Смешанные дроби 5 класс

Смешанные дроби

1. Перевод смешанного числа в неправильную дробь можно выразить в виде общей формулы:

2. Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, нужно разделить числитель на знаменатель.

1. Результат деления (неполное частное) записывают в качестве целой части смешанного числа.

2. Остаток от деления записывают в качестве числителя дробной части.

3. Знаменатель дробной части остаётся прежним.

= 35:8 =

Разделим столбиком числитель на знаменатель:

Осталось написать ответ:

Алгоритм сложения смешанных чисел:

Приведите, если нужно, дробные части смешанных дробей к общему знаменателю

3

Общий знаменатель равен ______

Дополнительный множитель первой дроби_________

Дополнительный множитель первой дроби_________

= 3

= 3

Сложите отдельно целые части, затем дробные части слагаемых.

= (3+4)+ (

Посмотрите на дробную часть результата:

• если дробь правильная, то ответ оставь таким;

• если дробь неправильная, выдели целую часть и сложи полученную смешанную дробь с целой частью результата.

= 7 + =

Результат запиши в виде смешанной дроби.

Примеры:

Алгоритм сложения смешанных чисел:

Приведите, если нужно, дробные части смешанных дробей к общему знаменателю

3

Общий знаменатель равен ______

Дополнительный множитель первой дроби_________

Дополнительный множитель первой дроби_________

= 3

= 3

Сложите отдельно целые части, затем дробные части слагаемых.

= (3+4)+ (

Посмотрите на дробную часть результата:

• если дробь правильная, то ответ оставь таким;

• если дробь неправильная, выдели целую часть и сложи полученную смешанную дробь с целой частью результата.

= 7 + =

Результат запиши в виде смешанной дроби.

Примеры:

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

Урок по теме «Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби». 5-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Урок математики в 5-м классе по теме “Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби” – урок усвоения новых знаний. На предыдущих уроках учащиеся познакомились с понятием дроби, правильными и неправильными дробями, научились складывать обыкновенные дроби. Цель этого урока – знакомство с понятием смешанного числа и алгоритмом представления смешанного числа в виде неправильной дроби. На последующих уроках будем учиться складывать, а затем и вычитать смешанные дроби.

Я работаю по УМК Дорофеева Г.В. В комплект входят учебник, рабочая тетрадь с печатной основой, дидактические материалы, книга для учителя и сборник зачётов. На уроке использованы задания из учебника, рабочей тетради и дидактических материалов как для устной, так и для самостоятельной работы учащихся, для домашней работы предложены упражнения из учебника. Задания подобраны стандартного и повышенного уровня. Предлагаемые авторами УМК упражнения позволяют вести обучение дифференцированно. Часть упражнений носят тренировочный характер и направлены на закрепление умений учащихся по теме, а часть упражнений частично-поискового плана, что даёт учащимся возможность совершенствовать свои умения и применить понятие смешанной дроби в нестандартной ситуации.

На уроке использованы фронтальная, индивидуальная, парная формы работы. Методы работы – репродуктивные и частично-поисковые. Основная часть урока представляет собой решение задач по теме.

Структура урока включает следующие этапы:

1 этап – Актуализация знаний

Обсуждаем вопрос: на какие две группы можно разделить предложенные дроби? (слайд 1)

Прочитайте дробь и определите: правильная она или неправильная (проверка по щелчку мыши – дробь отправляется в нужную группу)

Среди неправильных дробей выберите дроби, которые можно записать натуральным числом. Подумайте, а нельзя ли записать остальные неправильные дроби ёще каким-нибудь способом.

2 этап – Мотивация деятельности учащихся, сообщение темы и целей урока

Вспомним задачу, которую мы решали, когда начинали изучать дроби (задача с двумя яблоками – слайд 2)

Сейчас я вам предлагаю новую задачу – разделить на троих 8 яблок. Как запишем её решение? (слайд 2)

Какими способами можно разделить яблоки? (слайд 2)

Обсуждение варианта, когда каждый получит по 2 целых яблока и ещё часть яблока (новый вид числа, его запись и чтение – слайд 2)

Формулируем тему урока и задачи на урок (слайд 3)

3 этап – Организация восприятия и осознания нового материала

Посмотрите на экран и определите координаты точек на координатной прямой. Запишите в тетради (слайд 4)

Проверим, что у вас получилось (заслушиваем ответы, проверяем по щелчку мыши – слайд 4)

Выполняем упражнения из учебника

4 этап – Обобщение и систематизация знаний

Обсуждаем, что нового узнали, чему научились, что ещё не получается

5 этап – Первичная проверка правильности восприятия новых знаний

Работа в парах в рабочих тетрадях с печатной основой

6 этап – Самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя

Самостоятельная работа над упражнением из учебника

7 этап – Подведение итогов работы на уроке

Анализируем: с чем познакомились, чем занимались на уроке

8 этап – Домашнее задание

Записываем в дневники, комментируем

Имеет место рефлексия – в течение урока учащиеся проверяли выполнение заданий.

На уроке использованы компьютерные возможности – наглядность в устной работе, при ознакомлении с новым материалом и первичном закреплении. На соответствующих этапах урока вниманию учащихся предлагались слайды презентации на экране.

Проект урока по теме “Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби”

Конспект урока математики в 5 классе «Примеры на все действия со смешанными дробями «

Конспект урока.

24.04.2018 г. Математика 5-В.

Тема Примеры на все действия со смешанными дробями

Тип урока: Урок закрепления знаний.

Предметные : Приобретение навыков решения примеров на все действия со смешанными дробями.

Личностные: формирование умений формулировать собственное мнение, планировать свои действия в соответствии с учебным заданием

Метапредметные: формирование умений устанавливать причинно-следственные связи, анализировать, моделировать выбор способов деятельности

Планируемые результаты: учащийся умеет выполнять примеры на все действия с дробями.

Основные понятия : дробь, числитель знаменатель, смешанная дробь, целая часть, дробная часть, неправильная дробь.

Организационная структура урока.

1. Организационный этап. Приветствие, проверка готовности к уроку (тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка).

2.Проверка домашнего задания: несколько учащихся по очереди зачитывают ответы решенных примеров, все сверяют.

3.Актуализация знаний: повторим алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления смешанных чисел.

4.Закрепление полученных знаний.

Решим несколько примеров (учащийся решает у доски, коментируя свои действия)

Физминутка для глаз. На экране солнышко движется по небу, учащиеся следят за ним глазами.

Продолжаем работу. Выполнив, задание, которое вы видите на интерактивной доске, мы сможем быстро проверить ваш результат, выбрав кубик с правильным ответом. И узнаем имя ученого, который одним из первых стал применять дробную черту (на интерактивной доске модель из каталога диска к учебнику Никольского для 5 класса)

5. Итог урока. Мы сегодня славно потрудились, теперь мы хорошо умеем складывать, вычитать, умножать и делить смешанные дроби.

Домашнее задание: П. 4.17 повторить, №1029 (а,б).

6.Рефлексия учебной деятельности на уроке

Опишите свои впечатления от урока, продолжив предложения выбранным из предложенных слов.

Сегодняшний урок был… (веселым, интересным, скучным, познавательным, трудным, запоминающимся. )

Сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

Смешанные числа Математика 5 класс Задания

         Вы уже знакомы с неправильными дробями, например , которые больше единицы. Дробь запишем в виде суммы: + или . Обычно сумму записывают, таким образом, . Единица в этой записи называется целой частью, а дробь — дробной частью смешенного числа.

         Научимся переводить неправильную дробь в смешенное число. Например, возьмем дробь . Разделим 8 на 3. В целую часть, запишем неполное частное, в числитель остаток от деления, а знаменатель оставим без изменения и получим смешенное число . Эта операция называется выделение целой части.

         Что бы выделить целую часть в смешанном числе, поступают следующим образом:
        

        
        При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, а дробные отдельно. Не забудьте выделить целую часть, если дробь при сложении получилась неправильная.
        
        При вычитании поступают так же, как и при сложении, за исключением случая, когда дробная часть уменьшаемого меньше чем у вычитаемого. Тогда, целую часть уменьшаемого, уменьшают на 1, а к числителю прибавляют знаменатель.
        

Учебно-методическое пособие по алгебре (5 класс) по теме: «Деление и дроби», «Смешанные числа»

На оценку «3»

Тема: «Деление и дроби»

Вариант 1                                                                                                     Вариант 1

1. Решите  уравнение:                                                                  1. Решите  уравнение:

Тема: «Смешанные числа»

2. Выделите целую часть из дробей:                                         2. Выделите целую часть из дробей:

3. Запишите в виде неправильной дроби                                 3. Запишите в виде неправильной дроби

На оценку «4-5»

Тема: «Деление и дроби»

Вариант 1                                                                                                                   Вариант 1

1. Решите  уравнение:                                                                                 1. Решите  уравнение:

Тема: «Смешанные числа»

2. Выделите целую часть из дробей:                                    2. Выделите целую часть из дробей:

3. Запишите в виде неправильной дроби                             3. Запишите в виде неправильной дроби

Смешанные дроби 5 класс

Смешанные дроби

1. Перевод смешанного числа в неправильную дробь можно выразить в виде общей формулы:

2. Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, нужно разделить числитель на знаменатель.

1. Результат деления (неполное частное) записывают в качестве целой части смешанного числа.

2. Остаток от деления записывают в качестве числителя дробной части.

3. Знаменатель дробной части остаётся прежним.

= 35:8 =

Разделим столбиком числитель на знаменатель:

Осталось написать ответ:

Алгоритм сложения смешанных чисел:

Приведите, если нужно, дробные части смешанных дробей к общему знаменателю

3

Общий знаменатель равен ______

Дополнительный множитель первой дроби_________

Дополнительный множитель первой дроби_________

= 3

= 3

Сложите отдельно целые части, затем дробные части слагаемых.

= (3+4)+ (

Посмотрите на дробную часть результата:

• если дробь правильная, то ответ оставь таким;

• если дробь неправильная, выдели целую часть и сложи полученную смешанную дробь с целой частью результата.

= 7 + =

Результат запиши в виде смешанной дроби.

Примеры:

Алгоритм сложения смешанных чисел:

Приведите, если нужно, дробные части смешанных дробей к общему знаменателю

3

Общий знаменатель равен ______

Дополнительный множитель первой дроби_________

Дополнительный множитель первой дроби_________

= 3

= 3

Сложите отдельно целые части, затем дробные части слагаемых.

= (3+4)+ (

Посмотрите на дробную часть результата:

• если дробь правильная, то ответ оставь таким;

• если дробь неправильная, выдели целую часть и сложи полученную смешанную дробь с целой частью результата.

= 7 + =

Результат запиши в виде смешанной дроби.

Примеры:

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

Урок по теме «Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби». 5-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Урок математики в 5-м классе по теме “Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби” – урок усвоения новых знаний. На предыдущих уроках учащиеся познакомились с понятием дроби, правильными и неправильными дробями, научились складывать обыкновенные дроби. Цель этого урока – знакомство с понятием смешанного числа и алгоритмом представления смешанного числа в виде неправильной дроби. На последующих уроках будем учиться складывать, а затем и вычитать смешанные дроби.

Я работаю по УМК Дорофеева Г.В. В комплект входят учебник, рабочая тетрадь с печатной основой, дидактические материалы, книга для учителя и сборник зачётов. На уроке использованы задания из учебника, рабочей тетради и дидактических материалов как для устной, так и для самостоятельной работы учащихся, для домашней работы предложены упражнения из учебника. Задания подобраны стандартного и повышенного уровня. Предлагаемые авторами УМК упражнения позволяют вести обучение дифференцированно. Часть упражнений носят тренировочный характер и направлены на закрепление умений учащихся по теме, а часть упражнений частично-поискового плана, что даёт учащимся возможность совершенствовать свои умения и применить понятие смешанной дроби в нестандартной ситуации.

На уроке использованы фронтальная, индивидуальная, парная формы работы. Методы работы – репродуктивные и частично-поисковые. Основная часть урока представляет собой решение задач по теме.

Структура урока включает следующие этапы:

1 этап – Актуализация знаний

Обсуждаем вопрос: на какие две группы можно разделить предложенные дроби? (слайд 1)

Прочитайте дробь и определите: правильная она или неправильная (проверка по щелчку мыши – дробь отправляется в нужную группу)

Среди неправильных дробей выберите дроби, которые можно записать натуральным числом. Подумайте, а нельзя ли записать остальные неправильные дроби ёще каким-нибудь способом.

2 этап – Мотивация деятельности учащихся, сообщение темы и целей урока

Вспомним задачу, которую мы решали, когда начинали изучать дроби (задача с двумя яблоками – слайд 2)

Сейчас я вам предлагаю новую задачу – разделить на троих 8 яблок. Как запишем её решение? (слайд 2)

Какими способами можно разделить яблоки? (слайд 2)

Обсуждение варианта, когда каждый получит по 2 целых яблока и ещё часть яблока (новый вид числа, его запись и чтение – слайд 2)

Формулируем тему урока и задачи на урок (слайд 3)

3 этап – Организация восприятия и осознания нового материала

Посмотрите на экран и определите координаты точек на координатной прямой. Запишите в тетради (слайд 4)

Проверим, что у вас получилось (заслушиваем ответы, проверяем по щелчку мыши – слайд 4)

Выполняем упражнения из учебника

4 этап – Обобщение и систематизация знаний

Обсуждаем, что нового узнали, чему научились, что ещё не получается

5 этап – Первичная проверка правильности восприятия новых знаний

Работа в парах в рабочих тетрадях с печатной основой

6 этап – Самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя

Самостоятельная работа над упражнением из учебника

7 этап – Подведение итогов работы на уроке

Анализируем: с чем познакомились, чем занимались на уроке

8 этап – Домашнее задание

Записываем в дневники, комментируем

Имеет место рефлексия – в течение урока учащиеся проверяли выполнение заданий.

На уроке использованы компьютерные возможности – наглядность в устной работе, при ознакомлении с новым материалом и первичном закреплении. На соответствующих этапах урока вниманию учащихся предлагались слайды презентации на экране.

Проект урока по теме “Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби”

Конспект урока математики в 5 классе «Примеры на все действия со смешанными дробями «

Конспект урока.

24.04.2018 г. Математика 5-В.

Тема Примеры на все действия со смешанными дробями

Тип урока: Урок закрепления знаний.

Предметные : Приобретение навыков решения примеров на все действия со смешанными дробями.

Личностные: формирование умений формулировать собственное мнение, планировать свои действия в соответствии с учебным заданием

Метапредметные: формирование умений устанавливать причинно-следственные связи, анализировать, моделировать выбор способов деятельности

Планируемые результаты: учащийся умеет выполнять примеры на все действия с дробями.

Основные понятия : дробь, числитель знаменатель, смешанная дробь, целая часть, дробная часть, неправильная дробь.

Организационная структура урока.

1. Организационный этап. Приветствие, проверка готовности к уроку (тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка).

2.Проверка домашнего задания: несколько учащихся по очереди зачитывают ответы решенных примеров, все сверяют.

3.Актуализация знаний: повторим алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления смешанных чисел.

4.Закрепление полученных знаний.

Решим несколько примеров (учащийся решает у доски, коментируя свои действия)

Физминутка для глаз. На экране солнышко движется по небу, учащиеся следят за ним глазами.

Продолжаем работу. Выполнив, задание, которое вы видите на интерактивной доске, мы сможем быстро проверить ваш результат, выбрав кубик с правильным ответом. И узнаем имя ученого, который одним из первых стал применять дробную черту (на интерактивной доске модель из каталога диска к учебнику Никольского для 5 класса)

5. Итог урока. Мы сегодня славно потрудились, теперь мы хорошо умеем складывать, вычитать, умножать и делить смешанные дроби.

Домашнее задание: П. 4.17 повторить, №1029 (а,б).

6.Рефлексия учебной деятельности на уроке

Опишите свои впечатления от урока, продолжив предложения выбранным из предложенных слов.

Сегодняшний урок был… (веселым, интересным, скучным, познавательным, трудным, запоминающимся. )

Математические тренажеры по теме «Смешанные числа», 5 класс,

ТРЕНАЖЕРЫ по теме «Смешанные числа» № 1

1.Представить в виде смешанных чисел неправильные дроби:

ОТВЕТЫ:

ТРЕНАЖЕРЫ по теме «Смешанные числа» № 2

1.Представить в виде смешанных чисел неправильные дроби:

ОТВЕТЫ:

ТРЕНАЖЕРЫ по теме «Смешанные числа» № 3

1.Представить в виде смешанных чисел неправильные дроби

ОТВЕТЫ:

ТРЕНАЖЕРЫ по теме «Смешанные числа» № 4

1.Представить в виде смешанных чисел неправильные дроби

ОТВЕТЫ:

2.Предствавить смешанное число в виде неправильной дроби:

ОТВЕТЫ:

2.Предствавить смешанное число в виде неправильной дроби:

ОТВЕТЫ:

2.Предствавить смешанное число в виде неправильной дроби:

ОТВЕТЫ:

2.Предствавить смешанное число в виде неправильной дроби:

ОТВЕТЫ:

Технологическая карта по математике на тему «Понятие смешанной дроби» (5 класс)

Тема урока. Понятие смешанной дроби.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Формы организации взаимодействия на уроке: коллективная, индивидуальная, групповая.

Воспитательная цель: воспитывать культуру математических записей, воспитывать активность, аккуратность, прививать умение выслушивать других.

Коррекционно-развивающая цель: направлена на речевое развитие, сенсомоторное (выполнение всех двигательных действий, которые необходимы для выполнения заданий), развитие познавательной деятельности, развитие навыков самоанализа и самоконтроля.

Планируемые образовательные результаты: учащиеся получат возможность научиться воспроизводить своими словами правило выведения смешанных дробей, выполнять действие перевода по образцу, алгоритму.

— Учебник Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. организаций /С.М.Никольский и др./- 13-е изд.-М.: Просвещение, 2014- 272с./

-Презентация к уроку.

-Смайлики для рефлексии.

VII.Рефлексия учебной деятельности на уроке. (5 мин)

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

(универсальные учебные действия)

I. Мотивация к учебной деятельности.

(2 мин)

Цели: проверка готовности обучающихся, их настроя на работу.

Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. Психологический настрой.

Презентация, слайд №2. -Ребята, давайте вспомним какие дроби мы с Вами уже знаем?(выслушиваются ответы обучающихся)

-Правильно, обыкновенные дроби делятся на правильные и неправильные. Я буду показывать дроби, а Вы должны их отнести к первой или второй группе.

Учитель показывает среди прочих дробей смешанные дроби, возникает проблемная ситуация.

Готовность к уроку.

Ученики по очереди отвечают : обыкновенные , правильные и неправильные дроби.

.

Ученики сортируют дроби по группам.

Личностные:

— самоопределение.

Коммуникативные:

— планирование ученического сотрудничества с учителем и одноклассниками.

Познавательные: соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно;

-умение устанавливать аналогии.

Логические:

— анализ объекта с целью выделения признаков;

— актуализация

мыслительных операций.

II. Формулирование темы урока, постановка цели.

(2 мин)

Цели: подведение детей к формулированию темы и постановке задач урока. Составление плана работы.

—Ребята, куда же относятся данные дроби:

3

и что это за дроби, как они называются?

(Выслушивает ответы учащихся)

-Да, это смешанные дроби! Учитель вместе с учащимися озвучивает тему и что должны ученики узнать на уроке.

Презентация, слайд №3.

Просит записать тему урока в тетрадь.

Ученики отвечают на вопросы учителя.

Формулируют (уточняют) тему урока.

Записывают тему урока в тетрадь. Ставят свои цели, чего бы он (она) хотели бы добиться на уроке.

Личностные:

-самоопределение-мотивация учения.

Познавательные:

-умение ориентироваться в своей системе знаний;

-умение структурировать знания, логическое выдвижение.

Коммуникативные:

-умение слушать и понимать речь других;

-умение устанавливать аналогии;

-умение классифицировать и систематизировать.

III. Первичное усвоение новых знаний.

(10 мин)

Цели: развитие умения находить ответы на проблемные вопросы, подведение детей к самостоятельному выводу способа действия с информацией.

Учитель проводит параллель с ранее изученным материалом.

-Как вы думаете, из чего состоит смешанная дробь? Правильно, из целой части и правильной дробной части. А записывает так: 2 +

Презентация, слайды №4

Читаем: «две целых и одна третья»

Презентация, слайды №5-6

—К нам пришли гости: сова, скворец и воробей. Они просят о помощи: как им поделить поровну 4 яблока?

1способ: каждое яблоко поделить на 3 равные части, и каждый получит по 4 части.(получится яблока)

2способ: каждому дать по 1 яблоку, а четвертое яблоко поделить на 3 равные части. ( яблока).

Вывод:

Презентация, слайд №7.

-Итак, ребята, давайте сформулируем два правила:

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанной дроби, нужно ее числитель разделить на знаменатель с остатком. При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному, а остаток запишем в числитель, знаменатель оставим прежний.

И наоборот: Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби, знаменатель дробной части умножают на целую часть, прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель, а знаменатель оставляют тот же.

Презентация, слайд №8.

Зарисуйте в тетрадях схему:

Презентация, слайд №9.

Учитель рассматривает пример:

3

—Выполните самостоятельно:

Презентация, слайд №10.

—Ребята, а как же можно сравнить смешанные дроби?(Выслушивает ответы учащихся)

—Конечно, если целые части разные, то больше та дробь, у которой целая часть больше:

,так как 1<3

—Если же целые части смешанных дробей равны, сравниваем дробные части:

Выполняют устные задания с проговариванием алгоритма вслух

Высказывают свое мнение Предлагают решение проблемы различными способами.

Формулируют правила выведения смешанной дроби из неправильной дроби, и наоборот.

Рисуют схему в тетрадь

Записывают пример в тетрадь.

Просматривают примеры на слайде.

Решают примеры, сверяют ответы с доской

Отвечают на поставленный вопрос, записывают примеры в тетрадь.

Коммуникативные:

-инициативное сотрудничество в поиске и выборе информации.

Познавательные:

-построение логической цепи рассуждений, выдвижение гипотез и их обоснование.

Регулятивные:

-определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата;

— составление плана и последовательности действий.

Физкультминутка (1мин)
Учитель: а сейчас мы немного взбодримся. Все встали и приготовились к физкультминутке.
Презентация, слайд №11.

IV. Закрепление нового материала (10 мин)

Цель: освоение способа действия с полученными знаниями в практической деятельности.

Решаем упражнения

По учебнику, стр.216 . №969 (б) – все.

1 группа — в)

2 группа — г)

3 группа — д).

№976(а,б,в,г,д)

Учитель устанавливает осознанность восприятия.

Наводящими вопросами корректирует выполнение заданий.

Обеспечивает положительную реакцию детей на ответы одноклассников.

Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на уроке.

Проверяем ответы

Ученики выполняют письменно на доске и в тетрадях. Решают у доски задания с проговариванием алгоритма вслух.

Сверяют ответы на доске и в тетрадях.

Познавательные:

-умение структурировать знания, умение осознанно и произвольно строить высказывания.

Коммуникативные:

— умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, коррекция, оценка действий.

Регулятивные:

— контроль в форме сравнения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона.

V. Домашнее задание

(5 мин)

Презентация, слайд №12

Задает домашнее задание.

Обеспечивает понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Прочитать п. 4.14. стр. 214-215

Ответить на вопросы №966

Выполнить №974 (в,г), №976 (е,ж,з,и,к)

Записывают домашнее задание.

VI.Рефлексия учебной деятельности на уроке (5 мин)

Презентация, слайд №13

Задает вопросы:

Достигли ли цели урока?

Какие правила изучили на уроке, сформулируйте их.

Чему научились?

Учитель инициирует рефлексию детей по их собственной деятельности и взаимодействию с учителем и другими детьми в классе.

Учитель просит учащихся оценить свое психологическое состояние в конце урока и поднять карточку со смайликом улыбающимся или грустным.

Отвечают на вопросы учителя.

Задают вопросы.

Анализируют свою учебную деятельность, заполняя карточку урока.

Методическое обеспечение и интернет ресурсы:

Математика. 5 класс : учеб. для общеобразовательных учреждений / С.М.Никольский и др. – М.: Просвещение, 2014. – 272 с.

Дидактические материалы по математике для 6 класса. Чесноков А.С., Нешков К.И. – М.: Просвещение, 2001. – 160с.

http://festival.1september.ru/articles/599295/

http://pedsovet.org/ Всероссийский Интернет-педсовет.

http://www.math.ru/ Интернет-поддержка учителей математики.

http://www.it-n.ru/ Сеть творческих учителей.

http://www.som.fsio.ru/ Сетевое объединение методистов.

http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/default.asp

Смешанные числа Математика 5 класс Задания

         Вы уже знакомы с неправильными дробями, например , которые больше единицы. Дробь запишем в виде суммы: + или . Обычно сумму записывают, таким образом, . Единица в этой записи называется целой частью, а дробь — дробной частью смешенного числа.

         Научимся переводить неправильную дробь в смешенное число. Например, возьмем дробь . Разделим 8 на 3. В целую часть, запишем неполное частное, в числитель остаток от деления, а знаменатель оставим без изменения и получим смешенное число . Эта операция называется выделение целой части.

         Что бы выделить целую часть в смешанном числе, поступают следующим образом:
        

        
        При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, а дробные отдельно. Не забудьте выделить целую часть, если дробь при сложении получилась неправильная.
        
        При вычитании поступают так же, как и при сложении, за исключением случая, когда дробная часть уменьшаемого меньше чем у вычитаемого. Тогда, целую часть уменьшаемого, уменьшают на 1, а к числителю прибавляют знаменатель.
        

Как нарисовать атом: простые советы

Атом – это частица. В свою очередь, он состоит из еще более мелких элементов, таких как электрон и протон. Их количество может быть разным, в зависимости от вещества, которое берется. Как нарисовать атом? В общем виде берется круг с более мелкими кругами внутри него. Однако есть и свои нюансы, с которыми лучше ознакомиться. В первую очередь нужно понять, как выглядит атом.

Первые шаги в рисовании атома

Как нарисовать атом поэтапно? Для этого необходимо в первую очередь нарисовать ровный круг. Это будет само тело нашего атома, выбранного в качестве модели для рисунка.

Затем данный круг делят на части. Однако они будут заведомо неравными. То есть горизонтальная линия должна пролегать выше центра нарисованного круга. Затем рисуются и линии, которые пересекают первую изображенную черту. Это своего рода наводящие черты атома. Их можно нарисовать без нажима, так как в дальнейшем их придется стереть.

Рисуем центр фигуры

Как нарисовать атом? Это достаточно просто даже для новичка в рисовании. Внутри круга, который уже изображен, необходимо расположить небольшие круги. Это протоны. Они могут располагаться кучно, при этом находясь друг за другом, а не в ряд. Это придаст рисунку объем.

Затем наступает черед электронов. Это более мелкие частицы. Их рисуют также в виде шаров, но гораздо меньшего размера. Они располагаются вне главного и крупного шара, нарисованного в самом начале. Как нарисовать атом? Получается, что это просто совокупность шаров. Однако на этом рисование не заканчивается.

А что есть вокруг атома?

Чтобы понять, как нарисовать атом, следует определить, каков его внешний вид. Электроны, то есть мелкие шары, которые были нарисованы в предыдущем пункте, движутся вокруг протонов, то есть более крупных кругов. Поэтому у них есть своя траектория или путь. Он изображается в виде эллипсов, которые проходят через электроны. Эллипсы — это маршрут мелких частиц.

Эти вытянутые овалы располагают через основной круг, перекрещивая между собой. В среднем могут получиться около трех таких кругов. Если нарисовать окружности так, чтобы они пересекали электроны, сложно, то можно сначала нарисовать эти пути, а уже на них расположить электроны.

Теперь можно подтереть все карандашные наброски, выделить четкой линией то, что должно остаться, а сам атом раскрасить.

В общем смысле рисунок атома – это сборище маленьких кругов, кружащих вокруг центра из более крупных шаров. Это и есть наш атом, и теперь все знают, как нарисовать его. Раскрасить его можно так, как душе угодно!

Единственный в мире снимок одиночного атома

Атомы очень малы, они настолько малы, что человек разглядеть их не может, даже с помощью мощных микроскопов. Но, как это ни парадоксально, на этой фотографии вы можете увидеть атом невооруженным глазом.

Эта фотография сделана Дэвидом Нэдлингером и называется она «Одиночный атом в ионной ловушке». И она уже одержала победу в конкурсе на лучшую научную фотографию, проводимую Исследовательским советом инженерных и физических наук Великобритании. На фото изображен одиночный атом стронция в мощном электрическом поле. На него направлены лазеры, из-за чего атом испускает свет.

Пусть атом и видим, рассмотреть его все равно непросто. Если вы пристально вглядитесь в центр фотографии, то заметите слабо светящуюся голубую точку. Это атом стронция, подсвеченный сине-фиолетовым лазером.

Стронций в эксперименте использовали из-за размера: у стронция 38 протонов, и диаметр его атома — несколько миллионных долей миллиметра. Обычно столь мелкий объект мы бы не разглядели, но ученые использовали трюк, чтобы сделать атом ярче.

На фотографии он освещен высокомощным лазером, из-за которого электроны, кружащиеся по орбите вокруг атома стронция, получают больше энергии и начинают испускать свет. Как только заряженные электроны дали достаточное количество света, самая обыкновенная камера смогла сфотографировать атом.

Правда, если бы вы лично стояли рядом с этой установкой, то ничего бы не увидели. Снимок сделан с помощью длинной выдержки, так как что без оборудования весь этот свет все равно не заметить. Правда, другого способа увидеть реальный одиночный атом невооруженным глазом у человека просто нет.

10 научных иллюстраций, которые на самом деле должны выглядеть иначе

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Мы привыкли верить, что школьный учебник, а уж тем более научная энциклопедия, никогда нас не обманет. Но даже самые авторитетные источники не могут гарантировать абсолютную достоверность. Ради красоты, удобства и привычки нам приходится жертвовать правдой.

АdMe.ru предлагает вам убедиться, что некоторые знакомые каждому иллюстрации на самом деле должны выглядеть иначе.

1. Модель атома

Классическую планетарную модель атома, которая красуется на обложках учебников, предложил Резерфорд в 1911 году. Но даже с появлением современных электронных микроскопов, позволяющих рассмотреть атомы, все же увидеть, из чего состоит отдельный атом, невозможно: настолько он маленький. Поэтому то, что электроны движутся вокруг ядра, как планеты вокруг Солнца, всего лишь предположение. А как выглядят электроны, мы и вовсе не представляем.

2. Молекула ДНК

А вот молекулы ДНК намеренно рисуют не так, как они выглядят на самом деле. Цель картинки из школьного учебника биологии не показать молекулу ДНК, а дать представление об основных принципах работы на примере ее модели. На самом деле ДНК выглядит не столь красочно.

3. Карта мира

Еще одно допущение, с которым мы должны мириться, — это карты мира. Передача трехмерного объекта, коим является планета Земля, при помощи плоского изображения невозможна. Любая карта мира, страны или местности — это всего лишь проекция. Самая известная проекция, которая стала нам родной на уроках географии, — проекция карты мира Герарда Меркатора. Тем, кто не готов смириться, что Гренландия гигантская, Австралия маленькая, Тихий и Атлантический океаны одного размера, а полюса тянутся к бесконечности, стоит пользоваться глобусом.

4. Схема Солнечной системы

Достоверно передать расстояния сложно даже в контексте земных объектов, поэтому не стоит полагать, что схема Солнечной системы отражает все масштабы правдиво. Космические расстояния даже представить сложно, не то что изобразить. Планеты Солнечной системы расположены друг от друга очень далеко. А схема, где они выстроились в ровный ряд, показывает лишь их условное расположение. Расстояние между Землей и Луной — около 400 тыс. км, что с некоторыми оговорками можно изобразить так, как на картинке выше.

Детские фантазии на атомную тему / Энергичный блог / Publicatom

Причем, как оказалось, участники конкурса рисунков «Мирный атом – будущее мира» воспринимают атом как явление, несущее людям тепло, радость, счастье и благополучие (на одном из рисунков атомные станции изображены как цветочки с атомной символикой). Смотрите сами:

Шаг в будущее
Борцов Никита, 13 лет

Атомная энергия делает мир ярче
Давыдова Даша, 14 лет

Век развития мирного атома
Круковец Ксения, 14 лет

Окно в будущее
Могильная Карина, 13 лет

Цветок атомной энергетики
Толстовцев Владислав, 12 лет

Атомная энергетика всегда в аппогее
Касянчик Мария, 15 лет

Мирный атом — будущее мира
Калабина Лиза, 14 лет

Подводный атомград «Нептун»
Вакалов Роман, 10 лет

«Покорение Вселенной»
Вакалов Роман, 10 лет

Энергия
Чевкота Елена, 13 лет

Наша энергия — наше будущее
Васькив Анастасия, 10 лет

Рисунок Атом в Научно-Техническом словаре

Рисунок Атом в Научно-Техническом словаре

Масса атома зависит от размера ядра. На него приходится максимальная доля веса атома, поскольку электроны ничего не весят. Например, атом урана — самый тяжелый из встречающихся в природе атомов У него 146 нейтронов, 92 протона и 92 электрона. С другой стороны, самым легким является атом водорода, у которого 1 протон и электрон. Однако атом урана, хотя и тяжелее атома водорода в 230 раз, по размерам превышает его лишь втрое. Вес атома выражается в единицах атомной массы и обозначается как u. Атомы состоят из еще более мелких частиц, назы-Улаемых субатомными (элементарными) частицами. Основными являются протоны (положительно заряженные), нейтроны (электрически нейтральные) и электроны (отрицательно заряженные). Скопления протонов и нейтронов образуют Ядро в центре атомов всех элементов (за исключением водорода, у которого njлько один протон). Электроны «крутятся» вокруг ядра на некотором расстоянии от него, соразмерно размерам атома. Если, например, ядро атома гелия было бы размером с теннисный мячик, то электроны находились бы на расстоянии 6 км от него. Существует 112 различных типов атомов, столько же, сколько элементов н периодической таблице. Атомы элементов различаются по атомному номеру и атомной массе. Масса атома создается в основном за счет относительно плотного ядра. Протоны и нейтроны имеют массу во много раз большую, чем электроны. Поскольку протоны заряжены положительно, а нейтроны — нейтральны, ядро атома всегда заряжено положительно. Поскольку противоположные заряды взаимно притягиваются, ядро удерживает электроны на их орбитах. Протоны и нейтроны состоят из еще более мелких элементарных частиц, кварков. Чем большей энергией обладает электpon, тем дальше он может удалиться, преодолевая притяжение положительно заряженного ядра. В нейтральном атоме положительный заряд электронов уравновешивает положительный заряд протонов ядра. Поэтому удаление или добавление одного электрона в атоме приводит к появлению заряженного иона. Электронные оболочки расположены на фиксированных расстояниях от ядра в зависимости от уровня их энергии. Каждую оболочку нумеруют, считая от ядра. В атоме не бывает более семи оболочек, и каждая из них может содержать только определенное число электронов. Если имеется достаточное количество энергии, электрон может перескочить с одной оболочки на другую, более высокую. Когда он снова попадает на более низкую оболочку, он испускает излучение в виде фотона. Электрон принадлежит к классу частиц, называемых лептонами, его античастица называется позитроном.

Примечание: в данный момент известно 118 элементов в переодической таблице.

Рядом со рисунком Атом в Научно-Техническом словаре

Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников

Представление

Учащиеся 7 и 8 класса приняли участие в создание проект «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников»

Краткое описание работы.

Проект «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников» представлен в номинации учебных проектов «Сделаем мир лучше» в создании проекта приняли участие учащиеся 7-8 класса. У каждого было свое задание защитить свои утверждения.

Цель работы:

Определить понятие необходимости изучения признаков равенства и подобие треугольников в жизни человека, и связь их с другими предметами.

Задачи исследовательской работы:

1. Формирование умение проектно-исследовательской деятельности.

2. Оценить важность исследуемого объекта.

3. Объяснение возникновения признаков равенства и дальнейшего появления подобия треугольников.

4. Развитие умения использовать дополнительные источники (интернет ресурсы. Справочники. Энциклопедии.)

5. Подготовить презентацию с картинками и дискуссию по теме: что важнее признаки равенства треугольника и подобие треугольников.

6. Показ презентация для 8-9 классов под девизом «Зачем нам признаки равенства треугольников и подобие, и какую роль они играю в жизни человека»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Орловская средняя общеобразовательная школа

Городищенского района Волгоградской области»

Районный конкурс

социальных и

учебных проектов

«Сделаем мир лучше!»

«Что важнее признаки равенства треугольника или

подобие треугольников»

Выполнили обучающиеся

7 класса

Кривогузова Мария

Карагичева Ирина

8класса

Киселева Юлия

Руководитель проекта:

Захарова

Луиза Александровна

2015

Паспорт исследователя-проектировщика

№

п/п

Этапы работы над проектом (исследованием)

Деятельность ученика

Деятельность учителя

Выявление проблемы.

Почему заинтересовала эта проблема.

Обсуждение с учителем темы проекта, что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников.

Обсуждение с учащимися темы проблемы проекта.

Определение цели и задач проекта.

Цель работы: выявить закономерность и зависимость рассматриваемых вопросов.

Определить понятие необходимости изучения признаков равенства треугольников и их подобие в жизни человека, и связь его с другими предметами.

Задачи:

1. Формирование и умение проектно-исследовательской деятельности.

2. Оценить важность исследуемого объекта.

3. Объяснение возникновения признаков равенства и подобия треугольников.

4. Проанализировать как человеком они могут применятся в жизни.

5. Развитие умения использовать дополнительные источники: Интернет ресурсы. Справочники. Энциклопедии

6. Приготовить картинки по разделам проекта.

7. Провести презентации в 8-9 классах «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников»

Помощь в постановке цели и определение задач.

Планирование самостоятельной деятельности.

Выработка плана действий.

Как можно это сделать?

Определение основных методов исследования.

1. Работа с учебниками, энциклопедией и интернет ресурсами.

2. Отобрать нужный материал по разделам: строительство, искусство, военное дело.

3. Сделать вывод: зачем нужно признаки равенства и подобие треугольников.

4. Создать презентацию «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников» и ее защиту.

Познакомить обучающегося с разными средствами и приёмами познавательной, исследовательской деятельности.

Использование исследовательских методов. Сбор информации.

Проведение исследования:

1. Поиск и обработка необходимой информации.

2. Работа с различными источниками.

3. Подбор рисунков.

4. Создание презентации.

Наблюдения, совет, помощь в работе с компьютерными программами.

Оформление конечных результатов.

Оформление защиты:

1. План защиты по рубрикам.

2. Составление презентации.

3. Оформление страницы «Зачем нам признаки равенства и подобия треугольников?»

Знакомство с готовой работой.

Учитель помогает оформить проект «Путешествие в прошлое.»

Презентация своего исследования.

Участие в мероприятиях:

На уроках геометрии 8-9 классах во II полугодии.

Оценивание.

Вывод.

Участники сами анализируют свое творение. Дают своей работе самооценку.

Учащиеся класса высказывают свое мнение «Зачем нам признаки равенства и подобия треугольников?»

Самое главное заинтересовать обучающихся в изучение «Признаков равенства и подобия треугольников».

Участие в оценке путём коллективного обсуждения и самооценок.

Содержание.

1. Вступление. Актуальность проекта.

2. Историческая справка:

   1. Подобия.

   2. Признаки равенства треугольников.

3. Признаки равенства и подобия треугольников.

   1. Равенства треугольников по стороне и двум углам.

   2. Подобие треугольников по двум углам.

   3. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

   4. Подобие треугольников по пропорциональности двух сторон одного треугольника к другому и равенству угла между ними.

   5. Жесткий треугольник.

   6. Подобие пропорциональности трех сторон одного треугольника к другому.

   7. Признак равенства треугольников по трем углам.

4. Заключение:

   1. Вывод.

   2. Применение на практике.

   3. Применение при возведение зданий.

5. Защита проекта.

Вступление

Меня зовут Кривогузова Мария, я ученица 7 класса будут вам представлять признаки равенства треугольников и их историю.

Меня зовут Киселева Юлия, я ученица 8 класса буду вам представлять признаки подобия треугольников их историю возникновения и необходимость их изучать.

Основной целью нашего исследования является определить важность изучения данных утверждений.

Для начала мы решили провести опрос в более старших классов. Вопросы с вариантами ответа были таковыми:

1. Что важнее равенство треугольников или подобие треугольников?

1. Равенство треугольников;

2. Подобие треугольников;

3. Важны оба утверждения.

2. Пригодились ли вам признаки равенства треугольников и подобие треугольников при дальнейшем изучении геометрии?

1. Да;

2. Нет.

3. Как вы думаете, где больше пригодится вам этот изученный материал?

1. Я думаю, что мне это пригодится при учебе в высшем учебном заведении;

2. Я изучал(а) для того чтобы в будущем не выглядеть тупым перед своими детьми.

3. Мне это совсем не как не нужно.

Поэтому мы сами решили выяснить, что важнее равенство или подобие треугольников, и как они применимы в жизни человека.

Актуальность.

Треугольник является центральной фигурой всей геометрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например, в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации: для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии, одним словом просто необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников, устанавливать их равенство или подобие. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников, а также множество задач на подобие треугольников.

Историческая справка подобия треугольников

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Историческая справка о признаках равенства треугольников:

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC  AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA;  С = A;  EDС = BDA как вертикальные).

Признак подобия треугольников по двум углам.

Но так не удобно решать задачу для этого можно воспользоваться первым признаком подобия треугольников. И как не странно его создатель также Фалес Милетский

Давайте представим картину такую

Мы с вами в Египте сейчас оказались.

Стоим и смотрим на пирамиду большую

Её высотою большой восхищаясь.

И тут сам фараон задачу нам ставит

Измерить нам надо высоту пирамиды.

Как же рулетку к ней приставить

Ведь конца её даже не видно.

Но всё-таки задачу можно решить

Вспомнив подобие треугольников.

Фалес Милетский нам предложил

Пример преподавший для школьников.

Он подождал пока тень его

Точно совпадет с его ростом.

Как оказалось немного терпения

Задача решилась легко и просто.

В этот миг теорему применив

Высота пирамиды равна её тени.

Знай про подобие треугольников

И применяй её в жизни без лени.

Используя этот признак подобия мы можем измерить высоту любой башни и не только высоту, а спроектировать на чертежах любую постройку.

Равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Для исследования этого признака я решила взять практическую задачу на вычисление длины озера.

При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD. Измерив DК, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500м.

Сколько же нужно много свободного пространства чтобы сделать эти измерения, а не легче ли применить второй признак подобия треугольников.

Подобия треугольника по пропорциональности двух сторон одного треугольника к другому и равенству угла между ними.

При измерении длины озера: так же можно отметить на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы отношения DC:CB и KC:AC оказалась равными.

Равенства треугольников по трем сторонам. Жесткий треугольник

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, (рис 1) у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой однако сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек.(рис 2) Полученная конструкция — треугольник — будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Если все три стороны

треугольников равны,

То давно понятно всем

Что равны они совсем.

Подобие треугольников пропорциональности трех сторон одного треугольника к другому.

Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько раз, то увечится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем самым получим третий признак подобия треугольника «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Если три стороны треугольника одного

Пропорциональны трём сторонам другого,

То эти треугольники будут абсолютно подобны

Даже если один маленький, а другой огромный.

Равенства треугольников по трем углам.

Был такой великий русский философ математик Николай Лобачевский, который доказал четвертый признак равенства треугольников. «Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны»

Такого признака равенства треугольников нет. Это часть определение подобия треугольника. «Если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны».

Вывод.

Наш спор был долгим и упорным что важнее: признаки равенства треугольников или подобия. Мы сделали следующий вывод – если бы не было признаков равенства треугольников, то не было бы и подобия. Такой вывод помог сделать нам древнегреческий филосов и математик Фалес Милетский, который доказал не толькоодин из признаки равенства треугольников, но а также один из основных признаков подобие.

«Природа формулирует свои законы языком математики» Г.Галилей.

В наше время чтобы измерить высоту здание, найти расстояние мы не обходимся без гениальных идей Фалеса Милетского.

Прежде чем построить здание делают его уменьшенный макет, а уж потом его возводят в реальные размеры.

Защита проекта:

Уроки геометрии 8, 9, 10, 11 класс.

«Природа формулирует свои законы языком математики»  Г.Галилей

Защита проекта на конкурсе «Сделаем мир лучше»

Используемые источники в написание проекта.

1. Энциклопедия «Аванта» по математике. 2004 г

2. «Википедия» свободная энциклопедия. http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница

3. http://to-name.ru/biography/biografii.htm

4. Глейзер Г.И. «История математики в школе 7-8 классах», Просвещение 1982 г.

5. http://nytva.taba.ru/page1291435753/fest/542212_OF_IV-6_Priznaki_ravenstva_treugolnikov_Geometriya_7_klass.html

6. ГусеваТ.М. Признаки подобия треугольников.- М.// Первое сентября, приложение«Математика», 1999, №28

7. Автор всех стихо Сусь Р.С.

Первый признак подобия треугольников. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Подобными называются такие треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника (см. рис. 1).

Рис. 1. Подобные треугольники

Отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого называется коэффициентом подобия (): .

На практике для установления подобия треугольников достаточно проверить некоторые равенства (см. рис. 1). Комбинации этих равенств называются признаками подобия треугольников. Таким образом, признаки подобия треугольников – это геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

На данном уроке мы рассмотрим первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство первого признака подобия треугольников

Дано:; ; ;  (см. рис. 2).

Доказать: подобие данных треугольников .

Рис. 2. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

Для доказательства подобия данных треугольников необходимо установить равенство соответствующих углов и равенство отношений соответствующих сторон, то есть: ; ; .

1) Из теоремы о сумме углов треугольника известно, что сумма внутренних углов треугольника равна

Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Признаки подобия треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия и равенства треугольников. Свойства подобных треугольников

Треугольник является самой простой замкнутой фигурой на плоскости. При изучении школьного курса геометрии рассмотрению его свойств уделяют особое внимание. В данной статье раскроем вопрос признаков подобия и равенства треугольников.

Какие треугольники называются подобными, а какие равными?

Логично предположить, что две рассматриваемые фигуры будут равны между собой, если они имеют все одинаковые углы и длины сторон. Что касается подобия, то здесь дело обстоит немного сложнее. Два треугольника будут подобны тогда, когда каждый угол одного будет равен соответствующему углу другого, а стороны, лежащие напротив равных углов обеих фигур, будут пропорциональны. Ниже изображен рисунок, на котором представлены два подобных треугольника.

Используя этот рисунок, запишем в виде математических равенств данное выше определение: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, здесь одна латинская буква означает угол, а две буквы — длину стороны. Величина r носит название коэффициента подобия. Понятно, что если r = 1, то имеют место не только подобные, но и равные треугольники.

Признаки подобия

Говоря о свойствах и признаках подобия и равенства треугольников, следует перечислить три основных критерия, по которым можно определить, являются ли рассматриваемые фигуры подобными или нет.

Итак, две фигуры будут подобными между собой, если выполняется одно из следующих условий:

1. Их два угла равны. Поскольку сумма углов треугольника эквивалентна 180^o, то равенство первых двух из них автоматически означает, что одинаковыми будут и третьи. Используя рисунок выше, этот признак можно записать так: если B = G и A = E, то ABC и GEF являются подобными. Если же в этом случае будут равными хотя бы по одной стороне обоих фигур, тогда можно говорить о полной эквивалентности треугольников.
2. Две стороны пропорциональны и углы между ними одинаковые. Например, BA / GE = AC / EF и A = E, тогда GEF и ABC будут подобными. Заметим, что углы A и E лежат между соответствующими пропорциональными сторонами.
3. Все три стороны взаимно пропорциональны. Излагая математическим языком, получаем: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, тогда рассматриваемые фигуры тоже являются подобными.

Отметим еще раз, что для доказательства подобия достаточно привести какой-либо один из представленных признаков. Логично, что все остальные будут выполняться также.

Прямоугольные треугольники: когда они подобны, а когда равны?

Говоря о признаках равенства и подобия прямоугольных треугольников, следует отметить сразу, что у каждого из них по одному углу уже равны (90^o).

Последний факт приводит к следующей формулировке изложенных выше критериев подобия:

1. Если в двух треугольниках прямоугольных равен всего один угол, который не является прямым, то такие фигуры подобны между собой.
2. Если катеты пропорциональны между собой, тогда фигуры тоже будут подобны, поскольку угол между катетами является прямым.
3. Наконец, пропорциональности всего двух любых сторон для обоих прямоугольных треугольников достаточно для доказательства их подобия. Причина этого заключается в том, что стороны данных фигур связаны между собой теоремой Пифагора, поэтому пропорциональность 2-х из них приводит к пропорциональности с аналогичным коэффициентом подобия и для третьих сторон.

Что касается равенства треугольников с прямыми углами, то здесь просто запомнить: если два каких-либо элемента (прямой угол не считается) обеих фигур равны, то равны и сами фигуры. Например, этими двумя элементами могут быть острый угол и катет, катет и гипотенуза или гипотенуза и острый угол.

Свойства треугольников подобных

Из рассмотренных признаков подобия и равенства треугольников свойства можно выделить такие:

1. Периметры этих фигур относятся друг к другу как коэффициент подобия, то есть P₁ / P₂ = r, где P₁ и P₂ — периметры 1-го и 2-го треугольников, соответственно.
2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть: S₁ / S₂ = r², где S₁ и S₂ — площади 1-го и 2-го треугольников, соответственно.

Оба эти свойства можно доказать самостоятельно. Суть доказательства сводится к применению математической записи подобия между сторонами фигур. Здесь приведем лишь доказательство 1-го свойства.

Пусть a, b, c — длины сторон одного треугольника и a’, b’, c’ — стороны второго. Поскольку фигуры подобны, то можно записать: a = r * a’, b = r * b’, c = r * c’. Теперь эти выражения подставим в отношении их периметров, получим: P₁ / P₂ = (a + b + c) / (a’ + b’ + c’) = (r * a’ + r * b’ + r*c’) / (a’ + b’ + c’) = r(a’ + b’ + c’) / (a’ + b’ + c’) = r.

Пример решения задачи

Признаки подобия и равенства треугольников можно использовать для решения различных геометрических задач. Ниже приводится один из примеров.

Имеются два треугольника. У одного из них стороны равны 7,6 см, 4,18 см и 6,65 см, а у другого 3,5 см, 2,2 см и 4 см. Необходимо определить, подобны ли эти фигуры.

Поскольку даны значения трех сторон, то можно сразу проверить 3-й критерий подобия. Сложность здесь состоит в том, что нужно понять, между какими сторонами брать отношения. Тут следует воспользоваться простыми логическими рассуждениями: коэффициенты подобия могут быть равными, если делить самую маленькую сторону одного треугольника на аналогичную для другого и так далее. Поэтому имеем: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Проверив отношение всех сторон, можно с уверенностью сказать, что треугольники являются подобными, поскольку выполняется 3-й критерий.

Треугольник — Википедия

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)^[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла^[2]. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n{\displaystyle n}-мерной геометрии аналогом треугольника является n{\displaystyle n}-й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Вершины, стороны, углы[править | править код]

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A,B,C{\displaystyle A,B,C}, а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A{\displaystyle A}, B{\displaystyle B} и C{\displaystyle C} обозначается как ΔABC{\displaystyle \Delta ABC}. Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: AB=c{\displaystyle AB=c}, BC=a{\displaystyle BC=a}, CA=b{\displaystyle CA=b}.

Треугольник ΔABC{\displaystyle \Delta ABC} имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α{\displaystyle \alpha }, β{\displaystyle \beta }, γ{\displaystyle \gamma }).

Внешним углом DCA{\displaystyle DCA} плоского треугольника ABC{\displaystyle ABC} при данной вершине C{\displaystyle C} называется угол, смежный внутреннему углу ACB{\displaystyle ACB} треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0{\displaystyle 0} до 180∘{\displaystyle 180^{\circ }}.

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников[править | править код]

По величине углов[править | править код]

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180∘{\displaystyle 180^{\circ }}, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90∘{\displaystyle 90^{\circ }}). Выделяют следующие виды треугольников^[2].

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90∘{\displaystyle 90^{\circ }}), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90∘{\displaystyle 90^{\circ }}), то треугольник называется ‘тупоугольным.’Остальные два угла, очевидно, острые (треугольников с двумя тупыми или прямыми углами быть не может).

По числу равных сторон[править | править код]

• Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Медианы, высоты, биссектрисы[править | править код]

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник. Длину медианы mc,{\displaystyle m_{c},} опущенной на сторону c,{\displaystyle c,} можно найти по формулам:

mc=122(a2+b2)−c2=12a2+b2+2abcos⁡γ;{\displaystyle m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};}      для других медиан аналогично.

• Высота в треугольниках различного типа

• 

  Высоты пересекаются в ортоцентре

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты hc{\displaystyle h_{c}}, опущенной на сторону c{\displaystyle c}, можно найти по формулам:

hc=bsin⁡α=asin⁡β{\displaystyle h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta };      для других высот аналогично.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:^[3]:p.64

hc=ab2R,ha=bc2R,hb=ca2R{\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{2R}},\quad h_{a}={\frac {bc}{2R}},\quad h_{b}={\frac {ca}{2R}}}.

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам^[4].

Длину биссектрисы lc{\displaystyle l_{c}}, опущенной на сторону c{\displaystyle c}, можно найти по одной из формул:

lc=ab(a+b+c)(a+b−c)a+b=2abp(p−c)a+b{\displaystyle l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}}, где p{\displaystyle p} — полупериметр.

lc=2abcos⁡γ2a+b{\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}.

lc=hccos⁡α−β2{\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}};     здесь hc{\displaystyle h_{c}} — высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника^[4].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной R{\displaystyle R} и вписанной r{\displaystyle r} окружностей.

r=Sp,{\displaystyle r={S \over p},} где S{\displaystyle S} — площадь треугольника, p{\displaystyle p} — его полупериметр.

r=(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)4(a+b+c){\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}}}

R=a2sin⁡α=b2sin⁡β=c2sin⁡γ{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}}

R=abc4S=abc4p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}},

1r=1ha+1hb+1hc{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}

где ha{\displaystyle h_{a}} и т. д. — высоты, проведённые к соответствующим сторонам;^[3]:p.79

Ещё два полезных соотношения:

rR=4S2pabc=cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ−1;{\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}^[5]

2Rr=abca+b+c{\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}.

Существует также формула Карно^[6]:

R+r=ka+kb+kc=12(dA+dB+dC){\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C})},

где ka{\displaystyle k_{a}}, kb{\displaystyle k_{b}}, kc{\displaystyle k_{c}} — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} треугольника, dA{\displaystyle d_{A}}, dB{\displaystyle d_{B}}, dC{\displaystyle d_{C}} — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A{\displaystyle A}, B{\displaystyle B}, C{\displaystyle C} треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны a{\displaystyle a} треугольника равно:

ka=a/(2tg⁡A){\displaystyle k_{a}=a/(2\operatorname {tg} A)};

расстояние от ортоцентра например до вершины A{\displaystyle A} треугольника равно:

dA=a/tg⁡A{\displaystyle d_{A}=a/\operatorname {tg} A}.

Применение теоремы Пифагора в повседневной жизни | Математика, Алгебра, Геометрия

Применение теоремы Пифагора в повседневной жизни

Автор: Гасанова Елена Николаевна

Организация: МБОУ СОШ №35 им. Героя Советского Союза Д.Ф. Чеботарёва

Населенный пункт: Воронежская область, г. Воронеж

С помощью теоремы Пифагора, которая рассматривается в школьном курсе геометрии, можно решать не только задачи математические, но и задачи, связанные с повседневной жизнью.

Поэтому я бы хотела показать различные области применения теоремы Пифагора.

Формулировка теоремы Пифагора

Площадь квадрата гипотенузы равна сумме квадратов его катетов.

Изучение вавилонских клинописных табличек и древнекитайских рукописей (древних рукописных копий и того более) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него.

Есть такое понятие, как «египетский треугольник». Его особенностью считается строгое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике 3:4:5. Это соотношение было известно египтянам около 2300 лет до н.э. 3²+^{42=52. Одни предполагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие отказывают ему в этой заслуге.}

Применение в жизни

Задачи в курсе физики средней школы требуют знания теоремы Пифагора.

Задача из курса физики за 9 класс:

Когда биатлонист стреляет по мишени, он делает «поправку на ветер». Если ветер дует справа, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из т. Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.

Сотовая телефонная связь.

Все понимают, что сейчас мобильный телефон очень важный атрибут жизни современного человека. Каждому абоненту важна качественная сотовая связь. А качество зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, задействуем теорему Пифагора.

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB = x, BC=R= 200 км, OC

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Значение этой теоремы заключается в том, что при ее помощи можно вывести большую часть теорем в геометрии. Ценность ее в современном мире также велика, поскольку теорема Пифагора применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при расположении молниеотводов на крышах зданий, при производстве окон некоторых архитектурных стилей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.

Для того чтобы разобраться в теореме, названной именем греческого философа, нужно рассмотреть одно из ее доказательств. В настоящее время известно более полутора сотен доказательств теоремы. Мы же остановимся на одном из самых понятных и простых – геометрическом доказательстве теоремы Пифагора.

Итак, изобразим прямоугольный треугольник АВС, прямой угол которого расположен в точке С. АС и ВС – катеты треугольника, а АВ – его гипотенуза.

Далее, опустим на гипотенузу АВ высоту СН с прямым углом и увидим, что точка Н делит гипотенузу на два отрезка АН и НВ. В итоге образуются равные прямые углы АСВ и АНС, а САВ и САН – равные острые углы. Таким образом, мы получаем две пары подобных треугольников АНС и АСВ, ВНС и ВСА.
Отсюда следуют пропорции:

Проводим соответствующее вычисление:

ВС? = ВН*АВ,
АС? = АН*АВ

Получается следующее:

ВС? + АС? = АВ(ВН+АН),

а в связи с тем, что АВ=ВН+АН, получается теорема Пифагора, формула которой такова:

ВС? + АС? = АВ?

Формулировка теоремы Пифагора согласно формуле звучит следующим образом:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Разобравшись с доказательством, некоторые из вас, несомненно, задались вопросом: почему столь важная теорема в мире математики, называется именем Пифагора? А все потому, что ее создателем ранее считался именно греческий философ Пифагор Самосский. Но на сегодняшний день доказано, что до открытия теоремы Пифагором, информация о ней упоминалась в древнем Китае, Вавилоне, Индии, а самые ранние сведения пришли из Египта. К сожалению, математическая история практически не сохранила достоверных знаний о происхождении одной из важнейших теорем геометрической науки. Тем не менее, Пифагору нужно отдать должное. Несмотря на то, что свойство прямоугольного треугольника он не открыл, но именно Пифагор первым обобщил имеющиеся сведения, благодаря чему каждый из нас без труда сумеет разобраться в теореме Пифагора.

Любите читать? репетитор по литературе (http://nam-pokursu.ru/tutors/repetitor-po-literature.html) поможет повысить ваши навыки во владении литературой.

Практическое применение теоремы Пифагора

МБОУ СОШ № 1 им. С.Соболя г. Ейска МО Ейский район

Практическое применение теоремы Пифагора

Горбаконь Д. А.

Содержание

1. Введение.

2. Способы доказательства теоремы.

3. Применение теоремы на практике.

4. Список литературы.

Введение

Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной.

Рассмотрю примеры практического применения теоремы Пифагора. Не буду пытаться привести все примеры использования теоремы — это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Способы доказательства теоремы.

Приведу несколько простых доказательств теоремы.

Введем обозначения:
A, B, C — углы треугольника, причем, B = 90°,
a, b, c — противолежащие стороны,
R — радиус описанной окружности,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр, (a + b + c) / 2,
S — площадь треугольника.
Теорема Пифагора:
b² = a² + c²

На приведенном ниже рисунке показана геометрическая интерпретация теоремы Пифагора.

1. Самое простое доказательство теоремы Пифагора.

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна a + c.

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны»:

2. Доказательство индийского математика Бхаскари.

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a и c, как показано на рисунке.

Сторона маленького квадрата, получившегося в центре, равна c — a, тогда:
b² = 4*a*c/2 + (c-a)² =
   = 2*a*c + c² — 2*a*c + a² =
   = a² + c²

Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Но мы разберем это доказательство более подробно:

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b).

Используйте формулу площади квадрата S=c², чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b)²2+4*1\2*a*b.

Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c²=(a-b)²+4*1\2*a*b. В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c²=a²+b². Теорема доказана.

4. «Стул невесты».

Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» — из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

Рис.1.

Рис. 2.

В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a.

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c²=a²+b².

5. Метод Гарфилда.

Постройте прямоугольный треугольник АВС. Нам надо доказать, что ВС²=АС²+АВ².

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD, который равен катету АВ. Опустите перпендикулярный AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В, а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S_ABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС².

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S_ABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD.

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC²=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC²=1/2(АВ+АС)². А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC²=1/2АС²+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ². Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС²=АС²+АВ². Мы доказали теорему.

Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

6. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора (доказательство Мёльманна).

Площадь прямоугольного треугольника
S = a*c/2 (3.1)

С другой стороны:
S = r*p, где
r — радиус вписанной окружности, r = (a+c-b)/2.
p — полупериметр.

Таким образом:
S = r*p = (a+b+c)/2 * (a+c-b)/2 =
  = (a²+2*a*c+c²-b²)/4

С учетом (3.1):
a*c/2 = (a²+2*a*c+c²-b²)/4

Приводя к общему знаменателю и перенося в левую часть, получим:
a²+c²-b² = 0, или
a²+c² = b²

Применение теоремы на практике.

Строительство

Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.

По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.

Крыша

В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC — равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 мЕсли предположить, что FD=1,5 м, тогда:

А) Из треугольника DBC: DB=2,5м

Б) Из треугольника ABF:

Как рассчитать высоту шкафа-купе?

На первый взгляд ничего особенного: снять размеры высоты от пола до потолка в нескольких точках, отнять несколько сантиметров, чтобы шкаф не упирался в потолок. Поступив так, в процессе сборки мебели могут возникнуть трудности. Ведь сборка каркаса мебельщики выполняют, располагая шкаф в горизонтальном положении, а когда каркас собран, поднимают его в вертикальное положение. Рассмотрим боковую стенку шкафа. Высота шкафа должна быть на 10 см меньше расстояния от пола до потолка при условии, что это расстояние не превышает 2500 мм. А глубина шкафа – 700 мм. Почему на 10 см, а не на 5 см или на 7, и причем здесь теорема Пифагора?

Итак: боковая стенка 2500-100=2400(мм)- максимальная высота конструкции.

Боковая стенка в процессе подъема каркаса должна свободно пройти как по высоте, так и по диагонали. По теореме Пифагора

АС= √ АВ² + ВС²

АС= √ 2400²+ 700² = 2500 (мм)

Что произойдет если высоту шкафа уменьшить на 50 мм?

АС= √ 2450²+ 700 ²= 2548 (мм)

Диагональ 2548 мм. Значит, шкаф не поставишь (можно испортить потолок).

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h² ≥ a²+b², значит h ≥ (a²+b²)^½.
Ответ: h ≥ (a²+b²)^½

Астрономия

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч — прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Вопрос: на сколько успеет сместиться точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t’, а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:

v * t’ = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:

c * t’ = s

Здесь c — это скорость света, а t’ — это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.
Получаем уравнение:

s² = l² + d²

Это ведь просто теорема Пифагора, верно?

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.

Список литературы

1. «Успехи математических наук», 1962, т. 17, № 6 (108).

2. Александр Данилович Александров (к пятидесятилетию со дня рождения),

3. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 1992.

4. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 1992.

5. Владимиров Ю.С. Пространство – время: явные и скрытые размерности. – М.: «Наука», 1989.

6. Волошин А.В. Пифагор. – М.: Просвещение, 1993.

7. Газета «Математика», № 21, 2006.

8. Газета «Математика», № 28, 1995.

9. Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. сред.шк./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992.

10. Геометрия: Учеб.для 7 – 9 кл. общеобразоват. Учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1996.

11. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX – Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.

12. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.

13. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.

14. Киселёв А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Планиметрия: 7 – 9 кл.: Учебник и задачник. – М.: Дрофа, 1995.

15. Клайн М. Математика. Поиск истины: Перевод с англ. / Под ред. и предисл. В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. – М.: Мир, 1998.

16. Литурман В. Теорема Пифагора. – М., 1960.

17. Математика: Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Перевод с нем. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2003.

18. Пельтуер А. Кто вы Пифагор? – М.: Знание – сила, № 12, 1994.

19. Перельман Я. И. Занимательная математика. – М.: «Наука», 1976.

20. Пономарёва Т.Д. Великие учёные. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2002.

21. Свешникова А. Путешествие в историю математики. – М., 1995.

22. Семёнов Е.Е. Изучаем геометрию: Кн. Для учащихся 6 – 8 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1987.

23. Смышляев В.К. О математике и математиках. – Марийское книжное издательство, 1977.

24. Тучнин Н.П. Как задать вопрос. – М.: Просвещение, 1993.

25. Черкасов О.Ю. Планиметрия на вступительном экзамене. – М.: Московский лицей, 1996.

26. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1985.

27. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. /Глав. Ред. М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта +, 2001.

Исследовательская работа по математике «Практическое применение теоремы Пифагора»

МОУ «Горская средняя общеобразовательная школа»

Тема: Практическое применение теоремы Пифагора

Автор: Мотченко Руслан Иванович,

ученик 11 класса МОУ «Горская СОШ»

Руководитель: Токорева Галина Петровна

Учитель математики МОУ «Горская СОШ»

Горки 2015 год

Актуальность темы

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.

Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

По выражению известного ученого Иоганна Кеплера, «геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Цель исследования — выяснить области применения теоремы Пифагора.

Предмет исследования: применение Теоремы Пифагора при решении практических задач.

Гипотеза исследования — с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи.

Исходя из вышеназванной цели, были обозначены следующие задачи:

1. Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить области применения теоремы.

2. Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.

3. Показать применение теоремы при решении исторических задач.

Решить прикладные задачи по укреплению недавно посаженных молодых елей и туй и молниеотвода.

Биография Пифагора

Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист. Родился на острове Самос. Получил хорошее образование. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и как будто прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Предания приписывают Пифагору посещение и Индии. Это очень вероятно, так как Иония и Индия тогда имели торговые связи. Возвратившись на родину (ок. 530 г. до н. э.), Пифагор попытался организовать свою философскую школу. Однако по неизвестным причинам он вскоре оставляет Самос и селится в Кротоне (греческая колония на севере Италии). Здесь Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством. Статут пифагорейского союза был очень суровым. Каждый, кто вступал в него, отказывался от личной собственности в пользу союза, обязывался не проливать крови, не употреблять мясной пищи, беречь тайну учения своего учителя. Членам школы запрещалось обучать других за вознаграждение. По своим философским взглядам Пифагор был идеалистом, защитником интересов рабовладельческой аристократии. Возможно, в этом и заключалась причина его отъезда из Самоса, так как в Ионии очень большое влияние имели сторонники демократических взглядов. В общественных вопросах под «порядком» пифагорейцы понимали господство аристократов. Древнегреческую демократию они осуждали. Пифагорейская философия была примитивной попыткой обосновать господство рабовладельческой аристократии. В конце V в. до н. э. в Греции и ее колониях прокатилась волна демократического движения. Победила демократия В Кротоне. Пифагор вместе с учениками оставляет Кротон и уезжает в Тарент, а затем в Метапонт. Прибытие пифагорейцев в Метапонт совпало со вспышкой там народного восстания. В одной из ночных стычек погиб почти девяностолетний Пифагор. Его школа прекратила свое существование. Ученики Пифагора, спасаясь от преследований, расселились по всей Греции и ее колониям. Добывая себе средства к существованию, они организовывали школы, в которых преподавали главным образом арифметику и геометрию. Сведения об их достижениях содержатся в сочинениях позднейших учёных — Платона, Аристотеля и др.

Открытие того факта, что между стороной и диагональю квадрата не существует общей меры, было самой большой заслугой пифагорейцев. Этот факт вызвал первый кризис в истории математики. Пифагорейское учение о целочисленной основе всего существующего больше нельзя было признавать истинным. Поэтому пифагорейцы пытались сохранить своё открытие в тайне и создали легенду о гибели Гиппаса Мессопотамского, который осмелился разгласить открытие. Пифагору приписывают еще ряд важных в то время открытий, а именно: теорему о сумме внутренних углов треугольника; задачу о делении плоскости на правильные многоугольники (треугольники, квадраты и шестиугольники). Есть сведения, что Пифагор построил «космические» фигуры, т. е. пять правильных многогранников. Но вероятнее, что он знал только три простейших правильных многогранника: куб, четырехгранник, восьмигранник. Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй». Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца». Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника «ложным пифагорейским учением».

История теоремы

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку.»

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Теорема Пифагора в древних практических задачах

1.Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока.( 3 3/4 фута)

2. Из учебника»Арифметика» на Руси.

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.(44 стопы)

3. Задача индийского математика XII века Бхаскары

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота? (3+5 футов)

Строительство

Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны

и. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна +p, один катет равен, а другой. По теореме Пифагора имеем: или , откуда Разделив на b и приводя подобные члены, получим: .

Применяется теорема Пифагора при расчете длины стропил при постройке крыши, установке вертикальной мачты. (Приложение 2)

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение:
По теореме Пифагора h² ≥ a²+b², значит h ≥
Ответ: h ≥

В нашей местности летом часто бывают сильные грозы, поэтому я решил разработать модель молниеотвода для моей времянки. Я измерил высоту и ширину крыши. Известно, что молниеотвод защищает все предметы, расстояние до которых не превышает его удвоенной высоты, т. е. c≤2h, а h≥c/2.

а=5м, b=4 м

с=a²+b²=5²+4²=41 м

h≥√41/2≈6,4 /2=3,2 м

Значит, минимальная высота молниеотвода должна быть 3,2 м

^{Астрономия}

^{12 апреля 1961 года советский гражданин Ю. А. Гагарин на космическом корабле «Восток» был поднят над землей на максимальную высоту 327 км. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удаленные от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли считать равным 6400 км.)}

^{Решение:} Из прямоугольного следует, AD=

Была рассмотрена задача о прохождении светового луча, где системой отсчета был космический корабль. (Приложение № 3)

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

^{География}

^{Задача 1. Вычислите высоту слоя воды над линией, соединяющей две противоположные точки берега озера Севан, расстояние между которыми 90 км. Замечание. Следует иметь в виду, что поверхность воды озера не плоская, а является частью сферы радиуса 6375 км.}

Решение: Из Тогда DC=0,159

Задача 2. (Приложение № 4)

При проведении токарных и столярных работ

Задача 1. Имеется цилиндрическая заготовка большого диаметра. Как вычислить диаметр этой заготовки, пользуясь штангенциркулем?

Решение: прямоугольный, так как угол СМЕ=, МВ перпендикулярно СЕ, следовательно, МВ²=ВЕ·ВС. Из рисунка видно, что ВМ= BC=h, a BE=D-h. Получаем, что или

.

Задача 2 (Приложение №5)

В армии

Задача. Параллельно стенду на расстоянии 500 м от него расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полета пули равна2,8 км. Какой участок стенда находится под обстрелом этой цепи?

Решение: Пусть АВ – расстояние между крайними стрелками, т.е. АВ=120 м, АК=ВЕ=500 м, AD=BC=2800 м. Из треугольника AKD по теореме Пифагора следует, что DK 2755 м, откуда DC=2DK+AB5630 м.

В сельском хозяйстве

Задача. В дождевальной установке дождеватели расположены по так называемой квадратной схеме.

При каком максимальном расстоянии d между дождевателями установка будет орошать все поле, если один дождеватель орошает круг радиуса r?

Решение: На рисунке расстояние слишком велико. Расположим дождеватели так, как показано на следующем рисунке. Это наилучший вариант , поскольку при малейшем удалении дождевателей друг от друга образуются неорошаемые участки, т.е. 2d²=(2r²), откуда d=r.

В стереометрии:

1. Куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d=, d=a. Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d² = a² + b² + c²

2. Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата — а, и высота пирамиды — h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов — высота h, а другой — половина диагонали квадрата  Вследствие этого имеем: s=. Затем можем вычислить высоту h₁ боковых граней. h₁= .

Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими — большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ.

Работы по озеленению школы

Осенью мы возле школы посадили молодые ели и туи. Осень выдалась с сильными ветрами и наши деревца стали наклонятся. Чтобы деревья выросли стройными, мы решили укрепить их с помощью шпагата. Нам нужно было узнать, сколько метров шпагата нужно. Воспользовались задачей об установке вертикальной мачты. Измерили высоту, на которой будем крепить шпагат и расстояние от ствола. ВС=1,5 м, АВ=1,2 м. По теореме Пифагора АС=

Значит, для укрепления одного дерева нужно 1,92 м. Всего мы укрепили 12 деревьев, поэтому 1,9212=23,04 м.

Заключение

Теорема Пифагора — одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Теорема Пифагора замечательна тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b². Уникальна не только теорема Пифагора, но и то, как широко она применяется. Очень интересна и биография Пифагора. Сам факт, что Пифагор — это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор — «убеждающий речью».) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора. Хотя это были лишь современники, а что говорить о них, если она уже на протяжении многих веков завораживает всё человечество своей красотой и лаконичностью.

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9, М.: Просвещение, 2009, с.383

2. Варданян С.С. История математики в школе. М.: Просвещение, 1989

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1982

4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979

5. Поповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике. М.: Просвещение, 1995

6. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка/ Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С., М.: Просвещение, 1988

7. http://encyklopedia.narod.ru/bios/nauka/pifagor.html

8. http:moypifagor.narod.ru/use.htm

Приложения

Приложение № 1

Анкета включала в себя вопросы:

Диаграмма № 1 «Результаты анкетирования учащихся»

Диаграмма № 2 «Результаты анкетирования учителей»

Диаграмма № 3 «Результаты анкетирования родителей»

Приложение № 2

Крыша

В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC — равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 м. Если предположить, что DF=1,5 м, тогда:

А) Из треугольника DBC: DB=2,5м

м

Б) Из треугольника ABF:

Установка вертикальной мачты

Задача 1. Вертикальная мачта поддерживается четырьмя канатами, прикрепленными к ней на расстоянии 16 м от земли и к земле на расстоянии 12 м от основания мачты. Сколько метров каната потребовалось для укрепления мачты, если на узлы пошло 10 м?

Решение: По теореме Пифагора из ВАС ВС == =20 м. Учитывая, что всего 4 каната и на узлы пошло 10 м, всего потребуется 90 м каната.

Задача 2. Для установки мачты телевизионной антенны изготовлены тросы длиной l = 20,2см. Тросы крепятся к этой мачте на высоте h=18,62 м. На каком расстоянии от основания мачты надо укрепить концы троса?

Решение: Искомое расстояние x=7,8 м.

Приложение № 3

^{Путь светового луча}

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч — прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t‘, а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:

v * t‘ = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:

c * t‘ = s

Здесь c — это скорость света, а t‘ — это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.

Получаем уравнение:

s² = l² + d²

Это ведь просто теорема Пифагора, верно?

