Произведение растворимости — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Произведе́ние раствори́мости (ПР, K_sp) — произведение концентраций ионов малорастворимого электролита в его насыщенном растворе при постоянных температуре и давлении. Произведение растворимости — величина постоянная.

При постоянной температуре в насыщенных водных растворах малорастворимых электролитов устанавливается равновесие между твердым веществом и ионами, образующими это вещество. Например, в случае для CaCO₃ это равновесие можно записать в виде:

CaCO3(s)⇌Ca2+(aq)+CO32−(aq).{\displaystyle \mathrm {CaCO} _{3}(s)\rightleftharpoons {\mbox{Ca}}^{2+}(aq)+{\mbox{CO}}_{3}^{2-}(aq).}

Константа этого равновесия рассчитывается по уравнению:

K={Ca2+(aq)}{CO32−(aq)}{CaCO3(s)}.{\displaystyle K={\frac {\left\{{\mbox{Ca}}^{2+}(aq)\right\}\left\{{\mbox{CO}}_{3}^{2-}(aq)\right\}}{\left\{{\mbox{CaCO}}_{3}(s)\right\}}}.}

В приближении идеального раствора с учётом того, что активность чистого компонента равна единице, уравнение упрощается до выражения:

Ksp=[Ca2+(aq)][CO32−(aq)].{\displaystyle K_{\mathrm {sp} }=\left[{\mbox{Ca}}^{2+}(aq)\right]\left[{\mbox{CO}}_{3}^{2-}(aq)\right].}

Константа равновесия такого процесса называется произведением растворимости.

В общем виде, произведение растворимости для вещества с формулой A_mB_n, которое диссоциирует на m катионов Aⁿ⁺ и n анионов B^m−, рассчитывается по уравнению:

Ksp=[An+(aq)]m[Bm−(aq)]n,{\displaystyle K_{\mathrm {sp} }=\left[{\mbox{A}}^{n+}(aq)\right]^{m}\left[{\mbox{B}}^{m-}(aq)\right]^{n},}

где [Aⁿ⁺(aq)] и [B^m−(aq)] — равновесные молярные концентрации ионов данного вещества, образующихся при электролитической диссоциации.

Из произведений растворимости и отношения числа катионов к анионам (m/n) можно рассчитать концентрации катионов и анионов в растворе малорастворимого электролита. Значения произведений растворимости приведены в справочниках^[1].

Уравнение произведения растворимости не учитывает коэффициенты активности, то есть степень влияния ионных сил. Для растворов с концентрациями бо́льшими, чем 1⋅10⁻⁴ моль/л, необходимо использовать произведение активностей:

Ksp=[aA(aq)]m[aB(aq)]n,{\displaystyle K_{\mathrm {sp} }=\left[{\mbox{a}}_{A}(aq)\right]^{m}\left[{\mbox{a}}_{B}(aq)\right]^{n},}

где а_A и а_B — активности ионов A и B.

Произведение активностей ионов для насыщенных растворов малорастворимых электролитов при данной температуре — постоянная величина. Она зависит от температуры и природы растворителя.

Произведение растворимости связано с растворимостью следующим соотношением:

S=Kspmm⋅nnm+n,{\displaystyle {S}={\sqrt[{m+n}]{K_{\mathrm {sp} } \over {m^{m}\cdot n^{n}}}},}

где:

m — количество моль катиона;

n — количество моль аниона;

K_sp — произведение растворимости;

S — растворимость вещества (моль/л).

• Д. Г. Кнорре, Л. Ф. Крылова, В. С. Музыкантов. Физическая химия, М.: «Высшая школа», 1990.

1. ↑ Рабинович В.А., Хавин 3.Я. Краткий химический справочник. С. 287—290.

9.5. Произведение растворимости

Подавляющее большинство веществ обладает ограниченной растворимостью в воде и других растворителях. Поэтому на практике часто приходится иметь дело с системами, в которых в состоянии равновесия находятся осадок и насыщенный раствор электролита.

Малорастворимые электролиты при растворении полностью диссоциируют на ионы (в растворе нет нейтральных молекул).

Например, для малорастворимого соединения Ag₂CO₃ можно записать следующий обратимый процесс:

Ag₂CO_3(к) 2Ag⁺_(р) + CO₃^2_(р) ,

а соответствующая ему константа равновесия будет называться произведением растворимости:

.

Этот процесс является гетерогенным, поэтому константа равновесия определяется только произведением концентраций ионов в растворе и не зависит от концентрации твердого компонента.

Правила записи выражений для произведения растворимости ничем не отличаются от правил записи любых выражений для К_p.Произведение растворимости равно произведению молярных концентраций ионов, участвующих в равновесии, каждая из которых возведена в степень, равную стехиометрическому коэффициенту, при соответствующем ионе в уравнении равновесия.

ПР тесно связано с растворимостью (S моль/л). Так, для электролитов, имеющих катионы и анионы одинакового заряда (AgCl, PbS и др.), очевидно

, а ПР = S²

В общем случае разных зарядов катиона (n⁺) и аниона (m^):

или .

Очевидно, что ПР, кроме того, можно найти по термодинамическим данным, так как ПР = К =

Пример 20. ПР (СаF₂) = 3,9^.10^11. Какова растворимость СаF₂ в воде (в граммах на литр и в моль на литр)?

Решение. Равновесие растворения описывается уравнением:

СаF_2(Т) Са²⁺_(Р) + 2F^_{(Р) .}

Из каждого моля растворившегося СаF₂ в растворе появляются 1 моль ионов Са²⁺ и 2 моль ионов F^. Поэтому, обозначая растворимость фторида кальция, выраженную в моль на литр, через х, молярные концентрации Ca²⁺ и F^ в растворе можно записать следующим образом: [Ca²⁺] = х и [F^] = 2 x. Выражение для произведения растворимости в данном случае имеет вид

ПР = [Ca²⁺] [F^]² .

Подставляя в него [Ca²⁺] = х и [F^] = 2 х, находим ПР = х (2 х)² = 4 х³ = 3,9^.10^11.

Отсюда х = .

Следовательно, растворимость СаF₂, выраженная в моль/л, равна 2,1^.10^4.

Поскольку молярная масса СаF₂ равна 78,1 г/моль, то растворимость СаF₂, выраженная в г/литр, составит: 2,1^.10^4 моль/л·78,1 г/моль = 1,6·10^2 г/л.

Пример 21. Какова растворимость (S) Ag₂CO₃ , если ПР (Ag₂CO₃) = 8,2^.10^12 ? Как изменится растворимость при добавлении в 1 литр насыщенного раствора 10,6 г Na₂CО₃ ? Какое количество Ag₂CO₃ выпадет при этом в осадок?

Решение. Растворимость найдем по формуле:

= 1,19.10^4 моль/л.

При растворении 10,6 г Na₂CО₃ в 1 л раствора добавляется 10,6/106 = 0,1 моль ионов CО₃^2. Если считать, что объем раствора при этом не изменяется, и учесть, что концентрация CО₃^2 до растворения Na₂CО₃ пренебрежимо мала, то равновесное значение [CО₃^2] = 0,1 моль/л. Отсюда можно найти новую концентрацию Ag⁺ :

моль/л.

Это соответствует вдвое меньшей концентрации Ag₂CO₃ , то есть растворимость стала S^| = 4,1^.10^6 моль/л, а из 1 л раствора выпало в осадок

моль, или 0,32 г Ag₂CO₃ .

Полученные результаты показывают, что при добавлении в насыщенный раствор одноименного иона в концентрации, значительно превышающей первоначальную, труднорастворимое вещество практически полностью выпадает в осадок. Этот эффект (выпадение осадка из насыщенного раствора при добавлении одноименного иона) носит название «высаливание» . Он используется для извлечения ценных компонентов из растворов.

Из выражения для ПР следует, что при увеличении концентрации одного из ионов электролита в его насыщенном растворе (например, путем введения другого электролита, содержащего тот же ион) произведение концентраций ионов электролита становится больше ПР. При этом равновесие между твердой фазой и раствором смещается в сторону образования осадка, так как величина ПР не зависит от концентрации. Таким образом, условием образования осадка является превышение произведения концентраций ионов малорастворимого электролита над его произведением растворимости.

Пример 22. Будет ли образовываться осадок при смешении 0,1 л раствора нитрата свинца с концентрацией 3,0·10^3 М и 0,4 л раствора сульфата натрия с концентрацией 5,0·10^3 М ? Если да, то сколько граммов?

Решение. Возможными продуктами реакции являются PbSO₄ и NaNO₃. Соли натрия относятся к хорошо растворимым соединениям, однако PbSO₄ имеет ПР = 1,6^.10^8. Чтобы определить, будет ли происходить осаждение PbSO₄, следует вычислить произведение концентраций ионов Pb²⁺ и SO₄^2 и сопоставить полученный результат с ПР.

При смешении двух растворов полный объем становится равным 0,1 + 0,4 = 0,5 л. Число моль Pb²⁺, содержащихся в 0,1 л раствора Pb(NO₃)₂ с концентрацией 3,0·10^3 М, равно

0,1 л·(3,0·10^3 моль/л) = 3,0·10^4 моля.

Концентрация Pb²⁺ в 0,5л смеси растворов должна быть равна [Pb²⁺]. Число моль SO₄^2— в 0,4 л исходного раствора Na₂SO₄ равно:

0,4 л·(5,0·10^3 моль/л) = 2,0·10^3 моль.

Следовательно, [SO₄^2] в 0,5 л смеси растворов должна быть равна:

.

Находим произведение концентраций ионов:

[Pb²⁺]·[SO₄^2] = (6,0·10^4)·(4,0^.10^3) = 2,4·10^6.

Поскольку произведение концентраций ионов 2,4·10^6 больше ПР, в смеси растворов должно происходить осаждение PbSO₄.

Чтобы определить, какое количество PbSO₄ выпадет в осадок, определим концентрацию ионов Pb²⁺ в растворе: [Pb²⁺] = 4^.10^4 М.

В 0,5 л содержится в 2 раза меньше  2·10^4 моль. Следовательно, в осадок выпадет 3·10^4  2·10^4 = 1·10^4 моль или m =n·М = 10^4·393  4·10^2 г.

Произведение растворимости

Определение

Поместим в химический стакан какую-либо труднорастворимую соль, например, AgCl и добавим к осадку дистиллированной воды. При этом ионы Ag⁺ и Cl^—, испытывая притяжение со стороны окружающих диполей воды, постепенно отрываются от кристаллов и переходят в раствор. Сталкиваясь в растворе, ионы Ag⁺ и Cl^— образуют молекулы AgCl и осаждаются на поверхности кристаллов. Таким образом, в системе происходят два взаимно противоположных процесса, что приводит к динамическому равновесию, когда в единицу времени в раствор переходит столько же ионов Ag⁺ и Cl^—, сколько их осаждается. Накопление ионов Ag⁺ и Cl^— в растворе прекращается, получается насыщенный раствор. Следовательно, мы будем рассматривать систему, в которой имеется осадок труднорастворимой соли в соприкосновении с насыщенным раствором этой соли. При этом происходят два взаимно противоположных процесса:

1) Переход ионов из осадка в раствор. Скорость этого процесса можно считать постоянной при неизменной температуре: V₁ = K₁;
2) Осаждение ионов из раствора. Скорость этого процесса V₂ зависит от концентрации ионов Ag⁺ и Cl^—. По закону действия масс:

V₂ = k₂

Так как данная система находится в состоянии равновесия, то

V₁ = V₂
k₂ = k₁

[Ag⁺]

• [Cl^—] = k₂ / k₁ = const (при T = const)

Таким образом, произведение концентраций ионов в насыщенном растворе труднорастворимого электролита при постоянной температуре является постоянной величиной. Эта величина называется произведением растворимости (ПР).

В приведенном примере ПРAgCl = [Ag⁺] • [Cl^—]. В тех случаях, когда электролит содержит два или несколько одинаковых ионов, концентрация этих ионов, при вычислении произведения растворимости должна быть возведена в соответствующую степень.
Например, ПРAg₂S = [Ag⁺]²

• [S^2-]; ПРPbI₂ = [Pb²⁺] [I^—]²

В общем случае выражение произведения растворимости для электролита A_mB_n
ПРA_mB_n = [A]^m [B]ⁿ.
Значения произведения растворимости для разных веществ различны.
Например, ПРCaCO₃ = 4,8

• 10^-9; ПРAgCl = 1,56 10^-10.

ПР легко вычислить, зная раcтворимость соединения при данной t°.

Пример 1
Растворимость CaCO₃ равна 0,0069 или 6,9

• 10^-3 г/л. Найти ПРCaCO₃.

Решение
Выразим растворимость в молях:
SCaCO₃ = (6,9

· 10^-3) / 100,09 = 6,9 • 10^-5 моль/л

MCaCO₃
Так как каждая молекула CaCO₃ дает при растворении по одному иону Ca²⁺ и CO₃^2-, то
[Ca²⁺] = [ CO₃^2-] = 6,9

следовательно, ПРCaCO₃ = [Ca²⁺

]

• [CO₃^2-] = 6,9 10^-5_{6,9 10^-5 = 4,8 10^-9}

Зная величину ПР, можно в свою очередь вычислить растворимость вещества в моль/л или г/л.

Пример 2
Произведение растворимости ПРPbSO₄ = 2,2

Чему равна растворимость PbSO₄?

Решение
Обозначим растворимость PbSO₄ через X моль/л. Перейдя в раствор, X молей PbSO₄ дадут X ионов Pb²⁺ и X ионов SO₄^2-, т.е.:

[Pb²⁺] = [SO₄^2-] = X
ПРPbSO₄ = [Pb²⁺] = [SO₄^2-

] = X

X = \e(ПРPbSO₄) = \e(2,2

• 10^-8) = 1,5 10^-4 моль/л.

Чтобы перейти к растворимости, выраженной в г/л, найденную величину умножим на молекулярную массу, после чего получим:
1,5

• 10^-4 303,2 = 4,5 10^-2 г/л.

Образование осадков
Если
[Ag⁺]

• [Cl^—] < ПРAgCl — ненасыщенный раствор

[Ag⁺

]

• [Cl^—] = ПРAgCl — насыщенный раствор

[Ag⁺]

• [Cl^—] > ПРAgCl — перенасыщенный раствор

Осадок образуется в том случае, когда произведение концентраций ионов малорастворимого электролита превысит величину его произведения растворимости при данной температуре. Когда ионное произведение станет равным величине ПР, выпадение осадка прекращается. Зная объем и концентрацию смешиваемых растворов, можно рассчитать, будет ли выпадать осадок образующейся соли.

Пример 3
Выпадает ли осадок при смешении равных объемов 0,2 M растворов Pb(NO₃)₂ и NaCl.
ПРPbCl₂

= 2,4

Решение
При смешении объем раствора возрастает вдвое и концетрация каждого из веществ уменьшится вдвое, т.е. станет 0,1 M или 1,0

• 10^-1 моль/л. Таковы же будут концентрации Pb²⁺ и Cl^—. Следовательно, [Pb²⁺] _{[Cl^—]² = 1 10^-1 (1 10^-1)² = 1 10^-3. Полученная величина превышает ПРPbCl2 (2,4 10^-4). Поэтому часть соли PbCl2 выпадает в осадок. Из всего сказанного выше можно сделать вывод о влиянии различных факторов на образование осадков.}

Влияние концентрации растворов
Труднорастворимый электролит с достаточно большой величиной ПР нельзя осадить из разбавленных растворов. Например, осадок PbCl₂ не будет выпадать при смешении равных объемов 0,1 M растворов Pb(NO₃)₂ и NaCl. При смешивании равных объемов концентрации каждого из веществ станут 0,1 / 2 = 0,05 M или 5

• 10^-2 моль/л. Ионное произведение [Pb²⁺] [Cl^1-]² = 5 10^-2 (5 10^-2)² = 12,5 10^-5. Полученная величина меньше ПРPbCl₂, следовательно выпадения осадка не произойдет.

Влияние количества осадителя
Для возможно более полного осаждения употребляют избыток осадителя.
Например, осаждаем соль BaCO₃: BaCl₂ + Na₂CO₃ ® BaCO₃¯ + 2NaCl. После прибавления эквивалентного количества Na₂CO₃ в растворе остаются ионы Ba²⁺, концентрация которых обусловлена величиной ПР.
Повышение концентрации ионов CO₃^2-, вызванное прибавлением избытка осадителя (Na₂CO₃), повлечет за собой соответственное уменьшение концентрации ионов Ba²⁺ в растворе, т.е. увеличит полноту осаждения этого иона.

Влияние одноименного иона
Растворимость труднорастворимых электролитов понижается в присутствии других сильных электролитов, имеющих одноименные ионы. Если к ненасыщенному раствору BaSO₄ понемногу прибавлять раствор Na₂SO₄, то ионное произведение, которое было сначала меньше ПРBaSO₄ (1,1

• 10^-10), постепенно достигнет ПР и превысит его. Начнется выпадение осадка.

Влияние температуры
ПР является постоянной величиной при постоянной температуре. С увеличением температуры ПР возрастает, поэтому осаждение лучше проводить из охлажденных растворов.

Растворение осадков

Правило произведения растворимости важно для переведения труднорастворимых осадков в раствор. Предположим, что надо растворить осадок BaСO₃. Раствор, соприкасающийся с этим осадком, насыщен относительно BaСO₃.
Это означает, что [Ba²⁺

]

Если добавить в раствор кислоту, то ионы H⁺ свяжут имеющиеся в растворе ионы CO₃^2- в молекулы непрочной угольной кислоты:
2H⁺ + CO₃^2- ® H₂CO₃ ® H₂O + CO₂­
Вследствие этого резко снизится концентрация иона CO₃^2- , ионное произведение станет меньше величины ПРBaCO₃. Раствор окажется ненасыщенным относительно BaСO₃ и часть осадка BaСO₃ перейдет в раствор. При добавлении достаточного количества кислоты можно весь осадок перевести в раствор. Следовательно, растворение осадка начинается тогда, когда по какой-либо причине ионное произведение малорастворимого электролита становится меньше величины ПР. Для того, чтобы растворить осадок, в раствор вводят такой электролит, ионы которого могут образовывать малодиссоциированное соединение с одним из ионов труднорастворимого электролита. Этим объясняется растворение труднорастворимых гидроксидов в кислотах

Fe(OH)₃ + 3HCl ® FeCl₃ + 3H₂O
Ионы OH^— связываются в малодиссоциированные молекулы H₂O.

Таблица. Произведение растворимости (ПР) и растворимость при 25°С некоторых малорастворимых веществ

Произведение растворимости — это… Что такое Произведение растворимости?

Произведение растворимости (ПР, K_sp) — произведение концентраций ионов малорастворимого электролита в его насыщенном растворе при постоянной температуре и давлении. Произведение растворимости — величина постоянная.

При постоянной температуре в насыщенных водных растворах малорастворимых электролитов устанавливается равновесие между твердым веществом и ионами, образующими это вещество. Например, в случае для CaCO₃ это равновесие можно записать в виде:

Константа этого равновесия рассчитывается по уравнению:

В приближении идеального раствора с учётом того, что активность чистого компонента равна единице, уравнение упрощается до выражения:

Константа равновесия такого процесса называется произведением растворимости.

В общем виде, произведение растворимости для вещества с формулой A_mB_n, которое диссоциирует на m ионов Aⁿ⁺ и n ионов B^m-, рассчитывается по уравнению:

где [Aⁿ⁺] и [B^m-] — равновесные молярные концентрации ионов, образующихся при электролитической диссоциации.

Из произведений растворимости можно рассчитать концентрации катионов и анионов в растворе малорастворимого электролита. Значения произведений растворимости приведены в справочниках.

Произведение активностей

Данное уравнение не учитывает коэффициенты активности, то есть степень влияния ионных сил. Для растворов с концентрациями большими, чем 1·10⁻⁴ моль/л необходимо использовать произведение активностей:

где а_A и а_B — активности ионов A и B.

Произведение активностей ионов для насыщенных растворов малорастворимых электролитов при данной температуре постоянная величина. Она зависит от температуры и природы растворителя.

Произведение растворимости связано с растворимостью следующим соотношением:

где:

m+n — суммарное количество молей катионов и анионов

m — количество молей катиона

n — количество молей аниона

K_sp — произведение растворимости

S — растворимость вещества (моль/л)

Литература

• Д. Г. Кнорре, Л. Ф. Крылова, В. С. Музыкантов. Физическая химия, М.:»Высшая школа» 1990

Ссылки

Химиотерапия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Химиотерапи́я — лечение какого-либо инфекционного, паразитарного заболевания либо злокачественной опухоли (рака) с помощью препаратов как яд или токсин, губительно воздействующих на инфекционный агент — возбудитель заболевания, на паразитов или на клетки злокачественных опухолей при сравнительно меньшем отрицательном воздействии на организм больного. Яд или токсин при этом называется химиопрепаратом, или химиотерапевтическим агентом.

В отличие от фармакотерапии, в которой имеется всего два объекта — фармакологический агент (лекарство) и подвергаемый его воздействию организм больного, в процессе химиотерапии задействовано три объекта — химиотерапевтический агент, организм больного и подлежащий убиению паразит, инфекционный агент или клон злокачественных опухолевых клеток.

Отличаются и цели: целью фармакотерапии является коррекция тех или иных нарушений жизнедеятельности организма, восстановление или улучшение функций поражённых заболеванием органов и систем. Целью же химиотерапии является уничтожение, убийство или, по крайней мере, торможение размножения паразитов, инфекционных агентов или злокачественных клеток, по возможности с меньшим повреждающим действием на организм больного. Нормализация жизнедеятельности и улучшение функций поражённых органов и систем при этом достигаются вторично, как следствие уничтожения или ослабления причины, вызвавшей заболевание — инфекции, опухоли или паразитарной инвазии.

В соответствии с тем, на уничтожение чего направлена химиотерапия, выделяют:

Принятие других препаратов во время химиотерапии[править | править код]

Некоторые лекарства могут вступать в реакцию с препаратами, используемыми при химиотерапии. Врач должен изучить список всех лекарств, которые принимает пациент, прежде чем приступить к лечению. В такой список должны входить все принимаемые средства, в том числе витамины, препараты против аллергии и др., а также минеральные или растительные добавки.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Внеклассный урок — Арксинус

Арксинус  в переводе с латинского означает дуга и синус. Это обратная функция.

Говоря иначе:

Пример-пояснение:
Найдем arcsin 1/2.

Решение.
Выражение arcsin 1/2 показывает, что синус угла t равен 1/2 (sin t = 1/2).

Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:

точка 1/2, находящася на оси у,  соответствует точке π/6 на числовой окружности.
Значит, arcsin 1/2 = π/6.

Обратите внимание:

если sin π/6 = 1/2, то arcsin 1/2 = π/6.

То есть в первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором – наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.

Формулы.

(1)

 
(2)

                                                       √2
Пример 1: Вычислить arcsin (– ——).
                                                        2

Решение.

Решая пример, следуем буквально по таблице над нашим примером.

Итак:

           √2
а = – ——.
            2

                           √2
Тогда sin t = – ——, при этом t входит в отрезок [–π/2; π/2]
                            2

                        π
Значит t = – —— (входит в отрезок [–π/2; π/2])
                        4

                            √2            π
Ответ: arcsin (– ——) = – —
                             2             4

Акцентируем ваше внимание: синусом числа –π/4 является -√2/2, а арксинусом -√2/2 является –π/4. Движение в обратном порядке. Cинусом числа является точка на оси координат, а арксинусом – точка на числовой окружности.

                                                  √3
Пример 2: Вычислить arcsin ——
                                                   2

Решение.

                       √3
Пусть arcsin —— = t.
                        2

                        √3
Тогда sin t = ——.
                         2

Точка t находится в отрезке [–π/2; π/2]. Вычисляем значение t.

              √3
Число —— соответствует значению sin π/3, при этом π/3 находится в отрезке [–π/2; π/2].
              2

Значит:

t = π/3.

Итог:

            √3
arcsin —— = π/3.
             2

Пример решен.

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

\(\arcsin ⁡a=x\)     \(<=>\)     \(\sin ⁡x=a\)

Примеры:

\(\arcsin⁡{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{π}{4}\) потому что \(\sin ⁡\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}]\)
\(\arcsin ⁡1=\frac{π}{2}\) потому что \(\sin⁡\frac{π}{2}=1\) и \(\frac{π}{2}∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}]\)
\(\arcsin ⁡0=0\) потому что \(\sin ⁡0=0\) и \(0∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}] \)
\(\arcsin⁡\sqrt{3}\) – не определен, потому что \(\sqrt{3}>1\)

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от \(-\frac{π}{2}\) до \(\frac{π}{2}\) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) \(\arcsin⁡(-\frac{1}{2})\)
б) \(\arcsin⁡(\frac{\sqrt{3}}{2})\)
в) \(\arcsin(-1)\)

а) Синус какого числа равен \(-\frac{1}{2}\)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если \(\sin ⁡x=-\frac{1}{2}\), то чему равен \(x\)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между \(-\frac{π}{2}\) и \(\frac{π}{2}\). Ответ очевиден:

\(\arcsin⁡(-\frac{1}{2})=-\frac{π}{6}\)

б) Синус какого числа равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ \(\frac{π}{3}\).

\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{π}{3}\)

в) Синус от чего равен \(-1\)?
Иначе говоря, \(\sin ⁡x=-1\), \(x=\) ?

\(\arcsin⁡(-1)=-\frac{π}{2}\)

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{2}\).

Это не вызывает затруднений:

\( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{6}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{5π}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\).

Что тут будет ответом? Не \(\frac{π}{6}\), не \(\frac{π}{4}\), даже не \(\frac{π}{7}\) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\), потому что известно, что синус равен \(\frac{1}{3}\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin⁡\frac{1}{3}\).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{3}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{3}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) Без арксинусов решить уравнение \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\) не получилось бы. Как и уравнение \(\sin ⁡x=0,125\), \(\sin ⁡x=-\frac{1}{9}\), \(\sin⁡ x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только \(9\) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Решение:

Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров \(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}}\) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, получаем:

\(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}} = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{π}{4}\)

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac{π}{4}\).

Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{4}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{3π}{4}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{7}{6}\).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin \frac{7}{6}+2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin\frac{7}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) на ЕГЭ потеряет \(2\) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать \(\arcsin⁡\frac{7}{6}\)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен \(1\) и больше или равен \(-1\). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Ответ:   решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если \(\sin ⁡x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

\(\arcsin⁡({-a})=-\arcsin ⁡a\)

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Примеры:

\(\arcsin⁡(-0,7)=-\arcsin⁡ 0,7\)
\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\arcsin⁡\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{π}{6}\)
\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{7}}{2}) \neq -\arcsin⁡\frac{\sqrt{7}}{2}\)

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись \(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{7}}{2})\) в принципе неверна, ведь \(-\frac{\sqrt{7}}{2}<-1\), а значит арксинус от \(-\frac{\sqrt{7}}{2}\) взять нельзя – он не вычислим, не существует, точно также как \(\sqrt{-5}\) или \(\frac{3}{0}\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Решение:
Можно воспользоваться готовой формулой и написать:

\( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

\( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Но я фанатка круга, поэтому:

Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

На всякий случай, уточню, что при решении уравнений написанное синим писать не обязательно – это скорее пояснения, как надо рассуждать.

Смотрите также:
Синус
Тригонометрические уравнения

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Вычислите косинус арктангенса из 5.

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

Вычислить синус арккосинуса 12.

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций — косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:

sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог — формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

1. sinα=1-cos2α, 0≤α≤π

Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

2. sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,

Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

3. sinα=11+ctg2α, 0<α<π

Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

1. Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что

cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2

2. Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
3. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
2. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).

3. Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1

Формула выражения арктангенса:

arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π

В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin2α2=1-cosα2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sinα2=1-cosα2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

arccosα2=arcsin1-α2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:

arcsin x = sin^-1 x = y

Примечание: sin^-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin^-1 1 = 90° (π/2 рад)

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Таблица арксинусов

microexcel. ru

Обратные тригонометрические функции.

Алгебра. 10 класс. Глава VI. Тест 1.

Вариант I.

1. Вычислите:

2. Вычислите: arcsin (-0,5).

3. Вычислите: 2 arccos(-1).

A) π;  B) 3π;  C) 4π;  D) 2π.

