Практическая работа по теме Решение задач на вычисление силы Ампера и силы Лоренца

Практическая работа № 18

Решение задач на применение закона Ампера Лоренца

Цель: научиться применять закон Ампера и формулу силы Лоренца при решении задач.

Краткая теория

Закон Ампера устанавливает, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого В, действует сила, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля:

F_A= IlBsinα

.

Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы dl и B. Для определения направления силы, действующей на проводник с током, помещенный в магнитное поле, применяется правило левой руки.

Силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля, называют силой Лоренца.

F_л= qvBsinα,

где q – модуль заряда, v – скорость движения заряженной частицы, α – угол между вектором скоростью и вектором магнитной индукции.

Практическая работа № 18

Решение задач на применение закона Ампера Лоренца

Вариант 1.

1. Какая сила действует на протон, движущийся со скоростью 10⁶ м/с в магнитном поле с индукцией 0.2 Тл перпендикулярно линиям индукции?

2. Определите модуль силы, действующей на проводник длиной 20 см при силе тока 10 А в магнитном поле с индукцией 0.13 Тл, если угол α между вектором В и проводником равен а) 90°; б) 30°.

3. Определите, с какой силой магнитное поле, созданное током, действует на проводник, если магнитная индукция поля 1.5 Тл, рабочая длина проводника 0.4 м и по нему протекает ток 50 А.

4. Вычислите магнитную индукцию поля, если оно действует на проводник с силой 6 Н. Рабочая длина проводника, помещенного в магнитное поле, составляет 60 см, а ток, протекающий в нем, равен 15 А.

5. Параллельно пластинам плоского конденсатора создано однородное магнитное поле индукцией В = 4 мТл. Между пластинами перпендикулярно направлению магнитного поля и параллельно пластинам движется электрон со скоростью v = 5 000 км/с. Определите напряженность Е электрического поля между пластинами.

6. Заряженная частица электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 2 Тл в вакууме со скоростью 10⁵ м/с перпендикулярно линиям магнитной индукции. Вычислим силу, действующую на электрон.

7. Проводник с током удерживается в магнитном поле, индукция которого равна 2 Тл, силой 4 Н. Определить длину проводника, если его сопротивление 3 Ом, разность потенциалов на концах составляет 20 В, а направление тока с линиями индукции образует угол, равный 90°.

8. В проводнике с длиной активной части 8 см сила тока равна 50 А. Он находится в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Какую работу совершил источник тока, если проводник переместился на 10 см перпендикулярно линиям индукции?

Практическая работа № 18

Решение задач на применение закона Ампера Лоренца

Вариант 2.

1. По проводнику длиной 45 см протекает ток силой 20 А. Чему равна индукция магнитного поля, в которое помещен проводник, если на проводник действует сила 9 мН?

2. Сила тока в проводнике 4 А, длина активной части проводника 0.2 м, магнитное поле действует на проводник с силой 0.1 Н. Определите индукцию магнитного поля, если линии индукции поля и ток взаимно перпендикулярны.

3. Индукция магнитного поля, созданная прямолинейным проводником в точке, находящейся на расстоянии 20 см от проводника, равна 2·10⁻⁵ Тл. Какой ток проходит по проводнику?

4. С какой силой взаимодействуют два параллельных проводника длиной 1 м каждый, по которым текут токи силой 10 и 40 А в одном направлении, если они находятся в воздухе на расстоянии 0.5 м друг от друга?

5. На проводник длиной 50 см, находящийся в однородном магнитном поле с магнитной индукцией 0.1 Тл, действует сила 0.05 Н. Вычислите угол между направлением силы тока и вектором магнитной индукции, если сила тока равна 2 А.

6. С какой скоростью должен двигаться проводник длиной 20 см в магнитном поле с индукцией 8·10⁻² Тл, чтобы в нем возникла ЭДС индукции 40 мВ. Проводник движется под углом 90° к вектору магнитной индукции.

7. Электрон движется в вакууме в однородном магнитном поле с индукцией 5·10⁻³ Тл. Радиус окружности, по которой он движется, равен 1 см. Определите модуль скорости движения электрона, если она направлена перпендикулярно к линиям индукции.

8. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0.5 Тл, движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводнику течет ток в 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу перемещения проводника за 10 с движения.

Закон Ампера и сила Лоренца

Цель:научиться применять закон Ампера и формулу силы Лоренца при решении задач.

Место проведения: учебная аудитория.

Средства обучения:

— методические рекомендации к практической работе № 12.

Виды самостоятельной работы:

Решение тренировочных заданий.

Краткая теория

Закон Ампера устанавливает, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого В, действует сила, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля:

.

Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы dl и B. Для определения направления силы, действующей на проводник с током, помещенный в магнитное поле, применяется правило левой руки.

Силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля, называют силой Лоренца.

,

где Q – модуль заряда, v – скорость движения заряженной частицы, α – угол между вектором скоростью и вектором магнитной индукции.

Задания для аудиторной работы

1. Какова индукция магнитного поля, в котором на проводник с длиной активной части 5 см действует сила 50 мН? Сила тока в проводнике 25 А. Проводник расположен перпендикулярно индукции магнитного поля.

2. Под каким углом к линиям индукции однородного магнитного поля должен быть расположен проводник длиной 0,4 м, чтобы поле индукцией 0,8 Тл действовало на проводник силой 1,6 Н, если по нему проходит ток 5 А?

3. Какая сила действует на электрон, движущийся со скоростью 20 Мм/с в магнитном поле индукцией 0,4 Тл под углом 45°?

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Куда будет направлена сила, действующая на проводник с током, находящийся в магнитном поле?

2. Прямолинейный проводник длиной Δl = 0,1 м, по которому течет ток I = 3 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 4 Тл и расположен под углом 60° к вектору B. Чему равна сила, действующая на проводник со стороны магнитного поля?

3. В однородное магнитное поле индукцией 10 мТл перпендикулярно линиям индукции влетает электрон с кинетической энергией 48· Дж. Каков радиус кривизны траектории движения электрона в поле?

4. Какая сила действует на протон, движущийся со скоростью 10 Мм/с в магнитном поле индукцией 0,2 Тл под углом 30°?

Вариант 2

1. Куда будет направлена сила, действующая на проводник с током, находящийся в магнитном поле?

2. Какая сила действует на провод длиной 10 см в однородном магнитном поле с магнитной индукцией 2,6 Тл, если ток в проводе 12 А, а угол между направлением тока и линиями магнитной индукции 30º?

3. В направлении, перпендикулярном линиям индукции, влетает в магнитное поле электрон со скоростью 10 Мм/с. Найти индукцию поля, если электрон описал в поле окружность радиусом 1 см.

4. Какая сила действует на электрон, движущийся со скоростью 5 Мм/с в магнитном поле индукцией 4 Тл под углом 45°?

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте закон Ампера.

2. Как определить направление силы Ампера? Силы Лоренца?

3. Запишите формулу силы Лоренца.

Практическая работа № 13

Решение задач по теме «Закон электромагнитной индукции.

Самоиндукция»

Цель:научиться применять закон электромагнитной индукции, формулу магнитного потока при решении задач.

Место проведения: учебная аудитория.

Средства обучения:

— методические рекомендации к практической работе № 13.

Виды самостоятельной работы:

Решение тренировочных заданий.

Краткая теория

Электромагнитная индукция – это явление образования электродвижущей силы в проводнике, который помещен в изменяющееся магнитное поле. Кроме того, электромагнитная индукция может возникать при движении проводника относительно постоянного магнитного поля.

Закон Фарадея электромагнитной индукции выражается следующей формулой:

,

где Е- это электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно выбранного контура;

ΔФ — магнитный поток, проходящий через поверхность, ограниченную этим контуром.

Согласно правилу Ленца в формуле стоит знак «-» (минус). Правило Ленца гласит: индукционный ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре, имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противодействует тому изменению магнитного потока, которым был вызван данный ток.

