=h_c = ?

В этом случае говорят, задача решена методом площадей.

Задача: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см. и 12см. Найти катеты треугольника.

Решение.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки

АС — ? СВ — ?

AF = AD =5см

CF=CE

BD=BE=12 см

Пусть CF=x? тогда

AC = x + 5

BC = X + 12

AB = 17

∆ACD, C = 90

по теореме

Пифагора

(x2+5)² + (x+12)² = 17²,

x² + 10x + 25 +x² + 24x + 144 – 289 = 0,

2x² + 34x – 120 = 0,

x² + 17 – 60 = 0,

Д > 0, x₁= -20 – не удовлетворяет условию задачи

x₂= 3

AC = 8см, BC = 15 см.

Ответ: AC = 8см, BC = 15 см.

Задача: Найти длину основания равнобедренного треугольника, если S_∆ = 25см², а углы  при основании таковы, что tg  = 4.

Решение.

AC — ?

∆ABC : BDAC,

AB=BC? AD=DC

tg =

BD=h, AD=a tg = ;

= 4

S_∆ABC = = ah: ah=25

— не имеет смысла

а = 2,5

Ответ: AC=5см

Задача: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а проекция этого катета на гипотенузу равна 16см. найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение.

r — ?

r = (для произвольного треугольника)

r = (для прямоугольного треугольника)

BC — ?, AB — ?

1. Пусть = AD=x, BC=y ; ÐC=90 в ∆ACBпо теореме Пифагора 15²+y²=(x=16)²

2. ∆ABC: DC2=15²— x²

y²-16²=15²-x²

3. ∆BDC: DC2= y2-16²

+

450+y2-x2=x2+32x+256+y2-256

2×2+32x-450=0

x2+16x-225=0

x1=9, x2= — 25 – посторонний корень

y=20, BC=20см, АВ=25см, АС=15см

r == 5

Ответ: r=5см.

Задача: В ∆АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=АС, а на стороне ВС взята точка К такая, что ВК=ВС. В каком отношении отрезок ИЬ делит Отрезок АК?

Дано: ∆АВС,

АМ=АС; ВК=ВС

Найти:

Решение:

Пусть ВК=а, ВС=3а. В каких объектах содержатся AN и NK?

Д.П. AL॥BC, AL∩BM=L

Метод подобия

1) ∆BNK∆LNA (Ð1=Ð2; Ð3=Ð4)

=; AL=?

2) ∆AML∆CMB (Ð5=Ð6, Ð3=Ð4)

; ; ; AL=2a,

=

Ответ: =2

Эту задачу можно решить векторным способом (домашние задание).

Выводы: В качестве основных методов решения геометрических задач рассматривали: а) геометрический (метод подобия, векторный, поэтапное решение) и алгебраический метод.

Недостатки геометрического метода можно отметить следующие: нет алгоритма решения, при решении нужны хорошие чертежи, трудно выбрать из множества теорем нужную.

Преимущества алгебраического метода заключаются в том, что основные его модификации могут быть в достаточной степени алгоритмированы, (метод по этапного решения – аналогия – текстовые арифметические задачи), метод составления уравнений (аналогия — текстовые задачи на составление уравнений).

1. Не нужно бояться числа неизвестных.

2. Неизвестные должны полностью определять рассматриваемую в задаче геометрическую фигуру.

3. Величину какого-либо элемента выражают дважды различными способами через введенные неизвестные.

4. Возможно, случай составления уравнения является частью общего решения уравнения.

Однако, следует заметить, что, ставя во главу алгебраический метод решения геометрических задач, необходимо избегать чрезмерного увлечения алгеброй и счетам, не забывать – речь идет о геометрических задачах. Поэтому, работая над задачей, нужно искать ее геометрические особенности, учится видеть геометрию.

В алгебраических решениях встречаются различные дополнительные построения, элементы геометрических методов, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой алгебраическим метом.

Комбинированный метод.

Таким методом мы уже решали задачи, но рассмотрим еще одну задачу.

Задача. На сторонах АD и CD квадрата ABCD со стороной 3см, взяты две точки M и N так, что MD+DN=3см, прямые BM и CD пересекаются в точка Е. найти длину отрезка NЕ, если MЕ=4см.

Решение.

1) ∆DAM∆EMD

NE=ND+DE=3-x+y

(y-x)=?

2) ∆MDE по теореме Пифагора x²+y²+16

Пусть y-x=z, (1) -3z + xy = 0,

xy = 3z

(2) уравнение: (y-x)²+2xy=16,

z = 2; z = — 8 – не подходит

NE=3+2=5(см)

Ответ: NE=5см

Программа электива для 9 класса «Методы решения геометрических задач»

Темы рефератов для девятиклассников по геометрии

1. Замечательные точки треугольника.

2. Задачи на построение.

3. Геометрические места точек.

4. Удивительный квадрат.

5. Некоторые теоремы об окружности.

6. Решение задач с помощью дополнительных построений.

7. Геометрические преобразования на плоскости.

8. Правильные и полуправильные многоугольники.

9. Вписанные и описанные многоугольники.

10. Задачи на векторный метод.

11. Задачи на координатный метод.

12. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

13. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

14. Геометрические задачи на максимум и минимум.

15. Симметрия на плоскости.

16. Задачи Л. Эйлера.

17. Золотое сечение.

18. Различные доказательства теоремы Пифагора.

19. Паркеты из многоугольников.

Тема «Замечательные точки треугольника»

План

1. Четыре замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, центр вписанной окружности, центр тяжести (центроид) и ортоцентр.

2. Теорема Чевы.

3. Теорема Менелая.

4. Теоремы о пересечении в одной точке: а) медиан; б) биссектрис; в) высот треугольника. Различные доказательства.

5. Прямая Эйлера.

Литература

1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-изд. – М.: Просвещение, 1996, с. 407.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. – М.: Просвещение, 1996, с. 92.

3. Готман Э.Г. Прямая Эйлера /Математический кружок: Геометрия. Выпуск 1. – М.: Бюро Квантум, 1998, с. 23. (Приложение к журналу «Квант». – 1998. — № 1).

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 156.

5. Шарыгин И.Ф. Узнайте точку /Математический кружок. – М.: Бюро Квантум, 1999, с. 46. (Приложение к журналу «Квант». – 1999. — № 3).

Тема «Задачи на построение»

План

1. Простейшие задачи на построение.

2. Основные этапы решения задачи на построение.

3. Различные методы решения задач на построение.

4. Примеры решения задач на построение.

Литература

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 55.

2. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. – М.: Наука, 1992.

3. Савин А.П. Геометрические построения /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 66.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 87.

5. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 79.

Тема «Геометрические места точек»

План

1. Определение геометрического места точек.

2. Сущность метода геометрических мест.

3. Основные геометрические места точек на плоскости.

4. Примеры задач на геометрические места точек.

Литература

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 61.

2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 74.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 76.

Тема «Удивительный квадрат»

План

1. Определения квадрата.

2. Замечательные свойства квадрата.

3. Задачи на разрезание квадрата.

4. Построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги.

5. Танграм и другие головоломки, связанные с квадратом.

Литература

1. Квадрат //Квант. – 1989. — № 5. – С. 40.

2. Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат. – М.: Столетие, 1994.

3. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995, с.38.

4. Сергеев И.Н. и др. Примени математику. — М.: Наука, 1989, с.172.

Тема «Некоторые теоремы об окружности»

План

1. Число точек, определяющих окружность.

2. Зависимость длин хорд от их расстояния от центра.

3. Взаимное расположение прямой и окружности.

4. Измерение углов, связанных с окружностью.

5. Взаимное расположение двух окружностей.

Литература

1. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса / Л.С.Атанасян и др. – М.: Просвещение, 1996, с.121.

2. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996, с. 61.

3. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996, с. 65.

4. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 8 класса. – М.: Просвещение, 1999, с. 35.

5. Шарыгин И.Ф. Углы и окружности // Квант. – 1994. — № 1. – С. 40.

Тема «Решение задач с помощью дополнительных построений»

План

1. Роль дополнительных построений при решении планиметрических задач.

2. Удвоение медианы треугольника.

3. Проведение вспомогательной биссектрисы треугольника.

4. Проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из данных прямых.

5. Построение вспомогательной окружности.

Литература

1. Белый С. Учитесь делать дополнительные построения / Практикум абитуриента: Геометрия. Выпуск 1. (Планиметрия) / Под редакцией А.А.Егорова. – М.: Бюро Квантум, 1996, с. 76 (Приложение к журналу «Квант». – 1996. — № 1).

2. Герасимова А.Д. К стратегии поиска дополнительных построений // Математика в школе. – 1996. — № 3. – С. 15.

3. Герасимова А.Д. Обоснование дополнительных построений при доказательстве теорем // Математика в школе. – 1994. — № 5. – С. 30.

4. Готман Э.Г. Вспомогательная окружность //(Приложение к журналу «Квант» №1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 11

5. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М: Школа-Пресс, 1995, с. 221.

6. Тарасенкова Н.А. Пропедевтический этап обучения поиску дополнительных построений // Математика в школе. – 2000. — № 4. – С. 32.

Тема «Геометрические преобразования на плоскости»

План

1. Движения и их свойства.

2. Центральная симметрия.

3. Поворот.

4. Осевая симметрия.

5. Параллельный перенос.

6. Равенство фигур.

7. Классификация движений.

8. Задачи по данной теме.

Литература

1. Болтянский В.Г. Геометрические преобразования плоскости /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 206.

2. Болтянский В.Г. Движения плоскости / Школа в Кванте. Геометрия / Под редакцией А.А.Егорова. – М.: Бюро Квантум, 1995, с. 4 (Приложение к журналу «Квант» – 1995. — № 1).

3. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 5.

4. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 9 класса / Л.С.Атанасян и др. – М.: Просвещение, 1997, с. 108.

5. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 143.

6. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса. – М.: Просвещение, 2000, с. 3.

Тема «Правильные и полуправильные многоугольники»

План

1. Определение правильного многоугольника.

2. Равноугольно–полуправильные и равносторонне–полуправильные многоугольники.

3. Построение правильных многоугольников.

4. Элементы симметрии правильных многоугольников.

5. Паркеты из правильных многоугольников.

6. О сумме углов выпуклых и звездчатых многоугольников.

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 9 класса. – М.: Просвещение, 1997, с. 86.

2. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996, с. 133.

3. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. – М.: Просвещение, 1995, с. 49.

4. Сергеев И.Н. и др. Примени математику. – М.: Наука, 1989, с. 139.

5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 149.

6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. О сумме углов звездчатых многоугольников // Математика. – 2002. — № 1. – С. 31.

Тема «Вписанные и описанные многоугольники»

План

1. Вписанные и описанные треугольники.

2. Вписанные окружности.

3. Вписанные и описанные четырехугольники.

4. Правильные многоугольники.

5. Некоторые теоремы, связанные с вписанными и описанными окружностями.

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 класса. – М.: Просвещение, 1996, с. 149.

2. Гохидзе М.Г. К теме «Вневписанная окружность» //Математика в школе. – 1990. — № 2. – С. 59.

3. Киселев А.П. Элементарная геометрия . – М.: Просвещение, 1996, с. 82.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 149.

5. Хонсбергер Р. Старая японская теорема // Квант. – 1990. — № 7. – С. 54.

6. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 213.

7. Несколько эпизодов из жизни вписанных и описанных окружностей // Квант. – 1990. — № 8. – С. 66.

Тема «Задачи на векторный метод»

План

1. Исторические аспекты векторного исчисления.

2. Понятие вектора.

3. Сложение и вычитание векторов.

4. Умножение вектора на число.

5. Скалярное произведение векторов.

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 (9 класс). – М.: Просвещение, 1996 (1997), с. 177 (с. 59).

2. Габович И. Векторы помогают на экзамене // Приложение к журналу «Квант» № 1/1996. — М.: Бюро Квантум, 1996, с. 108.

3. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 68.

4. Дорофеева А.В. Из истории векторного исчисления // Математика в школе. – 1998. — № 2. – С. 91.

5. Лопшиц А. Векторное решение аффинных задач // Приложение к журналу «Квант» № 1/98. – М.: Бюро Квантум, 1998, с. 90.

6. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 211.

7. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. – М.: Просвещение, 1990, с. 28.

Тема «Задачи на координатный метод»

План

1. Жизнь и творчество Р.Декарта.

2. Координаты на прямой.

3. Прямоугольная система координат.

4. Решение задач на координатный метод.

5. Полярная система координат.

Литература

1. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 83.

2. Котова А. Жизнь Декарта // Квант. – 1996. — № 3. С. 3.

3. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 137.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Полярные координаты /Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 294.

5. Степанов М. Рене Декарт. К 400-летию со дня рождения //Математика. – 1996. — № 12. – С. 15.

6. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы /Сост. И.Л.Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 135.

7. Феоктистов И.Е. Материалы по теме «Декартовы координаты на плоскости» // Математика в школе. – 1994. — № 3. – С. 17.

Тема «Применение подобия к доказательству теорем и решению задач»

План

1. Подобие треугольников.

2. Признаки подобия треугольников.

3. Подобие фигур.

4. Понятие гомотетии.

5. Решение задач методом подобия.

Литература

1. Гейдман Б. Гомотетия и замечательные точки в треугольнике //Приложения к журналу «Квант» № 1/1995. — М.: Бюро «Квантум», 1995, с. 18.

2. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 23.

3. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 класса /Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 1996, с. 73.

4. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996, с. 94.

5. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. – М.: Просвещение, 1995, с. 45.

6. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 162.

Тема «Равновеликость и равносоставленность»

План

1. Понятие равновеликости фигур.

2. Понятие равносоставленности фигур.

3. Теорема о равносоставленности равновеликих многоугольников.

4. Задачи на разрезание.

Литература

1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1996, с. 340.

2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1984, с. 114.

3. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995, с. 108.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 253.

5. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2001, с. 363.

Тема «Геометрические задачи на максимум и минимум»

План

1. Понятие экстремальной задачи.

2. Старинные задачи на максимум и минимум.

3. Изопериметрическая задача.

4. Решение экстремальных геометрических задач.

Литература

1. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М.: Владос, 1999, с. 13.

2. Горнштейн П. И др. Геометрические решения экстремальных геометрических задач //Приложение к журналу «Квант» № 3/1996. – М.: Бюро «Квантум», 1996, с. 33.

3. Готман Э.Г. Поиск рационального решения задачи на экстремум //Математика в школе. – 1997. — № 6. – С. 40.

4. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991, с. 282.

5. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. – М.: Наука, 1986 (Библиотечка «Квант», выпуск 56).

Тема «Симметрия на плоскости»

План

1. Понятие о симметрии.

2. Симметрия в окружающем мире.

3. Виды симметрии.

4. Свойства симметрий.

5. Композиции симметрий.

6. Симметрия помогает решать задачи.

Литература

1. Гейдман Б. Осевая симметрия //Приложение к журналу «Квант» № 1/1995. – М.: Бюро «Квантум», 1995, с. 15.

2. Гончарова С.Г., Кукин Г.П. Конструктор «В мире симметрии» //Математика в школе. – 1996. — № 3. – С. 60.

3. Зеркальная симметрия //Квант. – 1992. — № 3. – С. 40.

4. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991, с. 47, с. 56.

5. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.

6. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса. – М.: Просвещение, 2000, с. 11, с. 30.

Тема «Задачи Л. Эйлера»

План

1. Жизнь и творчество Л. Эйлера.

2. Прямая Эйлера.

3. Окружность Эйлера.

4. Формула Эйлера (связывающая радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника с расстоянием между их центрами).

Литература

1. Готман Э. Прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 23.

2. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 класса /Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 1996, с. 149.

3. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 9 класса /Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 1997, с. 78, с. 129.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 110.

5. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы /Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с.96.

6. Шарыгин И.Ф. и др. Окружность девяти точек и прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 31.

Тема «Золотое сечение»

План

1. История возникновения «тайны золотой пропорции».

2. Построение золотого сечения.

3. Золотые прямоугольники.

4. Золотые треугольники.

5. Использование золотого сечения в строительстве и искусстве: живописи, архитектуре, строительстве.

Литература

1. Азевич А.И. От золотой пропорции к ее «производным» //Математика в школе. – 1995. — № 3. – С. 55.

2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.

3. Волошинов А.В. Математика и искусство. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2000, с. 216.

4. Нафиков Н.Н. Гипотеза об истоке золотого сечения //Математика в школе. – 1994. — № 3. – 76.

5. Смирнова Е.С., Леонидова Н.А. Математическое путешествие в мир гармонии //Математика в школе. – 1993. — № 3. – С.60.

6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 195.

Тема «Различные доказательства теоремы Пифагора»

План

1. Жизнь и творчество Пифагора.

2. Знаменитая теорема Пифагора.

3. Доказательство Евклида.

4. Древнекитайское доказательство.

5. Древнеиндийское доказательство.

6. Доказательство с помощью листа бумаги и ножниц.

Литература

1. Волошинов А.В. Пифагор. – М.: Просвещение, 1993, с. 165.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. – М.: Просвещение, 1982, с. 196.

3. Изучаем теорему Пифагора //Математика. – 2001. — № 24.

4. Рубинов Р. По следам теоремы Пифагора //Приложение к журналу «Квант» № 3/ 1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 87.

5. Халамайзер А.Я. Пифагор. – М.: Высшая школа, 1994, с. 6, с. 47.

Тема «Паркеты из многоугольников»

План

1. Определение паркета.

2. Паркеты из одноименных правильных многоугольников.

3. Паркеты из различных правильных многоугольников.

4. Паркет из произвольного четырехугольника.

5. Другие паркеты.

Литература

1. Болтянский В.Г. Паркет из четырехугольников //Квант. – 1989. — № 11. – С. 57.

2. Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. – 1999. — № 2. – С. 32.

3. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников //Квант. – 1986. — № 8. – С. 3.

4. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995, с. 96.

5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 178.

6. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2001, с. 298.

Некоторые методы решения геометрических задач. Программа элективного курса для профильной подготовки учащихся 9–11-х классов по математике

Пояснительная записка

Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря изучению математики.

П. Гассенди

Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной и профильной подготовки по математике – формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки; развитие творческих способностей у школьников, осознанных мотивов учения, подготовка к продолжению образования и сознательному выбору профессии.

Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это объясняется прежде всего тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение различных формул. Приобрести навыки в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач, особенно на их частные случаи.

Искусство же решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, в овладении определённым арсеналом приёмов и методов решения геометрических задач.

Методы решения геометрических задач обладают некоторыми особенностями, а именно:

• большое разнообразие, трудность формального описания;
• взаимозаменяемость;
• отсутствие чётких границ области применения.

Поэтому целесообразно рассмотреть применение подходов, приёмов, методов при решении конкретных задач.

Знакомство учащихся с методами решения геометрических задач стимулирует анализ учащихся своей деятельности по решению задач, выделению в них общих подходов и методов, их теоретическое осмысление и обоснование, решение задач несколькими способами. Особое внимание уделяется аналитическому способу решения задач, доводится до понимания учащихся, что анализ условия задачи, анализ решения задачи – важнейшие этапы её решения. Учащиеся знакомятся со схемой восходящего анализа.

Знание методов решения геометрических задач позволяет решать, казалось бы, сложные математические задачи просто, понятно и красиво.

Кроме того, предлагаемый курс позволяет создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, благодаря пониманию методов, приёмов решения задач.

Конструирование программного содержания на занятиях по курсу может быть проведено по алгоритму:

1. обобщение первоначальных знаний;
2. систематизация, конкретизация и углубление теоретических знаний;
3. проектирование и организация практической деятельности учащихся по применению базисных знаний.

Такая конструкция программного материала, законченность блоков содержания, помогает ученику достигать поставленных перед ним дидактических задач и позволяет осуществлять интеграцию разных видов и форм обучения.

Важное значение при организации учебно-познавательной деятельности имеет обратная связь: внутренняя при взаимоконтроле, самоконтроле и внешняя.

Технологии, используемые в организации изучения элективного курса по геометрии должны быть личностно-ориентированными, направленными на запланированный конечный результат, а именно, содержание материала, поуровневая индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности на фоне благоприятного психологического климата дают возможность создать ситуацию выбора для учителя и ученика, помогают ученику сформировать общеучебные умения и навыки, повысить его образовательный уровень, что связано с дальнейшим успешным самообразованием и профессиональным самоопределением.

I. Организационно-методический раздел

Цель курса: расширить представления учащихся о методах, приемах, подходах решения задач по планиметрии в системе предпрофильной и профильной подготовки.

Задачи курса

1. Познакомить учащихся с некоторыми методами решения задач:

а) методом опорного элемента;
б) методом площадей;
в) методом введения вспомогательного параметра;
г) методом восходящего анализа;
д) методом подобия;

е) методом дополнительного построения;

2. Познакомить учащихся с некоторыми теоремами планиметрии и свойствами фигур, не рассматриваемыми в курсе геометрии 7-9 классов.

3. Развивать общеучебные умения учащихся, логическое мышление, алгоритмическую культуру, математическое мышление и интуицию, повысить их уровень обученности.

4. Развивать творческие способности школьников, готовить их к продолжению образования и сознательному выбору профессии.

Место курса в системе профильной подготовки.

Курс направлен на профильную подготовку по математике. Он расширяет и углубляет базовый курс по геометрии, является предметно ориентированным, дает возможность учащимся познакомиться с различными методами, приемами решения задач по геометрии, которые являются не только эффектными, но и эффективными.

Данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию знаний и умений по математике, даст возможность учащимся проанализировать свои способности к математической деятельности.

Требования к уровню усвоения содержания курса

Административной проверки усвоения материала курса “Некоторые методы решения геометрических задач” не предполагается. В технологии проведения занятий осуществляется обратная связь при взаимоконтроле и самоконтроле. Возможно проведение обучающих самостоятельных работ и итогового тестирования.

Распределение часов курса по темам

Данный элективный курс предполагает 17 тематических занятий.

Тематический план курса

II. Содержание курса

Тема 1. Методы решения геометрических задач

Три основных метода решения геометрических задач: геометрический; алгебраический; комбинированный.

Анализ и синтез. Метод восходящего анализа.

Дополнительные методы и приемы решения задач. Анализ условия задачи, анализ решения задачи – этапы решения задачи.

Решение задач.

Тема 2. Треугольник

Обзор теоретического материала по теме.

Решение задач с использованием методов:

1. метода опорного элемента, метода площадей;

2. метода введения вспомогательного параметра;

3. метода дополнительного построения:

а) проведение прямой параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке;
б) удвоение медианы треугольника;
в) проведение вспомогательной окружности;
г) проведение радиусов в точки касания окружности и прямой или двух окружностей;

4. использование свойства медиан, биссектрис и высот треугольника;

5. метода подобия;

6. применение тригонометрии (теоремы синусов и теоремы косинусов).

Тема 3. Четырехугольники

Обзор теоретического материала по теме.

Параллелограмм. Вписанные и описанные четырехугольники.

Трапеция. Свойства трапеции определенного вида.

Решение задач с использованием:

1. метода подобия;

2. метода опорного элемента; метода площадей;

3. метода введения вспомогательного параметра;

4. свойств трапеции определенного вида;

5. метода дополнительного построения.

Задания для самостоятельной работы учащихся

Работа с рекомендованной литературой.

Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов решения.

Самостоятельный подбор задач по теме элективного курса с использованием дополнительной математической литературы.

Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация.

Самоанализ когнитивной и креативной деятельности учащихся.

III. Учебно-методическое обеспечение курса

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1998.

2. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

3. Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1985.

