…

   
   В этом контексте идентичность cos ² (t) + sin ² (t) = 1 действительно кодирует бесконечное количество тождеств, включающих факториалы, а именно

   1/2! + 1/2!	=	1
   1/4! + 1/2! 2! + 1/4!	=	1/3! + 1/3!
   1/6! + 1/4! 2! + 1/2! 4! + 1/6!	=	1/5! + 1/3! 3! + 1/5!
   	…

   
   Эти тождества можно переформулировать в терминах комбинаторной коэффициенты ( ⁿ C _r = n! / (n-r)! r! )
   

   2 C 0 + 2 C 2	=	2 С 1
   4 C 0 + 4 C 2 + 4 С 4	=	4 C 1 + 4 C 3
   6 С 0 + 6 С 2 + 6 C 4 + 6 C 6	=	6 С 1 + 6 С 3 + 6 С 5
   	…

   
   Они говорят, что четные комбинаторные коэффициенты в сумме составляют тот же результат, что и нечетные комбинаторные коэффициенты. Этот результат может быть доказанным напрямую. Это легче всего увидеть, посмотрев на треугольник, и складывая члены подряд в двух разных способами. Кроме того, использование расширений степенного ряда для расширения определение cos и sin к комплексным числам, мы теперь знаю что тож верен для комплекса т . Благодаря Боб Ува за указание на это.

   Продолжая в том же духе, тот факт, что
   	e x	=	1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! + x 4 /4! +…
   сразу сообщает нам, что
   	e ix	=	1 + ix — x 2 /2! — ix 3 /3! + x 4 /4! +…
   то есть деление на четную и нечетную степени
   	e ix	=	cos (x) + isin (x)
   На данный момент есть два способа получить удостоверение личности.

   Во-первых, необходимо понять, что единственное уравнение e ^ix = cos (x) + isin (x) дает нам уравнение e ^-ix = cos (x) -isin (x) и из этих двух уравнений мы можем решить для cos (x) и sin (x) , чтобы получить
   cos (x) = (e ^ix + e ^-ix ) / 2
   sin (x) = (e ^ix -e ^-ix ) / 2i .
   Пусть w представляет e ^ix , так что 1 / w — это e ^-ix , мы имеем cos ² (x) + sin ² (x) — это (ш + 1 / ш) ² /4 — (ш-1 / ш) ² /4 . Этот упрощается до 1 . Итак, тригонометрическое тождество можно рассматривать как алгебраическое тождество (w + 1 / w) ² — (w-1 / w) ² = 4 .

   Второй — быть умными (по-другому) и понимать, что мы можем разложить на множители a ² + b ² как (a-ib) (a + ib) . Если вы не видели этого раньше, это пересчет a ² -b ² = (a-b) (a + b) . Используя комплексные числа, мы получаем, что -b ² — это (ib) ² , что приводит к a ² + b ² = a ² — (- b ² ) = а ² — (ib) ² = (a-ib) (a + ib) .Кстати, конечно также верно, что a ² + b ² = (b-ia) (b + ia) . В любом случае, применяя факторизацию к cos ² (x) + sin ² (x) , получаем (cos (x) + isin (x)) (cos (x) -isin (x)) , что является e ^ix e ^-ix . Использование w для представления e ^ix , факт, что cos ² (x) + sin ² (x) = 1 — это просто запутанный способ сказать w (1 / w) = 1 .

   Рассмотрим параметризованную кривую c (t) = (cos (t), sin (t)) . В identity говорит нам, что эта параметризованная кривая всегда находится на единице кружок о происхождении. Дифференцируя, имеем c ‘(t) = (-sin (t), cos (t)) . c ‘(t) . c ‘(t) равно (-sin (t)) (- sin (t)) + cos (t) cos (t) , что просто cos ² (t) + sin ² (t) . Тот факт, что это 1 говорит нам, что параметризованная кривая на самом деле параметризуется длиной дуги.Итак, тригонометрическое тождество можно рассматривается как просто констатация того факта, что радианы проходят через единицу круг с единичной скоростью. Наконец, снова дифференцируя, получаем c » (t) = (-cos (t), -sin (t)) . Очевидно, c » (t) .c » (t) = cos ² (t) + sin ² (t) , так что тождество говорит нам, что равномерное движение по кругу приводит к ускорение постоянной величины.

   Наконец, еще один подход к установлению того, что cos ² (x) + sin ² (x) is 1 is to поймите, что на самом деле он заявляет о двух отдельных свойствах, а именно о том, что cos ² (x) + sin ² (x) — постоянная величина, и что константа оказывается равной 1, т.е.для некоторого значения x , cos ² (x) + sin ² (x) равно 1 . В последнее свойство устанавливается быстро: принимая x = 0 , cos (x) = 1 и sin (x) = 0 . Четко 1 ² +0 ² = 1 .

   Учитывая функцию f , чтобы установить, что f является постоянной функции, достаточно установить, что производная от f равно нулю. Применяя эту технику к f = cos ² + sin ² , первый шаг — использование цепное правило, чтобы получить, что производная от cos ² (x) + sin ² (x) равно 2cos (x) cos’x + 2sin (x) sin ‘(x) .Через производные тождества cos ‘(x) = -sin (x) и sin ‘(x) = cos (x) , имеем 2cos (x) cos’x + 2sin (x) sin ‘(x) упрощается до 2cos (x) (- sin (x)) + 2sin (x) cos (x) , что равно нулю. Итак идентичность можно рассматривать как интегрированную версию тривиального личность
   cos (x) (- sin (x)) + sin (x) (cos (x)) = 0 , который мы видели ранее в совершенно другой контекст.

   Еще один способ увидеть, что cos ² + sin ² константа — это понять, что она представляет собой сумму потенциальных и кинетические энергии решения x = cos (t) уравнения для простого гармонического движения x » (t) + x (t) = 0 .

   Для частицы массы 1 кинетическая энергия равна (1/2) x ‘(t) ² , а потенциальная энергия равна (1/2) x (t) ² (с точностью до аддитивной константы). Сохранение энергии говорит нам, что (1/2) x ‘(t) ² + (1/2) x (t) ² является константой, и поэтому х ‘(т) ² + х (т) ² также является константой. Принимая решение x (t) = cos (t) (или x (t) = sin (t) ) мы получаем личность.

   Я должен отметить, что ни одна из вышеперечисленных математических задач не зависит от лежащая в основе физика.Если x (t) — решение второго порядка уравнение x » (t) + F (x (t)) = 0 , тогда (1/2) x ‘(t) ² + V (x (t)) , где V является первообразной F , является константой. Простое дифференцирование подчеркивает это.

   Между прочим, поскольку x (t) = acos (t) + bsin (t), является общим решением к уравнению второго порядка имеем
   (acos (t) + bsin (t)) ² + (- asin (t) + bcos (t)) ² — константа a ² + b ²

   Следующим шагом к пониманию идентичности является сравнение и сопоставление это тождество для гиперболического косинуса и гиперболического синуса, а именно cosh ² (t) — sh ² (t) = 1 .Я отложу это к более позднему эссе.

   2 апреля 2003 г.	Размещено
   7 апреля 2003 г.	Последнее обновление

   Вернуться к началу страницы

   Архив тригонометрии | 07 марта 2020 г. Архив

   Тригонометрия | 07 марта 2020 г. | Chegg.com
   Тригонометрия Архив: Вопросы от 07 марта 2020 года
   • может вы, ребята, дадите мне несколько советов, как помешать так быстро потому что вроде бы много работы. .. в значительной степени забыл … мой там ответ правильный, но не упрощенный или ошибочный.
     (Упростите свой ответ. Введите точный ответ, используя радикалы как ne 75/133 — 1014 c. Tan (a + B) = 902 (Упростите ваш новый Tino на vart anewor, используя радикалы как neec 3/133 — 24 Вы ответили: — 41133 +

     1 ответ

   • 
     
     17. Используйте формулу половинного угла, чтобы найти точное значение следующего выражения: tan 22,5 A. 2-1 B. -12-1 C. — 2 + 1 D. V2 + 1 18. Используйте график для завершения тождество: 1 + COS X sinx sinx 1 + COS X 2 A.2

     1 ответ

   • используйте калькулятор, чтобы решить уравнение на интервале [0,2pi]. Округлите ответ до двух десятичных знаков sinx = 0

     1 ответ

   • 
     
     Примените правила, касающиеся использования значащих цифр 49. ne окружность на рисунке имеет радиус r и центр +20 X-20 4 24 ° C = 66 ° и x = 20, найдите r. bly правила, касающиеся использования значительных

