Рубрика: Разное

Можно ли при грудном вскармливании ходить в баню: Можно ли кормящей маме в баню: мнение эксперта

Можно ли при грудном вскармливании ходить в баню: Можно ли кормящей маме в баню: мнение эксперта

Можно ли кормящей маме в баню: мнение эксперта

Польза банных процедур давно доказана, но далеко не все могут посещать парную без вреда для здоровья. Известно, что вдыхание горячего воздуха от выливаемых на банную печь травяных настоев оказывает благотворное влияние на лёгкие, помогает избавиться от кашля и простуды. Также процедура благотворно влияет на обмен веществ и помогает расслабиться. Но кормящие мамы часто сомневаются и не знают, можно ли ходить в баню. А если да, то как часто? Большинство молодых мам опасаются посещать парную из-за страха потерять молоко. Однако нельзя уверенно сказать, что баня оказывает негативное влияние на лактацию. Главное — соблюдать несколько простых правил.

Можно ли кормящей маме посещать баню

Баня поможет молодой маме расслабиться после бессонных ночей

Не стоит верить слухам о том, что высокие температуры способны привести к потере грудного молока. Скорее, наоборот, лактация лишь усилится, но при условии, что парную кормящая мама посещает без фанатизма, в разумных рамках. Единственное условие, которое следует соблюдать: отправляться в баню надо не раньше, чем через 2–3 месяца после родов. За это время организм молодой мамы полностью восстановится, нормализуется лактация.

От высокой температуры в бане молоко не портится и не «перегорает», как считалось раньше.

Когда кормящей женщине нельзя ходить в баню:

  • любые болезни сердца и сосудов;
  • ожирение 1–2 ст.;
  • сахарный диабет;
  • простудные и вирусные заболевания;
  • судорожный синдром.

Организм каждой женщины индивидуален, а её самочувствие зависит как от общего состояния здоровья, так и от возраста. В любом случае перед посещением бани стоит проконсультироваться со специалистом.

Правила безопасности

Желательно ходить в баню в сопровождении мужа или подруг

Избежать неприятных последствий поможет соблюдение некоторых правил:

  • нельзя идти в баню даже при лёгком недомогании;
  • перед банными процедурами необходимо покормить ребёнка или сцедить молоко в бутылочку;
  • в парную надо идти через несколько часов после еды, но не натощак;
  • в сауну с собой всегда берут тёплый (не горячий!) морс, зелёный чай или отвар шиповника, чтобы избежать обезвоживания;
  • время пребывания в парилке увеличивают постепенно, начиная с 5 минут;
  • не стоит пользоваться веником, допускать резких перепадов температур.

Если в парилке начало сильно прибывать молоко, распирая грудь, то надо срочно сцедить излишки, чтобы избежать развития лактостаза.

Видео: Сауна и баня при лактации

При соблюдении всех правил безопасности и после консультации с врачом кормящей женщине можно посещать баню. Парилка благотворно воздействует на весь организм в целом.

Можно ли кормящей маме в баню? Отвечаем

unsplash.com

Можно ли кормящим париться в бане?

На Руси в бане парились и беременные женщины, и кормящие мамы, и даже новорожденные дети. Тогда это было необходимостью, да и безопасность такой практики никто не изучал. Современные же врачи советуют придерживаться определенных правил посещения бани во время кормления грудью. В таблице ниже — все правила посещения бани.

Когда нельзя в баню при грудном вскармливании 
Когда кормящим мамам можно в баню
Если у вас еще не закончились послеродовые выделения, то не стоит искусственно повышать температуру тела.
Можно идти в баню, когда лактация уже установилась.  
Если вы никогда раньше не были в бане, или посещали ее очень давно, то будьте осторожны: начинайте с умеренных температур и контролируйте время пребывания в бане.
Если вы регулярно посещали баню до родов, то возвращайтесь к процедурам постепенно: не нужно сразу заходить в парилку и проводить там полчаса. Десять минут — достаточно, чтобы напомнить организму о температурном режиме бани. Если все прошло хорошо, то в следующий раз можно увеличить время.
Если малыш давно не сосал грудь и вы чувствуете, что молочную железу «распирает» от переполнения молоком, то лучше сначала покормить ребенка или сцедить грудь, и только потом идти в баню.
Если вы хорошо покормили малыша и чувствуете, что грудь опорожнена.
Исключите резкие перепады температуры: не стоит, например, прыгать в прорубь. И или выбегать в холодный предбанник, а затем вновь заходить в парилку.
После бани важно тепло одеться, чтобы избежать переохлаждения груди, ног, шеи.

Можно ли в сауну кормящей маме?

Да, но тоже нужно соблюдать определенные правила.

  • Дождаться окончания лохий (послеродовых выделений);
  • Заходить в сауну постепенно: первый раз на три минуты, затем на пять минут, а потом на десять. Наблюдайте за своим самочувствием.
  • Желательно покормить ребенка грудью до посещения сауны. Иначе может возникнуть лактостаз — застой молока в протоках молочных желез.

Как париться в бане при ГВ?

  1. Покормить ребенка грудью перед баней;
  2. Взять с собой салфетки и прокладки для груди на случай самопроизвольного выделения молока;
  3. Не ходить в баню на голодный желудок;
  4. Важно пить во время банных процедур, чтобы восстанавливать потерю влаги. Подойдет теплая вода, чай, компот, морс. 
  5. Следите за реакцией своего тела и делайте перерывы между заходами в парилку. Если все пройдет хорошо, то в следующий раз можно будет увеличить время пребывания в парной.
  6. Избегайте резких перепадов температуры: они могут плохо повлиять на выработку молока.
  7. Лучше отказаться от веника.
  8. Не торопитесь выходить на улицу сразу после бани.

unsplash. com

Польза бани для кормящих матерей

  • Очищение тела и пор кожи: скорее всего, вы будете лучше себя чувствовать. Испокон веков люди говорили, что «в бане рождаются заново»;
  • Банные процедуры расслабляют, успокаивают. 

Противопоказания для кормящих мам

Баня — это хорошо, но она может и навредить. Не стоит рисковать, если у вас: 

  • повышенная температура тела или артериальное давление;
  • сердечно-сосудистые заболевания;
  • бронхиальная астма;
  • воспалительные и инфекционные заболевания, особенно в острой стадии.

Можно ли брать в баню новорожденного?

Врачи не рекомендуют брать малышей с собой в баню. Педиатр Екатерина Потеряева рассказала Дети Mail.ru, почему это опасно: «У детей несовершенная терморегуляция и если организм взрослого человека может свободно выделять достаточно большое количество пота и использовать другие механизмы для того, чтобы не перегревались внутренние органы, то организм ребенка на это не способен с достаточной эффективностью. Именно поэтому перегревание опасно для малышей».

Источники

https://www.medicina.ru/patsientam/zabolevanija/laktostaz/ 

https://isida.ua/video/akusher-ginekolog-iuliia-novitsiuk-rasskazyvaet-o-poslerodovom-periode/ 

https://kormigrudyu.ru/mozhno-li-kormyashhej-mame-v-banyu-i-saunu#16 

https://vseprorebenka.ru/laktaciya/samochuvstvie-mamy/banya-pri-grudnom-vskarmlivanii.html 

https://deti.mail.ru/article/kakim-bylo-materinstvo-na-rusi-tysyachu-let-nazad/ 

https://deti.mail.ru/article/10-mifov-o-detyah-v-kotorye-pora-perestat-verit/ 

Читайте также: 

Что можно есть кормящей матери? Объясняет диетолог Елена Мотова

«Молоко я хранила на офисной кухне». Истории мам, которые совмещали грудное вскармливание и работу

Как кормили грудью на Руси 50, 100 и 200 лет назад: 8 картин

Смотрите интересный ролик

Во время загрузки произошла ошибка.

Баня и грудное вскармливание: за и против

Можно ли кормящим ходить в баню – вопрос неоднозначный, который требует рассмотрения с самых разных сторон. Какой-то стопроцентно однозначный ответ на него дать невозможно, поскольку организм каждой девушки имеет ряд особенностей. Именно поэтому, в рамках данной статьи, мы предлагаем вам узнать о том, в каких случаях кормящей маме можно ходить в баню, а в каких – лучше воздержаться от посещения парной!

Можно при кормлении грудью ходить в баню: и да, и нет

Ключевым фактором, который должен стать решающим, является общее состояние здоровья женщины и то, практиковала ли она посещение парной до беременности и лактации. Если со здоровьем все в порядке и женщина точно знает, что парная оказывает на нее только самое положительное влияние, то, почему бы и не сходить? 

Очень важно помнить о том, что помещение бани всегда сопровождается активным выводом жидкости из организма, поэтому настоятельно рекомендуется пить как можно больше чистой воды или травяного чая (главное – без аллергенов). Кроме того, активное кровообращение, достигаемое при перепадах температур, способствует выработке молока, поэтому баня даже рекомендуется в тех случаях, когда с этим есть какие-то проблемы.

От посещения бани настоятельно рекомендуется отказаться, если есть определенные проблемы со здоровьем, касающиеся не только вас, но и вашего ребенка. Их наличие или отсутствие должно быть решающим фактором в вопросе того, можно ли париться в бане при лактации!

Противопоказания для посещения парной

Категорически запрещается посещение сауны, бани или хамама при наличии следующих проблем:

  • Воспалении молочных желез;
  • Мастите;
  • Трещинах сосков;
  • Закупорке молочного протока;
  • Лактостазе;
  • При наличии сердечно-сосудистых заболеваний.

Кроме того, врачи рекомендуют воздержаться от походов в баню в первые 2-3 месяца после кесарева сечения. 

Баня во время лактации: правила посещения

Решив все-таки отправиться в баню при кормлении грудью, очень важно соблюдать все правила, о которых мы расскажем ниже. Кроме этого, не будет лишним, если вы решите проконсультироваться с вашим наблюдающим врачом, который точно плохого не посоветует.

  1. Главное правило – следите за своим самочувствием. Стало плохо или закружилась голова – немедленно покиньте парную;
  2. Большая доля внимания должна быть уделена вопросу гигиены. Используйте чистое хлопковое белье и не забывайте о специальных прокладках для груди;
  3. Начинать посещение бани лучше постепенно, как и увеличивать частоту визитов;
  4. От парения вениками лучше отказаться на период лактации.

Как видите, ничего криминального в посещении бани на ГВ нет. Главное – это отсутствие противопоказаний и целомудренный подход!

Можно ли кормящим в баню, в сауну при ГВ, при лактации, можно ли при кормлении

Содержание:

Традиционная русская баня с высокой температурой и влажным воздухом популярна не только у мужчин, но и у женщин. Прежде всего, любой посетитель бани хочет отдохнуть телом и душой, а также избавиться от простуды и укрепить иммунитет.


Многие женщины посещают баню из-за её прочих полезных влияний, например, на кожу. Банные процедуры – это отличный косметологический уход за кожей человека, ведь высокая температура и влажность позволяют очистить её, ускорить обменные процессы, а также вывести шлаки и токсины из организма.

Будьте осторожны

Каждый организм переносит воздействие сауны индивидуально, поэтому вы должны взвесить все за и против прежде, чем отправиться в баню. Многие любители бань могут проводить горячие процедуры несколько раз в неделю, не зависимо от состояния здоровья, поэтому не стоит слушать советов своих друзей. Также стоит помнить, что никто не проконсультирует вас лучше, чем врач.


Посещать баню с повышенной осторожность необходимо людям, страдающим гипертонией и прочими заболеваниями сердечно-сосудистой системы. Особенно осторожны должны быть женщины, вынашивающие ребёнка. Некоторые беременные чувствуют себя вполне комфортно под воздействием высоких температур, однако, как говорилось выше, это всё индивидуально и зависит от здоровья не только мамы, но и малыша. Узнайте у врача, можно ли париться при температуре, в вашем случае. Отправляясь в баню, задумайтесь, можно ли кормящим в баню, ведь проблемы могут возникнуть и после беременности.

Польза сауны

Не смотря на все побочные действия бани, её другие аспекты крайне важны многим людям, причём не только здоровым, но и больным. Многие кормящие женщины часто страдают недомоганием, с которым отлично помогает справиться баня, поэтому, задумываясь о том, можно ли ходить в баню при гв, не стоит категорически отказываться от горячих процедур.

Чтобы убедить вас в полезности банных процедур, разберём их свойства подробнее. Проблема многих молодых мам заключается в недостатке движения. Такой недостаток баня легко компенсирует, ведь под воздействием высоких температур наши сосуды начинают расширяться, донося нужное количество крови до застоявшихся частей организма.

Кормящей матери также необходимо заботиться и о своём иммунитете, ведь после родов он часто ослабевает. Баня укрепляет ваш организм, повышает устойчивость к холоду, а также помогает справиться с простудой на её ранних стадиях. Прочитайте, можно ли ходить в сауну при простуде, какие есть плюсы и минусы.

Одним из отличий русской бани является веник, без которого многие посетители парной не видят смысла в неё ходить. Если кормящая мама парилась веником до беременности, то сауна при лактации также должна сопровождаться массажем с использованием веника, стоит заметить, что вместо долгого пребывания в парной, лучше использовать веник, который отлично прогреет ваш организм.


Не стоит подвергать интенсивному массажу грудь, а также рекомендуем использовать один из следующих веников:

  • Берёзовый;
  • Липовый;
  • Осиновый;
  • Дубовый.

К плюсам бани также относится пар, который позволяет очистить ваши дыхательные пути и снять с них отёчность. Рекомендуем усилить такую ингаляцию, капнув на каменку ароматическим маслом кедра, эвкалипта или лимона. Будьте осторожны, ведь многие масла горят, создавая неприятный запах, поэтому иногда лучше использовать специальные лампы для таких масел.


Один из самых важных для женщины эффектов баня оказывает на кожу. Кроме общего очищения, баня помогает избавиться от ороговевших участков кожи, сделать её более гладкой, а также улучшить её жировой обмен.

Нужна ли баня при лактации

Узнав о всех прелестях бани, которые вы заметно ощутите после тяжёлых нагрузок, например, после вынашивания ребёнка, самое время подумать о том, можно ли кормящим в сауну. Однозначного ответа дать невозможно, ведь организм каждой женщины реагирует по-своему, однако общие рекомендации лучше усвоить.

Если ваш врач позволил ходить в баню при беременности, то баня при гв не должна вызвать никаких проблем. Посещать баню можно смело, если вы имели большой опыт такого отдыха до родов, ведь организму будет достаточно просто адаптироваться, «вспомнив» условия парной.

Обязательно соблюдайте правила посещения сауны:

  1. Старайтесь избегать резких движений, ведь это избавит ваш организм от дополнительных нагрузок;
  2. Надевайте головной убор, чтобы избежать теплового удара, к которому крайне уязвима голова человека;
  3. На ноги лучше надеть тапочки, которые минимизируют ваши шансы на падение.

Если вы посещаете общественную баню, то лучше выбирать заведение, которое расположено близко к вашему дому, чтобы после процедур вы могли быстро добраться до тёплой кровати, где сможете отдохнуть. Посещение собственной бани значительно снижает риск возникновения непредвиденной ситуации, ведь там вы сможете регулировать температуру парной.


Первый заход делайте при невысокой температуре и внимательно следите за самочувствием. Если первый заход в парилку увенчался успехом, то вы можете подбавить температуру, однако не стоит снижать бдительность.

Отдельно стоит поговорить о том, как правильно вернуться домой. Не зависимо от погоды, одевайтесь тепло, а особенно сильно утепляйте грудь, чтобы избежать резких перепадов температур. Будьте особенно осторожны в зимний период: добираться до дома рекомендуем только на машине.

Прочитав общие советы, вы подготовились к походу в баню, однако конкретизировать ответ на вопрос о том, можно ли париться в бане при кормлении, ещё рано.

Баня в период лактации

Баня ускоряет обмен веществ, а также улучшает кровообращение, что крайне важно для организма кормящей матери, однако есть и некоторые опасности, которые затрудняют ответ на вопрос о том, можно ли при лактации ходить в баню.

Опасности может быть две: падение в обморок и потеря молока. Первая опасность связана лишь со степенью подготовленности вашего организма. Ослабевший после родов организм может не перенести высокой температуры, поэтому ходить в баню нужно крайне осторожно.

Потеря молока – это настоящая беда, ведь без грудного вскармливания ребёнок лишается естественной защиты, которая обеспечивает его нормальное развитие. Такая опасность объясняется очень просто. Организм женщины потребляет много жидкости, чтобы генерировать молоко в железах. Баня лишает организм большого количества влаги, что создаёт экстремальные условия для молочных желёз.


Далеко не каждый организм сможет перенести такое испытание, поэтому врачи настоятельно не рекомендуют посещать бани в первые три месяца после родов. Если вы всё же решили идти в баню, то поход должен быть со строгим соблюдением многих правил, о которых мы подробно расскажем ниже.

Прежде всего, вы должны понимать, что заходы будут небольшими (примерно 5 минут). Заходов делать нужно не более трёх, однако ухудшение самочувствия говорит о том, что продолжать походы в парилку не стоит.

Ни в коем случае не употребляйте холодные и газированные напитки. В сауне необходимо пить часто, но небольшими порциями один из следующих напитков:

  • Травяной настой;
  • Несладкий молочный чай;
  • Яблочный морс.


Посетив баню впервые после родов, внимательно обследуйте себя: количество выделяемого молока должно остаться прежним, как и вес кормящей матери. Если количество молока снизилось, то походы в баню стоит прекратить. Опираясь на мнение врачей, рекомендуем посещать парилку только спустя полгода после родов, однако окончательный ответ на вопрос о том, можно ли в баню при лактации, даёт каждая мама самостоятельно.

Косметические процедуры в бане

Сауна при гв отлично сочетается с косметическими процедурами, которые помогут минимизировать наличие пятен, растяжек и складок на теле родившей женщины.

Посещая баню впервые после родов, не стоит усердствовать, ведь это ваш экспериментальный поход. Достаточно очистить своё лицо и тело, применяя специальные маски. В успешных походах без недомогания вы можете порадовать себя массажем с антицеллюлитным кремом.


После родов настоятельно рекомендуем избегать использования ненатуральных масок. Лучше использовать корицу, крупицы кофе или морскую соль. Их можно смешать со сливками, оливковым маслом или мёдом.

С тёплым паром бани будут отлично сочетаются питательные маски. Вы уже наверняка знаете рецепт, идеально подходящий для вашей кожи, однако стоит упомянуть о смеси, состоящей из сметаны, желтка и сока алое. Такая смесь идеально подходит для любого типа кожи. Вы также можете использовать различные маски для волос и тела, однако помните о вышеперечисленных правилах, которые снизят ваш шанс навредить себе.

БаняСпец

Как установить банную печь с баком для воды – варианты монтажа
Чтобы баня приносила максимум пользы, в помещении должна быть правильная температура влажного пара – примерно +80 С. Важную роль в этом играет банная печь с баком для воды, которую можно сделать и самостоятельно.

Какую печь для бани электрическую выбрать: виды и способы монтажа
Несомненно, в каменной печке с горящими внутри дровами есть что-то родное, навевающее воспоминания о детстве. Однако очевидны и неудобства работающих на дровах или угле печей: копоть, дым, не для всех приятный запах горения, а также постоянная потребность в топливе.

Какую печь для русской бани лучше выбрать – виды и преимущества вариантов
Главное в русской бане — разумеется, печь. И перед каждым хозяином стоит вопрос: как правильно выбрать печь для русской бани, не сделав ошибку, из-за которой придётся снова тратить время и деньги? Ответ на этот вопрос — в статье.

Банные печи Термофор – виды, преимущества и способ установки
Новосибирская компания «Термофор» отлично зарекомендовала себя на рынке печей. Бренд этой фирмы хорошо известен не только в России, но и за границами нашей родины. Предлагаемый ассортимент выглядит внушительно. Эти печи способны справиться с обогревом помещений, с приготовлением пищи, а также могут создавать качественный банный пар.

Как построить баню из кирпича – начинаем с фундамента и заканчиваем крышей
Все чаще счастливые обладатели собственных участков отдают предпочтение кирпичной бане. В данной статье раскроем основные секреты и подробно расскажем о том, как построить баню из кирпича своими руками.

Как сделать баню из контейнера своими руками
Поскольку строительство основательной бани с нуля предполагает наличие не только финансовых возможностей, но и определенных умений, в зависимости от обстоятельств это не всегда может быть доступно. В этом случае на помощь придут нестандартные, но очень практичные решения.

Правильное устройство деревянного пола в бане – пошаговое руководство
Принимая решение о самостоятельном строительстве бани, важно учитывать особенности и специфику настила полов. О том, как стелить пол в бане своими руками, и какие материалы для него лучше всего использовать, расскажем далее.

Какой теплообменник в банную печь лучше установить – варианты конструкции
Хорошая печь для бани позволяет решить все задачи для того, чтобы традиционная процедура была максимально комфортной. Предусмотрев теплообменник в банную печь, можно обойтись без бойлера для нагрева воды.

Какая алюминиевая фольга для бани лучше подойдёт
Идеальная банная постройка должна как можно быстрее прогреваться и продолжительное время сохранять тепловую энергию. Для этого стены и потолок в ней утепляют. Такой теплоизолятор как алюминиевая фольга для бани является одним из наиболее востребованных материалов, поскольку отличается стойкостью к высоким температурам и влажности.

Печь для русской бани – какая она должна быть и как её сделать
Многие владельцы собственных загородных домов мечтают о строительстве настоящей русской бани на своем земельном участке. В статье речь пойдет о том, как выбрать печь для русской бани среди основных разновидностей данного агрегата с учетом особенностей каждой.

Как построить баню с террасой – подробное руководство по монтажу
Терраса – это удобная пристройка к зданию в виде площадки, размещенной на заранее созданном основании. В статье речь пойдет о том, что представляет собой проект бани с террасой и как грамотно сочетать два этих архитектурных объекта.

Что такое абаш для бани – преимущества использования в отделке парной
Среди материалов, которые недавно стали использоваться при обустройстве бань, значится экзотическая древесина дерева абаш. Она поступает на отечественный рынок с африканского континента, начиная с 90-х годов прошлого века – именно тогда застройщики узнали, что такое абаш для бани.

Банные печи Жара – виды и особенности конструкций
Кто не слышал о русских банях, которые еще с древности славятся уникальной способностью восстанавливать силы и здоровье. Такую популярность они завоевали благодаря мощным печам, изготовленным вручную по особой технологии.

Пароизоляция бани – выбор материала и его монтаж
Самое главное для русской бани – чтобы она могла определенное время удерживать пар, столь необходимый для поддержания оптимального микроклимата. Ниже рассмотрим, какую пароизоляцию выбрать для бани, а также их схемы для стен и кровли.

Как построить баню из пеноблока своими руками – пошаговое руководство
Довольно часто в последнее время вместо древесины при строительстве различных зданий люди выбирают такой современный материал, как блоки из вспененного бетона. В данном материале мы опишем технологию поэтапного строительства бани из пеноблоков своими руками с указанием тонкостей и особенностей этого процесса.

Какой проект бани из пеноблока выбрать – от планирования до строительства
Устанавливать бани из дерева стремятся не все, так как процесс их возведения является довольно кропотливым, да и поддерживать готовое сооружение в должном состоянии не так-то просто. Поэтому в последнее время потребители все больше обращают внимание на варианты бань из пеноблоков – более удобных в эксплуатации и строительстве.

Особенности финской сауны и правила строительства
Не многие об этом знают, но у любимой всеми русской бани есть близкая родственница – финская сауна, а общим их прародителем является бревенчатая изба, которую наши предки прогревали по-черному. В статье речь пойдет о том, что такое финская сауна, чем она отличается от русской бани и как ее построить своими руками.

Преимущества банной печи на газу и её модификаций
На сегодняшний день многие банные традиции, пришедшие от наших предков, искажаются и модифицируются, но от этого эффективность русской бани не уменьшилась. В статье речь пойдет о таком функциональном элементе, как банная печь на газу: ее особенностях, критериях выбора и способе правильного безопасного монтажа.

Банная печь камин – плюсы и минусы конструкции
Каждый профессионал скажет, что баня начинается с печи, поскольку основная процедура (прогревание) производится именно за счет данной установки. В статье речь пойдет о такой уникальной разновидности, как банная печь-камин, обладающая универсальными качествами.

Строительство бани из оцилиндрованного бревна – пошаговое руководство
В настоящее время все больше хозяев отдают предпочтение отдыху в собственной бане перед услугами общественных или частных учреждений. Тем более что даже довольно сложное на первый взгляд строительство бани из оцилиндрованного бревна вполне возможно осуществить самостоятельно, если следовать ряду рекомендаций опытных строителей.


БаняСпец

Как установить банную печь с баком для воды – варианты монтажа
Чтобы баня приносила максимум пользы, в помещении должна быть правильная температура влажного пара – примерно +80 С. Важную роль в этом играет банная печь с баком для воды, которую можно сделать и самостоятельно.

Какую печь для бани электрическую выбрать: виды и способы монтажа
Несомненно, в каменной печке с горящими внутри дровами есть что-то родное, навевающее воспоминания о детстве. Однако очевидны и неудобства работающих на дровах или угле печей: копоть, дым, не для всех приятный запах горения, а также постоянная потребность в топливе.

Какую печь для русской бани лучше выбрать – виды и преимущества вариантов
Главное в русской бане — разумеется, печь. И перед каждым хозяином стоит вопрос: как правильно выбрать печь для русской бани, не сделав ошибку, из-за которой придётся снова тратить время и деньги? Ответ на этот вопрос — в статье.

Банные печи Термофор – виды, преимущества и способ установки
Новосибирская компания «Термофор» отлично зарекомендовала себя на рынке печей. Бренд этой фирмы хорошо известен не только в России, но и за границами нашей родины. Предлагаемый ассортимент выглядит внушительно. Эти печи способны справиться с обогревом помещений, с приготовлением пищи, а также могут создавать качественный банный пар.

Как построить баню из кирпича – начинаем с фундамента и заканчиваем крышей
Все чаще счастливые обладатели собственных участков отдают предпочтение кирпичной бане. В данной статье раскроем основные секреты и подробно расскажем о том, как построить баню из кирпича своими руками.

Как сделать баню из контейнера своими руками
Поскольку строительство основательной бани с нуля предполагает наличие не только финансовых возможностей, но и определенных умений, в зависимости от обстоятельств это не всегда может быть доступно. В этом случае на помощь придут нестандартные, но очень практичные решения.

Правильное устройство деревянного пола в бане – пошаговое руководство
Принимая решение о самостоятельном строительстве бани, важно учитывать особенности и специфику настила полов. О том, как стелить пол в бане своими руками, и какие материалы для него лучше всего использовать, расскажем далее.

Какой теплообменник в банную печь лучше установить – варианты конструкции
Хорошая печь для бани позволяет решить все задачи для того, чтобы традиционная процедура была максимально комфортной. Предусмотрев теплообменник в банную печь, можно обойтись без бойлера для нагрева воды.

Какая алюминиевая фольга для бани лучше подойдёт
Идеальная банная постройка должна как можно быстрее прогреваться и продолжительное время сохранять тепловую энергию. Для этого стены и потолок в ней утепляют. Такой теплоизолятор как алюминиевая фольга для бани является одним из наиболее востребованных материалов, поскольку отличается стойкостью к высоким температурам и влажности.

Печь для русской бани – какая она должна быть и как её сделать
Многие владельцы собственных загородных домов мечтают о строительстве настоящей русской бани на своем земельном участке. В статье речь пойдет о том, как выбрать печь для русской бани среди основных разновидностей данного агрегата с учетом особенностей каждой.

Как построить баню с террасой – подробное руководство по монтажу
Терраса – это удобная пристройка к зданию в виде площадки, размещенной на заранее созданном основании. В статье речь пойдет о том, что представляет собой проект бани с террасой и как грамотно сочетать два этих архитектурных объекта.

Что такое абаш для бани – преимущества использования в отделке парной
Среди материалов, которые недавно стали использоваться при обустройстве бань, значится экзотическая древесина дерева абаш. Она поступает на отечественный рынок с африканского континента, начиная с 90-х годов прошлого века – именно тогда застройщики узнали, что такое абаш для бани.

Банные печи Жара – виды и особенности конструкций
Кто не слышал о русских банях, которые еще с древности славятся уникальной способностью восстанавливать силы и здоровье. Такую популярность они завоевали благодаря мощным печам, изготовленным вручную по особой технологии.

Пароизоляция бани – выбор материала и его монтаж
Самое главное для русской бани – чтобы она могла определенное время удерживать пар, столь необходимый для поддержания оптимального микроклимата. Ниже рассмотрим, какую пароизоляцию выбрать для бани, а также их схемы для стен и кровли.

Как построить баню из пеноблока своими руками – пошаговое руководство
Довольно часто в последнее время вместо древесины при строительстве различных зданий люди выбирают такой современный материал, как блоки из вспененного бетона. В данном материале мы опишем технологию поэтапного строительства бани из пеноблоков своими руками с указанием тонкостей и особенностей этого процесса.

Какой проект бани из пеноблока выбрать – от планирования до строительства
Устанавливать бани из дерева стремятся не все, так как процесс их возведения является довольно кропотливым, да и поддерживать готовое сооружение в должном состоянии не так-то просто. Поэтому в последнее время потребители все больше обращают внимание на варианты бань из пеноблоков – более удобных в эксплуатации и строительстве.

Особенности финской сауны и правила строительства
Не многие об этом знают, но у любимой всеми русской бани есть близкая родственница – финская сауна, а общим их прародителем является бревенчатая изба, которую наши предки прогревали по-черному. В статье речь пойдет о том, что такое финская сауна, чем она отличается от русской бани и как ее построить своими руками.

Преимущества банной печи на газу и её модификаций
На сегодняшний день многие банные традиции, пришедшие от наших предков, искажаются и модифицируются, но от этого эффективность русской бани не уменьшилась. В статье речь пойдет о таком функциональном элементе, как банная печь на газу: ее особенностях, критериях выбора и способе правильного безопасного монтажа.

Банная печь камин – плюсы и минусы конструкции
Каждый профессионал скажет, что баня начинается с печи, поскольку основная процедура (прогревание) производится именно за счет данной установки. В статье речь пойдет о такой уникальной разновидности, как банная печь-камин, обладающая универсальными качествами.

Строительство бани из оцилиндрованного бревна – пошаговое руководство
В настоящее время все больше хозяев отдают предпочтение отдыху в собственной бане перед услугами общественных или частных учреждений. Тем более что даже довольно сложное на первый взгляд строительство бани из оцилиндрованного бревна вполне возможно осуществить самостоятельно, если следовать ряду рекомендаций опытных строителей.


БаняСпец

Как установить банную печь с баком для воды – варианты монтажа
Чтобы баня приносила максимум пользы, в помещении должна быть правильная температура влажного пара – примерно +80 С. Важную роль в этом играет банная печь с баком для воды, которую можно сделать и самостоятельно.

Какую печь для бани электрическую выбрать: виды и способы монтажа
Несомненно, в каменной печке с горящими внутри дровами есть что-то родное, навевающее воспоминания о детстве. Однако очевидны и неудобства работающих на дровах или угле печей: копоть, дым, не для всех приятный запах горения, а также постоянная потребность в топливе.

Какую печь для русской бани лучше выбрать – виды и преимущества вариантов
Главное в русской бане — разумеется, печь. И перед каждым хозяином стоит вопрос: как правильно выбрать печь для русской бани, не сделав ошибку, из-за которой придётся снова тратить время и деньги? Ответ на этот вопрос — в статье.

Банные печи Термофор – виды, преимущества и способ установки
Новосибирская компания «Термофор» отлично зарекомендовала себя на рынке печей. Бренд этой фирмы хорошо известен не только в России, но и за границами нашей родины. Предлагаемый ассортимент выглядит внушительно. Эти печи способны справиться с обогревом помещений, с приготовлением пищи, а также могут создавать качественный банный пар.

Как построить баню из кирпича – начинаем с фундамента и заканчиваем крышей
Все чаще счастливые обладатели собственных участков отдают предпочтение кирпичной бане. В данной статье раскроем основные секреты и подробно расскажем о том, как построить баню из кирпича своими руками.

Как сделать баню из контейнера своими руками
Поскольку строительство основательной бани с нуля предполагает наличие не только финансовых возможностей, но и определенных умений, в зависимости от обстоятельств это не всегда может быть доступно. В этом случае на помощь придут нестандартные, но очень практичные решения.

Правильное устройство деревянного пола в бане – пошаговое руководство
Принимая решение о самостоятельном строительстве бани, важно учитывать особенности и специфику настила полов. О том, как стелить пол в бане своими руками, и какие материалы для него лучше всего использовать, расскажем далее.

Какой теплообменник в банную печь лучше установить – варианты конструкции
Хорошая печь для бани позволяет решить все задачи для того, чтобы традиционная процедура была максимально комфортной. Предусмотрев теплообменник в банную печь, можно обойтись без бойлера для нагрева воды.

Какая алюминиевая фольга для бани лучше подойдёт
Идеальная банная постройка должна как можно быстрее прогреваться и продолжительное время сохранять тепловую энергию. Для этого стены и потолок в ней утепляют. Такой теплоизолятор как алюминиевая фольга для бани является одним из наиболее востребованных материалов, поскольку отличается стойкостью к высоким температурам и влажности.

Печь для русской бани – какая она должна быть и как её сделать
Многие владельцы собственных загородных домов мечтают о строительстве настоящей русской бани на своем земельном участке. В статье речь пойдет о том, как выбрать печь для русской бани среди основных разновидностей данного агрегата с учетом особенностей каждой.

Как построить баню с террасой – подробное руководство по монтажу
Терраса – это удобная пристройка к зданию в виде площадки, размещенной на заранее созданном основании. В статье речь пойдет о том, что представляет собой проект бани с террасой и как грамотно сочетать два этих архитектурных объекта.

Что такое абаш для бани – преимущества использования в отделке парной
Среди материалов, которые недавно стали использоваться при обустройстве бань, значится экзотическая древесина дерева абаш. Она поступает на отечественный рынок с африканского континента, начиная с 90-х годов прошлого века – именно тогда застройщики узнали, что такое абаш для бани.

Банные печи Жара – виды и особенности конструкций
Кто не слышал о русских банях, которые еще с древности славятся уникальной способностью восстанавливать силы и здоровье. Такую популярность они завоевали благодаря мощным печам, изготовленным вручную по особой технологии.

Пароизоляция бани – выбор материала и его монтаж
Самое главное для русской бани – чтобы она могла определенное время удерживать пар, столь необходимый для поддержания оптимального микроклимата. Ниже рассмотрим, какую пароизоляцию выбрать для бани, а также их схемы для стен и кровли.

Как построить баню из пеноблока своими руками – пошаговое руководство
Довольно часто в последнее время вместо древесины при строительстве различных зданий люди выбирают такой современный материал, как блоки из вспененного бетона. В данном материале мы опишем технологию поэтапного строительства бани из пеноблоков своими руками с указанием тонкостей и особенностей этого процесса.

Какой проект бани из пеноблока выбрать – от планирования до строительства
Устанавливать бани из дерева стремятся не все, так как процесс их возведения является довольно кропотливым, да и поддерживать готовое сооружение в должном состоянии не так-то просто. Поэтому в последнее время потребители все больше обращают внимание на варианты бань из пеноблоков – более удобных в эксплуатации и строительстве.

Особенности финской сауны и правила строительства
Не многие об этом знают, но у любимой всеми русской бани есть близкая родственница – финская сауна, а общим их прародителем является бревенчатая изба, которую наши предки прогревали по-черному. В статье речь пойдет о том, что такое финская сауна, чем она отличается от русской бани и как ее построить своими руками.

Преимущества банной печи на газу и её модификаций
На сегодняшний день многие банные традиции, пришедшие от наших предков, искажаются и модифицируются, но от этого эффективность русской бани не уменьшилась. В статье речь пойдет о таком функциональном элементе, как банная печь на газу: ее особенностях, критериях выбора и способе правильного безопасного монтажа.

Банная печь камин – плюсы и минусы конструкции
Каждый профессионал скажет, что баня начинается с печи, поскольку основная процедура (прогревание) производится именно за счет данной установки. В статье речь пойдет о такой уникальной разновидности, как банная печь-камин, обладающая универсальными качествами.

Строительство бани из оцилиндрованного бревна – пошаговое руководство
В настоящее время все больше хозяев отдают предпочтение отдыху в собственной бане перед услугами общественных или частных учреждений. Тем более что даже довольно сложное на первый взгляд строительство бани из оцилиндрованного бревна вполне возможно осуществить самостоятельно, если следовать ряду рекомендаций опытных строителей.


9 вещей, которые вы не должны прекращать делать, чтобы кормить грудью, независимо от того, что

Грудное вскармливание нелегко и чаще всего может ощущаться как жертва. Безумные ожидания и высокие требования, которые мы, мамы (и общество, не говоря уже о семье и друзьях) предъявляем к себе, только усугубляют эти трудности. Однако, несмотря на то, что материнство требует изменений, нет причин, по которым ваш выбор и способность кормить грудью должны преобладать в вашей жизни. На самом деле, есть несколько вещей, которые вы не должны прекращать делать, чтобы кормить грудью, несмотря ни на что.

Грудное вскармливание — это выбор, который может сделать каждая мать, и иногда этот выбор уже сделан за нее, если она физически не в состоянии поддерживать своего ребенка своим телом. Тем не менее, и, вероятно, еще до рождения ребенка, мать должна учитывать свои личные обстоятельства, здоровье и уровень комфорта, когда решает, как (или как не) вписать грудное вскармливание в свою повседневную жизнь. Хотя кормление грудью должно быть абсолютно поддержано, кормление грудью не является обязательным требованием для мамы , или «хорошей мамы».»Это лишь одно из многих тысяч решений, которые мать примет, воспитывая своего ребенка, и этот выбор, хотя и жертвенный во многих аспектах, не должен стать более важным, чем качество жизни мамы.

Итак, когда новый Мама устала и изо всех сил пытается кормить грудью и нуждается в некоторой поддержке, я считаю, что жизненно важно, чтобы она знала о многих вещах, которыми ей не нужно жертвовать, чтобы кормить ребенка грудью или жить согласно некоторому предполагаемому идеалу, навязанному ее друзья, семья, другие матери или общество в целом.Материнство достаточно сложно, поэтому расслабьтесь и убедитесь, что вы не отказываетесь от следующего:

Leaving The House

Некоторым мамам, по праву, неудобно кормить грудью в общественных местах. В результате они остаются в своих домах и вообще не выходят на улицу. Хотя я знаю, что искаженное представление нашего общества о женской сексуальности (особенно когда речь идет о матерях и функциональности их груди) создало токсичную среду, в которой публичное кормление грудью встречает стыд и осуждение, идея о том, что новая мама будет привязана к дому, просто заставляет мне так невероятно грустно.

Вы не должны чувствовать необходимость оставаться в затруднительном положении весь день. Если вы можете и чувствуете себя комфортно, попробуйте прикрытие для кормящих. Если нет, окружите себя людьми, которые вас поддерживают, и встанут на вашу защиту, если кто-то публично скажет что-то о том, что вы кормите ребенка. В конце концов, это ваше право делать это, когда захотите и / или когда захотите.

Наслаждение кофе

Было достаточно сложно, чтобы люди говорили мне, что мне «не следует пить кофе», когда я была беременна.Так что, честно говоря, последнее, что мне было нужно, — это люди, которые предлагали мне не пить обычную чашку кофеина, когда я кормила грудью. Поверьте, чтобы пережить недосыпание и те 30 месяцев, которые я кормила грудью, потребовались щедрые дозы горячего кофе.

Итак, не нужно отказываться от утренней чашки кофе. По данным BabyCenter, менее 1 процента кофеина, который вы потребляете, попадает в грудное молоко.

Ношение красивой одежды

Да, обычно, когда вы кормите грудью, вам нужно иметь легкий доступ к груди.Например, когда моему сыну было всего несколько месяцев, я была на свадьбе и была в красивом платье с молнией на спине и приталенной талией. Шесть раз во время вечеринки мне приходилось идти в гостиничный номер и снимать все платье, чтобы накормить его, так что это было не совсем практично.

Однако нет причин, по которым вы должны носить чисто утилитарную одежду только для кормления грудью. Честно говоря, вы можете носить все, что захотите, всего лишь с несколькими поправками, например, майки для кормления грудью под обычной рубашкой.

Ожидая телесной автономии

Когда вы кормите грудью, так легко почувствовать прикосновение. Младенцы и так требуют много времени и усилий, поэтому, если они будут привязаны к вам несколько раз в день, вы можете почувствовать, что у вас нет контроля над своим телом.

Однако очень важно сохранять телесную автономию и помнить, что вы всегда отвечаете за себя. Выделите немного времени себе, сцедите молоко, чтобы кто-то другой мог кормить ребенка, или попросите кого-нибудь позаботиться о ребенке сразу после кормления.Вы заслуживаете того, чтобы чувствовать себя как дома в собственной шкуре.

Наслаждайтесь временем наедине с собой

Да, определенно сложнее координировать некоторое «время для себя», когда вы отвечаете за кормление своего ребенка. Тем не менее, все мы нуждаемся и заслуживаем время для себя и для себя, особенно новая мама, которая уже претерпевает значительные изменения.

Итак, составьте расписание, которое позволит вам получать удовольствие между сессиями кормления, сцеживать и замораживать молоко или даже не стесняйтесь принимать пищевые добавки, если вам это удобно.Просто отлично немного времени для тебя.

Наслаждение едой

Очень много людей пытались контролировать то, что я ела, когда была беременна, и это не закончилось, когда я начала кормить грудью. От предложения избегать острой пищи до странных сочетаний продуктов и запрета арахисового масла и шоколада, все, казалось, знали, что можно есть, а что нет.

Если ваш врач специально не посоветовал вам избегать определенной пищи, нет необходимости менять свои пищевые привычки во время грудного вскармливания.

Наслаждение пузырьковой ванной

Когда я только начинала кормить грудью, у меня сильно выделялось молоко, когда я ступала в ванну с теплой водой. В результате мне не обязательно нравилось принимать ванну. Однако я решил, что люблю их так сильно, что не откажусь от них, даже если для этого потребуется некоторое «привыкание».

Кроме того, если молочная ванна была достаточно хороша для Клеопатры, она достаточно хороша для меня.

Распитие алкоголя

Большинство мам не собираются выпить всю бутылку вина и сразу же начать кормить ребенка грудью.Я имею в виду, очевидно, что ухаживать за младенцем в пьяном виде — не лучшая идея, не говоря уже о том, чтобы кормить его. Однако кормящим мамам не нужно полностью отказываться от выпивки.

Согласно La Leche League, если мама время от времени пьет и ограничивает ее потребление, кормить грудью совершенно безопасно. Они также советуют не откачивать и сливать молоко после того, как они выпили коктейль. Вместо этого алкоголь выйдет из организма через несколько часов. Хорошее практическое правило? Если вы можете водить машину, вы можете кормить грудью.

Наслаждение сексом

По моему опыту, когда ваша грудь используется для определенной цели, можно легко забыть, что вы можете использовать ее и для других целей. Конечно, если грудное вскармливание отталкивает вас от секса, это нормально. Потому что, знаете, согласие.

Однако вам не обязательно рассматривать свою грудь как 100% функциональную, вот и все. Вы по-прежнему сексуальное существо, и ваши грудные сиськи по-прежнему можно использовать для удовольствия. Наши тела предназначены не только для материнства.Мы можем использовать их так, как захотим. Грудь может приносить комфорт, она может быть сексуальной, а также является источником пищи для наших детей (если мы можем и хотим).

Безопасны ли сауны во время беременности?

Национальный институт здоровья рекомендует беременным женщинам ограничить посещение сауны на время беременности. Повышение температуры тела выше 100 градусов может увеличить риск осложнений у плода или врожденных дефектов. Это особенно важно в течение первого триместра, исходя из информации, опубликованной Организацией тератологических информационных служб (OTIS).ОТИС — это некоммерческая организация, занимающаяся предоставлением информации о безопасности беременным женщинам и поставщикам медицинских услуг.

Почему сауны небезопасны во время беременности?

Повышение внутренней температуры тела выше 101 градуса может вызвать гипертермию. Когда гипертермия возникает в течение длительного периода в течение первого триместра, исследования показали повышенный риск дефектов нервной трубки, включая анэнцефалию и расщелину позвоночника. В исследованиях, связанных с гипертермией во время беременности, также были отмечены пороки сердца и дефекты расщелины рта.

В то время как исследования концентрируются на рисках для развития плода в первом триместре беременности, Американский колледж акушеров и гинекологов предлагает не посещать сауны и ванны с горячей водой в течение всех трех триместров.

Другие горячие места, которых следует избегать во время беременности

Такой же риск, связанный с сидением в горячей сауне, существует и в гидромассажных ваннах, горячих душах и горячих ваннах. Любое пребывание в помещении или в условиях с сильной жарой может быть опасно.Это включает в себя времяпрепровождение на открытом воздухе под прямыми лучами солнца в самое жаркое время дня. Средняя температура тела не превышает 99 градусов. Чтобы поднять внутреннюю температуру тела до 101 градуса, не требуется много прямого солнечного света или нагретой воды.

Безопасная альтернатива сауне

Целью пребывания в теплой сауне является расслабление, особенно расслабление мышц. Йога, массаж и растяжка являются безопасными альтернативами для беременных женщин во всех трех триместрах, если беременность протекает без осложнений и вы сообщите об этом своему акушеру, когда начинаете новую программу упражнений.Массаж следует резервировать на 2 и 3 триместры. Следует использовать только лицензированных, обученных массажистов для беременных, так как во время беременности следует избегать определенных точек давления.

Сауны и кормление грудью

Нет причин, по которым кормящая мать не может расслабиться в горячей сауне. Риск для плода прошел после родов. Однако на рынке есть инфракрасные сауны, которые могут представлять проблему. Данных о влиянии инфракрасного излучения на грудное молоко очень мало, поэтому производители инфракрасных саун рекомендуют кормящим женщинам избегать кормления грудью в течение 24 часов после посещения сауны.Может быть безопаснее полностью отказаться от инфракрасных саун во время кормления грудью.

Нет ничего более расслабляющего, чем горячая ванна или душ после долгого рабочего дня, воспитания детей или жизни в целом. Беременным женщинам, особенно женщинам в первом триместре беременности, следует выбрать безопасную альтернативу саунам, джакузи, горячим ваннам, горячим душам и времени, проведенному бездельничать на ярком летнем солнце.

Подробнее:
Ароматические масла
Косметические продукты и процедуры во время беременности
Джакузи

Ванны с грудным молоком: что нужно знать

Всемирная неделя грудного вскармливания посвящена празднованию чудесного акта грудного вскармливания.Пищевая ценность грудного молока хорошо известна, но оно также обладает множеством других положительных свойств. Сейчас матери экспериментируют с уникальными способами использования грудного молока, включая леденцы для прорезывания зубов и ванны с грудным молоком.

Хотя купание в молоке долгое время было частью роскошного ухода за кожей (эй, Клеопатра!), Ванны с грудным молоком могут показаться довольно новым явлением, хотя как естественное очищающее и дезинфицирующее средство, вероятно, это происходило на протяжении всей истории. .Однако, учитывая, что поисковые запросы Google по запросу «ванны с грудным молоком» этим летом достигли пика за десять лет, а блоггеры-мамочки по всему миру пропагандируют его преимущества, становится ясно, что ванны с грудным молоком сейчас стали популярными.

Многочисленные преимущества ванн с грудным молоком

Но почему сейчас так много матерей рассматривают ванны с грудным молоком? Грудное молоко состоит из различных компонентов, обладающих такими целебными свойствами, что вы легко можете прочитать список ингредиентов дорогостоящего ассортимента средств по уходу за кожей.Это делает ванны с грудным молоком не только прекрасным способом использовать излишки молока, но и чрезвычайно полезными для кожи вашего ребенка.

Грудное молоко содержит пальмитиновую кислоту, насыщенную жирную кислоту, являющуюся прекрасным естественным увлажняющим средством, благодаря которому оно прекрасно сохраняет кожу вашего ребенка очень мягкой. В нем также есть олеиновая кислота, которая лечит сухую кожу и борется с признаками старения — не то чтобы это было проблемой для вашего малыша! Вы также можете найти вакценовую кислоту, которая защищает и питает кожу, и линолевую кислоту, которая осветляет пятна и сводит к минимуму воспаление.

Но грудное молоко — это не только чудесный натуральный увлажняющий крем, но и его можно использовать для лечения более специфических кожных заболеваний. В то время как прыщи могут показаться чем-то, что мы оставили в подростковом возрасте, у ребенка на самом деле могут быть пятнистые высыпания из-за гормонов матери, которые все еще находятся в его организме после беременности. К счастью, грудное молоко может помочь от детских прыщей, поскольку оно содержит лауриновую кислоту, которая обладает антибактериальными свойствами, а также содержится в кокосовом масле, любимом косметологами.

Грудное молоко также содержит антитела к иммуноглобулину-А, которые борются с бактериями и лечат инфекции.Это делает его отличным естественным лекарством от любых незначительных ожогов, царапин, порезов и даже укусов насекомых. Эти антитела также обладают противовоспалительным действием и идеально подходят для лечения таких распространенных заболеваний, как опрелости. Ванны с грудным молоком не только успокаивают первоначальное раздражение, но и могут использоваться регулярно, они также могут быстро и естественным образом избавиться от опрелостей.

Хотя научные факты иллюстрируют различные целебные свойства грудного молока, именно реальные рассказы матерей показывают, насколько эффективным оно может быть.Мамы по обе стороны Атлантики поделились своим опытом принятия ванн с грудным молоком, и многие утверждали, что это естественное средство, решающее проблемы, включая экзему и колыбель, а также успех дорогих кремов и лекарств.

Как давать ребенку ванну с грудным молоком

Купать ребенка в грудном молоке так же просто, как мыть его каждый день. Просто наполните ванну теплой водой, как обычно, а затем добавьте грудное молоко. Вы можете использовать свежевыжатое молоко или замороженное молоко — после того, как оно разморозится.Поскольку ребенок не пьет молоко, вы можете использовать немного устаревшее грудное молоко, если оно не пахнет.

При определении того, сколько молока нужно налить в ванну, достаточно простого практического правила, чтобы вода стала мутной — от 150 до 300 мл обычно достаточно. Если у вас осталось больше молока после сцеживания, вы, конечно, можете добавить еще немного, но будьте осторожны, ваш ребенок может пахнуть немного молоком, если вы употребляете слишком много молока — так что следите (или носите) за этим.

Как только ваш ребенок окунется в воду, вы можете позволить ему полежать там примерно 10-15 минут, чтобы его кожа действительно могла впитать все питательные вещества из вашего молока. Купайте ребенка как обычно, обливая его руками. Если у них есть сыпь, струпья или другие кожные заболевания, требующие внимания, потратьте немного больше времени на то, чтобы до них попало много воды для ванны. После купания не нужно ополаскивать ребенка, просто промокните его полотенцем и используйте безопасный для ребенка лосьон, чтобы удержать влагу и питательные вещества.Некоторые матери обнаружили, что добавление дополнительных ингредиентов, таких как овсяное молоко, в ванну с грудным молоком, может помочь при определенных кожных заболеваниях, таких как экзема.

Как часто вам следует купать ребенка в грудном молоке, на самом деле зависит от того, как часто вы его обычно купаете, а также от того, есть ли у него какие-либо проблемы с кожей, которые вы пытаетесь лечить. Если вы хотите давать ребенку ванны с грудным молоком, одного или двух раз в неделю должно быть достаточно, чтобы он воспользовался целебными свойствами вашего молока.

Преимущества грудного молока безграничны.От укрепления иммунной системы до лечения кожных заболеваний — что может сделать ваша волшебная жидкость?

Кормление грудью и лекарства: что безопасно?

Кормление грудью и лекарства: что безопасно?

Хотите знать о грудном вскармливании и лекарствах? Знайте, как лекарства могут повлиять на ваше грудное молоко и какие лекарства можно безопасно принимать.

Персонал клиники Мэйо

Если вы кормите грудью, вы даете своему ребенку начало здорового образа жизни.Однако, если вам нужно принимать лекарства, у вас могут возникнуть вопросы о возможном влиянии на ваше грудное молоко. Вот что вам нужно знать.

Все ли лекарства проникают в грудное молоко?

Практически любое лекарство, присутствующее в вашей крови, до некоторой степени попадает в грудное молоко. Большинство лекарств действуют в малых дозах и не представляют реального риска для большинства младенцев. Однако есть исключения, когда лекарства могут концентрироваться в грудном молоке. В результате каждое лекарство нужно рассматривать отдельно.

Влияет ли здоровье и возраст моего ребенка на то, как на него может повлиять воздействие лекарств, содержащихся в моем грудном молоке?

Да. Воздействие лекарств с грудным молоком представляет наибольший риск для недоношенных детей, новорожденных и младенцев с нестабильным соматическим показателем или с плохо функционирующими почками.

Самый низкий риск для здоровых детей в возрасте 6 месяцев и старше, которые могут эффективно перемещать наркотики через свой организм. Женщины, кормящие грудью более одного года после родов, часто производят относительно меньшее количество молока.Это уменьшает количество лекарств, попадающих в грудное молоко. Кроме того, лекарства, используемые в течение двух дней после родов, передаются в очень низких дозах вашему младенцу из-за ограниченного объема грудного молока, которое вы производите в это время.

Следует ли прекращать грудное вскармливание во время приема лекарств?

Большинство лекарств безопасно принимать во время кормления грудью. Кроме того, польза от продолжения приема лекарств от хронических заболеваний во время кормления грудью часто перевешивает любые потенциальные риски.

Тем не менее, некоторые лекарства небезопасно принимать во время кормления грудью. Если вы принимаете лекарство, которое может нанести вред вашему ребенку, ваш врач может порекомендовать альтернативное лекарство. Или он или она могут порекомендовать кормить грудью, когда в вашем грудном молоке низкий уровень лекарства.

Иногда ваш лечащий врач может порекомендовать вам временно или навсегда прекратить грудное вскармливание — в зависимости от того, как долго вам нужно принимать лекарство. Если у вас есть предварительное уведомление, сцеживайте молоко в дополнение к кормлению грудью и храните сцеженное молоко для использования в течение этого времени.Если вам нужно временно прекратить грудное вскармливание, используйте двойной электрический молокоотсос, чтобы поддерживать выработку молока до тех пор, пока вы снова не сможете кормить грудью. Выбросьте молоко, которое вы сцеживаете, пока принимаете лекарство.

Если вы не уверены, совместимо ли лекарство с грудным вскармливанием, сцеживайте молоко, маркируйте и храните сцеженное грудное молоко в отдельном месте, пока не обратитесь к своему врачу. Если вам необходимо навсегда прекратить грудное вскармливание — что необычно — спросите своего врача об отлучении от груди и о помощи в выборе детской смеси.

Какие лекарства безопасно принимать во время кормления грудью?

При участии вашего лечащего врача рассмотрите этот список лекарств, которые считаются безопасными во время кормления грудью. Имейте в виду, что это не полный список безопасных лекарств.

Обезболивающие
  • Ацетаминофен (Тайленол, другие)
  • Ибупрофен (Адвил, Мотрин ИБ, другие)
  • Naproxen (Напросин) — только для кратковременного использования
Противомикробные препараты
  • Флуконазол (Дифлюкан)
  • Миконазол (Монистат 3) — нанесите минимальное количество
  • Клотримазол (Mycelex, Lotrimin) — нанесите минимальное количество
  • Пенициллины, такие как амоксициллин и ампициллин
  • Цефалоспорины, такие как цефалексин (Keflex)
Антигистаминные препараты
  • Лоратадин (Кларитин, Алаверт и др.)
  • Фексофенадин (аллергия на аллергию)
Противоотечные средства
  • Лекарства, содержащие псевдоэфедрин (Судафед, Зиртек D и др.) — используйте с осторожностью, поскольку псевдоэфедрин может снизить выработку молока
Противозачаточные таблетки
  • Контрацептивы, содержащие только прогестины, такие как мини-пили

Недавние исследования показывают, что методы контроля рождаемости, в которых используются как эстроген, так и прогестин, такие как комбинированные противозачаточные таблетки, не влияют на выработку молока.Для здоровых женщин нормально начать использовать комбинированные противозачаточные таблетки и другие виды комбинированных гормональных противозачаточных средств через месяц после родов.

Препараты для желудочно-кишечного тракта
  • Фамотидин (Пепцид)
  • Циметидин (Tagamet HB)
Антидепрессанты
  • Пароксетин (Паксил)
  • Сертралин (Золофт)
  • Флувоксамин (Лувокс)
Лекарства от запора
  • Докузат натрия (Colace, Diocto)

Нужно ли мне заранее получить согласие врача?

Если вы кормите грудью и планируете принимать лекарства, посоветуйтесь со своим врачом.Избегайте приема ненужных лекарств, таких как лекарственные травы, витамины в высоких дозах и необычные добавки.

Также спросите о сроках. Например, прием лекарств сразу после кормления грудью может помочь свести к минимуму воздействие на ребенка. Однако пик различных препаратов в грудном молоке приходится на разное время.

Что делать, если у моего ребенка есть реакция?

Когда вы принимаете лекарства, следите за малышом, нет ли у него изменений в еде или сне, беспокойства или появления сыпи.Если вы заметили какие-либо изменения в поведении вашего ребенка, обратитесь к его или ее врачу.

31 июля 2020 г. Показать ссылки
  1. Кауниц AM. Послеродовая контрацепция: начало и методы. https://www.uptodate.com/contents/search. По состоянию на 26 июня 2018 г.
  2. Sachs HC. Перенос лекарств и терапевтических средств в грудное молоко: обновленная информация по избранным темам. Педиатрия. 2013; 132: e796.
  3. Kimmel MC, et al. Безопасность воздействия антидепрессантов и бензодиазепинов на младенцев при грудном вскармливании.https://www.uptodate.com/contents/search. По состоянию на 26 июня 2018 г.
  4. Американский колледж акушеров и гинекологов (ACOG) Комитет по практическим бюллетеням — акушерство. Бюллетень практики ACOG № 92: Использование психиатрических препаратов во время беременности и кормления грудью. Акушерство и гинекология. 2008; 111: 1001. Подтверждено 2014.
  5. Вамбах К. и др., Ред. Медикаментозная терапия и грудное вскармливание. В кн .: Грудное вскармливание и лактация человека. 5-е изд. Садбери, Массачусетс: Обучение Джонс и Бартлетт; 2016 г.
  6. Briggs GG, et al. Лекарства при беременности и кормлении грудью: справочное руководство по риску для плода и новорожденного. 11-е изд. Филадельфия, Пенсильвания: Уолтерс Клувер; 2017. http://ovidsp.tx.ovid.com/. По состоянию на 26 июня 2018 г.
  7. База данных по лекарствам и кормлению грудью (LactMed). Национальная медицинская библиотека США. https://toxnet.nlm.nih.gov/newtoxnet/lactmed.htm. По состоянию на 26 июня 2018 г.
Узнать больше Подробно

.

Послеродовые инструкции | Чего ожидать после доставки | Послеродовой уход

Послеродовой

Послеродовой период обычно определяется как шесть недель после родов.Время, когда организм матери, включая уровень гормонов и размер матки, возвращается в небеременное состояние. В первые часы, дни и недели после родов вы испытаете множество изменений, как физических, так и эмоциональных. Основное внимание в послеродовом уходе уделяется обеспечению здоровья матери и ее предоставления всей необходимой ей информации о грудном вскармливании, репродуктивном здоровье и контрацепции.

Звоните нам, если у вас возникнут вопросы в это важное время.

Щелкните здесь, чтобы получить полезные ресурсы.

ПОЗДРАВЛЯЕМ с новым приездом!

Пожалуйста, прочтите эти послеродовые инструкции как можно скорее. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их нам перед выпиской из больницы или обращайтесь в офис.

Чего ожидать после доставки

Роды через влагалище: Выделения из влагалища, возникающие после родов, называются лохиями. Кормящие матери могут заметить увеличение лохий во время кормления грудью.Первые несколько дней он будет ярко-красным или коричневатым, а затем может измениться на розовый или желтовато-белый. Лохия может длиться до шести недель. Дискомфорт в промежности можно уменьшить, прикладывая пакеты со льдом или принимая теплые сидячие ванны до трех раз в день. Этот дискомфорт постепенно исчезнет после первой недели. Важно, чтобы промежность была как можно более чистой и сухой. Всегда протирайте спереди назад и часто меняйте гигиенические прокладки. Можно принять душ. Некоторым женщинам требуется наложение швов для восстановления разрыва или эпизиотомии; эти швы рассосутся примерно через две недели.

Кесарево сечение: Вы можете принимать душ в обычном режиме. Пожалуйста, не замачивайте разрез в воде. Важно, чтобы разрез оставался чистым (с мылом и водой) и сухим, чтобы предотвратить инфекцию. Не наносите на разрез какие-либо лосьоны или масла, пока он полностью не заживет. Пожалуйста, позвоните в офис, если вы заметили жар, дренаж или покраснение вокруг разреза. У вас могут быть стерильные полоски (небольшие пластыри, похожие на полоски) поверх разреза. В них можно принимать душ, если они не отпали в течение семи-десяти дней.

Последующие боли : Спазмы очень распространены после родов. Это сокращение матки, чтобы вернуться к своему нормальному размеру. Вы можете заметить усиление спазмов при кормлении грудью или во время физической активности. Женщины, рожающие второго или третьего ребенка, могут испытывать более болезненные и частые спазмы. При необходимости вы можете использовать Motrin или назначенный наркотик.

Запор: Очень часто запоры возникают в послеродовом периоде.Вы должны выпивать не менее шести-восьми стаканов воды в день. Также может помочь увеличение количества клетчатки в вашем рационе. При необходимости вы можете использовать смягчитель стула, например Colace.

Геморрой: Многие женщины страдают геморроем во время или после беременности. Чтобы уменьшить дискомфорт, вы можете использовать Tucks, Anusol или Preparation-H. Также важно избегать запоров, употребляя большое количество клетчатки и пить воду.

Отек: Отек ног — обычное явление после родов.Оно может ухудшиться, прежде чем улучшится. Обычно он проходит в течение одной недели после родов. Вы можете уменьшить это, приподняв ноги и уменьшив количество соли в своем рационе.

Действия

Вы должны отдыхать, когда можете: спать, когда ребенок спит. Многие женщины с нетерпением ждут возможности возобновить занятия до беременности. Вам следует постепенно возвращаться к этим занятиям в течение четырех-шести недель. Вам следует избегать интенсивных видов спорта или тренировок до окончания шестинедельного визита. Подъем по лестнице или прогулка по окрестностям не вызовут проблем.Если у вас было кесарево сечение, вы не должны поднимать ничего тяжелее ребенка до шестинедельного обследования. После кесарева сечения вам также не следует садиться за руль в течение двух недель после операции, или вам больше не нужно принимать наркотики, чтобы дать достаточно времени на заживление.

Сексуальность

Половой акт: Когда возобновить половой акт после родов, зависит от многих факторов. Большинству женщин требуется шесть недель для полного заживления швов. У некоторых женщин послеродовое кровотечение может длиться до шести недель.Многие молодые родители устали из-за времени, необходимого для ухода за новорожденным, и могут быть не готовы психологически до шести недель или дольше. Когда вы готовы возобновить половой акт, у многих женщин уменьшается вагинальная смазка, особенно при грудном вскармливании. В это время вам может быть полезно использовать смазку, такую ​​как KY Jelly. Пожалуйста, помните, что вы можете забеременеть до шестинедельного осмотра. Если у вас был половой акт до вашего шестинедельного визита, используйте презерватив.

Контрацепция: Варианты контрацепции будут обсуждены на вашем шестинедельном послеродовом визите. Варианты включают комбинированные оральные противозачаточные таблетки, оральные противозачаточные таблетки с прогестероном, ВМС (внутриматочная спираль), Депо-Провера или барьерные методы, такие как презервативы или диафрагма. Если вы кормите грудью, вам следует рассмотреть метод использования только прогестерона («мини-таблетки», ВМС или Депо-Провера) или барьерный метод, чтобы избежать снижения выработки молока.

Уход за грудью

Кормящие матери: В первые несколько дней после родов ваша грудь вырабатывает лишь небольшое количество молозива.Это все, что нужно вашему малышу. В период от 3 до 5 дней после родов у вас появится молоко. В это время вы можете почувствовать нагрубание, субфебрильную температуру или дискомфорт. Чтобы облегчить это, вам следует продолжать кормить грудью. Можно принять теплый душ или сделать горячие компрессы. Вам также может потребоваться сцеживать немного молока вручную, чтобы ребенку было легче сосать. Набухание обычно длится 48 часов. При необходимости вы можете использовать Тайленол или Мотрин.

Вымойте грудь теплой водой и наденьте поддерживающий бюстгальтер.После кормления дайте соскам высохнуть на воздухе, чтобы избавиться от дискомфорта. Вы должны наносить на соски Lansinoh или чистый ланолин после каждого кормления, чтобы предотвратить появление трещин на сосках. Пейте много жидкости во время кормления грудью. Хорошее правило — один стакан воды каждый раз, когда вы кормите грудью ребенка.

Матери, кормящие из бутылочки: Ношение поддерживающего бюстгальтера днем ​​и ночью после родов поможет предотвратить дискомфорт от нагрубания. Если происходит переполнение или нагрубание груди, при необходимости прикладывайте к груди пакеты со льдом.Не сцеживайте и не сцеживайте молоко вручную и избегайте стимуляции сосков. Вы можете использовать Тайленол или Мотрин по мере необходимости для устранения дискомфорта.

Если вы плохо себя чувствуете или у вас есть какие-либо из следующих симптомов, позвоните нам:

  • Температура выше 101 ° F
  • Сильное вагинальное кровотечение (замачивание более двух гигиенических прокладок за несколько часов)
  • Боль, покраснение, болезненность и / или отек изолированной ноги
  • Сильная боль в животе или спине
  • Боль в любой груди с участком покраснения
  • Дренаж или покраснение вокруг разреза кесарева сечения
  • Обеспокоенность послеродовой депрессией

Плохо ли пить при грудном вскармливании?

Хотя некоторые женщины иногда выбирают бокал вина во время беременности, я знала, что хочу придерживаться официальных рекомендаций и полностью воздерживаться от них.Я не употребляла алкоголь, пока была беременна — вместо этого я наблюдала, как бутылки вина из нескольких винных клубов, в которые я вступила, прежде чем забеременеть, складываются. Могу поспорить, что после 10-месячного перерыва в употреблении алкоголя я думал о том, чтобы выпить. Но, как известно многим молодым мамам, рекомендации и мифы о том, что можно и что нельзя есть, не прекращаются после родов. Поскольку некоторые вещества действительно проникают в грудное молоко, в том числе алкоголь, после рождения моего сына я задавался вопросом, могу ли я пить теперь, когда я кормила грудью?

В конце концов, я решил не делать этого, но не по той причине, которую вы могли подумать.Мне было трудно начать производство молока, и оказалось, что употребление алкоголя во время грудного вскармливания может еще больше снизить его. (Мы поговорим об этом позже.) Но в целом оказывается, что время от времени выпить бокал вина или пива во время кормления грудью — не проблема для большинства молодых мам.

Алкоголь может попадать в грудное молоко в очень небольших количествах, примерно так же, как концентрация алкоголя в крови, когда вы пьете.

Но не волнуйтесь, питье во время грудного вскармливания не напоит вашего ребенка.Вот как это работает: когда вы пьете алкоголь, он попадает прямо в желудок и тонкий кишечник, где кровеносные сосуды поглощают его в кровоток. В конце концов, он попадает в печень, где ферменты расщепляют алкоголь. Наши системы могут расщеплять примерно 30 грамм алкоголя в час. Любые излишки накапливаются в крови и тканях организма до тех пор, пока печень не сможет их обработать.

Оттуда алкоголь, скопившийся в кровотоке, может перейти в грудное молоко. «Алкоголь свободно проникает в молоко из материнской крови, поэтому он имеет примерно такую ​​же концентрацию, как и концентрация алкоголя в крови матери», — сказал Брендан Х.Граббс, доктор медицины, доцент кафедры клинического акушерства и гинекологии Медицинской школы Кека в Университете Южной Калифорнии, рассказывает SELF.

Другими словами: «Менее 2 процентов алкоголя, выпиваемого матерью, попадает в ее грудное молоко», — рассказывает SELF Эми Шутт, доктор медицины, доцент кафедры акушерства и гинекологии Медицинского колледжа Бейлора. Стоит отметить: младенцы усваивают алкоголь примерно вдвое меньше, чем взрослые (это означает, что алкоголь остается в их организме дольше).

Все это означает, что количество алкоголя, которое может попасть в грудное молоко и ребенка, очень и очень мало. Обзор 41 исследования, опубликованного в журнале Basic & Clinical Pharmacology & Toxicology , говорит, что даже в гипотетических случаях запоя влияние на ребенка не будет значительным. «Если предположить наихудший сценарий, когда мать впадает в запой и принимает четыре порции по 12 граммов чистого алкоголя, а затем кормит ребенка грудью во время максимальной концентрации алкоголя в крови, уровень алкоголя в крови ребенка все равно не будет превышать 0.005 процентов. Представляется биологически неправдоподобным, что случайное воздействие таких количеств должно быть связано с клинически значимыми эффектами для кормящих детей », — говорится в обзоре. (Это не означает, что это рекомендуется, но это хороший способ понять, как алкоголь в вашем организме может повлиять на вашего ребенка.)

Однако даже один или два алкогольных напитка могут временно снизить выработку молока. Несколько небольших исследований также показывают, что употребление алкоголя во время грудного вскармливания может повлиять на сон ребенка.

Реальный эффект употребления алкоголя во время грудного вскармливания может заключаться в том, как алкоголь влияет на процесс грудного вскармливания. Несмотря на то, что фольклор связывает употребление алкоголя с увеличением надоев молока, наука доказала обратное. «Ограниченные данные предполагают, что употребление даже одного алкогольного напитка может уменьшить объем молока на 23 процента, а употребление двух или более алкогольных напитков может препятствовать приливу», — говорит доктор Шутт.

Симптомы, домашние средства и профилактика

Мы включаем продукты, которые, по нашему мнению, полезны для наших читателей.Если вы совершаете покупку по ссылкам на этой странице, мы можем получить небольшую комиссию. Вот наш процесс.

Грудь содержит серию протоков, по которым молоко от молочных желез к соскам кормится грудью. Забитый проток может вызвать сильную боль, отек и зуд.

Исследование 117 кормящих женщин, проведенное в 2011 году, показало, что у 4,5% женщин в какой-то момент в течение первого года грудного вскармливания возникали закупорки протоков. Забитый проток может вызвать мастит, болезненную инфекцию груди.

Хотя закупорка молочного протока может быть болезненной, ее часто можно вылечить домашними средствами. В этой статье мы рассмотрим симптомы и причины закупорки протоков, домашние средства, которые стоит попробовать, и когда обратиться к врачу.

Наиболее частые симптомы закупорки протока включают:

  • боль в определенном месте груди
  • опухшее болезненное уплотнение в груди
  • тепло и припухлость в груди
  • замедление потока молока с одной стороны
  • кожа, которая выглядит бугристой на одном участке
  • небольшая белая точка на соске, называемая молочным пузырем

Иногда закупорка протока может вызвать низкую температуру.Поскольку лихорадка также может возникнуть из-за инфекции груди, людям, которые испытывают лихорадку вместе с болью в груди, следует обратиться к врачу.

Засорение молочных протоков наиболее часто встречается у женщин, кормящих грудью, недавно родивших и решивших не кормить грудью или недавно прекративших грудное вскармливание.

Закупорка протоков более вероятна, если кормящая женщина не полностью дренирует грудь, поскольку это может привести к накоплению молока и закупорке протока.

Женщины, испытывающие другие трудности с грудным вскармливанием, такие как избыточное кормление, ребенок со слабой хваткой или боль, мешающая частому кормлению, более уязвимы для закупорки протоков.

Однако любой, кто кормит грудью, может столкнуться с закупоркой протока. Некоторые факторы риска включают:

  • недавнее изменение режима кормления
  • плохой захват ребенка
  • неполное опорожнение груди во время каждого сеанса кормления
  • нерегулярный график грудного вскармливания
  • короткие или пропущенные сеансы грудного вскармливания
  • давление на грудь из-за неудобного положения для кормления, плотно прилегающей одежды или бюстгальтера на косточках

Иногда люди могут забить молочный проток, не связанный с грудным вскармливанием.

Симптомы закупорки протока обычно можно вылечить дома. Большинство закупоренных протоков рассасываются в течение 1-2 дней независимо от лечения.

Регулярное последовательное кормление грудью — самый быстрый способ устранить закупорку протока. Очень важно полностью опорожнять грудь с забитым протоком во время каждого сеанса кормления грудью. Полностью осушенная грудь кажется более легкой, и при сдавливании вырабатывается мало молока или совсем не выделяется.

Использование молокоотсоса для сцеживания молока после каждого сеанса кормления грудью может помочь, если у ребенка слабый захват или если ребенок не может полностью опорожнить грудь.

Некоторые другие стратегии, которые могут очистить забитый проток и облегчить боль, включают:

  • Применение грелки или теплой ткани на 20 минут за раз. Также может быть полезно, если горячая вода стекает на грудь в душе.
  • Погрузите грудь в теплую ванну с английской солью на 10–20 минут.
  • Изменение положения грудного вскармливания таким образом, чтобы подбородок или нос ребенка были направлены в сторону забитого протока, что облегчает разжижение молока и слив из протока.
  • Кормление ребенка грудью на четвереньках или в любом другом положении, при котором ребенок находится под грудью. Сила тяжести может помочь осушить грудь и удалить засорение.
  • Массируйте засор, начиная прямо над ним и продвигая вниз и наружу к соску.
  • Избегайте защемления или попытки «вытолкнуть» засор.
  • Носить свободную одежду и не носить бюстгальтеры на косточках.

Иногда закупорка протока вызывает сильную боль или не проходит с помощью домашних средств.Забитый проток, который не рассасывается, может привести к маститу, то есть воспалению груди из-за инфекции. Хотя мастит может быть болезненным, врач обычно может лечить его антибиотиками.

Людям не следует пытаться лечить мастит или подозрение на мастит в домашних условиях. Как можно скорее обратиться к врачу для лечения, чтобы снизить риск осложнений.

Английская соль доступна для покупки в Интернете.

Самая важная стратегия предотвращения закупорки протоков — это позволить ребенку полностью опорожнить каждую грудь во время сеанса грудного вскармливания.

Опорожнение груди новорожденному может занять 15–30 минут, поэтому терпение является ключевым моментом.

Некоторые признаки того, что ребенок дренировал грудь, включают:

  • не слышит глотание, когда ребенок сосет
  • грудь становится легче
  • нет ощущения полноты или покалывания в груди

Некоторые другие шаги, которые могут уменьшить к риску засорения протока относятся:

  • носить свободную одежду, такую ​​как удобная рубашка для кормящих и бюстгальтер без косточек
  • избегать положений, которые оказывают сильное давление или вес на грудь
  • кормление грудью по требованию или на регулярный график, позволяющий частое дренирование.

Женщины, у которых имеется избыток грудного молока, а это больше, чем нужно ребенку, имеют более высокий риск развития закупорки протоков.Консультант по грудному вскармливанию может посоветовать, как сократить этот избыточный запас.

Забитый проток может быть болезненным, но это не требует неотложной медицинской помощи.

Соляная кислота это что: Соляная кислота: влияние на экологию и здоровье человека. Справка

Соляная кислота это что: Соляная кислота: влияние на экологию и здоровье человека. Справка

Соляная кислота: влияние на экологию и здоровье человека. Справка

Получают соляную кислоту растворением в воде хлористого водорода, который синтезируют или непосредственно из водорода и хлора или получают действием серной кислоты на хлорид натрия.

Выпускаемая техническая соляная кислота имеет крепость не менее 31% HCl (синтетическая) и 27,5% HCl (из NaCI). Торговую кислоту называют концентрированной, если она содержит 24% и больше HCl, если содержание HCl меньше, то кислота называется разбавленной.

Соляную кислоту применяют для получения хлоридов различных металлов, органических полупродуктов и синтетических красителей, уксусной кислоты, активированного угля, различных клеев, гидролизного спирта, в гальванопластике. Ее применяют для травления металлов, для очистки различных сосудов, обсадных труб буровых скважин от карбонатов, окислов и др. осадков и загрязнений. В металлургии кислотой обрабатывают руды, в кожевенной промышленности – кожу перед дублением и крашением. Соляную кислоту применяют в текстильной, пищевой промышленности, в медицине и т. д.

Соляная кислота играет важную роль в процессах пищеварения, она является составной частью желудочного сока. Разведенную соляную кислоту назначают внутрь главным образом при заболеваниях, связанных с недостаточной кислотностью желудочного сока.

Транспортируют соляную кислоту в стеклянных бутылях или гуммированных (покрытых слоем резины) металлических сосудах, а также в полиэтиленовой посуде.

Соляная кислота очень опасна для здоровья человека. При попадании на кожу вызывает сильные ожоги. Особенно опасно попадание в глаза.

При попадании соляной кислоты на кожные покрытия ее необходимо немедленно смыть обильной струей воды.

Очень опасны туман и пары хлороводорода, образующиеся при взаимодействии с воздухом концентрированной кислоты. Они раздражают слизистые оболочки и дыхательные пути. Длительная работа в атмосфере HCl вызывает катары дыхательных путей, разрушение зубов, помутнение роговицы глаз, изъязвление слизистой оболочки носа, желудочно-кишечные расстройства.
Острое отравление сопровождается охриплостью голоса, удушьем, насморком, кашлем.

В случае утечки или разлива соляная кислота может нанести существенный ущерб окружающей среде. Во-первых, это приводит к выделению паров вещества в атмосферный воздух в количествах превышающих санитарно-гигиенические нормативы, что может повлечь отравление всего живого, а также появлению кислотных осадков, которые могут привести к изменению химических свойств почвы и воды.

Во-вторых, она может просочиться в грунтовые воды, в результате чего может произойти загрязнение внутренних вод.
Там, где вода в реках и озерах стала довольно кислой (рН менее 5) исчезает рыба. При нарушении трофических цепей сокращается число видов водных животных, водорослей и бактерий.

В городах кислотные осадки ускоряют процессы разрушения сооружений из мрамора и бетона, памятников и скульптур. При попадании на металлы соляная кислота вызывает их коррозию, а, реагируя с такими веществами, как хлорная известь, диоксид марганца, или перманганат калия, образует токсичный газообразный хлор.

В случае разлива соляную кислоту смывают с поверхностей большим количеством воды или щелочного раствора, который нейтрализует кислоту.

Материал подготовлен на основе информации открытых источников

Страница не найдена — Портал Продуктов Группы РСС

Сообщите нам свой адрес электронной почты, чтобы подписаться на рассылку новостного бюллетеня. Предоставление адреса электронной почты является добровольным, но, если Вы этого не сделаете, мы не сможем отправить Вам информационный бюллетень. Администратором Ваших персональных данных является Акционерное Общество PCC Rokita, находящееся в Бжег-Дольном (ул. Сенкевича 4, 56-120 Бжег-Дольный, Польша ). Вы можете связаться с нашим инспектором по защите личных данных по электронной почте: .

Мы обрабатываем Ваши данные для того, чтобы отправить Вам информационный бюллетень — основанием для обработки является реализация нашей законодательно обоснованной заинтересованности или законодательно обоснованная заинтересованность третьей стороны – непосредственный маркетинг наших продуктов / продуктов группы PCC .

Как правило, Ваши данные мы будем обрабатывать до окончания нашего с Вами общения или же до момента, пока Вы не выразите свои возражения, либо если правовые нормы будут обязывать нас продолжать обработку этих данных, либо мы будем сохранять их дольше в случае потенциальных претензий, до истечения срока их хранения, регулируемого законом, в частности Гражданским кодексом.

В любое время Вы имеете право:

  • выразить возражение против обработки Ваших данных;
  • иметь доступ к Вашим данным и востребовать их копии;
  • запросить исправление, ограничение обработки или удаление Ваших данных;
  • передать Ваши персональные данные, например другому администратору, за исключением тех случаев, если их обработка регулируется законом и находится в интересах администратора;
  • подать жалобу Президенту Управления по защите личных данных.

Получателями Ваших данных могут быть компании, которые поддерживают нас в общении с Вами и помогают нам в ведении веб-сайта, внешние консалтинговые компании (такие как юридические, маркетинговые и бухгалтерские) или внешние специалисты в области IT, включая компанию Группы PCC .

Больше о том, как мы обрабатываем Ваши данные Вы можете узнать из нашего Полиса конфиденциальности.

Соляная кислота — одна из самых сильных кислот, чрезвычайно востребованный реактив

Соляная кислота — неорганическое вещество, одноосновная кислота, одна из самых сильных кислот. Используются также другие названия: хлористый водород, кислота хлороводородная, кислота хлористоводородная.

Свойства

Кислота в чистом виде представляет собой жидкость без цвета и запаха. Техническая кислота обычно содержит примеси, которые придают ей слегка желтоватый оттенок. Соляную кислоту часто называют «дымящей», так как она выделяет пары хлороводорода, вступающие в реакцию с влагой воздуха и образующие кислотный туман.  

Очень хорошо растворяется в воде. При комнатной температуре максимально возможное по массе содержание хлороводорода —38%. Кислота концентрации большей 24% считается концентрированной.

Хлористоводородная кислота активно вступает в реакции с металлами, оксидами, гидроксидами, образуя соли — хлориды. HCl взаимодействует с солями более слабых кислот; с сильными окислителями и аммиаком.

Для определения соляной кислоты или хлоридов используют реакцию с нитратом серебра AgNO3, в результате которой выпадает белый творожистый осадок.

Техника безопасности

Вещество очень едкое, разъедает кожу, органические материалы, металлы и их окислы. На воздухе выделяет пары хлороводорода, которые вызывают удушье, ожоги кожи, слизистой глаз и носа, повреждают органы дыхания, разрушают зубы. Соляная кислота относится к веществам 2 степени опасности (высокоопасным), ПДК реактива в воздухе составляет 0,005 мг/л. Работать с хлористым водородом можно только в фильтрующих противогазах и защитной одежде, включая резиновые перчатки, фартук, спецобувь.

При разливе кислоты ее смывают большим количеством воды или нейтрализуют щелочным растворами. Пострадавших от кислоты следует вынести из опасной зоны, промыть кожу и глаза водой или содовым раствором, вызвать врача.

Перевозить и хранить хим реактив допускается в стеклянной, пластиковой таре, а также в металлической таре, покрытой изнутри резиновым слоем. Тара должна герметично закрываться.

Получение

В промышленных масштабах соляную кислоту получают из газообразного хлороводорода (HCl). Сам хлороводород производится двумя основными способами:
— экзотермической реакцией хлора и водорода — таким образом получают реактив высокой чистоты, например, для пищевой промышленности и фармацевтики;
— из сопутствующих промышленных газов — кислота на основе такого HCl называется абгазной.

Это любопытно

Именно соляной кислоте природа «поручила» процесс расщепления пищи в организме. Концентрация кислоты в желудке составляет всего 0,4%, но этого оказывается достаточно, чтобы за неделю переварить бритвенное лезвие!

Кислота вырабатывается клетками самого желудка, который защищен от этой агрессивной субстанции слизистой оболочкой. Тем не менее, его поверхность обновляется ежедневно, чтобы восстановить поврежденные участки. Кроме участия в процессе переваривания пищи, кислота выполняет еще и защитную функцию, убивая болезнетворные микроорганизмы, попадающие в организм через желудок.

Применение

— В медицине и фармацевтике — для восстановления кислотности желудочного сока при его недостаточности; при анемии для улучшения всасываемости железосодержащих лекарств.
— В пищепроме это пищевая добавка, регулятор кислотности Е507, а также ингредиент сельтерской (содовой) воды. Используется при изготовлении фруктозы, желатина, лимонной кислоты.
— В химической промышленности — основа для получения хлора, соды, глутамината натрия, хлоридов металлов, например, хлорида цинка, хлорида марганца, хлорида железа; синтеза хлорорганических веществ; катализатор в органических синтезах.
— Больше всего производимой в мире хлористоводородной кислоты расходуется в металлургии для очистки заготовок от окислов. Для этих целей применяется ингибированная техническая кислота, в состав которой введены специальные ингибиторы (замедлители) реакции, благодаря чему реактив растворяет окислы, но не сам металл. Также соляной кислотой травят металлы; очищают их перед лужением, пайкой, гальванированием.
— Обрабатывают кожу перед дублением.
— В добывающей отрасли востребована для очистки буровых скважин от отложений, для обработки руд и горных пластов.
— В лабораторной практике хлористоводородная кислота используется как популярный реактив для аналитических исследований, для очистки сосудов от трудноудаляемых загрязнений.  
— Применяется в каучуковой, целлюлозно-бумажной индустрии, в черной металлургии; для очистки котлов, труб, оборудования от сложных отложений, накипи, ржавчины; для очистки керамических и металлических изделий.

Соляная кислота — физические свойства, использование в травлении при цинковании


Соляная кислота – это раствор хлористого водорода в воде. Хлористый водород (HCl) при обычных условиях бесцветный газ со специфическим острым запахом. Однако мы имеем дело с его водными растворами, поэтому остановимся только на них.

Соляная кислота – бесцветный прозрачный раствор с острым запахом хлористого водорода. В присутствии примесей железа, хлора или других веществ кислота имеет желтовато-зеленый цвет. Плотность раствора соляной кислоты  зависит от концентрации хлористого водорода в ней; некоторые данные приведены в таблице 6.9.

Таблица 6.9. Плотность растворов соляной кислоты различной концентрации при 20°С.

Содержание HCl

Плотность d, г/см3

Содержание HCl

Плотность d, г/см3

%

г/л

%

г/л

4

40,7

1,018

28

319,0

1,139

10

104,7

1,047

30

344,8

1,149

16

174,2

1,078

32

371,0

1,159

20

219,6

1,098

34

397,5

1,169

24

268,5

1,119

36

424,4

1,179

Из этой таблицы видно, что зависимость плотности раствора соляной кислоты от ее концентрации с удовлетворительной для технических расчетов точностью можно описать формулой:

d = 1 + 0,5*(%) / 100 

При кипении разбавленных растворов содержание HCl в парах меньше, чем в растворе, а при кипении концентрированных растворов — больше, чем в растворе, что отражено в приведенной на рис. 6.12 диаграмме равновесия. Постоянно кипящая смесь (азеотроп) при атмосферном давлении имеет состав 20,22 % вес. HCl, температуру кипения 108,6°С.

Наконец, еще одно важное преимущество соляной кислоты — это практически полная независимость времени ее приобретения от времени года. Как видно из рис. № 6.13, кислота промышленной концентрации (32-36%) замерзает при температурах, практически недостижимых для европейской части России (от -35 до -45°С), в отличие от серной кислоты, которая замерзает при плюсовых температурах, что требует введения операции разогрева цистерн.

Соляная кислота не обладает недостатками, присущими серной кислоте.

Во-первых, хлористое железо обладает повышенной растворимостью в растворе соляной кислоты (рис. 6.14), что позволяет поднять концентрацию хлористого железа в растворе до величины 140 г/л и даже больше; исчезает опасность образования осадка на поверхности.

Работа с соляной кислотой может осуществляться при любой температуре внутри здания (даже при 10°С), и это не вызывает заметных изменений в составе раствора.

Рис. 6.12. Диаграмма равновесия жидкость – пар для системы HCl – H2O.

Рис. 6.13. Диаграмма состояния (плавкости) системы HCl–H2O.

Рис. 6.14. Равновесие в системе HCl – FeCl2.

Наконец, еще очень важное преимущество соляной кислоты — это полная совместимость с флюсом, в котором используются именно хлориды.

Некоторым недостатком соляной кислоты как реактива является высокая летучесть. Нормативами допускается концентрация 5 мг/м3 объема воздуха в цехе. Зависимость упругости паров в равновесном состоянии над кислотой различной процентной концентрации дана в таблице 6.10. В целом при концентрации кислоты в ванне менее 15% масс это условие удовлетворяется. Однако при повышении температур в цехе (то есть в летнее время) возможно превышение этого показателя. Определенную информацию о том, какая концентрация кислоты при конкретной температуре цеха допустима, можно определить из рис. 6.15.

Зависимость скорости травления от концентрации и температуры отображена на рис. 6.16.

Недостатки травления обычно вызываются следующим:

  • использованием кислоты с большей или меньшей концентрацией, по сравнению с оптимальной;
  • малой длительностью травления (ожидаемую длительность травления при разных концентрациях кислоты и железа можно оценить из рис. 6.17;
  • пониженной температурой по сравнению с оптимальной;
  • отсутствием перемешивания;
  • ламинарным движением травильного раствора.

Эти проблемы обычно решаются с помощью конкретных технологических приемов.

Таблица 6.10. Зависимость равновесной концентрации хлористого водорода от концентрации кислоты в ванне.

Концентрация кислоты, %

Концентрация HСl в воздухе, мг/м3

Концентрация кислоты, %

Концентрация HСl в воздухе, мг/м3

26

18 500 (20°C)

16

200 (20°C)

24

4 500 (20°C)

10

16 (30°C)

20

800 (30°C)

6

3 (30°C)

Рис. 6.15. Зависимость разрешенной температуры травления от концентрации соляной кислоты в ванне.

Рис. 6.16. Зависимость скорости травления изделий в соляной кислоте от концентрации и температуры раствора.

Рис. 6.17. Номограмма для расчета продолжительности травления изделий в растворах с различной концентрацией HCl и FeCl2.

Возможно Вас так же заинтересуют следующие статьи: comments powered by HyperComments

Соляная кислота прекурсор \ Акты, образцы, формы, договоры \ Консультант Плюс

]]>

Подборка наиболее важных документов по запросу Соляная кислота прекурсор (нормативно–правовые акты, формы, статьи, консультации экспертов и многое другое).

Статьи, комментарии, ответы на вопросы: Соляная кислота прекурсор Открыть документ в вашей системе КонсультантПлюс:
Статья: Предмет наркопреступлений: подходы к его определению
(Ролик А. И.)
(«Lex russica», 2016, N 12)Есть у некоторых исследователей претензии и к самому перечню прекурсоров. Так, А.Я. Кромовой представляется не вполне целесообразным привлечение к уголовной ответственности лиц, ввозящих или вывозящих с территории РФ уксусную кислоту. Уксусная кислота маркируется как пищевая добавка Е260 и широко используется в пищевой промышленности, бытовой кулинарии, а также в консервировании. Ацетон также находит применение в пищевой промышленности и быту, а серная и соляная кислота применяются во всем народном хозяйстве. В связи с изложенным указанный автор предлагает исключить уксусную кислоту, ацетон, серную и соляную кислоты из Списка IV, содержащего перечень прекурсоров . Полагаем, что делать этого не стоит, поскольку при манипуляциях с данными веществами «двойного назначения» преступник четко осознает, что вовлекает их в незаконный оборот именно как прекурсоры с целью совершения наркопреступлений. И наоборот, использование тех же веществ в бытовых целях исключает уголовную ответственность за наркопреступления. Открыть документ в вашей системе КонсультантПлюс:
«Комментарий к Федеральному закону от 8 января 1998 г. N 3-ФЗ «О наркотических средствах и психотропных веществах»
(постатейный)
(Афанасьева О.Р., Бадальянц Э.Ю., Болотин В.С., Грибанов Е.В., Шиян В.И., Щербаков А.Д., Беляев М.А., Вяземская А.А.)
(Подготовлен для системы КонсультантПлюс, 2017)7) регистрация в специальных журналах любых операций с прекурсорами. Постановлением Правительства РФ от 9 июня 2010 г. N 419 утверждены Правила ведения и хранения специальных журналов регистрации операций, связанных с оборотом прекурсоров наркотических средств и психотропных веществ. Ведение соответствующих журналов предусмотрено при осуществлении любых видов деятельности, связанных с оборотом прекурсоров. Все операции, при которых изменяется количество прекурсоров, подлежат занесению в специальный журнал регистрации операций. Данные Правила не распространяются на ведение и хранение журналов в случаях, когда разрешается использование прекурсоров без лицензии в соответствии со ст. 35 и 36 комментируемого Закона. Также в них установлены упрощенные правила для порядка регистрации операций по отпуску, реализации, приобретению или использованию ряда прекурсоров (диэтилового эфира, ацетона, толуола, соляной кислоты, уксусной кислоты и др.).

Нормативные акты: Соляная кислота прекурсор Открыть документ в вашей системе КонсультантПлюс:
Минздравсоцразвития России от 20.12.2006 N 6811-ВС
Приобретение прекурсоров рекомендуем оформлять в день приема отметкой в приходной части журнала регистрации операций (графы 3 — 5). В случае если расход (отпуск, реализация или использование в медицинских и научных целях, в экспертной деятельности) за месяц таких прекурсоров, как перманганат калия, ацетон, серная и соляная кислоты (всех концентраций) не превышает 10 кг, ежедневная отметка в журнале регистрации операций, связанных с оборотом прекурсоров, не производится. В графе 14 расходной части журнала отмечается общий расход за месяц, который определяется на основании подтверждающих документов (чековая лента, лабораторно-фасовочный журнал, журнал проведения исследований и др.). Подшивка расходных документов в этом случае не производится.

Соляная кислота. Кислородсодержащие кислоты

Соляная кислота HCl

Цистерна с соляной кислотой

Соляная кислота — одна из сильных одноосновных кислот и образуется при растворении газа хлороводорода (HCl) в воде, — прозрачная бесцветная жидкость с характерным запахом хлора. Разбавленная соляная кислота (также как и фосфорная) часто применяется для снятия оксидов при пайке металлов.

Иногда газообразное соединение HCl ошибочно называют соляной кислотой. HCl — это газ, который при растворении в воде образует соляную кислоту.

Хлороводород — бесцветный газ с резким удушливым запахом хлора. Он переходит в жидкое состояние при -840C, а при -1120C — переходит в твёрдое состояние.

Хлороводород очень хорошо растворяется в воде. Так при 00C в 1л воды растворяется 500л хлороводорода.
В сухом состоянии газ хлороводород достаточно инертный, но уже может взаимодействовать с некоторыми органическими веществами, например с ацетиленом (газ, который выделяется при опускании карбида в воду).

Химические свойства соляной кислоты

— химическая реакция с металлами:
2HCl + Zn =ZnCl2 + H2 — образуется соль (в данном случае прозрачный раствор хлорид цинка) и водород
— химическая реакция с оксидами металлов:
2HCl + CuO = CuCl2 + H2O — образуется соль (в данном случае раствор соли зёленого хлорида меди) и вода
— химическая реакция с основаниями и щелочами (или реакция нейтрализации)
HCl + NaOH = NaCl + H2O — реакция нейтрализации, -образуется соль (в данном случае прозрачный раствор хлорид натрия) и вода.
— химическая реакция с солями (например, c мелом СaCO3):
HCl + СaCO3 = CaCl2 + CO2 + H2O — образуется углекислый газ, вода и прозрачный раствор хлорида кальция CaCl2.

Получение соляной кислоты

Соляную кислоту получают с помощью химической реакции соединения:

H2 + Cl2 = HCl — реакция происходит при повышенной температуре

А также при взаимодействии поваренной соли и концентрированной серной кислотой:

H2SO4 (конц.) + NaCl = NaHSO4 + HCl

В этой реакции, если вещество NaCl — в твёрдом виде, то HCl — это газ хлороводород, который при растворении в воде образует соляную кислоту

Кислородсодержащие кислоты

Соляная кислота

Существуют сложные химические вещества, по химическому строению сходные с соляной кислотой, но при этом содержащие в молекуле от одного до четырёх атомов кислорода. Эти вещества можно назвать кислородсодержащими кислотами. С повышением числа атомов кислорода увеличивается стойкость кислоты и её окислительная способность.

К кислородсодержащим кислотам слудующие:

  • хлорноватистая (HClO),
  • хлористая (HClO2),
  • хлорноватая (HClO3),
  • хлорная (HClO4).

Каждое из этих химических сложных веществ обладает всеми свойствами кислот и способна образовывать соли. Хлорноватистая кислота (HClO) образует гипохлориты, например, соединение NaClO — гипохлорит натрия. Сама хлорноватистая кислота образуется при растворении хлора в холодной воде по химической реакции:

H2O + Cl2 = HCl + HClO,

Как видите, в этой реакции образуется сразу две кислоты — соляная HCl и хлорноватистая HClO. Но последняя — нестойкое химическое соединение и постепенно переходит в соляную кислоту;

Хлористая HClO2 образует хлориты, соль NaClO2 — хлорит натрия;
хлорноватая (HClO3) — хлораты, соединение KClO3, — хлорат калия (или бертолетова соль)- кстати, это вещество широко применяется при изготовления спичек.

И наконец самая сильная из известных одноосновных кислот — хлорная (HClO4) — бесцветная, дымящаяся на воздухе, сильно гигроскопичная жидкость, — образует перхлораты, например, KClO4 — перхлорат калия.

Соли, образованные хлорноватистой HClO и хлористой HClO2 кислотами, в свободном состоянии не устойчивы и являются сильными окислителями в водных растворах. А вот соли, образованные хлорноватой HClO3 и хлорной HClO4 кислотами на основании щелочных металлов (например, таrже бертолетова соль KClO3), — достаточно устойчивы и не проявляют окислительных свойств.

Соляная кислота — Medum.ru

Соляная кислота (пищевая добавка Е507) — раствор хлороводорода (HCl) в воде, сильная одноосновная кислота. Бесцветная, прозрачная, едкая жидкость, «дымящаяся» на воздухе (техническая соляная кислота — желтоватого цвета из-за примесей железа, хлора и пр.). В концентрации около 0,5 % присутствует в желудке человека. Соли соляной кислоты называются хлоридами.

Получают абсорбцией хлороводорода водой. Хлористоводородная кислота, получаемая при производстве хлорированных углеводородных инсектицидов, считается непригодной для использования в пищевых продуктах. Примеси: сульфаты.

Пищевая добавка Е507 относится к регуляторам кислотности синтетического происхождения, используется в технологических целях в процессе производства пищевых продуктов.

Историческая справка

Впервые это вещество было обнаружено алхимиками около 800 г.н.э., путём смешивания поваренной соли с серной кислотой, и получила название «купорос». Иоганн Глаубер в ⅩⅦ в. получил соляную кислоту из поваренной соли и серной кислоты. В 1790 году британский химик Гемфри Дэви получил хлороводород из водорода и хлора, таким образом установив его состав. Возникновение промышленного производства соляной кислоты связано с технологией получения карбоната натрия: на первой стадии этого процесса поваренную соль вводили в реакцию с серной кислотой, в результате чего выделялся хлороводород. В 1863 году в Англии был принят закон «Alkali Act», согласно которому запрещалось выбрасывать этот хлороводород в воздух, а необходимо было пропускать его в воду. Это привело к развитию промышленного производства соляной кислоты. Дальнейшее развитие произошло благодаря промышленным методам получения гидроксида натрия и хлора путём электролиза растворов хлорида натрия.

Влияние на организм человека

Контакт с соляной кислотой может привести к негативным последствиям. Из-за того, что это едкое вещество, следует избегать попаданий Е507 на открытые участки кожи и слизистые оболочки, в противном случае может образоваться сильный ожог. Наибольшую опасность кислота представляет для глаз. В момент раскупоривания сосуда с соляной кислотой, мгновенно выделяются пары хлороводорода и образуется туман, вдыхание которых ведёт к сильному раздражению дыхательных путей и слизистых оболочек, удушью. Вступая в реакцию с хлорной известью, перманганатом калия или диоксидом марганцы, Е507 образует очень токсичный и опасный газообразный хлор. Тем не менее, слабые растворы Е507, используемые в пищевой промышленности, человеческому здоровью ничем не грозят.

Соляная кислота — входит в состав желудочного сока, поэтому иногда её слабоконцентрированный раствор назначают при недостаточной кислотности желудочного сока.

Применение

Пищевая промышленность

В качестве катализатора гидролиза белков и углеводов.

В производстве инвертного сиропа кислоту используют в виде 25 %-го или 10 %-го раствора. К охлаждённому до 80–90 °C сахарному сиропу добавляют раствор кислоты и выдерживают при этой температуре в течение 60 минут (25 %-й р-р кислоты) или 15–25 минут (10 %-й раствор кислоты) при перемешивании. Расход 25 %-го раствора кислоты составляет 1,1 кг или 0,817 л на 1 т сахара. Количество 10 %-го раствора кислоты в зависимости от качества сахара изменяется в пределах 0,15–0,3 % от массы сахара: при использовании рафинированного сахара достаточно 0,15 %, а для сахарного песка требуется 0,2–0,3 %. Используется для подкисления мелассного сусла в производстве спирта.

Соляная кислота по ГОСТ 3118-77 «Кислота соляная. Технические условия» внесена в перечень сырья в ГОСТ 12712-80 «Водки и водки особые. Технические условия».

Промышленность

Применяется в гидрометаллургии и гальванопластике (травление, декапирование), для очистки поверхности металлов при пайке и лужении, для получения хлоридов цинка, марганца, железа и других. металлов. В смеси с поверхностно-активными веществами используется для очистки керамических и металлических изделий (тут необходима ингибированная кислота) от загрязнений и дезинфекции.

Медицина

Естественная составная часть желудочного сока человека. В концентрации 0,3–0,5 %, обычно в смеси с ферментом пепсином, назначается внутрь при недостаточной кислотности.

Кислота соляная


2

Соляная кислота повышает активность катализатора

25 августа 2020 г. — Исследовательская группа разработала процесс синтеза, который резко увеличивает активность катализаторов обессеривания сырой нефти. Возможно, новый процесс можно было бы использовать и для катализаторов …


Секреты жуткой фотографической техники

Октябрь30, 2019 — В 1960-х годах французский художник по имени Жан-Пьер Судр начал экспериментировать с малоизвестным фотографическим процессом XIX века, создавая драматические черно-белые фотографии с неземной вуалью …


Расшифровка механизма: как органические кислоты образуются в атмосфере

12 мая 2021 года — кислотность атмосферы все больше определяется углекислым газом и органическими кислотами, такими как муравьиная кислота. Второе из них влияет на рост облаков и pH дождевой воды. Но химический …


Включение и выключение цвета пористого материала с помощью кислоты

8 февраля 2019 г. — Стабильный изменяющий цвет состав демонстрирует потенциал для электроники, датчиков и газа …


Катализатор превращения биомассы в биотопливо

1 июля 2021 г. — цеолиты — чрезвычайно пористые материалы: десять граммов могут иметь площадь внутренней поверхности размером с футбольное поле. Их полости делают их полезными в катализе химических реакций и, следовательно, в экономии…


«Терминаторский» жидкий металл движется и растягивается в трехмерном пространстве

20 марта 2019 г. — Во франшизе блокбастера «Терминатор» злой робот трансформируется в различные человеческие формы и объекты и просачивается сквозь узкие отверстия благодаря своему «жидкому металлу» …


LED-Ing the Way: чистый и удобный метод окисления пластиковых поверхностей для промышленности

11 июня 2019 г. — Исследовательская группа использовала диоксид хлора для окисления полипропилена. Под облучением светодиодами радикалы ClO2 * атакуют метильные группы полипропилена, превращая их в карбоновую кислоту. C-H …


Предотвращение разрушения бетонных мостов

19 декабря 2018 г. — В новом исследовании изучается неблагоприятное воздействие адсорбции компонентов природного газа, обнаруженных в окружающей среде, и смесей нескольких таких газов одним из материалов, из которых состоит …


Доставка грузов полимерами

Янв.22 февраля 2021 г. — Разлагаемые полимеры на биологической основе предлагают варианты химической переработки и могут быть инструментом для хранения и высвобождения полезных молекул. Ученые разработали класс полимеров на основе сахара, которые …


Производство водорода с меньшим расходом энергии

22 июня 2021 г. — Теперь подробно описан способ, которым соединение, вдохновленное природой, производит водород. Эти результаты являются основой для энергоэффективного производства водорода как экологически безопасного. ..


Соляная кислота — Энциклопедия Нового Света

Соляная кислота
Общие
Систематическое название соляная кислота
Другие названия Соляная кислота, Солевой спирт
Химическая формула HCl в воде (H 2 O)
Молярная масса 36.46 г / моль (HCl)
Внешний вид Бесцветный прозрачный до
светло-желтая жидкость
Номер CAS [7647-01-0]
Недвижимость
Плотность, фаза 1,18 г / см³,
37% раствор.
Растворимость в воде Полностью смешивается.
Точка плавления −26 ° C (247 K)
38% раствор.
Температура кипения 110 ° С (383 К),
20.2% раствор;
48 ° C (321 K),
38% раствор.
Кислотная диссоциация
константа p K a
−8,0
Вязкость 1,9 мПа · с при 25 ° C,
31,5% раствор
Опасности
Паспорт безопасности Внешний паспорт безопасности материала
NFPA 704

0

3

1


32–38% раствор
Основные опасности Сильно агрессивный.
Температура вспышки Невоспламеняющийся.
R / S заявление R34, R37,
S26, S36, S45
Номер RTECS MW4025000
Страница дополнительных данных
Структура и
свойства
n , ε r и т. Д.
Термодинамические данные
Фазовое поведение
Твердое, жидкое, газовое
Спектральные данные УФ, ИК, ЯМР, МС
Родственные соединения
Анионы прочие HF, HBr, HI
Прочие катионы Н / Д
Родственные кислоты Бромистоводородная кислота
Плавиковая кислота
Йодистоводородная кислота
Серная кислота
Если не указано иное, данные приведены для материалов
в их стандартном состоянии (при 25 ° C, 100 кПа)
Заявление об отказе от ответственности и ссылки в Infobox

Химическое соединение соляная кислота (или соляная кислота ) представляет собой водный (водный) раствор газообразного хлористого водорода (HCl).Эта сильная кислота очень агрессивна, и при обращении с ней необходимо соблюдать соответствующие меры безопасности. Это основной компонент желудочной кислоты. Он обычно используется в химических исследовательских лабораториях и на производственных предприятиях. Его применение включает крупномасштабное производство определенных соединений (таких как винилхлорид для поливинилхлоридного (ПВХ) пластика), удаление ржавчины и окалины с металлов, добычу нефти и переработку руды. Меньшие масштабы включают производство желатина и других ингредиентов в продуктах питания, а также обработку кожи.Ежегодно производится около 20 миллионов метрических тонн соляной кислоты.

История

Соляная кислота была впервые обнаружена около 800– гг. г. н. Э. Алхимиком Джабиром ибн Хайяном (Гебер) путем смешивания поваренной соли с купоросом (серной кислотой). Джабир открыл многие важные химические вещества и записал свои открытия в более чем 20 книгах, в которых на протяжении сотен лет содержались его химические знания о соляной кислоте и других основных химических веществах. Изобретение Джабиром растворяющей золото царской водки, состоящей из соляной и азотной кислот, вызвало большой интерес у алхимиков, искавших философский камень.

Джабир ибн Хайян, средневековый рукописный рисунок.

В средние века соляная кислота была известна европейским алхимикам как спирт соли или acidum salis. Газообразный HCl получил название морской кислый воздух. Старое (досистематическое) название соляная кислота имеет то же происхождение ( соляная кислота означает «относящийся к рассолу или соли»), и это название иногда используется до сих пор. Известное производство было зарегистрировано Базилием Валентином, каноником-алхимиком бенедиктинского монастыря Санкт-Петер в Эрфурте, Германия, в пятнадцатом веке.В семнадцатом веке Иоганн Рудольф Глаубер из Карлштадта-на-Майне, Германия, использовал хлорид натрия и серную кислоту для получения сульфата натрия в процессе Мангейма, выделяя газообразный хлористый водород. Джозеф Пристли из Лидса, Англия, получил чистый хлористый водород в 1772 году, а в 1818 году Хэмфри Дэви из Пензанса, Англия, доказал, что химический состав включает водород и хлор.

Во время промышленной революции в Европе спрос на щелочные вещества, такие как кальцинированная сода, увеличился, и новый промышленный процесс производства соды Николя Леблан (Иссундан, Франция) сделал возможным дешевое крупномасштабное производство.В процессе Леблана соль превращается в кальцинированную соду с использованием серной кислоты, известняка и угля. Хлористый водород выделяется как побочный продукт. До Закона о щелочах 1863 года избыток HCl сбрасывался в воздух. После принятия закона производители кальцинированной соды были обязаны поглощать отработанный газ водой, производя соляную кислоту в промышленных масштабах.

Когда в начале двадцатого века процесс Leblanc был эффективно заменен процессом Solvay без побочного продукта соляной кислоты, соляная кислота уже полностью утвердилась в качестве важного химического вещества во многих областях применения.Коммерческий интерес инициировал другие методы производства, которые все еще используются сегодня, как описано ниже. Сегодня большая часть соляной кислоты производится путем абсорбции хлористого водорода из промышленных органических соединений.

Соляная кислота включена в список прекурсоров Таблицы II в соответствии с Конвенцией о борьбе с незаконным оборотом наркотических средств и психотропных веществ 1988 года из-за ее использования в производстве таких наркотиков, как героин, кокаин и метамфетамин.

Химия

Кислотное титрование.

Хлористый водород (HCl) представляет собой монопротоновую кислоту, что означает, что каждая молекула может диссоциировать (ионизировать) только один раз с высвобождением одного иона H + (одного протона). В водной соляной кислоте H + присоединяется к молекуле воды с образованием иона гидроксония, H 3 O + :

HCl + H 2 O ⇌ H 3 O + + Cl
Молекулярная модель хлористого водорода.

Другой образующийся ион — это хлорид-ион Cl . Поэтому соляную кислоту можно использовать для получения солей, называемых хлоридами , , такими как хлорид натрия. Соляная кислота — сильная кислота, так как полностью диссоциирует в воде.

Монопротоновые кислоты имеют одну константу кислотной диссоциации, K a , которая указывает уровень диссоциации в воде. Для сильной кислоты, такой как HCl, K a больше. Были предприняты теоретические попытки отнести K к к HCl. Когда хлоридные соли, такие как NaCl, добавляются к водной HCl, они практически не влияют на pH, что указывает на то, что Cl является чрезвычайно слабым сопряженным основанием и что HCl полностью диссоциирует в водном растворе.Для средних и сильных растворов соляной кислоты предположение о том, что молярность H + (единица концентрации) равна молярности HCl, является превосходным и соответствует четырем значащим цифрам.

Из семи распространенных сильных кислот в химии, все они неорганические, соляная кислота является монопротоновой кислотой, которая с наименьшей вероятностью вступает в мешающую окислительно-восстановительную реакцию. Это одна из наименее опасных для обращения сильных кислот; несмотря на свою кислотность, он производит менее реактивные и нетоксичные хлорид-ионы.Растворы соляной кислоты средней концентрации достаточно стабильны, сохраняя свою концентрацию с течением времени. Эти характеристики, а также тот факт, что он доступен в виде чистого реагента, означают, что соляная кислота является отличным подкисляющим реагентом и кислотным титрантом (для определения количества неизвестного количества основания при титровании). Титранты с сильными кислотами полезны, потому что они дают более четкие конечные точки при титровании, что делает титрование более точным. Соляная кислота часто используется в химическом анализе и для переваривания образцов для анализа.Концентрированная соляная кислота растворяет некоторые металлы с образованием окисленных хлоридов металлов и газообразного водорода. Он будет производить хлориды металлов из основных соединений, таких как карбонат кальция или оксид меди (II). Он также используется в качестве простого кислотного катализатора некоторых химических реакций.

Физические свойства

Физические свойства соляной кислоты, такие как точки кипения и плавления, плотность и pH, зависят от концентрации или молярности HCl в растворе кислоты. Они могут варьироваться от значений для воды при 0% HCl до значений для дымящей соляной кислоты при более 40% HCl.

Конц. (по массе)
c: кг HCl / кг
Конц. (вес / объем)
c: кг HCl / м 3
Конц.
Baumé
Плотность
ρ: кг / л
Молярность
M
pH
Вязкость
η: мПа · с
Удельная
теплота

с: кДж / (кг · К)
Пар
давление

P HCl : Па
точка кипения
точка

б.п.
точка плавления

т. пл.
10% 104,80 6,6 1.048 2,87 млн ​​ -0,5 1,16 3,47 0,527 103 ° С -18 ° С
20% 219.60 13 1,098 6,02 млн -0,8 1,37 2,99 27,3 108 ° С -59 ° С
30% 344.70 19 1,149 9,45 млн -1,0 1,70 2,60 1,410 90 ° С -52 ° С
32% 370,88 20 1,159 10,17 млн ​​ -1,0 1,80 2,55 3,130 84 ° С -43 ° С
34% 397,46 21 1,169 10. 90 млн -1,0 1,90 2,50 6 733 71 ° С -36 ° С
36% 424,44 22 1,179 11,64 млн -1,1 1,99 2,46 14 100 61 ° С -30 ° С
38% 451,82 23 1,189 12,39 млн -1,1 2.10 2,43 28 000 48 ° С -26 ° С
Исходные температура и давление для приведенной выше таблицы составляют 20 ° C и 1 атмосферу (101 кПа).

Соляная кислота как бинарная (двухкомпонентная) смесь HCl и H 2 O имеет азеотроп с постоянным кипением при 20,2 процента HCl и температуре 108,6 ° C (227 ° F). Существует четыре эвтектических точки постоянной кристаллизации для соляной кислоты между кристаллической формой HCl · H 2 O (68 процентов HCl), HCl · 2H 2 O (51 процент HCl), HCl · 3H 2 O (41 процент HCl), HCl · 6H 2 O (25 процентов HCl) и лед (0 процентов HCl). Также существует метастабильная точка эвтектики на уровне 24,8% между льдом и кристаллизацией HCl · 3H 2 O

Производство

Соляная кислота получается растворением хлористого водорода в воде. Хлористый водород может образовываться разными способами, и, таким образом, существует несколько различных предшественников соляной кислоты. Крупномасштабное производство соляной кислоты почти всегда интегрируется с производством других химических веществ в промышленных масштабах.

Промышленный рынок

Соляная кислота производится в растворах с содержанием HCl до 38% (концентрированная).Химически возможны более высокие концентрации до чуть более 40 процентов, но при этом скорость испарения настолько высока, что при хранении и обращении требуются дополнительные меры предосторожности, такие как давление и низкая температура. Таким образом, массовая продукция промышленного класса составляет от 30 до 34 процентов, что оптимизировано для эффективной транспортировки и ограниченной потери продукта парами HCl. Растворы для бытовых целей, в основном для очистки, обычно составляют от 10 до 12 процентов, при этом настоятельно рекомендуется разбавлять их перед использованием.

Основные производители по всему миру включают Dow Chemical с производительностью 2 млн метрических тонн в год (2 млн тонн в год) в пересчете на газ HCl и FMC, Georgia Gulf Corporation, Tosoh Corporation, Akzo Nobel и Tessenderlo с производительностью 0.От 5 до 1,5 млн т / год каждая. Общее мировое производство, в целях сравнения, выраженное в HCl, оценивается в 20 Мт / год, из которых 3 Мт / год — за счет прямого синтеза, а остальная часть — как вторичный продукт в результате органического и аналогичного синтезов. Безусловно, больше всего соляной кислоты потребляется производителем самостоятельно. Объем открытого мирового рынка оценивается в 5 млн т / год.

Приложения

Соляная кислота — сильная неорганическая кислота, которая используется во многих промышленных процессах. Приложение часто определяет необходимое качество продукта.

Регенерация ионообменников

Важным применением высококачественной соляной кислоты является регенерация ионообменных смол. Катионный обмен широко используется для удаления ионов, таких как Na + и Ca 2+ , из водных растворов с получением деминерализованной воды.

Na + заменяется на H 3 O +
Ca 2+ заменяется на 2 H 3 O +

Ионообменники и деминерализованная вода используются во всех химических производствах, производстве питьевой воды и многих пищевых отраслях.

Контроль и нейтрализация pH

Соляная кислота часто применяется для регулирования щелочности (pH) растворов.

OH + HCl → H 2 O + Cl

В промышленности, требующей чистоты (пищевая, фармацевтическая, питьевая вода), для контроля pH используется высококачественная соляная кислота. потоков технологической воды. В менее требовательных отраслях промышленности соляной кислоты технического качества достаточно для нейтрализации стоков и очистки бассейнов.

Травление стали

Травление является важным этапом обработки поверхности металла для удаления ржавчины или окалины оксида железа с железа или стали перед последующей обработкой, такой как экструзия, прокатка, гальваника и другие методы. HCl технического качества с концентрацией обычно 18 процентов является наиболее часто используемым травильным агентом для травления марок углеродистой стали.

Fe 2 O 3 + Fe + 6 HCl → 3 FeCl 2 + 3 H 2 O

Отработанная кислота долгое время повторно использовалась в качестве растворов хлорида железа, но высокие уровни тяжелых металлов в травильном растворе уменьшили эту практику.

Однако в последние годы промышленность травления стали разработала процессы регенерации соляной кислоты, такие как распылительный обжиговой аппарат или процесс регенерации HCl в псевдоожиженном слое, которые позволяют извлекать HCl из отработанного травильного раствора. Самый распространенный процесс регенерации — это процесс пирогидролиза, по следующей формуле:

4 FeCl 2 + 4 H 2 O + O 2 → 8 HCl + 2 Fe 2 O 3

За счет рекуперации отработанной кислоты образуется замкнутый кислотный цикл. учредил.Оксид железа, являющийся побочным продуктом процесса регенерации, является ценным побочным продуктом, используемым во множестве вторичных производств.

HCl не является обычным травильным агентом для марок нержавеющей стали.

Производство неорганических соединений

Многочисленные продукты могут быть получены с соляной кислотой в обычных кислотно-основных реакциях, приводящих к неорганическим соединениям. К ним относятся химические вещества для обработки воды, такие как хлорид железа (III) и хлорид полиалюминия (PAC).

Fe 2 O 3 + 6 HCl → 2 FeCl 3 + 3 H 2 O

Хлорид железа (III) и ПАУ используются в качестве флокулянтов и коагуляторов в сточных водах очистка, производство питьевой воды и производство бумаги.

Другие неорганические соединения, производимые с соляной кислотой, включают хлорид кальция, хлорид никеля (II) для гальваники и хлорид цинка для гальванической промышленности и производства аккумуляторов.

Производство органических соединений

Наибольшее потребление соляной кислоты приходится на производство органических соединений, таких как винилхлорид для ПВХ и MDI и TDI для полиуретана. Часто это внутреннее использование с потреблением соляной кислоты местного производства, которая никогда не попадает на открытый рынок.Другие органические соединения, полученные с помощью соляной кислоты, включают бисфенол А для поликарбоната, активированный уголь и аскорбиновую кислоту, а также многочисленные фармацевтические продукты.

Другие приложения

Соляная кислота является основным химическим веществом, и поэтому она используется в большом количестве небольших применений, таких как обработка кожи, уборка дома и строительство зданий. Кроме того, способ стимулирования добычи нефти заключается в закачке соляной кислоты в породу нефтяной скважины, растворении части породы и создании крупнопористой структуры. Кислотная обработка нефтяных скважин — распространенный процесс в нефтедобывающей промышленности Северного моря.

Многие химические реакции с участием соляной кислоты применяются в производстве продуктов питания, пищевых ингредиентов и пищевых добавок. Типичные продукты включают аспартам, фруктозу, лимонную кислоту, лизин, гидролизованный (растительный) белок в качестве пищевого усилителя и при производстве желатина. Пищевая (особо чистая) соляная кислота может применяться при необходимости для конечного продукта.

Физиология и патология

Соляная кислота составляет большую часть желудочного сока, пищеварительной жидкости человека.В сложном процессе и при большой энергетической нагрузке он секретируется париетальными клетками (также известными как оксинтические клетки). Эти клетки содержат обширную секреторную сеть (называемую канальцами), из которой HCl секретируется в просвет желудка. Они являются частью фундальных желез (также известных как кислородные железы) в желудке.

Защитными механизмами, предотвращающими повреждение эпителия пищеварительного тракта соляной кислотой, являются:

  • Отрицательные регуляторы его выпуска
  • Толстый слой слизи, покрывающий эпителий
  • Бикарбонат натрия, секретируемый эпителиальными клетками желудка и поджелудочной железой
  • Строение эпителия (плотные контакты)
  • Достаточное кровоснабжение
  • Простагландины (много разных эффектов: они стимулируют секрецию слизи и бикарбоната, поддерживают целостность эпителиального барьера, обеспечивают адекватное кровоснабжение, стимулируют заживление поврежденной слизистой оболочки)

Когда по разным причинам эти механизмы не работают, изжога или пептический могут развиться язвы.Препараты, называемые ингибиторами протонной помпы, не позволяют организму вырабатывать избыток кислоты в желудке, в то время как антациды нейтрализуют имеющуюся кислоту.

В некоторых случаях в желудке вырабатывается недостаточно соляной кислоты. Эти патологические состояния обозначаются терминами гипохлоргидрия и ахлоргидрия. Потенциально они могут привести к гастроэнтериту.

Химическое оружие

Фосген (COCl 2 ) был обычным боевым химическим веществом, используемым во время Первой мировой войны. Основной эффект фосгена возникает в результате растворения газа в слизистых оболочках глубоко в легких, где он превращается путем гидролиза в угольную кислоту и агрессивная соляная кислота.Последний разрушает альвеолярно-капиллярные мембраны, так что легкое заполняется жидкостью (отек легких).

Соляная кислота также частично ответственна за вредное воздействие горчичного газа или образование пузырей. В присутствии воды, например, на влажной поверхности глаз или легких, горчичный газ распадается с образованием соляной кислоты.

Безопасность

Этикетки для опасных грузов

Соляная кислота в высоких концентрациях образует кислые туманы.И туман, и раствор оказывают разъедающее действие на ткани человека, потенциально повреждая органы дыхания, глаза, кожу и кишечник. При смешивании соляной кислоты с обычными окислителями, такими как отбеливатель (NaClO) или перманганат (KMnO 4 ), образуется токсичный газовый хлор. Чтобы свести к минимуму риски при работе с соляной кислотой, следует принять соответствующие меры предосторожности, в том числе надеть резиновые или ПВХ перчатки, защитные очки и химически стойкую одежду.

Опасность растворов соляной кислоты зависит от концентрации.В следующей таблице приведена классификация растворов соляной кислоты ЕС:

Концентрация
по весу
Классификация R-фраз
10% –25% Раздражающий ( Xi ) R36 / 37/38
> 25% Коррозийный ( C ) R34 R37

См. Также

Список литературы

  • Чанг, Раймонд.2006. Химия, 9 изд. Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 0073221031.
  • Коттон, Ф. Альберт и Джеффри Уилкинсон. 1980. Продвинутая неорганическая химия, 4-е изд. Нью-Йорк: Вили. ISBN 0471027758.
  • Гайтон, Артур К. и Джон Э. Холл. 2000. Учебник медицинской физиологии . Филадельфия: Сондерс. ISBN 072168677X.
  • Lide, Дэвид Р., изд. 2005. CRC Handbook of Chemistry and Physics, 86-е изд. Бока-Ратон: CRC Press.ISBN 0849304865.
  • McMurry, J., R.C. Фэй. 2004. Химия, 4-е изд. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0131402080.
  • Перри Р., Д. Грин и Дж. Мэлони. 1984. Справочник инженеров-химиков Перри, 6-е изд. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0070494797.

кредитов

Энциклопедия Нового Света Писатели и редакторы переписали и завершили статью Википедия в соответствии со стандартами New World Encyclopedia .Эта статья соответствует условиям лицензии Creative Commons CC-by-sa 3.0 (CC-by-sa), которая может использоваться и распространяться с указанием авторства. Кредит предоставляется в соответствии с условиями этой лицензии, которая может ссылаться как на участников Энциклопедии Нового Света, участников, так и на самоотверженных добровольцев Фонда Викимедиа. Чтобы процитировать эту статью, щелкните здесь, чтобы просмотреть список допустимых форматов цитирования. История более ранних публикаций википедистов доступна исследователям здесь:

История этой статьи с момента ее импорта в Энциклопедия Нового Света :

Примечание. Некоторые ограничения могут применяться к использованию отдельных изображений, на которые распространяется отдельная лицензия.

Серная кислота — Энциклопедия Нового Света

Серная кислота
Общие
Систематическое название серная кислота
Другие названия Купоросное масло
Химическая формула H 2 SO 4 (водн.)
Молярная масса 98,08 г моль −1
Внешний вид прозрачная, бесцветная,
жидкость без запаха
Номер CAS [7664-93-9]
Недвижимость
Плотность и фаза 1.84 г см −3 , жидкость
Растворимость в воде полностью смешивается
(экзотермический)
Точка плавления 10 ° С (283 К)
Температура кипения 338 ° С (611 К)
pK a −3 (оспаривается, см. Обсуждение)
1,99
Вязкость 26,7 сП в 20 ° C
Опасности
Паспорт безопасности Внешний паспорт безопасности материала
Классификация ЕС Коррозийный ( C )
NFPA 704

0

3

2

Вт

R-фразы R35
S-фразы S1 / 2, S26, S30, S45
Температура вспышки негорючий
Номер RTECS WS5600000
Страница дополнительных данных
Структура и свойства n , ε r и т. Д.
Термодинамические характеристики Фазовое поведение
Твердое, жидкое, газовое
Спектральные данные УФ, ИК, ЯМР, МС
Родственные соединения
Родственные сильные кислоты Селеновая кислота
Соляная кислота
Азотная кислота
Родственные соединения Сероводород
Сернистая кислота
Пероксимоносерная кислота
Триоксид серы
Олеум
Если не указано иное, данные приведены для материалов
в их стандартном состоянии (при 25 ° C, 100 кПа)
Заявление об отказе от ответственности и ссылки в Infobox

Серная кислота (или серная кислота на британском английском языке) — сильная минеральная кислота с химической формулой H 2 SO 4 .Он растворим в воде при всех концентрациях. Когда-то оно было известно как масло купороса , термин, придуманный алхимиком восьмого века Джабиром ибн Хайяном (Гебером), вероятным первооткрывателем этого химического вещества. [1]

Серная кислота имеет множество применений и производится в больших количествах, чем любое другое химическое вещество, кроме воды. Мировое производство в 2001 году составило 165 миллионов тонн при приблизительной стоимости 8 миллиардов долларов. Основные области применения включают переработку руды, производство удобрений, нефтепереработку, очистку сточных вод и химический синтез.Многие белки состоят из серосодержащих аминокислот (таких как цистеин и метионин), которые при метаболизме в организме производят серную кислоту.

История серной кислоты

Открытие серной кислоты приписывают алхимику восьмого века Джабиру ибн Хайяну (Геберу). Позже его изучил врач и алхимик IX века ибн Закария ар-Рази (Расес), который получил это вещество путем сухой перегонки минералов, в том числе гептагидрата сульфата железа (II) (FeSO 4 • 7H 2 O ) и пентагидрат сульфата меди (II) (CuSO 4 • 5H 2 O).При нагревании эти соединения разлагаются на оксид железа (II) и оксид меди (II), соответственно, с выделением воды и триоксида серы. Комбинация воды с триоксидом серы дает разбавленный раствор серной кислоты. Этот метод был популяризирован в Европе благодаря переводам арабских и персидских трактатов и книг европейских алхимиков, в том числе немца XIII века Альберта Магнуса.

Серная кислота была известна средневековым европейским алхимикам как купорос , спирт купороса или просто купорос и другие названия.Слово купорос происходит от латинского vitreus (что означает «стекло») из-за стекловидного вида сульфатных солей, которые также носили название купорос. Соли, которым было дано это название, включали сульфат меди (II) (голубой купорос, или иногда римский купорос), сульфат цинка (белый купорос), сульфат железа (II) (зеленый купорос), сульфат железа (III) (купорос Марса), и сульфат кобальта (II) (красный купорос).

Знаете ли вы?

Серная кислота была известна средневековым европейским алхимикам как «купоросное масло». Диаграмма молекулы серной кислоты Джона Дальтона 1808 года показала, что центральный атом серы связан с тремя атомами кислорода.

Купорос широко считался самым важным алхимическим веществом, предназначенным для использования в качестве философского камня. Высокоочищенный купорос использовался в качестве среды для взаимодействия веществ. В основном это было связано с тем, что кислота не реагирует с золотом, что часто является конечной целью алхимических процессов. Важность купороса для алхимии подчеркивается в алхимическом девизе, backronym, [2] Visita Interiora Terrae Rectificando Invenies Occultum Lapidem («Посетите недра земли и исправьте» (т.е. очищение) вы найдете скрытый / секретный камень ‘). [3]

В семнадцатом веке немецко-голландский химик Иоганн Глаубер получил серную кислоту путем сжигания серы вместе с селитрой (нитрат калия, KNO 3 ) в присутствии пара. Когда селитра разлагается, она окисляет серу до SO 3 , которая соединяется с водой с образованием серной кислоты. В 1736 году лондонский фармацевт Джошуа Уорд использовал этот метод, чтобы начать первое крупномасштабное производство серной кислоты.

В 1746 году в Бирмингеме Джон Робак начал производить серную кислоту таким способом в камерах, облицованных свинцом, которые были более прочными, менее дорогими и могли быть больше, чем стеклянные емкости, которые использовались ранее. Этот процесс со свинцовой камерой позволил эффективно индустриализировать производство серной кислоты и, с некоторыми усовершенствованиями, оставался стандартным методом производства в течение почти двух столетий.

Серная кислота Робака состояла всего из 35–40 процентов серной кислоты.Более поздние усовершенствования процесса в свинцовой камере французским химиком Жозефом-Луи Гей-Люссаком и британским химиком Джоном Гловером улучшили этот показатель до 78 процентов. Однако производство некоторых красителей и другие химические процессы требуют более концентрированного продукта, и на протяжении восемнадцатого века это можно было производить только путем сухой перегонки минералов по методике, аналогичной первоначальным алхимическим процессам. Пирит (дисульфид железа, FeS 2 ) нагревали на воздухе с получением сульфата железа (II) (FeSO 4 ), который окисляли при дальнейшем нагревании на воздухе с образованием сульфата железа (III) (Fe 2 (SO 4 ) 3 ).Когда сульфат железа (III) нагревали до 480 ° C, он разлагался до оксида железа (III) и триоксида серы, которые можно было пропустить через воду, чтобы получить серную кислоту в любой концентрации. Стоимость этого процесса не позволила широко использовать концентрированную серную кислоту.

В 1831 году британский торговец уксусом Перегрин Филлипс запатентовал гораздо более экономичный способ производства триоксида серы и концентрированной серной кислоты, теперь известный как контактный процесс. Практически все мировые запасы серной кислоты в настоящее время производятся этим методом.

Серная кислота в различных концентрациях

Хотя можно получить почти 100-процентную серную кислоту, она теряет газообразный триоксид серы (SO 3 ) при температуре кипения с образованием 98,3-процентной кислоты. 98-процентный сорт более стабилен при хранении, что делает его обычной формой для «концентрированной» серной кислоты. Другие концентрации серной кислоты используются для разных целей. Некоторые общие концентрации указаны ниже.

  • Десять процентов (pH 1): разбавленная серная кислота для лабораторного использования.
  • 33,5 процента (pH 0,5): аккумуляторная кислота (используется в свинцово-кислотных аккумуляторах).
  • 62,18 процента (pH около 0,4): камерная или удобрительная кислота.
  • 77,67 процентов (pH около 0,25): башня или кислота Гловера.
  • 98 процентов (pH около 0,1): концентрированный.

Учитывая, что серная кислота является сильной кислотой, 0,50 молярный (М) раствор этой кислоты имеет pH, близкий к нулю.

Также доступны различные степени чистоты. Техническая чистота H 2 SO 4 нечистая и часто окрашенная, но подходит для внесения удобрений.Чистые сорта, такие как сорт Фармакопеи США (USP), используются для изготовления фармацевтических препаратов и красителей.

При добавлении высоких концентраций SO 3 (г) к серной кислоте образуется H 2 S 2 O 7 . Его называют пиросерной кислотой, дымящей серной кислотой или олеумом. Менее распространенное название — кислота Нордхаузена. Концентрации олеума выражаются либо в процентах SO 3 (называемых процентами олеума), либо в процентах H 2 SO 4 (количество, полученное при добавлении H 2 O).Обычно концентрация олеума составляет 40 процентов (109 процентов H 2 SO 4 ) и 65 процентов олеума (114,6 процентов H 2 SO 4 ). Чистый H 2 S 2 O 7 представляет собой твердое вещество с температурой плавления 36 ° C.

Физические свойства

Безводный H 2 SO 4 представляет собой очень полярную жидкость с диэлектрической проницаемостью около 100. Это свойство возникает из-за того, что она может диссоциировать, протонируя себя, процесс, известный как автопротолиз . [4] Это протонирование происходит в высокой степени, более чем в десять миллиардов раз выше уровня, наблюдаемого в воде. Его можно представить следующим образом:

2 H 2 SO 4 → H 3 SO 4 + + HSO 4

Этот процесс позволяет протонам быть очень подвижными в H 2 SO 4 . Это также делает серную кислоту отличным растворителем для многих реакций. Фактически, химическое равновесие более сложное, чем показано выше.В состоянии равновесия 100-процентная H 2 SO 4 содержит следующие частицы (цифры в скобках указывают количества в молях на килограмм растворителя):

  • HSO 4 (15,0)
  • H 3 SO 4 + (11,3)
  • H 3 O + (8,0)
  • HS 2 O 7 (4,4)
  • H 2 S 2 O 7 (3,6)
  • H 2 O (0.1).

Химические свойства

Реакция с водой

Реакция серной кислоты с водой (называемая реакцией гидратации) выделяет большое количество тепла, поэтому ее называют экзотермической реакцией. Если к концентрированной серной кислоте добавить воду, она может опасно вскипеть и плеваться. Одна из причин такого поведения связана с относительной плотностью двух жидкостей. Вода менее плотная, чем серная кислота, и имеет тенденцию плавать над кислотой.

Для безопасного разбавления кислоты следует всегда добавлять кислоту в воду (небольшими порциями), а не воду в кислоту. [5]

Реакцию лучше всего рассматривать как образование ионов гидроксония, а именно:

H 2 SO 4 + H 2 O → H 3 O + + HSO 4

А затем:

HSO 4 + H 2 O → H 3 O + + SO 4 2-

Поскольку гидратация серной кислоты термодинамически благоприятна, [6] Серная кислота является отличным обезвоживающим агентом и используется для приготовления многих сухофруктов.Сродство серной кислоты к воде настолько велико, что она удаляет атомы водорода и кислорода из других соединений. Например, смешивание крахмала (C 6 H 12 O 6 ) n и концентрированной серной кислоты даст элементарный углерод и воду, которая поглощается серной кислотой (которая становится слегка разбавленной):

  • (C 6 H 12 O 6 ) n → 6C + 6H 2 O.

Эффект этого можно увидеть, пролив концентрированную серную кислоту на бумагу; крахмал реагирует, давая вид обгоревшего, углерод появляется, как сажа при пожаре.Более драматическая иллюстрация происходит, когда серная кислота добавляется к столовой ложке белого сахара в чашке, когда из чашки выходит высокий жесткий столб черного пористого углерода, сильно пахнущий карамелью.

Другие реакции серной кислоты

В качестве кислоты серная кислота реагирует с большинством оснований с образованием соответствующих сульфатов. Например, сульфат меди (II), знакомая синяя соль меди, используемая для гальваники и в качестве фунгицида, получают реакцией оксида меди (II) с серной кислотой:

CuO + H 2 SO 4 → CuSO 4 + H 2 O

Серная кислота может использоваться для вытеснения более слабых кислот из их солей.Например, его реакция с ацетатом натрия дает уксусную кислоту:

H 2 SO 4 + CH 3 COONa → NaHSO 4 + CH 3 COOH

Подобным образом реакция серной кислоты с нитратом калия может быть использована для получения азотной кислоты вместе с осадком бисульфата калия. С самой азотной кислотой серная кислота действует как кислота и дегидратирующий агент, образуя ион нитрония NO 2 + , который важен в реакциях нитрования, включающих электрофильное ароматическое замещение.Этот тип реакции, при которой протонирование происходит на атоме кислорода, важен во многих реакциях органической химии, таких как этерификация Фишера и дегидратация спиртов.

Серная кислота реагирует с большинством металлов за одну реакцию замещения с образованием газообразного водорода и сульфата металла. Разбавленный H 2 SO 4 разрушает железо, алюминий, цинк, марганец и никель, но для олова и меди требуется горячая концентрированная кислота. Однако свинец и вольфрам устойчивы к серной кислоте.Реакция с железом типична для большинства этих металлов, но реакция с оловом необычна тем, что дает диоксид серы, а не водород. Эти реакции показаны здесь:

Fe (тв.) + H 2 SO 4 (водн.) → H 2 (г) + FeSO 4 (водн.)
Sn (тв.) + 2 H 2 SO 4 (водн.) → SnSO 4 (водн.) + 2 H 2 O (л) + SO 2 (г)

Производство

Серная кислота производится контактным способом из серы, кислорода и воды.

На первом этапе сера сжигается для получения диоксида серы.

(1) S (s) + O 2 (г) → SO 2 (г)

Затем этот продукт окисляют до триоксида серы с использованием кислорода в присутствии катализатора на основе оксида ванадия (V).

(2) 2 SO 2 + O 2 (г) → 2 SO 3 (г) (в присутствии V 2 O 5 )

Наконец, триоксид серы обрабатывают с водой (обычно 97-98 процентов H 2 SO 4 , содержащей два-три процента воды) для получения 98-99 процентов серной кислоты.

(3) SO 3 (г) + H 2 O (л) → H 2 SO 4 (л)

Обратите внимание, что прямое растворение SO 3 в воде нецелесообразно, поскольку реакция сильно экзотермична и образует туман вместо жидкости.

Альтернативный метод заключается в абсорбции SO 3 в H 2 SO 4 с получением олеума (H 2 S 2 O 7 ). Затем олеум разбавляют до серной кислоты.

(3) H 2 SO 4 (л) + SO 3 → H 2 S 2 O 7 (л)

Олеум реагирует с водой до форма концентрированная H 2 SO 4 .

(4) H 2 S 2 O 7 (л) + H 2 O (л) → 2 H 2 SO 4 (л)

использует

Серная кислота — очень важный товарный химикат, и действительно, производство серной кислоты в стране является хорошим показателем ее промышленного потенциала. [7] В основном серная кислота (60 процентов от общего количества в мире) используется «мокрым способом» для производства фосфорной кислоты, используемой для производства фосфорных удобрений и тринатрийфосфата для моющих средств. Этот метод предполагает использование фосфоритов, и ежегодно перерабатывается более 100 миллионов метрических тонн. Это сырье, показанное ниже как фторапатит (Ca 5 F (PO 4 ) 3 ) (хотя точный состав может варьироваться), обрабатывают 93-процентной серной кислотой для получения сульфата кальция (CaSO 4 ). , фтороводород (HF) и фосфорная кислота (H 3 PO 4 ).HF удаляют в виде плавиковой кислоты. Общий процесс можно представить следующим образом:

Ca 5 F (PO 4 ) 3 + 5 H 2 SO 4 + 10 H 2 O → 5 CaSO 4 • 2 H 2 O + HF + 3 H 3 PO 4

Серная кислота используется в больших количествах в производстве чугуна и стали, главным образом в качестве травильной кислоты, используемой для удаления окисления, ржавчины и окалины с листового проката и заготовок перед их продажей в автомобили и белые. товарный бизнес.Использованная кислота часто повторно используется на установке регенерации отработанной кислоты (SAR). Эти установки сжигают отработанную кислоту с природным газом, нефтеперерабатывающим газом, мазутом или другим подходящим источником топлива. В процессе сжигания образуется газообразный диоксид серы (SO 2 ) и триоксид серы (SO 3 ), которые затем используются для производства «новой» серной кислоты. Эти типы заводов являются обычным дополнением к металлургическим заводам, нефтеперерабатывающим заводам и другим местам, где серная кислота потребляется в больших масштабах, поскольку эксплуатация завода SAR намного дешевле, чем покупка товара на открытом рынке.

Сульфат аммония, важное азотное удобрение, чаще всего производится как побочный продукт на коксовых заводах, снабжающих металлургические заводы. Реакция аммиака, образующегося при термическом разложении угля, с отработанной серной кислотой позволяет аммиаку кристаллизоваться. в виде соли (часто коричневой из-за загрязнения железом) и продается в агрохимической промышленности.

Еще одно важное применение серной кислоты — это производство сульфата алюминия, также известного как квасцы для бумагоделателей.Он может реагировать с небольшим количеством мыла на волокнах бумажной массы с образованием гелеобразных карбоксилатов алюминия, которые помогают коагулировать волокна пульпы в твердую поверхность бумаги. Он также используется для производства гидроксида алюминия, который используется на водоочистных станциях для фильтрации примесей, а также для улучшения вкуса воды. Сульфат алюминия получают в результате реакции боксита с серной кислотой:

Al 2 O 3 + 3 H 2 SO 4 → Al 2 (SO 4 ) 3 + 3 H 2 O

Серная кислота используется для множество других целей в химической промышленности.Например, это обычный кислотный катализатор превращения циклогексаноноксима в капролактам, используемый для производства нейлона. Он используется для производства соляной кислоты из соли по методу Мангейма. Много H 2 SO 4 используется в нефтепереработке, например, в качестве катализатора реакции изобутана с изобутиленом с образованием изооктана, соединения, повышающего октановое число бензина (бензина). Серная кислота также важна при производстве красителей.

Смесь серной кислоты и воды иногда используется в качестве электролита в различных типах свинцово-кислотных аккумуляторов, где она претерпевает обратимую реакцию, при которой свинец и диоксид свинца превращаются в сульфат свинца (II).Серная кислота также является основным ингредиентом некоторых очистителей канализации, используемых для очистки засоров, состоящих из бумаги, ветоши и других материалов, которые трудно растворяются щелочными растворами.

Серная кислота также используется в качестве общего дегидратирующего агента в ее концентрированной форме. См. «Реакция с водой».

Серно-йодный цикл

Серно-йодный цикл — это серия термохимических процессов, используемых для получения водорода. Он состоит из трех химических реакций, чистым реагентом которых является вода, а чистыми продуктами — водород и кислород.

2 H 2 SO 4 → 2 SO 2 + 2 H 2 O + O 2 (830 ° C)
I 2 + SO 2 + 2 H 2 O → 2 HI + H 2 SO 4 (120 ° C)
2 HI → I 2 + H 2 (320 ° C)

Соединения серы и йода восстанавливаются и повторно используются, поэтому процесс рассматривается как цикл. Этот процесс эндотермический и должен происходить при высоких температурах, поэтому необходимо подавать энергию в виде тепла.

Серно-йодный цикл был предложен как способ подачи водорода для водородной экономики. Он не требует углеводородов, как современные методы парового риформинга.

В настоящее время серо-йодный цикл исследуется как возможный метод получения водорода, но концентрированная коррозионная кислота при высоких температурах представляет в настоящее время непреодолимую угрозу безопасности, если бы процесс был построен в крупном масштабе.

Экологические аспекты

Серная кислота является составной частью кислотных дождей и образуется в результате атмосферного окисления диоксида серы в присутствии воды, т.е.е. окисление сернистой кислоты. Диоксид серы является основным продуктом при сжигании серы в серосодержащем топливе, таком как уголь или нефть.

Серная кислота образуется естественным путем в результате окисления сульфидных минералов, таких как сульфид железа. Полученная вода может быть очень кислой и называется кислотным дренажем горных пород (ARD). Образовавшаяся кислая вода может растворять металлы, присутствующие в сульфидных рудах, в результате чего получаются ярко окрашенные и токсичные потоки. Окисление пирита сульфида железа молекулярным кислородом дает железо (II), или Fe 2+ :

FeS 2 + 7/2 O 2 + H 2 O → Fe 2+ + 2 SO 4 2- + 2 H +

Fe 2+ может быть дополнительно окислен до Fe 3+ , в соответствии с:

Fe 2+ + 1/4 O 2 + H + → Fe 3+ + 1/2 H 2 O

и полученный таким образом Fe 3+ может быть осажден как гидроксид или закись водорода.Уравнение образования гидроксида:

Fe 3+ + 3 H 2 O → Fe (OH) 3 + 3 H +

Ион железа (III) («трехвалентное железо» в случайной номенклатуре) также может окисляться пирит. Когда происходит окисление пирита железом (III), процесс может стать быстрым, и в результате этого процесса в ARD были измерены значения pH ниже нуля.

ARD может также производить серную кислоту с меньшей скоростью, так что способность нейтрализации кислоты (ANC) водоносного горизонта может нейтрализовать образовавшуюся кислоту.В таких случаях концентрация общего растворенного твердого вещества (TDS) в воде может быть увеличена за счет растворения минералов в результате реакции кислотной нейтрализации с минералами.

Серная кислота образуется в верхних слоях атмосферы Венеры в результате фотохимического воздействия Солнца на двуокись углерода, двуокись серы и водяной пар. Ультрафиолетовые фотоны с длиной волны менее 169 нм могут фотодиссоциировать углекислый газ на окись углерода и атомарный кислород. Атомарный кислород очень реактивен; когда он вступает в реакцию с диоксидом серы, следовым компонентом атмосферы Венеры, в результате образуется триоксид серы, который может соединяться с водяным паром, другим следовым компонентом атмосферы Венеры, с образованием серной кислоты.

CO 2 → CO + O
SO 2 + O → SO 3
SO 3 + H 2 O → H 2 SO 4

В верхних, более холодных частях атмосферы Венеры серная кислота может существовать в виде жидкости, а толстые облака серной кислоты полностью закрывают поверхность планеты. поверхность сверху. Главный облачный слой простирается на 45–70 км над поверхностью планеты, а более тонкие дымки простираются от 30 до 90 км над поверхностью.

Инфракрасные спектры миссии НАСА «Галилео» показывают отчетливые абсорбции на Европе, спутнике Юпитера, которые были приписаны одному или нескольким гидратам серной кислоты. Интерпретация спектров несколько противоречива. Некоторые планетологи предпочитают приписывать спектральные характеристики сульфат-иону, возможно, как части одного или нескольких минералов на поверхности Европы.

Безопасность

Лабораторные опасности

Коррозионные свойства серной кислоты усиливаются ее экзотермической реакцией с водой.Следовательно, ожоги от серной кислоты потенциально более серьезны, чем ожоги от сопоставимых сильных кислот (например, соляной кислоты), поскольку есть дополнительное повреждение тканей из-за обезвоживания и, в частности, из-за тепла, выделяемого при реакции с водой, то есть вторичного термического повреждения. Опасность, очевидно, выше при использовании более концентрированных препаратов серной кислоты, но следует помнить, что даже обычная лабораторная «разбавленная» марка (приблизительно один M, десять процентов) обуглит бумагу из-за обезвоживания, если оставить ее в контакте в течение достаточного времени время.Стандартная процедура оказания первой помощи при попадании кислоты на кожу, как и в случае других коррозионных агентов, заключается в орошении большим количеством воды: мытье следует продолжать в течение достаточного периода времени — по крайней мере, от десяти до пятнадцати минут — для охлаждения тканей. вокруг кислотного ожога и для предотвращения вторичного повреждения. Загрязненную одежду необходимо немедленно снять, а кожу под ней тщательно промыть.

Приготовление разбавленной кислоты также может быть опасным из-за тепла, выделяемого в процессе разбавления.Важно, чтобы концентрированная кислота добавлялась в воду, а не наоборот, чтобы воспользоваться относительно высокой теплоемкостью воды. Добавление воды к концентрированной серной кислоте в лучшем случае приводит к рассеиванию аэрозоля серной кислоты, в худшем — к взрыву. Приготовление растворов с концентрацией более шести M (35 процентов) является наиболее опасным, поскольку выделяемого тепла может быть достаточно для кипячения разбавленной кислоты: эффективное механическое перемешивание и внешнее охлаждение (например.грамм. ледяная ванна).

Промышленные опасности

Хотя серная кислота негорючая, контакт с металлами в случае утечки может привести к выделению газообразного водорода. Распространение кислых аэрозолей и газообразного диоксида серы является дополнительной опасностью пожаров, связанных с серной кислотой. В качестве огнетушащего вещества следует использовать воду , а не из-за риска дальнейшего рассеивания аэрозолей: там, где это возможно, предпочтительна двуокись углерода.

Серная кислота не считается токсичной, за исключением ее очевидной коррозионной опасности, и основными профессиональными рисками являются контакт с кожей, приводящий к ожогам (см. Выше) и вдыхание аэрозолей.Воздействие аэрозолей в высоких концентрациях приводит к немедленному и серьезному раздражению глаз, дыхательных путей и слизистых оболочек: оно быстро прекращается после воздействия, хотя существует риск последующего отека легких, если повреждение тканей было более серьезным. При более низких концентрациях наиболее частым симптомом хронического воздействия аэрозолей серной кислоты является эрозия зубов, обнаруженная практически во всех исследованиях: по состоянию на 1997 год признаки возможного хронического повреждения дыхательных путей неубедительны.В Соединенных Штатах допустимый предел воздействия (PEL) для серной кислоты установлен на уровне 1 мг / м 3 : пределы в других странах аналогичны. Интересно, что поступали сообщения о приеме внутрь серной кислоты, приводящем к дефициту витамина B12 с подострой комбинированной дегенерацией. В таких случаях чаще всего поражается спинной мозг, но зрительные нервы могут демонстрировать демиелинизацию, потерю аксонов и глиоз.

См. Также

Банкноты

  1. ↑ Амин А. Хайраллах, Обзор вкладов арабского языка в медицину , глава 10 (Бейрут, 1946).
  2. ↑ Бакроним — это разновидность аббревиатуры, которая начинается с обычного слова и позже интерпретируется как аббревиатура.
  3. ↑ Упоминается в L’Azoth des Philosophes алхимиком пятнадцатого века Василием Валентином.
  4. ↑ Н.Н. Гринвуд и А. Эрншоу, Химия элементов, (Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press, 1984, ISBN 0080220576), 837-845.
  5. ↑ Чтобы запомнить это правило, было придумано несколько мнемоник, таких как:
    • Всегда делайте то, что вы должны, добавляйте кислоту в воду.Если вы думаете, что ваша жизнь слишком спокойна, добавьте воды в кислоту.
    • A.A .: Добавить кислоту.
    • Капля кислоты, а не воды.
  6. ↑ Изменение энтальпии реакции ΔH = -880 килоджоулей / моль.
  7. ↑ Филип Дж. Шенье, Обзор промышленной химии (Нью-Йорк: Springer, 2002, ISBN 0306472465), 45-57.

Список литературы

  • Agamanolis, D.P. «Метаболические и токсические нарушения». В: Прайсон Р. (ред.) Невропатология: объем основ диагностической патологии, серия .Филадельфия: Эльзевьер / Черчилль Ливингстон, 2005.
  • Чанг, Раймонд. Химия , 9 изд. Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math, 2006. ISBN 0073221031
  • Шенье, Филип Дж. Обзор промышленной химии . Нью-Йорк: Springer, 2002. ISBN 0306472465
  • Давенпорт, W.G., и М.Дж. Кинг. Производство серной кислоты: анализ, контроль и оптимизация . Elsevier Science, 2005. ISBN 0080444288
  • Гринвуд, Н.Н., и А.Эрншоу. Химия элементов , 2-е изд. Оксфорд, Великобритания; Берлингтон, Массачусетс: Баттерворт-Хайнеманн, Elsevier Science, 1998. ISBN 0750633654.
  • Хайраллах, Амин А. Обзор вкладов арабского языка в медицину . Бейрут, 1946.
  • Лиде, Дэвид Р. Справочник CRC по химии и физике , 87-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 2006. ISBN 0849304873

Внешние ссылки

Все ссылки получены 5 января 2020 г.

кредитов

Энциклопедия Нового Света Писатели и редакторы переписали и завершили статью Википедия в соответствии со стандартами New World Encyclopedia .Эта статья соответствует условиям лицензии Creative Commons CC-by-sa 3.0 (CC-by-sa), которая может использоваться и распространяться с указанием авторства. Кредит предоставляется в соответствии с условиями этой лицензии, которая может ссылаться как на участников Энциклопедии Нового Света, участников, так и на самоотверженных добровольцев Фонда Викимедиа. Чтобы процитировать эту статью, щелкните здесь, чтобы просмотреть список допустимых форматов цитирования. История более ранних публикаций википедистов доступна исследователям здесь:

История этой статьи с момента ее импорта в Энциклопедия Нового Света :

Примечание. Некоторые ограничения могут применяться к использованию отдельных изображений, на которые распространяется отдельная лицензия.

Соляная кислота | Подкаст | Chemistry World

Мира Сентилингам

На этой неделе кислотное соединение, используемое на протяжении всей истории, в промышленности, а также в нашем организме. Вот Брайан Клегг:

Брайан Клегг

Большинство из нас впервые сталкивается с тремя сильными кислотами — соляной, азотной и серной — когда заходит в химическую лабораторию в школе. Это не те вещества, которые вы найдете в кухонном шкафу дома.Тем не менее, я могу гарантировать, что одно из этих соединений было частью вашей жизни каждый день с самого детства. Потому что соляная кислота играет важную роль в вашем организме.

Эта сильнодействующая кислота, водный раствор хлористого водорода, известна давно. Первые названия кислоты имеют довольно морской привкус, отражающий производство кислоты из поваренной соли. Алхимики назвали бы его «духи соли», в то время как его обычное название до появления современных конвенций было соляной кислотой, где «соляная кислота» была причудливым термином для соленой кислоты.Как сказал один Н. Грю в 1675 году, «Муриатик — это соленость, соединенная с некоторой остротой».

Неизвестно, когда именно была впервые получена соляная кислота. Алхимики имели тенденцию производить смеси, которые вполне могли содержать соляную кислоту, и некоторые предполагали, что Джабир ибн Хайян создал ее еще в девятом веке. В средневековье он наверняка использовался в царской водке, смеси соляной и азотной кислот. Мы действительно знаем, что в одном из газовых экспериментов Джозефа Пристли 1772 года был получен чистый газообразный хлористый водород, и что Хамфри Дэви успешно показал, что это соединение содержит водород и хлор в 1818 году.

Мы склонны довольно свободно называть соляную кислоту HCl, но когда хлористый водород растворяется в воде, положительный ион водорода объединяется с водным H 2 O с образованием гидрокония (H 3 O + ), оставляя отрицательный хлорид-ион. Концентрированная соляная кислота составляет около 38% хлористого водорода.

Первоначально большая часть промышленного хлористого водорода представляла собой отходы, которые выбрасывались в воздух, но к середине девятнадцатого века уровень загрязнения больше не считался приемлемым.К счастью, к этому времени отработанный хлористый водород стал ценным для производства соляной кислоты. Хотя используемые процессы изменились, перейдя от побочного продукта производства карбоната натрия к производству, в основном, наряду с органическими соединениями, соляная кислота по-прежнему в основном представляет собой повторное использование отходов, мармита кислотного мира.

Большая часть промышленного производства соляной кислоты идет на травление и используется в различных химических производственных процессах.Рассматриваемое травление не связано с луком, а является способом удаления поверхностного обесцвечивания стали и других металлов.

В промышленных химических процессах соляная кислота используется для производства молекул, содержащих хлор, для пластмассовых изделий, таких как диохлорэтан и винилхлорид (используется для производства ПВХ). Поскольку большая часть мирового производства хлористого водорода происходит как побочный продукт других химических процессов, соляная кислота часто производится и потребляется на месте, эффективно рециркулируя в процессе, а не когда-либо становится отдельным коммерческим продуктом.

Хотя соляная кислота действительно играет роль в пищевой промышленности, где она используется для контроля pH воды при производстве продуктов питания, она играет гораздо более фундаментальную роль, когда речь идет о потреблении пищи. Ваш желудок содержит значительное количество соляной кислоты и может иметь pH всего 1.

Часть роли этой мощной кислоты — предотвращение инфекции, но ее основная функция — пищеварение. Кислота атакует белки в процессе, известном как денатурирование, что заставляет их распадаться, делая их более легко расщепляемыми ферментами для пищеварения.Возможно, наиболее знакомым примером денатурации является денатурация белков яичного белка при варке, превращаясь из прозрачной жидкости в непрозрачное твердое вещество. Здесь нарушение структуры приводит к образованию запутанной массы денатурированного белка, но в желудке результатом является выполнение первоначальной работы по разрушению, позволяющей ферментам, таким как пепсин, разделять белки на более мелкие фрагменты.

Ваш желудок защищен от содержащейся в нем кислоты толстым слоем слизи, а мощная мышца закрывает верхнюю часть желудка.Но задействованные механизмы иногда могут работать неправильно, в результате чего кислота попадает в пищевод, вызывая ощущение жжения при кислотном рефлюксе, или просто вызывает расстройство желудка.

Хотя сейчас существуют сложные лекарства, которые в первую очередь снижают выработку кислоты, многие из нас по-прежнему прибегают к простой неорганической химической реакции и глотают пару таблеток антацида при заболеваниях желудка. На рынке есть различные лекарства, но многие из них содержат карбонат кальция или магния, что приводит к простой реакции, которая нейтрализует кислоту с образованием хлорида, воды и углекислого газа.

Будь то очистка ржавого металла, производство ПВХ или расщепление белков, соляная кислота — это соединение, которое просто выполняет свою работу. Соляная кислота может быть причиной неудобных ночей, когда мы слишком много ели и страдаем от последствий избытка кислоты в желудке, но это более чем компенсируется ее повседневной ролью в превращении пищи в топливо.

Мира Сентилингам

И поскольку это топливо помогает нам прожить день, я уверен, что мы можем простить несколько бессонных ночей из-за несварения желудка.Это был научный писатель Брайан Клегг с химией, лежащей в основе широко используемого и, возможно, недооцененного соединения — соляной кислоты. Теперь, учитывая то, как мы все любим есть, на следующей неделе мы встретим соединение у источника всей этой пищи.

Дункан Макмиллан

Это, вероятно, недостаточно признанная истина, что мы обязаны своим существованием и поддерживающей нас паутиной жизни пище, производимой светом. У подножия почти каждого древа жизни, от тундры до саванны до коралловых рифов и океанских желобов, всю тяжелую работу выполняет фотосинтезирующий организм.И молекула, которая заставляет это происходить, — хлорофилл.

Мира Сентилингам

И чтобы узнать, как именно хлорофилл использует свет для производства продуктов питания и как это соединение вдохновляло известных художников на протяжении веков благодаря его использованию в определенном духе, присоединяйтесь к Динкану Макмиллану на следующей неделе в презентации Chemistry in its element . А пока спасибо за внимание. Я Мира Сентилингам.

Соляная кислота | Великолепные молекулы

Пару лет назад порт Халл, Великобритания, оказался под облаком соляной кислоты.Пар начал вытекать из трещины в резервуаре для хранения патоки. Никто не пострадал, но несколько человек сообщили о плохом самочувствии. Пожарные всю ночь пытались сдержать облако водяным туманом.

Соляная кислота используется в процессе рафинирования, который превращает сахар в патоку — вероятно, поэтому у торговцев патокой было ее 500 тонн. Но это не то химическое вещество, которое вы хотели бы встретить вне запечатанного контейнера. При вдыхании выделяемый пар представляет серьезную опасность для здоровья.В 1990-х годах грузовик пролил 800 литров соляной кислоты рядом с домами в Луизиане, в результате чего жители жаловались на жжение в глазах и горле и симптомы гриппа. Два года спустя они все еще страдали от стойких последствий.

Пары хлористого водорода также могут попадать в воздух при сжигании пластика или после извержения вулканов. Когда в 1991 году произошло извержение горы Пинатубо на Филиппинах, она выпустила много хлористого водорода. Если бы не тропический шторм, разразившийся сразу после этого, считается, что хлористый водород мог попасть в стратосферу и растворить часть озонового слоя.

Опасность, опасность

Чем опасна соляная кислота? Потому что это сильная кислота. Кислоты называют слабыми или сильными в зависимости от того, насколько легко они «отдают» свои атомы водорода. Соляная кислота образуется при растворении хлористого водорода в воде. В этой ситуации хлористый водород, простая молекула, состоящая из одного положительно заряженного водорода, присоединенного к одному отрицательно заряженному хлору, требует небольшого убеждения, чтобы отделиться друг от друга. Таким образом, весь его водород легко «жертвуется».

Соляная кислота настолько сильна, что может разъедать металл, в чем вы можете убедиться на собственном опыте в школьной химической лаборатории. Большинство студентов естественных наук в какой-то момент возьмут полоску магния и окунут ее в колбу с соляной кислотой. Вы можете видеть, как происходит реакция — пузырьки водорода стекают с поверхности металла, а хлор соединяется с магнием, образуя хлорид магния. С концентрированной соляной кислотой идет бурная реакция, но разбавленные растворы более безопасны для этих экспериментов.То, что разъедает металл, разъедает и кожу.

Вот почему мы не храним соляную кислоту на кухне и не добавляем ее в чипсы, такие как этановая кислота (уксус), которая намного слабее. Однако, как ни странно, мы держим его в животе. Соляная кислота — это кислотная составляющая желудочного сока, химического вещества, которое наш желудок вырабатывает, чтобы помочь нам переваривать пищу.

Крепкий желудок

Желудочная кислота вырабатывается в клетках, называемых париетальными клетками, в слизистой оболочке нашего желудка.Процесс его создания начинается с двуокиси углерода (CO 2 ), которую мы вдыхаем и которая циркулирует в нашем кровотоке. В париетальных клетках этот CO 2 постоянно превращается в угольную кислоту (H 2 CO 3 ) в реакции с водой. Чтобы получить водород для производства соляной кислоты, с каждой молекулы угольной кислоты отрывается один положительно заряженный ион водорода. Париетальные клетки наполнены водородом — его концентрация в миллионы раз выше, чем в соседних кровеносных сосудах.Чтобы получить хлорную часть, происходит кое-что немного сложное. Клетка заменяет оставшийся отрицательно заряженный бикарбонат (HCO 3 ) угольной кислоты на отрицательно заряженный хлор из кровотока. Наконец, H + и Cl закачиваются в желудок, где они образуют соляную кислоту с pH около 1.

Но если соляная кислота достаточно сильна, чтобы проедать металл и кожу, почему она не проходит через слизистую оболочку вашего желудка? Хороший вопрос.Ответ заключается в том, что желудок защищен слоем липкой слизи, которая действует как барьер между желудочной кислотой в желудке и клетками, выстилающими его. Язвы желудка — это пример повреждения, которое возникает, когда что-то выходит из равновесия, и париетальные клетки сбрасывают слишком много кислоты в желудок.

С другой стороны, недостаточное производство соляной кислоты может привести к дефициту питательных веществ, включая анемию (недостаток железа) из-за неспособности правильно переваривать пищу. Так что, хотя вы не хотите вдыхать пары или окунать в них пальцы, вы все же хотите, чтобы они кружились в животе — только не слишком сильно.

Хейли Беннетт, научный писатель из Великобритании

30 мл соляной кислоты (соляная кислота, духи соли)

Есть вопросы? Обратитесь в службу поддержки клиентов.

406-256-0990 или же Живой чат в

Возраст 14+
На складе, готово к отправке
Это нужно быстро? Смотрите варианты доставки в корзине.

Бутылка соляной кислоты на 30 мл представляет собой концентрированный 12-молярный 32–36% раствор. У этого химического вещества есть множество применений! Соляная кислота разъедает и является ядом; пожалуйста, внимательно прочтите предупреждающие надписи. Читать Подробнее

участников My Science Perks зарабатывают не менее $ 0,12 назад на этот товар. Войдите или создайте Бесплатный HST Аккаунт, чтобы начать зарабатывать сегодня

Ограничения на доставку:

ОПИСАНИЕ

Бутылка соляной кислоты на 30 мл представляет собой концентрированный 12-молярный 32–36% раствор.

Соляная кислота — бесцветный раствор хлористого водорода (HCl) в воде. Это очень коррозионная кислота, которая используется во многих промышленных целях. Посмотрите ниже, чтобы найти формулу соляной кислоты, плотность соляной кислоты, распространенное использование соляной кислоты и многое другое! Другие названия включают соляную кислоту, духи соли и хлорид гидроксония.

Узнайте больше о кислотах в воде, а также о других кислотах и ​​щелочах. Если вам нужно большее количество, у нас есть 100 мл флаконы с концентрированной соляной кислотой.

Формула HCl
Вес формулы 36,461
Форма Решение
Плотность 1,18 г / мл
Молярность 12 Месяцев
Номер CAS 7647-01-0
Классификация DOT UN1789, Кислота соляная
Код хранения Белый
Срок годности 24 месяца
Альтернативное имя соляная кислота
Обычное использование Для производства батарей и фейерверков, переработки сахара, производства продуктов питания и многого другого!
Опасность Коррозионные вещества (жидкости и твердые вещества)

БОЛЬШЕ ИНФОРМАЦИИ

ВКЛАДКА С СОДЕРЖАНИЕМ

ТАБЛИЦА ТЕХНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Описание
UN1789
Технические характеристики
СОДЕРЖАНИЕ

Ограничение на доставку: Этот товар доставляется только эконом-классом или UPS на почтовые адреса в 50 штатах США.

Предупреждение: ОПАСНОЕ ХИМИЧЕСКОЕ ВЕЩЕСТВО — Едкая жидкость и яд; внимательно прочтите предупреждающие надписи.

Мы хотим, чтобы этот предмет был живым, когда вы его получите! Следовательно, нам необходимо знать, когда вы будете дома, чтобы получить его (минимизируя воздействие стихии). Пожалуйста, укажите дату доставки, среда — Пятница, это минимум 7 дней с сегодняшнего дня.

Химия / Химия

/ химия /, / химия / химия /

Мы поняли. Наука может быть беспорядочной. Но продукты и услуги Home Science Tools справятся с этим.

Наша продукция долговечна, надежна и доступна по цене, позволяя вам перемещаться из полевых условий в лабораторию и на кухню. Они не подведут, с чем бы они ни боролись.Будь то (чрезмерно) нетерпеливые молодые ученые из года в год или строгие требования, которые возникают раз в жизни.

И если ваш научный запрос идет не так, как ожидалось, вы можете рассчитывать на помощь нашей службы поддержки клиентов. Рассчитывайте на дружеские голоса на другом конце телефона и советы экспертов в вашем почтовом ящике. Они не будут счастливы, пока вы не станете счастливыми.

Нижняя строка? Мы гарантируем, что наши продукты и услуги не испортят ваше научное исследование, каким бы беспорядочным оно ни было.

Вопросы? Свяжитесь с нашей службой поддержки клиентов.

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

  • В вашем браузере отключены файлы cookie.Вам необходимо сбросить настройки вашего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
  • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
  • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
  • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie.Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
  • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Для математики или математике как правильно: Как пишется слово: «по математике» или «по математики»?

Для математики или математике как правильно: Как пишется слово: «по математике» или «по математики»?

Математика языка — Математическая составляющая

Математика языка Поделиться    

Владимир Андреевич Успенский

Правильно говорить на каком‐либо языке, в частности, на русском можно, конечно, и не зная математики. Но вот для того, чтобы дать языку научное описание, математика оказывается полезной, а в XXI веке пожалуй что и необходимой. Посмотрите на эту книгу. Она называется «Математические методы в лингвистике». Даже вкратце обозреть её содержание, конечно, невозможно. Но можно обратить внимание на её толщину. Издана она известным издательством Kluwer и является наглядным свидетельством того, сколь серьёзно сейчас в мире понимается связь математики с лингвистикой.

Попробуем уловить эту связь на конкретных примерах.

Все знают, что в русском языке шесть падежей: именительный, родительный, дательный, винительный, творительный, предложный. Такова традиция. Этому учат в школе. Поэтому эти шесть падежей будем именовать школьными или традиционными.

Когда слово меняет свой падеж, происходит изменение его формы; изменение, в частности, может состоять и в том, что форма слова остаётся прежней: у слова кровать, например, совпадают формы именительного и винительного, а у слова кофе — вообще все формы. Изменение форм данного слова по всем падежам называется его склонением; обычно термином «склонение» обозначают изменение слова не только по падежам, но и по числам, но мы для простоты «забудем» на некоторое время о существовании множественного числа и будем рассматривать слова лишь в единственном числе. Вот, например, склонение слова сахар: им. п. сахар, род. п. сахара, вин. п. сахар, дат. п. сахару, тв. п. сахаром, предл. п. о сахаре. Все эти формы: сахар, сахара, сахару, сахаром, сахаре — называются словоформами слова сахар; словоформы часто называют просто словами.

Спросим себя, какой падеж у словоформы сахару. В только что приведённом списке словоформ указано, что это дательный падеж. Теперь посмотрим на фразу

(1) Положить тебе ещё сахару?.

Согласится ли любезный читатель, что у слова сахару здесь дательный падеж? Ведь дательный падеж, как известно, отвечает на вопрос Кому?/Чему?. Здесь же слово сахару отвечает на вопрос Чего?. Но на вопрос Чего? отвечает родительный падеж. Но формой родительного падежа для слова сахар служит слово (форма) сахара. Как же быть?

Отложим ответ на заданный вопрос и рассмотрим похожую ситуацию. Самая знаменитая детская песенка начинается со слов

(2) В лесу родилась ёлочка….

В каком падеже здесь слово лесу? Судя по окончанию — в дательном. Однако сразу возникают две трудности, препятствующие тому, чтобы радостно принять этот ответ. Первая трудность аналогична той, которую мы видели в примере (1) со словом сахару. Дательный падеж у слова лес должен отвечать на вопрос Кому?/Чему?, как, например, во фразе

(3) Вернём долги лесу.

Однако во фразе (2) слово лесу отвечает на другой вопрос, а именно на вопрос Где?. Вторая трудность для нас новая и связана с акцентуацией, т. е. с местом ударения в слове. Во фразе (3), служащей для нас эталоном дательного падежа для слова лес, ударение в слове лесу стоит на первом слоге, тогда как во фразе (2) слово лесу имеет ударение на втором слоге. Выходит, что во фразе (2) мы встречаемся с какой-то новой словоформой слова лес — новой в том смысле, что она отсутствует в традиционном шестичленном списке падежных форм этого слова. Значит, список неполон. И действительно, логика вещей подсказывает, что должен быть специальный падеж, отвечающий на вопрос Где?. Этот падеж называется местным падежом, или локативом (от латинского слова locus ‛место’). Именно в локативе и стоит слово лесу в предложении (2). Вот пример, где местный и предложный падежи противопоставляются друг другу в пределах одной фразы:

(4) Вороны искали в снегу (местн. п.) пищу, а художники в снеге (предл. п.) — вдохновения для своих картин.

Здесь перефразирован известный пример, предложенный великим филологом Романом Осиповичем Якобсоном:

($4’$) Вороны чего‐то искали в снегу, но корму в снегу не было. — Художники чего‐то ищут в снеге, но живописности в снеге нет.

Местный падеж называют также 2‐м предложным.

Теперь нас не должно удивить решение, предлагаемое лингвистами для проблемы, возникающей в связи с фразой (1). Здесь мы также имеем дело с новым падежом, выражающим неопределённое количество, неопределённую часть того предмета, о котором идёт речь во фразе — в данном случае неопределённое количество сахара. Этот падеж называется отделительным падежом или партитивом (от латинского слова} pars ‛часть’). Поскольку слова в партитиве отвечают на вопрос Чего?, этот падеж называют также 2‐м родительным.

В обоих случаях, и с обнаружением в падежной системе русского языка локатива, и с обнаружением партитива, логика рассуждений лингвиста такая же, как у биолога, сталкивающегося с новым видом. На первых порах он пытается отнести встретившееся ему растение или животное к тому или иному из известных видов, и только потом, потерпев неудачу, констатирует, что обнаружен новый вид.

В оправдание школьных учебников следует сказать, что найденные два дополнительных падежа встречаются в русском языке значительно реже шести традиционных падежей; к тому же очень часто форма локатива совпадает с формой предложного падежа, а форма партитива — с формой падежа родительного, как, например, во фразах

(5) Киты живут в океане;

(6) Положить тебе ещё каши?.

Тем не менее, на наш взгляд, оба нетрадиционных падежа следует прописать в школьных учебниках. Сейчас они присутствуют только в вузовских учебниках для филологов. Падежи этого октета — шесть традиционных и два добавленных — условимся называть стандартными. Надеемся, что в близком будущем на них распространится термин «школьные», а в будущем более отдалённом — даже и термин «традиционные».

А нет ли в русском языке ещё каких‐нибудь падежей?

Отменим на короткое время наш запрет на рассмотрение множественного числа и вспомним строки Маяковского:

(7) …Я бы в лётчики пошёл, / пусть меня научат.

Какой падеж имеет здесь слово лётчики? Ответ зависит от того, какое из трёх решений принимает лингвист. Первое решение: можно считать, что слово лётчики пребывает здесь в именительном падеже, имеющем при себе предлог в. «Именительный с предлогом» звучит, конечно, достаточно экзотично, но пример из Маяковского отнюдь не уникален. Вниманию читателя предлагается знаменитое восклицание Фамусова:

(8) Что за комиссия, Создатель, / быть взрослой дочери отцом!.

Слово комиссия стоит в именительном падеже с предлогом за. Второе решение: можно считать, что в данном конкретном контексте слово лётчики означает вовсе не множественное число от слова лётчик, а некую нерасчленённую массу лётчиков (подобно тому, как слово} листва не является множественным числом от слова} лист). При таком понимании слово лётчики является неодушевлённым существительным единственного числа, стоящим во фразе (7) в винительном падеже. Третье решение: можно, наконец, считать, что в этом примере слово лётчики представляет собой множественное число от слова лётчик и стоит в особом включительном падеже. Этот падеж отличается от винительного падежа формой управляемого слова после глагола: иду в лётчики (включит. п.), говорю про лётчиков (вин. п.).

Следует, кроме того, учесть, что понятие падежа (как и едва ли не все другие лингвистические понятия) опирается на представление о грамматически правильной фразе, т. е., говоря попросту, о том, какие сочетания слов считаются допустимыми, а какие — нет. Но само представление о допустимости в языке не является несомненной истиной и зачастую зависит от вкусов говорящего на этом языке. Поэтому в самом понятии падежа скрыта некоторая неопределённость или, лучше сказать, вариативность.

Можно ли согласиться с тем, что глагол ждать требует после себя винительного падежа для имён одушевлённых и родительного падежа для имён неодушевлённых? Поясним сказанное на примерах. Можно ли согласиться с тем, что разрешено сказать только жду сестру, жду результата, а вот жду сестры и жду результат — это запрещено? Согласие означает появление нестандартного ждательного падежа, формы которого совпадают с формами винительного для одушевлённых имён и с формами родительного для неодушевлённых. Но язык меняется, и то, что было невозможно позавчера, становится возможным сегодня.

Ввиду сказанного целесообразно остановиться на 8 стандартных падежах. Для сравнения — один из языков Дагестана, табасаранский, в своём литературном варианте насчитывает 46 падежей. Остаётся вопрос, что такое падеж. Вот тут на помощь приходит математика.

«Математическая составляющая» в вопросе о падежах заключается в том, что первое научное определение понятия ‛падеж’ имело в своём основании такие начальные понятия математики, как пара, бинарное отношение, разбиение на классы, а сформулировал его великий математик Андрей Николаевич Колмогоров. Мне это определение стало известно при следующих обстоятельствах. 24 сентября 1956 года на Филологическом факультете Московского университета открылся семинар «Некоторые применения математических методов в языкознании» — первый семинар по математической лингвистике в нашей стране. Я был одним из двух (вместе с лингвистом Вячеславом Всеволодовичем Ивановым) учредителей этого семинара и за несколько дней до названной даты обратился к Колмогорову с просьбой посоветовать, с чего начать. Он посоветовал начать с конкретных задач и предложить участникам семинара две задачи на поиски определений двух популярных понятий — понятия ямба и понятия падежа. Что касается ямба, то убеждение, что в ямбической строке ударения стоят на чётных слогах, было почти всеобщим, несмотря на очевидную ложность. (Взять хотя бы вторую строку «Евгения Онегина»: Когда не в шутку занемог. Для наглядности мы подчеркнули здесь гласные в чётных слогах.) Что касается падежа, то удовлетворительное определение этого понятия, хотя бы и неверное, отсутствовало вовсе (хотя на интуитивном уровне лингвисты понимали, что это такое). Тогда же Колмогоров сообщил мне основные идеи определений названных понятий. Когда он сам пришёл к этим определениям, мне неизвестно, однако ясно, что к моменту разговора он ими уже располагал.

Достойна быть отмеченной следующая характерная черта Колмогорова: он щедро делился своими идеями, нередко по поводу довольно случайному. Некоторые из этих идей были им выношены, как определения ямба и падежа, некоторые же возникали внезапно, как это произошло на моих глазах 9 сентября 1954 года на семинаре «Рекурсивная арифметика», которым он пригласил меня руководить вместе с ним; тогда, при обсуждении темы конструктивных ординалов, Колмогоров предложил систему понятий, лёгших в основу тогда ещё не существовавшей теории нумераций (названная дата и есть день рождения этой теории). Боюсь, что большинство идей, высказанных Колмогоровым таким ненавязчивым способом, остались невоспринятыми, непонятыми, неоценёнными и, тем самым, навеки пропали. Что до определения падежа, то то, что я сумел понять и запомнить, было опубликовано мною в 1957 году в вышедшем на стеклографе и с грифом «На правах рукописи» 5‐м номере «Бюллетеня Объединения по машинному переводу»; статья называлась «К определению падежа по А. Н. Колмогорову».

Великий лингвист Андрей Анатольевич Зализняк в §§ 2.3 —2.4 своего классического труда «Русское именное словоизменение» уточнил конструкцию Колмогорова и переложил её на более наглядный и более понятный его коллегам язык. А в $§$ 6.20 названного труда читателя встречают три теоремы. Формулировки и доказательства их совершенно математические. Теоремы эти нужны их автору для обоснования того, что предложенный им способ описания устройства ударения в парадигмах русских существительных оптимален. Понятия предыдущей фразы нуждаются в разъяснении. Парадигмой данного слова называется совокупность всех его словоформ. Каждому слову соответствует определённое распределение ударений по его парадигме; это распределение называется схемой ударения рассматриваемого слова. Схем ударения (особенно с учётом форм множественного числа) несколько десятков и они довольно разнообразны. Желательно найти способ их описать наиболее экономно. Вот Зализняк с помощью своих теорем и устанавливает, что способ, который он предлагает, является наиболее экономным. Предложенный Зализняком способ основан на введённом им новом понятии — понятии условного ударения. Поясним на примере. Во всех косвенных падежах слова стол ударение стоит на окончании; в именительном падеже окончания вроде бы нет, а слово односложно, поэтому спрашивать, где здесь ударение, бессмысленно. Но можно считать, что и в именительном падеже слова стол имеется окончание, только мы его не видим, и именно на нём стоит условное ударение. В других же падежах условное ударение совпадает с действительным. А тогда можно сказать, что ударение (условное!) во всех падежах слова стол стоит на окончании. Это явно короче, чем говорить, что в одних падежах — одно правило, а в других — другое.

Математика нужна в лингвистике всюду, скажем, в фонетике, где звуки описываются некими графиками и математическими формулами, и в синтаксисе, где синтаксическая структура описывается некоторой геометрической картинкой, я уж не говорю о всевозможных современных поисковых системах. Когда вы что‐то ищете в Яндексе или в Гугле, то там применяются очень тонкие современные методы лингвистики (в частности, разработанный Зализняком способ описания системы словоизменения), лингвистические алгоритмы представления синтаксической структуры предложений, и, что очень важно, лингвистическая статистика. Без неё развитие лингвистики весьма затруднительно, так как совершенно ясно, что нужно понимать, что встречается часто, а что — редко; а для этого очень важно понимать, что именно мы считаем.

Литература

Зализняк А. А. Русское именное словоизменение. — М.: Наука, 1967.

Зализняк А. А. Лингвистические задачи. — 3‐е изд. — М.: МЦНМО, 2018. — [В 3‐м издании кроме предисловия В. А. Успенского добавлена статья А. Ч. Пиперски, посвящённая работам А. А. Зализняка].

Успенский В. А. Труды по нематематике. — 2‐е изд. — Кн. 4: Филология. — М.: ОГИ, Математические этюды, 2012. — Стр. 491—509.

Успенский В. А. Труды по нематематике. — 2‐е изд. — Кн. 3: Языкознание. — М.: ОГИ, Математические этюды, 2013. — Стр. 18—32.

Математика — ДНТТМ

Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит.

М. В. Ломоносов

Всем давно известно, что математика — это мощный фактор интеллектуального развития ребенка, формирования его познавательных и творческих способностей, инструмент развития мышления, памяти, внимания и воображения ребенка. Математика — это не только умение считать, но и мыслить логически. 

А это умение нужно повсюду: в географии и языкознании, на уроке и в горах, в магазине и на необитаемом острове, – именно поэтому математика так фундаментальна.

Кто сказал, что математика… – это скучно???!!!

Математика … – это красиво!!!


Приходите к нам, и мы вам это докажем! А также вы узнаете: 

Каким математическим законам и последовательностям подчиняется природа?

Зачем лингвисту нужна математика?

Как правильно играть в математические игры, чтобы постоянно выигрывать?

Как просверлить квадратное отверстие?

Почему все люки круглые?

Всё о системах счисления. 

Освоите основы шифровки.

Проделаете ряд опытов и математических фокусов с листом бумаги.

… и это только начало…

Наши обучающиеся — победители и призеры олимпиад, конкурсов:

и многих, многих других…
Контакты:
Сайт отдела технической направленности www.centrnadonskoy.ru/Адрес: ул. Донская, д.37.
Телефоны: +7(499)237-71-68, +7(499) 237-67-78

Зимина Екатерина Витальевна                [email protected]

Котельникова Александра Васильевна,  [email protected]

Корнеева Тамара Георгиевна,                  [email protected]

Пронина Елена Борисовна          [email protected]

Спивак Александр Васильевич                [email protected]

Учебные программы 2021-2022 учебного года

Аннотации программ и расписание отдела технической направленности

Обучение на бюджетной основе (бесплатно)


1.  «Математика для дошкольников и младших школьников» (6-7 лет)
педагог: Пронина Елена Борисовна
2. «Математическая шкатулка» (7-9 лет)
педагог: Корнеева Тамара Георгиевна
3. «
ТРИЗ и математика» (7-9 лет)
педагог: Зимина Екатерина Витальевна
4.  «Наглядная геометрия» (8-10 лет)
педагоги: Корнеева Тамара Георгиевна, Пронина Елена Борисовна
5. «Математика и логика» (8-10 лет)
педагог: Зимина Екатерина Витальевна
6.  «Мир математики» (8-11 лет)
педагоги: Зимина Екатерина Витальевна, Пронина Елена Борисовна
7.  Математические чудеса и тайны» (8-11 лет)
педагоги: Корнеева Тамара Георгиевна, Пронина Елена Борисовна
8. «Математический Олимп» (9-11 лет)
педагог: Зимина Екатерина Витальевна
9. «Нестандартные задачи по математике для 3-4 классов» (9-11 лет)
педагоги: Зимина Екатерина Витальевна, Корнеева Тамара Георгиевна
10.  «Системы счисления и задачи по лингвистике» (9-12 лет)
педагог: Пронина Елена Борисовна
11. «Математическая лингвистика и криптография« (10-12 лет)
педагог: Корнеева Тамара Георгиевна

12. «Геометрия в прикладных задачах повышенной трудности» (10-14 лет)

только 2-ой год обучения,
педагог: Пронина Елена Борисовна
13.  «Мир чисел, фигур и звёзд» (11-14 лет)
педагоги: Пронина Елена Борисовна, Спивак Александр Васильевич
14. «Математический калейдоскоп» (11-14 лет)
педагог: Котельникова Александра Васильевна

15. «Нестандартные задачи по математике для 5-7 классов» (11-14 лет)

педагоги: Зимина Екатерина Витальевна, Корнеева Тамара Георгиевна
16. «Нестандартные задачи по математике. Комбинаторика и вероятности» (12-17 лет)
педагог: Спивак Александр Васильевич
17. «Числа и фигуры»
 (12-17 лет)
только 2-ой год обучения,
педагог: Спивак Александр Васильевич
18. «Математика юному инженеру (8 класс)» (13-15 лет)
педагог: Котельникова Александра Васильевна
19.  «Математический анализ в прикладных задачах по физике и геометрии» (14-17 лет)
только 2-ой год обучения,
педагог: Спивак Александр Васильевич
20. «Современная математика» (14-17 лет)
педагог: Спивак Александр Васильевич
21. «Математика юному инженеру (9 класс)» (14-16 лет)
педагог: Котельникова Александра Васильевна
22. «Математика юному инженеру (10-11 классы)» (15-17 лет)
педагог: Котельникова Александра Васильевна

В рамках программ для детей младшего и среднего возраста обучение ведется по дополнительным главам математики, включая логические задачи, нестандартные задачи, геометрические задачи, задачи на смекалку, сообразительность, ребусы, головоломки, шарады и др. Дети могут сделать своими руками объемные геометрические фигуры, заняться оригами и математическими фокусами.

В программах для обучающихся старшего возраста идет более углубленное изучение материала алгебры и геометрии, решение нестандартных задач и задач повышенной сложности, что является мощным подспорьем для решения олимпиадных или экзаменационных задач (ЕГЭ и ГИА).В группы 2-го года обучения запись производится при условии освоения программы 1-го года обучения или по результатам собеседования с педагогом. 
Обучение на платной основе
«МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ (8,9 КЛАССЫ)» (14-16 лет) 

Цель программы: обобщение, систематизация и расширение знаний по основным разделам математики через решение классических и нестандартных задач. Программа предназначена тем, кто хочет получить дополнительные знания при подготовке к экзамену по математике за 9 класс.
Обучение проходит в дистанционной форме.

Программа рассчитана на 72 часа (36 занятий).

Педагог: Котельникова Александра Васильевна


«ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» (6-8 лет) 

Основные задачи программы: познакомить с математическими методами решения нестандартных задач, заинтересовать и увлечь красотой математики. 
                                                                                                    
Программа рассчитана на 30 занятий (60 часов). 
Педагог: Корнеева Тамара Георгиевна«LEGO-математика» (6-7 лет) 

Цель программы – развитие интереса к изучению математики посредством знакомства с классическим материалом и практическими задачами на основе конструктора Lego. На занятиях в качестве учебного дополнения используется развивающий конструктор LEGO «Увлекательная математика». Работать с конструктором можно как индивидуально, так и в паре, поэтому для детей занятия математикой превращаются в игру и коллективное творчество. Информация в игровой форме воспринимается  с удовольствием, а новый материал запоминается надолго. LEGO-математика для младшего школьника – увлекательная дорога к знаниям!


Программа рассчитана на 30 занятий (60 часов). 
Педагог: Корнеева Тамара Георгиевна
Подробнее об обучении на платной основе.

ЕГЭ по математике, подготовка к ЕГЭ по математике 2021 в Москве, шкала перевода баллов — Учёба.ру

Что требуется

Решить планиметрическую задачу.

Особенности

Под этим номером может быть два варианта задания. Первый вариант: в задаче два пункта — а и b. В пункте a требуется что-то доказать, в пункте b — что-то найти. Могу сказать, что чаще всего надо начинать решать эту задачу именно с пункта b, а уже решение этого пункта поможет доказать пункт а. Как правило, абитуриентам проще что-то найти, чем доказать.

Второй вариант: задача без подпунктов. Здесь чаще всего скрыт подводный камень: задача требует рассмотрения двух случаев и приводит к двум разным ответам. Например, в условии задачи сказано, что окружности касаются в точке A, но не сказано каким образом, внешним или внутренним. Часто бывает так, что выпускник рисует один рисунок и возможно даже находит правильный ответ. А второй случай он не рассматривает, в результате чего получает ровно половину баллов за это задание.

Советы

Необходимое условие для решения этой задачи — хорошее владение теоретическим материалом, например, из классического учебника по геометрии для 7-9 классов (Л.С. Атанасян). Необходимо знать формулировки аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства и формулы. Изучите дополнительные методы: метод дополнительного построения, метод подобия, метод замены, метод введения вспомогательного неизвестного, метод удвоения медианы, метод вспомогательной окружности, метод площадей.

Также здесь важен рисунок. 80% успеха геометрической задачи — это правильно нарисованный рисунок. Сделайте большой, хороший, наглядный рисунок, не экономьте на нем место.

И последнее, лайфхак для абитуриента — для решения задач по планиметрии выучите пять формул площади треугольника: через высоту и основание, через две стороны и угол между ними, через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формулу Герона.

примеры и способы решения математических задач для родителей

На протяжении всего обучения школьникам приходится решать задачи — в начальной школе по математике, а затем по алгебре, геометрии, физике и химии. И хотя условия задач в разных науках отличаются, способы решения основаны на одних и тех же логических принципах. Понимание того, как устроена простая задача по математике, поможет ребёнку разработать алгоритмы для решения задач из других областей науки. Поэтому учить ребёнка решать задачи необходимо уже с первого класса. 

Нередки случаи, когда точные науки вызывают у детей сопротивление. Видя это, учителя и родители записывают таких детей в «гуманитарии», из-за чего они только укрепляются во мнении, что точные науки — это не для них. Преподаватель математики Анна Эккерман уверена, что проблемы с математикой часто имеют исключительно психологический характер:

Детям вбивают в голову, что математика — это сложно. К длинным нудным параграфам в учебнике сложно подступиться. Учитель ставит на ребёнке клеймо «троечника» или «двоечника». Если не внушать детям, что они глупые и у них ничего не получится, у них получится ровно всё.

Чтобы ребёнку было интересно учить математику, он должен понимать, как эти знания пригодятся ему, даже если он не собирается становиться программистом или инженером.

Математика ежедневно помогает нам считать деньги, без умения вычислять периметр и площадь невозможно сделать ремонт, а навык составления пропорций незаменим в кулинарии — используйте это. Превращайте ежедневные бытовые вопросы в математические задачи для ребёнка: пусть польза математики станет для него очевидна. 

Конечно, найти в быту применение иррациональным числам или квадратным уравнениям не так просто. И если польза этих знаний вызывает у подростка вопросы, объясните ему, что с их помощью мы тренируем память, развиваем логическое мышление и остроту ума — навыки, в равной степени необходимые как «технарям», так и «гуманитариям». 

Как правильно научить ребёнка решать задачи

Если ребёнок только начинает осваивать навык решения задач, приучите его придерживаться определённого алгоритма.   

1. Внимательно читаем условия  

Лучше вслух и несколько раз. После того как ребёнок прочитал задачу, задайте ему вопросы по тексту и убедитесь, что ему понятно, что вычислять нужно количество грибов, а не огурцов. Старайтесь не нервничать, если ребёнок упустил что-то из вида. Дайте ему разобраться самостоятельно. Если в условиях упоминаются неизвестные ребёнку реалии — объясните, о чём идёт речь.

Особую сложность представляют задачи с косвенным вопросом, например:

«Один динозавр съел 16 деревьев, это на 3 меньше, чем съел второй динозавр. Сколько деревьев съел второй динозавр?». Невнимательно прочитав условия, ребёнок посчитает 16−3, и получит неправильный ответ, ведь эта задача на самом деле требует не вычитания, а сложения.        

2. Делаем описание задачи

В решении некоторых задач поможет представление данных в виде схемы, графика или рисунка. Чем ярче сложится образ, тем проще будет его осмыслить. Наглядная запись позволит ребёнку не только быстро разобраться в условиях задачи, но и поможет увидеть связь между ними. Часто план решения возникает уже на этом этапе. 

Ребёнок должен чётко понимать значения словесных формул и знать, какие математические действия им соответствуют.  

Формы краткой записи условий задач / shkola4nm.ru

3. Выбор способа решения

Наглядно записанное условие должно подтолкнуть ребёнка к нахождению решения. Если этого не произошло, попробуйте задать наводящие вопросы, проиллюстрировать задачу при помощи окружающих предметов или разыграть сценку. Если один из способов объяснения не сработал — придумайте другой. Многократное повторение одного и того же вопроса неэффективно. 

Все, даже самые сложные, математические задачи сводятся к принципу «из двух известных получаем неизвестное». Но для нахождения этой пары чисел часто требуется выполнить несколько действий, то есть разложить задачу на несколько более простых. 

Ребёнок должен знать способы получения неизвестных данных из двух известных:

  • слагаемое = сумма − слагаемое
  • вычитаемое = уменьшаемое − разность
  • уменьшаемое = вычитаемое + разность
  • множитель = произведение ÷ множитель
  • делитель = делимое ÷ частное
  • делимое = делитель × частное

После того как план действий найден, подробно запишите решение. Оно должно отражать всю последовательность действий — так ребёнок сможет запомнить принцип и пользоваться им в дальнейшем. 

4. Формулировка ответа

Ответ должен быть полным и точным. Это не просто формальность: обдумывая ответ, ребёнок привыкает серьёзно относиться к результатам своего труда. А главное — из описания должна быть понятна логика решения.

Задание из базового курса алгебры домашней онлайн-школы «Фоксфорда», 7 класс

Одна из самых распространённых ошибок — представление в ответе не тех данных, о которых спрашивалось изначально. Если такая проблема возникает, нужно вернуться к первому пункту.   

5. Закрепление результата

Не стоит думать, что выполнив задание один раз, ребёнок сразу научится решать задачи. Полученный результат нужно зафиксировать. Для этого подумайте над решённой задачей ещё немного: предложите ребёнку поискать другой способ решения или спросите, как изменится ответ при изменении того или иного параметра в условии.

Важно, чтобы у ребёнка сложился чёткий алгоритм рассуждений и действий в каждом из вариантов. 

В нашей онлайн-школе, помимо уроков, ученики могут закреплять  свои знания на консультациях в формате открытых часов, где учителя разбирают темы, вызвавшие затруднения, показывают необычные задачи и различные способы их решения. 

Что поможет ребёнку решать задачи  

В заключение расскажем о том, как сделать процесс решения задач проще и интереснее:

  • Для того чтобы решать задачи, необходимо уметь считать. Следует выучить с ребёнком таблицу умножения, освоить примеры с дробями и простые уравнения.
  • Чтобы решение задач не превратилось для ребёнка в рутину, проявите фантазию. Меняйте текст задания в соответствии с интересами ребёнка. Например, решать задачи на движение будет куда интереснее, если заменить банальные поезда трансформерами, летящими навстречу друг другу в эпической схватке. 
  • Дети с развитой логикой учатся решать задачи быстрее. Советуем разбавлять чисто математические задания логическими. Задачи «с подвохом» избавят ребёнка от шаблонного мышления, а задания с большим количеством лишних данных научат выделять главное из большого количества условий.   

<<Блок перелинковки>>

После того как ребёнок решит достаточно задач одного типа, предложите ему самому придумать задачу. Это позволит ему не только закрепить материал, но и проявить творческие способности.

Будущая профессия — Образовательная программа «Прикладная математика» — Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Что я буду уметь?

«Прикладные математики – люди, занимающиеся приложением математических методов к решению задач, возникших не в недрах самой математики, а в реальной жизни». Прикладной математик должен уметь правильно поставить прикладную задачу  (будь то задача из области механики, техники,  медицины, биологии, экономики или лингвистики), уметь отделить главное от второстепенного, построить математическую модель, произвести расчеты, провести анализ полученных результатов, дать  рекомендации практику. Развитие таких умений – одна из основных целей программы «Прикладная математика».

Особенностью программы является углубленная подготовка по математике, программированию, физике  с особым акцентом на проектную деятельность. Студенты  программы учатся реализовывать и применять на практике современные методы математического моделирования, принимая участие  в таких проектах, как  обработка и анализ данных для медицины и фармакологии,  расчет оптимальных конструкций в биомеханике, баллистическое проектирование космических миссий  совместно с Институтом космических исследований РАН и лабораториями NASA.  Таким образом, выпускник приобретает не просто внушительный багаж знаний, но и навыки их применения при решении реальных задач в различных отраслях. Именно это сочетание определяет облик современного высококвалифицированного специалиста в инженерных и технических отраслях. В условиях нынешнего дефицита инженерных кадров, специалисты такого уровня крайне востребованы на рынке труда.

Выдающийся российский математик и кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов был убежден, что никакое учебное заведение не может выпустить законченного специалиста, специалиста образует его собственная деятельность. Но для этого необходимо, чтобы он умел учиться. Мы стремимся, чтобы наши выпускники были способны получать новые  знания и умения, а значит, были успешны в профессиональной деятельности. 

Где я буду работать?

Особенностью нашей образовательной программы является ее богатая и давняя история.  Ее создание было связано с развитием  новых высокотехнологических производств. Необходимо было обеспечить  подготовку  специалистов, которые не просто будут разрабатывать  фундаментальные вопросы, но трудиться в совершенно новых инженерных отраслях.  За более чем 40-летнюю историю «Прикладной математики» в МИЭМ сложились плодотворные взаимоотношения  с работодателями. При разработке новой бакалаврской программы  мы, в том числе,  ориентировались на их запросы, учитывая, какие именно знания и умения необходимы на реальных рабочих местах. 

Наши выпускники работают специалистами в области математического моделирования, разработчиками программного обеспечения, консультантами в области разработки и внедрения современных информационных технологий и систем. Большинство выпускников работают по специальности или в близких областях в:

  • научных учреждениях  РАН: ВЦ РАН, ИПУ РАН, ИКИ РАН, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Математический институт им.Стеклова, ЦЭМИ РАН и др.
  • отраслевых НИИ и предприятиях: НИИ «Полюс», ЦНИИАГ, НИИАА им. Семенихина, НПО им. Лавочкина, КБ им. Сухого и др.
  • ИТ подразделениях  госкорпораций: Газпром, Роснефть, Роскосмос, Роснано, Ростехнологии и др.
  • международных и российских ИТ-компаниях: IBM, Microsoft, ИБС, АйТеко, Лаборатория Касперского,  Статсофт и др.
  • ИТ-подразделениях предприятий, банков, страховых компаний.

 

Наши выпускники создают хорошую репутацию нашей программе, и это помогает нынешним студентам находить интересную и достойную работу.

О некоторых  наших выпускниках можно прочитать здесь.

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

«Математику уже затем учить надо,
что она ум в порядок приводит»

М.В. Ломоносов

Если вы из тех, кто считает, что математика не нужна, если при изучении математики вы ограничиваетесь только мыслями об аттестате, то время, проведенное на уроках математики, может быть потрачено совершенно впустую. Если уж этот школьный предмет является основным даже для гуманитариев, то не лучше ли потратить на математику свое время и силы
с максимальной для себя пользой. Отсутствие интереса или плохие успехи при изучении математики еще не обязательно что-либо означают. Прежде, чем может возникнуть интерес к этому предмету, необходима скучная предварительная работа и утомительная тренировка.

 

«Где отсутствует точное знание, там действуют
догадки, а из десяти догадок девять — ошибки»

Максим Горький

Математика всегда считалась одним из самых трудных предметов в школе. Действительно, нельзя усвоить знания по этому предмету без серьезных интеллектуальных усилий, нужно понимать и запоминать правила, держать эти знания в активной памяти на протяжении всего обучения в школе. Мы понимаем объективные трудности наших учеников. Поэтому стремимся
к большей наглядности, доступности в изложении материала, стараемся разнообразить уроки, например, рассказами из истории математики.

 

«Кто хочет ограничиться настоящим, без
знания прошлого, тот никогда его не поймет»

Лейбниц

Люди научились считать 25 — 30 тысяч лет тому назад. Сначала люди умели называть лишь маленькие числа, а потом все бóльшие. На уроках в школе, начиная с первого класса, мы с детьми проходим весь путь развития математики. Когда-то числа служили людям только для решения практических задач, а потом их стали изучать ─ узнавать их свойства. Как люди считали
в древности? Как они решали задачи? Какие задачи они решали? Обо всем этом мы говорим на уроках математики.

 

«Природа формулирует свои законы
языком математики»

Галилео Галилей

При планировании нашей работы мы исходим из того, что ученики должны научиться ориентироваться в сложных ситуациях, возникающих
в современном мире. Это может быть достигнуто только при расширении содержания курса. В связи с этим мы включили в курс математики такие разделы, как комбинаторика, булева алгебра, понятия математической логики, элементы теории вероятностей и математической статистики. Все это позволяет значительно разнообразить рассматриваемые примеры, широко привлекать материал из смежных предметов школьного курса, а также материал, взятый из жизни.

 

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии»

А.С. Пушкин

Знакомство с геометрией мы всегда начинаем с истории. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы. Но не только в процессе работы люди знакомились
с геометрическими фигурами. Люди всегда любили украшать себя, свою одежду и жилище. Понятие «правильности» в геометрии всегда связано
с гармонией, красотой. Уже более двух тысяч лет в школе изучают Евклидову геометрию (современные учебники больше чем половину берут прямо от Евклида). Геометрия может ответить на самые разные вопросы. Почему при перегибании листа всегда получается прямая складка? Почему бумажный рулон жесткий? Почему не качается трехногий табурет? Чтобы ответить на все эти и другие вопросы, нужно очень хорошо выучить школьную геометрию.

 

«Битва чисел»

Название игры

В стандартном курсе школьной математики практически отсутствуют упоминания о математических играх, головоломках, шифрах. А мы используем их на уроках. Понять занимательные математические игры несложно, но чтобы научиться «правильно» действовать, то есть выигрывать, необходимо изучать свойства чисел. Ведь большинство игр и головоломок основано на свойствах чисел. А как интересно поговорить на уроках математики о тайнах, шпионах
и шифрах. Ведь математика издавна применялась в теории шифров. И имя Франсуа Виета связано не только с теоремой о корнях квадратного уравнения. Этот знаменитый французский математик занимался расшифровкой переписки противников французского короля Генриха III.

 

«Вперед поедешь ─ голову сложишь,
направо поедешь ─ коня потеряешь,
налево поедешь ─ меча лишишься»

Из русской народной сказки

Выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае. Простейшие комбинаторные задачи доступны пониманию школьников
5-6 классов. А старшие школьники могут разобрать такую важную для них комбинаторную задачу как составление школьного расписания.

 

«Где бы ни встал воин, он может
протянуть свое копье еще дальше»

Древнегреческий философ

Конечно, мы, учителя, должны отслеживать прохождение школьной программы, но главная наша задача ─ содействовать развитию познавательных возможностей учеников, их интеллектуальному росту. В чем желаем нам всем поступательного движения и успехов!

интервью с автором проекта Николаем Андреевым

Уже 15 лет все желающие углубиться в математику и понять, как научные принципы работают в реальной жизни, заходят на сайт «Математические Этюды». Мы поговорили с автором проекта, заведующим лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова Николаем Андреевым о том, в чем преимущества 3D-графики при иллюстрации задач, реально ли сделать популярное приложение про математику и что нового появилось в «Этюдах» в последнее время.

В этом году вашему проекту исполнилось 15 лет, но, как я понимаю, это не единственная круглая дата в ближайшие месяцы?

Действительно, этой осенью круглых дат у нас много! Если идти в обратном порядке, то в ноябре 2015 года наша книга «Математическая составляющая» стала лауреатом премии «Просветитель», в 2010 году нашему проекту была присуждена Премия Президента РФ в области науки и инноваций для молодых ученых – причем впервые не за научные достижения, а за популяризацию науки. 15 лет назад открылся сайт «Математические этюды», а в декабре 2002 года появился наш первый математический фильм.

Николай Андреев на Международном конгрессе математиков в Рио-де-Жанейро, 2018

То есть, сам проект начался еще в 2002 году, а сайт появился три года спустя?

Да, так и есть. В какой-то момент мне показалось, что о задачах, которыми я занимался в науке, можно красиво и понятно рассказать с использованием 3D-графики. Представления о 3D-графике у меня тогда были только примерные, но было понятно, что это отдельная наука и изучать ее я не готов. Поэтому я кинул клич на интернет-форумах, где обитали специалисты по 3D-графике. Так мы познакомились с мультипликатором Михаилом Калиниченко, с ним мы начали что-то пробовать и, собственно говоря, работаем вместе по сей день. Правда, первые два фильма – про задачу Томсона и про контактное число шаров – я теперь показываю редко, сегодня они кажутся не такими захватывающими. Но в начале 2000-х они очень понравились и учителям, и научному сообществу. Поэтому мы продолжили создавать фильмы, математические расчеты для создания фильма стал делать Никита Панюнин, а в 2005 году совершенно уникальный человек Роман Кокшаров создал нашу полянку с мальчишкой у доски – сайт в интернете.

А где вы показывали этюды, пока у вас не было сайта?

Были лекции, в том числе в школах, на них и демонстрировались фильмы. Это направление очень важно по сей день, сегодня у нас в копилке больше тысячи лекций – вполне себе немаленькая цифра.

Из крупных событий я бы выделил Конгресс по математическому образованию в Копенгагене 2004 года: на нем впервые состоялась национальная презентация России. Туда приехало много российских учителей математики, проходила огромная выставка, читались доклады, в том числе наш про «Математические этюды».

Сегодня для нас 3D-графика – это привычное дело, но в начале 2000-х была совсем другая картина. Почему вам показалось, что именно такая форма будет удачной? Было ли это на тот момент новаторством в России?

И не только в России, но и в международных масштабах. 3D-графика в популяризации науки, действительно, была совершенно уникальной историей, это давало огромный приток посетителей на сайт. Любителей математических этюдов тоже стало больше, потому что таким образом математику еще не объяснял никто. Причем оценили такой подход не только наши пользователи, но и трехмерщики. В России ежегодно проходит крупнейшее мероприятие по 3D-графике – CG Event. И на первом CG Event представили несколько пленарных докладов, среди выступающих был сотрудник студии Pixar, представитель «Базелевса» – компании Тимура Бекмамбетова, который как раз тогда снял «Дозоры», и были мы с докладом по «Математическим этюдам». И даже на трехмерщиков они тогда произвели огромное впечатление.

Сейчас, конечно, 3D-графика стала более привычной, но главное ее преимущество для нас осталось неизменным – с ее помощью можно нарисовать математические картинки по-честному: с нужным соотношением сторон, чтобы развертка правильно разворачивалась и так далее. Сделать это каким-либо еще способом практически невозможно. А в математике честность и правильность нужна во всем, включая рисунки. Например, мы в книжке «Математическая составляющая» убили массу сил на то, чтобы рисунки были действительно честными, и это отдельная наша гордость. В фильмах происходит точно так же.

Вы упомянули, что в проекте собрано более тысячи лекций. А что в принципе сегодня представляют собой «Математические этюды» с точки зрения цифр: сколько заданий, сколько посетителей?

Сейчас на сайте представлено более 60 фильмов, более 30 миниатюр и 30 моделей.

Что касается посещений, в лучшие времена у нас было по 15 000 уникальных посетителей в день, для России и для математического сайта это очень неплохо, сейчас – поменьше. Последние несколько лет мы много работали над книгой и мало обновляли сайт, но надеемся, что новый материал и более активное присутствие в соцсетях не только восстановят, но и прибавят нам посетителей, а самое главное – людей, интересующихся математикой.

Лекция

Вы можете коротко охарактеризовать каждый из основных разделов? Что попадает в «Этюды», что – в «Модели» или «Миниатюры»?

«Этюды» – это фильмы о различных математических задачах, решенных и нерешенных, а также о приложениях математики, например, в технике. Один из таких культовых фильмов – о том, как поворачивают поезда метро и железнодорожные составы. Все мы пользуемся транспортом, но далеко не все задумывались, что при повороте радиус внешнего рельса больше, чем радиус внутреннего. Соответственно, путь, которое проходит внешнее колесо, больше, чем путь, которое проходит внутреннее. А между тем колеса вращаются с одной и той же скоростью, они сидят на единой оси! Оказывается, что проблему помогает решить геометрия.

«Миниатюры» – это совсем маленькие зарисовки, тем не менее они ничуть не менее интересны. Обычно они посвящены какому-то конкретному математическому факту. Например, у нас много миниатюр про используемые в школе понятия вроде параболы, гиперболы, они полезны для учителей, которые показывают их на уроках математики. При этом среди миниатюр есть сюжеты, которые по-новому раскрывают даже такие привычные понятия, как та же парабола: например, сюжет про параболическое решето.

В разделе «Модели» мы хотим собрать электронную энциклопедию всех идей, которые иллюстрируют математические факты и теоремы в реальном физическом мире. Мне это кажется ценным, потому что у нас пока нет хороших музеев науки, и даже в имеющихся математические отделы очень маленькие: сложно придумать модель, в которой как-то показывается математический факт. Сейчас на рабочей версии сайта собрано больше 400 таких моделей, постепенно мы будем выкладывать их в открытый доступ.

По какому принципу сегодня отбирается материал, который попадает на сайт?

На самом деле, не так много нетривиальных математических сюжетов, о которых еще не шла речь в классических книгах. Одна из наших целей – находить и представлять такие сюжеты. И если возникает идея, что какой-то из них можно представить и он будет интересен, то мы начинаем над ним работать. Когда первый вариант фильма готов, мы его показываем на лекциях, обкатываем, смотрим на реакцию, иногда чуть-чуть поправляем, и потом уже он появляется на сайте. Наша лаборатория популяризации и пропаганды математики существует в центральном математическом месте нашей страны – в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. К нам заходит почти весь институт, все понимают, что наша деятельность важна, делятся своими мыслями. Соответственно, мы можем черпать идеи с переднего края науки, получать их из первых рук, от людей, которые занимаются данной темой. Благодаря этому получается интересно, качественно и неизбито.

Вы говорите, что у вас в «Этюдах» представлены как решенные, так и нерешенные задачи. Бывало ли такое, что вы публиковали задачу, а потом ее кто-то решал?

Пока нет, но некоторые продвижения в решении подобных задач были. Мы не стесняемся дописывать опубликованные тексты, дополнять их комментариями. Но случая, чтобы приходилось прямо переделывать фильм, не было.

При этом мы выбираем задачи, формулировки которых понятны школьникам и широкой общественности. Интересно, что даже среди них есть такие, которые математики не умеют решать! И тут важно демонстрировать школьникам, что на их век еще что-то осталось, потому что многие воспринимают математику как науку времен Пифагора, в которой ничего нового уже не найдешь. Задача «Математических этюдов» – изменить их мнение, помочь полюбить математику. Потому что, конечно, научить математике никакой сайт не может, он может только вдохновить школьника: возможно, после он в книжках пороется, а главное, поработает сам – в математике это основное. Вторая важная задача – это дать учителям хороший по качеству материал для работы с детьми.

Как бы вы посоветовали выстроить свою работу с сайтом школьнику, который готовится к олимпиаде?

Мы не различаем школьников, которые готовятся к олимпиаде, к ЕГЭ и так далее. Наш подход в том, что человек должен обладать математическими знаниями и общей математической культурой. И если это будет, то дальше уже приложится и участие в олимпиадах, и большие баллы на ЕГЭ. Но все-таки, например, международные олимпиады – это сейчас некий спорт, а мы скорее рассчитаны на широкую аудиторию, для которой важнее общее знание математики, а не конкретных олимпиадных приемов. При этом мы стараемся делать фильмы многослойными, чтобы посетитель любого уровня в любом случае узнал что-то новое и интересное. Кто-то просто картинку посмотрит, а кто-то поймет, какая теорема за ней стоит.

И как я понимаю, у вас в каждом разделе есть ссылки на книги, чтобы можно было не только посмотреть, но и дополнительно почитать.

Сегодня далеко не все дети открывали книжку, например, «Прямые и кривые» Васильева и Гутенмахера, а это одна из лучших книг про конические сечения, про параболу, гиперболу, эллипс. С одной стороны, это достаточно стандартная рекомендация, с другой – ссылка не помешает: кто-то о ней узнает и прочитает. Это еще одна цель нашего проекта – стать проводником между современным обществом и тем пластом потрясающей литературы, которая была опубликована в советское время: рассказать про книжку, показать из нее какой-нибудь красивый сюжет, чтобы человек обратил на нее внимание. А в книге «Математическая составляющая» мы даже сделали раздел «Книжная полка».

У проекта есть версии на английском, французском, итальянском. Насколько он популярен среди ваших заграничных коллег? Может быть, у вас есть планы дальнейшего расширения?

Планы есть, правда, пока с переводами была большая проблема, и сайты на других языках содержат существенно меньше материала, чем русская версия. Но показательно, что на последнем международном математическом конгрессе в Рио-де-Жанейро в 2018 году нам дали приглашенный доклад на секции по популяризации математики, мы показывали там свои фильмы, то есть в мире сайт известен. По статистике мы тоже видим, что посетители приходят из разных стран, но их пока не так много. Мы будем исправлять положение: сейчас почти весь наш материал перевела на английский Татьяна Блинкова, и мы постепенно будем выкладывать его на сайте. Надеемся, что после этого пользователей по всему миру будет еще больше.

Николай Андреев на Международном конгрессе математиков в Рио-де-Жанейро, 2018

Помимо этюдов, моделей и миниатюр у вас еще есть раздел iMath с рекомендациями математических приложений. Как меняется популяризация математики с развитием технологий?

Опыт создания программ для айфонов был любопытным: одно из наших приложений – «В уме» – «выстрелило» очень сильно и больше недели держалось в топе всех приложений в России. Идея с приложениями, на самом деле, удачная, сейчас она временно подзаглохла, потому что особого финансирования у нас никогда не было, и все идет от энтузиазма отдельных людей: в частности, эту программу и все наши первые версии программ писал Антон Фонарев, тогда он был студентом, потом — аспирантом, а сейчас уже серьезный математик, который работает в нашем институте. Приложения – это мощный инструмент. Если современная молодежь любит пользоваться приложениями, давайте будем математику рассказывать таким способом. При популяризации науку нельзя подстраивать под общество, понижая планку: тогда это будет уже не наука. А технологии популяризации, конечно же, подстраивать стоит, и приложения стали для нас интересным открытием.

То есть, вам бы хотелось продолжить работать и в такой форме?

Конечно! Мы обязательно возобновим это дело, когда появится человек, который сможет им заняться.

В завершении хочу спросить: с чего начинать, если ты первый раз на сайте «Математических этюдов»?

С главной страницы! На ней собраны те этюды, с которых стоит начать. Приходите на наш сайт, подписывайтесь на нас в Фейсбуке и ВКонтакте – так вам будет проще за нами следить. Сейчас мы объявили новый проект – «Математические вторники», и каждую неделю будем выкладывать туда что-то новенькое с комментариями, байками и рассказами. Приятного общения с математикой!

по математике или математике?

Саймон Кьюин

Является ли «математика» или «математика» правильным словом для использования в качестве сокращенной или разговорной формы слова «математика»? Ответ в том, что это зависит от того, где вы находитесь.

Для носителей английского языка в Северной Америке следует использовать слово «математика», например «Я специализировался на математике», и «математика» будет звучать неправильно. Тем не менее, люди, говорящие на британском английском, всегда будут говорить «математика», например, «я получил степень по математике».Они никогда не сказали бы «математика».

Есть логические аргументы в пользу обоих вариантов написания. Слово «математика» можно рассматривать как существительное в единственном и множественном числе. И в Оксфордском, и в словарях Мерриам-Вебстера говорится, что это слово имеет множественное число — отсюда и буква s в конце, — но также и что оно обычно используется так, как если бы это было существительное в единственном числе. Таким образом, большинство людей сказали бы «математика — мой лучший предмет», а не «математика — мой лучший предмет». Таким образом, сокращенная форма «математика» имеет смысл, потому что это слово по-прежнему является существительным во множественном числе, и поэтому в конце должна быть буква «s».С другой стороны, можно утверждать, что «математика» имеет смысл, потому что кажется неправильным убирать буквы «ematic» из середины слова и оставлять последнюю «s».

Есть ряд других существительных во множественном числе, которые используются как в единственном числе — например, экономика, этика, политика, гимнастика, корь и домино. Эти слова, однако, обычно не сокращаются, что делает математику / математику довольно необычным словом.

Иногда удивительно, сколько споров и несогласий могут вызвать небольшие различия, такие как одна буква.Читатели в Великобритании, например, иногда очень расстраиваются, если кто-то пишет «математику», а не «математику». Несомненно, в США верно обратное. На практике просто стоит знать о географических различиях, чтобы вы могли использовать правильную форму слова в своем письме.

Другие различия между США и Великобританией

Конечно, между американским и британским английским языком существует много различий в написании — Колин рассмотрел причины этого в книге «Англичанин в Нью-Йорке — проблема британо-американского английского языка во внештатном письме».

Но есть ли другие слова, такие как math / maths, где в одной версии английского языка есть буква «s» в конце слова, а в другой — нет?

Есть: очень популярная игрушка из строительного кирпича, на которую, если у вас есть дети, вы, вероятно, слишком привыкли наступать. Его производит компания LEGO. Как вы относитесь к горстке этих кирпичей?

В США вы бы сказали: «Пожалуйста, возьмите свои Lego».

В Великобритании вы бы сказали: «Пожалуйста, возьмите свой Lego». Обратите внимание на отсутствие буквы «s».

Это номер , обратный математической / математической ситуации, где в американском английском в конце слова добавлена ​​буква «s», а в британском английском его нет.

Так кто же прав?

Ни то, ни другое!

Правильное множественное число, согласно LEGO, — «кубики LEGO» или «наборы LEGO». (Также обратите внимание на заглавные буквы.) Поэтому вместо того, чтобы говорить: «Поднимите свои Lego», вы должны сказать: «Поднимите свои кубики LEGO».

Вот несколько примеров «Лего» и «Лего», используемых в разных публикациях:

Робот, который может строить небольшие модели из Lego , может стать прорывом в автоматизированном производстве — если он сможет перестать ронять кирпичи.

(BBC News — британское издание)

Строительные блоки, известные как Legos , давно стали любимыми игрушками. Но знаете ли вы, что название на самом деле имеет стратегическое значение?

(Huffington Post — американское издание)

Дополнительная литература об американском английском и британском английском

Если вы хотите узнать больше о различиях между американским и британским английскими языками, ознакомьтесь с этими ресурсами в Daily Writing Tips:

7 Ресурсы для письма на британском английском , Марк Николс — этот пост завершает ряд руководств по стилю и справочников по редактированию копий, которые авторы, работающие в британских изданиях, могут найти полезными

Один «L» или два? , Мейв Мэддокс — есть много слов, которые могут принимать «ll» или «l» в зависимости от того, пишете ли вы для британской или американской аудитории.Мейв перечисляет некоторые из наиболее распространенных и объясняет общее правило, которому нужно следовать.

Поклонение и похищение , Мейв Мэддокс — стоит ли добавлять «р» при добавлении «инг» к таким словам, как «поклонение» и «похищение»? По-разному! Мейв описывает проблему здесь.

Программа по сравнению с программой , Али Хейл — и британский, и американский английский используют слово «программа», когда говорят о компьютерах, но британский английский использует слово «программа» для многих других областей (например, «программа обучения»). Этот пост объясняет разницу и как использовать слово «программа» в качестве глагола.

Ошибки пунктуации: американские и британские кавычки. , Daniel Scocco. Хотя и в американском, и в британском английском используются одинаковые знаки препинания, существует ключевое различие, когда дело доходит до знаков препинания и кавычек. Даниэль объясняет это здесь.

Хотите улучшить свой английский за пять минут в день? Получите подписку и начните получать наши ежедневные советы и упражнения по написанию!

Продолжайте учиться! Просмотрите категорию неправильно использованных слов, проверьте наши популярные публикации или выберите связанную публикацию ниже:

Прекратите делать эти досадные ошибки! Подпишитесь на Daily Writing Tips уже сегодня!

  • Вы будете улучшать свой английский всего за 5 минут в день, гарантировано!
  • Подписчики получают доступ к нашим архивам с более чем 800 интерактивными упражнениями!
  • Вы также получите три бонусные электронные книги совершенно бесплатно!
Попробовать бесплатно

Math vs.Математика: что правильно?

Если вы выросли на слове math , вы, возможно, задаетесь вопросом о слове math , с которым вы, вероятно, время от времени встречали. Вы списали это на опечатку или догадались, что человек, использующий его, просто заносится? То же самое, конечно, если вы выросли и сказали по математике . math звучит ужасно странно?

Здесь вы можете спросить: есть ли место для обоих этих слов в наших словарях? Следует ли в некоторых случаях использовать maths вместо math ?

Объяснение может вас удивить — и нет, оно не связано с математикой!

Что означает math ?

И математика , и математика являются сокращением от слова математика .Слово математика может относиться либо к дисциплине, либо к предмету математики. Это также может относиться к математическим процедурам. В предложении вроде Она любит изучать математику и естественные науки , слово математика относится к предмету или дисциплине математики. В предложении Она настояла на том, чтобы увидеть его математику, чтобы понять его предложение. , математика относится к фактическим вычислениям.

Что означает по математике ?

Maths имеет то же определение, что и math .Если вы замените математическими формулами в любом из приведенных выше примеров, предложения будут означать то же самое. Например: Он любит школу, но особенно любит математику .

Как использовать математику и математику

Единственная разница между math и math заключается в том, где они используются. Math — это предпочтительный термин в США и Канаде. Maths — это предпочтительный термин в Великобритании, Ирландии, Австралии и других англоязычных странах.

Нет никакого реального логического объяснения того, почему математика стала предпочтительной в некоторых местах, в то время как математика была где-то еще. Обычный аргумент гласит, что Mathematics является множественным числом, потому что он заканчивается на -s , поэтому maths должно быть его сокращением. Проблема в том, что, хотя оно заканчивается на — s , математика является неисчислимым существительным и обычно принимает глагол в единственном числе (например, Математика — мой лучший предмет ).

Оба эти слова восходят к рубежу 20-го века.Есть примеры математики в трудах 1840-х годов и математики 1910-х годов.

Другие различия между британским и американским английским языком

В некоторых случаях британский и американский английский используют разные слова для обозначения одного и того же понятия. Например, носители американского английского используют слова truck , shopping cart и sweater ; Носители британского английского говорят, что грузовик , тележка и джемпер означают одно и то же.

В других случаях различия между британскими и американскими английскими словами гораздо более тонкие. Например, в американском английском используется термин racecar , а в британском английском — слово racing car .

В британском и американском английском используется множество различных подходов к написанию. Примите участие в нашей проверке правописания, чтобы увидеть, насколько хорошо вы знаете разницу.

В других случаях британские и американские английские слова отличаются только одной буквой, как в случае math и math .Британский английский включает U в написание слов французского происхождения, таких как color или любимый , которые в американском английском опущены.

То же самое происходит со словами sport и sports . На американском английском можно сказать: «Мне нравится заниматься спортом, и я также люблю смотреть спорт». В британском английском это предложение будет выглядеть так: «Мне нравится заниматься спортом, и мне также нравится смотреть спорт». На этот раз понравился американский английский — s !

Math vs.Математика

Если вы когда-нибудь встречались со словом «математика», вы наверняка видели хотя бы одно из существительных из пары «математика» и «математика». Но какой из них правильный? Как вы произносите это коротко: «математика» или «математика»? Давайте кратко рассмотрим эту лингвистическую путаницу, чтобы убедиться, что вы все поняли правильно.

Математика против математики

И «математика», и «математика» — это аббревиатуры слова «математика», сложной науки, изучающей числа и формы.Мы не можем утверждать, что какая-либо из этих сокращенных форм является правильной или неправильной, потому что это просто более короткие версии для полного существительного («математика»). Предпочитаете ли вы добавлять последние буквы «s» или нет — это вопрос личного выбора и культуры, в зависимости от вашего школьного образования и того, как вы видели, как это пишется чаще.

Тем не менее, есть некоторые статистические данные, которые показывают, как часто используются «математика» и «математика». Оказывается, что, как и в случае с другими парами слов, которые отличаются только одной буквой, частота использования различных сокращений различается от британцев к американцам.Вот как это сделать:

Когда мы используем «математику»?

«Математика» — это сокращение, предпочитаемое англичанами. В Великобритании говорят, что «математика» оканчивается на «s», как и ее краткая форма. Более вероятно, что если вы спросите британца, он скажет вам, что предпочитает «математику», поскольку они все время видели, как это пишется так.

Когда мы используем «математику»?

Американцы предпочитают «математику» не только потому, что они обычно используют более короткие формы, но и потому, что они считают «математика» неисчислимым существительным, состоящим из глаголов в единственном числе и поэтому его следует сокращать без буквы » в конце концов.

Заключение

«Математика» и «математика» сами по себе не являются законченными словами и. В качестве сокращений их нельзя считать неправильными или правильными. На выбор формы будет частично влиять ваш личный выбор и логика, а частично — регион, в котором вы научились произносить ее по буквам. Британцы чаще используют «математику», а американцы предпочитают «математику», но это не определяет никаких правил для правильного написания.

«Математика» или «Математика»? | Grammar Girl

Давайте начнем с того, что установим, что оба эти слова являются сокращением от слова «математика», науки о числах и их операциях.Слово происходит от древнегреческого «mathimatikós». Его корень означает «учиться».

Кстати, если вы когда-нибудь задумывались, почему того, кто, кажется, знает все, называют «эрудитом», это потому, что «математическая» часть слова «эрудит» происходит от того же корня, поэтому эрудит — это просто тот, кто многому научился. Это не имеет ничего общего с математикой.

В США термин «математика» впервые был сокращен до «математики» в середине 1800-х годов.

В США термин «математика» впервые был сокращен до «математики» в середине 1800-х годов.Журнал Американского образовательного общества от 1829 года, например, перечисляет «Math., Rhet. И Hist.» — сокращение от математики, риторики и истории — как классы для второкурсников.

В 1899 году Джек Лондон написал письмо, в котором описал свою будущую жену Бесс Мэддерн как «хорошо разбирающуюся в математике … но не в культуре в целом». Его отношение может намекать на то, почему их брак продлился пять коротких лет и закончился спорным разводом.

В Великобритании цитаты с 1911 года показывают, что «математика» используется в качестве стандартного термина.

Примерно в то же время в Великобритании стала применяться другая аббревиатура. Цитаты с 1911 года показывают, что «математика» используется как стандартный термин в журналах, письмах и книгах. И этот термин используется до сих пор.

Если вы спросите кого-нибудь, почему они говорят «математика» вместо «математика», они, вероятно, дадут то, что кажется логичным. Потому что слово «математика» стоит во множественном числе. Видите букву S на конце?

«Математика» — это особенность.

Проблема в том, что «математика» не во множественном числе.Это необычно. Он описывает вещь — область исследования — не многие вещи. Буква S на конце не означает множественность; скорее, это означает нечто совершенно иное. Он функционирует как «маркер существительного», превращая прилагательное «математический» в существительное «математика».

Буква S делает то же самое, когда превращает прилагательное «акустический» в «акустика», «педиатрический» в «педиатрический» и «политический» в «политику».

Такое использование буквы S не очень распространено в английском языке, поэтому неудивительно, что люди приняли букву S в слове «математика» как маркер множественного числа.

Итак… неправильно ли используется «математика»? И да и нет. С одной стороны, вы можете возразить, что, поскольку оно возникло в результате неправильной интерпретации лингвистики, его следует исключить. С другой стороны … этого не произойдет. Это слово стало использоваться с 1920 года и не собирается прекращаться. Это просто то, что говорят в Великобритании и в других странах, находящихся под влиянием Великобритании. И пока люди во всем мире будут смотреть «Великое британское шоу выпечки», «Доктор Кто» и «Ист-Эндерс», они, вероятно, будут распространяться.

Изображение любезно предоставлено Shutterstock.

Саманта Энслен руководит редакцией Dragonfly. Вы можете найти ее на сайте dragonflyeditorial.com или @DragonflyEdit.

Математика или математика?

Трэвис Т. спрашивает: Почему американцы говорят «математика», а другие англоязычные страны говорят «математика»?

Алюминий или алюминий, zee или zed, и удаление u из некоторых слов или нет — среди множества расхождений между американским и британским английским языком, возможно, никто не вызывает такого религиозного рвения, как математика vs.математика.

Итак, какой из них правильный?

Ну, на самом деле ни один из них технически не более правильный, чем другой. Это всего лишь язык и условные обозначения, которые хотят использовать разные группы людей. В конце концов, язык — это эффективное общение, и правила, которые его окружают, призваны служить этой цели, а не язык, служащий правилам и условностям, вопреки тому, что многие люди, отказывающиеся принимать эволюцию языка, могли бы в противном случае. попробуйте заставить вас поверить.

Поскольку никто, скорее всего, не запутается в том, что кто-то говорит, когда они говорят математику или математику, и говорить одно или другое является общепринятым способом сделать это среди двух довольно больших групп англоговорящих, идея сказать, что кто-то однозначно верна а один ошибается — немного богат.

Но это не очень интересно. Так что давайте немного разожжем огонь и посмотрим, сможем ли мы пролить свет на то, как возникла эта конкретная разница между американским и британским английским языком.

Для начала — что было первым, математика или математика? Оказывается, хотя вы часто читаете, что любители математики во всем мире выигрывают в этом, это на самом деле неверно, хотя верно, что даже в Великобритании до последней полувека или около того говорилось, что математика было более распространенным, чем математика.

Но для начала, Math. Аббревиатура для математики восходит по крайней мере к 4 июня 1847 года, когда У.Г. Хаммонд написал в своем дневнике: «Шел дождь, так что у нас была математика. урок в помещении ».

Опять же, обычно утверждается, что Maths — более позднее изобретение, впервые засвидетельствованное в 1911 году в письме английского солдата и поэта Уилфреда Эдварда Солтера Оуэна, где он написал: «Ответы на математику. Вопрос. были даны всем нам сегодня утром ».

В следующий раз его снова увидят в 1917 году в сентябрьском выпуске Wireless World с отметкой «Чрезвычайно« ржавый »по математике.’”

Однако выясняется, что в Америке известен гораздо более ранний известный случай, когда кто-то писал математику. В своем письме военного министра № , написанном военным министром Джоном К. Калхоуном в 1818 году, человек, которого называют «гл. Дэвис »значится как« осел. проф. математика ».

Существует также третий вариант этого появления в 1836 году, где говорится: «Эдвард К. Уорд, профессор математики»

«Math’s» также фигурирует в Списке заслуг кадетов Военного института Вирджинии , опубликованном примерно в 1854 году.Оказывается, некий T.C. Райс и П. Процитируем Worhsam: «Плохо разбирались в математике».

(Несомненно, если бы они знали более чем через полтора столетия, их бы публично кричали об этом, и это было бы все, что кто-либо когда-либо вспомнил бы о них, они бы учились усерднее.)

В любом случае, в этих случаях апостроф просто выполняет функцию заполнителя для пропущенных букв между математикой и буквой «s».

Здесь следует отметить, что во всех этих ранних вариантах математики, математики, математики не думали, что люди на самом деле произносили аббревиатуры таким образом, вместо этого просто использовали это как сокращенный способ написать математику, которая затем была бы полностью озвучена, аналогично тому, как вы сказали бы «Профессор», а не «Проф», когда встретите аббревиатуру «Проф.», Как в предыдущем примере.

Только в середине 20-го века, похоже, люди начали использовать математику и математику как правильные устные слова, а не просто письменные сокращения.

Неудивительно, что по неизвестной причине, несмотря на то, что оба использовались какое-то время по обе стороны пруда, «математическая» версия аббревиатуры оказалась более популярной, чем ее «математика», звучащая во множественном числе, в то время как в конечном итоге в Великобритании произошло обратное.Тем не менее, следует отметить, что только в 1970-х годах математика вытеснила математику как надлежащую форму в Великобритании. До этого на этом конце пруда использовались более смешанные сорта.

Все это подводит нас к аргументу, который часто выдвигается против сторонников математики в мире, как к окончательной причине, по которой люди должны говорить «математика», а не «математика» — что математика имеет множественное число, поэтому следует использовать ее аббревиатуру.

Помимо слабого предположения о том, что сокращение чего-то множественного числа должно быть также во множественном числе, те, кто говорит «математика», не говорят: «Мои любимые предметов — это математиков.Они говорят: «Мой любимый предмет — это математика ».

Точно так же не существует такой вещи, как «математика», у которой было бы более одного. (Или, по крайней мере, больше нет — в какой-то момент математика более или менее использовалась для описания эрудита.)

Но главное в том, что математика — это не счетное существительное. Вы можете сказать: «У меня два урока математики», но никогда не сказать: «У меня два урока по математике». Есть просто обширная область изучения, известная как математика, подобная тому, как у нас есть физика, лингвистика, экономика.

В этих последних случаях никто не говорит «эконом» или «линги», если они собираются сокращать слова; они говорят «экон» и «лин». (Физика — это еще один зверь, поскольку, насколько нам известно, никто не сокращает его словесно. И даже если бы это была Phys, было бы неясно, заключает ли человек окончание s или просто включает четвертую букву. Хотя, возможно, нам действительно стоит произнесите эту аббревиатуру, поскольку «Физз» — довольно привлекательное название для области науки.)

Несмотря на все это, особенно при опросе людей британского толка, народная этимология имеет тенденцию заставлять этих людей предполагать, что, несмотря на то, что их собственное использование демонстрирует обратное, математика должна быть множественного числа из-за завершающего s.

Возможно, именно эта идея является причиной того, что буква s была изначально добавлена ​​в конце аббревиатуры в первую очередь, и некоторые люди думали, что математика имеет множественное число, несмотря на обычное употребление. Есть некоторые свидетельства в поддержку этого, когда примерно в то время, когда начали появляться эти сокращения, вы обнаружите несколько случаев, когда люди действительно относились к математике как к множественному числу. Например, в «Библиотеке полезных знаний — математика » Болдуина и Крэдока, опубликованной в 1836 году, говорится: «Теперь математика особенно хорошо приспособлена для этой цели…»

По правде говоря, математика — это просто неисчислимое существительное (например, музыка, вода, факультет, мусор, мебель, доказательства, человечность, багаж), имеющее на конце букву «s», подобно физике или экономике, и, опять же, считается бесчисленным. и обычно трактуется как единственное число в том, как оно используется.(Хотя примечательно, что некоторые массовые существительные, относящиеся к группе чего-то, например, факультет, могут иметь любое значение, например, «СМИ делают новости сенсационными». Или «СМИ делают новости сенсационными. ”)

Но, к сожалению, для толпы «математика во множественном числе», за исключением нескольких отдельных случаев в самое последнее время (вероятно, из-за неправильного представления о множественном числе математики), уже давно математика почти повсеместно рассматривалась как единственное общее. Применение.

В этот момент вы могли бы задаться вопросом, не существует ли в математике множественного числа, как вообще эти «s» попали туда? Хотя здесь есть некоторые споры, похоже, что это произошло из-за общей договоренности примерно в то время, когда математика появилась в английском языке, когда было модно использовать множественное число для различных областей исследования, таких как экономика, лингвистика, физика, акустика. и т. д. Эта практика, похоже, была заимствована из родственных терминов древнегреческого языка, например, Physika или, в данном случае, mathematika.

Но, в конце концов, и математика, и математика — это просто аббревиатуры для математики, которые превратились в правильные слова, с некоторыми предпочитают использовать сокращенную версию аббревиатуры вместо более короткой «математики», и это просто как бы завоевывает популярность. так или иначе оттуда.

В общем случае ни математика, ни математика не являются более правильными, чем другие, хотя, если вы пишете для аудитории, которая, как вы знаете, преимущественно использует математику, вам, вероятно, следует пойти с этим, и наоборот, если только вы не один тех людей, которые любят смотреть, как мир горит.

И в любом случае — да поможет вам бог, если вы британец, работающий со многими американскими сценаристами и разговаривающий со всемирной аудиторией на платформе, особенно известной комментаторами без фильтров … Проблема математики и математики — это просто верхушка айсберга для этого жалкого человека.

Если вам понравилась эта статья, возможно, вам понравится наш новый популярный подкаст The BrainFood Show (iTunes, Spotify, Google Play Music, Feed), а также:

Бонусных фактов:

  • Задолго до того, как математика стала использоваться в качестве аббревиатуры для математики, а затем стала самостоятельным словом, на древнеанглийском языке оно означало «скашивание», или, точнее, срезание зерна или других подобных культур.
  • Математика фактически не стала означать просто арифметику примерно до конца 18 — начала 19 века. До этого он включал в себя множество областей обучения, включая астрологию, музыку, арифметику и даже оптику. Это различие в использовании настоящего определения является корнем неправильного понимания совета святого Августина о том, что христианам следует держаться подальше от математики. Он имел в виду не тех, кто изучает математику, как мы думаем, а скорее астрологов.
Разверните для ссылок Выбор

слов — что правильно: «математика» или «математика»? Выбор

слова — что правильно: «математика» или «математика»? — Обмен английским языком и использованием стека
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

English Language & Usage Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для лингвистов, этимологов и серьезных энтузиастов английского языка.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 9к раз

Какой из них считается правильным? Я говорю «математика», но мне кажется, что где-то я слышал, что «математика» верна.Кроме того, следует ли это (и «математика») писать с заглавной буквы?

Даниэль

55.9k7171 золотой знак248248 серебряных знаков371371 бронзовый знак

Создан 16 авг.

Кевин ЯпКевин Яп

73588 серебряных знаков1010 бронзовых знаков

0

Это просто:

  • Math — американский английский.
  • Maths — британский английский.

Это существительное нарицательное, и его следует писать только с заглавной буквы в начале предложения.

Интересно узнать, смогу ли я найти версию апострофа, я обратился к Google Книгам и с удивлением обнаружил, что математика существует в США, этот пример датирован 1836 годом и предшествует заявлению Word Detective о том, что первый экземпляр math появился в 1847 году.


Ларри Траск, профессор лингвистики в Университете Сассекса (Великобритания), упоминает наиболее распространенные сокращенные формы, в которых до сих пор сохранился апостроф.

Несколько слов, которые давным-давно были сокращениями, все еще условно написаны с апострофами, даже если в более длинных формах больше или меньше выпало из употребления. Их так мало, что вы легко можете выучить их все. Вот самые распространенные из них в оригинальной более длинной форме:

  • часов, часов
  • Hallowe’en, Halloweven
  • fo’c’le, бак
  • девятихвостый кот, девятихвостый кот
  • плохой, никогда не преуспевающий
  • Блуждающий огонек, Блуждающий огонь

ИЗМЕНИТЬ

Опубликовано в Ричмонде, США Уильямом Ф.Richie, 1853-54, Список заслуг кадетов Военного института Вирджинии, июль 1853 г. дважды перечисляет математику как сокращенную форму математики!


Личные размышления

Как показано в предоставленных мною отрывках, кажется очевидным, что правила написания сокращенных слов, т. Е. Использование апострофа для обозначения пропуска букв, также использовались в США. Укороченная форма math’s была необходима для экономии места, но по какой-то причине лишний апостроф и буква -S были сохранены, несмотря на то, что логика требовала, чтобы слово math было короче.Возникает также вопрос, действительно ли это сокращенное слово было когда-либо произнесено американцами? Мое предположение? Вероятно, нет, они решили не произносить maths / maθs / , потому что это звучит во множественном числе, и поэтому выбрали обрезанную форму, math / maθ / в речи. Британцы, как известные традиционалисты, решили сохранить в речи «молчаливый» апостроф и поэтому предпочли более длинную форму maths .

.
Сколько система имеет решений: Как найти сколько решений имеет система уравнений? Плииииз помогите:)

Сколько система имеет решений: Как найти сколько решений имеет система уравнений? Плииииз помогите:)

Системы линейных уравнений (Лекция №14)

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т. е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

  1. Найдем матрицу обратную матрице A.

    ,

    Таким образом, x = 3, y = – 1.

  2. Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

  3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

    Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

    Найдем матрицу А-1.

    Проверка:

  4. Решите матричное уравнение AX+B=C, где

    Из уравнения получаем .

    Следовательно,

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т. е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

  1. Итак, х=1, у=2, z=3.

  2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

    Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

    . Поэтому .

    1. При
    2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
    3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

  1. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

  2. Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

    Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

  3. Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

    Вернемся к системе уравнений.

    Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения  и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.


Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

.                         (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.


Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

*

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

*

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера


………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:


Пример 2.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

,

.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

,

,

,

.

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Метод отображения Задание 1. Сколько решений имеет система:

Решение системы логических уравнений

Решение системы логических уравнений . Сколько решений имеет уравнение A BB C C D = 0 Количество наборов переменных равно =. Можно составить таблицу истинности и проверить, сколько наборов соответствуют

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

5. Исчисление высказываний и предикатов

5. Исчисление высказываний и предикатов Пусть дано непустое множество простых предложений Q. Расширим это множество, присоединив к нему все те предложения, которые можно образовать с использованием сентенциональных

Подробнее

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Прежде всего нужно знать, что симплекс-метод является универсальным методом решения задач линейного программирования (ЗЛП) в том смысле, что он позволяет решать ЗЛП с любым количеством

Подробнее

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному

Подробнее

ПЕРВЫЕ ШАГИ НА ПУТИ К ОЛИМПУ

УДК 51 ПЕРВЫЕ ШАГИ НА ПУТИ К ОЛИМПУ Соколова В.В., Мандров Г. научные руководители учитель математики старших классов Новикова О.В., учитель информатика старших классов Мясникова И.С. Муниципальное общеобразовательное

Подробнее

Умножение числа на 10.»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 2 Урок математики в 3 классе «Сочетательное свойство умножения. Умножение числа на 10.» Учитель: Гурьянова Е.С. г. Навашино

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,. .., ) 0, F ( x, x,…, ) 0, Система уравнений вида где… Fk ( x, x,…, ) 0, F i( x, x,…, ), i,…, k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Формула крюков. Первые примеры

Формула крюков Что для нас головоломка, духом тайны разум будит очевидно, для потомка просто школьным курсом будет. И. Губерман Первые примеры На рисунке показаны все существующие способов так заполнить

Подробнее

16 (повышенный уровень, время 2 мин)

16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем, 15, из системы

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Затем дробную часть числа 0,

Арифметические основы компьютерной техники. Пример. Даны два числа: 76.54 и 5.7 Задание Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Затем перевести числа в восьмеричной

Подробнее

Тема: Системы счисления

Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления — это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

Подробнее

B13 (повышенный уровень, время 7 мин)

B3 (повышенный уровень, время 7 мин) Тема: динамическое программирование. Что нужно знать: динамическое программирование это способ решения сложных задач путем сведения их к более простым задачам того

Подробнее

Поиск кратчайших расстояний в графе

Поиск кратчайших расстояний в графе 1 Алгоритм Дейкстры поиск кратчайших расстояний от одной вершины до всех остальных. Дан граф, на ребрах графа указаны числа, их можно называть «весами» ребер. Расстояние

Подробнее

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 1. Разложение на множители a) ( x 1)( y+ ) 9. б) x(y 98). в) x + y= xy. г) x + 4xy 7y. д) 19x yz 995, решить в простых числах. Делимость чисел а) y = 5x + 6. б) в) г) д) x + 1=

Подробнее

Задача 5 «Кольцевая линия»

Задача 5 «Кольцевая линия» Полное решение этой задаче основано на следующем наблюдении. Пусть Андрей и Борис живут на различных станциях, причем при движении от Андрея к Борису по и против часовой стрелки

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

Тестовые задания и диктанты

Глава4 Уравнения 1 Тестовые задания и диктанты Т-01 Решение линейного уравнения Т-02 Решение уравнений разложением на множители Т-03 Рациональные уравнения, сводящиеся к линейным Т-04 Замена неизвестного

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ.

Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,…, n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

г. Классная работа.

5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

22 (повышенный уровень, время 7 мин)

К. Поляков, 09-6 22 (повышенный уровень, время 7 мин) Тема: динамическое программирование. Что нужно знать: динамическое программирование это способ решения сложных задач путем сведения их к более простым

Подробнее

Решение Задачи об N ферзях

Решение Задачи об N ферзях Андрея Борисовича Скрыпника (Эл.почта — [email protected]) 2017 год Содержание 1 Формулировка Задачи об N ферзях 1 2 Алгоритм решения Задачи об N ферзях 2 2.1 Первая детализация

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Одномерные массивы. Лабораторная работа 9

Лабораторная работа 9 Одномерные массивы Массивы. Ссылочные типы и null. Часто в программах требуется завести большое количество переменных одного и того же типа. Можно, конечно, написать большое количество

Подробнее

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера 1. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз

Подробнее

Символ N O P Q R S T U V W X Y Z Код символа

Открытая олимпиада школьников «Информационные технологии» 2017-18 Решения заданий заключительного этапа для 7 и 8 класса 1. Системы счисления (1 балл) [Торрент] Петя решил скачать файл используя торрент-клиент.

Подробнее

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-3 x_{4}-x_{5}=0 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=0 \\ 4 x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}+3 x_{4}-4 x_{5}=0 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}-7 x_{5}=0 \end{array}\right.$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

$$A=\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end{array}\right)$$

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end{array}\right)$$

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end{array}\right)$$

От четвертой строки отнимем $\frac{4}{3}$ третьей и третью строку умножим на $\frac{1}{3}$ :

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-6 x_{4}=0 \\ -2 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=0 \\ 3 x_{4}-x_{5}=0 \end{array}\right. $$

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{2}=x_{2} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{4}=x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Здесь $x_{2}, x_{4}$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1}, x_{3}, x_{5}$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что {x_{1}=12, x_{3}=-5, x_{5}=6} , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

$$X_{1}=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), X_{2}=\left(\begin{array}{r} 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right)$$

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

$$X=C_{1} X_{1}+C_{2} X_{2}=C_{1}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{r} 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right)$$

где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \\ x_{2}=C_{1} \\ x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \\ x_{4}=2 C_{2} \\ x_{5}=6 C_{2} \end{array}\right.$    $C_{1}, C_{2} \neq 0$

Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

 x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

 x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x — 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x — 2y = 16;
3(2 + 4y) — 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) — 2y = 16;
6 + 12y — 2y = 16;
6 + 10y = 16;
10y = 16 — 6;
10y = 10;
 y = 10 : 10;
 y = 1.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

 x — 4y = 2
3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

x — 4y = 23x — 2y = 16
-4y = 2 — x-2y = 16 — 3x
y = (2 — x) : — 4      y = (16 — 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

2 — x · (-4) = 16 — 3x · (-4)
-4-2
2 — x = 32 — 6x
x + 6x = 32 — 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

x — 4y = 23x — 2y = 16
6 — 4y = 23 · 6 — 2y = 16
-4y = 2 — 6      -2y = 16 — 18
-4y = -4-2y = -2
 y = 1 y = 1

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

 x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x — 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

 x — 4y = 2
-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+x  —  4y = 2
 -6x + 4y = -32
 -5x         = -30

Находим значение  x  (x = 6).   Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

3x — 12y = 6

Получим:

 3x — 12y = 6
3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

3x  —  12y = 6
  3x  —   2y = 16
          -10y = -10

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

3x — 2y = 16
3x — 2 · 1 = 16
3x — 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Графический способ решения систем уравнений

1. Графический способ решения систем уравнений

2. Цели урока

• Закрепить навыки построения графиков
функций
• Ввести уравнение окружности
• Использовать графический метод для
решения систем уравнений
• Применить графический метод при
решении заданий с параметрами
Повторение
1.Что является графиком уравнения ху=9 ?
гипербола
2. Что является графиком уравнения х+у=9 ?
прямая
2
2
3. Что является графиком уравнения х+у =9 ?
окружность
2
4. Что является графиком уравнения х + у =9
парабола

4.

Установите соответствие между графиком функции и формулойу= х
у= х
2
у=кх+в
у= к/х
у= х
3
у=х

5. Построить график уравнения

2
2
х + у =25
X -5
y
0
-4
-3
0
3
3 4 5 4
4
3
5
0

6. Графиком уравнения (х-а) +(у-b) =r является окружность с центром в точке О (а,b) и радиусом r.

Графиком уравнения
2
2
2
(х-а) +(у-b) =r является
окружность с центром в
точке О (а,b) и радиусом r.
r
а
b
( x 6)2 ( y 8)2 9
8
( x 10)2 y 2 16
x2 y 2 4
-9
-6
10
-5
x2 ( y 5)2 1
( x 9Написать
)2 ( y 5)2 16
уравнение окружности

8. Построить график уравнения

2
2
(х+4) + (у-4) =16
2
2
(х- 5) + у = 4
5.18(г)
2
х –у = 4
2х + у = -1
5
2
х –у = 4
2
х –у = 4
2
у = х- 4
Графиком уравнения
является парабола,
ветви направлены
вверх, вершина (0;-4)
2х + у = -1
Графиком уравнения
является прямая
х
0
2
у -1 — 5
-3
-3
2х + у = -1
Т. к. графики пересекаются в двух точках ,
то система уравнений имеет два решения
(1;-3), (-3;5)
5.19(г)
ху = 6,
3х-2у=0.
ху=6,
у=6/х
Графиком данного уравнения
является гипербола,
ветви которой находятся
в I и III четвертях
3х-2у=0
ху=6
х 1 2 3 6
у 6 3 2 1
3х-2у=0 Графиком данного уравнения
является прямая
х 0 2
у 0 3
Т.к. графики пересекаются в двух точках
система имеет два решения (-2;-3) и(2;3).
5.20 (г)
2
2
(х+2) +(у-2) =1
у = х+1
2
2
2
(х+2) +(у-2) =1
у = х+1
2
(х+2) +(у-2) =1
Графиком уравнения является
окружность с центром
в точке (-2;2) радиуса 1
График уравнения у = х+1
получается из графика у= х
параллельным переносом вдоль оси ОХ на 1 влево
Т.к. графики уравнений не пересекаются,
то система не имеет решений
Сколько решений имеет
система уравнений ?
2
у =х +1
2
+у+1= 9
ух=х
2
2
(х-5) + у =1
ху=3
ху=12
2
32
ху=12
2
х +у2 = 9
ху=3
2
у=х
3
2
(х-5) + у =1
5. 37 (а)
2
у- х = 4
у + рх =4
2
у- х = 4
2
у=х+4
При каких р система уравнений
Имеет одно решение?
Графиком данного уравнения
является парабола,
вершина (0;4),
ветви направлены вверх
у + рх =4 Графиком данного
у = -рх+4 уравнения
является прямая
Ответ: Система имеет одно решение при р=0
2
2
2
2
х + у2 = 4
у –х = р
5.38
х +у =4
Графиком уравнения является
окружность, с центром
в точке (0;0) радиуса 2
у –х2 = р
2
у=х+р
Графиком уравнения является парабола
ветви направлены вверх, вершина (0;р)
Ответ: Система имеет три решения при р=-2 и
одно решение при р =2

15. Сколько решений имеет система уравнений?

2
х + у =25
2
2
у- х = 0
Решений нет
одно
два
три
четыре
показать рисунок

17. Сколько решений имеет система уравнений?

2
х + у =25
2
2
у- х = 5
Решений нет
одно
два
три
четыре
Показать рисунок

19.

Сколько решений имеет система уравнений?2
х + у =25
2
2
у- х = -5
Решений нет
одно
два
три
четыре
Показать рисунок

21. Сколько решений имеет система уравнений?

2
х + у =25
2
2
у- х = -7
Решений нет
одно
два
три
четыре
Показать рисунок

23. Сколько решений имеет система уравнений?

2
х + у = 25
2
2
у- х = 7
Решений нет
одно
два
три
четыре
Показать рисунок

25. Вопросы рефлексии

• Каковы мои главные результаты сегодня?
• Какие трудности встретились во время
выполнения заданий? Как я их
преодолевал?
• Что я узнал нового на уроке?
• Что вызвало интерес?

Урок 49. решение задач при помощи систем уравнений первой степени — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 49

Решение задач при помощи систем уравнений первой степени

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение задач.

• Система уравнений.

• Решение системы уравнений.

Тезаурус:

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Решить систему – это значит найти все её решения.

Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения или системы уравнений и последующего решения уравнения или системы.

Основная литература:

  1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
  2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
  3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим задачу. Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Мы не знаем, сколько овец у Ивана, и сколько у Петра.

Обозначим за х число овец у Ивана, а за у – число овец у Петра.

Мысленно разделим условие задачи на две независимые части:

1. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!»

2. А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!»

Для каждой из частей составим уравнение с двумя неизвестными.

Начнем с первой части.

Если бы Пётр отдал Ивану одну овцу, то у Петра осталось бы (у – 1) овец.

А у Ивана стало бы (х + 1) овец.

Но тогда у Ивана было бы вдвое больше овец, чем у Петра.

Можем составить уравнение x + 1 = 2(y – 1).

Составим уравнение с двумя неизвестными для второй части. Если бы Иван отдал Петру 1 овцу, то у Ивана осталось бы (x – 1) овец. А у Петра стало бы (y + 1) овец, и тогда они имели бы овец поровну. Можем составить уравнение: x – 1 = y + 1

Мы составили два уравнения.

И в первом и во втором уравнении х обозначает число овец у Ивана, а у – число овец у Петра. Другими словами, каждое неизвестное число обозначает одно и то же в обоих уравнениях. Значит, эти уравнения можно рассматривать совместно, то есть объединить их в систему уравнений:

Решим эту систему способом подстановки.

Раскроем скобки в правой части первого уравнения.

Выразим х через у.

Подставим (2у – 3) вместо х во второе уравнение системы. Получим уравнение с одним неизвестным у.

Решим его. Упростим левую часть уравнения.

Перенесем неизвестные в левую часть. уравнения, а числа – в правую.

Подставим у = 5 в первое уравнение.

Получим х = 7.

Система имеет единственное решение: х = 7, у = 5.

Вернемся к исходным обозначениям.

Получаем, что у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.

Таким образом, мы решили задачу при помощи системы уравнений первой степени.

Задачи с помощью системы уравнений можно решать по следующей схеме.

Сначала вводим обозначения неизвестных.

Мысленно разделив условие задачи на две части, составляем 2 уравнения и объединяем их в систему.

Решаем полученную систему уравнений.

Возвращаемся к условию задачи и использованным обозначениям.

Отбираем решения и записываем ответ.

Разбор заданий из тренировочного модуля.

1. Решим задачу алгебраическим способом.

Задача.

Даны 3 числа, сумма которых равна 23. Если к удвоенному первому числу прибавить второе число и вычесть третье, то получится 32. А если из первого числа вычесть удвоенное второе и прибавить третье, то получится 8.

В задаче 3 неизвестные, поэтому введем следующие обозначения:

Пусть х – первое число, у – второе число, z – третье число.

Мысленно разделим условие задачи на 3 части, по каждой из которых составим уравнение с тремя неизвестными:

Вернёмся к условию задачи: первое число 15, второе число 5, третье число 3.

Ответ: 15, 5, 3.

Составим систему уравнений по условию задачи.

В трех сосудах 54л воды. Если из первого перелить во второй сосуд 4л, то в обоих сосудах будет воды поровну, а если из третьего сосуда перелить во второй 17л, то во втором сосуде окажется в 4 раза больше воды, чем в третьем. Сколько воды в каждом сосуде?  

Пусть x л воды было в первом сосуде, y л воды – во втором, z воды – в третьем. Значит, всего в трёх сосудах было x + y + z л воды, что равно 54 л. Составим уравнение: x + y + z = 54.

Когда из первого сосуда перелили 4 л воды во второй сосуд, то во втором сосуде стало y + 4 л воды, а в первом сосуде x – 4 л воды. По условию задачи воды стало в сосудах поровну. Составляем уравнение:

y + 4 = x – 4.

Если из третьего сосуда перелить во второй 17 л, то в третьем останется z – 17 л, а во втором станет y + 17 л. По условию задачи во втором сосуде окажется в 4 раза больше воды, чем в третьем. Можем составить уравнение: y + 17 = 4(z – 17).

Записываем систему уравнений:

2. Система уравнений по условию задачи.

Составим систему уравнений по условию задачи: 5% одного числа и 4% другого вместе составляют 46, а 4% первого числа и 5% второго вместе составляют 44. Найдите эти числа.

систем линейных уравнений, примеры решений, рисунки и практические задачи. Система просто ..

Что такое система уравнений?
Отвечать

Система уравнений просто означает «более одного уравнения». Система линейных уравнений — это не более 1 строки, см. Рисунок:

Хорошо, так что же такое
решение системы уравнений? Отвечать

Решение — это место, где уравнения «встречаются» или пересекаются.Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?
Отвечать

Может быть нулевое решение, одно решение или бесконечное количество решений — каждый случай подробно описан ниже. Примечание. Хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы собираемся обратиться к наиболее распространенному случаю — стержню с ровно 2 линиями.

Вариант I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, когда линии пересекаются ровно в одной точке.


Дело 2: Нет решений

Это происходит только тогда, когда линии параллельны. Как видите, параллельные линии никогда не встретятся.

Пример стержня, у которого нет решения:

  • Строка 1: $$ y = 5x + 13 $$
  • Строка 2: $$ y = 5x + 12 $$

Вариант III: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только тогда, когда у вас есть та же строка
Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2).Эти два уравнения — одна и та же линия.

Пример системы с бесконечным числом решений:

  • Строка 1: y = 2x + 1
  • Строка 2: 2y = 4x + 2
Как мы можем найти решения систем уравнений?

Найти решение систем линейных уравнений можно любым из следующих способов:

Графики и решения систем линейных уравнений

Результаты обучения

  • Графические системы уравнений
    • Постройте систему двух линейных уравнений
    • Постройте систему двух линейных неравенств
  • Оценить заказанные пары как решения для систем
    • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений
    • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
  • Классифицируйте решения по системам
    • Определите, какой тип решения будет иметь система, на основе ее графика

Путь течения реки зависит от многих переменных, включая размер реки, количество воды в ней, какие предметы плавают в реке, идет ли дождь или нет, и так далее.Если вы хотите лучше всего описать его поток, вы должны принять во внимание эти другие переменные. В этом может помочь система линейных уравнений.

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Вы найдете системы уравнений во всех приложениях математики. Они являются полезным инструментом для обнаружения и описания взаимосвязи поведения или процессов.Например, редко можно найти схему транспортного потока, на которую влияет только погода. Несчастные случаи, время суток и крупные спортивные события — это лишь некоторые из других переменных, которые могут повлиять на движение транспорта в городе. В этом разделе мы исследуем некоторые основные принципы построения графиков и описания пересечения двух линий, составляющих систему уравнений.

Построение системы линейных уравнений

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными.Сначала мы попрактикуемся в построении графиков двух уравнений на одном и том же наборе осей, а затем изучим различные соображения, которые необходимо учитывать при построении графиков двух линейных неравенств на одном и том же наборе осей. Для построения графика системы линейных уравнений используются те же методы, что и для построения графиков отдельных линейных уравнений. Мы можем использовать таблицы значений, наклона и интервала y или интерцептов x и y , чтобы построить обе линии на одном и том же наборе осей.

Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} [/ latex]

Давайте изобразим их, используя форму пересечения наклона на одном и том же наборе осей. Помните, что форма пересечения наклона выглядит как [latex] y = mx + b [/ latex], поэтому мы захотим решить оба уравнения для [latex] y [/ latex].

Сначала найдите y в [latex] 2x + y = -8 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} 2x + y = -8 \\ y = -2x — 8 \ end {array} [/ latex]

Во-вторых, решите относительно y в [latex] x-y = -1 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} x-y = -1 \, \, \, \, \, \\ y = x + 1 \ end {array} [/ latex]

Теперь система записывается как

[латекс] \ begin {array} {c} y = -2x — 8 \\ y = x + 1 \ end {array} [/ latex]

Теперь вы можете построить оба уравнения, используя их наклоны и точки пересечения на одном и том же наборе осей, как показано на рисунке ниже.Обратите внимание на то, что графики имеют одну общую точку. Это их точка пересечения, точка, которая лежит на обеих линиях. В следующем разделе мы убедимся, что эта точка является решением системы.

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система для построения графика, состоящая из двух параллельных линий.

Пример

Постройте график системы [латекс] \ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} [/ latex], используя наклоны и пересечения линий по оси Y.

Показать решение

Во-первых, график [латекс] y = 2x + 1 [/ latex], используя наклон m = 2 и точку пересечения по оси y (0,1)

Затем добавьте [латекс] y = 2x-3 [/ latex], используя наклон m = 2 и точку пересечения оси y (0, -3)

Обратите внимание на то, что это параллельные линии, и они не пересекаются.В следующем разделе мы обсудим, как не существует решений системы уравнений, представляющих собой параллельные прямые.

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система, уравнения которой выглядят по-разному, но после построения графика оказываются той же линией.

Пример

Изобразите систему [латекс] \ begin {array} {c} y = \ frac {1} {2} x + 2 \\ 2y-x = 4 \ end {array} [/ latex], используя x — и y -перехватывает.

Показать решение

Сначала найдите точки пересечения по осям x и y [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex]

Пересечение x будет иметь значение 0 для y, поэтому подставьте y = 0 в уравнение и выделите переменную x.

[латекс] \ begin {array} {c} 0 = \ frac {1} {2} x + 2 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, — 2 \, \, \, \, \, \, — 2} \\ — 2 = \ frac {1} {2} x \\\ left (2 \ right) \ left (-2 \ right) = \ left (2 \ справа) \ frac {1} {2} x \\ — 4 = x \ end {array} [/ latex]

Х-точка пересечения [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] равна [latex] \ left (-4,0 \ right) [/ latex].

Пересечение оси Y легче найти, поскольку это уравнение имеет форму точки пересечения с угловым коэффициентом. Y-точка пересечения равна (2,0).

Теперь мы можем построить [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex], используя точки пересечения

Теперь найдите перехваты [latex] 2y-x = 4 [/ latex]

Подставьте y = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения с x.

[латекс] \ begin {array} {c} 2y-x = 4 \\ 2 \ left (0 \ right) -x = 4 \\ x = -4 \ end {array} [/ latex]

Перехватчик x [latex] 2y-x = 4 [/ latex] равен [latex] \ left (-4,0 \ right) [/ latex].

Теперь подставьте x = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения оси y.

[латекс] \ begin {array} {c} 2y-x = 4 \\ 2y-0 = 4 \\ 2y = 4 \\ y = 2 \ end {array} [/ latex]

Y-пересечение [latex] 2y-x = 4 [/ latex] равно [latex] \ left (0,2 \ right) [/ latex].

ПОДОЖДИТЕ, это те же самые перехваты, что и [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex]! Фактически, [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] и [latex] 2y-x = 4 [/ latex] на самом деле являются одним и тем же уравнением, выраженным по-разному.Если бы вы записали их оба в форме пересечения наклона, вы бы увидели, что это одно и то же уравнение.

На графике они представляют собой одну и ту же линию. В следующем разделе мы увидим, что системы с двумя одинаковыми уравнениями в них имеют бесконечное число решений.

Построение графика системы линейных уравнений состоит из выбора метода построения графиков, который вы хотите использовать, и построения графиков обоих уравнений на одном и том же наборе осей. Когда вы строите график системы линейных неравенств на одном и том же наборе осей, вам необходимо учесть еще несколько вещей.

Постройте систему двух неравенств

Помните из модуля по построению графиков, что график одного линейного неравенства разбивает координатную плоскость на две области. По одну сторону лежат все решения неравенства. С другой стороны, решений нет. Рассмотрим график неравенства [латекс] y <2x + 5 [/ latex].

Пунктирная линия [латекс] y = 2x + 5 [/ latex]. Каждая упорядоченная пара в заштрихованной области под линией является решением [latex] y <2x + 5 [/ latex], поскольку все точки под линией делают неравенство истинным.Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить координаты x и y точек A и B в неравенство — вы увидите, что они работают. Итак, заштрихованной областью показаны все решения этого неравенства.

Граничная линия делит координатную плоскость пополам. В этом случае он показан пунктирной линией, поскольку точки на линии не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было [латекс] y \ leq2x + 5 [/ латекс], то граница была бы сплошной.

Изобразим еще одно неравенство: [latex] y> −x [/ latex].Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону границы нужно заштриховать. Контрольные точки M и N дают верные утверждения. Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирна, поскольку точки на линии не соответствуют действительности.

Чтобы создать систему неравенств, вам необходимо построить график двух или более неравенств вместе. Давайте использовать [latex] y <2x + 5 [/ latex] и [latex] y> −x [/ latex], поскольку мы уже изобразили каждый из них.

Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств.Эта область является решением системы неравенств . Любая точка в этой фиолетовой области будет верна как для [latex] y> −x [/ latex], так и для [latex] y <2x + 5 [/ latex].

В следующем примере вам дана система двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу.

Примеры

Изобразите систему [latex] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ lt2x-3 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Границы для этой системы такие же, как и для системы уравнений из предыдущего примера:

[латекс] \ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} [/ latex]

Построение граничных линий будет аналогичным, за исключением того, что неравенство [латекс] y \ lt2x-3 [/ latex] требует, чтобы мы нарисовали пунктирную линию, а неравенство [латекс] y \ ge2x + 1 [/ латекс] потребует сплошная линия.Графики будут выглядеть так:

Теперь нам нужно добавить регионы, представляющие неравенства. Для неравенства [латекс] y \ ge2x + 1 [/ latex] мы можем проверить точку по обе стороны от линии, чтобы увидеть, какую область закрасить. Давайте проверим [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex], чтобы упростить задачу.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ 0 \ ge2 \ left (0 \ right) +1 \\ 0 \ ge {1} \ end {array} [/ latex]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex].График теперь будет выглядеть так:

Теперь закрасим область, которая показывает решения неравенства [латекс] y \ lt2x-3 [/ latex]. Опять же, мы можем выбрать [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] для тестирования, потому что это упрощает алгебру.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ lt2x-3 \\ 0 \ lt2 \ left (0, \ right) x-3 \\ 0 \ lt {-3} \ end {array} [/ latex ]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [latex] y \ lt2x-3 [/ latex].График теперь будет выглядеть так:

У этой системы неравенства нет общих черт.

Как бы выглядел график, если бы система выглядела так?

[латекс] \ begin {массив} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ gt2x-3 \ end {array} [/ latex].

Проверка точки [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] вернет положительный результат для неравенства [latex] y \ gt2x-3 [/ latex], и тогда график будет выглядеть следующим образом:

Фиолетовая область — это область перекрытия обоих неравенств.

В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств. Проверим алгебраически, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений

Линии на графике выше определены как

[латекс] \ begin {массив} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} [/ latex].

Они пересекаются в том, что выглядит как [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex].

Используя алгебру, мы можем проверить, что эта общая точка на самом деле [latex] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], а не [latex] \ left (-2.999, -1.999 \ right) [/ latex ]. Подставляя значения x и y упорядоченной пары в уравнение каждой линии, вы можете проверить, находится ли точка на обеих линиях. Если подстановка приводит к истинному утверждению, значит, вы нашли решение системы уравнений!

Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, вам нужно будет проверить точку в каждом уравнении.В следующем примере мы заменим -3 на x и -2 на y в каждом уравнении, чтобы проверить, действительно ли это решение.

Пример

[латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] решение системы

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Сначала проверьте [латекс] 2x + y = -8 [/ latex]:

[латекс] \ begin {массив} {r} 2 (-3) + (- 2) = -8 \\ — 8 = -8 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Теперь проверьте [латекс] x-y = -1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} (- 3) — (- 2) = -1 \\ — 1 = -1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] является решением [латекса] x-y = -1 [/ latex]

Поскольку [latex] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] является решением каждого из уравнений в системе, [latex] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] это решение системы.

Ответ

[латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] — это решение системы.

Пример

— это (3, 9) решение системы

[латекс] \ begin {array} {r} y = 3x \\ 2x – y = 6 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, отметьте точку в каждом уравнении.

Замените 3 на x и 9 на y в каждом уравнении.

[латекс] \ begin {массив} {l} y = 3x \\ 9 = 3 \ left (3 \ right) \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(3, 9) представляет собой раствор [латекс] y = 3x [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {r} 2x – y = 6 \\ 2 \ left (3 \ right) –9 = 6 \\ 6–9 = 6 \\ — 3 = 6 \ text {FALSE } \ end {array} [/ latex]

(3, 9) — это , а не раствор [латекса] 2x – y = 6 [/ латекс].

Поскольку (3, 9) не является решением одного из уравнений системы, оно не может быть решением системы.

Ответ

(3, 9) не является решением системы.

Подумай об этом

[латекс] (- 2,4) [/ латекс] решение для системы

[латекс] \ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} [/ latex]

Прежде чем производить какие-либо вычисления, посмотрите на заданную точку и первое уравнение в системе. Можете ли вы предсказать ответ на вопрос, не занимаясь алгеброй?

Показать решение

Подставьте -2 вместо x и 4 вместо y в первое уравнение:

[латекс] \ begin {array} {l} y = 2x \\ 4 = 2 \ left (-2 \ right) \\ 4 = -4 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]

Вы можете остановить тестирование, потому что точка, которая является решением системы, будет решением обоих уравнений в системе.

[latex] (- 2,4) [/ latex] НЕ является решением для системы

[латекс] \ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} [/ latex]

Помните, что для решения системы уравнений значения точки должны быть решением обоих уравнений. Как только вы найдете одно уравнение, для которого точка неверна, вы определили, что оно не является решением системы.

Мы можем использовать тот же метод, чтобы определить, является ли точка решением системы линейных неравенств.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

На приведенном выше графике вы можете видеть, что точки B и N являются решениями для системы, потому что их координаты делают оба неравенства истинными.

Напротив, точки M и A лежат за пределами области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства [latex] y> −x [/ latex], а точка A является решением неравенства [latex] y <2x + 5 [/ latex], ни одна из точек не является решением для система .В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 2x + y <8 [/ latex]?

Показать решение Проверьте суть каждого неравенства. Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y <8 \\ 2 \ left (2 \ right) +1 <8 \\ 4 + 1 <8 \\ 5 <8 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — решение для [латекса] 2x + y <8. [/ Latex]

Поскольку (2, 1) является решением каждого неравенства, оно также является решением системы.

Ответ

Точка (2, 1) является решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 2x + y <8 [/ latex].

Вот график системы в приведенном выше примере. Обратите внимание, что (2, 1) находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия для двух неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 3x + y <4 [/ latex]?

Показать решение

Отметьте точку с каждым неравенством. Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y <4 \\ 3 \ left (2 \ right) +1 <4 \\ 6 + 1 <4 \\ 7 <4 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — это , а не как решение для [латекса] 3x + y <4 [/ latex].

Поскольку (2, 1) — это , а не как решение одного из неравенств, это не решение системы.

Ответ

Точка (2, 1) не является решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 3x + y <4 [/ latex].

Вот график этой системы. Обратите внимание, что (2, 1) не находится в фиолетовой области, которая является перекрывающейся областью; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).

Как показано выше, нахождение решений системы неравенств может быть выполнено путем графического отображения каждого неравенства и определения области, в которой они находятся. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графике для системы двух линейных неравенств. Общие шаги описаны ниже:

  • Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли оно сплошным или пунктирным.
  • Определите, с какой стороны каждой граничной линии представлены решения неравенства, проверив точку на каждой стороне
  • Заштрихуйте область, которая представляет решения для обоих неравенств

Пример

Закрасьте область графика, которая представляет решения для обоих неравенств.[латекс] x + y \ geq1 [/ латекс] и [латекс] y – x \ geq5 [/ латекс].

Показать решение Изобразите одно неравенство. Сначала нарисуйте граничную линию, используя таблицу значений, пересечений или любой другой метод, который вы предпочитаете. Граница для [латекса] x + y \ geq1 [/ latex] — это [латекс] x + y = 1 [/ latex] или [латекс] y = −x + 1 [/ latex]. Поскольку знак равенства стоит вместе со знаком «больше», граница будет сплошной.

Найдите упорядоченную пару по обе стороны от ограничивающей линии. Вставьте значения x и y в неравенство [latex] x + y \ geq1 [/ latex] и посмотрите, какая упорядоченная пара дает истинное утверждение.

[латекс] \ begin {array} {r} \ text {Test} 1: \ left (−3,0 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ — 3 + 0 \ geq1 \\ — 3 \ geq1 \\\ text {FALSE} \\\\\ text {Test} 2: \ left (4,1 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ 4 + 1 \ geq1 \\ 5 \ geq1 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Поскольку (4, 1) приводит к истинному утверждению, область, которая включает (4, 1), должна быть заштрихована.

Проделайте то же самое со вторым неравенством. Постройте граничную линию, затем проверьте точки, чтобы определить, какая область является решением неравенства. В этом случае граница [латекс] y – x = 5 \ left (\ text {или} y = x + 5 \ right) [/ latex] сплошная.Контрольная точка (−3, 0) не является решением [latex] y – x \ geq5 [/ latex], а контрольная точка (0, 6) является решением.

Ответ

Фиолетовая область на этом графике показывает набор всех решений системы.

В этом разделе мы увидели, что решения систем линейных уравнений и неравенств могут быть упорядоченными парами. В следующем разделе мы будем работать с системами, у которых нет решений или есть бесконечно много решений.

Используйте график для классификации решений для систем

Напомним, что линейное уравнение отображается в виде линии, что означает, что все точки на линии являются решениями этого линейного уравнения.Есть бесконечное количество решений. Как мы видели в предыдущем разделе, если у вас есть система линейных уравнений, пересекающихся в одной точке, эта точка является решением системы. Что произойдет, если линии никогда не пересекаются, как в случае с параллельными линиями? Как бы вы описали решения для такой системы? В этом разделе мы рассмотрим три возможных результата решения системы линейных уравнений.

Три возможных исхода решений систем уравнений

Напомним, что решение системы уравнений — это значение или значения, которые верны для всех уравнений в системе.Есть три возможных исхода решений систем линейных уравнений. Графики уравнений внутри системы могут сказать вам, сколько решений существует для этой системы. Посмотрите на изображения ниже. На каждой показаны две линии, составляющие систему уравнений.

Одно решение Нет решений Бесконечные решения
Если графики уравнений пересекаются, то существует одно решение, истинное для обоих уравнений. Если графики уравнений не пересекаются (например, если они параллельны), то для обоих уравнений нет истинных решений. Если графики уравнений одинаковы, то существует бесконечное количество решений, которые верны для обоих уравнений.
  • Одно решение: Когда система уравнений пересекается в упорядоченной паре, система имеет одно решение.
  • Бесконечные решения: Иногда два уравнения отображаются в виде одной линии, и в этом случае у нас есть бесконечное количество решений.
  • Нет решения: Когда линии, составляющие систему, параллельны, решений нет, потому что эти две линии не имеют общих точек.

Пример

Используя график [latex] \ begin {array} {r} y = x \\ x + 2y = 6 \ end {array} [/ latex], показанный ниже, определите, сколько решений есть в системе.

Показать решение Линии пересекаются в одной точке. Таким образом, у этих двух линий есть только одна общая точка, есть только одно решение системы.
Ответ

Есть одно решение этой системы.

Пример (расширенный)

Используя график [latex] \ begin {array} {r} y = 3,5x + 0,25 \\ 14x – 4y = -4,5 \ end {array} [/ latex], показанный ниже, определите, сколько решений имеет система. .

Показать решение Линии параллельны, то есть не пересекаются. Решения по системе нет.
Ответ

Нет решений по системе.

Пример

Сколько решений имеет система [latex] \ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} [/ latex]?

Показать решение Сначала изобразите оба уравнения на одних и тех же осях.

Два уравнения изображены на одной линии. Таким образом, каждая точка на этой линии является решением системы уравнений.

Ответ

Система [latex] \ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} [/ latex] имеет бесконечное количество решений.

В следующем разделе мы изучим некоторые алгебраические методы нахождения решений систем уравнений. Напомним, что линейные уравнения с одной переменной могут иметь одно решение, без решения или много решений, и мы можем проверить это алгебраически.Мы будем использовать те же идеи для алгебраической классификации решений систем с двумя переменными.

Систем уравнений с двумя переменными

Введение в системы уравнений

Система уравнений состоит из двух или более уравнений с двумя или более переменными, где любое решение должно одновременно удовлетворять всем уравнениям в системе.

Цели обучения

Объясните, какие системы уравнений могут представлять

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
  • Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.
  • Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть как минимум столько же уравнений, сколько переменных.
  • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара [латекс] (x, y) [/ latex], которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. Графически решения — это точки пересечения линий.
Ключевые термины
  • система линейных уравнений : Набор из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, которые рассматриваются одновременно.
  • зависимая система : система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют
    одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы.
  • несовместимая система : Система линейных уравнений без общего решения, потому что они
    представляют собой параллельные линии, которые не имеют общих точек или прямых.
  • независимая система : Система линейных уравнений с ровно одной парой решений [latex] (x, y) [/ latex].

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям системы одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, в то время как другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы сосредоточимся в первую очередь на системах линейных уравнений, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными:

[латекс] 2x + y = 15 \ 3x — y = 5 [/ латекс]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.В этом примере упорядоченная пара (4, 7) является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.

[латекс] 2 (4) + 7 = 15 \\ 3 (4) — 7 = 5 [/ латекс]

Оба эти утверждения верны, поэтому [latex] (4, 7) [/ latex] действительно является решением системы уравнений.

Обратите внимание, что система линейных уравнений может содержать более двух уравнений и более двух переменных.Например,

[латекс] 3x + 2y — z = 12 \\ x — 2y + 4z = -2 \\ -x + 12y -z = 0 [/ латекс]

— это система трех уравнений с тремя переменными [латекс] x, y, z [/ latex]. Решение системы выше дается

[латекс] x = 1 \ y = -2 \ z = — 2 [/ латекс]

, поскольку он делает все три уравнения действительными.

Типы линейных систем и их решения

В общем, линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

  1. Система имеет единственное уникальное решение .
  2. В системе нет решения .
  3. В системе бесконечно много решений .

Каждая из этих возможностей представляет собой определенный тип системы линейных уравнений с двумя переменными. Каждый из них может отображаться графически, как показано ниже. Обратите внимание, что решение системы линейных уравнений — это любая точка, в которой линии пересекаются.

Системы линейных уравнений: Графические представления трех типов систем.

Независимая система имеет ровно одну пару решений [latex] (x, y) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.

Непоследовательная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.

У зависимой системы бесконечно много решений. Линии точно такие же, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Графическое решение систем

Простой способ решить систему уравнений — это найти точку или точки пересечения уравнений.Это графический метод.

Цели обучения

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Чтобы решить систему уравнений графически, нарисуйте уравнения и укажите точки пересечения как решения. У системы уравнений может быть несколько решений.
  • Система линейных уравнений будет иметь одну точку пересечения или одно решение.
  • Чтобы построить график системы уравнений, записанных в стандартной форме, вы должны переписать уравнения в форме пересечения углов наклона.
Ключевые термины
  • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.
  • Графический метод : способ визуального нахождения набора значений, который решает систему уравнений.

Система уравнений (также известная как одновременные уравнения) — это система уравнений с несколькими переменными, которая решается, когда значения всех переменных одновременно удовлетворяют всем уравнениям.Наиболее распространенные способы решения системы уравнений:

  • Графический метод
  • Метод замещения
  • Метод исключения

Здесь мы обратимся к графическому методу.

Графическое решение систем

Некоторые системы имеют только один набор правильных ответов, в то время как другие имеют несколько наборов, которые удовлетворяют всем уравнениям. Графически показано, что набор уравнений, решенных только с одним набором ответов, будет иметь только одну точку пересечения, как показано ниже.Эта точка считается решением системы уравнений. В наборе линейных уравнений (например, на изображении ниже) есть только одно решение.

Система линейных уравнений с двумя переменными : На этом графике показана система уравнений с двумя переменными и только один набор ответов, который удовлетворяет обоим уравнениям.

Система с двумя наборами ответов, которые удовлетворяют обоим уравнениям, имеет две точки пересечения (таким образом, два решения системы), как показано на изображении ниже.

Система уравнений с несколькими ответами: Это пример системы уравнений, показанной графически, которая имеет два набора ответов, которые удовлетворяют обоим уравнениям в системе.

Преобразование в форму пересечения уклона

Прежде чем успешно решить систему графически, необходимо понять, как графически отображать уравнения, записанные в стандартной форме, или [latex] Ax + By = C [/ latex]. Вы всегда можете использовать графический калькулятор для графического представления уравнений, но полезно знать, как самостоятельно формулировать такие уравнения.

Для этого необходимо преобразовать уравнения в форму пересечения наклона или [латекс] y = mx + b [/ latex], где м = наклон и b = пересечение по оси y.

Лучший способ преобразовать уравнение в форму пересечения наклона — сначала выделить переменную y , а затем разделить правую часть на B , как показано ниже.

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle Ax + By & = C \\ By & = — Ax + C \\ y & = \ frac {-Ax + C} {B} \\ y & = — \ frac {A} { B} x + \ frac {C} {B} \ end {align} [/ latex]

Теперь [latex] \ displaystyle — \ frac {A} {B} [/ latex] — это уклон м, и [latex] \ displaystyle \ frac {C} {B} [/ latex] — точка пересечения по оси Y б .

Определение решений на графике

После того, как вы преобразовали уравнения в форму с пересечением наклона, вы можете нанести их на график. Чтобы определить решения системы уравнений, определите точки пересечения между графическими уравнениями. Упорядоченная пара, которая представляет собой пересечение (я), представляет собой решение (я) системы уравнений.

Метод замещения

Метод подстановки — это способ решения системы уравнений путем выражения уравнений только с помощью одной переменной.

Цели обучения

Решите системы уравнений с двумя переменными с помощью подстановки

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Система уравнений — это система уравнений, которая может быть решена с использованием определенного набора значений.
  • Метод подстановки работает, выражая одну из переменных через другую, затем подставляя ее обратно в исходное уравнение и упрощая его.
  • Очень важно проверить свою работу после того, как вы нашли набор значений для переменных.Сделайте это, подставив найденные вами значения обратно в исходные уравнения.
  • Решение системы уравнений можно записать в виде упорядоченной пары ( x , y ).
Ключевые термины
  • метод подстановки : Метод решения системы уравнений путем выражения уравнения только одной переменной
  • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.

Метод подстановки для решения систем уравнений — это способ упростить систему уравнений, выразив одну переменную через другую, тем самым удалив одну переменную из уравнения. Когда полученное упрощенное уравнение имеет только одну переменную, с которой можно работать, уравнение становится разрешимым.

Метод замещения состоит из следующих шагов:

  1. В первом уравнении решите одну из переменных через другие.
  2. Подставьте это выражение в остальные уравнения.
  3. Продолжайте, пока не сведете систему к одному линейному уравнению.
  4. Решите это уравнение, а затем выполняйте обратную замену, пока решение не будет найдено.

Решение методом подстановки

Попрактикуемся в этом, решив следующую систему уравнений:

[латекс] x-y = -1 [/ латекс]

[латекс] x + 2y = -4 [/ латекс]

Начнем с решения первого уравнения, чтобы выразить x через y .

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle x-y & = — 1 \\ x & = y-1 \ end {align} [/ latex]

Затем мы заменим наше новое определение x во второе уравнение:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x + 2y & = — 4 \\ (y-1) + 2y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

Обратите внимание, что теперь это уравнение имеет только одну переменную (y). Затем мы можем упростить это уравнение и решить относительно y :

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} (y-1) + 2y & = — 4 \\ 3y-1 & = — 4 \\ 3y & = — 3 \\ y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

Теперь, когда мы знаем значение y , мы можем использовать его, чтобы найти значение другой переменной, x. Для этого подставьте значение y в первое уравнение и решите относительно x .

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x-y & = — 1 \\ x — (- 1) & = — 1 \\ x + 1 & = — 1 \\ x & = — 1-1 \\ x & = — 2 \ end {align} [/ latex]

Таким образом, решение системы: [latex] (- 2, -1) [/ latex], то есть точка, где две функции графически пересекаются. Проверьте решение, подставив значения в одно из уравнений.

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x-y & = — 1 \\ (- 2) — (- 1) & = — 1 \\ — 2 + 1 & = — 1 \\ — 1 & = — 1 \ end {align} [/ латекс]

Метод исключения

Метод исключения используется для исключения переменной, чтобы упростить поиск оставшейся переменной (переменных) в системе уравнений.

Цели обучения

Решите системы уравнений с двумя переменными методом исключения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Этапы метода исключения следующие: (1) составить уравнения так, чтобы переменные выровнялись, (2) изменить одно уравнение, чтобы оба уравнения использовали согласованную переменную, которую можно исключить, (3) сложить уравнения, чтобы исключить переменную, (4) решить и (5) выполнить обратную замену для поиска другой переменной.
  • Всегда проверяйте ответ.Это делается путем включения обоих значений в одно или оба исходных уравнения.
Ключевые термины
  • метод исключения : Процесс решения системы уравнений путем исключения одной переменной для более простого решения оставшейся переменной.
  • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.

Метод исключения для решения систем уравнений, также известный как исключение добавлением , представляет собой способ исключения одной из переменных в системе, чтобы более просто оценить оставшуюся переменную.После успешного нахождения значений остальных переменных они подставляются в исходное уравнение, чтобы найти правильное значение для другой переменной.

Метод исключения включает следующие шаги:

  1. Перепишите уравнения так, чтобы переменные выровнялись.
  2. Измените одно уравнение так, чтобы оба уравнения имели переменную, которая компенсировалась бы при сложении уравнений.
  3. Добавьте уравнения и удалите переменную.
  4. Найдите оставшуюся переменную.
  5. Обратно подставить и решить для другой переменной.

Решение методом исключения

Метод исключения можно продемонстрировать на простом примере:

[латекс] \ displaystyle 4x + y = 8 \\ 2y + x = 9 [/ латекс]

Сначала выровняйте переменные, чтобы уравнения можно было легко сложить на более позднем этапе:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

Затем посмотрите, не настроены ли уже какие-либо переменные таким образом, что их сложение приведет к их исключению из системы.Если нет, умножьте одно уравнение на число, позволяющее компенсировать переменные. В этом примере переменную y можно исключить, если мы умножим верхнее уравнение на [латекс] -2 [/ латекс], а затем сложим уравнения.

Шаг умножения:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} -2 (4x + y & = 8) \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

Результат:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} -8x-2y & = — 16 \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

Теперь добавьте уравнения, чтобы исключить переменную y .

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} -8x + x-2y + 2y & = — 16 + 9 \\ — 7x & = — 7 \ end {align} [/ latex]

Наконец, найдите переменную x .

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} -7x & = — 7 \\ x & = \ frac {-7} {- 7} \\ x & = 1 \ end {align} [/ latex]

Затем вернитесь к одному из исходных уравнений и замените найденное нами значение на x . Проще всего выбрать простейшее уравнение, но подойдет любое уравнение.

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ 4 (1) + y & = 8 \\ 4 + y & = 8 \\ y & = 4 \ end {align} [/ latex]

Следовательно, решение уравнения (1,4).Всегда важно проверить ответ, подставив оба этих значения вместо соответствующих переменных в одно из уравнений.

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ 4 (1) + 4 & = 8 \\ 4 + 4 & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} [/ latex]

Несогласованные и зависимые системы с двумя переменными

Для линейных уравнений с двумя переменными несовместные системы не имеют решений, а зависимые системы имеют бесконечно много решений.

Цели обучения

Объясните, когда системы уравнений с двумя переменными несовместимы или зависимы как графически, так и алгебраически.

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Графически уравнения в зависимой системе представляют собой одну и ту же линию. Уравнения в противоречивой системе представляют собой параллельные линии, которые никогда не пересекаются.
  • Мы можем использовать методы решения систем уравнений для определения зависимых и несовместимых систем: Зависимые системы имеют бесконечное количество решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к истинному тождеству, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].Несогласованные системы не имеют решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к противоречию, например к утверждению [латекс] 0 = 1 [/ латекс].
Ключевые термины
  • несовместимая система : Система линейных уравнений без общего решения, потому что они
    представляют собой параллельные линии, которые не имеют общих точек или прямых.
  • независимая система : Система линейных уравнений с ровно одной парой решений.
  • зависимая система : система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют
    одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы.

Напомним, что линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

  1. Система имеет единственное уникальное решение.
  2. В системе нет решения.
  3. В системе бесконечно много решений.

Также напомним, что каждая из этих возможностей соответствует типу системы линейных уравнений с двумя переменными. Независимая система уравнений имеет ровно одно решение [latex] (x, y) [/ latex]. Несогласованная система не имеет решения, а зависимая система имеет бесконечное количество решений.

В предыдущих модулях обсуждалось, как найти решение для независимой системы уравнений. Теперь мы сосредоточимся на выявлении зависимых и несовместимых систем линейных уравнений.

Зависимые системы

Уравнения линейной системы независимы , если ни одно из уравнений не может быть получено алгебраически из других. Когда уравнения независимы, каждое уравнение содержит новую информацию о переменных, и удаление любого из уравнений увеличивает размер набора решений.Системы, которые не являются независимыми, по определению зависимые . Уравнения в зависимой системе могут выводиться друг из друга; они описывают одну и ту же линию. Они не добавляют новую информацию о переменных, и потеря уравнения из зависимой системы не изменяет размер набора решений.

Мы можем применять методы замены или исключения для решения систем уравнений, чтобы идентифицировать зависимые системы. Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии.После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].

Например, рассмотрим два уравнения

[латекс] 3x + 2y = 6 \ 6x + 4y = 12 [/ латекс]

Мы можем применить метод исключения для их оценки. Если бы мы умножили первое уравнение на коэффициент [латекс] -2 [/ латекс], мы получили бы:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} -2 (3x + 2y & = 6) \\ — 6x-4y & = — 12 \ end {align} [/ latex]

Добавление этого ко второму уравнению даст [латекс] 0 = 0 [/ латекс].Таким образом, две линии зависимы. Также обратите внимание, что это одно и то же уравнение, увеличенное в два раза; другими словами, второе уравнение может быть получено из первого.

На графике два уравнения образуют идентичные линии, как показано ниже.

Зависимая система : Уравнения [латекс] 3x + 2y = 6 [/ latex] и [latex] 6x + 4y = 12 [/ latex] являются зависимыми, и при отображении на графике они образуют одну и ту же линию.

Обратите внимание, что существует бесконечное количество решений для зависимой системы, и эти решения относятся к общей линии.

Несогласованные системы

Линейная система непротиворечива, если у нее есть решение, и непоследовательна в противном случае. Напомним, что графическое представление несовместимой системы состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [latex] y [/ latex]. Они никогда не пересекутся.

Мы также можем применять методы решения систем уравнений для выявления несовместимых систем. Когда система несовместима, можно вывести противоречие из уравнений, например, утверждение [латекс] 0 = 1 [/ латекс].

Рассмотрим следующие два уравнения:

[латекс] 3x + 2y = 6 \ 3x + 2y = 12 [/ латекс]

Мы можем применить метод исключения, чтобы попытаться решить эту систему. Вычитая первое уравнение из второго, обе переменные удаляются, и мы получаем [латекс] 0 = 6 [/ латекс]. Это противоречие, и мы можем определить, что это несовместимая система. Графики этих уравнений на плоскости [latex] xy [/ latex] представляют собой пару параллельных линий.

Несогласованная система: Уравнения [латекс] 3x + 2y = 6 [/ латекс] и [латекс] 3x + 2y = 12 [/ латекс] несовместимы.

В общем случае несоответствия возникают, если левые части уравнений в системе линейно зависимы, а постоянные члены не удовлетворяют соотношению зависимости. Система уравнений, левые части которой линейно независимы, всегда непротиворечива.

Приложения систем уравнений

Системы уравнений могут использоваться для решения многих реальных задач, в которых для одних и тех же переменных используется несколько ограничений.

Цели обучения

Применение систем уравнений с двумя переменными к реальным примерам

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Если у вас есть проблема, которая включает несколько переменных, вы можете решить ее, создав систему уравнений.
  • После определения переменных определите отношения между ними и запишите их в виде уравнений.
Ключевые термины
  • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.
Системы уравнений в реальном мире

Система уравнений, также известная как одновременные уравнения, представляет собой набор уравнений с несколькими переменными. Ответ на систему уравнений — это набор значений, который удовлетворяет всем уравнениям в системе, и таких ответов может быть много для любой данной системы.Ответы обычно записываются в виде упорядоченной пары: [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Подходы к решению системы уравнений включают замену и исключение, а также графические методы.

Существует несколько практических приложений систем уравнений. Они подробно показаны ниже.

Планирование мероприятия

Система уравнений может использоваться для решения задачи планирования, в которой необходимо учитывать несколько ограничений:

Эмили устраивает большую вечеринку после школы.Принципал наложил два ограничения. Во-первых, общее количество людей (учителей и студентов, вместе взятых) должно составлять [латекс] 56 [/ латекс]. Во-вторых, на каждые семь учеников должен приходиться один учитель. Итак, сколько учеников и сколько учителей приглашено на вечеринку?

Во-первых, нам нужно идентифицировать и назвать наши переменные. В данном случае нашими переменными являются учителя и ученики. Количество учителей будет [латекс] Т [/ латекс], а количество учеников — [латекс] S [/ латекс].

Теперь нам нужно составить наши уравнения.Существует ограничение, ограничивающее общее количество людей [латекс] 56 [/ латекс], поэтому:

[латекс] T + S = 56 [/ латекс]

На каждые семь учеников должен приходиться один учитель, поэтому:

[латекс] \ frac {S} {7} = T [/ латекс]

Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить с помощью замены, исключения или графически. Решение системы: [латекс] S = 49 [/ латекс] и [латекс] T = 7 [/ латекс].

Поиск неизвестных количеств

Этот следующий пример показывает, как системы уравнений используются для нахождения величин.

Группа студентов и учителей [латекс] 75 [/ латекс] в поле собирает сладкий картофель для нуждающихся. Кейси собирает в три раза больше сладкого картофеля, чем Дэвис, а затем, возвращаясь к машине, берет еще пять! Глядя на ее недавно увеличившуюся кучу, Дэвис замечает: «Ух ты, у тебя [латекса] 29 [/ латекса] картофеля больше, чем у меня!» Сколько сладкого картофеля собрали Кейси и Дэвис каждый?

Чтобы решить, мы сначала определяем наши переменные. Количество сладкого картофеля, которое собирает Кейси, — [латекс] K [/ латекс], а количество сладкого картофеля, которое собирает Дэвис, — [латекс] D [/ латекс].

Теперь мы можем писать уравнения на основе ситуации:

[латекс] K-5 = 3D [/ латекс]

[латекс] D + 29 = K [/ латекс]

Отсюда замена, исключение или построение графика покажут, что [латекс] K = 41 [/ латекс] и [латекс] D = 12 [/ латекс].

Важно всегда проверять свои ответы. Хороший способ проверить решения системы уравнений — это посмотреть на функции графически, а затем увидеть, где пересекаются графики. Или вы можете подставить свои ответы в каждое уравнение и убедиться, что они приводят к точным решениям.

Другие приложения

Существует множество других приложений для систем уравнений, таких как определение того, какой ландшафтный дизайнер предлагает лучшее предложение, сколько разные операторы сотовой связи берут за минуту, или сравнение информации о питании в рецептах.

Qalaxia — это бесплатный сайт вопросов и ответов для классных комнат. В Калаксии:

  • Студенты просят помочь с домашним заданием на онлайн-форумах по домашнему заданию и получают помощь от экспертов и студентов-волонтеров
  • Студенты задают вопросы и получают ответы от экспертов отрасли
  • Студенты получают вознаграждение за то, что задают вопросы и отвечают на них
  • Студенты зарабатывают часы волонтерской работы, помогая другим студентам, не выходя из дома
  • Студенты заинтересованы в том, чтобы задавать вопросы и отвечать на вопросы экспертов
  • Учителя имеют доступ к библиотеке вопросов с участием учителей и отраслевых экспертов
  • Студенты наслаждаются индивидуальным обучением с помощью механизма рекомендаций, который адаптируется к успеваемости студентов, и индивидуальной помощи экспертов

Qalaxia будет готова к использованию в апреле 2017 года.Пожалуйста, подпишитесь здесь для получения обновлений

Лучшие вопросы и ответы. От специалистов для учебных заведений.

Qalaxia — это награждаемый сайт вопросов и ответов для учителей, студентов и экспертов, где эксперты делятся своими мыслями и знаниями с классами.

Эксперты любят Qalaxia за то, что они могут помогать студентам в свободное и удобное время, отвечая на них и задавая вопросы.

Студенты любят Qalaxia, поскольку они зарабатывают вознаграждение за правильные ответы на вопросы викторины и за размещение хороших вопросов, на которые могут ответить эксперты. Qalaxia стимулирует и предоставляет студентам необходимую помощь для своевременного выполнения домашних заданий и удовлетворения их любопытства.

Учителя любят Qalaxia, потому что она не только помогает своим ученикам закончить домашнее задание и удовлетворить их любопытство, но также дает учителям полную прозрачность в отношении того, сколько усилий учеников и экспертной помощи было вложено в каждый вопрос домашнего задания.

Мир, в котором ни один вопрос студента не остается без ответа или без ответа

Мы пробуждаем и укрепляем вопрошающего в каждом ребенке и наставника в каждом отдельном человеке

Qalaxia — это платформа вопросов и ответов, созданная для воспитания в каждом ученике исследователя, ищущего и исследователя.Qalaxia поощряет студентов получать знания не только от учителей, но и от удаленных экспертов-волонтеров.

Искусственный интеллект и опытный помощник преподавателя в каждом классе

Актуальная помощь для студентов

Замечательный учитель рядом с каждым учеником, когда это необходимо

  • Увлечен образованием
  • Эксперты в области искусственного интеллекта и программного обеспечения
  • Имеют опыт академической и профессиональной подготовки

Сколько решений имеет система линейных уравнений? — IVY Lounge Test Prep

Теперь вот сумасшедший ярлык, который я использую:

Когда я пишу свои линейные уравнения в стандартной форме, например:

Ax + By = C

и

Dx + Ey = F

наклоны определяются коэффициентами переменных (A, B, D и E), а пересечения по оси Y определяются B, E, C и F.

Итак, вот самый большой трюк:

наклоны одинаковы, если A и D пропорциональны B и E!

Другими словами, если у меня есть эти…

2x + 5y = 9

4x + 10y = 15

… Я могу сделать пропорцию 2/4 = 5/10, уменьшить обе стороны, чтобы понять, что они обе равны 1⁄2 и, следовательно, одинаковы, и осознаем, что эти два уравнения имеют одинаковый наклон !

Итак, если у них одинаковый наклон, они либо параллельны и НЕ имеют решения, либо они одинаковы и имеют БЕСКОНЕЧНЫЕ решения.

Как узнать, какой именно? Простой! Посмотрите, пропорциональны ли B и E также C и F! Давайте проверим …

5/9 = 10/15

… НЕТ! Не равный! Так что их точки пересечения по оси Y разные. Это означает, что они параллельны. Это означает, что для этой системы НЕТ решений.

Видите? На самом деле не так уж и сложно. А возможность увидеть, сколько решений вы ищете в системе линейных уравнений, принесет вам баллы

и , сэкономив ваше время на SAT. Счет!

Итак, теперь вы понимаете все хитрые способы тестирования на линиях и системах линейных уравнений.Вы знаете все способы представления линии. Вы знаете, что числа в уравнениях на самом деле ЗНАЧИТ в реальных сценариях. Вы знаете, какие ситуации дают вам СИСТЕМУ линейных уравнений, и вы также знаете, сколько решений будет у этой системы! Это на самом деле ОЧЕНЬ МНОГО! Особенно на SAT!

Но есть пара тем из «детской алгебры», которые мои ученики склонны игнорировать, потому что они кажутся неважными, — а потом они их пропускают! Так что следите за обновлениями, и на следующей неделе я полностью обновлю ваше понимание забытых пасынков алгебры: неравенства и абсолютной ценности!

Сколько решений имеет система уравнений? Совет для учителей

На этой неделе мы узнали отличный способ различать различные варианты того, сколько решений существует при работе с двумя уравнениями в системе уравнений.Я работал с группой студентов, которые изо всех сил пытались понять, что они пытались сделать, определяя, сколько решений возможно. Они просто не понимали, что значит для системы уравнений одно решение против отсутствия решений против бесконечного числа решений. Итак, мы начали добавлять стратегию жестов рук, и это действительно помогло некоторым из них по-другому понять эту тему.

Одно серьезное заблуждение, которое я увидел, заключалось в том, что ученики продолжали думать, что если наклон другой, то решения не должно быть.Я думаю, они путали термин «решение» с «ответом». Мне нужно было заставить их понять, что когда есть одно решение, тогда да, линии не равны — они отличаются друг от друга. Но есть — это , решение вопроса, где пересекаются эти линии? У этих двух линий есть одна общая черта, а и — это то, что мы пытаемся выяснить.

Супер простой совет для обучения, сколько решений в системе уравнений

Я начал использовать жесты рук каждый раз, когда нам предлагали новую систему уравнений, чтобы поговорить о том, как они будут выглядеть, а затем поговорить о том, сколько пар координат будет одинаковым для обеих линий.Это была простая стратегия, но она могла быстро и четко показать, что происходит:

Нет решений

Одно решение

Бесконечные решения

Привлечение студентов

И потом я вспомнил, что обучение на практике намного мощнее, чем обучение на основе видения. Я попросил студентов использовать свои руки, чтобы проиллюстрировать взаимосвязь в системах уравнений.Каждую систему уравнений, которую мы видели, они должны были использовать свои руки, чтобы проиллюстрировать, как эти две линии будут связаны друг с другом.

Когда ученики использовали руки для представления двух линий, это был способ объяснить свое мышление. Это было действительно мощно и заставило всех объяснить каждую систему — так что было много математических «разговоров» без использования слов. Они должны были показать, как будут выглядеть эти линии, а затем сказать, сколько решений, по их мнению, может быть найдено.

Разве вам не нравятся быстрые (и бесплатные!) Стратегии, которые действительно помогают студентам понять это ?! Хотите, чтобы бесплатные увлекательные задания по математике были доставлены прямо в ваш почтовый ящик? Присоединяйтесь к клубу «Лабиринт месяца», чтобы получить бесплатные математические лабиринты, которые дают учащимся необходимую им математическую практику.

Да! Запишитесь в клуб «Лабиринт месяца»!

Не могу дождаться встречи с вами!

Чтобы получить еще больше советов по системам уравнений, ознакомьтесь с 9 заданиями «Сколько решений» и «15 упражнениями по системам уравнений для вашего класса». Спасибо за прочтение. До скорого!

Связанные

Решения систем линейных уравнений

В этом уроке будут рассмотрены 3 типа решений систем линейных уравнений.Система линейных уравнений может иметь одно решение, не иметь решения или бесконечно много решений. Наклоны и точки пересечения линий по оси y определят тип решения, которое будет иметь система.

Решения систем линейных уравнений: 1 решение


Система линейных уравнений имеет одно решение, если линии имеют разный наклон независимо от значений их пересечений по оси Y.

Например, следующие системы линейных уравнений будут иметь одно решение.Мы показываем уклоны для каждой системы синим цветом. Обратите внимание, как различаются уклоны.

1. y = (-2 /9 ) x + 6
y = 2x + — 3

2. y = -8x + 6
y = 8x + -10

3. y = 0,5x + 3
y = 6x + 3

Когда система двух линейных уравнений имеет разные наклоны, они будут встречаться в пространстве в одной точке. Точка пересечения — это решение.

Если мы построим график для первой системы слева, вы увидите решение или точку пересечения с оранжевой точкой. Если вы не понимаете, как мы построили линии ниже, перейдите к урокам по построению графика уклона.

у = (-2/9) х + 6
у = 2х + -3

Решения систем линейных уравнений: нет решения


Система линейных уравнений не имеет решения, если линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения по оси Y.

Например, следующие системы линейных уравнений не будут иметь решения.Мы показываем наклоны для каждой системы красным цветом, а точки пересечения по оси Y — синим. Обратите внимание, что наклон такой же, но пересечения по оси Y разные.

4. y = -2x + 1
y = -2x — 2

5. y = 3x + 5
y = 3x + -8

6. y = (2/5) х + -6
у = (2/5) х + 1

Когда система двух линейных уравнений имеет одинаковый наклон, но разные точки пересечения по оси Y, они никогда не встречаются в пространстве.Поскольку они никогда не встречаются, решений нет.

Построив график четвертой системы, вы увидите, что линии параллельны.

y = -2x + 1
y = -2x — 2

Решения систем линейных уравнений: бесконечно много решений.


Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если прямые имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения по оси y.

Например, следующие системы линейных уравнений будут иметь бесконечно много решений. Обратите внимание, как одинаковый наклон и как такая же точка пересечения по оси Y.

7. y = 2x + 1
y = 2x + 1

8. y = -4x + 1/2
y = -4x + 1/2

9. y = (3/4) x + 8
у = (3/4) х + 8

Когда система двух линейных уравнений имеет одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения по оси Y, они встречаются повсюду. Так как они встречаются повсюду, решений бесконечно много

После построения графиков седьмой системы мы видим, что два графика встречаются повсюду.

y = 2x + 1
y = 2x + 1 .
Формула для геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Формула для геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Определение 1. Числовую последовательность

b1 ,  b2 , … bk , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

      Определение 2. Если последовательность чисел

b1 ,  b2 , … bk , …

является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b1 и знаменатель геометрической прогрессии   q . Если числа   b1   и   q   известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

b2 = b1q ,
b3 = b2q ,
bk = bk – 1q
(1)

      По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел   b1   и   q.

      Из формул (1) вытекает общая формула

bk = b1qk – 1,      
k = 1, 2, 3, …
(2)

позволяющая по любому номеру   k   вычислить член bk  геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

(3)

      В случае, когда

  b1 > 0   и   q > 0  

все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

(4)

      Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.

      Если для суммы первых   k   членов геометрической прогрессии ввести обозначение

Sk = b1 + b2 + … + bk  ,      
k
= 1, 2, 3, …

то, воспользовавшись равенствами (1), получаем

q Sk =
= b
1q + b2q + … + bk q =
= b
2 + b3 + … + bk +1 .

      Следовательно,

Sk – q Sk = b1bk +1 .

      Таким образом , при будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

      Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству

  | q | < 1 .

      В этом случае выполнено равенство

а величину  S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

      Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.

      С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Геометрическая прогрессия (ЕГЭ — 2021)

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски \( \displaystyle 1\) пшеничное зерно, за вторую \( \displaystyle 2\) пшеничных зерна, за третью \( \displaystyle -4\), за четвертую \( \displaystyle -8\) и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все \( \displaystyle 64\) клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать. {64}}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 64\)

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет \( \displaystyle 18~\ 446~\ 744~\ 073~\ 709~\ 551~\ 615\).

То есть:

\( \displaystyle 18\) квинтильонов \( \displaystyle 446\) квадрильонов \( \displaystyle 744\) триллиона \( \displaystyle 73\) миллиарда \( \displaystyle 709\) миллионов \( \displaystyle 551\) тысяч \( \displaystyle 615\).

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара \( \displaystyle 4\) м и ширине \( \displaystyle 10\) м длина его должна была бы простираться на \( \displaystyle 300\text{ }000\text{ }000\) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее \( \displaystyle 10\) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать \( \displaystyle 18\) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия | umath.ru

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число , называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

   

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

   

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

   

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

   

Следовательно,

   

откуда

   

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии знаменатель которой :

(1)  

Умножим это равенство на :

   

или

(2)  

Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим Отсюда, так как имеем

   

или

(3)  

Так как то формулу (3) можно переписать в виде

(4)  

Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.

Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?

Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии

   

По формуле (3) получаем

   

   

Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.

Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.

Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию Если её знаменатель то эта последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресcии выражается формулой

(5)  

Члены геометрической прогрессии | Онлайн калькулятор

Члены геометрической прогрессии представляют собой числа, выстроенные строго по порядковым номерам, где непосредственно порядковый номер определяет значение члена последовательности. Первый член геометрической прогрессии может быть любым числом, кроме нуля (b≠0). Для того чтобы найти n член геометрической прогрессии необходимо первый член умножить на знаменатель прогрессии нужное количество раз.

Знаменателем прогрессии является заданное число, которое неизменно на протяжении всего числового ряда. Для того чтобы увидеть суть последовательности, рассмотрим числовой ряд, где выписаны bn— это первые несколько членов прогрессии с порядковым номером n, а q — это знаменатель прогрессии.
b1
b2=b1 q
b3=b2 q=b1 qq=b1 q2
b4=b3 q=b1 q2 q=b1 q3

Отсюда наглядно видно, что знаменатель геометрической прогрессии собирается в степень, показателем которой является число на одну единицу меньше порядкового номера члена прогрессии, который нужно найти, и все члены зависят от первого. Общая формула членов геометрической прогрессии будет выглядеть так: bn=b1 q(n-1)

Исходя из этого, зная первый член геометрической прогрессии, можно найти первые три, четыре члена прогрессии, умножая на знаменатель в нужной степени. Подобный онлайн калькулятор рассчитывает и в обратную сторону, то есть, зная любой из членов последовательности, можно найти первый. Чтобы проделать подобную операцию, калькулятор переворачивает формулу, в которой первый член геометрической прогрессии будет равен отношению заданного по условиям задачи члена к знаменателю, возведенному в степень n-1, где n — это порядковый номер известного члена.

Другой способ найти первый член геометрической прогрессии заложен в определении суммы первых нескольких членов прогрессии. Сама сумма равна произведению первого члена прогрессии на разность знаменателя в степени порядкового номера последнего участвующего члена и единицы, затем полученный результат необходимо разделить на еще одну разность знаменателя, в этот раз без степени, и единицы:

Порядок уменьшаемого и вычитаемого в скобках может меняться, это не будет влиять на результат до тех пор, пока это происходит синхронно:

Тогда при перераспределении параметров в формуле выходит, что первый член прогрессии равен произведению суммы с разностью единицы и знаменателя, деленной на разность единицы и знаменателя в степени н:

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры

 

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Монотонная и постоянная последовательность

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .

Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).

Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. 8 -1))/(3-1) = 19 680.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Определение геометрической прогрессии: формула n-го члена прогрессии
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

 

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

 

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

 

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

 

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам. Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы:

формула n-го члена прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 12.

Геометрическая прогрессия.

Давай рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:

2; 22; 23; 24; 25; …

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической последовательности.

Давай дадим определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (bn)– геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

bn ≠ 0 и bn+1 = bnq,где q – некоторое число. Значит, в последовательности натуральных степеней числа 2, для любого натурального n верно равенство bn+1 = bn⋅ 2, то есть q=2.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение ее любого члена, начиная со второго, к предыдущему равно q, то есть bn+1bn=q

Это равенство верно при любом натуральном n.

Число q – называют знаменателем геометрической прогрессии, который всегда отличен от 0.

Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Например:

Если b1 = 2 и q = 3, то мы получим геометрическую прогрессию:

2, 6, 18, 54, …

Если и b1 = 3 и q = -2, то мы получим геометрическую прогрессию:

3, -6, 12, -24,…

Если b1 = 5 и q = 1, то получим геометрическую прогрессию:

5, 5, 5,…

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно последовательно найти второй, третий и вообще любой член прогрессии:

b2=b1∙q

b3=b2∙q=b1∙q∙q=b1q2

b4=b3∙q=b1∙q2∙q=b1q3

Значит, чтобы найти n-ый член надо первый член умножить на знаменатель в степени на единицу меньше, то есть

bn=b1qn-1

Это и есть формула n-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим пару примеров:

Найти девятый член геометрической прогрессии:

-2; 4; -8;…

В данном случае: b1=-2,q=4-2=-2

b9=b1q8=-2∙-28=-2∙256=-512

Ответ: -512

Найдите первый член геометрической прогрессии, если шестой член равен 9, а знаменатель равен 3.

b6=b1∙q5

9=b1∙35

b1=935=127

Ответ: 127

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению последующего и предыдущего ее членов (произведению своих соседей)

То есть bn2=bn+1∙bn-1

Например, надо найти третий член геометрической прогрессии, если известно, что ее второй член равен 6, а четвертый – равен 24.

Давай воспользуемся этим свойством геометрической прогрессии, тогда

b32=b2∙b4

b32=6∙24=144

b3=±12

Ответ: 12 или –12.

Сумма первых n членов геометрической последовательности

Если последовательность геометрическая, существуют способы найти сумму первых n элементов. термины, обозначенные Sn, без фактического добавления всех терминов.

Чтобы найти сумму первых Sn члены геометрической последовательности используют формулу
Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1,
, где n — количество слагаемых, a1 — первый член, а r это обычное отношение.

Сумма первых n термины геометрической последовательности называется геометрической серией.

Пример 1:

Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если a1 = 1 и r = 2.

S8 = 1 (1-28) 1-2 = 255

Пример 2:

Найдите S10 геометрической последовательности 24,12,6, ⋯.

Сначала найдите r.

r = r2r1 = 1224 = 12

Теперь найдите сумму:

S10 = 24 (1− (12) 10) 1−12 = 306964

Пример 3:

Вычислить.

∑n = 1103 (−2) n − 1

(Вы находите S10 для ряда 3−6 + 12−24 + ⋯, значащий коэффициент которого равен −2.)

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 3 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2) = 3 (1−1024) 3 = −1023

Для того, чтобы бесконечный геометрический ряд имел сумму, знаменатель r должно быть между -1 и 1. Тогда при n увеличивается, рН становится все ближе и ближе к 0. Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютным значением меньше единицы, используйте формулу S = a11 − r, где a1 — первый член, а r это обычное отношение.

Пример 4:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
27,18,12,8, ⋯.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 1827 = 23

Затем найдите сумму:

S = a11 − r

S = 271−23 = 81

Пример 5:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
8,12,18,27, ⋯ если он существует.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 128 = 32

Так как r = 32 не меньше единицы. Серия не имеет суммы.

Существует формула для вычисления n th члена геометрического ряда, то есть суммы первых n члены геометрической последовательности.

См. Также: сигма-обозначение ряда и сумма первых n члены арифметической последовательности

Геометрическая серия

А геометрическая серия это ряд чьи родственные последовательность геометрический. Это результат добавления термины из геометрическая последовательность .

Пример 1:

Конечная геометрическая последовательность: 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , … , 1 32768

Связанные конечные геометрические ряды: 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + . .. + 1 32768

Написано в сигма-нотации: ∑ k знак равно 1 15 1 2 k

Пример 2:

Бесконечная геометрическая последовательность: 2 , 6 , 18 , 54 , …

Связанные бесконечные геометрические серии: 2 + 6 + 18 + 54 + …

Написано в сигма-нотации: ∑ п знак равно 1 ∞ ( 2 ⋅ 3 п — 1 )

Конечный геометрический ряд

Чтобы найти сумму конечного геометрического ряда, используйте формулу
S п знак равно а 1 ( 1 — р п ) 1 — р , р ≠ 1 ,
где п это количество терминов, а 1 это первый член и р это обычное отношение .

Пример 3:

Найдите сумму первых 8 члены геометрического ряда, если а 1 знак равно 1 а также р знак равно 2 .

S 8 знак равно 1 ( 1 — 2 8 ) 1 — 2 знак равно 255

Пример 4:

Находить S 10 , десятая частичная сумма бесконечного геометрического ряда 24 + 12 + 6 + … .

Сначала найдите р .

р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 24 знак равно 1 2

Теперь найдите сумму:

S 10 знак равно 24 ( 1 — ( 1 2 ) 10 ) 1 — 1 2 знак равно 3069 64

Пример 5:

Оценивать.

∑ п знак равно 1 10 3 ⋅ ( — 2 ) п — 1

(Вы находите S 10 для сериала 3 — 6 + 12 — 24 + … , обыкновенное отношение которого — 2 .)

S п знак равно а 1 ( 1 — р п ) 1 — р S 10 знак равно 3 [ 1 — ( — 2 ) 10 ] 1 — ( — 2 ) знак равно 3 ( 1 — 1024 ) 3 знак равно — 1023

Бесконечная геометрическая серия

Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютная величина меньше единицы, используйте формулу S знак равно а 1 1 — р ,
где а 1 это первый член и р это обычное отношение.

Пример 6:

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
27 + 18 + 12 + 8 + … .

Первая находка р :

р знак равно а 2 а 1 знак равно 18 27 знак равно 2 3

Затем найдите сумму:

S знак равно а 1 1 — р S знак равно 27 1 — 2 3 знак равно 81 год

Пример 7:

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
8 + 12 + 18 + 27 + . .. если он существует.

Первая находка р :

р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 8 знак равно 3 2

С р знак равно 3 2 не меньше единицы, ряды не сходятся.То есть в нем нет суммы.

Формулы геометрической прогрессии, геометрические ряды, бесконечные геометрические ряды

В математике геометрическая прогрессия (последовательность) (также неточно известная как геометрическая последовательность ) представляет собой последовательность чисел, так что частное любых двух последовательных членов последовательности является константой, называемой обычное отношение последовательности.

Геометрическую прогрессию можно записать как:

ar 0 = a, ar 1 = ar, ar 2 , ar 3 ,…
где r ≠ 0, r — обычное отношение, а a — коэффициент масштабирования (также первый член).

Примеры

Геометрическая прогрессия с общим соотношением 2 и масштабным коэффициентом 1 равна
1, 2, 4, 8, 16, 32 …

Геометрическая последовательность с общим соотношением 3 и масштабным коэффициентом 4 равна
4, 12, 36, 108, 324 …

Геометрическая прогрессия с общим соотношением -1 и масштабным коэффициентом 5 равна
5, -5, 5, -5, 5, -5, …

Формулы

Формулу для n-го члена можно определить как:

a n = a n-1 r
a n = a 1 ⋅r n-1

Формула обыкновенного отношения:

Если общее соотношение:

  • Отрицательный, результаты будут чередоваться между положительными и отрицательными .
    Пример:
    1, -2, 4, -8, 16, -32 … — обычное отношение равно -2, а первый член равен 1.
  • Больше чем 1, будет экспоненциальный рост к бесконечности (положительный) .
    Пример :
    1, 5, 25, 125, 625 … — обычное отношение равно 5.
  • Менее -1, будет экспоненциальный рост к бесконечности (положительный и отрицательный) .
    Пример :
    1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 3
  • , -1953125… — знаменатель -5.
  • Между 1 и -1, будет экспоненциальный спад к нулю .
    Пример :
    4, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625 … — обычное отношение $ \ frac {1} {2} $
    4, -2, 1, -0,5, 0,25, -0,125, 0,0625 … — обычное отношение $ — \ frac {1} {2} $.
  • Ноль, результаты останутся на нуле .
    Пример :
    4, 0, 0, 0, 0 … — обычное отношение равно 0, а первый член равен 4.
Свойства геометрической прогрессии

a 2 k = a k-1 ⋅a k + 1
a 1 ⋅a n = a 2 ⋅a n-1 =. .. = a k ⋅a n-k + 1

Формула суммы первых n чисел геометрического ряда

S n = a 1 — a n r 1 — г = 1 . 1 — р н 1 — г
Бесконечный геометрический ряд, где | r |
<1

Если | r | <1, тогда a n -> 0, когда n -> ∞.
Сумма S такого бесконечного геометрического ряда определяется формулой:

что справедливо только при | r | <1.

1 — первый член.

Калькулятор геометрической прогрессии
Задачи геометрической прогрессии

Задача 1.
Последовательность 2, 4, 6, 8 … геометрическая прогрессия?
Решение: Нет, это не так. (2, 4, 8 — геометрическая прогрессия)


Задача 2
Если 2, 4, 8 … образуют геометрическую прогрессию. Какой 10-й срок?
Решение: Мы можем использовать формулу a n = a 1 ⋅ r n-1
a 10 = 2 ⋅ 2 10-1 = 2 ⋅ 512 = 1024


Задача 3
Найдите масштабный коэффициент и командное отношение геометрической прогрессии, если
a 5 — a 1 = 15
a 4 — a 2 = 6
Решение: есть две геометрические прогрессии. У первого есть масштабный коэффициент 1 и общее отношение = 2
, второе решение -16, 1/2

Дополнительные задачи:
Геометрическая прогрессия — задачи
Задачи с прогрессиями

Геометрические прогрессии на математическом форуме

Присоединяйтесь к нашему математическому форуму (регистрация не требуется!)

Форумы с прогрессиями

Калькулятор геометрической прогрессии — Расчет высокой точности

[1] 2021/03/28 16:30 Мужчина / 30 лет / Инженер / Очень /

Цель использования
Использование для нахождения дисконтированных денежных потоков для моей жизни страховой полис

[2] 2020/07/11 02:59 Мужчина / До 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Здравствуйте, может кто подскажет геометрическую погрешность между -4 и -9 с пояснениями пожалуйста.Большое спасибо!

[3] 2020/06/04 10:42 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Расчет внутриигровых ресурсов
Комментарий / Запрос
Очень точный, может отображать большие числа цифра за цифрой

[4] 2020/04/16 21:47 Мужчина / 20-летний уровень / Инженер / Полезно /

Цель использования
Расчет моей пенсионной суммы : P
Комментарий / запрос
Точно и кратко

[5] 03. 03.2020 18:35 Женский / 30-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
За результат

[6] 2019/09/05 04:55 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик неполной средней школы / Очень /

Цель использования
Learning The Math.
Комментарий / запрос
Изучение математики

[7] 15.04.2019 19:26 Мужчина / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Чтобы рассчитать возможные возвраты для ставки на сборщик.

[8] 2019/02/15 08:04 Мужской / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезно /

Цель использования
математическая задача
Комментарий / Запрос
круто

[9] 2018/03/17 07:43 Женский / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /

Цель использования
Я искал калькулятор, чтобы найти общее отношение последовательности, когда даны первые 3 числа этой последовательности. Кажется, я не могу найти один из таких …

[10] 23.03.2013 03:56 Мужчина / 50 лет / Другое / Немного /

Цель использования
Фон Нейман оценка зондирования. 400 миллиардов звезд в галактике, сколько итераций перед воспроизводящим зондом дает число, эквивалентное одному зонду на звезду. Предположим, что исходный зонд производит 1 раз в месяц, пока не будет достигнуто T. Каждый зонд после этого делает то же самое по прибытии. Среднее время путешествия между звездами предполагает 50 лет.

Геометрические последовательности и серии | Безграничная алгебра

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность — это упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на константу, называемую [латекс] r [/ латекс], обычное отношение.

Цели обучения

Вычислить [латекс] n [/ латекс] -й член геометрической последовательности с учетом начального значения [латекс] a [/ латекс] и общего отношения [латекс] r [/ латекс]

Основные выводы

Ключевые точки
  • Общая форма геометрической последовательности: [латекс] a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3, ar ^ 4, \ cdots [/ latex]
  • [латекс] n [/ латекс] -й член геометрической последовательности с начальным значением [латекс] n [/ латекс] и общим соотношением [латекс] r [/ латекс] задается следующим образом: [латекс] {a} _ { n} = a {r} ^ {n-1} [/ латекс].
Ключевые термины
  • геометрическая последовательность : упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением. Также известна как геометрическая прогрессия.

Определение геометрических последовательностей

Геометрическая прогрессия, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным соотношением [латекс] r [/ латекс ].{n-1} [/ latex]

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению:

[латекс] a_n = ra_ {n-1} [/ латекс]

для каждого целого числа [латекс] n \ ge 1. [/ Latex]

Поведение геометрических последовательностей

Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение. Обычное отношение геометрического ряда может быть отрицательным, что приведет к чередованию последовательности. В чередующейся последовательности будут числа, которые переключаются между положительными и отрицательными знаками.Например: [латекс] 1, -3,9, -27,81, -243, \ cdots [/ latex] — геометрическая последовательность с общим соотношением [латекс] -3 [/ латекс].

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения. Если общее отношение:

  • Положительно, все термины будут того же знака, что и исходные
  • Отрицательное, условия будут чередоваться между положительным и отрицательным
  • Больше, чем [latex] 1 [/ latex], будет экспоненциальный рост в сторону положительной бесконечности ([latex] + \ infty [/ latex])
  • [latex] 1 [/ latex], прогрессия будет постоянной
  • Между [латексом] -1 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом], но не между [латексом] 0 [/ латексом] будет экспоненциальный спад в сторону [латекса] 0 [/ латекса]
  • [latex] -1 [/ latex], прогрессия — чередующаяся последовательность (см. Чередующиеся серии)
  • Меньше, чем [latex] -1 [/ latex], для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону положительной и отрицательной бесконечности (из-за чередования знаков)

Геометрические последовательности (с общим соотношением, не равным [латекс] -1 [/ латекс], [латекс] 1 [/ латекс] или [латекс] 0 [/ латекс]) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейный рост (или снижение) арифметической прогрессии, такой как [латекс] 4, 15, 26, 37, 48, \ cdots [/ латекс] (с общим отличием [латекс] 11 [/ латекс]).Этот результат был получен T.R. Мальтуса в качестве математической основы его принципа народонаселения. Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что для любого значения общего отношения любые три последовательных термина [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] удовлетворяет следующему уравнению:

[латекс] {b} ^ {2} = ac [/ latex]

Суммирование первых n членов геометрической последовательности

Используя обычное отношение и первый член геометрической последовательности, мы можем суммировать его члены. {n}} {1-r}} [/ латекс].

Ключевые термины
  • геометрическая серия : Бесконечная последовательность добавляемых чисел, члены которой находятся путем умножения предыдущего члена на фиксированное ненулевое число, называемое обычным отношением.
  • геометрическая прогрессия : серия чисел, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением.

Геометрические ряды — это примеры бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисления, и они по-прежнему занимают центральное место в изучении сходимости рядов. Геометрические ряды используются в математике и имеют важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории очередей и финансах.

Члены геометрического ряда образуют геометрическую прогрессию, что означает, что соотношение следующих друг за другом членов в ряду постоянно. {n}}}} [/ латекс]

является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} [/ latex].{n}}} [/ латекс]

Эту концепцию можно визуализировать с помощью диаграммы:

Бесконечная геометрическая серия: Каждый из фиолетовых квадратов получается путем умножения площади следующего большего квадрата на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex]. Площадь первого квадрата составляет [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4}} [/ latex], а площадь второй квадрат — [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}} [/ latex].

Ниже приведены несколько геометрических рядов с разными общими отношениями.Поведение терминов зависит от общего соотношения [латекс] г [/ латекс]:

  • [латекс] 4 + 40 + 400 + 4000 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 10 [/ латекс]
  • [латекс] \ displaystyle {9 + 3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] {\ frac {1 } {3}} [/ латекс]
  • [латекс] 3 + 3 + 3 + 3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 1 [/ латекс]
  • [латекс] \ displaystyle {1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} — \ frac {1} {8} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]
  • [латекс] 3-3 + 3-3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] -1 [/ латекс]

Значение [latex] r [/ latex] предоставляет информацию о характере серии:

  • Если [латекс] r [/ латекс] находится между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] +1 [/ латекс], члены ряда становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю в пределе, и ряд сходится к сумме. Рассмотрим последовательность, в которой [latex] r [/ latex] составляет половину [латекса] {\ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ cdots \ right)} [/ latex], сумма которых равна единице.
  • Если [latex] r [/ latex] больше [latex] 1 [/ latex] или меньше [latex] -1 [/ latex], члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. Сериал расходится.
  • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] 1 [/ latex], все члены серии совпадают.Сериал расходится.
  • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] -1 [/ latex], термины принимают поочередно два значения [latex] \ left (\ text {eg}, 2, -2,2, -2,2 , -2, \ cdots \ right) [/ латекс]. Сумма членов колеблется между двумя значениями [latex] \ left (\ text {eg.}, 2,0,2,0,2,0, \ cdots \ right) [/ latex]. Это другой тип дивергенции, и снова у ряда нет суммы.

Мы можем использовать формулу, чтобы найти сумму конечного числа членов в последовательности. {5}} {1-3} \\ & = 6 \ cdot \ frac {{-242}} {-2} \\ & = 6 \ cdot 121 \\ & = 726 \ end {align}} [/ латекс ]

Бесконечная геометрическая серия

Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

Цели обучения

Вычислить сумму бесконечного геометрического ряда и определить, когда геометрический ряд будет сходиться

Основные выводы

Ключевые точки
  • Сумма геометрического ряда конечна, пока члены приближаются к нулю; поскольку числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.
  • Для бесконечного геометрического ряда, который сходится, его сумму можно вычислить по формуле [latex] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex].
Ключевые термины
  • сходиться : приблизиться к конечной сумме.
  • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно меняются с общим соотношением.

Геометрический ряд — это бесконечный ряд, члены которого находятся в геометрической прогрессии или чьи последовательные члены имеют общее отношение. Если члены геометрического ряда стремятся к нулю, сумма его членов будет конечной. Когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.

Говорят, что геометрический ряд с конечной суммой сходится. Ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы:

.

[латекс] \ левый | г \ право | <1 [/ латекс]

Что следует на примере бесконечного ряда с конечной суммой. Подсчитаем сумму [latex] s [/ latex] следующей серии:

[латекс] \ displaystyle {s = 1+ \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ cdots} [/ latex]

Эта серия имеет общее соотношение [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex].Если мы умножим на это обычное соотношение, то начальный член [латекс] 1 [/ latex] станет [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex], [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex] становится [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {9}} [/ latex] и так далее:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s = \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ frac {16} { 81} + \ cdots} [/ латекс]

Эта новая серия такая же, как и исходная, за исключением того, что отсутствует первый член. Вычитая новую серию [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s} [/ latex] из исходной серии, [latex] s [/ latex] отменяет все термины в оригинале, кроме первого:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s- \ frac {2} {3} s & = 1 \\ \ поэтому s & = 3 \ end {align}} [/ latex]

Подобный метод можно использовать для вычисления любого самоподобного выражения.n \ rightarrow 0 \\ & = \ frac {a} {1-r} \ end {align}} [/ latex]

Следовательно, для [latex] | r | <1 [/ latex] мы можем записать бесконечную сумму как:

[латекс] \ Displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ латекс]

Пример

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда [латекс] 64+ 32 + 16 + 8 + \ cdots [/ latex]

Сначала найдите [latex] r [/ latex], или постоянное соотношение между каждым членом и тем, что ему предшествует:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} r & = \ frac {32} {64} \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

Подставьте [латекс] a = 64 [/ latex] и [latex] \ displaystyle r = \ frac {1} {2} [/ latex] в формулу суммы бесконечного геометрического ряда:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = \ frac {64} {1- \ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {64} {\ frac {1} {2} } \\ & = 128 \ end {align}} [/ latex]

Применения геометрической серии

Геометрические ряды применяются в математике и естественных науках и являются одним из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

Цели обучения

Применение геометрических последовательностей и рядов к различным физическим и математическим темам

Основные выводы

Ключевые точки
  • Повторяющееся десятичное число можно рассматривать как геометрическую последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].
  • Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией.
  • Внутренняя часть снежинки Коха представляет собой объединение бесконечного множества треугольников.При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры.
  • Знание бесконечных рядов позволяет нам решать древние проблемы, такие как парадоксы Зенона.
Ключевые термины
  • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.
  • фрактал : природное явление или математический набор, который демонстрирует повторяющийся узор, который можно увидеть в любом масштабе.

Геометрические ряды сыграли важную роль в раннем развитии исчисления и продолжают оставаться центральной частью изучения сходимости рядов. Геометрические ряды используются во всей математике. У них есть важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории массового обслуживания и финансах.

Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.

Повторяющаяся десятичная дробь

Повторяющееся десятичное число можно рассматривать как геометрический ряд, общее отношение которого равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].Например:

[латекс] \ displaystyle {0,7777 \ cdots = \ frac {7} {10} + \ frac {7} {100} + \ frac {7} {1000} + \ frac {7} {10000} + \ cdots} [/ латекс]

Формула суммы геометрического ряда может использоваться для преобразования десятичной дроби в дробь:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,7777 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {7} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {7} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {7} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {7} {9} \ end {align}} [/ latex]

Формула работает для любого повторяющегося термина. Еще несколько примеров:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.123412341234 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1234} {10000}} {1- \ frac {1 } {10000}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {1234} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {1234} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1234} {9999} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,0

0909 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {100}} {1- \ frac {1 } {100}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {100} \ right)} {\ left (\ frac {99} {100} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {100} \ right) \ left (\ frac {100} {99} \ right) \\ & = \ frac {9} {99} \\ & = \ frac {1} {11} \ конец {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.143814381438 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1438} {10000}} {1- \ frac {1} {10000}} \\ & = \ frac { \ left (\ frac {1438} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left (\ frac {1438} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1438} {9999} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,9999 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {9} {9} \\ & = 1 \ end {align}} [/ латекс]

То есть повторяющаяся десятичная дробь с повторяющейся частью длины [латекс] n [/ latex] равна частному повторяющейся части (как целое число) и [латекс] 10 ^ n — 1 [/ latex].

Квадратура Параболы Архимеда

Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда: Разбиение Архимеда параболического сегмента на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой равна [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {3}} [/ latex] площади синего треугольника.{3} + \ cdots} [/ latex]

Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член — площади двух зеленых треугольников, третий член — площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает:

[латекс] \ displaystyle {1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {64} + \ cdots} [/ latex]

Это геометрическая серия с общим соотношением [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex], а дробная часть равна [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} }[/латекс].

Фрактальная геометрия

Снежинка Коха: Внутренняя часть снежинки Коха состоит из бесконечного количества треугольников.

Снежинка Коха — это фрактальная форма, внутренность которой состоит из бесконечного количества треугольников. При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры. В случае снежинки Коха ее площадь можно описать геометрическим рядом.

Построение снежинки Коха: первые четыре итерации: каждая итерация добавляет набор треугольников снаружи формы.

Область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников. На диаграмме выше треугольники, добавленные во второй итерации, имеют размер [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3}} [/ latex], равный размеру стороны наибольшего треугольника, поэтому они имеют ровно [latex ] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] область. Точно так же каждый треугольник, добавленный во второй итерации, имеет [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] площадь треугольников, добавленных в предыдущей итерации, и так далее. {3} + \ cdots} [/ latex]

Первый член этого ряда представляет площадь первого треугольника, второй член — общую площадь трех треугольников, добавленных во второй итерации, третий член — общую площадь двенадцати треугольников, добавленных в третьей итерации, и т. Д. . Исключая начальный термин [латекс] 1 [/ латекс], этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением [латекс] \ displaystyle {r = \ frac {4} {9}} [/ latex]. Первый член геометрического ряда — [латекс] \ displaystyle {a = 3 \ frac {1} {9} = \ frac {1} {3}} [/ latex], поэтому сумма составляет:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ frac {a} {1-r} & = 1 + \ frac {\ frac {1} {3}} {1- \ frac {4} {9 }} \\ & = \ frac {8} {5} \ end {align}} [/ latex]

Таким образом, снежинка Коха имеет [латекс] \ displaystyle {\ frac {8} {5}} [/ latex] площади основного треугольника.

Парадоксы Зенона

Парадоксы Зенона — это набор философских проблем, изобретенных древнегреческим философом для поддержки учения о том, что истина противоречит нашим чувствам. Проще говоря, один из парадоксов Зенона гласит: существует точка A, которая хочет переместиться в другую точку B. Если A перемещается только на половину расстояния между ней и точкой B за один раз, она никогда не доберется туда, потому что вы можете продолжать делить оставшееся пространство пополам навсегда. Ошибка Зенона заключается в предположении, что сумма бесконечного числа конечных шагов не может быть конечной.Теперь мы знаем, что его парадокс не соответствует действительности, о чем свидетельствует сходимость геометрического ряда с [латексом] \ displaystyle {r = \ frac {1} {2}} [/ latex]. Эта проблема была решена современной математикой, которая может применить концепцию бесконечного ряда, чтобы найти сумму пройденных расстояний.

Использование формулы для геометрического ряда

Так же, как сумма членов арифметической последовательности называется арифметическим рядом, сумма членов геометрической последовательности называется геометрическим рядом . {k} [/ латекс]

Решение

Пример 5: Решение прикладной задачи с помощью геометрической серии

На новой работе стартовая зарплата сотрудника составляет 26 750 долларов. Он получает повышение на 1,6% годовых. Найдите его общий заработок по истечении 5 лет.

Решение

Задачу можно представить в виде геометрического ряда с [латексом] {a} _ {1} = 26,750 [/ latex]; [латекс] n = 5 [/ латекс]; и [латекс] r = 1,016 [/ латекс]. Подставьте значения для [latex] {a} _ {1} [/ latex], [latex] r [/ latex] и [latex] n [/ latex] в формулу и упростите, чтобы найти общую сумму заработка в конце. от 5 лет.{5} \ right)} {1 — 1.016} \ приблизительно 138 \ text {,} 099.03 \ hfill \ end {array} [/ latex]

К концу 5 лет он заработает в общей сложности 138 099,03 долларов.

Попробуй 8

На новой работе стартовая зарплата сотрудника составляет 32 100 долларов. Ежегодно она получает 2% -ное повышение. Сколько она заработает к концу 8 лет?

Решение

Использование формулы суммы бесконечного геометрического ряда

До сих пор мы рассматривали только конечные серии. Иногда, однако, нас интересует сумма членов бесконечной последовательности, а не сумма только первых [latex] n [/ latex] членов.{\ infty} 2k [/ latex], где верхний предел суммирования равен бесконечности. Поскольку члены не стремятся к нулю, сумма ряда неограниченно увеличивается по мере того, как мы добавляем новые члены. Следовательно, сумма этого бесконечного ряда не определена. Когда сумма не является действительным числом, мы говорим, что ряд расходится на .

Определение, определена ли сумма бесконечного геометрического ряда

Если члены бесконечного геометрического ряда приближаются к нулю, можно определить сумму бесконечного геометрического ряда.{n} [/ latex] становятся очень маленькими и приближаются к нулю. Каждый последующий член влияет на сумму меньше, чем предыдущий член. По мере того, как каждый последующий член приближается к 0, сумма членов приближается к конечному значению. Члены любого бесконечного геометрического ряда с [latex] -1

Общее примечание: определение того, определена ли сумма бесконечного геометрического ряда

Сумма бесконечного ряда определяется, если ряд геометрический и [латекс] -1

Как сделать: учитывая первые несколько членов бесконечного ряда, определите, существует ли сумма ряда.

  1. Найдите отношение второго члена к первому.
  2. Найдите отношение третьего члена ко второму.
  3. Продолжайте этот процесс, чтобы обеспечить постоянство отношения одного члена к предыдущему. Если да, то серия геометрическая.
  4. Если общее соотношение, [латекс] r [/ латекс], было найдено на шаге 3, проверьте, [латекс] -1

Решение

  1. Отношение второго члена к первому составляет [латекс] \ frac {\ text {2}} {\ text {3}} [/ latex],
    , что не совпадает с отношением третьего члена к второй, [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Серия не геометрическая.
  2. Отношение второго члена к первому такое же, как отношение третьего члена ко второму. Ряд геометрический с общим соотношением [латекс] \ frac {2} {3} \ text {.} [/ Latex] Сумма бесконечного ряда определена.
  3. Данная формула является экспоненциальной с основанием [латекс] \ frac {1} {3} [/ latex]; серия геометрическая с общим соотношением [латекс] \ frac {1} {3} \ text {.} [/ latex] Сумма бесконечного ряда определена.
  4. Данная формула не является экспоненциальной; ряд не является геометрическим, потому что члены возрастают, и поэтому не может дать конечной суммы.

Определите, определена ли сумма бесконечного ряда.

Попробуйте 9

[латекс] \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2} + \ frac {3} {4} + \ frac {9} {8} +.{k} [/ латекс]

Решение

геометрических прогрессий | Блестящая вики по математике и науке

Важная терминология

  • Начальный член: В геометрической прогрессии первое число называется «начальным членом».
  • Общий коэффициент: отношение между термином в последовательности и термином перед ним называется «обычным отношением».

Рекурсивная формула

Мы можем описать геометрическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим.Поскольку в геометрической прогрессии каждый член определяется произведением предыдущего члена и общего отношения, мы можем записать рекурсивное описание следующим образом:

Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент. \ text {Term} = \ text {Предыдущий термин} \ times \ text {Обычное соотношение}. Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент.

Если говорить кратко, то при обыкновенном соотношении rrr имеем

an = an − 1 × r.a_n = a_ {n-1} \ times r.an = an − 1 × r.

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать взаимосвязь между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

Если мы знаем начальный член, следующие члены связаны с ним путем многократного умножения обыкновенного отношения. Таким образом, явная формула

Срок = Начальный член × Общий коэффициент × ⋯ × Общий коэффициент Количество шагов от начального срока. \ text {Term} = \ text {Начальный термин} \ times \ underbrace {\ text {Общий коэффициент} \ times \ dots \ times \ text {Общий коэффициент}} _ {\ text {Количество шагов от начального члена}} . Срок = Начальный член × Количество шагов от начального члена Общее соотношение × ⋯ × Общее соотношение.{n-k} .an = ak × rn-k.

Теперь давайте разработаем несколько основных примеров, которые могут познакомить вас с приведенными выше определениями.

Какова явная формула для геометрической последовательности 4,12,36,108,…? 4, 12, 36, 108, \ точек? 4,12,36,108,…?

Показать ответ

Начальный член равен 444. Поскольку каждый последующий член является произведением предыдущего члена и 333, общее отношение равно 333. Таким образом, формула, описывающая эту последовательность, имеет вид

an = 4 × 3n − 1.{n} 5⋅5н

Что из следующего является явной формулой геометрической прогрессии?

5,10,20,40,…? 5, 10, 20, 40, \ точки? 5,10,20,40,…?

.
Какой корень в слове смотреть: Однокоренные слова — словарь и онлайн подбор

Какой корень в слове смотреть: Однокоренные слова — словарь и онлайн подбор

Разбор слова по составу. Онлайн сервис Текстовод.Морфемы

{{ info }}