Азотная кислота: получение и химические свойства

Строение молекулы и физические свойства

Азотная кислота HNO₃ – это сильная одноосновная кислота-гидроксид. При обычных условиях бесцветная, дымящая на воздухе жидкость, температура плавления −41,59 °C, кипения +82,6 °C ( при нормальном атмосферном давлении). Азотная кислота смешивается с водой во всех соотношениях. На свету частично разлагается.

Валентность азота в азотной кислоте равна IV, так как валентность V у азота отсутствует. При этом степень окисления атома азота равна +5. Так происходит потому, что атом азота образует 3 обменные связи и одну донорно-акцепторную, является донором электронной пары.

Поэтому строение молекулы азотной кислоты можно описать резонансными структурами:

Обозначим дополнительные связи между азотом и кислородом пунктиром. Этот пунктир по сути обозначает делокализованные электроны. Получается формула:

Способы получения

В лаборатории азотную кислоту можно получить разными способами:

1. Азотная кислота  образуется при действии концентрированной серной кислоты на твердые нитраты металлов. При этом менее летучая серная кислота вытесняет более летучую азотную.

Например, концентрированная серная кислота вытесняет азотную из кристаллического нитрата калия:

KNO₃    +    H₂SO_4(конц)    →    KHSO₄    +    HNO₃

2. В промышленности азотную кислоту получают из аммиака. Процесс осуществляется постадийно.

1 стадия. Каталитическое окисление аммиака.

4NH₃    +   5O₂    →    4NO  +   6H₂O

2 стадия. Окисление оксида азота (II)  до оксида азота (IV) кислородом воздуха.

2NO   +    O₂   →    2NO₂

3 стадия. Поглощение оксида азота (IV) водой в присутствии избытка кислорода.

4NO₂   +   2H₂O   +  O₂   →  4HNO₃

Химические свойства

Азотная кислота – это сильная кислота. За счет азота со степенью окисления +5 азотная кислота проявляет сильные окислительные свойства.

1. Азотная кислота практически полностью диссоциирует в водном растворе.

 HNO₃ → H⁺ + NO₃^–

2. Азотная кислота реагирует с основными оксидами, основаниями, амфотерными оксидами  и амфотерными гидроксидами. 

Например, азотная кислота взаимодействует с оксидом меди (II):

CuO   +   2HNO₃   →   Cu(NO₃)₂   +   H₂O

Еще пример: азотная кислота реагирует с гидроксидом натрия:

HNO₃   +   NaOH   →   NaNO₃   +   H₂O

3. Азотная кислота вытесняет более слабые кислоты из их солей (карбонатов, сульфидов, сульфитов). 

Например, азотная кислота взаимодействует с карбонатом натрия:

2HNO₃   +   Na₂CO₃   →  2NaNO₃   +   H₂O   +   CO₂

4. Азотная кислота частично разлагается при кипении или под действием света:

4HNO₃  →   4NO₂   +   O₂   +   2H₂O

5. Азотная кислота активно взаимодействует с металлами. При этом  никогда не выделяется водород! При взаимодействии азотной кислоты с металлами окислителем всегда выступает азот +5. Азот в степени окисления +5 может восстанавливаться до степеней окисления -3, 0, +1, +2 или +4 в зависимости от концентрации кислоты и активности металла.

металл + HNO₃ → нитрат металла + вода + газ (или соль аммония)

С алюминием, хромом и железом на холоду концентрированная HNO₃  не реагирует – кислота «пассивирует» металлы, т.к. на их поверхности образуется пленка оксидов, непроницаемая для концентрированной азотной кислоты. При нагревании реакция идет. При этом азот восстанавливается до степени окисления +4:

Fe    +   6HNO_3(конц.)  →   Fe(NO₃)₃   +   3NO₂  +   3H₂O

 Al   +   6HNO_3(конц.)   →  Al(NO₃)₃   +   3NO₂  +   3H₂O

Золото и платина не реагируют с азотной кислотой, но растворяются в «царской водке» – смеси концентрированных азотной и соляной кислот в соотношении 1 :  3 (по объему):

HNO₃      +   3HCl   +   Au   →   AuCl₃   +   NO   +   2H₂O

Концентрированная азотная кислота взаимодействует с неактивными металлами и металлами средней активности (в ряду электрохимической активности после алюминия). При этом образуется оксид азота (IV), азот восстанавливается минимально:

4HNO_3(конц.)    +    Cu   →    Cu(NO₃)₂    +    2NO₂   +   2H₂O

С активными металлами (щелочными и щелочноземельными) концентрированная азотная кислота реагирует с образованием оксида азота (I):

10HNO₃       +  4Ca   →    4Ca(NO₃)₂    +    2N₂O   +   5H₂O

Разбавленная азотная кислота взаимодействует с неактивными металлами и металлами средней активности (в ряду электрохимической активности после алюминия). При этом образуется оксид азота (II).

8HNO_{3 (разб.)}     +    3Cu   →    3Cu(NO₃)₂    +    2NO   +   4H₂O

С активными металлами (щелочными и щелочноземельными), а также оловом и железом разбавленная азотная кислота реагирует с образованием молекулярного азота:

12HNO_3(разб)     +  10Na   →    10NaNO₃    +    N₂   +   6H₂O

При взаимодействии кальция и магния с азотной кислотой любой концентрации (кроме очень разбавленной) образуется оксид азота (I):

10HNO₃       +  4Ca    →   4Ca(NO₃)₂    +    2N₂O   +   5H₂O

Очень разбавленная азотная кислота реагирует с металлами с образованием нитрата аммония:

10HNO₃         +  4Zn   →    4Zn(NO₃)₂    +    NH₄NO₃   +   3H₂O

Таблица. Взаимодействие азотной кислоты с металлами.

6. Азотная кислота окисляет и неметаллы (кроме кислорода, водорода, хлора, фтора и некоторых других). При взаимодействии с неметаллами HNO₃  обычно восстанавливается до NO  или NO₂, неметаллы окисляются до соответствующих кислот, либо оксидов (если кислота неустойчива).

Например, азотная кислота окисляет серу, фосфор, углерод, йод:

6HNO₃       +   S     →   H₂SO₄   +   6NO₂    +    2H₂O

Безводная азотная кислота – сильный окислитель. Поэтому она легко взаимодействует с красным и белым фосфором. Реакция с белым фосфором протекает очень бурно. Иногда она сопровождается взрывом.

5HNO₃      +    P   →    H₃PO₄     +   5NO₂    +    H₂O

5HNO₃      +    3P     +    2H₂O   →    3H₃PO₄     +   5NO

Видеоопыт взаимодействия фосфора с безводной азотной кислотой можно посмотреть здесь.

4HNO₃     +    C   →   CO₂    +    4NO₂    +    2H₂O

Видеоопыт взаимодействия угля с безводной азотной кислотой можно посмотреть здесь.

10HNO₃   +   I₂  →   2HIO₃   +   10NO₂   +   4H₂O

7. Концентрированная азотная кислота окисляет сложные вещества (в которых есть элементы в отрицательной, либо промежуточной степени окисления): сульфиды металлов, сероводород, фосфиды, йодиды, соединения железа (II) и др. При этом азот восстанавливается до NO₂, неметаллы окисляются до соответствующих кислот (или оксидов), а металлы окисляются до устойчивых степеней окисления.

Например, азотная кислота окисляет оксид серы (IV):

2HNO₃     +   SO₂  →   H₂SO₄     +   2NO₂

Еще пример: азотная кислота окисляет иодоводород:

6HNO₃   +   HI   →  HIO₃   +   6NO₂   +   3H₂O

Азотная кислота окисляет углерод до углекислого газа, т.к. угольная кислота неустойчива.

3С    +    4HNO₃   →    3СО₂    +    4NO    +   2H₂O

Сера в степени окисления -2 окисляется без нагревания до простого вещества, при нагревании до серной кислоты. 

Например, сероводород окисляется азотной кислотой без нагревания до молекулярной серы:

2HNO₃     +   H₂S     →  S    +    2NO₂   +   2H₂O

При нагревании до серной кислоты:

2HNO₃     +   H₂S     →  H₂SO₄    +    2NO₂   +   2H₂O

8HNO₃     +    CuS   →   CuSO₄    +   8NO₂    +   4H₂O

Соединения железа (II) азотная кислота окисляет до соединений железа (III):

4HNO₃     +    FeS   →   Fe(NO₃)₃  +   NO    +   S    +   2H₂O

8. Азотная кислота окрашивает белки в оранжево-желтый цвет («ксантопротеиновая реакция«).

Ксантопротеиновую реакцию проводят для обнаружения белков, содержащих в своем составе ароматические аминокислоты. К раствору белка прибавляем концентрированную азотную кислоту. Белок свертывается. При нагревании белок желтеет. При добавлении избытка аммиака окраска переходит в оранжевую.

Видеоопыт обнаружения белков с помощью азотной кислоты можно посмотреть здесь.

Свойства серной и азотной кислот

Разбавленная серная кислота:

Физические свойства.
Хорошо растворимая в воде, напоминающая масло, тяжёлая жидкость. При гидратации (растворении) выделяется большое количество энергии. Очень гигроскопична (способна поглощать воду из окружающей среды), обугливает бумагу, сахар, дерево.

При приготовлении раствора серной кислоты ВСЕГДА ДОБАВЛЯЮТ КИСЛОТУ В ВОДУ. НИКОГДА НЕ ДОБАВЛЯЮТ ВОДУ К КИСЛОТЕ.

Это связано с тем, что вода имеет плотность ниже, чем серная кислота, и останется на поверхности кислоты. Большое выделение энергии при поглощении воды может настолько нагреть смесь, что она начнёт кипеть и разбрызгиваться, вызывая ожоги.

Промышленный способ получения:

4FeS₂+11O₂→2Fe₂ O₃+8SO₂↑

2SO₂+O₂ → 2SO₃

nSO₃+H₂ SO₄ (конц.)→H₂ SO₄∙nSO₃(олеум)

В промышленности на последней стадии не используют водяной пар. Странно, ведь это прямой путь получения серной кислоты. Но дело в том, что при реакции серного ангидрида (SO₃) с водой выделяется большое количество теплоты, что получившаяся серная кислота начнёт закипать и превращаться в пар. Возникает проблема по удалению этого пара из активной зоны реакции, поэтому используют 98% концентрированную кислоту. В ней серный ангидрид очень хорошо растворяется, полученный продукт называется Олеум.

Химические свойства.

H₂SO₄ – cильная двухосновная кислота, следовательно, сильный электролит.

Степень диссоциации – 100%

В водном растворе диссоциирует на ионы в две стадии:
H₂ SO₄↔H⁺+HSO^—₄

HSO₄^—↔H⁺+SO₄^2-

Суммарное уравнение:   H₂ SO₄↔2H⁺+SO₄^2-

Разбавленная серная кислота реагирует с металлами, стоящими в электрохимическом ряду напряжения левее водорода по схеме:
Металл + кислота → соль + водород

Пример:
Zn+H₂ SO₄→ZnSO₄+H₂↑

Разбавленная серная кислота реагирует с основными оксидами по схеме:
Оксид + кислота → соль + вода

Пример:
CaO+H₂ SO₄→CaSO₄+H₂O

Разбавленная серная кислота реагирует с щелочами и нерастворимыми основаниями по схеме:

Кислота + основание (или щёлочь) → соль + вода

H₂ SO₄+2NaOH→Na₂ SO₄+2H₂O

H₂ SO₄+Cu(OH)₂→CuSO₄+2H₂O

Разбавленная серная кислота реагирует с солями (если среди продуктов одно вещество будет не электролитом) по схеме:
соль + кислота → новая соль + новая кислота

Пример:
Na₂ CO₃+H₂ SO₄→Na₂ SO₄+CO₂↑+H₂O (при обычных условиях H₂CO₃не существует и распадается на CO₂и H₂O)

BaCl₂+H₂ SO₄→BaSO₄↓+2HCl

Na₂ SiO₃+H₂ SO₄→H₂ SiO₃↓+Na₂ SO₄

Концентрированная серная кислота:

Очень сильный окислитель. Не реагирует с Au и Pt.В обычных условиях реагирует со всеми металлами, кроме Fe, Al , Cr, потому что они пассивируются в ней, чтобы запустить реакцию, нужно нагревание. Концентрированная серная кислота окисляет металлы до более высоких степеней окисления (Fe⁺³,Cr⁺³,Mn⁺⁴)

Продукты реакции металла и серной концентрированной кислоты разнообразны.

Концентрированная серная кислота восстанавливается до различных степеней окисления и соответствующих ей при этих степенях соединений.

С металлами, стоящими в ряду напряжения до Al (включительно) реакция идёт по схеме:

Металл+ кислота→соль+H₂ S↑+H₂O

8Al+15H₂ SO₄ (конц.)→4Al₂ (SO₄ )₃+3H₂S↑+12H₂O

С металлами, стоящими в ряду напряжения послеAl и до Cr (включительно) реакция идёт по схеме:
Металл+кислота→соль+S↓+H₂O

2Cr+4H₂ SO₄ (конц.)→Cr₂ (SO₄ )₃+S↓+4H₂S↑

С металлами, стоящими в ряду напряжений после Cr (кроме Ptи Au) реакция идёт по схеме:

Металл+кислота→соль+SO₂+H₂O

2Fe+6H₂ SO₄ (конц.)→Fe₂ (SO₄ )₃+3SO₂↑+6H₂O

Концентрированная серная кислота реагирует с некоторыми неметаллами, окисляя их до максимальной степени окисления, а сама восстанавливается до SO₂ :
C+2H₂ SO₄ (конц.)→CO₂↑+2SO₂↑+2H₂O

Концентрированная серная кислота окисляет йодид и бромид-ионы до свободных галогенов:

2KI+2H₂ SO₄→K₂ SO₄+SO₂↑+I₂↓+2H₂O

Концентрированная серная кислота не может окислять хлорид-ионы до свободного галогена, реакция идёт по другой схеме:
NaCl+H₂ SO₄ (конц.)→NaHSO₄+HCl

Азотная кислота.

Физические свойства.

Бесцветная жидкость с резким запахом, неограниченно растворима в воде. Хранят в тёмном месте, потому что разлагается на свету.

Химические свойства:

Кислородосодержащая, одноосновная кислота, сильный электролит.

На свету разлагается :
4HNO₃→4NO₂↑+2H₂O+O₂↑

Промышленный способ получения:

4NH₃+5O₂ → 4NO↑+6H₂O

2NO+O₂→2NO₂↑

4NO₂+2H₂O+O₂→4HNO₃

Лабораторный способ получения:

KNO₃+H₂ SO₄ (конц.) →KHSO₄+HNO₃

Химические свойства азотной кислоты:

Имеет типичные свойства кислот, кроме реакций с металлами.
Взаимодействует с основными оксидами:

2HNO₃+CuO→Cu(NO₃ )₂+H₂O

Взаимодействует с щелочами и основаниями:
HNO₃+NaOH→NaNO₃+H₂O

2HNO₃+Zn(OH)₂→Zn(NO₃ )₂+2H₂O

Реагирует с солями, но, так как все соли-нитраты растворимы, грамотнее будет сказать – вытесняет более слабые кислоты из их солей.

2HNO₃+Na₂ SiO₃→2NaNO₃+H₂ SiO₃↓

Азотная концентрированная кислота взаимодействует с металлами:

Общая схема всех реакций азотной кислоты с металлами (концентрация значения не имеет):

Кислота + металл → соль + газ + вода

С малоактивными металлами азотная концентрированная кислота восстанавливается до NO₂.

Cu+4HNO₃→Cu(NO₃ )₂+2NO₂↑+2H₂O

С щелочными и щелочноземельными азотная концентрированная кислота восстанавливается до N₂O.
4Ca+10HNO₃→4Ca(NO₃ )₂+N₂O↑+5H₂O

Fe, Cr, Al пассивируются.

Азотная разбавленная кислота взаимодействует с металлами:

С малоактивными металлами азотная разбавленная кислота восстанавливается до NO.

3Cu+8HNO₃→3Cu(NO₃ )₂+2NO↑+4H₂O

Очень разбавленная кислота металлами восстанавливается до нитрата аммония.

4Ca+10HNO₃→4Ca(NO₃ )₂+NH₄ NO₃+3H₂O

Реагирует с неметаллами:

Концентрированная азотная кислота окисляет неметаллы до их высших кислот, а сама восстанавливается до оксидов азота (II,если кислота разбавленная. IV, если кислота концентрированная).

S+6HNO₃ (конц.)→H₂ SO₄+6NO₂↑+2H₂O

Смесь соляной и азотной кислот называется “царской водкой”. Она способна растворять платину и золото.

HNO₃+4HCl+Au→H[AuCl₄ ]+NO↑+2H₂O

4HNO₃+18HCl+Pt→3H₂ [PtCl₆ ]+4NO↑+8H₂O

С помощью азотной кислоты получают взрывчатые вещества:

Тринитротолуол (тротил) получают с помощью смеси азотной и серной кислот (серная кислота выступает в роли водоотнимающего средства):

Тринитроглицерин получают с помощью смеси азотной и серной кислот (серная кислота выступает в роли водоотнимающего средства):

Тринитроцеллюлозу (пироксилин) получают с помощью смеси азотной и концентрированной серной кислот (серная кислота выступает в роли водоотнимающего средства):

Автор статьи: Симкин Егор Андреевич

Редактор: Харламова Галина Николаевна

ЕГЭ. Химические свойства азотной кислоты

Чем более разбавленной является кислота, тем более сильным окислителем она является.

• Изменение степени окисления азота в реакциях с сильным восстановителем:

• Изменение степени окисления азота в реакциях со слабым восстановителем:

Восстановители:

Сильные:

• Металлы от Li до Al

Слабые:

• Металлы, начиная с Fe
• Неметаллы
• Соли (если можем окислить)
• Оксиды (если можем окислить)
• HI и йодиды, H₂S и сульфиды

Взаимодействие азотной кислоты с простыми веществами:

1) с металлами — сильными восстановителями:

10HNO₃(оч. разб.) + 4Mg → 4Mg(NO₃)₂ + NH₄NO₃ + 3H₂O

10HNO₃(разб.) + 4Mg → 4Mg(NO₃)₂ + N₂O + 5H₂O        (возможно образование N₂)

2) с металлами — слабыми восстановителями:

8HNO₃(разб.) + 3Cu → 3Cu(NO₃)₂ + 2NO + 4H₂O

4HNO₃(конц.) + 3Cu → 3Cu(NO₃)₂ + 2NO₂ + 2H₂O

HNO₃(конц.) + Fe → Fe(NO₃)₃ + NO₂ + H₂O

3) С неметаллами (слабыми восстановителями) образуются соответствующие кислоты, а также NO (если кислота разб.) или NO₂ (если кислота конц.):

10HNO₃(конц.) + I₂ →  2HIO₃ + 10NO₂ + 4H₂O (t)   (из галогенов реакция идет только с йодом)

4HNO₃(конц.) + C → CO₂ + 4NO₂ + 2H₂O                        

5HNO₃(конц.) + P → H₃PO₄ + 5NO₂ + H₂O

6HNO₃(конц.) + S → H₂SO₄ + 6NO₂ + 2H₂O

Взаимодействие азотной кислоты со сложными веществами:

Окисляем анион:

8HNO₃(к) + H₂S →  H₂SO₄ + 8NO₂ + 4H₂O

8HNO₃(к) + Na₂S →  Na₂SO₄ + 8NO₂ + 4H₂O

4HNO₃(конц.) + CuS → Cu(NO₃)₂ + S + 2NO₂ + 2H₂O

8HNO₃(конц.) + CuS →  CuSO₄ + 8NO₂ + 4H₂O

8HNO₃ + Cu₂S → 2Cu(NO₃)₂ + S + 4NO₂ + 4H₂O

12HNO₃ + Cu₂S →  CuSO₄ + Cu(NO₃)₂ + 10NO₂ + 6H₂O

16HNO₃(к) + Mg₃P₂ → Mg₃(PO₄)₂ + 16NO₂ + 8H₂O

16HNO₃(к) + Ca(HS)₂ →   H₂SO₄ + CaSO₄ + 16NO₂ + 8H₂O

8HNO₃(к) + AlP&nbsp →  AlPO₄ + 8NO₂­ + 4H₂O

В избытке кислоты фосфаты растворяются:

11HNO₃(к, изб.) + AlP → H₃PO₄ + Al(NO₃)₃ + 8NO₂ + 4H₂O

Окисляем металл соли или оксида:

10HNO₃(к) + Fe₃O₄ → 3Fe(NO₃)₃ + NO₂ + 5H₂O

4HNO₃(к) + FeO → Fe(NO₃)₃ + NO₂ + 2H₂O

HNO₃(к) + FeSO₄ → Fe(NO₃)₃ + NO₂ + H₂SO₄ + H₂O

4HNO₃(к) + CrCl₂ → Cr(NO₃)₃ + NO₂ + 2HCl + H₂O (ионы Cl^– азотная кислота окислить не может)

Одновременное окисление катиона и аниона:

14HNO₃(к) + Cu₂S →  H₂SO₄ + 2Cu(NO₃)₂ + 10NO₂ + 6H₂O.

Концентрированная азотная кислота взаимодействие — Справочник химика 21

    С концентрированной азотной кислотой взаимодействует медь  [c.154]

    Азотная кислота действует почти на все металлы (кроме золота, платины и некоторых других), превращая их в соли. В ней растворяют серебро, медь, свинец, на которые другие кислоты не действуют. Концентрированная азотная кислота, взаимодействуя с металлами, восстанавливается до двуокиси азота  [c.197]

    Поскольку из исходной смеси металлов с концентрированной азотной кислотой взаимодействует только медь, то по объему выделившегося оксида азота(IV) (6,72 л) по уравнению (1) можно рассчитать количество растворенной меди. Оно равно 9,6 г. Так кйк медь и золото в соляной кислоте не растворяются, то по уравнению (2), зная [c.87]

    Ксантопротоиновая реакция. Концентрированная азотная кислота взаимодействует с белками, причем образуется желтое окрашивание, ко- [c.322]

    Концентрированную азотную кислоту получают несколькими способами. Более старый способ заключается в перегонке разбавленной азотной кислоты в смеси с серной кислотой (купоросным маслом). В настоящее время построены и работают промышленные установки для получения концентрированной азотной кислоты взаимодействием жидкой двуокиси азота с водой (практически пользуются слабой азотной кислотой) в присутствии кислорода. Процесс протекает при давлении 50 ат и температуре около 70 °С по суммарному уравнению [c.265]

    Когда концентрированная азотная кислота взаимодействие с металлоидами (углеродом, фосфором, серой) и с сульфидами металлов, она восстанавливается до N0 [c.280]

    Полиизобутилен — насыщенный полимер, отличающийся высокой стойкостью к действию кислорода и озона при нормальных температурах, стойкий к старению.- Введение в полиизобутилен активных наполнителей (технического углерода, графита) повышает его прочностные свойства и химическую стойкость. Полиизобутилен стоек к концентрированным и разбавленным серной и соляной кислотам, органическим кислотам, аммиаку, щелочам, пероксиду водорода, при нагревании разрушается концентрированной азотной кислотой, взаимодействует с газообразными хлором и бромом. Полиизобутилен легко окрашивается любыми красителями. Физикомеханические свойства полиизобутилена приведены в Приложении 2. [c.172]

    Концентрированная азотная кислота взаимодействует со многими неметаллами сера окисляется ею до Н2504 при кипячении, уголь — до СО2. Тлеющая лучинка, внесенная в пары азотной кислоты, воспламеняется скипидар, влитый в концентрированную НЫОз, загорается синий раствор индиго обесцвечивается. Концентрированная НМОз не действует на золото и платину. Железо, алюминий и некоторые другие металлы пассивируются концентрированной азотной кислотой, так как на их поверхности возникает плотная защитная.пленка оксидов, нерастворимая в кислотах. Это свойство азотной,кислоты позволяет хранить и транспортировать ее в стальных цистернах. [c.322]

    В настоящее время построены и работают производственные установки для получения концентрированной азотной кислоты взаимодействием жидкой двуокиси азота с водой (практически пользуются слабой азотной кислотой) в присутствии кислорода по суммарному уравнению [c.238]

    Концентрированная азотная кислота, взаимодействуя с 6-амино-4-метил-пиримидином, дает 6-нитрамино-4-метилпиримидин (ЬХШ), который может быть восстановлен в 6-гидразино-4-метилпиримидин [218]. [c.227]

    Концентрированная азотная кислота взаимодействует почти со всеми металлами с образованием нитратов, при этом она восстанавливается до диоксида азота, разбавленная— до оксонитрида азота (V) НгО (закись азота). Диоксид азота и оксонитрид азота химически активны. [c.33]

Как реагирует концентрированная азотная кислота с металлами

Азотная кислота, подготовка к ЕГЭ по химии

Азотная кислота является одной из самых сильных минеральных кислот, в концентрированном виде выделяет пары желтого цвета с резким запахом. За исключением золота и платины растворяет все металлы.

Применяют азотную кислоту для получения красителей, удобрений, органических нитропродуктов, серной и фосфорной кислот. В результате ожога азотной кислотой образуется сухой струп желто-зеленого цвета.

Получение

В промышленности азотную кислоту получают в результате окисления аммиака на платино-родиевых катализаторах.

NH₃ + O₂ → (кат. Pt) NO + H ₂O

NO + O₂ → NO₂

NO₂ + H₂O + O₂ → HNO₃

Чистая азотная кислота впервые была получена действием на селитру концентрированной серной кислоты:

KNO₃ + H₂SO_4(конц.) → KHSO₄ + HNO₃↑

Химические свойства

• Кислотные свойства

Является одноосновной сильной кислотой, вступает в реакции с основными оксидами, основаниями. С солями реагирует при условии выпадения осадка, выделения газа или образования слабого электролита.

CaO + HNO₃ → Ca(NO₃)₂ + H₂O

HNO₃ + NaOH → NaNO₃ + H₂O

Na₂CO₃ + HNO₃ → NaNO₃ + H₂O + CO₂↑

• Термическое разложение

При нагревании азотная кислота распадается. На свету (hv) также происходит подобная реакция, поэтому азотную кислоту следует хранить в темном месте.

HNO₃ → (hv) NO₂ + H₂O + O₂

• Реакции с неметаллами

Азотная кислота способна окислить все неметаллы, при этом, если кислота концентрированная, азот обычно восстанавливается до NO₂, если разбавленная — до NO.

HNO_3(конц.) + C → CO₂ + H ₂O + NO₂

HNO_3(конц.) + S → H₂SO₄ + NO₂ + H₂O

HNO_3(разб.) + S → H₂SO₄ + NO + H₂O

HNO_3(конц.) + P → H₃PO₄ + NO₂ + H₂O

• Реакции с металлами

В любой концентрации азотная кислота проявляет свойства окислителя, при этом азот восстанавливается до степени окисления от +5 до -3. На какой именно степени окисления остановится азот, зависит от активности металла и концентрации азотной кислоты.

Для малоактивных металлов (стоящих в ряду напряжений после водорода) реакция с концентрированной азотной кислотой происходит с образованием нитрата и преимущественно NO₂.

Cu + HNO_3(конц.) → Cu(NO₃)₂ + NO₂ + H₂O

С разбавленной азотной кислотой газообразным продуктом преимущественно является NO.

Cu + HNO_3(разб.) → Cu(NO₃)₂ + NO + H₂O

В реакциях с металлами, стоящими левее водорода в ряду напряжений, возможны самые разные газообразные (и не газообразные) продукты: бурый газ NO₂, NO, N₂O, атмосферный газ N₂, NH₄NO₃.

Помните о закономерности: чем более разбавлена кислота и активен металл, тем сильнее восстанавливается азот. Ниже представлены реакции цинка с азотной кислотой в различных концентрациях.

Zn + HNO_{3(70% — конц.)} → Zn(NO₃)₂ + NO₂ + H₂O

Zn + HNO_{3(35% — ср. конц.)} → Zn(NO₃)₂ + NO + H₂O

Zn + HNO_{3(20% — разб.)} → Zn(NO₃)₂ + N₂O + H₂O

Zn + HNO_{3(10% — оч. разб.)} → Zn(NO₃)₂ + N ₂ + H₂O

Zn + HNO_{3(3% — оч. разб.)} → Zn(NO₃)₂ + NH₄NO₃ + H₂O

Посмотрите на таблицу ниже, в которой также отражены изученные нами закономерности.

Концентрированная холодная азотная кислота пассивирует хром, железо, алюминий, никель, свинец и бериллий. Это происходит за счет оксидной пленки, которой покрыты данные металлы.

Al + HNO_3(конц.) ⇸ (реакция не идет)

При нагревании или амальгамировании (покрытие ртутью) перечисленных металлов реакция с азотной кислотой идет, так как оксидная пленка на поверхности металлов разрушается.

Al + HNO₃ → (t) Al₂O₃ + NO₂ + H₂O

Соли азотной кислоты — нитраты NO

Получение

Получают нитраты в ходе реакции азотной кислоты с металлами, их оксидами и основаниями.

Fe + HNO_3(разб.) → Fe(NO₃)₂ + NH₄NO₃ + H₂O

В реакциях с оксидами и основаниями газообразный продукт обычно не выделяется.

MgO + HNO₃ → Mg(NO₃)₂ + H₂O

Cr(OH)₃ + HNO₃ → Cr(NO₃)₃ + H₂O

Нитрат аммония получают реакция аммиака с азотной кислотой.

NH₃ + HNO₃ → NH₄NO₃

Обратите внимание на следующую закономерность: концентрированная азотная кислота, как правило, окисляет железо и хром до +3. Разбавленная кислота — до +2.

Fe + HNO_3(разб.) → Fe(NO₃)₂ + NH₄NO₃ + H₂O

Fe + HNO_3(конц.) → Fe(NO₃)₃ + NO + H₂O

Химические свойства

• Реакции с металлами, основаниями и кислотами

Как и для всех солей, из нитратов можно вытеснить металл другим более активным. Соли реагируют с основаниями и кислотами, если в результате реакции выпадает осадок, выделяется газ или образуется слабый электролит (вода).

Hg(NO₃)₂ + Mg → Mg(NO₃)₂ + Hg

Pb(NO₃)₂ + LiOH → Pb(OH)₂ + LiNO₃

AgNO₃ + KCl → AgCl↓ + KNO₃

Ba(NO₃)₂ + Na₂SO₄ → BaSO₄ + NaNO₃

• Разложение нитратов

Нитраты разлагаются в зависимости от активности металла, входящего в их состав.

Pb(NO₃)₂ → (t) PbO + NO₂ + O₂

NaNO₃ → (t) NaNO₂ + O₂

Cu(NO₃)₂ → (t) CuO + NO₂ + O₂

PtNO₃ → (t) Pt + NO₂ + O₂

© Беллевич Юрий Сергеевич 2018-2020

Данная статья написана Беллевичем Юрием Сергеевичем и является его интеллектуальной собственностью. Копирование, распространение (в том числе путем копирования на другие сайты и ресурсы в Интернете) или любое иное использование информации и объектов без предварительного согласия правообладателя преследуется по закону. Для получения материалов статьи и разрешения их использования, обратитесь, пожалуйста, к Беллевичу Юрию.

Реакции элементов 2 группы с кислотами

Это посложнее. Когда большинство металлов вступает в реакцию с большинством кислот, то на самом деле они восстанавливают ионы водорода до газообразного водорода, добавляя электроны к ионам водорода. Металл, конечно, окисляется до положительных ионов металла, потому что он теряет электроны.

Но ионы нитрата также легко восстанавливаются до таких продуктов, как монооксид азота и диоксид азота.

Итак, металлы, реагируя с азотной кислотой, имеют тенденцию давать оксиды азота, а не водорода.Если кислота относительно разбавлена, вы, как правило, получаете монооксид азота, хотя он немедленно вступает в реакцию с кислородом воздуха с образованием коричневого диоксида азота.

Концентрированная азотная кислота дает диоксид азота.

Бериллий

Существует множество разногласий между различными источниками относительно того, реагирует ли бериллий с азотной кислотой. Бериллий имеет прочный оксидный слой (похожий на более известный алюминий), который замедляет реакцию до тех пор, пока он не будет удален.

Некоторые источники говорят, что бериллий не реагирует с азотной кислотой. С другой стороны, легко найти практические детали для получения нитрата бериллия путем взаимодействия порошка бериллия с азотной кислотой. Один источник использует полуконцентрированную азотную кислоту и сообщает, что выделяющийся газ представляет собой монооксид азота. Этого и следовало ожидать.

Похоже, что происходит то, что реагирует он или нет, зависит от источника бериллия (как он был произведен) — возможно, изменение небольших количеств примесей в металле, которые влияют на реакцию.

Это все настолько неопределенно, что трудно понять, как можно задать вопрос об этом на экзамене.

Прочие металлы 2 группы

Они будут производить водород из азотной кислоты, если кислота очень разбавлена, но даже в этом случае она будет загрязнена оксидами азота. Образуются бесцветные растворы нитратов металлов.

На примере магния, если раствор очень разбавлен:

При умеренных концентрациях (и даже с очень разбавленной кислотой это в некоторой степени произойдет):

А с концентрированной кислотой:

Азотная кислота — Sciencemadness Wiki

Азотная кислота — сильная кислота с формулой HNO ₃ . Это важная минеральная кислота, наряду с соляной, серной, хлорной и фосфорной кислотами. Это мощный окислитель, особенно в смеси с серной кислотой, которая производит ион нитрония на месте.

Недвижимость

Химическая промышленность

Азотная кислота является окисляющей кислотой при комнатной температуре. Его часто используют при нитровании органических соединений.Он способен растворять металлы, такие как медь и серебро, благодаря своей окислительной природе, и выделяет токсичный диоксид азота в качестве побочного продукта окисления.

Cu + 8 HNO ₃ → 3 Cu (NO ₃ ) ₂ + 2 NO + 4 H ₂ O

Физические свойства

Концентрированная азотная кислота — это прозрачный раствор плотностью около 1,2 г / мл. Когда концентрация кислоты превышает 70%, она классифицируется как дымящая азотная кислота, это можно определить по видимому дыму при вдувании воздуха.Азотная кислота в концентрациях выше 90% сильно дымит при любом контакте с воздухом. Он образует азеотроп с водой при концентрации 68%, что затрудняет получение чистого вещества.

Наличие

можно приобрести у таких лабораторных поставщиков, как Elemental Scientific и Duda Diesel. Хотя сама кислота не дорогая, для нее требуется обязательная плата за доставку HAZMAT в размере 37,50 долларов, что делает эту кислоту довольно дорогой для химика-любителя.

В большинстве мест продажа азотной кислоты населению ограничена из-за ее использования в производстве взрывчатых материалов.

Препарат

Классический метод лабораторного синтеза азотной кислоты описан в подпункте:

Синтез азотной кислоты по Глауберу

Несколько менее эффективный способ получения азотной кислоты — это реакция смеси, содержащей серную кислоту и нитратную соль, с металлической медью, в результате чего образуется большое количество газообразного диоксида азота.Затем газ можно барботировать в перекись водорода или воду, при этом перекись водорода дает более высокий выход.

Бисульфат натрия также можно использовать для замены серной кислоты, однако при более высокой температуре азотная кислота разлагается на кислород, диоксид азота и воду.

Азотную кислоту можно производить с помощью реактора Оствальда или путем реакции азота и кислорода в воздухе с помощью электрической искры.

Если вам нужно быстро взбить немного разбавленной азотной кислоты, вы можете использовать «быстрый и грязный» метод, а именно реакцию нитрата кальция с серной кислотой.У этого метода есть два недостатка: во-первых, даже если ваши реагенты находятся в идеальном стехиометрическом соотношении, полученная кислота все равно загрязнена небольшим количеством сульфата кальция, которому удалось остаться в растворе. Во-вторых, осадок сульфата кальция невероятно грязный и объемный, кислота выглядит как сметана, и ее практически невозможно правильно перелить. Используйте этот метод, только если у вас есть набор для вакуумной фильтрации. Эту низкосортную кислоту можно перегонять с получением азеотропной азотной кислоты.

Желтая концентрированная азотная кислота может быть превращена в белый цвет или RFNA преобразована в WFNA путем пропускания через кислоту кислорода. Кислород окисляет NO ₂ до N ₂ O ₅ , который объединяется с остаточной водой в кислоте с образованием почти чистой азотной кислоты.

Проектов

Азотная кислота может использоваться во многих проектах, включая производство нитратных солей. При смешивании с концентрированной серной или плавиковой кислотой азотная кислота действует как основание и выделяет ион нитрония:

2 H ₂ SO ₄ + HNO ₃ → NO ₂ ⁺ + 2 HSO ₄ ^— + H ₂ O

Эта смесь, известная как нитрующая смесь или смешанная кислота может использоваться для нитрования многих органических соединений.

Другое:

Обработка

Безопасность

Растворы азотной кислоты очень едкие и окрашивают кожу в желтый цвет из-за нитрования белков. Следует соблюдать осторожность, чтобы азотная кислота не попала на кожу. Нитраты не следует использовать с соляной кислотой, так как при этом образуется нитрозилхлорид.

Большинство типов перчаток (за исключением бутилкаучука или неопрена) несовместимы из-за сильного окислительного воздействия азотной кислоты и могут гореть при контакте с кислотой. ^[1] При работе с дымящей азотной кислотой надевайте перчатки из бутилкаучука. Другие типы резины могут очень бурно реагировать с азотной кислотой этой концентрации. Если у вас нет бутилкаучука, вообще не надевайте перчатки: ваши голые руки будут меньше повреждены, чем резина в огне. Азотная кислота обычно реагирует с резиной; не пытайтесь перегонять его в аппаратах, содержащих резиновые детали. При перегонке азотной кислоты, особенно дымящейся, используйте шлифованные стеклянные швы или реторту.

Хранилище

Азотная кислота несовместима с большинством пластиков из-за ее окислительной природы, хотя крышки для бутылок из полипропилена (ПП) приемлемы. Азотная кислота в высоких концентрациях чувствительна к свету и должна храниться в бутылках из желтого стекла с достаточным запасом для предотвращения повышения давления из-за оксидов азота.

Утилизация

Азотная кислота может быть нейтрализована нейтрализующими соединениями, такими как карбонаты, бикарбонаты, оксиды, гидроксиды. Карбонат кальция является хорошим нейтрализующим агентом, и, если кислота не загрязнена тяжелыми металлами, полученный нитрат кальция можно выбросить в землю или вылить в канализацию.Концентрированная азотная кислота (> 50%) должна быть сначала разбавлена ​​холодной водой, а затем нейтрализована основанием, чтобы ограничить количество коррозионных паров / аэрозолей, выделяемых в воздух во время процесса нейтрализации.

Список литературы

1. ↑ http://www.ansellpro.com/download/Ansell_7thEditionChemicalResistanceGuide.pdf

Соответствующие темы Sciencemadness

аминов и азотистой кислоты

Фон

Взаимодействие между аминами и азотистой кислотой использовалось в прошлом как очень точный способ различения первичных, вторичных и третичных аминов. Однако продукт с вторичным амином является мощным канцерогеном, поэтому эта реакция больше не проводится на этом уровне.

Азотистая кислота, HNO ₂ , (иногда обозначаемая как HONO, чтобы показать ее структуру) нестабильна и всегда готовится in situ .

Обычно его получают путем реакции раствора, содержащего нитрит натрия или калия (нитрат натрия или калия (III)), с соляной кислотой.

Азотистая кислота — слабая кислота, поэтому вы получите реакцию:

Поскольку азотистая кислота является слабой кислотой, положение равновесия является правильным.

В каждой из следующих реакций амин следует подкислять соляной кислотой и добавлять раствор нитрита натрия или калия.Кислота и нитрит образуют азотистую кислоту, которая затем вступает в реакцию с амином.

Первичные амины и азотистая кислота

Главное наблюдение — выброс бесцветного газа без запаха. Выделяется азот.

К сожалению, не существует единого четкого уравнения, которое можно было бы процитировать для этого. Вы получаете много разных органических продуктов. Например, среди продуктов вы найдете спирт, в котором группа -NH ₂ заменена на OH.Если вам нужно одно уравнение, вы можете процитировать (на примере 1-аминопропана):

. . . но пропан-1-ол будет только одним из многих продуктов, включая пропан-2-ол, пропен, 1-хлорпропан, 2-хлорпропан и другие.

Азот, однако, выделяется в количествах, точно указанных в уравнении. Измеряя количество произведенного азота, вы можете использовать эту реакцию для определения количества амина, присутствующего в растворе.

Урок «Азотная кислота, состав, строение молекулы, физические и химические свойства, получение»

Тип урока: Урок передачи и приобретения новых знаний и умений.

Цели: Повторить и закрепить знания об общих химических свойствах кислот; изучить строение молекулы азотной кислоты, физические и специфические химические свойства азотной кислоты – взаимодействие ее с металлами; познакомить учащихся с промышленным и лабораторным способами получения чистой азотной кислоты.

В результате урока необходимо знать:

1. Состав и строение молекулы азотной кислоты; число ковалентных связей, образуемых атомом азота и степень окисления азота в молекуле азотной кислоты.
2. Общие химические свойства азотной кислоты: взаимодействие с индикаторами (лакмусом и метилоранжем), с основными и амфотерными оксидами, основаниями, с солями более слабых и более летучих кислот.
3. Специфические химические свойства азотной кислоты: взаимодействие ее с металлами.
4. Лабораторный и промышленный способы получения азотной кислоты.

Необходимо уметь:

1. Составлять уравнения химических реакций с позиции теории электролитической диссоциации.
2. Составлять уравнения реакций взаимодействия концентрированной и разбавленной кислоты с металлами с использованием метода электронного баланса.

Методы и методические приемы:

1. Беседа.
2. Самостоятельная работа учащихся по составлению уравнений химических реакций азотной кислоты с металлами.
3. Лабораторная работа по изучению общих химических свойств азотной кислоты;
4. Составление опорного конспекта.
5. Творческая работа: сообщение учащегося о получении азотной кислоты.
6. Демонстрация опытов: взаимодействие разбавленной и концентрированной азотной кислоты с медью.
7. Демонстрация слайдов с помощью мультимедиа проектора.
8. Взаимопроверка и взаимооценка результатов самостоятельной работы.

Оборудование и реактивы:

На столах учащихся: растворы азотной кислоты HNO₃ (20 – 25 %), индикаторы лакмус и метилоранж, раствор гидроксида натрия NaOH, раствор сульфата меди (II) CuSO₄, раствор сульфата железа (II) FeSO₄, оксид меди (II) CuO, оксид алюминия Al2O₃, раствор карбоната натрия Na₂CO₃, пробирки, пробиркодержатели.
На столе учителя:  концентрированная азотная кислота HNO₃ (60 – 65 %), разбавленная азотная кислота HNO₃ (30 %), штатив с пробирками, медная проволока (кусочки), газоотводная трубка, кристаллизатор с водой, пробиркодержатель, мультимедийная установка (компьютер, проектор, экран).

План урока:
План урока написан на доске и отпечатан для составления опорного конспекта на столах учащихся (Приложение 1)

Ход урока:

I Повторение.

Учитель:       На прошлых уроках мы изучили некоторые соединения азота. Давайте вспомним их.
Ученик:        Это аммиак, соли аммония, оксиды азота.
Учитель:       Какие оксиды азота являются кислотными?
Ученик:        Оксид азота (III) N₂O₃ – азотистый ангидрид и оксид азота (V) N₂O₅ – азотный ангидрид, ему соответствует азотная кислота HNO3.
Учитель:       Каков качественный и количественный состав азотной кислоты?

Учитель пишет на доске формулу азотной кислоты и просит ученика расставить степени окисления

Ученик:        Молекула состоит из трех химических элементов: H, N, O – из одного атома водорода, одного атома азота и трех атомов кислорода.

II Состав и строение HNO₃

Учитель:       Как же образуется молекула азотной кислоты?

Учитель показывает презентацию об азотной кислоте (Приложение 2 – презентация, Приложение 3 – текст пояснения к презентации)

III Физические свойства:

Учитель:       Теперь переходим к изучению физических свойств азотной кислоты.

Учащиеся составляют краткое описание физических свойств азотной кислоты.

Учитель на демонстрационном столе показывает, что представляет собой концентрированная азотная кислота HNO _{(60 – 65 %) — бесцветная жидкость, «дымящаяся на воздухе», с едким запахом. Концентрированная 100 % — ая} HNO₃ иногда окрашена в желтоватый цвет, т.к. она летучая и нестойкая, и при комнатной температуре разлагается с выделением оксида азота (IV) или «бурого» газа, именно поэтому ее хранят в бутылках из темного стекла.

Учитель на доске пишет уравнение химической реакции разложения азотной кислоты:

Учитель:       Азотная кислота гигроскопична, смешивается с водой в любых отношениях. В водных растворах – сильный электролит, при температуре – 41,6 ⁰С затвердевает. На практике применяется 65 % азотная кислота, она не дымит, в отличие от 100 % — ой.

IV Химические свойства

Учитель:       Переходим к следующему этапу урока. Азотная кислота – сильный электролит. Следовательно, ей будут присущи все общие свойства кислот. С какими веществами реагируют кислоты?
Ученик:        С индикаторами, с основными и амфотерными оксидами, с основаниями, с солями более слабых и летучих кислот, с металлами.
Учитель:       Перед вами общие свойства кислот.

Включается мультимедийная установка. Учитель показывает презентацию об общих химических свойствах кислот (Приложение 4).

Учитель:       Проведем экспериментальный этап урока. Ваша задача – провести химические реакции, подтверждающие химические свойства кислот, на примере азотной кислоты. Работать будете группами по 4 человека. На партах лежат инструкции к лабораторным опытам (Приложение 5). В тетрадях надо составить уравнения химических реакций в молекулярном и ионном виде.

Далее учитель проверяет технику безопасности выполнения лабораторных опытов. Вызывает учеников к доске записывать уравнения реакций.

Учитель:       Переходим к специфическим химическим свойствам азотной кислоты. Следует отметить, что азотная кислота, и разбавленная, и концентрированная, при взаимодействии с металлами не выделяет водород, а может выделять различные соединения азота – от аммиака до оксида азота (IV).

Включается мультимедийная установка. Учитель показывает презентацию о возможных продуктах восстановления азотной кислоты (Приложение 6).

Учитель:       Посмотрим на схему. У каждого на столах лежат схемы восстановления азотной кислоты (разбавленной и концентрированной) металлами (Приложение 7).

Далее учитель демонстрирует опыты:

1. Взаимодействие разбавленной азотной кислоты с медью. Собирание оксида азота (II) над водой.
2. Взаимодействие концентрированной азотной кислоты с медью. Получение оксида азота (IV).

На доске записывает уравнения реакций:

Учитель:         На основе опытов можно сделать выводы:

1. Раствор азотной кислоты реагирует не только с металлами, стоящими в электрохимическом ряду напряжений металлов до водорода, но и с металлами, стоящими после водорода.
2. В реакции с разбавленной HNO₃ окислителем металлов является не ион водорода H⁺, а ион NO₃-, у которого окислительные свойства сильнее.
3. Концентрированная азотная кислота также реагирует с металлами, стоящими в электрохимическом ряду напряжений металлов правее водорода. Окислителем металлов в данном случае являются молекулы HNO3 за счет предельно окисленного атома азота .
4. В окислительно-восстановительных реакциях с металлами азотная кислота выступает как сильный окислитель за счет атомов . Поэтому водород не выделяется, продуктами реакции являются соединения азота с более низкой степенью окисления, чем +5, а также соль и вода.

Учитель:       Пользуясь схемами восстановления концентрированной и разбавленной азотной кислоты металлами, а также учебником на стр. 127, перейдем к самостоятельной работе по вариантам (Приложение 8). Каждый выполняет свой вариант. Вам предложены карточки – задания. Время работы 5-7 минут.

Включается мультимедийная установка. Учитель показывает правильные варианты ответов (Приложение 9). Учащиеся проверяют правильность выполнения задания.

V Получение азотной кислоты HNO₃

Ученик:        (сообщение) В лаборатории азотную кислоту получают взаимодействием калийной или натриевой селитры с концентрированной серной кислотой при нагревании или без нагревания:

В промышленности азотную кислоту получают каталитическим окислением аммиака, синтезированного из азота воздуха:

Ученик показывает схему получения азотной кислоты (Приложение 10), а учащиеся записывают уравнения реакций в тетрадь.

VI Заключение

Учитель:       На сегодняшнем уроке мы познакомились с составом и строением азотной кислоты. Повторили и закрепили общие свойства кислот на примере азотной кислоты, закрепили свои знания по теории ТЭД, теории строения атома и химической связи. Изучили специфические свойства азотной кислоты, а именно взаимодействие ее с металлами. Познакомились со способами получения азотной кислоты.

Далее подводятся итоги, выставляются оценки. Учитель задает домашнее задание по учебнику, задачнику и конспекту.

Д/з:     § 33, упр. 4 на стр. 128 учебника;
задачи: 4 – 35, 4 – 41 задачник;
выучить конспект.

Список литературы

1. Кузнецова Н.Е., Титова И.М., Гара Н.Н., Жегин А.Ю. Химия: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Вентана – Граф, 2004.
2. Энциклопедия для детей. Химия. – М.: Аванта, 2000.
3. Максименко О.О. Химия. Пособие для поступающих в вузы. – М.: Эксмо, 2003.
4. Полосин В.С., Прокопенко В.Г. Практикум по методике преподавания химии. Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1989.
5. Мартыненко Б.В. Химия: Кислоты и основания. – М.: Просвещение, 2000.

как взаимодействует концентрированная азотная кислота с щелочными металлами??? составить

Основный оксид + вода = основание
K2O + h3O = 2KOH
Правило распространяется только на те реакции, в результате которых получается растворимое основание (т.е щелочь)
Основный оксид + кислота = соль + вода (см. выше)
Основный оксид + кислотный оксид = соль (см. выше)

Металл + кислота = соль + водород (см. выше)
Металл + неметалл = соединение ( соль, оксид, пероксид)
2Na + Cl2 = 2NaCl (соль)
2Mg + O2 = 2MgO (оксид)
2Na + O2 = Na2O2 (пероксид)
При составлении некоторых уравнений химических реакций следует руководствоваться следующим правилом: Реакция практически осуществима, если в результате реакции образуется газ, осадок или вода (малодиссоциирующее соединение

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Азотная кислота — обзор

2.29.3.3 Растворы азотной кислоты

Растворы азотной кислоты используются при переработке ядерного топлива, используя склонность урана и плутония к образованию нитратных комплексов, которые растворяются в нуклеофильных растворителях, таких как три- n — бутилфосфат. Нержавеющие стали, в основном аустенитные марки, обычно используются при строительстве перерабатывающих заводов и являются либо пассивными, либо подвержены межкристаллитной коррозии (что приводит к опаданию зерна и, следовательно, к общим потерям, а не к растрескиванию), в зависимости от окислительной способности раствора, которая является сильно увеличивается при высоких температурах (> 70 ° C) и в присутствии некоторых растворенных веществ, которые действуют как окислители.Более подробное описание дается в другом месте (см. Глава 2.24 , Коррозия в азотной кислоте ).

Радиолиз водной азотной кислоты и нейтральных нитратных растворов дает нитрит-ион в качестве основного растворенного продукта ³⁰ вместе с различными количествами перекиси водорода, в зависимости от кислотности, поскольку азотистая кислота окисляется перекисью водорода ( по крайней мере, при комнатной температуре; в горячих растворах азотной кислоты перекись водорода разлагается с образованием газов NO _x , что свидетельствует о восстановлении нитрат-иона, то есть обращении окислительно-восстановительной пары).Схемы реакций сложны, включают в себя различные связанные химические реакции, а также радиолитические, и выходы сильно зависят от ЛПЭ излучения. ³⁰

Присутствие азотистой кислоты в значительных концентрациях значительно изменяет коррозионное поведение азотной кислоты, причем общий эффект зависит от обстоятельств. В чистых водных растворах азотной кислоты азотистая кислота катализирует восстановление нитратов и, следовательно, действует, повышая потенциал коррозии нержавеющей стали, немного увеличивая ее скорость коррозии, если температура достаточно высока, чтобы поддерживать межкристаллитную коррозию, даже если окислительно-восстановительный потенциал раствор падает, поскольку азотистая кислота является менее окисляющей, чем азотная кислота (см. Рисунок 12 в Глава 2.24 , Коррозия в азотной кислоте ). В более сложных растворах, содержащих определенные растворенные частицы, такие как Cr (VI) и Ce (IV), эффект производства азотистой кислоты может быть значительным, резко снижая скорость коррозии, если происходит полное восстановление до Cr (III) и Ce (III). , так как потенциал коррозии снова становится пассивным. ³¹ В таких растворах потенциал коррозии и, следовательно, достигаемая скорость коррозии зависят от общего окислительно-восстановительного баланса; преобладает ли окисление кислотой или восстановление под действием облучения, зависит от концентрации азотной кислоты и температуры, увеличение любой из которых способствует окислению, и мощности дозы облучения, увеличение которой способствует снижению.

Поскольку на коррозионную стойкость таких металлов, как цирконий и тантал, не влияют окисляющие вещества в растворе, эффект радиолиза не проявляется. О влиянии радиолиза на коррозионную стойкость титана не сообщалось, хотя можно было бы ожидать отрицательного эффекта, если бы для поддержания пассивности полагались на окисляющие ионы, а не на растворенные ионы титана (см. Глава 2.24 , Коррозия в Азотная кислота ).

Азотная кислота — Энциклопедия Нового Света

Азотная кислота (химическая формула HNO ₃ ) — одна из важнейших неорганических кислот.Алхимики восьмого века назвали его aqua fortis (сильная вода), aqua valens, (сильная вода) или духом селитры. Это очень едкая и токсичная кислота, которая может вызвать серьезные ожоги. Бесцветные в чистом виде, более старые образцы имеют тенденцию приобретать желтый оттенок из-за накопления оксидов азота. Азотная кислота смешивается с водой во всех пропорциях, образуя гидраты при низкой температуре.

Эта кислота является обычным лабораторным реагентом и важным промышленным товаром.Он в основном используется для производства нитрата аммония (NH ₄ NO ₃ ) для удобрений. Он также используется для производства взрывчатых веществ (таких как нитроглицерин), нитрохлопка или пушечного хлопка, пластмасс и красителей.

История

Самое раннее известное письменное описание метода синтеза азотной кислоты приписывают алхимику Джабиру ибн Хайяну (Геберу). Он говорит:

Возьмите фунт кипрского купороса, полтора фунта солянки и четверть фунта квасцов.Отправьте все на перегонку, чтобы получить раствор, обладающий сильным растворяющим действием. Растворяющая способность кислоты значительно возрастает, если ее смешать с некоторым количеством нашатырного спирта, поскольку тогда она растворяет золото, серебро и серу. ^[1]

Позднее голландский химик Иоганн Рудольф Глаубер первым получил азотную кислоту путем перегонки селитры с серной кислотой, или купоросного масла, как он это называл. Продукт (декагидрат сульфата натрия) назван «глауберова соль» в память о нем.

Aqua regia (лат. «Королевская вода») — одно из химикатов, придуманных древними учеными. Это очень едкий дымящийся раствор желтого или красного цвета. Смесь образуется путем смешивания концентрированной азотной и соляной кислоты, обычно в объемном соотношении один к трем. Это один из немногих реагентов, способных растворять золото и платину, так называемые королевские или благородные металлы — отсюда и название «королевская вода». Эффективность царской водки частично объясняется наличием хлора и нитрозилхлорида.Царская водка используется в травлении и некоторых аналитических процессах, а также в лабораториях для очистки стеклянной посуды от органических и металлических соединений.

Физические свойства

Лабораторный реагент азотная кислота содержит только 68 процентов HNO по весу. Эта концентрация соответствует постоянно кипящей смеси HNO ₃ с водой, которая имеет атмосферное давление 68,4 процента по массе и кипит при 121,9 ° C. Чистая безводная азотная кислота (100 процентов) представляет собой бесцветную жидкость с плотностью 1522 кг / м ³ при 25 ° C, которая затвердевает при -41.6 ° C с образованием белых кристаллов и кипит при 86 ° C. При кипячении на свету даже при комнатной температуре происходит частичное разложение с образованием диоксида азота по реакции:

4HNO ₃ → 2H ₂ O + 4NO ₂ + O ₂ (72 ° C)

, что означает, что безводную азотную кислоту следует хранить при температуре ниже 0 ° C во избежание разложения. Двуокись азота (NO ₂ ) остается растворенной в азотной кислоте, окрашивая ее в желтый или красный цвет при более высоких температурах.В то время как чистая кислота имеет тенденцию выделять белые пары при контакте с воздухом, кислота с растворенным диоксидом азота выделяет красновато-коричневые пары, что дает общее название «красная дымящая кислота» или «дымящая азотная кислота».

• Азотная кислота смешивается с водой во всех пропорциях, и перегонка дает азеотроп с концентрацией 68 процентов HNO ₃ и температурой кипения 120,5 ° C при 1 атм. Известны два твердых гидрата: моногидрат (HNO ₃ .H ₂ O) и тригидрат (HNO ₃ .3H ₂ O).

• Оксиды азота (NO _x ) растворимы в азотной кислоте, и это свойство влияет более или менее на все физические характеристики в зависимости от концентрации оксидов. В основном это давление пара над жидкостью и температура кипения, а также цвет, упомянутый выше.

• Азотная кислота подвержена термическому или легкому разложению с увеличением концентрации, и это может вызвать некоторые заметные изменения давления пара над жидкостью, поскольку образующиеся оксиды азота частично или полностью растворяются в кислоте.

Химические свойства

Азотная кислота образуется при реакции пятиокиси азота (N ₂ O ₃ ) и двуокиси азота (NO ₂ ) с водой. Если раствор содержит более 86 процентов азотной кислоты, он обозначается как дымящаяся азотная кислота . Дымящаяся азотная кислота характеризуется как белая дымящая азотная кислота и красная дымящая азотная кислота, в зависимости от количества присутствующего диоксида азота.

Азотная кислота — это сильная одноосновная кислота, мощный окислитель, который также нитрирует многие органические соединения, и одноосновная кислота, потому что диссоциация происходит только в одном месте.

Кислотные свойства

Как типичная кислота, азотная кислота реагирует со щелочами, основными оксидами и карбонатами с образованием солей, наиболее важной из которых является нитрат аммония. Из-за своей окислительной природы азотная кислота (за некоторыми исключениями) не выделяет водород при реакции с металлами, и образующиеся соли обычно находятся в более высоком окисленном состоянии. По этой причине можно ожидать сильной коррозии, и ее следует защищать соответствующим использованием коррозионно-стойких металлов или сплавов.

Азотная кислота — сильная кислота с кислотной константой диссоциации (pK _a ) -2: в водном растворе она полностью ионизируется в нитрат-ион NO ₃ ^— и гидратированный протон, известный как гидроний. ион, H ₃ O ⁺ .

HNO ₃ + H ₂ O → H ₃ O ⁺ + NO ₃ ^—

Окислительные свойства

Азотная кислота — сильный окислитель, о чем свидетельствуют большие положительные значения E ^◦ .

NO ₃ ^— (водн.) + 2H ⁺ (водн.) E ^— → NO ₂ (г) + H ₂ O (l) E ^◦ = 0,79 V

NO ₃ ^— (водн.) + 4H ⁺ + 3e ^— → NO (г) 2H ₂ (l) E ^◦ = 0,96 V

Являясь сильным окислителем, азотная кислота бурно реагирует со многими неметаллическими соединениями, и реакции могут быть взрывоопасными. Конечные продукты могут варьироваться в зависимости от концентрации кислоты, температуры и используемого восстановителя.Реакция происходит со всеми металлами, за исключением ряда драгоценных металлов и некоторых сплавов. Как правило, окислительные реакции происходят в основном с концентрированной кислотой, что способствует образованию диоксида азота (NO ₂ ).

Реакции с металлами

Азотная кислота растворяет большинство металлов, включая железо, медь и серебро, с высвобождением низших оксидов азота, а не водорода. Он также может растворять благородные металлы с добавлением соляной кислоты.

Cu + 4HNO ₃ → Cu (NO ₃ ) ₂ + 2NO ₂ + 2H ₂ O

Кислотные свойства имеют тенденцию преобладать с разбавленной кислотой в сочетании с преимущественным образованием азота оксид (NO).

3Cu + 8HNO ₃ → 3Cu (NO ₃ ) ₂ + 2NO + 4H ₂ O

Поскольку азотная кислота является окислителем, водород (H) образуется редко. Только магний (Mg) и кальций (Ca) реагируют с холодной, разбавленной азотной кислотой с образованием водорода:

Mg _(s) + 2HNO _{3 (водн.)} → Mg (NO ₃ ) _{2 (водн.)} + H _{2 (г)}

Реакции с неметаллами

Реакция с неметаллическими элементами, за исключением кремния и галогена, обычно окисляет их до высшей степени окисления в виде кислот с образованием диоксида азота для концентрированной кислоты и оксида азота для разбавленной кислоты.

C + 4HNO ₃ → CO ₂ + 4NO ₂ + 2H ₂ O

или

3C + 4HNO ₃ → 3CO ₂ + 4NO + 2H ₂ O

Пассивация

Хотя хром (Cr), железо (Fe) и алюминий (Al) легко растворяются в разбавленной азотной кислоте, концентрированная кислота образует слой оксида металла, который защищает металл от дальнейшего окисления, что называется пассивацией.

Синтез и производство

Азотная кислота производится путем смешивания диоксида азота (NO ₂ ) с водой в присутствии кислорода или воздуха для окисления азотистой кислоты, также образующейся в результате реакции.Разбавленная азотная кислота может быть сконцентрирована перегонкой до 68% кислоты, которая представляет собой азеотропную смесь с 32% воды. Дальнейшее концентрирование включает перегонку с серной кислотой, которая действует как дегидратирующий агент. В лабораторных условиях такая перегонка должна проводиться во всех стеклянных аппаратах при пониженном давлении, чтобы предотвратить разложение кислоты. Также следует избегать использования резиновых и пробковых фитингов, так как азотная кислота разъедает эти материалы. Растворы азотной кислоты товарного качества обычно содержат от 52 до 68 процентов азотной кислоты.Промышленное производство азотной кислоты осуществляется посредством процесса Оствальда, названного в честь Вильгельма Оствальда.

Первый процесс представляет собой каталитическую реакцию в газовой фазе — первичный процесс окисления аммиака до азотной кислоты при температуре около 900 ° C на платино-родиевом катализаторе.

4 NH ₃ (г) + 5O ₂ (г) → 4NO (г) + 6H ₂ O (г)

Второй этап — быстрое окисление оксида азота до диоксида азота. Это относительно медленная реакция, т.е.е., этап, определяющий скорость в последовательности реакций.

2NO (г) + O, ₂ (г) → 2NO ₂ (г)

Наконец, диспропорционирование NO ₂ в воде дает одну молекулу оксида азота на каждые две молекулы азотной кислоты.

3NO ₂ (г) + H ₂ O (л) → 2HNO ₃ (водный) + NO (г)

Для получения чистой азотной кислоты, которая бесцветна и кипит, требуется дальнейшее удаление воды. при 83 ° С.

В лаборатории азотная кислота может быть получена из нитрата меди (II) или путем реакции примерно равных масс нитрата калия (KNO ₃ ) с 96-процентной серной кислотой (H ₂ SO ₄ ) и перегонкой. эту смесь при температуре кипения азотной кислоты 83 ° C до тех пор, пока в реакционном сосуде не останется только белая кристаллическая масса, гидросульфат калия (KHSO ₄ ). Полученная красная дымящая азотная кислота может быть преобразована в белую азотную кислоту. Обратите внимание, что в лабораторных условиях необходимо использовать цельностеклянное оборудование, в идеале цельную реторту, поскольку безводная азотная кислота разъедает пробку, резину и кожу, а протечки могут быть чрезвычайно опасными.

H ₂ SO ₄ + KNO ₃ → KHSO ₄ + HNO ₃

Растворенный NO _x легко удаляется при пониженном давлении при комнатной температуре (10-30 мин. 200 мм рт. Ст. Или 27 кПа). Полученная белая дымящаяся азотная кислота имеет плотность 1,51 г / см³. Эту процедуру также можно выполнить при пониженном давлении и температуре за один этап, чтобы получить меньше газообразного диоксида азота.

Кислота также может быть синтезирована путем окисления аммиака, но продукт разбавляется водой, также образующейся в ходе реакции.Однако этот метод важен для производства нитрата аммония из аммиака, полученного в процессе Габера, поскольку конечный продукт может быть получен из азота, водорода и кислорода в качестве единственного сырья.

Белая дымящаяся азотная кислота, также называемая 100-процентной азотной кислотой или WFNA, очень близка к безводной азотной кислоте. Одна из спецификаций дымящейся азотной кислоты заключается в том, что она содержит максимум 2 процента воды и максимум 0,5 растворенного NO ₂ . Красная дымящая азотная кислота, или RFNA, содержит значительные количества растворенного диоксида азота (NO ₂ ), в результате чего раствор приобретает красновато-коричневый цвет.В одной формулировке RFNA указано как минимум 17 процентов NO ₂ , в другой — 13 процентов NO ₂ . В любом случае ингибированная дымящаяся азотная кислота (IWFNA или IRFNA) может быть получена путем добавления от 0,6 до 0,7 процента фтористого водорода HF. Этот фторид добавляют для защиты от коррозии в металлических резервуарах (фторид создает слой фторида металла, который защищает металл).

использует

Обычно используется в качестве лабораторного реагента, азотная кислота используется при производстве взрывчатых веществ, включая нитроглицерин, тринитротолуол (TNT) и циклотриметилентринитрамин (RDX), а также удобрения, такие как нитрат аммония.

Также в методах ICP-MS и ICP-AES азотная кислота (с концентрацией от 0,5 до 2,0%) используется в качестве матричного соединения для определения следов металлов в растворах. Для такого определения требуется сверхчистая кислота, поскольку небольшие количества ионов металлов могут повлиять на результат анализа.

Он находит дополнительное применение в металлургии и рафинировании, поскольку вступает в реакцию с большинством металлов, а также в органическом синтезе. В сочетании с соляной кислотой он образует царскую водку, один из немногих реагентов, способных растворять золото и платину.

Азотная кислота — компонент кислотных дождей.

Азотная кислота — мощный окислитель, и реакции азотной кислоты с такими соединениями, как цианиды, карбиды и металлические порошки, могут быть взрывоопасными. Реакции азотной кислоты со многими органическими соединениями, такими как скипидар, являются бурными и гиперголичными (т. Е. Самовоспламеняющимися).

Концентрированная азотная кислота окрашивает кожу человека в желтый цвет из-за реакции с протеиновым кератином. Эти желтые пятна при нейтрализации становятся оранжевыми.

Одно из применений IWFNA — это окислитель в ракетах на жидком топливе.

Азотная кислота используется в колориметрическом тесте для различения героина и морфина.

Азотная кислота также используется в школьных лабораториях для проведения экспериментов по тестированию хлоридов. В образец добавляют раствор нитрата серебра и азотную кислоту, чтобы увидеть, остался ли белый осадок хлорида серебра.

Правила техники безопасности

Азотная кислота — опасное химическое вещество, с которым следует обращаться с учетом ее коррозионных и окислительных свойств.Избегайте контакта с кислотой и используйте средства защиты, особенно средства защиты глаз. При попадании на кожу он может вызвать пожелтение, а большие количества или концентрации могут вызвать смертельные ожоги. Не вдыхайте пары, выделяющиеся при смешивании с металлами или органическими соединениями — эффект может быть отсроченным, но все же фатальным. Держитесь подальше от красно-коричневых паров! Азотная кислота сама по себе не горит, но окисляет органические вещества и делает их легко воспламеняемыми.

Связанные темы

Банкноты

1. ↑ Томас Х.Чилтон, Strong Water; Азотная кислота: источники, методы производства и применение (Кембридж, Массачусетс: M.I.T. Press, 1968). OCLC 237255.

Список литературы

• Чилтон, Томас Х. 1968. Сильная вода; Азотная кислота: источники, методы производства и использование. Кембридж, Массачусетс: M.I.T. Нажмите. OCLC 237255.
• Корвин, К. Х. 2001. Введение в химические концепции и связи. 3-е изд. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0130874701.
• Federmann, R. 1964. Королевское искусство алхимии. Пер. Р. Х. Вебер. Нью-Йорк: Книга Чилтона. ASIN B000J3UZJ4.
• Jolly, W. L. 1966. Химия неметаллов. Основы серии «Современная химия». Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ASIN B0006BNQ1I.
• Макмерри Дж.

Конспект урока «Движение тела по окружности. Решение задач», 9 класс

Тема урока: Движение тел по окружности. Решение задач.

Цели урока:

Образовательные:

• продолжить формирование представлений о движении тела;

• продолжить формирование умения описывать движение тела по окружности;

• повторить основные характеристики равномерного движения тела по окружности: линейная скорость, угловая скорость, ускорение, период и частота движения тела по окружности;

• формировать практические умения и навыки решения задач.

Развивающие:

• умение применять знания теории на практике;

• внимательность, самостоятельность;

• мышление учащихся посредством логических учебных действий.

Воспитательные:

Планируемые результаты:

Знать:

Уметь:

Можно считать, что цели урока достигнуты на уровне

воспроизведения, если учащиеся способны сформулировать основные характеристики движения тела по окружности;

понимания, если учащиеся способны объяснить практическую значимость изучения движения тела по окружности, описывать движение тела по окружности;

применения, если учащиеся применяют полученные знания для решения расчетных задач.

Тип урока: закрепление знаний.

Форма урока: комбинированный.

Комплексно-методическое обеспечение: мультимедийный проектор, компьютер, экран.

Методы обучения: словесные, наглядные.

Межпредметные связи: астрономия, литература.

Ход урока:

1. Организационный момент (мотивация учебной деятельности).

Актуализация опорных знаний. Фронтальная работа с классом.

1. Какие виды движения мы с вами изучили? Чем они отличаются?

2. Какой самый простой вид криволинейного движения? В чем значимость его изучения?

3. Какое движение называют равномерным движением по окружности?

4. Приведите примеры движения тел по окружности, встречающиеся в нашей жизни.

5. Какие физические величины вводятся для характеристики движения по окружности?

6. Что называют периодом обращения?

7. Что называют частотой обращения? Как связаны между собой период и частота обращения?

8. Что называют линейной скоростью? Как она направлена?

9. Что называют угловой скоростью? Что является единицей угловой скорости?

10. Как связаны угловая и линейная скорости движения тела?

11. Как направлено центростремительное ускорение? По какой формуле оно рассчитывается?

12. Как направлены относительно друг друга вектор скорости и вектор ускорения?

Мы повторили теоретический материал. Теперь необходимо научиться применять полученные знания при решении задач.

Цель: научиться применять полученные знания при решении задач. Тема нашего урока: «Движение тела по окружности. Решение задач.»

2. Решение задач.

Задача 1

На арене цирка лошадь скачет с такой скоростью, что за 1 минуту обегает 2 круга. Радиус арены равен 6,5 м. Определите период и частоту вращения , скорость и центростремительное ускорение.

t = 1мин.=60с

N=2

R=6,5 м

Решение:

Т= ; T= = 30c. ν = ; ν = = 0.03 c^-1.

ϑ = ; ϑ= = 1,4м/с.

а_ц.с. = ; a_ц.с. = = 0,3 м/с².

T-? ν-? ϑ-? а_ц.с.-?

Ответ: T= 30c; ν = 0.03 c^-1; ϑ= 1,4м/с; a = 0,3 м/с² .

Задача 2.

Оцените, с какой скоростью движется Луна вокруг Земли. Радиус орбиты Луны примите равным 400000 км, а время одного полного оборота вокруг Земли 27 суток.

Т = 27сут.=648ч

R=400000км

Решение:

ϑ = ; ϑ= = 3887км/ч.

ϑ = = 1077 м/с

ϑ-?

Ответ: ϑ= 1077 м/с.

Физкультминутка.

Задача 3.

С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы центростремительное ускорение было равно ускорению свободного падения?

R = 40м

а_ц.с.=9,8 м/с

Решение:

а_ц.с. = ;

ϑ² = а_ц.с.·R; ϑ= ;

ϑ= = 20м/с

ϑ-?

Ответ: ϑ= 20м/с.

Задача 4.

А.С.Пушкин «Руслан и Людмила».

У лукоморья дуб зеленый,

Златая цепь на дубе том;

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом…

Определите частоту его движения, если за 1 минуту он делает 3 «круга». Чему равен период? Определите угловую скорость кота.

t = 1мин.=60с

N=3

Решение:

Т= ; T= = 20c. ν = ; ν = = 0,05 с^-1

= ; = = 0,1рад/с

T-? _.-?

Ответ: T= 20c; ν = 0,05 с^-1; = 0,1рад/с.

Задача 5.

В 1953 г. на главном здании Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова были установлены самые большие башенные часы. Девятиметровый циферблат виден издалека, а длина минутной стрелки — 4,13 метра.

Определите линейную и угловую скорость конца минутной стрелки этих часов.

Т = 3600с

R=4.13м

Решение:

= ; = = 0,0017рад/с

ϑ = ; ϑ = = 0,007м/с или

ϑ = R; ϑ = 0,0017 рад/с4,13 м = 0,007 м/с

ϑ -? _.-?

Ответ: ϑ = 0,007м/c; = 0,0017рад/с

Задача 6.

С какой скоростью движутся концы часовой, минутной и секундной стрелок настенных часов? Примите, что длина часовой стрелки 10 см, а длина минутной стрелки в 1,5 раза больше. Определите, во сколько раз скорость конца минутной стрелки превышает скорость конца часовой стрелки?

Т_с = 60с

Т_м= 3600с

Т_ч =43200с

R_ч=10см=0,1 м

R_м=1,5 R_ч

Решение:

ϑ = ; ϑ_с = = 0,02м/с.

ϑ_м= =0,0003м/с

ϑ_ч = =0,00001м/с

= =30

ϑ_с-? ϑ_м-? ϑ_ч-?

-?

Ответ: ϑ_с = 0,02м/с; ϑ_м=0,0003м/с; ϑ_ч =0,00001м/с; =30.

4.Закрепление.

Ученикам предлагается ответить на вопросы теста. Затем осуществляется взаимоконтроль.

Тест №1

1. Примером криволинейного движения является…

а) падение камня;

б) бросок мяча под углом к горизонту;

в) движение спринтера на стометровке.

2. Минутная стрелка часов делает один полный оборот. Чему равен период обращения?

а) 60 с; б) 1/3600 с; в) 3600 с.

3. Колесо велосипеда делает один оборот за 2 с. Определите частоту вращения.

а) 0,5 с^-1; б) 2 с^-1; в) 1 с^-1.

4. Винт самолета Ан-2 делает 25 оборотов за 1 с. Чему равна угловая скорость винта?

а) 25 рад/с; б) π/25 рад/с; в) 50π рад/с.

5. Тело движется по окружности с постоянной угловой

скоростью. Определите направление линейной

скорости движения в точке A.

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Тест №2

1. Примером криволинейного движения является…

а) движение лифта;

б) движение лыжников в слаломе;

в) спуск парашютиста в безветренную погоду.

2. Секундная стрелка часов делает один полный оборот. Чему равна её частота обращения?

а) 1/60 с; б) 60 с; в) 1 с.

3. Колесо велосипеда делает 10 оборотов за 5 с. Определите период вращения.

а) 5 с; б) 10 с; в) 0,5 с.

4. Ротор мощной паровой турбины делает 1 оборот за 0,02 с. Какова его угловая скорость?

а) 50π рад/с; б) π/50 рад/с; в) 100π рад/с.

5. Тело движется по окружности с постоянной угловой

скоростью. Определите направление ускорения движения в точке A.
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание: повторить теорию, № 58.8; 58.15; 58.19.

infourok.ru

Задачи на движение по окружности (9-11 кл.)

Задачи на движение по окружности (9-11 кл.)

Вопрос 1. Точка движется с постоянной по модулю скоростью 2 м/с по окружности радиуса 2 м. Определите ее центростремительное ускорение (м/с²).

Вопрос 2. Шлифовальный камень радиусом 30 см совершает один оборот за 0,6 с. Где расположены точки, имеющие наибольшую линейную скорость, и чему они равны? Ответ указать с точностью до сотых, в м/с.

Вопрос 3. Угловая скорость лопастей вентилятора  рад/с. Найдите число оборотов за 10 минут.

Вопрос 4. Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, равной 1,5 м/с. Определите центростремительное ускорение (см/с²) точки, если за время 2,5 с направление вектора ее скорости изменяется на 57⁰.

Вопрос 5. Колесо диаметром 50 см, двигаясь равномерно, проходит расстояние 2 м за 4 с. Какова угловая скорость (рад/с) вращения колеса?

Вопрос 6. Найти линейную скорость (км/c) Земли при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты 

Вопрос 7. Линейная скорость точек обода вращающегося колеса равна 50 см/с, а линейная скорость его точек, находящихся на 3 см ближе к оси вращения, равна 40 см/с. Определите радиус ( в см) колеса.

Вопрос 8. Минутная стрелка часов на 20% длиннее секундной. Во сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше, чем конца минутной стрелки?

Вопрос 9. Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. За какую долю периода обращения она пройдет путь, равный радиусу окружности? Ответ указать с точностью до сотых.

Вопрос 10. Материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью 2 м/с. Определить центростремительное ускорение движения точки, если за 1,6 с вектор скорости изменяет свое направление на противоположное.

Вопрос 11. Какую поступательную скорость (км/ч) имеют верхние точки обода велосипедного колеса, если велосипедист едет со скоростью 20 км/ч?

Вопрос 12. Во сколько раз линейная скорость точки поверхности Земли, лежащей на широте 60⁰, меньше линейной скорости точки, лежащей на экваторе?

Вопрос 13. Маленький шарик, подвешенный к нити длиной 1м, равномерно двигается по горизонтальной окружности, образуя с вертикалью угол равный . Определить линейную скорость (м/с) шарика, если его период 0,5с, 

Вопрос 14. Самолет летит со скоростью 360 км/ч. Пропеллер самолета диаметром 200 см вращается с частотой 1800 об/мин. Определить скорость (м/с) конца пропеллера относительно неподвижного наблюдателя на земле.

Вопрос 15. Волчок, вращающийся с угловой скоростью 62,8 рад/с, свободно падает со стола высотой 1 м. Какое число оборотов совершит волчок за время падения?

Вопрос 16. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной 0,5 м в вертикальной плоскости, так, что частота равна 3 об/с. На какую высоту (м) взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вертикально вверх?

Вопрос 17. Первая в мире орбитальная космическая станция двигалась со скоростью 7,3 км/с и имела период обращения 88,85 мин. Считая ее орбиту круговой, найти высоту (км) станции над поверхностью Земли. Радиус Земли принять равным 6400 км.

Вопрос 18. Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг своей оси с частотой 30 мин^-1. Шар катится в направлении АО со скоростью 7 м/с. Найти скорость (м/с) шара относительно платформы в момент, когда АО = 8 м.

infourok.ru

Конспект урока «Решение задач по теме «Движение тела по окружности» 9 класс

Открытый урок решения задач по подготовке к ОГЭ в 9 классе “ Движение тела по окружности» 24 ноября 2016 г.

Цели урока: закрепить представление о криволинейном движении, основных характеристик частоты, периода, центростремительного ускорения и центростремительной силы.

Задачи.

Образовательные:

Повторить виды механического движения. Закрепить понятия: движение по окружности, центростремительное ускорение, период, частота.

Развивающие:

Развивать умения применять теоретические знания для решения конкретных задач, развивать культуру логического мышления, развивать интерес к предмету; познавательную деятельность при постановке и проведении эксперимента.

Воспитательные:

Формировать мировоззрение в процессе изучения физики и аргументировать свои выводы, воспитывать самостоятельность, аккуратность.

Воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся.

Оснащение урока: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку « Решение задач на тему «Движение тела по окружности», распечатка карточек с заданиями. .

Форма организации обучения: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Тип урока: повторение и обобщение знаний, умений решать задачи по теме.

Вид урока: комбинированный с элементами исследования

Ход урока

1. Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности

Учитель. Здравствуйте, ребята. Я очень рада вас видеть.

Позвольте начать наш сегодняшний урок с таких строк

«Незнающие
пусть научатся,
знающие –
вспомнят еще раз (слайд 2)

Но, прежде чем приступить разгадывать загадки, давайте немного повторим:

II. Актуализация опорных знаний.

Слайд 3.

Физический диктант:

1. Изменение положения тела в пространстве с течением времени. (Движение)

2. Физическая векторная величина, измеряемая в метрах. (Перемещение)

3. Физическая векторная величина, характеризующая быстроту движения. (Скорость)

4. Основная единица измерения длины в физике. (Метр)

5. Физическая величина, единицами измерения которой служат год, сутки, час. (Время)

6. Длина траектории. (Путь)

7. Единицы измерения ускорения (м/с²)

(Проведение диктанта с последующей проверкой, самооценка работ учениками) Работа в паре.

III. Чему сегодня посвящен наш урок?

Тема нашего урока (слайд 5) «Движение тела по окружности”

Учитель. Что характеризует движение тела по окружности (слайд 6)

Опрос детей

Учитель. Давайте вместе заполним таблицу основных характеристик движения тела по окружности (слайд 7)

Дети заполняют на карточках с последующей проверкой

Учитель; Настало время применить свои знания на практике

Слайд 8

Дети решают у доски задачи с подробным объяснением

1. Колесо делает 120 оборотов за 2 минуты. Какова частота вращения колеса и период вращения?

2. Точильный круг радиусом 10 см делает один оборот за 0,2 с. Найдите скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения.

3. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100 м. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля, если он движется со скоростью 54 км/ч?

4. Какова скорость движения автомобиля, если его колеса радиусом 30 см делают 600 оборотов в минуту?

5. Период обращения первого космического корабля — спутника Земли «Восток» равнялось 90 минут. Средняя высота спутника над Землей была равна 320 км. Радиус Земли 6400 км. Вычислить скорость корабля.

Учитель: Настало время отдохнуть

(слайд 9) – физкультминутка

Практикум по подготовке к ОГЭ слайд 10-11-12

Самостоятельная работа по 2-м вариантам с последующей проверкой

Домашнее задание слайд 13

2. Подведение итогов урока.

Выставление оценок.

Рефлексия. Слайд 14

Учитель. Сегодня на этом уроке мы решали задачи на движение тела по окружности. Данные задачи встречаются в экзаменационных материалах, я думаю, что сегодняшний урок для вас не прошел даром Слайд 15

infourok.ru

Решения задач по теме: «Движение тела по окружности»

Урок №________ Дата_________ Класс_9______ Учитель Физики Османова Л.М.

Тема урока: Решения задач по теме: «Движение тела по окружности»

Цели урока: закрепить представление о криволинейном движении, основных характеристик частоты, периода, центростремительного ускорения и центростремительной силы.

Задачи урока :

Образовательные:

Повторить виды механического движения. Закрепить понятия: движение по окружности, центростремительное ускорение, период, частота.

Развивающие:

Развивать умения применять теоретические знания для решения конкретных задач, развивать культуру логического мышления, развивать интерес к предмету; познавательную деятельность при постановке и проведении эксперимента.

Воспитательные:

Формировать мировоззрение в процессе изучения физики и аргументировать свои выводы, воспитывать самостоятельность, аккуратность.

Воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку « Решение задач на тему «Движение тела по окружности», распечатка карточек с заданиями. .

Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Тип урока: повторение и обобщение знаний, умений решать задачи по теме.

Вид урока: комбинированный с элементами исследования

Ход урока

1. Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности

Учитель.

«Незнающие пусть научатся, знающие – вспомнят еще раз

II. Актуализация опорных знаний.

Физический диктант:

1. Изменение положения тела в пространстве с течением времени. (Движение)

2. Физическая векторная величина, измеряемая в метрах. (Перемещение)

3. Физическая векторная величина, характеризующая быстроту движения. (Скорость)

4. Основная единица измерения длины в физике. (Метр)

5. Физическая величина, единицами измерения которой служат год, сутки, час. (Время)

6. Длина траектории. (Путь)

7. Единицы измерения ускорения (м/с²)

(Проведение диктанта с последующей проверкой, самооценка работ учениками) Работа в паре.
Тема урока : Решения задач по теме: «Движение тела по окружности»

Учитель. Что характеризует движение тела по окружности

Опрос детей устно

Решение у доски задачи с подробным объяснением

1. Колесо делает 120 оборотов за 2 минуты. Какова частота вращения колеса и период вращения?

2. Точильный круг радиусом 10 см делает один оборот за 0,2 с. Найдите скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения.

3. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100 м. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля, если он движется со скоростью 54 км/ч?

4. Какова скорость движения автомобиля, если его колеса радиусом 30 см делают 600 оборотов в минуту?

5. Период обращения первого космического корабля — спутника Земли «Восток» равнялось 90 минут. Средняя высота спутника над Землей была равна 320 км. Радиус Земли 6400 км. Вычислить скорость корабля.

физкультминутка

Домашнее задание

2. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Рефлексия.

Вариант №1

З адача 1 C какой скоростью велосипедист проходит закругление с радиусом 25 метров, если центростремительная скорость его движения равна 4 м/с?

Задача 2 Колесо радиусом 40 см делает один оборот за 0,4 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 3 Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 4 оборота в секунду? Чему равен период вращения колеса?

Задача 4 С какой скоростью велосипедист должен проходить середину выпуклого моста радиусом 22,5 метра, чтобы его центростремительное ускорение было бы равно ускорению свободного падения?

Задача 5 Чему равно центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиус ом 50 см при частоте вращения 5 оборотов в секунду?

Вариант 2

задача1. Колесо радиусом 80 см делает один оборот за 0,8 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 2 Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равно 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек его экватора.

Задача 3 Какова скорость движения автомобиля, если его колесо радиусом 30 см делает 500 оборотов в минуту?

Задача 4 Чему равна центростремительная сила и центростремительное ускорение, действующие на пращу массой 800 г, вращающуюся на веревке длиной 60 сантиметров равномерно со скоростью 2 м/с?

Задача 5 Период обращения космического корабля вокруг Земли равен 90 минутам. Высота подъема корабля над поверхностью Земли составляет 300 км, радиус Земли равен 6400 км. Определить скорость корабля.

9кл.Самостоятельная работа по теме : «Движение тела по окружности»

Вариант№1

Задача 1 C какой скоростью велосипедист проходит закругление с радиусом 25 метров, если центростремительная скорость его движения равна 4 м/с?

Задача 2 Колесо радиусом 40 см делает один оборот за 0,4 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 3 Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 4 оборота в секунду? Чему равен период вращения колеса?

Задача 4 С какой скоростью велосипедист должен проходить середину выпуклого моста радиусом 22,5 метра, чтобы его центростремительное ускорение было бы равно ускорению свободного падения?

Задача 5 Чему равно центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 50 см при частоте вращения 5 оборотов в секунду?

9 кл. Самостоятельная работа по теме : «Движение тела по окружности»

Вариант№2

задача1. Колесо радиусом 80 см делает один оборот за 0,8 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 2 Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равно 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек его экватора.

Задача 3 Какова скорость движения автомобиля, если его колесо радиусом 30 см делает 500 оборотов в минуту?

Задача 4 Чему равна центростремительная сила и центростремительное ускорение, действующие на пращу массой 800 г, вращающуюся на веревке длиной 60 сантиметров равномерно со скоростью 2 м/с?

Задача 5 Период обращения космического корабля вокруг Земли равен 90 минутам. Высота подъема корабля над поверхностью Земли составляет 300 км, радиус Земли равен 6400 км. Определить скорость корабля.

infourok.ru

Задачи на движение по окружности

Анализ статистических данных результатов проведения ЕГЭ говорит о том, что процент решения заданий, содержащих текстовые задачи, из года в год составляет порядка 30%. Такие сведения позволяют сделать вывод, что большинство учащихся школ не владеют в полной мере техникой решения текстовых задач. За нетрадиционной формулировкой ученики с трудом распознают типовые задания, которые были хорошо изучены и отработаны на уроках математики в школе. По этой причине возникла необходимость более глубоко изучить этот раздел элементарной математики.

Остановимся на решении текстовых задач на движение по окружности.

Задача 1.

Двигаясь по окружности в одном направлении, две точки встречаются каждые 12 минут. Так же известно, что первая точка обходит всю окружности на 10 секунд быстрее, чем вторая. Определить, сколько времени потребуется второй точке, чтобы обойти всю окружность.

Решение.

Введем некоторые обозначения. Пусть точка А – место встречи двух точек, которые движутся по окружности со скоростями х м/с и у м/с соответственно. Длина окружности равна р м (рис. 1).

Можно сказать, что время, за которое первая точка обойдет один раз всю окружность будет равна р/x секунд, а время, необходимое второй точке для полного оборота – р/y с. В этом случае можно составить первое уравнение: р/y – р/x = 10.

Первая точка за 12 минут, а это значит за 720 секунд (12 · 60 секунд = 720 секунд) проходит 720х метров, а вторая точка – 720у м. Причем первая точка за 12 минут обходит окружность на один раз больше, чем вторая. В таком случае, имеем второе уравнение: 720х – 720у = р. Можно составить систему уравнений:

{р/у – р/х = 10,
{720х – 720у = р.

Разделим обе части второго уравнения на р:

{р/у – р/х = 10,
{720х/р – 720у/р = 1.

Пусть р/х = t₁, а р/у = t₂, тогда система примет вид:

{t₂ – t₁ = 10,
{720/t₁ – 720/t₂ = 1.

Перепишем следующим образом:

{t₂ – t₁ = 10,
{720(t₂ – t₁) = t₁ t₂.

Решим методом подстановки:

{t₂ = 10 + t₁,
{720 · 10 = t₁(10 + t₁).

Из второго уравнения имеем квадратное уравнение

t₁² + 10t₁ – 7200 = 0.

Корни t₁ = -90 или t₁ = 80.

По смыслу задачи t₁ = 80 секунд, тогда t₂ = 10 + 80 = 90 секунд.

Ответ: 90 секунд.

Задача 2.

На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 10 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.

Решение. 

Обозначим длину окружности р м, а скорости первого и второго тел за х м/с и у м/с соответственно. Кроме того, будем считать, что x > y (рис. 2).

Пусть t секунд – время, за которое тела прошли путь от точки А до пункта их встречи – точки В, тогда (хt) метров и (уt) метров – расстояние, которое прошло первое и второе тела от точки А до точки В соответственно. С другой стороны, (9х) метров и (16у) метров – это расстояние, которые прошли тела от В до А уже после встречи, то есть хt = 16y и yt = 9х.

Имеем: t = 16у/х и t = 9х/у,

значит, 16у/х = 9х/у или 16у² = 9х².

Извлечем корень из обеих частей равенства,

получим: 4х = 3у, х = 4у/3.

Так как, путь, пройденный первым телом до встречи, на 10 метров больше, чем путь, пройденный вторым телом до встречи, то 16у – 9х = 10.

Зная зависимость х = 4у/3, имеем:

16у – 9 · 4у/3 = 10;

16у – 12у = 10;

4у = 10;

у = 2,5.

Тогда х = 4/3 · 2,5 = 10/3.

Найдем длину окружности:

р = 16у + 9х = 16 · 2,5 + 9 · 10/3 = 8 · 5 + 3 · 10 = 40 + 30 = 70 (метров).

Ответ: 70 метров.

Чтобы научится успешно решать текстовые задачи, нужно постоянно практиковаться. Занимаясь несколько часов в неделю можно легко освоить основные методы решения текстовых задач. 

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на движение?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Движение по окружности, олимпиадная подготовка. 9 класс.

В этой статье представлены задачи на движение по кругу. Задачи предназначены для подготовки к олимпиадам по физике для ребят 9 класса.

Задача 1. Направление вращения Земли вокруг своей оси совпадает с направлением ее вращения вокруг Солнца. Каким было бы число дней в году , если бы Земля вращалась вокруг Солнца в противоположном направлении? Ответ дать в сутках, округлив до целых. Считать, что сейчас год длится ровно дней.

Решение.

Пусть центр Земли вращается с периодом вокруг Солнца год). Рассмотрим точку на экваторе Земли, которая в свою очередь вращается вокруг земной оси с угловой скоростью . Назовем земными сутками интервал времени между двумя последовательными положениями Солнца, например, в зените.

Если направления вращения не совпадают, то за сутки точке надо совершить поворот на угол, меньший, чем . Угол, на который сместилась Земля относительно Солнца, будет равен . В этом случае длительность суток будет

Аналогично в случае вращения в ту же сторону точке надо будет совершать за сутки (другой длительности, более длинные) полный оборот на и небольшой дополнительный поворот на угол, на который сместилась Земля относительно Солнца В этом случае длительность суток будет

Если разделить одно уравнение на другое, получим

, то есть число дней в «длинном» году станет 367.

Ответ: 367 суток.

Задача 2. Скорость точки вращающегося диска равна см/с, а скорость точки , находящейся на см ближе к оси диска, равна см/с. Определите период вращения диска. Ответ дать в секундах. Округлить до сотых.

Решение.

Обозначим расстояние от оси до точки за . Тогда можно записать линейные скорости точек через угловую скорость и радиусы:

и

Вычитая, получим . Подставив период , получаем

Ответ: 6,28 с.

Задача 3. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной м, в вертикальной плоскости с частотой Гц. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вертикально вверх? Ответ дать в метрах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения м/c.

Решение.

Скорость камня в момент отрыва найдем по формуле

Высоту подъема тела определим из выражения

Учитывая, что в верхней точке подъема камня получаем

Ответ: 4,4 м.

Задача 4. Вентилятор вращается с частотой об/мин. После выключения вращение происходит равнозамедленно, причём вентилятор делает до остановки оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки? Ответ дать в секундах, округлив до целых.

Решение.

Найдем среднюю частоту вращения. С одной стороны,

Но с другой ( – начальная скорость, – конечная скорость)

так как движение равнозамедленное, а частота линейно связана с угловой скоростью. Приравнивая уравнения и выражая , получим, что

Ответ: 10 с.

Задача 5. Три самолета выполняют разворот в горизонтальной плоскости» двигаясь равномерно по концентрическим окружностям на расстоянии м друг от друга. Ближайший к центру виража самолет движется по окружности м. Средний самолет движется со скоростью км/ч. Найти ускорение самолета, летящего по внешней траектории. Ответ дать в м/c, округлив до целых.

Решение.

Угловая скорость среднего самолета равна

Но угловая скорость всех самолетов одинакова, так как они движутся по концентрическим окружностям на одинаковых расстояниях друг от друга. Ускорение внешнего самолета можно найти через угловую скорость и радиус его траектории

Ответ: 15 м/c.

easy-physic.ru

Движение по окружности. 9 класс. Презентация.

Просмотр содержимого документа
«Движение по окружности. 9 класс. Презентация.»

Движение тела по окружности

Физика.

9 класс.

Равномерное движение по окружности

• Криволинейное движение с постоянной по модулю скоростью;
• Вектор скорости

при движении тела

по окружности направлен

по касательной к окружности.

v

v

v

v

R

Равномерное движение по окружности

• Движение с ускорением , т.к. скорость меняет направление.
• Ускорение при движении по окружности, которое направлено вдоль радиуса окружности к центру окружности, называется центростремительным
• При движении по окружности с постоянной скоростью ускорение по модулю имеет одно и то же значение.

а

v

Период и частота

• Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.
• Единица измерения периода — секунда

• Частота вращения n – число полных оборотов в единицу времени.
• Единица измерения частоты

[n ] = с -1 = Гц.

Угловая скорость

• Угловая скорость (циклическая частота)- число оборотов за единицу времени выраженное в радианах.



Кинематика движения по окружности

• Линейная скорость

• Угловая скорость

Центростремительная сила

• Сила, удерживающая вращающееся тело на окружности и направленная к центру вращения, называется центростремительной силой.

Величина

Определение

Период

Частота

Формулы связи

T=t/N

Единица измерения

Линейная скорость

n= N/t

T= 2  R/v

Угловая

Особенности

с

n= 1 / Т

T=1/n

скорость

 =  /t

Центростремительное ускорение

v=2  R/T

с -1

Меньше для больших скоростей

a=v 2 /R

 =2  /T

Обороты в секунду

v=  R

a=4  2 R/T 2

рад/с

Увеличивается с возрастанием частоты

м/с

Угол поворота

м/с 2

за 1 секунду

Больше при малых R и при больших v

Задача №1

• Автомобиль движется по закруглению дороги, радиус которой равен 20 м. Определите скорость автомобиля, если центростремительное ускорение равно 5 м/с 2 .

Задача №2

• Линейная скорость конца минутной стрелки Кремлевских курантов равна 6 мм/с. Определите длину минутной стрелки.

Найти : l-?

Решение :

длина минутной стрелки — это радиус окружности, которую

описывает эта стрелка при своем движении l=R

один оборот стрелка делает за время t=T=1ч=3600с

Ответ: 3,44 м

Задача №3

• Во сколько раз линейная скорость точки обода колеса радиусом 8 см больше линейной скорости точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения колеса?

• линейная скорость точки обода колеса радиусом 8 см в 1,6 раза больше точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения.
• Ответ : в 1,6 раза.

Задача №4

t=2мин=120с

N=2400

r=10см=0,01м

__________

n- ? Т-? V-?

Решение:

Ответ :  20 с 1 ; ≈0,05 с; 12,6 м/с.

• Вентилятор вращается с постоянной скоростью и за две минуты совершает 2400 оборотов. Определите частоту вращения вентилятора, период обращения и линейную скорость точки, расположенной на краю лопасти вентилятора на расстоянии 10 см от оси вращения.

Задача №5

•   Велосипедист ехал со скоростью 25,2 км/ч. Сколько оборотов совершило колесо диаметром 70 см за 10 мин?
• Ответ : 1910

• Решение: количество оборотов колеса находим как отношение расстояния, которое проехал велосипедист за 10 минут, к длине окружности колеса :

Самостоятельная работа

1 вариант

2 вариант

• С каким периодом должна вращаться карусель радиусом 6,4 м для того, чтобы центростремительное ускорение человека на карусели было равно 10 м/с 2 ?

• Частота обращения карусели 0,05 с -1 . Человек, вращающийся на карусели, находится на расстоянии 4 м от оси вращения. Определите центростремительное ускорение человека, период обращения и угловую скорость карусели.

• На арене цирка лошадь скачет с такой скоростью, что за 1 минуту обегает 2 круга. Радиус арены равен 6,5 м. Определите период и частоту вращения, скорость и центростремительное ускорение.

• Точка обода колеса велосипеда совершает один оборот за 2 с. Радиус колеса 35 см. Чему равно центростремительное ускорение точки обода колеса?

Использованные источники

• Сборник задач по физике 7-9, Лукашик В.И., Иванова Е.В..
• (задачи №161,162,163,165,167)

multiurok.ru

область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

Слишком сложно?

Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Нахождение свойств функции по её графику

Анализ урока в соответствии с ФГОС

Учитель: Улубиевой Нины Майрбековны

Предмет: математика
Класс: 9

Тема урока: Нахождение свойств функции по графику.

Тип урока: Урок усвоения новых знаний ( УУНЗ)

Цель урока: систематизировать и обобщить знания о свойствах функции. Способствовать выработке навыков и умений в прочтении графиков функций. Научить определять основные свойства функции, заданной графически.

Задачи: Образовательная — создать условия для: обобщения и систематизации знаний по выявлению основных свойств функции. Используя активные методы обучения, научить учащихся находить свойства функции по графику.

Развивающая — формирования умений логически обосновывать суждения. Ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи. Использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) .

Воспитательная – воспитание уверенности, внимания

Актуальность:

— задания по данной теме встречаются в ГИА по математике в 9 классе и в ЕГЭ — 11 класса;

— чтение графиков функций имеет большое практическое значение

Планируемые образовательные результаты:

• Личностные: осознание цели деятельности (ожидаемый результат), анализ и оценивание полученного результата; оценка своих возможностей; положительное отношение к учению, к познавательной деятельности, желание совершенствовать имеющиеся знания и умения;

• Регулятивные: принимать учебную задачу; целеполагание; планировать (в сотрудничестве с учителем и одноклассниками или самостоятельно) необходимые действия, операции, действовать по плану; контролировать процесс и результаты деятельности, вносить необходимые коррективы; адекватно оценивать свои достижения.

• Познавательные: осознавать познавательную задачу; читать и слушать, извлекая нужную информацию, понимать информацию; осуществлять для решения учебных задач мыслительные операции; устанавливать причинно-следственные связи, делать выводы.

• Коммуникативные: вступать в учебный диалог с учителем, одноклассниками, участвовать в общей беседе, соблюдая правила речевого поведения; задавать вопросы, слушать и отвечать на вопросы других, формулировать собственные

Используемые на уроке средства и ИКТ:

2.Результативность решения дидактической задачи

5

5

Содержание урока

Соответствие основного содержания содержанию программы и учебника

5

Методы обучения

Соответствие приёмов обучения (методов обучения) решению триединой образовательной цели.

5

Формы обучения

1.Соотвествие форм обучения (фронтальная, групповая, индивидуальная, коллективная) решению основной дидактической задачи урока.

2.Целесообразность предложенных заданий.

4

5

Результативность урока

Достижение цели и решение основной дидактической задачи урока.

5

Практическая направленность урока

Практическая направленность вопросов, упражнений и задач, предлагаемых для выполнения обучающимся.

5

Самостоятельная работа школьников как форма организации учебной деятельности.

1.уровень самостоятельности школьников при решении дидактической задачи урока.

2.Характер самостоятельной учебной деятельности (репродуктивный, творческий).

3.Взаимопомощь.

4

5

5

Формирование универсальных учебных действий на каждом этапе урока

Личностные, познавательные, коммуникативные, регулятивные.

5

Формирование ИКТ компетентности

Применение ИКТ на уроке, уровень сформированности ИКТ компетентности учащихся

5

Структура урока

Соотвествие структуры урока основной дидактической задаче

5

Педагогический стиль

Соблюдение норм педагогической этики.

5

Использование современных образовательных технологий в процессе обучения преподаваемого предмета

Цель применения образовательной технологии

Формируемые компетентности

Эффекты, результативности использования образовательной технологии

5

5

5

Применение здоровьесберегающих технологий.

Использование здоровьесберегающих технологий, методик и приёмов оздоровления детей.

4

ИТОГО

95

Директор школы _______________________ /Тилибова Ж.Ш.

Зачет по алгебре и началам анализа по теме «Функция и её свойства», 10-й класс

Цели:

1. Проверить знания о свойствах функции, знание всех определений.
2. Уметь по графику определять свойства функций.
3. Уметь, используя свойства функций, строить схематически её график.
4. Показать умение работать в коллективе.
5. Показать смекалку, сообразительность, быстроту мышления.

Виды работ:

I. Диктант (на знание определений) — 25′

II. Лабораторно-практическая работа (исследование функции по графику) — 20′

III. Письменная работа — 25′ “Построить схематически график функции с предварительным исследованием по схеме”.

IV. Урок-соревнование —  45′

Ход зачёта

I. Оборудование зачёта:

1. Проектор, экран.
2. Индивидуальные карточки для лабораторно – практической работы.
3. Модель координатной плоскости с индивидуальными заданиями.
4. Графики, выполненные на компьютере и проецируемые на доску с помощью проектора.

II. Диктант. (25′)

1. Дайте определение числовой функции.
2. Что такое аргумент функции?
3. Что называется областью определения функции?
4. Что такое область значения функции?
5. Что называется графиком функции?
6. Какие преобразования графиков функций вы знаете? Перечислите.
7. Дайте определение чётной функции.
8. Какая функция называется нечётной?
9. Назовите особенность графика чётной функции.
10. Какова особенность графика нечётной функции?
11. Какая функция называется периодической?
12. Какая функция называется возрастающей на множестве Р?
13. Какая функция называется убывающей на множестве Р?
14. Какая точка называется точкой минимума функции?
15. Какая точка называется точкой максимума функции?
16. Как называются точки max и min?

III. Лабораторно-практическая работа. — (20′)

Каждому учащемуся выдаётся индивидуальная карточка и листок бумаги для ответов. Карточки 8 вариантов (Приложение №1).

IV. Письменная работа.

Задание: “Построить схематически эскиз графика заданной функции, предварительно исследовав её по общей схеме”.

Карточки трёх видов

V. Урок-соревнование по теме “Функция”

Цели:

1. Обобщить полученные знания по свойствам функции.
2. Уметь определять по графику все свойства функции.
3. Знать определения свойств функции.
4. Уметь работать коллективно, уважая друг друга.

Класс разбит на две команды. Все задания подготовлены на доске. За каждый правильный ответ команда получает жетон.

Ход урока

I. Устные упражнения.

1. Найдите область определения функции:

а) f (x) = 1/x	б) g (x) = v
в) h (x) = 1/	г) f (x) =

2. Найдите нули функции:

а) y = 3x + 1

б) y = x? — 9

3. Пусть f (x) = x + 1/x

Сравните

f (3) и f (-3)

f (-5) и -f (5)

4. Найдите множество значений функции:

у = x? — 2

f (x) = cos x

5. Пусть f (3) = -5; f (-4) = 3;

Найдите f (-3) и f (4), если

а) f (x) – чётная

б) f (x) – нечётная

в) f (x) – периодическая, с периодом Т = 2.

Какое значение функция y = sin x принимает на [?; 2?] ровно один раз.

II. На рисунке изображена часть графика функции с областью определения [-3; 3]. Постройте график функции, если известно, что она а) чётная б) нечётная

 

Ответы: Приложение №2

Учащиеся выполняют это задание в парах на отдельных листочках и сдают учителю.

III. На рисунке даны 4 графика функции и записаны 4 формулы.

1.	2.

3.	4.

2)^{y =2 – x}

3) y = x² + 4x + 3

4) y = |x – 1|

Вопросы:

1. Какой формулой задаётся каждый из графиков?
2. Как называется каждый из графиков?
3. Назовите области определения и области значения этих графиков.
4. Какие из этих графиков являются чётными, а какие нечётными?

Команды дают устные ответы в порядке поднятия руки.

IV. Даны графики функций: (проецируются на экран)

а) y = cos x

Постройте график функции y = cos x – 1

б) y = sin x

Постройте график функции y = sin x + 1

Команды выполняют данные задания на месте и отвечают на вопрос “Какой вид преобразования функции здесь используется?”

Листки с выполненными заданиями сдаются учителю.

V. Проявите смекалку.

Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций, можно обратиться к пословицам, ведь пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

На доске написаны пословицы:

1. “Чем дальше в лес, тем больше дров”.
2. “Выше меры конь не скачет”.
3. “На пол упало, на половину пропало”.

Изобразите пословицы при помощи графика. Как вы её понимаете?

Ответы: Приложение №3.

Команды на листках выполняют задания и сдают их учителю.

VI. Отгадайте загадки и шараду.

1. Загадка. О какой кривой идёт речь?

Как утомительны вечные спуски,
Как утомительны вечные взлёты!…
В каждой ложбинке,
На каждой вершине –
Тщетна надежда – мечта о привале,
Об остановке и передышке. (синусоида)

2. Загадка. Какое свойство функции описывается в стихотворении?

“У попа была собака, он её любил.
Она съела кусок мяса, он её убил.
В землю закопал, надпись написал
…………………………………… ” (периодичность)

3. Шарада. Угадай функцию.

Привычное слово кудлатой наседки
Поставьте на первое место.
На месте втором, посмотрите-ка – нота,
Важна для любого оркестра.
На третьем – одна одинокая буква
Пятнадцатая в алфавите.
Один из волос на мордашке котёнка
На месте четвёртом прочтите. (косинус)

VII. Отгадайте кроссворд по теме “Функция”.

(Кроссворд прилагается) Приложение №4.

Кроссворд и вопросы к нему получают обе команды. Отгадывают командой.

VIII. Составьте существительные из слова “тригонометрическая”.

Лучше всех задание выполнили:

Ларионова Д. – 64 слова

Никонов Е. – 57 слов

Бандеров С. – 54 слова

Дурнева М. – 52 слова

Итоги урока.

Оценки выставляют каждому всей командой по % участию каждого в выполнении заданий.

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.

Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола.

Подробнее

Тема 1.4 Функции, их свойства и графики

Тема.4 Функции, их свойства и графики Автор: Переверзьева Н.С. Преподаватель математики Лицей 6 Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы

Подробнее

Тема 9 «Функция. Свойства функций»

Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

4 Лекция Функция

Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ. ..10 Основные свойства функций…11 Четность и нечетность…11 Периодичность…12 Нули функции…12 Монотонность (возрастание, убывание)…13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

Тема: Понятие функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Алгебра. Программа. 9 класс

Алгебра. Программа. 9 класс Пояснительная записка. Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: овладение системой математических знаний и умений,

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Математическая индустрия моды

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» прикладные вопросы математики Математическая индустрия

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Задание 18. Задачи с параметром

Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Определение 1. Функция y = ax + bx + c, где a, b, c — действительные числа, причем a 0, называется квадратичной.

1) Область определения. ( f ) R.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК Определение. Функция, где,, — действительные числа, причем 0, называется квадратичной. Область определения. ( f R, так как выражение определено для любых. Область значений.

Подробнее

1 Степень с целым показателем

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3

Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

6 Общая схема исследования функции

5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим

Подробнее

Пусть задано числовое множество D

Пусть задано числовое множество D R. Если каждому числу x D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x D. Множество D, называется

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке.

wwwaleeiivanovcom ДЗ Функции ТЕСТ 0 Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке ) G(-), C(-), K(-), A(4), J(0), M() ) G(-5), C(-6), K(-), A(9), J(0), M(5) ) G(-9), C(-5), K(-4),

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Математический анализ

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

«Чтение свойств функции по графику функции»

Конденко Любовь Николаевна

Учитель высшей квалификационной категории

Средней школы № 1 г. Елабуга

ТЕМА: «ЧТЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ПО ГРАФИКУ ФУНКЦИИ»

“График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать”

М.Б. Балк

Цели:

• Образовательные

Продолжить формирование у учащихся понятия, что функция- математическая модель, позволяющая описывать изучать разнообразные зависимости между реальными величинами. Обобщить и систематизировать систему функциональных понятий (функция, значение функции, график, аргумент, область определения и область значений функции, возрастание, убывание, монотонность, сохранение знака). Формирование свободного чтения графиков, формирование умений отражать свойства функций на графике.

Развитие всех познавательных процессов, в частности функционального стиля мышления. Развитие графической культуры.

• Воспитательные

Вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке. Воспитывать гордость за учёных, инженеров, конструкторов, создавших теорию графиков, применивших теорию к практической деятельности .Осуществлять профессиональную ориентацию учащихся.

1.Актуализация знаний

 

2. Формирование умений , навыков.

Функция – одно из основных математических общенаучных понятий, зависимость между переменными величинами. Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает различные законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи. Например, в соотношении у = х² геодезист или геометр увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы у сопротивления воздуха или воды от скорости х движения. Математика же изучает эту зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение х в 2 раза приведет к увеличению у в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации. В школьном курсе изучается немало функций.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они еще не умели считать , но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя не будет голодать; чем сильнее натянуть тетиву лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее в пещере.

Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира .Идея функциональной зависимости присутствует уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами.

Функция является одним из основных понятий математики, в частности математического анализа, так как математические модели реальных ситуаций, изучаемые на протяжении всего курса алгебра, напрямую связаны с функциями.

В технике и физике часто пользуются именно графическим способом задания функции. Более того , по- мере развития математики все активнее проникает графический метод в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике.

 

Задание № 1.

 

Само слово «функция» (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 году в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». В восемнадцатом веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего восемнадцатого века.

Как видно из представленных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

 

Графиком функции — называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.

График функции у =f(x)) строиться по точкам; чем больше точек вида (х;f(Х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график нужно изобразить в виде сплошной линии.

Находясь на выставке картин, мы рассматриваем произведения искусств и обращаем внимание на то, сумел ли художник предать глубину, завершенность образного содержания. Картина является итогом длительных наблюдений и размышлений художника над жизнью. График функции это своего рода «портрет» функции. Чтобы научиться видеть и создавать такие картины необходимо знать основные математические функции и их свойства.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения.

По графику можно прочитать многие свойства функции, можно решать неравенства и уравнения.

 

Читая ,график функции мы можем делать выводы об :

• Области определения

• Области значений

• Нулях функции

• Знакопостоянстве

• Монотонности

• Четности

• Периодичности

• Экстремумах

• Ограниченности

• Непрерывности

Выполним задание:

 

 

Множество всех значений независимой переменной, которые она может принимать называют областью определения функции.

Если известен график функции, то область ее определения найти нетрудно. Для этого достаточно спроецировать график на ось абсцисс. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси абсцисс в результате указанного проецирования, и будет представлять собой область определения функции.

Ответ: (-9;9]

Выполним задание:

 

 

Множество всех значений зависимой переменной называют областью значений функции.

Если известен график функции, то область значений найти сравнительно нетрудно. Для этого достаточно спроецировать график на ось ординат. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси ординат в результате указанного проецирования, и будет представлять собой область значений функции.

Ответ: [-4;6).

Выполним задание:

 

 

Функция у равное f(х) достигает на промежутке Х своего наибольшего значения, если существует такая точка х₀ Î Х, что для всех х Î Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Из рисунка видим, что при х =-3, f(-3)=3 и это значение больше других значений функции.

Ответ: 3.

 

 

 

На практике удобнее пользоваться следующей формулировкой: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Или используя геометрическое истолкование понятий возрастания: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в гору.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Или используя геометрическое истолкование понятий убывания: двигаясь по графику убывающей функции слева направо, мы как бы спускаемся в горы.

Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

Выполним задание:

Найти промежутки монотонности функции у=f (x), заданной графиком.

Для определения промежутков монотонности будем использовать геометрическое истолкование : двигаясь по графику убывающей функции слева направо, мы как бы спускаемся в горы ,а двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в гору.

 

Функция возрастает на промежутках [-5;-2) и на (-2; 1]

Функция у=f(x ) убывает на промежутках (-9;- 5] и на [1; 9].

На слайде 13 представлено задание из единого государственного экзамена: На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающей на промежутке [-1;2].

 

Функцию y=f(x) называют периодической с периодом Т, Т≠0, если для любого х из области определения функции выполняются равенства f(x-T) = f(x)= =f(x+T).

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называется периодом функции y= f (x).

Если функция у=f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить часть графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту часть по оси Ох вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и так далее.

Обычно стараются, если это возможно, выделить наименьший положительный период, его и называют основным периодом.

Задание 1.

Функция у =f (x), имеющая период Т = 4 задана графиком на промежутке [-1; 3]. Найдите значение этой функции при х = 10.

Задание2.

Функция у=f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при -3≤х≤1. Найдите значение выражения f(-6)∙f(-3)∙f(13).

Выполнить эти задания можно двумя способами.

1 способ:

Используя определение периодической функции достраиваем график функции с учетом периода вдоль оси абсцисс. Затем по графику находим значение функции для указанных значений аргументов.

2 способ:

Используя равенство f(x-T)= f(x)= f(x+T).

Решение можно посмотреть в презентации на слайдах 15, 16.

Определение четной и нечетной функции.

Функция y= f(x) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения х, из области определения верно равенство f(-х)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

На слайде приведены примеры четных функций и примеры симметрии относительно прямой.

Функция y=f(x) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения х из области определения верно равенство f(-х)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

На слайде приведен пример симметрии относительно точки и на следующем слайде примеры графиков нечетных функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. На графиках показана симметрия точек графика относительно начала координат. (Слайды 17-19).

На 20 слайде предложено задание:

Укажите график четной функции. (Решение можно посмотреть на слайде 20).

Определение промежутков знакопостоянства.

Решите неравенство f(x)≥0, если на рисунке изображен график функции у=f(x).

Решите неравенство f(x)≤0, если на рисунке изображен график функции у=f(x).

 

Другими словами нужно найти промежутки знакопостоянства функции у равное f(x).Функция принимает значение, равное нулю в тех точках, в которых график функции пересекает ось абсцисс. Функция принимает отрицательные значения на множестве тех значений аргумента, которым соответствуют части графика, расположенные ниже оси абсцисс, то есть f(x) меньше или равно нулю. Функция принимает положительные значения на множестве тех значений аргумента, которым соответствуют части графика, расположенные выше оси абсцисс, те есть f(x) больше или равно нуля.

f(x) ≥0 на промежутках хÎ (-9;-7,2]U(-1,8;5,8]

f(x)≤0 на промежутках хÎ [7,2;-1,8)U[5,8;9,2].

«Свойства функции » 10 класс

Раздел долгосрочного плана: 10. 1А Функция, ее свойства и график				Школа: НИШ ХБН г. Усть-Каменогорск
Дата:				Имя учителя: Тюлюбергенев РК
Класс: 10				Количество присутствующих:	Количество отсутствующих:
Тема урока		Свойства функции (1 урок)
Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)		10.4.1.4 уметь описывать по заданному графику функции её свойства: 1) область определения функции; 2) область значений функции; 3) нули функции; 4) периодичность функции; 5) промежутки монотонности функции; 6) промежутки знакопостоянства функции;
Цели урока		Учащиеся повторят и систематизируют материал по свойствам функции
Критерии оценивания		Учащийся: 1) По графику функции верно находит область определения функции; 2) По графику функции верно находит область значений функции; 3) По графику функции верно находит нули функции; 4) Верно указывает период функции; 5) Верно указывает промежутки монотонности функции; 6) Верно указывает промежутки знакопостоянства функции.
Языковые цели		Учащиеся будут Предметная лексика и терминология: — область определения/значения — периодичность — четность/нечетность
Привитие ценностей		Умение учиться, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.
Межпредметные связи		Графики широко используются в физике, химии и биологии для описания различных реальных процессов.
Навыки использования ИКТ		Использование интерактивной доски в качестве демонстрационного средства и средства записи. Программа Geogebra
Первоначальные знания		Учащиеся рассмотрели графики различных элементарных функций, изучили свойства функции
Ход урока
Этапы урока	Запланированная деятельность на уроке					Ресурсы
Первый урок Начало (5 минут)	Постановка целей урока. (Стартер) Прежде чем сказать тему урока, посмотрите на слайд (слайд 1). И скажите, какой математический термин объединяет всё, что вы видите на этом слайде?					Презентация Слайды 1 –4
Середина урока (5 минут) (10 минут) (12 минут) (10 минут)	Закрепление раннее изученного материала. Фронтальная работа Совместно с учителем повторяют свойства функции. Область определения и область значения функции. Нули функции. Парная работа. Учащиеся самостоятельно выполняют задание с последующей взаимопроверкой в парах. Приходят к единому мнению по спорным вопросам. При необходимости получают консультацию учителя. Необходимо выполнить задание №1. По данным рисункам определите: а) область определения функции; б) область значений функции; в) нули функции; г) промежутки знакопостоянства функции. 1 а) б) в) 2 а) б) в) 3 а) б) в) Монотонность функции. Групповая работа. Объедините учащихся в группы. Предложите карточки с графиками нескольких функций для закрепления понятия монотонности на промежутке. Попросите учащихся определить промежутки возрастания, убывания и постоянства функции. Является ли функция непрерывной? 1. Определите промежутки возрастания, убывания и постоянства функции. Является ли функция непрерывной? 2 . Сделайте вывод о монотонности функции на промежутке 3. Закончите утверждения, установив соответствия: 1 Если убывает на промежутке I и убывает на промежутке I, то А) возрастает на промежутке I 2 Если возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение В) убывает на промежутке I 3 Если возрастает на промежутке I, а убывает на промежутке I , то функция С) имеет на I не более одного корня Ответ: 1-В, 2-С, 3-А Период функции. При объяснении материала рассмотреть различные виды периодических функций и их свойства. Например, функцию y = С, где С-const, периодом которой является любое число T ≠ 0 и функцию дробной части числа , где периодом будет T =1. Индивидуальная работа. Предложите выполнить следующее задание. 1. Функция, имеющая период Т = 4 задана графиком на промежутке (-3;1]. Найдите значение этой функции при х = 11. Проверку решения можно осуществить через взаимооценивания. Ученики обмениваются тетрадями.					Презентация Слайды 5 –9 https://videouroki.net/blog/matematika/ Приложение1
Конец урока 3 мин	Рефлексия Подведение итогов. Учащийся закрашивают человечка, который соответствует его положению в данной теме. По желанию некоторые могут прокоментировать.					Приложение 2 Слайд 15
Дополнительная информация
Дифференциация – как Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?		Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащихся?	Межпредметные связи Здоровье и безопасность Связи с ИКТ Связи с ценностями (воспитательный элемент)
Индивидуальная консультация со стороны учителя. Более сильные ученики возьмут на себя роль лидера		Формативное оценивание проводится через наблюдение работ учащихся и использование диалога.	Ценности: У них будет возможность для диалога, и с учителем и с сверстниками, развивая коммуникативные способности. Возможность сотрудничать при решении задач Весь урок проходит в активной деятельности учащихся
Рефлексия Были ли реализованы цели урока/Ожидаемые результаты реалистичными? Чему сегодня научились учащиеся? Какова была атмосфера в классе? Сработала ли дифференциация? На все ли хватило времени? Какие изменения были внесены в план и почему?	Используйте данный раздел для рефлексии урока. Ответьте на вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
Общая оценка Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об изучении)? 1: 2: Какие две вещи могли бы улучшить урок (подумайте как о преподавании, так и об изучении)? 1: 2: Что я узнал (а) за время урока о классе или отдельных учениках такого, что поможет мне подготовиться к следующему уроку?

Свойства функции распределения, график

Свойства функции распределения

Вначале напомним определение функции распределения вероятностей.

Определение 1

Функцией распределения называется функция $F(x)$ удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X

Введем свойства функции распределения:

1. Функция распределения является неубывающей функцией.

Доказательство: очевидно, что для любых событий $x_1 \[F\left(x_1\right)=P\left(Xч. т. д.

2. Существуют пределы ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F(x)\ }$ и ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } F(x)\ }$, причем выполняются равенства:

Доказательство: Существование данных пределов следует из непрерывности и ограниченности функции $F(x)$. Докажем сначала, что:

Рисунок 1.

Рассмотрим убывающую последовательность событий $A_n=(X

Лемма 1: Дана убывающая последовательность вложенных друг друга множеств ${\dots \subseteq A_n\subseteq A_{n-1}\subseteq \dots \subseteq A}_3\subseteq A_2\subseteq A_1$ удовлетворяющая условиям $A={\cap A}_n$ и $\mu \left(A_n\right)

Используя лемму 1, получим

Докажем теперь, что:

Рисунок 2.

Рассмотрим убывающую последовательность событий $B_n=(X\ge n)$, такую что$B_{n+1}=(X\ge (n+1))\subseteq B_n=(X\ge n)$ для всех $n\ge 1$. Очевидно, что пересечение всех событий $B_n$ $B={\cap B}_n=\emptyset $. Поэтому, по лемме 1, получим

ч. т. д.

3. $F(x)$ непрерывна слева любой точке, то есть:

Рисунок 3.

Доказательство. Существование предела следует из непрерывности и ограниченности функции $F(x)$. Рассмотрим следующую разность $F\left(x_0\right)-F\left(x_0-\frac{1}{n}\right)$. Очевидно, что

Следовательно, $F\left(x_0\right)-F\left(x_0-\frac{1}{n}\right)\to 0$. То есть:

Рисунок 4.

ч. т. д.

4. Для любых $x_0$ выполняется равенство: $F\left(x_0+0\right)-F\left(x_0\right)=P({X=x}_0)$.

Это свойство очевидно.

5. Для любых $X$ выполняется равенство: $P\left(a\le X

Доказательство. Очевидно, что $\left(X \[F\left(a\right)+P\left(a\le Xч. т. д.

Примечание 1

Если функция непрерывна во всех точках справа, то$P\left(a\le X\le b\right)=P\left(a

График функции распределения вероятностей

1. Пусть случайная величина $X$ является дискретной. Тогда график функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой ступенчатую функцию, скачки которой происходят в точках возможных значений случайной величины (рис. 1).

1. Пусть случайная величина $X$ теперь является непрерывной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 2).

1. Пусть случайная величина $X$ является смешанной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (имеет скачки в отдельных точках) (рис. 3).

Рисунок 7. Функция распределения смешанной случайной величины

Примеры задач с использованием понятия функции распределения

Пример 1

Приведен ряд распределений появления события $A$ в трех опытах

Рисунок 8.

Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.

Решение.

При $x\le 1$, $F\left(x\right)=0$;

При $1

При $2

При $x>3$, $F\left(x\right)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$;

Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей:

Рисунок 9.

Пример 2

Случайная величина задана следующей функцией распределения:

Рисунок 10.

Найти вероятность, что величина $X$ будет принадлежать интервалу $\left(\frac{7}{6};;1,2\right)$.

Решение. Нам необходимо найти значение $P\left(\frac{7}{6} \[P\left(\frac{7}{6}\le XОтвет: 0,1.

Графики полиномиальных функций — Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Распознавать характеристики графиков полиномиальных функций.
• Используйте факторизацию, чтобы найти нули полиномиальных функций.
• Определите нули и их кратности.
• Определите конечное поведение.
• Поймите взаимосвязь между градусом и поворотными точками.
• Граф полиномиальных функций.
• Используйте теорему о промежуточном значении.

Выручка в миллионах долларов вымышленной кабельной компании с 2006 по 2013 год показана на (Рисунок) .

Год	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
Выручка	52,4	52,8	51.2	49,5	48,6	48,6	48,7	47,1

Выручку можно смоделировать с помощью полиномиальной функции

, где представляет доход в миллионах долларов и представляет год, соответствующий 2006 году. В течение каких интервалов выручка компании увеличивается? Через какие промежутки времени выручка компании снижается? На эти вопросы, как и на многие другие, можно ответить, исследуя график полиномиальной функции.Мы уже исследовали локальное поведение квадратиков, частного случая многочленов. В этом разделе мы исследуем локальное поведение многочленов в целом.

Распознавание характеристик графов полиномиальных функций

Полиномиальные функции степени 2 или более имеют графики без острых углов; Напомним, что эти типы графиков называются гладкими кривыми. Полиномиальные функции также отображают графики без разрывов. Кривые без изломов называются непрерывными.(Рисунок) показывает график, представляющий полиномиальную функцию, и график, представляющий функцию, не являющуюся полиномом.

Рисунок 1.

Распознавание полиномиальных функций

Какой из графиков на (Рисунок) представляет полиномиальную функцию?

Рисунок 2.

Все ли полиномиальные функции имеют в качестве своей области все действительные числа?

Да. Любое действительное число является допустимым вводом для полиномиальной функции.

Определение нулей и их кратностей

Графики ведут себя по-разному при разных интервалах x .Иногда график пересекает горизонтальную ось в точке пересечения. В других случаях график будет касаться горизонтальной оси и «отскочить» от нее.

Предположим, например, что мы построили график показанной функции.

Обратите внимание на (рисунок), что поведение функции на каждом из перехватов x отличается.

Рисунок 7. Идентификация поведения графика в точке пересечения с осью x путем изучения кратности нуля.

Пересечение x
является решением уравнения График проходит непосредственно через точку пересечения x при Фактор является линейным (имеет степень 1), поэтому поведение вблизи точки пересечения похоже на поведение линии — он проходит прямо через перехват.Мы называем это одиночным нулем, потому что ноль соответствует единственному множителю функции.

Перехват x — это повторное решение уравнения График касается оси в точке пересечения и меняет направление. Коэффициент квадратичный (степень 2), поэтому поведение вблизи точки пересечения похоже на поведение квадратичного элемента — он отскакивает от горизонтальной оси в точке пересечения.

Фактор повторяется, то есть факт повторяется дважды. Количество раз, когда данный фактор появляется в факторизованной форме уравнения многочлена, называется кратностью.Нуль, связанный с этим фактором, имеет кратность 2, потому что фактор встречается дважды.

Перехват x — это повторное решение фактора График проходит через ось в точке пересечения, но сначала немного выравнивается. Этот коэффициент является кубическим (степень 3), поэтому поведение вблизи точки пересечения похоже на поведение кубической точки — с той же S-образной формой возле точки пересечения, что и функция инструментария. Мы называем это тройным нулем или нулем с кратностью 3.

Для нулей с четной кратностью графики касаются или касаются оси x .Для нулей с нечетной кратностью графики пересекают или пересекают ось x . См. (Рисунок) примеры графиков полиномиальных функций с кратностью 1, 2 и 3.

Рисунок 8.

Для более высоких четных степеней, таких как 4, 6 и 8, график по-прежнему будет касаться и отскакивать от горизонтальной оси, но при каждом увеличении четной мощности график будет казаться более плоским по мере приближения и выхода из x — ось.

Для более высоких нечетных степеней, таких как 5, 7 и 9, график по-прежнему будет пересекать горизонтальную ось, но для каждого увеличения нечетной степени график будет более плоским по мере приближения и покидания оси x .

Как записаться

Дан график полиномиальной функции степени идентифицируйте нули и их кратности.

1. Если график пересекает ось x и выглядит почти линейным в точке пересечения, это единственный ноль.
2. Если график касается оси x и отскакивает от оси, это ноль с четной кратностью.
3. Если график пересекает ось x в нуле, это ноль с нечетной кратностью.
4. Сумма кратностей равна
.

Определение нулей и их кратностей

Используйте график функции степени 6 на (Рисунок), чтобы определить нули функции и их возможные кратности.

Рисунок 9. [show-answer q = ”fs-id1165135533053 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135533053 ″]

Полиномиальная функция имеет степень 6. Сумма кратностей должна быть 6.

Начиная слева, первый ноль встречается на графике, касающемся оси x , поэтому кратность нуля должна быть четной.Скорее всего, ноль имеет кратность

.

Следующий ноль находится в точке График в этой точке выглядит почти линейным. Это единственный ноль кратности 1.

Последний ноль находится на Графике пересекает ось x , поэтому кратность нуля должна быть нечетной. Мы знаем, что кратность, вероятно, равна 3, а сумма кратностей равна 6.

[/ hidden-answer]

Попробуйте

Используйте график функции степени 9 на (Рисунок), чтобы определить нули функции и их кратности.

Рисунок 10. [show-answer q = ”fs-id1165135255999 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135255999 ″]

На графике есть ноль –5 с кратностью 3, ноль -1 с кратностью 2 и ноль 3 с кратностью 4.

[/ hidden-answer]

Определение конечного поведения

Как мы уже узнали, поведение графика полиномиальной функции вида

в конечном итоге будет либо расти, либо падать по мере неограниченного увеличения
, и либо повышаться, либо падать по мере неограниченного уменьшения
.Это связано с тем, что для очень больших входных данных, скажем, 100 или 1000, главный член доминирует над размером выходных данных. То же самое верно и для очень маленьких входных данных, скажем, –100 или –1000.

Напомним, что мы называем это поведение конечным поведением функции. Как мы указывали при обсуждении квадратных уравнений, когда главный член полиномиальной функции является четной степенной функцией, неограниченно возрастающая или убывающая, неограниченно возрастающая. Когда главный член является нечетной степенной функцией, как неограниченно убывает, так и неограниченно убывает; как неограниченно возрастает, так и неограниченно увеличивается.Если ведущий член отрицательный, это изменит направление конечного поведения. (Рисунок) суммирует все четыре случая.

Рисунок 11.

Понимание взаимосвязи между степенью и поворотными моментами

Напомним, что помимо конечного поведения мы можем анализировать локальное поведение полиномиальной функции. У него может быть поворотный момент, когда график изменяется от увеличения к уменьшению (рост к падению) или от падения к увеличению (падение к росту). Посмотрите на график полиномиальной функции в (рисунок).На графике есть три поворотные точки.

Рис. 12.

Эта функция является полиномиальной функцией 4 ^th градусов и имеет 3 точки поворота. Максимальное количество точек поворота полиномиальной функции всегда на единицу меньше степени функции.

Устный перевод поворотных моментов

Точка поворота — это точка на графике, в которой график изменяется от увеличения к уменьшению (повышение к падению) или от убывания к увеличению (от падения к повышению).

Полином степени будет иметь не более точек поворота.

Нахождение максимального количества точек поворота с использованием степени полиномиальной функции

Найдите максимальное количество точек поворота для каждой полиномиальной функции.

[show-answer q = ”514289 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”514289 ″]

1. Сначала перепишите полиномиальную функцию в порядке убывания:

   Укажите степень полиномиальной функции. Эта полиномиальная функция имеет степень 5.

   Максимальное количество точек поворота —

2. Сначала определите главный член полиномиальной функции, если функция была развернута.

   Затем определите степень полиномиальной функции. Эта полиномиальная функция имеет степень 4.

   Максимальное количество точек поворота —

[/ hidden-answer]

Графические полиномиальные функции

Мы можем использовать то, что мы узнали о множественности, конечном поведении и точках поворота, чтобы нарисовать графики полиномиальных функций.Давайте соберем все это вместе и рассмотрим шаги, необходимые для построения графика полиномиальных функций.

Как записаться

Для заданной полиномиальной функции нарисуйте график.

1. Найдите перехватчики.
2. Проверить симметрию. Если функция является четной функцией, ее график симметричен относительно оси, то есть
   Если функция является нечетной функцией, ее график симметричен относительно начала координат, то есть
3. Используйте кратности нулей, чтобы определить поведение полинома в точках пересечения.
4. Определите конечное поведение, исследуя начальный член.
5. Используйте поведение конца и поведение на пересечениях, чтобы нарисовать график.
6. Убедитесь, что количество точек поворота не превышает на единицу меньше степени полинома.
7. При желании можно использовать технологию для проверки графика.

Построение графика полиномиальной функции

Нарисуйте график

[show-answer q = ”fs-id1165135237926 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135237926 ″]

На этом графике есть две точки пересечения x .Фактор возведен в квадрат, что указывает на кратность 2. График отскочит на этом пересечении x . Функция At имеет кратность, равную единице, что указывает на то, что график пересекает ось в этом месте пересечения.

Перехват y находится путем вычисления

Перехват y —

Кроме того, мы можем видеть, что главный член, если бы этот многочлен был умножен, был бы
, поэтому конечное поведение будет таким же, как у вертикально отраженной кубики, с выходными значениями, уменьшающимися по мере приближения входов к бесконечности, и выходами, увеличивающимися по мере приближения входов отрицательная бесконечность.См. (Рисунок).

Рис. 13.

Чтобы набросать это, мы считаем, что:

Рис. 14.

Где-то после этой точки график должен повернуться вниз или начать убывание по направлению к горизонтальной оси, потому что график проходит через следующую точку пересечения в точке (см. Рисунок).

Рисунок 15.

Как мы знаем, что график продолжает уменьшаться, и мы можем перестать рисовать график в четвертом квадранте.

Используя технологию, мы можем создать график для полиномиальной функции, показанный на (Рисунок), и убедиться, что полученный график выглядит так, как наш эскиз на (Рисунок).

Рисунок 16. Полный график полиномиальной функции

[/ hidden-answer]

Попробуйте

Нарисуйте график

[show-answer q = ”fs-id1165135264689 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135264689 ″] [/ скрытый-ответ]

Использование теоремы о промежуточном значении

В некоторых ситуациях мы можем знать две точки на графике, но не нули. Если эти две точки находятся на противоположных сторонах оси x , мы можем подтвердить, что между ними есть ноль.Рассмотрим полиномиальную функцию, график которой гладкий и непрерывный. Теорема о промежуточном значении утверждает, что для двух чисел и в области, если и тогда функция принимает каждое значение между и (хотя теорема интуитивно понятна, доказательство на самом деле довольно сложно и требует высшей математики). Мы можем применить эту теорему к частному случаю, который полезен в построение графиков полиномиальных функций. Если точка на графике непрерывной функции находится выше оси, а другая точка находится ниже оси, должна существовать третья точка между тем местом, где график пересекает ось.Назовите этот пункт Это означает, что мы уверены, что есть решение, где

Другими словами, теорема о промежуточном значении говорит нам, что когда полиномиальная функция изменяется с отрицательного значения на положительное значение, функция должна пересекать ось. (Рисунок) показывает, что между
и

стоит ноль. Рисунок 17. Использование теоремы о промежуточном значении, чтобы показать, что существует ноль.

Попробуйте

Покажите, что функция имеет хотя бы один действительный ноль между

и

.

Написание формул для полиномиальных функций

Теперь, когда мы знаем, как находить нули полиномиальных функций, мы можем использовать их для написания формул на основе графиков. Поскольку полиномиальная функция, записанная в факторизованной форме, будет иметь перехват x , где каждый множитель равен нулю, мы можем сформировать функцию, которая будет проходить через набор перехватов x , введя соответствующий набор факторов.

Как записаться

Дан график полиномиальной функции, напишите формулу для функции.

1. Определите точки пересечения x графика, чтобы найти множители многочлена.
2. Изучите поведение графика на пересечениях x , чтобы определить кратность каждого фактора.
3. Найдите многочлен наименьшей степени, содержащий все множители, найденные на предыдущем шаге.
4. Используйте любую другую точку на графике (интервал y может быть самым простым), чтобы определить коэффициент растяжения.

Написание формулы для полиномиальной функции из графика

Напишите формулу для полиномиальной функции, показанной на (Рисунок).

Рисунок 19.

Попробуйте

Учитывая график, показанный на (Рисунок), напишите формулу для показанной функции.

Рисунок 20. [show-answer q = ”fs-id1165135559461 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135559461 ″]

[/ hidden-answer]

Использование локальных и глобальных экстремумов

С квадратиками мы смогли алгебраически найти максимальное или минимальное значение функции, найдя вершину. Для общих многочленов найти эти поворотные точки невозможно без более продвинутых методов исчисления. Даже в этом случае определение места возникновения экстремумов все еще может быть алгебраически сложной задачей.А пока мы оценим местоположения поворотных точек, используя технологию для построения графика.

Каждая поворотная точка представляет собой локальный минимум или максимум. Иногда точка поворота — это самая высокая или самая низкая точка на всем графике. В этих случаях мы говорим, что поворотная точка — это глобальный максимум или глобальный минимум. Они также называются абсолютным максимальным и абсолютным минимальным значениями функции.

Все ли полиномиальные функции имеют глобальный минимум или максимум?

№Только полиномиальные функции четной степени имеют глобальный минимум или максимум. Например, не имеет ни глобального максимума, ни глобального минимума.

Использование локальных экстремумов для решения приложений

Ящик с открытым верхом должен быть изготовлен путем вырезания квадратов из каждого угла листа пластика размером 14 на 20 см и последующего складывания боковых сторон. Найдите размер квадратов, которые нужно вырезать, чтобы максимально увеличить объем, заключенный в коробке.

[show-answer q = ”fs-id1165135470058 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135470058 ″]

Мы начнем эту задачу, нарисовав картинку, подобную изображенной на (Рисунок), пометив ширину вырезанных квадратов переменной

. Рисунок 22.

Обратите внимание, что после того, как квадрат вырезан с каждого конца, остается прямоугольник размером acm bycm для основания коробки, и коробка становится высотой. Это дает объем

Обратите внимание, поскольку множители равны [латекс] \, 20–2w \, [/ латекс], а три нуля — 10, 7 и 0 соответственно. Поскольку высота 0 см не является разумной, мы рассматриваем только нули 10 и 7. Самая короткая сторона равна 14, и мы отсекаем два квадрата, поэтому значения могут быть больше нуля или меньше 7. Это означает, что мы будем Ограничьте область действия этой функции до Используя технологию для создания эскиза графика в этой разумной области, мы получим график, подобный изображенному на (Рисунок).Мы можем использовать этот график для оценки максимального значения объема, ограниченного значениями, которые являются разумными для этой задачи — значениями от 0 до 7.

Рис. 23.

На этом графике мы сфокусируемся только на той части, которая находится в разумной области. Мы можем оценить максимальное значение примерно в 340 кубических см, что происходит, когда квадраты составляют примерно 2,75 см с каждой стороны. Чтобы улучшить эту оценку, мы могли бы использовать расширенные функции нашей технологии, если они доступны, или просто изменить наше окно, чтобы увеличить масштаб графика для получения результатов (рисунок).

Рис. 24.

С этого увеличенного изображения мы можем уточнить нашу оценку максимального объема до примерно 339 кубических см, когда квадраты имеют размер примерно 2,7 см с каждой стороны.

[/ hidden-answer]

Попробуйте

Используйте технологию, чтобы найти максимальное и минимальное значения на интервале функции

[show-answer q = ”fs-id1165134559223 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134559223 ″]

Минимум происходит примерно в точке, а максимум — примерно в точке

.

[/ hidden-answer]

Упражнения по разделам

Устный

Если полиномиальная функция степени имеет различные нули, что вы знаете о графике функции?

Объясните, как теорема о промежуточном значении может помочь нам найти нуль функции.

[show-answer q = ”fs-id1165135314696 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135314696 ″]

Если мы оценим функцию в точке и в точке и знак значения функции изменится, то мы узнаем, что ноль существует между и

.

[/ hidden-answer]

Объясните, как факторизованная форма многочлена помогает нам в построении графика.

Если график полинома просто касается оси x , а затем меняет направление, какой мы можем сделать вывод о факторизованной форме полинома?

[show-answer q = ”fs-id1165135621855 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135621855 ″]

Будет множитель в равной степени.

[/ hidden-answer]

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите или t -перехваты полиномиальных функций.

[show-answer q = ”fs-id1165135347433 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165135347433 ″]
[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165132941732 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165132941732 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134149980 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134149980 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134331988 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134331988 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134103103 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134103103 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134478959 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134478959 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134340053 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134340053 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133104635 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133104635 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135376471 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135376471 ″]

[/ hidden-answer]

В следующих упражнениях используйте теорему о промежуточном значении, чтобы убедиться, что данный многочлен имеет хотя бы один нуль в пределах данного интервала.

[show-answer q = ”fs-id1165135621876 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135621876 ″]

и
Подтверждение смены знака.

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133073928 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133073928 ″]

и изменение знака подтверждает.

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135524657 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135524657 ″]

и изменение знака подтверждает.

[/ hidden-answer]

В следующих упражнениях найдите нули и укажите кратность каждого.

[show-answer q = ”fs-id1165134534140 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134534140 ″]

0 с кратностью 2, с кратностью 5, 4 с кратностью 2

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134357524 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134357524 ″]

0 с кратностью 2, –2 с кратностью 2

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133277602 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133277602 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135349287 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135349287 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133035945 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133035945 ″]

с кратностью 2, 0 с кратностью 3

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165131857396 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165131857396 ″]

[/ hidden-answer]

Графический

Для следующих упражнений постройте график полиномиальных функций.Обратите внимание на перехват, множественность и конечное поведение.

Для следующих упражнений используйте графики, чтобы написать формулу полиномиальной функции наименьшей степени.

[show-answer q = ”fs-id1165134087659 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134087659 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133104571 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133104571 ″]

[/ hidden-answer]

В следующих упражнениях используйте график для определения нулей и кратности.

[show-answer q = ”fs-id1165134156011 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134156011 ″]

–4, –2, 1, 3 с кратностью 1

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134347476 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134347476 ″]

–2, по 3 с кратностью 2

[/ hidden-answer]

В следующих упражнениях используйте данную информацию о полиномиальном графе, чтобы написать уравнение.

Степень 3. Нули при и — перехват на

Степень 4. Корень кратности 2 at и корень кратности 1 at и y -пересечение на

Степень 5. Двойной ноль в точке и тройной ноль в точке проходит через точку

. [show-answer q = ”fs-id1165134277296 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134277296 ″]

[/ hidden-answer]

Степень 3. Нули в [latex] \, x = 3, [/ latex] и

Степень 5.Корень кратности 2 в точках
и
и корень кратности 1 в точках

y — перехват в

Двойной ноль в точке
и тройной ноль в точке
Проходит через точку

Технологии

Для следующих упражнений используйте калькулятор для аппроксимации локальных минимумов и максимумов или глобальных минимумов и максимумов.

[show-answer q = ”fs-id1165133348575 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133348575 ″]

местный макс.
местный мин.

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135314791 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135314791 ″]

глобальный минимум

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134402645 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134402645 ″]

глобальный минимум

[/ hidden-answer]

Расширения

Для следующих упражнений используйте графики, чтобы написать полиномиальную функцию наименьшей степени.

[show-answer q = ”fs-id1165134402716 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134402716 ″]

[/ hidden-answer]

Функция «один к одному» — объяснение и примеры

Вы знаете, что изучаете функции, когда слышите «один к одному» чаще, чем когда-либо. Хотите узнать, что отличает от индивидуальных функций ? Эта статья поможет вам узнать об их свойствах и оценить эти функции. Давайте начнем с этого краткого определения индивидуальных функций:

Индивидуальные функции — это функции, которые возвращают уникальный диапазон для каждого элемента в своем домене.

Поскольку индивидуальные функции — это особые типы функций, лучше всего проверить наши знания о функциях, их предметной области и их диапазоне.

Эта статья поможет нам понять свойства взаимно однозначных функций . Мы также узнаем, как определять индивидуальные функции на основе их выражений и графиков.

Давайте продолжим и начнем с определения и свойств взаимно однозначных функций.

Что такое индивидуальная функция?

Чтобы легко вспомнить, что такое взаимно однозначные функции, попробуйте вспомнить следующее утверждение: «для каждого y существует уникальный x.Следующие два раздела покажут вам, почему эта фраза помогает нам запомнить основную концепцию, лежащую в основе индивидуальных функций.

Индивидуальное определение функции

Функция f (x), является функцией один к одному, когда один уникальный элемент из ее домена будет возвращать каждый элемент своего диапазона. Это означает, что для каждого значения x будет уникальное значение y или f (x).

Почему бы нам не визуализировать это, отображая две пары значений для сравнения функций, которые не находятся во взаимно однозначном соответствии?

Давайте сначала посмотрим на g (x), g (4) и g (-4) имеют общее значение y, равное 16. Это также верно для g (-2) и g (2). Вы правильно угадали; g (x) — функция, не имеющая взаимно однозначного соответствия.

Теперь обратите внимание на f (x). Обратите внимание, как для каждого значения f (x) существует только одно уникальное значение x? Когда вы наблюдаете функции, имеющие это соответствие, мы вызываем эти функции один к одному.

График функции один к одному

Чтобы лучше понять концепцию функции один к одному, давайте изучим график функции один к одному. Помните, что для функций «один к одному» каждый x должен иметь уникальное значение y.

Так как каждый x будет иметь уникальное значение для y, функции один к одному никогда не будут иметь упорядоченных пар с одной и той же координатой y.

Теперь, когда мы изучили определение взаимно однозначных функций, понимаете ли вы, почему выражение «для каждого y есть уникальный x» полезно запомнить?

Индивидуальные свойства функций

Какие еще важные свойства однозначных функций мы должны помнить? Вот некоторые свойства, которые могут помочь вам понять различные типы функций с взаимно однозначным соответствием:

• Если две функции, f (x) и g (x), равны один к одному, то f ◦ g взаимно однозначно. функции.
• Если функция является взаимно однозначной, ее график будет либо всегда увеличиваться, либо всегда уменьшаться.
• Если g ◦ f взаимно однозначная функция, то f (x) также гарантированно будет взаимно однозначной функцией.

Попробуйте самостоятельно изучить две пары графиков и посмотреть, сможете ли вы подтвердить эти свойства. Конечно, прежде чем мы сможем применить эти свойства, нам будет важно узнать, как мы можем подтвердить, является ли данная функция взаимно однозначной функцией или нет.

Как определить, взаимно однозначна функция?

Следующие два раздела покажут вам, как мы можем протестировать однозначное соответствие функций.Иногда нам дают выражение или график функции, поэтому мы должны научиться определять однозначные функции алгебраически и геометрически. Давайте начнем с последнего!

Тестирование функций один к одному геометрически

Помните, что функции должны быть взаимно однозначными. Каждая координата x должна иметь уникальную координату y? Мы можем проверить взаимно однозначные функции, используя тест горизонтальной линии .

• Когда задана функция, рисует горизонтальные линии вместе с системой координат.
• Проверьте, могут ли горизонтальные линии проходить через две точки.
• Если горизонтальные линии проходят только через одну точку на всем графике, функция является взаимно однозначной функцией .

Что делать, если он проходит две или более точки функции? Тогда, как вы уже догадались, они не считаются однозначными функциями.

Чтобы лучше понять процесс, давайте продолжим и изучим эти два графика, показанные ниже.

Известно, что обратная функция f (x) = 1 / x является взаимно однозначной функцией.Мы также можем проверить это, проведя горизонтальные линии на его графике.

Посмотрите, как каждая горизонтальная линия каждый раз проходит через уникальную упорядоченную пару? Когда это происходит, мы можем подтвердить, что данная функция является функцией один к одному.

Что происходит, если функция не является взаимно однозначной? Например, квадратичная функция f (x) = x ² не является взаимно однозначной функцией. Давайте посмотрим на его график, показанный ниже, чтобы увидеть, как тест горизонтальной линии применяется к таким функциям.

Как видите, каждая горизонтальная линия, проведенная через график f (x) = x ² , проходит через две упорядоченные пары. Это еще раз подтверждает, что квадратичная функция не является взаимно однозначной функцией.

Алгебраическое тестирование индивидуальных функций

Давайте освежим нашу память о том, как мы определяем индивидуальные функции. Напомним, что функции являются взаимно однозначными, если:

• f (x ₁ ) = f (x ₂ ) тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂
• f (x ₁ ) ≠ f (x ₂ ) тогда и только тогда, когда x ₁ ≠ x ₂

Мы будем использовать это алгебраическое определение, чтобы проверить, является ли функция взаимно однозначной. Как же тогда это сделать?

• Используйте заданную функцию и найдите выражение для f (x ₁ ).
• Примените тот же процесс и найдите выражение для f (x ₂ ).
• Приравняйте оба выражения и покажите, что x ₁ = x ₂ .

Почему бы нам не попробовать доказать, что f (x) = 1 / x является взаимно однозначной функцией, используя этот метод?

Давайте сначала подставим x ₁ и x ₂ в выражение. У нас будет f (x ₁ ) = 1 / x ₁ и f (x ₂ ) = 1 / x ₂ .Чтобы подтвердить взаимно однозначное соответствие функции, приравняем f (x ₁ ) и f (x ₂ ).

1 / x ₁ = 1 / x ₂

Перемножьте обе части уравнения, чтобы упростить уравнение.

x ₂ = x ₁

x ₁ = x ₂

Мы только что показали, что x ₁ = x ₂ , когда f (x ₁ ) = f ( x ₂ ), следовательно, обратная функция является взаимно однозначной.

Пример 1

Заполните пропуски иногда , всегда или никогда , чтобы следующие утверждения были верными.

• Отношения могут _______________ быть взаимно однозначными.
• Индивидуальные функции — это ______________ функции.
• Когда горизонтальная линия проходит через функцию, которая не является взаимно однозначной, она ____________ будет проходить через две упорядоченные пары.

Решение

Отвечая на подобные вопросы, всегда возвращайтесь к определениям и свойствам, которые мы только что изучили.

• Иногда отношения могут быть функциями и, следовательно, иногда может представлять функцию один к одному.
• Поскольку функции «один к одному» представляют собой особый тип функций, всегда будут , прежде всего, функциями.
• В нашем примере горизонтальные линии могут проходить через график f (x) = x ² дважды, но горизонтальные линии могут проходить через большее количество точек. Следовательно, иногда проходит через две упорядоченные пары.

Пример 2

Пусть A = {2, 4, 8, 10} и B = {w, x, y, z}. Какой из следующих наборов упорядоченных пар представляет собой функцию один к одному?

• {(2, w), (2, x), (2, y), (2, z)}
• {(4, w), (2, x), (10, z), ( 8, y)}
• {(4, w), (2, x), (8, x), (10, y)}

Решение

Чтобы функция была взаимно однозначной функцией , каждый элемент из A должен объединяться с уникальным элементом из B.

• Первый вариант имеет одно и то же значение x для каждого значения y, поэтому это не функция и, следовательно, не взаимно однозначная функция. .
• Третий вариант имеет разные значения x для каждой упорядоченной пары, но 2 и 8 имеют один и тот же диапазон x. Следовательно, он не представляет собой функцию «один к одному».
• Второй вариант использует уникальный элемент из A для каждого уникального элемента из B, представляя функцию «один к одному».

Это означает, что {(4, w), (2, x), (10, z), (8, y)} представляют собой взаимно однозначную функцию .

Пример 3

Какой из следующих наборов значений представляет функцию один к одному?

Решение

Всегда возвращайтесь к утверждению «для каждого y есть уникальный x.»Для каждого набора давайте проверим, сочетается ли каждый элемент справа с уникальным значением слева.

• Для первого набора f (x) мы можем видеть, что каждый элемент с правой стороны объединен в пару с уникальным элементом слева. Следовательно, , f (x) является взаимно однозначной функцией .
• Набор g (x) показывает разное количество элементов с каждой стороны. Уже одно это скажет нам, что функция не является взаимно однозначной.
• Некоторые значения с левой стороны соответствуют одному и тому же элементу справа, поэтому m (x) также не является взаимно однозначной функцией.
• Каждый из элементов в первом наборе соответствует уникальному элементу в следующем, поэтому n (x) представляет собой взаимно однозначную функцию.

Пример 4

График f (x) = | x | + 1 и определить, является ли функция f (x) взаимно однозначной.

Решение

Создайте таблицу значений для f (x) и нанесите на график сгенерированные упорядоченные пары. Соединил эти точки с графиком f (x).

Уже сама таблица может дать вам ключ к разгадке того, является ли f (x) взаимно однозначной функцией [подсказка : f (1) = 2 и f (-1) = 2 ].Но давайте продолжим и построим эти точки на плоскости xy и на графике f (x).

После того, как мы построили график f (x) = | x | +1, проведите горизонтальные линии поперек графика и посмотрите, проходит ли он через одну или несколько точек.

На графике мы видим, что построенные нами горизонтальные линии проходят через две точки каждая, поэтому функция не является взаимно однозначной функцией .

Пример 5

Определите, является ли f (x) = -2x ³ -1 функцией один к одному, используя алгебраический подход.

Решение

Напомним, что для того, чтобы функция была взаимно однозначной, f (x ₁ ) = f (x ₂ ) тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂ . Чтобы проверить, является ли функция f (x) взаимно однозначной, давайте сначала найдем соответствующие выражения для x ₁ и x ₂ .

f (x ₁ ) = -2 x ₁ ³ — 1

f (x ₂ ) = -2 x ₂ ³ — 1

Приравняйте оба выражения и посмотрите, если он уменьшается до x ₁ = x ₂ .

-2 x ₁ ³ — 1 = -2 x ₂ ³ — 1

-2 x ₁ ³ = -2 x ₂ ³

(x ₁ ) ³ = (x ₂ ) ³

Извлечение кубического корня из обеих частей уравнения приведет нас к x ₁ = x ₂ . Следовательно, f (x) = -2x ³ — 1 взаимно однозначная функция.

Пример 6

Покажите, что f (x) = -5x ² + 1 не является взаимно однозначной функцией.

Решение

Еще одно важное свойство взаимно однозначных функций состоит в том, что при x ₁ ≠ x ₂ , f (x ₁ ) не должно быть равно f (x ₂ ).

Быстрый способ доказать, что f (x) не является взаимно однозначной функцией, — это подумать о контрпримере, показывающем два значения x, где они возвращают одно и то же значение для f (x).

Давайте посмотрим, что произойдет, если x ₁ = -4 и x ₂ = 4.

f (x 1 ) = -5 (-4) 2 + 1 = -80 + 1 = -79

f (x 2 ) = -5 (4) 2 + 1 = -80 + 1 = -79

ср. можно видеть, что даже когда x ₁ не равно x ₂ , он все равно возвращает то же значение для f (x).Это показывает, что функция f (x) = -5x ² + 1 не является взаимно однозначной функцией.

Пример 7

Учитывая, что a и b не равны 0, показывают, что все линейные функции являются взаимно однозначными функциями.

Решение

Помните, что общий вид линейных функций может быть выражен как ax + b, где a и b ненулевые константы.

Мы применяем тот же процесс, подставляя x ₁ и x ₂ в общее выражение для линейных функций.

f (x ₁ ) = ax ₁ + b

f (x ₂ ) = ax ₂ + b

Приравняйте оба уравнения и посмотрите, можно ли их уменьшить до x ₁ = х ₂ . Поскольку b представляет собой константу, мы можем вычесть b из обеих частей уравнения.

ax ₁ + b = ax ₂ + b

ax ₁ = ax ₂

Разделим обе части уравнения на a, и мы получим x ₁ = x ₂ .Из этого можно сделать вывод, что все линейные функции взаимно однозначны.

Практические вопросы

1. Заполните пропуски иногда , всегда или никогда сделайте следующие утверждения верными.

• Косинусные функции могут _______________ быть взаимно однозначными функциями.
• Если функция f (x) взаимно однозначна, ее домен ______________ будет иметь то же количество элементов, что и диапазон.
• Когда горизонтальная линия проходит через функцию, которая является функцией один к одному, она ____________ будет проходить через две упорядоченные пары.

2. Пусть M = {3, 6, 9, 12} и N = {a, b, c, d}. Какой из следующих наборов упорядоченных пар представляет собой функцию один к одному?

• {(6, a), (6, b), (6, c), (6, d)}
• {(9, d), (12, b), (6, b), (3, c)}
• {(6, d), (9, c), (12, b), (3, a)}

3. Какой из следующих наборов значений представляет собой взаимно однозначную функцию ?
4. Изобразите следующие функции и определите, являются ли они взаимно однозначными или нет.

• f (x) = x ² — 4
• g (x) = -4x + 1
• h (x) = e ^x

5. Убедитесь, что следующие функции взаимно однозначны используя алгебраический подход.

• f (x) = 2x — 1
• g (x) = 1 / x ²
• h (x) = | x | + 4

6. Покажите, что g (x) = | x | — 4 не является однозначной функцией.
7. Покажите, что все квадратичные выражения не являются взаимно однозначными функциями.

Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.

Определение наилучшего метода построения графика функции

Лучший метод построения графиков

Знакомство с различными типами функций и их свойствами значительно упрощает определение наилучшего метода построения графиков.Есть много разных типов функций. Каждая из этих функций имеет разные свойства. Поскольку для объяснения каждого из этих типов функций и их свойств потребуется целый урок, мы просто рассмотрим несколько избранных примеров. Рекомендуется ознакомиться со многими различными типами функций и их графиками.

Вот несколько общих рекомендаций, которые можно использовать для определения наилучшего метода построения графика функции.

1. Если вы хорошо знакомы с формой графика данной функции (например, линии), и функция довольно проста, то метод 1, вероятно, самый простой.
2. Если вы знакомы со свойствами и характеристиками заданной функции и как они соотносятся с графиком функции, то метод 2 прост в использовании.
3. Если функция достаточно сложная или представляет собой смесь функций разных типов, и вы не совсем уверены, какой будет форма функции, то графический калькулятор, вероятно, будет вашим лучшим выбором.

Примеры

Наш пример с бактериями был примером, в котором Метод 1 был лучшим методом для использования.Давайте рассмотрим метод 2, взглянув на квадратичную функцию и то, как построить график, используя ее свойства. Квадратичная функция — это полиномиальная функция со старшим показателем, равным 2, и она имеет следующий общий вид:

Квадратичные функции обладают многими свойствами. Вот некоторые из тех, которые мы можем использовать для построения графиков:

• Общая форма их графиков — U или перевернутая U.
• Их графики имеют точку максимума или минимума, называемую вершиной, в точке (- b / (2 a ), f (- b / (2 a ))).
• Их графики симметричны относительно линии x = — b / (2 a ), называемой осью симметрии.
• Для квадратичной функции вида f ( x ) = ax 2 + bx + c , точка пересечения y (или точка, где график пересекает ось y ) и где x = 0) всегда (0, c ).

Хорошо, давайте воспользуемся этими свойствами! Рассмотрим следующую квадратичную функцию:

Из наших свойств мы знаем общую форму ее графика и следующие факты:

• Его вершина находится в точке (- 4 / (2⋅1), g (- 4 / (2⋅1)) или (- 2, 0).
• График симметричен относительно прямой x = — 4 / (2⋅1), или x = — 2.
• График пересекает ось y в точке (0, 4).

Собрав все это вместе, мы можем легко построить график функции.

Мы видим, что, когда мы знакомы со свойствами данной функции, метод 2 часто оказывается лучшим путем для построения графика функции.

Еще один пример! Рассмотрим следующую функцию:

Хммм… у нее есть рациональное выражение и выражение в квадрате.Он представляет собой смесь различных типов функций, поэтому довольно сложно узнать его общую форму или какие-либо конкретные свойства, которым он может следовать. В таких случаях лучшим выбором будет графический калькулятор или Метод 3.

Резюме урока

Методы построения графиков — это методы построения графиков функции. Есть много способов сделать это, но три из наиболее распространенных:

1. Постройте несколько случайных точек, удовлетворяющих функции, и соедините их соответствующей кривой.
2. Используйте различные свойства и характеристики заданной функции для построения графика функции.
3. Воспользуйтесь графическим калькулятором.

Определение лучшего метода может быть непростым делом, но в основном это сводится к определению того, что вы знаете о данной функции. Если вы знаете, что это линейная функция, то, вероятно, лучше всего подходит метод 1. Если вы знаете свойства данной функции и ее общую форму, то, вероятно, лучше всего подойдет метод 2. Наконец, если это сложная функция, то, вероятно, лучше всего подойдет метод 3.

Основная идея заключается в том, что чем больше вы знакомы с различными типами функций, их характеристиками и общими формами их графиков, тем легче будет построить график этих функций. Поэтому рекомендуется ознакомиться со многими различными типами функций, чтобы узнать лучший метод построения графиков каждого типа.

OpenAlgebra.com: обратные функции

Начнем с определения: Обратные функции — Функции f (x) и g (x) являются обратными, если обе
для всех x в домене g и f соответственно.Другими словами, если вы составите обратные функции, результат будет x .

Убедитесь, что указанные функции являются обратными .

При проверке того, что две функции инвертированы, вы должны получить исходное значение x , сложив оба способа.

Определить, являются ли данные функции инверсными .

Если f и g являются обратными функциями, то g можно записать с использованием обозначения который гласит: « g равно f, обратное .» Внимание: В этом контексте -1 указывает обратную функцию, а не отрицательную экспоненту.

Найдите время, чтобы просмотреть функции один-к-одному (1-1), потому что оказывается, что если функция 1-1, то у нее есть обратная функция. Следовательно, мы можем рассматривать тест горизонтальной линии как тест, который определяет, имеет ли функция инверсию или нет.

Далее мы очерчиваем процедуру для фактического нахождения обратных функций .

Шаг 1 : Замените f (x) на y .
Шаг 2 : поменять местами x и y .
Шаг 3 : Решите полученное уравнение относительно y .
Шаг 4 : Замените y обозначением, обратным f .
Шаг 5 : (Необязательно) Убедитесь, что функции инвертированы.

Найдите функцию, обратную заданной .

Теперь, когда вы знаете определение обратной функции и как ее найти, мы теперь обратим наше внимание на их графики.Для любой однозначной функции f , где
и мы имеем следующее свойство.

Симметрия обратных функций — Если ( a , b ) — точка на графике функции f , то ( b , a ) — точка на графике ее обратной функции. Кроме того, два графика будут симметричными относительно линии y = x .

На следующем графике видно, что функции

имеют симметрию при построении графика на одном и том же наборе осей.
Обратите внимание, что (2, 3) — точка на f , а (3, 2) — точка на обратном. Другими словами, чтобы построить график обратного, все, что вам нужно сделать, это переключить координаты каждой упорядоченной пары. Мы использовали этот факт для поиска обратных значений, и он будет очень важен в следующей главе, когда мы разработаем определение логарифма.

Дан график функции 1-1, нарисуйте ее обратную и линию симметрии .

Видео на YouTube:

BioMath: функции

В этом разделе будут представлены несколько терминов для квалификации функции.Понимание этих свойств пригодится, когда вы рисуете графики функций или смотрите, что происходит, когда заданное количество максимизируется или минимизируется.

Функции увеличения и уменьшения

Представьте, что вы наблюдаете, как определенное свойство биологической системы изменяется с течением времени. Математически вы будете смотреть, увеличивается или уменьшается функция, моделирующая свойство.

Чтобы определить, увеличивается или уменьшается функция, мы должны «прочитать» график функции слева направо.Вы можете думать об увеличении функция, при которой поднимается, слева направо, и функция убывания, когда падает на слева направо.

Большинство функций не увеличиваются / уменьшаются для всех x в домене, а наоборот, они увеличиваются одни интервалы и уменьшение на других. Мы говорим, что f увеличивается на некотором интервале, I , если для x ₁ и x ₂ в I ,

С другой стороны, мы говорим, что f уменьшается на I , если для x ₁ и x ₂ в I ,

Чтобы определить, увеличивается или уменьшается график функции за указанный интервале, читаем график слева направо и определяем, есть ли у него восходящий или нисходящий тренд, как показано ниже,

Если вы представите мяч, катящийся по графику, он будет катиться вниз по склону. части графика, которые уменьшаются, и он будет катиться вверх на частях графика график, который увеличивается.

Нечетные и четные функции

Некоторые функции обладают особым свойством быть четными или нечетными. Нечетные и четные функции обладают особой графической симметрией.

Определение Функция f ( x ) называется odd if, для всех x в домене f .

Как узнать, что функция нечетная? Пример нечетной функции: f ( x ) = x . Мы можем продемонстрировать, что f ( x ) = x является нечетным, показывая, что f (- x ) = — f (x) путем замены — x на x as,

f (- x ) = — x = — f ( x ).

Если функция не является нечетной, она может быть (но не обязательно) четной.

Определение Функция f ( x ) называется , даже если , если, f (- x ) = f ( x ), для всех x в домене f .

Пример четной функции: f ( x ) = x ² .Мы может продемонстрировать, что f ( x ) = x ² даже если показать, что f (- x ) = f ( x ) as,

f (- x ) = (- x ² ) = (−1) ² x ² = x ² = f ( x ) .

Как указано выше, графики нечетных и четных функций имеют особую симметрию.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. График симметричен относительно начала координат, если точка (- x , — y ) лежит на графике всякий раз, когда ( x , y ) находится. С другой стороны, график четной функции симметричен относительно ось y . График симметричен относительно оси y , если точка ( -x , y ) лежит на график всегда ( x , y ).

Не все функции классифицируются как четные или нечетные; функция, которая не является четной или нечетное называется ни .

Пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной: f ( x ) = x + 1. Мы можем продемонстрировать это, найдя f (- x ) как,

f (- x ) = — x + 1.

Обратите внимание, что f (- x ) не равно — f ( x ), потому что

— f ( x ) = — ( x + 1) = — x −1;

и f (- x ) не равно f ( x ), потому что

f ( x ) = x + 1.

Полезен тот факт, что четные и нечетные функции обладают определенной графической симметрией. знать.В частности, если вы знаете, что какая-то функция f ( x ) является нечетной (четной) и знаете значение f ( a ), тогда вы также знаете, что значение f (- a ) равно — f ( a ) (f (a)). Точно так же, если вы знаете, что какая-то функция f ( x ) является четной, и знаете значение f ( a ), тогда вы также знаете, что значение f (- a ) — f ( a ).Это становится важным при изучении интегрального исчисления, поскольку интеграл нечетной или четной функции на симметричном интервале можно значительно упростить.

Максимумы и минимумы функций

Функция может достигать значений, которые можно классифицировать как максимумы и / или минимумы. В совокупности максимумы и минимумы называются экстремумами.

Графически вы можете думать о максимумах и минимумах как о функциональных значениях пики и впадины. Экстремумы можно разделить на глобальные и локальные. Как следует из названий, глобальный максимум — это максимальное значение функции достигает, в то время как глобальный минимум — это минимальное значение, достигаемое функцией. Если функция ограничен и имеет область, состоящую из всей действительной прямой, глобальный максимум равен самый высокий пик и глобальный минимум — самая низкая долина.

Максимум и минимум функции должны быть конечным числом.Следовательно, если функция увеличивается без связанная, эта функция не имеет глобального максимума. Точно так же, если функция неограниченно убывает, глобального минимума не существует. Однако эти неограниченные функции могут иметь локальные максимумы и минимумы, как показано на рисунке ниже,

Экстремумы, изображенные на приведенном выше графике, являются локальными, потому что функция увеличивается и неограниченно убывает, как показано стрелками на графике.

Функции подбарабанья вверх и вниз

Функция может быть классифицирована как вогнутая вверх или вогнутая вниз в интервале – на основе ее формы. Формально мы определяем термины вогнутый вверх и вогнутый вниз. используя концепции исчисления. Однако мы можем понять эти термины, посмотрев на следующие графики:

Может быть полезно думать о вогнутых функциях как о способности удерживать воду; функции вогнутого вниз проливают воду.Функция не обязательно должна быть вогнутой или вниз для всех x в домене; функция может изменить вогнутость. Точки, в которых Изменения вогнутости называются точками перегиба. Мы обсудим эти концепции при изучении дифференциального исчисления.

*****

В следующем разделе мы узнаем, как складывать, вычитать, умножать и делить функции.

Операции

Область и диапазон функции

Определения домена и диапазона

Домен

Домен а функция — это полный набор возможных значений независимой переменной.

На простом английском языке это определение означает:

Домен — это совокупность всех возможных x — значения, которые сделают функцию «работа» и выдаст реальные значения и .

При нахождении домена запомните:

• Знаменатель (внизу) дроби не может быть ноль
• Число под знаком квадратного корня должно быть положительный в этом разделе

Пример 1а

Вот график y = sqrt (x + 4):

12345-1-2-3-4123xy

Домен: `x> = — 4`

Область определения этой функции — `x ≥ −4`, так как x не может быть меньше, чем` −4`.Чтобы понять, почему, попробуйте использовать в калькуляторе некоторые числа меньше, чем «−4» (например, «−5» или «−10»), и некоторые числа, превышающие «−4» (например, «−2» или «8»). Единственные, которые «работают» и дают нам ответ, — это те, которые больше или равны «−4». Это сделает число под квадратным корнем положительным.

Примечания:

1. Закрашенный кружок в точке `(-4, 0)`. Это указывает на то, что домен «запускается» в этот момент.
2. Мы видели, как рисовать подобные графики в разделе 4, График функции.2 = х — 2.

Как найти домен

В общем, мы определяем область каждой функции, ища те значения независимой переменной (обычно x ), которые разрешено использовать для . (Обычно нам нужно избегать 0 в нижней части дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

Диапазон

Серия из функция — это полный набор всех возможных результирующих значений зависимой переменной ( y, обычно ) после того, как мы подставили домен.

На простом английском языке это определение означает:

Диапазон — это результат y- значений, которые мы получаем после подстановки всех возможных значений x .

Как найти диапазон

• Диапазон функции — это разброс возможных значений y (от минимального y -значения до максимального y -значения)
• Подставьте различные значения x в выражение для y на посмотреть, что происходит.(Спросите себя: всегда ли и положительны? Всегда отрицательны? Или, может быть, не равны определенным значениям?)
• Убедитесь, что вы ищете минимальные и максимальные значения y .
• Нарисуйте эскиз ! С точки зрения математики, картина стоит тысячи слов.

Пример 1б

Вернемся к примеру выше, `y = sqrt (x + 4)`.

Мы замечаем, что кривая находится либо на горизонтальной оси, либо над ней.Независимо от того, какое значение x мы попробуем, мы всегда получим нулевое или положительное значение y . Мы говорим, что диапазон в данном случае равен y ≥ 0.

12345-1-2-3-4123xy

Диапазон: `y> = 0`

Кривая всегда продолжается вертикально, за пределы того, что показано на графике, поэтому диапазон — это все неотрицательные значения `y`.

Пример 2

График кривой y = sin x показывает диапазон между -1 и 1.

12345-1-2-3-4-5-6-71-1xy

Диапазон: `-1

Область y = sin x — это «все значения x », поскольку нет никаких ограничений на значения для x . (Введите любое число в функцию «sin» в вашем калькуляторе. Любое число должно работать и даст вам окончательный ответ от -1 до 1. )

Эксперимент с калькулятором и наблюдение кривой показывают, что диапазон составляет y между -1 и 1.Мы могли бы записать это как −1 ≤ y ≤ 1.

Откуда взялся этот график? Мы узнаем о графиках sin и cos позже в Графах греха x и cos x

Примечание 1: Поскольку мы предполагаем, что для значений x должны использоваться только действительные числа, числа, которые приводят к делению на ноль или к мнимым числам (которые возникают при нахождении квадратного корня из отрицательное число) не включаются.В главе «Комплексные числа» более подробно рассказывается о мнимых числах, но мы не включаем такие числа в эту главу.

Примечание 2: При выполнении примеров квадратного корня многие люди спрашивают: «Разве мы не получаем 2 ответа, один положительный и один отрицательный, когда мы находим квадратный корень?» Квадратный корень имеет не более одного значения, а не два. См. Это обсуждение: Квадратный корень 16 — сколько ответов?

Примечание 3: Мы говорим о домене и диапазоне функций , которые имеют не более одно y -значение для каждого x -значение, а не отношения (которые могут иметь более одного .).

Поиск домена и диапазона без использования графика

Всегда намного легче определить домен и диапазон, считывая его с графика (но мы должны убедиться, что мы увеличиваем и уменьшаем масштаб графика, чтобы убедиться, что мы видим все, что нам нужно увидеть). Однако у нас не всегда есть доступ к программному обеспечению для построения графиков, и для построения эскиза графика обычно в любом случае сначала требуется знать о разрывах и так далее.

Как упоминалось ранее, ключевые вещи, которые нужно проверить:

1. Нет отрицательных значений под знаком квадратного корня
2. В знаменателе (внизу) дроби нет нулевых значений

Пример 3

Найдите домен и диапазон функции `f (x) = sqrt (x + 2) / (x ^ 2-9),` без использования графика. 2-9`, которое, как мы понимаем, можно записать как `(x + 3) (x-3)`. Таким образом, наши значения для `x` не могут включать` -3` (из первой скобки) или `3` (из второй).

В любом случае нам не нужно беспокоиться о «-3», потому что на первом этапе мы решили, что «x> = -2».

Таким образом, домен для этого случая — `x> = -2, x! = 3`, который мы можем записать как` [-2,3) uu (3, oo) `.

Для определения диапазона мы рассматриваем верхнюю и нижнюю части дроби отдельно.

Числитель: Если `x = -2`, верхняя часть имеет значение` sqrt (2 + 2) = sqrt (0) = 0`.2-9) `приближается к` 0`, поэтому `f (x)` переходит в `-oo`, когда приближается к` x = 3`.

Для `x> 3`, когда` x` просто больше, чем `3`, значение дна чуть больше` 0`, поэтому `f (x)` будет очень большим положительным числом.

Для очень большого `x` верхний край большой, но нижний будет намного больше, поэтому в целом значение функции будет очень маленьким.

Итак, мы можем заключить, что диапазон равен `(-oo, 0] uu (oo, 0)`.

Посмотрите на график (который мы все равно рисуем, чтобы убедиться, что мы на правильном пути):

Показать график

Мы можем видеть на следующем графике, что действительно домен равен «[-2,3) uu (3, oo)» (который включает «-2», но не «3»), а диапазон — «все значения из `f (x)`, кроме `F (x) = 0`.2-9) `.

Резюме

В общем, мы определяем домен по ищем те значения независимой переменной (обычно x ), которые нам разрешено использовать . (Мы должны избегать 0 в нижней части дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

Диапазон находится путем нахождения результирующих значений y после того, как мы подставили возможные значения x .

Упражнение 1

Найдите домен и диапазон для каждого из следующих.2+ 2`.

Ответ

Домен: Функция

f ( x ) = x ² + 2

определен для всех реальных значений x (поскольку нет ограничений на значение x ).

Следовательно, домен `f (x)` равен

«все реальные значения x «.

Диапазон: Поскольку x ² никогда не бывает отрицательным, x ² + 2 никогда не меньше 2

Следовательно, диапазон `f (x)` равен

«все действительные числа` f (x) ≥ 2` «.

Мы видим, что x может принимать любое значение на графике, но результирующие значения y = f ( x ) больше или равны 2.

123-1-2-312345678910-1xf (x)

Диапазон: `y> = 2`

Домен: Все `x`

Примечание

1. При построении графиков важно обозначить оси как . Это помогает понять, что представляет собой график.
2. Мы видели, как рисовать такие графики в Графике функции.

(б) `f (t) = 1 / (t + 2)`

Ответ

Домен: Функция

`f (t) = 1 / (t + 2)`

не определено для т = -2, так как это значение приведет к делению на ноль. (Внизу дроби будет 0.)

Следовательно, домен из f ( t ) равен

«все вещественные числа кроме -2 «

Диапазон: Независимо от того, насколько велик т , f ( t ) никогда не будет равно нулю.

[ Почему? Если мы попытаемся решить уравнение относительно 0, произойдет следующее:

`0 = 1 / (t + 2)`

Умножаем обе стороны на ( t + 2) и получаем

`0 = 1`

Это невозможно.]

Таким образом, диапазон для f ( t ) равен

«все вещественные числа кроме нуля ». 2 + 4` для `x> 2`

Ответ

Функция `f (x)` имеет область «все действительные числа,` x> 2` «, как определено в вопросе.(Здесь не используются квадратные корни из отрицательных чисел или деления на ноль.)

Чтобы найти диапазон :

• Когда `x = 2`,` f (2) = 8`
• Когда x увеличивается с `2`,` f (x) `становится больше, чем `8` (попробуйте подставить некоторые числа, чтобы понять, почему)

Следовательно, диапазон — «все действительные числа,` f (x)> 8` «

Вот график функции с открытым кружком в «(2, 8)», указывающим, что домен не включает «x = 2», а диапазон не включает «f (2) = 8».

123456510152025xf (x) (2, 8)

Домен: Все `x> 2`

Диапазон:
Все `f (x)> 8`

Функция является частью параболы. [Подробнее о параболе.]

Упражнение 2

Мы запускаем шар в воздух и находим высота h , в метрах, как функция времени т , в секундах, равно

ч = 20 т — 4,9 т ²

Найдите домен и диапазон для функции ч ( т ).

Ответ

Как правило, отрицательные значения времени не имеют имея в виду. Кроме того, нам нужно предположить, что снаряд попадает в землю, а затем останавливается — он не уходит под землю.

Итак, нам нужно рассчитать, когда он упадет на землю. Это будет, когда h = 0. Итак, решаем:

20 т — 4,9 т ² = 0

Факторинг дает:

(20 — 4.9 т ) т = 0

Это верно, когда

`t = 0 \» s «`,

или

`t = 20/4.9 = 4.082 текст (ы) `

Следовательно, домен функции h равен

«все реально значения t такие, что `0 ≤ t ≤ 4. 082`»

Из выражения функции видно, что это парабола с вершиной вверх. (Это имеет смысл, если вы думаете о подбрасывании мяча вверх. Он поднимается на определенную высоту, а затем падает обратно.)

Какое максимальное значение ч ? Воспользуемся формулой максимума (или минимума) квадратичной функции.

Значение т. дает максимум

.

`t = -b / (2a) = -20 / (2 xx (-4.9)) = 2.041 с`

Таким образом, максимальное значение —

.

20 (2,041) — 4,9 (2,041) ² = 20,408 м

Наблюдая за функцией h , мы видим, что по мере увеличения t , h сначала увеличивается до максимума. 20,408 м, затем ч снова уменьшается до нуля, как и ожидалось.

Следовательно, диапазон из h равен

«все реально числа, `0 ≤ h ≤ 20,408`»

Вот график функции h :

1234565101520-5-й (t)

Домен: `0

Диапазон:
`0

Функции, определяемые координатами

Иногда у нас нет непрерывных функций. Что нам делать в этом случае? Давайте посмотрим на пример.

Упражнение 3

Найдите область и диапазон функции, заданной координатами:

`{(−4, 1), (−2, 2.5), (2, −1), (3, 2)} `

Ответ

Домен — это просто следующие значения x : `x = {−4, −2, 2, 3}`

Диапазон состоит из следующих значений `f (x)`: `f (x) = {−1, 1, 2, 2.5}`

Вот график нашей разрывной функции.

1234-1-2-3-41234-1-2-3-е (т) (3, 2) (2, -1) (- 4, 1)

(-2, 2,5)

Алгебра — рациональные функции

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-8: Рациональные функции

В этом последнем разделе нам нужно обсудить построение графиков рациональных функций.Вероятно, лучше всего начать с довольно простого, и мы можем обойтись без особых знаний о том, как они работают.

Давайте нарисуем график \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} \). Во-первых, поскольку это рациональная функция, нам нужно быть осторожными с делением на ноль. Итак, из этого уравнения мы видим, что нам нужно избегать \ (x = 0 \), поскольку это даст деление на ноль.

Теперь давайте просто подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что мы получим.

\ (х \)	\ (е (х) \)
-4	-0,25
-2	-0,5
-1	-1
-0,1	-10
-0,01	-100
0.01	100
0,1	10
1	1
2	0,5
4	0,25

Итак, по мере увеличения \ (x \) (положительного и отрицательного) функция сохраняет знак \ (x \) и становится все меньше и меньше. Точно так же, когда мы приближаемся к \ (x = 0 \), функция снова сохраняет тот же знак, что и \ (x \), но начинает становиться довольно большим.Вот набросок этого графика.

Во-первых, обратите внимание, что график состоит из двух частей. Почти все рациональные функции будут иметь графики, состоящие из нескольких частей, подобных этому.

Затем обратите внимание, что на этом графике нет никаких перехватов. Это достаточно легко проверить сами.

Напомним, что граф будет иметь \ (y \) — точку пересечения \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \). Однако в этом случае мы должны избегать \ (x = 0 \), и поэтому этот график никогда не пересечет ось \ (y \).Он действительно приближается к оси \ (y \), но никогда не пересечет и не коснется ее, и поэтому не будет пересекаться с \ (y \).

Затем напомним, что мы можем определить, где граф будет иметь \ (x \) — точки пересечения, решив \ (f \ left (x \ right) = 0 \). Для рациональных функций это может показаться беспорядком. Однако есть приятный факт о рациональных функциях, который мы можем здесь использовать. Рациональная функция будет равна нулю при определенном значении \ (x \), только если числитель равен нулю при этом \ (x \), а знаменатель не равен нулю при этом \ (x \).Другими словами, чтобы определить, равна ли когда-либо рациональная функция нулю, все, что нам нужно сделать, это установить числитель равным нулю и решить. Когда у нас есть эти решения, нам просто нужно убедитесь, что ни один из них не делает знаменатель равным нулю.

В нашем случае числитель равен единице и никогда не будет равен нулю, поэтому эта функция не будет иметь \ (x \) — перехватов. Опять же, график будет очень близко к оси \ (x \), но никогда не коснется и не пересечет ее.

Наконец, нам нужно обратить внимание на тот факт, что график очень близко подходит к осям \ (x \) и \ (y \), но никогда не пересекает их. Поскольку в самой оси нет ничего особенного, мы будем использовать тот факт, что ось \ (x \) на самом деле является линией, заданной \ (y = 0 \), а ось \ (y \) — действительно строка, заданная \ (x = 0 \).

В нашем графике, когда значение \ (x \) приближается к \ (x = 0 \), график становится очень большим по обе стороны от линии, заданной \ (x = 0 \). Эта линия называется вертикальной асимптотой .

Кроме того, поскольку \ (x \) становится очень большим, как положительным, так и отрицательным, график приближается к линии, заданной \ (y = 0 \).Эта линия называется горизонтальной асимптотой .

Вот общие определения двух асимптот.

1. Линия \ (x = a \) представляет собой вертикальную асимптоту , если график неограниченно увеличивается или уменьшается на одной или обеих сторонах линии по мере того, как \ (x \) приближается к \ (x = a \).
2. Линия \ (y = b \) является горизонтальной асимптотой , если график приближается к \ (y = b \), когда \ (x \) неограниченно увеличивается или уменьшается.m} + \ cdots}} \]

   , где \ (n \) — наибольший показатель степени в числителе, а \ (m \) — наибольший показатель степени в знаменателе.

   Тогда мы имеем следующие факты об асимптотах.

   1. График будет иметь вертикальную асимптоту в точке \ (x = a \), если знаменатель равен нулю в точке \ (x = a \), а числитель не равен нулю в точке \ (x = a \).
   2. Если \ (n
   3. Если \ (n = m \), то линия \ (\ displaystyle y = \ frac {a} {b} \) является горизонтальной асимптотой.
   4. Если \ (n> m \) не будет горизонтальных асимптот.

   Процесс построения графика рациональной функции довольно прост. Вот.

   Процесс построения графика рациональной функции

   1. Найдите перехватчики, если они есть. Помните, что \ (y \) — точка пересечения задается как \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \), и мы находим \ (x \) — точки пересечения, устанавливая числитель равен нулю и решает.
   2. Найдите вертикальные асимптоты, установив знаменатель равным нулю и решив.
   3. Найдите горизонтальную асимптоту, если она существует, используя вышеизложенный факт.
   4. Вертикальные асимптоты разделят числовую прямую на области. В каждом регионе на графике не менее одной точки в каждом регионе. Эта точка сообщит нам, будет ли график выше или ниже горизонтальной асимптоты, и, если нам нужно, мы должны получить несколько точек, чтобы определить общую форму графика.
   5. Сделайте набросок графика.

   Обратите внимание, что набросок, который мы получим в процессе, будет довольно грубым, но это нормально. Это все, что нам действительно нужно — это базовое представление о том, на что будет смотреть график.

   Давайте взглянем на пару примеров.

   Пример 1 Нарисуйте график следующей функции. \ [f \ left (x \ right) = \ frac {{3x + 6}} {{x — 1}} \] Показать решение

   Итак, начнем с перехвата.Перехватчик \ (y \) равен,

   \ [f \ left (0 \ right) = \ frac {6} {{- 1}} = — 6 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({0, — 6} \ right ) \]

   \ (x \) — перехватов будет,

   \ [\ begin {align *} 3x + 6 & = 0 \\ x & = — 2 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 2,0} \ right) \ end { выровнять*}\]

   Теперь нам нужно определить асимптоты. Давайте сначала найдем вертикальные асимптоты.

   \ [x — 1 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = 1 \]

   Итак, у нас есть одна вертикальная асимптота. Это означает, что теперь есть две области \ (x \) ‘s. 2} — 9 = 0 \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = \ pm 3 \]

   Итак, в этом случае у нас будет три области нашего графа: \ (x <- 3 \), \ (- 3 3 \).

   Кроме того, наибольший показатель степени в знаменателе равен 2, а поскольку в числителе нет \ (x \), наибольший показатель степени равен 0, поэтому ось \ (x \) будет горизонтальной асимптотой.

   Наконец, нам нужны очки. Здесь мы будем использовать следующие моменты.

   \ [\ begin {align *} f \ left ({- 4} \ right) & = \ frac {9} {7} & \ hspace {0,25in} & \ left ({- 4, \ frac {9} { 7}} \ right) \\ f \ left ({- 2} \ right) & = — \ frac {9} {5} & \ hspace {0,25in} & \ left ({- 2, — \ frac {9 } {5}} \ right) \\ f \ left (2 \ right) & = — \ frac {9} {5} & \ hspace {0,25in} & \ left ({2, — \ frac {9} { 5}} \ right) \\ f \ left (4 \ right) & = \ frac {9} {7} & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({4, \ frac {9} {7}} \ вправо) \ end {align *} \]

   Обратите внимание, что вместе с точкой пересечения \ (y \) у нас фактически есть три точки в средней области.2} — 4x = x \ left ({x — 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = 0, \, \, x = 4 \]

   Итак, у нас снова две области, и мы получили три области: \ (x <0 \), \ (0 4 \).

   Далее, наибольший показатель как в числителе, так и в знаменателе равен 2, поэтому, поскольку на линии будет горизонтальная асимптота,

   \ [y = \ frac {1} {1} = 1 \]

   Теперь одна из точек пересечения \ (x \) — находится в крайней левой области, поэтому нам не нужны там точки.Другой перехватчик \ (x \) находится в средней области. Итак, нам понадобится точка в крайней правой области, и, как отмечалось в предыдущем примере, мы захотим получить еще пару точек в средней области, чтобы полностью определить ее поведение.

   \ [\ begin {align *} f \ left (1 \ right) & = 1 & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({1,1} \ right) \\ f \ left (3 \ right) & = — \ frac {5} {3} & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({3, — \ frac {5} {3}} \ right) \\ f \ left (5 \ right) & = \ frac {{21}} {5} & \ hspace {0.

Удобные случаи простейших тригонометрических уравнений вида Sinx=a

by Колпаков А.Н. on 14 сентября 2010

Частные случаи:

1) Нули синуса:

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие нуля в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

2) решение уравнения Sinx=1

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

3)решение уравнения SinX=-1

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие минус единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

Посмотреть тригонометрические формулы.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике

Метки: Графики функций, Решение уравнений, Тригонометрия, Ученикам

ankolpakov.ru

sinx = 1/2 решение

Доброй ночи!
Уравнения вида, которое вы нам предоставили — очень часто вызывает различные затруднение. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением sinx = 1/2, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для этого есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид: 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

Ответ: 

ru.solverbook.com

sinx = 1/3 решение

Доброй Вам ночи!
Уравнения вида, которое вы нам предоставили — очень часто вызывает различные затруднение. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением sinx = 1/3 решение, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке:

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для этого есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид: 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Значение  мы не найдём при помощи таблицы, как делали это с другими уравнениями. По-\тому у нас ответ будет не такой красивый, как хотелось бы. Но ничего не поделаешь — это математика.
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

Ответ: 

ru.solverbook.com

sinx 1 2

Вы искали sinx 1 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решение sinx 1 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «sinx 1 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как sinx 1 2,решение sinx 1 2,решите уравнение sin x 1 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и sinx 1 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, решите уравнение sin x 1 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же sinx 1 2 Онлайн?

Решить задачу sinx 1 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

sinx = 1/4 решение

Доброй ночи!
Уравнения вида, которое вы нам предоставили — очень часто вызывает различные затруднение. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением sinx = 1/4 решение, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для этого есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид: 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Значение  мы не найдём с Вами при помощи таблицы.
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

Ответ:

ru.solverbook.com

Простейшие тригонометрические уравнения

Когда-то я стал свидетелем разговора двух абитуриентов:

– Когда надо прибавить 2πn, а когда – πn? Никак не могу запомнить!

– И у меня такая же проблема.

Так и хотелось им сказать: «Не запоминать надо, а понимать!»

Данная статья адресована прежде всего старшеклассникам и, надеюсь, поможет им с «пониманием» решать простейшие тригонометрические уравнения:

1) sinx=a ,

2) cosx=a ,

3) tgx=a и

4) ctgx=a.

Числовая окружность

Наряду с понятием числовой прямой есть еще и понятие числовой окружности. Как мы знаем, в прямоугольной системе координат окружность ,с центром в точке (0;0) и радиусом 1, называется единичной. Вообразим числовую прямую тонкой нитью и намотаем ее на эту окружность : начало отсчета (точку 0), приставим к «правой» точке единичной окружности, положительную полуось обмотаем против движения часовой стрелки, а отрицательную – по направлению (рис. 1). Такую единичную окружность называют числовой.

Свойства числовой окружности

• Каждое действительное число находится на одной точке числовой окружности.
• На каждой точке числовой окружности находятся бесконечно много действительных чисел. Так как длина единичной окружности равна 2π, то разность между любыми двумя числами на одной точке окружности равна одному из чисел ±2π ; ±4π ; ±6π ; … 

Сделаем вывод: зная одно из чисел точки A, мы можем найти все числа точки A.

• Так как длина полуокружности равна π, то разность между любыми двумя числами на диаметрально противоположных точках числовой окружности равна одному из чисел : ±π ; ±3π ; ±5π ; …

Проведем диаметр АС (рис. 2). Так как x_0 – одно из чисел точки А, то числа x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … и только они будут числами точки C. Выберем одно из этих чисел, скажем, x_0+π, и запишем с его помощью все числа точки C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈Z. Отметим, что числа на точках A и C можно объединить в одну формулу: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (при k = 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки C).

Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или C диаметра АС, мы можем найти все числа на этих точках.

• Два противоположных числа находятся на симметричных относительно оси абсцисс точках окружности.

Проведем вертикальную хорду АВ (рис. 2). Так как точки A и B симметричны относительно оси Ox, то число -x_0 находится на точке B и, значит, все числа точки B задаются формулой: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Числа на точках A и B запишем одной формулой: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или B вертикальной хорды АВ, мы можем найти все числа на этих точках. Рассмотрим горизонтальную хорду AD и найдем числа точки D (рис. 2). Так как BD – диаметр и число -x_0 принадлежит точке В, то -x_0 + π одно из чисел точки D и, значит, все числа этой точки задаются формулой x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Числа на точках A и D можно записать с помощью одной формулы: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки D).

Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или D горизонтальной хорды AD, мы можем найти все числа на этих точках.

Шестнадцать основных точек числовой окружности

На практике решение большинства простейших тригонометрических уравнений связано с шестнадцатью точками окружности (рис. 3). Что это за точки? Красные, синие и зеленые точки делят окружность на 12 равных частей. Так как длина полуокружности равна π, то длина дуги A1A2 равна π/2, длина дуги A1B1 равна π/6, а длина дуги A1C1 равна π/3.

Теперь можем указать по одному числу на точках:

0 на A1 ,

π/6 на B1 ,

π/3 на С1 и

π/2 на A2 .

Вершины оранжевого квадрата – середины дуг каждой четверти, следовательно, длина дуги A1D1 равна π/4 и, значит, π/4 – одно из чисел точки D1. Воспользовавшись свойствами числовой окружности, мы можем записать с помощью формул все числа на всех отмеченных точках нашей окружности. На рисунке отмечены также и координаты этих точек (опустим описание их получения).

Усвоив выше сказанное, мы имеем теперь достаточную подготовку для решения частных случаев (для девяти значений числа a) простейших уравнений.

Решить уравнения

1) sinx=1⁄(2 ).

– Что от нас требуется?

– Найти все те числа x, синус которых равен 1/2.

Вспомним определение синуса: sinx – ордината точки числовой окружности, на которой находится число x . На окружности имеем две точки, ордината которых равна 1/2 . Это концы горизонтальной хорды B1B2 . Значит, требование «решить уравнение sinx=1⁄2 » равнозначно требованию «найти все числа на точке B1 и все числа на точке B2».

2) sinx=-√3⁄2 .

Нам надо найти все числа на точках C4 и C3.

3) sinx=1. На окружности имеем только одну точку с ординатой 1 – точка A2 и, значит, нам надо найти только все числа этой точки.

Ответ: x=π/2+2πk , k∈Z .

4) sinx=-1 .

Только точка A_4 имеет ординату -1. Все числа этой точки и будут конями уравнения.

Ответ: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

На окружности имеем две точки с ординатой 0 – точки A1 и A3 . Можно указать числа на каждой из точек по отдельности, но, учитывая, что эти точки диаметрально противоположные, лучше объединить их в одну формулу: x=πk ,k∈Z .

Ответ: x=πk ,k∈Z .

6) cosx=√2⁄2 .

Вспомним определение косинуса: cosx — абсцисса точки числовой окружности на которой находится число x. На окружности имеем две точки с абсциссой √2⁄2 – концы горизонтальной хорды D1D4 . Нам нужно найти все числа на этих точках. Запишем их, объединив в одну формулу.

Ответ: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Надо найти числа на точках C_2 и C_3 .

Ответ: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Только точки A2 и A4 имеют абсциссу 0, значит, все числа на каждой из этих точках и будут  решениями уравнения. . 

Решениями уравнения системы являются числа на точках B_3 и B_4 .Неравенству cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Ответ: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Заметим,что при любом допустимом значении x второй множитель положителен и, следовательно,уравнение равносильно системе

Решениями уравнения системы являются чила точек D_2 и D_3 . Числа точки D_2 не удовлетворяют неравенству sinx≤0,5 ,а числа точки D_3-удовлетворяют.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решить уравнения :2 sin x

    Перед нами уравнение, где неизвестный член содержится под знаком тригонометрической функции sin.

Тригонометрические уравнения 

   Тригонометрическим уравнением называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. Выделяют три группы таких функций:

1. простые тригонометрические функции cosx и sinx ;
2. производные тригонометрические функции tgx и ctgx;
3. другие тригонометрические функции secx и cosecx.

  Решение любого тригонометрического уравнения сводится к двум этапам — приведению его к простейшему виду и решению полученного простейшего тригонометрического уравнения. Простейшее тригонометрическое уравнение имеет вид:

F(x) = a,

где F — любая из тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg, sec или cosec),

 a — числовой коэффициент.

   Для приведения к простейшему виду можно проводить алгебраические преобразования:

1. переносить члены уравнения с одной части в другую с противоположным знаком;
2. прибавлять/вычитать одно и то же число, при этом получим уравнение, равносильное первоначальному;
3. делить/умножить на одно и то же число.

  Попробуем преобразовать заданное уравнение и привести его к простейшему виду.

Решим заданное уравнение

   Дано уравнение вида 2sinx — 1 = 0. Первый этап решения начнём с его преобразования, а именно: прибавим к левой и правой части уравнения одно и то же число — единицу:

2sinx — 1 = 0,

2sinx — 1 + 1 = 0 + 1,

2sinx = 1.

   Далее, чтобы избавить от числового аргумента при тригонометрической функции sin, разделив обе части уравнения на одно и то же число два:

(2sinx)/2 = 1/2,

sinx = 1/2.

   В результате алгебраических преобразований привели уравнение к простейшему виду sinx = a, общим решением которого является решение вида:

Х = (-1)^k * arcsin(а) +- пk, k e Z, при этом |а| <=1.

   На втором этапе решим полученное равносильное уравнение простейшего вида. Числовой коэффициент а = 1/2, значит |1/2| <=1 и уравнение имеет решение:

sinx = 1/2,

x = (-1)^k * arcsin (1/2) + пk, k e Z;

x = (-1)^k * п/6 + пk, k e Z.

или 

х1 = п/6 + 2пk, k e Z,

x2 = 5п/6 + 2пk, k e Z.

Ответ:  х1 = п/6 + 2пk, k e Z; x2 = 5п/6 + 2пk, k e Z.

vashurok.ru

Акне на лице у новорожденных — причины появления, первые симптомы, профилактика

Акне — это заболевание сальных желез. Как правило, акне представляют собой воспалительные узелки (прыщи) красного цвета, часто болезненные, а также невоспалительные комедоны, представляющие собой безболезненные черные точки. Акне относятся к числу самых распространенных поражений кожи. Среди себорейных акне, связанных с гормональной стимуляцией, выделяют неонатальные, младенческие и ювенильные акне.

Причины

• Избыток гормонов матери, которые все еще есть у малыша
• Перестройка гормональной системы ребенка
• Избыточный секрет сальных желез ребенка
• Закупорка пор и фолликулов кожи
• Чрезмерное размножение липофильных дрожжей, ведущих к воспалению
• Гормональный сбой (у подростков)
• Проблемы с ЖКТ (у подростков)

Неонатальные и ювенильные акне развиваются в периоды физиологической естественной гормональной перестройки. Младенческие акне встречаются редко, преимущественно у мальчиков, высыпания становятся заметными со второго полугодия жизни и продолжают появляться в течение 2—3 лет, иногда до 5 лет. При всех формах существенную роль могут играть дополнительные экзогенные провоцирующие факторы.

Симптомы

Поражения кожи лица: комедоны, папулы, пустулы, в редких случаях — кистозные узлы.

Акне новорожденных похожи на те, которые возникают у подростков в период полового созревания. В некоторых случаях они могут появиться на других частях тела, например на шее, ушах или спине.

Акне новорожденных ни в коем случае нельзя подвергать процедуре выдавливания. Этим вы не ускорите лечение и выздоровление. Всегда нужно помнить, что есть опасность занести инфекцию в организм малыша.

Прежде чем предпринимать какое-либо лечение появившихся у детей воспалений, необходимо четко определить, с чем именно вы столкнулись. Возможно это вовсе не акне новорожденных , а аллергия. Симптомы могут быть схожи и поэтому в данной ситуации лучше обратиться к педиатру и дерматологу, так как только они смогут отличить эти кожные высыпания у детей.

Ювенильные акне представляют глобальную проблему как для врачей, так и для пациентов в силу почти тотальной распространенности этого заболевания (80—90% и более), многолетнего течения, непредсказуемости исхода с возможностью формирования обезображивающих рубцов или перехода в акне взрослых. Возможно также появление у пациентов психологических проблем, связанных с неэстетическим видом поражений на лице, что особенно тяжело переживается в подростковом возрасте. Ювенильные акне наблюдаются в период с 8 до 21 года.

Уточнение диагноза дерматологом проводится с помощью: дерматоскопии высыпаний; рН-метрии кожи; бактериологического исследования (если есть признаки инфицирования).

Профилактика

Для детей:

• Регулярные гигиенические процедуры
• Воздушные и солнечные ванны
• Не мазать лицо детским кремом, маслами и лосьонами
• Поддерживать кожу чистой и сухой
• Не выдавливать прыщи, это может стать причиной инфицирования сальных желез и воспаления

Для подростков:

• Обращение к дерматологу. Дерматолог может назначить медикаментозное лечение, определить причину возникновения акне
• Переход на некомедогенную косметику
• Использование крема с защитным фильтром от солнца