     1 ответ

   • 
     
     Найти 0, 0 ° 5 0

     1 ответ

   • 
     
     а.Найдите наклонную асимптоту графика рациональной функции и b. Следуйте стратегии из шести шагов и используйте наклонную асимптоту для построения графика рациональной функции. X-8 f (x) 2-3x а. Найдите уклон бессимптомно

     1 ответ

   • 
     
     Решите нелинейную систему уравнений для вещественных решений. y = x²-2 y = x? — 2x Выберите правильный вариант ниже и, при необходимости, заполните поле ответа, чтобы завершить свой выбор. O A. Решение (я)

     1 ответ

   • 
     
     Решите нелинейную систему уравнений для вещественных решений.x² + y² = 4 x? + (y — 1) 2 = 1 Выберите правильный вариант ниже и заполните все поля для ответов по вашему выбору. O A. Решение (я)

     1 ответ

   • 
     Иисус Приближает уравнение линии наилучшего соответствия и делает пред … Esp. Диаграмма разброса показывает время, потраченное на обучение, x, и результат теста, y, для каждого из 24 студентов. (а) Напишите приблизительное

     1 ответ

   • Для треугольника ABC следующая информация при условии.A = 27 °, b = 18 и c = 30. (Угол A — противоположная сторона a, угол B — противоположная сторона b, угол C противоположная сторона c.) Укажите, в каком случае применяется

     1 ответ

   • 
     
     На этапе разработки новой прямоугольной клавиатуры для системы безопасности было решено, что площадь прямоугольника должна составлять 210 квадратных сантиметров, а периметр — 58 сантиметров.

     1 ответ

   • Определите тип конического сечения, представленного уравнением 4х2 + 9у2 — 18у — 27 = 0.парабола круг эллипс гипербола

     1 ответ

   • 
     4. Какая из функций соответствует графику? — тел-2t A. f (x) = 2 (1 — cos x) B. f (x) = 3 — cos x C. f (x) = 2 + cos x D. f (x) = 2 — sin Икс

     1 ответ

   • 
     
     На этапе разработки новой прямоугольной клавиатуры для системы безопасности было решено, что площадь прямоугольника должна составлять 228 квадратных сантиметров, а периметр — 62 сантиметра.

     1 ответ

   • 5.Приведенная ниже матрица представляет собой расширенную матрицу для системы трех линейные уравнения. Какие можно сделать выводы о решении проблемы система? 1 0 −2 1 (0 1 0 | 4) 0 0 0 0

     1 ответ

   • 
     6. Какое из уравнений соответствует графику? -47 A. r = 1 — cos B. r = 1-sino C. r = 1–2 cos 0 D. r = 1 — 2 sino

     1 ответ

   • 
     7. Является ли следующая сумма арифметической последовательности, геометрической последовательности или ни того, ни другого, и какова сумма? k = 1 А.сумма геометрической последовательности; sum = 6.4416 сумма геометрической последовательности; сумма = 3,2736 с

     1 ответ

   • 
     
     Используйте единичный круг, чтобы найти все значения от 0 до 2, для которых данное утверждение верно. (Введите свои ответы в виде списка, разделенного запятыми.) Cos — -1/2 0-1 x rad Нужна помощь? Читать Thik to Tvor Sub

     1 ответ

   • 
     9. (a) Приведите пример угла, который совпадает с 660 °. Ответ: (b) Преобразуйте угол 15 радиан в градусы.Отвечать:

     1 ответ

   • 
     10. Найдите точные значения (без десятичных приближений). (a) sec 4950 Ответ: (b) tan (-210 °) Ответ: 11. Для y = 3 sin (6x — It) укажите период (a) Ответ: (b) сдвиг фазы Ответ:

     1 ответ

   • 1.
     (1 балл) Учитывая cos (a) = -9 и 8/2

     1 ответ

   • 
     (cos x) (2sin x + 1) = 0 в интервале [0, 360 °). 12. Решите тригонометрическое уравнение. Найдите точные значения.Ответ: 13. (a) Найдите точное значение arccos (sinº). Ответ: (b) Найдите точное значение

     1 ответ

   • 
     
     
     
     Используйте рисунок ниже, который показывает единичную окружность с шагом 0,1 единицы, отмеченную по окружности в направлении против часовой стрелки, начиная с точки (1,0). Мое примечание: оцените, если cos 8 = -0,1