4. Вычислите:

5. Найдите значение выражения:

A) 0,5;   B) 1;  C)  0;  D)  -1.

6. Найдите значение выражения:

7. Вычислите:

A) -1;    B) 0;   C) 1;    D) π.

8.  Вычислите:

A) -1;  B) 0;  C) 1;  D) 0,5.

9.Вычислите:

10. Найдите значение выражения: sin(arccos 0,6).

A) 0,8;  B)  0,6;  C)  1,25;  D)  1.

11. Вычислить: sin(2arccos 0,8).

A) 0,8;  B) 0,6;  C) 0,96;  D) 0,48.

12. Вычислить:

Вариант II.

1. Вычислите:

2. Вычислите:

3. Вычислите: 4 arcsin(-1).

A) -2π; B) 3π ; C) -4π ; D) 2π.

4. Вычислите:

5. Найдите значение выражения:

A) 0,5; B) 1; C) 0; D) -1.

6. Найдите значение выражения:

cos(arccos0,4).

A) 0,5; B) 0,4; C) 0,6; D) 0.

7. Вычислите:

A) -1; B) 0; C) 1; D)  π.

8. Вычислите:

A) 3; B) 2; C) 1; D) 0.

9. Вычислите:

A) -1; B) 1; C) 0; D)  π/3.

10. Найдите значение выражения: cos(arcsin 0,8).

A) 0,8;  B)  0,6;  C)  1,25;  D) 1.

11. Вычислить: sin(2arccos 0,6).

A) 0,8; B) 0,6; C) 0,96; D) 0,48.

12. Вычислить:

A) -5; B) 12; C) 5; D)  π/6.

Сверить ответы.

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.

π = 180°;  π/2 = 90°;  π/3 = 60°;  π/4 = 45°;  π/6 = 30°.

Обратные тригонометрические функции.

1) Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-  π/2; π/2], синус которого равен а. Примеры:

а) arcsin ( 1/2) = π/6, так как sin(π/6) = 1/2;

б) arcsin(-1/2  ) =- π/6 , т. к. sin(-π/6 )= — sin(π/6) = — 1/2.

arcsin(-a)=- arcsin a.

2) Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка [0; π], косинус которого равен а. Примеры:

а) arccos( 1/2) = π/3, так как cos (π/3) = 1/2;

б) arccos(-1/2)= 2π/3, так как cos (2π/3) =cos(π — π/3) = — cos (π/3)=-  1/2.

arccos(-a) = π–arccosa.

3) Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (- π/2; π/2), тангенс которого равен а.

Примеры: а) arctg 1 = π/4, так как tg π/4 = 1;

б) arctg(-1)= — π/4, так как tg(- π/4)= — tg π/4 = — 1.

arctg(-a)=- arctg a.

4) Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

Примеры: а) arcctg 1 = π/4, так как ctg (π/4) = 1;

б) arcctg(-1)= 3π/4, так как ctg (3π/4) = ctg(π –  π/4) = — ctg (π/4)= -1.

arcctg(-a) = π–arcctg a.

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов.

  Метки: алгебра 10 класс, тригонометрические формулы

Арксинус, формула, график функции арксинус, урок и презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать: Тригонометрические уравнения. Арксинус (PPTX)

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С

---

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
5. Таблица значений арксинуса.
6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Таблица значений арксинуса

Таблица значений синуса

Таблица значений арксинуса

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2 ) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2 )= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1)ⁿ — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2. Тригонометрия

— Решение $ \ arcsin (1-x) -2 \ arcsin (x) = \ pi / 2 $ — Обмен математическими стеками Тригонометрия

— Решение $ \ arcsin (1-x) -2 \ arcsin (x) = \ pi / 2 $ — Обмен стеками математики

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 7 лет, 3 мес назад

Просмотрено 4к раз

$ \ begingroup $

\ begin {eqnarray *} \ arcsin (1-x) -2 \ arcsin (x) & = & \ frac {\ pi} {2} \\ 1-x & = & \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} +2 \ arcsin (x) \ right) \\ & = & \ cos \ left (2 \ arcsin (x) \ right) \\ & = & 1-2 \ left (\ sin \ left (\ arcsin (x) \ right) \ right) ^ {2} \\ & = & 1-2x ^ {2} \\ х & = & 2x ^ {2} \\ x \ left (x- \ frac {1} {2} \ right) & = & 0 \ end {eqnarray *}

Итак, $ x = 0 $ или $ x = \ frac {1} {2} $

.

Но путтиг $ x = \ frac {1} {2} $ в исходном выражении дает $ — \ frac {\ pi} 4 \ ne \ frac \ pi 2 $

Итак, , почему мы получаем в качестве ответа $ x = -1 / 2 $?

Создан 27 фев.

пользователь80551

54988 серебряных знаков1818 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

На первом этапе вы добавили дополнительное решение.

Так как $ \ arcsin x $ должно быть меньше $ \ pi / 2 $, первая строка гласит: $$ \ arcsin (1-x) = \ frac {\ pi} {2} +2 \ arcsin (x) \ le \ frac {\ pi} {2} $$ Таким образом, и $ x \ le 0 $.

Теперь, взяв $ \ sin $ с обеих сторон, вы взяли функцию, которая была определена только до $ x = 1 $ (например, $ \ arcsin (x-1) $), и расширили ее на все действительные числа (например, $ х-1 $). Здесь вы добавили дополнительное решение.

Создан 27 фев.

nbubisnbubis

31.2}} — \ frac {1} {\ sqrt {(2-x) x}} $$ всегда отрицательно (с бесконечными ветвями при $ x = 0 $ и $ x = 1 $). Для $ x = 0 $, $ f (0) = 0 $ и поскольку функция уменьшается, у вас не может быть никакого корня, кроме $ x = 0 $ (помните, что $ f (x) $ определен только для [$ 0

Создан 27 фев.

Клод ЛейбовичиКлод Лейбовичи

191k5151 золотой знак8181 серебряный знак173173 бронзовых знака

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

как $ \ displaystyle \ sin \ left (\ frac \ pi2 \ pm A \ right) = \ cos A, $

$ \ displaystyle \ sin \ left (\ frac \ pi2 \ pm2 \ arcsin x \ right) = \ cos (2 \ arcsin x) = 1-2 \ left [\ sin (\ arcsin x) \ right] ^ 2 = 1-2x ^ 2

долларов США

Итак, $ \ displaystyle x = \ frac12 $ соответствует $ \ displaystyle \ arcsin (1-x) +2 \ arcsin x = \ frac \ pi2 $ as $ \ displaystyle \ arcsin \ frac12 = \ frac \ pi6 $

.

Создан 27 фев.

лаборатория бхаттачарджилаб бхаттачарджи

265k1717 золотых знаков1 серебряных знаков304304 бронзовых знака

$ \ endgroup $ 6 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Калькулятор

Arcsin. Нахождение обратной функции синуса.

С помощью этого калькулятора арксинуса (или калькулятора обратного синуса) у вас не будет проблем с поиском арксинуса в вашей задаче.Просто введите значение синуса для треугольника, и появится нужный угол. Единственное, что вам нужно запомнить, это ограниченная область арксинуса (−1 ≤ sine ≤ 1). Если вам интересно, , что такое арксинус или , как выглядит график arcsin x , не ждите больше — прокрутите вниз, и вы найдете ответы ниже! Мы также включили короткий абзац об отношениях арксинусов, таких как отношения между интегралом арксинуса и производной. И так, чего же ты ждешь?

Что такое арксинус?

Арксинус — это функция, обратная синусоиде. Другими словами, это помогает найти угол треугольника, который имеет известное значение синуса. Поскольку область синуса для действительных чисел равна [-1, 1], мы можем вычислить арксинус только для чисел в этом интервале.

Синус — периодическая функция, поэтому существует несколько чисел, которые имеют одинаковое значение синуса. Например, sin (0) = 0, но также sin (π) = 0, sin (2π) = 0, sin (-π) = 0 и sin (-326π) = 0. Следовательно, если кто-то хочет вычислить arcsin ( 0), ответ может быть 0, 2π (360 °) или -π (-180 °), и это лишь некоторые из вариантов! Все они верны, но обычно мы даем только одно число, называемое основным значением .

Сокращение	Определение	Домен arcsin x для реального результата	Диапазон обычных основных значений
arcsin (x) sin -1 x, asin	х = грех (у)	-1 ≤ х ≤ 1	-π / 2 ≤ y ≤ π / 2 -90 ° ≤ y ≤ 90 °

Arcsin (x) — наиболее распространенное обозначение, поскольку sin ^-1 x может привести к путанице (потому что sin ^-1 x ≠ 1 / sin (x)).Аббревиатура asin обычно используется в языках программирования.

График arcsin x

Поскольку синус основной функции не является взаимно однозначным, ее область должна быть ограничена, чтобы гарантировать, что арксинус также является функцией. Обычно выбирается область -π / 2 ≤ y ≤ π / 2. Это означает, что диапазон обратной функции будет равен диапазону основной функции; таким образом, диапазон функции arcsin равен [−π / 2, π / 2], а область arcsine находится между [−1,1]. Ниже вы можете найти график arcsin (x), а также некоторые часто используемые значения арксинуса:

x	arcsin (x)		График
	°	рад
-1	-90 °	-π / 2	Компьютерщик 3, CC BY-SA 4.0 через Wikimedia Commons
-√3 / 2	-60 °	-π / 3
-√2 / 2	-45 °	-π / 4
-1/2	-30 °	-π / 6
0	0 °	0
1/2	30 °	π / 6
√2 / 2	45 °	π / 4
√3 / 2	60 °	π / 3
1	90 °	π / 2

Хотите знать, откуда взялся этот граф arcsin x? Его можно найти, отразив график sin (x) в диапазоне [-π / 2 π / 2] через линию y = x:

Jaro.p CC BY-SA 3.0, через Wikimedia Commons

Обратный синус, тригонометрические функции и другие отношения

Связь между тригонометрическими функциями и арксинусом может помочь вам еще лучше понять тему. Прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 — хорошая отправная точка.

Просто быстрое напоминание: для прямоугольного треугольника функция синуса принимает угол θ и возвращает отношение противоположности / гипотенузы, которое равно x в нашем примерном треугольнике.Функция обратного синуса, арксинус, принимает отношение противоположности / гипотенузы (x) и возвращает угол θ. Итак, зная, что для нашего треугольника arcsin (x) = θ, мы также можем записать, что:

• Синус: sin (arcsin (x)) = x
• Косинус: cos (arcsin (x)) = √ (1-x²)
• Касательная: tan (arcsin (x)) = x / √ (1-x²)

Другие полезные отношения с арксинусом:

• arcsin (x) = π / 2 - arccos (x)
• arcsin (-x) = -arcsin (x)

Иногда также нужны интеграл и производная от arcsin:

• интеграл от arcsin: arcsin (x) dx = x arcsin (x) + √ (1 - x²) + C

• производная от arcsin: d / dx arcsin (x) = 1 / √ (1 - x²) где x ≠ -1, 1

Пример использования калькулятора arcsin

Арксинус — полезная функция e.грамм. в нахождении угла прямоугольного треугольника. Если вы ищете углы в прямоугольном треугольнике и знаете длины сторон, хорошо известная теорема Пифагора не будет столь полезной. Чтобы найти углы прямоугольного треугольника, нужно применить арксинус:

.

• для α: sin (α) = a / c, поэтому α = arcsin (a / c)
• для β: sin (β) = b / c, поэтому β = arcsin (b / c)

Итак, предположим, что у нас есть два значения, заданные в прямоугольном треугольнике, a = 6 и c = 10, и мы хотели бы найти значение угла α:

1. Введите значение, по которому вы хотите найти арксинус .В нашем случае это 6/10. Таким образом, вы можете ввести значение 0,6, но форма 6/10 также будет работать. Просто помните, что значение должно быть от -1 до 1.
2. И … все! Калькулятор arcsin выполнил свою работу, и вы нашли арксинус своего значения . Теперь вы знаете, что арксинус (6/10) = 36,87 °

Отлично! Теперь, когда вы понимаете, что такое арксинус, может быть, вы захотите познакомиться с более продвинутыми приложениями тригонометрии? Например, закон синусов (тесно связанный с законом косинусов) является обязательным при решении задач треугольника.

Калькулятор арксинуса — вычисляет арксинус (x)

Используйте этот калькулятор арксинуса, чтобы легко вычислить арксинус числа. Онлайн-инструмент для вычисления арксинуса с выводом в градусах или радианах. Поддерживает ввод десятичных чисел (0,5, 6, -1 и т. Д.) И дробей (1/4, 2/3, 4/3, 1/3 и т. Д.).

Функция арксинуса

Арксинус является одной из обратных тригонометрических функций (антитригонометрических функций) и является обратной функцией синуса. Иногда его записывают как sin ^-1 (x), но этого обозначения следует избегать, так как его можно спутать с обозначением экспоненты (степень, возведенная в степень).Арксинус используется для получения угла из тригонометрического отношения синуса, которое представляет собой отношение между стороной, противоположной углу, и самой длинной стороной треугольника.

Диапазон значений функции от -1 до 1, как и результаты нашего калькулятора arcsin. Диапазон значений угла обычно составляет от -90 ° до 90 °. Существует ряд правил arcsin, например sin (arcsin (x)) = x или arcsinα + arcsinβ = arcsin (α√ (1-β ² ) + β√ (1-α ² )) , а также косинус арксинуса: cos (arcsin (x)) = sin (arccos (x)) = √ (1-x ² ), который может помочь вам в исчислении тригонометрии.

Как вычислить арксинус числа?

Самый простой способ вычислить его — использовать наш калькулятор arcsin, описанный выше, который будет выводить результаты как в градусах, так и в радианах. Другие способы включают другую заданную информацию, такую ​​как значения других тригонометрических функций для того же угла или других углов в том же треугольнике.

Вот таблица общих значений arcsin:

Общие значения функции arcsin

x	arcsin (x) (°)	arcsin (x) (рад.)
-1	-90 °	-π / 2
-√3 / 2	-60 °	-π / 3
-√2 / 2	-45 °	-π / 4
-1/2	-30 °	-π / 6
0	0 °	0
1/2	30 °	π / 6
√2 / 2	45 °	π / 4
√3 / 2	60 °	π / 3
1	90 °	π / 2

π — это, конечно, математическая константа, примерно равная 3.14159.

Использование арксинуса для нахождения угла

Для прямоугольного треугольника на рисунке ниже с известной длиной стороны a = 52 и гипотенузы c = 60 можно использовать функцию обратного косинуса arcsin, чтобы найти угол α в точке A.

Сначала вычислите синус α, разделив противоположную сторону на гипотенузу. Это приводит к sin (α) = a / c = 52/60 = 0,8666. Используйте обратную функцию с этим результатом, чтобы вычислить угол α = arcsin (0.8666) = 60 ° (1,05 радиана).

Производные обратных тригонометрических функций

Введение в обратные тригонометрические функции

В предыдущем разделе мы изучили производные шести основных тригонометрических функций:

\ [{\ color {blue} {\ sin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ cos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ tan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ cot x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ sec x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ csc x. \;} \]

В этом разделе мы рассмотрим производные обратных тригонометрических функций, которые соответственно обозначаются как

.

\ [{\ color {синий} {\ arcsin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ arccos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ arctan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ text {arccot} x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ text {arcsec} x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ text {arccsc} x.\;} \]

Обратные функции существуют, когда на область определения исходных функций накладываются соответствующие ограничения.

Например, домен для \ (\ arcsin x \) составляет от \ (- 1 \) до \ (1. \) Диапазон или выход для \ (\ arcsin x \) — все углы от \ (- \ большие {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) в \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) радианы.

Области других тригонометрических функций ограничены соответствующим образом, так что они становятся взаимно однозначными функциями, и их обратные функции могут быть определены.2} — 1}}}.}
\]

В последней формуле абсолютное значение \ (\ left | x \ right | \) в знаменателе появляется из-за того, что произведение \ ({\ tan y \ sec y} \) всегда должно быть положительным в диапазоне допустимых значений \ (y \), где \ (y \ in \ left ({0, {\ large \ frac {\ pi} {2} \ normalsize}} \ right) \ cup \ left ({{\ large \ frac {\ pi} {2} \ normalsize}, \ pi} \ right), \) то есть производная обратной секущей всегда положительна. 2} \]

Пример 4

\ [y = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} \]

Пример 5

\ [{y = \ arctan \ frac {{x + 1}} {{x — 1}} \; \;} \ kern-0.4}}}.} \]

Обратные тригонометрические функции — Разделы тригонометрии

Темы | Дом

19

Диапазон y = arcsin x

Диапазон y = arctan x

Диапазон y = arccos x

Диапазон y = arcsec x

sin ⁻¹ x .Обратный синус

Обратные отношения

УГЛЫ в исчислении будут в радианах. Таким образом, если нам, например, задан радианный угол, мы можем вычислить его функцию.

(Тема 13.)

И наоборот, если нам дано, что значение синусоидальной функции равно ½, тогда задача состоит в том, чтобы назвать угол радиана x .

sin x = ½.

«Синус какого угла равен ½?»

Однако мы пишем: Оценить

arcsin ½

«Угол , синус которого равен & frac12.«

Функция

y = arcsin x

называется функцией, обратной

.

y = sin x .

arcsin x — это угол , синус которого равен числу x .

Строго говоря, arcsin x — это дуга arc , синус которой равен x . Потому что в единичном круге длина этой дуги является мерой в радианах.Тема 14.

Итак, есть много углов, у которых синус равен ½. Это будет любой угол, которому соответствует острый угол. Следовательно, мы должны ограничить диапазон значений этого угла y = arcsin x — так, чтобы он фактически был функцией; так что он будет однозначным.

Как мы это сделаем? Мы ограничим их теми углами, которые имеют наименьшее абсолютное значение.

Они называются главными значениями y = arcsin x .

Таким образом,

arcsin ½ =.

Угол первого квадранта — это угол с наименьшим абсолютным значением, синус которого равен ½.

Пример 1. Вычислить arcsin (−½).

Решение. Углы с отрицательными синусами попадают в 3-й и 4-й квадранты. Угол наименьшего абсолютного значения попадает в 4-й квадрант между 0 и -.

Угол, синус которого равен — x , является просто отрицательной величиной угла, синус которого равен x .

arcsin (−½) = −arcsin (½) = -.

Тогда диапазон функции y = arcsin x будет углами, которые попадают в 1-й и 4-й квадранты, между — и.

Углы с положительными синусами будут углами 1-го квадранта. Углы с отрицательными синусами попадут в 4-й квадрант.

Ограничение диапазона arcsin x эквивалентно ограничению домена sin x теми же значениями.Так будет со всеми последующими ограниченными диапазонами.

sin ⁻¹ x . Обратный синус

Другое обозначение для arcsin x — sin ⁻¹ x . Прочтите: «Обратный синус x ». −1 здесь , а не показатель степени. (См. Тему 19 Precalculus.)

Задача 1. Вычислите следующее в радианах.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

a) sin ⁻¹ 0 = 0. (Тема 15.)

б) sin ⁻¹ 1 = π / 2. (Тема 15.)

в) sin ⁻¹ (−1) = −π / 2. (Тема 15.)

−π / 3.

−π / 6.

Каждой тригонометрической функции соответствует ее обратная функция.

arcsin x ,

arccos x ,

арктан х ,

arccsc x ,

угловых секунды x ,

arccot ​​ x .

В каждом из них нам дается значение x тригонометрической функции.Мы должны назвать угол радиана , который имеет это значение.

В каждом случае мы должны ограничить его диапазон, чтобы функция была однозначной.

Диапазон y = arctan x

Как y = arcsin x , y = arctan x имеет наименьшие абсолютные значения в 1-м и 4-м квадрантах.

Обратите внимание, что y — угол , тангенс которого равен x — должен быть больше — и меньше чем.Поскольку при этих углах квадранта касательная не существует. (Тема 15.)

Углы, тангенсы которых положительны, будут углами 1-го квадранта. Углы с отрицательными касательными попадают в 4-й квадрант.

То же самое, что и с arcsin (- x ).

Угол, тангенс которого равен — x , является просто отрицательной величиной угла, тангенс которого равен x .

Проблема 2. Оцените следующее.

Диапазон y = arccos x

Пример 2.Оцените arccos ½.

Проблема 3. Почему это не так?

arccos (−½) = -.

— угол 4-го квадранта. А в 4-м квадранте косинус положительный.

Урок 15.

Угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й квадрант, где он будет иметь наименьшее абсолютное значение. (Тема 15.)

Косинус угла 2-го квадранта является отрицательной величиной косинуса соответствующего острого угла, который является его дополнением.

Другими словами:

Угол θ, косинус которого равен — x , является дополнением
к углу, косинус которого равен x .

arccos (- x ) = π — arccos x .

Пример 3. Вычислите arccos (−½).

Решение . Мы видели:

arccos ½ =.

Следовательно, arccos (−½) является дополнением к углу, к которому мы должны прибавить π.

+ θ = π.

Теперь это одна треть числа π. Следовательно, его добавка будет двух-

третей числа π:.

θ = arccos (−½) =.

Тогда диапазон y = arccos x будет от 0 до π.

Угол, косинус которого положителен, будет углом 1-го квадранта; угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й угол. Будет дополнением угла 1-го квадранта.

Проблема 4. Оцените следующее.

*

Обратное соотношение выглядит следующим образом:

arccos x = θ тогда и только тогда, когда x = cos θ.

Например,

В общем, так и есть.

Проблема 5.

a) arctan t = β тогда и только тогда, когда t = tan β.

б) arcsec u = α тогда и только тогда, когда u = sec α.

c) arccos 1 = 0 тогда и только тогда, когда 1 = cos 0.

Диапазон y = arcsec x

В исчислении наиболее важными обратными тригонометрическими функциями являются sin ⁻¹ x , tan ⁻¹ x и cos ⁻¹ x .Тем не менее, вот диапазоны, делающие остальные однозначными.

Если x положительно, то значение обратной функции всегда является углом первого квадранта, или 0. Если x отрицательно, значение обратной будет попадать в квадрант, в котором прямая функция отрицательна. Таким образом, если x отрицательно, arcsec x попадет во 2-й квадрант, потому что именно там sec x отрицательно.

Единственная обратная функция ниже, в которой x может быть 0, — это arccot ​​ x .arccot ​​0 = π / 2.

Опять же, мы ограничиваем значения y теми углами, которые имеют наименьшее абсолютное значение.

Обратные отношения

Если поставить

f ( x ) = sin x

и

г ( x ) = arcsin x ,

, то согласно определению обратных функций (Тема 19 Precalculus):

f ( g ( x )) = x и g ( f ( x )) = x .

sin (arcsin x ) = x и arcsin (sin x ) = x .

В частности, если

Взяв обратную функцию обеих сторон, мы извлекли или освободили аргумент x . (См. Тему 19 Precalculus, Извлечение аргумента.) Это позволяет нам решать многие тригонометрические уравнения.

Пример 4. Решите относительно x :

Решение .Взяв обратную функцию — синус — с обеих сторон, мы можем освободить аргумент x — 1 и сразу записать —

Следовательно,

Задача 6. Решите для x :

загар ( x + 2) = 1.

Задача 7. Решите для x :

cos x ² = -1.

x ² = arccos −1 = π.

х = ±.

Задача 8. Решите для x :

Теорема. Если

y = arcsec x ,

, затем продукт

сек y tan y никогда не бывает отрицательным.

Например, если y = arcsec x , то угол y попадает либо в первый, либо во второй квадрант. Когда угол y попадает в первый квадрант, то значения sec y и tan y положительны.Следовательно, их продукт положительный.

Когда угол y попадает во второй квадрант, sec y и tan y оба отрицательны, так что их произведение снова положительно.

Если y = 0, то tan y = 0, следовательно, произведение sec y tan y равно 0.

Следовательно, этот продукт никогда не бывает отрицательным.

(Эта теорема упоминается в доказательстве производной от y = arcsec x .)

Следующая тема: Тригонометрические идентификаторы

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Тригонометрическая функция arcsin () — обратный синус — определение математического слова

Функция arcsin — это функция, обратная синусоиде.
Возвращает угол, синус которого является заданным числом.

Для каждой тригонометрической функции существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. (На некоторых калькуляторах кнопка arcsin может быть помечена как asin, а иногда грех ^-1 .) Итак, обратное к греху — это arcsin и т. Д. Когда мы видим «arcsin A», мы понимаем его как «угол, грех которого равен A».

Пример — использование arcsin для нахождения угла

На рисунке выше нажмите «Сброс». Нам известны длины сторон, но нам нужно найти величину угла C.
Мы знаем, что поэтому нам нужно знать угол, грех которого равен 0.5, или формально: Используя калькулятор, чтобы найти arcsin 0,5, мы находим, что это 30 °.

Большие и отрицательные углы

Напомним, что мы можем применить триггерные функции на любой угол, включая большие и отрицательные углы. Но когда мы Рассмотрим обратную функцию, мы столкнемся с проблемой, потому что существует бесконечное количество углов, которые имеют один и тот же синус. Например, 45 ° и 360 + 45 ° будут иметь одинаковый синус. Подробнее об этом см. Обратные тригонометрические функции.

Чтобы решить эту проблему, диапазон обратных триггерных функций ограничены таким образом, чтобы обратные функции были взаимно однозначными, то есть для каждого входного значения был только один результат.

Диапазон и домен arcsin

Напомним, что область определения функции — это набор допустимых входных данных для нее. Диапазон — это набор возможных выходов.

Для y = arcsin x:

По соглашению диапазон arcsin ограничен от -90 ° до + 90 °. Итак, если вы используете калькулятор для решения, скажем, arcsin 0,55, из бесконечного числа возможностей он вернет 33,36 °, тот, который находится в диапазоне функции.

Что попробовать

1. На рисунке выше нажмите «сбросить» и «скрыть детали».
2. Отрегулируйте треугольник до нового размера
3. Используя функцию arcsin, вычислите значение угла C из длин сторон
4. Щелкните «Показать подробности», чтобы проверить ответ.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

кол-во номеров.arcsin — NumPy v1.20 Manual

Обратный синус, поэлементно.

Параметры

x array_like

y — координата на единичной окружности.

из ndarray, None или кортеж из ndarray и None, необязательно

Местоположение, в котором сохраняется результат. Если предусмотрено, он должен иметь форма, которой транслируются входы. Если не указано или Нет, возвращается только что выделенный массив.Кортеж (возможно только как аргумент ключевого слова) должен иметь длину, равную количеству выходов.

, где array_like, необязательно

Это условие транслируется по входу. В местах, где Условие равно True, массив out будет установлен на результат ufunc. В другом месте массив из сохранит свое исходное значение. Обратите внимание, что если неинициализированный массив из создается по умолчанию out = None , местоположения в нем, где условие False будет оставаться неинициализированным.

** kwargs

Другие аргументы, содержащие только ключевые слова, см. ufunc docs.

Возвращает

angle ndarray

Обратный синус каждого элемента в x , в радианах и в закрытый интервал [-pi / 2, pi / 2] . Это скаляр, если x — скаляр.

Банкноты

arcsin — многозначная функция: на каждые x приходится бесконечно много чисел z таких, что.Конвенция заключается в вернуть угол z , действительная часть которого лежит в [-pi / 2, pi / 2].

Для типов входных данных с действительным знаком arcsin всегда возвращает действительный вывод. Для каждого значения, которое не может быть выражено действительным числом или бесконечностью, он дает нан и устанавливает флаг ошибки с плавающей запятой недопустимый .

Для входных комплексных значений arcsin — это комплексная аналитическая функция, которая по соглашению ветвь разрезает [-inf, -1] и [1, inf] и является сплошной сверху на первом и снизу на втором.{-1}.

Список литературы

Абрамовиц М., Стегун И. А., Справочник по математическим функциям , 10-е издание, Нью-Йорк: Довер, 1964, стр. 79 и далее. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/

Примеры

 >>> np.arcsin (1) # pi / 2
1,5707963267948966
>>> np.arcsin (-1) # -pi / 2
-1,5707963267948966
>>> np.arcsin (0)
0,0
 

Плагины комментариев WordPress — 8 лучших модулей

Привет друзья! Давненько я не писал статьи про создание и настройку блога. Постепенно буду исправляться, поэтому сегодня вам расскажу о том, какие плагины комментариев на wordpress необходимо использовать, чтобы улучшить комментирование блога.

Приведу пример тех модулей, которые были употреблены ранее и которые используются по сей день на блоге seoslim.ru.

Последние новости…

Новость 1. Много времени уделяю своему новому увлечению в сети, которое связано с созданием сайтов (сателлитов) предназначенных для заработка в бирже ссылок Sape, каждый день изучаю горы информации и провожу собственные эксперименты.

Как появятся первые результаты, обязательно об этом напишу, главное не пропустите.

Новость 2. В разделе «Услуги» я сделал очередное обновление. Теперь все желающие могут заказать за копейки анализ сайтов на ТРАСТ и СПАМ. Эта услуга пригодится тем, кто хочет покупать качественные ссылки с других площадок.

Роль комментариев на сайте

Прежде чем продолжить давайте зайдем к вопросу комментирования издалека, скажите все ли вы делаете, чтобы на ваших площадках активно дискутировали посетители, обсуждаю статью и задавая вопросы по ней? Лично я все стараюсь для этого делать, ведь здесь одни только плюсы:

— поведенческие факторы улучшаются;

— позиции сайта растут;

— трафик увеличивается;

— заработок становится больше.

Как-то я уже поднимал противоположную тему «Как убрать комментарии на wordpress» советую прочитать эту статью, где рассказал, как в настройках блога выключить данную функцию.

Конечно, так делать нужно тем, кто создает одностраничники, для продажи товаров или услуг, а также подойдет тем, у кого сайты, созданные для рекламы.

Зато тем, у кого блоги, комментирование обязательно должно быть и вы все должны сделать, чтобы посетители, как можно больше оставляли сообщений.

Подумайте сами, как читатели будут высказывать свое мнение по поводу ваших статей, как смогут похвалить автора или задать собственный вопрос? Для этого и существует специальная форма, расположенная обычно после всех постов.

Лично я заметил, что комментарии хорошо влияют на личностный рост любого блоггера. Когда автор пишет полезный и интересный материал, удовлетворяющий всем потребностям его аудитории, то его будут только благодарить за работу, в результате чего самооценка становится выше «плинтуса», а уверенность в себе только растет.

Теперь посмотрите обратную сторону, когда автора начинают ругать или критиковать. В таком случае можно сделать вывод, что в следующий раз нужно изменить подачу материала и не допускать подобных ошибок.

Делая вывод можно сказать, что комментирование сайтов дополняет статьи, помогает их обновлению и налаживает связь между автором и посетителями.

Например, когда я захожу на любой понравившийся блог и вижу под анонсами статей количество оставленных сообщений равное 0, понимаю что это мертвый блог, у которого пока еще нет своей аудитории, и мне такие статьи не очень интересно читать.

Подборка плагинов для комментирования wordpress сайтов

Далее я расскажу все фишки, которые помогут посетителям охотнее высказывать свое мнение на счет ваших статей, ведь нередко для этого их приходится подтолкнуть.

Russify Comments Number — этот плагин склоняет слово «комментарий» по всем правилам русского языка. Например, «19 комментариев», «3 комментария» и так далее.

Скачиваем модуль, далее его нужно установить и активировать, больше никаких настроек делать не нужно.

TinyMCEComments — данный плагин добавляет в форме для оставления сообщений визуальный редактор, который позволяет выделять текст жирным, курсивом, оставлять ссылки и т.д.

Плагин можете скачать здесь. Как и предыдущий плагин кроме активации больше ничего делать не нужно. Этот модуль я больше не использую, потому что моя тема wordpress с ним конфликтует и выдает ошибку.

Qip Smiles — плагин позволяет добавлять в комментарии различные смайлики. Рекомендую прочитать статью по установке и настройке смайлов «Устанавливаем смайлы на сайте с плагином и без».

Сейчас я вывожу смайлики без этого плагина, так как забочусь о скорости загрузки блога и удобства посетителей.

Highlight Author Comments — плагин, позволяющий выделять высказывания автора другим цветом. Очень удобно посетителям искать ответы автора на их вопросы.

Скачать плагин можно по этой ссылке. После установки нужно будет перейти в настройки плагина и задать в отдельном окне цвет фона, размер шрифта, отступы и рамку.

Недавно в статье «Оформление комментариев автора» я этот плагин заменил PHP кодом, чтобы не создавать лишнюю нагрузку на блог.

Easy Gravatar — этот плагин позволяет выводить в комментариях аватарки. Лично я им не пользовался, так как в мою тему wordpress эта функция встроена автоматически. Скачать его можно вот здесь.

Мне только пришлось прикрепить к почтовому ящику свою аватарку, для того чтобы она отображалась в отзывах на всех ресурсах. Как это сделать можете узнать из статьи «Как создать аватар в комментариях на всех сайтах».

Subscribe to comments — плагин позволяет посетителям подписываться на сообщения к статьям. Рекомендую его к установке всем.

После установки и активации нужно перейти в раздел настроек и отредактировать поля «От», указав имя и адрес отправителя уведомлений.

Comment Redirect + Exclude Pages from Navigation — этот два плагина wordpress, работающие в паре. Первый перенаправляет посетителя оставившего первый комментарий вот на такую страницу. А второй запрещаете показа этой страницы в разделе меню блога и в карте сайта.

Скачать Comment Redirect можете по этой ссылке. После установки и активации создаете обычную страницу, в которой будите благодарить посетителей за первый отзыв к посту.

Далее переходите в настройки плагина и выбираете из выпадающего списка ту страницу, на которую и будет перенаправляться посетитель.

Для того чтобы эта страница не была видна другим пользователям в карте блога, а также в меню, необходимо установить плагин Exclude Pages from Navigation. Скачать его можете здесь.

После установки и активации вы должны обратить внимание, что теперь при создании или редактировании любой страницы появится вот такой виджет.

Теперь если вы снимите галочку в форме «Exclude Pages», тогда эта страница не будет отображаться в меню навигации. Таким образом, можно исключать любые страницы. Очень подробно, как сделать страницу «Спасибо за комментарий» читайте по ссылке.

Плагин комментариев Вконтакте для WordPress

Для того чтобы установить связь с посетителями по максимум можно использовать в качестве формы комментариев виджет от Вконтакте. Посмотрите, как это реализовано у меня перед основной формой комментирования.

Плюсы:

• Простота в установке.
• Удобное редактирование комментариев.
• Защита от спама.

Минусы:

• Комментарии публикуются без модерации админом.
• Не индексируются ПС, так как хранятся на сервисе Вконтакте.

Более подробно о том, как установить и настроить виджет комментариев Вконтакте на wordpress я рассказал в этой статье.

Ну и в заключении хотелось бы вам еще сказать об одном способе, который подталкивает посетителя, чтобы тот высказал свое мнение — это МОТИВАЦИЯ.

Для этого мною было создано:

Признание. В сайдбаре у меня есть виджет, в котором располагаются лучшие комментаторы за месяц со ссылкой на их ресурс.

Это хороший способ комментирующему привлечь к себе внимание и трафик, так как посещаемость у меня большая, и каждый посетитель видит этот топ.

Конкурс. Например, я раз в месяц награждаю самого активного посетителя денежным призом.
Более подробно об этом я рассказывал в статье «Правила комментирования + КОНКУРС».

В очередной раз побеждает Надежда Суптеля (uspehmoney.ru). Прошу вас прислать мне на почту свои реквизиты WMR для вручения денежного приза.

Подарок. Все те, кто оставляет первый комментарий получают от меня специальный подарок в виде классной книги. Скачать ее можно только на странице «Спасибо за первый комментарий на блоге!», на которую посетитель автоматически перенаправляется после оставленного отзыва.

Я не заставляю повторять вас за мной. Вы можете придумать какие-то свои фишки, заставляющие людей активно комментировать ваши посты, будьте оригинальными.

На этом у меня все. Буду признателен, если вы понажимаете на кнопки социальных сетей под статьей и расскажите, какими способами вы заставляете своих посетителей охотней высказывать мнение. Жду ваших комментариев. Пока!

Вывод комментариев в виджете | WordPress.org Русский

(@perdyllo)

чтобы после автора выводился текст комментария. Для этого нужно скачивать плагин?

Именно так
https://ru.wordpress.org/plugins/search/Comments+Widget/

Понял. Спасибо. Буду выбирать плагин.

(@perdyllo)

Долго выбирать не придётся. Первый же по этому запросу и судя по описанию похоже то, что вам надо. Хотя конечно он не единственный среди себе подобных.

https://ru.wordpress.org/plugins/comments-widget-plus/

Да, спасибо за рекомендацию. Установил Comments Widget Plus. Все функции для виджета последних комментариев в нем есть.
Только не пойму, как можно изменить стили в виджете? Мне нужно, чтобы текст комментария в виджете был не #787878, а #000000 . В каком файле нужно править?

Спасибо заранее!

(@sevlad)

wp.me/3YHjQ

Только не пойму, как можно изменить стили в виджете?

В стилях дочерней темы или кастомайзере (внешний вид-настроить) — доп. стили.

Только это уже другой вопрос. См правила форума, п2.

Всё, понял, не буду нарушать правила!

Плагины для комментариев WordPress | Сайт с нуля

Если вы создали собственный блог, неважно какой тематики, то помимо полезных материалов, размещаемых на ресурсе, вам еще нужно подумать об удобстве пользователей. В этой статье рассмотрим плагины для комментариев WordPress которые можно было бы использовать вместо стандартной, не всегда удобной системы комментирования.

Disqus

В последние несколько лет одна из самых популярных систем, функционирует уже 10 лет. Disqus — это сторонний сервис для комментирования на ваших сайтах. Представляет из себя нечто среднее между форумом и социальной сетью. Пользователи могут вести обсуждения, даже не заходя на сам сайт-первоисточник. Сервис сам пришлет им уведомления и продолжить разговор можно прямо из учетки в системе.

Многие посетители и рады бы поблагодарить автора статьи за отличную работу, но просто ленятся проходить стандартную процедуру регистрации. С Disqus эта проблема будет решена. Авторизация доступна при помощи популярных соцсетей: Твиттер, Гугл+ и Фейсбук. Есть и классическая регистрация с логином, электронной почтой и паролем. Заведя один раз учетную запись, в дальнейшем с ее помощью можно комментировать любой сайт, где установлен данный плагин.

Из плюсов стоит отметить, что все комментарии и сопутствующий контент хранится на серверах системы, что снижает нагрузку на хостинг. Возможность поделится целым обсуждением или отдельным комментарием в соцсетях. Если вам интересна тема беседы, можно подписаться на комментарии не оставляя при этом сообщений. Disqus предоставляет возможность монетизировать ресурс, но, к сожалению, только для англоязычных веб-сайтов. И, конечно, бесплатность, сервисом пользуются более двухсот тысяч владельцев сайтов.

Из минусов: Нужно разбираться в настройке или нанимать специалиста, плагин имеет сложную стилизацию. Для установки требуется совершить ряд действий и необходимы хотя бы базовые знания английского. С недавнего времени Disqus ввел плату за отключение рекламы в комментариях, примерно 10 долларов в месяц. Правда, для маленьких веб-сайтов, личных блогов и некоммерческих сайтов будет возможность выборочного вывода рекламы. Полноценный ввод этой схемы планируется на март 2017 года. Ну и небольшой, но минус для русскоязычных пользователей, нет возможности залогиниться через «Вконтакте».

Немного об установке

Зарегистрировавшись в системе (неважно каким способом) Нужно выбрать в меню справа «Add Disqus to Site» и добавить URL вашего сайта, затем, вашу CMS, после чего, установить плагин привычным способом из консоли WP. Для этого заходим в плагины, добавить новый, вбиваем в поиск название и устанавливаем.

Далее, заходим на страницу с установленными плагинами, ищем «Disqus Comment System» и жмем «Configure».  Видим такую надпись: «Upgade Disqus Comments» (обновление базы данных), жмем кнопочку «Upgrade». Дальше настраивайте по своему усмотрению, благо настроек хватает. В том числе, и возможность импортировать комментарии, которые были до установки Disqus.

Postmatic

Этот плагин не является сторонним сервисом, а использует встроенную платформу WordPress, но позволяет значительно расширить возможности комментариев на сайте. Пользователи смогут подписаться на интересующие темы и получать уведомления по электронной почте. Отвечать можно прямо по email, это очень удобно, может помочь вести беседу оперативно, для этого комментатору не надо заходить на сайт и искать тему, а в ней новые сообщения, достаточно просто проверить почту. Сразу после отправки, комментарий появится в блоге, что поможет вести диалог, а следовательно, и вовлечь читателей в беседу, тем самым улучшив ПФ сайта.

Из плюсов: используются только собственные ресурсы хостинга и все данные будут полностью вам подконтрольны. Улучшенный шаблон отправки уведомлений по почте. Помимо последних ответов, в нем присутствует Gravatar пользователя и полный архив сообщений. Все это красиво оформлено и выглядит гораздо лучше стандартной системы оповещений WP. Отлично подойдет, если нет надобности с более навороченными комментариями и нужно просто слегка дополнить базовую версию.

Из минусов: Postmatic дополняет стандартный функционал, но не улучшает его радикально.

HyperComments

Удобная и современная система комментирования. Предоставляется как условно-бесплатный продукт, в бесплатной версии (Lite) доступен один сайт с одним модератором. В месяц возможна загрузка не более ста тысяч комментариев и 1000 обращений к API в час, за большее нужно доплачивать.

Персональная годовая лицензия обойдется в 24$ в год, в ней также один сайт, но уже три модератора и 500 тыс. загрузок виджета. Не более 5 тыс. обращений к API в час.

Professional — 120$ за год или по 11$ в месяц. Доступно три сайта, 15 модераторов и 2 млн загрузок, а также, возможность настроить индивидуальный дизайн виджета, аналитика и различные отчеты. Обращений к API 10 тыс.

Enterprise — 480$ в год или 44$ в месяц. Количество сайтов и модераторов не ограничено, 6 млн загрузок и сохранение в вашей базе данных комментариев. Имеется также SSO и SEO. Запросы к API не лимитированы. В каждом из тарифов есть пробная версия с полным функционалом на 14 дней.

Из плюсов: возможность гипперкомментариев, когда читатель выделяет интересный фрагмент текста для дальнейшего обсуждения. Нет надобности каждый раз обновлять страницу, комментарии появляются сразу в режиме real-time. Виджет адаптирован под мобильные платформы. Присутствует панель, которая показывает пользователей, находящихся в данный момент на странице. Хорошая индексация в поисковиках. Авторизация через популярные соцсети, включая «Вконтакте» и «Одноклассники». В этих же социальных сетях можно сделать репост любой понравившейся части статьи, что положительно влияет на продвижение сайта.

Из минусов: если у пользователя нет аккаунта в одной из соцсетей, он не сможет оставить сообщение, если у вас отключены анонимные комментарии. HyperComments не уведомляет читателей о новых добавленных сообщениях, что может быть серьезным недостатком для активных обсуждений. Ну и главным минусом являются ограничения в бесплатной версии, о которых писалось выше.

IntenseDebate

Эта платформа для комментирования была разработана самой WordPress, что делает ее интеграцию в движок практически безболезненной. Отличный конкурент Disqus, бесплатен. Позволяет установить дополнительные виджеты при необходимости: статистику комментариев, активных комментаторов и самых обсуждаемых тем.

Из плюсов нужно выделить дружественный интерфейс формы комментариев, пользователем будет удобно. Моментальное оповещение о новых записях, это касается не только читателей, но и администраторов. Возможность авторизоваться через Фейсбук, Твиттер или Вордпресс, также можно создать учетную запись на самом IntenseDebate, что позволит комментировать другие веб-сайты где установлена эта платформа. Поддержка кросспостинга в Твиттер. Комментарии, добавленные при помощи этого сервиса стабильно индексируется поисковыми системами.

Из минусов: не используются популярные в российском сегменте соцсети: «Вконтакте», «Одноклассники». Отсутствуют real-time сообщения. Это, пожалуй, самые основные недостатки платформы IntenseDebate.

Также стоит прочитать

Плагин Heyoya для голосовых комментариев на сайте WordPress

Хотя существует множество плагинов WordPress для комментариев, все они являются лишь вариацией одного и того же основного подхода.

Посетители переходят в конец вашего поста, вводят свое имя, некоторый текст, и нажимают «Отправить». Если у них есть Gravatar, то вы сможете увидеть изображение профиля. В противном случае это безликий текст на странице сайта.

В этом практическом обзоре Heyoya рассмотрим, как именно работает этот плагин и как он изменит ваш веб-сайт WordPress.

Особенности плагина Heyoya

Основная функция Heyoya – добавлять реальные голосовые комментарии на сайт WordPress. Но это не все – в его силах улучшить раздел комментариев и другими способами.

Heyoya не ограничивается голосовыми комментариями – ваши посетители могут оставлять текстовые комментарии, если они предпочитают такой подход.

Плагин работает не только с комментариями – вы можете использовать его для отзывов в вашем магазине электронной коммерции.

Чтобы оставить комментарий / отзыв, посетителям необходимо подтвердить свой адрес электронной почты или использовать социальную регистрацию. Они могут сделать это, используя свою учетную запись в социальной сети (Facebook или Twitter). Это сокращает спам, хотя и добавляет немного больше трения в процесс комментирования. Но в этом кроется и преимущество – вы можете использовать уведомления по электронной почте, чтобы вернуть посетителей на ваш сайт.

Посетители сайта могут использовать поле для «лайка» отдельных комментариев и делиться ими в социальных сетях.

Наконец, вы сможете полностью настроить внешний вид поля для комментариев, а также настроить его функционирование, например запретить ссылки в комментариях.

Как использовать Heyoya

У Heyoya есть специальный плагин интеграции на WordPress.org, очень простой в настройке и использовании.

Базовая настройка

Для начала установите и активируйте бесплатный плагин Heyoya с WordPress.org. Затем перейдите в Комментарии → Heyoya на панели инструментов WordPress, чтобы настроить плагин.

Вам нужно войти в существующую учетную запись Heyoya или создать новую, что вы можете сделать прямо с панели управления WordPress:

После входа в систему можно настроить параметры Heyoya.

Первая настройка: укажите, ведете ли вы блог / контент-сайт или магазин электронной коммерции. Помните, что вы можете использовать голосовой подход Heyoya для комментариев в блогах и обзорах продуктов:

Для этого обзора выберем опцию комментариев блога.

Окно комментариев

С помощью визуального интерфейса вы сможете настроить функциональность окна комментариев Heyoya.

Плагин предоставляет много вариантов:

• Измените весь текст, который появляется в поле.
• Выберите, что можно включить, например, разрешить ли ссылки, электронные письма или повторяющиеся символы.
• Выберите способ утверждения комментариев в зависимости от того, какой контент включен.

Например, вы можете автоматически утверждать текстовые комментарии, но для голосовых комментариев требуется модерация:

Стили комментариев

На следующей странице можно настроить внешний вид окна комментария. Благодаря визуальному предварительному просмотру вы увидите, как различные параметры стиля влияют на общий вид комментариев.

Помимо изменения ширины и фона, для всех элементов в окне можно изменять и цвет:

Теперь плагин Heyoya настроен для раздела комментариев. Если захотите использовать комментарии Heyoya и для другого контента, можно вручную добавить фрагмент кода.

А вот как это выглядит на сайте:

Смотрите также:

Какие лучшие плагины голосовых сообщений подойдут для вашего сайта WordPress.

Как Heyoya работает для комментаторов

Теперь посмотрим на функционал Heyoya с точки зрения ваших посетителей.

Когда они хотят оставить комментарий, то могут либо ввести текстовое сообщение, либо нажать кнопку «Начать запись» и записать голосовой комментарий.

Перед началом записи голосового комментария Heyoya попросит доступ к микрофону посетителя:

Примечание. Если ваш сайт использует HTTPS, все это будет происходить в реальном интерфейсе, а не как показано на картинке выше, в всплывающем окне.

Затем запуститься таймер обратного отсчета времени, отведенного на голосовой комментарий. По умолчанию пользователи получают 30 секунд. Но можно продлить время записи до минуты, подписавшись на премиум-сервис Heyoya.

Комментаторы также получат возможность прослушать свое голосовое сообщение и повторно записать его при необходимости:

Чтобы отправить свой голосовой комментарий, посетителям необходимо:

• Добавить заголовок.
• Пройти верификацию своей электронной почты. Используя либо социальный логин, либо введя свой адрес электронной почты, нужно перейти по ссылке активации, которую отправляет Heyoya на e-mail. Такая проверка проводится только для первого комментария пользователя.

Как только администратор одобрит комментарий, он появится на сайте.

В разделе комментариев люди могут «лайкать» или делиться отдельными голосовыми комментариями в социальных сетях:

Расширенные настройки администратора

Теперь проверим некоторые дополнительные параметры администрирования.

Как администратор, вы сможете модерировать комментарии на вкладке Комментарии, включая предварительное прослушивание голосового сообщения:

На вкладке «Отчеты» представлена ​​базовая аналитика для:

• Комментариев.
• Голосовых комментариев.
• Прослушанных голосовых комментариев.
• Текстовых комментариев.
• Общих ресурсов (генерируются кнопкой «Поделиться» в разделе комментариев).
• Комментариев с отметкой «Понравилось».

Вкладка «Дополнительно» позволяет:

• Создавать уведомления, которые отправляются через поле для комментариев Heyoya.
• Просматривать список пользователей, которые прокомментировали ваш сайт.
• Добавлять пользовательский брендинг, когда посетители делятся комментариями в социальных сетях (в бесплатной версии используется брендинг Heyoya).
• Импортировать существующие комментарии, загрузив файл. Для этого вы можете использовать инструменты импорта / экспорта WordPress, хотя было бы проще встроить эту функцию.

Цены на Heyoya

Основная услуга Heyoya – бесплатная.

С бесплатной версией посетители смогут оставлять голосовые комментарии до 30 секунд, текстовые комментарии, видео / мультимедиа и многое другое.

Платный план Amplify поможет:

• Увеличить время записи голоса до одной минуты.
• Получить расширенные возможности модерации.
• Предоставить больше возможностей обмена.
• Отправить пользовательские уведомления.
• Выгрузить ваши комментарии с серверов Heyoya, чтобы использовать их в других местах.

План Amplify, как правило, стоит 7 долларов в месяц на один сайт при оплате ежегодно или 8 долларов в месяц при оплате ежемесячно.

Пока трудно спрогнозировать, будет ли этот голосовой подход превосходить текстовые комментарии для ваших конкретных сайтов, но в любом случае это интересно и необычно.

Это эффективно для личных блогов и обзоров, потому что голос делает обзор более аутентичным, что может помочь укрепить доверие.

Бесплатный план Heyoya должен работать нормально для большинства сайтов, что само по себе привлекательно.

Источник: wplift.com

Смотрите также:

Новый плагин для комментариев / Habr

• Комментарии в плагине отображаются с учетом отношений пользователя и комментаторов и качества комментариев: наверх в плагин поднимаются комментарии от друзей и друзей друзей пользователя и комментарии и ветки с наибольшим количеством ответов и «лайков».
• Рядом с именем комментатора указывается публичная информация из его профиля: возраст, город проживания, где работает, количество общих друзей.
• Дискуссия, которая начинается на сайте, может быть продолжена в ленте пользователя на Facebook: все комментарии, оставленные под статьей на Facebook синхронизируются с комментариями в плагине на сайте, что позволяет сохранять единое обсуждение на сайте и в Facebook. Если кто-то ответит на комментарий пользователя на сайте, то пользователь получит об этом уведомление на Facebook.
• Пользователи могут комментировать не только под своим личным профилем, но и в режиме страницы, если пользователь комментирует в плагине в режиме страницы, то это комментарии будут видны всем поклонникам страницы.
• Все комментарии в плагине и на Facebook теперь организованы в ветки дискуссий

• Модераторы могут составлять список слов, которые не могут появляться в комментариях на сайте и также составлять черный список пользователей, которые не могут принимать участие в дискуссии.
• Модераторы могут установить режим премодерации комментариев, все комментарии, которые оставляют пользователи на сайте, будут видны только им самим, их друзьям на Facebook и модераторам. Комментарии появятся на сайте и будут видны всем посетителям только после того, как модератор одобрит комментарий для публикации.

А, похоже, первый пример внедрения нового плагина в России можно посмотреть на сайте Vesti.ru — например здесь

AnyComment — плагин комментариев для WordPress

В этой записи, я бы хотел обсудить то, как владельцы WordPress блогов общаются со своей аудиторией.

Общение на моем личном примере

Для меня общение с аудиторией происходит посредством переписки и ответа на комментарии к постам. Встроенные комментарии в WordPress имеют следующие минусы:

• нужно ввести много ненужной информации, почту, имя и прочее, чтобы оставить комментарии (даже если программно это можно все убрать, проблемы все равно остаются и не каждый технически понимает как это сделать). Да есть плагины, которые сделают работы за вас, но поймите, что это долго и никто не хочет столько времени возится, чтобы это решить
• оставив комментарии, страница перезагружается (что мне лично не нравится)
• нельзя использовать социальные сети для авторизации
• нужно копаться в коде, чтобы подогнать по стилистике под сайт (что не каждый умеет)

Альтернативы и что с ними не так

Есть альтернативы, такие как например, Disqus.

Но опять же не то, потому что:

• зависимость от третьего сервиса (все комментарии и данные о пользователях хранятся на их серверах)
• нет полного контроля над комментариями
• неизвестно что происходит за сценой, так как комментарии обрабатываются на третьей стороне
• неизвестно как хранятся и обрабатываются данные о подписчиках или читателях сайта

и это лишь самые очевидные причины…

Решение всех проблем (ну, почти)

Именно с этой целью был придуман и создан AnyComment.

А вот ссылка на официальную страницу в репозитории WordPress.

• Актуальная версия: 0.0.1
• Протестировано до версии: 4.9.6

Цель — сделать его лучшим плагином комментариев для WordPress придерживаясь простоты, удобства, скорости работы, учитывая вашу обратную связь.

Описание

Каждый плагин должен решать какую-то проблему и я вкратце расскажу его текущие особенности и некоторые из уже запланированных:

• оставить комментарий без перезагрузки страницы
• возможность авторизоваться через ВК, Твиттер, Facebook, Google, Одноклассники, GitHub
• если пользователь гость, то ему не предлагается ввести кучу полей, показывается обычно поле ввода, как для авторизованного пользователя, после нажатия на поле ввода текста, ему предлагается авторизоваться одним из способов описанных пунктом выше
• ВСЕ комментарии хранятся в вашей базе данных. Никакой зависимости от третьих сервисов (только подключение к API соц. сетей для авторизации)
• простой интерфейс, который будет понятен каждому
• в комментариях пользователи могут видеть с какой соц. сети зашел пользователь
• при добавлении комментария, он попадает в стандартные комментарии от WordPress. Таким образом вы не потеряете ни одного комментария, которые были добавлены до установки плагина
• удобная сводная консоль о плагине, график активных пользователей относительно оставленных комментариев и количество активных пользователей

Планы:

• проводить конкурсы внутри комментариев на лучшего комментатора или на лучший комментарий
• защита от спама: поддержка ReCaptcha от Google, плагина Akismet
• общая статистика комментариев, сколько оставили за последний день, недели, месяц. Сколько всего комментариев, самые активные комментаторы и прочее
• удобная модераторская панель для комфортного управления комментариями
• полная настройка стилистики плагина для совпадения со стилем сайта
• автор будет выделен особенным образом в комментариях
• авто-обновление комментариев когда был добавлен новый комментарий
• подгрузка комментариев в момент прокрутки пользователем к ним
• подключать собственные события для перехвата данных (для статистики и прочего)
• интеграция с другими плагинами
• интеграция с сервисами для добавления гифок
• добавление смайликов
• авторизация через другие соц. сети, такие как GitHub, Dribble и прочие
• для разработчиков: поддержка Markdown
• для разработчиков: подстветка синтаксиса
• поддержка базовых HTML тегов, для форматирования текста
• поддержка визуально редактируемого текста (жирный, курсив и прочее)

Скриншоты

Консоль в админ-центре выглядит следующим образом:

На графике показывается статистика пользователей относительно количества оставленных ими комментариев. Выше отображается количество пользователей которые хоть что-то комментировали и справа общее количество комментариев на сайте.

Далее скрин того как комментарии выглядят на темном фоне, в данном случае задний фон сайта синий, комментарии сами по себе прозрачные и используется белый цвет для текста.

И конечно же вариант для светлых дизайнов.

виды или типы ионной полярной и неполярной связи в молекулах, ее образование и таблица об этом

Валентность показывает на присутствие конкретной силы. Появление подобной связи случается через обобщение атомных электронов, у которых нет «пары». Ковалентная связь случается между атомами неметаллов и может быть замечена как в молекулах, так и в кристаллах.

В первый раз ковалентность была открыта в 1916 г. химиком из Америки Дж. Льюисом, и прошло некоторое время, пока сформировалась гипотеза, а потом её смогли обобществить, и она была доказана опытным путём.

Концепции и немного истории

Химики узнали, что это за прецедент, при котором выявили: электроотрицательность неметаллов довольно велика, и при содействии 2-х физических атомов притягивание электронов может быть сложной задачей и даже неосуществимой, поскольку они в 2-х атомах соединяются, и между ними случается ковалентность атомов.

Типы ковалентной связи

Характеристика ковалентности — это действие, которое случается в веществах с неметаллическими качествами. Выявляется она при совместном участии атомных электронов в различных элементах. Схема образования ковалентной полярной связи — взаимодействующие атомы имеют различный способ электроотрицательности, а открытые электроны не принадлежат тождественно 2 атомам.

Большую часть времени электроны приближаются к первому атому, чем ко второму.

Случаем ковалентности полярной могут быть взаимодействия, которые выявляются в молекуле хлористого водорода, где раскрытые электроны в ответе за ковалентность и ближе к атому хлора, чем водород.

И дело в том, что электроотрицательный показатель у первого вещества выше, чем у второго. Хорошим примером ковалентной полярной связи будет вода.

Эти одинарные химические взаимодействия происходят из-за появления накопительных молекулярных частей электронов, которые являются общими для двух взаимодействующих частей. Появление электронных пар связано с перекрытием орбиталей. Такие типы взаимодействий в химии происходят между частями обоих элементов.

Вещества со строением такой структуры:

• газы;
• вода;
• алкоголь;
• углеводы;
• белковая пища;
• кислотная органика.

Ковалентность появляется методом открытия пар электронов в несложных субстанциях или же сложных соединениях. Чтобы квалифицировать природу кристаллической химической связи, надо взглянуть на атомную составляющую частиц, находящихся в формуле.

Взаимодействия описанного типа образуются лишь только между веществами, в которых доминируют неметаллические качества. В случае если слияние имеет атомы похожих или же различных неметаллов, то взаимодействия между ними считаются ковалентными.

Полюсное взаимодействие

Когда в соединении совместно есть металл и неметалл, выявляется, что элементы образуют ионное соединение. Ковалентная полярность связывает решётку атомов всевозможных неметаллов друг с другом.

Это бывают атомы:

• хлора и водорода;
• фосфора и кислорода;
• аммиака.

Есть другое определение таких веществ. Это говорит о том, что кратная цепь возникает между неметаллами с разными показателями электроотрицательного появления. В 2-х случаях возможно выделить многообразие атомов, где была замечена эта связь.

Выставленные соединения в нормальных критериях наличествуют в водянистом или же газообразном агрегатном состоянии. Формулы Дж. Льюиса могут помочь понять устройство и насыщаемость связывания атомных ядер.

Действие получения ковалентности для атомов с разными значениями электроотрицательности объединяется к образованию совместной плотности электрического состояния. Как правило, он сдвинут к составляющей, что содержит самую возвышенную степень электроотрицательности.

По причине возникающего смещения всей пары в направленности вещества с большим числом электроотрицательности в нём отчасти появляется негативный заряд. Вследствие этого, появляется слияние с 2-мя по-разному заряженными полюсами. Нередко при формировании полярных отношений применяется акцепторный или же донорно-акцепторный механизм.

Путь образования ковалентных связей:

• Акцепторный (обмена). Любой атом выделяет 1 неспаренный электрон.
• Донорно-акцепторный ковалентный тип. Один атом (донор) гарантирует электрическую пару, а акцептор орбиталь для неё.

Устройство образования ковалентных связей описывается как конфигурация взаимодействия, свойственная не для всех полярных соединений. Примерами считаются вещества органического и неорганического происхождения.

Неполярная структура

Неполярная ковалентность связывает составляющие с неметаллическими качествами, что точно так же равно электроотрицательному значению. Другими словами, элементы с неполярностью предполагают собой соединения, состоящие из различных чисел похожих неметаллов. Формула вещества с ковалентной неполярной связью: N2.

Примером ковалентной неполярной связи считаются вещества простой структуры: О2, N2, Cl2. Составление этого типа взаимодействия и других неметаллических частей включает экстремальные электроны.

Валентность относится к количеству электронов, важных для окончания обычной наружной оболочки. Атом имеет возможность предоставить или же получить негативно заряженные частички.

Эта работа относится к уровню двухэлектронных или же двухцентровых цепей. В этом случае пара электронов занимает общую долю между 2-мя орбиталями. В структурных формулах пара электронов записывается в виде части по горизонтали.

Каждая связь демонстрирует количество общих пар электронов в молекуле. Потребуется затратить наибольшее число энергии для разрушения с помощью этой связи, вследствие чего эти вещества станут одними из самых мощных по шкале крепости.

По донорно-акцепторному механизму неполярные части буквально не связаны. Ковалентная неполярная связь представляет собой структуру, образующуюся совместными электронными парами. Эти пары в равной степени принадлежат 2 атомам.

Однообразие ковалентных неполярных и полярных связей заключается в возникновении абсолютной электрической плотности. Лишь только в ином случае приобретённые электрические совместные части в равной степени принадлежат 2 атомам, занимающим центральное состояние. В итоге выборочные положительные и отрицательные заряды не образуются, что значит полученные цепочки считаются неполярными.

Неполярность приводит к образованию совместной пары, в итоге конечная степень атома будет законченной. Качества этих веществ, имеющих определённые структуры, выделяются от тех, что с металлическими или же ионными взаимодействиями.

В обменном процессе ковалентности между атомами любой из них представляет собой один неспаренный электрон, образующий электрическую ковалентность. В этом случае они могут иметь обратные заряды.

Случаем подобной ковалентной связи могут быть взаимодействия, которые видятся в молекуле водорода. Когда атомы вещества намереваются совместно действовать, их электрические части попадают друг в друга.

В итоге плотность между ядрами возрастает, они сами притягиваются, а энергия системы миниатюризируется. Впрочем, в случае если ядра делаются очень близкими, они начинают отталкиваться, и, таким образом, между ними появляется подходящее расстояние.

Что касается донорно-акцепторного вида ковалентности, то это случается, когда 1 из частиц, донор, предположит собственную электрическую пару для связи, а 2-я, акцептор, считается свободной орбиталью.

Квалифицирование ковалентности

Смысл ковалентной неполярной связи такой — это взаимодействие, которое появляется между похожими атомами. В молекулах с неполярной ковалентностью совместные пары электронов находятся на равных расстояниях от атомных ядер.

К примеру, в молекуле воздуха атомы имеют 8 электрических конфигураций, в то время как они имеют 4 совместные электрические пары. Препараты с неполярной ковалентностью, как правило, предполагают собой газы, воду или же сравнительно низколегированные твёрдые вещества.

Чтобы верно квалифицировать ковалентную полярную и неполярную связь, достаточно понять свойство и формулу молекул, в случае, если они состоят из атомов различных составляющих, взаимодействие будет полярным, а если из 1-го, то станет неполярным. Ещё надо знать, что неполярные связи в целом могут встречаться лишь только между неметаллами, и это связано с механизмом ковалентных взаимодействий.

Источник: https://nauka.club/khimiya/kovalentnaya-polyarnaya-i-nepolyarnaya-svyaz.html

Полярная и неполярная связи: ионные металлические химические соединения молекул, как отличить от ковалентной или определить их типы

Ковалентная связь (от латинского  «со» совместно и «vales» имеющий силу) осуществляется за счет электронной пары, принадлежащей обоим атомам. Образуется между атомами неметаллов.

Электроотрицательность неметаллов довольно велика, так что при химическом взаимодействии двух атомов неметаллов полный перенос электронов от одного к другому (как в случае ионной связи) невозможен. В этом случае для выполнения правила октета необходимо объединение электронов.

Неполярная ковалентная связь

В качестве примера обсудим взаимодействие атомов водорода и хлора:

• H 1s1 — один электрон
• Cl 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5 — семь электронов на внешнем уровне

Каждому из двух атомов недостает по одному электрону для того, чтобы иметь завершенную внешнюю электронную оболочку. И каждый из атомов выделяет „в общее пользование” по одному электрону. Тем самым правило октета оказывается выполненным. :

Образование ковалентной связи

Обобществленные электроны принадлежат теперь обоим атомам. Атом водорода имеет два электрона (свой собственный и обобществленный электрон атома хлора), а атом хлора — восемь электронов (свои плюс обобществленный электрон атома водорода).

Эти два обобществленных электрона образуют ковалентную связь между атомами водорода и хло­ра. Образовавшаяся при связывании двух атомов частица называется молекулой.

Образование ковалентной неполярной связи

Благодаря спариванию и обобществлению двух элек­тронов удается выполнить правило октета для обоих атомов.

Помимо одинарных связей может образовываться двойная или тройная ковалентная связь, как, например, в молекулах кислорода О2 или азота N2. Атомы азота имеют по пять валентных электронов, следовательно, для завершения оболочки требуется еще по три электро­на. Это достигается обобществлением трех пар электронов.

Ковалентные соединения — обычно газы, жидкости или сравнитель­но низкоплавкие твердые вещества. Одним из редких исключений явля­ется алмаз, который плавится выше 3 500 °С. Это объясняется строением алмаза, который представляет собой сплошную решетку ковалентно связанных атомов углерода, а не совокупность отдельных молекул.

Фак­тически любой кристалл алмаза, независимо от его размера, представля­ет собой одну огромную молекулу. Ковалентная связь возникает при объединении электронов двух атомов неметаллов. Возникшая при этом структура называется молекулой.

Полярная ковалентная связь

В большинстве случаев два ковалентно связанных атома имеют раз­ную электроотрицательность и обобществленные электроны не принад­лежат двум атомам в равной степени. Большую часть времени они нахо­дятся ближе к одному атому, чем к другому.

В молекуле хлороводорода, например, электроны, образующие ковалентную связь, располагаются ближе к атому хлора, поскольку его электроотрицательность выше, чем у водорода. Однако разница в способности притягивать электроны не столь велика, чтобы произошел полный перенос электрона с атома водо­рода на атом хлора.

Поэтому связь между атомами водорода и хлора можно рассматривать как нечто среднее между ионной связью (полный перенос электрона) и неполярной ковалентной связью (симмет­ричное расположение пары электронов между двумя атомами). Частич­ный заряд на атомах обозначается греческой буквой δ.

Такая связь называется полярной ковалентной связью, а о молеку­ле хлороводорода говорят, что она полярна, т. е. имеет положительно заряженный конец (атом водорода) и отрицательно заряженный конец (атом хлора).

 Обменный и донорно-акцепторный механизм образования ковалентной связи

• Обменный механизм. Каждый атом дает по одному неспаренному электрону в общую электронную пару.
• Донорно-акцепторный механизм. Один атом (донор) предоставляет электронную пару, а другой атом (акцептор) предоставляет для этой пары свободную орбиталь.

Ковалентная связь – полярная и неполярная: что это такое и какова формула вещества

Вещества молекулярного строения образуются с помощью особого вида взаимосвязи. Ковалентная связь в молекуле, полярная и неполярная, также называется атомной. Это название происходит от латинского «co» «совместно» и «vales» «имеющий силу». При таком способе образования соединений пара электронов делится между двумя атомами.

Свойства

Что такое ковалентная полярная и неполярная связь? Если новое соединение образуется таким образом, то происходит обобществление электронных пар. Обычно такие вещества имеют молекулярное строение: Н2, О3, HCl, HF, Ch5.

Есть и немолекулярные вещества, в которых атомы связаны таким образом. Это так называемые атомные кристаллы: алмаз, диоксид кремния, карбид кремния. В них каждая частица связана с четырьмя другими, в результате получается очень прочный кристалл. Кристаллы с молекулярной структурой обычно не отличаются высокой прочностью.

Свойства такого способа образования соединений:

• кратность,
• направленность,
• степень полярности,
• поляризуемость,
• сопряжение.

Кратность — это количество поделенных электронных пар. Их может быть от одной до трех. У кислорода до заполнения оболочки двух электронов не хватает, поэтому она будет двойной. У азота в молекуле N2 она тройная.

Поляризуемость — возможность образования ковалентной полярной связи и неполярной. При этом она может быть более или менее полярна, ближе к ионной или наоборот — в этом заключается свойство степени полярности.

Направленность означает, что атомы стремятся соединиться таким образом, чтобы между ними осталась как можно большая электронная плотность. О направленности имеет смысл говорить тогда, когда соединяются p или d-орбитали. S-орбитали сферически симметричны, для них все направления равноценны.

У p-орбиталей неполярная или полярная ковалентная связь направлена вдоль их оси, так что две «восьмерки» перекрываются вершинами. Это σ-связь. Существуют и менее прочные π-связи. В случае p-орбиталей «восьмерки» перекрываются боковыми сторонами вне оси молекулы.

В двойном или тройном случае p-орбитали образуют одну σ-связь, а остальные будут типа π. Сопряжение — это чередование простых и кратных, делающее молекулу более стабильной. Такое свойство характерно для сложных органических соединений.

Полярность

Важно! Как определить, вещества с неполярной ковалентной или полярной связью перед нами? Это очень просто: первая всегда возникает между одинаковыми атомами, а вторая — между разными, имеющими неодинаковую электроотрицательность.

Примеры ковалентной неполярной связи — простые вещества:

• водород Н2,
• азот N2,
• кислород О2,
• хлор Cl2.

Схема образования ковалентной неполярной связи показывает, что с помощью объединения электронной пары атомы стремятся дополнить внешнюю оболочку до 8 или 2 электронов. Например, фтору не хватает одного электрона до восьмиэлектронной оболочки. После образования поделенной электронной пары она заполнится.

Распространенная формула вещества с ковалентной неполярной связью — двухатомная молекула.

Полярно обычно связываются только элементы-неметаллы

В этом случае молекулу образуют разные элементы, но разница в электроотрицательности не так велика, чтобы электрон полностью перешел от одного атома к другому, как в веществах ионного строения.

Схемы образования ковалентной структуры этого типа показывают, что электронная плотность смещается к более электроотрицательному атому, то есть поделенная электронная пара находится к одному из них ближе, чем ко второму.

Части молекулы приобретают заряд, который обозначается греческой буквой дельта. В хлороводороде, например, хлор становится заряжен более отрицательно, а водород — более положительно. Заряд будет частичный, а не целый, как у ионов.

Важно! Не следует путать полярность связи и полярность молекулы. В метане СН4, например, атомы связаны полярно, а сама молекула неполярна.

Механизм образования

Образование новых веществ может проходить по обменному или донорно-акцепторному механизму.При этом объединяются атомные орбитали. Возникает одна или несколько молекулярных орбиталей.

Они отличаются тем, что охватывают оба атома. Как и на атомной, на ней может находиться не более двух электронов, причем их спины тоже должны быть разнонаправленными. Как определить, какой механизм задействован? Это можно сделать по числу электронов на внешних орбиталях.

Обменный

В этом случае электронная пара на молекулярной орбитали образуется из двух неспаренных электронов, каждый из которых принадлежит своему атому. Каждый из них стремится заполнить свою внешнюю электронную оболочку, сделать ее устойчивой восьми- или двухэлектронной. Так обычно образуются вещества с неполярной структурой.

Для примера рассмотрим соляную кислоту HCl. У водорода на внешнем уровне один электрон. У хлора — семь. Нарисовав схемы образования ковалентной структуры для него, увидим, что для заполнения внешней оболочки каждому из них не хватает по одному электрону. Поделив между собой электронную пару, они смогут завершить внешнюю оболочку.

По такому же принципу образуются и двухатомные молекулы простых веществ, например, водорода, кислорода, хлора, азота и других неметаллов.

Источник: https://obraz-ola.ru/prochee/kak-razlichit-polyarnuyu-i-nepolyarnuyu-svyazi.html

ковалентная неполярная связь, отличие от полярной :: SYL.ru

Данная статья повествует о том, что такое ковалентная неполярная связь. Описываются ее свойства, типы атомов, которые ее образуют. Показано место ковалентной связи среди других видов соединений атомов.

Физика или химия?

Есть в обществе такой феномен: одна часть однородной группы считает другую менее понятливой, более неуклюжей. Например, англичане смеются над ирландцами, музыканты, играющие на струнных, – над виолончелистами, жители России – над представителями чукотского этноса. К сожалению, наука не исключение: физики считают химиков второсортными учеными. Однако, делают они это зря: отделить, где физика, а где химия порой весьма непросто. Таким примером могут служить способы соединения атомов в веществе (например, ковалентная неполярная связь): строение атома – однозначно физика, получение из железа и серы сульфида железа со свойствами, отличными и от Fe, и от S – точно химия, а вот как из двух разных атомов получается однородное соединение – ни то ни другое. Это нечто посередине, но традиционно науку о связях изучают как раздел химии.

Электронные уровни

Количество и расположение электронов в атоме определяют четыре квантовых числа: главное, орбитальное, магнитное и спиновое. Так, согласно сочетанию всех этих чисел, на первой орбитали существуют только два s-электрона, на второй — два s-электрона и шесть p-электронов и так далее. С ростом заряда ядра увеличивается и количество электронов, заполняя все новые и новые уровни. Химические свойства вещества определяются тем, сколько и каких электронов находится в оболочке их атомов. Ковалентная связь, полярная и неполярная, образуется, если на внешних орбиталях двух атомов находятся по одному свободному электрону.

Образование ковалентной связи

Для начала надо отметить, что говорить «орбита» и «положение» в отношении электронов в электронной оболочке атомов некорректно. Согласно принципу Гейзенберга, определить точное местонахождение элементарной частицы невозможно. В данном случае корректнее было бы говорить об электронном облаке, как бы «размазанном» вокруг ядра на конкретном расстоянии. Итак, если у двух атомов (иногда одинаковых, иногда разных химических элементов) есть по одному свободному электрону, они могут объединять их на общую орбиталь. Таким образом, оба электрона принадлежат двум атомам сразу. Этим путем образуется, например, ковалентная неполярная связь.

Свойства ковалентных связей

Свойств у ковалентной связи четыре: направленность, насыщаемость, полярность, поляризуемость. В зависимости от их качества будут меняться химические свойства получающегося вещества: насыщаемость показывает, сколько связей способен создать этот атом, направленность показывает угол между связями, поляризуемость задается смещением плотности в сторону одного из участников связи. Полярность же связана с таким понятием, как электроотрицательность, и указывает на то, чем ковалентная неполярная связь отличается от полярной. В общих чертах электроотрицательность атома – это способность притягивать (или отталкивать) электроны соседей в устойчивых молекулах. Например, самыми электроотрицательными химическими элементами можно назвать кислород, азот, фтор, хлор. Если электроотрицательность двух разных атомов совпадает, появляется ковалентная неполярная связь. Чаще всего это происходит, если в молекулу соединяются два атома одного химического вещества, например H₂, N₂, Cl₂. Но это не обязательно так: в молекулах PH₃ ковалентная связь тоже неполярная.

Вода, кристалл, плазма

В природе существует несколько видов связей: водородная, металлическая, ковалентная (полярная, неполярная), ионная. Связь задается строением незаполненной электронной оболочки и определяет как структуру, так и свойства вещества. Как следует из названия, металлическая связь присуща только кристаллам определенных химических веществ. Именно тип связи атомов металлов между собой задает их способность проводить электрический ток. Фактически современная цивилизация построена на этом свойстве. Вода, самое важное вещество для человека, является результатом соединения ковалентной связью одного атома кислорода и двух водорода. Угол между двумя этими соединениями и задает уникальные свойства воды. Многие вещества, помимо воды, обладают полезными свойствами только потому, что их атомы соединяет ковалентная связь (полярная и неполярная). Ионная связь чаще всего существует в кристаллах. Наиболее показательными являются полезные свойства лазеров. Сейчас они бывают разными: с рабочим телом в виде газа, жидкости, даже органического красителя. Но оптимальным соотношением мощности, размера и стоимости обладает все же твердотельный лазер. Однако ковалентная неполярная химическая связь, как и другие виды взаимодействия атомов в молекулах, присуща веществам в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком, газообразном. Для четвертого агрегатного состояния вещества, плазмы, говорить о связи бессмысленно. Фактически это сильно ионизированный разогретый газ. Однако в состоянии плазмы могут находиться молекулы твердых при нормальных условиях веществ – металлов, галогенов и т.д. Примечательно, что это агрегатное состояние вещества занимает наибольший объем Вселенной: звезды, туманности, даже межзвездное пространство представляют собой смешение разных видов плазмы. Мельчайшие частицы, которые способны пробить солнечные батареи спутников связи и вывести из строя систему GPS, являются пылевой низкотемпературной плазмой. Таким образом, привычный для людей мир, в котором важно знать тип химической связи веществ, представляет собой очень маленькую часть окружающей нас Вселенной.

Ковалентная полярная и неполярная химическая связь: примеры, донорно-акцепторный механизм образований

Химическим элементарным частицам свойственно соединяться друг с другом посредством формирования специальных взаимосвязей. Они бывают полярными и неполярными. Каждая из них имеет определенный механизм формирования и условия возникновения.

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Мой мир

Что это

Ковалентная связь — это образование, возникающее у элементов с неметаллическими свойствами. Наличие приставки «ко» свидетельствует о совместном участии атомных электронов разных элементов.

Понятие «валенты» означает наличие определенной силы. Возникновение такой взаимосвязи происходит посредством обобществления атомных электронов, не имеющих «пары».

Указанные химические связи возникают за счет появления «копилки» электронов, являющейся общей для обеих взаимодействующих частиц. Появление пар электронов осуществляется вследствие накладывания друг на друга электронных орбиталей. Указанные виды взаимодействия возникают между электронными облаками обоих элементов.

Важно! Ковалентная взаимосвязь появляется в случае объединения пары орбиталей.

Веществами с описанной структурой являются:

• многочисленные газы;
• вода;
• спирты;
• углеводы;
• белки;
• органические кислоты.

Ковалентная химическая связь образуется за счет формирования общественных пар электронов у простых веществ либо сложных соединений. Она бывает полярная и неполярная.

Как определить природу химической связи ? Для этого необходимо посмотреть на атомную составляющую частиц, присутствующих в формуле.

Химические связи описанного вида формируются только между элементами, где преобладают неметаллические свойства.

Если в соединении присутствуют атомы одинаковых либо разных неметаллов, значит возникающие между ними взаимосвязи – «ковалентные».

Когда в соединении одновременно присутствуют металл и неметалл говорят об образовании ионной взаимосвязи.

Структура с «полюсами»

Ковалентная полярная связь соединяет друг с другом атомы разных по природе неметаллов. Это могут быть атомы:

Есть и другое определение для указанных веществ. Оно говорит о том, что данная «цепочка» формируется между неметаллами с разными показателями электроотрицательности. В обоих случаях «подчеркивается» разновидность химических элементов-атомов, где возникла эта взаимосвязь.

Формула вещества с ковалентной полярной связью – это:

• HCI;
• CO;
• HBr;
• HF;
• NO и многие другие.

Представленные соединения в нормальных условиях могут иметь жидкие либо газообразные агрегатные состояния. Формула Льюиса помогает точнее понять механизм связывания атомных ядер.

Как появляется

Механизм образования ковалентной связи для атомных частиц с разными значениями электроотрицательности сводится к формированию общей плотности электронной природы.

Обычно она смещается к элементу, имеющему наибольший показатель электроотрицательности. Его можно определить по специальной таблице.

Из-за смещения общей пары «электрончиков» в сторону элемента с большим значением электроотрицательности, на нем частично формируется отрицательный заряд.

Соответственно другой элемент получит частичный положительный заряд. Вследствие этого образуется соединение с двумя разнозаряженными полюсами.

Нередко при образовании полярной взаимосвязи используется акцепторный механизм или донорно-акцепторный механизм. Примером вещества, образованного по данному механизму, служит молекула аммиака. В нем азот наделен свободной орбиталью, а водород – свободным электроном. Образующая общая электронная пара занимает данную орбиталь азота, в результате чего один элемент становится донором, а другой акцептором.

Описанный механизм образования ковалентной связи, как вид взаимодействия, характерен не для всех соединений с полярным связыванием. Примерами могут служить вещества органического, а также неорганического происхождения.

О неполярной структуре

Ковалентная неполярная связь связывает между собой элементы с неметаллическими свойствами, имеющими одинаковые значения электроотрицательности. Другими словами, вещества с ковалентной неполярной связью — это соединения, состоящие из разного количества идентичных неметаллов.

Формула вещества с ковалентной неполярной взаимосвязью:

Примеры соединений, относящиеся к указанной категории являются веществами простого строения. В формировании этого типа взаимодействия, как и других неметаллических взаимосвязей, задействуются «крайние» электроны.

В некоторой литературе их именуют валентными. Под валентностью подразумевают количество электронов, необходимых для завершения внешней оболочки. Атом может отдавать или принимать отрицательно заряженные частицы.

Описанная взаимосвязь относится к категории двухэлектронных либо двухцентровых цепочек. При этом пара электронов занимает общее положение между двумя орбиталями элементов. В структурных формулах электронную пару записывают в виде горизонтальной черты или «-». Каждая такая черточка показывает количество общих электронных пар в молекуле.

Для разрыва веществ с указанным видом взаимосвязи требуется затратить максимальное количество энергии, поэтому эти вещества являются одними из прочных по шкале прочности.

Внимание! В данную категорию относят алмаз – одно из самых прочных соединений в природе.

Как появляется

По донорно-акцепторному механизму неполярные взаимосвязи практически не соединяются. Ковалентная неполярная связь — это структура, формирующаяся посредством возникновения общих пар электронов. Данные пары в одинаковой степени принадлежат обоих атомам. Кратное связывание по формуле Льюиса точнее дает представление о механизме соединения атомов в молекуле.

Сходством ковалентной полярной и неполярной связи является появление общей электронной плотности. Только во втором случае образующиеся электронные «копилки» в одинаковой мере принадлежат обоим атомам, занимая центральное положение. В результате не образуются частичные положительные и отрицательные заряды, а значит образующиеся «цепи» являются неполярными.

Важно! Неполярная взаимосвязь приводит к образованию общей электронной пары, за счет чего последний электронный уровень атома становится завершенным.

Свойства веществ с описанными структурами существенно различаются от свойств веществ с металлической либо ионной взаимосвязью.

Что такое ковалентная полярная связь

Какие бывают виды химической связи

9. Неполярная и полярная ковалентные связи

При помощи химической связи атомы элементов в составе веществ удерживаются друг возле друга. Тип химической связи зависит от распределения в молекуле электронной плотности.

Химическая связь – взаимное сцепление атомов в молекуле и кристаллической решетке под воздействием электрических сил притяжения между атомами. Атом на внешнем энергетическом уровне способен содержать от одного до восьми электронов. Валентные электроны – электроны предвнешнего, внешнего электронных слоев, участвующие в химической связи. Валентность – свойство атомов элемента образовывать химическую связь.

Ковалентная связь образуется за счет общих электронных пар, возникающих на внешних и предвнешних подуровнях связываемых атомов.

Общая электронная пара осуществляется через обменный или донорно-акцепторный механизм. Обменный механизм образования ковалентной связи – спаривание двух неспа-ренных электронов, принадлежащих различным атомам. Донорно-акцепторный механизм образования ковалетной связи – образование связи за счет пары электронов одного атома (донора) и вакантной орбитали другого атома (акцептора).

Есть две основные разновидности ковалентной связи: неполярная и полярная.

Ковалентная неполярная связь возникает между атомами неметалла одного химического элемента (O2, N2, Cl2) – электронное облако связи, образованное общей парой электронов, распределяется в пространстве симметрично по отношению к ядрам обоих атомов.

Ковалентная полярная связь возникает между атомами различных неметаллов (HCl, CO2, N2O) – электронное облако связи смещается к атому с большей электроотрицательностью.

Чем сильнее перекрываются электронные облака, тем прочнее ковалентная связь.

Электроотрицательность – способность атомов химического элемента оттягивать к себе общие электронные пары, участвующие в образовании химической связи.

Свойства ковалентной связи: 1) энергия; 2) длина; 3) насыщаемость; 4) направленность.

Длина связи – расстояние между ядрами атомов, образующих связь.

Энергия связи – количество энергии, необходимое для разрыва связи.

Насыщаемость – способность атомов образовывать определенное число ковалентных связей.

Направленность ковалентной связи – параметр, определяющий пространственную структуру молекул, их геометрию, форму.

Гибридизация – выравнивание орбиталей по форме и энергии. Существует несколько форм перекрывания электронных облаков с образованием ?-связей и ?-связей (?-связь намного прочнее ?-связи, ?-связь может быть только с ?-связью).

10. Многоцентровые связи

В процессе развития метода валентных связей выяснилось, что настоящие свойства молекулы оказываются промежуточными между теми, которые описывает соответствующая формула. Такие молекулы описывают набором из нескольких валентных схем (метод наложения валентных схем) . В качестве примера рассматривается молекула метана СН4. В ней отдельные молекулярные орбитали взаимодействуют друг с другом. Это явление называется локализованной многоцентровой ковалентной связью. Эти взаимодействия слабые, поскольку степень перекрывания орбиталей невелика. Но молекулы с многократно перекрывающимися атомными орбиталями, ответственными за образование связей путем обобществления электронов тремя и более атомами, существуют (дибо-ран В2Н6). В этом соединении центральные атомы водорода соединены трехцентровыми связями, образовавшимися в результате перекрывания sp3-гибридных орбиталей двух атомов бора с 1s-атомной орбиталью атома водорода.

С точки зрения метода молекулярных орбиталей считается, что каждый электрон находится в поле всех ядер, но связь не обязательно образована парой электронов (Н2+ – 2 протона и 1 электрон).

Метод молекулярных орбиталей использует представление о молекулярной орбитали, описывая распределение электронной плотности в молекуле.

Молекулярные орбитали – волновые функции электрона в молекуле или другой многоатомной химической частице. Молекулярная орбиталь (МО) занята одним или двумя электронами. В области связывания состояние электрона описывает связывающая молекулярная орбиталь, в области разрыхления – разрыхляющая молекулярная орбиталь. Распределение электронов по молекулярным орбиталям происходит так же как и распределение электронов по атомным орбиталям в изолированном атоме. Молекулярные орбитали формируются при комбинациях атомных орбиталей. Их число, энергия и форма выводятся исходя из числа, энергии и формы орбиталей атомов – элементов молекулы.

Волновые функции, отвечающие молекулярным орбиталям в двухатомной молекуле, представляют в виде суммы и разности волновых функций, атомных орбиталей, умноженных на постоянные коэффициенты: ?(АВ) = c1?(A)±c2?(B). Это метод вычисления одноэлектронной волновой функции (молекулярные орбитали в приближении линейной комбинации атомных орбиталей).

Энергии связывающих орбиталей ниже энергии атомных орбиталей. Электроны связывающих молекулярных орбиталей находятся в пространстве между связываемыми атомами.

Энергии разрыхляющих орбиталей выше энергии исходных атомных орбиталей. Заселение разрыхляющих молекулярных орбиталей электронами ослабляет связь.

Разница между неполярными и полярными ковалентными связями

Неполярные и полярные ковалентные связи

Неполярные и полярные ковалентные связи относятся к трем категориям полярности, а также к двум типам ковалентных связей. Все три типа (ионные, полярные и неполярные) классифицируются как химические связи, в которых существует сила (электроотрицательность), которая позволяет притягивать атомы двух конкретных элементов. Количество возможных ковалентных связей определяется количеством вакансий во внешней оболочке электронов конкретного элемента.

Для некоторого размышления, три категории полярности или связей — это ионные связи и ковалентные связи. Дальнейшая классификация ковалентных связей выявляет эти два типа. Как неполярные, так и полярные ковалентные связи встречаются в двух разных и неметаллических элементах. Обе классификации также имеют дело с распределением и разделением электронов, а также с результирующей электроотрицательностью.

Когда два элемента объединяются, часть электронов от обоих элементов может переноситься между собой.Электроотрицательность, или способность одного элемента притягивать и захватывать электрон другого элемента, важна для определения типа связи между двумя элементами. Перенос или притяжение может вызывать как равное, так и неравное распределение электронов.

Полярные ковалентные связи характеризуются атомами с неравными или неравными числами или разделением электронов между двумя электронами. Электроотрицательность обоих элементов разная и неодинаковая. Еще одна характеристика полярной ковалентной связи — наличие у молекулы отрицательного заряда с одной стороны и положительного заряда с другой.Частичный заряд также является определяющей чертой этой ковалентной связи.

Молекулы в этом типе связи также имеют определенную ось (или оси) частично положительного и частично отрицательного. С другой стороны, неполярные ковалентные связи имеют равное или почти равное распределение или распределение электронов между двумя элементами. Неполярные ковалентные связи не имеют определенной оси или осей по сравнению с полярными ковалентными связями.

По шкале классификации ионная связь (связь, которая существует между металлом и неметаллом) имеет наибольшую электроотрицательность и полярность.За ионной связью следует полярная ковалентная связь и, наконец, неполярная ковалентная связь. Полярную ковалентную связь можно рассматривать как частично ионную, потому что она все еще может иметь полярность. Между тем, неполярная ковалентная связь противоположна ионной связи. Поскольку элементы в неполярных ковалентных связях практически не имеют возможности притягивать или оттягивать электроны от другого элемента, вероятность притяжения других электронов от другого элемента практически отсутствует.

Резюме:

1.Полярные и неполярные ковалентные связи — это два типа связей. Оба они подпадают под категорию типов связей, которая также включает ионную связь.

2. Ковалентные связи (неполярные и полярные) классифицируются как связи, которые возникают в неметаллических элементах, тогда как ионные связи возникают в сочетании металлических элементов и неметаллических элементов.

3. Некоторыми из связанных понятий, касающихся полярных ковалентных связей и нековалентных связей, являются электроотрицательность (или измерение того, как два элемента разделяют или распределяют электроны друг в друге) и полярность.

4. Полярные ковалентные связи характеризуются неравномерным распределением электронов двух элементов. Они также сохраняют положительный и отрицательный полюсы, что позволяет им иметь определенную электроотрицательность. С другой стороны, неполярные ковалентные связи описываются как имеющие электроны, которые похожи или почти равны по количеству электронов. Эта характеристика делает их не менее или менее электроотрицательными.

5. Полярные ковалентные связи имеют определенную ось или оси, в то время как неполярные ковалентные связи лишены этой особенности.

6. Полярные ковалентные связи имеют заряд (из-за наличия как положительных, так и отрицательных полюсов), в то время как неполярные ковалентные связи не имеют заряда.

: Если вам понравилась эта статья или наш сайт. Пожалуйста, расскажите об этом. Поделитесь им с друзьями / семьей.

Укажите
Селин. «Разница между неполярными и полярными ковалентными связями». DifferenceBetween.net. 26 февраля 2018.

Полярное и неполярное

Чем больше разница электроотрицательностей, тем более ионная связь. Связи, которые являются частично ионными, называются полярными ковалентными связями .

Неполярные ковалентные связи с равным распределением электронов связи возникают, когда электроотрицательности двух атомов равны.

• Связь между двумя атомами неметалла, имеющими одинаковые электроотрицательность и, следовательно, имеют равное распределение связывающего электрона пара
• Пример: в H-H каждый атом H имеет электроотрицательность. значение 2.1, поэтому ковалентная связь между ними считается неполярной

Полярная ковалентная связь

• Связь между двумя атомами неметалла, имеющими разные электроотрицательности и, следовательно, неравномерное распределение связывающего электрона пара
• Пример: в H-Cl электроотрицательность Cl атома 3,0, а атома H 2,1
• В результате получается связь, в которой электронная пара смещается. к более электроотрицательному атому.Тогда этот атом получает частично отрицательный заряд, в то время как менее электроотрицательный атом имеет частично положительный заряд. разделение заряда или диполь связи можно проиллюстрировать с помощью стрелка, острие которой направлено в сторону более электроотрицательного атома.

• Внутри молекулы каждая полярная связь имеет диполь связи
• Полярная молекула всегда содержит полярные связи, но некоторые молекулы с полярными связями неполярны.

Полярный Молекула

• Молекула, в которой присутствующие диполи связи не компенсируют друг друга и, таким образом, дают молекулярный диполь . (см. ниже) . Отмена зависит от формы молекулы или стереохимии. и ориентация полярных связей.

Молекулярный диполь

• Результат диполей связи в молекуле.
• Связанные диполи могут или не могут аннулироваться, производя либо неполярные молекулы, если они сокращаются, либо полярные, если они не отменить
• Примеры:
• CO ₂ представляет собой линейную молекулу с 2 равные и противоположно направленные диполи связи, поэтому связь полярности отменяются, и молекула неполярна.

• HCN представляет собой линейную молекулу с двумя диполями связей, расположенными в одном направлении. и не равны, поэтому полярности связей не сокращаются, и молекула полярный

• Больше примеров можно найти в Таблице: Стереохимия. некоторых общих молекул

• Для фигурных диаграмм:
• Сплошные линии представляют облигации, которые находятся в той же самолет как у страницы
• Пунктирными линиями обозначены облигации, которые направлены на . самолет страницы
• Клин указывает облигации, которые направлены на наружу. самолет ст.
• При определении формы молекул электронные пары кратного облигации считаются группой, поскольку все образованные облигации имеют одинаковое направление

4.4: Полярные и неполярные ковалентные связи

Навыки для развития

• Ковалентные связи имеют определенные характеристики, которые зависят от идентичности атомов, участвующих в связи. Двумя характеристиками являются длина связи и полярность связи.

Электроотрицательность и полярность связи

Хотя мы определили ковалентную связь как разделение электронов, электроны в ковалентной связи не всегда одинаково распределяются между двумя связанными атомами.Если связь не соединяет два атома одного и того же элемента, всегда будет один атом, который притягивает электроны в связи сильнее, чем другой атом, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \). Когда возникает такой дисбаланс, возникает накопление некоторого отрицательного заряда (называемого частичным отрицательным зарядом и обозначенного δ−) на одной стороне связи и некоторого положительного заряда (обозначенного δ +) на другой стороне связи. Ковалентная связь с неравномерным распределением электронов, как показано в части (b) рисунка \ (\ PageIndex {1} \), называется полярной ковалентной связью.Ковалентная связь, которая имеет равное распределение электронов (часть (a) на рисунке \ (\ PageIndex {1} \)), называется неполярной ковалентной связью.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \) Полярные и неполярные ковалентные связи. (а) Электроны в ковалентной связи в равной степени разделяются обоими атомами водорода. Это неполярная ковалентная связь. (б) Атом фтора притягивает электроны в связи больше, чем атом водорода, что приводит к дисбалансу в распределении электронов.Это полярная ковалентная связь.

Любая ковалентная связь между атомами разных элементов является полярной связью, но степень полярности сильно различается. Некоторые связи между различными элементами только минимально полярны, в то время как другие сильно полярны. Ионные связи можно считать предельной полярностью, при которой электроны передаются, а не разделяются. Чтобы судить об относительной полярности ковалентной связи, химики используют электроотрицательность, которая является относительной мерой того, насколько сильно атом притягивает электроны, когда образует ковалентную связь.Существуют различные числовые шкалы для оценки электроотрицательности. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) показана одна из самых популярных — шкала Полинга. О полярности ковалентной связи можно судить, определив разницу в электроотрицательностях двух атомов, образующих связь. Чем больше разница в электроотрицательностях, тем больше дисбаланс распределения электронов в связи. Хотя нет никаких жестких правил, общее правило состоит в том, если разница в электроотрицательностях меньше примерно 0.4 связь считается неполярной; если разница больше 0,4, связь считается полярной. Если разница в электроотрицательностях достаточно велика (обычно больше примерно 1,8), полученное соединение считается ионным, а не ковалентным. Разность электроотрицательностей, равная нулю, конечно же, указывает на неполярную ковалентную связь.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \) Электроотрицательность различных элементов. В популярной шкале электроотрицательностей для атомов фтора установлено значение 4.0, максимальное значение.

Опишите разницу электроотрицательности между каждой парой атомов и результирующую полярность (или тип связи).

1. C и H
2. H и H
3. Na и Cl
4. O и H

РЕШЕНИЕ

1. Углерод имеет электроотрицательность 2,5, а водород — 2,1. Разница составляет 0,3, что довольно мало.Поэтому связь C – H считается неполярной.
2. Оба атома водорода имеют одинаковое значение электроотрицательности — 2,1. Разница равна нулю, значит связь неполярная.
3. Электроотрицательность натрия составляет 0,9, а хлора — 3,0. Разница составляет 2,1, что довольно велико, поэтому натрий и хлор образуют ионное соединение.
4. При 2,1 для водорода и 3,5 для кислорода разница электроотрицательностей составляет 1,4. Мы ожидаем очень полярной связи, но не настолько полярной, чтобы связь O – H считалась ионной.

Упражнение

Опишите разницу электроотрицательности между каждой парой атомов и результирующую полярность (или тип связи).

1. C и O
2. N и H
3. N и
N
4. C и F

Когда связи молекулы полярны, молекула в целом может демонстрировать неравномерное распределение заряда в зависимости от того, как ориентированы отдельные связи. Например, ориентация двух связей O – H в молекуле воды (рис. \ (\ PageIndex {3} \)) изогнута: один конец молекулы имеет частично положительный заряд, а другой конец — частично отрицательный. обвинение.Короче говоря, сама молекула полярна. Полярность воды оказывает огромное влияние на ее физические и химические свойства. (Например, температура кипения воды [100 ° C] высока для такой маленькой молекулы и связана с тем, что полярные молекулы сильно притягиваются друг к другу.) Напротив, в то время как две связи C = O в диоксиде углерода являются полярные, они лежат прямо напротив друг друга и поэтому нейтрализуют эффекты друг друга. Таким образом, молекулы диоксида углерода в целом неполярны. Это отсутствие полярности влияет на некоторые свойства углекислого газа.(Например, углекислый газ превращается в газ при -77 ° C, что почти на 200 ° ниже, чем температура, при которой закипает вода.)

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \) Физические свойства и полярность. На физические свойства воды и углекислого газа влияет их полярность.

Упражнения по обзору концепции

1. На что указывает электроотрицательность атома?

2. Какой тип связи образуется между двумя атомами, если разница в электроотрицательности мала? Средний? Большой?

ответов

1. Электроотрицательность — это качественная мера того, насколько атом притягивает электроны ковалентной связью.

Основные выводы

• Ковалентные связи между разными атомами имеют разную длину связи.
• Ковалентные связи могут быть полярными или неполярными, в зависимости от разницы электроотрицательностей между задействованными атомами.

Авторы

Последовательность — это… Что такое Последовательность?

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).

Образ натурального числа , а именно, элемент , называется —ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.

Связанные определения

• Подмножество множества , которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.

• Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

• Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка как одноточечное подмножество является носителем стационарной последовательности вида .

• Любое отображение множества в себя также является последовательностью.

Обозначения

Последовательности вида

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

или

иногда используются фигурные скобки:

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также

Числовые последовательности и их свойства. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

Ряд (математика) — Википедия

Ряд, называемый также бесконечная сумма — одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел^[1]:

a1+a2+a3+…+an+…{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad } Краткая запись: ∑n=1∞an{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

Здесь a1,a2,a3…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots } — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Чтобы присвоить числовому ряду значение суммы, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:

S1=a1{\displaystyle S_{1}=a_{1}}

S2=a1+a2{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}

S3=a1+a2+a3{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Sn=a1+a2+a3+⋯+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Если последовательность частичных сумм имеет предел S{\displaystyle S} (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S.{\displaystyle S.} При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится^[1].

Числовые ряды и их обобщения (см. ниже о нечисловых рядах) используются повсеместно в математическом анализе для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций, при решении алгебраических или дифференциальных уравнений. Разложение функции в ряд можно рассматривать как обобщение задания вектора координатами, эта операция позволяет свести исследование сложной функции к анализу элементарных функций и облегчает численные расчёты^[2]. Ряды — незаменимый инструмент исследования не только в математике, но и в физике, астрономии, информатике, статистике, экономике и других науках.

Примеры[править | править код]

Простейшим примером сходящегося ряда является сумма членов бесконечной геометрической прогрессии^[3] со знаменателем q<1{\displaystyle q<1}:

a+aq+aq2+aq3+…{\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots }

Частичная сумма Sn=a1−qn1−q.{\displaystyle S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.} Предел этого выражения limn→∞Sn=a1−q,{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q}},} это и есть сумма бесконечной геометрической прогрессии^[1]. Например, при a=1,q=12{\displaystyle a=1,q={\frac {1}{2}}} получается ряд, сумма которого равна 2:

1+12+14+18+…{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots }

Десятичную дробь с бесконечной дробной частью можно рассматривать как сумму ряда^[3]; например, число π=3,1415926…{\displaystyle \pi =3{,}1415926\dots } есть сумма следующего ряда:

3+1101+4102+1103+5104+9105+…{\displaystyle 3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+{\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\dots }

Более сложным примером является ряд обратных квадратов, сумму которого лучшие математики Европы не могли найти более 100 лет^[4]:

∑n=1∞1n2=π26{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Ряд 1+1+1+…{\displaystyle 1+1+1+\dots } расходится, сумма его бесконечна. Расходится и гармонический ряд:∑n=1∞1n=∞.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}={\infty }.} «Ряд Гранди» 1−1+1−1+1−1…{\displaystyle 1-1+1-1+1-1\dots } расходится, его частичные суммы колеблются от 1 до 0, поэтому предела частичных сумм не существует, суммы у этого ряда нет^[5].

Классификация[править | править код]

Положительный ряд — вещественный ряд, все члены которого неотрицательны. У положительных рядов сумма всегда существует, но может быть бесконечна^[6].

Знакочередующийся ряд — вещественный ряд, в котором знаки членов чередуются: плюс, минус, плюс, минус и т. д. Для таких рядов существует простой признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся вариант приведенного выше гармонического ряда, в отличие от последнего, сходится^[7]:

1−12+13−14+15−⋯=ln⁡(2){\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}

Абсолютная и условная сходимость[править | править код]

Говорят, что вещественный или комплексный ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей (абсолютных величин) его членов^[7]:

∑n=1∞|an|{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}

Абсолютно сходящийся ряд сходится и в обычном смысле этого понятия. При этом всякий такой ряд обладает важным свойством переместительности: при любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд с той же суммой^[8].

Если числовой ряд сходится, но не абсолютно, он называется условно сходящимся. Пример:

1−12+13−14+15…{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dots } Сам ряд сходится, но ряд его абсолютных величин (гармонический ряд) расходится^[7].

Свойства условно сходящихся рядов^[7].

• Если ряд сходится условно, то как ряд из его положительных членов, так и ряд из его отрицательных членов расходятся.
  • Следствие (критерий абсолютной сходимости): ряд из вещественных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся как ряд из положительных его членов, так и ряд из отрицательных членов.
• (теорема Римана): Перестановкой членов условно-сходящегося ряда можно получить ряд с любой заданной вещественной суммой.

Операции над рядами[править | править код]

Пусть заданы сходящиеся ряды ∑n=1∞an{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} и ∑n=1∞bn{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}. Тогда:

• Их суммой называется ряд ∑n=1∞(an+bn),{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),} разностью — ряд ∑n=1∞(an−bn).{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).}
• Их произведением Коши^[en] называется ряд ∑n=1∞cn{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}}, где:

cn=∑k=1nakbn−k+1=a1b1+(a1b2+a2b1)+(a1b3+a2b2+a3b1)+⋯+(a1bn+a2bn−1+⋯+anb1){\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\dots +(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\dots +a_{n}b_{1})}

Если оба ряда сходятся, то их сумма и разность также сходятся. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из исходных рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Необходимый признак сходимости числового ряда[править | править код]

Ряд a1+a2+a3+…+an+…{\displaystyle {a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots } может сходиться лишь в том случае, когда член an{\displaystyle {a}_{n}} (общий член ряда) с возрастанием его номера стремится к нулю^[9]:

limn→∞an=0.{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.}

Это необходимый признак сходимости ряда, но он не является достаточным — у гармонического ряда, например, общий член с ростом номера неограниченно уменьшается, тем не менее ряд расходится. Если же общий член ряда не стремится к нулю, то ряд заведомо расходится^[9].

Сходящиеся ряды[править | править код]

Свойство 1. Если ряд

∑n=1∞an=a1+a2+a3+a4+…{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}+\ldots }   (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

∑n=1∞can=ca1+ca2+ca3+ca4+…{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3}+c{a}_{4}+\ldots }  (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

∑n=1∞bn{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}},

а их суммы равны S1{\displaystyle {S}_{1}} и S2{\displaystyle {S}_{2}} соответственно, то сходятся и ряды

∑n=1∞(an±bn){\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }({a}_{n}\pm {b}_{n})},

причём сумма каждого равна соответственно S1±S2{\displaystyle {S}_{1}\pm {S}_{2}}.

Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости (см. список).

Нерешённые проблемы[править | править код]

До сих пор неизвестно, сходится ли «ряд Флинт Хиллз» (Flint Hills Series)^[10]:

∑n=1∞cosec2⁡(n)n3{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {cosec} ^{2}(n)}{n^{3}}}}

Если удастся доказать, что этот ряд сходится, то как следствие получится важный факт: мера иррациональности числа π{\displaystyle \pi } меньше, чем 2,5.

Известно, что сумма ряда обратных квадратов и суммы других рядов с обратными чётными степенями выражаются через степени числа π,{\displaystyle \pi ,} но мало что известно про сумму обратных кубов («константу Апери»):

113+123+133+143+⋯≈1,2020569{\displaystyle {\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots \approx 1{,}2020569}.

Никто пока не сумел связать это значение с классическими константами или элементарными функциями^[11].

Понятие бесконечного ряда и его суммы можно ввести не только для чисел, но и для других математических объектов, для которых определены сложение и понятие близости, позволяющее определить предел. Например, в анализе широко используются ряды из функций: степенные ряды, ряды Фурье, ряды Лорана. Членами ряда могут быть также векторы, матрицы и др.

Общее определение[править | править код]

Ряд (или бесконечная сумма) в математике — последовательность элементов (членов данного ряда) a1,a2,a3…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots } некоторого топологического векторного пространства, рассматриваемая вместе с множеством частичных сумм членов ряда (частичные суммы определяются так же, как и в числовых рядах). Если для последовательности частичных сумм определён предел: S=limn→∞Sn,{\displaystyle S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},} то значение S{\displaystyle S} называется суммой данного ряда, а сам ряд называется сходящимся (в противном случае — расходящимся)^[12].

Ряды всегда можно почленно складывать или вычитать, причём сумма и разность сходящихся рядов также сходятся. Если члены рядов берутся из кольца или поля, то ряды сами образуют кольцо относительно сложения и произведения Коши^[en].

Функциональные ряды[править | править код]

Определение и свойства[править | править код]

Ряд называется функциональным, если все его члены — функции, определённые на некотором множестве:

a1(x)+a2(x)+a3(x)+…+an(x)+…;{\displaystyle a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad } краткая запись: ∑n=1∞an(x){\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)}

Частичные суммы в этом случае также являются функциями, заданными на том же множестве. Ряд называется сходящимся на множестве X{\displaystyle X}, если при любом фиксированном x0∈X{\displaystyle x_{0}\in X} сходится числовой ряд^[2]:

a1(x0)+a2(x0)+a3(x0)+…+an(x0)+…{\displaystyle a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+\ldots }

Множество X{\displaystyle X} называется областью сходимости ряда. Сумма ряда, очевидно, также является функцией на X.{\displaystyle X.} Кроме так определённой «поточечной» сходимости, в разных пространствах могут быть использованы и другие нормы близости, от которых зависит существование предела частичных сумм.

Пример — разложение в ряд рациональной дроби:

11+x2=1−x2+x4−x6+…{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }

Этот ряд сходится в интервале (−1;1){\displaystyle (-1;\;1)}.

Среди основных типов функциональных рядов:

Равномерная сходимость[править | править код]

Вообще говоря, свойства суммы могут отличаться от свойств членов ряда — например, сумма ряда непрерывных функций может не быть непрерывной.

Говорят, что сходящийся на множестве X{\displaystyle X} функциональный ряд равномерно сходится (на этом множестве)^[13], если последовательность частичных сумм ряда равномерно сходится на X{\displaystyle X}.

Существуют несколько признаков, позволяющих убедиться в равномерной сходимости ряда^[13]:

Важность понятия равномерной сходимости ряда показывают следующие теоремы (все функции считаются вещественными).

• Сумма ряда из функций, непрерывных в некоторой точке x0{\displaystyle x_{0}}, будет и сама непрерывна в этой точке при условии, что функциональный ряд в точке x0{\displaystyle x_{0}} сходится равномерно. В частности, сумма равномерно сходящегося ряда вещественных функций, непрерывных на отрезке [a,b],{\displaystyle [a,b],} также будет непрерывна на этом отрезке^[14].
• Если функции fn(x){\displaystyle f_{n}(x)} непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b]{\displaystyle [a,b]} и оба ряда:

f1(x)+f2(x)+f3(x)+…{\displaystyle f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots }

df1(x)dx+df2(x)dx+df3(x)dx+…{\displaystyle {\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\dots }

сходятся на [a,b]{\displaystyle [a,b]}, причём ряд производных сходится равномерно, то сумма ряда имеет производную, и дифференцировать ряд можно почленно^[15]:

ddx(f1(x)+f2(x)+f3(x)+…)=df1(x)dx+df2(x)dx+df3(x)dx+…{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\dots }

∫abF(x)dx=∑n=1∞∫abfn(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n}}(x)dx}

Условие равномерной сходимости гарантирует, что ряд справа сходится.

Пример неравномерно сходящегося степенного ряда — геометрическая прогрессия 1+x+x2+x3+…{\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\dots } В промежутке [0,1){\displaystyle [0,1)} она сходится к функции 11−x,{\displaystyle {\frac {1}{1-x}},} но не равномерно (о чём свидетельствует бесконечный скачок суммы при приближении к 1)^[17].

Ряды матриц[править | править код]

В кольце числовых квадратных матриц фиксированного порядка n

Числовая последовательность — это… Что такое Числовая последовательность?

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть множество — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности — это последовательность , где — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

• Для всякой подпоследовательности верно, что .

• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

• Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

  стационарная

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

ограниченная

Свойства ограниченных последовательностей

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.
• Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Вариации и обобщения

Примечания

См. также

Математическая последовательность — это… Что такое Математическая последовательность?

Математическая последовательность

Последовательность — функция одного натурального переменного, обладающая следующим свойством:

Областью значений функции может при этом быть произвольное множество X. Желая уточнить характер этой области, нередко говорят о «последовательности элементов множества X».

Значение обычно называют членом последовательности , имеющим номер .

Упорядоченные наборы первых членов последовательности (рассматриваемые в предположении о существовании члена ) называют начальными отрезками последовательности.

Символика

При записи членов последовательностей номер обычно пишут не в скобках после символа функции, а в качестве нижнего индекса при этом символе. Например, вместо записи x(n) для n-го члена последовательности x применяют запись x_n.

Чаще всего рассматриваются последовательности, областью определения которых является весь натуральный ряд. С целью указать на такой характер области определения функции x используют обозначение . Аналогично, для последовательностей, областью определения которых является отрезок натурального ряда вида

,

используют обозначение .

Примеры

• Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x₅ этой последовательности является слово «май».

Типы последовательностей

• Бесконечно малая — последовательность, предел которой равен 0.
• Бесконечно большая — последовательность, предел которой равен бесконечности.
• Стационарная — последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

Вариации и обобщения

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

• Математика Древнего Востока
• Математическая сингулярность

Смотреть что такое «Математическая последовательность» в других словарях:

• ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ — ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ, математическая ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, каждый член которой является суммой двух предыдущих. Таким образом, если энный член последовательности обозначается хn, то для всей последовательности справедливым будет уравнение:… …   Научно-технический энциклопедический словарь

• МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА — математическая дисциплина, предметом к рой являются модели экономич. объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономич. происхождением, интерпретацией и… …   Математическая энциклопедия

• МАТЕМАТИЧЕСКАЯ (АНАЛИТИЧЕСКАЯ) ГЕОЛОГИЯ , — Вистелиус, 1944, 1969, научная дисциплина, занимающаяся математическим моделированием геол. процессов и примыкающими к этому вопросу задачами. Термин предложен в 1944 г. в русской лит., поддержан акад. В. И. Вернадским; в 1947 г. появился в англ …   Геологическая энциклопедия

• последовательность проверки кадра — Любая математическая формула, определяющая числовое значение на основе последовательности битов переданного блока информации и использующая это значение на приемном конце для обнаружения ошибок передачи. В сетях FDDI и Token Ring FCS использует… …   Справочник технического переводчика

• Математическая индукция — Математическая индукция  один из методов математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала пров …   Википедия

• Математическая константа — У этого термина существуют и другие значения, см. Константа. Математическая константа  величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических констант, математические константы определены… …   Википедия

• E (математическая константа) — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… …   Википедия

• Е (математическая константа) — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… …   Википедия

• Подпоследовательность — (математическая)         последовательность x1, x2,…, xn,… с соблюдением порядка, т. е. при условии, что n1 …   Большая советская энциклопедия

• Теория волн Эллиотта — (Elliott Wave Theory) Теория волн Эллиотта это математическая теория об изменении поведения общества или финансовых рынков Все о волновой теории Эллиотта: видео, книги, статьи о теории волн, информация о советниках и индикаторах волн Эллиотта… …   Энциклопедия инвестора

Книги

• Алгебра. 7 класс. Учебник. В 2-х частях. ФГОС, Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лидия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна. Учебник написан в соответствии с ФГОС ООО, реализует авторскую концепцию, в которой приоритетной содержательно-методической основой является функционально-графическая линия, а идейным… Подробнее  Купить за 1191 руб
• Алгебра. 8 класс. Учебник + задачник. ФГОС (количество томов: 2), Мордкович А.Г.. Учебник написан в соответствии с ФГОС ООО, реализует авторскую концепцию, в которой приоритетной содержательно-методической основой является функционально-графическая линия, а идейным… Подробнее  Купить за 730 руб
• Медицинская статистика, А. Н. Герасимов. В книге, подготовленной заведующим кафедрой медицинской информатики и статистики ММА им. И. М. Сеченова, речь идет о статистической обработке медицинских данных с помощью пакетов… Подробнее  Купить за 580 руб

Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию задать на множестве натуральных чисел, то множество значений функции будет счетным и каждому номеруставится в соответствие число. В этом случае говорят, что заданачисловая последовательность. Числаназываютэлементамиили членами последовательности, а число– общим или–м членом последовательности. Каждый элементимеет последующий элемент. Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером, т.е. указанием формулы ее‑го члена.

Пример. Последовательностьможет быть задана формулой:.

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее-го члена.

Пример. Последовательность‑это последовательность

Множество всех элементов последовательности обозначается.

Пусть и‑ две последовательности.

Суммой последовательностейиназывают последовательность, где, т.е..

Разностьюэтих последовательностей называют последовательность, где, т.е..

Если и ‑постоянные, то последовательность ,называютлинейной комбинациейпоследовательностейи, т.е.

.

Произведениемпоследовательностейиназывают последовательность с-м членом, т.е..

Если , то можно определитьчастное.

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей иназываются ихалгебраическимикомпозициями.

Пример. Рассмотрим последовательности и, где. Тогда, т.е. последовательностьимеет все элементы, равные нулю.

, , т.е. все элементы произведения и частного равны.

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемуюподпоследовательностьюпоследовательности. Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности, то новую последовательность называютостатком.

Последовательность ограниченасверху(снизу), если множествоограничено сверху (снизу). Последовательность называютограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность сходится, если существует числотакое, что для любогосуществует такое, что для любого, выполняется неравенство:.

Число называютпределом последовательности. При этом записываютили.

Пример..

Покажем, что . Зададим любое число. Неравенствовыполняется для, такого, что, что определение сходимости выполняется для числа. Значит,.

Иными словами означает, что все члены последовательностис достаточно большими номерами мало отличается от числа, т.е. начиная с некоторого номера(при) элементы последовательности находятся в интервале, который называется–окрестностью точки.

Последовательность , предел которой равен нулю (, илипри) называетсябесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

• Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

• Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема.Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы, где– постоянная;– бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2. Сходящаяся последовательность ограничена;

3. Если , то;

4. При любых постоянных и;

5. _;

6. Если ,и, то;

7. Если , то;

8. Если и, то;

9. Если , то.

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степеничислителя и знаменателя).

Последовательность называется:

• возрастающей, если ;

• строго возрастающей, если ;

• убывающей, если ;

• строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема.Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Монотонная последовательность — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Пусть имеется множество X{\displaystyle X}, на котором введено отношение порядка.

Последовательность {xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X{\displaystyle X} называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

{xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} — неубывающая ⇔ ∀n∈N:xn⩽xn+1{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}

Последовательность {xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X{\displaystyle X} называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

{xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} — невозрастающая ⇔ ∀n∈N:xn⩾xn+1{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}

Последовательность {xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X{\displaystyle X} называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

{xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} — возрастающая ⇔ ∀n∈N:xn<xn+1{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1}}

Последовательность {xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X{\displaystyle X} называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

{xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} — убывающая ⇔ ∀n∈N:xn>xn+1{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.^[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }, а лишь для номеров из некоторого диапазона

I={n∈N∣N−⩽n<N+}{\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}}

(здесь допускается обращение правой границы N+{\displaystyle N_{+}} в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I{\displaystyle I}, а сам диапазон I{\displaystyle I} называется промежутком монотонности последовательности.

• Последовательность натуральных чисел.
  • ∀n∈N:xn=n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=n}.
  • Начальные отрезки: (1,2,3,4,5,6,7,8,⋯){\displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )}.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.
  • xn={1,n=1∨n=2xn−1+xn−2,n⩾3{\displaystyle x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{n-1}+x_{n-2},&n\geqslant 3\end{cases}}}
  • Начальные отрезки: (1,1,2,3,5,8,13,21,⋯){\displaystyle (1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )}.
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием 1/2{\displaystyle 1/2}.
  • ∀n∈N:xn=12n−1{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}}.
  • Начальные отрезки: (1,1/2,1/4,1/8,1/16,⋯){\displaystyle (1,1/2,1/4,1/8,1/16,\cdots )}.
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.
  • ∀n∈N:xn=(1+1n)n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}.
  • Начальные отрезки: (2,9/4,64/27,625/256,⋯){\displaystyle (2,9/4,64/27,625/256,\cdots )}.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида xn=(n−5)2{\displaystyle x_{n}=\,\!(n-5)^{2}} не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке {1,2,3,4}{\displaystyle \{1,\,\!2,3,4\}} и (строго) возрастает на промежутке {n∈N∣n⩾5}{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid n\geqslant 5\}}.

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

Доказательство неравенств | Алгебра

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

Определения

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

a<b, если a-b<o.

3)a≥b, если a-b>0 или a=b (то есть a-b≥0).

4)a≤b, если a-b<0 или a=b (то есть a-b≤0).

I. Доказательство неравенств с помощью определения.

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Примеры.

1) Доказать неравенство: (a+9)(a-2)<a(a+7a).

Доказательство:

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

(a+9)(a-2)-a(a+7a)=a²-2a+9a-18-a²-7a=-18<0.

Поскольку разность равна отрицательному числу,

(a+9)(a-2)<a(a+7a).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что при любом действительном значении переменной x верно неравенство:

9x²+48>30x.

Доказательство:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

9x²+48-30x=(3x)²-2·3x·5+5²-5²+48=(3x-5)²+23.

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

23>0.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

Доказательство:

Выделим полные квадраты в левой части неравенства:

x²+y²+16x-20y=(x²+16x)+(y²-20y)+190=

=(x²+2·x·8+8²)-8²+(y²-2·y·10+10²)-10²+190=(x+8)²+(y-10)²+26.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

26>0.

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Пример.

Доказать неравенство: (a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Доказательство:

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

(a₁b₁+a₂b₂)²>(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Значит (a₁b₁+a₂b₂)²-(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)>0.

Раскрываем скобки и упрощаем:

a₁²b₁²+2a₁b₁a₂b₂+a₂²b₂² -a₁²b₁²-a₁²b₂²-a₂²b₁²-a₁²b₁²>0,

2a₁b₁a₂b₂-a₁²b₂²-a₁²b₁²>0,

-(a₁²b₂²-2a₁b₁a₂b₂+a₁²b₁²)>0.

Отсюда

-(a₁b₂-a₁b₁)²>0.

Поскольку (a₁b₂-a₁b₁)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a₁b₂-a₁b₁)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

(a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Неравенство (a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²) является частным случаем неравенства Коши-Буняковского:

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²).

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Пример.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Доказательство:

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²≥0,

2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0.

Разделим на 2 обе части неравенства:

a²+b²+c²-ab-bc-ac≥0.

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

• Неравенство Коши:

при a₁>0, a₂>0, …, a_n>0 и n>2.

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

В частности, при a₁= a, a₂=b, n=2:

• Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

при x>0

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x<0

• Неравенство Коши-Буняковского

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²), где n≥2.

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k  такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

• Неравенство Бернулли

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

• Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

1. При n<0 и n>1

      

2. При 0<n<1

      

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

• Модуль суммы не превосходит суммы модулей

     

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

• Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

Примеры.

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

Доказательство:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

Значит, полученные неравенства можем почленно перемножить:

Отсюда

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

Доказательство:

Очевидно, что

то есть

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

Применим неравенство Бернулли:

Так как в неравенстве 

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ — НЕРАВЕНСТВА

Цели: изучить основные приёмы доказательства неравенств; сформировать умение доказывать сложные неравенства различными приёмами.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

1. Сформулировать определение: число а больше числа b, если разность а — b — положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b — отрицательное число.

2. Сформулировать основные свойства числовых неравенств:

Теорема 1. Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а.

Теорема 2. Если а < b и b < с, то а < с.

Теорема 3. Если а < b и с — любое число, то а + с < b + с.

Теорема 4. Если а < b и с > 0, то ас < bс;

Если а < b и с < 0, то ас > bс.

Следствие. Если а > 0 и b > 0 и а < b, то

3. Сформулировать правила почленного сложения и умножения числовых неравенств.

Теорема 5. Если а < b и с < d, то а + с < b + d.

Теорема 6. Если а < b и с < d, где a, b, с, d — положительные числа, то ас < bd.

Следствие. Если а > 0, b > 0 и а < b, то аⁿ < bⁿ, где n є N.

II. Изучение нового материала.

1. Сначала показываем отличие заданий “решить неравенство” и “доказать неравенство”. В первом случае мы выполняем равносильные преобразования исходного неравенства, получаем более простое неравенство и находим те значения переменной, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство (или доказываем, что таких значений нет).

В заданиях на доказательство неравенства в условии есть утверждение, что данное неравенство верно при любых значениях переменной либо при некоторых значениях (задано заранее множество значений переменной), и необходимо это утверждение доказать.

2. Доказательства проводятся с помощью различных приёмов, некоторые из которых знакомы учащимся.

1-й приём. Составляем разность левой и правой частей неравенства и показываем, что она сохраняет знак при любых указанных значениях переменных.

Рассматриваем данный приём на примере 1 со с. 193 учебника.

2-й приём. Показываем, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна.

К таким неравенствам (их ещё называют “основными” и “базовыми”) относятся:

и др.

Рассматриваем данный приём на примере 2 со с. 193-194 учебника.

3-й приём. В отдельных случаях можно доказать неравенство, используя некоторые очевидные соотношения.

В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты, например, такие: при любом при при х ≥ -1 и т. п.

Рассматриваем данный приём на примерах 3 и 4 со с. 194-195 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При доказательстве неравенств можно использовать любые предложенные приёмы, следует поощрять осознанный выбор того или иного приёма.

При рассмотрении задач на доказательство неравенств у учащихся может возникнуть представление об оторванности таких задач от потребностей практики. Чтобы этого не произошло, необходимо решать также прикладные задачи на неравенства.

№ 905 (а).

Составим разность:

Имеем:

для любых а и и, значит, Неравенство доказано.

№ 907 (а).

Составим разность

значит, при a > 0, b > 0. Неравенство доказано.

№ 909.

Доказать, что для любых а > 0, b > 0.

Составим разность

значит, неравенство доказано.

№ 912.

Воспользуемся соотношениями.

Имеем:

значит,

Аналогично докажем, что

Имеем:

Значит, что и требовалось доказать.

№ 914.

Анализ:

Пусть х км/ч — намеченная скорость велосипедиста, обозначим путь за 1, тогда, по расчетам, он должен был затратить на весь путь, а на самом деле затратил

Велосипедист успеет к сроку, если Докажем это.

Составим разность:

так как х > 2.

Имеем: значит, велосипедист не успел вернуться к назначенному сроку.

Ответ: не успел.

Приглашение в мир математики: Как доказывать олимпиадные неравенства

Действительно, на математических олимпиадах часто встречаются задания на доказательство неравенств, как, например, такое, с Международной олимпиады по математике 2001 года: $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$ (для положительных a,b,c).

Обычно чтобы доказать олимпиадное неравенство, его нужно привести к одному из базовых: Коши, Коши-Буняковского, Йенсена, неравенству между средними и т.д. Причём часто приходится пробовать различные варианты базового неравенства до достижения успеха.

Однако часто у олимпиадных неравенств (как у приведённого выше) есть одна особенность. При перестановке переменных (например, замене a на b, b на c и  c на a) они не изменятся.

Если функция нескольких переменных не меняется при любой их перестановке, то она называется симметрической. Для симметрической функции f от трёх переменных выполняется равенство:
f(x,y,z)= f(x,z,y)= f(y,x,z)= f(y,z,x)= f(z,x,y)= f(z,y,x)

Если же функция не меняется только при циклической перестановке переменных, она называется циклической.
f(x,y,z)= f(y,z,x)= f(z,x,y)

Для неравенств, которые строятся на основе симметрических функций, Вячеслав Андреевич разработал универсальный метод доказательства.
Метод состоит из следующих шагов.
1. Преобразовать неравенство так, чтобы слева оказался симметрический многочлен (обозначим его D), а справа 0.

2. Выразить симметрический многочлен D от переменных a, b, c через базовые симметрические многочлены.

Базовых симметрических многочленов от трёх переменных существует три. Это:
p = a+b+c — сумма;
q = ab+bc+ac — сумма попарных произведений;
r = abc — произведение.

Любой симметрический многочлен можно выразить через базовые.

3. Поскольку многочлен D симметрический, можно, не нарушая общности, считать, что переменные a, b, c упорядочены так: $a\geq b\geq c$

4. Вводим два неотрицательных числа х и у, таки, что x = a-b, y = b-c.

5. Снова преобразовываем многочлен D, выражая p, q и r через c и x, y. Учитываем, что
b = y+c
a = (x+y)+c

Тогда
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c²+2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c²+c³

Обратите внимание, что скобки в выражениях, содержащих x и y, мы не раскрываем.

6. Теперь рассматриваем многочлен D как многочен от с с коэффициентами, выражающимися через х и у. Учитывая неотрицательность коэффициентов оказывается несложно показать, что знак неравенства будет сохраняться для всех допустимых значений с.

Поясним этот метод на примерах.
Пример 1. Доказать неравенство:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

Доказательство
Так как неравенство симметрическое (не меняется при любой перестановке переменных a, b, c), то представим его как
$(a+b+c)^2 — 3(ab+bc+ac)\geq 0$

Выразим многочлен в левой части через базовые симметрические:
$p^2 — 3q\geq 0$

Так как многочлен симметрический, можно считать, не ограничивая общности, что $a\geq b\geq c$ и $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$.

Выразим левую часть через x, y и c, представив её как многочлен относительно с.
p²-3q = ((x+2y)+3c)²-3(3c²+2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y)²+6(x+2y)c+9c²-9c²-6(x+2y)c-3(x+y)y

После приведения подобных получаем неравенство вообще не содержащее переменную с
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$

Вот теперь можно раскрыть скобки
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ — что является верным как для нотрицательных x, y, так и для любых.

Таким образом, неравенство доказано.

Пример 2 (с Британской математической олимпиады 1999 года)
Доказать, что $7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (для положительных чисел, если a+b+c = 1)

Доказательство
Прежде чем начать сводить всё в левую часть, обратим внимание, что степени частей неравенства у нас не сбалансированы. Если в примере 1 обе части неравенства были многосленами второй степени, то тут многочлен второй степени сравнивается с суммой многочленов нулевой и третьей. Использлуем то, что сумма a+b+c по условию равна 1 и домножим левую часть на единицу, а двойку из правой части — на единицу в кубе.

$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$

Теперь перенесём всё влево и представим левую часть как симметричный многочkен от a, b, c:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$

Выразим левую чаcть через базовые симметрические многочлены:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$

Выразим левую часть через x, y и c, представив её как многочлен относительно с.
7qp- 2p³-9r = 7(3c²+2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c)³-9((x+y)yc + (x+2y)c²+c³) = 7 (3(x+2y)c²+2(x+2y)²c+(x+2y)(x+y)y+9c³+6(x+2y)c²+3(x+y)yс) — 2 ((x+2y)³+9(x+2y)²c+27(x+2y)c²+27c³) — 9((x+y)yc + (x+2y)c²+c³) = 21(x+2y)c²+14(x+2y)²c+7(x+2y)(x+y)y+63c³+42(x+2y)c²+21(x+y)yс-2(x+2y)³-18(x+2y)²c-54(x+2y)c²-54c³-9(x+y)yc -9(x+2y)c²-9c³

Главное — аккуратно и внимательно выполнять преобразования. Как сказал Вячеслав Андреевич, если он выполняет преобразования и его кто-то отвлекает, он выбрасывает листок с формулами и начинает заново.

Для удобства сведения подобных в заключительном многочлене они выделены разными цветами.

Все слагаемые с c³ уничтожатся: 63c³-54c³-9c³ = 0
Это же произойдёт и со второй степенью с: 21(x+2y)c²+42(x+2y)c²-54(x+2y)c²-9(x+2y)c² = 0

Преобразуем слагаемые с первой степенью с: 14(x+2y)²c+21(x+y)yс-18(x+2y)²c-9(x+y)yc = -4(x+2y)²c+12(x+y)yс = (12(x+y)y — 4(x+2y)²)c = (12xy+12y² — 4x²-16xy-16y²)c = (- 4x²-4xy-4y²)c = -4 (x²+xy+y²)c — это выражение никогда не будет положительным.

И свободные члены: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y)³ = 7(x+2y)(xy+y²) — 2(x+2y)(x²+4xy+4y²) = (x+2y) (7xy+7y²-2x²-8xy-8y²) = — (x+2y)(2x²+xy+y²) — и это выражение тоже.

Таким образом, исходное неравенство будет выполняться всегда, а в равенство оно превратится только при условии равенства a=b=c.

На своей лекции Вячеслав Андреевич разобрал ещё много интересных примеров. Попробуйте и вы применить этот метод для доказательства олимпиадных неравенств. Возможно, он поможет добыть несокольо ценных баллов.

А закончим мы эту статью «любимой» фразой из книг по подготовке к олимпиадам. Доказательство первого приведённого в статье неравенства оставляем читателю 🙂

Доказательство неравенств. — Алгебра — 8 класс

Просмотр содержимого документа
«Доказательство неравенств.»

Доказательство неравенств.

Для доказательства неравенств существует несколько способов.

1. Доказательство неравенств на основе определения.

2. Метод выделения квадратов.

3. Метод математической индукции.

4. Использование специальных и классических неравенств.

5. Использование элементов математического анализа.

6. Графический метод.

7. Идея усиления.

8. Метод «от противного».

9. Метод использования тождеств.

10. Метод введения новых переменных.

Из всех приведённых способов, на данном этапе изучения неравенств нам доступны только два: на основе определения и метод выделения квадратов. Их и рассмотрим.

1. Доказательство неравенств на основе определения.

Число больше числа , если их разность чисел и положительна. Исходя из этого определения, можно записать следующие условия:

, если разность ;

, если разность ;

, если разность ;

, если разность .

Например, доказать неравенство .

Составим разность левой и правой части неравенства:

.

Разность отрицательна, значит, левая часть меньше правой, ч.т.д.

2. Метод выделения квадратов.

Метод заключается в представлении неравенства в виде квадрата суммы (или разности), или в виде суммы (разности) квадратов. Мы ведь знаем, что выражение в квадрате всегда положительно, или, в крайнем случае, равно нулю.

Например, доказать неравенство .

Раскроем скобки в правой части неравенства и перенесём слагаемые в левую часть, и представим число 3 в виде трёх слагаемых, каждое из которых равно1:

.

Значит, неравенство верно.

1. Доказать неравенство:

2. Докажите, что для всех действительных значений х и у выполняется неравенство

3. Докажите, что если , то имеет место неравенство

4. Докажите, что если , то имеет место неравенство

5. Докажите неравенства:

6. Докажите, что если то .

7. Докажите, что если , то имеет место неравенство

8. Докажите, что если , то имеет место неравенство

9. Докажите, что если , то:

10. Докажите, что если , то .

11. Докажите, что при любых значениях переменной выполняются неравенства:

2

Доказательство неравенств методом математической индукции.

Доказательство методом математической индукции основано на следующей аксиоме: если предложение, в формулировку которого входит натуральное число п, истинно при п=1 и из его истинности при n=k ( где ) следует, что оно истинно и при , то оно истинно при всех натуральных значениях п.

Таким образом, доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом:

1) доказываемое утверждение проверяется при п =1;

2) предполагая справедливость утверждения при n=k, доказывается справедливость утверждения для n=k+1.

Некоторые утверждения справедливы не для всех натуральных п, а для п, начиная с некоторого числа р. В таком случае первый шаг доказательства – это проверка справедливости утверждения для п=р .

П р и м е р. Доказать, что если , то

Доказательство. При n=3 неравенство верно: . Предположим, что неравенство выполняется при n=k (k>3), т.е. предположим, что , и докажем, что тогда неравенство выполняется и при n=k+1, т. е. докажем, что

В самом деле, имеем: . Итак, .

Но при любом натуральном значении k. Следовательно, тем более .

Согласно методу математической индукции можно сделать вывод о том, что доказываемое неравенство справедливо при всех .

Доказательство неравенств методом полной индукции.

Полная индукция – это метод рассуждений, при котором вывод делается на основании рассмотрения всех случаев, возможных по условию задачи.

П р и м е р. Доказать, что если .

Доказательство. Рассмотрим случаи:

1) . Получаем

, т.к.

Неравенство верно.

2) , т.е. .

Тогда . Неравенство справедливо.

3) т.е. .

Тогда . Неравенство справедливо.

Мы рассмотрели все возможные случаи. Значит неравенство верно для .

6. Доказательство неравенств с помощью методов математического анализа.

В этом случае доказательство неравенств сводят к исследованию соответствующих функций с помощью производных.

П р и м е р. Доказать неравенство

Доказательство. Перепишем неравенство в виде: .

Рассмотрим функцию .

Найдём производную . При , . Это значит, что при возрастает, причём . Поэтому при .

Литература

1. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – М, 1999

2. Рогановский Н.М., Рогановская Е. Н. Элементарная математика- Мн., 2000

Тема: Иррациональные уравнения и неравенства.

План

1. Иррациональные уравнения, основные методы их решения.

2. Иррациональные неравенства.

Иррациональные уравнения.

Иррациональными называются уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень.

Все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно.

Все корни нечётной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

1. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2. замена переменной;

3. умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию;

4. применение свойств функций, входящих в уравнение.

Следует помнить, что ряд преобразований, которые применяются при реализации указанных методов, например возведение обеих частей уравнения в чётную степень, приводят к уравнению-следствию. Оно, наряду с корнями исходного уравнения содержит и другие корни, которые называют посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Возможен и другой путь реализации некоторых методов решения иррациональных уравнений – переход к равносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения и требование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в чётную степень.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решим уравнение .

Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем:

Проверка показывает, что только является корнем исходного уравнения.

Ответ: -4.

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Выполним замену. Обозначим: заметим, что .

Тогда и .

Исходное уравнение принимает вид:

Полученное уравнение равносильно системе:

Из получившейся системы, имеем: .

Возвращаемся к подстановке, получаем:

Ответ: 1; .

Пример 3. Решим уравнение .

Решение: Пусть

Тогда имеем:

Откуда последовательно получаем:

Возвращаясь к первоначальным подстановкам, получим:

Откуда

С помощью проверки убеждаемся, что оба корня являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 1; -15.

Пример 4. Решим уравнение .

Решение: Рассмотрим функцию .

Исходное уравнение принимает вид: .

. Функция монотонно возрастает на всей области определения. Поэтому уравнение может иметь не более одного корня. Легко видеть, что является корнем уравнения.

Ответ: 5.

Иррациональные неравенства.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. При этом используются те же приёмы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень, введение новых переменных, использование свойств функций, входящих в обе части неравенства и т.д.

Рассмотрим некоторые виды иррациональных неравенств и подходы к их решению:

1) Неравенство вида равносильно системе

2) Неравенство вида равносильно неравенству .

3) Неравенство вида равносильно совокупности систем

4) Неравенство вида равносильно системе

Пример 5. Решим неравенство .

Решение. Введём новую переменную . Тогда исходное неравенство принимает вид:

.

Решая это неравенство и возвращаясь к исходным переменным, получаем: .

Ответ: .

Пример 6. Решим неравенство .

Решение: Перепишем неравенство в виде: .

Это неравенство равносильно системе неравенств:

Откуда получаем .

Пример 6. Решим неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию . Область определения этой функции . Функция возрастает на всей области определения, причём . Значит, неравенство решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Литература

1. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – М, 1999

2. Рогановский Н.М., Рогановская Е. Н. Элементарная математика- Мн., 2000

Текстовые задачи

План

Материал по математике «Доказательство неравенств»

Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказательства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:

   где a – положительное число.

1).  Использование известного или ранее доказанного неравенства.

      Известно, что ( a – 1 )² 0 .

 2).  Оценка знака разности между частями неравенства.

       Рассмотрим разность между левой и правой частью:

        более того, равенство имеет место только при  a = 1 .

 3).   Доказательство от противного.

        Предположим противное:

       Умножая обе части неравенства на  a , получим:  a ² + 1 a,  т.e.

        a ² + 1 – 2a или ( a – 1 ) ²  что неверно. ( Почему ? ) .

       Полученное противоречие доказывает справедливость

       рассматриваемого неравенства.

 4).  Метод неопределённого неравенства.

       Неравенство называется неопределённым, если у него знак  \/ или /\ ,

       т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,

       чтобы получить справедливое неравенство.

       Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.

       Рассмотрим неопределённое неравенство:

       Умножая обе части неравенства на  a , получим:  a ^{2+ 1 \/ 2a,  т.e.}

       а ² + 1 – 2a \/ 0 , или ( a – 1 )^{2 \/ 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть}

       знак  \/ , чтобы получить верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его

       в нужном направлении по всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
       получим требуемое неравенство.

Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных. Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств — это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. параграф «Неравенства: общие сведения»). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические ( содержащие только многочлены ) и трансцендентные ( например, логарифмические или тригонометрические ). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.

Метод интервалов.  Решить неравенство:  ( x – 3 )( x – 5 ) x – 3 ). Здесь нельзя делить обе части неравенства на ( x – 3 ), так как мы не знаем знака этого двучлена ( он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:

( x – 3 )( x – 5 ) – 2( x – 3 )

разложим её на множители: 

( x – 3 )( x – 5  – 2 ) ,

и получим: ( x – 3 )( x – 7 ) x = 3  и  x = 7 — корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала:

В интервале I ( x 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно, их произведение положительно; в интервале II ( 3 x 7 ) первый множитель ( x – 3 ) положителен, а второй  ( x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно; в интервале III ( x 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно. Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно. Это интервал II, следовательно, решение неравенства: 3 x 7. Последнее выражение — так называемое двойное неравенство. Оно означает, что  x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.

П р и м е р .  Решить следующее неравенство методом интервалов:

( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) … ( x –100 ) 0 .

Р е ш е н и е . Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.

                        Они разбивают числовую ось на 101 интервал:

                        Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то      

                        при  x

                        положительно. При переходе через корень происходит смена

                        знака произведения. Поэтому следующим интервалом, внутри

                        которого произведение положительно, будет ( 2, 3 ), затем ( 4, 5 ),

                        затем  ( 6, 7 ), … , ( 98, 99 ) и наконец,  x 100.   

                        Таким образом, данное неравенство имеет решение: 

                        x x x x 100.

Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.   

Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.

Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет.

П р и м е р  1.  Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.  Решение первого неравенства:  x x 6.

                        Таким образом, эта система неравенств не имеет решения.

                        ( Почему ? )

П р и м е р  2.  Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.  Первое неравенство, как и прежде, даёт: x

                        второго неравенства в данном примере: x 1.

                        Таким образом, решение системы неравенств: 1 x

индукция / Как доказывать неравенства? / Математика

Возьмем логарифм с обеих сторон: $${(n!)^2} > {n^n} \Leftrightarrow 2\log n! > n\log n$$

Докажем по индукции $$\log n! \geqslant \frac{1}{2}n\log n,\,\,\,\,\,\forall n \geqslant 2$$

База индукции: $$n = 2 \Leftrightarrow {\log _2}2! = 1 \geqslant \frac{1}{2} \cdot {\text{2}} \cdot {\text{lo}}{{\text{g}}_2}{\text{2 = 1 ВЕРНО}}$$

Индукционная гипотеза: $$\log ((n — 1)!) \geqslant \frac{1}{2}(n — 1)\log (n — 1)$$

Имеем: $$\log n! = \log (n \cdot (n — 1)!) = \log n + \log ((n — 1)!) \geqslant \log n + \frac{1}{2}(n — 1)\log (n — 1)$$

Теперь нам нужно показать, что $%\log (n — 1) \geqslant \log n — \varepsilon $% для очень маленьких значений эпсилона. Для доказательства константы $%\varepsilon $% не достаточно, нужно что-то порядка $%\frac{1}{n}$%. Воспользуемся разложением в ряд Тейлора $%{e^x}$%: $${e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \ldots $$

Следовательно, для любого $%x > 0$%, получим $%{e^x} > 1 + x$%. Подставив $%\frac{1}{{n — 1}}$% вместо $%x$%, имеем $%{e^{\frac{1}{{n — 1}}}} > 1 + \frac{1}{{n — 1}} = \frac{n}{{n — 1}}$%. Возьмем логарифм с обеих сторон: $$\frac{1}{{n — 1}}\log e > \log \frac{n}{{n — 1}} \Leftrightarrow \log (n — 1) > \log n — \frac{{\log e}}{{n — 1}}$$

Подставим полученное значение в $$\log n! = \log (n \cdot (n — 1)!) = \log n + \log ((n — 1)!) \geqslant \log n + \frac{1}{2}(n — 1)\log (n — 1)$$

$$\eqalign{ & \log n! \geqslant \log n + \frac{1}{2}(n — 1)\log (n — 1) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, > \log n + \frac{1}{2}(n — 1)(\log n — \frac{{\log e}}{{n — 1}}) = \log n + \frac{1}{2}(n — 1)\log n — \frac{1}{2}\log e \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}n\log n + \frac{1}{2}\log n — \frac{1}{2}\log e \cr} $$

Теперь достаточно показать, что $$\frac{1}{2}\log n — \frac{1}{2}\log e \geqslant 0 \Leftrightarrow \log n \geqslant \log e \Leftrightarrow n \geqslant e$$

Последнее неравенство выполняется для всех $%n \geqslant 3$%, отсюда следует что, $$\log n! \geqslant \frac{1}{2}n\log n.$$ Это доказывает индукционный шаг.

«сторону» — морфемный разбор слова, разбор по составу (корень суффикс, приставка, окончание)

сторону

Разбор слова по составу.

Состав слова «сторону»:

Соединительная гласная: отсутствует

Пocтфикc: отсутствует

Морфемы — части слова сторону

Подробный paзбop cлoва сторону пo cocтaвy. Кopeнь cлoвa, приставка, суффикс и окончание слова. Mopфeмный paзбop cлoвa сторону, eгo cxeмa и чacти cлoвa (мopфeмы).

• Морфемы схема: сторон/у
• Структура слова по морфемам: корень/окончание
• Схема (конструкция) слова сторону по составу: корень сторон + окончание у
• Список морфем в слове сторону:
  • сторон — корень
  • у — окончание

• Bиды мopфeм и их количество в слове сторону:
  • пpиcтaвкa: отсутствует — 0
  • кopeнь: сторон — 1
  • coeдинитeльнaя глacнaя: отсутствует — 0
  • cyффикc: отсутствует — 0
  • пocтфикc: отсутствует — 0
  • oкoнчaниe: у — 1

Bceгo морфем в cлoвe: 2.

Словообразовательный разбор слова сторону

• Основа слова: сторон ;
• Словообразовательные аффиксы: приставка отсутствует, суффикс отсутствует, постфикс отсутствует;
• Словообразование: или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола;
• Способ образования:

  или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола

  .

См. также в других словарях:

Морфемный разбор слова сторону

Морфемным разбором слова обычно называют разбор слова по составу – это поиск и анализ входящих в заданное слово морфем (частей слова).

Морфемный разбор слова сторону делается очень просто. Для этого достаточно соблюсти все правила и порядок разбора.

Сделаем морфемный разбор правильно, а для этого просто пройдем по 5 шагам:

• определение части речи слова – это первый шаг;
• второй — выделяем окончание: для изменяемых слов спрягаем или склоняем, для неизменяемых (деепричастие, наречие, некоторые имена существительные и имена прилагательные, служебные части речи) – окончаний нет;
• далее ищем основу. Это самая легкая часть, потому что для определения основы нужно просто отсечь окончание. Это и будет основа слова;
• следующим шагом нужно произвести поиск корня слова. Подбираем родственные слова для сторону (еще их называют однокоренными), тогда корень слова будет очевиден;
• Находим остальные морфемы путем подбора других слов, которые образованы таким же способом.

Как вы видите, морфемный разбор делается просто. Теперь давайте определимся с основными морфемами слова и сделаем его разбор.

Какой корень в слове сторону

Выделение корня в слове имеет важное значение. Корень представляет собой основу слова, в которой заключено его смысловое значение. Именно по общему корню происходит подбор однокоренных слов. То есть, корень является частью слова наряду с приставками, суффиксами, окончаниями. Но некоторые слова состоят только из корня, не имея других частей. Вместе с тем, слов, не имеющих корня, не существует. Ведь корень основывает слово, которое образуется вокруг соответствующего корня.

Найти корень слова «сторону»

Слово «сторону» является производным от слова «сторона». Оно обладает определенным смысловым значением. Процесс выделения корня можно представить следующим образом:

• слово «сторону» означает то или иное направление. Оно употребляется в смысле части чего-либо. То есть, нечто, имеющее одну сторону, имеет и другую сторону. Например, левая сторона подразумевает наличие правой стороны;
• однокоренными словами будут слова «сторониться, сторонний» и так далее. Все они имеют схожее значение. оно заключается в корне этих слов. Поэтому, необходимо убрать окончания и суффиксы. Это даст получение основы слова, то есть его корня;
• во всех однокоренных словах остается неизменной форма «сторон». Более того, в русском языке имеется слово «сторон». Это множественная форма слова «сторона». Поэтому, форма «сторон» и является корнем слова «сторону».

Таким образом, корень слова «сторону» представлен формой «сторон». Указанна форма прослеживается во всех однокоренных словах. В связи с этим, она будет корнем, который имеется во всех родственных словах слову «сторона».

Другие части слова

Поскольку данное слово имеет корень «сторон», следует найти в нем и другие части слова. Указанный корень представляет собой большую часть слова. Остается только буква «у» на конце, благодаря которой образовывается определенный смысловой оттенок данного слова. Указанная буква «у» представляет собой окончание. То есть, представленное слово «сторона» состоит только из корня и окончания. В нем не имеется приставки или суффикса.

«стороны» — морфемный разбор слова, разбор по составу (корень суффикс, приставка, окончание)

стороны

Разбор слова по составу.

Состав слова «стороны»:

Соединительная гласная: отсутствует

Пocтфикc: отсутствует

Морфемы — части слова стороны

Подробный paзбop cлoва стороны пo cocтaвy. Кopeнь cлoвa, приставка, суффикс и окончание слова. Mopфeмный paзбop cлoвa стороны, eгo cxeмa и чacти cлoвa (мopфeмы).

• Морфемы схема: сторон/ы
• Структура слова по морфемам: корень/окончание
• Схема (конструкция) слова стороны по составу: корень сторон + окончание ы
• Список морфем в слове стороны:
  • сторон — корень
  • ы — окончание

• Bиды мopфeм и их количество в слове стороны:
  • пpиcтaвкa: отсутствует — 0
  • кopeнь: сторон — 1
  • coeдинитeльнaя глacнaя: отсутствует — 0
  • cyффикc: отсутствует — 0
  • пocтфикc: отсутствует — 0
  • oкoнчaниe: ы — 1

Bceгo морфем в cлoвe: 2.

Словообразовательный разбор слова стороны

• Основа слова: сторон ;
• Словообразовательные аффиксы: приставка отсутствует, суффикс отсутствует, постфикс отсутствует;
• Словообразование: или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола;
• Способ образования:

  или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола

  .

См. также в других словарях:

Морфемный разбор слова стороны

Морфемным разбором слова обычно называют разбор слова по составу – это поиск и анализ входящих в заданное слово морфем (частей слова).

Морфемный разбор слова стороны делается очень просто. Для этого достаточно соблюсти все правила и порядок разбора.

Сделаем морфемный разбор правильно, а для этого просто пройдем по 5 шагам:

• определение части речи слова – это первый шаг;
• второй — выделяем окончание: для изменяемых слов спрягаем или склоняем, для неизменяемых (деепричастие, наречие, некоторые имена существительные и имена прилагательные, служебные части речи) – окончаний нет;
• далее ищем основу. Это самая легкая часть, потому что для определения основы нужно просто отсечь окончание. Это и будет основа слова;
• следующим шагом нужно произвести поиск корня слова. Подбираем родственные слова для стороны (еще их называют однокоренными), тогда корень слова будет очевиден;
• Находим остальные морфемы путем подбора других слов, которые образованы таким же способом.

Как вы видите, морфемный разбор делается просто. Теперь давайте определимся с основными морфемами слова и сделаем его разбор.

«сторонам» — морфемный разбор слова, разбор по составу (корень суффикс, приставка, окончание)

сторонам

Разбор слова по составу.

Состав слова «сторонам»:

Соединительная гласная: отсутствует

Пocтфикc: отсутствует

Морфемы — части слова сторонам

Подробный paзбop cлoва сторонам пo cocтaвy. Кopeнь cлoвa, приставка, суффикс и окончание слова. Mopфeмный paзбop cлoвa сторонам, eгo cxeмa и чacти cлoвa (мopфeмы).

• Морфемы схема: сторон/ам
• Структура слова по морфемам: корень/окончание
• Схема (конструкция) слова сторонам по составу: корень сторон + окончание ам
• Список морфем в слове сторонам:
  • сторон — корень
  • ам — окончание

• Bиды мopфeм и их количество в слове сторонам:
  • пpиcтaвкa: отсутствует — 0
  • кopeнь: сторон — 1
  • coeдинитeльнaя глacнaя: отсутствует — 0
  • cyффикc: отсутствует — 0
  • пocтфикc: отсутствует — 0
  • oкoнчaниe: ам — 1

Bceгo морфем в cлoвe: 2.

Словообразовательный разбор слова сторонам

• Основа слова: сторон ;
• Словообразовательные аффиксы: приставка отсутствует, суффикс отсутствует, постфикс отсутствует;
• Словообразование: или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола;
• Способ образования:

  или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола

  .

См. также в других словарях:

Морфемный разбор слова сторонам

Морфемным разбором слова обычно называют разбор слова по составу – это поиск и анализ входящих в заданное слово морфем (частей слова).

Морфемный разбор слова сторонам делается очень просто. Для этого достаточно соблюсти все правила и порядок разбора.

Сделаем морфемный разбор правильно, а для этого просто пройдем по 5 шагам:

• определение части речи слова – это первый шаг;
• второй — выделяем окончание: для изменяемых слов спрягаем или склоняем, для неизменяемых (деепричастие, наречие, некоторые имена существительные и имена прилагательные, служебные части речи) – окончаний нет;
• далее ищем основу. Это самая легкая часть, потому что для определения основы нужно просто отсечь окончание. Это и будет основа слова;
• следующим шагом нужно произвести поиск корня слова. Подбираем родственные слова для сторонам (еще их называют однокоренными), тогда корень слова будет очевиден;
• Находим остальные морфемы путем подбора других слов, которые образованы таким же способом.

Как вы видите, морфемный разбор делается просто. Теперь давайте определимся с основными морфемами слова и сделаем его разбор.

«стороной» — морфемный разбор слова, разбор по составу (корень суффикс, приставка, окончание)

стороной

Разбор слова по составу.

Состав слова «стороной»:

Соединительная гласная: отсутствует

Пocтфикc: отсутствует

Морфемы — части слова стороной

Подробный paзбop cлoва стороной пo cocтaвy. Кopeнь cлoвa, приставка, суффикс и окончание слова. Mopфeмный paзбop cлoвa стороной, eгo cxeмa и чacти cлoвa (мopфeмы).

• Морфемы схема: сторон/ой
• Структура слова по морфемам: корень/окончание
• Схема (конструкция) слова стороной по составу: корень сторон + окончание ой
• Список морфем в слове стороной:
  • сторон — корень
  • ой — окончание

• Bиды мopфeм и их количество в слове стороной:
  • пpиcтaвкa: отсутствует — 0
  • кopeнь: сторон — 1
  • coeдинитeльнaя глacнaя: отсутствует — 0
  • cyффикc: отсутствует — 0
  • пocтфикc: отсутствует — 0
  • oкoнчaниe: ой — 1

Bceгo морфем в cлoвe: 2.

Словообразовательный разбор слова стороной

• Основа слова: сторон ;
• Словообразовательные аффиксы: приставка отсутствует, суффикс отсутствует, постфикс отсутствует;
• Словообразование: или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола;
• Способ образования:

  или непроизводное, то есть не образовано от другого однокоренного слова; или образовано бессуффиксальным способом: отсечением суффикса от основы прилагательного либо глагола

  .

См. также в других словарях:

Морфемный разбор слова стороной

Морфемным разбором слова обычно называют разбор слова по составу – это поиск и анализ входящих в заданное слово морфем (частей слова).

Морфемный разбор слова стороной делается очень просто. Для этого достаточно соблюсти все правила и порядок разбора.

Сделаем морфемный разбор правильно, а для этого просто пройдем по 5 шагам:

• определение части речи слова – это первый шаг;
• второй — выделяем окончание: для изменяемых слов спрягаем или склоняем, для неизменяемых (деепричастие, наречие, некоторые имена существительные и имена прилагательные, служебные части речи) – окончаний нет;
• далее ищем основу. Это самая легкая часть, потому что для определения основы нужно просто отсечь окончание. Это и будет основа слова;
• следующим шагом нужно произвести поиск корня слова. Подбираем родственные слова для стороной (еще их называют однокоренными), тогда корень слова будет очевиден;
• Находим остальные морфемы путем подбора других слов, которые образованы таким же способом.

Как вы видите, морфемный разбор делается просто. Теперь давайте определимся с основными морфемами слова и сделаем его разбор.

сторона — Викисловарь

Морфологические и синтаксические свойства

сто-ро-на́

Существительное, неодушевлённое, женский род, 1-е склонение (тип склонения 1f’ по классификации А. А. Зализняка). В сочетаниях типа «на́ сторону» ударение может падать на предлог; слово «сторона» при этом превращается в клитику.

Встречается также диалектный вариант склонения по схеме 1f: вин. п. ед. ч. — сторону́.

Корень: -сторон-; окончание: -а ^{[Тихонов, 1996]}.

Произношение

• МФА: ед. ч. [stərɐˈna]  мн. ч. [ˈstorənɨ]

Семантические свойства

Значение

1. пространство, находящееся в каком-либо направлении от чего-либо, а также само это направление ◆ Разойтись в разные стороны.
2. разг. местность, край; страна ◆ — Послушай, мужичок, — сказал я ему, — знаешь ли ты эту сторону? Возьмёшься ли ты довести меня до ночлега? А. С. Пушкин, «Капитанская дочка», 1836 г. (цитата из Викитеки)
3. место, расположенное вправо или влево от середины, средней линии чего-либо, а также направление вправо или влево от кого-либо, чего-либо ◆ Они ходили по одной стороне галереи, стараясь избегать Левина, ходившего по другой стороне. Л. Н. Толстой, «Анна Каренина», 1876 г. (цитата из Викитеки) ◆ Прошло ещё мгновенье, и казаки с гиком выскочили с обеих сторон воза. Л. Н. Толстой, «Казаки» (цитата из Викитеки)
4. одна из поверхностей какого-либо предмета; боковая часть, бок кого-либо, чего-либо ◆ Во-вторых, наносить блеск нужно только на верхнюю сторону листовой пластинки. Татьяна Булгакова, «Цветочная «косметичка»», 2003 г. // «Сад своими руками» (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
5. геометр. отрезок прямой линии, соединяющий соседние вершины многоугольника, а также его длина ◆ Теорема синусов утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
6. перен. составная часть, элемент чего-либо ◆ У этой ситуации есть и положительные стороны. ◆ Разве вы не знаете сами, что изящная сторона жизни мне недоступна, та сторона, которою вы так дорожите? И. С. Тургенев, «Отцы и дети», 1861 г. (цитата из Викитеки)
7. в общении, конфликте и т. п. — один из участников взаимодействия ◆ Стороны могут заключить договор, как предусмотренный, так и не предусмотренный законом или иными правовыми актами. «Гражданский кодекс РФ» (цитата из Викитеки) ◆ И если при аренде имущества расчеты между двумя сторонами производятся напрямую, то при строительном лизинге финансовая структура сначала покупает у производителя или продавца технику, а уже затем передает ее лизингополучателю. Ольга Елина, «Платить, но не сразу», 2004 г. // «Бизнес-журнал» (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
8. перен. линия родства ◆ Посыльный со стороны жениха отправлялся в дом родителей невесты с вестью, что сегодня вечером к ним пожалуют сваты. Свадьба тюменских старожилов, «2004» // «Народное творчество» (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
9. с предл. в + вин. или предл. п., или с предл. с (со) + род. п. пространство, место, расположенное в некотором отдалении от кого-, чего-либо ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).

Синонимы

1. —
2. —
3. —
4. —
5. —
6. —
7. —
8. —
9. —

Антонимы

1. —
2. —
3. —
4. —
5. —
6. —
7. —
8. —
9. —

Гиперонимы

1. направление
2. —
3. —
4. —
5. —
6. —
7. —
8. —
9. —

Гипонимы

1. —
2. —
3. —
4. —
5. катет, гипотенуза, основание (трапеции)
6. —
7. лизингодатель, лизингополучатель, покупатель, продавец, сторона договора, арендатор, арендодатель
8. —
9. —

Родственные слова

Этимология

Происходит от праслав. *storna, от кот. в числе прочего произошли: др.-русск. сторона, ст.-слав. страна (др.-греч. χώρα, περίχωρος), русск., укр. сторона́, болг. страна́, сербохорв. стра́на (вин. стра̑ну), словенск. strána, чешск., словацк. strana, польск. strona, в.-луж., н.-луж. strona, полабск. stárna. Праслав. *storna — из праиндоевр. *ster(w)e-, *strō(w)- «расстилать, раскладывать»; ср.: русск. просто́р, простере́ть, латышск. stara «полоса», др.-инд. str̥ṇā́ti, str̥ṇṓti «сыплет, усыпает», прич. str̥tás, stīrṇás «разостланный», stárīman- ср. р. «расстилание, насыпание», греч. στόρνῡμι «осыпаю, расстилаю», лат. sternō, strāvī, strātum, -еrе «сыпать, стелить», греч. στέρνον «грудь, плоскость», др.-в.-нем. stirnа «лоб», валлийск. sarn «stratum, pavimentum». Наряду со *storna существует также *stornь: др.-русск. сторонь «рядом», въ сторонь. Использованы данные словаря М. Фасмера. См. Список литературы.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

Перевод

Морфологические и синтаксические свойства

сто-ро-на́

Существительное, неодушевлённое, женский род.

Корень: —.

Произношение

Семантические свойства

Значение

1. сторона (аналогично русскому слову) ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).

Синонимы

Антонимы

Гиперонимы

Гипонимы

Родственные слова

Этимология

Происходит от праслав. *storna, от кот. в числе прочего произошли: др.-русск. сторона, ст.-слав. страна (др.-греч. χώρα, περίχωρος), русск., укр. сторона́, болг. страна́, сербохорв. стра́на (вин. стра̑ну), словенск. strána, чешск., словацк. strana, польск. strona, в.-луж., н.-луж. strona, полабск. stárna. Праслав. *storna — из праиндоевр. *ster(w)e-, *strō(w)- «расстилать, раскладывать»; ср.: русск. просто́р, простере́ть, латышск. stara «полоса», др.-инд. str̥ṇā́ti, str̥ṇṓti «сыплет, усыпает», прич. str̥tás, stīrṇás «разостланный», stárīman- ср. р. «расстилание, насыпание», греч. στόρνῡμι «осыпаю, расстилаю», лат. sternō, strāvī, strātum, -еrе «сыпать, стелить», греч. στέρνον «грудь, плоскость», др.-в.-нем. stirnа «лоб», валлийск. sarn «stratum, pavimentum». Наряду со *storna существует также *stornь: др.-русск. сторонь «рядом», въ сторонь. Использованы данные словаря М. Фасмера. См. Список литературы.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

Разбор по составу (морфемный) слова «сторона»

Кучи кала стыли по сторонам, как волны цветов.

Как отметил в ходе встречи Вдовин, палестинцы опасаются последствий, к которым может привести концентрация переговоров на вопросах безопасности и игнорирование политической стороны.

Думаю, что сегодня райкому партии крайне важно и даже необходимо, отказавшись от директивного стиля, сместить акценты в сторону пропагандистской и организаторской деятельности, углубления работы с кадрами и проверки исполнения.

ОБСЕ иногда стремится навязать себя в качестве посредника в переговорах, стороны, которая хочет навязать переговоры, а это приводит к тому, что, по мнению многих, в том числе и у нас, переговоры сами по себе и проблема сама по себе носит международный характер.

Поэтому, как только проявилась слабость и неустойчивость власти метрополии, они прыснули в стороны.

Все обернулись на меня, уверенные, что я стану на сторону Юры уже потому, что он меня назвал.

И вдруг сын пришел в необычное возбуждение и, забыв, что ходить без поддержки еще не может, бросил эту поддержку и шагнул в другую сторону.

Вместе с тем все имеет свои положительные и отрицательные стороны.

Отметим, что как раз в эти годы Гассенди свободно публиковал книги с пропагандой атомизма, и никаких возражений со стороны церкви не было.

Условия современных войн таковы, что только несмертельное оружие позволяет быстро пленить противника, существенно уменьшить его боеспособность и потери со своей стороны.

Разобрать слово по составу, что это значит?

Разбор слова по составу один из видов лингвистического исследования, цель которого — определить строение или состав слова, классифицировать морфемы по месту в слове и установить значение каждой из них. В школьной программе его также называют морфемный разбор. Сайт how-to-all поможет вам правильно разобрать по составу онлайн любую часть речи: существительное, прилагательное, глагол, местоимение, причастие, деепричастие, наречие, числительное.

План: Как разобрать по составу слово?

При проведении морфемного разбора соблюдайте определённую последовательность выделения значимых частей. Начинайте по порядку «снимать» морфемы с конца, методом «раздевания корня». Подходите к анализу осмысленно, избегайте бездумного деления. Определяйте значения морфем и подбирайте однокоренные слова, чтобы подтвердить правильность анализа.

• Записать слово в той же форме, как в домашнем задании. Прежде чем начать разбирать по составу, выяснить его лексическое значение (смысл).
• Определить из контекста к какой части речи оно относится. Вспомнить особенности слов, принадлежащих к данной части речи:
• • изменяемое (есть окончание) или неизменяемое (не имеет окончания)
  • имеет ли оно формообразующий суффикс?
• Найти окончание. Для этого просклонять по падежам, изменить число, род или лицо, проспрягать — изменяемая часть будет окончанием. Помнить про изменяемые слова с нулевым окончанием, обязательно обозначить, если такое имеется: сон(), друг(), слышимость(), благодарность(), покушал().
• Выделить основу слова — это часть без окончания (и формообразующего суффикса).
• Обозначить в основе приставку (если она есть). Для этого сравнить однокоренные слова с приставками и без.
• Определить суффикс (если он есть). Чтобы проверить, подобрать слова с другими корнями и с таким же суффиксом, чтобы он выражал одинаковое значение.
• Найти в основе корень. Для этого сравнить ряд родственных слов. Их общая часть — это корень. Помнить про однокоренные слова с чередующимися корнями.
• Если в слове два (и более) корня, обозначить соединительную гласную (если она есть): листопад, звездолёт, садовод, пешеход.
• Отметить формообразующие суффиксы и постфиксы (если они есть)
• Перепроверить разбор и значками выделить все значимые части

В начальных классах разобрать по составу слово — значит выделить окончание и основу, после обозначить приставку с суффиксом, подобрать однокоренные слова и затем найти их общую часть: корень, — это всё.

Какие предметы станут обязательными на ЕГЭ и ОГЭ?

В последнее время ходит много слухов касательно добавления новых предметов в список обязательных для сдачи на ЕГЭ/ОГЭ. Особенно это касается ОГЭ по иностранному языку, который многие неофициальные сайты объявили обязательным с 2020 года. Но так ли это? В этом вопросе не стоит полагаться на слухи, которые зачастую вводят в заблуждение и повышают и так безмерное волнение выпускников.

Прояснить вопрос насчёт обязательных экзаменов поможет эта страница с официального сайта ЕГЭ. На ней присутствуют ответы на многие интересные вопросы.

«Будет ли иностранный язык включен в число обязательных предметов для сдачи выпускниками 9 классов?
Нет. Участники ГИА-9 сдают экзамены по 4 учебным предметам, один из которых может быть иностранным языком, как экзамен по выбору.

Имеет ли право школа настаивать на сдаче выпускником 9-го класса экзаменов по конкретным предметам (из числа предметов по выбору)?
Нет, не имеет. Девятиклассник сдает 4 обязательных предмета для получения аттестата: русский язык и математику, а также два предмета по выбору, которые он выбирает сам.

Какие обязательные предметы и в каком году будут дополнительно включены для сдачи ЕГЭ?
Сейчас выпускники 11 классов сдают два обязательных предмета – русский язык и математику. С 2022 года, согласно требованиям ФГОС, планируется введение третьего обязательного учебного предмета – иностранный язык.»

Также в этом интервью подчёркивается, что ЕГЭ по истории пока не планируется вводить обязательным предметом. Однако идея об обязательном ОГЭ по ВСЕМ предметам не отвергается, поэтому нельзя исключать, что через несколько лет девятиклассникам придётся сдавать все предметы.

К тому же в интервью опровергается возможная отмена экзаменов, пока не будет предложена иная модель отбора лучших выпускников в вузы.

В итоге:
● ЕГЭ по иностранным языкам планируется сделать обязательным с 2022 г. (глагол «планируется» оставляет маленькую вероятность около 5%, что введение обязательного ЕГЭ по иностранному отложат на 1-2 года, но надеяться на это не стоит).
● ЕГЭ по истории и другим предметам НЕ планируется делать обязательным в ближайшие годы (наш прогноз: до 2024 г. новых обязательных предметов, за исключением иностранного языка, точно вводить не будут).
● ОГЭ по иностранным языкам НЕ будет обязательным в ближайшие годы (наш прогноз: до 2022 г. ОГЭ по иностранному языку точно НЕ будет обязательным).
● Возможно введение обязательного ОГЭ по ВСЕМ предметам, но через несколько лет (наш прогноз: до 2025 г. такого точно не будет).
● ЕГЭ и ОГЭ отменены не будут, пока не будет предложена иная модель отбора лучших выпускников.

P.S. ПОЧЕМУ СТОИТ ВЕРИТЬ ИМЕННО ЭТОЙ ИНФОРМАЦИИ?
1) Первый сайт – это официальный сайт ЕГЭ, и на вопросы отвечал Рособрнадзор. Дата публикации – конец мая 2019 г., за 2 дня до ОГЭ по иностранным языкам.
А вдруг это актуально только для 2019 года? Нет, зачем объявлять о том, что ОГЭ по иностранному необязательный за 2 дня до экзамена? Значит, эта информация актуальна именно на 2020-й год (скорее всего, как минимум на 3 ближайших года).

2) Второй сайт – это интервью замглавы Рособрнадзора. Он объявил, что с 2022 года ЕГЭ по иностранному языку будет обязательным (как и было объявлено на первом сайте), а вводить другие обязательные предметы планов пока нет. Если верить не Рособрнадзору, то кому?

3) Если какой-то предмет и вводят обязательным, то об этом должны объявить не позже августа – начала сентября (а не в разгар учебного года). Официальных заявлений до сих пор не было, поэтому в 2020 году новых обязательных предметов точно не будет.

---

UPD (12 НОЯБРЯ 2019 Г.): Глава Рособрнадзора подтвердил, что:
● ОГЭ по иностранному языку пока не планируется делать обязательным;
● текущая модель ОГЭ (итоговое собеседование + 2 обязательных предмета + 2 предмета по выбору) «наверно, оптимальна», т.е. дополнительные обязательные предметы в ближайшие годы введены не будут;
● ЕГЭ по истории не планируется включать в число обязательных предметов.

С какого года введу ОГЕ по ин. яз обязательным?

Что касается ГИА 2016 года, то здесь ожидаются большие перемены. Количество обязательных экзаменов увеличится до 4-х (русский, математика и два предмета по выбору учащихся). В 2016 году они еще не будут влиять на итоговые оценки аттестата за 9-й класс. Но с 2017 года оценки за те же четыре обязательных экзамена пойдут в аттестат. В 2018 году к ним добавится еще один обязательный экзамен по выбору, а в 2019-м — четвертый, доведя общее количество обязательных ГИА до шести….

C 2020-го <a rel=»nofollow» href=»http://www.edu.ru/news/education/rosobrnadzor-v-sentyabre-proverit-kachestvo-prepod/» target=»_blank»>http://www.edu.ru/news/education/rosobrnadzor-v-sentyabre-proverit-kachestvo-prepod/</a>

ОНИ ЧТО ВООБЩЕ СУМА СОШЛИ КАКИЕ 6 ЭКЗАМЕНОВ .ОНИ ЧТО ДУМАЮТ НАМ ТАК ЛЕГКО ПОЙТИ И ЗДАТЬ ЭТИ ЭКЗАМЕНЫ. ДА МЫ ЦЕЛУЮ НЕДЕЛЮ НА РЕПЕТИТОРСТВО ХОДИМ У НАС КАША В ГОЛОВЕ. ЕСЛИ ДМИТРИЮ ЛИАНОВУ ДАТЬ ПОРИШАТЬ ТО ОН САМ НЕ СМОЖЕТ.

На федеральном портале edu.ru опубликовано краткое интервью главы Рособрнадзора С. Кравцова. В интервью руководитель службы рассказывает о том, что «в сентябре этого года будет проведено исследование качества образования по иностранным языкам учащихся пятых-восьмых классов. » И затем звучит уточнение: «Данное исследование будет проведено в преддверии введения обязательного экзамена по иностранному языку после девятого класса с 2020 года и обязательного ЕГЭ по иностранному языку с 2022 года» По ФГОС итоговая аттестация в 9 классе проводится в формате ОГЭ. Таким образом руководитель Рособрнадзора сообщает о планах сделать ОГЭ по иностранным языкам обязательным с 2020 года

Вроде на 2022 год перенесли ОГЭ по английскому…

ОГЭ — с 2020 и, соответственно, те же ученики будут сдавать ЕГЭ с 2022

Они с ума сошли все там задают что сами не могут зделать не то что мы, просто им выгодно нас заваливать, 2020 будет массовый суицид, вот увидете даже по телику покажут, к стати я тоже здаю…

Когда ЕГЭ по истории сделают обязательным экзаменом в 11 классе

30.11.2019

Если говорить коротко и по сути — то с 2022 года в некоторых регионах будет экспериментально внедрён обязательные ЕГЭ по истории.

А теперь подробнее обо всей этой ситуации.

Ситуация вокруг обязательного ЕГЭ по истории тянется уже много-много лет. Только в своих архивах мы нашли 4 документа о том, что ЕГЭ по истории вот-вот сделают обязательным. Цитируем:

Т.е. всей этой истории про историю насчитывается уже более ШЕСТИ ЛЕТ!

Сейчас заканчивается 2019 и обязательного ЕГЭ, как вы видите — нет. Но не расстраивайтесь 🙂 этому делу не конец.

Из последних сводок стало известно 2 факта.

1 факт об обязательном ЕГЭ по истории

Многие считают, что идея обязательного экзамена по истории принадлежит текущему министру просвещения (ранее образования) — О. Васильевой. Но это не так, как вы видите по хронике выше — идея родилась задолго до нее. Однако именно Васильева активно лоббировала её с 2017 года (как стала министром). И на тот момент «обязательной датой» был 2020 год.

Однако, мы сейчас уже знаем, что в 2020 году обязательного ЕГЭ по истории не будет, как и с 99% вероятностью его не будет и в 2021 году — времени слишком мало чтобы достойно подготовить детей к этому предмету. Остаётся факт номер 2.

2 факт об обязательном ЕГЭ по истории

ЕГЭ по истории должен стать обязательным ПОСЛЕ 2022 года. НО!!! Важный момент. В ноябре 2019 года стало известно, что (цитируем дословно):

«Думаю, что в 2022 году мы сможем уже говорить о «пилотах» по истории», — сказала Васильева в ходе совещания Ассоциации учителей истории и обществознания по вопросам российского гуманитарного образования.

Министр пояснила журналистам, что речь идёт о введении обязательного ЕГЭ по истории в нескольких регионах по аналогии с планируемым запуском «пилотов» по иностранному языку в нескольких регионах.

Таким образом в НЕКОТОРЫХ РЕГИОНАХ обязательные ЕГЭ по истории появится уже с 2022 года. Это важный момент и его необходимо учесть тем, кто заканчивает школу указанном году. Точного списка пилотных регионов на текущий момент НЕТ.

Пользуясь случаем вопроса об обязательных дополнительных ЕГЭ напомним! Сергей Кравцов (глава Рособрнадзора) сообщил, что обязательный ЕГЭ по иностранному языку будет введен в 2022 году, задания уже разрабатываются.

Поэтому в 2022 готовимся к обязательному по иностранным.

С 2023 года готовимся к обязательному ЕГЭ по истории.

А что думаете вы об этой всей истории? Пишите в комментарии!

Сохранить ссылку:
Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Слышала, что английский язык вводят в ЕГЭ как обязательный предмет. Правда ли это? И в каком году если знаете введут?

ЕГЭ по английскому станет обязательным » Проект федерального образовательного стандарта (ФГОС) для старшеклассников кардинально меняет подход к обучению в старшей школе. Главный принцип — возможность выбирать, какие предметы ученик 10 и 11 класса будет изучать на минимальном уровне (интегрированный курс) , а какие — более серьезно и основательно (базовый или профильный уровень) . Уровень влияет на количество часов, отводимых на изучение предмета. В третьей редакции проекта основная идея — возможность выбора дисциплин — осталась неизменной. «ЕГЭ, по-прежнему, остается. Но в обязательном порядке сдавать его придется не по двум предметам, как сейчас, а по трем — добавляется иностранный язык. А вот по другим дисциплинам возможен традиционный выпускной экзамен», — говорится в сообщении, опубликованном во вторник в «Российской газете». Стандарт дает возможность школьникам самим выбрать — в какой форме сдавать остальные дисциплины. Но больше шести экзаменов в виде ЕГЭ сдавать не разрешается. Также, учитывая, что дисциплины в школе будут преподаваться на разном уровне, ученик будет иметь право выбрать уровень тестов — базовый или профильный по всем учебным предметам, а также интегрированный по курсу «Математика и информатика». Еще в первом проекте стандартов разработчики выделили шесть предметных групп. Первая группа — это русский язык и литература, а также родной язык и литература, вторая группа — иностранные языки, третья — математика и информатика, четвертая — общественные науки, пятая — естественные науки, шестая — искусство или предмет по выбору. В каждой из групп, по замыслу авторов стандарта, ученик сможет выбрать один-два предмета. Кроме того, есть три предмета, для которых вариации будут невозможны. Это курс «Россия в мире», ОБЖ и физкультура. Они будут обязательными для всех. Причем теперь «Россия в мире» отнесли к «Общественным наукам», где так же значатся история, обществознание, география, экономика и право. Также, согласно третьей редакции, каждый ученик обязан выбрать не менее одного предмета из областей «Филология» и «Математика и информатика», при этом русский язык и математика обязательны. «Правда, для русского языка и литературы предусмотрены только базовый и профильный уровни, а для математики — интегрированный. Также в обязательном порядке каждый ученик должен выбрать не менее одного предмета из областей «Естественные науки» и «Иностранные языки»», — пишет газета. Всего в учебном плане будет 9-10 предметов, причем 3-4 из них придется изучать на профильном уровне. «Количество предельно допустимой нагрузки за два года увеличено с 2520 часов (в первом проекте) , до 2590 часов. Четко и внятно прописана обязательная и вариативная части учебного плана: 60% и 40%», — говорится в сообщении. По доработанным стандартам, школы вправе предлагать ученикам, к примеру, такие дисциплины как «Астрономия», «Искусство», «Дизайн», «Технология», «Краеведение» и другие. В новом проекте подробно описан план внеурочной деятельности, который составляет само учебное заведение. Также учителям придется повышать квалификацию не только очно, но и дистанционно — не менее 108 часов и не реже одного раза в пять лет Обязательный ЕГЭ по иностранному языку: за и против <a rel=»nofollow» href=»http://www.nashgorod.ru/forum/viewtopic.php?f=1&t=297991…0″ target=»_blank»>www.nashgorod.ru/forum/viewtopic.php?f=1&t=297991…0</a> Подготовка к ЕГЭ 2011-2012 – beta-ege.ru/

долой английский!

Я учусь в 8 классе, но боюсь, что в 2019 году введут английский. Введут ли английский в ОГэ как обязательный предмет?

Ну, кто вам скажет, что будет через три года? Всё может быть…

Ввидут конечно, но там будут элементарные задания, поэтому все сдадут.

Его в 2020 вводить должны. Я тоже в 8. Не парься, сиди и учи английский. Просто если ты хочешь его сдать — сядь, и учи, учи, учи. Все равно сдашь.

В 2020 введут, но просто подучи, вопросы элементарные будут.

На ОГЭ 2017 ученики будут выбирать 2 дисциплины из следующих: География. Биология. Литература. Физика. Химия. Иностранный язык – английский, немецкий, французский, испанский. История. Обществознание. Информатика. По новым образовательным стандартам (ФГОС), которые уже приняты — английский язык становится обязательным предметом для сдачи ЕГЭ с 2020 года. Если сейчас начать учить то всё успеете наверстать . Ещё тут прочитайте: <a rel=»nofollow» href=»http://2017god.com/oge-v-2017-godu-skolko-predmetov-sdavat/» target=»_blank»>http://2017god.com/oge-v-2017-godu-skolko-predmetov-sdavat/</a>

По иностранным языкам введут (обязательно) в 2022 году (ЕГЭ), но там вроде можно сдать на выбор.

Он будет в 2020 году для 9 класса обязательным в 2019 году включают Историю как обязательный и также по русскому говорение, устная часть, в 2018 году в феврале будет пробное говорение но сдавать выпускники 9 класса 2018 года не будут не англ ни историю, ни говорение

конечно тебе не повезло

2022 — походу… ААААААААААААААА

Обязательный Единый государственный экзамен (егэ) по иностранному языку введут в 2022 году

Депутаты сами с переводчиками сидят ( типо сами не знают и такие-«А давайте ка добавим ещё пару аттракционов в ОГЭ и ЕГЭ») Сами для начала выручите, а потом добавляйте. Пол России не задаст 100%!!!

Учим ребенка решать задачи по математике в несколько шагов.

В период школьного обучения детям приходится решать различные задачи, вначале простейшие, по математике, затем более сложные, по химии, физике, геометрии. Как правило, многие с ними не справляются, поэтому для повышения успеваемости нуждаются в дополнительных занятиях и прохождении развивающих программ.

Многие родители задаются вопросом, как научить ребенка решать задачи по математике. Стимул к решению задач появится в случае если это занятие станет привычкой, приносящей удовольствие. Дети с увлечением разбираются в задании, когда оно разложено на составляющие, имеет некоторый эмоциональный окрас. Речь идет не об иррациональных уравнениях, а о простых задачках из учебника для первого класса.

Любую из них можно изобразить на доске и разделить на части:

• условие;
• вопрос;
• решение;
• ответ.

Условие можно читать несколько раз, рисовать схемы и картинки до тех пор, пока школьник не поймет, о чем идет речь. Следует обращать внимание на вопрос, в котором всегда скрыта часть ответа. Типичная ошибка учеников заключается в вычислении не того, о чем спрашивается.

Решение любой задачи подчиняется правилу: по двум данным находится третье, и так далее, последовательно, до конечного результата. Ответ нужно проверять составлением обратной задачи, это весьма полезное упражнение.

Раскладывание проблемы на составляющие – один из принципов методики американского психолога и математика Д. Пойа, который называл это школой мышления. Практическое пособие для родителей, помогающее научить детей решать задачи – книга педагога Л. Г. Петерсон, в которой также изложены нестандартные подходы к обучению.

Привычка раскладывать сложное задание на простые элементы, действовать по плану, моделировать ситуацию приводит к успеху, поэтому уроки математики начинают доставлять детям удовольствие. Так вы сможете научиться быстро решать задачи по математике.

Основне типы задач по математике

1. Простые – на сложение и вычитание;
2. Составные – на сложение и вычитание;
3. На понимание, зачем нужно умножение и деление;
4. Простые на умножение и деление;
5. Составные на все четыре арифметических действия;
6. Задачи на стоимость, цену, количество;
7. Задачи на движение.

Разбираем суть задания

Самое главное, что нужно сделать, садясь с малышом за решение задачи, – это разобрать её содержание. Родители должны ясно понимать, к какому типу относится данная задача, какие формулы и правила могут пригодиться. Этот материал нужно доступно объяснить сыну или дочери. Запаситесь терпением. Не стоит вспыхивать гневом, если у вашего малыша что-то не получается. Лучше успокойтесь и попытайтесь рассказать ещё раз. С помощью скандала вы задачу не решите, а вот с помощью трудолюбия – да.

Разобрав содержание, будет понятен и путь её решения. Если ваш ребенок сможет понять, что от него требуют, то в дальнейшем он легко справится сам.

Составляем план решения задачи

Детям редко удаётся рассмотреть последовательность решения задачи. Поэтому родителям придется научить малыша концентрироваться на конкретном алгоритме. Ребёнок должен научиться формировать план решения.

Объясните сыну или дочери, что сначала нужно записать краткое условие задачи, потом нарисовать схему, следом написать формулу, а потом подобрать метод решения. Одновременно с этим расскажите ребенку, что любая цепочка логически правильных мыслей приведёт его к правильному ответу.

Приступаем непосредственно к решению задания

Школьник должен понять, что решать задачи следует по строго продуманной схеме. В младших классах редко дают сложные задачи. Как правило, всё можно решить, просто подставив под нужную формулу нужные числа. Объясните это сыну или дочери.

Также ваш малыш должен быть готов к тому, что он может ошибиться. Морально подготовьте его к этому. Пусть он не расстраивается. Ваша цель – сказать ребенку, что на ошибках учатся, и лучше извлекать из них ценный опыт, чем лить слёзы.

Ученик должен уметь проверять правильность своего ответа. Самый популярный способ проверки – это попросить ребенка сообразить, могла ли такая ситуация произойти на самом деле. В реальности, а не в учебнике. Ещё один из самых распространенных способов – это составить обратную задачу. Для этого подставьте вместо икс цифру, которая у вас получилась. Если числа в вашем решении совпали с условиями задачи, то вы с ребенком всё сделали правильно.

Типичные ошибки в решении задач

1. Невнимательность. Банальная ошибка не только детей, но и взрослых. Если ребенок невнимательно прочитал условие задачи, то и ответ он получит неверный. Чтобы исправить ошибку, нужно разобраться с условием. Будет хорошо, если вы кратко его запишите.
2. Ошибка в решении. Есть задачи, в которых требуется найти несколько неизвестных. Поэтому число арифметических действий увеличивается, и малыш может запутаться. В этом случае сначала определите, каких данных не хватает. А потом решайте задачу по цепочке.
3. Ответ записан неверно. Иногда малыш путается с пояснениями. Объясните ему, что сначала пишут число, а потом расшифровку найденного (сантиметры, литры, килограммы).

Польза от решения математических задач

Многие дети хотят научиться решать логические задачи. Помните, что решение любой задачи – это выполнение последовательности логических действий. Дети, у которых слабо развита логика, не могут ее найти. Специальные занятия позволяют исправить ситуацию.

Стандартные упражнения тренируют левое полушарие головного мозга, отвечающее за логику. Правое, в ведении которого находится интуиция, остается незагруженным, по этой причине творческая жилка, умение мыслить нестандартно отсутствуют. В курсе занятий по ментальной арифметике предлагаются специальные упражнения, синхронно развивающие оба полушария головного мозга. В результате укрепляется память, совершенствуется способность к концентрации внимания. Эти качества имеют важное практическое приложение, в частности, для успешного решения математических задач.

Ненавязчивая родительская помощь, выбор прогрессивных методик позволят вашему ребенку, даже если он больше склонен к гуманитарным наукам, он сможет легко научиться решать задачи и гордиться своими успехами.

Как научить ребенка решать задачи

За все школьные годы вашему ребенку придется решить множество задач, и несмотря на то, что все они кажутся разноплановыми, в алгоритме их решения все же есть общие моменты, и, уяснив их и следуя этому алгоритму, ребенок сможет решить практически любую задачу. Если ученик еще в 1-3 классе освоит тактику решения задач, в старших классах он будет щелкать задачки как семечки не только по математике, но и по физике, химии, геометрии тоже.

Ошибки в решении задач

Задачи можно условно разделить на части: условие, вопрос, решение, ответ.

Первая и самая главная ошибка — ребенок невнимательно, вскользь прочитал условие задачи.

К примеру задачка. У Пети 8 монет, это на 3 меньше, чем у Васи. Сколько монет у Васи.

Ребенок видит «на 3 меньше», значит надо что-то отнять, а отнять можно только от 8, так и получается 8-3=5 монет у Васи. Но если внимательно прочитать условие, то меньше то конфет как раз у Пети.

Чтобы такой путаницы не было, требуйте с ребенка записать условие задачи.

П.- 8 м. на 3 м. < 

В.- ?

Ошибка вторая — в решении.

Когда вопрос в задаче один, тут все просто. Но когда в задаче есть несколько неизвестных — решение затрудняется. Решаем по действиям. Для начала определим, каких данных нам не хватает, затем найдем эти числа, подставим их и решим задачу.

Ошибка третья — неправильная запись ответа.

К примеру, требуется найти сколько монет, а ребенок пишет сколько человек. Нужно внимательно еще раз прочитать вопрос задачи, перед тем, как записать ответ. Что требуется найти, то и пишем в ответе. Ответ начинается с числа.

Алгоритм решения

1. Внимательно прочти задачу и представь, о чем в ней говорится.
2. Запиши в виде схемы, что известно и что не известно, что нужно найти.
3. Подумай, можно ли сразу ответить на вопрос задачи.
4. Сначала вычисли значения, которых не хватает для нахождения ответа.
5. Найти ответ на главный вопрос задачи.
6. Проверь ответ.
7. Прочти еще раз вопрос задачи.
8. Запиши ответ.

В решении любой задачи мы по двум известным данным находим третье. В решении рассуждаем с конца, как бы разматывая клубок. Чтобы узнать то, нам нужно это, а чтобы узнать это, у нас есть все данные.

Учите ребенка рассуждать. Если для него это затруднительно, потренируйтесь на задачах с лишними или недостающими данными.

Васе 8 лет. Он живет в доме номер 7 в 5-й квартире. У него есть двоюродный брат, который живет в квартире напротив. Брат на 3 года старше Васи. Еще у них вместе есть 2 кошки и хомячок.

Нужно вычеркнуть данные, которые не понадобятся для поиска ответа и дописать вопрос задачи.

Васе 8 лет. Он живет в доме номер 7 в 5-й квартире. У него есть двоюродный брат, который живет в квартире напротив. Брат на 3 года старше Васи. Еще у них вместе есть 2 кошки и хомячок. Сколько лет брату? 

Второй вариант тренинга — самому придумать несколько задач на одно решение.

К примеру: 8+3

Вася получил за четверть 8 четверок, а пятерок на 3 больше. Сколько пятерок получил Вася?

В аквариуме было 8 гуппи и 3 сомика. Сколько рыбок было в аквариуме?

Третий вариант — дополнить условие, в котором не хватает данных.

Пример: У Васи 4 конфеты, а у Сони меньше. Сколько конфет у Сони?

Дополним условие: У Васи 4 конфеты, а у Сони на 2 меньше. Сколько конфет у Сони?

При прочтении для наглядности можно подчеркнуть нужные для решения данные.

Основные типы задач

Простые задачи на сложение и вычитание

Как научить ребенка решать любые задачи: логические, математические, олимпиадные

Мы знаем, что абсолютное большинство взрослых захотят решить предложенную задачу с помощью уравнения. Неплохой способ, но зачастую обыкновенные логические рассуждения помогают найти ответ быстрее, без ручки и бумаги, просто в уме.

Рекомендуем ознакомиться с несколькими популярными методами, описанными на примерах в материале «Как решать логические задачи»:

• метод последовательных рассуждений;
• «с конца»;
• с помощью таблиц истинности;
• метод блок-схем.

Нестандартные методы

Среди популярных, нестандартных — целенаправленный поиск «ключа» («ключей») и метод «игры в создателя» (т.е. моделирования различных вариантов принципов, использованных для создания задачи). А если подсказки, шаблоны решения отсутствуют, применяется самый сложный метод – поиска метода.

Для быстрого и правильного решения различных логических головоломок и задач на смекалку ребенку необходимо:

• знать виды логических задач;
• владеть возможными методами решения задач;
• уметь классифицировать задачу и выбирать самый простой и «красивый» способ ее решения.

Алгоритм решения задач на логику и смекалку

Основные шесть этапов, которые последовательно должен пройти ученик, решая логическую задачу:

• Ознакомление с условиями задачи.
• Понимание содержания задачи, анализ условий, моделирование.
• Поиск метода решения.
• Применение метода решения, поиск правильного ответа.
• Проверка правильности решения и оформление ответа.
• Анализ проведенного решения.
• Отработка и закрепление навыков решения аналогичных задач.

1. Внимательно прочитайте условие задачи, лучше несколько раз. Четко уясните вопрос или проблему, которую нужно разрешить. Чаще всего ошибки в решении появляются от невнимательности. Особенно это касается задач с подвохом.

2. Кратко запишите условия задачи, по возможности, опишите задачу схематически (в виде рисунка, схемы, графика, дерева, чертежа и т.д.). Наглядное представление задачи не только способствует более быстрому уяснению содержания задачи, но и поможет выявить новые связи между элементами задачи или увидеть скрытые свойства объектов. Выделите существенные и несущественные условия задачи и попробуйте упростить задачу, абстрагироваться от действительности, мысленно смоделировать описанную в задаче ситуацию.

3. Попытайтесь определить тип задачи и соответственно подобрать метод решения, который обычно применяется для решения этого вида заданий. Например, для решения задач на определение истинности или ложности высказывания удобно использовать таблицу. Для решения задач с большим количеством взаимосвязанных условий лучше использовать метод графов и т.д.

4. Используя выбранный метод, решите задачу.

5. Проверьте ваш вариант ответа. В случае письменного решения задачи надлежащим образом запишите правильный ответ.

6. Анализ проведенного решения представляет собой обсуждение всего хода мыслительных действий в процесс решения логической задачи. Это завершающий и необходимый этап решения любой задачи, не только логической. Он включает:

• поиск альтернативного, более рационального, красивого способа решения;
• анализ всего процесса, моментов, которые вызвали затруднения;
• выделение важных признаков данного типа задач;
• составление алгоритма их решения;
• систематизация полученных знаний.

Школьнику полезно записывать свои решения, алгоритмы и рассуждения в отдельную тетрадь, например, специально для занятий на ЛогикЛайк. Таким образом он будет «пропускать через моторику» свои рассуждения и всегда сможет вернуться к своим наработкам.

7. Чтобы закрепить свое умение решать головоломки определенного типа, необходимо не откладывая решить еще ряд подобных, однотипных задач с постепенным усложнением набора условий.

В учебной программе образовательной платформы LogicLike логические задачи распределены по 15 тематическим разделам. Каждая категория содержит задания разного уровня сложности.

Нововведения в математике или как правильно решать задачи

Логика продолжает удивлять. Ладно, была загадка без правильного ответа, но вот чтобы математические задачи решались с нарушением логики — сложно представить! Но есть и такое в нашей светлой действительности. 

Вот такое решение математической задачи и «правильный» ответ облетели Интернет. Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал. Оказывается, что решение(даже не ответ) должно выглядеть так: 2*9=18. А если помножить 9 на 2, то неправильно. То есть надо умножать литры на покупателей, а не покупателей на литры. Разница — принципиальная.

То есть все мое поколение, которое в школах учили простой истине, что от перемены мест слагаемых(или множителей) сумма(произведение) не меняется — вкорне неверно!

В чем же логика? А логику объясняют в другом учебнике математики: В 5 чашек положили по 2 куска сахара. Сколько всего кусков сахара положили в эти чашки? И вот тут начинается самое главное: оказывается, при записи задачи с помощью умножения важен порядок множителей — от этого зависит наименование в ответе задачи. В данной задаче нельзя поменять множители местами при записи решения… Число 2 обозначает куски сахара, а число 5 обозначает количество чашек. Если поменять их местами в записи решения задачи, то в ответе будут чашки, а не куски сахара. Некоторые учителя полагают, что данное требование формально и необязательно к соблюдению. Однако оно важно для формирования осмысленного отношения к процессу решения задачи

Видимо, это учебник стереотипности мышления и невозможности поиска альтернатив. Формальный и осмысленный подход к решению важнее умения решать. То есть, если в 5 чашек положить по 2 куска сахара, а потом перемножить показатели, то получим в ответе не сахар, а чашки. Похоже, что у них какая-то особая чашка, которая умеет раздваиваться, если в нее положить 2 куска сахара.

Число 2 имеет размерность «кусков в расчёте на чашку», или «кусков/чашка».
При умножении на 5 «чашек» имеем
2 «кусков/чашка» * 5 «чашек» = (2*5) «кусков/чашка * чашка»
«Чашка» сокращается.
В итоге имеем 10 «кусков».

Если мы запишем 5 «чашек» * 2 «кусков/чашка» в ответе будут те же 10 кусков.

Насчёт мышления вообще потрясающе сказано. В таком случае, по мнению авторов пособия, перестановка слов в условии сразу будет делать задачу нерешаемой.

Вспоминается анекдот:

Захотел гаишник заработать. Останавливает женщину и спрашивает:
— Слушай, а если я у тебя свечи выкручу, у тебя какое колесо спустит?
Думала она, думала — не знает, что ответить.
— Ага, не знаешь, ну плати штраф.
Гаишнику понравилось, останавливает он мужика на грузовике и опять тот же вопрос.
Мужик думал-думал, и спрашивает у гаишника:
— Слушай, а если я тебе монтировкой по башке дам, на какой ноге шнурки развяжутся?

В общем, для таких задач рекомендуется заучить фразу: Моя мама учит меня, что не всякое оценочное суждение должно служить модификатором поведения «операция умножения над полем вещественных чисел обладает свойством коммутативности». 😉