словообразование — Слова без корня

В русском языке имеется громадное количество слов, в которых нет корня. Но все эти слова, кроме одного-двух, относятся к служебным частям речи. Напомню, что словом в русском языке принято называть не только «слова-названия», но и все служебные слова. В большинстве из них нет корня. Например: «в», «у», «за», «из», «от», «ишь», «и», «ай». Я перечислила лексические единицы. То есть, слова. А попробуйте отыскать в них корень. Не найдёте. Выше я говорила, что в одном-двух самостоятельных словах (точнее, в словоформах) мы тоже не найдём корня. Я не ошиблась. Мы его не найдём по той причине, кто что он нулевой. То есть, он есть формально (потенциально), но «убежал». Подберите однокоренные слова, и он «прибежит» обратно. Например: «вы — 0 — ну — ть» — «вы — ним — ать». Но есть и мнения, что в последнем примере всё-таки имеется зримый корень, состоящий из «Н», наложенном на суффикс. Лингвисты называют такие явления морфемной интерференцией. Спорный случай.

Источник: А может так быть, чтобы в слове не было корня? В каком слове нет корня? | bolshoyvopros.ru.

В русском языке, как ни странно, существуют слова без корня. Это глаголы снять, поднять, принять, занять, вынуть, взять, изъять и т. д. Они образованы таким способом: приставка, суффикс -н (встречается не во всех), глагольный суффикс и окончание. Ко всем этим глаголам можно подобрать пару несовершенного вида, которая будет содержать в себе морфему «-им-«: поднимать, принимать и т. д. Как ни странно, это корень этих слов. Все они образованы от слова «иметь». То есть, хотя эти слова между собой имеют мало общего, они образованы от одного и того же слова. Также от этих слов образуются существительные или прилагательные, имеющие в своём составе морфему «-ём-» или «-йм-«: приём, займ, выемный. Это тот же корень, но здесь происходит чередование.

Источник: Слова без корня в русском языке | pikabu.ru.

В русском языке слов, у которых не было бы корня, нет. Существует лишь одно исключение – это глагол «вынуть», где «вы-» — это приставка, «ну» — это суффикс, а «ть» — это суффикс, характерный для формы инфинитива.

Но и здесь не все так однозначно. Некоторые языковеды относят этот глагол к тем немногим словам, у которых исходного корня в этимологическом плане просто не существует. Правда, это совсем не показатель того, что в его составе корня нет. Основа, которую именуют непроизводной, присуща всем словам без исключения, и она является тем самым компонентом, который мотивирует значение слова. Если говорить об описываемом глаголе, то его корень не совпадает с корнем, выделяемым в слове на момент возникновения этой лексической единицы в языке.

Характеризуемое слово образовывается от «яти» путем присоединения приставки «вы-». Это слово является аналогом современного «брать». Таким способом образуется немало и других слов, например: «внять» (с приставкой «вън-»), «взять» (с приставкой «въз-»), «изъять» (с приставкой «изъ-»), «объять» (с приставкой «объ») и т.д.

Исходная форма глагола «выяти» и «выимати», как и родственные слова «сняти» — «снимати», «вняти» — «внимати» со временем приобрела букву «н», которую можно назвать «вставочной». Следствием этого и стало появление таких форм, как «вынять» и «вынимать».

Позже форма «вынять» (совершенный вид) под влиянием звучания глаголов «кинуть», «сдвинуть», «стукнуть», «сгинуть» и др. получила известную всем форму «вынуть». Здесь речь идет не только о таком явлении, как переразложение, но и о процессе аппликации морфем.

В настоящее время в глаголе «вынуть» (совершенный вид) непроизводной формой основы считается «-н-». Подобный однозвуковой вид является еще и суффиксом, форма выражения которого характеризуется однократностью действия (для сравнения: «вынь», «вынет», «вынут», «вынем»).

В современном русском разбор слова «вынуть» на морфемы будет выглядеть следующим образом: «вы-н-у-ть», где «вы-» — это приставка, «-н-» — это непроизводная форма, которая в других родственных словах чередуется с «-ем-» («выемка»), «-ним-» — («вынимать»), «-н-» — это и суффикс, указывающий на однократность действия, «-у-» — это суффикс, являющийся классовым показателем (аналогично суффиксам «-а-» — «звать», «-е-» — «тереть», «-о-» — «колоть»), «-ть» — элемент инфинитива. Многие лингвисты полагают, что такие морфемы, как корень «-н-» и суффикс «-н-», в этой форме глаголы накладываются друг на друга.

Подытожив все вышесказанное, можно сказать, что с одной стороны, у слова «вынуть» есть корень, если принимать эту морфему за непроизводную форму, которая представляет собой стержень лексического значения слова. Но вместе с тем у этого глагола корня, под которым подразумевают «главный» исходный материал лексической единицы, нет.

Источник: РУССКИЙ ЯЗЫК — ЭТО МЫ | ok.ru.

Слова с тремя суффиксами (примеры)

Приведем при­ме­ры слов с тре­мя суф­фик­са­ми в их мор­фем­ном составе.

Что такое суффикс?

В рус­ском язы­ке суф­фик­сы выпол­ня­ют сло­во­об­ра­зо­ва­тель­ную функ­цию, а так­же выра­жа­ют грам­ма­ти­че­ское зна­че­ние слов.

Суффикс — это мор­фе­ма, кото­рая сто­ит после кор­ня или после дру­го­го суф­фик­са и слу­жит для обра­зо­ва­ния новых слов или форм слов. 

Например:

• бога­тый — богатство;
• серый — сероватый;
• уте­шить — уте­шитель;
• сла­бый — слабеть;
• уди­вить — удивление.

С помо­щью фор­мо­об­ра­зу­ю­щих суф­фик­сов обра­зу­ют­ся при­ча­стия, дее­при­ча­стия, фор­мы срав­ни­тель­ных сте­пе­ней при­ла­га­тель­ных и наре­чий и т.д.

• весе­лить — веселящийся маль­чик;
• отве­сти — отведя в сторону;
• блед­ный — бледнее, бледнейший;
• гром­ко — гро­мче сказать.

Как образуются слова с тремя суффиксами

В соста­ве сло­ва может быть не один, а два суф­фик­са, и даже три. Такой мор­фем­ный состав име­ют те лек­се­мы, если от про­из­во­дя­ще­го сло­ва, напри­мер гла­го­ла, обра­зу­ет­ся сна­ча­ла при­ла­га­тель­ное, а затем суще­стви­тель­ное, то в осно­ве конеч­но­го сло­ва ока­зы­ва­ют­ся по поряд­ку суф­фик­сы трех частей речи.  В резуль­та­те тако­го сло­во­твор­че­ства суф­фик­сы, как бусин­ки нани­зы­ва­ют­ся на ниточ­ку, рас­по­ла­га­ют­ся один за дру­гим в мор­фем­ном соста­ве про­из­вод­ной лексемы:

удивить → удивительный → удивительно.

В соста­ве сло­ва могут быть раз­ные соче­та­ния суф­фик­сов. Чтобы это нагляд­но про­де­мон­стри­ро­вать, посмот­рим сло­во­об­ра­зо­ва­тель­ные цепоч­ки слов, име­ю­щих три суффикса.

Примеры

Понаблюдаем, как про­ис­хо­дит сло­во­об­ра­зо­ва­ние неко­то­рых лек­сем, при­чем суф­фик­сы раз­ных частей речи после­до­ва­тель­но при­со­еди­ня­ют­ся к про­из­во­дя­щей основе:

форма → оформить → оформитель → оформительница; 

маска → маскировать → маскировка;

знать → познать  → познавать → познавательный  → познавательность;

старый → стареть → устареть → устарелый  → устарелость

учить → учитель → учительница;

победа →   победить → побе­дитель →  победительница;

лук → луковый →   луковица → луковичный;

скука → скучный → скучноватый → скучновато;

гнить → гнилой  → гниловатый.

И еще при­ве­дем при­ме­ры слов с тре­мя суф­фик­са­ми в мор­фем­ном составе:

бесхитростность      — приставка/корень/суффикс/суффикс/суффикс/окончание;

горелка — корень/суффикс/суффикс/суффикс/окончание;

убыточный — приставка/корень/суффикс/суффикс/суффикс/окончание;

сеялка — корень/суффикс/суффикс/суффикс/окончание;

хранилище — корень/суффикс/суффикс/суффикс/окончание;

вразбивку — приставка/приставка/корень/суффикс/суффикс/суффикс;

бесприбыльность     — приставка/приставка/корень/суффикс/суффикс/суффикс/окончание.

Однокоренные слова к слову Отличный | Родственные

Вы находитесь на странице слова «Отличный». Корень слова «Отличный» — отлич. На этой странице вы найдете однокоренные (родственные) слова к слову «Отличный», а также сможете подобрать проверочные слова к слову «Отличный».

Помните, что среди предложенных на этой странице родственных слов (Безликий, Отличать, Отличаться, Отличие, Отличить…) не всегда можно найти проверочные слова.

Какое значение, понятие у слова «Отличный»? Здесь тоже есть ответ на этот вопрос. Относительно слова «Отличный», такие слова, как «Безликий», «Отличать», «Отличаться», «Отличие», «Отличить»…, являются родственными к слову «Отличный» и имеют общий корень: «отлич». Однокоренные слова «Отличный», «Безликий», «Отличать», «Отличаться», «Отличие», «Отличить»… связаны друг с другом отношением словообразования. Эти слова имеют разные приставки, суффиксы и возможно относятся к разным частям речи.

Предложенные здесь однокоренные слова к слову «Отличный» (Безликий, Отличать, Отличаться, Отличие, Отличить…) можно использовать в различных текстах, чтобы избежать однообразия и тавтологии в письменной речи, а также, чтобы проверить слово на ошибки (не все слова). Возможно получится более логично выразить вашу мысль в том или ином контексте, заменив слово «Отличный» на родственные ему слова: «Безликий», «Отличать», «Отличаться», «Отличие», «Отличить»…. Каждое из однокоренных слов к слову «Отличный» имеет свое собственное значение.

Чтобы не совершать банальных ошибок при употреблении родственных слов для слова «Отличный», таких как «Безликий», «Отличать», «Отличаться», «Отличие», «Отличить»…, нужно обратиться к толкованию этих слов и в итоге выбрать наиболее подходящее под ситуацию.

Вы можете посмотреть список однокоренных (родственных) слов к ним, перейдя на их страницу нажатием левой кнопкой мыши по ним.

Мы очень рады, что вы посетили наш словарь однокоренных слов, и надеемся, что полученная вами информация о родственных словах к слову «Отличный», оказалась для вас полезной. Будем с нетерпением ждать ваших новых посещений на наш сайт.

Слова с суффиксом «к»: примеры и исключения

В русском языке каждая часть слова несет какой-нибудь смысл. Не бывает такого, чтобы приставка, суффикс или окончание добавлялись просто так, потому что кому-то захотелось. Нет, всякое новое слово образуется только когда в нем возникла необходимость. Если же, по каким-то причинам, оно появляется без такой необходимости, новая лексема редко получает широкое распространение. В этом случае, некоторое время слово остается известным в узких кругах, а затем полностью сходит с исторической арены.

Много есть замечательных суффиксов в русском языке, но особое внимание заслуживают слова с суффиксом к. Их значение зависит от того, к какой части речи относятся слова с суффиксом к и в каком контексте употребляются в каждом конкретном случае.

Имена существительные

Рассмотрим слова с суффиксом к, которые относятся к существительным. Существует четыре возможных значения у этого суффикса:

1. Лицо, женского пола. Такие слова образованы от имен существительных мужского рода. На примере этих лексем можно показать, что их появление теснейшим образом связано с общественными изменениями. Пока женщины в массе своей были лишены каких-то прав, не требовались такие слова как «спортсменка» или «студентка».
2. Предмет для действия. Каждый пользуется такими предметами в повседневной жизни. Сыр трется на терке, двери закрываются на задвижку, а внутри помещения ставится перегородка. Особенность этих существительных в том, что все они предназначены для какого-то действия. В отличие, например, от стены, пола, тротуара, снега или любого другого предмета, которым трудно что-то сделать. Думаю, читатель может вспомнить конкретное действие и слова с суффиксом к примеры слов которых уже были даны выше.
3. Предмет, результат действия. Каждый регулярно что-то делает. Порой, результатами действий становятся конкретные предметы. Например, записка. Что это, как не результат письма? Или настойка. Впрочем, и тут читатель может вспомнить слова с суффиксом к примеры слов, которых уже были даны выше. Потренируйтесь самостоятельно вспомнить такие лексемы.
4. Действие. Кажется странным, ведь за действие отвечает совсем другая часть речи — глагол. Но нет, среди имен существительных можно вспомнить много действий. Например, вспышка. Это имя существительное, но оно обозначает конкретное действие. Настойка тоже может быть действием, если имеется ввиду не конечный продукт, а лишь процесс, результатом которого будет продукт.
5. Предмет с субъективной оценкой. Сравним два слова «ночь» и «ночка». Они оба обозначают одно и то же явление, но слово «ночка» несет эмоциональный окрас. В зависимости от контекста, он может быть положительный или отрицательный. То же самое со словами «рука» и «ручка».

Да, разнообразны слова с суффиксом к примеры которых читатель мог увидеть выше.

И это только существительные, а ведь помимо них существуют другие части речи. Например, имена прилагательные.

Прилагательные

Впрочем, с именами прилагательным все несколько проще в сравнении с существительными. Присутствует всего одно значение суффикса. Если имя прилагательное содержит в себе суффикс «к», это значит, что перед нами указание склонности к чему-то. Предмет может выступать как в роли субъекта, то есть,быть склонным к чему бы то ни были, так и в роли объекта. В последнем случае речь идет уже о том, что склонность направлена в отношении конкретного предмета.

Сравним два слова

«ломкий, ловкий»

В первом случае указывается признак предмета. Может быть, ломкий материал. Такой продукт легко ломается и вряд ли способен похвастаться высокой прочностью. Материал не обладает субъектностью. Это значит, что материал сам по себе не может решать ломкий он или нет, а если ломкий, что с этим делать. И делать ли вообще что-нибудь.

Характеристика «ломкий» проявляется только в том случае, когда совершается внешнее воздействие в отношении предмета. Если такого воздействия не совершается, признак «ломкий» не имеет для нас никакого значения.

Напротив, слово «ловкий» означает качество, присущее субъекту. Ловкий человек самостоятельно выбирает где и когда применяется его качество и применяется ли вообще. Ловкий человек сам совершает действие и выступает в качестве субъекта действия.

Не следует пусть слова с суффиксом «ка» и «к». Это разные суффиксы и даже разные части речи. Суффикс «ка» встречается в глаголах, которые образуется от междометий. Случается и такое в русском языке.

Казалось бы, междометие это слово, которое выражает наименее конкретный смысл. Взять, например, «хи-хи». Но стоит добавить суффикс «ка» и глагольное окончание, как сразу появляется знакомое всем «хихикать».

Вероятно, читатель сможет и самостоятельно отличить одни части речи от других и не ошибиться в дальнейшем с выбором суффикса в конкретном слове.

Подготовка к ЕГЭ по русскому языку и ГИА

Мы думаем, что каждый, кто сдаёт единый государственный экзамен, хочет получить за него максимальное количество баллов. С хорошими результатами будет легче поступить в любой вуз. Данный раздел поможет вам приблизиться к этой цели. Здесь есть всё необходимое для успешной подготовки. Также данный раздел нередко используется учащимися вузов и ссузов.

Проверить орфографию онлайн

Математика

• Часть A:
• Согласные звонкие и глухие
• Ударение в словах
• Паронимы. Лексическое значение слов
• Склонение имен существительных, падежи русского языка
• Деепричастный оборот, примеры
• Нормы согласования и управления
• Последовательная связь предложений в тексте
• Сочетание слов. ЕГЭ по русскому языку
• Грамматическая основа предложений
• Подчинительная, сочинительная, бессоюзная связь
• Правописание причастий, разряды местоимений, предлоги, частицы
• Лексическое значение слов
• Суффиксы. Приставки. Виды, примеры, правописание
• Правописание суффиксов прилагательных, Н, НН
• Проверочные слова, безударные гласные в корне
• Правописание приставок
• Правописание безударных личных окончаний глагола
• Правописание суффиксов глаголов
• Правописание не или ни
• Правописание предлогов
• Однородные члены предложения
• Знаки препинания при обособленных согласованных определениях
• Вводные слова в предложении
• Знаки препинания при однородных членах
• Знаки препинания в предложениях
• A26
• A27
• Действительные и страдательные причастия
• Микротема, основная мысль текста
• Типы речи: описание, повествование, рассуждение
• Синонимы к словам
  
• Часть B:
• Бессуффиксный способ словообразования
• Определение части речи
• Типы подчинительной связи
• Безличные, определенно-личные, односоставные предложения
• Обособленные приложения, обстоятельства и примеры
• СПП с придаточными
• Средства связи частей текста
• Что такое эпитет метафора, сравнение
  
• Часть C:
• Сочинение ЕГЭ по русскому языку

Обществознание

За последние несколько лет тема единого государственного экзамена стала особенно актуальной. Изначально эта программа вводилась как эксперимент и уже в первые месяцы тестирования зарекомендовала себя как объективную систему тестирования выпускников. Так что же все-таки представляет из себя этот ЕГЭ?

Например, ЕГЭ по русскому языку состоит из трех частей (А, B, C). В первой части (A) 30 вопросов с одним вариантом ответа, а в части В, более сложной, чем А, всего 8 вопросов с написанием правильного ответа или выбором нескольких ответов. Каждому выпускнику одиннадцатых классов в обязательном порядке следует сдавать только 2 предмета: русский язык и математика, остальные по выбору. Допускаются к экзамену только ученики, имеющие оценки не ниже удовлетворительных, то есть без двоек в аттестате. Проверка работ производится другими преподавателями в другом районе, дабы исключить всякую возможность коррупции.

В школах многие учителя буквально наводят ужас на своих учеников, рассказывая о беспощадности ЕГЭ, в большинство ВУЗов принимают только с определенным количеством баллов, а различные организации твердят о ЕГЭ, чтобы привлечь к себе клиентов, желающих получить достойную подготовку к экзамену. Должен сказать, что квалифицированная подготовка дает свои, далеко не плохие, результаты. Но те, кто уже прошел через это «страшное» испытание, утверждают, что для учеников даже со средними оценками экзамен не должен показаться слишком уж сложным, по крайней мере невыполнимым. Нужно лишь приложить немного усилий, а именно выучить хотя бы самые важные правила, пройденные за весь учебный период, ведь если вы не ленились и хотя бы иногда открывали учебники, то что-то вы должны знать. Очень хорошо помогают различные книжки, предлагающие собственные примеры заданий, примеры их решений и дающие различные рекомендации по сдаче экзамена. Подобной литературой буквально завалены все книжные магазины, причем стоят они очень дешево. Для кого-то, естественно, и этого будет недостаточно. В таких случаях я бы рекомендовал обращаться к своим учителям, большинство из которых готовы помогать бесплатно. Я знаю, что во многих школах учителя предлагают организовывать собственные школьные подготовительные курсы за небольшую плату, а то и вовсе бесплатно.

Что же касается ГИА, то тут тоже ничего особо сложного нет, разница лишь в том, что задания в работах немного легче и сам экзамен не так важен как ЕГЭ, ведь ГИА проводится только среди девятых классов.

В заключение хотелось бы сказать, что сдать экзамен не так сложно, как пугают учителя, но нельзя преуменьшать важность и серьезность ЕГЭ, а также степень легкости экзамена, ведь, как ни крути, а на раз плюнуть никакие экзамены не даются: всё требует подготовки и старания.

Слова «отлично» морфологический и фонетический разбор

1. прекрасно

2. отменно

3. восхитительно

4. различно

5. пять

6. пятерочка

7. пятерка

8. чудесно

9. здорово

10. недурно

11. недурственно

12. непохоже

13. хорошо

14. первоклассно

15. великолепно

16. распрекрасно

17. офигительно

18. несходно

19. на диво

20. идеально

21. изрядно

22. обалденно

23. образцово

24. порядок

25. в кайф

26. на зависть

27. на совесть

28. ништяк

29. тип-топ

30. качественно

31. как следует

32. как нельзя лучше

33. на хорошем уровне

34. на должном уровне

35. завал

36. заништяк

37. колоссально

38. клево

39. мазово

40. нормально

41. отл

42. покат

43. сочно

44. торч

45. сочняк

46. это как любовь

47. законно

48. круто

49. согласен

50. замечательно

51. с восторгом

52. добре

53. добро

54. идет

55. ладно

56. пожалуйста

57. с радостью

58. с удовольствием

59. договорились

60. лады

61. быть по сему

62. быть так

63. да будет так

64. есть такое дело

65. ну что ж

66. по рукам

67. пусть будет так

68. так тому и быть

69. чудненько

70. важнецки

71. знатно

72. классно

73. неплохо

74. окейно

75. подходяще

76. порядочно

77. славно

78. на ять

79. добротно

80. в лучшем виде

81. на отличку

82. досконально

83. вдоль и поперек

84. благотворно

85. чудно

86. благодать

87. блеск

88. будь-будь

89. класс

90. красота

91. лафа

92. любо-дорого

93. любо-мило

94. окей

95. оттяг

96. писк

97. повадно

98. попс

99. тики-так

100. хоккей

101. будь здоров

102. все окей

103. все хоккей

104. грех жаловаться

105. распрекрасное дело

106. умирать не надо

107. чем плохо

108. черт тебя возьми

109. черт тебя дери

110. черт тебя побери

111. черт тебя подери

112. черт его возьми

113. черт его дери

114. черт его побери

115. черт его подери

116. черт их возьми

117. черт их дери

118. черт их побери

119. черт их подери

120. изумительно

121. лепо

122. высшая отметка

123. высшая оценка

124. зашибись

Конспект логопедического занятия по коррекции дисграфии | План-конспект занятия по логопедии (3 класс):

КОНСПЕКТ ЛОГОПЕДИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ПО КОРРЕКЦИИ ДИСГРАФИИ

3 КЛАСС

Тема: Корень слова, однокоренные слова.

Цель: Закрепить умение выделять корень слова, подбирать родственные слова.

Задачи:

1. Совершенствовать умение выделять корень в слове;
2. формировать навык подбора родственных слов;
3. расширять словарный запас за счёт уточнения значения слов;
4. развивать навыки словообразования;
5. развивать звукобуквенный анализ;
6. развивать слуховое, зрительное внимание, мыслительные процессы;
7. формировать личностные УУД: желание приобретать новые знания, совершенствовать имеющиеся;
8. формировать регулятивные УУД: контроль и самостоятельная коррекция, способность помнить правило и действовать в соответствии с ним;
9. формировать познавательные УУД: самостоятельное создание способов решения проблем творческого характера;
10. формировать коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, управление поведением партнера – контроль, коррекция и оценка его действий.

Оборудование: индивидуальные карточки с заданиями, индивидуальные доски с маркерами, интерактивная доска, 2 игры с магнитными удочками «рыбалка», цветные объемные буквы, жетоны.

Ход занятия:

1. Организация детей к началу занятия:

У каждого учащегося на парте лежит цветная буква.

— Сядет тот, кто правильно назовет свою букву и соответствующий ей звук, который она обозначает (Дети называют букву и звук и садятся за парты).

2. Введение в тему:

— Давайте вместе составим слово из ваших букв, расположив их в порядке следования цветов радуги.

(Учащиеся составляют слово «корень»).

-Что такое корень? (Учащиеся предлагают ответы: часть растения, часть слова).

-Как вы думаете, о каком корне мы будем говорить сегодня? (О корне слова).

Учащиеся формулируют тему занятия.

— Правильно, тема нашего занятия: «Корень слова и однокоренные слова».

Логопед предлагает ученикам повторить материал предыдущих занятий, ответив на вопросы: Что такое корень слова? Почему он самая главная морфема в слове? Какие слова являются однокоренными? Учащимся предлагается назвать синоним к слову «однокоренные» слова (родственные).

У учащихся на партах карточка с наложенными изображениями. На доске слайд:

— Назовите, какие картинки наслоились друг на друга. (Дети называют картинки: рак, краб, лягушка, черепаха, рыба).

— Подберите названия картинок к данным схемам, учитывая состав слов. (Подбирают к схемам названия картинок, называют корни слов).

— А теперь отгадайте загадку и узнаете, кого мы будем сегодня ловить.

Блещет в речке чистой

Спинкой серебристой. (Рыба)

— Обведите изображение рыбы на вашей карточке. (Учащиеся обводят рыбу цветным карандашом).

3. Подбор родственных слов к слову «рыба»:

Учащиеся получают карточку, на которой будут писать однокоренные слова.

— Закончите стихотворную строчку словом с корнем «рыб» и впишите его в одну из рыб на вашей карточке:

Логопед читает стихотворение, учащиеся договаривают последнее слово и вписывают его в свою карточку.

Плавники у нас росли бы, мы бы плавали как _______(рыбы).

Я б хвостом махала гибким и резвилась словно ________(рыбка).

Вот с крючка срывает крошки очень мелкая ________(рыбешка).

Выплывает, корм ища, пребольшая _______(рыбища).

Рыба не клюет никак, видно я плохой _______(рыбак).

Если наживки вам не жалко, будет отличная _________(рыбалка).

Ловить рыбу – не судачить, очень я люблю _______(рыбачить).

Вот такой у нас улов, мама славный ______(рыболов).

Про рыб все знает рыбовод, только зайди на _______ (рыбозавод).

4. Выделение корня в словах, работа на индивидуальных досках:

— Нам нужно собраться на рыбалку и взять с собой необходимые вещи. Я назову предмет, который нам пригодится на рыбалке, а вы запишите на своей доске только корень из этого слова.

Логопед называет слова: удочка, ведро, лодка, весла, приманка, поплавок. Дети записывают только корень слова и показывают запись логопеду, поднимая доску вверх. (Осуществляется проверка записанных корней: уд, ведр, лодк, весл, ман, плав).

За каждый правильный ответ учащиеся получают жетон в виде рыбки.

— Молодцы, теперь мы готовы отправиться на рыбалку.

5. Классификация родственных слов, работа по командам:

Учащиеся делятся на 2 команды, у каждой команды есть удочки с магнитами и игра «Рыбалка». На рыбках написаны слова.

На доске слайды:

— Первая команда будет ловить рыбу в реке. Она должна вытянуть все родственные слова к слову «река». Помогайте друг другу, ловите только однокоренные слова!

(На рыбках слова: речка, речь, реченька, речной, заречный, речевой, поречье, изрекать).

 — Вторая команда будет ловить рыбу в море. Она должна найти все родственные слова к слову «море». (На рыбках слова: морской, заморский, морщинка, приморский, взморье, заморить, моряк, уморительный).

Дети вытягивают удочками рыбок с родственными словами. Выигрывает та команда, которая правильно подобрала родственные слова (она получает жетоны). Группу подобранных родственных слов учащиеся записывают в тетради. Уточняются значения слов: изрекать, речевой, поречье, заморить, взморье, уморительный.

По ходу проверки выполненного задания представители команд передвигают на доске выбранные ими родственные слова.

6. Работа со стихотворением, правописание безударных гласных в корне слова:

На доске слайд с зашифрованным четверостишием:

— Расшифруйте слова, вписывая корень слова, вставьте пропущенную безударную гласную.

Дети по очереди выходят к доске и вписывают корни; вставляют безударные гласные, подбирая проверочное слово.

— Спишите стихотворение в тетрадь, выделите корни слов.

7. Подведение итогов занятия:

— Ребята, наша рыбалка окончена! Давайте подсчитаем наш улов. (Дети складывают заработанные жетоны в ведерко и считают). Вот сколько интересных и точных ответов прозвучало у нас на занятии!

Ученики отвечают на вопросы: Что они делали на занятии? Где каждый из них может применить приобретенные сегодня знания? Какие новые слова они узнали на занятии?

Определение «отлично» от Merriam-Webster

определение, этимология и использование, примеры и родственные слова

• Сабля в отличной сохранности и многие другие предметы из Джеймстауна 17-го века были найдены в большой глиняной яме, заполненной мусором.

• WordNet 3.6

  • прил. Отлично очень хорошо; высочайшего качества «выступил с отличной речью», «в школе отличные учителя», «первоклассный ум»
  • ***

Дополнительные иллюстрации и фото:

Пересмотренный полный словарь Вебстера

• Белые медведи прекрасные пловцы.Известно, что они проплыли без отдыха более 60 миль.
• • adv Отлично Отлично; в высшей степени; чрезвычайно. «Это хорошо получается».
  • Отлично Превосходно; превосходство других по какому-то хорошему качеству или сумме качеств; большой ценности; выдающийся в хорошем смысле слова; начальство; как, отличный мужчина, художник, гражданин, муж, беседа, книга, песня и т. д .; отличное разведение, принципы, цели, действия.«Любить … То, что я считаю прекрасным, в хорошем или справедливом».
  • Отлично Высший по натуре или степени, независимо от моральных качеств; — используется со словами плохого значения. «Превосходный лицемер.» «Их печали величайшие».
  • ***

Век Словарь и циклопедия

• Длинные волокна бананов отлично подходят для изготовления бумаги.Длинные волокна бананового растения делают бумагу из банановых волокон примерно в 3000 раз прочнее, чем обычная бумага.

• • отлично Отлично; обладание совершенством; выдающиеся или заслуженные за высшие заслуги любого рода; превосходного характера или качества; необычно похвально или ценно по любой причине; характеризуется хорошими или разумными качествами; замечательно хорошо: как отличный магистрат; отличная ферма, лошадь или фрукты; отличный мастер.
  • Превосходный Превосходный; трансцендентный; непревзойденный; полный: в плохом смысле.
  • отлично Синонимы Достойный, прекрасный, восхитительный, отборный, первоклассный, ценный, избранный, изысканный.
  • отлично Отлично; чрезвычайно.
  • ***

Словарь Чемберса двадцатого века

• Ананасы были впервые названы «анана», что в переводе с Карибского означает «превосходные фрукты».»

• • adj Превосходно превосходит другие в некоторых хороших качествах: большие достоинства, ценность и т. Д .: превосходные: ценные
  • ***

Пересмотренный полный словарь Вебстера

F. отлично, L. excellens, -entis, p. пр. отличного качества. См. Excel

Словарь Чемберса двадцатого века

Л. excellĕre — ex , out, up, и слово от корня celsus , high.

В литературе:

Это пошло бы на пользу и им, и вам, и по дороге у вас была бы прекрасная возможность для объяснения.

«Дом» Фредрики Бремер

Дела человеческих существ на этой планете не описываются в лучших священнических катехизисах.

«Краткие исследования великих предметов» Джеймса Энтони Фруда

«Внутренний и внешний» не может рассчитывать удерживать этот превосходный класс клиентов.

«Отчет Ассоциации производителей северных орехов о работе на Двадцать пятом ежегодном собрании», подготовленный Ассоциацией производителей северных орехов

Потоп на отличной земле.

«Воспоминания о судах и кабинетах Георгия Третьего» герцога Бекингема и Чандоса

После того как его дочь вышла замуж за г.Excell сделал еще одну попытку завоевать любовь сына и потерпел неудачу.

«Сердце орла» Хэмлина Гарленда

Я никогда не видела такой ужасно испорченной прекрасной и красивой природной обстановки.

«Путешествие по югу Франции и внутренним территориям провинций Прованс и Лангедок в 1807 и 1808 годах» подполковника. Pinkney

В разговоре он не преуспел, хотя в домашнем кругу был болтлив.

«Курьезы литературы, Том 1 (из 3)» Исаака Д’Израэли

Влияние этой организации на Цветную расу в Америке было превосходным.

«История негритянской расы в Америке с 1619 по 1880 год. Том 2 (из 2)» Джордж Вашингтон Уильямс

Достойная и превосходная дама, изображенная на этом эскизе, — одна из представительниц этого класса.

«Работа женщины в гражданской войне» Линуса Пирпонта Брокетта

Его работа во всем, что касается отделки, превосходна.

«Скрипка» Джорджа Харта

В стихах:

«Почести — Часть I» Жана Инджелоу

«Джоконда и Си-Я-У» Назима Хикмета

«Совет слышать и читать Слово Божье» Риса Причарда

«Сильвия» Уильяма Шекспира

«Женщине, поющей песню его сочинения» Эдмунд Уоллер

«Даме качества, пополняющей свою библиотеку» Уильям Шенстон

В новостях:

Отличная проходимость на большом расстоянии.

Дэн Помпей из Chicago Tribune поднимает этот вопрос в среду, и я думаю, что это отличная идея.

10 лет отличия в образовании.

Американская библиотечная ассоциация предоставила отличные справочные материалы и руководства по соблюдению требований Закона, доступные по адресу.

Вечернее общение в понедельник было превосходным для чопперов до 16 фунтов, и сегодня к этому блюзу присоединились маленький тунец и скипджек.

Фрэнсис Миклоу / Стар-Леджер) Благодаря сеттеру Ребекке Келемен у нападающих Боготы (здесь показана Джулия Топор) отличные сезоны.

Монтгомери поддерживает отличный рейтинг облигаций.

Отличные винодельни можно найти в аэропорту Уолла Уолла и недалеко от него.

ОН НАЗЫВАЕТ ИХ СВОИ «Тысяча акров передового опыта».

УТРЕННИЕ ДОМОХОЗЯЙКИ ВТОРНИКА В нашей утренней лиге вторника на этой неделе был замечательный боулинг.

В Sorella есть множество отличных блюд, вдохновленных Пьемонтом, но вы были бы прощены, если бы не прошли мимо гриссини, которые падают на стол перед началом трапезы.

Зачем платить за гребешок из телятины, если свиная вырезка является отличным заменителем.

Офис компании Tri-State Roofing & Sheet Metal Company в Паркерсбурге недавно был отмечен за выдающиеся достижения в области безопасности на рабочем месте, проработав четыре года подряд без регистрируемых травм с потерей рабочего времени.

Будет руководить исследованиями и обучением в области безопасности портов в одном из пяти новых центров передового опыта.

Отличный исполнитель с премиальными характеристиками менее чем за 1400 долларов.

В науке:

Чтобы появиться в Proceedings, для публикации в Acta Physica Polonica B. 1 Превосходные общие обзоры по сетевой физике можно найти в исх. .

О геометрии случайных сетей

Поскольку gΩ ≫ R> Γ, мазеры с v = 0 должны быть отличными индикаторами направления магнитного поля.

Морфология магнитного поля Orion-IRc2 по мазерным поляризационным изображениям SiO 86 ГГц

Используя симулятор MARX 4.07, мы убедились, что и наклон спектра, и поток полностью согласуются с наблюдениями Чандры, при условии, что входной спектр соответствует спектру, наблюдаемому BeppoSAX.

Ядерный SED NGC6251: BL Lac в центре радиогалактики FR I

Эта нижняя граница между шкалой GUT и датчиком GUT отлично согласуется с измеренным значением.

Расширение пространства параметров компактификаций гетеротических потоков M-теории до феноменологической жизнеспособности

Существует отличное согласие между прямым моделированием и теоретической структурой без параметров: теоретический прогноз, полученный с помощью уравнения (16), составляет td = 234 единицы времени MC, в то время как подгонка варьируется от td = 228 до 239 единиц времени MC.

Время зарождения в 2D-модели Изинга

Word Root Of The Day: факт

«Факт» — фабрика слов

Это факт , что латинское корневое слово fact «сделало» много слов в английском языке; в отношении факта это даже означает «сделано» или «сделано».’

Что такое факт ? Это просто что-то, что уже было «сделано», так что это реально. Другой способ думать о факте состоит в том, что это «сделка». Fact , используемые для науки или в суде, должны быть уже «созданы», чтобы они могли быть полезными. Следовательно, что-то факт ual имеет реальную основу, то есть «сделано» или «сделано».

Шоколад факт ory — это место, где «производят» шоколад. Место, где производят автомобили fact ured, является промышленным центром, где они «производятся».Изначально то, что производилось , факт ured было «сделано» исключительно вручную, например, одежда или обувь в массовом порядке.

Arti fact — это что-то, «сделанное» человеческими навыками или художественными ноу-хау. Антропологов особенно интересуют arti fact s, потому что они рассказывают им о древних культурах, которые «создавали» эти объекты.

Шедевр может вызвать у начинающего портного большое удовлетворение факт ion, потому что он показывает, что он «сделал» достаточно, чтобы заслужить звание мастера-портного.По сути , факт , шедевр был превосходным произведением, созданным учеником, который был решающим фактом или для получения звания мастера, то есть он либо «делал» его мастером, либо » сделай его.

Вы помните Медузу Горгону из греческой мифологии? Она увлекалась Петри , фактом ионом, или заставляла людей «превращаться» в камень, глядя на них. Это, конечно же, работа мужчины , факт , или того, кто «делает» зло другому или «делает» зло другому.A Bene , факт , или, с другой стороны, «делает» только хорошее для кого-то другого.

Приходилось ли вам когда-нибудь подвергаться процессу ошеломления факт иона или быть настолько полностью пораженным чем-то, что это на мгновение делает вас глупым или лишенным дара речи? Как сейчас?

Я надеюсь, что ваше недавно полученное факт полное знание факта «сделало» серьезное вторжение в ваш словарный запас, удовлетворяющий факт ion! ‘Сделанный’!

1. факт : «сделано»
2. фактический : относящийся к «сделанному»
3. фабрика : место, где «производятся» вещи
4. производство : «сделать» вручную
5. артефакт : «сделано» человеческим умением
6. удовлетворение : «сделано достаточно»
7. фактор : «производитель»
8. окаменелость : «создание» камня
9. злоумышленник : злодей
10. благотворитель : добрый «делатель»
11. ошеломление : «делать» изумление

Excellence

Слово «превосходный» имеет корень «превосходить» и означает обладать выдающимся качеством или высшими достоинствами; быть в высшей степени квалифицированным.Это подразумевает превышение ожиданий или средних значений. Слово Божье использует его для описания дел нашего Отца (Псалом 150, Исаия 12: 5), жены, которая является венцом своего мужа (Притчи 31:10), и речи, не подходящей для глупого (Притчи 17: 7). ). Сам Бог является эталоном всего превосходного; Все его работы выдающиеся, полные и совершенные, и мы были созданы, чтобы нести Его Образ в темный и несочувственный мир.

Это может показаться устрашающим или невозможным — разве недостаточно служить Богу, любить Бога, ежедневно думать о Боге, просить Его благословить нашу пищу и стремиться воспитывать наших детей, чтобы они делали то же самое? Что делать, если ответ отрицательный; что, если Он призывает нас копать и достигать большего и вдохновлять наших детей на большее? А что, если это направление не приведет нас в безопасные места? Быть сотворенным по Его образу означает, что Он призывает нас творить, воображать, исследовать дары, которые Он вложил в каждого из нас, чтобы благословить Свой мир Его Путь.Это может показаться трудным или нелогичным, но это то, что Он имеет в виду для нас — быть непримиримо прилежным, избегать некоторых хороших вещей, чтобы достичь лучшего, потому что это лучшее необходимо для работы Его Царства.

Пров. 22:29 — «Видите ли вы человека, искусного в своем деле? Он будет стоять перед королями; он не устоит перед безвестными людьми ». Писатель не указывает, какого типа работа, только то, что она должна быть сделана умело. Одна женщина пришла в наше сообщество и однажды сказала об этом стихе: она была баскетболисткой, слишком короткой, чтобы «стать профессионалом», но чрезвычайно талантливой в обращении с мячом и броске.Ее послание заключалось в том, что, несмотря на скептиков вокруг нее, она вложила свою молодость в то, чтобы стать превосходным игроком в баскетбол, и она действительно выступала на выставке для королевского двора в Азии, и благодаря своим навыкам игры в мяч смогла разделить любовь к Богу. в темном месте. Какое свидетельство верности Бога! Что, если бы она проигнорировала свое призвание и пошла более легким путем?

В искусстве мы, верующие, должны видеть связь: если вы знаете о сегодняшних художественных предложениях, вы должны видеть отсутствие чего-либо, родственного совершенству.Сериалы, пьесы, книги, фильмы — многим из них не хватает настоящего творчества, и вместо этого они демонстрируют низость и восхищение тьмой. Нынешняя эпоха опустилась до такого искажения образа Бога и небожественного творчества, что все, что обладает светом и совершенством, выделяется в темноте. Что Бог думает о творческом совершенстве? Давид, мальчик-пастух, которого Бог короновал как царя Израиля, вырезал свой собственный инструмент, написал стихи, положил его на музыку, а затем сам спел, а в Деяниях 13 говорится, что он был человеком по сердцу Бога.Когда мы ищем Божью идею творчества, нам достаточно пройти до Исхода, чтобы увидеть детали, которые Он указал для строительства Своей Скинии; 1 и 2 Паралипоменон повествуют о невероятной красоте каждой детали Храма Бога, который Он описал Давиду и Соломону; даже одежда священников была соткана и сшита с удивительными деталями и богатством. Все это было тем, как Божий народ приблизился к Нему в пространстве, которое Он определил среди них для жизни. Где он сейчас живет? МЫ Его Храм, I Кор.6 говорит нам. Что мы должны предложить Ему как творчество в Его храме сейчас?

Как родители, мы призваны и обязаны глубоко узнать наших детей, лучше понимать их как маленьких людей, чем они сами, чтобы мы могли помочь им выявить и развить конкретные целевые дары, которые Бог вложил в них для этого. мир в это конкретное время. Исследуй вместе с ними; играть вместе; давайте им возможность за возможностью опробовать все виды опыта и места и увидеть, что их привлекает; посмотрите, как они обрабатываются.Затем обучите их этим вещам и подготовьте для выполнения этих задач, чтобы они могли преуспеть. Когда вы делаете то, что должны были делать, вам будет присуще стремление к совершенству.

В Титу 3: 8 говорится: «Сказание [Он только что описал милость Бога, явленную нам через жертву Христа] заслуживает доверия, и я хочу, чтобы вы настаивали на этом, чтобы те, кто уверовали в Бога, могут быть осторожны, чтобы посвятить себя добрым делам. Эти вещи прекрасны и выгодны людям.Фраза «добрые дела» означает «по своей сути хорошие, совершенные, достойные… призвание». Он говорит, что Божье дело милосердия через Иисуса состоит в том, чтобы те, кто веруют в Бога, могли быть осторожны, чтобы посвятить себя достойному, по своей природе хорошему призванию, потому что оно превосходно и полезно для нас. Конечно; Он призывает нас отлично выполнять Его работу, потому что это полезно для нас.

Как мы можем стоять перед Богом и предлагать Ему меньше, чем просто превосходство, в тех самых делах, для которых Он нас сюда поставил? Осмелитесь делать то, что Бог просит от вас; осмеливайтесь говорить это о своих детях.Его мир будет благословлен, если вы сделаете шаг с верой и будете превосходны.

Корневые слова, корни и аффиксы

Один из методов понимания значений новых слов — это анализ различных частей слова и значений этих частей. Многие новые слова образуются путем добавления аффикса к началу или концу латинского или греческого корня или корневого слова.

Когда аффиксы добавляются к началу корня или корневого слова, они называются префиксами . Например, наиболее распространенным префиксом является un- , что означает , а не или , противоположный . Если вы добавите un- к слову счастливый , новое слово станет несчастным , что означает несчастный .

Когда аффиксы добавляются в конец корня или корневого слова, они называются суффиксами. Самыми распространенными суффиксами являются -s и -es , что означает более одного (или множественного числа) слова.Добавление -es к желание изменяет значение слова на более одного желания .

Общие префиксы

Загрузите копию таблицы общих префиксов ниже.

Общие суффиксы

Загрузите копию таблицы общих суффиксов ниже.

Отличный корневой словарь слов mdx_ лучший мобильный телефон Английский словарь-Оулу

Чтобы выучить английский язык, вам нужно найти больше словарей.Это единодушное мнение изучающих английский язык. Поиск в словаре позволяет получить более подробное представление о словах, в том числе о части речи, значении, общих словосочетаниях, примерах предложений, различении значений слов и связанных семейств слов, что способствует развитию навыков чтения. письменные ошибки, но будь то обычные high-end Oxford, Longman Contemporary, Collins, Macmillan, все они более чем громоздки и не обладают сноровкой.Их можно использовать для самообороны. Это слишком много, чтобы носить с собой. груз.

Нам нужен словарь английского языка, а также словарь Оулу, который легко носить с собой, чтобы помочь нам решить эту проблему.

Первое утверждение: Это полностью бесплатный словарь. И его можно использовать в автономном режиме, он не требует потребления данных и имеет функцию произношения.

Описание функций словаря Оулу:

1. Функция расширения тезауруса

Сам словарь Оулу содержит более 300 000 широко используемых англо-китайских статей и 400 000 профессиональных статей.Сам словарь содержит англо-английский, англо-китайский, китайско-английский, японский, немецкий, французский, испанский, корейский и многие другие языки. Словарь и профессиональные словари различных отраслей, например, печатные экзамены по биологии, представляют собой всего лишь небольшую библиотеку; Мало того, словарь Оулу также поддерживает расширение тезауруса. Проще говоря, словарь Оулу похож на грубую комнату. Идеи для украшения, можно установить все любимые словари в тезаурус Oxford Advanced, Longman Contemporary, Collins, Macmillan… Это не очень хорошо.

Ниже приводится словарь, рекомендованный богами онлайн:

Двуязычный: (двойной перевод с английского на китайский)

Словарь Коллинза COBUILD для продвинутых учащихся

Оксфорд OALD7

Англо-английский: (англо-английское объяснение, более точное толкование)

Коллинз 3-й

Словарь родного языка: (словарь изучающего родной язык, большой словарный запас, но краткое объяснение)

Оксфордский словарь английского языка 2 （OED）

Отличные корни (проверьте слова и можете найти корни слов, слова легко запомнить)

Конечно, вы можете создать свой собственный эксклюзивный словарь в соответствии с вашим собственным опытом и предпочтениями, если вы будете искать в Интернете: Расширенный тезаурус словаря Оулу, вы можете искать множество ресурсов

Расширенный словарь Oulu Dictionary содержит два файла: mdx и mdd.

Способ установки: 1. Найдите на сетевом диске

2. Скачать на телефон

3. Выберите «Импортировать с помощью словаря Оулу», в это время автоматически откроется приложение «Словарь Оулу» и появится диалоговое окно: «Следует ли устанавливать тезаурус», нажмите «Установить», установка расширенного словаря завершена. .

2. Функция словаря Оулу.

Это мощное приложение, просто приведите пример:

Словарные функции:

Выделенные слова могут быть автоматически добавлены в словарь, который действительно представляет собой очеловеченный дизайн.В словарном сборнике также можно установить время просмотра и выбрать метод просмотра, а просмотр карточек может улучшить эффект памяти. И вы можете импортировать учебники, например, вы можете импортировать все слова из учебников в младших классах средней школы, слова из учебников для старших классов, 4–6 слов, слова из серии «Гарри Поттер» и 20 000 часто встречающихся слов из Contemporary American Corpus (COCA). Это действительно сокровище контроля слов. .

После прочтения оригинальной английской книги я больше не боюсь новых слов!

Это приложение имеет больше функций, чем перечисленные. Пожалуйста, изучите больше функций самостоятельно.Поделиться тезаурусом

бродить, блуждать. Учите словарь быстрее с помощью корневых слов!

Мы все делаем ошибки. Это часть человека! Но знаете ли вы, какое латинское слово, которое стало основным корневым словом в английском языке, обычно ссылается на ошибочно ? Оригинальное латинское значение, вероятно, не означает то, что вы думаете! Вы когда-нибудь слышали о корневом слове err ?

На этой неделе в блоге Bespeaking нас вдохновил один из моих любимых подкастов Word Root of the Day.Поэтому мы представляем вам латинское слово err и некоторые слова на английском языке, которые являются производными от него. Если вас интересуют подобные вещи, загляните в наш прошлогодний блог, чтобы узнать о других латинских корнях, используемых в английском языке, и о некоторых других здесь.

Знание корня слов — отличный инструмент в изучении английского языка, потому что, если вы уже знаете, что означает корень, вы можете хорошо догадаться о значении слова. Довольно круто, да?

Корневое слово Err

Err на латыни означает «блуждать» или «блуждать», а в английском языке коренное слово err используется для многих слов, связанных с ошибками.Это как если бы вы «отклонились» или «отклонились» от того, что правильно.

Возможно, вы слышали фразу «до ошибочно, — это человек» или «до , ошибаюсь, — из соображений осторожности». Err — это тоже слово на английском языке! Если вы говорите «к ошибочно человек», вы говорите, что допустить ошибку или отклониться от правильного — это нормально, поскольку это часть того, что делает нас людьми. Каждый время от времени совершает ошибку. Мы ничего не можем с этим поделать!

И если вы « ошиблись из соображений осторожности», вы знаете, что, возможно, вам придется сделать ошибку или сделать трудный выбор.В этом случае вы с большей готовностью совершите «наименее серьезную» ошибку, которая будет немного безопаснее или осторожнее, чем рискуете другими вариантами.

Если err используется в качестве корневого слова в английском языке для слов, связанных с ошибками, какие из них наиболее распространены? Ознакомьтесь со списком ниже! Сколько из них с корневым словом err вы уже знаете?

Ошибка

Ошибка — ошибка.Будь то опечатка в эссе или неточные данные во время презентации, ошибка действительно может испортить вам день, если вы позволите ей добраться до вас лично. Не волнуйтесь: поправьте это, когда заметите это, но тогда не позволяйте этому больше беспокоить вас. Вы почувствуете себя лучше!

Безошибочно

Если кто-то имеет безошибочно , это означает, что он никогда не ошибается. (Как это было бы хорошо?) Безошибочная истина — это реальная правда ситуации.Приятно, чтобы все было правильно, но если кто-то навсегда останется безошибочным , через некоторое время это может показаться немного пугающим. Никто не любит идеальных друзей… ха!

Эррант

Если вы ошиблись в чем-то, это означает, что вы выходите за рамки нормы или вы «отклонились» или «отклонились» от нормального поведения. « Ошибочное поведение » — это очень странное и ненормальное поведение. Хотя ошибочное поведение иногда может быть забавным, может быть хорошей идеей « ошибается из соображений осторожности» и работать в допустимых пределах (по крайней мере, в офисе).

Аберрантный

В то время как ошибочное поведение может быть приятным время от времени, вы не хотите иметь отклоняющееся поведение . Аберрантный имеет то же значение, что и заблудший, но доведен до крайности. Если что-то отклоняется от нормы , это настолько выходит за рамки нормы общества, что это действительно неприемлемо.

Неустойчивый

Вы когда-нибудь видели, чтобы кто-нибудь ошибочно действовал ? Если кто-то ведет себя очень странно и дико, особенно если это не так, как обычно, его поведение считается неустойчивым .

Мы иногда говорим о компьютерных данных ( ошибочных чисел) или странных реакциях животных как ошибочно .

Ошибочный

Если выписка ошибочна , это означает, что она неверна. Либо факт в утверждении неверен, либо он полностью неверен. Если вы делаете ошибочное утверждение , но понимаете это, можно вернуться назад и исправить свою ошибку! На самом деле, я уверен, что все, с кем вы разговариваете, будут очень благодарны за это.

Не используйте больше err в корневых словах и попробуйте правильно использовать корневое слово err! Следите за новостями, чтобы найти больше корневых слов здесь, в блоге Bespeaking.

что есть что? / Блог им. Asya

Возобновляемые природные ресурсы делятся на:

1. Пресная вода. Получается ежегодно в больших количествах путем выпадения атмосферных осадков.
2. Кислород. Возобновляемость этого ресурса пока не вызывает особых причин для беспокойства. Это вещество в основном образуется путем фотосинтеза растений, и мы потребляем только 10% от всего состава.
3. Биологические ресурсы (биомасса) — это сумма животной и растительной массы по всей планете в целом. Антропогенное воздействие на эту часть возобновляемых ресурсов привело к исчезновению многих животных и растений. Если все продолжится в том же темпе, мы ощутим обратную сторону этого процесса примерно через 70 лет.

К возобновляемым ресурсам относятся, прежде всего, ныне существующие зеленые растения как высшие, так и низшие. К возобновляемым природным ресурсам относятся и гетеротрофные живые организмы — животные и грибы. Но так как они в отношении получения пищи и энергии целиком зависят от зеленых растений, то они вместе с зелеными растениями составляют единый природный возобновляемый ресурс. Но все живые организмы способны еще к росту (у растений даже неограниченному) и размножению самыми различными способами, что дает им возможность сильно увеличивать органическую массу.
Поскольку среди возобновляемых природных ресурсов основная роль принадлежит зеленым растениям, остановимся именно на их особенностях. Самая основная особенность зеленых растений — это их автотрофность, т. е. способность создавать органические вещества из простых неорганических соединений за счет энергии солнца. Этот процесс, как известно, называется фотосинтезом и именно благодаря нему, прежде всего, и имеются возобновляемые природные ресурсы.

Как говорил К. А. Тимирязев, растения используют даровую энергию солнца и энергия эта практически неисчерпаема. Благодаря фотосинтезу зеленые растения обладают величайшей производительностью, они создают в биосфере примерно 98 % органического вещества, а в цифровом выражении — это составляет ежегодно 80 миллионов тонн органической массы. Тем самым они создают условия для жизнедеятельности и размножения гетеротрофных организмов (животных, включая человека, грибов, большинства бактерий).
Биомасса — шестой по запасам из доступных на настоящий момент источников энергии после горючих сланцев, урана, угля, нефти и природного газа. Приближённо полная биологическая масса земли оценивается в 2,4·1012 тонн.