4. Пиголкина Т.С. Математическая энциклопедия абитуриента. – М.: изд. Российского открытого университета, 1992.

5. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Просвещение, 1959.

6. Семенов С.В., Хазанкин Р.Г. Математика. Трапеция. – УРЭК, 1997.

7. Шарыгин И.Ф. Геометрия-8. Теория и задачи. – М.: Рост, МИРОС, 1996.

8. Шарыгин И.Ф. Решение задач: учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

9. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. М.И. Сканави. Учеб. пособие. – С.-Петербург, 1994.

Метод дополнительных построений при решении геометрических задач в курсе планиметрии по учебнику Л.С.Атанасяна.

Метод дополнительных построений при решении геометрических задач в курсе планиметрии по учебнику Л.С.Атанасяна.

Суть метода: Решение планиметрической задачи начинается с построения чертежа, аккуратное выполнение которого помогает найти связи между элементами фигуры и наметить дальнейшие действия. Дополнительные линии чаще всего проводятся для того, чтобы свести задачу к ранее решенной или просто более простой задаче. Они позволяют включить в задачу новые фигуры с их свойствами, тем самым увеличить число теорем, которые можно использовать при решении задачи. Одним из эффективных методов решения геометрических задач является метод дополнительных построений. Метод дополнительных построений при решении геометрических задач является непростым, так как нужное дополнительное построение не всегда удается определить с первого взгляда. Но, зная различные способы дополнительных построений и их применение, решение геометрической задачи становится намного проще, так как появляются другие фигуры (чаще те, которые мы изучили), свойства которых нам известны. Иногда условие задачи подсказывает выбор дополнительного построения. Однако увидеть нужное дополнительное построение могут далеко не все. Вместе с тем существуют достаточно типичные дополнительные построения, к выполнению которых учащихся (в подавляющем большинстве) можно подготовить. Дополнительные построения встречаются по всему курсу планиметрии с 7 по 9 классы.
В учебнике геометрии Л.С. Атанасяна имеется теоретический материал (почти половина теорем) и задачный материал, при доказательстве, решении которого применяются различные дополнительные построения А именно в темах: «Треугольники», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и углами треугольника», «Четырехугольники», «Площадь», «Подобные треугольники», «Окружность». При этом общее представление о разновидностях дополнительных построений при решении геометрических задач у школьников формируется стихийно. Сейчас в школьном курсе учеников знакомят с разнообразными понятиями и средствами решения задач, но именно их разнообразие оставляет мало времени на приобретение навыков, и вкус к такого рода задачам, которые развивают геометрическое воображение. Чтобы этот процесс сделать целенаправленным, на мой взгляд, в первую очередь необходимо систематизировать разновидности дополнительных построений. Разновидности дополнительных построений:

1)построение прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже;

2) построение прямой, перпендикулярной данной;

3) продолжение медианы;

3) построение окружности.

Основным средством обучения учащихся приему дополнительного построения являются имеющиеся теоремы и набор задач. При изучении планиметрии в 7-8 классах особое внимание нужно уделять построению отрезков (соединение отрезком каких-либо точек, лежащих на сторонах многоугольника, построение высот треугольника или четырехугольника, радиусов или хорд окружности, диагоналей многоугольника, продолжение отрезков до взаимного пересечения между собой и т.д.). В 7 классе можно начинать вводить метод дополнительного построения при изучении темы «Свойства равнобедренного треугольника», при доказательстве признаков параллельности прямых, а также теорем, обратных этим теоремам. Закрепить знакомство можно при доказательстве теоремы о сумме углов треугольника, неравенства треугольника.

В 8 классе при изучении темы «Четырехугольники, площади» можно ознакомить со следующими видами дополнительного построения.

1.Удвоение медианы треугольника с последующим достраиванием треугольника до параллелограмма, то есть продолжить эту медиану на расстояние равное длине медианы, т.е. продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

2. Стандартное дополнительное построение в задачах на трапецию: проводим либо два перпендикуляра к основанию и получаем прямоугольник и два прямоугольных треугольника, либо проводим отрезок, параллельно боковой стороне, и получаем параллелограмм и произвольный треугольник, либо проводим через середину меньшего основания прямые, параллельные боковым сторонам, либо продливаем боковые стороны до пересечения. Если же в условии задачи говорится о диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали.

Вспомогательные окружности часто облегчают вычисление углов в задачах о «некруглых» фигурах. Этот метод дополнительного построения можно ввести в 9 классе при повторении и подготовки учащихся к ОГЭ.

Приложение 1.

1.Задачи из учебника Л.С. Атанасяна (№160,165,200, задачи на построение).

2. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.

3.В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90) проведена медиана СД. Докажите, что СД=ДВ (для проверки усвоения метода)

Приложение 2.

1.Задачи из учебника Л.С. Атанасяна (№384,388,393,527, задачи на построение).

2. Найти среднюю линию трапеции, диагонали которой перпендикулярны и равны 6 и 8.

3. Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 7 и диагоналями 5 и 12.

4. Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 17 и 113, а высота равна 15.

5. В трапеции АВСD ВС II AD M N- середины оснований ВС и AD. АС=√15, ВD=1, MN=2. Найдите площадь трапеции.

6.Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.

7.Длины боковой стороны AD и основания CD трапеции ABCD равны 2, а длина основания АВ равна 4. Длина диагонали АС равна √7. Найти длину боковой стороны ВС.

8. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен 3. Углы при большем основании равны 30⁰ и 60⁰, Найдите высоту,

9. В трапеции длина средней линии равна 4, а углы при одном из оснований имеют величины 400 и 500 . Найти длины оснований трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины этих оснований, равна 1. 10. Найдите косинус острого угла равнобедренной трапеции, основания которой равны 37 и 49, а боковые стороны равны 15.

Приложение3.

1.Из точки Р, расположенной внутри острого угла с вершиной А, опущены РВ и РС на стороны угла. Известно, что СВР=25⁰. Найдите угол САР.

2.В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. < АВС = 1110 , <ОВС = 490 , < АСD = 620 . Найти углы САD и АDС

3.В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС угол АВD равен углу АСD. Доказать, что АВСD – равнобедренная трапеция.

4.Известно, что ВМ и СN – высоты треугольника АВС, при этом МN=10, и ВС =26. Найдите расстояние между серединами отрезков МN и ВС.

5.В выпуклом четырехугольнике АВСД известно, что _{ВСД= 80}⁰_{, АСВ=50}⁰ _{и АДВ=30}⁰_{. Найдите} АДВ.

6. В выпуклом четырехугольнике АВСD АВД = АСД = 45⁰, ВАС = 30⁰, ВС=1. Найдите АД. 7. В треугольнике АВС проведена высота ВК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АВ, если АВ = 10 см.

Для проверки усвоения метода можно составить аналогичные задачи.

«ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ НЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЛИМПИАДАМ»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

п.г.т. Осинки муниципального района Безенчукский Самарской области

«ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ НЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЛИМПИАДАМ»

Выполнила:

Смирнова Раиса Михайловна,

учитель математики

ГБОУ СОШ п.г.т. Осинки.

Самара – 2014

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Решение задач – это сердцевина, смысл и внутренняя пружина самой математики. Сначала появляется задача, и лишь потом строится теория для ее решения.

Нестандартные задачи во все времена привлекали внимание ученых. Среди них много красивых задач, которые интересно и приятно решать. Но в школе их решением занимаются отнюдь не только «из любви к искусству». Такие задачи развивают абстрактное и логическое мышление, познавательные способности. Нетрадиционные приемы решения задач позволяют полнее раскрыть потенциал школьников. Именно поэтому большинство заданий олимпиад различного уровня проверяют способность ребенка видеть нестандартные пути решения. Не секрет, что для получения высокого балла на ЕГЭ также необходимо решать именно такие задачи.

При подготовке к олимпиаде учащиеся столкнулись с решением сложной алгебраической задачи геометрическим методом, открыв для себя красоту этого решения, его наглядность и простоту.

Мы часто встречаем задачи по геометрии, которые решаются с помощью алгебры (различные уравнения, системы уравнений и т.д.). Менее известны другие случаи, когда арифметические и алгебраические задачи удобно решать на геометрическом языке, но в школе они редко рассматриваются. Если такое задание попадется в тексте ЕГЭ, могут возникнуть проблемы. И даже если и сможем решить такую задачу своими способами, то потратим на это уйму времени, а в режиме экзамена каждая минута на вес золота. Нетрадиционные приёмы решения задач позволяют полнее раскрыть потенциал школьника, приобщить его к творчеству, проиллюстрировать внутриматематические связи.

Актуальность выбранной темы.

С одной стороны это расширит возможности решения задач. С другой стороны, многим учащимся геометрия даётся легче, чем алгебра, и им будет интересно решать такие задачи, хотя малое количество задач в материалах ЕГЭ снизил интерес к её изучению. Это объясняет выбор темы.

Цель работы:

Создать формирование у школьников приёмы и способы решений негеометрических задач геометрическим способом. Показать преимущества геометрического способа решения алгебраических задач, заключающиеся в его наглядности и изящности решения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Выявить алгебраические задачи, решаемые геометрическими методами, используя различные источники.

2. Рассмотреть достоинства и недостатки данного метода.

Решая первую из поставленных задач, выяснилось, что таких заданий много, это привело к постановке новых задач:

3. Классифицировать найденные примеры по темам:

• рассмотреть способы решения геометрическими методами задач в тригонометрии;

• рассмотреть геометрические методы решения задач, содержащих иррациональность, действия с величинами в отрезках; решение квадратных уравнений с помощью квадрирования прямоугольников; формулы сокращенного умножения; арифметическую прогрессию;

• рассмотреть геометрические методы решения систем;

• рассмотреть векторный метод решения задач;

• рассмотреть способы решения текстовых задач геометрическими методами.

4. Подготовить результаты исследования к виду, готовым к использованию.

Применяя различные методы решения задач, мы тренируем и делаем более гибким своё мышление. Такая тренировка оттачивает навык решения задач, а также способствует более лучшей усвояемости нового материала.

ГИПОТЕЗА: Могут быть сделаны выводы.

1. Решение алгебраических задач геометрическим способом позволит избежать многих сложных вычислений.

2. При подборе задач, изучив дополнительную литературу, мы расширили свои знания в точных науках и расширили свой кругозор.

3. При решении некоторых задач геометрическими методами наблюдалась явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени.

4. Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи, что является самым сложным в данном методе.

5. Во многих разделах алгебры существуют классы задач, решаемых геометрическими методами.

6. Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо иметь мощную базу знаний по геометрии, т.к. в решении используются: метод площадей, векторная геометрия, свойства геометрических фигур, геометрические неравенства и т.п.

7. Геометрический подход даёт более быстрое, а главное, красивое решение этих задач.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Системы:

1. Решить систему уравнений:

,

3ху-10у=3

2. Найти S=xy+yz, если x>0, y>0, z>0 и

x²+y²=16,

y²+z²=48,

y²=xz.

3. Найти M=xy+2yz+3xz, если x>0, y>0, z>0 и

4. Сколько пар целых чисел (x;y) удовлетворяет системе неравенств

?

2. Задания, содержащие иррациональность:

1. Решить уравнение

2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если .

3. Доказать неравенство <

4. Доказать, что для положительных a, b, c выполняется неравенство

2. Текстовые задачи:

Поезд проходит расстояние от города А до города В за 10 час. 40 мин. Если бы скорость поезда была на 10 км/ч меньше, то он пришел бы в В на 2 часа 8мин. позже. Определить расстояние между городами и скорость поезда.

2. Задания по тригонометрии:

1. Найти значение выражения: .

2. Найдите

2. Векторы помогают алгебре:

1. Для положительных чисел a, b, c доказать неравенство .

2. Доказать, что для любых x, y, z выполняется неравенство

3. Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ

Решая приведенные ниже системы традиционными методами, можно столкнулись с решением уравнений высших степеней и достаточно сложными преобразованиями. Именно поэтому геометрический метод не только упрощает решение, но и делает его прозрачным и изящным. Основной трудностью является увидеть применение данного метода в конкретном примере. В некоторых заданиях, например №1 явно прослеживается неравенство треугольника, а в задании №3 применение данного метода заметить сложно. Недаром этот номер были представлен на всероссийской олимпиаде школьников различных лет.

Задача 1.

Решить систему уравнений:

,

3ху-10у=3

Решение: На координатной плоскости рассмотрим точки А(2;4), В(5;8) и М(х;у). (рис.1)

Рис. 1

Тогда неравенство треугольника МА+МВАВ в координатной форме выглядит так: . Ясно, что равенство возможно лишь в том случае, когда точка М(х;у) принадлежит отрезку АВ. Уравнение прямой АВ имеет вид 4х-3у+4=0. Получаем систему, равносильную исходной:

4х-3у+4=0 x= x=3.5

3ху-10у=3  9y²-52y-12=0 

25 25 y=6

Ответ: (3,5; 6)

Задача 2.

Найти S=xy+yz, если x>0, y>0, z>0 и

x²+y²=16,

y²+z²=48,

y²=xz.

Решение:

На отрезке АВ таком, что АВ=АС+СВ, где АС = z, СВ = х. (рис. 2), как на диаметре, построим полуокружность. Далее, через точку С проведем прямую, перпендикулярную АВ и пересекающую полуокружность в точке D.

Рис. 2

Тогда с учетом третьего уравнения системы CD = у. Из уравнений х²+у²=16 и у²+z²=48 следует, что BD=4, AD=4.

Имеем S= ху+уz =2 S_BCD+2 S_ACD=2 S_ADB=16.

Ответ:16.

Задача 3.

Найти M= xy + 2yz +3xz, если x>0, y>0, z>0 и

Рис. 3

Решение:

Построим отрезки ОВ=, ОС=z и ОА= х такие, что =90°, СОА=120° и ВОА=150° (рис. 3).

Тогда с учетом условия АВ=5, ВС=4, АС=3 и S_ABC=. Но S_ABC=S_BOC+S_COA+S_BOA=.

Теперь, умножив обе части равенства =6 на 4, получим М=24.

Ответ: 24.

Список литературы:

[1] Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2009 – 264с.

[2] Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач единого государственного экзамена – 2-е изд., испр.- М.: Айрис-пресс, 2006. – 272с. – (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ)

[3] Математика. 9-11 классы: Решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы/ Авт.-сост. М.А. Куканов. – Волгоград: Учитель, 2009. – 223с.

[4] Математика. Областные олимпиады. 8-11 классы/ [Н.Х. Агаханов, И.И.Богданов, П.А.Кожевников и др.] – М.: Просвещение, 2010 – 239с.: ил. – (Пять колец).

[5] Островский А.И., Кордемский Б.А. Геометрия помогает арифметике. М.:ФИЗМАТГИЗ, 1960.

[6] Уфановский В.А. Математический аквариум. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2000.

[7] Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991. – 384с.

[8] Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 252с.

[9] Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности. Изд. 5-е, стереотипное. Минск, «Вышейш. школа», 1969.

[10] Энциклопедия для детей. [Том 11.] Математика. – 2-е изд., перераб. / ред. Коллегия: М. Аксёнова, В. Володин, М. Самсонов. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2007. – 621с.

[11] Якир М.С., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач. Киев: Агрорифма «Александрия». 1993.

Библиотечка «Квант»

[12] Васильев Н., Сендеров В. Про угол и // №2. 1996.

[13] Кушнир И. Геометрические решения негеометрических задач // №11. 1989.

[14] Ясиновый Э.Геометрия помогает решать уравнения // №12. 1984.

Нарисуйте ваш костюм в мельчайших деталях, это поможет вам держаться продуманного образа, импровизируя по ходу работы над ним.

Разбейте костюм на составляющие: головной убор, маска, платье или костюм, то есть то, что будет из тканей, обувь, аксессуары, а также разные объемно-фантазийные его части.

Скроите ваш костюм или платье, сметайте и примерьте, а потом сшейте на машинке или вручную.

Экспериментируйте с материалами. Используйте для объемных частей вашего костюма легкие материалы, такие как синтепон, поролон, вата, пенопласт, а для создания четких контуров и геометрических форм (шляп и колпаков) – картон. Для каркасов подойдет тонкая проволока, для воротников в готическом и средневековом стиле – гофрированная бумага, фольга и ватман. Купите для декорирования костюма блестящую и яркую бумагу для упаковки подарков. Для бород и усов подойдут мочалки и искусственный мех. Не забывайте про парики, их можно купить или взять напрокат.

Вырежьте классическую простую маску с прорезями для глаз из картона и распишите ее красками, а также украсьте перьями, стразиками, звездочками из фольги или обтяните бархатом. Объемные маски и полумаски, повторяющие контуры лица, делают с применением техники «папье-маше», ее можно легко освоить.

Не ограничивайте себя, пусть ваш костюм будет слегка нелепым, зато не скучным и оригинальным. Но помните, что самый лучший маскарадный костюм – это тот, в котором вы сможете плясать и веселиться до утра, то есть легкий и удобный! А уж если вас в нем никто не знает, значит, маскарад удался!

10 детских костюмов на Хэллоуин своими руками

Если вас с ребенком пригласили на вечеринку в канун Хэллоуина – не торопитесь идти в магазин. Из старой одежды и подручных средств можно создать отличный костюм. Главное – ваша фантазия и наша помощь!

Костюм кактуса
http://thechicsite.com/

Кактус – необычный выбор костюма на Хэллоуин, согласитесь? Но он веселый, необычный и что самое приятное простой в изготовлении.

Вам понадобятся:

• Старый спортивный костюм темно-зеленого цвета, который не жалко выбросить
• Пушистые проволочки зеленого цвета (продаются в табачных магазинах или отделах для детского творчества)
• Клеевой пистолет
• Ножницы

Процесс:

Нарежьте трубочистки-проволочки на более короткие отрезки, примерно по 5 см. Соедините отрезки в группы от 1 до 4 и с помощью клеящего пистолета приклейте к ткани. Вроде бы все)

Костюм дождевого облака

http://www.costume-works.com/

Костюм дождевого облака – звучит поэтично и очень по-осеннему. Есть разные способы имитировать дождевые капли, в этом случае мы взяли пластиковые прозрачные бусины.

Вам понадобятся:

• Темно-серое платье в пол
• Соломенная шляпа
• Тюль
• Краска для ткани
• Леска
• Бусины пластиковые

Процесс:

Расшейте платье прозрачными бусинами. Затем возьмите много тюля и, художественно комкая его, с помощью клея приклейте к шляпе. На леску наденьте бусины и закрепите подвески и кристаллы различной формы к шляпе с помощью металлических колец. Просто и шикарно!

Костюм летучей мыши

http://alphamom.com/

Костюм – проще не придумаешь, зато на 100% в стилистике праздника и на 200 % прост в изготовлении.

Вам понадобятся:

• Черная футболка с длинными рукавами 
• Старый черный зонт/ черная ткань 
• Бумага 
• Принтер 
• Швейная машинка

Процесс:

Аккуратно отпорите тканевую часть зонтика вместе со спицами. Разрежьте на две части. Пришейте одну часть к рукаву, а вторую к боковому шву футболки. Повторите со второй половинкой зонтика. Если зонта нет под рукой, вырежьте треугольные клинья, сшейте их и вшейте в футболку таким же образом. Последний штрих – маска. Ловите шаблон!

Костюм улитки

http://ohhappyday.com/

Вот что значит выдумка и фантазия! Из огромного куска оберточной бумаги и пары мячиков для пинг-понга можно создать такой чудесный костюм. Невероятно!

Вам понадобится:

• Коричневая крафт-бумага 
• Ножницы 
• Скотч 
• Ободок 
• Мячики (можно посмотреть в отделе для животных или взять старые теннисные мячики) 
• Клеевой пистолет

Процесс:

Начните с раковины. Для этого помните почти всю оберточную бумагу, чтобы она стала мягкой. Начиная с угла, сгибайте бумагу так, чтобы в итоге получилась длинная толстая полоска. Закрутите ее еще раз по спирали вокруг своей оси. Сделали? Начинайте заворачивать ее по спирали, периодически фиксируя скотчем с одной стороны. Еще раз проклейте все слабые места пистолетом. Повторите все то же самое с другим куском бумаги. Склейте обе половинки раковины вместе. Для этого возьмите квадратный кусок картона и намертво приклейте его к половинкам. Приклейте к этому квадрату лямки, чтобы поучился рюкзак.
Теперь усики. Возьмите оставшуюся часть оберточной бумаги, скрутите жгутом. На концах жгута закрепите с помощью клея мячики, а серединку приклейте к ободку. Ну как, шикарно?

Костюм пиццы
http://www.u-createcrafts.com/

В канун Хэллоуина можно нарядиться кем угодно, и этим надо пользоваться, чтобы реализовать даже самые странные идеи.

Вам понадобится:

• Войлок или любой жесткой материал для “основы из теста” 
• Разноцветные куски войлока для различных «начинок» 
• Клей для ткани

Процесс:
Измерьте вашего ребенка по плечам и прибавьте к цифре около 30-40 см. Затем измерьте расстояние от шеи до самой нижней точки вашего будущего куска пиццы. Теперь вырежьте треугольник, сложив ткань вдвое. Вырежьте полукруг на месте горловины, достаточного размера для того, чтобы свободно проходила голова. Сшейте в плечах. Из цветного войлока вырежьте кружочки разного размера (моцарелла, оливки, колбаса, помидоры) и грибочки. Приклейте. М-м-м…

Костюм Милифисенты
http://www.costume-works.com/

Если ваша дочка такая же красавица, как Анджелина Джоли, надо срочно ей изготовить вот такой костюм. Триумф обеспечен!

Вам понадобится:

• Фольга 
• Фиолетовая парча 
• Черная изолента 
• Шапочка для бассейна 
• Картон 
• Елочный шарик 
• Флуоресцентные краски 
• Палка

Процесс:

В оригинальном варианте предлагается сделать рога из папье-маше, но нам кажется это слишком сложно! Мы предлагаем использовать фольгу! “Вылепите” из нее рога по форме, как на картинке. Аккуратно обмотайте изолентой. Из старой шапочки для бассейна вырежьте треугольник в лобной части. Обмотайте шапочку с внешней стороны изолентой и аккуратно прикрепите рога. Для платья вырежьте из картона воротник, обтяните его блестящей тканью. Обмотайте палку изолентой, сделайте из фольги оправу для магического шара и тоже обмотайте черной изолентой. Стеклянный шаг покрасьте флуоресцентной краской, дайте высохнуть и вставьте в фольгированую оправу. Купите крылья в магазине и сделайте дочке заметный макияж. Шедевр!

Костюм миньонов 

https://lauraerickson2001.wordpress.com/

Миньонами хотят быть все – и взрослые, и дети. Это здорово, потому что их костюмы сделать очень легко!

Вам понадобятся:

• Желтая толстовка с капюшоном 
• Джинсовый комбинезон 
• Аппликация в виде буквы G 
• Резинка 
• Консервная банка 

Тут и делать почти ничего не надо. Только распечатать и приклеить логотип на комбинезон, да сделать очки, скрепив два жестяных кольца (нарезать банку) с помощью резинки.

Костюм охотника за привидениями

В канун Дня всех Святых будет столько нечисти, что это костюм придется очень даже кстати.

Вам понадобятся:

• Бежевый комбинезон 
• Рюкзак 
• Ненужные провода 
• Гирлянда на елку 
• Шланг от пылесоса с насадкой 
• Ремень 
• Маска для плавания 

Процесс:

Самое сложное – найти комбинезон! Надо чтобы он был бежевый и на молнии, тогда узнаваемость образа будет 100%. Обувь можно подобрать любую – темную и удобную. Дальше – оборудование. Возьмите ненужный рюкзак, поместите туда связку проводов, торчащих наружу и елочную гирлянду на батарейках, а в довесок положите в рюкзак шланг от пылесоса, большая часть которого будет видна. Можно даже насадку на шланг заправить за пояс, а на голову надеть маску для плавания.

Костюм Медузы Горгоны 

http://www.costume-works.com/

Еще один простой костюм при условии, что вы найдете в детской магазине десятка два резиновых змей.

Вам понадобится:    

• Длинное платье 
• Ободок 
• Резиновые или пластмассовые змеи 
• Золотая краска 
• Проволока 

Аккуратно прикрепите змей к ободку с помощью проволоки. Покройте все ровным слоем золотой краски. Нарядите дочку в красивое длинное платье свободного кроя и наденьте на нее изысканный головной убор.

медуза, осьминог, морская звезда, ракушка, рыбка и подводная лодка.

Как насчет окунуться в морскую пучину? У нас оригинальное предложение для ваших детей. Специально для тех, кто любит водную стихию, мы приготовили карнавальные костюмы водных обитателей. За доступные деньги вы поможете перевоплотиться вашему ребенку в ракушку, медузу или рыбку. Экзотичные наряды из-под нашего интернет-прилавка позволят сделать любой праздник незабываемым. Мы продаем только нестандартные маскарадные костюмы, а это значит, что ваш ребенок будет оригинально выглядеть на или, например, на .
Возможно, вы захотите провести «взрослый» вечер совместно со своими друзьями или родственниками. Пока вы отдыхаете, можете переодеть детей в карнавальные костюмы водных обитателей, сделайте их героями любимых мультсериалов. Вы свободно сможете отмечать свой праздник в своей компании, в то время как ваши чада будут радоваться, с удовольствием играя между собой.
Заметим, что наш каталог не ограничивается «морской» тематикой, и поэтому для вас есть разные одеяния для костюмированного праздника — причем, не только для юных любителей сказок, но и для , любящих отдыхать креативно и с пользой. Возможно, вас озарят еще более интересные идеи для использования наших костюмов!

Если вы готовите театрализованное представление на тему морских обитателей, устраиваете пляжную вечеринку или карнавал, то вам будут необходимы костюмы.

В этой статье Новостной портал «сайт» подготовил небольшую подборку мастер классов по изготовлению простых, но оригинальный карнавальных костюмов для детей, который вы сможете сделать своими руками из подручных материалов.

Костюм медузы: костюм медузы своими руками

Вы планируете отправиться на карнавал новогодний утренник или сыграть роль очаровательной медузы в детском спектакле? В таком случае ни как не обойтись без костюма медузы.

Делать костюм медузы мы будем своими руками, ведь это так просто сделать из подручных материалов.

Для изготовления костюма медузы своими руками вам понадобятся

Необходимые материалы:

— зонтик;

— небольшое полотно ткани;

— разноцветные ленты.

Изготовление:

Раскройте зонт и приметайте к каждой спице по несколько ленточек. Попросите своего ребенка подержать зонт во время изготовления костюма, так вы будете точно знать какой длины делать ленты.

Ленты можно заменить вырезанными из лоскутов ткани полосками. Одно условие вырезать полоску нужно по кругу.

Еще одним вариантом замены лент может стать гофрированная бумага, порезанная на тонкие полоски. А если это новый год, то можно использовать и блестящую мишуру.

Теперь нужно одеть ребенка в цвет сделанного костюма медузы и можно отправляться на карнавал.

Костюм осьминога: костюм осьминога своими руками

Нужен костюм веселого и смешного осьминога? Тогда почему бы не сделать его своими руками из подручных материалов.

В готовом самодельном костюме осьминога можно играть главные и второстепенные роли в детском спектакле, на утреннике или просто устроить тематическую морскую вечеринку.

Необходимые материалы:

— футболка;

— краски, цветная бумага или лоскуты черного и белого цвета;

— резинка;

— поролон.

Изготовление:

Нарежьте поролон на неширокие длинные полоски. Было бы не плохо, если бы поролон имел цвет, а не был бы обычным скучным бесцветным. Полоски поролона закрепите на резинке (можно пришить). У вас должна получиться своеобразная юбочка.

Теперь на футболке нарисуйте глазки осьминогу. Если не хотите пачкать футболку, используйте цветную бумагу или лоскутки ткани, которые можно пришить, предварительно вырезав из них глаза будущему осьминогу.

Костюм морской звезды: костюм морской звезды своими руками

Яркий и веселый карнавальный костюм морской звезды вы тоже можете сделать своими руками из самого обыкновенного картона.

Необходимые материалы:

— лист плотного картона;

— краски;

— клей;

— поролон.

Изготовление:

Из листа картона вырежьте форму морской звезды, в середине заготовки сделайте окошко для лица. Разукрасьте картонную звезду. Приклейте к лучам звезды кружочки вырезанные из поролона.

Костюм ракушки: костюм ракушки своими руками

Прекрасный карнавальный костюм для маленькой красавицы.

Необходимые материалы:

— лист плотного картона;

— ленты или декоративные жгуты;

— краски;

— клей;

— бусины;

— шарик белого цвета;

— ободок для волос.

Изготовление:

Из листа плотного картона необходимо вырезать две детали будущей ракушки (см. фото). Соединить их

Почему у грудных детей нередко трясется ножка, дрожат ручки? Подергивание мышц является результатом чрезмерной нагрузки, перенапряжения нервной системы.

Дрожание рук и ног, головы, нижней челюсти, губ, которое начинается в результате внешних воздействий (холода) или же при плаче, не является патологическим состоянием, если оно исчезает, когда устранен внешний раздражитель.

Тремор у новорожденного ребенка

Как правило, до трехмесячного возраста нервная система младенца является несовершенной, в результате чего можно наблюдать, как у него дергается ножка, трясутся ручки, а при плаче зачастую дрожит подбородок, нижняя губа, челюсть. Следует сразу отметить, что если эти симптомы быстро исчезают после того, как малыш успокоился, то повода для волнения нет.

Тремор головы может свидетельствовать об определенных неврологических расстройствах, при которых требуется соответствующее лечение у невролога или невропатолога.

Причины тремора у грудничков:

1. Физиологическая незрелость нервной системы малыша.
2. Недоношенная беременность.
3. Осложнения в процессе родов, такие как стремительные роды или затяжные.
4. Осложнения, возникшие в течение беременности: гипертонус матки, гипоксия плода, пр.
5. Стресс, который испытывает мама во время вынашивания ребенка, ее переживания, страхи. Все это способно повлиять на уязвимую нервную систему малыша.

Как правило, лечение не требуется, если:

1. Тремор рук, ног, подбородка наблюдается у малыша до достижения им трехмесячного возраста.
2. Подбородок дрожит во время плача ребенка.

Когда бить тревогу

Родителей малыша должно насторожить, если:

1. У ребенка трясутся не только ручки, подбородок, но и наблюдается судорожное дрожание всего тела.
2. Тремор головы.
3. Ручки и ноги ребенка дрожат без видимых причин.
4. Общее состояние малыша вызывает тревогу: он вялый, плаксивый, плохо спит.
5. По мере взросления ребенка тремор рук, ног не проходит, становится более выраженным.

Заметив данные симптомы, стоит поспешить к доктору, который, осмотрев малыша, сможет объяснить, почему присутствует тремор.

Не стоит волноваться

Дети растут не по дням, а по часам. Каждый день в их развитии заметны изменения. Многие симптомы малыш просто «перерастает». Нервная система дозревает, и, соответственно, остаются позади тремор, срыгивания и прочие неприятности.

Чтобы сохранить свои нервы, родителям нужно помнить, что тема дрожащих конечностей у новорожденного с большей долей вероятности не является проблемой, если:

1. У ребенка трясется подбородок в возрасте до трех месяцев.
2. Малыш быстро успокаивается, и дрожь тут же исчезает.
3. На фоне дрожания руки ног, подбородка не наблюдается нарушения общего состояния крохи.
4. Отсутствуют прочие неврологические симптомы.
5. Подбородок, нижняя губа дрожат во время плача.

Что делать

Как правило, лечение тремора у детей до 3 месяцев не требуется, однако необходимо:

• Наблюдать за состоянием малыша.
• Проанализировать, какие факторы являются причиной того, что у ребенка трясутся ручки, подбородок, нижняя губа, челюсть.
• Определить наличие или отсутствие других осложнений в самочувствии крохи, например, нарушения сна, плаксивости, легкой возбудимости, дрожания конечностей и тела без видимых причин и т. п.

• Поставить в известность лечащего педиатра или же семейную медсестру о том, что у малыша дрожат ручки или ноги, требовать, чтобы малыш был осмотрен соответствующими специалистами.
• Создать в доме атмосферу спокойствия и доброжелательности, так как психологический микроклимат в семье существенным образом влияет на здоровье детей.
• Полезными также будут массажи, теплые ванночки, при условии, что малыш воспринимает их с удовольствием.

Лечение тремора у грудных детей проводит невропатолог. Только опытный специалист может назначить необходимые препараты, контролировать и при необходимости корректировать лечение крохи.

И все же

Когда речь идет о развитии малыша, всегда лучше лишний раз перестраховаться, ведь упущенное время может существенно осложнить лечение возможного недуга.

Если трясущаяся при плаче губа или подбородок не вызывают серьезных опасений, то вот тремор ног, рук, который не проходит по мере взросления ребенка, должен как минимум насторожить родителей и послужить поводом обратиться к специалисту. При необходимости будет назначено соответствующее лечение.

трясутся руки, ноги, подбородок и голова у грудничка

Тремор является абсолютно нормальным явлением для только что родившихся крох. В некоторых случаях он говорит о заболеваниях. Симптом может просто свидетельствовать об эмоциях, позитивные эмоциональные состояния вызывают дрожание мышц.

Малыш плачет, руки трясутся

Говорить этот признак может и о коликах в животе, усталости.

Тремор у новорожденных (причины и последствия здесь невероятно разнообразны) нередко возникает в ответ на любой стрессогенный фактор. Например, некоторые дети реагируют на купание.

Важно! Если у ребенка в ответ на купание начинают трястись ручки и ножки, это не значит, что можно отказаться от гигиенических процедур.

Определение понятия

Тремор – симптом, выраженный в подергивании мышц, подбородка или головы. Бывает и тремор ног у новорожденных. Дрожь нередко несимметрична. Например, могут дрожать части тела по отдельности: одна ножка или подбородок сам по себе.

Новорожденный кроха

Мышечная дрожь очень часто возникает до первого месяца. Это адаптационный период, во время которого нужно оберегать кроху от любых стрессов. В том числе нельзя закалять карапуза с использованием воздушных ванн, делать массаж, поскольку все эти непонятные для грудного малыша операции вызывают у него беспокойство.

Важно! Необходимо наблюдать за ребенком. Есть более пугливые дети, есть и такие, которых даже резкий громкий звук не потревожит. Следовательно, подход нужно менять. Не нужно оберегать смелого малыша от любого негативного, по мнению взрослого, фактора, иначе он может стать пугливым.

По истечению месяца можно увеличивать количество процедур.

До 3 месяцев трясущиеся ручки и ножки – норма. Дело в том, что нейроны еще не полностью покрыты миелиновой оболочкой, задача которой – ускорить прохождение нервных сигналов.

Тремор головы у грудничка

У новорожденных или младенцев постарше нередко трясется голова в процессе кормления или засыпания. Если ребенок себя чувствует хорошо, других симптомов нет, повода для беспокойства тоже нет.

Взрослый ухаживает за ребенком

Это состояние считается потенциально опасным, рекомендуется пойти к врачу, чтобы убедиться в том, что у крохи нет каких-то угрожающих болезней. Если есть сомнения относительно здоровья чада, можно сделать ЭЭГ.

Тремор рук у грудничка или новорожденного

Тремор конечностей у новорожденных в большинстве случаев не указывает на какие-то проблемы со здоровьем.

Тремор подбородка или губ

Тремор подбородка или губ у новорожденных вызывается теми же причинами, что и рук, ног или головы. Как правило, поводов для беспокойства родителей нет.

Рекомендация. Некоторые люди пишут «триммер подбородка у новорожденных». Правильно писать слово «тремор».

Причины тремора у новорожденных

Почему у грудничка могут трястись мышцы? Тремор у новорожденных может быть вызван целым рядом состояний, как физиологических, так и патологических.

Естественные

К физиологическим причинам относятся:

1. Недостаточно развитая нервная система у грудничка. В частности, не до конца сформированы отделы мозга, отвечающие за осуществление движений.
2. Слишком интенсивная выработка норадреналина. Это также вызвано недостаточной сформированностью нервной системы. Кроме этого, состояние провоцируется сильными эмоциями, а также неприспособленностью надпочечников к жизни новорожденного за пределами материнской утробы.
3. Слишком длительные негативные эмоции, плач. В такой ситуации начинает трястись нижняя губа.

Физиологических причин значительно меньше, чем у болезней, но они покрывают большую часть случаев.

Патологические

Тремор у младенцев может провоцироваться болезнями, которые появлялись в критические периоды развития: 1, 3, 9,12-е месяцы. Если в этот период возникают любые болезни, сопровождающиеся тремором конечностей, головы или подбородка, важно сразу же обратиться к доктору. Также этот признак может быть вызван следующими причинами:

1. Травмы в ходе беременности, родов.
2. Чрезмерно высокий уровень норадреналина «в положении». Провоцируется нервами матери, когда она вынашивает ребенка. Если дрожь вызвана этой причиной, то она может продолжаться до года и позже.
3. Кислородное голодание плода.
4. Инфекционные заболевания, которые мать перенесла во время вынашивания плода. Опасность представляет даже грипп.
5. Трудные или чрезмерно быстрые роды.
6. Гипоксия после рождения.
7. Наркотическая ломка (вызвана тем, что беременная женщина принимала запрещенные вещества). Также тремор может наблюдаться при похмелье. Если мать во внутриутробном периоде часто принимала алкогольные напитки, у младенца может сформироваться зависимость. Одно из проявлений алкогольного абстинентного синдрома – интенсивный тремор.
8. Повышенное содержание в организме кальция, сахара, магния.
9. Перинатальная энцефалопатия.

Также причиной может быть заражение крови. Кроме этого, родственники довольно часто путают этот симптом с судорогами. Очевидно, что разобраться в таком большом количестве причин родитель самостоятельно не может (за исключением некоторых). Поэтому нельзя заниматься самолечением, необходимо обращаться к доктору.

Когда проходит тремор у грудничков

О том, что дрожь у новорожденных имеет естественные причины, свидетельствует ее проявление в возрасте до 3 (в крайних случаях шести) месяцев. Также длительность не может быть слишком большой – не более 30 секунд.

Последствия

Последствия тремора зависят от основного заболевания. Если это нормальное явление, то он проходит сам собой. Если дрожь вызвана перинатальной энцефалопатией, могут возникать тяжелые устойчивые неврологические нарушения.

Чем помочь ребенку

Если причиной является заболевание, то надо обратиться к доктору. Если симптом является следствием стресса, то достаточно расслабляющих мероприятий.

Массаж

Можно выполнять релаксирующий массаж два раза в день. Перед этим нужно посоветоваться со специалистом. Освоить технику несложно, без предварительного обучения массажи запрещаются.

Массаж малышу с тремором

Упражнения

Также можно делать специальные упражнения, направленные на расслабление мышц.

Спокойная обстановка

Создание благоприятного эмоционального климата положительно сказывается на развитии ребенка. Поэтому родители не должны ссориться, конфликтные ситуации решать спокойно, учитывая интересы друг друга.

Важно помнить! Малыш заражается эмоциональным состоянием родителей.

Прогулка

Это одно из самых важных дел, которые родитель должен совершать для здоровья малыша. Прогулка помогает избавиться от стресса и начать познавать мир.

Если тремор вызван патологией

Насторожить родителя должны следующие признаки:

1. Синхронный тремор головы, подбородка, ручек и ножек. По отдельности они могут трястись, вместе – нежелательно.
2. Длительность более 30 секунд. Если продолжительность небольшая, речь идет о незначительных возрастных нарушениях функционирования нервной системы. При продолжительности больше 30 секунд может идти речь о повышенной судорожной активности или других проблемах со здоровьем.
3. Синюшность кожных покровов.
4. Ребенок продолжает спать и дрожать, хотя уже достиг шестимесячного возраста.
5. Сложные роды.

Когда обращаться к врачу

Если появляется один из описанных выше симптомов, и одномоментно трясутся руки у грудничка (голова, губа, подбородок), необходимо вовремя обращаться к специалисту. Вообще нужно постоянно посещать педиатра, который оперативно может решать проблемы, которые возникают по ходу развития крохи.

Понятно, что это такое тремор конечностей у новорожденных. Обычно это явление не является поводом для тревог у родственников. Необходимо следить, чтобы оно хорошо переносилось грудничком. О том, что мышечная дрожь является естественным физиологическим явлением у новорожденного, говорит и доктор Комаровский.

Видео

дрожание конечностей и бодбородка. Советы Комаровского

Тремор у новорожденных малышей проявляется в основном подергиванием подбородка и верхних конечностей. Его можно считать аналогичным проявлением мышечного гипертонуса, который является главным признаком не созревшей нервной системы крохи. Тремор у грудничков проявляется в основном из-за перевозбудимости нервной системы, когда малыш кричит, плачет, а также, когда он хочет есть, или его кто-то испугал. Еще родители могут заметить, что у ребенка во время сна двигаются глазные яблоки. Обычно это происходит в фазе сна, которая называется быстрой.

Тремор у новорожденных – не редкое явление, оно имеет место быть практически у 50% всех появившихся на свет детей. С первого дня жизни и до 4 месяцев признаки тремора считаются нормальным явлением, но если они не исчезли по истечении этого срока, то нужно присмотреться к малышу. Возможно, стоит уже в этот момент получить консультацию врача. А вот если ручки и подбородок не перестали дрожать и после года, то это уже явный сигнал о проблемах со здоровьем ребенка. Чтобы понять, когда тремор является доброкачественным специфическим состоянием нервной системы, а когда серьезной проблемой, предлагаем ознакомиться с данной статьей.

Детская нервная система хорошо поддается «регулировке». Поэтому, чем раньше вы заметите проблему и получите квалифицированную помощь, тем больше шансов нормализовать состояние ЦНС и восстановить ее.

Что больше всего затрагивает непроизвольное дрожание у детей

Если посмотреть на статистику, то можно сделать однозначный вывод — зачастую практически у всех малышей присутствует тремор головы. Именно это говорит о неокончательной зрелости нервной системы малыша. Когда у малыша трясутся руки или ноги, а также губы и подбородок, то это уже является следствием недоношенности.

Родители также должны понимать, что подобные явления возникают не у каждого крохи. Поэтому не стоит сразу паниковать, в ожидании своего малыша.

Тремор у детей: основные причины

Как уже было сказано выше, виновником может стать несформированность нервной системы. Но привести к дрожанию могут и прочие факторы, такие, как преждевременные роды и гипоксия плода.

Несформировавшаяся нервная система ребенка

После появления на свет у детей еще нет сформировавшейся координации движений, а их нервная система не достигла нужного этапа зрелости. Именно это чаще всего вызывает тремор подбородка у грудничка, а также и дрожание конечностей. Бурный всплеск эмоций, который повышает в организме уровень норадреналина, также способствует появлению дрожания ручек и ножек крохи. Увеличивает шансы развития данного явления и гипертонус мышц.

Гипоксия плода

Довольно частой проблемой стала и гипоксия плода, которая способна развиться как внутриутробно, так и в момент родов. Нехватка кислорода, особенно продолжительная, отрицательно сказывается на работе головного мозга. Развитию гипоксии способствует ряд факторов:

1. Нарушения функциональной деятельности плаценты.
2. Инфекция, развившаяся внутриутробно.
3. Повышенный тонус матки, когда маме ставят угрозу выкидыша.
4. Кровотечения во время вынашивания.
5. Многоводие.

Все эти факторы ограничивают поступление кислорода ко всем клеткам организма, включая и головной мозг, что также влияет на развитие нервной системы. Помимо этого кислородное голодание может быть вызвано и особенностями родовой деятельности (стремительные роды и слабые схватки), и обвитием плода пуповиной, и отслоением плаценты.

Преждевременные роды

Тремор подбородка у новорожденных, появившихся на свет раньше положенного срока, также возникает из-за несформированности нервной системы, поскольку кроха был лишен продолжения внутриутробного развития. Поэтому ЦНС недоношенного малыша продолжает формироваться уже вне нахождения крохи в утробе, и это сложно назвать оптимальными для данного процесса условиями. Как бы внимательно и заботливо не относилась к младенцу мама, обеспечить ему ту атмосферу, которая была у нее в животе, она не в состоянии. Поэтому можно смело говорить о том, что тремор конечностей у малышей в любом случае зависит от зрелости нервной системы.

Целенаправленное лечение и его необходимость

Исходя из тех данных, которыми обладают врачи, можно говорить о том, что опасение вызывает тремор, сохраняющийся на протяжении 4 месяцев. При этом дрожание распространяется на ноги и головку малыша, и мама точно знает, что ребенка трясет не в какие-то определенные моменты (голод, испуг и т.д.). Родители должны понимать, что подобное явление может быть «звоночком» следующих проблем:

 

1. Гипомагнеимия.
2. Повышение уровня сахара в крови.
3. Внутричерепное кровоизлияние.
4. Наркотическая ломка или абстинентный синдром.
5. Гипоксия-ишемия головного мозга.
6. Повышенное внутричерепное давление.
7. Низкое содержание кальция в крови.
8. Сепсис.

В этих случаях врач обязательно назначит вам полное обследование и соответствующее лечение.

В чем заключается лечение

Если у ребенка трясутся ручки, ножки или голова, то лечение должно быть направлено не только на восстановление состояния нервной системы, но и на здоровье в целом. Именно поэтому мама должна строго соблюдать предписания невролога и придерживаться всех рекомендаций. Чаще всего назначают такие медикаментозные препараты, как Глицин, Аспаркам и пр. Но выявить точную причину дрожания конечностей и назначить лекарства может только детский невролог. Поэтому заниматься самолечением опасно.

А вот процедуры, которые обязательно назначают малышам, страдающим тремором, выполнять просто необходимо. В первую очередь – это массаж, гимнастика и плавание.

Массажные мероприятия при треморе

В домашних условиях сделать массаж ребенку достаточно просто, и с этим справится любая мама. Главное, сочетать массаж с постоянными разговорами с малышом. Из главных движений массажа можно выделить разминание, поглаживание, растирание и вибрацию. Обычно пример того, как вам следует делать массаж, показывает сам врач. Но вы можете посмотреть и специальное видео, находящееся чуть ниже.

А пока хочется сказать о том, что во время сеанса ваш малыш должен чувствовать себя максимально комфортно, ведь все ваши действия направлены именно на укрепление нервной система ребенка. Поэтому стоит запомнить некоторые правила:

1. Хорошо проветрите помещение.
2. Перед массажем обязательно снимите с себя кольца и браслеты, чтобы не оцарапать кроху. Также не лишним будет состричь ногти.
3. Потрите свои ладони друг об друга и разомните кисти.
4. Массаж нужно делать только тогда, когда ребенок активен и находится в хорошем расположении духа.
5. Если в процессе настроение ребенка ухудшается, то остановите сеанс. Малыш должен успокоиться и снова стать веселым.
6. Не несите кроху на массаж в поликлинику. Уж лучше наймите массажиста и познакомьте его с ребенком, чтобы он смог привыкнуть к чужому человеку. В идеале делать массаж лучше самостоятельно в привычной для малыша атмосфере.
7. Ребенка не должно ни что раздражать. Громкая музыка, яркий свет и прочие внешние факторы лучше устранить до начала сеанса массажа.
8. Будьте общительны и ласковы с ребенком. Песенки, стишки и забавные прибаутки – лучшие сопровождающие любой процедуры.
9. Делайте массаж за полчаса до водных процедур. Так вы сможете обеспечить малыша еще большим «релаксом».

