alexxlab — Страница 1527 — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Автор: alexxlab

X 2 1 х: Решите неравенство x^2

Posted on 03.01.197021.06.2021 by alexxlab

Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах⁴ + bх² + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax³ + bx² + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Уравнение вида aⁿxⁿ₊a^n-1x^n-1+…+a¹x+a⁰=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a^n-1=a^k, при k=0, 1, …, n.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М. И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

Пример 1.

x³ – 3x – 2 = 0.

Решение: I способ

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х₁ = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

(х + 1)( х² –х–2) = 0;

х + 1 = 0 или х² –х–2 = 0;

х₁= –1 х_2,3 = ;

х_2,3 = ;

х₂= –1, х₃ = 2

Ответ: –1; 2.

II способ

x³ + х² – х²– х – 2x – 2 = 0;

(x³ + х²) – (х² + х) – 2(x + 1) = 0;

х²(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х² –х–2) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

х₁= –1, х₂ = 2

Ответ: –1; 2.

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах⁴ + bх² + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х².

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay²+by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

y₁ и y₂.

Решая эти два уравнения (y₁=x₁² и y₂=x₁²) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

Ввести новую переменную у=х²
Подставить данную переменную в исходное уравнение
Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х² и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример 2.

х⁴ – 8х² – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х², где у 0; у² – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

у₁ = –1; у₂ = 9;

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.

Ответ: х₁ = –3; х₂ = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax³ + bx² + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

1⁰. У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х³ + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т. е.

(х + 1)(ах² + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах² + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

2⁰. У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

3⁰. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

Пример 3.

х³ + 2x² + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x² + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение

x² + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: –1.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида aⁿxⁿ₊a^n-1x^n-1+…+a¹x+a⁰=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т. е. a^n-1=a^k, при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0:

разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
группировкой привести полученное уравнение к виду

ввести новую переменную , тогда выполнено
, то есть ;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at² +bt+c–2a=0;

решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример 4

2x⁴ – 3x³ – 7x² –15x + 50 = 0.

Решение: Разделим на x², получим:

Введем замену:
Пусть

тогда 2t² – 3t – 27 = 0

t=-3

x2+3x+5=0

D<0

2×2-9x+10=0

x=2; x=2,5

Ответ: .

12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.
Пример 2
Решить уравнение |x-2| — 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:

х-2=0 х-1=0 х-3=0
х=2 х=1 х=3

Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1]; (1; 2]; (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) — 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 — 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 — 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.

Рациональные уравнения Рациональным уравнением называется уравнение вида

где P(x), Q(x) — многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример

Решить уравнение

Решение:

x²-4=0, х-2≠0,

x²=4, х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.

УПРАЖНЕНИЯ 1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1; |x-5|=2; |x+3|=-6. б) |1+x|=3; |1-x|=-4; 8+|x|=2.

Решение:
а) |x|+4=1 не имеет корней, т.к. |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к. модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.

2. Решите уравнение:

а) |5x|=15; б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
|5||x|=15;
5|x|=15;
|x|=3;
x=3 или x=-3.

3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5; б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;
Ответ: -1,2; 0,8.

4. Решите уравнение:

а) |5x²+3x-1|=-x²-36; б) |3x²-5x-4|=-4x²-23.

Решение:
а) |5x²+3x-1|=-x²-36. Рассмотрим выражение -x²-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x²+3x-1|=-x²-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней

5. Решите уравнение:

Решение:
Ответ: -1/3.

6. Решите уравнение:
Решение:
14х²-5x-1=0,

7. Решите уравнение:
Решение:

8. Решите уравнение:

Решение:

х ≠3.
Ответ: -4; 1.

9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения
равно: а) -6; б) 6. Решение:

10. Решите уравнение:

Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х²-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х²=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).

11. Решите уравнение:

а) х²-6|x|=0; б) х²+4|x|=0.

Решение:
а) х²-6|x|=0;
х≥0: х²-6x=0; х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0: х²+6x=0; х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.

12.Решите уравнение:

а) х²-3|x|+2=0; б) х²-2|x|+1=0.

Решение:
а) х²-3|x|+2=0.
х≥0: х²-3x+2=0; D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0: х²+3x+2=0; D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.

13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5; б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 — нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.

14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5; б) 8-|2 -|x|||=3.

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5 или 3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 — нет решений |4-|x||=8
4-|x|=8 или 4-|x|=-8
|x|=-4 — нет решений |x|=12
х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.

15. Решите уравнение:
Решение:
а)
3x-7≥0: х²-3x+10=0; D=9-40=-31<0 — нет корней.

3x-7<0: х²-3x-10=0; D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какие из чисел -4; -1; 2; 1,5; 2,5 являются корнями уравнения:

а) |3x-1|=5; б) |4-2x|=1?

2. Решите уравнение:

а) |3x|=21; б) |2x|=-12.

3. Решите уравнение:

а) |2x-5|=1; б) |3x+6|=18.

4. Решите уравнение:

5. Решите уравнение:

6. Решите уравнение:

7. Решите уравнение:

8. Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

а) 3(x-1) = |2x-1|; б) |5-2x|=|x+4|.

10. Решите уравнение:

а) |х²+x|=12; б) |х²-3x|=10.

Проверь себя

Aquashine BTX 1 x 2 мл Биоревитализант

Aquashine BTX 1 x 2 мл Микрорелаксант

Многоуровневый универсальный препарат с возможностью мультивведения. Уникальный препарат оказывающий эффект выраженного биолифитинга. Благодаря пептидному комплексу и ГК, препарат активно стимулирует синтез нового коллагена и препятствует его разрушению, что приводит к быстрому увеличению плотности и эластичности кожи, мышц и фасций. Максимальный лифтинг-эффект наступает через 2 недели после процедуры. Дополнительные компоненты, такие как витамины, аминокислоты, минералы и коэнзимы обеспечивают коже антиоксидантную защиту.

Aquashine BTX увлажняет, повышает тургор кожи и укрепляет каркас. Восстанавливает внутрикожный баланс. Можно использовать на веках (вплоть до ресничного края). Не вызывает отечности и покраснения.

Прекрасно работает в сочетании с препаратами Aquashine Soft Filler и Aquashine BR.

Aquashine BTX содержит:

Гиалуроновую кислоту (1,5 %)
Витамины (А; C, Е, В6, В1, В2, В7, В8, В3, В12,В9,К1)
Аминокислоты (аланин, аминобутировая кислота, аргинин, аспарагин, аспарагиновая кислота, цистин, глутаминовая кислота, глутамин, глицин, гистидин, гидроксипролин, изолейцин, лейцин, лизин, метионин, орнитин, фенилаланин, пролин, серин, таурин, треонин, триптофан, тирозин, валин)
Минералы и коэнзимы (кальция хлорид, магния сульфат, натрия хлорид, натрия фосфат, тиамин дифосфат, коэнзим А, флавинадениндинуклеотид, никотинамидадениндинуклеотид)
Нуклеиновые кислоты (аденозин фосфат, цитозин, гуанозин, тимин)
Пептиды (Олигопептид-29, Олигопептид-62, Ацетил Декапептид-3, Олигопептид-24, Олигопептид-51)

Показания:

Anti-aging терапия и профилактика инволюционных изменений кожи (коррекция овала лица, мелкие морщины, мимические морщины в периорбитальной области, мимические и статические морщины лба, кисетные морщины верхней губы и т. д.)
Постакне и другие рубцовые деформации кожи (атрофические рубцы пост-акне, пост-операционные рубцы, подготовка к шлифовке кожи)
Пролонгация действия ботулинотерапии и миорелаксация при резистентности к ботулинотерапии

Способ применения:

Препарат используется в качестве биоревитализанта.

Стандартный курс

3 процедуры через каждые 4 недели рекомендуются для достижения оптимального эффекта.
Затем 2-3 процедуры в течение года для поддержания эффекта

Интенсивный курс

6 процедур с интервалом в 2 недели и 5-6 процедур в течение года для оптимального поддержания результатов.

О производителе:

Уникальные препараты гаммы Revofil Aquashine для биоревитализации разработаны южно-корейским фармацевтическим концерном Caregen Co.LTD, находящимся в Сеуле. Компания была основана в 2001 году и занимается исследованиями и продажей космецевтики, фармацевтических препаратов, биомиметических пептидов и факторов роста, а также других сопутствующих товаров.

X2 0 решение. Уравнения онлайн. Тождественные преобразования уравнений

Цели:

Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + … + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

1 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Составить уравнение:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 — 2 х 3 — 23х 2 — 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18=0

х 3 =-3, х 4 =6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5

Составить уравнение:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3

Составить уравнение:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 — х 3 — 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1)=1-1-7+1+6=0

р 3 (x) = х 3 — 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3

Составить уравнение:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4

Составить уравнение

х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Составить уравнение

B=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

х 4 — 7х 3 — 13х 2 + 43 x — 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.

р 4 (1)=1-7-13+43-24=0

р 3 (1)=1-6-19+24=0

р 2 (x)= х 2 -5x — 24 = 0

х 3 =-3, х 4 =8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х — 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х 1 = — 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 =-1-4 = -5;

х 3 =-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х 3 — 3х 2 + ах — 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х 2 -6) = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. n} \)

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m , если 0

В практике часто используются функции вида y = a x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \(a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \(a \neq 1\), не имеет корней, если \(b \leq 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = a x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \(a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \(a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. {x-2} = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \(3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
x 2 − 8x + 12 = 0;
5x 2 + 3x + 7 = 0;
x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

x 2 − 2x − 3 = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:
x 2 − 7x = 0;
5x 2 + 30 = 0;
4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a (t 2 – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,

, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x – d ) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x + 12 ) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:

Имеем (t + 14)(t + 11) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен P n (x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + …+a 1 x + a 0 , где a n ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a n = 1 , то целые корни уравнения P n (x ) = 0 находятся среди делителей свободного члена a 0 . Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P 4 (1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P 4 (x ) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P 4 (x ) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Аналогично, P 3 (1) = 0, тогда P 4 (x ) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P 4 (x) = 0 имеет корни x 1 = x 2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

значит, x 1 = 1 значит, x 2 = 1.

Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

3.Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений

Объяснение и обоснование

1. Понятие уравнения и его корней. Уравнение в математике чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной x записывают так: f (x) = g (x).

Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной.

Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни (и обосновать, что других корней нет) или доказать, что корней нет.

Например, уравнение 2x = —1 имеет единственный корень x = -1, а уравнение | x | = —1 не имеет корней, поскольку значение | x | не может быть отрицательным числом.

2. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Если задано уравнение f (x) = g (x), то общая область определения для функций f (x) и g (x) называется областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения».) Например, для уравнения х² = х областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так. ОДЗ: R, поскольку функции f (x) = x² и g (x) = x имеют области определения R.

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции f (x), так и области определения функции g (x) (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении л/x — 2 + \/1 — x = x функция g (x) = x определена при всех действительных значениях x, а функция f (x) = л/x — 2 + VT — x ко при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается систе-

lx — 210, lx 12,

мой -! из которой получаем систему -! не имеющую решений.

[1 — x 10, [x < 1,

Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.

3. Методы решения уравнений. Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5—6 классов использовались зависимости между компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств;

6 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 122

Рациональные числа

Уравнения

Ответы к стр. 122

618. Является ли число 2 корнем уравнения:
а) x – 2 = 0; б) x + 4 = 0; в) 2x = 4;
г) 3x – 4 = x; д) x + 3 = 2x + 1; е) 3x + 4 = 6x – 2?

Подставим в уравнение вместо х число 2.
а) 2 – 2 = 0,
0 = 0 – является;

б) 2 + 4 = 0,
6 ≠ 0 – не является;

в) 2 • 2 = 4,
4 = 4 – является;

г) 3 • 2 – 4 = 2,
2 = 2 – является;

д) 2 + 3 = 2 • 2 + 1,
5 = 5 – является;

е) 3 • 2 + 4 = 6 • 2 – 2,
10 = 10 – является.

Решите уравнение (619-629):

619. а) х – 2 = 0; б) х + 4 = 0; в) 100 + х = 0; г) х – 5 = 6;
д) х + 2 = 5; е) х – 11 = -7; ж) 12 + х = 17; з) х + 7 = 7.

а) х – 2 = 0,
х = 0 + 2,
х = 2;

б) х + 4 = 0,
х = 0 – 4,
х = -4;

в) 100 + х = 0,
х = 0 – 100,
х = -100;

г) х – 5 = 6,
х = 6 + 5,
х = 11;

д) х + 2 = 5,
х = 5 – 2,
х = 3;

е) х – 11 = -7,
х = -7 + 11,
х = 4;

ж) 12 + х = 17,
х = 17 – 12,
х = 5;

з) х + 7 = 7,
х = 7 – 7,
х = 0.

620. а) 5 + x = 3; б) -7 + x = -2; в) x + 3 = -6;
г) 12 + x = -8; д) x + 18 = 18; е) -13 + x = -5;
ж) x – ¹/₅ = 2; з) x – 2 = ¹/₂; и) x – 4 = 1 ¹/₃.

а) 5 + x = 3,
x = 3 – 5,
x = -2;

б) -7 + x = -2,
x = -2 + 7,
x = 5;

в) x + 3 = -6,
x = -6 – 3,
x = -9;

г) 12 + x = -8,
x = -8 – 12,
x = -20;

д) x + 18 = 18,
x = 18 – 18,
x = 0;

е) -13 + x = -5,
x = -5 + 13,
x = 8;

ж) x – ¹/₅ = 2,
x = 2 + ¹/₅,
x = 2 ¹/₅;

з) x – 2 = ¹/₂,
x = ¹/₂ + 2,
x = 2 ¹/₂;

и) x – 4 = 1 ¹/₃,
x = 1 ¹/₃ + 4,
x = 5 ¹/₃.

621. а) x – ¹/₂ = ¹/₂; б) x – ¹/₃ = ¹/₄; в) x – ¹/₁₈ = ¹/₁₂;
г) x – 1 = – ¹/₃; д) ¹/₇ + x = 11; е) 1 ¹/₅ + x = 1;
ж) x – 6 ¹/₃ = -3 ²/₃; з) ⁷/₉ + x = 2 ¹/₂; и) x – 2 ¹/₂ = -1 ³/₅.

а) x – ¹/₂ = ¹/₂,
x = ¹/₂ + ¹/₂,
x = ²/₂,
х = 1;

б) x – ¹/₃ = ¹/₄,
x = ¹/₄ + ¹/₃,
x = ³⁺⁴/₁₂,
х = ⁷/₁₂;

в) x – ¹/₁₈ = ¹/₁₂,
x = ¹/₁₂ + ¹/₁₈,
x = ³⁺²/₃₆,
х = ⁵/₃₆;

г) x – 1 = – ¹/₃,
x = – ¹/₃ + 1,
x = ²/₃;

д) ¹/₇ + x = 11,
x = 11 – ¹/₇,
x = 10 ⁶/₇;

е) 1 ¹/₅ + x = 1,
x = 1 – 1 ¹/₅,
x = – ¹/₅;

ж) x – 6 ¹/₃ = -3 ²/₃,
x = -3 ²/₃ + 6 ¹/₃,
x = 2 ²/₃;

з) ⁷/₉ + x = 2 ¹/₂,
x = 2 ¹/₂ – ⁷/₉,
x = 2 ⁹/₁₈ – ¹⁴/₁₈,
х = 1 ²⁷/₁₈ – ¹⁴/₁₈,
х = 1 ¹³/₁₈;

и) x – 2 ¹/₂ = -1 ³/₅,
x = -1 ³/₅ + 2 ¹/₂,
x = -1 ⁶/₁₀ + 2 ⁵/₁₀,
х = 1 ¹⁵/₁₀ – 1 ⁶/₁₀,
х = ⁹/₁₀.

622. а) 2x = 4; б) 6x = 24; в) 7x = -14;
г) -5x = 100; д) -2x = -8; е) 12x = -36.

а) 2x = 4,
x = 4 : 2,
х = 2;

б) 6x = 24,
x = 24 : 6,
х = 4;

в) 7x = -14,
x = -14 : 7,
х = -2;

г) -5x = 100,
x = -100 : 5,
х = -20;

д) -2x = -8,
x = -8 : (-2),
х = 4;

е) 12x = -36,
x = -36 : 12,
х = -3.

623. а) 3x = 2; б) 6x = -7; в) -2x = -13; г) 2x = 0;
д) -5x = 0; е) –x = 2; ж) –x = 0; з) –x = -5.

а) 3x = 2,
x = ²/₃;

б) 6x = -7,
x = – ⁷/₆,
х = -1 ¹/₆;

в) -2x = -13,
x = ^-13/_-2,
х = 6 ¹/₂;

г) 2x = 0,
x = 0 : 2,
х = 0;

д) -5x = 0,
x = 0 : (-5),
х = 0;

е) –x = 2,
x = 2 : (-1),
х = -2;

ж) –x = 0,
x = 0 : (-1),
х = 0;

з) –x = -5,
x = -5 : (-1),
х = 5.

624. а) 2x = ¹/₂; б) 3x = – ¹/₄; в) -2x = ¹/₄;
г) ¹/₂x = 3; д) ³/₄x = 1; е) – ¹/₃x = -3;
ж) – ²/₇x = 0; з) -4x = ⁸/₂₅; и) 2x = 1 ¹/₃.

а) 2x = ¹/₂,
x = ¹/₂ : 2,
х = ¹/₂ • ¹/₂,
х = ¹/₄;

б) 3x = – ¹/₄,
x = – ¹/₄: 3,
х = – ¹/₄• ¹/₃,
х = – ¹/₁₂;

в) -2x = ¹/₄,
x = ¹/₄: (-2),
х = ¹/₄ • (- ¹/₂),
х = – ¹/₈;

г) ¹/₂x = 3,
x = 3 : 12,
х = 3 • 2,
х = 6;

д) ³/₄x = 1,
x = 1 : ³/₄,
х = 1 • ⁴/₃,
х = ⁴/₃,
х = 1 ¹/₃;

е) – ¹/₃x = -3,
x = -3 : (- ¹/₃),
х = -3 • (- ³/₁),
х = ⁹/₁,
х = 9;

ж) – ²/₇x = 0,
x = 0 : (- ²/₇),
х = 0;

з) -4x = ⁸/₂₅,
x = ⁸/₂₅: (-4),
х = ⁸/₂₅ • (- ¹/₄),
х = – ^2•1/_25•1,
х = – ²/₂₅;

и) 2x = 1 ¹/₃,
x = 1 ¹/₃: 2,
х = ⁴/₃ • ¹/₂,
х = ^2•1/_3•1,
х = ²/₃.

625. а) 2x – 6 = 0; б) 12 + 3x = 0; в) –x + 7 = 0; г) 15 – 3x = 0;
д) 3x + 1 = 7; е) 5 – 2x = 1; ж) 5x – 2 = 1; з) -5x – 2 = -12.

а) 2x – 6 = 0,
2x = 0 + 6,
х = 6 : 2,
х = 3;

б) 12 + 3x = 0,
3x = 0 – 12,
х = -12 : 3,
х = -4;

в) –x + 7 = 0,
–x = 0 – 7,
х = -7 : (-1),
х = 7;

г) 15 – 3x = 0,
-3x = 0 – 15,
х = -15 : (- 3),
х = 5;

д) 3x + 1 = 7,
3x = 7 – 1,
х = 6 : 3,
х = 2;

е) 5 – 2x = 1,
-2x = 1 – 5,
-2х = -4,
x = -4 : (-2),
х = 2;

ж) 5x – 2 = 1,
5x = 1 + 2,
x = ³/₅;

з) -5x – 2 = -12,
-5x = -12 + 2,
х = -10 : (-5),
х = 2.

626. а) 3x + 2x = 10; б) 5x + x = 6; в) 4x + 2x – 7 = 5;
г) 7x + x + 3 = 19; д) 5 = 4x – 3x; е) 8 = 3x – x;
ж) 3x – 1 = 2x; з) 3x – 6 = x.

а) 3x + 2x = 10,
(3 + 2)х = 10,
5x = 10,
x = 10 : 5,
х = 2;

б) 5x + x = 6,
(5 + 1)х = 6,
6x = 6,
x = 6 : 6,
х = 1;

в) 4x + 2x – 7 = 5,
(4 + 2)х = 5 + 7,
6x = 12,
x = 12 : 6,
х = 2;

г) 7x + x + 3 = 19,
(7 + 1)х = 19 – 3,
8x = 16,
x = 16 : 8,
х = 2;

д) 5 = 4x – 3x,
5 = (4 – 3)х,
x = 5;

е) 8 = 3x – x,
8 = (3 – 1)х,
8 = 2x,
x = 8 : 2,
х = 4;

ж) 3x – 1 = 2x,
3x – 2x = 1,
(3 – 2)х = 1,
x = 1;

з) 3x – 6 = x,
3x – x = 6,
(3 – 1)х = 6,
2x = 6,
x = 6 : 2,
х = 3.

627. а) x + 3 = 3x – 7; б) 3 – x = 1 + x; в) 7x + 2 = 3x – 10;
г) 5x – 8 = 3x – 8; д) ¹/₂x – 3 = 2 – ¹/₃x; е) 5x – 2 ¹/₄ = ¹/₂x;
ж) ²/₅x – 1 = ³/₄x – 6; з) 2x – ³/₅ = ³/₄x – ¹/₂.

а) x + 3 = 3x – 7,
3 + 7 = 3x – x,
10 = (3 – 1)х,
10 = 2х,
х = 10 : 2,
х = 5;

б) 3 – x = 1 + x,
3 – 1 = x + x,
2 = (1 + 1)х,
2 = 2х,
х = 2 : 2,
х = 1;

в) 7x + 2 = 3x – 10,
7x – 3x = -10 – 2,
(7 – 3)х = -12,
4x = -12,
x = -12 : 4,
x = -3;

г) 5x – 8 = 3x – 8,
5x – 3x = -8 + 8,
(5 – 3)х = 0,
2х = 0,
х = 0 : 2,
х = 0;

д) ¹/₂x – 3 = 2 – ¹/₃x,
¹/₂x + ¹/₃x = 2 + 3,
³/₆x + ²/₆x = 5,
⁵/₆x = 5,
x = 5 : ⁵/₆,
х = 5 • ⁶/₅,
х = 6;

е) 5x – 2 ¹/₄ = ¹/₂x,
5x – ¹/₂x = 2 ¹/₄,
(5 – ¹/₂)х = 2 ¹/₄,
4 ¹/₂x = 2 ¹/₄,
x = 2 ¹/₄: 4 ¹/₂,
х = ⁹/₄ • ²/₉,
х = ¹/₂;

ж) ²/₅x – 1 = ³/₄x – 6,
²/₅x – ³/₄x = -6 + 1,
(⁸/₂₀ – ¹⁵/₂₀)х = -5,
– ⁷/₂₀х = -5,
х = -5 : (- ⁷/₂₀),
х = -5 • (- ²⁰/₇),
х = ¹⁰⁰/₇,
х = 14 ²/₇;

з) 2x – ³/₅ = ³/₄x – ¹/₂,
2x – ³/₄x = – ¹/₂ + ³/₅,
(2 – ³/₄)x = – ⁵/₁₀ + ⁶/₁₀,
1 ¹/₄x = ¹/₁₀,
х = ¹/₁₀: ⁵/₄,
х = ¹/₁₀ • ⁴/₅,
х = ^1•2/_5•5,
х = ²/₂₅.

628. а) 2(x – 5) = 9; б) 12 + 3(x – 1) = 0; в) -(x + 8) = 3;
г) 1 – 5(2 – 3x) = 6; д) 7 – 3(x + 1) = 6; е) 5 – 2(3 – x) = 11;
ж) 2x – (7 + x) = 2; з) -3 – 3(3 – 2x) = 1.

а) 2(x – 5) = 9,
2x – 10 = 9,
2x = 9 + 10,
x = ¹⁹/₂,
х = 9 ¹/₂;

б) 12 + 3(x – 1) = 0,
12 + 3x – 3 = 0,
3x = 0 – 12 + 3,
x = -9 : 3,
х = -3;

в) -(x + 8) = 3,
–x – 8 = 3,
–x = 3 + 8,
x = 11 : (-1),
х = -11;

г) 1 – 5(2 – 3x) = 6,
1 – 10 + 15x = 6,
15x = 6 – 1 + 10,
x = 15 : 15,
х = 1;

д) 7 – 3(x + 1) = 6,
7 – 3x – 3 = 6,
-3x = 6 – 7 + 3,
x = 2 : (-3),
х = – ²/₃;

е) 5 – 2(3 – x) = 11,
5 – 6 + 2x = 11,
2x = 11 – 5 + 6,
x = 12 : 2,
х = 6;

ж) 2x – (7 + x) = 2,
2x – 7 – x = 2,
(2 – 1)x = 2 + 7,
х = 9;

з) -3 – 3(3 – 2x) = 1,
-3 – 9 + 6x = 1,
6x = 1 + 3 + 9,
x = ¹³/₆,
х = 2 ¹/₆.

Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.

Математика. 6 класс

Понравилось? Оцени!

Различные методы решения уравнений

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax²ⁿ+ bxⁿ + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax⁴ + bx³ + cx² – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x², тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t² – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x⁴ – 2x³ – x² – 2x + 1 = 0, делим обе части на x²,

, после замены получаем уравнение t² – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

Ответ:

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax², коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x². Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x² + 14x + 24)(x² +11x + 24) = 4x², разделим обе части уравнения на x², получим:

имеем (t + 14)(t + 11 ) = 4.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …+a₁x + a₀ , где a_n≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a_n = 1 , то целые корни уравнения P_n(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a₀. Например, x⁴+ 2x³ – 2x² – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P₄(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P₄(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P₄(x) = (x – 1)(x³ + 3x² + x – 5).

Аналогично, P₃(1) = 0, тогда P₄(x) = (x – 1)(x – 1)(x² + 4x +5), т.е. уравнение P₄(x) = 0 имеет корни x₁ = x₂ = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

значит, x₁ = 1 значит, x₂ = 1.

Итак, (x – 1)²(x² + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax³ + bx² + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax⁵+ bx⁴ + cx³ + cx²+ bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x⁵ + 3x⁴ – 5x³– 5x²+ 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

x = 1

Получаем (x – 1)²(x + 1)(2x² + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

3 6 Решить для? cos (x) = 1/2 7 Решить относительно x sin (x) = — 1/2 8 Преобразование из градусов в радианы 225 9 Решить для? cos (x) = (квадратный корень из 2) / 2 10 Решить относительно x cos (x) = (квадратный корень из 3) / 2 11 Решить относительно x sin (x) = (квадратный корень из 3) / 2 12 График г (x) = 3/4 * корень пятой степени x 13 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 9 14 Преобразование из градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование из градусов в радианы 180 16 Найдите точное значение коричневый (195) 17 Найдите степень е (х) = 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 18 Решить для? тангенс (x) = квадратный корень из 3 19 Решить для? sin (x) = (квадратный корень из 2) / 2 20 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 25 21 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 4 22 Решить относительно x 2cos (x) -1 = 0 23 Решить относительно x 6x ^ 2 + 12x + 7 = 0 24 Найдите домен х ^ 2 25 Найдите домен е (х) = х ^ 2 26 Преобразование из градусов в радианы 330 градусов 27 Разверните логарифмическое выражение натуральный логарифм (x ^ 4 (x-4) ^ 2) / (квадратный корень из x ^ 2 + 1) 28 Упростить ((3x ^ 2) ^ 2y ^ 4) / (3y ^ 2) 29 Упростить (csc (x) детская кроватка (x)) / (sec (x)) 30 Решить для? тангенс (х) = 0 31 Решить относительно x х ^ 4-3x ^ 3-х ^ 2 + 3x = 0 32 Решить относительно x cos (x) = sin (x) 33 Найдите точки пересечения x и y х ^ 2 + у ^ 2 + 6х-6у-46 = 0 34 Решить относительно x квадратный корень из x + 30 = x 35 Упростить детская кроватка (x) коричневый (x) 36 Найдите домен у = х ^ 2 37 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-4 38 Найдите точное значение грех (255) 39 Оценить, основание журнала 27 из 36 40 преобразовать из радианов в градусы 2п 41 Упростить (F (x + h) -Fx) / час 42 Решить для? 2sin (x) ^ 2-3sin (x) + 1 = 0 43 Решить относительно x tan (x) + квадратный корень из 3 = 0 44 Решить относительно x грех (2х) + соз (х) = 0 45 Упростить (1-соз (х)) (1 + соз (х)) 46 Найдите домен х ^ 4 47 Решить для? 2sin (x) + 1 = 0 48 Решить относительно x х ^ 4-4x ^ 3-х ^ 2 + 4x = 0 49 Упростить 9 / (х ^ 2) + 9 / (х ^ 3) 50 Упростить (детская кроватка (x)) / (csc (x)) 51 Упростить 1 / (с ^ (3/5)) 52 Упростить квадратный корень из 9a ^ 3 + квадратный корень из 53 Найдите точное значение желто-коричневый (285) 54 Найдите точное значение cos (255) 55 Преобразовать в логарифмическую форму 12 ^ (x / 6) = 18 56 Расширьте логарифмическое выражение (основание 27 из 36) (основание 36 из 49) (основание 49 из 81) 57 Недвижимость х ^ 2 = 12 лет 58 Недвижимость х ^ 2 + у ^ 2 = 25 59 График f (x) = — натуральный логарифм x-1 + 3 60 Найдите значение, используя единичную окружность арксин (-1/2) 61 Найдите домен квадратный корень из 36-4x ^ 2 62 Упростить (корень квадратный из x-5) ^ 2 + 3 63 Решить относительно x х ^ 4-2x ^ 3-х ^ 2 + 2x = 0 64 Решить относительно x у = (5-х) / (7х + 11) 65 Решить относительно x х ^ 5-5x ^ 2 = 0 66 Решить относительно x cos (2x) = (квадратный корень из 2) / 2 67 График г = 3 68 График f (x) = — логарифм по основанию 3 из x-1 + 3 69 Найдите корни (нули) f (x) = 3x ^ 3-12x ^ 2-15x 70 Найдите степень 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 71 Решить относительно x квадратный корень из x + 4 + квадратный корень из x-1 = 5 72 Решить для? cos (2x) = — 1/2 73 Решить относительно x логарифм по основанию x 16 = 4 74 Упростить е ^ х 75 Упростить (соз (х)) / (1-грех (х)) + (1-грех (х)) / (соз (х)) 76 Упростить сек (x) sin (x) 77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18 78 Найдите домен квадратный корень из 16-x ^ 2 79 Найдите домен квадратный корень из 1-x 80 Найдите домен у = грех (х) 81 Упростить корень квадратный из 25x ^ 2 + 25 82 Определить, нечетно ли, четно или нет е (х) = х ^ 3 83 Найдите домен и диапазон f (x) = квадратный корень из x + 3 84 Недвижимость х ^ 2 = 4г 85 Недвижимость (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 9 = 1 86 Найдите точное значение cos (-210) 87 Упростить кубический корень из 54x ^ 17 88 Упростить квадратный корень из квадратного корня 256x ^ 4 89 Найдите домен е (х) = 3 / (х ^ 2-2x-15) 90 Найдите домен квадратный корень из 4-x ^ 2 91 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-9 92 Найдите домен е (х) = х ^ 3 93 Решить относительно x е ^ х-6е ^ (- х) -1 = 0 94 Решить относительно x 6 ^ (5x) = 3000 95 Решить относительно x 4cos (x-1) ^ 2 = 0 96 Решить относительно x 3x + 2 = (5x-11) / (8лет) 97 Решить для? грех (2x) = — 1/2 98 Решить относительно x (2x-1) / (x + 2) = 4/5 99 Решить относительно x сек (4x) = 2 100 Решите для n (4n + 8) / (n ^ 2 + n-72) + 8 / (n ^ 2 + n-72) = 1 / (n + 9)

Упростить 1 / x-1-2 / x ^ 2 = 0 Tiger Algebra Solver

Пошаговое решение:

Шаг 1:

 2
 Упростить ——
            x ²

Уравнение в конце шага 1:

 1 2
  (- - 1) - —— = 0
   x x ²

Шаг 2:

 1
 Упростить -
            Икс

Уравнение в конце шага 2:

 1 2
  (- - 1) - —— = 0
   x x ²

Шаг 3:

Переписывание целого как эквивалентной дроби:

3.1 Вычитание целого из дроби

Перепишем целое как дробь, используя x в качестве знаменателя:

 1 1 • x
    1 = - = —————
         1 х

Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое

Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель

  Сложение дробей с общим знаменателем: 
   3.2 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
  Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьших членов, если возможно: 
  1 - (x) 1 - х
 знак равно
    х х
 
 Уравнение в конце шага 3:
 (1 - x) 2
  ——————— - —— = 0
     x x ² 
 Шаг 4:
  Вычисление наименьшего общего кратного: 
  4.1 Найдите наименьшее общее кратное 
  Левый знаменатель: x 
  Правый знаменатель: x ² 
 
   Сколько раз каждый алгебраический множитель 
 появляется при факторизации:     Алгебраический фактор 
  Левый 
 Знаменатель   Правый 
 Знаменатель   НОК = Макс 
 {Левый, Правый}  
   x   1   2   2  
 
 
  
 
 909 9 Множественный 909 
  Расчет множителей: 
  4.2 Вычислить множители для двух дробей 
  Обозначить наименьшее общее кратное LCM 
 Обозначить левый множитель Left_M 
 Обозначить правый множитель Right_M 
 Обозначить левый знаменатель L_Deno 
 Обозначить правый множитель R_Deno 
 = LCM  Left_M L_Deno = x 
  Right_M = LCM / R_Deno = 1 
  Получение эквивалентных дробей: 
   4.3 Перепишите две дроби в эквивалентные дроби 
  Две дроби называются эквивалентными, если они имеют одинаковое числовое значение.
  Например: 1/2 и 2/4 эквивалентны, y / (y + 1) ² и (y ² + y) / (y + 1) ³ также эквивалентны. 
  Чтобы вычислить эквивалентную дробь, умножьте числитель каждой дроби на соответствующий ей множитель. 
  L. Mult. • L. Num. (1-х) • х
   знак равно
         L.C.M x ²
   R. Mult. • R. Num. 2
   знак равно
         L.C.M x ² 
 Сложение дробей с общим знаменателем:
  4.4 Сложение двух эквивалентных дробей 
 
  (1-x) • x - (2) -x ² + x - 2
 знак равно
       x ² x ² 
 Шаг 5:
  Вытягивание как термины: 
   5.1 Вытягивание как факторы: 
  -x ² + x — 2 = -1 • (x ² — x + 2) 
 
   Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена 
   5.2 Факторинг x ² — x + 2 
  Первый член x ², его коэффициент равен 1. 
 Средний член, -x, его коэффициент -1. 
 Последний член, «константа», равен +2 
  Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 2 = 2 
  Шаг-2: Найдите два множителя 2, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -1. 
 
 — 900      -2   +  -1   =  -3   
    -1   +  -2   = 
    1   +   2   =   3   
     2   +   1   =   3  90 900 два таких фактора: можно найти !! 
 Вывод: трехчлен не может быть разложен на множители 
   Уравнение в конце шага 5: 
  -x ² + x - 2
  ——————————— = 0
      x ² 
 Шаг 6:
  Когда дробь равна нулю: 
  6.1 Когда дробь равна нулю ... 
 Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должна быть равна нулю.
 Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
 Вот как:
 -x ² + x-2
  ——————— • x ² = 0 • x ²
    x ² 
 Теперь, с левой стороны, x ² отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
 Уравнение теперь принимает форму: 
 -x ² + x-2 = 0
  Парабола, поиск вершины: 
   6.2 Найдите вершину y = -x ² + x-2 
  Параболы имеют наивысшую или низшую точку, называемую Вершиной. Наша парабола открывается вниз и, соответственно, имеет наивысшую точку (также известную как абсолютный максимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, -1, отрицателен (меньше нуля). 
  Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину.Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения. 
  Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
  Для любой параболы Ax ² + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 0,5000 
  Подставив в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = -1,0 * 0,50 * 0,50 + 1,0 * 0,50 — 2,0 
 или y = -1,750 
   Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X: 
  Корневой график для: y = -x ² + x-2 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0.50} 
 Vertex at {x, y} = { 0.50, -1.75} 
 Функция не имеет действительных корней 
  Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
  6.3 Решение -x ² + x-2 = 0, заполнив квадрат. 
  Умножьте обе части уравнения на (-1), чтобы получить положительный коэффициент для первого члена: 
 x ² -x + 2 = 0 Вычтите 2 из обеих частей уравнения: 
 x ² -x = -2 
  А теперь хитрый момент: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат, получив 1/4 
  Добавьте 1/4 к обеим сторонам уравнения: 
 В правой части имеем: 
 -2 + 1/4 или, (-2/1) + (1/4) 
 Общий знаменатель двух дробей равен 4 Сложение (-8/4) + (1 / 4) дает -7/4 
 Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем: 
 x ² -x + (1/4) = -7/4 
  Добавление 1/4 завершило левую часть в виде идеального квадрата. : 
 x ² -x + (1/4) = 
 (x- (1/2)) • (x- (1/2)) = 
 (x- (1/2)) ² 
 Вещи которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку 
 x ² -x + (1/4) = -7/4 и 
 x ² -x + (1/4) = (x- (1/2)) ² 
, то согласно закон транзитивности, 
 (x- (1/2)) ² = -7/4 
  Мы будем называть это уравнение уравнением. # 6.3.1 
  Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны. 
  Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x- (1/2)) ² равен 
 (x- (1/2)) ^2/2 = 
 (x- (1/2)) ¹ = 
 x- (1/2) 
  Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 6.3.1 получаем: 
 x- (1/2) = √ -7/4 
  Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 1/2 + √ -7/4 
 В математике, i называется мнимой единицей. Он удовлетворяет i ² = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1 
  Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
 x ² — x + 2 = 0 
 имеет два решения: 
 x = 1/2 + √ 7/4 • i 
 или 
 x = 1/2 — √ 7/4 • i 
  Обратите внимание, что √ 7/4 можно записать как 
 √ 7 / √ 4, что равно √ 7/2 
 
   Решите квадратное уравнение через квадратную формулу 
   6.4 Решение -x ² + x-2 = 0 по квадратичной формуле. 
  Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax ² + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
   
 — B ± √ B ² -4AC 
 x = ———————— 
 2A 
  В нашем случае A = -1 
 B = 1 
 C = -2 
  Соответственно B ² — 4AC = 
 1 — 8 = 
 -7 
  Применение формулы корней квадратного уравнения: 
  -1 ± √ -7 
 x = ————— 
 -2 
  В наборе действительных чисел отрицательные числа не имеют квадратных корней.Был изобретен новый набор чисел, названный комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти числа записываются (a + b * i) 
  Оба i и -i являются квадратными корнями из минус 1 
  Соответственно √ -7 = 
 √ 7 • (-1) = 
 √ 7 • √ -1 = 
 ± √ 7 • i 
  √ 7, округленное до 4 десятичных цифр, составляет 2,6458 
 Итак, теперь мы смотрим на: 
 x = (-1 ± 2,646 i) / -2 
  Два мнимых решения: 
 
  x = (- 1 + √-7) / - 2 = (1-i√ 7) / 2 = 0.5000 + 1.3229i
или: 
 x = (- 1-√-7) / - 2 = (1 + i√ 7) / 2 = 0,5000–1,3229i
 
 
 Было найдено два решения:
 x = (- 1-√-7) / — 2 = (1 + i√ 7) / 2 = 0.5000-1.3229i
 x = (- 1 + √-7 ) / — 2 = (1-i√ 7) / 2 = 0,5000 + 1,3229i
 Ввод математических задач на этом сайте
 Быстро! Мне нужна помощь с:
 Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансовМатематика, Практика полиномов по математике, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они из себя представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Прямоугольные треугольники, ветряк, фигура
 Вычислить sin (x-1) / (x ^ 2 -1), когда предел x стремится к 1
 Угол прямоугольного треугольника выражается как $ x-1 $.2-1} $ $ = $ $ \ Large \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ normalsize \ dfrac {\ sin (x-1)} {(x-1) (x + 1)} $
 Шаг: 2
 Разделите соотношение функций как два множителя.
 $ = \ Large \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ sin (x-1)} {(x-1)} \ times \ dfrac {1} {(x + 1 )} \ Bigg] $
 $ = \ Large \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ sin (x-1)} {(x-1)} \ Bigg] \ times \ Bigg [\ dfrac {1 } {(x + 1)} \ Bigg]
 долларов США Шаг: 3
 Примените ограничение к обеим функциям умножения правилом произведения.
 $ = \ Large \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ sin (x-1)} {(x-1)} \ Bigg] $ $ \ times $ $ \ Large \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ normalsize \ Bigg [\ dfrac {1} {(x + 1)} \ Bigg] $
 Шаг: 4
 Первый множитель представляет отношение синуса угла к углу, и это то же самое, что предел x стремится к правилу 0 sinx / x. Согласно этому тождеству отношение синуса угла к углу равно единице, когда $ x $ приближается к нулю. Итак, попробуем скорректировать первый множитель.
 Если $ x $ стремится к 1 $, то $ x-1 $ стремится к 0 $. Итак, измените предельное значение $ x \ to 1 $ на $ x-1 \ на 0 $, но только для первой функции умножения.
 $ = \ Large \ displaystyle \ lim_ {x-1 \ to 0} \ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ sin (x-1)} {(x-1)} \ Bigg] $ $ \ times $ $ \ Большой \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ normalsize \ Bigg [\ dfrac {1} {(x + 1)} \ Bigg] $
 Следовательно, значение первого множителя составляет $ 1 $, и подставьте $ x = 1 $ во второй множитель, чтобы получить требуемое решение.2 -1} = \ dfrac {1} {2}
 долларов США Купите стальную квадратную трубу онлайн!
  Т11218   1/2 X 1/2 X 18 GA (стена 0,049)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т11218
  1/2 X 1/2 X 18 GA (.049 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 0,31 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  0,31 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т11216   1/2 X 1/2 X 16 GA (.065 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т11216
  1/2 X 1/2 X 16 GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 0,39 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  0.39 фунтов / фут
 Добавить в корзину    Т15816   5/8 x 5/8 x 16GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T15816
  5/8 x 5/8 x 16GA (.065 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 0,50 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  0,50 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т13416   3/4 X 3/4 X 16 GA (.065 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T13416
  3/4 X 3/4 X 16 GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 0,60 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  0.60 фунтов / фут
 Добавить в корзину    Т13414   3/4 X 3/4 X 14 GA (стена 0,083)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T13414
  3/4 X 3/4 X 14 GA (.083 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 0,75 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  0,75 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т13411   3/4 X 3/4 X 11 GA (.120 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T13411
  3/4 X 3/4 X 11 GA (стенка 0,120)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,03 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1.03 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т17816   7/8 X 7/8 X 16GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T17816
  7/8 X 7/8 X 16GA (.065 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 0,72 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  0,72 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т11116   1 X 1 X 16GA (.065 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т11116
  1 X 1 X 16GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 0,82 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  0.82 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т11114   1 X 1 X 14 GA (стена 0,083)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т11114
  1 X 1 X 14 GA (.083 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,04 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1,04 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т11112   1 X 1 X 12 GA (.105 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т11112
  1 X 1 X 12 GA (стенка .105)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,32 фунта
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  1,32 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т11111   1 X 1 X 11 GA (.120 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т11111
  1 X 1 X 11 GA (стена 0,120)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,44 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1.44 фунт / фут
 Добавить в корзину    т111416   1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 16GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111416
  1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 16GA (.065 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,04 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1,04 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т111414   1-1 / 4 x 1-1 / 4 x 14 GA (.083 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111414
  1-1 / 4 x 1-1 / 4 x 14 GA (стена 0,083)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,32 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1.32 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т111412   1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 12 GA (стенка .109)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111412
  1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 12 GA (.109 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,70 фунта
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера
  Вес:  1,70 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т111411   1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 11 GA (.120 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111411
  1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 11 GA (стена 0,120)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,80 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1.80 фунтов / фут
 Добавить в корзину    т1114316   1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 Т1114316
  1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 2.40 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  2,40 фунта / фут
 Добавить в корзину    т111216   1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 16GA (.065 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111216
  1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 16GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,26 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1.26 фунтов / фут
 Добавить в корзину    Т111214   1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 14 GA (стена 0,083)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111214
  1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 14 GA (.083 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,67 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1,67 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т111212   1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 12 GA (.109 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111212
  1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 12 GA (стенка .109)  
 A513 Квадратная стальная труба
 2,07 фунта
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера
  Вес:  2.07 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т111211   1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 11 GA (стена 0,120)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т111211
  1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 11 GA (.120 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 2,22 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  2,22 фунта / фут
 Добавить в корзину    т1112316   1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 Т1112316
  1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 3.04 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  3,04 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т1112250   1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 Т1112250
  1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 4.07 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  4,07 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т113414   1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 14 GA (.083 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т113414
  1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 14 GA (стена 0,083)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,88 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  1.88 фунтов / фут
 Добавить в корзину    Т113411   1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 11 GA (стенка 0,120)  
 A513 Квадратная стальная труба
 Т113411
  1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 11 GA (.120 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 2,58 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  2,58 фунт / фут
 Добавить в корзину    т1134316   1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 Т1134316
  1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 3.68 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  3,68 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т12216   2 X 2 X 16GA (.065 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T12216
  2 X 2 X 16GA (стена 0,065)  
 A513 Квадратная стальная труба
 1,71 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  1.71 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т12214   2 X 2 X 14 GA (стена 0,083)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T12214
  2 X 2 X 14 GA (.083 стенка)  
 A513 Квадратная стальная труба
 2,14 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  2,14 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т12212   2 X 2 X 12 GA (.109 стена)  
 A513 Квадратная стальная труба
 T12212
  2 X 2 X 12 GA (стенка .109)  
 A513 Квадратная стальная труба
 2,81 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  2.81 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т12211   2 X 2 X 11 GA (стена 0,120)  
 Стальная квадратная труба A500
 T12211
  2 X 2 X 11 GA (.120 стенка)  
 A500 Квадратная стальная труба
 2,94 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  2,94 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т122316   2 X 2 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T122316
  2 X 2 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 4.32 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  4,32 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т122250   2 X 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T122250
  2 X 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 5.41 фунт
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  5,41 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т121414   2-1 / 4 X 2-1 / 4 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T121414
  2-1 / 4 X 2-1 / 4 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 6.26 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера
  Вес:  6,26 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т121214   2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 14 GA (.083 стенка)  
 A500 Квадратная стальная труба
 Т121214
  2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 14 GA (стена 0,083)  
 A500 Стальная квадратная труба
 2,73 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  2.73 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т121211   2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 11 GA (стена 0,120)  
 A500 Стальная квадратная труба
 Т121211
  2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 11 GA (.120 стенка)  
 A500 Квадратная стальная труба
 3,90 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  3,90 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т1212316   2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 Т1212316
  2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 5.59 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера
  Вес:  5,59 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т1212250   2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 Т1212250
  2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 7.50 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  7,50 фунт / фут
 Добавить в корзину    т133083   3 X 3 X 14 GA (.083) стенка  
 A500 Квадратная стальная труба
 T133083
  Стенка 3 X 3 X 14 GA (0,083)  
 Стальная квадратная труба A500
 3,24 фунта
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера
  Вес:  3,24 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т13318   3 X 3 X 11GA (.120 стенка)  
 A500 Квадратная стальная труба
 T13318
  3 X 3 X 11GA (стена 0,120)  
 Стальная квадратная труба A500
 4,58 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  4.58 фунтов / фут
 Добавить в корзину    Т133316   3 X 3 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T133316
  3 X 3 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 6.87 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера
  Вес:  6,87 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т13314   3 X 3 X 1/4 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T13314
  3 X 3 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 8.81 фунт
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  8,81 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т13338   3 X 3 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T13338
  3 X 3 X 3/8 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 12.17 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  12,17 фунт / фут
 Добавить в корзину    т131218   3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 11GA (.120 стенка)  
 A500 Квадратная стальная труба
 Т131218
  3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 11GA (стена 0,120)  
 Стальная квадратная труба A500
 5,68 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  5.68 фунтов / фут
 Добавить в корзину    т1312316   3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 Т1312316
  3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 8.15 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрежьте до размера
  Вес:  8,15 фунт / фут
 Добавить в корзину    т131214   3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T131214
  3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 1/4 стенки  
 A500 Стальная квадратная труба
 10.51 фунт
 Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера
  Вес:  10,51 фунт / фут
 Добавить в корзину    т131238   3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/8 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T131238
  3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/8 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 14.72 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  14,72 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т144083   4 X 4 X 14 GA (.083) стенка  
 A500 Квадратная стальная труба
 T144083
  Стенка 4 X 4 X 14 GA (0,083)  
 Стальная квадратная труба A500
 4,32 фунта
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера
  Вес:  4,32 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т14418   4 X 4 X 11GA (.120 стенка)  
 A500 Квадратная стальная труба
 T14418
  4 X 4 X 11GA (стена 0,120)  
 Стальная квадратная труба A500
 6,22 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  6.22 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т144316   4 X 4 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T144316
  4 X 4 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 9.42 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера
  Вес:  9,42 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т14414   4 X 4 X 1/4 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T14414
  4 X 4 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 12.21 фунт
 Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера
  Вес:  12,21 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т14438   4 X 4 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T14438
  4 X 4 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 17.27 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  17,27 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т14412   4 X 4 X 1/2 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T14412
  4 X 4 X 1/2 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 21.63 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  21,63 фунт / фут
 Добавить в корзину    т1412316   4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 T1412316
  4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 10.70 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  10,70 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т141214   4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T141214
  4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 14.00 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера
  Вес:  14,00 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т15511   5 X 5 X 11GA (.120) стенка  
 A500 Стальная квадратная труба
 T15511
  Стенка 5 X 5 X 11GA (.120)  
 Стальная квадратная труба A500
 8,16 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера
  Вес:  8,16 фунт / фут
 Добавить в корзину    T155316   5 X 5 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 T155316
  Стенка 5 X 5 X 3/16  
 Стальная квадратная труба A500
 11.97 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  11,97 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т15514   5 X 5 X 1/4 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T15514
  5 X 5 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 15.62 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрежьте до размера
  Вес:  15,62 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т15538   5 X 5 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T15538
  5 X 5 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 23.12 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  23,12 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т15512   5 X 5 X 1/2 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T15512
  5 X 5 X 1/2 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 28.43 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  28,43 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т16611   6 X 6 X 11ga (1/8 «) стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 T16611
  Стенка 6 X 6 X 11ga (1/8 «)  
 Стальная квадратная труба A500
 9.85 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  9,85 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т166316   6 X 6 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 T166316
  6 X 6 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 14.65 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрежьте до размера
  Вес:  14,65 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т16614   6 X 6 X 1/4 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T16614
  6 X 6 X 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 19.02 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера
  Вес:  19,02 фунт / фут
 Добавить в корзину    T16638   6 X 6 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T16638
  6 X 6 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 27.48 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  27,48 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т16612   6 X 6 X 1/2 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T16612
  6 X 6 X 1/2 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 35.24 фунта
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  35,24 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т17714   7 x 7 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T17714
  7 x 7 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 22.42 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  22,42 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т17738   7 X 7 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T17738
  7 X 7 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 32.58 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  32,58 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т17712   7 X 7 X 1/2 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T17712
  7 X 7 X 1/2 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 42.05 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  42,05 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т188316   8 X 8 X 3/16 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T188316
  8 X 8 X 3/16 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 19.63 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  19,63 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т18814   8 x 8 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T18814
  8 x 8 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 26.00 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  26,00 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т18838   8 x 8 x 3/8 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T18838
  8 x 8 x 3/8 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 37.70 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрежьте до размера
  Вес:  37,70 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т18812   8 x 8 x 1/2 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 T18812
  8 x 8 x 1/2 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 49.00 фунтов
 Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 10 фута 20 фута или Отрежьте до размера
  Вес:  49,00 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т18858   8 X 8 X 5/8 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 T18858
  8 X 8 X 5/8 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 59.32 фунта
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  59,32 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т110316   10 X 10 X 3/16 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 Т110316
  10 X 10 X 3/16 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 24.73 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  24,73 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т11014   10 x 10 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 Т11014
  10 x 10 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 32.63 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрежьте до размера
  Вес:  32,63 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т11038   10 X 10 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 T11038
  10 X 10 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 47.90 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  47,90 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т11012   10 X 10 X 1/2 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 Т11012
  10 X 10 X 1/2 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 62.46 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  62,46 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т11058   10 X 10 X 5/8 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 T11058
  10 X 10 X 5/8 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 76.33 фунтов
 Выберите … 10 Ft.20 Ft.
  Вес:  76,33 фунта / фут
 Добавить в корзину    Т11214   12 x 12 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 Т11214
  12 x 12 x 1/4 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 39.45 фунтов
 Выберите … 1 фут 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрежьте до размера
  Вес:  39,45 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т11238   12 X 12 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 Т11238
  12 X 12 X 3/8 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 58.10 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  58,10 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т11212   12 X 12 X 1/2 стены  
 Стальная квадратная труба A500
 Т11212
  12 X 12 X 1/2 стенки  
 Стальная квадратная труба A500
 76.07 фунтов
 Выберите … 10 Ft.20 Ft.
  Вес:  76,07 фунт / фут
 Добавить в корзину    Т11258   12 X 12 X 5/8 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 Т11258
  12 X 12 X 5/8 стенка  
 Стальная квадратная труба A500
 93.34 фунтов
 Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера
  Вес:  93,34 фунта / фут
 Добавить в корзину   Пр. 4.2, 12 — Показать | 1 x x2 x2 1 x x x2 1 | = (1 — x3) 2
 Последнее обновление: 22 января 2020 г., автор: Teachoo
 Выписка
 Пр. 4.2, 12
Используя свойства определителей, покажите, что:
 | ■ 8 (1 & x & x2 @ x2 & 1 & x @ x & x2 & 1) | = (1 — x3) 2  Решение L.H.S
 | ■ 8 (1 & x & x2 @ x2 & 1 & x @ x & x2 & 1) |
Применение R1 → R1 + R2 + R3
= | ■ 8 (𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝐱 & 𝐱 + 𝟏 + 𝐱𝟐 & 𝐱𝟐 + 𝐱 + 𝟏 @ x2 & 1 & x @ x & x2 & 1) |
Взяв (1 + x + x2) обыкновенный из 1-го ряда 
= (𝟏 + 𝐱 + 𝐱𝟐) | ■ 8 (1 & 1 & 1 @ x2 & 1 & x @ x & x2 & 1) |
Применение C1 → C1 — C2
 = (1 + x + x2) | ■ 8 (𝟏 − 𝟏 & 1 & 1 @ x2−1 & 1 & x @ x − x2 & x2 & 1) |
= (1 + x + x2) | ■ 8 (0 & 1 & 1 @ x2−1 & 1 & x @ x (1 − x) & x2 & 1) |
= (1 + x + x2) | ■ 8 (𝟎 & 1 & 1 @ (𝐱 − 𝟏) (𝑥 + 1) & 1 & x @ −x (𝐱 − 𝟏) & x2 & 1) |
Взяв (x — 1) общее из C1
= (x — 1) (1 + x + x2) | ■ 8 (0 & 1 & 1 @ (x + 1) & 1 & x @ −x & x2 & 1) |
Применение C2 → C2 — C3
= (x — 1) (1 + x + x2) | ■ 8 (0 & 𝟏 − 𝟏 & 1 @ x + 1 & 1 − x & x @ −x & x2−1 & 1) |
= (x — 1) (1 + x + x2) | ■ 8 (0 & 𝟎 & 1 @ x + 1 & — (𝒙 − 𝟏) & x @ −x & (x + 1) (𝐱 − 𝟏) & 1) |  Взяв (x — 1) общее из 2-го столбца
= (x — 1) (1 + x + x2) (x — 1) | ■ 8 (0 & 0 & 1 @ x + 1 & −1 & x @ −x & 𝑥 + 1 & 1) |  = (x — 1) 2 (1 + x + x2) | ■ 8 (0 & 0 & 1 @ x + 1 & −1 & x @ −x & 𝑥 + 1 & 1) |
Расширение определителя по R1
= (x — 1) 2 (1 + x + x2) (0 | ■ 8 (−1 & 𝑥 @ 𝑥 + 1 & 1) | −0 | ■ 8 (𝑥 + 1 & x @ −𝑥 & 1) | +1 | ■ 8 (𝑥 + 1 & −1 @ −x & 𝑥 + 1) |)
= (x — 1) 2 (1 + x + x2) (0−0 + 1 | ■ 8 (𝑥 + 1 & −1 @ −x & 𝑥 + 1) |)
= (x — 1) 2 (1 + x + x2) (0−0 + 1 ((𝑥 + 1) 2 − 𝑥))
= (х — 1) 2 (1 + х + х2) ((𝑥 + 1) ^ 2 − 𝑥)
= (x — 1) 2 (1 + x + x2) ((x2 + 1 + 2x) — x)
= (х — 1) 2 (1 + х + х2) (1 + х + х2)  = (х — 1) 2 (1 + х + х2) 2
= ((х — 1) (1 + х + х2)) 2
= (- (1 — х) (1 + х + х2)) 2
= ((1 — х) (1 + х + х2)) 2  = (13 — x3) 2
= (1 — x3) 2
= R.H.S
 Следовательно, доказано  = (х — 1) 2 (1 + х + х2) 2
= ((х — 1) (1 + х + х2)) 2
= (- (1 — х) (1 + х + х2)) 2
= ((1 — х) (1 + х + х2)) 2  = (13 — x3) 2
= (1 — x3) 2
= R.H.S
 Следовательно, доказано  Мы знаем это
a3 — b3 = (a — b) (a2 + b2 + ab)
Здесь a = 1, b = x
 Показать больше Инверсия функции — объяснение и примеры
 Что такое обратная функция?
  В математике обратная функция — это функция, отменяющая действие другой функции.
  Например, , сложение и умножение являются инверсией соответственно вычитания и деления.
 Обратную функцию можно рассматривать как отражение исходной функции по линии y = x. Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).
 Мы используем символ f ^{— 1} для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:
 g (x) = f ^{— 1} (x) или f (x) = g ⁻¹ (x)
 Об обратной функции следует отметить то, что обратная функция — это не то же самое, что и обратная функция, т.е.е., f ^{— 1} (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.
 Поскольку не все функции имеют инверсию, важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к определению инверсии.
 Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то несуществующего.
 Индивидуальные функции
  Итак, как мы докажем, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.
 Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.
  Другими словами, домен и диапазон однозначной функции имеют следующие отношения: 
 Область f ^-1 = Диапазон f.
 Диапазон f ^-1 = Область f.
 Например, чтобы проверить, является ли f (x) = 3x + 5 однозначно заданной функцией, f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.
 ⟹ 3a + 5 = 3b + 5
 ⟹ 3a = 3b
 ⟹ а = б.
 Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, потому что a = b.
 Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.
 А как насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.
 Вы также можете графически проверить взаимно однозначную функцию, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линии проходят через график один раз.
 Как найти обратную функцию?
 Нахождение обратной функции — простой процесс, хотя нам действительно нужно быть осторожными с парой шагов. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.
  Вот процедура нахождения обратной функции f (x): 
 Заменить обозначение функции f (x) на y.
 Поменять местами x на y и наоборот.
 Начиная с шага 2, решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x). Это обратная функция.
 Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:
 ⟹ (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
 ⟹ (f ⁻¹ ∘ f) (x) = x
 Давайте поработаем пару примеров.
   Пример 1  
 Дана функция f (x) = 3x — 2, найдите обратную ей.
  Решение 
 f (x) = 3x — 2
 Замените f (x) на y.
 ⟹ y = 3x — 2
 Поменять местами x на y
 ⟹ x = 3y — 2
 Решить для y
 х + 2 = 3 года
 Разделим на 3, чтобы получить;
 1/3 (x + 2) = y
 х / 3 + 2/3 = у
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
 f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3
 Проверить (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
 (f ∘ f ⁻¹) (x) = f [f ⁻¹ (x)]
 = е (х / 3 + 2/3)
 ⟹ 3 (х / 3 + 2/3) — 2
 ⟹ x + 2–2
 = х
 Следовательно, f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3 — правильный ответ.
   Пример 2  
 Дано f (x) = 2x + 3, найдите f ⁻¹ (x).
  Решение 
 f (x) = y = 2x + 3
 2x + 3 = y
 Поменять местами x и y
 ⟹2y + 3 = х
 Теперь решите для y
 ⟹2y = х — 3
 ⟹ y = x / 2 — 3/2
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x)
 ⟹ f ⁻¹ (x) = (x– 3) / 2
   Пример 3  
 Задайте функцию f (x) = log ₁₀ (x), найдите f ⁻¹ (x).
  Решение 
 f (x) = log₁₀ (x)
 Заменен f (x) на y
 ⟹ y = журнал ₁₀ (x) ⟹ 10 ^y = x
 Теперь поменяйте местами x на y, чтобы получить;
 ⟹ y = 10 ^x
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
 f ^-1 (x) = 10 ^x
 Следовательно, обратное значение f (x) = log ₁₀ (x) равно f ^-1 (x) = 10 ^x
   Пример 4  
 Найдите обратную функцию к следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)
  Решение 
 г (x) = (x + 4) / (2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)
 Поменять местами y с x и наоборот
 y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)
 ⟹ х (2y − 5) = y + 4
 ⟹ 2xy — 5x = y + 4
 ⟹ 2xy — y = 4 + 5x
 ⟹ (2x — 1) y = 4 + 5x
 Разделите обе части уравнения на (2x — 1).
 ⟹ у = (4 + 5x) / (2x — 1)
 Заменить y на g ^-1 (x)
 = г ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
 Проба:
 (г г ^-1) (x) = г [г ^-1 (x)]
 = г [(4 + 5x) / (2x — 1)]
 = [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5]
 Умножьте числитель и знаменатель на (2x — 1).
 ⟹ (2x — 1) [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5] (2x — 1).
 ⟹ [4 + 5x + 4 (2x — 1)] / [2 (4 + 5x) — 5 (2x — 1)]
 ⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x — 10x + 5]
 ⟹13x / 13 = x 
 Следовательно, g ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
   Пример 5  
 Определите значение, обратное следующей функции f (x) = 2x — 5
  Решение 
 Замените f (x) на y.
 f (x) = 2x — 5⟹ y = 2x — 5
 Переключите x и y, чтобы получить;
 ⟹ x = 2y — 5
 Изолировать переменную y.
 2у = х + 5
 ⟹ у = х / 2 + 5/2
 Измените y обратно на f ^–1 (x).
 ⟹ f ^–1 (x) = (x + 5) / 2
   Пример 6  
 Найти обратную функцию к функции h (x) = (x — 2) ³.
  Решение 
 Измените h (x) на y, чтобы получить;
 h (x) = (x — 2) ³ ⟹ y = (x — 2) ³
 Поменять местами x и y
 ⟹ х = (у — 2) ³
 Изолятор ул.
 y ³ = x + 2 ³
 Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.
 ³ √y ³ = ³ √x ³ + ³ √2 ³
 y = ³ √ (2 ³) + 2
 Заменить y на h ^-1 (x)
 ч ^{— 1} (x) = ³ √ (2 ³) + 2
   Пример 7  
 Найдите обратное к h (x) = (4x + 3) / (2x + 5)
  Решение 
 Замените h (x) на y.
 h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)
 Поменять местами x и y.
 ⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).
 Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:
 ⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5)
 Умножаем обе стороны на (2y + 5)
 ⟹ х (2у + 5) = 4у + 3
 Распределить x
 ⟹ 2xy + 5x = 4y + 3
 Изолятор ул.
 ⟹ 2xy — 4y = 3 — 5x
 ⟹ y (2x — 4) = 3-5x
 Разделим на 2x — 4, чтобы получить;
 ⟹ y = (3 — 5x) / (2x — 4)
 Наконец, замените y на h ^{— 1} (x).
 Posted in РазноеLeave a Comment on X 2 1 х: Решите неравенство x^2
 
Матрицы уравнения: Матричные калькуляторы — детерминант, ранг, oбратная матрица, решение системы n линейных уравнений с n переменными
 Posted on 03.01.197014.07.2021 by alexxlab
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А Квадратная невырожденная; 2) матрица А — либо вырожденная, либо прямоугольная.
1) Если А – квадратная и |А| ¹ 0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение каждое: Х = А-1×В и Х = В×А-1 соответственно, если эти произведения определены. И не имеют решения, если они не определены.
2) А – квадратная матрица, но |А| = 0, либо А — прямоугольная матрица. Если матрица А Имеет размерность M´n,  а матрица В – Размерность Р´к, то, при M ¹ Р  уравнение (14) не имеет решения, а при N ¹ к не имеет решения уравнение (15). Если же M = Р , то в уравнении (14) матрица Х Должна иметь К столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь Р Строк. Решение этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.
Пример 5. Найдите матрицу Х, Если А×Х = В, Где А = , В = .
Из примера 5 следует, что матрица А Имеет обратную, поэтому Х = А-1×В. Используя найденную в примере 5 матрицу А-1, Получим Х = × = = .
Пример 6. Найдите матрицу Х, Если Х×А = В, где А = , В =. Так как |А| = 0, то для А обратной матрицы нет. По правилам умножения матриц, в матрице В Столько строк, сколько их в матрице Х, И столько столбцов, сколько их в матрице А. Последнее условие выполняется, следовательно, уравнение имеет решение. На матрицу Х накладывается ограничения: в матрице Х Должно быть два столбца и три строки. Чтобы найти элементы такой матрицы, обозначим их и перейдём к системе линейных уравнений. Пусть Х = . Тогда Х×А = . Полученная матрица равна матрице В Тогда и только тогда, когда их соответствующие элементы равны. Получим три системы уравнений. Эти системы не имеют решений, следовательно, не имеет решения и данное матричное уравнение.
 < Предыдущая     Следующая > 
Решение матричных уравнений
Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях». 
Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.  
Краткое содержание прошлых частей: 
Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности. 
Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел. 
Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше). 
Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.  
Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный. 
И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
Что такое матричное уравнение
Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
Шаг 1. Упрощаем уравнение 
Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
 Приводим матричное уравнение к упрощённому виду Шаг 2. Вводим единичную
 матрицу В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу. 
Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100¹
И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100^-1
При перемножении этих двух чисел получится единица:
100¹× 100^-1 = 100 × 0,01 = 1. 
Вот такое, только в мире матриц. 
Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А^-1. Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение: 
А^-1× А × Х = А^-1× В  
Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись: 
А^-1× А = E — единичная матрица 
E × Х = А^-1× В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем
Х = А^-1× В — новая запись уравнения 
После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B. 
💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A^-1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто. 
Шаг 3. Находим обратную матрицу
Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы: 
Делим единицу на определитель матрицы A.  
Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений. 
Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
 Формула вычисления обратной матрицы  Первое действие. Мы посчитали определитель и убедились, что он не равен нулю, — это значит, что у матричного уравнения есть вариант решения и можно продолжать  Второе действие, часть 1: получаем матрицу миноров  Второе действие, часть 2: переводим матрицу миноров в транспонированную матрицу алгебраических дополнений Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
 Третье действие: получаем обратную матрицу Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А^-1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.
 Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу Шаг 5. Проверяем уравнение
Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново. 
👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
 Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны Ну и что
Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
Этого котика не существует, а матрицы — существуют. 
Текст:
Александр Бабаскин
Редактура:
Максим Ильяхов
Художник:
Даня Берковский
Корректор:
Ирина Михеева
Вёрстка:
Мария Дронова
Соцсети:
Олег Вешкурцев
21. Матричные уравнения. Теорема существования и единственности решения.
 Рассмотрим
матричное уравнение вида
 где и —
данные матрицы, имеющие одинаковое
количество строк, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу ,
удовлетворяющую уравнению (4.5).
 Теорема
4.2 о существовании и единственности
решения матричного уравнения (4.5). Если
определитель матрицы отличен
от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет
единственное решение.
 В
самом деле, подставляя в
левую часть равенства (4.5), получаем,
т.е. правую часть этого равенства.
 Заметим,
что решением матричного уравнения служит
обратная матрица.
 Рассмотрим
также матричное уравнение вида
 где и —
данные матрицы, имеющие одинаковое
количество столбцов, причем
матрица квадратная.
Требуется найти матрицу ,
удовлетворяющую уравнению (4.6).
 Теорема
4.3 о существовании и единственности
решения матричного уравнения (4.6). Если
определитель матрицы отличен
от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное
решение.
 Заметим,
что матрица является
как бы «левым» частным от «деления»
матрицына
матрицу,
поскольку матрицав
(4.5) умножается наслева,
а матрица—
«правым» частным, так как матрицав
(4. 6) умножается насправа.
 Пример
4.5. Даны
матрицы
 Решить
уравнения: а) ;
б);
в).
 Решение. Обратная
матрица была
найдена в примере 4.2.
 а)
Решение уравнения находим,
умножая обе его части слева на
 б)
Уравнение не имеет решений, так как
матрицы иимеют
разное количество столбцов.
 в)
Решение уравнения находим,
умножая обе его части справа на
 Пример
4.6. Решить
уравнение: ,
где.
 Решение. Преобразуя
левую часть уравнения:
 приведем
его к виду (4.1)
  где 
 Следовательно, .
Обратная матрица найдена в примере 4.2:
  Значит, 
 Пример
4.7. Решить
уравнение ,
где
 Решение. Обратные
матрицы
были
найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно.
Решение уравнения находим по формуле
 Пример
4.8. Решить
уравнение ,
где
 Решение.  Определитель
матрицы равен
нулю, следовательно, обратная матрица
не существует. Поэтому нельзя использовать
формулу.
Будем искать элементы матрицы.
Подставляя в уравнение, получаем
 Находим
произведение, а затем приравниваем
соответствующие элементы матриц в левой
и правой частях уравнения:
 Здесь,
учитывая пропорциональность уравнений,
в системе оставлены только два уравнения
из четырех. Выразим неизвестные и
 Следовательно,
решение матричного уравнения имеет вид
 где
параметры и могут
принимать любые значения. Таким образом,
данное матричное уравнение имеет
бесконечное множество решений.
22. Решение системы линейных уравнений матричным методом. Правило Крамера.
Рассмотрим
систему уравнений
— матрица
системы
—
матрицы-столбцы неизвестных и свободных
членов.
Очевидно,
что ,
 тогда
АХ=С
 Такое
равенство называется матричным
уравнением.
 Если
матрица А системы невырожденная,
(det А 0),
то это уравнение решается следующим
образом:
 Умножим
обе его части на матрицу А^-1,
обратную матрице А
 А^-1(АХ)=А^-1С
или,
 (А^-1А)
· Х = А^-1·С.
но так как А^-1А=Е,
и ЕХ=Х Х=А^-1С
Например,
решим матричным способом систему
матрица
системы
 Не
является ли матрица А вырожденной?
Найдем ее определитель:
  А =1·[-1·4
– 1·2] – 1·[2·4 – 2·4] + 2·[2·1 – 4·(-1)] = -6 +
12 = 6
 Определитель
не равен нулю, то есть матрица не
вырожденная. Значит, существует
обратная матрица
 А₁₁ =
(-1)^1+1·М₁₁ =
(+1)·[-1·4 – 1·2] = -6
 А₁₂ =
(-1)^1+2·М₁₂ =
(-1)·[2·4 – 2·4] = 0
 А₁₃ =
(-1)^1+3·М₁₃ =
(+1)·[2·1 – 4·(-1)] = 6
 А₂₁ =
(-1)^2+1·М₂₁ =
(-1)·[1·4 – 1·2] = -2
 А₂₂ =
(-1)^2+2·М₂₂ =
[1·4 – 2·4] = -4
 А₂₃ =
(-1)^2+3·М₂₃ =
(-1)·[1·1 – 4·1] = 3
 А₃₁ =
(-1)³⁺¹М₃₁ =
[1·2 – (-1)·2] = 4
 А₃₂ =
(-1)^3+2·М₃₂ =
[(-1)·1·2 – 2·2] = 2
А₃₃ =
(-1)^3+3·М₃₃ =
[1·(-1) – 2·1] = -3
 Можно
убедиться проверкой в правильности
решения: подставим вектор Х в
первоначальное матричное уравнение.
Действительно
вектор Х удовлетворяет заданной
системе
   Решение
систем уравнений методом Крамера
Применим
теперь наши знания о матрицах к решению
систем уравнений первой степени.
Рассмотрим систему двух уравнений с
двумя неизвестными:
или
коротко или
АХ=С
 система
записана в матричном виде (как
произведение матриц)
 Решим
эту простенькую систему школьными
методами.
 Умножим
первое уравнение на а₂₂,
а второе на (-а₁₂)
и сложим
 (а₁₁а₂₂ –
а₂₁а₁₂)х_1
=с₁а₂₂ –
с₂а₁₂
 аналогично
(а₁₁а₂₂ –
а₂₁а₁₂)х₂ =
с₂а₁₁ –
с₁а₂₁
1)
но а₁₁а₂₂ –
а₂₁а₁₂ = —
это определитель матрицы А(det А)
или его еще называют определитель
системы и он составлен из коэффициентов
при неизвестных. Обозначим его 
 2) 
определитель,
который получится из det А, если
в нем столбец коэффициентов при
х₁ (первый
столбец) заменить на столбец правых
частей. Обозначим его  _Х1
3) 
определитель,
который получится, если в det А
столбец
коэффициентов
при х₂ заменить
на столбец правых частей. Обозначим
его  x₂
Видим,
что <=»»
font=»»>
 Как
вы понимаете, если мы возьмем систему
трех уравнений с тремя неизвестными
или n уравнений с n неизвестными,
то формулы останутся те же:
 Эти
формулы широко известны и называются
формулами Крамера. Мы же с Вами займемся
анализом того существует ли решение
и единственно ли оно?
 Возможны
3 случая:
 1.  0
Тогда x_i= x_i/ —
решение существует, причем единственное.
 2.  =0 ,
а какой-либо из  x_i 0 ,
то есть у нас в x_i= x_i/ производится
деление на 0, система не имеет решения
(несовместна).
 3.  =0
и все  x_i=0 то
система  имеет бесконечно много
решений.
Пример:
Так
как второе уравнение получается из
первого умножением на 2, то наша система
равносильна такой системе.
 Так
получилось, потому что первое и второе
уравнения систем эквивалентны и
фактически мы имеем систему двух
уравнений с тремя неизвестными, то
есть неопределенную систему. Она имеет бесчисленное множество
решений. Положив, например, z=0
получим
систему
 Решив
ее, найдем 11х=0, х=0, y=1
 То
есть решение первоначальной системы x=0,
y=0, z=0.
Если
бы мы положили z=1, получили бы еще
один ответ и так далее.
 Теорема
(правило Крамера). Если
определитель системы Δ ≠ 0, то
рассматриваемая система имеет одно и
только одно решение, причём
 Доказательство.
Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений
с тремя неизвестными. Умножим 1-ое
уравнение системы на алгебраическое
дополнение A₁₁ элемента a₁₁,
2-ое уравнение – наA₂₁ и
3-е – на A₃₁:
 Сложим
эти уравнения:
 Рассмотрим
каждую из скобок и правую часть этого
уравнения. По теореме о разложении
определителя по элементам 1-го столбца
 .
 Далее
рассмотрим коэффициенты при x₂:
 Аналогично
можно показать, что и .
 Наконец
несложно заметить, что 
 Таким
образом, получаем равенство: .
 Следовательно, .
 Аналогично
выводятся равенства и ,
откуда и следует утверждение теоремы.
 Таким
образом, заметим, что если определитель
системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное
решение и обратно. Если же определитель
системы равен нулю, то система либо
имеет бесконечное множество решений,
либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Матричные уравнения с примерами решения
Содержание:
Примеры с решением
Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица (обозначаетсячто ЛЗамечание. Если матрица существует, то она единственна.
Присоединенной матрицей к квадратной матрице называется матрица полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений к элементам Теорема 1. 3. Если квадратная матрица А — невырожденная (т. е. ), то (4.1)
Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в применении формулы (4.1). Метод элементарных преобразований (метод Гаусса) вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в следующем.
Приписывая справа к матрице А размера единичную матрицу размера получим прямоугольную матрицу размера С помощью элементарных преобразований над строками матрицы Г сначала приведем ее к ступенчатому виду где матрица — треугольная, а затем к виду Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей записываются следующим образом (4.2) (4.3) (4,4)
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
В этих уравнениях — матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров. Если в уравнениях (4.2), (4.3) матрица А невырожденная, то их решения записываются следующим образом: X Если в уравнении (4. 4) матрицы А и С невырождены, то его решение записывается так:
В этих уравнениях А, В, С, X — матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров. Если в уравнениях (4.2), (4.3) матрица А невырожденная, то их решения записываются следующим образом: Если в уравнении (4.4) матрицы А и С невырождены, то его решение записывается так:
Примеры с решением
Пример 1.
Найти (методом присоединенной матрицы) матрицу, обратную к данной:
Найдем det А:
Так как det , то матрица существует.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А:
Пример 2.
 Запишем матрицу
Найдем матрицу
Сделаем проверку:
Пример 3.
 Найти матрицу, обратную к матрице А
1) Найдем Матрица существует, только если
2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:
3) Запишем присоединенную матрицу:
Итак, для матрицы 2-го порядка присоединенная матрица находится очень просто — элементы главной диагонали меняются местами, а элементы побочной диагонали умножаются на (-1):
4) Найдем обратную матрицу 7. 1. Типичные задачи Матричные уравнения естественно возникают в задачах, которые изначально выглядят, как «векторные».
Скажем, поиск собственных векторов объединяется одним уравнением (7.1) где — искомая матрица со столбцами в качестве собственных векторов. Другой характерный пример — линейное дифференциальное уравнение
Как известно, общее решение имеет вид где линейно независимые решения как вектор-столбцы, составляют матрицу фундаментальных решений удовлетворяющую матричному дифференциальному уравнению которое выгоднее рассматривать с самого начала вместо
Поиск преобразования X, обеспечивающего подобие матриц, порождает уравнение После умножения слева на X оно переходит в эквивалентное (7.2) в предположении невырожденности X. Очевидно, (7.1) при заданной матрице Л представляет собой частный случай (7.2). Наконец, поиск функции Ляпуновадля линейной системы приводит к уравнению (7.3) относительно матрицы V.
Обозначая неизвестную матрицу V через X и обобщая (7. 3), приходим к уравнению (7.4) которое охватывает в качестве частных случаев все рассмотренные выше случаи, — разумеется, кроме дифференциального. Уравнение (7.4) линейно относительно элементов неизвестной матрицы X, и этим замечанием, казалось бы, можно закончить исследование, сославшись на предыдущее изучение линейных уравнений.
Но проблема заключается в том, что уравнение (7.4), как линейное, имеет нестандартную форму, опираясь на двухин-дексное описание переменных.
В принципе, нет никакой трудности в том, чтобы перенумеровать переменные вытянув их в строчку. Но при бесхитростной перенумерации содержательная информация о матрицах A, J9, С может разрушиться, что будет означать отсутствие смысловой связи между получаемыми линейными системами и исходными операторами действующими в Для решения таких задач имеется специальный инструмент — кронекерово произведение2) матриц, Если А и В — прямоугольные матрицы размера, соответственно, то
Размер
Свойства легко проверяются.
Важную роль играет формула (7.5) Легко проверяется Менее очевидно, что в случае невырожденности квадратных матриц А и В произведение тоже невырожденно) Если теперь допустить кратные собственные значения у А и В, то идея предельного перехода здесь работает без проблем. Собственные векторы в пределе могут становиться линейно зависимыми, но это в данном случае ничему не мешает.
Поэтому утверждение 7.2.1 справедливо без каких бы то ни было предположений о матрицах А и В. Сразу становится ясной отмечавшаяся выше невырожденность в случае невырожденности А и В.
Обычное соотношение может быть записано в виде где вектор это вытянутая в столбик матрица вектор из получен аналогично. Соотношение записывается иначе, Поэтому уравнение (7.4), с помощью кронекерова произведения можно переписать так { (7.7)
В этой перезаписи уравнения не было бы большого смысла, если бы она не позволяла делать выводы в терминах исходных матриц А и В.
Но специфика кронекерова произведения как раз такова, что она дает возможность судить о спектральных свойствах «®-матриц» во многих практических ситуациях. Причиной является следующий факт. Лемма. Если тo Результат сразу вытекает из (7.6),
Лемма 7.3.1 означает, что матрицы А и В в могут быть приведены к желаемому виду (диагональному, треугольному, жордановому) независимо друг от друга.
Пусть, например. где — соответствующие жордановы формы. Тогда ясно, что спектры и что еше раз доказывает утверждение 7.2.1. Точно так же А и В могут быть приведены к своим жордановым формам) в (7.8) Отсюда ясно, что для невырожденности (7.8) необходимо и достаточно, чтобы не нашлось противоположных собственных значений, Это и является условием однозначной разрешимости уравнения (7.7), т.е. (7.4).
Как теоретический инструмент иногда полезна формула (7.9) дающая решение уравнения в случае, когда матрицы А и В гурвицевы, т.е. действительные части их собственных значений строго отрицательны. Устанавливается это совсем легко. Решением задачи Коши (7.10) является что проверяется подстановкой.
Из гурвицевости А и В следует экспоненциально быстрое убывание до нуля при Это позволяет проинтегрировать (7. 10) от 0 до оо, что сразу дает (7.9). В частности, решение уравнения в случае гурвицевой матрицы А приводит к положительно определенной функции Ляпунова Найти (методом элементарных преобразований) матрицу, обратную к данной:
Записывая матрицу размера (3 х 6), с помощью элементарных преобразований над строками приведем ее сначала к ступенчатому виду а затем к виду
Итак,
Сделаем проверку:
Матричный калькулятор онлайн
Инструкция матричного онлайн калькулятора
С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить, вычитать, умножить, транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень, умножить матрицу на число, сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы, проводить исключение Гаусса, решить матричное уравнение AX=B, сделать LU разложение матрицы, вычислить ядро (нуль пространство) матрицы, сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта.
Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы и вводить числа в виде a или a/b, где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.
Кнопка в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы , нулевой матрицы , очищать содержимое ячеек ) и т.д.
Рис.1
При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.
Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .
Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.
Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы и , а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.
Рис.2
Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.
Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:
Введите размерности матриц и .
Введите элементы матриц.
Нажмите на кнопку «A+B «,»A-B» или «A×B».
Вычисление обратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу. Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления обратной матрицы:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Введите размерность матрицы .
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «обратное «.
Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы. Теорию вычисления обратной матрицы смотрите здесь.
Вычисление определителя матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления определителя матрицы:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Введите размерность матрицы .
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «определитель «.
Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.
Вычисление ранга матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы.
Для вычисления ранга матрицы:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Введите размерность матрицы .
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «ранг «.
Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы. Теорию вычисления ранга матрицы смотрите здесь.
Вычисление псевдообратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.
Для вычисления псевдообратной матрицы:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Введите размерность матрицы.
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «псевдообратное «.
Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.
Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Введите размерность матрицы.
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «полный ранг строк » или «полный ранг столбцов».
Скелетное разложение матрицы онлайн
Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Введите размерность матрицы.
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «скелетное разложение «.
Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.
Для решения матричного уравнения:
Введите размерности матриц и .
Введите элементы матриц.
Нажмите на кнопку «решение AX=B».
Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк .
Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн
Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.
Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Задайте размерность матрицы.
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «Треугольный вид».
LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн
Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU), где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т. е. такое разложение , при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.
Для LU(LUP)-разложения:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Задайте размерность матрицы.
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «LU-разложение».
Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн
С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.
Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Задайте размерность матрицы.
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «ядро (·)».
Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн
С помощью матричного калькулятора можно сделать ортогонализацию и ортонормализацию Грамма-Шмидта матрицы онлайн.
Для ортогонализации или ортонормализации матрицы:
Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
Задайте размерность матрицы.
Введите элементы матрицы.
Нажмите на кнопку «Ортогонализация Г.-Ш. (·)» или «Ортонормализация Г.-Ш. (·)».
Матричные уравнения — СтудИзба
Матричные уравнения
 
Второй подход к анализу сетей Петри основан на матричном представлении сетей Петри. Альтернативным по отношению к определению сети Петри в виде (Р, Т, I, O) является определение двух матриц D^— и D⁺, представляющих входную и выходную функции. Каждая матрица имеет m строк (по одной на переход) и n столбцов (по одному на позицию). Определим D^—[j, i] = #(p_i, I(t_j)), a D⁺[j, i] = #(p_i, O(t_j)). D^— определяет входы в переходы, D⁺ – выходы.
Матричная форма определения сети Петри (Р, Т, D^—, D⁺) эквивалентна стандартной форме, используемой нами, но позволяет дать определения в терминах векторов и матриц. Пусть е[j] – m-вектор, содержащий нули везде, за исключением j-ой компоненты. Переход t_j представляется m-вектором e[j][1].
Теперь переход t_j в маркировке m разрешен, если m. ³  е[j], а результат запуска перехода t_j в маркировке m. записывается как
,
где D = D⁺ – D⁺ – составная матрица изменений.
Тогда для последовательности запусков переходов  имеем
Рекомендуемые файлы
Вектор f(s) = e[j₁] + е[j₂] + … + e[j_k] называется вектором запусков последовательности . i–й элемент вектора f(s), f(s)_i – это число запусков перехода t_i в последовательности. Вектор запусков, следовательно, является вектором с неотрицательными целыми компонентами.
Для того чтобы показать полезность такого матричного подхода к сетям Петри, рассмотрим, например, задачу сохранения: является ли данная маркированная сеть Петри сохраняющей? Для того чтобы показать сохранение, необходимо найти (ненулевой) вектор взвешивания, для которого взвешенная сумма по всем достижимым маркировкам постоянна. Пусть w—n´1 – вектор-столбец. Тогда, если m – начальная маркировка, а m’ – произвольная достижимая маркировка, необходимо, чтобы . Теперь, поскольку m’ достижима, существует последовательность запусков переходов s, которая переводит сеть из m в m’. Поэтому
.
Следовательно, , поэтому .
Поскольку это должно быть верно для всех f(s), имеем . Таким образом, сеть Петри является сохраняющей тогда и только тогда, когда существует такой положительный вектор w, что . Это обеспечивает простой алгоритм проверки сохранения, а также позволяет получать вектор взвешивания w.
Развитая матричная теория сетей Петри является инструментом для решения проблемы достижимости. Предположим, что маркировка m’ достижима из маркировки m. Тогда существует последовательность (возможно, пустая) запусков переходов s, которая приводит из m к m’. Это означает, что f(s) является неотрицательным целым решением следующего матричного уравнения для х:
.                                                                          (*)
Следовательно, если m’ достижима из m тогда уравнение (*) имеет решение в неотрицательных целых; если уравнение (*) не имеет решения, тогда m’ недостижима из m.
Рис. 5.23.
 
Рассмотрим, например, маркированную сеть Петри на рис.5.23. Матрицы D^— и D⁺ имеют вид:
а матрица D:
 
В начальной маркировке m = (1, 0, 1, 0) переход t₃ разрешен и приводит к маркировке m’, где
Последовательность  представляется вектором запусков  f(s)=(1, 2, 2) и получает маркировку m’:
Для определения того, является ли маркировка (1,8,0, 1) достижимой из маркировки (1, 0, 1, 0), имеем уравнение
которое имеет решение x = (0, 4, 5). Это соответствует последовательности s = t₃t₂t₃t₂t₃t₂t₃t₂t₃.
Далее мы можем показать, что маркировка (1,7,0, 1) недостижима из маркировки (1, 0, 1, 0), поскольку матричное уравнение
не имеет решения.
Матричный подход к анализу сетей Петри очень перспективен, но имеет и некоторые трудности. Заметим прежде всего, что матрица D сама по себе не полностью отражает структуру сети Петри. Переходы, имеющие как входы, так и выходы из одной позиции (петли), представляются соответствующими элементами матриц D^— и D⁺, но затем взаимно уничтожаются в матрице D = D^— – D⁺. Это отражено в предыдущем примере позицией p₁ и переходом t₁.
                                                   Рис.5.24.
 
Другая проблема – это отсутствие информации о последовательности в векторе запуска. Рассмотрим сеть Петри на рис.5.24. Предположим, мы хотим определить, является ли маркировка (0, 0, 0, 0, 1) достижимой из (1, 0, 0, 0, 0).
 