     1 ответ

   • 
     14. (a) Для точки (2, 150 °) в полярных координатах найдите соответствующую точку в прямоугольных координатах.(Укажите точные значения, а не десятичные приближения.) Ответ: (b) Учитывая точку (6, — 6)

     1 ответ

   • 
     -5. Для параболы (v — 3) 2 = 8 (x + 2) найдите следующее: (a) парабола направления открывается (влево, вправо, вверх или вниз) Ответ: (b) вершина Ответ: ( в) фокус Ответ:

     1 ответ

   • график и объясните пожалуйста
     O ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Переписываем квадратичную функцию, чтобы найти ее вершину и нарисовать ее гра… Запишите квадратичную функцию в виде g (x) = a (x-h + k. Затем дайте вершину ее графика

     1 ответ

   • 
     16. Билеты в парк аттракционов стоят 52 доллара для взрослых и 38 долларов для детей. Было продано 2000 билетов на общую сумму 86 780 долларов. Предположим, вы хотите узнать, сколько билетов каждого типа было продано.

     1 ответ

   • 
     
     Найдите точное значение выражения. sin-1 (0,5) A) 60 ° B) 420 C) 30 ° D) -30 °

     1 ответ

   • 
     17.Строительный подрядчик планирует использовать лестницу, чтобы добраться до окна. Если 15-футовая лестница прислоняется к зданию с углом подъема 73 °, насколько высоко по зданию поднимется лестница.

     1 ответ

   • 
     Шрифт абзаца Абзац FL Sty 18. Эллипс имеет уравнение (8752 + (+2) = 1 25 49 (a) Большая ось горизонтальна или вертикальна? (B) Найдите точные значения фокусов эллипса. Показать работы.

     1 ответ

   • 
     19.Предположим, что cos 0 = 12/13, и это угол в квадранте IV. (а) Найдите точное значение sin 0. Покажите работу. (б) Найдите точное значение sin (20). Показать работы.

     1 ответ

   • 
     катионов Срок сдачи: среда, 11.03.2020, 23:59. Путь спутника, вращающегося вокруг Земли, заставляет его проходить непосредственно над двумя станциями слежения A и B, которые находятся на расстоянии 53 км друг от друга. Когда спутник находится на одной стороне o

     1 ответ

   • Вы качаетесь на качелях. Когда вы сидите неподвижно, вы 1.5 мес. от земли.Когда вы постоянно махаете, ваш максимум высота над землей — 4. Путешествие от земли занимает 3 секунды. наибольший

     1 ответ

   • 
     20. Докажите тождество 1- (sin x — cos x) 2 = sin (2x) DELL

     1 ответ

   • 
     21. Для треугольника ABC задано, что A = 40 °, B = 63 ° и c = 38,0. — 6300 C = 38 В Найдите длину стороны b, округленную до сотых.Показать работы.

     1 ответ

   • 
     22. Пусть u = (4, 2) и v = (5, -10). Вычислить u + Zv. Показать работы. Вычислите точную длину или величину u. Показать работы. Рассчитайте скалярное произведение u.y. Показать работы. Определите угол между u и

     1 ответ

   • 
     23. Решите систему уравнений, используя метод исключения Гаусса с матрицами или без них или метод исключения Гаусса-Жордана (метод на ваш выбор). Показать работу.x — y + 3 = 8 —2x + y + 85 = 1 X — V — 2-

     1 ответ

   • 
     
     Срок сдачи: 03/11/2020 11: Кривая с полярным уравнением — sin 39 +33 cose представляет собой линию. Эта линия имеет декартово уравнение вида y, формула для v через. Например, если в строке было

     1 ответ

   • Проверьте следующую личность. Покажи все свои шаги. 1. (tan2theta) (cos2theta) + (cot2theta) (sin2theta) = 1

     1 ответ

   • проверьте следующую личность.покажи все свои шаги.

     1 ответ

   • проверьте следующую личность. покажи все свои шаги.

     1 ответ

   • проверьте следующую личность. покажи все свои шаги.

     1 ответ

   • проверьте следующую личность. покажи все свои шаги.

     1 ответ

   • 
     
     3.6.57 Запишите кубические корни числа — 216 в стандартной форме. Корни (Упростите свой ответ.Выражайте комплексные числа через i. При необходимости разделяйте ответы запятыми. Введите дроби для любых

     1 ответ

   • проверьте следующую личность. покажи все свои шаги.