Закон Фарадея для катушки, помещенной в переменное магнитное поле, выглядит немного иначе:

,

где Е — электродвижущая сила;

N — число витков;

ΔФ — магнитный поток через один виток.

Электричество и магнетизм

Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух длинных прямолинейных проводников с токами I₁ и I₂, находящихся на расстоянии d друг от друга (рис. 6.26).

Рис. 6.26. Силовое взаимодействие прямолинейных токов:
1 — параллельные токи; 2 — антипараллельные токи 

Видео 6. 2. Взаимодействие двух параллельных проводников с током.

Проводник с током I₁ создает кольцевое магнитное поле, величина которого в месте нахождения второго проводника равна

Это поле направлено «от нас» ортогонально плоскости рисунка. Элемент второго проводника  испытывает со стороны этого поля действие силы Ампера

Подставляя (6.23) в (6.24), получим

При параллельных токах сила F₂₁ направлена к первому проводнику (притяжение), при антипараллельных — в обратную сторону (отталкивание).

Аналогично на элемент  проводника 1 действует магнитное поле, создаваемое проводником с током I₂ в точке пространства с элементом  с силой F₁₂. Рассуждая таким же образом, находим, что F₁₂ = –F₂₁, то есть в этом случае выполняется третий закон Ньютона.

Итак, сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников, рассчитанная на элемент длины  проводника, пропорциональна произведению сил токов I₁ и I₂ протекающих в этих проводниках, и обратно пропорциональна расстоянию между ними. В электростатике по аналогичному закону взаимодействуют две длинные заряженные нити. 

На рис. 6.27 представлен опыт, демонстрирующий притяжение параллельных токов и отталкивание антипараллельных. Для этого используются две алюминиевые ленты, подвешенные вертикально рядом друг с другом в слабо натянутом состоянии. При пропускании через них параллельных постоянных токов силой около 10 А ленты притягиваются. а при изменении направления одного из токов на противоположное — отталкиваются.

Рис. 6.27. Силовое взаимодействие длинных прямолинейных проводников с током 

На основании формулы (6.25) устанавливается единица силы тока — ампер, являющаяся одной из основных единиц в СИ. 

Пример. По двум тонким проводам, изогнутым в виде одинаковых колец радиусом R = 10 см, текут одинаковые токи I = 10 А в каждом. Плоскости колец параллельны, а центры лежат на ортогональной к ним прямой. Расстояние между центрами равно d = 1 мм. Найти силы взаимодействия колец.

Решение. В этой задаче не должно смущать, что мы знаем лишь закон взаимодействия длинных прямолинейных проводников. Поскольку расстояние между кольцами много меньше их радиуса, взаимодействующие элементы колец «не замечают» их кривизны. Поэтому сила взаимодействия дается выражением (6.25), куда вместо  надо подставить длину окружности колец  Получаем тогда

Магнитные поля, создаваемые токами: закон Ампера

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Вычислить ток, создающий магнитное поле.
• Используйте правило правой руки 2, чтобы определить направление тока или направление контуров магнитного поля.

Какой ток нужен для создания значительного магнитного поля, возможно, такого же сильного, как поле Земли? Геодезисты скажут вам, что воздушные линии электропередач создают магнитные поля, которые мешают показаниям их компаса.Действительно, когда Эрстед в 1820 году обнаружил, что ток в проводе воздействует на стрелку компаса, он не имел дела с очень большими токами. Как форма проводов, по которым проходит ток, влияет на форму создаваемого магнитного поля? Ранее мы отметили, что токовая петля создает магнитное поле, подобное магнитному полю, но как насчет прямого провода или тороида (бублика)? Как направление создаваемого током поля связано с направлением тока? Ответы на эти вопросы исследуются в этом разделе вместе с кратким обсуждением закона, регулирующего поля, создаваемые токами.

Магнитное поле, создаваемое длинным прямым токопроводящим проводом: Правило правой руки 2

Магнитные поля имеют направление и величину. Как отмечалось ранее, один из способов исследовать направление магнитного поля — это использовать компасы, как показано для длинного прямого токоведущего провода на рисунке 1. Датчики Холла могут определять величину поля. Поле вокруг длинной прямой проволоки находится в виде кольцевых петель. Правило правой руки 2 (RHR-2) возникло в результате этого исследования и справедливо для любого текущего сегмента — направляет большой палец в направлении тока, и пальцы сгибаются в направлении петель магнитного поля , созданных Это.

Рис. 1. (a) Компасы, помещенные рядом с длинным прямым токопроводящим проводом, показывают, что силовые линии образуют круговые петли с центром на проводе. (b) Правило 2 правой руки гласит, что, если большой палец правой руки указывает в направлении тока, пальцы сгибаются в направлении поля. Это правило согласуется с полем, отображаемым для длинного прямого провода, и действительно для любого текущего сегмента.

Напряженность (величина) магнитного поля , создаваемая длинным прямым проводом с током , экспериментально определена равной

Пример 1. Расчет тока, создающего магнитное поле

Найдите ток в длинном прямом проводе, который создаст магнитное поле, вдвое превышающее земное, на расстоянии 5.0 см от проволоки.

Поле Земли составляет около 5,0 × 10 ⁻⁵ Тл, поэтому здесь B из-за проволоки принимается равным 1,0 × 10 ⁻⁴ Тл. Уравнение [латекс] B = \ frac {\ mu_ {0} I} {2 \ pi r} \\ [/ latex] можно использовать для поиска I , так как все другие величины известны.

Решение для I и ввод известных значений дает

[латекс] \ begin {array} {lll} I & = & \ frac {2 \ pi rB} {\ mu _ {0}} = \ frac {2 \ pi \ left (5.{-7} \ text {T} \ cdot \ text {m / A}} \\ & = & 25 \ text {A} \ end {array} \\ [/ latex]

Таким образом, умеренно большой ток создает значительное магнитное поле на расстоянии 5,0 см от длинного прямого провода. Обратите внимание, что ответ состоит только из двух цифр, поскольку поле Земли в этом примере указано только из двух цифр.

Закон Ампера и другие

Магнитное поле длинного прямого провода имеет большее значение, чем вы можете сначала подумать. Каждый сегмент тока создает магнитное поле, подобное тому, которое имеет длинный прямой провод, а полное поле тока любой формы является векторной суммой полей, создаваемых каждым сегментом. Формальное определение направления и величины поля, создаваемого каждым сегментом, называется законом Био-Савара . Интегральное исчисление необходимо для суммирования поля для тока произвольной формы. Это приводит к более полному закону, называемому законом Ампера , который связывает магнитное поле и ток в общем виде.Закон Ампера, в свою очередь, является частью уравнений Максвелла , которые дают полную теорию всех электромагнитных явлений. Рассмотрение того, как уравнения Максвелла выглядят для разных наблюдателей, привело к современной теории относительности и к осознанию того, что электрические и магнитные поля являются разными проявлениями одного и того же. Большая часть этого выходит за рамки этого текста как на математическом уровне, требующем вычислений, так и в объеме места, которое может быть отведено под него. Но для заинтересованного студента, и особенно для тех, кто продолжает заниматься физикой, инженерией или подобными занятиями, дальнейшее углубление в эти вопросы откроет описания природы, как элегантные, так и глубокие.В этом тексте мы будем иметь в виду общие особенности, такие как RHR-2 и правила для линий магнитного поля, перечисленные в разделе «Магнитные поля» и «Линии магнитного поля», концентрируясь при этом на полях, создаваемых в определенных важных ситуациях.

Слушая все, что мы делаем об Эйнштейне, у нас иногда складывается впечатление, что он из ничего изобрел теорию относительности. Напротив, одной из мотиваций Эйнштейна было решить трудности, связанные с пониманием того, как разные наблюдатели видят магнитные и электрические поля.

Магнитное поле, создаваемое токонесущей круговой петлей

Магнитное поле около токоведущей петли показано на рисунке 2. Как направление, так и величина магнитного поля, создаваемого токоведущей петлей, являются сложными. RHR-2 можно использовать для определения направления поля около петли, но для получения более подробной информации необходимы картографирование с помощью компасов и правила о силовых линиях, приведенные в разделах «Магнитные поля» и «Магнитные линии поля».Существует простая формула для напряженности магнитного поля в центре круговой петли . Это

[латекс] B = \ frac {\ mu_ {0} I} {2R} \ left (\ text {в центре петли} \ right) \\ [/ latex],

, где R — радиус петли. Это уравнение очень похоже на уравнение для прямого провода, но действительно только в центре кольцевой петли провода. Сходство уравнений указывает на то, что аналогичная напряженность поля может быть получена в центре петли.Один из способов получить большее поле — это N петель; тогда поле будет B = Nμ ₀ I / (2 R ). Обратите внимание, что чем больше петля, тем меньше поле в ее центре, потому что ток дальше.

Рис. 2. (a) RHR-2 показывает направление магнитного поля внутри и снаружи токоведущей петли. (б) Более подробное картирование с помощью компасов или зонда Холла завершает картину. Поле похоже на поле стержневого магнита.

Магнитное поле, создаваемое токопроводящим соленоидом

Соленоид представляет собой длинную катушку провода (с большим количеством витков или петель, в отличие от плоской петли). Из-за своей формы поле внутри соленоида может быть как очень однородным, так и очень сильным. Поле сразу за катушками почти равно нулю. На рисунке 3 показано, как поле выглядит и как его направление задается RHR-2.

Рис. 3. (a) Из-за своей формы поле внутри соленоида длиной l заметно однородно по величине и направлению, на что указывают прямые и равномерно разнесенные силовые линии.Поле вне катушек почти равно нулю. (b) Этот разрез показывает магнитное поле, создаваемое током в соленоиде.

Магнитное поле внутри соленоида с током очень однородно по направлению и величине. Только ближе к концам он начинает ослабевать и менять направление. Поле снаружи имеет те же сложности, что и плоские петли и стержневые магниты, но напряженность магнитного поля внутри соленоида просто равна

[латекс] B = {\ mu} _ {0} nI \ left (\ text {внутри соленоида} \ right) \\ [/ latex],

, где n — количество петель на единицу длины соленоида ( n = N / l , где N — количество петель, а l — длина).Обратите внимание, что B — это напряженность поля в любом месте однородной внутренней части, а не только в центре. Как следует из примера 2, с соленоидами возможны большие однородные поля, распределенные по большому объему.

Пример 2. Расчет напряженности поля внутри соленоида

Что такое поле внутри соленоида длиной 2,00 м, имеющего 2000 петель и пропускающего ток 1600 А?

Чтобы найти напряженность поля внутри соленоида, мы используем [latex] B = {\ mu} _ {0} nI \\ [/ latex].{-1} \ right) \ left (1600 \ text {A} \ right) \\ & = & 2.01 \ text {T} \ end {array} \\ [/ latex]

Это большая напряженность поля, которая может быть установлена ​​над соленоидом большого диаметра, например, при использовании в медицине магнитно-резонансной томографии (МРТ). Однако очень большой ток указывает на то, что поля такой силы нелегко получить. Такой большой ток через 1000 петель, сжатых до метра, приведет к значительному нагреву.Более высокие токи могут быть достигнуты с помощью сверхпроводящих проводов, хотя это дорого. Существует верхний предел тока, поскольку сверхпроводящее состояние нарушается очень сильными магнитными полями.

Есть интересные варианты плоской катушки и соленоида. Например, тороидальная катушка, используемая для удержания реактивных частиц в токамаках, очень похожа на соленоид, изогнутый в круг. Поле внутри тороида очень сильное, но круглое. Заряженные частицы движутся по кругу, следуя силовым линиям поля, и сталкиваются друг с другом, возможно, вызывая синтез.Но заряженные частицы не пересекают силовые линии и не покидают тороид. Целый ряд форм катушек используется для создания всевозможных форм магнитного поля. {- 7} \ text {T } \ cdot \ text {m / A} \\ [/ latex] — проницаемость свободного пространства.

Концептуальные вопросы

1. Сделайте чертеж и используйте RHR-2, чтобы найти направление магнитного поля токовой петли в двигателе (например, на Рисунке 1 из «Крутящий момент на токовой петле»). Затем покажите, что направление крутящего момента на петле такое же, как и при отталкивании одинаковых полюсов и притяжении разных полюсов.

Глоссарий

линейка правая 2 (RHR-2):

правило для определения направления магнитного поля, создаваемого токоведущим проводом: направьте большой палец правой руки в направлении тока, а пальцы согнуты в направлении петель магнитного поля

Напряженность (величина) магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом с током:

определяется как [latex] B = \ frac {\ mu_ {0} I} {2 \ pi r} \\ [/ latex], где I — ток, r — кратчайшее расстояние до провода, и μ ₀ — проницаемость свободного пространства

проницаемость свободного пространства:

— мера способности материала, в данном случае свободного пространства, поддерживать магнитное поле; константа [латекс] \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} T \ cdot \ text {m / A} \\ [/ latex]

Напряженность магнитного поля в центре круговой петли:

определяется как [латекс] B = \ frac {{\ mu} _ {0} I} {2R} \\ [/ latex], где R — радиус петли

соленоид:

Тонкая проволока, намотанная на катушку, которая создает магнитное поле при прохождении через нее электрического тока

Напряженность магнитного поля внутри соленоида:

определяется как [латекс] B = {\ mu} _ {0} \ text {nI} \\ [/ latex], где n — количество петель на единицу длины соленоида n = N / l , где N — количество петель и l — длина)

Закон Био-Савара:

физический закон, который описывает магнитное поле, создаваемое электрическим током, с помощью специального уравнения

Закон Ампера:

физический закон, который гласит, что магнитное поле вокруг электрического тока пропорционально току; каждый сегмент тока создает магнитное поле, подобное тому, которое имеет длинный прямой провод, а общее поле тока любой формы представляет собой векторную сумму полей, создаваемых каждым сегментом

Уравнения Максвелла:

Набор из четырех уравнений, описывающих электромагнитные явления

Ампера: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Уравнение

Поле, создаваемое длинным прямым проводом с током, имеет форму концентрических окружностей.И по мере того, как вы удаляетесь от проволоки, эти круги отдаляются друг от друга — или, другими словами, поле становится слабее. Мы могли бы создать уравнение для этого, используя закон Ампера и выполнив некоторые вычисления. Но на самом деле мы можем вывести это уравнение вообще без каких-либо исчислений.

Вместо интеграла воспользуемся суммой. Сумма всех элементов магнитного поля, составляющих концентрическую окружность: магнитное поле B, , умноженное на длину элемента delta-L, , равно mu-zero (проницаемость свободного пространства), умноженное на ток в провод I .Это закон Ампера.

Затем поймите, что, суммируя все эти элементы, ваша delta-L становится окружностью концентрической окружности, 2pi r . Переставьте это так, чтобы магнитное поле стало объектом, и вы получите ЭТО окончательное уравнение для поля, созданного токоведущим проводом.

Здесь B — магнитное поле в определенной точке пространства, измеренное в теслах.-6. I — ток, протекающий по проводу, измеряется в амперах. А r — это радиальное расстояние от провода, измеренное в метрах. Таким образом, вы можете использовать это уравнение, чтобы вычислить напряженность магнитного поля на расстоянии х от токоведущего провода.

Благодаря уравнению можно рассчитать напряженность поля. Но как насчет направления? Для этого мне нужно, чтобы ты показал мне большой палец правой руки. Нет, серьезно, сделай это прямо сейчас.

Используя эту схему токоведущего провода, укажите большим пальцем в направлении, в котором движется ток, в направлении стрелки, обозначенной I . А теперь представьте, что вы обвиваете пальцами проволоку, хватая ее. Направление, указываемое вашими пальцами, соответствует направлению, в котором указывают линии поля — куда идут стрелки на концентрических кругах. Это называется правилом правой руки, и жизненно важно, чтобы вы случайно не использовали левую руку, потому что вы получите совершенно неправильный ответ.

Примеры

Хорошо, давайте рассмотрим пример. Допустим, у вас есть токоведущий провод, направленный на север. Если по проводу течет ток 0,1 А, каковы величина и направление магнитного поля на расстоянии 0,01 метра над проводом?

Прежде всего, давайте запишем то, что мы знаем. Ток I равен 0,1, расстояние от провода r равно 0.-6 тесла. И это наша величина.

В качестве направления вы можете провести ток на листе бумаги, направив его вверх к верхней части страницы, которую вы можете отметить на севере. Теперь поднимите большой палец правой руки, направьте большой палец к верхней части страницы и представьте, как вы сгибаете пальцы вокруг проволоки. Если вы сделаете это правильно, вы увидите, что ваши пальцы будут указывать налево под проводом и направо над проводом. Если вверх по странице север, то вправо будет восток.-6 тесла к востоку.

Краткое содержание урока

Полная версия закона Ампера — это одно из уравнений Максвелла, описывающих электромагнитную силу. Закон Ампера , в частности, гласит, что магнитное поле, создаваемое электрическим током, пропорционально величине этого электрического тока с константой пропорциональности, равной проницаемости свободного пространства. Стационарные заряды создают электрические поля, пропорциональные величине заряда. Но движущиеся заряды создают магнитные поля, пропорциональные току (заряд и движение).

Единственная проблема с законом Ампера заключается в том, что это дифференциальное уравнение — другими словами, вам нужно провести некоторое исчисление, чтобы его использовать. Но мы можем избежать этого, посмотрев на результат всех этих вычислений для конкретной ситуации. Если мы изучим магнитное поле, создаваемое длинным прямым проводом с током, мы получим это окончательное уравнение для поля, создаваемого проводом с током.

Здесь B — магнитное поле в определенной точке пространства, измеренное в теслах.-6. I — ток, протекающий по проводу, измеряется в амперах. А r — это радиальное расстояние от провода, измеренное в метрах. Таким образом, вы можете использовать это уравнение, чтобы вычислить напряженность магнитного поля на расстоянии х от токоведущего провода. Чтобы получить направление этого поля, мы должны использовать правило правой руки и указывать большими пальцами в направлении тока.

Результаты обучения

После завершения этого урока вы должны уметь:

• Закон штата Ампера
• Рассчитайте магнитное поле токоведущего провода, используя закон Ампера
• Вспомните правило правой руки при вычислении текущего направления

Уравнения Максвелла: Закон Ампера

Четвертое уравнение Максвелла

На этой странице мы объясним значение последнего из уравнений Максвелла, Закон Ампера , который дан в уравнении [1]:

Ампер был ученым, экспериментировавшим с силами на проводах, по которым проводился электрический ток.Он проводил эти эксперименты еще в 1820-х годах, примерно в то же время, что и Фардей работал над законом Фарадея. Ампер и Фарде не знали, что там работа будет объединена самим Максвеллом, примерно 4 десятилетия спустя.

Силы на проводах мне не особо интересны, потому что у меня никогда не было иногда использовать очень сложные уравнения в ходе моей работы (который включает докторскую степень, некоторые работы в национальной лаборатории, а также занятость в обеих сторонах защиты и промышленность бытовой электроники).Итак, я начну с представляя закон Ампера, который связывает электрический ток, протекающий и магнитное поле вокруг него:

Уравнение [2] можно объяснить: Предположим, у вас есть проводник, несущий ток, I . Тогда этот ток производит Магнитное поле который обводит проволоку.

Левая часть уравнения [2] означает: если вы возьмете любое воображаемое путь, опоясывающий проволоку, и вы складываете магнитное поле в каждой точке на этом пути, а затем будет численно равняться количеству тока, окруженного этот путь (поэтому мы пишем для замкнутого или замкнутого тока).

Давайте сделаем пример для развлечения. Предположим, у нас есть длинный провод, по которому постоянный электрический ток, I [Ампер]. Что такое магнитное поле вокруг провод, на любое расстояние r [метров] от провода?

Давайте посмотрим на схему на рисунке 1. У нас есть длинный провод, по которому течет ток. I Ампер. Мы хотим знать, что такое магнитное поле на расстоянии р из проволоки. Итак, мы проводим воображаемый путь вокруг провода, который синяя пунктирная линия справа на рисунке 1:

Фигура 1.Расчет магнитного поля по закону Ампера.

Закон Ампера [Уравнение 2] гласит, что если мы сложим (интегрируем) Магнитные Поле вдоль этого синего пути, тогда численно это должно быть равно вложенный ток I .

Теперь в силу симметрии магнитное поле будет однородным (не меняющимся) при расстояние r от провода. Длина пути синего пути на рисунке 1 окружность равна окружности радиуса r : .

Если мы складываем постоянное значение магнитного поля (назовем его H ), то левая часть уравнения [2] становится простой:

Таким образом, мы выяснили, какова величина поля H . А поскольку r было произвольным, мы знаем, что такое H-поле везде. Уравнение [3] утверждает, что магнитное поле уменьшается по величине при движении. дальше от провода (из-за члена 1 / r).

Итак, мы использовали закон Ампера (Уравнение [2]), чтобы найти величину Магнитное поле вокруг провода. Однако поле H является Векторное поле, Это означает, что в каждом месте есть как величина, так и направление. Направление H-поля везде касательно мнимых петель, как показано на рисунке 2. Правило правой руки определяет направление магнитного поля:

Рис. 2. Величина и направление магнитного поля вокруг провода.

Манипулирование математикой закона Ампера

Мы собираемся проделать тот же трюк с теоремой Стокса, который мы сделали. когда смотришь на Закон Фарадея. Мы можем переписать закон Ампера в уравнении [2]:

В правой части равенства в уравнении [4] мы использовали теорему Стокса изменить линейный интеграл вокруг замкнутого контура на завиток того же поля через поверхность, заключенную в петлю ( S ).

Мы также можем переписать общий ток () как поверхностный интеграл Плотность тока ( Дж ):

Итак, теперь у нас есть исходный закон Ампера (уравнение [2]), переписанный в терминах поверхностные интегралы (уравнения [4] и [5]). Следовательно, мы можем заменить их вместе и получите новую форму закона Ампера:

Теперь у нас есть новая форма закона Ампера: ротор магнитного поля равен к Плотность электрического тока.Если вы проницательный ученик, вы можете заметить, что уравнение [6] не окончательная форма, которая записана в уравнении [1]. Существует проблема с уравнением [6], но только в 1860-х годах Джеймс Клерк Максвелл разобрались в проблеме и объединили электромагнетизм с уравнениями Максвелла.

Плотность тока смещения

Закон Ампера был записан как в Уравнении [6] до Максвелла. Итак, начнем посмотрите, что с этим не так. Сначала я должен выбросить еще один векторная идентичность — расхождение завиток любого векторного поля всегда равно нулю:

Итак, давайте рассмотрим расхождение закона Ампера, записанное в уравнении [6]:

Таким образом, уравнение [8] следует из уравнений [6] и [7].Но там сказано, что дивергенция плотности тока Дж, всегда равна нулю. Это правда?

Если расхождение J всегда равно нулю, это означает, что электрическая ток, текущий в любую область, всегда равен электрическому току, текущему вне региона (без расхождения). Это кажется несколько разумным, поскольку электрический ток в цепях течет по петле. Но давайте посмотрим, что будет, если мы поставить в цепь конденсатор:

Рисунок 3. Напряжение, приложенное к конденсатору.

Теперь мы знаем из теории электрических цепей, что если напряжение непостоянно (например, любая периодическая волна, такая как напряжение 60 Гц, выходящее из вашего розетки), то через конденсатор будет протекать ток. То есть у нас есть I не равно нулю на рисунке 3.

Однако конденсатор в основном представляет собой две параллельные проводящие пластины, разделенные воздуха. Следовательно, нет токопроводящего пути для протекания тока. Это означает, что электрический ток не может проходить через воздух конденсатора.Это проблема, если мы подумаем об уравнении [8]. Чтобы показать это более наглядно, давайте возьмем объем, который проходит через конденсатор, и посмотрим, дивергенция J равна нулю:

Рис. 4. Дивергенция J не равна нулю.

На рисунке 4 мы нарисовали воображаемый объем красным цветом и хотим проверить если расходимость плотности тока равна нулю. Выбранный нами объем, имеет один конец (обозначенный стороной 1), где ток поступает в объем через черный провод.Другой конец нашего объема (обозначенный стороной 2) делит конденсатор пополам.

Мы знаем, что ток течет в петле. Итак, ток поступает через сторону 1 нашего красного тома. Однако на стороне 2 отсутствует электрический ток. В воздухе конденсатора ток не течет. Это означает, что текущий входит в объем, но из него ничего не выходит — поэтому расхождение J составляет не ноль. Мы только что нарушили наше уравнение [8], что означает, что теория не верна.И так было до тех пор, пока пришел наш друг Максвелл.

Максвелл знал, что электрическое поле (и Плотность электрического потока ( D ) внутри конденсатора менялся. И он знал, что изменяющееся во времени магнитное поле возникло соленоидальное электрическое поле (т.е. это закон Фарде — curl E равен производной по времени B ). Итак, почему это не так изменяющееся во времени поле D вызовет соленоидальное поле H (я.е. рождает завиток H ). Вселенная любит симметрию, так почему бы не ввести этот термин? И другие Максвелл это сделал, и он назвал этот термин плотностью тока смещения :

Этот термин «исправит» проблему схемы, показанную на рисунке 4, и сделает Закон Фарде и Закон Ампера более симметричны. Это был большой вклад Максвелла. И можно подумать, что это слабый вклад.Но существование этого термина объединил уравнения и привел к пониманию распространения электромагнитных волны и доказательство того, что все волны движутся с одинаковой скоростью (скоростью света)! И именно это объединение уравнений, которое представил Максвелл, привело к коллективное множество, известное как уравнения Максвелла. Итак, если мы добавим ток смещения согласно закону Ампера, как записано в уравнении [6], тогда мы имеют окончательную форму закона Ампера:

Так появился Закон Ампера!

Толкование закона Ампера

Итак, что означает уравнение [10]? Следующие последствия этого закона:

Закон Ампера, декабрь 1972 г. Популярная электроника

Вот краткая, но информативная введение в историю открытия французским физиком Андре Мари Ампером одноименный закон, регулирующий отношения между током и магнитным поле.Как известно большинству посетителей RF Cafe, как постоянный, так и изменяющийся во времени ток будут генерировать магнитное поле, но только изменяющееся во времени магнитное поле может генерировать ток поток. Менее чем через неделю после свидетельства Ганс Кристиан Эрстед демонстрирует влияние токоведущего провода на компас иглой, Ампер обнаружил Правило правой руки текущего направления потока на основе направления магнитное поле.

Закон Ампера

Дэвид Л.Heiserman

Ампера Закон гласит, что пара проводников, несущих электрические токи, оказывает магнитное воздействие на друг друга. Кроме того, величина этой силы зависит от величины протекающего тока. в каждом проводнике, а также расстояние и угол между ними. Андре Мари Ампер, французский физик и математик, объявил об этом новом законе природы 18 сентября 1820 года. Как будто открывая такого закона было недостаточно, Ампер использовал его, чтобы заложить теоретические основы для совершенно нового Раздел электричества и физики называется электродинамикой — и он сделал это всего за семь лет.

Ранние годы. Оглядываясь на работы Ампера с нашей современной точки зрения, кажется, что что мужчина провел первые сорок пять лет своей жизни, готовясь к семи годам Открытие: Родившись в умеренно обеспеченной и образованной семье, юный Ампер имел большую часть преимущества, доступные французским детям, выросшим во время Великой революции. Более того, он был вундеркиндом, изучившим геометрию и математику в возрасте двенадцати лет, читая тексты которые были написаны на их оригинальной латыни.

Когда Ампера было восемнадцать, его отец был казнен во время кровавого «правления террора», прокатилась по Франции. Виды и звуки революции, завершенные жестоким отцом смерть, потрясла разум Ампера. Следующие шесть лет своей жизни он провел в бесцельных блужданиях. о деревне, строительстве замков из песка на берегу моря и сочинении бессмысленных стихов.

В конце этого потерянного периода времени Ампер женился и перешел на более традиционный стиль жизни.Его блестящий ум вернулся, но семейные деньги пропали. Итак, Ампер устроился на свою первую работу профессором в Университете Бурген-Бресс. Не прошло и трех лет прошел до того, как умерла его жена, что привело Ампера в ступор еще на год.

Наполеон слышал о талантах этого несчастного юного гения и предложил Амперу должность преподавателя в школе в Париже. Расстроен жизнью, но очень хочет вернуться в свою работу, Ампер принял эту должность и оставался там до конца своих профессиональных занятий. жизнь.

Ампер начал писать статьи по широкому кругу предметов, включая химию, математику, молекулярная физика и биология. В то время его особый интерес была к теории игр. Эти работы были важны для других ученых, но они не относились к категории тех, которые подпадают под категория особого величия.

Новое открытие. 11 сентября 1820 года Ампер посетил демонстрацию произведений Эрстеда. новое открытие.Демонстрация показала, что ток, протекающий по прямому отрезку провод заставляет стрелку компаса поворачиваться в положение под прямым углом к ​​проводнику. Даже в то время как эта демонстрация все еще продолжалась, должно быть, подумал Ампер: «Поскольку один проводник нес электрический ток может воздействовать на стрелку компаса, почему два токонесущих проводники оказывают друг на друга силу? »

Возбужденный представлением о том, что токоведущие провода производят точно такие же магнитные сил в качестве грузовых камней и постоянных магнитов, Ампер немедленно отказался от всех своих других работ. и начал исследовать этот «искусственный» источник магнетизма.За семь дней Ампер развил фундаментальные теории электродинамики, спроектированные и построенные экспериментальные установки, выполненные необходимые эксперименты, и представил свои открытия научному миру. Никаких других крупных научное открытие когда-либо было задумано и проверено за такой короткий период времени. Ампер действительно был полностью готов к этой неделе великих открытий.

Две очень важные идеи возникли в результате экспериментов Ампера на той неделе.Для во-первых, он разработал то, что мы теперь обычно называем «правилом правой руки». Согласно этому правило, с большим пальцем правой руки, указывающим в направлении обычного электрического тока (положительный к отрицательному) через провод, скрученные пальцы этой руки указывают направление результирующего магнитного поля. Эрстед уже пришел к выводу, что магнитные силовые линии выходят под прямым углом из проводника. Ампер, однако, усовершенствовал это понятие, сделав можно предсказать смысл или полярность этого поля.

Другая важная идея в первой статье Ампера касалась притяжения и отталкивания. двух параллельных проводов, по которым проходит электрический ток. Ампер показал, что токи текут через провода в одном направлении заставлял их притягиваться друг к другу, в то время как токи текли в противоположных направлениях заставили провода отталкиваться.

Открытия Ампера о направлении магнитных полей вокруг проводника и силы, действующие на пару токоведущих проводов, сегодня так же важны, как и раньше. 150 лет назад.Что, пожалуй, еще более примечательно, так это почти невероятная простота лабораторного оборудования, которое он использовал. Ему удалось открыть совершенно новую технологию, не используя ничего лишнего. чем несколько отрезков медного провода, компас и пара батареек Вольта.

В течение семи лет после его предварительного объявления бумаги Ампера становились все более популярными. приправлен сложными уравнениями. Его ранние исследования геометрии и исчисления приносили прибыль. выключенный. Другие европейские исследователи тоже переняли несколько хороших идей из работ Эрстеда; но большинству из этих людей не хватало высокого уровня математических знаний и творческой проницательности Ампер одержим.

Снова в лабораторию. Его работа вскоре достигла точки, когда ему пришлось вернуться в лабораторию. чтобы подтвердить его уравнения. На этот раз ему нужно было получить точные цифры количества текущих поток и силы между проводниками. Используя то, что тогда было революционно новым измерением прибор, гальванометр, Ампер смог измерить количество тока, протекающего через провода. Его собственная оригинальная работа с катушками из проволоки и соленоидами, кстати, была непосредственно ответственным за изобретение того самого гальванометра, который он использовал.

Поскольку он также должен был знать точное количество силы, с которой два проводника действуют друг на друга, Ампер изобрел несколько специализированных инструментов. Одна из них была обычная лаборатория баланс, у которого был соленоид, прикрепленный к одной стороне балки. Этот соленоид помещается внутри большего один прикреплен к нижней части весов. Ток, протекающий через два соленоида, заставил меньшее движение внутри большего. Поместив калиброванные гири на чашку весов на противоположный конец балки, Ампер мог определить точное количество силы, которое два набора проводники давили друг на друга.

По словам известного ученого Джеймса Клерка Максвелла, фундаментальные уравнения Ампера «выпрыгнул из разума электричества Ньютона взрослым и во всеоружии». Ампера уравнения были практически завершены еще до того, как он намеревался продемонстрировать их справедливость в лаборатория. Составление уравнений перед проведением экспериментов противоречило общепринятым научная процедура того времени, но один простой факт заставил замолчать всех критиков — уравнения и лабораторные эксперименты всегда соглашались.И в честь этого «Ньютона электричества» Международный Конгресс электриков назвал в его честь основную единицу тока — ампер.

Ампер был трудолюбивым и научным гением. Даже когда он концентрировался работая над созданием основ электродинамики, он преподавал в университете. Возможно, это была ошибка. Ампер был известен тем, что останавливал свои лекции в середине предложение, в то время как его разум блуждает по какой-то новой идее или уравнению.У него также была привычка позволяя своей работе за доской извиваться в какую-то новую линию математических рассуждений, оставляя его ученики ломают голову над нагромождением непонятных фигур, связанных с какой-то новой идеей в электродинамике.

Ampere действительно был классическим примером рассеянного профессора. Не может быть никаких сомнений, тем не менее, что он был одним из самых успешных рассеянных профессоров всех времен. в отличие доски, унесшие его идеи в небытие, основные уравнения Ампера, по сути, стоят без изменений по сей день.

Опубликовано: 25 июля, 2017

B35: Новый взгляд на закон Гаусса для магнитного поля и закон Ампера

Закон Гаусса для магнитного поля

Помните закон Гаусса для электрического поля? Это тот, который в концептуальном плане утверждает, что количество силовых линий электрического поля, выходящих наружу через замкнутую поверхность, пропорционально количеству электрического заряда внутри замкнутой поверхности. В форме уравнения мы записали это как:

\ [\ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = \ frac {Q _ {\ mbox {enclosed}}} {\ epsilon_o} \]

Мы назвали величину слева электрическим потоком \ (\ Phi_E = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} \).

Что ж, есть закон Гаусса и для магнитного поля. В каком-то смысле он очень похож, потому что он включает в себя величину, называемую магнитным потоком, которая математически выражается как \ (\ Phi_B = \ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {dA} \) и представляет собой количество магнитного поля. линии, торчащие наружу через закрытую поверхность. Большая разница заключается в том, что не существует такого понятия, как «магнитный заряд». Другими словами, магнитного монополя не существует. В законе Гаусса для электрического поля электрический заряд (деленный на \ (\ epsilon_o \)) справа.В законе Гаусса для магнитного поля справа \ (0 \):

\ [\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {dA} = 0 \]

Что касается расчета магнитного поля, полезность этого уравнения ограничена. Но в сочетании с законом Ампера в интегральной форме (см. Ниже) он может пригодиться для расчета магнитного поля в случаях, связанных с большой симметрией. Кроме того, его можно использовать в качестве проверки для случаев, когда магнитное поле было определено другими способами.

Закон Ампера

Мы уже довольно много говорили о законе Ампера.Это тот, который говорит, что ток вызывает магнитное поле. Обратите внимание, что в этом ничего не говорится об изменении. Это просто причинно-следственная связь. Интегральная форма закона Ампера одновременно широка и конкретна. Читается:

\ [\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} = \ mu_o I _ {\ small THROUGH} \]

где:

\ (\ circ \) круг на знаке интеграла и \ (\ vec {d \ ell} \), дифференциальная длина, вместе говорят вам, что интеграл (бесконечная сумма) находится вокруг воображаемого замкнутого контура .

\ (\ vec {B} \) — магнитное поле,

\ (\ vec {d \ ell} \) — бесконечно малый элемент пути замкнутого цикла,

\ (\ mu_o \) — универсальная постоянная, называемая магнитной проницаемостью свободного пространства, а

\ (I _ {\ small THROUGH} \) — это ток, проходящий через область, заключенную в петлю.

Закон Ампера в интегральной форме говорит о том, что если вы суммируете магнитное поле вдоль сегмента пути, умноженное на длину сегмента пути для всех сегментов пути, составляющих воображаемый замкнутый контур, вы получите ток через область заключенный в цикл, умноженный на универсальную константу.Интеграл \ (\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} \) на любом замкнутом пути, по которому он выполняется, называется циркуляцией магнитного поля на этом замкнутом пути. Итак, другой способ сформулировать интегральную форму закона Ампера — сказать, что циркуляция магнитного поля на любом замкнутом пути прямо пропорциональна току через область, ограниченную этим путем. Вот изображение:

На картинке я показываю все, кроме магнитного поля.Идея состоит в том, что для каждого бесконечно малого сегмента \ (\ vec {d \ ell} \) воображаемой петли вы ставите точки магнитного поля \ (\ vec {B} \) в позиции сегмента на \ ( \ vec {d \ ell} \). Сложите все такие скалярные произведения. Общая сумма равна \ (\ mu _ {\ small 0} \), умноженному на \ (I \) через цикл.

Итак, для чего он нужен? Закон Ампера в интегральной форме имеет для нас ограниченную пользу. Его можно использовать в качестве отличной проверки для случая, когда кто-то вычислил магнитное поле, обусловленное некоторым набором проводников с током, другим способом (например,грамм. используя закон Био-Савара, который будет представлен в следующей главе). Кроме того, в случаях, связанных с высокой степенью симметрии, мы можем использовать его для расчета магнитного поля из-за некоторого тока.

Например, мы можем использовать закон Ампера, чтобы получить математическое выражение для величины магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводом. Я собираюсь включить наше понимание того, что для сегмента провода с током в нем ток создает магнитное поле, которое образует петли вокруг провода в соответствии с правилом правой руки для чего-то изогнутого и прямого.Другими словами, мы уже знаем, что для длинного прямого провода, по которому ток идет прямо от вас, магнитное поле распространяется петлями вокруг провода, которые, с вашей точки зрения, идут по часовой стрелке.

Исходя из симметрии, мы можем утверждать, что величина магнитного поля такая же для данной точки, как и в любой другой точке, которая находится на том же расстоянии от провода, что и данная точка. При реализации закона Ампера нам необходимо выбрать воображаемую петлю, называемую в данном контексте петлей Ампера, которая позволяет нам получить некоторую полезную информацию из закона Ампера.В этом случае разумным выбором будет круг, плоскость которого перпендикулярна прямому проводу, а центр лежит на прямом проводе.

Здесь \ (I \) хочу поделиться с вами некоторой информацией об интегральной форме закона Ампера. Что касается \ (\ vec {d \ ell} \): каждый вектор \ (\ vec {d \ ell} \) с данной точки зрения может быть охарактеризован как представляющий либо шаг по часовой стрелке по пути, либо против часовой стрелки. шагать по тропинке. И, если один по часовой стрелке, все они должны быть по часовой стрелке.Если один против часовой стрелки, все они должны быть против часовой стрелки. Таким образом, при выполнении интеграла по замкнутому контуру обход контура осуществляется либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки с заданной точки обзора. Теперь вот важная информация о направлении: ток, который проходит через петлю в том направлении, которое связано со смыслом (по часовой стрелке или против часовой стрелки) обхода петли в соответствии с правилом правой руки для чего-то вьющегося, чего-то прямого (с петлей, являющейся чем-то кудрявый, а текущее — прямое) считается положительным.Итак, для рассматриваемого случая, если я выберу обход цикла по часовой стрелке, если смотреть с точки зрения, которая заставляет вещи выглядеть так:

, то текущий \ (I \) считается положительным. Если вы согнете пальцы вокруг петли по часовой стрелке, большой палец будет направлен от вас. Это означает, что ток через петлю, направленный от вас, положительный. Именно такой ток мы имеем в данном случае. Итак, когда мы подставляем \ (I \) для рассматриваемого случая в общее уравнение (закон Ампера),

\ [\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} = \ mu_o I _ {\ small THROUGH} \]

для текущего \ (\ mu_o I _ {\ small THROUGH} \) идет со знаком «+».

\ [\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} = \ mu_o I \]

Теперь, с выбранной мной петлей, каждый \ (\ vec {d \ ell} \) точно параллелен магнитному полю \ (\ vec {B} \) в месте расположения \ (\ vec {d \ ell } \), поэтому \ (\ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} \) — это просто \ (B \ space d \ ell \). То есть, с нашим выбором петли Ампера закон Ампера упрощается до:

\ [\ oint B d \ ell = \ mu_o I \]

Кроме того, исходя из симметрии, с нашим выбором петли Ампера, величина магнитного поля \ (B \) имеет одно и то же значение в каждой точке петли.Это означает, что мы можем вынести величину магнитного поля \ (B \) из интеграла. Это дает:

\ [B \ oint d \ ell = \ mu_o I \]

Хорошо, теперь мы находимся на легкой улице. \ (\ Oint d \ ell \) — это просто сумма всех \ (d \ ell \), составляющих нашу воображаемую петлю (круг) радиуса \ (r \). Эй, это просто длина окружности \ (2 \ pi r \). Итак, закон Ампера принимает вид:

\ [B (2 \ pi r) = \ mu_o I \]

, что означает

\ [B = \ frac {\ mu_o I} {2 \ pi r} \]

Это наш конечный результат.Величина магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом, прямо пропорциональна току в проводе и обратно пропорциональна расстоянию от провода.

Длинный прямой соленоид

Соленоид представляет собой катушку из проволоки в виде цилиндрической оболочки. Рассматриваемый здесь идеализированный соленоид бесконечно длинный, но он имеет фиксированный конечный радиус \ (R \) и постоянный конечный ток \ (I \).

Он также характеризуется числом витков на длину, \ (n \), где каждый «виток» (a.к.а. обмотка) представляет собой одну круговую токовую петлю. Фактически, мы еще больше идеализируем наш соленоид, думая о нем как о бесконечном множестве круговых токовых петель. Настоящий соленоид приближается к этому идеализированному соленоиду, но за один оборот (на изображении выше) конец поворота смещается влево или вправо от начала поворота на величину, равную диаметру провода. В результате в реальном соленоиде у нас есть (на изображении выше) некоторый ток слева направо или справа налево (в зависимости от того, в какую сторону наматывается провод).Мы пренебрегаем этим током и считаем, что он просто циркулирует по кругу.

Наша цель здесь — найти магнитное поле, создаваемое идеальным бесконечно длинным соленоидом, который имеет число витков на длину \ (n \), имеет радиус \ (R \) и пропускает ток \ (Я\).

Начнем с рассмотрения соленоида в разрезе. Относительно изображения выше, мы представим, что смотрим на соленоид с левого конца. С этой точки зрения поперечное сечение представляет собой круг с током по часовой стрелке:

Давайте попробуем амперовскую петлю в форме круга, плоскость которого перпендикулярна оси симметрии соленоида, круг с центром на оси симметрии соленоида.

Исходя из симметрии, мы можем утверждать, что если магнитное поле имеет компоненту, параллельную изображенному \ (d \ ell \), то оно должно иметь точно такую ​​же составляющую для каждого \ (d \ ell \) на замкнутом пути. Но это сделало бы циркуляцию \ (\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} \) ненулевой, что противоречит тому факту, что ток не проходит через область, заключенную в петлю. Это верно для любого значения \ (r \). Таким образом, магнитное поле не может иметь компоненты, касательной к окружности, плоскость которой перпендикулярна оси симметрии соленоида, окружности с центром на оси симметрии соленоида.

Теперь предположим, что магнитное поле имеет радиальную составляющую. По симметрии он должен быть везде направлен радиально наружу от оси симметрии соленоида или всюду радиально внутрь. В любом случае мы могли бы построить воображаемую цилиндрическую оболочку, ось симметрии которой совпадает с осью соленоида. Чистый магнитный поток через такую ​​гауссову поверхность был бы ненулевым в нарушение закона Гаусса для магнитного поля. Следовательно, соленоид не может иметь радиальной компоненты магнитного поля.

Единственный вид поля, который мы не исключили, — это поле, которое всюду параллельно оси симметрии соленоида. Посмотрим, приведет ли такое поле к каким-либо противоречиям.

Здесь мы видим соленоид в разрезе сбоку. Вверху катушки мы видим ток, направленный к нам, а внизу — прочь. Возможное продольное (параллельно оси симметрии соленоида) магнитное поле включено в диаграмму.

Прямоугольники на диаграмме представляют собой амперовские петли.Чистый ток через любую из петель в любом направлении (от вас или к вам) равен нулю. Таким образом, тираж \ (\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} \) равен нулю. Поскольку магнитное поле справа и слева от любой из петель перпендикулярно правой и левой сторонам любой из петель, оно не влияет на циркуляцию там. По симметрии магнитное поле в одной позиции на вершине петли такое же, как и в любой другой точке на вершине той же петли. Следовательно, если мы пройдем любую из петель против часовой стрелки (с нашей точки зрения), вклад в циркуляцию будет \ (- B _ {\ small TOP} L \), где \ (L \) — длина верхнего и нижнего сегментов какой бы цикл вы ни выбрали, чтобы сосредоточить свое внимание.Знак «-» обусловлен тем фактом, что \ (I \) выбрано (произвольно) обходить цикл против часовой стрелки, и при этом каждый \ (\ vec {d \ ell} \) в верхнем сегменте находится в направление, противоположное направлению магнитного поля в верхней части петли. Вклад нижнего сегмента той же петли в циркуляцию равен \ (+ B _ {\ small BOTTOM} L \). На данный момент у нас есть:

\ [\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} = \ mu_o I _ {\ small THROUGH} \]

\ [\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} = 0 \]

(где чистый ток через любую из изображенных петель равен нулю при осмотре.)

\ [0 + -B _ {\ small TOP} L + 0 + B _ {\ small BOTTOM} L = 0 \]

(два нуля в левой части уравнения находятся в правой и левой частях петли, где магнитное поле перпендикулярно петле.)

Решая для \ (B _ {\ small BOTTOM} \), мы обнаруживаем, что для каждого цикла на диаграмме (и бесконечного числа циклов, содержащих нулевой чистый ток, как и у них):

\ [B _ {\ small BOTTOM} = B _ {\ small TOP} \]

Это означает, что магнитное поле во всех точках вне соленоида имеет одну и ту же величину.То же самое можно сказать обо всех точках внутри соленоида, но внутреннее значение соленоида может отличаться от внешнего значения. Фактически, давайте рассмотрим петлю, в которой чистый ток не равен нулю:

Опять же, я предпочитаю обходить петлю против часовой стрелки (с нашей точки зрения). Таким образом, по правилу правой руки для чего-то вьющегося, чего-то прямого, ток, направленный к нам через петлю, положительный. Вспоминая, что количество витков на длину соленоида равно \ (n \), мы имеем для петли, изображенной выше,

\ [\ oint \ vec {B} \ cdot \ vec {d \ ell} = \ mu_o I _ {\ small THROUGH} \]

\ [0 + -B _ {\ small TOP} L + 0 + B _ {\ small BOTTOM} L = \ mu_o n L I \]

\ [B _ {\ small BOTTOM} = B _ {\ small TOP} + \ mu_o n I \]

Нижняя часть петли находится внутри соленоида, и мы установили, что величина магнитного поля внутри соленоида имеет одну и ту же величину во всех точках внутри соленоида.Я назову это \ (B _ {\ small INSIDE} \), что означает \ (B _ {\ small BOTTOM} = B _ {\ small INSIDE} \). Точно так же мы обнаружили, что величина магнитного поля имеет одно и то же (другое) значение во всех точках вне соленоида. Назовем это \ (B _ {\ small OUTSIDE} \), что означает \ (B _ {\ small TOP} = B _ {\ small OUTSIDE} \). Таким образом:

\ [B _ {\ small INSIDE} = B _ {\ small OUTSIDE} + \ mu_o n I \]

Это все, что я могу сделать с помощью закона Гаусса для магнитного поля, симметрии и только закона Ампера.Отсюда я перехожу к экспериментальным результатам с длинными конечными соленоидами. Экспериментально мы обнаруживаем, что магнитное поле вне соленоида исчезающе мало, а внутри соленоида есть заметное магнитное поле. Настройка

\ [B _ {\ small OUTSIDE} = 0 \]

мы находим, что магнитное поле внутри длинного прямого соленоида равно:

\ [B _ {\ small INSIDE} = \ mu_o n I \]

Авторы и авторство

Окружной закон Ампера

Оценим напрямую. Согласно формуле. (254),

Но почему мы так старались доказать что-то с помощью теории векторного поля, которое можно продемонстрировать в одну линию через обычные анализ [см.(258)]? Ответ, конечно же, таков: векторное поле результат легко обобщается, тогда как обычный результат — это просто частный случай. Например, ясно, что уравнение. (266) верно для любой поверхности , прикрепленной к петле C, а не просто плоская поверхность. Более того, предположим, что мы искажаем нашу простую круговую петлю так что он больше не круглый и даже не лежит в одной плоскости. Что сейчас такое линейный интеграл вокруг петли? Это уже не простая проблема для обычных анализ, потому что магнитное поле не параллельно линейному элементу петля.Однако согласно теореме Стокса

Таким образом, при условии, что кривая перемещается по оси, и, следовательно, любая поверхность присоединенный к пересекает ось, линейный интеграл равно .Конечно, если не циркулирует ось, тогда прикрепленная поверхность не пересекает ось и равно нулю. Есть еще одна оговорка. Линия интеграл для цикла, который циркулирует ось по часовой стрелке (если смотреть вверх -ось). Однако, если петля движется против часовой стрелки направлении, то интеграл равен. Это следует потому, что в последнем случае -компонента поверхностного элемента противоположно направлена ​​к текущий поток в точке, где поверхность пересекает провод.

Рассмотрим теперь провода, направленные вдоль оси -оси с координатами (,) в плоскости -, каждая из которых несет ток в положительное направление. Совершенно очевидно, что уравнение. (264) обобщает к

Уравнение (269) — это уравнение поля, описывающее, как набор -направленных токоведущие провода создают магнитное поле.Эти провода имеют нулевой толщины, что означает, что мы пытаемся сжать конечное количество ток в бесконечно малую область. Этот учитывает дельта-функции в правой части уравнение. Точно так же мы получили дельта-функции в разд. 3,4 потому что мы имели дело с точечными обвинениями. Давайте теперь обобщим на более реалистичный случай диффузных токов. Предположим, что -ток, текущий через маленький прямоугольник в плоскости — с центром в координатах (,) и размеров и является .Здесь называется плотностью тока в направление. Интегрируем над этим прямоугольником. Предполагается, что прямоугольник достаточно мал, чтобы существенно не меняется. Согласно формуле. (270) этот интеграл равен равный умноженному на общий ток, протекающий через прямоугольник. Таким образом,

Если мы составим линейный интеграл вокруг некоторой общей замкнутой кривой , используя теорему Стокса и уравнение поля (274), то получать

Поток плотности тока сквозной оценивается путем интегрирования по любой поверхности прикреплен к. Предположим, что мы берем две разные поверхности и . Ясно, что если схема Ампера закон должен иметь какой-то смысл, тогда поверхностный интеграл лучше сравнять интеграл . То есть, когда мы вычисляем поток тока хотя, используя две разные прикрепленные поверхности, нам лучше получить тот же ответ, иначе уравнение.(275) неверно (поскольку левая часть явно независима поверхности, охватывающей C). Мы видели в разд. 2 что если интеграл от векторного поля на некоторой поверхности, прикрепленной к петле, зависит только от петли и независимо от покрывающей его поверхности, то это означает, что . Поток тока плотность через любую петлю вычисляется путем вычисления интеграла для любая поверхность, которая охватывает петлю. В соответствии с По закону оборота Ампера этот интеграл зависит только от и полностью не зависит от ( я.е. , он равен линейному интегралу от около, который зависит от включен, но не включен). Это означает, что . Фактически, мы можно получить это соотношение непосредственно из уравнения поля (274). Мы знаем это расхождение завитка автоматически равно нулю, поэтому расхождение уравнения (274), получаем

Мы показали, что для того, чтобы закон Ампера имел какой-либо смысл, нам нужно .Физически это означает, что текущий текущий ток через любую замкнутую поверхность равен нулю. До сих пор мы рассматривали только стационарные заряды и установившиеся токи. Понятно, что если все обвинения стационарный, и все токи устойчивы, значит, чистый ток не может протекать через закрытую поверхность, так как это будет означать накопление заряда в том в комплекте. Другими словами, пока мы ограничиваем наше расследование к стационарным зарядам и постоянным токам, то мы ожидаем , и закон Ампера имеет смысл.Однако предположим, что теперь мы ослабим это ограничение. Предположим, что некоторые из зарядов в томе решают переместиться за пределами . Ясно, что чистый поток электрического тока через ограничивающая поверхность, пока это происходит. Это следует из Теорема Гаусса о том, что . В этих условиях Окружной закон Ампера рушится в кучу. Позже мы увидим, что можем спасти Обходной закон Ампера путем добавления дополнительного члена, включающего производную по времени, к правая часть уравнения поля (274).Для стационарных ситуаций ( т. Е. , ), это дополнительным сроком можно пренебречь. Таким образом, уравнение поля фактически составляет лишь две трети третьего уравнения Максвелла: отсутствует член с правой стороны.

Мы вывели два уравнения поля, включающие магнитные поля (фактически, мы получили только один и две трети):

Закон Ампера — Урок — TeachEngineering

Быстрый просмотр

Уровень оценки: 12 (11-12)

Требуемое время: 45 минут

Зависимость урока:

Тематические области: Физика

Подпишитесь на нашу рассылку новостей

Резюме

Инженерное соединение

Понимание закона Ампера позволяет инженерам вычислять магнитное поле вокруг петли, что полезно при изучении магнитного поля, создаваемого магнитами МРТ.Помимо расчета магнитного поля, инженеры используют закон Ампера для определения величины тока и напряжения, необходимых для создания работающей печатной платы для выполнения желаемых задач.

Цели обучения

После этого урока учащиеся должны уметь

• Примените закон Ампера для расчета магнитных полей в симметричных ситуациях.
• Опишите магнитное поле тороида.

Образовательные стандарты