 
 
 
Тогда имеем уравнение
Это уравнение не имеет однозначного решения, но сводится к множеству решений {s½f(s)=(1, x₂, x₆-1, 2x₆, x₆-1, x₆)}. Оно определяет взаимосвязь между запусками переходов. Если положим x₆=1 и x₂=1, то f(s)=(1, 1, 0, 2, 0, 1), но этому вектору запуска соответствуют как последовательность t₁t₂t₄t₄t₆, так и последовательность t₁t₄t₂t₄t₆. Следовательно, хотя и известно число запусков переходов, порядок их запуска неизвестен.
                                                    Рис.5.25.
Еще одна трудность заключается в том, что решение уравнения (*) является необходимым для достижимости, но недостаточным. Рассмотрим простую сеть Петри, приведенную на рис.5.25. Если мы хотим определить, является ли (0, 0, 0, 1) достижимым из (1,0,0,0), необходимо решить уравнение
Вам также может быть полезна лекция «13. Способы борьбы с нефтезагрязнением».
Это уравнение имеет решение f(s) = (1, 1), соответствующее двум последовательностям: t₁t₂ и t₂t₁. Но ни одна из этих двух последовательностей переходов невозможна, поскольку в (1,0, 0, 0) ни t₁, ни t₂ не разрешены. Таким образом, решения уравнения (*) недостаточно для доказательства достижимости.
Возможность недействительных решений уравнения (*) (решений, которые не соответствуют возможным последовательностям переходов) стала причиной только ограниченного исследования матричного представления сетей Петри.
·                      
 
Страница не найдена — ПриМат
© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2),
 Использование матриц для решения систем уравнений
 Матричные уравнения
 Матрицы могут использоваться для компактного написания и работы с системами множественных линейных уравнений.
 Цели обучения
 Определить, как матрицы могут представлять систему уравнений
 Основные выводы
 Ключевые моменты
 Если [latex] A [/ latex] является матрицей [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] x [/ latex] обозначает вектор-столбец (т. Е.[латекс] n \ умножить на 1 [/ latex] матрицу) [latex] n [/ latex] переменных [latex] x_1, x_2,…, x_n [/ latex], а [latex] b [/ latex] представляет собой [ latex] m \ times 1 [/ latex] вектор-столбец, тогда матричное уравнение будет: [latex] Ax = b [/ latex].
 Ключевые термины
  матрица : прямоугольное расположение чисел или членов, имеющее различное применение, например, преобразование координат в геометрии, решение систем линейных уравнений в линейной алгебре и представление графиков в теории графов.
 Матрицы можно использовать для компактного написания и работы с системами уравнений.Как мы узнали в предыдущих разделах, матрицами можно манипулировать так же, как и нормальным уравнением. Это очень полезно, когда мы начинаем работать с системами уравнений. Полезно понять, как организовать матрицы для решения этих систем.
 Написание системы уравнений с матрицами
 Можно решить эту систему, используя метод исключения или замены, но также можно сделать это с помощью матричной операции. Прежде чем приступить к настройке матриц, важно сделать следующее:
 Убедитесь, что все уравнения написаны одинаково, то есть переменные должны быть в одном порядке.
 Убедитесь, что одна часть уравнения — это только переменные и их коэффициенты, а другая часть — просто константы.
 Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex] X [/ latex] — это матрица, представляющая переменные системы, а [latex] B [/ latex] — матрица, представляющая константы. Используя умножение матриц, мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, как:
 [латекс] \ displaystyle A \ cdot X = B [/ латекс]
 Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть [latex] A [/ latex] будет матрицей коэффициентов, пусть [latex] X [/ latex] будет переменной матрицей, и пусть [latex] B [/ latex ] — постоянная матрица. {- 1} \ right) [/ latex], эта формула решит систему.
 Если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.
 Матрицы и операции со строками
 Две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строкой.
 Цели обучения
 Объясните, как использовать операции со строками и почему они создают эквивалентные матрицы
 Основные выводы
 Ключевые моменты
 Элементарная операция со строкой — это любое из следующих действий: переключение строк (перестановка двух строк в матрице), умножение строк (умножение строки матрицы на ненулевую константу) или сложение строк (добавление к одной строке матрицы до некоторого числа, кратного другой строке).
 Если строки матрицы представляют систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы.
 Ключевые термины
  пространство строки : Набор всех возможных линейных комбинаций его векторов-строк.
  эквивалент строки : В линейной алгебре, когда одна матрица может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.
 Элементарные операции со строками (ERO)
 В линейной алгебре две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.В качестве альтернативы, две матрицы [latex] m \ times n [/ latex] эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк. Пространство  строки  матрицы представляет собой набор всех возможных линейных комбинаций ее векторов-строк. Если строки матрицы представляют собой систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы. Две матрицы одинакового размера эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда соответствующие однородные системы имеют одинаковый набор решений или, что эквивалентно, матрицы имеют одно и то же нулевое пространство.Поскольку элементарные операции со строками обратимы, эквивалентность строк является отношением эквивалентности. Обычно обозначается тильдой (~).
 Операция элементарного ряда — это любой из следующих трех ходов:
 Переключение строк (перестановка): поменять местами две строки матрицы.
 Умножение строк (масштаб): умножение строки матрицы на ненулевую константу.
 Сложение строк (сводная): прибавить к одной строке матрицы несколько значений, кратных другой строке.
 Создание эквивалентных матриц с использованием элементарных операций со строками
 Поскольку матрица по существу является коэффициентами и константами линейной системы, три операции со строками сохраняют матрицу.Например, замена двух строк просто означает изменение их положения в матрице. Кроме того, при решении системы линейных уравнений методом исключения, умножение строк будет таким же, как умножение всего уравнения на число для получения аддитивных обратных величин, так что переменная сокращается. Наконец, добавление строк аналогично методу исключения, когда для получения переменной выбирается сложение или вычитание одинаковых членов уравнений. Следовательно, операции со строками сохраняют матрицу и могут использоваться как альтернативный метод для решения системы уравнений.
 Пример 1: Покажите, что эти две матрицы эквивалентны строкам:
 [латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ quad B = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ латекс]
 Начните с [latex] A [/ latex], добавьте вторую строку к первой:
 [латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]
 Затем умножьте вторую строку на 3 и вычтите первую строку из второй:
 [латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]
 Наконец, вычтите первую строку из второй:
 [латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]
 Вы можете видеть, что [latex] A = B [/ latex], что мы достигли с помощью серии элементарных операций со строками.
 Сокращение строк: решение системы линейных уравнений
 В редукторе рядов, линейная система:
 [латекс] \ displaystyle x + 3y-2z = 5 \\ 3x + 5y + 6z = 7 \ 2x + 4y + 3z = 8 [/ latex]
 Представлен в виде дополненной матрицы:
 [латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \ end {pmatrix} [/ latex]
 Затем эта матрица модифицируется с использованием операций с элементарными строками до тех пор, пока не достигнет уменьшенной формы эшелона строк.
 Поскольку эти операции обратимы, полученная расширенная матрица всегда представляет собой линейную систему, эквивалентную исходной.
 Существует несколько конкретных алгоритмов сокращения строк расширенной матрицы, простейшими из которых являются исключение Гаусса и исключение Гаусса-Жордана. Это вычисление может быть выполнено вручную (с использованием трех типов ERO) или на калькуляторе с помощью матричной функции «rref» (сокращенная форма эшелона строк).
 Окончательная матрица представлена в виде сокращенного ряда строк и представляет систему [латекс] x = -15 [/ latex], [latex] y = 8 [/ latex] [latex] z = 2 [/ latex].
 [латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -15 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]
 Упрощение матриц с помощью операций со строками
 Используя элементарные операции, исключение Гаусса приводит матрицы к форме эшелона строк.
 Цели обучения
 Используйте элементарные операции со строками, чтобы представить матрицу в упрощенной форме
 Основные выводы
 Ключевые моменты
 Поскольку элементарные операции со строками сохраняют пространство строк матрицы, пространство строк формы эшелона строк такое же, как и у исходной матрицы.
 Существует три типа операций с элементарными строками: меняют местами две строки, умножают строку на ненулевой скаляр и добавляют к одной строке скалярное значение, кратное другой.
 На практике обычно не рассматривают системы в терминах уравнений, а вместо этого используют расширенную матрицу (которая также подходит для компьютерных манипуляций).
 Ключевые термины
  Расширенная матрица : Матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же элементарных операций со строками для каждой из данных матриц.
 С помощью конечной последовательности элементарных операций со строками, называемой исключением по Гауссу, любую матрицу можно преобразовать в форму эшелона строк. Это преобразование необходимо для решения системы линейных уравнений.
 Прежде чем углубляться в детали, следует упомянуть несколько ключевых терминов:
  Расширенная матрица : расширенная матрица — это матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же операций с элементарной строкой для каждой из данных матриц.
  Форма верхнего треугольника : Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Треугольная матрица — это нижнетреугольная или верхнетреугольная матрица. Матрица, имеющая одновременно верхний и нижний треугольники, является диагональной матрицей.
  Элементарные операции со строками : Поменять местами строки, добавить строки или умножить строки.
 Исключение по Гауссу
 Напишите расширенную матрицу для линейных уравнений.
 Используйте элементарные операции со строками в расширенной матрице [latex] [A | b] [/ latex], чтобы преобразовать [latex] A [/ latex] в форму верхнего треугольника. Если на диагонали находится ноль, переключайте строки, пока на его месте не окажется ненулевое значение.
 Используйте обратную замену, чтобы найти решение.
 Пример 1: Решите систему методом исключения Гаусса:
 [латекс] \ displaystyle 2x + y-z = 8 \\ -3x-y + 2z = -11 \ -2x + y + 2z = -3 [/ latex]
 Запишите расширенную матрицу:
 [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \ end {array} \ right] [/ latex]
 Используйте элементарные операции со строками, чтобы уменьшить матрицу до уменьшенной формы эшелона строк:
 [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {array} \ right ] [/ латекс]
 Используя элементарные операции со строками для получения сокращенной формы эшелона строк (‘rref’ в калькуляторе), решение системы отображается в последнем столбце: [latex] x = 2, y = 3, z = -1 [/ latex] .
 6. Матрицы и линейные уравнения
 М. Борна
 Мы хотим решить систему одновременных линейных уравнений с помощью матриц:
  a  ₁  x  +  b  ₁  y  =  c  ₁
  a  ₂  x  +  b  ₂  y  =  c  ₂
 Если допустим
 `A = ((a_1, b_1), (a_2, b_2))`, `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((c_1), (c_2))`
, затем AX = C . (Впервые мы увидели это в «Умножении матриц»).
 Если теперь умножить каждую сторону
  AX  =  C 
 слева от
  А  ^-1, имеем:
  A  ^-1  AX  =  А  ^-1  С .
 Однако мы знаем, что  A  ^-1  A  =  I , Матрица идентичности.Получаем
  IX  =  A  ^-1  C .
 Но  IX  =  X , поэтому решение системы
Уравнения даются по:
  X  =  A  ^-1  C 
 См. Рамку в верхней части Инверсии матрицы для более подробного объяснения того, почему это работает.
  Примечание:  Мы  не можем изменить порядок умножения  и использовать  CA  ^-1, потому что
умножение матриц не коммутативно.
 Пример — решение системы с использованием обратной матрицы
 Решите систему, используя матрицы.
 —  x  + 5  y  = 4
 2  x  + 5  y  = −2
 Всегда проверяйте свои решения!
 Ответ
 У нас:
 `A = ((- 1,5), (2,5)),` `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((4), (- 2)) `
 Чтобы решить систему, нам понадобится обратное к  A , которое мы запишем как  A  ^-1.-1C` `= ((- 0,333,0,333), (0,133,0,067)) ((4), (- 2))` `= ((- 2), (0,4))`
 Этот ответ означает, что мы нашли решение «x = -2» и «y = 0,4».
 Правильное ли решение?
 Проверяем в исходной системе уравнений:
 `{: (- x + 5y, = 4), (2x + 5y, = — 2):}`
 Подставляя `x = -2` и` y = 0.4`, получаем:
 `- (- 2) + 5 × (0,4) = 2 + 2 = 4` [Проверяет ОК]
 `2 × (−2) + 5 × (0,4)` `= −4 + 2« = −2` [Проверяет ОК]
 Итак, решение исходной системы уравнений —
. `х = -2, \ \ у = 0.4`.
 Решение 3 × 3 систем
Уравнения
 Мы можем распространить вышеуказанный метод на системы любого размера. Мы не можем использовать тот же метод для поиска обратных матриц больше 2 × 2.
 Мы будем
используйте систему компьютерной алгебры, чтобы найти инверсии больше, чем
2 × 2.
 Пример — Система 3 × 3
Уравнения
 Решите систему матричными методами.
 `{: (x + 2y-z = 6), (3x + 5y-z = 2), (- 2x-y-2z = 4):}`
 Я уже упоминал? Хорошая идея — всегда проверять свои решения.-1C`
 `= ((5.5, -2.5, -1.5), (- 4,2,1), (- 3.5,1.5,0.5)) ((6), (2), (4))`
 `= ((22), (- 16), (- 16))`
 Чек:
 `22 + 2 (-16) — (-16) = 6` [ОК]
 `3 (22) + 5 (-16) — (-16) = 2` [ОК]
 `-2 (22) — (16) — 2 (-16) = 4` [ОК]
 Итак, решение: x = 22, y = -16 и z = -16.
 Пример — Электронное применение системы 3 × 3
Уравнения
 Найдите электрические токи, указанные
решение матричного уравнения (полученного с использованием закона Кирхгофа)
возникающие из этой цепи:
 
 `((I_1 + I_2 + I_3), (- 2I_1 + 3I_2), (- 3I_2 + 6I_3)) = ((0), (24), (0))`
 (Вы можете изучить, что на самом деле означает решение для этого примера, в этом апплете трехмерных интерактивных систем уравнений.-1 ((0), (24), (0)) `
 Используя систему компьютерной алгебры для выполнения обратного и умножения на постоянную матрицу, мы получаем:
 `I_1 = -6 \» A «`
 `I_2 = 4 \» A «`
 `I_3 = 2 \» A «`
 Мы видим, что  I  ₁ имеет отрицательное значение, как и ожидалось на принципиальной схеме.
 Упражнение 1
 Найдены следующие уравнения
в конкретной электрической цепи. Найдите токи с помощью матрицы
методы.-1C`
 `= ((0,294,0,353,0,294), (0,118, -0,059,0,118), (0,588, -0,294, -0,412)) ((0), (6), (- 3))`
 `= ((1,236), (- 0,708), (- 0,528))`
 Следовательно
 `I_A = 1,236 \» A «`,
 `I_B = -0,708 \» A «и
 `I_C = -0,528 \» A «`
 Упражнение 2
 Помните об этой проблеме? Если мы знаем используемые одновременные уравнения, мы сможем решить
система с использованием обратных матриц на компьютере.
 Уравнения схемы с использованием закона Кирхгофа:
 −26 = 72  I  ₁ —
17  I  ₃ —
35  Я  ₄
 34 = 122  I  ₂ —
35  I  ₃ —
87  Я  ₇
 −4 = 233  I  ₇ —
87  I  ₂-34  I  ₃-72  I  ₆
 −13 = 149  I  ₃ —
17  I  ₁-35  I  ₂-28  I  ₅ —
35  I  ₆ —
34  Я  ₇
 −27 = 105  I  ₅ —
28  I  ₃-43  I  ₄-34  I  ₆
 24 = 141  I  ₆ —
35  I  ₃-34  I  ₅-72  I  ₇
 5 = 105  I  ₄ —
35  I  ₁ —
43  Я  ₅
 Каковы отдельные токи,  I  ₁ до  I  ₇?
 Пользователи телефона
  ПРИМЕЧАНИЕ:  Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокрутить любую матрицу шириной   на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение. — 1
[(-26), (34), (- 4), (- 13), (- 27), (24), (5)] `
 `= [(- 0.-3), (- 0,22243), (- 0,27848), (0,21115), (0,20914)] `
 Ответ означает, что токи в этой цепи равны (с точностью до 4 знаков после запятой):
 `I_1 = -0,4680 \» A «`
 `I_2 = 0,4293 \» A «`
 `I_3 = 0,0005 \» A «`
 `I_4 = -0,2224 \» A «`
 `I_5 = -0,2785 \» A «`
 `I_6 = 0,2112 \» A «`
 `I_7 = 0.2091 \» A «`
 Упражнение 3
 Нам нужно 10 л бензина
содержащий 2% добавки. У нас есть следующие барабаны:
 Бензин без присадок
 Бензин с 5% присадкой
 Бензин с 6% присадкой
 Нам нужно использовать в 4 раза больше чистого
бензин в виде 5% присадки к бензину.Сколько нужно каждого?
 Всегда проверяйте свои решения!
 Ответ
 Пусть
  x  = нет. литров чистого бензина
  y  = нет. литров 5% бензина
  z  = нет. литров 6% бензина
 Из первого предложения имеем:
 `x + y + z = 10`
 Второе предложение дает нам:
 Мы НЕ получаем присадок из чистого бензина.
 Получаем (5% от  y ) л добавки из второго барабана.
 Получаем (6% от  z ) л добавки из третьего барабана.
 НАМ НУЖНО 2% из 10 л добавки = 0,2 л = 200 мл.
 Так
 `0,05y + 0,06z = 0,2`
 Умножение на 100 дает:
 `5y + 6z = 20`
 Второе последнее предложение дает нам:
 `x = 4y`
 Мы можем записать это как:
 `x — 4y = 0`
 Это дает нам систему одновременных уравнений:
  x  +  y  +  z  = 10
 5  y  + 6  z  = 20
  x  — 4  y  = 0
 Так
 `A = ((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0))`, `\ C = ((10), (20), (0))`
 Использование Scientific Notebook для обратного:
 `((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0)) ^ — 1« = ((0.96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) `
 Умножение обратной на матрицу  C :
 `((0,96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) ((10), (20), (0))` `= ((6,4 ), (1.6), (2)) `
 Итак, у нас есть 6,4 л чистого бензина, 1,6 л 5% присадок и 2 л 6% присадок.
 Это правильно?
 `6.4 + 1.6 + 2 = 10` L [ОК]
 `5% xx 1,6 + 6% xx 2 = 200` мл [OK OK]
 `4 × 1,6 = 6,4` [ОК]
 Упражнение 4
 Эта задача статики была представлена ранее в разделе 3: Матрицы.
 Из диаграммы получаем следующие уравнения (эти уравнения взяты из теории статики):
  Вертикальные силы: 
 F ₁ sin 69,3 ° — F ₂ sin 71,1 ° — F ₃ sin 56,6 ° + 926 = 0
  Горизонтальные силы: 
 F ₁ cos 69,3 ° — F ₂ cos 71,1 ° + F ₃ cos 56,6 ° = 0
  Моменты: 
 7.80 F ₁ sin 69,3 ° — 1,50 F ₂ sin 71,1 ° — 5,20 F ₃ sin
56,6 ° = 0
 С помощью матриц найти силы F ₁, F ₂ и F ₃.
 Ответ
 Запишем первое уравнение так, чтобы постоянный член оказался в правой части:
 F ₁ sin 69,3 ° — F ₂ sin 71,1 ° — F ₃ sin 56,6 ° = −926
 В матричной форме запишем уравнения как:
 ‘((грех 69.-1 ((- 926), (0), (0)) `
 `= ((425,5), (1079,9), (362,2))`
 Так
 `F_1 = 425,5 \» N «`
 `F_2 = 1079.9 \» N «`
 `F_3 = 362,2 \» N «`
 Это очень просто и быстро в Scientific
Ноутбук, Matlab или любая другая система компьютерной алгебры!
 Часть 1: Линейное уравнение двух переменных и матриц | Авниш | Линейная алгебра
 Мы начнем с рассмотрения простого линейного уравнения и его представления на графике.
 x = 0 — простое линейное уравнение одной переменной (x), на графике оно изображено точкой.
 Красная точка на 0,00 представляет точку x = 0 Принимая во внимание, что 2x + 3y = 6 — это линейное уравнение двух переменных (x и y), которое может быть отображено в виде линии на графике.
 Синяя линия представляет уравнение 2x + 3y = 6 На графике с двумя осями (x и y) x = 0 будет представлен в виде линии.
 Красная линия — это представление x = 0 на двумерном графике. Все линейные комбинации x и y представляют собой линию, и если мы построим все сразу, они заполнят всю декартову плоскость.
 x-2y = 6 → (1)
 x-y = 4 → (2)
 x + y = 0 → (3)
 Эти три уравнения можно назвать системой линейных уравнений. Может быть общее значение x и y, такое, что оно удовлетворяет всем трем уравнениям, и это значение x и y можно найти, построив все это на графике. Точка пересечения этих линий называется решением линейного уравнения.
 Для системы линейного уравнения, которую мы предположили, существует одно решение, т.е.
 (x, y) = (2, -2)
, потому что все три линии пересекаются в точке (2, -2).
 Существует множество методов решения системы линейных уравнений, один из них — метод исключения.
 Как следует из названия в методе исключения, мы исключаем одну из переменных, вычитая одно уравнение из другого (или сначала умножая одно уравнение на некоторое число, а затем вычитая из другого уравнения).
 Из нашего примера выше:
 Шаг 1. Мы исключаем «y» из (1), добавляя (2) к (1)
 (x + y) + (xy) = 0 + 4
 2x = 4
 x = 2 → (4)
 Шаг 2: Мы берем значение «x» из (4) и подставляем его в (1)
 2 + y = 0
 y = -2 → (5)
 Из (4) и (5) мы можем сказать, что x + y = 0 и xy = 4 имеют решение (2, -2).Но как насчет (3)? Есть ли у него такое же решение?
 Шаг 3: подставьте значение (2, -2) в уравнение (3)
 2- (2 × (-2)) = 6
 2 — (- 4) = 6
 6 = 6
 Итак, (2, -2) удовлетворяет уравнению. Следовательно, это решение вышеупомянутой системы линейных уравнений.
 Матрица — это расположение элементов в строках и столбцах. Элемент может быть любым (постоянным, числовым, переменным и т. Д.).
 Матрица порядка 3×3 Обычно матрицы заключаются в «[]».
 Порядок матрицы: = Количество строк × Количество столбцов.
 Линейное уравнение также может быть представлено в виде матриц, например, система линейных уравнений в (1), (2) и (3) может быть представлена как:
 Матрица коэффициентов (1), (2) и ( 3) Это сторона коэффициентов всех уравнений, представленных в виде матрицы. Столбец 1 — это коэффициенты «x», а столбец 2 — коэффициенты «y». Каждая строка представляет собой уравнение.
 Матрица констант (1), (2) и (3) Это постоянная часть системы уравнений, представленная в виде матрицы порядка 3 × 1.Обе матрицы могут быть записаны вместе как расширенная матрица, разделенная знаком «|». или пунктирная линия.
 Расширенная матрица (1), (2) и (3) Расширенная матрица может быть полезна в будущем при применении алгоритма исключения Гаусса.
 Система линейных уравнений в матрицах — MathsTips.com
 В математике система линейной системы представляет собой набор из двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных. Например: 2x — y = 1, 3x + 2y = 12. Это система двух уравнений с двумя переменными, то есть x и y, которая называется двумя линейными уравнениями с двумя неизвестными x и y, а решение линейного уравнения — это значение переменных, при котором выполняются все уравнения.
 В матрице каждое уравнение в системе становится строкой, а каждая переменная в системе становится столбцом, переменные отбрасываются, а коэффициенты помещаются в матрицу.
 Система двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y имеет следующий вид:
 Пусть,,.
 Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме как:
 = то есть AX = B и X =.
 Если R.H.S., а именно B, равно 0, то система однородна, в противном случае — неоднородна.
 представляет собой однородную систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y.
 — неоднородная система уравнений.
 Система трех линейных уравнений относительно трех неизвестных x, y, z имеет следующий вид:
.
 Пусть,,.
 Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме как:
 = то есть AX = B и X =.
 Алгоритм решения линейного уравнения через матрицу
 Запишите данную систему в виде матричного уравнения как AX = B.
 Найдите определитель матрицы. Если определитель | A | = 0, то не существует, поэтому решение не существует. Напишите «Система несовместима».
 Если определитель существует, найдите матрицу, обратную матрице, т.е.
 Найдите где матрица, обратная величине.
 Решите уравнение матричным методом линейных уравнений с формулой и найдите значения x, y, z.
  Пример 1:  Решите уравнение: 4x + 7y-9 = 0, 5x-8y + 15 = 0
  Решение:  Данное уравнение можно записать в матричной форме как:,,
 Данную систему можно записать в виде: AX = B, где.
 Найдем определитель: | A | = 4 * (- 8) — 5 * 7 = -32-35 = -67 Итак, решение существует.
 Минор и сомножитель матрицы A: = -8 = -8, = 5 = -5, = 7 = -7, = 4 = 4.
 Матрица сомножителей = и Adj A =
.
 = = =
 x = и y =
  Пример 2:  Решите уравнение: 2x + y + 3z = 1, x + z = 2, 2x + y + z = 3
  Решение:  Данное уравнение можно записать в матричной форме как:,,.
 Данную систему можно записать в виде: AX = B, где.
 Найдем определитель: | A | = 2 (0-1) — 1 (1-2) + 3 (1-0) = -2 + 1 + 3 = 2. Итак, решение существует.
 Минор и сомножитель матрицы A: = -1 = -1, = -1 = 1, = 1 = 1, = -2 = 2, = -4 = -4, = 0 = 0 = 1 = -1, = -1 = -1, = -1 = 1.
 и
.
 = = = =.
 х = 3, у = -2, г = -1.
 Упражнение
 Решите следующие уравнения:
 2x + 3y = 9, -x + y = -2.
 х + 3у = -2, 3х + 5у = 4.
 х + у = 1, 3у + 3z = 5, 3z + 3х = 4. — 1 #
 В какой-то момент нам нужно вычислить #abs (bb (A)) # или #det (bb (A)) #, и это также можно использовать для проверки, действительно ли матрица обратима, поэтому я предпочитаю сделать это в первую очередь. ;
 # bb (A) = ((16,5), (16,1)) #
 Если мы расширим первую строку;
 # абс (bb (A)) = (15) (1) — (16) (5) # 
 # \ \ \ \ \ = 16-80 # 
 # \ \ \ \ \ = -64 #
 Поскольку #abs (bb (A))! = 0 => bb (A) # обратимо, теперь мы вычисляем матрицу миноров, систематически прорабатывая каждый элемент в матрице и «зачеркивая» эту строку и столбцы и образуют определитель остальных элементов следующим образом:
 # «несовершеннолетние» (bb (A)) = ((1, 16), (5, 16)) #
 Теперь мы сформируем матрицу сомножителей, #cof (A) #, взяв указанную выше матрицу миноров и применив матрицу чередующихся знаков, как в
 # ((+, -), (-, +)) #
 Где мы меняем знак тех элементов со знаком минус, чтобы получить;
 # cof (bbA) = ((1, -16), (-5, 16)) #
 Затем мы формируем сопряженную матрицу, транспонируя матрицу сомножителей, #cof (A) #, so;
 #adj (A) = cof (A) ^ T # 
 # \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ((1, -16), (-5, 16)) ^ T # 
 # \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ((1, -5), (-16, 16)) #
 И, наконец, мы умножаем на обратную величину определителя, чтобы получить:
 #bb (A) ^ — 1 = 1 / abs (bb A) adj (bb A) # 
 # \ \ \ \ \ \ \ = 1 / (- 64) ((1, -5), (-16 , 16)) #
 Итак, мы получаем решение линейных уравнений как:
 # bb (ul x) = bb (A) ^ (- 1) bb (ul b) #.(-1) ((211), (183)) = ((11), (7)) #
 Создание (B) решения coirerct
 Решение матричных уравнений за один шаг с помощью резистивных массивов точек пересечения
 Значение
 Линейная алгебра используется практически во всех научных и инженерных дисциплинах, например, в физике, статистике, машинном обучении и сигналах обработка. Решение матричных уравнений, таких как линейная система или уравнение с собственным вектором, выполняется путем факторизации матриц или итерационного умножения матриц на обычных компьютерах, что требует больших вычислительных ресурсов.Вычисления в оперативной памяти с аналоговой резистивной памятью продемонстрировали высокую эффективность использования времени и энергии за счет реализации умножения матрицы на вектор за один шаг по закону Ома и закону Кирхгофа. Однако решение матричных уравнений за одну операцию остается открытой проблемой. Здесь мы показываем, что схема обратной связи с перекрестной резистивной памятью может решать алгебраические задачи, такие как системы линейных уравнений, собственные векторы матриц и дифференциальные уравнения, всего за один шаг.
 Abstract
 Обычные цифровые компьютеры могут выполнять расширенные операции с помощью последовательности элементарных булевых функций из 2 или более битов.В результате сложные задачи, такие как решение линейной системы или решение дифференциального уравнения, требуют большого количества вычислительных шагов и широкого использования модулей памяти для хранения отдельных битов. Для ускорения выполнения таких сложных задач вычисления в памяти с резистивной памятью являются многообещающим средством благодаря хранению аналоговых данных и физическим вычислениям в памяти. Здесь мы показываем, что массив точек пересечения резистивных запоминающих устройств может напрямую решать систему линейных уравнений или находить собственные векторы матрицы.Эти операции выполняются всего за один шаг благодаря физическим вычислениям по законам Ома и Кирхгофа, а также благодаря подключению с отрицательной обратной связью в схеме коммутации. Алгебраические задачи демонстрируются на оборудовании и применяются к классическим вычислительным задачам, таким как ранжирование веб-страниц и решение уравнения Шредингера за один шаг.
 Задачи линейной алгебры, такие как решение систем линейных уравнений и вычисление собственных векторов матриц, лежат в основе современных научных вычислений и задач, требующих обработки большого количества данных.Традиционно эти проблемы в форме матричных уравнений решаются матричными факторизациями или итеративными матричными умножениями (1, 2), которые требуют больших вычислительных ресурсов и полиномиальной временной сложности, например,  O  ( N  ³), где  N  размер проблемы. Поскольку традиционные компьютеры все чаще сталкиваются с ограничениями масштабирования технологии комплементарного металл-оксид-полупроводник (КМОП) (3), а также из-за затрат энергии и задержек при перемещении данных между памятью и вычислительными блоками (4), улучшение вычислений производительность с увеличением аппаратных ресурсов становится сложной и неэкономичной.Чтобы обойти эти фундаментальные ограничения, вычисления в памяти недавно стали многообещающим методом для проведения вычислений на месте, то есть внутри блока памяти (5). Одним из примеров являются вычисления в массивах точек пересечения, которые могут ускорить умножение матрицы на вектор (MVM) по закону Ома и закону Кирхгофа с аналоговой и реконфигурируемой резистивной памятью (5⇓⇓ – 8). MVM в памяти был адаптирован для нескольких задач, включая сжатие изображений (5), разреженное кодирование (6) и обучение глубоких нейронных сетей (7, 8).Однако решение матричных уравнений, таких как линейная система  Ax  =  b , за одну операцию остается открытой проблемой. Здесь мы показываем, что схема обратной связи, включающая реконфигурируемую резистивную решетку в точках пересечения, может обеспечить решение алгебраических задач, таких как системы линейных уравнений, собственные векторы матрицы и дифференциальные уравнения, всего за один шаг.
 Резистивная память — это двухполюсные элементы, которые могут изменять свою проводимость в ответ на приложенное напряжение (9, 10).Благодаря своему энергонезависимому и реконфигурируемому поведению резистивные запоминающие устройства широко исследовались и разрабатывались для запоминающих устройств (11, 12), логики с отслеживанием состояния (13⇓ – 15), вычислений в памяти (5, 6, 16, 17), и нейроморфные вычислительные приложения (7, 8, 18, 19). Резистивная память включает в себя различные концепции устройств, такие как резистивная коммутационная память (RRAM, ссылки 9–12), память с изменением фазы (PCM, ссылка 20) и магнитная память с передачей вращения по крутящему моменту (21). Реализованные в архитектуре массива точек пересечения, резистивная память может естественным образом ускорить операции с большим объемом данных с улучшенной эффективностью времени / энергии по сравнению с классическими цифровыми вычислениями (5, 6, 17).Также недавно было показано, что итерированные операции MVM с резистивными массивами точек пересечения могут решать системы линейных уравнений в сочетании с цифровыми компьютерами с плавающей запятой (22). Чем выше желаемая точность решения, тем больше итераций требуется для завершения операции. Однако итерация поднимает фундаментальный предел для достижения высокой вычислительной производительности с точки зрения энергии и задержки.
 Результаты
 Схемы пересечения для решения системы линейных уравнений.
 Рис. 1  A  показывает предложенную схему обратной связи для решения системы линейных уравнений за один шаг, а аппаратная схема на печатной плате показана в приложении  SI , рис. S1. Схема представляет собой матрицу узлов RRAM, каждое из которых состоит из пакета металл-изолятор-металл со слоем HfO ₂ между верхним электродом из Ti и нижним электродом из C (15). Устройства показывают переход набора от высокого сопротивления к низкому сопротивлению, когда положительное напряжение выше порогового значения  В  _набора применяется к Ti-электроду, и переход сброса от низкого сопротивления к высокому сопротивлению, когда отрицательное напряжение выше порога  V  _сброс применяется к Ti-электроду.Многоуровневая работа также возможна путем выполнения установленного перехода при переменном максимальном (согласованном) токе  I  _C или выполнения перехода в сброс при переменном максимальном напряжении  В  _stop (23), как показано в приложении  SI  , Рис. S2. Массив точек пересечения 3 × 3 на рисунке может выполнять MVM с разомкнутым контуром, то есть путем приложения вектора напряжения  V  к столбцам и измерения вектора тока  I  в строках без соединений строка-столбец, разрешенных с помощью операционные усилители (ОУ), которые показаны в приложении  SI, рис.S3. Измеренные токи дают скалярное произведение  I  =  A  ·  V  между приложенными аналоговыми напряжениями и матрицей  A  значений проводимости RRAM в матрице точек пересечения. Результаты свидетельствуют о небольшой погрешности, обычно менее 8%, в основном из-за нелинейности проводимости в резистивных устройствах с перекрестными точками. Это соответствует предыдущим результатам, в которых точность MVM оказалась удовлетворительной (5), хотя и не соответствовала полностью цифровым операциям с одинарной и двойной точностью.
 Рис. 1. Решение систем линейных уравнений с массивом точек пересечения резистивных устройств. ( A ) Схема пересечения для решения линейной системы или инвертирования положительной матрицы. Элементы RRAM (красные цилиндры) расположены в точках пересечения между строками (синие полосы) и столбцами (зеленые полосы). ( Вставка ,  Справа ) Экспериментальные значения проводимости, отображающие элементы матрицы  A . Единицы преобразования между матрицами / векторами с действительным знаком и физическими реализациями были:  G  ₀ = 100 мкс,  V  ₀ = 1 В и  I  ₀ = 100 мкА для проводимости RRAM, входное / выходное напряжение и выходной / входной ток соответственно.Другие случаи также следуют этому соглашению, если не указано иное. ( B ) Схемы для вычисления скалярного произведения  I  =  G  ·  V  по закону Ома и для вычисления скалярного деления  V  = —  I / G  с помощью TIA. ( C ) Измеренное решение линейной системы с вектором входного тока  I  = [0,2; 1; 1]  I  ₀. Экспериментальные выходные напряжения дают решение, очень близкое к аналитическому.( D ) Измеренное решение для линейных систем, а именно выходное напряжение, как функция параметра  β , управляющего входным током, задаваемым  I  =  β  · [0,2; 1; 1]  I  ₀ с −1 ≤  β  ≤ 1. Экспериментальные решения (цветные кружки) сравниваются с аналитическими решениями (цветные линии) системы, что подтверждает точность физического расчета. ( E ) Обратная экспериментальная матрица  A  ⁻¹, а именно измеренные выходные напряжения в трех последующих экспериментах с входным током  I  = [1; 0; 0]  I  ₀, [0; 1; 0]  I  ₀ и [0; 0; 1]  I  ₀ соответственно.Также показано аналитическое решение. ( Вставка ) Матричное произведение  AA  ^-1 очень близко к единичной матрице  U , таким образом поддерживая экспериментальную инверсию.
 Работа MVM является следствием физического закона Ома  I  =  G  ·  В , где  G  — проводимость устройства,  В  — приложенное напряжение, а  I  — измеренный ток ( Рис.1  B ,  Верх ).С другой стороны, обратная операция  V  = —  I / G  может быть получена для заданных  I  и  G , просто нагнетая ток  I  в заземленном узле резистивного устройства. и измерение потенциала  V  во втором узле. Это физическое разделение выполняется трансимпедансным усилителем (TIA) на рис. 1  B  ( снизу ), где ток вводится в инвертирующий входной узел ОУ, а проводимость обратной связи  G  соединяет вход и выходные узлы ОА.Дифференциальное входное напряжение  В  ⁺ —  В  ^— на ОУ минимизировано высоким коэффициентом усиления ОУ, тем самым устанавливая виртуальную землю ( В  ^— = 0) на инвертирующем входе. node (24, 25) и включение физического разделения. Это составляет основу схемы на рис. 1  A , которая решает систему линейных уравнений, выраженную матричной формулой: Ax = b, [1] где  A  — невырожденная квадратная матрица, отображаемая со значениями проводимости поперечного -точечные устройства RRAM,  b  — известный вектор, а  x  — неизвестный вектор.В этой схеме входные токи  I  = —  b  прикладываются к рядам точек пересечения, подключенным к узлам виртуальной земли OA. В результате токи вынуждены автоматически распределяться между резистивными элементами в массиве точек пересечения, чтобы установить выходной потенциал  В, , удовлетворяющий A · V + I = 0, [2], что подразумевает  В  = —  A  ⁻¹ ·  I  =  x . Схема, аналогичная показанной на рис. 1  A , ранее была представлена в отчете International Roadmap for Devices and Systems (25) и предложена исх.26, хотя не было продемонстрировано возможности решения линейной системы с помощью экспериментов или моделирования.
 Чтобы продемонстрировать концепцию на рис. 1  A , мы измерили выходные напряжения в матрице точек пересечения RRAM 3 × 3 на рис. 1  A , где также показана матрица проводимости. Все матрицы, принятые в экспериментах в этой работе, приведены в приложении  SI, таблица S1. Вектор тока [ I  ₁₀;  I  ₂₀;  I  ₃₀] с  I  ₁₀ = 20 мкА,  I  ₂₀ = 100 мкА, и  I  ₃₀ = 100 мкА, был применен к строкам массива, и результирующий потенциал в столбцах массива, т.е.е., [ V  ₁₀;  В  ₂₀;  V  ₃₀], было измерено, как показано на фиг. 1  C . Хорошее согласие (с относительными ошибками в пределах 3%) с аналитическим решением поддерживает функциональность цепи обратной связи, показанной на рис. 1  A , для решения матричного уравнения в уравнении.  1 . Схема была дополнительно продемонстрирована путем линейного изменения входных токов в соответствии с  I  _i =  β I  _{i  0}, где  i  = 1, 2 или 3, а  β  был изменяется равномерно в диапазоне от -1 до 1.Результаты представлены на рис. 1  D , где показаны измеренные выходные напряжения в сравнении с аналитическими решениями  x  =  A  ^-1  b . Ошибка остается ниже 10% для |  β  | > 0,5 ( SI Приложение , рис. S4). Примечательно, что уравнение.  1  физически решается всего за один шаг благодаря физической MVM в массиве точек пересечения и соединению обратной связи, заставляющему виртуальное заземление в рядах точек пересечения.
 Ту же концепцию можно расширить для вычисления инверсии матрицы  A , удовлетворяющей  AA  ^-1 =  U , где  U  — единичная матрица.Столбец  i -й столбец  A  ^-1 может быть измерен как выходное напряжение, когда столбец  i -й столбец  U  применяется в качестве входа, таким образом реализуя инверсию матрицы за  N  шагов. На рис. 1  E  показаны измеренные элементы  A  ⁻¹ в сравнении с аналитически решенными элементами обратной матрицы, а относительные ошибки вычислены в приложении  SI , рис. S5. Рис. 1  E  ( вставка ) показывает, что экспериментальный продукт  AA  ^-1 хорошо аппроксимирует  U , что дополнительно поддерживает вычисленную инверсию матрицы.
 Схема на рис. 1  A  по существу является оператором инверсии матрицы, который может использоваться для решения линейных систем и инверсий матриц, в то время как массив точек пересечения без обратной связи является оператором матрицы, который, естественно, может использоваться для выполнить MVM. Поскольку схема инверсии матрицы является системой с отрицательной обратной связью, стабильность выходного напряжения требует, чтобы коэффициент усиления контура ( G  _контур) каждого контура обратной связи был отрицательным (27). Анализ показывает, что условие  G  _loop <0 выполняется, когда все знаки диагональных элементов  A  ⁻¹ положительны ( SI Приложение , рис.S6). Следуя этому руководству, была решена система линейных уравнений и инверсия матрицы 5 × 5, при этом матрица была реализована в виде массива дискретных резисторов в точках пересечения. Небольшая относительная погрешность около нескольких процентов в этом идеальном случае с дискретными резисторами свидетельствует о том, что высокая точность может быть достигнута с помощью точных и линейных устройств резистивной памяти ( SI Приложение , Рис. S7).
 Решение линейной системы с положительными и отрицательными коэффициентами.
 Поскольку в резистивном элементе проводимость может быть только положительной, схема на рис.1 может решать только линейные системы с положительной матрицей коэффициентов. Для решения линейных систем с неположительными коэффициентами должна быть принята схема со смешанной матрицей, показанная на рисунке 2. Здесь матрица  A  разделена на два массива точек пересечения согласно  A  =  B -C, где  B  и  C  оба положительны. На рис.2  A  показана реализация массива с двумя точками пересечения, где входной ток  I  разделен схемой на два компонента  I  _B и  I  _C =  I — I  _B, передаваемый в ряды виртуального заземления  B  и  C , соответственно.Аналоговые инверторы позволяют инвертировать напряжение между столбцами  B  и  C . Исходя из закона Ома и закона тока Кирхгофа, выходное напряжение  В  OA определяется как B · V + C (−V) + I = 0, [3] или  A  ·  V  +  I  = 0, который решает линейную систему уравнения.  1  с  I  = —  b .
 Рис. 2. Обращение смешанной матрицы. ( A ) Схема схемы двух точек пересечения для инверсии матриц, где два массива точек пересечения содержат элементы матриц  B  ( Bottom ) и  C  ( Top ) с  A  =  B  —  C .Напряжение в матрице  C  инвертируется в другой с помощью аналоговых инверторов, в то время как входной ток вводится в линии виртуальной земли и разделяется на две матрицы. ( B ) Измеренные значения матриц  A ,  B  и  C , с  A  =  B  —  C . В эксперименте матрица  B  была реализована в виде массива точек пересечения RRAM, а матрица  C  была реализована в виде массива точек пересечения дискретных резисторов.( C ) Измеренные значения обратной матрицы  A  ^-1 как функция аналитически вычисленных элементов  A  ^-1. Поскольку  A  ⁻¹ является положительной матрицей, ее можно инвертировать с помощью единственного массива точек пересечения, как показано на рисунке 1. ( D ) Значения проводимости для матрицы  A  ⁻¹, реализованные в элементах RRAM , как функция экспериментальных значений  A  ^-1 в  C .Чтобы устройства работали в области высокой проводимости, матрица  A  ^-1 была реализована с  G  ₀ = 500 мкс для проводимости RRAM. ( E ) Измеренные элементы матрицы ( A  ⁻¹) ⁻¹ как функция аналитических расчетов.  I  ₀ = 500 мкА и  В  ₀ = 1 В использовались для входного тока и выходного напряжения соответственно. ( F ) Измеренные элементы матрицы ( A  ⁻¹) ⁻¹ как функция с исходной матрицей  A , демонстрируя замечательную точность, несмотря на накопленные ошибки по двум последовательным процессам инверсии и устройству -процесс программирования.
 Мы экспериментально продемонстрировали инверсию смешанной матрицы 3 × 3  A  с двумя матрицами  B  и  C , реализованными в массиве RRAM и массиве резисторов, соответственно. Значения  A ,  B  и  C  показаны на рис. 2  B , а на рис. 2  C  показаны измеренные элементы  A  ⁻¹ как функция аналитического результаты, демонстрирующие хорошую точность. Чтобы дополнительно поддержать инверсию физической матрицы, мы инвертировали  A  ^-1, которая является положительной матрицей, с одним массивом точек пересечения.Для этой цели элементы  A  ^-1 были сначала отображены как значения проводимости в массиве RRAM с использованием алгоритма программирования и проверки с ошибкой менее 5% (приложение  SI , рис. S8). Хотя алгоритм программирования и проверки применялся к отдельному устройству RRAM за раз, массив точек пересечения подходит для параллельного программирования, чтобы значительно сократить время инициализации массива (28, 29). На рис. 2  D  показаны измеренные значения проводимости RRAM как функция целевых значений, полученных из экспериментального  A  ^-1 на рис.2  С . Инверсия  A  ⁻¹, то есть ( A  ⁻¹) ⁻¹, была вычислена схемой инверсии матрицы, показанной на рис. 1  A , что дало результаты на рис.  E . Вычисленное ( A  ⁻¹) ⁻¹ сравнивается с исходной матрицей  A  на рис.2  F , которая поддерживает хорошую точность двойных инверсий ( A  ⁻¹) ^-1 =  А .Относительные ошибки вышеуказанных операций указаны в приложении  SI, рис. S9.
 Подобно схеме с одиночной точкой пересечения на фиг. 1  A , условие отрицательной обратной связи применяется к смешанной матрице  A . Кроме того, поскольку матрица точек пересечения  B  непосредственно участвует в обратной связи с обратной связью с OA, матрица  B  также должна удовлетворять условию  G  _loop <0. В качестве предложения для практических приложений. , эталонная матрица  B , удовлетворяющая условию  G  _loop, может быть принята в схеме со смешанной матрицей, в то время как матрица  C  может быть свободно размещена с помощью массива точек пересечения RRAM с условием  C  =  B  —  A .Чтобы продемонстрировать общность этой концепции, одномерное стационарное уравнение Фурье для диффузии тепла было решено с помощью схемы с перекрестными точками ( SI Приложение , рис. S10 и S11). При использовании метода конечных разностей дифференциальное уравнение сначала преобразуется в систему линейных уравнений, где характеристическая матрица , A  является смешанной трехдиагональной матрицей. Входные токи соответствуют известному термину, а именно рассеиваемой мощности в одномерной структуре.Решение дает профиль температуры вдоль эталонной структуры, которая решает численное уравнение Фурье.
 Ключевым параметром для описания устойчивости решения линейной системы является число обусловленности  κ  матрицы (30). Число обусловленности отражает стабильность решения  x  при небольших изменениях известного члена  b  в уравнении.  1 , где чувствительность к возмущениям увеличивается с увеличением числа обусловленности. Чтобы изучить влияние числа обусловленности на решение линейных систем в массивах резистивной памяти, мы смоделировали схемное обращение трех матриц 10 × 10 с увеличением числа обусловленности.Чтобы проверить стабильность решения, случайное изменение 0,1 или -0,1 было добавлено к каждому элементу в члене  b  уравнения  Ax  =  b , где  b  — это  i -й столбец единичная матрица  U ,  x  — это  i -й столбец  A  ^-1, и  i  был перевернут от 1 до 10 для вычисления всей обратной матрицы. Результаты представлены в приложении  SI, приложение , рис. S12, что указывает на то, что ошибка вычисления увеличивается с увеличением числа обусловленности матрицы.
 Влияние числа обусловленности было также проверено в экспериментах путем выполнения двойного обращения матрицы с большим числом обусловленности ( κ  = 16,9) по сравнению с матрицей с  κ  = 9,5 на рис. Номера условий для всех матриц в эксперименте сведены в  SI Приложение , Таблица S1. Как показано в Приложении  SI, рис. S13, матрица с большим значением  κ  успешно инвертируется дважды, хотя ошибки вычислений больше, чем в случае на рис.2 ( SI Приложение , рис. S14). Следует отметить, что рассматриваемые в данной работе матрицы хорошо подготовлены. Для плохо обусловленной матрицы с чрезвычайно высоким числом обусловленности должны потребоваться дополнительные схемы, возможно, включая итерационные алгоритмы уточнения, которые могут поддерживаться обычным цифровым компьютером (22) или реализованы в массиве резистивной памяти (26). Ошибка, вызванная тепловым шумом и дробовым шумом компонентов в схеме пересечения, также увеличивается с увеличением числа условий, хотя и представляет гораздо меньшую проблему ( SI Приложение , рис.S15).
 Схемы коммутации для вычисления собственных векторов.
 Решение линейной системы в уравнении.  1  можно дополнительно расширить до вычисления собственных векторов посредством физических вычислений в массиве точек пересечения. Уравнение для собственного вектора имеет вид Ax = λx, [4] где  A  — вещественная квадратная матрица,  λ  — ее собственное значение, а  x  — соответствующий собственный вектор. Рис. 3  A  показывает схему собственного вектора, состоящую из самоуправляемой цепи обратной связи, где вектор напряжения  V , сформированный в столбцах точек пересечения, развивает вектор тока  I  =  A  ·  V , при этом проводимость матрицы точек пересечения, отображающей матрицу  A .Выходные токи преобразуются в напряжения с помощью TIA с резисторами обратной связи  G  _λ, отображающими известное собственное значение  λ . Затем выходные сигналы TIA инвертируются и возвращаются в столбцы точек пересечения. Комбинируя закон Ома и закон Кирхгофа, получаем —  A  ·  V / G  _λ = —  V , следовательно,  A  ·  V  =  G  _{λ  V}, который удовлетворяет уравнению. 4 . Поскольку физические напряжения и токи могут иметь только действительные значения, схема собственных векторов применяется только к действительным собственным значениям и собственным векторам. Для положительной матрицы, согласно теореме Перрона – Фробениуса (31), наивысшее собственное значение должно быть положительным действительным числом, а его собственный вектор также состоит из положительных действительных чисел. В результате собственный вектор наивысшего собственного значения положительной матрицы всегда может быть решен с помощью перекрестной схемы. Если собственный вектор самого низкого отрицательного собственного значения является действительным, его также можно измерить, удалив аналоговые инверторы в цепи обратной связи ( SI Приложение , рис.S16  A ). Обратите внимание, что схема собственного вектора на рис. 3  A  работает автономно, подобно генератору с положительной обратной связью, благодаря активным TIA, устанавливающим вектор напряжения  V .
 Рис. 3. Расчеты собственного вектора и PageRank. ( A ) Схема пересечения для решения уравнения собственных векторов  Ax  =  λx , где  x  — собственный вектор, а  λ  — наивысшее положительное собственное значение положительной матрицы  A , указанное в вставка.Чтобы предотвратить нарушение при установке / сбросе проводимости RRAM, выходные напряжения OA были ограничены до ± 0,2 В. ( B ) Измеренные собственные векторы, соответствующие наивысшему положительному собственному значению и самому низкому отрицательному собственному значению, как функция нормированных собственных векторов полученные аналитическими решениями. Наибольшее положительное собственное значение и наименьшее отрицательное собственное значение были сохранены как проводимость обратной связи  G  _λ TIA с проводимостью 940 и 331 мкс соответственно.( C ) Система из четырех веб-страниц с соответствующими ссылками. Стрелка, указывающая со страницы  i  на страницу  j , указывает на ссылку  j  на странице  i , поэтому важность веб-страницы можно определить по количеству стрелок, указывающих на эту страницу. ( D ) Матрица ссылок для системы в  C . Сумма элементов в каждом столбце равна 1, а все диагональные элементы равны нулю, поскольку страницы не ссылаются на себя. Единица преобразования была  G  ₀ = 684 мкс для проводимости RRAM, чтобы минимизировать нелинейность RRAM.Наивысшее положительное собственное значение равно 1, что соответствует резисторам обратной связи с проводимостью  G  ₀. ( E ) Измеренный собственный вектор, представляющий оценки важности четырех страниц, как функция аналитически решенного нормализованного собственного вектора.
 Схема собственного вектора на рис. 3  A  была экспериментально продемонстрирована для массива точек пересечения RRAM со значениями проводимости  G , отображающими матрицу  A  (рис. 3  A ,  вставка ) путем вычисления собственные векторы для наивысшего положительного собственного значения ( λ  ₊ = 9.41) и наименьшее отрицательное собственное значение ( λ  _— = −3,31). На рис. 3  B  показаны измеренные значения собственных векторов как функции нормированных собственных векторов, полученных с помощью аналитических решений. Пропорциональность между экспериментальными и рассчитанными собственными векторами на рисунке указывает на правильное физическое вычисление собственных векторов.
 Хотя ограничение решения самыми высокими / самыми низкими собственными значениями может показаться неудобным, оказывается, что для многих приложений используются только самые высокие положительные или самые низкие отрицательные собственные значения.Например, в алгоритме PageRank (32, 33), который дает оценки важности веб-страниц для их ранжирования, собственный вектор матрицы ссылок вычисляется для наивысшего положительного собственного значения. Последнее всегда равно 1, поскольку матрица связей является стохастической матрицей (33). На Фиг.3  C  показан пример четырех страниц с соответствующими ссылками, а на Фиг.3  D  показана соответствующая матрица ссылок, которая была реализована как значения проводимости массива точек пересечения RRAM 4 × 4.Используя схему собственного вектора, показанную на рис. 3  A , был решен собственный вектор матрицы ссылок для вычисления оценок важности страниц. Рис. 3  E  показывает экспериментальные оценки по сравнению с аналитическими оценками, демонстрируя хорошую точность физического вычисления собственного вектора. Реальный случай PageRank описан в приложении  SI, рис. S17.
 Анализ схемы собственных векторов на рис.3  A  показывает, что  G  _петля в идеале должна быть равна 1 ( SI Приложение , рис.S18), что, однако, никогда не может быть полностью удовлетворено в практических схемах. На практике  G  _λ можно экспериментально выбрать так, чтобы  G  _петля была немного больше 1, что позволяет правильно решить собственный вектор с приемлемой ошибкой. Фактически, хотя выход изначально увеличивается из-за цикла  G  > 1, нелинейность схемы, возникающая из-за насыщения выхода TIA, уменьшает цикл  G   до 1.С другой стороны, установка  G  _loop меньше 1 приводит к нулевому выходному напряжению, чего, таким образом, следует избегать. Аналогично Рис. 2  A , решение для собственных векторов может быть расширено до смешанной матрицы  A  с помощью техники разделения с двумя массивами точек пересечения, соединенными аналоговыми инверторами ( SI Приложение , Рис. S16  B ).
 Мы проверили физическое вычисление собственных векторов для решения одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера: HΨ = EΨ, [5] где  H  — оператор Гамильтона,  E  — собственное значение энергии, а Ψ — соответствующая собственная функция.Уравнение  5  могут быть численно решены методом конечных разностей, давая задачу о собственных векторах, задаваемую уравнением.  4 , где  A  — трехдиагональная матрица коэффициентов,  x  — вектор значений в дискретных позициях, а  λ  — наивысшее / наименьшее собственное значение. Уравнение Шредингера было решено для квадратной потенциальной ямы, показанной на рис. 4  A , которая была разделена поровну на 32 сегмента ( SI Приложение , рис. S19 и S20).Фиг.4  B  показывает трехдиагональную смешанную матрицу  A  33 × 33, описывающую уравнения собственных векторов. Матрица  A,  разделена на две положительные трехдиагональные матрицы  B  и  C , которые отображаются в значения проводимости двух массивов точек пересечения, соответственно. Собственный вектор был рассчитан для основного состояния с энергией  E  = -4,929 эВ, что соответствует наименьшему отрицательному собственному значению задачи. Собственные значения и собственные векторы, полученные путем численного решения на цифровом компьютере, также указаны в приложении  SI , рис.S19. Фиг. 4  C  показывает собственный вектор, полученный с помощью схемы смоделированного собственного вектора, в сравнении с аналитически вычисленным собственным вектором. Физически вычисленная волновая функция хорошо согласуется с численным решением, которое дополнительно поддерживает физические вычисления в схемах пересечения точек для реальных приложений.
 Рис. 4. Решение уравнения Шредингера в схеме пересечения. ( A ) Прямоугольная яма потенциала  V  ( x ), принятая в уравнении Шредингера.Потенциальная яма имеет глубину -5 эВ и ширину 2 нм, в то время как решение проводится с общей шириной 3,2 нм, дискретизированной в 32 равных интервалах. ( B ) Матрица  A  размером 33 × 33, полученная из пространственной дискретизации уравнения Шредингера, и две положительные матрицы  B  и  C , реализованные в массивах точек пересечения, с  A  =  В  —  С . Единица преобразования 100 мкс для 7,6195 эВ была принята в матрицах  B  и  C .Две матрицы проводимости имеют одну и ту же цветовую полосу. Собственное значение в основном состоянии составляет -4,929 эВ, что отображается на проводимость (65 мкСм) резисторов обратной связи TIA. ( C ) Дискретная собственная функция основного состояния, полученная как смоделированное выходное напряжение в схеме пересечения по сравнению с аналитическими решениями. Обратите внимание, что пиковое напряжение составляет около 1,5 В напряжения питания ОУ из-за насыщения.
 Обсуждение
 Массивы точек пересечения позволяют решать широкий набор задач алгебры, от линейных систем до задач на собственные векторы, тем самым обеспечивая физическое решение дифференциальных уравнений, описывающих реальные проблемы в промышленности, экономике и здравоохранении.Решение основано на чрезвычайно простых схемных элементах, таких как имеющиеся в продаже OA и современные резистивные запоминающие устройства, такие как RRAM и PCM. Для сравнения, предыдущие решения линейных систем с использованием подхода квантовых вычислений (34, 35) менее привлекательны, поскольку квантовые схемы обычно работают при криогенных температурах и требуют специального оборудования и некоммерческих технологий. Другие предлагаемые решения с архитектурой нейронных сетей (36) или аналоговыми ускорителями на основе КМОП (37) основаны на итерационных операциях, что приводит к полиномиальному времени вычислений и стоимости.Напротив, массив точек пересечения позволяет быстро решить всего за один шаг без итераций. Время вычислений ограничено временем установления ОУ, которое может достигать нескольких наносекунд в передовой КМОП-технологии (38).
 Чтобы оправдать ожидания практических приложений, схему коммутации следует масштабировать, чтобы продемонстрировать выполнимость схемы. Чтобы продемонстрировать масштабируемость схемы пересечения, решение системы линейных уравнений для матрицы коэффициентов модели 100 × 100 при моделировании показано в приложении  SI , рис.S21. Результаты показывают, что линейная система точно решается схемой, которая поддерживает пригодность схемы коммутации для решения реальных проблем. Поскольку матричные коэффициенты хранятся в реальных наноразмерных устройствах с присущими им стохастическими вариациями, схема пересечения обеспечивает только приблизительное решение линейной задачи. Чтобы оценить влияние вариаций устройства, мы включили случайное отклонение проводимости каждого перекрестного устройства для матрицы 100 × 100 и рассчитали относительные ошибки выходных напряжений ( SI Приложение , рис.S22). Результаты моделирования показывают относительно низкие ошибки (около 10%) даже с отклонением в 10%. Таким образом, высокоточное сохранение значений проводимости с помощью методов программирования и проверки имеет важное значение для повышения точности решения в зависимости от конкретных приложений. Нелинейная проводимость в резистивном элементе, физически возникающая из-за прыжковой проводимости и локального джоулева нагрева, также влияет на точность решения. Линейность проводимости может быть максимизирована за счет увеличения проводимости устройства (5), что, однако, приводит к более высокому потреблению энергии для перенастройки и работы схемы пересечения.Развитие технологии резистивной памяти, направленной на более высокую точность многоуровневого размещения и лучшую линейность проводимости, может улучшить схему пересечения для вычислений линейной алгебры в памяти.
 По мере увеличения масштаба схемы коммутации паразитное сопротивление из-за плотной разводки межсоединений в массиве памяти может стать дополнительной проблемой. Чтобы оценить влияние паразитного сопротивления, мы смоделировали ту же линейную систему 100 × 100 из  SI Приложение , рис.S21 с дополнительным паразитным сопротивлением провода ( SI Приложение , рис. S23). Для справки параметры межсоединений были взяты из Международной дорожной карты технологий для полупроводников на 65- и 22-нм технологических узлах (39). Относительные ошибки находятся в пределах ∼10 и 30% для узлов 65 и 22 нм соответственно. Эти результаты предполагают, что существует компромисс между масштабированием и точностью схемных решений задач алгебры. Также следует отметить, что ошибки вычислений по существу продиктованы соотношением сопротивлений между сопротивлением устройства и паразитным сопротивлением.В результате точность вычислений может быть улучшена за счет увеличения сопротивления запоминающих устройств, что, в свою очередь, может вызвать проблему нелинейности проводимости, которая также влияет на точность вычислений. Мы пришли к выводу, что существует сложный компромисс между масштабированием, паразитным сопротивлением и нелинейностью устройства для оптимизации операций (40, 41). В этом сценарии трехмерная интеграция памяти точки пересечения, где плотность не обязательно приводит к увеличению сопротивления межсоединений, может повысить устойчивость точности вычислений к паразитному сопротивлению (42).
 В то время как отсутствие итераций является очень привлекательной особенностью для быстрых вычислений, время, необходимое для программирования индивидуальных матричных коэффициентов в памяти, также следует учитывать для всесторонней оценки технологии. Хотя время записи в наших устройствах было относительно большим с целью точной настройки значений проводимости (см., Например, приложение  SI, приложение , рис. S8), время программирования в реальном приложении могло бы быть значительно ускорено благодаря параллельному программирование (28, 29), схемы аналогового программирования (43), помимо субнаносекундной коммутации устройств RRAM (44) и устройств PCM (45).Кроме того, согласно концепции вычислений в памяти, одни и те же данные могут часто повторно использоваться для вычислений (42), таким образом, время программирования может играть незначительную роль в общем времени вычислений.
 Хотя точность нашей схемы нельзя сравнивать с точностью решения с плавающей запятой в высокоточном цифровом компьютере, важно отметить, что требуемая точность может быть не высокой для всех приложений. На самом деле существует много случаев, когда задача линейной алгебры должна быть решена за короткое время, с низким бюджетом энергии и с достаточной устойчивостью к ошибкам.Например, в алгоритмах машинного обучения коэффициенты классификации / распознавания могут рассчитываться с некоторой погрешностью. Сетевые коэффициенты могут быть получены с помощью псевдообратной матрицы (46), вычисление которой может быть ускорено нашим подходом. Другим примером является ранжирование веб-страниц, где вычисленные оценки веб-сайта должны отображаться в правильном порядке, хотя некоторые неточности все же могут допускаться для отдельных оценок. Для аналогичных типов приложений наши схемы могут предоставить решение с отличным компромиссом между точностью, скоростью и потреблением энергии.
 В заключение были представлены решения задач линейной алгебры в резистивных массивах точек пересечения. Такие задачи, как системы линейных уравнений, собственные векторы матриц и дифференциальные уравнения, решаются ( i ) за один шаг (и инверсия матрицы за  N  шагов), ( ii ) in situ в массиве памяти точек пересечения, и ( iii ) через физические законы, такие как закон Ома, закон Кирхгофа и механизмы обратной связи в схемах с обратной связью. Предлагаемые вычисления в памяти прокладывают путь для будущих приблизительных вычислительных систем в памяти для решения практических задач с большими данными с огромной экономией времени и энергии для широкого спектра реальных приложений.
 Методы
 Подробная информация о производстве и характеристиках устройств, схемах и методах измерения представлена в Приложении  SI .
 Благодарности
 Эта работа получила финансирование от Европейского исследовательского совета в рамках программы исследований и инноваций Европейского Союза Horizon 2020 (Соглашение о гранте 648635). Эта работа была частично выполнена на Polifab, предприятии по микро- и нанотехнологии Миланского политехнического университета.
 Сноски
 Автор: З.С., Г.П., Д.И. спланированное исследование; Z.S., G.P., E.A., A.B., W.W. и D.I. проведенное исследование; З.С., Г.П., Д.И. проанализированные данные; и З.С. и Д. написал газету.
 Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
 Эта статья представляет собой прямое представление PNAS.
 Эта статья содержит вспомогательную информацию на сайте www.pnas.org/lookup/suppl/doi:10.1073/pnas.1815682116/-/DCSupplemental.
 Copyright © 2019 Автор (ы).2 [/ latex], их сумма  , [latex] \ vec {u} + \ vec {v} [/ latex], это вектор, полученный путем добавления соответствующих записей [latex] \ vec {u} [/ latex ] и [латекс] \ vec {v} [/ latex], то есть [латекс] \ vec {u} + \ vec {v} = \ begin {bmatrix} u_ {1} + v_ {1} \\ u_ {2 } + v_ {2} \ end {bmatrix} [/ latex].
 5. Дан вектор [латекс] \ vec {u} = \ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {bmatrix} [/ latex] и действительное число [latex] c [/ latex ], скалярное кратное [latex] \ vec {u} = \ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {bmatrix} [/ latex] by [latex] c [/ latex] является вектор [латекс] c \ vec {u} = \ begin {bmatrix} cu_ {1} \\ cu_ {2} \ end {bmatrix} [/ latex], полученный путем умножения каждой записи в [latex] \ vec {u} [ / латекс] от [латекс] c [/ латекс].n [/ latex] — матрицы столбцов [latex] n \ times 1 [/ latex] с элементами [latex] n [/ latex], где [latex] n [/ latex] — положительное целое число. Мы пишем [латекс] \ vec {u} = \ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\\ vdots \\ u_ {n-1} \\ u_ {n} \ end {bmatrix} [ / латекс]
 2. Вектор, все элементы которого равны нулю, называется нулевым вектором и равен 
 и обозначается [latex] \ vec {0} [/ latex]
.
 Определение: Если [latex] \ vec {v} _ {1}, \ cdots, \ vec {v} _ {p} [/ latex] являются векторами в [латексе] \ mathbb {R} ^ n [/ latex] , и если [latex] a_ {1}, \ cdots, a_ {p} [/ latex] являются константами, то [latex] a_ {1} \ vec {v} _ {1} + \ cdots + a_ {p} \ vec {v} _ {p} [/ latex] — это линейная комбинация векторов [latex] \ vec {v} _ {1}, \ cdots, \ vec {v} _ {p} [/ latex]
  Факты / Свойства: 
  1.[латекс] \ vec {u} + \ vec {v} = \ vec {v} + \ vec {u} [/ латекс] 
  2. [латекс] (\ vec {u} + \ vec {v}) + \ vec {w} = \ vec {u} + (\ vec {v} + \ vec {w}) [/ латекс] 
  3. [латекс] \ vec {u} + \ vec {0} = \ vec {0} + \ vec {u} = \ vec {u} [/ латекс] 
  4. [латекс] \ vec {u} + (- \ vec {u}) = — \ vec {u} + \ vec {u} = \ vec {0} [/ latex] 
  5. [латекс] c (\ vec {u} + \ vec {v}) = c \ vec {u} + c \ vec {v} [/ латекс] 
  6. [латекс] (c + d) \ vec {u} = c \ vec {u} + d \ vec {u} [/ латекс] 
  7.[латекс] (c (d \ vec {u})) = (cd) (\ vec {u}) [/ латекс] 
  8. [латекс] 1 \ cdot \ vec {u} = \ vec {u} [/ латекс] 
  Пример 1 : Определите, может ли [latex] \ vec {y} = \ begin {bmatrix} 2 \\ — 2 \\ 4 \ end {bmatrix} [/ latex] быть записано как линейная комбинация [latex] \ vec {v_ {1}} = \ begin {bmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ latex] и [latex] \ vec {v_ {2}} = \ begin {bmatrix} 2 \\ — 5 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ latex].
  Упражнение 1 : Определите, можно ли [latex] \ vec {y} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ — 4 \ end {bmatrix} [/ latex] записать как линейную комбинацию [latex] \ vec {v_ {1}} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ — 1 \ end {bmatrix} [/ latex] и [latex] \ vec {v_ {2}} = \ begin {bmatrix} 3 \\ — 1 \\ 4 \ end {bmatrix} [/ латекс].
 Определение: Однородное линейное уравнение — это уравнение, постоянный член которого равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если каждое уравнение в системе однородно. Однородная система имеет вид:
 $$ \ begin {array} {cccc} 
 a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} = 0 \\ 
 a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ {n} = 0 \\ 
 \ vdots \\ 
 a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ { 2} + \ cdots + a_ {mn} x_ {n} = 0 
 \ end {array} $$
  Примечание. $$ x_ {1} = 0, x_ {2} = 0, \ cdots, x_ {n} = 0 $$ всегда является решением однородной системы уравнений.Мы называем это тривиальным решением. 
 Нулевое решение обычно называют тривиальным решением.
  Теорема: Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много). 
  Теорема: Система однородных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение имеет хотя бы одну свободную переменную. 
  Пример 2 : Определите, имеет ли следующая однородная система нетривиальное решение.Затем опишите набор решений.
 $$ \ begin {array} {ccc} 
 x_ {1} -3x_ {2} + 2x_ {3} = 0 \\ 
 -2x_ {1} + x_ {2} -3x_ {3} = 0 \\ 
 5x_ {1} + 7x_ {3} = 0 
 \ end {array} $$
  Упражнение 2 : Определите, имеет ли следующая однородная система нетривиальное решение. Затем опишите набор решений.
 $$ \ begin {array} {ccc} 
 -2x_ {1} -3x_ {2} + 2x_ {3} = 0 \\ 
 -x_ {1} + 6x_ {2} + 4x_ {3} = 0 \ \ 
 x_ {1} -x_ {2} -2x_ {3} = 0 
 \ end {array} $$
 Определение: 1.Уравнение вида [латекс] \ vec {x} = s \ vec {u} [/ latex], где [latex] s [/ latex] находятся в [латексе] \ mathbb {R} [/ latex], называется параметрическое векторное уравнение линии. Уравнение вида [латекс] \ vec {x} = s \ vec {u} + t \ vec {v} [/ latex], где [latex] s, t [/ latex] находятся в [латексе] \ mathbb { R} [/ latex] называется параметрическим векторным уравнением плоскости, когда [latex] \ vec {u} [/ latex] и [latex] \ vec {v} [/ latex] не являются скалярными кратными друг другу.
 2. Всякий раз, когда набор решений описывается явно как параметрические векторные уравнения 
, мы говорим, что решение имеет параметрическую векторную форму.3 [/ латекс].
  Примечание: Когда неоднородная линейная система имеет много решений, общее решение может быть записано в параметрической векторной форме как один вектор плюс произвольная линейная комбинация векторов, которые удовлетворяют соответствующей однородной системе. 
  Примечание. С геометрической точки зрения сложение векторов можно рассматривать как перевод. Мы говорим, что [latex] \ vec {v} [/ latex] переводится [latex] \ vec {p} [/ latex] в [latex] \ vec {v} + \ vec {p} [/ latex]. Кроме того, [latex] \ vec {p} + t \ vec {v} [/ latex] является параметрическим уравнением линии, параллельной вектору [latex] \ vec {v} [/ latex], проходящей через точку, соответствующую [ латекс] \ vec {p} [/ латекс] 
  Пример 4 : Опишите все решения
 $$ \ begin {array} {ccc} 
 x_ {1} -3x_ {2} + 2x_ {3} = 4 \\ 
 -2x_ {1} + x_ {2} -3x_ {3} = -3 \ \ 
 5x_ {1} + 7x_ {3} = 5 
 \ end {array} $$
  Упражнение 4 : Опишите все решения
 $$ \ begin {array} {cccc} 
 -2x_ {1} -3x_ {2} + 2x_ {3} = -10 \\ 
 -x_ {1} + 6x_ {2} + 4x_ {3} = 1 \\ 
 x_ {1} -x_ {2} -2x_ {3} = 3 
 \ end {array} $$
  Пример 5 : Опишите все решения
 $$ \ begin {array} {ccc} 
 x_ {1} -3x_ {2} + 2x_ {3} = 8 \\ 
 x_ {1} + 2x_ {2} -2x_ {3} = -3 \\ 
 -5x_ {1} -5x_ {2} + 6x_ {3} = 4 
 \ end {array} $$
  Упражнение 5 : Опишите все решения
 $$ \ begin {array} {cccc} 
 x_ {1} -3x_ {2} + 2x_ {3} = -8 \\ 
 -x_ {1} + 8x_ {2} + 8x_ {3} = -7 \\ 
 -x_ {2} -2x_ {3} = 3 
 \ end {array} $$
 GroupWork1: Отметьте каждое утверждение как истинное или ложное.Обоснуйте каждый ответ.
 а. Однородная система всегда непротиворечива.
 г. Система однородных уравнений имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда 
 уравнение имеет хотя бы одну свободную переменную.
 г. Уравнение [латекс] \ vec {x} = \ vec {p} + t \ vec {v} [/ latex] описывает линию, проходящую через [латекс] \ vec {v} [/ latex], параллельную [латексу] \ vec {p} [/ латекс]
 GroupWork2: Рассмотрим следующие утверждения о системе линейных уравнений 
 с расширенной матрицей [latex] A [/ latex].В каждом случае либо докажите утверждение, либо приведите пример, который не соответствует действительности.
 а. Если система однородна, каждое решение тривиально.
 г. Если система имеет нетривиальное решение, оно не может быть однородным.
 г. Если существует тривиальное решение, система однородна.
 г. Если система непротиворечива, она должна быть однородной.
 Теперь предположим, что система однородна.
 e. Если существует нетривиальное решение, нет тривиального решения.
 ф. Если решение существует, существует бесконечно много решений.
 г. Если существуют нетривиальные решения, эшелонированная форма матрицы A имеет строку нулей.
 ч. Если в форме «строка-эшелон» A есть строка нулей, существует 
 нетривиальных решений.
 и. Если к системе применяется операция со строками, новая система также будет однородной на 
.
 GroupWork3: [latex] A [/ latex] — матрица коэффициентов системы уравнений, а 
 [latex] \ vec {b} [/ latex] — постоянный вектор. (а) имеет ли однородная система уравнений нетривиальное решение 
 и (б) имеет ли система уравнений хотя бы одно решение 
 для каждого возможного [латекс] \ vec {b} [/ латекс].
 (i) [latex] A [/ latex] — это матрица [latex] 3 \ times3 [/ latex] с тремя положениями поворота.
 (а)
 (б)
 (ii) [латекс] A [/ latex] представляет собой матрицу [латекс] 4 \ times4 [/ latex] с тремя положениями поворота.
 (а)
 (б)
 GroupWork4: В каждом случае определите, сколько решений (и сколько параметров 
) возможно для однородной системы четырех линейных уравнений 
 с шестью переменными с расширенной матрицей [латекс] A [/ латекс]. Предположим, что [latex] A [/ latex] имеет ненулевые элементы. Дайте все возможности.
 (a) ранг [латекс] A = 2 [/ латекс]
 (b) ранг [латекс] A = 1 [/ латекс]
 (c) [latex] A [/ latex] имеет ряд нулей
 (d) Эшелонированная форма [латекса] A [/ latex] имеет ряд нулей.
 GroupWork5: Найдите все значения [latex] a [/ latex], для которых система имеет нетривиальные решения, и определите все решения.
 $$ \ begin {array} {cccc} 
 x_ {1} -2x_ {2} + x_ {3} = 0 \\ 
 x_ {1} + ax_ {2} -3x_ {3} = 0 \\ 
 -x_ {1} + 6x_ {2} -5x_ {3} = 0 
 \ end {array} $$
 .
 Posted in РазноеLeave a Comment on Матрицы уравнения: Матричные калькуляторы — детерминант, ранг, oбратная матрица, решение системы n линейных уравнений с n переменными
 
После auch порядок слов: Сложносочинённые предложения в немецком языке
 Posted on 02.01.197008.06.2021 by alexxlab
Сложносочинённые предложения в немецком языке
И.Г. Князева, учитель немецкого языка МБОУ СОШ №15 ст. Роговской
Сложносочинённые предложения в немецком языке
 (сложность 11 класс)
Сложносочинённое предложение в немецком языке (Satzreihe) состоит из двух или более самостоятельных предложений, объединённых по смыслу. В сложносочинённых предложениях связь между предложениями может быть союзной и бессоюзной.
Der Vorgang ging auf, die Auffűhrung begann.
Gestern wollten wir einen Ausflug machen, aber es regnete den ganzen Tag und wir mussten zu Hause bleiben.
Основным средством связи между предложениями в немецком языке являются сочинительные союзы: und (и,а), aber (но, однако), denn (так как, потому что), oder (или, либо), sondern (а, но), sowie (а также, как и), а также наречия с временными, следственными и другими значениями:   dann, danach (затем, потом, после того), doch (всё-таки, всё же), jedoch (однако, тем не менее), deshalb (потому), deswegen (поэтому, по этой причине), darum (поэтому), also (итак, следовательно, стало быть), sonst (иначе, а то), dabei (к тому же, вместе с тем), dazu (сверх этого, сверх  того), zwar (правда, хотя), und zwar (а именно), űbrigens (впрочем), auβerdem (кроме того), trotzdem (несмотря на это).
Порядок слов в сложносочинённых предложениях немецкого языка, входящих в его состав, зависит от союза или союзного слова.
Большинство сочинительных союзов не оказывают влияния на порядок слов. К ним относятся союзы: und, aber, auch, denn, oder, sondern.
Die Eltern gehen ins Theater, aber ich bleibe zu Hause. 
На порядок слов влияют союзы и союзы – наречия: darum, deshalb, deswegen, dann, trotzdem, zwar, sonst, dabei, dazu,  űbrigens.
Например: Meine Schwester erzählte mir sehr viel von diesem Film, deshalb  möchte ich mir ihn ansehen.
Im Foyer betrachteten sie die Bilder der Schauspieler, dann gingen asie in den Zuschauerraum.
Союзы, допускающие колебания в порядке слов:doch, jedoch, also. Например:Sie  ist schon 80 Jahre alt, doch arbeitet  sie bis heute im Theater.

Союзы, не влияющие на порядок слов und (и,а), aber (но, однако), denn (так как, потому что), oder (или, либо), sondern (а, но), sowie (а также, как и), nicht nur … sondern auch ( не только … но и), sowohl … als auch (как … так и)
Союзы, союзы- наречия, влияющие на порядок слов deshalb (потому), deswegen (поэтому, по этой причине), darum (поэтому), auβerdem (кроме того), trotzdem (несмотря на это), zwar (правда, хотя), und zwar (а именно), halb … halb, teils … teils ( то… то)
Союзы, допускающие колебания в порядке слов doch (всё-таки, всё же), jedoch (однако, тем не менее), also (итак, следовательно, стало быть), entweder … oder ( или … или),  weder … noch ( ни … ни)
Уступки в немецком языке: разница между trotzdem и obwohl
 
  Уровень B1
  Время чтения: 9 мин
  Как в немецком языке передается смысл русских союзов несмотря на, хотя, вопреки? Obwohl или trotzdem, что выбрать? Какими синонимами можно их заменить? Сегодня разбираемся, что из себя представляют уступительные придаточные предложения, как с их помощью разнообразить свою речь, и, конечно, тренируемся на примерах.
В немецком языке, как и в русском, существуют предложения, которые передают так называемый уступительный смысл, их называют Konzessivsätze. Если выразиться проще, эти предложения указывают на препятствия, вопреки которым совершается действие, описываемое в главном предложении.
 
Для того, чтобы выразить уступительный смысл, используются такие союзы или конструкции, как: aber – но; obwohl (obgleich, obschon, obzwar) – хотя; trotzdem (dennoch, gleichwohl) — несмотря на, однако, все же; ungeachtet dessen, dass — невзирая на то, что и многие другие.
 
Очень часто эти союзы в предложении сопровождаются частицами doch или so. Сегодня мы рассмотрим наиболее популярные варианты придаточных предложений, а также потренируемся в самостоятельном составлении предложений уступки.Для начала давайте рассмотрим, каким именно образом выражается так называемый уступительный смысл.
Obwohl или trotzdemObwohl (можно также использовать его синонимы obschon, obzwar или obgleich) der Urlaub kurz war, habe ich mich doch gut erholt. – Хотя отпуск был короткий, я все же хорошо отдохнул. 
Здесь мы видим обычное придаточное предложение. Смысл предложения можно выразить иначе, не образуя при этом придаточного предложения:
Der Urlaub war kurz. Trotzdem (синонимы dennoch, allerdings) habe ich mich gut erholt. – Отпуск был коротким. Несмотря на это (все же, однако) я хорошо отдохнул.
Само слово trotzdem не вводит придаточного предложения, а является просто второстепенным членом предложения, как, например, heute или deshalb. Поэтому в данной конструкции после trotzdem будет обычный (прямой) порядок слов.
Ich mag keine Restaurants, trotzdem gehe ich mit den Kollegen hin. – Я не люблю рестораны, несмотря на это, я иду туда с коллегами. 
О том, что такое прямой порядок слов и как строится немецкое повествовательное предложение, мы рассказывали ранее.
У trotzdem есть синонимы — allerdings (однако), dennoch (всё же):
Sie war ein freundliches und hübsches Mädchen, allerdings liebte er sie nicht. – Она была дружелюбной и красивой девушкой, однако он ее не любил.
Er hatte die besten Zeugnisse, dennoch bekam er diese Arbeit nicht. – У него был лучший аттестат, и все же он не получил эту работу.
Aber или doch Самый простой способ выражения уступки – употребить aber (но) или doch (же) во втором предложении:Der Urlaub war kurz. Aber ich habe mich gut erholt. – Отпуск был коротким. Но я хорошо отдохнул.
Der Urlaub war kurz. Ich habe mich doch (dennoch) gut erholt. – Отпуск был коротким. Я все же (однако) хорошо отдохнул. 
Важно помнить, что после aber (как и после und) порядок слов не меняется, то есть остается прямым.
Zwar… aber (doch) Еще один способ выразить уступку с помощью двойного предлога zwar … aber … (doch):Zwar war der Urlaub kurz, aber ich habe mich doch (= dennoch) gut erholt. – Хотя отпуск был коротким, но я все же хорошо отдохнул.
Es ist zwar Morgen, aber ich habe schon alles gemacht. – Хотя сейчас и утро, но я уже всё сделал. 
Zwar также является просто второстепенным членом предложения, как и в случае с trotzdem. Поэтому после него будет обычный порядок слов.
Уже звучит запутанно и сложно? Хотите разобрать тему с преподавателем, но никогда не пробовали заниматься онлайн? Мы проводим День бесплатных онлайн-уроков для начинающих и продолжающих, чтобы вы могли попробовать формат онлайн-обучения и научиться пользоваться современным приложением для дистанционных занятий. Участвовать можно из любой точки мира, нужен только компьютер, планшет или телефон. Запишитесь прямо сейчас! Это абсолютно бесплатно, а присоединиться можно всего в несколько кликов.
Wenn auch… so Придаточные предложения могут также вводиться в основное предложение с помощью слова wenn. В этом случае противопоставление будет звучать более выразительно:Wenn auch er kein Geld habe, so muss er das kaufen. – Хотя (даже если) у него нет денег, он должен это купить. 
Или:
Wenn auch der Urlaub kurz war, so habe ich mich doch gut erholt. – Хотя (даже если) отпуск был короткий, я все же хорошо отдохнул. 
Возможен и другой вариант:
Wenn der Urlaub auch kurz war, so habe ich mich doch gut erholt.
В данном случае, в главном предложении может быть и прямой порядок слов, хотя оно и следует за придаточным (такое возможно только после уступительных предложений с auch):
Wenn der Urlaub auch kurz war, ich habe mich doch gut erholt.
В случае, когда на место wenn (если) встает глагол, это слово может выпадать из предложения:
War der Urlaub auch kurz, ich habe mich doch gut erholt.
Обратите внимание, что в данной конструкции это уже не будет считаться придаточным предложением, ведь в конце придаточного предложения должен стоять глагол. Построение сложных предложений в немецком языке (с придаточными различных типов) само по себе является важной и непростой темой для всех, кто изучает немецкий. Предлагаем вам освежить свои знания, пройдя по ссылке.
Вопросительное слово + auch Такая комбинация дает значение как бы ни (было)…, куда бы ни (ездил) и т.д.Wie kalt es auch war, die Sportler mussten trainieren. – Как бы ни было холодно, спортсмены должны были тренироваться.
Wohin er auch reiste, er nahm immer seinen Sohn mit. – Куда он только ни ездил, он всегда брал с собой своего сына. 
Вместо auch (также) при этом можно использовать immer (всегда) или noch (еще):
Woran er immer arbeitete, seine Arbeit war ausgezeichnet. – Над чем бы он ни работал, его работа была отличной. (Immer подчеркивает здесь многократность действия.)
Wohin du noch gehst, ich folge dir. – Куда бы ты ни пошел, я следую за тобой. 
Обратите внимание, что придаточные предложения вводятся как вопросительными словами, так и вводным словом wenn. Для выражения уступительного смысла к этим вводным словам добавилось лишь auch.
Noch so Если в речи вам важно подчеркнуть, что какое-либо событие не может произойти ни при каком условии, то нужно употребить конструкцию noch so (как бы ни …):Da kannst du noch so viel trainieren, gegen ihn hast du keine Chance! – Как бы ты ни тренировался, против него у тебя нет шансов!
Глагол mögen В уступительных предложениях довольно часто используется глагол mögen:Mag das Wetter auch noch so kalt sein, wir gehen doch in den Park. – Какой бы холодной ни была погода, мы все же пойдем в парк.
В уступительных предложениях может употребляться и Konjunktiv 1 (сослагательное наклонение в форме бы):
Möge das Ziel auch noch so sehr entfernt sein, wir werden es erreichen. – Как бы ни была еще далека цель, мы ее достигнем.
Подробнее о том, как образуется условная форма Konjunktiv 1 в немецком языке, читайте в нашей отдельной статье.
Следует также запомнить оборот Wie dem auch sei… – Как бы то ни было.
Ungeachtet dessen, dass Эта часто употребляемая конструкция переводится как несмотря на то, что…Ungeachtet dessen, dass das Problem so kompliziert war, hat er eine Lösung gefunden. – Несмотря на то, что проблема была такой сложной, он нашел решение.
Ungeachtet dessen, dass wir keine Chance haben, werden wir weiter kämpfen. – Несмотря на то, что у нас нет шансов, мы будем бороться дальше.
А теперь давайте закрепим новую тему и попробуем связать два предложения в одно, используя конструкции, приведенные выше (возможны различные варианты):
Упражнение 1
Mein Freund war krank. Еr ging zur Arbeit. – Мой друг был болен. Он пошел на работу.
Das Wasser ist noch kalt. Wir gehen schwimmen. – Bода еще холодная. Мы пойдем купаться.
Ich habe wenig Zeit. Ich helfe Ihnen. – У меня мало времени. Я Вам помогу.
Das Bild ist teuer. Das Museum kauft es. – Картина дорогая. Музей купит ее.
Du bist ein kluger Kopf. Du verstehst nicht alles. – Ты умная голова. Ты не все понимаешь.
Deutschland gefällt mir ganz gut. Die Schweiz gefällt mir besser. – Германия мне очень нравится. Швейцария нравится мне больше.
Der Patient ist sehr schwach. Er muss sofort operiert werden. – Пациент очень слаб. Его нужно сейчас же оперировать.
Die Sonne schien. Es war kalt. – Солнце светило. Было холодно.
Sie verdient wenig bei dieser Firma. Das Arbeitsklima gefällt ihr gut. – Она мало зарабатывает на этой фирме. Рабочая атмосфера ей нравится.
Das Geschäft hatte noch auf. Es war schon zehn nach acht. – Магазин был еще открыт. Было уже десять минут девятого.

 
 Материал готовила
Лилия Дильдяева, команда Deutsch Online
  
  
   
Урок 54. Doppelkonjunktionen — двойные союзы в немецком.
Hallo! С вами Егор, сегодня я расскажу вам о приеме, который может здорово упростить вам жизнь. Вы никогда не задумывались, как в немецком языке сказать: “мне нравится и то, и то” или “я хочу не вот это, а вот это”. Переводить такие двойные коннекторы буквально с русского нет смысла — вас не поймут. Для таких случаев в немецком есть так называемые Doppelkonjunktionen или или zweiteilige Konnektoren — двойные союзы или двойные коннекторы. О них я вам сегодня и расскажу.
Итак, дорогие друзья, двойные союзы нужны нам, чтобы соединять две части предложения или два отдельных предложения в одно. Выступать они могут как для объединения: “как это, так и то”, “не только это, но и то”, так и для противопоставления: “ни это, а то”, “либо это, либо то”.
Эти союзы могут связывать как отдельные слова: “я поеду или в Италию, или в Испанию”, так и целые предложение: “либо они делают музыку тише, либо мы вызываем полицию”.
Давайте наконец перейдем к первому такому двойному союзу: sowohl… als auch…
• Ich trinke sowohl Tee, als auch Kaffee — я пью как чай, так и кофе;
• Maria lernt Deutsch sowohl selbst, als auch mit einem Lehrer — Мария учит немецкий как сама, так и с преподавателем.
Особенность этого союза в том, что когда с помощью него мы хотим не просто объединить два слова, а два предложение, то у нас не может меняться ни подлежащее, ни сказуемое во второй части предложения. Во втором примере у нас было: “Maria lernt Deutsch sowohl selbst, als auch…” и дальше у нас будет то же действие (Deutsch lernen) и тот же исполнитель (Maria). То есть мы можем говорить: “Maria lernt Deutsch sowohl selbst, als auch mit einem Lehrer”, либо же “als auch in der Schule”, либо же “als auch in der Uni” и т.д. И это всегда будет относится к Марии и к изучению немецкого. Но мы не можем сказать, к примеру: “Maria lernt sowohl Deutsch, als auch trinke ich Tee”.
Идем дальше. Второй наш двойной союз: “nicht nur… sondern auch…” — “не только… а и…”:
• Er benutzt nicht nur Handy, sondern auch Tablet — он использует не только мобильный, но и планшет;
• Ich spreche nicht nur Deutsch, sondern auch Französisch — я говорю нетолько по-немецки, аи по-французски;
• Er kümmert sich nicht nur um sie, sondern er glaubt auch an sie — он нетолько о ней заботится, нои верит в нее.
Заметили, у нас в последнем примере изменилось действие во второй половине предложения, с “заботиться” на “верить”. С этим коннектором так делать уже можно: глагол во второй половине не обязательно тот же, что и в первой.
Следующий двойной союз: “entweder…oder…” — “или… или…”:
• Ich fahre entweder nach Spanien, oder nach Italien — я поеду или в Испанию, илив в Италию;
• Du kannst entweder mich, oder meine Schwester anrufen — ты можешь позвонить либо мне, либо моей сестре;
• Ich werde dich entweder am Bahnhof abholen, oder du kannst ein Taxi nehmen — или я заберу тебя на вокзале, или ты можешь взять такси.
Опять же, на последнем примере мы видим, что с этими коннекторами у нас может меняться не только сказуемое, а и подлежащее. В первой части у нас было: “я заберу”, а во второй “ты возьмешь”. То есть изменилось и действие и тот, кто его исполняет.
В предыдущих союзах мы были ограничены. Мы либо вообще не могли ничего менять, либо могли изменить только действие. Как это было в “nicht nur… sondern auch…”. А вот здесь мы уже можем изменить все. Обращайте, пожалуйста, на это внимание.
Следующий наш союз — это “weder… noch…” — “ни то… ни то…”:
• Peter trinkt weder Tee, noch Kaffee — Петер не пьет ни чай, ни кофе;
• Weder ich, noch meine Kollegin können die Aufgabe verstehen — ни я, ни моя коллега не понимаем задание;
• Sie schaut weder Filme, noch hört sie Musik — она не смотрит фильмы и не слушает музыку.
А здесь стоит обратить внимание на любопытную деталь: во всех предыдущих примерах у нас коннектор занимал нулевую позицию. После союза шло подлежащее, а потом сказуемое: “Ich werde dich entweder am Bahnhof abholen, oder du kannst ein Taxi nehmen”. Так вот после noch в конструкции “weder… noch…” сразу идет глагол: “noch hört sie Musik”.
Обращайте внимание на порядок слов в придаточном предложении, это очень важно для грамотной речи.
Также обратите внимание, что употребляя “weder… noch…” вам не нужно употреблять дополнительные отрицания. Иногда хочется сказать: “Ich trinke weder keinen Tee, noch keinen Kaffee”. Но это не правильно, “weder… noch…” уже и так содержит в себе отрицания и, по сути, являются аналогом английского “neither… nor…”. Никаких дополнительных отрицаний не требуется.
Дальше у нас идет двойной коннектор “teils… teils…” — “частично так, частично так”:
• Er arbeitet teils zu Hause, teils im Büro — он работает частично дома, частично в офисе;
• Der Tisch ist teils aus Holz, teils aus Stahl — стол частично изготовлен из дерева, частично из стали.
Следующая пара: “zwar… aber…” — “хотя… но”:
• Er ist zwar sehr net, aber ein bisschen merkwürdig — он, хотяи милый, новсёже немного странный;
• Zwar mag sie ihn, aber sie möchte ihn nicht heiraten — хотя он ей нравится, но все же она не хочет на нем жениться.
Предпоследним в нашем списке двойных союзов идет “einerseits… andererseits…” — “с одной стороны… с другой стороны…”:
• Lukas ist einerseits sehr nett, andererseits sehr anstrengend — с одной стороны Лукас очень милый, но с другой напряжный;
• Einerseits bin ich müde, andererseits will ich ins Kino gehen — с одной стороны я уставший, с другой стороны, я хочу пойти в кино.
И последним союзом у нас идет “je… desto…” или же “je… umso…” — “чем что-то там, тем то-то там”:
• Je mehr man isst, desto dicker wird man — чем больше кушаешь, тем толще становишься;
• Je schneller ein Auto fährt, desto gefährlicher kann es sein — чем быстрее едет машина, тем опаснее это может быть.
Здесь я попрошу вас обратить внимания на довольно странный порядок слов. В первой части предложения после союза je глагол ставится у нас в конец предложения: “Je mehr man isst…”. А во второй части предложения у нас идет desto, дальше на первой позиции идет прилагательное в сравнительной степени: быстрее, толще, выше, а лишь затем идет глагол: desto dicker wird man.
Подобный порядок слов достаточно нетипичен для немецкого языка, ведь обычно, когда у нас есть Nebensatz, которое заканчивается на глагол, то после него сразу следует глагол. К примеру:
• Weil ich heute müde bin, bleibe ich zu Hause.
А вот в случае с desto наш глагол стоит аж на 3 позиции. После прилагательного в сравнительной степени.
Если с этим двойным коннектором у нас используются какие-то имена существительные с артиклями, тогда эти артикли будут стоять перед je и перед desto:
• Eine je teurere Wohnung man kauft, ein desto dickers Konto muss man haben — чем дороже покупаешь квартиру, тем толще счет нужно иметь.
Видите? У нас глагол стал аж на 4 позицию, что крайне нестандартно для немецкого языка.
Ах да, чуть не забыл, разницы между “je… desto…” и “je… umso…” нет никакой. Это синонимы, которые вы можете использовать равноправно.
Что же, это были все союзы на сегодня, надеюсь, вы будете их использовать, ведь они позволяют здорово облегчить жизнь и сказать в одном предложении то, что без них вы бы объясняли целым абзацем.
На сегодня наш урок окончен. Тем, кто только присоединился, я советую подписаться на мой канал, ведь это Урок №54, а это значит, что у меня за спиной уже больше 50 уроков немецкого как по базовой грамматике, так и по более продвинутой. Спасибо вам за внимание. Пока-пока!
Если разобрались в теме, добро пожаловать в упражнения:
https://docs.google.com/document/d/1As8Fei7dyoUFiCbOdo__k3sIimp1jR6J-qZ5V0yPfRU/edit?usp=sharing
P.S.: для того, чтобы выполнить упражнения, скопируйте этот документ (откройте ссылку, нажмите в левом верхнем углу «Файл» — «Создать копию»)
Ответы:
https://docs.google.com/document/d/1YjW2i3Uanl48FLkB_LsPZfwXCSLAc2oG6LELKjdf2Mc/edit?usp=sharing
Видео:
 
Сложносочиненные предложения в немецком языке
Самостоятельные предложения, образующие сложносочиненное предложение, в немецком языке могут соединяться между собой как при помощи союзов, так и без них.
Die Straßen waren von Menschen überfüllt, Berlin jubelte, alles strömte zum Brandenburger Tor. Улицы были переполнены людьми, Берлин ликовала, все стремились к Бранденбургским воротам.
Наиболее распространенными в немецком языке являются сложносочиненные предложения с союзами und (и, а), aber (но, однако), oder (или), denn (так как) и союзами-наречиями auch (также), zuerst (сначала), dann (затем, потом), doch (однако, но), außerdem (кроме того), sonst (иначе), darum, deshalb (потому, поэтому), trotzdem (несмотря на то, что; все же).
Союзы und, aber, denn не являются членами немецкого предложения (они служат только для связи предложений) и поэтому не влияют на порядок слов в предложении, т. е. после них на первом месте стоит подлежащее или второстепенный член предложения, а на втором — всегда сказуемое.
Die Sonne ging unter, und wir fuhren nach Hause. Солнце зашло, и мы поехали домой.
Die Sonne ging unter, und bald wurde es kalt. Солнце зашло, и скоро стало холодно.
Die Sonne ging unter, aber es war noch sehr warm. Солнце зашло, но было еще очень тепло.
Wir fuhren nach Hause, denn es war schon spät. Мы поехали домой, так как было уже поздно.
Союз aber может стоять и в середине предложения.
Wir fuhren nach Hause, sie aber gingen ins Institut (… sie gingen aber ins Institut). Мы поехали домой, а они пошли в институт.
Союзы-наречия, являясь, как правило, членами немецкого предложения, занимают первое место в предложении, а за ними следует сказуемое или его изменяемая часть.
Es war schon spät, deshalb (darum) fuhren wir nach Hause. Было уже поздно, поэтому мы поехали домой.
Zuerst besichtige ich alle Pavillons dieser Ausstellung, dann kaufe ich einige Bücher. Вначале я осматриваю все павильоны этой выставки, потом покупаю несколько книг.
Wir verbrachten dort nicht viel Zeit, doch war ich sehr müde. Мы провели там не много времени, но я очень устал.
Для соединения самостоятельных предложений в сложносочиненные в немецком языке могут употребляться также и парные союзы bald … bald (то… то), entweder … oder (или … или), nicht nur … sondern auch (не только … но и), sowohl … als auch (как … так и), teils … teils (отчасти … отчасти), weder … noch (ни … ни).
Entweder gewinnt er dieses Spiel, oder er muss auf den Kampf um den ersten Platz verzichten. Или он выигрывает эту игру, или он должен отказаться от борьбы за первое место.
Bald schneite es, bald regnete es wieder. То шел снег, то снова шел дождь.
Nicht nur unsere Wissenschaftler arbeiten an dem Problem der Erschließung von Ölvorkommen, sondern auch die Wissenschaftler der anderen Länder helfen ihnen dabei. Не только наши ученые работают над проблемой освоения нефтяных месторождений, но им помогают и ученые других стран.
 
Также будет полезно прочитать:
 
Сочинительные союзы в немецком языке
 Автор: София Стальская
Высшее лингвистическое образование. Опыт работы 5 лет. 
Союзов в немецком языке достаточно много, и все они используются в разных типах предложений.
По своему составу немецкие союзы делятся на:
1. односложные или простые: «und», «dass», «weil» и др.;
2. составные или сложные: «nachdem», «solange» и др;
3. состоящие из двух элементов: «so dass», «und zwar» и др.;
4. парные: «weder…noch», «entweder…oder», «bald…bald», «nicht nur … sondern auch» и другие.
Союзы в немецком языке
Союзы бывают сочинительными и подчинительными.
Сочинительные — соединяют однородные члены предложения, подчинительные — образуют связь между частями предложения, зависимыми друг от друга. Этот урок будет посвящен сочинительным союзам.
К часто встречающимся союзам относятся такие простые союзы как und (и), sondern (а), aber (но), oder (или).
Вы с ними уже встречались:
Ich habe einen Bruder und zwei Schwestern.
Magst du Tee oder Kaffee?
Gehen wir ins Kino heute oder morgen?
Er ist aber nicht so klug.
Эти союзы могут соединять не только однородные члены предложения, но и простые предложения в составе сложного. Они служат соединительным элементом и не влияют на порядок слов: Ich studiere Deutsch, und mein Bruder studiert English. 
C парными союзами происходит то же самое: они могут связывать и простые предложения в составе сложного, и однородные члены предложения. Например: Ich studiere nicht nur Deutsch, sondern auch English.
К наиболее распространенным парным союзам относятся:
weder … noch… ни …, ни …
sowohl … als auch/wie как …, так и …
nicht nur … sondern auch не только …, но и …
entweder … oder или …, или …
bald … bald то …, то …
teils … teils частично …, частично …
Рассмотрим еще несколько примеров употребления парных союзов. Обратите внимание на порядок слов:
Sowohl ich als auch meine Schwester studieren an der Universität. — Как я, так и моя сестра учимся в университете.
Sie gehen heute abend etweder ins Kino oder zum Konzert. — Сегодня вечером они идут или в кино, или на концерт.
 С союзом «weder … noch» не используется отрицание — этот союз является отрицательным сам по себе: Ich esse weder Fisch noch Fleisch. — Я не ем ни рыбу, ни мясо.
Союзные слова
 Помимо союзов, в немецком языке употребимы и союзные слова. Отличаются от союзов они тем, что влияют на порядок слов в предложении — после союзных слов следует подлежащее, т.е используется инверсия.
К союзным словам относятся:
dann тогда, потом
deshalb, darum, deswegen поэтому, потому
außerdem кроме того
trotzdem несмотря на это, все же
sonst иначе
doch, jedoch однако, все-таки
also итак, следовательно, таким образом
Рассмотрим несколько примеров употребления союзных слов:
Das Wasser war kalt, trozdem schwammen wir. — Вода была холодной, несмотря на это, мы искупались.
Zuerst gehen wir zur Post, dann müssen wir nach Hause fahren. — Сначала мы пойдем на почту, потом мы должны поехать домой.
 После союзных слов «doch», «jedoch» порядок слов может быть как прямым, так и обратным.
Потренируйтесь использовать разные союзы, выполнив следующее упражнение.
Задания к уроку
Упражнение 1. Переведите на немецкий.
1. Мои родители идут в театр, но я остаюсь дома.
2. Я болен, поэтому я не иду завтра на работу.
3. Погода была хорошей, несмотря на это, мы остались дома.
4. Ты должен сделать это сегодня, иначе завтра у тебя не будет времени.
5. Несмотря на мою просьбу, она не позвонила.
6. Я был в школе, а ты уже ушел.
7. То снег идет, то солнце светит.
8. Я хотел (möchte) купить эту книгу, однако она была слишком дорогой.
9. Сегодня вечером я или почитаю книгу, или посмотрю телевизор.
10. Я переводил текст, но это было слишком сложно для меня.
Ответ 1.
1. Meine Eltern gehen ins Theater, aber ich bleibe zu Hause.
2. Ich bin krank, deshalb gehe ich morgen nicht zur Arbeit.
3. Das Wetter war sehr schön, trotzdem blieben wir zu Hause.
4. Du musst das heute machen, sonst hast du morgen keine Zeit.
5. Trotz meiner Bitte hat sie nicht anrufen.
6. Ich war in derSchule,sondern du bist schon weggegangen.
7. Bald regnet es, bald scheint es.
8. Ich möchte dieses Buch kaufen, doch es war sehr teuer.
9. Heute abend ich entweder lese ein Buch oder sehe fern.
10. Ich überzetzte den Text, aber es war zu schwierig für mich.
Частицы в немецком языке: значение и употребление
Если вы уже начали изучать немецкий язык, вы наверно знаете, что он довольно сложный не только с грамматической, но и с лексической точки зрения – глаголы спрягаются, существительные и прилагательные склоняются, глагол ставится на второе место в предложении или же в его конец в зависимости от структуры фразы, а короткие существительные часто объединяются в одно очень длинное слово, которое нужно разделить на части, чтобы понять его смысл…
Одной из трудных лексических тем немецкого языка являются частицы, т.к. они могут иметь несколько разных значений. Сегодня мы с вами поговорим об основных частицах и их значениях, а также посмотрим несколько видео, чтобы повторить пройденное и выучить новые частицы.
1. Aber: “да”, “же” и “ну”, часто эта частица подчеркивает неожиданность, необычность и усиливает ответ на вопрос, в котором что-то предлагается
Er kommt aber spät! Ну он и поздно пришёл!
Aber sicher! Да, безусловно!
Kommst du mit? Aber ja!Ты идешь со мной? Конечно же!
Dieses Buch ist aber gut! Это книга оказалась хорошей!
2. Auch: “в самом деле”, “действительно”
Du wiederholst es auch immer! Вечно ты это повторяешь!
So ist es auch: Это и в самом деле так.
3. Bloß: “вот только”, “же”
Was ist bloß mit meinen Männern los? Что же происходит с моими мужчинами?
Lass uns bloß zu oft sehen! Вот только нам не нужно встречаться слишком часто.
4. Denn: “же”, выражает интерес говорящего к информации собеседника или к какому-либо событию или человеку
Was ist denn los? Что же случилось?
Wo ist er denn? Где же он?
5. Doch: “же”, ведь”, выражает недовольство, настойчивую просьбу, приказ
Ich habe es ihm doch gesagt: Я же ему это говорила.
Sprechen sie doch! Говорите же!
6. Eben: “именно”, обозначает сохранение определенной ситуации или констатацию факта
Das ist eben so: Это именно так.
Er will eben nicht arbeiten: Он и вправду не хочет работать.
7. Eigentlich: “в сущности”, “собственно”, “вообще-то”
Ich bin eigentlich neu hier: Вообще-то я тут новенький.
Er hat es eigentlich nicht gemacht: Вообще-то он этого не делал.
8. Etwa: “разве”, выражает уточнение, используется в вопросах, на которые подразумевается положительный ответ
Wissen sie es etwa nicht? Разве они этого не знают?
Hast du es etwa die Hausaufgabe nicht gemacht? Ты что же, не сделал домашнее задание?
9. Halt: “ведь”, “уж”, “именно”. синоним частицы “eben”
Es ist halt (eben) so: Это так и есть.
Ich bin halt auch aufgeregt: Я ведь тоже волнуюсь!
10. Ja: используется для усиления положительных и отрицательных высказываний
Er ist ja auch eine gute Person! Он же тоже хороший человек!
Komm ja nicht so spät: Только не опаздывай!
11. Kaum: “едва”, “почти не”
Peter kann kaum atmen: Петер почти не может дышать.
Nach der Operation konnte ich kaum laufen: После операции я почти не мог ходить.
12. Mal: “совсем нет”, “уж”, употребляется для подбадривания повелительном наклонении и для его смягчение
Man kann mal nichts ändern: Здесь уже ничего не поделаешь.
Er ist nicht mal klug: Он совсем не умный.
Sehen wir mal! Давайте посмотрим!
13. Nun: “ну”, “итак”. также выражает нетерпение
Nun, was machen wir jetzt? Ну, что сейчас будем делать?
Nun gut, ich werde dir helfen: Ну ладно, я тебе помогу.
14. Nur: “только”, “же”, в повелительном наклонении означает подбадривание
Sieh nur, was du gemacht hast! Посмотри-ка, что ты наделал!
Nur keine Fragen! Только без вопросов!
15. Schon: подчеркивает согласие, уверенность говорящего в действии
Ich denke schon: Я так и думаю
Sie wird schon ein Baby haben! У неё обязательно будет ребенок!
16. Selbst: “даже”, используется по отношению к лицам, совершающим определенные действия
Selbst Otto wusste es nicht: Даже Отто об этом не знал.
Selbst Anna lernt die Regeln: Даже Анна учит эти правила.
17. Sogar: “даже”. используется по отношению к фактам, предметам или действиям
Er hat sogar den Computer repariert: Он даже компьютер отремонтировал.
Sie kann sogar Japanisch! Она и японский знает!
18. Vielleicht: “пожалуй”, используется также во фразах, выражающих отрицательное отношение к чему-либо
Du bist mir vielleicht ein Faulpelz! Ну ты и лентяй!
Er ist vielleicht ein Spinner: Он, пожалуй, врун.
19. Wohl: “вероятно”, “скорее всего”, усиливает предположение
Wass werden sie wohl antworten? Что же они ответят?
Wie alt ist sie wohl? Сколько же ей может быть лет?
Итак, мы повторили значения основных немецких частиц. А теперь давайте посмотрим 2 видео, в которых носители языка объясняют употребление частиц:
Конечно, это лишь теория; чтобы непринужденно употреблять частицы в разговорной речи, вам нужно больше смотреть немецкое телевидение, слушать радио, а также разговаривать с носителями языка.
Парные союзы
Союз
Союз – часть речи, которая не склоняется и образует сочетания между словами, группами слов, членами предложений или целыми предложениями и заодно выражает их логические и грамматические связи.
Парные союзы (= двойные союзы), как их название подсказывает, состоят из двух частей. Первая часть стоит перед первым соединяющимся элементом, вторая – между обоими соединяющимися элементами.
В данной статье представлены чаще всего употребляемые и классифицированные по категориям парные союзы в немецком языке с примерами их употребления.

1. Перечисление
<sowohl – als auch, wie auch>
→ Ich spreche sowohl Spanisch als/wie auch Französisch.
    (Я говорю и/как по-испански, (так) и по-французски.)
<nicht nur – sondern auch>
→ Ich spreche nicht nur Spanisch, sondern auch Französisch.
    (Я говорю не только по-испански, но также и по-французски.)
<teils – teils>
→ Teils spreche ich Spanisch, teils Französisch.
    (Частично/Отчасти я говорю по-испански, частично/отчасти – по-французски.)
2. Отрицание
<weder – noch>
→ Ich spreche weder/ Weder spreche ich Spanisch noch Französisch.
    (Я не говорю ни по-испански, ни по-французски.)
3. Пропорция
<je – desto/umso>
→ Je mehr Sprachen du lernst, desto/umso leichter fallen sie dir.
    (Чем больше языков ты изучаешь, тем легче они тебе даются.)
4. Ограничение
<insofern – als>
→ Er war insofern schuld, als er nicht geholfen hat.
    (Он был виноват постольку, поскольку он не помог.)
5. Условие
<wenn – dann>
→ Wenn das wahr ist, dann tut es mir sehr leid.
    (Если это правда, то мне очень жаль.)
6. Альтернатива, исключение
<entweder – oder>
→ Entweder Sie gehen/ gehen Sie, oder ich rufe die Polizei!
    (Или/Либо Вы уйдёте, или/либо я вызову полицию!)
7. Противительность
<nicht – sondern>
→ Ich spreche nicht Spanisch, sondern Französisch.
    (Я говорю не по-испански, а по-французски.)
<einerseits – andererseits>
→ Einerseits freue ich mich, andererseits bin ich traurig.
    (С одной стороны, я рада, с другой стороны, мне грустно.)
<zwar – aber>
→ Ich bin zwar kein Profi, aber ich helfe dir.
    (Я (хоть и) не профессионал, но я помогу тебе.)
<halb – halb>
→ Er ist halb deutsch, halb russisch.
    (Он наполовину немец, наполовину русский.)
<mal – mal>
→ Mal funktioniert es, mal funktioniert es nicht.
    (Раз/То работает, раз/то не работает.)
<bald – bald>
→ Bald lacht er, bald weint er.
    (То он смеётся, то он плачет.)
Примечания:
► Запомните, что некоторые парные союзы относятся к подчинительным союзам, т.е. порядок слов в предложении, которое вводится соответствующей частью парного союза, соответствует порядку слов в придаточном предложении:
→ Je mehr Sprachen du lernst, desto leichter fallen sie dir.
→ Wenn das wahr ist, dann tut es mir sehr leid.
→ Er war insofern schuld, als er nicht geholfen hat.
► Запомните также, что некоторые парные союзы рассматриваются как обычные наречия, следовательно, порядок слов в предложении, которое вводится одной частью парного союза, соответствует порядку слов в повествовательном предложении с обстоятельством:
→ Teils spreche ich Spanisch, teils (spreche ich) Französisch.
→ Weder spreche ich Spanisch noch (spreche ich) Französisch.
→ Einerseits freue ich mich, andererseits bin ich traurig.
→ Mal funktioniert es, mal funktioniert es nicht.
→ Bald lacht er, bald weint er.
 
 
Есть замечания, отзывы или пожелания относительно данной статьи? Пишите!
 Как правильно употреблять немецкое наречие ‘Auch’
 Иногда самые маленькие слова могут иметь большое значение. Возьмем немецкое наречие  auch . В простейшей форме это слово означает «также». Но это также (понятно?) Имеет большее значение.
  Auch  может означать «даже». Это также может быть модальная частица и подразумевать что угодно от «Я надеюсь» до «Вы уверены». Вот более подробный взгляд на силу, стоящую за этим обычным маленьким наречием.
 Когда акцентируется внимание на «Auch»
 Этот тип  auch  относится к предмету предложения и обычно находится перед вербальной группой.Его значение — «также». Например:
  Mein Sohn будет выпускать все студии Klavier.  
 Мой сын теперь тоже хочет учиться игре на фортепиано.
  Meine Oma isst gerne Bockwurst und auch Bratwurst.  
 Моя бабушка также любит есть Боквурст и Братвурст.
 Когда не акцентируют внимание на « Auch »
 Этот тип  auch  имеет прямое отношение к элементам фразы, которые следуют за ним. Обычно это означает «даже». Например:
  Auch für einen fleißigen Schüler, war dies eine große Hausaufgabe. 
 Даже для трудолюбивого студента это было большим домашним заданием.
  Ihr kann auch kein Arzt helfen.  
 Даже врач ей не поможет.
 Обратите внимание, что в приведенных выше предложениях безударный  auch  привлекает внимание к слову с ударением:  fleißigen  или  Arzt,  соответственно.
 «Аух» Can Express Mood
  auch  без акцента также может использоваться для обозначения настроения говорящего.В таких случаях вы найдете  auch , чтобы подчеркнуть раздражение или успокоение говорящего. Например:
  Du kannst auch nie still sein!  
 Ты никогда не сможешь оставаться в покое, не так ли?
  Hast du deine Brieftasche auch nicht vergessen?  
 Надеюсь, вы не забыли свой кошелек.
 Контекст — это все
 Рассмотрим следующие два диалога и значение, подразумеваемое контекстом.
   Sprecher 1:  Die Freunde deines Sohnes können gut schwimmen. / Друзья твоего сына очень хорошо умеют плавать.
   Sprecher 2:  Mein Sohn ist auch ein guter Schwimmer.  / Мой сын тоже хорошо плавает. 
   Sprecher 1:  Mein Sohn treibt gerne Basketball und Fußball. Er ist auch ein guter Schwimmer.  / Мой сын любит играть в баскетбол и футбол. Еще он хороший пловец.
   Sprecher 2:  Ihr Sohn ist sehr sportlich.  / Ваш сын очень спортивный.
 Как видите, в обоих диалогах фразы с  auch  практически одинаковы, но подразумевается разное значение.Тон и контекст значат все. В первом случае  auch  ставится с ударением и служит предметом предложения:  Sohn.  Во втором случае  auch  без акцента и акцент делается на  guter Schwimmer , подразумевая, что сын, помимо прочего, также хорошо плавает.
 Структура предложения — Правильно ли я использую слово «auch»?
 Ваши вторые альтернативы с  auch  между подлежащим — здесь: местоимения — слева и глагол справа искажены.Эта частица, как и другие, идет после глагола, но, поскольку синтаксис немецкого языка более гибкий, чем английский, вы иногда будете видеть или слышать, как она появляется перед подлежащим (и глаголом), обычно для выделения.
   Auch ich  komme mit der U-Bahn zur Schule. 
 Это подчеркивает важность предмета предложения ( ich ), вероятно, по отношению к предыдущим утверждениям других людей:  не только вы / они, но и я тоже . В исходном положении это не может быть понято иначе, тогда как при стандартном среднем положении  auch  может относиться к субъекту:
   Ich  komme  auch  mit der U-Bahn zur Schule.
 Вместо этого он может изменить значение глагола:
  Ich  komme auch  mit der U-Bahn zur Schule.   Ich  kann  mit der U-Bahn zur Schule  kommen . (Автобус Ich nehme aber normalerweise den) 
 Это также может относиться к первому объекту, следующему за ним:
  Ich komme  auch mit der U-Bahn  zur Schule.   Ich komme  nicht nur mit der U-Bahn  zur Schule.(Ich muss außerdem den Bus nehmen.) 
 Разницу между этими двумя нюансами можно смело считать продвинутой придиркой и неприменимо ко второму примеру в вопросе. Они разделяют возможное репозиционирование, что делает его в остальном однозначным:
  Auch mit der U-Bahn  komme ich zur Schule.
 Если частица должна применяться ко второму объекту¹,  auch  должно появиться непосредственно перед ним, независимо от его синтаксической позиции:
  Ich komme mit der U-Bahn (zum Training, aber)  auch zur Schule .
   Auch zur Schule  komme ich mit der U-Bahn. 
 Короткое утвердительное утверждение без глагола заставит частицу сразу же следовать за подлежащим:
 Алиса:  Ich komme mit der U-Bahn zur Schule.  
 Bob:  Ich  auch !  — «я тоже», «я тоже».
 ¹ Я использую здесь , объект  в очень широком смысле, который включает предложные фразы.
 Грамматика — самый общий порядок слов в немецком языке
 Чтобы расширить ответ Em1, потому что мне было скучно, я подсчитал порядок слов в одном случайном длинном сообщении австрийца на этом сайте, известного своими длинными и подробными ответами.Я считал только основные статьи.
 «Стандартное» предложение с субъектом и глаголом, где субъект — первое, глагол — второе, и мне было все равно, что за ним последовало, (SV_) встречается 23 раза (включая два подзаголовка).
 Вытягивание наречия, аппозиции или чего-либо еще в первую позицию с глаголом, следующим за вторым (AdvVS_), произошло 8 раз.
 Предмет был вытянут перед глаголом (OVS) 3 раза.
 Относительное или иное подчиненное предложение занимало первую позицию два раза, заставляя ScVSO.
 Однажды я заметил VSO вне вопроса, хотя это, вероятно, спорно, и то, что я увидел, действительно было условным подчиненным предложением. ( Wird […], kann […]  или что-то в этом роде.)
 Наконец, конъюнкция в нулевой позиции   (ConjSV_) случилась всего 4 раза.
 Таким образом, исключая особый случай VSO, в 58% всех случаев порядок слов составляет  субъект — глагол — объект, , чему учат в школе, и ожидаемый порядок слов в большинстве случаев.Можно добавить 10% случаев, когда SVO предшествует конъюнкция.
 В 32% случаев порядок слов —  something — глагол — подлежащее , т.е. что-то было перемещено в первую позицию, чтобы выделить это, что требует перемещения подлежащего на позицию после глагола. (Некоторые предложения не включали подлежащее в этой конструкции. Однако я не включил это в свои соображения, потому что я также не считал ругательства, которые иногда присутствуют в предложениях SVO.)
 Но гораздо лучше сказать, что 90% всех основных предложений  имели глагол на втором месте, независимо от того, что ему предшествовало. 10% были вышеупомянутыми соединениями в нулевой позиции ( Aber es gibt Ausnahmen ).
 68% предложений в выборке имели SVO, но 90% следовали за V2 (то есть не имело значения, что предшествовало глаголу, если было  или ).
 4 быстрых совета по изучению немецкого языка Порядок слов
 Что самое сложное в изучении немецкого языка?
 Для англоговорящих это может быть просто немецкий порядок слов.
  Немецкий порядок слов, если перевести его буквально на английский, выглядит как какой-то причудливый шекспировский узел, который нужно серьезно развязать.
 Это одно из многих препятствий, которые необходимо преодолеть изучающим немецкий язык.
 Надеюсь, этот пост поможет вам изменить порядок слов в немецком языке.
   Загрузить:  Эта запись в блоге доступна в виде удобного и портативного PDF-файла, который вы можете
можно взять куда угодно.
Щелкните здесь, чтобы получить копию. (Скачать) 
 4 быстрых совета по порядку слов на немецком языке
 Мы подробно рассмотрим каждый совет всего за секунду.Чтобы лучше понять порядок слов на немецком и попрактиковаться, попробуйте FluentU.
 Благодаря интерактивным субтитрам, которые дают мгновенные определения, произношения и дополнительные примеры использования, а также веселые викторины и мультимедийные карточки, FluentU представляет собой полноценный учебный пакет. Вы можете проверить это в бесплатной пробной версии и попробовать некоторые из упражнений по составлению предложений, чтобы проверить свое мастерство в немецком порядке слов.
 1. Узнайте, какие союзы изменяют порядок слов в немецком языке, а какие нет  Существуют разные виды союзов, которые по-разному влияют на предложение.
 «Нормальный» порядок слов, как мы ожидаем, — это  Subject Verb Object. 
  Ich werfe den Ball. 
 Координационные союзы не влияют на порядок слов:   und ,  denn ,  sondern ,  aber ,  и   oder . 
  Ich renne vorwärts  und  ich werfe den Ball. 
 Ich kann den Ball nicht gut treten,  aber  ich werfe den Ball ziemlich gut.
 Entweder sagst du mir die Wahrheit,  или  ich werfe dir den Ball ins Gesicht! 
 Ich bin stark,  denn  ich werfe jeden Tag im Basketball-Training den Ball. 
  Подчиняющие союзы  делают нечто гораздо более запутанное — они отбрасывают первый глагол в предложении до конца предложения. Наиболее распространенные подчиненные союзы:   während , bis,  als ,  wenn ,  da ,  weil ,  ob ,  obwohl ,  и   dass .
  Ich kann ihn nicht leiden,  weil  er so ein egoistischer Idiot ist. 
 Обычно порядок слов следующий:
  Er  ist  so ein egoistischer Idiot. 
 Но если вы используете подчинительный союз, то глагол перемещается в конец предложения:
  Ich habe auch schon immer gedacht, dass er ein egoistischer Idiot  ist . 
 Obwohl er ein egoistischer Idiot  ist , sollten wir nett zu ihm sein.
 В знаменитом эссе «Ужасный немецкий язык» Марк Твен приводит хороший пример того, насколько нелепым может быть это правило:
 «Но когда он на улице, жена государственного советника  (в атласе и шелке, теперь очень непринужденно одетая по последней моде) встретила »,
   Wenn er aber auf der Strasse der in Samt und Seide gehüllten jetzt sehr ungenirt nach der neusten Mode gekleideten Resräthin  begegnet .  
 Помните, даже если это кажется трудным, это всего лишь немецкий язык! Придерживаться.
 2. Научитесь удерживать глаголы до конца  В немецком языке есть много ситуаций, когда глагол обязательно должен стоять в конце предложения. Это одна из причин, почему немецкий считается таким странным и сложным языком.
  Модальные глаголы 
 В немецком языке инфинитив глагола обычно легко определить — почти каждый глагол во всем языке оканчивается на «-en». (есть такие, как  sammeln  — собирать, и  segeln  — ходить, что немного отличается!)
  Laufen, gehen, sagen, singen, lieben, führen, usw.(und so weiter…) 
 Модальные глаголы — очень распространенный вид «помогающих глаголов», и в немецком языке вы всегда будете встречать их в различных формах.
  müssen, können, sollen, möchten 
 Когда вы используете модальный глагол, второй глагол в предложении всегда находится в инфинитиве, а  стоит в конце предложения .
 Поначалу вам покажется неестественным ставить бесконечность в конце предложения! Только представьте, что вы поднимаете его, жонглируете и кладете в нужное место.
   Müssen  wir ihm mit seinem blöden Umzug nochmal  helfen ? 
  НИКОГДА:    Müssen  wir  helfen  mit seinem blöden Umzug? 
  Относительные статьи 
 В немецком языке в каждом относительном предложении ( Nebensatz) глагол  стоит в конце.
  Kommt auch der Idiot, der mich so  nervt , zur Party?  
  Kommt Magdalena, die letztes Wochenende so witzig  war , auch ins Kino? 
 Если в относительном предложении есть два глагола, глагол, который загружается в конец предложения, всегда является первым глаголом.Это означает « habe » в « habe…. geschlafen  »или«  ist  »в«  ist… gegangen  »или«  muss  »в«  muss… lernen  ». Другой глагол остается в своем обычном положении. (причастие прошедшего времени — это жаргон, но я могу понять, что вы опускаете его!)
  Das Geschenk, das ich meinem Vater  gekauft habe,  ist nicht mehr in meinem Auto!  
  Ich möchte nur Mitarbeiter in meinem Café haben, die richtig gut Latte Art  machen können .
 3. Когда в немецком перевернут вам предложение?  Эти инверсии в стиле Йоды — еще одна причина, по которой немцы, плохо знающие английский, могут говорить такие вещи, как «Сегодня мы можем пойти в магазин?» Каждый раз, когда в начале предложения появляется временное наречие или предложная фраза,  глагол должен стоять во второй позиции. 
   Morgen  gehen wir feiern.  
  1914 fing der Erste Weltkrieg an. 
 Вы по-прежнему можете помещать наречия в другую часть предложения:
  Wir gehen morgen feiern.
 Но не напутайте! Вы даже можете поместить объект в начало предложения и перевернуть его, чтобы выделить объект.
  Seine Umzüge  habe  ich niemals gemocht — Er hat einfach zu viele Möbel! 
 Вы видите?   habe   предшествует   ich       в предложении.
 Вот несколько примеров предложных фраз в начале предложения, которые помещают глагол в конец:
  G western hat sie mir etwas unglaublicheerzählt. 
  Gegenüber von mir  sitzen  zwei andere Deutsche. 
 4. Правильное расположение наречий в немецком языке  Основное правило немецкого предложения:  Предмет, Глагол, Косвенный объект (дательный падеж), Прямой объект 
  Ich warf ihm den Ball.  
  Sie gab mir ein Geschenk. 
 Наконец, когда вы объединяете длинную строку информации в предложение, вся информация должна поступать в следующем порядке:  Time Manner Place (TMP)  .   Это означает, что сначала должны идти наречия, описывающие , когда  что-то произошло, затем , как  наречия, и, наконец, , где      наречия.
 Попробуйте просмотреть длинные предложения на немецком языке, которые вы найдете в газетах или на FluentU, чтобы получить несколько реальных примеров того, как правильно использовать наречия.
 Использование FluentU для этой цели дает вам огромное преимущество перед использованием газет, потому что FluentU имеет так много встроенных средств обучения.
  Ich ging gestern gelangweilt in die Uni.  
  Toby kam heute morgen ins Büro gelaufenund sagte, dass Tanja heute Kuchen mitgebracht hat. Ich musste mich beeilen, weil ich noch etwas davon kriegen wollte! 
 Здесь модальный глагол   wollte     загружается до конца предложения, потому что   w   eil       является таким соединением.   Dass   делает то же самое, перемещая   га   t   на после   mitgebracht  .
 Время:   heute   Morgen  
  Маннер —   laufend  
  Place-   in das Büro   (обратите внимание, что здесь это   in das Büro  , а не   im Büro  , потому что вбежал Тоби, поэтому это глагол с движением, и это означает, что  из  занимает винительный падеж)
 Изучение немецкого порядка слов с панк-группой Steel Panther  Давайте попробуем найти несколько примеров этих правил в предложениях, которые я взял из этой статьи Spiegel Online о группе Steel Panther:
  Offenbar nicht ohne Grund muss man in Deutschland volljährig sein, um Ihre Konzerte zu besuchen.
 В этом предложении   Offenbar nicht ohne Grund   занимает первую позицию, что означает, что   muss   предшествует   man  .   Sein  , инфинитив глагола для  быть , стоит в конце предложения.
  Ich habe mich heute mit Interesse im Zug von Köln nach Hamburg mit einem Steel-Panther-Fan unterhalten 
 Время:   heute  
  Образ жизни:   mit Interesse  
  Место:   im Zug von Köln nach Hamburg  
  Как и в 1981 году Diese Band gründete, wollte ich nicht nur einen Sänger.Ich suchte auch jemanden, der die ganze Zeit genau das tut, was ich will. 
   Als ,  подчиненное соединение, перемещает   gründete   в конец предложения. В относительном предложении ,      der die ganze Zeit genau das tut ,  глагол   tut   также стоит в конце предложения.
  Jetzt sind wir fertig! Wenn du noch dringend mehrGrammatik-Tipps brauchst, stöbere weiter im FluentU-Blog.
   Загрузить:  Эта запись в блоге доступна в виде удобного и портативного PDF-файла, который вы можете
можно взять куда угодно.
Щелкните здесь, чтобы получить копию. (Скачать) 
 И еще кое-что …
 Хотите узнать ключ к эффективному изучению немецкого языка?
 Он использует правильный контент и инструменты, , как и FluentU, предлагает ! Просматривайте сотни видео, проходите бесконечные викторины и овладевайте немецким языком быстрее, чем вы когда-либо могли себе представить!
 Смотрите забавное видео, но не можете его понять?  FluentU предоставляет доступ к родным видео с интерактивными субтитрами.
 Вы можете нажать на любое слово, чтобы мгновенно его найти. Каждое определение содержит примеры, которые помогут вам понять, как используется это слово. Если вы видите интересное слово, которого не знаете, вы можете добавить его в список словаря.
 И FluentU не только для просмотра видео. Это полноценная платформа для обучения. Он разработан, чтобы эффективно научить вас всем словарям из любого видео. Проведите пальцем влево или вправо, чтобы увидеть больше примеров того слова, которое вы используете.
 Самое приятное то, что FluentU отслеживает словарный запас, который вы изучаете, и дает вам дополнительную практику со сложными словами. Он даже напомнит вам, когда придет время повторить то, что вы узнали.
 Начните использовать веб-сайт FluentU на своем компьютере или планшете или, что еще лучше, загрузите приложение FluentU из магазинов iTunes или Google Play.
   Если вам  понравился  этот пост, что-то мне подсказывает, что вам  понравится  FluentU, лучший способ выучить немецкий с помощью реальных видео.
 Испытайте погружение в немецкий онлайн!
 Английские Соответствия немецкому наречию auch
 Английские соответствия немецкому наречию «auch»
 В английском языке наречия  тоже ,  также  и  также  соответствуют немецкому наречию  auch . В то время как  тоже  и , а также  всегда располагаются в конце предложения (как в a, b),  также  встречается либо перед основным глаголом (как в c), либо между вспомогательным и основным глаголом (например, в г).
 а) Джон тоже едет в Лондон / тоже.
 * Джон тоже / тоже едет в Лондон.
 б) Джон тоже уехал в Лондон / тоже.
 c) Джон тоже едет в Лондон.
 * Джон тоже едет в Лондон.
 г) Джон тоже уехал в Лондон.
 В английском языке наречия подчеркивают, что кроме Джона в Лондон ходит по крайней мере еще один человек. Но наречие вводит альтернативы, и поэтому предложение неоднозначно: либо есть альтернатива человеку (как в е), либо есть альтернатива месту Лондона (как в f).
 д) Джон тоже едет в Лондон / тоже. {что x тоже едет в Лондон / тоже ‌ x ℮ D}
 е) Джон тоже едет в Лондон / тоже. {что Джон тоже идет к x / тоже ‌ x ℮ D}
 Какая из двух возможностей выражена предложением, зависит от того, на каком слове идет речь. Фокус устраняет двусмысленность этого предложения и, следовательно, исключает одно из прочтений.
 То же самое с наречием  и :
 г) Джон тоже едет в Лондон. {что x также идет в Лондон ‌ x ℮ D}
 з) Джон также отправляется в Лондон.{что Джон также идет к x ‌ x ℮ D}
 В немецком языке наречие  auch  не имеет определенного места, но в зависимости от его положения в предложении оно имеет разные смысловые ссылки. Это из-за явления скремблирования.
 В немецком языке предложения с наречием  auch  не являются двусмысленными, потому что положение  auch  не фиксировано. В зависимости от предполагаемого значения  auch  встречается в определенной позиции.
 i) Auch John geht nach London.
 j) John geht auch nach London.
 Составляющая после наречия всегда подчеркнута и, таким образом, содержит наиболее важную информацию в предложении. ^[1] В i) это существительное «Джон», которое следует за наречием  auch  и поэтому подвергается ударению. Это означает, что есть по крайней мере еще один человек, помимо Джона, который также едет в Лондон, тогда как в j) основное внимание уделяется Лондону, потому что здесь существительное «Лондон» следует за наречием  auch  и, таким образом, сфокусировано.Согласно этим наблюдениям в немецком языке у нас нет двусмысленных предложений с наречием  auch , и поэтому мы получаем только одно прочтение для каждого предложения:
 k) Auch John geht nach London. {auch x geht nach London ‌ x ℮ D}
 л) John geht auch nach London. {John geht auch nach x ‌ x ℮ D}
 Как мы видели выше, в немецком языке положение наречия  auch  не так фиксировано, как положение его английских соответствий. Это из-за явления скремблирования, которое позволяет нам изменять порядок слов в немецких предложениях.Таким образом, в английском языке фокус более важен, потому что на каком слове делается акцент и какое чтение мы получаем, решается на основе интонации предложения, тогда как в немецком языке позиция  auch  определяет часть информации, на которой сосредоточено внимание. . Таким образом, мы получаем только одно прочтение каждого предложения на немецком языке, но у нас есть двусмысленность в этих предложениях на английском языке.
  […] 
 ^[1] Питтнер К. и Берман Дж. (2004).Немецкий синтаксис. Ein Arbeitsbuch. Тюбинген: Гюнтер Нарр Верлаг. 24-25.
 Немецкие соединения (Konjunktionen): полное руководство
 «Это платье такое красивое, , но  оно слишком короткое».
 «Мне пришлось ехать домой , потому что  я плохо себя чувствовал».
 «Он не очень усердно учился  и, следовательно,  он не учился».
 Что общего у всех этих предложений? Если вы внимательно посмотрите на то, как структурированы эти операторы, вы увидите, что все они объединены такими словами, как , но , , потому что ,  и  или , следовательно, .
 Эти слова позволяют нам строить длинные и сложные предложения вместо того, чтобы общаться только с помощью коротких и простых, таких как «Я люблю рисовать. Мне нравится живопись.»
 Так что же это за волшебные слова, которые позволяют нам связать два разных утверждения или объяснить причинно-следственные связи?
 Ответ: Союзы.
 И, как и в любом другом языке,  немецкие союзы  являются жизненно важной частью немецкого языка.
 В этом посте мы подробнее рассмотрим магию немецких союзов!
 Типы немецких союзов
 Есть два типа немецких союзов:  координирующих союзов  и  подчиненных союзов .
  Подчиняющие союзы  влияют на структуру предложения, изменяя положение глагола, в то время как  координирующие союзы  оставляют положение глагола неизменным.
 Давайте подробнее рассмотрим эти два типа немецких союзов!
 Координационные союзы на немецком языке  Как уже говорилось,  координирующее соединение  в немецком языке  не влияет на глагол  (или его положение).
 Если вы встретите следующие выражения, вы можете быть уверены, что имеете дело с координирующим союзом.
  и  и
  абер  но
  denn  потому что
  или  или
  зонд , но (как , а скорее )
  beziehungsweise  или, точнее
  док , но, тем не менее,
  джедох , но, тем не менее,
  аллен  (редкое выражение)  но, к сожалению,
 Если вы наткнетесь на слова, перечисленные выше в предложении, вы знаете, что эти координирующие союзы связывают вместе два предложения равной важности.
 Поскольку союзы (координирующие, а также подчиняющие) объясняют корреляции между двумя предложениями и / или определяют отношения между двумя (или более) утверждениями, очень важно, чтобы вы ознакомились со значением каждого конкретного союза.
 Приведу несколько примеров немецких координационных союзов!
  Примеры :
 →  und, aber oder, sondern, denn 
 Andy ist sehr intelligent,  aber  er hat einfach keinen Ehrgeiz.-  Энди очень умен, но у него нет никаких амбиций .
 Sie ist nicht nur Mutter von drei Kindern,  sondern  [ sie ] schreibt auch Kinderbücher. —  Она не только мама троих детей, но и пишет детские книги . 
 (В данном случае слово «sie» заключено в круглые скобки, так как технически его можно не указывать)
 Er wurde nach Hause geschickt,  denn  er war krank. —  Его отправили домой, потому что он был болен .
 Ich mag es, zu zeichnen  und  zu malen. —  Я люблю рисовать и рисовать .
  Интересный факт : Лингвистическое общество Америки при Мичиганском университете предлагает, чтобы для запоминания некоторых немецких координирующих союзов вы можете  спеть их  на музыку « Stayin ‘Alive » Bee Gees .
 (Я могу гарантировать вам, что это очень эффективно. Кроме того, песня останется в вашей голове до конца дня.Но все, что помогает, правда?)
 Позвольте показать вам:
  и   денн   сын —   дерн   абер — или   абер — или 
  ах   га   га   га   остаться в живых   остаться в живых 
 Создание таких запоминаний очень важно, особенно при изучении немецких союзов.
 После координирующего союза вы продолжите с тем же порядком слов, что и в предыдущем предложении. Это означает, что обе части согласованного предложения действуют как независимые предложения (которые были связаны вместе), и их структура не изменяется.
 Когда дело доходит до положения спряженного глагола в координирующем союзе, глагол будет на втором месте:
 “ Sie ist nicht nur Mutter von drei Kindern, sondern schreibt auch Kinderbücher .”
 Здесь спряженный глагол («schreiben» — «sie schreibt») находится во второй позиции, то есть во втором «слоте» предложения, связанном с первым согласованным спряжением.
 Еще несколько полезных советов по немецким координирующим соединениям : За фразой « nicht nur » всегда следует « sondern auch ».
 Разница между словами « sondern » и « aber » заключается в том, что вы используете « sondern », где вы должны использовать «но скорее» (что означает:  вместо ) в английском языке.
 Перед словом « sondern » должно стоять отрицание.
 « Aber » может предшествовать отрицание, но не обязательно.
 « Denn » против « weil »: оба слова объясняют причинно-следственную связь и предоставляют причину, но между ними есть одно существенное различие — они требуют разного порядка слов. « denn » —  clause  никогда не может быть в начале предложения. Если вы хотите начать предложение с объяснения причины, используйте « weil ».
 « Jedoch » обычно более сильное слово, чем « doch », и может использоваться для добавления акцента. Ударение слова может меняться в зависимости от того, какое место оно занимает в предложении: 
 → Er war verärgert,  jedoch  zeigte er es nicht. —  Разозлился, но не показал . 
 → Er war verärgert, er zeigte es  jedoch  nicht. —  Разозлился, но не показал . 
 В первом предложении позиция слова « jedoch » делает гораздо больший акцент на его контроле над своим гневом.
 Двухчастные координирующие союзы на немецком языке  Немецкий язык не был бы немецким, если бы не было «особого случая» для каждого случая. К счастью для вас, это довольно просто: я говорю о двухчастном координирующем соединении  .
 С двухчастными согласованиями это почти то же самое, что и с обычными координирующими союзами: они оставляют глагол в том же положении, что и в предыдущем предложении.
  энтведер… или  либо… либо
  sowohl… als auch  и… и
  Ведер… Ночь  ни… ни
  einerseits,… andererseits  с одной стороны… с другой
  mal… mal  иногда… иногда
  teils… teils  частично… частично
  Примеры :
  Entweder  wir gehen heute ins Kino  или  wir gehen morgen.-  Пойдем сегодня в кино или пойдем завтра .
 Ich mag  sowohl  Richard Wagner  as auch  Richard Strauss. —  Мне нравятся и Рихард Вагнер, и Рихард Штраус .
 Es ist  weder  eine besonders schöne Stadt  noch  sind ihre Bewohner freundlich. —  Это неприятный город, и его жители не особенно дружелюбны .
  Einerseits  würde ich wirklich gerne auf die Party gehen,  andererseits  bin ich sehr müde.-  С одной стороны я бы хотел пойти на вечеринку, с другой стороны очень устал .
  Mal  kann ihr Hund sehr ruhig sein,  mal  ist er sehr anstrengend. —  Иногда ее собака очень спокойна, иногда очень утомительна .
 Der Film war  teils  sehr schön,  teils  etwas langweilig. —  Фильм был отчасти очень красивым, отчасти несколько скучным .
 Подчиненные союзы в немецком языке  В отличие от координирующих союзов, немецкие подчинительные союзы изменяют положение глагола в предложении.Столкнувшись с подчинительным союзом, вы увидите, что глагол перемещен в конец предложения.
 Как определить подчиненное соединение, спросите вы?
 Эти слова означают, что вы имеете дело с одним:
 От  до  до
  начдем  после
  ehe  до
  seit, seitdem , поскольку (указывает время, а не причинно-следственную связь)
  während  пока, в то время как
  как  когда (при описании прошлых событий)
  Венн  when (описание настоящего и будущего), если, когда бы то ни было
  WANN  когда (только для вопросов)
  до  до, по
  obwohl  хотя
  als ob, als wenn, als  как будто
  софт  так часто, как (когда)
  собальд  как только
  соланж  до
  da  потому что
  индем  от… -ing
  Вейл  потому что
  об  ли *, если (* используется только тогда, когда можно сказать «ли» и на английском языке)
  водопад  в случае, если
  Венн  если, когда
  мм… zu  до
  дасс , что
  натренированный  так что
  плотина  так что
 Признаюсь: по сравнению с координирующими соединениями это гораздо больший список.
 К сожалению, на этот раз у меня также нет броского запоминания, но я уверен, что у вас в мгновение ока будет ключевой , подчиняющий союзы !
 Когда использовать «
 wenn » и « als »? Если вы имеете в виду событие в прошлом, которое было завершено, вам нужно будет использовать слово « als »:
  Als  ich ein Kind war, mochte ich keinen Brokkoli. —  В детстве не любила брокколи .
 Слово « wenn » может использоваться для описания повторяющегося события:
 [Immer]  wenn  ich nach Heidelberg gehe, schaue ich mir das Schloss an. —  [Всегда /] Когда я еду в Гейдельберг, я посещаю замок .
 Как видите, слово « wenn » может означать как «когда», так и «когда».
 Разница между «
 wenn » и « ob » И « wenn », и « ob » переводятся как «, если », но их нельзя использовать взаимозаменяемо.Уловка памяти здесь довольно проста: если вы можете использовать «ли» на английском языке, вам придется использовать « ob » на немецком языке.
  Ob  estimmt, weiß ich nicht. —   Верно ли   , не знаю .
  Wenn  das wahr ist, will ich mir die Konsequenzen nicht ausmalen. —   Если    это правда, я не хочу представлять себе последствия .
 Вместо использования « wenn » для обозначения возможности вы также можете использовать « падает »:
  Falls  das wahr ist, will ich mir die Konsequenzen nicht ausmalen.-   Если    это правда, я не хочу представлять себе последствия .
 Использование «
 wann » Как указано выше, « wann » используется только для вопросов.
  Wann  gehst du nach Stuttgart? —   Когда    вы собираетесь в Штутгарт ?
 «
 Nach » и « Nachdem » Существует простое правило, которому вы можете следовать, когда дело доходит до использования « nach » и « nachdem »: « Nachdem » используется с действиями, а « nach » используется с существительными.
 Wir haben uns  nach  der Arbeit getroffen. —  Встретились    после    работа . (Die Arbeit = существительное)
 Mir ging es nicht gut,  nachdem  ich zu viel Kuchen gegessen hatte. —  Я плохо себя чувствовал    после    съел слишком много торта . (Эссен = глагол / действие).
 «
 Seit » и « seitdem » Использование « seit » и « seitdem » аналогично « nach » и « nachdem »: вы можете использовать « seit » и « seitdem » как с действиями, так и с существительными, но встречаясь с существительными, вы можете использовать только « seit ».
  Seitdem  er mit seiner neuen Freundin zusammen ist, hat er sich sehr verändert. —   С    познакомился со своей новой девушкой, много поменял .
 Er schläft  seit  Beginn des Films. —  Спит    с    начало фильма .
 Различия между «
 da » и « weil » Между этими двумя словами нет различий, за одним исключением: « da » более формально, чем « weil » (оба означают , потому что ).Поэтому, если вы пишете официальное письмо или находитесь в ситуации, требующей менее неформального языка, выбор « da » вместо « weil », вероятно, будет более подходящим решением.
 «
 Bevor » и « ehe » То же, что и выше: « ehe » более формально, чем « bevor ». Следует отметить, что « bevor » используется с действиями, но более короткая форма « vor » может использоваться только с существительными.
 Wir sollten uns treffen,  bevor  es dunkel wird.-  Мы должны встретиться    до    стемнеет . (Дункель Верден = действие)
 Wir treffen uns  vor  dem Theater. —  Встречаемся перед театром.  (театр = существительное)
 Während  «Während» может означать «во время» или «во время»:
  Während  des Vortrages ist er eingeschlafen. —   Во время лекции    заснул .
 Er hat blonde Haare,  während  sein Bruder rote Haare hat. —  У него светлые волосы,   , тогда как    у его брата рыжие волосы .
 Bis  Er hat  bis  um acht Uhr geschlafen. —  Он спал    до    восемь часов .
  Bis  er das merkt werden Stunden vergangen sein. —   К   , когда он понимает, что часов пройдет .
 Obwohl   Obwohl  er nur zwölf Jahre alt ist, ist er ein beginnadeter Schlagzeuger. —   Хотя    ему всего двенадцать лет, он очень талантливый барабанщик .
 Um… zu   Um  ihr eine Freude  zu  machen, hat er ihr Blumen gekauft. —  Чтобы сделать ее счастливой, он купил ей цветов .
 Дасс  Как и в английском переводе « that », « dass » можно опустить в предложении:
 Er glaubt,  dass  die Erde eine Scheibe sei.-  Он считает   , что    Земля — это диск .
 Er glaubt, die Erde sei eine Scheibe. —  Он считает, что Земля — это диск .
 Sodass  Erbeeuptete, eine Erkältung zu haben,  sodass  er seinen Aufsatz nicht vor der Klasse vorlesen musste. —  Он утверждал, что у него простуда   , так что    ему не пришлось читать свое эссе перед классом .
 Индем  Hans sicherte sich eine gute Note,  indem  er sich beim Lehrer einschleimte. —   К    подхлебнув учителя, Ганс удостоверился, что он получил хорошую оценку .
 Софт, Собальд, Соланж   Sooft  er sich auch bemühte, seine Französischkenntnisse wurden nicht besser. —   Как часто он пытался   , его французские навыки не улучшались .
  Sobald  wir genug Geld gespart haben, wollen wir nach Bali reisen. —   Как только   , так как мы накопили достаточно денег, мы хотим поехать на Бали .
  Solange  sie ihre Einstellung nicht ändert, wird sie keinen Erfolg haben. —   Пока    она не изменит своего отношения, она не добьется успеха .
 Als wenn, als ob, als  Er hat die Prüfung bestanden,  als ob  es nichts wäre.-  Экзамен сдал    как будто    ничего не .
 Er tat so,  als ob  er davon noch nie gehört hatte. —  Он притворился   , как будто    он никогда не слышал об этом до .
 Dieser Grashüpfer sieht so aus  als  wäre er ein Zweig. —  Этот кузнечик выглядит как   , как если бы    это была веточка .
 Дамит  Er stellte er sich zwei Wecker, damit er nicht verschlief.-  Поставил две будильники, чтобы не проспал .
 Это было — надо признать — много информации для одного сообщения в блоге. Немецкие союзы (как вы можете видеть) — это довольно обширная область, полная неточностей и слов, которые меняют значение в зависимости от того, как  используются .
 Так что не волнуйтесь, если вы не избавитесь от них в одно мгновение — это то, с чем даже некоторые немцы борются!
 Как только вы почувствуете, что готовы заняться темой немецких союзов, вы можете проверить свои знания с Clozemaster!
  Viel Erfolg !
 Испытайте себя с Clozemaster
  Проверьте свои навыки и узнайте, что вы узнали из этой статьи, проиграв несколько предложений со всеми видами немецких союзов.
  Зарегистрируйтесь здесь, чтобы сохранить свой прогресс и начать бегло говорить с тысячами немецких предложений в Clozemaster. 
  Clozemaster  был разработан, чтобы помочь вам изучать язык в контексте, заполняя пробелы в аутентичных предложениях. Благодаря таким функциям, как Grammar Challenges, Cloze-Listening и Cloze-Reading, приложение позволит вам подчеркнуть все навыки, необходимые для свободного владения немецким языком.
  Поднимите свой немецкий на новый уровень.Нажмите здесь, чтобы начать практиковаться с настоящими немецкими предложениями! 
 Грамматика по Гримму: порядок слов: Wortstellung
 Союзы: Wortstellung
 Порядок слов  (также называемый синтаксисом) в немецком языке обычно определяется расположением глагола. Глагол в немецком языке может быть во второй позиции (наиболее часто встречается), в начальной позиции (сначала глагол) и в конце предложения.
 Конечный глагол во второй позиции
 а) общие положения
 Самый простой порядок слов в немецком языке, как и в английском, — это последовательность подчиненного-глагола-прямого объекта:
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Die Zwerge lieben die junge Prinzessin.  Гномы любят юную принцессу.
 Warum auch nicht? Sie putzt ihr Haus und kocht ihr Essen!  А почему бы и нет? Она убирает их дом и готовит им еду!
 Как видите, конечный глагол (спряжение глагола) стоит на втором месте в каждом предложении. Это самая распространенная, базовая позиция для спряженных глаголов.
 б) вопросы с вопросительными словами
 При наличии вопросительных слов (wer, wann, wo, wie и т. Д.) Конечный глагол все еще остается на второй позиции, а подлежащее перемещается на третью позицию.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Wohnen sie nochmal?  Где они снова живут?
 Был ли тег tut sie den ganzen?  Что она делает целый день?
 Конечный глагол в первой позиции
 Конечный глагол может стоять на первом месте в вопросах да / нет и в командах (повелительное наклонение).
 а) да / нет вопросы
 Конечный глагол переходит в начало вопросов типа да-нет:
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Wohnen die 7 Zwerge und Schneewittchen in der Mitte des Waldes?  Семь гномов и Белоснежка живут посреди леса?
 Soll ich sie besuchen? Ха-ха!  Может мне пойти навестить ее? Ха-ха!
 б) команды
 Точно так же при подаче команд спряженный глагол стоит на первой позиции.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Mach die Tür auf, mein Schatz! Кауф майне Варен!  Открой дверь, дорогая! Купи мой товар!
 Siehe diesen Apfel! Probier ihn mal!  Посмотрите на это яблоко! Попробуйте, продолжайте!
 Конечный глагол в конечном положении предложения
 В некоторых случаях конечный глагол также может стоять в конце предложения, в конце зависимого предложения.Это происходит, когда предложение вводится подчинительным союзом (например, weil, ob, nachdem).
 а) подчинительные союзы
 Обычно (если это не во время продолжающейся устной дискуссии) подчиненные союзы являются частью более крупного предложения, которое также имеет главное (независимое) предложение. Зависимое предложение, введенное подчинительным союзом, объясняет, расширяет или изменяет информацию, представленную в независимом предложении. Придаточное предложение может предшествовать независимому предложению или следовать за ним.
 В каждом предложении будет конечный глагол. Конечный глагол независимого предложения будет на второй позиции. Конечный глагол зависимого предложения будет в последней позиции предложения.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Ich hoffe, dass sie bald in den Apfel beißt! Ich kann kaum warten, bis siegotibt!  Надеюсь, что она  скоро откусит  яблока! С нетерпением жду пока она  умрет !
 Каждое предложение начинается с независимого (основного) предложения.Первую позицию занимает подлежащее «ich» (в обоих предложениях), а вторую — конечный глагол независимого придаточного предложения «hoffe» и «kann».
 После запятой идет придаточное предложение, введенное подчинительным союзом dass и bis. Конечный глагол придаточного предложения beisst и stibt находятся в конечном положении предложения.
 Сравните это расположение со следующим примером, в котором зависимое предложение начинается с предложения:
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Nachdem du meinen Apfel gegessen hast, willst du nie wieder irgendwas anderes essen! Ха-ха!  После того, как вы  съедите  мое яблоко, вы больше не захотите есть что-нибудь еще! Ха-ха!
 Это предложение начинается с придаточного предложения (вводится подчинительным союзом nachdem). Конечный глагол gegessen hast стоит в конце предложения, непосредственно перед запятой, разделяющей зависимые и независимые предложения.
 Второй пункт — независимый пункт. Конечный глагол willst стоит во второй позиции; первая позиция предложения занята всем придаточным предложением!
 б) относительные придаточные предложения
 Эффект относительных местоимений такой же, как и подчинительных союзов: конечный глагол идет до конца предложения, которое вводится относительным местоимением.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Ach, dies ist das Mädchen, das mir so viele schlaflose Nächte bereitet! Ich bin aber keine böse Königin, die so etwas ohne weiteres erlaubt!  Ах, это та девушка, которая  вызвала у меня  столько бессонных ночей! Я, однако, не злая королева, которая просто  позволяет  этим вещам происходить без лишних слов!
 Переход от основного глагола к второстепенному
 Бывают случаи, когда исходный конечный глагол из простого утверждения вытесняется новым компаньоном.
 Модальные глаголы
 Конечные глаголы могут быть заменены модальными глаголами (которые, как следует из названия, изменяют значение предыдущего основного глагола). В результате входящего модального глагола (который спрягается и является новым конечным глаголом) исходный глагол превращается в инфинитив.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Ха-ха! Ich bin die allerschönste Frau in der ganzen Welt!  Ха-ха! Я самая красивая женщина в мире!
 Tja, dastimmt doch nicht.Ich möchte nur die allerschönste Frau in der ganzen Welt sein!  Ну, на самом деле это неправда. Я только хочу быть самой красивой женщиной на свете!
 Вспомогательные глаголы
 Вспомогательные глаголы, такие как ‘haben’ или ‘sein’, образующие перфект настоящего времени, ‘hätte’ или ‘wäre’, образующие сослагательное наклонение прошедшего времени или ‘werden’, образующее будущее время, также наталкивают исходный конечный глагол в придаточное предложение. -конечное положение.С haben / sein и hätte / wäre исходный конечный глагол становится причастием. С werden оно становится инфинитивом.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Ich habe mich daran gewöhnt, die allerschönste Frau der ganzen Welt zu sein.  Я привыкла к тому, что я самая красивая женщина на свете.
 Vielleicht, wenn ich das nicht gemacht hätte, müsste sie jetzt nicht sterben, aber so ist das Leben.Абсолютно несправедливо!  Может быть, если бы я этого не сделал, ей бы не пришлось умереть прямо сейчас, но это жизнь. Совершенно несправедливо!
 Weil ich eine böse Königin bin, werde ich keine winzige Sekunde damit verschwenden, meine schreckliche Tat zu bereuen! Das Leben ist ganz einfach, wenn man böse ist!  Поскольку я злая королева, я не потрачу ни секунды на сожаление о своем ужасном поступке! Жизнь действительно проста, когда человек злой!
 Последовательность существительных и местоимений
 Винительный и дательный падеж
 Хорошие новости! Единственное, что вы должны помнить в отношении размещения существительных, — это последовательность прямых и косвенных объектов, т.е.д., дательный и винительный существительные и возможные местоимения, которые их заменяют.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  ОК. Wie war das noch mal? Ich gebe der Prinzessin einen Apfel, und sie isst ihn. Ага. Das darf ich nicht vergessen!  ОК. Как все прошло снова? Я даю принцессе яблоко, и она его ест. Ага. Я не могу этого забыть!
 Также ich gebe ihr einen Apfel.Ich gebe ihn der Prinzessin. Ich gebe ihn ihr! Wenn ich das pausenlos wiederhole, werde ich es bestimmt nicht vergessen, wem ich was geben soll.  Итак, я даю ей яблоко. Отдаю принцессе. Даю ей! если я буду повторять это без остановки, я точно не забуду, кому и что давать!
  Обратите внимание на :
 если у вас есть два существительных (винительный и дательный), то существительное  предшествует винительному падению !
 местоимений предшествуют существительным
 местоимение винительного падежа предшествует местоимению дательного падежа
 Дательное существительное  Винительный падеж существительного
 Местоимение  Существительное
 Винительный падеж  Дательный падеж
 Когда вы приобретете больше уверенности в немецком языке, вы сможете поэкспериментировать с порядком слов существительных и местоимений и увидеть, как смешивание элементов приводит к дифференцированию акцентов в предложении.Секрет: вы можете поменять местами дательный и винительный падеж существительных, если вы действительно хотите подчеркнуть получателя действия — если есть необычное расположение элементов, они, как правило, привлекают к себе дополнительное внимание!
 Последовательность наречий
 Время / место: от меньшей к более конкретной информации
 При использовании выражений времени или места сначала идет более общая информация, а затем более конкретная.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  die böse Königin  Ich bin  letzten Monat  jeden Donnerstag um 3 Uhr am Zwergenhaus vorbeigegangen, und versuchte sie zu töten. Und ich gehe gar nicht gern  in den Wald  zu diesem miesen Häuschen! Ich habe Angst vor der Dunkelheit! Дуф, ничт?   В прошлом месяце  Я ходил в дом гномов каждый четверг в 3 часа дня и пытался убить ее. И мне очень не нравится ходить в тот убогий домик  в лесу ! Боюсь темноты! Глупо, а?
 Последовательность других наречий
 Типичная пословица гласит, что наречия времени предшествуют наречиям способа, которые предшествуют наречиям места (т.е., время — способ — место). На самом деле наречия должны быть в следующем порядке:
  время — место — способ 
 Манера всегда в последнюю очередь, так как дает самую новую информацию — а новая информация подчеркивается тем, что помещается самой первой или самой последней.
 Однако наречия гораздо более гибкие с точки зрения последовательности, и их порядок действительно зависит от того, какую информацию вы хотите выделить.
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы.  Место I  (предмет или компонент выделения)   Место II  (спряженный глагол)   Место III   Место IV   Место V   Выделение 
 Die 7 Zwerge und Schneewittchen (тема)  wohnen  am Anfang (наречие времени)  friedlich (наречие образа)  in der Mitte des Waldes (предложная фраза, место)  Wer (кто)?
 Am Anfang (наречие времени)  wohnen  die 7 Zwerge und Schneewittchen (тема)  friedlich (наречие образа)  in der Mitte des Waldes.(место)  Ванн (когда)?
 Фридлих (наречие манеры)  wohnen  die 7 Zwerge und Schneewittchen (тема)  am Anfang (наречие времени)  in der Mitte des Waldes. (место)  Wie (как)?
 In der Mitte des Waldes (место)  wohnen  die 7 Zwerge und Schneewittchen (тема)  am Anfang (наречие времени)  фридлих.(наречие манеры)  Wo (где)?
 Вам нужно будет хранить наречия места отдельно от словесных дополнений, которые являются описанием места.
 Вербальные дополнения важны для значения глагола (например, она пошла домой — «пошла» не имеет смысла без «дома»).
 Наречия места на самом деле не нужны для определения значения глагола, они просто дают дополнительную информацию о месте события (например,g., она пошла к себе домой к лесу — «дом» имеет важное значение для «пошел», а «у леса» нет — это наречие вместо словесного дополнения).
 Позиция nicht
 Последняя информация, касающаяся порядка слов, с которой мы здесь поговорим, — это размещение отрицательной частицы nicht (и других отрицательных элементов, таких как nie или kaum —  никогда не  и  вряд ли ).
 Нихт …
 помещается в конец предложения (НО перед любыми глагольными дополнениями, такими как причастие или инфинитив после модального глагола или прямого объекта)
 следует за всеми наречиями, кроме наречий типа (schnell, gut, gern и т. Д.).)
 предшествует элементу, если это единственное, что в предложении должно отрицать (в отличие от отрицания всего предложения или предложения)
 Ваш браузер не поддерживает аудио элементы. 1.   die böse Königin:  Mein Schatz, kauf ruhig diesen schönen Apfel, ich habe ihn nicht vergiftet! Warum isst du ihn nicht?  Дорогая, не волнуйся, покупай это яблоко, я  не травил ! Почему  не едят ?
 2.  Magst du Äpfel nicht?   Разве  не любишь яблоки?
 1.  Du willst meinen Apfel nicht essen? Был ли soll dass denn heißen?  Ты, ,  не хочешь съесть мое яблоко? Что это должно значить?
 3.  Хммм … Венн Нихт Дизен Шёнен Апфель, Данн Кауф mindestens Diesen Wunderbaren Kamm!  Хммм … если  не  это красивое яблоко, то купите хотя бы эту чудесную расческу!
 1.  Эй, hast du meine Frage nicht gehört? Warum antwortest du nicht? Ого! Sie ist tot !!!! Ich bin die schönste Frau im ganzen Land — oder vielleicht auch nicht …  Эй,  разве  ты не слышал мой вопрос? Почему  не отвечает ? Ага, она мертва !! Я самая красивая женщина во всей стране — а может, , а не  …
 .
 Posted in РазноеLeave a Comment on После auch порядок слов: Сложносочинённые предложения в немецком языке
 
F x 2x 2 y 2 x: Mathway | Популярные задачи
 Posted on 02.01.197013.06.2021 by alexxlab
заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством
Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:
решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
написание лабораторных, рефератов и курсовых
выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.
Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.
Объединение сервисов в одну систему
Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:
Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос
Принцип работы
Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.
Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.
Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.
Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).
Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.
За счет чего будет развиваться сервис
Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.
Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.
Преимущества для заказчиков
Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.
Преимущества для решающих задания
Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.
Преимущества для владельца сервиса
Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.
В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.
Что необходимо для создания сервиса
Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
Выбрать платежную систему.
Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.
Квадратичная функция, как построить Параболу
Основные понятия
Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.
Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax² + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:
a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x²:

 
Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x², нужно составить таблицу:
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x² при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y = –x² выглядит, как перевернутая парабола:

 
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
x -2 -1 0 1 2
y -4 -1 0 -1 -4
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля a < 0, то ветви параболы напрaвлены вниз.
Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.
Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.
Для наглядности возьмем функцию y = ax² + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b² — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.
Рассмотрим три случая:
 Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:

 
На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

 
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax
² + bx + c.Разберем общий алгоритм на примере y = 2x² + 3x — 5.
Как строим:
Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x² + 3x — 5.
D = b² — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0
√D = 7
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
2x² + 3x — 5 = 0
Координаты вершины параболы:
Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)
² + y₀Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x² + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.
Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)² + 4.
Как строим:
Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
построить y = x²,
умножить ординаты всех точек графика на 2,
сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
Построить график параболы для каждого случая.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) * (x + b)
Рассмотрим следующий пример: y = (x — 2) * (x + 1).
Как строим:
Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:
(x — 2) * (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = -1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab =(-2) * (1)= -2 и ей симметричная.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.
Чтобы не запутаться во всех графиках, приходите вместе с ребенком на бесплатный урок математики в современную школу Skysmart: порисуем параболы на интерактивной онлайн-доске, разберемся в самых коварных формулах и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием.
1 2 производная
Вы искали 1 2 производная? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 2x 2 производная, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 2 производная».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 2 производная,1 2x 2 производная,1 2x производная,1 3 х 3 производная,1 3x 3 производная,1 4 x производная,1 sin 2x производная,1 x 2 производная,1 x 3 производная,1 x 5 производная,1 x производная,1 найти производную функции 1 2,1 х 2 производная,1 х 3 производная,1 х производная,2 3 x производная,2 4x производная,2 x sinx производная,2 x sqrt x производная,2 x производная,2 производная от,2 х производная,2x 1 2 производная,2x 2 2x 1 производная,2x 2 производная,2x 3 производная,2x производная,2х производная,3 2x производная,3 sin x производная,3 sinx производная,3 x 2 производная,3 x производная,3 в степени x производная,3 производная,3 х 2 производная,3 х производная,3sinx производная,3x 2 производная,3x производная,3х производная,4 x 2 производная,4 x производная,4 в степени х производная,4 производная,4 х 2 производная,4 х производная,4x 2 производная,4x производная,4х производная,5 x производная,5 в степени х производная,5 х производная,5x производная,5х производная,6 x производная,7 x производная,8 x производная,a x производная,arccos x производная,arcsin 2 x производная,arcsin 2x производная,arcsin x 2 производная,ctg 2 x производная,ctg 2x производная,ctg x 2 производная,e x 1 производная,f x 1 x решение,f x 2x 2 y 2 x,f x y x 2,f x как найти,f x калькулятор,f x калькулятор онлайн,f x корень x 3,f x найти,f x производная,f x производная функции,f х 2 х,ln y x производная,mathsolution производная,sin x 3 производная,sinx 3 производная,sinx x 2 производная,tg 3 2x производная,x 1 2 x 4 производная,x 1 2 производная,x 1 3 производная,x 1 в квадрате производная,x 2 1 производная,x 2 3 производная,x 2 4 x производная,x 2 4 производная,x 2 sinx производная,x 2 sqrt x производная,x 2 производная,x 2x 2 производная,x 3 2 x производная,x 3 2 производная,x 3 4 производная,x 3 производная,x 4 2 производная,x 4 производная,x 5 производная,x 7 производная,x 8 производная,x sqrt x производная,x y производная,x в 3 степени производная,x в степени 3 производная,x производная,y 1 x 1 2x 3 производная,y 1 x 2 найти производную,y 1 x 2 производная,y 1 x 3 производная,y 1 x производная,y 2 x производная,y 2x 3 производная,y 3 2x производная,y 3 x производная,y 5 x производная,y 6 x производная,y cos 2x найти производную,y x 1 x найти производную функции,y x 1 x производная,y x 1 производная,y x 2 1 найти производную,y x 2 ln x производная,y x 2 корень из x производная,y x 2 найти производную,y x 2 производная,y x 3 2x 2 x 2 производную,y x 3 x производная,y x 3 производная,y x 4 x производная,y x 5 найдите производную функции,y x 5 производная,y x 6 производная,y x arcsin x найти производную,y x arcsin x производная,y x arctg x производная,y x cos x производная,y x e x найти производную,y x e x производная,y x sin x найти производную,y x производная,y производная,а х производная,бесплатно найти производную функции онлайн с подробным решением бесплатно,взятие производной онлайн,взять производную,взять производную онлайн,вычисление производной,вычисление производной онлайн,вычисление производной онлайн функции,вычисление производной функции,вычисление производной функции онлайн,вычисление производных,вычисление производных онлайн,вычисление производных функций,вычисление производных функций онлайн,вычисление функции производной онлайн,вычисления производных,вычисления производных калькулятор,вычислите значение производной функции,вычислите производную функции,вычислить производную,вычислить производную онлайн,вычислить производную онлайн с подробным решением бесплатно,вычислить производную с подробным решением онлайн,вычислить производную функции,вычислить производную функции онлайн,вычислить производную функции онлайн с подробным решением,вычислить производные функции онлайн с решением,дифференциация онлайн,дифференцирование калькулятор онлайн,дифференцирование онлайн,дифференцирование онлайн калькулятор,дифференцирование сложной функции онлайн,дифференцирование функции онлайн,знайти похідну,знайти похідну онлайн,знайти похідну функції,знайти похідну функції онлайн калькулятор,икс производная,как найти производную функции калькулятор онлайн,как найти производную функции онлайн калькулятор,калькулятор f x,калькулятор дифференцирования,калькулятор найти производную,калькулятор найти производную функции,калькулятор онлайн найти производную функции,калькулятор онлайн найти с решением производную функции,калькулятор онлайн похідних,калькулятор онлайн приращение функции,калькулятор онлайн производная с решением,калькулятор онлайн производной,калькулятор онлайн производной функции,калькулятор онлайн производных,калькулятор онлайн производных с решением,калькулятор онлайн производных функций,калькулятор онлайн производных функций с решением,калькулятор онлайн решение производных,калькулятор похідних,калькулятор похідних онлайн,калькулятор производная,калькулятор производная сложной функции,калькулятор производная функции,калькулятор производной,калькулятор производной онлайн,калькулятор производной онлайн с решением,калькулятор производной сложной функции,калькулятор производной функции,калькулятор производной функции онлайн,калькулятор производной функции онлайн с решением,калькулятор производные,калькулятор производные функции,калькулятор производные функции онлайн,калькулятор производный,калькулятор производных,калькулятор производных онлайн,калькулятор производных онлайн решение,калькулятор производных онлайн с подробным решением,калькулятор производных онлайн с решением,калькулятор производных решение онлайн,калькулятор производных с решением,калькулятор производных с решением онлайн,калькулятор производных сложных,калькулятор производных сложных функций,калькулятор производных функций,калькулятор производных функций онлайн,калькулятор производных функций онлайн с подробным решением,калькулятор производных функций онлайн с решением,калькулятор производных функций с решением,калькулятор производных функций с решением онлайн,калькулятор решение производных онлайн,калькулятор с решением производных,калькулятор сложной производной функции,калькулятор сложной функции производная,калькулятор сложных производных,калькулятор сложных производных функций,калькулятор сложных функций онлайн,логарифмическое дифференцирование онлайн калькулятор с решением,найдите производную,найдите производную заданной функции y x корень из x,найдите производную функции,найдите производную функции f x,найдите производную функции f x 1 3x 3 x 2 2x,найдите производную функции f x 2 3x 3 2x 2 x,найдите производную функции f x 3 2x x,найдите производную функции f x 3 x,найдите производную функции f x 3 x 2 3,найдите производную функции h x ex 4×2,найдите производную функции x sin x,найдите производную функции y,найдите производную функции y 3 x,найдите производную функции y 4 x,найдите производную функции y 5 x,найдите производную функции y x 2 x,найдите производную функции y x 3,найдите производную функции y x 3 cosx,найдите производную функции y x6 4sinx,найдите производную функции в точке х0,найдите производную функции онлайн,найдите производную функции онлайн с решением,найдите производную функцию,найдите производную функцию f x,найдите производные следующих функций,найдите производные функций,найти f x,найти f от x онлайн,найти y,найти y производную онлайн,найти значение производной,найти значение производной функции,найти значение производной функции в точке онлайн,найти значение производной функции в точке х0 онлайн,найти онлайн,найти онлайн производную функцию,найти первую производную функции,найти первую производную функции онлайн,найти первые производные функций онлайн,найти приращение функции онлайн калькулятор,найти производная,найти производная онлайн,найти производную,найти производную 3 x,найти производную x 1 x,найти производную x 3,найти производную x e x,найти производную x sin x,найти производную y 1 x 2,найти производную y sinx cosx,найти производную y x 3 x 2 x 1,найти производную y x e x,найти производную y x корень из x,найти производную y онлайн,найти производную в точке,найти производную и дифференциал функции онлайн,найти производную калькулятор,найти производную калькулятор онлайн,найти производную онлайн,найти производную онлайн y,найти производную онлайн калькулятор,найти производную онлайн с подробным решением,найти производную онлайн с решением,найти производную от функции онлайн,найти производную сложной функции онлайн,найти производную сложной функции онлайн с подробным решением,найти производную функции,найти производную функции x 2 x,найти производную функции x 3 x,найти производную функции y,найти производную функции y x 2 x,найти производную функции y x 3 y,найти производную функции в точке,найти производную функции в точке x0,найти производную функции в точке онлайн,найти производную функции калькулятор,найти производную функции калькулятор онлайн с решением,найти производную функции онлайн,найти производную функции онлайн в точке,найти производную функции онлайн калькулятор,найти производную функции онлайн калькулятор с подробным решением,найти производную функции онлайн калькулятор с подробным решением бесплатно,найти производную функции онлайн калькулятор с решением,найти производную функции онлайн с подробным решением бесплатно,найти производную функции онлайн с подробным решением бесплатно калькулятор,найти производную функции онлайн с решением,найти производную функции с решением онлайн,найти производную функции сложной онлайн с подробным решением,найти производную функцию,найти производную функцию онлайн,найти производные,найти производные данных функций,найти производные данных функций решение онлайн калькулятор,найти производные онлайн,найти производные следующих функций,найти производные следующих функций онлайн калькулятор с решением,найти производные функции,найти производные функции онлайн,найти производные функции онлайн с подробным решением,найти производные функций,найти производные функций калькулятор онлайн,найти производные функций онлайн,найти производные функций онлайн калькулятор,найти функцию,нахождение производной,нахождение производной онлайн,нахождение производной онлайн с подробным решением,нахождение производной сложной функции онлайн с решением,нахождение производной функции,нахождение производной функции онлайн,нахождение производных онлайн,нахождения производной калькулятор,онлайн взятие производной,онлайн вычисление производной,онлайн вычисление производной функции,онлайн вычисление производных,онлайн вычисление производных функций,онлайн дифференцирование,онлайн дифференцирование сложной функции,онлайн дифференцирование функции,онлайн калькулятор дифференцирование,онлайн калькулятор знайти похідну функції,онлайн калькулятор найти производную,онлайн калькулятор найти производную функции,онлайн калькулятор найти производную функции с подробным решением бесплатно,онлайн калькулятор похідних,онлайн калькулятор приращение функции,онлайн калькулятор производная функции,онлайн калькулятор производная функция,онлайн калькулятор производной,онлайн калькулятор производной функции,онлайн калькулятор производной функции с решением,онлайн калькулятор производные,онлайн калькулятор производные сложных функций,онлайн калькулятор производных,онлайн калькулятор производных решение,онлайн калькулятор производных с подробным решением,онлайн калькулятор производных с решением,онлайн калькулятор производных функций,онлайн калькулятор производных функций с подробным решением,онлайн калькулятор производных функций с решением,онлайн калькулятор решение производных,онлайн калькулятор сложных функций,онлайн найти производную функцию,онлайн найти производные,онлайн нахождение производной,онлайн нахождение производной функции,онлайн похідна,онлайн продифференцировать функцию,онлайн производная от функции,онлайн производная решение,онлайн производная с решением,онлайн производная сложной функции,онлайн производная функция,онлайн производные решение,онлайн производные с подробным решением,онлайн производные с решением,онлайн производные сложных функций,онлайн производные функции,онлайн расчет производной,онлайн расчет производных,онлайн решение производной,онлайн решение производной функции,онлайн решение производные,онлайн решение производных,онлайн решение производных калькулятор,онлайн решение производных с подробным решением,онлайн решение производных функций,онлайн решение производных функций с подробным решением,онлайн сложная производная,онлайн считать производную,первая производная онлайн,поиск производной,поиск производной онлайн,посчитать производную,посчитать производную онлайн,похідна,похідна онлайн,похідна функції калькулятор онлайн,похідна функції онлайн калькулятор,приращение функции калькулятор онлайн,приращение функции онлайн калькулятор,продифференцировать функцию онлайн,продифференцировать функцию онлайн с решением,производная 1,производная 1 2,производная 1 2 x,производная 1 2 х,производная 1 2x,производная 1 2x 2,производная 1 3 х,производная 1 3 х 3,производная 1 3x 3,производная 1 sqrt x,производная 1 x,производная 1 x 2,производная 1 x 3,производная 1 x 4,производная 1 x 5,производная 1 x в квадрате,производная 1 делить на х,производная 1 х,производная 1 х 2,производная 1 х 3,производная 1 х в квадрате,производная 10 в 10 степени,производная 2,производная 2 1,производная 2 2x,производная 2 3x,производная 2 arcsin x,производная 2 x,производная 2 x 2 2x,производная 2 x 3,производная 2 х,производная 2 х 3,производная 2 х у х,производная 2x,производная 2x 1,производная 2x 1 2,производная 2x 2,производная 2x 3,производная 2х,производная 3,производная 3 2 x,производная 3 2x,производная 3 sinx,производная 3 x,производная 3 x 2,производная 3 x cosx,производная 3 в степени x,производная 3 в степени х,производная 3 х,производная 3 х 1,производная 3 х 2,производная 3x,производная 3x 2,производная 3х,производная 4,производная 4 3 x,производная 4 x,производная 4 x 2,производная 4 x 3,производная 4 в степени х,производная 4 х,производная 4 х 2,производная 4 х корень из х,производная 4x,производная 4x 2,производная 5 2 x,производная 5 x,производная 5 x y,производная 5 в степени х,производная 5 х,производная 5x,производная 5х,производная 6 x,производная 6 х,производная 7 x,производная 8 x,производная a b x,производная a x,производная arcsin 2 x,производная arcsin 2x,производная arcsin x 2,производная cosx x,производная ctg 2x,производная ctg x 2,производная e 1 x,производная e 2x,производная e x 2,производная e x sinx,производная f x,производная f x 2 x,производная sin 1 x,производная sin x 1,производная sin x 3,производная sin x 3 x,производная sin корень из 2 на икс,производная sinx 2 x,производная sinx 3,производная sinx e x,производная x,производная x 1,производная x 1 2,производная x 1 3,производная x 1 в квадрате,производная x 2,производная x 2 1,производная x 2 2x,производная x 2 3,производная x 2 4,производная x 2 4 x,производная x 2 ctg x,производная x 2 e x,производная x 2 sinx,производная x 2 sqrt x,производная x 2 x 3,производная x 2 y,производная x 2 в квадрате,производная x 3,производная x 3 1,производная x 3 2,производная x 3 4,производная x 3 sin x,производная x 3 y,производная x 3 корень x,производная x 3 корень из x,производная x 4,производная x 4 2,производная x 4 3 x,производная x 5,производная x 6,производная x 7,производная x 8,производная x a,производная x arctg x,производная x sin x 3,производная x sqrt x,производная x sqrt x 2,производная x y,производная x y 2,производная x в квадрате 1,производная x в степени 2,производная x в степени 3,производная x корень из 2,производная x корень из x 3,производная y,производная y 1 x,производная y 1 x 2,производная y 1 x 3,производная y 2 x,производная y 2x 3,производная y 3 2x,производная y 3 x,производная y 4 x,производная y 5 x,производная y e y,производная y x,производная y x 2 1,производная y x 3,производная y x 5,производная y x 6,производная y x arcsin x,производная y x cos x,производная y x e x,производная y x lnx,производная а х,производная в точке онлайн,производная дроби онлайн,производная калькулятор,производная калькулятор онлайн,производная калькулятор онлайн с решением,производная квадратного уравнения,производная корень из 3 x 3,производная найти,производная найти онлайн,производная онлайн,производная онлайн в точке,производная онлайн в точке онлайн,производная онлайн дроби,производная онлайн калькулятор,производная онлайн калькулятор с подробным,производная онлайн калькулятор с подробным решением,производная онлайн калькулятор с решением,производная онлайн найти,производная онлайн решение,производная онлайн с подробным решением,производная онлайн с подробным решением калькулятор,производная онлайн с решением,производная онлайн с решением калькулятор,производная онлайн сложная,производная от,производная от 1,производная от 1 x,производная от 1 x 2,производная от 1 x 2 1,производная от 1 х,производная от 1 х 2,производная от 2,производная от 2 x,производная от 2 x 2,производная от 2 x 3,производная от 2 х,производная от 2x,производная от 2х,производная от 3,производная от 3 x,производная от 3 x 2,производная от 3 x 3,производная от 3x,производная от 3х,производная от 4 x,производная от 5 x,производная от 5x,производная от x,производная от x 1,производная от x 1 2,производная от x 2,производная от x 2 1,производная от x 2 3,производная от x 3,производная от x 3 2,производная от x 4,производная от x 5,производная от x sinx,производная от x в степени x 2,производная от y,производная от икса,производная от у,производная от функции онлайн,производная от х,производная от х 1,производная от х 1 2,производная от х 2,производная от х 2 1,производная от х в 2 степени,производная от х в степени 3,производная от х равна,производная от х синус х,производная отрицательного числа,производная решение онлайн,производная с,производная сложная онлайн,производная сложной функции калькулятор,производная сложной функции калькулятор онлайн,производная сложной функции онлайн,производная сложной функции онлайн калькулятор,производная сложной функции онлайн калькулятор с подробным решением,производная у,производная у х 1 х,производная функции 1 x 1,производная функции f x,производная функции y 2x в точке x0 1 равна,производная функции калькулятор,производная функции калькулятор онлайн,производная функции калькулятор онлайн с решением,производная функции онлайн,производная функции онлайн калькулятор,производная функции онлайн калькулятор с подробным решением,производная функции онлайн калькулятор с решением,производная функции онлайн решение,производная функции равна,производная функции решение онлайн,производная функция калькулятор онлайн,производная функция онлайн,производная функция онлайн калькулятор,производная х,производная х 1,производная х 1 2,производная х 1 в квадрате,производная х 2,производная х 2 1,производная х 2 3,производная х 2 х 3,производная х 3,производная х 3 1,производная х 3 2,производная х 4,производная х 5,производная х 6,производная х а,производная х в 5 степени,производная х в степени 1 х,производная х в степени 3,производная х в степени 4,производная х в степени 5,производная х по х,производная х3,производной сложной функции калькулятор,производной функции калькулятор,производной функции онлайн калькулятор,производной функции решение онлайн,производную,производную взять,производную онлайн,производную посчитать,производные калькулятор,производные калькулятор онлайн,производные онлайн,производные онлайн калькулятор,производные онлайн калькулятор с подробным решением,производные онлайн решение,производные онлайн с подробным решением,производные онлайн с решением,производные первого порядка онлайн калькулятор,производные решение онлайн,производные с решением онлайн,производные сложные онлайн,производные сложных функций онлайн,производные сложных функций онлайн калькулятор,производные функции калькулятор,производные функции онлайн,производные функции онлайн калькулятор,производные функции онлайн калькулятор с подробным решением,производные функций калькулятор онлайн,производные функций онлайн калькулятор,производный калькулятор,производных,рассчитать производную онлайн,расчет производной,расчет производной онлайн,расчет производных онлайн,решение онлайн производная,решение онлайн производной функции,решение онлайн производных функций,решение производная онлайн,решение производная функции онлайн,решение производной онлайн,решение производной онлайн с подробным решением бесплатно,решение производной функции онлайн,решение производные онлайн,решение производных,решение производных калькулятор онлайн,решение производных онлайн,решение производных онлайн бесплатно с подробным решением,решение производных онлайн калькулятор,решение производных онлайн с подробным решением,решение производных онлайн с подробным решением бесплатно,решение производных онлайн с подробным решением онлайн,решение производных функций,решение производных функций онлайн,решение производных функций онлайн с подробным решением,решение сложных производных онлайн,решить производную,решить производную онлайн,решить производную онлайн с подробным решением,решить производную функции онлайн с решением,решить функцию онлайн с решением,сложные производные онлайн,у производная,х 1 2 производная,х 1 3 производная,х 2 3 производная,х 2 производная,х 3 производная,х 5 в 5 степени производная,х 5 производная,х 6 производная,х в 3 степени производная,х в 4 степени производная,х в 5 степени производная,х в квадрате 1 производная,х в степени 4 производная,х в степени 5 производная,х3 производная. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2 производная. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 1 2x производная).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2 производная Онлайн?
Решить задачу 1 2 производная вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
 квадратичных функций
 квадратичных функций
  Содержание : Эта страница соответствует  § 3. 1 (стр.
244)  текста.
 Предлагаемые задачи из текста:
 с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75
 Графики
 Стандартная форма
 Приложения
 Графики
 Квадратичная функция   имеет вид  f (x) = ax ² + bx + c , где  a ,  b  и  c  — числа, где  a  не равны нулю.
 График квадратичной функции — это кривая, называемая параболой  . Параболы могут открываться вверх или вниз
и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В
На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.
 Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии  . Парабола пересекает
его ось симметрии находится в точке, называемой  вершиной  параболы.
 Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то
есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать относительно точек и квадратичных
функции.
 Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно
одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График
содержит три точки и параболу, проходящую через все три. Соответствующая функция показана в тексте
поле под графиком. Если вы перетащите любую из точек, функция и парабола обновятся.
 Многие квадратичные функции можно легко изобразить вручную, используя методы растяжения / сжатия и сдвига.
(перевод) парабола y = x ². (См. Раздел о работе с
графики.)
  Пример 1 .
 Нарисуйте график y = x ²/2. Начиная с графика y = x ², мы сокращаемся в раз
половины. 2-5.Начнем с графика y = x ², сдвинем на 4 единицы вправо, затем
5 единиц вниз.
   Упражнение 1  :
 (a) Нарисуйте график y = (x + 2) ² — 3. Ответ
 (b) Нарисуйте график y = — (x — 5) ² + 3. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Стандартная форма
 Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме  .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко построить, отражая, сдвигая и
растяжение / сжатие параболы y = x ².
 Квадратичная функция f (x) = a (x — h) ² + k, не равная нулю, считается в стандартной форме  .
Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии   — это вертикальная линия x = h, а  вершина  — это точка (h, k).
 Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартной форме с помощью , завершившего квадрат . (См. Раздел о
решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.)
Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный
цель здесь не в решении уравнения.
 Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня.
принцип.
  Пример 3 .
 Запишите функцию f (x) = x ² — 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули
и вершина.
 f (x) = x ² — 6x + 7.
 = (x ² — 6x) + 7. Сгруппируйте члены x ² и x и
затем заполните квадрат на этих условиях.
 = (x ² — 6x + 9 — 9) + 7.
 Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) ² = 9. Когда мы
решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9
так что мы не меняем функцию.
 = (x ² — 6x + 9) — 9 + 7. Мы видим, что x ² — 6x + 9 — это полный квадрат, а именно (x — 3) ².
 f (x) = (x — 3) ² — 2.Это стандартная форма  .
 Из этого результата легко найти, что  вершина  графа f равна (3, -2).
 Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.
 (x — 3) ² — 2 = 0.
 (x — 3) ² = 2.
 (x — 3) = ± sqrt (2).
 х = 3 ± sqrt (2).
 Чтобы набросать график f, сдвинем график y = x ² на три единицы вправо и на две единицы вниз.
 Если коэффициент при x ² не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x ² и
x, прежде чем продолжить.
  Пример 4 .
 Запишите f (x) = -2x ² + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.
 f (x) = -2x ² + 2x + 3.
 = (-2x ² + 2x) + 3.
 = -2 (x ² — x) + 3.
 = -2 (x ² — x + 1/4 — 1/4) + 3.
 Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) ² = 1/4, а -1 — коэффициент при x.
 = -2 (x ² — x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.
 Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы
необходимо умножить на -2.
 = -2 (x — 1/2) ² + 1/2 + 3.
 = -2 (х — 1/2) ² + 7/2.
 Вершина — это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой
на графике.
   Упражнение 2  :
 Запишите f (x) = 3x ² + 12x + 8 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите
нули f. Ответ
  Альтернативный метод поиска вершины 
 В некоторых случаях завершение квадрата — не самый простой способ найти вершину параболы. Если график
квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии — это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку
х-перехватчиков.
 Х-точки пересечения на графике выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним
-5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату
вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.
  Пример 5 .
 Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x — 5).
 Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.
 Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2 и первая координата
вершины -2.
 Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.
 Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).
  Вернуться к содержанию 
 Приложения
  Пример 6 .
 У владельца ранчо есть 600 метров забора, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине.
как на схеме ниже.
 Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три
каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.
 Цель владельца ранчо — использовать весь забор, а  оградить как можно большую площадь .
 Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем
  Общая площадь:  A = 2xy.
 Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Тем не мение,
Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.
 3г + 4х = 1200.
 3y = 1200 — 4x.
 y = 400 — 4x / 3.
 Теперь у нас есть y, выраженный как функция от x, и мы можем заменить это выражение на y в формулу для общего
площадь А.
 A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).
 Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A — квадратичная функция от x, а график
открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A — вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти
вершина — найти пересечения по оси x и усреднить.
 2x (400 -4x / 3) = 0,
 2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.
 x = 0 или 400 = 4x / 3.
 x = 0 или 1200 = 4x.
 х = 0 или 300 = х.
 Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300.
 Теперь, когда мы знаем значение x, соответствующее наибольшей площади, мы можем найти значение y, вернувшись назад.
уравнению, связывающему x и y.
 y = 400 — 4x / 3 = 400-4 (150) / 3 = 200.
  Вернуться к содержанию 
 Нахождение обратной функции: другие примеры
   В поисках
Обратная функция     (стр.
5 из 7)  
  Разделы:   Определение
/ Обращение графика, является ли обратным
функция ?, Нахождение обратных, Доказательство обратных 
  Найти обратное  f  ( x )
= ^{( x  2)}/_{( x  + 2)}, где  x  не равно 2.
 Is
обратная функция? 
 
 Во-первых, я узнаю
что  f  ( x )
является рациональной функцией.
Вот его график: 
 Ограничение на
домен исходит из того факта, что я не могу делить на ноль, поэтому  x  не может быть равным
2.Обычно я бы не стал записывать ограничение, но это полезно
здесь, потому что мне нужно знать домен и диапазон обратного. Примечание
с картинки (и вспоминая концепцию горизонтального
асимптоты), что  л  никогда не будет равным
1.
Тогда домен будет « x  не равно
2 «и
диапазон составляет « y  не равно
1 «.Для
наоборот, они поменяются местами: домен будет « x  не равно
1 «и диапазон
будет « y  не равно
2 «. Вот
алгебра:
 The
исходная функция: 
 Я
переименовать « f  ( x )»
как « y «: 
 Тогда
Я решаю для « x  знак равно 
 Я
получить  x  -материал
с одной стороны: 
 Вот
Уловка: я исключил  x ! 
 Тогда
Я переключаюсь  x  и  y : 
 А
переименовать « y »
как « f  -инверсия»;
ограничение домена связано с тем, что это
рациональная функция. 
 Поскольку обратное
это просто рациональная функция, тогда обратная функция действительно является функцией.
 Вот график: 
 Затем   обратное —      y    =  ^{(2    x    2)} / _{(   x    1)} ,
и обратное тоже функция, с областью всех    x       не равно
на номер    1     и
ассортимент всех    y       не равно
на номер    2  . 
  Найти обратное
из  f  ( x )
=  x  ² 3  x  + 2,  x   < 1,5 
 
 С доменом
ограничение, график выглядит так:
 Насколько я знаю
о построении графиков
квадратики
вершина находится в ( x ,  y ) = (1.5, 0,25),
так что этот график — левая «половина» параболы. 
 Эта половина параболы
проходит тест горизонтальной линии, поэтому (ограниченная) функция обратима.
Но как найти обратное? Авторские права
Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены
 The
исходная функция:   f  ( x )
=  x  ² 3  x  + 2
 Я
переименовать « f  ( x )»
как « y «:   y  =  x  ² 3  x  + 2
 Сейчас
Я решаю для « x  = «с помощью
квадратичный
Формула:  0
=  x  ² 3  x  + 2  y  
 0 =  x  ² 3  x  + (2  y )
 Начиная с  x   < 1.5,
тогда мне нужен отрицательный квадратный корень: 
 Сейчас
Я переключаюсь  x  и  y : 
 А
переименовать « y »
как « f  -инверсия»;
ограничение домена связано с тем, что это
рациональная функция. 
 << Предыдущая
Вверх |  1
| 2 | 3 | 4
| 5 | 6 | 7  |
Вернуться к указателю Далее
>>
 Цитируйте эту статью
как:  Стапель, Елизавета.«Нахождение обратной функции».  Фиолетовый Математик .
Доступно по номеру 
  https://www.purplemath.com/modules/invrsfcn5.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г. 
 Как найти решение системы уравнений
 Пояснение: Во-первых, нам нужно найти точки A и B, которые, как нам сказали, образуют точки пересечения между графиками  y  = 9 —  x  ² и  y  = 3 —  x .Чтобы решить эти два уравнения, мы можем установить значение  y  в первом уравнении равным значению  y  во втором, а затем решить для  x . 9-90 843 x  ² = 3-90 843 x 
 Добавьте  x  ² с обеих сторон.
 9 = 3 —  x  +  x  ²
 Вычтем 9 с обеих сторон. Затем переставьте так, чтобы степени  x  были в порядке убывания.
-6 —  x  +  x  ² =  x  ²— x  — 6 = 0
 Разложите на множители  x  ² —  x  — 6, думая о двух числах, которые умножаются, чтобы получить –6, и складывать, чтобы получить –1. Эти два числа — –3 и 2.
  x  ² —  x  — 6 = ( x  — 3) ( x  + 2) = 0
 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.
  x  — 3 = 0
  х  = 3
  х  + 2 = 0
  x  = –2
 Таким образом, встречаются точки пересечения, где  x  = –2 и 3.Мы можем найти значения  y  точек пересечения, подставив –2 и 3 в любое уравнение. Воспользуемся уравнением  y  = 3 —  x .
 Когда  x  = –2,  y  = 3 — (–2) = 5. Одна точка пересечения равна (–2,5).
 Когда  x  = 3,  y  = 3 — 3 = 0. Другая точка пересечения — (3,0).
 Предположим, что точка  A  находится в точке (–2,5), а точка  B  находится в точке (3,0). Нам говорят, что  C  находится по адресу ( p , 0), где  p  <0.Нарисуем треугольник  ABC  с информацией, которая у нас есть.
 На рисунке выше оранжевая линия представляет высоту от стороны  BC  до  A .
 Площадь любого треугольника равна (1/2)  bh , где  b  — длина основания, а  h  — длина высоты. Мы будем использовать  BC  для обозначения основания и оранжевую линию для обозначения высоты.
 Длина  BC  будет равна 3 —  p , так как обе точки лежат на оси  x .Длина оранжевой линии — это расстояние от  CB  до точки  A , то есть 5. Теперь мы можем найти формулу для площади и установить ее равной 50.
 Площадь  ABC  = (1/2) (3 —  p ) (5) = 50
 Умножьте обе стороны на 2.
 (3 —  п ) (5) = 100
 Разделить на 5.
 3 —  р  = 20
 Вычтем 3 с обеих сторон.
  –p  = 17
 Умножьте обе стороны на –1.
  p  = –17.
 Ответ –17.
 Инверсия функции — объяснение и примеры
 Что такое обратная функция?
  В математике обратная функция — это функция, отменяющая действие другой функции. 
  Например, , сложение и умножение являются инверсией соответственно вычитания и деления.
 Обратную функцию можно рассматривать как отражение исходной функции по линии y = x.Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).
 Мы используем символ f ^{— 1} для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:
 g (x) = f ^{— 1} (x) или f (x) = g ⁻¹ (x)
 Следует отметить, что обратная функция — это не то же самое, что обратная функция, т.е.е., f ^{— 1} (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.
 Поскольку не все функции имеют инверсию, важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к определению инверсии.
 Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то, чего не существует.
 Индивидуальные функции
  Итак, как мы можем доказать, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.
 Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.
  Другими словами, домен и диапазон однозначной функции имеют следующие отношения: 
 Область f ⁻¹ = Диапазон f.
 Диапазон f ⁻¹ = Область f.
 Например, чтобы проверить, является ли f (x) = 3x + 5 взаимно однозначной заданной функцией, f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.
 ⟹ 3a + 5 = 3b + 5
 ⟹ 3a = 3b
 ⟹ а = б.
 Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, поскольку a = b.
 Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.
 А что насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.
 Вы также можете графически проверить взаимно однозначную функцию, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линии проходят через график один раз.
 Как найти обратную функцию?
 Найти инверсию функции — несложный процесс, хотя нам действительно нужно быть осторожными с парой шагов. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.
  Вот процедура нахождения обратной функции f (x): 
 Заменить обозначение функции f (x) на y.
 Поменять местами x на y и наоборот.
 Начиная с шага 2, решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
 Наконец, измените y на f ⁻¹ (x). Это обратная функция.
 Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:
 ⟹ (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
 ⟹ (f ⁻¹ ∘ f) (x) = x
 Давайте поработаем пару примеров.
   Пример 1  
 Найдите функцию f (x) = 3x — 2, обратную ей.
  Решение 
 f (x) = 3x — 2
 Заменить f (x) на y.
 ⟹ у = 3х — 2
 Поменять местами x на y
 ⟹ x = 3y — 2
 Решить для y
 х + 2 = 3 года
 Разделим на 3, чтобы получить;
 1/3 (х + 2) = у
 х / 3 + 2/3 = у
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
 f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3
 Проверить (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
 (f ∘ f ⁻¹) (x) = f [f ⁻¹ (x)]
 = е (х / 3 + 2/3)
 ⟹ 3 (х / 3 + 2/3) — 2
 ⟹ x + 2 — 2
 = х
 Следовательно, f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3 — правильный ответ.
   Пример 2  
 Дано f (x) = 2x + 3, найдите f ⁻¹ (x).
  Решение 
 f (x) = y = 2x + 3
 2x + 3 = y
 Поменять местами x и y
 ⟹2y + 3 = х
 Теперь решите для
 у. ⟹2y = х — 3
 ⟹ у = х / 2 — 3/2
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x)
 ⟹ f ⁻¹ (x) = (x– 3) / 2
   Пример 3  
 Задайте функцию f (x) = log ₁₀ (x), найдите f ⁻¹ (x).
  Решение 
 f (x) = log₁₀ (x)
 Заменено f (x) на y
 ⟹ y = журнал ₁₀ (x) ⟹ 10 ^y = x
 Теперь поменяйте местами x на y, чтобы получить;
 ⟹ y = 10 ^x
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
 f ^-1 (x) = 10 ^x
 Следовательно, обратное значение f (x) = log ₁₀ (x) равно f ^-1 (x) = 10 ^x
   Пример 4  
 Найдите обратную функцию следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)
  Решение 
 г (x) = (x + 4) / (2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)
 Обмен y с x и наоборот
 y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)
 ⟹ х (2у − 5) = у + 4
 ⟹ 2xy — 5x = y + 4
 ⟹ 2xy — y = 4 + 5x
 ⟹ (2x — 1) y = 4 + 5x
 Разделите обе части уравнения на (2x — 1).
 ⟹ у = (4 + 5x) / (2x — 1)
 Заменить y на g ^{— 1} (x)
 = г ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
 Проба:
 (г г ^-1) (x) = г [г ^-1 (x)]
 = г [(4 + 5x) / (2x — 1)]
 = [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5]
 Умножьте числитель и знаменатель на (2x — 1).
 ⟹ (2x — 1) [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5] (2x — 1).
 ⟹ [4 + 5x + 4 (2x — 1)] / [2 (4 + 5x) — 5 (2x — 1)]
 ⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x — 10x + 5]
 ⟹13x / 13 = x 
 Следовательно, g ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
   Пример 5  
 Определите обратную функцию следующей функции f (x) = 2x — 5
  Решение 
 Заменить f (x) на y.
 f (x) = 2x — 5⟹ y = 2x — 5
 Переключите x и y, чтобы получить;
 ⟹ х = 2у — 5
 Изолировать переменную y.
 2у = х + 5
 ⟹ у = х / 2 + 5/2
 Измените y обратно на f ^–1 (x).
 ⟹ f ^–1 (x) = (x + 5) / 2
   Пример 6  
 Найти обратную функцию к функции h (x) = (x — 2) ³.
  Решение 
 Измените h (x) на y, чтобы получить;
 h (x) = (x — 2) ³ ⟹ y = (x — 2) ³
 Поменять местами x и y
 ⟹ х = (у — 2) ³
 Изолятор ул.
 y ³ = x + 2 ³
 Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.
 ³ √y ³ = ³ √x ³ + ³ √2 ³
 y = ³ √ (2 ³) + 2
 Заменить y на h ^{— 1} (x)
 ч ^{— 1} (x) = ³ √ (2 ³) + 2
   Пример 7  
 Найти обратную величину h (x) = (4x + 3) / (2x + 5)
  Решение 
 Заменить h (x) на y.
 h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)
 Поменять местами x и y.
 ⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).
 Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:
 ⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5)
 Умножить обе стороны на (2y + 5)
 ⟹ х (2у + 5) = 4у + 3
 Распределить x
 ⟹ 2xy + 5x = 4y + 3
 Изолятор ул.
 ⟹ 2xy — 4y = 3 — 5x
 ⟹ y (2x — 4) = 3-5x
 Разделим на 2x — 4, чтобы получить;
 ⟹ у = (3 — 5x) / (2x — 4)
 Наконец, замените y на h ^{— 1} (x).
 ⟹ ч ^{— 1} (x) = (3 — 5x) / (2x — 4)
 Практические вопросы  Найдите обратное значение для следующих функций:
 г (x) = (2x — 5) / 3.
 h (x) = –3x + 11.
 г (x) = — (x + 2) ² — 1.
 г (х) = (5/6) х — 3/4
 f (x) = 3  x  — 2.
 h (x) = x ² + 1.
 г (x) = 2 (x — 3) ²-5
 f (x) = x ² / (x ² + 1)
 h (x) = √x — 3.
 f (x) = (x — 2) ⁵ + 3
 f (x) = 2 x ³ — 1
 f (x) = x ² — 4 x + 5
 г (x) = ⁵ √ (2x + 11)
 h (x) = 4x / (5 — x)
 Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок  Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3
 Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения   2008 Rasmus ehf и     Jhann sak   Уравнения III 
 Урок
3
Пересечение
точек графиков
 Как приступить к поиску точек, в которых два графика
y = f (x) и y = g (x) пересекаются?
 Мы уже знаем, где найти график
f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая
уравнение f (x) = 0. 
 Когда графики y = f (x) и y =
g (x) пересекаются, оба графа имеют
точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки
пересечения путем решения уравнения f (x)
= g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x
точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для
x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета
либо f (x), либо g (x).
 Пример 1
 Рассчитать точку
пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала
давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл
пересечение есть (2, 3).
 Рассчитываем точку пересечения по
решение уравнения f (x) = g (x). То есть:
 2х — 1 = х + 1
 2х — х = 1 + 1
 х = 2
 Координата Y теперь может быть найдена
вычисление f (2):
 f (2) = 2 × 2 — 1 =
3
 Точка пересечения  (2,
3) .
 Пример показывает, что мы можем найти точку
пересечения двумя способами. 
 Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо
алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере. Решить уравнение графически легко с помощью
графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel. 
 Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые
исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и
калькуляторы. Пример 2
 Решите уравнение x  ²  — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, а затем алгебраически.
 Рисуем графики f (x) = x  ²  —
2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график
точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что
графики пересекаются при x =  0  и x =  4 .
 Решает алгебраически:
 x  ²  — 2x — 3 = 2x — 3
 x  ²  — 4x = 0
 х (х — 4) = 0
 Даем решения x =  0  и x =  4 .
 Пример 3
 Решите уравнение x ²   — 1 = 2x — 3
 Сначала переместите все термины
перейдите к левой части уравнения и упростите.
 Это дает x ² — 2x + 2 = 0
 Используем формулу корней квадратного уравнения с a = 1, b =
−2 и c = 2.
 Число под знаком квадратного корня:
отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения. 
 Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала.
уравнение
 f (x) = x  ²  — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.
 Мы видим, что парабола
f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы
не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.
 Пример 4
 Решите уравнение x ³   — 3x + 2 = x ²   —
2x + 1
 Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все
слагаемые в левую часть уравнения.
 x ³ — 3x + 2 = x ² — 2x + 1
 x ³   — x ²   — x + 1 = 0
 (x ³   — x ²)   — (x — 1) = 0
 x ² (x — 1) — (x — 1) = 0
 (х — 1) (х ² —
1) = 0
 (х — 1) (х — 1) (х
+ 1) = 0
 Расчеты показывают, что их всего два
решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три
решения.График показывает нам, что происходит.
 Графики f (x) =
x  ²  — 2x + 1 и g (x)
= x ³ — 3x + 2 пересекаются
только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями
уравнение.
 Пример 5
 Решите уравнение x ² =   x
 Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются
решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень
вероятно, но давайте посмотрим на графики.
 Назовите левую часть f (x) = x  ²  и правую часть g (x) =   x.
Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких
отрицательные точки пересечения.
 На графике видно, что точек всего две
пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х =
1. 
 Вот как решить уравнение расчетом:
 x ² =   x х ⁴ = х
 х ⁴ — х = 0
 x (x ³ — 1) = 0    Квадрат
обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня    . 
 Это дает решение x =  0  и x =  1 .
 Пример 6
 Решите уравнение ln x = x ² — 1
 Это уравнение не так-то просто решить. Если мы
вспомните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны
уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем
графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.
 График показывает нам, что есть два
решения. Одно решение — ровно x
= 1, поскольку e ⁰ = 1. Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y
становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы
можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность. Пример 7     EXCEL
 Если мы воспользуемся графическим калькулятором, мы сможем найти
решение уравнения ln x = x  ²  — 1 намного проще.
 Рисуем графики обеих сторон
уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти
точка пересечения.
 Еще проще использовать G-Solve (F5) и
затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку зрения
пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к
вторая точка пересечения. 2-ln (B2)
 Теперь выберите Инструменты
а затем «Поиск цели» в строке меню.В
на экране появляется следующее:
 Пишем D2,
1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным
к значению 1, изменив значение в B2.
 Когда
нажимаем ОК, появляется следующая информация.
 Это говорит нам о том, что
аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно
хорошо, решение x ≈ 0.2-х-6
 Уравнение y = 2x ² — x — 6
  a)  Чтобы найти точку пересечения y, подставьте x = 0 в y = 2x ² — x — 6.
 у = 2 (0) ²-0-6
 y перехват — 6.
  b)  Чтобы найти точку пересечения с x, подставьте y = 0 в y = 2x ² — x — 6
 2x ² — x — 6 = 0
 2x ² — 4x + 3x — 6 = 0
 2x (x — 2) + 3 (x — 2) = 0
 (х — 2) (2x + 3) = 0
 х — 2 = 0 и 2x = — 3
 х = 2 и х = — 3/2
 х перехватов 2 и -3/2.
  в)  y = 2x ² — x — 6
 Сравните это с y = ax ² + bx + c
 а = 2, б = — 1, в = — 6
 Найти вершину оси симметрии x = — b / 2a
 х = — (- 1) / 2 (2)
 х = 1/4
 Чтобы найти координату y вершины, подставьте x = 1/4 в y = 2x ² — x — 6.
 у = 2 (1/4) ² — (1/4) — 6
 у = 1/8 — 1/4 — 6
 у = (1-2-48) / 8
 у = — 49/8
 Вершина равна (x, y) = (1/4, -49/8) или (0.25, — 6,125).
 График
 Выберите случайные значения для  y  и найдите соответствующие значения для  x .
  х   y = 2x ² — x — 6   (х, у) 
 1  у = 2 (1) ²-1-6  (1, — 5)
 — 1  у = 2 (-1) ² + 1-6  (-1, — 3)
 — 2  у = 2 (-2) ² + 2-6  (-2, 4)
 2.5  у = 2 (2,5) ² — 2,5 — 6  (7, — 3)
 1. Нарисуйте координатную плоскость.
 2. Постройте пересечения осей симметрии x, y и координаты точек, найденных в таблице.
 3. Затем нарисуйте график, соединив точки плавной кривой.
 Частные производные
 Частичная производная — это производная, в которой некоторые переменные остаются постоянными.Как в этом примере:
 Пример: функция для поверхности, которая зависит от двух переменных
 x  и  y 
 Когда мы находим наклон в направлении  x  (при фиксированном  y ), мы нашли частную производную.
 Или мы можем найти наклон в направлении  y  (при сохранении фиксированного  x ).
 Давайте сначала подумаем о функции  одной переменной  (x):
 f (x) = x ²
 Мы можем найти его производную, используя правило мощности:
 f ’(x) = 2x
 А как насчет функции  двух переменных  (x и y):
 f (x, y) = x ² + y ³
 Мы можем найти его частную производную    по x , если рассматривать  y как константу  (представьте, что y — это число вроде 7 или что-то в этом роде):
 f ’_x = 2x + 0 = 2x
  Пояснение: 
  производная x ² (по x) равна 2x 
  мы  рассматриваем y как константу , поэтому y ³ также является константой (представьте, что y = 7, тогда 7 ³ = 343 также является константой), а производная константы равна 0 
 Чтобы найти частную производную  по y , мы рассматриваем  x как константу :
 f ’_y = 0 + 3y ² = 3y ²
  Пояснение: 
  мы теперь  обрабатываем x как константу , поэтому x ² также является константой, а производная константы равна 0 
  производная y ³ (по y) равна 3y ² 
 Вот и все.Просто не забудьте рассматривать  со всеми другими переменными, как если бы они были константами .
 Сохраняет переменную константу
 Так как же выглядит «сохранение переменной-константы»?
 Пример: объем цилиндра V = π r
² ч Мы можем записать это в «многопеременной» форме как
 f (r, h) = π r ² h
 Для частной производной по r мы держим  h постоянной , а r изменяется:
 f ’_r = π (2r) h = 2πrh
  (Производная r ² по r равна 2r, а π и h являются константами) 
 В нем говорится: «Поскольку изменяется только радиус (на минимальную величину), объем изменяется на 2πrh»
 Это как если бы мы добавляли скин с окружностью круга (2πr) и высотой h.
 Для частной производной по h мы держим  r постоянной :
 f ’_h = π r ² (1) = πr ²
  (π и r ² — константы, а производная h по h равна 1) 
 В нем говорится, что «при изменении только высоты (на минимальную величину) объем изменяется на πr ²»
 Это похоже на то, как будто мы добавляем сверху самый тонкий диск с площадью круга πr ².
 Давайте посмотрим на другой пример.
 Пример: Площадь поверхности квадратной призмы.
 Поверхность включает верхнюю и нижнюю части площадью  x ²  каждая и 4 стороны области  xy  каждая:
 f (x, y) = 2x ² + 4xy
 f ’_x = 4x + 4y
 f ’_y = 0 + 4x = 4x
 Три или более переменных
 У нас может быть 3 или более переменных.Просто найдите частную производную каждой переменной по очереди, рассматривая  всех остальных переменных как константы .
 Пример: Объем куба с вырезанной из него квадратной призмой.
 f (x, y, z) = z ³ — x ² y
 f ’_x = 0 — 2xy = −2xy
 f ’_y = 0 — x ² = −x ²
 f ’_z = 3z ² — 0 = 3z ²
 Когда имеется много x и y, это может сбивать с толку, поэтому мысленный трюк состоит в том, чтобы заменить «постоянные» переменные на буквы, такие как «c» или «k», чтобы  выглядело как константы.
 Пример: f (x, y) = y
³ sin (x) + x ² tan (y) У него повсюду крестики и у! Итак, давайте попробуем трюк со сменой букв.
 Что касается x, мы можем изменить «y» на «k»:
 f (x, y) = k ³ sin (x) + x ² tan (k)
 f ’_x = k ³ cos (x) + 2x tan (k)
 Но не забудьте снова повернуть его обратно!
 f ’_x = y ³ cos (x) + 2x tan (y)
 Аналогично по отношению к y мы превращаем «x» в «k»:
 f (x, y) = y ³ sin (k) + k ² tan (y)
 f ’_y = 3y ² sin (k) + k ² sec ² (y)
 f ’_y = 3y ² sin (x) + x ² sec ² (y)
 Но делайте это только в том случае, если у вас проблемы с запоминанием, поскольку это небольшая дополнительная работа.
  Обозначение : мы использовали  f ’_x , чтобы обозначить« частную производную по x », но еще одно очень распространенное обозначение — это использование забавного обратного d (∂), например:
  ∂f   ∂x  = 2x
 Это то же самое, что:
 f ’_x = 2x
 ∂ называется «дель», «ди» или «кудрявый ди»
 Так  ∂f   ∂x  можно сказать «del f del x»
 Пример: найти частные производные
 f (x, y, z) = x ⁴ — 3xyz , используя обозначение curly dee f (x, y, z) = x ⁴ — 3xyz
  ∂f   ∂x  = 4x ³ — 3yz
  ∂f   ∂y  = −3xz
  ∂f   ∂z  = −3xy
 Возможно, вы предпочтете такую нотацию, она определенно выглядит круто.
 Posted in РазноеLeave a Comment on F x 2x 2 y 2 x: Mathway | Популярные задачи
 
Поделки елки своими руками из шишек: Страница не найдена — Можно так
 Posted on 02.01.197013.06.2021 by alexxlab
Ёлочка из шишек своими руками: мастер-класс с пошаговыми фото
Шишка — отличный природный материал для творчества. Одна из популярных поделок накануне новогодних праздников — ёлка. Существует несколько способов сделать ёлку из шишек, рассмотрим простой вариант для создания маленькой ёлочки. Для новогоднего деревца большого размера также можно использовать подобную технологию, но сделать больше ярусов из картона, чтобы распределить вес с нижнего яруса. Но не будем забегать вперед….
Делать ёлку из шишек не сложно. Понадобится всего пару часов свободного времени, необходимые материалы и немного старания, и тогда Ваш дом украсит оригинальная новогодняя красавица.
Нам потребуются следующие материалы:
шишки,
немного гофрокартона,
толстые ровные веточки,
любая пилка, чтобы распилить веточки,
ножницы,
клеевой термопистолет,
украшения – по желанию.
Я использую белые шишки, можно использовать и обычные – по Вашему желанию. Отбелить шишки можно самостоятельно в домашних условиях.
Перебираем шишки, сортируем на большие и маленькие. Будем начинать с больших шишек, а заканчивать — маленькими.
Основа для ёлочки у нас будет из веток, подставку сделаем из них же.
Для подставки отпилила 4 короткие веточки. Одна веточка  – ствол, — должна быть подлиннее, рассчитываем приблизительно, исходя из высоты ёлочки.
Склеиваем основу, фиксируя горячим клеем….

Из гофрокартона вырезаем круг, в середине вырезаем отверстие диаметром с толщину палочки, которая послужит у нас стволом. Диаметр круга для моего новогоднего деревца – 5-6 см.
Шишки горячим клеем фиксируем по краю картонного круга. Прижимаем их друг к другу, горячий клей наносим непосредственно на шишку.

Второй слой – в шахматном порядке. Для ёлочки большего размера, каждый ярус можно сопровождать таким картонным основанием. Для маленькой ёлочки – достаточно будет одного.

Шишки второго и последующего рядов приходится крепить друг к другу. И чтобы елочка уменьшалась, немного сдвигаем их к центру. Шишки укладываем на промежутки между шишками предыдущего ряда.
И так до самого конца, сдвигая шишки немного к центру, придавая вашей красавице форму конуса.
Заканчиваем её самой маленькой шишкой или любым подходящим украшением для макушки.
Такая елочка сама по себе уже украшение квартиры, но мы его еще немного украсим: добавим серебряных блесток (смешиваем сухие блестки с клеем ПВА и наносим кистью).
Подключите фантазию  и Вы сможете украсить Ваш дом, подготовиться к новогодним праздникам, создав праздничную атмосферу.




Такая поделка значительно лучше, чем искусственные деревья, и лес мы с Вами сохранили и ёлочкой обзавелись на долгое время. Елка из шишек при правильном хранении сможет прослужить  до 10 лет.
Творите с удовольствием!
Рада была помочь!
Новогодние поделки из шишек
Что может создать новогоднюю атмосферу наравне с настоящими живыми елками? Шишки. Еловые и сосновые. Из столь простых природных материалов вы сможете сделать прекрасные и стильные украшения для новогодней красавицы, и даже сами елки, причем не в формате мини. О том, как сделать оригинальные новогодние поделки из шишек, мы вам расскажем далее и подробно все продемонстрируем на примере четырех мастер-классов.
Мастер-класс №1: елка из сосновых шишек
Собрав шишек много и разных, вы можете сделать из них прекрасную новогоднюю елку. Чтобы главное праздничное украшение смотрелось красиво и пышно, вам нужно выбирать раскрывшиеся шишки, но при этом крепкие и целые.
Материалы 
Для создания елки из сосновых шишек своими руками вам понадобятся:
сами шишки;
горячий клей;
термопистолет;
картон;
ножницы;
мишура и игрушки;
вазон;
краска в баллончике.

Шаг 1. Определитесь с габаритами будущей елки и вырежьте ножницами соответствующего размера основание из картона.
Шаг 2. Все шишки рассортируйте по размеру и очистите их от пыли.
Шаг 3. Начните выкладывать вашу елку из шишек. Выкладывайте исходные материалы ярусами по кругу. Начните с самых больших по размеру шишек. Ярусы крепите друг другу при помощи горячего клея.
Шаг 4. На самом верху елки одну шишку закрепите вертикально.
Теперь ваша новогодняя елка из шишек готова. Вы можете просто на картонном основании установить ее на стол или оставить ее стоять на полу. Можете горячим клеем закрепить картон на предварительно утяжеленном гравием цветочном горшке. Чтобы елка смотрелась празднично, украсьте ее мишурой, игрушками или конфетами.
Можете сделать елку немного необычной. Для этого окрасьте ее краской из баллончика. Цвет краски выбирайте любой, главное, чтобы он гармонировал с интерьером комнаты. В качестве украшения вы можете использовать ягоды и небольшие фигурки птичек.
Мастер-класс №2: елочная игрушка из шишки своими руками
Обычная шишка может стать отличной заменой новогоднего елочного шара. Ей нужно будет придать немного новогоднего лоска, но даже с таким декором подобное украшение будет очень гармонично смотреться на елке.
Материалы
Чтобы сделать елочную игрушку из шишки своими руками, позаботьтесь о наличии:
самой шишки;
горячего клея;
деревянной бусины;
ленты;
шпагата;
ножниц;
лака.

Шаг 1. Чтобы поделка смотрелось красиво, шишку нужно хорошо промыть, промокнуть бумажными полотенцами и дать ей полностью высохнуть.
Шаг 2. Возьмите деревянную бусину и приклейте ее горячим клеем на основание шишки.
Шаг 3. Отрежьте небольшой кусочек шпагата, проденьте его конец через бусину и завяжите шнурок узлом. Это будет крепление, за которое елочную игрушку можно будет подвесить на новогоднее дерево.
Шаг 4. Чтобы шишка смотрелось эстетично, вы можете покрыть ее поверхность лаком в баллончике. Покрыв шишку, дайте ей основательно высохнуть.
Шаг 5. Декорируйте шишку небольшим бантом из ленты. Вы можете привязать его к бусине или посадить бант на каплю горячего клея.
Оригинальная игрушка для елки из шишки готова.
Мастер-класс №3: мини-елка из шишки
Если времени делать большую елку из шишек у вас нет, а украсить рабочий стол или прикроватную тумбочку символическим сувениром хочется, вы можете сделать небольшое новогоднее деревце всего из одной шишки.
Материалы
Для изготовления мини-елки из шишки вам будут нужны:
шишка;
небольшой глиняный горшок;
краска в баллончике;
звезда из фольги или пластика;
кисточка;
клей для декупажа;
тряпка;
блестки;
горячий клей.
Шаг 1. Первым делом нужно подготовить к работе саму шишку. Для этого необходимо очистить ее от пыли. После покройте шишку краской из баллончика. Цвет вы можете выбрать любой, но если хотите, чтобы мини-елочка походила на настоящую, отдайте предпочтение зеленым оттенкам. В данном случае, ей был придан праздничный лоск за счет покраски краской темно-зеленого цвета с перламутровыми переливами.
Шаг 2. После покраски шишки дайте ей основательно высохнуть.
Шаг 3. К верхушке миниатюрной елки горячим клеем прикрепите алюминиевую или пластиковую звезду.
Шаг 4. Чтобы создать эффект припорошенности лап елки снегом или инеем, покройте кончики шишки клеем для декупажа и сверху присыпьте серебристыми блестками. После того, как клей высохнет, излишки блесток струсите.
Шаг 5. Готовую шишку вставьте в небольшой глиняный вазончик. Для надежности можете закрепить ее горячим клеем. Ваша миниатюрная версия новогодней елочки готова!
Мастер-класс №4: шишки на елку своими руками
Из шишек могут получиться очень нежные украшения для елки. Для этого необходимо не только подобрать красивые и целые шишки, но и правильно их декорировать. В данном мастер-классе шишки будут покрыты блеском и дополнены прозрачными украшениями, что вкупе создаст иллюзию холодного морозного дня.
Материалы
Чтобы декорировать шишки на елку своими руками, приготовьте:
хорошо раскрывшиеся шишки;
винты с кольцами на конце;
клей для декупажа;
серебристые блестки;
пластиковую емкость.

Шаг 1. Собранные шишки очистите от пыли и убедитесь, что все ее части целые и нигде ничего не отпадает.
Шаг 2. Возьмите винт с колечком на конце и аккуратно вкрутите его в основание шишки. Если вкрутить винт вам оказалось сложно, аккуратно просверлите отверстие в шишке дрелью с соответствующего размера сверлом.
Шаг 3. Обмакните кисточку в клей для декупажа и смажьте им все выступающие части шишки.
Шаг 4. В пустую пластиковую емкость пересыпьте серебристые блестки и аккуратно обваляйте шишку в них, пока клей не высох. Дайте клею и блесткам хорошо схватиться и после этого смахните сухой кистью все лишние блестки.
Ваше новогоднее украшение из шишек готово. Теперь вы можете прикрепить к нему ленту серебристого цвета, чтобы подвесить шишку на лапу елки. Неплохо будет дополнить такой елочный декор пластиковой гирляндой, имитирующий стразы Сваровски. Подобные игрушки вы можете использовать в качестве праздничного декора на люстре.
Новогодние поделки из шишек
4/5 — Оценок: 31 
Елка из шишек пошагово
Шишек в этом году у нас много, есть из чего мастерить самые разные поделки. Поэтому елка из шишек на Новый год будет обязательно. Тем более, что сделать ее совсем не сложно, больше усилий было потрачено на украшение, так как мелкие бусинки приклеивать не так занятно, как шишки.

Что понадобится для поделки?
Сосновые шишки;
Плотный картон;
Клеевой пистолет;
Обычный клей;
Ножницы;
Зеленая гуашь, кисточка;
Украшения на елку.
Если с основой елки определиться было не сложно, сразу решила, что это будет картонный конус, то с цветом елки и ее декором так просто не получилось. Хотелось сразу все: елку с шишками в неизменном их состоянии с золотыми акцентами, елочку, припорошенную белой гуашью и украшенную перламутровыми белыми бусинами. Но все же остановилась на классике – зеленой елке с разноцветными игрушками и мишурой. Хотя, шишки еще есть, возможно, что-либо из вышеназванного и воплощу в реальность, с другой основой, например, на конусном папье-маше или бутылке.
Как сделать елку из шишек?
Мастерим конус
Для начала нужно сделать из картона конус. Желательно, чтобы картон был плотный, либо склеить два вместе. Так как елка будет зеленого цвета, картон также лучше брать зеленый, чтобы с шишками он был единым целым.
Сделайте из картона кулек, склейте края.
Подравняйте низ, чтобы получился ровный конус. Основа елки готова, теперь пора переходить к приклеиванию шишек.
Приклеиваем шишки
Разогрейте клеевой пистолет в течение 5 минут. За это время подберите на первый ряд шишки покрупнее. Поместите на шишку горошину клея и сразу же прижмите к нижней части конуса. Приклейте первый ряд шишек, плотно подгоняя их, чтобы было как можно меньше просветов. Благодаря клеевому пистолету, работа продвигается очень быстро.
Приклейте второй ряд, стараясь располагать шишку между двумя с первого ряда. Конечно, из-за разного размера шишек это не всегда удается, но попытаться стоит.
Все увереннее продвигаемся к верхушке, вот уже готов третий и четвертый ряд. Если есть такая возможность, верхние ряды могут занимать шишки меньшего размера. Но у меня как-то с этим не сложилось, шишки были почти все одинаковые.
Приклеиваем последний ряд шишек и одну из них водружаем на верхушку. Но здесь также есть несколько вариантов, например, можно на верхушку не клеить шишку, а сразу звезду, бант, любое другое украшение.
Так как выбор пал на зеленый цвет елки, нужно все шишки покрасить в желаемый цвет. Зеленую гуашь я немного разбавила водой и добавила желтой, чтобы был более яркий цвет, да и еще максимально приближенный к конусу. Все шишки на елке мы с дочкой красили кисточкой, но процесс достаточно медленный. Для этих целей лучший выбор – это аэрозольная краска: быстрее и эффективнее. Или, хотя бы, покрасить шишки до их приклеивания к конусу. Но в этом случае трудно определить количество. Но дело сделано, елка выкрашена в зеленый цвет.
Украшаем елку из шишек
Украшением занимались на следующий день, так как гуашь сохнет не так быстро, как бы хотелось.
В качестве игрушек пригодились дочкины бусы, давно ею истерзанные. Бусинки я приклеивала также клеевым пистолетом, но с этой мелочью пришлось повозиться. С шишками работать куда как легче.
На елку я водрузила самодельную желтую звездочку. Кстати, как ее сделать, можно узнать из пошагового обзора – объемная звезда из бумаги.
Ну и завершающий штрих – не очень пушистая желтая мишура, трижды обвитая вокруг елки. Вот такая получилась елка из шишек, симпатичная и яркая.


Как сделать елку из шишек
Изучив этот мастер-класс вы узнаете, как сделать елку из шишек своими руками. Данная новогодняя поделка относится к разряду экстранеординарных, ведь изготовив ее вы сможете поразить ее великолепием всех посетителей вашего дома. Кроме того, данную поделку можно сделать сделать елку из шишек еще более оригинальной, встроив в нее новогоднюю гирлянду.
Мастер-класс по изготовлению елки из шишек ручной работы, откроет завесу тайны и покажет на фото, как сделать большую елку из шишек своими руками. Так же на этой странице вы найдете краткий мастер класс по изготовлению маленькой самодельной елочки с использованием шишечек и дополнительного материала.
Поделка: Большая ёлка из шишек своими руками — легко и просто!
Много еловых шишек;
Клеевой пистолет или простой универсальный клей;
Фанера;
Ножки.
Первое что нужно сделать, это вырезать из фанеры круг предпочитаемого размера. Данный мастер-класс предусматривает основание радиусом в 70см, вы можете сдать другого размера.  Далее необходимо прикрутить ножки к основанию. Затем  приступаем к основной работе.
С помощью клеевого пистолета необходимо оклеить окружность по краю первым рядом шишек. Второй и последующий ряды из шишек необходимо наклеивать со смешением в сторону и немного внутрь, таким образом, мы придадим поделке конусообразную форму, в противном случае получится труба из шишек.  После склеивания 5-6 рядов у  вас должна получится приблизительно такая же как на фото конструкция.
После того, как поделка елка из шишек  будет готова, ее можно сделать  зеленого, серебристого или золотого цвета, окрасив аэрозольной краской. Кончики шишек можно  окрасить в другой цвет, это придаст поделке более богатый и интересный вид.
Сделать декор такой самодельной елочки можно всем чем угодно, начиная от елочных игрушек приобретенных в магазине, заканчивая елочными украшениями ручной работы.
Елочка данного мастер-класса имеет высоту в 1 метр 40 см, но в ваших силах увеличить свою поделку и побить негласный рекорд. Для этого нужно  сделать ее основание большего диаметра.
Как сделать маленькую декоративную елочку из шишек своими руками
Чтобы сделать такую елочку вам нужно склеить конус из картона и обклеить его, заранее окрашенными с помощью спрей-краски еловыми шишечками и желудями. Верхушку же можно сделать из сосновой шишки.
Смотрите остальные мастер-классы по изготовлению НОВОГОДНИХ ЕЛОЧЕК в различных техниках.
А может быть у вас есть какие-либо интересные идеи по изготовлению елки из шишек  — будем рады узнать о них. Пишите свои мысли и отзывы, относительно данной темы в форме для комментариев.
Читай! Это тоже интересно…
Новогодние поделки из шишек своими руками (33 фото)
Новогодние поделки из шишек своими руками
Шишки являются экологическим материалом, с которым работать одно удовольствие. Сделать новогодние поделки из них запросто сможет даже ребенок.
К тому же можно отлично сэкономить на праздничных украшениях, игрушках и подарках для родных и близких.
Также читайте: осенние поделки из шишек своими руками.
Новогодний топиарий из шишек
Для того чтобы сделать праздничный топиарий из шишек своими руками понадобятся следующие инструменты и материалы:
• Шишки;
• Устойчивая палка для ствола;
• Бумага;
• Краска;
• Шпагат;
• Клеевой пистолет;
• Ножницы;
• Малярная лента;
• Клей ПВА;
• Мешковина;
• Декоративные ветки хвои;
• Цветочный горшок;
• Элементы декора.
Изготовление топиария начинают с кроны. Для этого необходимо хорошо скомкать несколько листов газеты или бумаги и сформировать аккуратный шар. Затем шар нужно оклеить малярной лентой и покрыть коричневой краской. После полного высыхания, следует при помощи ножниц сделать отверстие, в которое налить немного клея и вставить устойчивую палку-ствол.
Получившийся ствол нежно обмотать шпагатом нижний и верхний его конец закрепить клеевым пистолетом. Теперь можно приступать к креплению шишек к шару. Приклеивать шишки необходимо начинать с макушки.
Чем плотнее друг к другу будут приклеены шишки – тем лучше. Если, в процессе работы, между шишками возникают просветы, их можно декорировать декоративными хвойными веточками. Украсить горшок лучше мешковиной, закрепив ее при помощи клеевого пистолета. Затем горшок необходимо залить гипсом.
После того как гипс полностью высохнет, новогодний топиарий можно декорировать различными ленточками, камушками и гирляндами.
Новогодние елки из шишек
Для того чтобы получить симпатичную новогоднюю елочку из шишек, понадобится около часа свободного времени, немного терпения и усилий, а еще:
• Шишки;
• Круг и конус из картона зеленого или коричневого цвета;
• Клеевой пистолет;
• Ножницы;
• Баллончик с золотой или серебристой краской.
Для начала необходимо подготовить рабочий материал: почистить от мусора, вымыть и просушить шишки. После того, как шишки просохнут их можно покрасить краской из баллончика, придав им праздничный вид. Хотя, этот этап совсем не обязателен, если хочется, чтобы елочка выглядела более натуральной.
Теперь нужно приклеить картонный круг к основанию конуса. Когда основание елки готово, можно приклеивать шишки. Их следует приклеивать по кругу, начиная снизу и постепенно двигаясь вверх. В первую очередь приклеивают шишки большего размера. Готовую елочку из шишек можно украсить гирляндами и елочными игрушками.
Новогодний венок из шишек
Рождественские венки традиционно принято плести их еловых веток. Современные мастерицы могут сделать подобную поделку из различных подручных материалов: елочных шаров, атласных лент, бумажных цветов, праздничной мишуры и многого другого. Новогодний венок из еловых шишек поможет украсить любое помещение или входную дверь.
Для работы необходимо подготовить следующие материалы:
• Еловые шишки;
• Газета;
• Еловые ветки;
• Баллончик коричневой краски;
• Скотч;
• Ножницы;
• Клеевой пистолет;
• Элементы декора.
Для изготовления основы рождественского венка необходимо свернуть газету в трубочку. Затем из трубочки сделать бублик и зафиксировать его степлером.
Для того чтобы основа не потеряла свою форму, ее следует дополнительно обмотать скотчем. Основу можно покрасить коричневой краской из баллончика, так поделка будет выглядеть натуральной.
Когда основа высохнет, на не необходимо плотно приклеить еловые шишки. Готовый венок необходимо украсить. Для этого можно использовать различные бусины, мишуру, гирлянды.
 Новогодний венок из шишекШар из шишек для декора новогоднего интерьера
Шар их шишек – отличный элемент декора новогоднего интерьера. Такие шары, развешанные по квартире, создают праздничную атмосферу, и. к тому же, наполняют пространство помещения приятным ароматом.
Чтобы сделать такой шар своими руками, необходимы следующие материалы:
• Шишки;
• Воздушный шарик;
• Клей;
• Туалетная бумага;
• Атласная лента.
Для работы можно использовать уже готовую основу, но куда приятней сделать все своими руками. Для основы необходимо надуть воздушный шарик, до желаемого размера. Сверху оклеить его туалетной бумагой, которую предварительно необходимо смочить смесью клея ПВА и воды, и оставить сохнуть на 24 часа.
Когда основа высохнет. Ее необходимо покрыть коричневой краской, для того, чтобы туалетная бумага не проглядывалась сквозь промежутки между шишками. Затем следует аккуратно приклеить к основе шишки и прикрепить к шару красивую атласную ленточку.
 Шар из шишекТакже рекомендуем просмотреть:
Поделки своими руками на Рождество Христово
Украшаем пустую стену своими руками
Поделки на кухню своими руками
Новогодние карнавальные костюмы
Как украсить комнату своими руками к Новому 2020 году
Делаем новогодние поделки своими руками
Зимний декор дома своими руками
Поделки из старых джинсов своими руками
Как и из чего сделать новогоднюю собаку своими руками
Новогодние поделки своими руками к 2020
Елочные игрушки своими руками к 2020 году из подручных материалов
Новогодние подарки своими руками к 2020 году
Елочные игрушки и новогодние украшения из фетра своими руками
Новогодний венок своими руками
Из чего и как сделать елочку к Новому году
Настенная вешалка в прихожей
Поделки из молнии своими руками
Поделки к 1 сентября своими руками к школе и детскому саду
Домашняя мастерская
Украшаем квартиру
Обновление старой стенки своими руками
Поделки из пластиковых труб ПВХ
Что можно сделать из старой двери
Поделки из стеклянных бутылок для дома и дачи
Деревянная вешалка своими руками
Поделки из картонных коробок
Поделки для дачи из подручных материалов
Поделки из крышек от бутылок для дома и дачи
Мебель из шин
Поделка миньон своими руками
Что можно сделать из старой деревянной бочки своими руками
50 идей подарков на 8 марта своими руками
50 идей подарков на 23 февраля своими руками
Подарок на 8 марта своими руками
Вдохновение дня
Речная и морская галька в интерьере
Самодельный декор дома и подарки на день святого Валентина
Валентинки на 14 февраля своими руками
50 идей подарков на 14 февраля своими руками
Отпечатки растений на аксессуарах в интерьере
Поделки из пуговиц своими руками
Декор своими руками
Поделка снеговик
Поделки для дачи из шин и автомобильных покрышек
Поделки из шишек
Новогодние подарки своими руками
Новогодние игрушки своими руками
Плоские новогодние елки на стене
Новогодние поделки своими руками
Новогодний декор дома своими руками
Мешковина в современном интерьере
Поделка петух на новый год
Новогодние поделки из бумаги своими руками
Осенняя корзина
Украшаем интерьер
Идеи для поделок из осенних цветов
Осенние поделки
Идеи для осенних поделок
Осенние поделки из тыквы своими руками
Мобили для детской своими руками
Ловцы снов своими руками
Какие подсвечники можно сделать своими руками
Уютные светильники своими руками
Простой декор картонных коробок
Поделки из фетра для дома своими руками
Подарки своими руками на день святого Валентина
Открытки на 8 марта своими руками
Весенние поделки для дома вместе с детьми
Украшения для дома и подарки на 14 февраля из бумаги
Как и из чего сделать обезьяну своими руками
Плетеные корзинки своими руками
Новая жизнь для старого комода
Какого снеговика слепить с детьми и как это сделать
Как и из чего сделать журнальный столик своими руками
Барная стойка своими руками
Аксессуары и предметы декора из проволоки в интерьере
Поделки из камней и морской гальки
Поделки из овощей и фруктов своими руками
Как сделать, оформить и украсить фальшкамин
Поделки из желудей для дома
Идеи поделок для дома из каштанов, желудей, шишек, колосков и других осенних даров природы
Осенние поделки
Поделки из осенних кленовых листьев своими руками
Осенние поделки в технике квиллинг
Делаем украшения из тыквы для сада, дачи и дома своими руками
Декор для дома из природных материалов
Садовая мебель из дерева, веток, пеньков и коряг
Как хранить дрова
Настенные часы своими руками
Что сделать из стеклянных бутылок
Поделки для дачи из стеклянных бутылок
3 способа, как сделать удобный пуфик своими руками
Что можно сделать из стеклянных банок
Идеи поделок из веточек и прутьев своими руками
Подарки к 8 марта своими руками
10 идей подарков ко Дню Святого Валентина
Плетем коврик своими руками
Бабочки на стенах своими руками
Как использовать веревки, шнуры и канат в интерьере
Как и из чего сделать полочку для дома своими руками
Поделки
Пэчворк
Необычное изголовье кровати в спальне своими руками
Узор зигзаг в интерьере
Из чего можно сделать ежика
Топиарий, новогодняя елочка, животные и другие поделки из каштанов
Осенние поделки из бумаги
Что сделать из жестяных и стеклянных банок
Подушка-сова своими руками
Поделки для дачи из морской гальки своими руками
Мебель из паллет для дачи своими руками
Вазы из стеклянных бутылок своими руками
Для меломанов
Птицы и животные из пластиковых бутылок своими руками
Стальное кружево
Делаем миниатюрный заборчик
Как сделать журнальный столик из бревен и стали или стекла своими руками
Как сделать божью коровку из подручных материалов для декора сада
Сухоцветы в интерьере
Поделки из пенопласта для дачи
Поделки из пластиковых бутылок для дачи и сада
Весенние поделки в стиле квиллинг своими руками
Эко-декор из веток в интерьере
Что можно сделать из виниловых пластинок
6 идей поделок из старых мягких игрушек своими руками
Дары моря для украшения дома
Как сделать журнальный столик из березовых поленьев своими руками
Как сделать переносной мини-садик из книги и суккулент своими руками
Что можно сделать из винных пробок
Что можно сделать из старого чемодана
Как сделать круглый светильник из кружева своими руками
Яркие вазы из стеклянных бутылок своими руками
5 идей подарков на 14 февраля своими руками
Чай в подарок на 14 февраля своими руками
Баночка, коробка, книжка
14 мастер классов
Делаем летающие острова
Помпоны из тюли своими руками
Мобиль с бабочками своими руками
Строим яркую иглу из разноцветных ледяных кирпичиков
Что можно слепить из снега вместе с детьми
Вязаный декор
🌲 Новогодние поделки из шишек своими руками: фото идеи и мастер-классы
Просто, быстро, а главное необычно можно украсить свой дом к Новому Году поделками из шишек. Как сделать их своими руками сегодня расскажут рукодельницы редакции онлайн-журнала Homius.ru, а пошаговые мастер-классы с подробным фото и описанием всего процесса помогут создать самобытный декор, который добавит домашнего тепла в преддверии волшебных праздников. В качестве дополнительного украшения будем использовать натуральные материалы: грецкие орехи, желуди и каштаны, а также декоративные бусинки, стразы и всевозможные ленточки и жгутики. Главное – запастись терпением и внимательно изучить все инструкции.
Поделки ручной работы станут украшением любого интерьераСодержание статьи
Как подготовить шишки к работе
Вы прогулялись по лесу с пользой и принесли с собой целый мешок лесных шишек, но сразу работать с ними нельзя. Необходимо предварительно подготовить материал к дальнейшей работе.
Очистить верхний слой от грязи и жучков, сделать это можно при помощи зубной щетки и кисточки.
Промыть под проточной водой. Можно поместить их на полчаса для дезинфекции в слабокислый раствор 9% уксуса, разведенного с водой в соотношении 1/3.
Застелить противень пергаментной бумагой, уложить шишечки и отправить на 30-60 минут в духовой шкаф на просушку при температуре 100°, дверца при этом должна быть приоткрытой. Чешуйки за это время раскроются.В духовом шкафу процесс сушки пройдет намного быстрее, чем на открытом воздухе
Чем можно отбелить шишки
Чередование светлых и темных еловых шишек в поделках выглядит очень красиво, отбелить их несложно в домашних условиях. Для этого нужен самый ядреный отбеливатель и хорошо проветриваемое помещение.
Поместить шишки в емкость и залить полностью отбеливателем.
Сверху положить гнет, чтобы материал не всплывал. Подойдет обычная тарелка и банка с водой.
Оставить на 1-2 дня на балконе или на улице, вода приобретет коричневый оттенок.
Если одной процедуры недостаточно, необходимо промыть, затем просушить материал в духовом шкафу и повторить действия еще раз.Выбеленные шишки смотрятся очень необычно в новогодней композиции
Техники окрашивания шишек
Многие мастерицы дополнительно окрашивают материал, сделать это довольно просто с помощью разных техник:
спрей – окрашивание следует производить на открытом воздухе или в хорошо проветриваемом помещении;
покраска шишек акриловыми красками при помощи губки. Для более детального прокрашивания следует воспользоваться кисточкой;
можно нанести блестки на поверхность и закрепить их лаком для волос. Второй вариант: предварительно покрасить чешуйки клеем ПВА и присыпать глиттером.
Спреем нужно окрашивать шишки на расстоянии до 30 смМожно обильно нанести краску на губку и промакивать в нее шишки. Так процесс пройдет намного быстрееКисточкой можно прокрасить самые труднодоступные места между чешуйкамиНовогодние поделки из шишек для украшения входной двери
Многие к Новому Году украшают не только дома, но и входные двери. Можно подвесить каждую шишечку на атласной ленте, сделать их них поделку — рождественский венок или соорудить арочку. В качестве дополнительного декорирования часто используют светодиодную гирлянду, которая придает поделке праздничное настроение.
Рождественское украшение входной двери в виде гирлянды-арочки из шишек
Для изготовления гирлянды в виде арочки можно использовать еловые лапки, но они недолговечны. Поэтому, если у вас есть старая искусственная елочка, из нее получится замечательное украшение над входной дверью.
Для работы нам понадобятся следующие материалы и инструменты:
двухжильный кабель;
еловые лапки и шишки;
клеевой пистолет;
новогодний декор: гирлянда, елочные украшения, кора деревьев.
Приступаем к работе.
Иллюстрация Описание действия
Приклеить при  помощи клеевого пистолета еловые веточки к кабелю, чередуя большие с маленькими.
Собрать на проволоку зимний декор из шишек, рябины и хвои и закрепить на кабель при помощи проволоки.
Приклеить кору дерева, шишки и на проволоке закрепить грозди рябины.
Приклеить елочные украшения и закрепить светодиодную ленту.
Для крепления гирлянды-арочки над дверью двусторонний скотч может не подойти, лучше использовать специальные крючки-держатели.
Более подробно мастер-класс можно посмотреть на видео:
Идеи украшения входной двери венком из шишек
Для венка из шишек необходимо подготовить основу, например, сплетенное кольцо из веточек лозы, картонную заготовку или каркас из пенопласта или старых газет. Можно предварительно его покрасить, чтобы светлая поверхность не проступала в готовом изделии. Шишечки прикрепляют при помощи клеевого пистолета. После этого работу декорируют новогодними украшениями, еловыми лапками, мишурой, орешками и желудями.
Предлагаем посмотреть несколько мастер-классов по изготовлению рождественского веночка для входной двери.
Статья по теме:
Как сделать новогодний венок своими руками: мастер-классы. Как сделать из старых газет или упаковочной бумаги, из пенопласта или утеплителя для труб, из втулок от туалетной бумаги или вешало, из еловых веток и шишек, из фотографий и открыток, из цветного войлока, из сухоцветов и пряных трав — в нашей публикации.
Идеи новогодних поделок из шишек для праздничного украшения интерьера
Рождественские композиции из еловых шишек помогут быстро и красиво оформить интерьер к волшебному празднику. Сегодня мы подготовили для вас только лучшие мастер-классы по созданию новогоднего декора.
Пошаговый мастер-класс изготовления елочки из шишек
Прекрасную новогоднюю елочку из шишек можно поставить в спальне или детской, а также она станет украшением кабинета, вызывая восторг у коллег. Для работы нам понадобятся:
шишки разных размеров;
грецкие орешки;
золотая краска в баллончике;
термопистолет.
Приступаем к работе.
Более подробно мастер-класс можно посмотреть на видео:
Волшебное украшение интерьера: декорируем люстру к Новому году шишками
Волшебно смотрится люстра, украшенная шишками. Можно сделать композицию из кольца и закрепить его под светильником, второй вариант – декорирование необычными подвесками, вот его мы и рассмотрим более подробно.
Для работы необходимо подготовить:
шурупы-полукольца;
глиттер;
клей ПВА;
декоративные ленточки или бечевку.
Вкрутить шурупы-полукольца в основание каждой шишкиКисточкой нанести на чешуйки клей ПВАГлиттером присыпать поверхностьЗакрепить украшения к хрустальным подвескам или к каркасу помощью декоративных ленточекПредлагаем посмотреть еще несколько идей украшения люстры на Новый год.
Как украсить шишками рамочку для фотографий
В качестве дополнительного украшения интерьера дизайнеры предлагают сделать необычное декорирование фоторамок. Достаточно наклеить шишечки разных размеров по периметру при помощи клеевого пистолета, причем укладывать их можно в хаотичном порядке.
Такая рамка неплохо выглядит сама по себе, но дополнительное декорирование ленточками и красивыми бусинками сделает ее еще прекраснее. Чтобы придать эффект снега, можно нанести клей на чешуйки и присыпать мелкой сольюКомпозиция делается очень просто: нужно вырезать из картона форму, в центр поместить любимое фото, а вокруг приклеить шишкиЕще одно необычное украшение интерьера – композиция из шишек на ленточках в строгой рамкеМастер-класс по изготовлению своими руками красивого подсвечника из шишек
Легко и просто можно сделать самобытный подсвечник из природного материала, который будет создавать романтическую атмосферу на протяжении всех новогодних праздников.
Для работы нам понадобятся:
круглая основа из картона диаметром 15 см;
основа из пенопластаc выемкой посередине под свечу;
сухоцветы;
хлопковые цветы из ваты;
 скрап-бумага;
баночка из-под детского питания;
клеевой пистолет и бечевка.
Приступаем к работе.
Более подробно весь ход работы можно посмотреть на видео:
Статья по теме:
Новогодний подсвечник своими руками: оригинальные идеи. Как сделать подсвечник из бокала, стеклянной банки, консервной банки, из бутылок, из шишек, еловых веток, солёного теста, фруктов — в нашей публикации.
Праздничные украшения из шишек для стульев
Продумывая новогоднее украшение интерьера, многие воплощают в жизнь совершено необычные идеи, например, декорируют спинку стульев. Это прекрасная возможность создать праздничную атмосферу на корпоративных вечеринках, да и на свадебном торжестве. Сделать своими руками оригинальные аксессуары довольно просто, достаточно при помощи клеевого пистолета приклеить их к красивым ленточкам и украсить разнообразным декором.
Мастер-классы по изготовлению новогодних поделок на елку из шишек
Сделать елочные игрушки совсем несложно, достаточно посмотреть несколько мастер-классов вместе с детками, как их от увлекательного процесса трудно будет оторвать. Такие поделки можно использовать и для украшения интерьера, и для оформления подарков близким.
Как сделать из шишек поделку деда Мороза на елку
Необычно смотрятся миниатюрные персонажи из сосновых шишек на елке. Сегодня мы расскажем, как своими руками сделать деда Мороза, а для работы нам понадобятся:
 полимерная глина разных цветов, можно использовать и соленое тесто;
клей «Момент»и ПВА;
кисточка и стек;
стразы и блестки;
декоративная ленточка.
Пошаговое фотоописание работы.
Иллюстрация Описание действия
Раскатать скалкой кусочек быстротвердеющего пластилина.
Сложить его в форме конуса, примерять колпак на шишку, немного повернуть верхушку вниз
Из белого пластилина раскатать тоненькую колбаску, прикрепить ее к основанию шапочки, примять руками и стеком сделать вмятинки по всему ободу.
Нанести на внутреннюю часть колпачка клей «Момент», приклеить его к шишке. Нанести ПВА на шапочку и присыпать поверхность блестками.
Из белого пластилина сделать две небольшие запятые-усики, из розового – носик-капельку, соединить детали между собой.
Из пластилина белого цвета вылепить бороду в виде сердечка и стеком продавить текстуру бороды. Приклеить к усикам. На обратную сторону заготовки нанести клей «Момент» и приклеить детали к шишке.
Скатать два маленьких белых шарика, сделать из них лепешки, внутрь из черной массы поместить полосочки. Приклеить глазки к шишке.
На заднюю часть колпачка нанести клей «Момент», приклеить красную ленточку и задекорировать бусинкой.
Вот такой дед «Мороз станет достойным украшением для елки.
Более подробно весь мастер-класс можно посмотреть на видео:
Как сделать из шишек своими руками новогодние поделки-куколки: пошаговое фотоописание работы
Можно украсить елочку маленькими цветными феями-куколками, сделать которые очень просто. Для игрушки необходимо подготовить яркую разноцветную краску, листики для крылышек, для головы можно использовать деревянные шарики, соленое тесто, а также каштаны.
Покрасить шишки в яркие цвета и удалить несколько чешуек снизуВымочить листики-крылышки в окрашенной воде и просушитьНарисовать на заготовках волосы и лица куколокПриклеить головы и крылышки к шишкам, дополнительно нужно закрепить веревочку, чтобы игрушку можно было повесить на елочкуПредлагаем посмотреть еще несколько идей кукольных новогодних поделок на елку, для которых использованы шишки, каштаны и желуди.
Сказочный ангелочек из шишек своими руками
Трудно себе представить новогодний праздник без ангела. Для его изготовления понадобится красивая лента, бисер, маленький шарик и клеевой пистолет.
Пошаговая инструкция.
Более подробно весь ход работы можно посмотреть на видео:
Неожиданные идеи: цветы из шишек
Цветы всегда были украшением интерьера, из шишек можно сделать изысканный букет, он простоит в вазочке не один месяц. Для их изготовления понадобится декоративные палочки, которые предварительно декорируют лентой, краска и клеевой пистолет. А также прекрасно смотрятся в интерьере цветы в настольной композиции или в корзинке.
Поделки для деток: птицы из шишек
Для изготовления на Новый год из шишек поделок-птичек можно дополнительно использовать фетр, пластилин, перышки, веточки и множество прочих вещиц. Поделки получаются красочными и необычными, их с удовольствием делают детки своими руками.
Вторая жизнь старым игрушкам или как сделать зверьков из шишек
Если в квартире есть старые игрушки, можно некоторым их деталькам дать вторую жизнь и применить их для поделок. А также в качестве декора, как и для птичек, используют различный материал. Ребенок с удовольствием сделает животных из нескольких шишек, они легко соединяются между собой при помощи горячего клея.
Заключение
Декор из шишек – это прекрасная возможность украсить свой дом к новогодним праздникам. Окунувшись один раз в творческий процесс, вы наверняка придумаете новые элементы и варианты создания интересных композиций своими руками.
Расскажите нам в комментариях, какая идея украшения вам понравились больше всего, нашей редакции важно знать ваше мнение.
И в заключение предлагаем посмотреть фотоподборку необычных картинок новогодних поделок из шишек, возможно именно в ней вы подберете для себя рождественское украшения для своего дома:
 
 Предыдущая Своими руками🔥 Новогодний камин из коробок и не только: 5 уникальных мастер-классов
Следующая Своими руками❄ Объёмные трафареты, вытынанки: вариации от профессиональных до простых
Понравилась статья? Сохраните, чтобы не потерять!
ТОЖЕ ИНТЕРЕСНО:
ВОЗМОЖНО ВАМ ТАКЖЕ БУДЕТ ИНТЕРЕСНО:
Новогодние поделки из шишек своими руками, 50 фото-идей 2022
Если вам посчастливилось не только погулять по хвойному лесу, но и привезти оттуда несколько шишек, то сделайте из них красивые новогодние поделки.
Мастерим игрушки для елки
Из шишки можно сделать не только новогоднюю игрушку на елку, а и саму елку, как на фото. Для этого покрасьте ее в зеленый цвет и дождитесь пока высохнет. Прикрепите к миниатюрной елочке банты, бусинки и снежинки, цветы, вырезанные из белого кружева. Не забудьте сделать подставку для новогоднего деревца.
Если проявить фантазию, то получится создать креативные поделки из шишек в виде белочек, оленей и птичек, но вам придется сделать им головы и лапки, а шишки послужат туловищем.
Если просто покрасить шишку или покрыть клеем и посыпать блестками получится необычное украшение, к которому останется только приделать петельку.
Подсвечники из природного материала
Сияние праздничных огоньков поднимает настроение, поэтому в праздники хочется видеть их как можно чаще. Не ограничивайтесь только гирляндами, сделайте новогодние подсвечники из шишек, и они добавят яркость и уют интерьеру.
Самый простой вариант – декорировать готовые подсвечники, украсив их в духе праздника шишками, веточками и елочными игрушками.
Интересные подсвечники получатся из стеклянных баночек, если насыпать на дно искусственный снег (или обыкновенную соль). К верхней часть банки приклейте полоску кружева, привяжите пару шишек, присыпанных “снегом”.
Сделайте подсвечники из цветочников, как на фото, украсив их искусственной хвоей. Для декора используйте небольшие новогодние игрушки, палочки корицы, бусины и шишки.
Веночки на дверь
В настоящее время популярностью пользуются рождественские веночки, сделать их совсем несложно. Главное – приготовить надежную основу в виде круга.
Основу-каркас можно сделать из:
проволоки;
гнущейся проволочной вешалки для одежды;
плотного картона;
купить готовый круг в магазине товаров ручного творчества.
К основе крепятся элементы декора: шишки, ленты, банты, орешки, листья и т.д. Чтобы изделие смотрелось более эффектно, некоторые детали можно покрыть позолотой, белой краской имитирующей снег или блестками.
Декор для сервировки стола
Не забудьте, что нарядной должна быть не только новогодняя елка, но и праздничный стол. Пусть между тарелками прячутся милые гномики из шишек или выглядывают яркие совы. Сделайте приятные сувениры для каждого участника застолья: приклейте к шишке яркие перышки и напишите имя того, кому предназначается столовый прибор.
Каждый представленный мастер-класс интересен и, несомненно, заслуживает воплощения.
 
 
 Рождественские елки в форме конуса своими руками — Замечательная мысль
 Здравствуйте и добро пожаловать на 12 дней Рождества, которые организовала моя подруга Ширли из Intelligent Domestications! Я впервые участвую в этом блоге, и я очень рад этому! Во второй день Рождества мы делимся нашим любимым рождественским фильмом и делимся с ним поделкой или рецептом. Мой любимый рождественский фильм всех времен — «Рождественские каникулы национального пасквиля». Я помню, как впервые посмотрел его, когда был ребенком, не думаю, что когда-либо так сильно смеялся в своей жизни.🙂 Я мог смотреть это снова и снова. Одна из моих любимых сцен из фильма — это когда они идут за «идеальной» елкой. Хотя сегодня мы не рубим нашу собственную елку, я сделал несколько забавных и простых рождественских елок из конуса своими руками.
 Вы можете найти руководство ниже и внизу сообщения, ознакомьтесь со всеми подборками фильмов и поделками или рецептами от многих талантливых блоггеров, которые присоединились к нам для этого блога.
 Если вы хотите проверить любой из других 11 дней, вы можете найти их здесь:
 Добро пожаловать на третий ежегодный «12 дней рождественского блога»! 
 Заходите каждый день с первого по двенадцатое декабря за новыми идеями, которые можно использовать, чтобы сделать свой сезон ярче!
 Встречайте хозяев   Все они, как эльфы, были заняты созданием, украшением, приготовлением пищи и созданием множества новых идей, чтобы вы испытали их в этот праздничный сезон! 
 Ширли ~ Intelligent Homestications I All ~ An Alli Event I Michelle ~ Наша хитрая мама
 Marie ~ DIY Adulation I Erlene ~ Мои приключения в Беверли ~ Across the Blvd.
 Debra ~ Shoppe No. 5 I Victoria ~ Dazzle While Frazzled I Jenny ~ Cookies Coffee & Crafts
 Мишель ~ Дизайн Мишель Джеймс Я Аманда ~ Творчество для дома Я Меган ~ Давай, стань хитрее
 Deborah ~ Salvage Sister & Mister I Jeanie ~ Create & Babble I Sherry ~ Olives & Okra
 Jenny ~ Cookies Coffee & Crafts I Emily ~ Крайний срок для дома I Bonbon ~ Farmhouse 40
 Leanna ~ Of Faeries & Fauna I Pam Larmore ~ P.S. Я люблю тебя ремесла I Kelly ~ North Country Nest
 Marie ~ The Inspiration Vault I Gail ~ Purple Hues and Me I Lynne ~ My Family Тимьян
 Карен ~ Стрекоза и лилии I Trisha ~ Уносится на запад I Sam ~ Raggedy Bits
 Терри ~ Christmas Tree Lane I Lorrin ~ Embrace The Perfect Mess I Cyn ~ Creative Cynchronicity
 Валерия ~ Val Event Gal I Yami ~ The Latina Next Door I Jeannee ~ Centsably Creative
 Tania ~ Little Vintage Cottage I Lauren ~ Прекрасно сделано I Vanessa ~ DIY 180
 Kimberly ~ A Wonderful Thought I Kim ~ Everyday Party I Dru ~ Тополя в горошек
 Эти новогодние елки из конусов, сделанных своими руками, — это очень простая поделка, которую можно сделать во время просмотра любимого фильма.😉 Еще один дополнительный бонус — они очень недорогие! Я видел похожие деревья в Hobby Lobby по 25-35 долларов за каждое! Думаю, я потратил около 5 долларов на принадлежности, но некоторые из них уже были у меня под рукой. Даже если бы вы купили все, они все равно стоили бы недорого. Кроме того, они станут красивым рождественским декором, который можно будет использовать из года в год.
 *  В этом посте есть ссылки на продукты, которые я использую или похожие на продукты, которые я использую. Если вы покупаете что-то по одной из этих ссылок, я могу взять небольшую комиссию (без дополнительных затрат для вас) с покупки.Я не буду рекомендовать то, что бы себе не купил. Спасибо за поддержку моего блога! 
 Я решил сделать несколько шишек из каких-то старых плакатов с детенышами-разведчиками, которые у нас лежали. Другой вариант — использовать плакатную доску. Если вы не хотите делать свои собственные шишки, вы всегда можете купить такие шишки из папье-маше.
 Я скатал плакат в форму конуса и скорректировал его, пока не получил желаемый размер. Мои конусы измеряли (высота x диаметр дна) 21 ″ x 5.75 ″, 18,5 ″ x 5,25 ″ и 16 ″ x 5 ″. Я использовал горячий клей, чтобы закрепить внешнюю часть конуса. Деревья не доходят до вершины, но это не имеет значения, так как они будут покрыты разными материалами. Конечно, нижнюю часть конуса нужно было разрезать, чтобы он мог стоять. Я измерил сверху и сделал отметки снизу на соответствующих размерах деревьев. Потом просто вырезаю ножницами по пунктирным линиям.
 У больших конусов на дне была выемка, потому что плакат, который я использовал, был недостаточно большим, чтобы обернуть его вокруг.Как вы увидите, это действительно пригодилось. 😉
 Мишура Дерево
 Первым деревом, которое я сделал, и, безусловно, самым простым, была мишура. У нас уже было немного этой мишуры, поэтому я просто начал играть с ней на дереве, чтобы посмотреть, как она выглядит. Мишура идеально подходила для моей серебряной, золотой и светло-зеленой цветовой схемы в этом году, потому что переливающаяся спираль в центре соответствует зеленому цвету остальных моих украшений. 🙂 Я использовал свой самый большой конус с большой выемкой внизу.Я начал с вершины конуса, воткнув конец мишуры в отверстие, и просто обернул мишурой дерево. Когда я добрался до низа, я просунул конец пряди в выемку на конусе и воткнул внутрь остальную часть.
 Вот и все! Не было необходимости даже использовать клей! Это приятно, потому что в будущем я, возможно, захочу использовать мишуру или изменить дерево.
 Дерево из золотых бус
 Это было второе дерево, которое я сделал.Опять же, это было очень просто, но на этот раз потребовался горячий клей. Я начал с нижней части конуса, приклеив первую бусину на место. Затем я просто начал наматывать золотые бусины на конус, приклеивая каждые 6-7 бусинок, чтобы удерживать его.
 Когда я подошел к концу пряди, было почти бесшовно продолжить следующую прядь. Последнюю бусину и первую бусину следующей пряди приклейте вплотную друг к другу.
 Продолжайте заворачивать и склеивать, пока не доберетесь до вершины.
 Поскольку конус не заканчивается острием, мне пришлось вылепить один из бусинок. В итоге получился более закругленный верх, но это было легко сделать, и он по-прежнему выглядит великолепно!
 Вот и готовый продукт.
 Войлочное дерево
 Это мое любимое дерево из всех, но на него уходит больше всего времени. Меня вдохновили эти деревья от Pottery Barn Kids. Однако я не собиралась использовать войлочную шерсть.Я подумал, что обычный войлок мне подойдет.
 Я нарисовал форму листа на куске картона (вы можете просто использовать коробку из-под хлопьев), чтобы использовать ее в качестве шаблона. Когда я получил желаемый размер, я начал вырезать несколько форм листьев. Мы съездили в наш родной город на День Благодарения, поэтому я просто использовал это время в машине, чтобы вырезать формы листьев. Я сложил фетр и вырезал по две. Не нужно было обводить форму на фетре и вырезать его, вы легко можете просто вырезать картонный шаблон.
 В нижней части конуса вы могли бы видеть конус через форму листа первого слоя, поэтому я вырезал пару полос войлока шириной около 1,25 дюйма, чтобы приклеить конус.
 Я хотел, чтобы нижняя часть листиков была незакрепленной, чтобы они немного отрывались от конуса. Это придаст дереву больше размеров. Итак, я просто приклеил верхнюю часть формы листа к конусу. Я начал с нижней части, разместив лист так, чтобы нижний край касался стола.Продолжайте приклеивать листочки к конусу, размещая один рядом с предыдущим. Когда вы дойдете до конца, вам, возможно, придется немного их перекрыть, но это нормально.
 Я начал второй ряд так, чтобы нижняя часть формы листа попала в центр первого слоя. По мере продвижения вам придется немного перекрывать формы листьев. Не все они будут идеально совпадать между нижележащим слоем.
 Когда вы доберетесь до вершины, вы возьмете 3 формы листа и склеите их вместе, чтобы получился заостренный верх.
 Я собирался добавить жемчуг, как на картинке Pottery Barn, но не хватило времени, чтобы достать. 🙂 Возможно, это будет добавление в следующем году.
 Вы вдохновились сделать несколько шишек сейчас? Их было действительно просто сделать, и я думаю, они выглядят так же хорошо, как купленные в магазине. Но я могу быть немного предвзятым. 😉
 Увидимся завтра на третий день Рождества! 🙂
  Не забудьте посетить наших коллег, блоггеров «12 дней Рождества» ниже, чтобы получить еще больше творческих идей в этот праздничный сезон! 
 Super Easy Pinecone Christmas Tree Craft
 Поделиться в Facebook
 Поделиться в Twitter
 Сохранить на Pinterest
 Сегодняшнее руководство по изготовлению этой очаровательной рождественской елки из сосновых шишек  ! Его очень легко сделать, и он отлично смотрится на боковом столике или на накидке.Я сделал тонну этих милых украшений, чтобы выставить их вокруг дома в этот праздничный сезон.
 Как бы я ни любил сезон отпусков, я никогда не слишком увлекался декорированием. Не поймите меня неправильно, я очень люблю рождественские украшения, особенно маленькие мерцающие гирлянды! Однако мысль о том, чтобы убрать тонны украшений в моем доме после того, как они будут выставлены всего несколько коротких недель, обычно мешает мне слишком серьезно относиться к рождественскому декору. Но теперь это прекращается!
 Когда в доме были только мы с мужем, мы могли немного полениться и пропустить праздничное украшение.Конечно, у нас в доме всегда была елка, но иногда мы откладывали ее до конца недели, чтобы украсить ее.
 Но теперь, когда у нас есть сын, Рождество кажется намного более особенным. Мы хотим, чтобы у него было то же волшебное чувство, которое мы испытывали, когда росли. Из-за этого я старался не только больше украшать, но и придумывал некоторые поделки, которые сейчас могу делать самостоятельно, но в будущем, когда он станет немного старше, мы сможем делать это вместе. Я хотел бы создать особые воспоминания, связанные с праздниками, и показать его творения по всему дому.
 Сегодня я хотел поделиться с вами этой супер простой поделкой на елку из шишек. Это достаточно легко для детей, но при этом весело для всех вовлеченных взрослых.
  Отказ от ответственности: этот пост содержит партнерские ссылки Amazon. Это означает, что если вы совершите покупку по одной из моих ссылок, PJ и Paint могут заработать небольшую комиссию. Эта комиссия предоставляется вам без дополнительных затрат. 
 Принадлежности, необходимые для изготовления елки из шишек:
 Самое лучшее в этом корабле то, что основной запас, вероятно, уже находится прямо у вашей входной двери.Сосновые шишки лежат повсюду в это время года и идеально подходят для множества праздничных тематических проектов.
 Однако, когда я работал над этим сообщением в блоге, вокруг моего дома было не так много сосновых шишек. И вот тут-то и появилась компания Amazon. Кто знал, что можно купить сумку настоящих шишек?  Щелкните здесь , чтобы просмотреть купленные мной.
 Первый шаг — покрасить шишку в сплошной зеленый цвет. Я использовала зеленую акриловую краску и довольно маленькую кисть.
 Обязательно постарайтесь попасть во все маленькие щели. Для этого может потребоваться один или два слоя краски, чтобы убедиться, что все покрыто и сквозь нее не просвечивает шишка. В качестве альтернативы, вы можете специально оставить немного просвечивающей шишки. Это сделало бы рождественскую елку более деревенской.
 Для меня этот шаг был очень расслабляющим. Кое-что о рисовании объекта и отсутствии необходимости думать может действительно очистить ваш разум. Искусство расслабляющих эффектов всегда было одним из моих любимых аспектов рисования и творчества в целом.
 Когда шишка полностью высохнет, пора переходить на снег! Используя небольшую кисть и белую акриловую краску, нарисуйте заснеженные ветки, раскрасив кончики шишки.
 Затем возьмите еще одну маленькую кисть и добавьте крошечные рождественские гирлянды. Я использовал красные, синие и желтые точки, чтобы создать свою. Я бы порекомендовал покрасить верхнюю и нижнюю части иголок сосновой шишки, чтобы ваша рождественская елка выглядела великолепно с любого угла, под которым вы смотрите на нее.
 Я купил эти маленькие деревянные звездочки в местном магазине товаров для рукоделия. Я действительно купил их раньше, просто зная, что когда-нибудь в будущем я найду им применение. И я точно это сделал!
 Снова используя акриловую краску, я покрыл обе стороны этой деревянной звезды ярко-желтой краской.
 Примечание: у вас есть звезда на вершине елки? По какой-то причине мои родители никогда этого не делали, пока я рос, и я еще не успел купить себе такой.Я думаю, что этот год может быть годом!
 Еще один предмет, который я купил задолго до того, как этот проект рождественской елки из сосновых шишек даже подумал я, это были эти забавные маленькие кусочки натурального дерева.  Щелкните здесь , чтобы просмотреть ссылку Amazon, где я купил их. Покопавшись в моих поделках, я подумал, что это станет идеальной базой для моего дерева.
 С помощью нескольких капель горячего клея я прикрепил раскрашенную елку к дереву. Теперь это милое маленькое украшение действительно складывается!
 В качестве последнего штриха я снова с помощью горячего клея приклеил деревянную звезду к вершине шишки.Поскольку это меньшая и более тонкая область, чем основание шишки, я бы рекомендовал подержать звезду на месте в течение нескольких секунд, пока вы дадите клею полностью высохнуть.
 И это все, что нужно для создания этой красивой поделки из сосновой шишки. Сделайте их кучу, чтобы создать забавный лес из сосновых шишек!
 Из этой поделки можно сделать отличные праздничные украшения, которые можно было бы выставлять вокруг своего дома год за годом. Либо на прикроватном столике, либо на накидке над камином, либо даже на столе, чтобы ваше рабочее место выглядело более празднично!
 Из них также можно сделать отличные подарки своими руками для друзей или членов семьи.На самом деле я планирую сделать несколько таких для друга, который скоро переезжает в новый дом. С новым пространством вам определенно нужно больше рождественских украшений, верно ?!
 Вы сделали эту рождественскую елку из шишек? Я хотел бы видеть его! Не стесняйтесь отмечать меня в Instagram на @pjsandpaint, если вы решите загрузить какие-либо фотографии.
  С Рождеством всех! 
 СохранитьСохранить
 СохранитьСохранить
 СохранитьСохранить
 Поделиться в Facebook
 Поделиться в Twitter
 Сохранить на Pinterest
 Гламурные белые рождественские елки своими руками
 Некоторое время назад моя мама купила мне множество незаконченных елок из папье-маше и вырезанных из дерева рождественских елок в лобби для хобби, зная, что мне будет интересно найти творческий способ их украсить.Я заглохла, заглохла и пару лет ничего не делала с этими поделками на елку — не потому, что у меня не было никаких идей, а потому, что у меня было слишком много идей и я не мог принять решение. У кого-нибудь еще есть такая же проблема? Я называю это ремесленной нерешительностью!
 Наконец я понял, что могу использовать свою нерешительность в своих интересах, создав шесть совершенно разных рождественских елок своими руками — три шишки и три плоских рождественских елки. Сегодня я хочу поделиться тремя простыми уроками по украшению конусов папье-маше из Hobby Lobby, чтобы создать гламурные рождественские украшения с большим бюджетом
. Я начал свой проект рождественской елки своими руками так же, как большинство поделок начинаются в моем доме — собирая вместе краски, альбомы для вырезок, ленты и различные другие принадлежности со всего дома и складывая их все в центре кухонного стола.Посмотрев некоторое время на припасы, я решил начать с конусовидных елок из папье-маше.
  Елка из меха своими руками.  Начнем с елки, которую я обмотал белой меховой лентой, которую купил у Майкла. Поскольку основание дерева останется открытым, я начал с нанесения на дерево слоя белой акриловой краски. Я развернул все девять ярдов меховой ленты и отрезал полоски нужной длины, затем с помощью горячего клея начал прикреплять полоски меха к дереву.
 Я заботился о сохранении узкой, заостренной формы верхушки дерева, поэтому я знал, что у меня не может быть шести полос густого меха, перекрывающих самую верхушку дерева. Вместо этого я начал с прикрепления трех полосок меха, которые были только около трех четвертей высоты дерева. Я равномерно разместил эти полоски вокруг дерева, оставив между ними место, чтобы прикрепить еще три полоски меховой ленты во всю длину.
 С последними тремя полосками меха, приклеенными к нижней части дерева, я ножницами срезал верхнюю часть каждой полоски в точку.Затем я приклеил эти три полоски меха к верхушке елки. Сначала дерево выглядело странно из-за различных слоев перекрывающихся полос меха, но как только я взъерошил мех пальцами, дерево действительно приняло форму и выглядело идеально.
  Гирлянда из бусин на елку своими руками.  Затем я решил обернуть одну из рождественских елок в серебряную гирлянду из бусин, которую я купил у Майкла (также в проходе с лентой). Я начал с того, что покрасил дерево в белый цвет, и, чтобы добиться глянцевого покрытия, я совместил свою белую акриловую краску с небольшим количеством геля Liquitex Gloss, который у меня был с моими расходными материалами.
 Когда краска высохла, я начал обматывать дерево гирляндой из серебряных бусинок, приклеивая горячим клеем конец первой нити бус. Место, куда я приклеила начальную прядь бус, стало «спинкой» елки. Добавляя дополнительные бусинки, я следил за тем, чтобы каждая из них начиналась и останавливалась на задней части дерева, так что, когда я кладу их на камин, горячий клей не будет виден. В общей сложности я использовал около восьми с половиной ярдов бусинной гирлянды, чтобы обернуть дерево сверху вниз.
  Елка-сердечко из бумаги своими руками.  Я хотел накрыть третью рождественскую елку каким-нибудь альбомом для нот, который у меня уже был, но я не знал, как лучше это сделать. Я подумал о том, чтобы прикрепить полоски бумаги вокруг дерева, а затем окантовать бумагу, но меня беспокоило, что ноты не будут прочитаны, если бумага будет с бахромой. Вместо этого я решил надеть свою рождественскую поделку Cricut. Я вытащил свою машину Cricut (это было несколько лет назад, когда я все еще использовал оригинальный Cricut до обновления до Cricut Explor) и вырезал сотни продолговатых сердец.
 Вырезав все сердечки из музыкальных нот, я решил, что дерево было бы интереснее, если бы я смешал несколько причудливых бумаг, которые добавили бы дереву немного блеска. Я просмотрел свои записки и вырезал еще сердца из серебряной металлической бумаги, а также из бумаги с полосами бежевого, белого, черного и серебряного блеска.
 Так как я знал, что основа дерева из папье-маше, скорее всего, будет просвечивать между сердечками из альбома для вырезок, я начал с того, что нарисовал дерево двумя слоями акриловой краски «серебристый металлик».Затем, прежде чем прикрепить сердечки к дереву, я обвил каждое вокруг карандаша. Вместо того, чтобы лечить их одно за другим, я обнаружил, что лучше складывать три-четыре сердца и скручивать их все сразу. Затем я приклеивал эти сердечки к дереву, прежде чем завивать еще три или четыре.
 Я начал с основания дерева и использовал точку горячего клея на концах каждого сердечка и точку горячего клея в центре каждого сердечка. Я обходил дерево, по очереди. В каждом ряду я перекрывал края сердечек, и каждый ряд также перекрывал ряд ниже.
 Приклеить к дереву почти 400 сердец занял много времени — точнее, около пяти повторных прогонов «Друзей». Когда я, наконец, добрался до самой вершины дерева, я использовал карандаш, чтобы свернуть последние три сердца вокруг самих себя, а не скручивать их так, чтобы закругленные концы поднялись вверх. Это упростило приклеивание последних сердечек на место и сохранило форму острия верхушки дерева.
 Я так взволнован тем, какими получились эти елки своими руками! Каждый из них уникален, но я думаю, что они выглядят особенно великолепно, когда их сгруппированы вместе.
 Удивительно, что происходит, когда вы перестаете откладывать дела на потом, разложите все свои поделки и просто приступите к работе!
 Мои расписные рождественские елки из ДСП тоже получились красиво. Удивительно, как несколько конусов из папье-маше из Hobby Lobby и несколько рождественских елок из ДСП превратились в шикарную белую рождественскую каминную полку с этими поделками из новогодней елки своими руками! Я сейчас пою: «Я мечтаю об оранжевом и белом Рождестве…» Не забудьте закрепить изображение ниже, чтобы вы могли вернуться к этим простым урокам DIY по украшению конусов папье-маше из Hobby Lobby, чтобы создавать гламурные рождественские украшения с большим бюджетом! А затем щелкните мышью, чтобы увидеть, как я нарисовал вырезы из деревянных елок, чтобы получить больше белых рождественских украшений своими руками!
 Превратите сосновые шишки в настольную рождественскую елку
 Веселое лесное приветствие
 Эта сосновая шишка встречает гостей лесным праздничным шармом.
 Сбор материалов
 Вам понадобятся: конус из пенопласта с цветочным рисунком / по 15-20 сосновых шишек большого, среднего и малого размера (по крайней мере, одна высокая) / проволочные кирки для цветов / проволока для цветов среднего калибра / кусачки для проволоки
 Добавление кирки
 Используйте проволоку от кирок, чтобы плотно обернуть несколько кусочков нижней части сосновой шишки.Плотно скрутите проволоку, чтобы зафиксировать отмычку как можно ближе к основанию шишки. (ПРИМЕЧАНИЕ: если проволока недостаточно тяжелая, замените ее проволокой большего сечения.)
 Прикрепление больших сосновых шишек
 Вставьте первый слой сосновых шишек примерно в 1/2 дюйма от основания цветочного конуса.Продолжайте вставлять кирки / конусы вокруг основания без промежутков между ними.
 Добавление средних сосновых шишек
 Добавьте еще один ряд больших конусов, а затем начните добавлять средние конусы, заполняя как можно больше места из предыдущего ряда.Заполните все, кроме последнего ряда цветочного конуса средними конусами, которые становятся все меньше по мере продвижения вверх по конусу.
 Заливка небольшими сосновыми шишками
 Заполните последний ряд самой большой из сосновых шишек.Оставшимися сосновыми шишками заполните промежутки между большими сосновыми шишками.
 Добавление верхушки дерева
 Используйте высокую сосновую шишку для верхушки дерева.
 Деревенский Праздничный Декор
 Поместите свою сосновую шишку с несколькими старинными украшениями и еще несколькими небольшими сосновыми шишками для красивой композиции.
 Очаровательное дерево
 Эта простая сосновая шишка придаст деревенский шарм ручной работы вашему праздничному декору.
 Елочные игрушки ручной работы: сосновые шишки
 Моя кухня покрыта праздничной цветной краской, но ведь это все часть творчества в это время года, не так ли ?!
 Мы уже начали делать рождественские поделки своими руками из милых сосновых шишек  Pom Pom , и эти великолепные сосновые шишки — наш последний проект рождественских украшений ручной работы.
 Это занятие по изготовлению рождественских украшений своими руками идеально подходит для детей всех возрастов.Здесь нет неудобных деталей, и это довольно простое ремесло.
 Елочные игрушки своими руками: как сделать елки из шишек
 Начните с выбора хорошего выбора сосновых шишек, чтобы сделать «елку» разных форм и размеров. Вы можете отправиться на охоту  на природу, , чтобы найти их, или их легко найти у поставщиков поделок *  в Интернете .
 После того, как вы выбрали сосновые шишки, вам понадобится еще несколько материалов для изготовления мини-деревьев:
 Перед началом работы убедитесь, что вы защитили поверхности и одежду!
 Это одно из тех ремесел, где точность не имеет значения.Дети могут добавлять столько краски на свои сосновые шишки, сколько захотят, и даже если они не полностью покрыты, они все равно выглядят великолепно.
 Мы покрасили некоторые из наших сосновых шишек в зеленый цвет, а некоторые из них — в серебристый. Белый цвет также великолепен для снежных сцен, а золото тоже прекрасно смотрится. Вы, конечно, можете нанести на одну шишку разные цвета краски или добавить немного серебряной или белой краски для снежных кончиков веток.
 Когда вы закончите рисовать, дайте сосновым шишкам полностью высохнуть.
 Когда ваши сосновые шишки высохнут, вы можете добавить дополнительные детали краски, если вы этого еще не сделали. Мы использовали красные и золотые точки для создания безделушек.
 Когда вы закончите рисовать и все высохнет, пора создать основу для каждого дерева. *  Глина для высыхания на воздухе  — самый простой способ сделать это, и если вам удастся достать его белого цвета, основания будут похожи на маленькие груды снега.
 *  Штукатурка «Парижа » тоже подойдет, но она более сложная и потребует некоторого контроля со стороны взрослых.
 Оторвите кусок глины от блока и покатайте им в руках, чтобы получился шар. Нацельтесь на шар, который немного шире, чем основание вашей сосновой шишки.
 После того, как вы скатали мяч, осторожно прижмите его к плоской поверхности, чтобы получилось плоское основание, затем вставьте нижнюю часть сосновой шишки в середину мяча. Будьте очень твердыми, когда будете это делать; вам нужна сосновая шишка, чтобы оставаться на месте!
 Мы также использовали *  мини-терракотовые горшки , чтобы создать основу для некоторых наших деревьев.Для этого нужно просто наполнить горшок глиной и надавить на верхушку сосновой шишкой. Можно украсить и горшки — здесь хорошо подойдет краска.
 Если у вас есть блестящие самоцветы для поделок, вы также можете использовать их, чтобы оживить свои деревья!
 Что вы думаете о наших рождественских украшениях ручной работы? Не могу дождаться, чтобы украсить ими наш рождественский стол.
 Еще новогодние поделки
 Возможно, вам также понравится мои другие самодельные рождественские поделки:
  Орнаменты из сосновых шишек 
  Елочные украшения из теста из пищевой соды 
  Самодельные новогодние открытки 
 Если вы сами делали елочные игрушки своими руками, я хотел бы услышать о них в комментариях!
 Пин для более поздних версий:
 Сделайте эти великолепные рождественские елки из конуса своими руками по дешевым ценам
  Внутри: узнайте, как сделать эти очаровательные рождественские елки своими руками из коробок, которые валяются у вас дома.Я даже покажу вам варианты, как настроить елки, чтобы они соответствовали остальной части вашего рождественского декора. 
 Когда я был молодожен, у нас не было много денег на рождественский декор, поэтому мне пришлось проявить немного творчества.
 Мы начали с 4-х елок, одаренных украшений и нескольких рождественских елок из конусов, которые я сделал своими руками с друзьями.
 Мне стоило около 10 долларов, чтобы сделать все деревья, и деньги потрачены не зря, потому что я все еще ставлю их каждый год как часть наших рождественских украшений.
 Так что, хотя они и не самый дорогой рождественский декор для меня, они такие же красивые и, может быть, даже лучше, потому что они самодельные.
  СВЯЗАННЫЕ: 30+ семейных рождественских традиций, которые начнутся в этом году 
 Материалы
 Для изготовления елки из шишек своими руками вам понадобится:
. Картонные коробки (коробки для зерновых, крекеров, закусок и банок из-под газировки) — чем тоньше, тем лучше, потому что их будет легче катать
 Ножницы
 Пистолет для горячего клея
 Украшения — Рекомендуемые предметы включают перья, бусинки, ленты пряжа, блестки, нить, драгоценные камни, бумага, ткань, наклейки, кофейные фильтры и т. д.
 Как сделать шишку на елку?
 Есть несколько способов сделать шишки на елку, но сначала я покажу вам, как я это делаю.
 Это не очень технический или точный, но он работает, и поэтому этот проект прост.
 Легкий путь
 1. Разверните коробки и отрежьте створки, чтобы у вас остался большой сплошной прямоугольник.
 2. Переверните коробку так, чтобы рисунок смотрел вверх, и, начиная с одного угла, начните свертывать картон в форме конуса.Он не обязательно должен быть идеальным. Вы просто «складываете» картон.
 3. После того, как картон будет предварительно свернут, приготовьте пистолет для горячего клея и на этот раз плотно сверните картон, чтобы верхняя часть конуса была как можно более острой.
 4. Сожмите картон в форме конуса и приклейте открытый край вниз так, чтобы конус оставался вместе.
 5. Дайте конусу высохнуть, а затем обрежьте дно ножницами, чтобы конус стоял ровно.
 6.Украсьте свои шишки! Для ленты, нити или пряжи вам нужно будет время от времени использовать горячий клей, чтобы материалы не скользили по конусу.
 Советы по этому методу
 Если вы заметили, что после того, как вы предварительно свернули конус, осталось много картона, просто разрежьте коробку пополам, чтобы у вас не осталось много коробок.
 Тонкие картонные коробки лучше всего имитируют гладкую гладкую поверхность купленных в магазине конусов.
 На четвертом шаге вам, возможно, придется засунуть одну руку внутрь конуса, чтобы туго скрутить форму, прежде чем склеить ее.
 Посмотрите это видео, где я делаю конус новогодней елки, если вам нужно увидеть процесс в реальном времени.
 Технический путь
 Если у вас больше свободного времени и вы хотите получить действительно гладкую форму конуса, другой альтернативой является привязка веревки к карандашу, удерживание веревки посередине листа и рисование идеального полукруга на картоне. .
 Вот видео этого метода.
 Единственный недостаток изготовления конуса таким образом заключается в том, что вам не удастся использовать всю площадь поверхности коробки, поэтому конусы будут меньше.
 Рождественские елки из конуса своими руками
 Вот и все мои готовые елки из конусов, сделанные своими руками!
 Для создания образа я использовала белые перья, боа из белых перьев, отделку золотыми пайетками, золотую ленту и драгоценные камни, ленту с оборками и бусины, наклеенные на шпажку.
 Здесь вы можете проявить творческий подход!
 Эти конические елки можно сделать даже из узорчатой или декорированной бумаги.
 Прочтите этот пост от The Budget Decorator, чтобы узнать больше об идеях рождественской елки своими руками.
 Хотите больше?
 Если вам понравился этот пост и вы любите экономить, вам понравится мой пост с 6 способами провести  Рождество с ограниченным бюджетом !
 Твоя очередь
 Вы сделали эти новогодние елки своими руками?
 Если да, дайте мне знать, чем вы украшали свой в комментариях!
 Как сделать новогоднюю елку из ниток
 Я всегда думал, что Рождество — это время года, когда можно
выявить наше внутреннее лукавство.Даже если вы не хотите лукавить
в другое время года вы можете просто попробовать его на каникулах. А также
В любом случае, в холодные месяцы делать больше нечего, так что привет. . . Давайте
станьте хитрыми и сделайте наши собственные!
 В этом году, по мере приближения рождественского сезона, я решил побаловать себя хитростью, посмотрев, какие праздничные вкусности я могу сделать, используя свой самодельный Mod Podge. Одним из забавных маленьких поделок, которые я пробовал, были самодельные рождественские елки из ниток, которыми я делюсь здесь сегодня (и да, самодельный Mod Podge отлично сработал для этого проекта!)
 Принадлежности для изготовления рождественской елки из ниток  для этих маленьких деревьев нужно немного припасов.Вам нужна какая-то форма конуса
покрытый полиэтиленовой пленкой, нитью для вязания крючком, Mod Podge и аппликатором из поролона
щетка. Если вы хотите нарядить вещи
немного, вы также можете иметь небольшие клейкие драгоценные камни для украшения
ваши деревья.
 Как упоминалось выше, я использовал свой недорогой самодельный Mod Podge для этого проекта, и он отлично сработал. Это простая смесь клея и воды, и вы можете получить полную информацию об этом здесь: Как сделать самодельный мод Podge
 Для конической формы мне понравился 6-дюймовый конус из пенополистирола, который у меня уже был в моем тайнике с припасами для рукоделия. .Это был хороший управляемый размер, с которым можно было работать, и в результате получилось маленькое деревце подходящего размера, которое я хотел для своей полки. Однако, если вы используете конус из пенополистирола, у них часто бывают плоские вершины, поэтому вам, возможно, придется импровизировать и прикрепить маленький кусочек бумаги, свернутый в форму конуса, чтобы сделать заостренный верх (я использовал кусок учетной карточки, прикрепленный к конусу с помощью пара прямых булавок).
 Я также сделал дерево немного большего размера, используя 12-дюймовый конус из папье-маше из ремесленного магазина. Вы также можете сделать свой собственный конус любого размера из куска легкого картона (в форме круга с вырезанным из него кусочком «пирога»), который вы скатываете в конус.
 Вы также должны найти нитки для вязания крючком в магазинах для рукоделия. Обычно они поставляются в катушках длиной не менее 100 ярдов, что дает вам много ниток, так что вы можете продолжать наматывать конус и вокруг него, когда вы делаете эти деревья. Вы также можете использовать металлическую нить для вязания крючком (которую я использовала серебристого цвета для большего дерева, которое я сделала).
 Как сделать настольную рождественскую елку из ниток  После того, как все ваши принадлежности собраны, вот шаги. (Печатные инструкции также находятся в конце этого поста).
  Шаг 1:  Накройте конус полиэтиленовой пленкой
  Шаг 2:  Сделайте небольшой узел скольжения на конце нити для вязания крючком и наденьте его на кончик конуса.
  Шаг 3:  Начните наматывать часть вашей вязальной нити вокруг верхней части конуса. После того, как вы немного закончите, окуните кисть-аппликатор в Mod Podge и нанесите немного на веревку, которую вы до сих пор обернули, чтобы помочь удержать ее на месте. Продолжайте наматывать нить и промокать ее Mod Podge в процессе работы.
  Шаг 4:  Поднимитесь и опустите конус несколько раз, наматывая нить случайным образом и нанося Mod Podge по мере необходимости, чтобы удерживать предметы на месте, пока вы не будете удовлетворены степенью покрытия струны на конусе. конус. Обязательно сделайте пару хороших обмоток веревкой вокруг нижней части конуса, чтобы дерево стало опорой для стояния.
  Шаг 5:  Обрежьте веревку и нанесите на нее Mod Podge, чтобы она удерживалась на месте. Затем нанесите последний слой Mod Podge по всему конусу.
  Шаг 6:  Дайте дереву высохнуть в течение нескольких часов. Я всегда даю своему высохнуть на ночь, чтобы он был полностью сухим и жестким.
 Удаление дерева из конуса  Теперь эта последняя часть процесса может занять немного времени.
терпения, особенно если вы использовали конус из пенополистирола. Если вы используете бумажный конус
в каком-то смысле проще просто немного сложить конус, и тогда вы сможете
Снимите пластик с конуса, а затем снимите дерево с пластика.
 Однако для конуса из пенополистирола вам просто необходимо
немного покачиваясь и покачиваясь, пока дерево не начнет отрываться от
пластик, а затем вы можете снять его с конуса.
Не волнуйся и сохраняй спокойствие. Он не застрял там навсегда!
 Сняв елку с шишки, можно украсить ее каким-нибудь
небольшие клейкие драгоценные камни. Эти драгоценные камни обычно продаются в скрапбукинге.
площадь ремесленных магазинов.
 И тогда ваши деревья готовы! Разместите их для отображения там, где вам понадобится
немного дополнительного рождественского веселья.
 И, наконец, не забывайте получать удовольствие от того, что каждое из этих деревьев — единственное в своем роде творение, и не слишком зацикливайтесь на абсолютном совершенстве. Отчасти их очарование в том, что у этих струнных деревьев есть некоторые домашние прихоти, так что получайте удовольствие и наслаждайтесь созданием своих собственных!
 Новогодние елки из ниток «Сделай сам»
 Эти забавные и причудливые елки из ниток украсят ваш праздник и украсят ваш стол или полку.
 Автор: Беверли
 Состав:
 Конус (пенополистирол, бумажное маше или самоделка) (см. Примечание ниже)
 Пластиковая пленка
 Нить для вязания крючком
 Mod Podge
 Кисть для аппликатора губки
 клейкий клей опционально)
 Инструкции:
 Оберните конус полиэтиленовой пленкой.
 Сделайте небольшой узел скольжения на нити для вязания крючком и наденьте его на верхнюю часть конуса.
 Начните наматывать нить для вязания крючком на конус. После того, как вы немного поработали, окуните кисть-губку-аппликатор в модподж и нанесите немного на то, что вы уже обернули, чтобы помочь удержать ее на месте.
 Продолжайте обматывать, поднимаясь и опускаясь по конусу в произвольном порядке, нанося на него Mod podge, чтобы помочь удерживать его на месте. Обязательно сделайте несколько хороших обертываний вокруг нижней части конуса, чтобы создать основу для вашего дерева.
 Когда вы будете удовлетворены степенью покрытия нити на конусе вашего дерева, обрежьте нить для вязания крючком и промокните ее небольшим количеством модификатора, чтобы удерживать ее на месте. Затем нанесите последний слой Mod podge по всему конусу.
 Дайте конусу высохнуть в течение нескольких часов, а лучше всего на ночь, чтобы убедиться, что все высохло и стало жестким.
 Снимите дерево с конуса. Чтобы освободить его от полиэтиленовой пленки, нужно немного пошевелить и повернуть.
 Добавьте немного страз на елку, если хотите украсить ее.
 Примечания:
 Маленькие деревья в этом сообщении в блоге были сделаны с использованием 6-дюймового конуса из пенополистирола и зеленой нити для вязания крючком.
 Posted in РазноеLeave a Comment on Поделки елки своими руками из шишек: Страница не найдена — Можно так
 
F x 2x 2 y 2 x: Mathway | Популярные задачи
 Posted on 02.01.197016.06.2021 by alexxlab
 2-x4 та побудуйте її графік.
Нужно исследовать функцию. ПрошуДана функция у = 2х² — х⁴.
1.Область определения
функции: x ∈ R, или -∞ < x < ∞.
2. Нули функции. Точки
пересечения графика функции с осью ОХ.
2х² — х⁴ = 0,   х²(2 — х²) = 0. Тогда х² = 0 и (или) 2 — х² = 0.
x₁ = 0.
x₂ = √2.
х₃ = -√2.
Точки пересечения графика функции с осью ОУ при х = 0 ⇒ у = 0.
3. Промежутки знакопостоянства
функции.
Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.
По пункту 2 имеем 4 промежутка значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:
(−∞;−√2), (−√2;0), (0;√2), (√2;+∞).
Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, надо найти значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений.
 x =
-2    -1    1     2 
 y =
-8    
1    1    -8. 
В промежутках (−∞;−√2) и (√2;+∞) функция принимает отрицательные значения, в промежутках (−√2;0) и (0;√2) функция принимает положительные значения.{2}
— Нет
Значит, функция является чётной.
5. Периодичность графика — нет.
 6.Точки разрыва, поведение
функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты — нет.
7. Интервалы монотонности
функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.
Находим производную заданной функции:
y’ = 4x — 4x³.
Приравниваем производную нулю: 4x — 4x³ = 4x(1 — x²) = 0, 
4x = 0,  x = 0. 
x² = 1,  х = 1,  x = -1.
Критических точек три: х = 0, х = 1,  x = -1.
Находим значения производной левее и правее от критических.
x =  -2     -1    -0.5    0     0.5     1       2 
y’ = 24      0    -1.5    0    1.5      0     -24.
Где производная положительна — функция возрастает, где отрицательна — там убывает. 
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [0, oo).
Возрастает на промежутках (-oo, 0] U [1, oo).
8. Интервалы выпуклости,
точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.{2} + 1\right) = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения:
x_{1} = — \frac{\sqrt{3}}{3}
x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3].
Выпуклая на промежутках (-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo).
9. Поведение функции в
бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты — нет.
10. Дополнительные точки,
позволяющие более точно построить график. 11. Построение графика
функции — дан в приложении.заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством
Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:
решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
написание лабораторных, рефератов и курсовых
выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.
Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.
Объединение сервисов в одну систему
Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:
Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос
Принцип работы
Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.
Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.
Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.
Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).
Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.
За счет чего будет развиваться сервис
Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.
Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.
Преимущества для заказчиков
Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.
Преимущества для решающих задания
Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.
Преимущества для владельца сервиса
Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.
В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.
Что необходимо для создания сервиса
Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
Выбрать платежную систему.
Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.
Формула вершины параболы
☰
Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.
Квадратичная функция имеет вид: y = ax² + bx + c.
Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:
Однако формулу координаты y знать и использовать не обязательно. Обычно проще подставить найденное значение x в саму квадратичную функцию и найти оттуда y.
Например, если дана функция y = 2x² – 4x + 5, то координата x ее вершины будет равна:
x = –(–4 / (2 × 2)) = 1
Координату же y вычислим, подставив найденный x в саму функцию:
y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3
Таким образом, вершина графика функции y = 2x² – 4x + 5 находится в точке с координатами (1; 3).
В остальном парабола квадратичной функции вида y = ax² + bx + c такая же как функции вида y = ax². Отличие лишь в сдвиге вершины по сравнению с функцией y = ax². Так в приведенном выше примере (y = 2x² – 4x + 5) парабола будет по форме и направлению ветвей такой же, как для функции y = 2x². Разница лишь в координатах вершин парабол.
Формулы вершины параболы получаются при преобразовании квадратичной функции к виду y = f(x + l) + m. Делается это методом выделения полного квадрата. Как известно функции вида y = f(x + l) + m отличаются от функций y = f(x) сдвигом из графиков по оси x на –l и по оси y на m. Именно l в преобразованной квадратичной функции оказывается равным –b/2a, а m = (4ac – b²) / 4a. То есть l и m — это координаты x₀ и y₀ соответственно.
Доказывается это применением метода выделения полного квадрата к квадратному трехчлену общего вида ax² + bx + c. При этом выполняются следующие преобразования:
Объединим первые два члена многочлена: y = (ax² + bx) + c
Вынесем коэффициент a за скобку, при этом b разделится на a:
Представим, что у нас есть квадрат суммы, в котором x одно из слагаемых, а из выражения в скобках надо получить его полный квадрат суммы. Одночлен (b/a)x умножим на 2 и разделим на 2 одновременно. Также прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получим:
Выделим квадрат суммы:
Умножим на a:
Приведем к общему знаменателю свободные члены:
Поменяем знак:
Таким образом, мы привели функцию y = ax² + bx + c к виду y = a(x + l)² + m, что соответствует функции y = f(x + l) + m, где f(x) = ax². А как строить графики последней известно.
 2 + bx + c #, где
 # цвет (зеленый) (a = 2; b = -1 и c = 1) #
 Чтобы найти  Вершину, , мы можем использовать формулу #color (red) ([- b / (2a)] #
 Следовательно,
  Вершина =  # цвет (красный) ([- b / (2a)] #
  Вершина =  # цвет (красный) ([- {(- 1) / (2 * 2)}] #
  Vertex =  #color (красный) (1/4 или 0,25} #
 Это значение координаты x  нашей вершины 
 Чтобы найти значение координаты Y  нашей вершины ,
 заменить # цвет (синий) (x = 0.2 — (4 * 2 * 1)]] / (2 * 2) #
 Упростите, чтобы получить
 #x = 1 + -sqrt (-7) / 4 #
  Мы наблюдаем отсутствие реальных решений 
 Следовательно, функция не имеет  пересечений по оси x .
  Дополнительная информация: 
 # цвет (синий) (x = 0,25 # известен как ось симметрии  
 Что такое ось симметрии ? 
  Две стороны графика по обе стороны от оси симметрии выглядят как зеркальные отражения друг друга.
 Затем проанализируйте график ниже, чтобы изучить поведение #f (x) #
.
 квадратичных функций
 квадратичных функций
  Содержание : Эта страница соответствует  § 3.1 (стр.
244)  текста.
 Предлагаемые задачи из текста:
 с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75
 Графики
 Стандартная форма
 Приложения
 Графики
 Квадратичная функция   имеет вид  f (x) = ax ² + bx + c , где  a ,  b  и  c  — числа, где  a  не равны нулю.
 График квадратичной функции — это кривая, называемая параболой  . Параболы могут открываться вверх или вниз
и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В
На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.
 Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии  . Парабола пересекает
его ось симметрии находится в точке, называемой  вершиной  параболы.
 Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то
есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать относительно точек и квадратичных
функции.
 Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно
одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График
содержит три точки и параболу, проходящую через все три. Соответствующая функция показана в тексте
поле под графиком. Если вы перетащите любую из точек, функция и парабола обновятся.
 Многие квадратичные функции можно легко изобразить вручную, используя методы растяжения / сжатия и сдвига. 2-5.Начнем с графика y = x ², сдвинем на 4 единицы вправо, затем
На 5 единиц меньше.
   Упражнение 1  :
 (a) Нарисуйте график y = (x + 2) ² — 3. Ответ
 (b) Нарисуйте график y = — (x — 5) ² + 3. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Стандартная форма
 Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме  .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко построить, отражая, сдвигая и
растяжение / сжатие параболы y = x ².
 Квадратичная функция f (x) = a (x — h) ² + k, не равная нулю, называется стандартной формой  .
Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии   — это вертикальная линия x = h, а вершина   — это точка (h, k).
 Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартной форме, завершив  квадратом . (См. Раздел о
решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.)
Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный
цель здесь не в решении уравнения.
 Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня.
принцип.
  Пример 3 .
 Запишите функцию f (x) = x ² — 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули
и вершина.
 f (x) = x ² — 6x + 7.
 = (x ² — 6x) + 7. Сгруппируйте члены x ² и x и
затем заполните квадрат на этих условиях.
 = (x ² — 6x + 9 — 9) + 7.
 Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) ² = 9. Когда мы
решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9
так что мы не меняем функцию.
 = (x ² — 6x + 9) — 9 + 7. Мы видим, что x ² — 6x + 9 — это полный квадрат, а именно (x — 3) ².
 f (x) = (x — 3) ² — 2.Это стандартная форма  .
 Из этого результата легко найти, что  вершина  графа f равна (3, -2).
 Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.
 (x — 3) ² — 2 = 0.
 (x — 3) ² = 2.
 (x — 3) = ± sqrt (2).
 х = 3 ± sqrt (2).
 Чтобы нарисовать график f, сдвинем график y = x ² на три единицы вправо и на две единицы вниз.
 Если коэффициент при x ² не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x ² и
x, прежде чем продолжить.
  Пример 4 .
 Запишите f (x) = -2x ² + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.
 f (x) = -2x ² + 2x + 3.
 = (-2x ² + 2x) + 3.
 = -2 (х ² — х) + 3.
 = -2 (x ² — x + 1/4 — 1/4) + 3.
 Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) ² = 1/4, а -1 — коэффициент при x.
 = -2 (x ² — x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.
 Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы
необходимо умножить на -2.
 = -2 (x — 1/2) ² + 1/2 + 3.
 = -2 (х — 1/2) ² + 7/2.
 Вершина — это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой
на графике.
   Упражнение 2  :
 Запишите f (x) = 3x ² + 12x + 8 в стандартной форме.Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите
нули f. Ответ
  Альтернативный метод поиска вершины 
 В некоторых случаях завершение квадрата — не самый простой способ найти вершину параболы. Если график
квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии — это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку
х-перехватчиков.
 Х-точки пересечения графика выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним
-5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату
вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.
  Пример 5 .
 Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x — 5).
 Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.
 Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2, а первая координата
вершины -2.
 Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.
 Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).
  Вернуться к содержанию 
 Приложения
  Пример 6 .
 У владельца ранчо есть 600 метров ограды, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине.
как на схеме ниже.
 Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три
каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.
 Цель владельца ранчо — использовать весь забор и оградить  как можно большую площадь .
 Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем
  Общая площадь:  A = 2xy.
 Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Тем не мение,
Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.
 3г + 4х = 1200.
 3y = 1200 — 4x.
 у = 400 — 4х / 3.
 Теперь у нас есть y, выраженный как функция от x, и мы можем заменить это выражение на y в формуле для общего
площадь А.
 A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).
 Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A — квадратичная функция от x, а график
открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A — вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти
вершина — найти пересечения по оси x и усреднить.
 2x (400 -4x / 3) = 0.
 2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.
 x = 0 или 400 = 4x / 3.
 x = 0 или 1200 = 4x.
 х = 0 или 300 = х.
 Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300.
 Теперь, когда мы знаем значение x, соответствующее наибольшей площади, мы можем найти значение y, вернувшись назад.
уравнению, связывающему x и y.
 y = 400 — 4x / 3 = 400-4 (150) / 3 = 200.
  Вернуться к содержанию 
 Нахождение обратной функции: другие примеры
   Находка
Обратная функция     (стр.
5 из 7)  
  Разделы:   Определение
/ Обращение графика, является ли обратным
функция ?, Поиск обратных, Доказательство обратных 
  Найти обратное  f  ( x )
= ^{( x  2)}/_{( x  + 2)}, где  х  не равно 2.
 Это
обратная функция? 
 
 Во-первых, я узнаю
что  f  ( x )
является рациональной функцией.
Вот его график: 
 Ограничение на
домен исходит из того факта, что я не могу делить на ноль, поэтому  x  не может быть равным
2.Обычно я бы не стал записывать ограничение, но это полезно
здесь, потому что мне нужно знать домен и диапазон обратного. Примечание
с картинки (и вспоминая концепцию горизонтального
асимптоты), что  y  никогда не будет равным
1.
Тогда домен будет « x  не равно
2 «и
диапазон « y  не равно
1 «.Для
наоборот, они поменяются местами: домен будет « x  не равно
1 «и диапазон
будет « y  не равно
2 «. Вот
алгебра:
 The
исходная функция: 
 Я
переименовать « f  ( x )»
как « y «: 
 Тогда
Я решаю для « x  знак равно 
 Я
получить  x  -материал
с одной стороны: 
 Вот
Уловка: я выкидываю  x  за скобки! 
 Тогда
Я переключаю  х  и  y : 
 А
переименовать « y »
как « f -инверсия»;
ограничение домена связано с тем, что это
рациональная функция. 
 Поскольку обратное
это просто рациональная функция, тогда обратная функция действительно является функцией.
 Вот график: 
 Затем   обратное —      y    =  ^{(2    x    2)} / _{(   x    1)} ,
и обратное тоже функция, с областью всех    x       не равно
на номер    1     и
диапазон всех    y       не равно
на номер    2  . 
  Найти обратное
из  f  ( x )
=  x  ² 3  x  + 2,  x   < 1,5 
 
 С доменом
ограничение, график выглядит так:
 Насколько я знаю
о построении графиков
квадратики
вершина находится в ( x ,  y ) = (1.5, 0,25),
так что этот график — левая «половина» параболы. 
 Эта половина параболы
проходит тест горизонтальной линии, поэтому (ограниченная) функция обратима.
Но как найти обратное? Авторские права
Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены
 The
исходная функция:   f  ( x )
=  x  ² 3  x  + 2
 Я
переименовать « f  ( x )»
как « y «:   y  =  x  ² 3  x  + 2
 Сейчас
Я решаю для « x  = «с помощью
квадратичный
Формула:  0
=  x  ² 3  x  + 2  y  
 0 =  x  ² 3  x  + (2  y )
 Начиная с  х   < 1.5,
тогда мне нужен отрицательный квадратный корень: 
 Сейчас
Я переключаю  х  и  y : 
 А
переименовать « y »
как « f -инверсия»;
ограничение домена связано с тем, что это
рациональная функция. 
 << Предыдущая
Вверх |  1
| 2 | 3 | 4
| 5 | 6 | 7  |
Вернуться к указателю Далее
>>
 Цитируйте эту статью
как:  Стапель, Елизавета.«Нахождение обратной функции».  Purplemath .
Доступно по номеру 
  https://www.purplemath.com/modules/invrsfcn5.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г. 
 Как найти решение системы уравнений
 Пояснение: Сначала нам нужно найти точки A и B, которые, как нам сказали, образуют точки пересечения между графиками  y  = 9 —  x  ² и  y  = 3 —  x .Чтобы решить эти два уравнения, мы можем установить значение  y  в первом уравнении равным значению  y  во втором, а затем решить для  x .
 9 —  x  ² = 3 —  x 
 Добавьте  x  ² с обеих сторон.
 9 = 3 —  x  +  x  ²
 Вычтем 9 с обеих сторон. Затем переставьте так, чтобы степени  x  были в порядке убывания.
-6 —  x  +  x  ² =  x  ²— x  — 6 = 0
 Разложите на множитель  x  ² —  x  — 6, думая о двух числах, которые умножаются, чтобы получить –6, и складывать, чтобы получить –1. Эти два числа — –3 и 2.
  x  ² —  x  — 6 = ( x  — 3) ( x  + 2) = 0
 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.
  x  — 3 = 0
  х  = 3
  х  + 2 = 0
  x  = –2
 Таким образом, возникают точки пересечения, где  x  = –2 и 3.Мы можем найти значения  y  точек пересечения, подставив –2 и 3 в любое уравнение. Воспользуемся уравнением  y  = 3 —  x .
 Когда  x  = –2,  y  = 3 — (–2) = 5. Одна точка пересечения равна (–2,5).
 Когда  x  = 3,  y  = 3 — 3 = 0. Другой точкой пересечения является (3,0).
 Предположим, что точка  A  находится в точке (–2,5), а точка  B  находится в точке (3,0). Нам говорят, что  C  находится в ( p , 0), где  p  <0.Давайте нарисуем треугольник  ABC  с информацией, которая у нас есть.
 На рисунке выше оранжевая линия представляет высоту от стороны  BC  до  A .
 Площадь любого треугольника равна (1/2)  bh , где  b  — длина основания, а  h  — длина высоты. Мы будем использовать  BC  для обозначения основания и оранжевую линию для обозначения высоты.
 Длина  BC  будет равна 3 —  p , поскольку обе точки лежат на оси  x .Длина оранжевой линии — это расстояние от  CB  до точки  A , то есть 5. Теперь мы можем найти формулу для площади и установить ее равной 50.
 Площадь  ABC  = (1/2) (3 —  p ) (5) = 50
 Умножьте обе стороны на 2.
 (3 —  п ) (5) = 100
 Разделить на 5.
 3 —  р  = 20
 Вычтем 3 с обеих сторон.
  –p  = 17
 Умножьте обе стороны на –1.
  p  = –17.
 Ответ: –17.
 Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3
 Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения   2008 Rasmus ehf и     Jhann sak   Уравнения III 
 Урок
3
Пересечение
точек графиков
 Как приступить к поиску точек, в которых два графика
y = f (x) и y = g (x) пересекаются?
 Мы уже знаем, где найти график
f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая
уравнение f (x) = 0. 
 Когда графики y = f (x) и y =
g (x) пересекаются, оба графа имеют
точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки
пересечения путем решения уравнения f (x)
= g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x
точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для
x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета
либо f (x), либо g (x).
 Пример 1
 Рассчитать точку
пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала
давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл
пересечение есть (2, 3).
 Рассчитываем точку пересечения по
решение уравнения f (x) = g (x). То есть:
 2х — 1 = х + 1
 2х — х = 1 + 1
 х = 2
 Координата Y теперь может быть найдена
вычисление f (2):
 f (2) = 2 × 2 — 1 =
3
 Точка пересечения —  (2,
3) .
 Пример показывает, что мы можем найти точку
пересечения двумя способами. 
 Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо
алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере. Решить уравнение графически легко с помощью
графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel. 
 Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые
исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и
калькуляторы. Пример 2
 Решите уравнение x  ²  — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, а затем алгебраически.
 Рисуем графики f (x) = x  ²  —
2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график
точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что
графики пересекаются при x =  0  и x =  4 .
 Решает алгебраически:
 x  ²  — 2x — 3 = 2x — 3
 x  ²  — 4x = 0
 х (х — 4) = 0
 Получение решений x =  0  и x =  4 .
 Пример 3
 Решите уравнение x ²   — 1 = 2x — 3
 Сначала переместите все термины
перейдите к левой части уравнения и упростите.
 Это дает x ² — 2x + 2 = 0
 Используем формулу корней квадратного уравнения с a = 1, b =
−2 и c = 2.
 Число под знаком квадратного корня:
отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения. 
 Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала.
уравнение
 f (x) = x  ²  — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.
 Мы видим, что парабола
f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы
не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.
 Пример 4
 Решите уравнение x ³   — 3x + 2 = x ²   —
2x + 1
 Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все
слагаемые в левую часть уравнения.
 х ³ — 3х + 2 = х ² — 2х + 1
 х ³   — х ²   — х + 1 = 0
 (x ³   — x ²)   — (x — 1) = 0
 x ² (x — 1) — (x — 1) = 0
 (х — 1) (х ² —
1) = 0
 (х — 1) (х — 1) (х
+ 1) = 0
 Расчеты показывают, что их всего два
решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три
решения.График показывает нам, что происходит.
 Графики f (x) =
x  ²  — 2x + 1 и g (x)
= x ³ — 3x + 2 пересекаются
только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями
уравнение.
 Пример 5
 Решите уравнение x ² =   x
 Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются
решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень
вероятно, но давайте посмотрим на графики.
 Назовите левую часть f (x) = x  ²  и правую часть g (x) =   x.
Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких
отрицательные точки пересечения.
 На графике видно, что точек всего две
пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х =
1. 
 Вот как решить уравнение расчетом:
 x ² =   x х ⁴ = х
 х ⁴ — х = 0
 х (х ³ — 1) = 0    Квадрат
обе части уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня    . 
 Это дает решение x =  0  и x =  1 .
 Пример 6
 Решите уравнение ln x = x ² — 1
 Это уравнение не так-то просто решить. Если мы
вспомните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны
уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем
графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.
 График показывает нам, что есть два
решения. Одно решение — это ровно x
= 1, поскольку e ⁰ = 1. Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y
становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы
можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность. Пример 7     EXCEL
 Если мы воспользуемся графическим калькулятором, то сможем найти
решение уравнения ln x = x  ²  — 1 намного проще. 2 − ln (B2)
 Теперь выберите Инструменты
а затем «Поиск цели» в строке меню.В
на экране появляется следующее:
 Пишем D2,
1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным
к значению 1, изменив значение в B2.
 Когда
нажимаем ОК, появляется следующая информация.
 Это говорит нам о том, что
приближение x ≈ 0,45, которое мы нашли графически в примере 6, довольно
хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.
 Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.
 Не забудьте использовать контрольный список для
следите за своей работой.
 Инверсия функции — объяснение и примеры
 Что такое обратная функция?
  В математике обратная функция — это функция, отменяющая действие другой функции. 
  Например, , сложение и умножение являются инверсией соответственно вычитания и деления.
 Обратную функцию можно рассматривать как отражение исходной функции по линии y = x. Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).
 Мы используем символ f ^{— 1} для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:
 g (x) = f ^{— 1} (x) или f (x) = g ⁻¹ (x)
 Об обратной функции следует отметить то, что обратная функция — это не то же самое, что и обратная функция, т.е.е., f ^{— 1} (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.
 Поскольку не все функции имеют инверсию, важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к определению инверсии.
 Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то, чего не существует.
 Индивидуальные функции
  Итак, как мы можем доказать, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.
 Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.
  Другими словами, домен и диапазон однозначной функции имеют следующие отношения: 
 Область f ⁻¹ = Диапазон f.
 Диапазон f ^-1 = Область f.
 Например, чтобы проверить, является ли функция f (x) = 3x + 5 взаимно однозначной заданной, f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.
 ⟹ 3a + 5 = 3b + 5
 ⟹ 3a = 3b
 ⟹ а = б.
 Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, потому что a = b.
 Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.
 А как насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.
 Вы также можете графически проверить взаимно однозначную функцию, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линии проходят через график один раз.
 Как найти обратную функцию?
 Найти инверсию функции — несложный процесс, хотя нам действительно нужно быть осторожными с парой шагов. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.
  Вот процедура нахождения обратной функции f (x): 
 Заменить обозначение функции f (x) на y.
 Поменять местами x на y и наоборот.
 Начиная с шага 2, решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
 Наконец, измените y на f ⁻¹ (x). Это обратная функция.
 Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:
 ⟹ (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
 ⟹ (f ⁻¹ ∘ f) (x) = x
 Давайте поработаем пару примеров.
   Пример 1  
 Дана функция f (x) = 3x — 2, найти обратную ей функцию.
  Раствор 
 f (x) = 3x — 2
 Заменить f (x) на y.
 ⟹ у = 3х — 2
 Поменять местами x на y
 ⟹ x = 3y — 2
 Решить для y
 х + 2 = 3 года
 Разделим на 3, чтобы получить;
 1/3 (х + 2) = у
 х / 3 + 2/3 = у
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
 f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3
 Проверить (f ∘ f ⁻¹) (x) = x
 (f ∘ f ⁻¹) (x) = f [f ⁻¹ (x)]
 = е (х / 3 + 2/3)
 ⟹ 3 (х / 3 + 2/3) — 2
 ⟹ х + 2 — 2
 = х
 Следовательно, f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3 — правильный ответ.
   Пример 2  
 Дано f (x) = 2x + 3, найдите f ⁻¹ (x).
  Раствор 
 f (x) = y = 2x + 3
 2x + 3 = y
 Поменять местами x и y
 ⟹2y + 3 = х
 Теперь решите для
 у. ⟹2y = х — 3
 ⟹ у = х / 2 — 3/2
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x)
 ⟹ f ⁻¹ (x) = (x– 3) / 2
   Пример 3  
 Задайте функцию f (x) = log ₁₀ (x), найдите f ⁻¹ (x).
  Раствор 
 f (x) = log₁₀ (x)
 Заменено f (x) на y
 ⟹ y = журнал ₁₀ (x) ⟹ 10 ^y = x
 Теперь поменяйте местами x на y, чтобы получить;
 ⟹ у = 10 ^х
 Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).
 f ^-1 (x) = 10 ^x
 Следовательно, обратное значение f (x) = log ₁₀ (x) равно f ^-1 (x) = 10 ^x
   Пример 4  
 Найдите обратную функцию к следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)
  Раствор 
 г (x) = (x + 4) / (2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)
 Обмен y с x и наоборот
 y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)
 ⟹ х (2у − 5) = у + 4
 ⟹ 2xy — 5x = y + 4
 ⟹ 2xy — y = 4 + 5x
 ⟹ (2x — 1) y = 4 + 5x
 Разделите обе части уравнения на (2x — 1).
 ⟹ у = (4 + 5x) / (2x — 1)
 Заменить y на g ^-1 (x)
 = г ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
 Проба:
 (г г ^-1) (x) = г [г ^-1 (x)]
 = г [(4 + 5x) / (2x — 1)]
 = [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5]
 Умножьте числитель и знаменатель на (2x — 1).
 ⟹ (2x — 1) [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5] (2x — 1).
 ⟹ [4 + 5x + 4 (2x — 1)] / [2 (4 + 5x) — 5 (2x — 1)]
 ⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x — 10x + 5]
 ⟹13x / 13 = x 
 Следовательно, g ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)
   Пример 5  
 Определите значение, обратное следующей функции f (x) = 2x — 5
  Раствор 
 Заменить f (x) на y.
 f (x) = 2x — 5⟹ y = 2x — 5
 Переключите x и y, чтобы получить;
 ⟹ х = 2у — 5
 Изолировать переменную y.
 2у = х + 5
 ⟹ у = х / 2 + 5/2
 Измените y обратно на f ^–1 (x).
 ⟹ f ^–1 (x) = (x + 5) / 2
   Пример 6  
 Найти обратную функцию к функции h (x) = (x — 2) ³.
  Раствор 
 Измените h (x) на y, чтобы получить;
 h (x) = (x — 2) ³ ⟹ y = (x — 2) ³
 Поменять местами x и y
 ⟹ х = (у — 2) ³
 Изолятор ул.
 y ³ = x + 2 ³
 Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.
 ³ √y ³ = ³ √x ³ + ³ √2 ³
 y = ³ √ (2 ³) + 2
 Заменить y на h ^-1 (x)
 ч ^{— 1} (x) = ³ √ (2 ³) + 2
   Пример 7  
 Найти обратную величину к h (x) = (4x + 3) / (2x + 5)
  Раствор 
 Заменить h (x) на y.
 h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)
 Поменять местами x и y.
 ⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).
 Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:
 ⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5)
 Умножить обе стороны на (2y + 5)
 ⟹ х (2у + 5) = 4у + 3
 Распределить x
 ⟹ 2xy + 5x = 4y + 3
 Изолятор ул.
 ⟹ 2xy — 4y = 3 — 5x
 ⟹ y (2x — 4) = 3-5x
 Разделим на 2x — 4, чтобы получить;
 ⟹ у = (3-5x) / (2x — 4)
 Наконец, замените y на h ^-1 (x).
 ⟹ в ^{— 1} (x) = (3 — 5x) / (2x — 4)
 Практические вопросы  Найдите обратное значение для следующих функций:
 г (x) = (2x — 5) / 3.
 h (x) = –3x + 11.
 г (x) = — (x + 2) ² — 1.
 г (х) = (5/6) х — 3/4
 f (x) = 3  x  — 2.
 h (x) = x ² + 1.
 г (x) = 2 (x — 3) ²-5
 f (x) = x ² / (x ² + 1)
 h (x) = √x — 3.2-х-6 Уравнение y = 2x ² — x — 6
  a)  Чтобы найти точку пересечения y, подставьте x = 0 в y = 2x ² — x — 6.
 у = 2 (0) ²-0-6
 y перехват — 6.
  b)  Чтобы найти точку пересечения с x, подставьте y = 0 в y = 2x ² — x — 6
 2x ² — x — 6 = 0
 2x ² — 4x + 3x — 6 = 0
 2x (x — 2) + 3 (x — 2) = 0
 (х — 2) (2x + 3) = 0
 х — 2 = 0 и 2x = — 3
 х = 2 и х = — 3/2
 х перехватов 2 и -3/2.
  в)  y = 2x ² — x — 6
 Сравните это с y = ax ² + bx + c
 а = 2, б = — 1, в = — 6
 Найти вершину оси симметрии x = — b / 2a
 х = — (- 1) / 2 (2)
 х = 1/4
 Чтобы найти координату y вершины, подставьте x = 1/4 в y = 2x ² — x — 6.
 у = 2 (1/4) ² — (1/4) — 6
 у = 1/8 — 1/4 — 6
 у = (1-2-48) / 8
 у = — 49/8
 Вершина равна (x, y) = (1/4, -49/8) или (0.25, — 6,125).
 График
 Выберите случайные значения для  y  и найдите соответствующие значения для  x .
  х   y = 2x ² — x — 6   (х, у) 
 1  у = 2 (1) ²-1-6  (1, — 5)
 — 1  у = 2 (-1) ² + 1-6  (-1, — 3)
 — 2  у = 2 (-2) ² + 2-6  (-2, 4)
 2.5  у = 2 (2,5) ² — 2,5 — 6  (7, — 3)
 1. Нарисуйте координатную плоскость.
 2. Постройте пересечения осей симметрии x, y и координаты точек, найденных в таблице.
 Posted in РазноеLeave a Comment on F x 2x 2 y 2 x: Mathway | Популярные задачи
 
Алгебра системы уравнений: § Системы уравнений. Как решать системы уравнений
 Posted on 02.01.197016.06.2021 by alexxlab
Системы уравнений. Способы решения систем уравнений
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
  x — 4y = 2
3x — 2y = 16
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
  x — 4y = 2
3x — 2y = 16
Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:
x — 4y = 2;
x = 2 + 4y.
Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
3x  — 2y = 16;
3(2 + 4y)  — 2y = 16.
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
3(2 + 4y) — 2y = 16;
6 + 12y — 2y = 16;
6 + 10y = 16;
10y = 16 — 6;
10y = 10;
 y = 10 : 10;
 y = 1.
Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Ответ:  x = 6,  y = 1.
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
  x — 4y = 2
3x — 2y = 16
найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):
x — 4y = 2 3x — 2y = 16
-4y = 2 — x -2y = 16 — 3x
y = (2 — x) : — 4       y = (16 — 3x) : -2
Составляем из полученных выражений уравнение:
Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

2 — x  · (-4) =  16 — 3x  · (-4)
-4 -2
2 — x = 32 — 6x
—x + 6x = 32 — 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6
Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:
x — 4y = 2 3x — 2y = 16
6 — 4y = 2 3 · 6 — 2y = 16
-4y = 2 — 6       -2y = 16 — 18
-4y = -4 -2y = -2
 y = 1  y = 1
Ответ:  x = 6,  y = 1.
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
Рассмотрим систему:
  x — 4y = 2
3x — 2y = 16
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
(3x — 2y) · -2 = 16 · -2
-6x + 4y = -32
Получим:
  x — 4y = 2
-6x + 4y = -32
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
+ x  —  4y = 2
 -6x + 4y = -32
 -5x         = -30
Находим значение  x  (x = 6).   Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.
Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:
(x — 4y) · 3 = 2 · 3
3x — 12y = 6
Получим:
  3x — 12y = 6
3x — 2y = 16
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
— 3x  —  12y = 6
  3x  —   2y = 16
          -10y = -10
Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:
3x — 2y = 16
3x — 2 · 1 = 16
3x — 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6
Ответ:  x = 6,  y = 1.
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
Методы решения систем рациональных уравнений. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1. 
Метод сложения (линейные уравнения)
Сложность:
лёгкое
 
 

2.  
Метод подстановки (линейные уравнения)
Сложность:
лёгкое
 
 

3. 
Корни квадратного уравнения, теорема Виета
Сложность:
лёгкое
 
 

4.  
Метод подстановки (линейное и квадратное)
Сложность:
лёгкое
 
 

5. 
Метод алгебраического сложения
Сложность:
среднее
 
 

6.  
Способ сложения
Сложность:
среднее
 
 

7. 
Пары чисел, которые являются решением системы уравнений
Сложность:
среднее
 
 

8.  
Графический метод (парабола и прямая)
Сложность:
среднее
 
 

9. 
Графический метод (гипербола и прямая)
Сложность:
среднее
 
 

10.  
Графический метод (элементарные функции)
Сложность:
среднее
 
 

11. 
Система квадратных уравнений
Сложность:
среднее
 
 

12.  
Система уравнений (линейное и квадратное) I
Сложность:
среднее
 
 

13. 
Система уравнений (линейное и квадратное) II
Сложность:
среднее
 
 

14.  
Система уравнений (линейное и квадратное) III
Сложность:
среднее
 
 

15. 
Задача на составление системы уравнений
Сложность:
среднее
 
 

16.  
Система рациональных уравнений
Сложность:
среднее
 
 

17. 
Система, состоящая из рационального и квадратного уравнений
Сложность:
среднее
 
 

18.  
Система, состоящая из рационального и линейного уравнений
Сложность:
среднее
 
 

19. 
Система рациональных уравнений, вводится одна новая переменная
Сложность:
среднее
 
 

20.  
Система, состоящая из рациональных уравнений
Сложность:
среднее
 
 

21. 
Система, состоящая из квадратного и рационального уравнений
Сложность:
среднее
 
 

22.  
Система линейных уравнений
Сложность:
среднее
 
 

23. 
Система, состоящая из квадратного и рационального уравнений, метод умножения
Сложность:
среднее
 
 

24.  
Пары чисел, которые являются решением системы уравнений
Сложность:
среднее
 
 

25. 
Графический метод (окружность и парабола)
Сложность:
сложное
 
 
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными
      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид
 где   a ,  b ,  c   – заданные числа.
      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.
      Пример 1. Найти решение уравнения
      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :
(3)
      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида
 где   x   – любое число.
      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид
(4)
 где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂,  c₂   – заданные числа.
      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a₁ ,  b₁ ,  a₂ ,  b₂   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c₁ ,  c₂  – свободными членами.
      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).
      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.
      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»
      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.
      Пример 2 . Решить систему уравнений
(5)
      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.
      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.
       Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид
 
(6)
      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:
первое уравнение системы оставим без изменений;
из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему
      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем
      Ответ.   (–2 ; 3) .
      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений
(7)
      а) имеет единственное решение;
      б) имеет бесконечно много решений;
      в) не имеет решений.
      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим
      Следовательно, система (7) равносильна системе
(8)
      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):
y (2 – p) (2 + p) = 2 + p (9)
      Если   ,   то уравнение (9) имеет единственное решение
       Следовательно, система (8) равносильна системе
      Таким образом, в случае, когда   ,   система (7) имеет единственное решение
      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид
,
 и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел
,
 где   y   – любое число.
      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид
 и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.
Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид
(10)
 где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  d₁ ,  a₂ ,  b₂,  c₂ ,  d₂ ,  a₃ ,  b₃,  c₃ ,  d₃   – заданные числа.
      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂,  c₂ ,  a₃ ,  b₃,  c₃   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d₁ ,  d₂ ,  d₃   – свободными членами.
      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.
      Пример 4 . Решить систему уравнений
(11)
      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.
      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:
первое уравнение системы оставим без изменений;
ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему
(12)
      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:
первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему
(13)
      Из системы (13) последовательно находим
z = – 2 ;   x  = 1 ;   y = 2 .
      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .
      Пример 5. Решить систему уравнений
(14)
      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:
      Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):
      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.
      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .
      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».
      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений
Понятие системы уравнений. 
Система уравнений — набор уравнений с несколькими неизвестными.
Решение системы уравнений — совокупность значений неизвестных, обращающих каждое из уравнений системы в тождество.
Решить систему уравнений — найти все её решения или доказать, что их нет. Система не имеющая решений решений, называется несовместной.
Равносильные системы — системы, множества решений которых совпадают. Все несовместимые системы — равносильны. 
Свойства систем уравнений: 

Линейные системы уравнений с двумя неизвестными: 
Линейные системы уравнений с двумя переменными — это система вида:
 
Прямые — графики уравнений системы пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение:
  
Прямые — графики уравнений системы — параллельны. Система не имеет решений. 
Прямые — графики уравнений системы совпадают. Система имеет бесконечно много решений:
 
Основные методы решения систем уравнений: 
Графический метод: 
1. Построить в одной системе координат графики обоих уравнений:  
2. Найти координаты точек пересечения графиков. 
Метод подстановки: 
1. Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений.   
2. Подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной переменной. 
3. Найти корни уравнения с одной переменной. 
4. Подставить найденные корни в выражение для первой переменной и получить ее значение. 
Метод сложения (вычитания): 
1. Сложить почленно уравнения системы, предварительно умножив каждое из уравнений на такой множитель:
   
2. Найти корни уравнения с одной переменной. 
3. Подставить найденные корни в любое из уравнений системы и получить уравнение с одной неизвестной. 
4. Найти корни этого уравнения. 
Метод введения новых переменных: 
1. Вместо исходных переменных x и y ввести такие новые переменные:

чтобы система с ними стала проще.   
2. Решить систему с новыми переменными. 
3. Найти значения исходных переменных. 
7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными. — Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными.
Комментарии  преподавателяМетод подстановки.
Существует несколько методов решения систем. Один из них метод подстановки. Рассмотрим пример.
Пример 1:
Суть метода подстановки заключается в том, что в одном из уравнений нужно выразить одну переменную через вторую и подставить полученное выражение во второе уравнение.
В данном случае удобно выразить х во втором уравнении:
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
Преобразуем первое уравнение:
,
 ,
 ,
 
Подставим полученное значение во второе уравнение:
, ,
 
Получаем следующее решение системы:
Пример 2:
В данном случае некоторая сложность заключается в том, что исходную систему нужно преобразовать, чтобы была возможность удобно и без ошибок применить метод подстановки. Для этого умножим оба уравнения на шесть:
Выразим у из первого уравнения:
Подставим полученное выражение во второе уравнение и выполним преобразования:
, ,
 ,
 
 
Подставим полученное значение в первое уравнение:
Получаем единственное решение системы, пара чисел:
Вывод:
на данном уроке мы ознакомились с понятием системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и одним из методов ее решения – способом подстановки. Мы решили примеры для понимания и закрепления данной техники.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki?konspekt&chapter_id=10
Метод сложения.
Рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.Метод алгебраического сложения, как и метод подстановки, заключается в том, что изначально из двух уравнений с двумя переменными нужно получить одно уравнение с одной переменной. Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере:
Пример 1:
 
Задана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при подстановке ее в уравнения получились верные числовые равенства.
Несложно заметить, что в первом уравнении у стоит с минусом, а во втором – с плюсом, и если сложить эти уравнения, то у уничтожится, и мы получим одно уравнение с одной неизвестной:
+
Получаем:
Найдем значение х:
, 
Подставим значение х во второе уравнение и найдем у:
Ответ: (2,4; 2,2)
 
Обратим внимание на то, что мы рассматриваем метод алгебраического сложения, значит, уравнения можно не только складывать, но и вычитать. Рассмотрим пример:
Пример 
При сложении уравнений получим:
, 
Попробуем вычесть уравнения, причем, вычтем первое из второго:
, 
Ответ: (5,5; 0,5)
 
Вывод:
на данном уроке мы рассмотрели новый метод решения систем двух линейных уравнений – метод алгебраического сложения. Мы решили несколько примеров для закрепления данной техники.
 
Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
 Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.
Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.
Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).
Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).
Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.
Ответ: (4; 5).
Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.
Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).
Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).
Ответ: (-2; 5).
 
Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/metod-algebraicheskogo-slozheniya?konspekt&chapter_id=10
http://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.html
 
Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=VltC62A-Tt4
Системы уравнений, урок по алгебре в 11 классе, презентация
 Дата публикации: 10 апреля 2017.
Темой сегодняшнего занятия будут системы уравнений. В курсе алгебры мы с вами научились решать многие системы уравнений с двумя переменными.
Мы знаем несколько методов решений систем уравнений: 
метод подстановки,
метод сложения,
метод введения новых переменных,
графический метод.
 Нам осталось ввести некоторые обобщения и уточнения.Определение. Если поставлена задача: найти такую пару чисел $(х;y)$, причем эти числа удовлетворяют каждому уравнению $p(x;y)=0$ и $u(x;y)=0$, то эти уравнения образуют систему уравнений:
$\begin {cases} p(x;y)=0, \\ u(x;y)=0. \end {cases}$.
Пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая каждому уравнению системы, называется решением системы уравнений. Решить систему уравнений – найти все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие данной системе. 
При решении систем уравнений мы руководствуемся теми же принципами, что и при решении обычных уравнений. Постепенно переходим к более простым уравнениям, выполняя равносильные преобразования. К уравнениям следствиям мы также можем переходить, но не стоит забывать, что в этом случае мы должны проверить все полученные корни.
Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если решений нет у каждой из систем.
Равносильными являются методы:
1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.
3. Метод введения новой переменой.
Используя эти методы, мы заменяем исходную систему уравнений равносильной системой, как правило, получившуюся систему решить гораздо проще.
Методы, приводящие к уравнениям следствиям:
1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения.
2. Умножение уравнений системы.
3. Преобразования, расширяющие область допустимых значений каждого уравнения.
При использовании данных методов проверку корней следует проводить всегда!
Система уравнений может состоять и из трех уравнений, и вообще, любого количества уравнений. В этом случае нужно найти такие числа, которые удовлетворяют каждому уравнению системы.5 == 0, x]
Out[2]= 
Функция Reduce сводит системы неравенств к простой форме:
 (Наберите <= для ввода символа ≤.)In[1]:=  ⨯Reduce[{0 < x < 2, 1 <= x <= 4}, x]
Out[1]= 
Упрощенная форма может состоять из нескольких интервалов:
In[2]:=  ⨯Reduce[(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) > 0, x]
Out[2]= 
Функция NumberLinePlot — это удобный способ визуализации этих результатов:
In[3]:=  ⨯NumberLinePlot[x < 1 || 2 < x < 3 || x > 4, {x, -10, 10}]
Out[3]= 
Большое число уравнений и формул доступно через естественную форму ввода:
 In[1]:=  Xquadratic equation
Out[1]= 
Справочная информация: Полиномиальные уравнения »
Справочная информация: Решение уравнений »
Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »
Полная документация »
Demonstrations Project »
 Решение систем уравнений с двумя переменными (Алгебра 2, Как решить систему линейных уравнений) — Mathplanet
 Система линейного уравнения состоит из двух или более уравнений, и одно ищет общее решение этих уравнений. В системе линейных уравнений каждому уравнению соответствует прямая линия, и каждый ищет точку, где две линии пересекаются.
  Пример 
 Решите следующую систему линейных уравнений:
 $$ \ left \ {\ begin {matrix} y = 2x + 4 \\ y = 3x + 2 \\ \ end {matrix} \ right.
 $ Поскольку мы ищем точку пересечения, мы можем изобразить уравнения:
 Здесь мы видим, что линии пересекаются друг с другом в точке x = 2, y = 8. Это наше решение, и мы можем называть его графическим решением задачи.
 Но как найти решение, если линии никогда не пересекаются? Нельзя, система уравнений не имеет решения.
 Можно также прийти к правильному ответу с помощью метода исключения (также называемого методом сложения или методом линейной комбинации) или методом подстановки.
 При использовании метода подстановки мы используем тот факт, что если два выражения y и x имеют равное значение x = y, то x может заменить y или наоборот в другом выражении без изменения значения выражения.
  Пример 
 Решите системы уравнений методом подстановки
 $$ \ left \ {\ begin {matrix} y = 2x + 4 \\ y = 3x + 2 \\ \ end {matrix} \ right. $$
 Подставляем y в верхнем уравнении выражением для второго уравнения:
 $$ \ begin {array} {lcl} 2x + 4 & = & 3x + 2 \\ 4-2 & = & 3x-2x \\ 2 & = & x \\ \ end {array} $$
 Чтобы определить значение  y , мы можем продолжить, вставив наше значение  x  в любое из уравнений.Выбираем первое уравнение:
 $$ y = 2x + 4 $$
 Подключаем x = 2 и получаем
 $$ y = 2 \ cdot 2 + 4 = 8 $$
 Таким образом, мы пришли к тому же ответу, что и в графическом решении.
 Метод исключения требует, чтобы мы добавляли или вычитали уравнения, чтобы исключить  x  или  y , часто нельзя приступить к сложению напрямую, не умножив сначала первое или второе уравнение на некоторое значение.
  Пример 
 $$ 2x-2y = 8 $$
 $$ x + y = 1 $$
 Теперь мы хотим сложить два уравнения, но это не приведет к исключению  x  или  y .Следовательно, мы должны умножить второе уравнение на 2 с обеих сторон и получить:
 $$ 2x-2y = 8 $$
 $$ 2x + 2y = 2 $$
 Теперь мы пытаемся добавить нашу систему уравнений. Мы начинаем с терминов  x  слева, а затем с терминов  y  и, наконец, с цифр справа:
 $$ (2x + 2x) + (- 2y + 2y) = 8 + 2 $$
 Термины  и  теперь удалены, и теперь у нас есть уравнение только с одной переменной:
 $$ 4x = 10 $$
 $$ x = \ frac {10} {4} = 2.5 $$
 После этого, чтобы определить значение  y , мы вставляем  x  = 2,5 в одно из уравнений. Выбираем первое:
 $$ \ begin {array} {lcl} 2 \ cdot 2.5-2y & = & 8 \\ 5-8 & = & 2y \\ -3 & = & 2y \\ \ frac {-3} {2} & = & y \\ y & = & -1,5 \\ \ end {array} $$
 Видеоурок  Решите систему уравнений:
 $$ \ left \ {\ begin {matrix} 2x-4y = 0 \\ -4x + 4y = -4 \ end {matrix} \ right.
 $  
 Системы линейных уравнений
 
 Линейное уравнение — это уравнение   для линии  .
 Линейное уравнение не всегда имеет вид  y = 3,5 — 0,5x ,
 Это также может быть как  y = 0,5 (7 — x) 
 Или как  y + 0,5x = 3,5 
 Или как  y + 0,5x — 3,5 = 0  и более.
 (Примечание: это одно и то же линейное уравнение!)
 A  Система  линейных уравнений — это когда у нас есть  два или более линейных уравнения , работающих вместе.
 Пример: Вот два линейных уравнения:
 Вместе они представляют собой систему линейных уравнений.
 Сможете ли вы сами определить значения  x  и  y ? (Просто попробуйте, поиграйте с ними немного.)
 Попробуем построить и решить реальный пример:
 Пример: вы против лошади
 Это гонка!
 Вы можете бегать  0,2 км  каждую минуту.
 Лошадь может бежать  0.5 км  каждую минуту. Но оседлать лошадь нужно за 6 минут.
  Как далеко вы можете уйти, прежде чем лошадь вас поймает? 
 Мы можем составить  два уравнения  ( d  = расстояние в км,  t  = время в минутах)
 Вы бежите со скоростью 0,2 км каждую минуту, поэтому  d = 0,2t 
 Лошадь бежит со скоростью 0,5 км в минуту, но мы берем на ее время 6:  d = 0,5 (t − 6) 
 Итак, у нас есть  система  уравнений (это  линейных ):
 Решаем на графике:
 Вы видите, как лошадь стартует через 6 минут, а потом бежит быстрее?
 Кажется, тебя поймают через 10 минут… ты всего в 2 км.
 В следующий раз беги быстрее.
 Итак, теперь вы знаете, что такое система линейных уравнений.
 Давайте продолжим узнавать о них больше ….
 Решение
  Существует множество способов решения линейных уравнений! 
 Давайте посмотрим на другой пример:
 Пример: решите эти два уравнения:
 На этом графике показаны два уравнения:
 Наша задача — найти место пересечения двух линий.
 Ну, мы видим, где они пересекаются, так что это уже решено графически.
 А теперь давайте решим это с помощью алгебры!
 Хммм … как это решить?  Способов может быть много!  В этом случае в обоих уравнениях есть «y», поэтому давайте попробуем вычесть все второе уравнение из первого:
 x + y — (−3x + y) = 6 — 2
 А теперь упростим:
 х + у + 3х — у = 6-2
 4x = 4
 х = 1
 Итак, теперь мы знаем, что линии пересекаются в точке  x = 1 .
 И мы можем найти совпадающее значение  y , используя любое из двух исходных уравнений (потому что мы знаем, что они имеют одинаковое значение при x = 1). Воспользуемся первым (второй можете попробовать сами):
 х + у = 6
 1 + у = 6
 г = 5
 И решение:
 x = 1 и y = 5
 И график показывает, что мы правы!
 Линейные уравнения
 В линейных уравнениях допускаются только простые переменные. Нет x ², y ³, √x и т. Д. :
 
 Линейное против нелинейного
 Размеры
 Линейное уравнение   может быть в 2 измерениях … 
 (например,  x  и  y ) 
 … или в 3-х измерениях … 
 (он делает самолет) 
 … или 4 размера … 
… или больше! 
 Общие переменные
 Чтобы уравнения «работали вместе», они разделяют одну или несколько переменных:
 Система уравнений состоит из  двух или более уравнений  в  одной или нескольких переменных 
 Множество переменных
 Таким образом, Система уравнений может иметь  многих,  уравнений и  многих,  переменных.
 Пример: 3 уравнения с 3 переменными
 2x  +  y –  2z  =  3
 х –  y –  z  =  0
 х  +  y  +  3z  =  12
 Может быть любая комбинация:
 2 уравнения с 3 переменными,
 6 уравнений с 4 переменными,
 9000 уравнений в 567 переменных,
 и др.
 Решения
 Когда количество уравнений равно , то же , что и количество переменных, , вероятно,  будет решением. Не гарантировано, но вероятно.
 На самом деле есть только три возможных случая:
  Нет  раствор
  Одно решение 
  Бесконечно много  решений
 Когда нет  решения , уравнения  называются «несовместимыми» .
  Один  или   бесконечно много  решения  называются  «согласованными» 
 Вот диаграмма для  2 уравнений с 2 переменными :
 Независимая
  «Независимый»  означает, что каждое уравнение дает новую информацию. 
 В противном случае они  «Зависимые» .
 Также называется «линейная независимость» и «линейная зависимость» 
 Пример:
 Эти уравнения  «Зависимые» , потому что на самом деле это  то же уравнение , только умноженное на 2.
 Итак, второе уравнение  не дало новой информации .
 Истинные уравнения
 Уловка состоит в том, чтобы найти, где  все  уравнения являются  истинными одновременно .
  Верно?  Что это значит?
 Пример: вы против лошади
 Линия «ты»  истинна по всей ее длине  (но больше нигде).
 В любом месте этой строки  d  равно  0.2т 
 при t = 5 и d = 1 уравнение  истинно  (d = 0,2t? Да, поскольку  1 = 0,2 × 5  верно)
 при t = 5 и d = 3 уравнение  не соответствует действительности  (верно ли d = 0,2t? Нет, поскольку  3 = 0,2 × 5 неверно )
 Точно так же линия «лошади» также  истинна по всей своей длине  (но больше нигде).
 Но только в точке, где они  пересекают  (при t = 10, d = 2), они  оба истинны .
 Значит, они должны быть правдой   одновременно   …
 … поэтому некоторые люди называют их  «Одновременные линейные уравнения» 
 Решить с помощью алгебры
 Для их решения принято использовать алгебру.
 Вот пример «Лошади», решенный с помощью алгебры:
 Пример: вы против лошади
 Система уравнений:
  В этом случае  кажется, что проще всего установить их равными друг другу:
 д = 0.2т = 0,5 (т − 6)
 Начать с : 0,2t = 0,5 (t — 6)
 Расширить  0,5 (t − 6) : 0,2t = 0,5t — 3
 Вычтем  0,5t  с обеих сторон: −0,3t = −3
 Разделим обе части на  −0,3 : t = −3 / −0,3 =  10  минута
  Теперь мы знаем , когда  тебя поймают! 
 Зная  t , мы можем вычислить  d : d = 0,2t = 0,2 × 10 =  2  км
 И наше решение:
 t = 10 минут и d = 2 км
 Алгебра против графиков
 Зачем использовать алгебру, если графики настолько просты? Потому что:
 Более двух переменных невозможно решить с помощью простого графика.
 Итак, алгебра приходит на помощь двумя популярными методами:
 Решение заменой
 Решение методом исключения
 Мы увидим каждую с примерами по 2 переменным и 3 переменным. Вот и …
 Решение заменой
 Это шаги:
 Напишите одно из уравнений в стиле  «переменная = …» 
  Заменить  (т.е. заменить) эту переменную в другое уравнение (а).
  Решите  другое уравнение (я)
 (при необходимости повторить)
 Вот пример с  2 уравнениями с 2 переменными :
 Пример:
 Мы можем начать с  любого уравнения  и  любой переменной .
 Воспользуемся вторым уравнением и переменной «y» (это выглядит как простейшее уравнение).
 Напишите одно из уравнений в стиле «переменная =»… «:
 Мы можем вычесть x из обеих частей x + y = 8, чтобы получить  y = 8 — x . Теперь наши уравнения выглядят так:
 Теперь замените «y» на «8 — x» в другом уравнении:
 3x + 2  (8 — x)  = 19
 у = 8 — х
 Решите, используя обычные методы алгебры:
 Развернуть  2 (8 − x) :
 3x +  16 — 2x  = 19
 у = 8 — х
 Тогда  3x − 2x = x :
 И на последок  19-16 = 3 
 Теперь мы знаем, что такое  x , мы можем поместить его в уравнение  y = 8 — x :
 И ответ:
 х = 3 
 у = 5
  Примечание: поскольку  — это решение , уравнения  «непротиворечивы»  
 Проверка: почему бы вам не проверить, работают ли x = 3 и y = 5 в обоих уравнениях?
 Решение подстановкой: 3 уравнения с 3 переменными
 ОК! Давайте перейдем к более длинному примеру  :  3 уравнения с 3 переменными .
  Это  несложно,  сделать … просто  нужно много времени ! 
 Пример:
 х + г = 6
 г — 3у = 7
 2x + y + 3z = 15
 Мы должны аккуратно выровнять переменные, иначе мы потеряем из виду то, что делаем:
 x  +  z  =  6 
–  3 года  +  z  =  7 
 2x  +  y  +  3z  =  15 
 WeI может начать с любого уравнения и любой переменной.Воспользуемся первым уравнением и переменной «x».
 Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:
  x   =   6 — z 
–  3 года  +  z  =  7 
 2x  +  y  +  3z  =  15 
 Теперь замените «x» на «6 — z» в других уравнениях:
 (К счастью, есть только одно уравнение с x в нем)
 х  =  6 — z 
–  3 года  +  z  =  7 
 2  (6-z)  +  y  +  3z  =  15 
 Решите, используя обычные методы алгебры:
  2 (6 − z) + y + 3z = 15  упрощается до  y + z = 3 :
 x  =  6 — z 
–  3 года  +  z  =  7 
 y  +  z  =  3 
 Хорошо.Мы добились некоторого прогресса, но пока не достигли этого.
 Теперь  повторите процесс , но только для последних 2 уравнений.
 Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:
 Выберем последнее уравнение и переменную z:
 x  =  6 — z 
–  3 года  +  z  =  7 
  z   =   3 — х лет 
 Теперь замените «z» на «3 — y» в другом уравнении:
 x  =  6 — z 
–  3 года  +   3 — х лет  =  7 
 z  =  3-х лет 
 Решите, используя обычные методы алгебры:
  −3y + (3 − y) = 7  упрощается до  −4y = 4 , или другими словами  y = −1 
 x  =  6 — z 
  y   =   -1 
 z  =  3-х лет 
 Почти готово!
 Зная, что  y = −1 , мы можем вычислить, что  z = 3 − y = 4 :
 x  =  6 — z 
 y  =  -1 
  z   =   4 
 И зная, что  z = 4 , мы можем вычислить, что  x = 6 − z = 2 :
  x   =   2 
 y  =  -1 
 z  =  4 
 И ответ:
 х = 2 
 у = -1 
 г = 4
 Проверка: проверьте сами.
 Мы можем использовать этот метод для 4 или более уравнений и переменных … просто повторяйте одни и те же шаги снова и снова, пока не решите проблему.
 Заключение: Замена работает хорошо, но требует много времени.
 Решение путем исключения
 Уничтожение может быть быстрее … но должно быть аккуратным.
 «Исключить» означает  удалить : этот метод работает путем удаления переменных до тех пор, пока не останется только одна.
 По идее, мы  можем спокойно :
  умножить  уравнение на константу (кроме нуля),
  прибавить  (или вычесть) уравнение к другому уравнению
 Как в этих примерах:
 ПОЧЕМУ мы можем складывать уравнения друг в друга?
 Представьте себе два действительно простых уравнения:
 х — 5 = 3 
 5 = 5
 Мы можем добавить «5 = 5» к «x — 5 = 3»:
 х — 5 + 5 = 3 + 5 
 х = 8
 Попробуйте сами, но используйте 5 = 3 + 2 в качестве второго уравнения
 Он по-прежнему будет работать нормально, потому что обе стороны равны (для этого стоит знак =!)
 Мы также можем поменять местами уравнения, чтобы первое могло стать вторым и т. Д., Если это поможет.
 Хорошо, время для полного примера. Давайте использовать  2 уравнения с 2 переменными, пример  из предыдущего:
 Пример:
  Очень  важно, чтобы все было в порядке:
 3x  +  2 года  =  19 
 х  +  y  =  8 
 Сейчас… наша цель —  исключить  переменную из уравнения.
 Сначала мы видим, что есть «2y» и «y», так что давайте поработаем над этим.
  Умножьте  второе уравнение на 2:
 3x  +  2 года  =  19 
  2  x  +   2  y  =   16 
  Вычтем  второе уравнение из первого уравнения:
  x   =   3 
 2x  +  2 года  =  16 
  Ура! Теперь мы знаем, что такое x! 
 Затем мы видим, что во втором уравнении есть «2x», поэтому давайте уменьшим его вдвое, а затем вычтем «x»:
  Умножьте  второе уравнение на  ½  (т. Е.е. разделить на 2):
 x  =  3 
  x   +   y   =   8 
  Вычтем  первое уравнение из второго уравнения:
 x  =  3 
  y   =   5 
  Готово! 
 И ответ:
 x = 3 и y = 5
 А вот график:
 Синяя линия — это место, где  3x + 2y = 19  истинно
 Красная линия — это место, где  x + y = 8  верно
 При x = 3, y = 5 (где линии пересекаются) они равны , оба  истинны. Этот  и есть ответ.
 Вот еще один пример:
 Пример:
 2х — у = 4
 6x — 3y = 3
 Разложите аккуратно:
 2x –  y  =  4 
 6x –  3 года  =  3 
  Умножьте  первое уравнение на 3:
  6x –   3 года   =   12 
 6x –  3 года  =  3 
  Вычтем  второе уравнение из первого уравнения:
  0 –   0   =   9 
 6x –  3 года  =  3 
 0-0 = 9 ???
  Что здесь происходит? 
 Проще говоря, решения нет.
 На самом деле это параллельные линии: 
 И на последок:
 Пример:
 2х — у = 4
 6x — 3y = 12
 Аккуратно:
 2x –  y  =  4 
 6x –  3 года  =  12 
  Умножьте  первое уравнение на 3:
  6x –   3 года   =   12 
 6x –  3 года  =  12 
  Вычтем  второе уравнение из первого уравнения:
  0 –   0   =   0 
 6x –  3 года  =  3 
 0 — 0 = 0
  Ну, это на самом деле ИСТИНА! Ноль действительно равен нулю… 
 … это потому, что на самом деле это одно и то же уравнение …
 … значит существует бесконечное количество решений
 Это та же строка: 
 Итак, теперь мы рассмотрели пример каждого из трех возможных случаев:
  Нет  раствор
  Одно решение 
  Бесконечно много  решений
 Решение методом исключения: 3 уравнения с 3 переменными
 Прежде чем мы начнем со следующего примера, давайте рассмотрим улучшенный способ решения задач.
 Следуйте этому методу, и мы с меньшей вероятностью ошибемся.
 Прежде всего удалите переменные  в порядке :
. Сначала удалите  x  с (из уравнений 2 и 3, по порядку)
, затем исключите  y  (из уравнения 3)
 Вот как мы их устраняем:
 У нас есть «форма треугольника»:
 Теперь начните снизу и  вернитесь к исходному состоянию  (так называемая «обратная подстановка») 
 (введите  z , чтобы найти  y , затем  z  и  y , чтобы найти  x ):
 И решаемся:
 ТАКЖЕ, мы обнаружим, что проще выполнить  примерно  вычислений в уме или на бумаге для заметок, чем всегда работать в рамках системы уравнений:
 Пример:
 х + у + г = 6
 2y + 5z = −4
 2х + 5у — г = 27
 Аккуратно написано:
 x  +  y  +  z  =  6 
 2 года  +  5z  =  −4 
 2x  +  5 лет –  z  =  27 
 Сначала удалите  x  из 2-го и 3-го уравнения.
 Во втором уравнении нет x … переходите к третьему уравнению:
  Вычтите 2 раза 1-е уравнение из 3-го уравнения  (просто проделайте это в уме или на бумаге для заметок):
 И получаем:
 x  +  y  +  z  =  6 
 2 года  +  5z  =  −4 
  3 года –   3z   =   15 
 Затем удалите  y  из 3-го уравнения.
 Мы, , могли бы  вычесть 1½ раза 2-е уравнение из 3-го (потому что 1½, умноженное на 2, будет 3) …
 … но мы можем  избежать дробей , если мы:
 умножьте третье уравнение на  2  и
 умножьте второе уравнение на  3 
 и , затем  выполняют вычитание … вот так:
 И в итоге получаем:
 x  +  y  +  z  =  6 
 2 года  +  5z  =  −4 
  z   =   -2 
 Теперь у нас есть «треугольная форма»!
 Теперь вернемся снова вверх «обратная замена»:
 Мы знаем  z , поэтому  2y + 5z = −4  становится  2y − 10 = −4 , затем  2y = 6 , поэтому  y = 3 :
 x  +  y  +  z  =  6 
  y   =   3 
 z  =  −2 
 Тогда  x + y + z = 6  становится  x + 3−2 = 6 , поэтому  x = 6−3 + 2 = 5 
  x   =   5 
 y  =  3 
 z  =  −2 
 И ответ:
 x = 5 
 y = 3 
 z = −2
 Проверка: проверьте сами.
 Общий совет
 Когда вы привыкнете к методу исключения, он станет проще, чем замена, потому что вы просто выполняете шаги, и ответы появляются.
 Но иногда замена может дать более быстрый результат.
 Замена часто проще для небольших случаев (например, 2 уравнения, а иногда и 3 уравнения)
 Удаление проще для больших ящиков
 И всегда полезно сначала просмотреть уравнения, чтобы увидеть, есть ли простой ярлык… так что опыт помогает.
 Алгебраические методы решения систем
 Результаты обучения
 Используйте метод замены Решите систему уравнений, используя метод подстановки.
 Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений
 Используйте метод исключения без умножения Решите систему уравнений, когда умножение не требуется для исключения переменной
 Используйте метод исключения с умножением Используйте умножение в сочетании с методом исключения для решения системы линейных уравнений
 Распознать, когда решение системы линейных уравнений подразумевает, что существует бесконечное число решений
 Решите систему уравнений методом подстановки
 В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики, чтобы классифицировать, сколько решений имеет система двух линейных уравнений.Что, если нам не дана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы еще найти решение этой системы? Конечно, можно, используя алгебру!
 В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. На протяжении всего курса мы использовали подстановку по-разному, например, когда использовали формулы для вычисления площади треугольника и простого процента. Мы подставили значения, которые мы знали, в формулу, чтобы найти значения, которых мы не знали.Идея аналогична применительно к решению систем, в этом процессе всего несколько этапов. Сначала вы решите одну переменную, а затем подставите это выражение в другое уравнение. Чтобы понять, что это означает, давайте начнем с примера.
 Пример
 Найдите значение  x  для этой системы.
 Уравнение A: [латекс] 4x + 3y = −14 [/ латекс]
 Уравнение B: [латекс] y = 2 [/ латекс] Показать решение
Задачу просит решить для  х .Уравнение B дает вам значение  y , [latex] y = 2 [/ latex], поэтому вы можете заменить 2 в уравнение A для y. [латекс] \ begin {array} {r} 4x + 3y = −14 \\ y = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]  
 Подставьте [латекс] y = 2 [/ латекс] в уравнение A.
 [латекс] 4x + 3 \ влево (2 \ вправо) = — 14 [/ латекс]
 Упростите и решите уравнение для  x. 
 [латекс] \ begin {array} {r} 4x + 6 = −14 \\ 4x = −20 \ x = −5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Ответ
 [латекс] x = −5 [/ латекс]
 Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение.Вот пример.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y .
 Уравнение A: [латекс] y + x = 3 [/ латекс]
 Уравнение B: [латекс] x = y + 5 [/ латекс] Показать решение
Цель метода подстановки — переписать одно из уравнений в терминах одной переменной. Уравнение B говорит нам, что [латекс] x = y + 5 [/ latex], поэтому имеет смысл заменить [latex] y + 5 [/ latex] в уравнение A для  x . [латекс] \ begin {array} {l} y + x = 3 \\ x = y + 5 \ end {array} [/ latex]
 Подставьте [латекс] y + 5 [/ латекс] в уравнение A для  x .
 [латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ y + \ left (y + 5 \ right) = 3 \ end {array} [/ latex] 
 Упростите и решите уравнение для  y. 
 [латекс] \ begin {array} {r} 2y + 5 = \, \, \, \, 3 \\\ подчеркивание {−5 \, \, \, \, \, — 5} \\ 2y = — 2 \\ y = −1 \ end {array} [/ latex]
 Теперь найдите  x , подставив это значение для  y  в любое уравнение, и решите относительно  x . Здесь мы будем использовать уравнение A.
 [латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ — 1 + x = 3 \\\ подчеркивание {+1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, +1} \\ x = 4 \ end {array} [/ latex]
 Наконец, проверьте решение [latex] x = 4 [/ latex], [latex] y = −1 [/ latex], подставив эти значения в каждое из исходных уравнений.
 [латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ — 1 + 4 = 3 \\ 3 = 3 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]
 [латекс] \ begin {массив} {l} x = y + 5 \\ 4 = −1 + 5 \\ 4 = 4 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]
 Ответ
 [латекс] x = 4 [/ латекс] и [латекс] y = -1 [/ латекс]
 Решение — [латекс] (4, -1) [/ латекс].
 Помните, решение системы уравнений должно быть решением каждого из уравнений внутри системы. Упорядоченная пара [latex] (4, −1) [/ latex] действительно работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что это также решение системы.
 Давайте посмотрим на другой пример, замена которого включает свойство распределения.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y .
 [латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ — 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]
 Показать решение
Выберите уравнение для замены. Первое уравнение говорит вам, как выразить  y  через  x , поэтому имеет смысл подставить 3  x  + 6 во второе уравнение для  y .
 [латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ — 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]
 Подставьте [латекс] 3x + 6 [/ latex] вместо  y  во второе уравнение.
 [латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ — 2x + 4 \ left (3x + 6 \ right) = 4 \ end {array} [/ latex] 
 Упростите и решите уравнение для  x. 
 [латекс] \ begin {array} {r} −2x + 12x + 24 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x + 24 = 4 \, \, \, \, \ , \, \, \\\ подчеркивание {−24 \, \, — 24 \, \, \, \,} \\ 10x = −20 \\ x = −2 \, \, \, \ end {array} [/ латекс]
 Чтобы найти  y , подставьте это значение вместо  x  обратно в одно из исходных уравнений.
 [латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ y = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ y = −6 + 6 \\ y = 0 \ end {array} [/ латекс]
 Проверьте решение [латекс] x = −2 [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex], подставив их в каждое из исходных уравнений.
 [латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ 0 = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ 0 = −6 + 6 \\ 0 = 0 \\\ text { ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]
 [латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ — 2 \ left (-2 \ right) +4 \ left (0 \ right) = 4 \\ 4 + 0 = 4 \\ 4 = 4 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]
 Ответ
 [латекс] x = -2 [/ латекс] и [латекс] y = 0 [/ латекс]
 Решение (−2, 0).
 В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной  x  или  y . Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.
 Иногда вам, возможно, придется сначала переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете заменить ее в другое уравнение.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y .
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]
 Показать решение
Выберите уравнение для замены. Второе уравнение, [латекс] 3x + y = 19 [/ latex], может быть легко переписан в терминах  y , поэтому имеет смысл начать с этого.
 [латекс] \ begin {array} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]
 Перепишите [латекс] 3x + y = 19 [/ latex] в виде  y .
 [латекс] \ begin {array} 3x + y = 19 \\ y = 19–3x \ end {array} [/ latex]
 Замените [латекс] 19–3x [/ латекс] на  y  в другом уравнении.
  [латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2x + 3 (19–3x) = 22 \ end {array} [/ latex] 
 Упростите и решите уравнение для  x. 
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x + 57–9x = 22 \, \, \, \, \\ — 7x + 57 = 22 \, \, \, \, \\ — 7x = −35 \\ x = 5 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Подставьте [latex] x = 5 [/ latex] обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти  y.
 [латекс] \ begin {array} {r} 3x + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 3 \ left (5 \ right ) + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15 + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ y = 19−15 \\ y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Проверьте оба решения, подставив их в каждое из исходных уравнений.
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2 (5) +3 \ left (4 \ right) = 22 \\ 10 + 12 = 22 \\ 22 = 22 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 3x + y = 19 \\ 3 \ left (5 \ right) + 4 = 19 \\ 19 = 19 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]
 Ответ
 [латекс] x = 5 [/ латекс] и [латекс] y = 4 [/ латекс]
 Решение (5, 4).
 В следующем видео вам будет показан пример решения системы двух уравнений с использованием метода подстановки.
  
 Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущем примере, вы все равно смогли бы найти такое же решение. Это действительно вопрос предпочтений, потому что иногда решение для переменной приводит к необходимости работать с дробями. По мере того, как вы приобретете больший опыт в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.
 Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений
 Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, мы обнаружили, что некоторые уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное количество решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.
 Вспомните этот пример из модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:
 Решите относительно  x .[латекс] 12 + 2x – 8 = 7x + 5–5x [/ латекс]
 [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 12 + 2x-8 = 7x + 5-5x \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \ end {array} [/ latex]
 [латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \\\, \, \ , \, \, \, \, \, \ underline {-2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 2x \, \, \, \, \, \, \, \,} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 4 = \, 5 \ end {array} [/ latex]
 Это ложное утверждение подразумевает, что не существует  решений  этого уравнения. Точно так же вы можете увидеть такой результат, когда используете метод подстановки, чтобы найти решение системы линейных уравнений с двумя переменными.В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y .
 [латекс] \ begin {array} {l} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \ end {array} [/ latex]
 Показать решение
Поскольку первое уравнение [латекс] y = 5x + 4 [/ latex], вы можете заменить [латекс] 5x + 4 [/ latex] на  y  во втором уравнении. [латекс] \ begin {array} {r} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x – 2 \ left (5x + 4 \ right) = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Разверните выражение слева.
 [латекс] 10x – 10x – 8 = 4 [/ латекс]
 Объедините похожие члены в левой части уравнения.
 [латекс] 10x – 10x = 0 [/ latex], поэтому у вас остается [latex] −8 = 4 [/ latex].
 [латекс] \ begin {array} {r} 0–8 = 4 \\ — 8 = 4 \ end {array} [/ latex]
 Ответ
 Утверждение [latex] −8 = 4 [/ latex] неверно, поэтому решения нет.
 Вы получаете ложное утверждение [латекс] −8 = 4 [/ латекс]. Что это значит? График этой системы проливает свет на то, что происходит.
 Прямые параллельны, они никогда не пересекаются, и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [latex] −8 = 4 [/ latex] — это , а не  как решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что  не существует решения .
 Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное количество решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.
 Пример
 Решите относительно x и y.
 [латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, y = −0,5x \\ 9y = −4,5x \ end {array} [/ latex]
 Показать решение Подставляя -0,5  x  вместо  y  во втором уравнении, вы получаете следующее:
 [латекс] \ begin {array} {r} 9y = −4.5x \\ 9 (−0.5x) = — 4.5 \, \, \, \\ — 4.5x = −4.5x \ end {array} [/ латекс]
 На этот раз вы получите верное утверждение: [латекс] −4,5x = −4,5x [/ latex]. Но что означает такой ответ? Опять же, построение графиков может помочь вам разобраться в этой системе.
 Эта система состоит из двух уравнений, которые представляют одну и ту же линию; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, и поэтому метод подстановки дает верное утверждение. В этом случае существует бесконечное количество решений.
 В следующем видео вы увидите пример решения системы, имеющей бесконечное количество решений.
  
 В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.
  
 Решите систему уравнений методом исключения
 Метод исключения   для решения систем линейных уравнений использует добавочное свойство равенства. Вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне уравнения, чтобы исключить один из переменных членов. В этом методе вам может потребоваться, а может и не потребоваться сначала умножить члены в одном уравнении на число. Сначала мы рассмотрим примеры, в которых умножение не требуется для использования метода исключения.В следующем разделе вы увидите примеры использования умножения после того, как познакомитесь с идеей метода исключения.
 С помощью этого метода легче показать, чем рассказать, поэтому давайте сразу же рассмотрим несколько примеров.
 Если сложить два уравнения,
 [латекс] x – y = −6 [/ latex] и [latex] x + y = 8 [/ latex] вместе, посмотрите, что произойдет.
 [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, xy = \, — 6 \\\ подчеркивание {+ \, x + y = \, \, \, 8} \\\, 2x + 0 \, = \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]
 Вы исключили член  y , и это уравнение можно решить, используя методы решения уравнений с одной переменной.
 Давайте посмотрим, как эта система решается методом исключения.
 Пример
 Используйте устранение, чтобы решить систему.
 [латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ x + y = \, \, \, \, 8 \ end {array} [/ latex] Показать решение
Добавьте уравнения. [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} xy = \, \, — 6 \\ + \ underline {\, \, x + y = \, \, \, \, \, 8} \\ \, \, \, \, \, \, 2x \, \, \, \, \, = \, \, \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]
 Решите относительно  x .
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x = 2 \\ x = 1 \ end {array} [/ latex]
 Подставьте [latex] x = 1 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно  y .
 [латекс] \ begin {array} {l} x + y = 8 \\ 1 + y = 8 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 8– 1 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 7 \ end {array} [/ latex]
 Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!
 [латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ 1–7 = −6 \\ — 6 = −6 \\\ text {TRUE} \\\\ x + y = 8 \ \ 1 + 7 = 8 \\ 8 = 8 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]
 Проверяйте ответы.
 Ответ
 Решение (1, 7).
 К сожалению, не все системы справляются с этим легко. Как насчет такой системы, как [латекс] 2x + y = 12 [/ latex] и [latex] −3x + y = 2 [/ latex].Если вы сложите эти два уравнения вместе, никакие переменные не будут исключены.
 [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + y = 12 \\\ подчеркивание {-3x + y = \, \, \, 2} \\ — x + 2y = 14 \ end {array} [/ latex]
 Но вы хотите исключить переменную. Итак, давайте добавим противоположность одного из уравнений к другому уравнению. Это означает умножение каждого члена в одном из уравнений на -1, чтобы знак каждого члена был противоположным.
 [латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + \, \, y \, = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \\ — 3x + \, \, y \, = 2 \ rightarrow− \ left (−3x + y \ right) = — (2) \ rightarrow3x – y = −2 \\\, \, \, \, 5x + 0y = 10 \ end {array} [/ латекс]
 Вы удалили переменную  y , и теперь проблема может быть решена.
 В следующем видео описывается аналогичная проблема, при которой можно исключить одну переменную, сложив два уравнения вместе.
  
 Осторожность! Когда вы добавляете противоположность одного целого уравнения к другому, не забудьте изменить знак КАЖДОГО члена с обеих сторон уравнения. Это очень распространенная ошибка. Пример
 Используйте устранение, чтобы решить систему.
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ — 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex] Показать решение
Вы можете исключить переменную  y , добавив противоположность одного из уравнений к другому уравнению. [латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ — 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Перепишем второе уравнение как противоположное.
 Доп. Решите относительно  x .
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \, \\ 3x – y = −2 \\ 5x = 10 \, \\ x = 2 \, \, \, \, \ end { array} [/ latex]
 Подставьте [латекс] y = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно  y .
 [латекс] \ begin {array} {r} 2 \ left (2 \ right) + y = 12 \\ 4 + y = 12 \\ y = 8 \, \, \, \ end {array} [/ latex ]
 Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ 2 \ left (2 \ right) + 8 = 12 \\ 4 + 8 = 12 \\ 12 = 12 \\\ text {TRUE} \\\\ — 3x + y = 2 \\ — 3 \ left (2 \ right) + 8 = 2 \\ — 6 + 8 = 2 \\ 2 = 2 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ латекс]
 Проверяйте ответы.
 Ответ
 Решение: (2, 8).
 Ниже приведены еще два примера, показывающих, как решать линейные системы уравнений с использованием исключения.
 Пример
 Используйте устранение, чтобы решить систему.
 [латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex] Показать решение
Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Если вы сложите эти два уравнения, член  x  будет удален, поскольку [латекс] −2x + 2x = 0 [/ latex]. [латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]
 Складываем и решаем относительно  и .
 [латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = 25 \, \\ 8y = 24 \, \\ y = 3 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Подставьте [латекс] y = 3 [/ latex]   в одно из исходных уравнений.
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x + 5y = 25 \\ 2x + 5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 2x + 15 = 25 \\ 2x = 10 \ x = 5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Проверить решения.
 [латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ — 2 \ left (5 \ right) +3 \ left (3 \ right) = — 1 \\ — 10 + 9 = — 1 \\ — 1 = −1 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 2x + 5y = 25 \\ 2 \ left (5 \ right) +5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 10 + 15 = 25 \\ 25 = 25 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]
 Проверяйте ответы.
 Ответ
 Решение: (5, 3).
 Пример
 Используйте исключение, чтобы найти  x  и  y. 
 [латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex] Показать решение
Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Вам нужно будет добавить противоположное одному из уравнений, чтобы исключить переменную  y , так как [latex] 2y + 2y = 4y [/ latex], но [latex] 2y + \ left (−2y \ right) = 0 [ /латекс]. [латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]
 Замените одно из уравнений на противоположное, сложите и решите относительно  x .
 [латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \, \, \, \, \\ — 5x – 2y = −16 \\ — x = −2 \, \, \, \\ x = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Подставьте [латекс] x = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно  y .
 [латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 4 \ left (2 \ right) + 2y = 14 \\ 8 + 2y = 14 \\ 2y = 6 \, \, \, \ \ y = 3 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Ответ
 Решение: (2, 3).
 Проверьте последний пример — подставьте (2, 3) в оба уравнения. Получается два верных утверждения: 14 = 14 и 16 = 16!
 Обратите внимание, что вы могли бы использовать противоположное первому уравнению, а не второе уравнение, и получить тот же результат.
 Распознавать системы, у которых нет решения или бесконечное количество решений
 Как и в случае с методом подстановки, метод исключения иногда удаляет  и v  ariables, и вы получаете либо истинное, либо ложное утверждение. Напомним, ложное утверждение означает, что решения нет.
 Давайте посмотрим на пример.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y. 
 [латекс] \ begin {array} {r} -x – y = -4 \\ x + y = 2 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex] Показать решение
Добавьте уравнения, чтобы исключить член  x . [латекс] \ begin {array} {r} -x – y = -4 \\\ подчеркивание {x + y = 2 \, \, \,} \\ 0 = −2 \ end {array} [/ latex ]
 Ответ
 Нет решения.
 Построение этих линий показывает, что они параллельны и не имеют общих точек, что подтверждает отсутствие решения.
 Если обе переменные исключены и у вас осталось истинное утверждение, это означает, что существует бесконечное количество упорядоченных пар, которые удовлетворяют обоим уравнениям. По сути, уравнения — это одна и та же линия.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y .
 [латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\ — x − y = -2 \ end {array} [/ latex] Показать решение
Добавьте уравнения, чтобы исключить член  x . [латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\\ underline {-x − y = -2} \\ 0 = 0 \, \, \, \ , \, \ end {array} [/ latex]
 Ответ
 Есть бесконечное количество решений.
 Построение этих двух уравнений поможет проиллюстрировать, что происходит.
  
 В следующем видео система уравнений, не имеющая решений, решается методом исключения.
  
 Решите систему уравнений, когда необходимо умножение для исключения переменной
 Многократное добавление уравнений или добавление противоположности одного из уравнений не приведет к удалению переменной. Посмотрите на систему ниже.
 [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]
 Если вы сложите приведенные выше уравнения или добавите противоположное одному из уравнений, вы получите уравнение, в котором по-прежнему есть две переменные.Итак, давайте теперь сначала воспользуемся свойством умножения равенства. Вы можете умножить обе части одного уравнения на число, которое позволит вам исключить ту же переменную из другого уравнения.
 Мы делаем это с умножением. Обратите внимание, что первое уравнение содержит член 4  y , а второе уравнение содержит член  y . Если вы умножите второе уравнение на −4, когда вы сложите оба уравнения, переменные  y  в сумме дадут 0.
 В следующем примере показаны все шаги по поиску решения для этой системы.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y .
  Уравнение A:  [латекс] 3x + 4y = 52 [/ латекс]
  Уравнение B:  [латекс] 5x + y = 30 [/ латекс] Показать решение
Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов  x  или  y  с одинаковыми коэффициентами. [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]
 Умножьте второе уравнение на [латекс] −4 [/ латекс], чтобы получить одинаковый коэффициент.
 [латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 3x + 4y = 52 \\ — 4 \ left (5x + y \ right) = — 4 \ влево (30 \ вправо) \ end {array} [/ latex]
 Перепишите систему и добавьте уравнения.
 [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \, \, \, \, \, \, \, \\ — 20x – 4y = −120 \ end {array} [/ latex]
 Решите относительно  x .
 [латекс] \ begin {array} {l} −17x = -68 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = 4 \ end {array} [/ latex ]
 Подставьте [латекс] x = 4 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти  y .
 [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) + 4y = 52 \\ 12 + 4y = 52 \\ 4y = 40 \\ y = 10 \ end {array} [/ latex]
 Проверьте свой ответ.
 [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) +4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 12 + 40 = 52 \\ 52 = 52 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 5x + y = 30 \\ 5 \ влево (4 \ вправо) + 10 = 30 \\ 20 + 10 = 30 \\ 30 = 30 \\\ текст {ИСТИНА} \ конец {array} [/ latex]
 Проверяйте ответы.
 Ответ
 Решение: (4, 10).
 Осторожность! Когда вы используете умножение для исключения переменной, вы должны умножить КАЖДЫЙ член в уравнении на выбранное вами число.Забыть умножить каждый член — распространенная ошибка. Есть и другие способы решить эту систему. Вместо умножения одного уравнения, чтобы исключить переменную при добавлении уравнений, вы могли бы умножить  обоих  уравнений на разные числа.
 На этот раз удалим переменную  x . Умножьте уравнение A на 5 и уравнение B на [латекс] -3 [/ латекс].
 Пример
 Решите для  x  и  y .
 [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex] Показать решение
Ищите термины, которые можно исключить.В уравнениях нет членов  x  или  y  с одним и тем же коэффициентом. [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]
 Чтобы использовать метод исключения, вы должны создать переменные с одинаковым коэффициентом — тогда вы можете их исключить. Умножьте верхнее уравнение на 5.
 [латекс] \ begin {array} {r} 5 \ left (3x + 4y \ right) = 5 \ left (52 \ right) \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Теперь умножьте нижнее уравнение на −3.
 [латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ — 3 (5x + y) = — 3 (30) \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ — 15x – 3y = −90 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [ / латекс]
 Затем сложите уравнения и решите относительно  y .
 [латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \\ — 15x – 3y = \, — 90 \\ 17y = 170 \\ y = \, \, \, 10 \ end {array} [ / латекс]
 Подставьте [латекс] y = 10 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти  x .
 [латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3x + 4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 3x + 40 = 52 \\ 3x = 12 \ x = 4 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
 Вы пришли к тому же решению, что и раньше.
 Ответ
 Решение: (4, 10).
 Эти уравнения были умножены на 5 и [латекс] −3 [/ латекс] соответственно, потому что это дало вам члены, которые в сумме дают 0. Не забудьте умножить все члены уравнения.
 В следующем видео вы увидите пример использования метода исключения для решения системы уравнений.
  
 Можно использовать метод исключения с умножением и получить результат, который не указывает решений или бесконечно много решений, точно так же, как с другими методами, которые мы изучили для поиска решений систем.В следующем примере вы увидите систему, которая имеет бесконечно много решений.
 Пример
 Решите относительно  x  и  y .
  Уравнение A:  [латекс] x-3y = -2 [/ латекс]
  Уравнение B:  [латекс] -2x + 6y = 4 [/ латекс] Показать решение
Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов  x  или  y  с одинаковыми коэффициентами. [латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ — 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]
 Умножьте первое уравнение на [latex] 2 [/ latex] так, чтобы члены x уравнялись.
 [латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \ left (x-3y \ right) = 2 \ left (-2 \ right) \\ — 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]
 Перепишите систему и добавьте уравнения.
 [латекс] \ begin {array} {r} 2x-6y = -4 \\ — 2x + 6y = 4 \\ 0x + 0y = 0 \\\, \, \, \, \, \, \, \ , 0 = 0 \ end {array} [/ latex]
 Вам знакомо такое решение? Это представляет собой решение всех действительных чисел для линейных уравнений, и это представляет то же самое, когда вы получаете такой результат с системами. Если мы решим оба этих уравнения относительно y, вы увидите, что это одно и то же уравнение.
 Решите уравнение A относительно y:
 [латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ — 3y = -x-2 \\ y = \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {array} [/ latex]
 Решите уравнение B относительно y:
 [латекс] \ begin {array} -2x + 6y = 4 \\ 6y = 2x + 4 \\ y = \ frac {2} {6} x + \ frac {4} {6} \ end {array} [/ латекс]
 Уменьшите дроби, разделив числитель и знаменатель обеих дробей на 2:
 [латекс] y = \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} [/ latex]
 Оба уравнения одинаковы, если записаны в форме пересечения наклона, и поэтому набором решений для системы являются все действительные числа.
 Ответ
 Решение: x и y могут быть действительными числами.
 В следующем видео метод исключения используется для решения системы уравнений. Обратите внимание, что сначала нужно умножить одно из уравнений на отрицательное. Вдобавок у этой системы есть бесконечное количество решений.
  
 Сводка
 Метод подстановки — это один из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных в терминах другой переменной.Затем замените это выражение этой переменной во втором уравнении. Затем вы можете решить это уравнение, поскольку теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (с указанием одного решения), неверное утверждение (с указанием отсутствия решений) или истинное утверждение (с указанием бесконечного числа решений).
 Объединение уравнений — мощный инструмент для решения системы уравнений.Сложение или вычитание двух уравнений для исключения общей переменной называется методом исключения (или добавления). Как только одна переменная исключена, становится намного проще найти другую.
 Умножение можно использовать для создания условий совпадения в уравнениях перед их объединением, чтобы помочь в поиске решения системы. При использовании метода умножения важно умножить все члены с обеих сторон уравнения, а не только один член, который вы пытаетесь исключить.
 Системы линейных уравнений: определения
   Системы
линейных уравнений: определения     (стр.
1 из 7)  
  Разделы: Определения, Решение
путем построения графиков, подстановки, исключения / добавления, исключения Гаусса. 
 А «система»
уравнения — это набор или набор уравнений, с которыми вы работаете вместе
сразу.Линейные уравнения (те, которые отображаются в виде прямых линий) проще
чем нелинейные уравнения, и простейшая линейная система — это система с
два уравнения и две переменные.
 Вспомните линейные уравнения.
Например, рассмотрим линейное уравнение  y  = 3  x  — 5. «Решение»
к этому уравнению была любая точка  x ,  y , которая «работала»
в уравнении. Итак (2,
1) было решением, потому что,
подключение 2 для  x :
 С другой стороны, (1,
2) не было решением,
потому что, подключение 1 для  x :
… что не равнялось  y  (что было 2,
для этого пункта). Конечно, в практическом плане решений вы не нашли
в уравнение, выбирая случайные точки, вставляя их и проверяя
чтобы увидеть, «работают» ли они в уравнении. Вместо этого вы выбрали значения  x .
а затем вычислили соответствующие значения  y .
И вы использовали ту же процедуру для построения графика
уравнение. Этот
указывает на важный факт: каждая точка на графике была решением
к уравнению, и любое решение уравнения отмечалось точкой на графике.
 Теперь рассмотрим следующее
двухпараметрическая система линейных уравнений:
 
 С
два приведенных выше уравнения составляют систему, мы решаем их вместе
в то же время. В частности, мы можем изобразить их вместе на
та же система осей, например:  
 
 Решением единственного уравнения   является любая точка, лежащая на линии этого уравнения.А
решение для системы   уравнений — это любая точка, лежащая на каждой строке системы.
Например, красная точка справа не является решением системы,
потому что его нет ни в одной строке:  
 
 В
синяя точка справа не является решением системы, потому что она
лежит только на одной из линий, а не на  на обеих  из них:  
 
 В
фиолетовая точка справа — это решение системы, потому что она лежит
по обеим линиям:  
 В частности, этот фиолетовый
точка отмечает пересечение двух линий.Поскольку эта точка находится на
обе строки, таким образом, он решает оба уравнения, поэтому он решает всю систему
уравнения. И это соотношение всегда верно: для систем уравнений
«решения» — это «пересечения». Вы можете подтвердить
решение, подставив его в систему уравнений и подтвердив, что
решение работает в каждом уравнении.
 Проверить данные возможные
решения, я просто подключаю  x  —
и  y  — координаты
в уравнения и проверьте, работают ли они.
Авторские права
© Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены
 Поскольку данная точка работает в каждом уравнении,
это решение системы. Теперь проверю другой пункт (который
мы уже знаем, глядя на график, это не решение):
 Итак, решение работает в одном из уравнений.
Но чтобы решить систему, она должна работать в обоих уравнениях.Продолжая
чек:
 Но –2 не равно –6,
так что это «решение» не проверяет. Тогда ответ:
  только точка   (–1,
–5)   — это
решение системы 
 Вверх |  1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7  | Возвращаться
к указателю Вперед >>
 Цитируйте эту статью
как:  Стапель, Елизавета.«Системы линейных уравнений: определения».  Purplemath . Доступна с 
  https://www.purplemath.com/modules/systlin1.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016 
 Введение в системы уравнений — Концепция
 Система уравнений — это два или более уравнений, содержащих одни и те же переменные.Решения системы уравнений — это точка пересечения линий. Существует четыре метода решения  систем уравнений : построение графиков, подстановка, исключение и матрицы. Решение систем уравнений — важная концепция, которая сначала появляется в алгебре I, но строится на математике верхнего уровня.
 Решение систем уравнений — действительно важный навык на всех уроках математики.Он появляется на первом курсе по алгебре, но после этого продолжается практически во всех курсах. Так что это действительно важная идея, на которой вы захотите сосредоточиться в первый раз. 
 Система уравнений — это два или более уравнений, содержащих одни и те же переменные. 
 В классе алгебры вы, вероятно, увидите только две переменные, которые возведены в первую степень, но когда вы перейдете к продвинутой алгебре или к алгебре два, вы можете начать видеть вещи с x в квадрате, y в квадрате, иногда у вас есть три или даже четыре уравнения, не только x и y, но xyz и w или что-то в этом роде, но в алгебре большую часть времени мы просто говорим о двух уравнениях, в которых есть x и y.
 Решение системы уравнений — это решение обоих или всех исходных уравнений. Это точка пересечения линий. Это означает, что если я возьму свои пары x и y, которые, как мне кажется, являются решением, и подставлю их в оба исходных уравнения, оба исходных уравнения окажутся верными, они выйдут как равенства, вот как я узнаю, будут ли мои работа правильная. Другой способ проверить свою работу — это построить график и посмотреть, находится ли моя точка решения там, где пересекаются линии. Вы усвоите это, когда начнете выполнять некоторые практические задания.Когда вас просят решить эти проблемы, обычно используются четыре метода. 
 Первый метод — построить график, вы нарисуете обе линии, увидите, где они пересекаются, и это ваша точка решения. Если вы не умеете рисовать, не волнуйтесь, у вас есть другие варианты. Подстановка — это когда вы выделяете одну переменную, а затем подставляете это выражение в другое уравнение. Вот как выглядит подстановка, и она действительно часто используется, когда у вас есть уравнения, оба в форме y = mx + b.
 Третий метод называется «Исключение», и именно здесь вы смотрите на коэффициенты перед x и y и пытаетесь получить коэффициенты в ваших двух уравнениях, которые являются аддитивно обратными. Например, если мое уравнение 1 имеет 3x + 4y или что-то в этом роде, я хочу, чтобы мое уравнение 2 имело -3x, таким образом, когда я работаю с уравнениями вместе, мои положительные 3x и -3x будут удалены, когда я сложу их вместе. Вот что такое аддитивная инверсия. 
 Четвертый метод — это то, что вы не увидите, пока не станете более продвинутым в классах математики, вероятно, не раньше, чем вы продвинетесь в классе алгебры или алгебры 2.Так что я вычеркну это, мы не собираемся повторять это в одном курсе алгебры, но вы увидите это в будущем. 
 Так что, если вы хорошо умеете рисовать, это может быть ваш выбор, если вы хорошо используете алгебру, как будто вы довольно точны, когда выписываете все домашние задания по математике и не теряете отрицательных знаков Вы довольно хорошо разбираетесь в дробях и тому подобном. Замещение или исключение может быть вашим любимым методом. Тем не менее, лучше знать, как использовать все методы, чтобы в случае, если вы дойдете до своего теста по математике, и у вас будет как пердеть, и вы забудете, как выполнять подстановку, вы все равно могли использовать либо исключение, либо график.
 Систем уравнений — Колледж алгебры
 Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
 Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.
 Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
 Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
 Вы должны включить следующее:
 Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
 Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
 Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC 
 101 S. Hanley Rd, Suite 300 
 St. Louis, MO 63105 
 Или заполните форму ниже:
 Алгебра систем уравнений — Задачи | Системы уравнений
 В алгебре система уравнений — это группа из двух или более уравнений, содержащих один и тот же набор переменных.Решение системы — это значения набора переменных, которые могут одновременно удовлетворять всем уравнениям системы. При графическом выражении, поскольку каждое уравнение системы можно изобразить в виде линии, когда мы ищем решение системы, мы фактически ищем пересечение этих линий. Также обратите внимание, что существуют как «линейные», так и «нелинейные» системы уравнений. Разница в том, что линейные уравнения дают прямые линии и содержат только переменные, коэффициенты и константы.Нелинейные уравнения могут содержать показатели степени, квадратные корни и т. Д. Это может показаться очевидным, но для осмысленного решения системы уравнений они должны разделять одну или несколько переменных. Например, мы можем решить такие уравнения, как \ (5 = x + y \)
 и \ (2y + x = 7 \)
, потому что они разделяют переменные x и y. Как решить эти уравнения? Существует несколько методов, таких как подстановка, исключение, матрица и т. Д. Для этого урока давайте воспользуемся подстановкой, которая кажется наиболее интуитивно понятным методом для начинающих.Решите следующую систему уравнений: \ (5 = х + у \)
 \ (2у + х = 7 \)
 Начнем с первого уравнения \ (5 = x + y \)
. Вычитание y с обеих сторон дает нам \ (x \)
 само по себе как \ (5-y = x \)
, которое можно переписать как \ (x = 5-y \)
. Затем мы подставляем \ (x = 5-y \)
 во второе уравнение \ (2y + x = 7 \)
, что дает \ (2y + 5-y = 7 \)
. Мы можем упростить это до \ (y + 5 = 7 \)
, что говорит нам, что \ (y = 2 \)
.Затем мы заменяем \ (y = 2 \)
 обратно на \ (x = 5-y \)
, что составляет \ (x = 5-2 \)
. Это упрощается до \ (x = 3 \)
. Мы сделали! Мы обнаружили, что \ (x = 3 \)
 и \ (y = 2 \)
. Это решение этой системы уравнений. Вы можете более подробно ознакомиться с системами уравнений, используя практические задачи в верхней части этой страницы. Вы также можете попробовать другие темы на нашей странице практики. Готовы вывести свое обучение на новый уровень с помощью шагов «как» и «почему»? Подпишитесь на Cymath Plus сегодня.

Сколько раз каждый алгебраический множитель
появляется при факторизации:
Алгебраический фактор	Левый Знаменатель	Правый Знаменатель	НОК = Макс {Левый, Правый}
x	1	2	2

Причинно следственная формулировка периодического закона: Периодический закон Д. И. Менделеева — урок. Химия, 8–9 класс.

Posted on 02.01.197021.06.2021 by alexxlab

Периодический закон Менделеева и периодическая система химических элементов

Периодический Закон Д.И. Менделеева

Периодический закон Д.И. Менделеева и периодическая система химических элементов имеет большое значение в развитии химии. Окунемся в 1871 год, когда профессор химии Д.И. Менделеев, методом многочисленных проб и ошибок, пришел к выводу, что

«… свойства элементов, а потому и свойства образуемых ими простых и сложных тел, стоят в периодической зависимости от их атомного веса».

Периодичность изменения свойств элементов возникает вследствие периодического повторения электронной конфигурации внешнего электронного слоя с увеличением заряда ядра.

Современная формулировка периодического закона

звучит следующим образом

«свойства химических элементов (т.е. свойства и форма образуемых ими соединений) находятся в периодической зависимости от заряда ядра атомов химических элементов».

Преподавая химию, Менделеев понимал, что запоминание индивидуальных свойств каждого элемента, вызывает у студентов трудности. Он стал искать пути создания системного метода, чтобы облегчить запоминание свойств элементов. В результате появилась естественная таблица, позже она стала называться периодической.

Наша современная таблица очень похожа на менделеевскую. Рассмотрим ее подробнее.

Таблица Менделеева

Периодическая таблица Менделеева состоит из 8 групп и 7 периодов. Рассмотрим подробнее что такое период и что такое группа в периодической таблице Менделеева.

Группы в таблице Менделеева

Вертикальные столбцы таблицы называют группами.

Элементы, внутри каждой группы, обладают сходными химическими и физическими свойствами. Это объясняется тем, что элементы одной группы имеют сходные электронные конфигурации внешнего слоя, число электронов на котором равно номеру группы. При этом группа разделяется на главные и побочные подгруппы.

В Главные подгруппы входят элементы, у которых валентные электроны располагаются на внешних ns- и np- подуровнях.

В Побочные подгруппы входят элементы, у которых валентные электроны располагаются на внешнем ns- подуровне и внутреннем (n — 1) d- подуровне (или (n — 2) f- подуровне).

Все элементы в периодической таблице, в зависимости от того, на каком подуровне (s-, p-, d- или f-) находятся валентные электроны классифицируются на:

s- элементы (элементы главной подгруппы I и II групп),
p- элементы (элементы главных подгрупп III — VII групп),
d- элементы (элементы побочных подгрупп),
f- элементы (лантаноиды, актиноиды).

Высшая и низшая степени окисления элементов

Высшая валентность элемента и высшая степень окисления (за исключением O, F, элементов подгруппы меди и восьмой группы) равна номеру группы, в которой он находится.

Низшая степень окисления элемента равна

Номер группы — 8

Для элементов главных и побочных подгрупп одинаковыми являются формулы высших оксидов (и их гидратов).

В главных подгруппах состав водородных соединений являются одинаковыми, для элементов, находящихся в этой группе.

Твердые гидриды образуют элементы главных подгрупп I — III групп, а IV — VII групп образуют а газообразные водородные соединения. Водородные соединения типа ЭН₄ – нейтральнее соединения, ЭН₃ – основания, Н₂Э и НЭ — кислоты.

Периоды в таблице Менделеева

Горизонтальные ряды таблицы называют периодами. Элементы в периодах отличаются между собой. Общим является то, что последние электроны находятся на одном энергетическом уровне (главное квантовое число n — одинаково).

Первый период отличается от других тем, что там находятся всего 2 элемента: водород H и гелий He.

Во втором периоде находятся 8 элементов (Li — Ne). Литий Li – щелочной металл начинает период, а замыкает его благородный газ неон Ne.

В третьем периоде, также как и во втором находятся 8 элементов (Na — Ar). Начинает период щелочной металл натрий Na, а замыкает его благородный газ аргон Ar.

В четвёртом периоде находятся 18 элементов (K — Kr) – Менделеев его обозначил как первый большой период. Начинается он также с щелочного металла Калия, а заканчивается инертным газом криптон Kr. В состав больших периодов входят переходные элементы (Sc — Zn) — d-элементы.

В пятом периоде, аналогично четвертому находятся 18 элементов (Rb — Xe) и структура его сходна с четвёртым. Начинается он также с щелочного металла рубидия Rb, а заканчивается инертным газом ксеноном Xe. В состав больших периодов входят переходные элементы (Y — Cd) — d-элементы.

Шестой период состоит из 32 элементов (Cs — Rn). Кроме 10 d-элементов (La, Hf — Hg) в нем находится ряд из 14 f-элементов (лантаноиды) — Ce — Lu

Седьмой период не закончен. Он начинается с Франция Fr, можно предположить, что он будет содержать, также как и шестой период, 32 элемента, которые уже найдены (до элемента с Z = 118).

Как определить металл или неметалл?

Если посмотреть на периодическую таблицу Менделеева и провести воображаемую черту, начинающуюся у бора и заканчивающуюся между полонием и астатом, то все металлы будут находиться слева от черты, а неметаллы главных подгрупп – справа.

Элементы, непосредственно прилегающие к этой линии будут обладать свойствами как металлов, так и неметаллов. Их называют металлоидами или полуметаллами. Это бор, кремний, германий, мышьяк, сурьма, теллур и полоний.

Как изменяются свойства элементов в Периодической таблице?

Правило октета

Правило октета утверждает, что все элементы стремятся приобрести или потерять электрон, чтобы иметь восьмиэлектронную конфигурацию ближайшего благородного газа. Т.к. внешние s- и p-орбитали благородных газов полностью заполнены, то они являются самыми стабильными элементами.

Согласно правилу октета, при движении по периодической таблице слева направо для отрыва электрона требуется больше энергии. Поэтому элементы с левой стороны таблицы стремятся потерять электрон, а с правой стороны – его приобрести.

Изменение энергии ионизации

Энергия ионизации – это количество энергии, необходимое для отрыва электрона от атома.

Энергия ионизации уменьшается при движении вниз по группе, т.к. у электронов низких энергетических уровней есть способность отталкивать электроны с более высоких энергетических уровней. Это явление названо эффектом экранирования. Благодаря этому эффекту внешние электроны менее прочно связаны с ядром.

Двигаясь по периоду энергия ионизации плавно увеличивается слева направо. Самая высокая энергия ионизации у инертных газов.

Изменение сродства к электрону

Сродство к электрону – изменение энергии при приобретении дополнительного электрона атомом вещества в газообразном состоянии.

При движении по группе вниз сродство к электрону становится менее отрицательным вследствие эффекта экранирования.

Изменение электроотрицательности

Электроотрицательность — мера того, насколько сильно атом стремится притягивать к себе электроны связанного с ним другого атома.

Электроотрицательность увеличивается при движении в периодической таблице слева направо и снизу вверх. При этом надо помнить, что благородные газы не имеют электроотрицательности. Таким образом, самый электроотрицательный элемент – фтор.

Итак, в периодической зависимости находятся такие свойства атома, которые связанны с его электронной конфигурацией: атомный радиус, энергия ионизации, электроотрицательность.

Изменение металлических и неметаллических свойств атомов

Неметалличность атома увеличивается при движении в периодической таблице слева направо и снизу вверх.

Изменение основных и кислотных свойств оксидов и гидроксидов

Основные свойства оксидов уменьшаются, а кислотные свойства увеличиваются при движении слева направо и снизу вверх. При этом кислотные свойства оксидов тем сильнее, чем больше степень окисления образующего его элемента

По периоду слева направо основные свойства гидроксидов ослабевают.

По главным подгруппам сверху вниз сила оснований увеличивается. При этом, если металл может образовать несколько гидроксидов, то с увеличением степени окисления металла, основные свойства гидроксидов ослабевают.

По периоду слева направо увеличивается сила кислородосодержащих кислот. При движении сверху вниз в пределах одной группы сила кислородосодержащих кислот уменьшается. При этом сила кислоты увеличивается с увеличением степени окисления образующего кислоту элемента.

По периоду слева направо увеличивается сила бескислородных кислот. При движении сверху вниз в пределах одной группы сила бескислородных кислот увеличивается.

На рисунке ниже схематично показано изменение свойств атомов химических элементов в периодах и группах периодической таблицы Менделеева

Задания и примеры по строению таблицы Менделеева, положению атомов химического элемента в ней и закономерностям изменения свойств атомов элементов в периодах и группах периодической таблицы Менделеева представлены с разделе Задачи к разделу Периодический закон Д.И. Менделеева и периодическая система химических элементов

Периодический закон развитие — Справочник химика 21

Философское значение периодического закона заключается в том, что он подтвердил наиболее общие законы развития природы— законы единства и борьбы противоположностей, перехода количества качество, отрицания отрицания. Ф. Энгельс так оценил филосо( 1ское значение периодического закона Менделеев, применив бессознательно гегелевский закон о переходе количества в качество, совершил научный подвиг . [c.38]
Развитие физики и химии трансурановых элементов непосредственно основывается на периодическом законе Д. И. Менделеева. В свою очередь исследования в области трансурановых элементов не только углубляют сведения о строении и свойствах атомных ядер, но также расширяют наши представления о структуре периодической системы. Несмотря на огромные достижения науки за прошедшее столетие, система Д. И. Менделеева в принципах построения не претерпела сколько-нибудь заметных изменений, развитие представлений о периодической системе по сути дела коснулось лишь расширения ее нижней границы. [c.665]
Создание систематики химических элементов тесно связано с развитием представлений о строении атомов, о силах взаимодействия и природе связи их друг с другом, а также с данными о явлениях, характеризующих эти взаимодействия и связи. Современная систематика химических элементов создавалась в течение второй половины XIX и первой половины XX вв. на основе достижений химии и физики. К настоящему времени систематика химических элементов приобрела стройность и составила одну из основ современного естествознания благодаря трудам Дмитрия Ивановича Менделеева, открывшего периодический закон, Нильса Бора, связавшего теорию строения атомов с периодической систематикой, и Генри Л оз-ли (1887—1915), давшего экспериментальную основу для бесспорного порядкового расположения химических элементов. [c.34]
СТРОЕНИЕ АТОМА. РАЗВИТИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ЗАКОНА [c.57]
С современных позиций некорректность формулировки Периодического закона очевидна. Некорректно выражение …B периодической зависимости от величины атомных весов . Это разные генетические линии развития атомные веса — поступательная, а химические свойства — попятная. Они не связаны прямой причинно-следственной связью, а тем более функциональной зависимостью. Самое большее, на что можно было указать, это на корреляцию между двумя тенденциями развития ряда химических элементов. Выражение по мере роста атомных весов вместо от величины атомных весов наиболее адекватно выражает суть связи повторяемости свойств и величины атомных весов химических элементов. [c.58]
Глава ///. Строение атома. Развитие периодического закона [c.58]
Для развития физической химии, как и вообще всей химии, большое значение имели работы Дмитрия Ивановича Менделеева (1834—1907), и прежде всего открытие им знаменитого периодического закона (1869), впервые показавшего единство природы различных химических элементов. Этот закон дал возможность, пользуясь экспериментальными данными о свойствах одних элементов и их соединений, предвидеть эти свойства для других элементов и их соединений. Все элементы, открытые позднее, нашли место в периодической системе без каких-нибудь ее принци-[шальных изменений. [c.16]
Периодический закон и периодическая система элементов оказали огромное влияние на развитие науки и техники они послужили теоретическим фундаментом направленного поиска и открытия за истекшее столетие 46 новых элементов из 107 известных в настоящее время. Кроме того, закон Д. И. Менделеева послужил толчком к исследованиям строения атома, которые изменили наши представления о законах микромира и привели к практическому воплощению идеи использования ядерной энергии. [c.23]
История развития неорганической химии тесно связана с общей историей химии. Основным законом неорганической химии является периодический закон, открытый Д. И. Менделеевым (с. 20 и далее). [c.94]
Велико значение периодического закона в развитии естество-знания и техники. На основе периодического закона плодотворно развивалось учение о строении атома. Оно, в свою очередь, вскрыло физический смысл периодической системы элементов и дало оспозу д, 1я понимания расположения элементов в ней. [c.38]
В книге также раскрыта единая концептуальная природа «периодичности», открытой Д. И. Менделеевым, и закона «О повторяемости в развитии». Убедительно показано, что периодичность (в том числе и Периодический закон) — только частный случай более широкого закона природы «О повторяемости…», одним из проявлений которого является спиральность в развитии. [c.2]
В предисловии к сборнику [5] отмечается, что «открытие Периодического закона и разработка Периодической системы Д. И. Менделеевым явились вершиной атомистики в XIX веке». Следовательно, чтобы понять всю значимость открытия Периодического закона и его связь с атомистическим учением, необходимо восстановить в памяти хотя бы основные этапы развития учения о дискретном строении материи от древних греков до наших дней. В то же время надо отдавать себе отчет в том, что сам процесс систематизации химических элементов являлся достаточно самостоятельной и исторически специфической задачей. [c.13]
Но Ньюлендс этого не сделал, что стоило ему потери приоритета. Он соблазнился числом «8», его сходством с музыкальными октавами, сделал даже попытку подвести увиденное под закон, назвав его «законом октав». Увлекшись внешними, второстепенными характеристиками химических элементов, он упустил главную суть открывшейся картины — повторяемость свойств химических элементов. Если бы в названии закона он употребил слово «повторяемость», то ничто не смогло бы перебить его приоритета в открытии закона. Ведь главное слово в законе, который потом открыл Менделеев, не периодичность, а повторяемость. Только в последующие годы оно трансформировалось в «периодическую повторяемость», а потом, и вообще, в «периодичность». В результате произошло незаслуженное ретуширование главного слова в открытом законе и, естественно, искажение его истинного смысла. Открыт был не Периодический закон, а Закон повторяемости в развитии. Второе понятие и шире, и определеннее. [c.37]

Построение Д. И. Менделеевым Периодической системы химических элементов и открытие Периодического закона рассматривается ученым миром как самое важное событие XIX века, оказавшее положительное влияние на развитие всех естественных наук. [c.40]
Вот на этот вопрос я и попытаюсь ответить в настоящей работе. Но сначала несколько слов по высказыванию С. А. Щукарева. Сказанное им не только наводит на размышления, но и вызывает желание поспорить с ним. Что касается «бездонной глубины задачи , то здесь больше чувственного, чем научно-аналитического. И такой подход свойственен не только ему. Многие ученые готовы распространить периодическую законность в самую глубину ядра атома. В то время как известно, что химические свойства атомов, в том числе и их периодическая повторяемость, являются следствием только структуры электронной оболочки. Тем самым проводится отграни читальная черта между двумя уровнями организации материи — атомным и нуклонным. Следовательно, Постижение полного смысла системы элементов должно закончиться рамками этой системы, этого уровня организации материи. На каждом уровне свои системные закономерности, свои законы развития, хотя в чем-то и сходные с другими уровнями. Согласившись с таким подходом, не составит [c.143]
Д. И. Менделеев в использовании пространственной модели видел один из путей развития и надстройки Периодического закона. Он писал по этому поводу система требует телесной формы, допускающей сближения по всем направлениям [7, с. 1)4]. Эта пространственная модель должна [c.149]
Сбылось предсказание Д. И. Менделеева о том, что «Периодическому закону будущее не грозит разрушением, а только надстройки и развитие обещает». Только одно добавление можно сделать к этому высказыванию — оно больше применимо к Системе химических элементов, а не к закону. Закон до сих пор остается неопределенным и, по сути дела, дублирует систему. Спиральная модель Системы химических элементов и Спиральная модель системы атомов являются в длительном историческом нроцессе познания их предпоследним аккордом. Впереди пас ждет новая формулировка «главною закона», лежащею в основе развития Системы хи- мпческих элементов, основная суть которого состоит в повто- [c.193]
Как говорил А. Е. Ферсман [16, с. 107], — Величие Периодического закона заключается в том, что он не представляет застывшей формы, ортодоксальной схемы, а обладает внутренней способностью к эволюционному развитию . Предсказания академика подтверждаются. Нынешняя формулировка и само название закона не являются окончательными и нуждаются в приведении их в соответствие с действительным содержанием закона. Развивая его мысль, можно добавить Величие системной организации множества химических элементов (атомов вещества) заключается в том, что отображенные в Периодической системе закономерности не являются исчерпывающими, а сама наглядная иллюстрация не представляет застывшей формы, ортодоксальной схемы, а обладает способностью к совершенствованию по мере накопления знаний об объекте природы . [c.194]
Щукарев С. А. Современное значение Периодического закона Л. И, Менделеева и перспективы развития // 100 лет Периодическому закону химических элементов Сб, — М. Наука, 1971. [c.195]
Открытие периодического закона и создание периодической системы химических элементов завершили развитие атомистических представлений в XIX в. Однако при всей своей огромной значимости периодический закон и система элементов тогда представляли лишь гениальное эмпирическое обобщение фактов их физический смысл, глубинная сущность долгое время оставались нераскрытыми. От-крьпие периодического закона подготовило наступление нового этапа — изучения структуры атомов. Это в свою очередь дало возможность глубже выяснить природу взаимосвязи и качественного различия элементов и объяснить закономерности периодической системы. [c.7]
После утверждения атомно-молекулярной теории важиппиим событием в химии было открытие периодического зако1)л. Э о открытие, сделанное в 1869 г. гениальным русским ученым Д. М Менделеевым, создало новую эпоху в химии, определив пути ес р. Зви-тия на много десятков лет вперед. Опирающаяся иа периодический закон классификация химических злсмеитов, которую Ме1 делеев выразил в форме периодической системы, сыграла очень важную роль в изучении свойств химических элементов и дальнейшем развитии учения о строении вещества. [c.47]
В развитии периодического закона большую роль сыграл открытый Г. Л озли закон, позволяющий экспериментально устлнав- мшать значение атомного номера Исследуя реитгеиопские i.. Kt-ры различных элементов, Мозли установил простое соотношение между длиной волны рентгеновского излучения, испускаемого a i и- [c.37]
В период зарождения химии как науки (вторая половина XVII в.) возникло учение о составе. Объяснение свойств веществ связывалось с их составом, а изменением состава объяснялось химическое превращение. Последующее становление учения о составе определило открытие стехиометрических законов, развитие понятия химического элемента и представлений о валентности, открытие периодического закона и создание периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева, методов исследования состава соединений и др. [c.5]
Синтез и изучение трансурановых элементов основывается на периодическом законе Д. И. Менделеева. В свою очередь исследования в области трансурановых элементов расширяют представления о структуре периодической системы. Несмотря на огромные достижения науки за прошедшее столетие, периодическая система в принципах построения не претерпела сколько-нибудь заметных изменений. Уместно здесь вспомнить известное высказывание Д. И. ЛАенделеева Периодическому закону будущее не грозит разрушением, а только надстройка и развитие обещает . [c.16]
Исключительное значение для обоснования электрохимического механизма коррозии имели работы выдающихся ученых Г.Дэви и М. Фарадея, установивших закон электролиза. Так, М. Фарадей предложил ва кнейшее для дальнейшего развития электрохимической теории коррозии соотношение между массой аноднорастворяющегося металла и количеством протекающего электричества, а также высказал (проверено Г. Дэви) предположение о пленочном механизме пассивности железа и электрохимической сущности процессов растворения металлов. В 1830 г. швейцарский физикохимик О. Де да Рив ч ко сформулировал представления об электрохимическом характере коррозии (он объяснил растворение цинка в кислоте действием микрогальванических элементов). Русский ученый H.H. Бекетов (1865 г.) исследовал явление вытеснения из раствора одних металлов другими, а Д.И. Менделеев (1869 г.) предложил периодический закон элементов, который имеет очень важное значение для оценки и классификации коррозионных свойств различных металлов. Важен вклад шведского физикохимика С. Аррениуса, сформулировавшего в 1887 г. теорию электролитической диссоциации и немецкого физикохимика В. Нернста, опубликовавшего в 1888 г. теорию электродных и диффузионных потенциалов. [c.4]
Развитие, в котором имеет место как поступательное движение вперед, так и возвраты к старому (попятность), называется в диалектико-материалистической теории познания противоречивым развитием. В его основе лежат две противоположные тенденции (противоборствующие силы) — поступательность (непрерывность) и попятность (возвраты). В свете этого учения, периодичность изменения свойств химических элементов является только частным случаем более широкого явления природы — повторяемости. Периодичность — это повторяемость от периода к периоду. Следовательно, Периодический закон — только частный случай более широкого закона природы, закона повторяемости в процессе развития в природе, обществе и познании. [c.150]
Сегодня принято говорить о специфичности Периодического закона, об обособленности его от других законов природы, даже возвышении над ними Такое мнение ошибочно. Б. М. Кедров впервые указал на то, что Периодический закон вливается в более широкое явление природы — повторяемость в развитии, что отождествляется с повиточностью в спирали. Д. И. Менделеев, по объективным причинам, не мог подняться до такого уровня понимания системы. Он не располагал знаниями об истинных причинах противоречивого развития ряда химических элементов. В качестве непрерывной основы у него выступал атомный вес. Однако впоследствии оказалось, что он растет в естественном [c.151]
Как пишет Н. П. Агафошин [2] «Менделеев иногда шел «наперекор атомному весу . По существу, это был первый сигнал о ненадежности атомного веса, как основания систематизации. Уже в то время надо было насторожиться. Если это закономерность, то она должна быть без аномалий и распространяться на весь ряд. Впоследствии место атомного веса в формулировке Периодического закона занял порядковый номер химического элемента, который приравняли к заряду ядра, а по существу, это число протонов в ядре. Атомный вес послужил Д. И. Менделееву только ориентиром в расположении химических элементов в ряд один подле другого , но истинным основанием поступательной тенденции развития не был. Но уже эта, хотя не очень строгая основа, стала становым хребтом ряда, объединяющим все химические элементы в органически целостную систему. В этом и состояла интегрирующая роль атомного веса. [c.152]
Спиральная система помогает понять и ошибочность отнесения всех лантаноидов и актиноидов к 3-й валентной группе. Закон периодичности здесь оказался бессильным. И снова (уже в который раз ) приходится подчеркивать, что развитие ряда химических элементов содержит в себе две тенденции непрерывную (поступательную) и прерывную (попятную). Периодический закон опирается на вторую из них. Первая же тенденция остается в тени, вне действия Закона. А между тем она по своей сути тоже законность, непрерывная законность, однопорядковая с периодической законностью. Совокупно они рождают новую, спиральную законность изменения свойств химических элементов, законность более высокого порядка. Это явление носит в природе универсальный характер. Академик А. Е. Ферсман [16] наблюдал подобное явление в геохимических циклах. В каждом цикле, — ппщет он, — обнаруживаются две тенденции одна направлена на замыкание цикла, а другая — на формирование спирали. Обратимые процессы формируют тенденции к замыканию цикла, к движению по кругу, а всеобщее свойство материн — развитие обусловливает в единстве с первым спиральность геологических циклов . [c.173]
Урок-семинар в 11-м классе «Сущность и значение периодического закона»
Цели урока:
Образовательные:
обобщение, систематизация знаний учащихся о сущности периодического закона Д.И.Менделеева, причинах периодическогоизменения свойств химических элементов в свете теории строения атома.

Развивающие:
развитие умений учащихся планировать и проводить эксперименты исследовательского характера, излагать теоретический материал, аргументировать выдвинутые идеи, делать выводы, применять, систематизировать и обобщать знания, устанавливать причинно-следственные связи.

Воспитательные: формирование научного мировоззрения учащихся.

Оборудование:
Таблица: «Периодическое изменение свойств элементов» (Приложение 1)

Химические реактивы для выполнения лабораторных опытов: гидроксид алюминия, гидроксид хрома (III), растворы соляной кислоты, азотной кислоты, гидроксида калия, гидроксида натрия.

ХОД УРОКА
Учитель: Периодический закон и периодическая система химических элементов пережили уже два этапа в их понимании и развитии. На первом этапе – химическом – внимание концентрировалось на периодическом изменении свойств элементов, на втором – электронном – внимание сосредоточено на зависимости свойств элементов от электронного строения атомов. Цель нашего урока – систематизировать и обобщить знания о связи периодического закона с теорией строения атома, на основе периодического закона подтвердить наиболее общие законы развития природы.
Сообщение учащегося: Причины периодичности.
Приложение 1, слайд № 1
Периодическая зависимость – повторяемость свойств через определенный период. Период – ряд элементов с одинаковым числом энергетических (квантовых) уровней, расположенных в порядке возрастания зарядов атомных ядер.
В III периоде атомы элементов имеют 3 энергетических уровня. От элемента к элементу на единицу возрастает заряд ядра и число электронов на внешнем электронном слое, атомные радиусы сокращаются, т. к. происходит их стягивание в результате притяжения к ядру большего количества электронов. Натрий и магний – это s-элементы, в их атомах заполняется s-подуровень, от алюминия до аргона – p-элементы, т. к. в их атомах заполняется p-подуровень. С накоплением электронов в наружном электронном слое и сокращением атомного радиуса связано ослабление металлических свойств и нарастание неметаллических свойств. Восстановительные свойства ослабляются, окислительные усиливаются.
В периодах растет высшая степень окисления в соединениях, она определяется числом электронов наружного слоя.
Характер оксидов и гидроксидов изменяется от основных через амфотерные к кислотным, гидроксид натрия – сильное основание, щелочь, гидроксид алюминия – амфотерный гидроксид, хлорная кислота – самая сильная кислота.
Валентность в гидридах металлов увеличивается, в летучих водородных соединениях неметаллов падает. Эти закономерности повторяются в каждом периоде.
В главных подгруппах располагаются элементы сходные, но неодинаковые, с ростом заряда ядра атомные радиусы увеличиваются, т. к. растет число электронных слоев в атомах, усиливается свойство отдавать электроны, растут металлические свойства.
Т. о. главная причина периодичности связана с периодическим изменением числа электронов в наружном слое атома. Количественные изменения, постоянно накапливаясь, приводят к качественным изменениям – возникновению новых свойств.
Современная формулировка периодического закона: свойства химических элементов и их соединений находятся в периодической зависимости от зарядов атомных ядер, числа валентных электронов, строения внешних электронных слоев атомов химических элементов. Химический элемент – совокупность атомов с одинаковым зарядом ядра.
Важнейшие свойства химических элементов – металличность и неметалличность. Подтвердим зависимость свойств химических элементов от строения атома.
Учащиеся выполняют задание № 1 экспериментально-теоретической программы урока
Опишите строение атома определенного химического элемента по плану: схема строения атома, электронная формула, электронно-графическая формула, принадлежность к металлам или неметаллам, определенному семейству, число валентных электронов.
1 вариант 2 вариант
элемент № 11 (Na) элемент № 15 (P)
Составьте уравнения реакций, подтверждающих химические свойства простого вещества, оксида и гидроксида соответствующего элемента, укажите химический характер проявляемых свойств.
Выводы учащихся:
Натрий – s – элемент, типичный металл, т. к. на внешнем электронном слое атома содержит один электрон. Натрий – одновалентен, высшая степень окисления равна +1. При горении среди других продуктов сгорания образует оксид Nа2О. При растворении в воде образует щелочь, сильное основание, это доказывается малиновой окраской индикатора фенолфталеина. Главное свойство оснований – взаимодействие с кислотами. Таким образом, соединения натрия, как типичного металла, проявляют основные свойства.
Фосфор – р – элемент, неметалл, т. к. на внешнем слое атома содержит 5 электронов. Фосфор пятивалентен, высшая степень окисления равна +5. При горении образует высший оксид Р2О5, при растворении оксида в воде образуется фосфорная кислота Н3РО4 – кислота средней силы. Наличие кислоты в растворе доказывается красной окраской лакмуса. Главное свойство кислот – взаимодействие с основаниями.
Таким образом, соединения фосфора, как неметалла, проявляют кислотные свойства.
Учитель: Естественная система химических элементов включает элементы не только с ярко выраженными металлическими и неметаллическими свойствами. Деление элементов на металлы и неметаллы относительно, несовершенно.Приведите доказательства этого положения.
Учащиеся приводят примеры металлических признаков физических свойств графита, кремния, йода, металлического водорода, молекулярной кристаллической решетки и химической инертности инертных газов, амфотерности соединений многих металлов.
Учитель: Деление элементов на металлы и неметаллы применимо больше к простым веществам, которые, в зависимости от условий могут проявлять как металлические, так и неметаллические свойства. Металличность и неметалличность простых веществ – это функция условий существования химического элемента. Для соединения металлов и неметаллов в единую систему связующим мостиком являются амфотерные соединения. Выявим причины амфотерности на основе строения атомов элементов.
Учащиеся выполняют задание № 2 экспериментально-теоретической программы урока
а) Опишите строение атома химического элемента по плану: схема строения атома, электронная формула, электронно-графическая формула, принадлежность к металлам или неметаллам, определенному семейству,число валентных электронов
1 Вариант 2 Вариант
элемент №13 (AL) элемент №24 (Cr)
б) Вам выданы следующие вещества:
1 Вариант 2 Вариант
Гидроксид алюминия Гидроксид хрома (III)
На основе строения атома указанного элемента определите химический характер соединения, подтвердите свойства экспериментально, составьте молекулярные и ионные уравнения реакций. Укажите, какие свойства проявляет соединение в каждой реакции, каковы признаки реакций? Выявите главную причину проявляемых соединением свойств.
Выводы учащихся: гидроксиды алюминия и хрома (III) амфотерны, амфотерность обусловлена промежуточным числом валентных электронов и проявляемой промежуточной степенью окисления алюминия и хрома +3.
Учитель: Все разнообразие химических элементов связано единой идеей строения атома. Периодический закон в настоящее время является важнейшим инструментом познания, определяет развитие атомной физики, химии, геологии, астрономии, атомной и ядерной техники, химической технологии, металлургии, медицины и других отраслей знания. Выделяют несколько важнейших функций периодического закона.
Сообщение учащегося. Функции периодического закона.
Приложение 1, слайд № 3.
Объясняющая функция закона заключается в способности объяснить те или иные явления. При составлении таблицы Менделеев трижды сознательно нарушил принцип ее построения, отраженный в периодическом законе. Он переставил элементы местами так, что элемент с большей массой опережает элемент с меньшей массой, но при такой расстановке все они попадают в группы сходных по свойствам элементов. Открытие строения атома оправдало данные перестановки. Элементы оказались в системе расставлены правильно на основе зарядов атомных ядер. Перестановки Менделеева можно объяснить явлением изотопии. Развивающая функция закона проявляется в том, что закон может дать толчок развитию других направлений науки. Периодический закон способствовал развитию теории строения атома, что дало самому закону более глубокое научное обоснование.
Обобщающая функция проявляется в способности соединить отдельные факты в строгую систему взаимосвязанных явлений.
Прогностическая функция заключается в способности предсказывать свойства и явления.
Сообщение учащегося. Прогностическая функция периодического закона.
У 10-ти элементов Менделеев изменил принятые в то время относительные атомные массы и соответственно изменил их валентность, у 10-ти других атомные массы подправил, 8 элементов разместил в системе вопреки принятым представлениям. Все эти новшества были восприняты ученым миром как неслыханная дерзость. Но твердо убежденный в естественности своей системы, Менделеев решается на невиданный в истории химии шаг. Свойства предсказанных им экабора, экаалюминия и экасилиция он описывает с удивительной точностью и предлагает даже методы их открытия.
Открытие Л.Буабодраном галлия, Л.Нильсоном скандия, К.Винклером германия подтвердило прогностические возможности периодического закона.
В 1884 г. Николай Александрович Морозов, заключенный царским правительством за революционную деятельность пожизненно в Шлиссельбургскую крепость, начинает от тоски тюремной жизни изучать химию. Он знакомится с системой Менделеева и ставит перед собой вопрос: нет ли периодической зависимости среди углеводородов? Морозов составляет свою таблицу и приходит к неожиданному выводу: все углеводороды, как и все элементы периодической системы, в той или иной степени активны, но среди элементов нет химически инертных, подобно предельным углеводородам. Возникает вопрос: а что, если инертные элементы существуют в природе, но пока не открыты? И Морозов предсказывает, что эти элементы следует искать в воздухе, т. к. скорее всего это газы.
Можно представить себе торжество Морозова, когда он, находясь в заключении, узнал из газет, что английский ученый У. Рамзай открыл, и именно в воздухе, инертный газ аргон. Вскоре последовало открытие и других инертных газов.
Так на основе периодической системы Морозову удалось предсказать то, что не удалось сделать в полной мере даже самому Менделееву.
Сообщение учащегося. Искусственное получение элементов
К 1937 г. общее число открытых элементов достигло 88. Самым тяжелым из них был уран – № 92. Значит, в периодической системе оставались еще 4 «окна» с номерами 43, 61, 85, 87. Все попытки найти их в природе заканчивались неудачей. Этим окнам суждено было заполниться в период с 1937 по 40-й годы, и получены они были при помощи ядерных реакций. Самым первым был искусственно получен элемент № 43 путем обстрела изотопов молибдена ядрами атомов дейтерия (дейтерий – изотоп водорода).

Ядра атомов молибдена и дейтерия сливаются, образую ядро с зарядом 43, массой 99. Этот элемент был назван в честь торжества техники технецием. Искусственным путем было открыто значительное число химических элементов.
. Ядерные реакции еще раз доказывают взаимосвязь всех элементов, объединенных в периодическую систему.
Сообщение учащегося. «Меченые атомы»
«Меченые атомы» – радиоактивные изотопы – разновидности атомов одного и того же химического элемента, отличающиеся массой. Спонтанно делясь, они постоянно сигнализируют о себе, и их распад можно зафиксировать регистрационными приборами; меченые атомы широко применяют в сельском хозяйстве, медицине, в научных исследованиях. Так, например, было обнаружено, какую природу имеет кислород, выделяющийся при фотосинтезе.

Для испытаний растения поливали водой, содержащей изотоп кислорода-18, а углекислый газ содержал обычный распространенный легкий изотоп кислорода — 16. Выделяющийся при фотосинтезе кислород содержал только изотопы — 18, значит, он имеет «водное» происхождение, и этот факт сыграл определенную роль при раскрытии фотосинтетических процессов.
Учитель: Периодический закон, основанный на теории строения атома, объяснил множество явлений природы, подтвердил философские категории.
Учитель предлагает учащимся воспользоваться справочниками, словарями, ознакомиться с философскими категориями: «причина и следствие», «единичное, особенное, общее», « содержание и форма», ответить на вопросы:
1. Что помогают осознать категории общего и особенного? Чем обусловлена общность всех химических элементов? Чем обусловлена особенность отдельных групп элементов и единичность (индивидуальность) каждого из химических элементов?
2. Что выражает бесконечная цепь причин и следствий? Какова главная причина периодического изменения свойств элементов? Каковы следствия увеличения числа валентных электронов в атомах элементов одного периода и увеличения атомных радиусов элементов главных подгрупп?
Учащиеся отвечают на вопросы.
Сообщение учащегося. Содержание и форма.
Любой предмет состоит из отдельных элементов и процессов, которые в совокупности составляют содержание предмета. У содержания имеется форма, форма и содержание не существуют друг без друга. В процессе развития содержание играет ведущую роль, его изменение ведет к изменению формы. Если периодический закон – это содержание, то его формой является графическое изображение – периодическая система. Существует около пятисот вариантов периодической системы (например, короткая и длинная), но содержание одно – периодическая зависимость свойств от зарядов атомных ядер элементов. В п. с. 7 периодов и 8 групп. По форме период – горизонтальный ряд элементов, начинающийся щелочным металлом и заканчивающийся инертным элементом, а по содержанию период – это ряд элементов с одинаковым числом энергетических уровней. По форме группа – это вертикальная колонка элементов, а по содержанию – это ряд элементов, имеющих одинаковую максимальную степень окисления. По форме каждый элемент имеет свое место, свою клетку в периодической системе, а по содержанию каждый элемент можно отнести к s-, p-, d- или f семействам.
Учитель: Закон – объективная, всеобщая, необходимая и существенная связь явлений и предметов, которая характеризуется устойчивостью и повторяемостью. Периодический закон, связывающий химические элементы, – один из общих законов природы. Он выполняется везде, где имеются химические элементы и их соединения, но он действует только в рамках совокупности химических элементов, не распространяясь на другие явления природы. Вы знаете, что есть и другие законы – наиболее общие законы развития природы. Периодический закон подтверждает эти законы.
Сообщение учащегося: Закон единства и борьбы противоположностей утверждает, что борьба противоположностей – источник движения и развития материального мира. Этот закон проявляется в строении атома, как единстве двух противоположностей (положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных электронов), в металлических и неметаллических свойствах отдельных элементов, которые могут взаимодействовать с образованием соединений, в основном и кислотном характере соединений металлов или неметаллов, во внутренней противоречивости амфотерных соединений, в неделимости друг от друга процессов окисления и восстановления.
Ярким примером элемента с внутренне противоречивостью является водород, который проявляет свойства металла и неметалла, восстановителя и окислителя.
Подобно щелочным металлам, атом водорода содержит на внешнем и единственном электронном слое один электрон, легко сбрасывает его в химических реакциях с неметаллами и при этом проявляет свойства восстановителя.
Однако водород может проявлять и окислительные свойства, взаимодействуя с щелочными металлами, превращая их в гидриды. При этом атом водорода принимает один электрон до завершения внешнего слоя. В данной реакции водород вдет себя как типичный неметалл.
Сообщение учащегося: Закон перехода количественных изменений в качественные характеризует процесс обновления материального мира, говорит о его скачкообразном развитии. Под скачком понимается переход от одного качества к другому. Скачки условно делят на медленные (многостадийные) и мгновенные (одностадийные). Переход от элемента к элементу в периоде с ростом заряда ядра атома – это незначительные мгновенные скачки образования нового качества, т. е. новых свойств. Изменение свойств элементов от типичных металлов к типичным неметаллам в периоде – это результат медленного многостадийного скачка. Переход от галогенов к инертному газу – это большой мгновенный скачок, связанный с завершением наружного электронного слоя, также большим мгновенным скачком является переход от инертного элемента к щелочному металлу, он связан с возникновением нового слоя. Таким образом, количественные изменения в отдельных атомах и системе элементов постоянно ведут к качественно новым свойствам.
Сообщение учащегося: Закон отрицания отрицания выражает всеобщую закономерность развития материального мира от простого к сложному и предполагает связь, преемственность в развитии. Наиболее ярко она выражена при переходе от периода к периоду. Например, калий повторяет свойства натрия, но в то же время атом калия имеет на один электронный слой больше и является более реакционноспособным. Следовательно, развитие идет как бы по спирали, с каждым витком повторяя предыдущие этапы развития, но на более высоком уровне.
Приложение 1, слайд № 2
Учитель: Открытие и развитие периодического закона на основе теории строения атома подтвердило познаваемость мира, доказало его материальность, единство и противоречивость. Химические элементы – ступени развития вещества. Основой их единства и взаимосвязи служит сходство элементарных частиц, входящих в состав атомов. Каждый элемент, будучи частью целого, занимает свое место в периодической системе. В природе имеет место не беспорядочное скопление качественно разнородных веществ: все они находятся друг с другом в закономерных взаимосвязях и построены из атомов ограниченного числа элементов. Величайшая заслуга Д.И.Менделеева в том, что он не остановился на разделении элементов по группам, а объединил отдельные группы элементов в единую систему.
Нельзя не согласиться с ярким высказыванием А.Е. Ферсмана: «Будут, конечно, появляться и умирать новые теории; блестящие обобщения и новые представления будут сменять устаревшие понятия; величайшие открытия и эксперименты будут далеко превосходить все прошлое и открывать невероятные по новизне и широте горизонты – все это будет приходить и уходить, но периодический закон Менделеева будет всегда жить, развиваться, уточняться и руководить исканиями».
Литература:
1. Смирнова Т.В. Формирование научного мировоззрения учащихся при изучении химии. М. Просвещение, 1984;
2. Агафошин И.П. Периодический закон и периодическая система химических элементов Д.И.Менделеева. М.Просвещение. 1982;
3. Габриелян О.С., Лысова Г.Г., Введенская А.Г. Настольная книга учителя химии. 11 класс. Часть I. М. Дрофа. 2003.
4. Аспицкая А.Ф. Роль химии в формировании мировоззрения учащихся. Химия (ИД «Первое сентября») 2011 № 3.
Периодический закон | Химия для неосновных
Цели обучения
Государственный периодический закон.
Опишите организацию таблицы Менделеева.
Как эти предметы связаны друг с другом?
Нам всем понравилась игра «Подсказка». Цель игры — получить информацию об убийстве: кто это сделал, где и что было использовано в качестве орудия убийства. По мере прохождения игры каждый игрок получает улики, и затем они должны объединить эти улики в догадку относительно преступника.Отдельные фрагменты информации приобретают более широкое значение, когда их объединяют с другими частями головоломки.
Периодический закон

Когда Менделеев составлял свою периодическую таблицу, никто не знал о существовании ядра. Только в 1911 году Резерфорд провел свой эксперимент с золотой фольгой, который продемонстрировал наличие ядра в атоме. Всего два года спустя, в 1913 году, английский физик Генри Мозли (1887-1915) исследовал рентгеновские спектры ряда химических элементов.Он будет снимать рентгеновские лучи через кристаллы элемента и изучать длины волн обнаруженного им излучения. Мозли обнаружил связь между длиной волны и атомным номером. Его результаты привели к определению атомного номера как количества протонов, содержащихся в ядре каждого атома. Затем он понял, что элементы периодической таблицы должны быть расположены в порядке увеличения атомного номера, а не увеличения атомной массы.
При сортировке по атомному номеру расхождения в таблице Менделеева исчезли.Теллур имеет атомный номер 52, а йод — 53. Таким образом, хотя теллур действительно имеет большую атомную массу, чем йод, в периодической таблице он правильно помещается перед йодом. Менделееву и Мозли приписывают наибольшую ответственность за современный периодический закон : когда элементы расположены в порядке возрастания атомного номера, происходит периодическое повторение их химических и физических свойств. В результате появилась таблица Менделеева, которую мы знаем сегодня.Каждая новая горизонтальная строка периодической таблицы соответствует началу нового периода , потому что новый основной энергетический уровень заполняется электронами. Элементы с аналогичными химическими свойствами появляются через определенные промежутки времени в вертикальных столбцах, называемых группами .
Сводка
Элементы таблицы Менделеева расположены в порядке возрастания атомного номера.
Периодический закон гласит: «Когда элементы расположены в порядке возрастания атомного номера, происходит периодическое повторение их химических и физических свойств.”
Практика
Воспользуйтесь ссылкой ниже, чтобы ответить на следующие вопросы:
Henry Moseley
Где Мозли учился в колледже?
С кем он проводил исследования после окончания колледжа?
Что такое закон Мозли?
Обзор
Знал ли Менделеев о ядре атома?
Кто открыл связь между длиной волны рентгеновского излучения и атомным номером?
Какой вывод сделал Мозли из своего исследования?
Что такое «периодический закон»?
Что представляют собой вертикальные столбцы (группы) в периодической таблице?
Глоссарий
группа: Элементы с аналогичными химическими свойствами появляются через определенные промежутки времени в вертикальных столбцах.
период: Период — это горизонтальная строка периодической таблицы.
периодический закон: Когда элементы расположены в порядке возрастания атомного номера, происходит периодическое повторение их химических и физических свойств.
Периодическая таблица
В 19 веке были обнаружены многие ранее неизвестные элементы, и ученые отметили, что определенные наборы элементов имеют схожие химические свойства. Например, хлор, бром и йод реагируют с другими элементами (такими как натрий) с образованием подобных соединений.Точно так же литий, натрий и калий реагируют с другими элементами (такими как кислород) с образованием подобных соединений. Почему это так?
В 1864 году немецкий химик Юлиус Лотар Мейер организовал элементы по атомной массе и сгруппировал их в соответствии с их химическими свойствами. Позже в том же десятилетии русский химик Дмитрий Менделеев организовал все известные элементы по схожим свойствам. Он оставил пробелы в своей таблице для того, что считал неоткрытыми элементами, и сделал несколько смелых прогнозов относительно свойств этих неоткрытых элементов.Когда позже были обнаружены элементы, свойства которых полностью соответствовали предсказаниям Менделеева, его версия таблицы завоевала признание научного сообщества. Поскольку определенные свойства элементов регулярно повторяются по всей таблице (то есть они периодические), она стала известна как периодическая таблица — таблица элементов, в которой элементы группируются по некоторым из их свойств. один из краеугольных камней химии, потому что он организует все известные элементы на основе их химических свойств.Современная версия показана на рисунке 2.7 «Современная периодическая таблица». Большинство периодических таблиц предоставляют дополнительные данные (например, атомную массу) в поле, содержащем символ каждого элемента. Элементы перечислены в порядке их атомного номера.
Характеристики Периодической таблицы
Элементы, которые имеют аналогичные химические свойства, сгруппированы в столбцы, называемые группами (или семействами). Столбец элементов в периодической таблице. Некоторые из этих групп не только пронумерованы, но и имеют названия, например, щелочные металлы (первый столбец элементов), щелочноземельные металлы, (второй столбец элементов), галогены, (предпоследний столбец элементов) и благородные газы, (последний столбец элементов).
Примечание
Слово галоген происходит от греческого слова «производитель соли», потому что эти элементы объединяются с другими элементами, образуя группу соединений, называемых солями.
На ваше здоровье: радон
Радон — это невидимый благородный газ без запаха, который медленно выделяется из земли, особенно из горных пород и почв с высоким содержанием урана. Поскольку это благородный газ, радон химически неактивен.К сожалению, он радиоактивен, и повышенное его воздействие коррелирует с повышенным риском рака легких.
Поскольку радон исходит из земли, мы не можем полностью его избежать. Более того, поскольку он плотнее воздуха, радон имеет тенденцию накапливаться в подвалах, которые при неправильной вентиляции могут быть опасны для жителей здания. К счастью, специализированная вентиляция сводит к минимуму количество собираемого радона. Доступны специальные системы вентиляции и вентиляции, которые забирают воздух из-под цокольного этажа, прежде чем он попадет в жилое пространство, и вентилируют его над крышей дома.
После курения радон считается второй по значимости предотвратимой причиной рака легких в Соединенных Штатах. По оценкам Американского онкологического общества, 10% всех случаев рака легких связаны с облучением радоном. Существует неуверенность в том, какие уровни воздействия вызывают рак, а также то, каким может быть точный возбудитель (радон или один из продуктов его распада, многие из которых также радиоактивны и, в отличие от радона, не являются газами). Агентство по охране окружающей среды США рекомендует проверять каждый этаж ниже третьего этажа на уровень радона, чтобы предотвратить долгосрочные последствия для здоровья.
Каждая строка элементов в периодической таблице называется периодом. Строка элементов в периодической таблице. Периоды имеют разную длину; в первом периоде всего 2 элемента (водород и гелий), а во втором и третьем периодах по 8 элементов. Четвертый и пятый периоды имеют по 18 элементов каждый, а более поздние периоды настолько длинные, что сегмент из каждого удаляется и помещается под основной частью таблицы.
Определенные свойства элементов становятся очевидными при обзоре таблицы Менделеева в целом.Каждый элемент можно классифицировать как металл, неметалл или полуметалл, как показано на Рисунке 2.8 «Типы элементов». Металл — это блестящий элемент, обычно серебристого цвета, отличный проводник тепла и электричества, податливый и пластичный. представляет собой блестящее вещество, обычно (но не всегда) серебристого цвета, которое отлично проводит электричество и тепло. Металлы бывают также пластичными (их можно раскалывать на тонкие листы) и пластичными (их можно вытягивать в тонкую проволоку). Неметалл — это элемент, который обычно тусклый, плохо проводит тепло и электричество и является хрупким.обычно унылый и плохо проводит электричество и тепло. Твердые неметаллы также очень хрупкие. Как показано на рисунке 2.8 «Типы элементов», металлы занимают три левых четверти таблицы Менделеева, в то время как неметаллы (за исключением водорода) сгруппированы в верхнем правом углу таблицы Менделеева. Элементы со свойствами, промежуточными между свойствами металлов и неметаллов, называются полуметаллами (или металлоидами). Элемент, свойства которого являются промежуточными между металлами и неметаллами.. Элементы, примыкающие к жирной линии в правой части таблицы Менделеева, обладают свойствами полуметалла.
Рисунок 2.8 Типы элементов
Элементы бывают металлы, неметаллы или полуметаллы. Каждая группа расположена в разных частях периодической таблицы.
Другой способ категоризации элементов периодической таблицы показан на рисунке 2.9 «Специальные имена для частей периодической таблицы». Первые два столбца слева и последние шесть столбцов справа называются элементами основной группы — элементом первых двух или последних шести столбцов периодической таблицы.. Блок из десяти столбцов между этими столбцами содержит переходные металлы. Элемент между элементами основной группы периодической таблицы. Две строки под основной частью таблицы Менделеева содержат внутренние переходные металлы. Элемент в двух строках под основной частью таблицы Менделеева. периодическая таблица. Такие металлы также называют элементами лантаноидов и актинидов. Элементы в этих двух рядах также называются, соответственно, металлами-лантаноидами и металлами-актинидами соответственно.
Рисунок 2.9 Специальные имена для разделов периодической таблицы
Некоторые разделы таблицы Менделеева имеют особые названия. Элементы литий, натрий, калий, рубидий, цезий и франций вместе известны как щелочные металлы.
Для вашего здоровья: переходные металлы в организме
Согласно Таблице 2.2 «Элементный состав человеческого тела», большая часть элементного состава человеческого тела состоит из основных групповых элементов.Первым элементом в списке, который не является элементом основной группы, является железо с массовой долей 0,006%. Поскольку железо имеет относительно массивные атомы, оно могло бы оказаться еще ниже в списке, организованном в процентах по атомам и , а не по массе.
Железо — переходный металл. Переходные металлы обладают интересными химическими свойствами, отчасти потому, что некоторые из их электронов находятся в подоболочках d . (Дополнительную информацию об электронных оболочках см. В разделе 2.6 «Устройство электронов».) Химический состав железа делает его ключевым компонентом правильного функционирования красных кровяных телец.
Красные кровяные тельца — это клетки, которые переносят кислород от легких к клеткам тела, а затем переносят углекислый газ от клеток к легким. Без эритроцитов дыхание животных, каким мы его знаем, не существовало бы. Важнейшей частью красных кровяных телец является белок, называемый гемоглобином . Гемоглобин соединяется с кислородом и углекислым газом, транспортируя эти газы из одного места в другое в организме.Гемоглобин — это относительно большая молекула с массой около 65000 единиц.
Решающим атомом в белке гемоглобина является железо. Каждая молекула гемоглобина имеет четыре атома железа, которые действуют как центры связывания кислорода. Именно присутствие этого переходного металла в красных кровяных тельцах позволяет вам использовать вдыхаемый кислород.
Другие переходные металлы, несмотря на их небольшие количества, выполняют важные функции в организме. Цинк необходим для правильного функционирования иммунной системы организма, а также для синтеза белка и роста тканей и клеток.Медь также необходима для правильного функционирования некоторых белков в организме. Марганец необходим организму для правильного метаболизма кислорода. Кобальт — необходимый компонент витамина B-12, жизненно важного питательного вещества. (Для получения дополнительной информации о белках и витаминах см. Главу 18 «Аминокислоты, белки и ферменты».) Эти последние три металла не указаны явно в Таблице 2.2 «Элементный состав человеческого тела», поэтому они присутствуют в организме. в очень небольших количествах. Однако даже эти небольшие количества необходимы для правильного функционирования организма.
Периодическая таблица Менделеева построена на основе сходства свойств элементов, но чем объясняется это сходство? Оказывается, форма таблицы Менделеева отражает заполнение подоболочек электронами, как показано на рисунке 2.10 «Форма таблицы Менделеева». Начиная с первого периода слева направо в таблице воспроизводится порядок заполнения электронных подоболочек в атомах. Кроме того, элементы в одном столбце имеют одинаковую электронную конфигурацию валентной оболочки.Например, все элементы в первом столбце имеют один электрон s в их валентных оболочках, поэтому их электронные конфигурации можно описать как ns ¹ (где n представляет номер оболочки). Это последнее наблюдение очень важно. Химия в значительной степени является результатом взаимодействия валентных электронов разных атомов. Таким образом, атомы с одинаковой электронной конфигурацией валентной оболочки будут иметь схожий химический состав.
Рисунок 2.10 Форма периодической таблицы
Форма таблицы Менделеева отражает порядок, в котором электронные оболочки и подоболочки заполняются электронами.
Пример 9
Используя переменную n для обозначения номера валентной электронной оболочки, запишите электронную конфигурацию валентной оболочки для каждой группы.
щелочноземельные металлы
колонка элементов, возглавляемая углеродом
Решение
Щелочноземельные металлы находятся во втором столбце периодической таблицы Менделеева.Этот столбец соответствует подоболочке s , заполненной 2 электронами. Следовательно, электронная конфигурация валентной оболочки составляет нс ².
Электронная конфигурация углерода 1 с ² 2 с ² 2 p ². Электронная конфигурация его валентной оболочки: 2 s ² 2 p ². Каждый элемент в одном столбце должен иметь аналогичную электронную конфигурацию валентной оболочки, которую мы можем представить как нс ² нп ².
Упражнение по развитию навыков
Используя переменную n для обозначения номера валентной электронной оболочки, запишите электронную конфигурацию валентной оболочки для каждой группы.
Столбец элементов во главе с кислородом
Атомный радиус
Периодическая таблица Менделеева полезна для понимания свойств атомов, которые показывают периодические тенденции.Одним из таких свойств является атомный радиус — приблизительный размер атома. (Рисунок 2.11 «Тенденции периодической таблицы»). Как упоминалось ранее, чем выше номер оболочки, тем дальше от ядра, вероятно, будут находиться электроны в этой оболочке. Другими словами, размер атома обычно определяется номером валентной электронной оболочки. Следовательно, по мере того, как мы спускаемся по столбцу в периодической таблице, атомный радиус увеличивается. Однако, когда мы проходим через период в периодической таблице, электроны добавляются к той же валентной оболочке ; тем временем к ядру добавляется больше протонов, поэтому положительный заряд ядра увеличивается.Увеличивающийся положительный заряд сильнее притягивает электроны, притягивая их ближе к ядру. Следовательно, по мере прохождения периода атомный радиус уменьшается. Эти тенденции четко видны на Рисунке 2.11 «Тенденции Периодической таблицы».
Рисунок 2.11 Тенденции в Периодической таблице
Относительные размеры атомов показывают несколько тенденций в отношении структуры периодической таблицы. Атомы становятся больше по столбцу и меньше по периоду.
Пример 10
Используя периодическую таблицу (а не рисунок 2.11 «Тенденции периодической таблицы»), какой атом больше?
N или Bi
мг или Cl
Решение
Поскольку Bi ниже N в периодической таблице и имеет электроны в оболочках с более высокими номерами, мы ожидаем, что атомы Bi больше, чем атомы N.
И Mg, и Cl относятся к периоду 3 периодической таблицы Менделеева, но Cl находится правее.Поэтому мы ожидаем, что атомы Mg будут больше, чем атомы Cl.
Карьера: клинический химик
Клиническая химия — это область химии, связанная с анализом биологических жидкостей для определения состояния здоровья человеческого тела. Клинические химики измеряют множество веществ, от простых элементов, таких как натрий и калий, до сложных молекул, таких как белки и ферменты, в крови, моче и других жидкостях организма.Отсутствие или присутствие, либо аномально низкие или высокие количества вещества могут быть признаком какого-либо заболевания или признаком здоровья. Многие химики-клиницисты используют в своей работе сложное оборудование и сложные химические реакции, поэтому им необходимо не только понимать основы химии, но также знать специальные приборы и способы интерпретации результатов испытаний.
Упражнения по обзору концепции
Как элементы организованы в периодическую таблицу?
Если посмотреть на таблицу Менделеева, где появляются следующие элементы?
металлы
неметаллы
галогены
переходные металлы
Опишите тенденции изменения атомных радиусов в зависимости от положения элемента в периодической таблице.
ответы
Элементы организованы по атомным номерам.
Левые три четверти таблицы Менделеева
правая четверть таблицы Менделеева
предпоследний столбец таблицы Менделеева
средняя часть таблицы Менделеева
По мере того, как вы пересекаете периодическую таблицу, атомные радиусы уменьшаются; по мере того, как вы спускаетесь по таблице Менделеева, атомные радиусы увеличиваются.
Ключевые выводы
Химические элементы расположены в таблице, называемой периодической таблицей.
Некоторые характеристики элементов связаны с их положением в таблице Менделеева.
Упражнения
Какие элементы имеют химические свойства, аналогичные свойствам магния?
натрий
фтор
кальций
барий
селен
Какие элементы имеют химические свойства, аналогичные свойствам лития?
натрий
кальций
бериллий
барий
калий
Какие элементы имеют химические свойства, аналогичные свойствам хлора?
натрий
фтор
кальций
йод
сера
Какие элементы имеют химические свойства, аналогичные свойствам углерода?
кремний
кислород
германий
барий
аргон
Какие элементы являются щелочными металлами?
натрий
магний
алюминий
калий
кальций
Какие элементы относятся к щелочноземельным металлам?
натрий
магний
алюминий
калий
кальций
Какие элементы являются галогенами?
кислород
фтор
хлор
сера
углерод
Какие элементы являются благородными газами?
гелий
водород
кислород
неон
хлор
Какие пары элементов находятся в одном периоде?
H и Li
H и He
Na и S
Na и
Rb
Какие пары элементов находятся в одном периоде?
В и Nb
К и Br
Na и P
Li и Mg
Какой атом имеет больший атомный радиус в каждой паре атомов?
H и Li
N и P
Cl и Ar
Al и Cl
Какой атом имеет больший атомный радиус в каждой паре атомов?
H и He
N и F
Cl и Br
Al и B
Скандий (металл, неметалл, полуметалл) и входит в (элементы основной группы, переходные металлы).
Кремний является (металл, неметалл, полуметалл) и входит в (элементы основной группы, переходные металлы).
(PDF) Есть ли в химии нисходящая причинно-следственная связь?
ЕСТЬ ЛИ НИЖНЯЯ ПРИЧИНА В ХИМИИ? 189
Клиффорд, W.K. 1879. Этика веры. В кн .: Лекции и очерки, т.II. Лондон: Макмиллан.
Крейн, Т. 1991. Почему именно? Анализ 51: 32–37.
Крейн Т. и Меллор Д.Х. 1990. О физикализме не может быть и речи. Mind 99: 185–206.
Филд, H. 1992. Физикализм. В: Earman, J. (ed.), Inference, Explanation and Other Frustrations: Essays
in the Philosophy of Science. Беркли: Калифорнийский университет Press, 271–291.
Giere, R.N. 1988. Объясняя науку: когнитивный подход. Чикаго: Издательство Чикагского университета.
Хендри, Р.Ф. 1995. Реализм и прогресс: почему ученые должны быть реалистами. В: Fellows, R. (ed.), Phi-
, философия и технология. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 53–72.
Хендри, Р.Ф. 1998. Модели и приближения в квантовой химии. В: Шанкс, Н. (ред.), Идеализация
в современной физике. Амстердам / Атланта: Родопи, 123–142.
Хендри, Р.Ф. 1999. Молекулярные модели и вопрос физикализма. Хайль 5: 117–134.
Хендри, Р.F. 2001. Математика, представление и молекулярная структура. В: Кляйн, У. (ред.), Инструменты и
способы представления в лабораторных науках. Дордрехт: Kluwer, 221–136.
Хорган, Т. 1993. От супервентности к суперповторимости: удовлетворение требований материального мира.
Mind 102: 555–586.
Ким, Дж. 1997. Супервентность, возникновение и реализация в философии разума. В: Carrier, M. и
Machamer, P.K. (ред.), Mindscapes: философия, наука и разум.Констанц: Universitatsverlag
Konstanz, 271–293.
Рыцарь Д. 1995. Идеи в химии: история науки, 2-е изд. Лондон: Атлон.
Lakatos, I. 1970. Фальсификация и методология программ научных исследований. В: Lakatos, I.
и Musgrave, A. (ред.), Критика и рост знания. Кембридж: Кембриджский университет
Press, 91–196.
Маклафлин, Б. 1992. Взлет и падение британского эмерджентизма. В: Беккерманн, А., Флор, Х. и Ким,
J. (ред.), Возникновение или сокращение? Очерки перспектив нередуктивного физикализма. Берлин:
Вальтер де Грюйтер, 49–93.
Оппенгейм П. и Патнэм Х. 1958. Единство науки как рабочая гипотеза. В: Feigl, H. Scriven,
M. и Maxwell, G. (eds.), Minnesota Studies in the Philosophy of Science, Vol. II. Миннеаполис:
University of Minnesota Press, 3–36. [Ссылки на страницы относятся к перепечатке в Boyd, R., Gasper, P.и
Траут, Дж. (ред.), 1991. Философия науки. Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 405–427.]
Папино, Д. 1990. Почему супервентность? Анализ 50: 66–71.
Папино, Д. 1991. Причина. Анализ 51: 37-40.
Папино, Д. 2000. Рост физикализма. В: Стоун М. и Вольф Дж. (Ред.), Правильные амбиции
Science. Лондон: Рутледж, 174–208.
Quine, W.V. 1981. Пути создания миров Гудмана. Теории и вещи. Кембридж, Массачусетс: Гарвард
University Press, 96–99.
Scerri, E. 1994. Была ли химия хотя бы приблизительно сведена к квантовой механике? PSA 1994,
Т. 1. Ист-Лансинг, штат Мичиган: Философия научной ассоциации, 160–170.
Сильверштейн, Р.М., Басслер, Г.К. и Моррилл, Т. Спектрометрическая идентификация органических соединений, 4-е изд.
, изд. Нью-Йорк: Вили.
Смит, П. 1992. Скромные сокращения и единство науки. В: Чарльз Д. и Леннон К. (ред.),
Редукция, объяснение и реализм.Оксфорд: Кларендон, 19–43.
Steinfeld, J. 1985. Molecules and Radiation, 2nd ed. Кембридж, Массачусетс: M.I.T. Нажмите.
Стефан А. 1992. Возникновение: систематический взгляд на его исторические аспекты. В: Beckermann, A., Flohr, H.
и Kim, J. (eds.), Возникновение или сокращение? Очерки перспектив нередуктивного физикализма.
Берлин: Вальтер де Грюйтер, 25–48.
Вулли Р. 1976. Квантовая теория и молекулярная структура. Успехи в физике 25: 27–52.
Вулли, Р.1991. Квантовая химия за пределами приближения Борна – Оппенгеймера. Журнал молекулярной структуры
(ТЕОХИМА) 230: 17–46.
Вулли Р. 1998. Существует ли квантовое определение молекулы? Журнал математической химии 23:
3–12.
Вулли Р. и Сатклифф Б. 1977. Молекулярная структура и приближение Борна – Оппенгеймера.
Химическая физика Letters 45: 393–398.
Причинность в современной физике
Причинность в современной физике, из Physical Reality , ed.Стивен Тулмин, 1970
1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Число мыслимых, логически возможных физических миров бесконечно; человеческое воображение, однако, на удивление плохо понимает и разрабатывает новые возможности. Сила воображения настолько ограничена интуитивными условиями грубого перцептивного опыта, что сама по себе вряд ли сможет продвинуться ни на шаг дальше. Только с помощью строгой дисциплины более тонкого научного опыта наша мысль может выйти за пределы своих привычных каналов.Самая красочная сказочная страна Тысячи и одной ночи создана путем небольшой перестановки привычного повседневного материала. И после размышлений, когда кто-то исследует их с большей точностью, он обнаруживает, что то же самое справедливо и в отношении самых смелых и самых глубоких философских систем: если для поэта это было создание с помощью интуитивных картинок, то для философа это построение с помощью чего-то большего. абстрактные, но все еще знакомые концепции, из которых с помощью кажущихся более прозрачных принципов комбинирования формируются новые структуры.Физик тоже сначала поступает примерно так же при построении гипотез. На это особенно указывает стойкость веры, которой на протяжении многих веков придерживались физики, что для объяснения природы необходима копия ее процессов в моделях, воспринимаемых органами чувств. Так, например, он без всяких на то оснований неоднократно приписывал эфиру свойства видимых, осязаемых веществ. Только когда наблюдаемые факты либо предполагают, либо заставляют его использовать новые системы понятий, физик осознает новые возможности и освобождается от своих прежних привычек мышления; но затем он легко и с величайшей легкостью совершает прыжок, скажем, в риманово пространство или в эйнштейновское время, к таким смелым и глубоким концепциям, что ни воображение поэта, ни интеллект философа не могли их предвидеть.Точно так же нельзя было предвидеть поворотный момент, к которому пришла современная физика в вопросе о причинности. Хотя было так много философских рассуждений о детерминизме и индетерминизме, о содержании, валидности и способе проверки принципа причинности, никто не подумал о том, что именно эта возможность ведет в квантовой физике к ключу, который позволяет нам взглянуть на реальную реальность. природа причинного порядка. Только оглядываясь назад, мы понимаем, чем новые идеи отличаются от старых, и, возможно, нас немного удивляет, что до сих пор мы всегда упускали из виду суть.Однако теперь, когда значимость концепции квантовых теорий была продемонстрирована исключительными результатами ее применения, и у нас было несколько лет, чтобы привыкнуть к новым идеям, не должно быть преждевременным пытаться прийти к философской ясности. относительно значения и объема идей, которые современная физика вносит в проблему причинности. 2. ПРИЧИННОСТЬ И ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ Наблюдение за тем, что философские размышления не предвидели возможностей, которые были обнаружены позже, из-за их тесной привязки к существующим идеям, верно также и в отношении идей, которые я выдвинул более десяти лет назад.Тем не менее, вероятно, не бесполезно возвращаться к некоторым пунктам этих предыдущих соображений, поскольку таким образом прогресс, достигнутый за это время, становится намного более очевидным. Прежде всего необходимо определить, что на самом деле имеет в виду ученый, когда говорит о «причинности». Где он использует это слово? Очевидно, везде, где он предполагает «зависимость» между определенными событиями. (В настоящее время самоочевидно, что только события, а не «вещи» подвергаются сомнению как элементы причинно-следственной связи, поскольку физика формирует четырехмерную реальность из событий и рассматривает «вещи», трехмерные тела, как простые абстракции.) Но что значит «зависимость»? Во всяком случае, в науке это всегда выражается законом ; Следовательно, причинность — это не что иное, как другое слово для обозначения существования закона. Таким образом, содержание принципа причинности явно заключается в утверждении, что все в мире происходит согласно законам; безразлично, подтверждаем ли мы законность принципа причинности или детерминизма . Чтобы сформулировать принцип причинности или детерминистский тезис, мы должны сначала определить, что имеется в виду под законом природы или под взаимной «зависимостью» природных явлений.Ведь только когда мы знаем это, мы можем понять значение детерминизма, который утверждает, что каждое событие является членом причинной связи, что каждый процесс полностью зависит от других процессов. (Мы не будем обсуждать, может ли попытка сделать утверждение обо всех естественных процессах привести к логическим затруднениям.) Таким образом, в любом случае мы отделяем вопрос о значении слова «причинность» или «естественный закон» от вопроса о действительности принципа причинности или закона причинности, и вначале мы интересуемся первым вопросом. Только.Различие, которое мы таким образом проводим, совпадает с различием, сделанным Х. Райхенбахом в начале его эссе «Die Kausalstruktur der Welt». Он говорит там о различии двух «форм гипотезы причинности». Первую он называет «формой импликации». Он дается, «когда физика устанавливает законы, то есть делает утверждения в форме:« если А, то Б. » «Вторая — это« детерминированная форма причинной гипотезы »; он идентичен детерминизму, который утверждает, что течение мира в целом «остается неизменным, что с помощью одного сечения четырехмерного мира прошлое и будущее полностью определены.»Мне кажется проще и точнее охарактеризовать это различие как различие между концепцией причинности и принципом причинности. Тогда вопрос касается содержания концепции причинности. Когда мы говорим, что процесс A «определяет» другого B, что B «зависит» от A, что B связано с A по закону? Что означают слова «если… то», обозначающие причинно-следственную связь, в утверждении «если А, то В»? 3. ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО И ПОРЯДОК На языке физики естественный процесс представляется как последовательность значений определенных физических величин.Мы уже здесь отмечаем, что, конечно, в последовательности может быть измерено только конечное число значений, что, следовательно, опыт дает только дискретное множество наблюдаемых величин, и, кроме того, что каждое значение считается подверженным определенной неточности. . Предполагая, что дано большое количество таких наблюдаемых величин, мы затем задаемся довольно общим вопросом: как должно быть составлено такое количество значений, чтобы мы могли сказать, что оно представляет собой подобную закону последовательность, что существует причинная связь между наблюдаемые величины? Мы можем для начала предположить, что данные уже обладают естественным порядком, а именно пространственно-временным; то есть каждое количественное значение относится к определенной позиции в пространстве и времени.Конечно, верно, что только с помощью причинных соображений мы можем указать положение событий в физическом пространстве-времени, перейдя от феноменального пространства-времени, которое представляет естественный порядок наших переживаний, к физическому миру. Но это затруднение можно исключить в наших рассуждениях, которые полностью ограничиваются областью физического мира. Более того, наши соображения основаны на наиболее фундаментальном предположении, о котором я упоминаю здесь лишь вскользь, поскольку он уже обсуждался в предыдущей работе (loc.соч. п. 463). Это гипотеза о том, что в природе есть определенные «сходства» в том смысле, что различные области природы сопоставимы друг с другом на , так что мы можем, например, сказать: «та же» величина , которая в этом месте имеет значение f1 имеет значение f в другом месте. Таким образом, сопоставимость является одной из предпосылок измеримости. Нелегко дать реальный смысл этого предположения, но нам не нужно беспокоиться о нем, поскольку этот последний анализ также не имеет отношения к нашей проблеме.Согласно этим наблюдениям, наша проблема, касающаяся содержания концепции причинности, сводится к следующему: какой характеристикой должна обладать пространственно-временная упорядоченная группа ценностей, чтобы ее можно было рассматривать как выражение «закона природы»? Эта характеристика может быть не чем иным, как порядком , и действительно, поскольку события, протяженные в пространстве и времени, уже упорядочены , это должен быть своего рода интенсивный порядок. Этот порядок должен быть типа темпорального и , поскольку, как хорошо известно, мы не говорим о причинности применительно к пространственному порядку (обычно выражаемому как «одновременные» сосуществующие события); понятие деятельности здесь не находит применения.Пространственные закономерности, если таковые имеются, были бы названы «законами сосуществования». Ограничившись временным измерением, я считаю, что теперь мы должны сказать: Каждый порядок событий во времени любого рода следует рассматривать как причинную связь. Только полный хаос, полная неправильность может быть обозначена как акаузальное происшествие, как чистая случайность; каждый след порядка означал бы зависимость, следовательно, причинность. Я считаю, что такое использование слова «причинный» ближе к его повседневному значению, чем когда оно ограничено, как, кажется, делают многие натурфилософы, таким порядком, который мы могли бы обозначить термином «полная причинность» — в какой фразе оно появляется что имеется в виду нечто вроде «полной детерминации» рассматриваемого события (конечно, мы можем выразиться здесь только в неточных терминах).Если мы ограничим слово полной причинностью, мы рискуем вообще не найти ему никакого применения в природе, хотя в некотором смысле мы действительно рассматриваем существование причинности как факт опыта. И было бы еще меньше причин переносить границу между законом и случаем в какую-то другую точку. Таким образом, единственная альтернатива, которая стоит перед нами: порядок или беспорядок? Причинность и закон тождественны порядку; неправильность и случайность тождественны беспорядку. Таким образом, результат до настоящего времени выглядит следующим образом: мы называем естественный процесс, описываемый группой значений, причинным или регулярным, если значения показывают какой-либо временной порядок.Это определение приобретает смысл только тогда, когда мы знаем, что следует понимать под «порядком», чем он отличается от хаоса. Самая загадочная проблема! 4. ПОПЫТКИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ РЕГУЛЯРНОСТИ Несомненно, что в нашей повседневной жизни, а также в науке мы довольно четко различаем порядок и беспорядок, регулярность и неправильность. Как это понимать? На первый взгляд ответ не кажется очень сложным. Похоже, что нам нужно только убедиться, как физика на самом деле представляет законы природы, в какой форме она описывает зависимость событий.Теперь эта форма — математическая функция . Зависимость одного события от другого выражается в том, что значения отдельных величин представлены как функции других. Каждый порядок чисел математически представлен функцией; и поэтому кажется, что желаемый критерий порядка, который отличает его от беспорядка, — это выразимость с помощью функции. Но как только идея тождества функции и закона выражается, мы видим, что это не может быть правильным.Поскольку, как хорошо известно, каким бы ни было распределение заданных величин, всегда можно найти функции , , которые представляют именно это распределение с любой степенью точности; а это означает, что каждое возможное распределение величин, каждый мыслимый ряд значений следует рассматривать как порядок. Не было бы хаоса. Таким образом, мы не можем успешно отличить причинность от случайности, порядок от беспорядка и не можем таким образом определить правила и закон. Как было показано также в наших предыдущих рассуждениях, кажется, остается только альтернатива — наложить определенные требования на функции, которые описывают наблюдаемые ряды значений, и с их помощью определить понятие порядка.Тогда мы должны сказать: если функции, описывающие распределение значений величин, имеют такую-то определенную структуру, представленная последовательность соответствует закону, в противном случае она неупорядочена. Таким образом, мы попадаем в довольно безвыходную ситуацию, поскольку ясно, что таким образом дается свобода произвола, и различие между законом и случаем, основанное на такой произвольной основе, никогда не может быть удовлетворительным. Это могло быть так только в том случае, если можно было установить фундаментальное и резкое различие в структуре функций, которые в то же время обладали такими определенными эмпирическими возможностями применения, что каждый немедленно распознал бы их как правильную формулировку понятий регулярности и неправильности. как они применяются в науке.Здесь одновременно появляются два пути, оба из которых люди пытались принять. Первый уже был использован Максвеллом для определения причинности. Он состоит из следующего условия: пространственные и временные координаты не должны явно фигурировать в уравнениях, описывающих рассматриваемую последовательность. Это требование эквивалентно понятию, которое обычно выражается фразой: похожие причины, похожие следствия. Фактически это означает, что процесс, который происходит в любом месте и в любое время определенным образом, будет происходить точно таким же образом в любом другом месте и в любое другое время при тех же обстоятельствах.Другими словами, правило устанавливает универсальную действительность представленной взаимосвязи. Однако универсальная действительность, как было общепризнано, — это именно то, что в законах природы обозначено двусмысленным термином «необходимость», так что кажется, что сущностная природа причинной связи была правильно понята. это условие. Что касается определения закона Максвелла, которое я сам ранее защищал (в процитированном отрывке), мы можем сказать следующее: Понятие закона в физике, несомненно, таково, что это требование всегда выполняется.На самом деле ни один исследователь не думает формулировать законы природы, которые явно относятся к определенным положениям и моментам во Вселенной. Если бы пространство и время явным образом фигурировали в физических уравнениях, они имели бы совершенно иное значение, чем то, которое они на самом деле имеют в нашем мире. Относительность пространства и времени, фундаментальная для нашего мировоззрения, будет отвергнута, и время и пространство больше не смогут принимать на себя особую роль «форм» явления, которую они имеют в нашем космосе. Следовательно, мы должны быть свободны поддерживать максвелловское условие причинности — однако, будет ли это необходимым условием? Вряд ли нам позволят сказать это, поскольку, несомненно, можно представить себе мир, в котором все события должны быть выражены в формулах, в которых пространство и время проявляются явно, без нашего отрицания того, что эти формулы представляют собой истинные законы и что этот мир полностью упорядочен. .Насколько я могу судить, можно предположить, например, что единообразные измерения элементарного кванта электричества (электрического заряда) дадут значения для этих величин, которые будут колебаться примерно на 5 процентов за семь часов, а затем снова через семь часов. , а затем десять часов, а мы не можем найти ни малейшей «причины» для этого. А кроме этого, возможно, может появиться еще одна вариация, за которую мы возьмем ответственность за абсолютное изменение положения Земли в космосе.В этом случае условие Максвелла не будет выполнено, но мы, конечно, не обнаружим, что мир беспорядочный, и мы сформулируем его закономерность и сможем делать прогнозы с его помощью. Поэтому мы склонимся к мнению, что определение Максвелла слишком ограничено, и мы спросим себя, каков критерий закона в обсуждаемом нами гипотетическом случае. Решающим фактором гипотетического случая, кажется, является то, что мы могли так легко учесть влияние пространства и времени, что они входят в формулы таким простым образом.Если бы, в нашем примере, электрический заряд вел бы себя по-разному каждую неделю и каждый час или образовывал бы совершенно «неправильную кривую», мы, конечно, могли бы впоследствии представить его зависимость от времени функцией, но эта функция была бы очень сложной. Тогда мы бы сказали, что никакого закона не существует, но что изменения величин управляются «случайностью». Нам не нужно изобретать подобные случаи, поскольку, как известно, новая физика принимает их как обычное явление. Прерывистые события в атоме, которые теория Бора интерпретирует как скачки электрона с одной орбиты на другую, рассматриваются как чисто случайные, как «акаузальные», хотя впоследствии мы можем думать об их возникновении как о функции времени.Но эта функция была бы очень сложной, непериодической, трудной для понимания, и только по этой причине мы говорим, что никакой регулярности не существует. Но как только можно сформулировать любое простое утверждение относительно скачков — если, например, временные интервалы станут все больше, — это сразу же покажется нам закономерностью, даже если время явным образом войдет в формулу. Соответственно, создается впечатление, что мы говорим о порядке, законе, причинности, когда ход событий описывается функциями простой формы; а сложность формулы — критерий беспорядка, беспредела, случайности.Таким образом, очень легко прийти к определению причинности с помощью простоты описательных функций. Однако простота — это наполовину прагматичная, наполовину эстетическая концепция. Поэтому мы можем назвать это определение эстетическим. Кроме того, не имея возможности сформулировать, что здесь подразумевается под «простотой», мы должны подтвердить тот факт, что каждый исследователь, которому удалось представить серию наблюдений простой формулой (например, линейной, квадратичной, экспоненциальной функцией), является совершенно уверен, что открыл закон, и поэтому эстетическое определение, так же как и определение Максвелла, очевидно, раскрывает характеристику причинности, которая считается решающим критерием.Какую из двух попыток сформулировать концепцию права мы примем? Или мы сформулируем новое определение, объединив оба? 5. Неадекватность попыток определения. Подводя итог: определение Максвелла говорит в пользу того факта, что ему удовлетворяют все известные законы природы и что его можно рассматривать как адекватное выражение утверждения «аналогичные причины, аналогичные следствия». Этому определению противоречит тот факт, что возможны случаи, в которых мы, безусловно, должны признать регулярность без выполнения критерия.«Эстетическое» определение имеет в свою пользу то, что оно также применимо к рассмотренным выше случаям, к которым другой не относится, и что также, несомненно, в преследовании науки «простота» функций используется как критерий порядка и закон. Однако этому противоречит тот факт, что простота, несомненно, является относительным и неопределенным понятием, так что строгое определение причинности не получается, а закон и случай не могут быть в достаточной степени различимы. Действительно, возможно, что мы должны принять во внимание эту последнюю идею, и что «закон природы» на самом деле не является чем-то столь точно мыслимым, как можно было бы сначала подумать; однако такая точка зрения будет принята только тогда, когда будет уверен, что другой возможности не остается.Несомненно, концепция простоты может быть закреплена только соглашением, которое всегда должно оставаться произвольным. Вероятно, нам следовало бы считать функцию первой степени более простой, чем функцию второй степени; однако и последний, несомненно, представляет собой безупречный закон, когда с большой точностью описывает данные наблюдения. Ньютоновская формула тяготения, в которой есть квадрат расстояния, обычно до сих пор рассматривается как парадигмальный случай простого естественного закона.Можно, например, далее согласиться с тем, что из всех непрерывных кривых, которые проходят через заданное количество точек с достаточной близостью, мы можем рассматривать как простейшую ту, которая в среднем везде имеет наибольший радиус кривизны. (Об этом есть неопубликованная работа Марселя Наткина.) Однако такие уловки кажутся неестественными, и сам факт наличия степеней простоты делает определение причинности, основанное на ней, неудовлетворительным. Такое положение дел усугубляется тем фактом, что, как мы знаем, дело вовсе не в простоте изолированного закона, а в простоте системы всех законов природы.Так, например, истинное уравнение закона газов никоим образом не имеет простой формы, данной ему Бойлем-Мариоттом; тем не менее мы знаем, что его сложная форма может быть объяснена особенно простым набором элементарных законов. В принципе, найти правила простоты системы формул должно быть намного сложнее. Они всегда оставались временными, так что видимый порядок с прогрессивным знанием мог превратиться в беспорядок. Таким образом, ни максвелловский, ни эстетический критерии, кажется, не дают действительно удовлетворительного ответа на вопрос о том, что такое причинность на самом деле.Первое кажется слишком узким, второе — слишком расплывчатым. Комбинация обеих попыток не дает принципиального прогресса, и легко видеть, что недостатки не могут быть устранены с помощью улучшений в том же направлении. Наблюдаемые недостатки явно носят фундаментальный характер, и это дает нам идею пересмотреть нынешнюю отправную точку и подумать, находимся ли мы в целом на правильном пути. 6. ПРОГНОЗ КАК КРИТЕРИЙ ПРИЧИННОСТИ До сих пор мы предполагали, что дано определенное распределение значений, и спрашивали: когда оно представляет собой регулярную, а когда случайную последовательность? Возможно, что на этот вопрос вообще нельзя ответить, просто рассматривая распределение ценностей, но необходимо выйти за пределы этой области.Давайте на мгновение рассмотрим последствия, которые утверждения о концепции причинности имеют для принципа причинности. Мы представляем себе, что для максимально возможного количества внутренних и граничных точек физической системы мы пытаемся определить значение переменных состояния путем точного наблюдения. Сейчас принято говорить, что принцип причинности действителен, если из состояния системы в течение очень короткого времени и из граничных условий можно вывести все другие состояния системы.Однако такой вывод возможен при любых обстоятельствах, поскольку в соответствии с тем, что было сказано, всегда можно найти функции, которые представляют все наблюдаемые значения с любой желаемой точностью. И как только у нас есть такие функции, мы можем с их помощью вычислить все уже наблюдаемые состояния, будь то ранее или позже, из любого состояния системы. Ибо функции были выбраны таким образом, чтобы они отображали все, что наблюдается в системе. Другими словами: принцип причинности будет соблюдаться при любых обстоятельствах.Однако утверждение, которое применимо к любой системе, независимо от ее свойств, вообще ничего не говорит об этой системе, является пустым утверждением, простой тавтологией, и бесполезно строить его. Следовательно, если причинный закон действительно должен что-то означать, если он имеет содержание, формулировка, с которой мы начали, должна быть ложной, поскольку закон оказался тавтологическим. Если, однако, мы сделаем оговорку, что используемые уравнения не должны явно содержать пространственные и временные координаты или что они должны быть очень «простыми», принцип, несомненно, приобретет реальное содержание; но в первом случае верно то, что мы сформулировали слишком ограниченное понятие причинности, а во втором единственной характеристикой было бы то, что вычисление было бы проще.Однако нам, конечно же, не следует формулировать разницу между хаосом и порядком таким образом, чтобы мы говорили, что первое понятно только отличному математику, а второе — среднему. Поэтому мы должны начать заново и попытаться иначе сформулировать смысл причинного закона. Наша ошибка до сих пор заключалась в том, что мы не соответствовали с достаточной точностью действительной процедуре, с помощью которой в науке фактически проверяют, зависят ли процессы друг от друга или нет, существует или нет закон, причинная последовательность.До сих пор мы только исследовали, как устроен закон. Однако, чтобы понять его истинное значение, нужно понаблюдать за тем, как оно проверяется. Всегда бывает так, что значение высказывания раскрывается только способом его проверки. Как же тогда проводится тест? После того, как нам удалось найти функцию, которая удовлетворительно связывает группу данных наблюдений, мы никоим образом не удовлетворены, даже когда найденная функция имеет очень простую структуру, поскольку теперь идет главное, чего наши рассуждения до сих пор не затрагивали: Мы наблюдаем, правильно ли полученная формула представляет те наблюдения, что не использовались при достижении формулы.Для физика как исследователя реальности единственно важным, решающим и существенным является то, чтобы уравнения, полученные на основе определенных данных, были применимы к другим, новым данным. Только тогда, когда это правда, он считает свою формулу законом. Другими словами, истинный критерий закона, существенный признак причинности — это успех предсказания , предсказания . Под успехом предсказания следует понимать, согласно сказанному, не что иное, как подтверждение формулы для таких данных, которые не использовались при ее построении.Были ли эти данные уже получены или определены только впоследствии, в этой связи не имеет никакого значения. Это наблюдение очень важно: прошлые и будущие данные в этом отношении находятся на одной и той же основе, будущее не имеет особого значения; критерий причинности — это не подтверждение в будущем, а подтверждение в целом. Само собой разумеется, что проверка закона может произойти только после его формулировки, но это не делает особого различия в будущем.Важно то, что безразлично, находятся ли проверяющие данные в прошлом или в будущем; это случайно, когда они становятся известными или используются для проверки. Подтверждение остается тем же самым, были ли данные известны до формулировки теории, как в случае аномалии движения Меркурия, или же это было предсказано теорией, как в случае красного смещения спектральных линий. . Только для применения науки, для техники фундаментально важно, чтобы законы природы позволяли предсказывать нечто новое, еще никем не наблюдаемое.Итак, более ранние философы, Бэкон, Юм, Конт, давно знали, что знание реальности совпадает с возможностью предсказания. Таким образом, они в корне правильно сформулировали сущность причинности. 7. ВЫЯВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТА. Если мы принимаем успех предсказания как истинный критерий причинно-следственной связи — и, с учетом важного ограничения, которое будет упомянуто сейчас, нам придется это сделать, — мы тем самым также признаем, что предыдущие попытки определения больше не принимаются во внимание. .Фактически, если мы действительно можем предсказать новые наблюдения, не имеет значения, как были построены формулы, которые позволили нам это сделать, кажутся ли они простыми или сложными, вне зависимости от того, входят ли время и пространство явно или нет. Как только кто-то сможет вычислить новые данные наблюдений из старых, мы признаем, что он понял закон, управляющий процессами; поэтому предсказание является достаточной характеристикой причинности. Мы легко понимаем, что подтверждение также является необходимой характеристикой и что максвелловских и эстетических критериев недостаточно, когда мы воображаем, что нашли формулу великой простоты, которая описывает определенный естественный процесс с большой точностью, но сразу перестает работать, когда применительно к дальнейшим фазам процесса, к новым наблюдениям.Очевидно, тогда мы должны сказать, что распределение величин, имевшее место однажды, имитировало зависимость природных явлений, которых на самом деле не существует, что это было чистой случайностью, что конкретная последовательность могла быть описана простыми формулами. То, что не было закона природы, доказывается тем фактом, что наша формула не выдерживает проверки, поскольку при попытке повторить наблюдения последовательность действий происходит совершенно иначе; формула больше не применима. Вторая альтернатива, конечно, состоит в том, что можно сказать, что закон действовал во время наблюдения, но больше не действует.Ясно, однако, что это лишь еще один способ выразить отсутствие закона, при этом отрицается универсальность закона. «Регулярность», наблюдаемая для единственной последовательности, не была истинной регулярностью, а просто случайностью. Таким образом, подтверждение предсказания — единственный критерий причинности. Только через него реальность говорит с нами; построение законов и формул — это просто работа человека. Здесь я должен включить два наблюдения, которые идут вместе и имеют принципиальное значение. Во-первых, я сказал ранее, что мы можем признать «проверку» закономерности адекватной характеристикой причинности только при условии ограничения.Это ограничение состоит в том, что подтверждение предсказания никогда не доказывает фактического существования причинности, а только делает ее вероятной. Дальнейшие наблюдения действительно могут показать, что предполагаемый закон всегда неверен, и тогда мы должны сказать, что «он выражал последовательность только случайно». Поэтому окончательная проверка, так сказать, невозможна в принципе. Отсюда мы делаем вывод, что каузальное утверждение логически вообще не имеет характеристики предложения, поскольку подлинное предложение должно в конце концов позволить себя верифицировать.Мы вернемся к этому вскоре, не имея, однако, возможности полностью объяснить этот кажущийся парадокс здесь, где нас не интересует логика. Второе наблюдение касается того факта, что между критерием подтверждения и двумя отклоненными попытками определения, тем не менее, существует замечательная взаимосвязь. Дело просто в том, что на самом деле разные характеристики идут рука об руку. Мы, конечно, с большой уверенностью ожидаем, что именно те формулы, удовлетворяющие критерию Максвелла и отличающиеся эстетической простотой, будут подтверждены, и что утверждения, сделанные с их помощью, будут истинными.И даже если мы иногда разочаровываемся в этом ожидании, факт остается фактом: законы, которые действительно доказали свою силу, всегда были очень простыми и всегда соответствовали определению Максвелла. Но каково значение этой «простоты», трудно сказать, и в этой связи было сделано много ошибочных мыслей; мы не хотим придавать этому слишком много значения. Несомненно, что мы можем вообразить гораздо более «простые» миры, чем наш собственный. Существует также «простота», которая является просто вопросом репрезентации, то есть относится к символизму, посредством которого мы выражаем факты.Его рассмотрение приводит к вопросу о «конвенционализме» и нас в этой связи не интересует. Во всяком случае, мы видим, что если формула соответствует как более ранним, так и неадекватным критериям, мы считаем вероятным, что она действительно является выражением закона, фактически существующего порядка, поэтому она будет подтверждена . Если это подтвердится, мы снова считаем вероятным, что так будет и дальше. (И действительно, это понятно без введения новых гипотез, поскольку в целом физические законы устроены так, что они всегда могут поддерживаться новыми гипотезами, внесенными в ad hoc .Но если они становятся слишком сложными, говорят, что, тем не менее, закон не выполняется, правильный порядок не найден.) Слово вероятность, которое мы здесь используем, кроме того, обозначает нечто совершенно отличное от концепции, рассматриваемой в исчислении вероятностей и происходящие в статистической физике. Для логической ясности (для философов это главная забота) чрезвычайно важно точно осознать ситуацию. Мы видели, что, по сути, причинность вообще не поддается определению в том смысле, что для уже заданной последовательности можно было бы ответить на вопрос: была ли она причинной или нет? Только применительно к единственному случаю, к единственной проверке, можно сказать: он ведет себя так, как того требует причинность.Для продвижения в познании природы (а это главная забота физика) этого, к счастью, вполне достаточно. Если несколько проверок — при некоторых обстоятельствах только одна — оказываются успешными, мы практически опираемся на проверенный закон, с безоговорочной уверенностью, с которой мы доверяем свою жизнь двигателю, построенному в соответствии с законами природы. Действительно, часто замечалось, что на самом деле нельзя говорить об абсолютной проверке закона, поскольку мы всегда, так сказать, молча оставляем за собой право изменить его на основе дальнейшего опыта.Попутно я могу добавить несколько слов о логической ситуации, упомянутое обстоятельство означает, что, по сути, естественный закон не имеет логического характера «предложения», но представляет собой «направление для формулирования предложений». (Этими идеями и терминами я обязан Людвигу Витгенштейну.) Мы уже указали это выше относительно причинных утверждений, и на самом деле причинное утверждение тождественно закону. Утверждение «Принцип энергии действует», например, говорит о природе не больше и не меньше, чем говорит сам принцип энергии.Как хорошо известно, проверке подлежат только отдельные утверждения, выведенные из естественного закона, и они всегда имеют форму: «При таких-то обстоятельствах этот индикатор будет указывать на эту отметку на шкале», «При таких-то обстоятельствах происходит потемнение в этой точке фотопластинки »и т.п. Проверяемые утверждения имеют такую природу, и эту природу представляет собой каждая проверка. Проверка вообще, успех предсказания, подтверждение на опыте, следовательно, просто критерий причинности; и действительно, в практическом смысле, в котором только мы можем говорить о проверке закона.В этом смысле, однако, вопрос о существовании причинности можно проверить. Это подтверждение на опыте, успех предсказания — это нечто окончательное, не подлежащее дальнейшему анализу, нельзя переоценить. Никакое количество предложений не может указывать, когда это должно произойти, но мы должны просто ждать, произойдет это или нет. 8. ПРИЧИННОСТЬ И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ. В предыдущих рассуждениях не было сказано ничего, кроме того, что, на мой взгляд, может быть прочитано из процедуры ученого. Не было построено никакой концепции причинности; была определена только его роль в физике.Отношение большинства физиков к определенным результатам квантовой теории показывает, что они видят сущность причинности именно там, где ее нашли и предыдущие соображения, а именно в возможности предсказания , . Когда физики говорят, что полное обоснование причинного принципа несовместимо с квантовой теорией, основание, а на самом деле смысл этого утверждения, заключается просто в том факте, что теория делает точные предсказания невозможными. Мы должны попытаться прояснить это для себя.В современной физике можно так сказать, что с некоторыми ограничениями, которые следует упомянуть, каждую физическую систему следует рассматривать как систему протонов и электронов, и что ее состояние полностью определяется положением и импульс его частиц известен в каждый момент. Как хорошо известно, некоторая формула выводится из квантовой теории, так называемого «принципа неопределенности» Гейзенберга, который учит, что невозможно указать для частицы оба детерминанта, место и скорость, с любой желаемой точностью. , и чем точнее значение одной координаты, тем большей неточности мы должны ожидать для другой.Если мы знаем, что координата места лежит в пределах небольшого интервала Δp, координата скорости q может быть указана только с такой точностью, что ее значение остается неопределенным в интервале Δq, и действительно так, что произведение ΔpΔq имеет порядок величина квантового эффекта Планка h. В принципе, тогда одна координата может быть определена с любой степенью точности, но абсолютно точное ее наблюдение приведет к тому, что мы не сможем сказать ничего более о другой координате.Этот принцип неопределенности так часто иллюстрировался, даже в популярной форме, что нам не нужно более подробно описывать ситуацию; наша задача должна заключаться в том, чтобы точно понять его истинное значение. Когда мы спрашиваем значение утверждения, это всегда означает (не только в физике): каким конкретным опытом мы проверяем его истинность? Когда, например, мы представляем себе, что место электрона определяется наблюдением с неточностью Δp, что это значит, когда я говорю, например, что направление скорости этого электрона может быть указано только с неточностью ΔΘ ? Как определить, верно это утверждение или нет? То, что частица пошла в определенном направлении, можно проверить только по ее прибытию в определенную точку.Указание скорости частицы означает не что иное, как предсказание, что через определенное время она достигнет определенной точки. «Неточность направления составляет ΔΘ» означает: в определенном эксперименте я найду электрон в пределах угла ΔΘ; однако я не знаю, где именно. И если я повторю «тот же самый» эксперимент, я найду электрон в разных точках в пределах угла, и я никогда заранее не знаю, в какой именно точке. Если бы положение частицы наблюдалось с абсолютной точностью, результатом было бы то, что в принципе мы вообще не могли бы знать, в каком направлении электрон будет обнаружен через короткое время.Только дальнейшее наблюдение могло впоследствии сказать нам об этом, и при очень частом повторении «одного и того же» эксперимента должно казаться, что в среднем ни одно направление не преобладает. Тот факт, что и положение, и скорость электрона не могут быть точно измерены, обычно интерпретируется как утверждение: невозможно полностью описать состояние системы в определенный момент времени, и поэтому принцип причинности становится неприменимым. Поскольку принцип утверждает, что будущие состояния системы определяются ее начальным состоянием, поскольку, таким образом, он предполагает, что начальное состояние может быть описано в принципе точно, принцип причинности рушится, поскольку это предположение не было выполнено.Я не хотел бы называть эту идею ложной, но мне она кажется бесполезной, потому что она не выражает ясно существенный момент. Существенно то, что каждый понимает, что неопределенность, которую выражает отношение Гейзенберга, на самом деле является неопределенностью предсказания. В принципе, ничто не мешает (это также подчеркивается Эддингтоном в аналогичном мысленном контексте) нашему определению положения электрона дважды в любых двух близко расположенных точках времени и нашему рассмотрению этих измерений эквивалентными измерениям положения и скорости.Но жизненно важно то, что с данными о состоянии, полученными таким образом, мы никогда не сможем точно предсказать будущее состояние. То есть, если мы должны определить скорость электрона обычным способом (расстояние, деленное на время) с помощью наблюдаемых мест и времени, скорость тем не менее будет другой в следующий момент, поскольку, как мы знаем, это Следует предположить, что его течение совершенно неконтролируемым образом нарушается наблюдением. Только в этом заключается истинное значение утверждения о том, что мгновенное состояние не поддается точному определению; то есть невозможность предсказания сама по себе является реальной причиной, по которой физик считает необходимым отрицание причинности.Поэтому нет сомнений в том, что квантовая физика находит критерий причинности именно там, где мы тоже его открыли, и говорит о несостоятельности принципа причинности только потому, что стало невозможно делать предсказания с любой желаемой степенью точности. Я цитирую М. Борна, Naturwiss. 17 (1929 г.):
Невозможность точно измерить все данные о состоянии не позволяет предопределить его дальнейший ход развития. Из-за этого принцип причинности в своей обычной формулировке теряет всякое значение.Ведь когда в принципе невозможно знать все условия (причины) события, говорить о том, что каждое событие имеет причину, — пустая болтовня.
Однако причинность как таковая, существование законов не отрицается. Есть еще действительные прогнозы, но они не состоят в выражении точных значений магнитуды, а имеют форму: A-величина X будет лежать в интервале между a и Δa. Что нового во вкладе новейшей физики в проблему причинности, заключается не в том, что обоснованность причинного принципа вообще оспаривается, или в том, что, скажем, микроструктура природы описывается статистическими, а не причинными. закономерностей, ни в том факте, что осознание просто вероятной действительности законов природы вытеснило веру в их абсолютную действительность.Все эти идеи отчасти высказывались давно. Новизна состоит, скорее, в неожиданном до сих пор открытии того, что сами законы природы в принципе устанавливают предел точности предсказаний. Это нечто совершенно отличное от довольно очевидной идеи о том, что на самом деле и практически существует предел точности наблюдений и что допущение абсолютно точных законов природы в любом случае не нужно, если кто-то хочет дать отчет о каждом опыте. Раньше всегда казалось, что вопрос о детерминизме должен оставаться нерешенным в принципе.Доступное сейчас решение, а именно с помощью самого естественного закона (соотношения Гейзенберга), не было предусмотрено. В любом случае тот, кто сегодня говорит о разрешимости и считает, что на этот вопрос следует ответить неблагоприятно для детерминизма, должен предположить, что этот закон природы действительно существует и не вызывает никаких сомнений. То, что мы абсолютно уверены в этом, или когда-либо могло бы быть, внимательный исследователь не решится заявить. Но принцип неопределенности является неотъемлемой частью структуры квантовой теории, и мы должны доверять его правильности до тех пор, пока новые эксперименты и новые наблюдения не заставят нас пересмотреть квантовую теорию.(Фактически, это подтверждается с каждым днем.) Но показать, что теория такой структуры вообще возможна при описании природы, само по себе является большим достижением современной физики. Это означает важное философское разъяснение основных понятий естествознания. Прогресс в принципе очевиден. Теперь можно говорить об эмпирической проверке принципа причинности в том же смысле, что и о проверке некоего особого закона природы. И то, что мы можем в некотором смысле справедливо говорить об этом, доказывается просто существованием науки.9. ЯВЛЯЕТСЯ ЛОЖНЫМ ИЛИ ПУСТЫМ ПРИНЦИП ПРИЧИНЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ? Чтобы понять ситуацию, необходимо сравнить две формулировки, которые принимает критика причинного принципа в физике. Некоторые говорят, что квантовая теория показала (конечно, предполагая, что она верна в ее нынешней форме), что этот принцип недействителен по своей природе. Остальные говорят, что там пусто. Первые полагают, таким образом, что они делают определенное утверждение о реальности, что опыт оказался ложным; другие полагают, что суждение, в котором оно явно выражено, вовсе не является подлинным утверждением, а представляет собой бессмысленную последовательность слов.В качестве доказательства первой точки зрения цитируется часто цитируемая статья Гейзенберга (в Z. Physik, 1927, 43), в которой говорится: «Поскольку все эксперименты подчиняются законам квантовой механики, недействительность причинного закона окончательно доказана. определяется квантовой механикой «. Борна обычно называют представителем второй точки зрения (см. Отрывок, процитированный выше). Хуго Бергманн («Der Kampf um das Kausalgesetz in der jungsten Physik», Брауншвейг, 1929) и Тило Фогель («Zur Erkenntnistheorie der quantentheoretischen Grundbegriffe», Diss., Giessen, 1929) интересовались философскими аспектами этой дилеммы. Оба этих автора правильно предполагают, что те физики, которые отвергают причинный принцип, тем не менее в основном придерживаются одного и того же мнения, даже если они говорят разные вещи, и что очевидное различие следует приписать неточности языка одной стороны. Оба придерживаются мнения, что именно Гейзенберг виноват в неточности, и поэтому не следует говорить, что квантовая теория доказала, что принцип является ложным .Оба подчеркивают тот факт, что причинный закон нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть на опыте. Считаем ли мы эту интерпретацию правильной? Во-первых, мы должны подтвердить, что считаем основания, на которых Х. Бергманн формирует свое мнение, совершенно неверными. По его мнению, причинный закон нельзя ни дискредитировать, ни подтверждать, потому что он считает его синтетическим суждением a priori в кантовском смысле. С одной стороны, как хорошо известно, такое суждение должно выражать подлинное познание (это передается словом «синтетический»), с другой стороны, оно не может быть проверено опытом, потому что «возможность опыта «покоится на нем (что передается словами a priori ).Сегодня мы знаем, что эти два требования противоречат друг другу; синтетических суждений априори нет. Если предложение вообще что-либо говорит о реальности (и только тогда оно содержит знание), его истинность или ложность должна быть определена путем наблюдения реальности. Если в принципе нет возможности такой проверки, если предложение совместимо с любым опытом, оно должно быть пустым и не может содержать никаких знаний о природе. Если, исходя из предположения о ложности предложения, что-то в мире опыта отличалось бы от того, что было бы, если бы предложение было истинным, то, конечно, это можно было бы проверить.Следовательно, непроверяемость через опыт означает, что способ, которым мир кажется нам, совершенно не зависит от истинности или ложности утверждения, следовательно, он ничего не говорит о мире. Кант, конечно, считал, что принцип причинности многое говорит об эмпирическом мире, даже определяет его сущностную природу. Поэтому никто не делает одобрения кантианству или априоризму, когда утверждает, что этот принцип нельзя проверить. Тем самым мы отвергли точку зрения Х. Бергманна (то же самое можно сказать и о Th.Мнение Фогеля, поскольку он склоняется к умеренному, априоризму; однако его формулировки в конце процитированного трактата мне не совсем ясны), и поэтому мы должны рассмотреть новую фазу вопроса. Действительно ли ложность принципа причинности следует из результатов квантовой механики? Или, скорее, следует, что предложение лишено содержания? Последовательность слов может быть бессмысленной по двум причинам: либо она тавтологична (пуста), либо вообще не является предложением или утверждением в логическом смысле.На первый взгляд может показаться, что последняя возможность не входила в наши рассуждения здесь, поскольку, если слова, которые должны выражать причинный принцип, не представляют реальное суждение, они должны быть просто бессмысленной абсурдной последовательностью слов. Однако следует иметь в виду, что есть последовательности слов, которые не являются предложениями и не выражают фактов, но тем не менее выполняют очень важные функции в жизни; так называемые вопросы и командные предложения. И даже если причинный принцип выражен в грамматической форме повествовательного предложения, мы знаем из современной логики, что вряд ли можно судить о логическом содержании предложения по его форме.И поэтому вполне возможно, что за категориальной формой причинного принципа существует своего рода команда, требование — таким образом, приблизительно то, что Кант называет «регулирующим принципом». Подобного мнения относительно этого принципа действительно придерживаются те философы, которые видят в нем просто выражение постулата или «решения» 5 никогда не отказываться от поиска законов и причин. Поэтому эту точку зрения необходимо тщательно рассмотреть. Соответственно, мы должны выбрать одну из следующих трех возможностей: Я.Принцип причинности — тавтология. В этом случае это всегда было бы правдой, но без содержания. II. Это эмпирическое предположение. В этом случае это может быть либо истина, либо ложь, либо знание, либо ошибка. III. Он представляет собой постулат, предписание продолжать искать причины. В этом случае оно не может быть ни истинным, ни ложным, но в лучшем случае либо уместно, либо неуместно. I. Вскоре мы выясним, что касается первой возможности, тем более, что мы уже упоминали о ней выше (§6).Мы обнаружили, что причинный принцип, выраженный в форме «Все события происходят согласно закону», безусловно, является тавтологическим, если под законностью подразумевается «представимый той или иной формулой». Однако из этого мы сделали вывод, что это не может быть истинным содержанием принципа, и стали искать новую формулировку. На самом деле наука в принципе не интересуется тавтологическим утверждением. Если бы причинный принцип имел такую природу, детерминизм был бы самоочевидным, но пустым. А индетерминизм, его противоположность, был бы самопротиворечивым, поскольку отрицание тавтологии есть противоречие.Вопрос о том, какой из двух правильный, вообще не мог быть поставлен. Следовательно, если современная физика не только формулирует вопрос, но и считает, что на него определенно дает ответ опыт, то, что физика понимает под детерминизмом и принципом причинности, определенно не может быть тавтологией. Очевидно, что для того, чтобы узнать, является ли предложение тавтологическим, опыт вообще не нужен, нужно только осознать его значение. Если кто-то должен сказать, что физика продемонстрировала тавтологическую природу причинного принципа, было бы так же бессмысленно говорить, что астрономия показала, что 2 умножить на 2 равно 4.Со времен Пуанкаре6 мы научились замечать, что, по-видимому, некоторые общие утверждения входят в описание природы, не подлежащие подтверждению или опровержению, а именно «условности». Настоящие условности, которые на самом деле являются разновидностью определений, на самом деле должны быть сформулированы как тавтологии. Однако здесь нет необходимости вдаваться в подробности. Мы заключаем только то, что, поскольку мы уже признали, что современная физика во всяком случае учит нас чему-то относительно действительности принципа причинности, это не может быть пустым предложением, тавтологией, условностью; но он должен иметь такую природу, чтобы в некотором роде подвергаться суждению опыта.II. Является ли принцип причинности просто утверждением, истинность или ложность которого может быть определена путем наблюдения за природой? Наши предыдущие соображения, кажется, подтверждают эту интерпретацию. Если это верно, нам придется встать на сторону Гейзенберга, следовательно, в противовес Х. Бергманну и Т. Фогель в упомянутом выше очевидном противопоставлении формулировок Гейзенберга и Борна, в которых эти исследователи выражают результаты квантовой теории. Я называю это противопоставление очевидным, поскольку, хотя Гейзенберг говорит о недействительности и рождении бессмысленности причинного принципа, Борн все же добавляет «в его обычной формулировке».«Поэтому вполне может быть, что обычная формулировка порождает не что иное, как тавтологию, но что реальный смысл принципа может быть сформулирован в подлинном утверждении, ложность которого может быть доказана квантовыми экспериментами. Чтобы определить это, мы снова должны подумайте, какую формулировку причинного принципа мы вынуждены принять. Согласно нашим предыдущим утверждениям, содержание принципа может быть выражено следующим образом: «Все события в принципе предсказуемы». Если бы это утверждение было истинным утверждением, его можно было бы проверить — и не только это, но мы могли бы сказать, что проверка была предпринята и до сих пор дала отрицательный результат.Но как обстоят дела с нашим принципом? Можно ли четко указать значение слова «предсказуемый»? Мы назвали событие «предсказанным», когда оно было выведено с помощью формулы, построенной на основе серии наблюдений за другими событиями. С математической точки зрения предсказание — это экстраполяция. Отрицание точной предсказуемости, как учит квантовая теория, означало бы тогда, что невозможно вывести из серии наблюдений формулу, которая также будет точно представлять новые данные наблюдений.Но что снова означает это «невозможное»? Как мы видели, впоследствии всегда можно найти функцию, которая включает новое, поскольку связывает предыдущие данные с новыми данными и заставляет их казаться производными от одной и той же естественной закономерности. Следовательно, эта невозможность не является логической ; это не означает, что не существует формулы с желаемыми свойствами. Однако, строго говоря, это также не является реальной невозможностью; ведь возможно, что кто-то по чистой случайности, на основе чистой догадки, всегда получит правильную формулу.Никакой естественный закон не мешает делать правильные предположения относительно будущего. Нет, эта невозможность означает, что невозможно найти эту формулу, то есть не существует правила для получения такой формулы. Это, однако, не может быть выражено законным утверждением. Поэтому наши попытки найти проверяемое суждение, эквивалентное принципу причинности, не увенчались успехом. Наши попытки формулировок привели только к псевдопредложениям. Однако этот результат не является полностью неожиданным, поскольку мы уже сказали, что причинный принцип может быть проверен на его правильность в том же смысле, что и естественный закон.Однако мы также отметили, что строго проанализированные законы природы не являются истинными или ложными предложениями, а скорее являются x «направлениями» для построения таких предложений. Если это справедливо и для причинного принципа, мы обнаруживаем, что ссылаемся на третью возможность: III. Принцип причинности не выражает нам факта напрямую, скажем, о регулярности мира, но он представляет собой императив, заповедь искать закономерность, описывать события законами. Такое направление не истинно или ложно, но хорошо или плохо, полезно или бесполезно.И квантовая физика учит нас тому, что этот принцип плох, бесполезен, неосуществим в пределах, точно установленных принципом неопределенности. В этих пределах искать причины невозможно. Квантовая механика на самом деле учит нас этому и, таким образом, дает нам путеводную нить к деятельности, которая называется исследованием природы, противопоставляя правило причинному принципу. Здесь снова видно, насколько ситуация, созданная физикой, отличается от возможностей, которые были продуманы философией.Причинный принцип — это не постулат в том смысле, в котором это понятие встречается у более ранних философов, поскольку там он означает правило, которого мы должны придерживаться при любых обстоятельствах . Однако опыт определяет причинный принцип, конечно, не его истинность или ложность — это было бы бессмысленно, — а его полезность. А естественные законы сами определяют пределы полезности. В этом новизна ситуации. Нет никаких постулатов в смысле старой философии.Каждый постулат может быть ограничен противоположным правилом, взятым из опыта, то есть может быть признан несоответствующим и, таким образом, аннулирован. Можно было бы подумать, что эта точка зрения приведет к некоторому типу прагматизма, поскольку действительность естественных законов и причинности зависит только от их подтверждения и ни от чего другого. Но здесь есть большая разница, которую необходимо резко подчеркнуть. Утверждение прагматизма о том, что истинность предложений полностью состоит в их подтверждении, в их полезности, должно быть с нашей точки зрения отвергнуто.Истина и подтверждение для нас не тождественны. Напротив, поскольку в случае причинного принципа мы можем проверить только его подтверждение, только полезность его концепции, мы не можем говорить о его «истинности» и отрицаем ему природу подлинного утверждения. Конечно, прагматизм можно понять психологически, и его учение можно как бы оправдать, сказав, что это действительно сложно и требует тщательного размышления, чтобы увидеть разницу между истинным утверждением и полезным правилом, между ложным утверждением и бесполезным правилом. .Ибо «направления» этого типа грамматически встречаются в форме обычных предложений. В то время как для реального утверждения важно, чтобы оно было в принципе проверяемым или опровергаемым, полезность направления никогда не может быть полностью доказана, потому что более поздние наблюдения могут доказать его несоответствие. Само отношение Гейзенберга выражает естественный закон и как таковое имеет характер направления. Только на этом основании отказ от детерминизма, проистекающего из этого, не может считаться доказательством ложности определенного утверждения, но может рассматриваться только как указание на неадекватность правила.Поэтому всегда остается надежда, что с дальнейшим познанием причинный принцип снова восторжествует. Эксперт заметит, что по таким соображениям, как вышеизложенное, так называемая проблема «индукции» также перестает иметь применение и, таким образом, решается так, как ее решал Юм. Ибо проблема индукции состоит в вопросе логического обоснования общих положений относительно реальности, которые всегда являются экстраполяциями из индивидуальных наблюдений. Мы, как и Юм, признаем, что для них нет логического оправдания; не может быть одного, потому что это не настоящие предложения.Законы природы не являются (на языке логиков) «общими следствиями», потому что они не могут быть проверены для всех случаев, а являются правилами, инструкциями, помогающими исследователю ориентироваться в действительности, открывать истинные предположения, ожидать определенные события. Это ожидание, это практическое отношение — вот что Юм выражает словом «вера». Мы не должны забывать, что наблюдение и эксперименты — это действия, посредством которых мы вступаем в прямой контакт с природой. Отношения между реальностью и нами иногда выражаются в предложениях, которые имеют грамматическую форму предложений, но реальное значение которых заключается в том, что они являются директивами для возможных действий.Подводя итог: отрицание детерминизма современной физикой означает не ложность или пустоту определенного положения о природе, а бесполезность правила, которое, как «причинный принцип», указывает путь к каждой индукции и каждому естественному закону. . И фактически неприменимость правила утверждается только для определенно ограниченной области; там, однако, со всей уверенностью, которая присуща исследованиям в точных физических науках. 10. ПОРЯДОК, НАРУШЕНИЕ И «СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ» После того, как нам стала ясна особая природа причинного принципа, мы можем теперь также понять роль, которую на самом деле играет ранее обсужденный, но затем отвергнутый критерий простоты.Его следовало отвергнуть лишь постольку, поскольку оно не согласуется с понятием причины. Однако мы заметили, что де-факто он совпадает с истинным критерием — критерием подтверждения. Ибо он ясно представляет особую заповедь, плодотворную в нашем мире, которой дополняется и совершенствуется общая заповедь причинного принципа — искать закономерность. Принцип причинности побуждает нас строить на основе данных наблюдений функции, которые приводят к предсказанию новых. Принцип простоты дает нам практический метод, с помощью которого мы следуем этому направлению, говоря: соедините данные наблюдений «простейшей» кривой, которая затем будет представлять искомую функцию.Причинный принцип мог оставаться в силе, даже если правила, ведущие к успеху, были совершенно иными. Следовательно, этого правила недостаточно для определения причинной концепции, а просто представляет собой более узкое, более специальное приложение. На самом деле этого часто бывает недостаточно для правильной экстраполяции. Если мы, таким образом, признаем чисто практическую природу принципа простоты, станет ясно, что «простота» не подлежит строгому определению. Однако здесь нечеткость не имеет значения.Если, скажем, мы проведем простейшую кривую через точки, представляющие данные квантовых процессов в каком-то эксперименте (например, электронные прыжки в атоме), это будет бесполезно для предсказаний. И поскольку мы не знаем другого правила , с помощью которого могла бы быть реализована эта цель, мы говорим, что процессы не подчиняются закону, а являются случайными . Однако де-факто существует заметное соответствие между простотой и законностью, между случайностью и сложностью. Это подводит нас к важному соображению.Вполне возможно, что экстраполяция с помощью простейшей кривой почти всегда приводит к правильному результату; что, однако, без очевидной причины время от времени какое-то отдельное наблюдение не соответствует прогнозу. Чтобы сделать идею устойчивой, представим себе следующий простой случай: с помощью очень длинной серии наблюдений в природе мы определяем, что в 99% случаев за событием А следует событие В; но не в оставшемся (нерегулярно распределенном) 1% — без возможности найти малейшую «причину» для исключения.Мы бы сказали о таком мире, что он по-прежнему вполне упорядочен, поскольку наши пророчества сбудутся в среднем на 99 процентов (что намного лучше, чем в настоящее время в метеорологии или во многих областях медицины). Следовательно, мы должны приписать этому миру причинность, хотя и «несовершенного» вида. Каждый раз, когда происходит A, мы с большой уверенностью будем ожидать появления B; мы будем полагаться на это и будем неплохо ладить. Предположим, что в остальном мир вполне понятен.Если тогда, используя лучшие методы и самые большие усилия, наука не сможет объяснить среднее отклонение в 1 процент, мы, наконец, удовлетворимся этим и объясним мир как упорядоченный в определенных пределах. В таком случае перед нами «статистический закон». Важно отметить, что закон такого рода, где бы мы ни встречались в науке, как бы является результатом двух компонентов: неполная или статистическая причинность делится на строгий закон и случайность, которые накладываются друг на друга. .В приведенном выше примере мы должны сказать, что это строгий закон, согласно которому в среднем B следует A в 99 из 100 случаев, и что распределение 1 процента отклоняющихся случаев в целом составляет полностью случайность. . Пример из физики: в кинетической теории газов законы движения каждой частицы считаются совершенно строгими; но распределение отдельных частиц и их состояний, однако, предполагается полностью «случайным» в любой данный момент.Таким образом, комбинация обеих гипотез приводит к макроскопическим законам газов (например, закон газов Ван-дер-Вааль), а также к несовершенной регулярности броуновского движения. Таким образом, в научном описании процесса мы отделяем чисто причинную часть от чисто случайной. Для первого мы строим строгую теорию, а для последнего мы рассматриваем статистическим способом, то есть используя «законы» вероятности, которые, однако, на самом деле не являются законами, но (как будет показано) представляют собой определение « случайно.Другими словами, мы не удовлетворены статистическим законом вышеуказанной формы, но воспринимаем его как смесь строгой регулярности и полной и нерегулярности. Другой пример, очевидно, имеет место в квантовой механике Шредингера (в интерпретации Борна). Здесь описание процессов также разбито на две части: на строго регулярную диффузию ψ-волн и на появление частицы или кванта, которое просто случайно, в пределах «вероятности», определяемой ψ-волнами. значение в рассматриваемой точке.(То есть значение ψ говорит нам, например, что в определенную точку в среднем входит 1000 квантов в секунду. Эти 1000, однако, сами по себе демонстрируют весьма нерегулярное распределение.) Что здесь означает «просто случайное», «случайное» или «совершенно неупорядоченное»? Из предыдущего случая регулярного появления A и B вместе в среднем в 99 процентах наблюдений, что не представляет собой полного порядка, мы можем путем постепенных переходов перейти к беспорядку. Предположим, что это наблюдение показывает, что в среднем процесс B следует за процессом A в 50% случаев, процесс C следует за A в 40%, а D следует за A в оставшихся 10%.Мы все же должны говорить об определенной закономерности, статистической причинности, но тогда мы должны судить о гораздо меньшей степени присутствия порядка, чем в первом случае. (Метафизик, возможно, сказал бы, что процесс A имеет определенную «тенденцию» вызывать процесс B, более легкую тенденцию к процессу C и т. Д.) Когда мы заявим, что не существует какой-либо регулярности, что, следовательно, события , A, B, C, D полностью независимы друг от друга (в этом случае метафизик сказал бы, что в A нет внутренней тенденции к созданию своего следствия)? Очевидно, только тогда, когда после очень длинной последовательности наблюдений каждая серия, сформированная из различных событий путем перестановки (с повторением), происходит в среднем с одинаковой частотой (где серия должна быть небольшой по отношению ко всей последовательности наблюдений). ).Таким образом, мы должны сказать, что природа не склонна к определенной последовательности процессов, что последовательность, следовательно, происходит совершенно нерегулярно. Такое распределение событий обычно называют распределением «по правилам вероятности». Там, где такое распределение существует, мы говорим о полной независимости рассматриваемых событий; мы говорим, что они не связаны друг с другом причинно. И согласно тому, что было сказано, эта манера речи не означает просто указание отсутствия регулярности, но идентична с ним по определению.Так называемое «распределение вероятностей» — это просто определение полного беспорядка, чистой случайности. Похоже, что все признают, что говорить о «законах случая» — очень плохой способ выразить суть дела (поскольку случайность означает полную противоположность закона). Слишком легко задать бессмысленный вопрос (к этому относится так называемая «проблема применения»), как получается, что даже случайность подчиняется закону. Поэтому я не могу согласиться с точкой зрения Райхенбаха, когда он говорит о «принципе распределения согласно закону вероятности» как предпосылку всех естественных наук; этот принцип, наряду с принципом причинности, составляет основу всех физических знаний.Этот принцип, по его мнению, состоит в предположении, что нерелевантные факторы в причинно-следственной связи, «оставшиеся факторы» «оказывают свое влияние в соответствии с законом вероятности». Мне кажется, что эти «законы вероятности» не более чем определение причинной независимости. Конечно, мы должны здесь включить наблюдение, которое, хотя и не имеет практического значения, но имеет большое значение как в логическом, так и в принципиальном плане. Приведенное выше определение абсолютного беспорядка (равночастое среднее возникновение всех возможных последовательностей событий) будет правильным только в случае бесконечного числа наблюдений.Ибо он должен быть действителен для серий любой величины, и каждая из них, согласно предыдущему наблюдению, должна считаться малой по сравнению с общим числом случаев, то есть общее количество случаев должно превышать все пределы. Поскольку в действительности это, конечно, невозможно, мы, строго говоря, не можем решить , действительно ли беспорядок существует в любом случае окончательно. Более того, из нашего предыдущего результата следует, что это должно быть так, что для уже данной последовательности мы не можем решить, является ли она «упорядоченной» или нет.Здесь существует такая же принципиальная трудность, что невозможно определить вероятность какого-либо явления в природе по относительной частоте его возникновения. Чтобы прийти к правильным оценкам, которые требуются для математических вычислений (вероятность вычисления ), мы должны перейти к пределу для бесконечного числа случаев — естественно, бессмысленное требование эмпиризма. Часто это недостаточно учитывается. Единственный полезный метод определения вероятностей — это метод Spielraume , логический диапазон (Больцано, В.Крис, Витгенштейн, Вайсманн; см. цитированную выше статью Вайсмана). Однако это не относится к нашей теме. Теперь мы переходим к выводам некоторых следствий из приведенных выше соображений и критике других, которые здесь и здесь приводятся в этой связи. 11. ЧТО ОЗНАЧАЕТ «ОПРЕДЕЛЕННОЕ»? Поскольку, как правило, мы говорим о причинности, говоря, что один процесс определяет другой, что будущее определяется настоящим, мы хотим еще раз прояснить для себя истинное значение этого несчастного слова «определять».«То, что определенное состояние определяет другое позднее, может, в первую очередь, не означать, что между ними существует скрытая связь, называемая причинностью, которую можно каким-то образом обнаружить или которую необходимо осмыслить. возможно дольше, через 200 лет после Юма. В начале наших размышлений мы уже дали положительный ответ: «A определяет B» не может означать ничего, кроме: B может быть вычислено из A. И это снова означает: существует общая формула, описывающая состояние B как только в него будут помещены определенные значения «начального состояния» A, и как только определенное значение будет присвоено некоторым переменным, например времени t.То, что формула является «общей», опять же, означает, что помимо А и В существует любое количество других состояний, связанных друг с другом одной и той же формулой и таким же образом. Действительно, большая часть наших усилий была направлена на то, чтобы ответить на вопрос, когда можно сказать, что существует такая формула (называемая «естественным законом»). И ответ заключался в том, что критерием не было ничего, кроме фактического наблюдения B, вычисленного из A. Только когда мы можем указать формулу, которая успешно используется в предсказании, мы можем сказать, что формула существует (порядок присутствует).Слово «определенный», следовательно, означает то же самое, что и «предсказуемый» или «заранее рассчитанный». Одна только эта простая точка зрения необходима для разрешения известного парадокса, важного для проблемы причинности, которая озадачила Аристотеля и даже сегодня является источником путаницы. Это парадокс так называемого «логического детерминизма». В нем говорится, что принципы противоречия и исключенного третьего не будут действительны для предложений относительно будущих фактов, если детерминизм не действителен. Фактически, как утверждал Аристотель, если индетерминизм верен, если будущее еще не определено, кажется, что утверждение «событие E произойдет послезавтра» не может быть сегодня ни истинным, ни ложным.Ведь если бы, например, было правдой, событие должно было бы произойти, оно уже было бы определено, вопреки недетерминированному предположению. Даже в наши дни этот аргумент иногда считается убедительным и даже считается основой новой логики. Конечно, здесь должна быть ошибка, поскольку логические предложения, которые являются лишь правилами нашего символизма, не могут зависеть в отношении своей достоверности от существования причинности в мире; каждое предложение должно иметь истинность или ложность как вневременную характеристику.Правильная интерпретация детерминизма сразу снимает трудность и оставляет логическим принципам их обоснованность. Утверждение «событие E происходит в такой-то день» вневременное — поэтому даже сейчас оно либо истинно, либо ложно, и только одно из двух, совершенно независимо от того, существует ли в мире детерминизм или индетерминизм. Ибо последнее никоим образом не утверждает, что сегодня суждение о будущем E не является однозначно истинным или ложным, но только то, что истинность или ложность этого суждения не может быть вычислена на основе суждений о настоящих событиях.Следовательно, это означает, что мы не можем знать, истинно ли утверждение, до того, как прошел соответствующий момент времени, но это не имеет ничего общего с его истинностью или с основными законами логики. 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОШЛОГО Если физика сегодня, говоря недетерминированно, говорит, что будущее (в определенных пределах) неопределенное , это означает не больше и не меньше, чем: невозможно найти формулу, по которой мы можем вычислить будущее из настоящего. (Вернее это означало бы: невозможно найти такую формулу, нет правила для ее открытия; угадал только по чистой случайности.Возможно, утешительно наблюдать, что в совершенно том же смысле (и я не могу представить себе другого значения слова «неопределенный») мы должны сказать о прошлом, что в определенном отношении оно тоже не определено. Предположим, например, что скорость электрона была точно измерена, а затем обнаружено его местоположение: в этом случае уравнения квантовой теории также позволяют нам вычислить, точно , предыдущие положения электронов. указание положения физически бессмысленно, поскольку его правильность в принципе не может быть проверена, так как впоследствии невозможно проверить, появился ли электрон в вычисляемом месте в данное время. Если бы , однако, наблюдал в этом вычисленном месте, он, конечно, не достиг бы тех мест, которые будут отмечены позже, поскольку известно, что его курс неизмеримо нарушается при наблюдении. Гейзенберг говорит (стр. 15): «Приписать ли физическую реальность вычислению прошлого электрона — дело вкуса». Однако я предпочел бы выразиться еще решительнее, полностью согласившись с тем, что я считаю основной точкой зрения Бора и самого Гейзенберга.Если утверждение относительно положения электрона не поддается проверке в атомных измерениях, то мы не можем приписать ему никакого смысла; становится невозможным говорить о «пути» частицы между двумя точками, где она наблюдалась. (Это, конечно, не относится к телам молярных размеров. Если пуля сейчас здесь и через секунду на расстоянии 10 метров, то она должна была пройти через точки между ними в течение этой секунды, даже если никто не заметил это ; поскольку в принципе можно впоследствии проверить, что он был в промежуточных точках.Это можно трактовать как уточненную формулировку положения общей теории относительности: точно так же, как преобразования, которые оставляют все точечные совпадения — точки пересечения мировых линий — неизменными, не имеют физического смысла, поэтому мы можем сказать здесь, что нет смысла вовсе не приписывая физическую реальность отрезкам мировых линий между точками пересечения. Наиболее краткое описание положения дел, которое мы обсуждали, возможно, состоит в том, чтобы сказать (как это делают наиболее важные исследователи квантовых проблем), что применимость обычных пространственно-временных концепций ограничена тем, что можно наблюдать макроскопически; они не применимы к атомным размерам.Тем не менее, позвольте нам провести еще один момент с только что достигнутыми результатами, касающимися определения прошлого. Иногда в современной литературе утверждается, что современная физика восстановила древнюю аристотелевскую концепцию «конечной причины» в форме того, что раньше определялось более поздней, а не наоборот. Эта идея возникает при интерпретации формул атомного излучения, которое, согласно теории Бора, должно иметь место так, что атом испускает квант света каждый раз, когда электрон прыгает с более высокой орбиты на более низкую.Частота светового кванта зависит от начальной орбиты и конечной орбиты электрона (она пропорциональна разнице значений энергии двух орбит); поэтому очевидно, что он определяется будущим событием (выходом электрона на конечную орбиту). Давайте проверим смысл этой идеи. Помимо того факта, что концепция конечной причины должна была иметь другое содержание для Аристотеля, эта идея, согласно нашему анализу «определения», утверждает, что в некоторых случаях невозможно вычислить будущее событие Z на основе данных прошлого. события V, но, с другой стороны, V может быть получено из известного Z.Хорошо, давайте представим, что формула для этого дана и что на ее основе вычисляется V. Как мы проверяем правильность формулы? Только путем сравнения того, что вычислено с наблюдаемым V. V, однако, уже в прошлом (он существовал до Z, что также уже произошло и должно было быть известно, чтобы его можно было вставить в формулу); его нельзя наблюдать постфактум . Если тогда мы не удостоверились в этом заранее, предположение о том, что вычисленное V произошло, невозможно проверить в принципе и, следовательно, бессмысленно.Если, однако, V уже наблюдалось, у нас есть формула, которая связывает уже наблюдаемые события. Нет причин, по которым такая формула не должна быть обратимой. (Поскольку на практике функции один-много не встречаются в физике.) Если с его помощью V может быть вычислено из Z, должно быть также возможно определить Z с его помощью, когда V задано. Поэтому мы сталкиваемся с противоречием, когда говорим, что прошлое можно отсчитывать от настоящего, но не наоборот. Логически оба одинаковы.Обратите внимание: суть этого аргумента состоит в том, что данные событий V и Z входят в естественный закон с совершенно равным правом; все они должны быть уже соблюдены, чтобы формула могла быть проверена. Что касается остального, то и здесь все неясности в основном связаны с отсутствием четкого различия между тем, что может быть сформулировано как вклад мысли, и тем, что действительно наблюдалось. Здесь мы снова видим огромное преимущество точки зрения Гейзенберга, которая предлагает чисто математическую, а не явно интуитивную модель атома; вместе с тем искушение ввести так называемые «конечные причины» падает на землю.Мне кажется, что простое разъяснение значения слова «определять» показывает, что при любых обстоятельствах недопустимо предполагать (совершенно независимо от вопроса о детерминизме), что более позднее событие определяет более раннее, но обратное не правда. 13. К РАЗЛИЧЕНИЮ ПРОШЛОГО И БУДУЩЕГО Последние соображения, кажется, учат тому, что вывод относительно прошлых событий логически имеет точно такую же природу, что и вывод относительно будущих событий. В той мере и в той степени, в которой причинность вообще имеет место, мы можем с равной справедливостью сказать, что более раннее определяет более позднее, а более позднее определяет более раннее.В соответствии с этим все попытки концептуально провести различие между временным направлением от прошлого к будущему и от будущего к прошлому терпят неудачу. Я считаю, что это справедливо также в отношении попытки Х. Райхенбаха (в трактате, цитируемом в Bayrischen Sitzungsberichten) продемонстрировать асимметрию причинной связи и с ее помощью концептуально установить положительное временное направление и тем самым определить даже время настоящего, сейчас. Он считает, что причинная структура в направлении будущего топологически отличается от таковой в обратном направлении.Аргументы, которые он приводит в пользу этого убеждения, я считаю неверными. Однако я не хочу останавливаться на этом (сравните, например, с критикой идей Райхенбаха Х. Бергманном в «Der Kampf um das Kausalgesetz in der jungsten Physik», которая требует дальнейшего уточнения), а просто хочу упомянуть, что спрос на определение «сейчас» логически бессмысленно. Различие между более ранним и поздним в физике можно описать объективно и фактически, насколько я могу судить, только с помощью принципа энтропии.Но таким образом направление прошлое-будущее только отличается от противоположного. Однако о том, что реальные события развиваются в первом направлении, а не в обратном, вообще нельзя сказать, и никакой закон природы не может это выразить. Эддингтон (Природа физического мира) описывает это интуитивно, утверждая, что положительное временное направление (стрелка времени) может быть определено физически, но что невозможно концептуально сформулировать переход от прошлого к прошлому. будущее (становление).Х. Бергманн правильно видит, в отличие от Х. Райхенбаха, что у физики нет никаких средств для различения настоящего, определения концепции настоящего. Однако он, кажется, ошибочно полагает, что это так. с помощью «психологических категорий» это не может быть невозможно. На самом деле значение слова «сейчас» может быть только показано, так же как мы можем только показывать, а не определять, что мы понимаем под «синим» или «счастьем». Что причинная связь асимметрична, однонаправлена (как Reichenbach, loc. Cit.полагает) ложно предполагается фактами, связанными с принципом энтропии. Только благодаря этому закону в повседневной жизни более раннее может быть легче получено из более позднего, чем наоборот. Расчет последнего, конечно, сам по себе не тождественен умозаключению в будущее, равно как и сам расчет предыдущего не идентичен умозаключению из прошлого. Это имеет место только тогда, когда временной точкой, из которой мы делаем вывод, является настоящее. Райхенбах считает (loc.соч., стр. 155), что последний случай на самом деле отличается тем, что прошлое объективно определено, а будущее объективно не определено. Краткий анализ показывает, что все, что подразумевается под «объективно определенным», «можно вывести из частичного эффекта». Будущее «объективно не определено», потому что оно не может быть выведено из частной причины, поскольку совокупность всех частных причин не может быть определена без детерминизма. Против концепций частичной причины и частичного следствия можно сказать все, что угодно, и мы уже указали, что очевидный более легкий процесс вывода ложно предполагается фактами, включенными в принцип энтропии.Но даже если бы аргумент не содержал ошибок, он снова характеризовал бы только разницу между прошлым и последним, а не разницу между прошлым и будущим. 14. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПРИРОДЫ И СВОБОДА ВОЛИ Психологическая причина такого рода идей, упомянутых в последний раз (и именно поэтому я ссылался на них), как мне кажется, заключается в том обстоятельстве, что, помимо простого значения, которое наш анализ нашел для слова «неопределенный», неявно ему приписывается метафизическое родственное значение; а именно, как если бы можно было приписать определенность или неопределенность процессу как таковому.Однако это бессмысленно. Поскольку «детерминированный» означает вычисляемый с помощью определенных данных, говорить о детерминизме имеет смысл только тогда, когда мы прибавляем: Чем? Каждый реальный процесс, принадлежит ли он прошлому или будущему, остается таким, каков он есть; неопределенность не может относиться к его характеристикам. В отношении самих природных процессов нельзя разумно утверждать «неопределенность» «неопределенности». Только в отношении наших мыслей мы можем говорить о них (а именно, когда мы не знаем определенно, какие утверждения верны, какие представления верны.Зоммерфельд, очевидно, имеет в виду именно это, когда говорит: 10 «Не экспериментальное является неопределенным. С достаточным вниманием к экспериментальным условиям, они могут быть точно обработаны. Индетерминизм применим только к нашим идеальным формам, которые сопровождают физические факты». Поэтому не следует верить, что в современной физике есть место неправильному представлению о естественных процессах, «неопределенных в себе». Если, например, в эксперименте невозможно указать электрону точное местоположение, и если то же самое верно в отношении его импульса, это означает, что ничто иное, как то, что значения положения и импульса точечного электрона не подходят для определения описание процесса, происходящего в природе.Современные формулировки квантовой теории признают это и принимают во внимание. Так же мало, как нынешняя ситуация в современной физике позволяет сформулировать метафизическую концепцию индетерминизма, позволяет ли она рассуждать о так называемой «проблеме свободы воли», которая с ней связана. Это необходимо резко подчеркнуть, поскольку не только философы, но и люди науки не смогли противостоять искушению высказывать мысли, подобные следующим: наука показывает нам, что физическая вселенная не полностью определена; отсюда следует, (1) что индетерминизм прав и что физика, следовательно, не противоречит утверждению свободы воли; (2) эта природа, поскольку в ней не преобладает строгая причинность, дает место духовным или ментальным факторам.В ответ на (1) мы можем сказать: настоящая проблема свободы воли в том виде, в каком она возникает в этике, была смешана с вопросом об индетерминизме только из-за грубых ошибок, которые со времен Юма уже давно исправлены. Моральная свобода, которую предполагает концепция ответственности, не противостоит причинности, но без нее была бы полностью уничтожена. К (2) мы можем сказать: утверждение подразумевает дуализм, сопоставление духовного и физического мира, между которыми может иметь место взаимодействие из-за несовершенной причинности последнего.На мой взгляд, ни одному философу не удалось выяснить реальное значение такого предложения, то есть никто не показал, какой опыт позволил бы нам подтвердить его истинность, а какой — раскрыл бы его ложность. Напротив, логический анализ (для которого, конечно, здесь нет места) приводит к выводу, что в данных опыта нет законных оснований для этого дуализма. Следовательно, это бессмысленное, непроверяемое метафизическое утверждение. Считается, что возможность проникновения «психических» факторов через возможные лазейки «физической» причинности имеет последствия, связанные с нашим мировоззрением, которые удовлетворяют определенные эмоциональные потребности.Однако это иллюзия (поскольку чисто теоретическая интерпретация мира не имеет отношения к правильно понятым эмоциональным потребностям). Если бы крошечные пробелы в причинно-следственных связях можно было бы каким-либо образом заполнить, это означало бы только то, что вышеупомянутые, практически незначительные следы индетерминизма, существующие в современной картине мира, снова были бы частично стерты. В этой области метафизика прежних времен была виновата в определенных ошибках, которые иногда случаются даже сейчас, когда метафизические мотивы полностью отсутствуют.Так, у Райхенбаха (стр. 141) мы читаем: «Если детерминизм верен, ничто не может оправдать наши действия на завтра, но не на вчерашний день. Ясно, что тогда у нас нет возможности даже воздержаться от плана на будущее. действие завтрашнего дня и из веры в свободу — конечно, нет, но в этом случае наши действия не имеют смысла ». Мне кажется, что все обстоит как раз наоборот: наши действия и планы, очевидно, имеют смысл только постольку, поскольку ими определяется будущее.Здесь просто смешивают детерминизм с фатализмом, который так часто подвергается критике в литературе, что нам не нужно на нем останавливаться. Более того, тому, кто по-прежнему придерживается критикуемого выше мнения, совершенно не поможет индетерминизм современной физики. Ибо при предельном рассмотрении всех относящихся к делу фактов в нем события все еще так точно рассчитываются заранее, оставшаяся неопределенность настолько мала, что значение, которое наши действия имели бы в этом нашем мире, было бы ничтожно малым.Именно последние соображения снова показывают нам, насколько разные вклады современной физики в вопрос о причинности отличаются от вкладов более раннего философского мышления; и насколько правильно мы были в самом начале, говоря, что человеческое воображение не в состоянии предвидеть структуру мира, открываемую нам терпеливым исследованием. Ибо ему даже трудно продвигаться по тем шагам, которые наука уже доказала, как возможность.
Определение периодического закона в химии
Периодический закон гласит, что физические и химические свойства элементов повторяются систематическим и предсказуемым образом, когда элементы расположены в порядке увеличения атомного номера.Многие свойства периодически повторяются. Когда элементы расположены правильно, тенденции в свойствах элементов становятся очевидными и могут использоваться для прогнозирования неизвестных или незнакомых элементов, просто основываясь на их размещении в таблице.
Важность периодического закона
Периодический закон считается одним из важнейших понятий в химии. Каждый химик использует Периодический закон, сознательно или нет, когда имеет дело с химическими элементами, их свойствами и их химическими реакциями.Периодический закон привел к развитию современной таблицы Менделеева.
Открытие Периодического Закона
Периодический закон был сформулирован на основе наблюдений ученых XIX века. В частности, вклад Лотара Мейера и Дмитрия Менделеева выявил тенденции в свойствах элементов. Они независимо предложили Периодический закон в 1869 году. В периодической таблице элементы расположены так, чтобы отражать Периодический закон, хотя у ученых в то время не было объяснения, почему свойства следуют тенденции.
Как только электронная структура атомов была открыта и понята, стало очевидно, что причина, по которой характеристики возникают в интервалах, заключалась в поведении электронных оболочек.
Недвижимость, подпадающая под действие Периодического закона
Ключевые свойства, которые следуют тенденциям согласно Периодическому закону, — это атомный радиус, ионный радиус, энергия ионизации, электроотрицательность и сродство к электрону.
Атомный и ионный радиус являются мерой размера отдельного атома или иона.Хотя атомный и ионный радиусы отличаются друг от друга, они следуют одной и той же общей тенденции. Радиус увеличивается при перемещении вниз по группе элементов и обычно уменьшается при перемещении слева направо по периоду или строке.
Энергия ионизации — это мера того, насколько легко удалить электрон из атома или иона. Это значение уменьшается при движении вниз по группе и увеличивается при перемещении слева направо через период.
Сродство к электрону — это то, насколько легко атом принимает электрон. Используя периодический закон, становится очевидным, что щелочноземельные элементы имеют низкое сродство к электрону.Напротив, галогены легко принимают электроны, чтобы заполнить свои электронные подоболочки, и обладают высоким сродством к электрону. Элементы благородного газа имеют практически нулевое сродство к электрону, поскольку они имеют подоболочки электронов с полной валентностью.
Электроотрицательность связана со сродством к электрону. Он отражает, насколько легко атом элемента притягивает электроны для образования химической связи. И сродство к электрону, и электроотрицательность имеют тенденцию уменьшаться при движении вниз по группе и увеличиваться при перемещении через период.Электропозитивность — еще одна тенденция, управляемая Периодическим законом. Электроположительные элементы имеют низкую электроотрицательность (например, цезий, франций).
В дополнение к этим свойствам, с Периодическим законом связаны другие характеристики, которые можно рассматривать как свойства групп элементов. Например, все элементы в группе I (щелочные металлы) блестящие, имеют степень окисления +1, реагируют с водой и встречаются в составе соединений, а не в виде свободных элементов.
Временная симметричная квантовая механика и причинная классическая физика?
1.
Эйнштейн, А., Подольский, Б., Розен, Н .: Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? Phys. Ред. 47 , 777 (1935)
Артикул МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
2.
Schrödinger, E .: Der stetige Übergang von der Mikrozur Makromechanik. Naturwissenschaften 14 , 664–666 (1926)
Статья МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
3.
Schrödinger, E .: Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik. Naturwissenschaften 23 , 823–828 (1935)
Артикул МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
4.
Вигнер, Э.П .: Замечания по вопросу о разуме и теле, в книге «Ученый размышляет». Хайнманн, Лондон (1961)
Google Scholar
5.
Бор Н .: Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? Phys.Ред. 48 , 696 (1935)
Артикул МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
6.
Белл, Дж. С. и др .: К парадоксу Эйнштейна-Подольского-Розена. Физика 1 , 195 (1964)
Google Scholar
7.
Мермин, Н.Д .: Что квантовая механика пытается нам сказать? Являюсь. J. Phys. 66 , 753–767 (1998)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
8.
Барретт, Дж. А .: Квантовая механика разума и миров. Oxford University Press, Oxford (1999)
Google Scholar
9.
Friebe, C., Kuhlmann, M., Lyre, H., Näger, P., Passon, O., Stöckler, M .: Philosophie der Quantenphysik: Einführung und Diskussion der zentralen Begriffe und Problemstellungen der Quantentheorie für Physiker und Philosophen. Спрингер, Берлин (2014)
MATH Google Scholar
10.
Браун Р.Х., Твисс Р.К .: Интерферометрия флуктуаций интенсивности света. I. Основная теория: корреляция между фотонами в когерентных пучках излучения. В: Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 242. Королевское общество (1957)
11.
Ааронов Ю., Бергманн П.Г., Лебовиц Дж.Л .: Временная симметрия в квантовом процессе измерения. Phys. Ред. 907
, B1410 (1964)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
12.
Ааронов Ю., Рорлих Д .: Квантовые парадоксы: квантовая теория для недоумевших. Уайли, Берлин (2008)
MATH Google Scholar
13.
Гелл-Манн М., Хартл Дж.Б .: Временная симметрия и асимметрия в квантовой механике и квантовой космологии. Phys. Ориг. Асимметрия времени 1 , 311–345 (1994)
ADS Google Scholar
14.
Уиллер, Дж. А., Зурек, В.Х., Баллентин, Л.Э .: Квантовая теория и измерения. Являюсь. J. Phys. 52 , 955–955 (1984)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
15.
Уиллер, Дж. А., Зурек, У. Х .: Квантовая теория и измерения. Princeton 1University Press, Принстон (2014)
Google Scholar
16.
Хельмут, Т., Вальтер, Х., Зайонц, А., Шлейх, У .: Эксперименты с отложенным выбором в квантовой интерференции.Phys. Ред. A 35 , 2532 (1987)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
17.
Ма, X.-S., Кофлер, Дж., Цайлингер, А .: мысленные эксперименты с отложенным выбором и их реализация, препринт arXiv arXiv: 1407.2930 (2014)
18.
Bopp, FW : Струны и корреляции Ханбери-Брауна-Твисса в физике адронов, Теоретико-физический колледж Ульма (2001)
19.
Киттель, В., Де Вольф, Э.А.: Мягкая многоадронная динамика. World Scientific, Сингапур (2005)
Книга Google Scholar
20.
Quabis, S., Dorn, R., Eberler, M., Glöckl, O., Leuchs, G .: Фокусировка света в более узкое место. Опт. Commun. 179 , 1–7 (2000)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
21.
Sondermann, M., Maiwald, R., Konermann, H., Lindlein, N., Peschel, U., Leuchs, G .: Дизайн преобразователя мод для эффективного взаимодействия легкого атома в свободном пространстве. Прил. Phys. B 89 , 489–492 (2007)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
22.
Дрексхаге, К. Х .: Взаимодействие света с мономолекулярными слоями красителя. Прог. Опт. 12 , 163–232 (1974)
23.
Вальтер, Х., Варко, Б.Т., Энглерт, Б.-Г., Беккер, Т .: Квантовая электродинамика резонатора. Rep. Prog. Phys. 69 , 1325 (2006)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
24.
де Бройль, Л .: атомная структура материала и района и механика ондуальной. Comptes Rendus de l’Académie des Sci. 184 , 273–274 (1927)
MATH Google Scholar
25.
Бом, Д., Ааронов, Ю.: Обсуждение экспериментального доказательства парадокса Эйнштейна, Розена и Подольского.Phys. Ред. 907
, 1070 (1957)
MathSciNet Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
26.
Дюрр, Д., Тойфель, С .: Бомская механика. Шпрингер, Берлин (2009)
MATH Google Scholar
27.
Сакураи, Дж. Дж., Наполитано, Дж. Дж .: Современная квантовая механика. Pearson Higher Ed, Верхняя Сэдл-Ривер (2014)
Google Scholar
28.
Ritz, W .: Über die Grundlagen der Elektrodynamik un die Theorie der schwarzen Strahlung. Phys. Z. 9 , 903–907 (1908)
MATH Google Scholar
29.
Tetrode, H .: über den Wirkungszusammenhang der Welt. Eine Erweiterung der klassischen Dynamik. Z. Phys. Адроны Nucl. 10 , 317–328 (1922)
Google Scholar
30.
Френкель, Дж.: Zur elektrodynamik punktfoermiger elektronen. Z. Phys. 32 , 518–534 (1925)
Артикул МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
31.
Фейнман Р.П .: Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике. Ред. Мод. Phys. 20 , 367 (1948)
MathSciNet Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
32.
Ритц, В., Эйнштейн, А .: Zum gegenwärtigen stand des strahlungsproblems.Phys. Z. 10 , 323–324 (1909)
MATH Google Scholar
33.
Zeh, H.D .: Физическая основа направления времени. Шпрингер, Берлин (2001)
Книга МАТЕМАТИКА Google Scholar
34.
Андерссон, Б., Хофманн, В .: Корреляции Бозе-Эйнштейна и цветовые строки. Phys. Lett. B 169 , 364–368 (1986)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
35.
Мецгер, В., Новак, Т., Чёргё, Т., Киттель, В .: Корреляции Бозе-Эйнштейна и Тау-модель. Препринт arXiv arXiv: 1105.1660 (2011)
36.
Haken, H .: Laser Light Dynamics, vol. 2. Северная Голландия, Амстердам (1985)
Google Scholar
37.
Шульман, Л.С.: Стрелки времени и квантовые измерения. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (1997)
Книга Google Scholar
38.
Прайс, Х .: Подразумевает ли временная симметрия ретропричинность? Как квантовый мир говорит «Может быть»? Stud. Hist. Филос. Sci. В 43 , 75 (2012)
MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
39.
Ааронов, Ю., Попеску, С., Толлаксен, Дж .: Симметричная по времени формулировка квантовой механики. Phys. Tod. 63 (11), 27–32 (2010)
40.
Миллер Д.Дж .: Реализм и временная симметрия в квантовой механике.Phys. Lett. A 222 , 31–36 (1996)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
41.
Резник, Б., Ааронов, Ю.: Симметричная по времени формулировка квантовой механики. Phys. Ред. A 52 , 2538 (1995)
MathSciNet Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
42.
Гольдштейн С., Тумулка Р .: Противоположные стрелки времени могут примирить относительность и нелокальность.Класс. Квантовая гравитация 20 , 557 (2003)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
43.
t’Hooft, G .: Квантование дискретных детерминированных теорий расширением гильбертова пространства. Nucl. Phys. B 342 , 471–485 (1990)
MathSciNet Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
44.
Эверетт III, Х .: «Относительное состояние», формулировка квантовой механики.Ред. Мод. Phys. 29 , 454 (1957)
MathSciNet Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
45.
Бопп, Ф. (старший): Werner Heisenberg und die Physik unserer Zeit. Vieweg, Braunschweig (1961)
46.
Aharonov, Y., Cohen, E., Elitzur, A.C .: Основы и приложения слабых квантовых измерений. Phys. Ред. A 89 , 052105 (2014a)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
47.
Zurek, W.H .: Декогеренция, einselection и квантовые истоки классического. Ред. Мод. Phys. 75 , 715 (2003)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
48.
Joos, E., Zeh, H.D., Kiefer, C., Giulini, D.J., Kupsch, J., Stamatescu, I.-O .: Декогеренция и появление классического мира в квантовой теории. Спрингер, Берлин (2013)
MATH Google Scholar
49.
Zeh, H.D .: Нет ни квантовых скачков, ни частиц !. Phys. Lett. А 172 , 189–192 (1993)
MathSciNet Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
50.
Kiefer, C .: Zeitpfeil und Quantumgravitation, Physikalisches Kolloquium der Universität Siegen (2008)
51.
Aharonov, Y., Cohen, E., Gruss, E., Landsberger, T .: Measurement и коллапс в рамках векторного формализма двух состояний.Quantum Stud. 1 , 133–146 (2014b)
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
52.
Золото, Т .: Природа времени. Издательство Корнельского университета, Итака (1967)
MATH Google Scholar
53.
Крамер, Дж. Г .: Транзакционная интерпретация квантовой механики. Ред. Мод. Phys. 58 , 647 (1986)
MathSciNet Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
54.
Bohr, N .: Die Physik und das Problem des Lebens. Vieweg, Брауншвейг (1958)
Google Scholar
55.
Конвей, Дж., Кочен, С .: Теорема свободы воли. Нашел. Phys. 36 , 1441–1473 (2006)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
56.
Кастнер, Р .: «Прирожденное правило и свобода воли», (2016), вклад в отредактированный сборник К.де Ронд и др.
57.
Марсалья, Г., Заман, А., Цанг, У. У .: На пути к универсальному генератору случайных чисел. Стат. Вероятно. Lett. 9 , 35–39 (1990)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
58.
t’Hooft, G .: Унитарность черной дыры и антиподальная запутанность, arXiv: 1601.03447 [gr-qc] (2016)
59.
Craig, DA: Наблюдение за окончательным граничным условием: внегалактический фон излучение и временная симметрия Вселенной.Аня. Phys. 251 , 384–425 (1996)
Артикул МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
60.
Уиллер, Дж. А., Фейнман, Р. П .: Взаимодействие с поглотителем как механизм излучения. Ред. Мод. Phys. 17 , 157 (1945)
Артикул ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
61.
Süssmann, G .: Die spontane Lichtemission in der unitären Quantenelektrodynamik.Z. Phys. 131 , 629–662 (1952)
Артикул МАТЕМАТИКА ОБЪЯВЛЕНИЯ Google Scholar
62.
Бопп, Ф.У .: Новые идеи о возникающем вакууме. Acta Phys. Полон. В 42 , 1917 (2011а). arXiv: 1010.4525 [hep-ph]
Артикул Google Scholar
63.
Бопп, Ф. У .: Новые идеи об эмерджентном вакууме и хиггсовских частицах. В кн .: Структура адрона. Труды 5-й совместной международной конференции, Структура адрона’11, HS’11, Татранска Штрба, Словакия, 27 июня — 1 июля 2011 г., Приложения к материалам по ядерной физике, Vol.219–220, с. 259 (2011b)
Поиск причинно-следственной связи и путей в эксперименте с временными рядами микрочипов | Биоинформатика
Аннотация
Мотивация: Взаимодействие временных рядов можно исследовать разными способами. Все подходы имеют обычную проблему малой мощности и модели большой размерности. Здесь мы попытались построить причинно-следственную связь между набором временных рядов. Причинность была установлена причинно-следственной связью Грейнджера, а затем было реализовано построение пути путем нахождения минимального связующего дерева в каждом связном компоненте предполагаемой сети.Измерение уровня ложного обнаружения использовалось для выявления наиболее значимых причин.
Результатов: Моделирование показывает хорошую сходимость и точность алгоритма. Устойчивость процедуры была продемонстрирована путем применения алгоритма в установке нестационарного временного ряда. Применение алгоритма в реальном наборе данных выявило множество причин, частично совпадающих с ранее известными. Собранная сеть генов раскрывает особенности сети, которые являются общепринятыми в отношении естественных сетей.
Контакты: [email protected]; [email protected]
1 ВВЕДЕНИЕ
Недавние исследования в экспериментах по регуляции клеточного цикла привели к появлению большого количества данных о множественной экспрессии генов с течением времени, см. Cho et al . (1998), (2001), Spellman и др. . (1998), Whitfield и др. . (2002). Такие данные привели к исследованиям нескольких аспектов анализа многомерных временных рядов с использованием экспрессии генов, таких как синхронизация, периодичность, ассоциация генов, обнаружение корреляции и коэкспрессии, кластеризация генов и так далее.
Основной целью отслеживания экспрессии генов во времени является изучение причинно-следственной связи. Неформально ген G ₁ является причиной гена G ₂, если экспрессия G ₁ предсказывает экспрессию G ₂, возможно, в будущем периоде времени. Более точное определение причинности, заимствованное из экономической литературы, представлено в разделе 2 для использования в этой статье. Прямая причинно-следственная связь G ₁ → G ₂ подразумевает экспрессию гена G ₁ предсказывает экспрессию гена G ₂.Косвенная причинно-следственная связь G ₁ → G _i1 … → G _ik → G ₂ — это связь от G ₁ к G ₂ через последовательность прямых причинно-следственных связей, включающая один или несколько промежуточных генов G _{i 1},…, G _ik . Вышеупомянутая причинно-следственная сеть может быть представлена графом G = ( V, E ), вершинами которого V являются гены G ₁,…, G _p изучаемых, и край графа существует между G _i и G _j , если выражение G _i действует как прямая причина для выражения G _j .
В этой статье предлагается методика определения причинно-следственной связи и карты путей экспрессии генов с течением времени. Мы применяем нашу технику обнаружения путей к данным цикла раковых клеток человека (HeLa S3), которые доступны на веб-странице авторов. Выявление причинно-следственной связи и пути возникновения причинно-следственной связи имеет несколько важных ответвлений. Причинно-следственная связь — это исследование взаимодействия между генами, но в отличие от традиционных исследований взаимодействия, таких как ассоциация, корреляция или кластеризация, оно устанавливает направленный паттерн, в котором действие гена может запускать / подавлять и запускаться / подавляться действиями других генов в сети.Поскольку косвенная причинность также определяется сегментами пути, наш метод может использоваться для описания нелинейных и сложных структур зависимости.
Полученный нами график путей для данных клеточного цикла HeLa показывает несколько интересных особенностей. Распределение степеней графа имитирует степенной закон, а также есть веские доказательства модульности сети или существования концентраторов. Это можно сравнить с несколькими исследованиями метаболических путей, исследованиями устойчивости, сложными сетями в эволюции, экологии, Интернетом.См. Jeong и др. . (2000), Альберт и Барабаси (2002), Ма и Ан-Пинг (2003b), (2003a), Китано (2004), Мейсон (2000), Вероверд (2006), Шустер и др. . (2000) и Wagner and Fell (2001), авторская веб-страница с соответствующими исследованиями и другими ссылками.
Статистические исследования клеточного цикла Hela и аналогичных многомерных наборов данных биологических временных рядов в основном сосредоточены на периодичности и фазовом обнаружении (Filkov et al ., 2002; Wichert et al ., 2004). В ряде работ по обнаружению взаимодействия генов и связанным темам коэффициент корреляции и его вариации используются в качестве меры взаимодействия. Частичные корреляции, эмпирические байесовские и бутстрэп-методы используются в Schafer and Strimmer (2005) для получения генных сетей. В Чжу и др. . (2005a) и (2005b) корреляция используется в качестве основного инструмента для построения сети и путей между генами, а также для кластеризации генов. Корреляция — это эффективный инструмент для вычисления линейной зависимости, не зависящей от направления, когда доступна выборка независимых данных.
При анализе временных рядов в частотной области причинно-следственная связь и взаимосвязь между компонентами изучаются с использованием когерентности и частичной когерентности. Графические модели, основанные на таком анализе, были изучены Бриллинджером (1996) и Дальхаусом (2000) и применены к биологическим временным рядам Баттом и др. . (2001) и Сальвадор и др. . (2005). Однако Альбо и др. . (2004) показали, что меры причинно-следственной связи, основанные на частичной когерентности, чувствительны к шуму измерения.
В комментарии к Albo et al . (2004), Баккала и Самешима (2006) утверждают, что частичная когерентность способна обнаружить фактор только с наименьшим количеством аддитивного шума и не имеет ничего общего с временным приоритетом, следовательно, это не мера причинной связи. Винтерхолдер и др. . (2005) сообщают о подробном сравнительном исследовании методов направленного взаимодействия в многомерных временных рядах. Их моделирование показывает, что причинность Грейнджера отлично подходит для (1) обнаружения причинно-следственных связей и их направлений в стационарных временных рядах, (2) обнаружения отсутствия взаимосвязи в независимых рядах, (3) способна воспроизводить нестационарную структуру взаимозависимости, включая резкие изменения , но (4) чувствительно к нелинейности, если не моделируется должным образом.Частичная направленная когерентность (Baccala and Sameshima, 2001), которая пытается объединить свойства частичной когерентности и причинности Грейнджера в частотной области, является наиболее близкой по масштабу к причинности Грейнджера, но имеет более высокий шанс обнаружения ложных взаимосвязей, если только математическая точная настройка на месте. Также Камински и др. . (2001) сообщают, что частотные характеристики частичной направленной когерентности не согласуются с характеристиками сигнала. Они также показывают, что направленная передаточная функция, еще один метод обнаружения взаимозависимости, может быть интерпретирована с точки зрения причинности по Грейнджеру.Основываясь на вышеизложенных соображениях, в этой статье мы применяем причинность Грейнджера в качестве инструмента обнаружения взаимозависимости генов.
В Разделе 2 мы подробно представляем методологию, используемую для обнаружения причинно-следственной связи и поиска путей. В разделе 3 сообщается о двух экспериментах по моделированию в небольшом масштабе, чтобы проиллюстрировать эффективность предлагаемого метода. Изучение данных клеточного цикла HeLa описано в Разделе 4. Обсуждение некоторых более широких вопросов, связанных с нашим алгоритмом, его ограничениями и открытыми вопросами, доступно в Разделе 5.
2 МЕТОДА
Для двух генов G ¹ и G ² с их соответствующими слабо стационарными временными рядами и ⁠ предположим, что выполняется следующая авторегрессионная модель: (1) где ε ∼ N (0, σ ²) и q — длина авторегрессионного запаздывания. Ген G ² считается Грейнджером причиной G ¹, если β _i ≠ 0 хотя бы для одного i .Это определяется с помощью F -теста нулевой гипотезы (2) Когда доступно большее количество генов G ¹,…, G ^p , причинно-следственная связь по Грейнджеру может быть проверена с использованием векторной авторегрессии. (VAR) фреймворк. См. Гамильтон (1994) для получения дополнительной информации о причинности Грейнджера и VAR.
В данном контексте количество рассматриваемых генов исчисляется несколькими сотнями. В любом эксперименте с микрочипами это число обычно исчисляется тысячами, что делает невозможным использование наиболее общей формы теста причинности Грейнджера.Следовательно, мы используем здесь упрощенную версию: мы применяем исследование попарного сравнения, данное уравнениями (1) и (2) с q = 1. Для каждой пары генов G ⁱ и G ^j , мы проверяем, вызывает ли G ⁱ Granger G ^j и наоборот. Мы предполагаем, что оба эти отношения причинности Грейнджера не могут выполняться, поэтому мы оставляем только одно с меньшим значением P . Это приводит к p -значениям, полученным из тестов p ( p — 1), где p — количество генов.
При рассмотрении гипотез, включающих все возможные пары, необходимо ввести контроль количества ложных срабатываний в наборе положительных результатов. Мы используем Benjamini and Hochberg (1995) коэффициент ложных открытий (FDR) для контроля ложных открытий. Предположим, что набор значений p , расположенных в порядке возрастания, равен ⁠. Пусть k будет наибольшим i таким, что ⁠. Затем мы принимаем, что причинно-следственная связь по Грейнджеру существует [альтернативно, отклоняем нулевую гипотезу в уравнении (2)] для всех гипотез, в которых значение p меньше или равно p _{( k )}.Это обеспечивает вероятность ложного обнаружения p ₀.
Затем мы строим ориентированный взвешенный граф, используя гены G ¹,…, G ^p в качестве вершин и с ребром веса p _ij из G ⁱ — G ^j , если тест на причинность Грейнджера для G ⁱ на G ^j имеет значение P p _ij .Предыдущие шаги гарантируют, что ни одна кромка не перейдет от G ^j к G ⁱ и p _ij < p _{( k )} выше.
График, построенный описанным выше способом, может иметь циклы. Кроме того, в нем могут быть не подключенные компоненты. Чтобы удалить циклы и множественные пути между парой генов, мы строим минимальное остовное дерево из приведенного выше графа, используя алгоритм Крускала для каждого связного компонента.Граф, который является минимальным остовным деревом на каждом компоненте связности, часто называют минимальным остовным лесом, поэтому наш конечный результат — минимальный остовный лес. Подробности терминологии и концепций теории графов можно найти в Harary (1969).
Обратите внимание, что наличие или отсутствие причинно-следственной связи по Грейнджеру не гарантирует наличия или отсутствия причинно-следственной связи. Наш подход является чисто статистическим, поэтому он не гарантирует функциональной причинности. Однако наш метод предлагает очень хорошую отправную точку для исследования функциональных и метаболических взаимосвязей и моделей биологической причинности для экспрессии временных генов.Это особенно актуально, учитывая, что современные исследования включают тысячи генов со сложной структурой зависимости, а исследование in vitro и всех функциональных и метаболических путей взаимосвязи, как правило, невозможно.
Определенные статистические и биологические допущения относительно временных рядов размерного микрочипа p подразумеваются в вышеупомянутой методологии. Мы предполагаем, что ряд является слабо стационарным линейным авторегрессионным для вычислений причинности по Грейнджеру. Предполагая отсутствие двунаправленной причинности по Грейнджеру и строя минимальный остовный лес, мы исключаем возможность существования циклов обратной связи и множественных путей взаимодействия между генами.Биологические сети могут иметь такие циклы и несколько путей в разное время. Однако ограниченный набор доступных взаимодействий после учета ложных открытий и построения минимального остовного леса обеспечивает хорошую отправную точку для исследования in vitro . Применяя статистические методы, мы делаем молчаливое предположение, что имеющиеся данные являются репрезентативными для лежащего в основе биологического процесса с вероятностно случайными шумами.
Концепция причинности по Грейнджеру основана на том факте, что предсказуемость можно проверить, определив, связан ли один временной ряд с прошлыми или текущими значениями другого временного ряда в дополнение к его собственным прошлым значениям.В настоящей статье используется ограничительное определение причинности по Грейнджеру, предполагающее линейную авторегрессию, возможную зависимость только от непосредственного прошлого, с проверкой только двумерных отношений. Такая ограничительная структура предназначена для того, чтобы сделать вычисления возможными в доступных наборах данных биологических временных рядов, где обычно количество генов исчисляется тысячами, а временные интервалы — десятками.
3 МОДЕЛИРОВАНИЯ
Сначала мы тестируем наш метод обнаружения причинно-следственной связи и построения путей на двух простых примерах.Процесс многомерного временного ряда может быть стационарным или нестационарным. Одна из наиболее частых причин нестационарности — наличие тренда или периодичности. Мы отдельно изучаем наши методы для небольшой стационарной и нестационарной сети.
3.1 Стационарная сеть
Мы моделируем сеть из 14 генов, состоящую из одной сложной и одной простой сети причинно-следственных связей. Две части разъединены и представлены на рисунке 1. Независимые гены в сети, а именно x ₁, x ₇, x ₈, x ₉, x ₁₁, x ₁₄ — это процесс AR (1) с автокорреляцией <1.Временные ряды, вызванные Грейнджером, x ₂, x ₃, x ₆, x ₄, x ₅ и x ₁₀ генерируются с одним или более вызывающих рядов, как показано на рисунке 1, все с запаздыванием 1 и автокорреляцией <1. Первый столбец таблицы 1 дает формулы для независимых рядов для этого эксперимента, а третий столбец дает ряд, вызванный Грейнджером. .Все серии генерируются для 100 равноудаленных временных точек, однако, учитывая обычное отсутствие нескольких временных точек при сканировании генома, мы применяем наш алгоритм в временных точках t = 5, 10, 15, 20, 40, 60, 80 и 100. Обратите внимание, что края, представленные на рисунке 1, представляют только прямую причинную связь; и косвенная причинность может быть легко прочитана из него.
Рис. 1
Причинно-следственная связь моделирования.
Рис. 1
Причинно-следственная связь моделирования.
Таблица 1
Фактические отношения причинности, используемые при моделировании стационарных и нестационарных временных рядов
Таблица 1
Фактические отношения причинности, используемые при моделировании стационарные и нестационарные временные ряды
Приведенная выше сеть мала, но содержит несколько сложностей, которые могут помочь нам оценить эффективность нашей стратегии в реалистичных и сложных задачах.Например, x ₁ → x ₃, x ₈ → x ₄ или x ₈ → x ₅ являются косвенными причинами; в сети есть отключенные компоненты; существует одновременная причинность ( x ₇ — x ₉) на x ₆, и есть родительский узел ( x ₁₁) с несколькими дочерними узлами ( x ₁₂, x ₁₃).
В приведенном выше моделировании наш алгоритм выполняет следующие шаги:
Для каждой пары серий, скажем, G ⁱ и G ^j , проверьте, если G ⁱ Granger вызывает G ^j , а также G ^j Granger вызывает G ⁱ .
Сохраните причинно-следственную связь с более низким значением P , если оно <0,01. Это соответствует адаптивному выбору FDR.В реальных данных вместо этого используется общий фиксированный FDR.
Сложите всю значимую причинность в один ориентированный граф, где все гены будут вершинами, а каждая значимая причинность — направленным ребром. Определите каждую связную компоненту построенного графа.
Постройте минимальное остовное дерево каждого компонента с соответствующими значениями P в качестве весов ребер.
Мы реплицируем моделирование 100 раз, чтобы изучить общее поведение построенного графа и минимального остовного дерева.Обратите внимание, что есть возможные ребра, которые следует учитывать. Ребра, которые соединяют гены с прямой или косвенной причинно-следственной связью, также имеют компонент направления, в то время как ребра, соединяющие гены без связи, не имеют направления.
Для каждого из этих 91 возможного края и каждой временной точки t = 5, 10, 15, 20, 40, 60, 80 и 100, когда данные были проанализированы, «процент включения» определяется как процент раз в окончательное минимальное остовное дерево было включено ребро. Поскольку было проведено 100 повторений эксперимента, это просто количество включений каждого ребра.
Мы строим график процента включения с течением времени, чтобы понять, как работает наш алгоритм. Это показано на Рисунке 2. Из 91 ребра некоторые присутствуют в исходном графе (Рис. 1) и обозначены черными сплошными линиями на Рис. 2. Некоторые ребра соединяют гены, которые имеют только косвенную причинную связь и, следовательно, имеют не имеют края на рисунке 1. Такие края обозначены серыми пунктирными линиями. Другие ребра, соединяющие гены, не связанные прямо или косвенно, окрашены в сплошной серый цвет.В каждом из 100 повторений экспериментов, если направление истинного края или вторичного края было неправильно выбрано алгоритмом, они считаются необнаруженными и не влияют на процент включения.
Рис. 2
Процент включения ребер в стационарном моделировании. Сплошные черные края представляют прямые кромки, серые точки — второстепенные кромки, а сплошной серый — неправильные кромки.
Фиг.2
Процент включения ребер в стационарном моделировании. Сплошные черные края представляют прямые кромки, серые точки — второстепенные кромки, а сплошной серый — неправильные кромки.
Легко видеть, что подавляющее большинство истинных «сплошных черных» краев на Рисунке 1 выбирается нашим алгоритмом даже для очень коротких временных интервалов t = 10 или t = 15. По t = 40, все истинные ребра сильно удалены от остальных.Если t = 80, ряд «вторичных» краев, которые обозначают косвенную причинность, отделены от «серых» краев, которые не обозначают никакой взаимосвязи. При t = 100 минимальный процент включения для истинной кромки составляет ~ 40%, в то время как максимальный процент включения для вторичной кромки составляет ~ 10%. Процент включения неправильных краев (сплошной серый) составляет <5%.
В первых двух строках таблицы 2 мы указываем среднее значение для 100 повторений и его стандартную ошибку. Можно видеть, что ~ 90% краев с указанием направления, если они присутствуют в G ^true, обнаруживаются правильно со стандартной ошибкой, как правило, порядка 0.2. Поскольку эти эксперименты являются новинкой в статистике, у нас нет эталона для сравнения этих цифр, но они предполагают, что наш алгоритм хорошо работает для стационарных данных.
Таблица 2
Примерная средняя точность и SE точности выбранной сети в стационарном и нестационарном моделировании
91818
Тип . Время . 10 . 20 . 40 . 60 . 80 . 100 .
Стационарный Ср. 85,33 88,34 91,43 93,09 93,89 94,32
918 0,216 918 916 0,216 918 916 916 916 918 916 916 918 916 916 918 918 918 916 0,25
Нестационарный Среднее 84.74 87,88 90,24 89,95 89,87 89,46
SE 0,24 0,25 0,27
916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 917 0,31 . Время . 10 . 20 . 40 . 60 . 80 . 100 .
Стационарный Ср. 85,33 88,34 91,43 93,09 93,89 94,32
918 0,216 918 916 0,216 918 916 916 916 918 916 916 918 916 916 918 918 918 916 0,25
Нестационарный Среднее 84.74 87,88 90,24 89,95 89,87 89,46
SE 0,24 0,25 0,27
916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 Выборочная средняя точность и SE точности выбранной сети в стационарном и нестационарном моделировании
Тип . Время . 10 . 20 . 40 . 60 . 80 . 100 .
Стационарный Ср. 85,33 88,34 91,43 93,09 93,89 94,32
916 916 916 918 916 916 916 916 916 916 918 918
0,21 0,21 0,25
Нестационарный Ср. 84,74 87,88 90,24 89,95 8_{7 916 916 916 916 916 916 918 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 0,25} 0,27 0,31 0,31 0,31
Тип . Время . 10 . 20 . 40 . 60 . 80 . 100 .
Стационарный Ср. 85,33 88,34 91,43 93,09 93,89 94,32
916 916 916 918 916 916 916 916 916 916 918 918
0,21 0,21 0,25
Нестационарный Ср. 84,74 87,88 90,24 89,95 8_{7 916 916 916 916 916 916 918 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 0,25} 0,27 0,31 0,31 0,31
3,2 Нестационарная сеть
Данные временных рядов в реальном времени, включая данные временных рядов микрочипов, редко имеют все компоненты, которые должны быть стационарными.Регуляция клеточного цикла выражается в периодичности экспрессии генов, которая сама по себе является нестационарным явлением. В этом подразделе изучается производительность нашего алгоритма в условиях нестационарности.
Мы рассматриваем тот же 14-вершинный граф с причинно-следственными отношениями, как показано на рисунке 1, но на этот раз мы добавляем периодические детерминированные компоненты тренда в профиль генов 1, 8 и 11. Ряд x ₁ теперь имеет грех (π t /40) периодический тренд, тогда как x ₈ и x ₁₁ имеют периодический тренд cos (π t /40).Во втором столбце таблицы 1 приведены формулы для независимых рядов для этого эксперимента, а в третьем столбце приведены ряды, вызванные Грейнджером. Наличие нестационарности в x ₁, x ₈ и x ₁₁ приводит к тому, что все серии, вызванные Грейнджером, нестационарны. В этом эксперименте мы повторяем все упражнение 100 раз и вычисляем процент включения и показатель точности в разные моменты времени t .
Процент включений представлен на рисунке 3. На этот раз графики менее удовлетворительны, хотя есть общее разделение от черных (истинных) краев и серых точек и сплошных серых краев. Истинные края x ₇ → x ₆ и x ₉ → x ₆ обычно располагаются между пунктирными или сплошными «серыми» краями. Край x ₁₁ → x ₁₀ имеет уменьшающийся процент включения со временем.Однако после t = 60 все истинные края имеют процент включения ≥20%, в то время как некоторые ложные края также имеют процент включения от 20 до 30%. Таким образом, наш алгоритм, кажется, ошибается в части включения некоторых ложных ребер в нестационарный случай.
Рис. 3
Процент включения ребер в нестационарном моделировании.
Рис. 3
Процент включения ребер в нестационарном моделировании.
Показатель точности для этого эксперимента указан в последних двух строках Таблицы 2. Это показывает, что даже при наличии тенденции правильно обнаруживаются границы ≥85%. Важный вывод из этого эксперимента заключается в том, что точность определения улучшается, если определение тренда выполняется, но не намного. Выявление трендов приводит к более значительному улучшению при высоких значениях т . Однако доступные в настоящее время данные временных рядов микрочипов имеют короткие промежутки времени с типичными временными промежутками от t = 20 до t = 60.Улучшение высоких значений t может сыграть важную роль в будущем, когда станут доступны более долгосрочные данные.
Обратите внимание, что весь приведенный выше анализ проводится с минимальным остовным деревом на непересекающихся компонентах или с минимальным остовным лесом. На самом деле G ^{истинный} не обязательно должен быть деревом или лесом и может иметь циклы и множественные пути, соединяющие гены. Мы строим минимальный остовный лес для целей сокращения данных, и он, по сути, представляет собой статистически наиболее сильную структуру взаимосвязей.
На рисунке 4 представлен граф, первоначально созданный нашим алгоритмом, и результирующий минимальный остовный лес для t = 100 из первого моделирования в стационарной сети. Граф слева — это вызванный исходный граф, а график справа — минимальный остовной лес. Соответствующие рисунки первоначально созданного графа и результирующего минимального остовного леса из первого моделирования в нестационарной сети приведены на рисунке 5. Аналогичный график в более ранние моменты времени включен в дополнительный материал.Варьируя коэффициенты и факторы тенденции в таблице 1, мы обнаружили, что большой коэффициент авторегрессии повышает вероятность обнаружения причинно-следственной связи.
Рис. 4
Существенные причинно-следственные связи на уровне 1% и минимальное связующее дерево в стационарном моделировании для n = 100.
Рис. 4
Значительные причинно-следственные связи на уровне 1% и минимальное связующее дерево в стационарное моделирование для n = 100.
Рис. 5
Существенные причинно-следственные связи на уровне 1% и минимальное связующее дерево в нестационарном моделировании для n = 100.
Рис. 5
Значительные причинно-следственные связи на уровне 1% и минимальном охвате дерево в нестационарном моделировании для n = 100.
4 ПРИМЕНЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы применяем нашу технику обнаружения путей к данным цикла раковых клеток человека (HeLa S3), которые доступны на веб-странице авторов.Данные содержат результаты пяти различных экспериментов с использованием трех разных методов синхронизации клеток. В каждом эксперименте используется клеточная линия HeLa, остановленная в S-фазе. Мы сосредотачиваемся на первых трех экспериментах, которые используют общий двойной тимидиновый блок для синхронизации клеток и состоят из 12, 26 и 48 временных точек соответственно. Список из 1134 генов идентифицирован как регуляторы периодического или клеточного цикла в Whitfield et al . (2002). Из этого списка только 802 не пропущены для эксперимента 1, следовательно, мы определяем путь причинности только в этом наборе из 802 генов.В момент времени t = 0, значение экспрессии представляет собой среднее значение одного и того же измерения, полученного в двух биологических повторностях. Существует значительное перекрытие между генами, регулирующими клеточный цикл, полученными Whitfield et al. . (2002) и Шафер и Стриммер (2005), следовательно, мы ожидаем, что наши результаты будут достаточно устойчивыми к методам обнаружения периодичности.
Мы не пытаемся удалить тренд из-за небольшой длины данных и большого разнообразия периодичности цикла деления клетки.Мы концентрируемся на первом эксперименте для получения причинно-следственных связей, а затем проследим за значительными причинно-следственными связями в двух других экспериментах.
В каждом эксперименте последние несколько временных точек расположены с нерегулярными интервалами. Влияние каждой временной точки на окончательные результаты невелико из-за большой выборки всей статистической процедуры, поэтому мы делаем вид, что все временные точки расположены на одинаковом расстоянии. Исправление неравномерно разнесенных моментов времени математически громоздко и в данной задаче не приводит к значительному выигрышу.Однако это может быть необходимой коррекцией для других проблем, в зависимости от неравенства интервалов времени посещения микрочипов.
Как описано в предыдущих разделах, тесты причинности по Грейнджеру проводились между всеми парами среди 802 генов. Из двух тестов между каждой парой генов только один с более низким значением P сохраняется как вероятный случай причинной связи. После этого пороговые значения для значений P определяются реализацией FDR Бенджамини – Хохберга.Получаемые нами результаты весьма чувствительны к используемому порогу FDR. Распределение размеров связанных компонентов в полученном графике представлено в таблице 3 для двух различных значений отсечки FDR.
Таблица 3
Распределение размеров подключенных компонентов при 25% и 30% FDR
916 916 917 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 7
Размер компонентов . Частота при 25% FDR . Частота при 30% FDR .
2 10 10
3 1 2
4 0 1 0 1
8 0 1
575 0 1
916 916 917 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 7
Размер компонента . Частота при 25% FDR . Частота при 30% FDR .
2 10 10
3 1 2
4 0 1 0 1
8 0 1
575 0 1
Таблица 3
Распределение подключенных компонентов по размеру 25% и% % FDR
916 916 917 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 7
Размер компонента . Частота при 25% FDR . Частота при 30% FDR .
2 10 10
3 1 2
4 0 1 0 1
8 0 1
575 0 1
916 916 917 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 7
Размер компонента . Частота при 25% FDR . Частота при 30% FDR .
2 10 10
3 1 2
4 0 1 0 1
8 0 1
575 0 1
Порог 0.25 и 0,30 на FDR переводятся в пороговое значение 0,0000099 и 0,00095 для значений P . Чрезвычайно ограничительный порог FDR = 0,25 возвращает только 11 компонентов, из которых только 1 включает три гена, а 10 других — по два каждого. Мы сохраняем эти результаты, поскольку они кажутся наиболее сильными причинно-следственными связями и могут заслужить исследования in vitro на предмет функциональной связи. На рисунке 6 мы представляем эти сети.
Рис. 6
Все значимые причинно-следственные связи при FDR <25%.
Рис. 6
Все значимые причинно-следственные связи при FDR <25%.
На рисунке 7 мы отображаем временные характеристики 12 пар «вызывающих» пар генов, изображенных на рисунке 6. Пути из эксперимента 1 показаны тонким черным цветом, пути из эксперимента 2 выделены жирным черным, а пути из эксперимента 3. выделены жирным серым шрифтом. Мы искусственно сместили пути из экспериментов 2 и 3 на 1 и 2 единицы соответственно, чтобы увеличить видимость. На каждом рисунке «вызывающий» ген представляет собой сплошную кривую, а «вызывающий» ген представлен пунктирной линией.
Рис. 7
Временная диаграмма значительных причинно-следственных связей, выявленных при 25% FDR в эксперименте 1 (черный тонкий), эксперименте 2 (черный жирный) и эксперименте 3 (серый жирный). В некоторых случаях данные эксперимента 2 или эксперимента 3 отсутствуют. Тест Грейнджера P- Значение той же или противоположной причинности (op) отображается рядом с рядом. Сплошная линия представляет ген, вызывающий. Пунктирной линией обозначен вызванный ген. Чтобы разделить узоры.К значениям в эксперименте 2 добавлена 1 единица, а в эксперименте 3 к исходному значению выражения добавлены 2 единицы.
Рис. 7
Временная диаграмма значимых причинно-следственных связей, идентифицированных при 25% FDR в эксперименте 1 (черный тонкий), эксперимент 2 (черный жирный) и эксперимент 3 (серый жирный). В некоторых случаях данные эксперимента 2 или эксперимента 3 отсутствуют. Тест Грейнджера P- Значение той же или противоположной причинности (op) отображается рядом с рядом. Сплошная линия представляет ген, вызывающий.Пунктирной линией обозначен вызванный ген. Чтобы разделить узоры. К значениям в эксперименте 2 добавлена 1 единица, а в эксперименте 3 к исходному значению выражения добавлены 2 единицы.
P -значения тестов причинности по Грейнджеру для данных из экспериментов 2 и 3 отображаются рядом. Обратите внимание, что на этих графических изображениях очевидны несколько интересных моделей причинно-следственной связи. Мы видим случаи сверхэкспрессии одного гена, ведущего к сверхэкспрессии другого (например, 144-HMGE → 114-FKBP1A), а также сверхэкспрессия одного гена, вызывающая снижение экспрессии другого (например, 144-HMGE → 114-FKBP1A).г., 737-NS1-BP → 629-CDC25B). Эффекты запаздывания также очевидны на рисунке 7.
При 30% пороге для FDR мы получили 10 пар изолированных двух компонентов гена, 2 группы каждая размером 3 и 1 сеть размера 4, 6, 7, 8 и 575 каждая. Как только небольшая связная компонента идентифицирована причинно-следственной связью Грейнджера, мы можем приступить к ее полному VAR-анализу. Когда доступны большие наборы данных, VAR-анализ лучше, чем парный тест причинности по Грейнджеру, поскольку там отношения между парой генов изучаются в присутствии других генов, следовательно, более вероятно, что сложные отношения будут выявлены.Однако VAR-моделирование связанной сети из q генов требует O ( q ²) параметров, поэтому, как правило, с помощью VAR можно анализировать только небольшие сети.
Для сетей габаритов 4, 6, 7 и 8; мы провели полный VAR-анализ и сравнили значения P тестов ген-генной зависимости из VAR-анализа с их соответствующими числами из попарных тестов причинности по Грейнджеру. Ранговая корреляция Спирмена между такими парами значений P равна 0.524, 0,522, 0,642 и 0,216 соответственно для сетей размера 4, 6, 7 и 8. Эти значения отражают разумное сходство VAR и анализа причинности по Грейнджеру для небольших сетей. Однако даже для немного больших сетей (например, сеть размера 8) отсутствие адекватных данных делает анализ VAR нестабильным, что отражается в плохом значении ранговой корреляции Спирмена. Диаграмма разброса значений pVAR и p-значений Грейнджера доступна в дополнительном материале.
Компонент с 575 генами имеет сходство с гигантским сильным компонентом, обнаруженным в метаболических сетях, который вызвал значительный интерес в последнее время.См. Подробности в Ma and An-Ping (2003a). Эта сеть и соответствующее минимальное связующее дерево доступны на веб-странице автора веб-сайта. Мы получили степень распределения генов в этом компоненте до и после получения минимального остовного дерева. Это показано на рисунке 8. Мы обнаружили, что распределение степеней полиномиально убывает, что означает структуру распределения степенного закона. Распад хвоста распределения степеней примерно равен x ^−2,7 до выбора дерева и как x ^−2.4 после выбора минимального дерева.
Рис. 8
Степень распределения узлов генной сети 575 до и после приема MST.
Рис. 8
Степень распределения узлов генной сети 575 до и после приема MST.
После вычисления минимального остовного дерева распределение степеней определяет, что ген 280-ZNF265 со степенью 17 является единственным наиболее связанным геном, в то время как 30-NXF1, 95-ZNF42, 594-KIAA0135 со степенью 10 каждый и несколько EST также имеют высокую степень.На рисунке 9 показан самый большой модуль около 280-ZNF265. Другие модули меньшего размера в сети представлены на веб-сайте.
Рис. 9
Самый большой модуль в компоненте гена 575.
Рис. 9
Самый большой модуль в компоненте гена 575.
Существующие исследования взаимодействия генов обычно проводятся на нескольких предварительно выбранных генах. Например, в Li et al . (2006) генные регуляторные сети получены на подмножестве из 20 генов с использованием третьего эксперимента из приведенных выше данных клеточного цикла HeLa.Восемнадцать из этих 20 включены в 802 изученные нами гены. При внимательном рассмотрении взаимодействий между этими 18 генами обнаруживаются интересные структуры.
Наш анализ графически представлен на фиг. 10. Не было обнаружено взаимодействия для генов CDC25A, BRCA1 и TYMS. Мы получаем несколько ребер, исходящих от CCNE1, CCNF и CCNA2; несколько ребер, заканчивающихся на STK15, E2F1, NPAT, BUB1B и начинающихся с них; в то время как несколько ребер оканчиваются на CDC20, PLK, CKS2 и PCNA. Эта структура предполагает наличие структуры «ступица и спица» в сети генов, при этом STK15 и E2F1 являются генами в узле.Регуляция генов CCNF, CCNE1, CDC20 и PLK была обнаружена значимой в нескольких экспериментах in vitro и in vivo , см. Дополнительный файл 4 Li et al . (2006) для получения некоторой документации. Мы обнаружили, что CCNF и CCNE1 являются сильными «регулирующими» генами, STK15 и E2F1 являются промежуточными причинами, которые служат концентраторами трафика, в то время как CDC20 и PLK являются важными «регулируемыми» генами. Такая структура может помочь, например, в контроле активности в циклах раковых клеток. Вся генная сеть эффективно разрушается, если можно контролировать экспрессию CCNF, STK15 или CDC20.
Рис.10
Сеть взаимодействия между 18 генами из Li et al . (2006), полученный методом причинности Грейнджера.
Рис.10
Сеть взаимодействия между 18 генами из Li et al . (2006), полученный методом причинности Грейнджера.
Среди этих 18 генов мы получаем несколько интересных ген-генных отношений, которые были задокументированы ранее. Регулирование PLK с помощью STK15 и CCNF описано в Li et al .(2006). Мы получаем, что PLK «вызывается» STK15, CCNF, CCNA2 и CCNE1, а STK15 вызывается CCNF. Отсутствие взаимодействия для BRCA1 подтверждается исследованиями Li et al . (2006) и Whitfield и др. . (2002). Ген CCNB1 имеет высокий показатель периодичности, поэтому считается важным регулятором клеточного цикла. И Ли , и др. . (2006) и Whitfield и др. . (2002) не смогли установить его родство с другими генами. Получаем, что CCNB1 регулируется STK15.Мы подтверждаем открытие Li и др. . (2006), что STK15 регулирует CDC20. Однако, в отличие от Ли и др. . (2006), мы не обнаружили взаимосвязи, в которой CDC20 регулирует другие гены с разным лагом единиц времени. Это указывает на два важных ограничения нашего нынешнего алгоритма: мы не допускаем двунаправленных и циклических зависимостей и изучаем причинно-следственную связь только с задержкой в одну единицу времени. Двунаправленные и циклические отношения и причинно-следственная связь с задержками в несколько единиц времени могут быть изучены, когда будет доступно больше данных.Однако наш настоящий алгоритм получает сеть, включающую 802 гена с несколькими ранее не обнаруженными связями ген-ген. Наш метод также устраняет необходимость предварительного отбора нескольких генов для изучения.
5 ОБСУЖДЕНИЕ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предыдущие исследования встречающихся в природе сетей предполагают эволюционное развитие этих сетей от прокариотических организмов до животных более высокого уровня. В свете этого постулата представляет интерес сделать вывод об уровне взаимодействия внутри небольшого набора генов.Этот документ посвящен разработке методологии решения этой проблемы.
Обнаружение пути в экспериментах с временными рядами микрочипов важно для понимания генетического взаимодействия и причинно-следственной связи. Эксперименты с микрочипами включают несколько факторов, в которых важную роль играют случайные флуктуации и случайные процессы. Это отличается от традиционной структуры биохимии, где метаболические пути обычно строятся на основе известных реакций между метаболитами и ферментами. Мы учитываем случайность, используя здесь методы временных рядов.Наш анализ также отходит от традиции использования корреляции как меры взаимосвязи между генами. Помимо ограничения корреляции как меры, ее вычисление требует независимых наблюдений, в то время как временные ряды микрочипов зависят друг от друга.
Попарные исследования причинно-следственной связи Грейнджера объединены в график. Некоторые шаги нашего алгоритма предназначены для уменьшения количества ребер в графе, чтобы выделить основные взаимосвязи. Рекомендуется устранение циклического тренда, если период известен.Однако во временных рядах микрочипов это обычно невозможно, поскольку доступны данные только по нескольким временным точкам, а периодичность, по-видимому, зависит от гена.
Следует подчеркнуть, что причинность по Грейнджеру не подразумевает и не подразумевается функциональной причинностью, а просто указывает на нее. Подробное обсуждение философских и других точек зрения на причинность в экономике см. В Engle and White (1999). Наше применение причинности по Грейнджеру предполагает, что временные точки равномерно распределены, что может быть не так в экспериментах с микрочипами.Однако это предположение может быть легко устранено несколько иной формулировкой.
Одна проблема, которую разделяют все методы, связанные с микрочипами, — это зависимость между множественными выполненными сравнениями. Здесь это решается с помощью стандартной техники управления частотой ложного обнаружения. Доступные данные ограничивают объем тестов причинности по Грейнджеру, которые мы можем провести, тем не менее, необходимо провести большое количество тестов среди связанных объектов. Возможный подход к сокращению огромного количества тестов может заключаться в использовании сначала кластерного анализа, а затем поиска причинно-следственной связи в тесно связанных кластерах.Другой подход заключается во включении предшествующих знаний о взаимоотношениях генов в байесовскую причинную формулировку. Эти вопросы заслуживают дальнейшего изучения.
Мы извлекли пользу из обсуждения с профессором Сунаком Мишрой вопроса о построении минимальных остовных деревьев. Подробные отзывы двух анонимных рецензентов помогли в редактировании рукописи. Исследование второго автора частично поддержано грантом Университета Миннесоты.
Конфликт интересов : не объявлен.
ССЫЛКИ
,.
Статистическая механика сложных сетей
,
Ред. Мод. Phys.
,
2002
, т.
74
(стр.
47
—
97
) и др.
Является ли частичная когерентность жизнеспособным методом идентификации генераторов нейронных колебаний?
,
Биол. Киберн.
,
2004
, т.
90
стр.
318
,.
Частичная направленная когерентность: новая концепция определения нервной структуры
,
Biol Cyber.
,
2001
, т.
84
(стр.
463
—
474
),.
Комментарии к теме «Является ли частичная когерентность жизнеспособным методом идентификации генераторов нервных колебаний?»
,
Biol. Киберн.
,
2006
, т.
95
(стр.
135
—
141
),.
Контроль уровня ложных открытий: практичный и эффективный подход к множественному тестированию
,
Дж. Р. Статист. Soc. В
,
1995
, т.
57
(стр.
289
—
300
).
Замечания, касающиеся графических моделей для временных рядов и точечных процессов
,
Рек. Экон.
,
1996
, т.
16
(стр.
1
—
23
) и др.
Сравнение сходства экспрессии генов временного ряда с использованием показателей обработки сигналов
,
J. Biomed. Поставить в известность.
,
2001
, т.
34
(стр.
396
—
405
) и др.
Полногеномный транскрипционный анализ митотического клеточного цикла
,
Mol.Ячейка
,
1998
, т.
2
(стр.
65
—
73
) и др.
Регуляция транскрипции и функция во время клеточного цикла человека
,
Nat. rev. Genet.
,
2001
, т.
27
(стр.
48
—
54
).
Графические модели взаимодействия для многомерных временных рядов
,
Метрика
,
2000
, т.
51
(стр.
157
—
172
),. ,
Коинтеграция, причинно-следственная связь и прогнозирование
,
1999
Оксфорд, Великобритания
Oxford University Press
,,.
Методы анализа данных временных рядов микрочипов
,
J. Comput. Биол.
,
2002
, т.
9
(стр.
317
—
330
). ,
Анализ временных рядов
,
1994
Princeton University Press
. ,
Graph Theory
,
1969
Reading, MA
Addison Wesley
, et al.
Крупномасштабная организация метаболических сетей
,
Природа
,
2000
, т.
407
(стр.
651
—
654
) и др.
Оценка причинно-следственных связей в нейронных системах: причинность по Грейнджеру, направленная передаточная функция и статистическая оценка значимости
,
Biol. Киберн.
,
2001
, т.
85
(стр.
145
—
157
).
Биологическая устойчивость Hiroki
,
Nat. Преподобный Жене.
,
2004
, т.
5
(стр.
826
—
837
) и др.
Обнаружение отложенных по времени регуляторных сетей генов на основе профилей временной экспрессии генов
,
BMC Bioinformatics
,
2006
, vol.
7
стр.
26
, г.
Структура связности, гигантский сильный компонент и центральность метаболических сетей
,
Биоинформатика
,
2003
, т.
19
(стр.
1423
—
1430
),.
Реконструкция метаболических сетей по данным генома и анализ их глобальной структуры для различных организмов
,
Биоинформатика
,
2003
, т.
19
(стр.
270
—
277
),.,
Теория графов и сети в биологии
,
2006
, et al.
Ненаправленные графики частотно-зависимой функциональной связности во всей сети мозга
,
Philos. Пер. R. Soc. Лондон. Биол. Sci.
,
2005
, т.
360
(стр.
937
—
946
),,.
Общее определение метаболических путей, полезное для систематической организации и анализа сложных метаболических сетей.
,
Nat. Biotechnol.
,
2000
, т.
18
(стр.
326
—
332
),.
Эмпирический байесовский подход к выводу крупномасштабных сетей ассоциаций генов
,
Bioinformatics
,
2005
, vol.
21
(стр.
754
—
764
) и др.
Комплексная идентификация генов дрожжей, регулируемых клеточным циклом Saccharomyces cerevisiae , гибридизацией на микрочипах
,
Mol. Биол. Ячейка
,
1998
, т.
9
(стр.
3273
—
3297
),.
Маленький мир внутри больших метаболических сетей
,
Proc. R. Soc. Лондон. В
,
2001
, т.
268
(стр.
1803
—
1810
) и др.
Идентификация генов, периодически экспрессируемых в клеточном цикле человека, и их экспрессия в опухолях
,
Mol. Биол. Ячейки
,
2002
, т.
13
(стр.
1977
—
2000
),,.
Идентификация периодически экспрессируемых транскриптов в данных временных рядов микрочипов
,
Bioinformatics
,
2004
, vol.
20
(стр.
5
—
20
) и др.
Сравнение методов обработки линейных сигналов для вывода направленных взаимодействий в многомерных нейронных системах
,
Обработка сигналов
,
2005
, т.
85
(стр.
2137
—
2160
) и др.
Сетевая кластеризация для данных микрочипов генов
,
Биоинформатика
,
2005
, т.
21
(стр.
4014
—
4020
) и др.
Высокопроизводительный скрининг коэкспрессируемых пар генов с контролируемой частотой ложных открытий и минимально приемлемой силой
,
J. Comput. Биол.
,
2005
, т.
12
(стр.
1029
—
1045
)
Заметки автора
© Автор 2006. Опубликовано Oxford University Press. Все права защищены. Для получения разрешений обращайтесь по электронной почте: [email protected]
. .
Posted in РазноеLeave a Comment on Причинно следственная формулировка периодического закона: Периодический закон Д. И. Менделеева — урок. Химия, 8–9 класс.

Поделки елки своими руками из шишек: Новогодние поделки ИЗ ШИШЕК (45 идей для детей).
Posted on 02.01.197014.07.2021 by alexxlab
Новогодние поделки ИЗ ШИШЕК (45 идей для детей).
Добрый день, сегодня я хочу показать какие интересные поделки можно сделать из шишек на Новый Год. Шишки – это бесплатные природный материал, который можно использовать для создания оригинальных украшений на елку. Шишками можно декорировать новогоднюю сервировку стола. Новогодние крашеные красками шишки могут стать частью праздничной композиции в декоре дома на Новый Год. Многие поделки подойдут для детей. А также идеи для взрослого дизайна из шишек. Давайте посмотрим какие новогодние поделки можно создать своими руками на основе шишек (сосновых и еловых).
Игрушки-поделки
из шишек своими руками.

Для тех кто умеет вязать (крючком или на спица), или шить из фетра не составит труда создать вот таких зимних человечков на лыжах или на санках. Тело человечков делаем из раскрывшейся сосновой шишки. Голова из шарика от пинг-понга или маленького пенопластового шара, затонированого в гуашь бежевого оттенка. Лыжи делаем из палочек от мороженного, лыжные палки – простые зубочистки, ручки из пушистой проволоки. Детское новогоднее творчество из природного материала — это хорошая идея для занятий дома или на уроках по труду и изодеятельности в школе.
По такому же принципу можно поставить на лыжи снеговиков или пингвинов. Голова снеговика может быть из мехового белого помпона (как на фото новогодней поделки ниже). Или вы можете сделать голову из пенопластового шарика, из ваты (смешать вату с клеем ПВА и скатать круглый комочек, высушить и использовать как голову поделки-снеговика из шишки.
А вот авторские пингвины – маленький (из сосновой шишки) и большой (из длинной еловой шишки). Голова пингвина сделана из белого пенопластового шарика, который разрисовали черной гуашью. Наушники из проволоки, обмотанной шерстяной нитью и двух маленьких меховых помпонов. Черные крылья-лапки пингвинов вырезаны из фетра или формиама.
Можно сделать из сосновых шишек целую стайку пингвинов в красных новогодних колпачках. . Крылышки пингвинам можно сделать из черного пластилина, или кусочков древесной коры (как на фото ниже). Детям понравится такая поделка своими руками.
А если к круглой сосновой шишки приклеить большие круглые глаза и нос-крючок – то мы получим СОВУ. Крылья делаем из фетра, или формиама, или из кусочка кожи (кожзама). Колпачки для совы можно склеить из ярких бумажных салфеток с новогодним рисунком (так наши совы из шишек будут празднично выглядеть).
Если вы купите кусочки фетра (он продается листами, как бумага, и можно купить небольшие листы разных цветов) – то вы можете создать целую серию забавных новогодних зверят на основе шишки.
Игрушки-подвески из шишек
На елку своими руками.
А вот еще идея для нового года, где из шишек сделаны подвески для украшения новогодней елки. Здесь все сделано по принципу – внизу шишка, вверху голова персонажа. Головастые шишки — поделки своими руками, доступные для занятий с детьми.
Самое простое это взять пенопластовый шар, на него наклеить нос и глаза пуговки. Нос можно вырезать из толстого кусочка оранжевого фетра. Или нос можно вылепить из ваты намоченной в клее ПВА, при застывании такая пва-вата становится твердой как дерево (удобный материал для поделок, тем более что в клей пва можно подмешать любой цвет гуаши и мы получаем не только прочную деталь, но и нужного для вас цвета).
С помощью фетра или пушистой проволоки у шишки могут появится крылышки, и тогда такую поделку можно будет оформить как ангела или фею.
Новогодние персонажи,
сделанные из шишек.

Если шишку покрасить гуашью в красный цвет, то получится основа для поделки Дед Мороз. Красить шишку лучше не кисточкой. А сразу целиком окунув в пластиковый стаканчик с краской. В стаканчик наливаем клей ПВА – добавляем туда красную гуашь. Шишку целиком окунаем в это красящее мессиво.
Важно! Экономьте ваши деньги. Не покупайте ПВА в маленьких тюбиках в канцтоварах. Ступайте с строительный отдел магазина и покупайте ПВА в литровом ведерки (по цене это будет раза в 4-7 дешевле).
Очень красиво смотрятся поделки из шишек, в которые добавлены элементы красного цвета – ленточки, бусины, фетр. Это отличные идея для новогодних детских поделок из шишек — и просто и быстро и легко для ребенка.
Также вы можете сделать РОЖДЕСТВЕНСКИЕ поделки из шишек и другого природного и подручного материала. В качестве крыльев у ангелов можно использовать пышные ленты, кружевные узоры. Можно связать ажурные крылья ангела крючком своими руками, если вы когда либо вязали салфетки. Можно из шишек и кусочков фетра (или флиса) сделать целую рождественскую сценку с новорожденным младенцем Иисусом в люльке.

Декоративные новогодние шишки
Своими руками.
А вот образцы поделок с шишками, декорированными на новый год. В качестве декора используем веточки хвои от елки, зеленые листики от комнатных растений, или вырванные из букета, маленькие шишечки ольхи, кусочки мха, бусины, шарики, бубенчики, яркие ленточки и блестящую бумагу.
Очень красиво и празднично смотрятся декорированные шишки, которые предварительно покрасили (окунув в стаканчик с крашенным клеем ПВА). После покраски и высыхания шишку надо побрызгать лаком для волос – цвет станет ярче и шишка начнет блестеть как глянцевая. И еще на мокрую от лака шишку можно быстро посыпать блестки (подходит посыпка для ногтей).
В поделочном магазине вы можете купить маленькие фигурки птичек. Они отлично будут смотреться не верхушке вашей новогодней шишки. Птицам можно свить гнездышки из елочной хвои, украсить их красными бусинами.
А еще сами шишки можно декорировать бусинами от бус, или маленькими шариками-помпонами, просовывая их между чешуйками и фиксировать на термоклей.
И еще шишки можно сложить вместе – в звездочку-снежику. Шесть снежинок раскладываем на столе – попками вместе – кончиками врозь. И склеить их горячим термо-клеем из пистолета. Место склейки прикрываем снежинкой, вырезанной из картона, еловыми лапками, бусинами или маленьой шишечкой (кончиком отрезанным от большой шишки).

Новогодние поделки
из ЧЕШУЕК шишки.
А вот интересный способ делать поделки из шишек на новый год. Если взять и из шишки выдернуть чешуйки. То из них можно (как из природных пазлов) собрать любой узор или объемную форму.
Например, вырезаем из картона звезду. И раскладываем на клей чешуйки по контуру этой звезды, постепенно, ряд за рядом, подбираясь к середине. Такая поделка понравится детям школьного возраста — только чешуйки нужно надергать заранее.
Можно просто на круглый кусочек картона выложить цветок из чешуек шишки. Начинать тоже нужно С КРАЕВ картонного кружочка, и ряд за рядом дойти до середины цветка. К обратной стороне цветочка наклеиваем кружево из ткани или снежинку из бумаги. Получаем нарядную ажурную поделку на Новый Год.
А также чешуйками от шишки можно украсить бумажный конус. Так мы получим поделку-елочки из природного шишечного материала (как на фото ниже).
А вот еще интересная новогодняя поделка. Берем пакеты от молока (маленького размера). Красим их в белую гуашь, и рисуем поверх черные полосочки (имитируем окраску березовой коры). В одном из боков коробки прорезаем круглую дырочку. А верх молочной коробки (она по форме как домик-крыша) обклеиваем шишечными чешуйками на горячий термо-клей из пистолета. И получаем вот такую (фото ниже) новогоднюю поделку в виде птичьих домиков. Очень красиво и необычно.
А также чешуйкаи можно обклеить пенопластовый животик снеговика – одеть на него такую шубку из шишек. Красивая поделка для старших детей.

Шишки на венках
и новогодние панно на стену.

Очень интересные декоративные панно можно делать из шишек. Если из реек сколодить любую форму (например звезду), то можно ее обклеить шишками — и получится оригинальная новогодняя поделка, которую можно повесить на стену, прислонить к стене рядом с елкой. Можно эту шишковую звезду обмотать гирляндой, сделать подсветку лампочками.
Вооружившись клеем из пистолета вы можете собрать из шишек ажурную поделку-снежинку. И тоже использовать ее как панно на стену.
А если у вас маленькое количество шишек, вы можете сделать настенное панно из другого природного материала, и шишки использовать как дополнительное украшение.
Рождественские венки тоже можно делать из шишек. Для этого их можно покрасить в любой цвте (окунуть в клей-пва, подкрашенный гуашью, или покрыть краской из баллончика).
Венок делаем на основе деревянного или картонного кольца. Шишки крепим на кольцо-основу с помощью клея.

Новогодние композиции
С шишками.
для украшения стола.

Также шишки могут стать частью новогодней композицией, украшающей ваш праздничный стол на Новом Году. Вы можете просто разложить крашенные шишки на столе между блюдами и бокалами. Или можете из подвесить на люстре за яркие ленточки или подвесить на край стола (как на фото ниже).
Также можно из шишек сделать сервировочную бутоньерку для украшения тарелки каждого гостя.
Красиво смотрится если под цвет шишки подобрать такой же цвет блестящей посыпке. Заставить шишки сверкать и искриться как морозные узоры на зимнем окне.
Вы сами можете придумать различные композиции с шишками и другим материалом. Ваша фантазии интересные «ненужные штучки» найденные в ящике вашего стола могут стать источником оригинальных эксклюзивных поделок из шишек своими руками.
Подсвечники с шишками
Своими руками.
Точно также в вашу настольную новогоднюю композицию из шишек можно включить свечи. Можно просто в красивом блюде расставить свечи и вокруг разложить шишки, покрашенные в оттенки близкие к цвету свечей.
Если вы делает поделку, где все шишки склеены друг с другом, то при сборке такой клеевой шишечной кучи вставьте внутрь отрезки пластиковых трубок – в эти места вы сможете вставить свечи. При склейке позаботьтесь о том, чтобы трубочки-подставки под свечи были вклеены строго вертикально – иначе свечи у вас будут стоять не ровными столбиками а в кривь и вкось.
Можно поступить проще. На картонный кружок поставить стакан. И вокруг него по картону на клей прикрепить шишки, сосновые ветки, ягодки, звезды вырезанные из березовой коры и кожуры апельсина.
То есть для создания подсвечника подойдет любой способ декора. Либо ставим свечу внутрь кольцао из шишек и природного материала. Либо клееим (привязываем ленточкой ) природный материал к телу самой свечи. Либо ставим свечу внутрь высокого стакана и вокруг нее прямо в стакан просовываем шишки и прочую мишуру (как на третьем фото ниже).

Новогодние елки-поделки
Из сосновых шишек.
А также ваши новогодние композиции из шишек могут быть оформлены как высокие ЕЛКИ-ПИРАМИДКИ. Такие елочки можно сложить из обычных шишек, из крашенных в золотую краску из баллончика. И украшать их можно лентами, цветами из фетра, мелкими елочными шарами (тоже приклеивать их термо-клеем).
Вот такие идеи у меня для Нового Года 2018. Пусть вас вдохновят эти работы. И пусть ваши шишки расцветут поделочными идеями в ваших умелых руках.
Удачного вам новогоднего творчества.
Ольга Клишевская, специально для сайта «Семейная Кучка»
Если вам нравится наш сайт, вы можете поддержать энтузиазм тех, кто работает для вас.
Поздравить с Новым Годом автора этой статьи Ольгу Клишевскую.
Читайте НОВЫЕ статьи на нашем сайте:
на Ваш сайт.
Поделки из шишек на 2020 год: новогодние идеи, фото
Из шишек можно создать огромное количество поделок. Шишки являются природным материалом, а также имеют приятный аромат хвои. В этой статье мы рассмотрим, как сделать поделки из шишек своими руками.
Праздничный венок
Передать новогоднее настроение гостям можно прямо с порога. Для дизайна новогоднего венка будем использовать:
Картон
Ветки ели или сосны
Шишки
Атласная лента
Не настоящий снег
Краска
Клеевой пистолет
Украшения для декорации, по желанию.
При изготовлении основы используют множество материалов.
Новогодняя елка из шишек
Одной из самых популярных поделок в преддверие праздников является елка. Сделать ее достаточно легко. Рассмотрим 2 варианта.
Для работы нам понадобятся:
шишки;
картон;
клей;
хвойные ветки или мишура.
Пошаговая инструкция по изготовлению новогодней елочки:
Сделайте основу в виде конуса из картона.
Клеем прикрепите шишки к конусу с промежутками.
Между шишками прикрепите хвойные веточки или мишуру.
Елочка готова. Осталось украсить новогоднюю красавицу.
Дальше рассмотрим 2-й вариант Новогодней елочки.
Материалы для изготовления поделки елки из шишек:
шишки;
картон;
подставка;
газета или бумага;
супер — клей.
Пошаговая инструкция:
Из картона сделайте основу для нашей елки в виде конуса.
Для хорошей устойчивости конструкции вложите внутрь конструкции газету или бумагу.
Из картона вырежьте круг или воспользуйтесь деревянной подставкой и прикрепите к ней конус.
Приклейте шишки к конусу сверху вниз Во избежание больших просветов, шишки каждого последующего ряда поворачивайте в противоположную сторону.
Если Вы приклеили все шишки, то основная часть поделки закончена.
Украшения из шишек
Все чаще в домах можно встретить украшения из шишек, сделанные к новогодним или рождественским праздникам своими руками. В основном это сосновые или еловые гирлянды, или деревья в горшках.
При работе с шишками очень важно отметить их плюсы:
природный материал без химических примесей;
приятный хвойный запах;
экономия денег, благодаря изготовлению декораций из шишек.
Из шишек при желании можно сделать практически любую игрушку, следует приложить лишь немного фантазии и иногда терпения. Изготовление украшений для елки — отличная идея для поделки. Ведь Вы не только делаете эти украшения вместе с детьми, но и потом наряжаете новогоднюю красавицу или украшаете изделиями предметы интерьера. Из самых элементарных поделок, можно смастерить гномика.
Пошаговая инструкция по изготовлению гнома:
Оставьте шишку неизменной, и возьмите ее за основу тела гномика.
За основу головы возьмите каштан. Затем приклейте бородку.
Ноги и руки делают из ткани и набивают синтепоном или ватой.
Одежду шьют из фетра.
Для гномиков девочек следует заплести косу из ниток.
Удлиненные по форме шишки могут служить декорациями в доме или стать прекрасным украшением елки. Для изготовления эксклюзивных подхватов для штор возьмите бархатную ткань и закрепите на концах по сосновой шишке.
Ёжик из шишек
Вам понадобится: шишки, пластилин серого и чёрного цвета.
Мастер-класс
Слепите из серого пластилина тельце ёжика.
Сформируйте вытяную мордочку.
Слепите глазки и носик из чёрного пластилина.
Прикрепите на мордочку.
Прикрепите шишки к телу ёжика плотно друг к другу.
Гирлянда из шишек
Вам понадобится: шишки, верёвка, клеевой пистолет либо суперклей, спрей-краска и блёстки по желанию.
Мастер-класс
Покрасьте шишки.
Посыпьте блёстками.
Сделайте отметки на верёвки в тех местах, где будут прикреплены шишки.
Оставьте по 10 см верёвки с каждой стороны, для дальнейшего закрепления гирлянды.
Нанесите каплю клея на основании шишки, приклейте на верёвку, плотно подержите в течение 5 секунд.
Таким способом приклейте все шишки.
Повесьте гирлянду.
Снежинка из шишек
Вам понадобится: длинные сосновые шишки, клеевой пистолет либо суперклей, маленькая бумажная снежинка либо кружево, элементы декорирования.
Склейте нижние стороны шишек между собой.
Прикрепите в центр снежинки кружево.
Задекорируйте на свой вкус.
Как сделать красивый шар из шишек
Разнообразить декор своего интерьера можно, сделав необычный шар из шишек и желудей. Делать его достаточно сложно, но если следовать нашей инструкции, то вы справитесь с поставленной задачей.
Для основы шара сделайте круг из бумаги, скомкав ее как при лепке снежка. Другим вариантом основы может служить мусорный пакет. Сделать форму шара можно, набив пакет ватой, синтепоном или газетой. Отверстие пакета следует закрыть или запаять. Основа для поделки готова.
Приступаем к основной композиции и приклеиваем шишки, равномерно распределяя по периметру. После естественной просушки изделия композиция готова.
Завершающим этапом становится покрытие шара лаком или снегом. Готовое изделие можно поставить в горшок или вазу, или просто прикрепить ниткой к потолку.
Топиарий из шишек
Хорошей идеей для создания необычного интерьера служат стриженые деревья – топиарии. Иногда их называют деревьями счастья и удачи.
Для воплощения идеи понадобятся:
шишки;
гипс или губка;
горшок глиняный или пластиковый;
ветка из дерева;
шар из газеты или цветочная губка;
нитки;
аэрозольная краска.
Пошаговая инструкция:
Сформируйте шар из газеты и обмотайте его нитками.
На основу шишки нанесите клей, и приклейте ее на шар как можно плотнее.
Приклейте остальные шишки на шар. Старайтесь выбирать шишки похожего размера.
Заострите конец сосновой ветки, и проделайте отверстие в нижней части шара.
Зафиксируйте ветку в шаре с помощью клея.
Покрасьте получившийся шар краской. Шар украшают засушенными листьями, ветками, бусинами, цветными лентами.
Подготовьте гипс к работе: разведите его в горшке, сделав отступ от края 3-5 см.
Вставьте ветку с шаром в раствор гипса и зафиксируйте до высыхания.
Замаскируйте гипс мелкими шишками или мхом.
Делаем подсвечник из шишек
За придания романтики и создания новогодней композиции за праздничным столом отвечает зажжённая свеча в красивом подсвечнике. Сияние праздничных огоньков не только придаст уют, но и разнообразит интерьер. Сделать данный аксессуар своими руками сможет даже ребенок. Главным материалом декора служат шишки, а остальные материалы подбираются в зависимости от наличия.
Для создания праздничной свечи понадобятся:
шишки, желуди, каштаны;
клей;
круг из картона;
краска аэрозольная.
Все элементы декорации разложите на подложке и окрасьте. Проводить окрашивание следует при открытых окнах или на улице. В центр круга из картона следует приклеить свечу и заготовленные декорации. Оригинально в композиции будет смотреться веточка хвойного дерева.
Еще одним вариантом созданием свечи может быть декорирование готовых подсвечников шишками, веточками. Необычные свечки получаются из стеклянных баночек. Для этого на дно баночки насыпьте сахар или искусственный снег. Верх декорируйте кружевом и прикрепите несколько шишек. Обработайте композицию аэрозолем со снегом.
Дед Мороз из шишек
Вам понадобится: шишки, полимерная глина, клей ПВА, кисточка, суперклей, лак для волос, блёстки, тонкая проволока, лента.
Мастер-класс
Сделайте шапку деда Мороза таким способом: скатайте из полимерной глины шарик, затем смастерите конус, загните кончик и прикрепите к шишке.
Слепите 4 шарика из полимерной глины: один шар должен быть большим – из него слепите бороду. Два шара сделайте среднего размера – из них слепите усы, и один маленький шарик используйте для носа.
Прикрепите детали к шишке.
Проведите кисточкой по усам и бороде, создавая реалистичные полосы.
Проденьте кусочек проволоки через шапку деда Мороза и скрутите петлю.
Положите поделку в духовку на 15 минут (135 градусов), чтобы глина застыла.
Вытащите поделку из духовки. Полимерная глина может отклеиться из-за высокой температуры. Если у Вас так произошло, не отчаивайтесь – просто приклейте отпавшие части.
Привяжите ленту к проволоке.
Сбрызните шапку лаком для волос.
Посыпьте блёстками.
Идеи поделок из шишек
Сохранить и поделиться:
15 идей поделок из шишек своими руками
Дата: 24 сентября 2018 Автор: Xrizokolla Рубрика: Творчество своими руками
Оригинальными и красивыми получаются поделки из шишек своими руками. Сделать их совсем не трудно, ведь техника исполнения проста, а материалы для работы доступны каждому.
Начать лучше с самых простых поделок. С ними справятся даже маленькие дети.
Ёжик
Каркас и мордочка ёжика лепятся из пластилина. На этой основе закрепляются мелкие шишечки чешуйками вверх, как будто это иголки. На мордочке надо расположить глаза (можно взять бусинки или набор искусственных глазок из магазина рукоделия) и носик из пластилина. На «иголках» горячим клеем с помощью специального пистолета прикрепляются ягоды рябины, сухие листики, травинки.
Пингвины
Подобным же образом из шишек и пластилина делается семейство пингвинов. Затем укрепляется на подставке из картона, а под лапки можно постелить ватные диски, как будто это снег.
Белочка
Если есть возможность достать жёлуди, получится очаровательная белочка. Все детали скрепляются пластилином, глазки и носик приклеиваются.
Сова
Из разноцветного фетра вырезаются глаза, крылья, по желанию ушки, бантик и т. д. Всё это приклеивается к шишке.
Паук на Хэллоуин
Для паука нужна крупная шишка и пушистая гнущаяся проволока для лапок (продаётся в магазинах для творчества). Проволока разрезается на кусочки и слегка сгибается. Затем нужно просто приклеить её, а также лапки и глаза.
Дама и кавалер
Оригинальная композиция делается аналогичным образом. Нужно добавить лишь листья и цветок.
Фоторамка
Надо вырезать фотографию или картинку и прикрепить на картон нужной формы. На свободное пространство приклеить мелкие шишечки.
Букет
Необходимо использовать полностью раскрытые шишки. При желании чешуйки можно подрезать, чтобы придать цветку нужную форму. Потом тонировать заготовки сначала белой акриловой краской, а затем цветной. В качестве стебля взять соломинки для коктейля или ветки, обмотанные зелёной бумагой. Из картона можно вырезать листья. Скрепить все детали клеевым пистолетом.
Топиарий
Это стильное украшение для дома. Ствол делают из толстой ветки, проволоки, фанеры и укрепляют в горшочке любым способом. Важно, чтобы конструкция была устойчива. Шар-основа может быть из пенопласта, газет. На него наклеивают шишки, жёлуди, сухие ягоды, траву, бусины и т. д. Ствол можно оформить лентами, обмотать бумагой, наклеить мох.
Декоративный венок
Обычно он служит новогодним украшением на дверь, а также нередко детям в школе дают задание придумать осенний декор. Из толстой проволоки надо согнуть окружность, плотно обмотать её газетами. Затем приклеить шишки и, в зависимости от тематики, украсить венок листьями, еловыми ветками, мишурой.
Новогодние ёлочки
Замечательно будут смотреться ёлочки с приклеенными цветными шариками или бусинами.
Шишки со сверкающим снегом
На шишки наносится слой клея ПВА, затем посыпаются блёстки. Тонкую бечёвку нужно разрезать на части и двумя концами приклеить к поделке.
Игрушки на ёлку
Если приложить чуть больше усилий, получатся вот такие милые зверьки на ёлку. Головы и хвосты у них сшиты из меха. Ушки, крылья можно вырезать из фетра, ножки сделать из палочек. Все детали скрепляются клеевым пистолетом.
Гирлянда
Длинные шишки могут украсить новогоднюю гирлянду. Они подвешиваются на лентах, цветных шнурах или плотной мишуре.
Фонарь
Оригинально выглядит новогодний фонарик. Еловые ветки и гроздья красных ягод надо скрепить ленточкой, обмотать её вокруг фонаря и сделать бантик. Приклеить в центр шишки.
А также можно прикрепить мишуру, мелкие шарики.
Главное при создании поделок из шишек — применить фантазию. Замечательно, если в этом увлекательном и творческом процессе поучаствуют дети.
Оцените статью: Поделитесь с друзьями!
Метки:
Поделки из шишек своими руками
Изготовить красивые поделки из шишек своими руками несложно. Этому учат воспитанников детского сада, но и взрослые часто сохраняют интерес к созданию красивых композиций.
Как правильно выбрать шишки для поделок?
Собирая природный материал в лесу или парке, нужно сразу позаботиться о разнообразии размеров и форм. Для этого берут не только красивые и крупные шишечки, но и изогнутые: иногда требуется необычная часть изделия. Стоит подготовить и другие материалы — веточки, желуди, красивые цветные листья и пр.
Среди разнообразия природного материала под хвойными деревьями нет необходимости искать только раскрытые или закрытые шишки. Они легко меняют форму при высушивании или смачивании.
Для работы с детьми лучше всего заготавливать материал от разных пород хвойных деревьев:
еловые плоды имеют удлиненную форму даже в раскрывшемся виде;
сосновые — аккуратные каплевидные в закрытом состоянии и пышные, округлые при раскрывании;
кедровые отличаются крупными размерами и необычной темно-коричневой окраской;
лиственничные имеют небольшой размер и подойдут для мелких деталей;
шишкоягоды туи, можжевельника и пр. совсем невелики, но красивы.
Кроме цельных плодов, для создания композиций можно использовать обработанные дятлами. Все жесткие чешуйки их превращены в тонкие волокна, и шишечка выглядит особенно пушистой и мягкой.
Инструменты для работы
Чтобы сделать простую поделку из шишек, потребуются инструменты:
шило для прокалывания твердых частей;
ножницы или кусачки, чтобы отделять ненужные чешуи;
проволока и клей для соединения деталей композиции;
кисти и краски для декорирования изделия.
Для детских поделок острые инструменты не применяют, обработкой шишки занимаются взрослые.
Обработка шишек для поделок
Если материал собран в сырую погоду и загрязнен, то его нужно промыть и подсушить. При этом чешуи постепенно раскрываются. Иногда для поделок из сосновых плодов нужны плоские детали из основания шишечки. Кусачками или крепкими ножницами нужно отрезать лишнюю часть плода.
Чтобы чешуи оставались плотно сжатыми, высушивают материал, обмотав его нитками. После высыхания лепестки уже не раскроются.
Кедровые плоды в свежем виде обильно покрыты смолой. Удалить ее можно вывариванием в кипятке в течение 15 минут. После этого поделочный материал надо просушить, аккуратно вынуть орешки, а шишку использовать для создания композиции.
Какие материалы еще можно использовать?
При создании украшения из шишек применяют следующие природные материалы:
сухоцветы и декоративные колосья злаков;
высушенные осенние листья;
ярко окрашенные, высушенные на ветках ягоды рябины, шиповника, бирючины и т. п. не слишком сочные плоды;
веточки и палочки, причудливо изогнутые сучья, корни, спилы толстых веток и пр.;
деревянистые плоды и оболочки семян от других растений: желуди, каштаны, коробочки пиона или анисовые звезды, скорлупа орехов и пр.;
летучие семянки ясеня, клена и других деревьев.
Кроме природных материалов могут потребоваться лоскуты фетра и искусственной кожи, пластилин, ПЭТ-бутылки и другой бросовый материал. Для отделки применяют искусственный снег, декоративные глазки, блестки, лакокрасочные составы, цветную бумагу и пр.

Какие поделки можно сделать из шишек?
Из еловых, сосновых и других разновидностей шишек делают и детские игрушки-сувениры в школе, и крупные декоративные композиции. Доступный и долговечный природный материал используют даже профессиональные дизайнеры или художники, создавая не только мелкий декор, но и панно или предметы интерьера. Особенность таких украшений — долго сохраняющийся хвойный аромат.
Поделки для детей из шишек
Простейшие поделки с шишками своими руками доступны для изготовления и совсем маленьким детям. Уже в 2-3 года при помощи взрослого ребенок может прикрепить детали мордочки зверька, пластилиновые руки и ноги. Декорируя чешуйки краской или искусственным снегом, можно изготовить маленькую елочку.
Когда ребенок освоит конструирование из 2-3 деталей, возможности создания сувениров расширятся. Скрепляя палочками или проволокой части фигуры, можно создавать человечков или самых разных животных.
Старшие дошкольники (4-7 лет) уже могут собрать панно, сделав цветы из шишек. Композицию дополняют листьями и декоративными травами. Самый простой вариант цветка — сильно раскрытая сосновая шишечка, окрашенная в яркий цвет и приклеенная к палочке-стебельку. Более сложные цветы делают по такой схеме:
Заготавливают продолговатые листья с яркой окраской (ивовые, вишневые, рябиновые и т.п.). Материал высушивают, не расплющивая. Хорошо высушивают и сосновые плоды.
На клей собирают цветы, вставляя и фиксируя между чешуйками несколько рядов красочных листьев. Цветок будет напоминать циннию, ромашку или эхинацею. Чешуйки в центре подкрашивают, имитируя тычинки.
Готовые цветочные корзинки можно наклеить на основу для панно, прикрепить к стеблям для букета или подвесить к люстре. Ими дополняют топиарии и другие оригинальные поделки из шишек.
Зверюшки из шишек
Веселых зверюшек собирают из 1 или нескольких разных по размеру шишечных деталей. Младшие дети могут соединить их пластилином, но старшим уже доступен способ крепления заостренными палочками или проволокой:
Ежика делают из 1 округлой шишки, прикрепляя к основанию пластилиновый нос и уши. Чешуи послужат иголками. Дополнить можно приклеенными листьями или мелкими яблоками-ранетками.
Ученая сова состоит из 1 соснового плода и декора из бумаги. Вырезать круглые глаза и клюв, крылья и квадратную профессорскую шапочку. Детали приклеить к чешуям, сделать основание из пластилина (лапки).
Панно с совами делают из нескольких оснований от шишечек разного размера. Круглые элементы с перистым рисунком чешуек приклеить попарно, формируя туловище и большую голову. Дополнить глазами и клювом.
Из удлиненных еловых плодов делают красивых оленей: соединить попарно детали, формируя туловище и шею. Для головы использовать желудь, а рога и ноги изготовить из веточек. По такому же принципу делают и другие детские поделки из шишек: лошадок, жирафа и т. п.
Соединяя по 2 круглых плода, можно сделать пушистых зверюшек. Котика, медвежонка, зайчика, совенка и др. Их отличают только детали оформления. Основа конструкции — 2 раскрытые сосновые или лиственничные шишечки округлой формы. Их соединяют основаниями и декорируют по вкусу.
Как сделать корзину из шишек?
Используя шило и проволоку, нанизать 10-15 одинаковых шишечек, прокалывая деревянистую сердцевину поперек ее оси. Затем свернуть круглое или квадратное донышко, соединяя витки короткими проволочными отрезками. При необходимости на проволоку нанизывают новые плоды, пока размер дна не будет достаточно большим. Если проволока длинная, можно продолжить работу, формируя стенки и наращивая их по спирали.
При использовании коротких отрезков нанизывают отдельно каждый ярус, а затем все кольца или квадраты соединяют кусочками такой же проволоки. Для ручки делают отдельную цепочку и прикрепляют сверху.
Осенние поделки можно дополнить цветами, листьями, ягодами.
Как сделать красивый шар из шишек?
Шар для украшения елки или интерьера собирают на основе пенопластовой заготовки. Чтобы закрепить шишки, используют проволоку, пропуская ее между чешуями. Каждый элемент окрашивают, используя искусственный снег или блестки, высушивают и прикалывают к пенопластовой основе. Желательно перед прикалыванием детали смазать проволоку клеем. Подвес из ленточки закрепить булавкой.
При использовании еловых длинных плодов получится игольчатый шар.
Топиарий из шишек
Основная деталь топиария — шар из сосновых шишек или другого материала. Его делают так, как описано выше. Для основы можно использовать не пенопласт, а комок газетной бумаги. Ему можно придать не только округлую форму, но и сердцевидную, продолговатую и любую другую, стягивая прочными нитками. Деревянистые детали хорошо фиксируют суперклеем или клеевым пистолетом.
Крону топиария закрепляют на стволе из ветки подходящего размера. Бумажный ком или пенопластовый шар крепят на клей. Чтобы топиарий был устойчивым, нижний конец стволика помещают в контейнер с тяжелым наполнителем (гипсом, песком, пластилином и пр.).
Оформляют изделие следующим образом:
Крону декорируют по вкусу, добавляя цветы, окрашивая или покрывая чешуйки снегом. Сделать топиарий можно из шишек и желудей, ягод и других дополнительных деталей, вклеивая их в процессе сборки кроны.
Ствол можно дополнить лиственным декором, обернуть его тканевой бахромой или гофробумагой. На ветку с развилкой часто ставят второй, маленький шар-крону.
В контейнере закрывают поверхность наполнителя. Используют любые материалы, соответствующие идее поделки: мох, «снег», цветные пластиковые гранулы и пр. Можно декорировать и сам горшок: обернуть его красивой тканью, оклеить подарочной бумагой или бечевкой, покрасить и пр.
Делаем подсвечник из шишек
Для простого подсвечника из шишек плод фиксируют на основании из пластилина или гипса. Удаляют несколько верхних чешуй, чтобы получилось углубление в центре. Туда можно поставить маленькую плавающую свечку в фольгированной капсуле.
Соединяя несколько шишечек в круг, формируют подсвечник-венок. Свечу при этом ставят в центр. Можно сделать несколько ярусов по принципу корзины и дополнить композицию хвоей, блестками и пр.
Подвески
Новогоднее украшение-подвеска в самом простом варианте — это крупная выразительная шишка, прикрепленная к декоративному шнурку или ленте. Природный материал желательно декорировать блестками или снегом. Дополнит композицию бант у основания.
Подвески можно собрать и по принципу шара, приклеивая сосновые и еловые плоды к объемной основе из пенопласта или бумаги. Можно просто соединить проволокой несколько деталей в виде звезды или венка.
Украшения на елку
Среди елочных игрушек могут оказаться и детские поделки-зверушки, и подвески разной формы. Варианты могут быть такими:
Удалить часть чешуй, оставив основание в виде цветка. Прикрепить нитку, окрасить «цветок» золотистой или серебристой краской, декорировать блестками.
Позолотить маленькие аккуратные шишечки, привязать нитки.
Вклеить между чешуями яркие бусинки или шарики из полимерной глины. К основанию прикрепить подвес.
Соединить в круг длинные и маленькие круглые детали, формируя снежинку или звезду. Окрасить спреем-металлик.
Новогодняя елка из шишек
Для шишечной елочки нужно сначала изготовить конус необходимой величины из плотной бумаги или картона. Свернуть его можно из половины круга. Радиус его будет равен высоте елочки. Боковые срезы склеить или соединить скотчем, скобами, проволокой и пр.
На поверхности конуса фиксировать обработанные заранее шишечки. Можно собрать елку из одинаковых деталей или использовать разные их виды. Украшениями часто выступают желуди, сухоцветы, ягоды.
Новогодний венок из шишек
Основа венка — круг из жесткой проволоки. Закрепить на нем хвойный декор проще всего с помощью тонкой проволоки, пропустив ее через чешуи и скрутив кончики. Все детали прикрепляют к основе проволочными хвостиками в произвольном порядке, создавая собственную композицию. Дополнить венок можно хвойными ветками, обработанными серебристой краской или блестками, а также бумажными листьями остролиста и красными ягодами. Хороший декор получится из лент и бантов или блестящего серпантина, мишуры.
Новогодняя декорация для люстры
Украсить люстру посеребренным природным материалом достаточно просто. Крупные экземпляры вешают на каждый рожок, под патроном лампы. По длине рожка или на обручи среди подвесок лучше поместить гирлянду на леске или тонкой проволоке из маленьких шишечек. В центр повесить самую крупную деталь или подвеску из нескольких средних плодов.

Читайте также:
Ёлка из шишек: новогодняя поделка своими руками
Теплый привет всем моим читателям блога! Наверняка многие из вас уже озадачены вопросом: какую поделку сделать к Новому году в школу или детский сад? А может есть и те, кто насобирал шишек и не знает что из них смастерить. Сегодня мы с вами будем делать ёлку из шишек своими руками быстро и без особых затрат.
Также вы можете поставить её на свой новогодний стол. Она станет отличным дополнением и создаст праздничное настроение. Мы делали такую елочку к Новому году 2020 и решили дополнить ее символом года, сделанным также из шишки, получилась очень красивая композиция. Вы можете сделать также, только в этом году символом года будет бычок.
Ёлка из шишек своими руками к Новому году
Все необходимые украшения для ёлки (шарики, бусы, мишура) можно приобрести недорого в магазине «Фикс прайс».
Как сделать новогоднюю поделку ёлку из шишек в детский сад или школу?
Во время поездки в Анапу мы с детьми набрали много сосновых шишек. И применить мы их решили, сделав вот такую чудесную елочку, которая не только будет поделкой, но и украсит ваш дом в новогодние праздники. Вам понадобится один день свободного времени, и, конечно же, помощь ваших деток. Дерзайте!
Вам понадобятся:
Шишки (чем больше у вас их будет, тем объемнее и выше получится елка)
Картон тонкий
Картон плотный белого цвета (на нем разместится наша красавица)
Цветная бумага (зеленый цвет) — 1 лист
Ножницы
Горячий клей
Клей ПВА
Акриловые краски
Кисточки
Украшения для елки — шарики и бусы
Мишура
Этапы изготовления:
Шаг 1. Первым делом разукрасьте шишки зеленой акриловой краской, и одну красной — это будет наша «звезда», поэтому выбирайте шишку более узкой и вытянутой формы. Эту работу можно поручить детям, я думаю, они с удовольствием примут участие в создании новогоднего шедевра.
Шаг 2. Из тонкого картона скрутите кулек, приклейте край, чтобы получилась трубочка. Оберните её цветной бумагой, приклеив ее клеем ПВА.
Шаг 3. С помощью горячего клея приклейте все шишки к нашему «стволу» по кругу, подбирая их по форме и размеру. На самый верх клеим красную шишку.
Шаг 4. Теперь также на горячий клей приклейте разноцветные шарики. Украсьте елочку бусами, обернув ими в нескольких местах.
Шаг 5. Приклеиваем готовую елку на картонную основу и украшаем её серебристой мишурой.
Вот так легко обычные шишки превратились в оригинальную поделку. Надеюсь, вам понравилась. Делитесь статьёй с друзьями в соцсетях, пишите комментарии, буду рада. До скорых встреч на блоге, пока!
Экодекор из шишек — Своими руками
Сколько уже написано про поделки из шишек своими руками, а я вновь и вновь возвращаюсь к этому популярному природному материалу в своих публикациях. Каждый год размещаю интересные подборки фотографий на своей страничке в Facebook, пишу мастер-классы, а тема будто неисчерпаемая – всегда найдется о чем рассказать и чего показать новенького.

Сегодня в блоге «Своими руками» я хочу поговорить о таком популярном тренде как «экодекор» в интерьере, важнейшую роль в котором играют природные материалы, в особенности натуральные шишки.
Наиболее выигрышно экодекор смотрится в загородных домах, там, где жилье напрямую контактирует с природой. Основная задача дизайнера – органично вписать домик в окружающее пространство. Для этого отдельные предметы быта размещаются на улице, а природные элементы используются внутри в качестве декора. Хорошие идеи по этой части вы найдете у норвежского декоратора VibekeDesign.
Оформление начинается с крыльца или веранды, плавно переходя в жилые комнаты. Натуральное дерево везде – в напольных покрытиях и облицовке стен, мебель проста, солирует белая печка или камин, тут же лежат простые домотканые коврики, подушки и пледы на скамьях. В отличие от старых деревенских интерьеров сейчас в тренде светлые оттенки, не затененные шторами окна, пропускающие много света. В таких интерьерах много усилий вкладывается в создание атмосферы тепла и уюта, чувства защищенности. Добиться этого помогают элементы декора из натуральных природных материалов.
Я подготовила для вас несколько универсальных вариантов украшений из шишек, все эти идеи пригодны к применению как дома, так и на улице. Кроме того, их можно масштабировать, например, придерживаясь той же технологии сделать метровую елку для внутреннего дворика или более крупную и длинную подвеску, чтобы заполнить свободное пространство над камином.
Декор из шишек в экостиле
Обычно, когда мы делаем декор из шишек (особенно новогодний), то добавляем к нему различные детали, благодаря которым украшение будет выглядеть ярче и привлекательнее: блестки, гирлянды, искусственные цветы и т.п. В этот раз нам это не пригодится – все должно быть максимально приближенно к природе, ну а если очень хочется разнообразить композицию, то вспомогательные материалы ищем из той же среды.
Эффектный элемент эко-дизайна – корзина с шишками. Еловыми, сосновыми, кедровыми – не важно, но желательно крупными, потому что большие шишки в массе выглядят более декоративно. Корзину можно заменить туеском, деревянным ящиком, цинковым ведерком, кадкой, джутовым мешком. Так как подобные предметы декора довольно громоздкие, ставят их на пол, например, под лавку в прихожей или рядом с камином.
Интересно смотрятся декоративные блюда с шишками. Их собирают из самых красивых шишечек и размещают на столах, полках и подоконниках. Подойдут для этой цели и фруктовые вазы на ножке. Композицию можно дополнить веточкой с ягодами или хвойниками, но так, чтобы шишки продолжали играть доминирующую роль.
Гирлянда из шишек
Первые два примера были совсем простыми, чтобы сделать гирлянду из шишек придется немного потрудиться. Справится даже ребенок, а из дополнительных материалов понадобится только джутовая нить. Шишки для гирлянды стоит выбирать максимально раскрывшиеся. Нить пропускаем под самыми нижними чешуйками и затягиваем узелок, далее отмеряем отрезок 10-12 см и прикрепляем следующую шишку. Так я делала гирлянду с этой фотографии.
Если есть желание, можно пойти другим, более сложным путем. В основании каждой шишки просверлить отверстие, в нем, с помощью клеевого пистолета, закрепить штифт с ушком, ну а затем уже нанизать на шнурок. В этом случае на растяжке шишки будут висеть вертикально вниз, а не располагаться хаотично, как получилось у меня. Оба способа хороши, хотя я считаю, что для экодекора подойдет именно первый, так как в нем меньше вмешательства человека. К тому же, я бы не стала крепить гирлянду к стене, а просто красиво разложила бы ее на полке или подоконнике.
Подвеска из шишек
Для подвески из шишек я бы использовала метод со сверлением и штифтами, описанный выше. В процессе творчества я не удержалась и немного задекорировала места крепления шнура мхом, добавила шляпки желудей и искусственные ягоды. При этом я старалась, чтобы акцент не сместился с природного материала на декор. Чтобы соблюсти баланс, выбирайте крупные длинные, притягивающие взгляд, еловые шишки. Подходящим местом для такого украшения станет окно или пространство между окнами, дверь, боковушка шкафа или уже упомянутый камин.
Подвеска — простое и эффектное украшение, которое хорошо послужит и на улице: на балконе, крыльце или в беседке. Однако, я должна вас предупредить. Когда на дворе сыро, туман или прошел дождик, шишки (даже хорошо просушенные) закрывают свои чешуйки. Особенно это заметно на крупных (южных) сосновых шишках, они сжимаются чуть ли не вдвое. Поэтому для уличной подвески или гирлянды я бы посоветовала еловые шишки – на них влияние непогоды сказывается в меньшей степени.
Шар из шишек
Это подвесное интерьерное украшение смотрится очень привлекательно и сразу вызывает всеобщее внимание. Так что для тех, кто сделал шар из шишек своими руками, он является еще и предметом гордости. В то же время сделать его довольно просто. Потребуется пенопластовый шарик (у меня был диаметром 10 см), коричневая краска, петелька и шнурок, клеевой пистолет и достаточное количество шишек разных размеров (от 1,5 до 4 см).
В сети очень много мастер-классов шаров из шишек, не буду подробно расписывать процесс. В двух словах: покрасить заготовку, просушить, смочить в термоклее и вкрутить петельку, сделать разметку. Разметку делала так – ровно под петелькой внизу наклеивается первая шишка, затем определяем середину, «по экватору» первый сплошной ряд. Потом от «полюсов» к центру заполняем свободное место по диагонали, комбинируя крупные и мелкие шишки.
Найти место для шара из шишек в интерьере сложнее, чем для подвески. Обычно его крепят к потолку, к карнизам, в ниши, цепляют к держателям подвесных полок. Если подходящего места не нашлось, можно просто положить шар на подоконник, вставить в вазу или в пустой цветочный горшок – если правильно рассчитать пропорции получится очень симпатично.
Елка из шишек
Думаете клеить елки из шишек занятие исключительно новогоднее? Ошибаетесь! Этот универсальный элемент экодекора будет хорошо смотреться на ваших полках, столиках и подоконниках в любое время года. Интересно выглядят группы из нескольких елочек разной высоты. Главное, не заливать их блестками, не красить и ничем не украшать – только шишки и больше ничего. Мне и самой сложно было остановиться, и хотя моя елочка готова, я как-нибудь выкрою время и сделаю ей праздничный наряд.
Итак, наша задача сделать елочку из шишек своими руками. Определимся с основой. В сети предлагается масса вариантов из чего сварганить конус, я предпочитаю сэкономить время и заплатить немного денег за пенопластовую заготовку. Далее предстоит выбрать какой она будет: на ножке или без. Первый путь более сложный и требует дополнительных усилий. Но я все же выбираю его, так как елка в горшочке выглядит более декоративно и что немаловажно, законченно. Так что, на мой взгляд, при отсутствии дополнительных украшений это более выигрышный вариант.
Помимо пенопластового конуса нам снова понадобится коричневая краска, толстая ветка для стволика, клеевой пистолет. Совсем не обязательно делать такое же кашпо как у меня, можно взять глиняный горшочек или цинковое ведерко. У меня не нашлось емкости подходящего размера, пришлось взять стаканчик и задекорировать его джутовым шнурком. Для устойчивости конструкции пригодился алебастр, поверхность «земли» прикрыла мхом.
Последовательность действий следующая:
— Сначала красим заготовку и подсушиваем. Кстати, многие этого не делают и напрасно, потому что в готовой работе белая основа будет местами проглядывать – от этого поделки из шишек выглядят неряшливо. Я использую простую акриловую краску, сохнет очень быстро (кладу 2 слоя).
— Наклеиваем шишки с помощью термопистолета. Здесь все просто: начинаем снизу более крупными и по кругу закрываем ряды, размещая шишки в шахматном порядке.
— Когда елочка готова, примеряем ножку и заранее готовим снизу посадочное место (палочку пока не вклеиваем). Отмеряем нужную длину стволика, не забывая про пропорции золотого сечения.
— Замешиваем алебастр, заливаем в горшочек, в центр устанавливаем ножку, ждем полного застывания. Наносим клей на стволик и сверху насаживаем елочку, выравниваем. Алебастровую «землю» прикрываем мхом.
Звезда из шишек
Есть разные варианты звездочек из шишек, у меня он вот такой. Каркас – березовые веточки толщиной 0,7 мм, сложенные пионерской звездочкой и скрепленные на концах джутовой нитью. Уже готовый экодекор! Но, не останавливаемся на достигнутом. Шишки я выбрала самые мелкие – от горной сосны, если у вас таких нет, можно взять от лиственницы. Клеила шишки в направлении от лучей к центру, порядок расположения хорошо виден на фото. Сначала зафиксировала с лицевой, затем с оборотной стороны.
Двухсторонняя звезда, которая получилась у меня, более универсальна – ее можно подвесить куда угодно, хоть на люстру. Если же вы собираетесь оформлять плоскую поверхность: стену, дверь, шкаф, камин – достаточно прикрепить шишки с одной стороны. Для этих целей так даже лучше, потому что нет лишнего объема.
Звездочку, как и другие предметы экодекора, о которых я сегодня написала, тоже можно масштабировать. Только каркас придется укрепить дополнительными веточками, и еще я бы подстраховалась проволокой, для укрепления «слабых» участков в центре.
Получился довольно большой обзор, а список можно продолжать. Возможно, вы удивитесь, что я ничего не написала про венки. Дело в том, что в экодекоре я вижу венки из сухих веток. Либо комбинированные варианты. А чисто «шишечные» давайте отложим к Новому Году. Еще неохваченным у меня осталось сердце из шишек, ему я отведу отдельную статью.
Автор: Анна Кузнецова. Сайт: http://flobee.ru.
Рождественские елки в форме конуса своими руками — чудесная мысль
Привет и добро пожаловать на 12 дней Рождества, которые организовала моя подруга Ширли из Intelligent Domestications! Я впервые участвую в этом блоге, и я очень рад этому! Во второй день Рождества мы делимся нашим любимым рождественским фильмом и делимся с ним поделкой или рецептом. Мой любимый рождественский фильм всех времен — «Рождественские каникулы национального пасквиля». Я помню, как впервые посмотрел его, когда был ребенком, не думаю, что когда-либо так сильно смеялся в своей жизни.🙂 Я мог смотреть это снова и снова. Одна из моих любимых сцен из фильма — это когда они идут за «идеальной» елкой. Хотя сегодня мы не рубим нашу собственную елку, я сделал несколько забавных и простых рождественских елок из конуса своими руками.
Вы можете найти руководство ниже и внизу сообщения, ознакомьтесь со всеми подборками фильмов и поделками или рецептами от многих талантливых блоггеров, которые присоединились к нам для этого блога.
Если вы хотите проверить любой из других 11 дней, вы можете найти их здесь:
Добро пожаловать на третий ежегодный «12 дней рождественского блога»!
Заходите каждый день с первого по двенадцатое декабря за новыми идеями, которые можно использовать, чтобы сделать свой сезон ярче!
Встречайте хозяев
Все они, как эльфы, были заняты созданием, украшением, приготовлением пищи и созданием множества новых идей, чтобы вы испытали их в этом праздничном сезоне!
Ширли ~ Intelligent Homestications I All ~ An Alli Event I Michelle ~ Наша хитрая мама
Marie ~ DIY Adulation I Erlene ~ Мои приключения в Беверли ~ Across the Blvd.
Debra ~ Shoppe No. 5 I Victoria ~ Dazzle While Frazzled I Jenny ~ Cookies Coffee & Crafts
Мишель ~ Дизайн Мишель Джеймс Я Аманда ~ Творчество для дома Я Меган ~ Давай, стань хитрее
Deborah ~ Salvage Sister & Mister I Jeanie ~ Create & Babble I Sherry ~ Olives & Okra
Jenny ~ Cookies Coffee & Crafts I Emily ~ Срок сдачи дома I Bonbon ~ Farmhouse 40
Leanna ~ Of Faeries & Fauna I Pam Larmore ~ P.S. Я люблю тебя ремесла I Kelly ~ North Country Nest
Marie ~ The Inspiration Vault I Gail ~ Purple Hues and Me I Lynne ~ My Family Тимьян
Карен ~ Стрекоза и лилии I Trisha ~ Уносится на запад I Sam ~ Raggedy Bits
Терри ~ Christmas Tree Lane I Lorrin ~ Embrace The Perfect Mess I Cyn ~ Creative Cynchronicity
Валерия ~ Val Event Gal I Yami ~ The Latina Next Door I Jeannee ~ Centsably Creative
Tania ~ Little Vintage Cottage I Lauren ~ Прекрасно сделано I Vanessa ~ DIY 180
Kimberly ~ A Wonderful Thought I Kim ~ Everyday Party I Dru ~ Тополя в горошек
Эти новогодние елки в форме конуса своими руками — это очень простая поделка, которую можно сделать во время просмотра любимого фильма.😉 Еще один дополнительный бонус — они очень недорогие! Я видел похожие деревья в Hobby Lobby по 25-35 долларов за каждое! Думаю, я потратил около 5 долларов на принадлежности, но некоторые из них у меня уже были под рукой. Даже если бы вы купили все, они все равно стоили бы недорого. Кроме того, они станут красивым рождественским декором, который можно будет использовать из года в год.
* В этом посте есть ссылки на продукты, которые я использую или похожие на продукты, которые я использую. Если вы покупаете что-то по одной из этих ссылок, я могу взять небольшую комиссию (без дополнительных затрат для вас) с покупки.Я не буду рекомендовать то, что бы себе не купил. Спасибо за поддержку моего блога!
Я решил сделать несколько шишек из каких-то старых плакатов с детенышами-разведчиками, которые у нас лежали. Другой вариант — использовать плакатную доску. Если вы не хотите делать свои собственные шишки, вы всегда можете купить такие шишки из папье-маше.
Я скатал плакат в форму конуса и скорректировал его, пока не получил желаемый размер. Мои конусы измеряли (высота x диаметр дна) 21 ″ x 5.75 ″, 18,5 ″ x 5,25 ″ и 16 ″ x 5 ″. Я использовал горячий клей, чтобы закрепить внешнюю часть конуса. Деревья не доходят до вершины, но это не имеет значения, поскольку они будут покрыты разными материалами. Конечно, нижнюю часть конуса нужно было разрезать, чтобы он мог стоять. Я измерил сверху и сделал отметки снизу на соответствующих размерах деревьев. Потом просто вырезаю ножницами по пунктирным линиям.
У больших конусов на дне была выемка, потому что плакат, который я использовал, был недостаточно большим, чтобы обернуть его вокруг.Как вы увидите, это действительно пригодилось. 😉
Мишура Дерево
Первым деревом, которое я сделал, и, безусловно, самым простым, была мишура. У нас уже было немного этой мишуры, поэтому я просто начал играть с ней на дереве, чтобы посмотреть, как она выглядит. Мишура идеально подходила для моей серебряной, золотой и светло-зеленой цветовой схемы в этом году, потому что переливающаяся спираль в середине соответствует зеленому цвету остальных моих украшений. 🙂 Я использовал свой самый большой конус с большой выемкой внизу.Я начал с вершины конуса, воткнув конец мишуры в отверстие, и просто обернул мишурой дерево. Когда я добрался до низа, я продвинул конец пряди в выемку на конусе и воткнул внутрь остальную часть.
Вот и все! Не было необходимости даже использовать клей! Это хорошо, потому что я могу использовать мишуру или изменить дерево в будущем.
Дерево из золотых бус
Это было второе дерево, которое я сделал.Опять же, это было очень просто, но на этот раз потребовался горячий клей. Я начал с нижней части конуса, приклеив первую бусину на место. Затем я просто начал наматывать золотые бусины на конус, приклеивая примерно каждые 6-7 бусинок, чтобы удерживать его.
Когда я подошел к концу пряди, было почти бесшовно продолжить следующую прядь. Последнюю бусину и первую бусину следующей пряди приклейте вплотную друг к другу.
Продолжайте заворачивать и склеивать, пока не доберетесь до вершины.
Поскольку конус не заканчивается острием, мне пришлось вылепить один из бусинок. В итоге получился более закругленный верх, но это было легко сделать, и он по-прежнему выглядит великолепно!
Вот и готовый продукт.
Войлочное дерево
Это мое любимое дерево из всех, но на него уходит больше всего времени. Меня вдохновили эти деревья от Pottery Barn Kids. Однако я не собиралась использовать войлочную шерсть.Я подумал, что обычный войлок мне подойдет.
Я нарисовал форму листа на куске картона (вы можете просто использовать коробку из-под хлопьев), чтобы использовать ее в качестве шаблона. Когда я получил желаемый размер, я начал вырезать несколько форм листьев. Мы съездили в наш родной город на День Благодарения, поэтому я просто использовал это время в машине, чтобы вырезать формы листьев. Я сложил войлок и вырезал по две. Не нужно было обводить фигуру на фетре и вырезать его, вы легко можете просто вырезать картонный шаблон.
В нижней части конуса вы могли бы видеть конус через форму листа первого слоя, поэтому я вырезал пару полосок войлока шириной около 1,25 дюйма, чтобы приклеить конус.
Я хотел, чтобы нижняя часть листиков была незакрепленной, чтобы они немного отрывались от конуса. Это придаст дереву больше размеров. Итак, я просто приклеил верхнюю часть формы листа к конусу. Я начал с нижней части, разместив лист так, чтобы нижний край касался стола.Продолжайте приклеивать листочки к конусу, размещая один рядом с предыдущим. Когда вы дойдете до конца, вам, возможно, придется немного перекрыть их, но это нормально.
Я начал второй ряд так, чтобы нижняя часть формы листа попала в центр первого слоя. По мере продвижения вам придется немного перекрывать формы листьев. Не все они будут идеально совпадать между нижележащим слоем.
Когда вы доберетесь до вершины, вы возьмете 3 формы листа и склеите их вместе, чтобы получился заостренный верх.
Я собирался добавить жемчуг, как на картинке Pottery Barn, но не хватило времени, чтобы достать. 🙂 Возможно, это будет добавление в следующем году.
Вы вдохновились сделать несколько шишек сейчас? Их было действительно просто сделать, и я думаю, они выглядят так же хорошо, как купленные в магазине. Но я могу быть немного предвзятым. 😉
Увидимся завтра на третий день Рождества! 🙂
Не забудьте посетить наших коллег, блоггеров «12 дней Рождества» ниже, чтобы получить еще больше креативных идей в этот праздничный сезон!
Современные рождественские елки своими руками (праздничные поделки)
Самое прекрасное время года скоро на нас.Рождество — мой любимый праздник. В этом году мы планируем сделать несколько новогодних елок, чтобы украсить окно в нашей гостиной. С тех пор я искал несколько простых и простых идей новогодней елки. Еще меня очень интересовали современные елки своими руками. Нашла красивые идеи для изготовления елок. Эти идеи включают создание современных рождественских елок из деревянных блоков, мешковины, кружева, бумаги и ткани. Еще более уникальные проекты включают использование вкладыша для кексов, средств для чистки труб, проволоки и украшений. Это лучших рождественских елок, которые я нашел , которые также подходят для современных рождественских елок.Новогодние елки своими руками для украшения дома к праздникам.
Современные елки
Начав в произвольном порядке, давайте посмотрим на эти хитрые новогодние елки.
Елки своими руками
Лента из мешковины Дерево, сделанное путем обертывания мешковины вокруг конуса из пенополистирола.
Взъерошенная мешковина со стразами — идеальная лента для обертывания конуса. Стильно смотрится с шишками и деревенскими деревьями.
Из рожка мороженого получится идеальный кекс на елку.
Елка из кофейных зерен на конусе из склеенных зерен. Их можно покрасить распылением, чтобы они соответствовали любой теме.
Модифицируйте старый шнурок поверх конуса из пенополистирола, дайте ему высохнуть. Снимите с конуса и распылите краску золотом или серебром. Залейте белыми огоньками и украсьте звездой.
Создавайте разные размеры для потрясающей группы!
(неизвестный источник через pinterest)
Симпатичные и легкие новогодние елки с лайнером для кексов.
Новогодняя елка сусальным золотом.
Современные елки, сделанные путем сверления отверстий в шишках из папье-маше. Огни выглядят волшебно, когда зажигаются ночью.
Елки из дюбелей и салфеток. Мне нравится, как они расположены на столе, чтобы создать вид леса!
Конусные деревья для плакатов лучше всего выглядят, когда они обернуты бумагой или тканью.
Рождественская елка из фетра — Вырезы в виде кружков из фетра на пенополистироле. Любить это!
Кухонная воронка Новогодние елки с рюшами и мешковиной.
Коллекция украшений может пригодиться в изготовлении этой красивой ювелирной елки.
Великолепный лес, созданный из вырезки из дерева Современные елки.
Рождественские елки из бумаги, расположенные на каминной полке, создают прохладную атмосферу.
Симпатичные новогодние елки, сделанные путем упаковки очистителей для труб.
Новогодняя елка из ленты с помпонами, наклеенной на бумажный конус.
Некоторые сосновые растопки были очень полезны для создания этих деревенских рождественских елок из пенополистирольных шишек.
Переработайте старые свитера в елки.
Проволока калибра
, обернутая вокруг бумажного конуса, создает эти причудливые рождественские елки.
Разве не весело было посмотреть на эти 20 различных материалов, из которых можно создавать современные елки!
С Рождеством всех.
Вам также может понравиться:
Рождественский жемчужный орнамент своими руками
Рождественский венок своими руками
Рождественский венок
Лучшие рождественские камины
Вам интересны?
Регулярно обновляюсь, когда нахожу уникальные идеи.
3 ответа на «Современные рождественские елки своими руками (праздничные поделки)»
Этот сайт использует Akismet для уменьшения количества спама. Узнайте, как обрабатываются данные вашего комментария.
Превратите сосновые шишки в настольную рождественскую елку
Веселое лесное приветствие
Эта сосновая шишка встречает гостей лесным праздничным шармом.
Сбор материалов
Вам понадобятся: конус из пенопласта с цветочным рисунком / 15-20 сосновых шишек большого, среднего и малого размера (по крайней мере, одна высокая) / проволочные кирки для цветов / проволока для цветов среднего калибра / кусачки для проволоки
Добавление кирки
Используйте проволоку от кирок, чтобы плотно обернуть несколько кусочков нижней части сосновой шишки.Плотно скрутите проволоку, чтобы зафиксировать отмычку как можно ближе к основанию шишки. (ПРИМЕЧАНИЕ: если проволока недостаточно тяжелая, замените ее проволокой большего сечения.)
Прикрепление больших сосновых шишек
Вставьте первый слой сосновых шишек примерно в 1/2 дюйма от основания цветочного конуса.Продолжайте вставлять кирки / конусы вокруг основания без промежутков между ними.
Добавление средних сосновых шишек
Добавьте еще один ряд больших конусов, а затем начните добавлять средние конусы, заполняя как можно больше места из предыдущего ряда.Заполните все, кроме последнего ряда цветочного конуса средними конусами, которые становятся все меньше по мере продвижения вверх по конусу.
Заливка небольшими сосновыми шишками
Заполните последний ряд самой большой из сосновых шишек.Оставшимися сосновыми шишками заполните промежутки между большими сосновыми шишками.
Добавление верхушки дерева
Используйте высокую сосновую шишку для верхушки дерева.
Деревенский Праздничный Декор
Поместите свою сосновую шишку с несколькими старинными украшениями и еще несколькими небольшими сосновыми шишками для красивой композиции.
Очаровательное дерево
Эта простая сосновая шишка придаст деревенский шарм ручной работы вашему праздничному декору.
Елка ручной работы — 16 простых идей для маленьких елок своими руками
Елка, наверное, один из главных символов зимних праздников. Но не всем хочется таскать с рынка огромную елку или в квартире достаточно места для большой и яркой елки. Поэтому мы предлагаем вам эти очаровательные идеи для елки ручной работы , которые маленькие, но обязательно принесут рождественское настроение в ваш дом.Несколько мини-елок, размещенных вокруг дома, добавят праздничной атмосферы. Так что будьте хитрыми и давайте взглянем на них!
Елки ручной работы
Елка имеет простую форму, которую узнают даже маленькие дети. Просто используйте основу той же формы из бумаги или пенопласта и начинайте украшать украшениями, которые вам нравятся.
Елки съедобные ручной работы
Здесь вы можете найти руководство о том, как сделать елку из цитрусовых и конфет.
Пуговицы
Очень часто наши любимые фужеры ломаются. К сожалению, вы все еще можете использовать стебель и ножку, чтобы сделать эти впечатляющие рождественские елки. Украсьте их пуговицами и жемчугом, и вы получите идеальное украшение для рождественского обеденного стола.
Материалы: зеленая акриловая краска, тесьма, картон, клей ПВА, пуговицы, бусины, керамическая лепка «Керапласт», шерсть или сизаль зеленого цвета.
Для конструкции дерева используйте конус из картона, обмотайте его скотчем и закрепите клеем ПВА для прочности. Раскрасьте конус зеленой акриловой краской. Оберните его зеленым сизалем. С помощью клеевого пистолета украсьте елку пуговицами и бусинами.
Елки из войлока
Новогодние елки обычно имеют острые иглы. Напротив, эта елка очень мягкая и приятная на ощупь.
Соберите несколько веточек и свяжите их шнуром.Закрепите их в горшке с помощью небольшого кусочка флористической пены — особого пористого материала для создания цветочных композиций.
Разрежьте зеленый фетр небольшими треугольниками. На дно конуса приклейте полоску фетра шириной 2-3 см. Склейте треугольники, начиная с нижней части конуса из пенополистирола. Треугольники должны перекрываться.
Закрепите конус из пенополистирола на «стволе». Украшаем елку булавками с разноцветными головками.
Как сделать дома елку из бутылки
Если вы хотите поставить на стол маленькую самодельную елку, вы можете сделать ее из бутылки шампанского, которая ждет своего новогоднего часа.Также это может стать отличным подарком, если вы собираетесь провести новогоднюю вечеринку с друзьями.
Возьмите лист плотного картона. Сложите бумагу конусом и примерьте на бутылку. Если он хорошо сидит, приклейте края конуса с помощью горячего клея. Отрежьте лишнюю бумагу внизу елочки. Соберите все 3 ленты и приклейте один конец к вершине конуса с помощью горячего клея. Оберните ленточки вокруг елки и скотчем внизу. Завершите украшение стразами, пайетками и бусинами.
Винные пробки Елки
Елки из хлопка
Шнурок клей Елка
Обрывки бумаги
Обрывки фетра Елки
как сделать мини елку в домашних условиях из бумаги
Кофе в зернах Елки
Рождественская елка из сосновой шишки — Набор инструментов OT
Сегодня у меня есть новогодняя елка из сосновых шишек, которая пользовалась большим успехом у моих детей, но также стала источником прекрасной моторной энергии.Украшение из сосновой шишки было интересным способом изготовления, но миниатюрная поделка из рождественской елки помогает детям с точностью, захватом клешней, манипуляциями в руке и многим другим. Мы сделали эту елку из сосновой шишки лет назад, но это все еще любимое украшение, которое мои дети любят вытаскивать каждый год и вешать на елку!
Вот еще рождественские поделки, которые помогают детям развивать мелкую моторику.
Елочный орнамент из сосновой шишки
Мы любим ходить в походы по окрестностям и лесам, чтобы собирать сосновые шишки, и всегда есть несколько штук, готовых для забавных проектов и поделок.Наша елка из шишек понравилась как для рисования, так и для мелкой моторики. Вдавливание всех маленьких кусочков в сосновую шишку было отличным способом проработать маленькие мышцы рук ребенка во время рождественской поделки! Наша маленькая елка из сосновых шишек уютно устроилась на ветвях нашей елки и выглядит очень мило!
Ознакомьтесь с этими рождественскими упражнениями по развитию мелкой моторики, чтобы узнать о более творческих способах развития мелкой моторики и решения проблем развития навыков в это рождественское время года.
сосна
Рождественская поделка из сосновой шишки
Примечание: этот пост содержит партнерские ссылки.
Мы начали с сосновых шишек, которые мы покрасили в красивый зеленый цвет. Возможно, вы видели действие в нашей ленте Instagram. Когда сосновые шишки высохли, приступили к декорированию. Для этой поделки мы использовали маленький красный шнур и сделали помпоны
разных размеров.
Декорирующая часть отлично подходила для мелкой моторики. Мы использовали немного клея, чтобы приклеить желтый помпон к верхушке сосновой шишки. Маленькому Парню нравилось вставлять маленькие помпоны в сосновую шишку.Нам не понадобился клей, чтобы они приклеились … всего лишь мизинец! Вставить эти маленькие помпоны в сосновую шишку было отличным способом поработать с хватом штатива, удерживая помпоны и заставляя их прилипать к сосновой шишке.
Мы загрузили в эту сосновую шишку маленькие белые помпоны!
Чтобы закончить украшения, все, что нам нужно, это немного красного шнура, чтобы все это собралось вместе! Клей для шнура тоже не использовали. Достаточно было просто намотать его на сосновую шишку, чтобы он прилип и остался на месте.Это было еще одной задачей Маленького Парня на мелкую моторику. Ему очень понравилось, как получилась его сосновая шишка!
РАСПРОДАЖА! Сэкономьте 25% на модифицированной рождественской бумаге СЕЙЧАС ДО КИБЕР ПОНЕДЕЛЬНИКА.
Код купона HOLIDAY25
Используйте рождественский модифицированный бумажный набор для рукописного ввода, чтобы работать над почерком, размером букв, формированием букв и разборчивостью с помощью значимых и мотивирующих действий:
Письма Деду Морозу
Список желаний
Список дел к празднику
Список покупок
Благодарственные письма
Обмен рецептами
Зимние подсказки для письма
Щелкните здесь, чтобы получить пакет.
Еще рождественские поделки
Коллин Бек, OTR / L, эрготерапевт с 20-летним опытом, окончила Питтсбургский университет в 2000 году. Коллин создала The OT Toolbox, чтобы вдохновить терапевтов, учителей и родителей простыми и увлекательными инструментами, которые помогут детям развиваться. Как создатель, автор и владелец веб-сайта и его каналов в социальных сетях, Коллин стремится расширить возможности тех, кто обслуживает детей всех уровней и потребностей. Хотите сотрудничать? Отправьте письмо по адресу contact @ theottoolbox.com.
Елочные шишки DIY Tutorial
После того, как вы повесили венки и украсили рождественскую елку, пора придать остальной части вашего дома рождественский облик, которого он заслуживает. Нам нравится использовать крепированную бумагу для создания реалистичных и текстурированных растений, поэтому было несложно создать множество шишек для рождественских елок для декора дома для отпуска. Это один из тех 30-60-минутных проектов, которые являются отличным творческим занятием для всех в семье. Самый трудоемкий этап — это разрезание креповых листьев, а кроме этого вам просто нужно немного приклеить!
Наша новая коллекция рождественских флористических крепов состоит из 10 цветов, из которых мы создали эти шишки для елки из 6 цветов.Линия включает 3 оттенка зеленого, поэтому мы использовали каждый из них, а также Snowflake, Gold Satin и Silver Bells. Вы также можете использовать красные тона, если они лучше сочетаются с декором вашего загородного дома! Как только у вас получится креп, можно приступать к резке листьев. Загрузите нижеприведенный PDF-шаблон, на котором будет обозначена текстура крепа во время резки. Помимо крепированной бумаги, вам также понадобятся шишки, чтобы использовать их в качестве основы для деревьев. Мы использовали комбинацию конусов из пенопласта (нам нравится бренд FloraCraft) и конусов из папье-маше (нам нравится бренд ArtMinds), которые вы можете найти в местном магазине товаров для рукоделия.
После того, как вы подрежете листья, начните прикреплять их к шишкам с помощью низкотемпературного пистолета для горячего клея. В шаблоне есть три размера листьев. Основная техника заключается в том, чтобы начать с нижней части конуса с самыми большими листьями, а затем продвигаться вверх к вершине. Взгляните на наш фото-урок для справки! Когда вы закончите свои елочные шишки, используйте их, чтобы украсить каминную полку или торцевые столы. Вы также можете создать симпатичный центральный предмет для обеденного стола.Пусть ремесло вас вдохновит!
Чтобы получить больше вдохновения от Рождества, ознакомьтесь с нашими праздничными проектами здесь. Найдите все наши рождественские цветочные проекты крепов и не забудьте поделиться своими проектами с нами в Instagram, используя #DIYDreamingWithLia или #crepepaperrevival для ваших творений из крепов. Просмотрите варианты членства, чтобы начать создавать вместе с нами, или следите за нашими социальными каналами для ежедневного вдохновения. Наслаждаться! ~ Лия и команда
Сохранить
17+ поделок для изготовления елки из сосновой шишки
С приближением Рождества вы должны быть заняты поиском инновационных способов сделать вашу елку красивее и привлекательнее.Если вы планируете сделать несколько центральных элементов для украшения интерьера вашего дома, подумайте о том, чтобы сделать один из них из сосновых шишек, данные уроки будут вашим руководством для того же.
Картины елки из сосновой шишки
Новогодняя елка из сосновой шишки своими руками
Чтобы добавить шарма своей елке, украсьте ее блестками и блестками.
Рождественская елка из сосновой шишки
Как сделать елку из сосновых шишек
Поместите серебряные сосновые шишки вокруг елки и украсьте ее звездой и золотой лентой, чтобы усилить ее великолепный вид.Вы также можете распылить красный или белый цвет, чтобы сохранить рождественское настроение.
Новогодняя елка с шишками
Самодельная елка из шишек: Сделай сам
Красные и зеленые драгоценные камни, окружающие дерево, делают его красивым.
Изображение рождественской елки в виде сосновой шишки
Как сделать новогоднюю елку из сосновых шишек: простой способ своими руками
Подсветка для чая, обернутая гессиановой лентой, придает елке необычайно деревенский вид.Вы также можете покрасить сосновые шишки в красный и зеленый цвет, чтобы придать им праздничное настроение.
Как сделать елку из сосновой шишки
Мини-елки с шишками и помпонами
Яркие помпоны, украшающие сосновые шишки, придают ей уникальный и новаторский вид.
Елки в шишках
Изготовление рождественской елки из сосновой шишки: DIY
Декоративные элементы, сидящие на сосновых шишках, делают его еще более чудесным.
Поделка из елки из сосновой шишки
Елка из сосновой шишки ручной работы
У ваших детей будет уйма времени на изготовление этих рождественских елок из шишек.
Елочные шишки
Большая елка из сосновой шишки: шаг за шагом
Если вы хотите, чтобы сосновые шишки были заметно выделены, не украшайте дерево слишком сильно.
Рождественская елка из шишек
Учебное пособие по созданию рождественских елок из шишек
Елки из шишек
Процедура изготовления елки из шишек
В период праздников дошкольники отлично проведут время за изготовлением этих рождественских поделок.
Елки с шишками
Простой способ сделать елку из сосновой шишки
Изготовление елок разных цветов и размещение их по центру дает потрясающий визуальный эффект.
Как сделать елку из шишек
Детская елка из сосновой шишки: DIY
Вовлекая вашего ребенка в процесс изготовления елки, дайте ему возможность украсить ее по своему выбору.
Детская новогодняя елка из сосновой шишки
Поделка елки из сосновой шишки: интересный проект
Проект рождественской елки из сосновой шишки
Елка из сосновой шишки: Сделай сам
Снег, обрызганный деревьями, придает им замечательный вид.
Елка из шишек своими руками
Новогодняя елка из сосновой шишки с мячами для гольфа: интересная поделка для детей
Красные мячи для гольфа, прикрепленные к елке из сосновой шишки, придают ей неповторимый вид. Чтобы он выглядел деревенским, вы можете даже обернуть его ленточкой из мешковины.
Поделка на елку из сосновой шишки для детей
Поделка из милой елки из сосновой шишки
Если у вас нет помпонов, вы можете также купить разноцветные ватные шарики.
Поделка из сосновой шишки
Учебное пособие по изготовлению елки из сосновой шишки
Ваши дети весело проведут время, создавая елку из сосновых шишек, блесток и многого другого.
Учебник по созданию рождественской елки из сосновой шишки
Елочные украшения из сосновой шишки и другие идеи
Помимо украшения их как рождественских елок, вы также можете сделать блестящие украшения из сосновых шишек, чтобы украсить деревья. Их можно использовать даже для украшения искусственной елки вместе с ягодами и падубом.
Елочные украшения из сосновой шишки своими руками
Вы можете использовать эти декоративные украшения из сосновых шишек, чтобы повесить на большую елку в саду.
Елочные украшения из сосновой шишки
Как сделать елку из сосновой шишки
Гирлянда из бусин делает его еще более привлекательным.
Как сделать елку из сосновой шишки Картинка
Простой способ сделать украшения елки из сосновой шишки
Вы можете не только украшать елку, но и сделать их привлекательными центральными элементами.
Простые рождественские украшения из сосновой шишки
Идея украшения елки из сосновой шишки
Елочные украшения из сосновой шишки
Рождественский орнамент из сосновой шишки: инструкции
Елочные украшения из шишек
Вы также можете сделать гирлянду из сосновых шишек, чтобы украсить елку, как показано здесь.
Елочная гирлянда из шишек
Еще одна потрясающая идея — украсить предварительно зажженную елку сосновыми шишками, как показано на изображении ниже.
Подсвеченная новогодняя елка с сосновыми шишками
В этот праздничный сезон приготовьте множество соблазнительных елок из сосновых шишек.
.
Posted in РазноеLeave a Comment on Поделки елки своими руками из шишек: Новогодние поделки ИЗ ШИШЕК (45 идей для детей).
« Предыдущая 1 … 1 525 1 526 1 527
Навигация по записям
Следующие записи
Найти:
Рубрики
Воспитание
Детям
Идеи
Полезно
Родителям
Советы
Разное
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск