Неравенства с косинусом – Урок 53. Тригонометрические неравенства (факультативное занятие) | Поурочные планы по алгебре и начала анализа 10 класс
Тригонометрические неравенства и их решения
Решение тригонометрических неравенств
Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:
Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.
По определению, синусом угла есть ординатой точки единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.
Рис. 1
Примеры решения тригонометрических неравенств
Тригонометрические неравенства со сложным аргументом
Тригонометрические неравенства со сложным аргументом можно свести к простейшим тригонометрическим неравенствам с помощью замены. После его решения делается обратная замена и выражается исходная неизвестная.
Двойные тригонометрические неравенства
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Тригонометрические неравенства. Разбор и примеры решения
Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.
Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.
Простейшие тригонометрические неравенства
Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.
Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции
Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:
- На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
- На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
- Отметить точки пересечения двух графиков.
- Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.
Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:
Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: 
Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:
- Сначала стоит начертить единичную окружность.
- Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
- Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
- После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
- Записать ответ в требуемой форме.
Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения
Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.
Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.
Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.
Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.
Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы
являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.
В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.
Сложные тригонометрические неравенства
Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:
Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:
В результате должна получиться красивая кривая.
Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции
Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.
Найденный отрезок является решением для переменной t:
Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:
Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:
Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:
Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.
Похожие статьи
Рекомендуем почитать:
Решаем неравенство с тангенсом – Сайт Александра Бабаева
Как с косинусом и синусом, решать неравенства с тангенсом мы будем с помощью единичной окружности.
Клише для решений неравенства с тангенсомАлгоритм решения неравенств с тангенсом:
- перерисовываем клише, изображённое на вышестоящем рисунке;
- на линии тангенса отмечаем $a$ и проводим до этой точки из начала координат прямую;
- точка пересечения этой прямой с полуокружностью будет закрашенной, если неравенство нестрогое и не закрашенное, если строгое;
- область будет находится снизу от прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$>$”, и снизу прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$<$”;
- для нахождения точки пересечения, достаточно найти арктангенс $a$, т.е. $x_{1}={\rm arctg} a$;
- в ответ выписывается полученный промежуток, добавляя к концам $+ \pi n$.
Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.
Пример 1: Решить неравенство:
${\rm tg}{x} \leq 1.$
- Копируем клише.
- Отметим на линии тангенса координату $1$.
- Проводим до этой точки из начала координат прямую.
- Отметим точку пересечения. Она будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.
- Знак неравенства $\leq$, а, значит, закрашиваем область снизу от прямой, т.е. больший “кусок пирога”.
- Находим точку пересечения: $x_{1}={\rm arctg}{1}=\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, решение примет вид:
$x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right], \ n \in Z.$
Важно! Точки $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ у тангенса всегда (независимо от знака неравенства) выколоты!
Пример 2: Решить неравенство:
${\rm tg}{x} > – \sqrt{3}.$
Отмечаем на линии тангенса точку $- \sqrt{3}$ и проводим прямую из начала координат до неё. Точка пересечения этой прямой с полуокружностью будет не закрашенной, так как неравенство строгое. Область будет находится выше прямой и до окружности, так как знак неравенства $>$. найдём точку пересечения:
$x_{1} = {\rm arctg}{\left(-\sqrt{3}\right)} = -\frac{\pi}{3}.$
Таким образом, ответом будет:
$x \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right), \ n \in Z.$
Пример 3: Решить неравенство:
${\rm tg}{\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)} + \sqrt{3} > 0.$
Сейчас применить алгоритм нельзя. Этот пример похож на пример 3 неравенства с синусом или косинусом. И действовать нужно аналогично. Сначала перенесём всё, что не содержит тригонометрической функции в правую часть.
${\rm tg}{\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)} > – \sqrt{3}.$
Теперь же, чтобы применить алгоритм, делаем замену переменной. Всё, что стоит под тригонометрической функцией, обозначаем за новую переменную:
$t=2x-\frac{\pi}{3}$
и получаем неравенство
${\rm tg}{t} > – \sqrt{3},$
которое мы уже решили в примере 2:
$t \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$
Возвращаемся к исходной переменной:
$\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$
Последнее равносильно системе неравенств
$\left\{\begin{array}{c} 2x-\frac{\pi}{3} > -\frac{\pi}{3} + \pi n, \\ 2x-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$
решив которую мы получим ответ. Действительно,
$\left\{\begin{array}{c} 2x > \pi n, \\ 2x < \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$
$\left\{\begin{array}{c} x > \frac{\pi n}{2}, \\ x < \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $
И окончательно получаем:
$x \in \left(\frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\right), \ n \in Z.$
Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»
– Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,
решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.
(Решение неравенств на доске под руководством учителя).
№1. cos22x – 2cos2x 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).
cos2x(cos2x – 2) 0.
Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.
cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).
Ответ: + p n< х< + p n, n Z.
№2. 6sin2x – 5sinx + 1 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).
Замена sinx = t, 1. 6t2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),
Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.
№3. sinx + cos2x> 1.
(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).
sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin2x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,
Ответ:
2p n< x< + 2p n, + 2p n< x< p + 2p n, n Z.
Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:
00025165926425165824000000000012516582401
№4. coscosx – sinsinx< -.
(Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте).
cos(x + ) < -, cost< -.
+ 2p n< t< + 2p n, n Z,
+ 2p n< x + < + 2p n, n Z,
+ 2p n< x< + 2p n, n Z.
Ответ:
+ 2p n < x < + 2p n, n Z.
№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство
4sinx + 3cosx а имеет хотя бы одно решение.
(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).
4sinx + 3cosx а, М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx . Так как ()2 + ()2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
Обратим внимание на несколько задач.
Задача 1.
Решить неравенство cos x > 1/2.
Решение.
По определению косинуса cos x – это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство cos x > 1/2, нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеют абсциссу, большую 1/2.
Абсциссу, равную 1/2, имеют две точки единичной окружности М1 и М2.
Точка М1 получается поворотом точки Р (0; 1) на угол -π/3, а также на углы -π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …; точка М2 – поворотом на угол π/3, а также на углы π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …
Абсциссу, большую 1/2, имеют все точки М дуги единичной окружности, лежащие правее прямой М1М2. Таким образом, решениями неравенства cos x > 1/2 являются все числа х из промежутка -π/3 < х < π/3.
Ответ. Все решения данного неравенства – множество интервалов π/3 + 2πn < х < π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 2.
Решить неравенство cos x ≤ 1/2.
Решение.
Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности. Поэтому решениями неравенства cos x ≤ 1/2 являются числа х, которые принадлежат промежутку π/3 ≤ х ≤ 5π/3.
Ответ. Все решения данного неравенства – множество отрезков π/3 + 2πn ≤ х ≤ 5π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 3.
Решить неравенство sin x ≥ -1/2.
Решение.
Ординату, не меньшую -1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности. Поэтому решениями неравенства sin x ≥ -1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку -π/6 ≤ х ≤ 7π/6. Все решения данного неравенства – множество отрезков -π/6 + 2πn ≤ х ≤ 7π/6 + 2πn, n € Z.
Отметим, что все точки окружности, лежащие ниже прямой М1М2, имеют ординату, меньшую -1/2. Поэтому все числа х € (-5π/6; -π/6) являются решениями неравенства sin x < -1/2.
Ответ. Все решения этого неравенства – интервалы (-5π/6 + 2πn; -π/6 + 2πn), n € Z.
Задача 4.
Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ -(√2/2).
Решение.
Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ -(√2/2), находим
3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n € Z.
Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда
1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.
Ответ. 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА — УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА — АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§25. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА.
Неравенства, содержащие неизвестные под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическими неровностями.
Примерами тригонометрических неравенствами являются неравенства
т.д.
К простейшим будем относить неравенства вида и другие, у которых на месте знака > стоит один из знаков ≥, или ≤. Общие формулы для решения этих неравенств являются довольно громоздкими. Поэтому рассмотрим методы решения этих неровностей на примерах. Для наглядности будем использовать единичный круг, линии тангенса и котангенса.
Пример 1. Решить неравенство
Решения. sin t — это ордината точки единичной окружности, соответствующей углу t. Сначала обозначим на единичном круге все точки, ординаты которых больше /2; эти точки находятся выше прямой у = /2 (рис. 39). Множество всех таких точек — дуга l. Если двигаться по этой дуге против движения часовой стрелки, то начальная точка дуги l соответствует углу аrсsin /2 = π/4, а конечная — Углы, соответствующие этим точкам, входят в ответ (поскольку знак неравенства ≥), а потому на рисунке обозначены точки жирно. Таким образом, неравенство sin t ≥ /2 удовлетворяют все значения t такие, что Поскольку синус является функцией периодической с наименьшим положительным периодом 2π, то множество всех решений неравенства получим, добавив к чисел π/4 и 3π/4 числа вида 2πk, k Z. Итак, имеем:
Ответ можно подать и так:
Пример 2. Решить неравенство
Решения. Обозначим 2х = t, имеем неравенство sиn t -1/2. Обозначим на единичном круге все точки, ординаты которых меньше -1/2, это точки дуги l, которые расположенные ниже прямой у = -1/2 (рис. 40). Конце этой дуги — точки, ординаты которых равны-1/2; углы, соответствующие этим точкам, не входят в ответ, поскольку знак неравенства ““. Поэтому точки на рисунке «выколоты». Если двигаться по дуге l против часовой стрелки, то начальная
точка дуги l соответствует углу a конечная — кута
Учитывая периодичность, имеем:
Возвращаемся к переменной х:
Разделим все три части двойной неравенства на 2. Имеем:
Пример 3. Решить неравенство
Решения. cos t — это абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу t. Обозначим на единичном круге все точки, абсциссы которых меньше /2, эти точки расположены левее прямой х = /2 (рис. 41), образуют дугу l. Углы, которые соответствуют крайним точкам дуги, входящие в ответ (поскольку знак неравенства ≤), поэтому точки на рисунке обозначены жирно. При движении против часовой стрелки начальная точка дуги l соответствует углу arccos /2 = π/6, а конечная — кута
Учитывая периодичность косинуса, получим решения неравенства:
Пример 4. Решить неравенство
Решения. Обозначим х + π/3 = t, имеем cos t > 1/2. На рисунке 42 выделено соответствующую дугу l, ее конечная точка соответствует углу arccos 1/2 = π/3, a начальная — кута arccos 1/2 = = -π/3. Имеем:
Возвращаемся к переменной х:
Отнимем от трех частей двойной неравенства π/3. Имеем:
Для иллюстрации решений неровностей, в которых в левой части находится tg t, а в правой — число, ознакомимся с линией тангенсов.
Рассмотрим прямую l, которая является касательной к единичной окружности и проходит через точку (1;0) (рис. 43). Пусть при повороте на угол α начальный радиус ОР0 переходит в радиус ОВα. Пусть прямая ОРα пересекает прямую l в точке Dα. Тогда ордината точки Dα равен тангенсу α.
Пример 5. Решить неравенство tg t ≤ .
Решения. Период функции тангенс равен π,поэтому сначала найдем решения неравенства на промежутке (-π/2;π/2), а затем используем периодичность.
Проведем линию тангенсов, tg t — это ордината точки линии тангенсов, что соответствует углу t. Обозначим на линии тангенсов точку, ордината которой равен — точку А (рис. 44). Эта точка соответствует углу а точки линии тангенсов, в которых ординаты меньше , соответствуют углам от -π/2 до π/3. Заметим, что угол π/3 будет входить в ответ (поскольку знак неравенства ≤), а угол -π/2 — не будет, поскольку tg (-π/2) — не существует. Следовательно на промежутке (-π/2;π/2) неравенство tg t ≤ имеет развязки Учитывая периодичность, имеем:
Пример 6. Решить неравенство tg t ≥ .
Решения. Используя рисунок 44 и периодичность, имеем:
Прямую m, которая проходит через точку (0;1) перпендикулярно к оси ординат, называют линией котангенсів (рис. 45). Абсцисса точки Сα пересечения прямой ОРα с линией котангенсів равна котангенсу α.
Пример 7. Решить неравенство ctg t > -1/.
Решение (рис. 46). Используя линию котангенсів, получим решение неравенства на промежутке
Дальше используем периодичность:
Решение тригонометрических неравенств, систем неравенств
Тип урока: дифференцированный, проблемный.
Цель урока: Совершенствование навыков взаимодействия на уроке в группах, решая проблемные задачи. Развитие способности самооценки учащихся. Организация совместной учебной деятельности, дающая возможность формулировать и решать проблемные задачи.
Задачи урока:
- Образовательная: Повторить алгоритмы решения тригонометрических неравенств; закрепить умения решения тригонометрических неравенств; познакомить учащихся с решением системы тригонометрических неравенств; разработать алгоритм решения системы тригонометрических неравенств; закрепить умение решение системы тригонометрических неравенств
- Развивающая: Научить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение. Уметь распознавать и решать проблемные задачи. Проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
- Воспитательная: Повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Этапы урока |
Время |
Методы и приемы |
| 1. Организационное введение. Постановка учебной задачи. | 3 |
Запись темы урока. Рассказ учителя |
| 2. Повторение | 16 |
Повторение алгоритма решения 4-х видов тригонометрических неравенств на слайдах. |
| 3. Работа в группах | 20 |
Самостоятельное решение в группах проблемных задач. В группе “А” одно задание проблемное. В группе “В” два задания проблемные. В группе “С” все задания проблемные. |
| 4. Индивидуальный зачет по проблемной теме | 18 |
Составление алгоритма и решение
системы тригонометрических неравенств вида. Демонстрация на слайдах алгоритма решения. |
| 5. Подведение итогов | 4 |
Выделение учителем главного на уроке и определения достижения целей. |
| 6. Матч с компьютером | 7 |
Просматривается слайд с заготовленными системами неравенств, случайным образом выбирается система и начинается решение на скорость с компьютером. |
| 7. Домашнее задание | 2 |
Творческое задание: составить и решить систему неравенств. |
1. Организационное введение. Постановка учебной задачи. (3 мин)
Класс делятся на три группы, которые объединяют учащихся одного уровня знаний.
I группа “А” |
II группа “В” |
III группа “С” |
| Учащиеся обучающиеся условно на “3” | Учащиеся обучающиеся условно на “4” | Учащиеся обучающиеся условно на “5” |
Каждый учащийся получает лист личных достижений. Приложение 1
Учитель: Рассмотрите внимательно лист личных достижений. Впишите фамилию, имя и название группы. Тема нашего урока “Решение тригонометрических неравенств, систем неравенств”. Мы с вами сегодня
-повторим алгоритмы решения тригонометрических неравенств;
— закрепим умение решения тригонометрических неравенств;
-познакомимся с решением системы тригонометрических неравенств;
-разработаем алгоритм решения системы тригонометрических неравенств;
— закрепим умение решение системы тригонометрических неравенств;
— проведем матч с компьютером.
1. Повторение (16 мин)
Повторение алгоритма решения тригонометрических неравенств проводится с помощью слайдов. Учитель перед демонстрацией каждого слайда ставит задачу: “Проговорите алгоритм решения неравенства”, при этом вызывает 4-х учащихся по одному на каждый пункт алгоритма. Каждый учащийся проговаривает содержание одного из пунктов алгоритма и только потом появляется информация на слайде. Возможно, учащийся будет делать свои комментарии, в тексте эта часть ответа выделена курсивом.
(раскрывается 2 лист слайда постепенно шаг за шагом) Приложение 2:
Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства .
- Отметить на оси абсцисс () интервал (решение неравенства ).
- Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу (большая дуга).
- Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
- Записать общее решение неравенства ().
(раскрывается 3 лист слайда постепенно шаг за шагом):
Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства
- Отметить на оси абсцисс () интервал (решение неравенства ).
- Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу(меньшая дуга).
- Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
- Записать общее решение неравенства ().
(раскрывается 4 лист слайда постепенно шаг за шагом):
Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства
- Отметить на оси ординат () интервал (решение неравенства ).
- Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу(меньшая дуга).
- Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
- Записать общее решение неравенства ().
(раскрывается 5 лист слайда постепенно шаг за шагом):
Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства
- Отметить на оси ординат () интервал (решение неравенства ).
- Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу (большая дуга).
- Записать числовые значения граничных точек дуги ( и ).
- Записать общее решение неравенства .
Учитель: Оцените себя в листах личных достижений соответствующим баллом.
2. Работа в группах (20 мин)
Учитель раздает каждому ученику в группе альбомные листы, на которых нарисованы 3 числовые тригонометрические окружности. (Раздаточный материал дифференцированный)
Учитель: Каждому учащемуся надо решить 3 задания. В группе “А” одно задание проблемное (последнее). В группе “В” два задания проблемные (два последних). В группе “С” все задания проблемные. В течении 5 минут учащиеся, помогают друг другу разобраться с заданиями, затем в течении 10 минут учащиеся решают задания самостоятельно и по мере решения выходят к доске и закрепляют свои листочки с решением на доске.
Учитель проверяет по мере их вывешивания. За верно решенное задание ставиться “+”, за не верно решенное задание ставиться “-”. По истечению 10 минут решение прекращается и начинается в течение 5 минут разбор решенных заданий. Разбираются только проблемные задачи, но если есть необходимость, то можно разобрать и остальные задания.
Задания для учащихся по группам
Учитель: Учащиеся соревнуются внутри группы (успевшие вывесить верные задания получают дополнительно за скорость 3 балла). А также соревнуются команды между собой (учащиеся команды получают по 3 балла дополнительно, если в этой команде было больше верно решенных заданий)
Учитель: Оцените себя в листах личных достижений соответствующим баллом.
Дополнительные баллы за скорость выставляет учитель в последнюю графу.
4. Индивидуальный зачет по проблемной теме (18 мин)
Учитель: Вспомним, как решается система неравенств вида:
Ответ:
Учитель вызывает к доске ученика из группы “С” для решения системы неравенств, учащиеся из группы “В” озвучивают решение с места.
Учитель: Перед каждой группой ставиться проблема в виде решения трех систем тригонометрических неравенств (каждая группа получает одинаковые системы, т.е. все учащиеся в равных условиях).
№1. Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:
Ответ: .
На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.
- Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.
— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .
— Записать общее решение неравенства: .
2. Учащийся группы “В” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.
— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .
— Записать общее решение неравенства: .
3. Учащийся группы “С” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
— Выделить пересечение дуг и определить числовые значения граничных точек получившихся дуг: и ; и .
— Записать общее решение системы неравенств:
.
№2 Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:
Ответ: .
На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.
- Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.
— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .
— Записать общее решение неравенства: .
2. Учащийся группы “В” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
— Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : меньшая дуга.
— Записать числовые значения граничных точек дуги: и .
— Записать общее решение неравенства: .
3. Учащийся группы “С” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
— Выделить пересечение дуг и определить числовые значения граничных точек получившихся дуг: и .
— Записать общее решение системы неравенств: .
№3. Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:
Ответ: .
На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.
- Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
— Выделить дугу окружности, соответству
: Мнемозина, 2001. – С. 253-260.
Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай. То есть законы классической механики подтверждаются релятивистской, но только для частиц или тел, движущихся с малыми скоростями.
Энергию, полученную из расщепления ядер на атомных электростанциях, используют на благо человека, где незначительные массы радиоактивного топлива вырабатывают энергию, питающую электроэнергией огромные города. Но, к сожалению, такую энергию, высвобождающуюся при цепной реакции, люди использовали и военных целях, для уничтожения городов, людей. Поэтому, только в последствии, понимая ответственность за свои открытия, учёные искренне становятся общественными деятелями: правозащитниками и борцами за мир.
Потенциальная и кинетическая энергия.
Цели урока:
Познакомить учащихся с понятием «Энергия», с видами механической энергии, с
формулами для расчета кинетической и потенциальной энергиями.
Задачи 1. Актуализации ранее полученных знаний.
2. Формирование новых понятий.
3. Применение новых знаний к решению практических задач.
Формируемые УУД
Личностные: принимать и сохранять учебную цель и задачу.
Регулятивные: способность ставить новые учебные цели и задачи
Познавательные: формирование представлений об энергии, кинетической и потенциальной
энергиях.
Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения.
План урока
1. Организационный момент (12 мин)
2. Проверка домашнего задания (10 мин)
3. Изучение нового материала (20 мин)
4. Закрепление материала (1020 мин)
5. Домашнее задание (2 мин)
Здравствуйте ребята! Давайте отметим отсутствующих на уроке.
На прошлом уроке вам была задана задача. Один ученик решает задачу у доски, все
остальные повторяют пройденную тему.
Изучение нового материала.
Рассмотрим несколько примеров.
1.
2.
3.
Сжатая пружина,
Шарик, который катится по поверхности стола,
Мяч находится над Землей.
При определенных условиях эти тела могут совершить механическую работу. Итак, сила
упругости совершает работу при распрямлении пружины, поднимая при этом груз.
Шарик, скатываясь с наклонной плоскости и ударившись о брусок, передвинет его на
некоторое расстояние.
Сила тяжести может совершить работу, если шарик опустить и дать ему упасть на Землю.
Про тела, которые могут совершить работу, говорят, что они обладают энергией.
Энергия – это физическая величина, характеризующая способность тела совершить
работу.
Энергию выражают в СИ в тех же единицах, что и работа, то есть в Джоулях.
Чем большую работу может совершить тело, тем большей энергией оно обладает.
От чего же зависит энергия поднятого мяча? Как вы думаете ребята. Звучат ответы
учеников. Очевидно, что от высоты, на которой находится мяч, и от его массы. То есть
можно сказать, что энергия зависит от взаимного расположения тел – мяча и Земли.
От чего же зависит энергия сжатой пружины? От деформации пружины, то есть от взаимного расположения ее витков, а витки пружины
это часть одного тела.
Энергия, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или
частей одного и того же тела называется потенциальной.
Энергия поднятого над Землей камня, деформированной пружины, сжатого газа, воды в
реках удерживаемой плотинами – все это примеры тел, обладающих потенциальной
энергией.
Вычислим потенциальную энергию Еп тела массой m, поднятого над Землей на высоту h.
Будем считать потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, равной
нулю. Тогда Еп тела, поднят поднятого на некоторую высоту, будет определяться работой,
которую совершит сила тяжести при падении тела на Землю: Еп = А, А = Fh, сила F = mg,
тогда Еп = mgh
m – масса тела,
g – ускорение свободного падения,
h – высота, на которую поднято тело.
Движущийся автомобиль может совершить работу, а это значит, что он обладает энергией
даже при выключенном моторе.
Энергией обладают движущийся вагон, летящая пуля.
Допусти шарик, скатившись с наклонной плоскости, движется по горизонтальной
поверхности стола. Столкнувшись с бруском он совершает работу против силы трения
между бруском и столом. Брусок передвинется. Следовательно, шарик во время своего
движения обладает энергией.
Энергия, которой обладает тело вследствие своего движения, называется
кинетической энергией.
Движущаяся вода, приводя во вращение турбины гидроэлектростанций, расходует свою
кинетическую энергию и совершает работу. Кинетической энергией обладает и
движущийся воздух – ветер.
Рассмотрим, от каких физических величин зависит кинетическая энергия тела. Проводим
еще раз опыт с шариком и наклонной плоскостью.
Чем больше высота, с которой скатывается шарик, тем больше его скорость и тем дальше
он передвигает брусок, то есть совершает большую работу. Значит кинетическая энергия
тела зависит от его скорости.
Если скатывать с одной и той же высоты тела разной массы, то можно увидеть, что, чем
больше масса шарика, тем на большее расстояние при столкновении переместится брусок,
то есть совершается большая работа.
Следовательно, чем больше масса движущегося тела,
тем больше его кинетическая энергия.
Таким образом, чем больше масса тела и скорость, с которой оно движется тем больше его
кинетическая энергия.
Для того чтобы определить кинетическую энергию тела, применяют формулу
m – масса тела, v – скорость его движения. Пусть машина массой m, движущаяся со скоростью v, начинает тормозить, чтобы
остановиться. Пусть S, который пройдет машина с момента начала торможения до полной
остановки, называется тормозным путем.
На этом пути сила трения совершает работу А=Fтр S.
Кинетическая энергия машины изменяется от максимального значения до 0.
Это изменение кинетической энергии равно совершенной работе, то есть
Если силу трения принять постоянной для всех транспортных средств, то чем больше
кинетическая энергия, тем длиннее их тормозной путь.
Сумма кинетической и потенциальной энергией тела обычно называют полной
механической энергией тела Е = Еп + Ек.
Закрепление материала.
Птичка массой 120 гр.
при полете достигает скорости 72 км/ч. Определите энергию
движения этой птички.
Дано: m=120 гр, v= 72 км/ч.
Найти: Ек ?
Решение:
Переводим в СИ 120 гр=0,12кг, 72 км/ч = 20 м/с
Ек = m v2 /2
Ответ: Ек =24 Дж
Что мы узнали на уроке?
Про какое тело говорят, что оно обладает энергией?
Какую энергию называют потенциальной?
Какую энергию называют кинетической?
Спасибо всем за работу, сегодня активно работали….
Домашнее задание:
§
Решите задачи:
Белый медведь массой 750 кг перепрыгивает препятствие высотой 1,2 м. Какую
энергию он затрачивает при таком прыжке? (Еп = 9000 Дж)
Акула массой 250 кг плывет со скоростью 18 км/ч. Определите ее кинетическую
энергию. (3125 дж)
1.
2.
3.
1.
2.
Ваш бодрый друг или сосед, скорее всего, откажется повторить тридцать-пятьдесят раз одно и то же действие, когда вдруг вам взбредет на ум исследовать феномен его энергичности.
2) / 2 ,
кинема – движение) энергией.
Для увеличения его кинетической энергии мячик нужно …
только 3 (В)
Могут ли эти тела обладать одинаковой кинетической энергией? А) нет, ни при каких условиях
Б) да, если масса первого тела в два раза меньше массы второго тела
В) да, если масса первого тела в четыре раза меньше массы второго тела
Г) да, если масса первого тела в четыре раза больше массы второго тела
и проч. Сегодня решаем задачи на кинетическую и потенциальную энергию.
Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия тела в наивысшей точке должна равняться кинетической энергии тела в начальный момент, то есть:
Таким образом, при увеличении массы шарика его скорость после удара уменьшится.
Она зависит от положения тела и выбора системы отсчета. Например, потенциальная энергия тела в поле силы тяжести зависит от массы тела, ускорения свободного падения и высоты над нулевым уровнем.
-31 кг.
Электрон-вольт используется в атомном и субатомном масштабах.
В системе сантиметр-грамм-секунда единицей энергии является эрг, 10 −7 джоулей, что эквивалентно кинетической энергии летящего комара. В определенных контекстах используются и другие единицы энергии, такие как еще меньшая единица, электрон-вольт, в атомном и субатомном масштабе.
Во время отлива вода за плотиной сбрасывается, и вода проходит через турбину, вырабатывающую электричество.
Для сравнения: типичная новая угольная электростанция вырабатывает около 550 мегаватт (МВт; миллионов ватт). Хотя общее глобальное потребление электроэнергии приблизилось к 21 000 тераватт-часов в 2016 году (один тераватт [ТВ] = один триллион ватт), эксперты в области энергетики предполагают, что полностью построенные системы приливной энергетики могут удовлетворить большую часть этого спроса в будущем. По оценкам, мощность приливных потоков — которые используют океанские течения для приведения в движение подводных лопастей аналогично ветровой энергии — на мелководье способна генерировать около 3800 тераватт-часов в год.
На горизонте не за горами рост производства электроэнергии; Например, в августе 2017 года на первом этапе проекта MeyGen во Внутреннем проливе Шотландии было произведено 700 мегаватт-часов электроэнергии.
В районах, где обычно наблюдается высокий прилив, например, в заливе Фанди между Соединенными Штатами и Канадой или вдоль Ла-Манша, может быть вода…
Организмы используют энергию, чтобы выжить, расти, реагировать на раздражители, воспроизводиться и для всех типов биологических процессов. Потенциальная энергия, хранящаяся в молекулах, может быть преобразована в химическую энергию, которая в конечном итоге может быть преобразована в кинетическую энергию, позволяющую организму двигаться.В конце концов, большая часть энергии, используемой организмами, преобразуется в тепло и рассеивается.
Движущаяся вода, например, в водопаде или быстро текущей реке, обладает кинетической энергией.
е. она не зависит от направления и всегда положительна.Когда мы удваиваем массу, мы удваиваем энергию; однако, когда мы удваиваем скорость, энергия увеличивается в четыре раза.
Также требуется вдвое больше работы, чтобы поднять один и тот же объект вдвое дальше. Точно так же, чтобы скользить по полу тяжелым предметом, мы должны преодолеть силу трения между предметом и полом.Требуемая работа пропорциональна весу объекта и расстоянию, на которое он перемещается. (Обратите внимание, что если вы несете пианино на спине по коридору, вы на самом деле не делаете никакой реальной работы.)
Готовые домашние задания к рабочей тетради по предмету русский язык «Пиши красиво» за 1 класс. Авторы Л.Ф.Климанова, А.В.Абрамов. Программа Перспектива. Известно, как трудно дается детям письмо. Итак, алфавит детки уже изучили, тетради «Мой алфавит» закончили.
«Мой алфавит» прописи 1 класс Климанова, Абрамов, Пудикова. Начну с того, что прописи хорошие. Не без недочетов, конечно, но в общем, хорошо ставят почерк при условии правильного использования. В первой части тренируемся писать прописные буквы, постепенно переходим к написанию буквосочетаний и слов. Много заданий, где нужно обвести буквы и даже целые предложения, вот тут и кроется подвох. Если ребенок будет обводить бездумно, не по порядку, а в том порядке, в каком ему заблагорассудится (к примеру, с конца), он не наработает красивый почерк. Очень важно, чтобы первоклашка обводил по порядку и проговаривал вслух каждую букву, так сформируется связь рука-мозг, улучшится концентрация внимания, ребенок впоследствии не будет пропускать или заменять по невнимательности буквы в словах.
значения выражений 
и 
равны?
.
.
.
Два бесконечных параллельных проводника в вакууме
,
всегда
имеют противоположные знаки (знак
«минус» в формуле Фарадея). Правило
Ленца имеет глубокий физический смысл
– оно выражает закон сохранения энергии.
,
где L –коэффициент самоиндукции или
индуктивность, «геометрическая»
характеристика проводника, так как
зависит от его формы и размеров, а также
от магнитных свойств среды.
Поток
электрической индукции через замкнутую
поверхность s пропорционален величине
свободного заряда, находящегося в объёме
v, который окружает поверхность s.
Поток магнитной индукции через
замкнутую поверхность равен нулю
(магнитные заряды не существуют).
Изменение потока
магнитной индукции, проходящего через
незамкнутую поверхность
,
взятое с обратным знаком, пропорционально
циркуляции электрического поля на
замкнутом контуре
,
который является границей поверхности
.
,
пропорциональны циркуляции магнитного
поля на замкнутом контуре
,
который является границей поверхности
.
жировые отложения могут затормозить физическое развитие и получения навыка ползанья, ходьбы). Детские диетологи настоятельно рекомендуют предлагать малышу макаронные изделия не чаще 2 – 3 раз в неделю. Не стоит вводить в рацион своего ребё
Содержание статьи:
;
– так называемый коэффициент Больцмана. Это константа, численно равная:
, то есть это своего рода коэффициент пересчёта из шкалы температур в шкалу энергий, ведь мы понимаем теперь, что, по сути, должны были измерять температуру в единицах энергии.
У каждого из газов в этих сосудах может быть своё давление ppp, свой объём сосуда VVV, своё количество молекул NNN.
Опытным путём была установлена интересная вещь! Оказалось, что величина pVN\frac{pV}{N}NpV для каждого из газов одной и той же температуры – одинакова! Кому-то повезло. Он решил перемножить объём и давление и разделить на количество молекул. И получил, что эта величина одинаковая для разных газов одинаковой температуры.