     1 ответ

   • 
     
     .6.41 Используйте теорему Де Муавра, чтобы упростить выражение. Дайте ответ в виде a + bi. [2 (cos 30 ° + i sin 30 ° 3 12 (cos 30 ° + i sin 30 °)} = (Введите свой ответ в форме a + bi) нет 19

     1 ответ

   • 
     
     Домашнее задание: 9 неделя Оценка HW: 0 из 1 балла 13 из 17 (90 8.6.19 Напишите следующее число в тригонометрической форме. Пусть oºse

     1 ответ

   • 
     
     8.6.7 Найдите модуль числа. 6-8 i Модуль (Упростите ответ).

     1 ответ

   • 
     
     Домашнее задание: 9-я неделя Оценка HW: 0 из 1 балла 11 из 17 (завершено 9) B.6.3 Нанесите числа на комплексную плоскость a) График — 6 a) -6 b) -3-6i Almaginary Real 19

     1 ответ

   • 
     
     Запишите полярное уравнение через x и y.T- 2 cos 0 + 5 sin 0 Эквивалентное уравнение с прямоугольными координатами: y = (используйте целые числа или дроби для любых чисел в выражении. )

     1 ответ

   • 
     
     или заданная точка (0,1) в прямоугольных координатах, найдите эквивалентные полярные координаты (re), которые удовлетворяют условиям a)> 0,0 °, поэтому

     1 ответ

   • тригонометрия 8,3-8,5
     Направления: делать на отдельном листе. Чтобы получить зачет, вы должны продемонстрировать достаточную работу и подкрепить свои ответы.Убедитесь, что ваша работа аккуратная и аккуратная! Все ответы должны быть точными и простыми

     1 ответ

   • 
     
     Показать WOPR TULUMLI CUIL. Причитается W EPO 1. Найдите точное значение каждого из них. Никаких десятичных приближений! (По 3 балла) (b) arctan) (c) arcsin (O) — (a) cos «(7 2. Точно оценивайте каждое значение. Никаких десятичных приближений!)

     1 ответ

   • 
     
     4. Решите каждое уравнение. (По 4 балла) (a) 4 sinx -3 = 0 (b) 7 cose +9 = -2 cose 5. С помощью калькулятора найдите все такие, что OSOS 2 и cos 0 = 0.9451. (4 балла) 6. Найдите точное значение выражения. N

     1 ответ

   • 
     
     8. Решите каждое уравнение в интервале 10, 2n). По возможности используйте точные ответы. Если точный ответ невозможен, используйте десятичное приближение с округлением до двух знаков после запятой. (По 8 баллов) (a) 2 cos x

     1 ответ

   • 7,8,15,16 нужны решения для этих 4 вопросов, пожалуйста
     Минутная стрелка часов имеет длину 18 см. Определите количество радианов, на которое он поворачивается, и расстояние, на которое перемещается его наконечник, когда он поворачивается из положения 11:32 до 12:19.должность. Найдите длину

     1 ответ

   • 23, 26, 32, 33!
     22. Решите уравнение 3 tan u + 4 = 2 для значений u между 0 ° и 360 °. Есть два решения.) 23. Точка (-20, 48) находится на конечном луче угла u. Найдите точное значение sin u. 24.

     1 ответ

   • Как бы вы решили вторую часть задачи?
     Подтвердите личность. (1 — sin? (T) + 2 cos? (T)) 2 + 9 sin? (T) cos? (T) = 9 cos? (T) (1 — sin2 (t) + 2 cos? (T) ) 2 + 9 sin? (T) cos? (T) = (3 cos? (T)) 2 + cosat = 9 cos ”(b) (cos? (E) + | — 9 cos? Нужна помощь?

     1 ответ

   • Почему это не было бы cot theta?
     Напишите тригонометрическое выражение в терминах синуса и косинуса, а затем упростите. sin (0) — csc (0) cos (0) cot e Нужна помощь? Прочтите, посмотрите, поговорите с репетитором

     1 ответ

   • 
     8.2.41 Самолет (в точке Z) заметен двумя наблюдателями (в X и Y), которые находятся на расстоянии L = 1350 футов друг от друга. Когда самолет пересекает линию, соединяющую их, каждый наблюдатель оценивает угол подъема.

     1 ответ

   • 
     ТИВИТИУМ. ULUIT 0.2 TUTTE VOLN Оценка сохранений: 0 из 1 балл 14 из 14 (11 завершено) Оценка HW: 78.57%, 11 из 14 баллов 8.2.55 Вопрос Help Sun Навес, закрывающий раздвижную стеклянную дверь высотой 88 дюймов.

     1 ответ

   • 
     
     4. secx -tan x = — COS X 1 + sin x 5. Som — 1700+ x = cos x 1 + tan x — = cos X — sin x 1 + cotx

     1 ответ

   • 
     Докажите, что cos (kx) a) a 2 noso cas (ko) — cos (k-1)) СНИМАТЬ НА REDMI 7 AI DUAL CAMERA

     1 ответ

   • Чтобы идентифицировать кривую, удалите параметр.Поскольку это не тригонометрические функции, вы можете использовать подстановку, чтобы написать одно уравнение относительно x и y. Решите первое уравнение относительно t. (Введите вас

     1 ответ

   • Пожалуйста, покажите все шаги
     Если seco = x, выразите sin20 через x. o sin20 = 2V [(x2 — 1)] / x2 sin2e = + 2V1 (x2 — 1)] / x2 o sin 20 = + 2x (1 — x2) O sin20 = + 2V (1 — x2)

     1 ответ

   • 
     Решите прямоугольный треугольник. b = 200 c = 400 b Amº (При необходимости округлите до ближайшей десятой.) Balº (Округлите до ближайшей десятой, если необходимо.) Am (Округлите до ближайшего целого числа, если необходимо.) Найдите функцию

     1 ответ

   • 
     
     (a) Преобразуйте следующие полярные координаты в прямоугольные координаты. Пример: Полярные координаты — 190 AB — 100,00 м по азимуту 225 ° 00’00 «. Прямоугольные координаты — восток (E) —70,71, север (N) —

     1 ответ

   • 
     Найдите значение функции. cos (- 294.5) ° cos (- 294,5) ° ~ (округлите до четырех десятичных знаков, если необходимо.) Найдите шесть значений тригонометрической функции для указанного угла O (-402, -4) sin = (Упростите свой

     1 ответ

   • 
     Для угла укажите, в каком квадранте находится сторона вывода. 1456 ° Угол в квадранте. (Введите свой ответ как I, II, III или IV.) Преобразуйте следующую меру градуса в радиан. — 30

     1 ответ

   • 
     
     
     
     4.Найдите все данные, отсутствующие в треугольнике ABC, из следующих наблюдаемых данных — 3-170,9 м, b = 225,6 м. 6-78900 Дайте растворы с точностью до 0,0 мкм и 10% c. d ‘, Решите недостающие элементы t

     1 ответ

   • 
     Решите прямоугольный треугольник. A = 32 ° b = 43 b B = 0 ° (Упростите ответ.) Am (Округлите до ближайшей сотой, если необходимо.) Ca (Округлите до ближайшей сотой, если необходимо.) Воздушный фотограф, который фотографирует

     1 ответ

   • 
     Найдите значение функции.Округлить до четырех знаков после запятой. tan 55,7 ° tan 55,7 ° ~ (округлите до четырех десятичных знаков, если необходимо.) Найдите шесть значений тригонометрической функции указанного угла. 149/140 1

     1 ответ

   • 6sin (x) — 3sin (2x) = 12 / пи

     1 ответ

   • 
     1. Для A = (-2,3,3) и B = (0, -1,6): (a) Найдите компонентную форму вектора AB (b) Найдите LABI 2. Для u = (3, 5) и + — (-2,1): (a) Найдите dü — 7 (b) Найдите угол, описывающий направление vec

     1 ответ

   • ГРАФИЧЕСКИЙ, НАЙТИ ПЕРИОД, АНПЛИТУД, ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СДВИГ, ОТРАЖЕНИЕ, СДВИГ ФАЗЫ, ИНТЕРВАЛ
     Дополнительная практика построения графиков 1.y = -5 cos (6x) 2. y = 3 sin (4x) (график двух циклов) 3. y = sin (–3x) 4. y = 4 -cos (2x) (график двух циклов) 5. y = 2 — 5 sin (rex) (график двух циклов) 6. y = -3 sin (x) +5 7.

     1 ответ

   • 
     6. Найдите центр и радиус сферы r2 + y2 + — 8x + 4y — 62 = 7 7. Найдите вектор, перпендикулярный как (1,1,3), так и (0,2, -2) 8. Найдите прямоугольное уравнение плоскости, проходящей через точку p

     1 ответ

   • 
     2.Дано: = —1573 и w = 5 (cos (w / 7) + sin (/ 7)) 1- i и w = 5 (cos (1/7) + i sin (/ 7)), вычислить каждое из следующее: a) cos 1.73-45 sin 1.73 right idea (b) w ‘(Упростите до стандартной формы.)

     1 ответ

   • 
     4. Решить 2 cos? r — 3 sin r — 3 = 0. Используйте радианы. a cos²x-3 sin x-3 = 0 5. Преобразуйте r = в прямоугольные координаты и решите относительно x. г = ī роза I-cos = 0

     1 ответ

   • 
     way hate riposomente cuando en ten show i wok on paper Убедитесь, что тригонометрическое уравнение является тождеством.3− 7i Запишите тригонометрическую форму комплексного числа. (Округлите углы до двух десятичных знаков. Пусть 0 ≤ θ <2π.

     1 ответ

   • Решите данное уравнение. (Введите свои ответы как разделитель-запятая Решить данное уравнение. (Введите свои ответы как Список, разделенный запятыми. Пусть k — любое целое число. Округлить сроки до три десятичных знака, где ap

     1 ответ

   • 4squareroot3− 7i Запишите тригонометрическую форму комплексного номер. (Округлите углы до двух десятичных знаков.Пусть 0 ≤ θ < 2π.

     1 ответ

   • 
     
     Найдите точное значение

     1 ответ

   • 
     Найдите u o ů = (-3,0,1> ✓ = {1, -1,17

     1 ответ

   • 
     
     Найдите меру (в радианах центрального угла. Площадь сектора — 8 кв. Единиц. Изображение не масштабировано. Измерение — радианы). (Введите целое или десятичное число, округленное до ближайшей десятой.

     1 ответ

   • 
     10.3 — 27 = 0 z0 = z1 = z2

     1 ответ

   • 
     
     Преобразует следующие радианы в градусы. Введите свой ответ в поле для ответа E O Введите здесь для поиска

     1 ответ

   • (4squareroot3) -7i Запишите тригонометрическую форму комплекса номер. (Округлите углы до двух десятичных знаков. Пусть 0 ≤ θ < 2π.

     1 ответ

   • Мне нужна помощь в решении второй части вопрос
     Оценка: 0 из 1 балла 13 из 14 (12 завершено) Оценка HW: 85.71%, 12 из 14 баллов 8.2.51 Вопрос Справка Знаменитая наклонная башня изначально была 186,5 футов в высоту. На расстоянии 129 футов от основания башни,

     0 ответов

   • 
     Чему равен угол 47 ° 18’41 «в десятичных градусах? Введите свой ответ, округленный до ближайшей тысячной доли градуса, в поле.

     1 ответ

   • 
     Справа EFG имеет прямой угол в G, EF = 8 и FG = 6.Каково значение тригонометрического соотношения угла треугольника? Перетащите значение в каждое поле, чтобы тригонометрическое соотношение соответствовало его значению.

     1 ответ

   • 
     Что такое угловая мера в градусах, эквивалентная радианам? Выберите все правильные утверждения. i эквивалентно 90 °. o эквивалентно 45 ° 0 B эквивалентно 225 ° 0 3 эквивалентно t

     1 ответ

   • 
     Какое утверждение правильно определяет тригонометрическое соотношение? Синусоидальная функция определяется как длина гипотенузы по длине смежной стороны.Косинус угла определяется как левая

     1 ответ

   • 
     Какой знак у тригонометрической функции, если в квадранте лежит конечный луч угла! в? Выберите все правильные утверждения.U Функция котангенса отрицательна в квадранте II.

     1 ответ

   • 
     Конечный луч угла B, проведенный в стандартном положении, проходит через точку (-5, 277) Какое значение cos B? Введите свой ответ в простейшей радикальной форме в это поле. cos B = 0 Вперед>

     1 ответ

   • 
     Какая мера в радианах эквивалентна градусу? Выберите True или False для каждого утверждения.Утверждение Истина Ложь 90 ° эквивалентно: 210 ° эквивалентно 300 ° эквивалентно

     1 ответ

   • 
     Какие углы совпадают с углом, начерченным в стандартном положении и составляющим 212 ° 2 Выберите все правильные размеры углов.