Плавание и гимнастика

Если вы еще не решились отдать малыша на плавание для грудничков, то вы можете проводить водные процедуры в домашних условиях. Если у ребенка тремор конечностей, то ему будет крайне полезно плавать, даже находясь у вас на руках. Пусть малыш вдоволь наиграется ручками и ножками, а водичка в ванной будет максимально комфортно температуры.

Гимнастика для малыша также полезна. Имеется ряд упражнений, которые вы также можете проводить с малышом дома.

1. Обхватите стопу малыша одной рукой, а другой постучите ему по внешней стороне ноги. Это упражнение называется «молоточек», и повторяется на обеих ногах поочередно.
2. Погладьте ручки и ножки малыша. Возьмите кроху за руку и слегка потряхивая ее опускайтесь от плеча к запястью. Это упражнение нужно проводить на ножках и ручках поочередно.
3. Разомните ягодички малыша. Для этого положите кроху на животик и просто слегка постучите кулочками по его попе.

Помните, что тремор – это вполне естественное явление, которое не должно вызывать у вас паники. Но вы должны ежедневно наблюдать за малышом. Дети до года продолжают развиваться, поэтому нужно не упустить момент, когда вы, совместно со специалистом, сможете внести какие-либо коррективы. Врачи отмечают несколько критических периодов в жизни малыша. Это 1, 3, 9 и 12 месяц. Именно в это время нервные окончания становятся очень чувствительными, а любое отклонение может стать причиной патологий. Поэтому от вашего внимания и участия зависит будущее здоровье вашего крохи.

Тремор подбородка и конечностей у новорожденного / Mama66.ru

При появлении на свет ребёнка многие его органы функционируют неполноценно. Поэтому такое явление, как тремор у новорождённых считается абсолютно нормальным. Но лишь до определённого момента.

Педиатры советуют мамочкам следить за дрожанием подбородка и конечностей у младенца, но не впадать в панику при малейшем их колебании. Также родителям, чтобы успокоить себя, стоит изучить соответствующую информацию и понимать, когда тремор у новорождённого – это норма, а когда – отклонение.

Как это выглядит

Тремор конечностей и подбородка у малышей, возникающий зачастую во время плача, связан с уравновешивающим возбуждением нервной системы, помогающим стабилизировать состояние организма. Подёргивания, обычно возникающие на фоне стресса, имеют мелкую амплитуду и совершаются через очень краткие промежутки времени.

Можно сказать, что тремор подбородка и ног у новорождённого – это побочный эффект повышенного тонуса мышц. Так что первые три месяца жизни ребёнка мелкие подёргивания являются абсолютной нормой. Кроме того, такая картина напрямую связана с незрелостью нервной системы грудничка.

Также тремор у новорождённых может наблюдаться во время фазы быстрого сна. Выглядит это так – ручки и ножки ребёнка интенсивно вздрагивают, глазки под полуприкрытыми веками часто двигаются.

Спустя неделю после появления на свет приступы тремора постепенно начинают исчезать, проявляясь только при сильном испуге или надрывном крике. Если конечности или подбородок ребёнка дрожат даже в расслабленном состоянии, нужно проконсультироваться с врачом.

Варианты нормы: что провоцирует тремор у новорождённых

Если вы заметили непроизвольное дрожание подбородка или ножек у своего малыша, можете смело списывать их на незрелость нервной системы или надпочечников. И в первом, и во втором случае при перевозбуждении или дискомфорте организм реагирует выбросом адреналина, который провоцирует тремор. Под дискомфортом подразумевается недовольство крохи, возникшее при одевании, кормлении, купании. Например, если вода в ванночке некомфортной – слишком высокой или низкой – температуры, ребёнок может расплакаться, а его подбородок при этом будет дрожать.

Также нередко возникает тремор подбородка и конечностей у новорождённых, появившихся раньше срока. У недоношенных детей периферическая и центральная нервные системы ещё более незрелые, чем у доношенных. И хотя они продолжают развиваться вне утробы, стресс, который получил ребенок при преждевременном появлении на свет, может давать о себе знать в виде подёргиваний ручек и ножек.

Кроме того, если во время родов имела место гипоксия плода, скорее всего, до трёх месяцев у ребёнка будет проявляться тремор. Нормой такое состояние считается при плаче или перевозбуждении. Но если дрожание конечностей возникает непроизвольно, и продолжается по достижении ребёнком трёхмесячного возраста, это серьёзный повод для посещения невропатолога.

Когда тремор является патологией

Тремор у новорождённых, возникающий без видимых причин, может быть свидетельством некоторых заболеваний. В любом случае, если вы заметили подозрительные симптомы, будет нелишне проконсультироваться у невропатолога и по совету врача обследовать ребёнка.

Иногда тремор подбородка у новорождённого охватывает всю голову. Если это единичное явление, объясняющееся плачем, причин для беспокойства нет. Но если дрожание головки, сопровождающееся гипертонусом мышц шеи, повторяется вновь и вновь, речь может идти о серьёзном неврологическом недуге. Непроизвольные подёргивания головы могут возникнуть на фоне сепсиса, внутричерепных кровоизлияний, гипоксически-ишемической энцефалопатии, гипокальциемии, гипергликемии, гипомагнезиемии, наркотического абстинентного синдрома.

Тремор подбородка, по большому счёту, считается нормой. Но если он продолжается после трёх месяцев, а также сопровождается мышечной дистонией, частыми срыгиваниями, отсутствием сна и перевозбуждённостью, всё же стоит обратиться к врачу.

Непроизвольные сокращения конечностей после выхода из периода новорождённости, возникающие беспричинно, должны насторожить родителей. Например, дрожание ручек может быть признаком нарушения работы щитовидной железы. Особенно если тремору сопутствует бессонница, усиленное потоотделение, расстройство кишечника и колики. При появлении таких симптомов стоит показать ребёнка эндокринологу.

Иногда тремор ног у новорожденных мамы путают с судорогами, возникающими при гипертонусе. Определить разницу между этими симптомами может только врач. Так что не стоит пренебрегать регулярными осмотрами у педиатра. К тому же тремор может быть связан с повышенным внутричерепным давлением или кровоизлиянием, а также неправильным строением стопы или голени. Иногда подёргивания нижних конечностей возникают после травмы.

Что делать родителям

В первую очередь мамочкам стоит усвоить, что предпринимать какие-либо активные действия без разрешения врача нельзя. От неумелого массажа состояние ребёнка может только ухудшиться.

Для начала прислушайтесь к доктору. Если он советует какие-либо лекарства – не противьтесь. Они назначаются в сложных случаях и призваны улучшить поступление кислорода к клеткам. К таким препаратам относятся «Мидокалм», «Пантогам», «Глицин» и пр.

 

Кроме того, если подёргивания головы и конечностей является симптомом заболевания нервной или эндокринной систем, то лечить нужно причину, а не следствие. В таком случае без медикаментов не обойтись.

Но чаще всего с тремором можно справиться более лёгкими методами. К таковым относятся: расслабляющие ванночки с травами, лечебный массаж и, главное, создание вокруг ребёнка спокойной атмосферы.

Необходимо по максимуму избавить ребёнка от всех стрессовых ситуаций. От кормления, купания, одевания, естественно, никуда не деться, но вот убрать посторонние шумы, обеспечить малышу приятное, не режущее глаз, освещение и доброжелательную атмосферу, под силу всем родителям.

Программа с участием эксперта: неврологические проблемы у малышей до года

Советуем почитать: Родничок у новорождённых: что о нём нужно знать родителям?

причины и последствия тремора рук, ног, подбородка

Тремор у новорожденных проявляется подрагиванием подбородка, конечностей, и наблюдается почти у всех детей. Незначительный тремор в момент эмоционального напряжения расценивается специалистами в качестве варианта нормы, и не требует врачебного вмешательства. При отсутствии патологий исчезновение тремора наблюдается в течение первых трех месяцев жизни. Однако при появлении этого симптома в более позднем возрасте рекомендуется обратиться к врачу для исключения возможных заболеваний.

Чаще тремор у младенцев является результатом эмоционального возбуждения.

Причины тремора

Тремор у новорожденных характеризуется общими проявлениями, но факторы, способствующие его возникновению, могут быть разными:

1. Незрелость нервной системы. Причины, провоцирующие дрожание конечностей, могут быть разными, но самой распространенной называют незрелость нервной системы. В этом случае в результате эмоционального возбуждения возможен тремор конечностей или подбородка. Этот вариант является нормой, и не требует лечения.
2. Гипоксия. Кислородное голодание может быть результатом стремительных либо затяжных родов, внутриутробной инфекции, обвития пуповиной. Недостаток кислорода замедляет развитие ребенка, из-за чего тремор может исчезнуть позже обычного возраста.
3. Недоношенность. Особенно часто тремор наблюдается у детей, появившихся на свет раньше срока. Дрожание конечной и подбородка в данном случает также может быть результатом незрелости нервных центров.

Если факторы, результатом которых является тремор подбородка, носят физиологичный характер, вероятность негативных последствий минимальна.

Чтобы исключить возможные заболевания, родителям новорожденного важно обратиться к врачу при появлении характерного подрагивания конечностей. При наличии патологий последствия тремора могут быть необратимыми.

Заболевания и патологии

В ряде случаев тремор рук, ног, подбородка может говорить о наличии у ребенка ряда заболеваний и патологий:

• дефицит в организме кальция, магния или иных веществ, необходимых организму;
• нарушения функционирования органов пищеварительного тракта;
• увеличение показателей внутричерепного давления;
• заболевания инфекционной этиологии;
• тремор губ и конечностей может быть следствием поражения мозжечка.

Тремор расценивается специалистами в качестве патологии, требующей лечения в том случае, если дрожание конечностей наблюдается после того, как ребенку исполниться четыре – пять месяцев.

Последствия тремора

При правильном подходе негативные последствия тремора минимальны.

Важно знать, чем опасен тремор. Если дрожание носит физиологический характер и полностью исчезает к четырем месяцам жизни ребенка, негативные последствия маловероятны.

Патологический тремор является более опасным, и может говорить о поражениях головного мозга. Отсутствие лечения в таких случаях может привести к ДЦП или тяжелым двигательным нарушениям. Существует несколько признаков патологического тремора:

• дрожь охватывает не только конечности, но и все тело ребенка;
• дрожь наблюдается не только при плаче или иной форме эмоционального возбуждения, но также во сне, при нахождении ребенка в спокойном состоянии;
• тремор наблюдается у ребенка, возраст которого составляет более пяти месяцев;
• наблюдается дрожание только одной конечности;
• тремор ног или рук сопровождается изменением цвета кожных покровов, нарушением дыхания.

При появлении любого из тревожных признаков ребенка важно немедленно показать специалисту. Своевременная диагностика и лечение помогут предупредить возможные последствия.

Категорически недопустимо давать ребенку какие-либо препараты или добавки, обладающие успокаивающим или иным действием. Бесконтрольное использование препаратов может усугубить состояние грудничка.

Лечение тремора

Подбирать методы, как лечить тремор у новорожденных, требуется только после постановки диагноза. Выбор препаратов осуществляется с учетом имеющегося заболевания, возраста ребенка. При отсутствии патологий рекомендуется задействовать общие способы, которые помогут устранить дрожание конечностей:

1. Обязательны регулярные прогулки на свежем воздухе не менее двух раз в день.
2. Полезно купать ребенка в ванной с теплыми травяными отварами. Отлично подойдет отвар ромашки, мяты, душицы.
3. Ежедневно нужно делать грудничку расслабляющий массаж. Тонкостям его выполнения можно обучиться у педиатра или практикующего массажиста.
4. Важен покой и благоприятная обстановка в семье. Требуется исключить ситуации, провоцирующие стресс у ребенка.

Соблюдение приведенных рекомендаций улучшает кровоснабжение органов и тканей малыша, нормализуя их состояние и стимулируя созревание нервной системы. Важно также периодически показывать ребенка врачу, который, если возникнет такая необходимость, подберет щадящие лекарственные препараты, способствующие достижению эффекта расслабления.

Также рекомендуем почитать: пиодермия у детей

Тремор у новорожденных, неврология у новорожденных

Тремор у новорожденных – это разного рода мышечные подергивания, наблюдающиеся у детей с самого рождения. Чаще всего говорят о треморе конечностей или подбородка. Может быть и тремор головы – но это уже признак довольно серьезных неврологических проблем, а дрожание ручек или подбородка при крике, плаче до трех месяцев патологией не считается.
Тремор у новорожденных возникает из- за незрелости нервных центров, отвечающих за движение в головном мозге и избыточного содержания норадреналина в крови ребенка при проявлениях эмоций. А избыток этот возникает, опять же, вследствие незрелости мозгового слоя надпочечников, вырабатывающих норадреналин.
Существуют так называемые критические периоды развития нервной системы ребенка первого года жизни, в которые она наиболее уязвима для того, чтобы наступил какой-то сбой в нормальном развитии. Это первый, третий, девятый и двенадцатый месяцы жизни ребенка – именно в эти периоды желательно посещать детского невролога.
Если приступы «дрожания» остаются дольше, а они могут наблюдаться и в год, и позже – значит, есть или было повреждение нервной системы ребенка – во время беременности или в родах. Причин этому может быть много – даже стрессы мамы в процессе беременности имеют значение, ведь в ее крови частенько «зашкаливал» тот же самый норадреналин, только выражалось это не в подергиваниях мышц, а в других эмоциональных реакциях. И такое же наводнение гормонов переживал малыш, что могло привести к разбалансировке как центральной нервной, так и эндокринной системы. Гипоксия плода во время беременности и в процессе родов, а причин у нее очень много, также способствует нарушениям деятельности головного мозга. Гипоксия может быть и при нарушениях функции плаценты, при кровотечениях и угрозах выкидыша, при многоводии и внутриутробных инфекциях. В родах может быть и слабость родовой деятельности и стремительные роды, обвитие пуповиной и отслойка плаценты – вариантов много. Все они приводят к нарушению поступления кислорода к головному мозгу и в последующем проявляются, как тремор у новорожденных.
Недоношенные дети часто страдают тремором конечностей, подбородка, губ, поскольку их центральная и периферическая нервная система изначально незрелые, а созревание вне материнского организма даже при отличном и правильном уходе – это не совсем то.
Поэтому тремор у новорожденных, хоть и считается до трех месяцев не требующим коррекции, должен навести родителей на мысль, что такое «слабое звено» у ребенка есть и оно требует пристального наблюдения. Нервная система новорожденного – очень податливое и динамичное образование, и при правильном и своевременном лечение она прекрасно восстанавливается, приходит в норму, укрепляется – и через некоторое время малыш может быть совершенно здоров.
Кроме наблюдения детского невролога и выполнения его назначений малышу, подверженному тремору, обязательно показан расслабляющий массаж и лечебная гимнастика, проводить которую, хотя бы на первом году жизни, должен опытный специалист, хорошо раннее плавание в специальном бассейне, спокойная, ровная и доброжелательная обстановка в семье.

Тремор у грудничков — Груднички(дети)

Причины тремора у малышей

У новорожденных нередко можно заметить мелкое подергивание конечностей и подбородка. Подобные мышечные сокращения наблюдаются у 50% детей в течение первых недель жизни. Они возникают впоследствии сильного эмоционального возбуждения во время: интенсивного плача, сильного испуга, фазы быстрого сна. Нервная система новорожденного незрелая, поэтому он излишне возбудим, и совершает некоторые неуправляемые движения. Такой тремор считается нормой, но в любом случае педиатр должен о нем знать.

Частый по интенсивности и мелкий по амплитуде тремор, сопровождающий плачь, является физиологической особенностью нервной системы ребенка. Так организм компенсирует возбуждение и стабилизирует состояние.

Частые и мелкие подрагивания естественны для не окрепшей нервной системы. Но если они не проходят к 3 месяцам и появляются без причины, то необходимо подумать о нарушениях функций   нервной системы.

Есть еще одна причина возникновения тремора – высокое содержание норадреналина в крови новорожденных. Этот мозговой гормон надпочечников отвечает на передачу нервных импульсов в мозг. Именно большая концентрация норадреналина в крови провоцирует резкое сокращение мышц во время сильного эмоционального напряжения.

Спровоцировать тремор могут различные факторы, мешающие нормальному развитию грудничка до и после рождения. Негативно сказываются на формировании центральной нервной системы переживания, стрессы беременной женщины, плохая экологическая обстановка. После рождения тремор возникает на фоне плохих бытовых и психологических условий.

Тремор головы у грудничка

Тремор у грудничка обычно проявляется на подбородке и конечностях. В редких случаях дрожание затрагивает всю голову.

Тремор головы может быть абсолютно безопасным явлением первых месяцев жизни. Но чаще он служит сигналом, говорящим о серьезном неврологическом заболевании. Особенно опасно оставлять малыша без медицинской помощи, если проявления тремора носят интенсивный характер, возникают без причины и не ослабевают долгое время.

Причиной развития тремора головы у грудничка может стать: наркотический абстинентный синдром, гипоксически-ишемическая энцефалопатия, гипокальциемия, гипергликемия, гипомагнезиемия, сепсис, внутричерепные кровоизлияния.

Тремор подбородка у грудничка

Не стоит пугаться мелкой и частой дрожи подбородка новорожденного, если он эмоционально возбужден. Тремор вызван незрелостью нервного центра головного мозга. Но если приступы чересчур интенсивны и растянуты по времени и, кроме того, дрожать конечности и голова, то медицинская помощь необходима в срочном порядке.

Также дрожание подбородка, сопровождающееся частыми срыгиваниями, беспокойством, нарушением сна, является признаками мышечной дистонии.

Тремор рук у грудничка

Тремор рук также безобиден, как и подрагивание подбородка. Но только до определенного времени, после 3 месяцев непроизводное мелкое сокращение мышц не считается нормой и требует лечения.

Дополнительные симптомы должны насторожить молодую маму. Например, тремор рук в сочетании с бессонницей, повышенным потоотделением, поносами и болями в животе – это, скорее всего, признак нарушений работы щитовидной железы. Точный диагноз выяснится после посещения эндокринолога и прохождения всех необходимых исследований.

Тремор ног у грудничка

Тремор ног у грудничка отмечается реже, чем сокращение мышц подбородка и рук. Но это все тот же неопасный проходящий признак незрелости организма малыша. Часто тремор ног появляется у недоношенных детей, перенесших гипоксию и травму при родах.

Но если ноги дрожат очень сильно и тремор не прекращается к 3 месяцам, то помочь сможет только врач. Прекрасно помогает лечебный массаж, гимнастика и плавание, все, что укрепляет мышцы ног и нервную систему. Если тремор появился впервые нужно убедиться, что это не судороги.

В редких случаях непроизвольные сокращение мышц вызваны неправильным строением отдельных частей ноги, травмой.

Иногда сопутствующие тремору ног симптомы способны рассказать о более серьезном заболевании. Диагностировать болезнь и назначить лечение должен квалифицированный специалист.

Лечение тремора у грудничков

Не требует лечения тремор, возникающий исключительно при испуге, плаче, быстром сне. Но если он не уменьшается и не проходит к 3 месяцам нужно обратиться к неврологу. Особенно важна консультация врача при беспричинном и усиливающемся треморе.

Серьезные неврологические нарушения требуют медикаментозной коррекции, а в остальных случаях назначается лечебный массаж, специальная гимнастика, плавание в бассейне, соблюдение рационального режима дня.

Психическое равновесие окружающих грудничка людей и неукоснительное выполнение всех рекомендаций врача гарантируют полное излечение, за исключением детей, находящихся в крайне тяжелом состоянии.

Похожие статьи:

Плавание для грудничков

Грудничок запрокидывает голову

Массаж для грудничков

Холодные ручки у грудничка

Дистония у грудничка

Самая известная окаменелость афарского австралопитека — это частичный скелет по прозвищу Люси (3,2 миллиона лет), найденный Дональдом Йохансоном и его коллегами, которые во время своей работы неоднократно включали песню Beatles «Люси в бриллиантовом небе».

История открытия

Окаменелости Australopithecus afarensis были обнаружены только в Восточной Африке. Несмотря на то что область Лаэтоли является типовой местностью для афарского австралопитека, наиболее обширные останки, отнесенные к этому виду, встречаются в Хадаре, Афарском регионе Эфиопии, включая вышеупомянутый частичный скелет «Люси».

По сравнению с современными и вымершими крупными обезьянами, A. afarensis имел сокращенные клыки и моляры, хотя они все еще относительно больше, чем у современных людей. Фото афарского австралопитека в полный рост (а точнее, его реконструкций) показывают, что эти животные были гораздо ниже современного человека. A. afarensis также имеет относительно небольшой размер мозга (около 380-430 см³) и прогнатическое строение лица с выступающими вперед челюстями.

Бипедальность

Значительные дебаты в научном мире велись, в основном, по поводу локомоторного поведения афарского австралопитека. Некоторые исследования показывают, что A. afarensis был почти исключительно двуногим, в то время как другие предполагали, что эти существа были частично древесными. Анатомия рук, ног и плечевых суставов во многом соответствует последней интерпретации. В частности, морфология лопатки представляется обезьяноподобной и очень отличается от таковой у современных людей. Кривизна пальцев рук и ног (фаланг) приближается к кривизне у современных обезьян и наводит на мысль об их способности эффективно захватывать ветви и взбираться по ним на деревья. В качестве альтернативы — уменьшение размера большого пальца ноги и, следовательно, утрата способности захватывать предметы ногами (особенность всех других приматов) предполагает, что A. afarensis потерял способность к лазанию.

Ряд признаков в скелете афарского австралопитека сильно отражают бипедализм. К тому же некоторые исследователи еще ранее предполагали, что бипедальность развилась задолго до A. afarensis. В общей анатомии таз гораздо более человекоподобный, чем обезьяноподобный. Подвздошные кости короткие и широкие, крестец также широкий и расположен непосредственно за тазобедренным суставом. Очевидна сильная привязанность к разгибанию колена. В то время как таз не является полностью человекоподобным (будучи заметно широким или разветвленным, с латерально ориентированными подвздошными костями), эти особенности указывают на структуру, которую можно считать радикально реконструированной специально для того, чтобы приспособить бипедальность к локомоторному репертуару этого животного.

Экология

Климатические изменения около 11-10 миллионов лет назад затронули леса в Восточной и Центральной Африке, установив периоды, когда бреши в лесных ветвях препятствовали нормальной жизни у полога деревьев, ведь животные даже не могли нормально спрятаться от дождя. В течение таких периодов протогоминиды могли принять вертикальное хождение для постоянно растущих наземных путешествий, в то время как предки горилл и шимпанзе продолжали специализироваться на восхождении на вертикальные стволы деревьев и лианы с погнутым бедром и пологим коленом. Это дифференциальное развитие в рамках более крупного сообщества гоминид привело к тому, что A. afarensis был адаптирован к вертикальному бипедализму для обширных пеших путешествий, все еще используя конечно, умение восхождения на небольшие деревья. Тем не менее протогоминиды и предки шимпанзе и горилл были самыми близкими родственниками, и они имели похожие анатомические признаки, в том числе одинаковые запястья.

Самые ранние гоминиды

Некоторые исследования предполагают наличие вертикального позвоночника и преимущественно вертикального строения тела даже у приматов, относящихся к виду M. bishopi в раннем миоцене 21.6 миллионов лет назад — самых ранних человеческих приматов. Известные из ископаемых останков, обнаруженных в Африке, австралопитеки представляют собой группу, из которой появились предки современных людей. Стоит отметить, что термин «австралопитек» часто охватывает все ранние окаменелости гоминид примерно от 7 миллионов до 2,5 миллионов лет назад, а также некоторых более поздних гоминид, живших от 2,5 до 1,4 миллиона лет назад. После этого периода австралопитеки уже считаются вымершими.

Половой диморфизм и социальное поведение

Одним из лучших показателей социального поведения вымерших ископаемых видов является разница в размерах между самцами и самками (половой диморфизм). Посредством сравнения с поведением современных обезьян и других животных можно предположить репродуктивное поведение и социальную структуру афарских австралопитеков. Одна из трудностей заключается в том, что средняя разница в размере тела между мужчиной и женщиной A. afarensis очень сильно варьируется от скелета к скелету. Некоторые предполагают, что самцы значительно больше, чем самки, и внешне слегка похожи на горилл и орангутанов. Если для A. afarensis характерны те же взаимосвязи между половым диморфизмом и структурой социальных групп, что и у современных горилл, то эти существа, возможно, жили в небольших семейных группах, включавших одного доминантного самца и нескольких размножающихся самок. Другие исследования показали, что размеры самок и самцов афарского/африканского австралопитека не слишком различаются — таким образом, в этом отношении они были больше похожи на современных людей. Гораздо больше, чем современные обезьяны.

Афарский австралопитек: следы материальной культуры

В течение долгого времени никакие из известных обнаруженных каменных инструментов не связывались с A. afarensis, и палеоантропологи обычно считали, что каменные артефакты относятся только к гоминидам, появившимся после 2,5 миллионов лет назад. Однако в исследовании 2010 года было высказано предположение, что некоторые виды ранних гоминид ели мясо, отрезая его от туш животных примитивными каменными орудиями.

Дальнейшие находки в Афаре, включающие много костей гоминидов в этой области, привели к предположениям Йохансона и Уайта о том, что особи из региона Кооби-Фора совпадали с особями из Афара. Другими словами, Люси не была уникальной в плане бипедализма и плоской формы лица — эти черты возникли у многих афарских австралопитеков, проживавших в этом регионе.

Гоминиды-современники

В 2001 году Майк Лики предложил ввести новый род и вид для ископаемого черепа под номером KNM WT 40000. У ископаемого черепа, похоже, плоская грань, но его останки сильно фрагментированы. Он имеет много других характеристик, подобных остаткам A. afarensis. Он до сих пор является единственным представителем своего вида и рода, а его обладатель жил приблизительно в тот же, что и афарский австралопитек, период.

Другой новый вид, названный Ardipithecus ramidus, был найден Тимом Уайтом и его коллегами в 1992 году. Это было полностью двуногое животное, жившее от 4,4 до 5,8 миллионов лет назад, но, похоже, обитавшее в лесной среде.

Человек прямоходящий — Википедия

Эректус (лат. Homo erectus), или человек выпрямленный, человек прямоходящий (устар. архантропы) — ископаемый вид людей, который рассматривают как непосредственного предка современных людей.

Исследование генома X-хромосомы в 2008 году привело к выводу, что азиатский вид Homo erectus вполне мог скрещиваться с Homo sapiens и быть предком современных людей по смешанным линиям (не прямой мужской и не прямой женской)^[1][2].

Предполагается, что эректусы появились в Восточной Африке в эпоху среднего плейстоцена и уже 1,8 миллиона лет назад через территорию Ближнего Востока (Homo georgicus, он же дманисийский гоминид) они широко распространились по Евразии вплоть до Китая (юаньмоуский человек).

Эректусы были сравнительно широко распространены по Старому Свету и распадались на ряд локальных подвидов. За африканским подвидом закрепилось название Homo ergaster, хотя к африканским эректусам относят также атлантропа и родезийского человека. За европейским подвидом закрепилось название гейдельбергского человека, хотя существовали и «догейдельбергские» эректусы (Homo antecessor). В Восточной Азии обитали два подвида: более примитивные яванские питекантропы из Индонезии и более прогрессивные синантропы из Китая (из Китая также известен ланьтяньский человек, более архаичный, чем синантроп).

В 1890 году голландский врач Эжен Дюбуа отправился на остров Ява в поисках «недостающего звена» между обезьяноподобными предками и современным человеком — «питекантропа» (обезьяночеловека) — существование которого было ранее гипотетически предложено Э. Геккелем^[3]. Через месяц раскопок на берегу реки Соло возле деревни Триниль был обнаружен окаменевший обезьяний коренной зуб, а ещё через месяц, в октябре 1891 года — черепная крышка, после чего Дюбуа делает вывод, что эти части принадлежат крупной человекообразной обезьяне. Ещё через год в 14 метрах от места находки была найдена человеческая бедренная кость, которая была также отнесена к останкам неизвестного человекообразного. По форме бедренной кости был сделан вывод о прямохождении, а сам новый вид назван Pithecantropus erectus (обезьяночеловек прямоходящий)^[4].

В 1930-е годы Густав ван Кёнигсвальд обнаружил другие, лучше сохранившиеся, останки явантропа, или солойского человека (Homo erectus soloensis) на острове Ява (местечко Моджокерто около Сангирана), после чего сомнения в принадлежности питекантропа к роду Homo отпали. В 1940 году Эрнст Майр предложил относить эти останки к виду «человек прямоходящий» (Homo erectus erectus).

В 1927 году ископаемые остатки Homo erectus обнаружены были в Китае, сначала в гроте Чжоукоудянь близ Пекина, затем в других местах, где он получил название «синантроп» (китайский человек), или Homo erectus pekinensis. В 1963 году в Ланьтяне была найдена челюсть, определённая исследователями как более древний вид синантропа — ланьтяньский человек (лат. Homo erectus lantianensis)^[5], а в 1965 году в южнокитайской провинции Юньнань были обнаружены зубы и каменные орудия Юаньмоуского человека.

21 октября 1907 года впервые были найдены останки европейской разновидности Homo Erectus: во время раскопок в Мауэре рабочий Даниель Хартман нашёл челюсть, передал находку профессору Гейдельбергского университета Отто Шётензаку, который идентифицировал образец и дал ему название Гейдельбергского человека. Позже подобные находки сделаны были в Венгрии (1965), Чехии (1968), Германии (1974) и в Африке (1935—1955).

Находки на территории России[править | править код]

Костные остатки эректусов на территории Восточно-Европейской равнины и Северного Кавказа не обнаружены, имеются только находки орудий, предположительно верхнего и среднего палеолита (Кермек, Айникаб-1 и др.)^[6][7][8]. В частности, на Восточно-Европейской равнине стоянки и орудия эректусов обнаружены в Воронежской^[9], Калужской^[10], Тульской и Волгоградской областях^[11]. Предполагается, что эректусы также могли быть распространены в Восточной^[12] и Средней Сибири, в Северо-Минусинской впадине, в долине Енисея^[13].

Эректусы обладали низким ростом (1,2—1,5 м) и прямой походкой. О том, что способом передвижения служило прямохождение (откуда и название вида), свидетельствует строение бедренной кости, идентичной таковой у современного человека. Характеризовались архаическим строением черепа (толстые стенки, низкая лобная кость, выступающие надглазничные валики, скошенный подбородок). Объём мозга достигал 850—1200 см³, что больше, чем у Homo habilis, но несколько меньше, чем у Homo sapiens и Homo neanderthalensis. Половой диморфизм был ярче выражен, чем у современного человека.

Главным занятием эректусов был постоянный поиск пропитания. Помимо собирательства кореньев, ягод и других растительных плодов, которых для поддержания их жизнедеятельности было недостаточно, они периодически охотились на различных животных, чаще мелких, но порой и крупных^[14]. Раннепалеолитические находки, обнаруженные в 1954—1955 годах в Алжире, приоткрыли подробности образа жизни человекоподобных существ того времени. Поблизости с костями Homo erectus были обнаружены части скелетов носорогов, слонов, гиппопотамов и жирафов. Рядом находились каменные орудия труда^[15].

Опасность, подстерегавшая эректусов на каждом шагу, вынуждала их объединяться в большие устойчивые семейные коллективы, применительно к которым в советской исторической литературе утвердилось понятие «первобытное стадо»^[16] или праобщина.

Исследование орудийных материалов стойбищ в Африке показало, что последние являлись постоянными^[17]. Судя по просторности исследованных жилищ, в одном помещении в течение длительного времени сосуществовало несколько поколений большого семейства. Объединение в праобщины способствовало облегчению охоты на крупных животных, помимо которой эректусы могли заниматься рыбалкой, чаще всего, ловя рыбу голыми руками.

По мнению специалистов-антропологов, в обществе эректусов происходили стычки, зачастую приводящие к смерти тех или иных членов общины, а в голодные времена обыкновением являлся каннибализм. Чтобы мирно сосуществовать в подобном примитивном обществе, следовало прилагать немалые усилия, позволяющие обуздать первобытные инстинкты. С этой целью вырабатывались некие общепринятые нормы поведения, для контроля над выполнением которых возникла необходимость в вожаках, которым отводилась руководящая роль^[18].

В отличие от современных людей, на ранней стадии у эректусов ещё не существовало строгих сексуальных ограничений и фактически господствовал промискуитет. Однако на поздней стадии в их стадах периодически возникали устойчивые семейные пары, когда какой-нибудь самец, проявляя агрессию по отношению к своим соплеменникам, выбирал конкретную самку, как это художественно описано в исторической повести Джека Лондона «До Адама» (1907).

По мнению французского антрополога А. Валуа и советского учёного А. В. Немилова, в эпоху раннего палеолита из-за последствий перехода к прямохождению, вызывавших осложнения при родах, продолжительность жизни самок эректусов была ниже, чем у самцов, в силу чего число последних в первобытных человеческих коллективах превышало число первых^[19][20].

Если большую часть жизни самцов занимала охота или столкновения из-за личного соперничества, самки занимались бытом, растили детей, ухаживали за ранеными и больными. Включение в повседневный рацион эректусов мяса помогло решить проблему обеспечения организма надёжными источниками пополнения энергетического запаса, необходимого для выполнения тяжёлой физической работы. А использование в пищу различных растений являлось прекрасным способом познания их целебных свойств, что можно считать первыми шагами к врачеванию.

Наука располагает фактами проявления Homo erectus коллективной заботы о больных соплеменниках. Так, на обнаруженной Дюбуа на острове Ява бедренной кости питекантропа имеются выраженные изменения костной ткани (экзостоз). Очевидно, что без поддержки сородичей этот хромой, с ограниченными возможностями самозащиты, индивид неизбежно должен был погибнуть, однако он жил, оставаясь калекой, долгие годы^[21].

Даже в те далёкие первобытные времена Homo erectus начинают осознавать важность гигиенических навыков, таких как удаление из жилищ останков съеденных животных или захоронение умерших сородичей. Но на том этапе развития человечества, при отсутствии абстрактного мышления, всё это обходилось ещё без особых ритуалов или создания погребального культа.

Эректусы активно изготавливали каменные орудия (ашёльская культура), использовали шкуры в качестве одежды, жили в пещерах и пользовались огнём, 0,8—1,9 миллиона лет назад начали готовить пищу на огне^[22][23][24]. Эректусы со стоянки Гешер Бнот Йаков (Израиль) наряду с рыбой и мясом употребляли в пищу до 55 различных видов растений, в том числе семена кувшинковых, корешки рогозовых, семена расторопши пятнистой, плоды держи-дерева и жёлуди дуба калепринского и дуба таворского^[en][25]. Многие семена и корни подвергались термической обработке, о чём, в частности, свидетельствуют обжаренные жёлуди и печёные стебли тростника. Зимой и весной они питались свёклой и листьями мальвы^[26].

До недавнего времени считалось, что эректусы вымерли около 300 тысяч лет назад, уступив место неандертальцам. Однако последние находки свидетельствуют, что они на окраинах ареала могли дожить до прихода современных людей. Сейчас считается, что последние популяции эректусов вымерли вследствие извержения супервулкана Тоба 74 тыс. лет назад. Другие учёные считают, что последние питекантропы в Индонезии вымерли 27 тыс. лет назад^[27]. Человек флоресский иногда рассматривается как видоизменившийся на Флоресе в условиях островной карликовости вариант эректуса.

1. ↑ Testing for Archaic Hominin Admixture on the X Chromosome
2. ↑ The Ancestor Hunter (недоступная ссылка)
3. ↑ Поршнев Б. Ф. О начале человеческой истории. — М.: ФЭРИ-В, 2006. — С. 63—64. — 634 с. — ISBN 5-94138-004-6.
4. ↑ Нестурх М. Ф. Происхождение человека. — М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1958. — С. 285. — 387 с.
5. ↑ Синантроп // Сафлор — Соан. — М. : Советская энциклопедия, 1976. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 23).
6. ↑ Труды II (XVIII) Всероссийского археологического съезда в Суздале в 2008 году. В 3 Т. — М.: Института археологии РАН.
7. ↑ Беляева Е. В., Ашельские бифасы Армянского нагорья // Труды II (XVIII) Всероссийского археологического съезда в Суздале в 2008 году. В 3 Т. — М.: ИА РАН, Т. I. С. 105—107.
8. ↑ Любин В. П. Новый этап в изучении ранней преистории Кавказа // Труды II (XVIII) Всероссийского археологического съезда в Суздале в 2008 году. В 3 Т. — М.: ИА РАН, Т. I. С. 141—143.
9. ↑ Замятнин С. Н., Находки межледниковой фауны и оббитых кварцитов у с. Шубное Воронежской области // Учёные записки МГУ. М., 1952. Вып. 158.
10. ↑ Мосин О. В. Древнейшие поселения Калужской области (неопр.). Журнал «Самиздат» (14 октября 2006). Дата обращения 19 мая 2019.
11. ↑ Бухтоярова И. М., Советские археологи о проблеме распространения палеолитических поселений на территории Верхнего и Среднего Подонья // Труды II (XVIII) Всероссийского археологического съезда в Суздале в 2008 году. В 3 Т. — М.: ИА РАН, Т. I. С. 41—42.
12. ↑ Лаухин С. А., Дроздов Н. И., Докловисское заселение западной части Малой Берингии // Труды II (XVIII) Всероссийского археологического съезда в Суздале в 2008 году. В 3 Т. — М.: ИА РАН, Т. I. С. 62—64.
13. ↑ Дроздов Н. И., Артемьев Е. В., Макулов В. И., Чеха В. П., Куртакский геоархеологический район. Некоторые итоги комплексных исследований (к 20-летию со времени открытия) // Труды II (XVIII) Всероссийского археологического съезда в Суздале в 2008 году. В 3 Т. — М.: ИА РАН, Т. I. С. 120—125.
14. ↑ Семенов Ю. И. На заре человеческой истории. — М.: Мысль, 1989. — С. 55.
15. ↑ Питекантроп // История каменного века / Учебно-образовательный портал «Все лекции».
16. ↑ Семенов Ю. И. На заре человеческой истории. — М.: Мысль, 1989. — С. 65.
17. ↑ Семенов Ю. И. На заре человеческой истории. — М.: Мысль, 1989. — С. 178.
18. ↑ Образ жизни питекантропов по археологическим данным
19. ↑ Семенов Ю. И. На заре человеческой истории. — М.: Мысль, 1989. — С. 72.
20. ↑ Люди-неандертальцы.
21. ↑ Сорокина Т. С. История медицины. — М.: ИЦ «Академия», 2009. — С. 21.
22. ↑ Phylogenetic rate shifts in feeding time during the evolution of Homo, 2011.
23. ↑ Rincon, Paul. Early human fire skills revealed, BBC News (April 29, 2004). Дата обращения 12 ноября 2007.
24. ↑ Lenta.ru: Прогресс: Человеческой кухне оказалось 1,9 миллиона лет
25. ↑ The plant component of an Acheulian diet at Gesher Benot Ya‘aqov, Israel, 2016.
26. ↑ Учёные реконструировали в деталях палеодиету древних людей
27. ↑ Aliens on Earth: We Used to Call Them Ancestors

Научная[править | править код]

• Алексеев В. П. Становление человечества. — М.: Политиздат, 1984. — 462 с.: ил.
• Алексеев В. П., Першиц А. И. История первобытного общества. — 4-е изд. — М.: Высшая школа, 1990. — 352 с.
• Аугуста Йозеф, Буриан Зденек. Жизнь древнего человека / Пер. с чеш. И. Грязнова. — Прага: Артия, 1961. — 68 с. + 52 ил.
• Биологический энциклопедический словарь / Под ред. М. С. Гилярова. Сост. А. А. Баев, Г. Г. Винберг, Г. А. Заварзин и др. — М.: Сов. энциклопедия, 1989. — С. 470—471.
• Борисковский П. И. Древнейшее прошлое человечества. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1957. — 224 с.: ил. — (Научно-популярная серия АН СССР).
• Гремяцкий М. А. Как произошел человек. — М.: МГУ, 1954. — 176 с.: ил.
• Джохансон Дональд, Мейтленд Иди. Люси. Истоки рода человеческого / Пер. с англ. Е. З. Годиной. — М.: Мир, 1984. — 296 с.
• Дробышевский С. В. Предшественники. Предки? Архантропы. Гоминиды, переходные от архантропов к палеоантропам. — Ч. III; Ч. IV. — М.: ЛКИ, 2014. — 352 с. — ISBN 978-5-382-01486-9.
• Елинек Ян. Большой иллюстрированный атлас первобытного человека / Пер. Е. Финштейна под ред. В. П. Алексеева. — Прага: Артия, 1972. — 560 с.: ил.
• Ефименко П. П. Первобытное общество. Очерки по истории палеолитического времени. — 3-е изд. — Киев: Изд-во АН УССР, 1953. — 664 с.: ил.
• Иванова И. К. Геологический возраст ископаемого человека. К VII конгрессу INQUA. — М.: Наука, 1965. — 192 с.
• Ископаемые гоминиды и происхождение человека: Сб. / Ин-т этнографии им. Н. Н. Миклухо-Маклая АН СССР. — М.: Наука, 1966. — 560 с.: ил.
• История первобытного общества: Общие вопросы. Проблемы антропосоциогенеза / Ин-т этнографии им. Н. Н. Миклухо-Маклая АН СССР. — М.: Наука, 1983. — 432 с.
• Ламберт Давид. Доисторический человек. Кембриджский путеводитель / Пер. с англ. В. З. Махлина. — Л.: Недра, 1991. — 256 с.: ил. — ISBN 5-247-01726-9.
• Ларичев В. Е. Сад Эдема. — М.: Политиздат, 1980. — 400 с.: ил.
• Марков А. В. Эволюция человека. Книга первая: Обезьяны, кости и гены. — М.: ООО «АСТ», 2014. — 464 с.: ил. — (Corpus). — ISBN 978-5-170-78088-4.
• Мейтленд Иди. Недостающее звено / Пер. с англ. И. Г. Гуровой. — М.: Мир, 1977. — 160 с.: ил. — (Возникновение человека).
• Нестурх М. Ф. Происхождение человека / Отв. ред. проф. Я. Я. Рогинский. — М.: Изд-во АН СССР, 1958. — 388 с.: ил.
• Робертс Эллис. Происхождение человека. Эволюция / Пер. с англ. И. В. Павловой, О. В. Сергеевой. — М.: ООО «АСТ», ОГИЗ, 2014. — 256 с.: ил. — ISBN 978-5-17-084157-8.
• Семенов Ю. И. На заре человеческой истории. — М.: Мысль, 1989. — 318 с. — ISBN 5-244-00092-6.
• У истоков человечества: Сб. ст. — М., 1964.

Художественная[править | править код]

• Ангелов Димитр. Когда человека не было / Пер. с болг. З. А. Бобырь. — М.: Советская Россия, 1959. — 256 с.: ил.
• Лондон Джек. До Адама / Пер. с англ. Зин. Львовского. — Л.: Изд-во «Мысль», 1926. — 164 с.

Афарский австралопитек

Афарский австралопитек (Australopithecus afarensis) — вымерший вид австралопитека. Обитал от 4 до 2,5 миллиона лет назад (плиоцен). Учёные уверены в том, что данный вид австралопитека стал родоначальником некоторых других видов австралопитеков, а также рода Homo, который, в свою очередь, включает несколько вымерших видов и Homo sapiens (Человек разумный).

Афарский вид обитал в Африке. Его останки найдены в Эфиопии, Танзании, Кении. Впервые останки этого австралопитека были найдены в 1973 году. Тогда, недалеко от селения Хадар в Эфиопии, научная экспедиция обнаружила коленный сустав и два фрагмента бедренных костей. В результате изучения находки стало понятно, что кости принадлежат прямоходящему существу. Более полное представление о данном виде австралопитеков дала находка 1974 года, когда был найден скелет «Люси», которая стала самым известным предком людей. Тогда учёные обнаружили 40% костей Люси, что дало представление о внешности и характере жизни этих видов австралопитеков.

В 1975 году было найдено более 200 фрагментов костей, которые принадлежали как минимум 13 особям данного вида. Данная находка даже получила своё название, как «Первое семейство». Считается, что «Первое семейство» и «Люси» стали одним из самых значительных открытий с истории палеоантропологии. Данные находки позволили достаточно точно установить, что именно австралопитек афарский был прародителем человека примерно 3,2 миллиона лет назад. Также находки фрагментов скелета и черепа находили в 1976, 1992, 2000 годах.

В октябре 2000 года был найден ещё один знаменитый скелет австралопитека афарского, которому дали имя «Селам» или «Дитя Люси» — череп и часть скелета принадлежали 3-летнему детёнышу женского пола.

Афарский австралопитек считается самым маленьким видом австралопитеков. Рост достигал 1-1,5 м, вес — 30-60 кг. Мозг был чуть больше, чем мозг шимпанзе, и составлял 380—430 см³. Изучив найденные останки, учёные выяснили, что австралопитеки афарские, скорее всего, имели тёмную кожу, были покрыты волосами, ходили на двух ногах, но при этом на полусогнутых ногах, умели передвигаться по деревьям и, вероятно, селились на деревьях и вели древесный образ жизни. Данный вид австралопитека ещё не имел речи, однако, по всей вероятности, уже мог использовать различные предметы. Преимущественно питались растительной пищей, однако изредка могли питаться и мясом.

Афарский австралопитек фото и реконструкции

Люси реконструкция

Реконструкция Афарского австралопитека

Реконструкция Селам (Дитя Люси)

Череп Селам (Дитя Люси)

Срочно нужны деньги, но не знаете куда обратиться? Компания «GdeZaim» предлагает займ на год на приемлемых условиях. На карту онлайн быстро и без отказа.

Сейчас также смотрят:

У Стародавній Греції, починаючи з 7 століття до н. е., з часів Фалеса Мілетського, починається новий етап розвитку геометрії. Вона набуває характерного для неї абстрактного напряму, у ній виникає доведення. Грецький мислитель мілетської школи Анаксимандр здійснив першу спробу створення систематичного курсу для викладання геометрії. Перетворення це відбулося шляхом абстрагування від будь-яких властивостей тіл, крім взаємного положення і величини. Наукою геометрія стала, коли від набору рецептів перейшли до встановлення загальних закономірностей. Подальші спроби побудови систематичних курсів математики належать Гіппократу Хіоському, Феодору Кіренському, Архіту Тарентському, Евдоксу Кнідському та багатьом іншим вченим. Вони створили математичну основу для подальшого розвитку науки, теоретичного природознавства і філософії Давньої Греції. Греки склали перші систематичні і доказові праці з геометрії, великий внесок зробили Евклід, Архімед, Аполлоній Перзький.

Центральне місце серед них займають складені близько 300 до н. е. «Начала» Евкліда. Ця праця і понині залишається зразковим викладенням у дусі аксіоматичного методу: всі положення виводяться логічним шляхом з невеликого числа явно зазначених і не доводимих припущень — аксіом. Геометрія греків, звана сьогодні евклідовою, або елементарною, займалася вивченням простих форм: прямих, площин, відрізків, правильних багатокутників і багатогранників, конічних перерізів, а також куль, циліндрів, призм, пірамід і конусів. Обчислюються їхні площі і об’єми. Перетворення в основному обмежувалися геометричною подібністю.

Середні віки небагато дали геометрії, і наступною великою подією в її історії стало відкриття Рене Декартом (1596—1650) і П’єром Ферма (1601—1665) в XVII столітті координатного методу («Міркування про метод», 1637). Точкам зіставляються набори чисел, це дозволяє вивчати відносини між формами методами алгебри. Так з’явилася аналітична геометрія, що вивчає фігури і перетворення, які в координатах задаються алгебраїчними рівняннями. Приблизно одночасно з цим Блезом Паскалем і Жераром Дезаргом (1591—1661) почато дослідження властивостей плоских фігур, що не міняються при проектуванні з однієї площини на іншу. Цей розділ отримав назву проективної геометрії. Метод координат лежить з розвитком математичного аналізу ліг в основу нового підходу, що з’явився трохи пізніше, — диференціальної геометрії, де фігури і перетворення все ще задаються в координатах, але вже довільними досить гладкими функціями. Властивості цих фігур вивчаються за допомогою моці й гнучкості апарату аналізу.

Остаточне оформлення і систематичний виклад цих нових напрямів геометрії дані в XVIII — на початку XIX століття Леонардом Ейлером (1707—1783) для аналітичної геометрії (1748), Гаспаром Монжем для диференціальної геометрії (1795), Жан-Віктором Понселе для проективної геометрії (1822), причому саме вчення про геометричне зображення (у прямому зв’язку із завданнями креслення) було ще раніше (1799) розвинене і приведене в систему Монжем у вигляді нарисної геометрії. У всіх цих нових дисциплінах основи (аксіоми, початкові поняття) геометрії залишалися незмінними, коло ж фігур, що вивчаються, і їхніх властивостей, а також використаних методів розширювався.

XIX сторіччя дало два значних прориви у розвитку науки. Дослідження Миколи Лобачевського, Яноша Больяї і Карла Гауса відкрили несуперечність неевклідової геометрії, в якій знаменитий п’ятий постулат Евкліда замінений на зворотне твердження. Фелікс Клейн зв’язав всі види геометрій, згідно з ним геометрія вивчає всі ті властивості фігур, які інваріантні щодо перетворень з певної групи. При цьому кожна група задає свою геометрію. Так, ізометрії (руху) задає евклідову геометрію, група афінних перетворень — афінну геометрію, група проективних перетворень — проективну геометрію, група конформних перетворень — конформну геометрію тощо.

Двома визначними майстрами досліджень в геометрії цього часу були Бернгард Андре де Ріман, який працював переважно з інструментами математичного аналізу і ввів Ріманові поверхні, та Анрієс Пунаанкарде, засновник алгебраїчної топології і геометричної теорії динамічних систем.

Наслідком цих великих змін в геометричних поглядах концепція «простору» стала значно багатша і різноманітніша, і перетворилася на природну основу таких різних теорій, як комплексний аналіз чи класична механіка. Традиційні види геометрій були визнані як загальний однорідний простір, такий простір, який має достатню кількість симетрій, так щоб погляд з одної чи іншої точки давав той самий вид.

Афінна геометрія — Вікіпедія

Афі́нна геоме́трія (лат. affinis — споріднений) — розділ геометрії, що вивчає властивості геометричних фігур, інваріантні (незмінні) відносно афінних перетворень, тобто таких взаємно однозначних точкових відображень евклідової площини на евклідову площину або евклідового простору на самого себе, при яких прямі переходять у прямі. Афінне перетворення зберігає величину відношення двох відрізків прямої, паралельність прямих і площин.

У декартових координатах афінне перетворення площини в себе виражається формулами:

• х’ = а₁х + b₁y + с₁
• у’ = а₂х + b₂у + с₂

причому a₁b₂ — a₂b₁ ≠ 0.

Тут х, у — координати довільної точки М; х’, у’ — координати її образу.

Афінні перетворення, а значить і афінна геометрія, широко застосовуються в геометрії і прикладних науках (теорія пружності та ін.).

У 1748 році Ейлер ввів термін «афінний»(лат. affinis ‘зв’язний’).Властивості геометричних фігур, які переходять одна в одну при афінних перетвореннях, вивчалися А. Ф. Мебіусом в першій половині XIX століття: у 1827 році вийшла його книга «Барицентричне обчислення».

Після Ерлангенської програми Фелікса Кляйна, афінна геометрія була визнана як узагальнення Евклідової геометрії.

У 1912 році Б. Е. Вільсон і Гілберт Ньютон Льюїс розробили афінну геометрію для вираження спеціальної теорії відносності.

У 1984 році «афінні площини, пов’язані з Лоренцевим векторним простором L2» були описані Г. Бірманом і Кацумі Номідзу у статті під назвою «Тригонометрія в геометрії Лоренца».

Були висунуті кілька аксіоматичних підходів до афінної геометрії:

Закон Паппа[ред. | ред. код]

Оскільки афінна геометрія має справу з паралельними прямими, одна з властивостей паралельних прямих, зазначених Паппа Олександрівським, була прийнята як передумова:

• Якщо A,B,C{\displaystyle A,B,C} знаходяться на одній прямій, а A′,B′,C′{\displaystyle A’,B’,C’} на інший, то

(AB′∥A′B ∧ BC′∥B′C)⇒CA′∥C′A.{\displaystyle (AB’\parallel A’B\ \land \ BC’\parallel B’C)\Rightarrow CA’\parallel C’A.}

Повна система аксіом передбачає точку, пряму і пряму, що містить точку; примітивні поняття:

• Дві точки лежать на одній прямій.

• Для будь-якої прямої L і будь-якої точки p, яка не належить L, є тільки одна пряма, що містить p і не містить жодної точки прямої L. Ця пряма називається паралельною до прямої L.

• Кожна пряма містить принаймні дві точки.

• Існують принаймні три точки, які не належать одній прямій.

Згідно Г. С. М. Коксетера: Цікавість цих п’яти аксіом посилюється тим, що вони можуть бути поширені на величезну кількість тверджень, проведених не тільки в Евклідовій геометрії, але і в геометрії Мінковського простору і часу (у простому випадку 1 + 1 вимірах, в той час як спеціальна теорія відносності вимагає 1 + 3)Розширення геометрії Евкліда або Мінковського досягається шляхом додавання різних додаткових аксіом ортогональності тощо.

Різні типи афінної геометрії відповідають тому, що інтерпретація береться для обертання. Геометрія Евкліда відповідає звичайній ідеї обертання, в той час як геометрія Мінковського відповідає гіперболічному оберту. Що стосується перпендикулярних ліній, вони залишаються перпендикулярними, якщо площина піддається звичайному обертанню. У геометрії Мінковського, лінії, які є гіперболічно-ортогональними залишаться в цьому відношенні, якщо площина піддається гіперболічному обертанню.

Впорядкована структура[ред. | ред. код]

Аксіоматика афінної геометрії може бути побудована з аксіом впорядкованої геометрії шляхом додавання двох додаткових аксіом:

1. (Афінна аксіома паралельності) дана точка A і пряма r, яка не проходить через точку А, існує не більше однієї прямої, яка проходить через точку А, що не задовольняє прямій r.
2. (Теорема Дезарга) дано сім різних точок A, A’, B, B’, C, C’, O, таких що AA’, BB’, та CC’ відмінні прямі, які проходять через точку O та AB паралельна A’B’ та BC паралельна B’C’, тоді AC паралельна A’C’.

Афінне поняття паралельності утворює відношення еквівалентності для прямих. Так як аксіоми впорядкованої геометрії, представленої тут, включають в себе властивості, які передбачають структуру дійсних чисел, ці властивості переносяться, так що це аксіоматизація афінної геометрії над полем дійсних чисел.

Геометрично, афінне перетворення (спорідненості) зберігає колінеарність: так воно перетворить паралельні прямі в паралельні прямі і збереже відношення відстаней уздовж паралельних прямих.

Ми визначаємо, як афінну теорему будь-який геометричний результат, який інваріантний щодо афінної групи (в Ерлангенській програмі Фелікса Кляйна, це його основна група перетворень симетрії для афінної геометрії). Розглянемо в лінійному просторі V, загальну лінійну групу GL(V).Це не вся афінна група, тому що ми повинні дозволити також перетворення вектора v із V. (Подібне перетворення карти будь-якого w із V в w + v.) Афінна група породжена загальною лінійною групою, а перетворення і справді їх напівпрямий добуток V⋊GL(V){\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V)}.

Наприклад, теореми з планіметрії про збіг прямих в трикутнику, що з’єднують кожну вершину з серединою протилежної сторони (у центр ваги або барицентр) залежать від поняття медіани і центра ваги як афінних інваріантів. Інші приклади теорем Чеви і Менелая.

Афінні інваріанти також можуть допомогти в обчисленні. Наприклад, прямі, які ділять площину трикутника на дві рівні частини, утворюють обгортку всередині трикутника. Відношення площі обгортки до площі трикутника є афінним інваріантом, і тому необхідно обчислювати простий випадок, такий як, одиничний рівнобедрений прямокутний трикутник дає 34loge⁡(2)−12,{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},} тобто 0.019860… або менше, ніж 2 %, для всіх трикутників. Знайомі формули, такі як: половина добутку основи на висоту — площа трикутника, або одна третя частина основи на висоту — об’єм піраміди, також афінні інваріанти. Остання є менш очевидною, ніж перша, в загальному випадку легко бачити, для однієї шостої частини одиничного куба, утвореного гранню (площа 1) і середньою точкою куба (висота 1/2). Отже, вона вірна для всіх пірамід, навіть для косих, вершина яких знаходиться не прямо над центром основи, і з основою паралелограм замість квадрата. Формула надалі узагальнюється на піраміди, основа яких може бути поділена на паралелограми, дозволяючи нескінченно багато паралелограмів (з урахуванням конвергенції). Такий же підхід показує, що чотиривимірна піраміда має об’єм 4D — одна чверть добутку 3D-об’єму основи її паралелепіпеда на висоту, і так далі для більш високих розмірностей.

Евклідова геометрія — Вікіпедія

Евклі́дова геоме́трія — геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеній у підручнику «Начала» Евкліда (давньогрецькою: Στοιχεῖα Stoicheia, III століття до н. е.). Метод Евкліда полягає в прийнятті невеликого набору інтуїтивно зрозумілих аксіом і виведення з них багатьох інших теорем. Хоча багато визначень Евкліда були висловлені іншими математиками, Евклід був першим, хто показав, як ці пропозиції могли б використовуватися у всеосяжну дедуктивну та логічну систему. «Начала» починаються з планіметрії, яка і до сьогодні вивчається у середній школі як аксіоматика і базується на доведеннях. Більша частина «Начал» вказує на доведення того, що зараз називають алгеброю та теорією чисел.

Більше двох тисяч років прикметник «евклідова» був непотрібним, оскільки жодна інша форма геометрії ще не існувала. Аксіоми Евкліда здавались настільки очевидними (за винятком аксіоми паралельності), що будь-яка теорема, що випливала з них, вважалася вірною в абсолютному, часто метафізичному сенсі. Сьогодні відомо багато інших несуперечливих неевклідових геометрій, перші з яких з’явилися на початку 19 ст. Зокрема, із загальної теорії відносності Альберта Ейнштейна слідує що фізичний простір неевклідовий, а евклідовий простір для нього існує лише там, де слабке гравітаційне поле.

Евклідова геометрія є прикладом аналітичної геометрії, оскільки вона логічно йде від аксіом до тверджень без використання координат(на відміну від аналітичної геометрії, яка їх використовує).

«Начала» вважаються систематизацією попередніх знань з геометрії. Оскільки його новіші видання були одразу загальновизнаними, і не було попиту у минулих версіях, на сьогодні майже всі вони втрачені. «Начала» складаються з 13 книг: У I-IV та VI книгах йдеться про планіметрію. Доведено багато результатів щодо плоских фігур, наприклад: теорема Піфагора «У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гітотенузи». (Книга I, постулат 47). V і VII-X книги стосуються теорії чисел, причому числа геометрично обробляються через їхні подання у вигляді ліній різної довжини. У них вводяться такі поняття, як прості, раціональні та ірраціональні числа. Також доводиться нескінченність простих чисел. XI-XIII книги стосуються cтереометрії. Типовим прикладом є співвідношення 1/3 між об’ємом конуса та циліндра з однаковою висотою та основою.

Аксіоматика[ред. | ред. код]

Проблема повної аксіоматизації елементарної геометрії — одна з проблем геометрії, що виникла у Стародавній Греції у зв’язку з критикою цієї першої спроби побудувати повну систему аксіом так, щоб всі твердження евклідової геометрії з цих аксіом були чисто логічним висновком без додаткових пояснень.

У «Началах» Евкліда, була дана наступна аксіоматика:

1. Від усякої точки до всякої точки можна провести пряму лінію.
2. Обмежену лінію можна безперервно продовжувати до прямої.
3. З усякого центра довільним розхилом циркуля може бути описане коло.
4. Усі прямі кути рівні між собою.
5. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, які менші ніж два прямі кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі (див. Аксіома паралельності Евкліда).

Дослідження системи аксіом Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту. У 1899 році Давид Гільберт запропонував першу достатньо строгу аксіоматику евклідової геометрії. Спроби поліпшення евклідової аксіоматики робилися і до Гільберта, проте підхід Гільберта, при всій його консервативності у виборі понять, виявився найуспішнішим.

Евклідова геометрія базується на конструктивному доведенні. Аксіоми 1, 2, 3 та 5 стверджують про існування та унікальність певних геометричних фігур, і ці твердження носять конструктивний характер: тобто ми не лише сказали про існування певних речей, але й довели це. У цьому сенсі Евклі́дова геометрія більш конкретна, ніж багато сучасних аксіоматичних систем, таких як теорія множин, які часто стверджують про існування об’єктів, не кажучи, як їх побудувати, або навіть стверджують про існування об’єктів, які не можуть бути побудовані в рамках теорії. Іншими словами, лінії на папері є моделями об’єктів, визначених у формальній системі, а не прикладами цих об’єктів. Наприклад, Евклі́дова пряма не має ширини, але будь-яка реальна намальована лінія матиме. Хоча майже всі сучасні математики вважають неконструктивні методи настільки ж конструктивними, конструктивні докази Евкліда часто витісняють помилкові неконструктивні.

Евклід часто використовував у своїй праці доведення від супротивного. Евклідова геометрія використовує також метод суперпозицій, в якому фігура переміщується на іншу точку простору. Наприклад, пропозиція I.4, конгруенція трикутників бічним кутом, доведена шляхом переміщення одного з двох трикутників так, що одна з його сторін збігається з такою ж за розміром стороною іншого трикутнику, доводить, що інші сторони також збігаються. Деякі сучасні методи додають шостий постулат — жорсткість трикутника, яку можна використовувати як альтернативу суперпозиції.

Система вимірювання та арифметика[ред. | ред. код]

Евклідова геометрія має два основних типи вимірювань: кут і відстань. Кутова шкала абсолютна, і Евклід використовує прямий кут як його базову одиницю так, що, наприклад, кут у 45° градусів називають половиною прямого кута. Шкала відстані відносна: один довільно вибраний сегмент лінії з певною ненульовою довжиною береться за одиницю, а інші відстані виражаються відносно нього. Додавання відстаней представлено конструкцією, в якій один рядок сегмента копіюється на кінці іншого сегмента лінії, щоб збільшити його довжину, і аналогічно для віднімання.

Вимірювання площі та об’єму визначаються за допомогою поняття відстані. Наприклад, прямокутник з шириною 3 і довжиною 4 має ділянку, яка дорівнює 12. Через те, що ця геометрична інтерпретація множення була обмежена трьома вимірами, не було прямого способу інтерпретації добутку з чотирьох або більше значень, і Евклід уникав таких добутків, хоча саме вони вказані у доведенні книги IX, пропозиції 20.

Евклід трактує пари ліній або пари фігур на площині як «рівні» (ἴσος), якщо їх довжини, площі або об’єми рівні, аналогічно для кутів. Більш сильний термін «конгруентний» означає, що фігура буде однакова за розміром і формою щодо іншої фігури. Інше визначення конгруентності двох фігур полягає в тому, що їх можна сумістити одну з іншою за допомогою руху (допускається віддзеркалення фігури). Наприклад, прямокутник 2×6 і прямокутник 3×4 рівні, але не конгруентні, а буква R конгруентна зі своїм дзеркальним відображенням. Фігури, які будуть конгруентними, за винятком їх різного розміру, називаються подібними. Відповідні кути в парі подібних фігур є конгруентними, а відповідні сторони пропорційні одна одній.

Позначення та термінологія[ред. | ред. код]

Означення точок та фігур[ред. | ред. код]

Точки зазвичай називають «великими літерами алфавіту». Інші фігури, такі як лінії, трикутники або кола, називаються переліком достатньої кількості точок, щоб однозначно їх вибирати з відповідного значення, наприклад, трикутник ABC, як правило, буде трикутником з вершинами в точках A, B і C .

Комплементарні та суміжні кути[ред. | ред. код]

Кути, сума яких є прямим кутом, називаються комплементарними. Комплементарні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку, що знаходиться між двома вихідними променями, які утворюють правий кут. Кількість променів між двома променями є нескінченною.

Кути, сума яких дорівнює 180 градусів, називають суміжними. Суміжні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку між двома вихідними променями, які утворюють прямий кут (кут 180 градусів). Кількість променів між двома оригінальними променями є нескінченною.

Сучасні версії фігур Евкліда[ред. | ред. код]

У сучасній термінології кути, як правило, вимірюються в градусах чи в радіанах.

Сучасні шкільні підручники часто визначають окремі фігури: лінії (нескінченні), промені (напівнескінченні) та лінійні сегменти (кінцевої довжини). Евклід, замість того, щоб говорити про промінь як про об’єкт, що поширюється до нескінченності в одному напрямку, зазвичай використовує такі означення, як «лінія, проведена до достатньої довжини», хоча іноді вона називається «нескінченною». «Лінія» в «Началах» може бути як прямою, так і криволінійною, і при необхідності він використовував більш конкретний термін «пряма лінія».

Деякі важливі або відомі результати[ред. | ред. код]

• 

  Tеорема про суму кутів у трикутнику доводить, що сума трьох кутів будь-якого трикутника (у цьому випадку кутів α, β і γ) завжди дорівнює 180 градусів.

• 

  Теорема Піфагора вказує на те, що сума квадратів катетів (a і b) дорівнює квадрату гіпотенузи(c).

Теорема про рівнобедренний трикутник[ред. | ред. код]

Теорема про міст віслюків стверджує, що трикутник, в якому дві сторони (бічні) рівні між собою, а також кути при основі рівні між собою, називають рівнобедренним. За означенням, правильний трикутник також є рівнобедреним, але обернене твердження не є правильним. Одне з походжень назви цієї теореми: геометрична фігура схожа на крутий міст, водночас схожу лише на віслюка.

Конгруентність трикутників[ред. | ред. код]

Tеорема про суму кутів у трикутнику[ред. | ред. код]

Сума кутів трикутника дорівнює куту 180 градусів. Наслідком з цього є те, що рівносторонній трикутник має три внутрішні кути по 60 градусів. Крім того, кожен трикутник має принаймні 2 гострі кути.

Теорема Піфагора[ред. | ред. код]

У знаменитій теоремі Піфагора (книга I, постулат 47) сказано, що в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи (сторони, протилежної прямокутному куту), дорівнює сумі квадратів катетів (сторін, які перетинаються під прямим кутом).

Теорема Фалеса[ред. | ред. код]

Теорема Фалеса, названа на честь Фалеса з Мілета, говорить, що якщо А, В та С є точками в колі, де лінія АС є діаметром кола, то кут АВС — прямий кут. Кантор вважав, що Фалес довів свою теорему за допомогою книги Евкліда I, Постулату 32.

Через фундаментальний статус евклідової геометрії в математиці, було б неможливо не дати більш репрезентативну вибірку застосувань його «Начал» у цьому розділі.

Застосування евклідової стереометрії полягає у визначенні механізмів пакування, таких як проблема пошуку найефективнішого пакування куль n розмірностей.

Геометрична оптика використовує евклідову геометрію для аналізу фокусування світла об’єктивами та дзеркалами.

Застосування в описі структури простору[ред. | ред. код]

Евклід вважав, що його аксіоми були очевидними твердженнями про фізичну реальність. Евклідові доведення залежали від припущень, які, можливо, не були очевидними в його основних аксіомах. Враховуючи фізичний опис простору, постулат 2 стверджує, що простір однорідний і необмежений; постулат 4 (про рівність прямокутників) говорить про те, що простір є ізотропним, а фігури можуть бути перенесені в будь-яке місце, зберігаючи конгруентність, і постулат 5 (Аксіома паралельності Евкліда), вказує на те, що простір не має власної кривизни. Але теорія відносності Ейнштейна суттєво змінює цю точку зору.

Неоднозначний характер аксіом, сформульований Евклідом, дає змогу різним аналітикам не погодитися з деякими їхніми наслідками для структури простору, наприклад, чи є вона нескінченною і яка її топологія. Сучасні, переформулювання системи, як правило, спрямовані на відокремлення цих питань. Інтерпретуючи аксіоми Евкліда у стилі більш сучасного підходу, аксіоми 1-4 узгоджуються або з нескінченним, або зі скінченними просторами (як в геометрії Рімана), і всі п’ять аксіом збігаються з різними топологіями (наприклад, площиною, циліндром , чи тором для двовимірної евклідової геометрії).

Класичні теореми[ред. | ред. код]

Аналітична геометрія — Вікіпедія

Аналіти́чна геоме́трія — розділ геометрії, в якому властивості геометричних об’єктів (точок, ліній, поверхонь) установлюють засобами алгебри за допомогою методу координат, тобто шляхом дослідження властивостей рівнянь, які і визначають ці об’єкти. Основні положення аналітичної геометрії вперше сформулював філософ і математик Рене Декарт 1637 року. Лейбніц, Ісаак Ньютон і Леонард Ейлер надали аналітичній геометрії сучасної структури.

