График строительства — это подробный план.В нем описаны мероприятия, сроки и ресурсы, задействованные в строительном проекте.

Хорошо спланированный график определяет, какие работы будут выполнены и когда.

График строительства объекта отвечает на следующие вопросы:

• Какие строительные работы будут проводиться?
• Когда эти действия начнутся и закончатся?
• Какие ресурсы необходимы для выполнения этих действий?

Грамотно спланированный график строительства — залог успеха.Это обеспечивает эффективное использование ресурсов и завершение проектов в срок и в рамках бюджета.

• Оптимальное использование ресурсов: Правильное планирование обеспечивает эффективное управление рабочей силой, материалами и оборудованием. Таким образом, сводится к минимуму риск простоя из-за нехватки.
• Минимальное время простоя: Задержки из-за простоя могут быть дорогостоящими. Согласно исследованию, финансовые потери из-за неисправного строительного оборудования могут достигать 2800 долларов в день.
• Оценка затрат и контроль: Неточные оценки проекта являются основной причиной перерасхода средств. Хорошо спланированный график может выявить недостатки в первоначальных оценках. И таким образом предотвращайте проблемы до того, как они возникнут. Он также может помочь в принятии финансовых решений, точно прогнозируя завершение проекта.

можно разделить на несколько категорий, в зависимости от:

• Тип строительства: Жилой, коммерческий, промышленный и т. Д.
• Действия: , такие как график материалов, работы RCC, лечение, внутреннее пространство, платежи и т. Д.
• Детализация графика: , такие как дорожные карты, еженедельная подача, почасовая деятельность и т. Д.

Прежде чем мы приступим к составлению графика строительства, важно понять, почему вы должны его создать. Преимущества включают:

• Повышенная стабильность проекта: Хорошо спланированный проект вряд ли встретит сюрпризы в будущем.Есть больший контроль над результатами проекта. Кроме того, все детали низкого уровня предотвращают внесение изменений в последнюю минуту.
• Улучшенный контроль качества: Качество проекта и удовлетворенность клиентов улучшаются благодаря хорошо спланированному проекту. Это гарантирует, что нужные строительные материалы доступны в нужном количестве повсюду.
• Лучшее планирование ресурсов: Планирование помогает планировать такие ресурсы, как рабочая сила, оборудование и строительные материалы. Клиенты могут приобрести нужные материалы в нужное время.Кроме того, они знают, когда взаимодействовать с субподрядчиками. А значит, вовремя завершить проект.
• Упрощенное планирование действий: Все участники проекта могут сотрудничать, чтобы лучше планировать свои действия. Сюда входят генеральные подрядчики, архитекторы, субподрядчики, рабочие и поставщики.
• Более безопасный проект: Безопасность — главная проблема любого строительного проекта. Используя график, вы можете определить, когда потребуются защитные средства, такие как беруши, защитные очки и каски.

Создание графика строительства для вашего следующего строительного проекта может показаться утомительным. Однако, если вы выполните следующие шаги, вы можете сделать весь процесс намного более плавным.

Все проекты начинаются со стартовой встречи с участием всех основных заинтересованных сторон.

Цель этой встречи — понять и задокументировать требования, приоритеты и цели клиента.

Не все требования могут быть выполнены из-за различных ограничений. Примеры ограничений включают бюджет, площадь, местные строительные нормы и т. Д.

Риски — это факторы, которые негативно влияют на цели, график и бюджет проекта. Доступность материалов, рабочей силы, средств, погоды и т. Д. — все это примеры рисков.

И ограничения, и риски могут сорвать ваш проект. А раннее выявление помогает вам планировать свой график с учетом них.

Затем установите границы области действия для проекта. Это основано на информации, собранной на первых двух шагах.

Объем проекта определяет, что включено, а что не включено в проект. Это также помогает лучше контролировать ползучесть прицела.

И подрядчики, и заказчики должны согласовать и заморозить объем. Неспособность сделать это приведет к плохому управлению, конфликтам доставки и, в конечном итоге, к сбою.

Затем вы определите ориентировочные даты начала и окончания проекта.

Дата окончания оценивается путем разбивки проекта на управляемые фазы. Конец каждой фазы знаменует собой важную веху. Вехи служат контрольными точками для проекта.

Узнайте больше о том, как создать дорожную карту проекта здесь.

Итак, вы собрали всю информацию, относящуюся к проекту, и создали дорожную карту проекта высокого уровня.На их основе создайте проектное предложение и получите его одобрение у заказчика.

Предложение по строительному проекту включает цели проекта, объем, сроки и бюджет.

После того, как заказчик примет предложение, вы можете переходить к созданию подробного графика строительства.

Для создания точного расписания разбейте проект на детализированные задачи. Также, исходя из прошлого опыта, оцените трудоемкость задачи.Кроме того, определите, спланируйте и распределите необходимые ресурсы.

Затем расставьте приоритеты для этих задач на основе зависимостей и ограничений.

После того, как все задачи зафиксированы и расставлены по приоритетам, вы готовы создать график строительства здания.

График строительства отображается на временной шкале с помощью диаграммы Ганта. Диаграмма Ганта — это горизонтальная гистограмма, на которой задачи отображаются на временной шкале.

Вы можете создать это расписание-график строительства с помощью Excel, Google Таблиц или шаблонов и программных инструментов, упомянутых ниже.

Toggl plan — это красивый и простой инструмент для планирования и реализации проектов.

Каждый, независимо от своего технического образования, может составить дорожную карту и график строительства с помощью Toggl Plan. Кроме того, это упрощает сотрудничество со строительной бригадой и / или клиентами.

Toggl предоставляется бесплатно для 5 пользователей. Платные планы начинаются с 9 долларов за пользователя в месяц. Узнайте больше о ценах здесь.

Давайте посмотрим, как можно использовать Toggl Plan для составления графика строительства.

• Создавайте цветные дорожные карты и вехи.
• Увеличьте масштаб недели, месяца, квартала или года, чтобы получить подробный или общий вид строительного проекта с высоты птичьего полета.

• Запланируйте разовые или повторяющиеся строительные работы на временной шкале.
• Назначьте задачи ответственным членам команды вместе с ежедневными оценками трудозатрат.
• Визуально отслеживайте прогресс.

• Визуально отслеживайте, над чем работает вся ваша команда, кто свободен, а кто в отпуске.
• Регулируйте рабочие нагрузки на лету, чтобы предотвратить выгорание.

В Интернете доступно множество шаблонов Microsoft Office.Некоторые из них бесплатны, а другие — премиум-класса.

Однако лучше использовать программное обеспечение для управления проектами в Интернете, а не шаблоны. Вот почему:

• Сотрудничество: На протяжении всего процесса строительства вы будете сотрудничать с субподрядчиками и членами команды. Кроме того, вам также нужно будет поделиться своими планами и прогрессом с клиентами. Инструменты управления проектами упрощают сотрудничество.
• История: В отличие от Excel, инструменты управления проектами хранят исторический журнал деятельности проекта.Вы будете точно знать, что и когда произошло. Это очень важно для разрешения конфликтов и повышения производительности вашей команды.
• Безопасность: Потеря графика строительного проекта из-за сбоя компьютера может иметь катастрофические последствия. С другой стороны, вы можете безопасно хранить всю информацию о вашем проекте с помощью большинства онлайн-программ для проектов.

Если вы все еще хотите опробовать некоторые шаблоны, мы сочли следующие весьма полезными.

Шаблон дорожной карты

Используйте этот шаблон для создания дорожной карты высокого уровня и определения основных этапов.Загрузите этот шаблон с портала шаблонов MS Office здесь.

Шаблон графика строительства

Разбивайте проект на фазы, планируйте график и отслеживайте прогресс с помощью этого простого в использовании шаблона. Загрузите этот простой шаблон диаграммы Ганта для Excel отсюда.

Шаблон отслеживания проектов

Отслеживание запланированных строительных работ по сотрудникам / субподрядчикам. Он также имеет встроенные формулы и условное форматирование для быстрой визуализации избыточных / недостаточных задач.Загрузите шаблон трекера здесь.

Шаблоны коммерческих графиков можно также использовать для жилых домов. Кроме того, могут быть полезны следующие шаблоны:

Шаблон бюджета строительства

Используйте этот шаблон для планирования и отслеживания бюджета проекта улучшения дома или строительства. Загрузите этот шаблон со специальными возможностями здесь.

Шаблон графика ссуды

Не упустите возможность получить ссуду на улучшение жилья или ипотеку.Планируйте и отслеживайте график погашения строительного кредита. Загрузите этот шаблон здесь.

Шаблон отслеживания платежей

Следите за платежами, связанными со строительством, контролируйте свои денежные потоки и избегайте штрафов за просрочку платежа. Загрузите этот шаблон здесь.

Хорошо спланированный график имеет решающее значение для успешного завершения строительного проекта. Однако составить график строительства сложно. Но знание нескольких основных шагов может помочь упростить задачу.

Использование программного обеспечения для управления проектами или шаблонов электронных таблиц может еще больше упростить этот процесс.

Toggl Plan — популярный инструмент, упрощающий планирование графика строительства. С его помощью вы можете бесплатно планировать неограниченное количество проектов и привлекать к ним до 5 пользователей.

Зарегистрируйтесь для получения бесплатного аккаунта Toggl

критических элементов …- Стройте, ремонтируйте и ремонтируйте свой собственный дом. Экономьте деньги как застройщик.

График строительства вашего нового дома чрезвычайно важен.Хороший дом снизит затраты и улучшит общее качество вашего нового дома мечты. Итак, какие важные элементы составляют график строительства и как он используется? Сколько дней в типичном графике строительства нового дома? Здесь мы копаем глубоко, чтобы ответить на самые популярные вопросы.

Экономия затрат

Хороший график строительства сэкономит вам большие деньги, если вы его правильно используете. Вот несколько способов сэкономить вам много денег…

• Уменьшение времени сборки: уменьшив время сборки, вы сэкономите на накладных расходах, включая проценты по кредиту, аренду переносного туалета, страховку, коммунальные услуги, дублирующие расходы на жилье и т. Д.
• Меньше повреждений: чем дольше длится ваш проект, тем больше у вас шансов нанести ущерб вашему новому дому. Поверьте, мы построили сотни домов с нуля… это закон строительной площадки.
• Сведите к минимуму кражу: пустое место в доме по ночам и по выходным просто напрашивается на неприятности. В соответствии с вашим графиком строительства незадолго до монтажа дорогие материалы будут доставлены, чтобы не задерживаться слишком долго.
• Никаких командировочных сборов: когда сделка показывает проект, но он не готов для него, они могут взимать с вас плату за потерянное время.Они не только тратили деньги на бензин, но и платили сотрудникам за поездку на место работы, а затем домой, потому что все было не готово. Имея график строительства и правильно его используя, вы можете сэкономить на командировочных расходах.

