НДС обычно применяется к стоимости товаров, работ, услуг или имущественных прав, поставляемых в Россию. Стандартная ставка НДС в России составляет 20% (18% до 2019 года) (более низкая ставка 10% применяется к некоторым основным продуктам питания, детской одежде, лекарствам и медицинским товарам, печатным публикациям и т. Д.). Те же ставки НДС (как и для внутренних поставок) применяются к импорту товаров в Россию.

Экспорт товаров, международные перевозки и другие услуги, связанные с экспортом товаров из России, международными пассажирскими перевозками, а также некоторые другие поставки имеют нулевую ставку с правом возмещения входящего НДС.Применение ставки НДС 0% и возмещение соответствующих сумм входящего НДС подтверждается предоставлением ряда документов в налоговые органы в определенные сроки. Взыскание входящего НДС, связанного с экспортом товаров (кроме экспорта сырья), осуществляется в соответствии с общими правилами взыскания (т.е. до подачи подтверждающих документов в налоговые органы). Для документального подтверждения права облагать экспортные поставки в страны-участницы Таможенного союза особые правила действуют по ставке НДС 0%.С 1 января 2018 года можно отказаться от применения ставки НДС 0% в отношении экспорта товаров, международных перевозок и других услуг, связанных с экспортом товаров из России, и применить стандартную ставку НДС.

Список товаров и услуг, не облагаемых НДС, включает базовые банковские и страховые услуги, услуги, предоставляемые финансовыми компаниями (депозитариями, брокерами и некоторыми другими), образовательные услуги, предоставляемые сертифицированными учреждениями, продажу определенного основного медицинского оборудования, пассажирские перевозки и некоторые другие социально значимые услуги.Большинство аккредитованных офисов ИФВ (а также их аккредитованные сотрудники) могут быть освобождены от уплаты НДС по арендной плате за недвижимость.

С 1 января 2021 года освобождение от НДС, применимое к передаче программного обеспечения и баз данных, включая лицензирование, будет значительно сужено. В результате иностранные поставщики программного обеспечения на российском рынке, вероятно, потеряют право применять это освобождение, и такие поставки будут облагаться российским НДС по ставке 20%.

Освобождение от НДС поставок не влечет за собой право на возмещение относимого входящего НДС.Вместо этого затраты, связанные с невозмещаемым входящим НДС, в большинстве случаев вычитаются для целей КПН.

НДС у источника выплаты

Российское законодательство о НДС предусматривает правила определения места оказания услуг с учетом НДС. Эти правила делят все услуги на разные категории, чтобы определить, где они считаются оказанными для целей НДС. Например, определенные услуги считаются оказанными там, где они выполняются, в то время как некоторые считаются оказанными там, где «покупатель» услуг осуществляет свою деятельность, некоторые — там, где находится соответствующее движимое или недвижимое имущество, и все же другие места, где «продавец» осуществляет свою деятельность и т. д.

В соответствии с механизмом обратного начисления российский покупатель должен учитывать НДС по любому платежу, который он производит не зарегистрированной в налоговой системе иностранной компании, если платеж связан с поставкой товаров или услуг, которые считаются поставленными в Россию, на основании правила о месте поставки НДС, и которые не подпадают под какие-либо освобождения от НДС в соответствии с внутренним законодательством о НДС. В таких обстоятельствах в соответствии с законодательством российский покупатель должен действовать в качестве налогового агента для целей российского НДС, удерживая российский НДС по ставке 20/120 (18/118 до 2019 г.) из платежей иностранному поставщику и перечисляя такой НДС Российский бюджет.Удержанный НДС может быть возмещен российскими плательщиками в соответствии со стандартными правилами возмещения входящего НДС в соответствии с законодательством.

Возмещение входящего НДС

Налогоплательщики обычно имеют право на возмещение входящего НДС, связанного с покупкой товаров, работ, услуг или имущественных прав, при условии, что они соблюдают набор правил, установленных законодательством о НДС. Входящий НДС потенциально может быть возмещен налогоплательщиком в следующих случаях:

• НДС в отношении товаров, услуг или работ, приобретенных с целью проведения операций, облагаемых НДС.
• Входящий НДС относится к авансовым платежам, перечисленным российским поставщикам товаров (работ, услуг), при условии, что такие приобретенные товары (работы, услуги) предназначены для использования в деятельности, облагаемой НДС. Обратите внимание, что налогоплательщики имеют право (а не обязаны) применять это правило, и они могут выбирать, использовать это право или нет.

В ряде случаев необходимо восстановить входящий НДС.

С 1 января 2018 года в России действует безналоговая система.Иностранные физические лица имеют право на возврат НДС, уплаченного при розничной покупке товаров. Возврат возможен, если сумма покупки превышает 10 000 рублей и место, где был приобретен товар, внесено в специальный список, установленный государством.

Начиная с 1 июля 2019 года, корпоративные налогоплательщики получают право на возмещение входящего НДС в отношении экспорта многих видов услуг, включая разработку программного обеспечения, консалтинговые, юридические и маркетинговые услуги (несмотря на то, что они не платят выходной НДС при оказании таких услуг). Сервисы).Однако новые положения не распространяются на экспорт освобожденных от НДС услуг, перечисленных в статье 149 НК РФ. Например, налогоплательщики, передающие / лицензирующие права на программные продукты, изобретения, ноу-хау и некоторые другие объекты интеллектуальной собственности (ИС) иностранным клиентам или оказывающие определенные виды услуг в области исследований и разработок (НИОКР), по-прежнему не будут право на возмещение входящего НДС.

Требования соответствия НДС

Каждый налогоплательщик, осуществляющий облагаемые НДС поставки товаров, работ, услуг или имущественных прав, должен выписывать счета-фактуры и предоставлять их покупателям.Налогоплательщик, поставляющий товары, работы или услуги, облагаемые НДС, покупателю, не являющемуся плательщиком НДС, может отказаться выставлять счет-фактуру по НДС, если письменно согласовано с покупателем. Счета-фактуры НДС должны быть выставлены в течение пяти дней после поставки. Счет-фактура НДС — это стандартная форма, устанавливаемая правительством. Соблюдение требований к выставлению счетов имеет решающее значение для возможности покупателя возместить входящий НДС.

Входящие и исходящие счета-фактуры НДС обычно должны регистрироваться налогоплательщиками в специальных регистрах НДС покупок и продаж.

Декларации по НДС должны подаваться в налоговые органы ежеквартально в электронном виде. НДС должен уплачиваться после окончания каждого квартала тремя частями, не позднее 25-го дня каждого из трех последовательных месяцев, следующих за кварталом, за исключением возврата НДС, удержанного российскими покупателями в соответствии с механизмом обратного начисления, который должен переводиться в дату внешнего платежа.

НДС на импорт

НДС на импорт уплачивается таможне при ввозе товаров.Налоговой базой для импортного НДС обычно является таможенная стоимость импортируемых товаров, включая акцизы. При ввозе товаров в Россию может применяться ставка НДС 20% (18% до 2019 г.) или 10%, в зависимости от специфики товаров. Как правило, импортный НДС может быть востребован для возмещения импортером при условии соблюдения установленных требований для такого возмещения.

Ограниченный ассортимент товаров может быть освобожден от импортного НДС. В перечень таких товаров входят, например, некоторые медицинские изделия и товары, предназначенные для дипломатического корпуса.Освобождение от импортного НДС возможно на определенное технологическое оборудование (включая его комплектующие и запчасти), аналоги которого в России не производятся. Перечень такого оборудования установлен Правительством России.

Ввозные пошлины

Товары, ввозимые в Российскую Федерацию, облагаются таможенными пошлинами. Ставка зависит от типа актива и страны его происхождения (обычно от 0% до 20% от таможенной стоимости). Особое освобождение от таможенных пошлин распространяется на товары, внесенные в уставный капитал российских компаний с иностранными инвестициями.

Россия была принята во Всемирную торговую организацию (ВТО) в 2012 году.

Россия также является членом Евразийского экономического союза (ЕАЭС) (вместе с Беларусью, Казахстаном, Арменией и Кыргызстаном). Союз имеет единую таможенную территорию, и продажи между странами-членами освобождены от таможенных формальностей. Члены ЕАЭС применяют единые таможенные тарифы и методологию таможенной оценки.

Сбор за таможенное оформление

Товары, перемещаемые через таможенную границу Российской Федерации, облагаются таможенным сбором по фиксированной ставке.Размер сбора зависит от таможенной стоимости перевозимых товаров. Комиссия обычно незначительна.

Акцизный налог

Акцизы обычно уплачиваются производителями подакцизных товаров на свои внутренние поставки. Акцизы также взимаются с импорта подакцизных товаров. Экспорт подакцизных товаров обычно освобождается от акцизных сборов. Подакцизными товарами являются автомобили, табак, алкоголь и некоторые нефтепродукты. Специальные ставки акцизов на каждый вид подакцизных товаров устанавливаются в НКР.Ставки варьируются в широких пределах и зависят от различных факторов.

Налог на имущество

Максимальная ставка налога на имущество составляет 2,2%, региональные законодательные органы вправе ее снизить.

Движимое имущество налогом не облагается. Нет четкого определения того, какое имущество следует считать движимым, а какое — недвижимым. На практике налоговые органы склонны применять широкое толкование недвижимого имущества.

Начиная с 2020 года, налог рассчитывается следующим образом:

• Недвижимость, учитываемая как основные средства, облагается налогом по среднегодовой стоимости в соответствии с российскими ОПБУ.
• Некоторые статьи облагаются налогом на основе кадастровой стоимости (строка баланса не имеет значения). В перечень таких объектов входят: торгово-деловые центры, офисы (перечень объектов утверждается соответствующим регионом России), жилые помещения, объекты незавершенного строительства, гаражи, парковочные места, а также жилые дома, садовые домики. , хозяйственные постройки (сооружения), расположенные на земельных участках, предоставленных для ведения личного подсобного хозяйства, овощеводства, садоводства или индивидуального жилищного строительства (если это установлено в уставе субъекта Российской Федерации, на территории которого находится имущество).Ставка налога на такую ​​недвижимость не может превышать 2%.

С 2015 по 2034 год нулевая ставка применяется к магистральным газопроводам и сооружениям, составляющим их неотъемлемые части, а также к объектам добычи газа и объектам производства и хранения гелия при соблюдении определенных условий (например, первоначальный ввод в эксплуатацию после 1 января 2015 года. ).

Трансфертные налоги

В России нет трансфертных налогов.

Транспортный налог

Транспортным налогом облагаются отдельные виды наземного, водного и воздушного транспорта, зарегистрированные в России.Применяются фиксированные ставки (за единицу мощности, валовую вместимость или транспортную единицу), которые могут отличаться в зависимости от мощности двигателя, валовой вместимости и типа транспорта. Фактические ставки в регионах России могут быть максимально увеличены / снижены законодательными органами отдельных субъектов Российской Федерации. Правила отчетности и оплаты установлены региональными законодательными органами.

Множитель (до трех) зависит от возраста и стоимости автомобиля.

Налоги на заработную плату

В дополнение к социальным отчислениям, за которые несет ответственность работодатель, нет налогов на фонд заработной платы.

Годовая заработная плата всех сотрудников в 2021 году облагается налогом по следующим правилам:

• Взносы в Фонд социального страхования: Облагается налогом только первые 966 000 рублей заработной платы (по ставке 2,9%).
• Взносы в Пенсионный фонд: первые 1 465 000 рублей облагаются налогом по ставке 22%, превышение — по ставке 10%.
• Взносы в фонд медицинского страхования: ставка 5,1% применяется к общей заработной плате.

Вознаграждение иностранных граждан, временно пребывающих в России, покрывается (i) взносами на пенсионное страхование по ставке 22% в пределах порогового значения 1 465 000 руб. И 10% доплатой к вознаграждению, выплачиваемому сверх порога, и (ii ) взносы на социальное страхование в размере 1.8% в пределах 966 000 рублей. Единственное исключение — для высококвалифицированных специалистов, имеющих соответствующее разрешение на работу.

Начиная с 1 апреля 2020 года и в дальнейшем социальные отчисления для малых и средних предприятий снижены почти до 15%.

Социальные выплаты будут доступны ИТ-компаниям и технологическим компаниям с 1 января 2021 года при соблюдении определенных критериев:

Работодатели также обязаны уплачивать взносы по страхованию от несчастных случаев на работе и профессиональных заболеваний.Ставка этого взноса варьируется от 0,2% до 8,5% от фонда оплаты труда в зависимости от вида деятельности работодателя.

Налог на добычу полезных ископаемых (MRET)

Расчет MRET зависит от типа минерального ресурса.

MRET для угля, нефти, газа и газового конденсата рассчитывается с использованием извлеченного объема соответствующего ресурса. Ставка налога устанавливается как фиксированная ставка, умноженная на различные коэффициенты, привязанные к мировым ценам и характеристикам отрасли.Нулевая ставка MRET применяется к нефти, добываемой с новых месторождений в определенных регионах России (например, Восточная Сибирь, внутренние и территориальные воды в северной полярной зоне, Азовское и Каспийское моря, а также Ненецкий и Ямальский регионы) на начальном этапе их добычи.

MRET для других природных ресурсов зависит от стоимости добытых ресурсов. Ставка налога варьируется от 3,8% до 8%. Например, 3,8% для калийной соли, 4,8% для черных металлов, 6% для продуктов, содержащих золото, и 8% для цветных металлов и алмазов.

Сниженные ставки MRET применяются к инвесторам на Дальнем Востоке России ( см. Региональные льготы в разделе «Налоговые льготы и льготы», чтобы получить более подробную информацию ).

Откуда же родом фразеологизмы? Как они появились? Вероятно, что фразеологизмы, они же афоризмы, крылатые выражения начали существовать с тех времен, как появилась человеческая речь.

Мы часто используем фразеологические обороты в повседневной речи, порой даже, не замечая — ведь некоторые из них просты, привычны, и знакомы с детства.

На этой странице собраны примеры фразеологизмов русского языка. Они разделены на категории по буквам алфавита, а дальше, в самой категории, они расположились в алфавитном порядке. Воспользуйтесь навигацией или тематическими подборками для быстрого перехода к нужному выражению.

«Во фразеологизмах — душа и мудрость русского народа».

(Неизвестный автор)

fraze.ru

Фразеологизмы: примеры с объяснением, значение фразеологизмов в русском языке

Устойчивые сочетания существуют в истории языка давно. Уже в восемнадцатом веке примеры фразеологизмов с объяснением можно было встретить в сборниках идиом, крылатых выражений, афоризмов, пословиц, хотя, лексический состав языка тогда еще не изучался настолько плотно. И только с приходом в науку В. В. Виноградова появилась база для всемерного изучения устойчивых фраз. Именно он положил начало развитию фразеологии и назвал ее лингвистической дисциплиной.

Известный лингвист Н. М. Шанский фразеологический оборот представил как фиксированную единицу языка, воспроизводимую в готовом виде и имеющую два или более ударных компонента словного характера. Кроме лексической неделимости, фразеологизмы имеют и лексическое значение, зачастую являются синонимами слов. Как пример: «правая рука — помощница», «прикусить язык — замолчать».

Содержание:

• Употребление фразеологизмов в русском языке

Употребление фразеологизмов в русском языке, примеры с объяснением

Разнообразные фразеологические обороты в родной речи мы используем незаметно для себя, в связи с тем, что они стали привычными с детства. Самые известные пришли к нам из сказок, эпосов, народных легенд, некоторые — из иностранных языков. К исконно русским можно отнести своеобразные сочетания, встречающиеся только в нашем родном языке и отражающие русский быт, традиции и культуру. Попробуем понять смысл на следующем примере и объяснении. Главным продуктом на Руси считался хлеб — он успел стать символом достатка, хорошего заработка. Поэтому фразеологизмы: «отбивать у кого-то хлеб» или «есть хлеб даром» понятны только русским людям.

Метаморфичность и образность — главные критерии русских фразеологизмов. Именно народность, присущая родному языку, позволяет понимать устойчивые словосочетания не на уровне речи, а на уровне модели языка, которую вы впитываем с молоком матери. Даже устаревшие фразы, значение которых забыто, становятся понятными нам и близкими благодаря их образности. Ниже мы рассмотрим распространенные примеры фразеологизмов с объяснением и их значение.

Книжные и литературные

Положить под сукно

• «Положить под сукно» — не давать хода делу откладывать его на неопределенный период. Под сукном понимается шерстяная ткань, которой раньше покрывался письменный стол. Если какая-либо бумага или папка легла под сукно — значит она осталась не подписанной и в работу не пошла.
• «Поднимать на щит» — то есть, оказывать честь, отзываться с похвалой о ком-либо. Как пример, победителей в старину в прямом смысле слова поднимали на щит и несли высоко, чтобы все могли их увидеть и поблагодарить.
• «Пиши — пропало». Так говорят о деле, которое заведомо невозможно сделать из-за отсутствия определенных условий. В девятнадцатом веке чиновники расписывали в книге расходов статьи о приходе и расходе товаров. Своему писарю казнокрады обычно приказывали сделать запись о пропаже товара именно словами «Пиши — пропало». При этом саму пропажу присваивали себе.
• «А был ли мальчик?» — таким способом сейчас выражается крайнее сомнение в чем-либо. Пришел фразеологизм из романа М. Горького «Жизнь Клима Смагина», в котором описывается сцена катания на коньках детей. Когда ребята проваливаются под воду, девочку Клим спасает первой. Потом бросает свой ремень и мальчику, но, испугавшись, что сам может утонуть, отпускает его. Во время поисков утонувшего ребенка, Клим слышит голос, произносящий фразу: «Да был ли мальчик-то, может, мальчика и не было?».
• «Кисейная барышня» — так пренебрежительно отзываются об изнеженной девушке, которая абсолютно не приспособлена к жизни. Оборот взят из повести Н. Г. Помяловского «Мещанское счастье».
• «Медвежий угол» — глухое поселение, захолустье. Впервые выражение употребил П. И. Мельников-Печерский в одноименном романе об одном из дальних городков России.
• «Задеть за живое» — еще один книжный фразеологизм, история которого уходит корнями во времена, когда клеймили рабов. Прижигание доставляло дикую боль, особенно при прикосновениях к заживающей ране. Данный оборот становится актуальным, когда в разговоре затрагиваются темы, вызывающие у собеседника душевные муки.
• «Козел отпущения» — тот, на кого перекладывают ответственность за чужую вину. Словосочетание относится к литературным фразеологизмам и имеет древнее происхождение. В библейском предании говорится об обряде грехоотпущения. Священник накладывал руку на обычного козла, как бы, перенося грехи с человека на животное, которое позже изгонялось в пустыню.
• «Как с гуся вода» — все нипочем. Оперение гуся покрыто специальной смазкой, не позволяющей промокнуть птице. Вода не смачивает крылья гуся. Благодаря этому жиру, он остается сухим.

Примеры разговорных и заимствованных фразеологизмов

Заморить червячка

• «Первый среди равных» — то есть, лучший или ведущий. Заимствовано из латинского «Primus inter pare», которое так дословно и переводится. Это звание носил император Август еще до принятия своего высокого титула. Таким образом поддерживали его престиж.
• «Хорошая(веселая) мина при плохой игре» — то есть, за внешним невозмутимым видом спрятать свои переживания и неудачи. При этом «мина» — со старого бретонского языка переводится дословно как «выражение лица».
• «Что позволено Юпитеру, то не дозволено быку». Впервые фраза была произнесена Публием Теренцием Афром. Используется она, когда нужно пресечь необоснованные претензии, указав спорящему его нижестоящее место.
• «Съесть пуд соли» — распространенный разговорный фразеологизм. Это пример долгой совместной жизни. В системе мер пуд приравнен к 16 кг. Чтобы употребить такое количество соли, требуется прожить вместе огромный срок, на протяжении которого люди узнают друг о друге практически все.
• «Ничего нет за душой» — так принято говорить о бедном человеке. По народным поверьям, душа человека располагалась в ямочке на шее. Там же было принято в старину хранить деньги и драгоценности. Если прятать в ямочку было нечего, то считалось, что и «за душой» ничего нет.
• «Заморить червячка» — то есть, слегка перекусить. Выражение является калькой из французского «tuer le ver», имеющего дословный перевод — «выпить рюмочку спиртного натощак». Предполагалось, что алкоголь, принятый с минимальной закуской, уничтожал в организме гельминтов.
• «Вожжа под хвост попала» — разговорный фразеологизм, обозначающий опрометчивые поступки кого-либо. Выражение когда-то применялось в прямом смысле, а не в переносном по отношению к лошадям, у которых, попавшая под хвост вожжа, вызывала боль и заставляла совершать бездумные действия.
• «Зарубить на носу» — запомнить один раз и навсегда. В прежние времена неграмотные люди носили повсюду с собой дощечки, на которых зарубками делали заметки на память. «Нос» в данном случае — не орган обоняния, а носимая вещь.

Медицинские и другие профессиональные выражения с объяснением

В час по чайной ложке

• «Грудь сапожника» — медицинский термин, который имеет свое значение и объяснение. Так называют воронкообразную грудную клетку. Нижняя часть грудины у сапожников в виду профессиональной деятельности вдавлена вовнутрь, за счет чего объем грудной клетки значительно уменьшен.
• «В час по чайной ложке» — так говорят о малопродуктивной работе. Как пример: в старину аптекарь писал прямо на бутылочках с микстурой именно такой рецепт. Это обозначало, что лечение должно вестись неторопливо, чтобы успеть вовремя отреагировать на появление аллергических проявлений. Если для больного такой подход вполне обоснован, то для работающего человека — это показатель лени и нерешительности.
• «Заговаривать зубы» — отвлекать от насущной проблемы посторонними разговорами. В отличие от стоматологов, знахарки умеют заговорами устранять на время боль. При этом сами зубы они не лечат и проблема остается нерешенной.
• «Сидеть в печенках» — надоесть, отравлять жизнь. В Древней Руси печень считалась вместилищем жизненной силы человека. Полагали, что человек, который мешает жить, забирает свободную энергию, а, значит, сидит в печенках и напрямую оттуда черпает чужие силы.
• «Затаив дыхание» — то есть, внимательно, не пропуская даже мелочи. В медицине, чтобы просветить грудную клетку для правильного диагноза, требуется задержать на несколько минут дыхание. Считается, что человек затаивший дыхание, получит максимально качественный результат.
• «Засучив рукава» — действовать усердно и энергично, не жалея при этом собственных сил. Если помните, в старину было принято носить одежды с длинными рукавами — у некоторых длина достигала 95 см. В такой одежде работать было невозможно. Чтобы сделать что-либо полезное, приходилось сначала засучить рукава, после чего дело спорилось гораздо быстрее.
• «Спустя рукава» — лениво, медленно, без надлежащего энтузиазма. Этот фразеологизм существует в противовес предыдущему и имеет аналогичное объяснение. То есть, спущенные длинные рукава не позволяли выполнять работу должным образом.
• «Ждать у моря погоды» — бездействовать, ожидать, что ситуация разрешится сама собой. Этот термин пришел из речи моряков, которые перед выходом на промысел обязательно следили за погодой и ждали благоприятного периода, чтобы не попасть в шторм.

Устойчивые и нейтральные словосочетания и их значение

Прожужжать все уши

• «Места себе не находит» — то есть, волнуется. Так говорят о человеке, который пребывает в состоянии сильного беспокойства о ком-либо.
• «Не разгибая спины» — значит, тяжело и настойчиво трудиться. Так говорили о пахарях, которые работали в поле с утра до ночи.
• «Прожужжать все уши» — замучить просьбами и разговорами об одном и том же.
• «Падать духом» — окончательно разувериться в собственных силах.
• «На ночь глядя» — то есть, перед наступлением темноты, когда уже не ходит общественный транспорт и повышается риск стать жертвой плохих обстоятельств. Кроме того, существует много примеров того, что ничего существенного сделать поздно вечером человек уже не успеет, так как дневные ресурсы организма исчерпаны.
• «Остаться с носом» или потерпеть неудачу. Примеры употребления выражения: когда кто-то позволяет себя одурачить, не получает того, на что рассчитывал. Под словом «нос» в старину понимали поклон с подношением. «Нос» — то есть, «принесенное». Богатые обычно приходили к чиновникам с деньгами, бедняки несли поросенка, курицу, яйца. Дьяки за подношения выносили решения в пользу приносящего дары. Плохим знаком было непринятие чиновником «носа», если тот был слишком скромным. При этом просящий оставался со своим даром, то есть, «с носом» и не получал желаемого.
• «Перемывать кости» — то есть, сплетничать, злословить, разбирать поступки другого человека. Когда-то считалось, что грешник, над которым нависло проклятие, может выходить из могилы в виде упыря. Чтобы избавить его от заклятья, требовалось раскопать могилу и перемыть кости чистой водой.

На приведенных выше примерах, мы видим, что уместное употребление фразеологизмов насыщает нашу речь, позволяет сделать общение эмоционально богатым и интересным. Предложения с фразеологизмами вносят «изюминку» в разговор и воспринимаются всеми как вполне естественный элемент речи, усиливающий ее смысл.

detki.today

Фразеологизмы / Лексикология и фразеология / Справочник по русскому языку для начальной школы

Фразеологизм — это устойчивое, неделимое сочетание слов. При этом лексическое значение имеет весь фразеологизм целиком, а не слова, в него входящие.

Например: 

мастер на все руки — это человек, обладающий многими способностями и умениями

В предложении фразеологизм является одним членом предложения!

При этом фразеологизмы могут быть как главными членами предложения, так и второстепенными.

Например:

Вчера Миша целый день бил баклуши. (сказуемое)

Папа держит сына в ежовых рукавицах. (дополнение)

Значение фразеологизмов дано во фразеологических словарях.

Здесь мы представим наиболее употребляемые в начальной школе фразеологизмы с их значением в алфавитном порядке.

бабушкины сказки — вымысел, небылицы

бежать во все лопатки — мчаться, нестись

беречь как зеницу ока — охранять старательно, тщательно, как самое дорогое и ценное

бить баклуши — бездельничать

ва́лится из рук — когда ничего не получается из-за нежелания или плохого настроения

ветер в голове — говорят о легкомысленном человеке, который не задумывается о последствиях своих поступков

взять себя в руки — успокоиться

водить за нос — обманывать, дурачить, вводить в заблуждение

воро́н считать — смотреть по сторонам

встать не с той ноги — быть в плохом настроении

встретиться нос к носу — внезапно, неожиданно столкнуться с кем-то

выйти сухим из воды — избежать наказания за проступок

глаза на затылке — неодобрительно говорят об очень невнимательном человеке, который ничего вокруг не замечает

глазом не моргнув — не задумываясь, не колеблясь

гнаться за двумя зайцами — делать несколько дел одновременно и ни в одном не преуспеть

голова идёт кругом — теряется способность ясно мыслить от большого количества дел и хлопот

делать спустя рукава — небрежно, с ленцой выполнять что-то

держать нос по ветру — приспосабливаться к разным обстоятельствам

держать ухо востро — быть осторожным и осмотрительным

(держать в) ежовые рукавицы — быть строгим в воспитании

держать язык за зубами — молчать и не болтать лишнего

диву даваться — очень удивляться чему-либо

длинный язык — говорят о болтливом человеке

до корней волос — внезапно и очень сильно

жить чужим умом — придерживаться чужих взглядов, убеждений; не быть самостоятельным в своих действиях, поступках

заварить кашу — своими действиями создать сложную ситуацию

задирать нос — зазнаваться, важничать

зарубить на носу — хорошо запомнить

засучив рукава — усердно, старательно, не жалея сил

зуб на зуб не попадает — сильно дрожать от холода или страха

зубы заговаривать — забалтывать, отвлекать внимание, говоря о чём-то, не относящемся к делу. 

и след простыл — означает бесследно исчезнуть, сбежать

из рук вон — очень плохо

как свои пять пальцев — очень хорошо знать

каша в голове — означает, что в голове перепутаны мысли, и нет чёткого понимания чего-либо

клевать носом — дремать сидя и, борясь со сном, резким движением поднимать всё время опускающуюся голову

кривить душой — обманывать, врать

курам на смех — говорят о чём-то совершенно глупом и бессмысленном

мастер на все руки — человек, обладающий многими умениями с способностями

медведь на ухо наступил — у кого-то абсолютно нет музыкального слуха

мозолить глаза — постоянно попадаться кому-то на глаза, быть в поле зрения кого-то

морочить голову — сбивать с толку, дурачить, путать

набрать в рот воды — молчать, не отвечать на вопросы

навострить уши — внимательно прислушаться

не покладая рук — работать усердно, не останавливаясь, неутомимо, старательно

не ударить в грязь лицом — показать себя с лучшей стороны

ни свет ни заря — очень рано 

ног под собой не чуять — очень устать

нос повесить (или повесить нос) — опечалиться

остаться с носом — потерпеть неудачу, остаться без того, на что рассчитывал.

провалиться сквозь землю — хотеть спрятаться, исчезнуть от стыда, неловкости или страха

прожужжать все уши — назойливо повторять одно и то же, надоедать кому-то постоянными разговорами о чём-то

пропускать мимо ушей — прослушать

просят каши — нуждаются в починке, в ремонте

пускать пыль в глаза — хвастаться, набивать себе цену, создавать лучшее (ложное) впечатление о себе

путаться под ногами — мешать

развесить уши — слушать с чрезмерным увлечением, доверчивостью

с глазу на глаз — наедине

с гулькин нос — очень мало

садиться не в свои сани — заниматься не своим делом

свалиться как снег на голову — нежданно, очень неожиданно, внезапно

сделать на скорую руку — сделать быстро, не задумываясь о качестве

сидеть сложа руки — ничего не делать, бездельничать

смотреть сквозь розовые очки — означает иллюзорное, наивное мировосприятие, когда человек не видит реалий жизни.

стреляный воробей — человек бывалый, много повидавший, через многое прошедший

уши вянут — пропадает желание слушать что-то нелепое, глупое

ушки на макушке — быть начеку, быть готовым к неожиданностям

budu5.com

Фразеологизмы и их происхождение

Фразеология — один из разделов языкознания, изучающий устойчивые сочетания слов. Наверняка каждый из нас знаком с выражениями «бить баклуши», «водить за нос», «как гром среди ясного неба», «спустя рукава» и т. д. Но многие ли из нас хоть раз задумывались о том, откуда они пришли в наш язык? Предлагаю Вашему вниманию небольшую подборку фразеологизмов с их значениями и историей происхождения, благодаря которым Вы, возможно, узнаете что-то новое и сможете сделать свою речь более выразительной и разнообразной.

Иллюстрация Г. Балиева — «Геракл в Авгиевых конюшнях»

Начнем, пожалуй, с такого общеизвестного выражения, как «Авгиевы конюшни», использующееся при описании очень грязного места, для очистки которого потребуются немалые усилия. Фразеологизм берет свое начало со времен Древней Греции, где жил царь Авгий, очень любивший лошадей, но не уход за ними: конюшни, где обитали животные, не видели уборки около тридцати лет. Согласно легенде, на службу к царю поступил Геракл (Геркулес), который получил от Авгия приказание вычистить стойла. Для этого силач использовал реку, поток которой направил в конюшни, тем самым избавившись от грязи. Впечатляет, правда?

«Альма-матер» (от лат. «мать-кормилица»)

Университет Гаваны, Куба

В древности студенты использовали этот фразеологический оборот, описывая учебное заведение, которое их как бы «вскормило», «вырастило» и «воспитало». В настоящее время его употребляют с некоторой долей иронии.

«Ахиллесова пята» (слабое, уязвимое место)

Фетида и Ахилл

Источник этого фразеологизма — древнегреческая мифология. По легенде, Фетида — мать Ахилла- хотела сделать своего сына неуязвимым. Для этого она окунула его в священную реку Стикс, позабыв, однако, о пятке, за которую держала мальчика. Позже, сражаясь со своим врагом Парисом, Ахилл получил стрелу в эту пятку и умер.

«Гоголем ходить» (прохаживаться с очень важным видом, самоуверенно)

Нет, это выражение никак не связано с известным русским писателем, как это может поначалу показаться. Гоголь — это дикая утка, которая ходит по берегу с откинутой назад головой и выпяченной грудью, что наталкивает на сравнение с человеком, пытающимся показать всю свою важность.

«Зарубить на носу» (очень хорошо что-то запомнить)

В данном выражении слово «нос» вовсе не означает часть человеческого тела. В древности этим словом именовали дощечки, на которых делали всевозможные пометки. Люди носили ее с собой в качестве напоминания.

«Уйти с носом» (уйти ни с чем)

Еще один фразеологизм, связанный с носом. Однако он, как и предыдущий, не имеет ничего общего с органом обоняния. Свое начало это выражение берет из Древней Руси, где было широко распространено взяточничество. Люди, имея дело с властями и надеясь на положительный исход, пользовались «приносами» (взятками). Если судья, управляющий или дьяк принимали этот «нос», можно было быть уверенным, что все разрешится. Однако если взятка была отвергнута, проситель уходил со своим «носом».

«Ящик Пандоры» (источник бед и несчастий)

Древнегреческий миф гласит: до того, как Прометей не похитил у богов огонь, люди на земле жили в радости и не знали никаких бед. В ответ на это Зевс отправил на землю невиданной красоты женщину — Пандору, дав ей ларец, в котором хранились все человеческие несчастья. Пандора, поддавшись любопытству, открыла ларец и все их рассыпала.

«Филькина грамота» (не представляющий никакой ценности документ, бессмысленная бумажка)

Митрополит Филипп отказывается благословить Ивана Грозного, гравюра с картины Пукирева, 1875 г.

Этот фразеологический оборот уходит корнями в историю русского государства, а точнее — во времена царствования Ивана IX Грозного. Митрополит Филипп в своих посланиях к государю пытался убедить того в смягчении проводимой им политики, отменить опричнину. В ответ Иван Грозный лишь назвал митрополита «Филькой», а все его грамоты — «филькиными».

Это лишь некоторые из фразеологизмов русского языка, которые имеют за собой весьма интересную историю. Надеюсь, что представленный выше материал оказался для Вас полезным и увлекательным.

upages.io

Примеры фразеологизмов и их значения

Употребление фразеологизмов уместно в разных жизненных ситуациях. Они обогащают нашу речь, украшают язык. Мы встречаемся с ними и в споре, и в житейском бытовом разговоре, в публичных выступлениях, при подготовке докладов, сочинений.

Чтобы не попасть впросак, надо точно знать, что означают фразеологизмы.

Примеры фразеологизмов и их значения

Белиберду нести — говорить ерунду, вздор.

Как белка в колесе (вертеться) – быть в беспрестанных делах, заботах, много суетиться.

С жиру беситься – привередничать, капризничать от безделья, пресыщения.

Играть в бирюльки — заниматься пустяками.

Баклуши бить – бездельничать. 
Белены объесться — взбеситься применяется к людям, которые делают глупости. 
После дождичка в четверг – никогда. 
Аника-воин  — хвастун, храбрый лишь на словах, вдали от опасности 
Задать головомойку (баню) — намылить шею, голову — сильно отругать 
Белая ворона — человек, резко выделяющийся из окружающей среды теми или иными качествами 
Бирюком жить — быть угрюмым, ни с кем не общаться. 
Бросить перчатку — вызвать кого-нибудь на спор, соревнование (хотя никто перчаток не кидает) 
Волк в овечьей шкуре — злые люди, прикидывающиеся добрыми, которые прячутся под маской кротости. 
Витать в облаках — блаженно грезить, фантазировать невесть о чем. 
Душа в пятки ушла — человек перетрусивший, испугавшийся 
Живота не пожалеть — пожертвовать жизнью. 
Зарубить на носу — запомнить крепко-накрепко. 
Из мухи делать слона — превращать мелкий факт в целое событие 
На блюдечке с золотой каемочкой — получить желаемое с почетом, без особых усилий. 
На краю земли — где-то очень далеко. 
На седьмом небе — быть в полном восторге, в состоянии наивысшего блаженства 
Ни зги не видно — так темно, что не видно тропинки, дорожки 
Кинуться очертя голову — действовать безрассудно, с отчаянной решимостью 
Съесть пуд соли — хорошо узнать друг друга 
Скатертью дорога — уходи, без тебя обойдемся 
Работать засучив рукава — работать горячо, со старанием

infourok.ru

Фразеологизмы их Значения и Примеры — МОЛОДОСТИ ВИВАТ!

Мой юный друг,  ты не знаешь, что такое фразеологизмы? Впервые о стилистике языка и связанных словосочетаниях заговорил швейцарский учёный Шарль Балли. Он считается родоначальником теории фразеологии.

Фразеологизм — оборот речи, смысл которого определяется группой слов. Пример: Купить кота в мешке, Комар носа не подточит, Держать камень за пазухой, Мелко плавать, Смотреть сквозь пальцы, Проще пареной репы, Провалится сквозь землю.

Мы иногда заимствуем фразеологизмы из других языков. Прекрасно знакомы нам французские речевые обороты: Шерше ля фам (ищите женщину), А ля гер ком а ля геро (на войне как на войне).

Лексические обороты — примеры

Английские и американские лингвисты до сих пор не рассматривают фразеологизмы и фразеологию как отдельную научную дисциплину языкознания. Русские лингвисты спорят о том, что считать фразеологизмом, а что нет. Одни к фразеологизмам относят все крылатые выражения: пословицы, поговорки, цитаты, афоризмы, лозунги, рекламные клише, сленги. Другие настаивают на том, что фразеологизмами являются лишь идиомы.

Ты не знаешь, что такое идиома? Это единая конструкция слов, которая подлежит переводу  целиком. Идиомы имеют переносный смысл, а не дословный.

Примеры таких фразеологизмов:

• Вторая молодость
• Бабье лето
• Сон в руку
• Сыграть в ящик
• Крепок задним умом
• Нечист на руку
• Мир тесен
• У страха глаза велики
• Жареный петух клюнул
• Бить баклуши
• До лампочки
• Ежиков пасти

Фразеологизмы русского языка

Попробуй-ка перевести русские фразеологизмы на иностранный язык или чужеземные фразеологизмы на русский. Но хочу заметить, что далеко не все пословицы, поговорки и афоризмы становятся крылатыми. Не все теряют своё авторство и становятся популярными в народе. Не всегда «красивые слова» принимаются в обиход разговорной речи, а потому фразеологизмами не являются.

О значении некоторых фразеологизмов на примерах:

Бабье лето – о возрасте, когда в зрелые годы вдруг возвращается молодость, по ассоциации – осенью возвращаются теплые погожие деньки.

Бальзаковский возраст — о возрасте женщины (по фамилии французского писателя Оноре де Бальзака, изображавшего в своих романах женщин преимущественно в возрасте 30-40 лет).

«Прощай» молодость – об одежде или обуви, которая давно вышла из моды.

Молоко на губах не обсохло — намёк на незрелое мышление и рассуждение человека, как у младенца, которого только что оторвали от груди матери.

Девичья память — о плохой, «короткой» памяти. Намёк на аналогию, как легкомысленные девушки, найдя нового жениха, быстро забывают свои клятвы бывшему кавалеру.

Молодец к молодцу — все как один красавцы, удальцы. Молодец — молодой человек, отличающийся храбростью, удалью, положительный герой многих сказок, былин.

Много будешь знать, скоро состаришься — намек на то, чтобы ты не интересовался делами, которые тебя напрямую не касаются, а вовсе не на то, что знания старят человека. Старые люди знают больше молодых, но несчастным человека могут сделать не только годы. Иногда знания прибавляют скорби.

Битый час — очень долго по времени.  Фразеологизм возник однозначно тогда же, когда появились часы с боем, каждый час отбивался звоном курантов.

Божий одуванчик — о тихом и слабом, обычно старом человеке.

Быльём поросло — о безвозвратном прошлом, о том, что давно забыто, стерлось из памяти.

С водой выплеснуть и ребенка – отбрасывая лишнее и ненужное, вместе с этим не потерять чего-то важного и значительного (калька с немецкого das Kind mit dem Bade aussch?tten: «Не следует ребенка вместе с водой выплескивать из ванны»).

Яйца курицу не учат – намек на то, что молодым не следует наставлять и давать советы более опытным людям, старшим по возрасту.

И на старуху бывает проруха — и опытный человек ошибается. (Проруха — всякий промах, ошибка, оплошность. А также проруха означало яму,  ловушку).

Искать вчерашний день — заниматься заведомо бесполезной деятельностью, пытаясь вернуть, найти то, чего уже нет.

И след простыл – кто-либо исчез, сбежал, бесследно и давно скрылся. Остывший след на языке охотников – след, оставленный давно и не сохранивший запах животного. Если след простыл, т. е. утратил запах, охотничьей собаке весьма трудно обнаружить зверя.

Ищите женщину (cherchez la femme) — указывает на то, что причиной всякого события и виновницей всякого обстоятельства является женщина. Крылатым выражением оно стало благодаря роману А. Дюма.

Кисейная барышня — изнеженный, не приспособленный к жизни человек.

Класть зубы на полку– испытывать особую нужду, ограничивать себя в самом необходимом, голодать. По аналогии, если кушать нечего, то и вставные зубы не нужны.

Кровь с молоком — о румяном, здоровом человеке. Выражение из русского фольклора, где соединились народные представления о красоте цвета: красного как кровь и белого как молоко.

Поперёд батьки в пекло лезть – о ненужной поспешности в каком-либо опасном или сложном,  требующем опыта деле, которое лучше не делать самому. Дай возможность более опытному человеку справиться с таким делом. (т. е. не следует лезть в ад, пекло – раньше родителей).

Что такое фразеологизмы и в чём их значение?

В испанском языке нет слова «безграмотный». Чтобы сказать на испанском «безграмотный человек», нужно сказать «человек, который не умеет читать и писать». Фразеологизм – это то, что в двух-трёх словах изображает действие, которое можно долго объяснять несколькими предложениями.

• Фразеологизм — это образ
• Фразеологизм — это картинка, которая может вместить в себе целый сюжет

Многие выражения столь длинны, что теряют свою образность и не могут являться фразеологизмами. К понятию «фразеологизм» применимо понятие «краткость выражения».  Выражение не считается фразеологизмом, если оно длинное. Например:

• О молодость-молодость! Вся тайна твоей прелести состоит не в возможности всё сделать, а в возможности думать, что всё сделаешь.
• Мир в целом движется вперёд, но молодежи приходится всякий раз начинать всё сначала.
• Молодежь смотрит на мир глазами своих кумиров.
• Молодые люди столь же склонны считать себя мудрыми, сколь пьяные — трезвыми.

Это не фразеологизмы. Нет краткости изложения.

Примеры фразеологизмов:

Старость не радость.
Муж и жена — одна сатана.
Лучше поздно, чем никогда.
Яблоко от яблони не далеко падает.
Молодо-зелено (гулять велено).

Фразеологизм — это крылатое выражение, которое  употребляется в разговорной речи

Примеры Фразеологизмов со словом «время»

• Опередил своё время.
• Время-деньги.
• Время летит!
• Убить время.
• Делу время, потехе — час.
• Трудное время.
• Время вперёд!
• Время разбрасывать камни и Время собирать камни.
• Время лечит.
• Время покажет.
• Всему своё время.
• Времена меняются.
• Потерять время.
• Время работает на нас.
• Время решает всё.
• С незапамятных времён.
• Машина времени.

Фразеологизмы и их значения Примеры фразеологизмов

Афоризмы о молодости

www.molodostivivat.ru

Таким внешним воздействием, как оказалось, может быть облучение лазером, в результате которого парамагнитные свойства сменяются ферромагнитными или наоборот. Так, с помощью более высокоэнергетических импульсов (плотностью больше 300 или 400 миллиджоулей на квадратный сантиметр для пленок разной толщины) можно перевести материал в ферромагнитное состояние, а с помощью импульсов меньшей энергии (например 200 миллиджоулей на квадратный сантиметр) — наоборот, снять всю намагниченность, превратив пленку в парамагнитную.

Последовательное переключение пленки из ферромагнитного состояния (верхний ряд) в парамагнитное (нижний ряд) и наоборот. На рисунках приведены карты намагниченности облученной области при отсутствии внешнего поля (слева) и при включенном внешнем поле разного направления и силы. Перевод в парамагнитное состояние производился с помощью разного количества импульсов

J. Ehrler et al./ ACS Applied Materials & Interfaces, 2018

При этом намагниченность образца полностью зависит от внешнего поля: при отсутствии магнитного поля образуется многодоменная структура, а при наличии внешнего поля намагниченность зависит от его направления и величины. В будущем авторы планируют использовать для подобных переходов не единственный лазер, а целую систему интерферирующих лазерных пучков, благодаря которой в пленке можно будет создавать сложные упорядоченные ферромагнитные решетки большой площади.

Если для трехмерных материалов, пусть даже и в виде пленок нанометровой толщины, ферромагнитное состояние наблюдается достаточно часто, то произвести переход в упорядоченное магнитное состояние в настоящих двумерных системах очень сложно. С точки зрения классической теории такое упорядочение невозможно, и до недавнего времени ферромагнетизм наблюдался только в квазидвумерных системах, однако в прошлом году американские физики обнаружили ферромагнетизм и в настоящем двумерном кристалле — теллуриде хрома и германия.

Александр Дубов

Манипуляции с ферромагнетизмом — будущее накопителей?

Сейчас мы прекрасно знаем о методиках чтения/записи данных, позволяющих изменять направление намагниченности определенного участка с использованием оптических технологий. Однако, наши сегодняшние герои решили «поиграться» с самим ферромагнетизмом. По их словам, именно в этом и заключается будущее хранения данных. Как именно им удалось манипулировать ферромагнетизмом, какие есть достоинства и недостатки у этой технологии, и действительно ли она станет прорывом в мире ИТ? Ответы на эти вопросы мы попытаемся найти в докладе ученых. Поехали.

Ферромагнетизм — что это?

Прежде чем начать описывать саму технологию, которая позволяет манипулировать данным физическим явлением, стоит коротенько пояснить что такое ферромагнетизм.

Типы магнетизмам (направление электронов): A — парамагнетизм; B — ферромагнетизм; C — антиферромагнетизм; D — ферримагнетизм; (E) принудительный ферромагнетизм.

Электроны веществ-ферромагнетиков склонны параллельно выстраиваться по отношению к приложенному магнитному полю. Помимо этого наблюдается тенденция к ориентированию этих магнитных моментов друг на друга для поддержания состояния пониженной энергии. Даже если приложенное поле отсутствует, электроны вещества спонтанно выстраиваются параллельно друг другу. Все это возможно только при температуре ниже точки Кюри*.

Кусочек железа, нагретый до температуры выше точки Кюри лишь слегка притягивается к магниту. После охлаждения его ферромагнитные свойства восстанавливаются полностью.

*Точка Кюри — параметр, определяющий температуру, при которой вещество теряет свои ферромагнитные свойства. Когда температура превышает границу, установленную точкой Кюри, интенсивность теплового движения атомов возрастает и разрушает магнитный порядок электронов, т.е. симметрия нарушается, и ферромагнетик становится парамагнетиком (веществом, способным намагничиваться за счет воздействия внешнего магнитного поля, например алюминий или литий).

Манипуляции с ферромагнетизмом

По словам исследователей лазерные манипуляции со свойствами веществ это не новость в мире технологий хранения данных. Ярким примером являются CD-RW — перезаписываемые оптические диски.

Попытки совместить скорость лазерных импульсов и плотность магнитной записи стали целью многих современных исследований. Для достижения подобной гибридизации используются методы оптического перемагничивания и термоассистируемой магнитной записи. Однако такие методы не позволяют манипулировать с самим ферромагнетизмом, как явление. Сатурация намагниченности (далее Ms) вещества остается прежней во время процесса чтения/записи.

Если же найти перезаписываемые магниты внутри немагнитного вещества, это будет гораздо эффективнее и практичнее, чем запись битов данных в соответствии с направлением размагничивающего поля.

Реорганизация атомов

Основой исследований стал слой из Fe₆₀Al₄₀ типа В2. Поскольку данный слой состоит из неферромагнетиков (A = Al, V, Rh), они были реорганизованы в виде структуры объёмно-центрированной кубической сингонии (тип А2). Реорганизация подразумевает обмен местами атомов Fe и Al.

Молекулярная структура А2

В молекулярной структуре испытуемого вещества (Fe₆₀Al₄₀) сторона (001) состоит исключительно из атомов Fe, а сторона (002) из атомов Al и остатков атомов Fe. Такая структура обладает самым слабым комплексным соединением Fe-Fe, а также является парамагнетиком.

Таким образом, если случайным образом поменять местами атомы Fe и Al в структуре В2, число соседствующих Fe−Fe увеличивается от 2.7 (В2) до 4.8 (А2). Процесс перехода от В2 до А2 также слегка увеличивает параметр решетки, что влияет на стимулирование ферромагнетизма.

Процесс реорганизации атомов можно проводить локально. Сфокусированный луч ионов гелия может избирательно намагничивать определенные нано-участки молекулярной структуры.

Процедура эксперимента

Для изучения воздействия лазерных импульсов на уровень намагниченности слоя B2 Fe₆₀Al₄₀ была использована прозрачная подложка из MgO*.

MgO* — оксид магния, обладает высоким коэффициентом отражения (в данном случае, отражательной способностью — величина, описывающая способность вещества отражать электромагнитное излучение).

Магнетронное распыление* — способ нанесения тонких пленок на подложку посредством бомбардировки катода (отрицательно заряженного электрода) положительными ионами в плазме магнетронного разряда.

А2 структура полученных пленок Fe₆₀Al₄₀ была реорганизована в В2 с помощью отжига в вакууме при температуре 773 К (приблизительно 500 ^оC).

Тестирование воздействия лазерных импульсов проводились на фотоэмиссионном электронном микроскопе в стенах BESSY II* в Берлине.

BESSY II* (Berliner Elektronenspeicherring-Gesellschaft für Synchrotronstrahlung II) — синхротрон с длиной окружности 240 м.

Одним из основных «участников» тестирования является лазер. Был использован титан-сапфировый лазер, поскольку он обладает широкой полосой генерации, что позволяет ему также генерировать и необходимые для эксперимента сверхкороткие импульсы. Длина волны лазера, сфокусированного на участке в 2 мкм с помощью микролинзы, составляла 800 нм, а длительность импульса приблизительно 100 фс (100 фемтосекунд, 1 фс = 10^-15 с).

Изображение №1: Воздействие сверкороткого лазерного импульса в 100 фс на пространство между Fe₆₀Al₄₀ и MgO. Магнитные свойства поверхности Fe₆₀Al₄₀ исследуются с помощью рентгеновского излучения.

Тестирование воздействия лазерных импульсов проводилось на пленках из B2 Fe₆₀Al₄₀ толщиной 20, 40 и 80 нанометров. Частота повторения импульсов составила 2,5 МГц. Для выделения определенного импульса или череды нескольких импульсов использовался прибор Pulse Picker (дословный перевод — сборщик импульсов).

Один из вариантов прибора Pulse Picker

Магнитные изображения участков, на которые воздействовали лазерные импульсы, были записаны при L3 ферромагнитном резонансе Fe (707 эВ — электронвольт), посредством использования магнитного кругового дихроизма рентгеновского излучения.

Результат воздействия лазерных импульсов на тестируемую поверхность (Изображение №2)

Воздействие на пленку B2 Fe₆₀Al₄₀ толщиной 40 нм единым лазерным импульсом с флюенсом 500 мДж/см^-2 привело к проявлению сильной поверхностной магнитной контрастности (2а). Магнитная контрастность изображена в виде разницы двух изображений, сделанных с помощью круговой поляризацией и обратной спиральностью. Параллельная рентгеновскому лучу намагниченность изображена красным цветом, а антипараллельная — синим.

При количестве импульсов 10⁵ и флюенсом* 200 мДж/см^-2 намагниченность поверхности, полученная при первом импульсном воздействии, была ликвидирована. На изображении 2b видно, что намагниченность поверхности сильно уменьшена, а контрастность отсутствует.

Флюенс* — интеграл по времени от плотности потока частиц или энергии.

При повторном воздействии 104 импульсов (флюенс — 200 мДж/см^-2) намагниченность опять снизилась (2d).

Для оптимизации было проведено еще несколько тестов в различных условиях.

На изображении 2е — результат воздействия единого импульса (флюенс — 400 мДж/см^-2) при внешнем магнитном поле -15 мТл. Такое воздействие привело к формированию единой области с сильной намагниченностью.

В отличие от предыдущих переменных тестов (единый луч — несколько лучей — единый луч), тестируемая поверхность опять была подвержена воздействию лишь одного луча (флюенс — 200 мДж/см^-2). В результате намагниченность сильно снизилась, примерно на 40% от предыдущего показателя (изображение 2f).

Далее требовалось определить зависимость намагниченности от плотности воздействия. Потому изначальная пленка B2 Fe₆₀Al₄₀ подвергалась воздействию одного импульса, а плотность увеличивалась ступенчато от теста к тесту. Магнитная контрастность измерялась после каждого импульса. Дабы сохранять намагниченность в одной области было применено магнитное поле +15 мТл.

Изображение №3

На изображении 3а видно увеличение намагниченности пленок толщиной 20, 40 и 80 нм при увеличении лазерного флюенса. Контрастность, пропорциональная сатурации намагниченности, увеличивается сигмоидально при увеличении флюенса. Половинная амплитуда сатурации намагниченности (черные крестики на изображении 3а) достигалась при таком флюенсе:

• для 20 нм пленки — 300 мДж/см^-2;
• для 40 нм пленки — 390 мДж/см^-2;
• для 80 нм пленки — 650 мДж/см^-2.

Такая половинная амплитуда может считаться эффективным критическим порогом для магнитной записи, о чем говорят измерения намагниченности поверхности.

Изображение 3b демонстрирует снижение намагниченности при увеличении числа лазерных импульсов с низким флюенсом.

В качестве импульса записи были применены следующие показатели флюенса:

• для 20 нм пленки — 400 мДж/см^-2;
• для 40 нм пленки — 400 мДж/см^-2;
• для 80 нм пленки — 700 мДж/см^-2.

Для изучения процесса стирания последовательность импульсов обладала флюенсом всего 200 мДж/см^-2. Рост числа импульсов стирания был построен в логарифмическом порядке: 100, 101…104, 5 × 104 и 5 × 106.

«Ex situ» эксперимент

Дабы подтвердить, что молекулярная реорганизация атомов ответственна за магнитную запись посредством воздействия лазерных импульсов, был проведен «Ex situ» эксперимент.

Поверхность пленки B2 Fe₆₀Al₄₀ толщиной 40 нм в воздушной среде была подвергнута воздействию Nd:YAG-лазера с длиной волны 355 нм. Ширина импульса составила 5 нс. Общее число импульсов — 105, а флюенс — 500 мДж/см^-2.

В результате была получена область 300 мкм в диаметре, на которую сильнее всего воздействовал лазер. Полученную намагниченность получилось определить используя магнитооптический эффект Керра. Вокруг точки абляции* было выявлена кольцеобразная область с высоким показателем намагниченности. Для проведения структурного анализа использовался TEM (Transmission electron microscopy / Трансмиссионный электронный микроскоп).

Абляция* — метод удаления вещества с поверхности лазерным импульсом.

а) — Для проведения анализа был взят образец, обладающий ферромагнитными свойствами, рядом с областью абляции. Для этого использовалось устройство с фокусированным ионным лучом.

b) — Яркое поле TEM-изображения показывает неповрежденный поликристаллический слой толщиной 40 нм.

c) — SAED (дифракция электронов в выбранной области) подтвердила, что структура Fe₆₀Al₄₀ именно типа А2, поскольку отсутствовали сверхструктурные отражения 100, 111 и 210.

Подробности проведения данного эксперимента изложены тут

Анализ результатов тестов

Для более четкого понимания взаимосвязи условий, контролирующих процессы реорганизации, и перезаписываемой намагниченности пленки было проведено несколько симуляций. Они проводились на основе континуальной модели, в которой учитывались такие факторы: лазерное возбуждение электронов зоны проводимости; электронно-фононное равновесие; теплопередача; кинетика плавления и твердения. Условия воздействия лазера аналогичны тем, что применялись в тестах, результаты которых отображены на изображении №1.

Поскольку результаты симуляций с участием пленки толщиной 40 нм самые ярко выраженные, они и будут рассматриваться при анализе.

Порог плавления

На испытуемый слой Fe₆₀Al₄₀ на подложке из MgO воздействовал лазерный луч различного флюенса.

• при флюенсе 173 мДж/см^-2 был определен порог плавления Fe₆₀Al₄₀/MgO;
• 357 мДж/см^-2 — выявление второй области плавления на поверхности пленки;
• 394 мДж/см^-2 — полное плавление через всю толщину пленки, когда два фронта плавления, распространившиеся через пленку и подложку, и поверхность сливаются воедино.

Такие показатели дают основания полагать, что быстрое твердение временно расплавленного участка пленки формирует неупорядоченную метастабильную (сохраняющую стабильность при не очень больших возмущениях) молекулярную структуру типа А2. При охлаждении затвердевшего участка метастабильная структура может перейти от типа А2 к В2.

Диффузия вакансий

Что есть вакансия? Это, грубо говоря, «брак» молекулярной структуры кристалла. Когда мы имеем идеальный кристалл — все атомы располагаются на своем месте. Если же в каком-то месте атома нет (хотя он должен там быть при идеальных условиях), то это место и есть наша вакансия. Диффузия вакансий это, простыми словами, переход атома в свободную область, т.е. смена его положения. Именно этот механизм и является основой атомной реорганизации испытуемого вещества.

Упрощенное схематическое изображение вакансии

Поскольку фотоэмиссионный электронный микроскоп, который использовался при сборе данных, крайне чувствителен к намагничиванию на поверхностях тонких слоев пленки, среднее квадратичное смещение вакансий (Х2) оценивалось в центре той области, куда направлен луч лазера. Оценка проводилась начиная от момента полного твердения этой области до момента, когда охлаждение прекращает процесс диффузии вакансий.

Термодинамика

Температурная зависимость термодинамической движущей силы по отношению к реорганизации атомов не позволяет четко определить количественную связать величины Х2 с кинетикой фазового перехода атомов. Однако предоставляет показательные результаты измерений степени атомных перестроек, возникающих в процессе реорганизации молекулярной структуры.

Изображение №4а

На изображении 4а представлено изменение температуры поверхности в центре места воздействия лазерного луча (лазерное «пятно» / «точка») во время четырех симуляций. Синий цвет линии обозначает твердую фазу, а красный — жидкую фазу вещества.

Переохлаждение* плавленого слоя ниже Tm* отображено красной штриховой линией.

Переохлаждение* — имеется в виду процесс снижения температуры жидкости или газа ниже точки замерзания, но при этом не доводя вещество до состояния твердого тела.

Tm* — температура плавления, когда тело переходит из твердого состояния в жидкое или наоборот.

При значении флюенса 328 мДж/см^-2, до начала плавления поверхности, быстрое нагревание участка поверхности практически до Tm привело к скачку X2. Однако дальнейшее охлаждение, до температуры ниже ∼0.7 Tm (1160 K), снизило диффузию вакансий до незначительного уровня. При увеличении флюенса до 388 температура поверхности становится выше Tm, что приводит к переходному плавлению тонкого поверхностного слоя пленки. В данной симуляции фронты плавления, распространяющиеся от поверхности и от стыка пленка/подложка, не соединяются. При этом наблюдается быстрый рост кристаллической части пленки, который приводит к твердению при очень незначительном переохлаждении вещества. Как видно из графика, красная штриховая линия очень короткая.

Относительно высокая температура поверхности в момент ее повторного твердения гарантирует диффузию вакансий во время последующего охлаждения поверхности, при этом уровень X2 опустится до примерно того же, что и при флюенсе 328 мДж/см^-2.

Вероятность быстрого роста кристаллической части исключается, если температура поверхности выше порога полного плавления по всей толщине пленки. А твердение плавленого участка может пройти исключительно через латеральное распространение фронта твердения от краев участка до центра лазерного пятна.

Относительно большой размер плавленого участка и ограниченная скорость фронта твердения (≤130 м/с) позволяют процессу твердения проходить медленнее, что, в свою очередь, приводит к более мощному переохлаждению плавленого вещества в центральной области лазерного пятна.

На практике это дает следующие результаты. При резком скачке времени твердения (от 740 пс (пикосекунд) при 388 мДж/см^-2 до 2.4 нс (наносекунд) при 403 мДж/см^-2) температура поверхности снижается в момент полного твердения с 0.93 до 0.91 Tm.

Значение 0.91 Tm также отображает максимум, возникающие во время всплеска температуры, который возникает при локальном выделении тепла твердения. Однако это тепло быстро рассеивается ввиду большого локального температурного градиента вокруг свеже-затвердевшей поверхности.

Низкая же температура в повторно затвердевшем участке поверхности сильно ограничивает диффузию вакансий и приводит к сатурации значения Х2 при 403 мДж/см^-2, которое в 4 раза меньше, чем при 388 мДж/см^-2.

С дальнейшим увеличением флюенса время твердения центрального участка лазерного пятна увеличивается, а диффузия вакансий подавляется.

На практике это дало следующие результаты. При увеличении флюенса с 403 до 478 мДж/см^-2 температура поверхности в момент твердения упала с 0.91 до 0.83 Tm. Сатурация Х2 снизилась до такого уровня, когда об необходимой атомной реорганизации не может быть и речи. Это отображено на четвертом графике изображения 4а.

Изображение №4b

На изображении выше (4b) X2 представлен в виде функции лазерного флюенса для более наглядного иллюстрирования его эффекта на диффузию вакансий. Ниже предела индукции второго фронта плавления длина диффузии вакансий увеличивается экспоненциально с увеличением флюенса.

В начале плавления поверхности X2 насыщается практически на постоянном уровне. Только при увеличении лазерного флюенса идет незначительное падение, что связано с сильным переохлаждением повторно твердеющего участка поверхности.

Выше порога полного плавления время, требуемое на повторное твердение центрального участка лазерного пятна, резко увеличивается. Из-за этого происходит значительно более сильное переохлаждение, предшествующее повторному твердению, которое ограничивает диффузию вакансий во время охлаждения затвердевшей поверхности и снижает вероятность атомной перестройки молекулярной структуры от А2 до В2. Как результат, разорганизованность структуры и намагниченность должны сохраниться в центральной части лазерного пятна после быстрого снижения температуры до уровня комнатной.

Ниже порога полного плавления поверхности диффузия вакансий может быть достаточно активной, чтобы обеспечить процесс реорганизации атомов. Как видно на изображении 4b пиковый показатель Х2 = 21.5 нм², что соответствует примерно 320 скачкам вакансий. Максимальная концентрация вакансий, возникающих при быстром неравномерном твердении металлов, равна 10^-3. Учитывая это можно предположить, что примерно 32% атомов сменили свое положение за счет диффузии вакансий.

Вышеуказанные параметры позволяют сделать заключение, что реорганизация может происходить и при воздействии единого лазерного импульса. Хотя, все же, нельзя точно определить взаимоотношение общего числа скачков вакансий во время охлаждения и относительной доли равновесных В2 фаз и метастабильных А2 фаз, генерируемых лазерным воздействием.

Этот вывод сходится с результатами тестов, показанных на изображениях 2f и 2b. Мы видим, что намагниченность существенно снизилась после воздействия на пленки толщиной 40 и 80 нм одного лазерного импульса.

Генерация ферромагнитных областей под воздействием лазерных импульсов при отсутствии магнитного поля соответствует прогнозированной схеме плавления и повторного твердения (изображение 2а).

Ожидается, что повторное твердение будет проходить посредством следующих процессов:

• возобновление твердых участков пленки;
• гетерогенная нуклеация* области пленка/подложка;
• гомогенная нуклеация* кристаллитов внутри расплава в случае глубокого переохлаждения (к примеру, 0.6 Tm при флюенсе единого луча 478 мДж/см^-2 / изображение 4а).

Гетерогенная нуклеация* — первая стадия перехода из одной термодинамической фазы в другую внутри гетерогенной системы (состоит из двух или нескольких фаз).

Гомогенная нуклеация* — возникновение зачатков новой фазы внутри существующей.

Чтобы избежать формирования множественных намагниченных доменов, во время лазерного воздействия применяется небольшое магнитное поле. Это позволяет эффективно избежать неоднородного рассеянного поля и сформировать единый магнитный домен (изображение 2с и 2е).

Изображение №5

На изображениях выше (a и b) продемонстрирован процесс плавления при флюенсе лазера 388 и 418, Х2 для обоих вариантов равен 11 нм² (изображения c и d).

При флюенсе 418 мДж/см^-2 на поверхности и в области пленка/подложка возникают фронты плавления, что приводит к появлению области плавления. Процесс твердения данного участка происходит за счет распространения фронта твердения и занимает несколько наносекунд. Температура плавленого участка начинает снижаться и на момент полного затвердения достигает слишком низкого уровня, чтобы была возможна атомная реорганизация.

На изображении 5с видна область примерно в 500 нм в диаметре. Это область намагниченности поверхности. На уровне схождения пленка/подложка участок намагниченности соответствует (практически) области лазерного пятна. Площадь намагниченности увеличивается при увеличении флюенса.

При флюенсе 388 мДж/см^-2 два фронта плавления, распространяющихся от схождения пленка/подложка и поверхность пленки, остаются разделенными (изображение 5b). Как только температура падает ниже точки плавления, фронты плавления распространяются вертикально, что приводит к очень быстрому повторному твердению. Однако, в конце процесса твердения температура все еще высокая, что сопутствует активной диффузии вакансий. Диффузионная атомная реорганизация приводит к трансформации метастабильной А2 структуры, образованной во время плавления и повторного твердения участков пленки, в равновесную В2 структуру. Этот процесс полностью элиминирует намагниченность поверхности, что мы можем увидеть на изображении 5d.

Выводы исследователей

На примере В2 пленки было получено доказательство возможности «включать» и «выключать» ферромагнетизм с помощью лазерных импульсов и структурной реорганизации атомов. Симуляции выявили критически важную роль переохлаждения участков расплава в процессе реорганизации атомов. На один и тот же участок пленки 10 раз подряд воздействовал импульс лазера с флюенсом, большим предельно допустимого. При этом повреждений пленки не было выявлено. Многократное использование пленки может быть ограничено либо абляцией материала, либо загрязнением во время лазерного облучения. Однако этого можно избежать, используя защитный поверхностный слой (MgO).

Дабы увеличить максимальный возможный уровень переохлаждения перед повторным твердением для контроля диффузии и реорганизации, а также достичь оптимальных изменяемых свойств лазеров, необходимо исследовать теплопроводность подложки и добавить буферный слой.

Идея перезаписываемой намагниченности в сопряжении с лазерами может быть реализована на различных других материалах, которые демонстрируют возможность реорганизовать их структуру. Изучение подобных веществ может помочь понять фемтосекундный лазерный нагрев и охлаждение слоев. В частности, механизмы и кинетику упорядочивания и разупорядочивания, которые до сих пор полностью не ясны. Результаты этих исследований могут расширить спектр поиска новых сплавов, демонстрирующие обратимость изменений магнитных свойств за счет лазерного воздействия.

Более подробно ознакомиться с исследованиями ученых вы можете с помощью их доклада

Эпилог

Конечно, данное исследование это только первый шаг в понимании скрытых возможностей и свойств некоторых веществ и сплавов, в том числе и в понимании процесса манипуляции с их магнитными свойствами. Ученые продемонстрировали нам, что мы можем использовать какой-то материал, более распространенный и, соответственно, более дешевый, и просто наделить его нужными нам свойствами.

Возможно это исследование ради исследования, и оно никогда не получит практического применения по причине дороговизны изготовления, сложностей с использованием или просто кто-то другой придумает что-то гораздо лучшее. Несмотря на риски и возможную нереализованность, данные исследования и любые другие исследования имеют право на существования, ибо ученые это люди, которые не знаю ответы на все вопросы, а задают эти вопросы. Именно поиски ответов и приводят нас, человечество, к новым открытиям и новым технологиям.

Dell R730xd в 2 раза дешевле? Только у нас 2 х Intel Dodeca-Core Xeon E5-2650v4 128GB DDR4 6x480GB SSD 1Gbps 100 ТВ от $249 в Нидерландах и США! Читайте о том Как построить инфраструктуру корп. класса c применением серверов Dell R730xd Е5-2650 v4 стоимостью 9000 евро за копейки?

Фуллерены придают меди магнитные свойства | Блоги

Тонкие слои двух немагнитных металлов – меди и марганца – становятся магнитными, когда они находятся в контакте с молекулами фуллерена. Это открытие было сделано физиками из Великобритании, США и Швейцарии и может привести к новым видам практических электронных устройств и даже к квантовым компьютерам.

Ферромагнетики, такие как знакомые магниты на холодильниках, это материалы, которые имеют постоянные магнитные моменты. Есть только три металла, которые являются ферромагнетиками при комнатной температуре, – железо, никель и кобальт, — и это объясняется в терминах «критерия Стоунера», который впервые был получен в 1938 году в Университете Лидса, Великобритания, Эдмундом Стоунером (Edmund Stoner).

Стоунер знал, что магнетизм в металлах является свойством электронов проводимости. Эти электроны участвуют в обменном взаимодействии, что позволяет им понизить свою энергию, установив спины в одном направлении, образуя тем самым ферромагнитный металл. Однако расположение спинов в одном направлении увеличивает общую кинетическую энергию электронов. Стоунер понял, что ферромагнетизм будет наблюдаться только тогда, когда уменьшение энергии, вызванное обменом, превышает прирост кинетической энергии. Он показал количественно, что это происходит, когда произведение плотности электронных состояний (количество энергетических состояний, доступных для электронов) и силы обменного взаимодействия (обозначаемое U) больше единицы.

U называется критерием Стоунера, и он больше единицы для железа, никеля и кобальта, но не для их соседей по периодической таблице — марганца и меди. Теперь международная команда, включающая Фатьму Аль Ма’Мари (Fatma Al Ma’Mari) и Тима Мурсома (Tim Moorsom) из Университета Лидса, нашла способ повысить плотность электронных состояний и силу обменного взаимодействия в меди и марганце, так что они становятся ферромагнетиками при комнатной температуре.

Команда сделала свои образцы путем осаждения нескольких чередующихся слоев С60 и меди (или марганца) на подложку. Медные слои были около 2,5 нм и слои C60 – около 15 нм. С60 используется потому, что он имеет большое сродство к электрону, что означает, что каждая молекула может захватить до трех электронов проводимости от меди. Как ожидается, это должно увеличить как плотность электронных состояний, так и силы обменного взаимодействия в меди.
Затем команда измерила намагниченность слоистых образцов и обнаружила, что они стали ферромагнитными материалами. Исследователи также рассмотрели образцы, в которых медь и слои C60 были разделены слоями алюминия, и не обнаружили никаких доказательств магнетизма, что предполагает, что ферромагнетизм возникает на стыке меди и C60. Это было подкреплено высокочувствительными экспериментами с использованием мюонов, которые показали, что ферромагнетизм возникает в меди вблизи границы с C60. Исследователи также обнаружили ферромагнетизм в слоях С60/марганца при комнатной температуре, но с более слабой намагниченностью.

Удивительно, что когда исследователи вычислили U для своих образцов меди, они обнаружили, что оно должно быть меньше 1. Другими словами, в соответствии с критерием Стоунера, образцы не должны были ферромагнитными. Однако дальнейшие теоретические исследования показывают, что образцы должны стать ферромагнетиками при воздействии относительно малого магнитного поля, что могло произойти при подготовке образцов. Это говорит о том, что другие немагнитные металлы могут быть сделаны ферромагнитнетиками при увеличении U, но не обязательно до 1.

Хотя необходима дальнейшая работа для увеличения намагниченности меди и марганца, исследования могут привести к разработке новых видов крошечных магнитных компонентов. Они могут найти применение в устройствах спинтроники, которые используют спин электрона для хранения и обработки информации, или даже в квантовых компьютерах, в которых спины электронов используются в качестве квантовых битов информации.

Медь и магнетизм: фуллерены создают два новых ферромагнетика

Замовлення хмари в декілька кліків. UCloud запустив хмарний чат бот!

Слово ФЕРРОМАГНЕТИК — Что такое ФЕРРОМАГНЕТИК?

Слово состоит из 13 букв: первая ф, вторая е, третья р, четвёртая р, пятая о, шестая м, седьмая а, восьмая г, девятая н, десятая е, одиннадцатая т, двенадцатая и, последняя к,

Слово ферромагнетик английскими буквами(транслитом) — ferromagnetik

Значения слова ферромагнетик. Что такое ферромагнетик?

Ферромагнетизм

Ферромагнетизм, одно из магнитных состояний кристаллических, как правило, веществ, характеризуемое параллельной ориентацией магнитных моментов атомных носителей магнетизма.Необходимым условием Ф. является наличие постоянных (независящих от Н)магнитных (спиновых или орбитальных, или обоих вместе) моментов электронных оболочек атомов ферромагнетиков.

БСЭ. — 1969—1978

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ — магнитоупорядоченное состояние в-ва, при к-ром все магн. моменты ат. носителей магнетизма в в-ве параллельны и оно обладает самопроизвольной намагниченностью.Магн. и др. физ. свойства ферромагнетиков обладают специфич. зависимостью от темп-ры.

Физическая энциклопедия. — 1988

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ — магнитоупорядоченное состояние вещества, в к-ром большинство атомных магнитных моментов параллельны друг другу, так что вещество обладает самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью.Магнитная восприимчивость ферромагнетиков может достигать значений 10 4-10 5 Гс/Э; их…

Физическая энциклопедия. — 1988

Ферромагнетики

Ферромагнетик Термин ферромагнетик Термин на английском ferromagnetic Синонимы Аббревиатуры Связанные термины гигантское магнетосопротивление, нанофармакология, доставка лекарственных средств, парамагнетизм, суперпарамагнетизм, ферромагнетизм…

Энциклопедический словарь нанотехнологий. — 2010

Ферромагнетики — вещества (как правило, в твёрдом кристаллическом или аморфном состоянии), в которых ниже определённой критической температуры (точки Кюри) устанавливается дальний ферромагнитный порядок магнитных моментов атомов или ионов…

ru.wikipedia.org

ФЕРРОМАГНЕТИКИ, в-ва, к-рые ниже определенной т-ры — Кюри точки Тк обладают самопроизвольной намагниченностью. К ферромагнетикам относятся переходные элементы — Fe, Со, Ni, нек-рые РЗЭ (Gd, Tb, Dy, Но, Er, Tm)…

Химическая энциклопедия

Ферромагнитный резонанс

Ферромагнитный резонанс, одна из разновидностей электронного магнитного резонанса; проявляется в избирательном поглощении ферромагнетиком энергии электромагнитного поля при частотах…

БСЭ. — 1969—1978

ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС — разновидность электронного магнитного резонанса в ферромагнетиках и ферримагнетиках; проявляется в избирательном поглощении ферромагнетиком энергии эл.-магн. поля при определ. (резонансных) значениях частоты w0 и внеш. магн…

Физическая энциклопедия. — 1988

ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС — резонансное поглощение эл.-магн. энергии ферромагнетиком, один из видов электронного магнитного резонанса в твёрдом теле. От электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) Ф. р. отличается тем…

Физическая энциклопедия. — 1988

Русский язык

Ферромагне́тик, -а.

Орфографический словарь. — 2004

Ферр/о/магне́т/ик/.

Морфемно-орфографический словарь. — 2002

1. ферродинамический
2. феррозонд
3. ферромагнетизм
4. ферромагнетик
5. ферромагнитный
6. ферромарганец
7. ферромарганцем

Ферромагнетиков

Еще одна область применения ферромагнитных материалов — это магнитная промышленность. записывающие устройства, такие как кассеты, дискеты для компьютеров, и магнитная полоса на обратной стороне кредитных карт. Эти устройства по существу принимают информацию в виде электрических сигналов и постоянно закодировать его в магнитный материал. Как это делается проиллюстрировано ниже.

Ферромагнетизм

Железо, никель, кобальт и некоторые редкоземельные элементы (гадолиний, диспрозий) проявляют уникальное магнитное поведение, которое называется ферромагнетизмом, потому что железо (железо на латыни) является наиболее распространенным и ярким примером. Самарий и неодим в сплавах с кобальтом использовались для изготовления очень сильных редкоземельных магнитов.

Ферромагнитные материалы демонстрируют явление дальнего упорядочения на атомном уровне, которое заставляет неспаренные электронные спины выстраиваться параллельно друг другу в области, называемой доменом.Внутри домена магнитное поле является интенсивным, но в массивном образце материал обычно не намагничивается, потому что многие домены сами по себе будут ориентированы случайным образом относительно друг друга. Ферромагнетизм проявляется в том, что небольшое внешнее магнитное поле, например, от соленоида, может заставить магнитные домены выровняться друг с другом, и материал считается намагниченным. При этом управляющее магнитное поле будет увеличиваться в большой степени, что обычно выражается как относительная проницаемость для материала.Есть много практических применений ферромагнитных материалов, таких как электромагнит.

Ферромагнетики будут иметь тенденцию оставаться в некоторой степени намагниченными после воздействия внешнего магнитного поля. Эта тенденция «вспоминать свою магнитную историю» называется гистерезисом. Доля намагниченности насыщения, которая сохраняется при удалении управляющего поля, называется остаточной намагниченностью материала и является важным фактором в постоянных магнитах.

Все ферромагнетики имеют максимальную температуру, при которой ферромагнитные свойства исчезают в результате теплового перемешивания.Эта температура называется температурой Кюри.

Ферромагнетики механически реагируют на приложенное магнитное поле, слегка изменяя длину в направлении приложенного поля. Это свойство, называемое магнитострикцией, приводит к знакомому гудению трансформаторов, поскольку они механически реагируют на переменное напряжение 60 Гц.

В чем разница между парамагнетизмом и ферромагнетизмом?

Ответ

Типы, свойства, применение и преимущества

Ферромагнитные материалы или вещества были изобретены французским физиком Луи Эженом Феликсом Нилом. Он родился 22 ^года ноября 1904 года в Лионе и умер 17 ^года ноября 2000 года в Брив-ла-Гайард.Он учился в Страсбургском университете и получил Нобелевскую премию по физике. Доступны несколько компаний по производству ферромагнитных материалов, такие как Dexter Magnetic Technologies, основанная в 1951 году в деревне Элк-Гроув, Digi Key Electronics, основанная в 1972 году в Thief River Falls, компоненты RS, основанные в 1937 году в Корби Уорингом и П.М.Себестиеном, Star Trace Private Limited, основанная в 1985 в Тамилнаду, Shields Company Magnetics в городе Калвер, Magnum Magnetics Corporation в Мариетте, Alliance LLC, Arnold Magnetic Technologies, International Magna Products, Master Magnetics — одни из ведущих производителей магнитных материалов.

Что такое ферромагнитные материалы?

В некоторых материалах постоянные атомные магнитные моменты имеют сильную тенденцию выравниваться даже без внешнего поля. Эти материалы называются ферромагнитными материалами. Некоторыми примерами ферромагнитных материалов являются кобальт, железо, никель, гадолиний, диспрозий, пермаллой, аваруит, вайракит, магнетит и т. Д. Существует много ферромагнитных материалов, некоторые из списков ферромагнитных материалов показаны в таблице ниже.

1). Кобальт: Кобальт изобретен Георгом Брандтом в 1739 году. Он родился 26 ^года июня 1964 года в Риддархиттане и умер в Стокгольме 29 ^года апреля 1768 года. корочка.Он представлен в периодической таблице символом CO, а его атомный номер — 27.

2). Железо: Железо — это химический элемент одного типа, который содержится в земной коре и обычно обозначается символом Fe. Цвет железа серебристо-серый, а атомный номер 26 в периодической таблице. Первый электрический утюг был изобретен в 1882 году Генри Сили, который использовался для глажки одежды. Генри Сили родился 20 ^-го -го мая 1861 года в Нью-Йорке и умер 20 ^-го -го мая 1943 года.

3). Никель: Никель, химический элемент, также содержится в земной коре и обозначается символом Ni. Атомный номер никеля в периодической таблице равен 28, а цвет никеля — серебристо-белый. Этот металл изобрел Аксель Фредрик Кростедт, он родился в Швеции 23 ^-го декабря 1722 года и умер 20 ^-го мая 1943 года.

4). Неодимовый магнит: Это один из видов сильных и постоянных магнитов, но он редко встречается в земной коре, а цвет неодима — серебристо-белый.Его также называют магнитом NIB или Neo или NdFeB, а формула неодимового магнита — Nd ₂ Fe ₁₄ B . Этот металл изобрел Карл Ауэр фон Вельсбах, он родился в Австрии 1 сентября 1858 года и умер 4 августа 1929 года.

5). Диоксид хрома: Химическая формула диоксида хрома — CrO ₂ , он нерастворим в воде и также называется оксидом хрома (iv). Другие названия диоксида хрома — Carolyn и magtrieve . Металлический хром открыт Луи Николя Воклен, он родился в Австрии 16 ^{994 мая 1763 года и умер 14 9 ноября 1829 года во Франции.}

6). Гадолиний: Гадолиний — это химический элемент одного типа, который обозначается символом Gd. Атомный номер гадолиния 64 в периодической таблице. Металлический гадолиний изобретен Полем-Эмилем Лекоком де Буабодраном (18 ^-е, апреля 1838 г. — 28 мая 1912 г.) во Франции и Жаном Шарлем Галиссаром де Мариньяком (24 ^-е, апреля 1817 — 15 ^-е, апреля 1894 г.) в Швейцарии.

7). Тербий: Тербий также является одним из видов химического элемента, который обозначается символом Td. Он изобретен Карлом Густавом Мосандером в 1843 году и редко встречается в земной коре. Этот химический элемент был изобретен Карлом Густавом Мосандером в 1843 году. Он родился 10 ^{сентября 1797 года в Кальмаре и умер 15 года октября 1858 года в графстве Стокгольм.}

8). Диспрозий: Диспрозий — это один из типов ферромагнитного материала, который был идентифицирован Полем Эмилем Лекоком де Буабодраном в 1886 году.Он родился 18 ^-го -го апреля 1838 года и умер 28 ^-го -го мая 1912 года во Франции. Атомный номер гадолиния 66 в периодической таблице.

Типы ферромагнитных материалов

Есть два типа ферромагнитных материалов: немагнитный ферромагнитный материал и намагниченный ферромагнитный материал. Классификация ферромагнитных материалов показана на рисунке ниже

1). Немагниченный ферромагнитный материал

В каждом немагнитном ферромагнетике атомы образуют домены внутри материала.У разных доменов разные направления магнитного момента. Следовательно, материал остается немагниченным. Немагниченный ферромагнетик, показанный на рисунке ниже

2). Намагниченный ферромагнетик

При приложении внешнего магнитного поля к доменам ненамагниченного ферромагнетика, домены будут вращаться и выравниваться в направлении магнитного поля из-за доменного характера ферромагнетика, даже если приложено небольшое магнитное поле. вызывает большую намагниченность.Магнитное поле в таком материале намного больше, чем магнитное поле. Магнитные моменты доменов параллельны магнитному полю в ферромагнетизме, потому что эти домены также выстраиваются в одном направлении.

Это объяснение ненамагниченного ферромагнетика и намагниченного ферромагнетика с помощью диаграмм.

Свойства ферромагнитных материалов

Свойства ферромагнитных материалов:

• Ферромагнитные вещества сильно притягиваются магнитным полем
• Эти вещества проявляют постоянный магнетизм даже в отсутствие магнитного поля
• Ферромагнитные вещества превращаются в парамагнитные когда вещества нагреваются до высокой температуры.

Причина: это связано с рандомизацией доменов при нагревании

• Все домены выровнены в параллельном направлении

Преимущества

Преимущества ферромагнитных материалов

• Сопротивление высокое
• Дешево
• Низкие потери на гистерезис
• Электрическое сопротивление высокое,
• Коэрцитивная сила низкая
• Высокая проницаемость.
• Он может работать до 300 ⁰ C температура
• Стабильность ферромагнитных материалов хорошая

Недостатки

Главный недостаток ферромагнитных материалов

• Создает недельное магнитное поле

Приложения

Приложения ферромагнитные материалы

• Трансформаторы
• Электромагниты
• Запись на магнитную ленту
• Жесткие диски
• Генераторы
• Телефоны
• Громкоговорители
• Электродвигатели
• Жесткий диск

Магнитные домены

Ферромагнетизм

Примеры ферромагнитных материалов включают железо, кобальт, никель и сплав под названием Alnico. Атомы в этих материалах обладают постоянными магнитными моментами, и имеет место явление, называемое обменной связью, при котором магнитные моменты соседних атомов совпадают друг с другом.Это формирует домены, небольшие окрестности, в которых выровнены магнитные моменты. Типичные размеры доменов от 0,1 до 1 мм.

Когда ферромагнитный материал не намагничен, в нем все еще есть домены, но у них есть случайные направления намагниченности. Если включить внешнее поле, произойдут две вещи. Домены, выровненные с полем, растут за счет доменов, выровненных против поля, и направление намагниченности внутри каждого домена имеет тенденцию смещаться в сторону направления приложенного поля.

Какое направление имеет приложенное магнитное поле при моделировании?

1. осталось
2. правый
3. вверх
4. вниз

Если внешнее поле удаляется, ферромагнитный материал не возвращается в исходное состояние, но сохраняет некоторую часть своей чистой намагниченности. Степень сохранения намагниченности зависит от материала.

В «жестком» ферромагнитном материале сложно сдвинуть домены, поэтому значительная часть намагниченности сохраняется при удалении внешнего поля.Так делают постоянные магниты.

В «мягком» ферромагнитном материале домены более точно следуют за внешним полем, и при удалении внешнего поля остается не так много суммарной намагниченности. Хорошим применением этого является электромагнит, который имеет сильное магнитное поле при включении тока и очень слабое поле при его снятии.

Ферромагнитный материал имеет кривую гистерезиса , которая показывает результирующее поле как функцию от H.Например, в случае цилиндрического куска ферромагнетика с намотанной на него катушкой из проволоки это можно интерпретировать как график зависимости чистого поля от тока через катушку, поскольку ток циклически изменяется от некоторого максимального значения. в одном направлении до того же максимума в другом.

Кривая двузначна — величина B, чистого поля, зависит не только от магнитного поля от тока в катушке, но и от того, увеличивается или уменьшается ток.B обычно отстает от H, потому что домены не любят меняться.

Площадь, ограниченная кривой B-H, пропорциональна работе, необходимой для однократного прохождения материала по циклу.

Еще одной особенностью графика является то, что он выравнивается при больших значениях. Это известно как насыщение, точка, в которой большинство доменов выровнены и, по существу, достигается максимум M . Увеличение тока в катушке за пределами этой точки не даст вам особого результата.

Ферромагнетизм — Engineering LibreTexts

Магнетизм — явление, которое веками пленило человечество. Существует пять различных типов магнетизма: диамагнетизм, парамагнетизм, ферромагнетизм, антиферромагнетизм и ферримагнетизм. Средний человек вспоминает, что ферромагнетизм является наиболее распространенным явлением. Это потому, что большинство людей когда-нибудь сталкивались с постоянными магнитами, и они сделаны из ферромагнитного материала. Это действительно похоже на парамагнитный материал, но с одним важным отличием, которое их разделяет.

Парамагнетизм не имеет чистого магнитного поля, потому что спины электронов направлены в разные стороны. Это означает, что когда рядом с парамагнитным материалом помещается сильный магнит с положительным или отрицательным притяжением, частичное выравнивание спинов приведет к слабому притяжению. Где, как в ферромагнетизме, все спины электронов направлены в одном направлении. Это то, что заставляет постоянные магниты притягиваться через противоположные полюса, с юга на север и наоборот, а также отталкиваться, когда одни и те же полюса обращены друг к другу.

Использование ферромагнитных материалов

Наиболее распространенными ферромагнитными материалами являются кобальт, железо, никель, а также природный намагниченный минерал и другие соединения редкоземельных металлов. Обычно ферромагнитные материалы, влияющие на нашу повседневную жизнь, представляют собой магнитное хранилище в форме данных. В противном случае считается энергонезависимым хранилищем, поскольку данные не могут быть потеряны, когда устройство не работает. Преимущество этого метода хранения заключается в том, что это одна из самых дешевых форм хранения данных, а также возможность повторного использования.Все это возможно из-за гистерезиса.

Как только ферромагнитные материалы намагничиваются в определенном направлении, они теряют способность терять свою намагниченность (гистерезис). Это означает, что он не сможет вернуться в исходное состояние без какого-либо намагничивания. Но может быть применено другое противоположное магнитное поле, которое приведет к созданию петли гистерезиса, как показано на рисунке 1. Это, в конечном счете, уникальный эффект, который позволяет этим материалам сохранять данные после того, как намагничивающее поле падает до нуля.

Намагничивание ферромагнитных материалов

Ферромагнитные материалы содержат уникальные магнитные моменты, которые выровнены параллельно друг другу в одном направлении (рис. 2). Все другие типы намагничивания имеют моменты более чем в одном направлении.Ферромагнетизм — единственная намагниченность с одинаковыми моментами направления. Приводя к притяжению или отталкиванию с другими магнитными материалами. Северные полюса притягивают южные полюса, в то время как одни и те же полюса отталкивают друг друга (с севера на север, с юга на юг). У них будут равные противоположные моменты, отталкивающие друг друга. На рисунке 2 ниже показаны магнитные моменты в ферромагнитных материалах. Они имеют одинаковую величину и упорядочены без магнитного поля.

Классическое объяснение

Теория Вейсса (Hw) описывает, как молекулярное поле Вейсса пропорционально намагниченности ферромагнитного материала, как показано в уравнении ниже.Где B представляет собой константу пропорциональности.

$$ \ H_ \ omega = \ beta M \ label {1} ​​$$

Уравнение \ ref {2} ниже описывает полное магнитное поле с \ (H \) в качестве внешнего поля.

\ [\ H_ {tot} = H + H_ \ omega = H + \ beta M \ label {2} \]

Из-за сходства с парамагнетизмом приведенное ниже уравнение может быть решено и заменено на \ (H \) в функции Ланжевена.

\ [\ a = \ mu_o m_ \ beta \ dfrac {H_ (tot)} {k T} \ label {3} \]

\ [\ dfrac {M} {M_S} = L (\ dfrac {\ mu_o m_ \ beta (H + \ beta M)} {kT}) \ label {4} \]

\ [\ dfrac {Nm_b} {v} = M_S \ label {5} \]

Нет внутреннего поля выше температуры Кюри \ (T_c \), решение уравнения \ ref {1} дает BM, равное 0.2} {v3k (T-T_c)} = X_F \ label {6} \]

Квантово-механическое объяснение

Квантово-механическое явление — более точный способ описания ферромагнетизма, поскольку разрешены только определенные углы магнитного движения. С классической точки зрения разрешены все углы, поскольку теория Ланжевена делает этот метод крайне маловероятным. Следовательно, приведенный ниже нормированный степенной закон с гаммой 0,5 является точным представлением явления ферромагнетизма.

\ [\ dfrac {M_S (T)} {M_S (T_o)} = \ dfrac {T_c — T} {T_c} \ label {7} \]

Температурная зависимость

Ниже температуры Кюри спины ферромагнитного материала имеют одинаковую величину и хорошо упорядочены.Когда достигается температура Кюри, это означает, что моменты становятся случайно выровненными, что означает превышение предела спиновой связи, что приводит к разрыву связи, заставляя материал действовать парамагнитно. Глядя на рисунок 3 ниже, он показывает, как моменты выравниваются ниже температуры Кюри (в ферромагнетике), но затем выше температуры Карри он становится парамагнитным. За счет образования случайно расположенных спинов.

Вопросы

1. В чем разница между ферромагнетизмом и парамагнетизмом?
2. Объясните, почему и как ферромагнетизм ведет себя выше и ниже Кюри?
3. Каково общее применение материалов ферромагнетизма и почему / как оно работает?

Ответы

1. Ферромагнетики имеют однородные электронные спины, направленные в одном направлении, в то время как парамагнетики имеют спины во всех направлениях.Это заставляет ферромагнетики иметь сильные силы притяжения или отталкивания, когда они вводятся в постоянный магнит. С другой стороны, ферромагнетики имеют слабое притяжение к сильным постоянным магнитам.
2. Моменты выравниваются ниже температуры Кюри (в ферромагнетике), но затем выше температуры Карри он становится парамагнитным. Это ожидается, потому что ниже температуры Кюри спины имеют одинаковую величину с порядком. Но затем прохождение температуры Кюри означает, что моменты станут случайно выровненными, что приведет к разрыву связи, что сделает материал парамагнитным.
3. Обычно ферромагнитные материалы применяются в системах хранения данных. Это потому, что это дешевле, чем другие методы, и со временем диски можно стирать и использовать снова. Это возможно потому, что после намагничивания ферромагнитные материалы теряют способность к размагничиванию. В результате продолжается парамагнитное намагничивание с внешним источником тока или без него.

Список литературы

1. С. О.Kasap, Принципы электронных материалов и устройств . Макгроу-Хилл, 2006
2. Р. Э. Хаммель, Электронные свойства материалов . Springer New York, 2013. стр. 347-371
3. Ферромагнетизм . N.p., n.d. Интернет. 07 декабря 2015 г.
4. Британская энциклопедия онлайн . Британская энциклопедия, без даты. Интернет. 06 декабря 2015 г.

Авторы и авторство

• Хосе Андраде, Материаловедение и инженерия — Калифорнийский университет, Дэвис

Для чего нужна физика?

Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) (Рисунок). Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия пересекала бы график более чем в одной точке, как показано на (Рисунок).

[/ hidden-answer]

Попробуй

Представляет ли график на (Рисунок) функцию?

да

[/ hidden-answer]

Использование теста горизонтальной линии

После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли он взаимно однозначной функцией, — это использовать тест горизонтальной линии.Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.

Как к

Учитывая график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию взаимно однозначного соответствия.

1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
2. Если такая линия есть, определите, что функция не взаимно однозначна.

Применение теста горизонтальной линии

Рассмотрим функции, показанные на (Рисунок) (a) и (Рисунок) (b) . Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

Функция на (Рисунок) (a) не является взаимно однозначной. Горизонтальная линия, показанная на (Рисунок), пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках.)

Функция на (Рисунок) (b) является взаимно однозначной. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную не более одного раза. [/ Hidden-answer]

Попробуй

Является ли график на (Рисунок) взаимно однозначным?

Нет, потому что он не проходит тест горизонтальной линии.

[/ hidden-answer]

Определение основных функций набора инструментов

В этом тексте мы будем исследовать функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Когда мы учимся арифметике, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать как входную, так и выходную переменную.

Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную на (Рисунок).

Ключевые понятия

• Отношение — это набор упорядоченных пар. Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме (см. (Рисунок) и (рисунок)).
• В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям. См. (Рисунок).
• Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение. См. (Рисунок).
• Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Входные и выходные значения функции можно определить по таблице. См. (Рисунок).
• Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию. См. (Рисунок).
• Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.См. (Рисунок).
• График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке. См. (Рисунок).
• График функции «один к одному» проходит проверку горизонтальной линии. См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

В чем разница между отношением и функцией?

Отношение — это набор упорядоченных пар.Функция — это особый вид отношения, в котором никакие две упорядоченные пары не имеют одинаковой первой координаты.

[/ hidden-answer]

В чем разница между вводом и выводом функции?

Почему тест с вертикальной линией говорит нам, представляет ли график отношения функцию?

Если вертикальная линия пересекает график отношения более одного раза, это означает, что для этого входа существует более одного выхода.При любом конкретном входном значении может быть только один выход, если отношение должно быть функцией.

[/ hidden-answer]

Как определить, является ли отношение взаимно однозначной функцией?

Почему тест горизонтальной линии говорит нам, является ли график функции взаимно однозначным?

Если горизонтальная линия пересекает график функции более одного раза, это указывает на то, что для этого выхода существует более одного входа.Функция взаимно однозначна, если каждый выход соответствует только одному входу.

[/ hidden-answer]

Алгебраические

В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.

функция

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение функцию

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

не функция

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений оцените функцию при указанных значениях

[/ hidden-answer]

[латекс] \ sqrt {2-a-h} +5 [/ латекс]

[/ hidden-answer]

[/ hidden-answer]

Учитывая функции упрощения

Учитывая функции упрощения

[/ hidden-answer]

Учитывая функцию

1. Оценить
2. Решить

Учитывая функцию

1. Оценить
2. Решить

Учитывая функцию

1. Оценить
2. Решить

Графический

В следующих упражнениях используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, какие графики показывают отношения, являющиеся функциями.

не функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

функция

[/ hidden-answer]

Учитывая следующий график,

• Оценить
• Решить относительно

Учитывая следующий график,

• Оценить
• Решить относительно

Для следующих упражнений определите, является ли данный график взаимно однозначной функцией.

не является функцией, поэтому это также не взаимно однозначная функция

[/ hidden-answer]

индивидуальная функция

[/ hidden-answer]

функция, но не индивидуально

[/ hidden-answer]

Числовой

В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.

функция

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение, представленное в виде таблицы, функцию

«Для чего нужна физика?» Дополнительный кредит доступен в конце этой страницы.Пожалуйста, ответьте до 9:00 понедельника, 23 октября rd , 2000. Магнитные материалы В течение следующих нескольких недель мы будем изучать магнитные поля и силы, которые испытывают заряженные частицы и токи в результате этих полей. Однако у нас нет времени, чтобы подробно описать магнитные материалы. Это плохо как минимум по двум причинам: Магнитные материалы — важная технология, которая влияет на нашу повседневную жизнь. Исследования вашего преподавателя находятся в этой области, и они ему особенно нравятся. Эта страница предоставит ОЧЕНЬ КРАТКОЕ введение в основные типы магнитных материалов и некоторые их применения. Во-первых, технический момент. Все материалы являются магическими в том смысле, что на них так или иначе влияют магнитные поля. Однако степень их воздействия сильно различается. Есть три категории, которые описывают, как на материал влияет магнитное поле.Есть и другие, но самые простые. Диамагнетизм: Такие материалы, как медь, свинец, кварц, вода, ацетон и диоксид углерода, являются диамагнитными. Эти материалы очень слабо подвержены влиянию магнитных полей. В той степени, в которой они затронуты, они становятся магнитно поляризованными в направлении , противоположном направлению от магнитного поля. Если магнитное поле неоднородно, они чувствуют силу на расстоянии от области от области с более высоким полем. Диамагнетизм возникает в результате воздействия магнитных полей на все электроны в материале.Таким образом, все материалы диамагнитны. Однако другие формы магнетизма сильнее диамагнетизма, поэтому диамагнетизм обычно можно игнорировать, если только он не является единственным присутствующим магнетизмом. Парамагнетизм: Такие материалы, как натрий, кислород, оксид железа (FeO или Fe 2 O 3 ) и платина являются парамагнитными. На них воздействуют несколько сильнее, чем на диамагнитные материалы, они становятся поляризованными параллельно магнитному полю. Таким образом, в неоднородном магнитном поле они ощущают силу по направлению к в области более высокого поля. Парамагнетизм возникает из-за магнитных сил на неспаренных электронах. Вы можете вспомнить из курса химии, что электроны движутся вокруг атомов по «орбиталям» и что максимум два электрона могут войти на каждую орбиталь. Электроны, которые находятся на орбитали в одиночку, считаются неспаренными. Ферромагнетик: Такие материалы, как железо, никель, гадолиний, оксид железа (Fe 3 O 4 ), марганцево-висмут (MnBi) и феррит кобальта (CoFe 2 O 4 ) являются ферромагнитными. .Эти материалы очень сильно подвержены влиянию магнитных полей. Они становятся сильно поляризованными в направлении магнитного поля, поэтому их сильно привлекает область сильного поля, когда поле неоднородно. Кроме того, они сохраняют свою поляризацию после снятия магнитного поля. После поляризации ферромагнитные материалы создают собственные магнитные поля. Поскольку эти поля обычно неоднородны (особенно вблизи концов детали), ферромагнитные материалы способны притягивать друг друга.Все материалы, которые вы привыкли называть магнитами, являются ферромагнитными материалами. Ферромагнетизм возникает в результате взаимодействия электронов в материале. Вот почему ферромагнетик может оставаться магнитно поляризованным, даже если к нему не приложено магнитное поле извне. Неудивительно, что для большинства применений магнитных материалов требуются ферромагнитные материалы. Это те, которые наиболее сильно взаимодействуют с магнитными полями.В этой категории есть несколько важных подкатегорий. Это связано с тем, насколько легко можно изменить магнитную поляризацию (намагниченность) материала. Как правило, чем сложнее намагничивать материал, тем больше этот материал сохраняет свою намагниченность. Это свойство известно как «магнитная жесткость». Например, в (магнитном) твердом материале намагниченность очень трудно изменить. Однако намагниченный материал сохранит почти всю свою намагниченность после удаления намагничивающего поля.Затем материал можно использовать в этом состоянии. Твердые материалы идеально подходят для использования в качестве «постоянных магнитов». Постоянные магниты используются по-разному, наиболее известным из них, вероятно, является магнит «на холодильник», который часто используется, чтобы подносить списки покупок и детские рисунки к дверце холодильника. Постоянные манжеты также используются в магнитных защелках (например, чтобы держать дверцу холодильника закрытой), в электродвигателях (в холодильнике есть еще один), в электрических генераторах (которые питают холодильник), в антиблокировочных тормозах, в электрогитаре. пикапы и тысячи других обычных и необычных устройств. Ферромагнетики, которые очень легко намагничиваются, но которые теряют большую часть своей намагниченности при удалении из магнитного поля, известны как мягкие магнитные материалы . Эти материалы используются в датчиках магнитного поля (для считывания данных с магнитной ленты и дисков или в антиблокировочной системе тормозов), а также в магнитном экранировании. Они также используются в электрических трансформаторах, о которых мы узнаем, когда изучим схемы переменного тока. Физик гаусс – Что великий математик Гаусс сделал для физики? | Биографии Posted on 20.11.201822.12.2019 by alexxlab Биография Карла Гаусса Иоганна Карла Фридриха Гаусса называют королем математиков. Его открытия в алгебре и геометрии дали направление развития науки 19 века. Кроме того, он сделал существенный вклад в астрономию, геодезию и физику. Этапы жизни Родился Карл Гаусс 30 апреля 1777 года в немецком герцогстве Брауншвейг в семье бедного смотрителя каналов. Примечательно, что точной даты появления на свет его родители не помнили – Карл сам вывел ее в будущем. Дом, где родился Гаусс Уже в 2 года родственники мальчика признали его гением. В 3 года он читал, писал и исправлял счетные ошибки отца. Позже Гаусс вспоминал, что считать научился раньше, чем разговаривать. В школе гениальность мальчика подметил его учитель Мартин Бартельс, который позже обучал Николая Лобачевского. Педагог направил ходатайство герцогу Брауншвейгскому и добился для юноши стипендии в крупнейшем техническом университете Германии. С 1792 по 1795 год Карл Гаусс провел в стенах Брауншвейгского университета, где изучал труды Лагранжа, Ньютона, Эйлера. Следующие 3 года он проучился в Гёттингенском университете. Его учителем стал выдающийся немецкий математик Авраам Кестнер. На втором году обучения ученый начинает вести дневник наблюдений. Позже биографы почерпнут из него много открытий, которые Гаусс не оглашал при жизни. В 1798 году Карл возвращается на родину. Герцог оплачивает публикацию докторской диссертации ученого и жалует ему стипендию. В Брауншвейге Гаусс остается до 1807 года. В этот период он занимает должность приват-доцента местного университета. В 1806 году на войне гибнет покровитель молодого ученого. Но Карл Гаусс уже сделал себе имя. Его наперебой приглашают в разные страны Европы. Математик переходит на работу в немецкий университетский город Гёттинген. На новом месте он получает должность профессора и директора обсерватории. Здесь он остается вплоть до самой смерти. Широкое признание Карл Гаусс получил еще при жизни. Он был членом-корреспондентом АН в Петербурге, награжден премией Парижской АН, золотой медалью Лондонского королевского общества, стал лауреатом медали Копли и членом Шведской АН. Математические открытия Карл Гаусс сделал фундаментальные открытия почти во всех областях алгебры и геометрии. Самым плодотворным периодом считается время его обучения в Гёттингенском университете. Находясь в коллегиальном колледже он доказал закон взаимности квадратичных вычетов. А в университете математик сумел построить правильный семнадцатиугольник с помощью линейки и циркуля и решил проблему построения правильных многоугольников. Этим достижением ученый дорожил больше всего. Настолько, что пожелал выгравировать на его посмертном памятнике круг, в котором бы находилась фигура с 17 углами. В 1801 году Клаус издает труд «Арифметические исследования». Через 30 лет на свет появится очередной шедевр немецкого математика – «Теория биквадратичных вычетов». В нем приводятся доказательства важных арифметических теорем для вещественных и комплексных чисел. Гаусс стал первым, кто представил доказательства основной теоремы алгебры и начал изучать внутреннюю геометрию поверхностей. Он также открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, решил много математических проблем, вывел теорию сравнений, заложил основы римановой геометрии. Достижения в других научных сферах Вице-гелиотроп. Латунь, золото, стекло, красное дерево (создан до 1801 года). С рукописной надписью: «Собственность господина Гаусса». Находится в Университете Гёттингена, первый Физический институт. Настоящую известность Карлу Гауссу принесли вычисления, с помощью которых он определил положение планеты Цереры, открытой в 1801 году. В последующем ученый не раз возвращается к астрономическим исследованиям. В 1811 году он рассчитывает орбиту новообнаруженной кометы, делает вычисления для определения расположения кометы «пожара Москвы» в 1812 году. В 20-х годах 19 века Гаусс работает в сфере геодезии. Именно он создал новую науку – высшую геодезию. Также разрабатывает вычислительные методы для проведения геодезической съемки, издает цикл трудов по теории поверхностей, вошедших в публикацию «Исследования относительно кривых поверхностей» в 1822 году. Обращается ученый и к физике. Он развивает теории капиллярности и системы линз, закладывает основы электромагнетизма. Совместно с Вильгельмом Вебером изобретает электрический телеграф. Личность Карла Гаусса Карл Гаусс был максималистом. Он никогда не публиковал сырые, даже гениальные труды, считая их несовершенными. Из-за этого в ряде многих открытий его опередили другие математики. Ученый также был полиглотом. Он свободно разговаривал и писал на латыни, английском, французском. А в 62 года освоил русский, чтобы читать в оригинале труды Лобачевского. Гаусс был дважды женат, стал отцом для шести детей. К сожалению, обе супруги умерли рано, а один из детей погиб в младенчестве. spacegid.com Иоганн Карл Фридрих Гаусс – король математиков Многих ли выдающихся математиков Вы можете вспомнить не задумываясь? А можете ли Вы назвать тех из них, кто при жизни получил заслуженное звание «король математиков»? Одним из немногих этой почести удостоился Карл Гаусс – немецкий математик, физик и астроном. Мальчик, который рос в бедной семье, уже с двухлетнего возраста проявил незаурядные способности вундеркинда. В три года ребенок отлично считал и даже помогал отцу выявлять неточности в проделанных математических операциях. По преданию, учитель математики задал школьникам задачу сосчитать сумму чисел от 1 до 100, чтобы чем-то занять ребят. С этой задачей блестяще справился маленький Гаусс, заметив, что попарные суммы в противоположных концов одинаковы. С детства и пошла привычка Гаусса любые вычисления проводить в уме. Будущему математику всегда везло с учителями: они были чутки к способностям юноши и всячески ему помогали. Одним из таких наставников был Бартельс, который посодействовал Гауссу в получении стипендии от герцога, что оказалось значительным подспорьем при обучении юноши в колледже. Исключителен Гаусс и тем, что долгое время он пытался сделать выбор между филологией и математикой. Гаусс владел многими языками (а особенно любил латынь) и мог быстро выучить любой из них, он понимал литературу; уже в преклонном возрасте математик смог выучить далеко не легкий русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского в оригинале. Как мы знаем, выбор Гаусса все же пал на математику. Уже в колледже Гаусс смог доказать закон взаимности квадратичных вычетов, что не удавалось его знаменитым предшественникам – Эйлеру и Лежандру. В это же время Гаусс создает метод наименьших квадратов. Позже Гаусс доказал возможность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки, а также в общем обосновал критерий такого построения правильных многоугольников. Это открытие было особенно дорого ученому, поэтому он завещал изобразить на своей могиле вписанный в круг 17-угольник. Математик требовательно относился к своим достижением, поэтому публиковал только те исследования, которыми был доволен: недоработанных и «сырых» результатов в трудах Гаусса мы не найдем. Многие из неопубликованных идей после воскресли в трудах других ученых. Большую часть времени математик посвятил разработке теории чисел, которую он считал «царицей математики». В рамках исследований им была обоснована теория сравнений, исследованы квадратичные формы и корни из единицы, изложены свойства квадратичных вычетов и др. В своей докторской диссертации Гаусс доказал основную теорему алгебры, а позже разработал еще 3 ее доказательства разными способами. Гаусс-астроном прославился «поиском» планеты-беглянки Цереры. За несколько часов математик проделал вычисления, которые позволили точно указать место нахождения «сбежавшей планеты», где она и была обнаружена. Продолжая свои исследования, Гаусс пишет «Теорию небесных тел», где излагает теорию учета возмущений орбит. Вычисления Гаусса позволили наблюдать комету «пожара Москвы». Велики заслуги Гаусса и в геодезии: «гауссова кривизна», метод конформного отображения и др. Исследование магнетизма Гаусс проводит со своим молодым другом Вебером. Гауссу принадлежит открытие пушки Гаусса – одной из разновидностей электромагнитного ускорителя масс.Совместно с Вебером Гауссом была разработана также действующая модель сконструированного им же электрического телеграфа. Метод решения системных уравнений, открытый ученым, был назван методом Гаусса. Метод состоит в последовательном исключении переменных до приведения уравнения к ступенчатому виду. Решение методом Гаусса считается классическим и активно используется и сейчас. Имя Гаусса известно почти во всех областях математики, а также в геодезии, астрономии, механике. За глубину и оригинальность мысли, за требовательность к себе и гениальность ученый и получил звание «король математиков». Ученики Гаусса стали не менее выдающимися учеными, нежели их наставник: Риман, Дедекинд, Бессель, Мебиус. Память о Гауссе навсегда осталась в математических и физических терминах (метод Гаусса, дискриминанты Гаусса, прямая Гаусса, Гаусс – единица измерения магнитной индукции и др.). Имя Гаусса носит лунный кратер, вулкан в Антарктиде и малая планета. © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. blog.tutoronline.ru Гаусс — Большая советская энциклопедия I Га́усс (Gauss) Карл Фридрих (30.4.1777, Брауншвейг, — 23.2.1855, Гёттинген), немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию. Родился в семье водопроводчика. С 1795 по 1798 учился в Гёттингенском университете. В 1799 получил доцентуру в Брауншвейге, в 1807 — кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете, с которой была также связана должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. На этом посту Г. оставался до конца жизни. Отличительными чертами творчества Г. являются глубокая органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, необычайная широта проблематики. Работы Г. оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии. Во многих областях математики труды Г. содействовали повышению требований к логической отчётливости доказательств, однако сам Г. оставался в стороне от работ по строгому обоснованию математического анализа, которые проводил в его время О. Коши. Первое крупное сочинение Г. по теории чисел и высшей алгебре — «Арифметические исследования» (1801) — во многом предопределило дальнейшее развитие этих дисциплин. Г. даёт здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов (См. Квадратичный вычет), первое доказательство квадратичного закона взаимности — одной из центральных теорем теории чисел. Г. даёт также новое подробное изложение арифметической теории квадратичных форм, до того построенной Ж. Лагранжем, в частности тщательную разработку теории композиции классов таких форм. В конце книги излагается теория уравнений деления круга (т. е. уравнений xn — 1 = 0), которая во многом была прообразом Галуа теории (См. Галуа теория). Помимо общих методов решения этих уравнений, Г. установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он, впервые после древнегреческих учёных, сделал значительный шаг вперёд в этом вопросе, а именно: Г. нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой; в частности, решив уравнение х17—1 = 0, он дал построение правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки. Г. придавал этому открытию очень большое значение и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своём надгробном памятнике, что и было исполнено. Астрономические работы Г. (1800—20) в основном связаны с решением проблемы определения орбит малых планет и исследованием их возмущений. Г. как астроном получил широкую известность после разработки метода вычисления эллиптических орбит планет по трём наблюдениям, успешно примененного им к первым открытым малым планетам Церера (1801) и Паллада (1802). Результаты исследований по вычислению орбит Г. опубликовал в сочинении «Теория движения небесных тел» (1809). В 1794—95 открыл и в 1821—23 разработал основной математический метод обработки неравноценных наблюдательных данных (Наименьших квадратов метод). В связи с астрономическими вычислениями, основанными на разложении интегралов соответствующих дифференциальных уравнений в бесконечные ряды, Г. занялся исследованием вопроса о сходимости бесконечных рядов [в работе, посвященной изучению гипергеометрического ряда (См. Гипергеометрический ряд) (1812)]. Работы Г. по геодезии (1820—30) связаны с поручением провести геодезическую съёмку и составить детальную карту Ганноверского королевства; Г. организовал измерение дуги меридиана Гёттинген — Альтона, в результате теоретической разработки проблемы создал основы высшей геодезии («Исследования о предметах высшей геодезии», 1842—47). Для оптической сигнализации Г. изобрёл специальный прибор — Гелиотроп. Изучение формы земной поверхности потребовало углублённого общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые Г. в этой области идеи получили выражение в сочинении «Общие изыскания о кривых поверхностях» (1827). Руководящая мысль этого сочинения заключается в том, что при изучении поверхности как бесконечно тонкой гибкой плёнки основное значение имеет не уравнение поверхности в декартовых координатах, а дифференциальная квадратичная форма, через которую выражается квадрат элемента длины и инвариантами которой являются все собственные свойства поверхности — прежде всего её кривизна в каждой точке. Др. словами, Г. предложил рассматривать те свойства поверхности (т. н. внутренние), которые не зависят от изгибаний поверхности, не изменяющих длин линий на ней. Созданная таким образом внутренняя геометрия поверхностей послужила образцом для создания n-mepной римановой геометрии (См. Риманова геометрия). Исследования Г. по теоретической физике (1830—40) являются в значительной мере результатом тесного общения и совместной научной работы с В. Вебером. Вместе с Вебером Г. создал абсолютную систему электромагнитных единиц и сконструировал в 1833 первый в Германии электромагнитный телеграф. В 1835 Г. основал магнитную обсерваторию при Гёттингенской астрономической обсерватории. В 1838 он издал труд «Общая теория земного магнетизма». Небольшое сочинение «О силах, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» (1834—40) содержит основы теории потенциала. К теоретической физике примыкают также разработка (1829) Г. принципа наименьшего принуждения (см. Гаусса принцип) и работы по теории капиллярности (1830). К числу физических исследований Г. относятся и его «Диоптрические исследования» (1840), в которых он заложил основы теории построения изображения в системах линз. Очень многие исследования Г. остались неопубликованными и в виде очерков, незаконченных работ, переписки с друзьями входят в его научное наследие. Вплоть до 2-й мировой войны оно тщательно разрабатывалось Гёттингенским учёным обществом, которое издало 12 тт. сочинений Г. Наиболее интересными в этом наследии являются дневник Г. и материалы по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Дневник содержит 146 записей, относящихся к периоду от 30 марта 1796, когда 19-летний Г. отметил открытие построения правильного 17-угольника, по 9 июля 1814. Эти записи дают отчётливую картину творчества Г. в первой половине его научной деятельности; они очень кратки, написаны на латинском языке и излагают обычно сущность открытых теорем. Материалы, относящиеся к неевклидовой геометрии, обнаруживают, что Г. пришёл к мысли о возможности построения наряду с евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой в 1818, но опасение, что эти идеи не будут поняты, и, по-видимому, недостаточное сознание их научной важности были причиной того, что Г. их не разрабатывал далее и не опубликовывал. Более того, он категорически запрещал опубликовывать их тем, кого посвящал в свои взгляды. Когда вне всякого отношения к этим попыткам Г. неевклидова геометрия была построена и опубликована Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский), Г. отнёсся к публикациям Лобачевского с большим вниманием, был инициатором избрания его член-корреспондентом Гёттингенского учёного общества, но своей оценки великого открытия Лобачевского по существу не дал. Архивы Г. содержат также обильные материалы по теории эллиптических функций и своеобразную их теорию; однако заслуга самостоятельной разработки и публикации теории эллиптических функций принадлежит К. Якоби и Н. Абелю (См. Абель). Соч.: Werke, Bd 1 —, Gött., 1908 —; в рус. пер. — Общие исследования о кривых поверхностях, в сборнике: Об основаниях геометрии, 2 изд., Каз., 1895; Теоретическая астрономия. (Лекции, читанные в Гёттингене в 1820—26 гг., записанные Купфером), в кн.: Крылов А. Н., Собр. трудов, т. 6, М. — Л., 1936; Письма П. С. Лапласа, К. Ф. Гаусса, Ф. В. Бесселя и др. к академику Ф. И. Шуберту, в сборнике: Научное наследство, т 1, М. — Л., 1948, с. 801—22. Лит.: Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М. — Л., 1937: Карл Фридрих Гаусс. Сб. ст., М., 1956. К. Ф. Гаусс. II Га́усс единица магнитной индукции в СГС системе единиц (См. СГС система единиц) (гауссовой и СГСМ). Названа в честь К. Гаусса. Сокращённое обозначение: русское гс, международное Gs. 1 гс равен индукции однородного магнитного поля, в котором прямой проводник длиной 1 см, расположенный перпендикулярно вектору индукции поля, испытывает силу в 1 дин, если по этому проводнику протекает ток в 1 единицу тока СГСМ. Г. также можно определить как магнитную индукцию, при которой через сечение площадью в 1 см, нормальное к направлению линий индукции, проходит магнитный поток в 1 максвелл. Соотношение между единицами магнитной индукции СГС и СИ: 1 тл = 104 гс. На практике применяют ещё единицу килогаусс = 1000 гс. До 1930 Г. называли также единицу напряжённости магнитного поля, равную 79,577 а/м. В 1930 решением Международной электротехнической комиссии для напряжённости магнитного поля была принята особая единица эрстед. Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me Значения в других словарях Гаусс — орф. Гаусс, -а: постоянная Гаусса, принцип Гаусса, распределение Орфографический словарь Лопатина гаусс — Га́усс/. Морфемно-орфографический словарь гаусс — гаусс м. Единица измерения магнитной индукции. Толковый словарь Ефремовой гаусс — Гаусс, гауссы, гаусса, гауссов, гаусс, гауссу, гауссам, гаусс, гауссы, гауссом, гауссами, гауссе, гауссах Грамматический словарь Зализняка гаусс — сущ., кол-во синонимов: 1 единица 830 Словарь синонимов русского языка ГАУСС — ГАУСС (Gauss) Карл Фридрих (1777-1855), немецкий математик. В детстве был необыкновенно одаренным ребенком, из бедной семьи. Его образование оплачивал богатый аристократ герцог Брауншвейгский, который узнал о нем от его учителя. Научно-технический словарь гаусс — ГАУСС -а; мн. род. гауссов и гаусс; м. Единица измерения магнитной индукции. ● По фамилии немецкого математика К. Гаусса (1777 — 1855). Толковый словарь Кузнецова ГАУСС — (Гс, Gs), единица магн. индукции в СГС системе единиц (симметричной, или Гауссовой) и СГСМ. Названа в честь нем. учёного К. Ф. Гаусса (К. F. Gau8). 1 Гс=10-4 тесла. Физический энциклопедический словарь гаусс — орф. гаусс, -а, р. мн. -ов, счетн. ф. гаусс (ед. измер.) Орфографический словарь Лопатина ГАУСС — ГАУСС — единица магнитной индукции в СГС системе единиц. Названа в честь К. Гаусса, обозначается Гс. 1 Гс=10-4 тесла. ГАУСС (Gau?) Карл Фридрих (1777-1855) — немецкий математик… Большой энциклопедический словарь Гаусс — (Carl-Friedrich Gauss) — знаменитый немецкий математик. Род. 28 апреля 1777 года в Брауншвейге и с раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности. Рассказывают, что, будучи трех лет… Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона gufo.me Великий математик Гаусс: биография, фото, открытия Математик Гаусс был замкнутым человеком. Эрик Темпл Белл, который изучал его биографию, считает, что если бы Гаусс опубликовал все свои исследования и открытия в полном объеме и вовремя, то могло бы прославиться еще с полдюжины математиков. А так им пришлось потратить львиную долю времени, чтобы узнать, каким образом ученый получил те или другие данные. Ведь он редко публиковал методы, его всегда интересовал только результат. Выдающийся математик, странный человек и неподражаемая личность – это все Карл Фридрих Гаусс. Ранние годы Будущий математик Гаусс родился 30.04.1777 г. Это, конечно, странное явление, но выдающиеся люди чаще всего рождаются в бедных семьях. Так случилось и в этот раз. Его дедушка был обычным крестьянином, а отец работал в герцогстве Брауншвейг садовником, каменщиком или водопроводчиком. Родители узнали, что их ребенок вундеркинд, когда малышу исполнилось два года. Спустя год Карл уже умеет считать, писать и читать. В школе его способности заметил учитель, когда дал задание подсчитать сумму чисел от 1 до 100. Гауссу быстро удалось понять, что все крайние числа в паре составляют 101, и за считанные секунды он решил это уравнение, умножив 101 на 50. Юному математику несказанно повезло с учителем. Тот помогал ему во всем, даже похлопотал за то, чтобы начинающему дарованию выплачивали стипендию. С ее помощью Карл сумел окончить колледж (1795 год). Студенческие годы После колледжа Гаусс учится в Геттингенском университете. Этот период жизни биографы обозначают как самый плодотворный. В это время ему удалось доказать, что начертить правильный семнадцатиугольник, используя лишь циркуль, представляется возможным. Он уверяет: можно нарисовать не только семнадцатиугольник, но и другие правильные многоугольники, пользуясь только циркулем и линейкой. В университете Гаусс начинает вести специальную тетрадь, куда заносит все записи, которые касаются его исследований. Большинство из них были скрыты от глаз общественности. Для друзей он всегда повторял, что не сможет опубликовать исследование или формулу, в которых не уверен на 100%. По этой причине большинство из его идей были открыты другими математиками спустя 30 лет. «Арифметические исследования» Вместе с окончанием университета математик Гаусс закончил свой выдающийся труд «Арифметические исследования» (1798), но его напечатали лишь спустя два года. Это обширное сочинение определило дальнейшее развитие математики (в частности, алгебры и высшей арифметики). Основная часть работы сосредоточена на описании абиогенеза квадратичных форм. Биографы уверяют, что именно с него начинаются открытия Гаусса в математике. Ведь он был первым математиком, у кого получилось вычислять дроби и переводить их в функции. Также в книге можно отыскать полную парадигму равенств деления круга. Гаусс умело применяет эту теорию, пытаясь решить проблему начертания многоугольников при помощи линейки и циркуля. Доказывая эту вероятность, Карл Гаусс (математик) вводит ряд чисел, которые называют числами Гаусса (3, 5, 17, 257, 65337). Это значит, что при помощи простых канцелярских предметов можно построить 3-угольник, 5-угольник, 17-угольник и т.д. А вот 7-угольник построить не получится, ведь 7 не является «числом Гаусса». К «своим» числа математик также относит двойки, что умноженные на любую степень его ряда чисел (23, 25 и т.д.) Этот результат можно назвать «чистой теоремой существования». Как уже было сказано вначале, Гаусс любил публиковать итоговые результаты, но никогда не указывал методы. Так же и в этом случае: математик утверждает, что построить правильный многоугольник вполне реально, вот только не уточняет, как именно это сделать. Астрономия и царица наук в 1799 году Карл Гаусс (математик) получает титул приват-доцента Брауншвейнского университета. Спустя два года ему предоставляют место в Петербургской Академии наук, где он выступает в качестве корреспондента. Он все еще продолжает изучать теорию чисел, но круг его интересов расширяется после открытия небольшой планеты. Гаусс пытается вычислить и указать ее точное местонахождение. Многие задаются вопросом, как называлась планета по вычислениям математика Гаусса. Однако немногим известно, что Церера — не единственная планета, с которой работал ученый. В 1801 году впервые было обнаружено новое небесное тело. Это случилось неожиданно и внезапно, точно так же неожиданно планета была утеряна. Гаусс попытался обнаружить ее, применяя математические методы, и, как ни странно, она была именно там, куда указал ученный. Астрономией ученый занимается более двух десятилетий. Всемирную известность получает метод Гаусса (математика, которому принадлежит множество открытий) для определения орбиты с помощью трех наблюдений. Три наблюдения – это место, в котором располагается планета в разный период времени. С помощью этих показателей была вновь найдена Церера. Точно таким же образом обнаружили еще одну планету. С 1802 года на вопрос, как называется планета, обнаруженная математиком Гаусса, можно было отвечать: «Паллада». Забегая немного вперед, стоит отметить, что в 1923 году именем известного математика назвали крупный астероид, вращающийся вокруг Марса. Гауссия, или астероид 1001, – это официально признанная планета математика Гаусса. Это были первые исследования в области астрономии. Возможно, созерцание звездного неба стало причиной того, что человек, увлеченный числами, принимает решение обзавестись семьей. В 1805 году берет в жены Иоганну Остгоф. В этом союзе у пары рождается трое детей, но младший сын умирает в младенчестве. В 1806 году скончался герцог, который покровительствовал математику. Страны Европы наперебой начинают приглашать Гаусса к себе. С 1807 года и до последних своих дней Гаусс возглавляет кафедру в Геттингенском университете. В 1809 году умирает первая жена математика, в этом же году Гаусс издает свое новое творение — книгу под названием «Парадигма перемещения небесных тел». Методы для вычисления орбит планет, что изложены в этом труде, актуальны и сегодня (правда, с небольшими поправками). Главная теорема алгебры Начало ХІХ века Германия встретила в состоянии анархии и упадка. Эти годы были тяжелыми для математика, но он продолжает жить дальше. В 1810 году Гаусс второй раз связывает себя узами брака — с Минной Вальдек. В этом союзе у него появляется еще трое детей: Тереза, Вильгельм и Ойген. Также 1810 год был ознаменован получением престижной премии и золотой медали. Гаусс продолжает свою работу в областях астрономии и математики, исследуя все больше и больше неизвестных составляющих этих наук. Его первая публикация, посвященная основной теореме алгебры, датируется 1815 годом. Главная идея заключается в следующем: число корней многочлена прямопропорциональна его степени. Позже высказывание приобрело несколько иной вид: любое число в степени, не равной нолю, априори имеет как минимум один корень. Впервые он доказал это еще в 1799 году, но не был доволен своей работой, поэтому публикация вышла в свет спустя 16 лет, с некоторыми поправками, дополнениями и вычислениями. Неевклидова теория Согласно данным, в 1818 году Гауссу первому удалось построить базу для неевклидовой геометрии, теоремы которой были бы возможны в реальности. Неевклидовая геометрия представляет собой область науки, отличимой от евклидовой. Основная особенность евклидовой геометрии — в наличии аксиом и теорем, которые не требуют подтверждений. В своей книге «Начала» Евклид вывел утверждения, которые должны приниматься без доказательств, ведь они не могут быть изменены. Гаусс был первым, кому удалось доказать, что теории Евклида не всегда могут восприниматься без обоснований, так как в определенных случаях они не имеют прочной базы доказательств, которая удовлетворяет всем требованиям эксперимента. Так появилась неевклидова геометрия. Конечно, основные геометрические системы были открыты Лобачевским и Риманом, но метод Гаусса — математика, умеющего смотреть вглубь и находить истину, — положил начало этому разделу геометрии. Геодезия В 1818 году правительство Ганновера решает, что назрела необходимость измерить королевство, и это задание получил Карл Фридрих Гаусс. Открытия в математике на этом не закончились, а лишь приобрели новый оттенок. Он разрабатывает необходимые для выполнения задания вычислительные комбинации. В их число вошла гауссова методика «малых квадратов», которая подняла геодезию на новый уровень. Ему пришлось составлять карты и организовывать съемку местности. Это позволило приобрести новые знания и поставить новые эксперименты, поэтому в 1821 году он начинает писать работу, посвященную геодезии. Этот труд Гаусса опубликовали в 1827, под названием «Общий анализ неровных плоскостей». В основу этой работы были положены засады внутренней геометрии. Математик считал, что необходимо рассматривать предметы, которые находятся на поверхности, как свойства самой поверхности, обращая внимание на длину кривых, игнорируя при этом данные объемлющего пространства. Несколько позже эта теория была дополнена трудами Б. Римана и А. Александрова. Благодаря этому труду в научных кругах начало появляться понятие «гауссова кривизна» (определяет меру искривления плоскости в определенной точке). Начинает свое существование дифференциальная геометрия. И чтобы результаты наблюдений были достоверными, Карл Фридрих Гаусс (математик) выводит новые методы получения величин с высоким уровнем вероятности. Механика В 1824 году Гаусс был заочно включен в состав членов Петербургской Академии наук. На этом его достижения не заканчиваются, он все так же упорно занимается математикой и презентует новое открытие: «целые числа Гаусса». Под ними подразумевают числа, имеющие мнимую и вещественную часть, которые являются целыми числами. По сути, своими свойствами гауссовские числа напоминают обычные целые, но те небольшие отличительные характеристики позволяют доказать биквадратичный закон взаимности. В любое время он был неподражаем. Гаусс — математик, открытия которого так тесно переплетены с жизнью, — в 1829 году внес новые коррективы даже в механику. В это время вышел его небольшой труд «О новом универсальном принципе механики». В нем Гаусс доказывает, что принцип малого воздействия, можно по праву считать новой парадигмой механики. Ученный уверяет, что этот принцип можно применять ко всем механическим системам, которые связаны между собой. Физика С 1831 года Гаусс начинает страдать от тяжелой бессонницы. Болезнь проявилась после смерти второй супруги. Он ищет утешения в новых исследованиях и знакомствах. Так, благодаря его приглашению в Геттинген приехал В. Вебер. С молодой талантливой личностью Гаусс быстро находит общий язык. Они оба увлечены наукой, и жажду знаний приходится унимать, обмениваясь своими наработками, догадками и опытом. Эти энтузиасты быстро принимаются за дело, посвящая свое время исследованию электромагнетизма. Гаусс, математик, биография которого имеет большую научную ценность, в 1832 году создал абсолютные единицы, которыми и сегодня пользуются в физике. Он выделял три основные позиции: время, вес и расстояние (длина). Наряду с этим открытием в 1833 году, благодаря совместным исследованиям с физиком Вебером, Гауссу удалось изобрести электромагнитный телеграф. 1839 год ознаменован выходом еще одного сочинения — «Об общем абиогенезе сил тяготения и отталкивания, что действуют прямопропорционально расстоянию». На страницах подробно описан знаменитый закон Гаусса (еще известный как теорема Гаусса-Остроградского, или просто теорема Гаусса). Этот закон является одним из основных в электродинамике. Он определяет связь между электрическим потоком и суммой заряда поверхности, делимые на электрическую постоянную. В этом же году Гаусс освоил русский язык. Он направляет письма в Петербург с просьбой выслать ему русские книги и журналы, особенно желал он ознакомиться с произведением «Капитанская дочка». Этот факт биографии доказывает, что, помимо способностей к вычислению, у Гаусса было множество других интересов и увлечений. Просто человек Гаусс никогда не спешил публиковаться. Он долго и кропотливо проверял каждую свою работу. Для математика все имело значение: начиная от правильности формулы и заканчивая изяществом и простотой слога. Он любил повторять, что его работы — как только что построенный дом. Владельцу показывают только конечный результат работы, а не остатки леса, которые раньше были на месте жилого помещения. Также и с его работами: Гаусс был уверен, что никому не стоит показывать черновые наброски исследования, только готовые данные, теории, формулы. Гаусс всегда проявлял живой интерес к наукам, но особенно его интересовала математика, которую он считал «царицей всех наук». И природа не обделила его умом и талантами. Даже находясь в преклонном возрасте, он, по обычаю, проводил большую часть сложных вычислений в уме. Математик никогда заранее не распространялся о своих работах. Как и каждый человек, он боялся, что его не поймут современники. В одном из своих писем Карл говорит о том, что устал вечно балансировать на грани: с одной стороны, он с удовольствием поддержит науку, но, с другой, ему не хотелось ворошить «осиное гнездо непонятливых». Всю свою жизнь Гаусс провел в Геттингене, только один раз ему удалось побывать в Берлине на научной конференции. Он мог длительное время проводить исследования, опыты, вычисления или измерения, но очень не любил читать лекции. Этот процесс он считал лишь досадной необходимостью, но если у него в группе появлялись талантливые ученики, он не жалел для них ни времени, ни сил и долгие годы поддерживал переписку обсуждая важные научные вопросы. Карл Фридрих Гаусс, математик, фото, которого размещены в этой статье, был поистине удивительным человеком. Выдающимися знаниями мог похвастаться не только в области математики, но и с иностранными языками «дружил». Свободно разговаривал на латыни, английском и французском, освоил даже русский. Математик читал не только научные мемуары, но и обычную художественную литературу. Особенно ему нравились произведения Диккенса, Свифта и Вальтера Скотта. После того как его младшие сыновья эмигрировали в США, Гаусс начал интересоваться американскими писателями. Со временем пристрастился к датским, шведским, итальянским и испанским книгам. Все произведения математик непременно читал в оригинале. Гаусс занимал весьма консервативную позицию в общественной жизни. С ранних лет он ощущал зависимость от людей, наделенных властью. Даже когда в 1837 году в университете начался протест против короля, который урезал профессорам содержание, Карл не стал вмешиваться. Последние годы В 1849 год Гаусс отмечает 50-летие присвоения докторской степени. К нему приехали известные математики, и это обрадовало его намного больше, чем присвоение очередной награды. В последние годы своей жизни уже много болел Карл Гаусс. Математику было сложно передвигаться, но ясность и острота разума от этого не пострадали. Незадолго до смерти здоровье Гаусса ухудшилось. Врачи диагностировали болезнь сердца и нервное перенапряжение. Лекарства практически не помогали. Математик Гаусс умер 23 февраля 1855 года, в возрасте семидесяти восьми лет. Известного ученого похоронили в Геттингене и, согласно его последней воле, выгравировали на надгробной плите правильный семнадцатиугольник. Позже его портреты напечатают на почтовых марках и денежных купюрах, страна навсегда запомнит своего лучшего мыслителя. Таким был Карл Фридрих Гаусс – странным, умным и увлеченным. И если спросят, как называется планета математика Гаусса, можно не спеша ответить: «Вычисления!», ведь именно им он посвятил всю свою жизнь. fb.ru Гаусс, Карл Фридрих — История геодезии Гаусс, Карл Фридрих (30 апреля 1777, Брауншвейг, ныне Германия — 23 февраля 1855, Геттинген, Ганноверское королевство, ныне Германия), немецкий математик, астроном, геодезист и физик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверхностей), математической физики (принцип Гаусса), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии. Еще при жизни Гаусс был удостоен почетного титула «принц математиков». Он был единственным сыном бедных родителей. Школьные учителя были так поражены его математическими и лингвистическими способностями, что обратились к герцогу Брауншвейгскому с просьбой о поддержке, и герцог дал деньги на продолжение обучения в школе и в Геттингенском университете (в 1795-1798). Степень доктора Гаусс получил в 1799 в университете Хельмштедта. Первое же обширное сочинение Гаусса «Арифметические исследования» (опубликовано в 1801) на многие годы определило последующее развитие двух важных разделов математики — теории чисел и высшей алгебры. Из множества важных и тонких результатов, приведенных в «Арифметических исследованиях», следует отметить подробную теорию квадратичных форм и первое доказательство квадратичного закона взаимности. В конце сочинения Гаусс приводит полную теорию уравнений деления круга и, указывая их связь с задачей построения правильных многоугольников, решает стоявшую с античных времен проблему о возможности построения циркулем и линейкой правильного многоугольника с заданным числом сторон. Гаусс указал все числа, при которых построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки возможно. Это пять так называемых гауссовых простых чисел: 3, 5, 17, 257 и 65337, а также умноженные на любую степень двойки произведения различных (не повторяющихся) гауссовых чисел. Например, построить с помощью циркуля и линейки правильный (3х5х17)-угольник можно, а правильный 7-угольник нельзя, так как семерка не гауссово простое число. Карл Гаусс предложил также явный способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что отметил его в «Дневнике» (запись от 30 марта 1796) и завещал высечь правильный 17-угольник на своем надгробии (воля Гаусса была исполнена). С именем Гаусса также связана основная теорема алгебры, согласно которой число корней многочлена (действительных и комплексных) равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень учитывается столько раз, какова его степень). Первое доказательство основной теоремы алгебры Гаусс дал в 1799, а позднее предложил еще несколько доказательств. Занимая с 1807 кафедру математики и астрономии Геттингенского университета и возглавляя астрономическую обсерваторию того же университета, Карл Гаусс на протяжении более двух десятилетий занимается изучением орбит малых планет и их возмущений. Мировую известность обрел разработанный Гауссом метод определения эллиптической орбиты по трем наблюдениям. Применение этого метода к малой планете Церера позволило вновь найти ее на небе после того, как она была утеряна вскоре после ее открытия астрономом Дж. Пиацци (1801). Не меньший успех сопутствовал применению метода Гаусса к другой малой планете, Палладе (1802). В 1809 выходит фундаментальный труд Гаусса «Теория движения небесных тел», в котором изложены методы вычисления планетных орбит, используемые (с незначительными усовершенствованиями) и поныне. В 1812 Карл Гаусс познакомил математический мир со своей гипергеометрической функцией, частным случаем которой являются многие из так называемых специальных функций математической физики. В той же работе он рассматривает и вопросы сходимости бесконечных рядов, важные для астрономических вычислений. В 1818 Карл Гаусс одним из первых начинает размышлять над созданием неевклидовой геометрии, но от публикации полученных результатов воздерживается, опасаясь, по собственному признанию, «криков беотийцев» (т.е. возражений и насмешек невежд). Десятилетие 1820-1830 застает Гаусса за проведением геодезической съемки Ганноверского королевства и составлением его подробной карты. Гаусс не только проделывает огромную организационную работу и руководит измерением длины дуги меридиана от Геттингена до Альтоны, но и создает основы «высшей геодезии», занимающейся описанием действительной формы земной поверхности. Обобщающий труд «Исследования о предметах высшей геодезии» Гаусс создает в 1842-1847. В основе этого фундаментального труда лежат также принадлежащие Гауссу идеи так называемой внутренней геометрии поверхности, изложенной им в сочинении «Общие исследования о кривых поверхностях» (1827). Локальные (т. е. характеризующие малую окрестность точки) свойства поверхности, по мысли Гаусса, естественнее связывать не с «посторонними», введенными извне, а с внутренними криволинейными координатами и выражать через дифференциальную форму от внутренних координат. Если поверхность изгибать не растягивая, то ее внутренние свойства остаются неизменными. Впоследствии по образу и подобию внутренней геометрии поверхностей Гаусса была создана многомерная риманова геометрия. Непреходящее значение для всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные Гауссом методы получения наиболее вероятных значений измеряемых величин. Особенно широкую известность получил созданный Гауссом в 1821-23 гг. метод наименьших квадратов. Гауссом заложены также и основы теории ошибок. В 1830-1840 гг. Гаусс много внимания уделяет проблемам физики. В 1832 он создает так называемую абсолютную систему единиц, приняв за основные три единицы; единицу времени 1 с, единицу длины 1 мм и единицу массы 1 м. В 1833 в тесном сотрудничестве с Вильгельмом Вебером Гаусс строит первый в Германии электромагнитный телеграф. В 1839 выходит сочинение Гаусса «Общая теория сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния», в которой излагает основные положения теории потенциала и доказывает знаменитую теорему Гаусса—Остроградского. Работа «Диоптрические исследования» (1840) Гаусса посвящена теории построения изображений в сложных оптических системах. Многие исследования Карл Гаусс не публиковал при жизни. Они сохранились в виде очерков, набросков, переписки с друзьями. Изучением этих трудов до Второй мировой войны занималось Геттингенское научное общество, которому удалось издать 12 томов сочинений Гаусса. Наиболее интересную часть наследия составляет уже упоминавшийся дневник. Научное творчество Карла Гаусса наглядно показывает неосновательность деления наук на «чистые» и «прикладные»: «принц математиков» находил практические применения результатам своих фундаментальных исследований и из конкретных задач прикладных областей умел извлекать проблемы, представляющие интерес для фундаментальной науки. istgeodez.com ГАУСС Карл Фридрих — это… Что такое ГАУСС Карл Фридрих?  ГАУСС Карл Фридрих (Gauss, Carl Friedrich) (1777-1855), немецкий математик, астроном и физик. Родился 30 апреля 1777 в Брауншвейге. Необыкновенные способности к математике и иностранным языкам проявились у Карла еще в детстве. Восьмилетний мальчик поразил учителя, сосчитав необычным образом сумму целых чисел от 1 до 100: он сообразил, что сумма пар чисел, равноудаленных от концов, одинакова: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =… = 50 + 51 = 101, и что таких пар ровно 50, поэтому искомая сумма равна 101ґ50 = 5050. Сам того не подозревая, Гаусс переоткрыл формулу для определения суммы членов арифметической прогрессии. Талант юного математика не остался без внимания герцога Брауншвейгского, и в 1788 при его поддержке Гаусс поступил в закрытую школу Коллегиум Каролинум, а затем в Геттингенский университет, где обучался с 1795 по 1798. В 1796 в возрасте 19 лет Гауссу удалось решить задачу, не поддававшуюся усилиям геометров со времен Евклида: он нашел способ, позволяющий построить с помощью циркуля и линейки правильный 17-угольник. На самого Гаусса этот результат произвел столь сильное впечатление, что он решил посвятить себя изучению математики, а не классических языков, как предполагал вначале. В 1799 он защитил докторскую диссертацию в университете Хельмштадта, в которой впервые дал строгое доказательство т.н. основной теоремы алгебры, а в 1801 опубликовал знаменитые Арифметические исследования (Disquisitiones arithmeticae), считающиеся началом современной теории чисел. Центральное место в книге занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений второй степени, а высшим достижением является закон квадратичной взаимности — «золотая теорема», первое полное доказательство которой дал Гаусс. Следующий этап в жизни ученого связан с астрономией. 1 января 1801 астроном Дж.Пьяцци, составлявший звездный каталог, обнаружил неизвестную звезду 8-й величины. Ему удалось проследить ее путь только на протяжении дуги 9° (1/40 орбиты), и возникла задача определения полной эллиптической траектории тела по имеющимся данным, тем более интересная, что, по-видимому, на самом деле речь шла о давно предполагаемой между Марсом и Юпитером малой планете. В сентябре 1801 вычислением орбиты занялся Гаусс, в ноябре вычисления были закончены, в декабре опубликованы результаты, а в ночь с 31 декабря на 1 января известный немецкий астроном Ольберс, пользуясь данными Гаусса, нашел планету (ее назвали Церерой). В марте 1802 была открыта еще одна аналогичная планета — Паллада, и Гаусс тут же вычислил ее орбиту. Свои методы вычисления орбит он изложил в знаменитой Теории движения небесных тел (Theoria motus corporum coelestium, 1809). В книге описан использованный им метод наименьших квадратов, и по сей день остающийся одним из самых распространенных методов обработки экспериментальных данных. В 1807 Гаусс возглавил кафедру математики и астрономии в Геттингенском университете, а также получил должность директора Геттингенской астрономической обсерватории. В последующие годы он занимался вопросами теории гипергеометрических рядов (первое систематическое исследование сходимости рядов), механических квадратур, вековых возмущений планетных орбит, дифференциальной геометрией. В 1818-1848 в центре научных интересов Гаусса находилась геодезия. Он проводил как практические работы (геодезическая съемка и составление детальной карты Ганноверского королевства, измерение дуги меридиана Геттинген — Альтона, предпринятое для определения истинного сжатия Земли), так и теоретические исследования. Им были заложены основы высшей геодезии и создана теория т.н. внутренней геометрии поверхностей. В 1828 вышел в свет основной геометрический мемуар Гаусса Общие исследования относительно кривых поверхностей (Disquisitiones generales circa superficies curvas). В нем, в частности, упоминается поверхность вращения постоянной отрицательной кривизны, внутренняя геометрия которой, как потом обнаружилось, является геометрией Лобачевского. Исследования в области физики, которыми Гаусс занимался с начала 1830-х годов, относятся к разным разделам этой науки. В 1832 он создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы: 1 сек, 1 мм и 1 кг. В 1833 совместно с В.Вебером построил первый в Германии электромагнитный телеграф, связывавший обсерваторию и физический институт в Геттингене, выполнил большую экспериментальную работу по земному магнетизму, изобрел униполярный магнитометр, а затем бифилярный (также совместно с В.Вебером), создал основы теории потенциала, в частности сформулировал основную теорему электростатики (теорема Гаусса — Остроградского). В 1840 разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах. В 1835 создал магнитную обсерваторию при Геттингенской астрономической обсерватории. В 1845 университет поручил Гауссу реорганизовать Фонд поддержки вдов и детей профессоров. Гаусс не только отлично справился с этой задачей, но и попутно внес важный вклад в теорию страхования. 16 июля 1849 Геттингенский университет торжественно отметил золотой юбилей диссертации Гаусса. В юбилейной лекции ученый вернулся к теме своей диссертации, предложив четвертое доказательство основной теоремы алгебры. Умер Гаусс в Геттингене 23 февраля 1855. ЛИТЕРАТУРА Карл Фридрих Гаусс. Сборник статей к 100-летию со дня смерти. М., 1956 Карл Фридрих Гаусс. Труды по теории чисел. М., 1959 Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М., 1989 Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000. ГАЛУА Эварист ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан Смотреть что такое «ГАУСС Карл Фридрих» в других словарях: Гаусс Карл Фридрих — (Gauß) (1777 1855), немецкий математик, иностранный член корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта… …   Энциклопедический словарь Гаусс, Карл Фридрих — У этого термина существуют и другие значения, см. Гаусс. Карл Фридрих Гаусс Carl Friedrich Gauß …   Википедия Гаусс Карл Фридрих — Гаусс (Gauss) Карл Фридрих (30.4.1777, Брауншвейг, 23.2.1855, Гёттинген), немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию. Родился в семье водопроводчика. С 1795 по 1798 учился в Гёттингенском университете. В 1799… …   Большая советская энциклопедия Гаусс Карл Фридрих — …   Википедия Карл Фридрих Гаусс — Carl Friedrich Gauß Дата рождения: 30 апреля 1777 Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 Место смерти …   Википедия ГАУСС (Gau?) Карл Фридрих — (1777 1855) немецкий математик, иностранный член корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики.… …   Большой Энциклопедический словарь Карл Фридрих Гаусс — (1777 1855 гг.) математик …Мы должны признаться честно и откровенно, что в существенном мы нисколько не ушли в две тысячи лет дальше Эвклида. Такое откровенное и лишенное всяких обиняков признание кажется нам более соответствующим достоинству… …   Сводная энциклопедия афоризмов Карл Гаусс — Карл Фридрих Гаусс Carl Friedrich Gauß Дата рождения: 30 апреля 1777 Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 Место смерти …   Википедия Фридрих-Вильгельм Бессель — Friedrich Wilhelm Bessel Дата рождения: 22 июля 1784 Место рождения: Минден, Вестфалия сейчас Германия Дата смерти: 17 марта 1 …   Википедия Фридрих Бессель — Фридрих Вильгельм Бессель Friedrich Wilhelm Bessel Дата рождения: 22 июля 1784 Место рождения: Минден, Вестфалия сейчас Германия Дата смерти: 17 марта 1 …   Википедия dic.academic.ru Гаусс — это… Что такое Гаусс?         Карл Фридрих (30.4.1777, Брауншвейг, — 23.2.1855, Гёттинген), немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию. Родился в семье водопроводчика. С 1795 по 1798 учился в Гёттингенском университете. В 1799 получил доцентуру в Брауншвейге, в 1807 — кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете, с которой была также связана должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. На этом посту Г. оставался до конца жизни. Отличительными чертами творчества Г. являются глубокая органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, необычайная широта проблематики. Работы Г. оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии. Во многих областях математики труды Г. содействовали повышению требований к логической отчётливости доказательств, однако сам Г. оставался в стороне от работ по строгому обоснованию математического анализа, которые проводил в его время О. Коши.          Первое крупное сочинение Г. по теории чисел и высшей алгебре — «Арифметические исследования» (1801) — во многом предопределило дальнейшее развитие этих дисциплин. Г. даёт здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов (См. Квадратичный вычет), первое доказательство квадратичного закона взаимности — одной из центральных теорем теории чисел. Г. даёт также новое подробное изложение арифметической теории квадратичных форм, до того построенной Ж. Лагранжем, в частности тщательную разработку теории композиции классов таких форм. В конце книги излагается теория уравнений деления круга (т. е. уравнений xn — 1 = 0), которая во многом была прообразом Галуа теории (См. Галуа теория). Помимо общих методов решения этих уравнений, Г. установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он, впервые после древнегреческих учёных, сделал значительный шаг вперёд в этом вопросе, а именно: Г. нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой; в частности, решив уравнение х17—1 = 0, он дал построение правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки. Г. придавал этому открытию очень большое значение и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своём надгробном памятнике, что и было исполнено.          Астрономические работы Г. (1800—20) в основном связаны с решением проблемы определения орбит малых планет и исследованием их возмущений. Г. как астроном получил широкую известность после разработки метода вычисления эллиптических орбит планет по трём наблюдениям, успешно примененного им к первым открытым малым планетам Церера (1801) и Паллада (1802). Результаты исследований по вычислению орбит Г. опубликовал в сочинении «Теория движения небесных тел» (1809). В 1794—95 открыл и в 1821—23 разработал основной математический метод обработки неравноценных наблюдательных данных (Наименьших квадратов метод). В связи с астрономическими вычислениями, основанными на разложении интегралов соответствующих дифференциальных уравнений в бесконечные ряды, Г. занялся исследованием вопроса о сходимости бесконечных рядов [в работе, посвященной изучению гипергеометрического ряда (См. Гипергеометрический ряд) (1812)].          Работы Г. по геодезии (1820—30) связаны с поручением провести геодезическую съёмку и составить детальную карту Ганноверского королевства; Г. организовал измерение дуги меридиана Гёттинген — Альтона, в результате теоретической разработки проблемы создал основы высшей геодезии («Исследования о предметах высшей геодезии», 1842—47). Для оптической сигнализации Г. изобрёл специальный прибор — Гелиотроп. Изучение формы земной поверхности потребовало углублённого общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые Г. в этой области идеи получили выражение в сочинении «Общие изыскания о кривых поверхностях» (1827). Руководящая мысль этого сочинения заключается в том, что при изучении поверхности как бесконечно тонкой гибкой плёнки основное значение имеет не уравнение поверхности в декартовых координатах, а дифференциальная квадратичная форма, через которую выражается квадрат элемента длины и инвариантами которой являются все собственные свойства поверхности — прежде всего её кривизна в каждой точке. Др. словами, Г. предложил рассматривать те свойства поверхности (т. н. внутренние), которые не зависят от изгибаний поверхности, не изменяющих длин линий на ней. Созданная таким образом внутренняя геометрия поверхностей послужила образцом для создания n-mepной римановой геометрии (См. Риманова геометрия).          Исследования Г. по теоретической физике (1830—40) являются в значительной мере результатом тесного общения и совместной научной работы с В. Вебером. Вместе с Вебером Г. создал абсолютную систему электромагнитных единиц и сконструировал в 1833 первый в Германии электромагнитный телеграф. В 1835 Г. основал магнитную обсерваторию при Гёттингенской астрономической обсерватории. В 1838 он издал труд «Общая теория земного магнетизма». Небольшое сочинение «О силах, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» (1834—40) содержит основы теории потенциала. К теоретической физике примыкают также разработка (1829) Г. принципа наименьшего принуждения (см. Гаусса принцип) и работы по теории капиллярности (1830). К числу физических исследований Г. относятся и его «Диоптрические исследования» (1840), в которых он заложил основы теории построения изображения в системах линз.          Очень многие исследования Г. остались неопубликованными и в виде очерков, незаконченных работ, переписки с друзьями входят в его научное наследие. Вплоть до 2-й мировой войны оно тщательно разрабатывалось Гёттингенским учёным обществом, которое издало 12 тт. сочинений Г. Наиболее интересными в этом наследии являются дневник Г. и материалы по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Дневник содержит 146 записей, относящихся к периоду от 30 марта 1796, когда 19-летний Г. отметил открытие построения правильного 17-угольника, по 9 июля 1814. Эти записи дают отчётливую картину творчества Г. в первой половине его научной деятельности; они очень кратки, написаны на латинском языке и излагают обычно сущность открытых теорем. Материалы, относящиеся к неевклидовой геометрии, обнаруживают, что Г. пришёл к мысли о возможности построения наряду с евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой в 1818, но опасение, что эти идеи не будут поняты, и, по-видимому, недостаточное сознание их научной важности были причиной того, что Г. их не разрабатывал далее и не опубликовывал. Более того, он категорически запрещал опубликовывать их тем, кого посвящал в свои взгляды. Когда вне всякого отношения к этим попыткам Г. неевклидова геометрия была построена и опубликована Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский), Г. отнёсся к публикациям Лобачевского с большим вниманием, был инициатором избрания его член-корреспондентом Гёттингенского учёного общества, но своей оценки великого открытия Лобачевского по существу не дал. Архивы Г. содержат также обильные материалы по теории эллиптических функций и своеобразную их теорию; однако заслуга самостоятельной разработки и публикации теории эллиптических функций принадлежит К. Якоби и Н. Абелю (См. Абель).          Соч.: Werke, Bd 1 —, Gött., 1908 —; в рус. пер. — Общие исследования о кривых поверхностях, в сборнике: Об основаниях геометрии, 2 изд., Каз., 1895; Теоретическая астрономия. (Лекции, читанные в Гёттингене в 1820—26 гг., записанные Купфером), в кн.: Крылов А. Н., Собр. трудов, т. 6, М. — Л., 1936; Письма П. С. Лапласа, К. Ф. Гаусса, Ф. В. Бесселя и др. к академику Ф. И. Шуберту, в сборнике: Научное наследство, т 1, М. — Л., 1948, с. 801—22.          Лит.: Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М. — Л., 1937: Карл Фридрих Гаусс. Сб. ст., М., 1956.                  К. Ф. Гаусс. dic.academic.ru Квадратный корень из 36: Mathway | Популярные задачи Posted on 20.11.201808.04.2021 by alexxlab Квадратный корень Предварительные навыки Основные сведения Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень. Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см S = 32 = 9 см2 Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени. Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени. Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем. Введём для работы с корнями новые обозначения. Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня . Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата) Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня) Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня. Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом: Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня. Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9 Получается, что выражение  имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3. Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное. Например, извлечём квадратный корень из числа 4 Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4 Поэтому ответ к выражению вида  записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения. Запишем ответ к выражению  с плюсом и минусом: Определения Дадим определение квадратному корню. Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a. То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b2 = a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал  так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение  Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16 42 = 16 Корень 4 можно обозначить через радикал  так, что . Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16 (−4)2 = 16 Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным. Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a. В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4. В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение  полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати». Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно. Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно. Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень. Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство: Это по причине того, что единица во второй степени равна единице: 12 = 1 и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице: Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 02 = 0. Выражение вида  смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4. Если выражение вида  возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a Например, выражение  равно 4 Это потому что выражение  равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4. Еще примеры: Корень из квадрата числá равен модулю этого числá: Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5 Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5 Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение  обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5 Не следует путать правило  с правилом . Правило  верно при любом a, тогда как правило  верно в том случае, если выражение  имеет смысл. В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так: Примеры: √4, √9, √16. Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень. Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64. 49 < 64 Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8, √49 < √64 Отсюда: 7 < 8 Примеры извлечения квадратных корней Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней. Пример 1. Извлечь квадратный корень √36 Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 62 = 36 √36 = 6 Пример 2. Извлечь квадратный корень √49 Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 72 = 49 √49 = 7 В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть: 7 × 7 = 49 Но 7 × 7 это 72 72 = 49 Отсюда, √49 = 7. Пример 3. Извлечь квадратный корень √100 Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100 √100 = 10 Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов. Пример 3. Извлечь квадратный корень √256 Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов. Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256. Видим, что это число 16. Значит √256 = 16. Пример 4. Найти значение выражения 2√16 В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2 Пример 7. Решить уравнение  В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4. Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16. Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом . Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же. Из определения мы знаем, что квадратный корень  равен числу b, при котором выполняется равенство b2 = a. Применим равенство b2 = a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x В выражении 42 = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x. Пример 8. Решить уравнение  Перенесем −8 в правую часть, изменив знак: Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64. Значит корень уравнения  равен 64 Пример 9. Решить уравнение  Воспользуемся определением квадратного корня: Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его: Корень уравнения  равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение: Пример 10. Найти значение выражения  В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49. Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2 Приближённое значение квадратного корня Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Например, извлечь квадратный корень  можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 82 = 64. То есть А извлечь квадратный корень  нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается. Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению. Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее. Найдём значение корня  приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня  будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра. Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу: √1 = 1 Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2 √4 = 2 √1 меньше, чем √4 √1 < √4 А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства: √1 < √3 < √4 Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2 1 < √3 < 2 Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел. Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1 1,12 = 1,21 Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó. Проверим тогда дробь 1,8 1,82 = 3,24 Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó. Проверим тогда дробь 1,7 1,72 = 2,89 Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈ √3 ≈ 1,7 Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим. В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых. Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8 1,7 < √3 < 1,8 Проверим дробь 1,74 1,742 = 3,0276 Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3. Проверим тогда дробь 1,73 1,732 = 2,9929 Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых. Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее: √3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных) √3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных) √3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных). Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице: √3 ≈ 1 Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его. В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее. Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком. В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3. С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком: √3 ≈ 1 Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2 √3 ≈ 2 Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком: √3 ≈ 2 (с избытком) Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком. Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно. Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых: √5 ≈ 2,23 Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1 √51 ≈ 7 Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1 √51 ≈ 7,1 Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01 √51 ≈ 7,14 Границы, в пределах которых располагаются корни Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10]. Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 82 = 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8 Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49 Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 72 = 49 √49 = 7 Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1 Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 12 = 1 √1 = 1 Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100 Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 102 = 100 √100 = 10 Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10]. Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых: √37 ≈ 6,08 Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6. Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты: 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов: Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей. Например, 62 = 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600 602 = 3600 А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей: 6002 = 360000 Тогда можно сделать следующий вывод: Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа. Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3 Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3 Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000 Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля: Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000 Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля: Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500 Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль: Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) на 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно. Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз: И наоборот, если в равенстве  уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз: Пример 2. Увеличим в равенстве  подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз Пример 3. Уменьшим в равенстве  подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз. Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25. Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко: Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве  подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз: Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100. В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру. Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, . Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат. Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35. Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов: Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве  подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби. Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225 Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100]. В этом случае применяется таблица квадратов: Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576 Видим, что это число 24. Значит . Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432. Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо. Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых. В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20. Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат: 20,82 = 432,64 Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7 20,72 = 428,49 Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7. Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце. Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900 3600 < 4225 < 4900 Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно: Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя) Корень 64 не годится. Проверим корень 65 Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225 Тождественные преобразования с квадратными корнями Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований. Квадратный корень из произведения Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа. Например, выражение  является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9. Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение  в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6 Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36 Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным. Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12 Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются. Итак, разлóжим число 144 на простые множители: Получили следующее разложение: В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2. Тогда четыре двойки можно заменить на запись 22 × 22, а две тройки заменить на 32 В результате будем иметь следующее разложение: Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144 Применим правило извлечения квадратного корня из произведения: Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения. Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12 Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители. Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть: затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки: Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ: С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов. Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители. Итак, разложим число 13456 на простые множители: В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456 Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456 Итак, если a ≥ 0 и b ≥ 0, то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня. Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b2 = a. В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства  при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab. Итак, выпишем правую часть равенства  и возведём ее во вторую степень: Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень: Ранее было сказано, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня Значит равенство  справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части. Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство: , при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0. Пример 1. Найти значение квадратного корня  Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения: Пример 2. Найти значение квадратного корня  Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня: Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100 Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ: Пример 3. Найти значение квадратного корня  Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2. Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа: В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется: Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ: Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 112 × 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения: Пример 4. Найти значение квадратного корня Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2 Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения: Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа: Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ: Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения Запишем корень  в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения: Пример 6. Найти значение квадратного корня Пример 7. Найти значение квадратного корня Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится. Например, произведение 8 × 4 равно 32 8 × 4 = 32 Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32. (8 × 2) × (4 : 2) = 32 Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались. Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются. Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения. Запишем полное решение данного примера: Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче: Пример 9. Найти значение квадратного корня Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается: Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней. Например, узнáем чему равно значение выражения . Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней  на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40 Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем: А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20 Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются. Например, найдём значение выражения . Воспользуемся правилом Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24 Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2 Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ: Пример 12. Найти значение выражения Воспользуемся правилом Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7 Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 22 × 22, а две семёрки как 72 Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ: Квадратный корень из дроби Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b Например, квадратный корень из дроби  равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9 Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе: Значит, квадратный корень из дроби равен . Докáжем, что равенство является верным. Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно: Пример 1. Извлечь квадратный корень  Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби: Пример 2. Извлечь квадратный корень  Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби: Пример 3. Извлечь квадратный корень Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби. Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых: Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби: Пример 4. Найти значение выражения  Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты: Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби: В данном примере первый способ оказался проще и удобнее. Пример 5. Найти значение выражения  Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4 Пример 6. Найти значение выражения  Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,62 = 0,36 Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение: Вынесение множителя из-под знака корня В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня. Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения: В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение  оставим без изменений: Это и есть вынесение множителя из-под знака корня. На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители. Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим: Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем: Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим: Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем: Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения: Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений: Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами: Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3 Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения: Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений: Пример 6. Упростить выражение  Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня: Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений: Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки: Вычислим содержимое скобок, полýчим −1 Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3 Внесение множителя под знак корня Рассмотрим следующее выражение: В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения. Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5. Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15 Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15. Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень: Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень: Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня: Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении  Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня: Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении  Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида  не имеет смысла. Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня. Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении  В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня: Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении: Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим: Теперь необходимо упростить получившееся выражение. Для выражений и  применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a. А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень: Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:   Задания для самостоятельного решения Задание 1. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 2. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 3. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 4. Найдите значение выражения: Решение: Задание 5. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 6. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 7. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 8. Найдите значения следующих выражений: Решение: Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624 Решение: Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025 Решение: Задание 11. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 12. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 13. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 14. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 15. Найдите значение квадратного корня: Решение: Задание 16. Найдите значение выражения: Решение: Задание 17. Найдите значение выражения: Решение: Задание 18. Найдите значение выражения: Решение: Задание 19. Найдите значение выражения: Решение: Задание 20. Найдите значение выражения: Решение: Задание 21. Найдите значение выражения: Решение: Задание 22. Найдите значение выражения: Решение: Задание 23. Найдите значение выражения: Решение: Задание 24. Найдите значение выражения: Решение: Задание 25. Найдите значение выражения: Решение: Задание 26. Найдите значение выражения: Решение: Задание 27. Найдите значение выражения: Решение: Задание 28. Найдите значение выражения: Решение: Задание 29. Найдите значение выражения: Решение: Задание 30. Найдите значение выражения: Решение: Задание 31. Найдите значение выражения: Решение: Задание 32. Найдите значение выражения: Решение: Задание 33. Найдите значение выражения: Решение: Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня: Решение: Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях: Решение: Задание 45. Внести множитель под знак корня: Решение: Задание 46. Внести множитель под знак корня: Решение: Задание 47. Внести множитель под знак корня: Решение: Задание 48. Внести множитель под знак корня: Решение: Задание 49. Внести множитель под знак корня: Решение: Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях: Решение: Задание 51. Упростить выражение: Решение: Задание 52. Упростить выражение: Решение: Задание 53. Упростить выражение: Решение: Задание 54. Упростить выражение: Решение: Задание 55. Упростить выражение: Решение: Задание 56. Упростить выражение: Решение: Задание 57. Упростить выражение: Решение: Задание 58. Упростить выражение: Решение: Задание 59. Упростить выражение: Решение: Задание 60. Упростить выражение: Решение: Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже Навигация по записям Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры Что такое квадратный корень Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Определение квадратного корня также можно представить в виде формул: √a = x x2 = a x ≥ 0 a ≥ 0 Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число. Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример. Попробуем найти корень из √-16 Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится. Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс). Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат. Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными. Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.  Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x2 = 16, x = 4 и x = -4. Чтобы вопросы отпали, и все встало на свои места, нужно разобраться, в чем разница между квадратным уравнением и арифметическим квадратным корнем. В детской школе Skysmart ученики вникают в тонкости математической вселенной вместе с красочными героями комиксов и в интерактивном формате. Приходите вместе с ребенком на бесплатный вводный урок: познакомимся и покажем, как решать задачки весело и эффективно. Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните: x2 = 16 не равно  x = √16. Это два нетождественных друг другу выражения. x2 = 16 — это квадратное уравнение. x = √ 16 — арифметический квадратный корень. Из выражения x2 = 16 следует, что: |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4. Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа. В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4. Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:   Пример решен неверно Это квадратное уравнение. Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат. Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением. Даны два выражения:    x2 = 36 x = √36 Первое выражение — квадратное уравнение.  |x| = √36 x1 = +6 x2 = -6. Второе выражение — арифметический квадратный корень.  √36 = 6 x = 6. Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное. Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д. Примеры иррациональных чисел: √2 = 1,414213…; π = 3,141592…; e = 2,718281…. . Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле. Дано уравнение: x2 = 2. Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.  Переберем числа, чтобы удостовериться в этом: 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9. Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа. Решение следующее: Строим график функции y = x2. Отмечаем решения на графике: -√2; √2. Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… . В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень. x2 = 2. x = √2 x = -√2.  Извлечение корней Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек. Таблица квадратов Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей: 1. Извлеките квадратный корень: √289 Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число. Влево — 1, вверх — 7. Ответ: √289 = 17. 2. Извлеките квадратный корень: √3025 Ищем в таблице число 3025. Влево — 5, вверх —  5. Ответ: √3025 = 55. 3. Извлеките квадратный корень: √7396 Ищем в таблице число 7396. Влево — 8, вверх — 6. Ответ: √7396 = 86. 4. Извлеките корень: √9025 Ищем в таблице число 9025. Влево — 9, вверх — 5. Ответ: √9025 = 95. 5. Извлеките корень √1600 Ищем в таблице число 1600. Влево — 4, вверх — 0. Ответ: √1600 = 40. Извлечением корня называется нахождение его значение. Свойства арифметического квадратного корня У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры. Корень произведения равен произведению корней Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три свойства. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам. Умножение арифметических корней Для умножения арифметических корней используйте формулу: Примеры:   Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры. Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:   Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями: Добрая напоминалочка Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.   Деление арифметических корней Для деления арифметических корней используйте формулу: Примеры:   Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49 Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей. Возведение арифметических корней в степень Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу: Примеры: Эти две формулы нужно запомнить: Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры. Внесение множителя под знак корня Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку. А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня. Дано выражение: 7√9 Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.  Извлечем квадратный корень и умножим его на 7. √9= 3. 7√9 = 7*3 = 21 В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.  Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21. Вы помните, что (√a)2 = a Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.  7√9 = √72* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21. Формула внесения множителя под знак корня: Запоминаем: Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня. Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.   Вынесение множителя из-под знака корня  С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня. Дано выражение в виде квадратного корня из произведения. Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать. Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.  В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому: Таким образом множитель выносится из-под знака корня. Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.   √28 Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4. Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня. Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения, Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24 Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4. Упростите выражение: Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня. Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде. Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5. Выносим общий множитель за скобки: Далее вычисляем все, что в скобках:   Давайте тренироваться вместе: в современном формате и под присмотром внимательных учителей. Учиться в удовольствие — это реально. Запишите ребенка на бесплатный урок математики в Skysmart: покажем, как все устроено на платформе и поможем ребенку поверить в себя. Сравнение квадратных корней Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком. Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил. Если: √a < √b, то a < b √a = √b, то a = b Давайте разберем на примере. Сравните два выражения: √70 и 8√2 Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128. 70 < 128. Это значит, что √70  <  8√2. Запоминаем Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень. Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.   Сравните два выражения: √50 и 9√5 Ответ: преобразовываем выражение 9√5. 9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405 50 < 405 Это значит, что √50 < 9√5. Сравните два выражения: 6√5 и √18 Ответ: преобразовываем выражение 6√5. 6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180 180 > 18 Это значит, что 6√5 > √18. Сравните два выражения: 7√12 и √20 Ответ: преобразовываем выражение 7√12. 7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588 588 >20 Это значит, что 7√12 > √20. Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.  Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме. Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками. Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.  Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них. Извлечение квадратного корня из большого числа Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть. Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере. Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:   Определить «сотни», между которыми оно стоит. Определить «десятки», между которыми оно стоит. Определить последнюю цифру в этом числе. Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них. Извлечем корень из √2116. Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116. 102 = 100 202 = 400 302 = 900 402 = 1600 502 = 2500  Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500. Это значит, что число 2116 находится между 402и 502. 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49. Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат. Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0. Как пользоваться таблицей 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 ⇒ 6 52 = 25 ⇒ 5 62 = 36 ⇒ 6 72 = 49 ⇒ 9 82 = 64 ⇒ 4 92 = 81 ⇒ 1 Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1. Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4. Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9. Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце. Таким образом, у нас остаются два варианта: 442 и 462. Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936. 46 * 46 = 2116. Ответ: √2116 = 46 Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.  Еще пример. Извлечем корень из числа √11664 Разложим число 11664 на множители:  11666 : 4 = 2916 2916 : 4 = 729 729 : 3 = 243 243 : 3 = 81 11664 4 2916 4 729 3 243 3 81 81 Запишем выражение в следующем виде: Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ. Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.   В 8 классе примеров с корнями очень много. Это значит, что ничего не остается, как выучить все формулы и натренироваться так, чтобы самый оголтелый квадратный корень выпустил белый флаг и запросил пощады. На уроках математики в онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится извлекать самые неподатливые и громоздкие корни. Записывайтесь на бесплатный вводный урок и учите алгебру с удовольствием. подкоренное число и показатель корня Корень  n-ой  степени из числа  a  — это число,  n-ая  степень которого равна  a.  Например, корнем второй степени из  36  будет число  6,  так как: 62 = 36. Для записи корня используется знак  √    (знак корня  или  радикал). Под чертой знака записывается подкоренное число, а над знаком, в левом верхнем углу, показатель корня: 2√36. Подкоренное число — это степень, показатель корня — это показатель степени, корень — основание степени. Если , то . Эта запись читается так: корень  n-ой  степени из числа  a  равен  x. Извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень, с помощью которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени. Примеры: 3√125 = 5,   так как   53 = 125; 2√81 = 9,   так как   92 = 81; 5√32 = 2,   так как   25 = 32. Квадратный корень Квадратным корнем из числа  a  называется число, квадрат которого равен  a. Например, квадратными корнями из числа  16  являются числа  4  и  -4: 2√16 = 4   или   2√16 = -4. Рассмотрим уравнение x2 = a при различных значениях   a: a < 0: В данном случае уравнение не будет иметь решений, так как квадрат любого числа всегда является положительным числом или нулём. Следовательно,  x2  не может быть равен отрицательному числу. a = 0: В этом случае уравнение имеет единственное решение: x = 0. a > 0: В этом случае уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный, модули которых равны. Так как вторая степень отрицательного числа является числом положительным: x = ±√a . Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было числом положительным или нулём. Арифметический квадратный корень Арифметический квадратный корень из положительного числа  a  — это положительное число  x,  квадрат которого равен  a: 2√a = x,   следовательно   x2 = a. При обозначении квадратного корня показатель корня опускается, то есть квадратный корень обозначается знаком корня без показателя. Например: √a  — квадратный корень из  a. Обратите внимание, что при чтении выражения слово арифметический опускается. Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня. Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число. Поэтому для проверки полученного результата можно найденный корень возвести во вторую степень, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно. Рассмотрим извлечение арифметического квадратного корня и его проверку на примере. Найдём  √36,  для этого надо найти число, при возведении которого во вторую степень получится  36.  Таким числом является  6,  так как 62 = 36. Значит,  √36 = 6. 2+10\sqrt{3}\cdot x+74)} = \frac{1}{x+5\sqrt{3}}$ Ответ: $\frac{1}{x+5\sqrt{3}}$ Свойства числа 1296 Свойства числа 1296 Множители 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 Делители 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 144, 162, 216, 324, 432, 648, 1296 Количество делителей 25 Сумма делителей 3751 Предыдущее целое 1295 Следующее целое 1297 Простое число? NO Предыдущее простое 1291 Следующее простое 1297 1296th простое число 10627 Является числом Фибоначчи? NO Число Белла? NO Число Каталана? NO Факториал? NO Регулярное число? YES Совершенное число? NO Полигональное число (s < 11)? квадрат(36) Двоичное 10100010000 Восьмеричная 2420 Двенадцатеричный 900 Шестнадцатиричная 510 Квадрат 1679616 Квадратный корень 36 Натуральный логарифм 7.1670378769122 Десятичный логарифм 3.1126050015346 Синус 0.99567579293632 Косинус -0.092896261284429 Тангенс -10. 718147094077 Математические настройки для вашего сайта Выберите язык: Deutsch English Español Français Italiano Nederlands Polski Português Русский 中文 日本語 한국어 Империя чисел — мощные математические инструменты для каждого | Связь с веб-мастером Используя этот сайт, вы подтверждаете свое согласие с Условиями и соглашениями и Политикой приватности. © 2021 numberempire.com Все права защищены     ЕГЭ по математике — без ошибок и без калькулятора Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки. По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой — удаление с экзамена. На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем. . Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его. Вот, например, такое «дьявольское уравнение»: Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле , после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на . Получится Какой способ проще? 🙂 . Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее. Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно. . Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить на . Но вспомним, что знак деления : и дробная черта – одно и то же. Запишем в виде дроби и сократим дробь: Другой пример. . Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения: Иногда удобно использовать и другую формулу: . Числа, оканчивающиеся на , в квадрат возводятся моментально. Допустим, надо найти квадрат числа ( — не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем на и к результату приписываем . Всё! Например:   ( и приписали ).   ( и приписали ).   ( и приписали ). Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на . . А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа. Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители. Например, найдем Число делится на (так как сумма его цифр делится на ). Разложим на множители: Найдем . Это число делится на . На оно тоже делится. Раскладываем на множители. Еще пример. Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители. Например, надо найти . Число под корнем – нечетное, оно не делится на , не делится на , не делится на … Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором. Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами и , поскольку , , а число находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это . Последняя цифра в числе равна . Поскольку ,   , последняя цифра в ответе – либо , либо . Проверим: . Получилось! Найдем . ,   . Значит, первая цифра в ответе – пятерка. В числе последняя цифра – девятка. ,   . Значит, последняя цифра в ответе – либо , либо . Проверим: Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на или – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на или . Помните, что в задачах части 1 вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом. . Квадратные уравнения встречаются нам в самых разнообразных задачах ЕГЭ. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители. Например, в уравнении . Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: . Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении текстовой задачи: . Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи по планиметрии. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна , один из катетов равен , найти второй катет. По теореме Пифагора, он равен . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения. А теперь расскажем самое интересное — из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так. 1. Верный путь к потере баллов — неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? 🙂 Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. » – значение​ числовое значение. Число​ функция вычисляет квадратный​ функции для извлечения​ Но данная степень​Также функцию можно вызвать​Кроме того, можно применить​ рассмотрим различные варианты​ корень квадратный в​ необходимо в графе​ так и ссылка​ корнем второй степени.​ широкий набор математических​Eg​ Функция корня ​Если число отрицательно,​ можно также задать​ пишется в скобках.​ степени.​ – показатель степени,​ корень. Если аргумент​ кубического корня, данное​ и является корнем​ через вкладку​ данную формулу через​ осуществления подобных расчетов​ Excel, стоит рассмотреть​ «Степень» указать число​ на ячейку, а​При решении задачи, связанной​ функций, позволяющих решать​: меню — вставка​ то функция КОРЕНЬ​ через панель инструментов​ ​Выполнили ту же задачу,​Вместо любого значения данной​ в которую нужно​ имеет отрицательное значение,​ вычисление можно провести,​ кубическим, поэтому именно​«Формулы»​ мастер функций.​ в этой программе.​ пару примеров для​ 1/2 или 0,5.​ также некоторое математическое​ с нахождением квадратного​ непростые задачи. Ряд​ — функции -​ возвращает значение ошибки​ («Главная» – «Число»).​ но с использованием​ математической формулы можно​ возвести заданное значение.​ Использование математических свойств ​ Excel вернет ошибку​ используя возведение в​ такое действие в​.​Кликаем по ячейке на​Скачать последнюю версию​ двух описанных выше​ Возвести любое число​ выражение, результатом которого​ корня в «Экселе»,​ простейших действий -​ категория: математические -​ #ЧИСЛО!.​ После установки текстового​ функции СТЕПЕНЬ.​ использовать ссылки на​Рассмотрим примеры.​ #ЧИСЛО!.​ дробную степень, а​ Эксель используется для​Выделяем ячейку для отображения​ ​ листе, куда будет​ Excel​ способов.​ в определённую степень​ является число.​ получить желаемый результат​ сложение, умножение и​ КОРЕНЬ​Пример​ формата цифра в​Извлекли корень девятой степени​ ячейки с цифрами.​В ячейке C2 –​В качестве аргумента можно​ именно — 1/3. ​ его получения. В​ результата расчета. Переходим​ выводиться результат вычислений.​Существуют два основных способа​В первом случае воспользуемся​ можно и без​Корень квадратный в Excel​ можно несколькими способами.​ другие — выполнить​Alex gordon​Чтобы этот пример​ ячейке становится слева.​ из значения ячейки​Это удобно, если нужно​ результат возведения числа​ указывать конкретное значение​ ​ Для извлечения квадратного​ эту формулу вместо​ во вкладку «Формулы».​ Переходим по кнопке​ расчета данного показателя.​ функцией «КОРЕНЬ», вызвав​ использования каких-либо функций​ можно вычислить и​ Функционал программы позволяет​ очень легко, воспользовавшись​: В видео все​ Примеры ​ проще было понять,​Рядом с цифрой вводим​ h2.​ возвести множество значений.​ 10 в квадрат.​ либо ссылку на​ корня можно воспользоваться​ ​ конкретного числа также​В блоке инструментов «Библиотека​«Вставить функцию»​ Один из них​ её с помощью​ — в «Экселе»​ рядом других методов,​ как воспользоваться встроенными​ специальными символами. Однако​ подробно описано​ ​ скопируйте его на​ в ячейку значение​Извлекли корень пятой степени​Скопировав формулу на весь​В качестве основания указана​ ячейку с числовым​ специальной функцией, но​ можно вписать координаты​ ​ функций» на ленте​, размещенную около строки​ ​ подходит исключительно для​ fb.ru> Извлечение корня в программе Microsoft Excel ​ кнопки «Вставить функцию».​ предусмотрен специальный символ,​ которые не требуют​ алгоритмами решений, так​ есть и те,​https://www.youtube.com/watch?v=_DIjLQ4TC8Y​ пустой лист.​ со знаком «минус».​ из суммы числа​ столбец, быстро получили​ ссылка на ячейку​ значением.​ ​ существует также возможность​ ячейки с числовыми​ Способы извлечения ​ кликаем по кнопке​ функций.​ вычисления квадратного корня,​ В открывшемся окне​ отвечающий за эту​ глубоких познаний в​ и написать его​ которые требуют особого​ Способ 1: применение функции ​а2+b2+c2 и все это​Алексей​Выделяем только значение степени​ 9 и значения​ результаты возведения чисел​ с положительным значением​ ​Рассмотрим примеры. ". В​ математических науках. Для​ самостоятельно, пользуясь специальными​ описания - так,​ ​ под квадратным корнем?​: Например корень из​ («-3»). Вызываем меню​​ ячейки h2.​​ в столбце A​ ​ 10.​Функция вернула квадратный корень​ возведения числа в​ ​ в любой области​. В появившемся списке​ пункт​ использовать для расчета​​ для вычисления, например​​ этом случае, чтобы​ этого достаточно знать,​ ​ теоремами и свойствами​ далеко не все​​Как это записать​​ 9 будет =КОРЕНЬ​​ «Формат ячеек». Устанавливаем​​Те же математические операции​ ​ в третью степень.​Аргументы функции – ссылки​ числа 36. Аргумент​ степень. На этот​ листа или в​ выбираем значение​«КОРЕНЬ»​ величины любой степени.​ разность значений двух​ получить корень квадратный,​ что такое корень,​ корня. Самым простым​ знают, как вычислить​ подскажите пожалуйста​​ (9)​​ видоизменение «Надстрочный». И​ ​ можно выполнить с​КОРЕНЬ – это функция​ на ячейки с​ ​ – определенное значение.​ раз нужно будет​​ строке формул.​​«КОРЕНЬ»​ ​. Кликаем по кнопку​Для того, чтобы извлечь​ ячеек, и нажать​ ​ достаточно заключить выражение​ - эта тема​ способом нахождения ответа​​ корень квадратный в​​Сали-мали​Alex gordon​​ нажимаем ОК.​​ помощью функции СТЕПЕНЬ:​ ​ квадратного корня в​ дробными значениями. Результат​Аргумент функции – ссылка​ возвести в степень​Не стоит думать, что​​.​​«OK»​ Способ 2: возведение в степень ​ квадратный корень используется​ "Ок".​ в скобки, после​ была затронута в​ является функция квадратного​ Excel.​: Вставка функций ->​: Посмотри, должно помочь​ ​Получили корректное отображение числа​ ​Таким образом, возвести в​ Excel. А как​ – число 86,5,​ на ячейку с​ 1/2. 1/n​ этом случае величину​ ячейке, чтобы её​ выражение, заменив слово​ ​Автор: Алексей Рулев​ является более удобным.​ ​ в степень.​ слово "КОРЕНЬ", обозначающее​ число, квадрат которого​ ​ просто числа...​Андрей ащеулов​ степени​ ​Щелкаем по ячейке с​ в степень 1/3.​ (с английской раскладкой​ из отрицательного числа.​ ​Встроенная функция КОРЕНЬ возвращает​n – это степень​ нужно возвести в​ ​ адрес был внесен​ «число» на конкретную​Извлечение корня из числа​ Причиной тому является​Сделать это можно также​ вызов соответствующей команды.​ Как написать число в степени ​ равен числу а.​для суммы квадратов​: моно так​Х-то из чего​ числом правой кнопкой​ ​Воспользуемся формулой для извлечения​ клавиатуры).​Функция извлекла квадратный корень​ положительное значение квадратного​ возведения.​ ​ дробную степень. Общий​ в поле. После​ цифру или на​ является довольно распространенным​ тот факт, что​ двумя способами. Первый​ Далее в скобках​ В математических науках​ так​sqrt​ извлекаем корень​ ​ мыши. Выбираем «Формат​ корней разных степеней​Чтобы Excel воспринимал вводимую​ ​ от суммы 13​ корня. В меню​Таким образом, этот вариант​ вид формулы для​ ввода данных жмем​ ​ адрес ячейки, где​ математическим действием. Оно​ с помощью этих​ exceltable.com> Как вычислить квадратный корень в Excel ? ​ заключается в использовании​​ останется записать переменную,​ ​ можно встретить не​ ​=SQRT(A2*A2+B2*B2+C2*C2)​ ​All1​Tes oren​ ячеек» (или нажмите​ в Excel.​ информацию как формулу,​ ​ и значения ячейки​ «Функции» она находится​ ​ является намного универсальнее,​​ расчета таков:​ ​ на кнопку​ ​ она расположена.​ применяется и для​ операций можно получить​ ​ другой функции -​ ​ из которой требуется​ только квадратные корни.​Мимо крокодил​: Привет! Значит ВСТАВКА​ ​: Синтаксис​ ​ CTRL+1). 2​ строчку где написанно​ ​ для которого вычисляется​​ Задаем «Текстовый» формат.​ в дробную степень​ возвести в степень.​ Оба аргумента обязательные.​ представляет собой положительное​ ​ то, что в​ а возведение величины​ ​ ячейке будет отображаться​ ​ENTER​​ способов посчитать данное​Чтобы окончательно разобраться с​ в выбранную степень.​ ​ может использоваться как​ квадратный корень из 36 - Как найти квадратный корень из 36? Как бы вы нашли длину стороны квадрата, если указана площадь в квадратных дюймах. Ответ заключается в нахождении квадратного корня из заданной площади. Предположим, что площадь квадрата составляет 36 квадратных дюймов. Какой может быть длина его стороны? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте узнаем, как найти квадратный корень из 36. Квадратный корень из 36 : √36 = 6 Квадрат 36: 36 2 = 1296 Что такое квадратный корень из 36? Квадратный корень числа - это число, квадрат которого дает исходное число.Например, чтобы найти квадратный корень из 36 (который обозначается √36), мы должны представить число, квадрат которого равен 36 . Вы можете запомнить это так: когда квадрат перемещается из одной стороны уравнения в другую, он становится квадратным корнем. Таким образом, квадратный корень из 36 равен 6. Является ли квадратный корень из 36 рациональным или иррациональным? Рациональное число можно выразить дробью целых чисел. Мы уже обнаружили, что Итак, мы можем выразить √36 как дробь целых чисел и, следовательно, это рациональное число. √36 - рациональное число. Как найти квадратный корень из 36? Мы можем найти квадратный корень из 36, используя различные методы. Повторное вычитание Основная факторизация Оценка и приближение Длинный дивизион Если вы хотите узнать больше о каждом из этих методов, щелкните здесь. Мы знаем, что 36 - это полный квадрат, поэтому мы можем легко найти его квадратный корень, используя метод разложения на простые множители. Квадратный корень из 36 с использованием простого факторизации Разложение 36 на простые множители выглядит следующим образом: 36 это: 36 = 2 × 2 × 3 × 3 Чтобы найти квадратный корень из 36, мы берем по одному числу из каждой пары одинаковых чисел и умножаем их. Квадратный корень из 36 по длинному делению Квадратный корень из 36 можно найти следующим образом. Подумайте о числе, которое при умножении само на себя дает число, которое меньше или равно 36 число, очень близкое к 36 Поскольку остаток равен 0, нам не нужно продолжать дальнейшее деление в столбик, и мы рассматриваем частное (равное 6) как результат. Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров. Может ли значение √36 равняться -6? Подсказка: подумайте, что такое (-6) 2 Является ли √-36 действительным числом? Подсказка: подумайте, существует ли какое-нибудь действительное число с отрицательным квадратом. Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 36 Что такое квадратный корень из 36? Как мы узнали на этой странице, квадратный корень из 36 может быть либо 6, либо -6. Что такое квадрат 36? Квадрат 36 равен 1296. 36 2 = 1296 Как вычислить квадратный корень из 36? Мы можем найти квадратный корень из 36, используя различные методы. Повторное вычитание Основная факторизация Оценка и приближение Длинный дивизион Если вы хотите узнать больше о каждом из этих методов, щелкните здесь. Как найти квадратный корень? Мы можем найти квадратный корень разными способами. Повторное вычитание Основная факторизация Оценка и приближение Длинный дивизион Если вы хотите узнать больше о каждом из этих методов, щелкните здесь. Что такое квадратный корень из 36 в простейшей радикальной форме? √36 - простейшая радикальная форма. Является ли квадратный корень из 36 рациональным числом? √36 = 6 = 6/1. √36 - рациональное число. Квадратный корень из 36 (√36) Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 36. Начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы о квадратном корне из 36. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 36 с учетом и без компьютер или калькулятор. У нас есть чем поделиться, так что приступим! Корень квадратный из 36 определения Квадратный корень из 36 в математической форме записывается со знаком корня, как это √36.Мы называем это квадратным корнем из 36 в радикальной форме. Квадратный корень из 36 - это величина (q), которая при умножении сама на себя равна 36. √36 = q × q = q 2 Является ли 36 идеальным квадратом? 36 - это полный квадрат, если квадратный корень из 36 равен целому числу. Как мы подсчитали дальше На этой странице квадратный корень 36 - это целое число. 36 - правильный квадрат. Квадратный корень из 36 является рациональным или иррациональным? Квадратный корень из 36 - рациональное число, если 36 - полный квадрат.Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом. Поскольку 36 - это полный квадрат, это рациональное число. Это означает, что ответ на «квадратный корень из 36?» не будет десятичных знаков. √36 - рациональное число Можно ли упростить квадратный корень из 36? Квадратный корень из полного квадрата можно упростить, потому что квадратный корень из полного квадрата будет равен целому числу: √36 = 6 Как вычислить квадратный корень из 36 с помощью калькулятора Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 36 - использовать калькулятор! Просто введите 36, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ: √36 = 6 Как вычислить квадратный корень из 36 на компьютере Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT (36) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 36. Ниже приведен результат, который мы получили: КОРЕНЬ (36) = 6 Что такое квадратный корень из 36, записанный с показателем степени? Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробной степенью.Квадратный корень из 36 - не исключение. Вот правило и ответ в «квадратный корень из 36, преобразованный в основание с показателем степени?»: √b = b ½ √36 = 36 ½ Как найти квадратный корень из 36 методом деления в длину Здесь мы покажем вам, как вычислить квадратный корень из 36 с помощью метода деления в длину. Это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 36 вручную до того, как были изобретены современные технологии. Шаг 1) Установите 36 пар из двух цифр справа налево: Шаг 2) Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньший или равный 36, равен 36, а квадратный корень из 36 равен 6. Таким образом, поместите 6 вверху и 36 внизу следующим образом: Разница между двумя нижними числами равна нулю, поэтому готово! Ответ - зеленая цифра сверху. И снова квадратный корень из 36 равно 6. Квадратный корень числа Введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 36 на этой странице. Банкноты Помните, что отрицательное умножение на отрицательное равняется положительному. Таким образом, квадратный корень из 36 не дает только положительного ответа. что мы объяснили выше, но также и отрицательный аналог. На этой странице мы часто упоминаем точные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов для справки. Квадратный корень из 37 Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть столь же подробная информация о квадратном корне. Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт Факторы квадратного корня из 36 (Факторы √36) Здесь мы покажем вам, как получить множители квадратного корня из 36 (множители √36).Мы определяем множители квадратного корня из 36 как любые целое число (целое число) или квадратный корень, который можно равномерно разделить на квадратный корень из 36. Кроме того, если вы разделите √36 на коэффициент √36, получится приводят к другому коэффициенту √36. Сначала мы найдем все квадратные корни, которые можно без остатка разделить на квадратный корень из 36. Мы делаем это, находя все делим 36 и добавляем к ним радикал (√) следующим образом: √1, √2, √3, √4, √6, √9, √12, √18 и √36 Далее, мы найдем все целые числа, которые можно без остатка разделить на квадратный корень из 36.Мы делаем это, сначала определяя полные квадратные корни из списка выше: √1, √4, √9, √36 Затем мы извлекаем квадратный корень из совершенных квадратных корней, чтобы получить целые числа, которые мы можем равномерно разделить на квадратный корень из 36. 1, 2, 3, 6 Множители квадратного корня из 36 - это два приведенных выше списка вместе. Таким образом, множители квадратного корня из 36 (квадратные корни и целые числа) следующие: 1, 2, 3, 6, √1, √2, √3, √4, √6, √9, √12, √18 и √36 Как мы уже говорили выше, квадратный корень из 36, деленный на любой из его факторов, приведет к другому его множителю.Следовательно, если разделить √36 на любой из факторов, указанных выше, вы увидите, что это приводит к одному из других факторов. Что вы можете сделать с этой информацией? Во-первых, вы можете получить квадратный корень из 36 в простейшей форме. Квадратный корень из 36 упрощенное - это наибольший целочисленный множитель, умноженный на квадратный корень из 36, деленный на наибольший полный квадратный корень. Таким образом, вот математика для получения квадратного корня из 36 в его простейшей радикальной форме: √36 = 6 × (√36 ÷ √36) = 6 Калькулятор коэффициента квадратного корня Нужны ли вам множители из другого квадратного корня? Хорошо, введите квадратный корень в поле ниже. Коэффициенты квадратного корня 37 Надеемся, эта информация была полезной. Хотите узнать больше? Если это так, перейдите сюда, чтобы получить множители следующего квадратного корня в нашем списке. Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт Калькулятор квадратного корня Использование калькулятора Используйте этот калькулятор, чтобы найти главный квадратный корень и корни действительных чисел. Входные данные для подкоренного выражения x могут быть положительными или отрицательными действительными числами.Ответ также скажет вам, вошли ли вы в идеальный квадрат. Ответ покажет вам комплексные или мнимые решения для квадратных корней из отрицательных действительных чисел. Также Упростите калькулятор радикальных выражений, чтобы упростить радикалы вместо поиска дробных (десятичных) ответов. Квадратные корни, четные и нечетные: Для любого положительного действительного числа существует 2 возможных корня.Положительный корень и отрицательный корень. Учитывая число x , квадратный корень из x представляет собой число a , такое что a 2 = x . Квадратные корни - это особая форма нашего общего калькулятор корней. "Обратите внимание, что любое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Например, квадратные корни из 9 равны -3 и +3, поскольку (-3) 2 = (+3) 2 = 9.Любое неотрицательное действительное число x имеет уникальный неотрицательный квадратный корень r; это называется главным квадратным корнем .......... Например, главный квадратный корень из 9 равен sqrt (9) = +3, а другой квадратный корень из 9 равен -sqrt (9) = - 3. В обычном использовании, если не указано иное, «квадратный корень обычно означает главный квадратный корень» [1]. Калькулятор идеального квадрата Этот калькулятор также подскажет, является ли введенное вами число идеальным квадратом или нет.Идеальный квадрат - это число x , где квадратный корень из x - это число a такое, что a 2 = x , а a - целое число. Например, 4, 9 и 16 являются полными квадратами, поскольку их квадратные корни 2, 3 и 4, соответственно, являются целыми числами. Пример квадратного корня: Второй корень из 81, или 81, корень 2, или квадратный корень из 81 записывается как \ (\ sqrt [2] {81} = \ sqrt [] {81} = \ pm 9 \). Корень 2-й степени из 25, или 25 корень 2, или квадратный корень из 25 записывается как \ (\ sqrt [2] {25} = \ sqrt [] {25} = \ pm 5 \). Второй корень из 100, или 100, радикал 2, или квадратный корень из 100 записывается как \ (\ sqrt [2] {100} = \ sqrt [] {100} = \ pm 10 \). Второй корень из 10, или 10, радикал 2, или квадратный корень из 10 записывается как \ (\ sqrt [2] {10} = \ sqrt [] {10} = \ pm 3. 162278 \). Для вычисления дробных показателей используйте наш калькулятор для Дробные экспоненты. Ссылки [1] Вайсштейн, Эрик В. «Квадратный корень». Из MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. Квадратный корень Дополнительное чтение квадратного корня: Математический форум 0 - это идеальный квадрат? В математике - это весело: корень квадратный Калькулятор квадратного корня .Найдите квадратный корень за один простой шаг. Наш калькулятор квадратного корня вычисляет квадратный корень любого положительного числа, которое вы хотите. Просто введите выбранный номер и ознакомьтесь с результатами. Все рассчитывается быстро и автоматически ! С помощью этого инструмента вы также можете оценить квадрат желаемого числа (просто введите значение во второе поле), что может оказаться большим подспорьем в поиске точных квадратов из формулы квадратного корня. Вы боретесь с основными арифметическими операциями: сложение квадратных корней, вычитание квадратных корней, умножение квадратных корней или деление квадратных корней? Уже нет! В следующем тексте вы найдете подробное объяснение о различных свойствах квадратного корня, например.g., как упростить квадратные корни, с множеством различных примеров . Из этой статьи вы раз и навсегда узнаете, как находить квадратные корни! Вы когда-нибудь задумывались, каково происхождение символа квадратного корня √? Уверяем вас, что эта история не так проста, как вы могли подумать сначала. Происхождение символа корня восходит к древним временам, как происхождение знака процента. Если вам нужен график квадратного корня или свойства функции квадратного корня, перейдите непосредственно в соответствующий раздел (просто нажмите на ссылки выше!). Здесь мы объясняем, что такое производная квадратного корня, используя определение фундаментального квадратного корня; мы также подробно рассмотрим, как вычислять квадратные корни из экспонент или квадратные корни из дробей. Наконец, если вы будете достаточно настойчивы, вы обнаружите, что квадратный корень из отрицательного числа на самом деле возможен. Таким образом, мы вводим комплексных чисел , которые находят широкое применение в физике и математике. Символ квадратного корня √ Операция извлечения квадратного корня из числа была известна еще в древности.Самая ранняя глиняная табличка с правильным значением √2 = 1,41421 до 5 знаков после запятой происходит из Вавилонии (1800 г. до н.э. - 1600 г. до н.э.) . Многие другие документы показывают, что квадратные корни также использовали древние египтяне, индийцы, греки и китайцы. Однако происхождение корневого символа √ все еще остается в значительной степени спекулятивным. Многие ученые считают, что квадратные корни происходят от буквы «r» - первой буквы латинского слова radix, означающего корень, другая теория утверждает, что символ квадратного корня был взят из арабской буквы ج , которая была помещена в исходной форме ﺟ в слове جذر - корень (арабский язык пишется справа налево). Первое использование символа квадратного корня √ не включало горизонтальную «черту» над числами внутри символа квадратного корня (или радикала) √‾. «Бар» на латыни известен как vinculum, что означает облигация . Хотя радикальный символ с винкулумом сейчас используется в повседневной жизни, мы обычно опускаем эту черту во многих текстах, например, в статьях в Интернете. Обозначение высших степеней корня было предложено Альбертом Жираром, который поместил указатель степени в начало знака корня, т.е.г., ³√ или ⁴√. Последний вопрос: почему операция извлечения квадратного корня называется корнем независимо от ее истинного происхождения? Объяснение станет более очевидным, если мы запишем уравнение x = ⁿ√a в другой форме: xⁿ = a. (0.5) В геометрической интерпретации квадратный корень из данной площади квадрата дает длину его стороны. Вот почему в названии √ есть слово , квадрат . Аналогичная ситуация и с кубическим корнем ∛ . Если вы берете кубический корень из объема куба, вы получаете длину его ребер. В то время как квадратные корни используются при рассмотрении площади поверхности, кубические корни полезны для определения величин, относящихся к объему, например плотности. Как найти квадратный корень? Может быть, мы не очень скромны, но мы думаем, что лучший ответ на вопрос, как найти квадратный корень, прост: используйте калькулятор квадратного корня! Вы можете использовать его как на компьютере, так и на смартфоне, чтобы быстро вычислить квадратный корень из заданного числа.К сожалению, бывают ситуации, когда можно рассчитывать только на себя, что тогда? Чтобы подготовиться к этому, вы должны запомнить несколько основных идеальных квадратных корней: квадратный корень из 1: √1 = 1 , так как 1 * 1 = 1 ; квадратный корень из 4: √4 = 2 , так как 2 * 2 = 4 ; квадратный корень из 9: √9 = 3 , так как 3 * 3 = 9 ; квадратный корень из 16: √16 = 4 , так как 4 * 4 = 16 ; квадратный корень из 25: √25 = 5 , так как 5 * 5 = 25 ; квадратный корень из 36: √36 = 6 , так как 6 * 6 = 36 ; квадратный корень из 49: √49 = 7 , так как 7 * 7 = 49 ; квадратный корень из 64: √64 = 8 , так как 8 * 8 = 64 ; квадратный корень из 81: √81 = 9 , так как 9 * 9 = 81 ; квадратный корень из 100: √100 = 10 , так как 10 * 10 = 100 ; квадратный корень из 121: √121 = 11 , так как 11 * 11 = 121 ; квадратный корень из 144: √144 = 12 , так как 12 * 12 = 144 ; Приведенные выше числа являются простейшими квадратными корнями, потому что каждый раз вы получаете целое число. Попробуй их запомнить! Но что делать, если есть число, у которого нет такого красивого квадратного корня? Есть несколько решений. Прежде всего, можно попробовать предсказать результат методом проб и ошибок . Допустим, вы хотите вычислить квадратный корень из 52 : Вы знаете, что √49 = 7 и √64 = 8 , поэтому значение √52 должно быть между 7 и 8 . Число 52 ближе к 49 (фактически ближе к 7 ), поэтому вы можете попытаться угадать, что √52 — это 7.3 . Затем возводите в квадрат 7,3 , получая 7,3² = 53,29 (как говорит формула квадратного корня), что больше, чем 52 . Вы должны попробовать с меньшим числом, скажем, 7.2 . Квадрат 7.2 равен 51,84 . Теперь у вас меньшее число, но оно намного ближе к 52 . Если такая точность вас устраивает, можете закончить оценку здесь. В противном случае вы можете повторить процедуру с выбранным числом от 7.2 и 7,3 , например, 7,22 и так далее и так далее. Другой подход состоит в том, чтобы сначала упростить квадратный корень, а затем использовать приближения квадратных корней простых чисел (обычно с округлением до двух десятичных знаков): квадратный корень из 2: √2 ≈ 1,41 , квадратный корень из 3: √3 ≈ 1,73 , квадратный корень из 5: √5 ≈ 2,24 , квадратный корень из 7: √7 ≈ 2.65 , квадратный корень из 11: √11 ≈ 3,32 , квадратный корень из 13: √13 ≈ 3,61 , квадратный корень из 17: √17 ≈ 4,12 , квадратный корень из 19: √19 ≈ 4,34 и т. Д. Давайте попробуем снова найти квадратный корень из 52 . Вы можете упростить его до √52 = 2√13 (вы узнаете, как упростить квадратный корень в следующем разделе), а затем замените √13 ≈ 3,61 . Наконец, произведем умножение √52 ≈ 2 * 3.61 = 7,22 . Результат такой же, как и раньше! Вы можете проверить, является ли число простым или нет, с помощью нашего калькулятора простых чисел. Простое число — это натуральное число (больше единицы), которое не может быть получено как произведение двух меньших натуральных чисел. Например, 7 — простое число, потому что вы можете получить его, только умножив 1 * 7 или 7 * 1 . С другой стороны, число 8 не является простым, потому что вы можете сформировать его, умножив 2 * 4 или 4 * 2 (помимо произведения 1 и 8). Калькулятор квадратного корня В некоторых ситуациях вам не нужно знать точный результат вычисления квадратного корня. В этом случае наш калькулятор квадратного корня — лучший вариант для оценки значения каждого квадратного корня, который вы хотите . Например, предположим, вы хотите узнать, больше ли 4√5 , чем 9 . Из калькулятора вы знаете, что √5 ≈ 2,23607 , поэтому 4√5 ≈ 4 * 2,23607 = 8,94428 . Он очень близок к 9 , но не больше его! Калькулятор квадратного корня дает окончательное значение с относительно высокой точностью (до пяти цифр в приведенном выше примере).С помощью калькулятора значащих цифр вы можете вычислить этот результат до любого количества значащих цифр. Помните, что наш калькулятор автоматически пересчитывает числа, введенные в любое из полей. Вы можете найти квадратный корень из определенного числа, заполнив первое окно, или получить квадрат числа, введенного вами во втором окне. Второй вариант удобен в для нахождения идеальных квадратов , которые необходимы во многих аспектах математики и естественных наук. Например, если вы введете 17 во второе поле, вы обнаружите, что 289 — это полный квадрат. В некоторых приложениях квадратного корня, особенно относящихся к таким наукам, как химия и физика, предпочтение отдается результатам в научной нотации. Короче говоря, ответ в научном представлении должен иметь десятичную точку между первыми двумя ненулевыми числами и будет представлен как десятичная дробь, умноженная на 10, возведенная в степень. Например, число 0.00345 записывается как 3,45 * 10⁻³ в экспоненциальном представлении, тогда как 145,67 записывается как 1,4567 * 10² в экспоненциальном представлении. Результаты, полученные с помощью калькулятора квадратного корня, можно преобразовать в экспоненциальную нотацию с помощью калькулятора. Как упростить извлечение квадратного корня? Во-первых, давайте спросим себя, какие квадратные корни можно упростить. Чтобы ответить на него, вам нужно взять число, стоящее после символа квадратного корня, и найти его множители.Если какой-либо из его множителей является квадратным числом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. Д.), То вы можете упростить квадратный корень. Почему эти числа квадратные? Они могут быть соответственно выражены как 2², 3², 4², 5², 6², 7² и так далее. Согласно определению квадратного корня, вы можете назвать их полных квадратов . У нас есть специальный инструмент, называемый калькулятором коэффициентов, который может быть здесь очень кстати. Давайте посмотрим на несколько примеров: Можете ли вы упростить √27? С помощью упомянутого выше калькулятора вы получаете множители 27: 1, 3, 9, 27.(1/2) ⟺ √ (x * y) = √x * √y , Как вы можете использовать эти знания? Аргумент квадратного корня обычно не является точным квадратом, который можно легко вычислить, но он может содержать идеальный квадрат среди своих факторов. Другими словами, вы можете записать это как умножение двух чисел, где одно из чисел представляет собой полный квадрат, например, 45 = 9 * 5 (9 — это полный квадрат). Требование иметь по крайней мере один множитель , который является полным квадратом, необходимо для упрощения квадратного корня.(1/2) = √9 * √5 = 3√5 . Вы успешно упростили свой первый квадратный корень! Конечно, вам не нужно записывать все эти расчеты. Если вы помните, что квадратный корень эквивалентен степени половины , вы можете сократить их. Попрактикуемся в упрощении квадратных корней на некоторых других примерах: Как упростить квадратный корень из 27? √27 = √ (9 * 3) = √9 * √3 = 3√3 ; Как упростить квадратный корень из 8? √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2 ; Как упростить квадратный корень из 144? √144 = √ (4 * 36) = √4 * √36 = 2 * 6 = 12 . В последнем примере вам вообще не нужно было упрощать квадратный корень, потому что 144 — это полный квадрат. Вы можете просто вспомнить, что 12 * 12 = 144. Однако мы хотели показать вам, что с помощью процесса упрощения вы также можете легко вычислить квадратные корни из полных квадратов. Это полезно, когда имеет дело с большими числами . Наконец, вы можете спросить, как упростить корни более высокого порядка, например, кубические корни. Фактически, этот процесс очень похож на квадратные корни, но в случае кубических корней вы должны найти хотя бы один множитель, который представляет собой идеальный куб , а не идеальный квадрат, т.е.е., 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ и так далее. Затем вы делите свое число на две части и кладете под кубический корень. Возьмем следующий пример упрощения ³√192: ∛192 = ∛ (64 * 3) = ∛64 * ∛3 = 4∛3 На первый взгляд это может показаться немного сложным, но после некоторой практики вы сможете упростить корни в своей голове . Доверься нам! Сложение, вычитание, умножение и деление квадратных корней Сложение квадратных корней и вычитание квадратных корней К сожалению, сложение или вычитание квадратных корней не так просто, как сложение / вычитание обычных чисел. Например, если 2 + 3 = 5, это не означает, что √2 + √3 равно √5. Это неправильно! Чтобы понять, почему это так, представьте, что у вас есть два разных типа фигур: треугольники 🔺 и круги 🔵. Что произойдет, если вы добавите один треугольник к одному кругу 🔺 + 🔵? Ничего такого! У вас остались один треугольник и один круг 🔺 + 🔵. С другой стороны, что произойдет, если вы попытаетесь добавить три треугольника к пяти треугольникам: 3 🔺 + 5 🔺? У нас получится восемь треугольников 8 🔺. Сложение квадратного корня очень похоже на это.Результат сложения √2 + √3 по-прежнему равен √2 + √3. Вы не можете упростить это дальше. Однако это другая ситуация, когда оба квадратных корня имеют одинаковое число под символом корня . Затем мы можем складывать их как обычные числа (или треугольники). Например, 3√2 + 5√2 равно 8√2. То же самое и с вычитанием квадратных корней. Давайте посмотрим на другие примеры, иллюстрирующие это свойство квадратного корня: Что такое 6√17 + 5√17 ? Ответ: 6√17 + 5√17 = 11√17 ; Что такое 4√7 - 7√7 ? Ответ: 4√7 - 7√7 = -3√7 ; Что такое 2√2 + 3√8 ? Ответ: 2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2 , потому что мы упростили √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2; Что такое √45 - √20 ? Ответ: √45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5 , потому что мы упростили √45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5 и √20 = √ (4 * 5) = √4 * √5 = 2√5; Что такое 7√13 + 2√22 ? Ответ: 7√13 + 2√22 , мы не можем упростить это дальше; Что такое √3 - √18 ? Ответ: √3 - √18 = √3 - 3√2 , мы не можем упростить это дальше, чем это, но мы, по крайней мере, упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2.(1/2) ⟺ √x * √y = √ (x * y) . В отличие от сложения, вы можете умножить на каждые двух квадратных корней. (1/2) .(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) , , где x / y — дробная часть. Ниже вы можете найти несколько примеров квадратных корней из дроби: квадратный корень из 4/9: √ (4/9) = √4 / √9 = 2/3 , квадратный корень из 1/100: √ (1/100) = √1 / √100 = 1/10 , квадратный корень из 1/5: √ (1/5) = √1 / √5 = 1 / √5 = √5 / 5 . Оставлять корни в знаменателе — не очень хорошая привычка. Вот почему мы избавились от него в последнем примере.Мы просто умножили числитель и знаменатель на одно и то же число (мы всегда можем это сделать, так как число, которое мы умножаем на 1), в данном случае на √5 . Функция квадратного корня и график Функции играют жизненно важную роль не только в математике, но и во многих других областях, таких как физика, статистика или финансы. Функция f (x) — это не что иное, как формула, которая говорит, как значение f (x) изменяется с аргументом x . Чтобы увидеть некоторые примеры, ознакомьтесь с нашими финансовыми инструментами, созданными финансовыми специалистами, например, калькулятор сложных процентов или калькулятор будущей стоимости.Там вы найдете несколько функций, которые можно применить в реальной жизни. Они очень полезны, если вы хотите знать, как рассчитать сложные проценты или оценить будущую стоимость аннуитета. Ниже вы можете найти график квадратного корня, состоящий из половин параболы . Проверьте это и попробуйте проверить, например, является ли функция квадратного корня x = 9 3 и x = 16 равна 4 (как и должно быть). Давайте вернемся к функции квадратного корня f (x) = √x и исследуем, каковы ее основные свойства .Мы рассматриваем только положительную часть f (x) (как вы можете видеть на графике квадратного корня выше). Итак, функция квадратного корня: — непрерывно и возрастает для всех неотрицательных x , — это , дифференцируемое для всех положительных x (дополнительные сведения см. В разделе о производной квадратного корня), приближается к пределу бесконечности , когда x приближается к бесконечности ( lim √x → ∞ , когда x → ∞ ), — это действительное число для всех неотрицательных x и комплексное число для всех отрицательных x (подробнее об этом мы пишем в разделе квадратного корня из отрицательного числа). Вы, наверное, уже заметили, что квадратный корень из площади квадрата дает длину его стороны. Эта функция используется в одном из наших строительных калькуляторов — калькуляторе квадратных метров. Если вы планируете что-либо отремонтировать в будущем, эти инструменты могут вам очень помочь. Не забывайте их использовать! Производная квадратного корня Производная функции сообщает нам, насколько быстро эта функция изменяется вместе со своим аргументом. Один из простейших примеров в физике — это положение объекта и его скорость (скорость изменения положения).Допустим, функция x (t) описывает, как расстояние движущегося автомобиля от определенной точки изменяется со временем t . Вы знаете, что определяет, насколько быстро меняется пройденное вами расстояние? Ответ — скорость машины! Таким образом, производная положения x (t) — это скорость v (t) (скорость также может зависеть от времени). Для обозначения производной мы обычно используем апостроф v (t) = x '(t) или символ производной v (t) = dx (t) / dt .(-1/2) = 1 / (2√x) . Так как число в отрицательной степени на единицу больше этого числа, оценка вывода будет включать дроби. У нас есть инструмент, который может оказаться незаменимым при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Он называется калькулятором НОК и объясняет, как найти наименьшее общее кратное. Производная квадратного корня необходима для получения коэффициентов в так называемом разложении Тейлора . Мы не хотим вдаваться в подробности слишком глубоко, поэтому, вкратце, серия Тейлора позволяет аппроксимировать различные функции с помощью многочленов, которые намного проще вычислить.Например, разложение Тейлора √ (1 + x) вокруг точки x = 0 дается следующим образом: √ (1 + x) = 1 + 1/2 * x - 1/8 * x² + 1/16 * x³ - 5/128 * x⁴ + ... , , что действительно для -1 ≤ x ≤ 1 . Хотя в приведенном выше выражении содержится бесконечное количество членов, чтобы получить приблизительное значение, вы можете использовать всего несколько первых членов. Давай попробуем! При x = 0,5 и первых пяти членах вы получаете: √ (1,5) = 1 + 1/2 * 0.5 - 1/8 * 0,25 + 1/16 * 0,125 - 5/128 * 0,0625 , √ (1,5) ≈ 1,2241 , , а действительное значение, предоставленное нашим калькулятором, составляет √ (1,5) ≈ 1,2247 . Достаточно близко! Пока что это было много математики и уравнений. Для тех из вас, кто достаточно настойчив, мы подготовили следующий раздел, в котором объясняется, как вычислить квадратный корень из отрицательного числа. Корень квадратный из отрицательного числа В школе вас, вероятно, учили, что квадратного корня из отрицательного числа не существует.Это верно, если рассматривать только действительные числа. Давным-давно для выполнения сложных вычислений математикам приходилось вводить более общий набор чисел — комплексные числа . Их можно выразить в следующей форме: х = а + Ь * я , , где x — комплексное число с действительной частью a и мнимой частью b . Что отличает комплексное число от действительного, так это мнимое число i .Вот несколько примеров комплексных чисел: 2 + 3i , 5i , 1,5 + 4i , 2 . Вы можете быть удивлены, увидев там 2 , что является реальным числом. Да, но это также комплексное число с b = 0 . Комплексные числа являются обобщением действительных чисел. Пока что воображаемое число i , наверное, до сих пор для вас загадка. Что это вообще такое? Что ж, хотя это может показаться странным, это определяется следующим уравнением: я = √ (-1) , , и это все, что вам нужно для вычисления квадратного корня из каждого числа, независимо от того, положительное оно или нет.Давайте посмотрим на несколько примеров: квадратный корень из -9: √ (-9) = √ (-1 * 9) = √ (-1) √9 = 3i , квадратный корень из -13: √ (-13) = √ (-1 * 13) = √ (-1) √13 = i√13 , квадратный корень из -49: √ (-49) = √ (-1 * 49) = √ (-1) √49 = 7i . Разве это не просто? Эта проблема не возникает с кубическим корнем, поскольку отрицательное число можно получить, умножив три одинаковых отрицательных числа (чего нельзя сделать с двумя отрицательными числами).Например: ³√ (-64) = ³√ [(- 4) * (- 4) * (- 4)] = -4 . Это, вероятно, все, что вам следует знать о квадратных корнях. Мы ценим, что вы остались с нами до этого момента! В качестве награды испеките себе что-нибудь сладкое 🙂 Воспользуйтесь нашим калькулятором идеальных блинов, чтобы узнать, как приготовить идеальный блин, каким бы он вам ни нравился. Вам может понадобиться наш калькулятор граммов в чашки, чтобы помочь вам в этом. Он работает в обоих направлениях, то есть для преобразования граммов в чашки и преобразования чашек в граммы.А если вы спросите себя: «Сколько калорий мне нужно съедать в день?», Воспользуйтесь нашим удобным калькулятором калорий! FAQ Может ли число иметь более одного квадратного корня? Да, на самом деле все положительные числа имеют 2 квадратных корня , один положительный, а другой равный первому, но отрицательный. Это потому, что если вы умножите два негатива вместе, негативы аннулируются и результат будет положительным. Как найти квадратный корень без калькулятора? Вычислите квадратного корня.Ближайшее квадратное число приемлемо, если вы в затруднении. Разделите число, из которого вы хотите найти квадратный корень, на оценку. Добавьте оценку к результату шага 2. Разделите результат шага 3 на 2. Это ваша новая оценка . Повторите шаги 2–4 с новой оценкой. Чем больше раз это повторяется, тем точнее будет результат. Как вычислить квадратные корни? Найдите , ближайшее квадратное число выше и ниже числа, о котором вы думаете. Квадратный корень будет между квадратными корнями этих чисел. Близость числа к квадратному корню указывает, насколько близок корень. Например, 26 очень близко к 25, поэтому корень будет очень близок к 5. Попробуйте несколько раз разобраться в этом . Является ли квадратный корень из 2 рациональным числом? Нет, квадратный корень из 2 не является рациональным . Это связано с тем, что, когда 2 записывается как дробь, 2 / 1 , она никогда не может иметь только четные показатели, и поэтому рациональное число не может быть возведено в квадрат для его создания. Как избавиться от квадратного корня? В алгебре возведение в квадрат обеих частей уравнения избавит от любых квадратных корней . Результатом этой операции является то, что квадратные корни будут заменены любым числом, из которого они находили квадратный корень. Являются ли квадратные корни рациональными? Некоторые квадратные корни являются рациональными , а другие — нет. Вы можете определить, является ли квадратный корень рациональным или нет, выяснив, может ли число, которое вы извлекаете квадратным корнем, быть выражено только в терминах четных показателей (например,грамм. 4 = 2 2 /1 2 ). Если может, то его корень рациональный . Является ли квадратный корень из 5 рациональным числом? Квадратный корень из 5 — это , а не рациональное число . Это связано с тем, что 5 не может быть выражено дробью, если числитель и знаменатель имеют четные показатели. Это означает, что рациональное число нельзя возвести в квадрат, чтобы получить 5. Является ли квадратный корень из 7 рациональным числом? Результатом квадратного корня 7 является иррациональное число .7 не может быть записано как дробь только с четными показателями, а это означает, что число, возведенное в квадрат для достижения 7, не может быть выражено как дробь целых чисел, и поэтому не является рациональным. Какая производная квадратного корня из x? Производная квадратного корня x равна x — 1 / 2 / 2 или 1 / 2SQRT (x) . Это связано с тем, что квадратный корень из x может быть выражен как x 1 / 2 , от которого обычно происходит дифференцирование. Как найти квадратный корень из десятичной дроби? Преобразует десятичную дробь в дробь . Найдите любых квадратных корней из дроби или оцените их. Сделайте дробью, равной квадратному корню, который вы нашли в квадрате. Отмените квадратный корень и квадрат, оставив дробь. Запишите дробь как десятичную в качестве окончательного ответа. Квадратные корни (ключевой этап 2) Урок Квадратный корень из числа, умноженный на само себя, дает это число. Квадратный корень обозначается записью символа √ (радикала) перед числом. Словарь Мерриама-Вебстера определяет квадратный корень как «множитель числа, возведение которого в квадрат дает число». Реальный пример квадратного корня Квадратный корень из 36 записывается как √36. Квадратный корень из 36 (√36) при умножении на себя дает 36: Квадратный корень из √36 равен 6.Квадратный корень из 36 (6) при умножении на себя дает 36: . Квадратный корень противоположен возведению числа в квадрат Нахождение квадратного корня — это обратное (противоположное) возведение числа в квадрат. ( Не забывайте: Возведение числа в квадрат означает умножение числа на само себя). Извлечение квадратного корня из 36 дает √36. Возведение в квадрат √36 дает 36. Помните, что √36 равно 6: . Как найти квадратный корень числа Иногда бывает трудно найти квадратный корень из числа вручную.(На калькуляторе это просто. Просто нажмите кнопку √!) Предлагается другой подход в зависимости от того, находите ли вы квадратный корень из квадратного числа или нет. Квадратные корни квадратного числа Квадратное число — целое число (целое число), полученное в результате умножения меньшего целого числа на само себя: 1 — квадратное число. Это 1 × 1, или 1 2 («1 квадрат»). 4 — квадратное число.Это 2 × 2, или 2 2 («2 в квадрате»). 9 — квадратное число. Это 3 × 3, или 3 2 («3 в квадрате»). Это означает, что если извлечь квадратный корень из квадратного числа, мы получим целое число: 1 = 1 2 ∴ √1 = 1. 4 = 2 2 ∴ √4 = 2. 9 = 3 2 ∴ √9 = 3. Квадратные корни из первых 10 квадратных чисел показаны ниже: Квадратный корень, если это не квадратное число Если число не является квадратным числом, его квадратный корень не будет целым числом. Например, √2 = 1,414213562 … Поскольку √2 не может быть упрощено до целого числа (или даже до дроби), оно называется сурдом. Было бы проще и точнее просто оставить серды такими, какие они есть: просто напишите √2 как √2, а не 1.414213562 … Сурд — это иррациональное число (не может быть выражено дробью). Как десятичная дробь, она продолжается вечно. Surds имеют свои правила, например: √2 × √2 = 2 √2 × √3 = √ (2 × 3) = √6 Квадратные корни в алгебре В алгебре вместо цифр используются буквы. Так же, как мы можем найти квадратный корень из числа, например √2 … …мы можем найти квадратный корень из буквы, например √x. Мы бы назвали √x квадратным корнем из x. Квадратные корни букв имеют свои правила, например: √x × √x = x √x 2 = x √x × √y = √ (ху) Помогите нам улучшить математику Monster Вы не согласны с чем-то на этой странице? Вы заметили опечатку? Сообщите нам, используя эту форму См. Также Что такое квадратное число? Что такое целое число? Что такое дробь? Что такое алгебра? квадратов и квадратных корней в алгебре Вы можете сначала прочитать наше Введение в квадраты и квадратные корни. Квадраты Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя … Пример: Что такое 3 в квадрате? 3 Квадрат = = 3 × 3 = 9 «В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры: Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16» (маленькая 2 означает число появляется дважды при умножении, поэтому 4 × 4 = 16) Квадратный корень квадратный корень идет в другом направлении: 3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3 Это как спросить: Что можно умножить само на себя, чтобы получить это? Определение Вот определение: Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x: r 2 = x r квадратный корень из x Символ квадратного корня Это специальный символ, обозначающий «квадратный корень», это как галочка, и фактически началось сотни лет назад в виде точки с движением вверх. Он называется радикалом и всегда делает математику важной! Мы можем использовать это так: мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3» Пример: Что такое √36? Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6 Отрицательные числа Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа. Пример: Что такое минус 5 в квадрате ? Но подождите… что означает «минус 5 в квадрате»? квадрат 5, тогда минус? или квадрат (−5)? Непонятно! И получаем разные ответы: возвести в квадрат 5, затем вычислить минус: — (5 × 5) = −25 квадрат (−5): (−5) × (−5) = +25 Итак, давайте проясним это с помощью «()». Это было интересно! Если возвести в квадрат отрицательное число , мы получим положительный результат . Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа: Теперь помните наше определение квадратного корня? Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x: r 2 = x r квадратный корень из x И мы только что обнаружили, что: (+5) 2 = 25 (−5) 2 = 25 Итак, и +5, и −5 являются квадратными корнями из 25 . Два квадратных корня Может быть положительных и отрицательных квадратный корень! Это важно помнить. Пример: Решите w 2 = a Ответ: w = √a и w = −√a Главный квадратный корень Итак, если на самом деле есть два квадратных корня, почему люди говорят √25 = 5? Потому что √ означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным! — это два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень . Пример: Квадратные корни из 36 равны 6 и −6 . Но √36 = 6 (не −6) Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть нулевым). Знак плюс-минус ± — специальный символ, означающий «плюс или минус», поэтому вместо записи: w = √a и w = −√a можно написать: w = ± √a В двух словах Когда имеем: r 2 = x , тогда: r = ± √x Почему это важно? Почему этот «плюс-минус» важен? Потому что мы не хотим упустить решение! Пример: Решить x 2 — 9 = 0 Начать с: x 2 — 9 = 0 Переместите 9 вправо: x 2 = 9 Квадратный корень: x = ± √9 Ответ: x = ± 3 Знак «±» говорит нам также включить ответ «−3». Пример: найти x в (x — 3) 2 = 16 Начать с: (x — 3) 2 = 16 Квадратный корень: x — 3 = ± √16 Вычислить √16: x — 3 = ± 4 Добавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4 Ответ: x = 7 или −1 Чек: (7−3) 2 = 4 2 = 16 Чек: (−1−3) 2 = (−4) 2 = 16 Квадратный корень xy Когда два числа умножаются на на квадратного корня, мы можем разделить это на умножение двух квадратных корней следующим образом: √xy = √x√y , но только если x и y оба больше или равны 0 Пример: Что такое √ (100 × 4) ? √ (100 × 4) = √ (100) × √ (4) = 10 × 2 = 20 и √x√y = √xy : Пример: Что такое √8√2 ? √8√2 = √ (8 × 2) = √16 = 4 Пример: Что такое √ (−8 × −2) ? √ (−8 × −2) = √ (−8) × √ (−2) = ??? Похоже, мы здесь попались в какую-то ловушку! Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу −4 Да, верно. Одеваем одежду – «Почему мы говорим «надеть» когда применяем к себе, тогда как слова одежда и одеяло образуются от «одеть» и мы говорим «одеваюсь»? » – Яндекс.Знатоки Posted on 19.11.201822.12.2019 by alexxlab Одеть или надеть? Паронимы – однокоренные  слова одной части речи, сходные между собою по форме и звучанию, но разные по смыслу. Сходство паронимов может привести к ошибкам в языке («представился» вместо «преставился»). Часто школьники употребляют одно слово вместо другого – это говорит о незнании лексических значений использованных слов, что приводит  к путанице и недопониманию в речи.  Задания с паронимами присутствуютв ГИА и ЕГЭ,  поэтому мы решили вспомнить значение некоторых популярных слов. Невежа – невежда Невежа – невежливый, невоспитанный, грубый  человек. Невежда – малообразованный, неумный человек. Глагол ведать произошёл от  древнего ведти  «знать». Прилагательное вежливый образовано от неупотребляемого сейчас  вежа «знаток».  Как видим, ранее слова эти были синонимами, но с течением времени лексические значения их  трансформировались, и теперь перед нами паронимы. И употребление их в определённом контексте требует особого внимания. Одеть – надеть Эти слова-паронимы путают и младшие школьники, и опытные журналисты и ведущие. Существует множество мнемонических поговорок и стихотворных строк, способствующих запоминанию значений данных слов. Надеть одежду – одеть Надежду. «Одень», «надень»… Два слова Мы путаем так бестолково! Морозный выдался рассвет, Оделся в шубу старый дед. А шуба, стало быть, надета. «Одень», «надень»… Давай глядеть: Когда одеть и что надеть. Я полагаю, что на деда Три шубы может быть надето. Но я не думаю, что дед На шубу может быть надет! Обратим внимание  на употребление данных слов в определённом контексте. Одеть кого-то (одушевленное существительное). Надеть что-либо (неодушевленное существительное). Также можем обратиться к такому приёму разграничения паронимов, как подбор антонимов. Эти слова образуют разные антонимические пары: надеть – снять, одеть – раздеть, что помогает нам безошибочно выбрать нужное слово для употребления. © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. blog.tutoronline.ru Как одеваться по-английски – глаголы, связанные с одеждой В английском языке существует несколько глаголов, которые можно перевести как «одевать, одеваться» или похожими словами. Очень часто учащиеся путают, какой глагол выбрать в том или ином контексте – put on, wear, get dressed, dress. Рассмотрим, как они правильно употребляются и как перестать их путать. Глаголы, связанные с одеванием, и их перевод Как обычно, соберу их в табличку: wear носить, надеть, быть в какой-то одежде put on – take off надевать – снимать dress – undress одевать – раздевать get dressed – get undressed одеваться – раздеваться dress up наряжаться change clothes/get changed переодеваться try on примерять, мерить   Наибольшие трудности представляют глаголы put on, wear, get dressed, dress, так как в зависимости от контекста они могут переводиться одинаково. Put on, wear, get dressed, dress, dress up – в чем разница? Все четыре глагола так или иначе означают «одеваться». Однако различия как в переводе все же имеются. Wear Wear – глагол неправильный. Переводится как «носить, быть одетым в какую-то одежду». Например, I wear glasses. Я ношу очки. – Общее значение – человек носит очки/короткую юбку и так далее. I don’t wear skirts. Я не ношу юбки. – То же самое, что и в первом примере, но отрицательное значение. I’ve never worn that dress. – Я ни разу не надевала (не носила) то платье. – Имеется в виду, не носила, не ходила в нем куда-нибудь. Не путайте с процессом одевания. What are you wearing today? – Во что ты сегодня одет? – В значении – какая одежда на тебе сегодня надета? что ты носишь? Таким образом, wear имеет значение находиться в какой-то одежде, быть одетым во что-то или носить определенный тип одежды. Put on Put on – снова неправильный глагол, в данном случае еще и фразовый. Переводится как «надевать». Например, Put on socks. It’s cold. – Надень носки. Холодно. Where are you? – I’m putting on my coat and coming down. Где ты? – Я надеваю пальто и спускаюсь. Оба случая означают процесс надевания на себя какого-то предмета одежды. После put on обязательно ставится прямое дополнение. В данном случае это будет любая одежда. Нельзя сказать просто – I am putting on. Противоположный глагол к put on – take off. Get dressed Get dressed – опять же «get» – неправильный глагол. Переводится как одеваться. В русском языке возвратный глагол – то есть «одевать себя». Например, Just give me a minute to get dressed. – Просто дай мне минутку, чтобы одеться. I just need to take a shower and get dressed. – Мне просто нужно принять душ и одеться. She is getting dressed. – Она одевается. Во всех случаях глагол означает «одеваться, облекаться в какую-то одежду». Глагол непереходный, поэтому после него мы никогда не поставим прямое дополнение в виде предмета одежды. Если вы хотите сказать: «Она надевает на себя платье», вы скажете – She is putting on a dress. Противоположный глагол к get dressed – get undressed. Обратите внимание, что при изменении глагола get dressed по временам, меняется только «get», так как dressed в данном случае является причастием прошедшего времени. Глагол можно дословно перевести как «становиться одетым». Dress Dress имеет два значения и является правильным глаголом. Первое значение – одеваться каким-то образом или одеваться во что-то. Второе значение – одевать кого-то. Например, He always dresses casually. – Он всегда одевается в стиле casual. French women dress well. – Француженки хорошо одеваются. She often dresses in red. – Она часто одевается в красное. I don’t know how to dress my child today. – Я не знаю, как сегодня одеть ребенка. Feed and dress the baby, please. – Накорми и одень ребенка, пожалуйста. Are you going to dress and feed them for the rest of their lives? – Ты собираешься одевать и кормить их всю оставшуюся жизнь? Первые три примера демонстрируют первое значение. То есть, одеваться как? – в каком-то стиле или каким-то определенным образом. Остальные примеры попадают под второе значение. В данном случае глагол является переходным и после него ставится прямое дополнение в виде лица, которое мы одеваем. Кстати, в русском языке путаница со словами одеть и надеть тоже имеется. На всякий случай напомню – надеть что-то на кого-то, но одеть кого-то. Например, Я надеваю джинсы. Я надеваю комбинезон на свою собаку. Я одеваю ребенка. Я одеваю собаку. Dress up Dress up переводится как наряжаться. То есть одеваться для какого-то особого случая. Do I need to dress up for this event? – Мне нужно наряжаться на это событие? He dressed up like a clown. – Он нарядился (оделся) в клоуна (как клоун). Советы – как не путать глаголы одевания Есть несколько полезных советов, как не путать эти глаголы. Пара wear – put on. Попробуйте заменить выбранный глагол глаголом с противоположным значением. Например, Put on socks – take off your socks. Надень носки – сними носки. Если заменить получилось, значит, глагол подобрали верно. Ведь нельзя сказать wear socks в значении «надень носки». В данном случае выражение будет переводиться как «носи носки». Get dressed – dress up. Здесь все проще. Dress up всегда означает одеваться по какому-то случаю или наряжаться, в том числе наряжаться в какого-то персонажа. Get dressed – просто одеваться по любому случаю, как ежедневное обыденное действие. Dress (в значении одеваться) – get dressed. Get dressed имеет оттенок завершенности. То есть употребляя get dressed мы имеем конечный результат – стать одетым. Таких выражений с «get» немало в английском языке. Глагол dress не имеет такого оттенка, передавая общее значение. В современном английском языке dress и get dressed иногда взаимозаменяются, но не во всех случаях. Лучше все же употреблять эти слова в тех значениях, которые указаны выше. Тогда путаницы не будет. my-opinion.ru Чем отличается «одевать» от «надевать»(Употребление)? Глаголы одеть и надеть — многозначные. Значения, в которых обозначаются действия по отношению к человеку, следующие: Одеть — кого, что. 1. Облечь кого-л. в какую-л. одежду. Одеть ребёнка, больного, раненого; ср. одеть куклу, манекен… Надеть — что. 1. Натянуть, надвинуть (одежду, обувь, чехол и т. п.) , покрывая, облекая кого-что-нибудь. Надеть костюм, юбку, пальто, пиджак, башмаки, маску, противогаз… Глагол одеть вступает в сочетание с существительными одушевлёнными (и с небольшим количеством неодушевлённых, обозначающих подобие человека: кукла, манекен, скелет) ; надеть — с неодушевлёнными. Для полноты описания лексико-синтаксических связей наших глаголов следует отметить, что глагол одеть входит (в рамках 1-го значения) в сочетания с неодушевлёнными существительными, обозначающими части тела, однако через опосредование одушевлённого существительного (кого) и обязательно с предложно-падежным сочетанием неодушевлённого существительного (во что — в новую форму) или с неодушевлённым существительным в косвенном падеже (чем — одеялом, шалью) по принципу непрямого управления. Надеть же (в рамках 1-го значения) имеет синтаксические связи по тому же принципу с существительными одушевлёнными: надеть (пальто) на кого: на деда, на ребёнка) и с неодушевлёнными: надеть на что (на руку, на шею) , поверх чего (поверх рубашки) , подо что (под пальто) . ну и стишок в помощь: Любезный друг, не надо забывать, Что одевать не значит надевать; Не надо путать эти выраженья, У каждого из них своё значенье. Запомнить это можно без труда: Глагол «одеть» мы говорим, когда На что-нибудь одежду надеваем, Иль что-нибудь одеждой покрываем, Иль иначе в одежду одеваем. Себя нарядней хочешь ты одеть, Так должно платье новое надеть, И руку ты перчаткой одеваешь, Коли на руку ты перчатку надеваешь. Дитя оденешь в платьице его, Когда наденешь платье на него. Кому родной язык и мил и дорог, Ошибки тот не стерпит и следа, И потому, дружок мой, никогда Не делай ты подобных оговорок. и «Одень» , «надень» … Два слова Мы путаем так бестолково! Морозный выдался рассвет, Оделся в шубу старый дед. А шуба, стало быть, надета. «Одень» , «надень» … Давай глядеть: Когда одеть и что надеть. Я полагаю, что на деда Три шубы может быть надето. Но я не думаю, что дед На шубу может быть надет! Одевают кого-либо, надевают — на себя… Да всем на это наложить…. или положить….)))))))) Надевают на себя, одеваюткого-то. Одеваем других, надеваем — на себя одеть ребенка, надеть на себя платье А вот еще — обуть и обуть, совершенно разные значения…. надевать можно на что-то — шапку на голову, шарф на шею, туфлю на ногу. Одеть кошо-то надеть на себя. Надевать на голову или на ноги, а остальное одевать «Одевают Надежду, надевают одежду» слово одевать и надевать они отличаются тем что слово надевать это значет надевать на себя а слово одевать это значет одевать кого то Одеть можно как кого-либо (иногда что-либо), так и себя: одеть ребёнка; приодеться. А вот если мы говорим про конкретную одежду и то, что мы с ней делаем, то уже «надеваем» (тоже можно надеть [куртку] НА кого-то/что-то или надеть [куртку] НА себя). В нашем великом и могучем предмет одежды может быть пропущен, но он подразумевается, и тогда предлог будет индикатором. Так что смысл не в «себя или другого». Надо смотреть к чему относится слово: к предмету одежды (предмет мы надеваем), или к объекту, который нужно покрыть одеждой (его мы одеваем). надевать (к нему относится слово вдевать) (иголку в нитку) так же тут надеть на руку браслет, надеть пальто на куклу… а слово одеть используется в отдельных словосочетаниях, одеть пальто, одеть браслет… touch.otvet.mail.ru Сонник Одевать новую одежду. К чему снится Одевать новую одежду видеть во сне Новая одежда во сне всегда связана с новыми планами и предвещает удачу в делах, новые знакомства, новые отношения, новый период в жизни или выгодное дело, если эти вещи вам нравятся. Особенно благоприятен такой сон, если вы наденете одежду на себя и увидите себя. Если вам приснится, что ваш возлюбленный надел одежду, которую носил до встречи с вами, то ваши отношения скоро сойдут на нет, так как его намерения изменятся. Лохмотья, старье видеть или носить во сне — знак нужды, лишений. Если вам приснится, что на вас надето много одежды, то ждите беды. Детскую одежду во сне видеть или покупать означает, что ваши надежды тщетны. Иногда после такого сна следует ожидать семейных скандалов или ссор с возлюбленным. Тщательно сшитая одежда во сне предвещает хлопоты и заботы. Свою старую одежду во сне видеть, примерять или надевать означает, что вы будете жить так же, как в то время, когда носили эту одежду. Немодная, но добротная одежда во сне предвещает вам скромное благополучие и спокойную, размеренную жизнь. Если вам приснится, что вы снимаете с себя старую, поношенную, драную одежду или просто одежду, которая вам не нравится, то вас ждут хорошие перемены в жизни, успех в делах и в личном. Испачкать платье маслом во сне — знак успеха в любви. Чужую одежду во сне надевать, особенно если она вам не подходит, означает, что вас ждут неприятности, огорчения. Такой сон также предупреждает вас, что вы взялись не за свое дело. Влюбленным такой сон предсказывает крушение надежд и намекает, что они не по себе дерево рубят. Если вам приснится, что ваша одежда во сне не нравится вам, то у вас есть соперники, которые хотели бы занять ваше положение в обществе. Если одежда велика вам или вы надеваете чужую, то вы занимаетесь не своим делом. Одалживать чужую одежду во сне означает, что вам не обойтись без чужой помощи. Если во сне кто-то просит вас одолжить ему вашу одежду, а вы отказываете этому человеку, то вам следует опасаться завистников или соперников. Такой сон также указывает на то, что ваши соперники будут бессильны в своих попытках навредить вам. Если во сне одежда вам мала, то вы занимаетесь пустым делом. Иногда такой сон указывает, что скоро вы можете оказаться в стесненных обстоятельствах, если не научитесь разумно тратить деньги. Плохо сидящая на вас одежда во сне предвещает вам разочарования и переживания, связанные с этим. Надевать одежду близких людей или родственников во сне означает, что вы получите наследство после их смерти (или после разлуки с этими людьми). Сон, в котором вы увидели, что чужая добротная или богатая одежда как нельзя лучше подошла вам, то дело, на которое вы не возлагали больших надежд, осуществится и обещает вам уважение окружающих и прибыль. То же самое можно сказать и о длинной одежде, которая вам приснится. Если вам приснится, что вы бедно или дурно одеты, то ваша жизнь будет безрадостной и однообразной, связанной с заботами о куске насущного хлеба. Восхищаться чужой одеждой во сне предупреждает вас: опасайтесь ревности вашего супруга или возлюбленного. Подвенечную одежду надеть во сне означает, что вас ждет болезнь или большие огорчения. Надевать во сне свадебный наряд с удовольствием — к радости и успеху в делах. Часто такой сон предвещает новые встречи и знакомства. Грязное платье или одежду в пятнах видеть во сне на себе — знак позора, унижений и стыда. Одежда, залитая кровью, увиденная во сне, предупреждает вас о том, что ваши враги не сидят без дела. Богатое, из дорогой ткани (шелка или бархата), великолепное платье, вышитое и т. п. видеть во сне означает получение приятных известий, выгоду и уважение окружающих. То же значение имеет сон, в котором вы надеваете тогу. Иметь или видеть во сне много нарядной одежды означает, что вы живете беззаботно и тратите деньги не задумываясь. Однако это не будет продолжаться вечно. Сон предсказывает вам, что скоро вам придется пожалеть о своей расточительности. Надевать чистую рубашку во сне означает, что вам удастся избежать неприятностей. Если во сне ваша рубашка будет белой, то вас ждут хорошие новости об успехе в делах. Если вам приснится, что вы шьете рубашку, то близкий человек по достоинству оценит ваши чувства к нему, если во сне вы сможете закончить свою работу. Но если вы не закончите ее во сне, то ваше счастье с любимым человеком не будет полным. Потерять рубашку во сне означает, что вас ждут неудачи и стыд. Шаровары шелковые надевать во сне означает получение прибыли. Брюки надевать во сне указывает на то, что вы постараетесь с честью выйти из затруднительного положения. Покупать брюки во сне или видеть новые — знак успеха в делах. Снимать брюки во сне — знак потерь или убытка. Платье парадное, фрак или смокинг во сне видеть или носить — знак скорого вступления в выгодный брак. Мундир видеть во сне означает, что вас ждет ответственная работа, благодаря которой вы заслужите уважение окружающих и наживете приличное состояние. Если вам приснится, что вы надеваете ризу священника, то вас ждет покровительство важного сановника. Чем богаче будет риза, тем богаче будет и ваш покровитель. Сон, в котором вы увидели, что ваш наряд украшен цветами, означает, что ваше счастье недолговечно. Если вам приснится, что вы идете по грязи и испачкали одежду, то опасайтесь болезни. Женское платье надеть — стыд и убыток для мужчин; женщине быть в мужской одежде во сне — предвестье скорого замужества. Потерять одежду или деталь одежды во сне — знак того, что ваши надежды напрасны. Видеть дешевое платье во сне означает напрасные надежды. Остаться без одежды во сне означает, что вас ждет стыд и унижения. Жилет видеть или носить — к ложным известиям. Женщине видеть себя роскошно одетой (в блестящее, необыкновенное платье или костюм) — к тяжелой болезни. Дыра в одежде во сне предвещает болезнь или ранение в том месте, где будет дыра. Заплаты на одежде видеть — знак того, что ваше благосостояние пошатнется. Ставить заплаты во сне означает, что скоро вам придется серьезно сократить свои расходы. Видеть заплаты у других — знак скорой нужды и неприятностей. Заплата на новой одежде — предвестье того, что ваши радужные надежды не оправдаются. Стыдиться заплаты или прикрывать ее во сне означает, что вскоре вы окажетесь в отчаянном положении и будете стараться скрыть его от окружающих. Пришивать заплату во сне — знак того, что вы попадете в затруднительное положение из-за собственной глупости и легкомыслия. Заплаты во сне означают все то, что связано с надеждами поправить свое материальное благосостояние, которые, как правило, не оправдываются. Много заплат видеть или ставить — к безденежью. Смотрите толкование: пятна. Быть во сне закутанным в тряпки, многочисленную одежду означает, что вас опутают дурные и лживые люди. Такой сон призывает к осторожности. Быть закутанным во сне в дорогую ткань — знак почестей и уважения окружающих. Кафтан видеть во сне означает спокойную, хорошо налаженную жизнь в доме. Разорвать его, потерять или испортить — предвестье беды, которая разрушит ваш быт. Кожаная одежда во сне — знак благосостояния и удачи. После сна, в котором вы видели себя одетым в кожаную одежду, вы можете испытать счастья в рискованных предприятиях. Считается, что дело выгорит. Корсет видеть во сне — знак раскрытия тайны. Иногда такой сон предсказывает, что человек, которого вы любите, неравнодушен к вам, но скрывает свои чувства. Корсет носить во сне означает пострадать из-за собственного любопытства. Корсет примерять во сне — к свадьбе. Застегивать (расстегивать) корсет во сне — указание на то, что вам следует проявить терпение в важном деле, а не срывать свое зло на ближних, чтобы избежать ненужных ссор. Костюм мужской во сне — символ неудачных денежных сделок. Костюм маскарадный видеть во сне предвещает необыкновенный поворот в вашем деле. Детский маскарадный костюм в вашем сне означает, что вам повезет там, где вы и не думали. Смотрите толкование: маскарад. Манжеты увидеть на своем платье во сне — знак торжества, официальной встречи. Видеть их накрахмаленными и очень белыми — знак почестей или уважения окружающих. Иногда такой сон означает стабильность вашего положения или подчеркивает твердость вашей позиции по какому-то вопросу. Если манжеты на вашем платье будут рваными, грязными, обтрепанными, то ждите огорчений из-за неудач в делах или в любви. Такой сон предсказывает, что вы будете недовольны собой, а ваша гордость будет задета бесчестным и подлым поступком партнера или близкого человека. Если вам приснится, что манжет на платье нет, хотя вы знаете, что они должны там быть, то некое дело сложится не так, как вам хотелось бы. Смотрите толкование: запонки, драгоценности, воротник. Пальто во сне видеть — знак перемены положения. Чем дороже оно будет и красивее, тем лучше пойдут ваши дела. Уронить, потерять, испачкать, видеть его рваным или грязным во сне — знак больших хлопот, трудностей, унижений. Если оно окажется велико, то вас ждут огорчения и неудачи в деле, которое вам «не по зубам». Если вам приснится, что кто-то отнял у вас пальто, то вас ждут трудности в делах и в личной жизни. Плащ во сне является символом вашего состояния, того, что вы имеете или будете иметь по закону. Иногда такой сон указывает, что вы можете получить наследство. Если вам приснится, что вы надеваете плащ, чтобы защитить себя от непогоды или чего-то другого, то вам следует помнить, что неприятель наблюдает за вами. Плащ (дождевик) во сне означает, что вам нужно предпринять меры безопасности, чтобы защитить свои интересы или здоровье. Маскировочный плащ во сне предвещает неприятности в делах и указывает на необходимость держать ухо востро, так как неприятель не дремлет. Новый плащ во сне предвещает успехи и благополучие. Накрываться им во сне означает получение выгодного предложения. Если во сне плащ не нравится вам, то ваши дела пойдут неважно. Смотрите толкование: разрыв. Халат домашний или больничный во сне предвещает нездоровье, переживания и неприятности. Однако видеть во сне мужские халаты, в которых можно ходить по улице (типа национальных, стеганых, красиво вышитых) — знак того, что скоро в вашу семью войдет другой человек. Если халат будет иметь экзотический вид, то человек будет другой национальности. Много парадных халатов увидеть во сне означает, что вас ждет много встреч с разными людьми из других стран. Раздетым быть во сне — знак потерь и убытков. Одеваться во сне в присутствии посторонних означает, что вы окажетесь в неловком положении. Быть одетым неряшливо или неподобающим образом во сне — знак того, что вас застигнут врасплох. Иногда такой сон предсказывает неожиданную встречу. Смотрите толкование: нагой. Видеть себя во сне в нижнем белье — знак позора и бесчестья. Если вам приснится, что вы видите себя в пижаме или ночной рубашке, то вам следует поберечь свое здоровье. Такой сон предвещает болезнь. Других видеть во сне в одежде, в которой обычно спят, — предвестье того, что кто-то из вашей семьи будет нуждаться в вашей помощи. Сон предупреждает вас о необходимости помогать людям, попавшим в затруднительное положение и просящих вас о помощи. Беду, переживания и огорчения предвещает сон, в котором вы или кто-то станет снимать с себя белье. Увидеть во сне свое белье на любовнике означает, что вас ждут неудачи, денежные потери, позор и унижения. Увидеть во сне, что белье вашего возлюбленного испорчено — порвано, разрезано, обожжено и т. п., — знак больших денежных потерь и переживаний. Иногда такой сон предсказывает, что ваш должник не вернет вам денег или же ваш кредитор разорит вас. А иногда и то и другое вместе. Если вам приснится, что какой-то важный человек появляется в вашем присутствии неодетым или голым, то это знак тревоги о близком человеке. Мантилья. (Смотрите толкование: вуаль). Сарафан надевать во сне — знак пустого времяпрепровождения или пустых хлопот о каком-то деле. Насекомых видеть на своей одежде — знак хлопот и тревог и бесчестья. Стряхнуть их во сне с одежды — знак освобождения от тревог и бесполезных происков клеветников, стремящихся опорочить вас. Смотрите толкование: насекомые. Оборки, рюши на платье во сне означают, что ваше поведение может вызвать неодобрение окружающих. Смотрите толкование: кружева. Длинные фалды на одежде — знак уважения окружающих вас людей. Короткие фалды на одежде предсказывают обратное. Обтрепанные фалды на одежде означают бедность или нужду. Обрезать фалды во сне — к потерям и разочарованиям. Застежка на платье во сне означает привязанность. Если она сломана, то сон предупреждает вас о том, что вы скоро разочаруетесь в каком-то человеке. Сон, в котором вы увидели, что ваша одежда горит, но при этом остается целой, означает: друзья предадут вас и начнут распускать о вас дурные слухи. Это несчастливый сон. Он предвещает вам много огорчений, незаслуженных обид, унижений и оскорблений. Одежда из льна или хлопка во сне — знак бедности, если только вы носите ее не в сезон. Сон об одежде из дешевых тканей предвещает неудачи и огорчения. Смотрите толкование: ткани. Вообще, во сне очень важно быть одетым по сезону, так как это говорит о том, что ваши дела идут успешно и ничто не угрожает вашему благополучию. Видеть или рассматривать во сне подкладку или изнанку одежды означает, что вы не доверяете своим близким или партнерам. Иногда такой сон подсказывает вам, что вам следует проявить осторожность, принимая важные решения, которые могут сказаться на вашем будущем. Белая одежда во сне почти всегда предсказывает плохие перемены, печаль, болезни, переживания. Видеть во сне толпу, одетую в белое белье, означает, что скоро вас ждет период больших неудач, связанных с реформами в стране. Веселая компания в красивых белых одеждах во сне — знак успеха в делах и в любви. Зеленая одежда во сне — знак надежды или поездки в дальние края; красная (багряная) — знак печали или болезни из-за смерти родственника. Однако чаще всего такой сон означает, что вас ожидает успех в делах, уважение окружающих и власть. Влюбленным красные наряды предсказывает, что их положение изменится к лучшему и все будут уважать и почитать их. Малиновый цвет одежды во сне предвещает вам победу над врагами, успех в делах и защиту могущественного покровителя. Голубая, сиреневая или фиолетовая одежда — знак удачи в любви и уважения окружающих. Если платье будет черным, коротким или блестящим, то больному такой сон предсказывает скорую кончину, а тому, на ком вы его увидите, кончину от тяжелой болезни в расцветет лет. Самому быть в черной одежде во сне — к неудаче в любви. Желтый цвет в одежде означает ревность, сплетни, любовные приключения. Белая одежда на близком человеке во сне предупреждает вас о тяжелой болезни этого человека, что доставит вам немало хлопот и волнений. Белая рубаха во сне означает ваши надежды и непорочные помыслы. Иногда такой сон предсказывает, что с вас будет снято какое-то ложное обвинение. Пестрая и яркая одежда во сне предвещает обилие возможностей. Влюбленным такой сон предвещает ссоры и недоразумения. Одежда цветочной, нежной расцветки во сне говорит о том, что между вами и каким-то человеком возникнет нежная привязанность. Этот сон предвещает приятные встречи, разговоры, душевный покой. Смотрите толкование: цвет, пуговицы. Длинный шлейф на платье — знак того, что о вас ходит много слухов, которые вряд ли польстят вам. Сон предупреждает вас о том, что не следует болтать о себе много лишнего и избегать необдуманных поступков и случайных связей. www.sunhome.ru Алгебраические функции и их графики: Ошибка: 404 Материал не найден Posted on 19.11.201808.04.2021 by alexxlab Урок алгебры по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций». 7-й класс Цели урока:  формирование коммуникативных УУД, включающих  умения высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий таких, как линейная функция, аргумент, прямая пропорциональность. формирование познавательных УУД — основных мыслительных операций в ходе поиска решения заданий:  аналитически и геометрически определять взаимное расположение графиков линейных функций; формирование регулятивных действий — действий контроля, включающих приёмы самопроверки и взаимопроверки, умений самостоятельно двигаться по заданному плану, оценивать и корректировать полученный результат. Формирование личностных УУД: умение  работать  коллективно; аккуратность,  эстетичность в выполнении  чертежей; самостоятельность учащихся, усидчивость, трудолюбие. Этапы урока: Актуализация знаний. Работа над новым материалом. Обобщение новых знаний. Применение полученных знаний. Мониторинг полученных знаний. Ход урока 1. Актуализация знаний Отрабатывается знание определений линейной функции, прямой пропорциональности и их графиков. Ответить на вопросы: Функция, какого вида называется линейной? Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции? Функция, какого вида называется прямой пропорциональностью? Как проходит график функции у = в? Выполнение тестовых заданий: Задание №1.  На каком рисунке изображён график прямой пропорциональности?  На каком рисунке у графика линейной функции положительный углово коэффициент? График, какой функции мы не изучали? На каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент? Задание №2. Точка А (1; 8 ) В (1;-8) принадлежит графику функции, заданной формулой: а)  у = -15х + 7 б)  у = 7х + 15 в)  у = 15х + 7 г)  у = 15х — 7 Задание №3. Для данных линейных функций  найдите коэффициент к и ординату точки пересечения графика функции с осью Оу:  у = 0,5х – 3 и у = 0,2х + 4 а)  к=2;  у =-3 б)  к=0,2;  у = 4 в)  к=0,25;  у = 0 г)  к=0,5;  у = -3 д)  к=0,125;  у = 19 Задание №4. Перед собой вы видите пять графиков различных функций. Сможете ли Вы узнать имя математика, который впервые ввел для этих функций обозначения. Чтобы сделать это, нужно ответить на вопросы (каждая буква соответствует своему графику). Какой график функции лишний? Почему? На каком рисунке изображен график прямой пропорциональности? Почему? На каком рисунке у графика функции отрицательный угловой коэффициент? На каком положительный? На каком чертеже прямая параллельна оси абсцисс? Задание №5. 1. Определить взаимное расположение прямых, не выполняя построения графиков: а) у = 3х и у = – х + 2 б) у = 3х и у = 3х + 2 в) у = 3х + 2 и у = – х + 2 Учитель подчеркивает, что учащиеся столкнулись с затруднением – незнанием. Какую же цель мы можем поставить перед собой на уроке? 2. Работа над новым материалом Работа над новым материалом проходит в форме исследовательской работы учащихся. Ребята добывают новые знания, выходят на уровень понимания. (работа по группам) Постройте в одной системе координат графики функций: Каждая  группа – это исследовательская группа. Задача каждой группы: Построить графики данных функций. Проанализировать алгебраическую модель функций. Провести связь между геометрической моделью и алгебраической – формулой. Обобщить результаты всех членов группы. Сделать вывод. Подготовить представление своей работы. 1-я группа: Задание: Построить в одной системе координат графики функций и выяснить взаимное расположение графиков в зависимости от коэффициентов: у = 2х + 3 у = 3х + 3 у = 2х – 4 у = 2х Сделать вывод (гипотезу) 2-я группа: Задание: Построить в одной системе координат графики функций и выяснить взаимное расположение графиков в зависимости от коэффициентов: у = х + 5 у = – х + 3 у = х + 5 Сделать вывод (гипотезу). 3-я группа. Задание: Построить в одной системе координат графики функций и выяснить взаимное расположение графиков в зависимости от коэффициентов: у = 0,5х – 1 у = 0,5х + 2 у =- х + 2 у = 0,5х — 1 Сделать вывод (гипотезу). 3. Обобщение полученных знаний Проходит на новом уровне сложности, в виде заполнения таблицы. Задание 1: Постройте в одной системе координат графики функций: у = 2х – 4 и у = 2х +3 Чему равен угловой коэффициент каждой прямой? Каково взаимное расположение графиков этих функций? Задание 2: Постройте в этой же системе координат (другим цветом) графики функций: У = Зх+2  и У = — 4х+ 3 Каково взаимное расположение графиков этих функций? Задание 3: Как можно составить уравнение линейных функций, чтобы их графики совпадали? Линейные функции Алгебраическое условие Геометрический вывод у = кх + n у = ах + в к = а,  n ≠ в Прямые параллельны к = а, n = в Прямые совпадают к ≠ а, n ≠ в Прямые пересекаются к ≠ а, n = в Прямые пересекаются в точке (0;n) 4. Применение полученных знаний Отработка: алгоритма определения взаимного расположения графиков линейных функций; выбора рационального способа решения; умения сравнивать, анализировать. №10.1;10.2 5. Мониторинг полученных знаний Умение оперировать старыми и новыми знаниями. Самостоятельная работа (выполнение тестовых заданий) Вариант 1 Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 3х – 4 и у = 3х + 4. Выберите правильный ответ: А. Графики пересекаются; В. Графики параллельны; С. Графики совпадают. 2. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 0,5х + 8 и у = х + 8. Выберите правильный ответ: А. Графики пересекаются; В. Графики параллельны; С. Графики совпадают. 3 . Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 2х + 4 и у = 5х — 8. Выберите правильный ответ: А. Графики пересекаются; В. Графики параллельны; С. Графики совпадают. 4. Поставьте вместо к такое число, чтобы графики линейных функций у = 8х + 12 и у = кх – 3 были параллельны. Выберите правильный ответ: А. 12; В. -3; С. 8. 5. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 6х + 2 и у = кх – 3 пересекались. Выберите правильный ответ: А. 6; В. -3; С. Другой ответ. 6. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = х + 5 и у = кх + 5 совпадали. Выберите правильный ответ: А. 1; В. 5; С. Другой ответ. 7. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = -4х + 7. Выберите правильный ответ: А. Убывает; В. Возрастает; С. Другой ответ. 8. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = х — 16. Выберите правильный ответ: А. Убывает; В. Возрастает; С. Другой ответ. Вариант 2 Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у =2х – 4 и у = 2х — 4. Выберите правильный ответ: А. Графики пересекаются; В. Графики параллельны; С. Графики совпадают. 2. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 3х + 8 и у = х + 6. Выберите правильный ответ: А. Графики пересекаются; В. Графики параллельны; С. Графики совпадают. 3. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 0,5х и у = 0,5х + 8. Выберите правильный ответ: А. Графики пересекаются; В. Графики параллельны; С. Графики совпадают. 4. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 21х + 1 и у = кх – 3 были параллельны. Выберите правильный ответ: А. 21; В. -3; С. 1. 5. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 5х + 2 и у = кх пересекались. Выберите правильный ответ: А. 5; В. 2; С. Другой ответ. 6. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 3х + 5 и у = кх + 5 совпадали. Выберите правильный ответ: А. 5; В. 3; С. Другой ответ. 7. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = х + 7. Выберите правильный ответ: А. Убывает; В. Возрастает; С. Другой ответ. 8. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = -6х — 1. Выберите правильный ответ: А. Убывает; В. Возрастает; С. Другой ответ. Матрица ответов Номера заданий Ответы 1 варианта Ответы 2 варианта 1. В С 2. С А 3. А В 4. С А 5. В В 6. А В 7. А В 8. В А 6. Итог урока Каждый ученик оценивает свои знания полученные на уроке. Учитель устанавливает соответствие между поставленными задачами и результатами, выносит коррективы, анализирует учебную деятельность. Домашнее задание. №940; 942; 944. Энциклопедия элементарной математики. Книга 3 (функции и пределы, основы анализа) Павел Сергеевич Александров, Алексей Иванович Маркушевич, Александр Яковлевич Хинчин М.-Л., ГТТИ, 1952. 559 с. Тираж 50000 экз. Загрузить (Mb) djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-) Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного. Содержание Предисловие. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции. (В.Л.Гончаров) Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений. § 1. Элементарные функции. § 2. Графические представления. Приёмы точечных построений. § 3. Простейшие преобразования графиков. § 4. Прямая и обратная функции. § 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы). Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков. § 6. Классификация рациональных функций. § 7. Целые положительные степени. § 8. Многочлены первой степени (линейные функции). § 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени. § 10. Многочлены третьей степени. § 11. Биквадратные многочлены. § 12. Многочлены высших степеней. § 13. Целые отрицательные степени. § 14. Дробные линейные функции. § 15. Дробные функции второй степени. § 16. Дробные рациональные функции (общий случай). § 17. Алгебраические иррациональные функции. § 18. Примеры исследования алгебраических функций. § 19. Элементарные трансцендентные функции. § 20. Показательная функция. § 21. Функции, связанные с показательной. § 22. Логарифмическая функция. § 23. Функции, связанные с логарифмической. § 24. Произвольная степенная функция. § 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус. § 26. Простые гармонические колебания. § 27. Тригонометрические многочлены. § 28. Многочлены Чебышева. § 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции. § 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них. § 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения. § 32. Обратные тригонометрические функции. § 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство. Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций. § 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности. § 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности. § 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки. § 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка. § 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства. § 39. Обобщение понятия предела (пределы в «несобственном смысле»). § 40. Предел функции на бесконечности. § 41. Односторонний предел функции в конечной точке. § 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности. § 43. Примеры непрерывных функций. § 44. Пределы при монотонном изменении. Число e. Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций. § 45. Простая сходимость. § 46. Общее понятие функции одной действительной переменной. § 47. Свойства непрерывных функций. § 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций. § 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов. § 50. Доказательство теоремы. § 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества. § 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции. § 53. Функциональные уравнения и элементарные функции. Глава V. Общее понятие функции. § 54. Соответствие между множествами. § 55. Геометрические образы в многомерных пространствах. § 56. Пространственные отображения. § 57. Метрические пространства. § 58. Понятие предела в метрическом пространстве. § 59. Топологические пространства. § 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность. § 61. Непрерывные отображения и их свойства. § 62. Гомеоморфные отображения. § 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей. Производные, интегралы и ряды. (И.П.Натансон) Введение. Глава I. Производные. § 1. Производная и дифференциал.      1. Задачи, приводящие к понятию производной.      2. Определение производной.      3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.      4. Производные простейших элементарных функций.      5. Дифференцирование обратных функций.      6. Правила комбинирования формул дифференцирования.      7. Дифференциал.      8. Производные и дифференциалы высшего порядка.      9. Частные производные и полный дифференциал. § 2. Важнейшие теоремы о производных.      10. Теоремы Ферма и Ролля.      11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.      12. Формула Тейлора.      13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна. § 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.      14. Признаки постоянства и монотонности функции.      15. Экстремум функции.      16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке. Глава II. Интегралы. § 4. Неопределенные интегралы.      17. Основные понятия.      18. Интегрирование с помощью подстановки.      19. Интегрирование по частям.      20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций. § 5. Определённые интегралы.      21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.      22. Определённый интеграл.      23. Основные свойства интеграла.      24. Интеграл, как функция верхнего предела.      25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.      26. Формула Валлиса.      27. Приближённое вычисление определённых интегралов. § 6. Приложения интегрального исчисления.      28. Вычисление площадей.      29. Вычисление объёмов.      30. Длина дуги кривой.      31. Площадь поверхности вращения.      32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением. Глава III. Ряды. § 7. Ряды с постоянными членами.      33. Основные понятия.      34. Простейшие свойства рядов.      35. Положительные ряды.      36. Знакочередующиеся ряды.      37. Абсолютная сходимость.      38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов. § 8. Степенные ряды.      39. Промежуток сходимости.      40. Свойства суммы степенного ряда.      41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.      42. Разложение арктангенса и вычисление π.      43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.      44. Биномиальный ряд.      45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций. Элементарные функции комплексного переменного. (В.Л.Гончаров) § 1. Рациональные функции. § 2. Пределы. Ряды. § 3. Показательная функция. Синус и косинус. § 4. Выражение тригонометрических функций через показательную. § 5. Гиперболические и тригонометрические функции. § 6. Логарифм. § 7. Произвольная степень. § 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции. § 9. Производная. § 10. Интеграл. § 11. Приближение функций многочленами. § 12. Первообразная функция. § 13. Интеграл Коши. § 14. Понятие аналитической функции. § 15. Свойства аналитических функций. § 16. Геометрический смысл аналитических функций. § 17. Примеры конформных отображений. Алфавитный указатель. Список литературы Загрузить (Mb) djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ — Курсовая работа Введение (выдержка) Тема курсовой работы «Преобразование графиков функций». График функции – это геометрическая интерпретация функции на чертеже. Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, экономика, биология, социология и др. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и алгебра изучает их в виде свойств чисел. Алгебра рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. Свободное владение техникой построения графиков функций часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. График и есть изображение нашего понимания того, как ведет себя функция. Для этого необходимо знать элементарные функции, их свойства, владеть методикой построения графиков. А также необходимо знать каким образом можно, преобразовывать графики функций. Правил преобразования графиков функци можно эфективно применять при решении заданий ЕГЭ (части C). Все вышесказанное определяет актуальность рассмотрения данной темы. Объект исследования: преобразование графиков функций. Предмет исследования: применение правил преобразования графиков функций для решения алгебраических задач. Цель курсовой работы: обобщить, систематизировать и расширить знания и умения по построению графиков различных функций в прямоугольно-декартовой системе координат, их преобразованию. Исходя из цели ставим следующие задачи: рассмотреть методы построения графиков функций, опирающиеся на простейшие приемы (растяжение, сжатие, параллельный перенос, симметрию). систематизировать приемы построения графиков. показать их применение при построении: а) графиков сложных функций; б) при решении заданий ЕГЭ из части C. Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе приводятся теоретические основы преобразований графиков функций. Во второй главе рассмотрим основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций, а также построение графиков функций y=|f(x)|, y=f(|x|) и обратной функции. Применение правил преобразования графиков при решении заданий ЕГЭ (части C) входят в состав второй главы. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ | algebrafan.uz Алгебраические функции – это функции, которые построены из букв, чисел и алгебраических операций. Например, алгебраическая функция     построена из: букв которые называются переменными; чисел алгебраических операций: Поэтому, нашим главным помощником при решении задач с алгебраическими функциями будут свойства алгебраических операций. Откройте эту страницу и используйте её, как подсказку! Только эти свойства пригодятся нам для решения любых задач с алгебраическими функциями. Примечание! В каждой ссылке ниже, вы найдёте не только примеры, задачи и методы их решения, но и много полезной информации об алгебраических функциях. Вся информация располагается по порядку: если какой‑то пункт вам покажется непонятным, то посмотрите предыдущий. Там обязательно найдётся ответ! Алгебраические функции 1. Целые рациональные функции 1.1. Линейная функция ★ Вычисление значений линейной функции ★ Табличное задание линейной функции ★ Область определения линейной функции ★ Область значений линейной функции ★ Построение графика линейной функции (прямые линии) ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке 1.2. Степенная функция ★ Вычисление значений степенной функции ★ Табличное задание степенной функции ★ Область определения степенной функции ★ Область значений степенной функции ★ Построение графика степенной функции ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке 1.3. Квадратичная функция ★ Вычисление значений квадратичной функции ★ Табличное задание квадратичной функции ★ Область определения квадратичной функции ★ Область значений квадратичной функции ★ Построение графика квадратичной функции ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке 2. Дробные рациональные функции ★ Вычисление значений дробно-рациональной функции ★ Табличное задание дробно-рациональной функции ★ Область определения дробно-рациональной функции ★ Область значений дробно-рациональной функции ★ Построение графика дробно-рациональной функции ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке 3. Целые иррациональные функции ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке 3. Дробные иррациональные функции ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке ★ В разработке В разработке!!! Автор: Павел Пяк Дата публикации: 2018-04-08 20:29:52 Дата обновления и пополнения: 2018-06-26 01:16:35 Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное Подробнее Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен Подробнее Пусть задано числовое множество D Пусть задано числовое множество D R. Если каждому числу x D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x D. Множество D, называется Подробнее Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент Подробнее Тема 1. 4 Функции, их свойства и графики Тема.4 Функции, их свойства и графики Автор: Переверзьева Н.С. Преподаватель математики Лицей 6 Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы Подробнее x 4 ; x log 6 — логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, — +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 — квадратное неравенство. Подробнее Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола. Подробнее Задание 18. Задачи с параметром Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных Подробнее Алгоритм решения квадратных неравенств Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения Подробнее Урок на тему: Построение графиков. Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали Подробнее Математическая индустрия моды Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» прикладные вопросы математики Математическая индустрия Подробнее АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ…10 Основные свойства функций…11 Четность и нечетность…11 Периодичность…12 Нули функции…12 Монотонность (возрастание, убывание)…13 Экстремумы (максимумы Подробнее ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для Подробнее Алгебра. Программа. 9 класс Алгебра. Программа. 9 класс Пояснительная записка. Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: овладение системой математических знаний и умений, Подробнее «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Подробнее В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Подробнее математика (алгебра) Муниципальное общеобразовательное учреждение «Калининская средняя общеобразовательная школа» Принято на педагогическом совете «Утверждаю протокол от 018 Директор МОУ «Калининская СОШ Е. Г. Борщевска Пр. Подробнее ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы Подробнее 4 Лекция Функция Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция Подробнее Тема 9 «Функция. Свойства функций» Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое Подробнее ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему Подробнее 10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства Подробнее Квадратичная функция Квадратичная функция Функция вида y=ax +bx+c, где а 0, называется квадратичной. Значения х, при которых функция принимает значение, равное 0, называют нулями функции. Если b=c=0, то функция принимает вид Подробнее Иррациональные неравенства Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного Подробнее Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики. Подробнее 11.1. Функции Базовый уровень. 111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции Подробнее Дом Севастьянова. Екатеринбург Дом Севастьянова. Екатеринбург 9. Функция =, её график и свойства 0. Свойства квадратных корней. Тождество =. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня. Внесение множителя под знак квадратного Подробнее Функция y = cos x. Ее свойства и график Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и Подробнее Определение 1. Функция y = ax + bx + c, где a, b, c — действительные числа, причем a 0, называется квадратичной. 1) Область определения. ( f ) R. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК Определение. Функция, где,, — действительные числа, причем 0, называется квадратичной. Область определения. ( f R, так как выражение определено для любых. Область значений. Подробнее 1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так Подробнее Планируемые результаты Повторение 7 часов. п/п Дата Тема урока Тип урока Основные вопросы 1. Повторение. Преобразование алгебраических дробей. 2. Повторение. Преобразование алгебраических дробей. 3 Повторение. Степени. Степень Подробнее Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент Подробнее Содержание темы учебного курса Содержание темы учебного курса п/п Наименование разделов, тем уроков Кол-во часов Содержание учебной темы Требование к знаниям и умениям Формы и виды контроля Глава. Рациональные неравенства 5-3 Линейные Подробнее Найти точку пересечения графиков линейных функций ☰ Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке. Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент (k) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m, угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются. Если две линейные функции имеют различные k, но одинаковые m, то они пересекаются в точке (0; m). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k, y становится равен m. Пример: y = –1.3x + 8 и y = 2.1x + 8. Если две линейные функции имеют различные и k и m, то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y. Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x. Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость. Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y. Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x, при котором это равенство верно. А далее, имея x, можно вычислить y, через любую из функций. Пример: Даны y = 4x – 5 и y = –2x + 1 4x – 5 = –2x + 1 4x + 2x = 1 + 5 6x = 6 x = 1 y = 4 * 1 – 5 = –1 или y = –2 * 1 + 1 = –1 Таким образом точка пересечения (1; –1). Пострение графиков Фундаментальная задача программирования — вычисление математических и, в частности, алгебраических функций. Казалось бы, что проще? Однако, запись выражения на языке математики не принимается напрямую языком программирования. Выражение нужно написать в виде, который будет понятен тому или иному языку программирования. Например, y = x², должно быть записано как y = x*x или y = x**2. Упражнение №1 Запишите выражение, заданное формулой, в виде, подходящем для языка Python. и найдите его значения в точках 1, 10, 1000. Для вычисления математических функций мы не будем использовать стандартную библиотеку math. Т.к. она не работает с векторами. В нашем случае разумней обратить внимание на библиотеку numpy. Данная библиотека обеспечивает удобную работу с векторам. Т.е., если у нас есть вектор x=[1, 2, 3, 4] и мы вызовим numpy.log(x), то логарифм будет взят от каждого элемента списка и возвращен будет список значений. Аналогичная функция в модуля math ожидает число, т.е. нельзя сделать math.log(x), нужно делать math.log(x[0]) и т.д. Традиционно библиотека numpy подключается командой: Данный вызов сообщает, что подключить numpy под псевдонимом np. Это делается, чтобы не писать каждый раз: А писать: Такой код, с более коротким именем библиотеки, элементарно, проще читать. Основные математические функции и константы функии, которые нам понадобятся из numpy: Функция библиотеки math Математическая функция np.pi Число pi np.e Число e np.cos Косинус np.sin Синус np.tan Тангенс np.acos Арккосинус np.asin Арксинус np.atan Арктангенс np.exp Экспонента np.log Логарифм Функция log вычисляет натуральный логарифм. Чтобы вычислить логарифм по другому основанию, нужно воспользоваться формулой перехода. Например, если мы хотим получить логарифм x по основанию 2, нужно написать: matplotlib — набор дополнительных модулей (библиотек) языка Python. Предоставляет средства для построения самых разнообразных 2D графиков и диаграмм данных. Отличается простотой использования — для построения весьма сложных и красочно оформленных диаграмм достаточно нескольких строк кода. При этом качество получаемых изображений более чем достаточно для их публикования. Также позволяет сохранять результаты в различных форматах, например Postscript, и, соответственно, вставлять изображения в документы TeX. Предоставляет API для встраивания своих графических объектов в приложения пользователя. Пример построения графика функции: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) plt.plot(x, x**2) plt.show() На одном рисунке можно построить несколько графиков функций: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x) plt.show() Также довольно просто на график добавить служебную информацию и отобразить сетку: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x) plt.xlabel(r'$x$') plt.ylabel(r'$f(x)$') plt.title(r'$f_1(x)=\sin(x),\ f_2(x)=\cos(x),\ f_3(x)=-x$') plt.grid(True) plt.show() Или используя legend(), где можно указать место расположения подписей к кривым на графике в параметре loc. Подписи могут быть явно переданы legend((line1, line2, line3), ('label1', 'label2', 'label3')) или могут быть переданы в аргумет label, как в примере ниже. Чтобы сохранить график нужно воспользоваться savefig(figure_name), где figure_name явлется строкой назания файла с указанием расширения. Для текстовых полей можно изменять шрифт (fontsize), для большей читаемости графика, а его размер указывается с помощью figure(figsize=(10, 5)). import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0. 01) plt.figure(figsize=(10, 5)) plt.plot(x, np.sin(x), label=r'$f_1(x)=\sin(x)$') plt.plot(x, np.cos(x), label=r'$f_2(x)=\cos(x)$') plt.plot(x, -x, label=r'$f_3(x)=-x$') plt.xlabel(r'$x$', fontsize=14) plt.ylabel(r'$f(x)$', fontsize=14) plt.grid(True) plt.legend(loc='best', fontsize=12) plt.savefig('figure_with_legend.png') plt.show() Текстовые поля в matplotlib могут содержать разметку LaTeX, заключенную в знаки $. Буква r перед кавычками говорит python, что символ «\» следует оставить как есть и не интерпретировать как начало спецсимвола (например, перевода строки — «\n»). Работа с matplotlib основана на использовании графических окон и осей (оси позволяют задать некоторую графическую область). Все построения применяются к текущим осям. Это позволяет изображать несколько графиков в одном графическом окне. По умолчанию создаётся одно графическое окно figure(1) и одна графическая область subplot(111) в этом окне. Команда subplot позволяет разбить графическое окно на несколько областей. Она имеет три параметра: nr, nc, np. Параметры nr и nc определяют количество строк и столбцов на которые разбивается графическая область, параметр np определяет номер текущей области (np принимает значения от 1 до nr*nc). Если nr*nc<10, то передавать параметры nr, nc, np можно без использования запятой. Например, допустимы формы subplot(2,2,1) и subplot(221). import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) t = np.arange(-10, 11, 1) #subplot 1 sp = plt.subplot(221) plt.plot(x, np.sin(x)) plt.title(r'$\sin(x)$') plt.grid(True) #subplot 2 sp = plt.subplot(222) plt.plot(x, np.cos(x), 'g') plt.axis('equal') plt.grid(True) plt.title(r'$\cos(x)$') #subplot 3 sp = plt.subplot(223) plt.plot(x, x**2, t, t**2, 'ro') plt. 2$') #subplot 4 sp = plt.subplot(224) plt.plot(x, x) sp.spines['left'].set_position('center') sp.spines['bottom'].set_position('center') plt.title(r'$x$') plt.show() График может быть построен в полярной системе координат, для этого при создании subplot необходимо указать параметр polar=True: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.subplot(111, polar=True) phi = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) rho = 2*phi plt.plot(phi, rho, lw=2) plt.show() Или может быть задан в параметрической форме (для этого не требуется никаких дополнительных действий, поскольку два массива, которые передаются в функцию plot воспринимаются просто как списки координат точек, из которых состоит график): import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) r = 4 plt.plot(r*np.sin(t), r*np.cos(t), lw=3) plt.axis('equal') plt.show() График функции двух переменных может быть построен, например, так: from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np ax = axes3d.Axes3D(plt.figure()) i = np.arange(-1, 1, 0.01) X, Y = np.meshgrid(i, i) Z = X**2 - Y**2 ax.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10) plt.show() Добавление текста на график: Команду text() можно использовать для добавления текста в произвольном месте (по умолчанию координаты задаются в координатах активных осей), а команды xlabel(), ylabel() и title() служат соответственно для подписи оси абсцисс, оси ординат и всего графика. Для более полной информации смотрите «Text introduction» раздел на оф. сайте. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt mu, sigma = 100, 15 x = mu + sigma * np.random.randn(10000) # the histogram of the data n, bins, patches = plt.hist(x, 50, density=True, facecolor='g', alpha=0.75) plt.xlabel('Smarts') plt.ylabel('Probability') plt.title('Histogram of IQ') plt.text(60, . ') plt.show() Также в matplotlib существует возможность строить круговые диаграммы: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt data = [33, 25, 20, 12, 10] plt.figure(num=1, figsize=(6, 6)) plt.axes(aspect=1) plt.title('Plot 3', size=14) plt.pie(data, labels=('Group 1', 'Group 2', 'Group 3', 'Group 4', 'Group 5')) plt.show() И аналогичным образом столбчатые диаграммы: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt objects = ('A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F') y_pos = np.arange(len(objects)) performance = [10,8,6,4,2,1] plt.bar(y_pos, performance, align='center', alpha=0.5) plt.xticks(y_pos, objects) plt.ylabel('Value') plt.title('Bar title') plt.show() Цветовые карты используются, если нужно указать в какие цвета должны окрашиваться участки трёхмерной поверхности в зависимости от значения Z в этой области. Цветовую карту можно задать самому, а можно воспользоваться готовой. Рассмотрим использование цветовой карты на примере графика функции z(x,y)=sin(x)*sin(y)/(x*y). import pylab from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib import cm import numpy def makeData(): x = numpy.arange(-10, 10, 0.1) y = numpy.arange(-10, 10, 0.1) xgrid, ygrid = numpy.meshgrid(x, y) zgrid = numpy.sin(xgrid)*numpy.sin(ygrid)/(xgrid*ygrid) return xgrid, ygrid, zgrid x, y, z = makeData() fig = pylab.figure() axes = Axes3D(fig) axes.plot_surface(x, y, z, rstride=4, cstride=4, cmap=cm.jet) pylab.show() Альтернативой к использованию mpl_toolkits.mplot3d является библиотека plotly, которая позволяет интерактивно взаимодействовать с графиком, поворачивая его или увеличивая некоторую область в пространсте. В Python есть встроенная функция eval(), которая выполняет строку с кодом и возвращает результат выполнения: >>> eval("2 + 3*len('hello')") 17 >>> Это очень мощная, но и очень опасная инструкция, особенно если строки, которые вы передаёте в eval, получены не из доверенного источника. Если строкой, которую мы решим скормить eval(), окажется "os.system('rm -rf /')", то интерпретатор честно запустит процесс удаления всех данных с компьютера. Упражнение №2 Постройте график функции y(x) = x*x — x — 6 и по графику найдите найдите корни уравнения y(x) = 0. (Не нужно применять численных методов — просто приблизьте график к корням функции настолько, чтобы было удобно их найти.) Упражнение №4 Используя функцию eval() постройте график функции, введённой с клавиатуры. Чтобы считать данные с клавиатуры, используйте функцию input(). Попробуйте включить эффект «рисование от руки» посредством вызова plt.xkcd(). Посольку эта функция применяет некоторый набор настроек, избавиться от которых впоследствие не так просто, удобнее использовать ее как «контекстный менеджер» — это позволяет применить настройки временно, только к определенному блоку кода. Для этого используется ключевое слово with: with plt.xkcd(): plt.pie([70, 10, 10, 10], labels=('В комментариях', 'В Ираке', 'В Сирии', 'В Афганистане')) plt.title('Где ведутся самые ожесточенные бои') Отображение погрешностей С помощью метода plt.errorbar можно рисовать точки с погрешностями измерений, как для лабораторных работ. Погрешности по осям абсцисс и ординат задаются в параметрах (соответственно) xerr и yerr. import matplotlib.pyplot as plt x = [1, 2, 3, 4, 5] y = [0.99, 0.49, 0.35, 0.253, 0.18] plt.errorbar(x, y, xerr=0.05, yerr=0.1) plt.grid() plt.show() Альтернативой для plt.errorbar может слудить plt.fill_between, который заполняет область графика между кривыми, чтобы регулировать прозрачность используется аргумент alpha. Это число из отрезка [0, 1], на которое домножоается интенсивность цвета заполнения между кривыми. import numpy as np import matplotlib. 2$') plt.scatter(x, x**2 + np.random.randn(len(x))*x, s=0.3) plt.fill_between(x, 1.3*x**2, 0.7*x**2, alpha=0.3) plt.legend(loc='best') plt.savefig('figure_fill_between.png') plt.show() В уже использованном модуле numpy есть метод polyfit, позволяющий приближать данные методом наименьших квадратов. Он возвращает погрешности и коэффициенты полученного многочлена. x = [1, 2, 3, 4, 5, 6] y = [1, 1.42, 1.76, 2, 2.24, 2.5] p, v = np.polyfit(x, y, deg=1, cov=True) >>> p array([0.28517032, 0.80720757]) >>> v array([[0.00063242, -0.00221348], [-0.00221348, 0.00959173]]) Многочлен задается формулой p(x) = p[0] * x**deg + … + p[deg] Для того, чтобы не выписывать каждый раз руками эту формулу для разных степеней, есть функция poly1d, которая возвращает функцию полинома, описанного точками p. Возвращенная функция может принимать на вход не только число, но и список значений, в таком случае, будет вычислено значение функции в каждой точке списка и возвращен список результатов. p_f = np.poly1d(p) p_f(0.5) p_f([1, 2, 3]) Упражнение №5 Приблизить данные из приведённого примера с погрешностями или свои собственные (из лабораторного практикума по общей физике) многочленами первой и второй степени. Начертить точки с погрешностями и полученные аппроксимационные кривые на одном графике. Резюме: Характеристики функций и их графиков Ключевые уравнения Постоянная функция [латекс] f \ left (x \ right) = c [/ latex], где [latex] c [/ latex] — константа Функция идентификации [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ латекс] Функция абсолютного значения [латекс] f \ left (x \ right) = | x | [/ латекс] Квадратичная функция [латекс] f \ left (x \ right) = {x} ^ {2} [/ latex] Кубическая функция [латекс] f \ left (x \ right) = {x} ^ {3} [/ latex] Возвратная функция [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} [/ latex] Функция обратного квадрата [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {{x} ^ {2}} [/ latex] Функция квадратного корня [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} [/ latex] Функция кубического корня [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} [/ latex] Ключевые понятия Отношение — это набор упорядоченных пар. Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу. Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex]. В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям. Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением. Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение. Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения. Входные и выходные значения функции можно определить по таблице. Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию. Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению. График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке. График представляет собой взаимно однозначную функцию, если любая горизонтальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке. Глоссарий зависимая переменная выходная переменная домен набор всех возможных входных значений для отношения функция отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение Тест горизонтальной линии Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза независимая переменная входная переменная ввод каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция индивидуальная функция функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода выход каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию диапазон набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении отношение набор заказанных пар Тест вертикальной линии Способ проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза Внесите свой вклад! У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад. Улучшить эту страницуПодробнее Графики основных функций Основные функции В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые. Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c . График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }. Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -пересечение (0, 0). И домен, и диапазон состоят из действительных чисел. Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным. Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞). Кубическая функция Кубическая функция, определенная как f (x) = x3., Определенная как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1. Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ. Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами. Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2. Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞). Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2. Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞). Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например, f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000 Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности. Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень велики, результат обратной функции очень мал. f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001 Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции. И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Таким образом, основными полиномиальными функциями являются: Основные неполиномиальные функции: Кусочно-определенные функции Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция: f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0 В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x. Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости: Пример 1 График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0. Решение: В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функцию квадратного корня по положительным значениям x . Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость. Ответ: При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования. Пример 2 Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3). ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0 Решение: Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, что обозначено t <0. h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32 Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t. h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48 Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48 Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0. Ответ: Определение функции может отличаться в разных интервалах домена. Пример 3 График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4. Решение: В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Где x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой. Ответ: Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например, f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4 Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением. Пример 4 График: f (x) = [[x]]. Решение: Если x — любое действительное число, тогда y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x . ⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮ Используя это, мы получаем следующий график. Ответ: Область определения наибольшей целой функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике. Основные выводы Точки графика для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них. Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3. Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x. Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования. Тематические упражнения Часть A: Основные функции Сопоставьте график с определением функции. Оценить. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a). f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a). f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a). f (x) = | x |; найти f (−10), f (0) и f (a). f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a). f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a). График f (x) = 5 и укажите его область определения и диапазон. График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон. Функция кубического корня. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой. Постройте график функции корня куба, определяемой как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях. Определите область и диапазон функции кубического корня. Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P . Часть B: кусочные функции Постройте график кусочных функций. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0 g (x) = {x2, если x <03, если x≥0 h (x) = {xifx <0xifx≥0 h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0 f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2 f (x) = {xifx <1xifx≥1 g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1 g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1 h (x) = {0ifx≤01xifx> 0 h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0 f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2 f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1 g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2 g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1 h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2 h (x) = {0ifx <0x3if0 2 Оценить. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0 Найдите f (−5), f (0) и f (3). f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0 Найдите f (−3), f (0) и f (2). g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1 Найдите g (−1), g (1) и g (4). g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2 Найдите g (−3), g (−2) и g (−1). h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2 Найдите h (−2), h (0) и h (4). h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4 Найдите h (−5), h (4) и h (25). f (x) = [[x − 0,5]] Найдите f (−2), f (0) и f (3). f (x) = [[2x]] + 1 Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6). Оцените по графику f . Найдите f (−4), f (−2) и f (0). Найдите f (−3), f (0) и f (1). Найдите f (0), f (2) и f (4). Найдите f (−5), f (−2) и f (2). Найдите f (−3), f (−2) и f (2). Найдите f (−3), f (0) и f (4). Найдите f (−2), f (0) и f (2). Найдите f (−3), f (1) и f (2). Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году: Определите стоимость автомобиля в 1980 году. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов? Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком: Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп? Какой уровень производства минимизирует удельную стоимость? Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: г (х) = {0.03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000 Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией? Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных? Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов. Часть C: Обсуждение Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка. Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции? ответы f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3 f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5 Домен: ℝ; диапазон: {5} {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)} f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5 г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2 ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16 f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2 f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0 f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0 f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2 f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1 Экспоненциальных функций и их графиков 4. 1 — Экспоненциальные функции и их графики Экспоненциальные функции До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями. Алгебраические функции — это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем Рациональное число. Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных числа. Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную.Трансцендентные функции часто могут решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение. тем не мение когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение. Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a x , a> 0, а ≠ 1 Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень, вы можете не получить реальный номер.Пример: если a = -2, то (-2) 0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1, тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1. Это довольно скучная функция, и это, безусловно, не один на один. Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными. Они имеют инверсии, которые также являются функциями. Их можно применять к обеим сторонам уравнения. Графики экспоненциальных функций График y = 2 x показан справа.Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1. График проходит через точку (0,1) В домене все реальные числа Диапазон: y> 0. График увеличивается График асимптотичен относительно оси x, когда x приближается к отрицательная бесконечность График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность График непрерывный График плавный Каким будет перевод, если вы замените каждый x на -Икс? Это было бы отражение относительно оси y. Мы также знайте, что когда мы поднимаем базу до отрицательной силы, один результат состоит в том, что берется обратное число. Так, если бы мы построили график y = 2 -x , график был бы отражение относительно оси y y = 2 x , и функция будет быть эквивалентным y = (1/2) x . График y = 2 -x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при базисе дано от 0 до 1. График проходит через точку (0,1) В домене все реальные числа Диапазон: y> 0. График убывает График асимптотичен относительно оси x, когда x стремится к положительной бесконечности График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности График непрерывный График плавный Обратите внимание, единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, а поведение на левом и правом концах. Переводы экспоненциальных графиков Вы можете применить то, что знаете о переводах (из раздела 1.5) чтобы помочь вам нарисовать график экспоненциальных функций. Горизонтальный сдвиг может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты. Вертикальный сдвиг может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты. Не изменится ли график без границ или является асимптотическим (хотя он может меняться там, где он является асимптотическим) влево или Правильно.Икс приблизится к трансцендентному числу e . Показанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела — это способ спросить, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел — это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление — это алгебра с понятием предела. Люди всегда я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина люди не преуспевают в исчислении не из-за исчисления, а из-за того, что они плохие по алгебре. Значение для e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более полезное, приближение. 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​ 55170 27618 38606 26133 Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e x .Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как a [2 nd ] [Ln]. В экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому, когда я пишу exp (x), ты знаешь о чем я говорю. Сложные проценты Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца. Я знаю, что сбивает с толку. На странице 304 текста есть объяснение, но полученная формула для Сложный процент равен A = P (1 + i) n . A — это сумма на счете.P — это принципал, с которого вы начали. я — периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, м. n — количество периодов начисления сложных процентов, что равно количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен с формулой, которую вы будете использовать, если пойдете по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целую главу о финансах и задействованных формулах. Непрерывное соединение и рост / распад Раньше было постоянное начисление процентов. Ты не найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций, и банки в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение. Модель для непрерывного компаундирование: A = P e rt . A — сумма, P — основная сумма, r — годовая процентная ставка (написано в виде десятичной дроби), а t — время в годах. e — основание для натурального логарифма. Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а не меняется. постоянно меняется. Экспоненциальная модель: y = A e kt , , где y — количество, присутствующее в момент времени t. А — начальное количество, и k — скорость роста (если положительна) или скорость распада (если отрицательный). Функции и обозначение функций — Алгебра и тригонометрия Цели обучения В этом разделе вы: Определите, представляет ли отношение функцию. Найдите значение функции. Определить, является ли функция взаимно однозначной. Используйте тест вертикальной линии для определения функций. Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций. Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения. Определение того, представляет ли отношение функцию Отношение — это набор упорядоченных пар. Набор, состоящий из первых компонентов каждой упорядоченной пары, называется доменом , а набор, состоящий из вторых компонентов каждой упорядоченной пары, называется диапазоном .Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого. Домен Диапазон Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение или зависимая переменная, и часто обозначается строчной буквой Функция — это отношение, которое назначает один элемент в диапазоне каждому элементу в домене . Другими словами, значения x не повторяются. Для нашего примера, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене сопряжен ровно с одним элементом в диапазоне, Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Будет отображаться как Обратите внимание, что каждый элемент в домене равен , а не в паре с ровно одним элементом в диапазоне, Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из домена , а термин «четный» соответствует двум значения из диапазона, Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией. (рисунок) сравнивает отношения, которые являются функциями, а не функциями. Функция Функция — это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход — это функция входа». Входные значения составляют область, а выходные значения составляют диапазон. Как к Учитывая взаимосвязь между двумя величинами, определите, является ли взаимосвязь функцией. Определите входные значения. Определите выходные значения. Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию. Определение того, являются ли прайс-листы меню функциями Меню кофейни, показанное на (Рисунок), состоит из позиций и их цен. Цена зависит от товара? Товар зависит от цены? Рисунок 2. [show-answer q = ”855295 ″] Показать решение [/ show-answer] [hidden-answer a =” 855295 ″] Давайте начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения — это цены. У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от элемента. Два пункта меню имеют одинаковую цену. Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных.См. (Рисунок). Рисунок 3. Следовательно, товар не зависит от цены. [/ hidden-answer] Определение того, являются ли правила оценки класса функциями В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу. Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? (Рисунок) показывает возможное правило присвоения баллов. Процентное содержание 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100 Средний балл 0.0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 [show-answer q = ”fs-id1165135424616 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165135424616 ″] Для любой процентной оценки существует соответствующий средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл. В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу. Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла. [/ hidden-answer] Попробуй (рисунок) перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов. Игрок Рейтинг Бейб Рут 1 Вилли Мейс 2 Тай Кобб 3 Уолтер Джонсон 4 Хэнк Аарон 5 Является ли ранг функцией имени игрока? Является ли имя игрока функцией ранга? [show-answer q = ”fs-id1165137724415 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165137724415 ″] а. да; б. да. (Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга.) [/ hidden-answer] Представление функций с помощью таблиц Общий метод представления функций — в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения. В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений. (рисунок) перечисляет входное число каждого месяца (январь = 1, февраль = 2 и т. Д.) И выходное значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце, где месяцы идентифицируются целым числом, а не именем. Номер месяца, (ввод) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Дней в месяце, (выход) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 (рисунок) определяет функцию Помните, это обозначение говорит нам, что это имя функции, которая принимает входные данные и выдает выход 1 2 3 4 5 8 6 7 6 8 (Рисунок) отображает возраст детей в годах и соответствующий им рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма. Возраст в годах, (ввод) 5 5 6 7 8 9 10 Высота в дюймах (на выходе) 40 42 44 47 50 52 54 Как к Учитывая таблицу входных и выходных значений, определите, представляет ли таблица функцию. Определите входные и выходные значения. Убедитесь, что каждое входное значение сопряжено только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию. Идентификационные таблицы, представляющие функции Какая таблица (рисунок), (рисунок) или (рисунок) представляет функцию (если есть)? Ввод Выход –3 5 0 1 4 5 [show-answer q = ”fs-id1165137665675 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165137665675 ″] (рисунок) и (рисунок) определяют функции.В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. (Рисунок) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям. Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции. Функция, представленная (Рисунок), может быть представлена ​​записью Аналогично выписки представляют функцию на (Рисунок). (рисунок) не может быть выражен аналогичным образом, потому что он не представляет функцию.[/ hidden-answer] Попробуй Представляет ли (рисунок) функцию? Ввод Выход 1 10 2 100 3 1000 [show-answer q = ”fs-id1165135322022 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165135322022 ″] да [/ hidden-answer] Поиск входных и выходных значений функции Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию.Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению. Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем для входа. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение. Вычисление функций в алгебраических формах Когда у нас есть функция в форме формулы, вычислить ее обычно несложно.Например, функция может быть вычислена путем возведения входного значения в квадрат, умножения на 3 и последующего вычитания произведения из 5. Как к Учитывая формулу функции, оцените. Замените входную переменную в формуле указанным значением. Рассчитайте результат. Попробуй Учитывая функцию оценки [show-answer q = ”fs-id1165137441862 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165137441862 ″] [/ hidden-answer] Решающие функции Учитывая функцииolve для Попробуй Учитывая functionsolve [show-answer q = ”fs-id1165135664055 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165135664055 ″] [/ hidden-answer] Оценка функции, заданной в табличной форме Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев. И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов. Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. (Рисунок). Домашнее животное Объем памяти в часах Щенок 0,008 Взрослая собака 0,083 Кот 16 Золотая рыбка 2160 Бета рыба 3600 Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений.Здесь давайте вызовем функцию . Область действия функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца. Мы можем оценить функцию по входному значению «золотая рыбка». Мы бы написали Заметьте, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функций кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции. Как к Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения. Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению. Оценка и решение табличной функции Использование (рисунок), Оценить Решить 1 2 3 4 5 8 6 7 6 8 Попробуй [show-answer q = ”fs-id1165137423936 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165137423936 ″] [/ hidden-answer] Определение того, является ли функция взаимно однозначной Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям.Например, на биржевой диаграмме, показанной на (Рисунок) в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов. Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа. Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как показано на (Рисунок). Буквенный класс Средний балл А 4,0 B 3,0 С 2,0 D 1,0 Эта система оценок представляет собой функцию «один к одному», поскольку каждая введенная буква дает один конкретный средний результат оценки, а каждая средняя оценка соответствует одной входной букве. Чтобы визуализировать эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, схематически изображенные на (Рисунок) (a) и (Рисунок) (b) . Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно-однозначной функцией, потому что входы и оба выдают выходные данные Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является взаимно-однозначной функцией, потому что каждый вход связан с одним выход. Индивидуальная функция Однозначная функция — это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.Нет повторяющихся значений x или y . Определение того, является ли отношение взаимно однозначной функцией Площадь круга зависит от его радиуса? Если да, то функция взаимно однозначная? Попробуй Является ли остаток функцией номера банковского счета? Является ли номер банковского счета функцией баланса? Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета? [show-answer q = ”fs-id1165137456018 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165137456018 ″] а.да, потому что на каждом банковском счете в любой момент времени имеется единый баланс; б. нет, потому что несколько номеров банковских счетов могут иметь одинаковый баланс; c. нет, потому что один и тот же выход может соответствовать более чем одному входу. [/ hidden-answer] Попробуй Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки? Если да, то функция взаимно однозначная? [show-answer q = ”fs-id1165137655289 ″] Показать решение [/ show-answer] [скрытый-ответ a = ”fs-id1165137655289 ″] Да, буквенная оценка является функцией процентной оценки; Нет, не один на один.Мы могли бы получить 100 различных процентных чисел, но только около пяти возможных буквенных оценок, поэтому не может быть только одного процентного числа, соответствующего каждой буквенной оценке. [/ hidden-answer] Использование теста вертикальной линии Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают большое количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно графики строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси. Наиболее распространенные графики называют входное значение и выходное значение, и мы говорим, что это функция или когда функция называется График функции — это набор всех точек на плоскости, которые удовлетворяют уравнению. Если функция определена только для нескольких входных значений, то График функции состоит только из нескольких точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующим выходным значением.Например, черные точки на графике на (Рисунок) говорят нам об этом, и тем не менее, набор всех удовлетворяющих точек представляет собой кривую. Показанная кривая включает и потому, что кривая проходит через эти точки. Рисунок 8. Тест вертикальной линии можно использовать для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.См. (Рисунок). Рисунок 9. Как к Для данного графика используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию. Проверьте график, чтобы увидеть, не пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза. Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию. Применение теста вертикальной линии Какой из графиков на (Рисунок) представляет функцию Рисунок 10. [show-answer q = ”fs-id11651351