[латекс] \ begin {массив} {l} \ sqrt {3x + 18} \ hfill & = x \ hfill \\ \ sqrt {x + 3} \ hfill & = x — 3 \ hfill \\ \ sqrt {x + 5 } — \ sqrt {x — 3} \ hfill & = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Радикальные уравнения могут иметь один или несколько радикальных членов и решаются путем исключения каждого радикала по одному.Мы должны быть осторожны при решении радикальных уравнений, поскольку довольно часто можно найти посторонних решений , корни, которые на самом деле не являются решениями уравнения. Эти решения возникают не из-за ошибки в методе решения, а в результате возведения обеих частей уравнения в степень. Однако проверка каждого ответа в исходном уравнении подтвердит истинные решения.

Общее примечание: радикальные уравнения

Уравнение, содержащее члены с переменной в подкоренном выражении, называется радикальным уравнением .

Как: решить радикальное уравнение.

1. Выделите радикальное выражение по одну сторону от знака равенства. Все оставшиеся термины перенесите на другую сторону.
2. Если радикал представляет собой квадратный корень, возведите обе части уравнения в квадрат. Если это кубический корень, возведите обе части уравнения в третью степень. Другими словами, для корневого радикала n возвести обе стороны в степень n . Это устраняет радикальный символ.
3. Решите оставшееся уравнение.{2} + 2x — 15 \ hfill \\ \ hfill & = \ left (x + 5 \ right) \ left (x — 3 \ right) \ hfill \\ x \ hfill & = — 5 \ hfill \\ x \ hfill & = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Предлагаемые решения: [латекс] x = -5 [/ латекс] и [латекс] x = 3 [/ латекс]. Давайте проверим каждое решение в исходном уравнении. Сначала проверьте [латекс] x = -5 [/ latex].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {15 — 2x} \ hfill & = x \ hfill \\ \ sqrt {15 — 2 \ left (-5 \ right)} \ hfill & = — 5 \ hfill \ \ \ sqrt {25} \ hfill & = — 5 \ hfill \\ 5 \ hfill & \ ne -5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Это постороннее решение. Хотя при решении уравнения не было сделано никаких ошибок, мы нашли решение, которое не удовлетворяет исходному уравнению.

   Проверить [латекс] x = 3 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {15 — 2x} \ hfill & = x \ hfill \\ \ sqrt {15 — 2 \ left (3 \ right)} \ hfill & = 3 \ hfill \\ \ sqrt {9} \ hfill & = 3 \ hfill \\ 3 \ hfill & = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Решение [латекс] x = 3 [/ латекс].

   Попробуйте

   Решите радикальное уравнение: [латекс] \ sqrt {x + 3} = 3x — 1 [/ latex]

   Решение

   [латекс] х = 1 [/ латекс]; посторонний раствор [латекс] x = — \ frac {2} {9} [/ latex]

   Пример: решение радикального уравнения, содержащего два радикала

   Решите [латекс] \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} = 4 [/ latex].{2} -86x + 249 = 0 \ hfill & \ hfill \\ \ left (x — 3 \ right) \ left (x — 83 \ right) = 0 \ hfill & \ text {Разложить на множители и решить}. \ Hfill \ \ x = 3 \ hfill & \ hfill \\ x = 83 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Предлагаемые решения: [латекс] x = 3 [/ латекс] и [латекс] x = 83 [/ латекс]. Проверьте каждое решение в исходном уравнении.

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} \ hfill & = 4 \ hfill \\ \ sqrt {2x + 3} \ hfill & = 4- \ sqrt { x — 2} \ hfill \\ \ sqrt {2 \ left (3 \ right) +3} \ hfill & = 4- \ sqrt {\ left (3 \ right) -2} \ hfill \\ \ sqrt {9} \ hfill & = 4- \ sqrt {1} \ hfill \\ 3 \ hfill & = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Одно из решений — [латекс] x = 3 [/ латекс].

   Проверить [латекс] x = 83 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} \ hfill & = 4 \ hfill \\ \ sqrt {2x + 3} \ hfill & = 4- \ sqrt { x — 2} \ hfill \\ \ sqrt {2 \ left (83 \ right) +3} \ hfill & = 4- \ sqrt {\ left (83-2 \ right)} \ hfill \\ \ sqrt {169} \ hfill & = 4- \ sqrt {81} \ hfill \\ 13 \ hfill & \ ne -5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Единственное решение — [латекс] x = 3 [/ латекс]. Мы видим, что [latex] x = 83 [/ latex] — посторонний раствор.

   Попробуйте

   Решите уравнение с двумя радикалами: [латекс] \ sqrt {3x + 7} + \ sqrt {x + 2} = 1 [/ latex].

Суть метода электронного баланса заключается в: 

• Подсчете изменения степени окисления для каждого из элементов, входящих в уравнение химической реакции
• Элементы, степень окисления которых в результате произошедшей реакции не изменяется — не принимаются во внимание
• Из остальных элементов, степень окисления которых изменилась — составляется баланс, заключающийся в подсчете количества приобретенных или потерянных электронов
• Для всех элементов, потерявших или получивших электроны (количество которых отличается для каждого элемента) находится наименьшее общее кратное
• Найденное значение и есть базовые коэффициенты для составления уравнения.

Визуально алгоритм решения задачи с помощью метода электронного баланса представлен на диаграмме.

Как это выглядит на практике, рассмотрено на примере задач по шагам.

а) Ag + HNO₃ → AgNO₃ + NO + H₂O
б) Ca +H₂SO₄ → CaSO₄ + H₂S + H₂O
в) Be + HNO₃ → Be(NO₃)₂ + NO + H₂O

Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся правилами определения степени окисления.

Применение метода электронного баланса по шагам. Пример «а» 

Составим электронный баланс для каждого элемента реакции окисления Ag + HNO₃ → AgNO₃ + NO + H₂O.

Шаг 1. Подсчитаем степени окисления для каждого элемента, входящего в химическую реакцию.

Ag. Серебро изначально нейтрально, то есть имеет степень окисления ноль.

  
Для HNO₃ определим степень окисления, как сумму степеней окисления каждого из элементов.

Степень окисления водорода +1, кислорода -2, следовательно, степень окисления азота равна: 

0 — (+1) — (-2)*3 = +5 

Теперь перейдем ко второй части уравнения.

Для AgNO₃ степень окисления серебра +1 кислорода -2, следовательно степень окисления азота равна: 

Для NO степень окисления кислорода -2, следовательно азота +2

Для H₂O степень окисления водорода +1, кислорода -2 

Ag⁰ + H⁺¹N⁺⁵O^-2₃ → Ag⁺¹N⁺⁵O^-2₃ + N⁺²O^-2 + H⁺¹₂O^-2 

Из полученного уравнения с указанными степенями окисления, мы видим несбалансированность по сумме положительных и отрицательных степеней окисления отдельных элементов. 

Шаг 3. Запишем их отдельно в виде электронного баланса — какой элемент и сколько теряет или приобретает электронов:
(Необходимо принять во внимание, что элементы, степень окисления которых не изменилась — в данном расчете не участвуют) 

Ag⁰ — 1e = Ag⁺¹ 
N⁺⁵ +3e = N⁺² 

Серебро теряет один электрон, азот приобретает три. Таким образом, мы видим, что для балансировки нужно применить коэффициент 3 для серебра и 1 для азота. Тогда число теряемых и приобретаемых электронов сравняется.

Шаг 4. Теперь на основании полученного коэффициента «3» для серебра, начинаем балансировать все уравнение с учетом количества атомов, участвующих в химической реакции.

• В первоначальном уравнении перед Ag ставим тройку, что потребует такого же коэффициента перед AgNO₃ 
• Теперь у нас возник дисбаланс по количеству атомов азота. В правой части их четыре, в левой — один. Поэтому ставим перед HNO₃ коэффициент 4
• Теперь остается уравнять 4 атома водорода слева и два — справа. Решаем это путем применения коэффииента 2 перед H₂O 

Пример «б»

Составим электронный баланс для каждого элемента реакции окисления Ca +H₂SO₄ → CaSO₄ + H₂S + H₂O

Для CaSO₄  степень окисления кальция равна +2 кислорода -2 откуда степень окисления серы 0 — (+2) — (-2)*4 = +6

Для H₂S степень окисления водорода +1, соответственно серы -2

Ca⁰ +H⁺¹₂S⁺⁶O^-2₄ → Ca⁺²S⁺⁶O^-2₄ + H⁺¹₂S^-2 + H⁺¹₂O^-2
Ca⁰ — 2e = Ca⁺² (коэффициент 4)
S⁺⁶ + 8e = S^-2

4Ca + 5H₂SO₄ = 4CaSO₄ + H₂S + 4H₂O

Пример «в»

Составим электронный баланс для каждого элемента реакции окисления Be + HNO₃ → Be(NO₃)₂ + NO + H₂O 

Для Be(NO₃)₂ степень окисления бериллия +2, кислорода -2, откуда степень окисления азота ( 0 — (+2) — (-2)*3*2 ) / 2 = +5

NO см. выше

H₂O см. выше

Be⁰ + H⁺¹N⁺⁵O^-2_{3 → Be⁺²(N⁺⁵O^-23)2 +  N⁺²O^-2 +  H⁺¹2O^-2
Be⁰ — 2e = Be⁺² (коэффициент 3)
N⁺⁵ +3e = N⁺² (коэффициент 2)}

3Be + 8HNO₃ → 3Be(NO₃)₂ + 2NO + 4H₂O

profmeter.com.ua

Метод электронного баланса — это… Что такое Метод электронного баланса?

Метод электронного баланса — один из методов уравнивания окислительно-восстановительных реакций (ОВР).Заключается в том чтобы на основании степеней окисления расставить коэффициенты в ОВР.Для правильного уравнивания следует придерживаться определённой последовательности действий:

1. Найти окислитель и восстановитель.
2. Составить для них схемы (полуреакции) переходов электронов, отвечающие данному окислительно-восстановительному процессу.
3. Уравнять число отданных и принятых электронов в полуреакциях.
4. Просуммировать порознь левые и правые части полуреакций.
5. Расставить коэффициенты в уравнении окислительно восстановительной реакции.

Теперь рассмотрим конкретный пример

Дана реакция: Li + N₂ = Li₃N

  1. Находим окислитель и восстановитель:

Li⁰ + N₂⁰ = Li₃⁺¹N⁻³

N присоединяет электроны, он-окислитель

Li отдаёт электроны, он-восстановитель

  2. Составляем полуреакции:

Li⁰ — 1e = Li⁺¹

N₂⁰ + 6e = 2N⁻³

  3. Теперь уравняем число отданных и принятых электронов в полуреакции:

6* |Li⁰ — 1e = Li⁺¹

1* |N₂⁰ + 6e = 2N⁻³

Получаем:

6Li⁰ — 6e = 6Li⁺¹

N₂⁰ + 6e = 2N⁻³

  4. Просуммируем порознь левые и правые части полуреакций:

6Li + N₂ = 6Li⁺¹ + 2N⁻³

  5. Расставим  коэффициенты в окислительно-восстановительной реакции:

6Li + N₂ = 2Li₃N

Рассмотрим более сложный пример

Дана реакция: FeS + O₂ = Fe₂O₃ + SO₂

В результате реакции происходит окисление атомов железа, окисление атомов серы и восстановление атомов кислорода.

  1. Записываем полуреакции для серы и железа:

Fe⁺² — 1e = Fe⁺³

S⁻² — 6e = S⁺⁴

Суммарно для обоих процессов можно записать так:

Fe⁺² + S⁻² — 7e = Fe⁺³ + S⁺⁴

Записываем полуреакцию для кислорода:

O₂ +4e = 2O⁻²

  2. Уравниваем число отданных и принятых электронов в двух полуреакциях:

4*| Fe⁺² + s⁻² — 7e = Fe⁺³ + S⁺⁴

7*| O₂ + 4e = 2O⁻²

  3. Просуммируем обе полуреакции:

4Fe⁺² + 4S⁻² + 7O₂ = 4Fe⁺³ + 4S⁺⁴ + 14O⁻²

  4. Расставим коэффициенты в окислительно-восстановительной реакции:

4FeS + 7O₂ = 2Fe₂O₃ + 4SO₂

dic.academic.ru

Метод электронного баланса

Этот метод основан на сравнении степеней окисления атомов, вхо-дящих в состав исходных и конечных веществ. Метод, в основном, при-меняется для составления уравнений реакций, идущих вне растворов.

Например:

1. Составляем схему реакции :

Fe S₂ + O₂  Fe₂ O₃ + S O_{2 .}

2. Определяем элементы, изменяющие степени окисления.

3. Составляем схему электронного баланса :

2 2 Fe ⁺² ­ 2 e = 2 Fe ⁺³

4 S^-1 — 20 e = 4S⁺⁴

11 O₂ — 4e = 2 О^-2

4. В уравнении записываем коэффициенты у окислителя и восстано-вителя.

4 Fe S₂ + 11O₂ = 2 Fe₂ O₃ + 8 S O_{2 .}.

Недостатком метода является то, что баланс не отражает изменений, происходящих с атомами и молекулами в ходе реакции, а также трудности, возникающие при определении продуктов достаточно сложных реакции.

Электронно-ионный метод

Этот метод основан на составлении электронно-ионных уравнений для процессов и окисления и восстановления с последующим суммированием их в общее ионное уравнение.

При составлении уравнений реакций соблюдается следующая последо-вательность:

1. Записывается схема полуреакций, при этом сильные электролиты пишутся в виде ионов, а слабые — в виде молекул. Продукты реак-ции определяются на основании опыта или исходя из знания химии элементов, т.е. устойчивых степеней окисления.

2. Если исходное вещество содержит больше кислорода, чем продукт реакции, то избыточный кислород связывается в кислой среде ио-нами Н⁺, а в нейтральных и щелочных средах — молекулами воды.

3. Если исходное вещество содержит меньше кислорода, чем продукт реакции, то недостаток кислорода восполняется в кислой и нейт-ральной средах за счет молекул воды, а в щелочных средах — (за счет ионов гидроксила.

4. Следует помнить, что суммарные числа и знак зарядов ионов справа и слева от знака равенства должны быть равны.

5. Правильность составления реакции проверяем по кислороду.

В качестве примера рассмотрим следующую реакцию :

+7 +4

KМnO₄ + Na₂SO₃ + H₂ SO₄ 

KМnO₄ — является окислителем, так как центральный атом ( Mn) нахо-дится в высшей степени окисления, Na₂SO₃содержит центральный атом ( S) в степени окисления +4, это средняя степень , поэтому ион SO₃^{2 —} мо-жет проявлять как окислительные, так и восстановительные свойства, одна-ко, в данной реакции окислитель KМnO_{4 ,} следовательно, Na₂SO₃ – восстано-витель.

Восстановление иона МnO₄^¯ в кислой среде идет до Мn²⁺ , окисление ио-на SO₃^{2 —} — до SO₄^{2 —}.

Учитывая сказанное, можно записать схему полуреакций : МnO₄^¯  Мn²⁺

SO₃^{2 —}  SO₄^{2 —}

Следующий этап – составление уравнений полуреакций. Уравнивание в кислой среде производится с использованием ионов Н⁺ и молекул Н₂О.

2 МnO₄^¯ + 8Н⁺ + 7е  Мn²⁺ + 4Н₂ О

5 SO₃^{2 —} + Н₂ О – 2е  SO₄^{2 —} + 2Н⁺

2МnO₄^¯ + 16Н⁺ +5SO₃^{2 —} + 5Н₂ О  2Мn²⁺ + 8Н₂О + 5SO₄^{2 —} + 10Н⁺

6 3

Записываем итоговое уравнение полуреакции, проставляя множители ( как и в методе электронного баланса). После этого складываем левые и правые части уравнений полуреакций, умножая их предварительно на соот-ветствующие множители, и получаем общее ионное уравнение реакции. Если в левой и правой части уравнения есть одинаковые молекулы или ионы, их требуется сократить с учетом коэффициентов ( помните , что ионы Н⁺ и ОН^¯при сложении Н₂ О).

Для получения молекулярного уравнения реакции ко всем ионам добавляем ионы противоположного знака

2KМnO₄ + 5Na₂SO₃ + 3Н₂ SO₄  2MnSO₄ + 5Na₂SO₄ + К₂ SO₄ +3Н₂ О

Рассмотрим ход этой реакции в щелочной среде.

В щелочной среде , ион МnO₄^¯ будет восстанавливаться до МnO₄ ^2- ,

в отличие от кислой среды в щелочной среде при составлении электронно-ионных уравнений используются ионы OН^¯ и молекулы Н₂О.

+7 +4 + 6 +6

2KМnO₄ + Na₂SO₃ + 2КОН К₂MnO₄ + Na₂SO₄ + Н₂ О

Производим все описанные выше действия и получаем ионное уравне-ние :

2 МnO₄^¯ +е МnO₄ ^2-

1 SO₃^{2 —} + 2ОН^¯ – 2е  SO₄^{2 —} + Н₂ О

2МnO₄^¯ +5SO₃^{2 —} + 2ОН^¯  2 МnO₄^2- + SO₄^{2 —} + Н₂О

В нейтральной среде , ион МnO₄^¯ будет восстанавливаться до МnO₂, уравнивание кислорода производится только молекулами Н₂ О.

+7 +4 +4 +6

2KМnO₄ + 3Na₂SO₃ + Н₂O 2MnO₂ + 3Na₂SO₄ + К₂ SO₄ +2КОН

2 МnO₄^¯ + 2 Н₂О + 3е  MnO₂ + 4ОН^¯

3 SO₃^{2 —} + Н₂ О – 2е  SO₄^{2 —} + 2Н⁺

2МnO₄^¯ + 4Н₂ О + 3 SO₃^{2 —} + 3Н₂ О  2MnO₂ + 8ОН^¯ + 3 SO₄^{2 —} + 6 Н⁺

2 6 Н₂О

Окислительно-восстановительные реакции можно разделять на следующие типы:

1. Межмолекулярные – степени окисления меняют разные элементы,входящие в состав разных веществ.

Н₂ + С1₂ = 2НС1

2. Внутримолекулярные – степень окисления меняют разные элементы, входящие в состав одного вещества.

_{+5 -2 -1 0}

2KClO₃ = 2KCl+ 3O₂

3. Реакции диспропорционирования (самоокисления – самовосстанов-ления), в таких реакциях одинаковые частицы являются окислителем и восстановителем:

_{0 -1 +1}

С1₂ +Н₂О = НСl + НСlО

1	0 -1 Cl + 1 ē = Cl
1	0 +1 Cl — 1 ē + Н2О = ClО— + Н+

studfile.net

Метод электронного баланса ℹ️ определение, правила и сущность, алгоритм составления и уравнивания окислительно-восстановительных реакций, примеры

Общие понятия

Взаимодействие исходных веществ с образованием новых, при котором ядра атомов остаются неизменными, называют химическими реакциями. Для них характерно перераспределение электронов. Исходные вещества называют реагентами, а прореагирующие — продуктами реакции. Превращение может происходить как сложных, так и простых элементов. Описываются они химическими уравнениями, состоящими из двух частей. Стрелка, разделяющая их, указывает направление протекания реакции.

Числа, стоящие перед веществами, участвующими в превращении, называют коэффициентами. Они указывают на количественную часть веществ. Любая реакция может происходить как с поглощением энергии, так и её выделением. В первом случае химическое уравнение называют эндотермическим, а во втором — экзотермическим.

Окислительно-восстановительными реакциями (ОВР) называют встречно-параллельные превращения с изменением степени окисления. Протекают они методом перераспределения электронов между акцептором — атомом окислителем и донором — восстановителем. Для составления уравнений, описывающих такого типа процесс, используют метод электронного баланса.

Примеры заданий предполагают, что в любой реакции, которую можно описать способом баланса, участвуют две сопряжённые окислительно-восстановительные пары. В итоге фактически возникают две полуреакции. Одна характеризуется увеличением электронов, а другая их отдачей. Таким образом, процессы окисления и восстановления не могут протекать друг без друга и не изменять степень окисления элементов.

Ионы или атомы, забирающие электроны называют окислителями, а отдающие — их восстановителями. Сложность записи таких уравнений заключается в правильном подборе количества молей возникающих соединений. Уравнивающие коэффициенты могут принимать только целые значения. Конкурентом метода баланса в химии является способ полуреакций. Первый отличается простотой и используется в том случае, когда реакция происходит в газообразной среде. Второй же более подходит для реакций, проходящих в жидкости.

Суть метода

Способ электронного баланса предназначен для облегчения решения заданий по уравниванию двух частей уравнения. В его сути лежит возможность расстановки коэффициентов для окислительно-восстановительной реакции с использованием степени окисления. Впервые с объяснением способа знакомят в восьмом классе на уроке неорганической химии.

В школьных учебниках часто приводится следующая последовательность действий для установления балансировки в ОВР:

1. В уравнении определяют сложные и простые степени окисления.
2. Реакцию переписывают с расстановкой степени окисления. При этом вещества, в которых изменяется степень во всех связях, выделяют любым способом, например, подчёркиванием.
3. Находят окислитель, восстановитель, и в случае присутствия, нейтральный элемент.
4. Составляют уравнение баланса с выделением внутренних коэффициентов.
5. Определяют наименьшее общее кратное.
6. Подставляют вычисленные коэффициенты в уравнение.

Классический способ, с помощью которого можно уравнять химические выражения, основан на законе сохранения массы, когда методом подбора находятся коэффициенты до начала реакции и после её окончания. Но для ОВР их подобрать очень сложно или невозможно. Поэтому и используют способ электронного баланса, который подходит как для простых, так и сложных реакций.

Степени окисления

Определение коэффициентов методом баланса непосредственно связано с расстановкой валентности. Не зная, как правильно выполнить эту операцию, уравнять ОВР будет невозможно. Под окислением элемента понимается значение заряда его атома. Этот ион может быть условным или реальным.

Существует несколько видов химических связей. Одними из них могут быть ковалентная и ионная. И в том, и другом случае между атомами образовывается пара. В первом случае пара смещается в сторону отрицательно заряженного атома, а во втором полностью переходит к более электроотрицательной частице. Поэтому под реальным зарядом понимается процесс, характеризующийся ионной связью, а условным — возникновение заряда при ковалентной.

Например, ионное соединение NaCl = Na¹⁺ + Cl^1-. Атом натрия имеет один электрон, который в ионном соединении полностью переходит к более отрицательному атому. То есть, электрон натрия отдаётся полностью атому хлора. При этом атом, утратив один ион, приобретает заряд равный один плюс. Хлор же, получая дополнительный электрон, меняет заряд на один минус.

В химии принято заряды обозначать сначала цифрой, а после ставить знак, а степень окисления наоборот. Поэтому правильной записью с указанием валентности для рассматриваемого примера будет выражение вида: Na⁺¹ Cl^-1.

Для ковалентной полярной связи, например, молекулы HCl, общая электронная пара лишь смещается в сторону хлора. На атомах возникают частичные дельта-плюс и минус заряды. Но при расстановке значений на это внимания не обращают. Атом водорода полностью отдаёт свой электрон атому хлора. Соответственно, степень будет выглядеть как H⁺¹Cl^-1.

Следует помнить, что существуют элементы, которые всегда имеют постоянную валентность:

1. Первую — щелочные металлы и фтор.
2. Вторую — металлы II группы, главной подгруппы и кислород.
3. Третью — алюминий.

Остальные же вещества характеризуются переменной валентностью. При описании реакции характерно выделение и гидроксильной группы. Для соединения ОН значение ионов указывается единым. Например, Na⁺¹(OH)^-1. Проверку правильности расстановки зарядов можно выполнить по правилу электронейтральности, согласно которому сумма положительных электронов должна быть равна сумме отрицательных.

Простой расчёт

Разобраться в сути способа поможет простой пример. Пусть необходимо расставить коэффициенты в реакции соединения оксида меди с азотной кислотой. Первым делом необходимо записать схему сложения: CuO + Nh4 = Cu + N2 +h3O. Теперь нужно расставить валентность для каждого элемента. Делать это следует внимательно, ведь от того, насколько верно будет указана валентность, зависит правильность дальнейших действий.

Опираясь на таблицу Менделеева можно утверждать, что правильная степень окисления будет выглядеть для рассматриваемого выражения следующим образом: Cu⁺² O^-2 + N^-3H⁺¹ 3 = Cu⁰ + N⁰2 +H⁺¹2O^-2. Теперь нужно отметить те элементы, которые поменяли свою валентность. Это медь, была +2, а стала 0, и азот, изменивший своё значение с -3 до 0.

На третьем шаге выписывают схемы уравнений полуреакций, изменивших окисление:

1. Cu⁺² — Cu⁰. Эта запись говорит, что два электрона были приняты медью и она стала нулевой. Обозначают этот процесс записью вида +2 e.
2. 2N^-3 — N⁰2. Тут следует обратить внимание на то, что при составлении полуреакций для молекул простых веществ обязательно следует указывать индексы. В рассматриваемом случае это двойка. Соответственно, такие выражения следует тоже уравнять. Поэтому в левой части ставится коэффициент два. Анализируя полуреакцию, можно прийти к выводу, что было -6 атомов, а стало ноль. То есть азот отдал шесть электронов. Записывается это как -6 e.

Закон сохранения заряда говорит о том, что электроны не могут взяться ниоткуда и пропасть никуда. Иными словами, какое их количество отдал восстановитель, то же их число должно быть принято окислителем.

В рассматриваемом примере получается, что два электрона были приняты, а шесть отданы. Так не бывает, поэтому нужно найти, где же потерялась разница. Для полученных чисел ищется наименьший общий знаменатель. Без остатка на них делится шесть. Выполнив действие, получают два опорных коэффициента: три и один. Таким образом, перед медью нужно поставить тройку, а азотом единицу: 3Cu⁺²O^-2 + 2N^-3H⁺¹3 = 3Cu⁰ + N⁰2 +H⁺¹2O^-2.

Опираясь на полученные значения, проводят стандартную процедуру уравнивания: 3Cu⁺²O^-2 +2N^-3H⁺¹3 = 3Cu⁰ + N⁰2 + 3H⁺¹2O^-2. Задача считается выполненной. Пожалуй, ещё можно указать, что медь в уравнении является окислителем, а азот — восстановителем.

Пример сложного соединения

Научившись решать простые задания можно переходить к формулам и сложнее. Например, соединению бромида и перманганата калия с серной кислотой. Схема реакции будет выглядеть следующим образом: KBr + KMnO4 + h3SO4 → MnSO4 + Br2 + K2SO4 + h3O.

Согласно правилу, нужно расставить ионны для каждого элемента: K^+1Br+1 + K⁺¹Mn⁺⁷O^-24 + H⁺¹2S⁺⁶O^-24 → Mn⁺²S⁺⁶O^-2 4 + Br02 + K⁺¹ 2 S⁺⁶O^-2 4 + H⁺¹2O^-2. В уравнении только два элемента изменили степень. Это марганец, который был +7, а стал +2, и бром, поменявший свою валентность с -1 до нуля.

Составляя уравнения полуреакций, проводят анализ. Марганец до реакции был + 7, то есть до нулевого значения ему не хватало семь единиц. После реакции же он стал +2, а значит, до нуля стало не хватать два электрона. Исходя из этого, можно утверждать, что марганец принял пять электронов: +5e.

Вторая полуреакция состоит из брома. Был он в степени -1, а стал в нулевой. При этом индекс у него стал два. Значит, первоначально в реакцию должны были вступить два атома брома. Следовательно, в исходном состоянии было 2*(-1) = -2 электрона, а после стало ноль. То есть бром отдал два электрона: — 2e.

Интересной особенностью метода является закономерность, что при составлении полуреакций в обязательном порядке в одной из них будут отдаваться электроны, а в другой забираться. Полученные уравнения будут иметь следующий вид:

Mn⁺⁷ — Mn⁺²|+5e |5.

2Br^-1 — Br⁰2 |-2e |2.

Для продолжения решения полученные цифры нужно привести к общему знаменателю. В качестве уравнителя здесь будет число десять. Разделив на него количество электронов, находят два опорных коэффициента. Для марганца это будет двойка, а брома — пятёрка.

Полученные числа подставляют в уравнение:

2KBr + 10KMnO4 + h3SO4 → 5 Br2 + 2MnSO4+ K2SO4 + h3O.

Перед бромом должна стоять пятёрка, а вот перед бромом два следует поставить уже десятку. Проверяем, в левой части десять ионов брома вступило в реакцию и десять получилось в прореагирующей части. Возле марганца ставим двойку, соответственно, изменяется и количество калия. В левой части получается 12 атомов, а в правой только два. Поэтому справа возле калия нужно поставить шесть. Аналогично уравнивают серу, водород и кислород.

В итоге полным правильным уравнением будет следующая химическая формула: 2KBr + 10KMnO4 + 8h3SO4 → 5 Br2 + 2MnSO4+ 6K2SO4 + 8h3O. Полученное выражение дальше править уже не нужно. Глядя на него можно утверждать, что марганец является окислителем, а бром восстановителем.

Использование онлайн-калькулятора

В интернете существуют сервисы, использование которых позволяет не только быстро выполнить уравнивание химических уравнений, но и получить нужные знания для самостоятельных вычислений. Называются они химическими онлайн-калькуляторами. Метод электронного баланса сам по себе несложен, но порой составление полуреакций может занять длительное время. Поэтому даже опытные пользователи прибегают к их помощи.

Эти порталы привлекательны тем, что решить поставленную задачу на них сможет даже тот, кто совершенно не разбирается в химии. Доступны онлайн-калькуляторы любому, кто имеет доступ к интернету.

От пользователя требуется загрузить сайт, ввести в предоставленную форму уравнение и кликнуть по меню «Рассчитать». Через две — три секунды система выдаст правильный ответ. При этом услуга предоставляется бесплатно и без ограничений.

nauka.club

Электронный баланс химия как делать

В этом методе сравнивают степени окисления атомов в исходных и конечных веществах, руководствуясь правилом : число электронов, отданных восстановителем, должно рав­няться числу электронов, присоединенных окислителем. Для составле­ния уравнения надо знать формулы реагирующих веществ и продуктов реакции. Последние определяются либо опытным путем, либо на осно­ве известных свойств элементов. Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример 1 . Составление уравнения реакции меди с раствором нитрата палладия ( II ). Запишем формулы исходных и конечных веществ реакции и покажем изменения степеней окисления:

Медь, образуя ион меди, отдает два электрона, ее степень окисления повы­шается от 0 до +2. Медь — восстановитель. Ион палладия, присоединяя два электрона, изменяет степень окисления от +2 до 0. Нитрат палладия ( II ) -окислитель. Эти изменения можно выразить электронными уравнениями

из которых следует, что при восстановителе и окислителе коэффициенты равны 1. Окончательное уравнение реакции:

Как видно, в суммарном уравнении реакции электроны не фигурируют.

Чтобы проверить правильность составленного уравнения, подсчитываем число атомов каждого элемента в его правой и левой частях. Например, в правой части 6 атомов кислорода, в левой также 6 атомов; палладия 1 и 1; меди тоже 1 и 1. Значит, уравнение составлено правильно.

Переписываем это уравнение в ионной форме:

Cu + Pd 2+ + 2NO₃ — = Cu 2+ + 2NO₃ — + Р d

И после сокращения одинаковых ионов получим

Cu + Pd 2+ = Cu 2+ + Pd

Пример 2. Составление уравнения реакции взаимодействия оксида марганца ( IV ) с концентрированной соляной кислотой (с помощью этой реакции в лабораторных условиях получают хлор).

Запишем формулы исходных и конечных веществ реакции:

Покажем изменение степеней окисления атомов до и после реакции:

Эта реакция окислительно-восстановительная, так как изменяются степени окисления атомов хлора и марганца. НCl — восстановитель, MnО₂ — окисли­тель. Составляем электронные уравнения:

и находим коэффициенты при восстановителе и окислителе. Они соответствен­но равны 2 и 1. Коэффициент 2 (а не 1) ставится потому, что 2 атома хлора со степенью окисления -1 отдают 2 электрона. Этот коэффициент уже стоит в электронном уравнении:

Находим коэффициенты для других реагирующих веществ. Из электрон­ных уравнений видно, что на 2 моль HCl приходится 1 моль Mn О₂. Однако, учитывая, что для связывания образующегося двухзарядного иона марганца нужно еще 2 моль кислоты, перед восстановителем следует поставить коэффициент 4. Тогда воды получится 2 моль. Окончательное уравнение имеет вид

Проверку правильности написания уравнения можно ограничить подсчетом числа атомов одного какого-либо элемента, например хлора: в левой части 4 и в правой 2 + 2 = 4.

Поскольку в методе электронного баланса изображаются уравнения реакций в молекулярной форме, то после составления и проверки их следует написать в ионной форме.

Перепишем составленное уравнение в ионной форме:

4Н + + 4С l — + МnО₂ = С l ₂ + Мn 2 + + 2С l — + 2Н₂О

и после сокращения одинаковых ионов в обеих частях уравнения получим

4Н + + 2Cl — + Mn O ₂ = С l ₂ + Mn 2+ + 2Н₂О

Пример 3 . Составление уравнения реакции взаимодействия сероводорода с подкисленным раствором перманганата калия.

Напишем схему реакции — формулы исходных и полученных веществ:

Затем покажем изменение степеней окисления атомов до и после реакции:

Изменяются степени окисления у атомов серы и марганца (Н₂ S — восстанови­тель, КМ n О₄ — окислитель). Составляем электронные уравнения, т.е. изображаем процессы отдачи и присоединения электронов:

И наконец, находим коэффициенты при окислителе и восстановителе, а затем при других реагирующих веществах. Из электронных уравнений видно, что надо взять 5 моль Н₂ S и 2 моль КМ n О₄, тогда получим 5 моль атомов S и 2 моль МnSО₄. Кроме того, из сопоставления атомов в левой и правой частях уравнения, найдем, что образуется также 1 моль К₂ S О₄ и 8 моль воды. Окончательное уравнение реакции будет иметь вид

Правильность написания уравнения подтверждается подсчетом атомов одного элемента, например кислорода; в левой части их 2 . 4 + 3 . 4 = 20 и в правой части 2 . 4 + 4 + 8 = 20.

Переписываем уравнение в ионной форме:

5Н₂S + 2 MnO ₄ — + 6 H + = 5 S + 2Мn 2+ + 8Н₂О

Известно, что правильно написанное уравнение реакции является выражением закона сохранения массы веществ. Поэтому число одних и тех же атомов в исходных веществах и продуктах реакции должно быть одинаковым. Должны сохраняться и заряды. Сумма зарядов исходных веществ всегда должна быть равна сумме зарядов продуктов реакции.

Разделы: Химия

Умение составлять электронный баланс при изучении окислительно-восстановительных реакций является одним из важнейших при изучении химии. Однако, несмотря на то, что учителя уделяют много времени и внимания формированию этого умения, учащиеся испытывают затруднения и допускают многочисленные ошибки.
К типичным ошибкам в традиционных способах приводят: неясность того, нужно ли учитывать индекс элемента и с какой части уравнения начинать расстановку коэффициентов. Излагаемый ниже способ этих недостатков лишен, достаточно лишь запомнить некоторые весьма несложные правила составления баланса.
С основами этого способа я познакомилась в студенчестве на лекциях и занятиях кандидата химических наук, преподавателя методики изучения химии Андриенко Антонины Леонтьевны в Астраханском педагогическом институте им. С.М.Кирова (ныне Астраханский государственный университет).
Применяя этот метод в течение многих лет в своей работе, мне удалось дополнить и расширить его, постепенно сложились «Правила составления баланса». Метод применяется преподавателями в ряде школ г. Астрахани и Астраханской государственной медицинской академии, апробирован многолетней практикой, которая свидетельствует, что учащиеся усваивают его легче обычного и допускают меньше ошибок.

Суть метода: электронный баланс составляется под уравнением, при этом учитываются индексы элементов, затем находится наименьшее общее кратное для чисел отданных и принятых электронов (НОК), делением НОК на эти числа получаем коэффициенты для восстановителя и окислителя.
Например, для уравнения Al 0 + Сl₂ 0 ––> Al + 3Cl₃ –1 рассуждение ведется на один атом элемента: до реакции атом алюминия имел степень окисления ноль, после реакции приобрел степень окисления +3, следовательно, атом Al отдает три электрона. В той части уравнения, где составляется баланс, индекс Al равен единице, поэтому число три остается без изменений и подписывается под алюминием:

Хлор до реакции имел степень окисления ноль, после реакции имеет степень окисления –1, т.е. один атом хлора принимает один электрон, однако, в той части уравнения, где составляется баланс у хлора индекс два и, умножая число электронов на индекс, получаем цифру два для хлора

Находим НОК для числа отданных и принятых электронов

Делением НОК на число отданных электронов, получаем коэффициент для Al (6 : 3 = 2)

Делением НОК на число принятых электронов, получаем коэффициент для хлора (6 : 2 = 3)

В другой части уравнения коэффициенты расставляются методом подбора.

Дано задание: «По данным схемам составьте схемы электронного баланса». Как его выполнить? Что для этого потребуется? Попробуем разобраться вместе.

Для начала остановимся на том, что представляет собой данный метод. Если схема электронного баланса составлена правильно, можно поставить в предложенной реакции все стереохимические коэффициенты.

Суть данной методики заключается в определении степеней окисления отдельных элементов, которые участвовали во реакции. Если в левой и правой частях уравнения у элемента сохраняется постоянная степень окисления, то схема электронного баланса составляется без него.

У элементов, которые поменяли свою степень окисления в процессе взаимодействия, полученные значения учитываются при вычислениях наименьшего общего кратного.

Для начала вам придется поставить у каждого элемента его степени окисления, пользуясь определенными правилами. Если во взаимодействие вступало простое вещество, то оно не принимает, а также не отдает другому элементу электроны, следовательно, его степень окисления равна нулю. Примерами соединений с нулевой степенью окисления являются молекулы галогенов, металлы.

В бинарном соединении у второго элемента степень окисления имеет отрицательное, а у первого — положительное значение. В сумме (с учетом числа атомов) должен получиться ноль. В оксиде кальция, например, у первого элемента степень окисления +2, а у второго (кислорода) -2. Суммарное их значение равно нулю, так как молекула нейтральна.

Если необходимо расставить степени окисления в более сложном веществе, то сначала определяют показатели у первого и последнего элементов. Затем, пользуясь математическими вычислениями, определяют степень окисления у центрального элемента. Сумма всех показателей должна быть равна нулю.

Как же составляется схема электронного баланса? В левой ее части записывают вместе со степенями окисления элементы, которые участвовали в окислительно-восстановительном процессе.

Далее знаками «плюс» и «минус» указывается количество принятых и отданных электронов в ходе химического взаимодействия. Между числом электронов определяется наименьшее общее кратное. Напомним, что под ним подразумевается положительное число, которое будет без остатка делиться на обе цифры, касающиеся электронов.

Схема электронного баланса считается полной в том случае, когда в ней определены и коэффициенты. Как их найти? Наименьшее общее кратное необходимо разделить на принятые и отданные в процессе электроны. Полученные цифры и будут стереохимическими коэффициентами.

Важно также определить восстановитель и окислитель, а также протекающие при взаимодействии процессы (окисление и восстановление). Полученная схема электронного баланса окислительно-восстановительного процесса позволит вам расставить недостающие коэффициенты в реакции.

Задания на ОВР в итоговой аттестации

На основании данного метода выпускникам предлагается выполнение задания из уровня «С». Успешность зависит от уровня практических навыков ученика, степени владения теоретическими основами.

Например, в задании сказано: по данным схемам составьте схемы электронного баланса. Кроме того, часть реагирующих веществ, а также некоторые продукты взаимодействия могут быть упущены. Данный вопрос считается заданием повышенной сложности, поэтому предполагает определенную последовательность рассуждений.

Для начала у всех элементов в известных веществах определяют степени окисления, затем записывают вещества, которых не хватает в обеих частях реакции.

Далее составляется баланс. По полученной схеме реакции расставьте коэффициенты методом электронного баланса, как было описано выше. Последним действием будет указание всех протекающих процессов.

В тестах ЕГЭ по химии предполагается отдельная запись веществ, непосредственно участвующих в уравнении, с последующим указанием окислителя и восстановителя.

Такой метод является далеко не единственным способом расстановки коэффициентов в уравнении. Можно воспользоваться и методом полуреакций, который позволяет уравнивать сразу все вещества, записанные в уравнении.

wearethepeople.ru

Что такое схема электронного баланса?

Дано задание: «По данным схемам составьте схемы электронного баланса». Как его выполнить? Что для этого потребуется? Попробуем разобраться вместе.

Суть метода

Для начала остановимся на том, что представляет собой данный метод. Если схема электронного баланса составлена правильно, можно поставить в предложенной реакции все стереохимические коэффициенты.

Суть данной методики заключается в определении степеней окисления отдельных элементов, которые участвовали во реакции. Если в левой и правой частях уравнения у элемента сохраняется постоянная степень окисления, то схема электронного баланса составляется без него.

У элементов, которые поменяли свою степень окисления в процессе взаимодействия, полученные значения учитываются при вычислениях наименьшего общего кратного.

Как составить баланс

Для начала вам придется поставить у каждого элемента его степени окисления, пользуясь определенными правилами. Если во взаимодействие вступало простое вещество, то оно не принимает, а также не отдает другому элементу электроны, следовательно, его степень окисления равна нулю. Примерами соединений с нулевой степенью окисления являются молекулы галогенов, металлы.

В бинарном соединении у второго элемента степень окисления имеет отрицательное, а у первого — положительное значение. В сумме (с учетом числа атомов) должен получиться ноль. В оксиде кальция, например, у первого элемента степень окисления +2, а у второго (кислорода) -2. Суммарное их значение равно нулю, так как молекула нейтральна.

Если необходимо расставить степени окисления в более сложном веществе, то сначала определяют показатели у первого и последнего элементов. Затем, пользуясь математическими вычислениями, определяют степень окисления у центрального элемента. Сумма всех показателей должна быть равна нулю.

Алгоритм действий

Как же составляется схема электронного баланса? В левой ее части записывают вместе со степенями окисления элементы, которые участвовали в окислительно-восстановительном процессе.

Далее знаками «плюс» и «минус» указывается количество принятых и отданных электронов в ходе химического взаимодействия. Между числом электронов определяется наименьшее общее кратное. Напомним, что под ним подразумевается положительное число, которое будет без остатка делиться на обе цифры, касающиеся электронов.

Схема электронного баланса считается полной в том случае, когда в ней определены и коэффициенты. Как их найти? Наименьшее общее кратное необходимо разделить на принятые и отданные в процессе электроны. Полученные цифры и будут стереохимическими коэффициентами.

Важно также определить восстановитель и окислитель, а также протекающие при взаимодействии процессы (окисление и восстановление). Полученная схема электронного баланса окислительно-восстановительного процесса позволит вам расставить недостающие коэффициенты в реакции.

Задания на ОВР в итоговой аттестации

На основании данного метода выпускникам предлагается выполнение задания из уровня «С». Успешность зависит от уровня практических навыков ученика, степени владения теоретическими основами.

Например, в задании сказано: по данным схемам составьте схемы электронного баланса. Кроме того, часть реагирующих веществ, а также некоторые продукты взаимодействия могут быть упущены. Данный вопрос считается заданием повышенной сложности, поэтому предполагает определенную последовательность рассуждений.

Для начала у всех элементов в известных веществах определяют степени окисления, затем записывают вещества, которых не хватает в обеих частях реакции.

Далее составляется баланс. По полученной схеме реакции расставьте коэффициенты методом электронного баланса, как было описано выше. Последним действием будет указание всех протекающих процессов.

В тестах ЕГЭ по химии предполагается отдельная запись веществ, непосредственно участвующих в уравнении, с последующим указанием окислителя и восстановителя.

Заключение

Такой метод является далеко не единственным способом расстановки коэффициентов в уравнении. Можно воспользоваться и методом полуреакций, который позволяет уравнивать сразу все вещества, записанные в уравнении.

fb.ru

Конспект «Метод электронного баланса» — УчительPRO

МЕТОД ЭЛЕКТРОННОГО БАЛАНСА

Ключевые слова конспекта: окислительно-восстановительные реакции, метод электронного баланса, окисление, восстановление.

Окислительно-восстановительные реакции (ОВР) – реакции, в ходе которых изменяются степени окисления элементов вследствие перехода электронов от восстановителя к окислителю. Окисление – процесс отдачи электронов атомом, молекулой или ионом, степень окисления элемента повышается. Восстановление – процесс приёма электронов атомом, молекулой или ионом, степень окисления элемента понижается.

Темы, связанные с настоящим конспектом:

МЕТОД ЭЛЕКТРОННОГО БАЛАНСА

Рассмотрим составление схем электронного баланса на примере горения фосфора (а) и взаимодействия перманганата калия с концентрированной соляной кислотой (б).

1. Запишем схемы реакций, вычислим степени окисления элементов и определим элементы, у которых они меняются:

2. Составим схемы, отражающие процессы перехода электронов:

3. Определим, какой процесс является окислением, а какой – восстановлением; какой элемент является окислителем, а какой – восстановителем:

4. Уравняем число отданных и принятых электронов. Для этого найдём наименьшее общее кратное для числа отданных и числа принятых электронов. В результате деления наименьшего общего кратного на число отданных и принятых электронов находим коэффициенты:

5. Перенесём коэффициенты в исходную схему (п. 1), преобразуя её в уравнение реакции:

Перед формулой HCl мы не поставили коэффициент, так как не все ионы Cl^– участвовали в окислительно-восстановительном процессе, часть из них участвовала в образовании солей.

В уравнении (б) требуется уравнять количество атомов элементов, не участвующих в окислительно-восстановительном процессе (К, Н, частично Cl). Получаем уравнение:

При правильной расстановке коэффициентов количество атомов кислорода в левой и правой частях уравнения будет одинаково (в случае (б) – 8).

Вы смотрели конспект урока по химии «Метод электронного баланса».

Следующая тема: «Окислители и восстановители».

uchitel.pro

Абрахам Вальд — выдающийся математик 20 века. Во время Второй мировой войны он работал над решением секретных военных задач в организации Statistical Research Group. Задача, которая стояла перед группой ученых, заключалась в том, чтобы усовершенствовать американские бомбардировщики.

Механики обращали внимание, что повреждения на самолетах, вернувшихся из боя, распределены неравномерно. Большинство пробоин приходилось на зону фюзеляжа, а вот двигатель, как правило, оставался целыми. Командование требовало укрепить дополнительной броней самые уязвимые части самолетов. Сложность заключалась в том, что дополнительные железные конструкции могли перегрузить самолет, сделать его менее маневренным.

Абрахам Вальд нашел решение проблемы, но оно очень удивило военных. Математик предложил дополнительно укреплять не места, где чаще всего бывают пробоины, а двигатель, на котором их почти не бывает. Почему? Да потому, что самолеты, у которых поврежден двигатель, почти никогда не возвращаются из боя. Именно по этой причине механики не видят таких повреждений. Повреждения фюзеляжа можно устранить, с ними можно добраться до базы, а вот двигатель — это критично. Подобное происходило с ранеными, которые попадали в госпиталя. Медики чаще всего видели ранения в руки и ноги, реже — в область грудной клетки. И опять же потому, что подобные ранения чаще всего приводили к летальному исходу, и человек не успевал добраться до госпиталя.

Этот исторический пример очень показателен. Он иллюстрирует способ мышления. Абрахам Вальд предложил решение, которое другим показалось странным и неразумным, а в итоге позволило спасти тысячи жизней. Именно так, оригинально и критично, мыслит математик. Именно этому должны научиться школьники. Однажды решенное алгебраическое уравнение не поможет вам в жизни, а вот логическое мышление и способность задавать правильные вопросы может спасти жизнь.

Возможно, вам уже известно выражение Давида Гильберта: “Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения”. Эту цитату неплохо бы распечатать и повесить на самое видное всем, кто уверен, что творческим личностям математика не дается. Часто наоборот. И многие великие люди тому пример. Например, из всех школьных предметов Наполеон любил только математику, а по остальным успевал из рук вон плохо. Льюис Кэрролл профессионально занимался математикой, написал множество научных трудов, а не только книги об Алисе. А современный испанский художник Висенте Мевилла Сегуи и вовсе умудрился объединить живопись и математику, представив их хитросплетение на своих картинах.

Математика — самая абстрактная наука! Это означает, что без фантазии здесь не обойтись. Согласитесь, решая даже простую задачу, мы постоянно что-то моделируем, предполагаем, определяем условия и т.д. Математический объект нельзя потрогать, его можно лишь представить. Занимаясь математикой, мы тренируем наш мозг, заставляем его учиться работать с умозрительными конструкциями, делать предположения, находить более простые или более красивые решения.

Думаем, никто не станет спорить с тем, что математика имеет прямое отношение к информационным технологиям. Да, вам не нужно быть гением, чтобы освоить ПК, но множество престижных и перспективных специальностей сегодня завязаны на продвинутом владении компьютером, а чтобы поступить в вуз на соответствующий факультет и успешно учиться, нужно знать математику на очень высоком уровне.

Едва ли найдется профессиональный веб-дизайнер, который не знает о кривых Безье; программисты вынуждены осваивать теории алгоритмов, групп, множеств; социолог слеп  без математической статистики; физик никуда не продвинется без знания дифференциальных уравнений, линейной алгебры, топологии и т.д. Проще посчитать профессии, в которых математика не столь необходима… Хотя, если порассуждать, даже мастер по макияжу нуждается в математике — золотое сечение ему в помощь!

Друзья, наша мысль проста: учите математику не потому, что вам скоро сдавать экзамен, а потому, что эта наука реально необходима для вашего саморазвития и становления в профессии!

 

«Знание математики — своего рода рентгеновские очки, позволяющие увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью. Математика — это наука о том, как не совершать ошибок, а математические формы и методы выковывались на протяжении многих столетий упорного труда и дискуссий» («Как не ошибаться. Сила математического мышления», Джордан Элленберг).
 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

учимся математике | интернет проект BeginnerSchool.ru

Давайте сегодня поговорим о математической подготовке наших детей. Как только ребенок начинает говорить, мы начинаем его учить считать.

Сначала это всего лишь понятие «один – много». Потом мы считаем игрушки «одна – две – три», и т.д. Все родители в игре обучают детей математике и это замечательно, когда первоначальное математическое образование входит в нашу жизнь с самых ранних лет.

Когда введение в математику проходит в легкой и непринужденной форме, на предметах повседневного быта, развивается умственная самостоятельность и смекалка, которую не вложить ни в чью голову без желания. И как ребенок в детстве быстро схватывает рассказанное мамой, так и в дальнейшем он сможет понимать и изучать простейшую математику.

Многие считают, что математикой могут заниматься исключительные люди с математическим складом ума. Так же как мы не можем спорить с этим убеждением, так давайте не спорить с тем, что нет таких людей, которые совершенно не имеют никаких способностей к математике. Скорее можно сказать, что это результат неумения родителей и учителей поставить приоритет изучения математики на должный уровень.

Также многие говорят о существовании «математической памяти», без которой якобы невозможно заучить все математические правила и формулы. Согласитесь, правила и формулы можно выписать в отдельную тетрадь или взять справочник, главное в изучении математики – понять, как получилась формула, вывести ее самостоятельно.

Т. е. главное – развивать логическое мышление и смекалку. Решать логические задачи. Всех формул и правил не запомнить, особенно если постоянно их не используешь. Зубрешка таблиц сложения и умножения поможет быстро вычислять сдачу в магазине и это тоже необходимо, но сейчас столько техники у нас под рукой, например в любом мобильном телефоне есть калькулятор. Даже сдачу можно высчитать на калькуляторе, главное понимать, как это сделать.

Попробуйте решить одну логическую задачку:

В комнате четыре угла, в каждом углу сидит по одной кошке. Напротив каждой кошки по три кошки. Хвост каждой кошки указывает на  одну кошку. Сколько кошек в комнате.

Не торопитесь читать дальше, попробуйте решить эту задачку.

Наверно вы будете размышлять так:

4 кошки по углам, напротив каждой по 3 – это 16, да еще по одной кошке на хвосте у каждой, т.е. еще 16. Значит всего 32 кошки.

И будете, по своему, правы. Но ведь можно размышлять по-другому:

В комнате всего 4 кошки. Так как 4 угла и кошки смотрят друг на друга, то каждая видит напротив себя троих. А хвост каждой смотрит на одну.

Вот вам два разных ответа, на одну задачку и оба правильных. Один решен чисто арифметически, а второй логически.

И в заключении хочу сказать, не настаивайте на зубрёшке таблиц и формул если у ребенка не получается их зазубрить. Главное учить ребенка мыслить логически. А механически решать примеры и задачи они все равно будут на курсе начальной школы по математике. Удачи вам в воспитании деток.

Спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Школьная математика, онлайн-учебник: 1 класс и старше — бесплатно

Вопросы и комментарии

21 августа, 2020 — 21:28

Алтынай

 Ответить  

10 декабря, 2018 — 13:33

Гость

 Ответить  

22 августа, 2018 — 10:43

Иштван

14 июня, 2018 — 17:30

Абу

14 июня, 2018 — 17:28

Абу

 Ответить  

13 июня, 2018 — 03:06

Абу

19 апреля, 2018 — 17:57

VzlomT13

 Ответить  

19 апреля, 2018 — 17:56

VzlomT13

15 апреля, 2018 — 17:53

людмила

 Ответить  

14 апреля, 2018 — 13:24

Жасур

 Ответить  

9 октября, 2017 — 20:26

Даниэль

10 января, 2017 — 18:50

Евгений

 Ответить  

9 декабря, 2016 — 19:58

Гость

 Ответить  

24 ноября, 2016 — 03:06

Никита

17 ноября, 2016 — 12:21

tihiro

16 ноября, 2016 — 10:29

оксана

 Ответить  

30 сентября, 2016 — 23:54

Гость

13 сентября, 2016 — 13:43

А Мир

 Ответить  

14 апреля, 2016 — 17:57

Ваня

7 февраля, 2016 — 23:15

инесса

 Ответить  

29 октября, 2015 — 11:29

Елена

21 июля, 2015 — 00:27

Victor

21 июля, 2015 — 15:43

Леонид Некин

21 июля, 2015 — 20:01

Victor

27 июня, 2015 — 11:02

Сафия

5 февраля, 2015 — 07:12

таня короткова…

 Ответить  

27 января, 2015 — 13:45

Дмитрий

 Ответить  

23 ноября, 2014 — 15:59

мари)

 Ответить  

9 ноября, 2014 — 10:41

Елена

 Ответить  

30 октября, 2014 — 12:48

йогу тимати

29 апреля, 2014 — 00:04

ggg

 Ответить  

8 декабря, 2013 — 23:46

Саша

17 ноября, 2013 — 14:01

лера

15 октября, 2013 — 16:58

Orla Colgan

 Ответить  

22 марта, 2013 — 23:03

Akella

Страницы: 1  2   >  >>

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» — Санкт-Петербургская Гимназия «Альма Матер»

«Математику уже затем учить надо,
что она ум в порядок приводит»

М.В. Ломоносов

Если вы из тех, кто считает, что математика не нужна, если при изучении математики вы ограничиваетесь только мыслями об аттестате, то время, проведенное на уроках математики, может быть потрачено совершенно впустую. Если уж этот школьный предмет является основным даже для гуманитариев, то не лучше ли потратить на математику свое время и силы
с максимальной для себя пользой. Отсутствие интереса или плохие успехи при изучении математики еще не обязательно что-либо означают. Прежде, чем может возникнуть интерес к этому предмету, необходима скучная предварительная работа и утомительная тренировка.

«Где отсутствует точное знание, там действуют
догадки, а из десяти догадок девять — ошибки»

Максим Горький

Математика всегда считалась одним из самых трудных предметов в школе. Действительно, нельзя усвоить знания по этому предмету без серьезных интеллектуальных усилий, нужно понимать и запоминать правила, держать эти знания в активной памяти на протяжении всего обучения в школе. Мы понимаем объективные трудности наших учеников. Поэтому стремимся
к большей наглядности, доступности в изложении материала, стараемся разнообразить уроки, например, рассказами из истории математики.

«Кто хочет ограничиться настоящим, без
знания прошлого, тот никогда его не поймет»

Лейбниц

Люди научились считать 25 — 30 тысяч лет тому назад. Сначала люди умели называть лишь маленькие числа, а потом все бóльшие. На уроках в школе, начиная с первого класса, мы с детьми проходим весь путь развития математики. Когда-то числа служили людям только для решения практических задач, а потом их стали изучать ─ узнавать их свойства. Как люди считали
в древности? Как они решали задачи? Какие задачи они решали? Обо всем этом мы говорим на уроках математики.

«Природа формулирует свои законы
языком математики»

Галилео Галилей

При планировании нашей работы мы исходим из того, что ученики должны научиться ориентироваться в сложных ситуациях, возникающих
в современном мире. Это может быть достигнуто только при расширении содержания курса. В связи с этим мы включили в курс математики такие разделы, как комбинаторика, булева алгебра, понятия математической логики, элементы теории вероятностей и математической статистики. Все это позволяет значительно разнообразить рассматриваемые примеры, широко привлекать материал из смежных предметов школьного курса, а также материал, взятый из жизни.

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии»

А.С. Пушкин

Знакомство с геометрией мы всегда начинаем с истории. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы. Но не только в процессе работы люди знакомились
с геометрическими фигурами. Люди всегда любили украшать себя, свою одежду и жилище. Понятие «правильности» в геометрии всегда связано
с гармонией, красотой. Уже более двух тысяч лет в школе изучают Евклидову геометрию (современные учебники больше чем половину берут прямо от Евклида). Геометрия может ответить на самые разные вопросы. Почему при перегибании листа всегда получается прямая складка? Почему бумажный рулон жесткий? Почему не качается трехногий табурет? Чтобы ответить на все эти и другие вопросы, нужно очень хорошо выучить школьную геометрию.

«Битва чисел»

Название игры

В стандартном курсе школьной математики практически отсутствуют упоминания о математических играх, головоломках, шифрах. А мы используем их на уроках. Понять занимательные математические игры несложно, но чтобы научиться «правильно» действовать, то есть выигрывать, необходимо изучать свойства чисел. Ведь большинство игр и головоломок основано на свойствах чисел. А как интересно поговорить на уроках математики о тайнах, шпионах
и шифрах. Ведь математика издавна применялась в теории шифров. И имя Франсуа Виета связано не только с теоремой о корнях квадратного уравнения. Этот знаменитый французский математик занимался расшифровкой переписки противников французского короля Генриха III.

«Вперед поедешь ─ голову сложишь,
направо поедешь ─ коня потеряешь,
налево поедешь ─ меча лишишься»

Из русской народной сказки

Выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае. Простейшие комбинаторные задачи доступны пониманию школьников
5-6 классов. А старшие школьники могут разобрать такую важную для них комбинаторную задачу как составление школьного расписания.

«Где бы ни встал воин, он может
протянуть свое копье еще дальше»

Древнегреческий философ

Конечно, мы, учителя, должны отслеживать прохождение школьной программы, но главная наша задача ─ содействовать развитию познавательных возможностей учеников, их интеллектуальному росту. В чем желаем нам всем поступательного движения и успехов!

Что общего у английского и математики? 6 неожиданных сходств — Skyeng Magazine

Гуманитарии идут на иняз, технари — на матмех. Кажется, всегда было так, а английский и математику разделяла пропасть пошире Ла-Манша. Но если приглядеться, у этих предметов окажется на удивление много общего. Добавляйте свои пункты к нашему списку!

С английским все понятно. Но вот к мысли, что математика — тоже язык, нужно привыкнуть.

На самом деле у математики есть главные признаки языка:

• свои слова и грамматика — это цифры и правила действий. В выражении 8 + 2 = 10
  8, 2, 10 — это существительные, знаки «+» и «=» — глаголы, а само выражение напоминает предложение.

• люди, которые могут понимать друг друга с помощью этой системы. Математику даже называют языком науки, потому что с помощью нее физики, химики, биологи описывают реальность и общаются между собой.

Если вы говорите на английском, пусть даже с ошибками и акцентом, вас поймут почти по всему миру. А для математиков и акцент не помеха: китайский школьник может с трудом понимать речь своего индийского сверстника, но когда они начнут разбирать одну и ту же задачу на международной олимпиаде, языковые барьеры исчезнут.

Времена английского многие учили по формулам, похожим на математические: have + V3, will be + Ving. Английский из-за фиксированного порядка слов вообще гораздо ближе к математике, чем любой другой язык.

В математике есть свои неправильные глаголы — например, нельзя делить на ноль и бесконечность. Если такое будет возможно, перестанут работать остальные правила.

В английском, к сожалению, у многих исключений только одно объяснение — «так исторически сложилось». Мир не рухнет, если говорить the goodest, но когда-то люди коллективно согласились, что так неправильно.

Возможно, вы с ужасом вспоминаете «Ландан из зе кэпитал оф Грэйт Британ» и задание «раскройте скобочки». А вот смотреть «Шерлока» в оригинале — совсем другое дело.

С математикой та же история. Задачи про землекопов из школьной программы — тоска и ужас. Но задачки «чему равно сердечко» в соцсетях — это интересный вызов.

Чтобы каждый мог получить удовольствие от изучения математики, мы нарисовали настоящий математический комикс. Там енот отправляется в кругосветное путешествие, а сова и аксолотль (это такой улыбающийся подводный товарищ) ему помогают. Вообще комикс для детей, но мы сами не могли от него оторваться.

Предсказывать будущее поможет математика. Если проанализировать данные и построить математическую модель, можно, например, спрогнозировать, сколько новых покупателей придут к вам в следующем месяце.

Прожить вторую жизнь позволяет английский. Для человека, который знает иностранный язык, как будто открывается новое измерение: можно узнавать о событиях в мире, не дожидаясь перевода новостей, путешествовать без страха потеряться и знакомиться с теми, кто никогда не слышал русского.

5 причин НЕ учить математику…

Так сложилось, что большинство людей не любят математику, она им тяжело даётся и они говорят, что это им не нужно. От я и решил поискать причины, или поводы не учить математику. Я долго над этим думал, и придумал 5 ситуаций в жизни, когда, на мой взгляд, можно не знать математики. Посмотрим их, а в конце решим, правильно ли это. Представьте себе, что вы человек, который не знает, что такое математика, никогда не видели цифр и вообще ничего не знаете, что связано со словом «Математика», злая математичка никогда вам не ставила двойки и не водила до директора.
Тогда, для нормальной жизни в этом мире, вам понадобится попасть в одну из категорий, которые перечислены ниже.

1. Если у вас есть личный математик. То есть с вами всегда есть человек, который хорошо разбирается в математике и вы ему доверяете. Но ещё раз повторю, что он с вами должен быть всегда, не только в школе или в университете, но и в магазине, когда вам надо посчитать деньги, или дома, когда надо знать во сколько смотреть любимый сериал по телевизору или футбол, или знать сколько ложек соли кинуть в суп.
2. Далеко не каждому по карману нанимать личного математика на всю жизнь, да и не удобно, когда с тобой всё время кто-то ходит. Но вы не расстраиваетесь, есть другой выход, надо просто всегда всем доверять. Когда получаете зарплату в кассе, то просто берите её и не пересчитывайте, вы ж не умеете, а кассир никогда не ошибается и всегда хочет отдать вам всё до копейки. А если что-то покупаете, то просто отдаёте все свои деньги и ждёте, если вам что-то сдают, значит у вас остались деньги на ещё что-то, все ж продавцы честные люди. А если вам надо узнать когда начнётся ваш сериал или футбол, или вы не можете понять сколько ложек соли надо в суп (в кулинарной книжке стоит какая-то цифра не понятная), то в этих ситуациях вы всегда можете обратится к соседу, это человек, который всегда рад помочь. Мы живём же в честной и добропорядочной стране, где все живут на одну зарплату и всегда друг другу помогают.
3. Если и этот вариант вам не подходит, то можно просто отказаться от денег и такой жизни. Переехать на необитаемый остров, где не будет электричества, телевидения, Интернета, выращивать самому для себя еду, ложится с заходом солнца и вставать с его сходом. И так в тишине и спокойствии жить до конца своих дней.
4. Наконец, может вы вовсе не человек, а инопланетянин. И прилетели к нам с той планеты, где никто не знает про математику и все прекрасно обходятся без неё. То вам просто надо вернутся на Родину, даже можете предложить это некоторым людям, может кто и захочет также переселится туда. Но надо делать это аккуратно, что бы они вас куда не будь не отправили.
5. Ну и последняя причина, когда точно не стоит заморачиваться математикой, это если вы собираетесь на днях умереть. Оставшиеся время лучше потратить на близких людей, тех кого вы любите. Может кого простить и самому попросить прощение или просто сделать хорошее дело.

Думаю, всё понятно, что в современном Мире без математики никак. Я не говорю, что вы должны знать всё на отлично, я вообще сторонник того, что каждый должен посвящать своё время любимому делу, улучшать свои навыки. Но ориентироваться в математике на среднем уровне вы просто обязанные, без этого никуда.

Вот то, до чего додумался я, если у вас есть свои варианты, или вы хотите возразить против моих, то пишите в комментариях. Буду рад пообщаться!

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Как изучать математику: для студентов

Описание

Как изучать математику — это класс для изучающих математику всех уровней. Он сочетает в себе действительно важную информацию о мозге и обучении с новыми данными о наилучших способах эффективного изучения математики. Многие люди имели негативный опыт математики и в конечном итоге перестают любить математику или терпят неудачу. Этот класс предоставит изучающим математику информацию, необходимую им, чтобы стать сильными учениками математики, он исправит любые неправильные представления о том, что такое математика, и научит их собственному потенциалу для достижения успеха и стратегиям, необходимым для эффективного подхода к математике.Если у вас был отрицательный опыт математики, это поможет изменить ваши отношения на положительные и сильные.

На курсе будут представлены Джо и команда студентов, а также видеоролики о математике в действии — в танцах, жонглировании, снежинках, футболе и во многих других приложениях. Курс разработан с учетом педагогики активного участия. Курс будет проходить с мая / июня до конца декабря 2014 года.

Концепции и структура курса

Курс будет состоять из шести коротких уроков по 20 минут каждый.Уроки будут включать в себя презентации доктора Болера и команды студентов, интервью с представителями общественности, новейшие исследовательские идеи, интересные визуальные эффекты и фильмы, а также изучение математики в природе, спорте и дизайне.

Часть 1. Мозг и математика .

1. Разрушая мифы о математике .

   Каждый может хорошо выучить математику. Нет такого понятия, как математик. Это занятие предоставит новые потрясающие доказательства роста мозга и рассмотрит, что это значит для изучающих математику.

2. Математика и образ мышления

   Когда люди меняют свое мышление с фиксированного на рост, их потенциал обучения резко возрастает. На этом занятии участникам будет предложено развить установку на рост в математике.

3. Ошибки и скорость

   Недавние исследования мозга показывают ценность учеников, которые работают над сложной работой и даже делают ошибки. Но многие студенты боятся ошибок и думают, что это означает, что они не математики.Это занятие побудит студентов положительно относиться к ошибкам. Это также поможет развенчать мифы о математике и скорости.

Часть 2: Стратегии успеха .

1. Гибкость чисел, математические рассуждения и связи

   На этом занятии участники проведут беседу с числами и увидят различные решения числовых задач, чтобы понять и узнать, как действовать в соответствии с гибкостью чисел. Чувство чисел имеет решающее значение для всех уровней математики, а его отсутствие является причиной того, что многие студенты не проходят курсы по алгебре и не только.Участники также узнают о ценности разговоров, рассуждений и установления связей в математике.

2. Числовые шаблоны и представления

   На этом занятии участники увидят, что математика — это предмет, состоящий из связанных больших идей. Они узнают о ценности осмысления, интуиции и математического рисования. Специальный раздел, посвященный дробям, поможет учащимся усвоить важные идеи в дробях и важность понимания больших идей в математике в целом.

3. Математика в жизни, природе и работе

   На этом занятии участники будут рассматривать математику как нечто ценное, увлекательное и актуальное на протяжении всей жизни. Они увидят математические закономерности в природе и в различных видах спорта, углубленно изучая математику в танцах и жонглировании. Это занятие рассмотрит ключевые идеи курса и поможет участникам применить важные стратегии и идеи, которые они усвоили, в свое будущее.

Инструкторы

Др.Джо Болер — профессор математического образования в Стэнфордском университете и основатель youcubed. Ранее занимал следующие должности: профессор математического образования им. Марии Кюри в Университете Сассекса, Англия, учитель математики в лондонских общеобразовательных школах, а также лектор и исследователь в Королевском колледже в Лондоне. Она является редактором секции комментариев к исследованиям журнала исследований в области математического образования (JRME) и автором семи книг, в том числе «Что с математикой связано? (2009) Пингвин, США, и Слон в классе (2010) Souvenir Press, Великобритания.Она является автором первого MOOC по изучению математики для учителей и родителей, докладчиком в Белом доме и советником команды PISA в ОЭСР.

Изучение математики

Зачем изучать математику?

Технологии повсюду вокруг нас, и вам нужна математика, чтобы овладеть ими!

И математика — это не только числа, это еще и модели!

Значит, для таких профессий, как мода и дизайн интерьера, нужны математические навыки.

Математика пригодится и в повседневной жизни:

• Вложение денег (процентные ставки, прибыль и т. Д.)
• Сметная стоимость
• Покупки (действительно ли выгодно?)
• Понимание компьютеров
• Проектирование комнат и садов
• Планирование поездок

Математика также улучшает наши умственные способности, поскольку учит нас логическому мышлению.

И вообще, это просто развлечение: какой еще предмет посвящен разгадыванию головоломок?

Как быть экспертом

Есть два основных шага:

Использование — это так важно! Ответы на вопросы помогут вам систематизировать идеи в уме *.

Постарайтесь выполнять около 1 часа практики самостоятельно каждый день *

Как читать по математике

Математика говорит о многом в коротком пространстве .

Пример на английском языке: «Мы не знаем, сколько стоят степлеры или лотки, но знаем, что офис-менеджер купил 15 степлеров и 11 лотков на общую сумму 73 доллара».

Но по математике: 15s + 11t = 73

Так что хорошо перечитывать, ходить взад и вперед и играть с идеями.

Прочтите это, подумайте об этом, прочтите еще раз, запишите или набросайте, а затем используйте (отвечая на вопросы), все это помогает проникнуть в идеи.

Пример: преобразование Цельсия в Фаренгейт

° F = (° C × ⁹ / ₅ ) + 32

• Прочтите его сначала, чтобы увидеть, что с одной стороны ° F (что означает по Фаренгейту), а с другой — ° C (Цельсия), с некоторыми вычислениями.
• Теперь просмотрите это снова и посмотрите, что ° C умножено на 9/5 и подумайте: «Интересно, почему это делается? Почему 9/5?»
• Тогда обратите внимание, что добавлено 32 … почему это так?
• Может быть, вы могли бы сделать набросок (как показано ниже)
• Затем используйте его сами, сделайте несколько преобразований и посмотрите, как это работает

Сделать эскизы

Наброски также очень полезны при ответе на вопросы.

Работать аккуратно

Имейте гордость за свою работу, даже если ее никто не увидит.

Не торопитесь!

Математика — это не чтение страниц … это построение концепций в уме.

Так что не думайте: «Я прочитал 2 страницы сегодня», вместо этого думайте: «Теперь я лучше понимаю графики».

Важно изучать одну идею за раз, убедиться, что вы ее понимаете, и выполнять множество упражнений, чтобы стать экспертом.

Важно: если вы пропустите раздел, остальное может не иметь смысла.

Вы запутаетесь, расстроитесь и начнете ненавидеть эту тему.

Лекарство?

• Вернуться туда, где это имело смысл,
• , затем снова плавно двигайтесь вперед,
• делать много практических вещей например решать вопросы и делать наброски

И вы скоро «вернетесь в нужное русло»

Практика, Практика, Практика

У меня много вопросов.

Именно поэтому мы разработали базу данных вопросов по математике.

Если вам нужно сдать экзамен, найдите прошлые экзамены и выполните их *.

Читал лот

Возьмите несколько книг и прочтите их. Проводите время на математических сайтах (например, на этом!) И присоединяйтесь к форуму (например, на форуме Math is Fun).

Придумывайте свои собственные способы

У вас есть свой собственный стиль обучения .

Не просто следуйте инструкциям, которые вам показывают, попробуйте свои собственные идеи!

Играйте с идеями, которые вы изучаете.

И попробуйте прочитать на одну и ту же тему из разных мест, вы можете найти такие, которые имеют для вас гораздо больше смысла.

Ваш разум — удивительный и уникальный инструмент, и вы хотите использовать его наилучшим образом.

И изучение математики — хороший способ улучшить ее!

Все об идеях

Знать идеи важнее, чем запоминать формулы.

Если вы знаете, как работает , вы всегда можете воссоздать формулы, когда они вам понадобятся.И вы также можете делать более умные вещи, используя свои идеи.

* Библиография:

• Рисование «неотъемлемая часть» обучения естествознанию https://www.nottingham.ac.uk/news/pressreleases/2011/august/drawing-integral-to-science-learning.aspx
• Практика поиска дает больше знаний, чем тщательное изучение с концептуальным картированием (Джеффри Д. Карпике и Дженелл Р. Блант) Наука 20 января 2011 г .: 1199327
• Тестирование улучшает память https: // www.ologicalscience.org/index.php/news/releases/testing-improves-memory.html
• Практическое тестирование защищает память от стресса
  https://now.tufts.edu/news-releases/practice-testing-protects-memory-against-stress
• Сколько домашнего задания по математике, естествознанию — это слишком много?
  https://www.apa.org/news/press/releases/2015/03/math-science-homework.aspx
• Худшие и лучшие советы и привычки учебы на основе психологических исследований
  https: // cognitiontoday.ru / 2019/04 / худшие-и-лучшие-советы-исследования-привычки-от-психологического-исследования-как-к /
• Х. Зигмундссон, Р. К. Дж. Полман и Х. Лорос (2013) Изучение индивидуальных различий в математических навыках детей: корреляционный и размерный подход . Психологические отчеты: том 113, выпуск, стр. 23-30. DOI: 10.2466 / 04.10.PR0.113x12z2 https://www.eurekalert.org/pub_releases/2013-12/nuos-nmg121313.php

Learn Math

[PSA] Установите для сообщения значение «Решено» после ответа.| [PSA]

Think / r / math слишком продвинутый?

Это субреддит для изучения математики, его можно рассматривать как родственный субреддит / r / math. Разместите здесь все свои ресурсы для изучения математики. На вопросы, даже самые простые, будут даны ответы (в меру возможностей онлайн-подписчиков).

Следуйте за реддикетом. Будьте вежливы и вежливы; это должно быть доступное сообщество для обсуждения разума и логики.

[Уровень дисциплины] Пример тематического вопроса

EX: [Математика для старших классов] Квадратные уравнения
EX: [Статистика университета] Вероятность

• Включите подсказки инструктора (если есть). Чего ваш инструктор (или текст) хочет от вас выполнить?

• Расскажите, что вас задерживает. Где ты в процессе? Предоставьте тем, кто помогает, как можно больше информации.

• Включите любые уравнения или предположения, которые вы используете, и описания любых предпринятых вами попыток.

• Мы рекомендуем использовать Imgur для загрузки изображений для ссылок внутри сообщений.
• Reddit Enhancement Suite позволяет расширять URL-адреса Imgur в строке, но не работает так хорошо для других хостов изображений.

Присоединяйтесь к неофициальному каналу IRC:

• Посты «Сделай это для меня»

• личная информация (проверьте документы перед отправкой)

• предложения или ходатайства об оплате в любой форме

• опросы (перенесите их в / r / samplesize.{\ pi i} + 1 = 0;] отформатирован как в учебнике, если MathJax UserScript установлен и работает.

• Сначала необходимо установить загрузчик UserScript.

• Если ваш браузер настолько устарел или необычен, что совет по ссылке не работает, рассмотрите эти идеи.

Лучшее чтение с

Прочие ресурсы включают

Предоставлено / r / math:

Основные математические символы

≠ ± ∓ ÷ × ∙ — √ ‰ ⊗ ⊕ ⊖ ⊘ ⊙ ≤ ≥ ≦ ≧ ≨ ≩ ≺ ≻ ≽ ⊏ ⊐ ⊑ ⊒ ² ³ °

Геометрические символы

∠ ∟ ° ≅ ~ ‖ ⟂ ⫛

Алгебраные символы

≡ ≜ ≈ ∝ ∞ ≪ ≫ ⌊⌋ ⌈⌉ ∘∏ ∐ ∑ ⋀ ⋁ ⋂ ⋃ ⨀ ⨁ 𝖖 𝖗 ⊲ ⊳

Символы теории множеств

∅ ∖ ∁ ↦ ↣ ∩ ∪ ⊆ ⊂ ⊄ ⊊ ⊇ ⊃ ⊅ ⊖ ∈ ∉ ∋ ∌ ℝ ℸ 𝓟

Логические символы

¬ ∨ ∧ ⊕ → ← ⇒ ⇐ ↔ ⇔ ∀ ∃ ∄ ∴ ∵ ⊤ ⊥ ⊢ ⊨ ⫤ ⊣

Символы исчисления и анализа

∫ ∬ ∭ ∮ ∯ ∰ ∇ ∆ δ ∂ ℱ ℒ ℓ

Греческие буквы

𝛢𝛼 𝛣𝛽 𝛤𝛾 𝛥𝛿 𝛦𝜀𝜖 𝛧𝜁 𝛨𝜂 𝛩𝜃𝜗 𝛪𝜄 𝛫𝜅 𝛭𝜇 𝛮𝜈 𝛯𝜉 𝛰𝜊 𝛱𝜋 𝛲𝜌 𝛴𝜎 𝛵𝜏 𝛷𝜙𝜑 𝛹𝜓 𝛺𝜔

Статистика трафика субреддита

Бесплатный онлайн-курс: Как изучать математику: для студентов edX

Часть 1: Мозг и обучение математике.

1. Разрушая мифы о математике.

Каждый может хорошо выучить математику. Не существует такого понятия, как «математик». Это занятие предоставит новые потрясающие доказательства роста мозга и рассмотрит, что это значит для изучающих математику.

2. Математика и образ мышления

Когда люди меняют свое мышление с фиксированного на рост, их потенциал обучения резко возрастает. На этом занятии участникам будет предложено развить установку на рост в математике.

3.Ошибки и скорость

Недавние исследования мозга показывают ценность учеников, которые работают над сложной работой и даже делают ошибки. Но многие студенты боятся ошибок и думают, что это означает, что они не математики. Это занятие побудит студентов положительно относиться к ошибкам. Это также поможет развенчать мифы о математике и скорости.

Часть 2: Стратегии успеха.

1. Гибкость чисел, математические рассуждения и связи

На этом занятии участники будут участвовать в «разговоре о числах» и увидят различные решения числовых задач, чтобы понять и узнать, как действовать в соответствии с гибкостью чисел.Чувство чисел имеет решающее значение для всех уровней математики, а его отсутствие является причиной того, что многие студенты не проходят курсы по алгебре и не только. Участники также узнают о ценности разговоров, рассуждений и установления связей в математике.

2. Числовые модели и представления

На этом занятии участники увидят, что математика — это предмет, состоящий из связанных больших идей. Они узнают о ценности осмысления, интуиции и математического рисования. Специальный раздел, посвященный дробям, поможет учащимся усвоить важные идеи в дробях и важность понимания больших идей в математике в целом.

3. Математика в жизни, природе и работе

На этом занятии участники будут рассматривать математику как нечто ценное, увлекательное и актуальное на протяжении всей жизни. Они увидят математические закономерности в природе и в различных видах спорта, углубленно изучая математику в танцах и жонглировании. Это занятие рассмотрит ключевые идеи курса и поможет участникам применить важные стратегии и идеи, которые они усвоили, в свое будущее.

5 веб-сайтов по математике для изучения онлайн

Вы когда-нибудь хотели изучать математику? А как насчет изучения математики в Интернете? Мы рассматриваем некоторые веб-сайты, которые могут помочь вам изучить базовые концепции для младших классов до таких предметов университетского уровня, как математический анализ.

Онлайн-обучение стало стандартным способом получения специальных знаний. Геймификация предметов создает возможности для обучения с вознаграждением в игровом стиле.

Эти онлайн-ресурсы предоставляют понимание концепций математики, краткие руководства, возможности решения проблем и многое другое.

Некоторые математические веб-сайты также предоставляют дополнительную информацию о математике как науке, давая вам важные сведения об известных математиках и происхождении конкретных понятий и формул.Школьные уроки могут быть полезными, но совершенство достигается путем добавления онлайн-руководств и тестов к контенту, который вы изучаете в школе через своих учителей.

1.

www.3blue1brown.com

Часто на веб-сайтах, посвященных естествознанию, будут уроки, которые улучшат ваши знания, и мы думаем, что этот один из лучших по математике.

На этом сайте есть уроки по множеству важных разделов математики с информацией по таким областям, как;

• Исчисление
• Линейная алгебра
• Нейтральные сети и
• Умные доказательства

Наглядные пособия являются важным компонентом обучения, а в математике всегда помогают иллюстрации, которые помогают нам гораздо более эффективно понимать концепции.Этот веб-сайт имеет анимированный контент, что делает его очень интересным и простым в использовании.

2. Учебники по математике Патрика

http://patrickjmt.com/

Этот сайт содержит фантастические материалы по важнейшим разделам математики.

Сайт подходит для всех от третьего до двенадцатого класса. Области, охватываемые сайтом, включают в себя широкий спектр контента, от исчисления до арифметики.

Сайт имеет простую структуру, которая позволяет всем посетителям легко перемещаться по нему, избегая ситуации, когда кто-то теряется или не может найти то, что нужно.

На веб-сайте есть множество диаграмм, диаграмм и очень информативных видеороликов, которые помогут сделать изучение математики более комфортным.

3. Академия Хана

https://www.khanacademy.org/

Миссия этого веб-сайта — предоставить бесплатное образование мирового уровня каждому и в любом месте. Фактически, Khan Academy — это некоммерческая организация 501 (c) (3).

Этот сайт с разнообразным учебным содержанием лучше всего подходит для учащихся третьего и двенадцатого классов.Страницы имеют простой макет, который упрощает навигацию.

Есть также много видеофильмов по математике об Академии Хана.

Лучшая часть посещения этого сайта — это получение дополнительного контента по множеству связанных тем.

Вы также можете загрузить отличные учебные пособия по подготовке к ACT и SAT.

Лучшая часть, если это не было ясно в начале этого обзора, этот сайт полностью бесплатный, и не требуется подписок или платежей, чтобы воспользоваться доступным захватывающим контентом.

4. Аркадемика

www.arcademics.com

Если ученик хочет развлечься, изучая основы математики, это правильный сайт. Для занятых родителей это отличный сайт, чтобы занять маленьких детей — они не поймут, что изучают важные математические идеи.

Содержание страницы предназначено для простого обучения и подходит для всех детей младшего возраста, от детского сада до шестого класса. Вы (или ваш ребенок) можете выбрать обучение по теме или по классу школы.Студенты развлекаются во время обучения с помощью видеоигр. Мгновенная обратная связь, повторение упражнений и соревновательные возможности используют игровую волну для обучения.

Вы можете создать пароль для игры, в которую сможете играть со своими друзьями. Вы также можете принять участие в открытом конкурсе, доступном для всех посетителей сайта. Детям нужна живая и веселая среда, чтобы учиться, и этот сайт — идеальный инструмент для этого.

5. Онлайн-заметки Пола

http: // учебник.math.lamar.edu/

Пол делится своими заметками по преподаванию математики в Университете Ламара. Так что учебные пособия доступны на университетском уровне и не всегда просты. Подумайте о исчислении III и дифференциальных уравнениях.

Однако этот сайт полностью бесплатный, а доступные заметки можно загрузить для изучения, когда вы отключитесь от сети.

Пол известен своими «шпаргалками», которые дают всю необходимую информацию по такой теме, как алгебра. Все факты сжаты для удобства пользования.

В онлайн-заметках Пола вы даже можете решать проблемы, имея готовые ответы на сайте.

И бонусный сайт для изучения математики онлайн для вас:

6. Voovers

Home

На этом веб-сайте есть простые уроки и бесплатные приложения-калькуляторы, которые помогут вам проверить свою работу.

В Voovers есть не только уроки, но и калькуляторы, обслуживающие несколько разделов математики, а также статистика и физика.

Используя меню для навигации по сайту, вы найти уроки алгебры, исчисления, геометрии, физики, статистики и тригонометрия.

Вы найдете много уникальных и продвинутых калькуляторы на Voovers. Например, есть калькуляторы, которые могут решить исчисление интегралов и производных для вас! Вы можете использовать их, чтобы проверить, правильно решили практическую задачу или даже использовать их в работе для технические и научные проблемы.

Почему онлайн-учебники по математике?

Математика — это один из предметов, который требует дополнительных упражнений, решения задач и практики.Онлайн-уроки по математике — отличный способ найти различные объяснения концепций, которые помогут углубить понимание.

Появление Интернета помогает многим людям узнавать что-то через открытый доступ к информации. Улучшите свои математические способности и получайте удовольствие от изучения математики онлайн уже сегодня.

Если вы не можете изучать математику, возможно, это не ваша вина: искусство несоответствия

Жизнь

Мой опыт получения высшего образования был необычным и непостоянным. В конце концов я получил степень магистра международных исследований, но задолго до этого бросил школу.

Одна вещь, о которой я мало говорил, — это то, что я никогда не мог изучать высшую математику: алгебру, геометрию, математические вычисления или что-нибудь в этом роде. Это не из-за того, что не было попыток, или, по крайней мере, какое-то время. (В наши дни у меня нет никакого интереса пытаться выучить его.)

Нет, я пробовал и просто не мог научиться. Я пробовал снова и снова, и никогда не было легче. В образовательной системе США мне не удавалось продвинуться дальше седьмого или восьмого класса по математике. Я не уверен, что такое эквивалент в другом месте, но для меня я мог понять очень элементарные принципы алгебры и геометрии, но ничего сверх этого.

Многие пытались помочь. Я читал книги и ходил в кружки. Но что бы я ни делал, это не дошло.

Конечно, часть моих школьных лет была потрачена на сжигание домов и отказ от какого-либо высшего образования, так что давайте перенесемся немного вперед. Сейчас 1997 год, и я пытался окончить университет. Я пробрался в систему через общественный колледж, и у меня были все необходимые мне классы , за исключением базовых требований по математике. Моя степень была по социологии, которая, к счастью, не требовала многого в плане продвинутой математики, но требовала или .

В последней четверти перед выпускным я пошел в общественный колледж, чтобы взять этот очень простой урок математики. Большинство моих сокурсников встречались с людьми, которые не имели права или не могли себе позволить поступить в «настоящий» колледж. Они были перегружены работой, часто имели несколько подработок, и у многих из них были маленькие дети, которым было нелегко получить уход за детьми. Другими словами, несмотря на то, что я бросил учебу, я находился в относительно привилегированном положении.

К тому моменту у меня также были социальные навыки и ранние начала лидерских способностей, поэтому я назвал это своей единственной сильной стороной.Я задавал вопросы в классе и обычно старался показать, что обращаю внимание. Когда нам приходилось выполнять групповую работу, я организовывался и выступал от имени группы — или, как достойный наполовину лидер, я пытался привлечь других в группу и выделить их вклад.

Тем не менее, эта стратегия позволила мне оставаться впереди всех всего на две недели. Как только мы начали изучать что-либо, кроме исключительно лечебной математики, я отстал. Я мог организовать учебную сессию и принести кофе своим товарищам по учебной группе, но никто не скрывал того факта, что я нуждался в наставничестве.Автомеханик и мать-одиночка пытались объяснить мне формулы. Я сделал вид, что понимаю, потому что мне было неловко быть таким невежественным.

Это общественный колледж, трудно потерпеть неудачу, если вы приложите усилия, а я, безусловно, так много сделал. Я не помню свою оценку, но если она была выше тройки, я уверен, что не заслужил ее.

Эта тема была продолжена годом позже, когда я учился в аспирантуре и должен был взять уроки статистики. Вот как я описал опыт в более ранней публикации о моей квалификации:

В первую четверть обучения в аспирантуре я должен был подтвердить свою компетентность в статистике, пройдя курс.Это была катастрофа от начала до конца. Представьте, что вас бросили в класс, где каждое слово вам чуждо. Тонуть или плавать, правда? На самом деле есть другая стратегия:

В день выпускного экзамена я просмотрел листок и практически не понял ни одного из вопросов.Я написал тарабарщину на лицевой стороне и нарисовал стрелку, чтобы указать что-то на обратной стороне. На этой стороне я составил список «10 главных вещей, которые я узнал на уроках статистики». Я убедился, что некоторые из них действительно связаны с заданными материалами, даже если я их не понимал.

Каким-то образом я получил четверку и положил благодарственный подарок в виде кофейных зерен перед дверью профессора. Потом я выбыл из программы, но это уже другая история.

Зачем я вам все это рассказываю? Если вы все еще читаете, я полагаю, это либо для развлечения, либо потому, что вы слишком плохо разбираетесь в математике.

Недавно я прочитал книгу «Шпион, которая не умел писать», в которой рассказывается история американского шпиона. Шпион, Брайан Риган, был изобретательным и неумелым. Он имел допуск Совершенно секретно и закопал тысячи страниц секретных разведывательных данных в контейнерах Tupperware по всему лесам Мэриленда и Вирджинии, и все это в попытке получить миллионы долларов платежей от иностранных правительств.

Я избавлю вас от всей истории (это отличная книга!), Но одна часть раскрытия преступления зависит от государственного эксперта Дэниэла Олсона, который призван помочь взломать множество кодов, которые Риган установил для защиты своего шпионаж от раскрытия.И вот что становится интересным — не сама история шпионажа, а то, как она соотносится с нашей историей здесь:

«Олсон не так плохо учился в школе, как Риган, но так же, как Риган боролся с дислексией, Олсон боролся с тем, что он принял как серьезный, даже если гораздо более узкий, физический недостаток: неспособность учиться. Математика . Если бы он обратился за медицинской помощью, ему, возможно, поставили бы диагноз дискалькулия, дисфункция мозга, которая чрезвычайно затрудняет выполнение арифметических расчетов и понимание математических понятий.

Хотя Олсон не разделял проблемы Ригана, когда его считали неразумным со стороны друзей и учителей, его трудности с математикой были источником глубокой неадекватности, которую он чувствовал на протяжении всей школы и после года. Последняя четверка, которую он получил по этому предмету, была в третьем классе; с тех пор он постоянно становился D или хуже. Дело не в том, что Олсон был неспособен к математическим рассуждениям — он отлично справлялся с решением текстовых задач. Но числовые операции, формулы и уравнения — особенно полиномиальные выражения — парализовали его.”

Когда я прочитал этот отрывок, мое внимание возросло, и я выделил его на своем Kindle.

Перенесемся немного вперед, и старший руководитель замечает способности Олсона. Его наняли на высокопоставленную должность в Вашингтоне, где он выполняет важные задания, которые в конечном итоге приведут к его участию в поимке шпиона. Есть только одна проблема: он так и не получил степень бакалавра:

«Он не мог сказать никому в ФБР, почему у него еще нет холостяка за плечами.Несмотря на многочисленные попытки, ему не удалось пройти необходимые курсы математики. Переход из одного колледжа в другой не помог. Только с помощью консультанта по вопросам образования Олсон сумел получить степень бакалавра за те три месяца, которые у него были, и заработал кредиты по математике в колледже Саванны, где особенно добрый инструктор помог ему с оценкой «C».

Когда я это прочитал, мне показалось, что очень похоже на мою историю — ну, за исключением части о том, что для работы нужна степень, и за исключением того, что я гений, который взламывает коды.

В наши дни большинство из нас понимает, что существует более чем одна форма интеллекта. Фактически, их девять: математическое мышление, вербальный интеллект, музыкальный и кинестетический интеллект, межличностный или социальный интеллект, межличностный интеллект, натуралистический интеллект и пространственный интеллект. Тем не менее, большинство из нас могло также заметить, что некоторые из этих форм интеллекта в наше время ценятся более высоко, чем другие.

Состояние, которое могло быть у Олсона, называется дискалькулией, и Википедия описывает его следующим образом:

«Дискалькулия — это сложность в обучении или понимании арифметики, например, трудности в понимании чисел, умении манипулировать числами и изучении фактов по математике.Это обычно рассматривается как специфическое нарушение развития.

Дискалькулия может возникать у людей с любым уровнем интеллекта — часто выше среднего — наряду с трудностями со временем, измерениями и пространственным мышлением. Оценки распространенности дискалькулии колеблются от 3 до 6% населения. Четверть детей с дискалькулией страдает СДВГ ».

Я добавил акцент выше. Очевидно, что тот, кто является опытным криптографом с навыками, превосходящими навыки многих других высококвалифицированных людей, с большой вероятностью будет иметь высокий интеллект.Тем не менее, этот человек и, предположительно, многие другие также имеют это состояние, затрудняющее овладение математикой.

Я выделил последнее предложение о СДВ / СДВГ, потому что это еще одно заболевание, которому сейчас уделяется больше внимания, чем раньше, особенно среди взрослых. Давние читатели знают, что у меня диагностировали СДВ. Два года назад я начал принимать Аддерол, который изменил мою жизнь.

( Обновление : все еще принимаю, не увеличивал дозу, но все равно сильно облегчает жизнь .Я знаю, что другие опасаются этого, и могу говорить только исходя из своего опыта. Для меня это была огромная победа.)

Теперь, прежде чем люди будут жаловаться — ну, некоторые все равно будут жаловаться, но ничего страшного — я не ставлю себе диагноз дискалькулия. Я также не могу диагностировать , вы с дискалькулией, СДВ или чем-то еще. Все, что я знаю, это то, что чем бы я ни занимался, я никогда не смогу выучить высшую математику. Это был не учитель. Это не было недостатком амбиций или пренебрежением учебным временем. И, по-видимому, это было не из-за общей задержки в развитии, поскольку мне удалось сделать еще несколько вещей, несмотря на этот недостаток.

Я почувствовал облегчение, прочитав этот реальный пример того, как кто-то намного умнее меня столкнулся с такими же трудностями. Если вы тоже не смогли выучить математику (или если вы читаете это сейчас, а вы, , не можете выучить математику, ), возможно, это не ваша вина. Вместо того, чтобы пытаться преодолеть это, вы должны найти способ обойти это. Вам следует сосредоточиться на других способностях, особенно на тех, в которых вы особенно одарены. Тогда, возможно, вы обнаружите свой истинный гений.

###

Изображений: 1, 2, 3, 4, & 5

Теги: образование, уроки, рассказы, Необычные опыты

Подпишитесь сейчас, и вы будете получать лучшие сообщения всех времен.

Как научить себя математике

Немногие предметы вызывают столько воспоминаний о боли и тревоге, сколько уроки математики. Запутанные символы, сложные процедуры и ужасающие графики и диаграммы.

Некоторые люди сейчас даже предполагают, что изучение математики может быть травмирующим опытом, что-то пережитое, а не усвоенное.

Жаль, что многие люди переживают болезненную историю с математикой, потому что математика невероятно полезна. Многие из лучших профессий происходят из областей науки, науки и техники, и полагаются на понимание математики.Понимание новостей и мировых событий все чаще становится уроком статистики. Наконец, математика, если ее правильно понимать, позволяет решать многие ваши собственные проблемы.

В этой статье я хотел бы объяснить, как можно научиться любой математике, будь то статистика, алгебра или алгоритмы.

Шаг первый: начните с объяснения

Первый шаг к изучению любой математики — получить предварительное объяснение темы.

Есть много мест, где вы можете получить эту информацию.Вот несколько хороших ресурсов, охватывающих широкий круг тем:

• KhanAcademy — Огромные бесплатные ресурсы видео почти по каждой математической теме
• MIT OCW — Они начинаются на уровне университета, но обрабатывают много сложной математики
• Coursera — много уроков по математике

Кроме того, существуют еще и специализированные ресурсы. Они, как правило, не охватывают все мыслимые темы, но они часто более интересны, интуитивно понятны и полезны для тех, кто занимается:

• BetterExplained — отличные статьи, дающие интуитивное понимание исчисления, алгебры, экспонент и многого другого
• 3Blue1Brown — Отличные видеоролики на YouTube, в которых подробно рассматриваются математические концепции
• Numberphile — Беседы с математиками на интересные математические темы

Где бы вы ни получили свое объяснение, ваш первый шаг — это посмотреть его один раз, чтобы вы почувствовали, что понимаете основы того, как это работает.

Что делать, если я не понимаю объяснения?

Если вы посмотрите объяснение, но не поняли его, есть две возможные проблемы:

1. У вас отсутствуют некоторые предпосылки для понимания этой части математики . Это означает, что вам нужно сделать резервную копию и пройти через это снова. Если вам кажется, что это «пошло слишком быстро» или вы не знаете, что делает учитель, вам, возможно, придется вернуться на несколько уроков и выучить их лучше, прежде чем продолжить.
2. Вы слишком много пытаетесь охватить, не переходя на тренировку .Хороший образец — просмотреть отрывок объяснения, а затем попробовать его самостоятельно. Если вы только смотрите, но никогда не тренируетесь, это все равно что смотреть видео о лыжах и никогда не кататься на склонах. В конце концов, объяснения потеряют смысл, потому что у вас не будет личного опыта.

Попробуйте следующее: посмотрите объяснение один раз полностью в качестве отправной точки.

Шаг второй: практические задачи

Математика — это не то, что вы смотрите и запоминаете, а то, что вы делаете.

Если вы проводите все свое время за просмотром видео, а затем решаете ряд задач, вам может быть очень трудно применить свои математические знания. Это может привести к ощущению, что вы «плохо разбираетесь в математике», даже если проблема в том, что вы используете паршивый метод для ее изучения.

Вы можете исправить это, приступив к решению проблем как можно скорее. Хорошая проблема должна казаться сложной, но не невозможной. Если вы видите решение и даже не понимаете, как оно было получено, скорее всего, вы слишком быстро двигаетесь — вернитесь и изучите некоторые основы, прежде чем двигаться дальше.

Что делать, если у меня нет проблем, которые нужно решать?

Если у вас нет указанных проблем, вы можете сделать несколько вещей:

• Работа над проблемами выполняется в объяснении, но не глядя на ответ.
• Создавайте собственные проблемы и пытайтесь их решить.
• Попробуйте доказать концепции в классе. Это продвинутая техника, но она необходима для настоящего понимания более сложной математики.

Попробуйте следующее: после просмотра вашего объяснения решите достаточно задач, чтобы чувствовать себя комфортно и понимать процедуру.

Шаг третий: узнайте, почему математика работает

Интуитивное понимание очень важно для математики в отличие от других предметов. Хотя интуиция словарного запаса слов на иностранном языке может помочь, их все же необходимо запомнить. Однако запоминание математики может быть опасным, если из-за этого вы изучаете ее, не понимая.

Следующий шаг — убедить себя в том, что вы знаете, почему математика работает. Моя любимая техника для этого — техника Фейнмана, которую я демонстрирую здесь:

Техника Фейнмана требует времени, поэтому вам не нужно полностью применять ее к каждому аспекту каждой математической задачи, с которой вы сталкиваетесь.Скорее применяйте его выборочно к наиболее важным концепциям и тем, которые кажутся вам запутанными, несмотря на достаточную практику.

Попробуйте следующее: определите основные концепции математики, которую вы изучаете, и используйте технику Фейнмана, чтобы убедить себя, что вы их понимаете.

Шаг четвертый: поиграйте с математикой

Практика — это хорошо, понимание лучше, но лучше всего играть с математикой.

После того, как вы ответили на несколько заданных вам вопросов и убедились, что понимаете их, естественным продолжением будет попытка поиграть с заданной вам математикой.Как все меняется, когда вы пытаетесь изменить числа или применить это к другим задачам?

Например, предположим, что вы совсем недавно научились рассчитывать сложные проценты. Вы можете самостоятельно произвести простой расчет процентов и понять, почему они работают. Как вы могли поиграть с этой математикой?

• Вы могли видеть, что происходит, когда увеличивается скорость начисления сложных процентов.
• Что было бы, если бы процент был отрицательным?
• Вы можете попытаться подсчитать свои собственные сбережения, если бы вложили их по разным ставкам.
• Попробуйте представить, какую часть ипотечного кредита вы платите в виде процентов по сравнению с основной суммой.

Excel — это хороший способ поиграть с математикой, поскольку вы можете вводить формулы напрямую, без необходимости выполнять столько алгебры или повторения вычислений.

Попробуйте следующее: возьмите тему математики, которую вы недавно изучили, и посмотрите, как вы можете изменять переменные, применять их к разным вещам и изменять формулы.

Шаг пятый: применяйте математику вне класса

В конечном счете, целью изучения математики должно быть ее использование, а не просто сдача теста.Однако для этого вам нужно освободить свое понимание от примеров из учебника и применить его к ситуациям реального мира.

Это сложнее, чем просто решить проблему. Когда вы решите проблему, вы начнете запоминать схему решения. Это часто позволяет решать проблемы, не понимая принципов их работы.

Напротив, применение математики к реальной жизни требует распознавания ситуации, ее преобразования в математику, а затем решения созданной вами проблемы.Это строго сложнее, чем решать проблемы, поэтому, если вы хотите действительно использовать то, что вы узнали, вам нужно попрактиковаться в этом.

Попробуйте следующее: возьмите тему, которую вы недавно изучали по математике, и попытайтесь найти реальную ситуацию, в которой вы могли бы ее вычислить, используя свои собственные числа или оценки, если они недоступны.

Все это звучит как слишком много работы!

Выполнение всех этих пяти шагов по каждому предмету, который вы изучаете по математике, займет много времени.Это нормально, вам не нужно делать это для каждой мелочи, которую вам нужно изучить.

Вместо этого воспринимайте это как индикатор выполнения. Каждая математическая концепция, которую вы изучаете, может проходить от первого до пятого шагов, с каждым разом углубляя ваши знания и повышая полезность математики. Некоторые концепции будут настолько важны, что вы захотите применить их полностью. Другие будут достаточно редки, чтобы просто посмотреть объяснение — это все, что вы можете сэкономить.

В частности, вы должны попытаться сосредоточиться на наиболее важных концепциях для каждой идеи.Математика имеет тенденцию быть глубокой, поэтому часто на занятиях в течение всего семестра может быть только горстка действительно больших идей, а все остальные идеи являются просто различными проявлениями этой основной концепции.

Большинство курсов по математике первого года обучения, например, все сосредоточены вокруг концепции производной, причем все, что преподается, является просто различными расширениями и приложениями этой основной идеи. Если вы действительно понимаете, что такое производная и как она работает, эти другие части будет намного легче изучить.

Переходим от полного ионного уравнения к краткому

← Начало статьи

Пора двигаться дальше. Как мы уже знаем, полное ионное уравнение нуждается в «чистке». Необходимо удалить те частицы, которые присутствуют и в правой, и в левой частях уравнения. Эти частицы иногда называют «ионами-наблюдателями»; они не принимают участия в реакции.

В принципе, ничего сложного в этой части нет. Нужно лишь быть внимательным и осознавать, что в некоторых случаях полное и краткое уравнения могут совпадать (подробнее — см. пример 9).

Пример 5. Составьте полное и краткое ионные уравнения, описывающие взаимодействие кремниевой кислоты и гидроксида калия в водном растворе.

Решение. Начнем, естественно, с молекулярного уравнения:

H₂SiO₃ + 2KOH = K₂SiO₃ + 2H₂O.

Кремниевая кислота — один из редких примеров нерастворимых кислот; записываем в молекулярной форме. KOH и K₂SiO₃ пишем в ионной форме. H₂O, естественно, записываем в молекулярной форме:

H₂SiO₃ + 2K⁺ + 2OH^— = 2K⁺ + SiO₃^2- + 2H₂O.

Видим, что ионы калия не изменяются в ходе реакции. Данные частицы не принимают участия в процессе, мы должны убрать их из уравнения. Получаем искомое краткое ионное уравнение:

H₂SiO₃ + 2OH^— = SiO₃^2- + 2H₂O.

Как видите, процесс сводится к взаимодействию кремниевой кислоты с ионами OH^—. Ионы калия в данном случае не играют никакой роли: мы могли заменить КОН гидроксидом натрия или гидроксидом цезия, при этом в реакционной колбе протекал бы тот же самый процесс.

Пример 6. Оксид меди (II) растворили в серной кислоте. Напишите полное и краткое ионные уравнения данной реакции.

Решение. Основные оксиды реагируют с кислотами с образованием соли и воды:

H₂SO₄ + CuO = CuSO₄ + H₂O.

Соответствующие ионные уравнения приведены ниже. Думаю, комментировать что-либо в данном случае излишне.

2H⁺ + SO₄^2- + CuO = Cu²⁺ + SO₄^2- + H₂O

2H⁺ + CuO = Cu²⁺ + H₂O

Пример 7. C помощью ионных уравнений опишите взаимодействие цинка с соляной кислотой.

Решение. Металлы, стоящие в ряду напряжений левее водорода, реагируют с кислотами с выделением водорода (специфические свойства кислот-окислителей мы сейчас не обсуждаем):

Zn + 2HCl = ZnCl₂ + H₂↑.

Полное ионное уравнение записывается без труда:

Zn + 2H⁺ + 2Cl^— = Zn²⁺ + 2Cl^— + H₂↑.

К сожалению, при переходе к краткому уравнению в заданиях такого типа школьники часто делают ошибки. Например, убирают цинк из двух частей уравнения. Это грубая ошибка! В левой части присутствует простое вещество, незаряженные атомы цинка. В правой части мы видим ионы цинка. Это совершенно разные объекты! Попадаются и еще более фантастические варианты. Например, в левой части зачеркиваются ионы H+, а в правой — молекулы H₂. Мотивируют это тем, что и то, и другое является водородом. Но тогда, следуя этой логике, можно, например, считать, что H₂, HCOH и CH₄ — это «одно и тоже», т. к. во всех этих веществах содержится водород. Видите, до какого абсурда можно дойти!

Естественно, в данном примере мы можем (и должны!) стереть только ионы хлора. Получаем окончательный ответ:

Zn + 2H⁺ = Zn²⁺ + H₂↑.

В отличие от всех разобранных выше примеров, данная реакция является окислительно-восстановительной (в ходе данного процесса происходит изменение степеней окисления). Для нас, однако, это совершенно непринципиально: общий алгоритм написания ионных уравнений продолжает работать и здесь.

Пример 8. Медь поместили в водный раствор нитрата серебра. Опишите происходящие в растворе процессы.

Решение. Более активные металлы (стоящие левее в ряду напряжений) вытесняют менее активные из растворов их солей. Медь находится в ряду напряжений левее серебра, следовательно, вытесняет Ag из раствора соли:

Сu + 2AgNO₃ = Cu(NO₃)₂ + 2Ag↓.

Полное и краткое ионные уравнения приведены ниже:

Cu⁰ + 2Ag⁺ + 2NO₃^— = Cu²⁺ + 2NO₃^— + 2Ag↓⁰,

Cu⁰ + 2Ag⁺ = Cu²⁺ + 2Ag↓⁰.

Дабы уберечь вас от соблазна считать, что Сu²⁺ и Cu (или Ag⁺ и Ag) — это «одно и то же», я снабдил нейтральные атомы нулевыми зарядами. Естественно, ионами-наблюдателями являются ионы NO₃^— (и только они!).

Пример 9. Напишите ионные уравнения, описывающие взаимодействие водных растворов гидроксида бария и серной кислоты.

Решение. Речь идет о хорошо знакомой всем реакции нейтрализации, молекулярное уравнение записывается без труда:

Ba(OH)₂ + H₂SO₄ = BaSO₄↓ + 2H₂O.

Полное ионное уравнение:

Ba²⁺ + 2OH^— + 2H⁺ + SO₄^2- = BaSO₄↓ + 2H₂O.

Пришло время составлять краткое уравнение, и тут выясняется интересная деталь: сокращать, собственно, нечего. Мы не наблюдаем одинаковых частиц в правой и левой частях уравнения. Что делать? Искать ошибку? Да нет, никакой ошибки здесь нет. Встретившаяся нам ситуация нетипична, но вполне допустима. Здесь нет ионов-наблюдателей; все частицы участвуют в реакции: при соединении ионов бария и сульфат-аниона образуется осадок сульфата бария, а при взаимодействии ионов H⁺ и OH^— — слабый электролит (вода).

«Но, позвольте!» — воскликните вы. — «Как же нам составлять краткое ионное уравнение?»

Никак! Вы можете сказать, что краткое уравнение совпадает с полным, вы можете еще раз переписать предыдущее уравнение, но смысл реакции от этого не изменится. Будем надеяться, что составители вариантов ЕГЭ избавят вас от подобных «скользких» вопросов, но, в принципе, вы должны быть готовы к любому варианту развития событий.

Пора начинать работать самостоятельно. Предлагаю вам выполнить следующие задания:

Упражнение 6. Составьте молекулярные и ионные уравнения (полное и краткое) следующих реакций:

1. Ba(OH)₂ + HNO₃ =
2. Fe + HBr =
3. Zn + CuSO₄ =
4. SO₂ + KOH =

Как решать задание 31 на ЕГЭ по химии

В принципе, алгоритм решения данной задачи мы уже разобрали. Единственная проблема заключается в том, что на ЕГЭ задание формулируется несколько… непривычно. Вам будет предложен список из нескольких веществ. Вы должны будете выбрать два соединения, между которыми возможна реакция, составить молекулярное и ионные уравнения. Например, задание может формулироваться следующим образом:

Пример 10. В вашем распоряжении имеются водные растворы гидроксида натрия, гидроксида бария, сульфата калия, хлорида натрия и нитрата калия. Выберите два вещества, которые могут реагировать друг с другом; напишите молекулярное уравнение реакции, а также полное и краткое ионные уравнения.

Решение. Вспоминая свойства основных классов неорганических соединений, приходим к выводу, что единственная возможная реакция — это взаимодействие водных растворов гидроксида бария и сульфата калия:

Ba(OH)₂ + K₂SO₄ = BaSO₄↓ + 2KOH.

Полное ионное уравнение:

Ba²⁺ + 2OH^— + 2K⁺ + SO₄^2- = BaSO₄↓ + 2K⁺ + 2OH^—.

Краткое ионное уравнение:

Ba²⁺ + SO₄^2- = BaSO₄↓.

Кстати, обратите внимание на интересный момент: краткие ионные уравнения получились идентичными в данном примере и в примере 1 из первой части данной статьи. На первый взгляд, это кажется странным: реагируют совершенно разные вещества, а результат одинаковый. В действительности, ничего странного здесь нет: ионные уравнения помогают увидеть суть реакции, которая может скрываться под разными оболочками.

И еще один момент. Давайте попробуем взять другие вещества из предложенного списка и составить ионные уравнения. Ну, например, рассмотрим взаимодействие нитрата калия и хлорида натрия. Запишем молекулярное уравнение:

KNO₃ + NaCl = NaNO₃ + KCl.

Пока все выглядит достаточно правдоподобно, и мы переходим к полному ионному уравнению:

K⁺ + NO₃^— + Na⁺ + Cl^— = Na⁺ + NO₃^— + K⁺ + Cl^—.

Начинаем убирать лишнее и обнаруживаем неприятную деталь: ВСЕ в этом уравнении является «лишним». Все частица, присутствующие в левой части, мы находим и в правой. Что это означает? Возможно ли такое? Да, возможно, просто никакой реакции в данном случае не происходит; частицы, изначально присутствовавшие в растворе, так и останутся в нем. Реакции нет!

Видите, в молекулярном уравнении мы спокойно написали чепуху, но «обмануть» краткое ионное уравнение не удалось. Это тот самый случай, когда формулы оказываются умнее нас! Запомните: если при написании краткого ионного уравнения, вы приходите к необходимости убрать все вещества, это означает, что либо вы ошиблись и пытаетесь «сократить» что-то лишнее, либо данная реакция вообще невозможна.

Пример 11. Карбонат натрия, сульфат калия, бромид цезия, соляная кислота, нитрат натрия. Из предложенного перечня выберите два вещества, которые способны прореагировать друг с другом, напишите молекулярное уравнение реакции, а также полное и краткое ионные уравнения.

Решение. В приведенном списке присутствуют 4 соли и одна кислота. Соли способны реагировать друг с другом только в том случае, если в ходе реакции образуется осадок, но ни одна из перечисленных солей не способна образовать осадок в реакции с другой солью из этого списка (проверьте этот факт, пользуясь таблицей растворимости!) Кислота способна прореагировать с солью лишь в том случае, когда соль образована более слабой кислотой. Серная, азотная и бромоводородная кислоты не могут быть вытеснены действием HCl. Единственный разумный вариант — взаимодействие соляной кислоты с карбонатом натрия.

Na₂CO₃ + 2HCl = 2NaCl + H₂O + CO₂↑

Обратите внимание: вместо формулы H₂CO₃, которая, по идее, должна была образоваться в ходе реакции, мы пишем H₂O и CO₂. Это правильно, т. к. угольная кислота крайне неустойчива даже при комнатной температуре и легко разлагается на воду и углекислый газ.

При записи полного ионного уравнения учитываем, что диоксид углерода не является электролитом:

2Na⁺ + CO₃^2- + 2H⁺ + 2Cl^— = 2Na⁺ + 2Cl^— + H₂O + CO₂↑.

Убираем лишнее, получаем краткое ионное уравнение:

CO₃^2- + 2H⁺ = H₂O + CO₂↑.

А теперь поэкспериментируйте немного! Попробуйте, как мы это сделали в предыдущей задаче, составить ионные уравнения неосуществимых реакций. Возьмите, например, карбонат натрия и сульфат калия или бромид цезия и нитрат натрия. Убедитесь, что краткое ионное уравнение вновь окажется «пустым».

Пора двигаться дальше. В третьей части статьи мы:

1. рассмотрим еще 6 примеров решения заданий ЕГЭ-31,
2. обсудим, как составлять ионные уравнения в случае сложных окислительно-восстановительных реакций,
3. приведем примеры ионных уравнений с участием органических соединений,
4. затронем реакции ионного обмена, протекающие в неводной среде.

Продолжение статьи →

www.repetitor2000.ru

Конспект «Реакции ионного обмена. Ионное уравнение»

Реакции ионного обмена. Ионное уравнение

Ключевые слова конспекта: свойства ионов, определение ионов, реакции ионного обмена, ионное уравнение, реакции в растворах электролитов.

Свойства ионов

Число электронов в атоме равно числу протонов. Протоны и нейтроны прочно связаны друг с другом и образуют ядро атома. Ион – атом или часть молекулы, где есть неравное количество электронов и протонов. Если электронов больше, чем протонов, то ион называют отрицательным. Иначе ион называют положительным.

Ионы отличаются от атомов строением и свойствами. Некоторые ионы бесцветны, а другие имеют определенный цвет. Для каждого из ионов характерны специфические химические свойства.

Таблица 1. Определение ионов

* При определении галогенид-ионов с помощью серной кислоты используют твердую соль.

Ионное уравнение

В водных растворах все электролиты в той или иной степени распадаются на ионы и реакции происходят между ионами.

Сущность реакций в растворах электролитов отражается ионным уравнением. В ионном уравнении учитывается то, что сильный электролит в растворе находится в диссоциированном виде. Формулы слабых электролитов и нерастворимых в воде веществ в ионных уравнениях принято записывать в недиссоциированной на ионы форме. Растворимость электролита в воде нельзя считать критерием его силы. Многие нерастворимые в воде соли являются сильными электролитами, однако концентрация ионов в растворе оказывается низкой вследствие низкой растворимости. Именно поэтому в уравнениях их формулы записывают в недиссоциированной форме.

При составлении ионных уравнений реакций с участием сильных кислот часто для упрощения записывают формулу иона Н⁺, а не H₃O⁺.

Реакции в растворах электролитов происходят в направлении связывания ионов. Существует несколько форм связывания ионов: образование осадков, выделение газообразных веществ, образование слабых электролитов. Рассмотрим конкретные примеры:

1. Образование осадков.

Уравнение в молекулярном виде:  Ca(NO₃)₂ + Na₂CO₃ = СаСO₃↓ + 2NaNO₃

Полное ионное уравнение:

Сокращенное ионное уравнение:

2. Выделение газов (например, СO₂, SO₂, H₂S, NH₃):

3. Образование слабых электролитов (например, воды, слабых кислот):

а) КОН + НCl = КCl + H₂O
К⁺ + OH^– + Н⁺ + Cl^– = К⁺ + Cl^– + H₂O
OH^– + Н⁺ = H₂O

б) HNO₂ – азотистая кислота (слабая):
NaNO₂ + НCl = NaCl + HNO₂
Na⁺ + NO₂ + Н⁺ + Cl^– = Na⁺ + Cl^– + HNO₂
NO₂^– + Н⁺ = HNO₂

Иногда реакции в растворах электролитов осуществляются с участием нерастворимых веществ или слабых электролитов в направлении более полного связывания ионов. Например, мрамор растворяется в соляной кислоте с образованием углекислого газа:

Таблица 2. Уравнения ионных реакций

Реакции ионного обмена

Для ионных реакций выражение «в молекулярном виде», как и сама запись, является условным. При анализе приведенных в Таблице 2 уравнений реакций выясняется, что реакции ионного обмена протекают до конца в следующих случаях:

1. если выпадает осадок;
2. если выделяется газ;
3. если образуется малодиссоциирующее вещество, например вода.

Если в растворе нет таких ионов, которые могут связываться между собой, реакция обмена не протекает до конца, т. е. является обратимой. При составлении уравнений таких реакций, как и при составлении уравнений диссоциации слабых электролитов, ставится знак обратимости.

Чтобы сделать вывод о протекании реакции ионного обмена до конца, надо использовать данные таблицы растворимости солей, оснований и кислот в воде.

Чтобы составить уравнения всех возможных реакций, в которых участвуют хлорид магния и другие растворимые в воде вещества, рассуждают так:

• Убеждаются, растворимо ли в воде взятое вещество, в данном случае хлорид магния MgCl2.
• Приходят к выводу, что хлорид магния MgCl2 будет реагировать только с такими растворимыми в воде веществами, которые способны осадить либо ионы Mg²⁺, либо хлорид-ионы Сl^–.
• Ионы Mg²⁺ можно осадить: а) ионами ОН^–, т. е. нужно подействовать любой щелочью, что приведет к образованию малорастворимого гидроксида магния Mg(OH)2; б) при действии растворимыми в воде солями, содержащими один из следующих анионов: . Для этого можно воспользоваться солями натрия, калия и аммония, содержащими указанные анионы, так как эти соли растворимы в воде.
• Хлорид-ионы Сl^– можно осадить катионами Ag⁺+ и Pb²⁺. Поэтому для проведения реакции нужно выбрать растворимые соли, содержащие эти катионы.

При составлении уравнений реакций ионного обмена, в которых образуются газообразные вещества, следует учесть, что анионы  способны реагировать с кислотами с образованием соответствующего газа, например:

В свете представлений об электролитической диссоциации кислот, оснований и солей общие свойства этих веществ определяются наличием общих ионов, которые входят в их состав

Конспект урока «Реакции ионного обмена. Ионное уравнение».

Следующая тема: «».

uchitel.pro

Задания на тему «Ионные уравнения»

Если в результате реакции выделяется газообразное вещество.

Задание №1.
Определите, может ли осуществляться взаимодействие между растворами следующих веществ, записать реакциив молекулярном,полном, кратком ионном виде:
гидроксид калия и хлорид аммония.

Решение

— Составляем химические формулы веществ по их названиям, используя валентности и записываем РИО в молекулярном виде (проверяем растворимость веществ по ТР):

KOH + Nh5Cl = KCl + Nh5OH

так как Nh5OH неустойчивое вещество и разлагается на воду и газ Nh4 уравнение РИО примет окончательный вид

KOH (p) + Nh5Cl (p) = KCl (p) + Nh4 ↑+ h3O

-Cоставляем полное ионное уравнение РИО, используя ТР (не забывайте в правом верхнем углу записывать заряд иона):

K+ + OH- + Nh5+ + Cl- = K+ + Cl- + Nh4 ↑+ h3O

— Cоставляем краткое ионное уравнение РИО, вычёркивая одинаковые ионы до и после реакции:

OH^— + Nh5⁺ = Nh4 ↑+ h3O

— Делаем вывод:
Взаимодействие между растворами следующих веществ может осуществляться, так как продуктами данной РИО являются газ (Nh4 ↑) и малодиссоциирующее вещество вода (h3O).

Задание №2

Дана схема:

2H⁺ + CO3^2- = H₂O + CO₂↑

Подберите вещества, взаимодействие между которыми в водных растворах выражается следующими сокращёнными уравнениями. Составьте соответствующие молекулярное и полное ионное уравнения.

Решение

— Используя ТР подбираем реагенты — растворимые в воде вещества, содержащие ионы 2H⁺и CO₃^2-.

Например, кислота — H₃PO₄ (p) и соль -K₂CO₃ (p).

— Составляем молекулярное уравнение РИО:

2H₃PO₄ (p) +3 K₂CO₃ (p) -> 2K₃PO₄ (p) + 3H₂CO₃ (p)

так как угольная кислота – неустойчивое вещества, она разлагается на углекислый газ CO₂ ↑ и воду H₂O, уравнение примет окончательный вид:

2H₃PO₄ (p) +3 K₂CO₃ (p) -> 2K₃PO₄ (p) + 3CO₂ ↑ + 3H₂O

— Составляем полное ионное уравнение РИО:

6H⁺ +2PO₄^3- + 6K⁺ + 3CO₃^2- -> 6K⁺+ 2PO₄^3-+ 3CO₂ ↑ + 3H₂O

-Составляем краткое ионное уравнение РИО:

6H⁺ +3CO₃^2- = 3CO₂ ↑ + 3H₂O

Сокращаем коэффициенты на три и получаем:

2H⁺ +CO₃^2- = CO₂ ↑ + H₂O

— Делаем вывод:

В конечном итоге мы получили искомое сокращённое ионное уравнение, следовательно, задание выполнено верно.

Задание №3

Запишите реакцию обмена между оксидом натрия и фосфорной кислотой в молекулярном, полном и кратком ионном виде.

1. Составляем молекулярное уравнение, при составлении формул учитываем валентности (см. ТР)

3Na₂O (нэ) + 2H₃PO₄ (р) -> 2Na₃PO₄ (р) + 3H₂O (мд)

где нэ — неэлектролит, на ионы не диссоциирует,
мд — малодиссоциирующее вещество, на ионы не раскладываем, вода — признак необратимости реакции

2. Составляем полное ионное уравнение:

3Na₂O + 6H⁺ + 2PO₄^3- -> 6Na⁺ + 2PO₄^3- + 3H₂O

3. Сокращаем одинаковые ионы и получаем краткое ионное уравнение:

3Na₂O + 6H⁺ -> 6Na⁺ + 3H₂O
Сокращаем коэффициенты на три и получаем:
Na₂O + 2H⁺ -> 2Na⁺ + H₂O

Данная реакция необратима, т.е. идёт до конца, так как в продуктах образуется малодиссоциирующее вещество вода.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1

Посмотрите следующий эксперимент 

Взаимодействие карбоната натрия и серной кислоты 

Составьте уравнение реакции ионного обмена карбоната натрия с серной кислотой в молекулярном, полном и кратком ионном виде.

Задание №2
Закончите уравнения реакций в молекулярном, полном и кратком ионном виде:

ZnF₂ + Ca(OH)₂ ->
K₂S + H₃PO₄ ->

При выполнении задания используйте таблицу растворимости веществ в воде. Помните об исключениях!

Задание №3

Посмотрите следующий эксперимент 

Осаждение сульфата бария 

Составьте уравнение реакции ионного обмена хлорида бария с сульфатом магния в молекулярном, полном и кратком ионном виде.

Задание №4

Закончите уравнения реакций в молекулярном, полном и кратком ионном виде:

Hg(NO₃)₂ + Na₂S ->
K₂SO₃ + HCl ->

соль+металл
Zn + CuSO4 = ZnSO4 + Cu↓
Cu(2+) + SO4(2-) + Zn(0) => Cu(0) + Zn(2+) + So4(2-)
Cu(2+) + Zn(0) => Cu(0) + Zn(2+)

соль+кислота
Na2CO3 + 2HCl(разб. ) = 2NaCl + CO2↑ + h3O
Полная форма:
2Nа+ + CO32− + 2H+ + 2Cl− = 2Na+ + 2Cl− + CO2↑ + h3O
Краткая форма:
2Nа+ + CO32− + 2H+ = 2Na+ + CO2↑ + h3O

соль+щёлочь
CaCl2 + 2NaOH(конц. ) = Ca(OH)2↓ + 2NaCl
Полная форма:
Ca2+ + 2Cl− + 2Na+ + 2OH− = Ca(OH)2↓ + 2Na+ +2Cl−
Краткая форма:
Ca2+ + 2OH− = Ca(OH)2↓

соль+соль
BaCl2 + Na2SO4 = BaSO4↓ + 2NaCl
Полная форма: Ba2+ + 2Cl− + 2Na+ + SO42− = BaSO4↓ + 2Na+ + 2Cl−

infourok.ru

Ионные уравнения реакций | CHEM-MIND.com

Ионные уравнения реакций

Часто меня спрашивают как составлять ионные уравнения?

Как вам уже известно из предыдущих уроков химии, большая часть химических реакций происходит в растворах. А так как все растворы электролитов включают ионы, то можно говорить о том, что реакции в растворах электролитов сводятся к реакциям между ионами.

Вот такие реакции, которые происходят между ионами, носят название ионных реакций. А ионные уравнения – это, как раз и есть уравнения этих реакций. Так как же составлять ионные реакции?

Правила составления ионных уравнений реакций:

1. Диссоциацию простых веществ, оксидов, нерастворимых кислот, оснований и солей, а также слабых электролитов не учитывают, записывая вещества в молекулярной форме.
2. Если в реакции участвует малорастворимое вещество, то в реакцию оно вступает в виде ионов и записывается в диссоциированном виде, а в качестве продукта реакции малорастворимое вещество считается осадком и записывается в молекулярной форме.
3. Сумма зарядов ионов в левой и правой частях уравнения должны быть равны (проверить в кратком ионном уравнении)

Условия протекания ионных уравнений реакций практически до конца (правило Бертолле):

1. Выпадение осадка
2. Выделение газа
3. Образование малодиссоциирующего вещества (например, воды)

Если ни одно из этих условий не выполняется, то ионная реакция в растворе считается обратимой, все ионы в ней находятся в равновесии.

www.chem-mind.com

Внеклассный урок — Примеры составления уравнений реакции ионного обмена

Примеры составления уравнений реакции ионного обмена

НЕОБРАТИМЫЕ РЕАКЦИИ

Реакции с образованием малорастворимых веществ (осадков).

Составим молекулярное и ионно-молекулярные уравнения реакции между растворами хлорида железа(III) и гидроксида натрия.

1. Запишем молекулярное уравнение и подберем коэффициенты:

                      FeCl₃   +   3NaOH  =  Fe(OH)₃   +  3NaCl

2. Найдем вещество, которое вызывает протекание реакции. Это Fe(OH)₃. Ставим знак осадка ↓:

                      FeCl₃   +   3NaOH  = Fe(OH)₃↓  + 3NaCl

3. Укажем силу основания и растворимость солей:

                      FeCl₃       +      3NaOH     =    Fe(OH)₃↓     +    3NaCl

               растворимая          сильное           осадок           растворимая

                      соль                основание                                      соль

4. Запишем полное ионно-молекулярное уравнение (в виде ионов представляем растворимые соли и сильное основание):

                      Fe³⁺  + 3Cl ^–  + 3Na⁺  + 3OH ^–  =  Fe(OH)₃↓  + 3Na⁺ + 3Cl ^–

5. Подчеркнем формулы, не участвующие в реакции (это формулы одинаковых ионов в обеих частях уравнения):

                      Fe³⁺  + 3Cl ^–  + 3Na⁺  + 3OH ^–  =  Fe(OH)₃↓  + 3Na⁺ + 3Cl ^–

6. Исключим подчеркнутые формулы и получим сокращенное ионно-молекулярное уравнение:

                      Fe³⁺  + 3OH ^–  =  Fe(OH)₃↓

Сокращенное ионно-молекулярное показывает, что сущность реакции сводится к взаимодействию ионов  Fe³⁺ и OH ^–, в результате чего образуется осадок гидроксида железа(III) Fe(OH)₃.

Реакции с образованием слабодиссоциирующих веществ (слабых электролитов).

Составим молекулярное и ионно-молекулярные уравнения реакции между растворами азотной кислоты и гидроксида калия.

Молекулярное уравнение:

                      HNO₃      +      KOH         =       KNO₃        +       H₂O

                    сильная           сильное           растворимая         слабый 

                    кислота          основание              соль              электролит

Полное молекулярно-ионное уравнение:

                      H⁺  +  NO₃^–   +   K⁺  +  OH ^–   =   K⁺  NO₃^–  +   H₂O

Сокращенное ионно-молекулярное уравнение:

                      H⁺  +  OH ^–  =  H₂O

Реакции с образованием газообразных веществ.

Составим молекулярное и ионно-молекулярные уравнения реакции между растворами сульфида натрия и серной кислоты.

Молекулярное уравнение:

                        Na₂S       +       H₂SO₄       =       Na₂SO₄       +       H₂S↑

                 растворимая         сильная             растворимая              газ

                          соль              кислота                  соль

Полное молекулярно-ионное уравнение:

                        2Na⁺  +   S^2–   +   2H⁺   +   SO₄^2–   =   2Na⁺   +   SO₄^2–   +   H₂S↑

Сокращенное ионно-молекулярное уравнение:

                        2H⁺   + S^2–  =  H₂S↑

ОБРАТИМЫЕ РЕАКЦИИ

Разберем процессы, протекающие при сливании растворов нитрата калия и хлорида натрия.

Молекулярное уравнение:

                        KNO₃         +         NaCl         =         KCl          +        NaNO₃

                   растворимая        растворимая       растворимая         растворимая

                         соль                     соль                       соль                     соль

Полное молекулярно-ионное уравнение:

                        K⁺  +  NO₃^–  +  Na⁺  +  Cl ^–  ⇄  K⁺  +  Cl ^–  +  Na⁺ +  NO₃^–

В данном случае сокращенное ионно-молекулярное уравнение написать нельзя: согласно теории электролитической диссоциации, реакция не протекает. Если такой раствор выпарить, то получим смесь четырех солей: KNO₃,  NaCl,  KCl,  NaNO₃.

raal100.narod.ru

Как составлять ионные, молекулярные уравнения?

Молекулярное уравнение это обычное уравнение, которыми мы часто пользуемся на уроке. Например: NaOH+HCl -> NaCl+h3O CuO+h3SO4 -> CuSO4+h3O h3SO4+2KOH -> K2SO4+2h3O и т. д Ионное уравнение. Некоторые вещества растворяются в воде, образуя при этом ионы. Эти вещества можно записать с помощью ионов. А малорастворимые или труднорастворимые оставляем в первоначальном виде. Это и есть ионное уравнение. Например: 1) CaCl2+Na2CO3 -> NaCl+CaCO3-молекулярное уравнение Ca+2Cl+2Na+CO3 -> Na+Cl+CaCO3-ионное уравнение Cl и Na остались такими же, какими они были до реакции, т. н. они не приняли в нём участие. И их можно убрать и из правой, и из левой частей уравнения. Тогда получается: Ca+CO3 -> CaCO3 2) NaOH+HCl -> NaCl+h3O-молекулярное уравнение Na+OH+H+Cl -> Na+Cl+h3O-ионное уравнение Na и Cl остались такими же, какими они были до реакции, т. н. они не приняли в нём участие. И их можно убрать и из правой, и из левой частей уравнения. Тогда получается? OH+H -> h3O Надеюсь, что это принесёт Вам пользу. УДАЧИ!

pb(OH)2 потом pbO потом pb(NO3)2 потом pb (OH)2

О­ль­га, сп­ас­иб­о, что по­с­ове­то­ва­ла <a rel=»nofollow» href=»https://ok.ru/dk?cmd=logExternal&amp;st.cmd=logExternal&amp;st.link=http://mail.yandex.ru/r?url=http://fond2019.ru/&amp;https://mail.ru &amp;st.name=externalLinkRedirect&amp;st» target=»_blank»>fond2019.ru</a> В­ы­п­ла­тил­и 28 т­ысяч за 20 минут как ты и написа­л­а. Ж­аль что р­а­ньше н­е з­н­а­л­а пр­о та­ки­е фонд­ы, н­а раб­о­т­у бы х­о­ди­ть не п­р­и­шл­о­с­ь:)

touch.otvet.mail.ru

a/b

+ Y

c/d

= (X + Y) + (

a/b

+

c/d

)

 
Примечание: Если дробные части имеют разные знаменатели, значит их сперва нужно привести к наименьшему общему знаменателю, и только после этого складывать.

Примеры задач

Задание 1

4/11

 и 

7/11

.

 
Решение

Т.к. у нас дроби с одинаковыми знаменателями, то:

4/11

+

7/11

=

4+7/11

=

11/11

=1

 
Задание 2

5/12

 и 

4/7

.

 
Решение

В данном случае нам сначала нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 84, следовательно, дополнительный множитель для первой дроби – число 7, для второй – 12.

5/12

=

5⋅7/12⋅7

=

35/84

4/7

=

4⋅12/7⋅12

=

48/84

 
Таким образом, мы получили дроби с одинаковыми знаменателями, и теперь их можно сложить:

35/84

+

48/84

=

35+48/84

=

83/84

 
Задание 3

6/13

 и 5

3/13

.

 
Решение

Дробные части имеют один и тот же знаменатель, значит мы сразу же можем выполнить сложение:

6/13

 + 5

3/13

 = 2 + 5 + (

6/13

 + 

3/13

) = 7 + 

6+3/13

 = 7

9/13

правила, примеры, решения, как умножить натуральное число на смешанную дробь

Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.

Умножение смешанных чисел

Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Используем правила умножения смешанных чисел:

• Умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
• Использование правила умножения дроби на дробь.

Рассмотрим решения на примерах.

Сделать умножение 357 и 1211.

Решение

Для начала умножаем смешанные числа в виде неправильных дробей: 357=3·7+57=267 и 1211=1·11+211=1311.

Умножение смешенных дробей заменяем умножением обыкновенных: 357·1211=267·1311.

После чего получим 267·1311=26·137·11=33877.

Дробь несократимая, поэтому выделяем целую часть:33877=43077.

В итоге получим 357·1211=267·1311=26·137·11=33877=43077.

Ответ: 357·1211=43077.

Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.

Произвести умножение 715·119.

Решение

Смешанные числа 715 и 119 можно представить в виде неправильных дробей: 135 и 109.

Получим, что 715·119=365·109=36·105·9.

Этот этап характеризуется применением правила сокращения дроби, тогда получим 36·105·9.

Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:

36·105·9=2·2·3·3·2·55·3·3=2·2·21=8

Ответ: 715·119=8.

Умножение смешенного и натурального числа

После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби  и натурального числа.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Произвести умножение 2518 и 45.

Решение

Представляем смешанное число 2518 в виде неправильной дроби 4118, получим 2518·45=4118·45=41·4518. Необходимо заменить на простые множители и выделить целую часть:

41·4518=41·3·3·52·3·3=41·52=2052=10212

Ответ: 2518·45=10212.

Умножение смешенного и натурального числа рассматривается, как решение с распределительным свойством умножения относительно сложения. Получаем, что произведение смешанного  и натурального числа равно сумме произведений целой части на натурально число и дробной части на данное натуральное число, тогда получаем, что abc·n=a+bc·n=a·n+bc·n.

Вычислить 1038·8.

Решение

Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:

1038·8=10+38·8=10·8+38·8=80+3=83

Ответ: 1038·8=83.

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.

Умножить 323 на 415.

Решение

Заменим данное смешанное число 323 при помощи дроби 113, тогда получим, что 323·415=113·415=4·113·15=4445.

Ответ: 323·415=4445.

Сложение и вычитание смешанных чисел (Вольфсон Г.И.). Вычитание смешанных дробей

Решение сложных примеров правильно – непосильная задача для тех, кто не понимает в математике элементарных правил и законов. Сложение и вычитание смешанных чисел по праву можно отнести к сложным примерам. Однако, при правильном разборе самих чисел можно легко проводить любые действия.

Что это такое?

Смешанное число – это комбинация целой части и дробной. К примеру, имеется 2 и 3, из них 2 – это простое число, а вот 3 – это уже смешанное, где 3 – целая часть, а – дробная. Представленные разновидности складываются и вычитаются по-разному, но не влекут сложностей в самостоятельном решении примеров.

Полноценный разбор примера

Для полноценного представления сущности смешанного значения следует привести в пример задачу, которая поможет отобразить смысл повествования задуманного. Итак, Вася проехал круг вокруг школы на велосипеде за 1 минуту и 30 секунд, а потом еще круг прошел пешком за 3 минуты и 30 секунд. Сколько времени затратил Вася на всю прогулку вокруг школы?

Этот пример направлен на сложение смешанных чисел, которые предварительно в данном случае даже не придется переводить в секунды. Получается, что сложение осуществляется путем отдельного прибавления минут и секунд. В результате получим следующий результат:

1. Сложение минут – 1+3=4.
2. Сложение секунд = 30+30=60 секунд = 1 минута.
3. Общее значение 4 минуты+1 минута = 5 минут.

Если исходить из математического отображения, то представленные действия можно выделить в одном выражении:

Из представленного выше становится понятным, что складывать смешанные числа следует в отдельности по частям – сначала целые части, а затем дробные. Если дробное число дает еще целое значение, его также складывают с целым полученным ранее значением. К полученному целому значению прибавляют дробную часть – получается смешанное число.

Правила сложения

Для закрепления изученного следует привести правило сложения смешанных чисел. Здесь следует воспользоваться следующей последовательностью:

1. Для начала отделить от значения части – на целую и дробную.
2. Теперь сложить целые части.
3. Далее сложить дробные.
4. Если из дробного числа можно извлечь еще целую часть – перевести в смешанное значение – значит, проводят подобную разбивку.
5. Полученную целую часть из дробного значения складывают с целым ранее полученным значением.
6. К целой части прибавляют дробную.

Для пояснения следует привести несколько примеров:

Сложение смешанных чисел происходит по тому же алгоритму, что и вычитание, поэтому далее будет подробно рассмотрено следующее действие.

Правила вычитания

Как и в первом случае, для вычитания смешанных значений существует правило, но оно в корне отличается от предыдущей последовательности. Итак, здесь следует придерживаться последовательности:

1. Пример на вычитание представляется в виде: уменьшаемое – вычитаемое = разность.
2. В связи с приведенным уравнением следует предварительно сравнить дробные части представленных чисел.
3. Если у уменьшаемого дробная часть больше, значит, вычитание проводится по тому же признаку, что и при сложении – сначала вычитаются целые, а затем дробные значения. Оба результата складывают.
4. Если у уменьшаемого дробное значение меньше, значит, их предварительно переводят в неправильную дробь и осуществляют стандартное вычитание.
5. Из полученной разницы определяют целую часть и дробную.

Для пояснения следует привести следующие примеры:

Из представленной статьи стало понятным, как проводить сложение и вычитание смешанных чисел. В описанном выше примере видно, что не всегда приходится видоизменять числа – переводить их из простых дробей в сложные. Зачастую достаточно просто сложить или вычесть целые и дробные значения по отдельности, что для человека с большим опытом можно легко провести в уме.

В статье подробно рассмотрены примеры, решение которых представлено в полном соответствии с математическими правилами и основами. Разобраны отдельные ситуации, для каждого приведен пример видоизменений, с которыми можно столкнуться в решении задач и сложных примеров.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Учитель математики Кузнецова Марина Николаевна Сложение и вычитание смешанных чисел

Домашнее задание

Астрид Линдгрен

Устный счет 1 0

На какие группы мы можем разделить данные дроби?

На какие группы мы можем разделить данные дроби? Правильные дроби Неправильные дроби

Найдите лишний пример:

Сложение и вычитание смешанных чисел. Цель урока: Научится выполнять сложение и вычитание смешанных чисел.

Справка 1. К целой части прибавить целую часть. К полученной целой части прибавить дробную часть. Сформулировать правило сложения смешанного числа с натуральным. 2. К целой части прибавить целую часть. К дробной части прибавить дробную часть К полученной целой части прибавить полученную дробную часть. Сформулировать правило сложения смешанных чисел. 3. Из целой части вычесть целую часть. Из дробной части вычесть дробную часть К оставшейся целой части прибавить оставшуюся дробную часть. Сформулировать правило вычитания смешанных чисел. 4. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Занимаем у целой части уменьшаемого единицу и представляем ее в виде неправильной дроби. Полученную дробь складываем с дробной частью уменьшаемого. Вычитаем отдельно целые части и дробные части. К оставшейся целой части прибавляем оставшуюся дробную часть. Сформулировать правило вычитания из смешанного числа дроби, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого.

Чтобы сложить два смешанных числа, нужно сложить отдельно их целые и дробные части, сложить полученные результаты. Чтобы вычесть из смешанного числа смешанное число, нужно отдельно вычесть их целые и дробные части, сложить полученные результаты.

= (3 + 2) + () = 5 + = 5 – = (5 – 3) + ()= 2 + = 2

Физкультминутка Потрудились — отдохнём, Встанем, глубоко вздохнём. Руки в стороны, вперёд, Влево, вправо поворот. Три наклона, прямо встать. Руки вниз и вверх поднять. Руки плавно опустили, Всем улыбки подарили.

4 – В 7 – О 3 – У 4 – Е 5 – Х 4 – П 5 – С У С П Е В Х О

Решение задач Стр. 175, № 1115 Стр. 175, № 1116

Что такое смешанное число? Чему вы сегодня научились? Как сложить смешанные числа? Как вычесть смешанные числа?

Домашнее задание: П. 29 (учить правила) Стр. 178, № 1136, 1137

Спасибо за урок!

Предварительный просмотр:

Учитель математики Кузнецова М.Н.

Урок в 5 классе по теме:

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Цели:

Учебные:

1. Познакомить учащихся с алгоритмами сложения и вычитания смешанных чисел путем включения учащихся в практическую деятельность.
2. Продолжить работу по развитию вычислительных навыков.

Развивающие:

1. Развитие умения решать задачи изученных видов.
2. Создание условий для формирования мыслительных операций.

Воспитательная:

1. Воспитывать чувство товарищества и взаимовыручки.

Ход урока

I. Организационный момент.

Посмотрите, все ль в порядке:

Книжка, ручки и тетрадки.

Прозвенел сейчас звонок.

Начинается урок.

II. Проверка домашнего задания.

Дата, классная работа.

Дома вы выполнили задание. Вы разгадали ребус. (Слайд 1)И какой же ответ? (Астрид Линдгрен) (Слайд 2)

А кто такая Астрид Линдгрен? Какую сказку написала эта шведская писательница? («Малыш и Карлсон») (Слайд 3)

Но к сожалению Карлсон улетел, но оставил письмо.

Письмо: Ребята, я полетел искать старательных, внимательных, трудолюбивых, дружных, умеющих придти на помощь ребят. Найду – вернусь.)

Ребята, давайте быстрее встретимся с другом, для этого выполним математические задания. Если мы их выполним правильно, то у нас к возвращению Карлсона — сладкоежки получится большой общий торт. И у каждого – свой маленький.

Первое задание.

III. Устный счет

1. Решение цепочек (стр. 175, № 1111).

2/5 + 1/5 + 2/5 – 3/7 – 1/7 = 3/7

5/17 + 7/17 – 12/17 + 7/9 – 4/9 = 3/9

2. На какие группы мы можем разделить данные дроби: (правильные и неправильные дроби) (Слайд 6)

9 5 8 10 24 15 7 12

8 12 11 6 13 16 7 25

Какие дроби называются правильными?

Какие дроби называются неправильными?

Как по-другому представить неправильные дроби?

Из чего состоит смешанное число?

(Кусок торта.)

IV. Актуализация знаний.

Найдите лишний пример:

2/8 + 3/8 14/12 – 7/12 7/9 + 1/9 3 1/7 + 2 3/7 18/27 -5/27

Попробуйте сформулировать тему урока (Сложение смешанных чисел) (Слайд8)

Сегодня на уроке мы научимся выполнять сложение и вычитание смешанных чисел, для достижения этой цели сформулируем правила.

V. Исследование

Учащиеся работают в группах, выполняя задания различной сложности. Все учащиеся делятся на 4 группы. На парту каждой группы раздается задание и справочный материал. Для решения задания нужно выбрать соответственное правило.

Задание 1 . Выполнение сложения 2 ½ + 3

Задание 2. Выполнение сложения 2 1/4 + 1 2/4

Задание 3 . Выполнение вычитания 3 5/6 – 3/6

Задание 4. Выполнение вычитания 5 1/4 — 3 2/4

Справка

1. К полученной целой части прибавить дробную часть.
2. Сформулировать правило сложения смешанного числа с натуральным.

1. К целой части прибавить целую часть.
2. К дробной части прибавить дробную часть
3. К полученной целой части прибавить полученную дробную часть.
4. Сформулировать правило сложения смешанных чисел.

1. Из целой части вычесть целую часть.
2. Из дробной части вычесть дробную часть
3. К оставшейся целой части прибавить оставшуюся дробную часть.
4. Сформулировать правило вычитания смешанных чисел.

1. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
2. Занимаем у целой части уменьшаемого единицу и представляем ее в виде неправильной дроби.
3. Полученную дробь складываем с дробной частью уменьшаемого.
4. Вычитаем отдельно целые части и дробные части.
5. К оставшейся целой части прибавляем оставшуюся дробную часть.
6. Сформулировать правило вычитания из смешанного числа дроби, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого.

VI. Обмен информацией .

Вы рассмотрели правила сложения и вычитания смешанных чисел. Что общего у них? (Действия выполняются сначала с целыми числами, затем с дробными частями.)

Сформулируйте правило сложения смешанных чисел. (Слайд 9)

Сформулируйте правило вычитания смешанных чисел. (Слайд 10)

Стр. 174 учебника, правило

(Кусок торта.)

VII. Применение

— Вернемся к примеру:

3 1/7 + 2 3/7= (3+2)+(1/7+3/7)=5+4/7=54/7

Как убедиться, что сложение выполнено правильно? (Вычитанием). Сделать проверку.

54/7-31/7=(5-3)+(4/7-1/7)= 2+3/7= 23/7

(Кусок торта.)

VIII. Физкультминутка (Слайд)

Потрудились — отдохнём,

Встанем, глубоко вздохнём.

Руки в стороны, вперёд,

Влево, вправо поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили.

IX. Закрепление изученного материала

1. Карлсон прислал телеграмму, но все слова перепутались. Давайте решим примеры и соотнесем их с ответами. (Слайд 11)

3 7/13 – 4/13= 4 – В

5 2/5+1/5= 7 4/6 – О

10 2/3-6= 3 3/13 – У

2 2/7+2 4/7= 4 6/7 – Е

8 5/9-3= 5 5/9 – Х

3/6+7 1/6 = 4 2/3 – П

7 4/5-3 4/5= 5 3/5 – С

(Кусок торта.)

«Охота за пятерками»

2. Работа над задачами.

а) Стр. 175, №1115.

1. Прочитайте задачу.
2. Сколько конфет в одной коробке?
3. Сколько конфет в другой коробке?
4. Как ответить на вопрос задачи?
5. Решите задачу. Прочитайте ответ. (В двух коробках 4 4/8 кг конфет.)

б) Стр. 175, № 1116.

1. Чему равна длина красной ленты?
2. Что сказано про длину белой?
3. Что значит на 2 1/5 м короче?
4. Как будете решать эту задачу?

Решите. Прочитайте ответ. (Длина белой ленты 1 2/5 метра.)

(Кусок торта.)

Вы – замечательные ученики: старательные, внимательные, дружные, помогаете друг другу.

(прилетел Карлсон) Карлсон увидел, что вы такие ребята, каких он искал, и вернулся. Мы дарим ему торт.

X. Итог урока (вопросы Карлосона).

1. Что такое смешанное число?
2. Чему вы сегодня научились? (Складывать и вычитать смешанные числа.)
3. Как сложить смешанные числа?
4. Как вычесть смешанные числа?

Это вам поможет справиться с домашним заданием.

XI. Домашнее задание: Стр. 178, № 1136,1137

XII. Рефлексия.

Соберите заработанные кусочки в тортик. (3-5 частей – «5»)

Учитель оценивает работу учащихся. (Мордашка). (Слайд 13)

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4}

\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)

Следующий пример:

\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)

\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)

\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)

\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)

\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)

\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)

а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)

б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)

\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)

Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)

\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)

теория и практика на примерах

Решение сложных примеров правильно – непосильная задача для тех, кто не понимает в математике элементарных правил и законов. Сложение и вычитание смешанных чисел по праву можно отнести к сложным примерам. Однако, при правильном разборе самих чисел можно легко проводить любые действия.

Что это такое?

Смешанное число – это комбинация целой части и дробной. К примеру, имеется 2 и 3, из них 2 – это простое число, а вот 3 – это уже смешанное, где 3 – целая часть, а  – дробная. Представленные разновидности складываются и вычитаются по-разному, но не влекут сложностей в самостоятельном решении примеров.

Полноценный разбор примера

Для полноценного представления сущности смешанного значения следует привести в пример задачу, которая поможет отобразить смысл повествования задуманного. Итак, Вася проехал круг вокруг школы на велосипеде за 1 минуту и 30 секунд, а потом еще круг прошел пешком за 3 минуты и 30 секунд. Сколько времени затратил Вася на всю прогулку вокруг школы?

Этот пример направлен на сложение смешанных чисел, которые предварительно в данном случае даже не придется переводить в секунды. Получается, что сложение осуществляется путем отдельного прибавления минут и секунд. В результате получим следующий результат:

1. Сложение минут – 1+3=4.
2. Сложение секунд = 30+30=60 секунд = 1 минута.
3. Общее значение 4 минуты+1 минута = 5 минут.

Если исходить из математического отображения, то представленные действия можно выделить в одном выражении:

Из представленного выше становится понятным, что складывать смешанные числа следует в отдельности по частям – сначала целые части, а затем дробные. Если дробное число дает еще целое значение, его также складывают с целым полученным ранее значением. К полученному целому значению прибавляют дробную часть – получается смешанное число.

Правила сложения

Для закрепления изученного следует привести правило сложения смешанных чисел. Здесь следует воспользоваться следующей последовательностью:

1. Для начала отделить от значения части – на целую и дробную.
2. Теперь сложить целые части.
3. Далее сложить дробные.
4. Если из дробного числа можно извлечь еще целую часть – перевести в смешанное значение – значит, проводят подобную разбивку.
5. Полученную целую часть из дробного значения складывают с целым ранее полученным значением.
6. К целой части прибавляют дробную.

Для пояснения следует привести несколько примеров:

Сложение смешанных чисел происходит по тому же алгоритму, что и вычитание, поэтому далее будет подробно рассмотрено следующее действие.

Правила вычитания

Как и в первом случае, для вычитания смешанных значений существует правило, но оно в корне отличается от предыдущей последовательности. Итак, здесь следует придерживаться последовательности:

1. Пример на вычитание представляется в виде: уменьшаемое – вычитаемое = разность.
2. В связи с приведенным уравнением следует предварительно сравнить дробные части представленных чисел.
3. Если у уменьшаемого дробная часть больше, значит, вычитание проводится по тому же признаку, что и при сложении – сначала вычитаются целые, а затем дробные значения. Оба результата складывают.
4. Если у уменьшаемого дробное значение меньше, значит, их предварительно переводят в неправильную дробь и осуществляют стандартное вычитание.
5. Из полученной разницы определяют целую часть и дробную.

Для пояснения следует привести следующие примеры:

Из представленной статьи стало понятным, как проводить сложение и вычитание смешанных чисел. В описанном выше примере видно, что не всегда приходится видоизменять числа – переводить их из простых дробей в сложные. Зачастую достаточно просто сложить или вычесть целые и дробные значения по отдельности, что для человека с большим опытом можно легко провести в уме.

В статье подробно рассмотрены примеры, решение которых представлено в полном соответствии с математическими правилами и основами. Разобраны отдельные ситуации, для каждого приведен пример видоизменений, с которыми можно столкнуться в решении задач и сложных примеров.

Сложение смешанных чисел. Вычитание смешанных чисел

Приветствие со школьниками, определение отсутствующих. Сообщение темы и цели урока, ожидаемых результатов.

Краткий опрос учащихся с целью повторения пройденного материала по стратегии «мозговой штурм»:

Дайте определения следующих понятий:

• обыкновенная дробь;

• числитель;

• знаменатель;

• наименьший общий делитель;

• правильная дробь;

• неправильная дробь.

Как производится сложение обыкновенных дробей?

Как производится вычитание обыкновенных дробей?

Определение. Если обыкновенная дробь записана в виде , тагда такую дробь называют смешанной дробью, при этом: a – целая часть дроби, b – числитель дроби, c – знаменатель дроби.

Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;

2. в качестве целой части взять неполное частное

3. остаток будет числителем, а делитель – знаменателем дробной части;

4. результат записываем в виде .

Групповая работа.

Ученики делятся на 4 группы. Учитель предлаает расчитаться на 1, 2, 3, 4.

По стретегии «Тур по галлерее» каждая группа по материалам учителя готовят свои постеры.

І группа.

Сложение смешанных дробей с одинаковым знаменателем.

Пример №1.

Чтобы найти сумму смешанных дробей с одинаковыми знаменателеми, надо:

1) найти сумму их целых частей, сумму их дробных частей;

2) записать результат в виде смешанного числа.

Вычитание смешанных дробей с одинаковым знаменателем.

Пример №2.

Чтобы найти разность смешанных дробей с одинаковыми знаменателеми, надо:

1) найти разность целых частей, разность их дробных частей;

2) записать результат в виде смешанного числа.

Внимание! Если числитель дробной части уменьшаемого менье числителя дробной части вычитаемого, тогда:

1. Вычесть 1 из целой части уменьшаемой дроби, ее представить в виде дроби.

Например:Если уменьшаемое равно , тогдазаписываем его в виде .

1. Сложить 1 в дробном виде с дробной частью смешанного числа и представить результат в виде неправильной дроби:

1. Представить результат в виде смешанной дроби где дробная часть является неправильной дробью:

. То есть, .

Пример №3.

ІІ группа.

Сложение смешанных дробей с разными знаменателями

Пример №1.

Либо:

Чтобы найти сумму смешанных дробей с разными знаменателеми, надо:

1) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части смешанных чисел;

2) сложить смешанные дроби с общим знаменателем.

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями

Чтобы найти разност смешанных дробей с разными знаменателеми, надо:

1) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части смешанных чисел;

2) вычесть смешанные дроби с общим знаменателем.

Пример №2.

Либо:

Пример №3.

.

ІІІ группа.

Сложение наутрального числа и смешанной дроби.

Пример №1.

Чтобы сложить смешанное число и натуральное число, надо к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, а дробную часть оставить без изменения.

Вычитание смешанного числа из натурального числа.

Чтобы из натурального числа вычесть смешанное число, надо натуральное число представить в виде смешанной дроби.

Пример №2.

Либо:

ІV группа.

Сложение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Чтобы сложить смешанное число и обыкновенную дробь, надо:

1. Привести их к общему знаменателю;

2. Сложить дробные части и присоединить к целой части.

Пример №1.

Вычитание натурального числа из смешанноой дроби.

Чтобы вычесть натуральное число из смешанной дроби, надо из целой части смешанной дроби вычесть натуральное число и присоединить дробную часть.

Пример №2.

Либо:

.

Разминка: «Лучи солнца». Раздаются белые листы формата А4, затем по поручению учителя рисуются круг, по краям 10 треугольников, внутри 2 круга поменьше, 1 полуокружность, 1 отрезок. В итоге получается изображение улыбающегося солнца. Дети с хорошим настроением продолжают урок.

Далее от каждой группы выбирается ученик-эксурсовод. Постеры вывешиваются по классу и группам предлагается пройти по галлерее, используя маршрутные листы. Экскурсоводы рассказывают о своей работе другим ученикам, отвечают на вопросы других групп.

Проводится оценивание работы групп. Оценивание групповой работы проходит с помощью стратегии «Две звезды, одно пожелание». Две группы отмечают то, что понравилось более всего, одна выссказывает пожелания по улучшению презентации.

Парная работа.

Ученикам предлагаются задания по уровням сложности А, В, С. Каждая пара определяет уровень сложности индивидуально.

Проверка осуществляется путем показа правильных ответов на презентации.

А. Вычислите

Б. Решите задачу.

Из 12 м рулона материи первый раз отрезали а затем еще м материи. Сколько метров материи осталось в рулоне?

С. Решите уравнение: .

По окончании проверки учитель опрашивает учащихся:

1. Что получилось при решении?

2. Какие возникли сложности?

Формативная оценочная работа

Учащимся предлагается выполнить работу, результаты которой будут озвучены на следующем уроке. Для тех кто выполнит полностью все три задания, предлагается дополнительное 4 задание

Учащиеся производят рефлексию по пройенной теме по стратегии «Незаконченные фразы»

До этого я умел: ……………………………………………………………………………………

Сегодня я научился: ……………………………………………………………………………………

По сегодняшней теме мне осталось неясным: ………………………………………………………………………….. ………….

дробей — сложение и вычитание смешанных чисел

Как Как вы помните, смешанное число состоит из целого числа и дробной части. Любое смешанное число также можно записать как неправильную дробь, в которой числитель больше знаменателя, как показано в следующем примере:

Пример 1

Добавить смешанный чисел, складываем сначала целые числа, а затем дроби.

Если сумма дробь — неправильная дробь, тогда мы меняем ее на смешанное число. Вот пример. Сумма целых чисел 3 и 1 равна 4. Дроби 2/5 и 3/5, сложите до 5/5, или 1. Добавьте 1 к 4, чтобы получить ответ, который равен 5.

Пример 2

Если знаменатели дробей различны, то сначала найдите эквивалентные дроби с общий знаменатель перед сложением.Например, добавим 4 1/3 к 3 2/5. Используя изученные нами методы, вы можете найти наименьший общий знаменатель из 15. Ответ 7/15.

Вычитание смешанные числа очень похожи на их добавление. Но что происходит, когда дробное часть вычитаемого числа больше дробной части числа, из которого вы вычитаете?

Вот пример: вычтем 3 3/5 из 4 1/3.Сначала вы найдете ЖК-дисплей; вот 15.

назад наверх

Сложение и вычитание смешанных дробей

Чтобы упростить их сложение и вычитание, просто сначала преобразуйте в неправильные дроби:

Вы видите, что 1 3 4 совпадает с 7 4 ?

Другими словами, «одна и три четверти» — это то же самое, что «семь четвертей».

Добавление смешанных фракций

Я считаю, что это лучший способ добавить смешанные фракции:

(Вы можете прочитать, как преобразовать из или в смешанные дроби)

Пример: что такое 2

Преобразовать в неправильные дроби:

2 3 4 знак равно 11 4

3 1 2 знак равно 7 2

Общий знаменатель 4:

11 4 остается как 11 4

7 2 становится 14 4
(путем умножения верха и низа на 2)

Теперь добавьте:

11 4 + 14 4 знак равно 25 4

Преобразовать обратно в смешанные дроби:

25 4 = 6 1 4

Когда вы набираетесь опыта, вы можете делать это быстрее, как в этом примере:

Пример: Что такое 3

Преобразуйте их в неправильные дроби:

3 5 8 знак равно 29 8
1 3 4 знак равно 7 4

Сделайте тот же знаменатель: 7 4 становится 14 8 (путем умножения верха и низа на 2)

И добавить:

29 8 + 14 8 знак равно 43 8 = 5 3 8