Важность графика строительства

Строительство дома — сложный процесс. В графике строительства указаны все критически важные элементы, которые необходимо завершить, чтобы все участники знали, что происходит. Это похоже на сборник правил для футбольной команды.Какой катастрофой был бы футбол, если бы у игроков не было игры. Спектакли говорят каждому, что и когда делать, и делают команду более продуктивной. График строительства делает то же самое для всех людей, строящих ваш новый дом. Итак, какие важные роли график строительства играет в вашем новом домашнем проекте?

• Сообщает, когда торги должны начинаться и заканчиваться для каждого действия
• Устанавливает сроки поставки материалов
• Определяет критические проверки
• Показывает всем сторонам, как их роль влияет на проект в целом.

Последний пункт очень важен для успеха вашего проекта.Многие торговцы и поставщики, которые работают с вашим домом, гордятся тем, что они делают. Показывая этим компаниям, каковы будут последствия, если они пропустят запланированную дату, вы оказываете на них давление со стороны коллег… что помогает завершить ваш проект вовремя.

.

Основные компоненты

• Написано: Некоторые строители говорят, что у них в голове график. Это плохая идея. Вы сэкономите и время, и деньги, если составите график строительства в письменной форме.
• Действия: Любой элемент, требующий действий, должен быть в расписании.
• Хронологический порядок: расписание должно отображать каждое действие в том порядке, в котором они должны быть выполнены. Имейте в виду, что некоторые предметы можно выполнять одновременно.
• Продолжительность: в вашем графике строительства должна быть указана ожидаемая продолжительность каждого вида деятельности.
• Даты: вы также покажете запланированную дату начала для каждого действия.

Образец графика строительства фундамента

Будьте реалистичны

При составлении письменного графика строительства важно быть реалистичным.Вы можете отложить два дня на то, чтобы построить дом, но этого просто не произойдет. Ваше принятие желаемого за действительное не сделает ничего, кроме как сообщить, что вы не знаете, что делаете, и подрядчики перестанут использовать ваш график. Вы будете использовать продолжительность активности из Таблиц заявок для каждой сделки, чтобы создать график. Когда вы отправляете свои пакеты предложений, вы включаете лист предложений, который спрашивает каждую сделку, сколько времени требуется им для выполнения их конкретной деятельности. Это одна из вещей, которую вы оцениваете при выборе компаний для строительства дома.Поэтому не забудьте использовать это «Время до завершения деятельности» при работе по своему расписанию.

Если вы хотите увидеть расписание, составленное на основе опыта строительства сотен домов, вы можете взглянуть на The Builder’s Daily Construction Guide . В это руководство мы включаем график Строителя кресел для типичного ранчо и двухэтажного дома с подвалом. Этот график инструктажа включает все важные действия в порядке их выполнения, а также их продолжительность.

Идеальный график

Есть ли идеальный график для строительства дома? Не обязательно. Однако для каждого типа проекта существует оптимальный рабочий процесс. Конечно, некоторые элементы не важны для строительства дома. Взгляните, например, на подъездную дорожку. Подъездную дорожку можно было проложить в любое время между засыпкой фундамента и закрытием. Однако идеальное время — непосредственно перед окончательной оценкой. Вы не должны заходить на подъездную дорожку слишком рано, так как она будет повреждена тяжелыми грузовиками.

На другом конце спектра — проект без графика. Я только что попросил соседа полностью отремонтировать собственный дом, выполняя роль генерального подрядчика. Вместо того, чтобы составлять письменный график, они просто отправляли домой все сделки и поставки одновременно. Я остановился, чтобы взглянуть на беспорядок. Подрядчики сталкивались друг с другом, электрики били себя током, шкафы были сложены в середине рабочей зоны, и везде были небезопасные условия.Превышение стоимости было огромным, а качество — ниже безупречного.

Сколько длится расписание?

Общее время, необходимое для строительства вашего дома, будет зависеть от нескольких факторов, включая…

• Размер
• Детали (отделка, шкафы, плитка, краска…)
• Погода
• Производство или индивидуальный дом? (Строитель строил план дома раньше? Или вы строите уникальный дом на заказ, выступая в роли генерального подрядчика?)
• Планирование — Если человек, управляющий проектом, потратит время на создание графика качества и при необходимости позаботится о необходимых последующих действиях, проект будет выполняться намного быстрее.Ознакомьтесь с ежедневным руководством по строительству от The Builder, где вы найдете ежедневный список действий, которые помогут ускорить выполнение графика.

Эти факторы повлияют на общее время завершения строительства вашего дома. При этом, если вы строите средний дом в США со стандартной отделкой, типичное время строительства для профессиональных строителей составляет от четырех до пяти месяцев с начала раскопок. Можно ли построить дом быстрее? Конечно, может … но человек, управляющий проектом, должен быть очень организованным.

.

Использование графика строительства

Как владелец застройщика, вы включите свои даты в график строительства, когда начнете строительство нового дома. Но это еще не все. По мере реализации проекта возможны задержки из-за погодных условий, торговых конфликтов, проблем с проверками и т. Д. Таким образом, человек, управляющий проектом, должен обновлять расписание один раз в неделю и распространять его среди всех затронутых подрядчиков и поставщиков.

Если вы пропустили шаг 18 о том, как построить дом, вы можете проверить его здесь.Обязательно посмотрите наше видео «Построй свой собственный дом: расписание», чтобы узнать больше о том, как сэкономить время и деньги на новом доме своей мечты. Вы ищете дополнительную информацию о том, как взять на себя роль генерального подрядчика в строительстве дома вашей мечты? Чтобы увидеть больше видео, статей и цифровых ресурсов, посетите нашу страницу ресурсов «Создайте свой собственный дом».

Нет тегов

Как запланировать строительство нового дома | Home Guides

Во время строительства нового дома генеральный подрядчик заранее составляет график субподрядчиков, чтобы они могли приступить к работе в случае необходимости.Вы можете сэкономить деньги, составив собственное расписание или выступив в качестве собственного генерального подрядчика. Однако, чтобы взять на себя эту задачу, вы должны быть доступны — и на рабочем месте — в рабочее время, чтобы отвечать на вопросы и вносить изменения в расписание.

Строительные знания

Планирование строительства нового дома требует определенных строительных знаний. Если у вас нет предыдущего опыта, подумайте о найме начальника строительства, который разбирается в строительном процессе.

Роль субподрядчика в составлении графиков

Вы знаете все о получении оценок и проверке отзывов, но вы также можете получить от своих субподрядчиков ценную информацию, которая поможет в процессе планирования. Когда субподрядчик подает заявку, спросите его, сколько времени ему потребуется, чтобы завершить свою часть проекта. Например, сантехник с бригадой из трех человек может управлять водопроводными и водосточными трубами быстрее, чем сантехник, который работает в одиночку. Узнайте, насколько гибким является сабвуфер, если необходимо изменить расписание.Если у субподрядчика есть только небольшие однодневные задания, он с большей вероятностью будет открыт для изменения графика, чем субподрядчик, у которого в графике есть длительный проект.

Этапы строительства

Строительство нового дома — это поэтапный процесс. После того, как местная строительная администрация утвердит ваш план и выдаст разрешение, экскаватор становится первым подрядчиком на месте, а за ним следует подрядчик по фундаменту. Водопроводные и электрические переводники устанавливают грубые элементы до того, как подрядчик произведет заливку фундамента.Следом идет каркасная бригада, за ней кровельщик. После того, как каркас дома возведен, подрядчик по сайдингу может работать с фасадом, в то время как механические подрядчики проводят электромонтаж, водопровод и воздуховоды. Монтаж гипсокартона, установка шкафа, внутренняя отделка, покраска и напольное покрытие завершают основную часть проекта, после чего пора вешать светильники, устанавливать полотенцесушители и укладывать пол. Ландшафтный дизайн и наружные бетонные работы могут быть выполнены на последних этапах строительства или после завершения строительства дома.

Заказ материалов

Планирование не ограничивается субподрядчиками.

2.

Ответ: + показать

3.

Ответ: + показать

4.

Ответ: + показать

{-2}

5.

Ответ: + показать

6.

Ответ: + показать

7.

Ответ: + показать

(-1;1]

8.

Ответ: + показать

egemaximum.ru

Решение показательных неравенств

3 января 2017

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. Другими словами, его всегда можно свести к неравенству вида

\[{{a}^{x}} \gt b\]

Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:

\[\begin{align} & {{2}^{x}} \gt 4;\quad {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}};\quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01;\quad {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}. \\\end{align}\]

Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $f\left( x \right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)

Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:

\[{{9}^{x}}+8 \gt {{3}^{x+2}}\]

Или даже вот:

\[5\cdot {{4}^{x}}+2\cdot {{25}^{x}} \gt 7\cdot {{10}^{x}}\]

В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} \gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.

Решение простейших показательных неравенств

Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:

\[{{2}^{x}} \gt 4\]

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

\[{{2}^{x}} \gt {{2}^{2}}\]

И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x \gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

\[{{2}^{1}}=2;\quad {{2}^{2}}=4;\quad {{2}^{3}}=8;\quad {{2}^{4}}=16;…\]

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:

\[{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1}}=\frac{1}{2};\quad {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4};\quad {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8};…\]

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

• Если основание степени $a \gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
• И наоборот, если $0 \lt a \lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.

Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:

Если $a \gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \gt n$. Если $0 \lt a \lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \lt n$.

Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.

Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $a\le 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} \gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:

\[{{\left( -2 \right)}^{x}} \gt 4\]

На первый взгляд, всё просто:

\[4={{2}^{2}}\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{x}} \gt {{2}^{2}}\Rightarrow x \gt 2\]

Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:

\[\begin{align} & x=4\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{4}}=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{5}}=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{6}}=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{7}}=-128 \lt 4. \\\end{align}\]

Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{\left( -2 \right)}^{\sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!

Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1\ne a \gt 0$. И тогда всё решается очень просто:

\[{{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x \gt n\quad \left( a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left( 0 \lt a \lt 1 \right). \\\end{align} \right.\]

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Примеры решения

Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:

\[\begin{align} & {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01; \\ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}. \\\end{align}\]

Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\]

Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!

Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \\ & \sqrt[k]{a}={{a}^{\frac{1}{k}}}. \\\end{align}\]

Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.

Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:

\[\frac{1}{\sqrt[3]{2}}={{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{-1}}={{\left( {{2}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-1}}={{2}^{\frac{1}{3}\cdot \left( -1 \right)}}={{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:

\[\begin{align} & {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \\ & \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \\ & {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{y}}={{a}^{x\cdot y}}. \\\end{align}\]

Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Rightarrow {{2}^{x-1}}\le {{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:

\[\begin{align} & x-1\le -\frac{1}{3}\Rightarrow x\le 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}; \\ & x\in \left( -\infty ;\frac{2}{3} \right]. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.

Рассмотрим второе неравенство:

\[{{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\]

Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:

\[\begin{align} & 0,1=\frac{1}{10};\quad 0,01=\frac{1}{100}={{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\Rightarrow {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{1-x}} \lt {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}. \\\end{align}\]

Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:

\[\begin{align} & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end{align}\]

Получили окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;-1 \right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x \lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!

Важное замечание. Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:

\[\frac{1}{10}={{10}^{-1}}\Rightarrow {{\left( {{10}^{-1}} \right)}^{1-x}} \lt {{\left( {{10}^{-1}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{10}^{-1\cdot \left( 1-x \right)}} \lt {{10}^{-1\cdot 2}}\]

После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -1\cdot \left( 1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end{align}\]

Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)

Идём далее. Рассмотрим чуть более сложное неравенство — в нём в показателе появляется квадратичная функция:

\[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16\]

Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2⁴. Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:

\[\begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt {{2}^{4}}; \\ & {{x}^{2}}-7x+14 \lt 4; \\ & {{x}^{2}}-7x+10 \lt 0. \\\end{align}\]

Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.

Далее можно воспользоваться теоремой Виета, либо просто решить уравнение ${{x}^{2}}-7x+10=0$ через дискриминант. В любом случае корни будут ${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=5$. Отметим их на числовой прямой:

Расставляем знаки функции $f\left( x \right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $x\in \left( 2;5 \right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.

Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\]

Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:

\[\begin{align} & 0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}={{5}^{-1}}\Rightarrow \\ & \Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{\left( {{5}^{-1}} \right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\end{align}\]

В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:

\[\frac{1}{25}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}={{\left( {{5}^{-1}} \right)}^{2}}={{5}^{-1\cdot 2}}={{5}^{-2}}\]

Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\Rightarrow {{5}^{-1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\ge {{5}^{-2}}\]

Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:

\[\begin{align} & -1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)\ge -2; \\ & -1-{{x}^{2}}\ge -2; \\ & -{{x}^{2}}\ge -2+1; \\ & -{{x}^{2}}\ge -1;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}\le 1. \\\end{align}\]

Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $x\le 1\Rightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:

\[\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\]

Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:

$\begin{align} & {{x}^{2}}-1\le 0; \\ & \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\le 0 \\ & {{x}_{1}}=1;\quad {{x}_{2}}=-1; \\\end{align}$

Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:

Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $x\in \left[ -1;1 \right]$ — не интервал, а именно отрезок.

В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:

• Найти основание, к которому будем приводить все степени;
• Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
• Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a \lt 1$.

По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)

Метод рационализации

Рассмотрим ещё одну партию неравенств:

\[\begin{align} & {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \\ & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1; \\ & {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{16-x}}; \\ & {{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1. \\\end{align}\]

Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?

А как возвести в степень число $2\sqrt{3}-3$? Или $3-2\sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)

На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2\sqrt{3}-3$ и $3-2\sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.

Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:

Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $\left( x-n \right)\cdot \left( a-1 \right) \gt 0$.

Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:

\[\begin{matrix} {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \\ \Downarrow \\ \left( x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\\end{matrix}\]

Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем \[\left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right)\]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\approx 3,14… \gt 3\Rightarrow \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 3-1=2\]

В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:

\[\begin{align} & \left( x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-4x-5 \lt 0; \\ & \left( x-5 \right)\left( x+1 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:

Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $x\in \left( -1;5 \right)$. Вот и всё решение.:)

Перейдём к следующей задаче:

\[{{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1\]

Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:

\[\begin{align} & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1={{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\ & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\\end{align}\]

Что ж, выполняем рационализацию:

\[\begin{align} & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left( 2\sqrt{3}-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left( 2\sqrt{3}-4 \right) \lt 0; \\ & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2\left( \sqrt{3}-2 \right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:

\[\begin{matrix} \sqrt{3} \lt \sqrt{4}=2 \\ \Downarrow \\ 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 2\cdot \left( 2-2 \right)=0 \\\end{matrix}\]

Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:

\[\begin{align} & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 0; \\ & {{x}^{2}}-2x-0 \gt 0; \\ & x\left( x-2 \right) \gt 0. \\\end{align}\]

Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $f\left( x \right)=x\left( x-2 \right)$:

Нас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:

\[x\in \left( -\infty ;0 \right)\bigcup \left( 2;+\infty \right)\]

Переходим к следующему примеру:

\[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{16-x}}\]

Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:

\[\begin{matrix} \frac{1}{3}={{3}^{-1}};\quad \frac{1}{9}=\frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \\ \Downarrow \\ {{\left( {{3}^{-1}} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( {{3}^{-2}} \right)}^{16-x}} \\\end{matrix}\]

Далее «причёсываем» выражения с обеих частей неравенства и применяем метод рационализации:

\[\begin{align} & {{3}^{-1\cdot \left( {{x}^{2}}+2x \right)}} \gt {{3}^{-2\cdot \left( 16-x \right)}}; \\ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} \gt {{3}^{-32+2x}}; \\ & \left( -{{x}^{2}}-2x-\left( -32+2x \right) \right)\cdot \left( 3-1 \right) \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}+4x-32 \lt 0; \\ & \left( x+8 \right)\left( x-4 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $x\in \left( -8;4 \right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:

\[{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1\]

Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:

\[{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt {{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{0}}\]

Применяем рационализацию:

\[\begin{align} & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left( 3-2\sqrt{2}-1 \right) \lt 0; \\ & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left( 2-2\sqrt{2} \right) \lt 0; \\ & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left( 1-\sqrt{2} \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Однако совершенно очевидно, что $1-\sqrt{2} \lt 0$, поскольку $\sqrt{2}\approx 1,4… \gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:

\[\begin{matrix} \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left( 1-\sqrt{2} \right) \lt 0 \\ \Downarrow \\\end{matrix}\]

\[\begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 \gt 0; \\ & 3x-{{x}^{2}} \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-3x \lt 0; \\ & x\left( x-3 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Далее всё просто: находим корни, отмечаем их на числовой прямой, смотрим знаки. Ответ будет следующим: $x\in \left( 0;3 \right)$.

Переход к другому основанию

Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.

Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:

\[\begin{align} & {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}; \\ & {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & {{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( 6,25 \right)}^{x}}\ge 1; \\ & {{\left( \frac{27}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81. \\\end{align}\]

Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}\]

Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:

\[4={{2}^{2}}\Rightarrow {{4}^{\frac{4}{x}}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\frac{4}{x}}}={{2}^{2\cdot \frac{4}{x}}}={{2}^{\frac{8}{x}}}\]

Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{2}^{\frac{8}{x}}}\Rightarrow \left( \frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left( 2-1 \right) \lt 0\]

Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.

\[\begin{align} & \left( \frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left( 2-1 \right) \lt 0; \\ & \left( \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \lt 0. \\\end{align}\]

Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=\pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:

Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:

\[x\in \left( -\infty ;-4 \right)\bigcup \left( 0;4 \right)\]

Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.

Переходим к следующей задаче:

\[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\]

Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $\frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( {{3}^{-1}} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\Rightarrow {{3}^{-\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & \left( -\frac{3}{x}-\left( 2+x \right) \right)\cdot \left( 3-1 \right)\ge 0; \\ & \left( -\frac{3}{x}-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left( -2 \right) \right. \\ & \frac{3}{x}+2+x\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}\le 0. \\\end{align}\]

Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.

Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;0 \right)$.

Идём далее. В следующем задании нас поджидают десятичные дроби:

\[{{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( 6,25 \right)}^{x}}\ge 1\]

А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:

\[\begin{align} & 0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}\Rightarrow {{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}; \\ & 6,25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\Rightarrow {{\left( 6,25 \right)}^{x}}={{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}. \\\end{align}\]

Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:

\[\frac{25}{4}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-1}}\Rightarrow {{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}={{\left( {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-1}} \right)}^{x}}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-x}}\]

Таким образом исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-x}}\ge 1; \\ & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x+\left( -x \right)}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}; \\ & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}. \\\end{align}\]

Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:

\[{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}\Rightarrow \left( x+1-0 \right)\cdot \left( \frac{4}{25}-1 \right)\ge 0\]

Заметим, что $\frac{4}{25}-1=\frac{4-25}{25} \lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:

\[\begin{align} & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left( -\infty ;-1 \right]. \\\end{align}\]

Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:

\[{{\left( \frac{27}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81\]

В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{27}{\sqrt[3]{3}}=\frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{\frac{1}{3}}}}={{3}^{3-\frac{1}{3}}}={{3}^{\frac{8}{3}}}; \\ & 9={{3}^{2}};\quad 81={{3}^{4}}. \\\end{align}\]

С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( {{3}^{\frac{8}{3}}} \right)}^{-x}} \lt {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{4-2x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x+4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{4-4x}}. \\\end{align}\]

Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} \lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.

Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:

\[\begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6; \\ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90; \\ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500; \\ & {{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768. \\\end{align}\]

Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:

\[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]

Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}\cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:

\[5\cdot {{5}^{x+1}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]

Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:

\[\begin{align} & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end{align}\]

Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$ ), а заодно вспоминаем, что 1=5⁰. Имеем:

\[\begin{align} & {{5}^{x+1}}\ge {{5}^{0}}; \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Ответ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Переходим ко второму неравенству:

\[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90\]

Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}\cdot {{3}^{2}}=9\cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:

\[\begin{align} & {{3}^{x}}+9\cdot {{3}^{x}}\ge 90;\quad \left| {{3}^{x}}=t \right. \\ & t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge {{3}^{2}}; \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end{align}\]

Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.

Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:

\[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500\]

В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5², поэтому первое слагаемое можно преобразовать:

\[\begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \\ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}\cdot 5. \\\end{align}\]

Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:

\[\begin{align} & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625={{5}^{4}}; \\ & {{5}^{2x+2}}\ge {{5}^{4}}; \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end{align}\]

И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:

\[{{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768\]

Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:

\[\begin{align} & 0,5=\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\Rightarrow {{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}={{\left( {{2}^{-1}} \right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \\ & 16={{2}^{4}}\Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \\ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} \gt 768. \\\end{align}\]

Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}\cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256={{2}^{8}}; \\ & {{2}^{4x+6}} \gt {{2}^{8}}; \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac{1}{2}=0,5. \\\end{align}\]

Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2⁸? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:

\[\begin{align} & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & ={{2}^{8}}.\end{align}\]

То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:

\[\begin{align} & {{5}^{2}}=25; \\ & {{5}^{3}}=125; \\ & {{5}^{4}}=625; \\ & {{5}^{5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Смотрите также:

1. Простейшие показательные уравнения
2. Преобразование показательных уравнений
3. Десятичные дроби
4. Решение задач B12: №448—455
5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
6. ЕГЭ-2014 по математике и открытый банк задач

www.berdov.com

Показательные неравенства. Как решать показательные неравенства?

\(4^{x}\geq32\)

\(5^{2x-1}-5^{2x-3}≤4,8\)

\((\sqrt{7})^{2x+2}-50(\sqrt{7})^{x}+7>0\)

Как решать показательные неравенства?

Нужно стремиться свести неравенство к виду: \(a^{f(x)}\) \(˅\) \(a^{g(x)}\) (\(˅\) означает любой из знаков сравнения) – это позволяет избавиться от оснований и сделать переход к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но есть одна важная тонкость в переходе в показательных неравенствах:
\(-\) если основание степени больше \(1\), то знак неравенства должен оставаться прежним,
\(-\) если же основание — число большее \(0\), но меньшее \(1\) (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

\(2^{x+1}\) \(≥\) \(2^3 ⇒ x+1\) \(≥\) \(3\)

\(0,5^{4x+3}\) \(≤\) \(0,5^{6x-1} ⇒ 4x+3\) \(≥\) \(6x-1\)

Важно! Есть два требования для перехода в показательных неравенствах:
\(-\) число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
\(-\) степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.

Например:

Пример. Решить показательное неравенство: \(2^{x}+2^{x+2}\leq 20\)
Решение:

Пример. Решить показательное неравенство: \(4^{2x}-5 \cdot 4^{x}+4< 0\)
Решение:

Решение показательных неравенств с разными основаниями

А что делать, если невозможно привести левую и правую часть неравенства к степеням с одинаковыми основаниями (т.е. к виду \(a^{f(x)} ˅ a^{g(x)})\) ? Тогда на сцену выходит его величество логарифм. По основному логарифмическому тождеству — \(c=a^{\log_{a}{⁡c}}\) , а значит любое положительное число можно представить в виде степени с любым основанием: \(5=2^{\log_{2}{5}}\) ; \(0,1=200^{\log_{200}{⁡0,1}}\) и т.д.

Ответ: \(x∈\)\([\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)\(;∞)\) 
Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают.

Особые виды показательных неравенств

Решим неравенство \(5^x<-5\). Подумайте, каким должен быть икс, чтобы \(5^x\) превратилось в \(-5\)? Наверно, вы подумали о минус единице? Давайте проверим эту гипотезу: \(5^{-1}=\frac{1}{5}\) – не подходит.

На самом деле, никакая степень не превратит положительное число в отрицательное. Почему? Потому что показателе степени говорит лишь о том сколько раз умножается само на себя основание. А основание – положительно, и произведение положительных чисел – всегда положительно.

Таким образом, никакой \(x\) не сделает \(5^x\) отрицательным. То же самое можно сказать про \(2^x\), \(3^x\), \(4^x\), \(6^x\) и т.д.

Если \(a\) – положительно, то \(a^x>0\) при любых \(x\)

Поэтому у показательного неравенства \(5^x<-5\) нет решений.

Рассмотрим обратное неравенство: \(5^x>-5\).

\(5^x\) – всегда больше нуля, и, уж тем более, оно будет больше \(-5\). Значит, решением неравенства \(5^x>-5\) будет любое число: \(x∈(-∞;∞)\).

Смотрите также:
Показательные  уравнения
Логарифмические  уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические  неравенства

cos-cos.ru

Показательные неравенства. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция – это функция вида , где основание степени  и  Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при  возрастает, при  убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При  , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (). При  наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().

На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

Методика решения неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.

Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.

Пример 1:

Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:

interneturok.ru

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Практика

В практической части урока мы разберём различные примеры на решение систем показательных уравнений, основных типов показательных неравенств и их систем..

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 1. Повторение. Показательная функция. Показательные уравнения

Практика

Конспект урока

Пример №1. Решить неравенство:

Правило: привести к одинаковому основанию.

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

Пример №2. Решить неравенство:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

Пример №3. Решить неравенство:

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется

Ответ:

Пример №4. Решить неравенство:

Вспоминаем свойства показательной функции: , значит,  Данное неравенство не имеет решений.

Пример №5. Решить неравенство:

По аналогии с предыдущим неравенством:  (а, значит, ) для всех  из области определения, то есть .

interneturok.ru

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

 V , где  V — один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция  возрастает при всех действительных значениях , если .  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

следует неравенство 

Аналогично, так как показательная функция убывает, если ,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

следует неравенство 

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

Так как основание степеней , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

Корни числителя:

,   

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  ,  ,  

2. Решим неравенство:

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: , 

Получим систему неравенств:

Отсюда:

То есть 

Запишем двойное неравенство в виде системы:

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

Отсюда: ,  

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Показательные неравенства

Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательной функции  при  и . Вы знаете, что эта функция возрастает при а  и убывает при .

Если а , то есть функция  является возрастающей, тогда справедливо следующее утверждение: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Если , то есть функция  является убывающей, тогда справедливо следующее утверждение: для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Рассмотрим некоторые виды показательных неравенств и методы их решения.

Первый метод: приведение обеих частей неравенства к одному основанию.

Решим неравенство 1: .

Решение.

Поскольку , а , то исходное неравенство равносильно неравенству .

Основание степени , следовательно, функция  возрастающая.

Значит, можем записать, что  

Отсюда .

Ответ: решением исходного неравенства является .

Решим неравенство 2:  .

Решение.

Поскольку , то функция  убывающая. Значит, данное неравенство равносильно следующему .

Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим неравенство . Область определения этого неравенства .

Перенесём слагаемые из левой части неравенства в правую .

Приведём подобные. Имеем .

Решениями последнего неравенства будут  и .

Мы с вами уже говорили, что область определения предыдущего неравенства

. Тогда решением исходного неравенства является объединение промежутков

Не забудем записать ответ .

Второй метод: вынесение общего множителя за скобки.

Решим неравенство 1: .

Решение.

 ,

Тогда исходное неравенство мы можем переписать в следующем виде .

Теперь в левой части последнего неравенства вынесем общий множитель .

Вычислим выражение в скобках. Получим .

Разделим обе части получившегося неравенства на 13.

Получим  , или  .

, то есть имеем возрастающую функцию.

Значит, можем записать . Отсюда .

Запишем ответ: .

Решим неравенство 2: .

Решение.

В левой части неравенства вынесем  за скобки, в правой части  за скобки. Получим равносильное неравенство .

Посчитаем выражения в скобках. Получим

Теперь разделим обе части неравенства на , при этом не забудем поменять знак неравенства на противоположный.

Сократим. Получим . Или.

Заметим, что в получившемся неравенстве равны не основания степени, а показатели. Разделим обе части этого неравенства на . Тогда имеем неравенство  или .

.

, то есть наша функция убывающая.

Значит .

Не забудем записать ответ: .

Метод 3: решение неравенства при помощи замены , где .

Решим неравенство: .

Решение. Преобразуем исходное неравенство. Первое слагаемое .

Тогда наше неравенство примет следующий вид: .

Введём замену , где, . Тогда получившееся неравенство примет следующий вид: .

Найдём корни уравнения .

Его корнями будут  и .

Тогда наше неравенство можем разложить на следующие множители . Решим это неравенство методом интервалов.

Видим, решением данного неравенства является промежуток от минус одной второй и до четырёх.

Когда мы вводили замену, то говорили, что .

Значит, решением последнего неравенства будет промежуток .

Вернёмся к замене. Тогда получаем, что , или .

, имеем возрастающую функцию.

Значит, , или .

Запишем ответ: .

Неравенство 2: .

Решение. Обратите внимание, первое слагаемое мы можем записать, как , а последнее представить, как .

Тогда наше исходное неравенство мы можем привести к следующему виду: .

Разделим обе части неравенства на . Получим .

Введём замену , где  и поменяем местами второе и третье слагаемые.

Тогда наше неравенство примет вид .

Решим уравнение .

Применяя теорему Виета, получаем, что это уравнение имеет два корня  и .

Первый корень не подходит, так как при вводе замены, мы говорили, что  

Значит, решением неравенства будет .

Вернёмся к замене. Получим неравенство  , или .

. Значит, функция убывающая.

Тогда имеем неравенство .

Не забудем записать ответ .

videouroki.net

Гостиничное дело

Это направление воспитывает таких специалистов, как администратор, туроператор, менеджер по работе с клиентами и метрдотель. Данное отделение, куда можно поступить с хорошими знаниями по математике, русскому, истории и обществознанию, выпускает экспертов, способных планировать производственную деятельность гостиниц, прогнозировать результаты их работы, оценивать рынки сбыта и составлять маркетинговую политику отелей.

Многие выпускники, владеющие английским языком на высоком уровне, находят себе должности и за рубежом, что говорит о высокой перспективности такой специализации.

Отделение правоохранительной деятельности

Профессии этого профиля связаны с административной деятельностью и обеспечением безопасности граждан. Кандидатам предоставляется на выбор множество специальностей, среди которых наиболее популярны:

• адвокат,
• прокурор,
• следователь,
• нотариус,
• полицейский,
• правовед.

Большинство выпускников по окончании вуза поступают на службу в государственные правоохранительные органы: организации юридической защиты, таможенные службы, ГИБДД, прокуратуру т. д. Некоторые находят высокооплачиваемые должности в частных охранных агентствах и сыскных бюро. Для поступления наряду с профильным обществознанием потребуется предъявить результаты ЕГЭ по истории.

Издательское дело

Если вы любите работать с документацией и у вас есть талант к написанию и редактированию текстов, то данная область полностью соответствует вашим потребностям. Поступив на это направление, вы сможете выучиться на художественного редактора, журналиста, верстальщика, корректора и трафик-менеджера. Для поступления на издательское отделение вам понадобятся высокие баллы по обществознанию и английскому языку. Часто специалисты этой сферы работают с иностранными текстами, чем и обуславливается необходимость знаний английского языка. В дальнейшем выпускники факультета осуществляют свою деятельность в различных книжных издательствах, газетах, журналах, типографиях и библиотеках.

Психолого-педагогический факультет

С обществознанием можно поступить на психолога и педагога. Для освоения этих профессий вам также необходимо предъявить результаты ЕГЭ по биологии. Специальность прежде всего связана с осуществлением психологических обследований, разработкой оздоровительных программ и созданием благоприятных условий для обучения детей. Здесь выпускники могут учиться на таких экспертов:

• воспитатель детского сада,
• школьный психолог,
• социальный педагог,
• специалист психокоррекции.

Зачастую представители психолого-педагогического отделения работают с детьми с нарушениями зрения, слуха, речи и интеллекта и разрабатывают для них программы реабилитации.

Медиакоммуникации

Здесь воспитываются разноплановые специалисты, осуществляющие свою деятельность в области радио- и телекоммуникаций, в печатных изданиях, рекламных и PR-агентствах. Для того чтобы поступить на данное направление, абитуриенты должны предъявить сертификат с результатами ЕГЭ по обществознанию, русскому языку и литературе. По окончании университета выпускники имеют возможность получить такие квалификации, как маркетолог, звукорежиссер, редактор, продюсер, PR-менеджер и корреспондент.

Куда поступить с обществознанием ЕГЭ в СПб? | ЕГЭ обществознание, русский и математика: куда поступать после 11 класса?

В преддверии выпускного школьники задумываются о том, какую специальность выбрать, в какой институт поступить. Ведь на основании этой информации и выбираются предметы для ЕГЭ. При этом некоторые ученики задумываются, можно ли поступить в институт с обществознанием?

Куда можно поступить с обществознанием?

Одним из наиболее востребованных предметов ныне считается обществознание. Все потому, что:

• Изучать такую дисциплину легко.
• Ее можно использовать для поступления в определенные вузы.

Некоторые вузы обязывают абитуриентов сдавать ЕГЭ по обществознанию. Ведь это дает возможность поступить на такие специальности, как менеджмент, социология, а также педагогика.

В 2017 году количество выпускников, сдающих обществознание, увеличилось на 20 тысяч по сравнению с данными 2016 года и составило 379 тысяч человек.

Гостиничное дело

Сдавая обществознание, математику, русский язык, а также историю, можно выучиться на туристического оператора, метрдотеля, менеджера, а также эксперта гостиничного бизнеса. Кстати, если дополнительно сдать английский язык, то можно будет получить определенную должность и за рубежом.

Отделение правоохранительной деятельности

В этой сфере можно выбрать такую профессию:

• Правовед.
• Нотариус.
• Адвокат.
• Следователь.
• Полицейский.
• Прокурор.

Чаще всего выпускники, отдавшие предпочтение такому направлению, могут заниматься юридической защитой, работать на таможне, в прокуратуре. В некоторых случаях выпускники отдают предпочтение работе в сыскном бюро. В этом случае нужно сдавать ЕГЭ по обществознанию, а также истории.

Издательское дело

Это направление интересно тем, кто часто работает с документами, а также отдает предпочтение редактуре текстов. Для того, чтобы овладеть такими специальностями, необходимо хорошо сдать не только обществознание, но и английский язык. Все потому, что нередко нужно работать с текстами на иностранном языке. При необходимости можно будет найти работу в типографии или же известном журнале.

Психолого-педагогический факультет

Сдавая обществознание, можно легко поступить на преподавателя, а также психолога. Но в этом дополнительно нужно сдать ЕГЭ по биологии, поскольку во многих случаях проводятся и дополнительные исследования, работа с людьми. Отдавая предпочтение этому факультету, можно стать воспитателем, социологом или психологом, специалистом по психологической коррекции.

В некоторых случаях выпускники таких факультетов работают с детьми, которые имеют определенные нарушения, к примеру, проблемы со зрением или же слухом, которые отстают в развитии.

Они же занимаются подготовкой программ, позволяющих ускорить процесс реабилитации, а также сделать его более продуктивным, а также насыщенным. Работать можно не только с детьми, но и с подростками, а также взрослыми, достигая при этом уникальных результатов.

Медиакоммуникации

В этом случае можно получить работу в таких областях, как телекоммуникации, радиокоммуникации, рекламные агентства, а также печатные издания. Для того, чтобы без проблем поступить, потребуется ЕГЭ по литературе, обществознанию, а также русскому языку. После того, как вы отучитесь, вы сможете работать корреспондентом, редактором, а также продюсером или же звукорежиссером.

Выпускники сдают обществознание вместе с историей, а также обязательными математикой и русским для поступления на специальности «политология», «лингвистика», «юриспруденция», «философия», «связи с общественностью».

Сдал обществознание – куда поступать?

Вышеперечисленный перечень профессий не является полным. И в том случае, если вы задаетесь вопросом, куда можно поступить с ЕГЭ по обществознанию, то вы можете выбрать работу в отрасли образования или же в информационной сфере. При необходимости можно легко поступить и на факультет менеджмента.

Куда поступать с историей и обществознанием?

В том случае, если вы будете сдавать не только обществознание, но и историю, то численность факультетов, которые может выбрать выпускник, существенно увеличится. К примеру, можно отдать предпочтение политологии, юриспруденции. И все эти возможность открываются перед теми, кто сдает ЕГЭ по обществознанию.

Куда поступить с литературой и обществознанием?

В некоторых случаях можно легко заменить историю литературой. Это даст возможность без особых сложностей поступить на филолога. Но вы должны понимать, что только в том случае, если вы получите хорошие баллы по ЕГЭ, вы сможете легко подобрать специальность, которая вам придется по душе.

Поступить в МГЭУ с базовой математикой

Да, можно.

Или, если есть результаты ЕГЭ по русскому и литературе (сочинение пишется в МГЭУ), можно подать документы на направление подготовки Журналистика. После окончания первого семестра можно будет перевестись на другой направление подготовки.

Есть вопросы? Звони по тел.: 8(926)095-40-37 (круглосуточно)

На какую специальность поступить с русским языком и обществознанием

Русский язык и математика являются обязательными предметами для сдачи ЕГЭ. Но для поступления в вуз с учётом будущей специальности нужно выбрать ещё как минимум одну дисциплину. Нередко выпускники отдают предпочтение обществознанию, т.к. перечень вузов, куда можно поступить на основе результатов этих трёх дисциплин, достаточно большой.

Абитуриенты с высокими баллами ЕГЭ по русскому языку и обществознанию выбирают гуманитарные направления. Можно связать свою будущую профессию с торговлей или экономикой, изучение общественных наук или и вовсе стать психологом. Выбрав вуз, обязательно ознакомьтесь со вступительными испытаниями по выбранной программе. Вы найдете больше подходящих вакансий на сегодняшний день, если в ваш диплом впишут одну из нижеописанных специальностей.

Кем можно стать?

Психолог. Если вы ещё не определились с тем, куда поступить с русским языком и обществознанием, то обратите внимание на профессию психолога. Сегодня она востребована во многих сферах жизни, например, в медицине и на государственной службе. В сфере образования психологи работают в школах и детских садах, училищах и образовательных центрах. Также их охотно берут в кадровые службы, где они выполняют задачи менеджера по персоналу. Не стоит забывать и о том, что знания и умения психолога востребованы в рекламной деятельности.

Социолог. Занимается анализом взаимоотношений в обществе и изучением взаимодействия между его членами. Карьера социолога начинается ещё на младших курсах вуза – с подсчёта голосов в социологических организациях и работы интервьюера. В дальнейшем можно трудоустроиться в исследовательский центр, рейтинговые агентства или органы власти. Нередко выпускники, которые закончили прикладную социологию, становятся аналитиками и политтехнологами.

Товаровед. В немалой степени товароведение опирается на социологию. Невозможно определить требования покупателей к товару без оценки потребностей в нём. В зависимости от условий и обязанностей, товаровед занимается формированием заказов, приёмкой и учётом продукции, ценообразованием. В некоторых организациях он принимает участие в экспертных мероприятиях. Работают товароведы в магазинах, крупных торговых центрах, таможенных органах и т.д.

Специалист по рекламе и связям с общественностью. Профессия сочетает в себя творческую и экономическую стороны. Профессиональный рекламист является специалистом широкого профиля, который налаживает контакты с общественностью и представителями СМИ, а также организовывает различные мероприятия. Это необходимо для того, чтобы продвигать товары и услуги компании, создавать имидж продукта, фирменного стиля и марки компании. Чаще всего специалисты такого рода требуются в частных агентствах и на крупных предприятиях, где существуют целые отделы.

Специалист по экономической безопасности. Эта специальность открывает большие возможности для карьерного роста – особенно в том случае, если вы выбрали экономическое направление.  Данная профессия идеально подойдёт тем, кому нравится делать расчёты. При этом важно иметь хорошую память и внимательность, ведь придётся заниматься экспертизой бизнес-планов, проверкой заключаемых договоров на наличие финансовых рисков, оценивать внутреннюю нормативную документацию и т.д. Специалисты по экономической безопасности достаточно востребованы на сегодня, ведь экономика является основой деятельности любой компании.

Куда поступить с базовой математикой

Здравствуйте, уважаемые. Вы уже выбрали все экзамены, которые будете сдавать, так что можно выкладывать статью о том, куда поступить с базовой математикой, дабы вы немного сориентировались в своем будущем. Когда-то уже достаточно давно я выкладывал статью куда поступить после 11 класса, которую пропустили мимо и поисковые системы, и читатели блога, может хоть сейчас пройдете по ссылочке, да прочитаете эту статью, она в принципе если и не слишком полезная, то точно навредить не сможет. А в данной статье нужно ответить на несколько вопросов, которые сильно интересуют будущих выпускников и помочь им поступить после школы хоть куда-нибудь.

Куда поступить с базовой математикой и русским

Один из самых популярных, на данный момент, запросов – это запрос куда поступить с базовой математикой и русским. Запрос, на самом деле, достаточно наивный, если не сказать глупый и я отвечу за слова в тексте.

Дело в том, что базовая математика ВУЗами, уточню, нормальными ВУЗами вообще никак не учитывается, а потому из набора русский язык и базовая математика математику можно смело вычеркнуть и подумать, есть ли ВУЗы, которые примут абитуриента, который сдал ЕГЭ только по русскому языку, пусть и на 100 баллов? Смею вас заверить, таких ВУЗов нет, если только филиал какого-нибудь частного и якобы образовательного учреждения высшего образования. Но это такие «Рога и копыта», что за обучение там платить – это просто грех, лучше отдать деньги нуждающимся, чем руководству этого заведения.

Но не нужно печалиться, места, куда поступить с базовой математикой и русским возможно все же есть. Но высшее образование вы там не получите. Как несложно догадаться, я говорю о средне-специальных учебных заведениях – колледжах, техникумах и ПТУ. Да, поступать туда после 11 класса немного странно, но в последнее время ценность такого образования растет очень даже быстро и зачастую найти работу выпускнику колледжа оказывается проще, чем выпускнику ВУЗа. Другое дело, что заработная плата там будет ниже, но никто не запрещает устроиться на работу и учиться в ВУЗе заочно, чтобы после продвинуться по карьерной лестнице.

Подводя итог данному пункту статьи, я могу сказать только то, что с базовой математикой и русским языком можно будет поступить только в колледж. Или вообще никуда не поступать.

Но это ещё далеко не все, базовую математику продолжаем разбирать дальше.

Куда можно поступить с базовой математикой и обществознанием

Конечно же здесь скромно пропущен тот факт, что помимо базовой математики и обществознания вы сдали еще и русский язык, который сдают все и в обязательном порядке. И поскольку вы сдали, а скорее сдадите 3 ЕГЭ, из которых при поступлении будут учитываться только два, а именно обществознание и русский язык, выбирать уже можно, хотя специальности по-прежнему будут не самыми престижными.

Но это не повод не перечислить некоторые из них:

1. учитель русского языка и литературы. Для того, чтобы получить образование и стать бакалавром русского языка и литературы помимо обозначенных в пункте предметов еще придется сдать в ВУЗе внутренний экзамен. Не могу сказать, насколько вариант учителя русского языка и литературы заманчив, но дальше будет еще круче;

2. учитель начальных классов. И здесь тоже придется сдавать внутренний экзамен в ВУЗе при поступлении. Русский язык и математика – это всё же недостаточный набор для поступления в ВУЗ, который будет готовить из вас действительно полезных и уважаемых людей. Я не шучу, адекватные люди понимают то, насколько тяжело быть учителем начальных классов, да и вообще любым учителем и потому относятся к ним с уважением. Хуже то, что при начислении заработной платы в большинстве случаев остается довольствоваться уважением и доедать что-нибудь без соли;

3. технология. Преподаватели в области швейного дела, кулинарии, декоративно-прикладного творчества, токарного и слесарного дела и т.д. в общем, раньше их звали трудовиками, если я не прав, то, пожалуйста, поправьте в комментариях. Чтобы стать такой птицей средней важности, к русскому языку и обществознанию опять же при поступлении придется прибавить внутренний экзамен в ВУЗе. И что-то у меня варианты пошли совсем уж неинтересные, потому я, пожалуй, поищу что-нибудь, что может действительно заинтересовать выпускников;

4. Рекреация и спортивно-оздоровительный туризм. Еще такой вариант я нашел, но мне вот это вот «Программа готовит специалистов по рекреативно-оздоровительной туристской деятельности» как-то не слишком сильно нравится. Но я не могу говорить за всех, может кому-нибудь такое направление обучения, а после и работы очень даже понравится. Но стоит сразу предупредить, что при поступлении в виде внутреннего экзамена попросят сдать физическую культуру и избранный вид спорта, проще говоря, нужно быть законченным спортсменом, чтобы на такую специальность поступить. Хотя, наверное, только они базовую математику и сдают.

На этом набор неинтересных специальностей, которые можно познать, если вы решили не сдавать профильную математику, а сдать базовую математику и обществознание, я заканчиваю и попутно призываю всех учить математику, чтобы можно было сдать математику профильного уровня.

Русский биология математика базовая куда поступить

Еще один не самый удачный набор предметов, которые можно сдать на ЕГЭ. Хотя, если сдавать 3 экзамена, одним из которых будет базовая математика, то набор все равно получится неудачным. Но поступить можно и с таким несколько странным набором, вот вам несколько направлений подготовки:

1. психолого-педагогическое образование. Программа профиля готовит специалистов в сфере деятельности, связанной с решением задач в области психолого-педагогического образования. Как несложно догадаться, описание я просто скопипастил, но если есть интерес, то могу немного пояснить. Люди, отучившиеся на такой специальности, нечасто идут в школы работать школьным психологом, чаще они становятся психологами, которые внушают людям, что помогут им разобраться с тем, что им мешает спокойно жить, найти внутреннюю проблему и путь к ее решению. И этим в большинстве случаев как раз занимаются люди, которые должны решать проблемы школьников, а не взрослых и состоявшихся людей, а еще бывает так, что этими «психологами» становятся люди, которые прошли курсы очень ускоренной подготовки и опять же считающие, что они знают все о человеке. Извините, я просто не люблю психологов;

2. олигофренопедагогика. А вот это уже достойная специальность. Для поступления, конечно же, придется дополнительно пройти в ВУЗе собеседование, но это даже не экзамен, но зато вы сможете действительно разбираться в психологии и научитесь работать с самыми разными людьми, в том числе, с людьми с ограниченными возможностями самых разных возрастов. На мой взгляд, люди с такой специальностью заслуживают максимального уважения, в отличии от недо-психологов, которые только и умеют, что тратить чужое время и деньги. Хотя, конечно, мало кто захочет этим заниматься из-за высокой сложности;

На этом я завершаю список специальностей. На все остальные нужна или профильная математика, или химия, или физика, или еще что-нибудь. Честно, я долго искал, но больше ничего найти не удалось, так что сдавать один ЕГЭ по выбору – биологию и выбирать базовую математику не стоит, рискуете уйти в колледж.

Химия и базовая математика куда поступить

Далеко не один человек задал поисковой системе вопрос о том, химия и базовая математика куда поступить. И я, увидев это в статистике, начал искать какие специальности можно получить, если сдавать именно эти предметы.

Разумеется, я не лучший поисковик и мог где-то пропустить, но ни единой специальности я не нашел. Так что, если хотите сдавать химию и обучаться чему-то, что с ней связано, то будьте добры, подтяните еще и математику, чтобы сдать ЕГЭ по математике профильного уровня, в противном случае вас может ждать только колледж или техникум.

Если сдавать профильную математику нет сил и знаний, то придется сдавать не химию, а например, обществознание, там хоть какой-то выбор есть.

Куда поступать русский история базовая математика

Честное слово, хочется писать много и по возможности интересно, но наши будущие выпускники лишают меня этого права. Иными словами, я снова не нашел куда поступать русский история базовая математика.

Я понимаю, что люди, искренне увлеченные историей, не хотят и думать о том, что такое степень числа или чему тут будет равен x, но если отвечать на тот вопрос, который вы задаете поисковым системам, то ответ будет не самым приятным. Поскольку я скажу, что поступать нужно в колледж или техникум, там вам точно примут. Но ведь не обязательно так падать вниз, сдайте еще что-нибудь, тогда сможете получить высшее образование, а история от вас никуда не денется, хотя возможно она не станет вашей работой.

География и базовая математика куда поступить

И уже третий и последний набор экзаменов ЕГЭ, сдав который можно будет только остаться размышлять о том, зачем еще и географию сдавали, если все равно идти в техникум. Да, высшее образование с таким набором не светит и не мерцает, даже принять собственные экзамены ни один ВУЗ не имеет желания.

Так что если вы уже выбрали именно эти экзамены, то готовьтесь в следующем году сдавать то, чего вам так не хватает, скорее всего это будет профильная математика, которую все же придется выучить. Хотя, конечно, всегда можно начать незаметно спиваться и найти в этой синей воде свою радость, но не стоит так делать.

Заключение

Редко я пишу заключение так, чтобы прям назвать пункт заключение и написать много. Но такая статья и мои внутренние переживания просто требуют большое заключение, которое может оказаться неожиданно злым. Хотя я бы не сказал, что кто-то или что-то заставило меня тратить нервы, нет, не надейтесь.

Мне просто грустно от того, что есть люди, и их немало, которые не могут сдать профильную математику на приличный балл. Когда я сдавал ЕГЭ, математика и русский язык также были обязательными, но никакого деления математики на базовую и профильную не было. Все сдавали математику такого уровня, что нынешняя профильная по сравнению с ней немного бледнеет.

И я совсем не хочу сказать, что вот в наши-то времена экзамены были ух, а у вас сейчас все легко. Нет, ЕГЭ хоть с каждым годом и становится легче, но до состояния «Сколько будет 3 в квадрате» еще не дошло. И хорошо, а то кто-нибудь нарисует квадрат и в нем напишет 3.

Всем мир!

(Visited 18 642 times, 2 visits today)

Куда можно поступить с двумя ЕГЭ?

Допустим, получилось так, что вы сумели сдать всего лишь один экзамен, или же с самого начала вами был выбран всего один дополнительный экзамен и математика базового уровня.

Что делать, если к поступлению вы имеете результаты лишь двух ЕГЭ? В первую очередь, не расстраивайтесь и не опускайте руки. В данной статье будут рассмотрены факультеты, на которые вы сможете поступить с результатами двух ЕГЭ и одного дополнительного предмета.

Как поступить в высшее учебное заведение, сдав всего два ЕГЭ?

На самом деле, в высшее учебное заведение России, возможно, поступить, сумев сдать три экзамена. В обязательном порядке нужно суметь набрать минимальное количество баллов и преодолеть необходимый барьер по таким предметам, как математика и русский язык. Эти два экзамена являются самыми важными для получения аттестата зрелости. Не имея данного документа, поступить в институт или университет невозможно.

Поступить в высшее учебное заведение вы сможете, сдав дополнительный вступительный экзамен — ДВИ. Обычно выбирают такие предметы, как русский язык, профильная математика и обществознание. Однако, с профильным экзаменом может справиться не каждый выпускник.

• Для тех, кто сумел сдать экзамены по русскому языку и обществознанию, можно поступать на факультеты, которые связаны с педагогикой, физической культурой, логистикой, искусством, дизайном, филологией.
• Сдав русский язык, биологию и ДВИ, вы сможете поступить на следующие факультеты: логопедия, дефектология, туризм, физическая культура.
• Тем выпускникам, которым удалось сдать экзамены по русскому языку, литературе и ДВИ, можно поступать на факультеты хореографии, актерского мастерства, музыки, искусства, дизайна, журналистики.
• Сдав профильную математику, русский язык и ДВИ, можно поступить на такие факультеты, как архитектура, градостроительство, педагогика.
• Удачные результаты по русскому языку, истории и ДВИ дадут вам возможность поступить на факультеты, которые связаны с искусством, религией, переводоведением.
• Сдав русский язык, английский язык и ДВИ, вы сможете стать студентами таких факультетов, как «референт-переводчик». Кроме того, вы сможете поступить на факультет английского языка в такие вузы, как РГППУ в Екатеринбурге, в СГСПУ в Самаре, в РАНХиГС в Москве.

По материалам postupi.online

Место для рекламы

Баннер, Лозунг или краткая информация

Сертификат преподавателей социальных наук | Сертификат социальных исследований

«Те, кто не может вспомнить прошлое, обречены его повторять».

Знаменитая цитата Джорджа Сантаяны до сих пор находит отклик в обществе, где больше, чем когда-либо, мы смотрим в прошлое, чтобы направлять наше будущее. Ведь как страны будут развиваться и расти, не анализируя прошлые ошибки?

Социальные исследования — это область, сфокусированная на изучении общества и человечества с целью создания информированных, граждански мыслящих людей.

Учителя социальных наук обучают студентов навыкам, необходимым для принятия гражданских решений. Это включает использование доказательств, рассмотрение идей в историческом контексте и демонстрацию непредубежденности в отношении мира и других культур.

Но прежде чем стать эффективными членами общества, студенты должны получить более полное представление об истории, географии, экономике и принципах государственного управления Америки и других стран.

Получение сертификата учителя социальных наук демонстрирует, что учителя готовы проинструктировать этих старшеклассников по детальным сложностям каждой из этих предметных областей.

Получение аттестата по обществоведению

В процессе сертификации учителя проверяются на предмет их знаний по содержанию, а также на знание эффективных методов обучения студентов. Чтобы преподавать в определенном штате, учителя должны следовать процессу сертификации в этом штате, который отличается в каждом штате.

Для получения дополнительной информации о процессе сертификации в вашем штате см. Карту требований к сертификации.

по социальным исследованиям в основном посвящен пяти основным предметным областям социальных исследований. Эти области включают всемирную историю, историю США, географию, правительство и гражданское дело, а также экономику. Что именно учителя должны знать об этих предметах, чтобы пройти сертификационные стандарты?

Социальные науки

Сертифицированные учителя социальных наук должны понимать контекст исторических событий и действий, а также то, как они сформировали цивилизации.

Из-за этого учителям социальных наук необходимо продемонстрировать глубокое понимание мировой истории — обществ, законов, войн и правительств, которые внесли свой вклад в общую историю мира.

Всемирная история

Всемирная история включает в себя связи и взаимодействия между человеческими обществами во времени.

Процесс сертификации проверяет потенциальных учителей на их понимание древних и нынешних цивилизаций, от классических обществ, таких как Греция, Китай, Рим и Персия, до современных обществ, таких как Соединенные Штаты.

Сертифицированные учителя демонстрируют понимание того, как идеи в эти периоды времени помогли внести свой вклад в современные правительственные системы, такие как демократии, и как различные системы развиваются с течением времени.

Сертифицированные учителя социальных наук также должны понимать основные причины и последствия революций и периодов значительных социальных и экономических изменений. Это включает в себя такие периоды, как Возрождение в Европе, а также Просвещение.

Потенциальные учителя должны показать, как эти и другие движения повлияли на организации обществ по всему миру и привели к крупным экономическим и социальным преобразованиям, например, распространению рыночной экономики, мировых религий и индустриализации.

Поскольку распространение мировых религий помогло сформировать общества, учителя должны продемонстрировать глубокое понимание различных религиозных философий в дополнение к принципам каждой из основных мировых религий.

Сертифицированные учителя социальных наук также должны понимать роль конфликта и войны в формировании всемирной истории. Например, учителя должны продемонстрировать знание основных экономических, идеологических и политических последствий Первой и Второй мировых войн.

В Америке учителя также уделяют особое внимание истории США. Из-за этого потенциальные учителя должны понимать основные принципы и концепции, лежащие в основе формирования и становления Соединенных Штатов.

История США

В Америке культура и общество находились под влиянием того, как их представляли отцы-основатели много лет назад. Учителя понимают философское влияние, которое европейские колонисты принесли в Северную Америку, и то, как это влияние повлияло на U. История С.

Сертифицированные учителя социальных наук должны понимать, как и почему европейцы основали колонии в Северной Америке и как развитие этих колоний все еще влияет на сегодняшнее общество. Например, одной из основных причин колонизации Америки была свобода вероисповедания, которая до сих пор остается важным аспектом жизни США.

Учителя должны знать об истоках революции в США и о том, как ее влияние все еще находит отклик в дипломатической политике других стран.Это включает разработку Конституции США и Билля о правах, а также понимание того, как эти документы защищают американские права и идеалы.

В старших классах учащиеся также начинают более глубоко анализировать последствия территориальной экспансии, например ее влияние на индейские племена. Сертификация проверяет учителей на знание этих событий, а также на то, как коренные американцы взаимодействовали с американцами в период колониализма и экспансии.

Сертифицированные учителя социальных наук также демонстрируют понимание участия Америки в Первой и Второй мировых войнах и того, как последствия этих войн привели к возвышению Соединенных Штатов как мировой державы.

Процесс сертификации также проверяет учителей на их понимание современной истории США, от холодной войны до более современных событий, таких как войны в Ираке и Афганистане.

Поскольку учителя обществоведения знают, что большая часть истории связана с территориальными войнами между странами, они также должны хорошо разбираться в географии мира.

География

География — это изучение людей, мест и их среды обитания. Учителя социальных наук знают, что понимание того, как люди связаны со своим окружением, имеет множество значений для других областей социальных исследований.

Например, учителя должны иметь представление о возобновляемых и невозобновляемых ресурсах страны и о том, как недостаток или избыток этих ресурсов способствует упадку или росту страны.

Сертифицированные учителя социальных наук должны продемонстрировать способность распознавать соответствующие факты данных о странах, такие как плотность населения, уровень грамотности, уровень смертности и сравнение этих фактов с другими странами.

Перед получением сертификата потенциальные учителя должны показать, как наносить на карту эти данные, и использовать эти карты для интерпретации отношений людей с их средой. Это включает в себя понимание программного обеспечения Географической информационной системы, которое учителя могут использовать для демонстрации закономерностей в загрязнителях воздуха или плотности населения вокруг крупного мегаполиса.

Учителя общественных наук должны также знать границы, государственные образования и современные конфликтные области, составляющие политическую географию. Эта политическая география определяется не только физическими границами, но и различными системами правления.

Правительство и гражданство

Чтобы пройти сертификацию, учителя должны различать основные политические теории и концепции, из которых состоят страны, и идеологии внутри этих стран.Эти идеологии включают политические ориентации, такие как либерализм и консерватизм, а также формы правления, такие как теократии и демократии.

Сертифицированные учителя должны понимать отношения между гражданами и государствами, а также философские теории, основополагающие документы, государственную политику и методы участия граждан, которые составляют правительства.

Сюда также входят различные политические партии, как нынешние, так и старые, особенно в истории Соединенных Штатов.Потенциальные учителя должны понимать избирательный процесс, голосование и права граждан в Америке, а также показывать, как эти права защищены регулирующими документами, такими как Конституция США.

Государственные и гражданские темы также включают ограничения и сильные стороны правовой системы страны, включая суды, поэтому учителя должны понимать важные прецеденты Верховного суда, а также то, как они влияют и защищают всех тех, кто живет в Америке и за рубежом.

Правительства склонны следовать строгим экономическим принципам, руководствуясь как избранными ими лидерами, так и своими идеалами. Из-за этого учителя должны демонстрировать понимание экономики и того, как она помогает формировать страны.

Экономика

Прежде чем получить сертификат, учителя должны продемонстрировать свои знания о том, как лица, принимающие решения в стране, используют, распределяют и распределяют ресурсы. Изучение экономики исследует затраты — как преднамеренные, так и непреднамеренные — экономического выбора.

Возможные учителя социальных наук должны знать экономические темы, такие как рынки и цены, конкуренция, экономический рост и показатели экономической деятельности.Они также должны понимать роль правительства в разработке экономической фискальной политики и последствия рыночных колебаний.

Эти темы включают микроэкономику, такую ​​как дефицит, факторы производства, налоги, спрос и предложение, в дополнение к макроэкономике, такой как безработица, инфляция, а также торговля и обменные курсы.

В процессе сертификации также проверяются знания потенциальных преподавателей социальных наук об экономических школах.Чтобы пройти сертификацию, эти люди должны понимать такие школы мысли, как кейнсианская, классическая, монетаристская и экономика предложения.

Получение сертификата по обществознанию

Социальные исследования — важный предмет, если сегодняшние лидеры хотят избежать ошибок прошлого. Обладая широким кругом тематических специализаций, учителя социальных наук дают важное представление о государственных системах, прошлых неудачах и разумных экономических принципах.

Если вы хотите узнать больше о сертификации в вашем штате, посетите карту требований к сертификации штата.

Использование пленки в истории класса

Для многих студентов урок истории означает изучение запутанных и трудных для чтения учебников. Но сегодня многие учителя дополняют свои задания по чтению новыми средствами массовой информации.

Согласно «Город мишуры: голливудский фильм в школьном классе», опубликованному в The History Teacher , использование исторических фильмов — хороший способ вовлечь учеников в обсуждение сложных тем. В статье авторы Алан С. Маркус и Джереми Д. Стоддард отмечают, что в истории больше, чем в большинстве других предметов, преобладает чтение учебников.

Большинство учебников написано для беспристрастного взгляда на историю, что приводит к неприятным побочным эффектам. Маркус и Стоддард пишут, что в большинстве случаев чтение учебников лишено эмоций, несмотря на то, что они посвящены человеческим жертвам и трагедии перед лицом непреодолимых препятствий.

Но все больше учителей помогают своим ученикам испытать эмоции истории через голливудские фильмы.По словам Маркуса и Стоддарда, 92% опрошенных ими учителей истории сообщили, что использовали какую-то часть пленки не реже одного раза в неделю в классе.

В статье отмечается, что фильм помогает студентам узнать взгляды людей в прошлом и то, как эти взгляды повлияли на их действия. Это признание также способствует чувству связи с людьми в прошлом.

Например, Маркус и Стоддард пишут, что после просмотра фильма «Амистад», рассказывающего об африканских рабах, студенты тратили больше времени на сочувствие и размышления о проблемах рабства.Учащиеся больше участвовали в обсуждениях в классе, чем после прочтения нескольких абзацев о рабстве в своих учебниках.

Однако учителя должны быть осторожны, чтобы представить фильм только как часть исторической загадки. Фильмы могут содержать ложь и несоответствия из-за природы киноиндустрии, которая временами больше ориентирована на экономический успех, чем на историческую достоверность. Но, дополняя сцены из фильма другими источниками, учителя находят своих учеников более заинтересованными и заинтересованными в материале.

Программа социальных наук — CEGEP Champlain

St. Lawrence предлагает пять программных профилей, ведущих к получению DEC по общественным наукам. Все профили имеют общие элементы, но различаются акцентами и требованиями приема. В некоторой степени выбранный вами профиль будет определяться университетской программой, в которую вы хотите поступить.

Discovery Profile (300.A3): Проконсультируйтесь с курсами

Этот профиль предлагает самый широкий выбор курсов по общественным наукам и предназначен для студентов, которые хотят изучить свои варианты.

Психология, общество и профиль здоровья (300.A4): обратитесь к курсам

Этот профиль делает упор на исследования, ориентированные на вспомогательные профессии, такие как психология, социальная работа, консультирование и криминология. Он включает курсы по биологии человека и продвинутым количественным методам, которые необходимы для поступления на программы психологии в университетах Квебека.

Международный профиль (300.A5): обратитесь к курсам

Дополнительные курсы этого профиля предназначены для студентов, желающих продолжить обучение в таких областях, как международные отношения и политология.Он также требует третьего языка.

Профиль торговли (400.A3): обратитесь к курсам

Этот профиль предназначен для студентов, интересующихся миром бизнеса, коммерцией и экономикой, и позволяет получить предварительные условия для обучения в университете в области делового администрирования. Для поступления в этот профиль требуется математика средней школы TS 5 или SN 5. Студенты, которые предпочли бы изучать многие области, не связанные с бизнесом, прежде чем поступить в университет, должны рассмотреть этот профиль в программе социальных наук.Студенты, которые предпочитают заниматься бизнесом в CEGEP, должны рассмотреть наш трехлетний курс P.W. Деловая программа Sims.

Профиль математики (400.A4): обратитесь к курсам

Студентам, которые хотят изучать различные дисциплины социальных наук, одновременно интересуясь математикой, понравится профиль Mathematics Profile. Это также увеличивает количество доступных вам университетских программ. Для поступления в этот профиль требуется математика средней школы TS 5 или SN 5.

Подробная информация о программе социальных наук

Сетка прогресса социальных наук

Презентация программы

7 Эффективное преподавание: примеры из истории, математики и естествознания | Как люди учатся: мозг, разум, опыт и школа: расширенное издание

Это означает, что новые учителя должны развивать способность «понимать педагогически рефлексивным способом; они должны не только знать свой собственный подход к дисциплине, но и знать «концептуальные барьеры», которые могут мешать другим »(McDonald and Naso, 1986: 8).Эти концептуальные барьеры различаются от дисциплины к дисциплине.

Акцент на взаимодействии между дисциплинарными знаниями и педагогическими знаниями прямо противоречит распространенным заблуждениям о том, что учителя должны знать, чтобы создавать эффективную среду обучения для своих учеников. Заблуждения состоят в том, что обучение состоит только из набора общих методов, что хороший учитель может преподавать любой предмет или что достаточно только предметных знаний.

Некоторые учителя — могут преподавать в различных дисциплинах.Однако их способность делать это требует большего, чем набор общих педагогических навыков. Рассмотрим случай Барб Джонсон, которая 12 лет проработала учителем шестого класса в средней школе Монро. По общепринятым меркам Монро — хорошая школа. Результаты стандартизированных тестов примерно средние, размер класса небольшой, здания содержатся в хорошем состоянии, администратор является сильным педагогическим руководителем, а текучесть преподавателей и персонала незначительна. Однако каждый год родители отправляют своих пятиклассников из местных начальных школ к жокею Монро, чтобы их дети отправляли в классы Барб Джонсон.Что происходит в ее классе, что дает ему репутацию лучшего из лучших?

В течение первой недели в школе Барб Джонсон задает своим шестиклассникам два вопроса: «Какие вопросы у вас есть о себе?» и «Какие у вас вопросы о мире?» Учащиеся начинают перечислять свои вопросы: «Могут ли они рассказывать о глупых мелочах?» — спрашивает один студент. «Если это ваши вопросы, на которые вы действительно хотите получить ответы, они ни глупые, ни маленькие», — отвечает учитель.После того, как ученики составят список своих индивидуальных вопросов, Барб объединяет учеников в небольшие группы, где они делятся списками и ищут общие вопросы. После долгого обсуждения каждая группа придумывает приоритетный список вопросов, упорядочивая вопросы о себе и о мире.

Снова вместе на групповом занятии Барб Джонсон выясняет приоритеты групп и работает над достижением консенсуса по объединенным спискам вопросов класса. Эти вопросы становятся основой учебной программы в классе Барб.Один вопрос: «Доживу ли я до 100 лет?» породил образовательные исследования по генетике, семейному и устному анамнезу, актуарной науке, статистике и вероятности, сердечным заболеваниям, раку и гипертонии. У студентов была возможность получить информацию у членов семьи, друзей, экспертов в различных областях, онлайн-компьютерных услуг и книг, а также у учителя. Она описывает то, что им пришлось сделать, как стать частью «обучающегося сообщества». По словам Барб Джонсон: «Мы решаем, какие интеллектуальные проблемы являются наиболее серьезными, и разрабатываем способы их исследования.

лучших вакансий для людей, увлекающихся математикой: советы экспертов и ресурсы

Сегодня многие успешные карьеры связаны с числами.Числа могут не быть в центре внимания этих профессий, но они могут служить важными строительными блоками более крупного и значимого целого. Например, инженеры-механики работают с числами при проектировании и производстве всех типов простых и сложных машин. Актуарии используют числа для расчета и оценки последствий финансового риска. А экономисты анализируют и интерпретируют количественные данные, чтобы различать макро- и микроэкономические модели. Если вам нравится работать с числами, будь то постоянное вычисление или вычисление, широкий спектр профессий даст вам возможность удовлетворить ваши потребности в числах.

Подходит ли вам карьера в цифрах?

Не все профессии, связанные с числами, одинаковы. На самом деле, многие из них сильно различаются и привлекают широкий круг людей с очень разным набором навыков, черт характера и интересов. Однако есть и определенные общие черты. Люди, работающие с числами, могут обладать одним или несколькими из следующего:

• Возможность рассуждений и обратных рассуждений

  Рассуждение касается способности мыслить логически, используя аналитические, дедуктивные и индуктивные концепции.Обратное (или обратное рассуждение) проблемы, начиная с заявленной цели или решения, а затем возвращаясь назад, чтобы определить метод достижения этой цели.

• Понимание пространственных, количественных и абстрактных отношений

  Люди, которые работают с числами, должны уметь применять математические концепции помимо чисел в уравнениях или написанных на странице.

• Умение думать и общаться символами

  Умение понимать, применять и общаться с помощью числовых и других связанных с математикой символов — или, проще говоря, знание языка математики — очень важно.

• Способность анализировать, оспаривать и критиковать свою работу и работу других.

  Часть работы с числами в совместной среде — это возможность сопоставить и обосновать свои концепции и выводы.

• Математическое моделирование

  Работа с числами означает моделирование с помощью чисел для решения практических задач. Специалисты в области Numbers должны иметь возможность выбирать из множества математических методов для создания, анализа и пересмотра концепций моделирования.

• Способность определять закономерности и структуры посредством наблюдения и анализа математических взаимосвязей.

  Специалисты в области Numbers часто сталкиваются со сложными проблемами, которые требуют от них разбить проблемы на более мелкие и простые части и обнаружить лежащие в основе структуры для их решения.

• Талант рисковать с математическими понятиями

  Специалисты в области чисел должны уметь не только определять закономерности и структуры в математических отношениях, но и видеть за пределами этих закономерностей и структур для разработки новых концепций и стратегий.

• Внимание к деталям и точность

  Точность — фундаментальная необходимость в математической работе.Специалисты в области чисел должны уметь составлять точные формулы, используя как математические структуры и символы, так и письменное слово и устную речь.

• Умение уверенно использовать числа и математику

  Специалисты в области чисел должны иметь прочное и полезное знание основ математики.

• Терпение

  Терпение, о котором часто забывают, — это абсолютная необходимость для профессионалов в области чисел. Достижение успешного математического решения требует возможности исследовать и тщательно анализировать иногда большое количество разрозненных элементов.

Совмещение чисел карьеры против других

Хорошая новость для всех, кто интересуется карьерой, связанной с числами, — это то, что есть много вакансий, которые хорошо оплачиваются.Ни для кого не секрет, что выпускники со степенями, связанными с STEM, сегодня пользуются большим спросом и, как ожидается, будут оставаться востребованными в ближайшие годы. Высокий спрос на людей, которые работают с числами, приводит к более высоким зарплатам. Приведенная ниже диаграмма иллюстрирует этот момент, сравнивая профессии, для которых требуется математическое или математическое образование, с профессиями, в которых этого не требуется:

Источник для диаграммы: Бюро статистики труда США

окупается ли степень магистра?

Это вопрос, который задает каждый студент, приближающийся к получению степени бакалавра: «Должен ли я остаться в школе и получить степень магистра, или пора искать работу?» Ответ обязательно будет личным, но необходимо учитывать ряд объективных факторов.Главные из них — это потенциальный карьерный рост и деньги. Одна ошибка, которую делают многие студенты, — это полагать, что получение степени магистра автоматически окажет значительное влияние на их карьеру. Хотя, в самом широком смысле, получение ученой степени обычно означает более высокую заработную плату и большую мобильность, правда в том, что на самом деле все зависит от конкретной профессии.

Суть в том, что вам нужно посмотреть на конкретную работу, чтобы определить, действительно ли получение степени магистра окупается.Ниже приведен список профессий, связанных с числами, для которых степень магистра, скорее всего, окажет положительное влияние в начале карьеры, используя в качестве ориентира среднюю начальную зарплату:

Бухгалтерский учет / Компьютеры и
Производство электроники

Бакалавриат: 55000 долларов

Магистратура: 66000 долларов США

Компьютерная инженерия / Информация

Бакалавриат: 61 305 долл. США

Магистратура: 70 523 долл. США

Финансы / Производство компьютеров и электроники

Бакалавриат: 55000 долларов

Магистратура: 69 500 долларов США

Финансы / Производство продуктов питания и напитков

Бакалавриат: 55000 долларов

Магистратура: 100000 долларов США

Математика и статистика / Финансы, страхование и недвижимость

Бакалавриат: 50 500 долларов США

Магистратура: 53000 долларов США

Источник: Обзор заработной платы Национальной ассоциации колледжей и работодателей (NACE) (январь 2015 г.).

Самые высокооплачиваемые вакансии в Кремниевой долине

«Технологический бум» длится уже несколько десятилетий — настолько долго, что называть его бумом больше не уместно. Независимо от того, как он называется, эпицентр технологической индустрии можно проследить до географической области к югу от Сан-Франциско, известной как Силиконовая долина. Технологии по-прежнему являются здесь королем, как и рабочие места в сфере высоких технологий, а это означает, что высокообразованные и квалифицированные специалисты по-прежнему пользуются большим спросом.Вот лишь несколько высокооплачиваемых рабочих мест, которые можно найти в Кремниевой долине: