Можно ли вписать в окружность трапецию: Трапеция вписана в окружность
Трапеция вписана в окружность
Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.
Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.
Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.
Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:
Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.
Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.
Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD
Из треугольника ABC
Другой вариант найти радиус описанной окружности —
Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:
При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,
Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали
В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:
Отсюда
Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Смотрите также площадь трапеции.
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Определение 1. Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником.
Рис.1
Замечание. В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
Рис.2
В силу теоремы об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, справедливы равенства
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AE + BE + CG + DG,
Поскольку
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
AD + BC = AB + CD,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству
AD +BC = AB + CD,
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Рис.3
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство
OH = OE,
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство
OH = OG,
Следовательно, справедливы равенства
OH = OE = OG,
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
Рис.4
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC.
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B, пересекает прямую DC в точке K, и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
- Точка C лежит между точками K и D (рис.6)
Рис.5
Рис.6
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольниканеравенству треугольниканеравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
| ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ» «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель отдельной дисциплины (математика, информатика и ИКТ) Ю. В. Крылова _____________ «___» _____________ 2015 г. «Трапеция и ее свойства» Методическая разработка преподавателя математики Шаталиной Елены Дмитриевны
Москва 2015 год Оглавление Введение 2
. 10. Заключение . Список используемой литературы Приложение
Введение Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими. Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства. В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии. Трапеция.
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны. Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной. Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции. 2. Свойства равнобедренной трапеции
3. Диагонали равнобедренной трапеции равны. 4. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.
10. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.
Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Е 4. Свойства вписанных и описанных трапеций
2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции. 4. Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.
1 0. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°. 5. Средние величины в трапеции Среднее геометрическое
b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a 6.Свойства произвольной трапеции 1. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой. 2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне. 3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.
5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади). 6.Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
7 8. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. 9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам. 7. Признаки трапеции
8. Дополнительные построения в трапеции 1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции. 3. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции. 5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию. 6 7.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции. 8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне. 9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник. 1 0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам. 11. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам. 12. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники. 9. Площадь трапеции 1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b)•h или П 2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
10. Заключение ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ? Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться. Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции. Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции. Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина. Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих. В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас. Список используемой литературы
Приложение 1.Доказательство некоторых свойств трапеции. 1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L. Доказать, что если основания трапеции равны а и b, то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b. Прямая KL параллельна основанию AD, следовательно, KО║ AD, треугольники ВKО и BAD подобны, поэтому
( 2 ) Подставим ( 2 ) в ( 1 ), получим KO = Аналогично LO = Тогда K L= KO + LO =
Д K окажем, что эта прямая делит основания пополам. Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v. Имеем:∆ВКМ ~ ∆AKN → x
C Y O v u N D ∆CMO ∆ANO поэтому . Перемножая полученные равенства, получим , откуда следует x=y, но тогда и u = v.
3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности. Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252. 1 . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции. Ответ: S = 6. 2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ. psina Ответ: 1и 7.
Ответ: S= 3ab В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагонали QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR или длина стороны RS. Ответ: RS > QR.
Ответ: S=90√3. Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238.. 12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию. [√2Sctg а]
[arccos(l — 1/к), π — arccos(l — 1/к), к > 1]
[√Stg(½ ɑ)]
4. Проверочный тест по теме «Трапеция» В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ √185. Площадь трапеции составляет В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны Ь, а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна 151 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности.25j В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая диагональ равна 29j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближней. Тангенс острого угла трапецииравен Достарыңызбен бөлісу: |
Около трапеции можно описать окружность если. Трапеция
Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.
Какую теорию необходимо помнить? Это:
Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .
27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:
Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.
27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?
Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:
В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее
То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.
*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.
27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:
Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.
В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:
В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:
Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.
Теперь важный нюанс!
В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.
А если бы в условии не было дано эскиза?
Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:
*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.
И решение будет «второго варианта» будет следующим.
По теореме Пифагора вычисляем OF:
Также вычислим OE:
Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.
Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.
27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.
Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:
Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
- Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
- Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .
Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .
Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.
LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).
Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.
Что из этого следует?
Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.
Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.
Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .
Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:
- Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
- Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).
KO / ON = BC / AD
Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).
Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:
- Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
- Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)
Формулы для нахождения диагоналей трапеции
a, b — основания трапеции
c, d — боковые стороны трапеции
d1 d2 — диагонали трапеции
α β — углы при большем основании трапеции
Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании
Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:
1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема
2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.
3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ
Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.
Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.
Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту
Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.
Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть
AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Ответ : 16 см
Задача
.
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
Решение
.
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим
длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле
нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.
Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b
Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора
H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2
Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2
Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2
Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .
ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»«УТВЕРЖДАЮ»
Руководитель отдельной дисциплины
(математика, информатика и ИКТ)
Ю. В. Крылова _____________
«___» _____________ 2015 г.
«Трапеция и ее свойства »
Методическая разработка
преподавателя математики
Шаталиной Елены Дмитриевны
Рассмотрено и
на заседании ПМО от _______________
Протокол №______
Москва
2015 год
Оглавление
Введение 2
Определения 3
Свойства равнобедренной трапеции 4
Вписанные и описанные окружности 7
Свойства вписанных и описанных трапеций 8
Средние величины в трапеции 12
Свойства произвольной трапеции 15
Признаки трапеции 18
Дополнительные построения в трапеции 20
Площадь трапеции 25
10. Заключение
Список используемой литературы
Приложение
Доказательства некоторых свойств трапеции 27
Задачи для самостоятельных работ
Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности
Проверочный тест по теме «Трапеция»
Введение
Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.
Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.
В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.
Трапеция.
Определения
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются
основаниями.
Другие две —
боковые стороны
.
Если боковые стороны равны, трапеция называется
равнобедренной
.
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции .
2 . Свойства равнобедренной трапеции
3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
4
1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.
3. Вписанная и описанная окружность
Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.
Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
4 . Свойства вписанных и описанных трапеций
2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то
сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.
4 . Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.
Е сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.
1
0
. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.
5. Средние величины в трапеции
Среднее геометрическое
В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство :
b
˂
h
˂
g
˂
m
˂
s
˂
a
6. Свойства произвольной трапеции
1
. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.
3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.
Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.
5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).
6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab
7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d 1 2 — d 2 2 = a 2 – b 2
8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.
7 . Признаки трапеции
8 . Дополнительные построения в трапеции
1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.
2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.
3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.
4
. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.
5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.
6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований
7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.
8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.
9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.
1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.
1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.
1
2
. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.
13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.
9. Площадь трапеции
1 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b ) h или
П
лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m h .
2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:
10. Заключение
ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?
Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.
Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.
Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.
Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.
Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.
Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн
В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.
Список используемой литературы
Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.
Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004
Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.
Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN 5-89155-188-3
Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).
Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.
Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.
Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.
Приложение
1.Доказательство некоторых свойств трапеции.
1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L . Доказать, что если основания трапеции равны а и b , то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство
Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b . Прямая KL параллельна основанию AD , следовательно, K О ║ AD , треугольники В K О и BAD подобны, поэтому
(1)
(2)
Подставим (2) в (1) , получим KO =
Аналогично LO = Тогда K L = KO + LO =
В о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.
K
Окажем, что эта прямая делит основания пополам.
Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v . Имеем:
∆ ВКМ ~ ∆AKN →
M
x
B
C
Y
∆ MК C ~ ∆NKD → →— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка
Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов
— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия
— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь
ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова
ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова
Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино
Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года
Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.
Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к
Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с
Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К
Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О
Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д
Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h
1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен
Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC
Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а
I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.
I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.
III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.
I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.
Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна
Задачи по физике и математике с решениями и ответами
Задача по математике — 4111
Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается боковой стороны $AB$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AF=m$, $FB=n$, а меньшее основание трапеции $BC$ равно $b$. ПодробнееЗадача по математике — 4112
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 8, а площадь 2, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. ПодробнееЗадача по математике — 4113
Около окружности радиуса $\frac{2}{\sqrt{3}}$ описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен $2~arctg\frac{2}{\sqrt{3}}$. Найдите отрезок, соединяющий точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из её боковых сторон. ПодробнееЗадача по математике — 4114
В равнобедренную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как $3:5$. Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности. ПодробнееЗадача по математике — 4115
В треугольник вписана окружность радиуса 3. Найдите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки, равные 4 и 3. ПодробнееЗадача по математике — 4117
Стороны треугольника относятся как $5:4:3$. Найдите отношения отрезков сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью. ПодробнееЗадача по математике — 4120
Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна $S$. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен $\alpha$. ПодробнееЗадача по математике — 4121
В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса $R$. Верхнее основание трапеции в два раза меньше её высоты. Найдите площадь трапеции. ПодробнееЗадача по математике — 4122
Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен $p$. Найдите радиус этой окружности, если известно, что острый угол при основании трапеции равен $\alpha$. ПодробнееЗадача по математике — 4124
Около окружности описана равнобедренная трапеция $ABCD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ касаются окружности в точках $M$ и $N$, $K$ — середина $AD$. В каком отношении прямая $BK$ делит отрезок $MN$? Подробнеевписанная в многоугольник или угол
Определения
Окружность \(S\) вписана в угол \(\alpha\), если \(S\) касается сторон угла \(\alpha\).
Окружность \(S\) вписана в многоугольник \(P\), если \(S\) касается всех сторон \(P\).
В этом случае многоугольник \(P\) называется описанным около окружности.
Теорема
Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.
Доказательство
Пусть \(O\) – центр некоторой окружности, вписанной в угол \(BAC\). Пусть \(B’\) – точка касания окружности и \(AB\), а \(C’\) – точка касания окружности и \(AC\), тогда \(OB’\) и \(OC’\) – радиусы, проведённые в точки касания, следовательно, \(OC’\perp AC\), \(OB’\perp AB\), \(OC’ = OB’\).
Значит, треугольники \(AC’O\) и \(AB’O\) – прямоугольные треугольники, у которых равны катеты и общая гипотенуза, следовательно, они равны, откуда \(\angle CAO = \angle BAO\), что и требовалось доказать.
Теорема
В любой треугольник можно вписать единственную окружность, причём центр этой вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство
Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\). Пусть они пересеклись в точке \(O\).
Т.к. \(O\) лежит на биссектрисе \(\angle A\), то расстояния от точки \(O\) до сторон угла равны: \(ON=OP\).
Т.к. \(O\) также лежит на биссектрисе \(\angle B\), то \(ON=OK\). Таким образом, \(OP=OK\), следовательно, точка \(O\) равноудалена от сторон угла \(\angle C\), следовательно, лежит на его биссектрисе, т.е. \(CO\) – биссектриса \(\angle C\).
Таким образом, точки \(N, K, P\) равноудалены от точки \(O\), то есть лежат на одной окружности. По определению это и есть вписанная в треугольник окружность.
Данная окружность единственна, т.к. если предположить, что существует другая вписанная в \(\triangle ABC\) окружность, то она будет иметь тот же центр и тот же радиус, то есть будет совпадать с первой окружностью.
Таким образом, попутно была доказана следующая теорема:
Следствие
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема о площади описанного треугольника
Если \(a,b,c\) – стороны треугольника, а \(r\) – радиус вписанной в него окружности, то площадь треугольника \[S_{\triangle}=p\cdot r\] где \(p=\dfrac{a+b+c}2\) – полупериметр треугольника.
Доказательство
\(S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=\frac12OP\cdot AC+\frac12 ON\cdot AB+\frac12 OK\cdot BC\).
Но \(ON=OK=OP=r\) – радиусы вписанной окружности, следовательно,
\[S_{\triangle ABC}=\frac12 r (AC+AB+BC)=p\cdot r\]
Следствие
Если в многоугольник вписана окружность и \(r\) – ее радиус, то площадь многоугольника равна произведению полупериметра многоугольника на \(r\): \[S_{\text{опис.мног-к}}=p\cdot r\]
Теорема
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Доказательство
Необходимость. Докажем, что если в \(ABCD\) вписана окружность, то \(AB+CD=BC+AD\).
Пусть \(M,N,K,P\) – точки касания окружности и сторон четырехугольника. Тогда \(AM, AP\) – отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, \(AM=AP=a\). Аналогично, \(BM=BN=b, \ CN=CK=c, \ DK=DP=d\).
Тогда: \(AB+CD=a+b+c+d=BC+AD\).
Достаточность. Докажем, что если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\), пусть они пересекутся в точке \(O\). Тогда точка \(O\) равноудалена от сторон этих углов, то есть от \(AB, BC, AD\). Впишем окружность в \(\angle A\) и \(\angle B\) с центром в точке \(O\). Докажем, что эта окружность будет касаться и стороны \(CD\).
Предположим, что это не так. Тогда \(CD\) либо является секущей, либо не имеет общих точек с окружностью. Рассмотрим второй случай (первый будет доказываться аналогично).
Проведем касательную прямую \(C’D’ \parallel CD\) (как показано на рисунке). Тогда \(ABC’D’\) – описанный четырехугольник, следовательно, \(AB+C’D’=BC’+AD’\).
Т.к. \(BC’=BC-CC’, \ AD’=AD-DD’\), то:
\[AB+C’D’=BC-CC’+AD-DD’ \Rightarrow C’D’+CC’+DD’=BC+AD-AB=CD\]
Получили, что в четырехугольнике \(C’CDD’\) сумма трех сторон равна четвертой, что невозможно*. Следовательно, предположение ошибочно, значит, \(CD\) касается окружности.