Приложение №4

Задача 2. От пристани одновременно отплыли два парохода: один на юг со скоростью 16 морских миль в час, а другой на запад со скоростью 12 морских миль в час. Какое расстояние будет между пароходами через 2,5 ч (1 морская миля=1,85 км.)

Решение:В прямоугольном AD=12·2,5, AK=16·2,5, KD= откуда KD=50 морских миль92,5 км

Приложение № 5

Задача 2. Две рейки соединены под прямым углом. Как с помощью полученного приспособления найти диаметр круга, центр и большая часть окружности которого находятся вне листа?

Решение: Пользуясь решением предыдущей задачи, можно написать (d-BC)BC=AB² (d-диаметр круга), откуда d=

Better Explained: удивительные применения теоремы Пифагора / Newtonew: новости сетевого образования

Теорема Пифагора — настоящая знаменитость в мире математики: уж если её формула засветилась в сериале «Симпсоны», она точно известна всем.

Большинство считает, что формула теоремы Пифагора применима только в геометрии и только к треугольникам. Скорее всего, при упоминании этой теоремы вы вспоминаете что-то такое:

Источник: Википедия

А теперь вдумайтесь: теорема Пифагора работает для любых фигур и для всех квадратных уравнений.

Если вы продолжите читать статью, вы узнаете, как эта теорема возрастом в 2,5 тысячи лет может помочь нам разобраться в информационных технологиях, физике и даже в полной мере оценить силу социальных сетей.

Идём к пониманию площади

Всегда увлекательно посмотреть на привычное под новым углом. К примеру, до написания этой статьи я никогда не задумывался о глубинном понятии такого явления, как «площадь фигуры». Да, мы можем помнить формулы, но вот понимаем ли мы саму природу площади?

Удивительно, но площадь любой фигуры может быть вычислена путём возведения в квадрат любого линейного сегмента. Линейный сегмент — это отрезок прямой, который мы выбираем в геометрической фигуре. Например, в качестве линейного сегмента квадрата мы выбрали сторону. Тогда площадью квадрата является квадрат его стороны (сторона = 5, площадь = 25). В качестве линейного сегмента круга можно взять радиус, и тогда площадью круга будет являться число π, умноженное на квадрат его радиуса (радиус = 5, площадь = 25π). Куда проще?

Мы можем взять любой линейный сегмент и с его помощью вычислить площадь: каждый линейный сегмент, возведённый в квадрат, даст нам величину площади фигуры, если его помножить на определённый коэффициент. Так мы получаем универсальную формулу расчёта площади фигуры:

Площадь фигуры = Коэффициент * (линейный сегмент)²

Посмотрите на диагональ d квадрата. Сторона квадрата при этом будет вычисляться как d, поделённая на √2. В этом случае площадь квадрата будет вычисляться как 1/2 d². Если мы хотим использовать диагональ фигуры в качестве линейного сегмента, нашим коэффициентом будет являться число 1/2.

А теперь в качестве линейного сегмента используем периметр p. Сторона квадрата — это p/4, значит, его площадь вычисляется по формуле p²/16. В этом случае коэффициентом для p² будет являться 1/16.

А можно взять вообще любой линейный сегмент?

А как же! Между «традиционным» сегментом (ну, например, стороной квадрата) и любым другим по вашему вкусу (скажем, периметром) всегда существует взаимосвязь (несложно догадаться, что периметр будет равен четырём сторонам квадрата). Если мы можем конвертировать новый сегмент в традиционный, площадь вычисляется легко — изменится лишь коэффициент в уравнении.

А можно взять вообще любую геометрическую фигуру?

Почти. Универсальная формула работает для всех подобных фигур — тех, что являются увеличенными или уменьшенными версиями одной и той же фигуры. Ну, например:

Все квадраты похожи друг на друга (площадь квадрата — всегда квадрат одной его стороны). Все круги похожи друг на друга (площадь круга — всегда π*r²). Треугольники не похожи друг на друга: они бывают вытянутыми или плоскими, «толстенькими» и «тоненькими», и у каждого треугольника — свой коэффициент для вычисления площади в зависимости от того, какой линейный сегмент вы выбрали. Измените форму треугольника, изменится и уравнение.

В целом все треугольники подчиняются правилу «площадь = 1/2 основания * высоту». Но отношения между основанием и высотой зависят от вида треугольника, поэтому и коэффициент в универсальной формуле будет всегда разным.

Почему для сохранения универсальности уравнения необходимы подобные фигуры? Интуитивно понятно, что при масштабировании фигуры вы меняете её размер, но сохраняете пропорции. Периметр квадрата всегда будет вычисляться умножением размера его стороны на 4.

Поскольку коэффициент в формуле площади основывается на отношениях между элементами фигуры, формула будет работать для всех фигур с одинаковыми пропорциями (подобными фигурами). Это как сказать, что полный размах рук человека приблизительно соответствует его росту — вне зависимости от того, кто перед нами, ребёнок или баскетболист.

Источник: Википедия

Так вот, основная концепция расчёта площади фигуры может быть выражена в следующих трёх постулатах:

• Площадь фигуры вычисляется с помощью возведения в квадрат любого её линейного сегмента.
• У каждого линейного сегмента будет свой коэффициент в универсальной формуле.
• Одна и та же формула расчёта площади работает для всех подобных фигур.

Интуитивное понимание теоремы Пифагора

Никто не спорит с тем, что теорема Пифагора работает. Но почти все её доказательства основаны на механических действиях: переставляем местами фигуры, и вуаля! — уравнение всё равно работает. Давайте подумаем: вам правда интуитивно понятно, что уравнение должно выглядеть как a² + b² = c²? А почему не 2a² + b² = c²? Давайте попробуем найти в этом смысл.

Для начала нам понадобится осознать и принять удивительный факт: любой прямоугольный треугольник можно разбить на два подобных прямоугольных треугольника.

Круто, да? Всего один опущенный перпендикуляр, и один треугольник превращается в две свои маленькие копии.

Собственно, этот пример говорит нам об очень простой вещи:

Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)

Маленькие треугольники были получены из большого, поэтому мы просто складываем их площади. И да, самое главное: поскольку треугольники подобны, для них действует одна и та же формула вычисления площади.

Давайте назовём длинную сторону (с длиной 5) — с, среднюю сторону (с длиной 4) — b, и короткую сторону (с длиной 3) — a. Формула площади для этих треугольников выглядит так:

Площадь = F*гипотенуза²,

где F — это множитель (в этом случае — 6/25 или 0,24). С формулой можно поиграть:

Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)

Fc² = Fb² + Fa²

Просто уберите F, и вы получите:

c² = b² + a²

Ой, так это же наша любимая теорема! Мы знали, что она нас не подведёт, но теперь мы понимаем, почему:

• Треугольник можно разбить на два маленьких подобных треугольника
• Поскольку площади малых треугольников складываются, квадраты гипотенуз также складываются.

Конечно, теорема Пифагора работает только в Евклидовой геометрии и не может применяться, например, к сферам. Но об этом нужно поговорить в другой раз.

Применение теоремы: Возьмём любую фигуру

Ранее мы использовали простую плоскую фигуру — треугольник. Но ведь линейный сегмент можно извлекать из абсолютно любой фигуры. Возьмём, к примеру, круг. На изображении мы видим три разных круга с радиусами, равными сторонам нашего пифагоровского треугольника.

Можно ли с большим кругом поступить так же, как мы поступили с большим треугольником — сложить площади меньших кругов? При этом мы будем помнить, что площадь каждого маленького круга мы можем высчитать, используя квадрат известного нам линейного сегмента, умноженный на конкретный коэффициент — в данном случае это будет число Пи.

Да-да, всё верно: Площадь круга радиусом 5 = Площадь круга радиусом 4 + Площадь круга радиусом 3.

Мы запросто подставляем в формулу нужный коэффициент, и она всё ещё работает.

Помните, что в качестве линейного сегмента может выступать любой элемент плоской фигуры. Вы могли выбрать радиус, диаметр или длину окружности — изменился бы только коэффициент, но отношения 3-4-5 остались бы неизменными.

Теорема Пифагора позволяет находить соотношение площадей любых подобных фигур. Это то, чему нас не учат в школе.

Применение теоремы: сохранение квадратов

Теорема Пифагора применяется к любому квадратному уравнению. Подобно тому, как вы разбиваете треугольники, вы можете разбить квадрат любого количества чего угодно (c²) на более малые его доли (a²+b²). Этим «чем угодно» может быть расстояние, энергия, человекочасы, время или количество пользователей в социальной сети.

Социальные сети.

Есть такой закон — закон Меткалфа, формулирующий уровень полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней. Например:

Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей

Кажется удивительным, что полезность социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух соцсетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно.

Информационные технологии.

Некоторым программам требуется n² времени для обработки n запросов. Другими словами:

50 запросов = 40 запросов + 30 запросов

Удивительно, но 70 элементов данных, разбитые на две группы, будут обработаны так же быстро, как одна группа из 50 элементов. Именно поэтому имеет смысл сортировать элементы по группам и подгруппам. Эта особенность используется почти во всех алгоритмах сортировки. Теорема Пифагора помогает понять, почему сортировка 50 элементов сразу менее эффективна, чем сортировка этого же количества элементов по отдельности.

Площадь поверхности.

Площадь поверхности сферы определяется как 4πr². Что это значит?

Площадь радиусом 50 = Площадь радиусом 40 + Площадь радиусом 30

В жизни нам встречается не так уж и много сфер, но вот портовым работникам это знание весьма полезно (в конце концов, корпус любого судна — это деформированная сфера). Количеством краски, необходимой для 50-тифутовой яхты, можно окрасить две яхты длиной 40 и 30 футов.

Физика.

Если вспомнить школьные уроки физики, можно привести в пример формулу расчёта кинетической энергии объекта массой m при скорости v: 1/2mv². Применяем теорему Пифагора.

Энергия при скорости в 500 км/ч = Энергия при скорости в 400 км/ч + Энергия при скорости в 300 км/ч

Значит, одного и того же количества энергии хватает либо на запуск одного предмета на скорости 500 км/ч, либо на запуск двух других на меньшей скорости.

Попробуйте сами

В теорему Пифагора можно подставлять абсолютно любые цифры. Она может помочь нам и в повседневной жизни. Например, мы никак не можем выбрать: заказать большую пиццу диаметром 50 см или две диаметром 30 см? Мы с теоремой уже знакомы хорошо и нас не обмануть: площадь одной пиццы в 50 см будет действительно больше, чем площадь двух пицц по 30 см в диаметре (можете проверить, мы не обманываем). Всегда можно подставить другие цифры, а для ленивых есть простой и удобный калькулятор.

Наслаждайтесь

Со школьной скамьи мы уверены, что теорема Пифагора — это что-то о треугольниках и геометрии. Мы с вами вместе убедились, что это не так.

Помните, что стороны прямоугольного треугольника могут превратиться в линейный сегмент любой фигуры, и стать переменными в любом квадратном уравнении. И это ошеломительно.

Спасибо великолепной статье на BetterExplained.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Теорема Пифагора в жизни человека

Слайд 1

Слайд 2

« Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь , как в день её рожденья.» А.Шамиссо.

Слайд 3

Цель работы Изучить историю теоремы Пифагора Найти различные доказательства теоремы Изучить области её применения Привести примеры решения задач на теорему Пифагора

Слайд 4

Формулировки теоремы «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол». Евклид «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол». перевод Г.Клемонского /12век/ «Площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу». « Geometria Culmonensis » /около 1400г/ «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол». перевод Ф.И.Петрушевского /первый русский перевод/

Слайд 5

Доказательства теоремы Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликие фигуры Доказательства методом разложения Доказательства методом построения Алгебраический метод доказательства Доказательства методом дополнения Доказательство, основанное на теории подобия Другие доказательства

Слайд 6

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана. Простейшее доказательство

Слайд 7

Доказательство Энштейна Метод разложения Его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Слайд 8

Доказательство методом построения Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ.

Слайд 9

Алгебраический метод доказательства. На рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM принадлежит AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того, что треугольник ABC подобен треугольнику ACM следует b 1 /b = b/c b 2 = cb 1 ; (1) Из того, что треугольник ABC подобен треугольнику BCM следует a 1 /a = a/c a 2 = ca 1 . (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = =c(b 1 + a 1 ) = c 2 .

Слайд 10

Доказательство Мёльманна Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна ½ а b , с другой ½ р r , где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности r= ½ ( a+b-c) Имеем: ½ а b = ½ р r = ½ ( a+b+c) * ½ ( a+b-c) откуда следует, что c 2 =a 2 +b 2 .

Слайд 11

Доказательство методом дополнения К обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Слайд 12

Иллюстрация теоремы Пифагора. Из двух сосудов в виде квадратов на катетах прямоугольного треугольника вода переливается в один сосуд в виде квадрата на гипотенузе. Убеждаемся — вода в обоих случаях заполняет сосуды «под завязку».

Слайд 13

Применение теоремы Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. Построение прямых углов египтянами Нахождение высоты объекта и определение расстояния до недоступного предмета.

Слайд 14

Такие задачи решают при проектировании любых строительных объектов. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни , например установление ёлки. Покрытие полов паркетом .

Слайд 15

Применение теоремы В планиметрии. Расчёт длинны диагонали квадрата d²=2a² Расчёт длинны диагонали прямоугольника d²=a²+b²

Слайд 16

Применение теоремы Пифагора в строительстве Если рассматривать четырехугольную пирамиду как крышу башни, то речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: «Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь.»

Слайд 17

В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. Радиусы округлых окон рассчитываются с помощью теоремы Пифагора

Слайд 18

Молниеотвод Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h 2 ≥ a 2 +b 2 , значит h ≥ (a 2 +b 2 ) ½ . Ответ: h ≥ (a 2 +b 2 ) ½

Слайд 19

Связь С помощью теоремы Пифагора можно подсчитать какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка или антенна телефонной связи.

Слайд 20

В виде сигнала В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора .

Слайд 21

Исторические задачи на теорему « На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Слайд 22

Задача из китайской «Математики в девяти книгах» «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Слайд 23

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

Слайд 24

Задача 1: С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один — на запад, другой — на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого. Решение: По теореме Пифагора: 4x 2 +(0,75x*2) 2 =2000 2 6,25x 2 =2000 2 2,5x=2000 x= 800 0,75x=0,75*800= 600 . Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.

Слайд 25

Задача 2: Как следовало бы поступить юному математику, чтобы надёжным образом получить прямой угол? Решение: Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиной в 3 , 4 и 5 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.

Слайд 26

Задача 3: Условие: Если каждое ребро куба увеличить на 2см, то его объём увеличится на 98см 3. Найдите ребро куба. Решение: Обозначим ребро куба через х, тогда(x+2) 3 -x 3 =98,т.е. x 2 +2x-15=0. Уравнение имеет два корня: x=3, x=-5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3см.

Слайд 27

Задача 4: Условие: В прямом параллелепипеде стороны основания a и b образуют угол 30 градусов. Боковая поверхность равна S. Найдите его объём. Решение: Обозначим высоту через х. Тогда (2a+2b)x=S, отсюда x=S/2*(a+b). Площадь основания параллелепипеда равна a*b*sin30=a*b/2. Объём равен a*b*S/4*(a+b).

Слайд 28

З а д а ч а 5: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Доклад по теме «Значение теоремы Пифагора»

Слайд 1

Слайд 2

Гипотеза Какое влияние оказала теорема Пифагора на развитие науки и техники многих стран и народов мира. Как могла применяться теорема Пифагора в древности.

Слайд 3

Мы провели исследовательскую работу, привлекая информационные технологии. Определили, что теорема Пифагора имеет огромное значение в развитии науки и техники. Мы заметили, что теорема Пифагора лежит в основе многих общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. Мы определили, что исключительная важность теоремы для геометрии и математики в целом состоит в том, что, благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезков(гипотенузы), не измеряя ее непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство. В теореме Пифагора , как в зерне, заключена вся евклидова геометрия.

Слайд 4

История теоремы Пифагора. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора, а в Египте это соотношение использовалось для построения прямого угла еще пять тысяч лет назад. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более пятисот, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и прочих. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.

Слайд 5

Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана. Существует так называемое дерево Пифагора — гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольных треугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами. У теоремы Пифагора есть следствие для произвольного треугольника: Сторона треугольника равна корню квадратному из суммы квадратов двух других ее сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это записывается так: a ² = b ² + c ² — 2bc · cosα Это следствие принято называть теоремой косинусов, но по сути — это теорема Пифагора для произвольного треугольника. Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах. НАЗАД

Слайд 6

Применение теорем Пифагора на практике. Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы — это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости. Диагональ квадрата. Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d²=2a². Диагональ d прямоугольника. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b²

Слайд 7

Высота h равностороннего треугольника. Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем a2 = h3 + (a/2)2, или h3 = (3/4)a2. Отсюда вытекает h =(a√3)/2. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. Диагональ куба. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна a√2). Отсюда имеем d² = a² + 2a², d² = 3a², d = a√3. Теорема Пифагора используется также при построении сечений в объемных фигурах, таких как куб.

Слайд 8

Конус. При построении сечений в конусе также используется теорема Пифагора. Прямоугольный параллелепипед. Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d² = a² + b² + c². Пирамида. Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата — а, и высота пирамиды — h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов — высота h, а другой — половина диагонали квадрата (1/2*a√2). Вследствие этого имеем: s² = h² + a²/2. Затем можем вычислить высоту h 1 боковых граней. h 1 ² = h 2 + a ² /4.

Слайд 9

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны 1. ширине окна (b) для наружных дуг 2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора. В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r= b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 — p. По теореме Пифагора имеем: (b/4 + p) ² = (b/4) ² + (b/2 — p) ² или b ² /16 + bp/2 + p ² = b ² /16 +b ² /4 — bp + p ² , откуда bp/2 = b ² /4 — bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p = b/4, p = b/6

Слайд 10

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Слайд 11

Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус. Это наглядно говорит о том, насколько быстро увеличивается количество измерений, используемых человечеством. Ведь еще три года назад никто и не заикался о более чем трех измерениях в кино. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень «просто»: ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т.д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды… Значение теоремы Пифагора.

Слайд 12

Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Из того, что я уже сказал, надо сделать вывод, что все эти технологии используются также и в других отраслях. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

Слайд 13

Египетский треугольник. Египетский треугольник — это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Он получил такое название. оттого что был известен и широко применялся еще древними египтянами. Они с помощью такого треугольника строили прямые углы на местности, что имело для них огромное значение, так как каждый год разливы Нила размывали границы между полями, и приходилось заново размечать их. Это делалось очень просто: на веревке узлами отмечалось 12 равных отрезков, а потом из этой веревки складывали треугольник, и угол, оказавшийся напротив стороны 5, являлся прямым.

Слайд 14

Исторические задачи . Исторические задачи Предлагаю несколько задач, найденных в исторических книгах. Они настолько легкие, что я не буду объяснять их решение. Задача Бхаскари «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?» Задача из китайской «Математики в девяти книгах» «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

Слайд 15

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого «Случился некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу» Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?

Слайд 16

Буклет учащихся Практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор . Ржаксинская сош №2 Группа « теоретиков » Романова Екатерина Гунин Артем Никитина Софья Гаврилин Сергей Значение теоремы Пифагора .

Слайд 17

Выводы по теме проекта Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.

Слайд 18

Используемые ресурсы Акимова С. Занимательная математика, серия «Нескучный учебник». – Санкт-Петербург.: Тригон, 1997. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: Аванта+, 1997. Еленьский Ш. По следам Пифагора. — М, 1961. Журнал «Квант» № 2, 1992. 8. Журнал «Математика в школе» № 4, 1991. Литцман В. Теорема Пифагора. — М.: Просвещение, 1960. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. — М.: Педагогика–Пресс, 1997, с. 271. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 1998. Электронные источники: Рефераты и сочинения в помощь школьнику. Дискавери – 2003. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. – 2004. Электронная энциклопедия: Star World. Internet.

Признаки делимости правило и примеры

Число, которое делится на 2 называется четным, а если не делится — нечетным.

Число делится на 2, если его последняя цифра оканчивается на нуль или чётная.

Пример 

Число 7774 делится на 2, так как последняя цифра 4 — чётная.

Число 7775 не делится на 2, так как последняя цифра 5 — нечётная.  

На 3 делятся только те числа, у которых сумма всех цифр делится на 3.

Пример

777 делится на 3, так как 7+7+7=21, а 21 делится на 3.  

 Число делится на 4 в том случае, если две последние его цифры нули или делятся на 4.

Пример

788 делится на 4, так как последние его цифры 88 делятся на 4.

700 делится на 4, так как последние его цифры нули.

Число делится на 5, если последняя цифра которых оканчивается на 0 или 5.

Пример 

775 делится на 5, так как последняя цифра равна 5.

Число делится на 6, если оно делится как на 2, так и на 3.

Пример 

786 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3 одновременно.

Число делится на 7, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа делится на 7.

Пример

147700259 делится на 7, так как 147-700+259=-294, а 294 делится на 7.

Число делится на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.

Пример

189 делится на 7, так как 18*3+9=63 делится на 7.

Число делится на 7, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц, взятая по модулю, делится на 7.

Пример

539 делится на 7, так как 53-9*2=35 делится на 7.

Число делится на 8, если три последние цифры его нули или делятся на 8.

Пример

7000 делится на 8, так как три нуля в конце.

7648 делится на 8, так как последние его цифры делятся на 8.

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Пример

774 делится на 9, так как 7+7+4=18, а 18 делится на 9.  

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр с чередующимися знаками по модулю делится на 11

Пример 

Число 292919 делится на 11, так как 2-9+2-9+1-9=-22 делится на 11.

Число делится на 12, если оно делится как на 3, так и на 4.

Пример 

924 делится на 12, так как оно делится и на 3 и на 4 одновременно.

Число делится на 13, если число десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, делится 13.

Пример

572 делится 13, так как 72-4*5=52 делится на 13.

На 25 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25 (т. е. числа, которые оканчиваются на 00, 25, 50, 75).

  Пример

7775 делится на 25, так как оканчивается на 75

  На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых оканчивается на нуль, на 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

Пример 

777 000 делится на 10,100,1000.

Исследовательская работа «Признаки делимости чисел»

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Остерская средняя школа»

Исследовательская работа

Признаки делимости чисел

Выполнили:

Аладочкина Нина, Косарева Алина,

обучающиеся 6 класса

Руководитель:

Конохова Г.С., учитель математики

с. Остер, 2016 год

Введение………………………………………………………………………..3

1. Из истории математики о делимости чисел………………………………5

1.1 Признак делимости Паскаля…………………………………………..7

1.2. Признаки делимости………………………………………………… 7

3. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок

и практических задач………………………………………………………….9

4. Заключение………………………………………………………………….10

5.Литература…………………………………………………………………..11

Введение

На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 6, 7, 8, 11, 13 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

Мы заинтересовались историей делимости чисел.

Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?

Старинная восточная притча.

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

— О, мудрец!- сказал старший брат. — Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

— Нет ничего проще, — ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

— О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

— Это не лишний, — сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Изучив тему на уроке, мы решили выполнить исследовательскую работу.

Цель: узнать, не выполняя деления, делится ли число на 6, 7, 8, 11?

Задачи:

1. Изучить историю математики о делимости чисел.

2. Узнать признаки делимости на натуральные числа от 2 до 25.

3. Изучить свойства делимости чисел.

4. Исследовать применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Значимость: данная работа предназначена для обобщения, расширения и систематизации знаний по теме «Признаки делимости» в курсе математики 6 класса, учебник И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович.

Гипотеза:  верно ли, что признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

1. Из истории математики о делимости чисел

Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.

Эратосфен (около 275–194 до н. э.) — один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами — ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.

Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа.

Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.  Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами.

Простых чисел – бесконечное множество. Наименьшим простым числом является 2, это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа следует искать среди нечётных чисел, но, разумеется, далеко не всякое нечётное число является простым. Так, например, нечётные числа 3, 5, 7, 11, 13 — простые, а такие нечётные числа как 9, 15, 21 — составные, 9 имеет 3 делителя, число 15 – 4 делителя и т. д. Любое составное число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадётся на одни только простые числа. Простые числа являются как бы первичными элементами, из которых составляются все числа.

В математике Эратосфена интересовал как раз вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до N. Эратосфен считал 1 простым числом. Математики считают 1- числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам. Эратосфен придумал для этого следующий способ. Сначала вычеркивают все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число — простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5 и т. д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а «выкалывали» цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название «решето Эратосфена».

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.

Блез Паскаль (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.

1. 1. Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. Например: число 2814 делится на 7, так как 2х6 + 8х2 + 1х3 + 4 = 35 делится на 7. (Здесь 6 — остаток от деления 1000 на 7, 2 — остаток от деления 100 на 7 и 3 — остаток от деления 10 на 7).

1.2. Признаки делимости

Признак делимости на 2.

Число делится на 2  в том и только в том случае, если его последняя цифра чётная.

Пример: 124, 200, 152, 68, 406.

Признак делимости на 3.

Число делится на 3 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

Пример: 144 на 3, т. к. 1+4+4 =9 делится на 3.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.

Пример: 724 делится на 4, т. к. 24 делится на 4.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.

Пример: 720, 655 делятся на 5.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное и делится на 3.

Пример: 720 делится и на 2 и на 3.

Признак делимости на 7. 

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7.

Пример: 259 делится на 7, т. к. 25 — (2 х 9) = 7 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

Пример: 6136 делится на 8, т. к. 136 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Пример: 6102 делится на 9, т. к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9.

Признак делимости на 10.

Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0.

Пример: 720 делится на 10.

Признак делимости на 11.

Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Пример: 100397 делится на 11, т. к. 1+0+9=10; 0+3+7=10; =0 (нумерация идет слева направо).

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример:15235 делится на 11, т. к. разбивая на группы и складывая их: 1+52+35=88 делится на 11.

Признак делимости на 25.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример: 175делится на 25, т. к. 75 делится на 25.

3. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Задача № 1. Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» — две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение. 3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.

Задача № 2. Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер. Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?

Решение. Задача решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 3. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Решение. Только на 7.

Ответ: 167, 257, 347, 527.

Задача № 4. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

4. Заключение

В результате выполнения данной работы у нас расширились знания по математике. Мы узнали, что кроме известных нам признаков на 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25 существуют еще признаки делимости на 6, 7, 8, 11. Поняли, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, мы считаем, что полученные знания сможем использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий интеллектуальных конкурсов, математического конкурса — игры «Кенгуру». В современном мире тоже используют признаки делимости. Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине.

5. Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7 – 8 классы. М.:

Просвещение, 1982.

2. Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965.

3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М.: Юнисам, 1994.

4. Перельман Я.И. Живая математика. М.: Наука, 1978.

5. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989.

6. 1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний. М.: Мир книги, 2004.

Признаки делимости

В этой статье мы поговорим о таком понятии, как признаки делимости. Это определенные действия, с помощью которых можно узнать, делится ли целое число a на другое число b, которое в данном случае будет целым положительным. При это само деление не проводится. Очевидно, что для изучения данных признаков необходимо иметь общее представление о делимости чисел.

Когда мы говорим о признаках делимости, чаще всего нам приходится иметь дело не с самим числом, а с цифрами, из которых оно состоит.

С помощью определенных признаков делимости можно заключить, что некое число a можно разделить на другое число. Для одних нам будет нужна последняя цифра в записи: так можно сделать вывод о делимости на 2, 5 и 10. Сформулируем эти признаки.

Те числа, в конце которых стоят цифры 0, 2, 4, 6, делятся на 2.

На 5 можно разделить те числа, которые заканчиваются на 5 и 0.

Все числа, заканчивающиеся на 0, можно разделить на 10.

Приведем примеры.

Например, число 34 564 обладает делимостью на 2, поскольку в конце у него стоит 4. Число 567 разделить на 5 нельзя, потому что последняя цифра в нем не удовлетворяет нужным условиям. Число 89 120 мы можем разделить на 10, потому что оно заканчивается нулем.

Другие признаки делимости требуют предварительного анализа не одной, а нескольких последний цифр числа.

Признак делимости на 4 выглядит так:

Число можно разделить на 4, если двузначное число, образованное двумя последними цифрами в нем, делится на 4.

О признаке делимости на 8 мы говорим, когда число из трех последних цифр можно разделить на 8.

Вот примеры таких расчетов: 99 769 775 012 делится на 4, так как в конце у него стоит 12, а 45 907 нельзя разделить на 8: берем три последние цифры, убираем из них 0 и получаем 97. Без остатка на 8 это число разделить нельзя, значит, и

Признаки делимости исследовательская работа

Научно-практическая конференция

Малая академия наук школьников муниципального района Белокатайский район

Секция: Математика

Номинация: Математика

Исследовательская работа

Признаки делимости натуральных чисел

Багаутдинов Данил Русланович

МБОУ СОШ с Ургала, 6 класс,

Руководитель:

Багаутдинова Люция Салимьяновна,

учитель математики МБОУ СОШ с Ургала

Ургала 2017

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение …………………………………………………….. стр. 3-4

2. Теоретическая часть

2.1. Признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10 (школьный курс)……..стр. 5

2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 25, 50………стр. 6 2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7,11, 13, 17, 19, стр. 7-10

3. Практическая часть

3.1. Применение признаков делимости при решении задач……..стр. 11-12

3.2 Анкетирование ………………………………………………..стр 13

4. Заключение……………………………………………………….стр. 14

5. Список литературы и интернет-ресурсов………………….….стр. 15

1. Введение

Актуальность: В начале учебного года на уроках математики мы изучали тему: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10». При изучении этой темы у нас не возникло никаких проблем, выучили признаки, научились их применять при выполнении заданий. При разложении чисел на простые множители мне пришлось делить число на 7. А как узнать, деление получится с остатком или без остатка? Нет ли признаков делимости на 7? А на другие числа?

Так меня заинтересовал вопрос о делимости натуральных чисел на другие числа. Я решил написать исследовательскую работу по данной теме.

Гипотеза: Существуют признаки делимости натуральных чисел на другие числа, которые не изучаются в школьном курсе математики.

Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.

Цель: Найти признаки делимости натуральных чисел на другие числа, которые не изучаются в школьном курсе математики.

Задачи:

1. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изученные мною в школе.

2. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11, 13, 15, 17, 25, 50 и другие числа.

3. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных мной признаков делимости.

4. Провести опрос учащихся 9 и 11 классов

5. Оформить материал

6. Представить результаты исследований. Составить буклет «Признаки делимости натуральных чисел».

Новизна:

В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение, проведение опроса среди учащихся по данной теме.

2 Теоретическая часть

2.1. Признаки делимости натуральных чисел (школьный курс).

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b — делитель а, b делит а.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 25, 50.

Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашел закономерности и получил следующие признаки делимости.

Признак делимости на 4.

25·4=100; 56·4=224; 123·4=492; 125·4=500; 2345·4=9380; 2500·4=10000; …

Умножая натуральные числа на 4, я заметил, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так:

Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 25.

Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидел такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.

Признак делимости на 50.

На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,… Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.

Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 13, 17, 19.

Из дополнительной литературы я нашел подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 25, 50. Так же я нашел несколько признаков делимости на 7:

1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.

479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.

2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

3. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.

Примеры:

252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.

636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.

4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.

Примеры:

455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.

5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.

Примеры:

882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.

996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.

6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.

Примеры:

2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.

1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.

564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.

8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.

Примеры:

10׃7=1 (ост 3)

100׃7=14 (ост 2)

1000׃7=142 (ост 6)

10000׃7=1428 (ост 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.

Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).

Признаки делимости на 11.

1. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

3. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Признаки делимости на 13

1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.

2. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры , делится на 13.

Примеры:

988 делится на 13, т.к. 98 — 9·8 = 26, 26 делится на 13.

853 не делится на 13, т.к. 85 — 3·9 = 58, 58 не делится на 13.

Признак делимости на 19

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

• 1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;

• 2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;

• 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;

• 4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости — это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.

3. Практическая часть

3.1. Применение признаков делимости при решении задач

Рассмотрим применение признаков делимости натуральных чисел на примере

задачи 19 (по теме «Натуральные числа») — КИМ ЕГЭ 2017 года, базовый уровень.

Задача 3

Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Раскладываем делитель — число 12 на простые множители. 12 = 3×4. Следователь- но, заданное число после вычеркивания чисел должно делиться на 3 и 4.

Признак делимости на 4: Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Признак делимости на 4 утверждает, что на 4 должно делиться двузначное число, образованное последними двумя цифрами. Значит, 181615121 последнюю цифру 1 вычеркиваем сразу. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры числа 18161512 вычеркивать нельзя. Они гарантируют делимость числа на 4.
Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы на 3 делилась сумма его цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3×8 + 1 — можно вычеркнуть одну из единиц, но по условию задачи нужно вычеркнуть еще две цифры;
25 = 3×7 + 4 — нет двух цифр для вычеркивания, сумма которых равнялась бы 4, т.к. последние цифры 1 и 2 трогать нельзя;
25 = 3×6 + 7 — сумма двух вычеркнутых цифр будет равна 7, если вычеркнуть 6-ку и любую из единиц, кроме последней.
Итак, возможные ответы: 811512, 181512 или 181152. Выбираем один из них, например Ответ:181512 Замечание: на реальном ЕГЭ нужно сделать проверку своего ответа делением в столбик.

Следующая задача из  Открытого банка заданий Федеральнного института педагогических измерений.

Задача 4

Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение.

Разложим число 40 на простые множители. 40 = 2×2×2×5.
Таких множителей всего четыре, цифр недостаточно для пятизначного числа, но в произведение всегда можно добавить единицу, результат от этого не изменится: 40 = 2×2×2×5×1.
Таким образом, число в ответе можно составить только из этих цифр: 1,2,2,2,5.
Чтобы число было кратным 12 (то же самое, что делилось на 12 без остатка) оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 4, так как 12 = 3×4.
Проверим сумму цифр 1+2+2+2+5 = 12. Она делится на 3, поэтому наше число будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
А чтобы оно делилось на 4, в конце нужно поставить две цифры так, чтобы образованное ими число делилось на 4. 
Очевидно, что последней цифрой должна быть 2-ка, другие — нечетные. Проверим варианты 12, 22, 52.
12:4 = 3; 22:4 = 5,5 — не делится нацело; 52:4 = 13.
Вывод: число должно быть составлено так, чтобы в конце было 12 или 52, а в начале любые перестановки из оставшихся трёх цифр.
Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. В ответ пишем один из них. Например,

Ответ: 21252 Таким образом, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Рассмотрев задачи, мне стало интересно, а знают ли наши выпускники о признаках делимости. И я решил провести опрос.

3.2Анкетирование «Помогают Вам признаки делимости при делении?»

Анкетирование проводилось среди обучающихся 9 и 11-х классов. В опросе приняли участие 29 обучающихся МБОУ СОШ с Ургала. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

2. Какие вы знаете признаки делимости натуральных чисел?

3. Помогают ли вам признаки делимости натуральных чисел при делении?

4. А хотели бы узнать еще о других признаках делимости натуральных чисел?

80% опрошенных считают, что современному человеку нужно уметь считать.

Большинство обучающихся знают признаки делимости, изученные в школе

на 2,3, 5, 10. – это 87%

88 % опрошенных считают, что признаки делимости помогают при делении.

По результатам проведенного анкетирования 76 % опрошенных хотели бы познакомиться с признаками делимости, не изученными в школе.

4. Заключение.

Работая с разными источниками, я убедился в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 13, 19), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Решая задачи я убедился, что знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложны. Может быть, поэтому они не изучаются в школе.

Собранный мной материал я оформил в виде буклета, который можно использовать на уроках математики, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой старшеклассников, которые хотят получить высокие баллы на экзаменах по математике. Перед 11-классниками своей школы я выступил, рассказал о признаках делимости, показал решение задач и раздал им буклеты.

В дальнейшем планирую рассмотреть такие вопросы:

-историю возникновения признаков делимости;

— признак Паскаля.

5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ – РЕСУРСОВ

1. Перельман Я.И. Математика – это интересно ! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006

2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.

3. Internet

Секция: Математика

Номинация: Математика

Признаки делимости натуральных чисел

Автор Багаутдинов Данил Русланович МБОУ СОШ с Ургала, 6 класс,

Руководитель: Багаутдинова Люция Салимьяновна, учитель математики МБОУ СОШ с Ургала

Работа посвящена изучению признаков делимости натуральных чисел, которые не изучаются в школьном курсе математики. Знание этих признаков имеет большое значение при выполнении заданий КИМов ЕГЭ базового уровня.

Проект по математике «Признаки делимости натуральных чисел»

Актуальность.

При изучении на уроках математике темы: «Признаки делимости натуральных чисел» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость.

Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деления установить, делится ли одно натуральное число на другое.

Гипотеза

Если можно определить делимость натуральных чисел на 2,3,5,9,10 то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другое число.

Объект исследования:

Делимость натуральных чисел

Предмет исследования:

Признаки делимости натуральных чисел

Цель:

Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

Задачи исследования:

• Повторить признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе

• Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4,6,7,8,11,12,13,15,18,25,50,100.

• Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел.

• Систематизировать и обобщать признаки делимости натуральных чисел на 4,6,7,8,11,12,13,15,18,25,50,100.

• Рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Новизна:

В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Немного из истории:

Признаки делимости на 2,3,5,9,10 были известны с давних времён. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до н.э.

Признаки делимости на 2,3 и 5 были изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228)

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами в теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы:

• совершенных чисел (число, равное сумме своих делителей 6=1+2+3)

• дружественных чисел ( каждое из ,которых равно сумме делителей другого , например: 220 и 284 (284= 1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110) и(220=1+2+4+71+142)

• фигурных чисел

• простых чисел и д.р

Признак Паскаля

Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел , из которого следует все частные признаки

Признак Паскаля: натуральное число А разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа А на соответствующие остатки , получаемые при деление разрядных единиц на число b делится на это число .

Признаки делимости натуральных чисел , полученных самостоятельно, изучая дополнительную литературу .

Выполняя действие деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий , я нашла закономерность и получила следующие признаки делимости:

Признак делимости на 4: если число, образованное двумя последними цифрами данного числа, делится на 4, то и само число делится на 4 без остатка.

Признак делимости на 8: если число, образованное тремя последними цифрами данного числа, делится на 8, то и само число делится на 8 без остатка.

• Признак делимости на 6: если число делится и на 3 и на 2 , то и само число делится на 6 без остатка.

• Признак делимости на 15: если число одновременно делится на 5 и на 3 и если оно заканчивает на 0 и на 5 и сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 15.

• Признак делимости на 25: если число оканчивается на 00,25,50,75, то и само число делится на 25 без остатка.

• Признак делимости на 50: если число заканчивается на 00 или 50, то и само число делится на 50.

• Из дополнительной литературы я нашла подтверждения правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4,6,8,15,25,50.

Так же я нашла признаки делимости на 7,на 11,на 12,на 13. Все рассмотренные признаки я сформулировала в виде брошюры

Признак делимости на 7

Если последнюю цифру числа умножить на 2 и вычесть из числа, оставшегося без последней цифры и если получившееся число делится на 7, то и само число делится на 7. Число 1102283

1-й шаг: 110228-3*2 = 110222
2-й шаг: 11022-2*2 = 11018
3-й шаг: 1101-8*2 = 1085
4-й шаг: 108-5*2 = 98
5-й шаг: 9-8*2 = -7. Делится на 7

Значит, 1102283 делится на 7

Признак делимости на 11

• Если сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11, то число делится на 11 без остатка.

• Пример: 160369 (Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах 1+0+6 = 7.

Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.

18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).

Признак делимости на 12.

Если две последние цифры числа делятся на 4 и сумма цифр его делится на 3,то всё число делится на 12, без остатка.

Пример:

78864 (Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33-делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.

Еще пример:

Число, составленное из них,делится на 4;

сумма цифр равна 7+6+8+1+2=24,

(данное число делится на 3).

Значит, всё число делится на 12.

Признак делимости на 13

• Если взять последнюю цифру числа, умножить ее на 4 и прибавить к числу, оставшемуся без последней цифры, и если получившееся число делится на 13, то и само число делится на 13, без остатка.

Пример:

Число 595166.

1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540

2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954

3-й шаг. 595 + 4*4 = 611

4-й шаг. 61 + 1*4 = 65

5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.

Применение признаков делимости при решении задач.

Задача:

Ученики 5 класса купили 203 учебника. Сколько было пятиклассников и сколько учебников купил каждый из них.

Решение:

Обе величины , должны быть целыми числами.

Разложим 203 на простые множители: 203=1*7*29. Учебников не может быть 29, так же число

учебников не может равняться 1,т.к. В этом случае учеников было бы 203. Значит 5 –ов 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Спасибо за внимание.

Онлайн урок: Признаки делимости на 9 и на 3 по предмету Математика 6 класс

Пусть у нас есть 153 конфеты. Нужно раздать их троим детям поровну, используя только признак делимости.

Число 153 можно разложить на 1 сотню, 5 десятков и 3 единицы.

Разделим сначала нашу сотню конфет. Каждый ребенок получит по 33 конфеты, и в остатке одна.

Теперь разделим один десяток конфет на троих. Имеем по 3 конфеты у каждого, и одна в остатке. Значит, для наших пяти десятков каждому ребёнку по 15 (3•5) конфет, и в остатке 5 (1•5) конфет.

По аналогии поступим с количеством конфет в единицах — тут всем достанется 1 конфета.

Мы не смогли разделить 1 конфету из сотен, 5 конфет из десятков. То есть в сумме получим  1 + 5 = 6 конфет, которые можно разделить по 2 конфеты каждому.

В итоге каждому ребёнку получится по 33 + 15 + 1 + 2 = 51 конфете.

Значит, число 153 делится без остатка на 3, а 1 + 5 — это сумма цифр этого числа.

Мы на примере посмотрели, как используется признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Пример 1

Выберите среди чисел 75432, 2772825, 5402070 те, которые делятся на 3.

Решение:

По признаку делимости на 3 нужно найти сумму цифр каждого числа и дальше работать с нею.

Для первого: 7 + 5+ 4+ 3+ 2 = 21,а 21 : 3 = 7, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для второго: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33, а 33 : 3 = 11, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для третьего: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 18, а 18 : 3 = 6, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Пример 2

Замените звёздочки в числах 2*5, 31*, *15, на необходимые цифры, чтобы эти числа стали делиться на 3.

Решение:

Возьмем первое число 2*5. Из признака делимости мы знаем, что нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Значит, 2 + 5 + * должно делиться на 3.

Сумма известных цифр равна 8, значит, вместо звездочки можно взять, например, 1.

Тогда сумма станет 9, и она делится на 3, значит, и получившееся число 215 будет делиться на 3.

Кроме единицы подходят цифры: 4, 7, так как они отличаются от 1 на 3 и 6 каждая.

Возьмем второе число 31*. Сумма первых цифр равна 4, значит, вместо звездочки минимум надо брать 2, чтоб в сумме было 6.

Тогда сумма цифр будет делиться на 3 и само число, 312, будет делиться тоже.

Кроме двойки брать можно и другие цифры, прибавляя по 3: 5 или 8.

Получившиеся числа 315 или 318 будут делиться на 3.

Берём последнее число *15. Сумма последних двух цифр — 6, уже делится на 3. Значит нужно брать вместо первой цифры такие, которые делятся на 3. Это 3, 6 или 9.

Получившиеся числа 315, 615, 915 будут делиться на 3 без остатка.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

таблица или схема постоянной валентности в соединениях и как ее определить по формулам в 8 классе

Валентность химических элементов – это способность у атомов хим. элементов образовывать некоторое число химических связей. Принимает значения от 1 до 8 и не может быть равна 0.

Определяется числом электронов атома затраченых на образование хим. связей с другим атомом. Валентность это реальная величина. Обозначается римскими цифрами (I ,II, III, IV, V, VI, VII, VIII).

Валентность химических элементов (Таблица)

Как можно определить валентность в соединениях:

• Валентность водорода (H) постоянна всегда 1. Отсюда в соединении h3O валентность O равна 2.
• Валентность кислорода (O) постоянна всегда 2. Отсюда в соединении СО2 валентность С равно 4.
• Высшая валентность всегда равна № группы.
• Низшая валентность равна разности между числом 8 (количество групп в Таблице Менделеева) и номером группы, в которой находится элемент.
• У металлов в подгруппах А таблицы Менделеева, валентность = № группы.
• У неметаллов обычно две валентности: высшая и низшая.

Валентность химических элементов может быть постоянной и переменной. Постоянная в основном у металлов главных подгрупп, переменная у неметаллов и металлов побочных подгруп.

Таблица валентности химических элементов

Источник: https://infotables.ru/khimiya/1071-valentnost-khimicheskikh-elementov

Электроотрицательность. Степень окисления и валентность химических элементов

Электроотрицательность  — способность атома какого-либо химического элемента в соединении оттягивать на себя электроны связанных с ним атомов других химических элементов.

Электроотрицательность, как и прочие свойства атомов химических элементов, изменяется с увеличением порядкового номера элемента периодически:

• График выше демонстрирует периодичность изменения электроотрицательности элементов главных подгрупп в зависимости от порядкового номера элемента.
• При движении вниз по подгруппе таблицы Менделеева электроотрицательность химических элементов уменьшается, при движении вправо по периоду возрастает.
• Электроотрицательность отражает неметалличность элементов: чем выше значение электроотрицательности, тем более у элемента выражены неметаллические свойства.

Степень окисления

Степень окисления – условный заряд атома химического элемента  в соединении, рассчитанный исходя из предположения, что все связи в его молекуле ионные, т.е. все связывающие электронные пары смещены к атомам с большей электроотрицательностью.

Как рассчитать степень окисления элемента в соединении?

Степень окисления химических элементов в простых веществах всегда равна нулю.

Существуют элементы, проявляющие в сложных веществах постоянную степень окисления:

Существуют химические элементы, которые проявляют в подавляющем большинстве соединений постоянную степень окисления. К таким элементам относятся:

Алгебраическая сумма степеней окисления всех атомов в молекуле всегда равна нулю. Алгебраическая сумма степеней окисления всех атомов в ионе равна заряду иона.

Высшая (максимальная) степень окисления равна номеру группы. Исключения, которые не попадают под это правило, — элементы побочной подгруппы I группы, элементы побочной подгруппы VIII группы, а также кислород и фтор.

Химические элементы, номер группы которых не совпадает с их высшей степенью окисления (обязательные к запоминанию)

Низшая степень окисления металлов всегда равна нулю, а низшая степень окисления неметаллов рассчитывается по формуле:

• низшая степень окисления неметалла = №группы − 8

Отталкиваясь от представленных выше правил, можно установить степень окисления химического элемента в любом веществе.

Валентность

Валентность — число химических связей, которые образует атом элемента в химическом соединении.

Валентность атомов обозначается римскими цифрами: I, II, III и т.д.

Валентные возможности атома зависят от количества:

1. неспаренных электронов
2. неподеленных электронных пар на орбиталях валентных уровней
3. пустых электронных орбиталей валентного уровня

Валентные возможности атома водорода

Было сказано, что на валентные возможности могут влиять три фактора — наличие неспаренных электронов, наличие неподеленных электронных пар на внешнем уровне, а также наличие вакантных (пустых) орбиталей внешнего уровня.

Мы видим на внешнем (и единственном) энергетическом уровне один неспаренный электрон. Исходя из этого, водород может точно иметь валентность, равную I. Однако на первом энергетическом уровне есть только один подуровень — s, т.е. атом водорода на внешнем уровне не имеет как неподеленных электронных пар, так и пустых орбиталей.

Таким образом, единственная валентность, которую может проявлять атом водорода, равна I.

Валентные возможности атома углерода

Рассмотрим электронное строение атома углерода. В основном состоянии электронная конфигурация его внешнего уровня выглядит следующим образом:

Т.е. в основном состоянии на внешнем энергетическом уровне невозбужденного атома углерода находится 2 неспаренных электрона. В таком состоянии он может проявлять валентность, равную II.

Однако атом углерода очень легко переходит в возбужденное состояние при сообщении ему энергии, и электронная конфигурация внешнего слоя в этом случае принимает вид:

Несмотря на то что на процесс возбуждения атома углерода тратится некоторое количество энергии, траты с избытком компенсируются при образовании четырех ковалентных связей.

По этой причине валентность IV намного более характерна для атома углерода. Так, например, валентность IV углерод имеет в молекулах углекислого газа, угольной кислоты и абсолютно всех органических веществ.

Помимо неспаренных электронов и неподеленных электронных пар на валентные возможности также влияет наличие вакантных (  ) орбиталей валентного уровня.

Наличие таких орбиталей на заполняемом уровне приводит к  тому, что атом может выполнять роль акцептора электронной пары, т.е. образовывать дополнительные ковалентные связи по донорно-акцепторному механизму.

Так, например, вопреки ожиданиям, в молекуле угарного газа CO связь не двойная, а тройная, что наглядно показано на следующей иллюстрации:

Резюмируя информацию по валентным возможностям атома углерода:

• Для углерода возможны валентности II, III, IV
• Наиболее распространенная валентность углерода в соединениях IV
• В молекуле угарного газа CO связь тройная (!), при этом одна из трех связей образована по донорно-акцепторному механизму

Валентные возможности атома азота

Как видно из иллюстрации выше, атом азота в своем обычном состоянии имеет 3 неспаренных электрона, в связи с чем логично предположить о его способности проявлять валентность, равную III. Действительно, валентность, равная трём, наблюдается в молекулах аммиака (Nh4), азотистой кислоты (HNO2), треххлористого азота (NCl3) и т.д.

Выше было сказано, что валентность атома химического элемента зависит не только от количества неспаренных электронов, но также и от наличия неподеленных электронных пар.

Связано это с тем, что ковалентная химическая связь может образоваться не только, когда два атома предоставляют друг другу по одному электрону, но  также и тогда, когда один атом, имеющий неподеленную пару электронов — донор(  ) предоставляет ее другому атому с вакантной (  ) орбиталью валентного уровня (акцептору). Т.е.

для атома азота возможна также валентность IV за счет дополнительной ковалентной связи, образованной по донорно-акцепторному механизму. Так, например, четыре ковалентных связи, одна из которых образована по донорно-акцепторному механизму, наблюдается при образовании катиона аммония:

Несмотря на то что одна из ковалентных связей образуется по донорно-акцепторному механизму, все связи N-H в катионе аммония абсолютно идентичны и ничем друг от друга не отличаются.

Валентность, равную V, атом азота проявлять не способен. Связано это с тем, что для атома азота невозможен переход в возбужденное состояние, при котором происходит распаривание двух электронов с переходом одного из них на свободную орбиталь, наиболее близкую по уровню энергии.

Атом азота не имеет d-подуровня, а переход на 3s-орбиталь энергетически настолько затратен, что затраты энергии не покрываются образованием новых связей.

Многие  могут задаться вопросом, а какая же тогда валентность у азота, например, в молекулах азотной кислоты HNO3 или оксида азота N2O5? Как ни странно, валентность там тоже IV, что видно из нижеследующих структурных формул:

Пунктирной линией на иллюстрации изображена так называемая делокализованная π-связь. По этой причине концевые связи NO можно назвать «полуторными». Аналогичные полуторные связи имеются также в молекуле озона O3, бензола C6H6 и т.д.

Резюмируя информацию по валентным возможностям атома азота:

1. Для азота возможны валентности I, II, III и IV
2. Валентности V у азота не бывает!
3. В молекулах азотной кислоты и оксида азота N2O5 азот имеет валентность IV, а степень окисления +5 (!).
4. В соединениях, в которых атом азота четырехвалентен, одна из ковалентных связей образована по донорно-акцепторному механизму (соли аммония Nh5+, азотная кислота и д.р).

Источник: https://scienceforyou.ru/teorija-dlja-podgotovki-k-egje/jelektrootricatelnost-stepen-okislenija-valentnost

Рений валентность — Справочник химика 21

Когда ребёнок начинает улыбаться осознанно?

 

Улыбка ребенка – бесценная награда за труды родителей: тут же забываются бессонные ночи, тревоги и волнения. Когда ребёнок начинает улыбаться осознанно, он вызывает у родителей чувство умиления, нежности и любви. Но не все знают, что улыбку считают и важным признаком правильного развития грудничка.

Узнаем, когда ребенок начинает улыбаться осознанно, реагируя таким образом на окружающий мир.

Когда можно увидеть первую улыбку ребёнка

---

Многие родители замечают улыбку на лице ребенка уже в первые дни жизни. Чаще это происходит во сне или во время кормления. Но это еще не способ выражения эмоций. Медики считают, что это происходит рефлекторно. Новорождённый малыш пока не умеет выражать эмоции и чувства.

    ФАКТ

Первую улыбку удается зафиксировать при проведении УЗИ. Конечно, это еще рефлекторное движение лицевых мышц такое же, как и шевеление ручками или ножками.

Указывать на правильное развитие младенца или выражение чувства довольства улыбка в этот период не может. Она бессознательная. Тем не менее, она говорит о том, что мышцы лица развиваются правильно. Вскоре малыш улыбнется маме и папе, чтобы сказать о своей любви.

Когда появляется осознанная улыбка

---

Младенец еще не умеет выражать свои чувства и эмоции. Этот навык ему придется развивать. Свое недовольство малыш показывает при помощи плача. Так задумала природа, ведь если бы ребенок не плакал, он мог бы погибнуть из-за голода, холода или других внешних факторов.

Улыбаться осознанно малыш научится позже. В первые недели жизни важнее удовлетворить естественные потребности такие, как голод, к примеру, чем выразить свою любовь или чувство комфорта.

Родители и медики подтверждают, что первая осознанная улыбка появляется спустя месяц после рождения. Причем происходит это у всех детей в разное время. Нельзя назвать точную дату, когда новорожденный улыбнется.

На осмотре педиатр обязательно задаст вопрос маме, улыбается ли ей ребенок. Это служит важным показателем правильного физического и психического развития.

Однако, назвать временной промежуток, во время которого младенец должен начать улыбаться в ответ на внешние раздражители, можно. Нормой считают возраст малыша от 4 до 8 недель с момента рождения.

Когда ребёнок начинает гулить и агукать: развитие языка в первые месяцы жизни

Виды улыбок

Выделяют два вида улыбки младенца:

1. Бессознательная.
   Улыбка может появиться уже спустя несколько часов после рождения. Она не выражает чувств или эмоций, не служит показателем любви или чувства довольства.
2. Осознанная.
   Появляется после достижения возраста в 1 месяц. Такое мимическое движение уже можно считать проявлением чувств.

Важно отличать виды улыбок, так как даже в 3-месячном возрасте, грудничок может улыбаться на бессознательном уровне. Это развиваются мышцы лица.

Как определить, что ребенок улыбается осознанно

---

Родителей часто беспокоит вопрос, как определить осознанная улыбка у ребенка или нет. Это важно, ведь проявление чувств служит показателем правильного и своевременного развития.

В первую очередь, обратите внимание на взгляд малыша. При осознанной улыбке он меняется, становится сосредоточенней. Грудничок смотрит на предмет или человека (мать, к примеру) и улыбается в ответ.

Растягиваются не только губы, меняется выражение глаз. Становится понятно, что младенцу хорошо, комфортно, он счастлив.

Позже грудничок научится издавать звуки при улыбке – смеяться.

Первую улыбку грудничок чаще дарит маме. Это первое осознанное выражение чувств. Так, он проявляет любовь к самому близкому человеку.

Осознанная улыбка со временем будет проявляться все чаще. Она возникнет, когда ребенок станет получать то, что он хочет (игрушку, предмет), услышит любимый звук, увидит близкого человека. Это уже сознательное проявление чувства довольства, комфорта, показатель эмоционального удовлетворения.

   ФАКТ

Доказано, что грудничок, находящийся в неблагополучных условиях, начинает улыбаться гораздо позже. Ребенок, который чувствует любовь и заботу, теплоту близких людей, учиться проявлять эмоции и чувства гораздо раньше. Это благоприятно отражается на его психологическом, умственном, физическом развитии.

О чем говорит улыбка ребенка

---

Улыбка, в зависимости от ее вида, толкуется по-разному. Разберемся, почему важно отличать типы улыбок.

Рефлекторная улыбка

Как уже говорилось, появляется помимо воли младенца, бессознательно. Ее отмечают еще на УЗИ. Это мимическое сокращение мышц лица, главное условие – она не является выражением чувств. Ребенок до месяца не улыбается осознанно.

Бессознательная улыбка

Младенцы до месяца улыбаются бессознательно во сне. Нельзя определить, меняется ли выражение глаз, никаких эмоций и чувств при этом ребенок не испытывает.

Улыбка для близкого человека

Если ребенок улыбается матери или другому близкому человеку, то это прежде всего показатель правильного развития. Это доказывает, что малыш узнает родителя, понимает, что он – источник комфорта, который нужен ему для жизни.

Улыбка, как выражение удовлетворения потребностей

Она появляется позже остальных видов. Возникает, когда ребенок получает желаемое. Например, грудничок может улыбаться при виде бутылочки для кормления или, если видит любимую игрушку, слышит пение, щебетание птиц, чувствует приятое прикосновение.

По такой улыбке понятно, что ребенок находится в хорошем расположении духа.

Как развивается интеллект ребенка с рождения до трех месяцев

Как меняется значение улыбки с возрастом

---

Определим возрастные периоды, когда значение улыбки меняется:

• 2-3 месяца.
  Если первая улыбка адресована маме, то уже чуть позже  ребенок начинает улыбаться и другим членам семьи, которых он не видит постоянно. Это также важный показатель правильного развития. Значит малыш способен запомнить, а позже узнать того, кто не проводит с ним время постоянно (бабушку, к примеру).
• 5-6 месяцев.
  Еще позже, грудничок станет улыбаться и незнакомому человеку, если тот ему нравится. Это социальный вид улыбки, способ взаимодействия с окружающим миром, попытка наладить контакт с другими людьми.
• 6-8 месяцев.
  Ребенок начнет улыбаться выборочно, то есть только тем людям, с которыми ему комфортно. Также он начнет выражать недовольство, если к нему приблизится кто-то посторонний или человек, к которому он испытывает антипатию.
• К 9 месяцам.
  Малыш уже способен улыбаться и смеяться в ответ на то, что кажется ему смешным. К примеру, родитель строит гримасы, играет с ним, меняет голос.

По видам улыбок можно судить о развитии малыша.

От чего зависит время появления осознанной улыбки

---

Каждый ребенок – индивидуален. Улыбка у одного малыша может появиться спустя 3-4 недели после рождения, а у другого только к 2 месяцам. Это зависит от индивидуальных особенностей организма и условий жизни.

   ФАКТ

Чтобы ребенок начал улыбаться осознанно, его мозг должен «дозреть», развиться до определенной стадии. Без этого этапа сознательная улыбка не появится.

Благоприятные условия содержания также важны для появления осознанной улыбки. Ребенок, с которым разговаривают, берут на руки начинает улыбаться раньше сверстников, вынужденных проводить время без контакта с людьми (младенцы, содержащиеся в Доме малютки).

Также важно для малыша видеть рядом пример для подражания. Если мама при общении с сыном или дочерью улыбается, она увидит ответную реакцию гораздо раньше, чем та мать, которая сдержанна при контакте с ребенком.

Таким образом, мы выяснили, что первая осознанная улыбка появляется после месяца. Она говорит о своевременном развитии младенца и доказывает, что оно проходит нормально.

Читайте также:

Почему ребёнок плачет, как его успокоить

Чему научился ребёнок в 1 месяц

Ребёнок плохо спит, часто просыпается

Признаки нормального развития ребенка от 1 до 12 месяцев, мышечная гопотония когда ребенок начинает улыбаться осознанно

НА ПРИЕМЕ У НЕВРОЛОГА
Признаки нормального развития ребенка
от 1 до 12 месяцев
Довольно часто молодые родители не вполне представляют себе, зачем нужен осмотр новорожденного неврологом. А между тем он позволяет своевременно заметить малейшие отклонения в развитии малыша. Только врач может оценить степень зрелости нервной системы малыша, потенциальные возможности его организма, особенности реакций на условия внешней среды, предотвратить нарушения развития или их последствия. Основы здоровья или нездоровья человека закладываются в самом раннем возрасте, поэтому своевременная диагностика и коррекция имеющихся нарушений – одна из основных задач, которую решает невролог при первом осмотре новорожденного.
К середине 1-го месяца, а иногда и раньше, дети начинают «осмысленно» оглядываться по сторонам, все дольше останавливая взгляд на заинтересованных их предметах. Первыми «объектами» повышенного внимания бывают лица самых близких людей – мамы, папы и тех, кто ухаживает за ребенком. К концу 1-го месяца ребенок начинает вполне осознанно улыбаться при виде любимых людей, поворачивать голову к источнику звука, недолго следить за движущимся предметом.

Большую часть суток новорожденный проводит во сне. Однако ошибаются те, кто считает, что спящий ребенок не воспринимает звуки окружающего мира. Младенец реагирует на резкие, громкие звуки, поворачивая голову к источнику звука, закрывает глаза. А если они были закрыты, то ребенок еще сильнее смыкает веки, морщит лоб, на лице появляется выражение испуга или недовольства, учащается дыхание, малыш начинает плакать. В семьях, где родители постоянно разговаривают на повышенный тонах, у детей нарушается сон, появляется раздражительность, ухудшается аппетит. Спетая мамой колыбельная, напротив, поможет ребенку спокойно заснуть, а ласковый доброжелательный тон, принятый в семье, формирует у малыша чувство защищенности и уверенности в дальнейшей взрослой жизни.

На 2-м месяце у ребенка значительно снижается тонус в мышцах-сгибателях конечностей и повышается тонус в мышцах-разгибателях. Движения малыша становятся более разнообразными – он поднимает руки, разводит их в стороны, потягивается, удерживает вложенную в руку игрушку и тянет ее в рот.

Малыш начинает интересоваться яркими красивыми игрушками, подолгу их рассматривает, задевает и толкает их руками, однако самостоятельно захватить ладонью еще не может. Лежа на животе, а затем и в вертикальном положении ребенок поднимает голову – это первое сознательное движение, которое он освоил. Вскоре, находясь на руках у мамы, он уже уверенно оглядывается по сторонам, причем первое время его внимание привлекают неподвижные предметы, расположенные на большом расстоянии. Это связано с особенностями строения зрительного аппарата. Затем малыш начинает рассматривать и более близкие предметы, поворачивать голову и следить глазами за движущейся игрушкой. В этот период у детей преобладают положительные эмоции – улыбка, двигательное оживление, гуление при виде маминого лица, в ответ на ласковое обращение.

На 3-м месяце ребенок становиться еще более активным, начинает переворачиваться вначале со спины на бок, а затем на живот, уверенно держать голову. Малышу очень нравиться лежать на животе, при этом он опирается на предплечья, поднимает голову и верхнюю часть туловища, внимательно осматривает окружающие его предметы, игрушки, делает попытки дотянутся до них. Движения руками разнообразны. Лежа на спине, ребенок быстро и точно захватывает предмет, вложенный в ладонь, тянет его в рот. У него уже появляются свои предпочтения – одни игрушки его радуют больше других, как правило, это небольшие погремушки, которые он может самостоятельно удержать в руке. Он различает лица и голоса своих и чужих, понимает интонацию.

В 4 месяца малыш совершенствуется в умении поворачиваться со спины на живот и с живота на спину, садится с поддержкой за руку. У младенца полностью угасает хватательный рефлекс, а на смену ему приходит произвольное захватывание предметов. Вначале, при попытке взять в руки и удержать игрушку, малыш промахивается, захватывает ее обеими руками, совершает множество лишних движений и даже открывает рот, однако вскоре движения становятся все более точными и четкими. Помимо игрушек, четырехмесячный малыш начинает ощупывать руками одеяло, пеленки, свое тело и особенно руки, которые затем внимательно рассматривает, подолгу удерживая в поле зрения. Значение этого действия – рассматривания рук – в том, что ребенок вынужден долго удерживать их в одном положении, что невозможно без длительного сокращения отдельных групп мышц и требует определенной степени зрелости нервной системы, зрительного анализатора и мышечного аппарата. Малыш начинает сопоставлять свои тактильные ощущения и зрительно воспринимаемые образы, расширяя тем самым представления об окружающем мире.

К 5-6 месяцу малыш уверенно берет и удерживает различные предметы, оказавшиеся в поле его досягаемости. Все, что попадает в руки ребенка в этом возрасте, после ощупывания и рассматривания неумолимо оказывается во рту. Некоторых родителей это тревожит и даже огорчает, так как им кажется, что у малыша появляются вредные привычки, от которых потом будет трудно отучить. Но дело в том, что младенец, исследующий мир, помимо привычных взрослому человеку зрения, слуха и обоняния, активно использует осязание и вкус, значение которых для процесса познания в этом возрасте трудно переоценить. Поэтому ни в коем случае нельзя препятствовать исследовательскому интересу ребенка, стремящемуся все «попробовать на зуб». Однако родители должны следить за тем, чтобы рядом не оказалось мелких или острых предметов, опасных для малыша. 

При общении со взрослыми у 4-5 месячного ребенка развивается комплекс оживления, который включает в себя эмоциональные, двигательные и речевые реакции – улыбку, энергичные движения, длительное гуление со множеством гласных звуков.

Ребенок переворачивается на бок и, опираясь на руку, садится. Лежа на спине, он быстро и точно протягивает руку за игрушкой и уверенно захватывает ее. Активно развивается речь, малыш произносит согласные звуки, слоги «ба», «ма», «да», лепечет, начинает по-разному реагировать на маму, папу, родственников и незнакомых людей.

В 7-8 месяцев, по мере развития реакций равновесия, малыш начинает самостоятельно, без опоры, садиться из положения на спине и на животе с помощью рук. Лежа на животе, он опирается на предплечья, его голова поднята, взгляд устремлен вперед – это самое оптимальное положение для ползания, которые пока еще осуществляется только с помощью рук, на которых ребенок подтягивается вперед, ноги в движении не участвуют. При поддержке малыш встает на ноги и непродолжительное время стоит, причем вначале он может опираться «на носочки», а затем на полную стопу. Сидя, он подолгу играет с погремушками, кубиками, рассматривает их, перекладывая из одной руки в другую, меняя местами.

Ребенок этого возраста постепенно пытается привлечь к себе внимание взрослых, четко различает всех членов семьи, тянется к ним, подражает их жестам, начинает понимать смысл обращенных к нему слов. В лепете ясно различаются интонации удовольствия и недовольства. Первая реакция на чужих часто бывает негативной.

К 9-10-месячному возрасту ползание на животе сменяется ползанием на четвереньках, когда одновременно передвигаются перекрестные рука и нога, – это требует хорошей координации движений. Малыш с такой скоростью перемещается по квартире, что за ним трудно уследить, хватает и тянет в рот все, что попадается ему на глаза, включая провода электроприборов и кнопки аппаратуры. Учитывая возможности этого возраста, родителям необходимо заранее обеспечить безопасность вездесущего младенца. К 10 месяцам ребенок встает из положения на четвереньках, сильно оттолкнувшись руками от пола, стоит и переступает ногами, держась за опору двумя руками. Ребенок с удовольствием подражает движениям взрослых, машет рукой, достает из ящика или собирает разбросанные игрушки, берет мелкие предметы двумя пальцами, знает название любимых игрушек, находит их по просьбе родителей, играет в «ладушки», «сороку», «прятки». Он подолгу повторяет слоги, копирует различные речевые интонации, голосом выражает эмоции, выполняет некоторые требования взрослых, понимает запреты, произносит отдельные слова – «мама», «папа», «баба».

На 11-м и 12-м месяцах у детей появляются самостоятельные стояние и походка. Малыш переступает ногами, держась за мебель или перила одной рукой, приседает, берет игрушку, снова встает. Затем отпускает руку от барьера и начинает ходить один. Вначале он ходит, наклонив туловище вперед, на широко расставленных и полусогнутых в тазобедренных и коленных суставах ногах. По мере совершенствования реакция координации, его походка становится все более уверенной, во время ходьбы он останавливается, поворачивается, наклоняется за игрушкой, сохраняя при этом равновесие.

Малыш познает части тела и учится показывать их по просьбе взрослых, удерживает ложку в руке и пытается есть самостоятельно, пьет из чашки, поддерживая ее двумя руками, кивает головой в знак утверждения или отрицания, с удовольствием выполняет простые поручения родителей: найти игрушку, позвать бабушку, принести свои ботинки.

В его словарном запасе, как правило, уже несколько слов. Однако не следует огорчаться, если ваш малыш все еще не выговаривает отдельных слов, поскольку речь является одной из наиболее сложных высших психических функций и ее развитие очень индивидуально. Мальчики обычно начинают говорить на несколько месяцев позже, чем девочки, что связано с особенностями формирования и созревания их нервной системы. Речевая задержка часто наблюдается и у детей, чьи родители относятся к разным языковым группам и общаются с ребенком каждый на своем языке. Членам таких семей рекомендуется в интересах малыша выбрать единый язык общения до тех пор, пока ребенок его полностью не освоит, и лишь тогда обучать его второму. У большинства детей речь короткими фразами появляется от года до двух, а затем происходит ее усложнение и усовершенствование.

НА ПРИЕМЕ У НЕВРОЛОГА
Признаки нормального развития ребенка
от 1 до 12 месяцев
Отклонения в развитии
Всегда следует помнить, что в отличие от взрослого развивающаяся нервная система ребенка обладает большой пластичностью и способностью к компенсации, поэтому вовремя начатое и регулярно проводимое лечение приводит к положительным результатам.
В практической работе врач-невролог часто встречается со случаями различных отклонений в развитии ребенка на первом году жизни. Для своевременной их коррекции необходимо установить причины и динамику.

Развитие ребенка начинается не сразу после рождения, а гораздо раньше, с момента его зачатия. Течение беременности и сами роды также во многом определяют здоровье и благополучие малыша. Врач тщательно фиксирует все неблагоприятные факторы. В отдельную группу факторов риска относятся преждевременные (наступившие до 38 недель) или запоздалые (после 40 недель), а также быстрые или затяжные роды, асфиксию ребенка во время родов. Все это может вызвать родовую травму. Центральная нервная система плода наиболее чувствительна к недостатку кислорода, поэтому все новорожденные, перенесшие гипоксическое состояние, относятся неврологами к группе риска и требуют тщательного наблюдения, а при необходимости и лечения в течение первых лет жизни.

Последствия перенесенной кислородной недостаточности у детей раннего возраста объединяют под общим названием «перинатальная энцефалопатия», которая имеет ряд проявлений.

Наиболее часто встречается синдром гипервозбудимости, проявляющийся повышенной раздражительностью ребенка, снижением аппетита, частыми срыгиваниями во время кормления и отказом от груди, уменьшением продолжительности сна, трудностями засыпания. В состоянии бодрствования, даже при незначительном и непродолжительном волнении, у ребенка появляется хаотическая двигательная активность, сопровождающаяся дрожанием рук, ног, подбородка, резким пронзительным криком, покраснением лица, запрокидыванием головы.

Осмотр таких детей требует от врача особого умения и осторожности, поскольку в ответ на незнакомую обстановку, раздевание, прикосновение к телу холодных инструментов и другие неприятные ощущения малыш начинает плакать, активно сопротивляться обследованию, у него повышается тонус в мышцах-разгибателях, что значительно затрудняет постановку диагноза. При отсутствии своевременной медицинской помощи гипервозбудимость не только не проходит, но даже может усилиться.

Ребенок растет беспокойным, плаксивым, тревожным, часто встречаются жалобы на трудности засыпания, страшные сновидения, энурез. Своевременное обращение к специалистам и оказание ребенку необходимой медицинской помощи поможет избежать неприятных последствий.

Детям с синдромом гипервозбудимости с первых дней жизни рекомендован специальный массаж и лечебная физкультура, водные процедуры, а при необходимости – и медикаментозная терапия. Очень важным для такого малыша является правильное отношение всех членов семьи к его проблемам. Незаменимую помощь по мере его взросления оказывают детские психологи и дефектологи.

Более редким, но и более тяжелым проявлением перинатальной энцефалопатии является синдром угнетения центральной нервной системы, который развивается после перенесенной асфиксии или родовой травмы и наблюдается в первые часы и дни жизни ребенка. У таких детей значительно снижены мышечный тонус и двигательная активность. Малыш выглядит вялым, крик тихий и слабый. Он быстро устает во время кормления, в наиболее тяжелых случаях сосательный рефлекс отсутствует, поэтому в родильном доме его кормят через соску или зонд. Во время осмотра врач обращает внимание на снижение или полное отсутствие безусловных рефлексов новорожденных. Такого ребенка нельзя оставлять в положении на животе, так как защитный рефлекс у него выражен очень слабо. Не работают рефлексы опоры, автоматической ходьбы и ползания. Как правило, дети с синдромом угнетения центральной нервной системы нуждаются в длительном врачебном наблюдении и профессиональном уходе, поэтому они остаются в родильном доме на более длительный срок или, при необходимости, госпитализируют в специализированную клинику для новорожденных.

Поскольку одним из основных проявлений этого состояния является мышечная гопотония, которая встречается при ряде заболеваний, задача врача – установить ее причину, оказать медицинскую помощь ребенку и дать родителям рекомендации по ее дальнейшему развитию. При своевременном и правильно проведенном лечении в большинстве случаев состояние новорожденного улучшается, восстанавливаются безусловные рефлексы, повышается двигательная активность.

У некоторых детей впоследствии синдром гипервозбудимости, о котором говорилось ранее.

Дальнейшее развитие ребенка может происходить с задержкой: он позже начинает держать голову, переворачиваться, сидеть, вставать и ходить, говорить. Ребенок, перенесший синдром угнетения, нуждается в длительном и регулярном врачебном контроле. При необходимости ему назначают повторные курсы медикаментозной терапии, которые, в зависимости от жалоб, включают успокоительные или, напротив, стимулирующие препараты.

Нередко родители отрицательно относятся к назначению их малышу лекарств, высказывают опасения относительно возможных побочных эффектов, занимаются самолечением. Существует мнение, что лекарства, применяемые при лечении взрослых пациентов, абсолютно непригодны в педиатрии. Однако большинство медикаментов, используемых в современной медицине, не имеет возрастных ограничений и в правильно подобранных дозах оказывают на ребенка положительный эффект без каких-либо отрицательных явлений. С другой стороны, слишком поздно начатое лечение может не оказать должного эффекта, задержка в развитии ребенка усугубляется, имеющиеся у него проблемы не только не уменьшаются, а даже усиливаются по мере роста.

Наряду с медикаментозными препаратами, в качестве дополнительной терапии, неврологи обычно рекомендуют также массаж, занятие лечебной физкультурой и плаванием под руководством специально обученного инструктора, закаливание, водные процедуры, лечение травами. В восстановительном периоде дополнительные методы лечения приобретают самостоятельное значение и могут быть рекомендованы в качестве способов общеукрепляющей и поддерживающей терапии.

Синдром мышечного гипертонуса также может быть одним из проявлений перинатальной энцефалопатии. Как правило, врач отмечает значительное повышение тонуса в мышцах-сгибателях. Руки такого ребенка прижаты к груди, кулачки крепко сжаты, ноги невозможно развести и разогнуть в тазобедренных суставах. Двигательная активность снижена. Безусловные рефлексы новорожденного выражены и сохраняются длительное время, мешая его нормальному развитию. Так, защитный рефлекс препятствует поднятию и удержанию головы, хватательный рефлекс создает определенные трудности при попытке произвольного захвата предмета, рефлексы опоры, автоматических ползания и походки тормозят развитие ползания на четвереньках, стояния и ходьбы. У детей с мышечной гипертонией могут развиваться спастическая кривошея, косолапость. Отсутствие своевременной медицинской помощи может привести к серьезным задержкам развития и даже к формированию детского церебрального паралича.

Таким детям показаны курсы расслабляющего массажа в сочетании со специально подобранной медикаментозной терапией. В качестве дополнительных методов эффективны водные процедуры, плавание, физиотерапия. В случаях стойкой мышечной гипертонии врачи рекомендуют лечение в специализированном стационаре.

Журнал «Материнство», апрель, 1998 г.
 

Когда ребенок начинает осознанно улыбаться в ответ маме

Любые тяготы послеродового периода, постоянное недосыпание и невероятная усталость мамы, накопившаяся к концу первого месяца жизни малыша, теряют свое значение, когда ребенок начинает улыбаться ей в ответ.

Первые улыбки

Сначала улыбка ребенка имеет рефлекторную природу и не связана с тем, что он способен видеть или слышать. Неосознанно улыбаться кроха может даже через несколько дней после своего рождения. Эта улыбка не играет пока еще социальной роли и просто показывает, что малышу хорошо и спокойно в этот момент. Нередко увидеть ее можно на лице малютки, когда он спит, купается или сразу после кормления.

Для того чтобы она стала осознанной, должно пройти определенное время. И это неудивительно, ведь в возникновении улыбки принимает участие более десятка лицевых мышц. Самое же главное, что ее появлению предшествует сложная мозговая деятельность, включающая распознавание эмоций близкого человека, передачи нервных импульсов в нужную зону мозга и последующее расслабление мышц лица. Обычно ребенок начинает улыбаться осознанно, когда проходит период от 4 до 8 недель с момента рождения.

Когда младенец улыбается?

К концу первого месяца, а также в течение второго месяца жизни малыша его улыбка может уже являться реакцией на:

• какое-то приятное или увлекательное событие (мама хлопает в ладоши, напевает песенку, агукает с ребенком) Когда малыш начинает агукать?;
• выраженную мимику взрослого (иногда реакция может последовать даже на четкое изображение лица, например, другого малыша на журнале для мам или на любимой игрушке с достаточно большими глазами, носом и ртом).

Малыш постепенно учится поддерживать зрительный контакт со взрослым, реагировать на интересные звуки и ласковые прикосновения, поэтому улыбку ребенка могут предопределять теперь и внешние факторы. Хотя кроха еще не умеет внимательно слушать, полезно в это время с ним не только ласково разговаривать, но также включать спокойную музыку (например, классику), размещать над детской кроваткой мобиль с забавными игрушками и приятной мелодией.

Улыбаемся и развиваемся

Одновременно с тем, как ребенок начинает активно улыбаться маме и другим близким людям, он может размахивать ручками и ножками, постепенно начинать «гулить» в ответ на обращение к нему.

Все эти явления составляют то, что называется комплексом оживления. Заключается он в том, что малыш способен зафиксировать приятный для него звук или лицо и отреагировать на них улыбкой, радостными вскриками, двигательной активностью, учащенным дыханием.

В зависимости от ситуации (например, взрослый проявляет свои эмоции более или менее выражено), младенец также может усиливать или уменьшать интенсивность своего поведения. Также кроха может начать улыбаться, издавать разнообразные звуки, выгибать спинку и двигать ножками еще до того, как взрослый к нему обратился. Тогда комплекс оживления является своеобразным призывом к общению, что со временем помогает малышу учиться применять все более и более разнообразные способы для контакта с родителями.

Считается, что формируется этот комплекс где-то с третьей недели жизни крохи и наибольшего развития достигает к 3-м или 4-м месяцам, после чего поведение ребенка становится более сложным. Если к 2-м месяцам ваш ребенок не начал активно улыбаться, это вовсе не значит, что развитие его происходит не так, «как надо». Дети все разные и редко кто из них развивается «по всем правилам».

Тем не менее, учеными давно было замечено, что недостаток эмоционального и телесного контакта мамы с малышом прямо сказывается на его развитии. Составляющие комплекса оживления выражены слабее, некоторые компоненты, такие как радостное гуление, могут вообще отсутствовать.

Пока ребенок еще не открыл для себя улыбку как способ взаимодействия с близкими ему людьми, постарайтесь ему помочь. Для этого достаточно всего лишь почаще брать малыша на руки, поглаживать его, нежно с ним разговаривать, рассказывать ему стишки, петь песенки и, конечно, чаще улыбаться. Такие нехитрые действия со стороны мамы, безусловно любящей своего ребенка, рано или поздно приведут к тому, что малыш в один прекрасный день широко распахнет свои глаза и просияет маме в ответ на ее улыбку своей доверчивой и радостной улыбкой.

ЧИТАЕМ ТАКЖЕ: Что умеет ребенок в 1 год?

Когда ребенок начинает улыбаться осознанно?

Первые недели после появления малыша в доме могут быть по-настоящему изнурительными, ведь он часто начинает плакать, капризничать, когда что-то ему не нравится. Все это ребенок в наилучшем виде продемонстрирует своим родителям с первых дней своей жизни. Именно так выглядят его первые навыки общения с внешним миром, в который он попал после комфортного и спокойного внутриутробного развития. Родителям следует запастись терпением, ведь вскоре все их муки и труды будут щедро вознаграждены.

Речь идет о первой мимике на лице малыша, например, улыбке, которую он демонстрирует осознанно. Многие родители не знают точно, когда ребенок начинает улыбаться и поэтому очень боятся, не пропустить этот момент. Первую улыбку не стоит ожидать слишком рано, тем более осознанную. Осознанная улыбка напрямую связана с работой мозга малыша, которому потребуется некоторое время, чтобы в достаточной степени развиться.

Что представляет собой первая демонстрация мимики

С первых дней жизни новорожденного родители отлично понимают, когда их малышу что-либо не нравится. Об этом во всеуслышание он начинает оповещать своим плачем и криком. Как только мама удовлетворит все потребности ребенка в еде, тепле и комфорте, гримаса тут же сходит с лица. При этом ребенок в первые дни своей жизни поступает так скорее не осознанно, а рефлекторно.

После такого ультимативного заявления окружающему миру о своих потребностях, губки малыша могут растянуться. Уголки рта при этом занимают такое положение как при улыбке. Такая улыбка называется физиологической, рефлекторной.

Чтобы улыбнуться своим родителям малыш должен задействовать целых 17 лицевых мышц.

[box type=»tick»]Проявления радостной мимики на личике новорожденного являются свидетельством его нормального и полноценного умственного развития.[/box]

На начальном этапе внимательные родители могут подметить, когда их чадо слегка кривит губки. Это напоминает не столько улыбку, как ухмылку, которая возникает просто так и не связана ни с чем, а также не обращена к кому-то конкретно. В данной ситуации малыш попросту начинает выражать свое лояльное отношение к благоприятной среде, которая в тот или иной момент окружает его.

Дополнительно >  Во сколько можно начинать присаживать мальчиков?

 

Возникновение осознанной улыбки

Как известно, все малыши близоруки и поэтому не видят ничего дальше своего носика. Как только ребенок начинает замечать своих родителей, которые проявляют заботу, мам, которые склоняются у кроватки, он будет понемногу дарить в ответ им осознанную улыбку. Обычно этот момент наступает примерно к концу первого месяца жизни крохи.

Для любой мамы очень важна такая первая реакция ее малыша. Она будет как награда за все страдания при родах, тяжелые будни в первые недели после выписки из роддома и бессонные ночи. С этой минуты ребенок начнет оказывать положительное влияние на родителей своим очарованием и искренностью. Любые трудности в жизни молодых родителей становятся ничтожными при ощущении замирания сердца во время созерцания этой улыбки.

Что малыш выражает улыбкой

Когда ребенок впервые одарил своих родителей улыбкой и открыл для себя новое проявление ощущений, каждое появление в поле зрения папы и мамы будет вызывать у него настоящий экстаз с непременным проявлением улыбки.  Такое поведение, по мнению некоторых специалистов, может указывать не только на любовь к своим родителям, но и стать отличным способом привлечь к себе их внимание, привязать к себе. При этом все подобные желания будут возникать у него не только по отношению к родителям, но и к прочим людям с подобным рисунком лица в его глазах. Таким образом, кроха готова делиться своими эмоциями и счастьем со всеми окружающими.

Так будет происходить все время, вплоть до кризисного 7-го месяца жизни. Именно в этот период малыши начинают с некоторым подозрением относиться к незнакомым людям. Такое поведение является проявлением эмоциональной избирательности, которая указывает на нормальное психологическое развитие. Такие его отношения с окружающим миром – норма на данном этапе жизни и родителям не стоит по этому поводу переживать.

Дополнительно >  Прорезывание зубов у грудничка – когда начинается и что делать

Если малыш не начал улыбаться

Традиционно все груднички начинают улыбаться к 6-8 недели своей жизни. При этом они активно двигают ножками, ручками и смотрят своим родителям прямо в глаза, различая их среди неодушевленных предметов. Это свидетельствует о нормальном умственном развитии и называется среди специалистов рефлексом оживления.

Некоторым родителям приходиться дольше ожидать, когда ребенок начинает улыбаться. При этом многие начинают паниковать и подозревать, что с младенцем что-то не так. Стоит отметить, что все груднички имеют свои индивидуальные особенности в плане физического, умственного и рефлекторного развития. Каждый из малышей имеет свой характер, что дает ему право улыбаться тогда, когда он этого захочет.

Увидеть на лице своего ребенка мимику положительного характера в первый раз мама может и к концу 12-й недели его жизни. Среди всех важных младенческих рефлексов придет очередь и улыбаться. Скорее всего, такой ребенок попросту еще не открыл для себя новое проявление ощущаемых эмоций. Чтобы помочь ему правильно выражать радость и удовольствие, маме следует таким образом:

• почаще находиться рядом с ребенком;
• гладить его по нежной детской коже;
• нежно с ним разговаривать и называть ласковыми словами;
• самой как можно чаще улыбаться малышу.

Именно в таком общении со своей мамой ребенку поскорее захочется откликнуться на ее заботу и внимание. Таким образом, мама и ее малыш смогут подружиться и научиться понимать друг друга без слов.

 

 

Оцените статью &nbsp

Загрузка…

---

 

Когда ребенок начинает улыбаться осознанно, смеяться в голос

Главная > Грудничок > Первые достижения >

В животике у любимой мамы было всегда тепло и комфортно. И вот однажды природа решила, что настал час, когда малыш уже должен познавать внешний мир и учиться существовать и выживать в совсем иной среде. Молодая мама, забыв от радости о мучительных схватках и родовых потугах, воодушевленно перелистывает страницы женского журнала, желая как можно быстрее узнать, какие они, новорожденные дети, чтобы понять, что ожидает ее на протяжении первых месяцев.

В этот момент ее интересуют статьи о том, когда кормить младенца, в каком возрасте девочки и мальчики начинают ползать и ходить, сколько часов в сутки должен спать ребенок. Но более всего ее волнует вопрос «Когда ребенок начинает улыбаться осознанно?». Ведь она и ее маленькое чудо, наконец, за столько месяцев увидели друг друга, и хочется знать, что малыш безмерно рад ее видеть.

Содержание статьи

Первые произвольные ухмылки

Уже через несколько дней после появления на белый свет, младенец может одарить присутствующих своей первой невнятной улыбкой. Такое чаще происходить во время младенческого сна или в часы, когда малыш безмятежно отдыхает – в теплой ванночке или после сытной и вкусной маминой еды.

Как ни досадно, милая спокойная улыбка крохи в таком возрасте еще не связана с эмоциями и не является результатом мыслительного процесса. Мама может тешить себя надеждой, что ребенок научился за первые дни своей жизни узнавать ее и неумело улыбается, потому что видит любимые черты, чувствует ласковые прикосновения и слышит ее нежный голос. Тем не менее, осознанно груднички начинают реагировать на знакомые лица и приятные ощущения несколько позже.

Для начала нужно, чтобы малыш начал хорошо видеть. В течение первого месяца его существования единственная картина, которую он наблюдает, – густой туман и размытые крупные образы. Как может он понять, кто над ним склонился или прошел мимо?

Затем необходимо, чтобы мозг маленького создания начал продуктивно работать и посылать импульсы почти двум десяткам лицевых мышц, отвечающим за умение человека улыбаться и смеяться. Так как развитие неокрепшего организма происходит постепенно, умиленное выражение лица карапуза на этом этапе имеет всего лишь рефлекторную природу.

Признаки сознательной реакции

По прошествии первого месяца дети учатся фокусировать внимание на предметах и лицах людей. К восьмой неделе с момента рождения зрительное восприятие младенцев становится более совершенным, и они уже готовы оживленно реагировать на внешние факторы. Малыш способен улыбаться при виде трогательной улыбки и жизнерадостной мимики родителей искренне и вполне осознанно.

Есть, правда, один нюанс. Привыкший блуждающим взглядом осматривать все вокруг ребенок двух-трех месяцев еще толком не умеет внимательно слушать взрослых. Нужно развивать умение крохи устанавливать зрительный контакт с окружающими и внимать им. Для этого правильно закрепите над детской кроваткой мобиль и приводите его в неспешное движение с мелодичным музыкальным сопровождением. Почаще берите свое чадо на руки в вертикальном положении, так чтобы его глазки смотрели на вас на расстоянии 20-25 см, и ласково общайтесь с ним вслух.

Рано или поздно неимоверно забавлять малыша начинают гуление, обращенное к крохе, потешки с забавными прибаутками и ласкательные слова мамы во время утренних гигиенических процедур, массажа, кормления и купания.

К трех- или четырехмесячному возрасту ребенок не только может улыбаться в ответ, но и бурно реагировать на присутствие родных людей или обращенную к нему речь.

Так называемый «комплекс оживления» грудничка проявляется в виде радостных вскриков, повизгивания, размахивания ручками и ножками в момент, когда на горизонте появляется родной человек, или когда с малышом нежно разговаривает взрослый. Так младенец может демонстрировать свою готовность «пообщаться» и поиграть с мамой или папой.

Примерно в четыре месяца многие малыши начинают заливисто смеяться и безудержно хохочут. Но не все дети одинаково проявляют положительные эмоции. Стоит ли беспокоиться родителям, если кроха решительно не хочет ни смеяться, ни улыбаться?

Слишком серьезный карапуз – смеяться или плакать?

Позитивная ответная реакция крохи на улыбки, гримасы и сюсюканье взрослых является признаком прогрессирующего умственного развития новорожденного. Отсутствие желания улыбаться может свидетельствовать о противоположном. Но сразу же впадать в панику не стоит, если ваш скромник не умеет или не хочет смеяться от души, сколько бы вы ни пытались его развеселить. Необходимо сопоставить все факты.

Если по физиологическим признакам ребенок развивается согласно срокам нормально (умеет держать головку, хотя бы ненадолго фокусирует взгляд на лицах и предметах, не противится контакту с окружающими), скорее всего, повода для беспокойства нет. Не отчаивайтесь, вдруг какой-нибудь ровесник вашего чада звонко смеется или заливисто хохочет с родителями и с посторонними. Возможно, у вас растет очень серьезный парень или дочурка с покладистым ровным характером, и пока кто-то другой смеется, ваша тихоня сосредоточенно анализирует происходящее.

Попробуйте больше уделять внимания ребенку. Не стесняйтесь улыбаться вашему молчуну и эмоционально общаться с ним.

Читайте ему детские стишки, пойте песенки, поглаживайте его и легенько щекочите. Берите в руки большую красивую игрушку, которую малыш знает и не боится, и разговаривайте с ним от имени этого персонажа, меняя свой голос на забавный и потешный. Во время прогулки с энтузиазмом рассказывайте крохе обо всем интересном вокруг. Помните, что ребенок будет радоваться жизни, только если выбран подходящий момент – когда его не мучают колики, он выспался и готов играть, когда он сыт и сух. Иначе все ваши усилия окажутся напрасными.

Но если вы полностью окружили свое чадо вниманием, и вас все еще терзают сомнения по поводу его здоровья, обратитесь к педиатру, чтобы развеять свои страхи или получить ценный совет.

 

Понравилась статья? Поделитесь с друзьями!

Как сделать поделку своими руками

Каждому нравится, когда вокруг красиво. Представление о красоте, понимание красивого у всех разные. Некоторые дома, квартиры, заставлены роскошной мебелью, дорогими сувенирами, но постоянно находиться среди всего этого никак не хочется: не уютно, не практично, бесполезно загромождённое помещение.

А бывают случаи, когда увиденная среда настолько притягивающая и приятная, что очень хочется создать что-то подобное у себя дома или на работе.

Помещение многое может «рассказать» о тех, кто в нём обитает. Любовь к домашнему очагу, забота о нём сразу чувствуются: трудолюбивые руки создают что-то новое, интересное; стараются сделать так, чтобы дом был интересным, красивым, неповторимым.

Содержимое обзора:

Умение видеть необычное

Для человека с созидательной фантазией и глазами, умеющими видеть необычное, всегда найдётся что-то для создания шедевра. Материал находится всюду.

Творческий человек находит его, обычно, непроизвольно, выполняя другую работу. К примеру, во время сбора ягод или грибов находятся интересные коряги, напоминающие предметы или существа.

Принесённые домой эти коряги совершенствуются и становятся уникальными сувенирами, которые, в зависимости от величины, можно разместить на полках, стенах, на полу, в зелёном уголке между цветами, создав естественную, приятную и милую природную композицию.

Из подобранных веточек разной толщины получится уникальная вешалка, плетёная стенка, вазы.

Материал для поделок находится всюду

Какую поделку сделать своими руками нередко подсказывает сама природа, ненужные или найденные на чердаке, в кладовке старые вещи, желание пофантазировать и сделать что-то уникальное, удивляющее и восхищающее родных, украшающее, делающее неповторимым дом.

Рекомендуем посмотреть еще тут

Всему необычному радуются в первую очередь дети. Они с удовольствием учатся и их захватывает процесс творчества. Дети с удовольствием создают мелкие детали поделки, гордятся результатам своего труда.

Поделки для детей

Многих интересует вопрос: как сделать поделки своими руками для детей, чтобы они были красивы, интересны. Для этого можно использовать безопасные или, даже съедобные материалы: овощи и фрукты, бумагу, картон, салфетки.

Овощи, фрукты, орешки, ягоды, жёлуди, каштаны – природные материалы — наиболее часто для интересных композиций используют осенью.

В первые месяцы начала учебного года выставочные залы, холлы многих образовательных учреждений, начиная с детских садов, украшают яркие выставки с красивыми названиями «Золотая осень», «Дары осени», где можно увидеть уникальные творения богатой фантазии детей и родителей.

Там и своеобразные деревья из природных материалов; обычные и необычные птицы и животные; герои сказок, мультфильмов; восхитительные букеты. Такие выставки чрезвычайно интересны.

Своими руками для школьной выставки, к праздникам

Для того, чтобы сделать поделки в школу своими руками, можно использовать природные материалы, дополнить их подходящими по форме макаронными изделиями и изделиями из теста, использовать фольгу, цветные салфетки или бумагу, бусинки, пуговички, нитки и многое другое, что есть дома.

Рекомендуем посмотреть еще тут

Из картошек разной величины, зубочисток, получится интересная серая цапля, из кукурузы – бесстрашный соломенный бычок, из каштанов, жёлудей – Чебурашка т.д.

Из отварных овощей – свёклы, картошечки, морковки – получатся красивые цветы для вкусного букета, украшенного майонезом.

Если в планах поделка своими руками к 23-у февраля, то «вкусные» изделия очень подойдут, а также другие. Подарком детям будет самолёт или танк, сделанный из больших старых коробок из-под бытовой техники.

Из салфеток, тонкой цветной бумаги, пластиковых ложек можно составить чрезвычайно красивые букеты.

Из ложек получатся превосходные крокусы, из тонкой бумаги, — самые разные цветы. Саморобный букет будет долго радовать яркостью красок, вызывать чувство гордости, напоминать о приятных минутах творчества.

Рекомендуем посмотреть еще тут

Бумажные поделки

Раньше были очень популярными бумажные поделки. Как сделать поделку из бумаги своими руками? Некоторые журналы размещали среди своих страниц специальные детские развлекательные материалы.

В этих материалах обязательно находились своеобразные бумажные конструкторы: необходимо было вырезать детали и собрать изделие.

Сейчас такие бумажные конструкторы можно приобрести отдельно, что очень удобно. Они есть на коробках вкусных сухих завтраков для детей, игрушек.

Нарисованные детали зверюшек, предметов вырезают из картонной коробки, сгибают, где необходимо и склеивают. Есть сборные конструкции, не требующие склеивания.

Бумага – наиболее подходящий материал для творческой работы детей. Фигурки из неё складывают, вырезают и склеивают. Есть много видео о том, как сделать бумажную поделку своими руками.

Новая жизнь старых вещей сделает дом уникальным

Дома всегда есть много предметов, из которых получатся уникальные вещи для украшения дома, приусадебного участка. Нужно только внимательно присмотреться.

Обретая новую жизнь, старые вещи напомнят о родных, приятном прошлом, станут милым и уникальным украшением, хранящим историю и тепло родного очага.

Фото поделок своими руками

Вам понравилась статья? Поделитесь 😉     

Всего посмотрели 1 068

 посетителей.      Рубрика:

полезные поделки для дома – Sam-Sdelay.RU – Сделай сам!

Наличие старых вещей порой раздражает, а порой порождает гениальные мысли о том, что можно сделать своими руками много приятного и полезного для дома и для своей семьи. Не верите? Читайте и смотрите далее. Несколько свежих идей помогут вам постигнуть простую магию превращения привычного хлама в рукотворные шедевры современного дизайнерского искусства.

Что можно сделать в домашних условиях своими руками?

Если ранее вы никогда не интересовались дизайном, а ваши творческие успехи не вышли за рамки школьных уроков труда и пошива миниатюрных одежек для кукол, не спешите закрывать эту статью. Мы расскажем вам, что можно сделать в домашних условиях своими руками.

Не стоит сразу говорить: «У меня нет на это времени» или «Я не буду рыскать по магазинам в поисках материалов». И уж вовсе необходимо забыть о фразе «У меня ничего не получится». Получается у всех – уделите творчеству лишь немного своего внимания и проявите фантазию. Иногда такие простые подручные средства, как пластиковые ложки или старые лампочки превращаются в шедевры декора.

В случае с лампочкой вы можете сделать небольшую подвесную вазочку, просто удалив при этом все «внутренности» со стеклянной колбы.

Крокусы из пластиковых ложек – также задача не из трудных. Окрашиваем ложки в любимый цвет, а затем склеиваем их вокруг стеблей и серединок. Серединки для цветов можно сделать из пластилина, из ткани либо бумаги.

Если такой материал как пластик вам чужд, и вы желаете работать с натуральным сырьем, попробуйте смастерить стильную вешалку из дерева.

Если вы в поиске оригинального подарка на День рождения –сделайте кристальный светильник, украсив обычный плафон бусинами при помощи лески.

Из дисков получается прекрасное праздничное блюдо.

В красивой технике декупаж можно сделать оригинальную свечку, украсив ее живыми цветами.

Из веревки, пряжи и клея можно сделать стильную подставку для бытовых вещей – хотите, для пульта, а можно и для комнатных растений.

Что можно сделать из бумаги своими руками?

Если вы до сих пор не знаете, что можно сделать из бумаги своими руками и рассуждаете, какие поделки можно смастерить из этого доступного материала – используйте простые идеи.

Для украшения интерьера вам прилетят на помощь красивые и невесомые бабочки, сделать которых можно легко и просто из бумаги.

Обычные яичные лотки станут основой для прекрасного декора фоторамки. Такую красоту и продать можно, но лучше оставить ее себе или подарить близким.

Кого вы хотели бы одарить этими нежными цветами? Предлагаем вам изучить пошаговый мастер-класс и сделать невянущий букет своими руками.

Из старых вещей, к примеру, из пробок можно сделать уйму полезных вещей для дома.

Склеив между собой картонные полосы, вы можете стать автором невероятного светильника.

Из картона и толстой веревки получится очень стильный ящик для бытовых предметов.

Мастерим из старых вещей: великолепные идеи для дома

Пожалуй, только жители других галактик не в курсе, что из старых покрышек можно мастерить полезные и красивые садовые поделки.

Мы предлагаем ознакомиться с самыми популярными решениями для использования старых автошин.

Чехол для своего мобильного телефона не пробовал мастерить, пожалуй, только ленивый. И только самые упорные преуспели в этом деле и довели его до конца. Из нескольких кусков ткани и мотка атласной ленты можно сделать красивый чехол.

Вот как можно использовать старый теннисный мячик.

Если у вас есть маленький ребенок, вы можете вместе смастерить поделки из картошки для школы садика или для дачи.

Из старой ненужной футболки можно сделать стильную майку на лето.

Из вышедшей из моды зимней дубленки или шубы можно сделать стильные и современные вещи: сумку или жилет.

Из старых колготок можно сделать милых пупсов.

Из старого пальто можно сшить комбинезон для собаки.

Что можно сделать из старых джинсов своими руками: фото и видео

Джинс – настолько плотная ткань, что даже после удачно прожитой «первый жизни» они получают шанс на достойную «реинкарнацию». Рюкзаки, сумки, украшения и даже тапочки можно сшить из протертых и вышедших из моды старых джинсов.

Что можно сделать из пластиковых бутылок для дома?

Из бутылок, вышедших из обихода, можно сделать множество полезных вещей.

Красивые подставки для комнатных растений станут украшением вашего интерьера.

А как вам такой декор?

Для украшения дачного участка можно сделать симпатичного поросенка.

Про поделки для дачи своими руками вы можете подробней узнать из нашей предыдущей статьи. А вот такие цветы вы можете научиться делать прямо сейчас.

Старые вещи можно преобразить самым неожиданным способом. Из видеокассет, утративших свою актуальность, можно сделать шикарные полки для полезных вещей.

Видео: что можно сделать своими руками?

Красивые поделки своими руками — идеи, советы, фото коллекции

В жизни бывают моменты, когда окружающие предметы кажутся скучными, не радуют глаз, хочется добавить изюминку в привычный интерьер. В магазинах и отделах хандмейд можно выбрать необычные эксклюзивные предметы интерьера, но стоят они дорого. Почему бы не попробовать самим сотворить что-то красивое, но не дорогое, простое и необычное?

Процесс изготовления поделок не требует особых знаний и умений. Главное – поверить в себя, и можно создать настоящий шедевр. Поделки для украшения интерьера можно изготовить как из новых материалов, так использовать старые ненужные предметы. Начинать нужно с более простых поделок.

Украшаем скучную стену яркой картиной «Бабочка»

Пустую стену можно украсить красивой картиной изготовленной из пуговиц. Для этого понадобятся:

• Однотонная ткань, сочетающаяся по цвету со стеной
• Разноцветные пуговицы
• Клей «Титан», «Атлет» или «Мастер»
• 4 брусочка для изготовления подрамника
• Степлер со скобами
• Клеенка для работы

Этапы работы:

Накрываем рабочее место клеенкой

Шаг 1. Готовим подрамник. Определяем, каких размеров будет картина. Выбираем брусочки одинаковой толщины и отпиливаем уголки под 45 градусов, соединяем соседние бруски и скрепляем их степлером.

Шаг 2. Наносим на ткань рисунок «Бабочка». Если вы умеете рисовать, то это не составит большого труда. Бабочку можно разместить строго по центру, а можно наклонить, имитируя полет. Если талантом художника вы не обладаете, можно использовать готовый рисунок и перевести его с помощью кальки на ткань.

Шаг 3. Заполняем бабочку пуговицами. Подбираем пуговицы по цвету и размеру для «окрашивания» рисунка. Для создания интересного рисунка нужно взять пуговицы различных цветов, размеров и изготовленных их различных материалов. Даже не сочетаемые цвета и материалы буду в узоре бабочки смотреться органично. Сначала разложите пуговицы на ткани внутри контура рисунка. Когда все пуговицы будут на своем месте, начинаем приклеивать их к ткани. Оставляем работу для высыхания

Шаг 4. Натягиваем ткань на подрамник. Для этого на ткань кладем готовый подрамник, подгибаем ткань и закрепляем степлером изнутри.

Картина готова! Вместо бабочки можно взять любой другой рисунок. Для заполнения рисунка используйте стразы или старые бусы. При желании оформите картину в раму, купленную в магазине, или изготовленную собственноручно.

Пшено, рожки и рама для картины

Раму для картины можно сделать из подручных средств или украсить, имеющуюся старую, но не интересную раму, своим декором. Украшаем раму крупами и макаронными изделиями. Для этого нам понадобятся:

• Заготовка рамы.
• Клей «Титан», «Атлет» или «Мастер»
• Крупа, макаронные изделия
• Краска в баллончиках
• Финишный лак

Этапы работы:

Шаг 1. Готовим раму, как делали подрамник. Если используется старая рама, то предварительно очищаем ее наждачной бумагой от старого лака.

Шаг 2. Для декора используем рисовую или перловую крупу. Макаронные изделия выбираем различной формы: спирали, колечки, трубочки, улитки – все на ваш вкус. Распределяем по раме для предварительного просмотра. Если узор устраивает – начинаем приклеивать продукты к раме. Наносим клей на раму небольшими порциями и сразу прикрепляем декор. Пустые, недоступные места заполняем крупой. Оставляем работу для просыхания.

Шаг 3. С помощью баллончика наносим на раму желаемый цвет, прокрашивая все участки. Снова просушиваем.

Шаг 4. Чтобы раму можно было протирать влажной салфеткой, ее нужно обработать финишным лаком. Это добавит прочности изделию и блеск.

Еще одна работа завершена. Поместите в нее изготовленную картину или фотографию семьи. Декорировать раму можно пуговицами, ракушками и даже кедровыми орешками. Картина, изготовленная своими руками, в рамке собственного декора будет отлично смотреться над диваном. А может еще и диван украсить красивыми подушками?

Раз — подушка, два — подушка, или — подушек много не бывает

Даже самый скучный диван можно «развеселить», если бросить на него много разных подушек и подушечек. Готовы к преображению?

Работа будет состоять из двух, а может из трех этапов:

Шаг 1. Изготовление подушки. Для работы используем готовые подушки или шьем их сами. Готовые подушки без чехлов и украшения можно купить в магазинах оптовой торговли. Самим сделать подушки можно из старых больших. Для этого сшивает из старой ткани наперник нужной формы, и наполняем пухом или синтепоном из старой. Зашиваем свободный край наперника. Подушки могут быть разными по форме и размерам: прямоугольные, квадратные, треугольные, большие и маленькие.

Шаг 2.Шьем чехлы для подушек. Используем новую ткань или имеющуюся, но хорошего качества. Ткань для чехлов подбираем в тон окружающей обстановке. Можно сшить однотонные чехлы и украсить их разными элементами декора, а можно сшить чехлы одного тона, но с разными узорами.

Шаг 3. Если все же были сшиты чехлы однотонные, то их нужно украсить. Будем украшать бантами и бантиками. Смысл такой: пришить на чехлы разного размера банты, изготовленные из контрастной ткани, но близкой по фактуре к ткани чехлов. На одну подушку – один большой бант по центру, на другую – пять маленьких разноцветных по всей лицевой стороне чехла, на третью — три небольших в одном из углов чехла и так далее. Если ткань плотная и не сыплется, креативно будут смотреться банты с необработанными краями.

Подушки готовы, разложите их на диване и почувствуйте, как стало нарядно в комнате.

Декорировать подушки можно по-разному: лентам, готовой или самодельной аппликацией, кожаными вставками, кружевом.

А что еще можно сделать своими руками для украшения интерьера? Вот несколько примеров для творчества из различных материалов. Из джутовой нити – абажур для настольной лампы, из веток дерева – ваза или кашпо для комнатного растения, из старых винных пробок — рама для зеркала или часов, из строительного изолона — цветы, из лоскутов ткани — плед, из шпагата – ковер. И еще много разных удивительно красивых предметов.

Для каждого времени года – свой дизайн

Дизайн помещения можно обновлять в соответствии с временами года.

Осень. Яркие, в осенних расцветках, фрукты из папье-маше, уложенные в красивое блюдо на обеденном столе, подчеркнут осеннее настроение. На оранжевых подушках с трафаретами осенних листьев будет уютно и тепло сидеть на диване. Домашние заготовки в банках можно с любовью украсить крышками из мешковины и плетеными косами из джута. Яркие гирлянды и подвески из сушеных фруктов украсят окна, и серый пасмурный осенний день заиграет красками.

Зима. С детства приклеивают снежинки на окна, впуская сказку в дом. Снежинки могут быть не только плоские, но и объемные. На окне можно с помощью трафаретов изобразить целую картину. В канун новогодней сказки преображаются не только окна. Подготовленную бутылку шампанского с помощью точечной росписи по стеклу раскрасим снежными узорами. Из старых трикотажных вещей смастерим оригинальную одежку для бутылок, и вот на столе уже Дед Мороз и Снегурочка. Из остатков яркой ткани сошьем салфетки для столовых приборов. Сухие ветки деревьев пригодятся для изготовления подсвечника или вазы. Входную дверь украсим новогодним венком

Весна. Весной справляют красивые праздники — 8 Марта, Пасха, 1 мая. В дизайне комнаты можно поддержать идею праздников. Цветы, выполненные в технике квиллинга, подушки украшенные цветами в технике канзаши, цветочная люстра, весенний венок над дверью, подставки для пасхальных яиц из бутылочек из-под йогуртов, подушки с изображением кроликов, веселые цветочные салфетки на стол

Лето. Цвета лета, аромат моря, впечатления от путешествий найдут свое отражение в летнем дизайне. Фоторамку украсим ракушками, темный плед на кресле заменим ярким лоскутным покрывалом, на подушках присядут разноцветные бабочки, напольную вазу сплетем из газетных трубочек. Главное больше зелени, свежести и фантазии.

Поделки, выполненные своими руками, решают не только конкретную проблему – изменение дизайна. При рукоделии отвлекаешься от житейских хлопот, настроение — приподнятое от предвкушения создания красивого предмета. Немного опыта и поделка может порадовать не только автора, а стать отличным подарком для друга. Если добиться совершенства в том или ином виде рукоделия и создавать качественные работы, можно на этом еще и заработать.

Авторская работа несет положительную энергию, она неповторима – обязательно найдется желающий купить ее и украсить свой дом. Еще одна причина, по которой стоит заняться рукоделием – это экономия средств. Не бежишь в магазин за новой покупкой, а сам создаешь ее своими руками.

Фото подборка красивых поделок

Поделки из бумаги своими руками в разных техниках 42 идеи. Пошаговые схемы поделок из бумаги для взрослых и детей. Легкие и сложные поделки из белой, цветной и гофрированной бумаги.

Поделки из бумаги — это настолько многогранный и увлекательный вид творчества, что я не могла пройти его стороной. Так как я сама увлекаюсь разными видами творчества, а еще у меня растет помощница дочка, которая постоянно, что то мастерит и без рукоделия жить не может. То в нашей копилочке обязательно должны быть полезные или просто интересные мастер классы из бумаги в разной тематике и для разных случаев.
Думаю моя копилка с мастер классами из бумаги будет полезна и вам. Здесь вы сможете почерпнуть  для себя вдохновение или найти подходящую идею, а так же подсмотреть пошаговый процесс изготовления.
Я собрала те которые на мой взгляд показались интересными, оригинальными или полезными.
Какие то сложные в изготовление, а какие то совсем простые и их можно делать вместе с детьми.

Для изготовления в основном нужна бумага (цветная, простая белая или гофрированная, в некоторых изделиях картон)
Ножницы, карандаш, линейка, клей.
А главное творческий настрой)))

Вы готовы?
Тогда приступим!

Начнем пожалуй с полезных идей из бумаги

Закладки для книг из бумаги с пошаговыми фото.

Закладки сердечки оригами

Еще понравилась идея варежки на ниточке.
Такие варежки можно нарисовать самим, а можно вырезать из бумаги для скрапбукинга.

Следующая идея — это закладки антистресс, хотя они косвенно являются поделками, однако это тоже вид творчества связанный с бумагой, к тому же в наше неспокойное время они могут быть весьма полезны.
Их можно распечатать или перерисовать с экрана монитора.

Объемные 3 Д поделки из бумаги для украшения интерьера.

Следующая полезность — это украшение интерьера. С помощью бумаги мы можем создать дополнительный уют в доме или задать определенную атмосферу.
Также можно поделками из бумаги украсить зону для фотосессий или создать декор для праздника.
В общем способов применения очень много, поэтому переходим к идеям.

Гирлянды из бабочек для декора

Так же бабочками можно украсить фотозону, чтобы бабочки были объемными приклеивать нужно только серединку крылья должны быть свободными.

Ну вернемся пока к гирляндам, их можно делать всякими разными, например в виде таких 3д сердечек.

Или вот таких светящихся звездочек

Так же можно сделать объемные капельки, кружочки или облака, в общем все что угодно и крепить как угодно. Хоть гирлянду сделать, хоть на стену приклеить, или вообще на открытку в виде аппликации.

А для украшения интерьера вот такая оригинальная есть идейка)

Идея для Свадебного декора из бумаги

А вот такими розетками можно украсить любое радостное событие будь то свадьба, детский праздник или фотосессия.

Как сделать Розетки из бумаги поэтапно:

А из полу — розеток можно сделать очень красивую гирлянду

Для украшения праздничного интерьера можно сделать из бумаги разные объемные фрукты.
В этом мастер классе вы можете увидеть как сделать мандаринки или тыквы, кому как больше нравится. По этому же принципу можно делать и другие фрукты, например: грушу или яблоко, главное цвета правильно подобрать и пропорции сделать под вид настоящих фруктов.

Бумагу можно взять разных оранжевых оттенков. И зеленую для листиков.

Бумагу нужно нарезать на полоски 4 см. шириной и длиной 18 см. — 2 шт,
23 см. — 4 шт, 28 см. — 4 шт.
Должно получится 10 полосок.

Каждую полоску необходимо загнуть в виде гармошки или веера.

Далее парные полоски необходимо склеить между собой и замкнуть в кольцо.

Должно получится 5 штук

Потом у каждого кольца необходимо склеить серединку

Собираем все розеточки между собой на клей.

И последним штрихом мы приклеиваем веточку и листочки.
Мандаринки получились просто заглядение)

Фрукты или овощи можно сделать еще и другим способом

Например такая детская поделка из бумаги «морковка»

Или «яблоко»

Детские поделки, открытки с аппликациями из бумаги.

Красивые открытки с аппликациями можно сделать из цветной бумаги и обычных столовых салфеток или гофрированной бумаги.

По тому же принципу можно сделать и платье для балерин, только бумагу скручивать не в комочек , а в трубочку.

А с детьми помладше можно сделать вот такого симпатичного ежика из узких полосок бумаги.

Или аппликацию полярного медведя

Цветочный шар из гофрированной бумаги пошагово.

На нашем сайте так же есть статья как сделать цветы из бумаги для букетов из конфет

Или о том как сделать цветы из разных материалов

А пока мы продолжаем

Оригами, куригами, кусудама поделки из бумаги поэтапно.

Подборки звездочек из бумаги в разных техниках.

Также полезными поделками я считаю красивые коробочки, которые можно собрать своими руками для хранения разных мелочей или даже для упаковки подарка, больше идей по упаковке подарков из бумаги смотрите здесь

Шар в технике кусудама.

И на последок еще несколько идей

Оригами для детей

Оригами бабочки

Кораблик

Кошка

Лиса

Лягушка

Птица

Рыбка

Скат

Слон

Собака

Еще один интересный вид поделок из бумаги — это снежинки, более 50 идей с шаблонами и схемами вы сможете найти в этой статье.

А у меня на сегодня все!
Вдохновение плещет рекой, пока писала статью, уже с дочкой попробовали сделать некоторые поделки, дочка теперь радуется новым игрушкам, а я радуюсь, что не зря проделала эту трудоемкую работу.
Хотя бы один мой дорогой человечек доволен, думаю мы еще не раз вернемся с ней к этой статье.

Если вам тоже понравилась эта подборка добавляйте ее в закладки, чтобы не потерять.
А еще я буду благодарна вашим комментариям, ведь только так я узнаю, что мой труд проделан не зря.

И если вы хотите не пропустить новые супер полезные статьи из нашей творческой копилочки, тогда присоединяйтесь к нашей группе в контакте   https://vk.com/bantomaniya

Мастер-класс, Поделка, изделие | Страна Мастеров

самый простой рецепт холодного фарфора… Мастер-класс, Материалы и инструменты, Поделка, изделие 9761	Цветочные шары Мастер-класс, Поделка, изделие 8892	А просто так…. Мастер-класс, Поделка, изделие 5125	Снеговик из ниток. Готовимся к Новому… Мастер-класс, Поделка, изделие 4153
МК бахромчатые цветы Мастер-класс, Поделка, изделие 4035	Велосипед-кашпо (МК) Мастер-класс, Поделка, изделие, Свит-дизайн 3474	Для себя Мастер-класс, Поделка, изделие 3196	Снежинки-балеринки Мастер-класс, Поделка, изделие 2988
Куклы-шкатулки обещанный МК Мастер-класс, Поделка, изделие 2961	Нитки превращаются…..(+МК) Мастер-класс, Поделка, изделие 2891	МК…Крутим розы из салфеток… Мастер-класс, Поделка, изделие 2878	Торт с сюрпризом! Мастер-класс, Поделка, изделие 2874
МК коробочка с сюрпризом Мастер-класс, Поделка, изделие, Скрапбукинг 2739	Розочка из ленты. Очень быстро! Мастер-класс, Поделка, изделие 2658	МК СУНДУК (деревянная салфетка) Мастер-класс, Поделка, изделие 2633	МК — Шкатулка из бумаги. Мастер-класс, Поделка, изделие 2603
Снежинки МК Мастер-класс, Поделка, изделие 2598	«Букет Роз» Мастер-класс, Поделка, изделие 2531	Дерево из роз и маленький МК Мастер-класс, Поделка, изделие 2501	МК. Готовимся к празднику Мастер-класс, Поделка, изделие 2431
МАСТЕР-КЛАСС ДЕНЕЖНОГО КРАНА… Мастер-класс, Поделка, изделие 2430	Коты-магниты (МК по росписи) Мастер-класс, Поделка, изделие 2430	Книжный тоннель Мастер-класс, Открытка, Поделка, изделие 2415	Сизалевая елочка, Мастер-класс Мастер-класс, Поделка, изделие 2346

упражнения с ответами на отработку настоящего продолженного времени

Список заданий:

1. Раскройте скобки, употребляя глаголы в Present continuous
2. Поставьте глаголы в скобках в настоящем продолженном времени
3. Составьте предложения во времени Present progressive
4. Переведите предложения, используя Present continuous tense
5. Напишите вопрос и отрицание к предложению
6. Образуйте специальный вопрос к предложению
7. Вставьте глаголы из списка в предложения в форме Present continuous
8. Допишите окончание -ing глаголу
9. Дайте краткий положительный и отрицательный ответы на заданный вопрос
10. Вставьте am, are или is
11. Какие из этих глаголов не употребляются в настоящем продолженном времени
12. Определите в каких предложениях используется время Present continuous

Упражнение 1. Раскройте скобки, употребляя глаголы в Present continuous

1. I (to work) now
2. He (eat) an apple
3. Natalia (write) a letter
4. Anna (to have) breakfast
5. They (to go) at work
6. They (listen) to music
7. She (sit) on a sofa
8. Tom (to play) football
9. Cats (to drink) milk
10. She (to read) a book

Посмотреть ответы.

Упражнение 2. Поставьте глаголы в скобках в настоящем продолженном времени

1. I am ___ now (run)
2. She is ___ (cry)
3. Dog is___ (bark)
4. My wife is ___ the dinner (make)
5. He is ___ on the chair (sit)
6. They are___ (stay)
7. Tom is___ her (help)
8. She is ___ her parents (visit)
9. I am___ a newspaper (read)
10. I am___ a car (drive)

Посмотреть ответы.

Упражнение 3. Составьте предложения во времени Present progressive

1. football / play / he
2. Irina / trousers / wear
3. rain / it
4. cook / we / breakfast
5. I / drink / coffee
6. The sun / shine
7. wash / I / my hair
8. wait / for a bus / he
9. cry / Anna
10. Marina / have / a shower

Посмотреть ответы.

Упражнение 4. Переведите предложения, используя Present continuous tense

1. Я делаю домашнюю работу
2. Она ест яблоко
3. Ирина играет на гитаре
4. Том ведет автобус
5. Я гуляю
6. Он ждет автобус
7. Мы завтракаем
8. Она ведет машину
9. Я сейчас работаю
10. Альбина читает газету

Посмотреть ответы.

Упражнение 5. Напишите вопрос и отрицание к предложению

1. They are having launch
2. She is doing housework
3. He is having a shower
4. They are playing football
5. Dog is barking
6. Masha is reading magazines
7. Marina is wearing skirts
8. They are visiting their parents
9. Kris is working
10. She is sitting on a sofa

Посмотреть ответы.

Упражнение 6. Образуйте специальный вопрос к предложению

1. My friends are doing housework (what)
2. He is going to a shop (where)
3. She is cooking a cake (what)
4. She is waiting for a bus (what)
5. Anna is wearing trousers (what)
6. Masha is walking in a park (where)
7. You are waiting for her (who)
8. They are eating bananas (what)
9. Mark is driving a car (what)
10. You are watching TV (what)

Посмотреть ответы.

Упражнение 7. Вставьте глаголы из списка в предложения в форме Present continuous

play, wear, use, get up, have, dance, read, watch, go, wait

1. They ___ dinner
2. They ___ early
3. Anna ___ the piano
4. He ___ TV
5. She ___ for a bus
6. Larisa ___ not ___ books
7. She ___ laptop
8. I ___ to the gym
9. She ___ on a scene
10. ___ you ___ a watch?

Посмотреть ответы.

Упражнение 8. Допишите окончание -ing глаголу

1. read_
2. play_
3. lie_
4. use_
5. watch_
6. go_
7. cut_
8. do_
9. stop_
10. find_

Посмотреть ответы.

Упражнение 9. Дайте краткий положительный и отрицательный ответы на заданный вопрос

1. Are you reading?
2. Is she going to a shop?
3. Are they playing?
4. Is Anna crying?
5. Are Mark and Tom waiting for a bus?
6. Is he working now?
7. Is Marina having a shower?
8. Are children doing housework?
9. Are you listening to music?
10. Are they dancing?

Посмотреть ответы.

Упражнение 10. Вставьте am, are или is

1. ___ he working?
2. I ____ lying
3. She ___ watching TV
4. ___ they eating tomatoes?
5. They ___ waiting for Sara
6. Where ___ he going?
7. What ___ they drinking?
8. Katrine ___ crying
9. ___ he cooking soup?
10. She ___ wearing skirts

Посмотреть ответы.

Упражнение 11. Какие из этих глаголов не употребляются в настоящем продолженном времени

1. like
2. try
3. wait
4. know
5. to be
6. finish
7. love
8. start
9. see
10. fly

Посмотреть ответы.

Упражнение 12. Определите в каких предложениях используется время Present continuous

1. I love you
2. He isn’t reading
3. Do you know?
4. What are you doing?
5. Yes, he does
6. Is he a student?
7. He is walking
8. She is pretty
9. It is my car
10. It is raining

Посмотреть ответы.

Ответы

Упражнение 1

1. am working
2. is eating
3. is writing
4. is having
5. are going
6. are listening
7. is sitting
8. is playing
9. are drinking
10. is reading

Возникли проблемы? Изучите грамматику Present continuous.

Назад к упражнению.

Упражнение 2

1. running
2. crying
3. barking
4. making
5. sitting
6. staying
7. helping
8. visiting
9. reading
10. driving

Назад к упражнению.

Упражнение 3

1. He is playing football
2. Irina is wearing trousers
3. It is raining
4. We are cooking breakfast
5. I am drinking coffee
6. The sun is shining
7. I am washing my hair
8. He is waiting for a bus
9. Anna is crying
10. Marina is having a shower

Если возникли вопросы, то посмотрите примеры.

Назад к упражнению.

Упражнение 4

1. I am doing homework
2. She is eating an apple
3. Irina is playing the guitar
4. Tom is driving a bus
5. I am walking
6. He is waiting for a bus
7. We are having breakfast
8. She is driving a car
9. I am working now
10. Albina is reading a newspaper

Назад к упражнению.

Упражнение 5

1. Are they having launch? They aren’t having launch
2. Is she doing housework? She isn’t doing housework
3. Is he having a shower? He isn’t having a shower
4. Are they playing football? They aren’t playing football
5. Is dog barking? Dog isn’t barking
6. Is Masha reading magazines? Masha isn’t reading magazines
7. Is Marina wearing skirts? Marina isn’t wearing skirts
8. Are they visiting their parents? They aren’t visiting their parents
9. Is Kris working? Kris isn’t working
10. Is she sitting on a sofa? She isn’t sitting on a sofa

Примеры общих вопросов и отрицаний.

Назад к упражнению.

Упражнение 6

1. What are your friends doing?
2. Where is he going?
3. What is she cooking?
4. What is she waiting?
5. What is Anna wearing?
6. Where is Masha walking?
7. Who are you waiting for?
8. What are they eating?
9. What is Mark driving?
10. What are you watching?

Затрудняетесь? Посмотрите примеры специальных вопросов.

Назад к упражнению.

Упражнение 7

1. are having
2. are getting up
3. is playing
4. is watching
5. is waiting
6. is reading
7. is using
8. am going
9. is dancing
10. are wearing

Назад к упражнению.

Упражнение 8

1. reading
2. playing
3. lying
4. using
5. watching
6. going
7. cutting
8. doing
9. stopping
10. finding

Если были ошибки, то прочтите: Правила написания окончания -ing.

Назад к упражнению.

Упражнение 9

1. Yes, I am. No, I’m not
2. Yes, she is. No she isn’t
3. Yes, they are. No, they aren’t
4. Yes, she is. No, she isn’t
5. Yes, they are. No, they aren’t
6. Yes, he is. No, he isn’t
7. Yes, she is. No, she isn’t
8. Yes, they are. No, they aren’t
9. Yes, I am. No, I’m not
10. Yes, they are. No, they aren’t

Назад к упражнению.

Упражнение 10

1. is
2. am
3. is
4. are
5. are
6. is
7. are
8. is
9. is
10. is