Подумайте об этом: какая мощность на положительном числе «2» может дать , возможно, , дать отрицательное число ? Число никогда не может перейти от положительного к отрицательному, принимая полномочия; Я никогда не смогу превратить положительные два в отрицательные , любые , четыре или другие, умножая два на себя, независимо от того, сколько раз я делаю это умножение.Возведение в степень просто не работает. Итак, ответ здесь:

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvexpo.htm

Правила экспонент

5.1 Правила экспонент

Цели обучения

1. Упростите выражения, используя правила экспонент.
2. Упростите выражения, содержащие круглые скобки и показатели степени.
3. Упростите выражения, содержащие 0 в качестве показателя степени.

Правило произведения, коэффициента и степени для экспонент

Если коэффициент повторяется несколько раз, то произведение может быть записано в экспоненциальной форме Эквивалентное выражение, записанное с использованием рациональной экспоненты. xn. Положительное целое число экспонента n указывает, сколько раз в качестве множителя повторяется основание x .4 = 5 * 5 * 5 * 5.

Затем рассмотрим произведение 23 и 25,

Расширение выражения с использованием определения дает несколько множителей основания, что довольно громоздко, особенно когда n велико. По этой причине мы разработаем несколько полезных правил, которые помогут нам упростить выражения с показателями степени. В этом примере обратите внимание, что мы можем получить тот же результат, добавив экспоненты.

В общем, это описывает правило произведения для показателей xm⋅xn = xm + n; произведение двух выражений с одинаковым основанием можно упростить, добавив показатели степени.. Если m и n — положительные целые числа, то

Другими словами, при умножении двух выражений с одним и тем же основанием следует складывать экспоненты.

Пример 1: Упростить: 105⋅1018.

Решение:

Ответ: 1023

Обратите внимание, что в предыдущем примере мы не умножили основание в 10 раз.При применении правила продукта добавьте экспоненты и оставьте базу без изменений.

Пример 2: Упростить: x6⋅x12⋅x.

Решение: Напомним, что предполагается, что переменная x имеет показатель степени 1: x = x1.

Ответ: x19

Основанием может быть любое алгебраическое выражение.

Пример 3: Упростить: (x + y) 9 (x + y) 13.

Решение: Считать выражение (x + y) основанием.

Ответ: (x + y) 22

Коммутативное свойство умножения позволяет нам использовать правило произведения для показателей, чтобы упростить множители алгебраического выражения.

Пример 4: Упростить: 2x8y⋅3x4y7.

Решение: Умножьте коэффициенты и сложите экспоненты переменных факторов с одинаковым основанием.

Ответ: 6x12y8

Затем мы разработаем правило деления, сначала посмотрев на частное 27 и 23.

Здесь мы можем отменить факторы после применения определения показателей. Обратите внимание, что тот же результат может быть получен путем вычитания показателей степени.

Это описывает правило частного для показателей xmxn = xm − n; частное двух выражений с одинаковым основанием можно упростить, вычитая показатели степени.. Если m и n — натуральные числа и x ≠ 0, то

Другими словами, когда вы делите два выражения с одинаковым основанием, вычтите экспоненты.

Пример 5: Упростить: 12y154y7.

Решение: Разделите коэффициенты и вычтите экспоненты переменной y .

Ответ: 3y8

Пример 6: Упростить: 20×10 (x + 5) 610×9 (x + 5) 2.

Решение:

Ответ: 2x (x + 5) 4

Теперь возведем 23 в четвертую степень следующим образом:

Записав основание 23 как множитель четыре раза, разложите его, чтобы получить 12 множителей 2. Мы можем получить тот же результат, умножив показатели степени.

В общем, это описывает правило степени для показателей (xm) n = xmn; степень, возведенную в степень, можно упростить, умножив степень. . Учитывая положительные целые числа m и n , тогда

Другими словами, возведя степень в степень, умножьте степень.

Пример 7: Упростить: (y6) 7.

Решение:

Ответ: y42

Подводя итог, мы разработали три очень полезных правила экспонент, которые широко используются в алгебре.Если даны положительные целые числа m и n , то

Попробуй! Упростить: y5⋅ (y4) 6.

Ответ: y29

Правила мощности для продуктов и коэффициентов

Теперь мы рассматриваем возведение сгруппированных продуктов в степень. Например,

После расширения у нас есть четыре фактора продукта xy . Это эквивалентно возведению каждого из исходных множителей в четвертую степень. В общем, это описывает правило мощности для продукта (xy) n = xnyn; если продукт возведен в степень, то примените эту мощность к каждому коэффициенту в продукте.. Если n — целое положительное число, то

Пример 8: Упростить: (2ab) 7.

Решение: Мы должны применить показатель степени 7 ко всем факторам, включая коэффициент 2.

Если коэффициент возведен в относительно небольшую степень, то представьте эквивалент действительного числа, как мы сделали в этом примере: 27 = 128.

Ответ: 128a7b7

Во многих случаях процесс упрощения выражений, включающих экспоненты, требует использования нескольких правил экспонент.

Пример 9: Упростить: (3xy3) 4.

Решение:

Ответ: 81x4y12

Пример 10: Упростить: (4x2y5z) 3.

Решение:

Ответ: 64x6y15z3

Пример 11: Упростить: [5 (x + y) 3] 3.

Решение:

Ответ: 125 (x + y) 9

Затем рассмотрим частное в степени.

Здесь мы получаем четыре множителя частного, что эквивалентно числителю и знаменателю в четвертой степени. В общем, это описывает правило мощности для частного (xy) n = xnyn; если частное возводится в степень, то применить эту степень к числителю и знаменателю. Если n является положительным целым числом и y 0, то

Другими словами, если дана дробь в степени, мы можем применить этот показатель к числителю и знаменателю.Это правило требует, чтобы знаменатель был ненулевым. Мы сделаем это предположение до конца раздела.

Пример 12: Упростить: (3ab) 3.

Решение: Сначала примените правило мощности для частного, а затем правило мощности для продукта.

Ответ: 27a3b3

На практике мы часто объединяем эти два шага, применяя показатель степени ко всем множителям в числителе и знаменателе.

Пример 13: Упростить: (ab22c3) 5.

Решение: Примените показатель степени 5 ко всем множителям в числителе и знаменателе.

Ответ: a5b1032c15

Пример 14: Упростить: (5×5 (2x − 1) 43y7) 2.

Решение:

Ответ: 25×10 (2x − 1) 89y14

Перед использованием правил мощности рекомендуется заключить упрощение в скобки; это соответствует порядку операций.

Пример 15: Упростить: (−2x3y4zxy2) 4.

Решение:

Ответ: 16x8y8z4

Подводя итог, мы разработали два новых правила, которые полезны, когда символы группировки используются вместе с показателями степени. Если задано положительное целое число n , где y ненулевое число, то

Попробуй! Упростить: (4×2 (x − y) 33yz5) 3.

Ответ: 64×6 (x − y) 927y3z15

Ноль как экспонента

Используя правило частного для показателей степени, мы можем определить, что значит иметь 0 в качестве показателя степени. Рассмотрим следующий расчет:

Восемь, разделенная на 8, явно равна 1, и когда применяется правило частного для показателей степени, мы видим, что в результате получается показатель степени 0. Это приводит нас к определению нуля как показателя x0 = 1; любая ненулевая база, возведенная в степень 0, определяется как 1., где x ≠ 0:

Важно отметить, что 00 не определено. Если основание отрицательное, то результат все равно +1. Другими словами, любая ненулевая база, возведенная в степень 0, определяется как 1. В следующих примерах предполагается, что все переменные ненулевые.

Пример 16: Упростить:

а. (−5) 0

г. −50

Решение:

а.Любая ненулевая величина, возведенная в нулевую степень, равна 1.

г. В примере -50 основание 5, а не -5.

Ответы: а. 1; б. −1

Пример 17: Упростить: (5x3y0z2) 2.

Решение: Рекомендуется сначала упростить в круглых скобках.

Ответ: 25x6z4

Пример 18: Упростить: (−8a10b55c12d14) 0.

Решение:

Ответ: 1

Попробуй! Упростить: 5×0 и (5x) 0.

Ответ: 5×0 = 5 и (5x) 0 = 1

Ключевые выводы

• Правила экспонент позволяют упростить выражения, включающие экспоненты.
• При умножении двух величин с одинаковым основанием сложите экспоненты: xm⋅xn = xm + n.
• При делении двух величин с одинаковым основанием вычтите показатели: xmxn = xm − n.
• При возведении степеней в степени умножьте показатели: (xm) n = xm⋅n.
• Когда сгруппированная величина, включающая умножение и деление, возводится в степень, примените эту степень ко всем множителям в числителе и знаменателе: (xy) n = xnyn и (xy) n = xnyn.
• Любая ненулевая величина, возведенная в степень 0, определяется как равная 1: x0 = 1.

Тематические упражнения

Часть A: Правило произведения, коэффициента и степени для экспонентов

Запишите каждое выражение в экспоненциальной форме.

1. (2x) (2x) (2x) (2x) (2x)

2. (−3y) (- 3y) (- 3y)

3. −10⋅a⋅a⋅aaaa⋅a

4. 12⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y⋅y⋅y⋅y

5. −6⋅ (x − 1) (x − 1) (x − 1)

6.(9ab) (9ab) (9ab) (a2 − b) (a2 − b)

Упростить.

7. 27⋅25

8. 393

9. −24

10. (−2) 4

11. −33

12. (−3) 4

13. 1013⋅105⋅104

14. 108⋅107⋅10

15. 51252

16. 10710

17. 1012109

18.(73) 5

19. (48) 4

20. 106⋅ (105) 4

Упростить.

21. (−x) 6

22. a5⋅ (−a) 2

23. x3⋅x5⋅x

24. y5⋅y4⋅y2

25. (a5) 2⋅ (a3) ​​4⋅a

26. (x + 1) 4 (y5) 4⋅y2

27. (х + 1) 5 (х + 1) 8

28. (2a − b) 12 (2a − b) 9

29. (3x − 1) 5 (3x − 1) 2

30.(а-5) 37 (а-5) 13

31. xy2⋅x2y

32. 3x2y3⋅7xy5

33. −8a2b⋅2ab

34. −3ab2c3⋅9a4b5c6

35. 2a2b4c (−3abc)

36. 5a2 (b3) 3c3⋅ (−2) 2a3 (b2) 4

37. 2×2 (x + y) 5⋅3×5 (x + y) 4

38. −5xy6 (2x − 1) 6⋅x5y (2x − 1) 3

39. x2y⋅xy3⋅x5y5

40. −2x10y⋅3x2y12⋅5xy3

41.32x4y2z⋅3xy4z4

42. (−x2) 3 (x3) 2 (x4) 3

43. a10⋅ (a6) 3a3

44. 10×9 (x3) 52×5

45. a6b3a2b2

46. m10n7m3n4

47. 20x5y12z310x2y10z

48. −24a16b12c36a6b11c

49. 16 x4 (x + 2) 34x (x + 2)

50. 50y2 (x + y) 2010y (x + y) 17

Часть B: Правила мощности для продуктов и коэффициентов

Упростить.

51. (2x) 5

52. (−3y) 4

53. (−xy) 3

54. (5xy) 3

55. (−4abc) 2

56. (72x) 2

57. (−53y) 3

58. (3abc) 3

59. (−2xy3z) 4

60. (5у (2x − 1) x) 3

61. (3х2) 3

62. (−2×3) 2

63. (xy5) 7

64.(x2y10) 2

65. (3х2г) 3

66. (2x2y3z4) 5

67. (−7ab4c2) 2

68. [x5y4 (x + y) 4] 5

69. [2y (x + 1) 5] 3

70. (ab3) 3

71. (5a23b) 4

72. (−2x33y2) 2

73. (−x2y3) 3

74. (ab23c3d2) 4

75. (2x7y (x − 1) 3z5) 6

76. (2×4) 3⋅ (x5) 2

77.(x3y) 2⋅ (xy4) 3

78. (−2a2b3) 2⋅ (2a5b) 4

79. (−a2b) 3 (3ab4) 4

80. (2×3 (x + y) 4) 5⋅ (2×4 (x + y) 2) 3

81. (−3x5y4xy2) 3

82. (−3x5y4xy2) 2

83. (−25x10y155x5y10) 3

84. (10x3y55xy2) 2

85. (−24ab36bc) 5

86. (−2x3y16x2y) 2

87. (30ab33abc) 3

88.(3с3т22с2т) 3

89. (6xy5 (x + y) 63y2z (x + y) 2) 5

90. (−64a5b12c2 (2ab − 1) 1432a2b10c2 (2ab − 1) 7) 4

91. Вероятность подбросить честную монету и получить n орла подряд определяется формулой P = (12) n. Определите вероятность выпадения 5 голов подряд в процентах.

92. Вероятность прокатки одной честной шестигранной кости и получения n одинаковых граней вверх в ряду определяется формулой P = (16) n.Определите вероятность получения одной и той же лицевой стороной вверх два раза подряд в процентах.

93. Если каждая сторона квадрата имеет размер 2×3 единицы, то определите площадь с помощью переменной x .

94. Если каждое ребро куба имеет размер 5×2 единиц, то определите объем с помощью переменной x .

Часть C: Нулевые экспоненты

Упростить. ( Предположим, что переменные не равны нулю .)

95. 70

96. (−7) 0

97. −100

98. −30⋅ (−7) 0

99. 86753090

100. 52⋅30⋅23

101. −30⋅ (−2) 2⋅ (−3) 0

102. 5x0y2

103. (−3) 2x2y0z5

104. −32 (x3) 2y2 (z3) 0

105. 2x3y0z⋅3x0y3z5

106. −3ab2c0⋅3a2 (b3c2) 0

107.(−8xy2) 0

108. (2x2y3) 0

109. 9x0y43y3

Часть D. Темы дискуссионной доски

110. Рене Декарт (1637) установил использование экспоненциальной формы: a2, a3 и так далее. Как до этого обозначали экспоненты?

111. Обсудите достижения Аль-Кариси.

112. Почему 00 не определено?

113. Объясните начинающему студенту, почему 34⋅32 ≠ 96.

ответов

1: (2x) 5

3: −10a7

5: −6 (x − 1) 3

7: 212

9: −16

11: −27

13: 1022

15: 510

17: 103

19: 432

21: x6

23: x9

25: a23

27: (x + 1) 13

29: (3x − 1) 3

31: x3y3

33: −16a3b2

35: −6a3b5c2

37: 6×7 (x + y) 9

39: x8y9

41: 27x5y6z5

43: a25

45: a4b

47: 2x3y2z2

49: 4×3 (х + 2) 2

51: 32×5

53: −x3y3

55: 16a2b2c2

57: −12527y3

59: 16x4y481z4

61: 27×6

63: x7y35

65: 27x6y3

67: 49a2b8c4

69: 8y3 (x + 1) 15

71: 625a881b4

73: −x6y9

75: 64x42y6 (x − 1) 18z30

77: x9y14

79: −81a10b19

81: −27x12y6

83: −125x15y15

85: −1024a5b10c5

87: 1000b6c3

89: 32x5y15 (x + y) 20z5

91: 318%

93: A = 4×6

95: 1

97: -1

99: 1

101: −4

103: 9x2z5

105: 6x3y3z6

107: 1

109: 3 года

Ввод математических задач на этом сайте

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике. ..Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основМетрическая система, преобразование чисел, сложение чисел, вычисление с числами, вычисление с переменными Числа, деление чисел, умножение чисел, сравнение числовой строки, числовые строки, размещение значений чисел, произнесение чисел, округление чисел, вычитание частичных / параболических чисел, графическое построение чисел , Факторинг разности квадратов многочленов, факторинг триномов многочленов, разложение на множители с GCF Полиномы, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок

Калькулятор дробей

Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами. 1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичное в дробное: 0.625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

Калькулятор следует известным правилам порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.
GEMDAS — Группирующие символы — скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

Дроби в задачах:

следующие математические задачи »

Что такое экспонента?

Уроки по упрощению экспонент | Ресурсы Wyzant

Прежде чем мы углубимся в упрощение экспоненты, давайте потратим некоторое время, чтобы узнать, что именно такое экспонента. Показатель степени — это верхний индекс, или небольшое число, написанное в правом верхнем углу числа, переменной или набора круглых скобок. Пример одного показан ниже.

2 ³

Это говорит вам умножить 1 на число столько раз, сколько указано в экспоненте.В приведенном выше примере 2 в третьей степени (в третьей степени означает, что показатель степени равен 3). Это эквивалентно задаче умножения ниже, потому что 1 умножается на 2 три раз.

1 * 2 * 2 * 2
8

Как видите, 1 * 2 * 2 * 2 можно упростить до 8, что является ответом на проблему.

Экспоненты

Изучите следующую проблему:

-3 ⁶

Эта задача заменена на задачу умножения, описанную ниже.Из-за порядка операций (объяснено на следующем уроке) сначала упрощается показатель степени, а затем к ответу добавляется отрицательный знак.

1 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3
-729

Как видите, умножение упрощается до числа -729. Вы можете проделать работу для этого в уме, на полях. бумаги или с помощью калькулятора, если это возможно.

Экспоненты

Следующая проблема показана ниже:

(-3) ⁶

На этот раз -3 заключен в круглые скобки.Вместо того, чтобы переносить отрицательный знак, каждые 3 становятся отрицательными.

1 * -3 * -3 * -3 * -3 * -3 * -3
729

Как видите, умножение упрощается до 729. Обратите внимание, что помимо результат предыдущего примера отрицательный, результат вот то же самое. Обратите особое внимание на поиск экспонентов, когда они отрицательны. присутствуют знаки, так как это частый источник ошибок.

Особые случаи

Нулевой показатель

Каждая из этих проблем решается умножением единицы на число, количество раз, указываемое экспонентой. Если показатель равен 0, то 1 не умножить на число вообще. Следовательно, ответ — 1. Это важное правило, о котором следует помнить.

51 ⁰
1

Ноль с показателем степени:

В большинстве случаев ноль с показателем степени можно вычислить как любое другое число. и показатель степени.

0 ⁴
1 * 0 * 0 * 0 * 0
0

Обратите внимание, что до тех пор, пока 1 умножается хотя бы на один 0, конечный результат равен 0. Следовательно, мы можем заключить, что 0 для любого положительного показателя всегда равен нулю.

Другой особый случай — 0 ⁰ . Ноль с показателем ноль не определен и не может быть вычислен.

Будьте осторожны, не соблюдайте правила для нулевых показателей! От нуля до любой положительной силы всегда равен нулю, потому что сколько бы раз вы ни умножали 1 на ноль ответ всегда будет ноль.Но 0 ⁰ не определено.

1 показатель степени:

Рассмотрим этот пример, в котором число rasies возведено в первую степень.

51 ¹
1 * 51
51

Если вы попробуете любой аналогичный пример, например 10 ¹ или 100 ¹ , вы обнаружит, что результатом всегда будет исходное число или основание. Это потому что 1, умноженное на любое другое число, всегда равно второму числу.

Итак, чтобы упростить случай, когда число возводится в первую степень, мы можем просто удалите показатель степени.

Экспоненты

От десяти до любой степени

Этот совет поможет вам сэкономить много времени: десять в любой степени — это просто цифра 1. за которым следует количество нулей, обозначенных показателем степени. Пример показан ниже.

10 ⁵
100 000

Обратите внимание, что результатом является единица с пятью нулями, потому что показатель степени на 10 было 5.

Показатели чтения

В общем проблема типа

5 ¹⁰

читается как «пять в десятой степени».

Специальные случаи для чтения экспонент

У некоторых экспонентов есть особые способы произнесения. Это делает его Сказать немного проще, но совсем не обязательно, чтобы вы их использовали.

• Вторая степень: 3 ² — может читаться как «тройка во второй степени» или «тройка в квадрате».»
• Третья степень: 10 ³ — может читаться как «Десять в третьей степени» или «10 в кубе».

Показатели числа ресурсов

Итак, 6 выдающихся соотечественников, 6 людей, посвятивших свою жизнь науке, культуре и миру.

Иван Петрович Павлов (1849 – 1936)

Иван Павлов

Год 1904 Направление Физиология и медицина Обоснование «за работу по физиологии пищеварения» Иван Петрович – первый человек из России, которому была присуждена Нобелевская премия. Действительно выдающийся ученый, почетный член более 130 академий и научных сообществ. Казалось бы, имя Дмитрия Менделеева на устах и памяти у всех, но даже он не получил такой известности за рубежом, как Павлов – «первый физиолог мира», как в шутку (но абсолютно серьезно и заслуженно!) его окрестили коллеги.

Герберт Уэллс – известнейший фантаст прошлого столетия, сказал о нем такие слова: «Это звезда, которая освещает мир, проливая свет на еще не изведанные пути».
Павлов был не просто ученым, он был тем типом человека из науки, которых называют героями-мечтателями, романтиками и гражданами мира.

Суть научной работы Ивана Павлова, за которую он и получил столь престижную награду, заключается в формировании более ясного понимания жизненно важных аспектов пищеварения. Ему удалось впервые экспериментально доказать, что желудок и нервная система связаны напрямую. «Любое явление во внешнем мире может быть превращено во временный сигнал объекта, стимулирующий слюнные железы, – писал Павлов.

Более того

Вручал Павлову нобелевскую премию сам король Швеции и, дабы уважить прибывшего из России ученого, произнес на русском языке специально выученное приветствие: «Как Ваше здоровье, Иван Петрович?»

Илья Ильич Мечников (1845 – 1916)

Илья Мечников

Год 1908 Направление Физиология и медицина Обоснование «за труды по иммунитету» Мечников – человек, научная величина которого сопоставима с Солнцем, если думать в масштабах нашей системы. Основатель микробиологии в России, наставник и учитель отечественных биологов XIX века, и многих ученых века XX. Если в поисках исчерпывающей и авторитетной характеристики Мечникова мы обратимся к советской науке, то слова Льва Наумовича Карлика окажутся как нельзя кстати: «Мечников — крупнейший зоолог и один из основателей современной эмбриологии, один из первых великих русских дарвинистов, пионер блестящего применения сравнительно-биологического метода к изучению ряда актуальных вопросов патологии»

Кстати, сам Мечников врачом не был, но именно ему принадлежит первая теория иммунитета. Долгое время ученый работал в лаборатории в Париже, изучая работу лейкоцитов и механизм воспалений.

Именно за эти исследования ученый и был в 1908 году совместно с П. Эрлихом награжден Нобелевской премией за работы по иммонулогии. В мировой науке наконец занялись вопросом «Каким образом организму удается победить болезнетворных микробов, которые, атаковав его, смогли закрепиться и начали развиваться?»

Более того

Иван Алексеевич Бунин (1870 – 1953)

Иван Бунин

Год 1933 Направление Литература Обоснование «за строгий артистический талант, с которым он воссоздал в литературной прозе типичный русский характер» Детство Ивана – сына мелкого помещика – прошло в окружении крестьянских детей и природы. Это не могло не повлиять на творчество Бунина, пронизанное классической традицией. Пушкин, Тютчев, Фет – все они незримо присутствовали в работах молодого еще поэта, в первых его стихотворных сборниках, в 1898 году принесших Ивану Алексеевичу известность. Но было в ней и что-то, что в будущем определило весь его путь: остро воспринимаемая природа, чувственные образы, полные запахов, красок и музыки.

Сам он заявлял, что более всего его интересует «душа русского человека в глубоком смысле». И душа эта запуталась и заблудилась в окаянных днях Русской Революции. В стихотворениях Бунин называл Россию «блудницей», писал, обращаясь к народу: «Народ мой! На погибель вели тебя твои поводыри». Уже в 1920 году Бунин Россию покидает, и более туда не возвращается (хотя мечтал об этом до последней минуты) , становясь ярким представителем эмигрантского движения.

Много работая все эти годы, Бунин, поле неудачного выдвижения на Нобелевскую премию в 1923 году, получает ее в 1933. Значительную сумму из полученной премии Бунин роздал нуждающимся. Была даже создана комиссия по распределению средств.

Более того

Бунин говорил корреспонденту газеты «Сегодня» П. Нильскому: «…Как только я получил премию, мне пришлось раздать около 120000 франков. Да я вообще с деньгами не умею обращаться. Теперь это особенно трудно. Знаете ли вы, сколько писем я получил с просьбами о вспомоществовании? За самый короткий срок пришло до 2000 таких писем».

Борис Леонидович Пастернак (1890 – 1960)

Борис Пастернак

Год 1958 Направление Литература Обоснование «за значительные достижения в современной лирической поэзии, а также за продолжение традиций великого русского эпического романа» Путь Бориса Пастернака, сына художника-академиста, начинался скорее в движении к музыке и краскам, чем к литературе. Лишь в 1912-м, после путешествия по Италии, Борис определился с поприщем окончательно и, вернувшись домой, вошел в кружок молодых московских литераторов «Центрифуга».

С начала двадцатых Пастернак – один из ярчайших красных звезд советской поэзии. Его влияние осталось на строках Заболоцкого, Тихонова, Симонова. Любовь власти продолжалась до 36-ого года, когда в Борисе заговорила иная любовь – любовь к свободе. На Первом съезде Союза советских писателей в 1934 он скажет так: 

«При огромном тепле, которым окружает нас народ и государство, слишком велика опасность стать литературным сановником. Подальше от этой ласки во имя ее прямых источников, во имя большой и дельной любви к родине…»

К концу 1958 года книга была издана более чем на 18 языков мира. Пастернак абсолютно заслуженно получает Нобелевскую премию, но в на родине это было расценено лишь как акция политическая.

Более того

Роман «Доктор Живаго» признали антисоветским, а за награждением последовала травля поэта. Все это вынудило Пастернака отказаться от премии. Борис был исключен из Союза писателей. Диплом и медаль были вручены его сыну в 1989 году.

Лев Давидович Ландау (1908 – 1968)

Лев Ландау

Год 1962 Направление Физика Обоснование «за пионерские теории конденсированных сред и особенно жидкого гелия» «Талант Ландау так ярок, техника так отточена, что, казалось бы, он мог сделать еще больше, решить еще более трудные проблемы. Как-то, к слову пришлось, и я сказал это Льву Давидовичу, но он, словно и раньше думал об этом, очень четко ответил: «Нет, это неверно, я сделал что мог»», – так про Льва Давидовича, талантливейшего физика СССР, говорил академик В.Л. Гинзбург.

Не назвать Ландау гением своего времени невозможно. К девятнадцати годам Лев успел опубликовать четыре научные работы, одна из которых до сих пор имеет огромное значение в математике.

Темп работы Ландау не угасал никогда. Не осталось, пожалуй, такой области теоретической физики, к которой бы не приложил он свои усилия. Особо следует отметить новую феноменологическую теорию сверхпроводимости. В 1956 — 1958 годах Лев Давидович создал общую теорию так называемой Ферми-жидкости (квантовой жидкости, состоящих из определенных частиц, которые при низких температурах приобретают новые свойства).

7 января 1962 года, в роковой для Ландау год, – физик попадает в тяжелую аварию, когда его легковая машина сталкивается с грузовиком. В течение 6 месяцев ученый был без сознания, а осенью в больницу Академии наук приходит извещение о вручении Ландау Нобелевской премии.

К сожалению, вернуться к работе после произошедшего инцидента, Лев Давидович уже не смог.

Более того

Ландау, как и многие одаренные люди, не всегда хорошо вписывался в рамки и учебную программу. Товарищи его по Ленинградскому университету разводили руками, очень желая помочь. Один раз произошел следующий случай: они сообща отправились к декану

– Что делать? Есть у нас такой гениальный юноша, но сдать третью лабораторную никак не может.

– Пусть он тогда вместо этого сдаст два математических курса за математический факультет, – решил, усмехаясь, декан.

Не прошло и двух недель, как оба курса были сданы. 

Андрей Дмитриевич Сахаров (1921 – 1989)

Андрей Сахаров

Год 1975 Направление Премия мира Обоснование «за бесстрашную поддержку фундаментальных принципов мира между людьми и мужественную борьбу со злоупотреблением властью и любыми формами подавления человеческого достоинства» Андрей Сахаров – человек с удивительной судьбой. Над его могилой академик Д.С. Лихачев сказал:  «Он был настоящий пророк. Пророк в древнем, исконном смысле этого слова, то есть человек, призывающий своих современников к нравственному обновлению ради будущего. И, как всякий пророк, он не был понят и был изгнан из своего народа»

Тот, кто знаком с его биографией поверхностно, может обвинить Сахарова в изобретении самого разрушительного оружия – водородной бомбы. Однако, работая над столь опасным объектом, Андрей Дмитриевич лучше других в Союзе понимал ту огромную опасность, которую несло его детище, и высшими ценностями считал свободу и человеческую жизнь.

Лауреат Сталинской премии, Герой Социалистического труда (трижды!), академик…его взгляды с течением времени все более и более не совпадали с официальной идеологией, шли в разрез с тем, что говорила ему совесть. Он инициировал многие обращения за освобождение правозащитников, и, наконец, написал «Меморандум о демократизации и интеллектуальной свободе».

Этот меморандум стоит ему всех постов.

9 октября 1975 года Сахарову была присуждена Нобелевская премия мира с беспрецедентным описание заслуг. Но ученого даже не выпустили из страны. В Стокгольм отправилась его вторая жена – Елена Бонэр, которая зачитала речь супруга, в которой академик призывал к «истинной разрядке и подлинному разоружению», а также к «освобождению всех узников совести повсеместно».

Более того

Апофеозом правозащитной деятельности Сахарова стал 1979 год, когда академик выступил против ввода советских войск в Афганистан. Этот акт свободы слова уже стоил Сахарову звания Героя Социалистического труда. Сахаров был отправлен в ссылку в город Горький, где семь лет прожил под домашним арестом, лишенный возможностью заниматься наукой и своей правозащитной деятельностью.

rosuchebnik.ru

Нобелевские лауреаты из России — это… Что такое Нобелевские лауреаты из России?

Основной список Нобелевских лауреатов из России составлен по материалам официальных документов Нобелевского комитета. В список включены лауреаты, которые, исходя из материалов Нобелевского комитета, имели на момент вручения премии подданство Российской империи, гражданство СССР, Российской Федерации. В дополнительные списки включены лауреаты, которые на момент вручения премии не имели гражданства СССР или России, но родились на территории, в тот момент принадлежавшей России или СССР, а также лауреаты, имевшие на момент вручения премии подданство Российской империи, гражданство СССР, Российской Федерации, но, исходя из материалов Нобелевского комитета, имели иную государственную или национальную принадлежность.

По различным причинам некоторые из включённых в списки нобелевских лауреатов могут также рассматриваться как представители других держав.

С момента основания и до 2010 года Нобелевскую премию вручали 543 раза. По состоянию на 2010 год персональные премии были вручены 817 лауреатам^[1], 21 гражданин России и СССР получили 16 нобелевских премий — значительно меньше, чем представители США (326), Великобритании (115), Германии (102) или Франции (57).

Лауреаты — граждане России и СССР

Лауреаты, рождённые в России и СССР

В данном разделе приведены лауреаты Нобелевской премии, которые были рождены на территории Российской империи, СССР, но на момент вручения премии не имели российского или советского гражданства, и, соответственно по данным Нобелевского комитета, не попали в список лауреатов из России.

№	Год	Направление	Лауреат	Обоснование	Гражданство[5]	Комментарии
1	1903	Физика	Мария Склодовская-Кюри	«за выдающиеся заслуги в совместных исследованиях явлений радиации».	Франция	Родилась в Варшаве (Российская империя)
2	1905	Литература	Генрик Сенкевич	«за выдающиеся заслуги в области эпоса»	Россия[6]	Родился в Подляшье (Царство Польское), подданный Российской империи на момент получения премии
3	1909	Химия	Вильгельм Оствальд	«в знак признания проделанной им работы по катализу, а также за исследования основных принципов управления химическим равновесием и скоростями реакции».	Германия	Родился в Риге, (Лифляндская губерния, Российская империя)
4	1911	Химия	Мария Склодовская-Кюри	«за выдающиеся заслуги в развитии химии: открытие элементов радия и полония, выделение радия и изучение природы и соединений этого замечательного элемента»	Франция	Родилась в Варшаве (Российская империя)
5	1924	Литература	Владислав Реймонт	«за выдающийся национальный эпос — роман „Мужики“»	Польша	Родился в Кобелех-Вельких (Петроковская губерния, Российская империя)
6	1933	Литература	Иван Алексеевич Бунин	«за строгое мастерство, с которым он развивает традиции русской классической прозы»	Не имел гражданства.	Родился в России, c 1920 года жил во Франции, не имел гражданства.
7	1950	Химия	Тадеуш Рейхштейн	«за открытия, касающиеся гормонов коры надпочечников, их структуры и биологических эффектов».	Швейцария	Родился в Влоцлавке (Российская империя), в детстве жил в Киеве, гражданство Швейцарии
8	1952	Физиология и медицина	Зельман Ваксман	«за открытие стрептомицина, первого антибиотика, эффективного при лечении туберкулёза».	США	Родился в Прилуках (Российская империя), вырос в Одессе, гражданство США
9	1971	Экономика	Саймон Кузнец	«за эмпирически обоснованное толкование экономического роста»	США	Родился в Пинске (Российская империя), учился и работал на Украине, гражданство США
10	1973	Экономика	Василий Леонтьев	«за развитие метода „затраты-выпуск“»	США	Родился в Санкт-Петербурге (по другим данным, в Мюнхене), по рождению подданный Российской империи
11	1977	Химия	Илья Пригожин	«за работы по термодинамике необратимых процессов, особенно за теорию диссипативных структур».	Бельгия	Родился в Москве, имел бельгийское гражданство, жил и работал в США
12	1978	Литература	Исаак Башевис Зингер	«за эмоциональное искусство повествования, которое, уходя своими корнями в польско-еврейские культурные традиции, поднимает вечные вопросы»	США	Родился в Варшаве (Российская империя)
13	1978	Премия мира	Менахем Бегин	«за подготовку и заключение основополагающих соглашений между Израилем и Египтом»	Израиль	Родился в Брест-Литовске (Российская империя)
14	1980	Литература	Чеслав Милош	«с бесстрашным ясновидением показал незащищенность человека в мире, раздираемом конфликтами»	Польша	родился в Вильне (Российская империя)
15	1987	Литература	Иосиф Александрович Бродский	«за всеобъемлющее творчество, пропитанное ясностью мысли и страстностью поэзии»	США	Родился и вырос в СССР. С 1972 года (и на момент получения премии) жил в США
16	1995	Премия мира	Джозеф Ротблат	«за большие достижения, направленные на снижение роли ядерного оружия в мировой политике, и за многолетние усилия по запрещению этого вида оружия»	Великобритания	Родился в Варшаве (Российская империя), гражданство Великобритании
17	2007	Экономика	Леонид Гурвич	«за создание основ теории оптимальных механизмов»	США	Родился в Москве, жил и работал в Западной Европе, США
18	2010	Физика	Андрей Константинович Гейм	«за новаторские эксперименты по исследованию двумерного материала графена»	Нидерланды[7]	Родился в Сочи, закончил МФТИ, с 1990 года живёт и работает в Западной Европе[8]

Изображения лауреатов на почтовых марках

Примечания

́́́́́́

Ссылки

dic.academic.ru

Лауреаты Нобелевских премий — выходцы из СССР и России

1962 год ‑ Лев Ландау, премия за основополагающие теории конденсированной материи, в особенности жидкого гелия.

1964 год ‑ Николай Басов и Александр Прохоров, премия за фундаментальные работы в области квантовой электроники, приведшие к созданию генераторов и усилителей на основе принципа мазера‑лазера.

1978 год ‑ Петр Капица, премия за фундаментальные изобретения и открытия в области физики низких температур.

2000 год ‑ Жорес Алферов, премия за работы по получению полупроводниковых структур, которые могут быть использованы для сверхбыстрых компьютеров.

2003 год ‑ Алексей Абрикосов и Виталий Гинзбург, премия за пионерский вклад в теорию сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей.

2010 год ‑ Константин Новоселов и Андрей Гейм (выходцы из России, работающие в Великобритании) «за новаторские эксперименты по исследованию двумерного материала графена».

Нобелевские лауреаты по химии:

1956 год ‑ Николай Семенов, премия за исследования в области механизма химических реакций.

1977 год ‑ Илья Пригожин (бельгийский и американский ученый, выходец из России) премия за исследования в области неравновесной термодинамики, в частности, теории диссипативных структур.

Нобелевские лауреаты по физиологии и медицине:

1904 год ‑ Иван Павлов, премия за работу по физиологии пищеварения, благодаря которой было сформировано более ясное понимание жизненно важных аспектов этого вопроса.

1908 год — Илья Мечников, премия за труды по иммунитету.

Нобелевские лауреаты по экономике:

1971 год ‑ Саймон Кузнец (американский экономист, выходец из России) премия «за эмпирически обоснованное толкование экономического роста, которое привело к новому, более глубокому пониманию как экономической и социальной структуры, так и процесса развития».

1973 год ‑ Василий Леонтьев (американский экономист российского происхождения), премия «за развитие метода «затраты — выпуск» и его применение к экономическим проблемам».

1975 год ‑ Леонид Канторович, премия за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов.

Нобелевские лауреаты по литературе:

1933 год ‑ Иван Бунин, премия за художественное мастерство, благодаря которому он продолжил традиции русской классики в лирической прозе.

1958 год ‑ Борис Пастернак, премия за выдающиеся достижения в современной лирической поэзии и на традиционном поприще великой русской прозы. От премии отказался.

ria.ru

Лауреаты | noblit.ru

noblit.ru

Список лауреатов Нобелевских премий из России и СССР

megabook.ru

Презентация к уроку по литературе (11 класс) по теме: Русские лауреаты Нобелевской премии по литературе.

Слайд 1

Слайд 2

Нобелевская премия Но́белевская пре́мия (швед. Nobelpriset , англ. Nobel Prize ) — одна из наиболее престижных международных премий, ежегодно присуждаемая за выдающиеся научные исследования, революционные изобретения или крупный вклад в культуру или развитие общества. История Нобелевской премии начинается с завещания Альфреда Нобеля. Фонд премии первоначально составила сумма в 31 миллион крон. В настоящее время размер Нобелевской премии составляет 10 млн шведских крон (около 1,05 млн евро или 1,5 млн $). Нобелевские премии присуждаются ежегодно (с 1901) за выдающиеся работы в области физики, химии, физиологии или медицины, литературы, экономики (с 1969), за деятельность по укреплению мира. Медаль лауреата Нобелевской премии П. Л. Капицы. 1978 год

Слайд 3

Альфред Нобель (1833-1896) Альфред Нобель родился 21 октября 1833 года в Стокгольме, Швеции, в семье инженеров . Он был химиком, инженером и изобретателем. За свою жизнь Нобель накопил внушительное состояние. Большую часть дохода он получил от своих 355 изобретений, среди которых самое известное — динамит. В 1888 году Альфреда Нобеля «погребли заживо». В России умер брат Нобеля — Людвиг, и по ошибке репортеров в газеты поместили объявление о смерти самого Альфреда Нобеля, а не его брата. Прочитав во французской газете собственный некролог под названием «Торговец смертью мёртв», Нобель задумался над тем, как его будет помнить человечество. После этого он решил изменить своё завещание, согласно которому большая часть его состояния должна пойти на создание фонда и учреждение премии для поощрения первооткрывателей в области физики, химии, физиологии или медицины , литературы и тех, кто больше всего сделал в пользу мира за предшествующий год, вне зависимости от национальности. Альфред Нобель

Слайд 4

Русская история нобелевской премии по литературе Первое попадание русских писателей в число номинантов Нобелевской премии по литературе относится к 1902 году — тогда на награду был выдвинут Лев Толстой . Награда, однако, ему не досталась. Лев Толстой будет присутствовать в номинациях ежегодно до 1906 года, и единственной причиной, по которой автор «Войны и мира» не стал первым русским лауреатом Нобелевской премии, стал его собственный решительный отказ от награды, а также просьба её не присуждать. Выбор лауреатов в области литературы часто противоречив. Решения комитета, присуждающего Нобелевскую премию по литературе, вызывают больше всего нареканий. Премия не была присуждена таким гениям мировой литературы, как вышеупомянутый Л.Н. Толстой, Дж.Джойс, В.В. Набоков, Х.Л.Борхес. В то же время среди лауреатов премии Т.Манна, У.Фолкнер, Г.Гарсия Маркес и др. Русским писателям присуждали премию 5 раз (И.А. Бунин, Б.Л. Пастернак, М.А. Шолохов, А.И. Солженицын, И.А. Бродский).

Слайд 5

русский лауреат нобелевской премии по литературе — борис пастернак (1890-1960) Выдвигаемый ежегодно в течение 1946 по 1958 и удостоенный этой высокой награды в 1958 году, Борис Пастернак был вынужден от нее отказаться. Практически став вторым русским писателем, получившим Нобелевскую премию по литературе, литератор был затравлен на родине, получив в результате нервных потрясений рак желудка, от которого он и умер. Справедливость восторжествовала лишь в 1989 году, когда за него почетную награду получил его сын Евгений Пастернак «за значительные достижения в современной лирической поэзии, а также за продолжение традиций великого русского эпического романа».

Слайд 6

Первый русский лауреат нобелевской премии по литературе — Иван Бунин ( 1870-1953) В 1933 Шведская Академия представила Бунина к награде «за строгое мастерство, с которым он развивает традиции русской классической прозы». Среди номинантов в этом году были также Мережковский и Горький. Бунин получил Нобелевскую премию по литературе во многом благодаря вышедшим в свет к тому времени 4-м книгам о жизни Арсеньева. В ходе церемонии представитель Академии, вручавший премию выразил восхищение умением Бунина «необычайно выразительно и точно описывать реальную жизнь». В своей ответной речи лауреат поблагодарил Шведскую академию за смелость и честь, которую она оказала писателю-эмигранту .

Слайд 7

русский лауреат нобелевской премии по литературе — михаил шолохов (1905-1984 ) Михаил Александрович Шолохов Нобелевскую премию по литературе получил в 1965 году за свой роман «Тихий Дон» и вошёл в историю как единственный советский писатель, получивший эту премию с согласия советского руководства . Премия вручена «за художественную силу и цельность эпоса о донском казачестве в переломное для России время». В своей речи во время церемонии награждения Шолохов сказал, что его целью было «превознести нацию тружеников, строителей и героев «.

Слайд 8

русский лауреат нобелевской премии по литературе — Александр солженицын (1918-2008) Лауреат Нобелевской премии по литературе 1970 года. Удостоен премии «за нравственную силу, почерпнутую в традиции великой русской литературы». Советское правительство сочло решение Нобелевского комитета «политически враждебным», и Солженицын, боясь, что после своей поездки он не сможет вернуться на родину, награду принял, однако на церемонии награждения не присутствовал.

Слайд 9

русский лауреат нобелевской премии по литературе — Иосиф бродский (1940-1996) В 1987, в возрасте сорока семи лет, Иосиф Броский награждается Нобелевской премией по литературе «за всеобъемлющее творчество, пропитанное ясностью мысли и страстностью поэзии ». (Бродский — один из самых молодых лауреатов Нобелевской премии за все годы ее присуждения по этой номинации ). В России поэт пожизненного признания так и не получил. Работал в эмиграции в США, большинство его произведений были написаны на безупречном английском. В своей речи нобелевского лауреата Бродский говорил о самом дорогом для него – языке, книгах и поэзии…

Слайд 10

послесловие 24 мая исполняется 111 лет со дня рождения писателя Михаила Шолохова и 76 лет со дня рождения поэта Иосифа Бродского. Список русских лауреатов Нобелевской премии по литературе не пополнялся последние 29 лет. Россия ждет…..

Слайд 11

Источники https://ru.wikipedia.org/wiki/ Нобелевская премия http://to-name.ru/historical-events/nobelevskaja-premia.htm http:// www.aif.ru/culture/book/1355760 http://booksight.ru/russkie-laureaty-nobelevskoj-premii-po-literature http://www.kulturologia.ru/blogs/101213/19473 / http:// www.peoples.ru/art/literature/story/sholohov/sholohov_170_s.jpg http:// ria.ru/spravka/20100524/237878426.html#ixzz48e5u5OCk http:// books.vremya.ru/uploads/authors/soljen.gif http://www.liveinternet.ru/users/ahni-ka/post362676974 /

nsportal.ru

Нобелевская премия по литературе (Nobelpriset i litteratur), Швеция

Размер премии: 8 миллионов крон (примерно 200 тысяч долларов)

Цель: согласно завещанию Альфреда Нобеля, премия по литературе вручается автору, создавшему наиболее значительное литературное произведение идеалистической направленности.

Приз: медаль, диплом и денежное вознаграждение, которое незначительно меняется год от года (примерно 1 миллион долларов на всех лауреатов Нобелевской премии).

Самая престижная литературная премия мира, которую ежегодно вручает Нобелевский фонд за достижения в области литературы. Лауреатами Нобелевской премии по литературе, как правило, становятся писатели с мировым именем, признанные у себя на родине и за ее пределами.

Номинировать на премию по литературе могут члены Шведской академии, других академий, институтов и обществ со схожими задачами и целями, профессоры литературы и лингвистики высших учебных заведений, лауреаты Нобелевской премии в области литературы, председатели авторских союзов, представляющих литературное творчество в разных странах. После того, как все заявки поданы, Нобелевский комитет проводит отбор кандидатов и представляет их Шведской академии, ответственной за определение лауреата.

Как правило, Шведская академия, которой, по завещанию Альфреда Нобеля, поручено присуждение премии, предпочитает оценивать не отдельное произведение, а все творчество писателя-номинанта. Лишь несколько раз были отмечены конкретные произведения, в числе которых «;Сага о Форсайтах» Джона Голсуорси и «;Тихий Дон» Михаила Шолохова.

Первая Нобелевская премия по литературе была вручена 10 декабря 1901 года — в день смерти Альфреда Нобеля. С тех пор дата поведения церемонии награждения не меняется.

Имена претендентов на Нобелевскую премию по литературе держатся в секрете во время премиального сезона и в течение последующих 50 лет.

Лауреаты разных лет. Светлана Алексиевич, Элис Манро, Марио Варгас Льоса, Дорис Лессинг, Орхан Памук, Джон Максвелл Кутзее, Гюнтер Грасс, Иосиф Бродский, Александр Солженицын, Михаил Шолохов, Борис Пастернак, Габриэль Гарсиа Маркес, Сол Беллоу, Пабло Неруда, Джон Стейнбек, Иван Бунин, Кадзуо Исигуро, Мо Янь, Ольга Токарчук.

eksmo.ru

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

1) y’+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R

Уравнения в частных производных 2-го порядка:

1) ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y’,y»,…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0  — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y»,…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

• задачи Коши;
• задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
• краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f»(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn  могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Решением дифференциального уравнения — Решение

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так

или

.

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение есть уравнение первого порядка,

а уравнение — уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение .

Функция является решением этого уравнения.

Действительно,

и уравнение обращается в тождество:
.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции

и вообще функции
, где и — произвольные постоянные.
В самом деле

и уравнение обращается в тождество
.

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: .

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид .

Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию .

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения y ^I = f(x,y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x_o ) = y_o, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x,y) — правая часть дифференциального уравнения y ^I = f(x,y) — непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f ^I_y (x,y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример

Рассмотрим уравнение
.

Общим решением этого уравнения является семейство функций
.

Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: .
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение
,
получим
.
Решая это уравнение относительно C получим C = — 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X² — 3.

Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

Интегральные кривые

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.
Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

или

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

6.01. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения

Определение 1. Уравнение, содержащее хотя бы одну из производных у’, у», у»’,… неизвестной функции у = у(х), называется дифференциальным уравнением для этой функции. Сама функция У и её аргумент Х Могут входить, а могут и не входить в дифференциальное уравнение. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется Порядком этого уравнения.

Таким образом,

F(х; у; у’) = 0 (1.1)

— общий вид дифференциального уравнения первого порядка;

F(х; у; у’; у») = 0 (1.2)

— общий вид дифференциального уравнения второго порядка, и т. д.

В соответствии со сказанным выше в уравнении первого порядка (1.1) обязательно наличие лишь У’, а наличие Х и У Не обязательно. В уравнении второго порядка (1.2) обязательно наличие лишь У», а наличие остальных его элементов Х, у и У’ не обязательно.

Определение 2. Решением (частным решением) дифференциального уравнения на некотором промежутке [A; B] оси ох называется функция, удовлетворяющая для всех х є [A;B] дифференциальному уравнению, то есть обращающая его в тождество (верное числовое равенство 0=0). Графики частных решений У = F(х) дифференциального уравнения называется его интегральными кривыми.

Например, функция У = х² является частным решением дифференциального уравнения первого порядка У’-2х = 0 для всех Х От — ∞ до + ∞. А интегральной кривой, соответствующей данному частному решению, является парабола с уравнением У = х².

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение (любого порядка) – это значит найти все его частные решения, то есть найти все функции у = F(х), удовлетворяющие этому уравнению. Формула, содержащая все (или почти все) частные решения дифференциального уравнения, называется его общим решением. Частные решения, не содержащиеся в общем решении, называются особыми решениями Дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение У’-2х = 0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению У’ = 2х. Следовательно, все функции У, удовлетворяющие этому уравнению, являются первообразными для функции 2х (см. §1, глава 5). Но множество всех первообразных для данной функции – это неопределенный интеграл от неё. Поэтому все частные решения дифференциального уравнения У’-2х = 0 найдутся по формуле:

Формула У = х² + С представляет собой общее решение дифференциального уравнения У’-2х = 0. Эта формула содержит в себе множество функций (ибо С – неопределенная константа), и все эти функции — частные решения дифференциального уравнения У’-2х = 0. Особых решений у этого дифференциального уравнения нет. Интегральными кривыми данного дифференциального уравнения являются параболы У = х² + С (их бесконечно много). Все частные решения, входящие в общее решение У = х² + С, являются ими для всех Х От — ∞ до + ∞.

А теперь сделаем следующее важное замечание. Функция У = F(х), являющаяся частным решением данного дифференциального уравнения, может быть им лишь для тех Х, для которых определена и она, и все её производные, входящие в дифференциальное уравнение. Вносит свои ограничения и сама структура дифференциального уравнения (что-то в нем может находиться под корнем, что-то под логарифмом и т. д.). А так как у разных функций, вообще говоря, разные области определения (особенно с учетом областей определения их производных), то разные частные решения У = F(х) дифференциального уравнения удовлетворяют этому уравнению, вообще говоря, на разных числовых множествах оси Ох.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка Уу’ = х.

Решение. Проведем следующие тождественные преобразования:

Множество функций содержит в себе все частные решения дифференциального уравнения Уу’ = х. Таким образом, формула является общим решением этого уравнения. Особых решений у него нет.

А теперь проанализируем полученное общее решение уравнения У у’ = х.

А) Если С>0, то и функции , и их производные

Определены для любых Следовательно, при С>0 эти функции являются решениями дифференциального уравнения при любых Х.

Б) Если С=0, то получаем две функции , которые определены для любых Но вот производные у них существует для любых Х, кроме точки Х=0, что наглядно демонстрируют графики этих функции (см. рис.

6.1(а) и 6.1 (б)).

Действительно, согласно геометрического смысла производной (глава 4, формула 1.11) производная функции связана касательной к графику функции. А такой касательной к графикам функций при Х=0, очевидно, не существует. Поэтому функции является решениями дифференциального уравнения для всех Х, кроме Х=0.

В) Если С<0, то –С=>0, и тогда получаем функции , которые определены лишь при Х и при Х, причем их производные определены строго при Х>А и при Х<-А. Поэтому функции являются решениями дифференциального уравнения лишь на интервалах Х>А и Х<-А. При изменении величины А меняются и эти интервалы.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнения первого порядка .

Решение. Очевидно, что функция У=0 является решениям (частным решением) данного дифференциального уравнения. Поищем возможные другие решения этого уравнения, когда . Для этого проведем следующие тождественные преобразования данного уравнения:

|разделим переменные Х и У||проинтегрируем обе части| |

Функции (их бесчисленное множество), как и функция У=0, представляют собой частные решения дифференциального уравнения У’= ху² (убедитесь в этом, найдя У‘ и подставив У и У’ в это уравнение). У каждой из этих функций своя область определения, зависящая от величины константы С. В формуле содержатся все частные решения дифференциального уравнения У’= ху², кроме решения У = 0 (оно не получается по этой формуле ни при каком значении С). Таким образом, формула представляет собой общее решение дифференциального уравнения У’= ху². А У = 0 – особое решение этого уравнения. Заметим, что и интегральная кривая, соответствующая этому особому решению У=0 (ось Ох) кардинально отличается от кривых .

В примерах (1) – (3) мы решили три различных дифференциальных уравнения первого порядка, и у каждого из них оказалось бесчисленное множество частных решений. Произошло это потому, что в процессе решения каждого из них мы применяли операцию интегрирования (операцию вычисления неопределенных интегралов). Интегрирование привело к появлению неопределенной константы интегрирования С, которая затем вошла в выражение для искомой функции У: у = у(х;С). Таким образом, мы получили множество частных решений дифференциального уравнения. Это множество включало в себя или все частные решения дифференциального уравнения (в примерах 1 и 2), или почти все (в примере 3). Поэтому это множество У = у(х;С) частных решений дифференциального уравнения представляло собой общее решение этого уравнения.

По такой схеме (интегрированием) находят общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0. Действительно, чтобы решить такое уравнение, то есть чтобы найти те функции У = F(х), Которые ему удовлетворяют, нужно «вытащить» функцию У из-под знака её производной. А это как раз и делается с помощью процедуры интегрирования – процедуры, обратной дифференцированию.

Итак, Схема получения общего решения любого дифференциального уравнения первого порядка такова:

|интегрируем уравнение| (1.3)

Отметим, что далеко не всегда удается получить общее решение дифференциального уравнения в явном виде, то есть в виде , когда У выражен через Х И С. Зачастую общее решение получается в неявном виде , из которого выразить У через Х и С Не удается. Тогда его в таком неявном виде и оставляют.

Общее решение дифференцированного уравнения, в каком бы виде (явном, неявном) оно ни было получено, называют ещё Общим интегралом дифференцированного уравнения.

Не факт, что в найденное общее решение (в общий интеграл) дифференцированного уравнения войдут все его частные решения (подтверждением этого служит пример 3). Те частные решения , ,… дифференциального уравнения, которые не войдут в его общее решение, будут его особыми решениями. Их тоже нужно найти (не потерять). В противном случае дифференциальное уравнение окажется решенным неполноценно.

В заключении данного параграфа укажем, в таких задачах естествознания следует ожидать появления дифференциальных уравнений.

Так как решениями дифференциальных уравнений являются функции, а каждая функция в принципе описывает процесс изменения одной переменной при изменении другой переменной , То дифференциальные уравнения, по идее, должны широко встречаться в задачах по исследованию различного рода процессов ( физических, химических, биологических, технологических, экономических, общественных, и т. д.). В следующих параграфах мы приведём примеры, подтверждающее это предположение.

Упражнения

1. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: — общее решение.

2. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: — общее решение.

3. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: — общее решение; У=1 – особое решение.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — это… Что такое ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ?

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения — семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Напр., для уравнения dу=2xdx общим решением является y=x2+C, где С — произвольная постоянная.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

• ОБЩЕЕ ПРАВО
• ОБЩЕЕ ЯЗЫКОЗНАНИЕ

Смотреть что такое «ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ» в других словарях:

• Общее решение — дифференциального уравнения функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где конкретные числа, то функция… …   Википедия

• общее решение — решение в общем виде — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы решение в общем виде EN general solution …   Справочник технического переводчика

• Общее решение —         обыкновенного дифференциального уравнения          у (n) = f (х, у, у ,…, у (n 1)) семейство функций у= φ(x, C1,…, Сп),          непрерывно зависящих от n произвольных постоянных C1,. .., Cn, такое, что при соответствующем выборе этих… …   Большая советская энциклопедия

• общее решение — дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Например, для уравнения dy = 2xdx общим решением… …   Энциклопедический словарь

• общее решение — bendrasis sprendinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. general solution vok. allgemeine Lösung, f rus. общее решение, n pranc. solution générale, f …   Fizikos terminų žodynas

• ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — системы обыкновенных дифференциальных уравнений п гопорядка в области G гладкое по t и непрерывное по совокупности параметров n параметрическое семейство вектор функций откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое… …   Математическая энциклопедия

• ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соотв. выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение ур ния. Напр., для ур ния dy = 2xdx О. р. является у = х2 + С, где С… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где конкретные числа, то функция вида …   Википедия

• принимавший общее решение — прил., кол во синонимов: 2 • приходивший к взаимному соглашению (4) • уряжавший (9) Словарь синонимов ASIS …   Словарь синонимов

• принявший общее решение — прил., кол во синонимов: 2 • пришедший к соглашению (21) • урядивший (14) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

Урок 26.

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Таблица первообразных.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Решение

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at²/2

х’(t) = v(t) .

Найдем все первообразные функции 4t+4

х(t)= 4t+2t² +c.

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

х=2t²+4t+10

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t²+4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Решение:

 Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

0=(1)²/2 +с

С=-1/2

Ответ с = -0,5

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Решение

Найдем все первообразные функции 4х+5

Найдем число С , такое, у(-2)=10

Подставим х = – 2, y = 10 , получим:

10=(-2)² +5(-2)+с

С=12

Следовательно, у=5х +2х² +12 ,

Ответ: у=5х +2х² +С, где С= 12

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y»)=0, F(x,y,y’,y»,.., y⁽ⁿ⁾)=0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3² + 4²= C²; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x² +y² = 5².

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y)  удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y)  при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y)  которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1  в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x)  и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Пример 1

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy’ = 1- 3x², если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т. е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

 Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2  и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид:  y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является  y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

 Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

y’ = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение:   u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ +  f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0  если y =1  при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, . y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r², y’  через r, yчерез 1:r² + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p² -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

в) D < 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет комплексные корни, Общее решение дифференциального уравнения выражается, в виде 

Примеры.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение

D>0,

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

Решение

<0,

Общее решение

— частное решение.

IV. Практическая работа

Вариант 1

1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(1;2) и имеющей угловой коэффициент .

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)

б)

в)

г)

Вариант 2

1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;1) и имеющей угловой коэффициент

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)

б)

в)

г)

V. Ответы

eUniver — Авторизация

При рассмотрении обращений обучающихся, сотрудников и предподавателей Университета, лицо ответственное за рассмотрение обращения и подготовку ответа руководствуется положенями Закона Республики Казахстан от 12 января 2007 года № 221-III «О порядке рассмотрения обращений физических и юридических лиц». При возникновении вопроса обучающемуся необходимо соблюсти следующий порядок обращения с заявлением: обучающийся обращается к куратору (эдвайзеру), заведующему кафедрой, заместителям декана по воспитательной работе и учебно-методической работе, декану факультета, проректору курирующему данный вопрос. В случае если по вопросу не было принято решение, то обращение обучающегося рассматривается первым руководителем университета. При возникновении вопроса сотруднику университета необходимо соблюсти следующий порядок обращения с заявлением: сотрудник обращается к непосредственному руководителю, проректору, курирующему данный вопрос и в случае если по вопросу не принято решение, обращение рассматривается первым руководителем университета. Преподавателю университета необходимо соблюсти следующий порядок обращения с заявлением, при возникновении вопроса: преподаватель обращается заведующему кафедрой, декану факультета, проректору, курирующему данный вопрос и в случае если решение по вопросу не было принято обращение преподавателя рассматривается первым руководителем университета.

Университет білім алушыларының, қызметкерлері мен оқытушыларының өтініштерін қарау кезінде өтінішті қарауға және жауап дайындауға жауапты тұлға «Жеке және заңды тұлғалардың өтініштерін қарау тәртібі туралы «Қазақстан Республикасының 2007 жылғы 12 қаңтардағы № 221-III Заңының ережелерін басшылыққа алады. Бұл ретте білім алушы өтінішпен жүгінудің келесі тәртібін сақтауы қажет. Проблемалық сұрақ туындаған жағдайда білім алушы кураторға (эдвайзерге) кафедра меңгерушісіне, тәрбие жұмысы немесе оқу-әдістемелік жұмыс жөніндегі деканның орынбасарына, факультет декана, жетекшілік ететін проректора жүгінеді. Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды. Университет қызметкері өтініш берудің келесі тәртібін сақтауы қажет. Проблемалық мәселе туындаған жағдайда қызметкер тікелей бөлім басшысына, мәселеге жетекшілік ететін проректорға жүгінеді. Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды. Университет оқытушысы өтініш берудің келесі тәртібін сақтауы керек. Проблемалық сұрақ туындаған жағдайда оқытушы кафедра меңгерушісіне, факультет деканына, мәселеге жетекшілік ететін проректорға жүгінеді. Мәселені жоғарыда көрсетілген тұлғалардың шешу мүмкіншілігі болмаған жағдайда ғана өтінішті университеттің бірінші басшысы қарайды.

Дифференциальные уравнения — основные понятия

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Основные понятия

В этой главе мы будем рассматривать исключительно линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Наиболее общее линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид.

На самом деле, мы редко будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами. В случае, когда мы предполагаем постоянные коэффициенты, мы будем использовать следующее дифференциальное уравнение.

Там, где это возможно, мы будем использовать \ (\ eqref {eq: eq1} \) только для того, чтобы указать, что определенные факты, теоремы, свойства и / или методы могут использоваться с непостоянной формой. Однако большую часть времени мы будем использовать \ (\ eqref {eq: eq2} \), поскольку решить дифференциальные уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами может быть довольно сложно.

Сначала мы упростим себе жизнь, рассмотрев дифференциальные уравнения с \ (g (t) = 0 \). Когда \ (g (t) = 0 \) мы называем дифференциальное уравнение однородным , а когда \ (g \ left (t \ right) \ ne 0 \), мы называем дифференциальное уравнение неоднородным .

Итак, давайте начнем думать о том, как решить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом.Вот общий постоянный коэффициент, однородное, линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Пожалуй, лучше всего начать с примера. Этот пример приведет нас к очень важному факту, который с этого момента мы будем использовать в каждой задаче. Этот пример также подскажет, как их решать в целом.

Мы можем получить здесь некоторые решения, просто осмотрев.{- 3t}} \]

будет решением дифференциального уравнения.

Этот пример приводит нас к очень важному факту, который мы будем использовать практически в каждой задаче в этой главе.

Принцип суперпозиции

Если \ ({y_1} \ left (t \ right) \) и \ ({y_2} \ left (t \ right) \) являются двумя решениями линейного однородного дифференциального уравнения, то

Обратите внимание, что мы не включали сюда ограничение постоянного коэффициента или второго порядка.Это будет работать для любого линейного однородного дифференциального уравнения.

Если мы дополнительно примем второй порядок и еще одно условие (которое мы дадим через секунду), мы можем пойти еще дальше.

Если \ ({y_1} \ left (t \ right) \) и \ ({y_2} \ left (t \ right) \) — два решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, и они «достаточно хороши» тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка дается выражением \ (\ eqref {eq: eq3} \).

Итак, что мы подразумеваем под «достаточно хорошим»? Мы отложим это до следующего раздела. Надеюсь, сейчас вы поверите, когда мы скажем, что определенные функции «достаточно хороши».

Итак, если мы теперь сделаем предположение, что имеем дело с линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, теперь мы знаем, что \ (\ eqref {eq: eq3} \) будет его общим решением. Следующий вопрос, который мы можем задать, — как найти константы \ (c_ {1} \) и \ (c_ {2} \).Поскольку у нас есть две константы, есть смысл, будем надеяться, что нам понадобятся два уравнения или условия, чтобы их найти.

Один из способов сделать это — указать значение решения в двух разных точках, или

Обычно они называются граничными значениями и не являются основной темой данного курса, поэтому мы не будем с ними работать. Мы дадим краткое введение в граничные значения в следующей главе, если вам интересно узнать, как они работают, и некоторые проблемы, возникающие при работе с граничными значениями.

Другой способ найти константы — указать значение решения и его производную в определенной точке. Или

Это два условия, которые мы здесь будем использовать. Как и в случае с дифференциальными уравнениями первого порядка, они будут называться начальными условиями. {r \, t}} \ label {eq: eq5} \ end {уравнение} \]

Чтобы убедиться, что мы правы, все, что нам нужно сделать, это вставить это в дифференциальное уравнение и посмотреть, что произойдет.2} + br + c = 0 \ label {eq: eq6} \ end {формула} \]

Это уравнение обычно называется характеристическим уравнением для \ (\ eqref {eq: eq4} \).

Итак, как мы можем использовать это, чтобы найти решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Сначала запишите характеристическое уравнение \ (\ eqref {eq: eq6} \) для дифференциального уравнения \ (\ eqref {eq: eq4} \). Это будет квадратное уравнение, поэтому мы должны ожидать два корня, \ (r_ {1} \) и \ (r_ {2} \).{{r _ {\, 2}} \, t}} \ label {eq: eq7} \ end {уравнение} \]

Давайте взглянем на небольшой пример.

Это то же дифференциальное уравнение, которое мы рассматривали в первом примере. Однако на этот раз давайте не будем просто гадать. Давайте пройдемся по описанному выше процессу, чтобы увидеть, что функции, которые мы предполагаем выше, совпадают с функциями, которые дает нам процесс.{- 3t}} \]

Они совпадают с первыми предположениями, которые мы сделали в первом примере.

Вы заметите, что мы не упомянули, действительно ли два решения, перечисленные в \ (\ eqref {eq: eq7} \), «достаточно хороши», чтобы сформировать общее решение для \ (\ eqref {eq: eq4 } \). Это было сделано намеренно. У нас есть три случая, которые нам нужно рассмотреть, и в каждом из этих случаев они будут рассматриваться по-разному.

Итак, каковы случаи? Как мы ранее отметили, характеристическое уравнение является квадратичным и поэтому будет иметь два корня: \ (r_ {1} \) и \ (r_ {2} \).У корней будет три возможных формы. Это

1. Действительные различные корни, \ ({r_1} \ ne {r_2} \).
2. Комплексный корень, \ ({r_ {1,2}} = \ lambda \ pm \ mu \, i \).
3. Двойные корни, \ ({r_1} = {r_2} = r \).

В следующих трех разделах каждый из них будет рассмотрен более подробно, включая предоставление форм для решения, которое будет «достаточно хорошим», чтобы получить общее решение.

17.2: Неоднородные линейные уравнения — математика LibreTexts

В этом разделе мы исследуем, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

Общее решение неоднородного линейного уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \ nonumber \]

Соответствующее однородное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = 0 \ nonumber \]

называется дополнительным уравнением .Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

Определение: частное решение

Решение \ (y_p (x) \) дифференциального уравнения, не содержащее произвольных постоянных, называется частным решением этого уравнения.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Пусть \ (y_p (x) \) будет любым частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\]

Кроме того, пусть \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения равно

\ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \]

Проба

Чтобы доказать, что \ (y (x) \) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно решает дифференциальное уравнение, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в этой форме. Подставляя \ (y (x) \) в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align} a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ′ \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) \ nonumber \\ = [a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ′ + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2)] \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p \ nonumber \\ = 0 + r (x) \\ = r (x).\ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Итак, \ (y (x) \) — решение.

Пусть теперь \ (z (x) \) будет любым решением \ (a_2 (x) y » + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \) Тогда

\ [\ begin {align *} a_2 (x) (z − y_p) ″ + a_1 (x) (z − y_p) ′ + a_0 (x) (z − y_p) = (a_2 (x) z ″ + a_1 (x) z ′ + a_0 (x) z) \ nonumber \\ \; \; \; \ ;−( a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p) \ nonumber \\ = r (x) −r (x) \ nonumber \\ = 0, \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

, поэтому \ (z (x) −y_p (x) \) является решением дополнительного уравнения. Но \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы \ (c_1 \) и \ (c_2 \) такие, что

\ [z (x) −y_p (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x).\ nonumber \]

Отсюда видим, что

\ [z (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): проверка общего решения

Учитывая, что \ (y_p (x) = x \) является частным решением дифференциального уравнения \ (y ″ + y = x, \), запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению.

Решение

Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0, \) имеет общее решение \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x.\) Итак, общее решение неоднородного уравнения

\ [у (х) = с_1 \ соз х + с_2 \ грех х + х. \ nonumber \]

Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас

\ [y ′ (x) = — c_1 \ sin x + c_2 \ cos x + 1 \ nonumber \]

и

\ [y ″ (x) = — c_1 \ cos x − c_2 \ sin x. \ nonumber \]

Затем

\ [\ begin {align *} y ″ (x) + y (x) = −c_1 \ cos x − c_2 \ sin x + c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + x \ nonumber \\ = x. \ nonumber \ end {align *} \]

Итак, \ (y (x) \) является решением \ (y ″ + y = x \).{4x} −2 \]

В предыдущем разделе мы узнали, как решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, для неоднородных уравнений вида \ (ay ″ + by ′ + cy = r (x) \) мы уже знаем, как решить дополнительное уравнение, и проблема сводится к нахождению частного решения для неоднородного уравнения. Теперь рассмотрим два метода для этого: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

Неопределенные коэффициенты

Метод неопределенных коэффициентов включает в себя обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы \ (r (x) \).Когда мы берем производные от полиномов, экспоненциальных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, экспоненциальные функции, синусы и косинусы. Поэтому, когда \ (r (x) \) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же самую форму. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): неопределенные коэффициенты, когда \ (r (x) \) является многочленом

Найдите общее решение задачи \ (y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \).{−3x} \). Поскольку \ (r (x) = 3x \), конкретное решение может иметь вид \ (y_p (x) = Ax + B \). Если это так, то мы имеем \ (y_p ′ (x) = A \) и \ (y_p ″ (x) = 0 \). Чтобы \ (y_p \) было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения для \ (A \) и \ (B \), что

\ [\ begin {align} y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \ nonumber \\ 0 + 4 (A) +3 (Ax + B) = 3x \ nonumber \\ 3Ax + (4A + 3B) = 3x. \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем

\ [\ begin {align *} 3A = 3 \\ 4A + 3B = 0. αx sin βx,” in the second column.»> Таблица \ (\ PageIndex {1} \): ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов \ (r (x) \) Первоначальное предположение для \ (y_p (x) \) \ (k \) (постоянная) \ (A \) (постоянная) \ (ах + b \) \ (Ax + B \) ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если \ (b = 0 \).{−2x} \).

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
2. Основываясь на форме \ (r (x) \), сделайте начальное предположение для \ (y_p (x) \).
3. Проверьте, является ли какой-либо член в предположении для \ (y_p (x) \) решением дополнительного уравнения. Если это так, умножьте предположение на \ (x. \). Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в \ (y_p (x) \) не останется членов, решающих дополнительное уравнение.
4. Подставьте \ (y_p (x) \) в дифференциальное уравнение и приравняйте аналогичные члены, чтобы найти значения для неизвестных коэффициентов в \ (y_p (x) \).
5. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): решение неоднородных уравнений

Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.{−3x} \) (шаг 1). Основываясь на форме \ (r (x) = — 6 \ cos 3x, \), наше первоначальное предположение для конкретного решения будет \ (y_p (x) = A \ cos 3x + B \ sin 3x \) (шаг 2) . Ни один из членов в \ (y_p (x) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).
Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть

\ [y_p ′ (x) = — 3A \ sin 3x + 3B \ cos 3x \ text {and} y_p ″ (x) = — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x, \]

\ [\ begin {align *} y ″ −9y = −6 \ cos 3x \\ — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x − 9 (A \ cos 3x + B \ sin 3x) = −6 \ cos 3x \\ −18A \ cos 3x − 18B \ sin 3x = −6 \ cos 3x.2 + Bt \) (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни один из членов в \ (y_p (t) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (снова шаг 3). Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому мы подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть \ (y_p ′ (t) = 2At + B \) и \ (y_p ″ (t) = 2A \), поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что

\ [\ begin {align *} y ″ −3y ′ = −12t \\ 2A − 3 (2At + B) = −12t \\ −6At + (2A − 3B) = −12t. \ end {align *} \]

\ [\ begin {align *} — 6A = −12 \\ 2A − 3B = 0.{2t} −5 \ cos 2t + \ sin 2t \)

Изменение параметров

Иногда \ (r (x) \) не является комбинацией многочленов, экспонент или синусов и косинусов. В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и мы должны использовать другой подход, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения. Мы используем подход под названием метод вариации параметров .

Чтобы немного упростить наши вычисления, мы собираемся разделить дифференциальное уравнение на \ (a, \), чтобы у нас был старший коэффициент, равный 1.Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

\ [y ″ + py ′ + qy = r (x), \]

где \ (p \) и \ (q \) — константы.

Если общее решение дополнительного уравнения дается выражением \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \), мы будем искать частное решение вида

\ [y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x). \]

В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения, чтобы сформировать наше частное решение. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями от \ (x \), а не константами.Мы хотим найти функции \ (u (x) \) и \ (v (x) \) такие, что \ (y_p (x) \) удовлетворяет дифференциальному уравнению. У нас

\ [\ begin {align *} y_p = uy_1 + vy_2 \\ y_p ′ = u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′ \\ y_p ″ = (u′y_1 + v′y_2) ′ + u ′ y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″. \ end {align *} \]

Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align *} y_p ″ + py_p ′ + qy_p = [(u′y_1 + v′y_2) ′ + u′y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″] \\ \; \ ; \; \; + p [u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′] + q [uy_1 + vy_2] \\ = u [y_1 ″ + p_y1 ′ + qy_1] + v [y_2 ″ + py_2 ′ + qy_2] \\ \; \; \; \; + (u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′).\ end {align *} \]

Обратите внимание, что \ (y_1 \) и \ (y_2 \) являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

\ [(u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′) = r (x). \]

Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие \ (u′y_1 + v′y_2 = 0 \), первые два члена равны нулю, и это сведется к \ (u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r ( Икс)\). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\ [\ begin {align *} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x).\ end {align *} \]

Решение этой системы дает нам \ (u ′ \) и \ (v ′ \), которые мы можем проинтегрировать, чтобы найти \ (u \) и \ (v \).

Тогда \ (y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x) \) является частным решением дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с использованием определителей. 2 x \ cos x ( \ text {step 2}).т \ лн | т | \)

Общие и частные решения

Пример 1: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Во-первых, нам нужно найти общее решение.Для этого нам нужно проинтегрировать обе стороны, чтобы найти y:

Это дает нам общее решение. Чтобы найти конкретное решение, нам нужно применить начальные условия, заданные для us (y = 4, x = 0) и решаем относительно C:

После того, как мы решаем C, у нас есть конкретное решение.

Пример 2: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Во-первых, нам нужно интегрировать обе стороны, что дает нам общее решение:

Теперь мы применяем начальные условия (x = 1, y = 4) и решаем для C, которое мы используем для создания нашего конкретного решения:

Пример 3: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциала уравнение, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Сначала мы находим общее решение, интегрируя обе части:

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем применить начальные условия и найти конкретное решение:

Скорость и ускорение

Здесь мы будем применять конкретные решения для нахождения функций скорости и положения от ускорения объекта.

Пример 4: Поиск функции положения

Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть функция ускорения, начальная скорость 10, и начальное положение 5, и ищем функция положения. Мы знаем, что интеграл ускорения равен скорость, поэтому начнем с этого:

Теперь у нас есть общее решение для скорости функция.Чтобы получить конкретное решение, нам нужна начальная скорость. Поскольку это начальная скорость, это скорость в момент времени t = 0; поэтому наше начальное условие v = 10, t = 0:

Теперь, когда у нас есть конкретное решение скорости, мы можем интегрировать его, чтобы найти положение:

Теперь мы можем применить наши начальные условия к этому общее решение, чтобы получить частное решение, которое является позицией функция, которую мы хотим.Как и раньше, x ₀ — это начальное положение
, что означает, что время t = 0 и x = 5:

Это функция положения частицы.

Пример 5: Поиск функции положения

Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть уравнение ускорения, начальное скорость 7 и начальное положение 0.Первый шаг — найти частное решение скорости частицы:

Теперь мы можем использовать функцию скорости, чтобы найти функция положения. Помните, нам нужно будет найти конкретный решение функции положения, а не только общее решение:

Пример 6: Применение дифференциального уравнения

Здесь мы будем использовать реальный пример, чтобы применить то, что мы только что узнали.

Мяч бросается вниз с начальным скорость 20 футов / с от вершины здания высотой 300 футов.Игнорирование воздушного трения, dow долго ли мяч достигает земли, и с какой скоростью это ударило?

Чтобы решить эту проблему, нам нужно поставить это в терминах, которые мы можем понять. Единицы даны в футах и футов в секунду; ускорение свободного падения в этих устройствах составляет -32 фут / с ² .

Мы знаем, что мяч был брошен вниз с начальной скоростью (t = 0) 20 футов / с; так как он идет вниз, скорость будет отрицательной (v ₀ = -10).

Наконец, здание достигает 300 футов в высоту, и мяч брошен сверху. Поскольку мяч начинается с места вверх от уровня земли, начальное положение будет положительным 300 (x ₀ = 300). Давайте представим все это в уравнении, аналогичном предыдущим примерам:

Теперь мы куда-то идем! Вопрос задает о мяч, когда он падает на землю. Чтобы понять информация о том, когда он падает на землю, нам нужно знать, во сколько он хиты.Уравнение, которое связывает положение со временем, — это положение функция, которую мы уже знаем, как получить из предыдущих примеров:

Теперь, когда у нас есть функция позиции, мы можем начните решать за время, которое требуется, чтобы мяч коснулся земли, а скорость, с которой он ударяется. Каждое из этих уравнений должно знать время; например, если мы подставим 2 вместо t в функцию скорости, это даст нам скорость в t = 2 или 2 секунды после броска мяча.Нам нужно знать, в какое время мяч падает на землю; для этого нам нужно установить позицию функция, равная 0, и решите относительно t. Мяч стартовал в 300 футах от земли, и мы использовали 300 в качестве нашего исходное положение. Если мы установим нашу позицию равной 0, это скажет нам когда мяч ударяется о землю:

Мы получаем два значения t: -5 и 3,75. Мы можем отбросить -5, так как у нас не может быть отрицательного ценность времени. Следовательно, время, необходимое мячу для достижения земля 3.75 секунд. Чтобы найти скорость, когда мяч попадает в на земле, мы просто подставляем 3,75 для t в наше уравнение скорости и решаем:

Скорость мяча при ударе о землю составляет -140 фут / с

Пример 7: Применение дифференциального уравнения

Тормоза автомобиля срабатывают, когда он движется по 60 км / ч, обеспечивающий постоянное замедление 12 м / с ² . Как далеко машина проезжает до остановки и сколько времени это занимает?

Хорошо, давайте разберемся с этим.Мы знаем, что ускорение составляет -12 м / с ² . Начальная скорость 60 км / ч; это нужно будет преобразовать в м / с (у нас не может быть проблем с разными единицами):

Начальная скорость автомобиля составляет 16,7 м / с. Мы также можем назвать начальное положение x = 0, так как именно тогда машина начинает замедляться. Собираем все вместе:

Мы знаем, что нам понадобится функция позиции в какой-то момент, так как нам нужно выяснить, как далеко проехала машина, прежде чем подходит к остановке, так что давайте продолжим и уберем это с дороги:

Теперь нам нужно выяснить, в какое время машина останавливается.Мы не знаем, где будет стоять машина. этот момент, но мы знаем, что скорость будет равна 0. Чтобы узнать когда скорость равна 0, нам нужно установить скорость равной 0 и решить:

Автомобиль останавливается через 1,4 секунды после нанесения. тормоза. Как далеко он проходит до остановки? Нам нужно подключить t = 1,4 к функции положения, чтобы узнать:

Автомобиль проходит 11,6 метра до остановки

Дифференциальные уравнения второго порядка

Во многих ситуациях моделирования реальной жизни дифференциальное уравнение для переменной интерес будет зависеть не только от первой производной, но и от более высоких.Естественно, что тогда на экзаменах по математике и продвинутой математике возникают дифференциальные уравнения более высокого порядка. Для чего-либо, кроме второй производной, вопрос почти наверняка проведет вас через некоторые конкретные уловка очень специфична для рассматриваемой проблемы. Однако для дифференциальных уравнений второго порядка вам нужно знать, как их решать в целом. К счастью, применяемая техника проста, и эта статья проведет вас через все, что вам нужно знать, а также на полезном примере!

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка

\ (\ hspace {3 in } a \ frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} + b \ frac {dy} {dt} + cy = 0. {n-1} +… + Z \) \ (\ cos \ alpha t \) или \ (\ sin \ alpha t \) \ (P \ cos \ alpha t + Q \ sin \ alpha t \)
Чтобы найти константы, представленные в \ (y_p \) выше, нам просто нужно дважды дифференцировать и подставить в его дифференциальное уравнение. Наконец, вооружившись \ (y_c \) и \ (y_p \), у нас есть общее решение для \ (y \), и мы можем использовать начальные условия, чтобы найти константы в \ (y_c \), если нам потребуется.

Пример

Сводка

Основы дифференциальных уравнений — Исчисление Том 2

Цели обучения

• Определите порядок дифференциального уравнения.
• Объясните, что подразумевается под решением дифференциального уравнения.
• Различайте общее решение и частное решение дифференциального уравнения.
• Определите проблему с начальным значением.
• Определите, является ли данная функция решением дифференциального уравнения или задачей с начальным значением.

Исчисление — это математика изменений, а скорость изменения выражается производными. Таким образом, одним из наиболее распространенных способов использования исчисления является составление уравнения, содержащего неизвестную функцию и ее производную, известного как дифференциальное уравнение .Решение таких уравнений часто дает информацию о том, как меняются количества, и часто дает представление о том, как и почему происходят изменения.

Методы решения дифференциальных уравнений могут принимать различные формы, включая прямое решение, использование графиков или компьютерные вычисления. Мы представляем основные идеи в этой главе и более подробно опишем их позже в курсе. В этом разделе мы изучаем, что такое дифференциальные уравнения, как проверять их решения, некоторые методы, которые используются для их решения, а также некоторые примеры общих и полезных уравнений.

Проблемы с начальным значением

Обычно данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное количество решений, поэтому естественно спросить, какое из них мы хотим использовать. Чтобы выбрать одно решение, необходима дополнительная информация. Некоторая конкретная информация, которая может быть полезна, — это начальное значение, которое представляет собой упорядоченную пару, которая используется для поиска конкретного решения.

Дифференциальное уравнение вместе с одним или несколькими начальными значениями называется задачей начальных значений. Общее правило состоит в том, что количество начальных значений, необходимых для задачи с начальными значениями, равно порядку дифференциального уравнения.Например, если у нас есть дифференциальное уравнение, то это начальное значение, а в совокупности эти уравнения образуют задачу с начальным значением. Дифференциальное уравнение второго порядка, поэтому нам нужны два начальных значения. В задачах с начальным значением порядка больше единицы одно и то же значение следует использовать для независимой переменной. Примером начальных значений для этого уравнения второго порядка может быть и Эти два начальных значения вместе с дифференциальным уравнением образуют задачу с начальным значением.Эти проблемы названы так потому, что часто независимой переменной в неизвестной функции является время. Таким образом, значение представляет собой начало проблемы.

Проверка решения проблемы начального значения

Убедитесь, что функция является решением задачи начального значения

Убедитесь, что это решение проблемы начального значения

Подсказка

Сначала убедитесь, что решает дифференциальное уравнение. Затем проверьте начальное значение.

В (рисунок) задача начальной стоимости состояла из двух частей. Первая часть представляла собой дифференциальное уравнение, а вторая часть — начальное значение. Эти два уравнения вместе образуют задачу с начальным значением.

То же и в целом. Задача начальной стоимости будет состоять из двух частей: дифференциального уравнения и начального условия. Дифференциальное уравнение имеет семейство решений, и начальное условие определяет значение. Семейство решений дифференциального уравнения на (рисунке) задается следующим образом: Это семейство решений показано на (рисунке), с помеченным конкретным решением.

Решение задачи начального значения

Решите следующую задачу с начальным значением:

Анализ

Разница между общим решением и частным решением состоит в том, что общее решение включает в себя семейство функций, определенных явно или неявно, от независимой переменной. Начальное значение или значения определяют, какое конкретное решение в семействе решений удовлетворяет желаемым условиям.

В физических и инженерных приложениях мы часто рассматриваем силы, действующие на объект, и используем эту информацию, чтобы понять результирующее движение, которое может произойти. Например, если мы начнем с объекта на поверхности Земли, первичной силой, действующей на этот объект, будет гравитация. Физики и инженеры могут использовать эту информацию вместе со вторым законом движения Ньютона (в форме уравнения, где представляет силу, представляет массу и представляет ускорение), чтобы вывести уравнение, которое можно решить.

При падении бейсбольного мяча в воздухе единственной силой, действующей на него, является сила тяжести (без учета сопротивления воздуха).

В (рисунок) мы предполагаем, что единственная сила, действующая на бейсбольный мяч, — это сила тяжести. Это предположение игнорирует сопротивление воздуха. (Сила, создаваемая сопротивлением воздуха, рассматривается в более позднем обсуждении.) Ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет приблизительно. Мы вводим систему отсчета, в которой поверхность Земли находится на высоте 0 метров. Позвольте представить скорость объекта в метрах в секунду.Если мяч поднимается, и если мяч падает ((Рисунок)).

Возможные скорости восходящего / падающего бейсбольного мяча.

Наша цель — найти скорость в любое время. Для этого мы создаем задачу с начальным значением. Предположим, масса мяча измеряется в килограммах. Мы используем второй закон Ньютона, который гласит, что сила, действующая на объект, равна его массе, умноженной на его ускорение. Ускорение является производной скорости, поэтому сила, действующая на бейсбольный мяч, определяется как. Однако эта сила должна быть равна сила тяжести, действующая на объект, которая (опять же, используя второй закон Ньютона) определяется выражением, поскольку эта сила действует в нисходящем направлении.Следовательно, мы получаем уравнение, которое становится равным. Если разделить обе части уравнения на, получим уравнение

Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение остается неизменным независимо от массы объекта.

Теперь нам нужно начальное значение. Поскольку мы решаем для скорости, в контексте задачи имеет смысл предположить, что мы знаем начальную скорость или скорость в момент времени. Это обозначено как

Предположим, что камень падает с высоты в несколько метров, и единственная сила, действующая на него, — это сила тяжести.Найдите уравнение для скорости как функции времени, измеряемой в метрах в секунду.

Подсказка

Какая начальная скорость камня? Используйте это с дифференциальным уравнением на (Рисунок), чтобы сформировать задачу с начальным значением, затем решите для

Естественный вопрос, который следует задать после решения проблемы такого типа, — насколько высоко объект будет находиться над поверхностью Земли в данный момент времени. Позвольте обозначить высоту объекта над поверхностью Земли, измеренную в метрах.Поскольку скорость является производной от положения (в данном случае от высоты), это предположение дает уравнение. Необходимо начальное значение; в этом случае подходит начальная высота объекта. Пусть начальная высота задается уравнением. Вместе эти предположения дают начальную задачу

Если функция скорости известна, то можно также найти функцию положения.

Ключевые понятия

• Дифференциальное уравнение — это уравнение, включающее функцию и одну или несколько ее производных.Решение — это функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, когда и его производные подставляются в уравнение.
• Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок любой производной неизвестной функции, которая появляется в уравнении.
• Дифференциальное уравнение, связанное с начальным значением, называется задачей начального значения. Чтобы решить задачу с начальным значением, сначала найдите общее решение дифференциального уравнения, а затем определите значение константы.Задачи с начальным значением имеют множество приложений в науке и технике.

Глоссарий

дифференциальное уравнение

уравнение, включающее функцию и одну или несколько ее производных

общее решение (или семейство решений)

полный набор решений данного дифференциального уравнения

начальное значение

значение или набор значений, которым решение дифференциального уравнения удовлетворяет для фиксированного значения независимой переменной

начальная скорость

скорость в момент времени

начальная задача

дифференциальное уравнение вместе с начальным значением или значениями

порядок дифференциального уравнения

наивысший порядок любой производной неизвестной функции, которая появляется в уравнении

частное решение

Член семейства решений дифференциального уравнения, удовлетворяющего определенному начальному условию

Решение дифференциального уравнения

функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению

Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с комплексными корнями

Или, более конкретно, линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с комплексными корнями.Да уж, с diff eq всегда много. Да, и мы добавим начальное состояние только для акул и очков. Проблема выглядит так:

Найдите вещественное решение задачи начального значения \ (y » + 4y = 0 \) с \ (y (0) = 0 \) и \ (y ‘(0) = 1 \). Ваше решение должно иметь реальную стоимость, иначе вы не получите полную оценку!

Если вы помните, шаги для решения однородной разницы второго порядка. экв. следующие:

1. Запишите характеристическое уравнение.2 \), \ (y ‘\) с \ (r \) и \ (y \) с 1. Достаточно просто:

   На шаге 2 мы решаем это квадратное уравнение, чтобы получить два корня. Корни будут комплексными числами, но это нормально:

   Шаг 3 говорит нам записать результирующие базовые решения, используя наши два корня:

   Но когда мы переходим к шагу 4, у нас возникает проблема. Мы должны найти решение с реальной оценкой . Ясно, что все, что содержит \ (i \), не является вещественным.Итак, мы СОЛНЕЧНЫ по этому поводу? Возможно, нет. Оказывается, мы можем сделать реальное решение из двух нереальных базисных решений, используя два трюка (и разве diff. Eq. Не сводится к трюкам)?

   Наша первая уловка пришла к нам из Швейцарии через некоего Леонарда Эйлера (произносится «Ойлер»). Она называется, естественно, формулой Эйлера и рассказывает нам, как мы можем превратить комплексную экспоненциальную функцию в сложную тригонометрическую функцию. Не беспокойтесь о том, почему это работает, просто знайте, что формула:

   Довольно круто, да? Другой трюк, который мы собираемся использовать, заключается в том, что любая линейная комбинация решений данного линейного дифференциального уравнения является также решением.Другими словами, мы можем нарезать наши решения на части (умножая их на константы и складывая их вместе), чтобы получить больше решений.

   Очевидно, мы хотим делать наши нарезки и кубики таким образом, чтобы в итоге получить реальное решение. Но какой именно путь не так очевиден. Итак, я покажу вам, и вы можете более или менее полагаться на эту технику для решения схожих типов проблем. Мы собираемся определить два новых решения: одно путем добавления наших базовых решений, а другое путем их вычитания:

   Используя формулу Эйлера, мы можем переписать эти экспоненциальные базисные решения в терминах триггерных функций.Напомним, что косинус — это четная функция, а синус — нечетная функция, поэтому мы можем сделать небольшое упрощение с отрицательным корнем:

   Подставляя это в уравнения для \ (y_ {3} \) и \ (y_ {4} \), мы можем упростить их и получить два хороших, чистых, довольно новых решения:

   Теперь мы можем составить линейную комбинацию из этих решений, чтобы получить наше общее решение:

   Ах, вы можете сказать, а как насчет этого \ (i \) во втором семестре? Обратите внимание, что теперь, когда он благополучно перенесен в начало члена, мы можем просто определить новые постоянные коэффициенты для членов.В конце концов, \ (i \) может быть ненастоящим, но все равно константа. Итак, определяем:

   и получаем:

   Я знаю, дешевый трюк. Но это работает! Теперь, когда у нас есть действительное общее решение, мы можем использовать начальные условия, чтобы найти \ (C_1 \) и \ (C_2 \) и получить решение нашей задачи с начальным значением:

   Вот и все. Как вы могли ожидать из другого опыта, который вы имели с дифференциальными уравнениями, существует ряд не столь очевидных приемов, которые вы должны использовать для решения проблемы.Лучше всего с точки зрения экзамена просто запомнить эти приемы и практиковаться в их многократном применении к аналогичным задачам из учебника.

   .