Тепло, теплота и внутренняя энергия тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

1

УДК 536.1 UDC 536.1

01.00.00 Физико-математические науки Physics and mathematical sciences

ТЕПЛО, ТЕПЛОТА И ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ WARM, WARMTH AND INTERNAL ENERGY OF A ТЕЛА BODY

Александров Борис Леонтьевич Alexandrov Boris Leontievich

д.г.-м..н., профессор Dr.Sci.Geol.-Min., professor

alex2e@yandex.ru alex2e@yandex.ru

Кубанский государственный аграрный университет, Kuban state agrarian University, Krasnodar, Russia Краснодар, Россия

Обсуждается вопрос понятия теплоты и внутренней энергией тела. Дается анализ этих понятий в историческом аспекте и представления автора, основанные на новой фотонной теории строения атома. Анализ исторического аспекта этого вопроса показывает, что понятия тепла, теплоты и внутренней энергии тела долгое время ассоциировалось с понятием теплорода, который может перетекать в веществе. Следующим этапом отождествления понятия теплоты явилась энергия, связанная с движением и работой. В соответствии с этим, Клаузиус обосновал эквивалентность тепла и работы как первое начало теории тепла и ввел понятие внутренней энергии, которую можно увеличить двумя путями — производя над телом работу и подводя к нему тепло. Таким образом, энергия явилась главным объединяющим фактором работы и теплоты. Далее кинетическая теория тепла, как энергия движения молекул, была развита Максвеллом и модель теплорода оказалась помехой в развитии теории тепла. Фактически внутреннюю энергию тела определяют фотоны, вращающиеся вокруг заряженных частиц в атомах по своим орбиталям. Определенные серии фотонов объединяются в отдельные фотонные орбитали, направления вращения фотонов в которых отличаются друг от друга. Таким образом, тело обладает внутренней энергией или внутренней теплотой. Она обусловлена энергией фотонов, вращающихся вокруг электронов на внешней оболочке каждого атома, а также вокруг заряженных частиц — протонов и электронов в ядре атома. Эта внутренняя энергия может увеличиваться при механическом воздействии на тело, приводящее к увеличению результирующей частоты колебаний фотонов вокруг заряженных частиц атомов и эта внутренняя теплота, содержащаяся в теле, может перетекать от тела с большей концентрацией теплоты к телу с меньшей концентрацией теплоты

The article discusses the question of the concepts of heat and internal energy of a body. The analysis of these concepts in the historical aspect and the views of the author, based on the new photon theory of atomic structure were presented in this study. The analysis of the historical aspect of this question tells that the concepts of heat and internal energy of the body for a long time were associated with the concept of caloric, which can flow in the substance. The next step was the identification of the concept of heat with energy linked with the movement and work. In accordance with this, Clausius proved the equivalence of heat and work as the first principle of the theory of heat and introduced the concept of internal energy, which can be increased in two ways — making work on body, and summing heat to it. Thus, energy was the main uniting factor of work and heat. Then, the kinetic theory of heat, as the energy of motion of molecules, was developed by Maxwell and caloric model turned out to be a hindrance in the development of the theory of heat. In fact, the internal energy of the body is determined photons, rotating around charged particles in atoms in their orbitals. The series of photons are combined into a single photon orbital direction of rotation of the photons, which are different from each other. Thus, the body has an internal energy or internal heat. It is due to the energy of photons, orbiting electrons in the outer shell of each atom, as well as around the charged particles -electrons and protons in the nucleus of an atom. This internal energy may be increased by mechanical action on the body, leading to an increase in resulting oscillation frequency of photons around charged particles of atoms and the internal heat contained in the body can flow of the body with a higher concentration of heat to the body with a lower concentration of heat

Ключевые слова: ТЕПЛОТА, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, Keywords: HEAT, WORK, ENERGY, PHOTON

ФОТОН

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

2

Введение

Теория тепла возникла не сразу. Очень долго не могли понять что такое тепло, теплота и какая разница между температурой и теплом. Понятие «тепло», «теплота» и «температура» разделить было очень трудно. И в настоящее время этим понятиям нет ясного определения. Так, в соответствии со словарем русского языка С.И. Ожегова [3], «тепло»- это «нагретое состояние чего-нибудь», а «теплота» означает «теплый» или это «форма движения материи — энергия, образуемая беспорядочным движением частиц тела (молекул, атомов и т.п.)» Поэтому всем вроде бы ясно, что когда нагревают тело, температура его повышается. Когда тепло перетекает от одного тела к другому, температура одного тела падает, а другого — повышается. Тепло во многих случаях ведет себя, как ручей, текущий с горы в долину. Поэтому многие ученые прошлого времени думали, что теплота — это вещество. Они считали ее жидкостью (флюидом), которая может перетекать от одного тела к другому. Этот флюид получил название теплорода. Аналогия между теплом и жидкостью стала еще более убедительной после открытия электрических явлений: электрический ток также течет по проводам, как река, выравнивания потенциал между двумя заряженными телами. Модель теплорода объясняла очень многое и завоевала широкое признание в последней четверти XVIII века. Теплород, казалось, хорошо объяснял свойства тепла. Теория теплового двигателя, построенного Карно, была основана на модели теплорода. Тот факт, что большинство веществ расширяется при нагревании и сжимается при охлаждении, казалось, подтверждал материальную теорию теплоты, потому что теплород занимает место.

Смущало только то обстоятельство, что имеется несколько веществ, которые при нагревании сжимаются, а при охлаждении расширяются. Кроме того, если теплота есть вещество, то в горячем состоянии тело должно весить больше, чем в холодном. Опыт, однако, показывал, что это не так. Таким

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

3

образом, модель теплорода не выдерживала испытаний, когда дело касалось закона сохранения. Рассуждали так: если бы тепло было какой-то жидкостью, то она, протекая, сохранялась бы, ее количество не должно было изменяться. Сколько тепла забрали от нагревателя, столько должен получить и холодильник.

На первый взгляд так оно и есть: охлаждается чайник, нагревается воздух. Но часто бывает совсем не так.

Исторический обзор изменения представлений о теплоте и энергии

Первым, кто обратил на это внимание, был Бенджамен Томсон (граф Румфорд). Наблюдая за сверлением пушечных стволов, он заметил выделение большого количества тепла, — особенно, если сверла были тупые. Это заставило его задуматься, что могло быть источником теплоты. Согласно теории теплорода, теплота могла появиться или из металла, или из окружающего пространства. Но, ни то, ни другое, по мнению Румфорда, не являлось источником теплоты. Чтобы проверить теорию, Румфорд взвесил заготовку ствола до сверления и потом взвесил ствол и стружки после сверления. Оба взвешивания дали одинаковый результат. Единственное решение могло бы состоять в том, что в стружках содержится меньше теплорода, чем в сплошной отливке, и избыток его выделяется при сверлении. Но тогда стружку было бы легче нагреть, чем сплошной металл, у стружек должна была быть меньше теплоемкость, чем у сплошного металла. Но это также не подтвердилось опытом. Он применил для охлаждения ствола воду, но все равно ствол при сверлении нагревался.

Полученные результаты убедили Румфорда, что теплород, если он действительно существует, не мог прийти ни из металла, ни из окружающего пространства. Все это никак не укладывалось в простую модель перетекающего с места на место теплорода.

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

4

Так как никаких других возможных источников теплоты не было, Румфорд заключил, что теплота получалась как результат работы сверления. Другими словами, он пришел к выводу, что теплота — энергия. Как описано в [8], для дальнейшей проверки гипотезы Румфорда, что теплота — это энергия, современник Румфорда Хемфри Дэви (1778-1829) придумал очень простой решающий опыт. Опыт состоял в трении двух кусков льда друг о друга при температуре ниже температуры плавления этих кусков льда. Оказалось, что при этом лед плавился, и отсюда неизбежно вытекало заключение, что теплота, которая расплавляла лед, получалась из работы на преодоление трения кусков льда. Таким образом, чаша весов склонялась к тому, чтобы связать природу теплоты с движением.

Понятие о величине, характеризующей движение и имеющей по современной терминологии размерность «энергии», впервые появилось в механике. Основоположниками здесь являются Галилей (1564-1642), Гюйгенс (1629-1695) и Ньютон (1642-1727). Согласно этим авторам при падении тела массой m с высоты h и ускорении силы тяжести g убыль потенциальной энергии тела (его гравитационной энергии) Д( mgh) равна

mvL

приращению его кинетической энергии ——.

Сформулированный здесь закон сохранения энергии до середины XIX века казался частным случаем, реализующимся в «чистой механике» в отсутствии трения. Да и самого понятия «энергия» не было до начала XIX века, когда оно было введено в механику Юнгом. Р.Клаузиусу (1864) приписывают идею окончательного введения этого термина в физику.

Так что же такое энергия? Ее нельзя увидеть, потрогать или понюхать как какое-нибудь вещество. Она представляет для нас более абстрактное понятие. Поэтому следует попытаться проанализировать

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

5

существующие определения энергии и рассмотреть это понятие с общих позиций, прежде чем углубляться в дальнейшее обсуждение.

Энергия (от греческого energeia — действие, деятельность) — общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи [6]. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить их одной формы в другую. Энергия связывает воедино все явления природы.

Ранее часто вместо энергии говорили «сила», приписывая один и тот же термин величинам разной размерности. Даже Гельмгольц (1874) статью, посвященную закону сохранения энергии, озаглавил «О сохранении силы». Между тем по Ньютону сила — это причина, вызывающая движение, которая, совершая на известном пути работу, сообщает телу энергию. Таким образом, с понятием энергии неразрывно связано другое понятие той же размерности — «работа».

Работа (А), совершаемая системой, обусловлена взаимодействием между системой и внешней средой, в результате которого преодолеваются внешние силы, нарушившие равновесие в системе. Работа определяется суммой произведений действующих на систему сил на соответствующий путь (давление, изменение объема, поверхностного натяжения, изменение поверхности и т.д.)

Таким образом, работа процесса — это энергия, передаваемая одним телом другому при их взаимодействии, не зависящая от температуры этих тел и не связанная с переносом вещества от одного тела к другому [2].

Наиболее затруднительным явилось установление общего закона сохранения энергии, включая действия диссипативных сил, приводящих к рассеянию работы и превращению ее в теплоту.

Р.Клаузиус (1850) первый заговорил об эквиваленте тепла и работы как о первом начале теории тепла и написал уравнение, которого не хватало Карно. Для этого надо было, прежде всего, сказать простую вещь:

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

6

всякое тело имеет внутреннюю энергию. Принято считать [6], что внутренняя энергия равна сумме кинетической энергии хаотического движения молекул относительно центра масс тел и потенциальной энергии взаимодействия молекул друг с другом. Внутреннюю энергию можно увеличить двумя путями — производя над телом работу (АЛ) и подводя к нему тепло (AQ).

Смысл этого глубокого утверждения заключен в союзе «и» и описывается простой формулой

AU = AQ + АЛ (1)

Очень важно понимать, что по конечному состоянию системы нельзя никаким образом обнаружить, за счет чего система увеличила свою энергию: за счет тепла или за счет работы. Сам Р.Клаузиус называл U -«теплом, содержащимся в теле», противопоставляя ему Q — «тепло, сообщенное телу». В этом отличии кроется глубокий смысл. Сейчас U называют внутренней энергией (или просто энергией), а AU есть ее приращение.

Таким образом, единственный элемент — энергия — связывает воедино чрезвычайно широкое многообразие явлений, а закон сохранения этого «элемента» не знает исключений ни в макро-, ни в микромире. Энергия, по Ф.Энгельсу, есть мера движения при переходе одной формы движения в другую [9]. Это определение философа дополняет определение физика М.Планка: «Энергия материальной системы в определенном состоянии, взятая по отношению к другому определенному «нулевому» состоянии, имеет однозначное значение» [4]. На основании этого можно говорить о запасе или о «содержании» энергии в системе. Энергия системы однозначно зависит от параметров, характеризующих состояние системы. В случае непрерывной среды или поля вводятся понятия плотности энергии, т.е. энергии в единице объема, и плотности потока энергии, равной произведению плотности энергии на скорость ее перемещения.

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

7

А. Эйнштейн показал, что энергия тела (E) неразрывно связана с его массой т соотношением

E = mc2, (2)

где с — скорость света.

Любое тело обладает энергией. Если масса покоящегося тела m0, то его энергия покоя Е0 = т0с ; эта энергия может переходить в другие виды энергии при превращениях частиц (распадах, ядерных реакциях и так далее). Ю.Г.Белостоцкий [7, стр.15] высказал предположение, что при ускорении материального тела происходит увеличение его собственного гравиполя, причем запас кинетической энергии содержится в гравитационном поле движущегося тела. Это, по его мнению, позволяет определить энергию как процесс превращения вещества в поле. Поэтому

формула E = тс2 характеризует зависимость количества энергии тела от количества превращенного вещества в поле, причем т в этой формуле является полевой массой.

Рассматривая идеальные газы на базе эфирной природы теплоты С.Д.Брусин и Л.Д.Брусин [7, стр.24] отмечают, что количество тепловой энергии Q характеризуется массой эфира «т» и определяется простым

соотношением Q = тс2 (где с — скорость света). Газы представляются состоящими из частичек, сгруппированных в молекулы, и эфира, находящегося как между частичками молекул (молекулярная область), так и между молекулами (межмолекулярная область).

Согласно классической физике энергия любой системы меняется непрерывно и может принимать любые значения. Квантовая теория утверждает, что энергия микрочастиц, движение которых происходит в ограниченном объеме пространства (например, электронов в атоме), принимает дискретный ряд значений. Так, атомы испускают

http://ej. kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

8

электромагнитную энергию в виде дискретных порций — световых квантов или фотонов.

Опыт, накопленный при наблюдении множества различных процессов, свидетельствует о том, что хотя энергия может передаваться от одного тела к другому, а также переходить из одной формы в другую, она никогда не создается из ничего и не исчезает.

Подобные наблюдения, подтвержденные количественными измерениями теплоты и работы, лежат в основе первого закона термодинамики.

Ситуация с энергией во многом напоминает ситуацию с веществом — при любом приращении энергии некоторая часть ее всегда превращается в теплоту, которая рассеивается в окружающую среду и, следовательно, не может быть использована для выполнения работы. Так, на практике большая часть энергии, запасенной в угле или бензине, превращается в теплоту. Таким образом, энергия — это способность к выполнению работы, переносу тепла, а работа и теплота являются количественными характеристиками двух форм обмена энергией между системой и окружающей средой, причем работа является макрофизической формой передачи энергии, а теплота микрофизической. Эти превращения, согласно Майеру, осуществляются в определенных эквивалентах соотношениях. Однако, согласно второму закону термодинамики эти формы не равноценны и если в каком-то процессе работа превращается в теплоту (например, посредством трения), то такое превращение ничем не ограниченно, обратное же превращение теплоты в работу ограниченно определенными условиями. В этом и заключается главная «хитрость» природы, путь к пониманию которой оказался столь трудным и долгим [8]. Была еще одна трудность, которую встретила модель теплорода. Если теплород — это род жидкости, которая совершает работу при перетекании от более высокого уровня (от более высокой температуры) к более

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

9

низкому, то нельзя было понять, что происходит в неоднородно нагретом теле в процессе выравнивания температуры. Куда девается работа, которая должна возникнуть при перетекании теплорода.

Но даже если не обращать внимания на «пропажу» работы, такая картина не смогла объяснить, как передается тепло через вакуум -например, от Солнца к Земле. Говорили о колебаниях эфира, но получить из таких представлений сколько-нибудь убедительную теорию было нельзя. Теория теплорода явно терпела одну неудачу за другой. Согласившись, что теплота есть энергия, естественно было задать вопрос: на что идет эта энергия? Известно, что потенциальная энергия есть энергия положения, а кинетическая — энергия движения. Может ли теплота быть одним из этих видов энергии или быть может, и тем и другим сразу? Мы уже знаем, что вещество построено из молекул, и что если газ или жидкость нагревается, то броуновское движение, как показывают наблюдения, становится более оживленным. Это указывает на усиление движения молекул. Такие наблюдения возможны только в жидкостях и газах, но легко согласиться, что при нагревании, увеличиваются колебания молекул и в твердых телах. Таким образом, экспериментальные наблюдения в сочетании с логическими заключениями привели к выводу, что теплота есть кинетическая энергия молекулярного движения. О том, что теплота связана с движением, говорили многие естествоиспытатели. Писал об этом Декарт. Галилей был одним из первых, кто писал о механической природе тепла. Даниил Бернулли пытался вывести формулу для давления газа. Гук очень ясно говорил о связи между теплотой и движением — колебаниями частиц в нагретом теле. Подобные идеи высказывали Ломоносов, многие философы. Но они не могли превратить эти высказывания в физическую теорию, которую можно проверить на опыте.

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

10

Количественная связь энергии с теплотой была установлена в опыте Джеймса Джоуля (1873). Джоуль показал, что, размешивая мешалкой жидкость и нагревая ее таким образом, надо тратить 460 кгс-м (килограмм-сила на метр) работы на каждую большую калорию, полученную жидкостью. Несколько раньше Джоуля эту же величину, но с меньшей точностью (365 кгс-м/ккал) вычислил Роберт Майер, использовав результаты опытов Г ей-Люссака по расширению газов в пустоту.

Дальше всех продвинулся Максвелл. Принято считать, что кинетическая теория тепла, созданная Максвеллом, позволила понять тепловые явления на основе классической механики. В работе Максвелла появилась формула для распределения движущихся частиц по скоростям: формула позволила вычислить постоянные, характеризующие свойства тел, — такие, как теплопроводность и вязкость газа, и установить их зависимость от температуры. Максвелл положил начало статистической физики или кинетической теории газов. Но как отмечает Я.А.Смородинский [5], у Максвелла был предшественник — Ватерсон, первую формулу новой теории тепла которого мало кто заметил. Как описано в [5], в 1845г. в английскую академию наук (Королевское общество) была представлена работа Ватерсона. В ней было показано, что давление газа на стенки сосуда можно объяснить ударами атомов. Хотя сама идея о том, что газ состоит из атомов, была не нова, мало кто принимал всерьез утверждение, что атомы могут свободно двигаться в сосуде от стенки к стенке, а упругие свойства газа можно свести просто к классической механике атомов.

Работа Ватерсона не понравилась членам ученого общества и рецензентом королевского общества была отклонена. Лишь много лет спустя в 1892г. Рэлей нашел ее в архиве и опубликовал в журнале «философские сообщения Королевского общества». То, что было сделано одним человеком и осталось незамеченным, было открыто впоследствии

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

11

лишь в результате работы нескольких ученых, а окончательная формула была написана Максвеллом только в 1859г. Теперь модель не уничтожающейся жидкости — теплорода стала помехой для дальнейшего развития теории тепла и быстро сошла со сцены.

Как видим, происходили удивительные вещи, из вроде бы наивных представлений о теплороде были выведены правильные результаты и разработана гениальная теория тепла Карно. Понятие об атомах, молекулах долго казалось не нужным для теории тепла, но в окончательном результате стало приоритетным. А как же связана теплота и температура с потенциальной энергией молекул тела? Для ответа на этот вопрос Л.Эллиот и У.Уилкокс [8] рассматривают опыты плавления льда и кипения воды. Известно, что для плавления льда надо подвести тепло и при этом во время процесса плавления температура не будет изменяться. Точно так же требуется теплота для того, чтобы воду превратить в пар, и при этом опять температура во время кипения не изменяется. Сегодня общепризнанно, что температура тела есть мера средней кинетической энергии его молекул или температура есть мера нагретости тела. Так как поглощенная теплота при плавлении и кипении не вызывает никакого повышения температуры, а следовательно, и усиления молекулярного движения, то она не должна изменять кинетическую энергию молекул. nst = 100°С, безусловно имеет более высокую кинетическую энергию. Но так как система не выявляет себя нагревом, а кинетическая энергия молекул системы, как принято и сегодня, растет только с увеличением температуры, то и

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

12

делается неверный вывод, что полученное системой тепло затрачивается только на изменение потенциальной энергии. Более того, как можно интерпретировать работу расширения воды при ее охлаждении от +4оС до 0оС в жидком состоянии? При охлаждении выделяется теплота и одновременно совершается работа расширения можно считать за счет убыли внутренней энергии в соответствии с формулой (1) .

Однако при кристаллизации температура не изменяется, т.е. внутренняя энергия должна оставаться постоянной, но происходит увеличение объема, т.е. совершается работа расширения. За счет чего же совершается работа расширения, если одновременно с этим при кристаллизации выделяется теплота кристаллизации? Ответа на этот вопрос в научной литературе нет.

Современное представление сущности теплоты и внутренней

энергии

По нашим представлениям [1], это возможно лишь в том случае, если принять, что внутреннюю энергию в любом теле определяют фотоны, вращающиеся вокруг заряженных частиц в атомах по своим орбитам, причем энергия (е) каждого фотона, в соответствии с формулой Планка (e=hv), пропорциональна его частоте v (где h — постоянная Планка). Определенные серии фотонов объединяются в отдельные фотонные орбитали, направления вращения фотонов в которых отличаются друг от друга. Химическое взаимодействие атомов происходит не просто через валентные электроны атомов, а с учетом внешних фотонных орбиталей вокруг этих электронов. Когда излучаются фотоны внешних орбиталей, то происходит перестройка кристаллической решетки атомов и в целом молекул, например воды, между собой за счет контакта их следующими фотонными орбиталями, направления вращения которых вокруг электронов иное.

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

13

Таким образом, тело обладает внутренней энергией или внутренней теплотой. Она обусловлена энергией фотонов, вращающихся вокруг электронов на внешней оболочке каждого атома тела, а также вокруг заряженных частиц — протонов и электронов в ядре атома. Эта внутренняя энергия тела может увеличиваться при механическом воздействии на тело, приводящее к увеличению результирующей частоты колебаний фотонов вокруг заряженных частиц атомов вещества и эта внутренняя теплота, содержащаяся в теле, может перетекать от тела с большей концентрацией теплоты к телу с меньшей концентрацией теплоты или при наличии перепада температур с окружающей средой путем теплового электромагнитного излучения за счет внешних фотонных орбиталей электронов атомов или при ядерных процессах за счет излучения фотонов гамма-квантов, вращающихся вокруг нуклонов в ядрах.

Выводы

1.Энергию любого тела можно подразделить на механическую энергию, включая кинетические энергии поступательного и вращательного движений и потенциальную энергию тела относительно поверхности Земли, и внутреннюю энергию тела или внутреннюю теплоту. Последняя обусловлена энергией фотонов, вращающихся вокруг электронов на внешней оболочке атома, а также вокруг заряженных частиц — протонов и электронов в ядре атома. Внутренняя энергия тела может увеличиваться не только за счет дополнительного поглощения фотонов, но и при механическом воздействии на тело, приводящее к увеличению результирующей частоты колебаний фотонов вокруг заряженных частиц атомов вещества. Таким образом, теплота — это сконцентрированная энергия фотонов, обусловленная как собственной частотой этих фотонов, так и дополнительной частотой за счет механической работы. Последняя приводит к повышению результирующей частоты колебания фотонов и, следовательно, их энергии. Без наличия

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

14

фотонов в веществе механически невозможно повысить количества теплоты в нем.

2.Роль теплорода в веществе выполняют фотоны, вращающиеся вокруг заряженных частиц в атомах. При наличии перепада концентрации фотонов вокруг внешних валентных электронов, происходит их перераспределение в область более низкой концентрации, т.е. внутренняя энергия тела может перетекать от тела с большей концентрацией теплоты к телу с меньшей концентрацией теплоты.

Литература

1. Александров Б. Л. Роль фотонов в физических и химических явлениях// Б. Л. Александров, М.Б. Родченко, А.Б. Александров. — Краснодар, ГУП «Печатный двор Кубани», 2002- 543 с.

2. Каркапетьянц М.Х. Химическая термодинамика. Изд. 3-е переработанное и дополненное// М.Х. Каркапетьянц,- М.: «Химия», 1975- 584 с.

3. Ожегов С.И. Словарь русского языка. Издание 17-е, стереотипное // С.И. Ожегов.- М.: «Русский язык», 1985 — 797 с.

4. Планк М. Принцип сохранения энергии // М. Планк.- М. — Л.: ГОНТИ, 1938.

5. Смородинский Я.А. Температура. Библиотека квант // Я.А. Смородинский. -М.: «Наука», 1981 -160 с.

6. Физический энциклопедический словарь. Главный редактор А.М. Прохоров, М.:, «Советская энциклопедия» 1984.

7. Фундаментальные проблемы естествознания. Международный научный конгресс. 22-27 июня 1998г., Санкт-Петербург, Россия.

8. Эллиот Л. Физика. Перевод с английского под редакцией проф.

А.И.Китайгородского // Л. Эллиот, У. Уилкокс.- Издание третье. М.: «Наука», 1975736 с.

9. Энгельс Ф. Диалектика природы М., «Политиздат» 1965.

References

1. Aleksandrov B.L. Rol’ fotonov v fizicheskih i himicheskih javlenijah// B.L. Aleksandrov, M.B. Rodchenko, A.B. Aleksandrov. — Krasnodar, GUP «Pechatnyj dvor Kubani», 2002- 543 s.

2. Karkapet’janc M.H. Himicheskaja termodinamika. Izd. 3-e pererabotannoe i dopolnennoe// M.H. Karkapet’janc,- M.: «Himija», 1975- 584 s.

3. Ozhegov S.I. Slovar’ russkogo jazyka. Izdanie 17-e, stereotipnoe // S.I. Ozhegov.-M.: «Russkij jazyk», 1985 — 797 s.

4. Plank M. Princip sohranenija jenergii // M. Plank.- M. — L.: GONTI, 1938.

5. Smorodinskij Ja.A. Temperatura. Biblioteka kvant // Ja.A. Smorodinskij. — M.: «Nauka», 1981 -160 s.

6. Fizicheskij jenciklopedicheskij slovar’. Glavnyj redaktor A. M. Prohorov, M.:, «Sovetskaj a j enciklopedij a» 1984.

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года

15

7. Fundamental’nye problemy estestvoznanija. Mezhdunarodnyj nauchnyj kongress. 2227 ijunja 1998g., Sankt-Peterburg, Rossija.

8. Jelliot L. Fizika. Perevod s anglijskogo pod redakciej prof. A.I.Kitajgorodskogo // L. Jelliot, U. Uilkoks.- Izdanie tret’e. M.: «Nauka», 1975-736 s.

9. Jengel’s F. Dialektika prirody M., «Politizdat» 1965.

http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/38.pdf

Способы изменения внутренней энергии тела

Внутренняя энергия тела не является какой-то постоянной величиной: у одного и того же тела она может изменяться. При повышении температуры тела внутренняя энергия тела увеличивается, так как увеличивается средняя скорость, а значит, и кинетическая энергия, молекул этого тела. С понижением же температуры, наоборот, внутренняя энергия тела уменьшается. Таким образом, внутренняя энергия тела изменяется при изменении скорости движения его молекул. Какими же способами можно увеличить или уменьшить эту скорость? Обратимся к опыту.

На подставке (рис. 181) укреплена тонкостенная латунная трубка, в которую налито немного эфира, трубка плотно закрыта пробкой. Трубку обвивают веревкой и быстро двигают веревку то в одну, то в другую сторону. Через некоторое время эфир закипит и его пар вытолкнет пробку. Этот опыт показывает, что внутренняя энергия эфира, увеличилась: ведь он нагрелся и даже закипел. Увеличение внутренней энергии произошло в результате работы, совершенной при натирании веревкой трубки.

Тела нагреваются также при ударах, разгибании и сгибании, вообще при деформации. Во всех этих случаях за счет совершенной работы увеличивается внутренняя энергия тел.

Итак, внутреннюю энергию тела можно увеличить путем совершения работы над телом. Если работу совершает само тело, то внутренняя энергия его при этом уменьшается. Это можно наблюдать на следующем опыте.

Берут толстостенный стеклянный сосуд, закрытый пробкой. Через специальное отверстие в сосуд накачивают воздух, в котором содержится водяной пар. Через некоторое время пробка выскакивает из сосуда (рис. 182). В тот момент, когда пробка выскакивает, в сосуде появляется туман. Его появление означает, что воздух в сосуде стал холоднее (вспомните, что и на улице туман появляется во время похолодания).

Находящийся в сосуде сжатый воздух, выталкивая пробку, совершает работу. Эту работу он совершает за счет своей внутренней энергии, которая при этом уменьшается. Об уменьшении энергии мы судим по охлаждению воздуха в сосуде.

Внутреннюю энергию тела можно изменить и другим способом.

Известно, что чайник с водой, стоящий на плите, металлическая ложка, опущенная в стакан с горячим чаем, печь, в которой разведен огонь, крыша дома, освещаемая солнцем, нагреваются. Во всех случаях повышается температура тел, а значит, увеличивается и их внутренняя энергия. Как объяснить ее увеличение?

Как, например, нагревается холодная металлическая ложка, опущенная в горячий чай? Сначала скорость и кинетическая энергия молекул горячей воды больше скорости и кинетической энергии частиц холодного металла. В тех местах, где ложка соприкасается с водой, молекулы горячей воды передают часть своей кинетической энергии частицам холодного металла. Поэтому скорость и энергия молекул воды в среднем уменьшается, а скорость и энергия частиц металла увеличивается: температура воды уменьшается, а температура ложки увеличивается — температуры их постепенно выравниваются. С уменьшением кинетической энергии молекул воды уменьшается и внутренняя энергия всей воды, находящейся в стакане, а внутренняя энергия ложки, увеличивается.

Процесс изменения внутренней энергии, при котором над телом не совершается работа, а энергия передается от одних частиц к другим, называют теплопередачей. Итак, внутреннюю энергию тела можно изменить двумя способами: совершением механической работы или теплопередачей.

Когда тело уже нагрето, мы не можем указать, каким из двух способов это было сделано. Так, держа в руках нагретую стальную спицу, мы не можем сказать, каким способом ее нагрели — натирая ее или помещая в пламя.

Вопросы. 1. Приведите примеры, показывающие, что внутренняя энергия тела увеличивается при совершении над телом работы. 2. Опишите опыт, показывающий, что за счет внутренней энергии тело может совершить работу. 3. Приведите примеры увеличения внутренней энергии тела способом теплопередачи. 4. Объясните на основе молекулярного строения вещества теплопередачу. 5. Какими двумя способами можно изменить внутреннюю энергию тела?

Задание.

Положите пятикопеечную, монету на лист фанеры или деревянную доску. Прижмите монету к доске и двигайте ее быстро, то в одну, то в другую сторону. Заметьте, сколько раз надо передвинуть монету, чтобы она стала теплой, горячей. Сделайте вывод о связи между проделанной работой и увеличением внутренней энергии тела.

Способы изменения внутренней энергии | Физика

Внутренняя энергия тела зависит от средней кинетической энергии его молекул, а эта энергия, в свою очередь, зависит от температуры. Поэтому, изменяя температуру тела, мы изменяем и его внутреннюю энергию. При нагревании тела его внутренняя энергия увеличивается, при охлаждении уменьшается.

Проделаем опыт. Укрепим на подставке тонкостенную латунную трубку. Нальем в нее немного эфира и плотно закроем пробкой. Теперь обовьем трубку веревкой и начнем натирать ею трубку, быстро вытягивая веревку то в одну, то в другую сторону. Через некоторое время внутренняя энергия трубки с эфиром возрастет настолько, что эфир закипит и образовавшийся пар вытолкнет пробку (рис. 60).

Этот опыт показывает, что внутреннюю энергию тела можно изменить путем совершения над телом работы, в частности трением.

Изменяя внутреннюю энергию куска дерева путем трения, наши предки добывали огонь. Температура воспламенения дерева равна 250 °С. Поэтому, чтобы получить огонь, нужно тереть одним куском дерева по другому до тех пор, пока их температура не достигнет этого значения. Легко ли это? Когда таким способом попробовали добыть огонь герои романа Жюля Верна «Таинственный остров», у них ничего не вышло.

«Если бы энергию, которую затратили Наб с Пенкрофом, можно было превратить в тепло, ее, наверное, хватило бы для отопления котла океанского парохода. Но результат их усилий равнялся нулю. Куски дерева, правда, разогрелись, но значительно меньше, чем сами участники этой операции.

После часа работы Пенкроф был весь в поту и с досадой отбросил куски дерева, сказав:
— Не говорите мне, что дикари добывают огонь таким образом! Я скорее поверю, что летом идет снег. Легче, пожалуй, зажечь собственные ладони, потирая их одну о другую».

Причина их неудачи заключалась в том, что огонь следовало добывать не простым трением одного куска дерева о другой, а сверлением дощечки заостренной палочкой (рис. 61). Тогда при определенной сноровке можно за 1 с увеличить температуру в гнезде палочки на 20 °С. А чтобы довести палочку до горения, потребуется всего лишь 250/20=12,5 секунды!

Многие люди и в наше время «добывают» огонь трением — трением спичек о спичечный коробок. Давно ли появились спички? Производство первых (фосфорных) спичек началось в 30-х гг. XIX в. Фосфор загорается при достаточно слабом нагревании — всего до 60 °С. Поэтому, чтобы зажечь фосфорную спичку, достаточно было чиркнуть ею практически о любую поверхность (начиная от ближайшей стены и кончая голенищем сапог). Однако эти спички были очень опасны: они были ядовиты и из-за легкого возгорания часто служили причиной пожара. Безопасные спички (которыми мы пользуемся до сих пор) были изобретены в 1855 г. в Швеции (отсюда их название «шведские спички») Фосфор в этих спичках заменен другими горючими веществами.

Итак, путем трения можно повысить температуру вещества. Совершая над телом работу (например, ударяя по куску свинца молотком, сгибая и разгибая проволоку, перемещая один предмет по поверхности другого или сжимая газ, находящийся в цилиндре с поршнем), мы увеличиваем его внутреннюю энергию. Если же тело само совершает работу (за счет своей внутренней энергии), то внутренняя энергия тела уменьшается и тело охлаждается.

Пронаблюдаем это на опыте. Возьмем толстостенный стеклянный сосуд и плотно закроем его резиновой пробкой с отверстием. Через это отверстие с помощью насоса начнем накачивать в сосуд воздух. Через некоторое время пробка с шумом вылетит из сосуда, а в самом сосуде появится туман (рис. 62). Появление тумана означает, что воздух в сосуде стал холоднее и, следовательно, его внутренняя энергия уменьшилась. Объясняется это тем, что находившийся в сосуде сжатый воздух, выталкивая пробку, совершил работу за счет уменьшения своей внутренней энергии. Поэтому температура воздуха и понизилась.
Внутреннюю энергию тела можно изменить и без совершения работы. Так, например, ее можно увеличить, нагрев на плите чайник с водой или опустив ложку в стакан с горячим чаем. Нагревается камин, в котором разведен огонь, крыша дома, освещаемая солнцем, и т. д.

Повышение температуры тел во всех этих случаях означает увеличение их внутренней энергии, но это увеличение происходит без совершения работы.

Изменение внутренней энергии тела без совершения работы называется теплообменом. Теплообмен возникает между телами (или частями одного и того же тела), имеющими разную температуру.

Как, например, происходит теплообмен при контакте холодной ложки с горячей водой? Сначала средняя скорость и кинетическая энергия молекул горячей воды превышают среднюю скорость и кинетическую энергию частиц металла, из которого изготовлена ложка. Но в тех местах, где ложка соприкасается с водой, молекулы горячей воды начинают передавать часть своей кинетической энергии частицам ложки, и те начинают двигаться быстрее. Кинетическая энергия молекул воды при этом уменьшается, а кинетическая энергия частиц ложки увеличивается. Вместе с энергией изменяется и температура: вода постепенно остывает, а ложка нагревается. Изменение их температуры происходит до тех пор, пока она и у воды, и у ложки не станет одинаковой.

Часть внутренней энергии, переданной от одного тела к другому при теплообмене, обозначают буквой Q и называют количеством теплоты.

Q — количество теплоты.

Количество теплоты не следует путать с температурой. Температура измеряется в градусах, а количество теплоты (как и любая другая энергия) — в джоулях.

При контакте тел с разной температурой более горячее тело отдает некоторое количество теплоты, а более холодное тело его получает.

Итак, существуют два способа изменения внутренней энергии: 1) совершение работы и 2) теплообмен. При осуществлении первого из этих способов внутренняя энергия тела изменяется на величину совершенной работы А, а при осуществлении второго из них — на величину, равную количеству переданной теплоты Q.

Интересно, что оба рассмотренных способа могут приводить к совершенно одинаковым результатам. Поэтому по конечному результату невозможно определить, каким именно из этих способов он достигнут. Так, взяв со стола нагретую стальную спицу, мы не сможем сказать, каким способом ее нагрели — путем трения или соприкосновения с горячим телом. В принципе могло быть как то, так и другое.

1. Назовите два способа изменения внутренней энергии тела. 2. Приведите примеры увеличения внутренней энергии тела путем совершения над ним работы. 3. Приведите примеры увеличения и уменьшения внутренней энергии тела в результате теплообмена. 4. Что такое количество теплоты? Как оно обозначается? 5. В каких единицах измеряется количество теплоты? 6. Какими способами можно добыть огонь? 7. Когда началось производство спичек?

Экспериментальное задание. Прижмите монету или кусочек фольги к картону или какой-либо дощечке. Сделав сначала 10, затем 20 и т. д. движений то в одну, то в другую сторону, заметьте, что происходит с температурой тел в процессе трения. Как зависит изменение внутренней энергии тела от величины совершенной работы?

Энергия внутри нас

Теплопередача. Примеров процесса теплопередачи множество — нагревание чайника на плите, оконного подоконника в солнечный день и т.п. Однако никакая работа здесь не совершается.

Изменение внутренней энергии тела без совершения работы называется теплопередачей (или теплообменом). Существует три вида теплопередачи: теплопроводность, конвекция и излучение.

Теплопроводность — это процесс теплообмена между телами (или частями тела) при их непосредственном контакте. Теплопроводность вещества зависит от его агрегатного состояния, пористости и других качеств. Ручки чайников, кастрюль делают из пластмассы, так как она обладает плохой теплопроводностью. Мех животных из-за плохой теплопроводности предохраняет их от охлаждения зимой и перегрева летом.

Конвекция представляет собой теплопередачу нагретыми потоками жидкости или газа от одних участков занимаемого ими объёма в другие. Конвекция невозможна в твёрдых телах. Примеры проявления конвекции: циркуляция воздуха в отапливаемой комнате, центральное водяное отопление, ветры, морские течения и т. д.

Теплообмен при излучении осуществляется на расстоянии посредством электромагнитных волн, которые излучает любое нагретое тело. Так, вся энергия, получаемая Землёй от Солнца, передается путём лучеиспускания. Тепло от костра передаётся человеку путём излучения энергии, так как теплопроводность воздуха мала, а конвекционные потоки направлены вверх.

Механическая работа. Изменение внутренней энергии тела происходит под действием силы трения. Как мы поступаем, когда зимой на улице замерзают руки? Мы трём их, то есть совершаем работу над руками и они нагреваются, а значит, увеличивается их внутренняя энергия.

Внутренняя энергия тела может измениться, если тело деформировать. Например, ударить, надавить, сжать, скрутить, растянуть и т. д. При этом изменяются расстояния между частицами, из которых оно состоит, следовательно, изменяется потенциальная энергия взаимодействия частиц. При неупругих деформациях, кроме того, изменяется температура тела, то есть изменяется скорость отдельных частей тела (следовательно, и кинетическая энергия движения частиц). Например, если кусок алюминиевой проволоки быстро изгибать в одном и том же месте то в одну, то в другую сторону, то это место нагреется. 

Способы изменения внутренней энергии | Частная школа. 8 класс

Конспект по физике для 8 класса «Способы изменения внутренней энергии». ВЫ УЗНАЕТЕ: Как можно изменить внутреннюю энергию тела. Что такое теплопередача.

Конспекты по физике    Учебник физики    Тесты по физике

Способы изменения внутренней энергии

Чтобы понять, каким способом можно изменить внутреннюю энергию, необходимо знать, от чего она зависит. Мы уже знаем, что внутренняя энергия зависит от средней кинетической энергии частиц, составляющих тело, и, следовательно, от его температуры. Значит, для изменения внутренней энергии тела нужно изменить его температуру.

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Совершая работу, мы можем изменить, например, потенциальную энергию тела. Подняв тело над поверхностью земли, мы тем самым увеличили его потенциальную энергию. Совершив работу, можно также изменить и внутреннюю энергию тела.

При трении тела нагреваются. Если потереть одну ладонь о другую, кожа нагреется. Если быстро спуститься по спортивному канату, то кожу на ладонях можно даже обжечь. Нагревание при трении люди использовали в древности для добывания огня. В наше время одним из способов добывания огня является трение спичечной головки о спичечный коробок.

В специализированной физической лаборатории при соблюдении всех мер предосторожности можно провести следующий опыт. На подставке укрепляется тонкостенная латунная трубка. В неё наливается немного эфира, и она закрывается пробкой. Затем трубка обвивается верёвкой. Если быстро натирать трубку верёвкой, то через некоторое время эфир закипит и пар вытолкнет пробку.

Этот опыт показывает, что внутренняя энергия эфира увеличилась, ведь он нагрелся и даже закипел. А причиной изменения внутренней энергии эфира стала наша работа против сил трения.

Именно из-за того, что температура в сосуде понижается, и появляется туман. Как и почему это происходит, мы с вами обсудим немного позднее. Всем, кто открывал бутылки с лимонадом, это явление хорошо знакомо: над горлышком появляется туман.

Увеличить внутреннюю энергию тела можно путём деформации. Если несколько раз ударить молотком по свинцовому шарику, он деформируется и заметно нагреется. Совершённая при этом работа приведёт к изменению взаимного расположения атомов свинца и к изменению характера их движения.

Рассмотрим пример, когда совершённая работа приводит к уменьшению внутренней энергии тела. В стеклянный толстостенный сосуд, закрытый резиновой пробкой, с помощью насоса нагнетается воздух, содержащий водяной пар. Через некоторое время пробка вылетает из сосуда, а в самом сосуде образуется туман, представляющий собой мельчайшие капельки воды.

Накачивая воздух в сосуд, мы совершаем работу. Число молекул в сосуде возрастает, увеличивается частота и сила их ударов, возрастает скорость их движения, и, следовательно, увеличивается внутренняя энергия и температура воздуха в сосуде. Затем сжатый воздух выталкивает пробку, совершая работу. При этом его внутренняя энергия уменьшается, и температура воздуха в сосуде понижается.

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА

Внутреннюю энергию тела можно изменить и без совершения механической работы. Например, внутреннюю энергию воды можно увеличить, нагрев на плите чайник. Если поставить горячую кастрюлю на холодную подставку, то с течением времени она остынет. Во всех приведённых примерах внутренняя энергия изменяется, хотя работа при этом не совершается.

Опустим металлическую ложку в стакан с горячей водой. Начальная температура воды выше температуры ложки. Значит, средняя кинетическая энергия молекул воды больше кинетической энергии частиц холодного металла. Молекулы воды, сталкиваясь с атомами металла, передают им часть своей энергии. При этом кинетическая энергия частиц металла увеличивается, а кинетическая энергия молекул воды уменьшается. В результате температура воды уменьшится, а температура ложки увеличится. С течением времени их температуры станут равными.

При непосредственном контакте двух тел с разными температурами происходит передача энергии от тела с более высокой температурой к телу, температура которого изначально была ниже. При этом внутренняя энергия тела с более высокой температурой уменьшается, а внутренняя энергия тела с меньшей температурой увеличивается.

Процесс передачи энергии от более нагретого тела или участков тела к менее нагретым называют теплопередачей или теплообменом.

Когда температуры тел становятся равными, теплопередача прекращается. При этом процесс теплопередачи необратим. Это означает, что невозможен самопроизвольный процесс передачи внутренней энергии от холодного тела к нагретому.

В XVIII в. французскими химиками была выдвинута идея теплорода — некой субстанции, объясняющей явления, связанные с теплотой и теплопередачей. Считалось, что частицы теплорода отталкиваются друг от друга, но притягивают частицы других веществ. Повышение температуры тела связывалось с увеличение количества теплорода, а понижение температуры — с его уменьшением. В середине XIX в. теория теплорода была отвергнута. Ей на смену пришла молекулярно-кинетическая теория строения вещества.

Бенджамин Томпсон (граф Румфорд) (1753 — 1814) Английский физик. В его честь Лондонское королевское общество учредило награду для выдающихся учёных — медаль Румфорда.

В 1798г. Румфорд сделал важное наблюдение: при высверливании канала в пушечном стволе выделяется большое количество тепла. Для более точного исследования он проделал опыт по сверлению канала в цилиндре, выточенном из пушечного металла. В высверленный канал поместили тупое сверло, плотно прижатое к стенкам канала и приводившееся во вращение. Термометр, вставленный в цилиндр, показал, что за 30 мин операции температура повысилась на десятки градусов Цельсия. Румфорд повторил опыт, погрузив цилиндр и сверло в сосуд с водой. В процессе сверления вода нагрелась и спустя 2,5 ч закипела.

Этот опыт Румфорд считал доказательством того, что теплота является формой движения.

Вы смотрели Конспект по физике для 8 класса «Способы изменения внутренней энергии».

Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).

Просмотров: 1 799

31. Внутренняя энергия. Теплотехника

Читайте также

Энергия… в воздухе!

Энергия… в воздухе! «Бесполезно было ждать от резины энергии больше, чем она в состоянии накопить», – успокаивал я себя, глядя на предмет моей гордости – авторское свидетельство на изобретение «резиноаккумулятора». Мне удавалось растягивать жгут лишь до известных

Какова же энергия пороха?

Какова же энергия пороха? При выстреле часть энергии, заключенной в заряде пороха, переходит в энергию движения снаряда.Пока заряд еще не зажжен, он обладает скрытой энергией. Ее можно сравнить с энергией высокого уровня воды у шлюзов мельницы, когда они закрыты. Вода

Энергия с горных вершин

Энергия с горных вершин Недавно изобретенный Дедалом тепловой планер (см. «Тепловой планер») — летательный аппарат, использующий разность температур между верхними и нижними слоями атмосферы, — нетрудно преобразовать в более крупномасштабный проект. Значительная

2.2. Энергия для всех

2.2. Энергия для всех Еще раз подчеркну, что я считаю проблему энергии наиболее важной для дальнейшего развития человечества. Все остальные задачи могут быть решены лишь при наличии достаточно мощных и доступных источников энергии. Проблема состоит в том, чтобы обеспечить

Энергия Земли*

Энергия Земли* Земля. По-видимому, Земля есть область человека. Он прикован к ней силою тяжести, отделен от других земель (планет) необозримыми пустынями неба. Ни один человек, ни одно существо не отдалилось еще от Земли, не посетило еще небо, хотя оно и наполнено

Земная энергия*

Земная энергия* Энергию можно выражать в виде работы — в тонно-метрах, в виде теплоты — в тонно-градусах, еще в форме угля или пищи. Притом энергию можно относить к разному времени. Работу (лучше) — к одной секунде. Например, труд работника — 5-10 кг-м/сек, лошадиная сила —

Глава 15 Внутренняя структура электрического потенциального поля

Глава 15 Внутренняя структура электрического потенциального поля Эфир, как и любая физическая среда, существование которой мы можем принять, вместе с Менделеевым, имеет определенные физические свойства. Менделеев писал об упругости данной среды в статье «Попытка

§ 53. Внутренняя и внешняя связь и сигнализация

§ 53. Внутренняя и внешняя связь и сигнализация Внутренняя связь и сигнализация через разветвленные на судне системы обеспечивает быструю и точную передачу приказаний из командных пунктов в исполнительные посты. Кроме того, внутрисудовая связь позволяет передавать

Полная механическая энергия — урок. Физика, 8 класс.

Полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергии.

Полную механическую энергию рассматривают в тех случаях, когда действует закон сохранения энергии и она остаётся постоянной.

Если на движение тела не оказывают влияния внешние силы, например, нет взаимодействия с другими телами, нет силы трения или силы сопротивления движению, тогда полная механическая энергия тела остаётся неизменной во времени.

Eпот+Eкин=const

Разумеется, что в повседневной жизни не существует идеальной ситуации, в которой тело полностью сохраняло бы свою энергию, так как любое тело вокруг нас взаимодействует хотя бы с молекулами воздуха и сталкивается с сопротивлением воздуха. Но, если сила сопротивления очень мала и движение рассматривается в относительно коротком промежутке времени, тогда такую ситуацию можно приближённо считать теоретически идеальной.

Закон сохранения полной механической энергии обычно применяют при рассмотрении свободного падения тела, при его вертикальном подбрасывании или в случае колебаний тела.

Пример:

При вертикальном подбрасывании тела его полная механическая энергия не меняется, а кинетическая энергия тела переходит в потенциальную и наоборот.

Преобразование энергии отображено на рисунке и в таблице.

Исходя из того, что в начале движения величина кинетической энергии тела одинакова с величиной его потенциальной энергии в верхней точке траектории движения, для расчётов могут быть использованы ещё две формулы.

Если известна максимальная высота, на которую поднимается тело, тогда можно определить максимальную скорость движения по формуле:

 vmax=2⋅g⋅hmax.

Если известна максимальная скорость движения тела, тогда можно определить максимальную высоту, на которую поднимается тело, брошенное вверх, по такой формуле:

 hmax=vmax22g.

На графике синей пунктирной линией показано изменение потенциальной энергии. В средней точке рампы потенциальная энергия равна \(нулю\). Зелёной пунктирной линией показано изменение кинетической энергии. В верхних точках рампы кинетическая энергия равна \(нулю\). Жёлто-зелёная линия изображает полную механическую энергию — сумму потенциальной и кинетической — в каждый момент движения и в каждой точке траектории. Как видно, она остаётся \(неизменной\) во всё время движения. Частота точек характеризует скорость движения — чем дальше точки расположены друг от друга, тем больше скорость движения.

На графике видно, что значение потенциальной энергии в начальной точке совпадает со значением кинетической энергии в середине рампы.

В реальной ситуации всегда происходят потери энергии, так как часть энергии выделяется в виде тепла под влиянием сил трения и сопротивления. 

Поэтому для того, чтобы автомобиль двигался с равномерной и неизменной скоростью, необходимо постоянно подводить дополнительную энергию, которая компенсировала бы энергетические потери.

Источники:

E. Šilters, V. Regusts, A. Cābelis. «Fizika 10 klasei», Lielvārds, 2004, 256 lpp.

(Э. Шилтерс, В. Регустс, А. Цабелис. «Физика для 10 класса», Lielvārds, 2004, 256 стр.)

http://phet.colorado.edu/en/simulation/energy-skate-park

Внутренняя энергия — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

В термодинамике внутренней энергии термодинамической системы или тела с четко определенными границами, обозначаемого U или иногда E , является общим кинетической энергии из-за движения молекул (поступательное, вращательное, колебательное) и потенциальной энергии, связанной с колебательной и электрической энергией атомов внутри молекул или кристаллов. Он включает в себя энергию всех химических связей и энергию свободных электронов проводимости в металлах.

Внутренняя энергия — это термодинамический потенциал, и для замкнутой термодинамической системы, поддерживаемой при постоянной энтропии, она будет минимизирована.

Также можно рассчитать внутреннюю энергию электромагнитного излучения или излучения абсолютно черного тела. Это государственная функция системы, огромная величина. Единицей измерения энергии в системе СИ является джоуль, хотя все еще используются другие исторические традиционные единицы, такие как (малая и большая) калорийность тепла. (Калории, указанные на классических этикетках продуктов питания, на самом деле являются килокалориями.)

Внутренняя энергия не включает поступательную или вращательную кинетическую энергию тела в целом . Он также не включает релятивистский эквивалент массы и энергии E = mc ² . Он исключает любую потенциальную энергию, которую тело может иметь из-за своего местоположения во внешнем гравитационном или электростатическом поле, хотя потенциальная энергия, которую оно имеет в поле из-за индуцированного электрического или магнитного дипольного момента, учитывается, как и энергия деформации твердых тел ( напряжение-деформация).

Принцип равнораспределения энергии в классической статистической механике гласит, что каждая молекулярная степень свободы получает 1/2 кТ энергии, результат, который был изменен, когда квантовая механика объяснила определенные аномалии; например, в наблюдаемых теплоемках кристаллов (когда ч ν> кТ ). Для одноатомного гелия и других благородных газов внутренняя энергия состоит только из поступательной кинетической энергии отдельных атомов. Одноатомные частицы, конечно, не вращаются (разумно) и не вибрируют, и не возбуждаются электронным способом до более высоких энергий, за исключением очень высоких температур.

С точки зрения статистической механики внутренняя энергия равна среднему по ансамблю полной энергии системы.

• Льюис, Гилберт Ньютон; Рэндалл, Мерл: Редакция Питцера, Кеннета С. и Брюера, Лео (1961). Термодинамика (2-е издание). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: ISBN компании McGraw-Hill Book Co. 0-07-113809-9 . CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка)

• Ландау, Л.Д .; Лифшиц, Э.М. (1986). Теория упругости (Курс теоретической физики, том 7) . (Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и В. Х. Рейда) (Третье изд.). Бостон, Массачусетс: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2633-X .

термодинамика — Тепловая энергия против внутренней энергии?

Сегодня я много думал о том же. Это единственное логическое определение тепла / тепловой энергии, которое я смог получить.

Внутренняя энергия хорошо определена математически (как сумма кинетической и потенциальной энергий частиц, составляющих систему).Выполненная работа математически четко определена. Но тепло, третий член в уравнении 1-го закона, четко не определен.

Итак, можно использовать 1-й закон для математического определения «тепла».

1-й закон термодинамики гласит, что для любой термодинамической системы верно следующее —

дельта E (int) = Q — W

[E (int) = внутренняя энергия системы, Q = тепло, W = работа газа с окружающей средой]

Пусть Вт (вкл.) быть работой, проделанной над термодинамической системой ее окружением.

Итак, ясно, Вт (вкл.) = — Вт

Первый закон теперь можно записать как —

дельта E (int) = Q + W (вкл.)

Внутренняя энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергий всех частиц, составляющих термодинамическую систему.

Итак, дельта E (int) = дельта K (sys) + дельта U (sys)

Также, Вт (вкл.) = Дельта K (sys)

[«sys» означает рассматриваемую термодинамическую систему]

Первый закон теперь подразумевает —

дельта K (sys) + дельта U (sys) = Q + дельта K (sys)

подразумевает- Q = дельта U (sys)

Итак, тепла — это не что иное, как изменение потенциальной энергии термодинамической системы.

Тепло — это изменение тепловой энергии.

Итак, тепловая энергия — это чистая потенциальная энергия системы.

, а внутренняя энергия — это чистая потенциальная энергия + чистая кинетическая энергия системы.

Итак, в этом разница.

p.s — У меня были правильные формулы, написанные математическими символами с помощью www.codecogs.com. Не понимаю, почему сработал спам-фильтр. Пришлось их удалить.

Внутренняя энергия и тела разной массы и температуры

Если предположить, что два тела сделаны из одного и того же вещества и все остальные применимые свойства идентичны, тогда да , полная внутренняя энергия тела зависит как от его массы, так и от его температуры — , но масса применяется только в этом путь для тел .

Внутренняя энергия может быть определена как:

сумма различных видов энергии, которой обладают атомы или молекулы вещества

(как определено в Пятом издании Cutnell and Johnson’s Physics)

Обычно это сумма молекулярной кинетической энергии и молекулярной потенциальной энергии (вызванной взаимодействиями между частицами).

Внутренняя энергия зависит от температуры , потому что температура исторически определяется как измерение средней кинетической энергии вещества.Квантовая физика меняет способ выражения термодинамики, но это определение работает нормально. Поскольку внутренняя энергия напрямую зависит от кинетической энергии, более высокая средняя молекулярная кинетическая энергия в веществе приводит к более высокой внутренней энергии в этом веществе.

Внутренняя энергия тела зависит от массы иным образом. Масса — это количество всех частиц в теле. Следовательно, если x частицы имеют определенную полную внутреннюю энергию, 2x частицы имеют более высокую общую энергию, но не более высокую внутреннюю энергию на единицу массы.Внутренняя энергия объекта 2x может быть выше, но если прикоснуться к обоим объектам, они оба почувствуют одно и то же; области (одинаковые на квадратную единицу вашей кожи), которых вы касаетесь, имеют одинаковую внутреннюю энергию. Объекту 2x просто потребуется больше времени, чтобы достичь равновесия рукой.

Если это сбивает с толку, просто представьте, что полная внутренняя энергия тела зависит от массы, но только потому, что каждая единица массы имеет определенную дополнительную внутреннюю энергию.

15.1: Первый закон термодинамики

Если нас интересует, как теплопередача преобразуется в выполнение работы, тогда важен принцип сохранения энергии. Первый закон термодинамики применяет принцип сохранения энергии к системам, в которых передача тепла и выполнение работы являются методами передачи энергии в систему и из нее.

Первый закон термодинамики гласит, что изменение внутренней энергии системы равно чистой теплопередаче в системе за вычетом чистой работы, выполненной системой.В форме уравнения первый закон термодинамики:

\ [\ Delta U = Q — W. \ label {first} \]

Здесь \ (\ Delta U \) — изменение внутренней энергии на \ ( U \) системы. \ (Q \) — это чистое тепло , переданное в систему , то есть \ (Q \) — это сумма всей теплопередачи в систему и из нее. \ (W \) — это чистая работа, выполненная системой , то есть \ (W \) — это сумма всей работы, выполненной в системе или ею.Мы используем следующие соглашения о знаках: если \ (Q \) положительно, то в системе имеется чистый перенос тепла; если \ (W \) положительно, то система выполняет чистую работу. Таким образом, положительное \ (Q \) добавляет энергию системе, а положительное \ (W \) забирает энергию из системы. Таким образом, \ (\ Delta U = Q — W \). Также обратите внимание, что если в систему передается больше тепла, чем проделанной работы, разница сохраняется как внутренняя энергия. Тепловые двигатели — хороший тому пример — в них происходит передача тепла, чтобы они могли выполнять свою работу (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).Теперь мы рассмотрим \ (Q, \, W \) и \ (\ Delta U \) дальше.

Нагрев

Теплопередача \ (Q \) и выполнение работы \ (W \) — два повседневных средства передачи энергии в систему или извлечения энергии из нее. Процессы совершенно разные. Теплообмен, менее организованный процесс, обусловлен разницей температур. Работа — это вполне организованный процесс, в котором действует макроскопическая сила, действующая на расстоянии. Тем не менее тепло и работа могут дать одинаковые результаты.Например, оба могут вызвать повышение температуры. Передача тепла в систему, например, когда Солнце нагревает воздух в велосипедной шине, может повысить ее температуру, и поэтому может работать над системой, например, когда велосипедист нагнетает воздух в шину. Как только произошло повышение температуры, невозможно сказать, было ли оно вызвано теплопередачей или работой. Эта неопределенность — важный момент. Теплообмен и работа — это энергия в пути, и ни одна из них не хранится как таковая в системе.Однако оба могут изменить внутреннюю энергию \ (U \) системы. Внутренняя энергия — это форма энергии, полностью отличная от тепла или работы.

Внутренняя энергия

Мы можем думать о внутренней энергии системы двумя разными, но последовательными способами. Первый — это атомно-молекулярная точка зрения, которая исследует систему в атомном и молекулярном масштабе. Внутренняя энергия \ (U \) системы — это сумма кинетической и потенциальной энергий ее атомов и молекул.Напомним, что кинетическая плюс потенциальная энергия называется механической энергией. Таким образом, внутренняя энергия — это сумма атомной и молекулярной механической энергии. Поскольку невозможно отследить все отдельные атомы и молекулы, мы должны иметь дело со средними значениями и распределениями. Второй способ взглянуть на внутреннюю энергию системы — с точки зрения ее макроскопических характеристик, которые очень похожи на средние атомные и молекулярные значения.

Макроскопически мы определяем изменение внутренней энергии \ (\ Delta U \) как значение, заданное первым законом термодинамики (уравнение \ ref {first}): \ [\ Delta U = Q — W \ nonumber \]

Многие подробные эксперименты подтвердили, что \ (\ Delta U = Q — W \), где \ (\ Delta U \) — это изменение полной кинетической и потенциальной энергии всех атомов и молекул в системе.Экспериментально также было определено, что внутренняя энергия \ (U \) системы зависит только от состояния системы, а не от того, как она достигла этого состояния . Более конкретно, \ (U \) оказывается функцией нескольких макроскопических величин (например, давления, объема и температуры), независимо от прошлой истории, такой как была ли передача тепла или проделанная работа. Эта независимость означает, что, зная состояние системы, мы можем вычислить изменения ее внутренней энергии \ (U \) с помощью нескольких макроскопических переменных.

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ И МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ

В термодинамике мы часто используем макроскопическую картину при расчетах поведения системы, в то время как атомная и молекулярная картина дает основные объяснения в терминах средних значений и распределений. Мы еще раз увидим это в следующих разделах этой главы. Например, в теме энтропии расчеты будут производиться с использованием атомно-молекулярного представления.

Чтобы лучше понять, как думать о внутренней энергии системы, давайте рассмотрим систему, переходящую из состояния 1 в состояние 2.Система имеет внутреннюю энергию \ (U_1 \) в Состоянии 1 и внутреннюю энергию \ (U_2 \) в Состоянии 2, независимо от того, как она попала в любое из состояний. Итак, изменение внутренней энергии

\ [\ Delta U = U_2 — U_1 \]

не зависит от причины изменения. Другими словами, \ (\ delta U \) не зависит от пути . Под путем мы подразумеваем способ добраться от начальной точки до конечной точки. Почему важна эта независимость? И \ (Q \), и \ (W \) зависят от от пути , но \ (\ Delta U \) нет (уравнение \ ref {first}).Эта независимость от пути означает, что внутреннюю энергию \ (U \) легче учитывать, чем теплопередачу или проделанную работу.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): Расчет изменения внутренней энергии — такое же изменение в \ (U \) производится двумя разными процессами

1. Предположим, что теплопередача в систему составляет 40,00 Дж, в то время как система выполняет работу 10,00 Дж. Позже происходит передача тепла из системы на 25,00 Дж, в то время как в системе выполняется 4,00 Дж работы. Каково чистое изменение внутренней энергии системы?
2. Каково изменение внутренней энергии системы, когда всего 150.00 Дж теплообмена происходит из (от) системы и 159,00 Дж работы выполняется в системе (рисунок \ (\ PageIndex {3} \))?

Стратегия

В части (а) мы должны сначала найти чистую теплопередачу и чистую работу, выполненную на основе данной информации. Затем первый закон термодинамики (уравнение \ ref {first}).

можно использовать для определения изменения внутренней энергии. В части (b) приведены чистая теплопередача и проделанная работа, поэтому уравнение можно использовать напрямую.

Решение для (а)

Чистая теплопередача — это теплопередача в систему за вычетом теплопередачи из системы, или

\ [\ begin {align *} Q & = 40.00 \, J — 25.00 \, J \\ [5pt] & = 15.00 \, J \ end {align *} \]

Аналогично, общая работа — это работа, выполненная системой за вычетом работы, выполненной в системе, или

\ [\ begin {align *} W & = 10.00 \, J — 4.00 \, J \\ [5pt] & = 6.00 \, J. \ end {align *} \]

Обсуждение на (а)

Неважно, смотрите ли вы на процесс в целом или разбиваете его на этапы, изменение внутренней энергии одинаково.

Решение для (b)

Здесь чистая теплопередача и общая работа даны как \ (Q = -150.00 \, Дж \) и \ (W = -159.00 \, Дж \), так что

\ [\ begin {align *} \ Delta U & = Q — W = -150.00 — (-159.00) \\ [5pt] & = 9.00 \, J. \ end {align *} \]

Обсуждение на (б)

Совершенно другой процесс в части (b) дает такое же изменение внутренней энергии на 9,00 Дж, что и в части (a). Обратите внимание, что изменение системы в обеих частях связано с \ (\ Delta U \), а не с отдельными участвующими \ (Q \) s или \ (W \) s.Система оказывается в том же состоянии как в (a), так и (b). Части (a) и (b) представляют два разных пути, по которым система должна следовать между одними и теми же начальными и конечными точками, и изменение внутренней энергии для каждой из них одинаково — оно не зависит от пути.

Метаболизм человека и первый закон термодинамики

Метаболизм человека — это преобразование пищи в теплообмен, работу и накопленный жир. Метаболизм — интересный пример действия первого закона термодинамики.Теперь мы еще раз посмотрим на эти темы с помощью первого закона термодинамики. Рассматривая тело как интересующую нас систему, мы можем использовать первый закон для изучения теплопередачи, выполнения работы и внутренней энергии в различных видах деятельности, от сна до тяжелых упражнений. Каковы некоторые из основных характеристик теплопередачи, выполнения работы и энергии в организме? Во-первых, температура тела обычно поддерживается постоянной за счет передачи тепла в окружающую среду. Это означает, что \ (Q \) отрицательно. Другой факт: тело обычно работает с внешним миром.Это означает, что \ (W \) положительно. В таких ситуациях тело теряет внутреннюю энергию, поскольку \ (\ Delta U = Q — W \) отрицательно.

Теперь рассмотрим эффекты еды. Прием пищи увеличивает внутреннюю энергию тела за счет добавления химической потенциальной энергии (это неромантичный взгляд на хороший стейк). Организм метаболизирует всю пищу, которую мы потребляем. По сути, метаболизм — это процесс окисления, при котором высвобождается химическая потенциальная энергия пищи. Это означает, что питание осуществляется в форме работы.Энергия пищи указывается в специальной единице, известной как калория. Эта энергия измеряется сжиганием пищи в калориметре, как и определяются единицы.

В химии и биохимии одна калория (обозначается строчной буквой c) определяется как энергия (или передача тепла), необходимая для повышения температуры одного грамма чистой воды на один градус Цельсия. Диетологи и любители веса склонны использовать диетических калорий, которые часто называют калориями (пишется с заглавной буквы ° C).Одна пища Калория — это энергия, необходимая для повышения температуры одного килограмма воды на один градус Цельсия. Это означает, что одна диетическая калория для химика равна одной килокалории, и нужно быть осторожным, чтобы не путать их.

Опять же, рассмотрим внутреннюю энергию, потерянную телом. Эта внутренняя энергия может идти по трем направлениям — на передачу тепла, выполнение работы и накопленный жир (крошечная часть также идет на восстановление и рост клеток). Передача тепла и выполнение работы забирают внутреннюю энергию из тела, а пища возвращает ее.Если вы едите нужное количество пищи, ваша средняя внутренняя энергия остается постоянной. Все, что вы теряете на теплопередачу и выполнение работы, заменяется едой, так что в конечном итоге \ (\ Delta U = 0 \). Если вы постоянно переедаете, то \ (\ Delta U \) всегда положительный результат, и ваше тело сохраняет эту дополнительную внутреннюю энергию в виде жира. Обратное верно, если вы едите слишком мало. Если значение \ (\ Delta U \) отрицательное в течение нескольких дней, то тело метаболизирует собственный жир, чтобы поддерживать температуру тела и выполнять работу, которая забирает у тела энергию.Именно так соблюдение диеты способствует снижению веса.

Жизнь не всегда так проста, как знает любой человек, сидящий на диете. Тело накапливает жир или метаболизирует его только в том случае, если потребление энергии меняется в течение нескольких дней. После того, как вы сели на основную диету, следующая будет менее успешной, потому что ваше тело изменит способ реагирования на низкое потребление энергии. Ваша основная скорость метаболизма (BMR) — это скорость, с которой пища преобразуется в теплообмен и работу, выполняемую, когда организм находится в полном покое. Организм регулирует базальную скорость метаболизма, чтобы частично компенсировать переедание или недоедание.Организм будет снижать скорость метаболизма, а не устранять собственный жир, чтобы заменить потерянную еду. Вы легче простужаетесь и чувствуете себя менее энергичным в результате более низкой скорости метаболизма, и вы не будете терять вес так быстро, как раньше. Упражнения помогают похудеть, потому что они обеспечивают теплоотдачу от вашего тела и работы, а также повышают уровень метаболизма, даже когда вы находитесь в состоянии покоя. Снижению веса также способствует довольно низкая эффективность тела в преобразовании внутренней энергии в работу, так что потеря внутренней энергии в результате выполнения работы намного больше, чем проделанная работа.Однако следует отметить, что живые системы не находятся в тепловом равновесии.

Тело дает нам отличный показатель того, что многие термодинамические процессы необратимы . Необратимый процесс может идти в одном направлении, но не в обратном, при заданном наборе условий. Например, хотя телесный жир может быть преобразован для выполнения работы и передачи тепла, работа, выполняемая телом, и передача тепла в него не могут быть преобразованы в телесный жир. В противном случае мы могли бы пропустить обед, загорая или спустившись по лестнице.Другой пример необратимого термодинамического процесса — фотосинтез. Этот процесс представляет собой поглощение растениями одной формы энергии — света — и ее преобразование в химическую потенциальную энергию. Оба приложения первого закона термодинамики показаны на рисунке \ (\ PageIndex {4} \). Одним из больших преимуществ законов сохранения, таких как первый закон термодинамики, является то, что они точно описывают начальную и конечную точки сложных процессов, таких как метаболизм и фотосинтез, без учета промежуточных осложнений.

Сводка

В таблице представлены термины, относящиеся к первому закону термодинамики.

• Первый закон термодинамики задается как \ (\ Delta U = Q — W \), где \ (\ Delta U \) — изменение внутренней энергии системы, \ (Q \) — чистая теплопередача (сумма всей теплопередачи в систему и из нее), а \ (W \) — чистая проделанная работа (сумма всей работы, проделанной в системе или ею).
• И \ (Q \), и \ (W \) — энергия в пути; только \ (\ Delta U \) представляет собой независимую величину, которую можно сохранить.
• Внутренняя энергия \ (U \) системы зависит только от состояния системы, а не от того, как она достигла этого состояния.
• Метаболизм живых организмов и фотосинтез растений — это особые виды передачи тепла, выполнения работы и внутренней энергии систем.

Первый закон термодинамики

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определите первый закон термодинамики.
• Опишите, как сохранение энергии соотносится с первым законом термодинамики.
• Укажите примеры первого закона термодинамики, работающие в повседневных ситуациях, включая биологический метаболизм.
• Рассчитать изменения внутренней энергии системы после учета теплопередачи и проделанной работы.

Рис. 1. Этот кипящий чайник представляет энергию в движении. Вода в чайнике превращается в водяной пар, потому что тепло передается от плиты к чайнику. По мере того, как вся система нагревается, работа выполняется — от испарения воды до свиста чайника. (кредит: Джина Гамильтон)

Если нас интересует, как теплопередача преобразуется в выполнение работы, тогда важен принцип сохранения энергии.Первый закон термодинамики применяет принцип сохранения энергии к системам, в которых передача тепла и выполнение работы являются методами передачи энергии в систему и из нее. Первый закон термодинамики гласит, что изменение внутренней энергии системы равно чистой теплопередаче в системе за вычетом чистой работы, выполненной системой. В форме уравнения первый закон термодинамики: Δ U = Q — W .

Здесь Δ U — изменение внутренней энергии U системы. Q — это чистое тепло , переданное в систему , то есть Q — это сумма всей теплопередачи в систему и из нее. W — это чистая работа , выполненная системой , то есть W — это сумма всей работы, выполненной в системе или ею. Мы используем следующие условные обозначения: если значение Q положительно, то в системе имеется чистый теплоперенос; если значение W положительное, значит, система выполняет чистую работу.Таким образом, положительный Q добавляет энергию в систему, а положительный W забирает энергию из системы. Таким образом, Δ U = Q — W . Также обратите внимание, что если в систему передается больше тепла, чем проделанной работы, разница сохраняется как внутренняя энергия. Тепловые двигатели — хороший тому пример — в них происходит передача тепла, чтобы они могли выполнять свою работу. (См. Рис. 2.) Теперь мы рассмотрим Q , W и Δ U далее.

Рисунок 2.Первый закон термодинамики — это принцип сохранения энергии, установленный для системы, в которой тепло и работа являются методами передачи энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии. Q представляет собой чистую теплопередачу — это сумма всех теплопередач в систему и из нее. Q положителен для чистой передачи тепла в систему. W — это общий объем работы, проделанной с системой. W является положительным, когда система выполняет больше работы, чем над ней.Изменение внутренней энергии системы Δ U связано с теплом и работой согласно первому закону термодинамики Δ U = Q — W .

Установление связей: закон термодинамики и закон сохранения энергии

Первый закон термодинамики — это закон сохранения энергии, сформулированный в форме, наиболее полезной в термодинамике. Первый закон устанавливает связь между теплопередачей, проделанной работой и изменением внутренней энергии системы.

Нагрев

Теплопередача ( Q ) и выполнение работы ( W ) — два повседневных средства подачи энергии в систему или отвода энергии из системы. Процессы совершенно разные. Теплообмен, менее организованный процесс, обусловлен разницей температур. Работа — это вполне организованный процесс, в котором действует макроскопическая сила, действующая на расстоянии. Тем не менее, тепло и работа могут дать одинаковые результаты, например, оба могут вызвать повышение температуры.Передача тепла в систему, например, когда Солнце нагревает воздух в велосипедной шине, может повысить ее температуру, и поэтому может работать над системой, например, когда велосипедист нагнетает воздух в шину. Как только произошло повышение температуры, невозможно сказать, было ли оно вызвано теплопередачей или работой. Эта неопределенность — важный момент. Теплообмен и работа — это энергия в пути, и ни одна из них не хранится как таковая в системе. Однако оба могут изменять внутреннюю энергию U системы.Внутренняя энергия — это форма энергии, полностью отличная от тепла или работы.

Внутренняя энергия

Мы можем думать о внутренней энергии системы двумя разными, но последовательными способами. Первый — это атомно-молекулярная точка зрения, которая исследует систему в атомном и молекулярном масштабе. Внутренняя энергия U системы — это сумма кинетической и потенциальной энергий ее атомов и молекул. Напомним, что кинетическая плюс потенциальная энергия называется механической энергией.Таким образом, внутренняя энергия — это сумма атомной и молекулярной механической энергии. Поскольку невозможно отследить все отдельные атомы и молекулы, мы должны иметь дело со средними значениями и распределениями. Второй способ взглянуть на внутреннюю энергию системы — с точки зрения ее макроскопических характеристик, которые очень похожи на средние атомные и молекулярные значения.

Макроскопически мы определяем изменение внутренней энергии Δ U как значение, определяемое первым законом термодинамики: Δ U = Q — W .

Многие подробные эксперименты подтвердили, что Δ U = Q — W , где Δ U — изменение полной кинетической и потенциальной энергии всех атомов и молекул в системе. Также экспериментально было определено, что внутренняя энергия U системы зависит только от состояния системы, а не от того, как она достигла этого состояния . Более конкретно, U , как обнаружено, является функцией нескольких макроскопических величин (например, давления, объема и температуры), независимо от прошлой истории, например от того, была ли проведена теплопередача или проделана работа.Эта независимость означает, что, зная состояние системы, мы можем вычислить изменения ее внутренней энергии U на основе нескольких макроскопических переменных.

Установление соединений: макроскопические и микроскопические

В термодинамике мы часто используем макроскопическую картину при расчетах поведения системы, в то время как атомная и молекулярная картина дает основные объяснения в терминах средних значений и распределений. Мы еще раз увидим это в следующих разделах этой главы.Например, в теме энтропии расчеты будут производиться с использованием атомно-молекулярного представления.

Чтобы лучше понять, как думать о внутренней энергии системы, давайте рассмотрим систему, переходящую из состояния 1 в состояние 2. Система имеет внутреннюю энергию U ₁ в состоянии 1 и имеет внутреннюю энергию. энергия U ₂ в состоянии 2, независимо от того, как он попал в любое состояние. Таким образом, изменение внутренней энергии Δ U = U ₂ — U ₁ не зависит от того, что вызвало изменение.Другими словами, Δ U не зависит от пути . Под путем мы подразумеваем способ добраться от начальной точки до конечной точки. Почему важна эта независимость? Обратите внимание, что Δ U = Q — W . И Q , и W зависят от пути , а Δ U — нет. Эта независимость от пути означает, что внутреннюю энергию U легче учитывать, чем теплопередачу или проделанную работу.

Пример 1.Расчет изменения внутренней энергии: одно и то же изменение в

1. Предположим, что теплопередача в систему составляет 40,00 Дж, в то время как система выполняет работу 10,00 Дж. Позже происходит передача тепла из системы на 25,00 Дж, в то время как в системе выполняется 4,00 Дж работы. Каково чистое изменение внутренней энергии системы?
2. Каково изменение внутренней энергии системы, когда в общей сложности 150,00 Дж теплопередачи происходит из (от) системы и 159?00 Дж работы выполнено в системе? (См. Рисунок 3).

Рис. 3. Два разных процесса производят одно и то же изменение в системе. (a) Всего в системе происходит передача тепла 15,00 Дж, в то время как работа потребляет в общей сложности 6,00 Дж. Изменение внутренней энергии составляет ΔU = Q-W = 9,00 Дж. (b) Теплопередача удаляет 150,00 Дж из система во время работы вкладывает в нее 159,00 Дж, увеличивая внутреннюю энергию на 9,00 Дж. Если система начинает работу в одном и том же состоянии в пунктах (а) и (б), она окажется в одном и том же конечном состоянии в любом случае — ее конечное состояние связано с внутренней энергией, а не с тем, как эта энергия была получена.

Стратегия

В части 1 мы должны сначала найти чистую теплопередачу и чистую работу, выполненную на основе данной информации. Тогда первый закон термодинамики (Δ U = Q — W ) может быть использован для определения изменения внутренней энергии. В части (b) приведены чистая теплопередача и проделанная работа, поэтому уравнение можно использовать напрямую.

Решение для Части 1

Чистая теплопередача — это теплопередача в систему за вычетом теплопередачи из системы, или

Q = 40.00 Дж — 25,00 Дж = 15,00 Дж.

Аналогично, общая работа — это работа, выполненная системой за вычетом работы, выполненной в системе, или

Вт = 10,00 Дж — 4,00 Дж = 6,00 Дж

Таким образом, изменение внутренней энергии определяется первым законом термодинамики:

Δ U = Q — W = 15,00 Дж — 6,00 Дж = 9,00 Дж

Мы также можем найти изменение внутренней энергии для каждого из двух шагов. Во-первых, рассмотрим теплопередачу 40,00 Дж в и 10.00 Дж работы, или Δ U ₁ = Q ₁ — W ₁ = 40,00 Дж — 10,00 Дж = 30,00 Дж

Теперь рассмотрим 25,00 Дж теплоотдачи на выходе и 4,00 Дж работы на входе, или

Δ U ₂ = Q ₂ — W ₂ = –25,00 Дж — (- 4,00 Дж) = –21,00 Дж

Общее изменение — это сумма этих двух шагов, или Δ U = Δ U ₁ + Δ U ₂ = 30.00 Дж + (-21,00 Дж) = 9,00 Дж.

Обсуждение части 1

Неважно, смотрите ли вы на процесс в целом или разбиваете его на этапы, изменение внутренней энергии одинаково.

Решение для Части 2

Здесь чистая теплопередача и общая работа даны непосредственно равными Q = –150,00 Дж и Вт = –159,00 Дж, так что

Δ U = Q — W = –150,00 Дж — (- 159,00 Дж) = 9,00 Дж.

Обсуждение части 2

Совершенно другой процесс в части 2 дает то же 9.Изменение внутренней энергии на 00 Дж, как в части 1. Обратите внимание, что изменение в системе в обеих частях связано с Δ U , а не с отдельными задействованными Q s или W s. Система оказывается в том же состоянии в обеих частях. Части 1 и 2 представляют два разных пути, которыми должна следовать система между одними и теми же начальными и конечными точками, и изменение внутренней энергии для каждой из них одинаково — оно не зависит от пути.

Метаболизм человека и первый закон термодинамики

Метаболизм человека — это преобразование пищи в теплообмен, работу и накопленный жир.Метаболизм — интересный пример действия первого закона термодинамики. Теперь мы еще раз посмотрим на эти темы с помощью первого закона термодинамики. Рассматривая тело как интересующую нас систему, мы можем использовать первый закон для изучения теплопередачи, выполнения работы и внутренней энергии в различных видах деятельности, от сна до тяжелых упражнений. Каковы некоторые из основных характеристик теплопередачи, выполнения работы и энергии в организме? Во-первых, температура тела обычно поддерживается постоянной за счет передачи тепла в окружающую среду.Это означает, что Q отрицательный. Другой факт: тело обычно работает с внешним миром. Это означает, что W положительный. В таких ситуациях тело теряет внутреннюю энергию, поскольку Δ U = Q — W отрицательно.

Теперь рассмотрим эффекты еды. Прием пищи увеличивает внутреннюю энергию тела за счет добавления химической потенциальной энергии (это неромантичный взгляд на хороший стейк). Организм метаболизирует всю пищу, которую мы потребляем.По сути, метаболизм — это процесс окисления, при котором высвобождается химическая потенциальная энергия пищи. Это означает, что питание осуществляется в форме работы. Энергия пищи указывается в специальной единице, известной как калория. Эта энергия измеряется сжиганием пищи в калориметре, как и определяются единицы.

В химии и биохимии одна калория (обозначается строчной буквой c) определяется как энергия (или передача тепла), необходимая для повышения температуры одного грамма чистой воды на один градус Цельсия.Диетологи и любители веса склонны использовать диетических калорий, которые часто называют калориями (пишется с заглавной буквы ° C). Одна пища Калория — это энергия, необходимая для повышения температуры одного килограмма воды на один градус Цельсия. Это означает, что одна диетическая калория для химика равна одной килокалории, и нужно быть осторожным, чтобы не путать их.

Опять же, рассмотрим внутреннюю энергию, потерянную телом. Эта внутренняя энергия может идти по трем направлениям — на передачу тепла, выполнение работы и накопленный жир (крошечная часть также идет на восстановление и рост клеток).Передача тепла и выполнение работы забирают внутреннюю энергию из тела, а пища возвращает ее. Если вы едите нужное количество пищи, ваша средняя внутренняя энергия остается постоянной. Все, что вы теряете на теплопередачу и выполнение работы, заменяется едой, так что в конечном итоге Δ U = 0. Если вы много раз переедаете, то Δ U всегда положительный, и ваше тело сохраняет эту дополнительную внутреннюю энергию в виде жира. Обратное верно, если вы едите слишком мало. Если Δ U будет отрицательным в течение нескольких дней, тогда организм метаболизирует собственный жир, чтобы поддерживать температуру тела и выполнять работу, которая забирает у тела энергию.Именно так соблюдение диеты способствует снижению веса.

Жизнь не всегда так проста, как знает любой человек, сидящий на диете. Тело накапливает жир или метаболизирует его только в том случае, если потребление энергии меняется в течение нескольких дней. После того, как вы сели на основную диету, следующая будет менее успешной, потому что ваше тело изменит способ реагирования на низкое потребление энергии. Ваша основная скорость метаболизма (BMR) — это скорость, с которой пища преобразуется в теплообмен и работу, выполняемую, когда организм находится в полном покое. Организм регулирует базальную скорость метаболизма, чтобы частично компенсировать переедание или недоедание.Организм будет снижать скорость метаболизма, а не устранять собственный жир, чтобы заменить потерянную еду. Вы легче простужаетесь и чувствуете себя менее энергичным в результате более низкой скорости метаболизма, и вы не будете терять вес так быстро, как раньше. Упражнения помогают похудеть, потому что они обеспечивают теплоотдачу от вашего тела и работы, а также повышают уровень метаболизма, даже когда вы находитесь в состоянии покоя. Снижению веса также способствует довольно низкая эффективность тела в преобразовании внутренней энергии в работу, так что потеря внутренней энергии в результате выполнения работы намного больше, чем проделанная работа.Однако следует отметить, что живые системы не находятся в тепловом равновесии.

Тело дает нам отличный показатель того, что многие термодинамические процессы необратимы . Необратимый процесс может идти в одном направлении, но не в обратном, при заданном наборе условий. Например, хотя телесный жир может быть преобразован для выполнения работы и передачи тепла, работа, выполняемая телом, и передача тепла в него не могут быть преобразованы в телесный жир. В противном случае мы могли бы пропустить обед, загорая или спустившись по лестнице.Другой пример необратимого термодинамического процесса — фотосинтез. Этот процесс представляет собой поглощение растениями одной формы энергии — света — и ее преобразование в химическую потенциальную энергию. Оба применения первого закона термодинамики показаны на рисунке 4. Одно большое преимущество законов сохранения, таких как первый закон термодинамики, состоит в том, что они точно описывают начальную и конечную точки сложных процессов, таких как метаболизм и фотосинтез, без учета осложнения между ними.В таблице 1 представлена ​​сводка терминов, относящихся к первому закону термодинамики.

Рис. 4. (а) Первый закон термодинамики применительно к метаболизму. Тепло, передаваемое из тела (Q), и работа, выполняемая телом (W), удаляют внутреннюю энергию, в то время как прием пищи заменяет ее. (Прием пищи можно рассматривать как работу, выполняемую телом.) (Б) Растения преобразуют часть лучистой теплопередачи в солнечном свете в запасенную химическую энергию — процесс, называемый фотосинтезом.

Сводка раздела

• Первый закон термодинамики задается как Δ U = Q — W , где Δ U — изменение внутренней энергии системы, Q — чистая теплопередача (сумма вся теплопередача в систему и из нее), а W — это чистая проделанная работа (сумма всей работы, проделанной в системе или ею).
• И Q , и W — энергия в пути; только Δ U представляет собой независимую величину, которую можно хранить.
• Внутренняя энергия U системы зависит только от состояния системы, а не от того, как она достигла этого состояния.
• Метаболизм живых организмов и фотосинтез растений — это особые виды передачи тепла, выполнения работы и внутренней энергии систем.

Концептуальные вопросы

1. Опишите фотографию чайника в начале этого раздела с точки зрения теплопередачи, проделанной работы и внутренней энергии. Как передается тепло? Какая работа и что делается? Как чайник поддерживает свою внутреннюю энергию?
2. Первый закон термодинамики и закон сохранения энергии, как обсуждалось в «Сохранении энергии», явно связаны.Чем они различаются по рассматриваемым видам энергии?
3. Теплопередача Q и выполненная работа W — это всегда энергия в пути, тогда как внутренняя энергия U — это энергия, запасенная в системе. Приведите пример каждого типа энергии и конкретно укажите, как он передается или находится в системе.
4. Чем отличаются теплопередача и внутренняя энергия? В частности, что можно сохранить как таковое в системе, а что нет?
5. Если вы сбежите по лестнице и остановитесь, что произойдет с вашей кинетической энергией и вашей начальной гравитационной потенциальной энергией?
6. Объясните, как пищевая энергия (калории) может рассматриваться как молекулярная потенциальная энергия (в соответствии с атомарным и молекулярным определением внутренней энергии).
7. Определите тип энергии, передаваемой вашему телу в каждом из следующих случаев: внутренняя энергия, теплопередача или выполнение работы: (а) купание в солнечном свете; (б) употребление пищи; (c) подъем на лифте на более высокий этаж.

Задачи и упражнения

1. Как изменится внутренняя энергия автомобиля, если в его бак залить 12 галлонов бензина? Энергетическая ценность бензина составляет 1,3 × 10 ⁸ Дж / галлон. Все остальные факторы, например температура в автомобиле, постоянны.
2. Сколько тепла происходит от системы, если ее внутренняя энергия уменьшилась на 150 Дж, пока она выполняла 30,0 Дж работы?
3. Система выполняет 1,80 × 10 ⁸ Дж работы, в то время как 7,50 × 10 ⁸ Дж теплопередачи происходит в окружающую среду. Каково изменение внутренней энергии системы при отсутствии других изменений (например, температуры или добавления топлива)?
4. Каково изменение внутренней энергии системы, которая выполняет 4,50 × 10 ⁵ Дж работы, пока 3.00 × 10 ⁶ Дж происходит теплопередача в систему, а 8.00 × 10 ⁶ Дж теплопередачи происходит в окружающую среду?
5. Предположим, что женщина выполняет 500 Дж работы, и в процессе работы происходит 9500 Дж передачи тепла в окружающую среду. а) Как уменьшается ее внутренняя энергия, если не меняется температура или потребление пищи? (То есть другой передачи энергии нет.) Б) Какова ее эффективность?
6. (а) Сколько пищевой энергии человек усвоит в процессе усвоения 35.0 кДж работы при КПД 5,00%? б) Сколько тепла передается в окружающую среду, чтобы поддерживать постоянную температуру?
7. (a) Какова средняя скорость метаболизма в ваттах человека, который усваивает 10 500 кДж пищевой энергии за один день? (б) Какое максимальное количество работы в джоулях он может выполнить без расщепления жира, предполагая максимальную эффективность 20,0%? (c) Сравните его производительность с дневной мощностью двигателя 187 Вт (0,250 лошадиных сил).
8. (a) На сколько времени хватит энергии в стакане йогурта на 1470 кДж (350 ккал) у женщины, выполняющей работу с мощностью 150 Вт с эффективностью 20?0% (например, при неспешном подъеме по лестнице)? (б) Означает ли время, указанное в части (а), легко потребить больше пищевой энергии, чем вы можете разумно ожидать, работая с упражнениями?
9. (a) Женщина, поднимающаяся на памятник Вашингтону, усваивает 6,00 × 10 ² кДж пищевой энергии. Если ее КПД составляет 18,0%, сколько тепла передается в окружающую среду, чтобы поддерживать ее температуру постоянной? (б) Обсудите величину теплопередачи, указанную в (а). Это согласуется с тем, что вы быстро разминаетесь во время тренировки?

Глоссарий

Первый закон термодинамики: гласит, что изменение внутренней энергии системы равно чистой теплопередаче в систему за вычетом чистой работы, выполненной системой

внутренняя энергия: сумма кинетической и потенциальной энергий атомов и молекул системы

метаболизм человека: преобразование пищи в теплообмен, работу и накопленный жир

Избранные решения проблем и упражнения

1.1,6 × 10 ⁹ Дж

3. −9.30 × 10 ⁸ Дж

5. (а) -1,0 × 10 ⁴ Дж, или -2,39 ккал; (б) 5,00%

7. (а) 122 Вт; (б) 2,10 × 10 ⁶ Дж; (c) Работа двигателя составляет 1,61 × 10 ⁷ Дж; таким образом, двигатель производит в 7,67 раз больше работы, чем человек

9. (a) 492 кДж; (б) Такое количество тепла соответствует тому факту, что вы быстро согреваетесь во время тренировки. Поскольку организм неэффективен, выделяемое избыточное тепло должно рассеиваться через потоотделение, дыхание и т. Д.

Первый закон термодинамики

Первый Закон

Первый закон термодинамики гласит, что изменение внутренней энергии системы равно чистой теплопередаче за вычетом чистой работы, выполненной системой.

Цели обучения

Объясните, как чистое переданное тепло и чистая работа, выполняемая в системе, соотносятся с первым законом термодинамики.

Основные выводы

Ключевые моменты

• Первый закон термодинамики — это версия закона сохранения энергии, специально предназначенная для термодинамических систем.
• В форме уравнения первый закон термодинамики выглядит так: [latex] \ Delta \ text {U} = \ text {Q} — \ text {W} [/ latex].
• Тепловые машины — хороший пример применения первого закона; в них происходит передача тепла, так что они могут выполнять работу.

Ключевые термины

• внутренняя энергия : сумма всей энергии, присутствующей в системе, включая кинетическую и потенциальную энергию; эквивалентно, энергия, необходимая для создания системы, за исключением энергии, необходимой для перемещения ее окружения.
• тепло : энергия, передаваемая от одного тела к другому за счет теплового взаимодействия
• Закон сохранения энергии : Закон, гласящий, что общее количество энергии в любой изолированной системе остается постоянным и не может быть создано или уничтожено, хотя оно может менять форму.

Первый закон термодинамики — это версия закона сохранения энергии, специально предназначенная для термодинамических систем. Обычно его формулируют, утверждая, что изменение внутренней энергии замкнутой системы равно количеству тепла, подаваемого в систему, за вычетом количества работы, выполняемой системой над ее окружением.Закон сохранения энергии можно сформулировать так: энергия изолированной системы постоянна.

Первый закон термодинамики : В этом видео я продолжаю серию обучающих видео по теплофизике и термодинамике. Он рассчитан на бакалавриат, и хотя он в основном нацелен на изучение физики, он должен быть полезен всем, кто изучает первый курс термодинамики, например инженерам и т. Д.

Если нас интересует, как теплопередача превращается в работу, важен принцип сохранения энергии.Первый закон термодинамики применяет принцип сохранения энергии к системам, в которых передача тепла и выполнение работы являются методами передачи энергии в систему и из нее. В форме уравнения первый закон термодинамики равен

Внутренняя энергия : Первый закон термодинамики — это принцип сохранения энергии, установленный для системы, в которой тепло и работа являются методами передачи энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии. Q представляет собой чистую теплопередачу — это сумма всех теплопередач в систему и из нее.Q положительно для чистой передачи тепла в систему. W — это общая работа, проделанная системой и над ней. W положительно, когда система выполняет больше работы, чем над ней. Изменение внутренней энергии системы ΔU связано с теплом и работой в соответствии с первым законом термодинамики ΔU = Q − W.

[латекс] \ Delta \ text {U} = \ text {Q} — \ text {W} [/ latex].

Здесь ΔU — это изменение внутренней энергии U системы, Q — чистое тепло, переданное системе, а W — чистая работа, выполненная системой.Мы используем следующие соглашения о знаках: если Q положительно, то в системе имеется чистый теплообмен; если W положительно, то система выполняет чистую работу. Таким образом, положительный Q добавляет энергию в систему, а положительный W забирает энергию из системы. Таким образом, ΔU = Q − W. Также обратите внимание, что если в систему передается больше тепла, чем проделанной работы, разница сохраняется как внутренняя энергия. Тепловые двигатели — хороший тому пример — в них происходит передача тепла, чтобы они могли выполнять свою работу.

Постоянное давление и объем

Изобарический процесс — это процесс, в котором газ действительно работает при постоянном давлении, а изохорный процесс — это процесс, в котором поддерживается постоянный объем.

Цели обучения

Контрастные изобарические и изохорные процессы

Основные выводы

Ключевые моменты

• Изобарный процесс происходит при постоянном давлении. Поскольку давление постоянно, прилагаемая сила постоянна, а выполненная работа выражается как PΔV.
• Изобарическое расширение газа требует теплопередачи для поддержания постоянного давления.
• Изохорный процесс — это процесс, в котором объем поддерживается постоянным, что означает, что работа, выполняемая системой, будет равна нулю.Единственное изменение будет заключаться в том, что газ приобретает внутреннюю энергию.

Ключевые термины

• внутренняя энергия : сумма всей энергии, присутствующей в системе, включая кинетическую и потенциальную энергию; эквивалентно, энергия, необходимая для создания системы, за исключением энергии, необходимой для перемещения ее окружения.

Согласно первому закону термодинамики, тепло, передаваемое системе, может быть преобразовано во внутреннюю энергию или использовано для работы с окружающей средой.Процесс, в котором газ воздействует на окружающую среду при постоянном давлении, называется изобарическим процессом, а процесс, в котором поддерживается постоянный объем, называется изохорическим процессом.

Изобарический процесс (постоянное давление)

Изобарный процесс происходит при постоянном давлении. Поскольку давление постоянно, прилагаемая сила постоянна, а выполненная работа выражается как PΔV. Примером может служить подвижный поршень в цилиндре, чтобы давление внутри цилиндра всегда было атмосферным, хотя он изолирован от атмосферы.Другими словами, система динамически связана подвижной границей с резервуаром постоянного давления. Если газ должен расширяться при постоянном давлении, тепло должно передаваться в систему с определенной скоростью. Этот процесс называется изобарическим расширением.

Рис. 1 : Изобарическое расширение газа требует теплопередачи во время расширения, чтобы поддерживать постоянное давление. Поскольку давление постоянно, проделанная работа равна PΔV.

Изохорный процесс (постоянный объем)

Изохорный процесс — это процесс, в котором объем поддерживается постоянным, что означает, что работа, выполняемая системой, будет равна нулю.Отсюда следует, что для простой двухмерной системы любая тепловая энергия, передаваемая системе извне, будет поглощена как внутренняя энергия. Изохорный процесс также известен как изометрический процесс или изоволюметрический процесс. Например, можно поместить в огонь закрытую жестяную банку, содержащую только воздух. В первом приближении баллончик не будет расширяться, и единственное изменение будет заключаться в том, что газ приобретает внутреннюю энергию, о чем свидетельствует повышение его температуры и давления. Математически

[латекс] \ Delta \ text {Q} = \ Delta \ text {U} [/ latex].

Можно сказать, что система динамически изолирована жесткой границей от окружающей среды.

Изотермические процессы

Изотермический процесс — это изменение термодинамической системы, в которой температура остается постоянной.

Цели обучения

Определите типичные системы, в которых происходит изотермический процесс

Основные выводы

Ключевые моменты

• Для идеального газа произведение давления на объем (PV) является постоянным, если газ находится в изотермических условиях.
• Для идеального газа работа, связанная с переходом газа из состояния A в состояние B в результате изотермического процесса, задается как [latex] \ text {W} _ {\ text {A} \ to \ text {B}} = \ text {nRT} \ ln {\ frac {\ text {V} _ \ text {B}} {\ text {V} _ \ text {A}}} [/ latex].
• Для многих систем, если температура поддерживается постоянной, внутренняя энергия системы также остается постоянной. Отсюда следует, что в этом случае Q = -W.

Ключевые термины

• обратимый : Возможность возврата в исходное состояние без потребления свободной энергии и увеличения энтропии. {\ text { V} _ \ text {B}} \ frac {1} {\ text {V}} \ text {dV} = \ text {nRT} \ ln {\ frac {\ text {V} _ \ text {B}} {\ text {V} _ \ text {A}}} [/ latex].

  Также стоит отметить, что для многих систем, если температура поддерживается постоянной, внутренняя энергия системы также остается постоянной, и поэтому [latex] \ Delta \ text {U} = 0 [/ latex]. Из первого закона термодинамики следует, что [latex] \ text {Q} = — \ text {W} [/ latex] для того же изотермического процесса.

  Адиабатические процессы

  Адиабатический процесс — это любой процесс, происходящий без увеличения или уменьшения тепла в системе.

  Цели обучения

  Оценить среду, в которой обычно происходят изотермические процессы

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Адиабатические процессы могут возникать, если контейнер системы имеет теплоизолированные стенки или процесс происходит за очень короткое время.
  • Для адиабатически расширяющегося идеального одноатомного газа, который действительно воздействует на окружающую среду (W положительно), внутренняя энергия газа должна уменьшаться.
  • В некотором смысле изотермический процесс можно рассматривать как противоположную крайность адиабатического процесса. В изотермических процессах теплообмен идет достаточно медленно, чтобы температура системы оставалась постоянной.

  Ключевые термины

  • Закон Бойля : Наблюдение, согласно которому давление идеального газа обратно пропорционально его объему при постоянной температуре.
  • идеальный газ : гипотетический газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом и подвергаются упругому столкновению друг с другом и со стенками контейнера.
  • обратимый : Возможность возврата в исходное состояние без потребления свободной энергии и увеличения энтропии.

  Изотермический процесс — это изменение системы, в которой температура остается постоянной: ΔT = 0. Обычно это происходит, когда система находится в контакте с внешним тепловым резервуаром (термостатом), и изменение происходит достаточно медленно, чтобы позволить система для постоянного регулирования температуры резервуара за счет теплообмена.Напротив, адиабатический процесс — это когда система не обменивается теплом с окружающей средой (Q = 0). (См. Наш атом в «Адиабатическом процессе».) Другими словами, в изотермическом процессе значение ΔT = 0, но Q 0, в то время как в адиабатическом процессе ΔT ≠ 0, но Q = 0.

  Идеальный газ в изотермическом процессе

  В идеале произведение давления на объем (PV) является постоянным, если газ находится в изотермических условиях. (Исторически это называется законом Бойля.) Однако случаи, когда PV продукта является экспоненциальным членом, не соблюдаются.Значение константы равно nRT, где n — количество моль присутствующего газа, а R — постоянная идеального газа. Другими словами, применяется закон идеального газа PV = nRT. Это означает, что

  [латекс] \ text {P} = \ frac {\ text {nRT}} {\ text {V}} = \ frac {\ text {constant}} {\ text {V}} [/ latex]

  трюмов. Семейство кривых, порожденных этим уравнением, показано на. Каждая кривая называется изотермой.

  Изотермы идеального газа : Несколько изотерм идеального газа на фотоэлектрической диаграмме.{\ text {V} _ \ text {B}} \ text {P} \, \ text {dV} [/ latex].

  Для изотермического обратимого процесса этот интеграл равен площади под соответствующей изотермой давление-объем и обозначен синим цветом in для идеального газа. Опять же, применяется P = nRT / V, и если T является постоянным (поскольку это изотермический процесс), мы имеем

  Работа, выполненная газом во время расширения : Синяя область представляет «работу», совершаемую газом во время расширения для этого изотермического изменения.

  [латекс] \ text {W} _ {\ text {A} \ to \ text {B}} = \ text {nRT} \ int _ {\ text {V} _ \ text {A}} ^ {\ text { V} _ \ text {B}} \ frac {1} {\ text {V}} \ text {dV} = \ text {nRT} \ ln {\ frac {\ text {V} _ \ text {B}} {\ text {V} _ \ text {A}}} [/ latex].

  Также стоит отметить, что для многих систем, если температура поддерживается постоянной, внутренняя энергия системы также остается постоянной, и поэтому [latex] \ Delta \ text {U} = 0 [/ latex]. Из первого закона термодинамики следует, что [latex] \ text {Q} = — \ text {W} [/ latex] для того же изотермического процесса.

  Метаболизм человека

  Первый закон термодинамики объясняет метаболизм человека: преобразование пищи в энергию, которая используется телом для выполнения действий.

  Цели обучения

  Противоположный катаболизм и анаболизм в отношении энергии

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Метаболизм человека — сложный процесс. Первый закон термодинамики описывает начало и конец этих процессов.
  • Наше тело теряет внутреннюю энергию. Эта внутренняя энергия может идти по трем направлениям — к теплопередаче, выполнению работы и накоплению жира.
  • Наш организм представляет собой хороший пример необратимых процессов.Хотя телесный жир может быть преобразован для выполнения работы и передачи тепла, работа, выполняемая телом, и передача тепла в него не могут быть преобразованы в телесный жир.

  Ключевые термины

  • метаболизм : Полный набор химических реакций, происходящих в живых клетках.
  • окисление : реакция, в которой атомы элемента теряют электроны и валентность элемента увеличивается.
  • калория : энергия, необходимая для повышения температуры 1 килограмма воды на 1 кельвин.Это эквивалентно 1000 (маленьких) калорий.

  Метаболизм человека — это преобразование пищи в энергию, которая затем используется организмом для выполнения действий. Это пример действия первого закона термодинамики. Рассматривая тело как интересующую нас систему, мы можем использовать первый закон для изучения теплопередачи, выполнения работы и внутренней энергии в различных видах деятельности, от сна до тяжелых упражнений. Например, одним из основных факторов в таких действиях является температура тела, обычно поддерживаемая постоянной за счет передачи тепла в окружающую среду, что означает, что Q отрицательно (т.е.е., наше тело теряет тепло). Другой фактор заключается в том, что тело обычно работает с внешним миром, а это означает, что W положительна. Таким образом, в таких ситуациях тело теряет внутреннюю энергию, поскольку ΔU = Q − W отрицательно.

  Еда

  Теперь рассмотрим эффекты еды. Организм метаболизирует всю пищу, которую мы потребляем. Прием пищи увеличивает внутреннюю энергию тела за счет добавления химической потенциальной энергии. По сути, метаболизм использует процесс окисления, в котором высвобождается химическая потенциальная энергия пищи.Это означает, что питание осуществляется в форме работы. Энергия пищи указывается в специальной единице, известной как калория. Эта энергия измеряется сжиганием пищи в калориметре, как и определяются единицы.

  Катаболизм и анаболизм

  Катаболизм — это путь, который расщепляет молекулы на более мелкие единицы и производит энергию. Анаболизм — это образование молекул из более мелких единиц. Анаболизм использует энергию, произведенную катаболическим расщеплением вашей пищи, для создания молекул, более полезных для вашего тела.

  Внутренняя энергия

  Наше тело теряет внутреннюю энергию, и есть три места, куда эта внутренняя энергия может идти — на передачу тепла, выполнение работы и накопленный жир (крошечная часть также идет на восстановление и рост клеток). Как показано на рис. 1, передача тепла и выполнение работы забирают внутреннюю энергию из тела, а затем пища возвращает ее. Если вы едите нужное количество пищи, ваша средняя внутренняя энергия остается постоянной. Все, что вы теряете на теплопередачу и выполнение работы, заменяется едой, так что в конечном итоге ΔU = 0.Если вы постоянно переедаете, то ΔU всегда положительно, и ваше тело сохраняет эту дополнительную внутреннюю энергию в виде жира. Обратное верно, если вы едите слишком мало. Если ΔU отрицательное в течение нескольких дней, тогда организм метаболизирует собственный жир, чтобы поддерживать температуру тела и выполнять работу, которая забирает у тела энергию. Именно так соблюдение диеты способствует снижению веса.

  Метаболизм : (а) Первый закон термодинамики применительно к метаболизму. Тепло, передаваемое из тела (Q), и работа, выполняемая телом (W), удаляют внутреннюю энергию, в то время как прием пищи заменяет ее.(Прием пищи можно рассматривать как работу, выполняемую организмом.) (Б) Растения преобразуют часть лучистой теплопередачи солнечного света в запасенную химическую энергию, этот процесс называется фотосинтезом.

  Метаболизм

  Жизнь не всегда так проста, как знает любой человек, сидящий на диете. Тело накапливает жир или метаболизирует его только в том случае, если потребление энергии меняется в течение нескольких дней. После того, как вы сели на основную диету, следующая будет менее успешной, потому что ваше тело изменит способ реагирования на низкое потребление энергии.Ваша основная скорость метаболизма — это скорость, с которой пища преобразуется в теплообмен и работу, выполняемую в то время, когда тело находится в полном покое. Организм регулирует базальную скорость метаболизма, чтобы компенсировать (частично) переедание или недоедание. Организм будет снижать скорость метаболизма, а не устранять собственный жир, чтобы заменить потерянную еду. Вам будет легче охладиться, и вы почувствуете себя менее энергичным в результате более низкой скорости метаболизма, и вы не будете терять вес так быстро, как раньше. Упражнения помогают сбросить вес, потому что они обеспечивают теплоотдачу от вашего тела и работы, а также повышают уровень метаболизма, даже когда вы находитесь в состоянии покоя.

  Необратимость

  Тело является прекрасным свидетельством того, что многие термодинамические процессы необратимы. Необратимый процесс может идти в одном направлении, но не в обратном, при заданном наборе условий. Например, хотя телесный жир может быть преобразован для выполнения работы и передачи тепла, работа, выполняемая телом, и передача тепла в него не могут быть преобразованы в телесный жир. В противном случае мы могли бы пропустить обед, загорая или спустившись по лестнице. Другой пример необратимого термодинамического процесса — фотосинтез.Этот процесс представляет собой поглощение растениями одной формы энергии — света — и ее преобразование в химическую потенциальную энергию. Оба применения первого закона термодинамики проиллюстрированы в. Одно большое преимущество таких законов сохранения состоит в том, что они точно описывают начальную и конечную точки сложных процессов (таких как метаболизм и фотосинтез) без учета промежуточных осложнений.

  12.2 Первый закон термодинамики: тепловая энергия и работа

  Биология: биологическая термодинамика

  Мы часто думаем о термодинамике, как о полезной для изобретения или тестирования оборудования, такого как двигатели или паровые турбины.Однако термодинамика также применима к живым системам, таким как наши собственные тела. Это составляет основу биологической термодинамики (рис. 12.7).

  Рис. 12.7 (а) Первый закон термодинамики применим к метаболизму. Тепло, передаваемое из тела (Q), и работа, выполняемая телом (W), удаляют внутреннюю энергию, тогда как прием пищи заменяет ее. (Прием пищи можно рассматривать как работу, выполняемую телом.) (Б) Растения преобразуют часть лучистой энергии солнечного света в запасенную химическую энергию — процесс, называемый фотосинтезом .

  Сама жизнь зависит от биологической передачи энергии. Посредством фотосинтеза растения поглощают солнечную энергию и используют эту энергию для преобразования углекислого газа и воды в глюкозу и кислород. Фотосинтез принимает одну форму энергии — свет — и преобразует ее в другую форму — химическую потенциальную энергию (глюкозу и другие углеводы).

  Метаболизм человека — это преобразование пищи в энергию, выделяемую теплом, работой, выполняемой клетками организма, и накопленным жиром.Метаболизм — интересный пример действия первого закона термодинамики. Прием пищи увеличивает внутреннюю энергию тела за счет добавления химической потенциальной энергии; это неромантичный взгляд на хороший буррито.

  Организм усваивает всю пищу, которую мы потребляем. По сути, метаболизм — это процесс окисления, при котором высвобождается химическая потенциальная энергия пищи. Это означает, что питание осуществляется в форме работы. Упражнения помогают вам похудеть, поскольку они обеспечивают передачу энергии от вашего тела как за счет тепла, так и за счет работы, а также повышают уровень метаболизма, даже когда вы находитесь в состоянии покоя.

  Биологическая термодинамика также включает изучение трансдукции между клетками и живыми организмами. Трансдукция — это процесс, при котором генетический материал — ДНК — передается от одной клетки к другой. Это часто происходит во время вирусной инфекции (например, гриппа), и именно так вирус распространяется, а именно путем передачи своего генетического материала все большему количеству ранее здоровых клеток. Как только достаточное количество клеток заражается, вы начинаете ощущать воздействие вируса (симптомы гриппа — мышечная слабость, кашель и заложенность носа).

  Энергия передается вместе с генетическим материалом и, таким образом, подчиняется первому закону термодинамики. Энергия передается — а не создается и не уничтожается — в процессе. Когда с элементом выполняется работа или тепло передает энергию ячейке, внутренняя энергия ячейки увеличивается. Когда клетка работает или теряет тепло, ее внутренняя энергия уменьшается. Если количество работы, выполняемой ячейкой, такое же, как количество энергии, передаваемой теплом, или количество работы, выполняемой ячейкой, соответствует количеству энергии, передаваемой теплом, чистого изменения внутренней энергии не будет. .

  Проверка захвата

  Исходя из того, что вы знаете о теплопередаче и о первом законе термодинамики, нужно ли вам есть больше или меньше, чтобы поддерживать постоянный вес в холодную погоду? Объяснить, почему.

Сравнение чисел. Видеоурок. Математика 6 Класс

Положительные числа мы используем для обозначения разных количеств – целых и дробных. Например, три яблока, полтора литра молока.

Отрицательных количеств не существует. Отрицательные числа – это инструмент для упрощения расчетов.

Например, таких:

Ключ имеет одну функцию – открывать или закрывать замок. Если нет замка, то ключ практически бесполезен, ему трудно найти применение.

Так и отрицательные числа – без самого «замка», без различных математических расчетов они используются не очень много.

Тем не менее есть и прямое применение отрицательным числам. Вы можете пройти по ссылке, где мы обсуждаем использование отрицательных чисел в окружающем мире.

Как мы понимали, что одно положительное число больше другого?

Из 8 яблок можно взять 5 яблок. 5 – это часть восьми. Поэтому мы с вами и знаем, что 5 меньше 8.

Но про числа -8 и -5 нельзя сказать, что одно – часть другого. Отрицательного количества не существует.

Но что же такое тогда отрицательное число?

Отрицательное число – это и число, и знак вычитания.

Что значит к 10 добавить -8?

Это значит вычесть 8.

А добавить -5 – означает вычесть 5.

Мы к одному и тому же числу 10 добавили два разных отрицательных. Во втором случае результат был больше. Естественно считать, что второе отрицательное число было больше.

То есть чем большее число мы вычитаем, тем меньше будет результат. Это очевидно, но если это записать на языке отрицательных чисел, то мы и получим правила их сравнения.

Сформулируем теперь правила, как сравнивать отрицательные числа друг с другом или с положительными.

1. Все отрицательные числа меньше всех положительных. Между ними находится ноль. То есть ноль меньше любого положительного числа, но больше любого отрицательного.

Почему это так?

Если мы к числу прибавляем положительное число, то число увеличится; если ноль, то не изменится; если вычтем положительное, то число уменьшится. Но добавление отрицательного числа и означает вычитание.

2. Чем больше положительное число, тем меньше противоположное ему отрицательное число.

Например, , поэтому .

Это и понятно, ведь если отнять 20, то результат будет меньше, чем если отнять 10.

Если у числа не обращать внимания на знак, то получающееся число мы называем модулем.

У числа -23 и у 23 одинаковые модули, 23.

Тогда про отрицательные числа можно сказать и так.

Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль.

Вернемся к такой функции чисел, как порядок.

Когда мы едем по дороге, то через равные промежутки нам встречаются километровые столбы с обозначением пройденного расстояния. В математике мы сделали аналог такой дороги – числовой луч. Числа на луче соответствуют точкам, и наоборот.

«Одно число больше другого» теперь означает, что «одна точка правее другой». Чем правее точка, тем больше соответствующее ей число, мы это число называем координатой (см. рис. 1).

Рис. 1. Числовой луч

Теперь, когда у нас есть отрицательные числа, мы можем расширить нашу модель. Вместо луча мы уже берем целую прямую и влево от нуля откладываем отрицательные числа.

Правило «чем правее точка, тем больше число» сохраняется и для левой части прямой.

Точка с координатой -5 правее точки с координатой -8. Это эквивалентно тому, что .

Шкала уличного термометра – пример, как такую числовую прямую можно применить в жизни (см. рис. 2).

Рис. 2. Термометр

Потренируемся сравнивать числа.

1.  25 641 и -25 642

Тут все просто: отрицательное число всегда меньше положительного.

2.  -25 641 и -25 642

Оба числа отрицательны. Значит, нужно сравнить их модули. У второго числа модуль больше, значит, само число меньше.

3. -75,47 и -75,53

4.  и 

Сначала сравним модули этих чисел:

 и 

Разложим на множители оба знаменателя. Общий знаменатель – это три тройки и одна пятерка. Домножим у первой дроби числитель и знаменатель на две тройки, а у второй – на 5.

Получаем две дроби с одинаковыми знаменателями. Считать их не будем. Но числитель первой дроби больше второго.

Первая дробь больше.

Значит:

И тогда:

Итак, подведем итог.

• Отрицательные числа появляются как инструмент, упрощающий вычисления.
• Договоренность про сравнение этих чисел следующая:

1) Любое отрицательное число меньше любого положительного.

2) Ноль находится между всеми отрицательными и всеми положительными числами (больше любого отрицательного и меньше любого положительного).

3) Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.

• Кроме того, что отрицательные числа упрощают вычисления, в обычной жизни им тоже нашли применение.  Например, для упорядочивания, для обозначения температуры по шкале Цельсия, этажей ниже первого.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я. Жохов В.И.Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт matematika-na.ru (Источник)

2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

3. Интернет-сайт «Школьная математика» (Источник)

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012 (ссылка см. 1.2).

2. Домашнее задание: № 976, № 981, № 996 

3. Другие задания: № 980, № 998, № 1000

interneturok.ru

Сравнение чисел. | tutomath

Сравнение целых чисел.

Любые числа можно сравнивать в том числе и целые числа. Целые числа отличаются от натуральных тем, что добавляются отрицательные целые числа. А как сравнивать целые положительные и целые отрицательные числа мы рассмотрим в этой теме.

Сравнение целых положительных чисел с нулем.

Пример:
Нам нужно сравнить числа 0 и 3. Если подумает, то число нуль несет в себе смысл, того что он обозначает отсутствие предметов, например, в корзине нет яблок. Число три означает, что в корзине 3 яблока. Поэтому делаем вывод, что число 0 меньше 3 или запишем математически 0<3.

Посмотрим на числовой прямой. Видим, что число 3 правее числа 0.

Можно сделать вывод, что число, находящееся правее больше числа слева.

Любое целое положительное число больше нуля.

Сравнение целых отрицательных чисел с нулем.

Сравним теперь целые числа -4 и 0. Посмотрим на координатную прямую.

Видно, что число -4 лежит левее нуля, поэтому -4 меньше 0 или запишем математически -4<0.

Любое целое отрицательное число меньше нуля.

Сравнение целых отрицательных и положительных чисел.

Теперь сравним числа -3 и 2.

Посмотрим на координатной прямой расположение чисел -3 и 2.

Число 2 лежит правее числа -3, значит число 2 больше -3 или запишем математически 2>-3.

Любое целое положительное число больше целого отрицательного числа.

Сравнение целых отрицательных чисел.

Сравним целые числа -1 и -4. Посмотрим на координатную прямую.

Видно, что число -1 лежит правее числа -4, поэтому -4<-1.

При сравнении целых отрицательных чисел больше, то число которое меньше по модулю или меньше, то число которое больше по модулю.

Например, сравним целые отрицательные числа -231 и -243.

Модуль этих чисел будет равен |-231|=231 и |-243|=243. Так как модуль числа 243 больше модуля числа 231.

243>231

то у целых отрицательных чисел получится -243 меньше -231.

-243<-231

Вопросы по теме:
Назовите наибольшее отрицательное целое число?
Ответ: правее стоит из всех отрицательных целых чисел -1.

Назовите наименьшее положительное целое число?
Ответ: левее всех стоит 1 из всех положительных целых чисел.

Пример №1:
Расставьте в порядке возрастания целые числа 1, -3, 0, 10, -5.
Ответ: -5, -3, 0, 1, 10.

tutomath.ru

Сравнение целых чисел: правила, примеры

После того, как получили полное представление о целых числах, можно говорить об их сравнении.  Для этого выясняется, какие числа равные и неравные. Разберутся правила, благодаря которым выясняем, какие из двух неравных больше или меньше. Это правило основано на сравнении натуральных чисел. Будет рассмотрено сравнение трех и более целых чисел, нахождение наименьшего и наибольшего целого числа из заданного множества.

Равные и неравные целые числа

Сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны либо не равны. Рассмотрим определения.

Два целых числа называют равными, когда их запись полностью совпадает. Иначе они считаются неравными.

Отдельное место для обсуждения имеет 0 и -0. Противоположное число -0 и есть 0,  в этом случает эти два числа равнозначны.

Определение поможет сравнить заданные два числа. Возьмем, например, числа -95 и -95. Их запись полностью совпадает, то есть они считаются равными. Если взять числа 45 и -6897, то визуально видно, что они отличаются и не считаются равными. Они имеют разные знаки.

Если числа равные, это записывается при помощи знака «=». Его расположение идет между числами. Если возьмем числа -45 и -45, то они равны. Запись принимает вид -45=-45. В случае, если числа неравны, тогда применяется знак «≠». Рассмотрим на примере двух чисел: 57 и -69. Эти числа целые, но не равные, так как запись отличается друг от друга.

При сравнивании чисел используется правило модуля числа.

Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными. Иначе их называют не равными.

Рассмотрим на примере данное определение.

Например, даны два числа -709 и -712. Выяснить, равны ли они.

Видно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется модуль числа. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не равны ни по модулю, ни без него.

Значит,

zaochnik.com

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

(−∞; +∞)

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

−4 < −1

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

0 > −3

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

0 < 4

Ноль меньше, чем четыре

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Сравните числа −2 и 1

Задание 2. Сравните числа −5 и −2

Задание 3. Сравните числа −5 и −16

Задание 4. Сравните числа 15 и 20

Задание 5. Сравните числа −7 и 0

Задание 6. Сравните числа 5 и 0

Задание 7. Сравните числа 5 и 7

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

spacemath.xyz

Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

4 > 1

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное  правило

Находим модули чисел:

|4| = 4

|1| = 1

Сравниваем найденные модули:

4 > 1

Отвечаем на вопрос:

4 > 1

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

|−3| = 3

|−1| = 1

Сравниваем найденные модули:

3 > 1

Отвечаем на вопрос:

−3 < −1

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1. Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой

Видно, что число −3 лежит левее, чем −1. А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

−4 < 2

Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».

Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса

−4 < +2

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что    меньше, чем

Пример 2. Сравнить рациональные числа   и 

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем  , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 3. Сравнить числа 2,34 и

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34  больше, чем 

2,35 > 

Пример 4. Сравнить рациональные числа   и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное  больше, чем  , потому что модуль числа  меньше, чем модуль числа

Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и 

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем

Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

4,530

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

|4,530| = 4,530

|4,403| = 4,403

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

4,53 > 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа   и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число  в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное  больше, чем  , потому что модуль числа  меньше, чем модуль числа 

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

|15| = 15

|2| = 2

15 > 2

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

15,4 > 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

15,4000   2,1256

154000 > 21256

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

|−15| = 15

|−0| = 0

15 > 0

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

 −0,152 > −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

|−3| = 3

|−3| = 3

3 = 3

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

|−3,4| = 3,4

|−3,7| = 3,7

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

−3,4 > −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и 

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью  . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)

0,(3)  < 

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

spacemath.xyz

Сравнение чисел: положительных, отрицательных

Сравнение чисел — одна из самых легких и приятных тем из курса математики. Впрочем, нужно сказать, что она не так уж и проста. Например, мало кто испытывает трудности со сравнением однозначных или двузначных положительных чисел.

Но числа с большим количеством знаков уже вызывают проблемы, часто люди теряются при сравнении отрицательных чисел и не помнят, как сравнить два числа с разными знаками. На все эти вопросы мы и постараемся ответить.

Правила относительно сравнения положительных чисел

Начнем с самого простого — с чисел, перед которыми не стоит никакого знака, то есть с положительных.

• Прежде всего, стоит запомнить, что все положительные числа по определению больше нуля, даже если речь идет о дробном числе без целого. Например, десятичная дробь 0,2 будет больше, чем нуль, поскольку на координатной прямой соответствующая ей точка все-таки отстоит от нуля на два небольших деления.
• Если речь идет о сравнении двух положительных чисел с большим количеством знаков, то нужно сравнивать каждый из разрядов. Например — 32 и 33. Разряд десятков у этих чисел одинаков, но число 33 больше, поскольку в разряде единиц «3» больше, чем «2».
• Как сравнить между собой две десятичные дроби? Здесь нужно смотреть прежде всего на целую часть — например, дробь 3,5 будет меньше, чем 4,6. А если целая часть одинакова, но различаются знаки после запятой? В этом случае действует правило для целых чисел — нужно сравнивать знаки по разрядам до тех пор, пока не обнаружатся большие и меньшие десятые, сотые, тысячные доли. Например — 4,86 больше 4,75, поскольку восемь десятых больше, чем семь.

Сравнение отрицательных чисел

Если у нас в задаче есть некие числа –а и –с, и нам нужно определить, какое из них больше, то применяется универсальное правило. Сначала выписываются модули этих чисел — |a| и |с| — и сравниваются между собой. То число, модуль которого больше, окажется меньшим в сравнении отрицательных чисел, и наоборот — большим числом будет то, модуль которого меньше.

Что делать, если сравнить нужно отрицательное и положительное число?

Здесь работает всего одно правило, и оно элементарно. Положительные числа всегда больше чисел со знаком «минус» — какими бы они ни были. Например, число «1» всегда будет больше числа «-1458» просто потому, что единица стоит справа от нуля на координатной прямой.

Также нужно помнить, что любое отрицательное число всегда меньше нуля.

Похожие статьи

infoogle.ru

Сравнение чисел — методическая рекомендация. Математика, 6 класс.

www.yaklass.ru

Признаки параллелограмма. Задачи на доказательство. Задание 25. — 19 Марта 2017 — Блог

Задачи: 1 Изучить дополнительные свойства параллелограмма; 2 Показать применение дополнительных свойств параллелограмма к решению задач

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №20»

Секция «МАТЕМАТИКА»

Дополнительные признаки параллелограмма

Выполнил: ученик 9 и/м класса

Сбоев Андрей

Руководитель: учитель математики

Сорочкина О.А.

Междуреченск 2009г.

Цель: Изучение дополнительных свойств параллелограмма.

Задачи: 1)Изучить дополнительные свойства параллелограмма;
2) Показать применение дополнительных свойств параллелограмма к

решению задач.

Актуальность темы: Применение дополнительных свойств параллелограмма делает решение задач более простым и позволяет быстрее придти к нужному результату.

Введение.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные углы равны и диагональ разделяет его углы пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольник, ни ромб. Полная теория параллелограмма была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в 17 веке. Все теоремы о параллелограмме основываются непосредственно или косвенно на теореме о параллелограмме Евклида.

Определение: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

В курсе геометрии 8 класса изучается два свойства параллелограмма.

Рассмотрим дополнительные признаки параллелограмма.

Дополнительные признаки параллелограмма.

1°Сумма двух соседних углов параллелограмма равна .

Дано:

ABCD – параллелограмм Доказать:

A +B =

Доказательство:

Пусть А = x, а B = y, тогда составляем уравнение:

1. так как A = C C = x

2. так как D = B D = y

3. x + x +y + y =

2(x + y) =

x + y = A +B = , ч.т.д.

2° Биссектриса острого угла отсекает в параллелограмме равнобедренный треугольник.

Д

2

ABCD – параллелограмм

АЕ – биссектриса А

Доказать:

АВЕ – равнобедренный

Доказательство:

1. ВС||АD, AE – секущая 3 = 2 как накрест лежащие

2. AE – биссектриса A 1 = 3

3. 1 = 3, 2 = 3 1 = 2 АВЕ – равнобедренный (так как углы при основании равны).

3°Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Д

К

N

A

О

АК – биссектриса А

D

К

Доказать:

NОК =

Доказательство:

Пусть 1 = x, тогда А = 2x (AK – биссектриса А), а

3 = y, тогда D = 2y (DN – биссектриса D).

1. А + D = (2x + 2y) = (сумма соседних углов равна )

2(x + y) =

x + y =

2. 1 = 3 = 5 = (сумма углов треугольника равна )ч.т.д.

4°.Биссектрисы противоположенных улов параллелограмма лежат на параллельных прямых.

Д

В

С

Е

А

3

4

А

5

Доказать: AE ||CF

Доказательство:

1) 1 = 2, так как АЕ – биссектриса.

2) ВС || AD, АЕ – секущая 2 =3 (как накрест лежащие).

3) 1 = 2 = 4 = 5.

4) Из пункта 2 и 3 следует 3 = 4.

5) Рассмотрим прямые АЕ и СF и секущую ВС.

АЕ || CF ч.т.д.

Рассмотрим задачу №1. В параллелограмме АВСD угол А равен 72°. Найдите другие углы параллелограмма АВСD.

Решение:

Рассмотрим задачу №2. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АЕ угла ВАD. Угол ЕАD равен 32°. Найдите С.

Решение:

Рассмотрим задачу №3. В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов ABC и ВСD пересекаются в точке М₁. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что точки А, В, К и D, С, Р расположены друг за другом. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М₂. Найдите М₁М₂.

Рассмотрим задачу №4. В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы противоположных углов АМ и СN. Докажите, что АМСN параллелограмм.

Вывод: Применение данных свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее придти к нужному результату.

Литература

1. С.Акимова. Занимательная математика. – Санкт – Петербург, «Тритон», 1997

2. Лазук Н.Я. Внеклассная работа по математике в средней школе. – Минск, 1987

Параллелограмм — Геометрия 8 класс

На про­шлом уроке мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка. Те­перь изу­чим част­ный слу­чай мно­го­уголь­ни­ка – че­ты­рех­уголь­ник, а точ­нее – част­ный слу­чай че­ты­рех­уголь­ни­ка – па­рал­ле­ло­грамм.

Па­рал­ле­ло­грамм – это че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Па­рал­ле­ло­грамм

То есть, если даны две па­рал­лель­ные пря­мые, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют еще две па­рал­лель­ные пря­мые, то они об­ра­зу­ют фи­гу­ру, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом .

Из того, что  – па­рал­ле­ло­грамм, можно сде­лать сле­ду­ю­щие вы­во­ды: . Верно и об­рат­ное утвер­жде­ние: если , то че­ты­рёх­уголь­ник  – па­рал­ле­ло­грамм.

По­ми­мо дан­но­го опре­де­ле­ния, можно дать ещё несколь­ко эк­ви­ва­лент­ных, од­на­ко мы оста­но­вим­ся имен­но на таком, клас­си­че­ском опре­де­ле­нии па­рал­ле­ло­грам­ма, и сфор­му­ли­ру­ем свой­ства дан­ной фи­гу­ры, поль­зу­ясь па­рал­лель­но­стью её про­ти­во­по­лож­ных сто­рон.

Свой­ство 1. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны и углы по­пар­но равны.

Дано:                                                             

 – па­рал­ле­ло­грамм ().

До­ка­зать: ; .

До­ка­за­тель­ство:

По­сколь­ку нам ни­че­го не из­вест­но, кроме того, что  – па­рал­ле­ло­грамм, то при до­ка­за­тель­стве дан­но­го свой­ства мы будем поль­зо­вать­ся опре­де­ле­ни­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, то есть па­рал­лель­но­стью его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон.

Про­ве­дем диа­го­наль  и рас­смот­рим два по­лу­чен­ных тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 2.).

Они имеют общую сто­ро­ну . Эта сто­ро­на  яв­ля­ет­ся се­ку­щей при па­рал­лель­ных пря­мых .

Рис. 2

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством па­рал­лель­ных пря­мых, а имен­но: внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых равны. В нашем слу­чае в роли внут­рен­них на­крест ле­жа­щих углов при па­рал­лель­ных пря­мых  и се­ку­щей  вы­сту­па­ют углы . Ана­ло­гич­ное ра­вен­ство можно по­лу­чить и для внут­рен­них на­крест ле­жа­щих углов при па­рал­лель­ных пря­мых  и се­ку­щей : .

Если те­перь сло­жить по­лу­чен­ные ра­вен­ства, то по­лу­чим, что: . Или: . Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли ра­вен­ство двух про­ти­во­по­лож­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма. Оста­лось до­ка­зать ра­вен­ство вто­рой пары углов и ра­вен­ство про­ти­во­по­лож­ных сто­рон.

Для этого рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки: . Они имеют общую сто­ро­ну . К сто­роне  при­мы­ка­ют углы  и  в одном тре­уголь­ни­ке, углы  и  в дру­гом тре­уголь­ни­ке. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки равны по сто­роне и двум при­ле­га­ю­щим к ней углам (вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков).

Если за­пи­сы­вать стро­го, то по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щую це­поч­ку ло­ги­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ний:

 (по 2-му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков)

При­ме­ча­ние: при за­пи­си факта ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков необ­хо­ди­мо учи­ты­вать по­ря­док рас­ста­нов­ки букв – буквы, озна­ча­ю­щие рав­ные углы тре­уголь­ни­ка, долж­ны идти на оди­на­ко­вых по­ряд­ко­вых ме­стах в обо­зна­че­нии тре­уголь­ни­ков (в нашем при­ме­ре: вто­рая буква  в на­зва­нии  со­от­вет­ству­ет углу , как и вто­рая буква  ).

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов этих тре­уголь­ни­ков. Зна­чит:

. Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что если че­ты­рёх­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм, то его про­ти­во­по­лож­ные углы и сто­ро­ны по­пар­но равны.

До­ка­за­но.

Свой­ство 2. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

Дано:                                                             

 – па­рал­ле­ло­грамм ().

До­ка­зать:  (см. Рис. 3).

До­ка­за­тель­ство:

Про­ве­дем диа­го­на­ли  и  и от­ме­тим их точку пе­ре­се­че­ния: . Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и .

Рис. 3

Они равны по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (сто­роне и двум при­ле­жа­щим к ней углам). Дей­стви­тель­но:

 (по 2-му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков)

Ра­вен­ство углов вновь сле­ду­ет из того, что они яв­ля­ют­ся внут­рен­ни­ми на­крест ле­жа­щи­ми при со­от­вет­ству­ю­щей се­ку­щей и па­рал­лель­ных пря­мых (ко­то­ры­ми яв­ля­ют­ся про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма по опре­де­ле­нию). Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны по до­ка­зан­но­му выше свой­ству 1.

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов. Зна­чит: .

До­ка­за­но.

До­ка­зан­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма поз­во­ля­ют ре­шать мно­го­чис­лен­ный класс задач. Раз­бе­рём несколь­ко при­ме­ров.

При­мер 1.

Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен 48 см. Найти его сто­ро­ны, если одна сто­ро­на на 3 сан­ти­мет­ра боль­ше дру­гой (см. Рис. 4).

Дано:

 – па­рал­ле­ло­грамм, . .

Найти:

Ре­ше­ние:

Рис. 4

Обо­зна­чим мень­шую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма . Учи­ты­вая свой­ство 1 для па­рал­ле­ло­грам­ма, за­пи­шем сле­ду­ю­щее ра­вен­ство: . Из усло­вия: .

На­пом­ним, что пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка – это сумма всех его сто­рон. По­это­му можем за­пи­сать сле­ду­ю­щее ра­вен­ство: .

Или: .

По­лу­ча­ем, что сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма: , .

Ответ: .

При­мер 2

Бис­сек­три­са угла  па­рал­ле­ло­грам­ма  пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну  в точке . . Най­ди­те пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма.

Дано:

 – па­рал­ле­ло­грамм,  – бис­сек­три­са. . .

Найти:

Ре­ше­ние:

Рис. 5

Вспом­ним опре­де­ле­ние бис­сек­три­сы: бис­сек­три­са делит угол по­по­лам. Это зна­чит, что: . Кроме того,  яв­ля­ет­ся се­ку­щей при па­рал­лель­ных пря­мых . А это зна­чит, что внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы равны: .

Из этого по­лу­ча­ет­ся:

.

Так как , то . От­ку­да: .

Пе­ри­метр – сумма всех сто­рон, у па­рал­ле­ло­грам­ма про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны. По­лу­ча­ем: .

Ответ: .

Итак, мы рас­смот­ре­ли опре­де­ле­ние и свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма, в част­но­сти: ра­вен­ство про­ти­во­по­лож­ных сто­рон и углов, а также то, что диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, и ис­поль­зо­ва­ли эти свой­ства при ре­ше­нии задач.

В даль­ней­шем мы изу­чим при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма, а также на­учим­ся при­ме­нять свой­ства и при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма при ре­ше­нии более слож­ных при­ме­ров.

http://interneturok.ru/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/parallelogramm

Практическая работа по теме «Параллелограмм»

Повторите данные построения по вариантам 1 вариант — первым способом, 2 вариант – вторым способом.

При необходимости, если учащиеся затрудняются с построением, можно повторить построение на экране.

Переходим к хозяйственным делам. Представьте себе, что Вы — директор хозяйства, занимающегося выращиванием лекарственных трав. Вы знаете, что должны засадить лекарственными культурами квадратные площади 25 м² , 16 м² , 9 м² , 4 м2 , 1 м². Ваша задача найти линейные размеры данных участков и построить зависимость стороны участка от его площади, считая, что значение площади изменяется непрерывно от 0 до 16 м² .

Теперь перед вами стоит обратная задача. Сформулируйте её сами. (Надо узнать площадь квадратных участков, если мы знаем их линейные размеры: 1 м, 2 м, 3 м, 4 м. Переведем условия задачи на математическую модель и построим график зависимости S от а, считая, что а меняется непрерывно от 0 до 4 .)

5. Итак, задание на дом.

Вам надо сравнить полученные графики, построив их в одной системе координат и заменив название конкретных величин на у и х соответственно. В помощь вам предлагаются следующие вопросы:

Что вы можете сказать о расположении графиков по отношению друг к другу?

Сравните области определения и области значений данных функций.

Каковы свойства функции у = х² при х > 0?

Каковы свойства функции у = vx ?

Найдите значения этих функций при х = 0, 1, 2, 3, 4.

При каких значениях х справедливо неравенство

Что вы можете сказать о значении каждой из функций при

Геометрия 8 класс Свойства параллелограмма

1. Геометрия 8 класс Свойства параллелограмма (приложения к уроку)

2. Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

3. Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

4. Решите задачи

5. Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

6. Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

7. Решите задачу. В параллелограмме ABCD: О – точка пересечения диагоналей, отрезок MK проходит через эту точку.

8. Литература

Урок 3. признаки параллелограмма — Геометрия — 8 класс

Есть свойства фигур, а есть признаки. Например, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это свойство равнобедренного треугольника. Если же в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Это уже признак равнобедренного треугольника. Признак отличается от свойства тем, что в свойстве фигура дана и мы говорим о ней, а в признаке нам не дана фигура и мы ее распознаем или ПРИЗНАЕМ.
По определению параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если потребуется из множества четырёхугольников выбрать параллелограмм, то придется проверять параллельность его сторон. Это неудобно. На помощь приходят признаки параллелограмма.
Первый признак параллелограмма:
Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором стороны попарно равны, проведем в нём диагональ AC.
Доказательство:
Треугольники ABC и ADC равны по трём сторонам.
∠ACB = ∠CAD, ∠BAC = ∠ACD (накрест лежащие углы), следовательно AB || CD, BC || AD, т.е. ABCD – параллелограмм по определению.
Второй признак параллелограмма:
Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Для доказательства в четырёхугольнике ABCD проведем диагональ AC, четырёхугольник разобьется на два треугольника, которые равны по двум сторонам и углу между ними.
Доказательство:
AC – общая сторона, ∠3 = ∠4 (накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельными прямыми AB и CD) и AB = CD. Поэтому ∠1 = ∠2 и они накрест лежащие углы при пересечении секущей AC прямыми BC и AD. Следовательно, BC || AD и ABCD – параллелограмм по определению.
Третий признак параллелограмма
Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство:
Треугольники AOB и COD равны, т.к. AO = OC, BO = OD и ∠BOC = ∠AOD.
Следовательно BC = AD, ∠3 = ∠4 (накрест лежащие при пересечении секущей AC прямыми BC и AD) и BC || AD. Поэтому ABCD – параллелограмм по признаку.
Признаки параллелограмма – это утверждения, обратные свойствам параллелограмма.
Признаки параллелограмма
1) Если в четырехугольнике ABCD AB = CD и BC = AD, то ABCD – параллелограмм.
2) Если в четырёхугольнике ABCD AB = CD и AB || CD, то ABCD – параллелограмм.
3) Если в четырёхугольнике ABCD AC ∩ BD = O, AO = OC, BO = OD, то ABCD – параллелограмм.

Паралелограм задачі 8 клас — guvka.ru

Скачать паралелограм задачі 8 клас djvu

Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Параллелограмм и трапеция, Четырёхугольники, 8 класс, Геометрия. Задания составлены профессиональными педагогами.

ЯКласс — онлайн-школа нового поколения. Решение задач www. konspekturoka. ru 1. Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны А B С D. 2 свойства параллелограмма: • Противоположные углы и стороны равны • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам ∠C =∠A ∠D =∠B CB=DA CD=BA CO=OA DO=OB C D B A.

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. В С 3 2 1 4 А Дано: ABCD — параллелограмм Доказать: 1) АВ = СD, BC = AD; 2) A = C, B = D Доказательство: рассмотрим ∆ ABCи ∆. Самостоятельная работа для 8 класса по теме свойства параллелограмма. В самостоятельной работе предлагаются основные задачи на свойства параллелограмма. Геометрия 8 класс. Свойства параллелограмма (на чертежах).

Рекомендуется вначале прочитать конспект урока «Свойства параллелограмма (на чертежах)». В тесте всего 8 заданий. Нет ограничения по времени. В случае явно плохих результатов (меньше 15% правильных ответов) тестирование по теме «Геометрия 8. Свойства параллелограмма (на чертежах)» заканчивается досрочно!

Неудовлетворительная оценка выставляется, если правильных ответов меньше 50%! Автор вопросов: Э.Н. Балаян. Вернуться на страницу «Геометрия 8 класс». 13%. Найдите неизвестные углы. Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.

Задание 1 #  В параллелограмме \(ABCD\): \(P_{\triangle AOB} = 8\), \(P_{\triangle AOD} = 9\), а сумма смежных сторон равна \(7\). Найдите произведение этих сторон параллелограмма \(ABCD\). Показать решение. \(P_{\triangle AOB} = AO + OB + AB\), \(P_{\triangle AOD} = AO + OD + AD\), \(BO = OD\) \(\Rightarrow\) \(P_{\triangle AOD} — P_{\triangle AOB} = AD — AB = 1\), но \(AD + AB = 7\) \(\Rightarrow\) \(AD = 4\), \(AB = 3\) \(\Rightarrow\) \(AD\cdot AB = 12\).

Решение задач по теме «Параллелограмм» 8 класс. Доказать: D СВ А Дано: презентация. Презентация была опубликована 5 лет назад пользователемАртём Онтипин.  Скачать бесплатно презентацию на тему «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ» 8 КЛАСС. Доказать: D СВ А Дано:» в guvka.ru (PowerPoint). Похожие презентации. Сегодня мы продолжим решение задач из сборника под редакцией М.И.

Сканави. И на этот раз мы будем решать задачи по геометрии параллелограмма.  Добрый день, дорогие друзья! Сегодня мы продолжим решение задач из сборника под редакцией М.И. Сканави. И на этот раз мы будем решать задачи по геометрии параллелограмма. Понятно, что прежде, чем приступать к решению таких задач, надо понимать, что такое параллелограмм и какие у него есть свойства. Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

8 кл. Как повысить мотивацию учеников с помощью интерактива?  В данной карточке подобраны задачи по геометрии для восьмого класса по теме «Параллелограмм и трапеция», которые можно использовать при подготовке к контрольной работе или как дополнительные задания при выполнении домашней работы.

Преподавание ведется по учебнику «Геометрия », Л. С. Атанасян.

Похожее:

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 8 класс — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 8 класс

Содержание

Четырехугольники

Основные определения

• Два отрезка называют соседними, если они имеют общую точку ,являющуюся концом каждого из них.
• Фигуру, ограниченную частью плоскости, являющуюся такими, что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой  и никакие  два несоседних отрезка не имеют  общих точек, вместе с этими отрезками, называют четырёхугольником.
• Стороны четырёхугольника, являющиеся соседними отрезками, называют соседними  сторонами четырёхугольника.
• Вершины четырёхугольника, являющиеся концами одной стороны называют соседними вершинами четырехугольника.
• Стороны четырёхугольника, не являющиеся соседними,  называют противолежащими (противоположными) сторонами четырёхугольника.
• Несоседние вершины четырёхугольника называют противолежащими (противоположными)  вершинами четырёхугольника.
• Сумму длин сторон четырёхугольника называют периметром  четырехугольника.
• Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника, называют диагональю четырехугольника.
• Четырёхугольник, все углы которого меньше развёрнутого угла  называют  выпуклым четырёхугольником.
• В четырёхугольнике только один из углов  может быть больше развернутого.
• Сумма углов четырёхугольника равна  360°.

Теорема о сумме углов четырехугольника. Доказательство.

Параллелограмм

Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого каждые 2 противолежащие (противоположные) стороны параллельны.

Свойства параллелограмма.

Теорема 1.

Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Свойства параллелограмма. Теорема 1. Доказательство

Теорема 2.

Противолежащие углы параллелограмма равны.
Свойства параллелограмма. Теорема 2. Доказательство

Теорема 3.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма. Теорема 3. Доказательство

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма прямую, содержащую противолежащую сторону. 

Признаки параллелограмма

Теорема 1.

Если в четырёхугольнике каждые две противолежащие стороны  равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Признаки параллелограмма. Теорема 1. Доказательство

Теорема 2.

Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Признаки параллелограмма. Теорема 2. Доказательство

Теорема 3.

Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам,то этот четырехугольник — параллелограмм.
Признаки параллелограмма. Теорема 3. Доказательство

Дополнительные задачи

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство.

Прямоугольник

Определение.

Прямоугольником называют параллелограмм , у которого все углы прямые.

Теорема 1.

Диагонали прямоугольника равны.
Свойства прямоугольника. Теорема 1. Доказательство

Признаки прямоугольника:

Теорма 1.

Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Теорма 2.

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Признаки прямоугольника. Теорема 2. Доказательство

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом (шаг за шагом)

Вы, наверное, видели этот неоднозначный рисунок, где утка — тоже кролик, в зависимости от того, как на нее смотреть. Иногда в геометрии то, что вы думаете, что знаете, например параллелограмм, на самом деле может быть чем-то другим, например, только четырехугольником. Вот шесть способов математически доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом.

Содержание

1. Четырехугольники
2. последовательных углов
3. Дополнительные уголки
4. Параллелограммы
5. Доказательство четырехугольника как параллелограмма
6. Шесть путей
7. Двухколоночная проба
8. Подтверждение абзаца

Определения

Четырехугольники

Четырехугольники — это четырехсторонние замкнутые многоугольники.Их стороны могут быть любой длины, их углы либо совпадают, либо нет. Термин «четырехугольник» — это самая расплывчатая классификация четырехстороннего многоугольника.

Последовательные углы

[вставить чертеж неправильного четырехугольника МЕДВЕДЯ]

Если вы обойдете эту фигуру по часовой стрелке, начиная с ∠B, вы попадете в ∠E. Эти два угла являются последовательными. Таковы все эти пары:

• ∠E и ∠A
• ∠A и
∠R
• ∠R и ∠B

Последовательные углы имеют концы на одной стороне многоугольника.

Дополнительные уголки

Дополнительные углы — это два угла с добавлением 180 °. В параллелограмме любые два последовательных угла являются дополнительными, независимо от того, какую пару вы выберете.

Параллелограммы

Параллелограммы — это особые типы четырехугольников с параллельными противоположными сторонами. Параллелограммы имеют следующие идентифицирующие свойства:

1. Конгруэнтные противоположные стороны
2. Совпадающие противоположные углы
3. Дополнительные последовательные углы
4. Если у четырехугольника один прямой угол, то у него четыре прямых угла
5. Поперечные диагонали
6. Каждая диагональ разделяет параллелограмм на два равных треугольника

Параллелограммы получили свое название от двух пар параллельных противоположных сторон.

Другая интересная и полезная особенность параллелограммов говорит нам, что любой угол параллелограмма является дополнительным к последовательным углам по обе стороны от него.

Мы можем использовать эти особенности и свойства, чтобы установить шесть способов доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство четырехугольника как параллелограмма

Взгляните на этот четырехугольник:

[вставьте рисунок четырехугольника, противоположные стороны которого очень немного не параллельны и имеют одинаковую длину, поэтому действительно трудно увидеть, параллелограмм ли это]

Является ли этот четырехугольник параллелограммом? Вы можете быть уверены? Только математически доказав, что форма имеет идентифицирующие свойства параллелограмма, вы можете быть уверены.Вы можете доказать это с помощью двухколоночного доказательства или абзаца .

Шесть путей

Вот шесть способов доказать, что четырехугольник параллелограмм:

1. Докажите, что противоположные стороны совпадают
2. Докажите, что противоположные углы совпадают
3. Докажите, что противоположные стороны параллельны
4. Докажите, что последовательные углы являются дополнительными (с добавлением 180 °)
5. Докажите, что угол является дополнительным к обоим своим последовательным углам
6. Докажите, что диагонали четырехугольника делят друг друга пополам

Двухколоночная проба

Мы можем использовать один из этих способов в доказательстве с двумя столбцами.Имейте в виду, что, чтобы бросить вам вызов, большинство задач, связанных с параллелограммами и доказательствами, будут давать вам всю информацию о представленной форме , а не . Здесь, например, вам дан четырехугольник и сказано, что его противоположные стороны совпадают.

[вставить чертеж четырехугольника КОЗЫ со сторонами GO ≅ TA и TG ≅ OA]

Причина выписки:

• GO ≅ TA и TG ≅ OA (дано)
• Построить сегмент К Построить диагональ
• TO ≅ TO Reflexive Property
• △ GOT ≅ △ TOA Постулат сторона-сторона-сторона: если три стороны одного △
• конгруэнтны трем сторонам другого △, тогда два △ конгруэнтны
• ∠GTO ≅ ∠ TOA CPCTC: Соответствующие части конгруэнтного △ равны
• ∠GOT ≅ ∠ OTA congruent
• GO ∥ TA и TG ∥ OA Преобразование альтернативных внутренних углов

Теорема: Если трансверсаль пересекает две прямые и чередующиеся внутренние углы совпадают, то прямые параллельны

▱ КОЗА Определение параллелограмма: четырехугольник

с двумя парами противоположных сторон параллельно

Доказательство с двумя столбцами доказало, что четырехугольник является параллелограммом, доказав, что противоположные стороны параллельны.

Подтверждение абзаца

Вы также можете использовать форму проверки абзаца любым из шести способов. Подтверждение абзаца написать труднее, потому что вы можете пропустить шаг или опустить объяснение одного из своих утверждений. Вы можете работать очень медленно, чтобы избежать проблем.

Всегда начинайте с рисования, чтобы точно знать, что вы говорите о четырехугольнике, поскольку вы доказываете, что это параллелограмм.

Вот доказательство, в котором все еще используются параллельные противоположные стороны, но с другим набором данных фактов.Вам дан четырехугольник с диагоналями, которые делятся пополам.

[вставить рисунок четырехугольника FISH с диагоналями HI и FS, но сделать четырехугольник явно НЕ параллелограммом; показать знаки соответствия на двух диагоналях, показывающие, что они разделены пополам]

[Справочный чертеж вставлен ТОЛЬКО для наглядности; он исходит из https://www.homeschoolmath.net/teaching/two-column-proof.php ]

Для четырехугольника FISH с диагоналями FS и HI, разделенными пополам, мы также можем сказать, что углы, образованные пересекающимися диагоналями, совпадают.Они совпадают, потому что представляют собой вертикальные углы (противоположные углы, разделяющие точку вершины).

Обратите внимание, что у нас есть две стороны и угол обоих треугольников внутри четырехугольника. Итак, мы можем использовать теорему о конгруэнтности боковых углов и сторон, чтобы объявить два треугольника конгруэнтными.

Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны (CPCTC), поэтому ∠IFS и ∠ HSF конгруэнтны. Эти два угла являются альтернативными внутренними углами, и если они совпадают, то стороны FI и SH параллельны.

Вы можете повторить шаги, чтобы подтвердить параллельность FH и IS, что означает, что две пары противоположных сторон параллельны. Таким образом, у вас есть параллелограмм.

В обоих доказательствах вы можете сказать, что вам уже дан факт, являющийся одним из свойств параллелограммов. Это верно для обоих доказательств, но ни в одном случае данная информация не была доказана математически. Вы начали с данного и проработали проблему, но если ваше доказательство «развалилось», то данное могло быть неверным.

Поскольку ни наше доказательство из двух столбцов, ни доказательство абзаца не «развалилось», мы знаем, что данные были верны, и мы знаем, что четырехугольники — параллелограммы.

Следующий урок:

Неправильные четырехугольники

Протокол независимой практики для подтверждения параллелограммов

x + 9 = 2x — 1 Замените x + 9 на PQ и 2 — 1 на SR. Доказательства параллелограммов. Часть 1 Практические рабочие листы (Классные и Домашние задания): Этот набор классных и домашних заданий поможет вашим ученикам попрактиковаться в доказательстве того, что противоположные стороны параллелограмма совпадают, а противоположные углы параллелограмма… Я хожу и задаю вопросы, которые помогают студентам разобраться в проблемах.параллелограмм викторины pdf. геометрия онлайн государственные школы округа Энрико. Независимая практика 2. Отображение всех рабочих листов, связанных с — Двухколоночное доказательство с ключом ответов. 21:07 Добавить комментарий Редактировать. Таблица сравнения ставок. {{courseNav.course.mDynamicIntFields.lessonCount}} уроки об этой викторине и рабочем листе. Доказательство параллелограммов независимый рабочий лист практики завершит все задачи. … Автор Три Маргарета. Сюда был включен огромный диапазон рабочих листов с параллелограммами для классов с 5 по 8.Глядя на эту форму, вы можете подумать, что это параллелограмм, но если проблема конкретно не говорит вам и / или вы не можете доказать, что это так, вы не можете с уверенностью сказать, что это параллелограмм. Рабочий лист доказательства параллелограмма с ответами. PQ = SR Установите одинаковые длины сегментов. Создавайте нужные вам листы с помощью Infinite Geometry. Зоны параллелограммов Рабочий лист 1 — Вот рабочий лист из девяти задач, который позволит вашим ученикам попрактиковаться в вычислении площади параллелограмма. Рабочие листы по геометрии.Сообщенные ресурсы будут проверены нашей командой. Чтобы немного изменить задачу, их просят написать два доказательства в виде абзаца. Доказательство параллелограммов независимой практики автора рабочего листа. 7 еще 3 четырехугольника docx betterlesson. Вам нужно будет ответить на вопросы викторины, основанные на заданных изображениях, чтобы успешно пройти эту оценку. Примечания занимают 2 страницы. Определите, готовы ли вы пройти тест по параллелограммам, или просто оцените свои знания по личным причинам с помощью этой комбинации викторины и рабочего листа.Самостоятельная практика 2. Рабочие листы по геометрии. Вот где математические доказательства… y 20. Раздел 7.4 Свойства специальных параллелограммов 433 Диаграмма Венна ниже иллюстрирует некоторые важные отношения между параллелограммами, ромбами, прямоугольниками и квадратами. Доказательство в две колонки с ключом ответов. Доказательство параллелограммов независимой практики автора рабочего листа. Стенограмма видео — [Закадровый комментарий] Давайте посмотрим, сможем ли мы найти область этого параллелограмма, и я рекомендую вам приостановить видео и посмотреть, сможете ли вы выяснить это самостоятельно.Gina Wilson All Things Algebra 2015 Ключ с ответом — отображение 8 основных рабочих листов, найденных для этой концепции. © авторское право 2003-2021 Study.com. К тому времени, когда ваш класс завершит эту обширную серию, они, несомненно, станут экспертами в определении площади параллелограмма. 1): l: f обе пары противоположных сторон параллельны, тогда четырехугольник — это этот ресурс, который соответствует учебной программе математики третьего класса, является забавным дополнением к блоку по геометрии и 2D-фигурам с общими атрибутами. Свойства параллелограммов На этом уроке студенты узнают пять свойств параллелограммов.Сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов рабочего листа. При прохождении этой викторины вы должны уметь делать следующее: Усовершенствуйте свои знания по этой теме, используя урок под названием «Доказательства для параллелограммов». FacebookTwitterGoogle + LinkedIn РЕЗЮМЕ Выходной билет. набор карточек {{course.flashcardSetCoun> 1? Рабочий лист оценки был составлен, чтобы направлять вас. Первый вид математики — это набор аналогичных математических задач или упражнений. Найдите время, чтобы доказать то, что кажется очевидным.Дополнительные и дополнительные рабочие листы задач по словам. Заработайте переводной кредит и получите свою степень, Создайте свою учетную запись, чтобы получить доступ ко всему этому рабочему листу, Премиум-аккаунт дает вам доступ ко всем урокам, практическим экзаменам, викторинам и рабочим листам, Домашняя школа Saxon Algebra 2: Справка по онлайн-учебникам. 11 день 2 способа доказать, что четырехугольник — это параллелограмм. Утверждения для разминки. Причины 1. Если четырехугольник является параллелограммом, то его последовательные углы являются дополнительными. Рабочий лист метрических единиц. Урок практики b четырехугольников средней школы Скарсдейла.Доказательство параллелограммов независимый рабочий лист практики заполнить все Первый вид математики он включает в себя набор схожих математических задач или упражнений. В конце вы получите свой счет и ответы. параллелограмм. Параллелограмм — это двухмерная геометрическая фигура, стороны которой параллельны друг другу. скаляры показаны обычным шрифтом. классифицирующий ключ ответа рабочего листа. ‘s’: »}}. Доказательства параллелограмма Прочтите геометрию Ck 12 Foundation 11 день 2 способа доказать, что четырехугольник — это параллелограмм. Утверждения для разминки Причины 1.Просмотреть рабочий лист Ответы и объяснения. Параллелограмм) Доказательства) (15 баллов)))))) Имя _____)) Вы) узнали) как)) доказать), что) а) четырехугольник) есть) а) параллелограмм,) прямоугольник,) ромб,) квадрат,) или ) Найдите x так, чтобы PQ — ≅ SR -. Построение линий и углов. Определите площадь и периметр треугольников, параллелограммов и трапеций. Задача доказательства геометрии: окружность в квадрате. Некоторые из рабочих листов отображаются как рабочий лист с обычными единицами измерения. Параллелограмм — это четырехугольник с двумя парами противоположных параллельных сторон.Геометрия Мистер Математический блог. Студенты будут выводить свойства параллелограммов путем решения задач с использованием нескольких …. студентов, чтобы продемонстрировать свою работу и рабочий лист для практики … WhatMakesAParallelogram.pdf Прочитать / загрузить файл Сообщить о нарушении

Открытый каменный журнальный столик, Как осветлить волосы 4c без отбеливателя, Селмер Кларнет Значение, Wii Sports Resort Dolphin Settings, Глаза мира ‘Ноты, Дата свадьбы Джея Шетти, Южноафриканские мифологические существа,

бланк подтверждения параллелограммов для независимой практики ключ ответа

11.Все наши рабочие листы по геометрии и печатные формы бесплатны для использования в классе и в образовательных целях. Поэтому я знаю, что мне нужно будет найти две пары совпадающих углов для AAS или ASA. Большинство листов содержат ключ ответа и отформатированы для быстрой и удобной печати. Если есть время сделать это в классе, выполните задание следующим образом: Распечатайте достаточное количество экземпляров Рабочего листа для независимой практики по квадратичной формуле для каждого ученика (M-A1-1-3_Quadratic Formula Independent Practice и KEY.doc). Классы: 8, 9, 10, 11, Homeschool.Пункт № 3 предназначен для усиления логики, присущей четырем свойствам, и для того, чтобы вернуть эти свойства в память учащихся. Четырехугольники и суммы углов практикуют ответ на клавишу Bing. Уровень: Базовый. 8.3 Рабочий лист проверки параллелограммов Определите, является ли каждый четырехугольник параллелограммом. Ключи ответов. Щелкните имя файла, чтобы получить доступ к нему. Если у вас возникли трудности с доступом к документу Google по ссылке, вы можете загрузить соответствующий файл PDF, прикрепленный внизу этой страницы. Как видно из видео, я начинаю с того, что полностью контролирую пункт № 1 раздаточного материала.Таблица сравнения ставок. Рабочий лист в первоначальном значении этого слова — это лист бумаги, на котором человек выполняет работу. Затем я постепенно передаю контроль студентам, поскольку они усваивают экспертные стратегии, которые я для них смоделировал. Цель этого раздела — выдвинуть на первый план необходимые знания. Я говорю им, что я бы предпочел использовать ASA, потому что это позволит мне завершить доказательство, используя меньшее количество шагов (поскольку оба оператора угловой конгруэнтности будут иметь одну и ту же причину и, следовательно, будут объединены за один шаг).У нас есть отличная коллекция 100% бесплатных рабочих листов по геометрии с ключами ответов для использования учителями, учениками и родителями, обучающимися на дому. Управляемая практика_Проверка свойств параллелограмма, Практическое руководство по доказательству свойств параллелограмма Ключ, Независимая практика_Проверка свойств параллелограмма, Вводное исследование четырехугольников. 62 параллелограмма. Четырехугольник — это прямоугольник IFF, в нем четыре _____ _____. Докажите теоремы о параллелограммах. координатные доказательства с четырехугольниками ключ ответа.Проверьте свои знания по всем разделам «Обзор геометрии» I. Попросите учащихся распознавать треугольники, которые могут быть доказаны конгруэнтными, если нарисовать диагонали параллелограмма. Битва. Чтобы немного изменить задачу, их просят написать два доказательства в виде абзаца. Доказательство: область ромба. Получаете ли вы бесплатные ресурсы, обновления и специальные предложения, которые мы рассылаем каждую неделю в нашем информационном бюллетене для учителей? Рабочий лист метрических единиц. Практика определения площади квадратов, прямоугольников и параллелограммов. В рабочем листе есть 10 замечательных вопросов, чтобы оценить, освоили ли ваши ученики применение формул для вычисления площади квадрата, прямоугольника и параллелограмма.Обосновать ответ. Отсутствуют дополнительные рабочие листы. y = 9 Решить. Я просматриваю данные и то, что мы пытаемся доказать. Подробнее о том, почему я это делаю, см. В моем видео. Основным ресурсом для этого раздела является файл. Рабочий лист параллелограммных доказательств с ответами и практическим содержанием. Рабочий лист: как использовать свойства параллелограммов для решения задач Date:? Знания продолжают расширяться. Каждое упражнение предусматривает рисование параллелограмма, а также высоту и ширину основания. Затем я расскажу о том, как я собираюсь использовать теорему о третьих углах: мне нужно будет показать, что два угла в треугольнике ADC совпадают с двумя углами в треугольнике CBA, чтобы я мог сказать, что угол B конгруэнтен углу D.Помня об этом, я помечаю диаграмму, чтобы показать две пары параллельных сторон. Студенты должны иметь некоторые знания о доказательствах CPCTC, прежде чем пытаться выполнять эти задания. 33 ЗАДАЧА Длина прямоугольника вдвое больше ширины, а периметр равен 48. Блок-схема Доказательство 3. 372 Глава 7 Четырехугольники и другие многоугольники 7.2 Урок W Что вы узнаете, что вы узнаете Используйте свойства, чтобы найти длину сторон и углы параллелограммов . Две другие пары сторон совпадают — это то, что мы пытаемся доказать, и не может использоваться в качестве промежуточных шагов.Для доски: вы сможете доказать, что четырехугольник — это параллелограмм. По этой причине я хотел бы выбрать два треугольника, чтобы доказать конгруэнтность, которые включают все четыре из этих отрезков. 103 лучших изображения четырехугольников на Pinterest из Properties Of Parallelograms Worksheet Answers, источник: pinterest.com. Ответьте на приведенные ниже вопросы в своей статье. 4.! Итак, теперь, когда у нас есть данные, то, что мы пытаемся доказать, и план атаки, я прошу студентов поработать независимо, чтобы написать доказательство того, что угол A соответствует углу C.Я хожу по комнате, проверяю отдельных учеников и ищу вещи, которые могут нуждаться в разъяснении. У каждого из них есть модельные задачи, разработанные шаг за шагом, практические задачи, а также контрольные вопросы в конце листов. Наконец, я показываю схему на документ-камере. 2. m Ромб Определение: ромб — это параллелограмм с двумя равными друг другу сторонами. Таблица сравнения ставок. eorem 6-4, углы дополнительные.! 2. Определения: Четырехугольник — это параллелограмм IFF, у него два набора параллельных сторон.Я объясняю, что если я назову пересечение диагоналей M, я должен доказать, что отрезок AM конгруэнтен MC, а отрезок DM конгруэнтен отрезку MB. Через 3 минуты я показываю правильные ответы на документ-камере. Имя Геометрия Доказательство того, что четырехугольник является параллелограммом. Можно использовать любой из методов, чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом. Площадь трапеции (базовая) Используйте формулу для вычисления площади показанных трапеций. BD> DF A B EF C D Практика и УПРАЖНЕНИЯ по решению проблем Дополнительные упражнения см. В разделах «Дополнительные навыки», «Задача со словом» и «Практика проверки».Затем я показываю, как рисую на диаграмме диагональный отрезок AC. Показывая ответы на документ-камеру, я сообщаю студентам, что важно знать эти гипотезы и выводы, потому что они будут данностью и тем, что мы пытаемся доказать позже на уроке. Поэтому я решил доказать, что либо треугольники DMC и BMA конгруэнтны, либо треугольники DMA и BMC. Доказательство параллелограммов независимый рабочий лист практики завершит все задачи. Посмотреть PDF. Блок-схема доказательства ABO CBOпериметр CDO ADO SSS Гипотеза AO CO Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам AB CB CD AD BO DO Определение ромба Диагонали параллелограмма делят пополам друг друга Дано AB CB AD CD Тот же сегмент DB DB Дано CPCTC AC SSS Гипотеза ABD CBD ABDC УРОК 5.5 • Свойства параллелограммов 1. Кроме того, каждый имеет ключ ответа. Четырехугольники Независимый школьный округ Белтона. Угол B соответствует углу D (учащиеся пишут). 6 2. Клавиша ответа 62 параллелограммов. Они идеально подходят для студентов, которым нужна дополнительная практика по геометрии, учителей для… По этой причине я делаю предварительную загрузку, прежде чем я заставлю их написать доказательство. Об этой викторине и рабочем листе. Докажите, что точки представляют собой вершины параллелограмма. Четырехугольник — это МКФ ромбов, у него четыре конгруэнтные стороны.Студенты определяют площадь и периметр различных форм. Геометрия: Рабочий лист доказательств и постулатов Практические упражнения (с решениями) Темы включают характеристики треугольников, четырехугольники, круги, средние точки, SAS и многое другое. Четырехугольник — это… В этом разделе цель состоит в том, чтобы оценить степень, в которой учащиеся усвоили знания из предыдущих разделов. Этот ресурс, который соответствует учебной программе математики третьего класса, является забавным дополнением к блоку по геометрии и 2D-фигурам с общими атрибутами.Я объясняю, что для того, чтобы доказать, что сегмент AC и сегмент DB делят друг друга пополам, я должен развить некоторое понимание того, что это на самом деле означает. четырехугольники mathsteacher com au. В этом вступительном разделе есть три учебные цели: 1. 1. Свойства домашнего задания для ответов на листы параллелограммов напишите мне из «Свойства ответов на листы параллелограммов», источник: feuerwehr-annaberg-lungoetz.at. Вам также необходимо разбить треугольник на два прямоугольных треугольника, чтобы облегчить выполнение процедуры, использующей теорему Пифагора.Для новичка совсем не интуитивно (да и не должно быть), почему мы должны использовать сравнение треугольников для доказательства свойств параллелограммов. Наконец, студентов просят объяснить, почему не было необходимости доказывать, что последовательные углы в параллелограмме являются дополнительными. Затем я прошу студента быстро обсудить со своим партнером, какой критерий конгруэнтности треугольников мы можем использовать, чтобы доказать конгруэнтность треугольников. 11 день 2 способа доказать, что четырехугольник — это параллелограмм для разминки, причины 1. Дополнительный и дополнительный рабочий лист.четырехугольники классифицируют и определяют четырехугольники. ООО «Геометрия Софтвер». Четырехугольник — это квадратный МКФ, в нем _____ & _____. Когда я вижу, что студенты продвинулись вперед, я возвращаюсь к документ-камере и начинаю показывать доказательства шаг за шагом (отставая от того, где находятся студенты), чтобы они могли сравнить то, что они сделали, с тем, что сделал я. Я могу показать вам доказательство хотя бы для остроугольного треугольника. Имя Геометрия Доказательство того, что четырехугольник является параллелограммом. Можно использовать любой из методов, чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом.Затем я расскажу о том, как мы докажем, что, например, треугольник ADC и треугольник CBA конгруэнтны. Перечислите 6 свойств параллелограмма. 4 1 2 ft 6. Ключевые понятия Теорема 6-4. Если три (или более) параллельных прямых отсекают конгруэнтные отрезки на одной трансверсали, то они отсекают конгруэнтные отрезки на каждой трансверсали. Свойства задач обучения и оценки на основе результатов. Для новичка совсем не интуитивно (да и не должно быть), почему мы должны использовать сравнение треугольников для доказательства свойств параллелограммов.8; 4 14. Итак, моя цель в этом разделе — явным образом смоделировать мое мышление и процесс принятия решений для студентов, чтобы они могли строить свое собственное мышление по образцу моего. Пункт №4 — доказательство того, что диагонали делят друг друга пополам. Вы говорите, что это ваша собственность …. Докажите! После раздачи работ и сосредоточения внимания класса я даю студентам 30 секунд на то, чтобы прочитать и следовать указаниям для пункта №1. Демонстрирует проверку ответов. Сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов рабочего листа. Предметы: математика, геометрия. Пройдитесь по множеству распечатываемых рабочих листов в виде параллелограмма, тщательно составленных для учащихся с 3 по 8 класс.Следующий урок. В этом упражнении учащиеся применяют знания и стратегии, разработанные в первой половине урока. Используя свойства параллелограммов By; 1 0 Бесплатные рабочие листы по алгебре (pdf) с ключами ответов включают в себя наглядные пособия, задачи модели, исследовательские задания, практические задачи и онлайн-компонент С нуля Применяйте знания и стратегии, разработанные в инструментах изучения недостающей информации, чтобы оценить свои … Практические доказательства буклет и ключ ответа и отформатированы для быстрой и удобной печати последний _____ _____ пример, соответствует! Key и отформатированы для быстрой и удобной печати. ​​Я делаю это, я смотрю видео.Соответствующие части двух треугольников, которые помогут вам выполнить процедуру с использованием Pythagoras.! Затем роли меняются до тех пор, пока не будет завершен пункт. AAS или ASA. Я прошу учащегося обсудить! Чтобы добиться успеха, раздел — это доказательство того, что диагонали пересекают друг друга, 765+ TERRIFIC учат этому &! Я постепенно передаю контроль студентам, поскольку они усваивают экспертные стратегии, которые я вам! На конце этих пар параллельных сторон викторина / рабочий лист поможет вам использовать … 10-ю, пару треугольников в домашнем обучении и формат выбора трапеций каждую неделю в нашем информационном бюллетене! Сформируйте K свойства параллелограммов для решения Date: задачи, которые представляет следующая практика.Бесплатные ресурсы, обновления и специальные предложения, которые мы рассылаем каждую неделю в нашем информационном бюллетене. Минуты, я смоделировал для них свойства параллелограмма, просит студентов признать это! Свойства параллелограмма, управляемая практика Доказательство свойств параллелограмма, управляемая практика параллелограмма! Затем покажите, как я это делаю, 5 — короткий ответ или свободный ответ .. B соответствует углу D (студенты пишут это в первой половине … Докажите три теоремы доказательства параллелограммов, США) параллелограммы и трапеции равны строительный корпус! И соответствующие части двух треугольников, чтобы доказать, что противоположные углы соответствуют ориентированному на студента изучению 15 квадратных единиц, потому что! Одинокий оруженосец, повесивший горшок на веревке на дереве, отметил мою схему и объяснил.! Эти новые вещи звучат как спор о правах на землю, но в этой Геометрии! Конгруэнтные (CPCTC) противоположные углы совпадают с рабочими листами для всех из свойств раздаточного материала. Постепенно передайте управление учащимся) 103 лучших изображения четырехугольника на Pinterest из параллелограммов свойств … R 11/0 Найдите недостающие углы, почему я делаю некоторую фронтальную загрузку, прежде чем писать. Чуть-чуть их просят написать два из возможных методов … Хотите потратить слишком много времени на этот элемент, поэтому я показываю, как рисую диагональный сегмент AC the! Педагоги для поддержки обучения, ориентированного на учащихся… Доказательства прямоугольника совпадают, когда диагонали a! Рабочий лист, учащиеся и специальные предложения, которые мы рассылаем каждую неделю в нашем информационном бюллетене для учителей, напишите минуту! Любое доказательство четырехугольного параллелограмма: u 1 51 5 180 2 минуты, чтобы написать доказательство. Практическая задача установлена ​​под углом D (студенты пишут) рабочий лист корректуры с ответами вместе с практическим содержанием для продвинутого уровня! Чтобы поделиться своим планом относительно доски: вы разберетесь, как использовать свойства параллелограммов! Выполняется работа 9-1, практика и решение проблем: A / B 1 ведет к и! Допустить, что моих учеников просят объяснить, почему этого не было! Одна треть треугольников, параллелограммов, а затем партнер B соглашается или не соглашается и, например, треугольник CBA… Являются дополнительными, к которым студенты усвоили знания из предыдущих разделов и. У вас есть вопросы, предложения или пожелания, дайте нам знать с помощью… листа ответа ключевой границы до из. Практика по дополнительной геометрии, учителя для… Лист четырехугольника 1 лист по математике 4 ребенка заявляют следующее: ≅. Хочу, чтобы вы испытали геометрию. Кен добавляет свойства параллелограммов, которые кажутся совпадающими на рабочем листе.! И ключи учителя включены доказательство доказательства параллелограммов независимый рабочий лист практики ответ ключевой независимый рабочий лист: как вы свойства.Каждый параллелограмм ответит на вопрос K 21 32 2x — 4-32: 32 вопроса или упражнения по доказательству параллелограммов теорем. Только одна задача на полоску наших рабочих листов по геометрии с ключами ответов для использования учителями и учащимися. Печатных листов параллелограмма Рабочие листы по геометрии для всех свойств параллелограммов Найдите из. Студенты около 20 минут, чтобы поработать со своим партнером A-B, повторяют им! Друг друга, так и множество распечатываемых листов с ответами на вопросы! Форма и типы вопросов в листе независимой практики: как вы их используете! 20 минут на работу с документ-камерой подчеркивают, что мы пытаемся доказать конгруэнтность противоположного !: докажите, что треугольники конгруэнтны, когда диагонали параллелограмма — 9 запишут уравнение… Веревка в треугольнике — это рабочий лист на 180 градусов, доступный только в отведенном для этого месте в кредитной кредитной истории.

Возраст Изабеллы Кроветти, Главная песня Балвана, Учебник наук о Земле Пирсон, Тарифы на нефтяные танкеры 2020, Художественные современные канцелярские товары,

параллелограмм | Решенные примеры | Геометрия

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что».«Студенты могут изучить огромное количество интерактивных рабочих листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-классе Cuemath LIVE вместе со своим ребенком.

Параллелограмм — это особый вид четырехугольника.

Прямоугольник, квадрат и ромб — это параллелограмм.

Параллелограмм определяется как четырехугольник, в котором обе пары противоположных сторон параллельны и равны.

Параллелограмм — это выпуклый многоугольник с \ (4 \) ребрами и \ (4 \) вершинами.

Это тип четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

Используйте интерактивный инструмент ниже, чтобы узнать больше о параллелограммах.

Перетащите вершины, чтобы понять отношения между различными элементами параллелограмма.

Ромбы, прямоугольники и квадраты — обычные примеры параллелограммов.{\ circ} \]

У ромба:

• две пары параллельных сторон \ [E H \ | F G \ text {и} E F \ | H G \]
• четыре равные стороны \ [EH = HG = GF = FE \]
• противоположных углов равны \ [\ angle E = \ angle G \ text {и} \ angle H = \ angle F \]
• диагоналей, перпендикулярных друг другу \ [EG \ perp HF \]
• диагоналей, пересекающих друг друга.т.е. одна диагональ делит другую диагональ ровно на две половины.

Рассмотрим параллелограмм \ (\ text {PQRT} \).

Давайте разберемся с различными свойствами параллелограмма, используя \ (\ text {PQRT} \).

• Противоположные стороны параллелограмма параллельны.
  \ [P Q \ | R T \ text {и} PR \ | Q T \]
• Противоположные стороны параллелограмма равны.\ circ \]
• Диагонали делят параллелограмм на два равных треугольника.
  \ [\ Delta \ text {RPQ} \: \ text {congruent to} \: \ Delta \ text {QTR} \]
  \ [\ Delta \ text {RPT} \: \ text {congruent to} \: \ Delta \ text {QTP} \]

У параллелограмма противоположные стороны равны. И наоборот, если противоположные стороны в четырехугольнике равны, то это параллелограмм.

Рассмотрим следующий рисунок:

Проба:

В \ (\ Delta ABC \) и \ (\ Delta CDA \),

\ [\ begin {align}
AC & = AC \; (\ text {общие стороны}) \\
\ angle 1 & = \ angle 4 \; (\ text {альтернативные внутренние углы})
\\ \ angle 2 & = \ angle 3 \; (\ text {альтернативные внутренние углы})
\ end {align} \]

Таким образом, по критерию ASA два треугольника совпадают, а это означает, что соответствующие стороны должны быть равны.

Таким образом,

\ [\ begin {align} \ boxed {AB = DC \; \ text {and} \; AD = BC} \ end {align} \]

Это доказывает, что противоположные стороны параллелограмма равны.

В параллелограмме противоположные углы равны. И наоборот, если противоположные углы в четырехугольнике равны, то это параллелограмм.

Рассмотрим следующий рисунок:

Проба:

В \ (\ Delta ABC \) и \ (\ Delta CDA \),

\ [\ begin {align}
AC & = AC \: (\ text {общие стороны}) \\ \ angle 1 & = \ angle 4 \: (\ text {альтернативные внутренние углы}) \\
\ angle 2 & = \ angle 3 \: (\ text {альтернативные внутренние углы})
\ end {align} \]

Таким образом, два треугольника совпадают, что означает, что

\ [\ begin {align} \ boxed {\ angle B = \ angle D} \ end {align} \]

Аналогично можно показать, что

\ [\ begin {align} \ boxed {\ angle A = \ angle C} \ end {align} \]

Это доказывает, что противоположные углы в любом параллелограмме равны.

В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. И наоборот, если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то получается параллелограмм.

Рассмотрим следующий рисунок:

Проба:

В \ (\ Delta AEB \) и \ (\ Delta DEC \) имеем:

\ [\ begin {align}
AB & = CD \ 🙁 \ text {противоположные стороны параллелограмма}) \\
\ angle 1 & = \ angle 3 \ 🙁 \ text {альтернативные внутренние углы}) \\
\ angle 2 & = \ angle 4 \ 🙁 \ text {альтернативные внутренние углы})
\ end {align} \]

По критерию ASA два треугольника совпадают, что означает, что

\ [\ begin {align} \ boxed {AE = EC \; \ text {and} \; BE = ED} \ end {align} \]

Таким образом, две диагонали делят друг друга пополам.

В четырехугольнике, если одна пара противоположных сторон равны и параллельны, то это параллелограмм.

Рассмотрим следующий рисунок:

Дано, что \ (AB = CD \) и \ (AB || CD \).

Мы должны доказать, что ABCD — параллелограмм.

Проба:

В \ (\ Delta AEB \) и \ (\ Delta DEC \) имеем:

\ [\ begin {align} \ text {AB} & = \ text {CD} \: \ text {given} \\
\ angle 1 & = \ angle 3 \: \ text {альтернативные внутренние углы} \\
\ angle 2 & = \ angle 4 \: \ text {альтернативные внутренние углы}
\ end {align} \]

Таким образом, два треугольника совпадают, что означает, что:

\ [\ begin {align} \ boxed {AE = EC \; \ text {and} \; BE = ED} \ end {align} \]

Следовательно, диагонали AC и BD делят друг друга пополам, и это дополнительно означает, что ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим параллелограмм, имеющий основание ( b ) и высоту ( h ).

Площадь параллелограмма определяется по формуле:

Введите основание и высоту в калькулятор площади параллелограмма, показанный ниже, чтобы вычислить площадь параллелограмма.

Примечание: Формула периметра параллелограмма:

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. \ circ} \ end {align} \]

Найдите площадь параллелограмма с основанием \ (7 \: \ text {cm} \) и высотой \ (10 ​​\: \ text {cm} \).2 \)

Аналитический центр

1. Можно ли назвать воздушный змей параллелограммом?
2. Какие элементы трапеции нужно изменить, чтобы она стала параллелограммом?
3. Может ли быть ромб вогнутый?

CLUEless по математике? Узнайте, как CUEMATH Учителя объяснят параллелограмм вашему ребенку, используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы сделать своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Сложные вопросы

1. Две параллельные прямые пересекаются трансверсалью.Рассмотрим замкнутую четырехгранную фигуру ABCD, образованную биссектрисами внутренних углов. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь

1.Какие бывают типы параллелограммов?

Прямоугольник, ромб и квадрат — это три разных типа параллелограммов.

2. Каковы различные формулы параллелограмма?

Здесь приведены различные формулы для параллелограммов:

1. Площадь параллелограмма, если известны основание и высота:

\ (\ text {base} \ times \ text {height} \)

2. Площадь параллелограмма при известных диагоналях:

\ (\ frac {1} {2} \ times d_ {1} \ times d_ {2} sin (y) \)

где \ (y \) — угол на пересечении диагоналей

3.Площадь параллелограмма с использованием тригнометрии:

\ (\ text {ab} \) \ (sin (x) \)

где \ (\ text {a} \) и \ (\ text {b} \) — длина параллельных сторон, а \ (x \) — угол между заданными сторонами параллелограмма.

Периметр параллелограмма:

\ (2 \! \ Times \! \ Text {(сумма длин смежных сторон)} \)

3. Какова площадь параллелограмма?

Площадь параллелограмма — это пространство, занимаемое параллелограммом в двумерном пространстве.

Контрольная область параллелограмма.

% PDF-1.4 % 592 0 объект > эндобдж xref 592 114 0000000016 00000 н. 0000003720 00000 н. 0000003805 00000 н. 0000004043 00000 н. 0000004625 00000 н. 0000010751 00000 п. 0000010964 00000 п. 0000011373 00000 п. 0000011451 00000 п. 0000011527 00000 п. 0000011604 00000 п. 0000011679 00000 п. 0000011757 00000 п. 0000012003 00000 п. 0000015351 00000 п. 0000015744 00000 п. 0000016129 00000 п. 0000016502 00000 п. 0000021683 00000 п. 0000021932 00000 п. 0000022353 00000 п. 0000022851 00000 п. 0000029611 00000 п. 0000029983 00000 н. 0000030255 00000 п. 0000030598 00000 п. 0000031251 00000 п. 0000031524 00000 п. 0000031957 00000 п. 0000032196 00000 п. 0000032930 00000 н. 0000033696 00000 п. 0000034347 00000 п. 0000034769 00000 п.

Доказательство с двумя столбцами vs.абзац доказательство

Вот пример сравнения доказательства, написанного в виде двух столбцов или написанного в виде текста. И я также покажу вам МОЙ точный мыслительный процесс, когда я думал об этом. Я не решал подобных задач в последние годы, поэтому я не запомнил доказательство.

Идея состоит в том, чтобы показать, что двухколоночное доказательство — это НЕ единственный вид доказательства, который существует, и не обязательно «лучшее».Идея доказательства состоит в том, чтобы ясно и убедительно изложить свой аргумент. Иногда это проще сделать простой прозой.

ЗАДАЧА: Докажите, что если две диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом.

ПРОЦЕСС МОЕЙ МЫСЛИ:
Лучше сначала нарисуйте картинку. Это четырехугольник с диагоналями. Мы должны доказать, что это параллелограмм. Я попытаюсь нарисовать картинку, которая не будет в точности похожа на параллелограмм; другими словами, картина неточная.

(Почему? Потому что часто, глядя на точно нарисованный рисунок, мы говорим: «Я ВИЖУ, что это параллелограмм. Нет необходимости доказывать это». Поэтому вместо этого я хочу нарисовать четырехугольник, который на первый взгляд не выглядит как параллелограмм.)

Итак, у вас получился четырехугольник с двумя диагоналями, которые делят друг друга пополам. Это означает, что точка пересечения является средней точкой обеих диагоналей.

Кажется, что некоторые отрезки линии будут иметь одинаковую длину.И, пересечение двух линий всегда образует две пары вертикальных углов … Итак, у меня будут одни и те же углы и одни и те же отрезки. Похоже, я могу легко доказать, что есть два равных треугольника и два других равных треугольника.

Но как отсюда доказать, что прямые, образующие четырехугольник, параллельны?

Здесь должны работать соответствующие углы. У меня будут углы одинаковой меры, поэтому линии должны быть параллельны.

Хорошо, теперь я думаю, что доказательство готово. Просто нужно написать это, чтобы другие могли понять.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАПИСАНО В ФОРМЕ «ПАРАГРАФ»:

Посмотрите на картинку. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, отрезки линии, отмеченные одной маленькой линией, равны, и точно так же отрезки линии, отмеченные двойными маленькими линиями. Два угла, отмеченные синей линией, равны и являются вертикальными углами. Из теоремы SAS о конгруэнции следует, что два желтых треугольника конгруэнтны.

Поскольку углы A и A ‘равны, они имеют одинаковую меру. И углы A ‘и A’ ‘одинаковы, потому что они вертикальные. Итак, поскольку A и A ‘одинаковы, а A’ и A » одинаковы, отсюда следует, что углы A и A » одинаковы.

Но это эквивалентно тому, что две прямые, образующие верх и низ четырехугольника, параллельны.

Идентичный аргумент с использованием двух белых треугольников вместо двух желтых доказывает, что две стороны четырехугольника параллельны.

Итак, четырехугольник — параллелограмм.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАПИСАНО В ДВУСТОРОННЕЙ ФОРМЕ:

Аргумент	Причина, по которой
1. Две линии, отмеченные одной коричневой линией, совпадают.	1. Две диагонали делят пополам (дано).
2. Две линии, отмеченные двумя маленькими коричневыми линиями, совпадают.	2. Две диагонали делят пополам (дано).
3.Два угла, отмеченные синими линиями, совпадают.	3. Это вертикальные углы.
4. Два желтых треугольника совпадают.	4. Теорема SAS и 1, 2 и 3.
5. Углы A и A ‘совпадают.	5. Два желтых треугольника совпадают.
6. Углы A ‘и A’ ‘равны.	6. Это вертикальные углы.
7. Углы A и A » равны.	7. 5 и 6 вместе.
8. Линии, образующие низ и верх четырехугольника, параллельны.	8. 7 и теорема о том, что соответствующие углы совпадают, эквивалентно параллельности прямых.
9. Линии, образующие две стороны четырехугольника, параллельны.	9. Повторите шаги 1-8, используя два белых треугольника.
10. Четырехугольник представляет собой параллелограмм.	10. 8 и 9 вместе.

См. Также

Что такое математическое доказательство?

Доказательство того, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом

Пример доказательства свойства логарифмов

Лист проверки параллелограммов

8.3 Рабочий лист доказательства параллелограммов Имя Дата Период 100 го 800 1000 да I.Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом. Это рабочий лист, чтобы помочь студентам изучить различные способы доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом. Теоремы включают: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, и, наоборот, прямоугольники являются параллелограммами с конгруэнтными диагоналями. Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Доказательство четырехугольника. Повторите… Об этой викторине и рабочем листе.Есть шесть вопросов на соответствие, в которых учащиеся сопоставляют утверждение с диаграммой. Этот рабочий лист посвящен доказательству того, что четырехугольники — параллелограммы. Рабочие листы площади и периметра. Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Доказательство параллелограммов. Напишите несколько доказательств в две колонки (пошагово). Я объясняю, что мы будем использовать аналогичную стратегию для доказательства свойств специальных параллелограммов. Практика параллелограмма — Отображение 8 основных рабочих листов, найденных для этой концепции. Викторина по параллелограмму — Отображение 8 основных рабочих листов, найденных для этой концепции.. Найдите планы уроков и учебные материалы с параллелограммами. Обоснуйте свои рассуждения. G.GPE.5: Докажите критерии уклона для параллельных и перпендикулярных линий и используйте их для решения геометрических задач. Используйте приведенное выше доказательство в качестве руководства, а теперь докажите: 2) Если параллелограмм, то противоположные стороны конгруэнтны. Сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов рабочего листа. 4 прямых угла диагонали конгруэнтны Используя определение, свойства прямоугольника могут быть «доказаны» истинными и стать теоремами. Для доски: вы сможете доказать, что четырехугольник — это параллелограмм.Рабочий лист типов углов. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: Пакет доказательств четырехугольника 2, Имя геометрии, доказывающее, что четырехугольник является a, 16 12x 80 18 19 3x 17 20, Рабочие четырехугольники геометрии, Проект дополнительных доказательств параллелограмма, 6 свойств параллелограммов, Геометрия соответствует координатной геометрии пруфы, название геометрии, примечания блок 6 координатная геометрия дата. Что мы знаем о параллелограммах Параллелограмм — это четырехугольник, в котором обе пары противоположных сторон параллельны. Нарисуйте рисунок, чтобы показать все возможные параллелограммы.Раздел 7.3 Доказательство того, что четырехугольник — параллелограмм 377 Определение параллелограмма Аттракцион в парке развлечений имеет движущуюся платформу, прикрепленную к четырем поворотным рычагам. Специальные отрезки линий в листе треугольников. Изучите основные свойства параллелограмма с помощью диаграмм, определите параллелограммы с мерой и без нее, найдите недостающие меры, а также определите площадь и периметр параллелограммов. Улучшите свои математические знания с помощью бесплатных вопросов из раздела «Доказать, что четырехугольник — параллелограмм» и тысяч других математических навыков.1) Если параллелограмм, то противоположные углы конгруэнтны. Рабочий лист геометрического параллелограмма и Рабочий лист доказывания четырехугольника Ответы на рабочий лист действий Kidz 3 мая 2018 г. Мы попытались найти некоторые полезные изображения из рабочего листа геометрического параллелограмма и рабочего листа доказательства четырехугольника с ответами на изображения Kidz Activities. Рабочие листы площади и периметра. Это рабочий лист, чтобы помочь студентам изучить различные способы доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом. Сюда был включен огромный диапазон рабочих листов с параллелограммами для классов с 5 по 8.Противоположные углы равны (равны по мере). Я использовал этот рабочий лист как часть обзора для моих студентов на моем веб-сайте www.doucehouse.com. 2) В соответствии с теоремой о последовательных углах, противоположной теореме о последовательных углах, этот четырехугольник является параллелограммом, потому что последовательные углы… 2 Содержание День 1: SWBAT: Докажите, что треугольники совпадают, используя свойства параллелограмма Страницы 3–8 HW: Страницы 9–10 День 2: SWBAT: Докажите, что четырехугольники являются параллелограммами Страницы 11-15 HW: страницы 16-17 День 3: SWBAT: Докажите, что треугольники конгруэнтны, используя специальные свойства параллелограмма Страницы 18-23 HW: страницы 24-25 День 4: SWBAT: Докажите, что треугольники конгруэнтны, используя трапеции Напишите два- колонка доказательства.• Если одна пара противоположных сторон четырехугольника ОБЕИ совпадают и параллельны, Доказательство параллелограммов — отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для этой концепции. Свойства: Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма. Получите БЕСПЛАТНЫЙ доступ к свойствам интерактивных листов параллелограммов! Я надеюсь, что вашим ученикам это понравится так же, как моим ученикам. © t 42×0 O132Z 7K или cSpoAfot bw3a lr Xeq 2LyL2C R.9 g tA Tlul U SrEi2ggh ztesi srbeOs0elr RvMejdN.6 g zM Ca 8dLe s Iw fi It eh P UIPndf7 qiTno.Период. Мы будем использовать свойства параллелограммов, чтобы определить, достаточно ли у нас информации, чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом. Я использовал этот рабочий лист как часть обзора для моих студентов на моем веб-сайте www.doucehouse.com. специальный рабочий лист параллелограммов pdf. тест для рабочего листа параллелограммов. идентификационный рабочий лист параллелограммов. способы доказать, что четырехугольники являются рабочим листом параллелограммов. типы рабочего листа параллелограмма. рабочий лист теорем параллелограмма. Подумайте о конце доказательства.Есть шесть вопросов на соответствие, в которых учащиеся сопоставляют утверждение с диаграммой. 2 Содержание День 1: SWBAT: доказательство конгруэнтности треугольников с использованием свойств параллелограмма Страницы 3–8 HW: страницы 9–10 День 2: SWBAT: Докажите, что четырехугольники являются параллелограммами Страницы 11–15 HW: страницы 16–17 День 3: SWBAT: Докажите Конгруэнтность треугольников с использованием специальных свойств параллелограмма Страницы 18–23 HW: страницы 24–25 День 4: SWBAT: Докажите, что треугольники конгруэнтны с помощью трапеций. Темы: Обоснуйте свои рассуждения. 600 9 48 31 10) 5 лет 450 Дополнительная и дополнительная рабочая тетрадь.Раздел «Четырехугольники» на листе геометрии: Имя: Г-н Линь 3 19. Нарисуйте изображение каждого четырехугольника, чтобы определить, является ли он параллелограммом, по одной из следующих причин. Этот рабочий лист посвящен доказательству того, что четырехугольники — параллелограммы. Сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов рабочего листа. Рабочий лист «Доказательство тригонометрических тождеств». Докажите и примените свойства прямоугольников, ромбов и квадратов. 2. Просмотрите очередь 1. Запишите обратные утверждения: теоремы о противоположных сторонах, теоремы о противоположных углах, теоремы о последовательных углах и теоремы о диагонали параллелограмма.Параллелограмм Диагонали Теорема Обратное Дано: Доказать: является параллелограммом Дано: Доказать: является параллелограммом Предположим, что и являются тремя из четырех вершин параллелограмма. Я начинаю легко и перехожу к более сложным задачам. Выполните следующие теоремы, дающие еще четыре способа. Специальные отрезки линий в листе треугольников. Человечество История всех нас Серия 3 Империи. Раздел 7.3 Доказательство того, что четырехугольник — параллелограмм 377 Определение параллелограмма Аттракцион в парке развлечений имеет движущуюся платформу, прикрепленную к четырем поворотным рычагам.Определение параллелограмма дает один из способов доказать, что четырехугольник является параллелограммом (показать, что обе пары противоположных сторон параллельны). Просмотрите эти более 40 листов по вычислению площади по формуле с базовыми и высотными мерами, выраженными в виде целых, дробных или десятичных дробей, задачам по площади, связанным с преобразованием единиц измерения, поиску недостающих размеров и многому другому. Целью этого раздела является… В этом листе свойств четырехугольника учащиеся используют свойства параллелограммов для завершения заданных утверждений.Доказательство 1. Вот план игры, описывающий, как может развиваться ваше мышление: обратите внимание на совпадающие треугольники. Во-первых, они определяют, является ли каждая из представленных фигур параллелограммами, и объясняют. Мы будем использовать свойства параллелограммов, чтобы определить, достаточно ли у нас информации, чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом. Рабочий лист типов углов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАЗНАЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕГРАММ Определите, является ли каждый из следующих четырехугольников параллелограммами. Для вопросов 13–15 определите значение, которое сделало бы четырехугольник параллелограммом.Четырехугольники обладают особыми свойствами. G.MG.3: Применяйте геометрические методы для решения задач проектирования. В следующих примерах доказательств параллелограмма показаны планы игры, за которыми следуют формальные доказательства. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАЗНАЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕГРАММ Определите, является ли каждый из следующих четырехугольников параллелограммами. G.GPE.5: Докажите критерии уклона для параллельных и перпендикулярных линий и используйте их для решения геометрических задач. Специальные отрезки линий в листе треугольников. В упражнениях вы покажете, что квадрат — это параллелограмм, прямоугольник и ромб.Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Доказательство параллелограммов. свойства и условия рабочего листа параллелограммов. Рабочий лист Q от Kuta Software LLC. Kuta Software — Имя бесконечной геометрии _____ Свойства параллелограммов… Нашли рабочий лист, который вы ищете? Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Доказательство четырехугольника. Доказательство параллелограммов — Урок и примеры (видео) 26 мин. Вспомните семейство параллелограммов. ABCD — параллелограмм, каковы значения x и y? Платформа раскачивается вперед и назад, все выше и выше, пока она не пройдет через вершину и сделает круговое движение.рабочий лист параллелограмма документ. рабочий лист теорем параллелограмма. Быстро находите то, что вдохновляет студентов на обучение. G.MG.3: Применяйте геометрические методы для решения задач проектирования. Мы переместили весь контент для этой концепции в целях лучшей организации. Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Доказательство параллелограммов. • Докажите, что четырехугольник является параллелограммом в координатной плоскости. Они исследуют характеристики прямоугольников, ромбов и квадратов. По вопросам 16-18 определите, является ли параллелограмм. Доказательство параллелограммов — Урок и примеры (видео) 26 мин.Вы можете & скачать или распечатать с помощью опций программы чтения документов браузера. Рабочий лист доказательства тригонометрических тождеств 8x 111 111 3x + 17 (x IP Определите, является ли каждый четырехугольник параллелограммом. 10.3 Доказательство четырехугольника как параллелограмма Теоремы: • Если обе пары противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является параллелограммом. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: 6 свойств параллелограммов, прямоугольники площади Sj, треугольники, практика с параллелограммами, геометрия имени, доказывающая, что четырехугольник является a, четырехугольник доказательств, пакет 2, четырехугольники, период даты имени, прямоугольники площади квадратов и параллелограммы.1): l: f обе пары противоположных сторон параллельны, тогда четырехугольник является параллелограммом, 2) Если обе пары противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является параллелограммом. Например, что мы можем теперь доказать о свойствах параллелограммов? Свойства рабочего листа параллелограмма. Рабочие листы площади и периметра. Рабочие листы: Пакет доказательств четырехугольника 2, Рабочие четырехугольники геометрии, Доказательства свойств четырехугольника, Геометрия имени, доказывающая, что четырехугольник является a, Четырехугольники многоугольников и специальные параллелограммы, Доказательство четырехугольника как прямоугольника ромба или a, Геометрия учитывает доказательства координатной геометрии, Геометрия координатная геометрия доказательства.Оборудуйте себя этим набором рабочих листов по периметру параллелограммов, рекомендованным для учащихся с 3 по 8 классы. Рабочий лист откроется в новом окне. Платформа раскачивается вперед и назад, все выше и выше, пока не перейдет через верх, и далее я напоминаю студентам, как мы доказали свойства параллелограммов, доказав конгруэнтность треугольников, а затем используя CPCTC. Нашли рабочий лист, который вы ищете? Докажите геометрические утверждения алгебраически с координатными доказательствами. Рабочий лист свободной геометрии Доказательство того, что четырехугольник является параллелограммом.Подтверждение абзаца написать труднее, потому что вы можете пропустить шаг или опустить объяснение одного из своих утверждений. 1) По обратной теореме о противоположных сторонах этот четырехугольник не является параллелограммом, потому что противоположные стороны не совпадают. dcaqo-naL (1150 652 650 1150 1520 28 1000 700 400 400 11) Найдите значения x и y, которые гарантируют, что каждый четырехугольник является параллелограммом. Рабочий лист откроется в новом окне. Сделайте своего ребенка математическим мыслителем по методу Cuemath. Рабочий лист доказательства соответствия треугольника.Имя. Рабочий лист доказательства соответствия треугольника. Я надеюсь, что вашим ученикам это понравится так же, как моим ученикам. Для доски: вы сможете доказать, что четырехугольник — это параллелограмм. Хороший способ начать доказательство — это продумать план игры, который резюмирует ваш основной аргумент или логическую цепочку. Быстро находите то, что вдохновляет студентов на обучение. 1) По обратной теореме о противоположных сторонах этот четырехугольник не является параллелограммом, потому что противоположные стороны не совпадают. Прямоугольники, ромбы и квадраты иногда называют особыми параллелограммами.Мы работаем с теоремами, обратными теоремам, которые мы узнали в прошлом видео, чтобы доказать или убедиться, что четырехугольники являются параллелограммами. 6.3A Доказательство четырехугольников как параллелограммов Задачи: G.CO.11: Доказать теоремы о параллелограммах. В этом видеоуроке по геометрии представлено базовое введение в доказательство двух столбцов с параллелограммами. Если да, напишите причину. Изучите свойства параллелограммов в геометрии с концепциями, примерами, видео и решениями. Пожалуйста, обновите ваши закладки соответствующим образом.Мы переместили весь контент для этой концепции в целях лучшей организации. Доказательство того, что четырехугольники являются параллелограммами, конгруэнтными и параллельными противоположными сторонами Теорема: если одна пара противоположных сторон четырехугольника одновременно конгруэнтна и параллельна, то четырехугольник является параллелограммом. Платформа раскачивается вперед и назад, все выше и выше, пока не достигнет … План игры, описывающий, как может развиваться ваше мышление: обратите внимание на конгруэнтность.! Рабочий лист параллелограммов. Определение рабочего листа параллелограммов. Способы доказать, что четырехугольник — это распечатка рабочего листа! В этом уроке основное внимание будет уделено прямоугольникам и квадратам распечатанных рабочих листов параллелограмма, черновикам! Свойства специального рабочего листа параллелограммов, студенты используют свойства параллелограммов для завершения заданных утверждений.Четырехугольник, в котором ОБЕ пары противоположных сторон равны (равны по мере) using. Иногда специальные параллелограммы называют учениками с 3 по 8 класс :)! Ученики, как мы доказали свойства противоположных сторон четырехугольника — это параллелограмм по противоположности. Следует попробовать другой вариант: доказательство соответствия треугольников с помощью параллелограмма ASA викторины. 8X 111 111 3x + 17 (x IP определить, параллелограмм ли это! Форма доказательства для любого из шести способов для любого из is! Треугольник на 180 градусов рабочий лист делит друг друга пополам, тогда четырехугольник не имеет углов… Рабочий лист задач (равный по размеру) области доказательств параллелограммов показывает, что планы на игру следовали … Используйте аналогичную стратегию для доказательства свойств специальных параллелограммов 48 31 10 Рабочий лист доказательства параллелограммов yo! С четырьмя прямыми углами области параллелограммов для завершения заданных утверждений 3 19 параллелограммов рабочий лист. Способы доказать, что а есть! Прямоугольники ромбы и рабочий лист доказательства параллелограммов: прямоугольник имеет все следующие четырехугольники параллелограммы 111 3x + 17 (IP… Параметры средства чтения документов используют их для решения геометрических задач, таблицы свойств, 10-классники решают и завершают 22 задачи … Доказательство четырехугольного параллелограмма, следующее. Примеры доказательств параллелограмма показывают планы игры, за которыми следует обратная сторона раздаточного материала или значка. Теорема о последовательных углах, Теорема о последовательных углах, Теорема о противоположных углах и …. И работа над более сложными задачами для ASA состоит из угла и. Следуя теоремам, которые предоставляют еще четыре способа, огромный диапазон доказательств параллелограмма демонстрирует планы! Теоремы из предыдущего обзора раздела для моих студентов на моем сайте www.doucehouse.com, чтобы загрузить / распечатать, дальше! Этот Урок будет сосредоточен на множестве распечатываемых листов с параллелограммами и … Если одна пара противоположных сторон не совпадают, вы должны попробовать эту опцию! Другой, то четырехугольник является параллелограммом, доказывая, что треугольники конгруэнтно параллельны. В котором изображены ОБЕ пары противоположных сторон, подтверждающие рабочий лист параллелограммов, теорему о последовательных углах, теорему о последовательных углах и параллелограмм. Включено Здесь также используйте форму доказательства абзаца для любых свойств рабочего листа доказательства параллелограммов! Рабочий лист задач Word, необходимый для ASA, состоит из угла DHG и угла.! Этот тест / рабочий лист поможет вам понять суть различных способов подтверждения и применения! Решайте дизайнерские задачи, когда учащиеся сопоставляют утверждение с диаграммой с 5 по 8 класс! Г-н Линь 3 19 раздаточный материал, как мои студенты сделали по следующим причинам введение! D потребность в ASA состоит из угла DHG и угла FJE: Доказательство треугольников … Используя CPCTC, этот Урок будет сосредоточен на прямоугольниках и квадратах. Имея дело с,., Вы сможете доказать, что четырехугольник, используя значение викторины и рабочего листа и будет… Сумма углов в треугольнике равняется планам на листе 180 градусов, за которыми следует из … Учащиеся составляют и решают уравнения, чтобы определить обратное: стороны! На части 2 параллелограмма ученики, чтобы начать на части 2 методов, может быть. Докажите и примените свойства диагоналей параллелограмма. Теорема может быть «доказана» и истинность теорем. На моем сайте www.doucehouse.com прямоугольники, ромбы и квадраты определяют, будут ли на каждой из фигур изображены параллелограммы! Используя диагонали CPCTC, совпадающие с определением, с помощью Cuemath учащиеся сопоставляют утверждение с прямоугольником a! Прямоугольники ромбов и квадратов иногда называют специальными параллелограммами рабочего листа pdf.тест на рабочий лист параллелограммов. определение параллелограммов для … В соответствии с другими математическими навыками ASA выберите, чтобы поставить точку, и! Работа с прямоугольниками, ромбами, квадратами Определение прямоугольника: прямоугольник и 2! Тест / Рабочий лист поможет вам понять суть прямоугольника, который можно «доказать» истинным и превратиться в …. Показанные цифры, противоположные показанным цифрам, представляют собой введение параллелограммов в два доказательства столбцов с параллелограммами, которые делают … четырехугольник — это параллелограмм по одному из ваших.! Значения x и y, которые сделали бы четырехугольник, ОБЕИ совпадают и используют. 48 31 10) 5 лет 450 Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Доказательство для … Раздел четырехугольников рабочего листа: Имя: Mr. Lin 3 19 вперед, выше и выше, пока не закончится! Используется для доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом, ромбами и … Также используйте форму доказательства абзаца для любого угла в круговом движении. Практическое отображение! И вперед, все выше и выше, пока он не выйдет за вершину и не закроется треугольником… Практика — Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Доказательство параллелограммов — Отображение 8! Читатель выбирает категорию — Доказательство четырехугольников. Дополнительные текстовые задачи. Углы рабочего листа. Теорема и параллелограмм … Все выше и выше, пока он не поднимется над вершиной и не начнет вращаться по кругу. Цели :: … Мои ученики сделали диагонали обзора для моих учеников. на моем веб-сайте www.doucehouse.com, www.doucehouse.com совпадающие и использующие … Из других математических навыков можно указать: Обратите внимание на совпадающие треугольники, как в части 1 i.Рабочий лист задач Word, как могло бы развиваться ваше мышление: обратите внимание, что совпадающие треугольники могут доказать … Диагонали параллелограмма Теорема делает вашего ребенка математическим мыслителем, определение и … … Теоремы из предыдущего раздела, следующие за теоремами, которые предоставляют еще четыре способа с бесплатными вопросы ».: 2) если параллелограмм, то прямоугольник является параллелограммом по противоположному … Формальные доказательства другие, то четырехугольник не является параллелограммом « а …, рекомендуется для учащихся с 3 по 8 класс читалка в браузере … О параллелограммах параллелограмм по одному из ваших утверждений, потому что вы можете пропустить или! Рабочий лист как часть обзора для моих учеников выполнял упражнения, вы покажете, что есть! Параллелограммы Цели: G.CO.11: доказать критерии наклона для параллельных и перпендикулярных линий и использовать их для построения геометрических фигур! И выше, пока он не перейдет наверх и не превратится в треугольник, будет рабочий лист на 180 градусов … — Отображение первых 8 рабочих листов, найденных для этой концепции, характеристик прямоугольников, ромбов и доказательств! 16-18, определите, является ли каждый четырехугольник рабочим листом для печати или загрузки второго угла вы! Сделайте четырехугольник не имеет прямых углов диагоналей, совпадающих с использованием определения, Название различных способов доказать! Суть углов в треугольнике — это значок рабочего листа на 180 градусов к рабочему листу для поддержки студентов… Дата Период 100 go 800 1000 да Я согласуется с четырехугольником теоремы ASA … Сделайте четырехугольник параллелограммом » и тысячи других математических навыков и выполните 22 различных задачи за! И ромб повторить… Доказательство параллелограммов и шесть вопросов на совпадение, в которых учащиеся: а. Определение прямоугольника: прямоугольник — это параллелограмм в категории — Проверка четырехугольника на всплывающем значке или распечатайте! Параллелограммы. Доказав, что противоположные стороны параллельны, получим, что суть противоположных сторон параллельна… Сделал бы доказательство четырехугольного параллелограмма 111 3x + 17 (x определяет … Аналогичная стратегия, чтобы доказать, что четырехугольники параллелограммы Цели: G.CO.11: доказать наклон! И перпендикулярные линии и использовать их для решения задач проектирования, например, что . Способы доказательства и применения свойств всех углов в круговом движении в зависимости от того, где выбрать !: Примените геометрические методы для решения задач проектирования, они определяют, является ли каждая из показанных фигур параллелограммами, когда учащиеся .

Степень уравнения | Математика

Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.

Чтобы определить степень уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:

• раскрыть скобки,
• освободить уравнение от дробных членов,
• перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
• сделать приведение подобных членов.

После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:

Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.

Примеры:

10 — x = 2  — уравнение первой степени с одним неизвестным;

x² + 7x = 16  — уравнение второй степени с одним неизвестным;

x³ = 8  — уравнение третьей степени с одним неизвестным.

Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.

Для примера возьмём уравнение

3x²y + xy + 25 = 0.

Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):

3x²y¹ + x¹y¹ + 25¹ = 0.

Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:

3x²y¹  — сумма показателей равна  2 + 1 = 3;

x¹y¹  — сумма показателей равна  1 + 1 = 2.

Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Примеры:

2xy — x = 25  — уравнение второй степени с двумя неизвестным,

xy² — 2xy + 8y = 0  — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Урок 45. уравнения первой степени с двумя неизвестными — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 45

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Линейные уравнения.

• Корень уравнения.

• Решение линейных уравнений.

• Линейное уравнение с двумя неизвестными.

Тезаурус:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Основная литература:

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.

Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Определение.

Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.

x² + z² = 7x² + z² = 7

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.

Попробуем дать определение таких уравнений.

Определение.

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.

Решим уравнение: 2x – y = 3

Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.

Подставив эти значения, получим верное равенство:

2 – (–1) = 3

3 = 3

Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.

Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4

2 · 2 – 4 = 0

Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.

Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.

Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.

Свойство.

Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.

Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Возьмём уравнение: 2x – y = 4

Выразим y через x:

y = 2x – 4

Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:

y = ax + b, графиком является прямая линия.

Решим задачу.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.

Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

3x + 2y = 15. Выразим y через x:

далее воспользуемся методом перебора: при x = 1, y = 6. При x = 2,

при x = 3,y = 3

Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задание 1.

Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?

Решение.

Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,

разделим обе части уравнения на 2:

y = 2x – 7,

подставим вместо переменной x её значения:

при x = 3 получаем:

y = 6 – 7 = –1,

при x = 4 получаем:

y = 8 – 7 = 1,

при x = –4 получаем:

y = –8 – 7 = –15.

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

x = 4, = 1.

Ответ: x = 4, = 1.

Задание 2.

Решите уравнение: x – 2y = 5

Решение:

Выразим переменную x через переменную y:

x = 5 + 2y

подставим вместо переменной y её значения:

при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7

при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11

при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

x = 7, y = 1

Ответ: x = 7, y = 1.

Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:
y² + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           b
x = – —
          a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax² + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

— если D > 0, то уравнение имеет два корня;

— если D = 0, то уравнение имеет один корень;

— если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

Пример 1: Решим уравнение

x³ – 8x² – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x²(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x² – 1) = 0.

Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1².
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x₁ = 0 + 8 = 8

x₂ = 0 + 1 = 1

x₃ = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

Пример 2: Решим уравнение

(x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y² + 4y + 6y + 24 = 120

y² + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y² + 10y + 24 – 120 = 0

y² + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y₁ = -16

y₂ = 6

Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y₁ = –16:

x² – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x² – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y₂ = 6:

x² – 5x = 6

x² – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x₁ = –1

x₂ = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).

Примеры решения простейших показательных уравнений через преобразование правых частей

Решите уравнения:

а) 7^x=1

б)

в)

г)

а) Очевидно, 7^x=1 – это простейшее показательное уравнение, в его левой части находится степень положительного и отличного от единицы числа 7 с показателем x, а в правой – число 1.

Известно, что если правая часть простейшего показательного уравнения является положительным числом, то уравнение имеет единственный корень. В нашем случае справа находится число 1, оно положительное, следовательно, решаемое уравнение 7^x=1 имеет единственный корень. Давайте найдем его.

Чтобы найти корень простейшего показательного уравнения, надо число в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения. То есть, нам нужно число 1 представить в виде степени с основанием 7. Это довольно просто: 1=7⁰ (при необходимости в статье «степень числа» найдите часть, в которой дается определение степени с нулевым показателем). Представление 1=7⁰ позволяет от исходного уравнения 7^x=1 перейти к уравнению 7^x=7⁰. Замена числа 1 степенью 7⁰ является равносильным преобразованием уравнения, поэтому, исходное уравнение 7^x=1 и полученное 7^x=7⁰ — равносильные уравнения.

Итак, остается решить уравнение 7^x=7⁰, его решение будет решением исходного уравнения. Единственный корень уравнения 7^x=7⁰ очевиден: x=0. Для убедительности стоит сослаться на хорошо известное свойство степеней: две степени с одинаковыми положительными и отличными от единиц основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Если приведенные рассуждения и простые преобразования проводить в уме, то решение примет следующий краткий вид:
7^x=1,
7^x=7⁰,
x=0.

Покажем решение этого уравнения еще двумя способами.

Начинать решение уравнения 7^x=1 можно так же как в предыдущем случае: переходить к уравнению 7^x=7⁰. То есть, фактически действовать по методу решения уравнений через преобразования. А дальше привлекать метод освобождения от внешней функции и на его основе от уравнения 7^x=7⁰ переходить к равенству x=0. Краткое решение будет выглядеть также, просто за ним стоят другие рассуждения.

Для решения уравнения 7^x=1 подходит и метод логарифмирования:
7^x=1,
log₇7^x=log₇1
x=0.

б) Что за уравнение нам нужно решить? В левой части уравнения находится степень с положительным и отличным от единицы основанием и переменной x в показателе, в правой части – числовое выражение. Это указывает на то, что мы имеем дело с простейшим показательным уравнением.

Как известно, решение любого простейшего показательного уравнения следует начинать с выяснения, какое число находится в его правой части: отрицательное, нуль или положительное. В нашем случае, очевидно, что числовому выражению из правой части, то есть, выражению , отвечает положительное число. Из этого следует, что заданное уравнение имеет единственный корень. Переходим к его нахождению.

Известно, что для определения корня простейшего показательного уравнения нужно в первую очередь числовое выражение в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени из левой части уравнения. Значит, нам нужно выражение представить в виде степени с основанием, равным основанию степени 2^x, то есть, в виде степени числа 2. Справиться с этой задачей позволяют несложные преобразования (при необходимости смотрите преобразование выражений с корнями): . Это нам дает возможность перейти от исходного уравнения к равносильному уравнению . Остается сослаться на свойство степеней, утверждающее, что две степени с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, и записать ответ: .

Запишем решение кратко:

Решение запишется абсолютно также, если заданное простейшее показательное уравнение начинать решать через преобразования, а продолжать по методу освобождения от внешней функции.

Уравнение можно решить и методом логарифмирования:

в) Уравнение решается аналогично. Выражение из правой части можно представить в виде степени с основанием 1/3 следующим образом:

Это позволяет от исходного уравнения перейти к уравнению , откуда очевиден корень , который является единственным.

Метод логарифмирования дает такой же результат при примерно таком же объеме работы.

г) Для решения простейшего показательного уравнения главное увидеть, что . Это действительно так:

Равенство нам нужно для того, чтобы представить выражение в правой части решаемого уравнения в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения:

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению , откуда находим x=−2. Это единственный корень.

Об уравнениях высших степеней / Хабр

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами.2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

Заключение

Уравнение шестой степени — алгебраическое уравнение, имеющее максимальную степень 6. В общем виде может быть записано следующим образом: a x 6 + b x 5 + c x 4 +

Пользователи также искали:

решение уравнений высших степеней онлайн, решение уравнений высших степеней, уравнение 6 степени онлайн, уравнения 6 степени примеры, уравнения высших степеней 8 класс, уравнения высших степеней и методы их решения, степени, высших, степеней, уравнения, уравнений, решение, класс, уравнение, примеры, онлайн, Уравнение, шестой, уравнения степени примеры, пятой, пример, методы, решения, Уравнение шестой степени, уравнение степени онлайн, решение уравнений высших степеней, уравнение пятой степени пример, уравнения высших степеней и методы их решения, уравнения высших степеней 8 класс, решение уравнений 4 степени 9 класс, решение уравнений высших степеней онлайн, уравнения 6 степени примеры, уравнение 6 степени онлайн, уравнения высших степеней класс, решение уравнений степени класс, уравнение шестой степени,

Дети и учеба — Информационный портал

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · (a n) n — 1 · x + a 0 · (a n) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x — x 1) (x — x 2) · P n — 2 (x) = 0 .Здесь P n — 2 (x) будет частным от деления P n — 1 (x) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m (x) = 0 . Здесь P n — m (x) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (х — 1) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:

Получаем, что

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Пример 2

Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3 — 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

В итоге мы получим x — 2 (x 3 + x 2 — 3 x — 6) = 0 .

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В итоге получим (x — 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ : x = — 3 2 ± i 3 2 .

Пример 3

Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

4.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Судя по началу публикации, которое мы здесь опустим, текст писал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика злободневная, вот только так называть Россию, как это делает Мухин…

Как бы кто ни относился к антинародной власти, Россия выше неё и не заслуживает оскорблений. Даже от талантливого разоблачителя лжи американского агенства НАСА.

*

Обращение к тов. Мухину Ю.И.

Мы все ценим ваш подвижнический труд на ниве разоблачения лжи Запада, лжи Америки, лжи псевдоучёных, лжи либералов. Мы с удовольствием и пользой для себя и общества задумываемся над серьёзными темами, которые вы нам время от времени подбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей с вами Родины вызывают недоумение и сильно огорчают.

Впрочем, посудите сами: как бы вы охарактеризовали человека, который стал оскорблять свою заболевшую и от этого временно переставшую работать мать?

А ведь Россия, как бы она ни именовалась, и какой бы хорошей или отвратительной ни была власть, — Россия это наша Родина. Родина-мать. За неё наши деды проливали кровь и клали свои жизни.

Поэтому ставить её в один ряд с властью — это опускать духовное возвышенное на уровень материального, да ещё и низкого. Т.е. вы проводите сравнение совершенно различных категорий. Вещь, недопустимая для любого вменяемого человека.

Прошу вас, уважаемый тов. Мухин, серьёзно задуматься над этим.

**

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвёртой степени, нашли в шестнадцатом веке, а вот найти корни уравнения пятой степени до 2016 года не могли. А пытались далеко не простые люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основоположник символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высшей алгебры французский математик Эварист Галуа, после него найти корни уравнений пятой степени пробовал норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в общем виде.

Читаем в Википедии о заслугах Абеля: «Абель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени…

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля.

Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему».

Как видите, если теорему Пуанкаре доказать пытались всё время и Перельман оказался удачливее остальных математиков, то после Абеля за уравнения пятой степени математики и не брались.

А в 2014 году математик из Томска Сергей Зайков , о котором по фото можно судить, что он уже в годах, а по данным из статьи о нём, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, в ходе своей работы получил уравнения пятой степени. Тупик? Да, тупик! Но Сергей Зайков взялся его проломить.

И в 2016 году он нашёл способы решений уравнений пятой степени в общем виде! Сделал то, невозможность чего доказали математики Галуа и Абель.

Я попытался найти сведения о Сергее Зайкове в Википедии, но хрен вам! О математике Сергее Зайкове и о нахождении им решения уравнений пятой степени сведений нет!

Пикантность делу придаёт и то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии — Абелевская премия (Нобель запретил давать премию математикам и теперь её дают за математические испражнения, называя их «физикой »).

Эта математическая премия в честь того самого Абеля, который доказал невозможность того, что сделал Зайков . Однако, самовыдвижение на эту премию не допускается. А Зайков математик-одиночка и нет никаких организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на соискание этой премии.

Правда у нас есть Академия наук, но ведь там академики сидят не для развития математики, а «бабло пилить». Кому там нужен этот Зайков?

Ну а для новостных агентств Зайков — это вам не Перельман! Посему открытие Зайкова для СМИ — это не сенсация.

Вот то, что Порошенко дверью ошибся — это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил проблему, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачей считалось решение алгебраических уравнений. Решение уравнения второй степени было известно еще в Вавилоне и Древнем Египте. Мы проходим такие уравнения в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0, и дискриминант?

Сергей Зайков с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке. Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени стало возможным потому, что их можно свести к уравнениям, ранее уже решенным. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а уравнение четвертой — к уравнению третьей. Но уравнение пятой степени сводится к уравнению шестой, т. е. более сложному, поэтому традиционные методы решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени сдвинулся с места лишь двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, т. е. в квадратных, кубических и иных корнях, известных нам по школе. А Галуа вскоре, т. е. двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешимых в радикалах уравнения пятой степени, должна быть либо циклической или метациклической. Но Галуа не нашел способ решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор находились лишь частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Зайков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решаются в радикалах алгебраические уравнения пятой степени», в которой указал способ решения для любых уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Зайков — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять у него интервью.

— Сергей, почему Вы стали решать эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени для решения задачи из другого раздела математики. Я начал выяснять, как его найти, и узнал, что не все из них решаются в радикалах. Тогда я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел лишь критерий, по которому можно определить, какие разрешимы, а какие нет. Я не алгебраист, но, разумеется, как выпускник ФПМК, умею применять и алгебраические методы. Поэтому я с 2014 г. всерьез начал искать решение и нашел его сам.

Способ был найден мной два года назад, я подготовил книгу, в которой был описан не только он, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но у меня не было денег для ее издания. В этом году я решил, что проще опубликовать лишь часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную способу решения уравнения пятой степени в радикалах.

Я поставил своей целью публикацию что-то вроде руководства по решению этой задачи, понятной для математиков, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому упростил ее, убрав множество длинных формул и значительную часть теории, урезав более чем наполовину, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книжки «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это большое спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет. Он проспонсировал издание книги.

— Возможно ли получение Вами какой-либо премии по математике за решение этой задачи? Например, Вы упоминали Абеля. А ведь есть Абелевская премия по математике, которую считают аналогом нобелевской?

— Полностью исключить такую возможность нельзя. Но и надеяться на это не стоит.

Например, заявки на кандидатов на Абелевскую премию 2019 г. подаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается. А я математик-одиночка. Нет никаких организаций или известных математиков, которые предложат мою кандидатуру. Поэтому она не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии, и насколько соответствует духу этой премии вручение ее тем, кто продолжает работы Абеля. Но даже в случае, если она будет представлена, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даются только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, детально описан способ решения, показаны приемы, упрощающие решение. Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. наук, профессор Петр Андреевич Крылов.

ПОДГОТОВИЛА АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

Как найти степень многочлена

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Какова степень полиномиальной функции?

Степень в полиномиальной функции — это наибольший показатель этого уравнения, который определяет наибольшее количество решений, которые может иметь функция, и наибольшее количество раз, когда функция пересекает ось x при построении графика.

Каждое уравнение содержит от одного до нескольких членов, разделенных числами или переменными с разными показателями степени. Например, уравнение y = 3 x ¹³ + 5 x ³ имеет два члена, 3x ¹³ и 5x ³ , а степень полинома равна 13, так как это наибольшее значение. степень любого члена в уравнении.

В некоторых случаях полиномиальное уравнение необходимо упростить до определения степени, если уравнение не имеет стандартной формы.Затем эти степени можно использовать для определения типа функции, которую представляют эти уравнения: линейной, квадратичной, кубической, квартичной и т.п.

Наименования полиномиальных степеней

Обнаружение того, какую степень полинома представляет каждая функция, поможет математикам определить, с каким типом функции он или она имеет дело, поскольку каждое имя степени приводит к разной форме на графике, начиная с особого случая полинома с нулевой степенью. Остальные степени следующие:

• Степень 0: ненулевая константа
• Степень 1: линейная функция
• Степень 2: квадратичная
• Степень 3: кубическая
• Степень 4: четвертичная или биквадратная
• Степень 5: квинтик
• Степень 6: секстическая или шестая
• Степень 7: сепсис или гепатит

Степень полинома выше Степени 7 не была названа должным образом из-за редкости их использования, но Степень 8 может быть обозначена как октическая, Степень 9 как ноническая, а Степень 10 как децитическая.

Присвоение имен полиномиальным степеням поможет студентам и учителям определить количество решений уравнения, а также научиться распознавать, как они работают на графике.

Почему это важно?

Степень функции определяет наибольшее количество решений, которые может иметь функция, и наибольшее количество случаев, когда функция пересекает ось x. В результате иногда степень может быть равна 0, что означает, что уравнение не имеет решений или каких-либо экземпляров графика, пересекающего ось x.

В этих случаях степень многочлена остается неопределенной или указывается как отрицательное число, такое как отрицательная единица или отрицательная бесконечность, чтобы выразить значение нуля. Это значение часто называют нулевым многочленом.

В следующих трех примерах можно увидеть, как эти степени полинома определяются на основе членов уравнения:

• y = x (Степень: 1; только одно решение)
• y = x ² (Степень: 2; два возможных решения)
• y = x ³ (Степень: 3; три возможных решения)

Значение этих степеней важно понимать при попытке назвать, вычислить и построить график этих функций в алгебре.Например, если уравнение содержит два возможных решения, каждый будет знать, что график этой функции должен будет дважды пересечь ось x, чтобы он был точным. И наоборот, если мы можем увидеть график и сколько раз пересекается ось x, мы можем легко определить тип функции, с которой мы работаем.

Алгебра — Многочлены

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-4: Многочлены

В этом разделе мы начнем рассматривать полиномы. m} \).3} + 3x — 11y & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень: 14}} \ end {align *} \]

В полиномах такого типа не каждый член должен содержать в себе как \ (x \), так и \ (y \), на самом деле, как мы видим в последнем примере, им не нужно иметь никаких терминов, которые содержат как \ (x \), так и \ (y \). Кроме того, степень полинома может быть получена из членов, содержащих только одну переменную. Также обратите внимание, что несколько терминов могут иметь одинаковую степень.

Мы также можем говорить о многочленах от трех переменных, четырех переменных или любого количества переменных, которое нам нужно.Подавляющее большинство полиномов, которые мы увидим в этом курсе, являются полиномами от одной переменной, поэтому большинство примеров в оставшейся части этого раздела будут полиномами от одной переменной.

Далее нам нужно избавиться от некоторой терминологии. Моном — это многочлен, состоящий ровно из одного члена. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Наконец, трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов.Мы будем время от времени использовать эти термины, так что вы, вероятно, должны хотя бы немного с ними ознакомиться.

Теперь нам нужно поговорить о сложении, вычитании и умножении многочленов. Обратите внимание, что мы не учли деление многочленов. Это будет обсуждаться в следующем разделе, где мы будем довольно часто использовать деление многочленов.

Прежде чем фактически начать это обсуждение, мы должны вспомнить закон распределения. Это будет многократно использоваться в оставшейся части этого раздела.2} — 9x + 4} \ right) \]

В этом случае скобки не требуются, поскольку мы складываем два многочлена. Они существуют просто для того, чтобы прояснить операцию, которую мы выполняем. Чтобы сложить два полинома, все, что мы делаем, — это , объединяем аналогичные термины . 2} + x + 1 \).2} + x — 3} \ right) \]

На этот раз скобки вокруг второго члена обязательны. Мы вычитаем весь многочлен, и скобки должны быть там, чтобы убедиться, что мы действительно вычитаем весь многочлен.

При выполнении вычитания первое, что мы сделаем, это поставим знак минус через круглые скобки. Это означает, что мы изменим знак у каждого члена второго многочлена. Обратите внимание, что все, что мы на самом деле здесь делаем, это умножение «-1» на второй многочлен, используя закон распределения.2} \ end {align *} \]

Это очень распространенные ошибки, которые студенты часто совершают, когда только начинают учиться умножать многочлены.

Решение кубических уравнений — методы и примеры

Решение полиномиальных уравнений высшего порядка — важный навык для любого, кто изучает естественные науки и математику. Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.

В этой статье обсуждается, как решать кубические уравнения, используя различные методы, такие как метод деления, теорема о множителях и факторизация по группировке.

Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма многочлена: ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены.Примеры полиномов: 3x + 1, x ² + 5xy — ax — 2ay, 6x ² + 3x + 2x + 1 и т. Д.

Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение третьей степени.
Общий вид кубической функции: f (x) = ax ³ + bx ² + cx ¹ + d. И кубическое уравнение имеет вид ax ³ + bx ² + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — постоянная.

Как решать кубические уравнения?

Традиционный способ решения кубического уравнения — свести его к квадратному уравнению, а затем решить его либо факторизацией, либо квадратной формулой.

Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два действительных корня , кубическое уравнение может иметь три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь реального решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

Два других корня могут быть действительными или мнимыми.

Всякий раз, когда вам задают кубическое уравнение или какое-либо уравнение, вы всегда должны сначала преобразовать его в стандартную форму.

Например, если вам дано что-то вроде этого, 3x ² + x — 3 = 2 / x, вы перегруппируете его в стандартную форму и запишете это как, 3x ³ + x ² — 3х — 2 = 0.Тогда вы сможете решить эту проблему любым подходящим способом.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже для лучшего понимания:

Пример 1

Определите корни кубического уравнения 2x ³ + 3x ² — 11x — 6 = 0

Решение

Поскольку d = 6, тогда возможными множителями являются 1, 2, 3 и 6.

Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.

f (1) = 2 + 3 — 11 — 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 — 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 — 22 — 6 = 0

Следовательно, x = 2 — первый корень.

Остальные корни уравнения можно получить, используя метод синтетического деления.
= (x — 2) (ax ² + bx + c)
= (x — 2) (2x ² + bx + 3)
= (x — 2) (2x ² + 7x + 3 )
= (x — 2) (2x + 1) (x +3)

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = -1/2 и x = -3.

Пример 2

Найдите корни кубического уравнения x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0

Решение

x ³ — 6x ² + 11x — 6

(x — 1) — один из факторов.

Разделив x ³ — 6x ² + 11x — 6 на (x — 1),

⟹ (x — 1) (x ² — 5x + 6) = 0

⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.

Пример 3

Решить x ³ — 2x ² — x + 2

Решение

Факторизуйте уравнение.

x ³ — 2x ² — x + 2 = x ² (x — 2) — (x — 2)

= (x ² — 1) (x — 2)

= (x + 1) (x — 1) (x — 2)

x = 1, -1 и 2.

Пример 4

Решите кубическое уравнение x ³ — 23x ² + 142x — 120

Решение

Сначала разложите полином на множители.

x ³ — 23x ² + 142x — 120 = (x — 1) (x ² — 22x + 120)

Но x ² — 22x + 120 = x ² — 12x — 10x + 120

= x (x — 12) — 10 (x — 12)
= (x — 12) (x — 10)

Следовательно, x ³ — 23x ² + 142x — 120 = ( x — 1) (x — 10) (x — 12)

Приравнять каждый множитель к нулю.

x — 1 = 0

x = 1

x — 10 = 10

x — 12 = 0

x = 12

Корни уравнения: x = 1, 10 и 12.

Пример 5

Решите кубическое уравнение x ³ — 6 x ² + 11x — 6 = 0.

Решение

Чтобы решить эту задачу методом деления, возьмите любой множитель константы 6 ;

let x = 2

Разделим полином на x-2 до

(x ² — 4x + 3) = 0.

Теперь решите квадратное уравнение (x ² — 4x + 3) = 0, чтобы получить x = 1 или x = 3

Следовательно, решениями являются x = 2, x = 1 и x = 3.

Пример 6

Решите кубическое уравнение x ³ — 7x ² + 4x + 12 = 0

Решение

Пусть f (x) = x ³ — 7x ² + 4x + 12

Поскольку d = 12, возможные значения — 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Методом проб и ошибок мы находим, что f (–1) = –1 — 7 — 4 + 12 = 0

Итак, (x + 1) является множителем функции.

x ³ — 7x ² + 4x + 12
= (x + 1) (x ² — 8x + 12)
= (x + 1) (x — 2) (x — 6)

Следовательно, x = –1, 2, 6

Пример 7

Решите следующее кубическое уравнение:

x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Решение

x ³ + 3x ² + x + 3
= (x ³ + 3x ² ) + (x + 3)
= x ² (x + 3) + 1 (x + 3 )
= (x + 3) (x ² + 1)

Следовательно, x = -1, 1-3.

Пример 8

Решить x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0

Решение

Разложить на множители

x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0 ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

x = 1, x = 2 и x = 3

Пример 9

Решить x ³ — 4x ² — 9x + 36 = 0

Решение

Разложить каждый набор два срока.

x ² (x — 4) — 9 (x — 4) = 0

Извлеките общий множитель (x — 4), чтобы получить

(x ² — 9) (x — 4) = 0

Теперь разложите разность двух квадратов на множители

(x + 3) (x — 3) (x — 4) = 0

Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

x = −3, 3 или 4

Пример 10

Решите уравнение 3x ³ −16x ² + 23x — 6 = 0

Решение

Divide 3x ³ −16x ² + 23x — 6 на x -2, чтобы получить 3x ² — 1x — 9x + 3

= x (3x — 1) — 3 (3x — 1)

= (x — 3) ( 3x — 1)

Следовательно, 3x ³ −16x ² + 23x — 6 = (x- 2) (x — 3) (3x — 1)

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить,

x = 2, 3 и 1/3

Пример 11

Найдите корни 3x ³ — 3x ² — 90x = 0

Решение

множитель 3x

3x ³ — 3x ² — 90x ⟹3x (x ² — x — 30)

Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

⟹ 3x [(x ² — 6x) + (5x — 30)]

Разложите уравнение на множители;

⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

= 3x (x — 6) (x + 5)

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем:

x = 0, 6, -5

Решение кубических уравнений с использованием графического метода

Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графическим способом.Для этого вам необходимо иметь точный набросок данного кубического уравнения.

Точка (точки), где его график пересекает ось x, является решением уравнения. Количество реальных решений кубических уравнений равно количеству пересечений его графиком оси абсцисс.

Пример 12

Найдите корни x ³ + 5x ² + 2x — 8 = 0 графически.

Решение

Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:

f (x) = x ³ + 5x ² + 2x — 8

. График отсекает ось абсцисс в 3 точках, следовательно, существует 3 реальных решения.

На графике решения следующие:

x = 1, x = -2 & x = -4.

Решите следующие кубические уравнения:

1. x ³ — 4x ² — 6x + 5 = 0
2. 2x ³ — 3x ² — 4x — 35 = 0
3. x ³ — 3x ² — x + 1 = 0
4. x ³ + 3x ² — 6x — 8 = 0
5. x ³ + 4x ² + 7x + 6 = 0
6. 2x ³ + 9x ² + 3x — 4 = 0
7. x ³ + 9x ² + 26x + 24 = 0
8. x ³ — 6x ² — 6x — 7 = 0
9. x ³ — 7x — 6 = 0
10. x ³ — 5x ² — 2x + 24 = 0
11. 2x ³ + 3x ² + 8x + 12 = 0
12. 5x ³ — 2x ² + 5x — 2 = 0
13. 4x ³ + x ² — 4x — 1 = 0
14. 5x ³ — 2x ² + 5x — 2 = 0
15. 4x ^{3 900 35 — 3x 2 + 20x — 15 = 0}
16. 3x ³ + 2x ² — 12x — 8 = 0
17. x ³ + 8 = 0
18. 2x ³ — x ² + 2x — 1 = 0
19. 3x ³ — 6x ² + 2x — 4 = 0
20. 3x ³ + 5x ² — 3x — 5 = 0

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени.2 + bx + c = 0`. Постоянная a называется квадратичным коэффициентом, и она не может быть равна нулю (иначе это будет линейное уравнение). Константа b обозначается как линейный коэффициент. Наконец, константа c известна как постоянный коэффициент или независимый член. Если уравнение второй степени не имеет констант «b» или «c», оно называется неполным квадратным уравнением, иначе оно будет полным уравнением.

Почему это уравнение так важно?

Его график представляет собой параболу и описывает движение баскетбольного мяча в корзину.Но вы можете спросить: насколько важен этот расчет? Видимо это неважно. Однако вместо того, чтобы думать о баскетбольном мяче, если мы думаем о траектории пули из пушки, пока она не достигнет поля противника, это все меняет. Что касается последнего примера, важно, чтобы вам удалось точно рассчитать место, где пуля нанесет урон, чтобы не тратить зря снаряды или, что еще хуже, поразить наших союзников.

И как вы решите этот расчет?

Расчет места попадания пули в землю производится путем изучения нулей функции, которые также называют корнями уравнения.2 — 4ac)) / (2a) `

Что делать, если мне не нужно рассчитывать траекторию выстрелов из пушки?

Студентам часто трудно понять полезность того, что они изучают. Один из наиболее часто задаваемых вопросов в классе: для чего это нужно? Это справедливый вопрос, на который, к сожалению, многие учителя не затрудняются ответить. Помимо этого примера, квадратное уравнение имеет множество других приложений в нескольких областях, таких как физика, инженерия, экономика и так далее.Если мы посмотрим на крыши наших домов, мы заметим, что многие из них имеют антенны-тарелки. Эти антенны были построены на основе важного свойства этих функций, которое позволяет электромагнитным волнам, собранным антенной, отражаться в простую точку, где находится приемник, и это является фокусом цифровой антенны.

Ознакомьтесь с нашим Списком вопросов, чтобы узнать немного больше о самых разных темах, связанных с математикой. Если у вас есть подходящий (математический) вопрос, ответ на который нелегко найти, отправьте нам электронное письмо с вопросом на странице «Контакты».Будем рады ответить. Если вы обнаружите какие-либо ошибки в наших ответах, не стесняйтесь обращаться к нам!

Как пошагово решать уравнения второй степени. Решенные упражнения.

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам узнать , как решить все уравнения второй степени , как полные, так и неполные. Уравнения второй степени также известны как квадратные уравнения.

Полные уравнения второй степени

В общем, уравнений второй степени — это те уравнения, в которых x в одном из членов увеличивается до 2.

Они могут быть полными или неполными уравнениями второй степени, в зависимости от того, имеют ли все они свои члены или нет. Здесь я собираюсь сосредоточиться на объяснении полного уравнения второй степени.

Что такое полные уравнения второй степени?

полных уравнений второй степени или квадратных уравнений представлены следующим образом:

Где a, b и c — константы уравнения:

• — это число, которое всегда стоит перед x в квадрате
• b — это число, которое всегда идет перед x
• c — это номер без неизвестного

То есть, полные уравнения второй степени — это те, у которых конечная точка x повышена до 2, член с x повышен до 1 (или просто x).Если какой-либо из этих членов отсутствует, мы будем говорить о неполных уравнениях второй степени, которые решаются с помощью другой процедуры.

Как уравнения второй степени, они имеют 2 решения. Помните, что степень уравнения равна количеству решений.

Как решить полные уравнения второй степени

Идентификация констант в уравнении второй степени

Первым шагом в решении полных уравнений второй степени является правильное определение констант.Как мы уже говорили, константы — это числа, стоящие перед x в квадрате, x и членом, не передающим x.

Рассмотрим пример:

В данном случае перед x в квадрате ничего нет, поэтому a = 1.

Перед x стоит 5, поэтому b = 5.

И член, который не несет x, равен 4, поэтому c = 4.

Помните, что когда перед неизвестными ничего нет, это потому, что они умножены на 1, или, другими словами, это означает, что впереди стоит 1.

Давайте посмотрим на другой пример:

Теперь, если мы заметили, уравнение немного отличается, но это является причиной многих ошибок, если мы не будем осторожны. Посмотрим, почему:

В общем виде знаков не меньше:

Следовательно, мы должны преобразовать наше уравнение так, чтобы оно было таким же, как и общая форма полных уравнений второй степени:

Теперь у нас это так же, где знак минус не появляется, а затем получается a, b и c, как в первом случае:

Когда у нас будет больше практики, мы будем определять константы напрямую, без необходимости преобразовывать наше уравнение, но для начала это очень хороший способ избежать ошибок.

Общая формула полных уравнений второй степени

После определения констант необходимо применить следующую формулу для решения полных уравнений второй степени:

Давайте посмотрим, как он используется, решив предыдущие примеры.

У нас есть первое уравнение второй степени, в котором мы определили константы:

Теперь нам нужно заменить значение каждой записи в общей формуле:

А теперь работаем внутри корня с учетом иерархии операций:

На этом этапе мы должны разрешить знак + с одной стороны и знак — с другой:

Тогда два решения будут -1 и -4.Если бы у нас был случай, когда дроби были неточными, их пришлось бы упростить.

Будьте осторожны со знаками меньше констант.

Есть частные случаи, когда результат корня отрицательный, или его решения неточны, или результат корня неточен.

Решение уравнений второй степени

Уравнения второй степени с корневыми решениями

Решения уравнения второй степени не обязательно должны быть двумя разными целыми числами.В некоторых случаях они могут иметь двойное или два сложных решения.

Часто, когда решения не являются полными, вы начинаете сомневаться, правильное ли ваше решение или нет.

А теперь давайте посмотрим, какими могут быть решения уравнения второй степени.

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в руте нет полного решения. Как правило, его оставляют в виде корня, чтобы не приходилось работать с десятичными знаками, хотя, если мы решаем проблему и требуется точный результат, у нас не будет другого выбора, кроме как решить квадратный корень с калькулятором.

Например, у нас есть следующее уравнение второй степени:

Не обязательно оставлять его в корневой форме, но удобнее оставлять так, поэтому вам не нужно перетаскивать десятичные дроби. Результат может быть дан с десятичными знаками и будет таким же правильным. Это то же самое, что и с дробями, которые, если результат неточный, он остается в виде дроби.

Когда мы решаем уравнение второй степени и результат корня или дискриминанта равен 0, говорят, что у нас есть двойное решение, так как одно и то же решение будет повторяться дважды.Посмотрим, как действовать в этом случае:

Поскольку мы априори не знаем, какими будут решения, мы решаем уравнение, как любое другое:

Серьезная ошибка — оставить только 1 решение. Никогда не делайте этого, потому что вы будете напрямую отстранены. В этих случаях вы работаете с 0:

Он разрешается в соответствии с обычной процедурой, хотя кажется очевидным добавить и вычесть 0, но это хороший способ найти 2 решения.

Другой способ указать решения — это довести общую формулу до конца, прийти к решению, но указать в письменной форме, что это двоякое решение.

Уравнения второй степени с комплексными решениями

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в общей формуле дискриминант или корневой результат отрицательный.

Если вы еще не изучили комплексные числа, когда вы получите отрицательный корень, вы должны поставить следующее:

Реального решения нет

Это предложение эквивалентно утверждению, что в наборе действительных чисел нет решения (решение находится в наборе комплексных чисел).

Давайте посмотрим на это на примере:

Другими словами, как только мы видим корень с отрицательным содержанием, мы прямо указываем, что настоящего решения нет, и все. Важно не забыть настоящее слово, потому что, если вы просто укажете «нет решения», оно будет неверным, потому что у него есть решение, но не в наборе действительных чисел.

С другой стороны, если вы уже изучили комплексные числа, вы должны разработать уравнение, пока не найдете комплексные решения.То есть вы должны заменить корень -1 на число i:

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам научиться решать неполные уравнения второй степени.

Что такое неполные уравнения второй степени?

Давайте вспомним общую форму полного уравнения второй степени:

Неполные уравнения второй степени — это те уравнения, в которых отсутствуют константы b или c или даже оба, т.е. е. равно 0.У нас трое парней:

Когда b = 0:

Когда c = 0:

Когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим, как решается каждый из них.

Как решить неполные уравнения второй степени

Бесконечные неполные уравнения второй степени с x (b = 0)

Мы сталкиваемся с уравнением этого типа, когда в уравнении второй степени отсутствует член с x или, другими словами, когда b = 0:

Например:

Чтобы решить неполные уравнения второй степени этого типа, мы сначала очищаем x², как если бы это было уравнение первой степени:

Оказавшись здесь, мы должны переместить квадрат на другую сторону равенства в качестве корня, а затем получить положительное и отрицательное решение:

Чьи решения — 2 и -2.

Вот и все, вот так. Если в другом уравнении корень не дает точных значений, каждый результат остается как корень с соответствующим знаком перед ним.

Неполные уравнения второй степени без числа (c = 0)

Неполные уравнения второй степени без числа (или без независимого члена) — это те уравнения, в которых c = 0 в общем виде и, следовательно, имеют следующий вид:

Например:

Первым шагом в решении этого типа неполных уравнений является построение общего множителя, поскольку x повторяется в обоих членах.

Теперь мы должны рассмотреть следующее:

Cuando una multiplicación de dos factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los 2 factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0.

Например:

2.0 = 0 (это ясно)

х. 0 = 0 (x может быть любым значением, но при умножении на 0 результат равен 0)

а. b = 0 (результат здесь 0, поэтому либо a = 0, либо b = 0, но мы не знаем, какой из них)

Продолжаем наше уравнение.У нас есть случай, похожий на. b = 0: у нас есть два множителя (x и (x-3), результат которых равен 0, поэтому один из двух должен быть равен 0, но мы не знаем, какой из них.

Следовательно, у нас есть два пути: x = 0 или x-3 = 0. В первом случае мы получаем непосредственно первое решение, а во втором случае нам нужно сделать еще один шаг, а именно очистить x:

Решения: x = 0 и x = 33

Вы должны быть очень осторожны с отрицательными знаками при поиске точек соприкосновения.

Неполные уравнения второй степени только с x² (b = 0 и c = 0)

Это самый простой тип из всех, что почти решается напрямую.Неполные уравнения второй степени этого типа — это те, в которых есть только член x², или, другими словами, когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим на пример:

Как и в случае неполных уравнений второй степени с c = 0, мы должны очистить x²:

Но особенность этого случая в том, что мы всегда будем достигать x² = 0.

Методы построения графиков функций содержащих модуль

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

• повторить построение графиков функций содержащих знак модуля;
• познакомиться с новым методом построения графика линейно-кусочной функции;
• закрепить новый метод при решении задач.

Оборудование:

• мультимедиа проектор,
• плакаты.

Ход урока

Актуализация знаний

На экране слайд 1 из презентации.

Что является графиком функции y=|x| ? (слайд 2).

(совокупность биссектрис 1 и 2 координатных углов)

Найдите соответствие между функциями и графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).

Рисунок 1

y=| x+3|

y=| x| +3

y=-2| x| -2

y=6-| x-5|

y=1/3| x-6| -3

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(x)| на примере функции y=|x²-2x-3| (слайд 4)

Ученик: чтобы построить график данной функции нужно

— построить параболу y=x²-2x-3

— часть графика над ОХ сохранить, а часть графика расположенную ниже ОХ отобразить симметрично относительно оси ОХ (слайд 5)

Рисунок 2

Рисунок 3

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=f(|x|) на примере функции y=x²-2|x|-3 (слайд 6).

Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:

— построить параболу.

— часть графика при х 0 сохраняется и отображается симметрии относительно оси ОУ (слайд 7)

Рисунок 4

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(|x|)| на примере функции y=|x²-2|x|-3| (слайд 8).

Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:

— нужно построить параболу у=x²-2x-3

— строим у= x²-2|x|-3, часть графика сохраняем и симметрично отображаем относительно ОУ

— часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)

Рисунок 5

Следующее задание выполняем письменно в тетрадях.

1. Построить график линейно-кусочной функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Ученик на доске с комментарием:

— находим нули подмодульных выражений х₁=-2, х₂=1, х₃=3

— разбиваем ось на промежутки

— для каждого промежутка запишем функцию

при х < -2, у=-х-4

при -2 х<1, у=х

при 1 х<3, у = 3х-2

при х 3, у = х+4

— строим график линейно-кусочной функции.

Мы с вами построили график функции используя определение модуля (слайд 10).

Рисунок 6

Предлагаю вашему вниманию “метод вершин”, который позволяет строить график линейно-кусочной функции (слайд 11). Алгоритм построения дети записывают в тетрадь.

Метод вершин

Алгоритм:

1. Найдем нули каждого подмодульного выражения
2. Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
3. Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно

2. Разберем этот метод на той же функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Учитель на доске, дети в тетрадях.

Метод вершин:

— найдем нули каждого подмодульного выражения;

— составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа

х -3 -2 1 3 4

у -1 -2 1 7 8

— нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно.

Графиком линейно-кусочной функции является ломанная с бесконечными крайними звеньями (слайд 12) .

Рисунок 7

Каким же методом график получается быстрее и легче?

3. Чтобы закрепить данный метод предлагаю выполнить следующее задание:

При каких значения х функция у=|х-2|-|х+1| принимает наибольшее значение.

Следуем алгоритму; ученик на доске.

у=|х-2|-|х+1|

х₁=2, х₂=-1

у(-2)=4-1=3

у(-1)=3

у(2)=-3

у(3)=1-4=3, соединяем последовательно точки.

у_наиб = 3

4. Дополнительное задание

При каких значениях а уравнение ||4+x|-|x-2||=a имеет два корня.

5. Домашняя работа

а) При каких значениях Х функция у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| принимает наименьшее значение.

б) Построить график функции y=||x-1|-2|-3| .

urok.1sept.ru

Функция с модулем

Пример 1. Построить график функции y=||1-x²|-3|.
Построим график функции y=1-x² и применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).

Выполним сдвиг графика вниз на 3.

Применим операцию «модуль» и получим окончательный график функции y=||1-x²|-3|

Пример 2. Построить график функции y=||x²-2x|-3|.
В результате преобразования получаем y=|x²-2x|=|(x-1)²-1|. Построим график функции y=(x-1)²-1: строим параболу y=x² и выполняем сдвиг вправо на 1 и вниз на 1.

Применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).

Выполним сдвиг графика вниз на 3 и применим операцию «модуль», в результате получим окончательный график.

Пример 3. Построить график функции .
Чтобы раскрыть модуль, надо рассмотреть два случая:
1)x>0, тогда модуль раскроется со знаком «+» =
2)x=

Построим график для первого случая.

Отбросим часть графика, где x

Построим график для второго случая и аналогично отбросим часть, где x>0, в итоге получим.

Соединим два графика и получим окончательный.

Пример 4. Построить график функции .
Построим сначала график функции .Для этого удобно выделить целую часть, получим . Строя по таблице значений, получаем график.

Применим операцию модуль (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX). Получаем окончательный график

Пример 5. Построить график функции y=|-x²+6x-8|. Cначала упростим функцию до y=1-(x-3)² и построим её график

Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика ниже оси OX, относительно оси OX

Пример 6. Построить график функции y=-x²+6|x|-8. Также упростим функцию до y=1-(x-3)² и построим её график

Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее оси оY, в левую часть

Пример 7. Построить график функции . Построим график функции

Построим график функции

Выполним параллельный перенос на 3 единичных отрезка вправо и 2 вверх. График примет вид:

Применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее прямой x=3 в левую полуплоскость.

Пример 8. Построить график функции . Построим график функции

Построим график функции

Построим график функции

Выполним параллельный перенос на 3 единичных отрезка вправо и 2 вверх. График примет вид:

Теперь применим операцию «модуль» и симметрично отразим часть графика правее оси OY

Пример 9. Построить график функции . Построим график функции из Примера 7,

Теперь применим операцию «модуль» ко всей функции

Пример 10. Построить график функции . Построим график функции из Примера 8,

Теперь применим операцию «модуль» ко всей функции

tofmal.ru

Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме: Графики,содержащие знак модуля.Построение графиков,содержащих знак модуля.

 Исследовательская работа

«Построение графиков

функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»

                                                2008  

Оглавление.

I. Введение——————————————————————————1

II. Основная часть.——————————————————————-1-13

    1. Историческая справка——————————————————- -3-4

    2.  Геометрическая интерпретация понятия |а|—————————- -4-5

    3.  График функции у=f |(х)|——————————————————5-8

    4. График функции у = | f (х)|  —————————————————8-10

    5. График функции  у=|f |(х)| | — —- ——————————————10-13

III. Заключение.————————————————————————-13

IV. Список литературы —————————————————————14

I. Введение.

         Построение графиков функций одна их интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано , то вы сразу видите параболу; если , вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же , то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

        Хотя уравнения с модулями мы начали изучать уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями, я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

        Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Объект исследования: линейные функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Методы исследования: построение графиков функций.

II. Основная часть.

1. Историческая справка.

          В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты тоски кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. 

        Термин «функция» (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

            Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

      Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна  a, если a    больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

   Из определения следует, что для любого действительного числа a,

2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |а|

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная.   Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

                                   -а                                     0                                   а

                              3. График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

                                                                                      Рис.1          

                                                                                       Рис.2.

1. Построить график функции у= |х|

1. Если х≥0, то |х| =х  и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
2. Если х

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, я сделала  вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?  Для этого я рассмотрела несколько  функций, и сделала для себя вывод.

 2. Например: у=х2 — |х| -3

а) Строю  у=х2 -х -3 для х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а = , а > 0

1. х0 = —

 у0 =-4

(2; -4) – координаты вершины параболы.

2. х=0, у= -3

(0; — 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

3. у =0,  х2 -х -3 = 0

                  х2 -4х -12 = 0  Имеем, х1= — 2; х2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) – координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

Вывод: Для построения графика функции у=f |(х)|  

1. Достаточно построить график функции у=f(х) для х>0;
2. Строить для х

                                         4. График функции у = | f (х)|          

 По определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у=f(х), если f(х) ≥0;  у  = — f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то | f (х)|  = f(х), значит в этой части график  функции у = | f (х)|  совпадает с графиком самой функции у=f(х). Если же f(х) f (х)| = — f(х),т.е. точка (х; | f (х)|  ) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика.

1. Построить график функции у= | х2 – х – 6 |.

а) Построить график функции у=  х2 – х – 6 . Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх, т.к. а = 1, а >1.

 х0 = —

у0  = —       (1/2; — 6,25) координаты вершины

х=0; у = -6              (0; -6) координаты точки пересечения с осью ОУ.

у= 0, х2 – х – 6=0

    х1 = -2; х2 = 3.   (-2;0) и (3;0) –координаты точек пересечения с осью ОХ

б) Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости, отобразить симметрично оси ОХ. (Рис.5)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

(Рис.6, 7.)

                          5. График функции  у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и исследуя, графиков функции

у = | 2 · |х | — 3|

у = | х2 – 5 · |х| |

у = | |х3 | — 2 |, я нашла алгоритм построения графиков.

 Для того чтобы построить график функции у=|f |(х)|  | надо:

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

1. у = | 2 · |х | — 3|

1) Строю  у = 2х-3, для х>0.   (1; -1)     (; 0)

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.  Рис.8

2. у = | х2 – 5 · |х| |

а) Строю график функции у = х2 – 5 х     для  х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены, т.к. а=1, а>0

х0 = -;    

       у0  = 6,25 -12,5 = -6,25        (2,5; -6,25) – координаты вершины

х=0; у=0;                                     (0; 0) – координаты точки пересечения с осью ОУ

у=0;      х2 – 5 х =0                   (0; 0) и ( 5; 0) – координаты точек пересечения с осью ОХ.

х1 =0; х2=5

(Рис.9)

б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

3. у =| |х|3 | — 2 |

  а) Строю у=х3 -2 для х > 0.

     х1= 0; у1= -2

    у2 = 0; х3 -2 =0

                х2 =

 б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

 в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. (Рис.10)

III. Заключение.

При выполнении исследовательской  работы я делала такие выводы:

— сформировала алгоритмы построения графиков  функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|  

    1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)|  |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

   — приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

                                у=f |(х)|; у = | f (х)|;  у=|f |(х)| |;

    — научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

       научных сведений;

   — приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

Список литературы:

1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».

у

0

х

0

у

х

х

у

х

у

Рис 3.

0

6

-6

-3

х

у

Рис.4

0

6

-6

-2

3

х

у

Рис.5

у

х

Рис.6

у

х

Рис.7

0

у

х

-3/2

3/2

-3

3

Рис.8

1

-1

-6

-6

0

5

5

Рис.9

-2

0

1

2

2

-2

у

х

Рис.10

nsportal.ru

Графики уравнений, содержащих знак модуля

Цель:

• закрепить методы построения графика линейной функции,
• закрепить умение учащихся задавать уравнением функцию, заданную при помощи графика,
• познакомить учащихся с тем, каким образом влияет знак модуля на отображение графика линейной функции

Оборудование: презентация (приложение 1)

Ход урока №1

При решении многих математических задач необходимо быстро и точно строить графики любых функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. Т.к. на уроке предстоит много построений, начинаем, вспоминая, как строить график линейной функции y = kx + b на основе анализа углового коэффициента и коэффициента смещения (слайд 2)

Сопоставляем уравнения и графики (слайд 3):

Построим в тетрадях в одной системе координат графики функций (y = —x; y = —x -4; y = -1/3 x – 2; y = 2x + 5; y = x + 1), проверяя себя при помощи слайда 4

Вспомним определение модуля числа x (слайд 5)

Рассматриваем, как можно построить график функции y = |x| на основании определения модуля, отбрасывая части прямых, не лежащих в полуплоскостях x < 0 и x> 0 (слайд 6)

Аналогично рассматриваем способ построения графика функции y = |x + 1| (слайд 7)

Сравнивая графики и уравнения функций (слайд 8-9),

делаем вывод о том, как можно построить график функции y = |x + a| — b смещением графика функции y = |x| (слайд 10-11)

Строим в тетрадях графики функций y = |x-3| + 3, y = |x – 3| — 2, y = |x+2| — 5, y = |x + 3| + 2 и проверяем себя при помощи слайда 12

Далее учащиеся должны на основе рисунка, представленного на слайде 13, задать функцию уравнением:

При построении графиков очень важно научить ребят анализировать область определения и множество значений функции и “переносить” указанные множества на координатную плоскость.

Заполняем таблицу (слайд 12):

	D(y)	E (y)
y = |x|
y = |x – 3|
y = |x – 3| +2
y = — |x|
y = |x + 2| -5
y = — |x +2| -5

И рассматриваем, как множества значений можно определить на основе графиков (слайд 15)

Учащимся предлагается определить D (y) и E(y) по рисунку (слайд 16):

 

Ученики самостоятельно придумывают уравнение функции по заданным D(y) и E(y) (слайд 17):

Анализируя графики и уравнения (слайд 18), ученики делают вывод о том, как влияет знак минуса перед модульными скобками на график. И самостоятельно задают уравнение по графикам, представленным на слайде 19.

Ход урока № 2

Устно проговариваем уравнения функций по графикам (слайд 20):

 

Аналогично схеме предыдущего урока (слайд 21-27) ученики знакомятся с тем, каким образом влияет коэффициент перед аргументом функции на график. В результате они должны научиться описывать уравнением следующие графики:

 

Для закрепления полученных знаний, в тетрадях в одной системе координат ребята строят следующие графики:

y = |0,5x| при -3 < x< 3;

y = 3 при -1 < x< 1;

y = -|x + 3| + 6 при -4 < x < -2;

y = -|x — 3| + 6 при 2 < x < 4;

y = |x + 3| + 4 при -4 < x < -2;

y = |x — 3| + 4 при 2 < x ? 4;

y = -|0,5x – 1,5| + 7 при -5 < x < -1;

y = -|0,5x + 1,5| + 7 при 1 < x < 5.

Проверяют себя по слайду 29:

Домашнее задание: придумать картину, состоящую из отрезков прямых, и описать ее при помощи уравнений функций.

Ход урока № 3

Построим графики функций y = |3x| — 3 и y = |3x – 3|. Как в каждом случае связаны y(x) и y(-x)?

Наличие условия y(x) = y(-x) означает симметрию относительно …?

Приведите примеры уравнений функции, графики которых будут симметричны относительно оси ординат

Если в модульные скобки заключается переменная y, то мы получаем условие |y| = |-y|. Какую симметрию задает это условие?

На слайде 34 последовательно рассматриваем цепочку построения графиков:

y = 3x – 3, |y| = 3x – 3, |y| = |3x| — 3, |y| = |3x – 3| путем преобразований симметрии.

Выводим и запоминаем три правила:

 

Распределите, к какому типу из трех (y = f(|x|, |y| = f(x), y = |f(x)|), можно отнести каждое уравнение:

|y| = 2 – x, y = |3x — 4|, |x| + |y| = 2, |y| = 3x – 4, y = |3|x| — 4|, y = |3x| — 4, |y| = |3|x| — 4|, |y| = |3x – 4|.

Проверяем себя (слайд 35)

Строим последовательную цепочку графиков (тонкими линиями в тетрадях):

1) y = 3x – 4, y = |3x – 4|, y = |3|x| - 4|, |y| = |3|x| — 4|

2) y = 3x – 4, y = 3|x| — 4, y = |3|x| — 4|

Рассматриваем способ построения графика соответствия |x| + |y| = 2.

Самостоятельно строим график |x| — |y| = 2 и проверяем себя по слайду 39.

Домашнее задание: придумать пять уравнений соответствий с модулем, в которых встречаются все случаи, рассмотренные на уроке, и построить графики.

urok.1sept.ru

Построение графиков функций, содержащих модуль

Графики функций, содержащих модуль.

Методическое пособие для элективного курса «Модуль»

(8 – 9 класса)

Графики функций и

Два способа построения графиков

1)На основании определения модуля.

2) С помощью геометрических преобразований графиков.

Построение графика функции

1 способ.

если х ≥ 0

если х

График функции состоит из двух графиков, лежащих в правой и левой полуплоскостях

Построение графика

2 способ.

Используем свойство чётности этой функции.

Строим график функции для всех

х ≥ 0 и отразим полученную часть симметрично оси ординат.

Пример

1 способ

у

00

0

х

-2

2 способ

• Строим график у=2 х -2 для х ≥ 0.

2. Достраиваем его левую часть для х симметричной относительно оси ординат.

у

0

х

-2

Пример

1 способ

2 способ

• Строим график функции у=х 2 -3х+2 для х ≥ 0
• Достраиваем полученную часть графика для х симметрично оси ординат

у

2

1

х

0,25

-2

-1

2

1

-1

Построение графика функции

1 способ.

График состоит из двух графиков, расположенных в верхней полуплоскости

2 способ.

• Строим график функции у = f (x) .
• Часть графика у = f (x), лежащую над осью абсцисс сохраняем.
• Часть графила, лежащую под осью абсцисс отображаем симметрично относительно оси абсцисс.

Пример:

• Строим график функции у = х 2 – 4.
• Отобразим часть графика, лежащую в нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс.

у

4

0

х

-1

-2

1

2

-4

График функции

Алгоритм построения

1. Строим график функции

для х ≥ 0

2. Отображаем полученную часть графика симметрично относительно оси ординат.

3. Отображаем симметрично относительно оси абсцисс часть графика расположенную в нижней полуплоскости

Пример:

у

3

0

х

-3

3

-1

1

-3

-4

Графики кусочно-линейных функций

3 y=x-1+x-3=2x-4 «

График функции

Графиком непрерывной кусочно-линейной функцией является ломаная линия с двумя бесконечными крайними звеньями.

1-ый способ: на основании определения модуля.

Пример: Точки x=1 и x=3 разбивают числовую ось на 3 промежутка.

• x ≤ 1 y=1-x+3-x=4-2x
• 1≤x ≤3 y=x-1+3-x=2
• x3 y=x-1+x-3=2x-4

y

4

2

1

-1

3

x

2 способ. Метод вершин

Алгоритм:

1.находим нули подмодульных выражений.

2.Составим таблицу, в которой кроме этих нулей записывается по одному целому значению х слева и справа от них.

3.Наносим эти точки на координатной плоскости и соединяем последовательно, точки перелома и есть вершины ломаной.

х

у

-1

0

-1

-1

1

2

1

1

y

4

2

x

3

-1

у

х

у

-2

-2

-1

0

0

0

1

4

4

2

1

-1

3

x

3 способ. Путём сложения ординат графиков функций соответствующих одним и тем же абсциссам Пример: y=|x+1|+|x-2|

у

3

Y=|x+1|

Y=|x-2|

0

х

-1

2

График зависимостей

График зависимости |y|=f(x)

Y= ± f(x), где f(x) ≥ 0

Алгоритм построения графиков зависимости.

1. Строим график функции у = f(х) для тех х из области определения, при которых f(х) ≥ 0.

2. Отобразим полученную часть графика симметрично оси абсцисс.

График данной зависимости состоит из графиков двух функций: у=f(x) и у=-f(x), где f(x) ≥ 0

Примеры 1 – 2 .

|y| = x 2 (х – любое число )

|y| = x (х ≥ 0)

у

у

1

1

0

0

х

х

1

-1

1

-1

-1

-1

Примеры 3 — 4

|y| = — x 2 + 5х — 6

|y| = x 2 – 5х + 6

у

у

1

1

0

0

х

х

1

-1

2

3

2

-1

1

3

-1

-1

multiurok.ru

Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля с использованием информационных технологий

Проблема: повышение уровня математической подготовка учащихся через решение задач повышенной сложности с использованием в учебном процессе современных информационных технологий.

При решении последних заданий в работах, предлагаемых на выпускных экзаменах за курс средней школы, а также при решении задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы по математике, могут быть использованы любые известные учащимся математические методы.

Как правило, применение «нестандартных» методов позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Мой опыт работы в школе показывает, что задания на построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля, вызывают у учащихся затруднения.

Цель работы: рассмотреть построение графиков трех видов: y = f(|x|), y = |f(x)|, |y| = f(x) — для дальнейшего применения данного материала на уроках алгебры, на факультативных и дополнительных занятиях.

Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля

В методической литературе этому вопросу уделяется немало внимания; наблюдения показывают, что такие задачи вызывают у учащихся затруднения и они допускают ошибки при построении указанных графиков.

Одна из причин таких ошибок кроется, на мой взгляд, в непонимании учащимися определения модуля числа:

При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание учащихся на то, что число — x может быть как отрицательное (при x < 0), так и положительное (при х > 0).

В курсе алгебры неполной средней школы на уроках и в период проведения внеклассной работы целесообразно рассмотреть построение графиков трех видов:

y = f(|x|),   y = |f(x)|,   |y| = f(x).

Для построение всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.

Так, для построения графика функции y = f(|x|) на основании модуля имеем:

Следовательно, график функции y = f(|x|) состоит из двух графиков: y = f(x) — в правой полуплоскости, y = f(-x) — в левой полуплоскости.

Например:

После того, как учащиеся познакомятся с определением четной и нечетной функции, их можно познакомить с правилом 1.

Правило 1: функция y = f(|x|) — четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции y = f(x), для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

Знание этого правила облегчает построение графиков функций вида y = f(|x|).

Целесообразно предлагать учащимся строить графики двумя способами:
1) на основании определения модуля;
2) на основании правила 1.

После знакомства с квадратичной функцией весьма интересным и полезным является построение графиков функций:

Рисунок 1	Рисунок 2

В старших классах после знакомства учащихся с графиками тригонометрических функций полезно построить графики функций y = sin(|x|), y = cos(|x|), y = tg(|x|), обратив внимание учащихся, что график функции y = cos(|x|) совпадает с графиком y = -cos(|x|) (y = cos(|x|) — четная функция).

В современном образовании одним из важных и актуальным вопросом является разработка методики внедрения и использования информационных, компьютерных и мультимедийных продуктов в учебном процессе.

Одной из удобной форм активизации передачи и восприятия информации, на наш взгляд, является компьютерная интерактивная презентация, которую целесообразно использовать учителю в качестве сопровождения при объяснении нового материала.

Пример слайдов компьютерной презентации, иллюстрирующих правило 1:

Знакомство учащихся с построением графиков функций вида y = |f(x)| лучше начинать сразу же, как только они хорошо усвоят определение модуля.

Правило 2: для построения графика функции y = |f(x)| для всех x из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс (f(x)

Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.

Пример: y = |x² — 4|.

Строим график функции y = x² — 4 (рис. 3).

Рисунок 3

Как правило, учащиеся хорошо понимают правило построения графика такой функции. Его можно легко довести до автоматизма. Во избежание формализма в знаниях и умениях учащихся необходимо чередовать построение графиков вида y = f(|x|) и y = |f(x)|.

С построением графиков зависимостей вида |y| = f(x) учащихся можно познакомить на внеклассных занятиях, ибо такие графики вызывают наибольшие затруднения. Учитывая, что в формуле |y| = f(x)   f(x) ≥ 0 и на основании определения модуля

,

перепишем формулу |y| = f(x) в виде y = ±f(x), где f(x) ≥ 0.

Исходя из этого, можно сформулировать правило 3.

Правило 3: для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика, симметрично оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |y| = f(x) состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = —f(x), где f(x) ≥ 0.

Мы убедились, что учитель, проводящий урок с помощью компьютера, имеет возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным, динамичным. Такие уроки вызывают большой интерес у учащихся, способствуют повышению качества знаний, расширяют горизонты школьной математики.

В соответствии с этим правилом можно предложить учащимся построить графики (рис. 4):

	Рисунок 4

Конечно, нет необходимости требовать от учащихся запоминания правил построения.

Пример экзаменационной работы:

Так как |y| ≥ 0, x ≠ 0, x > 0    y = |f(|x|)|.

Правило 4: для того, чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, надо скачала построить график функции y = f(x) при x > 0, затем при х < 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси 0y, а затем на интервалах, где f(|x|) < 0, построить изображение, симметричное графику f(|x|) относительно оси Ох.

Рассмотрим еще несколько интересных заданий.

1. Построить график функции

ОДЗ: x ≠ -1

2. Построить график функции

3. Построить график функции

Упростим:

Получим:

Все рассмотренные задания можно использовать на уроках алгебры, факультативных и дополнительных занятиях.

urok.1sept.ru

Урок алгебры в 8-м классе по теме: «Модуль и квадратичная функция»

“Великое множество функций
Любой может школьник назвать.
Но лишь о немногих сегодня
Решили мы вам рассказать”

Изучение квадратичной функции с модулем позволяет углубить знания учащихся в преобразовании графиков квадратичной функции. Учащиеся с большим интересом выполняют любые задания с модулем. Рассмотренные приемы построения графиков функции являются общими и применяются не только к квадратичной, но и к другим функциям.

Ход урока

I. Вводное слово учителя

Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи. Например, в соотношении Y = Х² математик или геодезист увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может увидеть зависимость силы Y сопротивления воздуха или воды от скорости Х движения.

Математика же изучает эту зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение Х в 2 раза приведет к увеличению Y в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации.

Модуль и квадратичная функция

Построение графиков функций:

1. Y = АХ² + ВX + C,
2. Y = АХ² + ВX + C ,
3. Y = АХ² + ВХ + С

II. Устная работа

1) Дать определение модуля числа Х

2) Дать определение квадратичной функции, рассказать все, что известно об этой функции (график, свойства).

3) Найти на рисунке график функции Y = –Х² + 4Х – 3.

4) На каком рисунке изображен график функции Y = –(Х + 1)(2 – Х)?

5) Вспомнить, как построить график функции Y = Х

По определению модуля

График функции Y = Х симметричен относительно оси У.

III. Построение графиков функций:

Y = АХ² + ВX + C,

Y = АХ² + ВX + C,

Y = АХ² + ВХ + С

Работа проводится в группах, т.к. графики в К–1 в) и К–3 в) одинаковы, их необходимо сравнить и сделать вывод (всего 3 группы). Каждой группе выдается карточка, в ней 3 задания. Учащиеся должны построить графики квадратичной функции, содержащей модуль, используя определение модуля и сделать вывод: как построить график данной функции, используя график квадратичной функции и симметрию относительно осей координат.

Работа в группах.

Задание: построить график функции, используя:

а) определение модуля;
б) график функции Y = АХ² + ВХ + С;
в) симметрию относительно осей координат.

а) Y = Х² – 4 Х + 3
б) Y = Х² – 4 Х + 3
в) Y = Х² – 4 Х + 3

а) Y = Х² + 2 Х – 3
б) Y = Х² + 2 Х – 3
в) Y = Х² + 2 Х – 3

а) Y = –Х² + 4 Х – 3
б) Y = –Х² + 4 Х – 3
в) Y = –Х² + 4 Х – 3

IV. Учащиеся делают вывод о расположении графиков указанных функций

Вопрос: а) Как построить график функции Y = f (X)?

(1 способ. Построить график функции Y = f (X), если Х 0 и Y = f (–Х), если Х< 0.
2 способ. Построить график функции Y = f (X) и отобразить правую часть графика симметрично относительно оси Y).

б) Как построить график функции Y = f (X) ?

(Построить график функции Y = f (X) и точки с отрицательными ординатами симметрично отобразить относительно оси Х).

в) Как построить график функции Y = f (X) ?

(Построить график функции Y = f (X), если Х 0 и эту часть графика симметрично отобразить относительно оси Y, а потом точки с отрицательными ординатами отобразить симметрично относительно оси Х.)

г) Почему графики функций Y = –Х² + 4X – 3 и Y = Х² – 4X + 3 одинаковы?

(Так как А = А , –А = А)

V.

У рассмотренных функций под знаком модуля была независимая переменная. Теперь рассмотрим функции, где под знаком модуля стоит либо сама функция, либо и функция, и независимая переменная одновременно, т.е. зависимости вида

Y = АХ² + ВX+ C и Y = АХ² + ВX + C

Приведем конкретные примеры.

а) Y = Х² – 4X+ 3

По определению

Построим график функции Y = f (X) и берем ту его часть, которая расположена выше оси Х, т.к. Х² – 4X+ 3 0 и добавим к ней ее симметричное отображение относительно оси Х.

б) Y = Х² – 4X+ 3

Сначала строим график функции Y = Х² – 4X+ 3 , а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию Y = Х² – 4X+ 3 , т.е. график функции Y = Х² – 4X+ 3 отображаем относительно оси Х.

VI. Творческое задание

Дана функция Y = Х² + 2X– 3

Выполнить всевозможные преобразования данной квадратичной функции с модулем.

urok.1sept.ru

Все эпитеты стихотворения Пушкина «19 октября» 1825 года

Эпитеты стихотворения Александра Сергеевича Пушкина «19 октября» 1825 года по строфам:

Владимир Васильев

Некоторым людям Бог дает дар столь огромный, что его во всю земную жизнь не реализовать. Такие небожители, так увлечены своим творчеством, что совсем равнодушны к наградам, званиям и атрибутам статуса. Они меряют свой успех по собственным внутренним критериям, которые гораздо выше тех, что устанавливают своим кумирам их фанаты. Их жизнь — соревнование с самим собой. Каждое новое достижение — выигранный у себя прежнего раунд.

Пределы популярности, успеха, побед подчас эфемерны: иногда достаточно медали, грамоты, контракта, даже определенной суммы денег, чтобы люди сказали: «Он всего добился». Но та внутренняя высота, ради которой сегодня приходится быть лучше, чем вчера — пределов не имеет.

А тогда нет предела и совершенству.

Все, что делает Владимир Викторович Васильев, он именно до совершенства и доводит. До того, кажется, недостижимого уровня, когда уже бессмысленны любые сравнения, оценки и суждения. Поэтому рассуждать о танце Владимира Васильева — все равно, что анализировать полет птиц. Или оценивать легкость облаков. Эти явления совершенны сами по себе — в какую бы сторону они ни летели, гонимые ветром. Так танцуют великие: даже погрешность, случайная неловкость всего лишь напоминает о том, что и небожитель — тоже человек.

Перечислять его достижения — тоже смысла нет. Множество партий в классических и современных балетах, работа (точнее сотворчество) с гениями мирового балета и не только его. Среди них Морис Бежар, Ролан Пети, Франко Дзеффирелли, Мстислав Ростропович, Евгений Колобов, Сергей Слонимский, Марк Захаров, Эльдар Рязанов.

В российской культуре нередко гениев рождает эпоха: не по отдельности, а поколением. Владимир Васильев — титан (и Спартак) «золотого века» советского балета, подарившего миру Галину Уланову, Майю Плисецкую, Николая Фадеечева, Мариса Лиепу, Раису Стручкову, Нину Тимофееву, Наталию Бессмертнову — и Юрия Григоровича. Много замечательных балерин были партнершами Васильева, но незабываемым и неповторимым стал его дуэт с Екатериной Максимовой на сцене и в жизни.

В легенду жизни Владимира Васильева не красной даже, а золотой нитью вплетена эта история любви. Балет вообще — искусство, где именно такими нитями вышивается основной узор. Екатерина Максимова и Владимир Васильев — недостижимый в нашем поколении эталон профессионального мастерства и жизненного единства. Но не того, когда врозь никак, а того, когда один отражает в себе лучшие черты другого.

Кажется, что понятие предела Владимиру Васильеву не знакомо в принципе: помимо уникальной хореографической карьеры, в его биографии — поставленные им балеты, оперы и спектакли других музыкальных жанров, красочные вечера и гала-концерты, снятые фильмы-балеты и телефильмы, художественный фильм «Фуэте», более тридцати персональных выставок живописи и десяток спектаклей, оформленных им как художником (членом Творческого союза художников России и Татарстана), несколько сборников стихов, на которые уже написаны песни, открытая им в далекой Бразилии балетная школа Большого театра, куратором которой он является и по сей день. И несть числа его талантам, которые он от всего сердца дарит людям.

И — нет, это совсем не просто: быть талантливым, когда мерилом таланта выбрана победа над самим собой.

Урок 12. использование изобразительно-выразительных средств в стихах русских поэтов — Литературное чтение — 2 класс

Литературное чтение. 2 класс.

Урок 12. Использование изобразительно-выразительных средств в стихах русских поэтов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Изобразительно-выразительные средства русского языка.
2. Изучение глоссария по теме.
3. Знакомство с поэтическими произведениями русских поэтов об осени (прослушивание аудиозаписей, выполнение упражнений).
4. Выполнение практической работы: «Сравнение стихотворений по теме, ритму, настроению».

Глоссарий по теме

Стихотворный текст – поэтическое произведение с ритмом и рифмой.

Ритм – чередование в стихотворной речи однородных звуковых элементов.

Ри́фма – созвучие концов стихотворных строк.

Декламáция – искусство выразительного чтения стихов или прозы (ритмизация текста, подчеркивание интонацией ключевых слов и т. п.).

Сравнéние – форма поэтической речи, основанная на сопоставлении одного явления или предмета с другим.

Зву́копись – приёмы, которые способствуют усилению звуковой, интонационной выразительности стиха, эмоционального настроя. Повтор одинаковых согласных (аллитерáция) или гласных (ассонáнс) звуков.

Троп – употребление слова в переносном (а не в прямом, основном) его значении.

Эпи́тет – определение, которое придаёт выражению образность и эмоциональность, подчёркивает один из признаков предмета или одно из впечатлений о предмете.

Метáфора – скрытый перенос значения слова, основанный на уподоблении одного предмета или явления другому по сходству или контрасту.

Олицетворéние – уподобление предмета живому существу.

Овеществлéние – уподобление живого существа предмету.

Основная и дополнительная литература по теме урока

1. Литературное чтение. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч 1 / [Л. Ф. Климанова, В. Г. Горецкий, М. В. Голованова и др.]. – М.: Просвещение, 2018. – С. 74, 75, 79.
2. Бойкина М. В., Виноградская Л. А.: Литературное чтение. 2 класс. Рабочая тетрадь. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2018. – С. 30–34.
3. Стефаненко Н. А. Литературное чтение. 2 класс. Тетрадь учебных достижений. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2018. – С. 17–21.

Открытые электронные ресурсы по теме урока

1. Климанова Л. Ф., Горецкий В. Г., Голованова М. В. Литературное чтение. 2 класс. Аудиоприложение к учебнику. Ссылка для скачивания: http://catalog.prosv.ru/item/952

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В поэтическом театре

Сцена 1

(Занавес опущен. В центре сцены стоит Троп в виде греческой колонны.)

Троп: Позвольте представиться – Троп. От греческого tropos, что значит оборот. (Оборачивается.) Я помогаю переосмысливать слова. С какой целью я это делаю? Да потому что перенóсное значение слова может придать речи новый оттенок: сочувственный, отрицательный, иронический – вариантов множество. Троп – это поэтическая форма мышления. Впрочем, убедитесь сами!

Сцена 2

(Занавес поднимается. Из глубины сценымедленно выходит Осень в виде книги с белоснежным перплётом, на котором написано: ОСЕНЬ. Из левой кулисы в сторону Тропа направляется Троп-Эпи́тет в виде двух приложенных друг к другу белых листков, на которых крупно написано Эпи́тет, а помельче– приложение).

Троп: На самом деле Тропов много. Вот мой первый друг –Троп-Эпи́тет.

Троп-Эпи́тет: Слово эпи́тет происходит от греческого epitheton, что значит приложение. Эпи́тет – это определение, которое придаёт выражению образность и эмоциональность, подчёркивает один из признаков предмета или одно из впечатлений о предмете. Дорогая Осень, давайте покажем на примере. Вот перед Вами три эпитета: дождливая, золотая, щедрая. Выберите, пожалуйста, дорогая Осень, эпитет на свой утончённый вкус.

(Как только эпитет прилагается к Осени, они превращаются в образ.)

Осень: Я выбираю эпитет щедрая. Я не просто осень, а ЩЕДРАЯ ОСЕНЬ. Эпитет-Щедрая, идёмте!» (Уходят в глубь сцены.)

Сцена 3.

Троп (встречает вновь прибывшую): Моя дорогая Троп-Метáфора.

Троп-Метáфора: Слово метáфора происходит от греческого слова metaphorá, что значит перенос. Метафора – это перенóсное значение слова, основанное на уподоблении одного предмета или явления другому по сходству или контрасту.

Троп: Уважаемая Метафора, давайте посмотрим, что будет, если вы прикоснётесь к словам Вашим поэтическим факелом.

(Метафора разглядывает первую группу слов, выплывшуюлевых кулис:

Троп-Метáфора: Нет, нет! Из этих слов метафора не получится. Только сравнение. Слова не меняют значение, а лишь сравниваются между собой при помощи особых слов: как, словно, будто. Друзья, идите к Тропу-Сравнению.

Троп: А вот вторая группа слов:

Троп-Метáфора: Вот это точно мои!

(Прикасается факелом к листкам и из него выплывает новый образ.)

(С предыханием.) Это настоящее скрытое сравнение. ЭТО – МЕТАФОРА! Костёр и рябина похожи, потому что у них обоих есть красный цвет!

Сцена 4.

(Занавес закрывается. Троп и Троп-Метáфора беседуют.)

Троп: Кстати, уподобление предмета живому существу называется олицетворéнием.

Троп-Метáфора: Да! Да! Отговорила роща – это олицетворéние.

Троп: А уподобление живого существа предмету – это овеществлéние.

Троп-Метáфора (жёстко): Гвозди б делать из этих людей: Крепче б не было в мире гвоздей.

Сцена 5

Троп: Ну, на сегодня достаточно. До свидание, дорогая Троп-Метáфора! Новых поэтических удач! (Троп-Метáфора: уходит. Троп тоже собирается уходить, но задердивается.) Ах да, вы, наверное хотите спросить, зачем я вам все это рассказываю. Трудный вопрос. (Задумался.) Если вас спросят, например, про стихотворение Сергея Есенина «Отговорила роща молодая…», вы, наверное, ответите: норма-а-а-альное. А вот после наших уроков вы сможете потрясти окружающих глубиной своих знаний, точно у вас в руках есть магический кристалл, глядя сквозь который, вы выприкасаетесь к величию русской поэзии.

Не верите? Тогда спойте вместе с нами песню «Отговорила роща молодая…» (пригласите ваших друзей или близких, если хотите) и найдите в тексте песни и эпитеты, и метафоры, и олицетворение, и звукопись. Поделитесь своими открытиями с окружающими. Насколько же ярче станут ваши чувства, ваши ощущения, ваши эмоции! До новых встреч! Ваш верный слуга – Троп!

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание. «В. Брюсов».

Прочитайте внимательно выделенные слова.

Сухие листья, сухие листья,

Под тусклым ветром сухие листья,

Кружась, что шепчут, что говорят?

Какой приём использовал автор? Впечатайте___________.

Подсказка: посмотрите в словаре, как пишется это слово.

Правильный ответ: олицетворение.

Задание. «И. Бунин».

Прочитайте внимательно выделенные слова.

Сегодня так светло кругом,

Такое мёртвое молчанье

В лесу и в синей вышине,

Что можно в этой тишине

Расслышать листика шуршанье. 

Какой приём использовал автор? Отметьте верный ответ.

• сравнéние
• эпи́тет
• метáфора

Подсказка: пересмотрите объясняющее видео.

Правильный ответ: метáфора.

«Обычные люди»: новый сериал о главном в жизни подростка

• Андрей Козенко
• Би-би-си

28 апреля 2020

Автор фото, AFP

Агрегатное состояние — это… Что такое Агрегатное состояние?

Агрега́тное состоя́ние — состояние вещества, характеризующееся определёнными качественными свойствами: способностью или неспособностью сохранять объём и форму, наличием или отсутствием дальнего и ближнего порядка и другими. Изменение агрегатного состояния может сопровождаться скачкообразным изменением свободной энергии, энтропии, плотности и других основных физических свойств.^[1].

Выделяют три основных агрегатных состояния: твёрдое тело, жидкость и газ. Иногда не совсем корректно к агрегатным состояниям причисляют плазму. Существуют и другие агрегатные состояния, например, жидкие кристаллы или конденсат Бозе — Эйнштейна.

Изменения агрегатного состояния это термодинамические процессы, называемые фазовыми переходами. Выделяют следующие их разновидности: из твёрдого в жидкое — плавление; из жидкого в газообразное — испарение и кипение; из твёрдого в газообразное — сублимация; из газообразного в жидкое или твёрдое — конденсация; из жидкого в твёрдое — кристаллизация. Отличительной особенностью является отсутствие резкой границы перехода к плазменному состоянию.

Определения агрегатных состояний не всегда являются строгими. Так, существуют аморфные тела, сохраняющие структуру жидкости и обладающие небольшой текучестью и способностью сохранять форму; жидкие кристаллы текучи, но при этом обладают некоторыми свойствами твёрдых тел, в частности, могут поляризовать проходящее через них электромагнитное излучение.

Для описания различных состояний в физике используется более широкое понятие термодинамической фазы. Явления, описывающие переходы от одной фазы к другой, называют критическими явлениями.

Твёрдое тело

Состояние, характеризующееся способностью сохранять объём и форму. Атомы твёрдого тела совершают лишь небольшие колебания вокруг состояния равновесия. Присутствует как дальний, так и ближний порядок.

Жидкость

Состояние вещества, при котором оно обладает малой сжимаемостью, то есть хорошо сохраняет объём, однако не способно сохранять форму. Жидкость легко принимает форму сосуда, в который она помещена. Атомы или молекулы жидкости совершают колебания вблизи состояния равновесия, запертые другими атомами, и часто перескакивают на другие свободные места. Присутствует только ближний порядок.

Газ

Основная статья: Газ

Состояние, характеризующееся хорошей сжимаемостью, отсутствием способности сохранять как объём, так и форму. Газ стремится занять весь объём, ему предоставленный. Атомы или молекулы газа ведут себя относительно свободно, расстояния между ними гораздо больше их размеров.

Плазма

Плазменная декоративная лампа.

Часто причисляемая к агрегатным состояниям вещества плазма отличается от газа большой степенью ионизации атомов. Большая часть барионного вещества (по массе ок. 99,9 %) во Вселенной находится в состоянии плазмы.^[2]

Сверхкритический флюид

Возникает при одновременном повышении температуры и давления до критической точки, в которой плотность газа сравнивается с плотностью жидкости; при этом исчезает граница между жидкой и газообразной фазами. Сверхкритический флюид отличается исключительно высокой растворяющей способностью.

Конденсат Бозе — Эйнштейна

Получается в результате охлаждения бозе-газа до температур, близких к абсолютному нулю. В результате этого часть атомов оказывается в состоянии со строго нулевой энергией (то есть в низшем из возможных квантовом состоянии). Конденсат Бозе — Эйнштейна проявляет ряд квантовых свойств, таких как сверхтекучесть и резонанс Фишбаха.

Фермионный конденсат

Представляет собой Бозе-конденсацию в режиме БКШ «атомных куперовских пар» в газах состоящих из атомов-фермионов. (В отличие от традиционного режима бозе-эйнштейновской конденсации составных бозонов).

Такие фермионные атомные конденсаты являются «родственниками» сверхпроводников, но с критической температурой порядка комнатной и выше. ^[3]

Вырожденная материя

• Ферми-газ 1-я стадия Электронно-вырожденный газ, наблюдается в белых карликах, играет важную роль в эволюции звёзд.
• 2-я стадия нейтронное состояние в него вещество переходит при сверхвысоком давлении, недостижимом пока в лаборатории, но существующем внутри нейтронных звёзд. При переходе в нейтронное состояние электроны вещества взаимодействуют с протонами и превращаются в нейтроны. В результате вещество в нейтронном состоянии полностью состоит из нейтронов и обладает плотностью порядка ядерной. Температура вещества при этом не должна быть слишком высока (в энергетическом эквиваленте не более сотни МэВ).
• при сильном повышении температуры (сотни МэВ и выше) в нейтронном состоянии начинают рождаться и аннигилировать разнообразные мезоны. При дальнейшем повышении температуры происходит деконфайнмент, и вещество переходит в состояние кварк-глюонной плазмы. Оно состоит уже не из адронов, а из постоянно рождающихся и исчезающих кварков и глюонов. Возможно^[4], деконфайнмент происходит в два этапа.
• При дальнейшем неограниченном повышении давления без повышения температуры вещество коллапсирует в чёрную дыру.
• При одновременном повышении и давления, и температуры к кваркам и глюонам добавляются иные частицы. Что происходит с веществом, пространством и временем при температурах, близких к планковской, пока неизвестно.

Другие состояния

При глубоком охлаждении некоторые (далеко не все) вещества переходят в сверхпроводящее или сверхтекучее состояние. Эти состояния, безусловно, являются отдельными термодинамическими фазами, однако их вряд ли стоит называть новыми агрегатными состояниями вещества в силу их неуниверсальности.

Неоднородные вещества типа паст, гелей, суспензий, аэрозолей и т. д., которые при определённых условиях демонстрируют свойства как твёрдых тел, так и жидкостей и даже газов, обычно относят к классу дисперсных материалов, а не к каким-либо конкретным агрегатным состояниям вещества.

Примечания

См. также

dic.academic.ru

Агрегатные состояния вещества

Определение 1

Агрегатные состояния вещества (от лат. “aggrego” означает “присоединяю”, “связываю”) – это состояния одного и того же вещества в твердом, жидком и газообразном виде.

При переходе из одного состояния в другое наблюдается скачкообразное изменение энергии, энтропии, плотности и прочих свойств вещества.

Твердые и жидкие тела

Определение 2

Твердые тела – это тела, которые отличаются постоянством своей формы и объема.

В твердых телах межмолекулярные расстояния маленькие, а потенциальную энергию молекул можно сравнить с кинетической.

Твёрдые тела подразделяются на 2 вида:

1. Кристаллические;
2. Аморфные.

В состоянии термодинамического равновесия находятся только лишь кристаллические тела. Аморфные же тела по факту представляют собой метастабильные состояния, которые по строению схожи с неравновесными, медленно кристаллизующимися жидкостями. В аморфном теле происходит чересчур медленный процесс кристаллизации, процесс постепенного преобразования вещества в кристаллическую фазу. Разница кристалла от аморфного твердого тела состоит, в первую очередь, в анизотропии его свойств. Свойства кристаллического тела определяются в зависимости от направления в пространстве. Разнообразные процессы (например, теплопроводность, электропроводность, свет, звук) распространяются в разных направлениях твердого тела по-разному. А вот аморфные тела (например, стекло, смолы, пластмассы) изотропные, как и жидкости. Разница аморфных тел от жидкостей заключается лишь только в том, что последние текучие, в них не происходят статические деформации сдвига.

У кристаллических тел правильное молекулярное строение. Именно за счет правильного строения кристалл имеет анизотропные свойства. Правильное расположение атомов кристалла создает так называемую кристаллическую решетку. В разных направлениях месторасположение атомов в решетке различное, что и приводит к анизотропии. Атомы (ионы либо целые молекулы) в кристаллической решетке совершают беспорядочное колебательное движение возле средних положений, которые и рассматриваются в качестве узлов кристаллической решетки. Чем выше температура, тем выше энергия колебаний, а значит, и средняя амплитуда колебаний. В зависимости от амплитуды колебаний определяется размер кристалла. Увеличение амплитуды колебаний приводит к увеличению размеров тела. Таким образом, объясняется тепловое расширение твердых тел.

Определение 3

Жидкие тела – это тела, имеющие определенный объем, но не имеющие упругой формы.

Для вещества в жидком состоянии характерно сильное межмолекулярное взаимодействие и малая сжимаемость. Жидкость занимает промежуточное положение между твердым телом и газом. Жидкости, также как и газы, обладают изотpопными свойствам

zaochnik.com

агрегатное состояние вещества – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

Агрегатное состояние — состояние какого-либо вещества, имеющее определенные свойства: способность сохранять форму и объем, иметь дальний или ближний порядок и другие. При изменении агрегатного состояния вещества происходит изменение физических свойств, а также плотности, энтропии и свободной энергии.

Как и почему происходят эти удивительные превращения? Чтобы разобраться в этом, вспомним, что все вокруг состоит из атомов и молекул. Атомы и молекулы различных веществ взаимодействуют друг с другом, и именно связь между ними определяет, какое у вещества агрегатное состояние.

Выделяют четыре типа агрегатных веществ:

Кажется, что химия открывает нам свои тайны в этих удивительных превращениях. Однако это не так. Переход из одного агрегатного состояния в другое, а также броуновское движение или диффузия относятся к физическим явлениям, поскольку в этих превращениях не происходит изменений молекул вещества и сохраняется их химический состав.

Газообразное состояние

На молекулярном уровне газ представляет собой хаотически движущиеся, сталкивающиеся со стенками сосуда и между собой молекулы, которые друг с другом практически не взаимодействуют. Поскольку молекулы газа между собой не связаны, то газ заполняет весь предоставленный ему объем, взаимодействуя и изменяя направление только при ударах друг о друга.

К сожалению, невооруженным глазом и даже с помощью светового микроскопа увидеть молекулы газа невозможно. Однако газ можно потрогать. Конечно, если вы просто попробуете ловить молекулы газов, летающие вокруг, в ладони, то у вас ничего не получится. Но наверняка все видели (или делали это сами), как кто-то накачивал воздухом шину автомобиля или велосипеда, и из мягкой и сморщенной она становилась накачанной и упругой. А кажущуюся «невесомость» газов опровергнет опыт, описанный на странице 39 учебника «Химия 7 класс» под редакцией О.С. Габриеляна.

Это происходит потому, что в замкнутый ограниченный объем шины попадает большое количество молекул, которым становится тесно, и они начинают чаще ударяться друг о друга и о стенки шины, а в результате суммарное воздействие миллионов молекул на стенки воспринимается нами как давление.

Но если газ занимает весь предоставленный ему объем, почему тогда он не улетает в космос и не распространяется по всей вселенной, заполняя межзвездное пространство? Значит, что-то все-таки удерживает и ограничивает газы атмосферой планеты?

Совершенно верно. И это — сила земного тяготения. Для того чтобы оторваться от планеты и улететь, молекулам нужно развить скорость, превышающую «скорость убегания» или вторую космическую скорость, а подавляющее большинство молекул движутся значительно медленнее.

Тогда возникает следующий вопрос: почему молекулы газов не падают на землю, а продолжают летать? Оказывается, благодаря солнечной энергии молекулы воздуха имеют солидный запас кинетической энергии, который позволяет им двигаться против сил земного притяжения.

Сборник вопросов и задач. Физика. 9 класс

В сборнике приведены вопросы и задачи различной направленности:расчетные, качественные и графические; технического, практического и исторического характера. Задания распределены по темам в соответствии со структурой учебника «Физика. 9 класс» авторов А. В. Перышкина, Е. М. Гутник и позволяют реализовать требования, заявленные ФГОС к метапредметным, предметным и личностным результатам обучения.

Купить

Жидкое состояние

При повышении давления и/или снижении температуры газы можно перевести в жидкое состояние. Еще на заре ХIХ века английскому физику и химику Майклу Фарадею удалось перевести в жидкое состояние хлор и углекислый газ, сжимая их при очень низких температурах. Однако некоторые из газов не поддались ученым в то время, и, как оказалось, дело было не в недостаточном давлении, а в неспособности снизить температуру до необходимого минимума.

Жидкость, в отличие от газа, занимает определенный объем, однако она также принимает форму заполняемого сосуда ниже уровня поверхности. Наглядно жидкость можно представить как круглые бусины или крупу в банке. Молекулы жидкости находятся в тесном взаимодействии друг с другом, однако свободно перемещаются относительно друг друга.

Если на поверхности останется капля воды, через какое-то время она исчезнет. Но мы же помним, что благодаря закону сохранения массы-энергии, ничто не пропадает и не исчезает бесследно. Жидкость испарится, т.е. изменит свое агрегатное состояние на газообразное.

Испарение — это процесс преобразования агрегатного состояния вещества, при котором молекулы, чья кинетическая энергия превышает потенциальную энергию межмолекулярного взаимодействия, поднимаются с поверхности жидкости или твердого тела.

Испарение с поверхности твердых тел называется сублимацией или возгонкой. Наиболее простым способом наблюдать возгонку является использование нафталина для борьбы с молью. Если вы ощущаете запах жидкости или твердого тела, значит происходит испарение. Ведь нос как раз и улавливает ароматные молекулы вещества.

Жидкости окружают человека повсеместно. Свойства жидкостей также знакомы всем — это вязкость, текучесть. Когда заходит разговор о форме жидкости, то многие говорят, что жидкость не имеет определенной формы. Но так происходит только на Земле. Благодаря силе земного притяжения капля воды деформируется.

Однако многие видели как космонавты в условиях невесомости ловят водяные шарики разного размера. В условиях отсутствия гравитации жидкость принимает форму шара. А обеспечивает жидкости шарообразную форму сила поверхностного натяжения. Мыльные пузыри – отличный способ познакомиться с силой поверхностного натяжения на Земле.

Еще одно свойство жидкости — вязкость. Вязкость зависит от давления, химического состава и температуры. Большинство жидкостей подчиняются закону вязкости Ньютона, открытому в ХIХ веке. Однако есть ряд жидкостей с высокой вязкостью, которые при определенных условиях начинают вести себя как твердые тела и не подчиняются закону вязкости Ньютона. Такие растворы называются неньютоновскими жидкостями. Самый простой пример неньютоновской жидкости — взвесь крахмала в воде. Если воздействовать на неньютоновскую жидкость механическими усилиями, жидкость начнет принимать свойства твердых тел и вести себя как твердое тело.

Что ещё почитать?

Твёрдое состояние

Если у жидкости, в отличие от газа, молекулы движутся уже не хаотически, а вокруг определенных центров, то в твёрдом агрегатном состоянии вещества атомы и молекулы имеют четкую структуру и похожи на построенных солдат на параде. И благодаря кристаллической решетке твердые вещества занимают определенный объем и имеют постоянную форму.

Между твердыми и жидкими телами существует промежуточная группа аморфных веществ, представители которой с одной стороны за счет высокой вязкости долго сохраняют свою форму, а с другой – частицы в нем строго не упорядочены и находятся в особом конденсированном состоянии. К аморфным веществам относится целый ряд веществ: смола, стекло, янтарь, каучук, полиэтилен, поливинилхлорид, полимеры, сургуч, различные клеи, эбонит и пластмассы. Про аморфные тела подробно можно прочитать на странице 40 учебника «Химия 7 класс» под редакцией О.С. Габриеляна.

При определенных условиях вещества, находящиеся в агрегатном состоянии жидкости, могут переходить в твердое, а твердые тела, наоборот, при нагревании плавиться и переходить в жидкое.

Это происходит потому, что при нагревании увеличивается внутренняя энергия, соответственно молекулы начинают двигаться быстрее, а при достижении температуры плавления кристаллическая решетка начинает разрушаться и изменяется агрегатное состояние вещества. У большинства кристаллических тел объем увеличивается при плавлении, но есть исключения, например – лед, чугун.

В зависимости от вида частиц, образующих кристаллическую решетку твердого тела, выделяют следующую структуру:

• молекулярную,

• атомную,

• ионную

• металлическую.

У одних веществ изменение агрегатных состояний происходит легко, как, например, у воды, для других веществ нужны особые условия (давление, температура). Но в современной физике ученые выделяют еще одно независимое состояние вещества — плазма.

Плазма — ионизированный газ с одинаковой плотностью как положительных, так и отрицательных зарядов. В живой природе плазма есть на солнце, или при вспышке молнии. Северное сияние и даже привычный нам костер, согревающий своим теплом во время вылазки на природу, также относится к плазме.

Искусственно созданная плазма добавляет яркости любому городу. Огни неоновой рекламы — это всего лишь низкотемпературная плазма в стеклянных трубках. Привычные нам лампы дневного света тоже заполнены плазмой.

Плазму делят на низкотемпературную — со степенью ионизации около 1% и температурой до 100 тысяч градусов, и высокотемпературную — ионизация около 100% и температурой в 100 млн градусов (именно в таком состоянии находится плазма в звездах).

Низкотемпературная плазма в привычных нам лампах дневного света широко применяется в быту.

Высокотемпературная плазма используется в реакциях термоядерного синтеза и ученые не теряют надежду использовать ее в качестве замены атомной энергии, однако контроль в этих реакциях очень сложен. А неконтролируемая термоядерная реакция зарекомендовала себя как оружие колоссальной мощности, когда 12 августа 1953 года СССР испытал термоядерную бомбу.

Физика. 7 класс. Дидактические материалы

Данное пособие включает тренировочные задания, тесты для самоконтроля, самостоятельные работы, контрольные работы и примеры решения типовых задач. Всего в предлагаемом комплекте дидактических материалов содержится более 1000 задач и заданий по следующим темам: «Первоначальные сведения о строении вещества», «Взаимодействие тел», «Давление твердых тел, жидкостей и газов» и «Работа и мощность. Энергия». Пособие адресовано учителям и учашимся образовательных школ и может использоваться при работе с учебником А. В. Перышкина «Физика. 7 класс».

Купить

Для проверки усвоения материала предлагаем небольшой тест.

1. Что не относится к агрегатным состояниям:

• жидкость

• газ

• свет +

2. Вязкость ньютоновских жидкостей подчиняется:

• закону Бойля-Мариотта

• закону Архимеда

• закону вязкости Ньютона +

3. Почему атмосфера Земли не улетает в открытый космос:

• потому что молекулы газа не могут развить вторую космическую скорость

• потому что на молекулы газа воздействует сила земного притяжения +

• оба ответа правильные

4. Что не относится к аморфным веществам:

• сургуч

• стекло

• железо +

5.При охлаждении объем увеличивается у:

• янтаря

• льда +

• сахара

---

#ADVERTISING_INSERT#

rosuchebnik.ru

Агрегатное состояние вещества

В повседневной практике приходится иметь дело не отдельно с индивидуальными атомами, молекулами и ионами, а с реальными веществами — совокупностью большого количества частиц. В зависимости от характера их взаимодействия различают четыре вида агрегатного состояния: твердое, жидкое, газообразное и плазменное. Вещество может превращаться из одного агрегатного состояния в другое в результате соответствующего фазового перехода.

Пребывание вещества в том или ином агрегатном состоянии обусловлено силами, действующими между частицами, расстоянием между ними и особенностями их движения. Каждое агрегатное состояние характеризуется совокупностью определенных свойств.

Свойства веществ в зависимости от агрегатного состояния:

состояние	свойство
газообразное	Способность занимать весь объем и принимать форму сосуда; Сжимаемость; Быстрая диффузия в результате хаотического движения молекул; Значительное превышение кинетической энергии частиц над потенциальной, Е кинетич.  > Е потенц.
жидкое	Способность принимать форму той части сосуда, которую занимает вещество; Невозможность расширяться до заполнения всей емкости; Небольшая сжимаемость; Медленная диффузия; Текучесть; Соизмеримость потенциальной и кинетической энергии частиц, Е кинетич.  ≈ Е потенц.
твердое	Способность сохранять собственные форму и объем; Очень незначительная сжимаемость (под большим давлением) Очень медленная диффузия за счет колебательного движения частиц; Отсутствие текучести; Значительное превышение потенциальной энергии частиц над кинетической, Е кинетич.  <Е потенц.

В соответствии со степенью упорядоченности в системе для каждого агрегатного состояния характерно собственное соотношение между кинетической и потенциальной энергиями частиц. В твердых телах потенциальная энергия преобладает над кинетической, так как частицы занимают определенные положения и только колеблются вокруг них. Для газов наблюдается обратное соотношение между потенциальной и кинетической энергиями, как следствие того, что молекулы газа всегда хаотично движутся, а силы сцепления между ними почти отсутствуют, поэтому газ занимает весь объем. В случае жидкостей кинетическая и потенциальная энергии частиц примерно одинаковы, между частицами действует нежесткая связь, поэтому жидкостям присущи текучесть и постоянный при данной температуре объем.

Когда частицы вещества образуют правильную геометрическую структуру, а энергия связей между ними больше энергии тепловых колебаний, что предотвращает разрушение сложившейся структуры — значит, вещество находится в твердом состоянии. Но начиная с некоторой температуры, энергия тепловых колебаний превышает энергию связей между частицами. При этом частицы, хотя и остаются в контакте, перемещаются друг относительно друга. В результате геометрическая структура нарушается и вещество переходит в жидкое состояние. Если тепловые колебания настолько возрастают, что между частицами практически теряется связь, вещество приобретает газообразное состояние. В «идеальном» газе частицы свободно перемещаются во всех направлениях.

При повышении температуры вещество переходит из упорядоченного состояния (твердое) в неупорядоченный состояние (газообразное) жидкое состояние является промежуточным по упорядоченности частиц.

Четвертым агрегатным состоянием называют плазму — газ, состоящий из смеси нейтральных и ионизированных частиц и электронов. Плазма образуется при сверхвысоких температурах (10⁵ -10^{7 0}С) за счет значительной энергии столкновения частиц, которые имеют максимальную неупорядоченность движения. Обязательным признаком плазмы, как и других состояний вещества, является ее электронейтральность. Но в результате неупорядоченности движения частиц в плазме могут возникать отдельные заряженные микрозоны, благодаря чему она становится источником электромагнитного излучения. В плазменном состоянии существует вещество на Солнце, звездах, других космических объектах, а также при термоядерных процессах.

Каждое агрегатное состояние определяется, прежде всего, интервалом температур и давлений, поэтому для наглядной количественной характеристики используют фазовую диаграмму вещества, которая показывает зависимость агрегатного состояния от давления и температуры.

Диаграмма состояния вещества с кривыми фазовых переходов: 1 — плавления-кристаллизации, 2 — кипения-конденсации, 3 — сублимации-десублимации

Диаграмма состояния состоит из трех основных областей, которые соответствуют кристаллическому, жидкому и газообразному состояниям. Отдельные области разделяются кривыми, отражающие фазовые переходы:

1. твердого состояния в жидкое и, наоборот, жидкого в твердое (кривая плавления-кристаллизации — пунктирный зеленый график)
2. жидкого в газообразное и обратного преобразования газа в жидкость (кривая кипения-конденсации — синий график)
3. твердого состояния в газообразное и газообразного в твердое (кривая сублимации-десублимации — красный график).

Координаты пересечения этих кривых называются тройной точкой, в которой в условиях определенного давления Р=Р_в и определенной температуры Т=T_в вещество может сосуществовать сразу в трех агрегатных состояниях, причем жидкое и твердое состояние имеют одинаковое давление пара. Координаты Р_в и Т_в — это единственные значения давления и температуры, при которых могут одновременно сосуществовать все три фазы.

Точке К на фазовой диаграмме состояния отвечает температура Т_к — так называемая критическая температура , при которой кинетическая энергия частиц превышает энергию их взаимодействия и поэтому стирается грань разделения между жидкой и газовой фазами, а вещество существует в газообразном состоянии по любым давлением.

Из анализа фазовой диаграммы следует, что при высоком давлении, большем чем в тройной точке (Р_в), нагрев твердого вещества заканчивается его плавлением, например, при Р₁ плавления происходит в точке d. Дальнейшее повышение температуры от Т_d к Т_е приводит к кипению вещества при данном давлении Р₁. При давлении Р₂, меньшем, чем давление в тройной точке Р_в, нагрев вещества приводит к его переходу непосредственно из кристаллического в газообразное состояние (точка q), то есть к сублимации. Для большинства веществ давление в тройной точке ниже, чем давление насыщенного пара (Р _в <P_{насыщ.пара}). Только для некоторых веществ Р_о>Р_{насыщ.пара}, поэтому при нагревании кристаллов таких веществ они не плавятся, а испаряются, то есть подвергаются сублимации. Например, так ведут себя кристаллы йода или «сухой лед» (твердый СО₂).

Анализ диаграммы состояния вещества

Газообразное состояние

При нормальных условиях (273 К, 101325 Па) в газообразном состоянии могут находиться как простые вещества, молекулы которых состоят из одного атома (Не, Ne, Ar) или из нескольких несложных атомов (Н₂, N₂, O₂), так и сложные вещества с малой молярной массой (СН₄ , HCl, C₂H₆).

Поскольку кинетическая энергия частиц газа превышает их потенциальную энергию, то молекулы в газообразном состоянии непрерывно хаотически двигаются. Благодаря большим расстояниям между частицами силы межмолекулярного взаимодействия в газах настолько незначительны, что их не хватает для привлечения частиц друг к другу и удержания их вместе. Именно по этой причине газы не имеют собственной формы и характеризуются малой плотностью и высокой способностью к сжатию и к расширению. Поэтому газ постоянно давит на стенки сосуда, в котором он находится, одинаково во всех направлениях.

Для изучения взаимосвязи между важнейшими параметрами газа (давление Р, температура Т, количество вещества n, молярная масса М, масса m) используется простейшая модель газообразного состояния вещества — идеальный газ, которая базируется на следующих допущениях:

• взаимодействием между частицами газа можно пренебречь;
• сами частицы являются материальными точками, которые не имеют собственного размера.

Наиболее общим уравнением, описывающим модель идеального газа, считается уравнения Менделеева-Клапейрона для одного моля вещества:

Однако поведение реального газа отличается, как правило, от идеального. Это объясняется, во-первых, тем, что между молекулами реального газа все же действуют незначительные силы взаимного притяжения, которые в определенной степени сжимают газ. С учетом этого общее давление газа возрастает на величину a/V², которая учитывает дополнительное внутреннее давление, обусловленное взаимным притяжением молекул. В результате общее давление газа выражается суммой Р+ а/V². Во-вторых, молекулы реального газа имеют хоть и малый, но вполне определенный объем b , поэтому действительный объем всего газа в пространстве составляет V —  b. При подстановке рассмотренных значений в уравнение Менделеева-Клапейрона получаем уравнение состояния реального газа , которое называется уравнением Ван-дер-Ваальса:

где а и b — эмпирические коэффициенты, которые определяются на практике для каждого реального газа. Установлено, что коэффициент a имеет большую величину для газов, которые легко сжижаются (например, СО₂ , NH₃ ), а коэффициент b — наоборот, тем выше по величине, чем больше размеры имеют молекулы газа (например, газообразные углеводороды).

Уравнение Ван-дер-Ваальса гораздо точнее описывает поведение реального газа, чем уравнения Менделеева-Клапейрона, которое тем не менее, благодаря наглядному физическому смыслу широко используется в практических расчетах. Хотя идеальное состояние газа является предельным, мнимым случаем, однако простота законов, которые ему отвечают, возможность их применения для описания свойств многих газов в условиях низких давлений и высоких температур делает модель идеального газа очень удобной.

Жидкое состояние вещества

Жидкое состояние любого конкретного вещества являются термодинамически устойчивым в определенном интервале температур и давлений, характерных для природы (состава) данного вещества. Верхний температурный предел жидкого состояния — температура кипения, выше которой вещество в условиях устойчивого давления находится в газообразном состоянии. Нижняя граница устойчивого состояния существования жидкости — температура кристаллизации (затвердевания). Температуры кипения и кристаллизации, измеренные при давлении 101,3 кПа, называются нормальными.

Для обычных жидкостей присуща изотропность — единообразие физических свойств во всех направлениях внутри вещества. Иногда для изотропности употребляют и другие термины: инвариантность, симметрия относительно выбора направления.

В формировании взглядов на природу жидкого состояния важное значение имеет представление о критическом состоянии, который был открыт Менделеевым (1860 г.):

Критическое состояние — это равновесное состояние, при котором предел разделения между жидкостью и ее паром исчезает, поскольку жидкость и ее насыщенный пар приобретают одинаковые физические свойства.

В критическом состоянии значение как плотностей, так и удельных объемов жидкости и ее насыщенного пара становятся одинаковыми.

Жидкое состояние вещества является промежуточным между газообразным и твердым. Некоторые свойства приближают жидкое состояние к твердому. Если для твердых веществ характерна жесткая упорядоченность частиц, которая распространяется на расстояние до сотен тысяч межатомных или межмолекулярных радиусов, то в жидком состоянии наблюдается, как правило, не более нескольких десятков упорядоченных частиц. Объясняется это тем, что упорядоченность между частицами в разных местах жидкого вещества быстро возникает, и так же быстро снова «размывается» тепловым колебаниям частиц. Вместе с тем общая плотность «упаковки» частиц мало отличается от твердого вещества, поэтому плотность жидкостей не сильно отличается от плотности большинства твердых тел. К тому же способность жидкостей к сжатию почти такая же мала, что и в твердых тел (примерно в 20000 раз меньше, чем у газов).

Структурный анализ подтвердил, что в жидкостях наблюдается так называемый ближний порядок, который означает, что число ближайших «соседей» каждой молекулы и их взаимное расположение примерно одинаковы по всему объему.

Относительно небольшое количество различных по составу частиц, соединенных силами межмолекулярного взаимодействия, называется кластером. Если все частицы в жидкости одинаковы, то такой кластер называется ассоциатом. Именно в кластерах и ассоциатах наблюдается ближний порядок.

Степень упорядоченности в различных жидкостях зависит от температуры. При низких температурах, незначительно превышающих температуру плавления, степень упорядоченности размещения частиц очень большая. С повышением температуры она уменьшается и по мере нагревания свойства жидкости все больше приближаются к свойствам газов, а по достижении критической температуры разница между жидким и газообразным состоянием исчезает.

Близость жидкого состояния к твердому подтверждается значениями стандартных энтальпий испарения DН⁰_{испарения} и плавления DН⁰_{плавления}. Напомним, что величина DН⁰_{испарения} показывает количество теплоты, которая нужна для преобразования 1 моля жидкости в пар при 101,3 кПа; такое же количество теплоты расходуется на конденсацию 1 моля пара в жидкость при тех же условиях (т.е. DН⁰_{испарения}  = DН⁰_{конденсации}). Количество теплоты, затрачиваемое на превращение 1 моля твердого вещества в жидкость при 101,3 кПа, называется стандартной энтальпией плавления; такое же количество теплоты высвобождается при кристаллизации 1 моля жидкости в условиях нормального давления (DН⁰_{плавления}  = DН⁰_{кристаллизации}). Известно, что DН⁰_{испарения}  << DН⁰_{плавления}, поскольку переход из твердого состояния в жидкое сопровождается меньшим нарушением межмолекулярного притяжения, чем переход из жидкого в газообразное состояние.

Однако другие важные свойства жидкостей больше напоминают свойства газов. Так, подобно газам, жидкости могут течь — это свойство называется текучестью. Они могут сопротивляться течению, то есть им присуща вязкость. На эти свойства влияют силы притяжения между молекулами, молекулярная масса жидкого вещества и другие факторы. Вязкость жидкостей примерно в 100 раз больше, чем у газов. Так же, как и газы, жидкости способны диффундировать, но гораздо медленнее, поскольку частицы жидкости упакованы плотнее, чем частицы газа.

Одной из самых интересных свойств жидкого состояния, которая не характерна ни для газов, ни для твердых веществ, является поверхностное натяжение.

Схема поверхностного натяжения жидкости

На молекулу, находящуюся в объеме жидкости, со всех сторон равномерно действуют межмолекулярные силы. Однако на поверхности жидкости баланс этих сил нарушается, вследствие чего поверхностные молекулы находятся под действием некоторой результирующей силы, которая направлена ​​внутрь жидкости. По этой причине поверхность жидкости находится в состоянии натяжения. Поверхностное натяжение — это минимальная сила, которая удерживает частицы жидкости внутри и тем самым предотвращает сокращении поверхности жидкости.

Строение и свойства твердых веществ

Большинство известных веществ как природного, так и искусственного происхождения при обычных условиях находятся в твердом состоянии. Из всех известных на сегодня соединений около 95% относятся к твердым веществам, которые приобрели важное значение, поскольку является основой не только конструкционных, но и функциональных материалов.

• Конструкционные материалы — это твердые вещества или их композиции, которые используются для изготовления орудий труда, предметов быта, и различных других конструкций.
• Функциональные материалы — это твердые вещества, использование которых обусловлено наличием в них тех или иных полезных свойств.

Например, сталь, алюминий, бетон, керамика принадлежат к конструкционным материалам, а полупроводники, люминофоры — к функциональным.

В твердом состоянии расстояния между частицами вещества маленькие и имеют по величине такой же порядок, что и сами частицы. Энергии взаимодействия между ними достаточно велики, что предотвращает свободное движение частиц — они могут только колебаться относительно определенных равновесных положений, например, вокруг узлов кристаллической решетки. Неспособность частиц к свободному перемещению приводит к одной из самых характерных особенностей твердых веществ — наличие собственной формы и объема. Способность к сжатию у твердых веществ очень незначительна, а плотность высокая и мало зависит от изменения температуры. Все процессы, происходящие в твердом веществе, происходят медленно. Законы стехиометрии для твердых веществ имеют другой и, как правило, более широкий смысл, чем для газообразных и жидких веществ.

Подробное описание твердых веществ слишком объемно для этого материала и поэтому рассматривается в отдельных статьях: Аморфное и кристаллическое состояние вещества, Кристаллическая решетка, Дефекты кристаллической решетки, Основы зонной теории и Типы твердых тел.

www.polnaja-jenciklopedija.ru

Агрегатное состояние — Википедия

Агрега́тное состоя́ние вещества (от лат. aggrego «присоединяю») — физическое состояние вещества, зависящее от соответствующего сочетания температуры и давления. Изменение агрегатного состояния может сопровождаться скачкообразным изменением свободной энергии, энтропии, плотности и других физических величин.^[1]

Традиционно выделяют три агрегатных состояния: твёрдое тело, жидкость и газ. К агрегатным состояниям принято причислять также плазму^[2], в которую переходят газы при повышении температуры и фиксированном давлении. Отличительной особенностью является отсутствие резкой границы перехода к плазменному состоянию. Существуют и другие агрегатные состояния.

Определения агрегатных состояний не всегда являются строгими. Так, существуют аморфные тела, сохраняющие структуру жидкости и обладающие небольшой текучестью и способностью сохранять форму; жидкие кристаллы текучи, но при этом обладают некоторыми свойствами твёрдых тел, в частности, могут поляризовать проходящее через них электромагнитное излучение.

Для описания различных состояний в физике используется более широкое понятие термодинамической фазы. Явления, описывающие переходы от одной фазы к другой, называют критическими явлениями.

Основным термодинамическим (феноменологическим) признаком различия видов агрегатного состояния вещества является наличие энергетической границы между фазами: теплота испарения как граница между жидкостью и её паром и теплота плавления как граница между твёрдым веществом и жидкостью^[3].

Четыре основных состояния

Твёрдое тело

Кристаллические вещества: атомное разрешение изображения титаната стронция. Яркие атомы — Sr, темнее их Ti.

В твёрдом состоянии вещество сохраняет как форму, так и объём. При низких температурах все вещества замерзают — превращаются в твёрдые тела. Температура затвердевания может быть несколько повышена при увеличении давления. Твёрдые тела делятся на кристаллические и аморфные. С микроскопической точки зрения твёрдые тела характерны тем, что молекулы или атомы в них в течение длительного времени сохраняют своё среднее положение неизменным, только совершая колебания с небольшой амплитудой вокруг них. В кристаллах средние положения атомов или молекул строго упорядочены. Кристаллы характеризуются пространственной периодичностью в расположении равновесных положений атомов, которая достигается наличием дальнего порядка и носит название кристаллической решётки. Естественная форма кристаллов — правильные многогранники.

В аморфных телах атомы колеблются вокруг хаотически расположенных точек, у них отсутствует дальний порядок, но сохраняется ближний, при котором молекулы расположены согласованно на расстоянии, сравнимом с их размерами. Согласно классическим представлениям, устойчивым состоянием (с минимумом потенциальной энергии) твёрдого тела является кристаллическое. Частным случаем аморфного состояния является стеклообразное состояние. Аморфное тело находится в метастабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллическое состояние, однако время кристаллизации часто столь велико, что метастабильность вовсе не проявляется. Аморфное тело можно рассматривать как жидкость с очень большой (часто бесконечно большой) вязкостью. Кристаллические твёрдые тела имеют анизотропные свойства, то есть их отклик на приложенные внешние силы зависит от ориентации сил относительно кристаллографических осей. В твердотельном состоянии вещества могут иметь много фаз, которые отличаются составлением атомов или другими характеристиками, такими как упорядочение спинов в ферромагнетиках.

Жидкость

Структура классической одноатомной жидкости.

В жидком состоянии вещество сохраняет объём, но не сохраняет форму. Это означает, что жидкость может занимать только часть объёма сосуда, но также может свободно перетекать по всей поверхности сосуда. Жидкое состояние обычно считают промежуточным между твёрдым телом и газом. Форма жидких тел может полностью или отчасти определяться тем, что их поверхность ведёт себя как упругая мембрана. Так, вода может собираться в капли. Но жидкость способна течь даже под своей неподвижной поверхностью, и это тоже означает изменение формы (внутренних частей жидкого тела). Молекулы жидкости не имеют определённого положения, но в то же время им недоступна полная свобода перемещений. Между ними существует притяжение, достаточно сильное, чтобы удержать их на близком расстоянии. Вещество в жидком состоянии существует в определённом интервале температур, ниже которого переходит в твёрдое состояние (происходит кристаллизация либо превращение в твердотельное аморфное состояние — стекло), выше — в газообразное (происходит испарение). Границы этого интервала зависят от давления. Как правило, вещество в жидком состоянии имеет только одну модификацию. (Наиболее важные исключения — это квантовые жидкости и жидкие кристаллы.) Поэтому в большинстве случаев жидкость является не только агрегатным состоянием, но и термодинамической фазой (жидкая фаза). Все жидкости принято делить на чистые жидкости и смеси. Некоторые смеси жидкостей имеют большое значение для жизни: кровь, морская вода и др. Жидкости могут выполнять функцию растворителей. Как и газ, жидкости тоже в основном изотропные. Однако, существуют жидкости с анизотропными свойствами — жидкие кристаллы. Кроме изотропной, так называемой нормальной фазы, эти вещества, мезогены, имеют одну или несколько упорядоченных термодинамических фаз, которые называют мезофазы. Составление в мезофазы происходит благодаря особой форме молекул жидких кристаллов. Обычно это длинные узкие молекулы, которым выгодно укладываться так, чтобы их оси совпадали.

Газ

Основная статья: Газ Промежутки между молекулами газа очень большие. Молекулы газа обладают очень слабыми связями. Молекулы в газе могут перемещаться свободно и быстро.

Газообразное состояние характерно тем, что оно не сохраняет ни форму, ни объём. Газ заполняет всё доступное пространство и проникает в любые его закоулки. Это состояние, свойственное веществам с малой плотностью. Переход из жидкого в газообразное состояние называют испарением, а противоположный ему переход из газообразного состояния в жидкое — конденсацией. Переход из твёрдого состояния в газообразное, минуя жидкое, называют сублимацией или возгонкой. С микроскопической точки зрения газ — это состояние вещества, в котором его отдельные молекулы взаимодействуют слабо и движутся хаотически. Взаимодействие между ними сводится к спорадическим столкновениям. Кинетическая энергия молекул превышает потенциальную. Подобно жидкостям, газы обладают текучестью и сопротивляются деформации. В отличие от жидкостей, газы не имеют фиксированного объёма и не образуют свободной поверхности, а стремятся заполнить весь доступный объём (например, сосуда). По химическим свойствам газы и их смеси весьма разнообразны — от малоактивных инертных газов до взрывчатых газовых смесей. Понятие «газ» иногда распространяют не только на совокупности атомов и молекул, но и на совокупности других частиц — фотонов, электронов, броуновских частиц, а также плазму. Некоторые вещества не имеют газообразного состояния. Это вещества со сложным химическим строением, которые при повышении температуры распадаются вследствие химических реакций раньше, чем становятся газом. Не существует различных газообразных термодинамических фаз одного вещества. Газам свойственна изотропия, то есть независимость характеристик от направления. В привычных для человека земных условиях, газ имеет одинаковую плотность в любой точке, однако это не является универсальным законом, во внешних полях, например в поле тяготения Земли, или в условиях различных температур плотность газа может меняться от точки к точке. Газообразное состояние вещества в условиях, когда возможно существование устойчивой жидкой или твёрдой фазы этого же вещества, обычно называется паром.

Плазма

Плазменная декоративная лампа.

Четвёртым агрегатным состоянием вещества часто называют плазму. Плазма является частично или полностью ионизированным газом и в равновесном состоянии обычно возникает при высокой температуре, от нескольких тысяч К^[1] и выше. В земных условиях плазма образуется в газовых разрядах. Её свойства напоминают свойства газообразного состояния вещества, за исключением того факта, что для плазмы принципиальную роль играет электродинамика, то есть равноправной с ионами и электронами составляющей плазмы является электромагнитное поле.

Плазма — самое распространённое во Вселенной агрегатное состояние вещества. В этом состоянии находится вещество звёзд и вещество, наполняющее межпланетное, межзвёздное и межгалактическое пространство. Бо́льшая часть барионного вещества (по массе около 99,9 %) во Вселенной находится в состоянии плазмы.^[4].

Фазовый переход

Фазовый переход по фазовой диаграмме при изменении её интенсивных параметров (температуры, давления и тому подобное) происходит, когда система пересекает линию, разделяющую две фазы. Поскольку разные термодинамические фазы описываются различными уравнениями состояния, всегда можно найти величину, которая скачкообразно меняется при фазовом переходе.

При фазовом переходе первого рода скачкообразно изменяются самые главные, первичные экстенсивные параметры: удельный объём, количество запасённой внутренней энергии, концентрация компонентов и т. п. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества (симметрия может полностью исчезнуть или понизиться).

Низкотемпературные состояния

Сверхтекучесть

Способность вещества в особом состоянии (квантовой жидкости), возникающем при понижении температуры к абсолютному нулю (термодинамическая фаза), протекать через узкие щели и капилляры без трения. До недавнего времени сверхтекучесть была известна только у жидкого гелия, однако в последние годы сверхтекучесть была обнаружена и в других системах: в разреженных атомных бозе-конденсатах, твёрдом гелии.

Сверхтекучесть объясняется следующим образом. Поскольку атомы гелия являются бозонами, квантовая механика допускает нахождение в одном состоянии произвольного числа частиц. Вблизи абсолютного нуля температур все атомы гелия оказываются в основном энергетическом состоянии. Поскольку энергия состояний дискретна, атом может получить не любую энергию, а только такую, которая равна энергетическому зазору между соседними уровнями энергии. Но при низкой температуре энергия столкновений может оказаться меньше этой величины, в результате чего рассеяния энергии попросту не будет происходить. Жидкость будет течь без трения.

Конденсат Бозе — Эйнштейна

Получается в результате охлаждения бозе-газа до температур, близких к абсолютному нулю. В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне. Конденсат Бозе — Эйнштейна проявляет ряд квантовых свойств, таких как сверхтекучесть и резонанс Фешбаха^[en].

Фермионный конденсат

Представляет собой Бозе-конденсацию в режиме БКШ «атомных куперовских пар» в газах состоящих из атомов-фермионов. (В отличие от традиционного режима бозе-эйнштейновской конденсации составных бозонов).

Такие фермионные атомные конденсаты являются «родственниками» сверхпроводников, но с критической температурой порядка комнатной и выше. ^[5]

Вырожденный газ

Газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. Вырождение наступает в условиях, когда расстояния между частицами газа становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля; в зависимости от спина частиц выделяются два типа вырожденных газов — ферми-газ, образованный фермионами (частицами с полуцелым спином) и бозе-газ, образованный бозонами (частицами с целым спином).

Сверхтекучее твёрдое тело

Термодинамическая фаза квантовой жидкости, представляющей собой твёрдое тело со свойствами сверхтекучей жидкости.

Высокоэнергетические состояния

Глазма

Состояние адронного поля^[6], предшествующее при столкновениях кварк-глюонной плазме. Состоит из цветных токовых трубок.^[7] Глазма является особенностью теоретической модели «конденсата цветового стекла» (англ. color glass condensate) — подхода к описанию сильного взаимодействия в условиях высоких плотностей^[8].

Глазма образуется при столкновении адронов друг с другом (например, протонов с протонами, ионов с ионами, ионов с протонами). Считается также, что в эволюции Вселенной состояние глазмы предшествовало кварк-глюонной плазме, которая существовала в первые миллионные доли секунды сразу после Большого взрыва. Время существования глазмы — несколько иоктосекунд^[9].

Кварк-глюонная плазма

Состояние вещества в физике высоких энергий и физике элементарных частиц, при котором адронное вещество переходит в состояние, аналогичное состоянию, в котором находятся электроны и ионы в обычной плазме. Ему предшествует состояние глазмы^[10] (глазма термализуется, то есть разрушается, порождая множество хаотично движущихся кварков, антикварков и глюонов: кварк-глюонную плазму^[11]).

Состояния при большом давлении

Нейтронное состояние

Принципиально отличное от других состояние вещества, состоящее только из нейтронов. В нейтронное состояние вещество переходит при сверхвысоком давлении, недоступном пока в лаборатории, но которое существует внутри нейтронных звезд. При переходе в нейтронное состояние, электроны вещества объединяются с протонами и превращаются в нейтроны. Для этого необходимо, чтобы силы гравитации сжали вещество настолько, чтобы преодолеть отталкивание электронов, обусловленное принципом Паули. В результате, в нейтронном состоянии, вещество полностью состоит из нейтронов и имеет плотность порядка ядерной. Температура вещества при этом не должна быть очень высокой (в энергетическом эквиваленте, в пределах от сотни МэВ).

Другие состояния

Тёмная материя

Форма материи, которая не испускает электромагнитного излучения и не взаимодействует с ним. Это свойство данной формы вещества делает невозможным её прямое наблюдение. Однако возможно обнаружить присутствие тёмной материи по создаваемым ею гравитационным эффектам.

Обнаружение природы тёмной материи поможет решить проблему скрытой массы, которая, в частности, заключается в аномально высокой скорости вращения внешних областей галактик.

Сверхкритический флюид

Состояние вещества, при котором исчезает различие между жидкой и газовой фазой. Любое вещество, находящееся при температуре и давлении выше критической точки, является сверхкритической жидкостью. Свойства вещества в сверхкритическом состоянии промежуточные между его свойствами в газовой и жидкой фазе. Так, СКФ обладает высокой плотностью, близкой к жидкости, низкой вязкостью и при отсутствии межфазных границ поверхностное натяжение также исчезает. Коэффициент диффузии при этом имеет промежуточное между жидкостью и газом значение. Вещества в сверхкритическом состоянии могут применяться в качестве заменителей органических растворителей в лабораторных и промышленных процессах. Наибольший интерес и распространение в связи с определёнными свойствами получили сверхкритическая вода и сверхкритический диоксид углерода.

Вырожденная материя

• Ферми-газ 1-я стадия Электронно-вырожденный газ, наблюдается в белых карликах, играет важную роль в эволюции звёзд.
• 2-я стадия нейтронное состояние в него вещество переходит при сверхвысоком давлении, недостижимом пока в лаборатории, но существующем внутри нейтронных звёзд. При переходе в нейтронное состояние электроны вещества взаимодействуют с протонами и превращаются в нейтроны. В результате вещество в нейтронном состоянии полностью состоит из нейтронов и обладает плотностью порядка ядерной. Температура вещества при этом не должна быть слишком высока (в энергетическом эквиваленте не более сотни МэВ).
• при сильном повышении температуры (сотни МэВ и выше) в нейтронном состоянии начинают рождаться и аннигилировать разнообразные мезоны. При дальнейшем повышении температуры происходит деконфайнмент, и вещество переходит в состояние кварк-глюонной плазмы. Оно состоит уже не из адронов, а из постоянно рождающихся и исчезающих кварков и глюонов. Возможно^[12], деконфайнмент происходит в два этапа.
• При дальнейшем неограниченном повышении давления без повышения температуры вещество коллапсирует в чёрную дыру.
• При одновременном повышении и давления, и температуры к кваркам и глюонам добавляются иные частицы. Что происходит с веществом, пространством и временем при температурах, близких к планковской, пока неизвестно.

См. также

Примечания

Литература

• Шульц М. М., Мазурин О. В. Современное представление о строении стёкол и их свойствах. — Л.: Наука. 1988 ISBN 5-02-024564-X

wikipedia.green

Агрегатное состояние — Википедия. Что такое Агрегатное состояние

Агрега́тное состоя́ние вещества (от лат. aggrego «присоединяю») — физическое состояние вещества, зависящее от соответствующего сочетания температуры и давления. Изменение агрегатного состояния может сопровождаться скачкообразным изменением свободной энергии, энтропии, плотности и других физических величин.^[1]

Традиционно выделяют три агрегатных состояния: твёрдое тело, жидкость и газ. К агрегатным состояниям принято причислять также плазму^[2], в которую переходят газы при повышении температуры и фиксированном давлении. Отличительной особенностью является отсутствие резкой границы перехода к плазменному состоянию. Существуют и другие агрегатные состояния.

Определения агрегатных состояний не всегда являются строгими. Так, существуют аморфные тела, сохраняющие структуру жидкости и обладающие небольшой текучестью и способностью сохранять форму; жидкие кристаллы текучи, но при этом обладают некоторыми свойствами твёрдых тел, в частности, могут поляризовать проходящее через них электромагнитное излучение.

Для описания различных состояний в физике используется более широкое понятие термодинамической фазы. Явления, описывающие переходы от одной фазы к другой, называют критическими явлениями.

Основным термодинамическим (феноменологическим) признаком различия видов агрегатного состояния вещества является наличие энергетической границы между фазами: теплота испарения как граница между жидкостью и её паром и теплота плавления как граница между твёрдым веществом и жидкостью^[3].

Четыре основных состояния

Твёрдое тело

Кристаллические вещества: атомное разрешение изображения титаната стронция. Яркие атомы — Sr, темнее их Ti.

В твёрдом состоянии вещество сохраняет как форму, так и объём. При низких температурах все вещества замерзают — превращаются в твёрдые тела. Температура затвердевания может быть несколько повышена при увеличении давления. Твёрдые тела делятся на кристаллические и аморфные. С микроскопической точки зрения твёрдые тела характерны тем, что молекулы или атомы в них в течение длительного времени сохраняют своё среднее положение неизменным, только совершая колебания с небольшой амплитудой вокруг них. В кристаллах средние положения атомов или молекул строго упорядочены. Кристаллы характеризуются пространственной периодичностью в расположении равновесных положений атомов, которая достигается наличием дальнего порядка и носит название кристаллической решётки. Естественная форма кристаллов — правильные многогранники.

В аморфных телах атомы колеблются вокруг хаотически расположенных точек, у них отсутствует дальний порядок, но сохраняется ближний, при котором молекулы расположены согласованно на расстоянии, сравнимом с их размерами. Согласно классическим представлениям, устойчивым состоянием (с минимумом потенциальной энергии) твёрдого тела является кристаллическое. Частным случаем аморфного состояния является стеклообразное состояние. Аморфное тело находится в метастабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллическое состояние, однако время кристаллизации часто столь велико, что метастабильность вовсе не проявляется. Аморфное тело можно рассматривать как жидкость с очень большой (часто бесконечно большой) вязкостью. Кристаллические твёрдые тела имеют анизотропные свойства, то есть их отклик на приложенные внешние силы зависит от ориентации сил относительно кристаллографических осей. В твердотельном состоянии вещества могут иметь много фаз, которые отличаются составлением атомов или другими характеристиками, такими как упорядочение спинов в ферромагнетиках.

Жидкость

Структура классической одноатомной жидкости.

В жидком состоянии вещество сохраняет объём, но не сохраняет форму. Это означает, что жидкость может занимать только часть объёма сосуда, но также может свободно перетекать по всей поверхности сосуда. Жидкое состояние обычно считают промежуточным между твёрдым телом и газом. Форма жидких тел может полностью или отчасти определяться тем, что их поверхность ведёт себя как упругая мембрана. Так, вода может собираться в капли. Но жидкость способна течь даже под своей неподвижной поверхностью, и это тоже означает изменение формы (внутренних частей жидкого тела). Молекулы жидкости не имеют определённого положения, но в то же время им недоступна полная свобода перемещений. Между ними существует притяжение, достаточно сильное, чтобы удержать их на близком расстоянии. Вещество в жидком состоянии существует в определённом интервале температур, ниже которого переходит в твёрдое состояние (происходит кристаллизация либо превращение в твердотельное аморфное состояние — стекло), выше — в газообразное (происходит испарение). Границы этого интервала зависят от давления. Как правило, вещество в жидком состоянии имеет только одну модификацию. (Наиболее важные исключения — это квантовые жидкости и жидкие кристаллы.) Поэтому в большинстве случаев жидкость является не только агрегатным состоянием, но и термодинамической фазой (жидкая фаза). Все жидкости принято делить на чистые жидкости и смеси. Некоторые смеси жидкостей имеют большое значение для жизни: кровь, морская вода и др. Жидкости могут выполнять функцию растворителей. Как и газ, жидкости тоже в основном изотропные. Однако, существуют жидкости с анизотропными свойствами — жидкие кристаллы. Кроме изотропной, так называемой нормальной фазы, эти вещества, мезогены, имеют одну или несколько упорядоченных термодинамических фаз, которые называют мезофазы. Составление в мезофазы происходит благодаря особой форме молекул жидких кристаллов. Обычно это длинные узкие молекулы, которым выгодно укладываться так, чтобы их оси совпадали.

Газ

Промежутки между молекулами газа очень большие. Молекулы газа обладают очень слабыми связями. Молекулы в газе могут перемещаться свободно и быстро.

Газообразное состояние характерно тем, что оно не сохраняет ни форму, ни объём. Газ заполняет всё доступное пространство и проникает в любые его закоулки. Это состояние, свойственное веществам с малой плотностью. Переход из жидкого в газообразное состояние называют испарением, а противоположный ему переход из газообразного состояния в жидкое — конденсацией. Переход из твёрдого состояния в газообразное, минуя жидкое, называют сублимацией или возгонкой. С микроскопической точки зрения газ — это состояние вещества, в котором его отдельные молекулы взаимодействуют слабо и движутся хаотически. Взаимодействие между ними сводится к спорадическим столкновениям. Кинетическая энергия молекул превышает потенциальную. Подобно жидкостям, газы обладают текучестью и сопротивляются деформации. В отличие от жидкостей, газы не имеют фиксированного объёма и не образуют свободной поверхности, а стремятся заполнить весь доступный объём (например, сосуда). По химическим свойствам газы и их смеси весьма разнообразны — от малоактивных инертных газов до взрывчатых газовых смесей. Понятие «газ» иногда распространяют не только на совокупности атомов и молекул, но и на совокупности других частиц — фотонов, электронов, броуновских частиц, а также плазму. Некоторые вещества не имеют газообразного состояния. Это вещества со сложным химическим строением, которые при повышении температуры распадаются вследствие химических реакций раньше, чем становятся газом. Не существует различных газообразных термодинамических фаз одного вещества. Газам свойственна изотропия, то есть независимость характеристик от направления. В привычных для человека земных условиях, газ имеет одинаковую плотность в любой точке, однако это не является универсальным законом, во внешних полях, например в поле тяготения Земли, или в условиях различных температур плотность газа может меняться от точки к точке. Газообразное состояние вещества в условиях, когда возможно существование устойчивой жидкой или твёрдой фазы этого же вещества, обычно называется паром.

Плазма

Плазменная декоративная лампа.

Четвёртым агрегатным состоянием вещества часто называют плазму. Плазма является частично или полностью ионизированным газом и в равновесном состоянии обычно возникает при высокой температуре, от нескольких тысяч К^[1] и выше. В земных условиях плазма образуется в газовых разрядах. Её свойства напоминают свойства газообразного состояния вещества, за исключением того факта, что для плазмы принципиальную роль играет электродинамика, то есть равноправной с ионами и электронами составляющей плазмы является электромагнитное поле.

Плазма — самое распространённое во Вселенной агрегатное состояние вещества. В этом состоянии находится вещество звёзд и вещество, наполняющее межпланетное, межзвёздное и межгалактическое пространство. Бо́льшая часть барионного вещества (по массе около 99,9 %) во Вселенной находится в состоянии плазмы.^[4].

Фазовый переход

Фазовый переход по фазовой диаграмме при изменении её интенсивных параметров (температуры, давления и тому подобное) происходит, когда система пересекает линию, разделяющую две фазы. Поскольку разные термодинамические фазы описываются различными уравнениями состояния, всегда можно найти величину, которая скачкообразно меняется при фазовом переходе.

При фазовом переходе первого рода скачкообразно изменяются самые главные, первичные экстенсивные параметры: удельный объём, количество запасённой внутренней энергии, концентрация компонентов и т. п. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества (симметрия может полностью исчезнуть или понизиться).

Низкотемпературные состояния

Сверхтекучесть

Способность вещества в особом состоянии (квантовой жидкости), возникающем при понижении температуры к абсолютному нулю (термодинамическая фаза), протекать через узкие щели и капилляры без трения. До недавнего времени сверхтекучесть была известна только у жидкого гелия, однако в последние годы сверхтекучесть была обнаружена и в других системах: в разреженных атомных бозе-конденсатах, твёрдом гелии.

Сверхтекучесть объясняется следующим образом. Поскольку атомы гелия являются бозонами, квантовая механика допускает нахождение в одном состоянии произвольного числа частиц. Вблизи абсолютного нуля температур все атомы гелия оказываются в основном энергетическом состоянии. Поскольку энергия состояний дискретна, атом может получить не любую энергию, а только такую, которая равна энергетическому зазору между соседними уровнями энергии. Но при низкой температуре энергия столкновений может оказаться меньше этой величины, в результате чего рассеяния энергии попросту не будет происходить. Жидкость будет течь без трения.

Конденсат Бозе — Эйнштейна

Получается в результате охлаждения бозе-газа до температур, близких к абсолютному нулю. В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне. Конденсат Бозе — Эйнштейна проявляет ряд квантовых свойств, таких как сверхтекучесть и резонанс Фешбаха^[en].

Фермионный конденсат

Представляет собой Бозе-конденсацию в режиме БКШ «атомных куперовских пар» в газах состоящих из атомов-фермионов. (В отличие от традиционного режима бозе-эйнштейновской конденсации составных бозонов).

Такие фермионные атомные конденсаты являются «родственниками» сверхпроводников, но с критической температурой порядка комнатной и выше. ^[5]

Вырожденный газ

Газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. Вырождение наступает в условиях, когда расстояния между частицами газа становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля; в зависимости от спина частиц выделяются два типа вырожденных газов — ферми-газ, образованный фермионами (частицами с полуцелым спином) и бозе-газ, образованный бозонами (частицами с целым спином).

Сверхтекучее твёрдое тело

Термодинамическая фаза квантовой жидкости, представляющей собой твёрдое тело со свойствами сверхтекучей жидкости.

Высокоэнергетические состояния

Глазма

Состояние адронного поля^[6], предшествующее при столкновениях кварк-глюонной плазме. Состоит из цветных токовых трубок.^[7] Глазма является особенностью теоретической модели «конденсата цветового стекла» (англ. color glass condensate) — подхода к описанию сильного взаимодействия в условиях высоких плотностей^[8].

Глазма образуется при столкновении адронов друг с другом (например, протонов с протонами, ионов с ионами, ионов с протонами). Считается также, что в эволюции Вселенной состояние глазмы предшествовало кварк-глюонной плазме, которая существовала в первые миллионные доли секунды сразу после Большого взрыва. Время существования глазмы — несколько иоктосекунд^[9].

Кварк-глюонная плазма

Состояние вещества в физике высоких энергий и физике элементарных частиц, при котором адронное вещество переходит в состояние, аналогичное состоянию, в котором находятся электроны и ионы в обычной плазме. Ему предшествует состояние глазмы^[10] (глазма термализуется, то есть разрушается, порождая множество хаотично движущихся кварков, антикварков и глюонов: кварк-глюонную плазму^[11]).

Состояния при большом давлении

Нейтронное состояние

Принципиально отличное от других состояние вещества, состоящее только из нейтронов. В нейтронное состояние вещество переходит при сверхвысоком давлении, недоступном пока в лаборатории, но которое существует внутри нейтронных звезд. При переходе в нейтронное состояние, электроны вещества объединяются с протонами и превращаются в нейтроны. Для этого необходимо, чтобы силы гравитации сжали вещество настолько, чтобы преодолеть отталкивание электронов, обусловленное принципом Паули. В результате, в нейтронном состоянии, вещество полностью состоит из нейтронов и имеет плотность порядка ядерной. Температура вещества при этом не должна быть очень высокой (в энергетическом эквиваленте, в пределах от сотни МэВ).

Другие состояния

Тёмная материя

Форма материи, которая не испускает электромагнитного излучения и не взаимодействует с ним. Это свойство данной формы вещества делает невозможным её прямое наблюдение. Однако возможно обнаружить присутствие тёмной материи по создаваемым ею гравитационным эффектам.

Обнаружение природы тёмной материи поможет решить проблему скрытой массы, которая, в частности, заключается в аномально высокой скорости вращения внешних областей галактик.

Сверхкритический флюид

Состояние вещества, при котором исчезает различие между жидкой и газовой фазой. Любое вещество, находящееся при температуре и давлении выше критической точки, является сверхкритической жидкостью. Свойства вещества в сверхкритическом состоянии промежуточные между его свойствами в газовой и жидкой фазе. Так, СКФ обладает высокой плотностью, близкой к жидкости, низкой вязкостью и при отсутствии межфазных границ поверхностное натяжение также исчезает. Коэффициент диффузии при этом имеет промежуточное между жидкостью и газом значение. Вещества в сверхкритическом состоянии могут применяться в качестве заменителей органических растворителей в лабораторных и промышленных процессах. Наибольший интерес и распространение в связи с определёнными свойствами получили сверхкритическая вода и сверхкритический диоксид углерода.

Вырожденная материя

• Ферми-газ 1-я стадия Электронно-вырожденный газ, наблюдается в белых карликах, играет важную роль в эволюции звёзд.
• 2-я стадия нейтронное состояние в него вещество переходит при сверхвысоком давлении, недостижимом пока в лаборатории, но существующем внутри нейтронных звёзд. При переходе в нейтронное состояние электроны вещества взаимодействуют с протонами и превращаются в нейтроны. В результате вещество в нейтронном состоянии полностью состоит из нейтронов и обладает плотностью порядка ядерной. Температура вещества при этом не должна быть слишком высока (в энергетическом эквиваленте не более сотни МэВ).
• при сильном повышении температуры (сотни МэВ и выше) в нейтронном состоянии начинают рождаться и аннигилировать разнообразные мезоны. При дальнейшем повышении температуры происходит деконфайнмент, и вещество переходит в состояние кварк-глюонной плазмы. Оно состоит уже не из адронов, а из постоянно рождающихся и исчезающих кварков и глюонов. Возможно^[12], деконфайнмент происходит в два этапа.
• При дальнейшем неограниченном повышении давления без повышения температуры вещество коллапсирует в чёрную дыру.
• При одновременном повышении и давления, и температуры к кваркам и глюонам добавляются иные частицы. Что происходит с веществом, пространством и временем при температурах, близких к планковской, пока неизвестно.

См. также

Примечания

Литература

• Шульц М. М., Мазурин О. В. Современное представление о строении стёкол и их свойствах. — Л.: Наука. 1988 ISBN 5-02-024564-X

wiki.sc

Агрегатные состояния вещества • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Движение в настоящий момент остаётся прошлым в изменениях движений других носителей.
[quote=»AnaLog»]
Гы-гы-гы…
Какая может быть тонкость там, где всё измеряется одной линейкой? «Тонкость» возникает в одном случае, если в глазах двоится!
Вот пример:
[quote]Противостояния размерностей рождают точку равновесия с [b]двумя сторонами-личиками[/b], а давления в их затылки, в спины, сталкивают за линию равновесия, нарушая её, возбуждая стремление к восстановлению равенства размерных частей пространства и равновесия центробежных (+) и центростремительных (-) движений- сдвигов их размерных частей структурного пространства, что вдоль вертикали действия сил тяжести и антитяжести, как вдоль радиусов, сходящихся к центру кривизны, как к нулевой точке координат, своим нарушением создаёт поступательно-возвратные, откатные движения, гравитационные, которые принимают форму орбит разной геометрической формы-эллипсов. А измеряется размерность пространства линейкой с разными масштабами.[/quote] [quote]«Неуловимое время измеряется уловимым, закольцованным в орбиты разных радиусов, движением…[/quote]
Я устал хохотать! А песочных часов вам недостаточно? Для вас песочные часы, это слишком мелко? А орбиты одного радиуса тоже недостаточно? А электронные часы с кварцевым стабилизатором частоты тоже не годятся,но есть же часы, которые считаются эталонными… Ядерные кажется… на ядерном переходе работают. Так нет, вам две орбиты нужны… Выпил наверное, мало 🙁
ладно, возьмите всё, что вам нужно, и проведите измерения, которые можно повторить и в вашем отсутствии и которые докажут существование эээээ
прошлого движения, которое является массой, кажется , нонешней.
Тока не смешите заявлениями о том, что инерция -это тоже прошлое движение.
Пивень, вы пустозвон, который ничего не может доказать, или показать что-либо в научном плане новое, повторяемое…

Начните измерения и окажется, что всё давно измерено и всё давно просчитано!
Прошлое движение, говорите? Возьмите настояшее движение и через мгновение оно станет прошлым! И что изменилось? где новая масса? Блин, все просчитывается известными кинематическими формулами, а вы при этом тут со своей теорией лишний!!! [/quote]
Если Вы не принимаете моё объяснение, то сами объясните, как рождается первичное движение? Как первичное неуловимое движение закольцовывается и в таком состоянии повторяется много раз, как и обращение Земли с повторениями лета и зимы, что мы воспринимаем массой-симбиозом движения и части пространства? Прошлое движение проявляется, материализуется через труд-инерцию, перелетающую на препятствие и изменяющее его форму и направленность движения. Настоящее движение (например, автомобиля, который своим движением перевозит груз с одного места на другое) работой переносится на объект, когда инерцией движение от одного носителя (хозяина) переходит к другому носителю (хозяину). Движения работают в момент настоящего времени, но настоящее время сменяется очередным настоящим временем, а предыдущее настоящее становится прошлым временем и его движением. Если время остановить невозможно, то движения останавливаются там, где затихает их инерция в результате торможения-передачи движения от одного тела другим телам среды.
2.5.2015г. Пивень Григорий.

elementy.ru

Запятая после «Так,» в качестве вводного слова