Биомасса — пятый по производительности возобновимый источник энергии после прямой солнечной, ветровой, гидро и геотермальной энергии. Ежегодно на земле образуется около 170 млрд т. первичной биологической массы и приблизительно тот же объём разрушается.
Биомасса — крупнейший по использованию в мировом хозяйстве возобновляемый ресурс (более 500 млн т.у.т./год)

Биомасса применяется для производства тепла, электроэнергии, биотоплива, биогаза (метана, водорода).
Основная часть топливной биомассы (до 80%), это прежде всего древесина, употребляется для обогрева жилищ и приготовления пищи в развивающихся странах.

Некоторые ресурсы хотя и восстанавливаются в исторические отрезки времени, но возобновляемые объемы их значительно меньше объемов хозяйственного потребления. Именно поэтому такие виды ресурсов оказываются весьма уязвимыми и требуют особенно тщательного контроля со стороны человека. К относительно возобновляемым ресурсам относятся и очень дефицитные природные богатства:
а) продуктивные пахотно-пригодные почвы;
б) леса с древостоями спелого возраста;
в) водные ресурсы в региональном аспекте.

Продуктивных пахотно-пригодных почв сравнительно немного (по разным оценкам их площадь не превышает 1,5-2,5 млрд. га). Наиболее продуктивные почвы, относящиеся к первому классу плодородия, занимают, по оценкам ФАО, всего 400 млн. га. Продуктивные почвы образуются крайне медленно – на формирование 1 мм слоя, например, черноземных почв, требуется более 100 лет. В то же время процессами ускоренной эрозии, стимулированными нерациональным землепользованием, за один год может быть разрушено несколько сантиметров верхнего, наиболее ценного пахотного слоя. Антропогенное разрушение почв происходит в последние десятилетия настолько интенсивно, что дает основание отнести почвенные ресурсы к категории «относительно возобновляемых».

Хорошо известен факт практической неисчерпаемости водных ресурсов в планетарном масштабе. Однако на поверхности суши запасы пресных вод сосредоточены неравномерно, и на обширных территориях ощущается дефицит вод, пригодных для употребления в системах водопользования. Особенно сильно страдают от недостатка воды аридные и субаридные районы, где нерациональное водопотребление (например, водозабор в объемах, превышающих объем естественного восполнения свободных вод) сопровождается быстрым и зачастую катастрофическим истощением водозапасов. Поэтому необходим точный учет количества допустимого изъятия водного ресурса по регионам. П. Неисчерпаемые ресурсы. Среди тел и явлений природы ресурсного значения имеются и такие, которые практически неисчерпаемы, К ним относятся климатические и водные ресурсы.

Из всего этого следует простой по своей логике вывод: еще в наших руках сохранить природные ресурсы, ежедневно включая в свою жизнь простые экодружелюбные привычки, такие например как выключение света, рациональное использование энергии, транспорта и прочее.

Виды природных ресурсов и их классификация

Природными ресурсами называют компоненты природы, которые человек использует в своих целях. Фактически, это всё, что не создано человеком, но используется им.

Классификация природных ресурсов

1. По месту расположения или их источнику:

• — Водные.
• — Атмосферные.
• — Литосферные (земельные).
• — Растительные.
• — Ресурсы животного мира.
• — Другие.

2. Природные ресурсы бывают исчерпаемыми и неисчерпаемыми.

Исчерпаемые ресурсы, в свою очередь, делятся на:

• — Возобновляемые. Ресурсы животного и растительного мира могут восстанавливаться.
• — Частично возобновляемые. Почвенные или лесные ресурсы, к примеру, также могут восстанавливаться, но делают это куда медленней. Как правило, они потребляются куда быстрее, чем восстанавливаются, поэтому их называют частично возобновляемыми.
• — Невозобновляемые. Ярким примером этого вида природных ресурсов служат полезные ископаемые. Их в мире ограниченное количество.

К неисчерпаемым ресурсам относят всё, что никогда не закончится. Например, водные ресурсы. Благодаря круговороту воды в природе запасы её никогда не иссякнут. И в то же время, водные ресурсы отдельно взятого региона вполне могут быть исчерпаемыми.
А также могут быть они исчерпаемыми, если упоминаются некоторые их свойства. К примеру, пресная вода вполне может и закончиться.

3. По степени заменимости:

• — Заменимые. То есть, те ресурсы, замена которым может быть найдена в будущем (нефть, природный газ и другие полезные ископаемые).
• — Незаменимые. Вода, воздух, ресурсы растительного и животного мира. В общем, те, без которых человек не сможет прожить.

4. В зависимости от сферы использования:

• — Сельскохозяйственные.
• — Промышленные.
• — Рекреационные (здравоохранительные).
• — Научные.
• — И многие другие.

5. А также природные ресурсы делят на реальные и потенциальные. Реальные — это те, которые используются в данный момент. А потенциальные — которые используются в малой степени или не используются вовсе (энергия Солнца, энергия ветра и т.д.).

Природные ресурсы Портал органов государственной власти Ставрополького края

Минерально-сырьевая база

На территории Ставропольского края выявлено около 300 месторождений полезных ископаемых.

По данным геолого-экономической оценки, проведенной Северо-Кавказским филиалом ФГУП «Всероссийский институт экономики минерального сырья», минерально-сырьевой потенциал недр Ставропольского края в настоящее время составляет около 56 миллиардов долларов США.

К наиболее ценным относится углеводородное сырье, составляющее около 38 % от общей стоимости всех полезных ископаемых, причем 32 % из них приходится на нефть, а также общераспространенные полезные ископаемые, доля которых составляет около 42 %.

Доля подземных пресных вод в минерально-сырьевом потенциале составляет 10%.

Остальные полезные ископаемые: титан, цирконий, стекольные пески, минеральные и теплоэнергетические воды в сумме составляют оставшиеся 10%.

Ставропольский край простирается от северных предгорий Кавказского хребта на территории Кавказских Минеральных Вод на юге до долины Маныча на севере и является одной из самых сложных территорий Российской Федерации в водохозяйственном отношении. Ставропольский край единственный в Российской Федерации входит в границы трех бассейновых округов – Кубанского, Донского и Западно-Каспийского.

На Ставрополье насчитывается более двухсот рек и речек. Ставропольская возвышенность является водоразделом рек, несущих свои воды в Азовское и Каспийское моря. В крае четыре основные реки – Кубань, Кума, Калаус, Большой Егорлык.

Кроме того, имеется 38 озер, в основном соленых и горько-соленых, с площадью водной поверхности 150 квадратных километров. Из озер естественного происхождения наиболее крупное – Маныч-Гудило, расположенное на стыке Ставрополья, Ростовской области и Калмыкии. В предгорье, в районе Кавказских Минеральных Вод, широко известны Тамбуканское Большое, Тамбуканское Малое, Лысогорское Северное, Лысогорское Южное. Известны они, прежде всего, своими лечебными грязями, используемыми здравницами Георгиевска, Пятигорска, Железноводска, Ессентуков и Кисловодска. В долине Кумы и ее притоков наиболее известны озера Медяника и Буйвола.

Из-за ограниченности собственных водных ресурсов и неравномерностью их распределения водоснабжение населения и экономики края основано на межбассейновых перебросках стока рек Кубани и Терека, которые обеспечиваются крупнейшим в Российской Федерации водохозяйственным комплексом.

По Терско-Кумскому и Кумо-Манычскому каналам терская вода подается в бассейн рек Кума и Восточный Маныч, а кубанская вода после перерегулирования в Кубанском водохранилище подается водопотребителям в бассейн р. Кумы и Калаус по Большому Ставропольскому каналу. Кроме того, сток р. Кубани по Невинномысскому и Право-Егорлыкскому каналам после перерегулирования в Сенгилеевском водохранилище перебрасывается в бассейны рек Егорлык, Калаус и Западный Маныч.

Ежегодно по магистральным каналам, каналам комплексного назначения и распределителям, протяженностью более 3,5 тысячи километров, перебрасывается до 4 кубокилометров воды, что обеспечивает до 80% водопотребления края. Поверхностный сток рек и каналов межбассейновой переброски регулируется в 58 водохранилищах и множестве прудов. Наиболее крупные водохранилища – Отказненское и Чограйское.

Водохозяйственная система Ставропольского края включает в себя объекты гидроэнергетики – каскады ГЭС. Кроме того, на территории края расположены Ставропольская и Невинномысская ГРЭС, являющиеся самыми крупными водопотребителями Юга России.

За счет функционирования водохозяйственного комплекса обеспечивается 78 % питьевого и хозяйственно-бытового водоснабжения, обводнение 80% территории края, выработка 18,3 млрд.кВтч электроэнергии, орошение 374 тыс. га земель сельскохозяйственного назначения, развитие рыбоводной отрасли и водоподача смежным регионам (Ростовская область республики Дагестан и Калмыкия).

Ставрополье обладает уникальными запасами подземных пресных вод. Для целей хозяйственно-бытового водоснабжения разведано 15 месторождений, из которых в эксплуатации находятся 12 месторождений с общим объемом добычи около 100 тыс. кубических метров в сутки. Фактический водоотбор составляет лишь около 6 % от величины разведанных и утвержденных запасов.

В целом, услугами централизованного водоснабжения в Ставропольском крае пользуется 95 % населения края, что выше общероссийского уровня (75 %) и соответствует уровню развитых стран (90-95 %).

Территория Ставропольского края уникальна, прежде всего, благодаря своему географическому положению и разнообразной ландшафтной структуре. Это проявляется как в отношении сформировавшихся здесь почвенно-растительных систем, так и в отношении животного мира.

Растительный мир края необыкновенно разнообразен. Здесь можно встретить растительность почти всех природных зон, имеющихся на Европейской территории России – от полупустынных сухих степей до хвойных лесов и альпийских лугов. Флору края составляют более 2400 видов, без учёта мхов, водорослей и грибов. Среди них основной группой являются цветковые растения, принадлежащие почти к семистам семействам. По флористическому разнообразию край занимает второе место в Российской Федерации после Краснодарского края, и это ставит его в особое положение среди других аналогичных регионов, как одного из самых емких хранителей растительного генетического фонда.

Животный мир Ставрополья также богат и разнообразен. Причиной этому служит большое многообразие ландшафтов, позволяющих на относительно небольшой территории обитать животным с разными экологическими требованиями к условиям существования: от полупустынных – до лесов и лугов среднегорий.

Наземные позвоночные в Ставропольском крае представлены следующими классами: земноводные – 8 видов, пресмыкающиеся – 22 вида, птицы – 324 вида, млекопитающие – 89 видов. В крае гнездится 220 видов, а на зимовку остается 173 вида птиц. Большое количество птиц мигрирует через территорию Ставропольского края.

Многие виды растений и животных края являются эндемичными, очень редкими в пределах своих ареалов или находятся на предельной границе своего распространения и нуждаются в специальной охране.

В то же время, нарушение естественных местообитаний растений и животных или другие формы антропогенной нагрузки негативно сказываются на состоянии популяций редких и исчезающих видов.

Одним из важнейших способов сохранения, восстановления и устойчивого использования редких видов животных и растений является ведение Красной книги Ставропольского края.

Впервые Красная книга Ставропольского края была опубликована в 2002 году. В 2013 году издана Красная Книга в новой редакции, в нее занесены 179 видов животных и 333 вида растений и грибов.

Издание Красной книги Ставропольского края обеспечивает законодательную базу для охраны редких и исчезающих видов растений и животных, способствует сохранению и воспроизводству естественного генофонда края и юга России.

Водные биологические ресурсы

Фонд рыбохозяйственных водоемов Ставропольского края включает в себя более 10 тыс. км рек, 3685 км крупных каналов и их распределителей и около 70 тыс. гектаров водохранилищ, озёр и прудов различного назначения.

В водоёмах края обитает около 70 видов и подвидов рыб. Наиболее многочисленны представители семейства карповых: сазан, серебряный карась, лещ, краснопёрка, линь, уклея, плотва, голавль, пескарь обыкновенный, густера. Второе место по численности занимает семейство окуневых: судак, окунь и ерш обыкновенный. Остальные семейства рыб представлены одним или двумя видами.

В качестве биологических мелиораторов для борьбы с заилением, обрастанием моллюсками и зарастанием водоемов водной и наземной растительностью в водохранилищах края акклиматизированы белый и пёстрый толстолобик, белый и чёрный амур, пиленгас. Для более полного использования кормовой базы водоемов и повышения рыбопродуктивности вселены азово-черноморская шемая, азово-черноморский рыбец, канальный сомик, буффало, теляпия.

Основными промысловыми водоёмами в крае являются: Отказненское и Чограйское водохранилища. На остальных водоёмах из-за низкой рыбопродуктивности промысел организуется периодически.

Особо охраняемые природные территории

В Ставропольском крае начало развитию сети особо охраняемых природных территорий было положено с принятием постановления бюро Ставропольского краевого комитета КПСС и исполкома краевого Совета депутатов трудящихся от 15 сентября 1961 года № 676 «О мерах по охране природы в крае». Тогда было объявлено об образовании 41 памятника живой и неживой природы: это всемирно известные магматические горы Пятигорья, озеро Тамбукан, ряд гор-останцев, живописные местности и ландшафты, участки буковых и дубовых лесов.

На сегодняшний день краевая система особо охраняемых природных территорий представлена 41 государственным природным заказником, 65 памятниками природы и 1 охраняемой озелененной и лесной территорией.

Площадь природных заказников и памятников природы краевого значения за последние годы увеличилась почти на 13 тысяч гектаров и в настоящее время составляет 106,5 тыс. гектаров – это 1,6 % от общей площади края.

Создание природных заказников с особым режимом охраны флоры и фауны является самой эффективной формой сохранения природного разнообразия.

Так, в Апанасенковском районе с целью сохранения уникального водно-болотного комплекса центральной части озера Маныч-Гудило образован одноименный заказник площадью 4,2 тысячи гектаров. На основании комплексного экологического обследования заказника «Солдатская и Малая поляны Стрижамента» было принято решение об увеличении его площади на 3,7 тысячи гектаров и переименовании в государственный природный заказник «Стрижамент». Кроме того, увеличена площадь заказников «Сафонова дача», «Приозерный», «Красногвардейский», «Соленое озеро» (Петровский городской округ) и других.

С целью более эффективного осуществления природоохранных мероприятий и упрощения процедуры взыскания административных штрафов в случае возникновения на их территории правонарушений несколько государственных природных заказников были объединены.

Так, на основании положительных заключений государственной экологической экспертизы государственные природные заказники «Беспутская поляна», «Бучинская поляна», «Новомарьевская поляна», «Шалева поляна», «Русский лес» объединены в государственный природный заказник с названием «Русский лес», государственные природные заказники «Александровский» и «Черемшино» – в государственный природный заказник с названием «Александровский».

На территории государственных природных заказников выделяются функциональные зоны, отличающиеся характером запрещенного либо допустимого использования территорий. Это позволяет выделять на территории участки, на которых исключается всякое вмешательство человека в природные процессы, и участки частичного использования, где допускается деятельность, связанная с охотой, рыбалкой, экологическим туризмом.

Так, для развития рекреации и экологического туризма на территории заказников («Маныч-Гудило», «Стрижамент», «Сотниковский», «Кравцово озеро», «Сафонова дача», «Русский лес», «Александровский» и других) разрешено осуществление рекреационной деятельности в специально предусмотренных местах с соблюдением режима особой охраны заказников.

Лесной фонд

В крае наблюдается большое разнообразие и контрастность природно-климатических условий, влияющих на произрастание лесной растительности и обуславливающих разный подход и различные решения в проблемах ведения лесного хозяйства, лесовосстановления и защитного лесоразведения.

Территория края относится к крайне малолесным районам страны с общей лесистостью 1,6% от площади края.

Леса разделены на горные и равнинные и отнесены к восьми категориям защитности по приоритетам выполняемых функций, что также предусматривает различные подходы в ведении лесного хозяйства и осложняет вопросы проектирования его организации и развития.

Общая площадь лесов Ставропольского края составляет 130,1 тысяч гектаров, в том числе леса, расположенные на землях лесного фонда – 114,5 тысяч га, или 88 % общей площади лесов края.

Согласно Лесному кодексу Российской Федерации лесные участки края, в составе земель лесного фонда, находятся в федеральной собственности.

В крае действуют 12 территориальных единиц управления в области использования, охраны, защиты и воспроизводства лесов – государственные казенные учреждения – лесничества.

В соответствии с лесным планом Ставропольского края, на землях лесного фонда проводится ежегодные мероприятия по воспроизводству лесов (ежегодно лесоводами создается порядка 56 га новых лесных насаждений).

ных насаждений).

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Виды и функции природных ресурсов

Природные ресурсы — Главная | О регионе | Природа | Природные ресурсы

На территории Вологодской области выделяются 33 типа ландшафтов. Лесные ресурсы занимают площадь более 80% территории области. Наибольшую ценность в составе лесов представляют хвойные породы — ель и сосна. Область занимает одно из первых мест на европейской территории России по числу и площади торфяных болот, а также запасам торфа.

Территория Вологодской области относится к бассейнам трех морей — Белого, Каспийского и Балтийского. В области насчитывается около двадцати тысяч рек и ручьев и более пяти тысяч озер. Наиболее крупными реками являются Сухона, Юг, Кубена, Шексна, Суда, Молога.

Наибольшее число озер расположено в западной части области наиболее крупными являются Белое, Воже, Кубенское, а также Рыбинское и Шекснинское водохранилища.

В водоемах обитает 58 видов рыб. Рыбный промысел ориентирован преимущественно на вылов путинных (корюшка, снеток), крупночастиковых (лещ, судак) и ценных (ряпушка, сиг) видов. Есть в наших водоемах и особо ценные стерлядь, нельма, нельмушка, форель, лосось, палия.

Минерально-сырьевая база области представлена флюсовыми известняками, карбонатными породами для производства извести, песчано-гравийными материалами, песками строительными, стекольными и формовочными, глинами кирпично-черепичными, керамзитовыми и гончарными, минеральными красками, торфом, сапропелем и подземными водами.

Основные потребители минерально-сырьевых ресурсов в Вологодской области — металлургическая промышленность, предприятия жилищно-коммунального и дорожного хозяйства, производство строительных материалов. В связи с ростом дорожного, промышленного и жилищного строительства строительные пески и ПГМ являются наиболее интенсивно разрабатываемыми твердыми полезными ископаемыми на территории области – на их добычу в 2012 году приходилось 96 из 184 действующих лицензий.

Подземные воды являются одним из важнейших полезных ископаемых и имеют стратегическое значение как единственно надежный источник питьевого водоснабжения населения. Основной объем запасов питьевых подземных вод сосредоточен в западной части области, где распространены водообильные каменноугольные отложения. Центральная и восточная части области обеспечены подземными водами слабо и неравномерно.

На территории Вологодской области широко распространены минеральные воды. Из них разведано пресных питьевых – 119, технических – 5, минеральных лечебных – 17 источников. В целом, подавляющее большинство минеральных вод используются лечебно-оздоровительными учреждениями на бальнеологические, лечебно-питьевые и столовые нужды. Лечебные минеральные воды Вологодской области, показаны при заболеваниях сердечно-сосудистой, нервной системы, опорно-двигательного аппарата, органов дыхания, желудочно-кишечного тракта, нарушении обмена веществ. На базе месторождений подземных минеральных вод функционируют санатории и профилактории «Адонис», «Бобровниково», «Бодрость», «Каменная Гора», «Леденгск», «Новый Источник», «Родник», бальнеологическая лечебница им. В.В. Лебедева).

Помимо этого, минеральные воды используются для промышленного розлива с товарными знаками «Вологодская», «Никольская» «Великоустюгская», «Бобровниковская».

Рассолы — подземные воды с содержанием солей более 200 г/л — используются для полива автодорог с целью борьбы с зимней скользкостью.

Климат и природные ресурсы — Официальный сайт Администрации Санкт‑Петербурга

Климат Петербурга умеренный, переходный от умеренно-континентального к умеренно-морскому. Такой тип климата объясняется географическим положением и атмосферной циркуляцией характерной для Ленинградской области. Это обуславливается сравнительно небольшим количеством поступающего на земную поверхность и в атмосферу солнечного тепла.

За год в Санкт‑Петербурге бывает в среднем 62 солнечных дня. Поэтому на протяжении большей части года преобладают дни с облачной, пасмурной погодой, рассеянным освещением. Продолжительность дня в Санкт‑Петербурге меняется от 5 часов 51 минуты в зимнее солнцестояние до 18 часов 50 минут в летнее солнцестояние.

Наиболее любимый жителями и гостями города период года – «белые ночи» (с 25-26 мая по 16-17 июля), когда солнце заходит за горизонт не более чем на 9°, и вечерние сумерки практически сливаются с утренними.

Средняя температура воздуха в Санкт‑Петербурге, по данным многолетних наблюдений, составляет +4,3 °C. Самый холодный месяц в городе – февраль со средней температурой –7,9°C, в январе -7,7 °C. Самый тёплый месяц – июль, его среднесуточная температура +17,8 °C. Сравнительно небольшая амплитуда среднесуточных температур февраля и июля (25,7 °C) характеризует умеренность петербургского климата. Самая высокая температура, отмеченная в Санкт‑Петербурге за весь период наблюдений, +37,1 °C (7 августа 2010 года), а самая низкая –35,9 °C (11 января 1883 года).

Основу ресурсного потенциала Санкт‑Петербурга составляют пресные поверхностные и подземные воды. Общая протяженность водотоков составляет 217,5 км. Основной водоток – река Нева.

В районе Сестрорецка эксплуатируются хлоридно-натриевые минеральные воды (на их базе возник курорт общероссийского значения), в северной части города – железистые минеральные лечебно-столовые воды месторождения «Полюстрово».

Имеются месторождения песчано-гравийных материалов, гальки, песков, глин, песчаников, суглинков, а также торфа.

В южной части города расположена зона тепловой аномалии: на глубине 1900–2200 м температура кристаллических пород достигает 70° C.

ПОНЯТИЕ О ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ СРЕДЕ. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ

Географическая среда возникла в результате длительной эволюции географической оболочки под влиянием антропогенного воздействия, создания так называемой вторичной природы, т. е. городов, заводов, полей, каналов, транспортных магистралей и др.

Географической средой называется часть земного окружения человеческого общества, вовлеченная в сферу деятельности людей и составляющая необходимое условие существования и развития общества. Она служит средой его обитания, важнейшим источником ресурсов, оказывает большое влияние на духовный мир людей, на их здоровье и настроение.

В последнее время наряду с понятием о географической среде в научный обиход вошло также понятие об окружающей среде. Под окружающей средой понимают всю среду обитания и производственной деятельности человеческого общества, весь окружающий человека материальный мир, включая как естественную (природную), так и искусственную (техногенную) среду. В тех же случаях, когда имеется в виду только природная среда, правильнее говорить об окружающей природной среде.

Компоненты географической природной среды, которые существенны для жизни и деятельности человеческого общества, но непосредственно в ней не участвуют, называются природными условиями. В первую очередь это географическое положение территории, климат, рельеф, режим рек и озер и др.

Природные ресурсы — компоненты природы, служащие средствами существования человеческого общества и используемые в хозяйстве на данном уровне развития производительных сил.

Природные ресурсы — категория историческая, связанная с изменением потребностей и возможностей общества, развитием науки и техники на разных исторических этапах.

Существует несколько классификаций природных ресурсов. По их принадлежности к разным геосферам различают: ресурсы биосферы, литосферы, климатические ресурсы и т. д.

По возможной длительности и интенсивности их использования природные ресурсы делятся на исчерпаемые и неисчерпаемые, возобновимые и невозобновимые.

Неисчерпаемые ресурсы — это неиссякаемая часть природных ресурсов, недостаток в которых не ощущается сейчас и не предвидится в обозримом будущем. Например, ресурсы солнечной энергии.

К возобновимым природным ресурсам относятся, например, биологические и водные ресурсы, т.е. способные к количественному и качественному самовосстановлению на данном этапе развития общества.

Невозобновимые ресурсы — это исчерпаемые природные ресурсы и те, которые не могут быть заменены другими ни сейчас, ни в обозримом будущем. К ним относятся, например, различные виды минеральных ресурсов.

Таблица 37

Классификация природных ресурсов

Задания к разделу 5. 1

1. Какое утверждение о видах природных ресурсов верно?

1) Геотермальная энергия — исчерпаемый природный ресурс.

2) Уголь — возобновимый природный ресурс.

3) Энергия приливов — возобновимый природный ресурс.

4) Энергия Солнца — неисчерпаемый природный ресурс.

2. Какие природные ресурсы относятся к категории исчерпаемых невозобновимых?

1) минеральные

2) почвенные

3) геотермальные

4) лесные

3. Установите соответствие между каждым из природных ресурсов и видом, к которому они относятся.

ПРИРОДНЫЕ ВИДЫ ПРИРОДНЫХ

РЕСУРСЫ РЕСУРСОВ

1) ядерная энергия А) неисчерпаемые

2) почвенные Б) исчерпаемые возобновимые

3) биологические В) исчерпаемые невозобновимые

4) руды металлов

Запишите в таблицу буквы, соответствующие выбранным ответам.

ТОП-11 примеров природных ресурсов (возобновляемых и невозобновляемых)

Люди, животные и другие живые организмы с незапамятных времен полагались на природные ресурсы для выживания. Сохранение природных ресурсов имеет важное значение, поскольку население мира продолжает расти, при этом многие из наиболее важных природных ресурсов являются конечными и невозобновляемыми.

Природные ресурсы — это материалы и вещества, которые встречаются в природе и могут быть использованы для экономической выгоды. К ним относятся полезные ископаемые, леса, плодородные земли и вода.Некоторые природные ресурсы, такие как почва и вода, необходимы для существования жизни.

Невозобновляемый природный ресурс определяется как ресурс, который невозможно заменить в течение нашей жизни. К ним относятся металлические руды, ископаемое топливо, минералы земли и, в некоторых случаях, грунтовые воды.

Возобновляемые природные ресурсы — это ресурсы, которые можно естественным образом восполнить в течение нашей жизни и использовать повторно. Примеры включают пресную воду, древесину, кислород и солнечную энергию.

Какие примеры природных ресурсов?

Природные ресурсы — невозобновляемый и бесценный ингредиент в современном мире. Природный ресурс — это все, что мы используем для удовлетворения наших потребностей, например, полезные ископаемые, нефть, вода, газы и металлы. Фактически, природными ресурсами могут быть все, что потребляется для выживания, например животные (рыба, насекомые, коровы, курицы и т. Д.) И растения.

Поскольку возобновляемые ресурсы имеют ограничения на их производство и использование для потребления материалов — часто из-за факторов окружающей среды — важно осознавать их доступность, чтобы они могли продолжать удовлетворять спрос на поставку.

Вот наш список из 11 лучших примеров природных ресурсов:

11. Медь

Медь используется уже тысячи лет и является одним из первых металлов, когда-либо использованных человеком. Он встречается в природе и является одним из немногих металлических элементов, которые встречаются в естественной форме.

Большая часть меди используется в электрических проводах, промышленном оборудовании, кровле и сантехнике. Медь также используется в пищевых добавках и фунгицидах для сельского хозяйства.

Соединенные Штаты являются вторым по величине производителем меди, которая добывается из медных руд и восстанавливается путем вторичной переработки.Медь можно перерабатывать без потери качества. В результате за счет вторичного использования извлекается почти столько же меди, сколько извлекается из вновь добытой руды.

10. Гелий

Первое, что приходит в голову большинству людей, когда слышит слово гелий, — это воздушные шары, однако воздушные шары составляют крошечную долю всего гелия, используемого в современном обществе. По данным Королевского химического общества, гелий необходим в качестве охлаждающей среды для Большого адронного коллайдера (LHC), сверхпроводящих магнитов в сканерах МРТ и ЯМР-спектрометрах, а также спутниковых приборах.

Поскольку гелий нереактивен, он используется для создания защитной инертной атмосферы в процессах изготовления волоконной оптики и полупроводников. Гелий также используется для обнаружения утечек в системах кондиционирования воздуха и для надувания подушек безопасности в транспортных средствах, поскольку он нетоксичен и быстро диффундирует.

Хотя гелий является вторым по распространенности элементом в солнечной системе, он считается невозобновляемым ресурсом . Большая часть гелия образуется там, где в земной коре происходят совпадения маловероятных ситуаций, что делает газ редким.Извлечение гелия из воздуха неэкономично, поскольку в воздухе содержится менее 0,00052%.

9. Бокситы

Бокситы образуются в виде горных пород в почвах с очень низким содержанием растворимых материалов, расположенных во влажном тропическом климате. Это одна из причин, почему Австралия является ведущим производителем бокситов.

Бокситы являются основным ингредиентом при производстве металлического алюминия, и почти весь производимый алюминий извлекается из бокситов. Он также используется в процессе гидроразрыва пласта при бурении на нефть и газ.

8. Утюг

Железо встречается повсюду в повседневной жизни и является наиболее часто используемым металлом в мире. Железо — хороший проводник, оно прочное и его много, составляя 5% земной коры. Вот почему он используется для изготовления стали, электропроводки и проводов, труб, инструментов, петель, дверных ручек, плит, кастрюль и сковородок и даже каркасов диванов.

Большая часть мировой железной руды добывается из полосчатых железных пластов (BIF), расположенных в основном в Австралии, Бразилии и Южной Африке.

7. Уголь

Люди веками использовали уголь в качестве источника тепла. В сегодняшнем обществе уголь стал основным источником топлива для производства электроэнергии, потому что его много, он обеспечивает высокую выработку энергии и относительно недорого.

Уголь — это ископаемое топливо, получаемое в процессе углефикации. Растения, которые сформировались миллионы лет назад в болотных лесах, погибли и образовали слои торфа, которые были погребены в результате геологических процессов, а затем изменились под воздействием тепла и давления в среде с низким содержанием кислорода.

Добыча и использование угля сопряжено с множеством проблем. По данным Геологической службы США, одной из наиболее серьезных экологических проблем является неблагоприятное воздействие на поверхностные и грунтовые воды удаления золы и шлама в результате сжигания угля и очистки дымовых газов.

6. Природный газ

Природный газ обеспечивает около 22% потребностей страны в энергии и используется в качестве источника энергии для отопления, приготовления пищи и выработки электроэнергии.Он также используется в процессе изготовления пластмасс и других важных с коммерческой точки зрения органических соединений.

Природный газ — это ископаемое топливо, образующееся при разложении органических материалов, обычно из древних морских организмов, в анаэробной среде. Есть две категории месторождений природного газа: традиционные и нетрадиционные. Традиционные месторождения связаны с запасами нефти, а нетрадиционные месторождения включают метан угольных пластов, сланцевый газ и плотный газовый песчаник.

5.Масло

Как и природный газ, нефть образуется в результате разложения органических веществ в анаэробной среде в течение миллионов лет. Нефть обеспечивает 40% потребностей страны в энергии и используется для производства бензина, дизельного топлива, реактивного топлива, пропана и асфальта. Нефть также используется в нефтехимической промышленности для производства пластмасс, синтетического каучука и химикатов.

Расположение запасов нефти и газа определяется тектоникой плит. Вот почему большая часть нефти находится в пустынях, арктических регионах, дельтах рек и на континентальных окраинах в прибрежных водах.Тектоника плит создает места для бескислородных захоронений, а также высокое давление и тепло, необходимые для превращения органических веществ в нефть.

4. Соль

Соль, также известная как хлорид натрия, является важным минералом для жизни людей и животных.

Соль добывается одним из четырех методов: подземная добыча каменной соли, добыча раствора путем введения растворителя, который растворяет подземную соль и затем извлекается за счет солнечного испарения, испарение морской воды, при котором морская вода собирается в прудах-испарителях, и внутренняя солнечная энергия. испарение, подобное испарению морской воды, но внутри суши.

Свыше 40% добываемой соли используется в химической промышленности, а еще 40% зимой используется в качестве антиобледенителя на дорогах. Остальные 20% приходятся на переработку поваренной соли, производство резины и других товаров.

3. Древесина

Древесина является важным возобновляемым природным ресурсом во многих обществах по всему миру. Если к производству подходить ответственно, оно может быть как экологичным, так и экономичным.

Древесина в основном используется для изготовления пиломатериалов для строительства.Они также могут иметь грубую форму и использоваться в качестве усиленных балок и колонн.

Древесина также используется для изготовления бумажных изделий, древесноволокнистых плит, твердого картона, фанеры и ДСП.

2. Почва

Почва — один из важнейших природных ресурсов на Земле, который прямо и косвенно необходим для производства продуктов питания, промышленного сырья и для производства источников энергии. Почва необходима для функционирования экосистем, обеспечивая питательные вещества, кислород, воду и тепло.

Почвенные ресурсы истощаются из-за нерациональных методов ведения сельского хозяйства и химического загрязнения. Одна из важнейших задач, стоящих перед нынешним и будущими поколениями, — это сохранение этого незаменимого природного ресурса от загрязнения и физического разрушения.

1. Вода

Как и почва, вода является одним из важнейших природных ресурсов для существования жизни. Пресная вода считается возобновляемым ресурсом, но большая часть воды, которую пьют люди, поступает из источников подземных вод, которые истощаются быстрее, чем могут быть восполнены.

Несмотря на то, что вода считается возобновляемым ресурсом, водные ресурсы сталкиваются с серьезными угрозами из-за деятельности человека. Эти действия включают загрязнение, рост городов, вырубку лесов и изменение климата.

Заключение

Природные ресурсы необходимы для цивилизации, какой мы ее знаем, и являются основой экономики и выживания.

Такие ресурсы, как бокситы, железо и медь, составляют основу повседневного обихода, а вода, почва и соль необходимы для жизни.

Долг человечества — защищать и сохранять природные ресурсы. Некоторые вещи, которые вы можете делать в повседневной жизни для сохранения природных ресурсов, включают переработку пластика, бумаги и металла, а также более эффективное использование энергии.

Есть ли у вас идеи, как сохранить и защитить природные ресурсы? Пожалуйста, дайте нам знать, оставив комментарий.

Ресурсы

Изображение предоставлено: Николас Раймонд @ Flickr

возобновляемых ресурсов | Национальное географическое общество

Когда дело доходит до энергоресурсов, всегда возникает вопрос устойчивости.Важно, чтобы ресурсы обеспечивали достаточно энергии для удовлетворения наших потребностей — для обогрева наших домов, электроснабжения наших городов и запуска наших автомобилей. Однако также важно учитывать, как эти ресурсы можно использовать в долгосрочной перспективе. Некоторые ресурсы практически никогда не закончатся. Они известны как возобновляемые ресурсы. Возобновляемые ресурсы также производят чистую энергию, что означает меньшее загрязнение и выбросы парниковых газов, которые способствуют изменению климата.

Источники энергии в Соединенных Штатах со временем эволюционировали, от использования древесины до девятнадцатого века до более позднего освоения невозобновляемых ресурсов, таких как ископаемое топливо, нефть и уголь, которые до сих пор остаются доминирующими источниками энергии.Но запас этих ресурсов на Земле ограничен. В последнее время стало расти использование возобновляемых ресурсов. По данным Агентства по охране окружающей среды США, в 2017 году 11 процентов энергопотребления в США приходилось на возобновляемые источники.

Есть некоторые проблемы, связанные с использованием возобновляемых ресурсов. Например, возобновляемая энергия может быть менее надежной, чем невозобновляемая энергия, с сезонными или даже ежедневными изменениями в количестве производимой энергии. Однако ученые постоянно обращаются к этим проблемам, работая над улучшением осуществимости и надежности возобновляемых ресурсов.

Возобновляемые ресурсы включают энергию биомассы (например, этанол), гидроэнергетику, геотермальную энергию, энергию ветра и солнечную энергию.

Биомасса — это органический материал растений или животных. Сюда входят древесина, сточные воды и этанол (который поступает из кукурузы или других растений). Биомассу можно использовать в качестве источника энергии, потому что этот органический материал поглотил энергию Солнца. Эта энергия, в свою очередь, выделяется в виде тепловой энергии при сгорании.

Гидроэнергетика — один из старейших возобновляемых источников энергии, который использовался тысячи лет.Сегодня каждый штат США использует определенное количество гидроэлектроэнергии. В гидроэнергетике механическая энергия проточной воды используется для выработки электроэнергии. Гидроэлектростанции используют поток рек и ручьев, чтобы вращать турбину для питания генератора, высвобождая электричество.

Геотермальная энергия поступает из тепла, вырабатываемого глубоко внутри ядра Земли. Геотермальные резервуары можно найти на границах тектонических плит вблизи вулканической активности или глубоко под землей. Геотермальную энергию можно использовать путем бурения скважин для перекачки горячей воды или пара на электростанцию.Эта энергия затем используется для отопления и электричества.

Энергия ветра генерирует электричество за счет вращения ветряных турбин. Ветер толкает лопасти турбины, и генератор преобразует эту механическую энергию в электричество. Это электричество может поставлять электроэнергию в дома и другие здания, а также может храниться в электросети.

Излучение Солнца также можно использовать в качестве источника энергии. Фотоэлектрические элементы можно использовать для преобразования этой солнечной энергии в электричество.По отдельности эти элементы генерируют достаточно энергии только для питания калькулятора, но в сочетании для создания солнечных панелей или даже более крупных массивов они обеспечивают гораздо больше электроэнергии.

Поиск правильного метода использования возобновляемых ресурсов — задача, которая становится все более важной, поскольку запасы невозобновляемых ресурсов на Земле продолжают сокращаться. Переход на возобновляемые источники энергии не только лучше поддержит быстро растущее население мира, но и обеспечит более чистую и здоровую окружающую среду для будущих поколений.

Возобновляемые и невозобновляемые ресурсы

Переработка позволяет экономить ресурсы и сокращать отходы.

Природные ресурсы — это материалы или предметы, которые люди используют с земли. Есть два типа природных ресурсов. Первые — это возобновляемых природных ресурсов. Их называют возобновляемыми, потому что они могут расти снова или никогда не закончатся. Вторые называются невозобновляемыми природными ресурсами. Это вещи, которые могут закончиться или быть израсходованы. Обычно они исходят из земли.

Возобновляемые природные ресурсы

Давайте более внимательно рассмотрим возобновляемые природные ресурсы. Именно они могут снова расти. Деревья — хороший тому пример. Если срезать, они могут вырасти из семян и ростков. Другой пример — животные. Детеныши животных рождаются и растут. Они заменяют умирающих старых животных.

Деревья — один из самых полезных возобновляемых природных ресурсов. Мы используем деревья для производства почти 8000 различных вещей, таких как эта картонная коробка. Для изготовления большинства этих изделий используется древесина.Древесина есть в наших домах, в мебели, бумаге и так далее. Древесные химические вещества также используются для производства таких вещей, как вискозная ткань, продукты питания, лекарства и резина.

Переработка картонной коробки

Побочные продукты — это вещи, сделанные из остатков. Например, когда дерево срубают и распиливают на древесину, оставшиеся опилки можно использовать в качестве топлива, для изготовления ДСП, как на картинке, или подстилки для животных. Это побочные продукты. Еще один побочный продукт от сбора урожая деревьев — это мульча из коры для садов.

Воздух и вода также являются возобновляемыми природными ресурсами. Они не вырастают, как деревья, и не рожают детей, как животные. Но они постоянно обновляются. Они движутся циклично. Они переходят с одного места на другое и часто снова и снова возвращаются туда, откуда начали. Это хорошо, потому что всем живым существам для выживания нужны воздух и вода. Есть еще один тип возобновляемых природных ресурсов. Он включает в себя источники энергии, такие как энергия солнца и ветра. Это никогда не кончится. Наконец, помните: возобновляемые ресурсы могут восстанавливаться или заменяться в течение жизни человека.

Питательные вещества — это химические вещества, в которых нуждаются живые существа. Это возобновляемые природные ресурсы. Они циклично перемещаются по кругу и никогда не заканчиваются. Когда такое животное, как эта корова, ест растение, оно получает питательные вещества. Питательные вещества используются в организме животного, а затем многие из них выводятся в виде отходов, которые возвращают питательные вещества в почву. Когда животное умирает, питательные вещества также возвращаются в почву. Растения поглощают питательные вещества из почвы и продолжают цикл.

Невозобновляемые природные ресурсы

Теперь давайте посмотрим на невозобновляемых природных ресурсов.Они находятся в земле. Есть фиксированные количества этих ресурсов. Это не живые существа, и их иногда трудно найти. Они не отрастают заново, не заменяются и не обновляются. Они включают ископаемое топливо, которое мы сжигаем для получения энергии (природный газ, уголь и нефть). Минералы, используемые для производства металлов, также являются невозобновляемыми природными ресурсами. Невозобновляемые природные ресурсы — это вещи, восполнение которых занимает больше времени, чем продолжительность жизни человека. Фактически, на их формирование могут уйти миллионы лет.

Ископаемые виды топлива, такие как нефть, уголь и газ, не вечны.Они невозобновляемы. Люди изо всех сил стараются найти новое чистое топливо, которое будет обеспечивать необходимую нам энергию. Энергия ветра, солнца и водорода — это возобновляемые ресурсы, дающие надежду на будущее.

Люди используют оба типа природных ресурсов для производства вещей, в которых они нуждаются или хотят. Наши дома, одежда, пластмассы и продукты питания сделаны из природных ресурсов. Давайте посмотрим на каждый из них, чтобы быть уверенным.

Ваш дом находится в жилом доме. Здания построены из дерева и минералов.Древесина из деревьев. Минералы добывают из земли. Кирпич, цемент и металлы производятся из минералов. Как насчет твоей одежды? Большая часть вашей одежды сделана из хлопка, полиэстера или нейлона. Хлопок поступает с хлопчатобумажных растений. Полиэстер и нейлон производятся из масла. Пластмассы тоже делают из масла. Как насчет еды? Люди едят зерна, фрукты и другие части растений. Также можно полакомиться молочными продуктами и мясом животных. Все, что у нас есть или используем, сделано из природных ресурсов. Какие из упомянутых здесь возобновляемых источников? Какие невозобновляемые?

• Колосья кукурузы — возобновляемый или невозобновляемый ресурс?
• А как насчет угля? Возобновляемый или невозобновляемый?
• Являются ли горные породы и полезные ископаемые возобновляемыми или невозобновляемыми ресурсами?
• Является ли древесина возобновляемым или невозобновляемым ресурсом?

Все природные ресурсы следует использовать с умом.Мы должны сохранить природных ресурсов. Сохранять означает не использовать, портить или тратить вещи впустую. Особенно это касается невозобновляемых ресурсов. Однако даже некоторые возобновляемые природные ресурсы могут иссякнуть, если все они будут уничтожены или чрезмерно использованы. Мы также должны защищать наши природные ресурсы от загрязнения. Загрязнение происходит, когда люди помещают в природу вредные химические вещества и другие предметы. Нефть, пролитая в воду, токсичные химические вещества в воздухе или мусор, выброшенный на обочине дороги, — примеры этой проблемы.

Итак, что вы можете сделать, чтобы сохранить природные ресурсы?

Вы можете сократить, повторно использовать и утилизировать! Например, выключите свет, когда вас нет в комнате. Это сократит использование ископаемого топлива, используемого для производства электроэнергии. Катайтесь на велосипеде и больше гуляйте, чтобы уменьшить количество бензина, используемого для перевозки. Вы можете использовать вещи повторно. Такие вещи, как пластиковые кувшины, банки, бумага и пакеты, можно использовать повторно. Каждый раз, когда вы что-то используете повторно, вы сохраняете природные ресурсы, которые были бы использованы для создания новых.

Наконец, вы можете утилизировать. Переработка означает повторное использование природного ресурса или продукта для создания чего-то нового. Это также означает собирать и отправлять эти вещи для повторного использования. Элементы, которые можно легко переработать, включают: стекло, некоторые пластмассы, бумагу, картон, алюминий и сталь. Некоторые пластмассы и металлы трудно перерабатывать. Их часто делают из смесей материалов. Смеси бывает трудно разделить. Старайтесь покупать и использовать вещи, которые можно утилизировать.

Куда уходит ваш мусор, когда вы его выбрасываете? Одно место, куда он попадает, — это свалка.Свалка — это место, предназначенное для безопасного размещения мусора. Мусор должен оставаться закрытым на свалке, чтобы он не загрязнял землю, воздух или воду. Еще одно место, куда может попасть мусор, — это мусоросжигательная печь. Мусоросжигательная печь — это большая печь, сжигающая мусор дотла. Затем золу отправляют на свалку. Третье место, куда могут попасть некоторые виды мусора, — это компостная куча. Компостная куча состоит из естественного мусора, такого как остатки пищи, листья и обрезки травы. Компостные груды помогают этому мусору гнить.После того, как он загниет, его можно снова положить на землю для удобрения растений. Перемещение мусора из дома или общины в одно из этих мест, например на свалку, называется потоком отходов.

Природные ресурсы, как возобновляемые, так и невозобновляемые, важны для всех нас. Мы должны беречь и бережно использовать природные ресурсы. Наше будущее зависит от них.

Написано Сэнфордом С. Смитом, специалистом в области природных ресурсов и образования молодежи, и Барбарой Р. Дитер, студенткой бакалавриата.

Поддержка в создании и печати этого документа была предоставлена ​​U.S. Лесная служба и Департамент охраны природы и природных ресурсов Пенсильвании (DCNR), Бюро лесного хозяйства.

Определение возобновляемых ресурсов

Что такое возобновляемые ресурсы?

Возобновляемый ресурс — это ресурс, который можно использовать многократно, и он не исчерпывается, потому что заменяется естественным образом.

Ключевые выводы

• Спрос на возобновляемые ресурсы растет, поскольку человеческое население продолжает расти.
• Энергия из возобновляемых ресурсов снижает нагрузку на ограниченные запасы ископаемого топлива, которые считаются невозобновляемыми ресурсами.
• Использование возобновляемых ресурсов в больших масштабах является дорогостоящим, и необходимы дополнительные исследования, чтобы их использование было рентабельным.

Общие сведения о возобновляемых ресурсах

По сути, возобновляемые ресурсы, такие как солнечная энергия, энергия ветра и геотермальное давление, имеют бесконечный запас. Другие ресурсы считаются возобновляемыми, даже если на их обновление требуется время или усилия (например, древесина, кислород, кожа и рыба). Большинство драгоценных металлов также являются возобновляемыми.Хотя драгоценные металлы не заменяются естественным образом, их можно переработать, поскольку они не разрушаются во время добычи и использования.

Возобновляемый ресурс отличается от невозобновляемого ресурса тем, что невозобновляемый ресурс истощается и не может быть восстановлен после использования. Поскольку человеческое население продолжает расти, спрос на возобновляемые ресурсы возрастает.

Согласно Evaco, онлайн-публикации последних новостей, исследований и информации о возобновляемых источниках энергии и экологически чистом образе жизни, перенаселение является одним из основных факторов, влияющих на проблемы окружающей среды и природных ресурсов.

Природные ресурсы — это форма капитала, и они известны как природный капитал. Биотопливо, или энергия, полученная из возобновляемых органических продуктов, в последние годы приобрело распространение в качестве источника энергии, альтернативного невозобновляемым ресурсам, таким как уголь, нефть и природный газ. Хотя цены на биотопливо по-прежнему выше, некоторые эксперты прогнозируют, что рост дефицита и силы спроса и предложения приведут к повышению цен на ископаемое топливо, что сделает цену биотоплива более конкурентоспособной.

Однако цены на ископаемое топливо имеют тенденцию к снижению, отчасти из-за технологических достижений в производстве ископаемого топлива, а отчасти из-за снижения спроса во время пандемии COVID-19. Покупателям сырьевых товаров и лицам, определяющим политику, необходимо постоянно учитывать такие влияния при прогнозировании будущих изменений цен.

Типы биотоплива включают биодизель, альтернативу маслу, и зеленое дизельное топливо, которое производится из водорослей и других растений. Другие возобновляемые ресурсы включают кислород и солнечную энергию.Ветер и вода также используются для создания возобновляемой энергии. Например, ветряные мельницы используют естественную силу ветра и превращают ее в энергию.

Глобальное влияние возобновляемых ресурсов

Возобновляемые ресурсы стали центром экологического движения как в политическом, так и в экономическом плане. Энергия, полученная из возобновляемых источников, значительно снижает нагрузку на ограниченные запасы ископаемого топлива, которое является невозобновляемым ресурсом. Проблема с использованием возобновляемых ресурсов в больших масштабах заключается в том, что они дороги и, в большинстве случаев, необходимы дополнительные исследования для того, чтобы их использование было рентабельным.

Использование устойчивой энергетики часто называют «зеленым» из-за положительного воздействия на окружающую среду. Источники энергии, такие как ископаемое топливо, при сжигании наносят ущерб окружающей среде и способствуют глобальному потеплению. Первым крупным международным соглашением по сокращению выбросов углекислого газа и глобального потепления стал Киотский протокол, подписанный в 1997 году. Кроме того, в 2015 году в Париже собрались мировые державы, чтобы объявить о сокращении выбросов и сосредоточить внимание на более широком использовании возобновляемых источников энергии. .Взаимодействие с другими людьми

Быстрый факт

EIA сообщает, что потребление биотоплива и других негидроэлектрических возобновляемых источников энергии более чем удвоилось с 2000 по 2018 год.

В качестве кандидата в президенты в 2016 году Дональд Трамп раскритиковал соглашение, заключенное в Париже, и пообещал вывести Соединенные Штаты в случае своего избрания. 1 июня 2017 года он сделал именно это, заявив, что соглашение «подорвет» экономику США.

Существует множество стимулов, направленных на поощрение использования альтернативной энергии.Например, налоги на энергию устанавливают надбавку на ископаемое топливо, чтобы цены на возобновляемые ресурсы были более конкурентоспособными, и люди были более склонны к использованию возобновляемой энергии. Зеленые фонды, инвестиционные механизмы, такие как паевые инвестиционные фонды, поддерживают экологически чистые и устойчивые компании, инвестируя в них и помогая повышать экологическую осведомленность.

Эти стимулы, похоже, дают эффект. По данным Управления энергетической информации США (EIA), в 2018 году возобновляемые источники энергии дали примерно 11.5 квадриллионов британских тепловых единиц (БТЕ). (Один квадриллион равен 1, за которым следуют 15 нулей.) Это количество энергии составляет 11% от общего потребления энергии в США. Электроэнергетический сектор потреблял около 56% возобновляемой энергии в США в 2018 году, и примерно 17% электроэнергии в США было произведено из возобновляемых источников энергии.

Правительства штатов и федеральное правительство способствовали увеличению потребления биотоплива путем введения требований и стимулов для использования возобновляемых источников энергии. EIA ожидает, что U.S. потребление возобновляемой энергии будет продолжать расти до 2050 года.

Часто задаваемые вопросы

Что такое Киотский протокол?

Киотский протокол — это международное соглашение, направленное на сокращение выбросов углекислого газа (CO ₂ ) и присутствия парниковых газов (ПГ) в атмосфере. Основной принцип Киотского протокола заключался в том, что промышленно развитые страны должны уменьшить количество своих выбросов CO ₂ . Протокол был принят в Киото, Япония, в 1997 году, когда парниковые газы быстро угрожали нашему климату, жизни на Земле и самой планете.

Что такое Парижское климатическое соглашение?

Парижское климатическое соглашение — это соглашение между лидерами более 180 стран о сокращении выбросов парниковых газов и ограничении роста глобальной температуры до уровня ниже 2 градусов по Цельсию (3,6 по Фаренгейту) по сравнению с доиндустриальным уровнем к 2100 году. В идеале, соглашение направлено на то, чтобы держите повышение ниже 1,5 градусов по Цельсию (2,7 по Фаренгейту). 20 января 2021 года президент Джо Байден подписал указ о том, что США вновь присоединятся к Парижскому соглашению после того, как администрация Трампа вышла из него.04, 2020. По условиям соглашения, потребовалось 30 дней — или до 19 февраля 2021 года — для того, чтобы США официально присоединились к нему.

Что делается для поощрения использования возобновляемых ресурсов?

Существует множество стимулов, направленных на поощрение использования альтернативной энергии. Например, налоги на энергию устанавливают надбавку на ископаемое топливо, чтобы цены на возобновляемые ресурсы были более конкурентоспособными, и люди были более склонны к использованию возобновляемой энергии. Зеленые фонды, инвестиционные механизмы, такие как паевые инвестиционные фонды, поддерживают экологически чистые и устойчивые компании, инвестируя в них и помогая повышать экологическую осведомленность.

Введение в возобновляемые природные ресурсы — Древесная энергия

Эрик Л. Тейлор, Техасская служба распространения знаний AgriLife

Возобновляемые источники энергии

Возобновляемый природный ресурс — это любой природный ресурс, который истощается со скоростью, равной или меньшей скорости, с которой он восполняется.В результате возобновляемые источники энергии теоретически неисчерпаемы до тех пор, пока применяются разумные и устойчивые методы управления. Удивительно, но все продукты, энергия, системы и услуги, в производстве которых мы зависим сегодня от ископаемого топлива, могут быть получены из возобновляемых природных ресурсов при нашем нынешнем уровне технологий. Существует ряд возобновляемых источников энергии, каждый из которых имеет свои экономические и экологические преимущества и недостатки. Древесная биомасса — это лишь один из нескольких возобновляемых природных ресурсов (возобновляемых источников энергии, которые могут быть использованы для удовлетворения более чем 100 квадриллионов британских тепловых единиц энергии, требуемых Соединенным Королевством).С. каждый год.

Свет (солнечная энергия)

Название «солнечная энергия» на самом деле немного вводит в заблуждение. Большая часть энергии, известной человеку, каким-то образом извлекается из солнца. Когда мы сжигаем дрова или другое топливо, мы высвобождаем накопленную энергию солнца. Приливы, волны, океанские течения и ветер — все это результат солнечной энергии. Даже ископаемое топливо, которое мы потребляем сегодня, представляет собой солнечную энергию, захваченную и сохраненную миллионы лет назад. Фактически, без солнца не было бы жизни на Земле.Однако термин солнечная энергия или солнечная энергия обычно относится к прямому преобразованию солнечных лучей в полезный источник энергии через фотоэлектрические элементы или тепловые коллекторы.

Ветер

Человечество использует энергию ветра с древних времен. Ветряные морские суда существовали веками. Ветер также использовался для обеспечения энергией и водой сельского хозяйства, необходимого для роста нашей страны. В отличие от своих предшественников, современные ветряные турбины большие и мощные.Сегодня их длинные лопасти (130 футов и более в длину) эффективно ловят ветер и преобразуют вращательное движение в электрическую энергию с помощью эффективного генератора.

Вода (гидроэнергетика)

Hydropower использует кинетическую энергию, которую получает вода, когда она падает на высоте. Это было очень важно для развития нашей страны. Гидроэнергетика использовалась для орошения, водяных мельниц, текстильных машин, лесопилок и для питания различных других машин. Гидроэлектроэнергия — это электроэнергия, вырабатываемая гидроэнергетикой, и обеспечивающая сегодня 10% электроэнергии в США, что достаточно для снабжения электричеством 28 миллионов домашних хозяйств, что эквивалентно почти 500 миллионам баррелей нефти.Обычно вода, запруженная в озере или водохранилище, сбрасывается через турбины и генераторы для производства электроэнергии. В настоящее время разрабатываются другие отдельные типы гидроэнергетики. К ним относятся приливные, волновые, течения и температурные перепады.

Ocean Thermal Преобразование тепловой энергии океана, или OTEC, использует разницу температур морской воды на разных глубинах, при которой холодная вода перекачивается из глубин океана (до 1 км) на поверхность и извлекает энергию, генерируемую при передаче тепла между холодной водой и теплой поверхностной водой.Океаны постоянно нагреваются солнцем и покрывают почти 70% поверхности Земли, а их разница температур содержит огромное количество солнечной энергии, которая потенциально может быть использована. Общая доступная энергия теоретически выше, чем у других вариантов энергии океана, таких как мощность волн, но небольшая разница температур делает извлечение энергии трудным и дорогостоящим.

Порода (геотермальная)

Геотермальная энергия добывается из огромного термального резервуара в недрах земли.Температуры выше, чем на поверхности Солнца, постоянно создаются внутри Земли в результате медленного распада радиоактивных частиц. Это тепло может использоваться геотермальными электростанциями (обычно в виде пара или горячей воды) для выработки электроэнергии. Только в определенных регионах Земли геотермальная энергия находится достаточно близко к поверхности, чтобы ее можно было использовать в коммерческих целях. Удивительно, но четыре штата США (Калифорния, Невада, Гавайи и Юта) производят больше геотермальной электроэнергии, чем любая другая страна, но количество вырабатываемой ими электроэнергии составляет менее 1 процента от общего объема электроэнергии, потребляемой в Соединенных Штатах.

Растения и животные (биомасса)

Биомасса сегодня является наиболее широко используемым возобновляемым источником энергии в мире. В настоящее время он составляет 10,6% от общемирового энергоснабжения. Биомасса производится из органических материалов либо непосредственно из растений и животных, либо косвенно из промышленных, коммерческих, бытовых или сельскохозяйственных продуктов. Биомасса обычно относится к растениям, выращиваемым для биотоплива. Однако он исключает любой органический материал, преобразованный геологическими процессами, например уголь или нефть.Биомасса содержит накопленную энергию солнца. Растения поглощают солнечную энергию в процессе, называемом фотосинтезом. Химическая энергия растений передается животным и людям, когда они потребляют эти растения. Биомасса является возобновляемым источником энергии, потому что при использовании устойчивых методов всегда будут существовать новые культуры, деревья, домашний скот и отходы. Некоторыми примерами топлива из биомассы являются древесина, зерновые культуры, навоз и некоторый мусор. Биомассу можно сжигать для получения тепла и пара, биогаз можно собирать по мере его разложения, его можно сбраживать в этанол, превращать в биодизельное топливо или можно преобразовать рядом других способов.Биомасса имеет одно важнейшее преимущество перед другими возобновляемыми источниками энергии. Это единственный возобновляемый источник энергии, который производит молекулы на основе углерода, важный ингредиент для множества предметов, от которых мы зависим каждый день (пластмассы, клеи, растворители, краски, смазочные материалы, транспортное топливо и т. Д.)

Древесная биомасса

Древесная биомасса определяется как совокупная масса над и под землей корней, древесины, коры и листьев живых и мертвых древесных кустарников и деревьев (Foster et al.2007). В основном он состоит из углеводов и лигнина, образующихся в процессе фотосинтеза.

Стопка древесной биомассы во время уборки лесных остатков в Восточном Техасе.

Основными источниками древесной биомассы в США являются:

Остатки после заготовки древесины

Древесные культуры короткого севооборота

Традиционные культуры балансовой древесины и пиломатериалов

Удаление лесов с целью оздоровления

Восстановление после стихийных бедствий

Древесная биомасса может использоваться для

• производство тепла и электроэнергии,
• производят транспортное топливо, и
• производство биопродуктов, таких как клеи, растворители, пластмассы, чернила и смазочные материалы.

Выработка электроэнергии, хотя ее легко реализовать в настоящее время, является одним из видов использования древесной биомассы с наименьшей добавленной стоимостью. Биопродукты — это виды использования с самой высокой добавленной стоимостью. Все это, вероятно, будет значительно ниже потенциальной стоимости традиционных продуктов из пиломатериалов. Древесина; древесные отходы и побочные продукты; а кусты, кустарники и быстрорастущие деревья, выращиваемые специально для получения энергии, считаются древесной биомассой. Маловероятно, что какая-либо из альтернатив возобновляемых источников энергии существенно повлияет на независимую замену ископаемого топлива, но вместе взятые возобновляемые источники энергии могут принести большие выгоды в уменьшении зависимости нашей страны от ископаемого топлива из других стран.

Список литературы

• Foster CD, Gan J, Mayfield C. 2007b. Что такое древесная биомасса? В: Hubbard, W .; Л. Байлз; К. Мэйфилд; С. Эштон (ред.). 2007. Устойчивое лесное хозяйство для биоэнергетики и биопродуктов: учебная тетрадь для инструкторов. Афины, Джорджия: Southern Forest Research Partnership, Inc. http://www.forestbioenergy.net

Невозобновляемые и возобновляемые источники энергии

Привет! Сообщение, на котором вы сейчас находитесь, было написано в 2014 году. См. Эту обновленную статью с более свежей информацией, включая новые разделы об изменении климата и ядерной энергии.

Есть девять основных областей энергоресурсов. Они делятся на две категории: невозобновляемые и возобновляемые. Невозобновляемые источники энергии, такие как уголь, атомная энергия, нефть и природный газ, доступны в ограниченных количествах. Обычно это происходит из-за того, что их пополнение занимает много времени. Возобновляемые ресурсы восполняются естественным образом и в течение относительно коротких периодов времени. Пять основных возобновляемых источников энергии — это солнечная энергия, ветер, вода (гидро), биомасса и геотермальная энергия.

С самого зарождения человечества люди использовали возобновляемые источники энергии, чтобы выжить: дрова для приготовления пищи и отопления, ветер и воду для размола зерна и солнечную энергию для разжигания костров.Чуть более 150 лет назад люди создали технологию извлечения энергии из древних окаменелых останков растений и животных. Эти сверхбогатые, но ограниченные источники энергии (уголь, нефть и природный газ) быстро заменили древесину, ветер, солнце и воду в качестве основных источников топлива.

Ископаемые виды топлива составляют значительную часть сегодняшнего энергетического рынка, хотя появляются новые многообещающие технологии использования возобновляемых источников энергии. Карьеры как в возобновляемой, так и в невозобновляемой энергетике растут; однако между этими двумя секторами есть различия.У каждого из них есть свои преимущества и проблемы, и они связаны с уникальными технологиями, которые играют важную роль в нашей нынешней энергетической системе. По ряду причин, от ограниченного количества доступных ископаемых видов топлива до их воздействия на окружающую среду, растет интерес к использованию возобновляемых форм энергии и разработке технологий для повышения их эффективности. Эта растущая отрасль требует новых сотрудников.

Эта инфографика является частью нашей коллекции Energy.

Вопросы для обсуждения для исследования карьеры в области возобновляемых источников энергии

• Каким образом люди использовали возобновляемые ресурсы для получения энергии столетия или даже тысячелетия назад?
• Узнайте, какие виды возобновляемой энергии производит ваш штат.Почему ваш штат является оптимальным местом для использования этой формы возобновляемой энергии?
• Выберите возобновляемый источник энергии. Проведите мозговой штурм от трех до пяти типов вакансий в этой области.
• Изучите новую и инновационную технологию в каждой из категорий возобновляемых источников энергии. Каковы преимущества новых технологий? Какие риски? Какая область (солнце, ветер и т. Д.) Кажется вам наиболее захватывающей? Почему?
• Взгляните на круговую диаграмму национального потребления энергии по источникам в 2011 году.Как вы думаете, какие возобновляемые источники энергии имеют наибольший потенциал роста в качестве источника энергии для США? Почему? Какие факторы здесь задействованы?

Ссылки для получения дополнительной информации

• Энергетическое образование и развитие кадров, веб-сайт Министерства энергетики США — Управление энергоэффективности и возобновляемых источников энергии поддерживает образование и развитие кадров. Узнайте о вакансиях в области экологически чистой энергии, исследуйте вакансии и найдите стажировки в отрасли возобновляемых источников энергии.
• Возобновляемая энергия, веб-сайт Green 360 — узнайте мнение людей, которые работают в области возобновляемых источников энергии.В этом блоге узнайте, на что похож обычный день для кого-то в отрасли, узнайте о перспективных карьерах, найдите возможности принять участие и многое другое.
• Энергетика Соединенных Штатов, инфографика Saxum — серия инфографики дает представление о производстве энергии в нашей стране и потреблении как возобновляемых, так и невозобновляемых источников энергии.
• PBS LearningMedia — Найдите сотни цифровых медиаресурсов о возобновляемых источниках энергии для использования в классе из государственных СМИ по всей стране.

Корреляции NGSS

• Ожидаемые результаты: Постройте объяснение, основанное на доказательствах того, как наличие природных ресурсов, возникновение стихийных бедствий и изменения климата повлияли на деятельность человека. HS-ESS3-1
• Дисциплинарная основная идея : Доступность ресурсов определяла развитие человеческого общества. HS-ESS3.A: Природные ресурсы
• Научные и инженерные практики: Построение объяснений и разработка решений

Природные ресурсы | WWF

Природные ресурсы обычно являются возобновляемыми или невозобновляемыми. Первые относятся к тем ресурсам, которые могут обновляться со временем. К ним относятся живые ресурсы, такие как леса, или неживые, такие как ветер, вода, солнечная энергия.В Википедии есть больше о возобновляемых источниках энергии.

Невозобновляемые ресурсы, как следует из названия, — это те, которые больше не могут быть задействованы после того, как доступный запас на сайте исчерпан. Как только мы их используем, их больше нет. Минеральные ресурсы невозобновляемые. Ископаемые виды топлива, которые образуются из окаменелых останков доисторических организмов, также считаются невозобновляемыми, хотя они могут обновляться через несколько миллионов лет. Чтобы узнать больше об ископаемых видах топлива и о том, почему они так называются, посетите этот сайт.

На ископаемое топливо в настоящее время приходится около 90 процентов мирового потребления энергии. Они обеспечивают около 66% мировой электроэнергии и 95% общей потребности в энергии в мире, например, для отопления, транспорта, производства электроэнергии и так далее.

Наше потребление ископаемого топлива почти удваивается примерно каждые 20 лет, что является довольно тревожной статистикой, учитывая, что их уровень становится опасно низким. Вот что Википедия говорит об ископаемом топливе.

Поделки из шишек своими руками: мастер-класс с пошаговым фото

Поделки из шишек своими руками будут интересны и взрослым и детям. Среди поделок из природных материалов поделки из шишек смотрятся наиболее ярко и оригинально.

Какую поделку можно сделать из шишек?

Самый интересный вариант поделки из шишек для детей – это какое-нибудь хорошо знакомое животное или птица. Ребятишки с особой трепетностью относятся к маленьким жителям лесного царства.

Ежик из шишки на пластиковой бутылке

Актуальными будут такие поделки из шишек для детского сада, ведь ежик является самым любимым персонажей выставок, посвященных осени. Берем небольшую пластиковую бутылку с пробкой. Черным маркером раскрашиваем ее верхнюю часть — это будущая мордочка ежика.

Оборачиваем оставшуюся часть бутылки плотной тканью. Торчащие по краям нитки можно подпалить — это не позволит ткани распускаться и придаст поделке аккуратный вид. Ткань фиксируем на бутылке клеем.

Приклеиваем на ткань рядами шишки. Заполняем шишками всю поверхность ткани.

Осталось приклеить ежику глазки и ушки! Законченный вид поделке придадут дары осени — яблочки, веточки рябины и сушеные листики.

Ежики из шишек (идеи)

В основе этих ежиков лежат пластиковые бутылки. Мордочку можно обыграть вылепив ее из пластилина.

Можно связать мордочку из пряжи. Такой ежик получится очень милым и домашним.

Ежик из шишки и пластилина

Один из самых простых способов сделать ежика из шишки — это использовать для поделки сосновую шишку.

Еще один вариант исполнения поделки — сделать ежика из шишки и фетра. Глазки и носик делаем из бусин.

Ежик из чешуек еловой шишки и соленого теста

Можно сделать ежика из еловой шишки и соленого теста. Шишку «разбираем» на чешуйки. Вставляем эти чешуйки в основу из соленого теста.

Немного подсушиваем ежика в духовке.

Рисуем ежику глазки и носик. Наш ежик — готов!

Птичка из шишек и ткани

Шишки сами подсказывают нам интересные образы. Например, из шишек можно сделать смешную птичку. Для ее изготовления нам понадобится ткань разной фактуры, клей и фабричные глазки.

Приклеиваем к шишке холщовые крылышки, клювик, животик и лапки из фетра. Ставим на свое место глазки.

Забавные птички из шишек — готовы!

Совы из шишек и ваты

Из шишек можно сделать очаровательных пушистых сов. Берем вату и вставляем ее между чешуйками шишек.

Приклеиваем два круга из фетра.

На круги из фетра крепим фабричные глазки. Приклеиваем клювики.

Совушки из шишек — готовы!

Шишечки раскрасить золотистой краской и расположить на небольшой подставке.

Большие совы из шишек

Красавица-сова станет прекрасным осенним украшением. Обклеиваем бумажный стаканчик шишками.

Заполняем шишками все боковые части стаканчика.

Приклеиваем шишки на верхнюю часть. Дополнительные шишечки станут глазками и ушками.

Длинные еловые шишки станут крыльями. Глазки из бумаги и носик приклеиваем поверх шишек.

Совушка готова! Размещаем ее на красивом осеннем постаменте, который украшаем листьями из фоамирана или бумаги, веточками, ягодками и желудями.

Из шишек можно сделать большую и красивую сову для осенней выставки. В основе поделки лежат два пенопластовых шарика, в которые вставляются и фиксируются клеем шишки.

Осеннее гнездо с птенцами из шишек

Из шишек, каштанов, листьев и веточек можно сделать очень эффектную осеннюю поделку. С помощью хорошего клея склеиваем шишки и каштаны. Это будущая головка и тельце птички.

Приклеиваем к заготовкам листики-крылышки.

Переплетаем между собой веточки. У нас должно получиться небольшое птичье гнездо. В дно гнезда вплетаем листики.

Приклеиваем птичкам глазки и клювики. Наши птички в гнезде — готовы!

Зайчик из шишек

Из шишек можно сделать любимца всех детей — зайчика. Для поделки нужно совсем немного — кусочек фетра, маленький помпон, фабричные глазки, бусина и хороший клей. Приклеиваем к шишке ушки из фетра и помпон-хвостик. Приклеиваем на свои места глазки.

Приклеиваем на место носика бусину и украшаем поделку усами-ниточками. Заяц из шишки — готов.

Фигурки из шишек своими руками

Такие забавные фигурки наверняка понравятся деткам и станут украшением осенней выставки в детском саду. Приклеив на шишки кусочки фетра мы получим прелестный лисичек.

Или белочек с орешком.

Если раскрасить шишки в желтый цвет и прикрепить им шарики-головки мы получим прелестных цыплят.

Из шишки, пушистой проволоки и нескольких фабричных глазок получатся забавный паучок.

Из шишки, войлока и фетра можно сделать замечательного зимнего снеговика.

Лесовик из шишки своими руками

Из шишки, веточек и пластилина можно сделать забавного старичка-лесовика. Из пластилина лепим голову и носик, закрепляем ручки-веточки.

Прикрепляем лесовику ножки, глазки и волосы.

Можно одеть платочек из листика. Поделка-готова!

Из даров осени можно склеить чудесного Змея Горыныча. Грецкие орешки склеиваются между собой. Между орешками приклеиваем кусочек красной пушистой проволоки. На верхний орешек приклеиваем глазки — у нас получиться головка. Делаем три таких заготовки. К каждой головке приклеиваем палочку, которую потом вставляем в шишку (обязательно фиксируем на клей). Приклеиваем ножки из грецких орешков, а так же крылышки и хвостик из сухих листиков.

Олени из еловых шишек

Очень интересная идея — сделать из еловых шишек гордых оленей. Тело и шею делаем из шишек. Ножки делаем из веточек. Головку оленю делаем из желудя. Детали поделки соединяем с помощью клеевого пистолета. Носик, глазки, рога и копыта делаем из пластилина.

Можно детали поделки соединить так же с помощью пластилина.

Прикрепляем веточки-ножки, головку-желудь и ветвистые рога.

Посмотрите на видео, как сделать оленей из шишек:

Очень красивый осенний олень получается из шишки, веточек и желудя.

Топиарий из шишек своими руками

Из шишек можно сделать очень красивый топиарий или дерево счастья. Вставляем острую палку в горшочек с гипсом.

С помощью клея-пистолета закрепляем на пенопластовом шаре шишки. Этот шар сажаем на палку. Горшочек обматываем веревкой.

Осталось украсить топиарий лентами и бумажными листьями. Горшочек украшаем стрелянными камушками и ракушками. Топиарий из шишек-готов!

Корзинка из шишек своими руками

Из шишек можно сделать очень оригинальную осеннюю корзинку. Эта поделка подойдет для осенней выставки в детском саду или школе. С помощью клея соединяем шесть шишек по кругу — это будущее дно корзинки.

Теперь так же соединяем восемь шишек — это верхняя часть корзинки.

Берем верхнюю часть корзинки и приклеиваем к ней по кругу шишки. У нас выйдет заготовка из двух рядов.

На эту заготовку приклеиваем дно корзинки, которое мы сделали вначале. В центральной части корзинки останется отверстие, которое мы «заклеем» шишкой.

Проволокой соединяем шишки для ручки. Ручку крепим к корзинке.

Украшаем корзинку цветами и ленточками.

Посмотрите, как сделать красивую корзинку из шишек на видео:

Еще один вариант исполнения и декорации корзинки из шишек:

Шишечки в верхней части корзинки и ручке можно располагать не внутрь, а наружу.

Букет цветов из шишек своими руками

Из шишек можно сделать очень оригинальный букет цветов. Для этого прикрепляем к нижним чешуйкам сосновой шишки проволоку.

Делаем несколько таких шишечек и оборачиваем их органзой (фиксируем ее клеем).

Скрепляем шишечки на проволоке между собой (привязываем к палочке и перематываем тейп лентой). Основа букета — готова.

Сами шишечки можно покрыть блестками. Букет стоит украсить бусинами и декоративными трубочками. Обернутый в сизаль и мешковину букет смотрится очень стильно.

Из окрашенных шишек можно сделать очень эффектную осеннюю композицию — букет цветов.

Из шишек получается отличная цветочная лужайка.

Букеты из шишек (видео)

Посмотрите, как сделать букет из шишек на видео:

Осенний букет из шишек и листьев (видео):

Новогодняя елочка из шишек

Поделки из шишек могут быть не только осенними, но и зимними. Из шишек можно сделать очень красивую новогоднюю елочку. Склеиваем из плотного картона конус.

С помощью клеевого пистолета приклеиваем сосновые шишки. Чтобы нижний ряд держался более прочно можно пришить шишечки к конусу.

С помощью клея приклеиваем все шишки на конус.

Обматываем елочку мишурой, бусами, маленькими шариками и звездочками из фетра. Такую красавицу можно смело посылать на конкурс новогодних поделок!

Новогодний подсвечник из шишек

Из шишек можно сделать очень эффектный новогодний подсвечник. Его можно использовать как украшение новогоднего стола.

Посмотрите, как сделать волшебный новогодний подсвечник на видео:

Композиции из шишек в детский сад (идеи из интернета)

Из шишек и фольги получаются очаровательные гномы.

В картонной коробке из шишек можно сделать интересную имитацию парка.

Поделки из шишек отзывы:

 Мне очень понравился топиарий и елочка) (alevita)

Поделки из шишек: что можно сделать из еловых и сосновых шишек для дома вместе с детьми (100 фото)

Что можно сделать из шишек

Вряд ли на свете существуют люди, которые не знают, что такое шишки. Но, как много из знают, что из такого уникального природного материла можно создавать оригинальные поделки из шишек? Достаточно найти немного времени, чуточку желания и, конечно, же шишки. Приложив к делу фантазию, ваш дом украсят неповторимые украшения.

Прежде чем начать творить, необходимо узнать некоторые секреты:

• — шишки меняют свою форму в тепле, они раскрываются. Для того, чтобы зафиксировать форму шишки, до начала работы, нужно опустить ее в теплый раствор столярного клея. Примерно секунд на 30, а затем просушить. Таким образом, можно избежать деформации уже готового изделия.
• — для изменения формы шишки, ее замачивают в воде. После чего шишку обвязывают веревкой, придавая нужную форму, и сушат.
• Зная, эти нехитрые правила, вы всегда будете создавать аккуратные и красивые поделки.

Детские поделки из шишек

Шишки — отличный материал для поделок, которые вы могли бы сделать вместе с детьми. Достаточно один раз съездить в лес, и у вас будет достаточно шишек для поделок на всю зиму. Осталось только придумать, что же из этих шишек можно сделать вместе с детьми. И вот вам несколько простых идей:

Другие поделки из осенних даров природы:

— Поделки из каштанов, колосков и других даров природы
— Поделки из осенних листьев
— Поделки из желудей
— Поделки из тыквы
— Поделки из веточек и прутьев
— Поделки из сухоцветов

Новогодние украшения из шишек

Зачастую из шишек делают украшения к новому году, развешивая по дому сосновые гирлянды, импровизированные елочки в горшках. Шишки позволяют создать из них практически весь новогодний декор. Самый простой способ сделать золотые шишки и украсить ими дом:

Шишки обладают множеством достоинств:

• — это чистый природный материал,
• — дают приятный хвойный аромат,
• — работа с шишками – это возможность совместного отдыха с детьми,
• — экономия денежных средств на дорогих игрушках к празднику.

Подвески из шишек

Самое простое новогоднее украшение — это подвеска, которая легко делается из одной-единственной шишки и атласной ленты.

Елочные украшения из сосновых шишек

Отличная идея поделок из шишек вместе с детьми — это елочные украшения. Сначала вы вместе делаете какие-то поделки вместе с вашим ребенком, а потом украшаете ими новогоднюю елку, люстру или другие элементы интерьера вашего дома. Вот вам идеи для елочных украшения из шишек:

Новогодний венок из шишек

Еще одна отличная идея — сделать из сосновых и еловых шишек новогодний венок, которым можно украсить двери ли стены вашего дома. Также в этом венок вы можете добавит сухоцветы, ленты и другие элементы, чтобы создать свое собственное произведение искусства.

Новогодний декор люстры из шишек

Шишками можно украсить люстру на новый год. Вот несколько фото:

Но, новогодние праздники приходят и уходят, а желание творить остается. Не стоит зацикливаться на новогоднем декоре, шишки позволяют разгуляться нашей фантазии и создавать из уникальные предметы декора.

Делаем шар из шишек

Если вам хватит терпения, из шишек можно сделать большой красивый шар для новогоднего и обычного декора дома. Шар можно как поставит на вазу, так и повесить на ленту к потолку.

Поделки из шишек: делаем подсвечник

Потребуются:

— спелая большая шишка
— плотный картон
— маленький стаканчик для свечи
— ножницы
— горячий клей.

Шишку необходимо разобрать на пластинки, делать это нужно аккуратно стараясь не повредить их. Из картона вырезать круг, он будет служить основанием для подсвечника. Если сделать круг слишком большим, одной шишки может не хватить. Круг должен превосходить стаканчик для свечи в два раза по диаметру. На готовый круг наклеить пластинки, в шахматном порядке, по краю. Это будет первый слой. Затем наклеивать второй слой пластин, в образовавшиеся просветы между пластинами первого слоя. Продолжать клеить слои, пока не достигните необходимой высоты подсвечника. Дать изделию просохнуть. В середину вставить стаканчик со свечей. Такой подсвечник способен украсить любой вечер. Аналогично можно делать и другие поделки из шишек.

Декор свечей из шишек

Если вам понравилась идея подсвечника из шишек, но вы не хотите делить шишку на части, вот вам несколько простых идей декора свечей и стеклянных подсвечников из еловых и сосновых шишек.

Медвежонок из шишек

Потребуются:

— еловая шишка
— четыре полураскрытых шишки сосны
— раскрытая большая сосновая шишка с закругленной макушкой
— перец горошком
— шляпки желудей
— ольховые шишки
— светлая береста
— спил дерева для основы.
— шило
— нож
— наждачная бумага
— ножницы
— клей
— лак.

Туловищем медведя послужит самая длинная еловая шишка. Именно к ней будут крепиться остальные детали. Соединять части изделия необходимо методом «чешуйка под чешуйку». То есть при соединении сдвигать шишки так, чтобы чешуйки одной шишки попали под чешуйки другой. Предварительно на них следует нанести клей, тогда они приклеятся друг к другу. Аналогично можно сделать елочку и другие вещи.

Сосновые шишки будут служить лапами. Шишки для задних лап должны быть немного больше передних.
Головой служит раскрытая сосновая шишка. Шляпки желудей будут на ней ушками и носиком, который следует наклеить на самую высокую точку шишки, так мордочка медведя визуально немного вытянется вперед.

Черный перец горошком станет глазками и кончиком носа. Что бы глаза были заметнее под них нужно подложить кусочки белой бересты. Готовую фигурку медвежонка приклеить клеем к основе из спила дерева.

Корзина из шишек

Потребуются:

— сосновые шишки, не менее 60 штук
— толстая проволока
— тонкая проволока
— термоклей.

Вначале необходимо соединить 10 или 12 шишек по кругу при помощи тонкой проволоки. Цвет проволоки лучше подбирать ближе к цвету шишек, что бы в дальнейшем ее не было заметно. Закрепляем проволоку на первой шишке, а затем следующую шишку просто оборачиваем проволокой. Нижние части шишек должны образовывать наружный край круга.

Затем делаем еще одно кольцо, меньшего диаметра чем первое. Для него нужно будет взять 8 или 10 шишек. Корзина состоит из 2 колец, при необходимости корзину можно сделать глубже, добавив дополнительное кольцо.

Готовые кольца скрепить друг с другом, используя термоклей. Для ручки используют 8 или 10 шишек, соединяя их между собой, подобно кольцам. Затем ручку из шишек крепят к каркасу из толстой проволоки, что бы она не теряла форму. Дном корзины служит круг из плотного картона. 2-3 шишки приклеить ко дну, наружу нижней их частью.

Фотогалерея: поделки из шишек своими руками

А теперь посмотрим на примеры такого, какие именно поделки из шишек вы можете сделать со своими детьми для детского сада или школы, а также для осеннего или зимнего декора дома или же в качестве подарка. Почему бы не сделать сову, лису, паука, птичку, цветочный горшок или букет?

Осенние поделки из шишек

Осень — отличное время для поделок из различного природного материала, хотя из шишек можно что-то мастерить в любой время года, главное, запастись ими в достаточном количестве, побывав хотя бы разок в сосновом или еловом лесу. Но если уж делать осенние поделки из шишек, то что-то на эту же тематику — используя кленовые листья, желуди и каштаны. Например, можно сделать красивый венок из листьев и шишек, а больше идей на фото ниже.

Зимние поделки из шишек

Зимой из шишек можно делать различные поделки для новогоднего декора дома — елочки и снеговики, елочные украшения, различные животные, украшения для окон и праздничного стола, венки на двери, гирлянды на стену и камин и другие вещицы, которыми можно оформить дом к Новому году и рождеству или использовать в качестве подарка, сделанного своими руками.

Поделки из шишек для детей 3-4 лет

С маленькими детьми до 3х-4х лет из шишек лучше делать что-то простое, с чем они справятся. Например, можно мастерить различных животных из шишек и пластилина — сова, лиса, лебедь, медведь (из нескольких шишек — мы уже выше писали, как его сделать), заяц, рыбка, крокодил, динозавр и любые другие животные — вот что вы можете смастерить вместе с вашим ребенком.

Поделки из шишек для 1, 2 и 3 класса

С детьми постарше, с тем, которые учатся в 1-3 классе, уже можно делать какие-то более сложные поделки, используя не только сосновые, еловые и кедровые шишки, но и другой природный материал. Это может быть снеговик на лыжах, лыжники в разноцветных куртках, большая поделка елка или медведь из нескольких шишек, а также дед мороз, лось, олень птица и другие елочные игрушки.

Поделки из шишек на новый год

С новогодними поделками из шишек все еще проще — сделайте то, чем вы сможете украсить дом — елку и снеговика, упряжку оленей Санта-Клауса, украшения для елки, окна, камина и стен для рождества, вещи для декора праздничного стола и самодельные подарки — это лишь малая часть того, что вы можете смастерить.

Больше идей для новогодних поделок из шишек вы найдете в этой статье.

Поделки из кедровых шишек

Если вы сумели достать большие кедровые шишки, то их также можно использовать для различных поделок. Совы, белки, подсвечники и новогодние елки — это лишь малая часть того, что может прийти к вам в голову. Кстати, можно использовать не целые шишки, а отдельные их части, например, из чешуек можно смастерить черепаху, а из кедровых орешков сделать дерево или очаровательный топиарий.

Поделка из 3 шишек

Давайте теперь посмотрим, что можно сделать из 3х шишек. Любая тройная поделка — три снеговика, совы или новогодние елочки разного размера выглядят более привлекательно, чем одна. Также можно сделать лису — тело, голова и хвост — вот вам и три шишки.

Поделка из 4, 5, 6, 7 и 8 шишек

Сложные поделки из нескольких шишек подойдут для детей из начальной школы. Скажем, можно смастерить чебурашку из 6 шишек, двух оленей или сов из 4 шишек, индюка из 5-ти, медведя из 8-ми или 7-ми, а сложную композицию из нескольких животных или других действующих персонажей — из стольких, сколько потребуется.

Поделка из шишек и веток

Не обязательно ограничиваться шишками, вы вполне можете комбинировать различные природные материалы в ваших поделках. Например, можно сделать птичек на ветках, дерева или букет в вазе (им можно украсить дом), круглый или пятиконечный венок из прутиков, украшенный шишками, и другие поделки, которые вы сможете придумать.

Поделка из шишек и листьев

Добавив к шишках кленовые и другие листья, вы получите более оригинальные поделки, более объемные и масштабные. Скажем, из шишек можно сделать туловище, а из листьев — крылья для лебедя, совы или любой другой птицы. Также листья можно пустить на кровлю домика, декор букета и другие вещи.

Поделка из шишек и каштанов

Также можно комбинировать шишки и каштаны — вот вам для начала куча идей того, что вообще можно сделать из каштанов.

А если совместить с шишками, получается различные забавные животные — зайцы и лоси, венки и человечки,, домики с фигурками и многое другое.

Больше идей про поделки из каштанов и желудей читайте в этой статье.

Поделка из шишек и желудей

Желуди также можно использовать для комбинированных осенних поделок вместе с детьми. Лыжники, мужчины и женщины, различные человечки, домики с огородом, гнезда с птичками и другие идеи — это лишь малая часть того, что можно смастерить, а для вдохновения вот вам еще несколько фотографий поделок из шишек и желудей.

Поделка из шишек елочка

Теперь рассмотрим самые популярные поделки из шишек и то, как можно их сделать. Начнем с елки. Тут есть два варианта. Первый просто — берем шишку и вставляем в горшок из наперстка или какого-нибудь другого маленького сосуда — вот вам и миниатюрная елочка. Шарики для нее можно смастерить из бисера, бусин или пластина, приклеив между чешуйками. А для большего сходства можно покрасить ее в зеленый цвет и украсить мишурой.

Поделка из шишек олень

Также вы можете сделать оленя из шишек. Туловище лучше всего мастерить из большой еловой шишки, а голову делать из маленькой сосной или вытянутого желудя. Для хвостика и ног используйте прутики или проволоку, а скрепить все это можно клеем.

Поделка из шишек лебедь

Лебедя из шишек также делают в детском саду довольно часто, так как это очень простая поделка. Сосновая или еловая шишка станет туловищем, шею и голову делаем из белого пластилина, а крылья — из него же, из ваты, бумаги, картона или засушенных листьев.

Поделка из шишек медведь

Медведя лучше всего делать из нескольких шишек. Выше в статье есть пошаговый мастер класс, а здесь мы собрали еще несколько идей, от простых, до более сложных поделок. Самая популярная идея — 6 шишек: голова, туловище и 4 лапы. Также можно просто взять одну шишку за основу, а голову и лапы слепить из пластелина.

Поделка из шишек птичка

Птиц из шишек можно смастерить самых разных. Таинственная сова, изящный лебедь, милая синичка, забавная ворона, натуралистчный снеговик, и конечно — курица и петух из шишек в качестве символа 2019 года — лишь малая часть идей, которые вы можете реализовать вместе с вашим ребенком.

Поделка из шишек сова

И если уж говорить про птиц, нельзя не вспомнить про сову, так как она лучше всего получается из такого природного материала, как сосновые и еловые шишки. Главное — сделайте из бумаги или чего-то еще большие круглые выпуклые глаза — достаточно приклеить их к шишке со стороны хвостика, добавить крылья из перьев, бумаги или пластилина — вот поделка и готова.

Аналогичным образом вы можете сделать из сосновых, еловых и кедровых шишек и любых других животных. Это может быть лиса или заяц, пингвины и снегири, ежик и поросенок, собака или кошка, лошадка или овечка. В общем — все зависит лишь от вашей фантазии и того, как природные материалы есть у вас под рукой.
Также рекомендуем просмотреть:

• Поделки своими руками на Рождество Христово
• Украшаем пустую стену своими руками
• Поделки на кухню своими руками
• Новогодние карнавальные костюмы
• Как украсить комнату своими руками к Новому 2019 году
• Делаем новогодние поделки своими руками
• Зимний декор дома своими руками
• Как сделать новогоднюю поделку символа 2019 года жёлтой Свинки своими руками
• Поделки из старых джинсов своими руками
• Как и из чего сделать новогоднюю собаку своими руками
• Новогодние поделки своими руками к 2019
• Елочные игрушки своими руками к 2019 году из подручных материалов
• Новогодние подарки своими руками к 2019 году
• Елочные игрушки и новогодние украшения из фетра своими руками
• Новогодние поделки из шишек своими руками
• Новогодний венок своими руками
• Из чего и как сделать елочку к Новому году
• Настенная вешалка в прихожей
• Поделки из молнии своими руками
• Поделки к 1 сентября своими руками к школе и детскому саду
• Домашняя мастерская
• Украшаем квартиру
• Обновление старой стенки своими руками
• Поделки из пластиковых труб ПВХ
• Что можно сделать из старой двери
• Поделки из стеклянных бутылок для дома и дачи
• Деревянная вешалка своими руками
• Поделки из картонных коробок
• Поделки для дачи из подручных материалов
• Поделки из крышек от бутылок для дома и дачи
• Мебель из шин
• Поделка миньон своими руками
• Что можно сделать из старой деревянной бочки своими руками
• 50 идей подарков на 8 марта своими руками
• 50 идей подарков на 23 февраля своими руками
• Подарок на 8 марта своими руками
• Вдохновение дня
• Речная и морская галька в интерьере
• Самодельный декор дома и подарки на день святого Валентина
• Валентинки на 14 февраля своими руками
• 50 идей подарков на 14 февраля своими руками
• Отпечатки растений на аксессуарах в интерьере
• Поделки из пуговиц своими руками
• Декор своими руками
• Поделка снеговик
• Поделки для дачи из шин и автомобильных покрышек
• Новогодние подарки своими руками
• Новогодние игрушки своими руками
• Плоские новогодние елки на стене
• Новогодние поделки своими руками
• Новогодний декор дома своими руками
• Мешковина в современном интерьере
• Поделка петух на новый год
• Новогодние поделки из бумаги своими руками
• Осенняя корзина
• Украшаем интерьер
• Идеи для поделок из осенних цветов
• Осенние поделки
• Идеи для осенних поделок
• Осенние поделки из тыквы своими руками
• Мобили для детской своими руками
• Ловцы снов своими руками
• Какие подсвечники можно сделать своими руками
• Уютные светильники своими руками
• Простой декор картонных коробок
• Поделки из фетра для дома своими руками
• Подарки своими руками на день святого Валентина
• Открытки на 8 марта своими руками
• Весенние поделки для дома вместе с детьми
• Украшения для дома и подарки на 14 февраля из бумаги
• Как и из чего сделать обезьяну своими руками
• Плетеные корзинки своими руками
• Новая жизнь для старого комода
• Какого снеговика слепить с детьми и как это сделать
• Как и из чего сделать журнальный столик своими руками
• Барная стойка своими руками
• Аксессуары и предметы декора из проволоки в интерьере
• Поделки из камней и морской гальки
• Поделки из овощей и фруктов своими руками
• Как сделать, оформить и украсить фальшкамин
• Поделки из желудей для дома
• Идеи поделок для дома из каштанов, желудей, шишек, колосков и других осенних даров природы
• Осенние поделки
• Поделки из осенних кленовых листьев своими руками
• Осенние поделки в технике квиллинг
• Делаем украшения из тыквы для сада, дачи и дома своими руками
• Декор для дома из природных материалов
• Садовая мебель из дерева, веток, пеньков и коряг
• Как хранить дрова
• Настенные часы своими руками
• Что сделать из стеклянных бутылок
• Поделки для дачи из стеклянных бутылок
• 3 способа, как сделать удобный пуфик своими руками
• Что можно сделать из стеклянных банок
• Идеи поделок из веточек и прутьев своими руками
• Подарки к 8 марта своими руками
• 10 идей подарков ко Дню Святого Валентина
• Плетем коврик своими руками
• Бабочки на стенах своими руками
• Как использовать веревки, шнуры и канат в интерьере
• Как и из чего сделать полочку для дома своими руками
• Поделки
• Пэчворк
• Необычное изголовье кровати в спальне своими руками
• Узор зигзаг в интерьере
• Из чего можно сделать ежика
• Топиарий, новогодняя елочка, животные и другие поделки из каштанов
• Осенние поделки из бумаги
• Что сделать из жестяных и стеклянных банок
• Подушка-сова своими руками
• Поделки для дачи из морской гальки своими руками
• Мебель из паллет для дачи своими руками
• Вазы из стеклянных бутылок своими руками
• Для меломанов
• Птицы и животные из пластиковых бутылок своими руками
• Стальное кружево
• Делаем миниатюрный заборчик
• Как сделать журнальный столик из бревен и стали или стекла своими руками
• Как сделать божью коровку из подручных материалов для декора сада
• Сухоцветы в интерьере
• Поделки из пенопласта для дачи
• Поделки из пластиковых бутылок для дачи и сада
• Весенние поделки в стиле квиллинг своими руками
• Эко-декор из веток в интерьере
• Что можно сделать из виниловых пластинок
• 6 идей поделок из старых мягких игрушек своими руками
• Дары моря для украшения дома
• Как сделать журнальный столик из березовых поленьев своими руками
• Как сделать переносной мини-садик из книги и суккулент своими руками
• Что можно сделать из винных пробок
• Что можно сделать из старого чемодана
• Как сделать круглый светильник из кружева своими руками
• Яркие вазы из стеклянных бутылок своими руками
• 5 идей подарков на 14 февраля своими руками
• Чай в подарок на 14 февраля своими руками
• Баночка, коробка, книжка
• 14 мастер классов
• Делаем летающие острова
• Помпоны из тюли своими руками
• Мобиль с бабочками своими руками
• Строим яркую иглу из разноцветных ледяных кирпичиков
• Что можно слепить из снега вместе с детьми
• Вязаный декор

Поделки из шишек своими руками фото схемы для детей

Знаете ли вы, что из шишек можно создать оригинальные поделки? Этот природный материал широко используется для изготовления фигурок, подсвечников, гирлянд и даже елочек. В детском саду поделки из шишек своими руками сделать можно по фото и схемам для детей. Такой вид рукоделия хорошо влияет на развитие фантазии и творческих способностей ребенка.

Схемы поделок из шишек для детей

В старшей группе дети уже умеют вырезать, поэтому можно скомбинировать шишки и детали из фетра. Вырежьте кружочки для глаз или крылья в форме листочков. Эти же детали можно сделать из бумаги. Приклеивайте элементы с помощью горячего клея или на пластилин бумажные детальки.

Сова из шишек

Оригинально смотрятся целые композиции из шишек, каштанов, желудей и веточек. На фото вы можете увидеть пример красивых поделок.

На схеме вы можете увидеть пошаговую инструкцию, как сделать петушка.

Дети любят делать героев из мультфильмов. Предлагаем схему лисы, которая есть практически в любой сказке.

Лиса схема

В детском саду можно сделать большую коллективную поделку из пластиковой бутылки и шишек. Дети могут придумать идею, подготовить шишки, сделать украшения для поделки, а воспитатель поможет приклеить шишки к бутылке.

Ежик из бутылки и шишек

Шишки могут стать украшением интерьера в детском саду, если их покрасить. Пусть дети раскрашивают шишки разными красками, а потом сложат их в одну банку.

Милых черепашек ваши дети сделают из шишки из пластилина. Для этого подготовьте шишку, чтобы она была не выпуклой, а плоской.

Красиво будет смотреться букет цветов из шишек. Для этого шишки тоже нужно покрасить и потом закрепить на подготовленные стебли.

Букет из шишек

Попробуйте проиллюстрировать какой-то сюжет, а потом дети могут придумать историю и рассказать ее. Маленьких мышек тоже можно сделать из шишек, главное, придумать мордочку и хвостик.

Веселые девочки-лыжницы из шишек станут хорошей альтернативой детским игрушкам. На фигурки можно примерить шапочки и шарфики, вырезанные из лоскутков.

Также почитайте: Поделки из шишек для детей

Более сложная поделка из шишек – это топиарий. Для того чтобы его сделать, нужно подготовить основу из пенопласта, разрезать шишки и приклеить их. Установите шар в горшок и прикрасьте. Такой топиарий будет оригинальным подарком и украшением интерьера.

Ваши дети смогут своими руками сделать любую поделку из шишек, если использовать фото и схемы готовых работ. Проявляйте фантазию и тогда досуг или занятия в детском саду будут интересными.

Новогодние поделки из шишек. 20 примеров, как сделать поделки из шишек на Новый год.

Делать поделки из шишек на Новый год, да и из любого другого материала, всегда очень интересно. К тому же можно сделать совершенно удивительные предметы декора, практически без затрат.

Новый год совсем скоро, и мы решили предложить несколько вариантов новогоднего декора для дома. С ними создать праздничное настроение очень просто и быстро. К примеру, елка из шишек еловых своими руками может быть основой зимней композиции или уютно устроиться под новогодней елочкой.

Для этой новогодней поделки из шишек нужны будут:

• раскрывшиеся крупные сосновые или еловые шишки,
• маленькие горшочки (их можно заменить небольшими силиконовыми формочками для выпечки кексов),
• клей,
• акриловая краска яркого цвета,
• блестящий глитер для украшения поделки из еловых шишек,
• маленькая звезда на макушку и бусинки для новогоднего украшения.

Как сделать елку из шишек:

• Раскрасить шишку краской.
• Нанести глитер для яркости и новогоднего настроения.
• Приклеить сверху звезду и другие украшения (например, бусинки на «лапах у елочки»).
• Поставить елку из шишки в горшочек, если нужно приклеить, чтобы поделка крепко держалась.

И елка из шишек для детского сада — готова! Такая новогодние поделки из шишек очень хорошо будет смотреться на праздничном столе, подоконнике и туалетном столике.

Если у вас много сосновых шишек и есть клей — пистолет, то вы можете сделать елочку побольше. Для этого вам нужен будет конус из бумаги. Это основа. К ней приклеивайте сухие сосновые шишки по кругу, начиная с нижнего яруса. Все высушите и покройте сверху аэрозольной краской и блестками.

Если такая елка из шишек поделка будет сделана с добавлением пряных деталей: высушенных мандаринов, корицы, ягод, гвоздики, то они будут потрясающе пахнуть.

Сделать милую новогоднюю гирлянду из шишек проще простого. Нужно просто запастись достаточным количеством сосновых шишек и натуральной веревкой — бечевкой (ее может заменить тонкие полоски, нарезанные из мешковины). Закрепите при помощи клеевого пистолета шишки на веревке, добавьте блестящие бусинки и потрясающие новогодние поделки из шишек в стиле рустик готовы! Такая гирлянда из шишек невероятно уютная и домашняя.

Если такие поделки из шишек на Новый год покрыть искусственным снегом или белой краской, то они будут потрясающе заснеженными. Просто великолепное зрелище, особенно, если в вашем доме появится новогодний камин из коробок. Вы сможете украсить его этим невероятно зимним украшением.

Создать невероятно зимний и сказочный эффект можно, если покрыть сухие шишки мелкой солью. Для этого на чешуйки нанесите клей ПВА, посыпьте мелкой белой солью. Высушите, а затем сверху с брызните лаком для волос для закрепления «снега».

Подготовленные таким образом зимние шишки можно использовать для создания новогодних композиций.

Традиция делать новогодний венок из шишек пришла совсем недавно, но очень полюбилась всем. Чтобы сделать рождественский венок понадобится терпение, но результат стоит того.  Можно использовать как сосновые, так и еловые шишки. А так же разнообразные декоративные элементы — ягоды, веточки, снежинки.

Чтобы сделать новогодний венок из шишек своими руками будет нужно:

• много высушенных шишек, разного размера или одинаковые, в том числе пригодятся и желуди;
• декоративные элементы;
• коричневая акриловая краска и кисть;
• клеевой пистолет;
• основа для венка.

Новогодний венок из шишек мастер класс:

• Сначала вам нужно будет подобрать основу для изготовления венка. Ее можно найти готовую, из пенопласта, а можно сделать самим из папье маше или из пенопластовой палки — водяного пистолета. Он отлично сгибается. Делаем из него круг и фиксируем изолентой.

• Красим основу рождественского венка коричневой краской, в тон к шишкам.

• Плотно друг к другу приклеиваем шишки и желуди.

• Украшаем венок из шишек на Новый год яркими помпончиками (их можно найти в Леонардо).

• И все готово, как видите, в том, как сделать венок из шишек, нет ничего сложного. Просто нужно немного усидчивости и терпения.

Если у вас есть маленькие детки, которые еще ходят в детский сад, то вам очень повезло. В предновогоднюю пору вы можете заняться изготовление поделок животных и зверюшек для детского сада.

Как правило, шишка выступает в качестве основы — тела. А затем к ней при помощи клея или пластилина прикрепляются другие детали — хвост, уши, ноги, глазки, носик.

Чтобы точно решить на кого будет похожа ваша шишка — повертите ее в руках, посмотрите на нее внимательно, а затем принимайтесь делать зимние поделки из шишек в детский сад.

Вот, к примеру, совушка из шишек делается очень быстро и просто. Для хвоста нужны будут перышки, глазки — готовые, клюв из фетра.

Еще вариант сделать поделку совы в детский сад — это сделать многослойные цветные глаза и клюв. Даже этих характерных деталей будет достаточно, чтобы было понятно, что перед нами сова.

Чтобы птички хорошо стояли на выставке поделок в садике их можно установить на подставки — спилы от не широких веток деревьев.

Покройте птичек блестящей аэрозольной краской и выглядеть поделки из шишек на Новый год будут очень эффектно. Такие птички могут стать прекрасными елочными игрушками для украшения елки.

Отличная идея сделать в детский сад — ангела. Он ассоциируется с рождеством, такой нежный и чистый как, наши дети.

Очаровательная корзина из шишек всегда пригодится в зимнем интерьере. А делать ее довольно просто. Возьмите глубокую миску, переверните ее, и приклеивайте при помощи клеевого пистолета шишки ряд за рядом.

Делается поделка из шишек корзина довольно долго, поскольку нужно просушивать каждый ряд, прежде, чем приступать к изготовлению нового. По окончании работы, можно корзину сбрызнуть лаком для волос с блестками и она будет искриться на свету.

Создайте в своем доме атмосферу уюта и праздника, поделки из шишек вам в этом помогут! И обязательно поделитесь новогодними идеями с друзьями! У нас их еще много!

50 необычных и интересных поделок с фото и видео

Шишки, казалось бы, самый обычный природный материал. Каждый человек может сделать очень интересные поделки из шишек своими руками. Достаточно иметь хотя бы немножечко желания, фантазии, и, конечно же, найти шишки. И тогда Вы сможете вполне оригинально украсить свое жилище.

В этом деле есть, конечно же, свои хитрости, которые нужно знать, прежде, чем начинать делать поделки из шишек:

• В теплом помещении шишки способны немного меняться по форме, т.е. они раскрываются. Но ту самую форму, которая у нее изначально, можно и зафиксировать. Для этого опустите ее в раствор со столярным клеем на полминуты, после чего просушите.
• Что шишка изначально изменила свою форму, необходимо замочить ее в простой воде. Далее ее необходимо обвязать веревкой и придать нужную форму, после чего просушить.

Поделки для детей из шишек

Шишки – это отличный материал, из которого создаются самые разнообразные поделки. Это замечательный способ для совместного занятия и времяпрепровождения с детками. Найти шишки можно на прогулке в парке, а если выехать в лес, то и вовсе можно запастись этим материалом на всю зиму! Остается лишь придумать оригинальную идею поделки из шишек своими руками и воплотить ее в реальность.

«Новогодние» Шишки

Очень часто этот материал используется для множества всевозможных декораций и украшений в период новогодних праздников. Наиболее простым является способ создания золотых шишек для украшения собственного дома.

Ко всему, у этого материала очень много преимуществ. Основные среди которых, это:

• Они являются чистейшим материалом
• Обладают невероятно приятным ароматом хвои
• Создавать поделки из шишек – не только очень интересно и увлекательно, но и замечательный способ провести время с малышом
• Очень неплохая экономия на покупке новых украшений для дома.

Подвески

Самые простые варианты, что можно очень легко сделать, имея всего лишь одну шишку и ленту из атласа. Смотрите фото поделки из шишек.

Украшения на ёлку

Прекрасный способ для совместной работы с детьми. Ведь вы будете не только вместе с ними делать подделки, но также и украшать вашу елку, люстры, и иные элементы домашнего интерьера!

Веночек на Новый Год

Новогодним венком из шишек, принято украшать входных или межкомнатные двери дома, стены. Кроме основного материала для создания венка также можете использовать сухие цветы, ленточки и прочее, благодаря чему вы создадите самый неповторимый шедевр искусства собственными руками.

Новогодняя декорация для люстры

Можно сделать очень оригинальное украшение на люстры. Для этого смотрите фото поделки из шишек.

Поделка из шишек — шар

Такой шар получается достаточно немаленького размера. Он может быть как в качестве новогоднего декора для дома, а также и обычным украшением любого помещения. К примеру, его можно поставить на вазочку, подобрав ее нужной формы, или же при помощи ленты подвесить под потолок. Единственное, что необходимо кроме шишек для создания декоративного шара – это терпение.

Вам будет интересно:

Шишечный подсвечник

Для его создания необходимо подготовить: большую и спелую шишку, картон (плотный), ножницы, разогретый клей и небольшой стаканчик, в который поставить свечу.

Шишка очень аккуратно разбирается на кусочки (пластинки). Из картона вырезается круг, который будет основанием. Его диаметр не должен быть слишком большим. Достаточно в два раза больше, чем диаметр стаканчика со свечкой. Далее, на этот круг клеятся шишечные пластины, по краю и в шахматном порядке. Вторым слоем также клеятся пластинки, но уже в оставшиеся в первом ряду просветы. И так продолжайте клеить ряд за рядом. Высота должна получиться такой, какую высоту подсвечника вы хотели бы получить. После чего изделие просыхает, и в серединку его можно будет поставить стаканчик со свечкой. Ваша самодельная оригинальная декорация готова!

Поделка из шишек медвежонок

Наверняка вам приходилось сталкиваться с вопросом, как делать поделки своими руками из шишек для детского сада. Форма медвежонка очень порадует малышей.

Для ее создания подготовьте: 1 шишку ели и 4 наполовину раскрытых и 1 совсем раскрытую шишку сосны, у которой закруглена макушка, черный горошек, желудевые шляпки, шишки ольхи, бересту белого цвета, деревянный спил (основа поделки), нож и шило, наждачную бумагу, лак и клей.

Для медвежьего туловища нужна удлиненная шишка. При создании такой поделки своими руками из шишек для детского сада, крепятся детали друг к другу «под чешуйку», с предварительно нанесенным клеем на необходимые части шишек.

Сосновые шишки – это лапки «медвежонка». Для головы используйте раскрытую шишку. Уши и нос из шляпок желудей. Они клеятся на наиболее высокую часть шишки. Черный перец – в качестве глазок и кончика носа. А чтобы глазки медвежонка выделялись и вообще были видны, под них подкладывается кусочек бересты. Готовый медвежонок клеиться к основанию (деревянному спилу).

Также можно создавать самые разнообразные поделки из шишек и пластилина, достаточно лишь немножко пофантазировать!

50 фото-идей поделок из шишек

Поделки из шишек своими руками, 10 идей с фото, мастер-классы

Из шишек можно создать огромное количество поделок. Шишки являются природным материалом, а также имеют приятный аромат хвои. В этой статье мы рассмотрим, как сделать поделки из шишек своими руками.

Корзина из шишек

Вам понадобится: раскрытые шишки (от 50 до 300 штук), проволока, клеевой пистолет либо суперклей, лак.

Мастер-класс

1. Нарежьте проволоку на кусочки.
2. Обмотайте вокруг кусочек проволоки на каждую шишку.
3. Соберите из шишек цепочку, скручивая кусочки проволоки между собой.
4. Соедините кольцо.
   
5. Сделайте ещё 2 круга таким способом. Диаметр кругов зависит от формы будущей корзины. Он может быть ровным, в верхней части более открытым и наоборот. Для создания ровной круглой корзинки используйте круги одного диаметра. Если Вы хотите зауженную верхнюю часть – то диаметр верхних кругов должен быть немного меньше нижнего круга. Чтобы создать корзинку с раскрытой верхней частью, зауженной к низу – то диаметр верхних кругов должен быть немного больше нижнего круга.
6. Для корзины сплетите 3 круга шишек.
   
7. Соедините круги между собой с помощью сплошного отрезка проволоки в вертикальном направлении, плотно стягивая между собой, либо склейте их суперклеем ли клеевым пистолетом.
8. Сделайте дно корзины таким способом: соедините 3 шишки, сформировав цветочек. Продолжайте плетение по кругу, скручивая кусочки проволоки между собой, пока не достигнете нужного размера дна корзины.
9. Приклейте дно к нижнему кругу.
10. Сделайте ручку таким способом: намотайте на каждую шишку по 2 отрезка проволоки, сплетите цепочку и дополнительно зафиксируйте клеем с внутренней части шишек.
11. Оставьте несколько сантиметров проволоки с двух сторон ручки.
12. Прикрепите ручку к верхнему кольцу корзины.
13. Покройте поделку лаком.

Корзина из шишек готова! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

Поделка на тему Осень — корзинка из шишек, цветы из листьев дерева

Ёжик из шишек

Вам понадобится: шишки, пластилин серого и чёрного цвета.

Мастер-класс

1. Слепите из серого пластилина тельце ёжика.
2. Сформируйте вытяную мордочку.
3. Слепите глазки и носик из чёрного пластилина.
4. Прикрепите на мордочку.
5. Прикрепите шишки к телу ёжика плотно друг к другу.

Ёжик из шишек готов! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

How to make a hedgehog of cones:Как сделать аппликацию Ёжик:Поделки из шишек

Цветы из шишек

Вам понадобится: шишки, хворост, акриловая краска разных цветов, кисточка, цветная бумага зелёного цвета, ножницы, клеевой пистолет, ваза.

Мастер-класс

1. Покрасьте шишки в яркие цвета.
2. Отложите их в сторону и дайте просохнуть.
3. Возьмите хворост, отмерьте длину будущих стебельков, используя вазу.
4. Отрежьте лишнюю длину хвороста.
   
5. Покрасьте палки в зелёный цвет.
6. Дождитесь полного высыхания.
7. Вырежьте листочки из цветной бумаги.
8. Приклейте листочки к палкам.
9. Приклейте шишки на кончик палочки.
10. Поставьте цветы в вазу.

Цветы из шишек готовы! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

Мишка из шишек

Вам понадобится: шишки, клеевой пистолет либо суперклей, 2 чёрные пуговки, ножницы, белая ворсистая ткань, шарфик.

Мастер-класс

1. Подберите шишки нужных размеров: 3 вытянутых для туловища, 1 большая круглая для головы, 2 круглых и 2 вытянутых для лап.
2. Склейте между собой 3 шишки, формируя туловище.
3. Приклейте голову к туловищу.
4. Приклейте лапки.
5. Приклейте глазки, используя чёрные пуговки.
6. Вырежьте из ткани круги для лап, затем приклейте их.
7. Вырежьте полукруги из ткани для ушек, затем приклейте их.
8. Вырежьте круг из ткани для мордочки с дырочкой внутри, затем приклейте его.
9. Украсьте мишку, завязав шарфик.

Мишка из шишек готов!

Чтобы создать шикарные поделки, нужно покрасить шишки красками и украсить блёстками. Очень удобный способ украшения шишек смотрите в этом видео!

Ёлка из шишек

Вам понадобится: шишки, картон, клеевой пистолет либо суперклей, элементы декорирования хвойные ветки, мишура…

Мастер-класс

1. Определитесь с размером будущей ёлки.
2. Сделайте конус из картона.
   
3. Приклейте шишки.
4. Задекорируйте на свой вкус.

Ёлка из шишек готова! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

Гирлянда из шишек

Вам понадобится: шишки, верёвка, клеевой пистолет либо суперклей, спрей-краска и блёстки по желанию.

Мастер-класс

1. Покрасьте шишки.
2. Посыпьте блёстками.
3. Сделайте отметки на верёвки в тех местах, где будут прикреплены шишки.
   
4. Оставьте по 10 см верёвки с каждой стороны, для дальнейшего закрепления гирлянды.
5. Нанесите каплю клея на основании шишки, приклейте на верёвку, плотно подержите в течение 5 секунд.
6. Таким способом приклейте все шишки.
7. Повесьте гирлянду.

Гирлянда из шишек готова! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

Новогодние игрушки. Гирлянда из шишек || Идеи рождественского декора от Westwing Russia

Снежинка из шишек

Вам понадобится: длинные сосновые шишки, клеевой пистолет либо суперклей, маленькая бумажная снежинка либо кружево, элементы декорирования.

Мастер-класс

1. Склейте нижние стороны шишек между собой.
2. Прикрепите в центр снежинки кружево.
3. Задекорируйте на свой вкус.

Снежинка из шишек готова! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

Рождественский венок из шишек

Перед процессом изготовления венка хорошо продумайте его дизайн и цветовую гамму. Он может быть обычным, сделанным из одних шишек, а может и праздничным. Следуйте простому мастер-классу и руководствуйтесь собственной фантазией. Также просмотрите фото-галерею идей венков из шишек!

Вам понадобится: шишки, картон, клеевой пистолет, спрей-краска (по желанию), элементы декорирования, бусины, блёстки, цветы, атласные ленты…

Мастер-класс

1. Сделайте из картона каркас круглой формы желаемого размера.
2. Покрасьте шишки и украсьте блёстками.
   
3. Приклейте шишки.
4. Задекорируйте венок на свой вкус.
5. Прикрепите подвеску из ленты.

Рождественский венок из шишек готов! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

DIY Рождественский венок из шишек своими руками. Как сделать новогодний венок. Основа для венка.

Шар из шишек

Вам понадобится: шишки, шар из пенопласта, лента, проволока, лак для волос, клеевой пистолет либо суперклей, блёстки по желанию.

Мастер-класс

1. Сбрызнете шишку лаком для волос.
2. Посыпьте блёстками.
3. Прикрепите снизу шишки проволоку, закрутив её по спирали.
   
4. На кончик проволоки нанесите клей.
5. Вставьте в шар.
6. Прикрепите все шишки к шару таким же способом.
7. Прикрепите ленту для подвешивания.

Шар из шишек готов! Рекомендую к просмотру видео мастер-класс!

Дед Мороз из шишек

Вам понадобится: шишки, полимерная глина, клей ПВА, кисточка, суперклей, лак для волос, блёстки, тонкая проволока, лента.

Мастер-класс

1. Сделайте шапку деда Мороза таким способом: скатайте из полимерной глины шарик, затем смастерите конус, загните кончик и прикрепите к шишке.
2. Слепите 4 шарика из полимерной глины: один шар должен быть большим – из него слепите бороду. Два шара сделайте среднего размера – из них слепите усы, и один маленький шарик используйте для носа.
   
3. Прикрепите детали к шишке.
4. Проведите кисточкой по усам и бороде, создавая реалистичные полосы.
5. Проденьте кусочек проволоки через шапку деда Мороза и скрутите петлю.
6. Положите поделку в духовку на 15 минут (135 градусов), чтобы глина застыла.
7. Вытащите поделку из духовки. Полимерная глина может отклеиться из-за высокой температуры. Если у Вас так произошло, не отчаивайтесь – просто приклейте отпавшие части.
   
8. Привяжите ленту к проволоке.
9. Сбрызните шапку лаком для волос.
10. Посыпьте блёстками.

Дед Мороз из шишек готов!

Из шишек можно сделать чудесного снеговика. Подробный мастер-класс смотрите в этом видео!

Поделки из шишек прекрасно украсят декор и станут отличным подарком, которого не найти в магазинах. Этот природный материал можно насобирать в парке, лесу и посадке. Стоит отметить, что перед процессом изготовления поделки нужно хорошо очистить шишки. Если Вы насобирали нераспустившиеся шишки, после очистки покройте их столярным клеем, так как в тёплой среде шишки могут распуститься и ваша поделка испортится. Фантазируйте и творите вместе со своими руками!

Какие поделки можно сделать из сосновых шишек

Поделки из шишек – приятный вид творчества для детей и взрослых. Еловые и сосновые шишки уже давно стали сырьем для миниатюрных фигурок и художественных композиций. Такой вид подручных материалов общедоступен и совершенно бесплатен.

Какие поделки можно сделать из шишек

Смастерить что-то своими руками – возможность творить и скоротать часок-другой в кругу семьи. Что, как не дары природы, станет отличным исходным материалом для очередной поделки? К тому же осенью дошколят и учеников младших классов ждет урок ручного труда, на котором чаще всего просят сделать поделки из шишек своими руками. Для родителей это не просто возможность помочь чаду, но и вспомнить собственное детство.

Не одно поколение занимается изготовлением поделок, и вы вовсе не первые. Не зная с чего начать, не изобретайте велосипед, а воспользуйтесь наработками других родителей – людей, которые корпели осенними вечерами над забавным ежиком или медвежонком из шишек. Кто знает, может в вас проснется тяга к творчеству, и вы перейдете от простой поделки к сложным изделиям? Все начинают с малого, но следуют одним и тем же рекомендациям.

Маленькое изделие в садик или школьный класс обойдется и одной шишкой, но вот интерьерная композиция потребует немало усилий и много природного материала. В любом случае необходимы инструменты и вспомогательная фурнитура. В изготовлении поделок найдется место для следующего:

• войлок;
• флис;
• фетр;
• нити натуральной ткани и шпагат;
• тесьма;
• стеклярус, бисер, глиттер;
• отдельные бусины и длинные бусы;
• шары;
• пуговицы;
• металлические детали;
• фольга;
• скульптурный или застывающий пластилин;
• цветная бумага или картон;
• краски;
• клей;
• спички.

В работе используют ножницы, клеевой пистолет, кисти, губку и вдохновение, ведь без него никак. От творческих задач зависит перечень исходного материала и необходимых инструментов.

В покраске шишек используют акриловые, аэрозольные и водно-дисперсионные краски. Покрасить шишку сосны можно целиком или послойно. В первом случае ее окунают в краску, во втором – работают кистью. Перед тем, как погрузить ее в емкость с краской, к ней цепляют крючок или подвязывают нить. Аэрозольные краски распыляют на балконе или улице, водно-дисперсионные составы наносят губкой или спонжем, окрашивая кончики чешуек. Придать праздничного блеска можно с помощью лака для ногтей или клея, предварительно смешанного с рассыпчатыми блестками.

Поделки, которыми вы планируете наслаждаться не один год, нуждаются в предварительной обработке. Перед творческим процессом, а особенно окрашиванием, необходимо очистить шишки от смолы. Для этого потребуется сделать следующее:

• тщательно промыть шишки;
• на протяжении 3-х часов вываривать их в кипятке, периодически сменяя воду;
• просушить в духовке или оставить на несколько дней до полного высыхания.

Взамен перечисленному используют любой отбеливатель, в состав которого входит хлор. Чаще всего выбирают белизну. После того как промыли шишки проточной водой, их погружают в отбеливатель на сутки. Спустя 24 часа, снова промывают и хорошо высушивают. Белизна не только разрушает смолу, но и осветляет чешуйки. После отбеливателя шишки легче поддаются окраске и хорошо держат краску.

Обратите внимание! Перед тем, как сотворить новое изделие, собирайте подходящий материал. В ход идут разные шишки: раскрытые или частично раскрытые. Последние полностью открывают чешуйки при комнатной температуре. Чтобы раскрыть шишки, разложите их в теплом месте дома (возле обогревателя или отопительного радиатора). По истечению 2-3 дней они полностью раскроются. Если открытые шишки нужны срочно, просушите их духовке на низкой температуре.

Когда творческая задумка предполагает использование закрытых шишек, их нужно окунуть в столярный клей и дать время для просушки. Клей сохранит форму и не позволит чешуйкам открыться на протяжении длительного времени. Чтобы шишки полностью высохли после очистки водой и дополнительной обработки, понадобится не менее 3-х дней.

Поделки , которые можно сделать из сосновых и еловых шишек:

• Елочное украшение из шишки, веток, бусин и ленты.
• Венок из шишек, веточек с ягодами, колосками и кленовыми листьями.
• Детские поделки из шишек и пластилина.
• Индюк из шишек и фетра.
• Шишки «в снегу», покрашенные белой акриловой краской.
• Динозаврик из плюски и шишек.

Рамка для фотографии из картона и чешуек шишек

Пришло время переходить от слов к делу. Следуйте нижеприведенной инструкции и создавайте свою первую поделку. Возможно, у вас получится копия шедевра или его красивая «подделка».

Цветы и букеты из шишек

Пошаговый мастер-класс по изготовлению поделки поможет создать небольшой художественный ансамбль. Цветы из шишек осилит даже ребенок, а со взрослыми сделает работу аккуратнее.

Как и настоящее растение, искусственный цветок состоит из стебля, листьев и бутонов. Можно сделать один цветок или интересный букет, оставив одни «бутоны» или не используя листья. Для работы потребуются шишки, ветки дерева (хворост), стойкая краска, бумага и клей. Дополнительный декор выбирайте на свое усмотрение.

В предложенной композиции стебли заменят палочки, а бутоны – шишки. Выкрасить нужно каждый элемент, но перед этим подготовить рабочее место, необходимый инвентарь и материалы.

Легкий образец поделки из шишек в школу – «Цветочный букет»:

• вымойте и хорошо просушите, чтобы раскрылись все чешуйки;
• просушите деревянные палочки или веточки;
• подготовьте малярную кисть, краску, флористическую ленту зеленого цвета, дрель со сверлом, блестки или другой декор;
• покрасьте шишки, и дайте краске высохнуть;
• в основании просверлите отверстие;
• оберните палочки флористической лентой;
• соедините шишку с палочкой.

В результате получится красивый букет, выполненный в одном цвете. Чтобы создать пеструю композицию, используйте разноцветные краски.

Для изготовления цветов с лепестками берут опавшие листья, хвойные ветки или бумагу. Чтобы сделать лепесток, потребуется нарисовать трафарет. Его можно сделать из картона. В таком случае шишка заменяет сердцевину, а бумажные или настоящие листья – лепестки. В работе потребуются инструменты и материалы из предыдущего примера. К ним добавится клеевой пистолет или клей ПВА.

Порядок действий:

• покрасьте бумажные лепестки и шишки;
• нанесите на шишку и лепестки клей;
• прикладывайте лепестки к основанию по всей окружности.

Лепестки можно клеить в один слой или несколько.

Животный мир в поделках

Среди предметов детского творчества тема фауны занимает первое место. Детям нравится делать маленькое животное. В поделках из шишек своими руками самыми интересными персонажами стали медведь и ежик. Каждый лесной зверек, будь то мишка или еж, заполонил полочки детского сада. Выбрав колючего грызуна, вам потребуется шишка и пластилин, или много шишек, 0,5 л бутылка из пластика, бархатистая ткань и клеевой пистолет. В первом случае за основу берут шишку, во втором – пластиковую бутылку. Ежика из шишки и пластилина сделать проще, чем из бутылки.

Украшения

Новогодние украшения – простые в исполнении изделия, для которых потребуются шишки, золотая или серебристая краска, блестки и красивая лента. Из ленты можно сделать красивый бант, окрасить чешуйки, прикрепить нить и бант.

Помимо елочных украшений к Новому году и Рождеству делают топиарий, праздничный шар, венок на дверь, гирлянды из шишек.

Самым экстравагантным модницам, которые любят украшения hand-made, придутся по нраву оригинальные украшения для волос из шишек. Такие ободки и заколки станут изюминкой женского образа.

Фигурки

К новогодним праздникам делают фигуру Деда Мороза, эльфов, гномов, снеговика. В остальное время – фигурку любого персонажа. В этом случае шишка используется как тело человечка, желудь или каштан заменяет голову, ручки и ножки – пластилин, палочки или набитая ватой ткань, одежду – фетр или другой материал. Малыш, который еще ходит в детсад, без родительской помощи не обойдется. Создать фигурку не так просто, как кажется на первый взгляд. Это трудный процесс, который потребует немало усилий. Фигурка состоит из множества мелких элементов, на изготовление и декорирование которых уйдет много времени. Быстро сделать поделку не получится.

Домики

Это оригинальное произведение искусства в «3D». Кропотливая работа украсит стены дома и школы. Дом может быть изображен в виде картины или миниатюрной конструкции. Для его изготовления нужны лишь чешуйки. Их используют в качестве черепицы на крыше. Чтобы получился домик с двускатной крышей, из картона делают стены и крышу. Склеив все части друг с другом, начинают декорирование. Бамбуковыми палочками украшают наружную часть дома, на крышу приклеивают чешуйки шишек.

Подсвечник

Красивый аксессуар для интерьера. Он украсит рождественские деньки и создаст уютную атмосферу. Для изготовления подсвечника потребуются игольчатые плоскогубцы и термоклей.

Порядок действий:

• выберите шишку по диаметру свечи;
• плоскогубцами снимите чешуйки и выровняйте верхушку;
• на ровную плоскую поверхность нанесите горячий клей и закрепите свечу.

Декорировать подсвечник можно лентами, хвойными ветками или бусинами. Понравившиеся элементы декора прикрепите термоклеем к основанию.

Простые поделки из шишек в школу или садик

Сделайте с ребенком новогодние украшения или фигурки животных, птиц, насекомых. Для работы можно взять любые подручные материалы (ткань, вату, бумагу, пластилин). В изготовлении зверушек можно сделать одну мордочку или фигурку «в полный рост». Вдохновляйтесь идеями из фотоподборки.

Предметы декора и интерьера из сосновых шишек

Садовый декор и стильные украшения интерьера из шишек? А почему бы и нет. Среди популярных украшений домашней обстановки и экстерьера стали следующие:

• елка из шишек;
• декоративный венок-кольцо;
• настенное панно;
• корзины;
• миниатюрные деревья с кроной из шишек.

Любая композиция станет гордостью домочадцев. Она точно не останется без внимания гостей.

Изготовление поделок из шишек – способ приятно и интересно провести время. Результат собственного труда станет украшением дома или памятной вещицей из детства.

ВИДЕО: Забавные поделки из шишек – 35 идей.

50 вариантов оригинальных поделок из шишек:

Elegant + Высококлассные поделки из сосновых шишек

Прогулки на природе, чтобы собрать красивые кусочки и кусочки лесной подстилки, — прекрасный способ снизить стресс и заняться спортом. Но что вы будете делать со всем этим, когда получите его? Если вы чем-то похожи на меня, у вас есть большая коллекция выкормленных сосновых шишек, которые только и ждут, чтобы найти хорошее применение.

Сосновые шишки имеют такую ​​красивую естественную форму и текстуру, что делает их отличным способом привнести природу в интерьер в качестве украшения.Эти поделки из сосновых шишек воспевают естественную красоту выловленных шишек, используя простые техники для создания потрясающих элегантных проектов.

Отбеленные сосновые шишки

Покрытие сосновых шишек краской или блестками до тех пор, пока они не перестанут быть похожими на самих себя, на самом деле не наше дело, но один из способов изменить сосновые шишки, который мы любим здесь, в Garden Therapy, — это отбеливание. Отбеленные сосновые шишки по-прежнему выглядят естественно и деревенски, но с более мягкой и современной атмосферой. Их можно использовать в любом из проектов, представленных в этом посте, или просто разместить в красивой посуде или корзине.Следуйте этому руководству, чтобы сделать их.

Woodland Wreath

Венок из сосновых шишек — прекрасный способ привнести лес к вашей двери. Используйте отбеленные или натуральные сосновые шишки (или их комбинацию), чтобы создать этот потрясающий венок. Получите пошаговые инструкции здесь.

Сферы из сосновой шишки

Эти сферы из сосновой шишки — отличный способ показать меньшие сосновые шишки или крошечные сосновые шишки, полученные из деревьев болиголова. Они одинаково хорошо смотрятся как дома во время праздников среди праздничного декора, так и в остальное время года как простой и стильный способ привнести в интерьер природные элементы.

Pinecone Firestarters

Что может быть лучше уютного костра в холодный день? Независимо от того, находитесь ли вы в кемпинге, используете яму для костра на открытом воздухе или камин в помещении, эти хитрые устройства для разжигания огня помогут развести огонь легко и без проблем. Кроме того, они очаровательно выглядят, что делает их отличным подарком.

Simple Swag

В этом элегантном проекте swag из сосновой шишки используются обесцвеченные сосновые шишки, но вы, безусловно, можете использовать необработанные сосновые шишки, если хотите.Повесьте это в помещении или на улице, чтобы украсить двери, перила, заборы, садовые навесы … все, что нужно немного поднять!

Сосновые шишки для ароматерапии

Из сушеных сосновых шишек получаются чудесные ароматизаторы. Просто следуйте этому руководству, добавьте свои любимые эфирные масла в шишки и наслаждайтесь успокаивающими и целебными свойствами натуральной ароматерапии.

Вам также могут понравиться эти сообщения:

Садовое ремесло из яичных картонных коробок — Лучшие идеи для детей

Все действия должны проходить под присмотром взрослых.Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках. Этот пост может содержать партнерские ссылки.

Создайте свое собственное садовое ремесло из картонных коробок для яиц из бумаги, палочек от мороженого и картонной коробки для яиц! Делайте разные цветы самостоятельно или используйте шаблоны из нашей книги, чтобы обвести их узоры. Украсьте свою комнату или семейную кухню собственным садом, который будет цвести круглый год!

СВЯЗАННЫЙ: Tissue Box Monsters

Садовое ремесло для детей из картонной коробки для яиц

Наша книга — Веселое и легкое создание из переработанных материалов полон таких поделок из картонных яиц, как эта.Здесь есть целая глава, посвященная поделкам из картонных коробок для яиц. Но не только это, есть еще переработанных поделок для детей — бумажные рулоны, картон, газеты, палочки для мороженого, банки и многое другое!

Этот проект коробки для яиц есть в нашей книге и включает в себя шаблоны цветов.

Полное обучающее видео смотрите здесь!

— Картонная коробка для яиц на 18 или 12 штук (18 штук позволит вам сделать 2 ряда цветов)

— Цветные кнопки

— Cardstock — мы использовали зеленый, розовый, фиолетовый, красный и желтый

— Акриловая краска — мы использовали зеленый цвет для палочек для мороженого и коробки для яиц

— 10 палочек для мороженого

— Клей особо прочный — нам нравится этот клей для наклеивания пуговиц

— Цветочные шаблоны — Примечание: Для получения цветочных шаблонов , ЗАКАЖИТЕ нашу книгу.

Шаги по созданию сада из мини-картонных коробок для яиц

1. Отрежьте верхнюю часть коробки для яиц.

Покрасьте коробку для яиц в зеленый цвет. Вам может понадобиться несколько слоев, чтобы полностью закрыть картонную коробку. Дайте высохнуть.

3. Чтобы сделать цветы, начертите на цветном картоне шаблоны на странице 151 нашей книги. Вырежьте цветы.

Вы также можете рисовать и вырезать цветы самостоятельно.

4.Приклейте пуговицы к центру 5 лепестков цветов.

6. Нарисуйте листья на зеленом картоне и вырежьте их. Приклейте листочки к каждому цветку.

7. Проделайте карандашом небольшие отверстия в верхней части каждого конуса коробки для яиц.
Вставьте цветы в отверстия. Если они не встают сами по себе, используйте клей, чтобы удерживать их на месте.

Теперь ваш сад, связанный с картонными коробками для яиц, готов! Расставьте цветы в любом порядке! Вы даже можете попробовать сделать свой собственный огород!

Больше поделок из вторичного сырья

Посмотрите другие наши любимые поделки из вторсырья из нашей книги, например, этих бабочек в рулонах туалетной бумаги ! В книге также есть шаблоны крыльев бабочки для их изготовления.

Или сделайте эту очаровательную поделку улитки и используйте шаблон улитки из книги!

простых вещей, которые можно сделать из предметов, найденных на заднем дворе | Блог сети DIY: Сделано + переделано

Разный климат и садовые зоны обязательно принесут множество подарков на заднем дворе, так что наденьте мыслительную шапку и взгляните на природу в другом свете. В наших списках может быть много общего, но обязательно найдутся уникальные идеи, основанные на вашей географии и растениях, которые растут прямо из вашего окна.Добавьте в мой список вещей, которые вы можете сделать из предметов, найденных (бесплатно!) Прямо у себя на заднем дворе:

Любимец белок и птиц во всем мире! Сохраните сосновые шишки, когда они упадут на землю, и привяжите к одному концу веревку. Нанесите тонкий слой арахисового масла на чешуйки, а затем обваляйте липкую сосновую шишку в неглубокой тарелке с птичьим семенем, пока она не станет однородной и не покроется. Этот легкий послеобеденный поделочный проект тоже хорошо замирает — так что сделайте партию сейчас, чтобы вы могли разгуливать дикой природы на заднем дворе круглый год.

Однажды мой отец решил сделать вино из одуванчиков из сорняков на своем участке земли. Той весной мы собрали больше одуванчиков, чем когда-либо прежде, и ему пришлось рассказать всем своим друзьям о том, как весело делать вино из земли. Если вы ищете рецепт, посетите наш партнерский сайт Food Network, чтобы узнать об умных способах использования зелени одуванчика.

Примечание редактора: Примечание: содержание этой статьи предназначено только для общих информационных целей.Имейте в виду, что некоторые дикие растения могут быть ядовитыми, а ядовитые растения иногда напоминают съедобные растения, которые часто растут рядом. Читатель, его родители или опекуны несут ответственность за правильное определение и использование описываемых съедобных растений. HGTV не гарантирует точность содержания, представленного в этой статье, и не несет ответственности за любой ущерб, возникший в результате использования любой предоставленной информации.

Научите этих молодых людей делать свисток из вершины желудя, и у них всегда будет игрушка, с которой можно поиграть, талант, который можно рекламировать, и средства привлечь внимание, если они окажутся в опасной ситуации.

Кто-нибудь дикий чеснок? Перед первой стрижкой и в любое время, когда трава станет очень длинной, я могу собрать горстку дикого чеснока с нашего двора. Они такие же пряные и вкусные, как и их садовые собратья из трав, только немного реже растут на лужайке. Эти травы действительно делают отличное масло из чеснока, которое отлично намазывают на хлеб, кукурузу в початках, а также на стейки и другое мясо. Сделайте это дома, собрав пригоршню чеснока, нарезав его небольшими кусочками, а затем взбейте его с помощью миксера или ручного блендера с чашкой размягченного масла.Если вы хотите приготовить собственное масло, вы можете смешать сливки достаточно долго, чтобы пахта и масло расслоились, а затем добавить чеснок в это мягкое масло. Храните смешанное масло чеснока в холодильнике и используйте по требованию все лето.

Виноградные лозы могут быть красивыми, плодородными и хлопотными, но они всегда пригодятся, если вы хотите купить собственный венок. Скрутите длинные, только что срезанные лозы в круглые венки и никогда больше не купите еще одну. Украсьте венок другими аксессуарами, например, сосновой отделкой на зимние каникулы, цветами на лето и всем остальным, что вы пожелаете.Сделайте прыжок на Хэллоуин, сделав эту классную тыкву из виноградной лозы.

По сравнению с дровами палочки для смореза — моя наименее любимая вещь, которую я покупаю в магазине (и, вероятно, одна из подсознательных причин, по которым я настаивал на покупке дома с небольшим участком леса). Шаг 1: Найдите упавшую ветку… чем зеленее, тем лучше. Шаг 2: съесть жареный зефир. Если конец ветки слишком тупой или широкий, воспользуйтесь универсальным лезвием, чтобы срезать его в точку и дать зефиру полностью погрузиться в него.Ознакомьтесь с этим рецептом здорового с’мора.

6 способов использовать сосновые шишки в вашем саду — культивированное гнездо

Если вы живете в районе с сосновыми деревьями, у вас, вероятно, есть множество сосновых шишек на кончиках ваших пальцев. Сначала подумалось, что это может вас раздражать, но правда в том, что сосновые шишки на самом деле могут быть весьма полезными! Так что не выбрасывайте пока сосновые шишки. Посмотрите эти 6 способов использовать шишки в вашем саду и посмотрите, насколько крутым может быть присутствие этих маленьких ребят!

Раскрытие информации: Этот пост может содержать партнерские ссылки на Amazon и / или Etsy, что означает, что я могу получить небольшую комиссию с некоторых ссылок в этом посте.Пожалуйста, посетите нашу страницу раскрытия информации для получения дополнительной информации.

Сосновые шишки могут падать в основном осенью, но это не значит, что вы не сможете их найти (и использовать) раньше в этом году! Если вы не собрали все сосновые шишки во дворе, вероятно, у вас еще есть много шишек. И даже если у вас дома их нет, в местных парках и пешеходных дорожках, вероятно, будет много под деревьями.

Хотя я люблю использовать сосновые шишки в поделках, что замечательно в использовании их в вашем саду, так это то, что вам не нужно чистить их перед тем, как использовать, поскольку они будут оставаться на улице!

1.Добавьте их в свою компостную кучу.

По мере разрушения сосновых шишек они выделяют питательные вещества, которые могут быть полезны для ваших растений. Собирая сосновые шишки, вы всегда можете добавить их в свой компостный ящик. Таким образом, когда они распадаются, они выделяют все эти питательные вещества в смесь и помогают создавать мощные продукты! Конечно, сосновые шишки довольно плотные, поэтому им потребуется время, чтобы сломаться самостоятельно. Чтобы ускорить процесс, разбейте их, прежде чем бросать в компост. Вы можете переехать их газонокосилкой или сначала разбить лопатой.

2. Используйте их как мульчу.

Сосновые шишки меньшего размера можно разместить вокруг деревьев и растений в качестве мульчи. Они отлично защищают корни растений, сохраняя при этом влагу. Они работают так же хорошо, как покупная мульча, но приятно то, что вы можете получить их бесплатно! Но имейте в виду, что сосновые шишки легко воспламеняются, потому что они содержат смолу сосны. Поэтому не используйте их в качестве мульчи, например, рядом с местом, где находится гриль или костровище.Вы же не хотите, чтобы в них попадали отдельные искры и начинался пожар!

3. Добавьте их в качестве декоративных рамок.

Интересный способ использовать шишки в саду в качестве украшения! Сосновые шишки обладают прекрасной эстетикой. Попробуйте разместить сосновые шишки в цветочных горшках и ящиках для растений в качестве декоративного элемента. Вы можете выровнять их, как естественные бордюры, или просто использовать как естественный почвопокровник. Несмотря на то, что они используются в декоративных целях, они по-прежнему помогают сохранять почву влажной и защищенной.

4. Обеспечьте приют для божьих коровок.

Божьи коровки всегда ищут маленькие места для ползания. Держите несколько сосновых шишек под высокими и тенистыми растениями, чтобы жуки могли найти в них убежище. Божьи коровки также поедают таких вредителей, как тля, поэтому было бы неплохо сделать так, чтобы они чувствовали себя желанными гостями в вашем саду. Так что вперед и разложите для них сосновые шишки. Они несомненно оценят гостеприимство!

Хотите развить эту идею еще на один шаг? У Дэвида Домони есть отличная статья о том, как сделать отель с божьими коровками из сосновых шишек!

5.Сделайте кормушку для птиц.

Сделайте так, чтобы птицы почувствовали себя желанными гостями в своем саду, когда вы сделаете свою собственную кормушку из шишек! Просто намажьте сосновую шишку арахисовым маслом и обваляйте его в птичьем семени. Дайте семени высохнуть на месте, затем добавьте веревку для подвешивания. Птицам понравится клевать это питательное лакомство, и вам понравится, насколько дешево их изготовить.

Связано: 10 самодельных кормушек для птиц

6. Используйте их как наполнители контейнеров.

Вам нужно наполнить большую сеялку? Если полностью заполнить его грязью, он может стать тяжелым и дорогим.Вместо этого заполните его наполовину сосновыми шишками. Это не только поможет улучшить дренаж горшка, но и заполнит много места, так что вам не придется использовать столько грязи. Это экономит ваше время и деньги и даже может помочь вашему растению лучше дренировать и усвоить питательные вещества.

Как видите, использовать шишки в саду можно разными способами. Хотите ли вы обогатить почву, защитить свои растения или просто оказать гостеприимство насекомым и птицам, все эти идеи — простые способы использовать эти сосновые шишки.

Так начните спасать сосновые шишки такими, какими вы их видите! Простая корзина для сбора подойдет именно для этого. Храните сосновые шишки в прохладном и сухом месте вне основной жилой зоны, например, в гараже или сарае. Они должны быть в порядке, пока вы не будете готовы их использовать. Подойдут все виды сосновых шишек. Неважно, с какого дерева они упали, все они будут выполнять одну и ту же работу.

Готовы начать? Идите во двор и начните охоту на эти сосновые шишки прямо сейчас!

У вас есть какие-нибудь забавные способы использования сосновых шишек в домашних условиях или в садах?

Возможно, вас заинтересует: 12 забавных поделок из шишек

48 Удивительные поделки и украшения из сосновых шишек своими руками

Красивые поделки из сосновых шишек своими руками для детей и взрослых! Лучшие идеи для бесплатных украшений из сосновых шишек и простых подарков с весны до осени и Рождества!

Сосновые шишки — одни из лучших и бесплатных материалов для изготовления простых поделок и красивых домашних украшений на Рождество, День Благодарения и круглый год.

Сосновые шишки обладают таким теплым и естественным шармом, что отлично подходят практически для любого стиля декора, такого как современный, фермерский, винтажный или богемный. Уникальные формы и узоры сосновых шишек также делают их любимыми материалами для творчества детей и семьи.

Мы сделали так много поделок и украшений из сосновых шишек, теперь пришло время собрать их вместе с некоторыми из наших любимых поделок из сосновых шишек от других авторов в этом веселом и вдохновляющем руководстве!

Любимые материалы и инструменты для поделок из сосновых шишек

Сделайте гигантские цветы из сосновых шишек: легкие весенние поделки из сосновых шишек для детей

Все, что вам нужно, это бесплатные сосновые шишки, магнолия или другие толстые листья, немного краски для рукоделия и горячий клей для изготовления эти гигантские цветы сосновой шишки! Это и такие легкие поделки из сосновых шишек для детей, и такие красивые украшения на Новый год и весну! Учебник здесь.

Сделать венок из сосновых шишек для сезонного декора дома

Венок из сосновых шишек сделать легко. Вы можете раскрасить его в любой цвет и украсить вечнозелеными растениями, красными ягодами или лентами, чтобы сделать сезонный декор для весны, лета, осени и Рождества! Пошаговое руководство, как сделать простой венок из сосновых шишек своими руками.

Мне нравится этот венок из снежинок из сосновых шишек, сделанный своими руками, сделанный моим другом Бреном из Bren Did. Разве ее венок в виде снежинки не красив?

Еще один простой венок из сосновых шишек в форме звезды, сделанный своими руками, идеально подходит для рождественских украшений фермерского дома! Учебник здесь.

Как сделать беленые сосновые шишки для домашнего декора фермерского дома (отбеливатель не нужен!)

Существует так много творческих способов использования беленых сосновых шишек в домашнем декоре. На самом деле намного безопаснее и проще, чем делать великолепные отбеленные сосновые шишки без использования отбеливателя . Учебник здесь!

Ароматизированные сосновые шишки на Рождество и круглый год

Добавьте капли эфирного масла в сосновые шишки или отбеленные сосновые шишки, чтобы сделать ваш дом чудесным. Попробуйте масло лаванды или лемонграсса весной и летом, масло кедра / пихты, сладкого апельсина или корицы для осени и Рождества!

Украшение стола на День Благодарения с сосновыми шишками

Выбеленные сосновые шишки красиво смотрятся в сочетании с натуральными сосновыми шишками в этом простом центре стола для Дня благодарения в фермерском доме, сделанном своими руками.

Осенняя поделка из сосновых шишек: поделки из сосновой шишки своими руками

Такая замечательная идея поделки на осень и День Благодарения для детей и семьи! Есть разные способы сделать этих симпатичных индеек. Вы можете использовать листья, перья или раскрасить шишки.

См. Видео выше и руководство здесь.

Украшение стола из осенних сосновых шишек

Соберите несколько разноцветных осенних листьев и сосновых шишек. Вы можете сделать этот великолепный стол для падения практически бесплатно за 10 минут, — из переработанных банок и банок.Учебник здесь!

Сделайте разжигатели огня из сосновых шишек: идея подарка своими руками на осень и зиму

Из сосновых шишек можно сделать простые и трогательные подарки. Разве эти очаровательные зажигалки из сосновых шишек не станут идеальным рождественским подарком ручной работы в чулке? Учебник здесь.

Рамки для фотографий из сосновых шишек своими руками: красивый подарок и декор своими руками

Эти рамки для фотографий из сосновых шишек станут такими красивыми подарками и украшениями ручной работы!

Заснеженные сосновые шишки: легкие зимние поделки и украшения

Еще одна веселая и легкая поделка из сосновых шишек для детей! Все, что вам нужно, это немного соли, эпсомской соли, клея или краски, чтобы сделать эти заснеженные сосновые шишки для зимних и рождественских украшений.

Очаровательные поделки из сосновых шишек и кувшинов из каменной кладки

Используйте сосновые шишки с кувшинами Мейсона или переработанными стеклянными банками, чтобы создавать красивые и простые рождественские поделки и украшения своими руками!

Украшение стола из сосновой шишки на зиму и Рождество

Центральное украшение из снежного дерева на ферме — еще одно любимое бесплатное ремесло и декор из сосновой шишки! Сохраните несколько переработанных жестяных банок и следуйте этому очень простому руководству!

Рождественские украшения из сосновой шишки своими руками

Мы всегда можем использовать больше украшений для наших елок.

Эти украшения из сосновых шишек такие легкие и нарядные. Все, что вам нужно, это несколько разноцветных мини-помпонов или бусинок и горячий клей. Учебник здесь.

Елки из шишки своими руками: простые поделки для детей и семьи

Сосновая шишка уже похожа на елку! Я мог видеть множество вариаций, таких как цвета металлической краски или помпоны в качестве фонарей. Это будут такие прикольные новогодние поделки для детей! Учебник здесь.

Эти элегантные снежные елки в виде шишек прекрасно подойдут для кухни или гостиной фермерского дома.Учебник здесь.

Еще одна новогодняя елка из сосновых шишек, сделанная своими руками, — использовать чешуйки сосновых шишек и наклеить их на бумажный конус или конус из пенополистирола, который можно сделать из картона или коробок для хлопьев. Учебник здесь.

В этой рождественской елке из сосновых шишек используются целые сосновые шишки, немного цветочной проволоки и конус из пенополистирола. Учебник здесь.

Рождественский центральный элемент своими руками с сосновыми шишками

Есть много способов использовать сосновые шишки для украшения рождественского стола. Это 10-минутное легкое новогоднее украшение, сделанное своими руками, красиво смотрится с сосновыми шишками в качестве акцентов.

Даже поднос из заснеженных сосновых шишек со свечами может стать прекрасным украшением стола. (Исходный источник изображения утерян, дайте мне знать, если вы его найдете! Аналогичное руководство здесь.)

Простая и бесплатная упаковка для рождественских подарков с сосновыми шишками

Следуйте этому простому руководству, чтобы сделать красивую и БЕСПЛАТНУЮ упаковку для рождественских подарков из переработанных коричневых бумажных пакетов , шпагат из конопли или мяты перечной и сосновые шишки.

Сделай сам из сосновых оленей из шишек: веселые рождественские поделки из сосновых шишек для детей

Семья с детьми, скорее всего, будет иметь рукоделие из войлока и глазки в своих корзинах для поделок.Используйте их на сосновых шишках, чтобы создать милые украшения в виде оленей на это Рождество. Учебник здесь.

Еще можно сделать мини-скульптуру оленя! Учебник здесь.

Сделайте рождественские поделки и украшения эльфа из сосновой шишки

Такая простая и очаровательная рождественская поделка из сосновой шишки для детей и взрослых. Используйте этих эльфов из сосновой шишки своими руками для украшения полки или рождественских украшений. Большие деревянные бусины, подобные этим, и немного красочного фетра — отличный выбор для эльфов и ангелов из сосновых шишек.

Аналогичным образом можно сделать ангелов и фей из шишек. Учебник здесь.

Делайте животных из сосновых шишек: забавные поделки для детей

В созданных вручную сосновых шишках таких животных, как совы, лисы, ежи и пингвины, есть что-то волшебное. и еще пингвинов. Используйте большие деревянные бусины для головы!

Они станут прекрасным дополнением к зимней стране чудес или украшениям на волшебную лесную тематику. Видеоурок ниже.

Цветы циннии из сосновой шишки: бесплатные поделки из сосновой шишки для детей и взрослых

Вы уже видите цветы в сосновых шишках? Цветы из сосновой шишки своими руками — это веселые и легкие круглогодичные поделки для детей и взрослых.Учебник здесь.

Гирлянды и гирлянды из шишек своими руками

Гирлянды и гирлянды — это легкое украшение стен, перил и дверей своими руками. Все, что вам нужно, — это сосновые шишки, горячий клей и клеевой пистолет, шпагат из конопли или мяты.

Сделай сам шарик для поцелуев из сосновой шишки

Есть шарик из пенополистирола? Это может быть чудесное новогоднее украшение большого размера! Учебник здесь.

Деревенский домик для топиариев из сосновых шишек

Подобно мячу для поцелуев, в этом фермерском доме для топиариев из сосновых шишек в качестве отправной точки также используется шар из пенополистирола.Мне очень нравится идея использовать темный полиэтиленовый пакет поверх шара из пенополистирола, чтобы облегчить приклеивание сосновых шишек и смягчить цвет фона. Учебник здесь.

В этом топиарии из сосновых шишек для прикрепления шишек к пенопласту используются булавки с цветами. Учебник здесь.

15 красивых поделок из сосновой шишки для создания потрясающего домашнего декора

Скромная сосновая шишка, присущая осеннему сезону, часто разбросана под ветвями хвойного дерева.

Хорошо известная древесная шишка (называемая «стробилом» на ботаническом языке) с перекрывающимися чешуйками, спиралевидными в последовательности Фибоначчи, на самом деле является женским.

Под этими чешуйками находятся семена, опыляемые ветром более мелкими травянистыми мужскими шишками. Все еще прикрепленные к дереву или лежащие на лесной подстилке, сосновые шишки открывают чешую в засушливые периоды, чтобы рассеять семена, и снова закрывают их во влажном состоянии, год за годом.

Благодаря удивительному репродуктивному циклу сосна, как и другие вечнозеленые растения, процветает во всем мире.

Когда дело доходит до украшения дома — по сезону или просто потому, что вам нравится сельский вид, — сосновые шишки хороши тем, что они бесплатные! И их особенно легко достать в это время года — вы можете собрать их бушелем, прогуливаясь по лесу.

Когда вы накопите кучу сосновых шишек (обязательно соберите их всех размеров), вам нужно сначала очистить и продезинфицировать их.

Тогда вы готовы приступить к крафтингу! Если найти сосновые шишки в вашем районе невозможно, вы можете приобрести шишки различных форм и размеров на этой странице на Amazon.

Вот несколько невероятных способов превратить сосновые шишки в прекрасные произведения искусства:

Поскольку сосновые шишки имеют чередующиеся чешуйки, напоминающие лепестки, из них получается прекрасный набор искусственных цветов, которыми можно наслаждаться круглый год.Просто почистите сосновые шишки, большие и маленькие, а также несколько веток, которые служат их колючими стеблями, и намажьте их своим любимым цветом.

Есть, наверное, тысячи способов создать венок из сосновых шишек, но нам особенно нравится это число за его веселое отображение осенних оттенков.

Еще один проект, в котором используется сходство сосновой шишки с маленькими розетками. Верхушки сосновых шишек приклеиваются к пенопласту, слегка окрашиваются распылением в белый цвет и помещаются на элегантный горшок для цветов.

Этот очаровательный паук, несложный для декораторов в последнюю минуту, сделан из сосновой шишки в качестве туловища с выпученными глазами и несколькими приспособлениями для чистки трубок для его восьми пушистых лапок.

Превратите простой набор цветочных гирлянд в привлекательный дисплей! Отрезав чешуйки с больших сосновых шишек и приклеив их горячим способом на цветочные луковицы, вы можете создать иллюзию сияющих сосновых шишек.Соберите их в непрозрачную миску, чтобы добавить атмосферы в любую комнату.

Сосновые шишки окунают и окрашивают в соевый воск и ароматизируют ароматическими маслами, чтобы сделать милые (и в высшей степени полезные) разжигатели огня. Поместите разноцветный массив в миску у камина или подарите в холодное время года.

Окрашивание кончиков чешуек сосновой шишки постепенным изменением цвета превращает гудящее древесное семя в яркую декоративную деталь.Разместите их в прозрачной вазе или в любом другом месте дома, которому отчаянно нужен всплеск цвета.

Классическая поделка для детей. Все, что вам нужно, это большая сосновая шишка, арахисовое масло и птичий корм. Сделайте его красивым, добавив в корм орехи и сухофрукты, и привяжите к дереву красной лентой.

Это оригинальное ремесло, вдохновленное цветком цинния, использует в качестве структуры цветка плотно сгруппированные чешуйки на дне сосновой шишки.Нанесите туда пару слоев краски, и у вас будет неизгладимый букет цинний.

Идеальные для терпеливых мастеров, эти красивые рождественские елки разного размера сделаны из очень больших сосновых шишек — каждая из них разбирается, удаляя чешуйки. Приклейте деревянистые прицветники вокруг и вокруг, снизу вверх, на пенопластовое дерево, и получится полностью натуральное (но полностью искусственное) хвойное дерево.

Используя большую сосновую шишку в качестве своего рода подвесного кашпо, приклейте немного мха сфагнума вокруг кроны и аккуратно заправьте стебли суккулентов внутрь.Комбинируйте текстуры и цвета по своему усмотрению, а когда закончите, повесьте на леску в теплом и солнечном месте.

Если у вас есть много сосновых шишек, вот проект, сочетающий в себе форму и функцию. Прикройте неприглядную голую землю вокруг деревьев и кустарников, положив слой сосновых шишек. Это не только предотвратит копание животных в вашем саду, но и сосновые шишки со временем сломаются и станут кормом для ваших растений.Этот трюк также работает как средство отпугивания домашних растений!

Продемонстрируйте свою любовь с этой настенной рамкой для картин своими руками, обрамленной множеством миниатюрных розеток из сосновых шишек. Помимо сосновых шишек и клея, вам понадобится коробка в форме сердца, чтобы придать форму и структуру.

Великолепное украшение для сада или детской спальни, этот сказочный домик — все о внимании к мелочам.Используя тыкву для бутылок в качестве основы (заполненную песком, чтобы придать ей вес), отдельные чешуйки сосновых шишек становятся черепицей для крыши. Все остальное — двери, окна, ставни, цветы и виноградные лозы — вылеплено из полимерной глины.

Праздничная витрина, одновременно простая и элегантная. Для ее выполнения вам понадобятся деревянная кашпо (с потрепанной отделкой), каменные кувшины, свечи, сосновые шишки и несколько веточек с ягодами. Добавьте другие растения, такие как желуди, сосновые ветки и вечнозеленые веточки, чтобы сделать его своим.

Хотите сделать одну из этих поделок, но не живете рядом с хвойными деревьями? Вы можете купить сосновые шишки разных форм и размеров на этой странице на Amazon.

Прикрепить это, чтобы сохранить для последующего использования

Читать дальше: 10 смесей эфирных масел, которые сделают ваш дом пахнуть осенним

Искусственный суккулентный вертикальный сад из сосновых шишек

Создайте искусственный суккулентный вертикальный сад, раскрасив сосновые шишки, чтобы они выглядели как суккуленты. Мы расскажем, как раскрасить сосновые шишки, чтобы они выглядели как суккуленты, в том числе в видеоуроке.

Привет, читатели Kenarry! Мы Дженнифер и Китти с сайта RunningWithSisters.com. Мы очень рады поделиться с вами этим проектом — как сделать искусственный сочный вертикальный сад.

Мы любим суккуленты! Итак, мы смотрели на искусственные суккуленты в магазине товаров для рукоделия и думали, что они довольно расточительны, когда до нас дошло, что сосновые шишки (которые практически бесплатны) очень похожи на суккуленты. Можно ли раскрасить сосновые шишки, чтобы они выглядели как суккуленты? Оказывается, да!

Решили сделать вертикальный сад в каркасе, но возможности бесконечны! Сделайте искусственную суккулентную чашку с разрисованными сосновыми шишками.Набейте небольшую проволочную птичью клетку расписными сосновыми шишками. Можно было сделать целый венок! Что бы вы ни решили сделать, мы надеемся, что вы получите столько же удовольствия, сколько и мы, создавая этот вертикальный сад!

Раскрытие информации: это сообщение в блоге содержит партнерские ссылки на продукты или услуги, которые, по нашему мнению, вам могут понравиться. Это означает, что если вы совершите покупку по одной из этих ссылок, Ideas for the Home by Kenarry® будет взимать небольшую комиссию без каких-либо дополнительных затрат для вас, чтобы мы могли сохранить ваши лучшие идеи для дома.Все высказанные мнения основаны на личном опыте.

Где взять шишки

Где взять шишки, если живешь где-нибудь без сосен? К счастью, вы сможете найти связки сосновых шишек в местном магазине для рукоделия. Вы также можете найти их на Etsy.

Выполните эти простые шаги, и у вас будет собственный сочный сад из расписных сосновых шишек.

1.) Соберите Шишки

Начните со сбора шишек.Как только мы начали поиски, мы нашли в нашем районе всевозможные сосновые шишки. А поскольку мы знали, что нам нужны сосновые шишки, похожие на суккуленты, было легко выбрать, какие из них нам нужны.

Мы искали несколько больших сосновых шишек, много средних и много маленьких. Если в вашем районе не так много сосновых шишек, вы всегда можете купить одну или две сумки в магазине для рукоделия.

2.) Отрежьте шишки обходным сучкорезом

Затем мы разрезаем несколько больших сосновых шишек пополам, чтобы получились верх и низ.(Дно тоже похоже на суккуленты!) Мы экспериментировали со способами обрезки сосновых шишек. Что касается более сложных, то наши обходные сучкорезки, которые мы используем для обрезки роз каждый январь, подействовали как шарм. Они просто разрезают пополам!

(Кстати, если вы брезгливо относитесь к жукам, дайте сосновым шишкам немного посидеть, может быть, на улице во внутреннем дворике, чтобы любые жуки могли сбежать.)

3.) Раскрасьте шишки

Теперь о преображении! Раскрасьте сосновые шишки в оттенки светло-зеленого, темно-зеленого, морозно-голубого, бирюзового и цвета морской волны.Мы подняли фотографии настоящих суккулентов на Pinterest, чтобы получить идеи по цвету.

Краску мы вообще не разбавляли — просто использовали ее прямо из бутылки. Дайте сосновым шишкам полностью высохнуть. Затем добавьте штрихи более светлых тонов на кончики более темных сосновых шишек.

(Вы можете застрять саженцы на кисти изнутри чешуек сосновой шишки. Мы просто стерли их с кисти и продолжили.)

4.) Подготовьте старую фоторамку

Снимите стекло с рамы, если оно есть.Вы можете переработать раму в комиссионном магазине или на гаражной распродаже или купить новую. Мы выбрали ту, которая была похожа на причудливую винтажную оправу, потому что нам нравится вид шебби-шик рядом с «суккулентами». Раскрасьте рамку в один из сочных цветов. Покрасили и подкладку изнутри, на случай, если она просвечивает сквозь сосновые шишки.

5.) Прикрепите шишки к каркасу

Наклейте горячим клеем крашеные сосновые шишки внутрь рамы, начиная с большой. Оберните средние сосновые шишки вокруг большой и приклейте их.Затем заполните более мелкими. Затем добавьте еще один большой. И продолжай. Мы перекрыли край кадра, чтобы казалось, что «суккуленты» растут прямо из кадра. Добавьте немного испанского мха в отверстия между искусственными суккулентами.

Как это весело ?! И что самое приятное, вы можете повесить свой вертикальный сад внутри, и он будет оставаться зеленым круглый год. Полив не требуется! Сообщите нам, чем получаются ваши суккуленты из сосновой шишки. И если у вас есть какие-либо вопросы или комментарии во время работы над ними, напишите, и мы ответим вам.Мы хотели бы услышать от вас!
Happy Crafting,
Дженнифер и Китти

Если вы хотите поделиться этим проектом, вы можете закрепить эту фотографию:

Хотите увидеть больше поделок от сестер О’Нил? Вам может понравиться…

Сад сочных пузырей

Венок из ракушек и суккулентов

Легкий мозаичный скворечник, похожий на сломанный Китай!

Вам нравятся идеи, которые вы видите здесь, в «Идеях для дома» от Kenarry®? Подпишитесь сегодня, чтобы получать нашу еженедельную новостную рассылку Ideas in Your Inbox , а также другие эксклюзивные подарки и предложения — все БЕСПЛАТНО!

Пока вы здесь, обязательно ознакомьтесь с другими поделками на Ideas for the Home by Kenarry® —

Первоначально опубликовано в мае 2016 г.Обновлено май 2018 г.

Идеи для рукоделия · Идеи домашнего декора

принцип, теорема и примеры решения задач

Задание. Решить СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$ ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Решение уравнений методом Гаусса | matematicus.ru

С помощью метода Гаусса можно решить любую систему линейных уравнений с различным числом уравнений и неизвестных переменных. И именно этим свойством этот метод превосходит матричный метод и метод Крамера.

Суть метода состоит в приведении системы линейных уравнений к ступенчатому (треугольному) виду за счет последовательного исключения неизвестных. Затем её решения с помощью обратной подстановки.

Допустимые преобразования матрицы:

1. Перестановка местами двух строк или двух столбцов;
2. Умножение строки на число, которое не равно 0;
3. Прибавление одной строки к другой.
4. Исключение или добавление нулевой строки

Допустим, дана система линейных алгебраических уравнений с четырьмя уравнениями и четырьмя неизвестными.

Составим расширенную матрицу СЛАУ:

Затем первое уравнение СЛАУ делим на a₁₁.  При этом a₁₁≠0, если равно нуля, то переставляем две строки или два столбца местами так, чтобы избавится от нуля. После полученное уравнение умножаем на a₂₁ и вычитаем из второго уравнения, дальше, умножаем на a₃₁ и вычитаем из третьего уравнения и т.д.

Также поступаем и с оставшемся уравнениями, т.е. со вторым, третьем и четвёртым. В итоге должна получится матрица ступенчатого или треугольного вида.

Система уравнений примет вид

Такую систему элементарно решить обратным ходом, т.е. последовательным решением уравнений от нижнего к верхнему.

Рассмотрим наиболее подробно метод Гаусса при решении СЛАУ на практике.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение

Составим расширенную матрицу системы уравнений:

Первую строку разделим на a₁₁, но так как в этой строке a₁₁=0, то необходимо поменять строку у которой первый элемент не равен нулю. Выберем по модулю наибольшей элемент, это a₄₁=2 Поэтому поменяем первую и четвёртую строки местами.

Получаем:

Первую строку разделим на a₁₁=2. Получим матрицу:

Умножаем элементы первой строки на -1 и прибавляем к элементам второй строк. Получим матрицу:

Умножаем элементы первой строки на -1 и прибавляем к элементам третьей строки.

Четвёртую строку оставляем без изменений, так как её первый элемент равен нулю.

Теперь первый столбец не трогаем.

Начинаем повторять действия, которые применяли ранее.

Второе уравнение разделим на a₂₂=-1/2, тогда

Умножаем элементы второй строки на -1/2 и прибавляем к элементам третьей строки.

Умножаем элементы второй строки на -1 и прибавляем к элементам четвёртой строки.

Первый и второй столбец не трогаем.

Третьей столбец разделим на 2.

Умножаем элементы третьей строки на -1 и прибавляем к элементам четвёртой строки.

Получаем ступенчатую систему алгебраических уравнений:

Отсюда, решая систему снизу вверх, получаем корни системы уравнений

Приведём простой пример краткой записи решения СЛАУ методом Гаусса

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.

Решение

Составим расширенную матрицу системы линейных уравнений .

Следовательно, искомая система может быть представлена в ступенчатом виде:

Решая последовательно уравнение, получаем:

Ответ: z = 3; y = 2; x = 1

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

1. Одно решение;
2. много решений;
3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

• перемена мест уравнений системы;
• почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
• сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где а, в, с  – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Если с системой уравнений:          

Произвести такие действия:

• умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
• менять местами уравнения;
• к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

Матрица системы – это матрица, которая составляется исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что касается расширенной матрицы системы, так, это такая матрица, в которой кроме коэффициентов записаны ещё и свободные члены. Любую из этих матриц называют просто матрицей.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Записываем матрицу:

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

Тогда:

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

• берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
• берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло  вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же  уже исключались, тогда переходим к ,  и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , ,  – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача 

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение                                                                

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть  ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что  = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

Проверяем:

,

,

,

,

.

.

  Ответ

,

,

.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.

Карчевский Е. М. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, учеб. пособие – Казанский университет – 2012 – 302 с.

Метод Гаусса – теорема, примеры решений обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Метод Гаусса и Крамера — презентация по Алгебре

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

Матрицы Метод Гаусса Формулы Крамера Подготовили: Климов Дмитрий Радзевич Павел Руководитель: Петрова Л.Д. учитель математики 900igr.net

Содержание Что такое матрица? Карл Фридих Гаусс Метод Гаусса Габриэль Крамер Метод Крамера Вывод Использованные источники информации

Матрица Определение Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида: называется матрицей размера m n Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом: первый i – номер строки; второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.  Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С… Коротко можно записывать так:

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) Биография Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50х101=5050 . После 1801 года Гаусс включил в круг своих интересов естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера ,вскоре после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и указал место, где искать беглянку; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена. Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.

Метод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: x1 , x2, …, xn – неизвестные. ai j — коэффициенты при неизвестных. bi — свободные члены (или правые части)

Типы уравнений Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: перемена местами двух любых уравнений; умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля; прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Общий случай Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение: Дана система: 1-ый шаг метода Гаусса На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение: где Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31). Система примет вид: Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы. (1) (2) (3)

2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение: где Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение: Предполагая, что находим (4)

В результате преобразований система приняла вид: Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса. Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1. (5)

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду. Треугольная система имеет вид: Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода Гаусса. Ступенчатая система имеет вид: Такая система имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим на примере Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3 Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2) Тогда x3=-42/(-14)=3; x2=8-2×3=2 x1=8-0,5×2-2×3=1

Метод Крамера Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) Биография Крамер родился в семье франкоязычного врача. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. 1727: Крамер 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера,Галлея и де Муавра, Мопертюи и Клеро. В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей. 1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … … an1x1+an2x2+…+annxn=bn Теорема. Cистема

Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … an1 an2 … ann ≠ 0

В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей Пример. Решить систему уравнений :

Решение.

Найдите оставшиеся компоненты решения. Формулы Крамера не представляют практического значения в случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают явное представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не равно 0 .

Найдите оставшиеся компоненты решения. Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. зависящей от параметра , определить предел отношения компонент решения:

Решение. В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера система совместна при . Для случая применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде и, хотя при         каждая из них имеет бесконечный предел, их отношение стремится к пределу конечному.

Ответ. Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».

Вывод Рассмотренный в данной презентации Метод Крамера позволяет решать линейные системы, но удобнее решать системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса, который находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

Использованные источники В.С. Щипачев, Высшая математика Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. http://ru.wikipedia.org Волков Е.А. Численные методы. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I.

Метод Гаусса. Примеры

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы линейных алгебраических уравнений

к треугольному виду

Предположим, что в системе коэффициент . Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим из остальных уравнений.

Для этого делят первую строчку на , обозначим

.

Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на ;от третьего первую строчку, умноженный на ; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:

Для неизвестных имеем систему уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на .

Если коэффициент , то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие .

Обозначив

,

от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на ;

от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на и т.д. Получим таблицу коэффициентов:

Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:

Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы . Запишем соответствующую систему уравнений:

Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса начинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят . Подставив это значение в предпоследнее — находят и т.д. Из первого уравнения находят .

Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной.

———————————————

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную из второго и третьего уравнения. Для этого от них вычтем первое умноженное на

Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим

Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем

Из первого уравнения находим

Решение данной системы равен

——————————————

В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу называют расширенной матрицей системы.

——————————————

Пример 2.

Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу для данной системы

Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первый и второй строки.

2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на

3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на

4. От четвертого уравнения умноженного на вычитаем третье уравнение умноженное на

Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений

С четвертого уравнения находим и подставляем в третье уравнение

Найденные значения подставляем во второе уравнение

Из первого уравнения находим первую неизвестную

Система полностью решена и – ее решение.

——————————————————

Посмотреть материалы:

МЕТОД ГАУССА — Системы линейных уравнений

Ме́тод Га́усса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода – в китайском трактате «Математика в девяти книгах».

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, – столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где   — номер строки):

где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Условие совместности

Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

В простейшем случае алгоритм выглядит так:

• Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Пример 1

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на и 1, соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при  в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

TTU Сеть CAE

Приносим извинения за неудобства, но страница, к которой вы пытались получить доступ, находится не по этому адресу. Вы можете использовать приведенные ниже ссылки, чтобы найти то, что вы ищете.

Если вы уверены, что имеете правильный веб-адрес, но столкнулись с ошибкой, пожалуйста, связаться с Администрацией сайта.

Спасибо.

Возможно, вы искали…

Сеть TTU CAE

Доступ к файлам вне кампуса

Безопасный доступ к своим исследованиям или академическим файлам из дома или из любой точки мира.

Отправка ссылки на личный файл по электронной почте

Отправьте ссылку на файл в вашем личном веб-пространстве, чтобы избежать превышения квоты электронной почты получателей и других технических проблем.

Справка и поддержка пользователей

Файловый сервер CAE Lab

Введение и документация по файловому серверу CAE Lab.

Файловый сервер CAE Lab

В следующем наборе документов подробно описаны возможности файлового сервера CAE Lab и доступ к файлам, хранящимся в университетском городке и за его пределами.

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Windows в кампусе)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из других мест в университетском городке, если на нем установлена ​​Windows 7…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Mac OS X в кампусе)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из других мест в университетском городке, если на нем установлена ​​Mac OS X…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Windows за пределами кампуса)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из мест за пределами кампуса, если у вас установлена ​​последняя версия…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Mac OS X за пределами кампуса)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из мест за пределами кампуса, если на нем установлена ​​Mac OS X…

Подключение к файловому серверу CAE Lab (пользователи Unix в кампусе)

Следующие инструкции помогут вам подключиться к центральному файловому серверу CAE Lab из других мест в университетском городке, при условии некоторого относительного типа…

Страница не найдена | MIT

• Образование
• Исследовать
• Инновации
• Прием + помощь
• Студенческая жизнь
• Новости
• Выпускников
• О Массачусетском технологическом институте
• Подробнее ↓
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О Массачусетском технологическом институте

Предложения или отзывы?

Системы линейных уравнений: исключение Гаусса

Решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса

После нескольких уроков, в которых мы неоднократно упоминали, что мы охватываем основы, необходимые для последующего изучения того, как решать системы линейных уравнений, пришло время для нашего урока сосредоточиться на полной методологии, которой нужно следовать, чтобы найти решения. для таких систем.

Что такое элиминация по Гауссу

Исключение Гаусса — это название метода, который мы используем для выполнения трех типов операций со строками матрицы над расширенной матрицей, полученной из линейной системы уравнений, чтобы найти решения для такой системы. Этот метод также называется сокращением строк и состоит из двух этапов: прямого исключения и обратной замены.

Эти два шага метода исключения Гаусса различаются не операциями, которые вы можете использовать с их помощью, а результатом, который они производят.Шаг прямого исключения относится к сокращению строки, необходимому для упрощения рассматриваемой матрицы до ее эшелонированной формы. Такой этап имеет целью продемонстрировать, имеет ли система уравнений, изображенная в матрице, единственное возможное решение, бесконечное множество решений или просто отсутствие решения. Если обнаружено, что система не имеет решения, то нет причин продолжать сокращение строки матрицы на следующем этапе.

Если возможно получить решения для переменных, входящих в линейную систему, то выполняется этап исключения Гаусса с обратной подстановкой.На этом последнем шаге будет получена сокращенная форма матрицы, которая, в свою очередь, дает общее решение системы линейных уравнений.

Правила исключения Гаусса такие же, как правила для трех элементарных операций со строками, другими словами, вы можете алгебраически оперировать строками матрицы следующими тремя способами (или комбинацией):

1. Перестановка двух рядов
2. Умножение строки на константу (любую константу, отличную от нуля)
3. Добавление строки в другую строку

Итак, решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса оказывается структурированным, организованным и довольно эффективным методом.

Как выполнить исключение по Гауссу

На самом деле это не установленный набор шагов исключения Гаусса, которым нужно следовать, чтобы решить систему линейных уравнений, это все о матрице, которая у вас есть в ваших руках, и необходимых операциях со строками для ее упрощения. Для этого давайте поработаем над нашим первым примером исключения Гаусса, чтобы вы могли начать изучать весь процесс и интуицию, которая необходима при работе с ними:

Пример 1

Обратите внимание, что в этот момент мы можем заметить, что эта система линейных уравнений разрешима с единственным решением для каждой из ее переменных.То, что мы выполнили до сих пор, — это первый этап сокращения строк: прямое исключение. Мы можем продолжить упрощение этой матрицы еще больше (что приведет нас ко второму этапу обратной подстановки), но нам это действительно не нужно, поскольку на этом этапе система легко разрешима. Таким образом, мы смотрим на получившуюся систему, чтобы решить ее напрямую:

• Уравнение 5: Полученная линейная система уравнений для решения

Из этого набора мы можем автоматически заметить, что значение переменной z равно: z = -2.Мы используем это знание, чтобы подставить его во вторые уравнения для решения относительно y, и подставить значения y и z в первые уравнения для решения относительно x:

В последний раздел этого урока добавлено больше задач исключения Гаусса. Обязательно проработайте их, чтобы практиковаться.

Разница между устранением гаусса и устранением гаусса иордана

Разница между гауссовым исключением и гауссовым методом исключения Жордана состоит в том, что один создает матрицу в форме эшелона строк, а другой — матрицу в форме редуцированного эшелона строки.Матрица формы эшелона строк имеет верхнюю треугольную композицию, где любые нулевые строки находятся внизу, а ведущие члены находятся справа от ведущего члена из строки выше. Уменьшенная форма эшелона выходит за рамки еще большего упрощения (иногда даже достигая формы единичной матрицы).

История исключения Гаусса и его названия довольно интересны, вы будете удивлены, узнав, что название «Гауссовский» было присвоено этой методологии по ошибке в прошлом веке.В действительности было обнаружено, что алгоритм одновременного решения системы линейных уравнений с использованием матриц и редукции строк записан в той или иной форме в древних китайских текстах, которые датируются еще до нашей эры. Затем в конце 1600-х годов Исаак Ньютон провел по этому поводу урок, чтобы заполнить то, что он считал пробелом в книгах по алгебре. После того, как название «Гауссиан» было уже установлено в 1950-х годах, термин Гаусса-Иордана был принят, когда геодезист У. Джордан усовершенствовал технику, чтобы он мог использовать такие вычисления для обработки своих наблюдаемых данных топографической съемки.Если вы хотите продолжить чтение увлекательной истории математиков исключения Гаусса, не бойтесь щелкнуть ссылку и прочитать.

На самом деле нет никакой физической разницы между исключением Гаусса и исключением Гаусса Джордана, оба процесса следуют одному и тому же типу операций со строками и их комбинациям, их различие зависит от результатов, которые они производят. Многие математики и учителя во всем мире будут называть метод исключения Гаусса и исключения Гаусса Джордана методами создания матрицы эшелонированной формы по сравнению с методом создания матрицы сокращенной формы эшелона, но на самом деле они говорят о двух стадиях сокращения строк. мы объяснили это в самом первом разделе этого урока (прямое исключение и обратная подстановка), и поэтому вы просто применяете операции со строками, пока не упростите рассматриваемую матрицу.Если вы дойдете до формы эшелона, вы обычно можете решить с ней систему линейных уравнений (до сих пор это то, что называлось бы исключением Гаусса). Если вам нужно продолжить упрощение такой матрицы, чтобы напрямую получить общее решение для системы уравнений, над которой вы работаете, в этом случае вы просто продолжаете работать с матрицей по строкам, пока не упростите ее до сокращенной формы эшелона. (это будет то, что мы называем частью Гаусса-Жордана, и которую можно рассматривать также как поворотное исключение Гаусса).

Мы оставим подробное объяснение форм сокращения строк и эшелонирования для следующего урока, поскольку сейчас вам нужно знать, что, если у вас нет единичной матрицы в левой части расширенной матрицы, которую вы решаете (в этом случае вы не используете не нужно ничего делать для решения системы уравнений, относящейся к матрице), метод исключения Гаусса (регулярное сокращение строк) всегда будет использоваться для решения линейной системы уравнений, которая была записана в виде матрицы.

Примеры исключения Гаусса

В качестве последнего раздела давайте поработаем еще несколько упражнений по исключению Гаусса (сокращение строк), чтобы вы могли больше попрактиковаться в этой методологии.На протяжении многих будущих уроков этого курса линейной алгебры вы обнаружите, что сокращение строк является одним из самых важных инструментов при работе с матричными уравнениями. Поэтому убедитесь, что вы понимаете все этапы решения следующих проблем.

Пример 2

Пример 3

Мы знаем, что для этой системы мы получим расширенную матрицу с тремя строками (поскольку система содержит три уравнения) и тремя столбцами слева от вертикальной линии (поскольку есть три разных переменных).В этом случае мы перейдем непосредственно к сокращению строк, и поэтому первая матрица, которую вы увидите в этом процессе, — это та, которую вы получите, преобразовав систему линейных уравнений в расширенную матрицу.

• Уравнение 15: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

Обратите внимание, как мы можем сразу сказать, что переменная z равна нулю для этой системы, поскольку третья строка результирующей матрицы показывает уравнение -9z = 0 . Мы используем это знание и проверяем вторую строку матрицы, которая предоставит уравнение 2y — 6z = 0 , подставив в это уравнение значение z = 0 \, в результате получится y \, также равное нулю.Таким образом, мы наконец подставляем оба значения y и z \ в уравнение, которое получается из первой строки матрицы: x + 4y + 3z = 1 , поскольку и y , и z \ , равны нулю, то это дает нам x = 1 . Итак, окончательное решение этой системы уравнений выглядит следующим образом:

• Уравнение 16: Окончательное решение системы уравнений

Пример 4

Из чего видно, что последняя строка дает уравнение: 6z = 3 и, следовательно, z = 1/2.Мы подставляем это в уравнения, полученные из второй и первой строк (в указанном порядке), чтобы вычислить значения переменных x и y:

Пример 5

• Решите следующую линейную систему, используя метод исключения Гаусса: Уравнение 21: Система линейных уравнений с двумя переменными
• Транскрипция линейной системы в виде расширенной матрицы и редукции строк: Уравнение 22: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

• Что автоматически говорит нам y = 8 .Итак, подставляя это значение в уравнение из первой строки, получаем: 4x — 5y = 4x — 5 (8) = 4x — 40 = -6 4x = 34 \, и поэтому значение x равно: x = 172 \ frac {\ small17} {\ small2} 217 . И окончательное решение этой системы уравнений:

  Уравнение 23: Окончательное решение системы уравнений

Пример 6

Чтобы завершить наш урок на сегодня, у нас есть рекомендация по ссылке для дополнения ваших исследований: Исключение Гаусса — статья, которая содержит некоторую дополнительную информацию о сокращении строк, включая введение в тему и еще несколько примеров.Как мы упоминали ранее, будьте готовы продолжать использовать сокращение строк почти на протяжении всего курса линейной алгебры, так что до встречи на следующем уроке!

Правило Крамера — объяснение и примеры

Для решения системы уравнений мы в основном используем метод подстановки , метод исключения, метод построения графиков или . Мы также можем использовать матричную алгебру для решения системы уравнений. Такие процессы, как исключение Гаусса (также известное как исключение Гаусса-Жордана), могут помочь решить систему уравнений с $ 3 $ или более неизвестными.Мы также можем использовать правило Крамера для решения системы.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей.

В этом уроке мы рассмотрим, что такое правило Крамера и как решить систему уравнений. Далее следуют несколько примеров и практических задач.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей.Это красоты правила Крамера. Мы можем найти значение отдельной переменной, не решая всю систему (или другие переменные).

Помните детерминанты?

Рассмотрим матрицу $ 2 \ times 2 $, показанную ниже:

$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}

Определитель этой матрицы определяется выражением:

$ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad — bc $

Примечание. Для обозначения определителя мы использовали нотацию $ 3 $.

Теперь рассмотрим матрицу $ 3 \ times 3 $, показанную ниже:

$ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}

Определитель этой матрицы определяется выражением:

$ det (B) = | B | = \ begin {vmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} {e} & f \\ h & i \ end {vmatrix} — b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} $

Обратите внимание, что мы разбили матрицу $ 3 \ times 3 $ на более мелкие матрицы $ 2 \ times 2 $.Вертикальные черты за пределами матриц $ 2 \ times 2 $ показывают, что мы должны взять определитель. Зная определитель матриц $ 2 \ times 2 $, мы можем еще больше упростить формулу:

$ det (B) = | B | = a (ei-fh) — b (di — fg) + c (dh-eg) $

Рассмотрим систему уравнений, показанную ниже:

$ \ begin {align *} {2x} + 3y & = \, {7} \\ {- 3x} + 4y & = {15} \ end {align *}

Теперь мы дадим наименование некоторым матрицам, которые помогут нам использовать правило Крамера для решения этой системы позже.

• Следуя формуле детерминанта $ 2 \ times 2 $, мы можем записать матрицу детерминанта как:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ {- 3} & 4 \ end {vmatrix} $

Мы назвали его «D.»

• Поместив постоянные коэффициенты из системы в первый столбец (вместо $ x $ s), мы можем написать другую матрицу:

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 3 \\ {15 } & 4 \ end {vmatrix}

Мы назвали его «$ D_ {x} $» и назвали x-матрицей .

• Точно так же, поместив константы из системы во второй столбец (вместо $ y $ s), мы можем написать другую матрицу:

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & 7 \\ { — 3} & 15 \ end {vmatrix}

Мы назвали его «$ D_ {y} $» и назвали его y-матрицей .

Теперь формула правила Крамера для определения переменных $ x $ и $ y $ показана ниже:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 7 & 3 \\ {15} & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 3 \ \ {- 3} & 4 \ end {vmatrix}}

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & 7 \\ {- 3} & 15 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ {- 3} & 4 \ end {vmatrix}}

Следующий раздел покажет нам, как на самом деле использовать правило и решать систему! Обратите внимание, что мы, , не можем использовать правило Крамера, когда детерминант матрицы равен $ 0 $! Нулевой определитель может означать:

• Система несовместима (нет решения)
• Система зависимая (имеет бесконечное количество решений)

В этом случае мы должны полагаться на другие методы при решении системы, такие как метод замены / исключения или метод исключения Гаусса.

Как пользоваться правилом Крамера?

Давайте решим систему уравнений ($ 2 $ переменных), используя правило Крамера, чтобы увидеть концепцию live в действии!

Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

$ \ begin {align *} {2x} + y & = \, {7} \\ {3x} — 2y & = {- 7} \ end {align *}

Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x}) и определитель $ y — $ ($ D_ {y}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ {3} & {- 2} \ end {vmatrix}

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 1 \\ {- 7} & {- 2} \ end {vmatrix} $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & {7} \\ {3} & {- 7} \ end {vmatrix} $

Вспомните формулу для вычисления определителя $ 2 \ times 2 $:

Для матрицы $ 2 \ timess 2 $ —

$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}

Определитель рассчитывается как —

$ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad — bc $

Рассчитаем определители:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ {3} & {- 2} \ end {vmatrix} = (2) (- 2) — (1) (3) = — 4 — 3 = — 7 $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 1 \\ {- 7} & {- 2} \ end {vmatrix} = (7) (- 2) — (1) (- 7) = — 14 — (- 7) = — 14 + 7 = — 7 $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & {7} \\ {3} & {- 7} \ end {vmatrix} = (2) (- 7) — (7) (3) = -14 — 21 = — 35 $

Теперь мы можем использовать формулы и, таким образом, правило Крамера , чтобы найти переменные $ x $ и $ y $.Показано ниже:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {- 7} {- 7} = 1 $

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {- 35} {- 7} = 5 $

Набор решений системы равен (1, 5) .

Вы можете заметить, что если бы мы хотели решить только $ 1 $ переменных, не решая всю систему, мы могли бы легко использовать формулу для одной переменной, чтобы найти ее. Правило Крамера — довольно изящный инструмент для поиска решений системы уравнений.Мы увидим несколько примеров, а также один с переменными $ 3 $.

Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

$ \ begin {align *} {- x} — y & = \, {5} \\ {2x} + y & = {4} \ end {align *}

Решение

Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x}) и определитель $ y — $ ($ D_ {y}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} — 1 & — 1 \\ {2} & {1} \ end {vmatrix}

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & — 1 \\ {4} & {1} \ end {vmatrix} $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} — 1 & {5} \\ {2} & {4} \ end {vmatrix} $

Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \ times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_ {x} $ и $ D_ {y} $.

$ D = \ begin {vmatrix} — 1 & — 1 \\ {2} & {1} \ end {vmatrix} = (- 1) (1) — (- 1) (2) = — 1 + 2 = 1 $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & — 1 \\ {4} & {1} \ end {vmatrix} = (5) (1) — (- 1) (4) = 5 + 4 = 9 $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} — 1 & {5} \\ {2} & {4} \ end {vmatrix} = (- 1) (4) — (5) (2) = — 4 — 10 = — 14 $

Теперь мы используем формулы, изученные в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {9} {1} = 9 $

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {- 14} {1} = — 14 $

Набор решений системы стоит долларов (9, — 14) долларов.

Давайте посмотрим на пример с переменными $ 3 $.

Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

$ \ begin {align *} 2a + b — 2c & = \, — 1 \\ 3a — 3b — c & = 5 \\ a — 2b + 3c = 6 \ end {align *} $

Решение

Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ a — $ ($ D_ {a}), определитель $ b — $ ($ D_ {b}) и $ c — определитель $ ($ D_ {c}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {a} = \ begin {vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {b} = \ begin {vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {c} = \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end {vmatrix} $

Для матрицы вида:

$ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}

Определитель рассчитывается как:

$ | B | = a (ei-fh) — b (di — fg) + c (dh-eg) $

Теперь мы используем правило Крамера и вычисляем значения переменных $ a $, $ b $ и $ c $.Шаги показаны ниже (мы не приводили подробные шаги поиска определителей матриц $ 3 \ times 3 $):

$ a = \ frac {D_ {a}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {-26} {- 26} = 1

$ b = \ frac {D_ {b}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {26} {- 26} = -1 $

$ c = \ frac {D_ {c}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {-26} {- 26} = 1 $

Набор решений системы равен $ (1, — 1,1) $.

Практические вопросы

1. Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

   $ \ begin {align *} {5x} + 2y & = \, {10} \\ {- x} + 4y & = {20} \ end {align *}

   $

2. Решите систему уравнений, показанную ниже, с помощью правила Крамера:

   $ \ begin {align *} 3x — 4y + z & = \, -5 \\ x — y — z & = — 10 \\ 6x — 8y + 2z = 10 \ end {align *} $

ответы

1. Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x} $) и определитель $ y — $ ($ D_ {y} $ ).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

   $ D = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ {- 1} & {4} \ end {vmatrix}

   $

   $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \ end {vmatrix}

   $

   $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 5 & {10} \\ {- 1} & {20} \ end {vmatrix}

   $

   Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \ times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_ {x} $ и $ D_ {y} $.

   $ D = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ {- 1} & {4} \ end {vmatrix} = (5) (4) — (2) (-1) = 20 + 2 = 22 $

   $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \ end {vmatrix} = (10) (4) — (2) (20) = 40-40 = 0 $

   $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 5 & {10} \\ {- 1} & {20} \ end {vmatrix} = (5) (20) — (10) (-1) = 100 + 10 = 110 $

   Теперь мы используем формулы, изученные в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

   $ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {0} {22} = 0

   долларов США

   $ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {110} {22} = 5

   долларов США

   Набор решений системы равен $ (0, 5) $.

2. Первый шаг — записать определители этой системы уравнений: определитель ($ D $), определитель $ x — $ ($ D_ {x}), $ y — $ определитель ($ D_ {y}) $ и детерминант $ z — $ ($ D_ {z}) $. Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

   $ D = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \ end {vmatrix} $

   $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & -4 & 1 \\ -10 & -1 & -1 \\ 10 & -8 & 2 \ end {vmatrix} $

   $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & -10 & -1 \\ 6 & 10 & 2 \ end {vmatrix} $

   $ D_ {z} = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & -1 & -10 \\ 6 & -8 & 10 \ end {vmatrix} $

   Напомним, что матрица $ 3 \ times 3 $ вида:

   $ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}

   $

   Имеет определитель, равный:

   $ | B | = a (ei-fh) — b (di — fg) + c (dh-eg) $

   Во-первых, давайте найдем значение определителя, $ D $,

   $ D = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \ end {vmatrix} = 3 (-2-8) +4 (2+ 6) +1 (-8 + 6) = 3 (-10) + 4 (8) +1 (-2) = 0 $

   Определитель этой матрицы равен 0 $; таким образом, мы не можем, , решить систему, используя правило Крамера !!

Решение систем по правилу Крамера

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Оцените детерминанты 2 × 2.
• Используйте правило Крамера для решения системы уравнений с двумя переменными.
• Оцените детерминанты 3 × 3.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, используя несколько методов: подстановка, сложение, исключение Гаусса, использование обратной матрицы и построение графиков. Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях.В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений.Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы. Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы [latex] \, 2 \ text {} × \ text {} 2 \, [/ latex], учитывая

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \ end {array} \ right] [/ latex]

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений.Есть несколько способов указать определитель, включая [latex] \, \ mathrm {det} \ left (A \ right) \, [/ latex] и замену скобок в матрице прямыми линиями, [latex] \, | A |. [/ Латекс]

Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} | \ hfill \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = 5 \ left (3 \ right) — \ left (-6 \ right ) \ left (2 \ right) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = 27 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во введении к анализу алгоритмов Курбских Альгебриков. Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \, \, \, \, \ left (1 \ right ) \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \, \, \, \, \ left (2 \ right) \ end {array} [/ latex ]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажем, мы хотим найти [латекс] \, x. \, [/ Latex] Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный [латексу] \, y \, [/ latex] в уравнении (1 ), уравнение (1) умножается на коэффициент [латекс] \, y \, [/ latex] в уравнении (2), и мы складываем два уравнения, переменную [latex] \, y \, [/ latex ] будет исключен.

[латекс] \ begin {array} {l} \ underset {\ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _} {\ begin {array} {llll} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \, \, \, \, {b} _ {2} {a} _ {1} x + {b} _ {2} {b} _ {1} y = {b} _ {2} {c} _ {1} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {1} \ text {by} {b} _ {2} \ hfill \\ — {b} _ {1} {a } _ {2} x- {b} _ {1} {b} _ {2} y = — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text { Умножить} {R} _ {2} \ text {by} — {b} _ {1} \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \, \, \, \ begin {array} {ll} {b } _ {2} {a} _ {1} x- {b} _ {1} {a} _ {2} x = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ { 1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь решите [латекс] \, x.[/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, {b} _ {2} {a} _ {1} x- {b} _ {1} {a} _ {2} x = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \, \, \, x \ left ({b} _ {2} {a} _ {1} — {b} _ {1} {a} _ {2} \ right) = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c } _ {2} \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {{b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2}} {{ b} _ {2} {a} _ {1} — {b} _ {1} {a} _ {2}} = \ frac {\ left [\ begin {array} {cc} {c} _ {1 } & {b} _ {1} \\ {c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} {\ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Аналогичным образом, чтобы решить для [latex] \, y, [/ latex], мы удалим [latex] \, x.[/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \ underset {\ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _} {\ begin {array} {llll} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \, \, \, \, {a} _ {2} {a} _ {1} x + {a} _ {2} {b} _ {1} y = {a} _ {2} {c} _ {1} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {1} \ text {by} {a} _ {2} \ hfill \\ — {a} _ {1} {a } _ {2} x- {a} _ {1} {b} _ {2} y = — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text { Умножить} {R} _ {2} \ text {by} — {a} _ {1} \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \ begin {array } {ll} {a} _ {2} {b} _ {1} y- {a} _ {1} {b} _ {2} y = {a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение для [latex] \, y \, [/ latex] дает

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {2} {b} _ {1} y- {a} _ {1} {b} _ {2} y = {a} _ {2 } {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ y \ left ({a} _ {2} {b} _ {1} — {a} _ {1} {b} _ {2} \ right) = {a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \ text { } y = \ frac {{a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2}} {{a} _ {2} {b} _ {1 } — {a} _ {1} {b} _ {2}} = \ frac {{a} _ {1} {c} _ {2} — {a} _ {2} {c} _ {1} } {{a} _ {1} {b} _ {2} — {a} _ {2} {b} _ {1}} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ { 1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1 } & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что знаменатель для [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex] является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения для [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y, \, [/ latex], но Правило Крамера также вводит новые обозначения:

Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление детерминантов. Затем мы можем выразить [латекс] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex] как частное двух определителей.

Правило Крамера для систем 2 × 2

Правило Крамера — это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ end {array} [/ latex]

Решение, использующее правило Крамера, дается как

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {c} _ {1} & {b} _ {1} \\ {c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ { a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, \, \, D \ ne 0; \, \, \ text {} \ text {} \, y = \ гидроразрыв {{D} _ {y}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, \, \, D \ ne 0.[/ латекс]

Если мы решаем для [latex] \, x, \, [/ latex], столбец [latex] \, x \, [/ latex] заменяется столбцом констант. Если мы решаем для [latex] \, y, \, [/ latex], столбец [latex] \, y \, [/ latex] заменяется постоянным столбцом.

Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему [latex] \, 2 \ text {} × \ text {} 2 \, [/ latex], используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} 12x + 3y = 15 \\ \ text {} 2x-3y = 13 \ end {array} [/ latex]

Решить относительно [латекс] \, x.[/ латекс]

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 15 & \ hfill 3 \\ \ hfill 13 & \ hfill -3 \ end {array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {-45-39} {- 36- 6} = \ frac {-84} {- 42} = 2 [/ latex]

Решите для [latex] \, y. [/ Latex]

[латекс] y = \ frac {{D} _ {y}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 15 \\ \ hfill 2 & \ hfill 13 \ end { array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {156-30} {- 36-6} = — \ frac {126} {42} = — 3 [/ латекс]

Решение: [латекс] \, \ left (2, -3 \ right).[/ латекс]

Попробуй

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений 2 × 2.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y = -11 \ hfill \\ -2x + y = -13 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (3, -7 \ вправо) [/ латекс]

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5.Затем мы вычисляем сумму произведений записей на каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ end {array} \ right] [/ латекс]

1. Дополните [латекс] \, A \, [/ latex] первыми двумя столбцами.

   [латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \ \ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ конец {массив} \, \, \, | \, \, \, \ begin {array} {c} {a} _ {1} \\ {a} _ {2} \\ {a} _ {3} \ end {array} \, \, \, \, \ begin {array} {c} {b} _ {1} \\ {b} _ {2} \\ {b} _ {3} \ end {массив } | [/ латекс]

2. Слева вверху направо вниз: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению входов по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. С левого нижнего угла в правый верхний: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

[латекс] | A | = {a} _ {1} {b} _ {2} {c} _ {3} + {b} _ {1} {c} _ {2} {a} _ {3 } + {c} _ {1} {a} _ {2} {b} _ {3} — {a} _ {3} {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {3} {c} _ {2} {a} _ {1} — {c} _ {3} {a} _ {2} {b} _ {1} [/ latex]

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 для данного

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} | A | = | \ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} \, \, | \ begin {array} {c} 0 \\ 3 \\ \, \, 4 \ end {array} \, \, \, \, \ begin {array} {c} 2 \\ -1 \\ 0 \ end { массив} | \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, = 0 \ left (-1 \ right) \ left (1 \ right) +2 \ left (1 \ right) \ left ( 4 \ вправо) +1 \ влево (3 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -4 \ влево (-1 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -0 \ влево (1 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -1 \ влево (3 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, = 0 + 8 + 0 + 4-0-6 \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, = 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуй

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} 1 & -3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {array} | [/ latex ]

Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для [latex] \, 2 \ text {} × \ text {} 2 \, [/ latex] и [latex] \, \ text {3} \ text {} × \ text { } 3 \, [/ латексные] матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными.Правило Крамера простое и следует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}, z = \ frac {{D} _ {z} } {D}, D \ ne 0 [/ латекс]

где

Если мы записываем определитель [latex] \, {D} _ {x}, [/ latex], мы заменяем столбец [latex] \, x \, [/ latex] на столбец констант.Если мы пишем определитель [latex] {D} _ {y}, [/ latex], мы заменяем столбец [latex] \, y \, [/ latex] на постоянный столбец. Если мы пишем определитель [latex] \, {D} _ {z}, [/ latex], мы заменяем столбец [latex] \, z \, [/ latex] постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} x + y-z = 6 \\ 3x-2y + z = -5 \\ x + 3y-2z = 14 \ end {array} [/ latex]

Используйте правило Крамера.

[латекс] D = | \ begin {array} {ccc} 1 & \, \, 1 & -1 \\ 3 & -2 & \, \, \, 1 \\ 1 & \, \, 3 & -2 \ end {array} |, {D} _ {x} = | \ begin {array} {ccc} 6 & 1 & -1 \\ -5 & -2 & \, \, \, 1 \\ 14 & \, \, 3 & -2 \ end {массив } |, {D} _ {y} = | \ begin {array} {ccc} 1 & \, 6 & -1 \\ 3 & -5 & \, \, 1 \\ 1 & 14 & -2 \ end {array} |, { D} _ {z} = | \ begin {array} {ccc} 1 & \, 1 & 6 \\ 3 & -2 & -5 \\ 1 & \, \, 3 & 14 \ end {array} | [/ latex]

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {-3} {- 3} = 1 \ hfill \\ y = \ frac { {D} _ {y}} {D} = \ frac {-9} {- 3} = 3 \ hfill \\ z = \ frac {{D} _ {z}} {D} = \ frac {6} {-3} = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение [латекс] \ left (1,3, -2 \ right).[/ латекс]

Попробуй

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill x-3y + 7z = 13 \\ \ hfill x + y + z = 1 \, \, \, \\ \ hfill x-2y + 3z = 4 \ , \, \, \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (-2, \ frac {3} {5}, \ frac {12} {5} \ right) [/ latex]

Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x-2y = 4 \ text {} \ left (1 \ right) \\ 6x-4y = 0 \ text {} \ left (2 \ right) \ end {массив } [/ латекс]

Начнем с нахождения определителей [латекс] \, D, {D} _ {x}, \ text {и} {D} _ {y}.[/ латекс]

[латекс] D = | \ begin {array} {cc} 3 & -2 \\ 6 & -4 \ end {array} | = 3 \ left (-4 \ right) -6 \ left (-2 \ right) = 0 [/ латекс]

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножьте уравнение (1) на [латекс] \, — 2. [/ Латекс]
2. Добавьте результат к уравнению [латекс] \, \ left (2 \ right). [/ Latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ underset {\ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _} {\ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -6x + 4y \, \, \, \, = — 8 \ hfill \ end {array} \ hfill \\ \, \, \, 6x-4y \, \, \, \, \, \, = \, \, \, \, 0 \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, = \, — 8 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Мы получаем уравнение [латекс] \, 0 = -8, \, [/ латекс], которое неверно.Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. (Рисунок).

Рисунок 1.

Используйте правило Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

[латекс] \ begin {array} {rr} \ hfill x-2y + 3z = 0 & \ hfill \ left (1 \ right) \\ \ hfill 3x + y-2z = 0 & \ hfill \ left (2 \ right) \\ \ hfill 2x-4y + 6z = 0 & \ hfill \ left (3 \ right) \ end {array} [/ latex]

Давайте сначала найдем определитель.Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 & \ hfill 6 \ end { array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 \ end {array} | [ / латекс]

Затем,

[латекс] 1 \ влево (1 \ вправо) \ влево (6 \ вправо) + \ влево (-2 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) +3 \ влево (3 \ вправо) \ влево (-4 \ вправо) -2 \ влево (1 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) — \ влево (-4 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -6 \ left (3 \ right) \ left (-2 \ right) = 0 [/ латекс]

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (1) на [latex] \, — 2 \, [/ latex] и добавьте результат к уравнению (3):

   [латекс] \ frac {\ begin {array} {r} \ hfill -2x + 4y-6x = 0 \\ \ hfill 2x-4y + 6z = 0 \ end {array}} {\, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 0 = 0} [/ латекс]

2. Получение ответа [latex] \, 0 = 0, \, [/ latex] утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы можем увидеть, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой.См. (Рисунок).

   Рисунок 2.

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

Свойства детерминантов

1. Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.{-1} \, [/ latex] — обратная величина определителю матрицы [latex] \, A. [/ Latex]
3. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Иллюстрируя свойства детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill \, \, 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 0 & \ hfill \, \, 2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill \, \, 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Дополните [латекс] \, A \, [/ latex] первыми двумя столбцами.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \ end {array} | \, \, \, \ begin {array} {c } 1 \\ 0 \\ 0 \ end {массив} \, \, \, \, \ begin {array} {c} 2 \\ 2 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем

[латекс] \ begin {array} {l} \ mathrm {det} \ left (A \ right) = 1 \ left (2 \ right) \ left (-1 \ right) +2 \ left (1 \ right) \ влево (0 \ вправо) +3 \ влево (0 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -0 \ влево (2 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) -0 \ влево (1 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) +1 \ влево (0 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак.Учитывая

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ A = \ left [\ begin {array} {cc} -1 & 5 \\ 4 & -3 \ end {array} \ right ], \, \, \ mathrm {det} \ left (A \ right) = \ left (-1 \ right) \ left (-3 \ right) — \ left (4 \ right) \ left (5 \ right) = 3-20 = -17 \ end {массив} \ hfill \\ \ hfill \\ B = \ left [\ begin {array} {cc} 4 & -3 \\ -1 & 5 \ end {array} \ right], \, \, \ mathrm {det} \ left (B \ right) = \ left (4 \ right) \ left (5 \ right) — \ left (-1 \ right) \ left (-3 \ right) = 20 -3 = 17 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, A = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ -1 \ end {array} \ begin {array } {c} 2 \\ 2 \\ 2 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ hfill \\ \ mathrm {det} \ left (A \ right) = 1 \ left (2 \ right) \ left (2 \ вправо) +2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (-1 \ вправо) +2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) +1 \ влево (2 \ вправо) \ влево ( 2 \ вправо) -2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -2 \ влево (2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) \ hfill \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = 4-4 + 8 + 4-4-8 = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю.{-1} \ right) = — 2 \ left (- \ frac {1} {2} \ right) — \ left (\ frac {3} {2} \ right) \ left (1 \ right) = — \ гидроразрыв {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} A = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right], \ mathrm {det} \ left (A \ right) = 1 \ left (4 \ right) -2 \ left (3 \ right) = — 2 \ hfill \\ \ hfill \\ B = \ left [\ begin {array} {cc} 2 \ left (1 \ right) & 2 \ left (2 \ right) \\ 3 & 4 \ end {array} \ right], \ mathrm {det} \ left (B \ right) = 2 \ left (4 \ right) -3 \ left ( 4 \ right) = — 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

[латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 4y + 4z = 2 \ hfill & \ left (1 \ right) \ hfill \\ 3x + 7y + 7z = -5 \ hfill & \ left (2 \ right ) \ hfill \\ \ text {} x + 2y + 2z = 4 \ hfill & \ left (3 \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

Используя правило Крамера, имеем

[латекс] D = | \ begin {array} {ccc} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \ end {array} | [/ latex]

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (3) на –2 и прибавьте результат к уравнению (1).

   [латекс] \ frac {\ begin {array} {l} -2x-4y-4x = -8 \ hfill \\ \ text {} 2x + 4y + 4z = 2 \, \, \, \, \, \ hfill \ end {array}} {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 = -6} [/ латекс]

Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.

Ключевые понятия

• Определитель для [latex] \, \ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \ end {array} \ right] \, [/ latex] — [latex] \, ad-bc .\, [/ latex] См. (рисунок).
• Правило Крамера заменяет переменный столбец постоянным столбцом. Решения: [latex] \, x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}. \, [/ Latex] См. (Рисунок ).
• Чтобы найти определитель матрицы 3 × 3, дополните ее двумя первыми столбцами. Сложите три диагональных входа (верхний левый нижний правый) и вычтите три диагональных входа (нижний левый верхний правый). См. (Рисунок).
• Чтобы решить систему трех уравнений с тремя переменными с использованием правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого желаемого решения: [latex] \, x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}, z = \ frac {{D} _ {z}} {D}.\, [/ latex] См. (рисунок).
• Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечными решениями. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Некоторые свойства определителей полезны для решения задач. Например:
  • Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
  • Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.
  • Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.{-1} \, [/ latex] — обратная величина определителю матрицы [latex] \, A. [/ Latex]
  • Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

Определитель — это сумма и произведения элементов матрицы, поэтому вы всегда можете оценить этот продукт, даже если в конечном итоге он окажется равным нулю.

Исследуя правило Крамера, объясните, почему не существует единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу [latex] \, 2 \, × \, 2 \, [/ latex].

Объясните, что в терминах обратного значения для матрицы означает наличие определителя 0.

Обратного не существует.

Определитель [latex] \, 2 \, × \, 2 \, [/ latex] matrix [latex] \, A \, [/ latex] равен 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6 а во второй строке — 2, объясните, как найти определитель и дать ответ.

Алгебраические

Найдите определитель для следующих упражнений.

[латекс] | \ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {массив} {rr} \ hfill -1 & \ hfill 2 \\ \ hfill 3 & \ hfill -4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill 2 & \ hfill -5 \\ \ hfill -1 & \ hfill 6 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {cc} -8 & 4 \\ -1 & 5 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {массив} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 0 \\ \ hfill 3 & \ hfill -4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill 10 & \ hfill 20 \\ \ hfill 0 & \ hfill -10 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {cc} 10 & 0.2 \\ 5 & 0.1 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill 6 & \ hfill -3 \\ \ hfill 8 & \ hfill 4 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill -2 & \ hfill -3 \\ \ hfill 3.1 & \ hfill 4,000 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rr} \ hfill -1.1 & \ hfill 0.6 \\ \ hfill 7.2 & \ hfill -0.5 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill -3 \ end {массив } | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill -3 \ end {массив } | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 2 & \ hfill -3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -4 & \ hfill 1 \\ \ hfill -5 & \ hfill 6 & \ hfill 1 \ end { массив} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill 1 & \ hfill 4 \\ \ hfill -4 & \ hfill 2 & \ hfill -8 \\ \ hfill 2 & \ hfill -8 & \ hfill -3 \ конец {массив} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 6 & \ hfill -1 & \ hfill 2 \\ \ hfill -4 & \ hfill -3 & \ hfill 5 \\ \ hfill 1 & \ hfill 9 & \ hfill -1 \ end {array} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 1 & \ hfill -1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -6 & \ hfill -3 \ end { массив} | [/ латекс]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 1.1 & \ hfill 2 & \ hfill -1 \\ \ hfill -4 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 4.1 & \ hfill -0.4 & \ hfill 2.5 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 2 & \ hfill -1.6 & \ hfill 3.1 \\ \ hfill 1.1 & \ hfill 3 & \ hfill -8 \\ \ hfill -9.3 & \ hfill 0 & \ hfill 2 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} — \ frac {1} {2} & \ frac {1} {3} & \ frac {1} {4} \\ \ frac {1} {5} & — \ frac {1} {6} & \ frac {1} {7} \\ 0 & 0 & \ frac {1} {8} \ end {array} | [/ latex]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений с помощью правила Крамера.

[латекс] \ begin {array} {l} 2x-3y = -1 \\ 4x + 5y = 9 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ левый (1,1 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} 5x-4y = 2 \\ -4x + 7y = 6 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 6x-3y = 2 \, \, \, \, \, \ hfill \\ -8x + 9y = -1 \ hfill \ end {array} [ / латекс]

[латекс] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {3} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 2x + 6y = 12 \\ 5x-2y = 13 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x + 3y = 23 \, \, \ hfill \\ \ text {} 2x-y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ левый (2,5 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} 10x-6y = 2 \, \, \, \, \ hfill \\ -5x + 8y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x-3y = -3 \\ 2x + 6y = -4 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (-1, — \ frac {1} {3} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 4x-5y = 7 \\ -3x + 9y = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x + 10y = 180 \, \, \, \, \ hfill \\ -3x-5y = -105 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ левый (15,12 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 8x-2y = -3 \ hfill \\ -4x + 6y = 4 \, \, \, \, \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений с помощью правила Крамера.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y-4z = -1 \ hfill \\ \ text {} 7x + 3y + 5z = 26 \, \, \ hfill \\ -2x- 6y + 7z = -6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ левый (1,3,2 \ правый) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} -5x + 2y-4z = -47 \ hfill \\ \ text {} 4x-3y-z = -94 \ hfill \\ \ text {} 3x-3y + 2z = 94 \, \, \, \, \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 4x + 5y-z = -7 \ hfill \\ -2x-9y + 2z = 8 \, \, \, \, \ hfill \\ \ text {} 5y + 7z = 21 \, \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (-1,0,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} 4x-3y + 4z = 10 \\ 5x-2z = -2 \\ 3x + 2y-5z = -9 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x-2y + 3z = 6 \, \, \, \ hfill \\ \ text {} -6x + y = -2 \ hfill \\ 2x + 7y + 8z = 24 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (\ frac {1} {2}, 1,2 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 2y-z = 1 \, \, \, \, \, \\ \ hfill -7x-8y + 3z = 1.5 \\ \ hfill 6x-12y + z = 7 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 13x-17y + 16z = 73 \, \, \, \, \ hfill \\ -11x + 15y + 17z = 61 \, \, \, \ , \ hfill \\ \ text {} 46x + 10y-30z = -18 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (2,1,4 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -4x-3y-8z = -7 \ hfill \ end {array} \ hfill \\ \ text {} 2x- 9y + 5z = 0,5 \ hfill \\ \ text {} 5x-6y-5z = -2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 4x-6y + 8z = 10 \, \, \ hfill \\ -2x + 3y-4z = -5 \ hfill \\ \ text {} x + y + z = 1 \, \, \, \, \, \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 4x-6y + 8z = 10 \, \, \, \, \, \\ \ hfill -2x + 3y-4z = -5 \, \, \, \\ \ hfill 12x + 18y-24z = -30 \ end {array} [/ latex]

Технологии

Для следующих упражнений используйте детерминантную функцию в графической утилите.

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 8 & \ hfill 9 \\ \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 1 & \ hfill 0 \\ \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 4 & \ hfill 3 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill -9 & \ hfill 1 & \ hfill 3 \\ \ hfill 3 & \ hfill 0 & \ hfill -2 & \ hfill -1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill 1 & \ hfill 7 & \ hfill 4 \\ \ hfill 0 & \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill 100 & \ hfill 5 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 2 & \ hfill 2,000 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 2 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \\ \ hfill 4 & \ hfill 5 & \ hfill 6 & \ hfill 0 \\ \ hfill 7 & \ hfill 8 & \ hfill 9 & \ hfill 0 \ end {array} | [/ latex]

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения.Затем вычислите определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, найдите уникальное решение.

Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

Два числа в сумме дают 104. Если вы сложите два раза первое число плюс два раза второе число, ваша сумма составит 208

Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго. Третье число на 4 больше, чем первое.

Три числа добавляют к 216.Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше, чем первые два числа вместе взятые.

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

Вы вкладываете 10 000 долларов в два счета, которые получают 8% годовых и 5% годовых. В конце года на ваших комбинированных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждую учетную запись?

7000 долларов на первом счете, 3000 долларов на втором счете.

Вы вкладываете 80 000 долларов в два счета, 22 000 долларов в один счет и 58 000 долларов в другой. В конце года, если исходить из простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Какие процентные ставки по вашим счетам?

Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детские билеты 5 долларов.95, билеты для взрослых стоят 11,15 долларов, а общая сумма выручки составила 12 756 долларов. Сколько билетов для детей и взрослых было продано?

120 детей, 1080 взрослых

Концертная площадка продает одиночные билеты по 40 долларов каждый и билеты для пар по 65 долларов. Если общий доход составил 18 090 долларов и был продан 321 билет, сколько разовых билетов и сколько билетов для пар было продано?

Вы решили покрасить свою кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски.Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета было добавлено в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 долларов США. Если каждый галлон желтого стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

Вы продали два типа шарфов на фермерском рынке и хотите знать, какой из них пользуется большей популярностью. Всего было продано 56 шарфов, желтый платок стоил 10 долларов, а фиолетовый — 11 долларов.Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых и фиолетовых шарфов было продано?

В вашем саду выращивали два вида помидоров: зеленый и красный. Красный весит 10 унций, а зеленый — 4 унции. У вас 30 помидоров, а общий вес составляет 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

13 зеленых помидоров, 17 красных помидоров

На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, у которой на 5% больше продаж, чем у лука.Какую долю занимает каждый овощ на рынке?

На этом же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества проданных фруктов. Клубника продается вдвое больше, чем апельсины, а киви продаются на один процентный пункт больше, чем апельсины. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

Клубника 18%, апельсины 9%, киви 10%

На концертной площадке выступили три группы. Первый диапазон взимал 15 долларов за билет, второй диапазон — 45 долларов за билет, а последний диапазон — 22 доллара за билет.Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй, сколько билетов было продано каждой группе?

В кинотеатре продаются билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Всего было продано 642 билета, общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

100 для фильма 1, 230 для фильма 2, 312 для фильма 3

Мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет в прошлом году составляли 78% заключенных.В этом году эти же возрастные группы составили 82,08% населения. Возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет уменьшилась до [latex] \, \ frac {3} {4} \, [/ latex] их предыдущего населения. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 2% больше заключенных, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процентную долю заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

В женской тюрьме по дороге общее количество заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составило 5 525 человек. В этом году возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30–39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40–49 лет увеличилась вдвое.Сейчас в тюрьме 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет их было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы за прошлый год.

20–29: 2,100, 30–39: 2,600, 40–49: 825

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает сделать смесь из миндаля, сушеной клюквы и кешью в шоколаде. Информация о питательной ценности этих продуктов показана на (Рисунок).

Для специальной смеси для трейлов с низким содержанием углеводов имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов — 425 г, а общее количество жиров — 570,2 г. Если кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Для «походной» смеси в смеси 1000 штук, содержащих 390 штук.8 г жира и 165 г белка. Если количество миндаля такое же, как и в кешью, сколько каждого из них входит в состав смеси?

300 миндальных орехов, 400 клюквы, 300 кешью

Для смеси «усилитель энергии» в смеси 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если сумма миндальных орехов и кешью эквивалентна количеству клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Упражнения на повторение

Системы линейных уравнений: две переменные

В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x-y = 4 \\ x + 4y = -3 \, \ end {array} [/ latex] and [latex] \, \ left (-1,1 \ справа) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} 6x-2y = 24 \\ -3x + 3y = 18 \, \ end {array} [/ latex] и [latex] \, \ left (9,15 \ right ) [/ латекс]

В следующих упражнениях используйте подстановку для решения системы уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} 10x + 5y = -5 \ hfill \\ \, \, \, 3x-2y = -12 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (-2,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \ frac {4} {7} x + \ frac {1} {5} y = \ frac {43} {70} \\ \ frac {5} {6} x — \ frac {1} {3} y = — \ frac {2} {3} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 5x + 6y = 14 \\ 4x + 8y = 8 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (4, -1 \ вправо) [/ латекс]

В следующих упражнениях используйте сложение для решения системы уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 2y = -7 \\ 2x + 4y = 6 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 2 \\ 9x + 12y = 3 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 8x + 4y = 2 \\ 6x-5y = 0,7 \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Завод имеет стоимость производства [латекс] \, C \ left (x \ right) = 150x + 15 \ text {,} 000 \, [/ latex] и функцию дохода [латекс] \, R \ left ( х \ вправо) = 200x.\, [/ latex] Какая точка безубыточности?

[латекс] \ влево (300,60,000 \ вправо) [/ латекс]

Исполнитель взимает [латекс] \, C \ left (x \ right) = 50x + 10 \ text {,} 000, \, [/ latex], где [latex] \, x \, [/ latex] — общая сумма количество посетителей на шоу. Место проведения взимает 75 долларов за билет. После того, как сколько людей купит билеты, место проведения станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

[латекс] \ влево (400,30,000 \ вправо) [/ латекс]

Системы линейных уравнений: три переменные

Для следующих упражнений решите систему трех уравнений, используя замену или сложение.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 0,5x-0,5y = 10 \ hfill \\ \ text {} -0,2y + 0,2x = 4 \ hfill \\ \ text {} 0,1x + 0.1z = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (10, -10,10 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y-z = 5 \, \, \, \\ \ hfill 3x-2y + 4z = 13 \\ \ hfill 4x + 3y + 5z = 22 \ конец {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 1 \\ 3x + 3y = 2 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} 2x-3y + z = -1 \ hfill \\ \ text {} x + y + z = -4 \ hfill \\ \ text {} 4x + 2y-3z = 33 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, 3x + 2y-z = -10 \ hfill \\ \, \, \, \, x-y + 2z = 7 \ hfill \\ -x + 3y + z = -2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (-1, -2,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 3x + 4z = -11 \\ \ hfill x-2y = 5 \, \, \, \, \, \, \, \\ \ hfill 4y-z = -10 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-3y + z = 0 \\ 2x + 4y-3z = 0 \\ 6x-2y-z = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (x, \ frac {8x} {5}, \ frac {14x} {5} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 6x-4y-2z = 2 \\ 3x + 2y-5z = 4 \\ 6y-7z = 5 \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи.Решите систему уравнений.

Три нечетных числа в сумме дают 61. Меньшее на треть больше, а среднее число на 16 меньше большего. Какие три числа?

Местный театр распродает билеты на их спектакль. Они продают все 500 билетов на общую сумму 8 070 долларов. Билеты стоили 15 долларов для студентов, 12 долларов для детей и 18 долларов для взрослых. Если группа продала в три раза больше билетов для взрослых, чем детских, сколько билетов каждого типа было продано?

Системы нелинейных уравнений и неравенств: две переменные

Для следующих упражнений решите систему нелинейных уравнений.{2}} [/ латекс]

Матрицы и матричные операции

Для следующих упражнений выполните требуемые операции с заданными матрицами.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 4 & \ hfill -2 \\ \ hfill 1 & \ hfill 3 \ end {array} \ right], B = \ left [\ begin {array } {rrr} \ hfill 6 & \ hfill 7 & \ hfill -3 \\ \ hfill 11 & \ hfill -2 & \ hfill 4 \ end {array} \ right], C = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill \ begin {array} {cc} 6 & 7 \\ 11 & -2 \ end {array} \\ \ hfill \ begin {array} {cc} 14 & 0 \ end {array} \ end {array} \ right], D = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -4 & \ hfill 9 \\ \ hfill 10 & \ hfill 5 & \ hfill -7 \\ \ hfill 2 & \ hfill 8 & \ hfill 5 \ end {array} \ right], E = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 7 & \ hfill -14 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -1 & \ hfill 3 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 9 \ конец {массив} \ right] [/ латекс]

[латекс] \ left [\ begin {array} {cc} -16 & 8 \\ -4 & -12 \ end {array} \ right] [/ latex]

undefined; размеры не соответствуют

undefined; внутренние размеры не соответствуют

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 113 & 28 & 10 \\ 44 & 81 & -41 \\ 84 & 98 & -42 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} -127 & -74 & 176 \\ -2 & 11 & 40 \\ 28 & 77 & 38 \ end {array} \ right] [/ latex]

undefined; внутренние размеры не соответствуют

Решение систем с исключением Гаусса

Для следующих упражнений напишите систему линейных уравнений из расширенной матрицы.Укажите, будет ли уникальное решение.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill -3 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \ end { массив} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 7 \\ \ hfill -5 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} x-3z = 7 \\ y + 2z = -5 \, \ end {array} [/ latex] с бесконечными решениями

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 0 \ end { массив} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -9 \\ \ hfill 4 \\ \ hfill 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу из системы линейных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {r} \ hfill -2x + 2y + z = 7 \\ \ hfill 2x-8y + 5z = 0 \\ \ hfill 19x-10y + 22z = 3 \ end {массив} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill 2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill -8 & \ hfill 5 \\ \ hfill 19 & \ hfill -10 & \ hfill 22 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 7 \\ \ hfill 0 \\ \ hfill 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, 4x + 2y-3z = 14 \ hfill \\ -12x + 3y + z = 100 \ hfill \\ \, \, \ , \, \, 9x-6y + 2z = 31 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill x + 3z = 12 \, \\ \ hfill -x + 4y = 0 \, \, \, \, \\ \ hfill y + 2z = -7 \ конец {array} [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 3 \\ \ hfill -1 & \ hfill 4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill 2 \ end { массив} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 12 \\ \ hfill 0 \\ \ hfill -7 \ end {array} \ right] [/ latex]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x-4y = -7 \\ -6x + 8y = 14 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 3x-4y = 1 \\ -6x + 8y = 6 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ -1.1x-2.3y = 6.2 \ end {array} \ hfill \\ -5.2x-4.1y = 4.3 \ hfill \ конец {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 2x + 3y + 2z = 1 \, \, \, \, \, \\ \ hfill -4x-6y-4z = -2 \\ \ hfill 10x + 15y + 10z = 0 \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x + 2y-4z = 8 \, \, \, \, \\ \ hfill 3y + 8z = -4 \\ \ hfill -7x + y + 2z = 1 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Решающие системы с инверсиями

Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill -0.2 & \ hfill 1.4 \\ \ hfill 1.2 & \ hfill -0.4 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ frac {1} {8} \ left [\ begin {array} {cc} 2 & 7 \\ 6 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill — \ frac {1} {2} \\ \ hfill — \ frac {1} {4} & \ hfill \ frac {3} {4} \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 12 & 9 & -6 \\ -1 & 3 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Для следующих упражнений найдите решения, вычислив обратную матрицу.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, \, 0,3x-0,1y = -10 \ hfill \\ -0,1x + 0,3y = 14 \ hfill \ end {array} [/ latex ]

[латекс] \ влево (-20,40 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, 0,4x-0,2y = -0,6 \ hfill \\ -0,1x + 0,05y = 0,3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 3y-3z = -4,3 \\ 5x-4y-z = -6,1 \\ x + z = -0,7 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (-1,0,2,0,3 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill \ begin {array} {l} \\ -2x-3y + 2z = 3 \ end {array} \\ \ hfill -x + 2y + 4z = -5 \\ \ hfill -2y + 5z = -3 \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи.Решите систему уравнений.

Студентов попросили принести в класс их любимые фрукты. 90% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были наполовину популярнее бананов, а яблоки были на 5% популярнее бананов, каков процент каждого отдельного фрукта?

17% апельсинов, 34% бананов, 39% яблок

Женское общество провело распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавало пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 2 доллара и печенье с шоколадной крошкой в ​​1 доллар.Они собрали 250 долларов и продали 175 вещей. Сколько было продано пирожных и печенья?

Решение систем с правилом Крамера

Найдите определитель для следующих упражнений.

[латекс] | \ begin {array} {cc} 100 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {cc} 0,2 & -0,6 \\ 0,7 & -1,1 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} -1 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] | \ begin {array} {ccc} \ sqrt {2} & 0 & 0 \\ 0 & \ sqrt {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ sqrt {2} \ end {array} | [/ latex]

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения линейных систем уравнений.

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill 4x-2y = 23 \, \, \, \, \\ \ hfill -5x-10y = -35 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (6, \ frac {1} {2} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 0,2x-0,1y = 0 \\ -0,3x + 0,3y = 2,5 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill -0,5x + 0,1y = 0,3 \, \, \, \\ \ hfill -0,25x + 0,05y = 0,15 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} x + 6y + 3z = 4 \\ 2x + y + 2z = 3 \\ 3x-2y + z = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 4x-3y + 5z = — \ frac {5} {2} \\ \ hfill 7x-9y-3z = \ frac {3} {2} \, \ , \, \, \\ \ hfill x-5y-5z = \ frac {5} {2} \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (0,0, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {3} {10} x- \ frac {1} {5} y- \ frac {3} {10} z = — \ frac {1} {50 } \\ \ frac {1} {10} x- \ frac {1} {10} y- \ frac {1} {2} z = — \ frac {9} {50} \\ \ frac {2} { 5} x- \ frac {1} {2} y- \ frac {3} {5} z = — \ frac {1} {5} \ end {array} [/ latex]

Практический тест

Является ли следующая упорядоченная пара решением системы уравнений?

[латекс] \ begin {массив} {l} \\ \ begin {array} {l} -5x-y = 12 \, \ hfill \\ x + 4y = 9 \ hfill \ end {array} \ end {массив } [/ latex] с [latex] \, \ left (-3,3 \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений решите системы линейных и нелинейных уравнений с помощью замены или исключения.Укажите, если решения не существует.

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {1} {2} x- \ frac {1} {3} y = 4 \\ \ frac {3} {2} xy = 0 \ end {массив } [/ латекс]

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill \ begin {array} {l} \\ — \ frac {1} {2} x-4y = 4 \ end {array} \\ \ hfill 2x + 16y = 2 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x-y = 1 \, \, \, \, \\ \ hfill -10x + 2y = -2 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} 4x-6y-2z = \ frac {1} {10} \ hfill \\ \, \, \, x-7y + 5z = — \ frac {1} {4 } \ hfill \\ 3x + 6y-9z = \ frac {6} {5} \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ frac {1} {20} \ left (10,5,4 \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} x + z = 20 \\ x + y + z = 20 \\ x + 2y + z = 10 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} 5x-4y-3z = 0 \\ 2x + y + 2z = 0 \\ x-6y-7z = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (x, \ frac {16x} {5} — \ frac {13x} {5} \ right) [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} y = {x} ^ {2} + 2x-3 \\ y = x-1 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} {y} ^ {2} + {x} ^ {2} = 25 \\ {y} ^ {2} -2 {x} ^ {2} = 1 \ конец {array} [/ latex]

[латекс] \ left (-2 \ sqrt {2}, — \ sqrt {17} \ right), \ left (-2 \ sqrt {2}, \ sqrt {17} \ right), \ left (2 \ sqrt {2}, — \ sqrt {17} \ right), \ left (2 \ sqrt {2}, \ sqrt {17} \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений нанесите на график следующие неравенства. {- 1} [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {cc} 12 & -20 \\ -15 & 30 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ mathrm {det} | \ begin {array} {cc} 0 & 0 \\ 400 & 4 \ text {,} 000 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] \ mathrm {det} | \ begin {array} {rrr} \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill — \ frac {1} {2} & \ hfill 0 \\ \ hfill — \ frac {1} {2} & \ hfill 0 & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill 0 & \ hfill \ frac {1} {2} & \ hfill 0 \ end {array} | [/ latex]

[латекс] — \ frac {1} {8} [/ латекс]

Если [latex] \, \ mathrm {det} \ left (A \ right) = — 6, \, [/ latex], что будет определяющим, если вы поменяете местами строки 1 и 3, умножите вторую строку на 12 и взяли обратное?

Перепишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

[латекс] \ begin {array} {l} 14x-2y + 13z = 140 \ hfill \\ -2x + 3y-6z = -1 \ hfill \\ x-5y + 12z = 11 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 14 & \ hfill -2 & \ hfill 13 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -6 \\ \ hfill 1 & \ hfill -5 & \ hfill 12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 140 \\ \ hfill -1 \\ \ hfill 11 \ end {array} \ right] [/ latex]

Перепишите расширенную матрицу как систему линейных уравнений.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 3 \\ \ hfill -2 & \ hfill 4 & \ hfill 9 \\ \ hfill -6 & \ hfill 1 & \ hfill 2 \ end {массив} | \ begin {array} {r} \ hfill 12 \\ \ hfill -5 \\ \ hfill 8 \ end {array} \ right] [/ latex]

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения систем уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} x-6y = 4 \\ 2x-12y = 0 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 2x + y + z = -3 \\ \ hfill x-2y + 3z = 6 \, \, \, \, \\ \ hfill xyz = 6 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

В следующих упражнениях используйте обратную матрицу для решения систем уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 4x-5y = -50 \\ \ hfill -x + 2y = 80 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ влево (100,90 \ вправо) [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill \ frac {1} {100} x- \ frac {3} {100} y + \ frac {1} {20} z = -49 \\ \ hfill \ frac {3} {100} x- \ frac {7} {100} y- \ frac {1} {100} z = 13 \, \, \, \, \\ \ hfill \ frac {9} {100} x- \ frac {9} {100} y- \ frac {9} {100} z = 99 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения систем уравнений.{2} + 160x. \, [/ Latex] Какой ассортимент сотовых телефонов они должны производить каждый день, чтобы получать прибыль? Округлите до ближайшего числа, приносящего прибыль.

32 и более сотовых телефона в день

Небольшая ярмарка взимает 1,50 доллара для студентов, 1 доллар для детей и 2 доллара для взрослых. За один день пришло в три раза больше детей, чем взрослых. Было продано 800 билетов на общую выручку в 1050 долларов. Сколько билетов каждого типа было продано?

Глоссарий

Правило Крамера

Метод решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные, с использованием определителей

определитель

число, вычисленное с использованием элементов квадратной матрицы, которая определяет такую ​​информацию, как наличие решения системы уравнений

9.8: Решение систем с помощью правила Крамера

Мы узнали, как решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, и с помощью нескольких методов: подстановки, сложения, исключения Гаусса, использования обратной матрицы и построения графиков. Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин.Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы.Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

НАЙТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2, учитывая

\ (A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \)

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая \ (\ det (A) \) и замену скобок в матрице прямыми линиями, \ (| A | \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск определителя матрицы \ (2 × 2 \)

Найдите определитель заданной матрицы.

\ (A = \ begin {bmatrix} 5 & 2 \\ — 6 & 3 \ end {bmatrix} \)

Решение

\ [\ begin {align *} \ det (A) & = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ — 6 & 3 \ end {vmatrix} \\ & = 5 (3) — (- 6) (2) \\ & = 27 \ end {align *} \]

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как Правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align} a_1x + b_1y & = c_1 (1) \ label {eq1} \\ a_2x + b_2y & = c_2 (2) \ label {eq2} \\ \ end {align} \]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажите, что мы хотим найти \ (x \). Если уравнение \ ref {eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \ (y \) в уравнении \ ref {eq1}, уравнение \ ref {eq1} умножается на коэффициент при \ (y \) в уравнении \ ref {eq2}, и мы добавляем два уравнения, переменная \ (y \) будет удалена.

\ [\ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} b_2 \\ — & \ underline {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ text {by} −b_1 \\ & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 \ end {align *} \]

Теперь решите относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x & = \ dfrac {b_2c_1 − b_1c_2} {b_2a_1 − b_1a_2} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align *} \]

Аналогичным образом, чтобы найти \ (y \), мы исключим \ (x \).

\ [\ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} a_2 \\ — & \ underline {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ текст {by} −a_1 \\ & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 \ end {align *} \]

Решение относительно \ (y \) дает

\ [\ begin {align *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y (a_2b_1 − a_1b_2) & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y & = \ dfrac {a_2c_1 − a_1c_2} {a_2b_1 − a_1b_2} = \ dfrac {a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align * } \]

Обратите внимание, что знаменатель для \ (x \) и \ (y \) является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения относительно \ (x \) и \ (y \), но правило Крамера также вводит новые обозначения:

• \ (D \): определитель матрицы коэффициентов
• \ (D_x \): определитель числителя в решении \ (x \)

  \ [x = \ dfrac {D_x} {D} \]

• \ (D_y \): определитель числителя в решении \ (y \)

  \ [y = \ dfrac {D_y} {D} \]

Ключ к правилу Крамера заключается в замене интересующего столбца переменных на столбец констант и вычислении детерминантов.Тогда мы можем выразить \ (x \) и \ (y \) как частное двух определителей.

ПРАВИЛО КРЕМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \ (2 × 2 \)

Правило Крамера — это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align *} a_1x + b_1y & = c_1 \\ a_2x + b_2y & = c_2 \ end {align *} \]

Решение, использующее правило Крамера, дается как

\ [\ begin {align} x & = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end { bmatrix}} \; , D \ neq 0 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix }} \; , D \ neq 0 \ end {align} \]

Если мы решаем для \ (x \), столбец \ (x \) заменяется постоянным столбцом.Если мы решаем для \ (y \), столбец \ (y \) заменяется постоянным столбцом.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): использование правила Крамера для решения системы \ (2 × 2 \)

Решите следующую систему \ (2 × 2 \), используя правило Крамера.

\ [\ begin {align *} 12x + 3y & = 15 \\ 2x-3y & = 13 \ end {align *} \]

Решение

Решите относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 15 & 3 \\ 13 & -3 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {-45-39} {- 36-6} \\ & = \ dfrac {-84} {- 42} \\ & = 2 \ end {align *} \]

Решите относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} y & = \ dfrac {D_y} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 12 & 15 \\ 2 & 13 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {156-30} {- 36-6} \\ & = — \ dfrac {126} {42} \\ & = -3 \ end {align * } \]

Решение: \ ((2, −3) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений \ (2 × 2 \).

\ [\ begin {align *} x + 2y & = -11 \\ -2x + y & = -13 \ end {align *} \]

Ответ

\ ((3, −7) \)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее.Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5. Затем мы вычисляем сумму произведений записей на каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

\ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {bmatrix} \)

1. Дополните \ (A \) первыми двумя столбцами.

   \ (\ det (A) = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 \ end {array} \ right | \)

2. Слева вверху направо вниз: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению входов по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. С левого нижнего угла в правый верхний: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали.Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

\ (| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы \ (3 × 3 \) при

\ (A = \ begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & −1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

\ [\ begin {align *} | А | & = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & 3 & -1 \\ 4 & 0 & 1 & 4 & 0 \ end {array} \ right | \\ & = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) \\ & = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 \\ & = 6 \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

\ (\ det (A) = \ begin {vmatrix} 1 & −3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & −2 & 3 \ end {vmatrix} \)

Ответ

\ (- 10 \)

Q&A: Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3.Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \ (3 × 3 \), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера простое и соответствует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц \ (2 × 2 \). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \ (3 × 3 \) требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений \ (3 × 3 \).

\ [\ begin {align} a_1x + b_1y + c_1z & = \ color {blue} d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = \ color {blue} d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = \ color {blue} d_3 \\ \ end {align} \]

\ (x = \ dfrac {D_x} {D} \), \ (y = \ dfrac {D_y} {D} \), \ (z = \ dfrac {D_z} {D} \), \ (D ≠ 0 \)

где

\ [D = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_x = \ begin {vmatrix} \ color {blue} d_1 & b_1 & c_1 \\ \ color {blue} d_2 & b_2 & c_2 \\ \ color {blue} d_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_y = \ begin {vmatrix} a_1 & \ color {blue} d_1 & c_1 \\ a_2 & \ color {blue} d_2 & c_2 \\ a_3 & \ color {blue} d_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_z = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & \ color {blue} d_1 \\ a_2 & b_2 & \ color {blue} d_2 \\ a_3 & b_3 & \ color {blue} d_3 \ end {vmatrix} \]

Если мы записываем определитель \ (D_x \), мы заменяем столбец \ (x \) постоянным столбцом.Если мы пишем определитель \ (D_y \), мы заменяем столбец y на столбец констант. Если мы пишем определитель \ (D_z \), мы заменяем столбец \ (z \) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение системы \ (3 × 3 \) с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \), используя правило Крамера.

\ [\ begin {align *} x + y-z & = 6 \\ 3x-2y + z & = -5 \\ x + 3y-2z & = 14 \ end {align *} \]

Решение

Используйте правило Крамера.

\ (D = \ begin {vmatrix} 1 & 1 & −1 \\ 3 & −2 & 1 \\ 1 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_x = \ begin {vmatrix} 6 & 1 & −1 \\ — 5 & −2 & 1 \ \ 14 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_y = \ begin {vmatrix} 1 & 6 & −1 \\ 3 & −5 & 1 \\ 1 & 14 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_z = \ begin {vmatrix } 1 & 1 & 6 \\ 3 & −2 & −5 \\ ​​1 & 3 & 14 \ end {vmatrix} \)

Затем,

\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} & = \ dfrac {-3} {- 3} & = 1 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} & = \ dfrac {-9} {- 3} & = 3 \\ z & = \ dfrac {D_z} {D} & = \ dfrac {6} {- 3} & = -2 \\ \ end {align *} \]

Решение: \ ((1,3, −2) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу \ (3 × 3 \).

\ [\ begin {align *} x-3y + 7z & = 13 \\ x + y + z & = 1 \\ x-2y + 3z & = 4 \ end {align *} \]

Ответ

\ (\ left (−2, \ dfrac {3} {5}, \ dfrac {12} {5} \ right) \)

Пример \ (\ PageIndex {5A} \): Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

\ [\ begin {align} 3x-2y & = 4 \ label {eq3} \\ 6x-4y & = 0 \ label {eq4} \ end {align} \]

Решение

Начнем с нахождения определителей \ (D \), \ (D_x \) и \ (D_y \).

\ (D = \ begin {vmatrix} 3 & −2 \\ 6 & −4 \ end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 \)

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq3} на \ (- 2 \).
2. Добавьте результат в уравнение \ ref {eq4}.

\ [\ begin {align *} & −6x + 4y = −8 \\ & \; \; \; \ underline {6x − 4y = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; 0 = −8 \ end {align *} \]

Получаем уравнение \ (0 = −8 \), которое неверно. Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).

Пример \ (\ PageIndex {5B} \): использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

\ [\ begin {align} x-2y + 3z & = 0 \ label {eq5} \\ 3x + y-2z & = 0 \ label {eq6} \\ 2x-4y + 6z & = 0 \ label {eq7} \ end {align} \]

Решение

Давайте сначала найдем определитель. Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\ (\ left | \ begin {array} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & −2 & 3 & 1 \\ 2 & −4 & 6 & 2 & -4 \ end {array} \ right | \)

Затем,

\ (1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) — (- 4) (- 2) (1 ) −6 (3) (- 2) = 0 \)

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq5} на \ (- 2 \) и добавьте результат к уравнению \ ref {eq7}:

\ [\ begin {align *} & −2x + 4y − 6x = 0 \\ & \; \; \ underline {2x − 4y + 6z = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0 = 0 \ end {align *} \]

2. Получение ответа \ (0 = 0 \), утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы можем увидеть, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой.См. Рисунок \ (\ PageIndex {2} \).

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНАНТОВ

1. Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.{−1} \) — величина, обратная определителю матрицы \ (A \).
3. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): иллюстрация свойств детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Решение

Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.

\ (A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \ end {bmatrix} \)

Дополните \ (A \) первыми двумя столбцами.

\ (A = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \ end {array} \ right] \)

Затем

\ [\ begin {align *} \ det (A) & = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) -0 (2) (3) -0 (1) (1) +1 (0) (2) \\ & = -2 \ end {align *} \]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак.Учитывая

\ [\ begin {align *} B & = \ begin {bmatrix} 4 & -3 \\ — 1 & 5 \ end {bmatrix} \\ \ det (B) & = (4) (5) — (- 1) (- 3) \\ & = 20-3 \\ & = 17 \ end {align *} \]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

\ [\ begin {align *} A & = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ — 1 & 2 & 2 & -1 & 2 \ end {array} \ right] \\ \ det (A) & = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) -2 (2) (1) -2 (2) (2) \ \ & = 4-4 + 8 + 4-4-8 \\ & = 0 \ end {align *} \]

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю.{-1}) & = — 2 \ left (- \ dfrac {1} {2} \ right) — \ dfrac {3} {2} (1) \\ & = — \ dfrac {1} {2} \ конец {выровнять *} \]

Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

Пример \ (\ PageIndex {7} \): Использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \).

Решение

Используя правило Крамера, имеем

\ (D = \ begin {bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \ end {bmatrix} \)

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны.Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq10} на \ (- 2 \) и добавьте результат в уравнение \ ref {eq8}.

Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.

Медиа

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с правилом Крамера.

Исключение Гаусса — обзор

что делать, примеры и методы решения конфликта

Причины конфликтов учащихся и учителей

Поводом для ссоры может быть что угодно, но можно выделить несколько ситуаций, которые чаще других становятся яблоком раздора.

#1
‍Низкая успеваемость. Если учителю кажется, что класс недостаточно старается, он может высказывать это, не подбирая слов: «Тупицы, как вы будете экзамены сдавать?!». Неаккуратно поданная критика воспринимается детьми болезненно.

#2
‍Одарённость. Когда ребёнку скучно на уроках, он отвлекается сам и отвлекает других, спорит с учителем и критикует его методы. Порой преподаватель в ответ не сдерживает эмоции, и возникнет взаимная неприязнь: «Если ты такой умный, выйди к доске и сам расскажи тему урока». 

#3
Отношение к правилам. Учителя, которым важна субординация, часто недолюбливают учеников, пренебрегающих правилами. А свободолюбивые подростки воспринимают требования дисциплины как ущемление своих прав.

<<Перелинковка>>

#4
Несоответствие учебной программы возможностям школьника. Некоторые дети требуют специального подхода в обучении, но несмотря на это, они посещают обычную школу, и учителя вынуждены предъявлять к ним требования, которые те не в состоянии выполнить. Рано или поздно это приводит к конфликту.  

«Ребёнок с СДВГ заперся в туалете и ни с кем не хотел говорить, ругался. Мы писали ему письма на листочках и просовывали под дверь. Рисовали на листках солнышки. Вскоре ребёнок вышел и продолжил нормально общаться с группой и преподавателями».
                                                          Алина Чекмарёва, преподаватель английского языка  

#5
Субъективные причины. Например, ребёнку не нравится предмет или учитель, и он не видит причин это скрывать. Либо учителя раздражает что-то в ученике — внешний вид, манеры или другие особенности. Квалифицированный преподаватель должен уметь справляться с эмоциями, но не всегда это удаётся.

#6
Борьба за авторитет. В отдельных случаях школьники с яркими лидерскими качествами вступают в противостояние с преподавателями, пытаясь завоевать уважение класса. Например, подбивают одноклассников сорвать урок.  

«Были ситуации на грани конфликта: подросток стремится найти любой изъян в работе преподавателя. Не так говорит (неважно при этом, что именно), а вот у того исследователя иначе, с какой стати после этого вам верить?! Из этих ситуаций удавалось выйти, приглашая ученика к сотрудничеству. Он же явно стремится получить внимание, утвердиться в собственной значимости».
                                                                             Ольга Евсеева, преподаватель литературы  

#7
Проблемы в семье. Если у ребёнка напряжённая ситуация дома, он может транслировать негативные эмоции на учителей. Порой это выражается в агрессии: он может хамить, нарываться на ссору, не зная, как ещё можно справиться со стрессом. Не каждый учитель способен увидеть в таких действиях призыв о помощи. Многие начинают вести себя агрессивно в ответ.  

«Однажды случился мини-конфликт прямо на уроке. Девочка просто подняла руку и спросила меня, за что я её так не люблю. Самое страшное было то, что этот вопрос прозвучал при всём классе и стал для всех полнейшей неожиданностью. На тот момент у меня не было никаких конфликтов с этой девчушкой. Тогда я просто попросила Дашу остаться после урока и всё обсудить. Оказалось, что она так думала из-за плохих отметок, которые я ей ставила. Пришлось объяснить ей, что её отметки и её личность, характер никак не связаны друг с другом. Что она мне симпатична, что она хороший друг, активная и так далее. А когда я познакомилась с её родителями, мне стало ясно, почему у неё возник такой вопрос. Просто папа не стеснялся в выражениях своего отношения к дочери. И у ребёнка просто была низкая самооценка. А отметки это только усугубляли. А потом помогла похвала на уроке, разговоры на перемене при встрече, интерес к её жизни. Важно дать ребёнку понять, что он может попросить о помощи».
                                                                 Ирина Кирсанова, преподаватель русского языка 

Как решить конфликт ученика и учителя

Узнав, что у ребёнка напряжённые отношения с преподавателем, нельзя пускать ситуацию на самотёк. Конфликт с учителем в школе может привести к потере учебной мотивации, снижению успеваемости и даже психологической травме. В то время как помогая ребёнку уладить сложную ситуацию, родители учат его цивилизованному решению проблем. 

По какой бы причине ни возник конфликт, необходимо как можно скорее найти решение. Любая межличностная проблема требует взгляда со стороны. Для разрешения противоречий может потребоваться помощь школьного психолога, другого педагога или родителей. Если, конечно, они сами смогут не вовлекаться в ситуацию эмоционально. 
                                      Елена Петрусенко, психолог «Домашней школы Фоксфорда»  

Шаг 1. Разговор с ребёнком

Вести беседу лучше дома, в спокойной обстановке. Нужно спросить, с чего всё началось. Как, по мнению школьника, выглядит ситуация глазами учителя, как можно уладить конфликт и готов ребёнок к компромиссу.

Если родители узнали о конфликте от учителя, нужно спокойно рассказать об этом школьнику. Фразы для начала разговора: 

• «я знаю только одну версию случившегося и думаю, что…»; 
• «меня это расстраивает, я думаю, что недостаточно разговариваю с тобой…»; 
• «мне важно выслушать тебя, ведь у тебя тоже есть мнение». 
  

«Если ребёнок отказывается говорить с вами, попросите выяснить причину конфликта других членов семьи. Возможно, с братом или сестрой, бабушкой или дедушкой у школьника более открытый контакт». 
                                    Елена Петрусенко, психолог «Домашней школы Фоксфорда»   

Необходимо дать ребёнку выговориться. Не критикуйте учителя. Реплика вроде «Да что эта училка себе позволяет!» окончательно уничтожит авторитет педагога. Вместо этого следует узнать, что думают об этом учителе другие дети. Возможно, кто-то из них подстрекает ребёнка, или конфликт был попыткой завоевать уважение одноклассников.  

Не стоит впадать и в другую крайность — обвинять в случившемся школьника: «Сам виноват, старших нужно уважать!». Так вы рискуете потерять доверие ребёнка.

«Хорошо, когда ребёнок легко идёт на контакт и может объяснить или сочинить причины конфликта. Всегда поддерживайте его — ребёнок должен видеть в вас авторитет, опору, безопасность. Даже если он неправ — не спешите его ругать, сейчас ему требуется ваша помощь». 
                                   Елена Петрусенко, психолог «Домашней школы Фоксфорда»   

К какому бы выводу ни пришли родители, до поры свои мысли стоит держать при себе. Главное на этом этапе — убедить ребёнка, что разрешить конфликт необходимо. 

Шаг 2. Разговор с учителем 

По возможности нужно посетить школу и поговорить с преподавателем лично. Ребёнка при этом не должно быть рядом. 

Не стоит сразу привлекать к решению проблемы школьное руководство. Обращение к учителю напрямую — знак того, что родитель пришёл разобраться в ситуации, а не скандалить.

«Важен первоначальный посыл. Вы идёте не на разборки. Вы идёте узнать, что происходит. Заранее уточните удобное время для встречи и подготовьте вопросы. Если необходимо, обратитесь к школьному психологу или соцпедагогу за рекомендациями». 
                                    Елена Петрусенко, психолог «Домашней школы Фоксфорда»   

Сохраняя доброжелательный тон, нужно расспросить учителя о причинах конфликта. Важно, чтобы разговор строился на фактах. Если преподаватель говорит, что ребёнок плохо себя ведёт или не хочет учиться, нужно поинтересоваться, почему он сделал такие выводы. Если учитель обвиняет ребёнка в хамстве — узнать, что именно он сказал и что этому предшествовало. 

Нужно постараться сохранить спокойствие, даже услышав обвинения в плохом воспитании: «Совсем ребёнком не занимаетесь!». Ведь цель разговора с преподавателем — разрешить конфликт, а не найти виноватого. Если разговор зашёл в тупик, нужно просто спросить, какой выход из ситуации видит учитель.  

Шаг 3. Урегулирование конфликта

• Если проблема в неуспеваемости, нужно помочь ребёнку устранить пробелы в знаниях. Например, можно обратиться к репетитору или подтянуть знания на онлайн-курсах.
• Если ребёнку скучно на уроках, можно попросить учителя давать ему дополнительные задания или, к примеру, разрешить читать книгу, пока остальные ребята доделывают упражнение. 
• Если у ребёнка проблемы с дисциплиной, вероятно, ему потребуется помощь психолога. 
• Если причина конфликта в борьбе за уважение класса, можно попробовать найти более достойное применение лидерским качествам ребёнка, например, в командных видах спорта. 
• Если школьник отказывается признать авторитет учителя, можно объяснить, что в жизни будут часто встречаться неприятные в общении люди, но с многими из них придётся выстраивать деловые отношения. Этот навык — признак взрослого цивилизованного человека.
  

Редко бывают ситуации, когда подросток целенаправленно и умышленно начинает конфликт, когда им руководит осмысленная озлобленность. Чаще он идёт на поводу временных эмоций, необдуманно. И завтра ему будет самому неудобно, он захочет забыть ситуацию, но как выйти из неё, он не знает. Так бывает и со своими детьми, и с учениками. Мы же не знаем, что произошло у ученика, как начался его день, что там у него стряслось. Первый выход, который чаще всего работает, и этого бывает достаточно — превратить в шутку, прокомментировать неконфликтно, то есть посмотреть на ситуацию с позиции взрослого (не в том смысле, что «я взрослый, и все меня должны меня уважать за это», а с позиции «я взрослый и понимаю, что творится у тебя внутри, и вижу, как сложно тебе справляться с эмоциями»). Это проходят все, и я, учитель, это наблюдаю каждый год. Главное — не акцентировать внимание. Подбадривать, когда такой ученик включается в работу. Помнить только хорошее, а плохому дать шанс стереться! 
                                                        Ольга Шинкарёва, преподаватель обществознания     

Шаг 4. Контроль ситуации

Важно, чтобы родители и после разрешения конфликта интересовались успехами школьника, время от времени заглядывали в школу и общались с учителями. Зачастую это помогает избежать конфликтов с педагогами. 

Если уладить конфликт не удалось

Большинство конфликтов между учеником и учителем легко уладить конструктивным диалогом. Но если одна из сторон преступает закон, требуется вмешательство руководства школы.

Права учителя и ученика определяются законом «Об образовании в Российской Федерации» и закрепляются в локальных нормативных актах школы и договоре об образовании. 

Учитель не имеет права:

• причинять физический вред ученику,
• портить имущество ученика,
• оскорблять и унижать ученика,
• отказывать ученику в получении знаний,
• необъективно оценивать знания ученика. 
  

«Если учитель использует методы воспитания, связанные с физическим и психическим насилием над личностью обучающегося, то в соответствии со статьёй 336 ТК РФ трудовой договор с таким педагогом может быть расторгнут. При этом применение дисциплинарного взыскания не исключает возможности привлечения его к другим видам юридической ответственности. Например, если преподаватель испортил вещи ученика, то вы вправе требовать возмещения ущерба. Если же учитель своими действиями причинил ребёнку физические или нравственные страдания — выплаты компенсации морального вреда. Помимо этого учителя можно привлечь и к административной ответственности за побои (ст. 6.1.1. КоАП РФ) или оскорбление (ст. 5.61. КоАП РФ)».
                                                                                                                     Юлия Сидорова, юрист

Ученики также обязаны соблюдать нормы закона. Поэтому запрет на физическое и психическое насилие, а также нанесение вреда имуществу, в том числе школьному, распространяется и на них.    

Если разговор с учителем не привёл к миру, родители могут обратиться к администрации школы. Но важно понимать, что выговор от директора точно не улучшит отношения учителя с учеником. Поэтому данную меру нужно использовать только в критических ситуациях. 

Если ничего не помогло, и учитель с учеником отказываются идти на контакт, возможно, придётся сменить школу или форму обучения. На семейном образовании родители могут выбирать преподавателей для ребёнка исходя из его симпатий, и вероятность конфликта между учителем и учеником существенно снижается.

Конфликты с учителем: 5 способов решения

Шаг 2: Начните обсуждение

Не надо навязывать свое мнение и давать оценки. Ваша задача — вместе с ребенком проанализировать ситуацию, увидеть ее с разных сторон. Спокойно спрашивайте: «Когда ты впервые почувствовал, что она тебя недолюбливает?» Выдвигайте версии: «Может быть, ее раздражает то, что тебе трудно подолгу молчать?». Разработайте план дальнейших действий.

Шаг 3: Поговорите с педагогом

Приходите в школу только после того, как обсудите это с ребенком. Если он попросит вас не афишировать свой визит, выполните его просьбу и приходите после уроков. В беседе с учителем правила те же: вам нужно постараться сохранить нейтралитет. Не обвинять, не оправдывать собственного ребенка, а просто выслушать точку зрения второй стороны. Пусть учитель расскажет о том, что он чувствует, как он видит причины конфликта.

Шаг 4: Побеседуйте втроем — вы, учитель и ребенок.

Это хорошо уже тем, что конфликт не замалчивается и стороны могут высказать все, о чем думают. Но происходит это уже после того, как самая эмоциональная часть была выплеснута до того, в беседе с вами. В этом разговоре главным опять же должны стать не критика и не взаимные обвинения, а поиск выхода. Работайте посредником — собирайте предложения и вырабатывайте компромиссные решения.

Шаг 5: Примите решение

Если первые три шага не дали результатов и конфликт разгорается с прежней силой, то наступает время действовать. В том случае, когда педагог очевидно неправ, не бойтесь обратиться к администрации школы, в департамент образования. Не забывайте: сейчас вы закладываете в его сознании алгоритм разрешения конфликтов, он должен видеть, что иногда вы поступаете решительно.

Если же конфликт зашел слишком далеко, проконсультируйтесь с детским психологом. Возможно, единственный выход из ситуации — как можно быстрее сменить школу и педагога. И в этом случае не надо ждать и уговаривать ребенка: «Ну потерпи еще полгодика, пока учебный год закончится». Для ребенка, особенно младшеклассника, это слишком долгий срок, который может привести к неврозу или отвращению к учебе на долгие годы.

Как решить конфликт с учителем и в каком случае менять школу

С началом учебного года возвращаются и школьные проблемы, а самые сложные из них – с учителями. Решать их будет потруднее, чем просто исправлять двойки. Мы поговорили с психологами и разобрались, как действовать родителям, когда ребенок не ладит с педагогом.

Кто виноват?

Конфликт может быть разным – о проблеме может заговорить как ребенок, так и учитель. А вот разбираться, кто на самом деле прав, а кто виноват, в результате придется родителю. Пускать все на самотек психологи не советуют – это может только усугубить ситуацию.

– Первые действия – это, естественно, как любящий родитель послушать своего ребенка. После этого нужно послушать версию педагога. Бывает, что мама уверена, что у ее ребенка конфликт с педагогом. Надо сначала узнать: а педагог-то тоже так думает? – объясняет школьный психолог и медиатор Ольга Демидова.

Психотерапевт, член Общероссийской профессиональной психотерапевтической лиги Жанна Русина подчеркивает, что, даже если о некой проблеме заявил учитель, с ребенком тоже обязательно обсудить, как он к ней относится. И главное – сохранять спокойствие и мыслить трезво, даже если ребенок рассказывает на эмоциях.

– Если это учитель-предметник, нужно смотреть на отношения с другими учителями. Если по другим предметам все хорошо, нет отставания, нет конфликтов, жалоб на ребенка или его жалоб на учителей – явно проблема личностного характера, – считает Русина.

Все немного сложнее, когда речь идет об учителе младших классов. Сравнить с отношениями с другими учителями тут не получится, все-таки большую часть времени ребенок проводит именно с этим педагогом.

– Часто в начальных классах проблема возникает, когда учитель не хочет принимать ребенка, не впускает его. Если учитель в принципе хорошо относится к детям, то они его слушаются. Маленькие дети очень завязаны на педагога. Если ребенок не болен психически, то любой учитель при желании найдет с ним контакт, – считает Русина.

Что делать?

Первым делом убедиться, что педагог ведет себя корректно по отношению к ребенку. Оскорбления и крик недопустимы.

– Важно, чтобы учителя в любом случае при родителе с ребенком разговаривали уважительно. Даже если он не прав, в каких-то сложных ситуациях любому человеку важно его достоинство, он тогда больше будет стараться исправиться, чем если на него кричат в школе, потом кричит мама, – объясняет Русина.

А дальше универсальный ответ один – разговаривать. Но разговаривать нужно спокойно, без посыла «я тебя сейчас поставлю на место» – это просто приведет к конфликту. И в то же время не бояться, потому что иногда родители сами ведут себя как провинившиеся школьники.

– Нужно общаться, как будто встретился с другом, на равных. Это помогает найти общий язык, – советует психотерапевт.

Но бывают ситуации, когда педагог родителю говорит да, а на следующий день становится еще жестче или вообще может высмеять. То есть непорядочно себя ведет. Это, конечно, запускает длительный конфликт. А учиться дальше надо. Русина советует в этой ситуации разговаривать с ребенком: объяснить, что он учится взрослой жизни, где каждый человек – как целая вселенная, и нужно учиться общаться с разными людьми.

– В любом конфликте несколько сторон. И ты, конечно, можешь стараться, учиться правильно себя вести, проговаривать, что тебе неприятно и так далее. Но другой участник конфликта может быть человеком с другими ценностями, которому абсолютно не важно, что ты говоришь. Нельзя говорить ребенку «просто не обращай внимания», нужно развивать у него эмоциональный интеллект – понимание себя, понимание других, управление контактами и конфликтом. То есть разберись, что чувствуешь ты, разберись, что чувствует другой. Если ты понимаешь, что тебе не по силам решить эту проблему, обратись к специалисту, это нормально, – считает школьный психолог Ольга Демидова.

Специалистом в данном случае станет медиатор. Им может быть как профессионал, так и просто третье лицо. Например, где-то таким человеком выступает директор. Хотя когда проблему решает представитель школы – это не всегда хорошо.

– Большая проблема медиации в школе в том, что, если медиатор – сотрудник школы, родители не идут к нему, потому что боятся, что ребенку от этого будет еще хуже. То есть не верят в беспристрастность и профессионализм. Есть и другие проблемы в этом плане. Для многих обратиться к третьему лицу – это значит свою проблему признать, а ни педагог, ни родитель не хочет признавать, что это проблема. Во-вторых, обратиться к медиатору воспринимается как слабость, «я что, сам не умею решать свои проблемы?». Это как обратиться к психологу – «я что, псих?». Не знаю, с чем это связано, но такое есть, – признает школьный психолог.

Она советует не бояться обращаться к медиатору, как к профессиональному, так и просто к третьему лицу. В некоторых случаях в качестве медиаторов могут выступать и просто другие учителя, и родители, и даже ученики. Конечно, если они помнят, что задача – не найти виноватого, а помочь всем друг с другом договориться.

И последний вариант – менять школу. Правда, психологи не советуют делать это в средних и старших классах.

В младших, когда у ребенка нет контакта с учителем, это может быть необходимо. А ребятам постарше нужно учиться решать конфликты иначе.

Что делать, если у ребенка конфликт с учителем?

Конфликты между школьниками и учителями, к сожалению, не редкость. Иногда его провоцируют сами дети, а иногда – взрослые. Скоро дети вновь пойдут в школу, и некоторые ученики могут столкнуться с подобными ситуациями. О том, что делать, если ваш ребенок не находит общего языка с учителем, расскажет «Я родитель».

Стоит ли вмешиваться?

Этот вопрос часто задают нашим психологам мамы и папы. Ответить на него в самом деле бывает непросто: многое зависит от ситуации, от возраста ребенка, от его отношения к происходящему.

Некоторые родители считают, что школьник – уже не малыш, а значит налаживать отношения с окружающими и отвечать за свои поступки он должен самостоятельно. В целом это правильная точка зрения, но лишь в том случае, если ребенок действительно сам виноват в конфликте с педагогом и у него есть желание признать свою вину и извиниться. Вероятней всего, учитель в таком случае проявит мудрость и пойдет на контакт, чтобы исчерпать неприятный инцидент. Но что делать, если конфликт приобретает затяжной характер?

Разбираемся в ситуации

Если вы все-таки решили вмешаться, то первым делом необходимо понять, в чем состоит главная причина конфликта.

«Моя дочь учится в 10 классе и отказывается ходить в школу, — написала нам Галина. – Говорит, что учительница занижает ей оценки из-за того, что моя девочка отказалась встречаться с ее сыном. Успеваемости дочери действительно снизилась. Как вести себя в этой ситуации и понять, кто прав, не испортив при этом отношений с учителями?»

Как видно из письма, самый главный шаг Галина сделала: она поговорила с дочерью. Разрешение любого конфликта надо начинать именно с этого. Внимательно выслушайте точку зрения ребенка, чтобы получить хотя бы какое-то представление о сложившейся ситуации. Не стоит ругать и уж тем более кричать на сына или дочь, пока вы не поймете, что же происходит между ребенком и учителем на самом деле. Общайтесь спокойным и доброжелательным тоном в спокойной обстановке.

Затем стоит договориться о встрече с учителем.

В самом начале разговора с педагогом объясните, что вы пришли не ругаться и не обвинять его, а разобраться в том, что происходит и вместе найти выход из положения.

Многие учителя, завидев разъяренных родителей, с порога предъявляющих претензии, сразу же начинают защищаться, даже если их вины в конфликте нет, и естественно, что такой разговор не получается конструктивным. Поэтому, если вы идете выяснять, кто прав, кто виноват, спокойно выслушайте точку зрения педагога, сравните ее с версией, которую рассказал вам ребенок, а затем уже делайте собственные выводы.

Если виноват учитель

Если после выяснения ситуации стало понятно, что виноват учитель, не спешите кидаться обвинениями и добиваться его увольнения, а попробуйте спокойно поговорить с педагогом, вы ведь взрослые люди и умеете находить компромиссы. Признание в своей некомпетентности любому учителю дается очень нелегко, ведь это связано с осознанием своей профессиональной несостоятельности. Скажите учителю, что вы не хотите раздувать конфликт еще больше, что не сомневаетесь в его профессионализме, но вам бы не хотелось повторения подобной ситуации.

Но даже если учитель признает свою ошибку, это не значит, что он сможет публично извиниться перед ребенком, поэтому на помощь ему должны прийти вы. Дома поговорите с ребенком по душам, объясните ему, что все имеют право на ошибку, и взрослые тоже. Скажите, что учитель просто устал, перенервничал, что у него очень сложная работа. Главное в разговоре – не убедить ребенка в том, что педагог плохой, а сделать так, чтобы школьник не потерял к нему уважения. Понимание того, что все люди могут ошибаться, позволит ребенку чувствовать себя спокойнее.

Главная ошибка, которую допускают родители – это негативные высказывания в адрес учителя. Если вы будете настраивать ребенка против педагога, то рискуете раздуть конфликт еще больше, так как школьник, почувствовав свою правоту, может потерять контроль над своими эмоциями.

Если виноват ребенок

Если оказалось, что в конфликте виноват ребенок, вы должны серьезно поговорить с ним, вместе проанализировать сложившуюся ситуацию, объяснить ему, в чем он не прав и убедить его извиниться перед учителем.

Если ребенок отказывается идти «на мировую», поговорите с педагогом и попросите его дать вашему чаду отсрочку. Скорее всего, со временем, когда первые эмоции немного поутихнут, все утрясется, и ребенок, осознав свое неправильное поведение, уже сам попробует наладить отношения с педагогом.

Главное – следить, чтобы изначальный конфликт не зашел еще дальше, поскольку некоторые дети настолько упрямы, что принципиально стараются сделать еще хуже, обидевшись и разозлившись на то, что родители априори не приняли их сторону.

Если это произошло, то, возможно, придется обратиться за помощью к детскому психологу и поискать причины упрямства. Может оказаться, что конфликтность – черта характера вашего ребенка, и тогда с ней придется бороться.

Если точка зрения родителей не совпадает с мнением педагога

Бывает и третий исход ситуации, когда учитель настаивает, что виноват ребенок, а родители не могут с этим согласиться, соответственно, прийти к общему консенсусу не удается. Так, например, случается, когда педагог слишком строгий и требует от детей беспрекословного подчинения его правилам, а родителям такой подход кажется неверным.

Вы можете выбрать один из трех вариантов дальнейших действий. Первый – это пересмотреть свое собственное отношение к ситуации. В этом случае вашей главной задачей будет сделать так, чтобы из-за произошедшего конфликта не пострадала самооценка вашего ребенка. Помогайте ему с домашними заданиями по предмету, который ведет этот учитель, поддерживайте его, дайте ему почувствовать, что вы на его стороне.

Второй вариант более кардинальный – это перевод ребенка в другой класс или школу. Если у вашего чада сложились хорошие отношения с одноклассниками, переводить его в другую школу – не лучший вариант, так как ребенок потеряет контакт со своими друзьями. В таком случае стоит подумать о переводе в другой класс: так он сможет общаться с ровесниками на переменах, до и после уроков.

Если с переводом возникают сложности (например, у вас специализированная школа или класс, которые в целом вас устраивают), поговорите с учителем еще раз и объясните, что ему стоит поменять отношение к вашему ребенку. Не устраивайте скандала, но говорите об этом уверенно и твердо. Скажите, что вы уважаете его как педагога, вам нравится в целом уровень преподавания в этой школе, но сложившуюся ситуацию вы видите в ином свете. Скорее всего, учитель не захочет возникновения проблем и вы сможете прийти к взаимной договоренности.

И третий вариант, который представляет собой крайнюю меру – это обращение в школьную администрацию или районный образовательный комитет. Быть может, этому учителю сделают выговор или назначат другого педагога вести его предмет, либо предложат какой-то другой выход из сложившегося положения.

Виктория Котлярова

Некоторые дети часто врут: по поводу домашнего задания, того, что они ели на обед, действительно ли они почистили зубы. Но родители не всегда могут различить, что правда, а что ложь. Пройдите тест и узнайте, как часто ваш ребенок говорит неправду.

Партнерский материал

ГДЗ. Математика 5 класс Тарасенкова. Уравнения.

Категория: —>> Математика 5 класс Тарасенкова.
Задание:  —>>      553 — 569  570 — 586 



наверх

Задание 553 Задание 554 Задание 555 Задание 556 Задание 557 Задание 558 Задание 559 Задание 560 Задание 561

Задание 562 Задание 563 Задание 564 Задание 565 Задание 566 Задание 567 Задание 568 Задание 569

Задание 553.

Какое из чисел 4. 5, 8 и 10 является корнем уравнения:

Решение:

1) 5;

2) 10;

3) 4.

---

Задание 554.

Решите уравнение устно:

Решение:

1) 15 + x: = 55,  x = 40;	3) 60 — y = 45,  y = 15;	5) 88 : x = 8,  x = 11;
2) х — 22 = 42,  x = 64;	4) у * 12 = 12,  y = 1;	6) у : 10 = 40,  y = 400.

---

Задание 555.

Можно ли решить уравнение:

1) 8x = 0;

2) 0 : y = 25;

3) 5х = 5

4) 12 : y = 0?

Решение:

1) x = 0; 2) Не имеет решений; 3) x = 1; 4) Не имеет решений;

---



Задание 556.

Решите уравнение:

Решение:

1)28 + (45 + х) = 100; 45 + x = 100 — 28; 45 + x = 72; x = 72 — 45; x = 27; 2) (у — 25) + 18 = 40; y — 25 = 40 — 18; y — 25 = 22; y = 22 + 25; y = 47; 3) (70 — х) — 35 = 12; 70 — x = 35 + 12; 70 — x = 47; x = 70 — 47; x = 23; 4) 60 -(y + 34) = 5; y + 34 = 60 — 5; y + 34 = 55; y = 55 — 34; y = 21; 5) 52 — (19 + х) = 17; 19 + x = 52 — 17; 19 + x = 35; x = 35 — 19; x = 16; 6) 9y — 18 = 72; 9y = 72 + 18; 9y = 90; y = 90 : 9; y = 10; 7) 20 + 5х = 100; 5x = 100 — 20; 5x = 80; x = 80 : 5; x = 16; 8) 90 — y * 12 = 78; y * 12 = 90 — 78; y * 12 = 12; y = 12 : 12; y = 1; 9) 10х — 44 = 56; 10x = 56 + 44; 10x = 100; x = 100 : 10; x = 10; 10) 84 — 7у = 28; 7y = 84 — 28; 7y = 56; y = 56 : 7; y = 8;

11) 121 : (х — 45) = 11; x — 45 = 121 : 11; x — 45 = 11; x = 45 + 11; x = 56; 12) 77 : (у + 10) = 7; y + 10 = 77 : 7; y + 10 = 11; y = 11 — 10; y = 1; 13) (х — 12) : 10 = 4; x — 12 = 10 * 4; x — 12 = 40; x = 40 + 12; x = 52; 14) 55 — y * 10 = 15; y * 10 = 55 — 15; y * 10 = 40; y = 40 : 10; y = 4; 15) х : 12 + 48 = 91; x : 12 = 91 — 48; x : 12 = 43; x = 43 * 12; x = 516; 16) 5y + 4y = 99; 9y = 99; y = 99 : 9; y = 11; 17) 54х — 27х = 81; 27x = 81; x = 81 : 27; x = 3; 18) 36y — 16y + 5y = 0; 25y = 0; y = 0 : 25; y = 0; 19) 14х + х — 9х + 2 = 56; 6x + 2 = 56; 6x = 56 — 2; 6x = 54; x = 54 : 6; x = 9; 20) 20y — 14у + 7у — 13 = 13. 13y — 13 = 13; 13y = 13 + 13; 13y = 26; y = 26 : 13; y = 2;

---

Задание 557.

Решите уравнение:

Решение:

1) 65 + (х + 23) = 105; x + 23 = 105 — 65; x + 23 = 40; x = 40 — 23; x = 17; 2) (у — 34) — 10 = 32; y — 34 = 32 + 10; y — 34 = 42; y = 42 + 34; y = 76; 3) (48 — х) + 35 = 82; 48 — x = 82 — 35; 48 — x = 47; x = 48 — 47; x = 1; 4) 77 — (28 + y) = 27; 28 + y = 77 — 27; 28 — y = 50; y = 50 — 28; y = 22; 5) 90 + y * 8 = 154;

6) 9х + 50 = 86; 9x = 86 — 50; 9x = 36; x = 36 : 9; x = 4; 7) 120 : (х — 19) = 6; x — 19 = 120 : 6; x — 19 = 20; x = 19 + 20; x = 39; 8)(y + 50) : 14 = 4; y + 50 = 14 * 4; y + 50 = 56; y = 56 — 50; y = 6; 9) 48 + у : 6 = 95; y : 6 = 95 — 48; y : 6 = 47; y = 6 * 47; y = 282; 10) 8х + 7х — х = 42. 14x = 42; x = 42 : 14; x = 3;

---

Задание 558.

Составьте уравнение, корнем которого является число:

а) 8;

б) 14.

Решение:

а) 2y = 16;

б) x + 7 = 21.

---

Задание 559.

Составьте уравнение, корнем которого является число.

а) 5;

б) 9.

Решение:

а) 25 : x = 5;

б) 5x = 45.

---

Задание 560.

Некоторое число увеличили на 67 и получили число 109. Найдите это число.

Решение:

• Некоторое число — x.
• x + 67 = 109;
• x = 109 — 67;
• x = 42.
• Ответ: число 42.

---

Задание 561.

К некоторому числу прибавили 38 и получили число 245. Найдите это число.

Решение:

• x + 38 = 245;
• x = 245 — 38;
• x = 207.
• Ответ: 207.

---

Задание 562.

Некоторое число увеличили в 24 раза и получили число 1968. Найдите это число.

Решение:

• 24x = 1968;
• x = 1968 : 24;
• x = 82.
• Ответ: 82.

---

Задание 563.

Некоторое число уменьшили в 18 раз и получили число 378. Найдите это число.

Решение:

• x : 18 = 378;
• x = 378 * 18;
• x = 6804.
• Ответ: 6408.

---

Задание 564.

Некоторое число уменьшили на 22 и получили число 105. Найдите это число.

Решение:

• x — 22 = 105;
• x = 105 + 22;
• x = 127.
• Ответ: 127.

---

Задание 565.

Из числа 128 вычли некоторое число и получили 79. Найдите это число.

Решение:

• 128 — x = 79;
• x = 128 — 79;
• x = 49.
• Ответ: 49.

---

Задание 566.

Составьте и решите уравнение:

• 1) сумма удвоенного числа х и числа 39 равна 81;
• 2) разность чисел 32 и y в 2 раза меньше числа 64;
• 3) частное суммы чисел х и 12 и числа 2 равно 40;
• 4) сумма чисел х и 12 в 3 раза больше числа 15;
• 5) частное разности чисел у и 12 и числа 6 равно 18;
• 6) утроенная разность чисел у и 17 равна 63.

Решение:

• 1) 2x + 39 = 81
  • 2x = 81 — 39;
  • 2x = 42;
  • x = 42 : 2;
  • x = 21;
• 2) (32 — y) * 2 = 64
  • 32 — y = 64 : 2;
  • 32 — y = 32;
  • y = 32 — 32;
  • y = 0;
• 3) (x + 12) : 2 = 40
  • x + 12 = 40 * 2;
  • x + 12 = 80;
  • x = 80 — 12;
  • x = 68;
• 4) (x + 12) : 3 = 15
  • x + 12 = 15 * 3;
  • x + 12 = 45;
  • x = 45 — 12;
  • x = 33;
• 5) (y — 12) : 6 = 18
  • y — 12 = 18 * 6;
  • y — 12 = 108;
  • y = 108 + 12;
  • y = 120;
• 6) (y — 17) * 3 = 63
  • y — 17 = 63 : 3;
  • y — 17 = 21;
  • y = 21 + 17;
  • y = 38;

---

Задание 567.

Составьте и решите уравнение:

• 1) разность утроенного числа у и числа 41 равна 64;
• 2) сумма чисел 9 и х в 5 раз меньше числа 80;
• 3) частное суммы чисел у и 10 и числа 4 равно 16;
• 4) разность утроенного числа х и числа 17 равна 10.

Решение:

• 1) 3y — 41 = 64
  • 3y = 64 + 41;
  • 3y = 105;
  • y = 105 : 3;
  • y = 15;
• 2) (9 + x) * 5 = 80
  • 9 + x = 80 : 5;
  • 9 + x = 16;
  • x = 16 — 9;
  • x = 7;
• 3) (y + 10) : 4 = 16
  • y + 10 = 16 * 4;
  • y + 10 = 64;
  • y = 64 — 10;
  • y = 54;
• 4) 3x — 17 = 10
  • 3x = 10 + 17;
  • 3x = 27;
  • x = 27 : 3;
  • x = 9;

---

Задание 568.

Некоторое число увеличили на 5 и полученное число удвоили. В результате получили число 22. Найдите неизвестное число.

Решение:

• (x + 5) * 2 = 22;
• x + 5 = 22 : 2;
• x + 5 = 11;
• x = 11 — 5;
• x = 6;

---

Задание 569.

Некоторое число увеличили в 7 раз и полученное число уменьшили на 54. В результате получили число 100. Найдите неизвестное число.

Решение:

• 7x — 54 = 100;
• 7x = 100 + 54;
• 7x = 154;
• x = 154 : 7;
• x = 22;

---



Задание:  —>>      553 — 569  570 — 586 

Как решать уравнения 5 класса онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Главной задачей при решении уравнений является поиск неизвестного значения. Неизвестная величина называется корнем уравнения, поэтому под понятием решить уравнение понимают поиск всех его корней. В 5 классе несложные уравнения, однако, если не усвоить их решение, то дальше может возникнуть множество проблем при решении более сложных уравнений. При возникновении сомнений касательно правильности полученного результата, вы всегда можете решить уравнение онлайн 5 класса решателем и сравнить ответы.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение плоскости онлайн решателем»

Для наглядности решим следующие уравнения:

\[37 + x = 51\]

Вычтем из левой и правой части число \[37:\]

\[37 + x — 37 = 51 — 37\]

Получим следующий результат:

\[ х = 51 — 37\]

Ответ: \[х = 14\]

Решим уравнение с делением:

\[5х = 20\]

Выполним деление левой и правой части на \[5:\]

\[\frac{5х} { 5} = \frac{20}{ 5}\]

После сокращения получим следующее уравнение:

\[ х = \frac{20}{ 5}\]

Ответ: \[x = 4\]

Где можно решить уравнение онлайн 5 класса решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher. ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Линейные уравнения для 5 класса

Одним из самых важных навыков при поступлении в 5 класс является умение решать простейшие уравнения. Так как 5 класс ещё не так далек от начальной школы, то и видов уравнений, которые может решать ученик не так уж и много. Мы познакомим Вас со всеми основными видами уравнений, которые необходимо уметь решать, если Вы хотите поступить в физико-математическую школу.

1 тип: «луковичные»
Это уравнения, которые почти со вероятностью встретятся Вам при поступлении в любую школу или кружок 5 класса как отдельное задание. Их легко отличить от других: в них переменная присутствует только 1 раз. Например, или .
Решаются они очень просто: необходимо просто «добраться» до неизвестной, постепенно «снимая» всё лишнее, что окружает её — как будто почистить луковицу — отсюда и такое название. Для решения достаточно помнить несколько правил из второго класса. Перечислим их все:

Сложение

1. слагаемое1 + слагаемое2 = сумма
2. слагаемое1 = сумма — слагаемое2
3. слагаемое2 = сумма — слагаемое1

Вычитание

1. уменьшаемое — вычитаемое = разность
2. уменьшаемое = вычитаемое + разность
3. вычитаемое = уменьшаемое — разность

Умножение

1. множитель1 * множитель2 = произведение
2. множитель1 = произведение : множитель2
3. множитель2 = произведение : множитель1

Деление

1. делимое : делитель = частное
2. делимое = делитель * частное
3. делитель = делимое : частное

Разберём на примере, как применять данные правила.

Заметим, что мы делим на и получаем . В этой ситуации мы знаем делитель и частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное:

Мы стали немного ближе к самому . Теперь мы видим, что к прибавляется и получается . Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

И ещё один «слой» снят с неизвестной! Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем ().

Теперь ситуация «уменьшаемое — вычитаемое = разность»

И последний шаг — известное произведение () и один из множителей ()

2 тип: уравнения со скобками
Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах — именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс. В отличие от «луковичных уравнений» переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. Типичные уравнения: или
Основная трудность — это правильно раскрыть скобки. После того, как удалось это верно сделать, следует привести подобные слагаемые (числа к числам, переменные к переменным), а после этого мы получаем самое простое «луковичное уравнение», которое умеем решать. Но обо всём по-порядку.

Раскрытие скобок. Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае. Но, как показывает практика, верно раскрывать скобки ученик начинает только после 70-80 прорешанных задач. Основное правило таково: любой множитель, стоящий за скобками необходимо умножить на каждое слагаемое внутри скобок. А минус, стоящий перед скобкой, меняет знак всех выражений, что стоят внутри. Итак, основные правила раскрытия:

Приведение подобных. Здесь всё гораздо легче: Вам необходимо путём переноса слагаемых через знак равенства добиться того, чтобы с одной стороны стояли только слагаемые с неизвестной, а с другой — только числа. Основное правило таково: каждое слагаемое, переносимое через , меняет свой знак — если оно было с ,то станет с , и наоборот. После успешного переноса необходимо сосчитать итоговое количество неизвестных, итоговое число стоящее с другой стороны равенства, нежели переменные, и решить простое «луковичное уравнение».

Приведём пример:
(раскроем скобки. Обратите внимание на смену знаков!)
(выполним умножения)
(перенесём , и через знак равенства — они «превратятся» в , и )
(посчитаем итоговое количество справа и число слева)
(ситуация «известный множитель и произведение»)

Освоив эти два типа уравнений, Вы можете быть уверенны, что сможете решить добрую половину всех заданий во вступительной олимпиаде в 5 класс.

Как решить уравнение 5х. Решение показательных уравнений по математике

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

где А, В, С — задаваемые матрицы, Х — искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X — B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1

Ответ: >

Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной , профессиональной и коммерческой . Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов и школьников , он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.

Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.

Данный онлайн калькулятор может

• Корректно выполнять стандартные математические функции, записанные одной строкой типа — 12*3-(7/2) и может обрабатывать числа больше, чемсчитаем огромные числа в онлайн калькулятореМы даже не знаем, как такое число назвать правильно (тут 34 знака и это совсем не предел ).
• Кроме тангенса , косинуса , синуса и других стандартных функций — калькулятор поддерживает операции по расчёту арктангенса , арккотангенса и прочих.
• Доступны в арсенале логарифмы , факториалы и другие интересные функции
• Данный онлайн калькулятор умеет строить графики !!!

Для построения графиков, сервис использует специальную кнопку (график серый нарисован) или буквенное представление этой функции (Plot). Чтобы построить график в онлайн калькуляторе, достаточно записать функцию: plot(tan(x)),x=-360..360 .

Мы взяли самый простой график для тангенса, и после запятой указали диапазон переменной X от -360 до 360.

Построить можно абсолютно любую функцию, с любым количеством переменных, например такую: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) или ещё более сложную, какую сможете придумать. Обращаем внимание на поведение переменной X — указан промежуток от и до с помощью двух точек.

Единственный минус (хотя трудно назвать это минусом) этого онлайн калькулятора это то, что он не умеет строить сферы и другие объёмные фигуры — только плоскость.

Как работать с Математическим калькулятором

1. Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.

2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.

3. Панель инструментов — это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.

Обратите внимание, при нажатии кнопок вызова дополнительных функций, конвертера величин, решения матриц и уравнений, построения графиков вся панель калькулятора смещается вверх, закрывая часть дисплея. Заполните необходимые поля и нажмите клавишу «I» (на рисунке выделена красным цветом), чтобы увидеть дисплей в полный размер.

4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.

Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.

Клавиша	Символ	Операция
pi	pi	Постоянная pi
е	е	Число Эйлера
%	%	Процент
()	()	Открыть/Закрыть скобки
,	,	Запятая
sin	sin(?)	Синус угла
cos	cos(?)	Косинус
tan	tan(y)	Тангенс
sinh	sinh()	Гиперболический синус
cosh	cosh()	Гиперболический косинус
tanh	tanh()	Гиперболический тангенс
sin -1	asin()	Обратный синус
cos -1	acos()	Обратный косинус
tan -1	atan()	Обратный тангенс
sinh -1	asinh()	Обратный гиперболический синус
cosh -1	acosh()	Обратный гиперболический косинус
tanh -1	atanh()	Обратный гиперболический тангенс
x 2	^2	Возведение в квадрат
х 3	^3	Возведение в куб
x y	^	Возведение в степень
10 x	10^()	Возведение в степень по основанию 10
e x	exp()	Возведение в степень числа Эйлера
vx	sqrt(x)	Квадратный корень
3 vx	sqrt3(x)	Корень 3-ей степени
y vx	sqrt(x,y)	Извлечение корня
log 2 x	log2(x)	Двоичный логарифм
log	log(x)	Десятичный логарифм
ln	ln(x)	Натуральный логарифм
log y x	log(x,y)	Логарифм
I / II		Сворачивание/Вызов дополнительных функций
Unit		Конвертер величин
Matrix		Матрицы
Solve		Уравнения и системы уравнений
		Построение графиков
Дополнительные функции (вызов клавишей II)
mod	mod	Деление с остатком
!	!	Факториал
i / j	i / j	Мнимая единица
Re	Re()	Выделение целой действительной части
Im	Im()	Исключение действительной части
|x|	abs()	Модуль числа
Arg	arg()	Аргумент функции
nCr	ncr()	Биноминальный коэффициент
gcd	gcd()	НОД
lcm	lcm()	НОК
sum	sum()	Суммарное значение всех решений
fac	factorize()	Разложение на простые множители
diff	diff()	Дифференцирование
Deg		Градусы
Rad		Радианы

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. {nm}:\]

Прибавляем к исходному уравнению:

Вынесем за скобки \

Выразим \

Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:

Ответ: \

Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. 2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www. сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

«Свободные кандидаты на несвободных выборах». На что рассчитывает оппозиция на выборах-2021.

В. Кара-Мурза― Добрый вечер! На волнах радиостанции «Эхо Москвы» программа «Грани недели». У микрофона в московской студии – Владимир Кара-Мурза младший.

До выборов в Государственную думу 8-го созыва остается 2,5 месяца. Голосование будет проходить с 17 по 19 сентября. Списки партий думской четверки снова возглавят политические ветераны. Сергей Шойгу, возглавлявший список «Единства» еще в 1999 году, стал первым номером в списке «Единой России». Списки КПРФ, ЛДПР и «Справедливой России» возглавят их бессменные лидеры – Геннадий Зюганов, Владимир Жириновский и Сергей Миронов. Последней из ведущих партий со своими кандидатами определится «Яблоко». Ее съезд в эти выходные проходит в Москве. Предвыборный список будет представлен в воскресенье.

Целый ряд оппозиционных политиков, планировавших участвовать в думских выборах, были тем или иным способом отстранены от кампании. В их числе Любовь Соболь, Дмитрий Гудков, Юлия Галямина, Илья Яшин, Александр Соловьев, Олег Степанов. Для их устранения были использованы либо угрозы уголовного преследования, либо новые законодательные фильтры, специально установленные властью к выборам-2021, в том числе лишение пассивного избирательного права всех, кто хоть как-то связан с Алексеем Навальным, чьи организации ранее объявили экстремистскими.

По подсчетам движения «Голос», официальными лишенцами сегодня являются около 9 млн российских граждан – это примерно 8% всех избирателей. Впрочем, полностью безальтернативными эти выборы не будут. В целом ряде округов свои кандидатуры выдвинули независимые и оппозиционные политики, баллотирующиеся либо как самовыдвиженцы, либо от «Яблока», единственной оппозиционной партии, сохраняющей право выдвигать кандидатов без сбора подписей.

Двое из них сегодня участвуют в нашей программе. Тема этого выпуска: «Свободные кандидаты на несвободных выборах. На что рассчитывает оппозиция на выборах-2021». Вместе со мной в московской студии «Эха» Роман Юнеман, основатель движения «Общество. Будущее», независимый кандидат в депутаты Государственной думы по Чертановскому округу Москвы. Роман, добрый вечер.

Р. Юнеман― Добрый вечер.

В. Кара-Мурза― С нами на связи Кирилл Гончаров, заместитель председателя московского «Яблока», кандидат в депутаты Государственной думы по Кунцевскому округу Москвы. Кирилл, здравствуйте.

К. Гончаров― Здравствуйте.

В. Кара-Мурза― Роман, вам первый вопрос. Собственно, тема программы «Свободные кандидаты на несвободных выборах» – это, конечно, отсылка к Андрею Амальрику (писатель, известный правозащитник, диссидент), который в свое время о диссидентском движении в Советском Союзе в 70-е годы написал: «Они сделали гениальную вещь – в несвободной стране начали вести себя как свободные люди и тем самым менять моральную атмосферу». Вот такой первый вопрос вам. В чем смысл, в чем цель вашего участия в этих выборах: поменять моральную атмосферу, предоставить людям какую-то альтернативу в бюллетене или же рассчитываете на победу даже в нынешних условиях?

Р. Юнеман― Самая первая цель – это, конечно, победить. Все равно она идет самой первой. Понятно, что люди в выборах участвуют по разным целям. Я сейчас говорю не только о каких-то высоких, но есть те, кто этим занимается для каких-то своих личных узкокорыстных интересов. Но здесь я считаю, что в целом на выборы в нынешней ситуации нужно всегда все равно идти с надеждой и верой в победу. Поэтому первая цель вот эта. Но понятное дело, что если б была только она, то это все не имело бы смысла.

Еще есть две цели. Вторая подцель – это, действительно, показать, что не то что не все потеряно, а вот, наверное, в первую очередь себе показать, людям, которых я знаю, которые меня окружают, и всем остальным тоже, что в России в принципе такие кампании возможны. Ведь рано или поздно в нашу страну выборы вернутся, и они вернутся массово.

Я не хочу показать, что сейчас у нас все нормально. Нет, у нас не все нормально, особенно в этой сфере. Но выборы у нас в России будут. Я хочу показать, что их можно вести. То есть они будут в исторически близкой перспективе примерно с теми же самыми людьми, которые сейчас ходят на выборы. То есть плюс-минус это будет та же аудитория. И я хочу уже сейчас показать, что можно с этими людьми говорить и можно их убеждать, можно их приводить на выборы.

И третье. Это некая история про ресурсы, то есть про умение делать выборы, про умение делать масштабные, полевые кампании, просто вообще избирательные кампании. Ведь, опять же, выборы в нашу страну вернутся. Как весна приходит за зимой, так и выборы у нас появятся. И на этих выборах нужно будет уметь побеждать. То есть нужно быть к этому готовым. Это может быть через год, а может быть, через 5, а может быть, через 10, но не так долго этому осталось.

В. Кара-Мурза― И зная нашу российскую историю, никто никогда не предугадает, когда это будет.

Р. Юнеман― Да, это будет внезапно.

В. Кара-Мурза― Это может быть, действительно, через 10 лет, а может быть, через полтора, как уже не раз в нашей истории случалось. Кирилл, собственно, тот же вопрос вам. Вот когда я эти разные цели перечисляю – это не в том смысле, что одна из них менее важная, а другая более важная. То, что писал Амальрик о диссидентском движении – это огромное значение имело: поменять моральную атмосферу в этой удушающей обстановке советского тоталитаризма. Поэтому даже если б только эта была цель, это само по себе было бы очень важно и значимо. Тем не менее вам тот же вопрос. Вы кандидат на этих выборах. Какую цель вы перед собой ставите в сентябре этого года?

К. Гончаров― В целом я думаю, что у нас с Романом цели плюс-минус одинаковые. Безусловно, мы примерно представляем, в какой обстановке нам придется работать, учитывая, что значительную часть независимых оппозиционных кандидатов не допустили на самом старте. Ведь что происходило раньше? Людей могли не допустить по подписям, могли сфальсифицировать, могли сфабриковать. А сейчас же мы видим абсолютно новый уровень, когда людей просто не допускают на самом старте, не давай возможность на легальном политическом поле, на легальном политическом пространстве коммуницировать и общаться со своими сторонниками и избирателями.

Естественно, люди демотивированы. Естественно, они уходят во внутреннюю миграцию. И я думаю, что наша историческая задача в этом смысле – не дать людям потерять веру в свои собственные силы, не дать им возможность опустить руки. И именно поэтому мы занимаемся таким непростым делом. Безусловно, будет тяжело. Безусловно, в Государственной думе нас никто не ждет. Им нужны послушные деревянные солдатики Урфина Джюса. Но мы будем говорить то, что мы думаем. Мы идем на эти выборы с открытым забралом. Мы абсолютно уверены в себе.

И я думаю, что у нас довольно неплохие шансы, потому что все рейтинги провластные, оппозиционные показывают одну элементарную вещь: люди устали от этой власти, люди хотят перемен. Люди хотят не просто новых лиц, потому что мы часто видим, что «Единая Россия» пытается маскировать врачей, учителей и говорить: «Смотрите, ну вот же вам новые лица». Нет, люди хотят новых идей, люди хотят новых смыслов, и люди хотят новой риторики. Это то, что не может себе позволить «Единая Россия», но то, что можем позволить себе мы – демократы и люди, которые мыслят иначе, чем те, кто представляет сегодняшнюю власть и чиновников.

В. Кара-Мурза― Важный момент по поводу недопуска оппозиционных и независимых кандидатов. Ведь на протяжении многих лет придумывали какие-то причины, чтоб людей не допускать. Вот тот же Кирилл Гончаров, который сегодня участвует в нашей программы, в 2019 году был не допущен до выборов в Московскую городскую думу – якобы там не такие подписи и так далее, как тогда многие оппозиционные кандидаты были не допущены. Сейчас это важная разница, на самом деле. Сейчас есть целые категории российских граждан.

Собственно, слово «лишенцы» – оно из советского прошлого, когда в первые годы советской власти людям, принадлежащим к духовенству, к дворянству, к купечеству, просто формально было запрещено, они были лишены избирательного права. И вот недавний доклад движения «Голос» (признано иностранным агентом) называется «Новые лишенцы». То есть если в Советском Союзе по состоянию на 1927 год около 3 млн человек являлись лишенцами, то сегодня, по выводам «Голоса», уже 9 млн. То есть в процентном отношении примерно 4% избирателей в 1927 году, а сейчас – 8%, то есть в два раза больше.

Это, например, все российские граждане, у которых есть либо второй гражданство, либо вид на жительство. Это люди осужденные. Вот я специально проверил: 417 статей Уголовного кодекса в этом перечне. И если по хоть одной из них человек осужден… Причем буквально в последний год были внесены новые поправки в законодательство – полсотни новых уголовных составов было добавлено. И даже те люди, которые после снятия и погашения судимости, все равно в течение какого-то периода не могут баллотироваться. И те, кто осуждены условно. Это вот так Юлию Галямину, например, не допустили к выборам в этот раз.

И вот еще на этой неделе вышел другой доклад движения «Голос» о том, что они отмечают главный момент, что у нас отсутствует полностью стабильность выборного законодательства. То есть у нас еще в России – это просто факт – ни разу две выборные кампании подряд не прошли по одним и тем же правилам. То есть каждый раз правила меняются.

И вот эксперты «Голоса» подсчитали, что к выборам нынешнего 2021 года в избирательное законодательство были внесены 19 поправок, причем почти треть из них всего за 4 месяца до старта кампании, в том числе так называемый «закон против ФБК (Фонд признан Минюстом иностранным агентом и экстремистской организацией)» от 4 июня, в день рождения Навального который Владимир Путин подписал, запрещающий людям, хоть какую ассоциацию имеющим с Алексеем Навальным, участвовать в выборах.

Вот, собственно говоря, на днях Алексей Макаркин, политолог, сравнил ту избирательную систему, которая у нас сформировалась, с тем, что существует в исламской республике Иран, где существует такой орган власти, который называется Совет стражей исламской революции, и они могут кого угодно по какой угодно причине просто не допустить до участия в выборах. Вот он такую параллель проводит с тем, что у нас сегодня существует.

Роман, вы идете на выборы как самовыдвиженец, вы собираете подписи. Вы допускаете возможность того, что вас зарегистрируют?

Р. Юнеман― Это, кстати, интересно, что еще, по-моему, в 2019 году перед тем, как начинался сбор подписей, вопросы ставились иначе: «Вы допускаете, что вас не зарегистрируют по подписям?» Да, я допускаю, что меня зарегистрируют по подписям. Я тут исхожу из принципа, что я сделаю все что возможно, все что нам возможно сделать по этим новым правилам. Они ведь еще и усложнили. К примеру, если мы говорим про то усложнение, которое конкретно меня касается, они изменили процедуру сбора подписей: теперь человек еще и фамилию, имя, отчество сам своей рукой вносит. Это, допустим, полностью отсекает людей старшего поколения практически от проставления подписи.

В. Кара-Мурза― Кто-то плохо видит, например.

Р. Юнеман― Да. Буквально 3 дня назад мне в Инстаграме написала одна избирательница и сказала, что ее муж – он слепой и он из-за этого не смог поставить подпись. То есть, по сути, это ограничение избирательных прав человека.

В. Кара-Мурза― Не только пассивного, но в данном случае даже активного.

Р. Юнеман― Да. То есть он не может разрешить кандидату идти на выборы. Там же не просто нужно написать что-то, там нужно написать разборчиво, без исправления, без обвода. И поэтому, к примеру, если до этого мы закладывали брак 10% (именно внутренний, то есть мы собираем те подписи, которые мы принимаем, из них потом 10% – это точно идут в никуда), то сейчас их 30%. Поэтому нам нужно сдать чуть меньше 15 тысяч подписей, а собираем мы 19 тысяч. То есть я сам хожу собираю подписи, я сам знаю, как это тяжело и как это еще более усложнили. К нам засылают провокаторов, которые рисуют подписи. Мы уже парочку нашли. Мы их придержим, а потом сделаем большой разгромный пост с этим всем.

И в целом мы, конечно, делаем все, что от нас зависит для того, чтобы зарегистрировали. То есть ближе к концу мы проведем публичный аудит наших подписей, всех желающих приглашаем посмотреть, что у нас это реальные подписи. Понятное дело, что графолог может все что угодно придумать. Но вот наша задача – это сделать максимум и сдать идеальные подписи, сдать подписи, о которых ни у кого не будет сомнения, что мы каждую из них собрали, всех провокаторов вычислить.

В общем, это, на самом деле, очень сложная организационная задача, которую кандидат не должен решать. То есть это как решить математическое уравнение, чтобы вас допустили к выборам. То есть почему мы должны решить такую сложную задачу? А ведь сбор подписей – это не агитация, это отдельный сложный процесс. У нас там для этого целые отделы выстроены, которые работают, которые проверяют это все и на исправление людей приводят. В общем, тяжелый процесс. И мы сделаем все возможное. Ну а там посмотрим, зарегистрируют или не зарегистрируют.

Ну, не зарегистрируют – будем поддерживать второго самого сильного кандидата. То есть мы же за это время собрали большую базу и контактов избирателей, и сейчас тоже с ними общаемся. В общем, я хочу просто сделать так, чтоб даже если не зарегистрируют, чтобы кандидат от «Единой России» не прошел в моем округе.

В. Кара-Мурза― Об этом еще обязательно поговорим – о том, что делать, если первый выбор не попадает в бюллетень, как тогда себя вести. Кирилл Гончаров сказал важную вещь пару минут назад о низких рейтингах власти. Я напомню, что по недавним данным «Левада-Центра», который наши власти считают иностранным агентом, как практически все живые оставшиеся еще организации гражданского общества в России, 27% – рейтинг партии власти «Единая Россия» по стране и 15% – в Москве.

Я напомню, что в Москве 15 одномандатных округов на выборах в Государственную Думу, в Петербурге еще 8, но там тоже ненамного выше рейтинг партии власти. Поэтому становится понятно, почему столько заградительных барьеров власть выстраивает на пути к избирательному бюллетеню для оппозиции.

Кирилл, хочу вам такой задать вопрос. «Яблоко», как я упомянул в начале программы, по сути, единственная оставшаяся в нашей стране по-настоящему оппозиционная партия (не берем эти бутафорские партии, сидящие в Думе), которая сохранила не только регистрацию, но еще и льготный доступ к участию в выборах без необходимости сбора тех самых подписей, о которых только что сказал Роман.

Понятно, что имена кандидатов и по списку, и по округам будут названы в воскресенье. Пока об именах говорить рано. Поэтому задам вопрос в таком более общем ключе. Ваша партия осознает свою ответственность что ли как единственная сохранившаяся последняя оппозиционная сила, имеющая доступ к избирательному бюллетеню? И принимается ли это в расчет, может быть, в каком-то коалиционном смысле, когда вы всю эту неделю в руководящих органах «Яблока» обсуждали тех кандидатов, которые будут выдвинуты?

К. Гончаров― Мы обсуждали кандидатов, начиная с осени прошлого года, когда начинали переговорный процесс. И не только внутри партии. Это был довольно широкий круглый стол, в котором принимали участие представители широкого спектра гражданского общества, люди, которые к партии не относятся – это и экологи, и градозащитники, и уже сформировавшиеся политики и общественные деятели. И в том смысле то, что происходит в последнюю неделю и происходит сейчас на съезде – это уже такой завершающий этап.

Конечно, кого-то мы не смогли выдвинуть по объективным причинам. Например, Дмитрия Гудкова или Александра Соловьева, с которыми лично я вел переговоры. И мы планировали их выдвижение от партии «Яблоко». С кем-то не смогли договориться по идеологическим, политическим причинам. Но все-таки с большей частью наших единомышленников мы пришли к общему мнению.

Но вы знаете, что партия «Яблоко» – партия, в которой состоит очень много людей. И есть региональные отделения, которые давали свои рекомендации. Есть федеральное бюро, которое давало свои рекомендации. Есть политкомитет. И в конце концов, есть съезд партии, который поставит точку в этой истории. И уже от позиции съезда будет зависеть окончательный список, поскольку даже сейчас я вижу, что позиция московского регионального совета и бюро разнится между собой. А позиция бюро и политкомитета тоже может разниться в каких-то деталях.

И в этом смысле у нас очень много структур внутри партии, которые принимают решение. И каждого есть свои рекомендации, свое видение и своя повестка. Но мы постараемся как-то это привести в общий вид, в общий порядок и уже в воскресенье представим окончательный список.

В. Кара-Мурза― И в дополнение вопрос. Опять же не предвосхищая решение съезда, которое будет оглашено в воскресенье. На этой неделе политический заключенный Андрей Пивоваров… Он признан политзаключенным правозащитным центром «Мемориал» (еще один иностранный агент, по версии российских властей). А «Мемориал» работает с критериями Совета Европы, очень тщательно проверяет каждый случай. Вот они признали Андрея Пивоварова политзаключенным.

Напомню, он находится сейчас в СИЗО №1 города Краснодара, ему грозит до 6 лет лишения свободы за пост в Фейсбуке, который он якобы написал в августе 2020 года. К сожалению, не шутка. Это новая статья Уголовного кодекса об осуществлении деятельности так называемых нежелательных организаций.

Открытое письмо из СИЗО политзаключенного Андрея Пивоварова основателю партии «Яблоко» Григорию Явлинскому: ««Яблоко» на сегодняшний день единственная партия, которая последовательно декларирует неприятие авторитарного режима Путина и имеет право выдвигать кандидатов в депутаты без сбора подписей. В сложившихся обстоятельствах дать возможность идти на выборы без сбора подписей как мне, так и другим кандидатам, попавшим в жернова политических репрессий, — это уникальный шанс сделать сильный политический и гуманитарный поступок».

Опять же не предвосхищая решение съезда, обсуждается ли в руководящих органах «Яблока» кандидатура Андрея Пивоварова?

К. Гончаров― Андрей Пивоваров должен быть освобожден. Его арест незаконен. Мы очевидно понимаем, что это политическое дело, связанное в первую очередь и в единственную очередь с амбициями и возможностью Андрея Пивоварова избраться в Государственную думу. Партия «Яблоко» настаивает на его освобождении и желает освобождения как можно скорее.

Что касается его письма. Оно адресовано лично Григорию Явлинскому. Я думаю, что этот вопрос логичнее задать ему. Но, безусловно, в кулуарах в «Яблоке» обсуждается это письмо. Многие из нас знакомы с Андреем Пивоваровым. Конечно, хотелось бы, чтобы он был выдвинут от партии «Яблоко». Если бы не его арест, давайте скажем откровенно, если мы выдвинем Андрея Пивоварова, с вероятностью 100% ему откажут в регистрации в качестве кандидата. И здесь нет никаких сомнений. И не надо питать никаких иллюзий.

И вот вопрос в том, оставим ли мы округ свободным или мы поборемся в этом округе. Понятно, что его выдвижение носит политический характер, это некий символизм. Но мы посмотрим, что примет съезд, и какое решение будет у съезда.

В. Кара-Мурза― Я помню, как в прошлом году, Кирилл, вы вместе с Андреем Пивоваровым здесь в этой студии сидели. Я хочу надеяться, что в недалеком будущем мы сможем это повторить.

Вопрос Роману Юнеману. Уже идет фактически кампания, стартовала уже даже официально, 2 недели как подписан указ. Вы сейчас ведете кампанию по сбору подписей. Я так понимаю, вы лично в ней тоже участвуете.

Р. Юнеман― Да.

В. Кара-Мурза― Какие впечатления от общения с людьми? Вот те социологические данные, например, которые я привел, по поводу популярности, а точнее, непопулярности партии «Единая Россия» – это подтверждается при вашем общении с людьми? И как реагируют на вашу кандидатуру, на ваш сбор подписей?

Р. Юнеман― Да, это подтверждается. Я бы даже сказал, что это подтверждается, наверное, в большей степени, чем даже стоило ожидать. Да, я сам хожу собираю подписи. На данный момент я где-то в районе 120 или 130 подписей собрал. Меньше, чем в тот раз, но тут и задача сложнее. Я тоже хожу собираю подписи, и когда я общаюсь с жителями Чертаново, реже – Бутово, Ясенево, мой скрипт выглядит так. Я же подхожу к человеку на улице. В основном я подхожу к абсолютно случайным людям и с ними завожу диалог.

И мой скрипт выглядит так: «Здравствуйте. Меня зовут Роман Юнеман. Я независимый кандидат в Государственную думу». Следующее, что я говорю: «Не от «Единой России»». И после этого у человека лицо обычно меняется. После этого он обычно останавливается, если он куда-то идет.

В. Кара-Мурза― Лицо меняется в хорошем смысле?

Р. Юнеман― Да, в хорошем смысле меняется. То есть оно расслабляется. И, в принципе, людей, которые бы сказали: «А почему? А я вот сторонник «Единой России»», я такое слышу примерно 1 раз в 2 дня. И каждый день это примерно 100-150 человек, к которым я подхожу. Понятно, что из этого нельзя делать статистические выводы ни в коем случае, но тот факт, что у меня скрипт, то есть я это говорю сразу, потому что у людей есть стойкое неприятие, причем у тех, кого обычно считают сторонниками якобы «Единой России».

К примеру, вчера история. Я шел по улице Подольских Курсантов, 6, корпус 1. И вот там люди сидели, шашлыки жарили. То есть обычные такие мужики им лет по 40. Я к ним подхожу: «Роман Юнеман». Они говорят: «Так, стоп, от «Единой России»?» Я говорю: «Не-не, ни в коем случае». Они говорят: «А, ну все. Главное, что не единоросс». Причем это не какие-то, как пытаются представить, московские хипстеры. Обычные люди, обычные мужики.

Я подхожу к бабушкам, и мне бабушки говорят: «А точно не от «Единой России»?» Я говорю: «Точно». Они говорят: «Ну, смотри. А то тут ходят, тоже говорят, что не от «Единой России», а на самом деле от «Единой России»». Я говорю: «Не, не, не». То есть я стою все это рассказываю.

Поэтому нет, это полностью подтверждается. И запрос, на самом деле, на перемены дикий. Поэтому такой риторический вопрос. Можно, конечно, закрыть всех оппозиционеров, всех политактивистов, но ведь недовольство людей никуда не денется. То есть его-то не закрыть. Да, оно, может быть, менее громко манифестируется. Да, люди боятся. Если к ним подойдет какой-нибудь официальный человек или спросит их по телефону, вряд ли они будут настолько же откровенны.

В. Кара-Мурза― Кстати, почему и поразительно, что такие низкие цифры у партии власти даже при тех ограничениях, о которых вы сказали. Потому что не каждый человек незнакомому кому-то на улице ответит. И даже при таких.

Р. Юнеман― Да. Что еще поменялось. Во-первых, в 2019 году я видел больше сторонников «Единой России», вот реально больше. Второе, что поменялось. Я вижу некую большую политизированность людей, как ни странно, несмотря на то, что кажется, что все затихло. То есть люди, с одной стороны, боятся. Вот если до этого я часто видел – «ой, я в политике не участвую»… Это до сих пор самый частый отказ, который я слышу. Но если раньше он был, допустим, среди людей 30-50 таким массовым, то сейчас нет.

То есть люди понимают, что проблемы здравоохранения, проблемы застройки Битцевского леса, ну любые проблемы – это политические проблемы. И вот это некий такой сдвиг. Он есть. Я не знаю, когда мы увидим его результат в виде политических изменений. Но это видно. Я это вижу.

В. Кара-Мурза― А понимание отсутствия реальной связи между гражданами и теми, кто якобы является их представителями во власти, растет такое понимание, на ваш взгляд?

Р. Юнеман― Да. И более того, на самом деле, мы проводили глубинные фокус-группы. И мы выяснили, что помимо того, что есть четкое понимание, что у нас нет своего представителя, то есть люди очень ценят наличие… Вот вся эта история с одномандатными округами важна людям. То есть это как бы наш от территории представитель, то есть конкретно наш. И вот этого прям не хватает.

У них есть первый критерий – чтобы не «Единая Россия». Остальное им неважно. Я утрирую, что неважно. Понятно, что у каждой партии есть сторонники отдельные. Но дальше им важна личность. То есть неважно, партия или самовыдвиженец, главное, что вот не «Единая Россия», и вот с нами на связи, доступный для нас представитель в прямом смысле. Даже они не ожидают золотых гор. Прошла та эпоха, когда можно было людей за обещание детской площадки купить или за обещание каких-то продуктовых наборов. Не, они понимают, что депутат не сделает их жизнь волшебной, но хотя бы будет на связи, хотя бы будет работать.

А второе, что видно – люди устали, хотят смены, хотят новых лиц. Понимаете, еще 2 года назад я ходил, и мне говорили: «А что такой молодой?» Мне тогда было 24, сейчас мне 26. Сейчас я чаще слышу: «Да-да, молодых надо. Старые засиделись. Не-не, нужны молодые». И чем старше, тем больше люди говорят: «Нужны молодые. Мы уже не можем эти старые лица все видеть».

В. Кара-Мурза― Кирилл, как раз хочу вас на эту тему спросить. Вот Роман произнес важное словосочетание «запрос на перемены». Я вот часто это говорю в риторическом плане, что в России уже выросло целое поколение людей, которые никого не помнят, кроме Путина, у власти. А вот я сейчас с двумя такими людьми сижу в своей собственной программе.

Я, например, понимаю, что, в отличие от меня, ни вы, ни Роман не помните, например, парламентские выборы 1995 года или президентские 1996 года, когда реальная конкуренция, реальная борьба шла, когда были предвыборные ролики в том числе и оппозиции на телеканалах, когда результаты выборов действительно определялись избирателями на участках и заранее не знали, кто победит. Это вообще революционно звучит в сегодняшней России.

Кстати, не так давно господин Путин, выступая перед депутатами уходящей Государственной думы 7-го созыва, сказал, что мы не должны допустить, чтобы выборы проходили, как в 90-е годы. Многие сразу стали комментировать, что такой угрозы нет, что в 90-е годы оппозиция была и на телевидении, и в парламенте, и на выборах, а сейчас мы все знаем, какая ситуация. Так вот сегодня в моей программе два человека, которые реально в своей сознательной жизни никого не помнят, кроме Путина, у власти.

Кирилл, вы точно так же у себя в Кунцевском округе каждый день проводите встречи, общаетесь, встречаетесь с людьми. Вы чувствуете, вы видите этот запрос на перемены? Вот буквально в эти дни первая годовщина так называемого плебисцита о поправках в Конституцию, об обнулении. И Путин, который уже у власти дольше, чем Брежнев, хочет править дольше, чем Сталин. То есть на момент 2024 года он будет у власти четверть века (25 лет), а потом он хочет еще 12, в соответствии с этим обнулением, которое произошло в прошлом году. То есть уже есть реальная угроза того, что уже два поколения людей в нашей стране вырастят с одним и тем же несменяемым царем, генсеком, как угодно можно называть, в Кремле.

Вы чувствуете этот запрос на перемены у людей, с которым вы общаетесь в Москве?

К. Гончаров― Владимир, сначала по поводу возраста. Я часто слышу от своих сверстников, которые занимаются политикой, сочувствие о том, что мы родились либо слишком рано, либо слишком поздно, потому что мы не застали период действительно политических свобод либо мы их не застанем, а застанут наши дети или поколения помладше нас. И, конечно, это вызывает большое сочувствие, потому что хочется, занимаясь политикой, увидеть действительно нашу страну демократической и свободной.

Что касается запроса – безусловно. Вот у меня была встреча позавчера в районе Филевский Парк. На нее пришло порядка 70 местных жителей. И туда приехали полицейские с настроем задержать не только меня, но и людей, которые туда пришли. И случилось довольно забавно. Основная часть пришедших – это люди пенсионного возраста (бабушки, дедушки). И когда они увидели полицейских, они стали меня очень активно защищать от сотрудников полиции. И что меня очень сильно удивило, что эти бабушки стали говорить полицейским: «Ну вот как же так? Если бы здесь был кандидат-единоросс, вас бы не было. А приехал представитель «Яблока» – и вы тут как тут».

И, честно говоря, я бы не удивился, если бы услышал подобное от людей нашего поколения или чуть-чуть постарше. Но вот от пенсионеров, от бабушек, которых мы всегда привыкли относить к электорату «Единой России», это довольно нетривиально. И в этом смысле мне кажется, что вот этот запрос он сдвинулся не только в сторону молодежи, которые по объективным причинам критикуют «Единую Россию» и хотят перемен, но и в сторону тех людей, которых мы привыкли относить к сторонникам других политических партий более консервативных и системных.

В этом смысле, конечно, если в 2019 или в 2011 году на улицы в основном выходили люди младшего возраста, студенты, средний класс, то сейчас я думаю, что действительно «Единая Россия» потеряла и свой оставшийся электорат в виде пенсионеров. И я думаю, что у нас есть огромные шансы победить.

Но вот здесь я бы отметил еще один фактор, который может нам помешать это сделать. И многие почему-то его сейчас не берут в расчет. И меня это, честно говоря, очень сильно пугает. Власть научилась работать с «умным голосованием», как мне кажется; власть научилась работать со спойлерами; власть научилась работать с этим запросом на любого другого, кроме «Единой России».

И мне кажется, что они обкатают довольно НРЗБ, но все-таки сценарий по выдвижению большого количества кандидатов-спойлеров с тем расчетом, что они поснимают основных представителей оппозиции, не дадут им выдвинуться, не дадут им собрать подписи либо снимут по каким-то формальным юридическим документам и оставят в бюллетене людей, которые удобны им, от разных партий: зеленые, «Коммунисты России» и остальные спойлерские партии, которые имеют возможность выдвинуть кандидатов.

И вот мне кажется, это тест для нас с вами – и нам бы его достойно пройти – как сделать так, чтобы не попасться в эту ловушку власти, и чтобы в Думу не прошел не только единоросс, но и его сателлиты.

В. Кара-Мурза― Я напомню, что сегодня тема программы «Грани недели»: «Свободные кандидаты на несвободных выборах. На что рассчитывает оппозиция на выборах-2021». Гости программы сегодня – Роман Юнеман, основатель движения «Общество. Будущее», независимый кандидат в депутаты Государственной думы по Чертановскому округу Москвы, и Кирилл Гончаров, заместитель председателя московского «Яблока», кандидат в депутаты Государственной думы по Кунцевскому округу Москвы.

Несколько раз говорилось сегодня и, собственно, лейтмотив всей нашей программы – напомню еще раз, что это отсылка к известной фразе Андрея Амальрика, писателя, правозащитника, диссидента, который говорил о диссидентском движении в Советском Союзе, что «диссиденты сделали гениально простую вещь – в несвободной стране начали вести себя как свободные люди и тем самым менять моральную атмосферу».

Когда мы говорим о том, что выборы в России несвободные, наверное, кто-то скажет: «Ну, это ваше мнение». Нет, это не наше мнение. Это официальные выводы наблюдательских миссий Совета Европы и ОБСЕ, организаций, которые устанавливают золотой стандарт избирательного процесса на нашем европейском континенте.

В последний раз, когда наблюдатели ОБСЕ и Совета Европы признавали российские выборы свободными, конкурентными и демократическими – это был декабрь 1999 года по выборам в Государственную думу и март 2000 года по выборам президента. Всё. Вот с тех пор уже больше 20 лет международные организации не признавали выборы в России свободными, демократическими и конкурентными. Поэтому это в данном случае не оценочное мнение, а констатация факта.

И, к слову, на этой неделе в Москве была с визитом Мониторинговая миссия Парламентской Ассамблеи Совета Европы, докладчики Риа Омен-Рюйтен из Нидерландов и Аксель Шефер из Германии. Они встречались, кстати, в том числе и с руководством партии «Яблоко» и с представителями официальных органов власти Государственной думы и Совета Федерации. Мониторинговый доклад ПАСЕ должен быть представлен до июня следующего года. Посмотрим, что там будет сказано по поводу российских выборов.

Наверное, стоит также напомнить, что проведение свободных выборов регулируется не только нашей российской Конституцией, но и международными обязательствами нашей страны. 3 статья Первого протокола к Европейской конвенции по права человека гарантирует всем гражданам стран-членов Совета Европы, в том числе, естественно, и Российской Федерации, право на свободные выборы. Поэтому в данном случае речь идет не только о нарушении национального законодательства, но и о нарушении международных обязательств России.

Роман, хочу вас спросить. Вот вы несколько раз упоминали 2019 год. Напомню нашим слушателям, что речь идет о выборах в Московскую городскую думу в 2019 году, когда Роман Юнеман был одним из тех немногих независимых оппозиционных кандидатов, которому удалось все-таки пройти этот фильтр, он дошел до выборов. Но вот этот самый случай – 30 округ по выборам в Московскую городскую думу – это был, наверное, самый яркий случай осечки «умного голосования».

Напомню, «умное голосование», которое упомянул Кирилл Гончаров, – это проект команды Алексея Навального, направленный на то, что когда в избирательном бюллетене нет представителей настоящей оппозиции, голосовать за каких-то тех же самых спойлеров, просто чтобы послать сигнал Кремлю.

Наверное, самый знаменитый казус – казус Соловьева на выборах 2019 года, когда был снят с выборов Александр Соловьев настоящий, оппозиционный политик, общественный деятель, кандидат, был посажен в спецприемник, а вместо него был зарегистрирован спойлер с таким же именем – Александр Соловьев. И он с огромным перевесом победил кандидата от «Единой России» благодаря в значительной степени «умному голосованию».

Роман, в вашем округе «умное голосование» сработало как раз на «Единую Россию». Если не ошибаюсь, на 84 голоса вы проиграли единороссу, по официальным данным. Единоросске, вернее. А «умное голосование» Алексея Навального поддерживало коммуниста в этом округе, который в итоге занял 3 место. Справедливости ради, это был один из немногих случаев, где «умное голосование» дало такую осечку. Тем не менее он очень яркий, его вспоминают, его цитируют.

Какую, на ваш взгляд, роль сыграет «умное голосование»? А команда Алексея Навального уже сказала, что они будут давать рекомендации по всем 225 одномандатным округам на выборах в Государственную думу плюс на многих выборах регионального уровня. Какую роль, какое значение, на ваш взгляд, будет иметь «умное голосование» в нынешнем году?

Р. Юнеман― Для начала тоже добавлю. Будучи на «Эхе Москвы», не могу не сказать, что еще электронное голосование также помешало моему избранию, потому что на реальных участках я победил, а электронные участки как раз показали примерно в 2 раза больший процент за кандидата от «Единой России», чем даже за Жуковского, который шел от коммунистов. При этом, кстати, тоже оговорюсь, что эта история не о том, что там нарисовали прям результат, а скорее история о пригоне бюджетников, то есть об административном приводе. Но об этом я в докладе писал. Можете погуглить и почитать.

Так вот сейчас как я думаю. Я, на самом деле, думаю, что оно будет продолжать играть большую роль, несмотря на, скажем так, разгром структур Навального. Дело в том, что, в принципе, вот это тактическое голосование, если выражаться академическими терминами, – это довольно эффективная стратегия.

В. Кара-Мурза― В демократических странах ведь используется эта тактика.

Р. Юнеман― Ну да.

В. Кара-Мурза― По крайней мере, там, где мажоритарные выборы. Например, как в Великобритании. Там есть тактическое голосование. Простите, что перебил. Наверное, самый известный случай – это выборы в мае 1997 года в Великобритании, когда победил тогда Тони Блэр и стал премьер-министром, победила Лейбористская партия. Очень многие, например, сторонники Либерально-демократической партии тактически голосовали за кандидатов лейбористов, чтобы поменять правительство с консерваторов на лейбористов.

Потому что в тех странах, где чисто англосаксонская мажоритарная система (Великобритания, Канада, Соединенные Штаты), где не пропорциональная и даже не смешанная, как у нас, то там вот это тактическое голосование очень часто применяется. Потому что люди многие считают, что их голос будет просто выброшен, если, условно говоря, кандидат их партии придет третьим. И тогда они делают выбор – то, что принято называть «меньшее из зол» – из двух основных кандидатов.

Р. Юнеман― Ну да. У нас, по сути, все равно половина Думы – это одномандатные как раз-таки мажоритарные округа, в которых один человек проходит без второго тура. Поэтому в данном случае это действенная стратегия, с моей точки зрения. Будет ли она иметь общий вес, честно говоря, не знаю, потому что это же все еще зависит от явки. У нас, я так понимаю, на этих выборах явку будут сушить, дабы повысить процент голосования бюджетников и снизить, соответственно, процент каких-то людей, которые сами пришли на выборы и, естественно, скорее всего, будут голосовать не за «Единую Россию».

И дело в том, что одновременно с этим – дальше я говорю по ощущениям – кажется, что сторонники «умного голосования» немного демотивированы. Я не знаю, какое у них будет электоральное поведение. То есть, в принципе, пока что я большой разницы с 2019 годом не вижу, общаясь с людьми, спрашивая их об этом. То есть, в принципе, процент людей, которые говорят: «Я буду голосовать по «умному голосованию»», которых мы встречаем, и мои волонтеры встречают, он примерно такой же, как и тогда, то есть не очень большой.

В. Кара-Мурза― Это в районе 7-10%, да?

Р. Юнеман― Вот я не скажу статистически.

В. Кара-Мурза― Тогда так оценивали, по крайней мере.

Р. Юнеман― Да. Но вряд ли больше. То есть я думаю, что на уровне такого.

В. Кара-Мурза― Но при этом это может сыграть очень серьезную роль, если будет небольшой разрыв.

Р. Юнеман― Да. Поэтому непонятно. Я не знаю, насколько получится у них отмобилизовать. Я думаю, технически получится, потому что рассылка-то будет работать, все это будет работать. В целом я думаю, что власть, действительно, тоже учится бороться с «умным голосованием», в том числе, к примеру, на том же случае, который произошел 2 года назад у меня в округе.

То есть в этом плане я, допустим, предполагаю, что в округе, где сейчас собирает подписи Настя Брюханова, где идет Литвинович в этом же округе, то есть я думаю, что там, возможно, допустят как раз-таки обеих до выборов вот именно для того, чтобы повторилась ситуация, которая была у меня 2 года назад. То есть в чем Кирилл прав – что через спойлеров, через какие-то такие «братские могилы» в каких-то отдельных округах, через недопуск изначально людей до выборов…

Ведь в чем проблема была? Почему в 2019 году оно так на Мосгордуме довольно эффективно в целом сработала по остальным округам? Потому что кандидаты успели подписи собрать. То есть они успели уже какую-то кампанию провести. Уже все возбудились, назовем это так. А сейчас почти всех зачистили еще на дальних подступах к выборам. И поэтому я не знаю, насколько… В общем, я думаю, что это будет сюрприз. Я правда не знаю, насколько люди придут, учитывая, что почти все реально оппозиционные политики оказались не допущены даже до сбора подписей и хоть какой-то кампании.

В. Кара-Мурза― Ну вот как показывает казус Александра Соловьева фальшивого, который не то что не оппозиционный, а вообще никакой не политик, и при этом он с огромным счетом…

Р. Юнеман― Но до этого Александр Соловьев там все-таки собирал подписи.

В. Кара-Мурза― Настоящий.

Р. Юнеман― Да, настоящий. Там была кампания. Там же, по-моему, в округе с Александром кто-то еще шел. Никто? Он там один был, да? В общем, в любом случае, он там собирал подписи. То есть это 5-6 тысяч человек, которые поставили паспортные данные – самое святое, что есть у человека – за оппозиционного кандидата. А сколько услышали – это десятки тысяч. И вот поэтому это в том числе и на них тоже легло. Поэтому опасна стратегия снимать прямо перед выборами или за месяц до выборов, или за полтора, потому что уже машина работает, уже поле вспахано.

В. Кара-Мурза― Собственно, мы видим. Уже Олега Степанова не допустили даже до открытия избирательного счета, что, кстати, незаконно даже по их законам. Илью Яшина не допустили в 37 округе на довыборах в Московскую городскую думу даже до открытия избирательного счета, что опять же незаконно.

Вопрос Кириллу Гончарову. Партия «Яблоко» критические относится к «умному голосованию». Неоднократно об этом и ваши лидеры говорили. При этом на выборах в Мосгордуму в 2019 году «умное голосование» поддержало всех в итоге победивших кандидатов «Яблока» и как минимум, как считается, в одном случае – в случае Дарьи Бесединой – сыграло решающую роль в ее победе. Все яблочники были поддержаны «умным голосованием» в 2019 году.

Чего вы ожидаете от «умного голосования»? Опять же повторюсь, команда Алексея Навального уже анонсировала, что во всех 225 округах будут публичные рекомендации. Ожидаете ли вы, что в списках «умного голосования» будут и в этом году яблочники, так же как они были в 2019 году в Москве? По-прежнему ли ваша партия критически относится к этому проекту? И ожидаете ли вы, что как минимум столь же значимую роль сыграет «УГ» на федеральном уровне, как это было в Москве в 2019 году?

К. Гончаров― Я бы не сказал, что мы относимся критически к «умному голосованию». Мы относимся критически к некоторым рекомендованным кандидатам или партиям от «умного голосования». Например, мы критиковали позицию в Тамбове, когда они поддержали список партии «Родина», которая на 100% состояла из бывших единороссов. Безусловно, мы часто слышим и читаем такой миф, что если «умное голосование» поддерживает, например, коммунистов, то это 100%-ая гарантированная победа. Но это не так.

В. Кара-Мурза― Вот, собственно, округ Романа Юнемана это доказал в 2019 году как раз с коммунистом, с тем же примером.

К. Гончаров― Вот вы напомнили про четырех яблочников – Митрохина, Беседину, Круглова и Бунимовича. И получилось так, что из четырех зарегистрированных кандидатов от «Яблока» все четыре победили и все четыре были поддержаны «умным голосованием». То есть 100 из 100. При этом 33 кандидата были поддержаны от КПРФ, но победили всего 13, а один из них при поддержке «умного голосования» в округе Ромы умудрился занять 3 место.

Поэтому я бы вот этот миф о том, что «умное голосование» плюс КПРФ – это гарантированная победа, возвел бы в такой критический тезис, потому что очевидно, что победа будет 100%-ая только тогда, когда они будут поддерживать идеологически близкого для аудитории «умного голосования» кандидата. Это должен быть демократ. Поэтому я надеюсь, что, конечно, на этих выборах в большинстве это будут кандидаты от партии «Яблоко», поскольку очень важно еще ценностно.

Мы же хотим, чтобы в Думе были законы, которые будут направлены на освобождение политических заключенных. Мы же хотим, чтобы в выборах могли участвовать все. Мы же не хотим, чтобы власть не меняла законы, особенно избирательные, за 3 месяца до выборов в зависимости от политической конъюнктуры. Мы хотим жить в цивилизованном европейском правовом государстве.

Но ЛДПР, «Справедливая Россия» или КПРФ вряд ли являются нашими единомышленниками в этом смысле. И мне трудно представить людей из аудитории «умного голосования», которые носят гвоздики на могилу Сталина. И конечно же, ценностный ориентир очень важен. И мне кажется, что эти выборы могут быть показательными. Мы действительно можем получить демократическую Думу. Впервые при Владимире Путине в Думу могут попасть демократы. И это будет огромный тектонический сдвиг для всей страны.

Владимир, вы в начале свой вопрос сформулировали Роману про среду, насколько вообще важно поменять среду.

В. Кара-Мурза― Моральную атмосферу, да.

К. Гончаров― Мне кажется, это будет самым серьезным за последние 20 лет шагом к изменению этой атмосферы. И ради этого стоит работать. И ради этого стоит бороться.

В. Кара-Мурза― Да, в последний раз демократические партии проходили в Государственную думу в декабре 1999 года по спискам. Это были «Союз правых сил» и «Яблоко». А первые парламентские выборы при Владимире Путине в декабре 2003 года – уникальные в своем роде выборы, такие переходные. Вот я упомянул наблюдателей Совета Европы. Они оценили эти выборы в декабре 2003 года как «свободные, но несправедливые». Уникальная формулировка. То есть свободные в том смысле, что еще имели доступ кандидаты оппозиции, но результат уже был предрешен. И по итогам как раз тех самых выборов и «СПС», и «Яблоко» лишились парламентских фракций, впервые появилась Государственная дума без демократов.

Кстати, замечу в скобках, что Роман Юнеман – кандидат по Чертановскому округу. Не чужой для меня округ. На тех самых выборах в декабре 2003 года я был единым кандидатом от партий «Союз правых сил» и «Яблоко» на выборах в Государственную думу по Чертановскому округу Москвы. Занял 2 место из 11 кандидатов, чем горжусь – и фактом совместной поддержки, и таким высоким результатом.

Спросил об «умном голосовании», не могу не спросить об альтернативной площадке, которую создал Михаил Ходорковский. Кстати, на этой неделе несколько организаций, связанных с Михаилом Ходорковским, причем не политических и даже не общественных, а образовательных организаций, которые гранты и стипендии на образование распределяют, были признаны нежелательными российскими властями.

Михаил Ходорковский создал альтернативную площадку duma.vote (Государственная дума 8-го созыва), где нет каких-то призывов, а есть информация по одному конкретному вопросу: какова позиция кандидатов по продлению полномочий Путина после 2024 года, то есть по обнулению сроков. И вот я перед эфиром проверил этот сайт, нашел там обоих моих сегодняшних гостей – Романа Юнемана и Кирилла Гончарова. Написано у обоих, что они, понятное дело, против продления полномочий Путина после 2024 года.

А вот о такой инициативе что вы думаете? Роман, вопрос вам. То есть туту даже не столько призыв, сколько как бы людям дается информация. Там можно вбить любого кандидата либо по имени, либо округ, и будут представлены позиции кандидатов по этому одному вопросу: фактически пожизненное правление Путина – за или против человек.

Р. Юнеман― Мне кажется, на самом деле, любые площадки, которые агрегированно представляют информацию о кандидатах, если это достоверная информация, то это благо. Ну просто потому, что часто люди хотят участвовать в выборах. И у нас очень много будет из вот этих 225 округов, где не будет реальной конкуренции политической. А люди-то есть, они хотят прийти и кого-то выбрать.

И поэтому любые такие площадки, на самом деле, которые это агрегируют и дают представление о том, как кандидат за что-то выступает, то я считаю, что это хорошая инициатива. Я не думаю, что конкретно этот сайт, этот проект как-то сильно повлияет на итоги голосования. Их будет еще много, я думаю, разных. У «Царьграда» тоже есть свой проект, они агрегируют по своим вопросам, соответственно. Там тоже, кстати, есть вопрос по поправкам. То есть будет много таких проектов. И я не думаю, что они, откровенно говоря, сильно повлияют на результат.

В. Кара-Мурза― Я заостряю внимание именно на этом, потому что там речь про 2024 год. А та Государственная дума, которая будет избрана в сентябре, она как раз будет заседать во время вот этого транзитного 2024года.

Кирилл, что вы думаете по поводу такой инициативы, когда просто представлена позиция, в том числе и ваша, и Романа, и всех остальных?

К. Гончаров― Безусловно, все площадки хороши, которые позволяют сориентироваться неподготовленному избирателю, особенно если человек только входит в политику и ему интересно узнать, что же там с кандидатами происходит, и ему лень копаться в биографиях. Конечно, это довольно удобный ресурс. Но опять же, мне кажется, не хватает именно идеологического спектра. Вот для меня лично это очень важно. Может быть, потому что я убежденный демократ с 17 лет и уже воспитал в себе это.

Но я думаю, что одного вопроса недостаточно. Да, он важный. Да, он серьезный, он политический. Но его недостаточно. Я бы добавил какие-то идеологические моменты и добавил, может быть, тоже и биографические моменты, потому что я знаю людей, которые выступают, например, против пролонгации правления Владимира Путина, но при этом писали законы об НКО, благодаря которым сейчас власть закрывает действительно важные институты гражданского общества и важные субъекты гражданского общества.

Поэтому все площадки хороши. Вот Рома сказал про «Царьград». Второй день мне уже звонят. Я уже второй день отказываюсь отвечать на их вопросы про бога и про все остальное. Но мы видим, что, действительно, и власть взяла на вооружение подобные вещи и хочет свои площадки делать такие протопатриотические. Так что это означает, что запрос есть со всех сторон.

В. Кара-Мурза― У нас почти закончилось время в эфире, но хочу обоим гостям успеть задать один и тот же вопрос. Вот как выразился недавно политолог Евгений Минченко, у нас сейчас концепция единой партии власти из всех парламентских партий. То есть все эти четыре как бы разные партии, сидящие в Государственной думе, они по всем ключевым вопросам голосуют одинаково. В свое время это называлось «крымским консенсусом».

Хотя даже когда Дума ратифицировала аннексию Крыма, там был один голос против – это Илья Пономарев. Когда год назад утверждали вот эти поправки к Конституции, против было уже прописью ноль, то есть ни один так называемый депутат Государственной думы не выступил против путинских поправок. Ну, собственно, подтверждает тезис о том, что партия власти одна, просто четыре разные группы, четыре разные таблички на дверях.

Роман, вам вопрос. И потом тот же вопрос Кириллу. Вы допускаете, что по итогам сентябрьских выборов этого года будет нарушен этот междусобойчик на Охотном Ряду, и что хотя бы там один или два по-настоящему независимых и оппозиционных голоса впервые за многие годы появятся в нашем парламенте?

Р. Юнеман― Я думаю, что вероятность появления одного-двух довольно велика. То есть я бы скорее поставил деньги, если б можно было сделать ставку, на то, что они появятся, чем не появятся. Но, к сожалению, какой-то большой группы (больше 10%) – я, к сожалению, в это не особо верю. Но даже, на самом деле, в чем тоже Кирилл был прав, один-два, даже пять, даже десять – это очень сильно поменяет атмосферу в парламенте.

В. Кара-Мурза― Да, вы знаете, я хочу напомнить тоже исторический пример. Не наш, но тем не менее очень важный. В Южной Африке во времена апартеида была единственная депутат южноафриканского парламента Хелен Зусман, которая была противницей апартеида. Ну, среди белого меньшинства тоже были либерально настроенные люди, которые против апартеида. Они ее выбирали. И очень важное моральное значение имело то, что на каждом заседании парламента она вставала и произносила все это с парламентской трибуны. И она дожила до того дня, когда в середине 90-х апартеид был демонтирован, и была подписана демократическая Конституция ЮАР со всеобщим избирательным правом.

Кирилл, тот же вопрос. Возможно ли, что после сентябрьских выборов появятся по-настоящему оппозиционные голоса или хотя бы один голос в Государственной думе?

К. Гончаров― Если не произойдет ничего экстраординарного, например, если нас всех не посадят, то обязательно появятся. Более того, я думаю, что даже один человек возможен как минимум в регионах, а уж Москва, Питер, крупные миллионники, я думаю, могут дать сюрприз. И плюс еще не надо забывать про списки. Все возможно. Я думаю, что будет шанс на полноценную фракцию, и будет десяток одномандатников.

Но даже если нас будет меньше – это все равно голос гражданского общества, это голос свободных людей, это голос людей, которые за перемены, и это голос людей, которые хотят видеть Россию цивилизованным европейским государством. Мы достойны того, чтобы у нас были представители в Государственной думе. И мы достойны того, чтобы жить лучше.

В. Кара-Мурза― Вы слушали программу «Грани недели» на волнах радиостанции «Эхо Москвы». Продюсеры – Наталья Самойлова и Никита Василенко. Звукорежиссер – Василий Александров. У микрофона работал Владимир Кара-Мурза младший. Спасибо, что были с нами сегодня. Всего вам доброго, будьте здоровы и до встречи в следующую субботу.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

В этом разделе показан процесс решения уравнений различных форм. Здесь также показано, как проверить свой ответ тремя разными способами: алгебраически, графически и с использованием концепции эквивалентности. В следующей таблице приведены частичные списки типичных уравнений.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите относительно x в следующих уравнениях.

1. x — 4 = 10 Решение
2. 2 x — 4 = 10 Решение
3. 5x — 6 = 3 x — 8 Решение
4. Решение
5. Решение
6. 2 (3 x — 7) + 4 (3 x + 2) = 6 (5 x + 9) + 3 Решение
7. Решение

УРАВНЕНИЯ , СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЬНЫЕ (S) — Решите для x следующим образом уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение
6. Решение
7. Решение

УРАВНЕНИЯ , СОДЕРЖАЩИЕ АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — Решите для x в следующие уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение

КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом уравнения.

1. x Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение

УРАВНЕНИЯ , ВКЛЮЧАЮЩИЕ ДОБИ — Решите для x следующим образом уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение
6. Решение
7. Решение

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение
6. Решение
7. Решение

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение
6. Решение
7. Решение
8. Решение
9. Решение
10. Решение
11. Решение
12. Решение

[Алгебра] [Тригонометрия] [Геометрия] [Дифференциальные уравнения] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

Решение уравнений с очисткой дробей

Результаты обучения

• Используйте наименьший общий знаменатель, чтобы исключить дроби из линейного уравнения перед его решением
• Решите уравнения с дробями, которые требуют нескольких шагов

Вы можете быть ошеломлены, когда видите дроби в уравнении, поэтому мы собираемся показать метод решения уравнений с дробями, в котором вы используете общий знаменатель, чтобы исключить дроби из уравнения.Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей.

Обратите внимание на то, что каждый член в уравнении умножается на наименьший общий знаменатель. Вот что отличает его от оригинала!

ПРИМЕР

Решение: [latex] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex].

Решение:

	[латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} \ quad {LCD = 8} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей, [латекс] 8 [/ латекс].Это очищает фракции.	[латекс] \ color {red} {8 (} \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} \ color {red} {)} = \ color {red} {8 (} \ frac {1} {4} \ color {red} {)} [/ latex]
Использовать распределительную собственность.	[латекс] 8 \ cdot \ frac {1} {8} x + 8 \ cdot \ frac {1} {2} = 8 \ cdot \ frac {1} {4} [/ латекс]
Упростите — и заметьте, никаких дробей!	[латекс] x + 4 = 2 [/ латекс]
Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.	[латекс] x + 4 \ color {red} {- 4} = 2 \ color {red} {- 4} [/ latex]
Упростить.	[латекс] x = -2 [/ латекс]
Проверить: Пусть [latex] x = -2 [/ latex] [латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {1} {8} (\ color {red} {- 2}) + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} { 4} [/ латекс] [латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {4} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {2} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} \ quad \ checkmark [/ latex]

В последнем примере наименьший общий знаменатель был [латекс] 8 [/ латекс].Теперь ваша очередь найти ЖК-дисплей и очистить дроби, прежде чем решать эти линейные уравнения.

Обратите внимание, что после того, как мы очистили уравнение дробей, оно было похоже на те, которые мы решили ранее в этой главе. Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить!

Решите уравнения, очистив знаменатели

1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей.Это очищает фракции.
3. Выделите переменные члены с одной стороны и постоянные члены с другой.
4. Упростите обе стороны.
5. Используйте свойство умножения или деления, чтобы коэффициент переменной был равен [latex] 1 [/ latex].

Вот пример, где у вас есть три переменных члена. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы упростите три члена переменных, а затем выделите переменную.

Пример

Решение: [латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex].

Показать решение

Решение:
Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.	[латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x \ quad {LCD = 12} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на [латекс] 12 [/ латекс].	[латекс] \ color {red} {12} (7) = \ color {red} {12} \ cdot (\ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2 } {3} x) [/ латекс]
Распространить.	[латекс] 12 (7) = 12 \ cdot \ frac {1} {2} x + 12 \ cdot \ frac {3} {4} x-12 \ cdot \ frac {2} {3} x [/ латекс ]
Упростите — и заметьте, никаких дробей!	[латекс] 84 = 6x + 9x-8x [/ латекс]
Объедините похожие термины.	[латекс] 84 = 7x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 7 [/ латекс].	[латекс] \ frac {84} {\ color {red} {7}} = \ frac {7x} {\ color {red} {7}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 12 = x [/ латекс]
Проверить: Пусть [latex] x = 12 [/ latex].
[латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex] [латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (\ color {red} {12}) + \ frac {3} {4} (\ color {red} {12}) — \ frac {2} {3} (\ color {red} {12}) [/ latex] [латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} 6 + 9-8 [/ латекс] [латекс] 7 = 7 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

А теперь попробуйте аналогичную задачу. Очистите дроби, упростите и решите.

Внимание!

Одна из самых распространенных ошибок при очистке дробей — это забвение умножения ОБЕИХ частей уравнения на ЖК-дисплей. Если ваш ответ не проходит, убедитесь, что вы умножили обе части уравнения на ЖК-дисплей.

В следующем примере у нас будут переменные и дроби с обеих сторон уравнения. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы увидите, что это уравнение похоже на уравнения с переменными с обеих сторон, которые мы решили ранее.Не забудьте выбрать переменную сторону и постоянную сторону, чтобы помочь вам организовать свою работу.

Пример

Решение: [latex] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex].

Показать решение

Решение:

Найдите на ЖК-дисплее все дроби в уравнении.	[латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2}, \ quad {LCD = 6} [/ latex]
Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей.	[латекс] \ color {red} {6} (x + \ frac {1} {3}) = \ color {red} {6} (\ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2 }) [/ латекс]
Распространить.	[латекс] 6 \ cdot {x} +6 \ cdot \ frac {1} {3} = 6 \ cdot \ frac {1} {6} x-6 \ cdot \ frac {1} {2} [/ латекс ]
Упростите — больше никаких дробей!	[латекс] 6x + 2 = x-3 [/ латекс]
Вычтите [латекс] x [/ латекс] с обеих сторон.	[латекс] 6x- \ color {красный} {x} + 2 = x- \ color {красный} {x} -3 [/ latex]
Упростить.	[латекс] 5x + 2 = -3 [/ латекс]
Вычтем 2 с обеих сторон.	[латекс] 5x + 2 \ color {red} {- 2} = — 3 \ color {red} {- 2} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 5x = -5 [/ латекс]
Разделить на [латекс] 5 [/ латекс].	[латекс] \ frac {5x} {\ color {red} {5}} = \ frac {-5} {\ color {red} {5}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] x = -1 [/ латекс]
Проверить: Заменить [латекс] x = -1 [/ latex].
[латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex] [латекс] (\ color {red} {- 1}) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {6} (\ color {red} {-1}) — \ frac {1} {2} [/ latex] [латекс] (- 1) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {1} {2} [/ латекс ] [латекс] — \ frac {3} {3} + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {3} { 6} [/ латекс] [латекс] — \ frac {2} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {4} {6} [/ latex] [латекс] — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} \ quad \ checkmark [/ latex]

Теперь вы можете попробовать решить уравнение с дробями, у которых переменные стоят по обе стороны от знака равенства.Ответ может быть дробным.

В следующем видео мы показываем еще один пример того, как решить уравнение, которое содержит дроби и переменные по обе стороны от знака равенства.

В следующем примере мы начнем с уравнения, в котором переменный член заключен в скобки и умножен на дробь. Вы можете очистить дробь, или, если вы используете свойство распределения, оно удалит дробь. Вы понимаете почему?

ПРИМЕР

Решение: [латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ left (4x + 2 \ right) [/ latex].

Показать решение

Решение:

	[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс]
Распространить.	[латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ cdot4x + \ frac {1} {2} \ cdot2 [/ latex]
Упростить. Теперь дробей нет!	[латекс] 1 = 2x + 1 [/ латекс]
Вычтем 1 с обеих сторон.	[латекс] 1 \ color {red} {- 1} = 2x + 1 \ color {red} {- 1} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 0 = 2x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 2 [/ латекс].	[латекс] \ frac {0} {\ color {red} {2}} = \ frac {2x} {\ color {red} {2}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 0 = x [/ латекс]
Проверить: Пусть [latex] x = 0 [/ latex].
[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (4 (\ color {red} {0}) + 2) [/ latex] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (2) [/ латекс] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {2} {2} [/ latex] [латекс] 1 = 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Теперь вы можете попробовать решить уравнение, в котором переменный член в скобках умножен на дробь.

Решение двухэтапных уравнений — ChiliMath

Нет сомнений в том, что решить двухэтапное уравнение чрезвычайно просто. Как следует из названия, двухэтапные уравнения можно решить всего за два шага. Если вы впервые сталкиваетесь с двухэтапными уравнениями, не волнуйтесь, потому что мы рассмотрим достаточно примеров, чтобы вы познакомились с процессом.

Решая уравнение в целом, мы всегда помним о том, что все, что мы делаем с одной стороной уравнения, должно быть сделано и с другой стороной, чтобы уравнение оставалось сбалансированным.

Мы знаем, что мы полностью решили двухэтапное уравнение, если переменная, обычно представленная буквой в алфавите, изолирована на одной стороне уравнения (левой или правой), а число находится на противоположной стороне.

---

ОБЫЧНЫЙ способ решения двухэтапного уравнения:

Примечание : Это «обычный» метод, потому что так решается большинство двухэтапных уравнений. Обратите внимание, что шаг 2 можно в качестве альтернативы заменить на шаг 3, который по сути тот же.

1) Сначала сложите или вычтите обе части линейного уравнения на одно и то же число.

2) Во-вторых, умножьте или разделите обе части линейного уравнения на одно и то же число.

3) * Вместо шага 2 всегда умножайте обе части уравнения на обратную величину коэффициента переменной.

---

Примеры решения двухэтапных уравнений

Пример 1: Решите приведенное ниже двухэтапное уравнение.

Как следует из названия этого линейного уравнения, для определения неизвестной переменной требуется два шага. Как правило, первый шаг заключается в том, чтобы избавиться от числа, «наиболее удаленного» от члена с решаемой переменной. Затем мы исключаем число, «ближайшее» к переменной. Число либо умножает, либо делит переменную. Его еще называют коэффициентом срока.

Здесь переменная x. Наша цель — решить x, изолировав его на одной стороне уравнения.Сохранение переменной слева или справа не имеет никакого значения. Это тебе решать! В этой задаче оставим его слева, так как он уже там.

Обратите внимание на то, что на той стороне (левая часть линейного уравнения), где находится переменная, 2 — это «ближайший» к переменной x, а 5 — «самый дальний».

Это простое наблюдение позволяет нам решить, какое число удалить в первую очередь. Очевидно, это +5, потому что это больше между двумя. Противоположность +5 равна -5, это означает, что мы вычтем обе части уравнения на 5.

После исключения 5 в левой части уравнения путем вычитания обеих частей на 5, пора избавиться от числа, ближайшего к x или непосредственно связанного с ним, которое равно 2 в 2x. Поскольку 2 — это умножение переменной x, противоположная операция — деление на 2.

Разделив обе части на 2, мы получим окончательный ответ или решение данного двухшагового линейного уравнения.

Напоминаю, что это считается решенным, потому что коэффициент переменной просто положительный, +1.

---

Пример 2: Решите двухэтапное уравнение ниже.

Наша цель — сохранить переменную x на одной стороне уравнения. Неважно, на какой стороне, однако это «стандартная» практика — оставлять решаемую переменную в левой части. Некоторые учителя алгебры могут потребовать, чтобы переменная оставалась слева, и с этим ничего не поделаешь. Лично я не против, где вы храните переменную, левую или правую, при условии, что изолированная переменная на одной стороне уравнения имеет коэффициент +1.

Первый шаг заключается в удалении числа «дальше всего» от переменной x. Обратите внимание, что -3 «ближе всего» к x, а -8 «дальше». Итак, мы можем исключить -8, добавив к его противоположности, равному +8.

На втором этапе нужно избавиться от числа, ближайшего к переменной x, равного -3. Поскольку -3 умножает переменную x, его противоположная операция — деление на -3. Разделив обе части на -3, мы решили линейное уравнение.

Быстрое напоминание, -3 деленное на -3 равно +1.

---

Пример 3: Решите двухэтапное уравнение ниже.

Вот ситуация, когда мы можем изолировать переменную x в правой части уравнения, поскольку она уже существует.

Если посмотреть на правую часть уравнения, где находится переменная, число 3 ближе всего к x, потому что 3 делит переменную x. С другой стороны, число 26 — «дальше». Это означает, что нам придется иметь дело с +26, вычитая обе части уравнения на 26.Причина, по которой мы вычитаем, состоит в том, что аддитивная величина, обратная +26, равна -26.

Второй шаг — избавиться от знаменателя 3. Поскольку 3 делит x, противоположная операция — умножение на 3.

После умножения обеих частей на 3 мы пришли к окончательному ответу. Вы можете переписать свой окончательный ответ как x = -9.

---

Пример 4: Решите уравнение двух ниже.

Это может показаться многоступенчатым уравнением, но это не так. Это можно решить в два этапа.Не беспокойтесь о дробях, потому что с ними очень легко работать. В этом случае вы примените правило сложения дробей. Правило гласит, что если вы складываете две дроби с одинаковым знаменателем, просто сложите числители, а затем скопируйте общий знаменатель.

Вернемся к решению двухэтапного уравнения выше, чтобы удалить дробь в левой части, которая равна \ Large {- {3 \ over {10}}}, мы добавим \ Large {{3 \ over {10}}} к обеим сторонам уравнения.

Причина, по которой мы добавляем вместо вычитания, заключается в том, что аддитивная величина, обратная \ Large {- {3 \ over {10}}}, есть \ Large {+ {3 \ over {10}}}.

После добавления \ Large {{3 \ over {10}}} с обеих сторон с левой стороны остается только {\ Large {{2 \ over 5}}} x.

Для правой части уравнения имеем \ Large {{9 \ over {10}} + {3 \ over {10}} = {{12} \ over {10}}}.

Все, что я сказал выше, — это только первый шаг. Теперь переходим ко второму шагу. Посмотрите на коэффициент переменной x. Это \ Large {{2 \ over 5}}, что означает, что его обратное значение равно \ Large {{5 \ over 2}}.

Чтобы окончательно решить данное уравнение, мы умножим обе части уравнения на обратную величину коэффициента рассматриваемой переменной.Вот полное пошаговое решение:

---

Практика с рабочими листами

Уравнений и неравенств, проверяющих решения уравнений

Как проверить, является ли значение решением уравнения?

Уравнение работает следующим образом:

(выражение в левой части) = (выражение в правой части)

Следовательно, уравнение верно только в том случае, если выражение в левой части действительно совпадает с выражением в правой части .Взгляни на свои руки. Они точно такие же?

Если это не так, это нормально. Во всяком случае, в основном. Гм, может быть, мы вернемся к этой аргументации позже.

Чтобы проверить, является ли данное значение решением уравнения:

1. Вычислите выражение в левой части для данного значения, чтобы получить число.
2. Вычислите выражение в правой части при заданном значении, чтобы получить число.
3. Посмотрите, совпадают ли числа.

Эй, он совпадает! Вы делаете это с носками каждый день.Иногда не , а , но, по крайней мере, процесс смутно знакомый.

Если числа, полученные при вычислении двух выражений, совпадают, то данное значение является решением уравнения (делает уравнение истинным). Если числа не совпадают, данное значение не является решением уравнения (делает уравнение ложным). Возьмите те ценности, которые не являются решениями, и выбросьте их прямо в корзину, потому что они нам больше не понадобятся. На самом деле, может быть, промойте их и вместо этого отправьте на переработку.Мы стараемся быть зелеными.

Пример задачи

Является ли x = 5 решением уравнения

Не очень удивительный путь (также известный как «Неправильный путь»)

Если первое, что мы делаем, это записываем, мы предъявляем претензию без выполнив работу, чтобы убедиться, что утверждение верно. Ох, хватит.

Утверждение, что левая и правая части равны, должно появиться после оценки левой части, оценки правой части и сравнения ответов.Если бы мы были юристами, мы бы назвали это нашей «должной осмотрительностью». К счастью, это Алгебра Шмупа, и мы мужественно сопротивляемся желанию отпускать ужасные шутки про адвокатов прямо сейчас.

The Super Awesome Way (также известный как The Right Way):

Сначала оцените левую часть для x = 5:

Затем оцените правую часть для x = 5:

Поскольку 2 = 2, мы можем сказать, что x = 5 является решением уравнения.Держу пари, зная, что это поможет тебе лучше спать сегодня вечером.

Решение уравнений с квадратными корнями — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите радикальные уравнения
• Использование квадратного корня в приложениях

Прежде чем вы начнете, пройдите тест на готовность.

1. Упростить: ⓐ ⓑ.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (Рисунок) и (Рисунок).
2. Решить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Решить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите радикальные уравнения

В этом разделе мы решим уравнения, в которых переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня. Уравнения этого типа называются радикальными уравнениями.

Радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в корневом выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением.

Как обычно, решая эти уравнения, то, что мы делаем с одной стороной уравнения, мы должны делать и с другой стороной.Поскольку возведение величины в квадрат и извлечение квадратного корня являются «противоположными» операциями, мы возведем в квадрат обе стороны, чтобы удалить знак корня и найти переменную внутри.

Но помните, что когда мы пишем, мы имеем в виду главный квадратный корень. Так всегда. Когда мы решаем радикальные уравнения, возводя обе части в квадрат, мы можем получить алгебраическое решение, которое будет отрицательным. Это алгебраическое решение не было бы решением исходного радикального уравнения; это постороннее решение. Мы видели посторонние решения и при решении рациональных уравнений.

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Теперь посмотрим, как решить радикальное уравнение. Наша стратегия основана на соотношении извлечения квадратного корня и возведения в квадрат.

Как решать радикальные уравнения

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решите радикальное уравнение.

1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
2. Возведите обе части уравнения в квадрат.
3. Решите новое уравнение.
4. Проверьте ответ.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Когда мы используем знак радикала, мы имеем в виду главный или положительный корень. Если в уравнении квадратный корень равен отрицательному числу, это уравнение не будет иметь решения.

Решить:.

Решение

Чтобы выделить радикал, вычтите 1 с обеих сторон.
Упростить.
Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения.

Решить:.

Решить:.

Если одна сторона уравнения является биномом, мы используем формулу биномиальных квадратов, когда возводим ее в квадрат.

Биномиальные квадраты

Не забудьте про средний срок!

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Когда перед радикалом стоит коэффициент, мы также должны возвести его в квадрат.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Иногда после возведения в квадрат обеих частей уравнения внутри радикала все еще остается переменная.Когда это произойдет, мы повторяем шаги 1 и 2 нашей процедуры. Выделяем радикал и снова возводим обе части уравнения в квадрат.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Использование квадратного корня в приложениях

По мере прохождения курсов в колледже вы будете сталкиваться с формулами, включающими квадратные корни во многих дисциплинах.Мы уже использовали формулы для решения геометрических приложений.

Мы будем использовать нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений с небольшими изменениями, чтобы дать нам план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

Решайте приложения с помощью формул.

1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
2. Определите то, что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Мы использовали формулу, чтобы найти площадь прямоугольника длиной L и шириной W .Квадрат — это прямоугольник, у которого длина и ширина равны. Если мы допустим s как длину стороны квадрата, площадь квадрата равна.

Формула дает нам площадь квадрата, если мы знаем длину стороны. Что, если мы хотим найти длину стороны для данной области? Затем нам нужно решить уравнение для s .

Мы можем использовать формулу, чтобы найти длину стороны квадрата для заданной площади.

Площадь кв.

Мы покажем это в следующем примере.

Кэти хочет посадить квадратный газон перед своим двором. У нее достаточно дерна, чтобы покрыть площадь в 370 квадратных футов. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны ее газона. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Серджио хочет сделать квадратную мозаику в качестве инкрустации для стола, который он строит. У него достаточно плитки, чтобы покрыть площадь в 2704 квадратных сантиметра. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны его мозаики. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Еще одно применение квадратных корней связано с гравитацией.

Падающие предметы

На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле:

Например, если объект падает с высоты 64 фута, мы можем вычислить время, необходимое для достижения земли, подставив его в формулу.

Извлеките квадратный корень из 64.
Упростим дробь.

Чтобы объект, упавший с высоты 64 фута, достиг земли, потребуется 2 секунды.

Кристи сбросила солнцезащитные очки с моста на высоте 400 футов над рекой. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы добраться до реки.

Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты 1296 футов. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось, чтобы пакет достиг земли.

Мойщик окон сбросил ракель с платформы на высоте 196 футов над тротуаром. Используйте формулу, чтобы найти, сколько секунд прошло, чтобы ракель достиг тротуара.

Сотрудники полиции, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре. Затем они используют квадратные корни для определения скорости в милях в час, которую машина ехала до того, как затормозила.

Следы заноса и скорость автомобиля

Если длина пятен заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были применены тормоза, может быть определена по формуле

После автомобильной аварии следы заноса одной машины достигли 190 футов.Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла 76 футов. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были длиной 122 фута. Воспользуйтесь формулой, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза.Округлите ответ до ближайшей десятой.

Ключевые понятия

• Для решения радикального уравнения:
  1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
  2. Возведите обе части уравнения в квадрат.
  3. Решите новое уравнение.
  4. Проверьте ответ. Некоторые полученные решения могут не работать в исходном уравнении.
• Решение приложений с помощью формул
  1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны.При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
  2. Определите то, что мы ищем.
  3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
  4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
  5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
  6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.
• Площадь квадрата
  
• Падающие предметы
  • На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле.
• Следы заноса и скорость автомобиля
  • Если длина следов заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были применены тормоза, может быть определена по формуле.

Письменные упражнения

Объясните, почему уравнение вида не имеет решения.

1. ⓐ Решите уравнение.
2. ⓑ Объясните, почему одно из найденных «решений» на самом деле не было решением уравнения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глоссарий

радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением

Основы решения уравнений за один или несколько шагов (предварительная алгебра, Подробнее об уравнениях и неравенствах) — Mathplanet

Формулы очень распространены в физике и химии, например, скорость равна расстоянию, разделенному на время.Таким образом, мы используем общие символы для скорости ( v ), расстояния ( d ) и времени (t) и выражаем это так:

$$ v = \ frac {d} {t} $$

Мы можем просто описать формулу как переменную и выражение, разделенные знаком равенства между ними. Другими словами, формула — это то же самое, что и уравнение.

---

Пример

Книжный клуб требует членского взноса в размере 10 долларов в дополнение к 2 долларам, взимаемым за каждую заказанную книгу. Если бы мы перечислили стоимость заказа нескольких книг, это выглядело бы так:

Количество книг	Стоимость
1	10 + 2 ∙ 1 = 12
2	10 + 2 ∙ 2 = 14
3	10 + 2 ∙ 3 ​​= 16
4	10 + 2 ∙ 4 = 18
5	10 + 2 ∙ 5 = 20
х	10 + 2x

Если мы обозначим общую стоимость книжного клуба как C, мы можем вывести следующую формулу для выражения:

$$ C = 10 + 2x $$

Если мы затем захотим узнать, сколько книг мы можем получить в книжном клубе за 30 долларов, мы можем продолжить заполнение таблицы выше или использовать свойства уравнений, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе.

Мы можем купить 10 книг за 30 долларов.

Когда мы хотим решить уравнение, включающее одну неизвестную переменную, например x в приведенном выше примере, мы всегда стремимся изолировать неизвестную переменную. Можно сказать, что все остальное мы ставим по ту сторону знака равенства. Всегда рекомендуется сначала изолировать термины, включающие переменную, от констант, чтобы начать с них, как мы делали выше, путем вычитания или сложения перед делением или умножением коэффициента перед переменной.Пока вы делаете одно и то же по обе стороны от знака равенства, вы можете делать все, что хотите, и в каком порядке.

Выше мы начали с вычитания константы с обеих сторон. Вместо этого мы могли бы начать с деления на 2. Это выглядело бы как

$$ \ frac {30} {{\ color {blue} {2}}} = \ frac {10 + 2x} {{\ color {blue} {2}}} $$

$$ \ frac {30} {{\ color {blue} {2}}} = \ frac {10} {{\ color {blue} {2}}} + \ frac {2x} {{\ color {blue) } {2}}} $$

$$ 15 = 5 + x $$

$$ 15 \, {\ color {blue} — \, 5} = 5 + x \, {\ color {blue} — \, 5} $$

$$ 10 = x $$

---

Опять тот же ответ, просто подтверждающий точку зрения.

Если ваше уравнение содержит одинаковые члены, желательно начать с объединения одинаковых членов, прежде чем продолжить решение уравнения

---

Пример

$$ 5x + 14 + 2x + 2 = 30 $$

Начните с объединения одинаковых терминов (все термины, включая одну и ту же переменную x и все константы)

$$ \ влево (5x + 2x \ вправо) + \ влево (14 + 2 \ вправо) = 30 $$

$$ 7x + 16 = 30 $$

Теперь пора изолировать переменную от постоянной части. Это делается путем вычитания 16 с обеих сторон

$$ 7x + 16 \, {\ color {зеленый} — \, {16}} = 30 \, {\ color {green} — \, {16}} $$

$$ 7x = 14 $$

Разделите обе стороны на 7, чтобы изолировать переменную

$$ \ frac {7x} {{\ color {green} 7}} = \ frac {14} {{\ color {green} 7}} $$

$$ x = 2 $$

Если у вас есть уравнение, в котором у вас есть переменные с обеих сторон, вы делаете в основном то же самое, что и раньше.Собираешь все подобные термины. Раньше вы работали, сначала собирая все постоянные члены с одной стороны и сохраняя переменные члены с другой. То же самое и здесь. Вы собираете все постоянные члены с одной стороны и переменные члены — с другой. Обычно рекомендуется собирать все переменные на той стороне, которая имеет переменную с наивысшим коэффициентом, т.е. в приведенном ниже примере больше x: es на левой стороне (4x) по сравнению с правой стороной (2x), и, следовательно, мы собираем все x: es слева.

---

Пример

$$ 4x + 3 = 2x + 11 $$

вычесть 2x с обеих сторон

$$ 4x + 3 \, {\ color {blue} — \, {2x}} = 2x + 11 \, {\ color {blue} — \, {2x}} $$

Теперь оно похоже на любое другое уравнение

$$ 2x + 3 = 11 $$

вычесть 3 с обеих сторон

$$ 2x + 3 {\ color {blue} \, — \, {3}} = 11 {\ color {blue} \, — \, {3}} 2x = 8 $$

Разделить на 2 с обеих сторон

$$ \ frac {2x} {{\ color {blue} {2}}} = \ frac {8} {{\ color {blue} {2}}} $$

$$ x = 4 $$

В начале этого раздела мы показали формулу для расчета скорости, где скорость (v) равна расстоянию (d), деленному на время (t), или

$$ v = \ frac {d} {t} $$

Если мы случайно захотим узнать, сколько грузовик проезжает за 3 часа со скоростью 60 миль в час, мы можем использовать приведенную выше формулу и переписать ее, чтобы вычислить расстояние, d.

$$ \ frac {d} {t} {\ color {green} $ {\, \ cdot \, t}} = v {\ color {green} {\, \ cdot \, t}} $$

$$ d = v \ cdot t $$

Когда это будет сделано, мы можем просто подставить наши числа в формулу и вычислить ответ.

$$ d = 60 \ cdot 3 = 180 $$

Грузовик преодолевает 180 миль за 3 часа.

Это верно для всех формул и уравнений.

---

Видеоурок

Решите уравнение

Блок 5 систем линейных уравнений и неравенств ответы на вопросы

Прямо из odysseyware ответ ключевой алгебры 2 блок 3 задание 16 на сложные дроби, у нас есть все покрыто.Заходите на Rational-equations.com и изучайте построение графиков линейных неравенств, переменных и различные другие математические предметы.

Создание линейных систем — Модуль 12.1 (Часть 1) Создание линейных систем из графиков — Модуль 12.1 (Часть 2) Графические системы линейных неравенств — Модуль 12.2. Моделирование с помощью линейных систем — Модуль 12.3. Раздел 5 Тестовый обзор. Практический тест на модуле 5

Объединение одинаковых терминов и решение простых линейных уравнений (1074 просмотра на этой неделе) Использование свойства распределения (ответы не включают экспоненты) (482 просмотра на этой неделе) Упрощение линейных выражений с помощью 3-х членов (387 просмотров на этой неделе) Перевод алгебраических фраз (простая версия) (303 просмотра на этой неделе) Коммутативный закон сложения (только числа) (295 просмотров на этой неделе)

Решайте задачи со словами, которые связаны с системами линейных неравенств.Если вы видите это сообщение, это означает, что у нас возникли проблемы с загрузкой внешних ресурсов на нашем веб-сайте. Если вы находитесь за веб-фильтром, убедитесь, что домены * .kastatic.org и * .kasandbox.org разблокированы.

14 декабря 2013 г. · Название схемы блока: Одношаговые уравнения и неравенства.

Электронное строение атома — Основы электроники

Любое вещество состоит из очень маленьких частиц, называемых атомами. Атом—это наименьшая частица химического элемента, сохраняющая все его характерные свойства. Чтобы представить себе размеры атома, достаточно сказать что если бы их удалось уложить вплотную один к другому, то один миллион атомов занял бы расстояние всего в 0,1 мм.

Дальнейшее развитие науки о строении вещества показало, что атом также имеет сложное строение и состоит из электронов и протонов. Так возникла электронная теория строения вещества.

В глубокой древности было обнаружено, что существуют два рода электричества: положительное и отрицательное. Количество электричества, содержащееся в теле, стали называть зарядом. В зависимости от рода электричества, которым обладает тело, заряд может быть положительным или отрицательным.

Было также установлено опытным путем, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются.

Рассмотрим электронное строение атома. Атомы состоят из еще более мелких частиц, чем они сами, называемых электронами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Электрон — это мельчайшая частица вещества, имеющая наименьший отрицательный   электрический заряд.

Электроны вращаются вокруг центрального ядра, состоящего из одного или более протонов и нейтронов, по концентрическим орбитам. Электроны являются отрицательно заряженными частицами, протоны — положительными, а нейтроны — нейтральными (рисунок 1.1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Протон — мельчайшая частица вещества, имеющая наименьший положительный электрический заряд.

Существование электронов и протонов не вызывает никакого сомнения. Ученые не только определили массу, заряд и размеры электронов и протонов, но даже заставили их работать в различных электрических и радиотехнических приборах.

Было также установлено, что масса электрона зависит от скорости его движения и что электрон не только поступательно движется в пространстве, но и вращается вокруг своей оси.

Наиболее простым по своему строению является атом водорода (рис. 1.1). Он состоит из ядра-протона и вращающегося с огромной скоростью вокруг ядра электрона, образующего внешнюю оболочку (орбиту) атома. Более сложные атомы имеют несколько оболочек, по которым вращаются электроны.

Эти оболочки последовательно от ядра заполняются электронами (рисунок 1.2).

Теперь разберем строение электронных оболочек атомов. Самая внешняя оболочка называется валентной, а число электронов, содержащееся в ней, называется валентностью. Чем дальше находится от ядра валентная оболочка, следовательно, тем меньшую силу притяжения испытывает каждый валентный электрон со стороны ядра. Тем самым у атома увеличивается возможность присоединять к себе электроны в том случае, если валентная оболочка не заполнена и расположена далеко от ядра, либо терять их.
Электроны внешней оболочки могут получать энергию. Если электроны находящиеся в валентной оболочке получат необходимый уровень энергии от внешних сил, они могут оторваться от нее и покинуть атом, то есть стать свободными электронами. Свободные электроны способны произвольно перемещаться от одного атома к атому. Те материалы, в которых содержится большое число свободных электронов, называются проводниками.

Изоляторы, есть противоположность проводникам. Они препятствуют протеканию электрического тока. Изоляторы стабильны потому, что валентные электроны одних атомов заполняют валентные оболочки других атомов, присоединяясь к ним. Это препятствует образованию свободных электронов.
Промежуточное положение между изоляторами и проводниками занимают полупроводники, но о них мы поговорим позже
Рассмотрим свойства атома. Атом, который имеет одинаковое число электронов и протонов, электрически нейтрален. Атом, получающий один или более электронов, становится отрицательно заряженным и имеет название отрицательный ион. Если атом теряет один или более электронов, то он становится положительным ионом, то есть заряжается положительно.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

комиксы, гиф анимация, видео, лучший интеллектуальный юмор.

Создан новый ионно-оптический квантовый микроскоп, способный «видеть» отдельные атомы.

Группа исследователей из университета Штутгарта разработала новый ионно-оптический микроскоп, который за счет использования квантовых эффектов способен создавать изображения отдельных атомов. Отметим, что за последние годы ученые создали множество вариантов так называемых газовых квантовых микроскопов, но их разрешающая способность позволяет рассматривать объекты, величиной около 0.5 микрометра. Это достаточно для того, чтобы иметь возможность рассмотреть обособленные группы атомов и теперь немецкие исследователи раздвинули границу человеческого визуального восприятия до уровня отдельных атомов.Ключевым компонентом нового микроскопа является так называемая электростатическая линза, через которую и на поверхности которой могут передвигаться заряженные частицы, такие, как электроны и ионы. Электростатические линзы работают подобно обычным линзам, используемым в обычных камерах и камерах телефонов. Но если обычные линзы преломляют и фокусируют свет за счет кривизны своей поверхности, то электростатические линзы делают все то же самое при помощи «облаков» ионов, движущихся по их поверхности. Более того, оптические параметры электростатических линз очень легко изменять, изменяя прикладываемый к ним электрический потенциал и, следовательно, силу электрического поля.В новом микроскопе ученые использовали «пакет» из трех электростатических линз разного типа и устройство, обеспечивавшего передачу на поверхность этих линз только ионов какого-то одного определенного типа. Кроме этого, в конструкции микроскопа имеется специальная ловушка, в которой удерживаются атомы, которые являются объектами съемки.Снимки отдельных атомовВ своих экспериментах ученые использовали охлажденные до ультранизких температур атомы рубидия, удерживаемые в ячейках оптической решетки. Собственно съемка производилась путем подачи импульсов лазерного света, что привело к фотоионизации атомов, превратившихся в ионы рубидия. За счет некоторых эффектов эти ионы оставались практически неподвижными на своих местах в течение 30 наносекунд, запутываясь на квантовом уровне со все большим количеством расположенных неподалеку ионов. И после этого они были выпущены в рабочее пространство микроскопа, где и была произведена съемка.Тестирование возможностей нового микроскопа показало, что при его помощи можно увидеть отдельные элементы, размерами от 6.79 до 0.52 микрометра с 532-нанометровыми интервалами между ними, что делает вполне возможным получение изображений отдельных атомов. А величина глубины создаваемого изображения составляет 70 микрометров, чего хватает для создания реальных трехмерных изображений.

1. Строение атома — Проект «Получи максимальный балл на ОГЭ по химии»

Тема № 1

Строение атома. Строение электронных оболочек атомов первых 20 элементов Периодической системы Д.И. Менделеева

Рекомендуемые видеоуроки