Замечание*. Докажем, что в выпуклом четырехугольнике не может сторона равняться сумме трех других.
Т.к. в любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то \(a+x>d\) и \(b+c>x\). Складывая данные неравенства, получим: \(a+x+b+c>d+x \Rightarrow a+b+c>d\). Следовательно, сумма любых трех сторон всегда больше четвертой стороны.
Теоремы
1. Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 1).
2. Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).
Верны и обратные утверждения: в любой ромб и квадрат можно вписать окружность, и притом только одну.
Доказательство
1) Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), в который вписана окружность. Тогда \(AB+CD=BC+AD\). Но в параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. \(AB=CD, \ BC=AD\). Следовательно, \(2AB=2BC\), а значит, \(AB=BC=CD=AD\), т.е. это ромб.
Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей ромба.
2) Рассмотрим прямоугольник \(QWER\). Т.к. прямоугольник является параллелограммом, то согласно первому пункту \(QW=WE=ER=RQ\), т.е. это ромб. Но т.к. все углы у него прямые, то это квадрат.
Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата.
Урок Равнобедренную трапецию можно вписать в круг
Равнобедренную трапецию можно вписать в круг
Задача 1
Если трапеция равнобедренная, ее можно вписать в круг. Доказывать.
Доказательство
| Пусть ABCD будет равнобедренной трапецией с основаниями AB и CD и боковых сторон AD и BC ( Рисунок 1a ). Нам нужно доказать, что существует круг, который проходит через все вершины Нарисуем диагонали трапеции AC и BD ( Рисунок 1b ) и Эти треугольники имеют общую сторону AB и совпадающие стороны BC и | Рисунок 1а . К проблеме 1 | Рисунок 1b . К решению Задачи 1 |
Углы L BAD и L ABC , заключенные между этими конгруэнтными сторонами, совпадают как базовые углы равнобедренной трапеции (см. Урок
Трапеции и их базовые углы в теме Многоугольники раздела Геометрия на этом сайте).
Следовательно, треугольники ABC и ABD конгруэнтны в соответствии с тестом SAS на конгруэнтность треугольников.
Это означает, что углы L ACB и L ADB совпадают как соответствующие углы конгруэнтных треугольников.
Таким образом, углы L ACB и L ADB совпадают и опираются на один и тот же сегмент AB .Значит, эти углы вписываются в круг в соответствии с уроком.
Обратная теорема о вписанных углах в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте.
Доказательство завершено.
Обратное утверждение доказано в уроке Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте: если трапеция вписана в окружность, то трапеция равнобедренная.
Комбинируя прямое и обратное утверждения, вы можете заключить, что трапеция может быть вписана в круг тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная .
Другие мои уроки по кругам на этом сайте в логическом порядке
— Окружность, ее хорды, касательные и секущие линии — основные определения,
— Чем длиннее хорда, тем больше ее центральный угол,
— Хорды окружности и радиусы, перпендикулярные хордам,
— Касательная линия к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания,
— Вписанный угол в круг,
— Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги,
— Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри круга,
— Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга,
— Угол между хордой и касательной к окружности,
— Касательные сегменты к окружности от точки за пределами круга,
— Обратная теорема о вписанных углах,
— Части хорд, пересекающиеся внутри круга,
— Метрические соотношения для секущих, пересекающихся вне круга и
— Метрические соотношения для касательной и секущей линий, выпущенных из точки за пределами круга
в разделе Круги и их свойства раздела Геометрия , и
— КАК РАЗБИВАТЬ дугу в окружности с помощью циркуля и линейки,
— КАК найти центр круга, заданного двумя аккордами,
— Решенные задачи по радиусу и касательной к окружности,
— Решенные задачи по вписанным углам,
— Свойство углов четырехугольника, вписанного в круг,
— КАК построить касательную линию к окружности в заданной точке окружности,
— КАК построить касательную линию к окружности через заданную точку вне окружности,
— КАК построить общую внешнюю касательную к двум окружностям,
— КАК построить общую внутреннюю касательную к двум окружностям,
— Решенные задачи на хордах, которые пересекаются внутри круга,
— Решенные задачи на секущих, которые пересекаются вне круга,
— Решенные задачи касательной и секущей линии, выпущенной из точки за пределами круга
— Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник.
— Решенные проблемы касательных линий, выпущенных из точки за пределами круга.
под текущую тему.
Обзор уроков по Свойствам Кругов находится в этом файле СВОЙСТВА КРУГОВ, ИХ ХОРДЫ, СЕКАНТЫ И ТАНГЕНТЫ.
Вы можете использовать файл обзора или список ссылок выше для навигации по этим урокам.
Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.
Четырехугольники по кругу — объяснения и примеры
Мы изучили, что четырехугольник — это четырехугольник с четырьмя углами и четырьмя вершинами.Подробнее читайте в статье «Четырёхугольники» в разделе «Многоугольник».
На экзамене по геометрии экзаменаторы усложняют вопросы, вписывая фигуру внутри другой фигуры и прося вас найти недостающий угол, длину или площадь. Один пример из предыдущей статьи показывает, как вписанный треугольник внутри круга образует две хорды, и следует определенным теоремам.
В этой статье мы обсудим, что такое четырехугольник, вписанный в круг, и теорема о вписанном четырехугольнике.
Что такое четырехугольник, вписанный в круг?
В геометрии четырехугольник, вписанный в круг, также известный как циклический четырехугольник или хордовый четырехугольник, представляет собой четырехугольник с четырьмя вершинами на окружности круга. В четырехугольной вписанной окружности четыре стороны четырехугольника являются хордами окружности.
На приведенном выше рисунке четыре вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности окружности.В этом случае диаграмма выше называется вписанным в окружность четырехугольником.
Теорема о вписанном четырехугольнике
Есть две теоремы о вписанном четырехугольнике. Давайте взглянем.
Теорема 1
Первая теорема о круговом четырехугольнике утверждает, что:
Противоположные углы в круговом четырехугольнике являются дополнительными. т.е. сумма противоположных углов равна 180˚.
Рассмотрим схему ниже.
Если a, b, c и d — внутренние углы вписанного четырехугольника, то
a + b = 180˚ и c + d = 180˚.
Давайте это докажем;
Соедините вершины четырехугольника с центром круга.
Вспомните теорему о вписанном угле (центральный угол = 2 x вписанный угол).
∠ COD = 2∠ CBD
∠ COD = 2b
Аналогично, по теореме о перехваченной дуге
∠ COD = 2 ∠ CAD
CAD
∠ COD + reflex ∠ COD = 360 o 2a + 2b = 360 o 2 (a + b) = 360 o Разделив обе стороны на 2, получим a + b = 180 o . Значит доказано! Вторая теорема о круговых четырехугольниках утверждает, что: Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в круг, равно сумме произведения двух пар его противоположных сторон. Рассмотрим следующую схему, где a, b, c и d — стороны вписанного четырехугольника, а D 1 и D 2 — диагонали четырехугольника. На приведенном выше рисунке (a * c) + (b * d) = (D 1 * D 2 ) Существуют несколько интересных свойств вписанного четырехугольника. Площадь = √ [s (sa) (sb) (s — c) (s — c)] где a , b, c и d — длины сторон четырехугольника. s = Полупериметр четырехугольника = 0,5 (a + b + c + d) Давайте рассмотрим теорему, решив несколько примеров задач. Пример 1 Найдите величину недостающих углов x и y на диаграмме ниже. Решение x = 80 o (внешний угол = противоположный внутренний угол). y + 70 o = 180 o (противоположные углы являются дополнительными). Вычтем 70 или с обеих сторон. y = 110 o Следовательно, размеры углов x и y равны 80 o и 110 o, соответственно. Пример 2 Найдите угол ∠Q PS в круговом четырехугольнике, показанном ниже. Решение ∠ QPS — это угол, противоположный ∠ SRQ . Согласно теореме о вписанном четырехугольнике, ∠ QPS + ∠ SRQ = 180 o (Дополнительные углы) ∠ QPS + 60 o = 180 o o с обеих сторон. ∠ QPS = 120 o Итак, величина угла ∠Q PS составляет 120 o . Пример 3 Найдите размер всех углов следующего вписанного четырехугольника. Решение Сумма противоположных углов = 180 o (y + 2) o + (y — 2) o = 180 o Упростите. y + 2 + y — 2 = 180 o 2y = 180 o Разделим на 2 с обеих сторон, чтобы получить, y = 90 o При замене (y + 2) o ⇒ 92 o (y — 2) o ⇒ 88 o Аналогично, (3x — 2) o = (7x + 2) o 3x — 2 + 7x + 2 = 180 o 10x = 180 o Разделить на 10 с обеих сторон, x = 18 o Заменить. (3x — 2) o ⇒ 52 o (7x + 2) o ⇒ 128 o Практические вопросы 1. Все многоугольники можно вписать в круг. . A. Да B. Нет 2. Вписанные четырехугольники также называются _____ A. Захваченные четырехугольники B. Циклические четырехугольники C. Тангенциальные четырехугольники D. Ни один из них. 3.Четырехугольник вписан в круг тогда и только тогда, когда противоположные углы равны ______ A. Соседний B. Альтернативный C. Дополнительный D. Ни один из них. Ответы Дан полукруг радиуса r. Какой максимум
площадь любой трапеции, вписанной в полукруг? Щелкните здесь, чтобы вызвать анимацию GSP
чтобы увидеть, как изменяется площадь вписанной трапеции. Предполагается, что трапеция максимальной площади будет
имеют самое длинное основание по диаметру полукруга. Какие
про трапеции ориентированы как на следующей картинке? Какие
Можно ли привести аргумент, чтобы показать, что они никогда не достигают максимальной площади? Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы вызвать анимацию GSP
Чтобы увидеть площадь вписанной трапеции, варьируйте . Рассмотрение случая
полукруг с единичным радиусом.Максимальная площадь любой трапеции
вписанные в полукруг радиуса r будут раз
максимальная площадь трапеции, вписанной в полукруг единицы
радиус. (ПОЧЕМУ?) , и эти значения можно занести в столбец B.Столбец C может накапливаться
расчетная площадь трапеций. кликните сюда
чтобы увидеть таблицу Excel для r = 10, где высота
увеличивается с шагом 0,25. График серии 2 представляет
области трапеций. На какой высоте максимальная площадь? Какая длина
чем короче база в этом месте? 2. Напишите функцию для площади и используйте графическую программу.
показать кривую и оценить максимальную площадь.Используйте график
калькулятор или компьютерная программа для построения графиков. Подсказка (при необходимости). 3. Используйте неравенство среднего арифметического и среднего геометрического, чтобы найти
точную площадь и доказать, что это максимум. Совет : Пусть x будет длиной более короткого основания. Справка , если необходимо. 4. Чтобы не думать об этом, используйте исчисление. Настроить функцию
для области и установите первую производную на ноль, чтобы найти
относительный максимум. 5. Используйте геометрию. Рассмотрим отражение полукруга и
вписанная трапеция в диаметр полукруга. Трапеция
и его отражение объединяются в шестиугольник, вписанный в круг
. . . Известно ли, что из всех шестиугольников, вписанных в круг,
максимальная площадь будет, когда шестиугольник правильный? Если да, то это
Проблема решена. Если нет, то как это доказать? Рассмотрите периметр трапеции, где более короткое основание
колеблется от 2г до 0.Есть ли максимальный периметр? Если так,
что это? Какая длина самой короткой базы при периметре
есть максимум? Пусть x будет длиной кратчайшего основания. См. ниже.
Подобные треугольники ACB и AKC дадут легко вычисляемую длину.
для наклонной стороны s через r и x. Помощь по периметру , если
в розыске. Рассмотрим рис. 1 и 2 Схематично мы могли бы вставить параллелограмм ABCD в окружность, и при условии, что стороны AB и CD являются хордами окружностей, как показано на фигуре 1 или фигуре 2. Условие, что стороны AB и CD должны быть хордами окружности, подразумевает, что вписанная трапеция должна быть равнобедренной, потому что Но поскольку площадь трапеции равна И поскольку коэффициент # (b_1 + b_2) / 2 # равен в гипотезах на рисунках 1 и 2, важно то, в какой гипотезе трапеция имеет большую высоту (# h #). В данном случае, когда хорды меньше радиуса круга, нет сомнений в том, что в гипотезе фигуры 2 трапеция имеет большую высоту и, следовательно, большую площадь. Согласно рисунку 2, с # AB = 8 #, # CD = 10 # и # r = 12 # # треугольник_ (ЭКГ) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 # Тогда # S = (b_1 + b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 # правильно, давай ответим на этот вопрос. Итак, есть круг с радиусом два, и внутри вписана трапеция, так что основание этой трапеции будет повреждением круга. Хорошо, подсказка говорит, что вы используете угол Fada в качестве индикатора положения других точек на окружности круга. Так что давайте продолжим и воспользуемся этим.Итак, как вы можете видеть, когда фета представляет собой угол прямо здесь, мы можем вычислить, что высота этой трапеции будет соответствовать данным о горизонтальном расстоянии, которое вы видите прямо здесь. Будет со знаком театра. Итак, из-за этого мы знаем, что верхнее основание его трапеции будет иметь длину с синус-тета в четыре кавычки просто из-за симметрии. Так что давайте прямо здесь исправим выражение в терминах вне театра. Площадь за пределами трапеции равна половине некоторой части основы, поэтому она будет в четыре плюс четыре тета-косинуса, умноженных на высоту этой вещи, которая будет знаком Фада.Давайте немного упростим это. Четыре подписанных данных умножить на один плюс данные береговой линии. Теперь то, что мы собираемся сделать, — это найти область за этой штукой, где она будет максимизирована. Итак, мы возьмем производную от A и начнем. Оттуда. Мы позволим ему равняться нулю и будем продавать за данные, которые увеличивают его. Итак, продукт будет для знака производной от знака Sinus co. Таким образом, вы получите Co Cynthia один плюс лаваш береговой линии другой термин. Это будет производная от школы с плюсом.Я сказал, что будет отрицательно. Подпишите, раз подпишите, так что он будет подписан. Квадрат один Приятная вещь, которую вы видите здесь, это то, что синус в квадрате равен квадрату крутой науки минус один. Или он один? На самом деле это крутая наука с одним минусом. Где мой папа. Да, или другими словами, один плюс данные со знаком умножить на один минус данные со знаком. Так что, когда это равно нулю, четверка не имеет значения. Вы можете переписать его как тета-косинус, умноженный на единицу, плюс данные косинуса минус один минус данные береговой линии, умноженные на единицу, плюс данные береговой линии. Таким образом, вы можете вынести за скобки один плюс данные береговой линии, а знак co минус отрицательный co знак будет слишком близок в бета-версии минус один.А если вы продали по косинусу тета, оно будет либо отрицательным, либо половиной. Итак, возвращаясь к единичному кругу, давайте вспомним, что это значит. Cool sine theta — координата X. Итак, если координата X является отрицательной, мы знаем, что угол равен 180 градусам. Итак, с точки зрения трапеции, здесь произойдет то, что трапеция будет полностью плоской. Таким образом, это выражение фактически минимизирует площадь. Если это половина, да, это даст вам максимальную ценность. Итак, давайте на самом деле разберемся, какой будет эта область сейчас.Если косинус равен половине, координата X равна половине. Мы предполагаем, что угол будет в первом квадранте, поэтому мы просто воспользуемся этим. И это очень знакомый треугольник. Мы знаем, что соотношение будет 12 рут три. Это треугольник 30 60 90. Таким образом, когда косинус тета является половинным знаком данных, это третий маршрут, поэтому, если правильно использовать этот факт, площадь максимизируется, когда косинус равен половине. Итак, если вы рассчитываете, это будет четыре раза через три, умноженное на один плюс половина, и это упрощается до трех Маршрут три, и это будет нашим ответом.И вот как вы решаете подобные проблемы? % PDF-1.4
%
987 0 объект
>
эндобдж
xref
987 128
0000000016 00000 н.
0000003880 00000 н.
0000003965 00000 н.
0000004211 00000 н.
0000005077 00000 н.
0000005132 00000 н.
0000005182 00000 н.
0000005260 00000 п.
0000005336 00000 п.
0000005413 00000 н.
0000005488 00000 н.
0000005566 00000 н.
0000005822 00000 н.
0000009241 00000 н.
0000009615 00000 н.
0000010018 00000 п.
0000010365 00000 п.
0000010635 00000 п.
0000011000 00000 п.
0000011371 00000 п.
0000017973 00000 п.
0000018474 00000 п.
0000018886 00000 п.
0000019119 00000 п.
0000023885 00000 п.
0000024246 00000 п.
0000024648 00000 п.
0000024923 00000 п.
0000025579 00000 п.
0000026016 00000 п.
0000026255 00000 п.
0000026705 00000 п.
0000027451 00000 п.
0000028221 00000 п.
0000028643 00000 п.
0000028694 00000 п.
0000028745 00000 п.
0000028784 00000 п.
0000028835 00000 п.
0000028886 00000 п.
0000030537 00000 п.
0000030827 00000 н.
0000031112 00000 п.
0000031317 00000 п.
0000031697 00000 п.
0000031755 00000 п.
0000032105 00000 п.
0000032412 00000 п.
0000033363 00000 п.
0000033536 00000 п.
0000033907 00000 п.
0000034322 00000 п.
0000034491 00000 п.
0000035370 00000 п.
0000035870 00000 п.
0000037347 00000 п.
0000037493 00000 п.
0000039952 00000 н.
0000040250 00000 п.
0000040598 00000 п.
0000041142 00000 п.
0000041657 00000 п.
0000041718 00000 п.
0000041781 00000 п.
0000043288 00000 п.
0000044499 00000 н.
0000044695 00000 п.
0000045815 00000 п.
0000045869 00000 п.
0000047007 00000 п.
0000047386 00000 п.
0000047650 00000 п.
0000048547 00000 п.
0000049099 00000 н.
0000059599 00000 н.
0000071328 00000 п.
0000074146 00000 п.
0000077438 00000 п.
0000078722 00000 п.
0000084809 00000 п.
0000087502 00000 п.
0000093451 00000 п.
0000099307 00000 п.
0000100263 00000 н.
0000103669 00000 н.
0000104237 00000 п.
0000104820 00000 н.
0000105372 00000 п.
0000105967 00000 н.
0000106547 00000 н.
0000106659 00000 н.
0000108106 00000 п.
0000108348 00000 п.
0000108691 00000 п.
0000108754 00000 н.
0000109651 00000 п.
0000109871 00000 п.
0000110162 00000 п.
0000110393 00000 н.
0000110550 00000 н.
0000114240 00000 н.
0000115835 00000 н.
0000117391 00000 н.
0000117561 00000 н.
0000117707 00000 н.
0000117868 00000 н.
0000118042 00000 н.
0000118215 00000 н.
0000118385 00000 н.
0000118555 00000 н.
0000118701 00000 н.
0000121269 00000 н.
0000121438 00000 н.
0000121584 00000 н.
0000121730 00000 н.
0000121900 00000 н.
0000122046 00000 н.
0000124006 00000 н.
0000124178 00000 н.
0000125255 00000 н.
0000126383 00000 п.
0000143982 00000 н.
0000145717 00000 н.
0000146923 00000 н.
0000164522 00000 н.
0000166287 00000 н.
0000167823 00000 н.
0000002856 00000 н.
трейлер
] / Предыдущее 2012440 >>
startxref
0
%% EOF
1114 0 объект
> поток
h ެ ole qci = (; BYi) AтYqi-Ņ \ i — nN Չ * F / h% 5 ً؋ X | i.OIrs Вписанный в окружность многоугольник представляет собой многоугольник, вершины которого расположены на окружности (рис.54) . Многоугольник, описанный вокруг
Окружность представляет собой многоугольник, стороны которого касаются окружности (рис.55). Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника (рис. 54), называется окружностью , описанной вокруг многоугольника ; окружность, для
стороны многоугольника являются касательными (рис.55), называется окружностью , вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно
вписать в него круг и описать вокруг него круг. Для треугольника всегда можно . Радиус r вписанной окружности выражается сторонами a, b, c a.
треугольник как: Радиус R описанной окружности выражается формулой: Можно вписать круг в четырехугольник , если суммы его противоположных сторон одинаковы. В случае параллелограммов это справедливо только для
ромб (квадрат). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей.Можно описать круг вокруг
четырехугольник , если сумма его противоположных углов равна 180 град. В случае параллелограммов это действительно только для прямоугольника (квадрата). Центр
описанной окружности помещается в точку пересечения диагоналей. Можно описать круг вокруг трапеции, только если
это равнобедренный. Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами На рис.56 показан правильный шестиугольник, на рис. 57 — правильный восьмиугольник. Правильный четырехугольник — это квадрат; правильный треугольник — это равносторонний треугольник. Каждый
угол правильного многоугольника равен 180 ( n 2) / n градусов, , где n — количество углов. Внутри правильного многоугольника есть точка O (рис. 56), одинаково удаленная.
от всех его вершин (OA = OB = OC = = OF), который называется центром правильного многоугольника. Центр также удален одинаково со всех сторон
правильный многоугольник (OP = OQ = OR =).Сегменты OP, OQ, OR называются апофемами ; отрезки OA, OB, OC, радиуса правильного многоугольника. это
можно вписать окружность в правильный многоугольник и описать вокруг него окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром
правильный многоугольник. Теорема 2
Свойства четырехугольника, вписанного в круг
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок 1. Используйте таблицу для оценки
максимальная площадь. Один из подходов заключается в следующем. Самая длинная база
имеет длину 2r (на диаметре полукруга) и
мы можем позволить столбцу A содержать меры высоты h
от 0 до р. Тогда размер другой базы будет
.
Вернуться к EMAT
4400/6600 Страница Две параллельные хорды окружности длиной 8 и 10 служат основаниями трапеции, вписанной в окружность.Если длина радиуса круга равна 12, какова наибольшая возможная площадь такой описанной вписанной трапеции?
и прямая, перпендикулярная # AB # и # CD #, проходящая через центр E, делит эти хорды пополам (это означает, что # AF = BF # и # CG = DG # и треугольники, образованные пересечением диагоналей с основаниями в # AB # и # CD #, равнобедренные).
# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, где # b_1 # обозначает основание-1, # b_2 # обозначает основание-2 и # h # обозначает высоту, и # b_1 # параллельно # b_2 #
#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #
# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #
# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / cancel (3)) / (1 / cancel (3)) = 2sqrt (2) #
#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / отмена (2) * отмена (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #
# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #
# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / cancel (12)) / (5 / cancel (12)) = sqrt (119) / 5 #
#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #
# h = x + y #
# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) # РЕШЕНО: Трапеция вписана в полукруг o…
Расшифровка стенограммы
Вся элементарная математика — Учебное пособие — Геометрия
Вписанный многоугольник. Описанный многоугольник. По кругу
о многоугольнике. Ввести в многоугольник. Радиус вписанной окружности
в треугольник. Радиус описанной окружности около треугольника.
Правильный многоугольник. Центр правильного многоугольника. Apothem.
Соотношение сторон и радиусов правильного многоугольника.
Пшенную кашу с тыквой разложить по порционным горшочкам, добавить сливочное масло, плотно закрыть и поставить в духовку на 20–25 мин.
В комплекте гриля-духовки входит кулинарная книга с 55 рецептами вкусных блюд.
Ну, а если не любите, то советую вам её полюбить:) Есть сорта с мускатным вкусом и блюда, где вкус тыквы не очень выражен. За что же можно любить тыкву? За полезные вещества, которые содержатся в ней в большом количестве и низкую калорийность, например.
И дело тут не только в ее ярком по-настоящему осеннем цвете, каша из тыквы– отличный источник полезных веществ, питательных элементов и минералов, которые так необходимы нашему организму для борьбы с великой осенней депрессией. Именно поэтому о тыкве стоит вспоминать не только, когда дело доходит до вырезания самого страшного и ужасного украшения на Хэллоуин. Этот овощ просто обязан появляться на наших столах как можно чаще. Из тыквы можно приготовить огромное количество блюд, но самые вкусные, знакомые с детства и любимые – это, конечно, каши из тыквы.
Кто-то больше любит крупные кусочки тыквы и режет ее кубиками, кто-то трет на терке, также тыкву предварительно отваривают или тушат, взбивают в пюре с помощью блендера или добавляют в кашу просто нарезанной. Некоторые идут еще дальше и готовят тыквенную кашу в самой тыкве! Попробуйте приготовить каши из тыквы по разным рецептам, добавляйте в них мёд, орехи или сухофрукты, и вы обязательно найдете ту кашу, которую оценит по достоинству вся ваша семья.
Добавьте в кашу сливочное масло и подавайте к столу.
кукурузной крупы,
В кастрюле смешайте оставшееся молоко с ½ ст. кипяченой воды, доведите смесь до кипения. Постоянно помешивая, добавьте в кастрюлю манку, сахар и соль. В готовую манную кашу выложите тыкву, перемешайте, добавьте сливочное масло, накройте крышкой и оставьте под полотенцем на 5-10 минут.
Добавьте яблоки в кашу, перемешайте и варите до готовности риса.
очищенной тыквы,
кипятка и оставьте на 5 минут. Тыкву нарежьте небольшими кубиками. В пшено добавьте сахар и соль, перемешайте и выложите всё в форму для запекания, сверху уложите кубики тыквы, полейте мёдом и выложите масло. Плотно закройте форму фольгой и поставьте в духовку, разогретую до 180 °С, на 1 час. Затем достаньте кашу из духовки, подождите 5-10 минут, перемешайте и подавайте к столу.
Разогрейте духовку до 200 °С и поставьте в нее горшочек на 50-55 минут.
Аккуратно удалите все семечки и внутренности тыквы. Отделите мякоть так, чтобы в тыкве остались бортики около 1 см шириной. Мякоть натрите на тёрке. В вычищенную тыкву выложите пшено, изюм, тыкву, залейте молоком и немного подсолите. Добавьте корицу, масло и сахар. Тщательно всё перемешайте и закройте тыкву срезанной крышечкой. В огнеупорную форму налейте немного воды и установите туда тыкву. Запекайте тыкву в духовке в течение 1-1,5 часов при температуре 160-180 °С. Готовую тыкву послейте соком, образовавшимся во время приготовления, тщательно перемешайте и подавайте к столу.
Ароматные кусочки нежнейшей тыквы можно посыпать сахаром или пудрой и подать на стол. Душистая, рассыпчатая пшенная каша с кусочками ягод, приготовленная в тыкве, отлично впишется во взрослый и детский рацион питания. Такую тыкву захотят отведать все члены семьи.
Вычистить ее изнутри от семян. Немного подкорректировать стенки тыквы ножом. Кусочки тыквы пригодятся для наполнения, в начинку.
Добавить сливочное масло (2 ст. л.), перемешать и обжарить ещё 2-3 минуты.
Закрыть тыкву срезанной крышкой. Смазать сверху тыкву подсолнечным маслом (1 ст. л.). Отправить в предварительно разогретую до 180°С духовку на 45 минут.
Вам придется увеличить время выпекания, и конечный результат будет более жевательным! Стальной овес не подойдет в этом рецепте.
Чтобы подавать на стол теплым, вы можете разогреть его в микроволновой печи или в духовке, чтобы она стала теплой. Если вы собираетесь разогревать его, я рекомендую отложить немного глазури, чтобы нанести ее после того, как она нагреется.
Он идеально приправлен пряностями, имеет красивую текстуру и покрыт восхитительной глазурью из сливочного сыра с корицей. Запеченную овсяную кашу из тыквы легко приготовить из горстки питательных ингредиентов, и ее можно использовать в морозильной камере!
Если вы собираетесь разогревать его, я рекомендую отложить немного глазури, чтобы нанести ее после того, как она нагреется!
Приготовление: Смешайте 1 столовую ложку молотых семян чиа или льна с 2 ½ столовой ложки теплой воды и дайте постоять 5 минут.
Заморозить до 3 месяцев.
Мне понравился мой с греческим йогуртом (ура, дополнительный протеин!) И немного кленового сиропа, но он будет одинаково работать с нарезанными бананами и орехами и поцелуем меда.
Мы бесплатно получаем небольшую комиссию, когда вы совершаете покупку по нашим ссылкам. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой конфиденциальности для получения более подробной информации. 
Легко собраться накануне вечером или уютным воскресным утром для приготовления еды.
Порцию этой овсянки мы храним в холодильнике всю неделю, и моим детям она очень нравится.
Просто замените 1 чайную ложку специи тыквенного пирога: 1/2 чайной ложки молотого корицы, 1/4 чайной ложки молотого имбиря + 1/8 чайной ложки молотого мускатного ореха + 1/8 чайной ложки молотого мускатного ореха
Почему? Это объясняется недостаточной теплопроводностью воды для передачи тепла в нижнюю часть пробирки.
Жидкость начинает понемногу окрашиваться, но это происходит благодаря явлению диффузии (т. е. из-за непрерывного хаотичного теплового движения частиц вещества), а конвективные потоки пока не будут наблюдаться. Затем располагаем зажженную свечу под одним из колен трубки, как это показано на рисунке 3.
Таким образом, мы имеем возможность наблюдать циркуляцию конвективных потоков в жидкости.
Этот же эффект хорошо ощущается, если сверху поднести руку к горящей свече или горящей электрической лампочке.
com/embed/-xPshPJn1MA?feature=oembed» frameborder=»0″ allow=»accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»»/>
Этот процесс называют конвекцией (от лат. convectio — перенесение).
Для её возникновения требуется либо подогрев жидкости или газа снизу, либо охлаждение сверху.
На рисунке видно инфракрасное излучение ладони человека.
Здесь, как и в газе, энергия переносится с одного места на другое с потоками вещества — воды.
Точно так же можно объяснить, почему не прогревается воздух в пробирке, если его нагревать сверху (рис. 189).
Почему конвекция невозможна в твердых телах?
В этом случае можно предложить учащимся самостоятельно поискать информацию для ответа на такие вопросы в качестве домашнего задания.
V.
Simon
Hummel
09.2017
Пожалуйста, придерживайтесь правила: 1 фильм — 1 отзыв. В случае нарушения правил размещения или законодательства отзыв может быть отредактирован или удален.
:max_bytes(150000):strip_icc()/__opt__aboutcom__coeus__resources__content_migration__brides__public__brides-services__production__2018__07__23__5b562162a265c413a99d8c8a_Things-You-Daughter-in-Law-Wants-to-Tell-You-7-205694b4351d475c881ad6f86509a1b3.jpg)
Ты этого заслуживаешь, как никто другой!
Мне остается только пожелать: пусть все эти усилия принесут тебе достойные плоды, а результат стараний превзойдет все ожидания! Не знаю, что из меня получится, но одно точно знаю: ты уже состоялась как самая прекрасная мать на свете!
Пусть твоя судьба будет волшебной!
Идиллия прерывается визитом неожиданного гостя (Эд Харрис) – тот представляется местным ортопедом, и Он приглашает его погостить. На следующий день к гостю заявляется любопытная и бесцеремонная жена (Мишель Пфайффер), следом приезжают их сыновья и постепенно тихий и уютный домик превращается в бедлам.
..
Самый простой и понятный способ – нарисовать портрет мамы своими руками. Рисунки детей могут не быть идеальными и точно изображать все черты мамы или бабушки, но это не имеет значения. Ведь ребенок делает это со всей душой.
Если ребенок хочет сделать красивый и аккуратный рисунок, но не умеет изображать лица, то для него полезно будет создать рисунок по шаблону. Так он научится самостоятельно рисовать элементы лица в дальнейшем.
Между глазами расстояние должно быть равным размеру глаза. При прорисовывании формы глаза, вспомните мамины глазки – какие они?
Нарисовать маму можно разными способами, можно выбрать интересный сюжет.
Начинаем проводить линии от центра макушки головы. Рисуем волосы примерно той длины, какой они у вашей мамы. А под шеей не забудет изобразить платье, а точнее его верхнюю часть.
Края лепестков должны быть заострены, их можно прорисовать более жирно. Под каждым цветочком нарисуйте чашелистики.
Поэтому рисунок с таким сюжетом сможет показать всю нежность и любовь.
И день матери не стал исключением. Педагоги подбирают обычно простые рисунки, которые будут по силу любому ребенку. Ведь не у всех есть таланты. С помощью воспитателей у каждого малыша получится создать подарок маме с днем матери.
Чтобы поэтапно нарисовать рисунок ко Дню матери, нужно найти образец. Таких образцов очень много в интернете. Ниже вы найдёте варианты раскрасок, которые сможет повторить любой ребёнок.
Также они могут рисовать свою семью. В основном все рисунки ко Дню матери для школы выглядит так: мама, папа и ребёнок. 
Семья на отдыхе :все энергично спешат навстречу развлечениям выходного дня! )
Все такие симпатичные, глаз не отвести! ) Молодая семья и очень счастливая!
Похоже на то, что девочка хвалится своими успехами! )
Вы только взгляните на эти сладкие парочки! Это нечто невероятное и вместе с тем потрясающее и божественное – мама и малыш! Посмотрите, на каждой из фотографий запечатлена искренняя радость материнства и большая, неземная любовь.
Это много или мало?
Красивые фото
Мастер класс с пошаговым фото
Сам по себе этот процесс несложный, но чтобы результат получился реалистичным, надо правильно подобрать оттенок лица. Смешиваем разные цвета акварели на палитре, хорошо насыщаем кисточку водой и только затем берем небольшое количество краски, чтобы нанести его на портрет. Начинаем раскрашивать с менее заметных участков, которые можно будет при необходимости подкорректировать. Только затем перемещаемся к центру лица. Чтобы сделать голову объемной, под подбородком на шею наносим полукруг более темного тона.
Если портрет получиться удачным, можно подарить его маме на 8 марта или День Матери.
При этом ее можно устроить не только в летнее, но и зимнее время года.
Фотосессия матери и ребенка пройдет на одном дыхании, так как рядом с самым близким человеком младенцы ничего не боятся. И хотя снимки мамы с ребенком, сделанные профессионалом, придется ждать около двух недель, это того стоит, ведь результатом работы станут высококачественные фото.
Красивые фото получаются, когда женщина кормит младенца грудью.
В качестве декора можно использовать разноцветные фонарики, шкатулки, яркую бижутерию, фрукты и т.д.
Летом природа проявляется во всей красе, но не менее красивые кадры получаются в, казалось бы, не самое подходящее для съемок — зимнее время года.
«Они хотели, чтобы моих детей забрали из школы, и в конце концов они добились успеха».
Но после того, как она сделала фото и начала пользоваться телефоном, он задал ей серьезный вопрос: «Ты собираешься опубликовать это в Facebook?»
«В то же время мы признаем, что дети могут быть заинтересованы в свободном вступлении во взрослую жизнь, чтобы создать свой собственный цифровой след.«
Стейнберг указал, что родительский обмен в социальных сетях помогает создавать сообщества, объединять разрозненные семьи, обеспечивать поддержку и повышать осведомленность о важных социальных проблемах для
«Их взращивают люди, которых они уже выбрали и которым доверяют», — говорит она.
x
Несобственные интегралы
Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой — и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B.
Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов.
которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница.
Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 — это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку «Решение».
Неправда ли — это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь — это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию — сайт — самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн.
Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.
При этом, если указанный предел конечен,
то несобственный интеграл называют
сходящимся, в противном случае (
Если 
Для таких значений переменной:
Однако и для этих случаев
можно обобщить понятие определенного
интеграла, введя еще один предельный
переход. Интегралы по бесконечным
промежуткам и от разрывных (неограниченных)
функций называют несобственными .
Следовательно, интеграл расходится.
Тогда, по
определению
Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: .. Во втором случае несобственный интеграл сходится .
Теплота выделяется при сгорании топлива. Между массой вещества и количеством теплоты, необходимым для его нагревания, существует прямая пропорциональная зависимость.
Количество энергии,
которое передается от одного тела к другому в результате теплопередачи, определяется количеством теплоты, которое предано от одного тела другому.
Какие объемы воды следует смешать, чтобы получить 200 л воды при температуре t=40С, если температура
одной массы воды t1=10С, второй массы воды t2=60С?
3)
$$$
{*}\right)
\end{array}
$$
И еще один вопросик, который тоже можно реализовать в виде опыта. Что быстрее закипит – теплая вода или холодная? Все снова очевидно – теплая будет на финише первой. К чему все эти странные вопросы и опыты? К тому, чтобы определить физическую величину, называемую «количеством теплоты».
Для характеристики изменения внутренней энергии при теплообмене вводится величина, называемая количеством теплоты и обозначаемая Q.
Сейчас, зная основы молекулярно-кинетической теории строения вещества, мы понимаем, что теплорода в телах нет, механизм изменения внутренней энергии тела иной. Однако, сила традиций велика и мы продолжаем пользоваться термином, введенным на основе неверных представлений о природе теплоты. Вместе с тем, понимая природу теплообмена, не следует полностью игнорировать неверные представления о нем. Напротив, проводя аналогию между потоком тепла и потоком гипотетической жидкости теплорода, количеством теплоты и количеством теплорода, можно при решении некоторых классов задач наглядно представить протекающие процессы и верно решить задачи. В конце-концов, верные уравнения, описывающие процессы теплообмена, были в свое время получены на основе неверных представлений о теплороде, как носителе теплоты.
Теплота выделяется при сгорании топлива.
К шпильке и трубке припаяны провода, оканчивающиеся клеммами, на которые может подаваться напряжение от осветительной сети. Модель пушки, таким образом, представляет собой разновидность электрического кипятильника.
Чтобы результат эксперимента соответствовал этому предположению, необходимо обеспечить стационарный поток тепла от электроплитки к нагреваемому телу. Для этого электроплитка была включена в сеть заранее, так чтобы к началу опыта температура ее поверхности перестала изменяться. Для более равномерного нагрева жидкости во время опыта, будем помешивать ее при помощи самой термопары. Будем фиксировать показания термометра через равные промежутки времени до тех пор, пока световой зайчик не дойдет до края шкалы.
Прибор состоит из стоек, в которых крепится тонкая парафиновая пластинка и планка с пропущенными сквозь нее стержнями. На концах стержней укреплены алюминиевый, стальной и латунный цилиндры равной массы.
..
Энтина, музыка Г. Гладкова
И медведь сегодня весел,
И танцуют волки.
Снова дед Мороз шагает
По лесным квартирам,
Леденцами угощает,
Сливочным пломбиром.
…
Слова стихотворения «Елка», ставшие основой для песенки, написала в начале XIX века княгиня Раиса Кудашева, их опубликовали в одном из детских журналов в 1903 году. Музыку к стихам написал в 1905 году композитор-любитель Леонид Бекман.
Варламова, слова Р. Паниной.
Со временем звучание упростилось. Как правило, сегодня исполняют лишь первый куплет, где говорится о санях и лошадке. Самая известная версия этой песни исполнена Фрэнком Синатрой.
Рыжов
А под маской разных зверей
Танцевать сластёны стали, 
Что это за праздник, полный песен разных,
В сны мои луна окунулась 
Наши пользователи находят тексты песен из различных источников в интернете, также добавялют самостоятельно. Вы можете скачать текст песни Новогодние песенки — Маленькой Елочке и его перевод.
Также вы можете добавить свой вариант текста «Маленькой Елочке» или его перевод для сайта Pesni.net!
Слетят листки календаря,
Gathering of leaflets calendar
..
..
..
..
Если вы ищете не праздничные зимние песни и стишки, посмотрите мои бесплатные зимние песни и стишки для Circle Time.Если вы ищете песни для китайского Нового года, вы найдете их в моих бесплатных песнях о китайском Новом году и стишках для публикации в кругу.
18, 2021
..