Стародавня Греція[ред. | ред. код]

Грецький математик Менехм розв’язував задачі і доводив теореми використовуючи методи, які дуже подібні до використання координат, і іноді висловлювалася думка, що саме він започаткував аналітичну геометрію.^[1]

Аполлоній Перзький, в книзі On Determinate Section, розв’язує задачі у спосіб, який би можна було назвати аналітичною геометрією для одного виміру; де він знаходить точки на прямій, які співвідносяться із іншими.^[2] У роботі Conics Аполлоній далі розвинув метод, так що він ще більше нагадує аналітичну геометрію. Так що іноді вважають, що його робота попередила роботи Декарта приблизно на 1800 років. Його застосування прямих відліку, діаметра і дотичної істотно не відрізняється від сучасного використання координатної системи відліку, де відстані виміряні здовж діаметру від точки дотику є абсцисами, а відрізки паралельні дотичній і поділені між віссю і кривою є ординатами. Далі він побудував відношення між абсцисами і відповідними ординатами, які є еквівалентними теоретичним рівнянням кривих. Однак, хоча Аполлоній впритул наблизився до понять аналітичної геометрії, він не зміг це довести до логічного завершення, оскільки він не брав до уваги від’ємні величини і кожного разу його система координат була прив’язана до даної кривої. Таким чином, рівняння визначалися кривими, а не криві — рівняннями. Координати, змінні і рівняння були допоміжними поняттями, які застосовувалися до певної окремої геометричної ситуації.^[3]

Західна Європа[ред. | ред. код]

Створення аналітичної геометрії зазвичай приписують Рене Декарту, який виклав її основи в La Geometrie (Геометрія) , одного з трьох додатків, опублікованих в 1637 році разом зі своїм трактатом Міркування про метод. Спочатку робота не була добре прийнята, але після переведення латинською та додавання коментарів ван Схотена в 1649, трактат Декарта отримав належне визнання.

В аналітичній геометрії, двовимірний простір задається системою координат, в якій кожна точка маж пару координат у формі дійсних чисел. Аналогічним чином, Евклідів простір представлено координатами, де кожна точка має три координати. Значення координат залежить від вибору точки початкового відліку. Існує велика кількість різних систем координат, але найбільш загальними є наступні:^[4]

Декартові координати (на площині або в просторі)[ред. | ред. код]

Найбільш поширеною системою координат, яку використовують є Декартова система координат, в якій кожна точка має x-координату, яка задає її горизонтальну позиції та y-координату, яка задає її вертикальну позицію. Вони як правило записуються як впорядкована пара (x, y). Цю систему можна використовувати і для тривимірної геометрії, де кожна точка в Евклідовому просторі представляється впорядкованою трійкою координат (x, y, z).

Полярні координати (на площині)[ред. | ред. код]

У полярній системі координат, кожна точка на площині представлена її відстанню r від початку координат і її кутом θ від полярної осі.

Циліндричні координати (у просторі)[ред. | ред. код]

У циліндричних координатах, кожна точка простору задається її висотою z, радіусом r від осі z та кутом θ відносно її проекції на площину xy по відношенню до горизонтальної осі.

Сферичні координати (у просторі)[ред. | ред. код]

У сферичних координатах, кожна точка в просторі представлена її відстанню ρ від початку відліку, кутом θ її проекції на xy-площину по відношенню до горизонтальної осі, і кутом φ яку вона утворює із віссю z. Назви кутів у фізиці як правило можуть бути обернені навпаки.^[4]

Характерною особливістю аналітичної геометрії є визначення геометричних фігур рівняннями. Нехай на площині з осями координат OX і OY (прямокутна декартова система координат) маємо лінію l. Якщо вздовж l пересувати точку M, то координати x, y цієї точки будуть змінюватись, але між ними існуватиме певна залежність, яку можна записати у вигляді рівняння:

f(x,y)=0{\displaystyle f(x,y)=0\,},

де f(x,y){\displaystyle f(x,y)} є математичний вираз, що містить змінні x і y або одну з них.

Наприклад, з прямокутного трикутника OMP виводимо, що рівняння кола K радіуса г з центром в початку координат 0 є

x2+y2−r2=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-r^{2}=0}.

Розглянемо ще пряму АВ. Якщо М є довільна її точка і OA = a, OB = b, то PA = a — x. З подібності прямокутних трикутників MPA і BOA маємо:

ya−x=ba{\displaystyle {\frac {y}{a-x}}={\frac {b}{a}}}.

Звідси дістаємо рівняння прямої АВ:

bx+ay−ab=0{\displaystyle bx+ay-ab=0\,}.

В аналітичній геометрії приймають, що рівняння визначає геометричну фігуру як множину точок, координати х та у яких справджують це рівняння. Інакше кажучи, рівняння розглядають як засіб для поділу точок площини на 2 класи: до 1-го належать точки, координати яких справджують дане рівняння (ці точки утворюють визначену рівнянням фігуру), до 2-го — всі інші точки площини. Якщо рівняння алгебраїчне, то воно визначає лінію — дійсну чи уявну (див. нижче), яку називають алгебраїчною, а степінь рівняння — порядком цієї лінії. Порядок алгебраїчної лінії не залежить від того, як розміщені відносно неї осі координат. Прямі і тільки прямі є лініями 1-го порядку; конічні перерізи (тобто лінії, що утворюються при перетині конуса площиною) і тільки вони є лініями 2-го порядку. Аналогічно рівняння f(x,y,z)=0{\displaystyle f(x,y,z)=0}, де x,y,z{\displaystyle x,y,z} — декартові координати точки у просторі, визначає просторову фігуру, зокрема алгебраїчну поверхню n-го порядку, якщо воно є алгебраїчним рівнянням n-го степеня. В сучасних курсах аналітичної геометрії вивчаються тільки лінії і поверхні 1-го та 2-го порядків.

Застосування в аналітичній геометрії алгебраїчних методів привело до поняття уявної фігури. Сукупність двох чисел x,y,{\displaystyle x,y,} з яких принаймні одне уявне, можна розглядати як уявну точку. Якщо рівняння (наприклад , x2+y2+1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}) справджують лише координати уявних точок, то вважають, що воно визначає уявну фігуру. Хоч поняттям нескінченно віддалених і уявних точок не відповідають жодні реальні образи, проте запровадження їх дозволило глибше досліджувати властивості фігур.

В сучасних курсах аналітичної геометрії широко використовується апарат векторного числення.

В аналітичній геометрії, геометричні поняття такі як міри відстані і кута визначають за допомогою формул. Ці визначення узгоджені із Евклідовою геометрією, яка є в основі них. Наприклад, при використанні Декартових координат на площині, відстань між двома точками (x₁, y₁) і (x₂, y₂) визначається формулою

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2,{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}

яку можна розглядати як ще одну версію теореми Піфагора. Аналогічно, кут, який пряма утворює із горизонталлю можна визначити за допомогою формули

θ=arctg(m),{\displaystyle \theta =\mathrm {arctg} (m),}

де m це нахил (кутовий коефіцієнт) прямої.

В трьох вимірах, відстань визначається за допомогою узагальненої теореми Піфагора:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}

а кут між двома векторами задається скалярним добутком. Скалярний добуток двох Евклідових векторів A і B визначається як^[5]

A⋅B=def‖A‖‖B‖cos⁡θ,{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}

де θ це кут між A і B.

Перетворення застосовуються до початкової функції з метою перетворити її на нову функцію із подібними характеристиками.

Графік функції R(x,y){\displaystyle R(x,y)} змінюється за допомогою стандартних перетворень наступним чином:

Існують і інші стандартні перетворення, які як правило не вивчаються в рамках елементарної аналітичної геометрії, оскільки перетворення змінюють форму об’єктів у такий спосіб, який не розглядається часто. Наприклад, таким перетворенням є перетворення скосу.

Наприклад, початкова функція y=1/x{\displaystyle y=1/x} має горизонтальну і вертикальну асимптоту, і займає перший і другий квадрант, і всі форми її перетворення мають горизонтальну і вертикальну асимптоту, і займають або 1-й і 3-й або 2-й і 4-й квадрант. В загальному випадку, якщо дана функція y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, то її можна трансформувати у вигляд y=af(b(x−k))+h{\displaystyle y=af(b(x-k))+h}. В новій перетвореній функції, a{\displaystyle a} це коефіцієнт вертикального розтягування функції, якщо він більший за 1, або вертикального стискання, якщо він менший за 1, а для від’ємних значень a{\displaystyle a}, функція буде відображена по осі x{\displaystyle x}. Коефіцієнт b{\displaystyle b} стискає графік функції по горизонталі, якщо він більший за 1 і розтягує функцію горизонтально, якщо він менший за 1, і так само як a{\displaystyle a}, відображає функцію по осі y{\displaystyle y}, коли він від’ємний. Значення k{\displaystyle k} і h{\displaystyle h} задають переміщення, h{\displaystyle h} — вертикальне, і k{\displaystyle k} — горизонтальне. Додатні значення h{\displaystyle h} і k{\displaystyle k} означають, що функція переміщується в додатному напрямку відповідної осі, а від’ємне значення, що вона переміщується в сторону від’ємного напрямку.

Перетворення можна застосувати до будь-якого геометричного рівняння, не залежно від того чи задає це рівняння функцію, чи ні.

Знаходження перетинів геометричних об’єктів[ред. | ред. код]

Для двох геометричних об’єкта P і Q, які представлені рівняннями P(x,y){\displaystyle P(x,y)} і Q(x,y){\displaystyle Q(x,y)} перетином є набір всіх таких точок (x,y){\displaystyle (x,y)}, які відповідають двом рівнянням одночасно.

Наприклад, P{\displaystyle P} може бути колом із радіусом 1 і з центром в координатах (0,0){\displaystyle (0,0)}: P={(x,y)|x2+y2=1}{\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}, а Q{\displaystyle Q} може бути колом із радіусом 1 і центром в (1,0):Q={(x,y)|(x−1)2+y2=1}{\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}. Перетином цих кіл є множина точок, при якій обидва рівняння виконуються. Чи точка з координатами (0,0){\displaystyle (0,0)} робить обидва ці рівняння вірними? Підставивши (0,0){\displaystyle (0,0)} для (x,y){\displaystyle (x,y)}, рівняння для Q{\displaystyle Q} буде наступним (0−1)2+02=1{\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1} або (−1)2=1{\displaystyle (-1)^{2}=1}, що є вірним, тож (0,0){\displaystyle (0,0)} відповідає рівнянню Q{\displaystyle Q}. З іншого боку, використавши (0,0){\displaystyle (0,0)} для (x,y){\displaystyle (x,y)} в рівнянні P{\displaystyle P} отримаємо 02+02=1{\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1} або 0=1{\displaystyle 0=1}, що є хибним. (0,0){\displaystyle (0,0)} не належить P{\displaystyle P}, то ж ця точка не є перетином.

Перетин фігур P{\displaystyle P} і Q{\displaystyle Q} можна знайти розв’язавши одночасні рівняння:

x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

(x−1)2+y2=1.{\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}

Традиційними методами пошуку перетинів за допомогою таких рівнянь є заміна і скорочення.

Метод заміни: (метод підстановки) Необхідно розв’язати рівняння відносно y{\displaystyle y}, спочатку виразимо його через x{\displaystyle x}, а потім підставляємо отриманий вираз для y{\displaystyle y} в друге рівняння:

x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

y2=1−x2{\displaystyle y^{2}=1-x^{2}}.

Потім, після підстановки отриманого значення для y2{\displaystyle y^{2}} в інше рівняння, маємо розв’язок для x{\displaystyle x}:

(x−1)2+(1−x2)=1{\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}

Що таке геометрія? Наука геометрія

Геометрія є важливою частиною математики, яку починають вивчати в школах з 7 класу в якості окремого предмета. Що таке геометрія? Що вона вивчає? Які корисні висновки можна з неї витягти? Всі ці питання докладно розглядаються в статті.

Поняття про геометрію

Під цією наукою розуміють гілка математики, що займається вивченням властивостей різних фігур на площині і в просторі. Саме слово «геометрія» з давньогрецької мови означає «вимірювання землі», тобто будь-які реальні або уявлювані об’єкти, які мають кінцеву довжину вздовж хоча б однієї з трьох осей координат (наш простір є тривимірним), піддаються вивченню даної наукою. Можна сказати, що геометрія — математика простору і площини.

В ході свого розвитку геометрія обзавелася набором понять, якими вона оперує з метою вирішення різних завдань. До таких понять належать точка, пряма, площина, поверхня, відрізок, коло, крива, кут та інші. Основою цієї науки є аксіоми, тобто концепції, що зв’язують геометричні поняття в рамках тверджень, які приймаються в якості істинних. На підставі аксіом будуються і доводяться теореми.

Коли з’явилася ця наука

Що таке геометрія з точки зору історії? Тут слід сказати, що вона є дуже давнім вченням. Так, її використовували стародавні вавілоняни при визначенні периметрів та площ простіших фігур (прямокутників, трапецій та ін). Розвинена вона була і в Стародавньому Єгипті. Досить згадати знамениті піраміди, будівництво яких було б неможливо без знання властивостей об’ємних фігур, а також без уміння орієнтуватися на місцевості. Зазначимо, що знамените число «пі» (його приблизне значення), без якого неможливо визначити параметри кола, було відомо єгипетським жерцям.

Розрізнені знання про властивості плоских і об’ємних тіл були зібрані в єдину науку тільки за часів Античної Греції завдяки діяльності її філософів. Найважливішим працею, на якому ґрунтуються сучасні геометричні навчання, є «Елементи» Евкліда, які були їм складені приблизно в 300 році до нашої ери. Близько 2000 років цей трактат був основою для кожного вченого, який займався дослідженням просторових властивостей тел.

У XVIII столітті французький математик і філософ Рене Декарт заклав основи так званої аналітичної науки геометрії, яка описувала за допомогою чисельних функцій будь-просторовий елемент (пряму, площину і так далі). З цього часу починають з’являтися багато гілки в геометрії, причиною існування яких є п’ятий постулат в «Елементах» Евкліда.

Евклідова геометрія

Що таке геометрія Евкліда? Це досить струнке вчення про просторові властивості ідеальних об’єктів (точок, прямих, площин і т. д.), яке грунтується на 5 постулатах або аксіомах, викладених у праці під назвою «Елементи». Аксіоми наведено нижче:

1. Якщо дано дві точки, то можна провести лише одну пряму, яка їх з’єднає.
2. Кожен відрізок можна продовжити нескінченно з будь-якого його кінця.
3. Будь-яка точка простору дозволяє накреслити коло довільного радіуса так, щоб сама точка знаходилася в центрі.
4. Усі прямі кути є подібними або конгруэнтными.
5. Через кожну точку, яка не належить даній прямій, можна провести лише одну лінію, паралельну їй.

Евклідова геометрія становить основу будь-якого сучасного шкільного курсу по цій науці. Більше того, саме нею людство користується в процесі своєї життєдіяльності при конструюванні будівель і споруд та при складанні топографічних карт. Тут важливо зазначити, що набір постулатів в «Елементах» не є повним. Він був розширений німецьким математиком Давидом Гильбертом на початку XX століття.

Види евклідової геометрії

Ми розібралися, що таке геометрія. Розглянемо, які бувають види. В рамках класичного вчення прийнято виділяти два види цієї математичної науки:

• Планіметрія. Вона вивчає властивість плоских об’єктів. Наприклад, розрахунок площі трикутника або знаходження його невідомих кутів, визначення периметра трапеції або довжини кола — це завдання планіметрії.
• Стереометрія. Об’єктами вивчення цієї гілки геометрії є просторові фігури (всі точки, які їх утворюють, лежать у різних площинах, а не в одній). Так, визначення об’єму піраміди або циліндра, вивчення властивостей симетрії куба і конуса — це приклади задач стереометрії.

Неевклидовы геометрії

Що таке геометрія в її широкому розумінні? Крім звичної нам науки про просторові властивості тіл, існують також неевклидовы геометрії, у яких п’ятий постулат в «Елементах» порушується. До них відносяться еліптична і гіперболічна геометрія, які були створені в XIX столітті німецьким математиком Георгом Риманом і російським ученим Миколою Лобачевским.

Спочатку вважали, що неевклидовы геометрії мають вузьку сферу застосування (наприклад, в астрономії при вивченні небесної сфери), а саме фізичне простір являється евклідовим. Помилковість останнього твердження показав Альберт Ейнштейн на початку XX століття, розробивши свою теорію відносності, в якій він узагальнив поняття простору і часу.

Геометрія в школі

Як було сказано вище, вивчення геометрії в школі починається з 7 класу. При цьому школярам демонструють основи планіметрії. Геометрія 9 класу вже включає вивчення тривимірних тіл, тобто стереометрії.

Головне завдання шкільного курсу полягає в тому, щоб розвинути у школярів абстрактне мислення і уяву, а також навчити їх мислити логічно.

Багато досліджень показали, що при вивченні цієї науки у школярів спостерігаються проблеми з абстрактним мисленням. Коли формулюється для них геометрична задача, вони часто не розуміють її суть. У старшокласників до проблеми з уявою додаються труднощі розуміння математичних формул для визначення об’єму та площі поверхні розверстки просторових фігур. Часто старшокласники при вивченні геометрії 9 класу не знають, якою формулою слід скористатися в конкретному випадку.

Шкільні підручники

Існує велика кількість навчальних посібників для навчання школярів цій науці. Одні з них дають тільки базові знання, наприклад, підручники Л. С. Атанасяна або А. В. Погорєлова. Інші переслідують мета поглибленого вивчення науки. Тут можна виділити підручник А. Д. Александрова або повний курс геометрії Бевза Р. П.

Оскільки в останні роки для здачі всіх екзаменів у школі запроваджено єдиний стандарт ЄДІ, стали необхідні підручники і решебники, які дозволяють учневі швидко самостійно розібратися з необхідною темою. Гарним прикладом таких посібників можна назвати геометрію Єршової А. П., Голобородько Ст. Ст.

Будь-який з названих вище підручників має як позитивні, так і негативні відгуки з боку вчителів, тому викладання геометрії в школі часто здійснюється з використанням кількох підручників.

Загрузка…

Дивіться також:

Проєктивна геометрія — Вікіпедія

Проєкти́вна геоме́трія — розділ геометрії, який вивчає проєктивні площини та проєктивний простір.

При аксіоматичній побудові проєктивної площини постулюється обов’язковий перетин двох різних прямих, замість аксіоми існування єдиної паралельної у геометрії Евкліда. Таким чином на проєктивній площині дві різні точки визначають пряму, дві різні прямі визначають точку. Це породжує головну особливість проєктивної геометрії — принцип дуальності, який додає витончену симетрію для багатьох конструкцій. Проєктивна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) і з алгебраїчної, розглядаючи проєктивну площину як структуру над полем. Часто, і історично, дійсна проєктивна площина розглядається як Евклідова площина з додаванням «прямої у нескінченності».

Проєктивна геометрія доповнює Евклідову, надаючи красиві і прості рішення для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста й витончена проєктивна теорія конічних перетинів.

Хоча деякі результати, які тепер зараховані до проєктивної геометрії, виходять з робіт таких давньогрецьких геометрів, як Папп Александрійський, проєктивної геометрії як така народилася в XVII століття з прямої перспективи в живописі і архітектурному кресленні. Ідея безмежно далеких точок, в яких перетинаються паралельні прямі, з’явилася незалежно у французького архітектора Жерара Дезарга і у німецького астронома Йоганна Кеплера. Дезарга навіть запропонував, що може існувати пряма, що складається виключно з нескінченно віддалених точок.

В XIX столітті інтерес до цієї області відродився завдяки працям Жана-Віктора Понселе та Мішеля Шаля. Понселе вивів проєктивний простір з Евклідового, додавши пряму в нескінченності, на якій перетинаються всі площини, паралельні даній, і довів принцип дуальності. Шаль продовжив і значно поглибив праці Понселе. Пізніше Карл фон Штаудта створив чисто синтетичну аксіоматизацію, об’єднуючи ці прямі з рештою.

У кінці XIX століття Фелікс Клейн запропонував використовувати для проєктивної геометрії однорідні координати, які раніше запровадили Мебіус, Плюккер, і Фейєрбах.

Основні, залишені без визначення в стандартній аксіоматизації, поняття проєктивної геометрії — це точка та пряма. Сукупність точок на прямій називається рядом, а сукупність прямих, що проходять крізь точку — пучком. Сукупність точок на прямих у пучку A, що перетинаються з прямою BC, визначає площину ABC. Принцип дуальності свідчить, що будь-яка конструкція проєктивної геометрії в n-вимірному просторі залишається вірною, якщо в усіх випадках замінити (k)-вимірні конструкції на (n— k-1)-вимірні. Так, будь-яка конструкція в проєктивній площині залишається вірною, якщо замінити точки на прямі і прямі на точки.

Перетворення ряду прямих X в пучок точки x, що не знаходиться в цьому ряду, або навпаки, ідентифікує кожну точку в ряді з прямою з пучка, що її перетинає, і позначається X⌅x . Послідовність з декількох таких перетворень (з ряду в пучок, потім назад в ряд, і так далі) називається проєктивністю’. Перспективність — це послідовність з двох проєктивностей (пишетьсяX⌆X). Перспективність двох прямих проходить крізь центр O, а перспективність двох точок — крізь вісь o. Точка інваріантна по відношенню до проєктивності, якщо проєктивність перетворює її в ту ж точку.

Трикутник  — це частина площини, обмежена трьома точками, з’єднаними попарно прямими. Повний чотирикутник  — це частина площини, обмежена чотирма точками (вершини), що знаходяться в цій площині, з яких жодні три не колінеарними, з’єднаними попарно прямими. Перетин двох із цих прямих, які не є вершинами, називається діагональною точкою. Повний чотиригранник визначається аналогічно, але з точками замість прямих і прямими замість точок. Аналогічно можна визначити повний n-кутник і повний n-гранник.

Два трикутники перспективні якщо вони можуть бути з’єднані за допомогою перспективності, тобто їхні грані перетинаються на колінеарними точках (перспективність крізь пряму) або їхні вершини з’єднані конкурентними прямими (перспективність крізь точку).

Є три головних підходи до проєктивної геометрії: незалежна аксіоматизація, доповнення Евклідової геометрії, і структура над полем.

Аксіоматизація[ред. | ред. код]

Проєктивний простір можна визначити за допомогою різного набору аксіом. Коксетер надає такі:

1. Існує пряма і точка не на ній.
2. На кожній прямий є принаймні три точки.
3. Через дві точки можна провести рівно одну пряму.
4. Якщо A, B, C, і D — різні точки і AB і CD перетинаються, то AC і BD перетинаються.
5. Якщо ABC — площина, то існує принаймні одна точка не в площині ABC.
6. Дві різні площини перетинаються принаймні в двох точках.
7. Три діагональні точки повного чотирикутника не є колінеарними.
8. Якщо три точки на прямій X інваріантні по відношенню до проєктивної φ, то всі точки на X інваріантні по відношенню до φ.

Проєктивна площина (без третього виміру) визначається дещо іншими аксіомами:

1. Через дві точки можна провести рівно одну пряму.
2. Будь-які дві прямі перетинаються.
3. Існує чотири точки, з яких немає трьох колінеарних.
4. Три діагональні точки повних чотирикутників не є колінеарними.
5. Якщо три точки на прямій X інваріантні по відношенню до проєктивної φ, то всі точки на X інваріантні по відношенню до φ.
6. Теорема Дезарга: Якщо два трикутника перспективні крізь точку, то вони перспективні крізь пряму.

При наявності третього виміру, теорема Дезарга може бути доведена.

Доповнення Евклідової геометрії[ред. | ред. код]

Історично, проєктивний простір був вперше визначено, як доповнення евклідового простору ідеальним елементом — нескінченно віддаленої площини. Кожна точка на цій площині відповідає напрямку в просторі і є місцем перетину всіх прямих цього напрямку.

Проєктивна геометрія починається тоді, коли ми забуваємо про нескінченну віддаленість «ідеальних» точок, прямих і площини, і починаємо розглядати їх абсолютно на рівних умовах зі «звичайними» евклідовими точками, прямими і площинами.

Структура над полем[ред. | ред. код]

N-вимірний проєктивний простір над полем F визначається за допомогою системи однорідних координат над F, тобто множини ненульових (n+1) — векторів з елементів F. Точка і пряма визначаються як множина векторів, що відрізняються множенням на константу. Точка x знаходиться на прямій X якщо скалярний добуток X ⋅ x = 0. Таким чином, маючи пряму X, ми можемо визначити лінійне рівняння X ⋅ x = 0, що визначає ряд точок на X . З цього випливає, що точки x, y, і z є колінеарними, якщо X ⋅ x = X ⋅ y = X ⋅ z = 0 для будь-якої прямої X.

Однорідні координати дають можливість наглядно представити модель проєктивного простору. Оскільки однорідний вектор визначає (і тотожний) прямій, що проходить через початок координат, то точками n-вимірного проєктивного простору є прямі, що проходять через початок координат n+1-мірного евклідового простору. У найпростішому випадку,

• точки 2-мірної проєктивної площини — прямі, що проходять через початок координат 3-мірного евклідового простору
• прямі цієї 2-мірної проєктивної площини — це площини 3-мірного евклідового простору, що проходять через початок координат.

Кожні дві проєктивні точки (тобто дві різні евклідові прямі) визначають проєктивну пряму (тобто евклідову площину, що проходять через початок координат). Кожні дві проєктивні прямі (тобто дві евклідові площини, що проходять через початок координат) перетинаються у проєктивній точці (іншими словами, перетином двох евклідових площин, що проходять через початок координат, є евклідова пряма, що проходять через початок координат).

• Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. M., 1957.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М., 1955.
• Вольберг А. О. Основные идеи проективной геометрии. М.-Л.: Учпедгиз, 1949.
• Глаголев Н. А. Проективная геометрия. М.-Л., 1936.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М., 1970.
• Юнг Дж. В. Проективная геометрия. М.: ИЛ, 1949.

Ріманова геометрія — Вікіпедія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ріманова геометрія є розділом диференціальної геометрії, який вивчає ріманові многовиди, гладкі многовиди з рімановою метрикою, тобто зі скалярним добутком на дотичному просторі в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це зокрема, дозволяє ввести локальні поняття кута, довжини кривої, площі поверхні та об’єму. З цих локальних глобальні величини можуть бути отримані шляхом інтегрування локальних складових.

Ріманова геометрія виникла з бачення Бернгарда Рімана, викладеного в його інавгураційній лекції Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Про гіпотези, що лежать в основі геометрії). Це дуже широке і абстрактне узагальнення диференціальної геометрії поверхонь в R³. Розвиток ріманової геометрії є результатом синтезу різних результатів, що стосуються геометрії поверхонь і поведінки геодезичних ліній на них, з методами, які можуть бути застосовані для вивчення диференційовних многовидів вищих розмірностей. Це уможливило загальну теорію відносності Ейнштейна, яка глибоко вплинула на теорію груп і теорію представлень, так само як і на аналіз^[en], і стимулювала розвиток алгебричної і диференціальної топології.

Ріманова геометрія була вперше винесена на загал Бернгардом Ріманом у дев’ятнадцятому столітті. Вона має справу з широким спектром геометрій, метричні властивості яких змінюються від точки до точки, в тому числі стандартних типів неевклідової геометрії.

На будь-якому гладкому многовиді можна ввести ріманову метрику, яка часто допомагає вирішити проблеми диференціальної топології. Вона також слугує початковим рівнем для більш складної структури — псевдоріманових многовидів, які (в чотирьох вимірах) є основними об’єктами загальної теорії відносності. Інші узагальнення ріманової геометрії включають фінслерову геометрію.

Існує близька аналогія диференціальної геометрії з математичними структурами дефектів у звичайних кристалах. Дислокації та дисклінації породжують кривину і скрут.^[1][2]

Наступні статті містять корисний вступний матеріал до ріманової геометрії:

Класичні теореми в рімановій геометрії[ред. | ред. код]

Далі наведено неповний список найбільш класичних теорем в рімановій геометрії. Вибір зроблений залежно від її важливості, краси і простоти формулювання. Більшість результатів можна знайти в класичній монографії Джеффа Чігера^[en] і Д. Ебіна (див. нижче).

Наведені формулювання далеко не самі точні або більш загальні. Цей список орієнтований на тих, кому відомі основні визначення і хоче знати, про що ці визначення.

Загальні теореми[ред. | ред. код]

1. Теорема Гауса — Бонне — інтеграл від Гаусової кривини на компактному 2-вимірному рімановому многовиді M дорівнює 2πχ(M) де χ(M) позначає Ейлерову характеристику M. Ця теорема має узагальнення на будь-якому компактному парномірному рімановому мновиді, див. узагальнену теорему Гауса-Бонне^[en].
2. Теорема Неша про регулярні вкладення^[en], також її називають фундаментальною теоремою геометрії Рімана^[en]. Вона стверджує, що кожен Ріманів многовид можна ізометрично вкласти в Евклідів простір Rⁿ.

Геометрія в цілому[ред. | ред. код]

У всіх наступних теоремах ми припускаємо деяку локальну поведінку простору (зазвичай сформульовані припущенням про кривину), щоб отримати деяку інформацію про глобальну структуру простору, в тому числі будь-яку інформацію про топологічний тип многовиду або про поведінку точок на «достатньо великих» відстанях.

Затиснена секційна кривина[ред. | ред. код]

1. Теорема про сферу^[en]. Якщо M є компактний однозв’язний n-вимірний ріманів многовид з секційною кривиною затиснутою між 1/4 і 1, то M дифеоморфний сфері.
2. Теорема скінченності Чігера. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число (з точністю до дифеоморфізмів) — компактних n-мірних ріманових многовидів з секційною кривиною |K| ≤ C, діаметром ≤ D та об’ємом ≥ V.
3. Майже плоскі многовиди Громова^[en]. Існує ε_n >0 таке, що якщо n-мірний рімановий многовид має метрику з секційною кривиною |K| ≤ ε_n та діаметр ≤ 1, то його скінченне покриття дифеоморфне нільмноговиду.

Секційні кривини обмежені знизу[ред. | ред. код]

1. Теорема душі^[en] Чігера-Громолла. Якщо M є некомпактний повний n-мірний ріманів многовид невід’ємної кривини, то M містить компактний, цілком геодезичний підмноговид S такий, що M дифеоморфне нормальному шаруванню S (S називається душею M.) Зокрема, якщо M має строго додатну кривину всюди, то воно дифеоморфно Rⁿ. Г. Перельман в 1994 році дав дивно елегантний/короткий доказ гіпотези: M дифеоморфно Rⁿ якщо воно має додатну кривину хоча б в одній точці.
2. Теорема Громова про число Бетті. Існує константа C = C(n) така, що якщо M є компактним зв’язним n-мірним рімановим многовидом з додатною секційною кривиною, то сума його чисел Бетті максимально C.
3. Теорема обмеженості Грува-Петерсена. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число гомотопних типів компактних n-мірних Ріманових многовидів з секційною кривиною K ≥ C, діаметром ≤ D та об’ємом ≥ V.

Секційні кривини обмежені зверху[ред. | ред. код]

1. Теорема Адамара — Картана стверджує, що повний однозв’язний Ріманів многовид M з від’ємною секційною кривиною дифеоморфний Евклідовому простору Rⁿ з n = dim M за допомогою експоненціального відображення^[en] в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв’язних повних ріманових многовидів з від’ємною секційною кривиною з’єднані єдиною геодезичною кривою.
2. Геодезичний потік будь-якого компактного ріманового многовиду з від’ємною секційною кривиною ергодичний.
3. Якщо M є повним рімановим многовидом з секційною кривиною, обмеженою зверху строго від’ємною константою k то це CAT(k) простір^[en]. Тому, його фундаментальна група Γ = π₁(M) є гіперболічною групою Громова^[en]. Це має багато наслідків для структури фундаментальної групи:

Кривина Річчі обмежена знизу[ред. | ред. код]

1. Теорема Майерса. Якщо компактний ріманів многовид має додатну кривину Річчі, то його фундаментальна група скінченна.
2. Теорема розщеплення^[en]. Якщо повний n-мірний Ріманів многовид має невід’ємну кривину Річчі і пряму лінію (тобто геодезичну, яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічний прямому добутку числової прямої R{\displaystyle \mathbb {R} } та повного (n-1)-мірного ріманового многовиду, з невід’ємною кривиною Річчі.
3. Нерівність Бішопа-Громова^[en]. Об’єм метричної кулі з радіусом r в повному n-вимірному рімановому многовиді з додатною кривиною Річчі не перевищує об’єм кулі того ж радіуса r в Евклідовому просторі.
4. Теорема Громова про компактність^[en]. Множина ріманових многовидів з додатними кривинами Річчі, діаметром не більше D є пред-компактом в метриці Громова-Хаусдорфа^[en].

Від’ємна кривина Річчі[ред. | ред. код]

1. Ізометрична група компактного ріманового многовиду з від’ємною кривиною Річчі є дискретною.
2. На будь-якому гладкому многовиду вимірності n≥3 можна ввести ріманову метрику з від’ємною кривиною Річчі^[3] (Це невірно для поверхонь.)

Додатна скалярна кривина[ред. | ред. код]

1. n-мірний тор не допускає метрику з додатною скалярною кривиною.
2. Якщо радіус ін’єктивності компактного n-мірного ріманового многовиду ≥ π тоді середня скалярна кривина не перевищує n(n-1).

Книги

• Берже, Марсель (2000). Ріманова геометрія протягом другої половини ХХ століття. Цикл університетських лекцій 17. Род-Айленд: Американське математичне товариство. ISBN 0-8218-2052-4. . (Наводиться історичний огляд, в тому числі сотні посилань.)
• Чігер, Джефф (2008). Теореми порівняння в Рімановій геометрії. Провіденс: AMS Chelsea Publishing. ; Переглянутий передрук оригіналу 1975 року.
• Галлот, Сильвестр; Халін, Домінік; Лафонтен, Жак (2004). Ріманова геометрія. Університетський текст (вид. третє). Берлін: Спрінгер-Верлаг. .
• Йост, Юрген (2002). Ріманова геометрія і геометричний аналіз. Берлін: Спрінгер-Верлаг. ISBN 3-540-42627-2. .
• Петерсен, Пітер (2006). Ріманова геометрія. Берлін: Спрінгер-Верлаг. ISBN 0-387-98212-4. 

Документи

• Брендл, Саймон; Шоен, Річард М. (2007). Класифікація многовидів із слабкими 1/4-затисненими кривинами. arXiv:0705.3963. 

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки A{\displaystyle \;A} и B{\displaystyle \;B}, обозначается символом AB{\displaystyle AB}. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают AB{\displaystyle AB} или |AB|{\displaystyle |AB|}.

Направленный отрезок[править | править код]

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел {x}{\displaystyle \{x\}}, удовлетворяющих неравенству a≤x≤b{\displaystyle a\leq x\leq b}, где заранее заданные вещественные числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (a<b){\displaystyle (a<b)} называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа x{\displaystyle x}, удовлетворяющие неравенству a<x<b{\displaystyle a<x<b}, называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается [a,b]{\displaystyle [a,b]}:

[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число b−a{\displaystyle b-a} называется длиной числового отрезка [a,b]{\displaystyle [a,b]}.

Стягивающаяся система сегментов[править | править код]

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой {[a,b]|a,b∈R∧a<b}{\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}.

Система сегментов обозначается {[an,bn]}n=1∞{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}. Подразумевается, что каждому натуральному числу n{\displaystyle n} поставлен в соответствие отрезок [an,bn]{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}.

Система сегментов {[an,bn]}n=1∞{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }} называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  ∀n∈N:[an+1,bn+1]⊆[an,bn]{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  limn→∞(bn−an)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

∀{[an,bn]}n=1∞ ∃!c∈R ∀n∈N:c∈[an,bn]{\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

ru.wikipedia.org

Отрезок — Википедия. Что такое Отрезок

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки A{\displaystyle \;A} и B{\displaystyle \;B}, обозначается символом AB{\displaystyle AB}. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают AB{\displaystyle AB} или |AB|{\displaystyle |AB|}.

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел {x}{\displaystyle \{x\}}, удовлетворяющих неравенству a≤x≤b{\displaystyle a\leq x\leq b}, где заранее заданные вещественные числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (a<b){\displaystyle (a<b)} называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа x{\displaystyle x}, удовлетворяющие неравенству a<x<b{\displaystyle a<x<b}, называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается [a,b]{\displaystyle [a,b]}:

[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число b−a{\displaystyle b-a} называется длиной числового отрезка [a,b]{\displaystyle [a,b]}.

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой {[a,b]|a,b∈R∧a<b}{\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}.

Система сегментов обозначается {[an,bn]}n=1∞{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}. Подразумевается, что каждому натуральному числу n{\displaystyle n} поставлен в соответствие отрезок [an,bn]{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}.

Система сегментов {[an,bn]}n=1∞{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }} называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  ∀n∈N:[an+1,bn+1]⊆[an,bn]{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  limn→∞(bn−an)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

∀{[an,bn]}n=1∞ ∃!c∈R ∀n∈N:c∈[an,bn]{\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

См. также

Примечания

wiki.sc

Отрезок — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки A{\displaystyle \;A} и B{\displaystyle \;B}, обозначается символом AB{\displaystyle AB}. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают AB{\displaystyle AB} или |AB|{\displaystyle |AB|}.

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел {x}{\displaystyle \{x\}}, удовлетворяющих неравенству a≤x≤b{\displaystyle a\leq x\leq b}, где заранее заданные вещественные числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (a<b){\displaystyle (a<b)} называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа x{\displaystyle x}, удовлетворяющие неравенству a<x<b{\displaystyle a<x<b}, называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается [a,b]{\displaystyle [a,b]}:

[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число b−a{\displaystyle b-a} называется длиной числового отрезка [a,b]{\displaystyle [a,b]}.

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой {[a,b]|a,b∈R∧a<b}{\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}.

Система сегментов обозначается {[an,bn]}n=1∞{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}. Подразумевается, что каждому натуральному числу n{\displaystyle n} поставлен в соответствие отрезок [an,bn]{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}.

Система сегментов {[an,bn]}n=1∞{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }} называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  ∀n∈N:[an+1,bn+1]⊆[an,bn]{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  limn→∞(bn−an)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

∀{[an,bn]}n=1∞ ∃!c∈R ∀n∈N:c∈[an,bn]{\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

См. также

Примечания

wikipedia.green

Середина отрезка — Википедия

Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.

Средняя точка отрезка в n{\displaystyle n}-мерном пространстве, концами которого являются точки A=(a1,a2,…,an){\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})} и B=(b1,b2,…,bn){\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}, задаётся формулой:

A+B2{\displaystyle {\frac {A+B}{2}}}.

Таким образом, i{\displaystyle i}-я координата средней точки (i=1,2,…,n{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}) равна:

ai+bi2{\displaystyle {\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}}.

Если заданы две точки, нахождение середины образованного ими отрезка может быть осуществлено с помощью циркуля и линейки. Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.

С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка (AB){\displaystyle (AB)} строится точка C{\displaystyle C}, симметричная точке A{\displaystyle A} относительно точки B{\displaystyle B}; на втором шаге строится инверсия точки C{\displaystyle C} относительно окружности радиуса |AB|{\displaystyle |AB|} с центром в точке A{\displaystyle A}; полученная точка является серединой отрезка (AB){\displaystyle (AB)}^[1][2][3].

Можно также построить середину отрезка с помощью только линейки при условии, что на плоскости имеется окружность с отмеченным центром^[4].

Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности. Теорема о бабочке утверждает, что если M{\displaystyle M} является серединой хорды PQ{\displaystyle PQ} и через середину проходят две другие хорды AB{\displaystyle AB} и CD{\displaystyle CD}, то AD{\displaystyle AD} и BC{\displaystyle BC} пересекают хорду PQ{\displaystyle PQ} в точках X{\displaystyle X} и Y{\displaystyle Y} соответственно таким образом, что M{\displaystyle M} является серединой отрезка XY{\displaystyle XY}.

Центр эллипса является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.

Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.

Перпендикуляры к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности. Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центра описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса угла при вершине совпадают с прямой Эйлера и осью симметрии, и эта прямая проходит через середину основания.

Две бимедианы выпуклого четырёхугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, которая является серединой этих трёх отрезков^[5]. Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный в окружность четырёхугольник является ортодиагональным (то есть, имеющий перпендикулярные диагонали), то перпендикуляры к сторонам из точки пересечения диагоналей всегда проходят через середину противоположной стороны. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.

Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон. В правильном многоугольнике с чётным числом сторон середины диагоналей, соединяющих противоположные центры, являются центром многоугольника. Серединный многоугольник — многоугольник, вершины которого — середины рёбер исходного многоугольника. Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника P является другим вписанным многоугольником, вписанным в ту же окружность, и его вершины являются серединами дуг между вершинами P^[6]. Повторение операции создания многоугольника растянутых средних точек приводит к последовательности многоугольников, форма которых сходится к правильному многоугольнику^[6][7].

Середина отрезка является аффинным инвариантом, поэтому координатные формулы^[⇨] применимы к любой аффинной системе координат.

Середину отрезка невозможно определить в проективной геометрии: любая внутренняя точка отрезка может быть проективно отображена в любую другую точку внутри (того же или любого другого) проективного отрезка. Закрепление одной такой точки в качестве середины определяет аффинную структуру на проективной прямой, содержащей этот отрезок. Четвёртая точка гармонической четвёрки для такой «средней точки» и двух конечных точек является бесконечно удалённой точкой^[8].

Понятие середины отрезка можно ввести на геодезических в римановом многообразии, но в отличие от аффинного случая, середина отрезка может быть не единственной.

1. ↑ Костовский, 1984, с. 20.
2. ↑ Курант, Роббинс, 2001, с. 172—179.
3. ↑ Wolfram mathworld (неопр.) (недоступная ссылка) (29 September 2010). Дата обращения 20 июля 2015. Архивировано 25 ноября 2016 года.
4. ↑ Адлер, 1940, с. 67—72.
5. ↑ Altshiller-Court, 2007.
6. ↑ ^{1 2} Ding, Jiu, Zhang, 2003, с. 255—270.
7. ↑ Gomez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008.
8. ↑ Coxeter, 1949, с. 119.

• А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем. — М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — (Популярные лекции по математике).
• Август Адлер. Теория геометрических построений. — Ленинград: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР, Ленинградское отделение, 1940.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?. — 3-е. — МЦНМО, 2001. — ISBN 5–900916–45–6.
• Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markov chains and dynamic geometry of polygons // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Т. 367. — DOI:10.1016/S0024-3795(02)00634-1.
• Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18th Fall Workshop on Computational Geometry. — 2008.
• H. S. M. Coxeter. The Real Projective Plane. — New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
• Х. С. М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматлит, 1959.
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Mineola, New York: Dover Publ., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.

ru.wikipedia.org

Отрезок Википедия

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии[ | ]

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки A{\displaystyle \;A} и B{\displaystyle \;B}, обозначается символом AB{\displaystyle AB}. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают AB{\displaystyle AB} или |AB|{\displaystyle |AB|}.

Направленный отрезок[ | ]

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой прямой

ru-wiki.ru

Отрезок — Традиция

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»

Отрезок — множество точек на прямой, расположенных между двумя точками А и В, включая сами точки А и В. Иначе говоря, отрезок есть множество точек на прямой, координаты которых удовлетворяют условиям а≤х≤b (где а и b — координаты концов)^[1]

Отрезок в геометрии[править]

В геометрии отрезок прямой — это часть прямой, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок прямой, соединяющий две точки \(\;A\) и \(\;B\) (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом — \([A;\;B]\). Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок \(\;AB\)». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. При аксиоматическом обосновании элементарной геометрии отрезок прямой определяется как система двух точек A и B и доказывается, что между ними существует бесконечное число точек.

Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как \(\;|AB|\).

На вопрос о разрешимости построения отрезка с помощью циркуля и линейка отвечает следующая теорема:

Для того чтобы циркулем и линейкой можно было построить отрезок, длина которого является заданной положительной функцией длин данных отрезков, необходимо и достаточно, чтобы длину искомого отрезка можно было выразить через длины данных отрезков при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения арифметического квадратного корня.

Отрезок числовой прямой[править]

Отрезок числовой (координатной) прямой или числовой отрезок — множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству \(a\le x\le b\), где числа \(a\,\) и \(b\,\) \((a\) называются концами отрезка. Обычно обозначается \([a,b]=\{x\in\mathbb R|a\le x\le b\}\). Число \(b-a\,\) называется длиной числового отрезка.

Отрезок является замкнутым промежутком.

Направленный отрезок[править]

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки \(AB\) и \(BA\) представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, выше указанные направленные отрезки не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

При написании этой статьи использовались материалы страницы «Отрезок» Русской Википедии.

traditio.wiki

Отрезок — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки <math>\;A</math> и <math>\;B</math>, обозначается символом <math>AB</math>. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают <math>|AB|</math>.

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки <math>AB</math> и <math>BA</math> представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки <math>AB</math> и <math>BA</math> не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел <math>\{x\}</math>, удовлетворяющих неравенству <math>a \le x \le b</math>, где заранее заданные вещественные числа <math>a</math> и <math>b</math> <math>(a<b)</math> называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа <math>x</math>, удовлетворяющие неравенству <math>a<x<b</math>, называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается <math>[a, b]</math>:

<math>[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}</math>.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число <math>b-a</math> называется длиной числового отрезка <math>[a, b]</math>.

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой <math>\{[a, b] | a, b \in \R \land a < b\}</math>.

Система сегментов обозначается <math>\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}</math>. Подразумевается, что каждому натуральному числу <math>n</math> поставлен в соответствие отрезок <math>[a_n, b_n]</math>.

Система сегментов <math>\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}</math> называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  <math>\forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]</math>

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  <math>\lim_{n \to \infty} (b_n — a_n) = 0</math>

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

<math>\forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n]</math>

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

См. также

Напишите отзыв о статье «Отрезок»

Примечания

Отрывок, характеризующий Отрезок

– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п’отивники отказались от п’ими’ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т’и начинать сходиться.
– Г…’аз! Два! Т’и!… – сердито прокричал Денисов и отошел в сторону. Оба пошли по протоптанным дорожкам всё ближе и ближе, в тумане узнавая друг друга. Противники имели право, сходясь до барьера, стрелять, когда кто захочет. Долохов шел медленно, не поднимая пистолета, вглядываясь своими светлыми, блестящими, голубыми глазами в лицо своего противника. Рот его, как и всегда, имел на себе подобие улыбки.
– Так когда хочу – могу стрелять! – сказал Пьер, при слове три быстрыми шагами пошел вперед, сбиваясь с протоптанной дорожки и шагая по цельному снегу. Пьер держал пистолет, вытянув вперед правую руку, видимо боясь как бы из этого пистолета не убить самого себя. Левую руку он старательно отставлял назад, потому что ему хотелось поддержать ею правую руку, а он знал, что этого нельзя было. Пройдя шагов шесть и сбившись с дорожки в снег, Пьер оглянулся под ноги, опять быстро взглянул на Долохова, и потянув пальцем, как его учили, выстрелил. Никак не ожидая такого сильного звука, Пьер вздрогнул от своего выстрела, потом улыбнулся сам своему впечатлению и остановился. Дым, особенно густой от тумана, помешал ему видеть в первое мгновение; но другого выстрела, которого он ждал, не последовало. Только слышны были торопливые шаги Долохова, и из за дыма показалась его фигура. Одной рукой он держался за левый бок, другой сжимал опущенный пистолет. Лицо его было бледно. Ростов подбежал и что то сказал ему.

wiki-org.ru